
In matematica, la potenza è un'operazione che associa a una coppia di numeri formula_1 e formula_2 detti rispettivamente base ed esponente, il numero dato dal prodotto di formula_3 fattori uguali ad formula_1:
in questo contesto formula_1 può essere un numero intero, razionale o reale mentre formula_3 è un numero intero positivo. Con opportune ipotesi su formula_1 è possibile considerare anche altri valori numerici per gli esponenti, ad esempio esponenti interi (anche non positivi), razionali o reali.
Le potenze scritte nella forma formula_9 si leggono come "formula_1 elevato alla formula_3" o più semplicemente "formula_1 alla formula_3". L'esponente è usualmente rappresentato come apice immediatamente a destra della base.
Alcuni esponenti hanno un loro nome. L'esponente due è spesso indicato come "al quadrato" (un numero alla seconda rappresenta l'area di un quadrato che abbia per lato quel valore) e l'esponente formula_14 come "al cubo" (un numero alla terza rappresenta il volume di un cubo che abbia per spigolo quel valore).
Esempi:
L'operazione si estende ad formula_19 ponendo per ogni formula_20
e ad formula_3 negativi ponendo
Ad esempio,
Le seguenti proprietà sono di immediata verifica nel caso in cui gli esponenti siano numeri interi positivi:
Estraendo fino ad avere formula_27 otteniamo il seguente risultato:
formula_28
Notiamo che la definizione formula_36 risulta ora più comprensibile poiché è consistente con le proprietà appena viste, infatti:
Si noti che formula_38 è un prodotto vuoto e pertanto è uguale a formula_39
E lo stesso vale per la definizione di formula_40, infatti:
Dato un numero reale non negativo formula_1 e un numero intero positivo formula_2 si chiama radice formula_3-esima di formula_1 quel numero reale non negativo formula_46 tale che formula_47, tale numero si indica con formula_48.
Da questa definizione si ha subito che
per ogni numero reale non negativo formula_1. Quindi è ragionevole (in virtù delle proprietà delle potenze) porre
In questo modo le proprietà delle potenze sono ancora rispettate, infatti
come avviene per la radice formula_3-esima.
Più in generale la definizione di potenza può essere estesa ulteriormente, con alcune restrizioni, consentendo all'esponente di essere un numero razionale formula_54, con formula_55 e formula_56 interi primi tra loro e formula_57, se si pone:
In questo caso:
Trascurando tali restrizioni e l'ipotesi formula_55 e formula_56 primi tra loro si cade in assurdi quali:
Il passaggio errato è il terzo, in quanto formula_69 non è definito in formula_70.
È possibile estendere la definizione dell'operazione di elevamento a potenza anche ai casi in cui base ed esponente sono dei generici numeri reali (con la base però sempre positiva) facendo in modo che si conservino le regole di operazione tra potenze e che la funzione potenza risultante sia una funzione continua, e questa estensione è unica. Si può in tal modo dare senso a espressioni come formula_71 o e.
Definiamo inizialmente formula_72 con la base formula_73 e l'esponente formula_74, entrambi numeri reali.
Possiamo scrivere formula_46 nella sua rappresentazione in base formula_76 con la scrittura:
La successione formula_78 dei numeri
è una successione di numeri razionali crescente che tende a formula_46.
La potenza formula_85 ha esponente razionale, quindi è stata definita.
La successione di numeri reali
è una successione anch'essa crescente (poiché formula_73), risulta quindi naturale definire il valore di formula_72 come l'estremo superiore di tale successione:
Nel caso in cui la base fosse un numero compreso tra formula_93 e formula_94 si può definire:
poiché formula_96 in questo caso è maggiore di formula_94 e quindi il secondo membro è definito.
Difatti, essendo formula_98, si ha la seguente successione di numeri reali (considerando formula_78 come prima):
che è una successione decrescente e quindi si può porre, in questo caso, formula_104.


In matematica, la composizione di funzioni è l'applicazione di una funzione al risultato di un'altra funzione.
Più precisamente, una funzione formula_1 tra due insiemi formula_2 e formula_3 trasforma ogni elemento di formula_2 in uno di formula_3: in presenza di un'altra funzione formula_6 che trasforma ogni elemento di formula_3 in un elemento di un altro insieme formula_8, si definisce la composizione di formula_1 e formula_6 come la funzione che trasforma ogni elemento di formula_2 in uno di formula_8 usando prima formula_1 e poi formula_6. Il simbolo Unicode dell'operatore è ∘ (U+2218).
Formalmente, date due funzioni formula_15 e formula_16 definiamo la funzione composta
applicando prima formula_1 ad formula_20 e quindi applicando formula_6 al risultato formula_22.
Ad esempio, supponiamo che l'altezza di un aereo al tempo formula_23 sia data da una funzione formula_24 e che la concentrazione di ossigeno nell'atmosfera all'altezza formula_20 sia data da un'altra funzione formula_26. Allora formula_27 descrive la concentrazione di ossigeno nella posizione in cui sta l'aereo al tempo formula_23.
Per ragioni storiche la composizione è scritta "da destra verso sinistra", in contrasto con la normale lettura "da sinistra a destra" delle lingue europee. Per questo motivo alcuni autori preferiscono usare una notazione invertita, e scrivere formula_29 invece di formula_30.
Per comporre due funzioni è strettamente necessario che il dominio di formula_6 coincida con il codominio di formula_1. In alcuni ambiti, tuttavia, identificando impropriamente due funzioni che hanno la stessa legge di applicazione, ma diversi domini e codomini, si ritiene sufficiente che l'immagine di formula_1 e il dominio di formula_6 abbiano un'intersezione non vuota.
La composizione di funzioni è sempre associativa. In altre parole, se formula_1, formula_6 e formula_37 sono tre funzioni con domini e codomini opportuni, allora formula_38. Per questo motivo si possono omettere le parentesi nella composizione di più funzioni.
La composizione di due funzioni iniettive è iniettiva, e di due funzioni suriettive è suriettiva. Quindi la composizione di due funzioni biettive è biettiva. Ma non vale il viceversa.
L'insieme delle funzioni biettive formula_39, con l'operazione di composizione, è un gruppo. La proprietà associativa è garantita per quanto detto sopra, l'elemento neutro è la funzione identità formula_40 per ogni formula_20) e un inverso esiste sempre perché le funzioni sono biettive.
Questo gruppo è detto anche gruppo delle permutazioni di formula_2.
Se l'insieme formula_2 contiene più di due elementi, tale gruppo non è commutativo: generalmente due funzioni biettive non commutano.
La derivata della funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione "esterna" moltiplicata per la derivata della funzione "interna":
dove le notazioni formula_45 e formula_46 indicano il medesimo significato di derivata.
La formula è valida anche per funzioni di più variabili reali e per funzioni vettoriali. Il teorema di derivazione delle funzioni composte afferma che se:
è un vettore di formula_48 le cui componenti sono funzioni derivabili:
e se formula_1 è una funzione differenziabile in formula_51, allora la funzione composta:
è differenziabile nella variabile formula_23 e si ha:
dove formula_55 è il gradiente di formula_1 e formula_57 è il prodotto scalare euclideo standard.
Infine, se formula_58 e formula_59 sono due funzioni vettoriali differenziabili componibili, allora:
dove formula_61 è la moltiplicazione di matrici e formula_62 è la matrice jacobiana di formula_58.
Una funzione formula_39 (non necessariamente biettiva) può essere composta con sé stessa formula_65 volte, ed il risultato, detto iterata formula_65-esima di formula_1, può essere scritto formula_68 quando non genera ambiguità. Ad esempio con formula_69 si denota comunemente il quadrato del seno di formula_20, cioè formula_71, anziché il valore in formula_20 della composizione del seno con se stesso, cioè formula_73.
Lo studio delle composizioni iterate di una funzione è argomento comune nell'ambito dei sistemi dinamici discreti e in particolare nella definizione dei frattali, che si possono trovare iterando "infinite volte" una funzione.
