
In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la moltiplicazione di matrici è il prodotto righe per colonne tra due matrici, possibile sotto certe condizioni, che dà luogo ad un'altra matrice. Se una matrice rappresenta una applicazione lineare, il prodotto fra matrici è la traduzione della composizione di due applicazioni lineari. Quindi se due matrici 2 x 2 rappresentano ad esempio due rotazioni nel piano di angoli α e β, il loro prodotto è definito in modo tale da rappresentare una rotazione di angolo α + β.
Sia formula_1 un anello. Siano date una matrice formula_2 di dimensione formula_3 ed una seconda matrice formula_4 di dimensioni formula_5 a valori in formula_1. Siano formula_7 gli elementi di formula_2 e formula_9 gli elementi di formula_4. Si definisce il prodotto matriciale di formula_2 per formula_4 la matrice formula_13 a valori in formula_1 e di dimensioni formula_15 i cui elementi formula_16 sono dati da:
per ogni valore di riga "i" e di colonna "j".
Due matrici possono essere moltiplicate fra loro solo se il numero di colonne della prima è uguale al numero di righe della seconda, ed il prodotto tra due matrici non è commutativo.
Una matrice può essere moltiplicata con se stessa solo se è quadrata. In questo caso, il prodotto formula_18 si denota con formula_19. Più in generale, la potenza formula_20-esima di una matrice è:
dove formula_20 è un numero naturale, anche se spesso per esponenti molto maggiori dell'ordine della matrice è più semplice calcolarle servendosi della teoria della funzione di matrice, che permette inoltre di generalizzare la definizione di potenza fino ad ammettere un esponente non solo complesso, ma addirittura arbitrario.
Un'altra definizione informale della moltiplicazione matriciale, atta a permetterne una più rapida e immediata memorizzazione, è "moltiplicazione riga per colonna", infatti, per ottenere l'elemento della i-esima riga e j-esima colonna della matrice prodotto basta porre un indice sulla riga i della prima matrice, l'altro sulla colonna j della seconda e moltiplicare gli elementi indicati, quindi scorrere di un posto con le dita e moltiplicare, fino a raggiungere la fine della colonna e della riga, infine sommare i vari prodotti ottenuti.
Una matrice con una sola riga, cioè di dimensione formula_63, è un vettore riga. Analogamente, una matrice con una sola colonna, cioè di dimensione formula_64 è un vettore colonna. Nell'operazione di moltiplicazione questi due oggetti si comportano in modo differente. 
Siano formula_65 una matrice formula_3 e formula_67 un vettore colonna formula_68.
Il prodotto di formula_2 per il vettore formula_70 è il prodotto di matrici:
Le componenti di formula_72 sono:
Un algoritmo per la moltiplicazione matrice per vettore è:
Questo prodotto è ampiamente usato in algebra lineare perché descrive una applicazione lineare. Ad esempio, il prodotto:
rappresenta una rotazione di angolo formula_75 nel piano cartesiano.
In alcuni casi può essere utile effettuare il prodotto formula_76: il risultato è un altro vettore riga.
La moltiplicazione di una matrice formula_77 per uno scalare formula_78, cioè un elemento dell'anello cui appartengono gli formula_79, è ottenuta moltiplicando ogni elemento di formula_80 per lo scalare:
Se l'anello di partenza non è commutativo, questa viene indicata come "moltiplicazione sinistra", e può differire dalla "moltiplicazione destra":
Se l'anello di partenza non è commutativo, ad esempio se è l'anello dei quaternioni, le due moltiplicazioni non sono equivalenti. Ad esempio:
Sono stati definiti nel tempo altri tipi di prodotto tra matrici, meno fortunati in quanto a utilizzo dell'usuale prodotto righe per colonne. In particolare si può nominare il "prodotto di Hadamard" o "prodotto puntuale", in cui il prodotto di formula_86 e formula_87 è dato da formula_88. Ad esempio:
Un'altra costruzione è data dal prodotto di Kronecker, che trova applicazioni nel calcolo tensoriale, dato da:
espressa sotto forma di matrice a blocchi, in cui ogni blocco formula_91-esimo è dato dalla matrice formula_4 moltiplicata per lo scalare formula_7.


In matematica, un campo vettoriale su uno spazio euclideo è una costruzione del calcolo vettoriale che associa a ogni punto di una regione di uno spazio euclideo un vettore dello spazio stesso. 
Un campo vettoriale tangente su una varietà differenziabile è una funzione che associa ad ogni punto della varietà un vettore dello spazio tangente in quel punto alla varietà.
Il teorema di Helmholtz è fondamentale per questi oggetti, in quanto afferma che la conoscenza della divergenza e del rotore sono necessari e sufficienti alla conoscenza del campo stesso.
Un campo vettoriale sul piano si può rappresentare visivamente pensando ad una distribuzione nel piano di vettori bidimensionali, in modo che il vettore immagine del punto formula_1 abbia l'origine in formula_1 stesso (eventualmente riscalato per una migliore resa visiva come in figura). In modo analogo, si possono visualizzare campi vettoriali su superfici o nello spazio tridimensionale.
Dato un insieme aperto e connesso formula_3 contenuto in formula_4, un "campo vettoriale" è una funzione:
alla quale si richiede generalmente di essere continua o differenziabile per un certo numero di volte. In quanto funzione, ad esempio, nel caso di superficie, si può scrivere:
mentre nel caso di spazio:
Le "linee di flusso" sono intuitivamente delle curve che seguono in ogni loro punto le direzioni individuate dal campo vettoriale con velocità data dall'ampiezza dei vettori del campo.
Interpretando il campo vettoriale come un campo di velocità di un fluido, queste linee rappresentano le traiettorie di ogni singola particella. Formalmente, una linea di flusso passante per un punto formula_8 è una curva differenziabile:
definita per qualche formula_10 positivo, tale che 
Se il campo è sufficientemente "regolare" (ad esempio, se formula_14 è differenziabile o almeno lipschitziano), per ogni punto passa esattamente una linea di flusso. Questo perché una linea di flusso è soluzione di un problema di Cauchy, la cui esistenza e unicità è garantita dal teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy.
Una linea di flusso è definita su un intervallo aperto formula_15, ma non è necessariamente definita su tutta la retta reale. In un campo vettoriale tale che tutte le linee di flusso sono definite sull'intera retta reale, è possibile definire una applicazione
che associa ad una coppia formula_17 - data da un "tempo" e un punto dello spazio delle fasi - il punto di arrivo che si ottiene seguendo la linea di flusso che parte da formula_1 per un tempo formula_19 a partire dal punto formula_1. Tale applicazione è il flusso associato al campo vettoriale e si è soliti scrivere formula_21 per indicare l'immagine della coppia formula_17.
Formalmente il flusso associato al campo vettoriale formula_14 è individuato da una famiglia di applicazioni
che verificano le condizioni:
per ogni formula_1 e per ogni tempo formula_27.
Il flusso è un "gruppo ad un parametro": è un gruppo perché soddisfa le proprietà seguenti
e definisce un'azione di formula_30 su formula_3. Le proprietà di gruppo ci dicono informalmente che l'evoluzione dello spazio indotta dal flusso per un tempo formula_32 corrisponde a lasciare tutto com'è, e che l'evoluzione per un tempo formula_33 equivale all'applicazione successiva di due evoluzioni per tempi formula_34 e formula_19.
Un punto critico o "punto singolare" per un campo vettoriale è un punto in cui il campo si annulla, o in cui non è definito perché tende a infinito (similmente a quanto accade per i poli). Generalmente, si suppone che il campo sia sufficientemente regolare, così che i punti critici sono isolati.
I punti critici devono il proprio nome al ruolo "speciale" che rivestono all'interno del campo vettoriale. Nell'intorno di qualsiasi punto "non" critico la struttura topologica del campo vettoriale è sempre la stessa: il campo ristretto ad un intorno piccolo del punto è diffeomorfo ad un campo costante (che associa ad ogni punto lo stesso vettore non nullo), le cui linee di flusso sono quindi rette parallele, come stabilito dal teorema della scatola di flusso. I punti critici invece hanno una casistica molto più ricca.
Le possibili strutture topologiche del campo in un intorno del punto critico isolato si possono classificare associando ai punti critici un numero intero chiamato indice.
Il tipo ed il numero complessivo dei punti critici di un campo vettoriale sono anche legati alla struttura topologica globale del dominio su cui il campo è definito. Questo legame è stabilito dal teorema di Poincaré-Hopf il quale afferma che se il campo vettoriale è definito su una varietà differenziabile compatta allora la somma degli "indici" dei suoi punti critici è uguale alla caratteristica di Eulero della varietà.
Una varietà differenziale è "pettinabile" se ammette un campo vettoriale (sufficientemente regolare) mai nullo. Per il teorema di Poincaré-Hopf menzionato sopra, una varietà compatta pettinabile deve avere caratteristica di Eulero zero. Per questo motivo, la sfera non è pettinabile: questo enunciato è il teorema della sfera pelosa.
D'altro canto, il toro e la bottiglia di Klein sono superfici con caratteristica di Eulero zero, e sono pettinabili.
I campi vettoriali si incontrano sia nella matematica pura che in quella applicata:
Data una funzione differenziabile su formula_36
il "campo gradiente" di formula_38 è il campo vettoriale che associa ad ogni formula_39 in formula_40 il vettore 
dato dal gradiente di formula_38 in formula_1.
Un campo gradiente è conservativo, cioè il rotore è ovunque nullo.
Le linee di flusso di un campo gradiente associato ad una funzione scalare formula_38 sono ovunque ortogonali alle superfici di livello di formula_38, cioè alle ipersuperfici date dall'equazione cartesiana formula_46 al variare di formula_47 in formula_48.
Data una funzione differenziabile su un aperto formula_49 del piano cartesiano formula_50:
il "campo Hamiltoniano" di formula_52 è il campo vettoriale che associa ad un punto formula_53 in formula_40 il vettore 
dove formula_56 e formula_57 denotano le derivate parziali di formula_58.
La funzione scalare formula_52 che genera il campo Hamiltoniano si chiama "Hamiltoniana".
