
La trigonometria (dal greco "trígonon" (τρίγωνον, triangolo) e "métron" (μέτρον, misura): risoluzione del triangolo) è la parte della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli. Il compito principale della trigonometria, così come rivela l'etimologia del nome, consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi di un triangolo (lati, angoli, mediane, etc.) partendo da altre misure già note (almeno tre, di cui almeno una lunghezza), per mezzo di speciali funzioni.
Tale compito è indicato come "risoluzione del triangolo". È anche possibile servirsi di calcoli trigonometrici nella risoluzione di problemi correlati a figure geometriche più complesse, come poligoni o figure geometriche solide, ed in molti altri rami della matematica.
Le funzioni trigonometriche (le più importanti delle quali sono il seno e il coseno), introdotte in questo ambito, vengono anche usate in maniera indipendente dalla geometria, comparendo anche in altri campi della matematica e delle sue applicazioni, ad esempio in connessione con la funzione esponenziale o con le operazioni vettoriali.
Per molti secoli, la trigonometria dovette i suoi progressi quasi esclusivamente all'opera di grandi astronomi e geografi. Infatti, la fondazione di questa scienza si deve a Ipparco di Nicea e a Claudio Tolomeo, entrambi più astronomi e geografi che matematici.
Contributi notevoli furono apportati a questa scienza dagli arabi, dal francese Levi ben Gershon e, successivamente, da Niccolò Copernico e Tycho Brahe, intenti a descrivere e a prevedere con sempre maggior precisione i fenomeni celesti, anche per un più esatto e comodo calcolo di longitudini e latitudini.
Strumento indispensabile della trigonometria sono le funzioni trigonometriche. Sono queste funzioni che associano lunghezze ad angoli, e viceversa.
Le tabelle in questa sezione mostrano le funzioni trigonometriche insieme alle loro principali proprietà; per ulteriori caratteristiche, consultare la voce relativa alla particolare funzione.
Sono dette funzioni trigonometriche "dirette" quelle che ad un angolo, solitamente espresso in radianti, associano una lunghezza o un rapporto fra lunghezze. A causa dell'equivalenza circolare degli angoli, tutte le funzioni trigonometriche dirette sono anche funzioni periodiche con periodo formula_1 o formula_2.
Ad ogni funzione trigonometrica diretta è associata una funzione inversa. Il dominio di ciascuna funzione trigonometrica inversa corrisponde, com'è prevedibile, al codominio della rispettiva funzione diretta. Poiché le funzioni dirette sono, tuttavia, "periodiche", e perciò non iniettive, per poterle invertire è necessario restringerne il dominio rendendole biiettive. La scelta della restrizione è teoricamente irrilevante e le possibilità sono infinite. La convenzione (rigida, in questo campo) vuole però che i domini vengano ristretti agli intervalli formula_3 oppure formula_4, in cui le funzioni — e dunque anche le loro inverse — siano monotone. Anche le funzioni arcosecante ed arcocosecante vengono definite dall'inversione delle funzioni dirette ristrette ad uno di tali intervalli.
Da questa si ricavano
Ricordare di valutare la posizione di formula_8 per la scelta opportuna dei segni.
che vale solo per formula_10 con formula_11.
Dalle due precedenti relazioni si ricava che
che vale solo per formula_10 con formula_11.
Da questa si ricava
Ricordare di valutare la posizione di formula_8 per la scelta opportuna dei segni.
che vale solo per formula_18 con formula_11.
che vale solo per formula_10 con formula_11.
che vale solo per formula_18 con formula_11.
Nella circonferenza goniometrica chiamiamo angoli associati gli angoli formula_8, formula_27, formula_28 e formula_29. Tali angoli hanno in valore assoluto stesso seno e stesso coseno.
formula_30
formula_31
formula_32
formula_33
formula_34
formula_35
formula_36
formula_37
formula_38
formula_39
formula_40
formula_41
Si dice che formula_42 è una funzione pari, mentre formula_43 e formula_44 sono dispari.
formula_45
formula_46
formula_47
formula_48
formula_49
formula_50
In trigonometria, le formule di addizione e sottrazione permettono di trasformare le funzioni trigonometriche della somma o differenza di due angoli in un'espressione composta da funzioni trigonometriche dei due angoli.
La formula della tangente vale per formula_55 con formula_56
La formula della cotangente vale per formula_57 con formula_56
La formula della tangente vale per formula_63 con formula_56
La formula della cotangente vale per formula_65 con formula_56
L'ultima formula vale per formula_70 e formula_71 con formula_11
L'ultima formula vale per formula_76 con formula_11
Attenzione: è necessario valutare in quale quadrante cade formula_78 per poter scegliere i segni opportuni delle seguenti formule
L'ultima formula vale per formula_82.
dove formula_86 con formula_82.
Le formule di prostaferesi trasformano somme di funzioni goniometriche in prodotti.
Le formule di Werner trasformano prodotti di funzioni goniometriche in somme.
La seguente uguaglianza è verificata sotto le seguenti condizioni
formula_96
Fare attenzione al fatto che la tangente goniometrica è periodica di 180° e dunque bisogna valutare preventivamente la posizione di formula_99 dunque
Nel gergo matematico risolvere un triangolo rettangolo significa calcolare le misure dei lati e degli angoli del triangolo.
Per convenzione esiste una nomenclatura nei triangoli rettangoli che si può vedere in figura. 
Si ricorda che 
Ad esempio formula_103 è opposto al cateto formula_104 e adiacente al cateto formula_105.
Sotto queste convenzioni in un triangolo rettangolo valgono i seguenti teoremi
Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa con il seno dell'angolo opposto al cateto
Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa con il coseno dell'angolo acuto adiacente al cateto.
Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto con la tangente dell'angolo opposto al cateto da calcolare.
Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto con la cotangente dell'angolo acuto adiacente al cateto da calcolare.
Tali teoremi si traducono nelle seguenti formule per la risoluzione dei triangoli rettangoli
Si consideri un triangolo rettangolo formula_114 con angolo retto di vertice formula_115. Detto formula_116 l'asse formula_117, sul vertice formula_118 si costruisce una circonferenza di raggio formula_119. Le coordinate del punto formula_120 rappresentano il formula_121 e il formula_122, e poiché formula_123 è acuto indicano anche rispettivamente le lunghezze dei cateti formula_124 e formula_125.
Dalla figura si può osservare che i due triangoli rettangoli formula_114 e formula_127 sono simili in quanto hanno due angoli congruenti: formula_123 in comune e gli angoli retti di vertice formula_115 e formula_130. Quindi è possibile costruire la proporzione fra i lati omologhi dei due triangoli simili (lati opposti agli angoli congruenti):
Sostituendo le misure dei lati si ottiene
e quindi
da queste due si ricava anche
Questo ragionamento può essere chiaramente esteso anche al terzo angolo formula_103 in modo da ottenere formule analoghe
Si consideri il seguente problema: calcolare l'altezza di una torre formula_142, potendo stare solo alla base (piano orizzontale) della stessa. Si distinguono due casi
In questo caso basta misurare il cateto formula_143 (formula_104), e dal punto formula_118 misurare l'angolo acuto formula_146 (formula_123) sotto cui si vede la sommità della torre formula_142 (formula_105). Applicando opportunamente le formule si ottiene
In questo caso formula_143 (formula_152) è incognita (in quanto il piede formula_115 non è raggiungibile). Si fa dunque una misura orizzontale formula_154 (formula_155) (quindi il cateto formula_156 è formula_157). Dal punto formula_118 si misura l'angolo acuto formula_146 (formula_160) e da formula_161 si misura l'angolo acuto formula_162 (formula_163) sotto cui si vede la sommità della torre formula_142 (formula_105). Applicando opportunamente le formule si ottiene
Confrontando le due altezze si ottiene una equazione nell'incognita formula_117
questa equazione è facilmente risolvibile noti d, formula_160 e formula_171
Trovato formula_117 si ha formula_173 e quindi si può calcolare
Per calcolare l'area del triangolo formula_114, di base formula_176, serve l'altezza formula_177. Nel triangolo rettangolo formula_178, di ipotenusa formula_179, l'altezza formula_180 può essere vista come il cateto che si oppone all'angolo formula_123. Utilizzando in modo opportuno le formule dei triangoli rettangoli si ottiene
e quindi
Questa formula vale anche se formula_123 è ottuso.
Fissato su un piano un punto origine formula_185 e una semiretta formula_186, dato un punto formula_120 del piano esso è univocamente individuato da una coppia di numeri reali formula_188 con la condizione formula_189 e formula_190. La coppia di numeri reali rappresenta le coordinate polari di formula_120.
Geometricamente formula_192 rappresenta la distanza formula_193, mentre formula_194 rappresenta l'angolo formula_195 misurato in senso antiorario con primo lato formula_196.
È possibile trovare le relazioni esistenti tra le coordinate cartesiane formula_197 e le coordinate polari formula_198 del punto formula_120. Le seguenti considerazioni fatte per un punto formula_120 sul primo quadrante valgono anche per gli altri quadranti.
Utilizzando le formule dei triangoli rettangoli si trovano le formule per la trasformazione in coordinate cartesiane
Elevando al quadrato e sommando si ottiene formula_202 e quindi si possono ricavare le formule per la trasformazione in coordinate polari
Fare attenzione che la tangente goniometrica non esiste per formula_205 ed è periodica di 180° e dunque bisogna valutare preventivamente la posizione di formula_120 per calcolare correttamente formula_194
I teoremi trigonometrici permettono la risoluzione di problemi di varia natura legata alla figura di un triangolo qualsiasi, esprimendo rapporti tra i lati e gli angoli di questo.
Data una circonferenza e una corda formula_142, il rapporto tra tale corda e il seno di un qualsiasi angolo alla circonferenza che insiste su di essa è uguale al diametro della circonferenza:
Considerato un triangolo qualsiasi di lati formula_211, formula_104 e formula_105, il rapporto tra i lati e i seni dei rispettivi angoli opposti è costante ed è uguale al diametro della circonferenza circoscritta:
Il teorema del coseno (chiamato anche teorema di Carnot) afferma che in un qualsiasi triangolo, il quadrato di un lato è uguale alla differenza tra la somma dei quadrati degli altri due lati e il doppio prodotto di tali lati per il coseno dell'angolo compreso tra essi.
Ovvero, indicando con formula_216 la lunghezza dei lati e formula_217 gli angoli ad essi opposti, si ottiene
Può essere considerato una generalizzazione del Teorema di Pitagora.
 Nel gergo matematico risolvere un triangolo significa calcolare le misure dei lati e degli angoli del triangolo.
Per risolvere un triangolo qualsiasi devono essere noti tre elementi dei quali almeno uno deve essere un lato. Si possono presentare quattro casi:
La nomenclatura dei lati e degli angoli segue la convenzione in figura.
Il problema ha sempre una sola soluzione se sono rispettate le seguenti condizioni
in caso contrario il problema non ha soluzione.
Il problema ha sempre una sola soluzione se sono rispettate le disuguaglianze triangolari
in caso contrario il problema non ha soluzione.
Il problema ha sempre una sola soluzione
Il problema può avere nessuna soluzione, una soluzione o due soluzioni.
Come per il resto delle lingue europee, l'italiano eredita i nomi delle funzioni trigonometriche dalle corrispondenti voci latine.
Il termine "seno" proviene dalla traduzione latina "sinus" della parola araba "jaib" (letteralmente "baia", tradotto in latino "sinus" a causa di una lettura equivoca: dal momento che l'arabo non scrive le vocali, la sequenza "jb", che stava per "jiba" ricalcando una parola sanscrita, è stata interpretata erroneamente come "baia", in luogo del corretto "corda") usata per indicare la metà della corda; in questo senso, il seno denota la corda piegata su se stessa.
La parola "tangente" viene da latino "tangens", letteralmente «che tocca», in riferimento alle proprietà geometriche del segmento utilizzato per la definizione grafica di questa funzione.
Analogamente si spiega l'etimologia della "secante", in latino "secans", «che taglia».
Le parole "coseno", "cotangente" e "cosecante" derivano dalla contrazione delle rispettive voci latine "complementi sinus", "complementi tangens", "complementi secans", vale a dire «seno dell'angolo complementare», «tangente dell'angolo complementare», «secante dell'angolo complementare».


La matematica (dal greco μάθημα ("máthema"), traducibile con i termini "scienza", "conoscenza" o "apprendimento"; μαθηματικός ("mathematikós") significa "incline ad apprendere") è la disciplina che studia le quantità (i numeri), lo spazio, le strutture e i calcoli.
Per l'origine del termine occorre andare al vocabolo egizio "maat", nella cui composizione appare il simbolo del cubito, strumento di misura lineare, un primo accostamento al concetto matematico. Simbolo geometrico di questo ordine è un rettangolo, da cui sorge la testa piumata della dea egizia Maat, personificazione dei concetti di ordine, verità e giustizia. Figlia di Ra, unico Uno, creatore di ogni cosa, la sua potenza demiurgica è limitata e ordinata da leggi naturali e matematiche.
All'inizio del papiro di Rhind si trova questa affermazione: ""Il calcolo accurato è la porta d'accesso alla conoscenza di tutte le cose e agli oscuri misteri"". Il termine "maat" riappare in copto, in babilonese e in greco. In greco la radice "ma", "math", "met" entra nella composizione di vocaboli contenenti le idee di ragione, disciplina, scienza, istruzione, giusta misura, e in latino il termine "materia" indica ciò che può essere misurato.
Col termine matematica di solito si designa la disciplina (ed il relativo corpo di conoscenze) che studia problemi concernenti quantità, estensioni e figure spaziali, movimenti di corpi, e tutte le strutture che permettono di trattare questi aspetti in modo generale. La matematica fa largo uso degli strumenti della logica e sviluppa le proprie conoscenze nel quadro di sistemi ipotetico-deduttivi che, a partire da definizioni rigorose e da assiomi riguardanti proprietà degli oggetti definiti (risultati da un procedimento di astrazione, come triangoli, funzioni, vettori ecc.), raggiunge nuove certezze, per mezzo delle dimostrazioni, attorno a proprietà meno intuitive degli oggetti stessi (espresse dai teoremi).
La potenza e la generalità dei risultati della matematica le ha reso l'appellativo di "regina delle scienze": ogni disciplina scientifica o tecnica, dalla fisica all'ingegneria, dall'economia all'informatica, fa largo uso degli strumenti di analisi, di calcolo e di modellizzazione offerti dalla matematica.
La matematica ha una lunga tradizione presso tutti i popoli della storia antica e moderna; è stata la prima disciplina a dotarsi di metodi di elevato rigore e portata. Ha progressivamente ampliato gli argomenti della sua indagine e progressivamente ha esteso i settori ai quali può fornire aiuti computazionali e di modellizzazione. È significativo che, in talune lingue e in talune situazioni, al termine singolare si preferisca il plurale "matematiche".
Nel corso della sua lunga storia e nei diversi ambienti culturali si sono avuti periodi di grandi progressi e periodi di stagnazione degli studi. Questo in parte è dovuto a singoli personaggi, capaci di dare apporti profondamente innovativi e illuminanti e di stimolare all'indagine matematica grazie alle loro doti didattiche. Si sono avuti anche periodi di arretramento delle conoscenze e dei metodi, specie in relazione a eventi distruttivi o a periodi di decadenza complessiva della vita intellettuale e civile. Negli ultimi 500 anni, per il miglioramento dei mezzi di comunicazione, è prevalsa la crescita del patrimonio di risultati e di metodi,
dovuta alla natura stessa delle attività matematiche, tese alla esposizione precisa di problemi e soluzioni; ciò impone di comunicare col fine ultimo di chiarire ogni dettaglio delle costruzioni logiche e dei risultati (alcuni chiarimenti richiedono un impegno non trascurabile, talora molti decenni). Questo ha corrisposto alla definizione di un linguaggio, strumento esemplare per la trasmissione e la sistemazione delle conoscenze.
Del linguaggio matematico moderno, fatto di simboli riconosciuti in tutto il mondo, la maggior parte è stata introdotta dopo il XVI secolo. Prima di allora la matematica era scritta usando parole, un processo faticoso che rallentava le scoperte matematiche. Eulero (1707-1783) è stato il responsabile di molte delle notazioni oggi in uso. La notazione matematica moderna rende molto più facile il lavoro del matematico, ma i principianti lo trovano scoraggiante. È estremamente compressa: pochi simboli contengono una grande quantità di informazioni; come le note musicali, la notazione matematica moderna ha una sintassi rigorosa (che in misura limitata varia da autore ad autore, e da disciplina a disciplina) e codifica informazioni difficili da scrivere in qualsiasi altro modo.
Il linguaggio matematico può essere difficile per i principianti. Parole come "o" e "solo" hanno precisi significati, più che nella lingua corrente. Inoltre, parole come aperto e campo hanno specifici significati matematici. Il "gergo matematico" comprende moltissimi termini tecnici, come omeomorfismo e integrabile, perché la matematica richiede assai più precisione del linguaggio quotidiano.
Nelle dimostrazioni matematiche è fondamentale il rigore. Per rigore si intende un utilizzo preciso e logico di teoremi già dimostrati, in modo che, analizzando la dimostrazione in profondità attraverso un processo a ritroso, si arrivi ad assiomi e definizioni "universalmente accettati". Il livello di rigore richiesto in matematica è variato col tempo: i Greci richiedevano argomentazioni dettagliate, ma nel periodo di Isaac Newton il rigore utilizzato nelle dimostrazioni si era alleggerito. I problemi nati dalle definizioni usate da Newton hanno portato alla rinascita di una attenta analisi delle dimostrazioni nel corso del Diciannovesimo secolo. Il significato di rigore matematico non è sempre chiaro. Ad esempio i matematici continuano a discutere sull'opportunità di considerare valide le dimostrazioni effettuate attraverso computer: dato che lunghi calcoli sono difficili da verificare, tali dimostrazioni potrebbero essere considerate non sufficientemente rigorose.
Gli assiomi, nel pensiero tradizionale, erano considerati le "verità auto-evidenti", ma questa concezione comporta alcuni problemi. A livello formale, un assioma è solo una successione di simboli, che ha un significato intrinseco solo nel contesto di tutte le formule derivabili di un sistema assiomatico. L'obiettivo del programma di Hilbert è stato proprio quello di fornire l'intera matematica di una solida base assiomatica, ma secondo il teorema di incompletezza di Gödel una completa assiomatizzazione della matematica è impossibile. Nonostante ciò, la matematica è spesso immaginata consistere (per lo meno nel suo contenuto formale) nella teoria degli insiemi in una qualche assiomatizzazione, nel senso che ogni enunciato matematico, o dimostrazione, può essere scritto con formule esprimibili all'interno di tale teoria.
Le attività matematiche sono naturalmente interessate alle possibili generalizzazioni e astrazioni, in relazione alle economie di pensiero e ai miglioramenti degli strumenti (in particolare degli strumenti di calcolo) che esse sono portate a realizzare. Le generalizzazioni e le astrazioni quindi spesso conducono a visioni più approfondite dei problemi e stabiliscono rilevanti sinergie tra progetti di indagine inizialmente rivolti ad obiettivi non collegati.
Nel corso dello sviluppo della matematica si possono rilevare periodi ed ambienti nei quali prevalgono alternativamente atteggiamenti generali e valori riconducibili a "due" differenti generi di motivazioni e di approcci: le "motivazioni applicative", con la loro spinta a individuare procedimenti efficaci, e le esigenze di "sistemazione concettuale" con la loro sollecitazione verso generalizzazioni, astrazioni e panoramiche strutturali.
Si tratta di due generi di atteggiamenti tra i quali si costituisce una certa polarizzazione; questa talora può diventare contrapposizione, anche astiosa, ma in molte circostanze i due atteggiamenti stabiliscono rapporti di reciproco arricchimento e sviluppano sinergie. Nel lungo sviluppo della matematica si sono avuti periodi di prevalenza di uno o dell'altro dei due atteggiamenti e dei rispettivi sistemi di valori.
Del resto la stessa nascita della matematica può ragionevolmente ricondursi a due ordini di interessi: da un lato le esigenze applicative che fanno ricercare valutazioni praticabili; dall'altro la ricerca di verità tutt'altro che evidenti, forse tenute nascoste, che risponde ad esigenze immateriali, la cui natura può essere filosofica, religiosa o estetica.
Negli ultimi 30 o 40 anni tra i due atteggiamenti si riscontra un certo equilibrio non privo di tensioni riemergenti, ma con molteplici episodi di mutuo supporto. A questo stato di cose contribuisce non poco la crescita del mondo del computer, rispetto al quale il mondo della matematica presenta sia canali di collegamento (che è ormai assurdo cercare di interrompere) che differenze, ad esempio differenze dovute a diverse velocità di mutazione e a diversi stili comunicativi, che proiettano le due discipline agli antipodi.
Cerchiamo ora di segnalare a grandi linee i temi dell'indagine matematica, illustrando una sorta di itinerario per un progressivo accostamento dei problemi, delle argomentazioni e delle sistemazioni teoriche.
I primi problemi che inducono ad accostarsi alla matematica sono quelli che si possono affrontare con l'aritmetica elementare: i calcoli eseguibili con le quattro operazioni possono riguardare contabilità finanziarie, valutazioni di grandezze geometriche o meccaniche, calcoli relativi agli oggetti ed alle tecniche che si incontrano nella vita quotidiana.
I più semplici di questi calcoli possono effettuarsi servendosi solo di numeri interi naturali, ma presto i problemi di calcolo richiedono di saper trattare i numeri interi relativi e i numeri razionali.
I problemi aritmetici più semplici sono risolti mediante formule che forniscono risultati conseguenti. Ad esempio: l'area di un rettangolo con lati lunghi formula_1 e formula_2 è il loro prodotto formula_3. Complicando gli enunciati diventa necessario servirsi di equazioni. 
Ad esempio: per il teorema di Pitagora, se un triangolo rettangolo ha i lati più corti (cateti) di lunghezza formula_1 e formula_5, quello più lungo (ipotenusa) ha come lunghezza il numero positivo formula_6 che risolve l'equazione:
formula_7.
Le equazioni più semplici sono le equazioni lineari, sia perché rappresentano le questioni geometriche più semplici, sia perché sono risolvibili con procedimenti standard.
Nelle formule e nelle equazioni conviene far entrare parametri con valori indeterminati: in tal modo si viene a disporre di strumenti di portata più generale, che permettono di conseguire evidenti economie di pensiero. 
Ad esempio: in un triangolo rettangolo con cateti di
lunghezza formula_8 e formula_9, la lunghezza dell'ipotenusa è il numero positivo formula_6 tale che formula_11. 
Per meglio valutare le formule e per risolvere molti tipi di equazioni è necessario sviluppare un calcolo letterale che permetta di rimaneggiarle. Le regole di questo calcolo letterale costituiscono la cosiddetta algebra elementare.
L'algebra moderna si occupa anche dello studio delle relazioni fra insiemi e delle strutture algebriche, cioè strutture che caratterizzano insiemi concreti (come i numeri) o astratti sui quali è stata definita una o più operazioni.
Lo studio della geometria piana e spaziale riguarda inizialmente primitivi: il punto, la retta, il piano. Combinando questi elementi nel piano o nello spazio si ottengono altri oggetti quali segmenti, angoli, angoli solidi, poligoni e poliedri.
Punto, retta, piano e spazio hanno dimensione rispettivamente 0, 1, 2 e 3. Tramite il calcolo vettoriale si definiscono e studiano spazi a dimensione più alta (anche infinita). Gli analoghi "curvi" di questi spazi "piatti" sono le curve e le superfici, di dimensione rispettivamente 1 e 2.
Uno spazio curvo in dimensione arbitraria si chiama varietà. 
Dentro a questo spazio si possono spesso definire punti e rette (dette geodetiche), ma la geometria che ne consegue può non soddisfare gli assiomi di Euclide: una tale geometria è generalmente detta non euclidea. Un esempio è dato dalla superficie
terrestre, che contiene triangoli aventi tutti e tre gli angoli retti.
L'analisi riguarda principalmente il calcolo infinitesimale, introduce la fondamentale nozione di limite, e quindi di derivata e integrale. Con questi strumenti sono analizzati i comportamenti delle funzioni, che spesso non hanno una descrizione esplicita ma sono soluzioni di una equazione differenziale, derivante ad esempio da un problema fisico.
Come riportato sopra, le discipline principali sviluppate all'interno della matematica sono nate dalla necessità di eseguire calcoli nel commercio, di capire i rapporti fra i numeri, di misurare la terra e di predire eventi astronomici. Questi quattro bisogni possono essere collegati approssimativamente con la suddivisione della matematica nello studio sulla quantità, sulla struttura, sullo spazio e sul cambiamento (cioè, aritmetica, algebra, geometria e analisi matematica). Oltre a queste, vi sono altre suddivisioni come la logica, la teoria degli insiemi, la matematica empirica di varie scienze (matematica applicata) e più recentemente allo studio rigoroso dell'incertezza.
Lo studio sulle quantità inizia con i numeri, in primo luogo con i numeri naturali (numeri interi non negativi) e tramite operazione aritmetiche su di essi. Le proprietà più profonde dei numeri interi sono studiate nella teoria dei numeri, di cui un esempio famoso è l'ultimo teorema di Fermat. La teoria dei numeri inoltre presenta due problemi non risolti, largamente considerati e discussi: la Congettura dei numeri primi gemelli e la congettura di Goldbach.
I numeri interi sono riconosciuti come sottoinsieme dei numeri razionali ("frazioni"). Questi, a loro volta, sono contenuti all'interno dei numeri reali, usati per rappresentare quantità continue. I numeri reali sono generalizzati ulteriormente dai numeri complessi. Queste sono i primi punti di una gerarchia dei numeri che continua ad includere i quaternioni e gli ottonioni. L'analisi dei numeri naturali conduce inoltre ai numeri infiniti.
Fra gli strumenti informatici negli ultimi anni si sono resi disponibili vari generi di pacchetti software volti ad automatizzare l'esecuzione di calcoli numerici, le elaborazioni simboliche, la costruzione di grafici e di ambienti di visualizzazione e, di conseguenza, volti a facilitare lo studio della matematica e lo sviluppo delle applicazioni che possano essere effettivamente incisive.
Particolare importanza ed efficacia vanno assumendo quelli che vengono chiamati sistemi di algebra computazionale o addirittura con il termine inglese Computer algebra systems, abbreviato con CAS.
Segnaliamo alcuni programmi open source o comunque gratuitamente disponibili per lo studio della matematica:
Molti oggetti matematici, come gli insiemi di numeri e funzioni, mostrano la loro struttura interna e coerente. Le proprietà strutturali di questi oggetti sono investigate nello studio di gruppi, anelli, campi e altri sistemi astratti, i quali sono a loro volta oggetti. Questo è il campo dell'algebra astratta. In questo campo un concetto importante è rappresentato dai vettori, generalizzati nello spazio vettoriale, e studiati nell'algebra lineare. Lo studio di vettori combina tre tra le fondamentali aree della matematica: quantità, struttura, e spazio. Il calcolo vettoriale espande il campo in una quarta area fondamentale, quella delle variazioni.
Lo studio dello spazio inizia con la geometria, in particolare con la geometria euclidea. La Trigonometria poi combina simultaneamente spazio e numeri. Lo studio moderno dello spazio generalizza queste premesse includendo la Geometria non euclidea (che assume un ruolo centrale nella teoria della relatività generale) e la topologia. Quantità e spazio sono trattati contemporaneamente in geometria analitica, geometria differenziale, e geometria algebrica. Con la geometria algebrica si ha la descrizione di oggetti geometrici come insiemi di soluzioni di equazioni polinomiali combinando i concetti di quantità e spazio, e anche lo studio di gruppi topologici, i quali combinano a loro volte spazio e strutture. I gruppi di Lie sono usati per studiare lo spazio, le strutture e le variazioni. La Topologia in tutte le sue molte ramificazioni può essere considerata la zona di sviluppo più grande nella matematica del XX secolo ed include la congettura di Poincaré e il controverso teorema dei quattro colori, di cui l'unica prova, eseguita a computer, non è mai stata verificata da un essere umano.
Matematica discreta è il nome comune per i campi della matematica utilizzati nella maggior parte dei casi nell'informatica teorica. Questa include teoria della computazione, teoria della complessità computazionale, e informatica teorica. La teoria della computazione esamina le limitazioni dei vari modelli di computer, compresi i modelli più potenti conosciuti - la Macchina di Turing. La teoria della complessità è lo studio delle possibilità di trattazione da parte di un calcolatore; alcuni problemi, nonostante siano teoricamente risolvibili attraverso un calcolatore, sono troppo costosi in termini di tempo o spazio tanto che risolverli risulta praticamente impossibile, anche prevedendo una rapida crescita delle potenze di calcolo. Infine la teoria dell'informazione si interessa della quantità di dati che possono essere immagazzinati su un dato evento o mezzo e quindi di concetti come compressione dei dati e entropia.
Come campo relativamente nuovo, la matematica discreta possiede un numero elevato di problemi aperti. Il più famoso di questi è il problema " P=NP?" uno dei problemi per il millennio.
La matematica applicata considera l'utilizzo della matematica teorica come strumento utilizzato per la risoluzione di problemi concreti nelle scienze, negli affari e in molte altre aree. Un campo importante della matematica è la statistica, la quale utilizza la teoria della probabilità e permette la descrizione, l'analisi, e la previsione di fenomeni aleatori. La maggior parte degli esperimenti, delle indagini e degli studi d'osservazione richiedono l'utilizzo della statistica (molti statistici, tuttavia, non si considerano come veri e propri matematici, ma come parte di un gruppo collegato ad essi). L'analisi numerica investiga metodi computazionali per risolvere efficientemente una vasta gamma di problemi matematici che sono, in genere, troppo grandi per le capacità di calcolo umane; essa include lo studio di vari tipi di errore che generalmente si verificano nel calcolo.
