
In matematica, un sistema di riferimento cartesiano è un sistema di riferimento formato da "n" rette ortogonali, intersecantesi tutte in un punto chiamato "origine", su ciascuna delle quali si fissa un orientamento (sono quindi "rette orientate") e per le quali si fissa anche un'unità di misura (cioè si fissa una metrica di solito euclidea) che consente di identificare qualsiasi punto dell'insieme mediante "n" numeri reali. In questo caso si dice che i punti di questo insieme sono in uno spazio di dimensione "n".
Un sistema di riferimento cartesiano in due dimensioni viene chiamato piano cartesiano.
Per identificare la posizione di punti nello spazio fisico viene solitamente utilizzato un sistema di riferimento cartesiano a tre dimensioni. Tuttavia per descrivere la posizione di oggetti più complicati vengono utilizzati altri sistemi di riferimento non necessariamente cartesiani e un differente numero di dimensioni, dette in questo contesto gradi di libertà.
Usando un sistema di riferimento cartesiano, è possibile descrivere tramite equazioni algebriche forme geometriche come curve o superfici: i punti dell'oggetto geometrico sono quelli che soddisfano l'equazione associata. Per esempio è possibile descrivere una circonferenza nel piano cartesiano, oppure una quadrica nello spazio tridimensionale.
L'uso delle coordinate geometriche venne introdotto per la prima volta da Nicola d'Oresme, matematico del XIV secolo operante a Parigi. L'aggettivo "cartesiano" è riferito al matematico e filosofo francese René Descartes (italianizzato in " Renato Cartesio", latinizzato in " Renatus Cartesius") il quale, tra le altre cose, riprendendo gli studi di Nicola d'Oresme, lavorò sulla fusione dell'algebra con la geometria euclidea. Questi studi furono influenti nello sviluppo della geometria analitica, del calcolo infinitesimale e della cartografia.
L'idea di questo sistema di riferimento fu sviluppato nel 1637 in due scritti da Cartesio e, indipendentemente, da Pierre de Fermat, anche se Fermat non pubblicò la sua scoperta. Nella seconda parte del suo Discorso sul metodo, Cartesio introduce la nuova idea di specificare la posizione di un punto o di un oggetto su una superficie usando due rette che si intersecano in un punto come strumenti di misura, idea ripresa in "La Geometria" .
Un sistema di coordinate cartesiane ortogonale in due dimensioni è semplicemente chiamato piano cartesiano, ed è costituito da:
Il piano cartesiano, che viene spesso chiamato "xy" dal nome degli assi, può essere immaginato, pensando che il piano sia immerso orizzontalmente nello spazio fisico (pavimento), e mettendosi in piedi in un punto con il braccio sinistro teso in avanti e il braccio destro teso di lato in modo da formare con le due braccia un angolo retto: il punto sul quale si rappresenta l'origine, la direzione del braccio destro rappresenta l'asse delle ascisse positive (dalla parte opposta le ascisse negative), la direzione del braccio sinistro rappresenta l'asse delle ordinate positive (alle spalle le ordinate negative).
Il sistema costituito dalla coppia dei due assi orientati (e implicitamente dall'origine) consente di individuare ogni punto del piano con una coppia di numeri reali chiamati rispettivamente "ascissa" e "ordinata" del punto, i cui valori assoluti rappresentano le distanze del punto rispettivamente dall'asse y (ordinata) e dall'asse x (ascissa). Le coordinate di un punto generico del piano o di un punto che si pensa variabile spesso si denotano con formula_1 e formula_2. I punti sull'asse "x" hanno quindi ordinata "y"=0, mentre i punti sull'asse "y" hanno ascissa "x"=0; di conseguenza l'origine ha coordinate "x"=0 e "y"=0. Talora il sistema dei due assi si denota con formula_3.
Un generico punto si può quindi esprimere scrivendo formula_4
oppure formula_5. Ad esempio, i punti formula_6 e formula_7 hanno la stessa ascissa (quindi si trovano su una retta parallela all'asse "y"), mentre i punti formula_8 e formula_9 hanno la stessa ordinata (quindi si trovano su una retta parallela all'asse "x"). In particolare: se due punti hanno la stessa ascissa ma ordinate opposte sono simmetrici rispetto all'asse "x"; se due punti hanno la stessa ordinata ma ascisse opposte sono simmetrici rispetto all'asse "y"; se due punti hanno coordinate opposte sono simmetrici rispetto all'origine.
Il piano cartesiano viene suddiviso in quattro regioni denominate quadranti, indicate mediante numeri romani progressivi in senso antiorario:
Il piano cartesiano permette di rappresentare graficamente funzioni di due variabili del tipo formula_10 in cui x è la variabile indipendente e y la variabile dipendente. Ciò permette di visualizzare la "forma" di curve e risolvere graficamente sistemi di più equazioni come intersezioni tra le curve corrispondenti.
Per definizione, esiste una corrispondenza biunivoca fra i punti del piano cartesiano e le coppie ordinate di numeri reali. L'insieme di tutte le coppie di numeri reali, formula_11 è un formula_12-spazio vettoriale. La base canonica di formula_11 è formula_14 ove formula_15 ed formula_16. Gli elementi di E hanno un importante significato geometrico: sono i versori fondamentali sul piano, rispettivamente formula_17 e formula_18. Ciò vuol dire, per la definizione stessa di base di uno spazio vettoriale, che il piano cartesiano è generato dai versori fondamentali e che ogni punto del piano è esprimibile, "in modo unico", come combinazione lineare dei versori fondamentali (ciò giustifica l'espressione dei punti del piano cartesiano).
Si noti inoltre che ogni asse cartesiano è sottospazio vettoriale del piano cartesiano.
Aggiungendo una terza dimensione al piano otteniamo lo spazio euclideo tridimensionale, che è la modellizzazione a noi più familiare dello spazio fisico, e quella usata in meccanica classica: un sistema di assi cartesiani può quindi essere usato come sistema di riferimento per localizzare degli oggetti nello spazio, attribuendogli delle coordinate.
Essendo una diretta generalizzazione del piano cartesiano, un sistema di riferimento cartesiano tridimensionale è formato da tre rette orientate perpendicolari tra loro e incidenti in un punto, denominato origine degli assi. I tre assi (chiamati solitamente "x", "y" e "z") identificano tre piani nello spazio ("xy", "xz" e "yz"), che dividono lo spazio in otto "ottanti", simili ai quattro quadranti formati dagli assi cartesiani in due dimensioni. Ogni punto è identificato da 3 coordinate, che rappresentano ognuna la distanza del punto al piano formato dagli altri due.
Come nel caso del piano, ogni punto dello spazio tridimensionale può essere individuato da un vettore nello spazio tridimensionale (indicato come formula_19 e viene espresso come combinazione lineare dei tre versori di base, indicati convenzionalmente con formula_20, formula_21 e formula_22:
dove "x", "y" e "z" rappresentano proprio le coordinate nel punto nel sistema di riferimento formato dalla base formula_24.
Il piano cartesiano (e più in generale il sistema di riferimento cartesiano a "n" dimensioni) ha permesso di conciliare la geometria e l'algebra in un'unica branca della matematica: la "geometria analitica" (chiamata così dall'analisi matematica). Per esempio nel piano cartesiano una retta può essere espressa mediante un'equazione di primo grado a due variabili che rappresenta una funzione lineare del tipo ax+by=c; l'intersezione di due (o più) rette rappresenta un sistema di equazioni lineari.
Le equazioni di cui si è detto prima possono essere espresse in due forme: la forma esplicita e la forma implicita.
Nel caso ad esempio di una retta, la prima consiste un'equazione del tipo "y = mx + q", mentre la seconda si presenta come "ax + by + c = 0". Per passare dalla forma implicita a quella esplicita basta portare tutti i termini escluso "by" nel secondo membro e poi dividere per "b" ("principio di equivalenza delle equazioni"). Si noti che, nella forma esplicita, il termine noto q, detto intercetta o ordinata all'origine, indica l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse y, mentre il coefficiente dell'incognita x, m, è detto coefficiente angolare ed indica la "pendenza" della retta.
Naturalmente il passaggio dalla forma implicita a quella esplicita è possibile solo se il coefficiente b è diverso da zero, cioè solo se la retta non è parallela all'asse delle ordinate.
Dati due punti distinti formula_25 e formula_26, l'equazione della retta passante per quei punti è: formula_27 anche detta formula_28 dove formula_29 è il coefficiente angolare dato da formula_30


finisce sistema di coordinate un sistema di riferimento basato su coordinate, le quali individuano la posizione di un oggetto in qualche spazio. A seconda del numero di coordinate usate, si può parlare di:
Il sistema di riferimento unidimensionale ideato da Cartesio è costituito da una retta, sulla quale un oggetto, di solito un punto, è vincolato a muoversi. Su questa retta si fissa un'origine, che è consuetudine indicare con formula_1, un verso di percorrenza ed un'unità di misura delle lunghezze.
È possibile individuare un punto sulla retta in base ad un numero reale, che individua la distanza dall'origine nell'unità di misura scelta, positiva se concorde con il verso di percorrenza scelto e negativa altrimenti, del punto. Tale numero è detto coordinata, e per indicare genericamente tale coordinata si usa la lettera formula_2. La retta su cui si è fissato origine, verso di percorrenza e unità di misura è detta ascissa.
Quando un punto, anziché su una retta, è vincolato a muoversi su una curva è possibile scegliere anche su quest'ultima un'origine, un verso di percorrenza ed un'unità di misura, ma in tal caso si parlerà di ascissa curvilinea. La distanza con segno del punto dall'origine è la coordinata curvilinea del punto.
Uno dei sistemi di riferimento bidimensionale è costituito da una coppia di rette incidenti. Tali rette sono indicate, in genere, con formula_3 e formula_4, ed il loro punto di intersezione è l'origine per entrambe le rette. Su ciascuna retta si fissa un verso di percorrenza ed un'unità di misura che in genere è uguale per entrambe le rette, ma per esigenze particolari può benissimo essere diversa per ciascuna retta. La posizione di un punto vincolato a muoversi su un piano può essere individuata da una coppia di valori reali, genericamente indicati con le lettere formula_2 e formula_6. Si indica con formula_2 il numero reale che individua la distanza dall'asse formula_4 del punto, misurata parallelamente all'asse formula_3 nell'unità di misura scelta per quest'ultimo; con formula_6 il numero reale che individua la distanza dall'asse formula_3 del punto, misurata parallelamente all'asse formula_4 nell'unità di misura scelta per quest'ultimo. La coppia di coordinate che individua il punto si indica scrivendo formula_13 oppure formula_14.
Quando gli assi formula_3 e formula_4 sono fra loro ortogonali tale sistema di riferimento si dice ortogonale. Se gli assi sono tra loro ortogonali e l'unità di misura di entrambi è la stessa tale sistema di riferimento si dice ortonormale o cartesiano, in onore del matematico francese Cartesio che lo riprese in età moderna, dopo che era già stato introdotto, nel Medioevo, da Nicola d'Oresme. In tal caso l'asse formula_3, orizzontale, prende il nome di asse delle ascisse, e l'asse formula_4, verticale, prende il nome di asse delle ordinate. Nelle opere di Oresme, erano, rispettivamente, "longitudo" e "latitudo".
Un sistema di riferimento polare è formato da due coordinate indicate con le lettere formula_19 e formula_20. Con formula_19 si indica la distanza del punto considerato dall'origine del sistema; in pratica se consideriamo il vettore formula_22 che congiunge l'origine degli assi con il nostro punto, formula_19 ne indica il modulo. Con formula_20, invece, ci si riferisce all'angolo o anomalia che si forma tra il vettore formula_22 considerato prima, e il verso positivo dell'asse formula_3 di un normale sistema ortogonale. Dunque, formula_19 è il raggio e formula_20 un angolo orientato.
Per passare dalle coordinate polari alle cartesiane si usano le seguenti formule:
e per passare da quelle cartesiane a quelle polari
Si può trovare in molti casi la coordinata formula_19 denotata con la lettera formula_34. Questo passaggio di coordinate è molto utile in alcune applicazioni della matematica come nella risoluzione degli integrali multipli su domini costituiti da corone circolari.
Il sistema di riferimento tridimensionale è costituito da tre rette non parallele, in genere indicate con formula_3, formula_4 e formula_37, passanti per un punto che è l'origine del sistema di riferimento. Per ciascuna di tali rette si sceglie un'unità di misura ed un verso di percorrenza. Le coordinate generiche di un punto nello spazio sono indicate con le lettere formula_2, formula_6 e formula_40. Si indica con formula_2 il numero reale che individua la distanza di un punto dal piano individuato dalle rette formula_4 e formula_37 misurata parallelamente all'asse formula_3 nell'unità di misura scelta per quest'ultimo asse. Si definiscono analogamente formula_6 e formula_40. Le tre coordinate che individuano un punto nello spazio sono indicate con la simbologia formula_47. Quando i tre assi sono fra loro ortogonali il sistema di riferimento si dice "ortogonale" o "rettangolare".
Ciascuna delle tre rette è un "asse cartesiano", e insieme formano la "terna cartesiana".
Il sistema cilindrico è la naturale espansione del sistema polare nelle tre dimensioni. In questo caso le coordinate sono formula_19, formula_20 e formula_40. Considerando un generico punto formula_51, e la sua proiezione formula_52 sul piano formula_53, la coordinata formula_40 indica la distanza formula_55. Con formula_19 si denota la distanza dall'origine del punto formula_52, mentre formula_20 individua l'angolo che si forma tra il vettore formula_22 e l'asse formula_2.
Per passare dal sistema cilindrico a quello rettangolare:
e per passare alle coordinate cilindriche:
Molto spesso la coordinata formula_19 viene indicata con formula_64.
Un altro sistema che si può usare per orientarsi nello spazio è il sistema sferico. È formato da tre coordinate: formula_19, formula_66 e formula_20. Si considera sempre un generico punto formula_51 e la sua proiezione sul piano formula_69 chiamata formula_52. Con formula_19 questa volta si indica la distanza di formula_51 dall'origine e formula_66 è l'angolo che formula_22 forma con il semiasse positivo delle formula_37, chiamato angolo di inclinazione. Indichiando invece con formula_76 il vettore che collega l'origine con il punto formula_52, si ha che formula_20 individua l'angolo che quest'ultimo vettore forma con l'asse formula_3, detto azimut.
Per passare da un sistema sferico ad uno rettangolare si usano le seguenti uguaglianze:
Per passare da coordinate cartesiane a sferiche:
Anche con questo sistema spesso si usa la lettera formula_34 al posto della lettera formula_19.
A partire dal sistema di coordinate sferiche si può definire una nuova base vettoriale in ogni punto dello spazio mediante i vettori tangenti alle linee coordinate. Sia
allora la base naturale dello spazio tangente (isomorfo a formula_89) è data dai tre vettori:
Definendo inoltre
la matrice del cambio di coordinate da formula_92 a formula_93, si ha che un vettore di formula_89può essere scritto nei due sistemi di coordinate come
Poiché formula_96 manda un sistema di coordinate ortonormali levogiro in un altro, si ha formula_97
Esprimendo in modo esplicito le relazioni tra i versori di base si ottiene:
e inversamente
In fisica delle particelle in alcuni casi si preferisce usare in luogo dell'angolo polare formula_66 la pseudorapidità definita come
