
La crescita esponenziale (che comprende il decadimento esponenziale) si verifica quando il tasso di crescita di una funzione matematica è proporzionale al valore attuale della funzione. Nel caso di un dominio di definizione discreto con intervalli uguali è chiamata anche crescita geometrica o decadimento geometrico (i valori della funzione formano una progressione geometrica).
Il modello di crescita esponenziale è noto anche come Modello di Malthus.
Una quantità formula_1 dipende esponenzialmente dal tempo formula_2 se:
dove la costante formula_4 è il valore iniziale di formula_1, cioè formula_6, la costante formula_7 è un fattore di crescita positivo, e formula_8 è il tempo richiesto perché formula_1 aumenti di un fattore di formula_7:
Se formula_12 e formula_13, allora formula_1 ha crescita esponenziale. Se formula_15 e formula_13 o formula_12 e 0, allora formula_1 ha decadimento esponenziale.
Ad esempio, se una specie di batteri raddoppia ogni dieci minuti, cominciando con un batterio, per sapere quanti batteri sarebbero presenti dopo un'ora si procede ponendo formula_19, formula_20 e formula_8 pari a 10 minuti:
Ci sono quindi sessantaquattro batteri.
Per rappresentare un tasso di crescita si possono utilizzare diverse forme diverse ma matematicamente equivalenti, usando una base diversa. Le forme più comuni sono le seguenti:
Vi sono quindi molte possibilità di scegliere una coppia formula_25 di un numero non negativo adimensionale formula_7 e di un ammontare di tempo formula_8. Nello specifico, i parametri che compaiono (negativi nel caso del decadimento esponenziale) sono:
Le quantità "k", formula_8 e "T", e per un dato "p" anche "r", hanno un rapporto di uno a uno dato dalla seguente equazione (che può essere derivata prendendo il logaritmo naturale di cui sopra):
dove "k" = 0 corrisponde a "r" = 0 e a formula_8 e "T" che sono infiniti.
Se "p" è l'unità di tempo, il quoziente "t/p" è semplicemente il numero di unità di tempo. Usando la notazione "t" per il numero (adimensionale) di unità di tempo piuttosto che per il tempo stesso, "t/p" può essere sostituito da "t", ma per uniformità questo è stato qui evitato. In questo caso la divisione per "p" nell'ultima formula non è neanche una divisione numerica, ma converte un numero adimensionale nella corretta quantità contenente l'unità.
Un popolare metodo approssimato per calcolare il tempo di raddoppio dal tasso di crescita è la regola del 70,
cioè formula_38 (o meglio: formula_39).
La funzione esponenziale formula_40 soddisfa l'equazione differenziale lineare:
che stabilisce che il tasso di crescita di formula_1 al tempo formula_2 è proporzionale al valore di formula_44, con valore iniziale formula_6. Per formula_46 l'equazione differenziale è risolta dal metodo di separazione delle variabili:
da cui segue:
Incorporando il valore iniziale si ha:
ovvero:
La soluzione si applica per formula_51 dove il logaritmo non è definito.
Per una variazione non lineare di questo modello di crescita si veda funzione logistica.
Nel lungo periodo, qualsiasi tipo di crescita esponenziale sorpasserà qualsiasi tipo di crescita lineare (la base della catastrofe malthusiana nonché qualsiasi crescita polinomiale, cioè, per α qualunque:
C'è un'intera gerarchia di tassi di crescita concepibili che sono più lenti di quello esponenziale e più veloci di quello lineare (nel lungo periodo). Si veda grado di un polinomio.
I tassi di crescita possono essere anche più veloci di quello esponenziale.
Nell'equazione differenziale di sopra, se "k" < 0, allora la quantità sperimenta il decadimento esponenziale.
I modelli di crescita esponenziale dei fenomeni naturali si applicano soltanto entro regioni limitate, in quanto la crescita illimitata non è fisicamente realistica. Anche se la crescita può essere inizialmente esponenziale, i fenomeni modellizzati alla fine entreranno in una regione nella quale fattori di retroazione negativa precedentemente ignorati diventeranno significativi (portando a un modello di crescita logistica) oppure altre assunzioni sottostanti del modello di crescita esponenziale, come la continuità o la retroazione istantanea, vengono meno.
Secondo la leggenda, un cortigiano si presentò al re di Persia con una bella scacchiera. Il re chiese che cosa gli sarebbe piaciuto in cambio del suo regalo e il cortigiano sorprese il re chiedendo un chicco di riso sulla prima casella, due chicchi sulla seconda, quattro chicchi sulla terza, ecc. Il re acconsentì prontamente e chiese che fosse portato il riso. Tutto andò bene all'inizio, ma la richiesta di formula_53 chicchi sull"'n"-esima esigeva oltre un milione di chicchi sulla 21ª casella, più di un milione di milioni (o, come si dice, di un trilione) sulla 41ª e non c'era semplicemente abbastanza riso nell'intero mondo per le caselle finali.
Per varianti di questa storia si veda la seconda metà della scacchiera, in riferimento al punto in cui un fattore esponenzialmente crescente comincia ad avere un impatto economico significativo sulla complessiva strategia d'affari di un'organizzazione.
Ai bambini francesi si racconta una storia in cui immaginano di avere uno stagno con foglie di ninfea che galleggiano sulla superficie. La popolazione di ninfee raddoppia di dimensione ogni giorno e se lasciata incontrollata soffocherà lo stagno in 30 giorni, uccidendo tutte le altre cose viventi nell'acqua. Giorno dopo giorno la pianta sembra piccola e così si decide di lasciarla crescere fino a quando non ricopra metà dello stagno, prima di tagliarla nuovamente. È stato poi chiesto loro in che giorno ciò avverrà. Questo si rivela essere il 29º giorno, dopo di che ci sarà appena un giorno per salvare lo stagno.


In matematica, la potenza è un'operazione che associa a una coppia di numeri formula_1 e formula_2 detti rispettivamente base ed esponente, il numero dato dal prodotto di formula_3 fattori uguali ad formula_1:
in questo contesto formula_1 può essere un numero intero, razionale o reale mentre formula_3 è un numero intero positivo. Con opportune ipotesi su formula_1 è possibile considerare anche altri valori numerici per gli esponenti, ad esempio esponenti interi (anche non positivi), razionali o reali.
Le potenze scritte nella forma formula_9 si leggono come "formula_1 elevato alla formula_3" o più semplicemente "formula_1 alla formula_3". L'esponente è usualmente rappresentato come apice immediatamente a destra della base.
Alcuni esponenti hanno un loro nome. L'esponente due è spesso indicato come "al quadrato" (un numero alla seconda rappresenta l'area di un quadrato che abbia per lato quel valore) e l'esponente formula_14 come "al cubo" (un numero alla terza rappresenta il volume di un cubo che abbia per spigolo quel valore).
Esempi:
L'operazione si estende ad formula_19 ponendo per ogni formula_20
e ad formula_3 negativi ponendo
Ad esempio,
Le seguenti proprietà sono di immediata verifica nel caso in cui gli esponenti siano numeri interi positivi:
Estraendo fino ad avere formula_27 otteniamo il seguente risultato:
formula_28
Notiamo che la definizione formula_36 risulta ora più comprensibile poiché è consistente con le proprietà appena viste, infatti:
Si noti che formula_38 è un prodotto vuoto e pertanto è uguale a formula_39
E lo stesso vale per la definizione di formula_40, infatti:
Dato un numero reale non negativo formula_1 e un numero intero positivo formula_2 si chiama radice formula_3-esima di formula_1 quel numero reale non negativo formula_46 tale che formula_47, tale numero si indica con formula_48.
Da questa definizione si ha subito che
per ogni numero reale non negativo formula_1. Quindi è ragionevole (in virtù delle proprietà delle potenze) porre
In questo modo le proprietà delle potenze sono ancora rispettate, infatti
come avviene per la radice formula_3-esima.
Più in generale la definizione di potenza può essere estesa ulteriormente, con alcune restrizioni, consentendo all'esponente di essere un numero razionale formula_54, con formula_55 e formula_56 interi primi tra loro e formula_57, se si pone:
In questo caso:
Trascurando tali restrizioni e l'ipotesi formula_55 e formula_56 primi tra loro si cade in assurdi quali:
Il passaggio errato è il terzo, in quanto formula_69 non è definito in formula_70.
È possibile estendere la definizione dell'operazione di elevamento a potenza anche ai casi in cui base ed esponente sono dei generici numeri reali (con la base però sempre positiva) facendo in modo che si conservino le regole di operazione tra potenze e che la funzione potenza risultante sia una funzione continua, e questa estensione è unica. Si può in tal modo dare senso a espressioni come formula_71 o e.
Definiamo inizialmente formula_72 con la base formula_73 e l'esponente formula_74, entrambi numeri reali.
Possiamo scrivere formula_46 nella sua rappresentazione in base formula_76 con la scrittura:
La successione formula_78 dei numeri
è una successione di numeri razionali crescente che tende a formula_46.
La potenza formula_85 ha esponente razionale, quindi è stata definita.
La successione di numeri reali
è una successione anch'essa crescente (poiché formula_73), risulta quindi naturale definire il valore di formula_72 come l'estremo superiore di tale successione:
Nel caso in cui la base fosse un numero compreso tra formula_93 e formula_94 si può definire:
poiché formula_96 in questo caso è maggiore di formula_94 e quindi il secondo membro è definito.
Difatti, essendo formula_98, si ha la seguente successione di numeri reali (considerando formula_78 come prima):
che è una successione decrescente e quindi si può porre, in questo caso, formula_104.
