
L'algebra (dall'arabo الجبر, "al-ğabr", 'completamento') è una branca della matematica che tratta lo studio di strutture algebriche, relazioni e quantità.
Il termine algebra (dall'arabo الجبر, "al-ǧabr" che significa "unione", "connessione" o "completamento", ma anche "aggiustare") deriva dal libro del matematico persiano , intitolato "Al-kitāb al-muḫtaṣar fī ḥīsāb al-ǧabr wa l-muqābala" ("Compendio sul calcolo per completamento e bilanciamento"), conosciuto anche nella forma breve "Al-kitāb al-ǧabr wa l-muqābala", che tratta la risoluzione delle equazioni di primo e di secondo grado.
Ci sono anche alcune testimonianze su problemi algebrici semplici dell'Antico Egitto, della Grecia arcaica e della Mesopotamia, di matematici che fecero uso di proprietà attinenti all'algebra elementare.
Algebra totalmente priva di simboli, i passaggi sono descritti a parole, secondo la tradizione di Muḥammad ibn Mūsā al-Ḫwārizmī.
Algebra descrittiva, ma con notazioni simboliche, come quella usata dal greco Diofanto di Alessandria.
Algebra in cui i concetti sono rappresentati in simboli, utilizzata oggi in tutto il mondo è nata nell'antica India e poi sviluppata nel XVI secolo dai matematici europei.
Un numero è un oggetto astratto, usato per misurare una quantità. I numeri più utilizzati sono i numeri naturali:
Aggiungendo a questi i numeri negativi, tramite il segno meno, si ottengono tutti i numeri interi:
Aggiungendo a questi le frazioni si ottengono tutti i numeri razionali:
Infine, i numeri reali contengono molti altri numeri che non possono essere espressi come frazioni, quali ad esempio:
Aggiungendo a questi un elemento formula_5, chiamato unità immaginaria, tale che formula_6, si ottengono i numeri complessi:
Gli insiemi formati dai numeri naturali, interi, razionali, reali e complessi sono indicati con le lettere:
Ciascun insieme è contenuto nel successivo, come indicato dal simbolo formula_9 di inclusione insiemistica. Ad esempio, il numero formula_10 non è un numero naturale, ma è un numero intero: quindi è anche razionale, reale e complesso.
Con le operazioni aritmetiche di addizione, sottrazione, prodotto e divisione è possibile manipolare i numeri e scrivere espressioni del tipo
Lo stesso numero può essere scritto in modo diverso, ad esempio:
L'algebra elementare è un'evoluzione dell'aritmetica: oltre ai numeri e alle quattro operazioni, in algebra si fa uso di simboli letterali che (a seconda del contesto) possono essere considerati numeri "costanti" o "variabili". Ad esempio:
Usando simboli letterali è possibile enunciare dei teoremi che sono validi in contesti molto generali. Ad esempio, il quadrato del binomio
è una uguaglianza valida per qualsiasi valore di formula_15 e formula_16.
Una equazione è una uguaglianza che può contenere alcune variabili, dette "incognite". L'equazione è verificata solo per alcuni valori delle incognite, detti "soluzioni". Determinare le soluzioni di una equazione è un problema centrale in algebra. Ad esempio, nell'equazione di primo grado
la lettera formula_15 è una costante, mentre formula_19 è l'incognita da determinare. Questa equazione ha una sola soluzione; data da
Un polinomio è una espressione algebrica ottenuta manipolando alcune costanti e variabili con le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione (ma "non" la divisione). Ad esempio:
è un polinomio con variabile formula_19. Un polinomio può avere più di una variabile, ad esempio
ha tre variabili formula_24.
Una radice di un polinomio con una sola variabile formula_19 è un valore numerico formula_26 per cui vale
Determinare le radici di un polinomio equivale quindi a risolvere una equazione, in cui il polinomio viene posto uguale a zero. Esistono delle formule generali per determinare le radici di un polinomio di grado 1, 2, 3 o 4. Ad esempio, un polinomio di secondo grado
può avere al massimo due radici reali, determinate dalla formula
Se l'argomento del radicale formula_30 è negativo, il polinomio non ha radici reali. Per il teorema di Abel-Ruffini, non esistono formule risolutive generali per equazioni di grado maggiore o uguale a 5.
Un polinomio può non avere radici reali. Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce però che ne esiste sempre (almeno) una radice complessa.
Un numero reale (o complesso) è algebrico se è radice di un polinomio a coefficienti interi. Ad esempio, ogni numero razionale formula_31 è algebrico, perché radice del polinomio
che ha coefficienti formula_33 e formula_34 interi. La radice formula_35-esima reale formula_36 di un intero formula_37 è anch'esso un numero algebrico, radice del polinomio
Più in generale, tutti i numeri ottenibili a partire dagli interi usando le quattro operazioni ed i radicali sono algebrici. Ad esempio:
è un numero algebrico. Esistono però algebrici non scrivibili in questa forma, per il teorema di Abel-Ruffini. Fra i numeri complessi, l'unità immaginaria formula_5 è algebrica perché radice del polinomio formula_41.
Un numero reale (o complesso) è trascendente se non è algebrico. I numeri pi greco formula_42 e la costante di Nepero formula_43 sono trascendenti.
Una struttura algebrica è un insieme dotato di una o più operazioni che soddisfano determinati assiomi. Sulla base di questi assiomi è quindi possibile dimostrare vari teoremi che risultano validi in contesti molto generali. Le strutture algebriche hanno un ruolo centrale nell'algebra astratta e in tutta la matematica moderna.
Un gruppo è un insieme formula_44 dotato di una operazione binaria, che può essere indicata con il simbolo formula_45, che soddisfa gli assiomi seguenti.
Ad esempio, i numeri interi formano un gruppo con l'operazione formula_46 di addizione. L'insieme formula_44 e l'operazione formula_45 sono entrambi importanti nella struttura di gruppo: per identificare il gruppo degli interi con l'addizione si scrive la coppia
Un anello è un insieme formula_50 dotato di due operazioni binarie, generalmente indicate con gli usuali simboli formula_46 e formula_52 dell'addizione e della moltiplicazione, che soddisfa alcuni assiomi. L'operazione formula_46 deve soddisfare gli assiomi di gruppo già elencati; inoltre devono valere
Ad esempio, i numeri interi formano un anello con le usuali operazioni di addizione e moltiplicazione, e si scrive:
L'elemento neutro per l'operazione formula_46 viene solitamente indicato con il simbolo formula_56.
Un campo è un anello che soddisfa alcuni assiomi aggiuntivi per l'operazione formula_52, e cioè:
I numeri interi "non" formano un campo perché 2 non ha un inverso rispetto al prodotto. I numeri razionali formano un campo e si scrive:
Altri campi importanti sono i numeri reali formula_59 ed i numeri complessi formula_60.
Uno spazio vettoriale è una struttura algebrica lievemente più complessa. Formalmente, consiste di una quaterna
in cui formula_62 è un insieme di oggetti detti "vettori", formula_63 un campo, e formula_64 due operazioni binarie che soddisfano una lunga lista di assiomi. Come i vettori del piano cartesiano, i vettori di formula_62 possono essere sommati e riscalati, cioè moltiplicati per un elemento del campo formula_63 detto "scalare". La nozione di spazio vettoriale è centrale in tutta la matematica moderna.
L'algebra elementare può essere introdotta come generalizzazione ed estensione dell'aritmetica, tramite l'introduzione di oggetti simbolici, chiamati "variabili" e "costanti", denotati solitamente con lettere dell'alfabeto.
Alle espressioni costruite con l'uso delle variabili e delle costanti, si applicano le operazioni aritmetiche di addizione, differenza (più generalmente, somma algebrica), moltiplicazione e divisione. In questo modo vengono introdotti e studiati oggetti come i polinomi e le equazioni, e studiati i metodi per trovarne le eventuali radici dei primi e soluzioni delle seconde.
L'algebra astratta è un'estensione dell'algebra elementare, nata verso la fine del XIX secolo e sviluppatasi enormemente nel XX secolo. L'algebra astratta definisce e studia le strutture algebriche: insiemi muniti di operazioni che soddisfano determinati assiomi. Esempi molto particolari di strutture algebriche sono costituiti dagli usuali insiemi numerici, quali i numeri interi, i razionali, i reali e i complessi con le loro ordinarie operazioni di somma o prodotto, o anche con una sola di queste operazioni.
Esempi di strutture algebriche sono i gruppi, gli anelli, i campi e gli spazi vettoriali.
Le operazioni di cui sono dotate queste strutture soddisfano leggi molto simili a quelle valide negli esempi numerici menzionati sopra. Esempi di strutture le cui operazioni soddisfano altre leggi, a volte apparentemente controintuitive, sono i reticoli, l'Algebra di Boole, le Algebre di Lie.
L'algebra lineare studia le matrici e gli spazi vettoriali.
Uno spazio vettoriale è una generalizzazione astratta della nozione dell'insieme dei vettori del piano (o dello spazio) in senso fisico. Uno dei suoi principali vantaggi è la possibilità di introdurre spazi di qualunque dimensione (anche infinita). Viene applicata anche per studiare le equazioni lineari, cioè le equazioni omogenee di primo grado.
Le applicazioni dell'algebra lineare sono di importanza fondamentale in fisica, in molte branche (anche non algebriche) della matematica e in altre discipline scientifiche.
Un gruppo è una struttura algebrica dotata di una singola operazione binaria che soddisfa alcune ben determinate proprietà (gli assiomi di gruppo). Esempi di gruppi sono i numeri interi, con l'operazione di somma, oppure l'insieme delle simmetrie di un particolare oggetto geometrico (con l'operazione di composizione di funzioni). È da notare che, mentre nel primo caso vale la proprietà commutativa formula_67 (il gruppo si dice "abeliano"), la proprietà analoga non vale, in generale, nel secondo caso, perché non è necessariamente vero che formula_68.
La teoria dei gruppi studia le strutture di gruppo. Oltre ad avere un profondo interesse intrinseco, la teoria dei gruppi ha importanti applicazioni in quasi tutti i settori della geometria, e in particolare alla topologia, e allo studio delle simmetrie. Ha anche una forte correlazione con la combinatoria: l'insieme delle permutazioni di un insieme è ad esempio un gruppo rispetto alla composizione di funzioni. Ha anche notevoli applicazioni in teoria dei numeri, e talvolta in analisi.
Un anello è una struttura algebrica con due operazioni, la prima delle quali soddisfa agli assiomi di un gruppo commutativo. Considerando anche la seconda operazione, si richiede che vengano soddisfatte molte delle proprietà valide per i numeri interi, con le operazioni di somma e prodotto. Ma, ad esempio, in un anello generico può capitare che formula_69, senza che necessariamente uno degli elementi formula_15 o formula_16 sia uguale a formula_56 (questa proprietà è invece verificata negli interi). Tra gli insiemi che risultano essere degli anelli, troviamo l'insieme dei polinomi a coefficienti in un dato anello, quello delle matrici (con opportune operazioni di somma e prodotto), e l'insieme dei numeri razionali.
La teoria degli anelli studia queste strutture, e ha applicazioni in algebra e in molte altre branche della matematica, in particolare in geometria algebrica.
Un campo è un anello che deve soddisfare degli assiomi ulteriori, che, intuitivamente, asseriscono la possibilità di effettuare le divisioni (ovviamente solo per un elemento non nullo). Ad esempio gli interi non sono un campo, mentre i razionali sì.
La teoria dei campi studia queste strutture. I campi sono l'oggetto base necessario per la definizione degli spazi vettoriali e quindi per tutta l'algebra lineare. La teoria di Galois è una teoria che mette in relazione i campi, e le loro possibili estensioni, coi gruppi finiti, e i loro possibili sottogruppi. La teoria di Galois fornisce metodi estremamente potenti per lo studio della risolubilità delle equazioni; in particolare, è fondamentale per dimostrare che non esiste una formula generale (che faccia uso solo di radicali) per la risoluzione delle equazioni di 5º grado o superiore.
L'algebra computazionale studia gli algoritmi per la manipolazione simbolica di oggetti matematici.
Oltre alle strutture già descritte, l'algebra ne studia molte altre, tra cui semigruppi, reticoli, moduli, algebre su campo, bialgebre, algebre di Hopf, superalgebre.
Il termine "algebra" viene usato per indicare varie specie di strutture algebriche composite:


In algebra il segno è una proprietà che esprime l'ordine di un numero reale rispetto allo zero.
Di un numero reale "x" si dice che esso ha segno più o che è "positivo" se vale la relazione "x" > 0; si dice invece che "x" ha segno meno o che è "negativo" quando vale "x" < 0.
Nel caso di "x" = 0 si dice che "x" è "neutro": allora il segno non è definito.
Per la notazione matematica del segno si usano i simboli + ("più") e - ("meno"): il segno è seguito immediatamente dal valore assoluto del numero.
Se il segno non è espresso davanti a un numero diverso da zero, il numero s'intende positivo.
Va rilevato che i simboli + e - sono usati in matematica anche con altri significati, per esempio per notare le operazioni di addizione e sottrazione
oppure per distinguere i limiti destro e sinistro di una funzione in un punto di accumulazione
In questi casi l'uso dei simboli matematici non è legato al segno di un numero. Si parla qui di "segno" nel senso comune di "simbolo" o "carattere tipografico".
Il simbolo ± ("più o meno") nelle espressioni matematiche indica che due valori di segno opposto sono entrambi validi.
Il concetto di segno si estende naturalmente all'ambito delle funzioni. Il segno di una funzione "f" in un intervallo "I" è per definizione quello comune ad ogni valore che la funzione assume nell'intervallo.
Nell'analisi matematica, lo studio del segno di una funzione è particolarmente utile per tracciarne il grafico.
Se "f"("x") è una funzione continua in un dato intervallo, i valori di "x" per cui "f"("x") cambia di segno sono le ascisse dei punti in cui il grafico della funzione interseca l'asse delle "x", e dunque soluzioni dell'equazione "f"("x") = 0.
Ulteriori indicazioni sull'andamento di una funzione continua si possono ricavare studiando il segno della sua derivata, quando questa esiste. Dalla definizione matematica di monotonia si evince che una funzione continua e derivabile in un intervallo è strettamente crescente solo se la sua derivata è positiva; la funzione è invece strettamente decrescente negli intervalli dove la sua derivata è negativa.
Per alcune applicazioni pratiche legate alla fisica è interessante conoscere il segno di una grandezza anche quando il valore esatto non è noto: considerando per esempio che le cariche elettriche di segno uguale si respingono e le cariche di segno opposto si attraggono si può in certi casi prevedere il comportamento di un sistema senza misurarne le caratteristiche rilevanti.
