
Il logaritmo naturale (o "logaritmo neperiano") è il logaritmo in base "e", dove formula_1 è uguale a formula_2 Il logaritmo naturale è definito per tutte le formula_3 reali e positive, ma anche per i numeri complessi diversi da zero.
Se la funzione esponenziale è stata definita usando una serie infinita, il logaritmo naturale può essere definito come la sua funzione inversa, intendendo che formula_4 è il numero per cui formula_5. Dal momento che il dominio della funzione esponenziale include tutti i numeri reali positivi e poiché la funzione esponenziale è strettamente crescente, questa è definita per tutte le formula_3 reali positive.
In alternativa è possibile definire il logaritmo come segue:
Questo definisce il logaritmo perché soddisfa la proprietà fondamentale dei logaritmi:
Questo può essere dimostrato definendo formula_8 e mediante la regola della sostituzione degli integrali, come segue:
Il numero formula_10 può essere definito come l'unico numero reale formula_11 tale che formula_12.
La funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione esponenziale, quindi si ha che:
In altre parole, la funzione logaritmo è la corrispondenza biunivoca dall'insieme di numeri reali positivi all'insieme di tutti i numeri reali. Nello specifico, è un isomorfismo da un gruppo di numeri reali positivi sotto moltiplicazione al gruppo dei numeri reali sotto addizione.
I logaritmi possono essere definiti per una qualsiasi base reale strettamente positiva e diversa da formula_22, non solo formula_1, inoltre possono essere utili nella risoluzione di equazioni in cui l'incognita appare all'esponente di una qualsiasi quantità.
La derivata della funzione logaritmo naturale è data da
La serie di Taylor centrata in formula_22 del logaritmo naturale è:
Utilizzando l'identità
e sostituendo formula_28 nella serie di Taylor dell'arcotangente iperbolica si ottiene
Applicando la trasformazione binomiale alla serie di Taylor si ottiene la seguente serie, valida per ogni formula_3 con valore assoluto maggiore di formula_22:
Si noti inoltre che formula_33 è la sua stessa funzione inversa, quindi per ottenere il logaritmo naturale di un certo numero formula_34 è sufficiente sostituire formula_35 al posto di formula_3.
Una serie esotica dovuta a Bill Gosper è la seguente:
L'integrale della funzione logaritmo naturale si risolve per parti:
Il logaritmo naturale è fondamentale per rapide integrazioni di funzioni della forma formula_39 che si traducono nella scrittura formula_40: l'integrale di una derivata fratto la sua funzione è uguale al logaritmo naturale del valore assoluto di quella funzione. Si tratta della diretta conseguenza della regola di derivazione per le funzioni composte, ossia:
Cioè
e
Con quest'ultima regola, è possibile calcolare gli integrali della tangente e della cotangente sfruttando le loro definizioni:
Da cui ponendo formula_46 si ha che formula_47 e quindi:
dove formula_50 è la costante reale arbitraria degli integrali indefiniti.
Prima della diffusione delle calcolatrici, la formula del cambio di base logaritmica era necessaria per il calcolo dei logaritmi neperiani, riportandoli su base formula_13. È ancora utile per ottenere l'ordine di grandezza di un numero neperiano (che è appunto una potenza di formula_13):
che diventa:
Alla fine delle tavole dei logaritmi, la tabella di trasformazione riportava i valori di:
e


La notazione scientifica (indicata anche come notazione esponenziale) è un modo conciso di esprimere numeri reali con molte cifre che altrimenti sarebbe poco conveniente rappresentare in notazione decimale. Per ottenere questo risultato si utilizzano potenze intere della base utilizzata per la notazione posizionale in uso. 
Utilizzando la notazione scientifica, per esempio, tutti i numeri in base dieci vengono rappresentati nella forma: 
"m" × 10 
("m" volte "dieci" elevato alla potenza di "n") dove l'esponente "n" è un numero intero e il coefficiente "m" è un qualsiasi numero reale. L'esponente "n" viene chiamato "ordine di grandezza" e il coefficiente "m" viene chiamato "mantissa". Il termine "mantissa" potrebbe tuttavia causare confusione, dal momento che è anche il nome della parte decimale di un logaritmo. 
La maggior parte delle calcolatrici e dei programmi per computer presentano i numeri molto grandi e molto piccoli usando la notazione scientifica. Il 10 è normalmente omesso e la lettera E è usata per indicare l'esponente: per esempio, 1,56234 E29. Da notare che questa E non ha relazioni con la costante matematica e.
In termini più generali possiamo dire che un numero "reale" formula_1 può essere rappresentato in una base formula_2 in questo modo: formula_3
Il "." è detto punto radice, mentre le prime cifre della mantissa (formula_4), sono dette cifre significative (o essenziali)
La notazione scientifica è molto utile per esprimere grandezze fisiche, dato che è possibile scrivere solo le cifre significative, rendendo leggibili testi che trattano quantità molto grandi o molto piccole in semplicità e chiarezza senza alterare il valore iniziale.
Qualsiasi numero intero può essere scritto nel formato "m" × 10 in molti modi: ad esempio, 350 può essere scritto come 3,5 × 10 o 35 × 10 o 350 × 10.
Nella notazione normalizzata, l'esponente "n" è scelto in modo che il valore assoluto di "m" rimanga almeno uno ma inferiore a dieci (1 ≤ |"m"| < 10). Quindi 350 è scritto come 3,5 × 10. Questa forma consente un facile confronto dei numeri, in quanto l'esponente "n" fornisce l'ordine di grandezza del numero. Nella notazione normalizzata, l'esponente "n" è negativo per un numero con valore assoluto compreso tra 0 e 1 (ad es. 0,5 è scritto come 5 × 10). Il 10 e l'esponente sono spesso omessi quando l'esponente è 0.
La forma scientifica normalizzata è la tipica forma di espressione di grandi numeri in molti campi, a meno che non si desideri una forma non normalizzata, come la notazione ingegneristica. La notazione scientifica normalizzata viene spesso chiamata notazione esponenziale, anche se quest'ultimo è più generale e si applica anche quando "m" non è limitato all'intervallo da 1 a 10 (come nella notazione di ingegneria per esempio) e a basi diverse da 10 (come in 3,15 × 2).
La notazione ingegneristica (spesso indicata come modalità di visualizzazione "ENG" sui calcolatori scientifici) differisce dalla notazione scientifica normalizzata in quanto l'esponente "n" è limitato a multipli di 3. Di conseguenza, il valore assoluto di "m" è compreso nell'intervallo 1 ≤ |"m"| < 1000, anziché 1 ≤ |"m"| < 10. Sebbene simile nel concetto, notazione ingegneristica è raramente chiamata notazione scientifica. La notazione ingegneristica consente ai numeri di corrispondere esplicitamente ai prefissi SI corrispondenti, il che facilita la lettura e la comunicazione orale. Ad esempio, 12,5 × 10 m possono essere letti come "dodici virgola cinque nanometri" e scritti come 12,5 nm, mentre la sua notazione scientifica equivalente a 1,25 × 10 m verrebbe probabilmente letta come "uno virgola venticinque per dieci alla meno otto metri".
Una cifra significativa è una cifra in un numero che contribuisce a migliorarne la precisione. Sono definiti significativi tutti i numeri diversi da zero, gli zeri posizionati in mezzo a cifre significative e gli zeri esplicitamente indicati come significativi. Gli zeri all'inizio ed alla fine di un numero non sono significativi perché servono unicamente a definirne l'ordine di grandezza. Quindi, 1 230 400 normalmente presenta cinque cifre significative: 1, 2, 3, 0, e 4; gli ultimi due zeri non contribuiscono ad aumentare la precisione del valore.
Quando un numero viene convertito in notazione normalizzata in base dieci, la mantissa mantiene tutte le cifre significative, mentre gli zeri all'inizio e alla fine del numero vengono scartati. Dunque 1 230 400 diventa 1,2304 × 10. Di conseguenza questa notazione rende il numero di cifre significative facilmente identificabile.
