
In matematica, la sottrazione è una delle quattro operazioni aritmetiche fondamentali. È normalmente denotata con un segno meno infisso ("−"). 
La sottrazione tra due numeri naturali può essere definita in termini di addizione. Dati due numeri naturali "n" ed "m", il primo detto minuendo ed il secondo sottraendo, si dice differenza il numero naturale "d", se esiste, che aggiunto ad "m" dà come somma "n". In simboli, 
La sottrazione viene utilizzata per modellare i tre processi fisici seguenti.
Matematicamente è spesso utile vedere la sottrazione non come un'operazione separata, ma come addizione dell'opposto del sottraendo. Così, 7-3 diventa la somma di 7 e di "−3". In questo modo, si possono applicare alla sottrazione tutte le regole familiari e la nomenclatura dell'addizione. Si consideri inoltre che la sottrazione non è commutativa né associativa, ma l'addizione di quantità con segno sì; questo significa che un matematico non userà spesso le parole "minuendo" e "sottraendo" ma considererà 7-3 come la somma degli addendi "7" e "−3”.
Prendiamo un segmento di lunghezza "b" disegnato per terra con l'estremo di sinistra chiamato "a" e quello destro "c".
Partendo dalla posizione "a", saranno necessari "b" passaggi per raggiungere la posizione "c". Questo movimento verso destra, chiamato addizione, può essere scritto come:
Dalla posizione "c", saranno necessari "b" passaggi per ritornare all'estremo "a". Questo movimento verso sinistra, chiamato "sottrazione", può essere scritto come:
Immaginiamo ora un segmento le cui posizioni siano contrassegnate dai numeri 1, 2 e 3.
Dalla posizione 3, per rimanere alla posizione 3 non è necessario nessun passaggio, quindi
Dalla posizione 3, per andare alla posizione 2 è necessario 1 passaggio, quindi
Dalla posizione 3, per andare alla posizione 1 sono necessari 2 passaggi, quindi
Cosa succederebbe se si continuasse nel processo andando per 3 volte verso sinistra dalla posizione 3? Per il nostro esempio, si andrebbe oltre la linea disegnata, cosa che non sarebbe permessa. Quindi per fare questo la linea deve essere estesa.
Per la sottrazione dei numeri naturali, la linea dovrebbe avere tutti i numeri naturali (0, 1, 2, 3, 4, ...) su di essa.
Usando la linea dei numeri naturali, dalla posizione 3, tornando per 3 volte verso sinistra si raggiungerebbe la posizione 0, quindi
Ma per i numeri naturali, 3 − 4 sarebbe una operazione non valida. Per eseguirla dobbiamo ulteriormente estendere la linea.
Usando la linea dei numeri interi (…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …), dalla posizione 3, togliendo 4 arriveremmo alla posizione −1, quindi
Per fare una sottrazione in colonna bisogna scrivere prima il minuendo e sotto il sottraendo: 86 - 34 = 52
Si prende il primo numero da destra e gli si sottrae quello che ha sotto (6-4=2). Si fa la stessa cosa con quello a sinistra (8-3=5). Si scrivono i due risultati sotto le corrispondenti sottrazioni.
Aggiungendo o sottraendo uno stesso termine al minuendo e al sottraendo la differenza non cambia. Cioè se
allora si ha anche


L'addizione (denotata normalmente dal simbolo del più, "+") è una delle quattro operazioni fondamentali dell'aritmetica, insieme alla sottrazione, alla moltiplicazione e alla divisione. L'addizione di due numeri naturali può essere definita in termini insiemistici. Per sommare due numeri naturali "a" e "b", si considerano due insiemi "A" e "B" che abbiano, rispettivamente, "a" e "b" come numero di elementi, e che siano disgiunti (cioè non abbiano elementi in comune). Allora il risultato dell'addizione di "a" e "b" è il numero di elementi dell'insieme unione di "A" e "B" (l'insieme "A" ∪ "B").
Ad esempio, se in un sacchetto abbiamo tre mele e in un altro sacchetto abbiamo due mele, mettendo insieme il contenuto dei due sacchetti avremo cinque mele. Questa osservazione è equivalente all'espressione matematica "3 + 2 = 5", ovvero "3 più 2 è uguale a 5".
L'addizione può essere definita anche su quantità più astratte, quali i numeri interi relativi, i numeri razionali, i numeri reali e i numeri complessi, e su altri oggetti matematici quali i vettori e le matrici.
L'addizione gode di alcune proprietà basilari. È commutativa, ovvero cambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia. È associativa, ovvero quando si sommano più di due numeri, il risultato è lo stesso indipendentemente dall'ordine in cui vengono effettuate le addizioni. Lo zero è l'elemento neutro dell'addizione, ovvero sommare zero ad un numero lascia quel numero invariato.
I numeri o termini coinvolti nell'addizione sono collettivamente detti addendi, e il risultato dell'addizione è la loro somma.
Se gli addendi sono scritti individualmente, l'addizione è rappresentata dal carattere "+", che si interpone tra un termine e l'altro. Tra la sequenza degli addendi e la loro somma si interpone il simbolo dell'uguaglianza, "=". Sono addizioni valide:
e la prima di queste si legge, indifferentemente,
Negli scritti precedenti al XVI secolo è possibile trovare un altro simbolo indicante l'addizione. Si tratta di una "P" in corsivo che rimpiazzava la parola "più".
Se i termini non sono scritti individualmente, ma la sequenza degli addendi si ricava facilmente dalla scrittura, la somma si può indicare con un'ellissi ("...") per indicare i termini mancanti: la somma dei numeri naturali da 1 a 100 si può dunque scrivere come 1 + 2 + … + 99 + 100 = 5050.
In alternativa, la somma può essere rappresentata con il simbolo di sommatoria, rappresentato dalla lettera greca Sigma maiuscola. In particolare, data una sequenza di numeri denotati con formula_4, la somma degli "n-m+1" compresi fra quello di posizione "m" e quello di posizione "n" può essere espressa con la scrittura
Il simbolo "+" è un'abbreviazione della parola latina "et", che significa "e". Il suo uso in opere a stampa è attestato sin dal 1486.
Una delle interpretazioni dell'addizione è quella della combinazione di insiemi: 
Questa interpretazione, facile da visualizzare, è anche alla base della definizione formale di addizione tra numeri cardinali.
Una seconda interpretazione dell'addizione è data dall'estensione di una lunghezza (intera) di partenza in termini di una lunghezza (intera) data: 
Questa interpretazione è alla base della definizione formale di addizione tra numeri ordinali.
L'addizione è un'operazione "commutativa", ovvero cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia: 
Ad esempio: formula_7
L'addizione è un'operazione "associativa", ovvero quando si sommano tre o più addendi, l'ordine delle operazioni non influisce sul risultato:
Ad esempio: formula_9
Aggiungere zero ad un numero qualunque lascia quel numero invariato; in altre parole, lo zero è l'elemento neutro dell'addizione. In formule,
Per eseguire velocemente un'addizione fra numeri naturali, si allineano in colonna gli addendi, partendo dalla cifra delle unità a destra. Dopodiché si sommano le cifre di ciascuna colonna, da destra verso sinistra, e nell'eventualità che il risultato della somma su di una colonna sia maggiore o pari a dieci, si "riportano" le decine in eccesso come ulteriore addendo sulla colonna immediatamente a sinistra a quella appena calcolata.
Ad esempio, nell'addizione 27 + 59,
7 + 9 = 16, e la cifra 1 è il riporto.
Il metodo discusso sopra può essere applicato per sommare due qualunque numeri naturali ad "n" cifre "A"=a...aa e "B"=b...bb (nel caso il numero di cifre di "A" e "B" sia diverso, è sufficiente aggiungere il numero appropriato di zeri in testa al numero con meno cifre). In pseudocodice, l'algoritmo è il seguente:
Seguendo un metodo simile a quello descritto sopra si possono sommare anche due frazioni decimali. Si allineano i due numeri decimali in modo tale che la virgola sia nella stessa posizione. Se necessario, si aggiungono degli zeri in coda al numero più corto perché abbia lo stesso numero di cifre di quello più lungo. Infine, si segue il procedimento visto sopra, con l'unica accortezza di aggiungere la virgola al risultato nella stessa posizione in cui compare nei due addendi. Ad esempio, 45,1 + 4,34 si svolge nel seguente modo:
Questa estensione del metodo fu divulgata da Simone Stevino.
Nella teoria dell'algebra astratta si può chiamare "addizione" una qualunque operazione associativa e commutativa definita su un insieme, che sia dotata di un elemento neutro. Una struttura algebrica che includa una simile operazione è detta "monoide commutativo".
Già gli antichi Egizi avevano un semplice metodo per sommare numeri naturali. Nella notazione geroglifica, i numeri venivano indicati ripetendo una quantità appropriata di simboli rappresentanti le unità, le decine, le centinaia, eccetera. Per ottenere la somma di due numeri, quindi, era sufficiente combinare le unità, poi le decine, poi le centinaia, e così via, con l'accortezza di rimpiazzare eventuali gruppi di dieci simboli identici con un simbolo del tipo successivo. 
Ad esempio, per sommare 783 e 275, si combina
Il metodo di addizione posizionale moderno era sicuramente già noto in India intorno all'anno 600 d.C., ma è assai plausibile che lo stesso genere di algoritmo fosse già utilizzato dai Babilonesi in Mesopotamia nel 1700 a.C., anche se in un sistema sessagesimale anziché decimale.
In Europa, l'algoritmo di addizione moderno fu introdotto nel XII secolo attraverso la traduzione degli scritti del matematico persiano al-Khwarizmi.
