
L'addizione (denotata normalmente dal simbolo del più, "+") è una delle quattro operazioni fondamentali dell'aritmetica, insieme alla sottrazione, alla moltiplicazione e alla divisione. L'addizione di due numeri naturali può essere definita in termini insiemistici. Per sommare due numeri naturali "a" e "b", si considerano due insiemi "A" e "B" che abbiano, rispettivamente, "a" e "b" come numero di elementi, e che siano disgiunti (cioè non abbiano elementi in comune). Allora il risultato dell'addizione di "a" e "b" è il numero di elementi dell'insieme unione di "A" e "B" (l'insieme "A" ∪ "B").
Ad esempio, se in un sacchetto abbiamo tre mele e in un altro sacchetto abbiamo due mele, mettendo insieme il contenuto dei due sacchetti avremo cinque mele. Questa osservazione è equivalente all'espressione matematica "3 + 2 = 5", ovvero "3 più 2 è uguale a 5".
L'addizione può essere definita anche su quantità più astratte, quali i numeri interi relativi, i numeri razionali, i numeri reali e i numeri complessi, e su altri oggetti matematici quali i vettori e le matrici.
L'addizione gode di alcune proprietà basilari. È commutativa, ovvero cambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia. È associativa, ovvero quando si sommano più di due numeri, il risultato è lo stesso indipendentemente dall'ordine in cui vengono effettuate le addizioni. Lo zero è l'elemento neutro dell'addizione, ovvero sommare zero ad un numero lascia quel numero invariato.
I numeri o termini coinvolti nell'addizione sono collettivamente detti addendi, e il risultato dell'addizione è la loro somma.
Se gli addendi sono scritti individualmente, l'addizione è rappresentata dal carattere "+", che si interpone tra un termine e l'altro. Tra la sequenza degli addendi e la loro somma si interpone il simbolo dell'uguaglianza, "=". Sono addizioni valide:
e la prima di queste si legge, indifferentemente,
Negli scritti precedenti al XVI secolo è possibile trovare un altro simbolo indicante l'addizione. Si tratta di una "P" in corsivo che rimpiazzava la parola "più".
Se i termini non sono scritti individualmente, ma la sequenza degli addendi si ricava facilmente dalla scrittura, la somma si può indicare con un'ellissi ("...") per indicare i termini mancanti: la somma dei numeri naturali da 1 a 100 si può dunque scrivere come 1 + 2 + … + 99 + 100 = 5050.
In alternativa, la somma può essere rappresentata con il simbolo di sommatoria, rappresentato dalla lettera greca Sigma maiuscola. In particolare, data una sequenza di numeri denotati con formula_4, la somma degli "n-m+1" compresi fra quello di posizione "m" e quello di posizione "n" può essere espressa con la scrittura
Il simbolo "+" è un'abbreviazione della parola latina "et", che significa "e". Il suo uso in opere a stampa è attestato sin dal 1486.
Una delle interpretazioni dell'addizione è quella della combinazione di insiemi: 
Questa interpretazione, facile da visualizzare, è anche alla base della definizione formale di addizione tra numeri cardinali.
Una seconda interpretazione dell'addizione è data dall'estensione di una lunghezza (intera) di partenza in termini di una lunghezza (intera) data: 
Questa interpretazione è alla base della definizione formale di addizione tra numeri ordinali.
L'addizione è un'operazione "commutativa", ovvero cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia: 
Ad esempio: formula_7
L'addizione è un'operazione "associativa", ovvero quando si sommano tre o più addendi, l'ordine delle operazioni non influisce sul risultato:
Ad esempio: formula_9
Aggiungere zero ad un numero qualunque lascia quel numero invariato; in altre parole, lo zero è l'elemento neutro dell'addizione. In formule,
Per eseguire velocemente un'addizione fra numeri naturali, si allineano in colonna gli addendi, partendo dalla cifra delle unità a destra. Dopodiché si sommano le cifre di ciascuna colonna, da destra verso sinistra, e nell'eventualità che il risultato della somma su di una colonna sia maggiore o pari a dieci, si "riportano" le decine in eccesso come ulteriore addendo sulla colonna immediatamente a sinistra a quella appena calcolata.
Ad esempio, nell'addizione 27 + 59,
7 + 9 = 16, e la cifra 1 è il riporto.
Il metodo discusso sopra può essere applicato per sommare due qualunque numeri naturali ad "n" cifre "A"=a...aa e "B"=b...bb (nel caso il numero di cifre di "A" e "B" sia diverso, è sufficiente aggiungere il numero appropriato di zeri in testa al numero con meno cifre). In pseudocodice, l'algoritmo è il seguente:
Seguendo un metodo simile a quello descritto sopra si possono sommare anche due frazioni decimali. Si allineano i due numeri decimali in modo tale che la virgola sia nella stessa posizione. Se necessario, si aggiungono degli zeri in coda al numero più corto perché abbia lo stesso numero di cifre di quello più lungo. Infine, si segue il procedimento visto sopra, con l'unica accortezza di aggiungere la virgola al risultato nella stessa posizione in cui compare nei due addendi. Ad esempio, 45,1 + 4,34 si svolge nel seguente modo:
Questa estensione del metodo fu divulgata da Simone Stevino.
Nella teoria dell'algebra astratta si può chiamare "addizione" una qualunque operazione associativa e commutativa definita su un insieme, che sia dotata di un elemento neutro. Una struttura algebrica che includa una simile operazione è detta "monoide commutativo".
Già gli antichi Egizi avevano un semplice metodo per sommare numeri naturali. Nella notazione geroglifica, i numeri venivano indicati ripetendo una quantità appropriata di simboli rappresentanti le unità, le decine, le centinaia, eccetera. Per ottenere la somma di due numeri, quindi, era sufficiente combinare le unità, poi le decine, poi le centinaia, e così via, con l'accortezza di rimpiazzare eventuali gruppi di dieci simboli identici con un simbolo del tipo successivo. 
Ad esempio, per sommare 783 e 275, si combina
Il metodo di addizione posizionale moderno era sicuramente già noto in India intorno all'anno 600 d.C., ma è assai plausibile che lo stesso genere di algoritmo fosse già utilizzato dai Babilonesi in Mesopotamia nel 1700 a.C., anche se in un sistema sessagesimale anziché decimale.
In Europa, l'algoritmo di addizione moderno fu introdotto nel XII secolo attraverso la traduzione degli scritti del matematico persiano al-Khwarizmi.


In algebra, il teorema delle radici razionali afferma che ogni soluzione razionale di un'equazione polinomiale a coefficienti interi:
è della forma formula_2, dove:
Il teorema non dà alcuna informazione su eventuali radici irrazionali o complesse.
Ad esempio, se abbiamo un'equazione della forma
allora le eventuali radici razionali sono contenute in quest'insieme:
Se il polinomio è monico, cioè è formula_9, evidentemente la formula si semplifica restringendo le opzioni tra i soli divisori del termine noto. La verifica di ogni singola possibile radice si può ad esempio attuare con il teorema del resto (oppure con la regola di Ruffini se si vuole avere direttamente anche direttamente il quoziente). Se nessun valore soddisfa le richieste, allora tutte le sue radici (che esistono per il teorema fondamentale dell'algebra) sono irrazionali o complesse. Al contrario, se sono state trovate formula_10 radici razionali, allora il polinomio è completamente fattorizzabile in polinomi lineari con coefficienti razionali.
Il teorema delle radici razionali è una diretta conseguenza del lemma di Gauss, il quale afferma che se un polinomio (a coefficienti interi) è fattorizzabile sui razionali, allora lo è anche sugli interi.
Quindi se esiste una radice razionale formula_2, questo significa che potremo scrivere il nostro polinomio iniziale come formula_12 con tutti i formula_13 interi. Facendo il prodotto (i coefficienti intermedi non ci interessano) e sfruttando il fatto che due polinomi sono uguali se e solo se coincidono tutti i coefficienti, avremo formula_14 e formula_15, da cui il teorema.
In altro modo, supponiamo che la frazione formula_16 sia una radice del polinomio. Possiamo supporre che la frazione sia ridotta ai minimi termini, ovvero che gli interi formula_3 e formula_5 siano primi fra loro. Sostituendo si ottiene 
da cui, moltiplicando per formula_20,
Ora formula_3 divide i primi formula_10 termini, dunque deve dividere anche l'ultimo termine formula_24. Dato che formula_3 e formula_5 sono primi fra loro, formula_3 deve dividere formula_4. Con un ragionamento analogo si vede che formula_5 divide formula_6.
