
In trigonometria, il teorema dei seni (noto anche come teorema di Eulero) esprime una relazione di proporzionalità diretta fra le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni dei rispettivi angoli opposti.
Si consideri il triangolo generico "ABC" rappresentato nella figura a lato, in cui gli angoli sono indicati da lettere greche minuscole e i lati opposti agli angoli dalle corrispondenti lettere latine minuscole.
Vale quindi
dove "R" è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo "ABC" e 
è l'area del triangolo ricavata dal semiperimetro "p" grazie alla formula di Erone.
La relazione di proporzionalità viene formulata a volte in questo modo:
Il teorema può essere adoperato
Per una superficie non euclidea dalla curvatura "K", il "raggio di curvatura" "ρ" è
Si definiscono quindi le dimensioni ridotte del triangolo:
Nel caso di un "triangolo sferico", "a", "b" e "c" corrispondono alle misure angolari dei segmenti degli archi grandi ["BC"], ["AC"] e ["AB"] (vedere figura).
In un triangolo sferico "ABC" tracciato sulla sfera di centro "O" e di raggio "ρ", il teorema del seno è espresso da
dove "V" è il volume del tetraedro "OABC".
In un triangolo iperbolico, il teorema dei seni si esprime con
Si consideri un tetraedro "A""A""A""A" nello spazio tridimensionale. La figura di lato mostra un tetraedro proiettato su un piano e indica le notazioni di vertici, facce e angoli del tetraedro:
Il seno dell'angolo triedro in corrispondenza del vertice "A" si definisce nel modo seguente:
E in modo analogo per gli altri angoli triedri.
Vale quindi
dove "V" è il volume del tetraedro.


In geometria una circonferenza è il luogo geometrico di punti del piano equidistanti da un punto fisso detto "centro". La distanza da qualsiasi punto della circonferenza dal centro si definisce raggio.
Le circonferenze sono curve chiuse semplici che dividono il piano in una superficie interna ed una esterna (infinita).
La superficie del piano contenuta in una circonferenza, insieme alla circonferenza stessa, prende il nome di cerchio, per cui: 
Per le altre superfici del piano geometrico, la lingua italiana non distingue l'area e il perimetro con due parole differenti. In inglese, oltre alle corrispondenti "circumference" e "circle", la parola "disk" indica una regione del piano con alcune importanti proprietà, che può essere chiusa, oppure aperta, se "non" contiene il cerchio che essa delimita. Nota la circonferenza di un cerchio, per qualsiasi superficie (chiusa) del piano geometrico si può disegnare una circonferenza inscritta ed una circonferenza circoscritta.
La circonferenza è il caso particolare di una ellisse, in cui i due fuochi coincidono in uno stesso punto, che è il centro della circonferenza: l'ellisse ha due centri (detti fuochi), la circonferenza ha invece un solo centro. Si dice quindi che la circonferenza ha eccentricità nulla. 
Ugualmente, la formula di calcolo per l'area del cerchio è un caso particolare della formula per l'area di un'ellisse.
Mediante il calcolo delle variazioni si dimostra che la circonferenza è la Figura piana che delimita la massima area per unità di perimetro quadrato.
Una circonferenza è inoltre un particolare caso di simmetria centrale, dal momento che tutti i punti della circonferenza sono equidistanti dal centro della stessa.
La formula per trovare la lunghezza della circonferenza è:
oppure:
Dove:
In geometria analitica una circonferenza in un piano può essere descritta utilmente sia mediante le coordinate cartesiane, sia mediante le coordinate polari, sia in forma parametrica.
In un sistema di riferimento cartesiano formula_8, la circonferenza di centro formula_9 e raggio formula_6 è il luogo dei punti caratterizzati dall'equazione:
cioè è l'insieme di tutti e soli i punti che distano formula_6 da formula_9.
All'equazione più generale si dà spesso la forma canonica:
collegata alla precedente dalle seguenti eguaglianze:
Da ciò segue che se formula_21 la circonferenza degenera in un solo punto, formula_22, se formula_23 il luogo geometrico (nel piano cartesiano reale) descritto dall'equazione non è una circonferenza, ma l'insieme vuoto.
Se il centro della circonferenza è l'origine formula_24, l'equazione diventa:
Se la circonferenza passa per l'origine formula_24, formula_27 e l'equazione diventa:
Se la circonferenza ha centro sull'asse x, formula_29 e l'equazione diventa:
Se la circonferenza ha centro sull'asse y, formula_31 e l'equazione diventa:
Nelle coordinate polari formula_33 e formula_34 l'equazione della circonferenza con centro nell'origine e raggio formula_6 è evidentemente data dall'equazione:
Una circonferenza formula_37 il cui centro ha coordinate formula_38 e raggio formula_39 viene descritta con la seguente forma parametrica:
formula_40
Basta usare l'equazione formula_41.
A questo problema sono riconducibili anche i seguenti
Basta ricordare che l'asse di una corda passa sempre per il centro della circonferenza. La procedura risolutiva è la seguente:
Il problema ha tre incognite: i coefficienti formula_42 dell'equazione canonica della circonferenza formula_43.
Si impone il passaggio per i tre punti dati dal problema e si ottiene un sistema lineare in tre equazioni e tre incognite formula_42.
Basta ricordare che la distanza della retta tangente dal centro è pari al raggio della circonferenza stessa. La procedura risolutiva è la seguente:
Basta ricordare che in un sistema di secondo grado (retta-circonferenza) la condizione di tangenza si ha quando il sistema ammette due soluzioni reali e coincidenti, cioè quando l"'equazione associata" di secondo grado al sistema ha formula_45.
Questo problema è risolto ricordando che la retta tangente alla circonferenza è perpendicolare al raggio nel suo punto di tangenza. Quindi, salvo casi particolari in cui la tangente è parallela all'asse y, la procedura risolutiva è la seguente:
Alternativamente è sufficiente usare la "formula di sdoppiamento" della circonferenza, così l'equazione della retta tangente alla circonferenza formula_43 nel punto formula_47 è semplicemente l'equazione
dove formula_49 sono dati.
Nel piano complesso una circonferenza di centro l'origine e raggio formula_39 può essere espressa dall'equazione parametrica
per formula_52.
Per rendersi conto che tale formula descrive una circonferenza è sufficiente considerare le equazioni parametriche descritte sopra e confrontarle con la formula di Eulero.
È possibile descrivere una circonferenza nello spazio come intersezione di una sfera S con un piano formula_4. Per calcolare il raggio di una circonferenza descritta nel seguente modo si può utilizzare il teorema di Pitagora:
formula_57.
La circonferenza
formula_58
è l'intersezione del piano
con la sfera "S" di centro origine e raggio 2.
La distanza del centro della sfera dal piano vale formula_60.
La distanza del centro della sfera dal piano è minore del raggio della sfera. Quindi il piano formula_4 interseca la sfera "S". A questo punto il raggio formula_56 della circonferenza si calcola utilizzando il teorema di Pitagora:
Tutte le circonferenze sono simili; di conseguenza, la circonferenza è proporzionale al raggio:
Una retta che incontra una circonferenza in due punti si chiama secante, mentre una che tocca la circonferenza in un solo punto, chiamato punto di tangenza, si chiama tangente. Il raggio che congiunge il centro della circonferenza con il punto di tangenza è sempre perpendicolare alla tangente. Presi due punti sulla circonferenza, questi dividono la circonferenza in due archi. Se i due archi sono della stessa lunghezza si chiamano semicirconferenze. Il segmento che congiunge due punti sulla circonferenza si chiama corda. La corda di lunghezza massima, che passa per il centro, si chiama diametro, ed equivale al doppio del raggio.
Per due punti passano infinite circonferenze, ed il luogo dei loro centri è l'asse del segmento che congiunge i due punti. La perpendicolare condotta dal centro di una circonferenza a una sua corda la divide a metà. Due corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro. Se da un punto formula_65, esterno a una circonferenza di centro formula_66 si tracciano le rette formula_6 e formula_68 a essa tangenti, i segmenti di tangente compresi tra formula_65 e i punti di contatto con la circonferenza sono congruenti e il segmento formula_70 è bisettrice dell'angolo formula_71 di vertice formula_65.
Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza, il cui centro coincide con l'intersezione degli assi dei segmenti che congiungono i punti. L'equazione della circonferenza passante per i punti formula_73, formula_74, formula_75 si può esprimere nel seguente modo:
dove l'espressione a sinistra è il determinante della matrice.
Date due circonferenze che si intersecano, si definisce asse radicale la retta passante per i due punti in comune ("punti base"). Con semplici calcoli, partendo dall'equazione canonica e indicando con apici i coefficienti della seconda circonferenza, si ottiene che questa retta ha equazione formula_77 ed è perpendicolare alla retta che congiunge i centri delle circonferenze. La definizione si estende facilmente al caso di circonferenze tangenti, chiamando asse radicale la retta tangente alle due circonferenze nel punto comune. Questo concetto può essere ulteriormente generalizzato considerando i fasci di circonferenze. Approccio che, tra l'altro, permette di trattare unitariamente i suddetti casi.
Una "circonferenza topologica" si ottiene considerando un intervallo chiuso sulla retta reale e dotandolo della topologia quoziente che si ha identificando gli estremi.
La circonferenza è dotata di una naturale struttura di varietà differenziabile di dimensione 1, è uno spazio compatto e connesso ma non semplicemente connesso, infatti il suo gruppo fondamentale è il gruppo formula_78 dei numeri interi.
La circonferenza è naturalmente dotata della struttura algebrica di gruppo: possiamo identificare ogni punto della circonferenza con l'angolo che esso forma rispetto ad una semiretta prefissata (in genere l'asse delle ascisse in un sistema di riferimento cartesiano) e definire la "somma" di due punti individuati dagli angoli formula_79 e formula_80 come il punto individuato dall'angolo formula_81. È immediato verificare che la circonferenza dotata di questa operazione verifica le proprietà di un gruppo e che come "gruppo" è isomorfo al gruppo quoziente formula_82.
La circonferenza è un esempio di gruppo di Lie.
