
In matematica, una divisione per zero è una divisione della forma formula_1. Il risultato non esiste (cioè l'espressione non ha significato) in aritmetica e in algebra.
È piuttosto diffusa l'errata opinione per cui il valore di formula_1 sarebbe formula_3 (infinito). Questa affermazione fa riferimento, in modo non del tutto corretto, a un'interpretazione della divisione in termini della teoria dei limiti dell'analisi matematica.
Un primissimo riferimento registrato dell'impossibilità di assegnare un risultato alla divisione per zero si ha nella critica al calcolo infinitesimale contenuta in "The Analyst" di George Berkeley.
Esistono comunque particolari strutture matematiche all'interno delle quali la divisione per zero potrebbe essere definita in modo consistente (per esempio, la sfera di Riemann).
In informatica, e in particolare nell'implementazione elettronica dell'aritmetica nelle ALU dei processori, una divisione per zero causa un'eccezione (o "trap") hardware e di conseguenza (in genere) la terminazione del programma che ha tentato l'operazione. Nei linguaggi interpretati come Java, un tentativo di eseguire una divisione per zero viene generalmente intercettato dall'interprete, che segnala l'anomalia (per esempio attraverso una eccezione) senza tentare di eseguire l'operazione. In JavaScript, al contrario, il risultato è Infinity.
Il "brahmasphutasiddhanta" di Brahmagupta è il più antico testo conosciuto che tratta lo zero come un numero vero e proprio e che cerca di definire le operazioni che lo riguardano. L'autore tuttavia dà alla divisione per zero un significato che noi considereremmo scorretto; secondo Brahmagupta, infatti:
Nell'830, Mahavira tentò senza successo di correggere l'errore di Brahmagupta nel suo libro "Ganita Sara Samgraha":
Bhaskara II tentò di risolvere il problema definendo formula_4. Questa definizione non è priva di senso, ma può portare a paradossi se non viene trattata con attenzione. È difficile che Bhaskara II abbia compreso tutti i problemi connessi, quindi la sua soluzione non viene considerata corretta.
È generalmente stabilito fra i matematici che un modo naturale per interpretare la divisione per zero è prima definire la divisione in termini di altre operazioni aritmetiche. Stando alle normali regole per l'aritmetica su interi, numeri razionali, numeri reali e numeri complessi, il valore di una divisione per zero è "indefinito", così come in un qualunque campo. Il motivo è che la divisione è definita in modo da essere l'operazione inversa della moltiplicazione. Questo significa che il valore di formula_5 è la soluzione formula_6 dell'equazione
qualora un tale valore esista e sia unico. In caso contrario l'espressione formula_5 è indefinita. Per formula_9, l'equazione formula_10 può essere riscritta come formula_11 o semplicemente formula_12. Quindi, in questo caso, l'equazione formula_10 ha "nessuna soluzione" se formula_14 è diverso da formula_15, e ne ha "infinite" se formula_16 è uguale a formula_15. In entrambi i casi, formula_5 è indefinito. Al contrario, negli insiemi numerici menzionati sopra, l'espressione formula_5 è "sempre" definita se formula_20 non è uguale a zero.
È possibile nascondere una divisione per zero in una dimostrazione algebrica, portando ad un sofisma algebrico simile a come segue:
La fallacia è nell'assumere che la divisione per formula_24, dunque per zero, sia definita. In pratica, la divisione per un termine in una qualunque dimostrazione algebrica richiede o una esplicita assunzione che il termine non sia mai zero o una separata giustificazione che mostri che tale termine non possa mai essere zero.
Simili proposizioni sono vere in strutture algebriche più generali, come in un anello o in un campo. In un campo, ogni elemento non zero è invertibile sotto la moltiplicazione, così, come sopra, la divisione pone problemi solo durante la divisione per zero. In altri anelli, però, anche la divisione per elementi non zero può porre problemi. Consideriamo, per esempio, l'anello formula_30 degli interi modulo 6. Quale significato dobbiamo dare all'espressione formula_31.
Questa dovrebbe essere la soluzione formula_6 dell'equazione
Ma l'equazione ha due distinte soluzioni, e per cui l'espressione è indefinita. Il problema sorge poiché 2 non è invertibile rispetto alla moltiplicazione.
Ad un primo acchito, potrebbe sembrare possibile definire formula_34 considerando il limite di formula_5 con formula_36 che tende a formula_15.
Con formula_36 che tende a formula_15 da destra (positivo), per ogni formula_14 maggiore di zero (positivo), è noto che:
invece per ogni formula_14 minore di zero (negativo),
Studiando invece il limite con formula_36 che tende a formula_15 da sinistra (negativo), per formula_14 positivo
e per formula_14 negativo
Tuttavia usando l'equazione
si giunge al risultato errato formula_51 (che è scaturito dal non considerare la diversità del limite destro e sinistro in formula_15). Si potrebbe anche condurre uno studio considerando un "infinito senza segno", ma la definizione che ne risulterebbe non sarebbe utile in questo contesto poiché non sarebbe compatibile con la struttura dei numeri reali di campo ordinato.
L'equazione
ancora non possiede soluzione per ogni formula_14 finito. Inoltre, non vi è nessuna definizione ovvia di formula_55 che possa essere derivata considerando il limite di una divisione. Il limite
non esiste. Limiti nella forma
nei quali sia formula_58 e formula_59 tendono a formula_15 quando formula_6 tende a formula_15, possono convergere a qualunque valore o non convergere affatto. Vedere la regola di De L'Hôpital per discussioni ed esempi sui limiti di rapporti.
Nella teoria delle distribuzioni si può estendere la funzione formula_63 ad una distribuzione sullo spazio intero dei numeri reali (utilizzando il valore principale di Cauchy). Non ha comunque senso chiedere il 'valore' di questa distribuzione con formula_64; una risposta sofisticata si appoggia al supporto singolare della distribuzione.
Anche se la divisione per zero è indefinita coi numeri reali e gli interi è possibile definirla consistentemente in altre strutture matematiche, per esempio sulla sfera di Riemann (vedere anche i poli in analisi complessa). Nei numeri iperreali e nei numeri surreali la divisione per infinitesimi è possibile. Se un sistema numerico forma un anello commutativo, come gli interi, i numeri reali e i numeri complessi, per esempio, può essere esteso ad una ruota nella quale la divisione per zero è sempre possibile, anche se la divisione ha un significato leggermente diverso.
Nello standard IEEE 754 per la virgola mobile, supportato da praticamente tutti i moderni processori, viene specificato che ogni operazione aritmetica in virgola mobile, compresa la divisione per zero, ha un risultato ben definito. Nell'aritmetica IEEE 754, formula_34 è infinito positivo quando formula_14 è positivo, infinito negativo quando formula_14 è negativo, e NaN ("not a number") quando formula_68. Queste definizioni derivano dalle proprietà dei limiti di rapporti, come discusso sopra.
La divisione intera per zero è generalmente gestita differentemente poiché non vi è una rappresentazione intera per il risultato. La maggior parte dei processori genera una eccezione quando viene tentata la divisione intera per zero. Il risultato è tipicamente la terminazione del programma anche se in alcuni casi (specialmente quelli che impiegano l'aritmetica a virgola fissa nel caso in cui non sia disponibile hardware dedicato per la virgola mobile) viene impiegato un comportamento simile allo standard IEEE, utilizzando grandi numeri positivi e negativi per approssimare gli infiniti.


In matematica, un numero è un modo di esprimere una quantità, oppure la posizione in un elenco di elementi, oppure il rapporto tra grandezze dello stesso tipo. Il concetto di numero nasce per la necessità del conteggio, come astrazione del concetto di quantità, realizzato attraverso una corrispondenza biunivoca tra elementi di due insiemi distinti.
Si definisce operazione numerica una procedura che, a partire da uno o più numeri, genera un altro numero. Le operazioni numeriche fondamentali (dette anche "operazioni aritmetiche") sono: l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione. Lo studio delle proprietà di queste operazioni è parte dell'algebra elementare.
Un insieme di numeri è frequentemente espresso attraverso il concetto di campo.
Un numero che esprime la dimensione di un insieme di elementi, così come un numero che identifica la posizione in una successione di oggetti, è detto numero naturale. La necessità di esprimere una grandezza in relazione ad un'altra grandezza ha reso necessaria l'introduzione di altre classi di numeri, come i numeri razionali ed i numeri reali. L'esigenza di rappresentare il numero ottenuto attraverso un'operazione matematica, infine, ha giustificato l'utilizzo di ulteriori classi di numeri come, ad esempio, i numeri algebrici.
Durante la storia della matematica sono stati definiti diversi insiemi numerici. Tra questi i numeri naturali, che sono:
I numeri naturali (il cui insieme è indicato per convenzione con il simbolo formula_1) sono usati per contare e per ordinare. La presenza dello zero fra i numeri naturali dipende dalla convenzione scelta. Lo zero è previsto dagli assiomi di Peano.
L'insieme dei numeri naturali costituisce una successione ordinata. Ogni numero è descritto tramite una o più cifre.
Se a partire dall'insieme dei numeri naturali si introduce il segno (e lo zero se non incluso), distinguendo tra "numeri positivi" e "numeri negativi", si ottengono i numeri interi relativi (o semplicemente "interi"), il cui insieme è indicato per convenzione con il simbolo formula_4. I numeri interi relativi sono:
Se a partire dai numeri interi si costruiscono numeri dati dal rapporto tra di loro, si ottengono i numeri razionali, i quali sono quindi esprimibili tramite una frazione ("ratio" in latino, da cui il nome di numeri "razionali"). Ad esempio:
L'insieme di tutti i numeri razionali è per convenzione indicato col simbolo formula_7.
I numeri algebrici sono numeri ottenibili come radici di equazioni algebriche a coefficienti interi. I numeri razionali sono algebrici. Il viceversa non è in generale vero: ad esempio:
sono numeri algebrici che non possono essere descritti tramite una frazione, non sono razionali.
Un numero non algebrico è detto "trascendente". Ad esempio, formula_11 (pi greco) ed formula_12 sono trascendenti: non è possibile ottenere formula_13 come radice di un'equazione polinomiale a coefficienti interi.
L'insieme dei numeri reali comprende i numeri esprimibili, con o senza la virgola, tramite il sistema numerico decimale. I numeri reali comprendono i numeri elencati precedentemente. In particolare i numeri reali si dividono in razionali e irrazionali, oppure in algebrici e trascendenti.
L'insieme dei numeri reali è simboleggiato per convenzione con formula_14.
L'insieme dei numeri reali non fornisce tutte le soluzioni delle equazioni algebriche. Per esempio, l'equazione:
non ha soluzioni nel campo dei numeri reali, perché il quadrato di un numero reale è sempre positivo o nullo. Per risolvere questo problema, è stata introdotta l'unità immaginaria formula_18 . Essa è così definita:
Tale numero non appartiene all'insieme dei numeri reali, esso appartiene all'insieme dei numeri complessi. In generale, un numero complesso è un'espressione del tipo:
dove formula_21 è l'unità immaginaria e formula_22 sono numeri reali. L'insieme dei numeri complessi è indicato per convenzione con il simbolo formula_16.
Gli insiemi numerici sono ciascuno sottoinsieme dell'altro, secondo quest'ordine (dove il simbolo formula_24 indica l'inclusione stretta):
Per particolari scopi, formula_16, può essere ulteriormente esteso, al prezzo, però, di perdere alcune proprietà e, di conseguenza, subire un declassamento come struttura algebrica.
I numeri complessi sono stati estesi e hanno dato luogo ai quaternioni. L'operazione di moltiplicazione dei quaternioni non gode della proprietà commutativa.
Gli ottonioni estendono i quaternioni. Questa volta si perde la proprietà associativa. Gli unici sistemi associativi con dimensione finita, oltre ai complessi, sono i quaternioni.
Estendendo gli ottonioni si ottengono i sedenioni, che perdono la proprietà dell'algebra alternativa, ma mantengono comunque la proprietà associativa della potenza.
I numeri vanno distinti per il tramite dei nomi, dato che i numeri sono dei concetti e anche se i nomi utilizzati nelle varie lingue variano i concetti rimangono gli stessi. La notazione di numero come serie di cifre è definita dai sistemi di numerazione. I popoli spesso associano a dei numeri utilizzati di frequente dei nomi particolari, oltre a quelli che vengono assegnati dal sistema di numerazione, spesso questi nomi sono utilizzati in contesti specifici, un classico esempio è la dozzina.
Gli ultimi sviluppi della teoria dei numeri hanno condotto ai numeri iperreali ed ai numeri surreali, che estendono i numeri reali dai numeri infinitesimi ai numeri infinitamente grandi attraverso degli inserimenti. Mentre i numeri reali sono infinitamente prolungabili alla destra del punto decimale, si può anche provare a espandere i numeri a sinistra in modo infinito, ciò conduce ai numeri p-adici. Per gestire insiemi infiniti, i numeri naturali sono stati generalizzati nei numeri ordinali e nei numeri cardinali. Il primo insieme viene utilizzato per definire l'ordine di inserimento degli insieme il secondo definisce il formato di inserimento. Nel caso di insiemi finiti si equivalgono.
Le operazioni aritmetiche sui numeri sono addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Queste operazioni sono state generalizzate in una branca dell'algebra chiamata algebra astratta. Essa contiene i concetti di gruppo, anello e campo.
In molte culture la rappresentazione grafica dei numeri è assai simile. I numeri "uno", "due" e "tre" degli antichi romani erano espressi come I, II, III (numeri romani). I cinesi usavano una notazione analoga, con le cifre in orizzontale, o in verticale, ma al contrario dei romani utilizzavano un sistema posizionale, simile al nostro attuale, con le cifre da 0 a 9. I numeri, detti "tsu" o "hêng", cambiavano orientamento a seconda della posizione: | = | era 121, - || - ◦ era 1210. Gli tsu erano verticali, gli hêng orizzontali, i numeri sopra al cinque avevano una bacchetta disposta perpendicolarmente alle altre. Il sistema era impiegato con le "bacchette da calcolo", che i cinesi manovravano a velocità tali da stupire i primi missionari nestoriani.
Tuttavia, non c'era un segno univoco per definire il quattro tra i romani, mentre per i cinesi era ||||. I romani usavano una notazione a sottrazione: esprimevano il quattro con una V preceduta da una I. La V indicava il numero cinque, il simbolo I anteposto indicava che andava sottratto (cinque meno uno = quattro). Nell'assegnare un simbolo particolare al cinque c'era un motivo antropomorfico - la mano ha cinque dita - ma vi era anche una motivazione che coinvolge il cervello umano. Gli psicologi hanno dimostrato che il nostro cervello ha difficoltà a distinguere più di cinque simboli simili vicini: si provi a dire se è più grande ||||||||| o ||||||||||; più semplice se sono scritti come IX e X.
Il sistema adottato in Europa è il sistema di numerazione decimale, detto anche numerazione araba. In realtà proviene dall'India, e molto probabilmente deriva dai numeri corsivi egiziani, i numeri copti. La cifra 1 è molto simile al simbolo romano, 2 e 3 sono varianti dello stesso simbolo che consentono di scrivere i numeri senza alzare la penna e quindi consentono una scrittura rapida, ma conservano l'idea della linea doppia o tripla orizzontale. Col simbolo 4 la corrispondenza si perde.
