
In matematica, la sottrazione è una delle quattro operazioni aritmetiche fondamentali. È normalmente denotata con un segno meno infisso ("−"). 
La sottrazione tra due numeri naturali può essere definita in termini di addizione. Dati due numeri naturali "n" ed "m", il primo detto minuendo ed il secondo sottraendo, si dice differenza il numero naturale "d", se esiste, che aggiunto ad "m" dà come somma "n". In simboli, 
La sottrazione viene utilizzata per modellare i tre processi fisici seguenti.
Matematicamente è spesso utile vedere la sottrazione non come un'operazione separata, ma come addizione dell'opposto del sottraendo. Così, 7-3 diventa la somma di 7 e di "−3". In questo modo, si possono applicare alla sottrazione tutte le regole familiari e la nomenclatura dell'addizione. Si consideri inoltre che la sottrazione non è commutativa né associativa, ma l'addizione di quantità con segno sì; questo significa che un matematico non userà spesso le parole "minuendo" e "sottraendo" ma considererà 7-3 come la somma degli addendi "7" e "−3”.
Prendiamo un segmento di lunghezza "b" disegnato per terra con l'estremo di sinistra chiamato "a" e quello destro "c".
Partendo dalla posizione "a", saranno necessari "b" passaggi per raggiungere la posizione "c". Questo movimento verso destra, chiamato addizione, può essere scritto come:
Dalla posizione "c", saranno necessari "b" passaggi per ritornare all'estremo "a". Questo movimento verso sinistra, chiamato "sottrazione", può essere scritto come:
Immaginiamo ora un segmento le cui posizioni siano contrassegnate dai numeri 1, 2 e 3.
Dalla posizione 3, per rimanere alla posizione 3 non è necessario nessun passaggio, quindi
Dalla posizione 3, per andare alla posizione 2 è necessario 1 passaggio, quindi
Dalla posizione 3, per andare alla posizione 1 sono necessari 2 passaggi, quindi
Cosa succederebbe se si continuasse nel processo andando per 3 volte verso sinistra dalla posizione 3? Per il nostro esempio, si andrebbe oltre la linea disegnata, cosa che non sarebbe permessa. Quindi per fare questo la linea deve essere estesa.
Per la sottrazione dei numeri naturali, la linea dovrebbe avere tutti i numeri naturali (0, 1, 2, 3, 4, ...) su di essa.
Usando la linea dei numeri naturali, dalla posizione 3, tornando per 3 volte verso sinistra si raggiungerebbe la posizione 0, quindi
Ma per i numeri naturali, 3 − 4 sarebbe una operazione non valida. Per eseguirla dobbiamo ulteriormente estendere la linea.
Usando la linea dei numeri interi (…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …), dalla posizione 3, togliendo 4 arriveremmo alla posizione −1, quindi
Per fare una sottrazione in colonna bisogna scrivere prima il minuendo e sotto il sottraendo: 86 - 34 = 52
Si prende il primo numero da destra e gli si sottrae quello che ha sotto (6-4=2). Si fa la stessa cosa con quello a sinistra (8-3=5). Si scrivono i due risultati sotto le corrispondenti sottrazioni.
Aggiungendo o sottraendo uno stesso termine al minuendo e al sottraendo la differenza non cambia. Cioè se
allora si ha anche


La moltiplicazione è una delle quattro operazioni fondamentali dell'aritmetica. È un modo rapido per rappresentare la somma di numeri uguali. Il risultato di una moltiplicazione è chiamato "prodotto", mentre i due numeri moltiplicati sono detti "fattori" se considerati insieme, e rispettivamente "moltiplicando" e "moltiplicatore" se presi individualmente.
Nella scrittura matematica, esistono due diversi simboli utilizzati per indicare la moltiplicazione: entrambe le seguenti notazioni significano "cinque moltiplicato per due volte" ed entrambe si leggono "cinque per due":
Qualora i due moltiplicandi non siano scritti in cifre, e quindi non ci sia il rischio di equivoco, è possibile anche semplicemente giustapporli, come in:
anche per leggere queste formule vale lo stesso principio: se non c'è rischio di equivoco si può omettere il "per", come nella prima ("due zeta"), altrimenti verrà detto, come nella seconda ("due per, aperta parentesi, zeta più due, chiusa parentesi" o "due per, tra parentesi, zeta più due") o infine "due che moltiplica zeta più due".
Nei linguaggi di programmazione e nelle calcolatrici, la moltiplicazione viene solitamente indicata con l'asterisco (*).
Dati due numeri interi positivi formula_4 e formula_5, detto il primo "moltiplicando" ed il secondo "moltiplicatore", la definizione di moltiplicazione non è altro che:
ovvero "addizionare il numero formula_4 per formula_5 volte".
Usando una formula più ristretta, con il simbolo di sommatoria:
Quindi, per esempio:
Data la proprietà commutativa della moltiplicazione (vedi più in basso), talvolta si dà la seguente definizione (equivalente) di moltiplicazione:
A partire dalla definizione, si può dimostrare che la moltiplicazione ha le seguenti proprietà:
Per la moltiplicazione nel campo dei numeri razionali (v. sotto) vale anche
Nel libro "Arithmetices principia, nova methodo exposita", Giuseppe Peano propose un sistema assiomatico per i numeri naturali; due di questi assiomi riguardano la moltiplicazione:
Qui "b"' rappresenta l'elemento dei numeri naturali successivo di "b". Con gli altri nove assiomi di Peano, è possibile provare le regole comuni della moltiplicazione, come la proprietà distributiva e associativa. I due assiomi elencati forniscono una definizione ricorsiva della moltiplicazione.
Estendiamo l'operazione di moltiplicazione al caso dei numeri negativi, definendo quanto segue: dato x numero naturale
dove con − x si intende l'inverso additivo di x : 
Da qui abbiamo che la moltiplicazione di interi qualunque si riduce alla moltiplicazione di interi positivi e di formula_24. 
Lo schema che ne deriva è detto "regola dei segni":
Quest'ultima regola pratica ha un'interpretazione anche nella vita reale. Supponiamo di guadagnare "m" euro l'anno; tra "n" anni avremo "mn" euro (un numero positivo), mentre se questo guadagno era iniziato nel passato allora "n" anni fa (cioè "tra meno "n" anni") avevamo "mn" euro in meno (un numero negativo). Se invece perdessimo "m" euro l'anno (cioè guadagnassimo "meno "m" euro"), tra "n" anni ne avremo "mn" in meno, ma "n" anni fa ne avevamo "mn" in più di quanti ne abbiamo ora.
La definizione di moltiplicazione si può infine estendere ai numeri razionali, ai numeri reali, e ai numeri complessi.
Per i numeri razionali abbiamo che 
verificando che la definizione è indipendente dai rappresentanti scelti.
Per i numeri reali, una definizione di moltiplicazione si può ottenere prendendo il modello di numero reale come sezione di Dedekind: dati due numeri reali positivi, rappresentati come sezioni in campo razionale, moltiplicando (con opportuni accorgimenti) i minoranti tra loro e i maggioranti tra loro si ottiene ancora una sezione, che rappresenta il prodotto dei due numeri. La definizione si può poi estendere a tutti i numeri reali seguendo la regola dei segni indicata nella sezione precedente.
Per i numeri complessi, infine, si ha:
