
In matematica, e più in particolare in algebra lineare, la diagonale principale di una matrice quadrata è la diagonale che va dall'angolo in alto a sinistra a quello in basso a destra. Ad esempio, la seguente matrice ha valori non nulli solo nella diagonale principale:
Una matrice di questo tipo è detta matrice diagonale. Un caso particolare di matrice diagonale, in cui tutti i valori della diagonale principale sono uguali ad 1, è la matrice identità. La somma di tutti i valori che si trovano sulla diagonale principale è detta traccia della matrice.
La diagonale opposta, dall'angolo in alto a destra a quello in basso a sinistra, è detta antidiagonale o diagonale secondaria.
Talvolta risulta utile considerare la diagonale di una matrice che non è quadrata:


In matematica, in particolare in algebra lineare, una matrice è detta quadrata se ha un numero uguale di righe e colonne, detto "ordine" della matrice. Viene altrimenti detta "matrice formula_1".
Si tratta del tipo più comune e più importante di matrice, l'unico su cui sono definiti concetti come determinante, traccia, autovalore.
Le matrici quadrate sono utili a modellizzare le trasformazioni lineari di uno spazio vettoriale in se stesso (più precisamente, i suoi endomorfismi), le forme bilineari ed i prodotti scalari.
L'insieme di tutte le matrici quadrate a valori in un campo formula_2 fissato (ad esempio, i numeri reali o complessi) costituisce, rispetto alle operazioni di somma e di prodotto fra matrici, un anello. Eccetto il caso formula_3, tale anello non è commutativo. Viene indicato generalmente con formula_4. 
L'elemento neutro per la somma è la matrice nulla, avente zeri ovunque. L'elemento neutro per la moltiplicazione è la matrice identità formula_5, contenente elementi pari a 1 nella diagonale principale e elementi nulli altrove. Per esempio, se formula_6:
Considerato anche con l'operazione di moltiplicazione per scalare, l'insieme formula_8 è anche uno spazio vettoriale su formula_2, di dimensione formula_10.
Le due strutture di anello e spazio vettoriale formano insieme una struttura di algebra su campo.
Gli elementi invertibili nell'anello si dicono matrici invertibili. Una matrice quadrata formula_11 è invertibile se e solo se esiste una matrice quadrata formula_12 tale che:
In tal caso, formula_12 è la matrice inversa di formula_15, ed è indicata con formula_16.
L'insieme di tutte le matrici invertibili di tipo formula_17, dotato dell'operazione di moltiplicazione, è un gruppo, chiamato gruppo generale lineare: si tratta di un particolare gruppo di Lie.
Se formula_18 è un numero in formula_19 e formula_20 è un vettore non nullo in formula_21 tali che 
si dice che formula_23 è un autovettore di formula_11 e formula_18 è l'autovalore ad esso associato. Lo studio degli autovalori e autovettori è di fondamentale importanza in algebra lineare, e porta al concetto di diagonalizzabilità. Gli autovalori di una matrice sono le radici del suo polinomio caratteristico, definito come
Il determinante di una matrice quadrata è una quantità importante che può essere definita in numerosi modi diversi, tutti equivalenti fra di loro. I determinanti caratterizzano l'invertibilità di una matrice quadrata: una matrice quadrata è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo.
La traccia di una matrice quadrata è la somma degli elementi della sua diagonale principale.
Il polinomio caratteristico, oltre ad essere uno strumento utile per il calcolo degli autovalori, è anche un oggetto che ha fra i suoi coefficienti il determinante, la traccia ed altri valori numerici simili.
Quando una matrice è diagonalizzabile, determinante e traccia sono rispettivamente il prodotto e la somma degli autovalori della matrice.
La funzione esponenziale di matrice è definita per matrici quadrate attraverso una serie di potenze.
