
La crescita esponenziale (che comprende il decadimento esponenziale) si verifica quando il tasso di crescita di una funzione matematica è proporzionale al valore attuale della funzione. Nel caso di un dominio di definizione discreto con intervalli uguali è chiamata anche crescita geometrica o decadimento geometrico (i valori della funzione formano una progressione geometrica).
Il modello di crescita esponenziale è noto anche come Modello di Malthus.
Una quantità formula_1 dipende esponenzialmente dal tempo formula_2 se:
dove la costante formula_4 è il valore iniziale di formula_1, cioè formula_6, la costante formula_7 è un fattore di crescita positivo, e formula_8 è il tempo richiesto perché formula_1 aumenti di un fattore di formula_7:
Se formula_12 e formula_13, allora formula_1 ha crescita esponenziale. Se formula_15 e formula_13 o formula_12 e 0, allora formula_1 ha decadimento esponenziale.
Ad esempio, se una specie di batteri raddoppia ogni dieci minuti, cominciando con un batterio, per sapere quanti batteri sarebbero presenti dopo un'ora si procede ponendo formula_19, formula_20 e formula_8 pari a 10 minuti:
Ci sono quindi sessantaquattro batteri.
Per rappresentare un tasso di crescita si possono utilizzare diverse forme diverse ma matematicamente equivalenti, usando una base diversa. Le forme più comuni sono le seguenti:
Vi sono quindi molte possibilità di scegliere una coppia formula_25 di un numero non negativo adimensionale formula_7 e di un ammontare di tempo formula_8. Nello specifico, i parametri che compaiono (negativi nel caso del decadimento esponenziale) sono:
Le quantità "k", formula_8 e "T", e per un dato "p" anche "r", hanno un rapporto di uno a uno dato dalla seguente equazione (che può essere derivata prendendo il logaritmo naturale di cui sopra):
dove "k" = 0 corrisponde a "r" = 0 e a formula_8 e "T" che sono infiniti.
Se "p" è l'unità di tempo, il quoziente "t/p" è semplicemente il numero di unità di tempo. Usando la notazione "t" per il numero (adimensionale) di unità di tempo piuttosto che per il tempo stesso, "t/p" può essere sostituito da "t", ma per uniformità questo è stato qui evitato. In questo caso la divisione per "p" nell'ultima formula non è neanche una divisione numerica, ma converte un numero adimensionale nella corretta quantità contenente l'unità.
Un popolare metodo approssimato per calcolare il tempo di raddoppio dal tasso di crescita è la regola del 70,
cioè formula_38 (o meglio: formula_39).
La funzione esponenziale formula_40 soddisfa l'equazione differenziale lineare:
che stabilisce che il tasso di crescita di formula_1 al tempo formula_2 è proporzionale al valore di formula_44, con valore iniziale formula_6. Per formula_46 l'equazione differenziale è risolta dal metodo di separazione delle variabili:
da cui segue:
Incorporando il valore iniziale si ha:
ovvero:
La soluzione si applica per formula_51 dove il logaritmo non è definito.
Per una variazione non lineare di questo modello di crescita si veda funzione logistica.
Nel lungo periodo, qualsiasi tipo di crescita esponenziale sorpasserà qualsiasi tipo di crescita lineare (la base della catastrofe malthusiana nonché qualsiasi crescita polinomiale, cioè, per α qualunque:
C'è un'intera gerarchia di tassi di crescita concepibili che sono più lenti di quello esponenziale e più veloci di quello lineare (nel lungo periodo). Si veda grado di un polinomio.
I tassi di crescita possono essere anche più veloci di quello esponenziale.
Nell'equazione differenziale di sopra, se "k" < 0, allora la quantità sperimenta il decadimento esponenziale.
I modelli di crescita esponenziale dei fenomeni naturali si applicano soltanto entro regioni limitate, in quanto la crescita illimitata non è fisicamente realistica. Anche se la crescita può essere inizialmente esponenziale, i fenomeni modellizzati alla fine entreranno in una regione nella quale fattori di retroazione negativa precedentemente ignorati diventeranno significativi (portando a un modello di crescita logistica) oppure altre assunzioni sottostanti del modello di crescita esponenziale, come la continuità o la retroazione istantanea, vengono meno.
Secondo la leggenda, un cortigiano si presentò al re di Persia con una bella scacchiera. Il re chiese che cosa gli sarebbe piaciuto in cambio del suo regalo e il cortigiano sorprese il re chiedendo un chicco di riso sulla prima casella, due chicchi sulla seconda, quattro chicchi sulla terza, ecc. Il re acconsentì prontamente e chiese che fosse portato il riso. Tutto andò bene all'inizio, ma la richiesta di formula_53 chicchi sull"'n"-esima esigeva oltre un milione di chicchi sulla 21ª casella, più di un milione di milioni (o, come si dice, di un trilione) sulla 41ª e non c'era semplicemente abbastanza riso nell'intero mondo per le caselle finali.
Per varianti di questa storia si veda la seconda metà della scacchiera, in riferimento al punto in cui un fattore esponenzialmente crescente comincia ad avere un impatto economico significativo sulla complessiva strategia d'affari di un'organizzazione.
Ai bambini francesi si racconta una storia in cui immaginano di avere uno stagno con foglie di ninfea che galleggiano sulla superficie. La popolazione di ninfee raddoppia di dimensione ogni giorno e se lasciata incontrollata soffocherà lo stagno in 30 giorni, uccidendo tutte le altre cose viventi nell'acqua. Giorno dopo giorno la pianta sembra piccola e così si decide di lasciarla crescere fino a quando non ricopra metà dello stagno, prima di tagliarla nuovamente. È stato poi chiesto loro in che giorno ciò avverrà. Questo si rivela essere il 29º giorno, dopo di che ci sarà appena un giorno per salvare lo stagno.


La moltiplicazione è una delle quattro operazioni fondamentali dell'aritmetica. È un modo rapido per rappresentare la somma di numeri uguali. Il risultato di una moltiplicazione è chiamato "prodotto", mentre i due numeri moltiplicati sono detti "fattori" se considerati insieme, e rispettivamente "moltiplicando" e "moltiplicatore" se presi individualmente.
Nella scrittura matematica, esistono due diversi simboli utilizzati per indicare la moltiplicazione: entrambe le seguenti notazioni significano "cinque moltiplicato per due volte" ed entrambe si leggono "cinque per due":
Qualora i due moltiplicandi non siano scritti in cifre, e quindi non ci sia il rischio di equivoco, è possibile anche semplicemente giustapporli, come in:
anche per leggere queste formule vale lo stesso principio: se non c'è rischio di equivoco si può omettere il "per", come nella prima ("due zeta"), altrimenti verrà detto, come nella seconda ("due per, aperta parentesi, zeta più due, chiusa parentesi" o "due per, tra parentesi, zeta più due") o infine "due che moltiplica zeta più due".
Nei linguaggi di programmazione e nelle calcolatrici, la moltiplicazione viene solitamente indicata con l'asterisco (*).
Dati due numeri interi positivi formula_4 e formula_5, detto il primo "moltiplicando" ed il secondo "moltiplicatore", la definizione di moltiplicazione non è altro che:
ovvero "addizionare il numero formula_4 per formula_5 volte".
Usando una formula più ristretta, con il simbolo di sommatoria:
Quindi, per esempio:
Data la proprietà commutativa della moltiplicazione (vedi più in basso), talvolta si dà la seguente definizione (equivalente) di moltiplicazione:
A partire dalla definizione, si può dimostrare che la moltiplicazione ha le seguenti proprietà:
Per la moltiplicazione nel campo dei numeri razionali (v. sotto) vale anche
Nel libro "Arithmetices principia, nova methodo exposita", Giuseppe Peano propose un sistema assiomatico per i numeri naturali; due di questi assiomi riguardano la moltiplicazione:
Qui "b"' rappresenta l'elemento dei numeri naturali successivo di "b". Con gli altri nove assiomi di Peano, è possibile provare le regole comuni della moltiplicazione, come la proprietà distributiva e associativa. I due assiomi elencati forniscono una definizione ricorsiva della moltiplicazione.
Estendiamo l'operazione di moltiplicazione al caso dei numeri negativi, definendo quanto segue: dato x numero naturale
dove con − x si intende l'inverso additivo di x : 
Da qui abbiamo che la moltiplicazione di interi qualunque si riduce alla moltiplicazione di interi positivi e di formula_24. 
Lo schema che ne deriva è detto "regola dei segni":
Quest'ultima regola pratica ha un'interpretazione anche nella vita reale. Supponiamo di guadagnare "m" euro l'anno; tra "n" anni avremo "mn" euro (un numero positivo), mentre se questo guadagno era iniziato nel passato allora "n" anni fa (cioè "tra meno "n" anni") avevamo "mn" euro in meno (un numero negativo). Se invece perdessimo "m" euro l'anno (cioè guadagnassimo "meno "m" euro"), tra "n" anni ne avremo "mn" in meno, ma "n" anni fa ne avevamo "mn" in più di quanti ne abbiamo ora.
La definizione di moltiplicazione si può infine estendere ai numeri razionali, ai numeri reali, e ai numeri complessi.
Per i numeri razionali abbiamo che 
verificando che la definizione è indipendente dai rappresentanti scelti.
Per i numeri reali, una definizione di moltiplicazione si può ottenere prendendo il modello di numero reale come sezione di Dedekind: dati due numeri reali positivi, rappresentati come sezioni in campo razionale, moltiplicando (con opportuni accorgimenti) i minoranti tra loro e i maggioranti tra loro si ottiene ancora una sezione, che rappresenta il prodotto dei due numeri. La definizione si può poi estendere a tutti i numeri reali seguendo la regola dei segni indicata nella sezione precedente.
Per i numeri complessi, infine, si ha:
