
Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce che ogni polinomio di grado formula_1 (cioè non costante), su un campo algebricamente chiuso (come il campo dei numeri complessi), del tipo:
ammette esattamente formula_3 radici in quel campo, o zeri. Dal teorema segue che un polinomio complesso ammette esattamente formula_3 radici complesse (contate con la giusta molteplicità), mentre un polinomio reale ammette al più formula_3 radici reali.
Un'enunciazione del teorema in una pubblicazione fu opera del matematico di origine fiamminga Albert Girard nel 1629 nel libro "L'invention en algebre", per quanto anticipata da una formulazione debole da parte di Peter Roth, riportata nei suoi "Arithmetica Philosophica" (1608). Non vi era comunque alcuna dimostrazione. Nel 1702 Leibniz sostenne di aver trovato un controesempio con il polinomio formula_6. Nel 1742 Nicolas Bernoulli e Christian Goldbach in una lettera inviata allo stesso Leibniz dimostrarono l'esistenza di radici complesse del polinomio.
Il primo tentativo serio di dimostrazione del teorema fu operato da d'Alembert nel 1746, il quale però utilizzò un teorema non ancora dimostrato (la dimostrazione fu fatta da Puiseux nel 1751 utilizzando lo stesso teorema fondamentale dell'algebra). Altri tentativi di dimostrazione furono portati avanti nel 1749 da Eulero, Lagrange nel 1772, Laplace nel 1795.
Finalmente nel 1799 Gauss riuscì nell'intento sfruttando i tentativi dei suoi predecessori. Infine, nel 1814 Jean-Robert Argand, un libraio appassionato di matematica, pubblicò un'altra dimostrazione molto più semplice rispetto a quella di Gauss.
Un numero reale è un particolare numero complesso: il teorema è quindi valido per ogni polinomio a coefficienti reali. Ad esempio, si consideri il polinomio
Questo polinomio non ammette nessuna radice reale: i numeri reali non formano un campo algebricamente chiuso. Per il teorema fondamentale dell'algebra, il polinomio ha però almeno una radice complessa: questa è l'unità immaginaria formula_8. Infatti:
Questa non è però l'unica radice. Il polinomio ha grado due e ha due radici complesse formula_10 e formula_11.
Esistono numerose dimostrazioni del teorema fondamentale dell'algebra che coinvolgono settori molto diversi della matematica come la topologia, l'analisi complessa e l'algebra.
Sia formula_12 un polinomio a coefficienti complessi di grado formula_13. 
Abbiamo formula_14, quindi esiste formula_15 tale che 
formula_16 per ogni formula_17 tale che formula_18. 
Il disco chiuso formula_19 è compatto, dunque per il teorema di Weierstrass esiste un punto formula_20 in cui formula_21 assume il suo minimo valore assoluto in formula_22.
Proviamo che formula_23: sviluppando formula_12 in serie di Taylor intorno a formula_25 abbiamo
dove formula_27, formula_28 è intero e formula_29 con formula_30,
notare che la serie di Taylor è finita poiché formula_31 per ogni intero formula_32 essendo formula_12 un polinomio di grado formula_3. Quindi:
dove formula_36 per formula_37. 
Per ogni formula_38 possiamo scegliere formula_17 di modo che formula_40, in tal caso quando formula_41 allora formula_37 quindi per formula_43 sufficientemente piccolo avremo 
pertanto 
ovvero si è trovato un assurdo.
Sia formula_12 un polinomio complesso, tale che formula_47 per ogni formula_48 complesso. Allora la funzione 
è una funzione intera, cioè è una funzione olomorfa su tutto formula_50. D'altra parte
implica
e quindi la funzione formula_53 è limitata. Per il teorema di Liouville formula_53 è costante, da cui segue che anche formula_12 è costante.
Quindi gli unici polinomi senza zeri sono i polinomi costanti.
Consideriamo un polinomio a coefficienti complessi non costante
vogliamo dimostrare che esiste un punto formula_57 tale che formula_58. A tale scopo possiamo considerare il caso in cui formula_59.
Supponiamo per assurdo che formula_60 non ammetta radici, cioè che l'origine non sia nella sua immagine. Consideriamo sul piano complesso la circonferenza di centro l'origine e raggio formula_61 parametrizzata da
Il polinomio formula_60 rappresenta una funzione continua del piano complesso in sé stesso e come tale manderà la circonferenza formula_64 in una curva piana parametrizzata formula_65. La curva così ottenuta non passerà per l'origine dal momento che abbiamo assunto che 0 non è nell'immagine di formula_60, e questo qualunque sia il raggio formula_61. Quindi possiamo considerare l'indice di avvolgimento di formula_65 rispetto all'origine formula_69
Poniamo
Poiché l'indice di avvolgimento non varia per deformazioni della curva tali che questa non tocchi mai l'origine (è un invariante omotopico) la funzione formula_71 sarà continua e poiché l'indice assume solo valori interi dovrà anche essere una funzione costante.
Ora consideriamo il valore di formula_71 per due differenti valori di formula_61:
Il fatto che formula_71 assuma valori differenti per differenti raggi contraddice il fatto che deve essere una funzione costante, e siamo quindi giunti a un assurdo da cui concludiamo che l'ipotesi che formula_60 non avesse nessuna radice è impossibile.
Si dice che il campo complesso formula_50 è un campo algebricamente chiuso per indicare il fatto che 
ogni polinomio di grado maggiore o uguale a 1, a coefficienti complessi, ha almeno una radice in formula_50, come stabilisce il teorema qui esposto. Tale proprietà non è condivisa dai sottocampi formula_108 e formula_109 come si può vedere subito considerando i polinomi 
che non ha radici nel campo formula_108 dei razionali, e
che non ha radici nel campo formula_109 dei reali.


Un'equazione (dal latino "aequatio") è una uguaglianza matematica tra due espressioni contenenti una o più variabili, dette "incognite". L'uso del termine risale a Leonardo Fibonacci.
Se un'equazione ha formula_1 incognite, allora ogni formula_1-upla (ordinata) di elementi che sostituiti alle corrispondenti incognite rendono vera l'uguaglianza è una "soluzione" dell'equazione. Risolvere un'equazione significa individuare l'insieme di tutte le sue soluzioni.
Il "dominio" (o "insieme di definizione") delle variabili incognite è l'insieme degli elementi per cui le espressioni ad ambo i membri dell'equazione sono definite, ovvero quell'insieme di numeri per cui l'equazione esiste. L'insieme delle soluzioni è condizionato dal dominio: per esempio l'equazione
non ammette soluzioni se il dominio è l'insieme dei numeri razionali, mentre ammette due soluzioni nei numeri reali, che possono essere scritte come formula_4. Analogamente, l'equazione
non possiede soluzioni reali ma è risolvibile se il dominio è il campo dei numeri complessi.
Due equazioni si dicono "equivalenti" se i rispettivi insiemi delle soluzioni coincidono. Vi sono due principi che consentono di manipolare le equazioni per trovare l'insieme delle soluzioni; essi sono una conseguenza diretta delle proprietà delle uguaglianze:
Tipicamente in un'equazione compaiono, oltre alle incognite, dei coefficienti noti che moltiplicano le incognite stesse e dei termini noti che sono ad esse applicati tramite somma algebrica: questi elementi, se non sono esplicitati nel loro valore numerico, sono indicati in genere con le lettere formula_13, formula_14, formula_15... mentre alle variabili incognite sono convenzionalmente attribuite le ultime lettere dell'alfabeto (formula_16, formula_17, formula_18...).
Le soluzioni di un'equazione vengono generalmente indicate esplicitando le incognite delle espressioni che contengano le costanti ed eventuali parametri arbitrari. Ad esempio, la soluzione dell'equazione
dove formula_13 è un parametro non nullo, e il dominio è l'insieme dei numeri reali, si scrive come
Un'equazione si dice:
Dal teorema fondamentale dell'algebra, segue immediatamente che un'equazione polinomiale (cioè formata da un polinomio uguagliato a zero, in una variabile) di grado formula_1 ammette sempre formula_1 soluzioni nel campo complesso, di cui alcune possono essere multiple. In altre parole, un'equazione di grado formula_1 ammette almeno formula_25 soluzione e al massimo formula_1 soluzioni complesse differenti.
Per il teorema di Abel-Ruffini, non esiste una formula generale per esprimere le radici delle equazioni polinomiali di grado formula_27 o superiore tramite una formula per radicali. Viceversa le equazioni di primo grado, secondo grado, terzo grado e quarto grado ammettono una formula risolutiva generica. Casi particolari di equazioni di grado superiore al quarto possono comunque essere risolti tramite radicali.
Il metodo delle tangenti di Newton, sotto determinate ipotesi, fornisce un algoritmo per la risoluzione numerica delle equazioni. Un altro algoritmo con ipotesi più generali è il metodo di bisezione. Le soluzioni trovate mediante metodi numerici vengono chiamate "approssimate" in contrapposizione alle soluzioni date da formule chiuse che vengono chiamate "esatte". La nomenclatura è in parte fuorviante perché i metodi approssimati possono, in alcuni casi, determinare in maniera più precisa e più veloce le soluzioni numeriche di una equazione rispetto alle formule chiuse.
Una prima classificazione delle equazioni può avvenire in questo modo:
Le equazioni algebriche possono essere divise in vari gruppi in base alle loro caratteristiche; è necessario ricordare che un'equazione deve appartenere ad almeno e solo una delle categorie per ogni gruppo.
In base al grado del polinomio:
Possono inoltre essere divise in base alla presenza di incognite al radicando di radici:
Si definisce "equazione omogenea", un'equazione algebrica in più variabili i cui termini hanno tutti lo stesso grado. Un'equazione omogenea ammette sempre la soluzione banale con tutte le variabili uguali a formula_28 e, su un campo algebricamente chiuso, ammette sempre infinite soluzioni, infatti da ogni soluzione se ne ottengono infinite altre alterandole per un fattore di proporzionalità. Ad esempio:
ha per soluzioni, sul campo dei numeri complessi la coppia formula_30 e formula_31 e la coppia formula_32 e formula_33 con formula_34 e formula_35 numeri complessi qualsiasi.
Non è vero su un campo non algebricamente chiuso, infatti l'equazione omogenea
ammette come unica soluzione, sul campo dei numeri reali, la coppia formula_37 e formula_38.
Le equazioni trascendenti coinvolgono almeno un'incognita come argomento di una funzione non polinomiale. Le più comuni categorie di equazioni trascendenti sono:
Le equazioni con valori assoluti contemplano oltre le incognite la presenza del valore assoluto di espressioni algebriche o trascendenti. Possiamo aver quindi:
Le equazioni funzionali hanno almeno un'incognita che è una funzione. Le più comuni categorie di equazioni funzionali sono:
In base alla presenza di altre espressioni letterali tutte le equazioni possono essere divise in:
