
In matematica, e in particolare in geometria analitica e in geometria proiettiva, con sezione conica, o semplicemente conica, si intende genericamente una curva piana che sia luogo dei punti ottenibili intersecando la superficie di un cono circolare con un piano.
Le sezioni coniche sono state studiate accuratamente in epoca ellenistica, in particolare da Menecmo ed Apollonio di Perga intorno al 200 a.C.; questi diede anche i nomi tuttora in uso per i tre tipi fondamentali di sezioni coniche: ellisse (la circonferenza ne è un caso degenere), parabola e iperbole.
Si consideri il cono circolare retto costituito dalle rette generatrici che, con il suo asse, formano un angolo di ampiezza θ.
Si tenga presente che i punti del cono si tripartiscono in tre sottoinsiemi: uno costituito solo dal suo vertice e due sottoinsiemi separatamente connessi dette "falde" o "nappe".
A seconda del tipo di piano che interseca il cono si hanno due tipi di curve: le cosiddette "non degeneri" e le "degeneri". Per quanto riguarda le prime si può avere:
Le cosiddette "coniche degeneri" si ottengono, invece, per intersezioni con piani passanti per il vertice del cono:
Il grafico di ogni equazione quadratica in due variabili reali, se i coefficienti soddisfano determinate condizioni che preciseremo, individua una sezione conica di un piano cartesiano, cioè di un piano riferito ad un sistema di coordinate cartesiane. Si trova inoltre che tutte le sezioni coniche si possono ottenere in questo modo.
Se si considera l'equazione quadratica nella forma 
si ha la seguente casistica:
Condizione necessaria affinché la curva sia una circonferenza è che formula_8.
Quello che si sta dicendo è che se formula_9 l'equazione data non può rappresentare una circonferenza, se invece formula_10 allora l'equazione potrebbe rappresentare una circonferenza. Ciò implica che, ad esempio, formula_11 non può essere l'equazione di una circonferenza, mentre invece formula_12 potrebbe esserlo, tuttavia formula_13, perciò non esiste nessun punto che soddisfi l'equazione data.
Una definizione alternativa delle sezioni coniche viene data a partite da una retta formula_14, la "direttrice," un punto formula_15 esterno a formula_14, detto "fuoco", e un numero formula_17, che prende il nome di "eccentricità". A tali enti si fa corrispondere la sezione conica consistente in tutti i punti la cui distanza da "formula_15" è uguale al prodotto di formula_19 per la rispettiva distanza da "formula_14". Per formula_21 si ottiene una circonferenza, per formula_22 un'ellisse, per formula_23 una parabola e per formula_24 un'iperbole.
Per una ellisse e una iperbole si possono assumere due coppie fuoco + direttrice, ciascuna fornendo la stessa intera curva. La distanza del centro dalla direttrice è formula_25, dove formula_26 denota il semiasse maggiore dell'ellisse, oppure la distanza del centro da ciascuno dei punti di distanza minima dell'iperbole. La distanza del centro da un fuoco è formula_27.
Nel caso della circonferenza si deve immaginare la retta direttrice a distanza infinita dal fuoco, cioè la retta si trova all'infinito del piano. Questo caso non si può trattare a partire dalla richiesta che la circonferenza sia il luogo dei punti la cui distanza dal centro sia "formula_19" volte la distanza da formula_14, in quanto si avrebbe una forma indeterminata della forma zero per infinito; questo caso va trattato come caso limite di ellissi.
Si può dunque affermare che l'eccentricità di una sezione conica dia una misura di quanto essa si allontani dall'essere circolare.
Per una data lunghezza formula_26 del semiasse maggiore, quanto più formula_19 si avvicina a 1, tanto più piccolo è il semiasse minore.
Sia formula_32 l'equazione associata alla conica tale che formula_33.Ad essa si associano due matrici formula_34 e formula_35 simmetriche tali che:
formula_36
È possibile distinguere i diversi tipi di conica studiando il determinante delle due matrici:
Si definisce semilato retto di una sezione conica C un segmento ortogonale all'asse maggiore che ha una estremità nel suo fuoco singolo o in uno dei suoi due fuochi e l'altra in un punto della C; la sua lunghezza di solito si denota con "l". Questa grandezza viene collegata alle lunghezze dei semiassi "a" e "b" dall'uguaglianza formula_43.
In coordinate polari, una sezione conica con un fuoco nell'origine e, se dotata di un secondo fuoco, con questo sul semiasse positivo delle "x", è determinata dall'equazione
Le sezioni coniche sono importanti in astronomia: le orbite di due corpi (con masse elevate) che interagiscono secondo la legge di gravitazione universale sono sezioni coniche rispetto al loro comune centro di massa considerato a riposo. Se tra di loro si esercita una attrazione sufficiente, entrambi percorrono un'ellisse; se l'attrazione reciproca è insufficiente si muovono con la possibilità di allontanarsi illimitatamente percorrendo entrambi parabole o iperboli. Si veda in proposito problema dei due corpi.
In geometria proiettiva le sezioni coniche nel piano proiettivo sono considerate equivalenti, nel senso che possono essere trasformate l'una nell'altra mediante una trasformazione proiettiva.
In epoca ellenistica la conoscenza delle coniche permise la costruzione di specchi parabolici, forse applicati in attività belliche (v. Specchi ustori) e nella costruzioni di fari di grande portata (v. Faro di Alessandria).
Per una trattazione breve e abbastanza semplice delle sezioni coniche che mostra come esse si possono caratterizzare equivalentemente come intersezioni di un piano con un cono e in termini di fuochi o di un fuoco e una direttrice vedi Sfere di Dandelin.
Consideriamo un cono avente come asse l'asse delle "z" e il vertice nell'origine. Esso è determinato dall'equazione 
dove
e formula_47 denota l'angolo che ogni generatrice del cono forma con l'asse. Si noti che questa equazione individua due superfici una posta al di sopra e l'altra al di sotto del vertice; nel parlare comune ciascuna di queste superfici viene detta cono; i matematici preferiscono parlare di due nappe la cui unione costituisce il cono e la cui intersezione si riduce al vertice del cono.
Consideriamo un piano P che interseca il piano "Oxy" in una retta parallela all'asse delle "y" e che interseca il piano "Oxz" in una retta con una certa pendenza; la sua equazione è
dove
e formula_50 è l'angolo che P forma con il piano "Oxy".
Ci proponiamo di individuare l'intersezione del cono con il piano P: questo richiede la combinazione delle due equazioni (1) e (2). Queste si possono risolvere nella variabile "z" e le espressioni trovate si possono uguagliare. 
L'equazione (1) per la "z" fornisce
di conseguenza 
Elevati al quadrato i due membri e sviluppato il binomio del membro a destra si ottiene 
Raggruppando le variabili si giunge alla
Si noti che questa è l'equazione della proiezione della sezione conica sul piano "Oxy"; Quindi questa equazione fornisce una figura ottenuta dalla sezione conica mediante una contrazione nella direzione dell'asse delle "x".
Si ottiene una parabola quando la pendenza del piano P è uguale alla pendenza delle generatrici del cono. In questo caso gli angoli
formula_47 
e
formula_50
sono complementari. Questo implica che
di conseguenza 
Sostituendo l'equazione (4) nell'equazione (3) si fa scomparire il primo termine nell'equazione (3) e rimane l'equazione
Moltiplicando entrambi i membri per "a",
a questo punto si può trovare un'espressione per la "x":
L'equazione (5) descrive una parabola il cui asse è parallelo all'asse delle "x". Altre versioni della equazione (5) si possono ottenere ruotando il piano intorno all'asse delle "z".
Si individua un'ellisse quando la somma degli angoli formula_62 e formula_50 è inferiore ad un angolo retto:
In tal caso la tangente della somma dei due angoli è positiva.
Ricordiamo ora la identità trigonometrica 
questa implica
Ma "m + a" è positivo, in quanto è la somma di due numeri positivi; quindi la disuguaglianza (6) è positiva se anche il denominatore è positivo:
Dalla disuguaglianza (7) si deducono:
Riprendiamo ancora l'equazione (3),
ma questa volta assumiamo che il coefficiente di "x" non si annulli ma sia invece positivo. Risolviamo per la "y": 
Questa equazione descriverebbe chiaramente un'ellisse, se non fosse presente il secondo termine sotto il segno di radice, "2 m b x": sarebbe l'equazione di una circonferenza dilatata proporzionalmente secondo le direzioni dell'asse delle "x" e dell'asse delle "y". L'equazione (8) in effetti individua un'ellisse ma in modo non evidente; quindi occorre manipolarla ulteriormente per convincersi di questo fatto. Completiamo il quadrato sotto il segno di radice:
Raccogliamo i termini in "b":
Dividiamo per "a" ed eleviamo al quadrato entrambi i membri:
Un'ulteriore manipolazione delle costanti finalmente conduce a 
Il coefficiente del termine in "y" è positivo (per un'ellisse). Cambiando i nomi dei coefficienti e delle costanti ci conduce a 
che è chiaramente l'equazione di un'ellisse. In altri termini, l'equazione (9) descrive una circonferenza di raggio "R" e centro "(C,0)" che viene poi dilatata verticalmente per un fattore formula_82. Il secondo termine del membro a sinistra (il termine nella "x") non ha coefficiente ma è un quadrato, quindi deve essere positivo. Il raggio è un prodotto di quadrati e quindi deve essere anch'esso positivo. Il primo termine del membro a sinistra (il termine in "y") ha un coefficiente positivo, e dunque l'equazione descrive un'ellisse.
L'intersezione del cono con il piano P fornisce un'iperbole quando la somma degli angoli formula_83 e formula_84 è un angolo ottuso, maggiore di un angolo retto. La tangente di un angolo ottuso è negativa e tutte le disuguaglianze trovate per l'ellisse vengono cambiate nelle loro opposte. Quindi si ottiene
Di conseguenza per l'iperbole si trova l'equazione che differisce da quella trovata per l'ellisse solo per avere negativo il coefficiente "A" del termine in "y". Questo cambiamento di segno fa passare da un'ellisse ad un'iperbole. Il collegamento fra ellissi e iperbole può descriversi anche osservando che l'equazione di un'ellisse con coordinate reali può interpretarsi come l'equazione di un'iperbole con una coordinata immaginaria e, simmetricamente, che l'equazione di un'iperbole con coordinate reali può interpretarsi come l'equazione di un'ellisse con una coordinata immaginaria (vedi numero immaginario). Il cambiamento di segno del coefficiente "A" equivale allo scambio fra valori reali e immaginari della funzione della forma "y=f(x)" che si legge nell'equazione (9).
Una ellisse non ha punti impropri. Una parabola ha un solo punto improprio. Una iperbole ha due punti impropri.


In geometria una circonferenza è il luogo geometrico di punti del piano equidistanti da un punto fisso detto "centro". La distanza da qualsiasi punto della circonferenza dal centro si definisce raggio.
Le circonferenze sono curve chiuse semplici che dividono il piano in una superficie interna ed una esterna (infinita).
La superficie del piano contenuta in una circonferenza, insieme alla circonferenza stessa, prende il nome di cerchio, per cui: 
Per le altre superfici del piano geometrico, la lingua italiana non distingue l'area e il perimetro con due parole differenti. In inglese, oltre alle corrispondenti "circumference" e "circle", la parola "disk" indica una regione del piano con alcune importanti proprietà, che può essere chiusa, oppure aperta, se "non" contiene il cerchio che essa delimita. Nota la circonferenza di un cerchio, per qualsiasi superficie (chiusa) del piano geometrico si può disegnare una circonferenza inscritta ed una circonferenza circoscritta.
La circonferenza è il caso particolare di una ellisse, in cui i due fuochi coincidono in uno stesso punto, che è il centro della circonferenza: l'ellisse ha due centri (detti fuochi), la circonferenza ha invece un solo centro. Si dice quindi che la circonferenza ha eccentricità nulla. 
Ugualmente, la formula di calcolo per l'area del cerchio è un caso particolare della formula per l'area di un'ellisse.
Mediante il calcolo delle variazioni si dimostra che la circonferenza è la Figura piana che delimita la massima area per unità di perimetro quadrato.
Una circonferenza è inoltre un particolare caso di simmetria centrale, dal momento che tutti i punti della circonferenza sono equidistanti dal centro della stessa.
La formula per trovare la lunghezza della circonferenza è:
oppure:
Dove:
In geometria analitica una circonferenza in un piano può essere descritta utilmente sia mediante le coordinate cartesiane, sia mediante le coordinate polari, sia in forma parametrica.
In un sistema di riferimento cartesiano formula_8, la circonferenza di centro formula_9 e raggio formula_6 è il luogo dei punti caratterizzati dall'equazione:
cioè è l'insieme di tutti e soli i punti che distano formula_6 da formula_9.
All'equazione più generale si dà spesso la forma canonica:
collegata alla precedente dalle seguenti eguaglianze:
Da ciò segue che se formula_21 la circonferenza degenera in un solo punto, formula_22, se formula_23 il luogo geometrico (nel piano cartesiano reale) descritto dall'equazione non è una circonferenza, ma l'insieme vuoto.
Se il centro della circonferenza è l'origine formula_24, l'equazione diventa:
Se la circonferenza passa per l'origine formula_24, formula_27 e l'equazione diventa:
Se la circonferenza ha centro sull'asse x, formula_29 e l'equazione diventa:
Se la circonferenza ha centro sull'asse y, formula_31 e l'equazione diventa:
Nelle coordinate polari formula_33 e formula_34 l'equazione della circonferenza con centro nell'origine e raggio formula_6 è evidentemente data dall'equazione:
Una circonferenza formula_37 il cui centro ha coordinate formula_38 e raggio formula_39 viene descritta con la seguente forma parametrica:
formula_40
Basta usare l'equazione formula_41.
A questo problema sono riconducibili anche i seguenti
Basta ricordare che l'asse di una corda passa sempre per il centro della circonferenza. La procedura risolutiva è la seguente:
Il problema ha tre incognite: i coefficienti formula_42 dell'equazione canonica della circonferenza formula_43.
Si impone il passaggio per i tre punti dati dal problema e si ottiene un sistema lineare in tre equazioni e tre incognite formula_42.
Basta ricordare che la distanza della retta tangente dal centro è pari al raggio della circonferenza stessa. La procedura risolutiva è la seguente:
Basta ricordare che in un sistema di secondo grado (retta-circonferenza) la condizione di tangenza si ha quando il sistema ammette due soluzioni reali e coincidenti, cioè quando l"'equazione associata" di secondo grado al sistema ha formula_45.
Questo problema è risolto ricordando che la retta tangente alla circonferenza è perpendicolare al raggio nel suo punto di tangenza. Quindi, salvo casi particolari in cui la tangente è parallela all'asse y, la procedura risolutiva è la seguente:
Alternativamente è sufficiente usare la "formula di sdoppiamento" della circonferenza, così l'equazione della retta tangente alla circonferenza formula_43 nel punto formula_47 è semplicemente l'equazione
dove formula_49 sono dati.
Nel piano complesso una circonferenza di centro l'origine e raggio formula_39 può essere espressa dall'equazione parametrica
per formula_52.
Per rendersi conto che tale formula descrive una circonferenza è sufficiente considerare le equazioni parametriche descritte sopra e confrontarle con la formula di Eulero.
È possibile descrivere una circonferenza nello spazio come intersezione di una sfera S con un piano formula_4. Per calcolare il raggio di una circonferenza descritta nel seguente modo si può utilizzare il teorema di Pitagora:
formula_57.
La circonferenza
formula_58
è l'intersezione del piano
con la sfera "S" di centro origine e raggio 2.
La distanza del centro della sfera dal piano vale formula_60.
La distanza del centro della sfera dal piano è minore del raggio della sfera. Quindi il piano formula_4 interseca la sfera "S". A questo punto il raggio formula_56 della circonferenza si calcola utilizzando il teorema di Pitagora:
Tutte le circonferenze sono simili; di conseguenza, la circonferenza è proporzionale al raggio:
Una retta che incontra una circonferenza in due punti si chiama secante, mentre una che tocca la circonferenza in un solo punto, chiamato punto di tangenza, si chiama tangente. Il raggio che congiunge il centro della circonferenza con il punto di tangenza è sempre perpendicolare alla tangente. Presi due punti sulla circonferenza, questi dividono la circonferenza in due archi. Se i due archi sono della stessa lunghezza si chiamano semicirconferenze. Il segmento che congiunge due punti sulla circonferenza si chiama corda. La corda di lunghezza massima, che passa per il centro, si chiama diametro, ed equivale al doppio del raggio.
Per due punti passano infinite circonferenze, ed il luogo dei loro centri è l'asse del segmento che congiunge i due punti. La perpendicolare condotta dal centro di una circonferenza a una sua corda la divide a metà. Due corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro. Se da un punto formula_65, esterno a una circonferenza di centro formula_66 si tracciano le rette formula_6 e formula_68 a essa tangenti, i segmenti di tangente compresi tra formula_65 e i punti di contatto con la circonferenza sono congruenti e il segmento formula_70 è bisettrice dell'angolo formula_71 di vertice formula_65.
Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza, il cui centro coincide con l'intersezione degli assi dei segmenti che congiungono i punti. L'equazione della circonferenza passante per i punti formula_73, formula_74, formula_75 si può esprimere nel seguente modo:
dove l'espressione a sinistra è il determinante della matrice.
Date due circonferenze che si intersecano, si definisce asse radicale la retta passante per i due punti in comune ("punti base"). Con semplici calcoli, partendo dall'equazione canonica e indicando con apici i coefficienti della seconda circonferenza, si ottiene che questa retta ha equazione formula_77 ed è perpendicolare alla retta che congiunge i centri delle circonferenze. La definizione si estende facilmente al caso di circonferenze tangenti, chiamando asse radicale la retta tangente alle due circonferenze nel punto comune. Questo concetto può essere ulteriormente generalizzato considerando i fasci di circonferenze. Approccio che, tra l'altro, permette di trattare unitariamente i suddetti casi.
Una "circonferenza topologica" si ottiene considerando un intervallo chiuso sulla retta reale e dotandolo della topologia quoziente che si ha identificando gli estremi.
La circonferenza è dotata di una naturale struttura di varietà differenziabile di dimensione 1, è uno spazio compatto e connesso ma non semplicemente connesso, infatti il suo gruppo fondamentale è il gruppo formula_78 dei numeri interi.
La circonferenza è naturalmente dotata della struttura algebrica di gruppo: possiamo identificare ogni punto della circonferenza con l'angolo che esso forma rispetto ad una semiretta prefissata (in genere l'asse delle ascisse in un sistema di riferimento cartesiano) e definire la "somma" di due punti individuati dagli angoli formula_79 e formula_80 come il punto individuato dall'angolo formula_81. È immediato verificare che la circonferenza dotata di questa operazione verifica le proprietà di un gruppo e che come "gruppo" è isomorfo al gruppo quoziente formula_82.
La circonferenza è un esempio di gruppo di Lie.
