
In algebra il teorema binomiale (o anche formula di Newton, binomio di Newton e sviluppo binomiale) esprime lo sviluppo della potenza formula_1-esima di un binomio qualsiasi con la formula seguente:
in cui il fattore formula_3 rappresenta il coefficiente binomiale ed è sostituibile con 
formula_4. Tali coefficienti sono peraltro gli stessi che si trovano nel noto triangolo di Tartaglia.
Lo sviluppo vale per ogni coppia di numeri reali o complessi, ma più in generale vale in ogni anello commutativo.
Come esempio di applicazione della formula, riportiamo i casi piccoli, formula_5, formula_6 ed formula_7:
Nel caso in cui formula_1 sia un numero reale o complesso, la somma finita è sostituita da una serie infinita. Questa formula generalizzata, nel caso di formula_1 reale positivo, fu realizzata da Isaac Newton (da cui il nome). 
In base all'ultimo teorema di Fermat, (per formula_13) la serie dei prodotti intermedi più un termine n-esimo non può essere la potenza n-esima di "un numero intero". 
Per assurdo, infatti, dati (x , y) interi, se ad esempio per formula_14 potessi raccogliere qualche formula_15 "intero", posto formula_16 al primo membro, potrei scrivere formula_17 con x, s, z interi.
È possibile, secondo il teorema, sviluppare una qualunque potenza intera di formula_18 in una sommatoria nella forma
dove formula_20 rappresentano i coefficienti binomiali. Utilizzando la notazione di sommatoria, la stessa formula può essere scritta:
Una variante di questa formula binomiale può essere ottenuta sostituendo formula_22 ad formula_23 e formula_23 a formula_25, considerando quindi una sola variabile. In questa forma, si ha:
o, in maniera equivalente,
Il teorema binomiale può essere dimostrato per induzione. Infatti è possibile introdurre per tale teorema un passo base per cui esso risulta banalmente vero
e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente n qualsiasi. Infatti presa per corretta l'espressione 
sicuramente vera per formula_30, si ha 
moltiplicando la sommatoria per formula_18 si ha
da cui, essendo 
ed inoltre
Utilizzando nel primo passaggio la proprietà del coefficiente binomiale
si ha che
essendo infine 
e 
si ha che
e si ottiene l'espressione formale dello sviluppo della potenza successiva del binomio
che conferma la tesi.
Se scriviamo formula_51 come il prodotto 
formula_52 
con formula_1 fattori, è evidente che il numero delle volte in cui compare nello sviluppo il termine formula_54 è pari al numero di combinazioni che si possono ottenere prendendo formula_55 volte formula_23 e formula_57 volte formula_25 dai fattori del prodotto, numero che è dato proprio da formula_3. 
Poiché per la proprietà distributiva il prodotto è dato dalla somma di questi termini al variare di formula_57 da formula_61 a formula_1, si ha subito la tesi.
La definizione fornita del binomio di Newton è valida solo per formula_1 numero naturale. È tuttavia possibile fornire una generalizzazione valida per formula_64, nonché approssimarla in un intorno destro dello 0 con una serie di Taylor.
Nella pratica si usano spesso solo i primi due termini della serie, ossia 
formula_65 dove il resto formula_66 indica un infinitesimo di ordine superiore al primo.
Lo sviluppo completo è
dove formula_68 è il coefficiente binomiale generalizzato, dato da
Lo sviluppo attorno all'origine della funzione formula_70 è
e, poiché
si ottiene
che è la formula di cui sopra. Troncando la serie al formula_57-esimo termine, l'errore che si ottiene è un infinitesimo di ordine formula_77.


I numeri interi (o numeri interi relativi o, semplicemente, numeri relativi) corrispondono all'insieme ottenuto unendo i numeri naturali (0, 1, 2, ...) e i numeri interi negativi (−1, −2, −3...), cioè quelli ottenuti ponendo un segno “−” davanti ai naturali. Questo insieme in matematica viene indicato con Z o formula_1, perché è la lettera iniziale di “"Zahl"” che in tedesco significa numero (originariamente "far di conto", infatti l'espressione implica l'utilizzo dei numeri negativi). 
Gli interi vengono quindi definiti esattamente come l'insieme dei numeri che sono il risultato tra sottrazioni di numeri naturali. I numeri interi possono essere sommati, sottratti e moltiplicati e il risultato rimane un numero intero. L'inverso di un numero intero non è però un intero in generale, ma un numero razionale; formalmente questo fatto si esprime dicendo che formula_1 è un anello commutativo, ma non un campo.
Come i numeri naturali, formula_1 è "chiuso" rispetto alle operazioni di addizione e di moltiplicazione, cioè la somma o il prodotto di due interi è un intero. Inoltre, con l'inclusione dei numeri naturali negativi e dello zero, formula_1 (a differenza dei numeri naturali) è chiuso anche rispetto all'operazione di sottrazione: se formula_5 e formula_6 sono interi, anche formula_7 lo è. Tuttavia, formula_1 non è chiuso sotto l'operazione di divisione, poiché il quoziente di due interi (per esempio formula_9) non è necessariamente un numero intero.
La tabella seguente elenca alcune delle proprietà di base dell'addizione e della moltiplicazione per ogni intero formula_5, formula_6 e formula_12.
Nel linguaggio dell'algebra astratta, le prime cinque proprietà elencate sopra per l'addizione dicono che formula_1 è un gruppo abeliano con l'operazione "somma". In particolare, formula_1 è un gruppo ciclico, poiché ogni intero non nullo può essere scritto sommando un certo numero di volte formula_15 oppure formula_16. Il gruppo formula_1 è l"'unico" gruppo ciclico infinito, nel senso che ogni altro gruppo ciclico infinito è isomorfo a formula_1.
Le prime quattro proprietà elencate sopra per la moltiplicazione dicono che formula_1 con l'operazione "prodotto" forma un monoide commutativo. Tuttavia, si nota che non tutti gli interi hanno in inverso rispetto alla moltiplicazione; per esempio non esiste un intero formula_20 tale che formula_21. Quindi formula_1 non è un gruppo se considerato con l'operazione "prodotto".
Tutte le proprietà dalla tabella prese insieme dicono che formula_1 con l'addizione e la moltiplicazione è un anello commutativo con unità. In effetti formula_1 è la motivazione principale per la definizione di tale struttura. La mancanza dell'inverso rispetto alla moltiplicazione è tradotta nel fatto che formula_1 non è un campo. 
L'anello formula_1 è inoltre un dominio d'integrità, perché non contiene divisori dello zero. Ogni dominio di integrità è contenuto in un campo, e il più piccolo campo contenente gli interi è il campo formula_27 dei numeri razionali.
Anche se la divisione ordinaria non è definita su formula_1, è possibile usare l'algoritmo di Euclide per effettuare una divisione con resto: dati due interi formula_5 e formula_6 con formula_31, esistono e sono unici due interi formula_32 e formula_33 tali che 
dove formula_35 è il valore assoluto di formula_6. L'intero formula_32 è chiamato il "quoziente" e formula_33 è chiamato il "resto", risultanti dalla divisione di formula_5 con formula_6. 
L'algoritmo di Euclide mostra come due numeri interi abbiano sempre un massimo comune divisore ed un minimo comune multiplo. Inoltre, per il teorema fondamentale dell'aritmetica ogni numero intero ha un'unica decomposizione come prodotto di numeri primi. L'esistenza dell'algoritmo di Euclide fa di formula_1 un anello euclideo.
La cardinalità di un insieme di interi è equivalente a formula_42 (aleph-zero). Ciò è dimostrabile tramite la costruzione di una corrispondenza biunivoca (ovvero una funzione sia iniettiva che suriettiva) fra formula_43 e formula_44.
Considerando formula_45, tale corrispondenza è la funzione formula_46 tale che:
Mentre considerando formula_48 è la funzione formula_49 tale che:
Ogni membro di formula_1 avrà uno ed un solo membro corrispondente in formula_52 (o formula_53), pertanto i due insiemi hanno la stessa cardinalità.
L'insieme formula_1 è un insieme totalmente ordinato senza estremo superiore o inferiore. L'ordine di formula_1 è dato da
Un numero intero è positivo se è maggiore dello zero e negativo se minore di zero; zero non è considerato un numero positivo né negativo.
L'ordine seguente è compatibile con le regole dell'algebra:
Più semplicemente: se formula_60 e formula_61 sono due qualsiasi numeri relativi si dice che formula_60 è maggiore di formula_61, e si scrive formula_64, se esiste un numero naturale formula_65 tale che formula_66. L'insieme formula_1 può essere definito a partire dall'insieme formula_52 dei numeri naturali tramite il concetto di insieme quoziente. Si consideri il prodotto cartesiano formula_69, ovvero l'insieme di tutte le coppie ordinate di numeri naturali formula_70. Si consideri la seguente relazione formula_71
Questa è una relazione di equivalenza, infatti è:
Si definisce formula_1 come l'insieme quoziente di formula_87 con la relazione formula_71:
A questo punto è facile dimostrare che ogni classe di equivalenza formula_90 contiene uno e un solo elemento nella forma formula_91 con formula_92 oppure formula_93. In questo modo possiamo introdurre la notazione più familiare per i numeri interi nel modo seguente:
Si dimostra facilmente che esiste un isomorfismo tra l'insieme dei numeri naturali e il sottoinsieme di formula_1 costituito dagli elementi del tipo formula_98. In questo senso si può dire che i numeri naturali sono un sottoinsieme dei numeri interi.
Le operazioni di somma e prodotto possono essere definite nel modo seguente:
Si verifica che le operazioni sono compatibili con la relazione d'equivalenza, e che si traducono nelle normali operazioni di somma e prodotto degli interi tramite la notazione appena introdotta. Ad esempio:
Si può anche dimostrare direttamente che l'insieme formula_1 con queste operazioni è un anello commutativo.
