
In matematica una curva piana è una curva che giace interamente in un (unico) piano ed è identificabile da una funzione continua formula_1, dove formula_2 è un intervallo nell'insieme dei numeri reali. Ad esempio, una curva su uno spazio euclideo di dimensione maggiore di 2 è piana se il suo supporto giace su un piano contenuto nello spazio euclideo in cui è definita.
L'immagine di una curva viene anche chiamata "supporto" della curva. Talvolta si usa l'espressione "curva" anche per indicare il supporto di una curva.
Le curve piane sono oggetti geometrici ampiamente studiati, fin dall'antichità, con obiettivi non solo di tipo matematico. La collezione delle curve che sono state studiate in termini matematici è molto varia e complessa, e conviene rilevare subito alcune distinzioni.
Una curva piana si dice "semplice" se non si autointerseca, ovvero se per ogni formula_3 si ha formula_4. In caso contrario si dice dotata di punti doppi, tripli, e così via.
Un'altra distinzione riguarda il fatto che una curva piana sia "limitata", cioè abbia come supporto un insieme limitato di punti di formula_5, oppure sia "illimitata". Curve piane limitate sono le ellissi e le lemniscate, mentre sono illimitate le iperboli e le spirali.
Un tipo di rappresentazione della curva piana è l'equazione:
tale che ad ogni punto formula_7 corrisponde un punto formula_8, e in modo che ogni punto formula_9 del piano rappresenti il supporto della curva. Una curva di questo tipo si dice anche grafico in riferimento al grafico delle funzioni reali. In effetti la rappresentazione si può anche scrivere come:
cioè come funzione di una variabile indipendente. Questa rappresentazione ha molti limiti geometrici derivanti dal fatto che una curva molto spesso ha una descrizione molto complessa in questa forma, non adatta allo studio delle proprietà geometriche.
Una curva si può rappresentare anche nella forma:
cioè come funzione di due variabili indipendenti. Sebbene questa rappresentazione sia per alcune finalità migliore di quella esplicita si possono incontrare problemi quando è necessario esplicitare una variabile in funzione dell'altra, cosa che non è nemmeno sempre possibile.
La migliore rappresentazione è sicuramente quella parametrica, del tipo:
oppure:
dove formula_14 si chiama "parametro". La condizione di continuità non basta per rappresentare e studiare le curve intese come oggetti filiformi ad una dimensione con le caratteristiche di regolarità volute. La condizione aggiuntiva è che la curva piana sia differenziabile entro formula_2.
Una curva piana parametrica formula_16 si dice differenziabile in ogni punto se le funzioni formula_17 e formula_18 hanno derivate continue in ogni punto. Una curva piana differenziabile si dice "regolare" in un punto formula_19 se formula_20 e regolare in I se formula_21 in ogni punto di I. Un punto in cui si abbia formula_22 si dice che è un punto "singolare" per la curva.
La regolarità della curva permette di definire la retta tangente alla curva. Sia formula_23 una curva differenziabile e formula_24 un punto regolare. Si può definire la retta tangente alla curva in quel punto come la retta passante per formula_25 parallela al vettore formula_26.
La retta tangente ha equazione cartesiana nel punto formula_19:
e equazioni parametriche:
Nel caso di curva rappresentata esplicitamente da un'equazione formula_6, la retta tangente nel punto formula_31 è data:
mentre nel caso di una curva rappresentata da un'equazione implicita formula_11 la retta tangente nel punto formula_31 è data da:
La regolarità della curva permette di definire anche la "retta normale" alla curva nel punto formula_19 di equazione cartesiana:
Nel caso di curva rappresentata esplicitamente:
mentre per il caso di curva rappresentata implicitamente:
Dalla definizione stessa di derivata si ottiene:
che geometricamente rappresenta la pendenza della retta tangente, cioè la tangente goniometrica dell'angolo che la retta tangente forma con l'asse orizzontale "x". Da questa relazione si possono estrarre i coseni direttori della retta tangente:
Data una curva formula_42 differenziabile e una funzione formula_43 definita sull'intervallo formula_44 allora la curva:
tale che per ogni formula_46 si ha formula_47 è una riparametrizzazione della curva formula_48. La riparametrizzazione è regolare se formula_49 e formula_50.
Si mostra che se formula_51 è una riparametrizzazione di formula_52 tramite formula_53 allora:
Infatti, se formula_55 allora formula_56 e per la regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene:
e così si ha:
Sia data formula_55 differenziabile e formula_60. Allora la lunghezza dell'arco di curva compreso tra formula_61 vale:
Si aggiunga che, se formula_63 è una riparametrizzazione della curva, allora:
Se la curva è rappresentata in forma cartesiana esplicita:
cioè:
allora, sapendo che:
e che:
applicando il teorema di Pitagora ad elementi infinitesimali, ed integrando nell'intervallo di variazione dell'ascissa, la lunghezza della curva è data da:
Una forma di parametrizzazione che assume importanza notevole nello studio della matematica, della geometria e in molti campi di applicazione della matematica è quella in coordinate polari piane. Data una curva che ha parametrizzazione in coordinate polari piane in forma cartesiana:
e in forma parametrica con parametro formula_71:
allora sue derivate sono:
di modo che la lunghezza della curva sia uguale a:
Si definisce "ascissa curvilinea" oppure "parametro lunghezza arco" la riparametrizzazione particolare ottenuta fissando l'estremo inferiore di integrazione formula_75 in modo che l'integrale:
dipenda solo dall'estremo superiore formula_77 inteso come variabile. Questa funzione è la lunghezza dell'arco di curva a partire da un punto fisso formula_75 e può avere segno. Si può sempre riparametrizzare la curva nell'ascissa curvilinea. In tal modo se si vuole calcolare la retta tangente in un punto, si sa che essa è parallela ad un vettore tangente unitario, cioè ad un versore. Si dimostra che si può sempre riparametrizzare una curva tramite l'ascissa curvilinea nel modo seguente:
dato che formula_79 allora si può invertire formula_80 e se la sua inversa è formula_43 allora si ha la riparametrizzazione ascissa curvilinea data da:
Si dimostra poi che il vettore tangente è unitario nel modo seguente:
Sia formula_63 una curva parametrizzata secondo l'ascissa curvilinea e formula_85 il suo versore tangente. Si considera la funzione formula_86 che associa ad ogni formula_46 il valore formula_88. La funzione formula_89 è la curvatura della curva.
Se la curva è rappresentata esplicitamente, la sua curvatura è:
mentre per una curva rappresentata da un'equazione implicita:
Una curva (sufficientemente regolare) nello spazio ha in ogni suo punto un sistema di riferimento, detto "triedro di Frenet", dato da una terna di vettori "tangente", "normale" e "binormale". Tale curva è piana precisamente quando il vettore binormale è sempre costante.
Sia formula_92 una curva parametrizzata secondo l'ascissa curvilinea. Il versore tangente è dato da:
Il versore normale è dato da:
dove formula_2 è l'unità immaginaria. Sfruttando la definizione di curvatura si può dare un'altra forma al versore normale:
Si dimostra che il vettore formula_97 è ortogonale a formula_98 e quindi parallelo ad formula_99.
In definitiva le formule di Frenet e la curvatura per una curva piana con parametrizzazione qualsiasi formula_100 sono:


Il piano è un concetto primitivo della geometria, ovvero un concetto per il quale non esiste una definizione formale e che si suppone intuitivamente comprensibile e/o esperianzialmente acquisito, pertanto un'idea universalmente accettata ed unica rappresentabile con oggetti concreti che fungono da esempio ma che per la loro sussistenza stessa non risolvono pienamente il concetto (gli altri concetti primitivi della geometria sono il punto e la retta). Nel caso del piano per rappresentarlo idealmente si pensi ad un foglio di carta di dimensioni infinite: il piano è l'idea, il concetto astratto, ma non è il foglio di carta sia perché questo ha uno spessore ed un piano ideale non ne ha e sia perché non è possibile produrre o ritrovare un foglio di carta di dimensioni infinite.
In definitiva, esso:
Le relazioni che intercorrono tra un piano e i punti e le rette che esso contiene sono espresse dagli assiomi di Euclide e dagli assiomi di Hilbert.
L'equazione canonica del piano nello spazio tridimensionale formula_1 è del tipo: 
con formula_3 e formula_4 non tutti nulli.
Siano formula_5 tre punti dello spazio non allineati. Per questi tre punti passa uno ed un solo piano formula_6.
Un punto formula_7 appartiene al piano formula_6 solo se il vettore formula_9 è combinazione lineare dei vettori formula_10 e formula_11, ovvero se
Sviluppando il determinante con la regola di Laplace rispetto alla prima riga si ottiene:
Dove
Infine, per ottenere l'equazione canonica del piano, si definisce formula_15 come segue:
Dove formula_17 è un punto che appartiene al piano, pertanto in questo caso si possono utilizzare le coordinate di un punto qualsiasi fra formula_18, formula_19 e formula_20.
Si può studiare la posizione reciproca di due piani mettendo a sistema le loro equazioni. Quando la matrice dei coefficienti ha Rango due il sistema è compatibile e risulta ammettere una semplice infinità (formula_21) soluzioni, che rappresentano tutti i punti della retta di intersezione tra i due piani.
Quando la matrice dei coefficienti ha rango 1, le soluzioni ammesse sono una doppia infinità (formula_22), e i piani risultano essere paralleli e coincidenti (Parallelismo Improprio).
Se infine la matrice dei coefficienti ha rango 0, il sistema risulta essere incompatibile, e i piani sono paralleli e distinti (Parallelismo Proprio).
È possibile calcolare la distanza di un punto formula_23 da un piano formula_6 utilizzando la seguente formula:
In particolare, se formula_26, allora il punto formula_27 appartiene al piano formula_6.
