
In matematica, una serie è la somma degli elementi di una successione, appartenenti in generale ad uno spazio vettoriale topologico. Si tratta di una generalizzazione dell'operazione di addizione, che può essere in tal modo estesa al caso in cui partecipano infiniti termini.
Le serie si distinguono primariamente in base alla natura degli oggetti che vengono sommati, che possono essere ad esempio numeri (reali o complessi) o funzioni, ma si utilizzano anche serie formali di potenze, serie di vettori, di matrici e, più in astratto, di operatori. Nell'ambito della teoria dei linguaggi formali vi sono le serie di variabili non commutative, cioè serie di stringhe.
Tra le serie di particolare interesse vi è la serie aritmetica, caratterizzata dal fatto che la differenza tra ciascun termine e il suo precedente è una costante, e la serie geometrica, in cui il rapporto tra ciascun termine e il suo precedente è una funzione costante. Nel caso più generale in cui il rapporto fra termini successivi è una funzione razionale, la serie è detta ipergeometrica.
Di particolare importanza in analisi complessa sono le serie di funzioni che sono serie di potenze, come la serie geometrica e la serie di Taylor. Le serie di funzioni costituiscono inoltre efficaci strumenti per lo studio delle funzioni speciali e per la risoluzione di equazioni differenziali.
Si consideri una successione di elementi formula_1. Si definisce serie associata ad formula_1 la somma formale:
Per ogni indice formula_4 della successione si definisce "successione delle somme parziali (o ridotte)" formula_5 associata a formula_6 la somma dei termini della successione formula_6 da formula_8 a formula_9:
Si dice che la serie formula_11 tende o converge al limite formula_12 se la relativa successione delle somme parziali formula_13 converge a formula_12. Ovvero:
se e solo se:
Questo limite si dice "somma della serie".
Più in generale, sia formula_17 una funzione da un insieme di indici formula_18 ad un insieme formula_19. Allora la serie associata ad formula_20 è la somma formale:
Se formula_22, la funzione formula_23 è una successione, con formula_24. Nel caso in cui formula_19 è un semigruppo, la successione delle somme parziali formula_26 associata a formula_27 è definita per ogni formula_4 come la somma della successione formula_29 da formula_30 a formula_31:
Se inoltre il semigruppo formula_19 è uno spazio topologico, allora la serie formula_34 converge a formula_35 se e solo se la relativa successione delle somme parziali formula_5 converge a formula_12.
In simboli: formula_38
Nel caso in cui il termine generale è una funzione formula_39, si definisce "dominio di convergenza" della serie di funzioni l'insieme dei valori di formula_40 per cui la serie converge. Si nota che valutando la funzione formula_39 in un punto formula_42 la serie diventa una serie numerica.
Una serie formula_11 è una "serie convergente" al limite formula_44 se la relativa successione delle somme parziali converge a formula_12, ovvero si verifica:
Se il limite formula_12 è infinito la serie si dice "serie divergente", mentre se il limite non esiste la serie si dice "serie indeterminata" o "serie oscillante". Se inoltre la serie converge o diverge, essa è detta "serie regolare".
Per determinare il carattere di una serie sono stati sviluppati diversi criteri di convergenza che legano la convergenza della serie allo studio del limite di successioni associate alla serie. Una condizione necessaria ma non sufficiente affinché una serie converga è che:
Un controesempio alla sufficienza è dato dalla serie armonica. Per mostrare la precedente condizione, sia:
la somma parziale ennesima. La convergenza della serie significa che esiste il limite finito:
Poiché formula_51, si ha:
Nelle serie numeriche il termine generale della serie formula_53 è un numero, reale o complesso, che dipende solo da n e non da altre variabili.
Per la determinazione della convergenza o meno delle serie numeriche conviene individuarne tre tipi per i quali sono disponibili criteri di convergenza spesso semplici ed efficaci.
Una serie numerica converge se e solo se per ogni formula_54 esiste un formula_55 tale che per tutti gli formula_56 e per ogni formula_57 si verifica:
L'enunciato è sostanzialmente il criterio di convergenza di Cauchy applicato alla successione delle somme parziali.
Una serie si dice "a termini positivi" quando tutti i suoi termini sono reali positivi, cioè data la serie:
il numero formula_53 è reale positivo. Si noti che tali serie possono solo divergere o convergere, e le somme parziali sono monotone non decrescenti:
perciò per il teorema di esistenza del limite nel caso di successioni monotone, questo tipo di serie convergono, se le somme parziali n-esime sono limitate, o sono divergenti ma non possono essere indeterminate.
Il carattere di una serie a termini di segno costante si ottiene applicando vari metodi, quali il criterio del confronto asintotico, il criterio della radice, il criterio del rapporto e il criterio del confronto. Se la condizione necessaria di convergenza non è rispettata, allora per il teorema di regolarità della serie a termini di segno costante, la serie diverge sicuramente.
Si dicono inoltre "serie a termini di segno qualsiasi" le serie a termini reali le quali presentano sia infiniti termini positivi che infiniti termini negativi.
La somma di due serie è la serie:
Se le serie a e b sono convergenti anche la somma delle due serie sarà convergente. Se una delle due serie diverge anche la somma delle serie sarà divergente. Inoltre:
Si definisce prodotto di Cauchy di due serie la serie:
dove:
Se le due serie a termini positivi sono convergenti allora il prodotto è convergente e la sua somma vale il prodotto delle somme delle serie date.
Questo risultato si estende a serie di termini qualunque nell'ipotesi che almeno una delle serie sia assolutamente convergente. Se entrambe le serie convergono ma non assolutamente, la successione formula_66 potrebbe non essere infinitesima e il prodotto potrebbe non convergere, come avviene nel caso formula_67. In generale, invece:
La serie formula_69 a termini di segno qualunque si dice "assolutamente convergente" se la serie dei valori assoluti formula_70 è convergente. La convergenza assoluta implica la convergenza (ordinaria), detta anche "convergenza semplice". Occorre sottolineare che non tutte le serie che convergono semplicemente convergono anche assolutamente: se ciò non accade, si dice che la serie è "condizionatamente convergente". Ad esempio, la serie:
converge semplicemente (a formula_72), ma non converge assolutamente, dato che la serie ad essa associata è quella armonica.
Data una serie, si può pensare di cambiare l'ordine dei suoi addendi: mentre una somma finita gode della proprietà commutativa, questo non è vero in generale per una serie infinita di addendi. Per esempio, una serie i cui termini pari siano -1 e quelli dispari 1 è oscillante, ma se si disordinano gli addendi la serie risultante può essere divergente.
Data una qualunque funzione biunivoca formula_73, si definisce una "permutazione" (anche detta "riarrangiamento" o "permutata") della serie formula_74 ogni oggetto della forma formula_75. Ora, se la serie originaria converge, si dice che essa è "incondizionatamente convergente" se tutte le sue serie permutate convergono.
Un notevole teorema (dimostrato da Riemann) ci dice che:
Si definisce serie infinita a termini complessi una somma del tipo:
o più sinteticamente:
dove formula_82, e dunque si scrive:
Questa serie si dice "convergente" se la somma dei primi "n" termini:
tende ad un limite finito al tendere di formula_85. Si può dedurre che la serie è convergente ad formula_86 se sono convergenti le due serie parte reale e parte immaginaria rispettivamente ai punti formula_87 e formula_88, e in tal caso la serie generale converge al punto formula_89, che è detta "somma della serie".
Condizione necessaria per la convergenza della serie è che:
cioè i termini della serie sono infinitesimi. Se la serie complessa ottenuta prendendo i valori assoluti dei termini di una serie:
è convergente, allora anche la serie di partenza è convergente. Infatti, dalle disuguaglianze:
segue che entrambe le serie formula_6 e formula_94 convergono.
Una condizione necessaria e sufficiente per la convergenza è invece che per ogni formula_95 esista formula_96 tale che per formula_97 intero positivo qualsiasi si abbia:
In generale, per le serie numeriche complesse valgono tutte le proprietà delle serie numeriche reali.
Una serie di funzioni complesse:
è uniformemente convergente se esiste formula_96 tale che per ogni formula_101 si ha:
per ogni formula_54 e per ogni formula_104 e formula_97 intero positivo. Se i termini della serie sono funzioni continue in un dominio formula_87 e la serie è uniformemente convergente, allora anche la somma della serie è continua in formula_87.
Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza assoluta e uniforme della serie è che per tutti i valori di formula_108 i termini della serie siano tutti limitati nel dominio formula_87.
Il primo teorema di Weierstrass stabilisce che se i termini di una serie sono funzioni analitiche in un dominio formula_87 semplicemente connesso, la sua somma formula_111 è una funzione analitica nello stesso dominio. Infatti, nelle ipotesi del teorema la funzione somma è sicuramente continua e si può scambiare la serie con l'integrale:
dove formula_113 è una qualsiasi curva chiusa appartenente al dominio formula_87. Ne segue che:
e per il teorema di Morera, formula_111 è analitica.
Il secondo teorema di Weierstrass afferma invece che se una serie di funzioni analitiche in un dominio connesso e chiuso formula_87 è uniformemente convergente, allora può essere derivata termine a termine "n" volte.
In matematica, soprattutto in analisi complessa, sono di particolare importanza le serie di potenze. Si tratta di particolari serie di funzioni della forma:
dove formula_119 è detto il "centro" della serie. Si può dimostrare che per ogni serie di potenze esiste un numero formula_120, con formula_121 tale che la serie converge quando formula_122 e diverge quando formula_123. Il numero formula_120 è il raggio di convergenza della serie di potenze. Esistono alcuni criteri che facilitano la ricerca del raggio di convergenza della serie.
Una serie complessa di potenze positive è del tipo:
Dai teoremi di Weierstrass e Abel discende che la somma di una serie di potenze intere nel suo cerchio di convergenza è una funzione analitica, e che ogni serie di potenze è una serie di Taylor della funzione somma. Il teorema di Abel fornisce una caratterizzazione della regione di convergenza, mentre la formula di Cauchy-Hadamard mostra come si possa stabilire con esattezza il valore del raggio di convergenza.
Se la serie di potenze positive converge in un punto formula_126 allora converge uniformemente in ogni punto:
cioè in ogni cerchio di raggio:
Infatti, secondo le ipotesi del teorema la serie converge in formula_126, e si vuole provare la sua convergenza in tutto un cerchio di raggio formula_130. Se si riscrive:
e questa serie converge in formula_126, allora si può maggiorare:
La convergenza è quindi assoluta e uniforme.
Il raggio di convergenza di una serie di potenze intere positive è uguale a:
oppure:
se tale limite esiste ed è finito. All'interno di questo raggio la serie è uniformemente e assolutamente convergente. Sulla circonferenza può convergere o meno e si valuta caso per caso e la serie diverge al di fuori di questo cerchio. Può capitare il caso in cui la serie converga in un solo punto, allora la serie è necessariamente composta di un solo termine.
La serie di Taylor è lo sviluppo di una funzione (nel suo cerchio di convergenza) in serie di potenze in un punto in cui la funzione è analitica. Tale sviluppo è unico ed ha la forma:
con:
Infatti, dalla rappresentazione di Cauchy si ha:
Sviluppando il denominatore nel seguente modo:
e integrando termine a termine questa serie, che è uniformemente convergente, si ottiene:
dove:
come si voleva mostrare.
La serie è convergente entro il cerchio di convergenza (fino alla più vicina singolarità isolata) ed entro il dominio di analiticità della funzione formula_142, e può essere derivata termine a termine. Si deduce che l'analicità di una funzione e la sviluppabilità in serie di Taylor sono concetti equivalenti.
La serie di potenze di Laurent considera anche le potenze negative:
con:
In generale formula_145 "non" è la derivata formula_146.
Supponendo che la funzione formula_142 sia olomorfa nella corona circolare di centro formula_148 formata dalle circonferenze formula_149 interna e formula_150 esterna e sulle circonferenze, per ogni punto z la formula integrale di Cauchy si scrive:
Integrando il primo integrale su formula_150 si ha: formula_153 e si può rappresentare il primo membro in serie di Taylor. Il secondo membro dà sempre formula_153 e si ha uno sviluppo:
cioè in serie di potenze negative di formula_156. Raggruppando le due serie si ottiene la serie di Laurent.
La serie di Laurent ha potenze positive e negative dunque il dominio di questa serie non comprende il punto formula_157 che annullerebbe le potenze negative e risulta che la regione di convergenza non è un cerchio ma una regione anulare, cioè una "corona circolare":
o ancora meglio:
Data una funzione formula_160, l'espressione formula_161 rappresenta la somma:
Essa definisce chiaramente una funzione formula_163 che associa ad ogni formula_164 il valore formula_165.
Dall'analisi degli algoritmi si utilizza sovente la valutazione di somme di questo tipo, ad esempio nello studio in un'istruzione del tipo 
per un comando C qualsiasi si ottiene la somma:
dove formula_167 è il tempo di calcolo del comando C quando la variabile formula_168 assume il valore formula_4. L'ordine di grandezza di una somma può essere dedotto dall'ordine di grandezza dei suoi addendi.
Siano formula_20 e formula_171 due funzioni definite su formula_172 a valori in formula_173 e siano formula_174 e formula_19 le loro funzioni somma, cioè:
Allora formula_177 implica formula_178.
In altre parole, si può ricondurre lo studio asintotico di formula_174 e formula_19 sapendo che la relazione esistente tra le loro funzioni formula_181 e formula_182 sono formula_177, allora si ottiene che formula_178. Da notare che il simbolo formula_185 viene usato per indicare che due funzioni hanno lo stesso ordine di grandezza a meno di costanti moltiplicative.
La proprietà è una semplice conseguenza della definizione di formula_185. Infatti per l'ipotesi esistono due costanti positive formula_119, formula_188 tali che formula_189 per ogni formula_4 abbastanza grande. Sostituendo questi valori nelle rispettive sommatorie si ottiene:
per due costanti formula_192, formula_193 fissate e ogni formula_194 sufficientemente grande.
Si vuole valutare l'ordine di grandezza della somma:
Poiché formula_196, applicando la proposizione precedente si ottiene:
È importante conoscere il carattere di alcune cosiddette "serie fondamentali", cioè serie specifiche che vengono utilizzate spesso nell'applicazione dei criteri di convergenza. Esse sono, ad esempio, la serie di Mengoli, la serie geometrica, la serie armonica o la serie resto.
Nel seguito alcuni esempi:


La matematica (dal greco μάθημα ("máthema"), traducibile con i termini "scienza", "conoscenza" o "apprendimento"; μαθηματικός ("mathematikós") significa "incline ad apprendere") è la disciplina che studia le quantità (i numeri), lo spazio, le strutture e i calcoli.
Per l'origine del termine occorre andare al vocabolo egizio "maat", nella cui composizione appare il simbolo del cubito, strumento di misura lineare, un primo accostamento al concetto matematico. Simbolo geometrico di questo ordine è un rettangolo, da cui sorge la testa piumata della dea egizia Maat, personificazione dei concetti di ordine, verità e giustizia. Figlia di Ra, unico Uno, creatore di ogni cosa, la sua potenza demiurgica è limitata e ordinata da leggi naturali e matematiche.
All'inizio del papiro di Rhind si trova questa affermazione: ""Il calcolo accurato è la porta d'accesso alla conoscenza di tutte le cose e agli oscuri misteri"". Il termine "maat" riappare in copto, in babilonese e in greco. In greco la radice "ma", "math", "met" entra nella composizione di vocaboli contenenti le idee di ragione, disciplina, scienza, istruzione, giusta misura, e in latino il termine "materia" indica ciò che può essere misurato.
Col termine matematica di solito si designa la disciplina (ed il relativo corpo di conoscenze) che studia problemi concernenti quantità, estensioni e figure spaziali, movimenti di corpi, e tutte le strutture che permettono di trattare questi aspetti in modo generale. La matematica fa largo uso degli strumenti della logica e sviluppa le proprie conoscenze nel quadro di sistemi ipotetico-deduttivi che, a partire da definizioni rigorose e da assiomi riguardanti proprietà degli oggetti definiti (risultati da un procedimento di astrazione, come triangoli, funzioni, vettori ecc.), raggiunge nuove certezze, per mezzo delle dimostrazioni, attorno a proprietà meno intuitive degli oggetti stessi (espresse dai teoremi).
La potenza e la generalità dei risultati della matematica le ha reso l'appellativo di "regina delle scienze": ogni disciplina scientifica o tecnica, dalla fisica all'ingegneria, dall'economia all'informatica, fa largo uso degli strumenti di analisi, di calcolo e di modellizzazione offerti dalla matematica.
La matematica ha una lunga tradizione presso tutti i popoli della storia antica e moderna; è stata la prima disciplina a dotarsi di metodi di elevato rigore e portata. Ha progressivamente ampliato gli argomenti della sua indagine e progressivamente ha esteso i settori ai quali può fornire aiuti computazionali e di modellizzazione. È significativo che, in talune lingue e in talune situazioni, al termine singolare si preferisca il plurale "matematiche".
Nel corso della sua lunga storia e nei diversi ambienti culturali si sono avuti periodi di grandi progressi e periodi di stagnazione degli studi. Questo in parte è dovuto a singoli personaggi, capaci di dare apporti profondamente innovativi e illuminanti e di stimolare all'indagine matematica grazie alle loro doti didattiche. Si sono avuti anche periodi di arretramento delle conoscenze e dei metodi, specie in relazione a eventi distruttivi o a periodi di decadenza complessiva della vita intellettuale e civile. Negli ultimi 500 anni, per il miglioramento dei mezzi di comunicazione, è prevalsa la crescita del patrimonio di risultati e di metodi,
dovuta alla natura stessa delle attività matematiche, tese alla esposizione precisa di problemi e soluzioni; ciò impone di comunicare col fine ultimo di chiarire ogni dettaglio delle costruzioni logiche e dei risultati (alcuni chiarimenti richiedono un impegno non trascurabile, talora molti decenni). Questo ha corrisposto alla definizione di un linguaggio, strumento esemplare per la trasmissione e la sistemazione delle conoscenze.
Del linguaggio matematico moderno, fatto di simboli riconosciuti in tutto il mondo, la maggior parte è stata introdotta dopo il XVI secolo. Prima di allora la matematica era scritta usando parole, un processo faticoso che rallentava le scoperte matematiche. Eulero (1707-1783) è stato il responsabile di molte delle notazioni oggi in uso. La notazione matematica moderna rende molto più facile il lavoro del matematico, ma i principianti lo trovano scoraggiante. È estremamente compressa: pochi simboli contengono una grande quantità di informazioni; come le note musicali, la notazione matematica moderna ha una sintassi rigorosa (che in misura limitata varia da autore ad autore, e da disciplina a disciplina) e codifica informazioni difficili da scrivere in qualsiasi altro modo.
Il linguaggio matematico può essere difficile per i principianti. Parole come "o" e "solo" hanno precisi significati, più che nella lingua corrente. Inoltre, parole come aperto e campo hanno specifici significati matematici. Il "gergo matematico" comprende moltissimi termini tecnici, come omeomorfismo e integrabile, perché la matematica richiede assai più precisione del linguaggio quotidiano.
Nelle dimostrazioni matematiche è fondamentale il rigore. Per rigore si intende un utilizzo preciso e logico di teoremi già dimostrati, in modo che, analizzando la dimostrazione in profondità attraverso un processo a ritroso, si arrivi ad assiomi e definizioni "universalmente accettati". Il livello di rigore richiesto in matematica è variato col tempo: i Greci richiedevano argomentazioni dettagliate, ma nel periodo di Isaac Newton il rigore utilizzato nelle dimostrazioni si era alleggerito. I problemi nati dalle definizioni usate da Newton hanno portato alla rinascita di una attenta analisi delle dimostrazioni nel corso del Diciannovesimo secolo. Il significato di rigore matematico non è sempre chiaro. Ad esempio i matematici continuano a discutere sull'opportunità di considerare valide le dimostrazioni effettuate attraverso computer: dato che lunghi calcoli sono difficili da verificare, tali dimostrazioni potrebbero essere considerate non sufficientemente rigorose.
Gli assiomi, nel pensiero tradizionale, erano considerati le "verità auto-evidenti", ma questa concezione comporta alcuni problemi. A livello formale, un assioma è solo una successione di simboli, che ha un significato intrinseco solo nel contesto di tutte le formule derivabili di un sistema assiomatico. L'obiettivo del programma di Hilbert è stato proprio quello di fornire l'intera matematica di una solida base assiomatica, ma secondo il teorema di incompletezza di Gödel una completa assiomatizzazione della matematica è impossibile. Nonostante ciò, la matematica è spesso immaginata consistere (per lo meno nel suo contenuto formale) nella teoria degli insiemi in una qualche assiomatizzazione, nel senso che ogni enunciato matematico, o dimostrazione, può essere scritto con formule esprimibili all'interno di tale teoria.
Le attività matematiche sono naturalmente interessate alle possibili generalizzazioni e astrazioni, in relazione alle economie di pensiero e ai miglioramenti degli strumenti (in particolare degli strumenti di calcolo) che esse sono portate a realizzare. Le generalizzazioni e le astrazioni quindi spesso conducono a visioni più approfondite dei problemi e stabiliscono rilevanti sinergie tra progetti di indagine inizialmente rivolti ad obiettivi non collegati.
Nel corso dello sviluppo della matematica si possono rilevare periodi ed ambienti nei quali prevalgono alternativamente atteggiamenti generali e valori riconducibili a "due" differenti generi di motivazioni e di approcci: le "motivazioni applicative", con la loro spinta a individuare procedimenti efficaci, e le esigenze di "sistemazione concettuale" con la loro sollecitazione verso generalizzazioni, astrazioni e panoramiche strutturali.
Si tratta di due generi di atteggiamenti tra i quali si costituisce una certa polarizzazione; questa talora può diventare contrapposizione, anche astiosa, ma in molte circostanze i due atteggiamenti stabiliscono rapporti di reciproco arricchimento e sviluppano sinergie. Nel lungo sviluppo della matematica si sono avuti periodi di prevalenza di uno o dell'altro dei due atteggiamenti e dei rispettivi sistemi di valori.
Del resto la stessa nascita della matematica può ragionevolmente ricondursi a due ordini di interessi: da un lato le esigenze applicative che fanno ricercare valutazioni praticabili; dall'altro la ricerca di verità tutt'altro che evidenti, forse tenute nascoste, che risponde ad esigenze immateriali, la cui natura può essere filosofica, religiosa o estetica.
Negli ultimi 30 o 40 anni tra i due atteggiamenti si riscontra un certo equilibrio non privo di tensioni riemergenti, ma con molteplici episodi di mutuo supporto. A questo stato di cose contribuisce non poco la crescita del mondo del computer, rispetto al quale il mondo della matematica presenta sia canali di collegamento (che è ormai assurdo cercare di interrompere) che differenze, ad esempio differenze dovute a diverse velocità di mutazione e a diversi stili comunicativi, che proiettano le due discipline agli antipodi.
Cerchiamo ora di segnalare a grandi linee i temi dell'indagine matematica, illustrando una sorta di itinerario per un progressivo accostamento dei problemi, delle argomentazioni e delle sistemazioni teoriche.
I primi problemi che inducono ad accostarsi alla matematica sono quelli che si possono affrontare con l'aritmetica elementare: i calcoli eseguibili con le quattro operazioni possono riguardare contabilità finanziarie, valutazioni di grandezze geometriche o meccaniche, calcoli relativi agli oggetti ed alle tecniche che si incontrano nella vita quotidiana.
I più semplici di questi calcoli possono effettuarsi servendosi solo di numeri interi naturali, ma presto i problemi di calcolo richiedono di saper trattare i numeri interi relativi e i numeri razionali.
I problemi aritmetici più semplici sono risolti mediante formule che forniscono risultati conseguenti. Ad esempio: l'area di un rettangolo con lati lunghi formula_1 e formula_2 è il loro prodotto formula_3. Complicando gli enunciati diventa necessario servirsi di equazioni. 
Ad esempio: per il teorema di Pitagora, se un triangolo rettangolo ha i lati più corti (cateti) di lunghezza formula_1 e formula_5, quello più lungo (ipotenusa) ha come lunghezza il numero positivo formula_6 che risolve l'equazione:
formula_7.
Le equazioni più semplici sono le equazioni lineari, sia perché rappresentano le questioni geometriche più semplici, sia perché sono risolvibili con procedimenti standard.
Nelle formule e nelle equazioni conviene far entrare parametri con valori indeterminati: in tal modo si viene a disporre di strumenti di portata più generale, che permettono di conseguire evidenti economie di pensiero. 
Ad esempio: in un triangolo rettangolo con cateti di
lunghezza formula_8 e formula_9, la lunghezza dell'ipotenusa è il numero positivo formula_6 tale che formula_11. 
Per meglio valutare le formule e per risolvere molti tipi di equazioni è necessario sviluppare un calcolo letterale che permetta di rimaneggiarle. Le regole di questo calcolo letterale costituiscono la cosiddetta algebra elementare.
L'algebra moderna si occupa anche dello studio delle relazioni fra insiemi e delle strutture algebriche, cioè strutture che caratterizzano insiemi concreti (come i numeri) o astratti sui quali è stata definita una o più operazioni.
Lo studio della geometria piana e spaziale riguarda inizialmente primitivi: il punto, la retta, il piano. Combinando questi elementi nel piano o nello spazio si ottengono altri oggetti quali segmenti, angoli, angoli solidi, poligoni e poliedri.
Punto, retta, piano e spazio hanno dimensione rispettivamente 0, 1, 2 e 3. Tramite il calcolo vettoriale si definiscono e studiano spazi a dimensione più alta (anche infinita). Gli analoghi "curvi" di questi spazi "piatti" sono le curve e le superfici, di dimensione rispettivamente 1 e 2.
Uno spazio curvo in dimensione arbitraria si chiama varietà. 
Dentro a questo spazio si possono spesso definire punti e rette (dette geodetiche), ma la geometria che ne consegue può non soddisfare gli assiomi di Euclide: una tale geometria è generalmente detta non euclidea. Un esempio è dato dalla superficie
terrestre, che contiene triangoli aventi tutti e tre gli angoli retti.
L'analisi riguarda principalmente il calcolo infinitesimale, introduce la fondamentale nozione di limite, e quindi di derivata e integrale. Con questi strumenti sono analizzati i comportamenti delle funzioni, che spesso non hanno una descrizione esplicita ma sono soluzioni di una equazione differenziale, derivante ad esempio da un problema fisico.
Come riportato sopra, le discipline principali sviluppate all'interno della matematica sono nate dalla necessità di eseguire calcoli nel commercio, di capire i rapporti fra i numeri, di misurare la terra e di predire eventi astronomici. Questi quattro bisogni possono essere collegati approssimativamente con la suddivisione della matematica nello studio sulla quantità, sulla struttura, sullo spazio e sul cambiamento (cioè, aritmetica, algebra, geometria e analisi matematica). Oltre a queste, vi sono altre suddivisioni come la logica, la teoria degli insiemi, la matematica empirica di varie scienze (matematica applicata) e più recentemente allo studio rigoroso dell'incertezza.
Lo studio sulle quantità inizia con i numeri, in primo luogo con i numeri naturali (numeri interi non negativi) e tramite operazione aritmetiche su di essi. Le proprietà più profonde dei numeri interi sono studiate nella teoria dei numeri, di cui un esempio famoso è l'ultimo teorema di Fermat. La teoria dei numeri inoltre presenta due problemi non risolti, largamente considerati e discussi: la Congettura dei numeri primi gemelli e la congettura di Goldbach.
I numeri interi sono riconosciuti come sottoinsieme dei numeri razionali ("frazioni"). Questi, a loro volta, sono contenuti all'interno dei numeri reali, usati per rappresentare quantità continue. I numeri reali sono generalizzati ulteriormente dai numeri complessi. Queste sono i primi punti di una gerarchia dei numeri che continua ad includere i quaternioni e gli ottonioni. L'analisi dei numeri naturali conduce inoltre ai numeri infiniti.
Fra gli strumenti informatici negli ultimi anni si sono resi disponibili vari generi di pacchetti software volti ad automatizzare l'esecuzione di calcoli numerici, le elaborazioni simboliche, la costruzione di grafici e di ambienti di visualizzazione e, di conseguenza, volti a facilitare lo studio della matematica e lo sviluppo delle applicazioni che possano essere effettivamente incisive.
Particolare importanza ed efficacia vanno assumendo quelli che vengono chiamati sistemi di algebra computazionale o addirittura con il termine inglese Computer algebra systems, abbreviato con CAS.
Segnaliamo alcuni programmi open source o comunque gratuitamente disponibili per lo studio della matematica:
Molti oggetti matematici, come gli insiemi di numeri e funzioni, mostrano la loro struttura interna e coerente. Le proprietà strutturali di questi oggetti sono investigate nello studio di gruppi, anelli, campi e altri sistemi astratti, i quali sono a loro volta oggetti. Questo è il campo dell'algebra astratta. In questo campo un concetto importante è rappresentato dai vettori, generalizzati nello spazio vettoriale, e studiati nell'algebra lineare. Lo studio di vettori combina tre tra le fondamentali aree della matematica: quantità, struttura, e spazio. Il calcolo vettoriale espande il campo in una quarta area fondamentale, quella delle variazioni.
Lo studio dello spazio inizia con la geometria, in particolare con la geometria euclidea. La Trigonometria poi combina simultaneamente spazio e numeri. Lo studio moderno dello spazio generalizza queste premesse includendo la Geometria non euclidea (che assume un ruolo centrale nella teoria della relatività generale) e la topologia. Quantità e spazio sono trattati contemporaneamente in geometria analitica, geometria differenziale, e geometria algebrica. Con la geometria algebrica si ha la descrizione di oggetti geometrici come insiemi di soluzioni di equazioni polinomiali combinando i concetti di quantità e spazio, e anche lo studio di gruppi topologici, i quali combinano a loro volte spazio e strutture. I gruppi di Lie sono usati per studiare lo spazio, le strutture e le variazioni. La Topologia in tutte le sue molte ramificazioni può essere considerata la zona di sviluppo più grande nella matematica del XX secolo ed include la congettura di Poincaré e il controverso teorema dei quattro colori, di cui l'unica prova, eseguita a computer, non è mai stata verificata da un essere umano.
Matematica discreta è il nome comune per i campi della matematica utilizzati nella maggior parte dei casi nell'informatica teorica. Questa include teoria della computazione, teoria della complessità computazionale, e informatica teorica. La teoria della computazione esamina le limitazioni dei vari modelli di computer, compresi i modelli più potenti conosciuti - la Macchina di Turing. La teoria della complessità è lo studio delle possibilità di trattazione da parte di un calcolatore; alcuni problemi, nonostante siano teoricamente risolvibili attraverso un calcolatore, sono troppo costosi in termini di tempo o spazio tanto che risolverli risulta praticamente impossibile, anche prevedendo una rapida crescita delle potenze di calcolo. Infine la teoria dell'informazione si interessa della quantità di dati che possono essere immagazzinati su un dato evento o mezzo e quindi di concetti come compressione dei dati e entropia.
Come campo relativamente nuovo, la matematica discreta possiede un numero elevato di problemi aperti. Il più famoso di questi è il problema " P=NP?" uno dei problemi per il millennio.
La matematica applicata considera l'utilizzo della matematica teorica come strumento utilizzato per la risoluzione di problemi concreti nelle scienze, negli affari e in molte altre aree. Un campo importante della matematica è la statistica, la quale utilizza la teoria della probabilità e permette la descrizione, l'analisi, e la previsione di fenomeni aleatori. La maggior parte degli esperimenti, delle indagini e degli studi d'osservazione richiedono l'utilizzo della statistica (molti statistici, tuttavia, non si considerano come veri e propri matematici, ma come parte di un gruppo collegato ad essi). L'analisi numerica investiga metodi computazionali per risolvere efficientemente una vasta gamma di problemi matematici che sono, in genere, troppo grandi per le capacità di calcolo umane; essa include lo studio di vari tipi di errore che generalmente si verificano nel calcolo.
