
In matematica, e in particolare in algebra lineare, un sistema di equazioni lineari, anche detto sistema lineare, è un sistema composto da più equazioni lineari che devono essere verificate tutte contemporaneamente. Una soluzione del sistema è un vettore i cui elementi sono le soluzioni delle equazioni che compongono il sistema, ovvero tali che se sostituiti alle incognite rendono le equazioni delle identità.
Un sistema di equazioni lineari è un insieme di formula_1 equazioni lineari in formula_2 incognite, che può essere scritto nel modo seguente:
Il numero formula_2 delle incognite è detto anche ordine del sistema.
Se termini noti formula_5 sono tutti nulli il sistema è detto "omogeneo".
Una formula_2-upla formula_7 di elementi nel campo è una "soluzione" del sistema se soddisfa tutte le formula_1 equazioni.
Due sistemi si dicono "equivalenti" se hanno lo stesso insieme di soluzioni. In particolare, due sistemi lineari sono equivalenti se ogni equazione di uno è combinazione lineare delle equazioni dell'altro.
In notazione indiciale il sistema si scrive:
Definendo i vettori dei coefficienti:
e il vettore degli formula_1 termini noti:
il sistema è equivalente alla combinazione lineare:
Definendo formula_14 il vettore delle formula_2 incognite:
ciascuna equazione è equivalente ad un prodotto scalare standard:
Se il sistema è omogeneo il vettore delle incognite è quindi ortogonale ai vettori dei coefficienti.
Usando le matrici ed il prodotto scalare fra matrici (prodotto riga per colonna) si possono separare i coefficienti, le incognite ed i termini noti del sistema, scrivendolo nel modo seguente:
Ora seformula_21 è la matrice formula_22 dei coefficienti:
di cui in effetti formula_24 sono le colonne, con le definizioni del vettore delle incognite e di quello dei termini noti il sistema si scrive finalmente in forma matriciale:
Il sistema può essere descritto usando la matrice completa:
detta matrice associata al sistema. Essa è ottenuta dalla giustapposizione della matrice dei coefficienti e del vettore dei termini noti.
Le matrici formula_27 e formula_28 sono dette rispettivamente matrice "incompleta" (o matrice dei coefficienti) e "completa" (o "orlata"). I numeri formula_29 sono le incognite, i numeri formula_30 sono i coefficienti ed i numeri formula_5 i termini noti. Coefficienti e termini noti sono elementi di un campo, ad esempio quello formato dai numeri reali o complessi.
Il grado di un sistema di equazioni polinomiali è definito come il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono. Quindi un sistema lineare è un sistema polinomiale di primo grado.
In generale, un sistema lineare può essere:
Se il campo formula_32 di appartenenza di coefficienti e termini noti di un sistema di ordine formula_2 è infinito, ci sono tre possibilità: esiste una sola soluzione, non ci sono soluzioni oppure ce ne sono infinite. Il teorema che asserisce questo fatto e che permette di stabilire se e quante soluzioni esistono senza risolvere il sistema è il teorema di Rouché-Capelli. Nel caso in cui esistano soluzioni, queste formano un sottospazio affine di formula_34.
Si consideri l'operazione lineare:
Il nucleo di formula_36 è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato, mentre l'immagine è lo spazio generato dalle colonne formula_37. Per il teorema del rango segue che la dimensione dello spazio delle soluzioni più il rango per colonne di formula_21 è pari ad formula_2.
Essendo il vettore delle incognite ortogonale ai vettori riga della matrice dei coefficienti, lo spazio delle soluzioni è il complemento ortogonale del sottospazio generato dalle righe di formula_21. La somma delle rispettive dimensioni deve pertanto essere pari ad formula_2.
Dalle due affermazioni precedenti si conclude che il rango formula_42 per righe è pari al rango per colonne, e che lo spazio delle soluzioni ha dimensione formula_43. Lo spazio delle soluzioni è dunque un sottospazio vettoriale di dimensione formula_44.
Il sistema ammette soluzione se e solo se il vettore formula_45 è l'immagine del vettore formula_46 ottenuta mediante l'applicazione lineare formula_47 definita nel seguente modo:
L'immagine di formula_49 è generata dai vettori dati dalle colonne di formula_50, e quindi formula_45 è nell'immagine se e solo se lo span delle colonne di formula_21 contiene formula_45, cioè se e solo se lo spazio generato dalle colonne di formula_50 è uguale allo spazio generato dalle colonne di formula_55. In modo equivalente il sistema ammette soluzione se e solo se le due matrici abbiano lo stesso rango, come stabilisce il teorema di Rouché-Capelli.
Se esiste una soluzione formula_56, ogni altra soluzione si scrive come formula_57, dove formula_58 è una soluzione del sistema lineare omogeneo associato:
Infatti:
Lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore formula_61, è quindi il sottospazio affine dato da:
La dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema completo è uguale alla dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato. Per il teorema di Rouché-Capelli tale soluzione è unica se e solo se il rango della matrice formula_21 è formula_2. Altrimenti se il campo formula_32 è infinito esistono infinite soluzioni, e queste formano un sottospazio vettoriale di formula_66, avente come dimensione la nullità formula_67 della matrice.
Dato un sistema lineare nella forma
dove formula_69 è il vettore colonna delle incognite, formula_70 è il vettore colonna dei termini noti e formula_50 è la matrice dei coefficienti ed è quadrata e invertibile, la soluzione è unica ed è pari al prodotto:
dove formula_73 è l'inversa di formula_50. Il calcolo della matrice inversa è spesso complicato e oneroso dal punto di vista computazionale, ragion per cui un sistema lineare normalmente non viene risolto calcolando direttamente la matrice inversa.
Di grande importanza teorica per i sistemi lineari, ma non utilizzata in pratica per motivi simili, è la regola di Cramer.
Di uso generale per sistemi con migliaia di equazioni è invece il metodo di eliminazione di Gauss, che si basa sul metodo di riduzione.
Il metodo di riduzione è specifico per i sistemi lineari. Il procedimento consiste nel sostituire una delle equazioni del sistema con una opportuna combinazione lineare di due equazioni del sistema stesso, ottenendo un sistema equivalente a quello dato. Più precisamente, se due righe sono espresse come prodotto tra opportune sottomatrici dei coefficienti e il vettore x delle soluzioni, ovvero 
allora è possibile sostituire una delle due con l'equazione 
dove formula_77 e formula_78 sono due numeri scalari qualsiasi, entrambi diversi da zero.


In matematica, un numero è un modo di esprimere una quantità, oppure la posizione in un elenco di elementi, oppure il rapporto tra grandezze dello stesso tipo. Il concetto di numero nasce per la necessità del conteggio, come astrazione del concetto di quantità, realizzato attraverso una corrispondenza biunivoca tra elementi di due insiemi distinti.
Si definisce operazione numerica una procedura che, a partire da uno o più numeri, genera un altro numero. Le operazioni numeriche fondamentali (dette anche "operazioni aritmetiche") sono: l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione. Lo studio delle proprietà di queste operazioni è parte dell'algebra elementare.
Un insieme di numeri è frequentemente espresso attraverso il concetto di campo.
Un numero che esprime la dimensione di un insieme di elementi, così come un numero che identifica la posizione in una successione di oggetti, è detto numero naturale. La necessità di esprimere una grandezza in relazione ad un'altra grandezza ha reso necessaria l'introduzione di altre classi di numeri, come i numeri razionali ed i numeri reali. L'esigenza di rappresentare il numero ottenuto attraverso un'operazione matematica, infine, ha giustificato l'utilizzo di ulteriori classi di numeri come, ad esempio, i numeri algebrici.
Durante la storia della matematica sono stati definiti diversi insiemi numerici. Tra questi i numeri naturali, che sono:
I numeri naturali (il cui insieme è indicato per convenzione con il simbolo formula_1) sono usati per contare e per ordinare. La presenza dello zero fra i numeri naturali dipende dalla convenzione scelta. Lo zero è previsto dagli assiomi di Peano.
L'insieme dei numeri naturali costituisce una successione ordinata. Ogni numero è descritto tramite una o più cifre.
Se a partire dall'insieme dei numeri naturali si introduce il segno (e lo zero se non incluso), distinguendo tra "numeri positivi" e "numeri negativi", si ottengono i numeri interi relativi (o semplicemente "interi"), il cui insieme è indicato per convenzione con il simbolo formula_4. I numeri interi relativi sono:
Se a partire dai numeri interi si costruiscono numeri dati dal rapporto tra di loro, si ottengono i numeri razionali, i quali sono quindi esprimibili tramite una frazione ("ratio" in latino, da cui il nome di numeri "razionali"). Ad esempio:
L'insieme di tutti i numeri razionali è per convenzione indicato col simbolo formula_7.
I numeri algebrici sono numeri ottenibili come radici di equazioni algebriche a coefficienti interi. I numeri razionali sono algebrici. Il viceversa non è in generale vero: ad esempio:
sono numeri algebrici che non possono essere descritti tramite una frazione, non sono razionali.
Un numero non algebrico è detto "trascendente". Ad esempio, formula_11 (pi greco) ed formula_12 sono trascendenti: non è possibile ottenere formula_13 come radice di un'equazione polinomiale a coefficienti interi.
L'insieme dei numeri reali comprende i numeri esprimibili, con o senza la virgola, tramite il sistema numerico decimale. I numeri reali comprendono i numeri elencati precedentemente. In particolare i numeri reali si dividono in razionali e irrazionali, oppure in algebrici e trascendenti.
L'insieme dei numeri reali è simboleggiato per convenzione con formula_14.
L'insieme dei numeri reali non fornisce tutte le soluzioni delle equazioni algebriche. Per esempio, l'equazione:
non ha soluzioni nel campo dei numeri reali, perché il quadrato di un numero reale è sempre positivo o nullo. Per risolvere questo problema, è stata introdotta l'unità immaginaria formula_18 . Essa è così definita:
Tale numero non appartiene all'insieme dei numeri reali, esso appartiene all'insieme dei numeri complessi. In generale, un numero complesso è un'espressione del tipo:
dove formula_21 è l'unità immaginaria e formula_22 sono numeri reali. L'insieme dei numeri complessi è indicato per convenzione con il simbolo formula_16.
Gli insiemi numerici sono ciascuno sottoinsieme dell'altro, secondo quest'ordine (dove il simbolo formula_24 indica l'inclusione stretta):
Per particolari scopi, formula_16, può essere ulteriormente esteso, al prezzo, però, di perdere alcune proprietà e, di conseguenza, subire un declassamento come struttura algebrica.
I numeri complessi sono stati estesi e hanno dato luogo ai quaternioni. L'operazione di moltiplicazione dei quaternioni non gode della proprietà commutativa.
Gli ottonioni estendono i quaternioni. Questa volta si perde la proprietà associativa. Gli unici sistemi associativi con dimensione finita, oltre ai complessi, sono i quaternioni.
Estendendo gli ottonioni si ottengono i sedenioni, che perdono la proprietà dell'algebra alternativa, ma mantengono comunque la proprietà associativa della potenza.
I numeri vanno distinti per il tramite dei nomi, dato che i numeri sono dei concetti e anche se i nomi utilizzati nelle varie lingue variano i concetti rimangono gli stessi. La notazione di numero come serie di cifre è definita dai sistemi di numerazione. I popoli spesso associano a dei numeri utilizzati di frequente dei nomi particolari, oltre a quelli che vengono assegnati dal sistema di numerazione, spesso questi nomi sono utilizzati in contesti specifici, un classico esempio è la dozzina.
Gli ultimi sviluppi della teoria dei numeri hanno condotto ai numeri iperreali ed ai numeri surreali, che estendono i numeri reali dai numeri infinitesimi ai numeri infinitamente grandi attraverso degli inserimenti. Mentre i numeri reali sono infinitamente prolungabili alla destra del punto decimale, si può anche provare a espandere i numeri a sinistra in modo infinito, ciò conduce ai numeri p-adici. Per gestire insiemi infiniti, i numeri naturali sono stati generalizzati nei numeri ordinali e nei numeri cardinali. Il primo insieme viene utilizzato per definire l'ordine di inserimento degli insieme il secondo definisce il formato di inserimento. Nel caso di insiemi finiti si equivalgono.
Le operazioni aritmetiche sui numeri sono addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Queste operazioni sono state generalizzate in una branca dell'algebra chiamata algebra astratta. Essa contiene i concetti di gruppo, anello e campo.
In molte culture la rappresentazione grafica dei numeri è assai simile. I numeri "uno", "due" e "tre" degli antichi romani erano espressi come I, II, III (numeri romani). I cinesi usavano una notazione analoga, con le cifre in orizzontale, o in verticale, ma al contrario dei romani utilizzavano un sistema posizionale, simile al nostro attuale, con le cifre da 0 a 9. I numeri, detti "tsu" o "hêng", cambiavano orientamento a seconda della posizione: | = | era 121, - || - ◦ era 1210. Gli tsu erano verticali, gli hêng orizzontali, i numeri sopra al cinque avevano una bacchetta disposta perpendicolarmente alle altre. Il sistema era impiegato con le "bacchette da calcolo", che i cinesi manovravano a velocità tali da stupire i primi missionari nestoriani.
Tuttavia, non c'era un segno univoco per definire il quattro tra i romani, mentre per i cinesi era ||||. I romani usavano una notazione a sottrazione: esprimevano il quattro con una V preceduta da una I. La V indicava il numero cinque, il simbolo I anteposto indicava che andava sottratto (cinque meno uno = quattro). Nell'assegnare un simbolo particolare al cinque c'era un motivo antropomorfico - la mano ha cinque dita - ma vi era anche una motivazione che coinvolge il cervello umano. Gli psicologi hanno dimostrato che il nostro cervello ha difficoltà a distinguere più di cinque simboli simili vicini: si provi a dire se è più grande ||||||||| o ||||||||||; più semplice se sono scritti come IX e X.
Il sistema adottato in Europa è il sistema di numerazione decimale, detto anche numerazione araba. In realtà proviene dall'India, e molto probabilmente deriva dai numeri corsivi egiziani, i numeri copti. La cifra 1 è molto simile al simbolo romano, 2 e 3 sono varianti dello stesso simbolo che consentono di scrivere i numeri senza alzare la penna e quindi consentono una scrittura rapida, ma conservano l'idea della linea doppia o tripla orizzontale. Col simbolo 4 la corrispondenza si perde.
