
In fisica, il lavoro è l'energia scambiata tra due sistemi quando avviene uno spostamento attraverso l'azione di una forza, o una risultante di forze, che ha una componente non nulla nella direzione dello spostamento. Pertanto, ha le dimensioni di una forza applicata lungo una determinata distanza.
Dunque, il lavoro complessivo esercitato su un corpo è pari alla variazione della sua energia cinetica. In presenza, invece, di un campo di forza conservativo, cioè in assenza di effetti dissipativi, il lavoro svolto è pari alla variazione di energia potenziale tra gli estremi del percorso. Il lavoro compiuto da una forza è nullo se lo spostamento è nullo o se questa non ha componenti lungo la direzione dello spostamento.
Il termine "lavoro" è stato introdotto nel 1826 dal matematico francese Gaspard Gustave de Coriolis. Il simbolo più utilizzato per indicare il lavoro è la lettera formula_1, dall'inglese "work", anche se, spesso, nella letteratura italofona lo si indica con la lettera formula_2.
Nel Sistema Internazionale l'unità di misura del lavoro è il joule.
Il lavoro lineare elementare di un campo vettoriale, come una forza formula_3, associato allo spostamento elementare formula_4 è definito come:
che in termini di coordinate cartesiane, si può esprimere come:
Di conseguenza, il lavoro totale lungo una curva formula_7 è definito come l'integrale di linea di seconda specie dell'1-forma differenziale formula_8:
ovvero l'integrale di linea del campo vettoriale formula_3 lungo la curva formula_7.
Nel caso di un corpo che ruota, il lavoro elementare può essere espresso in funzione del momento meccanico, calcolato attorno a un polo formula_12, con formula_13 come braccio:
Pertanto, il lavoro totale del momento corrispondente ai due spostamenti angolari formula_15 e formula_16 è formalmente uguale all'integrale:
Dalla definizione di integrale curvilineo, si hanno le seguenti conseguenze immediate:
Per la proprietà di linearità dell'operatore integrale si ha che:
Per il teorema dell'energia cinetica, il lavoro compiuto dalla risultante delle forze agenti su un corpo è uguale alla variazione della sua energia cinetica: formula_27.
In generale, a causa della generalità del campo formula_28, che varia da punto a punto, il lavoro dipende dalla traiettoria per andare da formula_29 a formula_30. Vi sono però casi di notevole rilevanza fisica nei quali è possibile limitarsi a forze per le quali il lavoro non dipende dalla traiettoria seguita ma solo dalle posizioni iniziale e finale della traiettoria.
Nel caso di un campo di forza conservativo il lavoro è la variazione di energia potenziale tra gli estremi del percorso. In questo caso il lavoro non dipende dal particolare cammino seguito, ma solo dalla posizione iniziale formula_31 e dalla posizione finale formula_32.
A partire dal lavoro è possibile definire la conservatività di un campo di forze: il campo è conservativo "se e solo se" il lavoro della forza lungo una traiettoria chiusa qualsiasi è zero. Infatti:
Nel caso in cui la forza sia costante e il percorso rettilineo, il lavoro diventa pari al prodotto scalare del vettore forza per il vettore spostamento formula_45:
dove formula_47 l'angolo tra la direzione della forza e la direzione dello spostamento.
Il lavoro può essere sia positivo sia negativo, il segno dipende dall'angolo "formula_47" compreso tra il vettore forza formula_49 ed il vettore spostamento formula_45.
Il lavoro svolto dalla forza è positivo seformula_51ovvero se formula_52. Un lavoro positivo è causato da una forza detta "motrice", uno negativo (formula_53), invece, da una forza "resistente".
Il termine utilizzato in fisica differisce dalla definizione usuale di lavoro, che è decisamente legata all'esperienza quotidiana e si può ricondurre, ad esempio, alla fatica muscolare. Infatti si compie un lavoro se si ha uno spostamento: se per esempio si spinge contro un muro naturalmente esso rimarrà fermo e non si avrà lavoro.
Quando la forza ha la stessa direzione dello spostamento, il prodotto scalare equivale al prodotto aritmetico dei moduli dei due vettori:
Anche nel caso di forza parallela ma opposta allo spostamento, l'espressione del lavoro si riduce al prodotto aritmetico dei moduli, ma con segno opposto:
Quando forza e spostamento sono perpendicolari, il lavoro è nullo:
Per i campi conservativi è possibile definire una funzione scalare, detta energia potenziale, la cui variazione tra i punti formula_31 e formula_32 rappresenta il lavoro compiuto dalle forze per andare da formula_29 a formula_30, per quanto detto prima lungo un qualunque percorso.
si indica formula_62 perché, per convenzione, si considera solitamente la variazione di qualcosa dal punto finale a quello iniziale, cioè formula_63.
Il concetto continua a valere se formula_64 non dipende dalla "posizione" ma da uno "stato", ovvero da una posizione nello spazio delle fasi del sistema: ovviamente sostituendo formula_65 con l'equivalente nel caso in questione. Un esempio è il diagramma pressione/volume usato per le macchine termiche.
Considerando campi conservativi, dal teorema dell'energia cinetica (formula_66), si ha che la variazione di energia potenziale è contraria alla variazione di energia cinetica:
e quindi la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale, detta energia meccanica, è costante in virtù del teorema dell'energia meccanica.
ovvero
L'esempio classico di campi non conservativi si ha considerando le forze d'attrito: l'attrito si oppone sempre al moto, quindi lungo qualsiasi traiettoria avremo l'integrale di una funzione costantemente negativa. E il risultato sarà un lavoro costantemente negativo anche lungo traiettorie chiuse.
Avremmo un lavoro pari a zero, e quindi un campo conservativo solo se l'attrito fosse zero lungo tutto il percorso, solo se, cioè, non avessimo attriti.
Scomponendo, nel teorema dell'energia cinetica, il lavoro in due addendi: formula_70 quello derivante da forze conservative, pari alla variazione di energia potenziale, e quello derivante da forze non conservative abbiamo:
e quindi:
cioè la variazione dell'energia meccanica, cioè la somma di energia cinetica e potenziale, è uguale al lavoro compiuto dalla forze non conservative.
Nel Sistema Internazionale l'unità di misura per il lavoro è il joule che corrisponde allo spostamento di un metro di una forza di un newton:
Tra le altre unità di misura del lavoro ricordiamo:
In termodinamica, il "lavoro" viene scomposto per comodità in due contributi: un contributo relativo alla variazione di volume, detto lavoro di volume, e un contributo indipendente dalla variazione di volume, che prende il nome di lavoro isocoro.
In termodinamica un gas esercita una pressione formula_78 interna sulle pareti del recipiente in cui è contenuto. Se una di queste pareti di superficie formula_79 è mobile e si sposta di una quantità infinitesima formula_80 sotto l'azione di questa pressione, allora il lavoro infinitesimo compiuto dal gas è dato da:
dove formula_82 è la variazione del volume corrispondente. Questo è vero se la trasformazione è reversibile, infatti solo se il sistema è in equilibrio termodinamico è possibile conoscere il valore della pressione formula_78 interna al contenitore. La notazione formula_84 è usata per indicare che il lavoro in fisica non è una funzione di stato, ed invece dipende dalla particolare trasformazione eseguita sul sistema: in termini matematici si dice che il lavoro non è, in generale, esprimibile come un differenziale esatto.
Infine, se il sistema termodinamico subisce una trasformazione generica, quindi per lo più irreversibile, allora possiamo ancora quantificare il lavoro fatto dal gas o dal sistema così:
lavoro fatto contro la pressione esterna formula_86.
Sotto il termine di lavoro isocoro si annoverano tutti i tipi di lavoro che non si riflettono in una variazione di volume, ad esempio: il lavoro elettrico, il lavoro di un campo magnetico, oppure il lavoro svolto da una girante.
In un circuito elettrico il lavoro infinitesimo compiuto dalla batteria che genera la differenza di potenziale formula_87 per far circolare una corrente elettrica formula_88 per un tempo infinitesimo formula_89 è data da formula_90, il segno di tale lavoro sarà positivo o negativo a seconda che rispettivamente la pila eroghi o assorba corrente.
Il valore del lavoro elettrico scambiato tra il tempo formula_91 e il tempo formula_92 si può ottenere integrando l'equazione precedente, dalla quale si ottiene:
nel caso in cui la differenza di potenziale "formula_87" rimanga costante durante l'intervallo di tempo considerato, si può scrivere:
essendo:
La forza che agisce su una particella carica in movimento, immersa in un campo magnetico, è detta forza di Lorentz, che in assenza di campi elettrici esterni è data da:
dove formula_100 è la carica della particella, formula_103 è la sua velocità, formula_104 è il vettore di campo magnetico, legati dal prodotto vettoriale.
Se il moto della carica avviene in senso parallelo alle linee di forza del campo magnetico, significa che la forza è ortogonale allo spostamento, dunque il lavoro è nullo.


Una forza è una grandezza fisica vettoriale che si manifesta nell'interazione reciproca di due o più corpi, sia a livello macroscopico, sia a livello delle particelle elementari. Quantifica il fenomeno di induzione di una variazione dello stato di quiete o di moto dei corpi stessi; in presenza di più forze, è la risultante della loro composizione vettoriale a determinare la variazione del moto. La forza è descritta classicamente dalla seconda legge di Newton come derivata temporale della quantità di moto di un corpo rispetto al tempo.
In formule:
che, nel caso la massa del corpo sia costante, si riduce a:
La legge evidenzia immediatamente il carattere vettoriale della forza, in quanto la derivata di un vettore è ancora un vettore.
Tenendo conto del secondo principio della dinamica, possiamo quindi affermare che una forza di 1 N imprime ad un corpo con la massa di 1 kg l'accelerazione di 1 m/s².
Nel sistema CGS la forza si misura in dyne.
Le forze sono quindi leettere in moto un corpo che si trovava precedentemente in stato di quiete, modificare il movimento di un corpo già precedentemente in moto, o riportare il corpo in stato di quiete.
A livello pratico, le forze applicate ad un dato corpo possono avere due diversi tipi di effetti:
Si dice "ambiente" di un corpo proprio l'insieme delle forze che altri corpi esercitano su di esso.
Da un punto di vista operativo, è possibile affermare che se un corpo è deformato rispetto al suo stato di riposo, allora è sottoposto all'azione di una forza.
Una definizione statica di forza è possibile misurando la deformazione di un corpo che segua la legge di Hooke, cioè tali che la deformazione sia direttamente proporzionale alla forza applicata. Ciò vuol dire che se si sospende ad una molla ideale un peso campione si ottiene un certo allungamento "x", mentre se alla stessa molla si sospendono due pesi campione, uguali al precedente, l'allungamento risulta uguale a 2"x". Utilizzando questa proprietà lineare delle molle è possibile costruire degli strumenti di misura delle forze, detti dinamometri. Ogni volta che un dinamometro si allunga, significa che ad esso è applicata una forza.
Utilizzando un dinamometro si ottiene una misura indiretta della forza, in quanto la grandezza che viene misurata non è direttamente la forza, ma la deformazione della molla contenuta nel dinamometro; osserviamo tuttavia che la stessa situazione sperimentale ricorre nella misura della temperatura (ciò che si misura in realtà è la dilatazione del mercurio) o della pressione (viene misurata l'altezza di una colonna di liquido).
La forza generalizzata associata ad un grado di libertà del sistema "i" è:
Dove W è il lavoro della risultante attiva F agente sul sistema. Si tratta quindi in termini newtoniani per variabili lunghezza e angolo rispettivamente delle grandezze forza e momento meccanico prese lungo la variabile, nel caso più generale di una combinazione delle due.
Nel caso di vincoli bilaterali permettono di ignorare nell'analisi del sistema le reazioni vincolari (di risultante R), anche per sistemi scleronomi: dato uno spostamento virtuale formula_4, ottenuto considerando solo gli spostamenti ammissibili con i vincoli considerati come "fissi" all'istante di riferimento, il lavoro virtuale agente sull'n-esima particella del sistema vale:
Se i vincoli del sistema sono bilaterali, per il principio delle reazioni vincolari i lavori virtuali vincolari sono nulli, e cioè le reazioni sono ortogonali agli spostamenti virtuali:
Esprimendo formula_7 in funzione delle coordinate generalizzate formula_8, e ricordando che formula_9 per definizione di spostamento virtuale:
Il lavoro virtuale sulla particella sottoposta a vincoli bilaterali è cioè interamente calcolabile tramite le forze generalizzate agenti su di essa. 
A livello ingegneristico dove è necessario risalire allo sforzo che dovrebbe essere fatto da tutte le forze non vincolari se il sistema subisse uno spostamento virtuale formula_11, oppure alle sollecitazioni esterne imposte realmente dai vincoli, l'approccio Lagrangiano risulta quindi particolarmente utile.
In base alle equazioni di Lagrange del I tipo e in forma di Nielsen si può legare la forza generalizzata all'energia cinetica del sistema:
formula_12,
Si noti quindi che le forze generalizzate differiscono quindi per il secondo termine formula_13 dalle formula_14 cui si arriverebbe generalizzando la definizione newtoniana di forza come derivata totale temporale della quantità di moto, cioè il secondo principio della dinamica.
La forza è una grandezza vettoriale, ovvero è descritta da un punto di vista matematico da un vettore (vedi immagine a fianco). Ciò significa che la misura di una forza, ovvero la sua intensità misurata in newton, rappresenta solo il modulo della forza, che per essere definita necessita anche della specificazione di un punto di applicazione (il punto del corpo dove la forza agisce), di una direzione (fascio di rette parallele) e di un verso (indicato dall'orientamento del vettore).
Il carattere vettoriale della forza si manifesta anche nel modo in cui è possibile sommare le forze. Come è possibile verificare sperimentalmente, due forze formula_15 e formula_15 con lo stesso punto di applicazione, ma direzioni diverse si sommano con la regola del parallelogramma (vedi figura a fianco). Ciò significa che se ad un corpo vengono contemporaneamente applicate le forze formula_15 e formula_15, esso si muoverà lungo la direzione della diagonale del parallelogramma, come se ad esso fosse applicata solo la forza formula_19, detta, appunto somma o risultante.
Una forza può esercitarsi non necessariamente a contatto di un corpo, ma può anche esserci un campo di forze, cioè una regione in cui un corpo esercita la propria forza, esistente indipendentemente da un secondo corpo che ne subisca gli effetti.
Alcune forze possiedono una struttura tale che il lavoro compiuto su un corpo sia sempre esprimibile tramite una funzione scalare, chiamata potenziale, dipendente unicamente dagli estremi dello spostamento e non dalla traiettoria. Tali forze sono dette forze conservative e ammettono un'energia potenziale. L'energia potenziale (solitamente indicata con il simbolo "U") rappresenta un campo scalare pari alla funzione potenziale cambiata di segno, di cui la forza è il gradiente:
Esempi classici di forze conservative sono la forza di gravità e la forza elettrica o di Coulomb. Esse sono caratterizzate dalle relazioni:
Il significato geometrico del gradiente di una funzione si può facilmente interpretare, almeno nel caso di funzioni in due variabili come nell'esempio in figura, come il vettore che indica, punto per punto, la massima pendenza, nella direzione crescente; il fatto che una forza conservativa sia pari a meno il gradiente dell'energia significa che è indirizzata in modo da minimizzare la stessa.
La definizione operativa sopra presentata è quella più comune nei libri di testo, ma notiamo che non è soddisfacente, in quanto richiede l'introduzione della legge di Hooke e della forza peso, incappando in una definizione circolare (la definizione della legge di Hooke è dipendente dalla forza). In altre esposizioni della dinamica la forza è proprio definita dalla seconda legge della dinamica, oppure col rischio di incappare in un vero e proprio truismo. In altri trattati la forza viene introdotta come un concetto intuitivo, legato alle impressioni connesse allo sforzo muscolare: per evidenziare l'inadeguatezza di tale impostazione è sufficiente notare la pericolosità insita nella confusione tra concetti fisici appartenenti ad una teoria e concetti provenienti dall'esperienza ingenua: ad esempio mantenere sollevato un peso fermo comporta sforzo muscolare, ma non lavoro (nel senso fisico del termine).
In molte esposizioni recenti della meccanica, la forza è normalmente definita implicitamente in termini di equazioni che lavorano con essa: questa impostazione, qualora si vada a considerare la necessità di specificare il riferimento in cui tali equazioni valgono, non è completamente soddisfacente nel risolvere le problematiche associate alla definizione "classica". Alcuni fisici, filosofi e matematici, come Ernst Mach, Clifford Truesdell e Walter Noll, hanno trovato problematico questo fatto e hanno cercato una definizione più esplicita di forza, evidenziando peraltro la non essenzialità di questo concetto per la comprensione della meccanica. Ernst Mach criticò peraltro anche l'idea, a suo avviso metafisica, che le forze siano le cause del moto: solo i corpi possono influire sullo stato di moto di altri corpi e difficilmente si può pensare che la forza, un concetto astratto, possa essere la causa di alcunché.
Nella relazione
derivata dalla seconda legge del moto di Newton, formula_24 è la forza (il cui modulo è espresso usualmente in Newton), "m" la massa in chilogrammi e formula_25 è l'accelerazione (il cui modulo è espresso in metri su secondo al quadrato). Per un fisico, il chilogrammo è l'unita di massa, ma nell'uso comune "chilogrammo" è un'abbreviazione per "il peso di un corpo di un chilogrammo di massa a livello del mare sulla terra". A livello del mare, l'accelerazione dovuta alla gravità ("a" nell'equazione di cui sopra) è 9,807 metri per secondo quadrato, quindi il peso di un chilogrammo è 1 kg × 9,807 m/s² = 9,807 N.
A volte, soprattutto in contesti di tipo ingegneristico, si distingue il "chilogrammo massa" (indicato con "kgm") per indicare il kg e il "chilogrammo forza" (o "chilogrammo peso", indicato con "kgf") per indicare il valore di 9,807 N. Il chilogrammo peso non è tuttavia riconosciuto come unità di misura del Sistema Internazionale e sarebbe opportuno non usarlo per non creare confusione tra i concetti di massa e di peso.
Infatti la massa è una proprietà intrinseca dell'oggetto mentre il peso dipende dalla gravità.
Secondo le teorie scientifiche attualmente più accreditate, in natura esistono quattro forze, o meglio interazioni fondamentali che operano sui corpi: la gravità, l'interazione elettromagnetica, l'interazione nucleare forte e l'interazione debole. La prima, secondo la teoria della relatività generale è un effetto della geometria dello spazio-tempo, mentre le altre tre interazioni, che sono delle teorie di gauge, sono dovute a scambi di particelle, dette bosoni di gauge, secondo la seguente tabella:
Il modello standard fornisce un riquadro coerente nel quale sono inserite le tre teorie di gauge, mentre ad oggi è stato impossibile ricondurre ad esso una versione quantistica della gravità, sebbene sia stata teorizzata una particella mediatrice (il gravitone) della quale non si hanno evidenze empiriche.
