
 matematica, un raggruppamento di oggetti rappresenta un insieme se esiste un criterio oggettivo che permette di decidere univocamente se un qualunque oggetto fa parte o no del raggruppamento. Si tratta di un concetto fondamentale della matematica moderna, a partire dal quale si è sviluppata la teoria degli insiemi.
Nell'uso informale gli oggetti della collezione possono essere qualunque cosa: numeri, lettere, persone, figure, ecc., anche non necessariamente omogenei; nelle formalizzazioni matematiche gli oggetti della collezione vanno invece ben definiti e determinati. Il concetto di insieme è considerato primitivo ed intuitivo: "primitivo" perché viene introdotto come nozione non derivabile da concetti più elementari; "intuitivo" perché viene introdotto come generalizzazione della nozione di insieme finito, che a sua volta è introdotta dall'analogia con l'esperienza sensibile di scatole che contengono oggetti materiali (tendenzialmente omogenei); questa impostazione si basa sulla convinzione che l'idea di insieme sia naturalmente presente nella mente umana.
Gli oggetti che compongono un insieme si dicono elementi di questo insieme; nel linguaggio matematico, detto "a" un elemento dell'insieme "A", si dice che "a appartiene ad A" o in simboli formula_1. Un insieme "A" è sottoinsieme di un altro insieme "B" quando tutti gli elementi di "A" appartengono anche a "B".
Ciò che caratterizza il concetto di insieme e lo differenzia da strutture matematiche simili sono essenzialmente le seguenti proprietà:
Gli insiemi, con le loro operazioni e relazioni, possono essere rappresentati graficamente con i diagrammi di Eulero-Venn.
Solitamente un insieme viene indicato con le lettere maiuscole dell'alfabeto: "A", "B", "E", "M", "S" ... e si chiede che sia univocamente determinato: se ad esempio diciamo che "M" è l"'insieme degli x tali che x è un mammifero marino", allora supponiamo che si sappia sempre decidere se un qualsiasi animale possibile ed immaginabile abbia o meno le caratteristiche necessarie per rientrare in "M." Se un oggetto "x" appartiene ad un insieme "F" viene detto "elemento" di "F" e la relazione si denota nella forma formula_2. Viceversa, la relazione di non appartenenza a un insieme si denota nella forma formula_3.
Un insieme può essere definito nei seguenti modi:
La cardinalità di un insieme è il numero che indica la quantità dei suoi elementi. Ad esempio, l'insieme formula_11 ha tre elementi (considerando distinte le tre lettere), quindi cardinalità 3; l'insieme dei numeri naturali formula_12 ha invece cardinalità formula_13, il primo cardinale infinito.
Un insieme si dice "finito" se ha un numero finito di elementi, "infinito" se contiene infiniti elementi.
Le principali operazioni tra insiemi sono:
Due insiemi "A" e "B" si dicono inoltre:
"B" è sottoinsieme di "A" se "A" contiene gli elementi di "B". Secondo la definizione ogni insieme è contenuto in sé stesso. Per esprimere questo si usa la notazione:
Se si vuole escludere che "B" coincida con "A", cioè prevedere che esistono elementi di "A" non contenuti in "B", si usa la notazione:
che si legge: ""B è un sottoinsieme proprio di A"" oppure ""B è incluso propriamente in A"" oppure ""B è contenuto propriamente in A"". Alcuni autori utilizzano solo la seconda notazione, indipendentemente dal tipo di inclusione.
La relazione binaria di inclusione tra insiemi rende una qualsiasi classe di insiemi un insieme parzialmente ordinato.
Insieme vuoto è l'insieme che non contiene "nessun" elemento. Si indica con i simboli formula_25, formula_26 o con due parentesi graffe, la prima aperta e l'altra chiusa formula_27.
L'insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme (incluso sé stesso).
Per qualunque insieme "A" si definisce insieme delle parti o "insieme potenza" di "A" e si indica con formula_28 o formula_29 l'insieme che ha come elementi tutti e soli i sottoinsiemi di "A". Ad esempio, se formula_30 allora il suo insieme delle parti è costituito da formula_31.
L'insieme delle parti ha cardinalità strettamente maggiore di quella dell'insieme di partenza. Se "A" è finito ed ha |"A"| elementi, il numero degli elementi di formula_28 è dato da formula_33 (in simboli, formula_34).
L'insieme delle parti di qualsiasi insieme, considerato congiuntamente all'operazione di differenza simmetrica, forma un gruppo abeliano. Se vengono considerate insieme unione, intersezione e complementazione la struttura generata è un'algebra di Boole.
Si chiama partizione dell'insieme A un insieme di sottoinsiemi di A che ha queste caratteristiche:
Dati gli insiemi A e B, con Bformula_35A, l'insieme complementare di B rispetto ad A è A-B. Lo indichiamo con formula_36(B).
Alcuni insiemi, detti "numerici", hanno un ruolo particolarmente importante e pervasivo in tutte le branche della matematica:
Questi insiemi si possono vedere intuitivamente come contenuti uno nell'altro:
Più propriamente si dovrebbe parlare di immersione di ogni insieme nel seguente, poiché secondo la corrente assiomatizzazione i vari insiemi sono definiti in modi radicalmente diversi l'uno dall'altro.


Nella teoria degli insiemi si indica con insieme vuoto quel particolare insieme che non contiene alcun elemento.
Nella teoria assiomatica degli insiemi l'assioma dell'insieme vuoto ne postula l'esistenza. Partendo da questo sono costruiti tutti gli insiemi finiti. L'insieme vuoto è chiamato talvolta anche "insieme nullo", ma ciò può creare confusione con il concetto esposto nella voce insieme nullo, argomento studiato in teoria della misura.
Diverse proprietà insiemistiche sono banalmente vere per l'insieme vuoto.
Solitamente l'insieme vuoto è indicato col simbolo formula_1, formula_2, ∅ oppure formula_3, usato per la prima volta dal gruppo di matematici, principalmente francesi, dell'inizio del XX secolo che scrivevano sotto lo pseudonimo collettivo di Nicolas Bourbaki (in particolare, fu il matematico André Weil ad introdurlo nel 1939). Non deve essere confuso con la lettera greca Φ (phi) o con la vocale scandinava Øø (sebbene Weil si sia ispirato proprio a questa).
Si noti che la notazione {formula_2} indica l'insieme che contiene l'insieme vuoto e va pertanto non confusa con il semplice insieme vuoto formula_2.
Per notare meglio le differenze tra i vari simboli, li si osservi uno a fianco all'altro: ∅ Øø Φ - il simbolo di insieme vuoto è basato su un cerchio, mentre la lettera scandinava è più simile a un ovale, come la lettera O; infine la barra della Φ è verticale e non obliqua.
Poiché l'insieme vuoto è unico si parla "dell"'insieme vuoto e non "di un" insieme vuoto. Nella teoria degli insiemi, infatti, due insiemi sono uguali se hanno gli stessi elementi, quindi ci può essere un solo insieme senza elementi.
Considerato come sottoinsieme della retta reale (o, più in generale, di un qualsiasi spazio topologico), l'insieme vuoto è sia chiuso che aperto. Tutti i suoi punti frontiera (cioè nessun punto) appartengono all'insieme vuoto, che perciò è chiuso; ma anche tutti i suoi punti interni (ancora una volta nessun punto) appartengono all'insieme vuoto, che dunque è anche aperto. Inoltre l'insieme vuoto è un insieme compatto per il fatto che ogni insieme finito è compatto.
La chiusura dell'insieme vuoto è vuota. Questo fatto è noto come "conservazione dell'unione nulla".
Il concetto di insieme vuoto non è la stessa cosa che il concetto di "niente". È un insieme che non contiene niente al suo "interno", ma un insieme è "qualcosa". Questo fatto spesso causa difficoltà a chi lo incontra per la prima volta. Può essere d'aiuto immaginare un insieme come un contenitore di oggetti: un contenitore vuoto è vuoto, eppure certamente esiste.
L'insieme vuoto è un sottoinsieme di un qualunque insieme "A". Per definizione di sottoinsieme, si ha che per "ogni" elemento "x" di {}, "x" appartiene ad "A". Se non fosse vero che ogni elemento di {} si trova in "A", allora dovrebbe esistere almeno un elemento di {} che non è presente in "A". Ma dal momento che "non" ci sono elementi in {}, allora non esiste alcun elemento di {} che non sta in "A", e dunque si può concludere che ogni elemento di {} si trova in "A" e quindi {} è un sottoinsieme di "A". Questo concetto è spesso parafrasato con "tutto è vero per gli elementi dell'insieme vuoto" e può essere visto come una applicazione della regola logica "ex falso quodlibet".
Nella teoria assiomatica degli insiemi nota come teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel, l'esistenza dell'insieme vuoto è assicurata dall'assioma dell'insieme vuoto. L'unicità dell'insieme vuoto segue dall'assioma di estensionalità.
Ogni assioma che stabilisce l'esistenza di un qualunque insieme implica l'assioma dell'insieme vuoto, utilizzando lo schema di assiomi di specificazione. Per esempio, se formula_15 è un insieme, allora lo schema di assiomi di separazione permette la costruzione dell'insieme formula_16, che può essere definito come l'insieme vuoto.
Sebbene l'insieme vuoto sia un concetto standard ed universalmente accettato in matematica, esistono persone che ancora manifestano qualche dubbio.
Jonathan Lowe ha affermato che anche se l'idea "è stata certamente una pietra miliare nella storia della matematica, … non dobbiamo assumere che la sua utilità nei calcoli sia dipendente dal suo denotare effettivamente un qualche oggetto". Non è chiaro se tale idea abbia un senso. "Tutto ciò di cui siamo a conoscenza riguardo all'insieme vuoto è che (1) è un insieme, (2) non ha elementi, e (3) è unico tra tutti gli insiemi che non hanno elementi. Però esistono molte cose che "non hanno elementi" nel senso della teoria degli insiemi — e cioè tutti i non-insiemi. È chiaro il motivo per cui questi oggetti non hanno elementi: perché non sono insiemi. Ciò che non è chiaro è come possa esistere, in modo univoco tra gli insiemi, un "insieme" che non ha elementi. Non possiamo evocare una tale entità semplicemente per accordo".
In seguito George Boolos, in "To be is to be the value of a variable…", Journal of Philosophy, 1984 (ristampato nel suo libro "Logic, Logic and Logic"), ha detto che si può fare molta strada utilizzando semplicemente la quantificazione multipla sugli oggetti, senza reificare gli insiemi come singole entità che hanno altre entità come membri.
In un libro recente Tom McKay ha espresso un'opinione negativa riguardo all'assunzione "singolarista" che le espressioni naturali che usano il plurale possano essere analizzate utilizzando surrogati del plurale, come i simboli per gli insiemi. Egli appoggia una teoria anti-singolarista che differisce dalla teoria degli insiemi nel fatto che non esiste l'analogo dell'insieme vuoto, ed esiste una sola relazione, "fra" ("among" in inglese), che è analoga sia al concetto di appartenenza che a quello di inclusione.
Le operazioni sull'insieme vuoto (inteso come insieme di oggetti sui quali si effettua l'operazione) possono creare confusione. Per esempio, la somma degli elementi dell'insieme vuoto è zero, ma la moltiplicazione degli elementi dell'insieme vuoto è uno (è il prodotto vuoto). Questo fatto può sembrare sbagliato, dato che non ci sono elementi nell'insieme vuoto, e quindi sembra che non possa fare differenza se essi sono sommati o moltiplicati (dato che “essi” non esistono). In effetti, i risultati di queste operazioni rivelano di più sulle operazioni stesse di quanto non facciano sull'insieme vuoto. Per esempio, si noti che lo zero è l'elemento neutro per l'addizione, mentre l'uno è l'elemento neutro per la moltiplicazione.
Dato che l'insieme vuoto non ha elementi, quando viene considerato come sottoinsieme di un qualunque insieme ordinato risulta che ogni elemento di quell'insieme è sia un maggiorante che un minorante per l'insieme vuoto. Per esempio, quando l'insieme vuoto viene considerato un sottoinsieme dei numeri reali, con l'ordinamento usuale, risulta che ogni numero reale è sia maggiorante che minorante per esso. Quando viene considerato come sottoinsieme dei numeri reali estesi (formati aggiungendo i due "numeri" (o punti) "meno infinito", indicato con formula_17 e "più infinito", indicato con formula_18 ai numeri reali, definiti in modo tale che formula_17 è minore di qualunque numero reale e formula_18 è maggiore di qualunque numero reale) si ha che: 
e
E cioè, il più piccolo maggiorante (sup o estremo superiore) è formula_23, mentre il più grande minorante (inf o estremo inferiore) è formula_24.
In precedenza si è affermato che l'insieme vuoto ha zero elementi, o che la sua cardinalità è zero. La connessione tra questi due concetti va oltre: nella definizione astratta di numero naturale lo zero è "per definizione" associato all'insieme vuoto, l'uno all'insieme con unico elemento l'insieme vuoto, e così via, in questo modo:
Se "A" è un insieme, allora esiste esattamente una funzione "f" da {} a "A", la funzione vuota. Di conseguenza, l'insieme vuoto è l'unico oggetto iniziale della categoria degli insiemi e delle funzioni.
L'insieme vuoto può essere considerato uno spazio topologico in un unico modo (definendolo aperto); questo spazio topologico vuoto è l'unico oggetto iniziale nella categoria degli spazi topologici con funzioni continue.
