
L'accezione matematica del termine distanza ha un significato analogo a quello dell'uso comune, cioè quello della misura della "lontananza" tra due punti di un insieme al quale si possa attribuire qualche carattere spaziale. In matematica però questa nozione assume caratteri astratti e si basa solo su proprietà formali che ne fanno perdere l'univocità: esistono esempi di insiemi anche comuni come formula_1 in cui possono essere date infinite definizioni di distanza, tutte soddisfacenti le proprietà generali. Si può dire che in matematica il termine distanza caratterizza strumenti computazionali con alcune caratteristiche comuni, ma utilizzabili per scopi diversificati.
Il concetto di distanza e quello collegato di lunghezza vengono generalizzati mediante la definizione della geodetica come il più breve percorso tra due punti di uno "spazio curvo".
Una distanza (o metrica) su un insieme formula_2 è una funzione 
che soddisfa le seguenti proprietà per ogni scelta di formula_4 in formula_2:
La coppia formula_10 è chiamata spazio metrico.
In realtà solo le proprietà 2,3,4 sono indipendenti tra loro. Questo significa che si possono definire delle funzioni che soddisfano alcune tra 2,3,4 ma non altre.
Per esempio, se formula_11 allora la funzione formula_12 per questi particolari valori soddisfa le 2,4 ma non la 3 e quindi in generale non soddisfa la 3.
La dimostrazione che le 3,4 implicano la 1 è molto semplice.
Infatti, sfruttando la 4 si ha
formula_13 e formula_14. Sommando ora membro a membro otteniamo
formula_15 infine (sfruttando la 3) l’espressione si semplifica in 
formula_16 che è appunto la 1, dopo aver diviso per 2 (e scambiato i membri).
Data una norma formula_17 è possibile definire una distanza formula_18 definendo
Si verifica che la funzione così definita è una distanza, infatti:
Si osserva che ogni distanza indotta da una norma è invariante per traslazioni (ovvero, per ogni tripletta di vettori formula_24).
La distanza normalmente considerata in formula_25 è quella euclidea, pari alla radice quadrata del quadrato della differenza orizzontale (tra i due punti) più il quadrato della differenza verticale:
Se si elimina la seconda dimensione questa funzione si riduce al modulo della differenza tra i due numeri: formula_27.
Più in generale nello spazio euclideo formula_28 si può definire la distanza tra due punti formula_29 e formula_30 nei seguenti modi:
La "2-distanza" in uno spazio a "n" dimensioni corrisponde al teorema di Pitagora applicato "n-1" volte: è la distanza di uno spazio euclideo, normalmente usata nel piano o nello spazio e viene detta anche distanza pitagorica. La "1-distanza", detta anche "distanza L1" o distanza Manhattan, genera invece una geometria diversa, detta geometria del taxi. La "∞-distanza (o distanza L∞)" è la cosiddetta distanza di Chebyshev.
Nel caso di uno spazio di Hilbert formula_45, il teorema della proiezione afferma che per ogni punto formula_46 e per ogni insieme convesso chiuso formula_47 esiste un unico formula_48 tale per cui formula_49 assume il valore minimo su formula_50. In particolare, questo è vero per ogni sottospazio chiuso formula_51 di formula_45: in tal caso una condizione necessaria e sufficiente per formula_53 è che il vettore formula_54 sia ortogonale a formula_51.
Data una distanza su un insieme si può definire come palla, o bolla, o disco, centrata in un punto formula_56 di un certo raggio formula_57 positivo l'insieme dei punti dell'insieme che distano da formula_56 meno di formula_57:
Solitamente la definizione si intende con il <; se però c'è bisogno di specificare, si dirà "disco aperto" l'insieme definito dalla relazione " < " e "disco chiuso" l'insieme definito dalla relazione " ≤ ".
Si definisce anche "bordo" del disco l'insieme
L'insieme dei dischi aperti centrati nei vari punti dello spazio soddisfa la definizione topologica di base: la topologia sull'insieme formula_62 determinata da questa base si dice "topologia generata" (o "indotta") dalla distanza formula_63.
È importante notare come il disco chiuso non coincida sempre con la chiusura del disco aperto, ma in generale ne sia solo un soprainsieme; in particolare nello spazio euclideo comunque le due nozioni coincidono.
Due distanze formula_63 e formula_65 si dicono equivalenti se l'applicazione identità
è un omeomorfismo.
Equivalentemente, esse si possono dire equivalenti se ogni disco della prima metrica contiene un qualche disco della seconda metrica e viceversa. Ad esempio una distanza "d" è equivalente a quella data dalla funzione formula_67 ed a quella data dalla funzione formula_68.
Due distanze equivalenti generano la stessa topologia.
Se si indeboliscono le richieste su formula_63 si ottengono spazi con proprietà più deboli e più poveri come possibilità algoritmiche:
Al contrario, rinforzando la disuguaglianza triangolare e imponendo che
si ottiene una cosiddetta ultrametrica.


 matematica, un raggruppamento di oggetti rappresenta un insieme se esiste un criterio oggettivo che permette di decidere univocamente se un qualunque oggetto fa parte o no del raggruppamento. Si tratta di un concetto fondamentale della matematica moderna, a partire dal quale si è sviluppata la teoria degli insiemi.
Nell'uso informale gli oggetti della collezione possono essere qualunque cosa: numeri, lettere, persone, figure, ecc., anche non necessariamente omogenei; nelle formalizzazioni matematiche gli oggetti della collezione vanno invece ben definiti e determinati. Il concetto di insieme è considerato primitivo ed intuitivo: "primitivo" perché viene introdotto come nozione non derivabile da concetti più elementari; "intuitivo" perché viene introdotto come generalizzazione della nozione di insieme finito, che a sua volta è introdotta dall'analogia con l'esperienza sensibile di scatole che contengono oggetti materiali (tendenzialmente omogenei); questa impostazione si basa sulla convinzione che l'idea di insieme sia naturalmente presente nella mente umana.
Gli oggetti che compongono un insieme si dicono elementi di questo insieme; nel linguaggio matematico, detto "a" un elemento dell'insieme "A", si dice che "a appartiene ad A" o in simboli formula_1. Un insieme "A" è sottoinsieme di un altro insieme "B" quando tutti gli elementi di "A" appartengono anche a "B".
Ciò che caratterizza il concetto di insieme e lo differenzia da strutture matematiche simili sono essenzialmente le seguenti proprietà:
Gli insiemi, con le loro operazioni e relazioni, possono essere rappresentati graficamente con i diagrammi di Eulero-Venn.
Solitamente un insieme viene indicato con le lettere maiuscole dell'alfabeto: "A", "B", "E", "M", "S" ... e si chiede che sia univocamente determinato: se ad esempio diciamo che "M" è l"'insieme degli x tali che x è un mammifero marino", allora supponiamo che si sappia sempre decidere se un qualsiasi animale possibile ed immaginabile abbia o meno le caratteristiche necessarie per rientrare in "M." Se un oggetto "x" appartiene ad un insieme "F" viene detto "elemento" di "F" e la relazione si denota nella forma formula_2. Viceversa, la relazione di non appartenenza a un insieme si denota nella forma formula_3.
Un insieme può essere definito nei seguenti modi:
La cardinalità di un insieme è il numero che indica la quantità dei suoi elementi. Ad esempio, l'insieme formula_11 ha tre elementi (considerando distinte le tre lettere), quindi cardinalità 3; l'insieme dei numeri naturali formula_12 ha invece cardinalità formula_13, il primo cardinale infinito.
Un insieme si dice "finito" se ha un numero finito di elementi, "infinito" se contiene infiniti elementi.
Le principali operazioni tra insiemi sono:
Due insiemi "A" e "B" si dicono inoltre:
"B" è sottoinsieme di "A" se "A" contiene gli elementi di "B". Secondo la definizione ogni insieme è contenuto in sé stesso. Per esprimere questo si usa la notazione:
Se si vuole escludere che "B" coincida con "A", cioè prevedere che esistono elementi di "A" non contenuti in "B", si usa la notazione:
che si legge: ""B è un sottoinsieme proprio di A"" oppure ""B è incluso propriamente in A"" oppure ""B è contenuto propriamente in A"". Alcuni autori utilizzano solo la seconda notazione, indipendentemente dal tipo di inclusione.
La relazione binaria di inclusione tra insiemi rende una qualsiasi classe di insiemi un insieme parzialmente ordinato.
Insieme vuoto è l'insieme che non contiene "nessun" elemento. Si indica con i simboli formula_25, formula_26 o con due parentesi graffe, la prima aperta e l'altra chiusa formula_27.
L'insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme (incluso sé stesso).
Per qualunque insieme "A" si definisce insieme delle parti o "insieme potenza" di "A" e si indica con formula_28 o formula_29 l'insieme che ha come elementi tutti e soli i sottoinsiemi di "A". Ad esempio, se formula_30 allora il suo insieme delle parti è costituito da formula_31.
L'insieme delle parti ha cardinalità strettamente maggiore di quella dell'insieme di partenza. Se "A" è finito ed ha |"A"| elementi, il numero degli elementi di formula_28 è dato da formula_33 (in simboli, formula_34).
L'insieme delle parti di qualsiasi insieme, considerato congiuntamente all'operazione di differenza simmetrica, forma un gruppo abeliano. Se vengono considerate insieme unione, intersezione e complementazione la struttura generata è un'algebra di Boole.
Si chiama partizione dell'insieme A un insieme di sottoinsiemi di A che ha queste caratteristiche:
Dati gli insiemi A e B, con Bformula_35A, l'insieme complementare di B rispetto ad A è A-B. Lo indichiamo con formula_36(B).
Alcuni insiemi, detti "numerici", hanno un ruolo particolarmente importante e pervasivo in tutte le branche della matematica:
Questi insiemi si possono vedere intuitivamente come contenuti uno nell'altro:
Più propriamente si dovrebbe parlare di immersione di ogni insieme nel seguente, poiché secondo la corrente assiomatizzazione i vari insiemi sono definiti in modi radicalmente diversi l'uno dall'altro.
