
In analisi complessa, il piano complesso (chiamato anche piano di Argand-Gauss) è un modo per visualizzare lo spazio dei numeri complessi. Può essere pensato come un piano cartesiano modificato, con la parte reale rappresentata sull'asse formula_1 e la parte immaginaria rappresentata sull'asse formula_2. L'asse formula_1 è chiamato anche l'asse reale e l'asse formula_2 asse immaginario.
Il piano complesso è a volte chiamato piano di Argand per il suo uso nei diagrammi di Argand. La sua creazione è generalmente attribuita a Jean-Robert Argand, in parallelo con Gauss, per cui viene da alcuni anche definito "Piano di Gauss". Per non sminuire uno o l'altro matematico viene anche definito Piano di Argand-Gauss anche se fu descritto per la prima volta nel 1799 dal matematico norvegese-danese Caspar Wessel.
Il concetto del piano complesso consente una interpretazione geometrica dei numeri complessi. Sotto addizione, i numeri complessi si sommano come vettori, mentre la moltiplicazione di numeri complessi può essere geometricamente espressa usando le coordinate polari, dove il modulo del prodotto è il prodotto dei moduli dei fattori e l'argomento del prodotto (angolo dall'asse reale) è la somma degli angoli dei fattori.
I diagrammi di Argand sono frequentemente usati per graficare la posizione dei poli o di zeri di una funzione nel piano complesso.
Un numero complesso può essere separato in parte reale e immaginaria:
dove formula_1 e formula_2 sono numeri reali, e formula_8 è l'unità immaginaria. I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti della retta reale euclidea. In questa notazione, il numero complesso formula_9 corrisponde al punto formula_10 del piano cartesiano. L'ascissa è data da formula_11 (la parte reale, l'asse delle formula_1) e da formula_13 (la parte immaginaria, l'asse delle ordinate).
Nel piano cartesiano, il punto formula_10 può anche essere rappresentato in coordinate polari come:
dove il "modulo" formula_16 e la "fase" formula_17 sono ricavate (per formula_18) dalle formule
Per il calcolo della fase si può usare la funzione arcotangente2.


Il piano è un concetto primitivo della geometria, ovvero un concetto per il quale non esiste una definizione formale e che si suppone intuitivamente comprensibile e/o esperianzialmente acquisito, pertanto un'idea universalmente accettata ed unica rappresentabile con oggetti concreti che fungono da esempio ma che per la loro sussistenza stessa non risolvono pienamente il concetto (gli altri concetti primitivi della geometria sono il punto e la retta). Nel caso del piano per rappresentarlo idealmente si pensi ad un foglio di carta di dimensioni infinite: il piano è l'idea, il concetto astratto, ma non è il foglio di carta sia perché questo ha uno spessore ed un piano ideale non ne ha e sia perché non è possibile produrre o ritrovare un foglio di carta di dimensioni infinite.
In definitiva, esso:
Le relazioni che intercorrono tra un piano e i punti e le rette che esso contiene sono espresse dagli assiomi di Euclide e dagli assiomi di Hilbert.
L'equazione canonica del piano nello spazio tridimensionale formula_1 è del tipo: 
con formula_3 e formula_4 non tutti nulli.
Siano formula_5 tre punti dello spazio non allineati. Per questi tre punti passa uno ed un solo piano formula_6.
Un punto formula_7 appartiene al piano formula_6 solo se il vettore formula_9 è combinazione lineare dei vettori formula_10 e formula_11, ovvero se
Sviluppando il determinante con la regola di Laplace rispetto alla prima riga si ottiene:
Dove
Infine, per ottenere l'equazione canonica del piano, si definisce formula_15 come segue:
Dove formula_17 è un punto che appartiene al piano, pertanto in questo caso si possono utilizzare le coordinate di un punto qualsiasi fra formula_18, formula_19 e formula_20.
Si può studiare la posizione reciproca di due piani mettendo a sistema le loro equazioni. Quando la matrice dei coefficienti ha Rango due il sistema è compatibile e risulta ammettere una semplice infinità (formula_21) soluzioni, che rappresentano tutti i punti della retta di intersezione tra i due piani.
Quando la matrice dei coefficienti ha rango 1, le soluzioni ammesse sono una doppia infinità (formula_22), e i piani risultano essere paralleli e coincidenti (Parallelismo Improprio).
Se infine la matrice dei coefficienti ha rango 0, il sistema risulta essere incompatibile, e i piani sono paralleli e distinti (Parallelismo Proprio).
È possibile calcolare la distanza di un punto formula_23 da un piano formula_6 utilizzando la seguente formula:
In particolare, se formula_26, allora il punto formula_27 appartiene al piano formula_6.
