
I numeri interi (o numeri interi relativi o, semplicemente, numeri relativi) corrispondono all'insieme ottenuto unendo i numeri naturali (0, 1, 2, ...) e i numeri interi negativi (−1, −2, −3...), cioè quelli ottenuti ponendo un segno “−” davanti ai naturali. Questo insieme in matematica viene indicato con Z o formula_1, perché è la lettera iniziale di “"Zahl"” che in tedesco significa numero (originariamente "far di conto", infatti l'espressione implica l'utilizzo dei numeri negativi). 
Gli interi vengono quindi definiti esattamente come l'insieme dei numeri che sono il risultato tra sottrazioni di numeri naturali. I numeri interi possono essere sommati, sottratti e moltiplicati e il risultato rimane un numero intero. L'inverso di un numero intero non è però un intero in generale, ma un numero razionale; formalmente questo fatto si esprime dicendo che formula_1 è un anello commutativo, ma non un campo.
Come i numeri naturali, formula_1 è "chiuso" rispetto alle operazioni di addizione e di moltiplicazione, cioè la somma o il prodotto di due interi è un intero. Inoltre, con l'inclusione dei numeri naturali negativi e dello zero, formula_1 (a differenza dei numeri naturali) è chiuso anche rispetto all'operazione di sottrazione: se formula_5 e formula_6 sono interi, anche formula_7 lo è. Tuttavia, formula_1 non è chiuso sotto l'operazione di divisione, poiché il quoziente di due interi (per esempio formula_9) non è necessariamente un numero intero.
La tabella seguente elenca alcune delle proprietà di base dell'addizione e della moltiplicazione per ogni intero formula_5, formula_6 e formula_12.
Nel linguaggio dell'algebra astratta, le prime cinque proprietà elencate sopra per l'addizione dicono che formula_1 è un gruppo abeliano con l'operazione "somma". In particolare, formula_1 è un gruppo ciclico, poiché ogni intero non nullo può essere scritto sommando un certo numero di volte formula_15 oppure formula_16. Il gruppo formula_1 è l"'unico" gruppo ciclico infinito, nel senso che ogni altro gruppo ciclico infinito è isomorfo a formula_1.
Le prime quattro proprietà elencate sopra per la moltiplicazione dicono che formula_1 con l'operazione "prodotto" forma un monoide commutativo. Tuttavia, si nota che non tutti gli interi hanno in inverso rispetto alla moltiplicazione; per esempio non esiste un intero formula_20 tale che formula_21. Quindi formula_1 non è un gruppo se considerato con l'operazione "prodotto".
Tutte le proprietà dalla tabella prese insieme dicono che formula_1 con l'addizione e la moltiplicazione è un anello commutativo con unità. In effetti formula_1 è la motivazione principale per la definizione di tale struttura. La mancanza dell'inverso rispetto alla moltiplicazione è tradotta nel fatto che formula_1 non è un campo. 
L'anello formula_1 è inoltre un dominio d'integrità, perché non contiene divisori dello zero. Ogni dominio di integrità è contenuto in un campo, e il più piccolo campo contenente gli interi è il campo formula_27 dei numeri razionali.
Anche se la divisione ordinaria non è definita su formula_1, è possibile usare l'algoritmo di Euclide per effettuare una divisione con resto: dati due interi formula_5 e formula_6 con formula_31, esistono e sono unici due interi formula_32 e formula_33 tali che 
dove formula_35 è il valore assoluto di formula_6. L'intero formula_32 è chiamato il "quoziente" e formula_33 è chiamato il "resto", risultanti dalla divisione di formula_5 con formula_6. 
L'algoritmo di Euclide mostra come due numeri interi abbiano sempre un massimo comune divisore ed un minimo comune multiplo. Inoltre, per il teorema fondamentale dell'aritmetica ogni numero intero ha un'unica decomposizione come prodotto di numeri primi. L'esistenza dell'algoritmo di Euclide fa di formula_1 un anello euclideo.
La cardinalità di un insieme di interi è equivalente a formula_42 (aleph-zero). Ciò è dimostrabile tramite la costruzione di una corrispondenza biunivoca (ovvero una funzione sia iniettiva che suriettiva) fra formula_43 e formula_44.
Considerando formula_45, tale corrispondenza è la funzione formula_46 tale che:
Mentre considerando formula_48 è la funzione formula_49 tale che:
Ogni membro di formula_1 avrà uno ed un solo membro corrispondente in formula_52 (o formula_53), pertanto i due insiemi hanno la stessa cardinalità.
L'insieme formula_1 è un insieme totalmente ordinato senza estremo superiore o inferiore. L'ordine di formula_1 è dato da
Un numero intero è positivo se è maggiore dello zero e negativo se minore di zero; zero non è considerato un numero positivo né negativo.
L'ordine seguente è compatibile con le regole dell'algebra:
Più semplicemente: se formula_60 e formula_61 sono due qualsiasi numeri relativi si dice che formula_60 è maggiore di formula_61, e si scrive formula_64, se esiste un numero naturale formula_65 tale che formula_66. L'insieme formula_1 può essere definito a partire dall'insieme formula_52 dei numeri naturali tramite il concetto di insieme quoziente. Si consideri il prodotto cartesiano formula_69, ovvero l'insieme di tutte le coppie ordinate di numeri naturali formula_70. Si consideri la seguente relazione formula_71
Questa è una relazione di equivalenza, infatti è:
Si definisce formula_1 come l'insieme quoziente di formula_87 con la relazione formula_71:
A questo punto è facile dimostrare che ogni classe di equivalenza formula_90 contiene uno e un solo elemento nella forma formula_91 con formula_92 oppure formula_93. In questo modo possiamo introdurre la notazione più familiare per i numeri interi nel modo seguente:
Si dimostra facilmente che esiste un isomorfismo tra l'insieme dei numeri naturali e il sottoinsieme di formula_1 costituito dagli elementi del tipo formula_98. In questo senso si può dire che i numeri naturali sono un sottoinsieme dei numeri interi.
Le operazioni di somma e prodotto possono essere definite nel modo seguente:
Si verifica che le operazioni sono compatibili con la relazione d'equivalenza, e che si traducono nelle normali operazioni di somma e prodotto degli interi tramite la notazione appena introdotta. Ad esempio:
Si può anche dimostrare direttamente che l'insieme formula_1 con queste operazioni è un anello commutativo.


Un'equazione (dal latino "aequatio") è una uguaglianza matematica tra due espressioni contenenti una o più variabili, dette "incognite". L'uso del termine risale a Leonardo Fibonacci.
Se un'equazione ha formula_1 incognite, allora ogni formula_1-upla (ordinata) di elementi che sostituiti alle corrispondenti incognite rendono vera l'uguaglianza è una "soluzione" dell'equazione. Risolvere un'equazione significa individuare l'insieme di tutte le sue soluzioni.
Il "dominio" (o "insieme di definizione") delle variabili incognite è l'insieme degli elementi per cui le espressioni ad ambo i membri dell'equazione sono definite, ovvero quell'insieme di numeri per cui l'equazione esiste. L'insieme delle soluzioni è condizionato dal dominio: per esempio l'equazione
non ammette soluzioni se il dominio è l'insieme dei numeri razionali, mentre ammette due soluzioni nei numeri reali, che possono essere scritte come formula_4. Analogamente, l'equazione
non possiede soluzioni reali ma è risolvibile se il dominio è il campo dei numeri complessi.
Due equazioni si dicono "equivalenti" se i rispettivi insiemi delle soluzioni coincidono. Vi sono due principi che consentono di manipolare le equazioni per trovare l'insieme delle soluzioni; essi sono una conseguenza diretta delle proprietà delle uguaglianze:
Tipicamente in un'equazione compaiono, oltre alle incognite, dei coefficienti noti che moltiplicano le incognite stesse e dei termini noti che sono ad esse applicati tramite somma algebrica: questi elementi, se non sono esplicitati nel loro valore numerico, sono indicati in genere con le lettere formula_13, formula_14, formula_15... mentre alle variabili incognite sono convenzionalmente attribuite le ultime lettere dell'alfabeto (formula_16, formula_17, formula_18...).
Le soluzioni di un'equazione vengono generalmente indicate esplicitando le incognite delle espressioni che contengano le costanti ed eventuali parametri arbitrari. Ad esempio, la soluzione dell'equazione
dove formula_13 è un parametro non nullo, e il dominio è l'insieme dei numeri reali, si scrive come
Un'equazione si dice:
Dal teorema fondamentale dell'algebra, segue immediatamente che un'equazione polinomiale (cioè formata da un polinomio uguagliato a zero, in una variabile) di grado formula_1 ammette sempre formula_1 soluzioni nel campo complesso, di cui alcune possono essere multiple. In altre parole, un'equazione di grado formula_1 ammette almeno formula_25 soluzione e al massimo formula_1 soluzioni complesse differenti.
Per il teorema di Abel-Ruffini, non esiste una formula generale per esprimere le radici delle equazioni polinomiali di grado formula_27 o superiore tramite una formula per radicali. Viceversa le equazioni di primo grado, secondo grado, terzo grado e quarto grado ammettono una formula risolutiva generica. Casi particolari di equazioni di grado superiore al quarto possono comunque essere risolti tramite radicali.
Il metodo delle tangenti di Newton, sotto determinate ipotesi, fornisce un algoritmo per la risoluzione numerica delle equazioni. Un altro algoritmo con ipotesi più generali è il metodo di bisezione. Le soluzioni trovate mediante metodi numerici vengono chiamate "approssimate" in contrapposizione alle soluzioni date da formule chiuse che vengono chiamate "esatte". La nomenclatura è in parte fuorviante perché i metodi approssimati possono, in alcuni casi, determinare in maniera più precisa e più veloce le soluzioni numeriche di una equazione rispetto alle formule chiuse.
Una prima classificazione delle equazioni può avvenire in questo modo:
Le equazioni algebriche possono essere divise in vari gruppi in base alle loro caratteristiche; è necessario ricordare che un'equazione deve appartenere ad almeno e solo una delle categorie per ogni gruppo.
In base al grado del polinomio:
Possono inoltre essere divise in base alla presenza di incognite al radicando di radici:
Si definisce "equazione omogenea", un'equazione algebrica in più variabili i cui termini hanno tutti lo stesso grado. Un'equazione omogenea ammette sempre la soluzione banale con tutte le variabili uguali a formula_28 e, su un campo algebricamente chiuso, ammette sempre infinite soluzioni, infatti da ogni soluzione se ne ottengono infinite altre alterandole per un fattore di proporzionalità. Ad esempio:
ha per soluzioni, sul campo dei numeri complessi la coppia formula_30 e formula_31 e la coppia formula_32 e formula_33 con formula_34 e formula_35 numeri complessi qualsiasi.
Non è vero su un campo non algebricamente chiuso, infatti l'equazione omogenea
ammette come unica soluzione, sul campo dei numeri reali, la coppia formula_37 e formula_38.
Le equazioni trascendenti coinvolgono almeno un'incognita come argomento di una funzione non polinomiale. Le più comuni categorie di equazioni trascendenti sono:
Le equazioni con valori assoluti contemplano oltre le incognite la presenza del valore assoluto di espressioni algebriche o trascendenti. Possiamo aver quindi:
Le equazioni funzionali hanno almeno un'incognita che è una funzione. Le più comuni categorie di equazioni funzionali sono:
In base alla presenza di altre espressioni letterali tutte le equazioni possono essere divise in:
