
In matematica, una circonferenza unitaria è una circonferenza di raggio unitario, cioè una circonferenza il cui raggio è formula_1. Frequentemente, specialmente in trigonometria, la circonferenza unitaria è centrata nell'origine formula_2 in un sistema di coordinate cartesiane nel piano euclideo.
La circonferenza unitaria è spesso indicata con formula_3; la generalizzazione a più dimensioni è la sfera unitaria.
Se formula_4 è un punto della circonferenza unitaria del primo quadrante, allora formula_5 e formula_6 sono le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo la cui ipotenusa ha lunghezza 1. Quindi, per il teorema di Pitagora, formula_5 e formula_6 soddisfano l'equazione
Poiché formula_10 per ogni formula_5, e poiché la riflessione di ogni punto della circonferenza unitaria sull'asse formula_5 (o formula_6) appartiene ancora alla circonferenza unitaria, l'equazione precedente vale per ogni punto formula_4 della circonferenza unitaria, non solo nel primo quadrante.
Si può anche usare la nozione di "distanza" per definire altre "circonferenze unitarie".
Ovvero le si può definire come il luogo dei punti che hanno distanza unitaria (modulo uguale a formula_1) dall'origine. In coordinate polari l'equazione sarà
Vedere la voce sugli spazi normati per alcuni esempi.
Il cerchio unitario è il luogo dei punti del piano aventi una distanza minore o uguale all'unità da un punto detto centro del cerchio. In altri termini il cerchio unitario comprende la circonferenza unitaria e la parte di piano racchiusa dalla circonferenza stessa. Esso è indicato dalle disequazioni:
Le funzioni trigonometriche coseno e seno possono essere definite sulla circonferenza unitaria come segue. Se formula_4 è un punto della circonferenza unitaria, e se il raggio dall'origine formula_2 a formula_4 forma un angolo formula_22 con l'asse formula_5 positivo, (l'angolo misurato nel verso antiorario), allora
Per definizione delle funzioni seno e coseno, l'equazione formula_26 fornisce la relazione
che è vera per ogni formula_22 reale.
formula_22 è definito come un angolo orientato, che cioè assume un segno positivo in un verso e negativo nell'altro, a seconda della convenzione oraria o antioraria adottata. Solitamente si adotta la convenzione antioraria, e si suppone che l'angolo sia positivo spostandosi dall'asse delle ascisse in senso antiorario. Una circonferenza con tale angolo orientato è detta circonferenza goniometrica.
La circonferenza trigonometrica è una circonferenza goniometrica di raggio unitario (ossia goniometrica e unitaria). Essa è detta trigonometrica perché per definire seno, coseno, e da essi tutte le altre funzioni trigonometriche, servono un angolo orientato e un raggio unitario. Gli altri elementi presenti nei disegni sono una costruzione di geometria euclidea.
La circonferenza unitaria fornisce un modo intuitivo per visualizzare il seno e il coseno come funzioni periodiche, con le identità
Queste identità discendono dal fatto che le coordinate formula_5 e formula_6 di un punto sulla circonferenza unitaria rimangono le stesse incrementando o decrementando l'angolo formula_22 di un numero qualsiasi di giri (1 giro = 2π radianti).
Quando si lavora con triangoli rettangoli, seni, coseni, e altre funzioni trigonometriche ha senso parlare di misura di angoli maggiore di zero e minore di π/2. Tuttavia, usando la circonferenza unitaria, queste funzioni hanno un significato intuitivo per ogni misura di angolo reale.
In effetti, non solo seno e coseno, ma tutte le sei funzioni trigonometriche standard — seno, coseno, tangente, cotangente, secante, e cosecante, come anche le funzioni arcaiche come senoverso e exsecante — possono essere definite geometricamente in termini della circonferenza unitaria.
Prendendo in considerazione solo la parte della circonferenza descritta dall'equazione formula_36 che la rappresenta nel 1° e nel 2º secondo quadrante, l'area di questa si calcolerà
con un integrale formula_37. Allo stesso modo prendendo in considerazione la parte formula_38,che descrive la circonferenza nel 3° e nel 4° quadrante, l'integrale che ne definisce l'area sarà formula_39. Si può dire pertanto che l'area della circonferenza unitaria ha come valore formula_40, visto che si può considerare come la somma dei due integrali
formula_41.
Si può inoltre dimostrare la veridicità di questa formula attraverso l'utilizzo della formula per calcolare l'area è formula_42.
Sapendo che formula_43 otteniamo che formula_44 C.V.D.
Ogni numero complesso può essere identificato con un punto del piano euclideo, chiamando il numero complesso formula_45 esso è identificato con il punto formula_46. Con questa relazione la circonferenza unitaria è un gruppo sotto la moltiplicazione, chiamato anche gruppo circolare. Questo gruppo ha importanti applicazioni in matematica e nelle scienze.


In matematica, una curva è un oggetto "unidimensionale" e "continuo", come ad esempio la circonferenza e la retta. Una curva può giacere su un piano, nello spazio euclideo, o in uno spazio topologico più generale.
Una "curva" può essere pensata intuitivamente come la traiettoria descritta da un oggetto puntiforme che si muove con continuità in qualche spazio.Per definire la curva si fa ricorso alle nozioni di funzione continua e funzione differenziabile.
In topologia, una curva è una funzione vettoriale continua
dove formula_2 è un intervallo della retta reale e formula_3 è un qualsiasi spazio topologico.
Ad esempio, formula_3 può essere il piano cartesiano formula_5, lo spazio euclideo formula_6 o un generico spazio formula_7. L'intervallo formula_2 può essere ad esempio un intervallo chiuso formula_9, un intervallo aperto formula_10, una semiretta formula_11, ecc.
L'immagine di una curva formula_12 viene anche chiamata "sostegno", o "supporto", della curva. Spesso, con un abuso di linguaggio, per "curva" si intende il sostegno e non la funzione. In topologia, quando l'intervallo di partenza formula_2 è quello unitario formula_14 si parla di "cammino" o "arco".
Ad esempio, una circonferenza è il sostegno della curva
Una curva formula_16 che coincide sui suoi estremi, cioè tale che formula_17, è una "curva chiusa" o un "laccio".
Una curva formula_16 si dice "semplice" se è tale che presi due punti distinti formula_19, di cui almeno uno appartenente all'intervallo formula_10, risulta formula_21. In altre parole la funzione formula_22 è quasi iniettiva e la curva non ha autointersezioni con un'unica eccezione ammessa: formula_23
Una curva piana chiusa e semplice è anche detta curva di Jordan, quindi una circonferenza è una curva di Jordan.
Una curva piana è una curva a valori nel piano cartesiano formula_5. 
Se formula_26 è un omeomorfismo crescente dell'intervallo, ad esempio una funzione derivabile e biettiva con derivata positiva, allora formula_27 ottenuta componendo formula_28 e formula_22 è un'altra curva avente lo stesso sostegno di formula_22. Si dice che formula_31 è un'altra "parametrizzazione" della curva formula_22.
Una curva topologica, per quanto sembri rispondere all'esigenza di rappresentare oggetti "filiformi" e "senza spessore" che localmente sembrano una retta incurvata, può essere molto bizzarra se non si fissano delle condizioni aggiuntive. Ad esempio nel 1890 il matematico Giuseppe Peano scoprì una curva, nota ora come curva di Peano, avente come sostegno un quadrato. La curva di Koch è invece un frattale con dimensione di Hausdorff compresa tra uno e due, un oggetto dimensionalmente intermedio tra la retta e il piano.
Una condizione aggiuntiva che garantisce l'aspetto "filiforme" del sostegno è la differenziabilità: se formula_3 è il piano o un altro spazio euclideo, è possibile chiedere che formula_22 sia differenziabile in ogni punto e in questo caso si parla di "curva differenziabile" o "regolare". In una curva differenziabile, per ogni formula_35 è definita una tangente alla curva in formula_36: la tangente è il vettore delle derivate di formula_22.
Se si immagina di percorrere la curva nel tempo, la lunghezza del vettore tangente è la "velocità" della curva nel punto. La velocità può cambiare tramite riparametrizzazione della curva: data una curva, c'è sempre un'unica parametrizzazione tale che la velocità sia costantemente uno e questa parametro è la lunghezza d'arco.
In molti contesti è utile parlare di curve "lisce" che . Per questo scopo si definisce una "curva regolare a tratti" come una curva il cui dominio formula_2 è unione di intervalli successivi, su ciascuno dei quali la curva è regolare. Formalmente, si chiede che esista una partizione di un intervallo formula_39 in alcuni intervalli formula_40 tali che la restrizione della curva su ciascun formula_41 sia regolare.
Due modi utilizzati per rappresentare una curva in tre dimensioni sono la forma cartesiana e la forma parametrica.
È possibile rappresentare una curva tridimensionale in forma implicita identificando il suo supporto con il luogo di zeri di un campo vettoriale formula_42, ovvero i punti di coordinate formula_43 che verificano il sistema:
dove formula_22 e formula_31 sono funzioni di classe almeno formula_47 a valori reali. Questa rappresentazione può essere pensata come curva intersezione di due superfici in forma implicita.
Condizione sufficiente per la regolarità locale di una curva così rappresentata nell'intorno di un suo punto formula_48 è che la jacobiana:
abbia rango massimo
Una curva in forma parametrica è una funzione vettoriale di una sola variabile formula_50 del tipo:
Si può scrivere anche:
La variabile formula_35 si chiama "parametro". Una curva è una funzione di classe formula_54 in un intervallo se le funzioni formula_55, formula_56 e formula_57 hanno derivate continue in questo intervallo. Una curva formula_54 si dice "regolare" in un punto formula_59 se:
e regolare in formula_2 se ciò vale in ogni punto di formula_62. Un punto in cui si abbia formula_63 si dice "punto singolare" per la curva.
Se formula_64 è uno spazio metrico (ad esempio, il piano o uno spazio euclideo) si può usare la metrica stessa per definire la lunghezza di una curva. Sia data una curva formula_65 e una partizione dell'intervallo formula_9 cioè un insieme finito di punti formula_67 tale che:
Allora si può definire la poligonale, cioè una curva che è l'unione dei segmenti aventi vertici l'immagine degli elementi della partizione tramite formula_69. In pratica la poligonale è una curva spezzata i cui vertici appartengono alla curva originale. Più i vertici della poligonale sono numerosi e più la sua lunghezza approssimerà quella della curva.
Si può definire la "lunghezza" della curva formula_22 come estremo superiore della lunghezza della poligonale al variare della partizione formula_71:
Se questo valore non è infinito, la curva si dice "rettificabile". Le curve di Peano e di Koch non sono rettificabili.
La lunghezza di una curva non dipende dalla sua parametrizzazione, cioè non varia se si considerano "parametrizzazioni equivalenti".
Una curva derivabile è rettificabile: per ogni punto formula_73 dell'intervallo è definita una velocità, e si può dimostrare che la lunghezza definita come sopra è uguale all'integrale di questa velocità su formula_74
usando la nozione di integrale di linea si può scrivere anche:
