
In matematica, il logaritmo di un numero in una data base è l'esponente al quale la base deve essere elevata per ottenere il numero stesso.
Per esempio, il logaritmo in base formula_1 di formula_2 è formula_3, poiché bisogna elevare formula_1 alla terza potenza per ottenere formula_2, ovvero formula_6. Più in generale, se formula_7, allora formula_8 è il logaritmo in base formula_9 di formula_10, cioè, scritto in notazione matematica,
I logaritmi furono introdotti da Nepero all'inizio del 1600, e trovarono subito applicazione nelle scienze e nell'ingegneria, soprattutto come strumento per semplificare calcoli con numeri molto grandi, grazie all'introduzione di "tavole di logaritmi".
La funzione formula_12 (logaritmo in base formula_9 di formula_14) è la funzione inversa della funzione esponenziale in base formula_9 data da formula_16
È di importanza fondamentale il logaritmo naturale, cioè il logaritmo che ha come base il numero di Nepero, indicato con formula_17 Il logaritmo naturale è l'inverso della funzione esponenziale formula_18
Dati due numeri reali positivi formula_9 e formula_10, con formula_21, si definisce "logaritmo" in base formula_9 di formula_10 l'esponente a cui elevare formula_9 per ottenere formula_25 Il numero formula_10 viene chiamato "argomento" del logaritmo. In altre parole, se formula_27
si scrive che
e si legge: formula_8 è il logaritmo in base formula_9 di formula_25
Le ipotesi su formula_9 e formula_10 sono necessarie per avere l'esistenza e l'unicità di formula_34 infatti:
Per esempio, formula_55 perché formula_56
I logaritmi possono anche essere negativi (a differenza della base e dell'argomento). Infatti
poiché formula_58
Dalle relazioni formula_59 e formula_60, che valgono qualsiasi sia la base formula_9, derivano le proprietà di base:
Inoltre, dalla definizione segue che:
Una delle più importanti proprietà dei logaritmi è che il logaritmo del prodotto di due numeri è la somma dei logaritmi dei due numeri stessi. Allo stesso modo, il logaritmo del quoziente di due numeri non è altro che la differenza tra i logaritmi degli stessi. In altre parole valgono
Applicando il logaritmo ad ambo i membri:
Il suo valore è ovviamente l'esponente stesso:
Inoltre, il logaritmo di un numero elevato a una certa potenza formula_72 è uguale a formula_72 moltiplicato per il logaritmo del numero stesso. Da questo discende che il logaritmo della radice formula_72-esima di un numero è uguale all'inverso di formula_72 per il logaritmo del numero, e che il logaritmo dell'inverso di un numero è l'opposto del logaritmo del numero stesso. In altre parole valgono le formule:
Noto il valore di un logaritmo in una base, è semplice calcolarne il valore in un'altra base (spesso le calcolatrici danno il logaritmo solo in basi formula_1 ed formula_80).
Se formula_10, formula_14, e formula_72 sono tutti numeri reali positivi (con formula_43 e formula_85):
dove "k" è una base qualsiasi. La formula può essere scritta nel modo seguente
e segue dalla relazione
Dalla formula del cambiamento di base, ponendo formula_89, si ricava la relazione seguente:
Anche se in linea di principio i logaritmi possono essere calcolati in qualunque base positiva e diversa da formula_45, quelle più utilizzate sono tre:
Il metodo dei logaritmi fu proposto dallo scozzese Nepero nel 1614, in un libro intitolato "Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio". Joost Bürgi inventò indipendentemente i logaritmi, ma pubblicò i suoi risultati sei anni dopo Nepero.
Per sottrazioni successive, Nepero calcolò formula_92 per formula_93 da formula_45 a formula_95; il risultato per formula_96 è approssimativamente formula_97, ovvero formula_98. Nepero poi calcolò il prodotto di questi numeri per formula_99, con formula_93 da formula_45 a formula_102. Questi calcoli, che occuparono 20 anni, gli permisero di trovare, per ogni numero intero formula_103 da 5 a 10 milioni, il numero formula_93 che risolve l'equazione
Nepero chiamò inizialmente questo valore un "numero artificiale", ma successivamente introdusse il nome "logaritmo", dalle parole del greco "logos", proporzione, e "arithmos", numero. Usando una notazione moderna, i calcoli di Nepero gli permisero di calcolare
dove l'approssimazione compiuta corrisponde alla seguente:
L'invenzione di Nepero fu subito largamente acclamata: i lavori di Bonaventura Cavalieri (Italia), Edmund Wingate (Francia), Xue Fengzuo (Cina) e Giovanni Keplero (Germania) permisero di diffondere velocemente l'idea.
Nel 1647, il fiammingo Gregorio di San Vincenzo collegò i logaritmi alla quadratura dell'iperbole, dimostrando che l'area formula_108 sottesa da formula_45 a formula_110 soddisfa
Il logaritmo naturale fu per la prima volta descritto da Nicolaus Mercator nel suo scritto "Logarithmotechnia" pubblicato nel 1668, anche se precedentemente l'insegnante di matematica John Speidell aveva compilato una tavola di logaritmi naturali nel 1619.
Intorno al 1730, Eulero definì la funzione esponenziale e la funzione logaritmo come
Eulero inoltre dimostrò che queste due funzioni erano una l'inversa dell'altra.
Semplificando calcoli complessi, i logaritmi contribuirono ampiamente all'avanzamento della scienza, e in particolare dell'astronomia. Lo strumento che ne permise l'uso pratico furono le tavole dei logaritmi. La prima di esse fu completata da Henry Briggs nel 1617, subito dopo l'invenzione di Nepero. Successivamente, furono scritte altre tavole con diversi scopi e precisione. In esse veniva elencato il valore di formula_114 e di formula_115 per ogni numero formula_14 in un certo intervallo, con una precisione fissata e con una base formula_10 scelta (solitamente formula_118). Per esempio, la tavola di Briggs conteneva il logaritmo in base formula_1 di tutti i numeri da formula_45 a formula_2, con una precisione di otto cifre decimali. La funzione formula_115, poiché inversa del logaritmo, venne chiamata "antilogaritmo".
Il prodotto e il quoziente di due numeri formula_8 e formula_124 venivano così calcolati con rispettivamente la somma e la differenza dei loro logaritmi. Il prodotto formula_125 è l'antilogaritmo della somma dei logaritmi di formula_8 e formula_124:
Il quoziente formula_129 è l'antilogaritmo della differenza dei logaritmi di formula_8 e formula_124:
Per compiere calcoli complessi con una buona precisione queste formule erano molto più veloci del calcolo diretto oppure dell'utilizzo di metodi precedenti, come quello di prostaferesi.
Anche il calcolo di potenze e di radici veniva semplificato, riducendosi a moltiplicazione e divisione di logaritmi:
e
Operando sui numeri reali, la "funzione logaritmo" è la funzione formula_135 definita da
La funzione ha come dominio l'intervallo formula_137 In figura sono disegnati tre esempi della funzione logaritmo con diversi valori per la base formula_10. La curva rossa è per la funzione con base formula_139 costante di Nepero (valore approssimato: formula_140).
Come si può notare dal grafico, il dominio della funzione logaritmo (l'insieme entro cui variano i valori delle formula_14), è l'intervallo formula_142; mentre il codominio, insieme in cui variano i valori delle formula_143, è formula_144.
La funzione logaritmo è derivabile e la sua derivata è la seguente:
dove "ln" è il logaritmo naturale, cioè con base formula_80. In particolare, la relazione seguente è fondamentale nel calcolo infinitesimale:
L'eguaglianza è dimostrabile usando la regola della funzione inversa:
La funzione inversa del logaritmo è la funzione esponenziale, la cui derivata coincide con se stessa:
Ne segue:
Si può utilizzare direttamente la definizione di derivata:
e, ricordando il limite notevole del logaritmo, si ottiene:
La derivata seconda della funzione logaritmo è
Se formula_156, questo valore è sempre negativo e la funzione è quindi funzione concava. Se formula_157 è invece sempre positivo e la funzione è convessa.
La funzione logaritmo è continua e quindi integrabile.
La funzione integrale del logaritmo, con base generica formula_10, è (applicando l'integrazione per parti):
dove formula_160 è la costante di integrazione, cioè una costante reale arbitraria.
La funzione logaritmo è analitica. Non è possibile però descrivere la funzione su tutto il suo dominio con una sola serie di potenze (come avviene ad esempio per la funzione esponenziale): lo sviluppo centrato in un punto formula_161 ha infatti raggio di convergenza formula_162 ed è quindi convergente solo nell'intervallo formula_163. Ad esempio, lo sviluppo in formula_164 è il seguente:
Per lo studio di funzioni esponenziali in cui è necessario estrapolare dati o parametri in modo semplice è possibile sfruttare la funzione logaritmo per ricavare una relazione implicita della funzione originale avente il vantaggio di essere lineare. Ad esempio, per una funzione descrivibile comeformula_166con "a" e "b" costanti è possibile pervenire alla relazione:formula_167che sul piano semi-logaritmico rappresenta una retta che interseca l'asse delle ordinate in "ln(a), "con derivata prima "b" e angolo di inclinazione pari ad "arctan(b)": in questo modo l'estrapolazione dei dati per la nuova funzione è più semplice ed accessibile.
La funzione logaritmo può essere estesa ai numeri complessi diversi da zero. Nel caso in cui si tratti di un logaritmo naturale con argomento complesso vale la formula seguente:
con formula_169 l'unità immaginaria e formula_170 l'argomento di formula_171. Il logaritmo complesso è in realtà una funzione a più valori, determinati dal parametro intero formula_72.


Il logaritmo naturale (o "logaritmo neperiano") è il logaritmo in base "e", dove formula_1 è uguale a formula_2 Il logaritmo naturale è definito per tutte le formula_3 reali e positive, ma anche per i numeri complessi diversi da zero.
Se la funzione esponenziale è stata definita usando una serie infinita, il logaritmo naturale può essere definito come la sua funzione inversa, intendendo che formula_4 è il numero per cui formula_5. Dal momento che il dominio della funzione esponenziale include tutti i numeri reali positivi e poiché la funzione esponenziale è strettamente crescente, questa è definita per tutte le formula_3 reali positive.
In alternativa è possibile definire il logaritmo come segue:
Questo definisce il logaritmo perché soddisfa la proprietà fondamentale dei logaritmi:
Questo può essere dimostrato definendo formula_8 e mediante la regola della sostituzione degli integrali, come segue:
Il numero formula_10 può essere definito come l'unico numero reale formula_11 tale che formula_12.
La funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione esponenziale, quindi si ha che:
In altre parole, la funzione logaritmo è la corrispondenza biunivoca dall'insieme di numeri reali positivi all'insieme di tutti i numeri reali. Nello specifico, è un isomorfismo da un gruppo di numeri reali positivi sotto moltiplicazione al gruppo dei numeri reali sotto addizione.
I logaritmi possono essere definiti per una qualsiasi base reale strettamente positiva e diversa da formula_22, non solo formula_1, inoltre possono essere utili nella risoluzione di equazioni in cui l'incognita appare all'esponente di una qualsiasi quantità.
La derivata della funzione logaritmo naturale è data da
La serie di Taylor centrata in formula_22 del logaritmo naturale è:
Utilizzando l'identità
e sostituendo formula_28 nella serie di Taylor dell'arcotangente iperbolica si ottiene
Applicando la trasformazione binomiale alla serie di Taylor si ottiene la seguente serie, valida per ogni formula_3 con valore assoluto maggiore di formula_22:
Si noti inoltre che formula_33 è la sua stessa funzione inversa, quindi per ottenere il logaritmo naturale di un certo numero formula_34 è sufficiente sostituire formula_35 al posto di formula_3.
Una serie esotica dovuta a Bill Gosper è la seguente:
L'integrale della funzione logaritmo naturale si risolve per parti:
Il logaritmo naturale è fondamentale per rapide integrazioni di funzioni della forma formula_39 che si traducono nella scrittura formula_40: l'integrale di una derivata fratto la sua funzione è uguale al logaritmo naturale del valore assoluto di quella funzione. Si tratta della diretta conseguenza della regola di derivazione per le funzioni composte, ossia:
Cioè
e
Con quest'ultima regola, è possibile calcolare gli integrali della tangente e della cotangente sfruttando le loro definizioni:
Da cui ponendo formula_46 si ha che formula_47 e quindi:
dove formula_50 è la costante reale arbitraria degli integrali indefiniti.
Prima della diffusione delle calcolatrici, la formula del cambio di base logaritmica era necessaria per il calcolo dei logaritmi neperiani, riportandoli su base formula_13. È ancora utile per ottenere l'ordine di grandezza di un numero neperiano (che è appunto una potenza di formula_13):
che diventa:
Alla fine delle tavole dei logaritmi, la tabella di trasformazione riportava i valori di:
e
