
In matematica, un numero razionale è un numero ottenibile come rapporto tra due numeri interi primi fra loro, il secondo dei quali diverso da 0. Ogni numero razionale quindi può essere espresso mediante una frazione "a/b", di cui a è detto il numeratore e b il denominatore. Sono ad esempio numeri razionali i seguenti:
I numeri razionali formano un campo, indicato con il simbolo formula_4, che sta per quoziente. In gran parte dell'analisi matematica i numeri razionali sono visti come particolari numeri reali, nel senso che esiste un isomorfismo tra i numeri reali dotati di parte decimale finita o periodica e i numeri razionali, il quale preserva la struttura di formula_4 come (sotto)-campo di formula_6; i numeri reali che non sono razionali sono detti "irrazionali". Ad esempio, sono irrazionali i seguenti:
Nessuno di questi numeri può infatti essere descritto come rapporto di due numeri interi. I numeri formula_8 e formula_9 indicano rispettivamente la costante di Nepero e pi greco.
Mentre oggi spesso l'insieme dei numeri razionali è visto come sottoinsieme di quello dei numeri reali, storicamente e naturalmente i razionali sono stati introdotti prima dei reali, per permettere l'operazione di divisione fra numeri interi. I numeri reali si possono introdurre servendosi dei numeri razionali in vari modi: mediante le sezioni di Dedekind, con una costruzione tramite successioni di Cauchy, con serie convergenti di numeri razionali.
In fisica, il risultato di una misurazione è solitamente esprimibile come numero razionale, dipendente dalla precisione dello strumento.
I numeri razionali (positivi) furono il primo tipo di numeri, dopo i naturali (ossia gli interi positivi) ad essere riconosciuti come numeri e ad essere comunemente usati in matematica.
Gli antichi Egizi li usavano scomponendoli come somme di frazioni dal numeratore unitario (ancora oggi chiamate frazioni egiziane), rappresentandoli ponendo un simbolo sopra la rappresentazione dell'intero corrispondente; i Babilonesi usavano invece una scrittura posizionale (come per gli interi) a base sessagesimale.
Pitagora e i pitagorici basavano la loro concezione del mondo sui rapporti tra numeri interi, ovvero sui numeri razionali, e pensavano che ogni cosa esistente al mondo potesse essere ridotta a tali numeri: la loro scoperta dell'irrazionalità della radice quadrata di due distrusse questa concezione. Lo stesso concetto di "rapporto" non è del tutto chiaro nemmeno negli "Elementi" di Euclide, dove l'intero quinto libro è dedicato alla teoria delle proporzioni. Secondo le sue definizioni, un rapporto è un "tipo di relazione dimensionale tra due grandezze dello stesso tipo", mentre due grandezze possono essere poste in rapporto se "esiste un multiplo intero della prima che supera l'altro" (definizione dovuta probabilmente a Eudosso, che ricalca quello che viene oggi chiamato assioma di Archimede). L'uguaglianza di rapporti implica un'altra definizione complicata: in notazione moderna, equivale a dire che formula_12 se e solo se, dati due numeri "m" ed "n", si ha che
La definizione di "grandezze commensurabili" è invece la prima del libro X, e stabilisce che queste sono le grandezze che hanno una misura comune, ovvero sono multipli interi dello stesso numero.
La notazione decimale dei numeri fu introdotta da Stevino verso la fine del XVI secolo, sebbene lui non accettasse sviluppo decimali che non si concludessero, lasciando fuori così un gran numero di razionali. Più tardi Clavius e Nepero eliminarono questa limitazione.
Il termine "razionale" deriva dal latino "ratio", nel suo significato di "rapporto".
Molte entità e strutture matematiche, come i polinomi o gli spazi vettoriali, nella loro definizione fanno riferimento ad un campo; l'aggettivo "razionale" attribuito ad una di queste entità è spesso usato per specificare che il campo scelto è quello dei numeri razionali. Per esempio si dice polinomio razionale ogni polinomio i cui coefficienti sono solo numeri razionali.
Va rilevato che sono dette "operazioni razionali" le quattro operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione definite su strutture algebriche come i campi o gli anelli. Ne consegue che in vari casi l'aggettivo "razionale" riguarda entità ottenibili servendosi delle quattro operazioni razionali a partire da certi oggetti di base. Ad esempio si dicono funzioni razionali (in una o più variabili) le funzioni ottenibili componendo con operazioni razionali la variabile o le variabili e gli elementi di un campo.
Da un punto di vista formale, non è possibile definire i numeri razionali semplicemente come coppie di numeri interi (cioè come l'insieme delle frazioni del tipo formula_13), perché in questo caso, ad esempio, le coppie (3,2) e (6,4) sarebbero numeri diversi, mentre tra i razionali vale l'uguaglianza
È necessario quindi introdurre le nozioni di relazione e classe d'equivalenza, nel modo seguente.
Ogni numero razionale è una classe di equivalenza di coppie ordinate di numeri interi
formula_15, con formula_16 diverso da zero. La relazione di equivalenza è la seguente
L'addizione e la moltiplicazione di numeri razionali sono definite come
Si verifica che entrambe le operazioni così definite sono compatibili con la relazione di equivalenza: il loro risultato, infatti, non dipende dalle particolari coppie ordinate scelte per indicare i numeri razionali da sommare o moltiplicare. L'insieme quoziente di questa relazione è quindi Q.
Si noti che le operazioni ora definite non sono altro che la formalizzazione delle consuete operazioni tra frazioni:
Con le operazioni di cui sopra, formula_20 risulta un campo, ove la classe di formula_21 gioca il ruolo dello zero, e la classe di formula_22 quello di uno. L'opposto della classe di formula_23 è la classe di formula_24. Inoltre, se formula_25, ovvero la classe di formula_23 è diversa da zero, allora la classe di formula_23 è invertibile, ed ha per inverso la classe di formula_28.
La classe di equivalenza corrisponde all'esistenza di più rappresentazioni come frazione dello stesso numero razionale:
per ogni "k" intero non nullo.
Possiamo definire anche un ordine totale su Q nel modo seguente: 
Come tutti i numeri reali, i numeri razionali possono essere rappresentati tramite il sistema numerico decimale. Lo sviluppo decimale dei numeri razionali ha la particolarità di essere "periodico": un numero reale è razionale se e solo se nella sua scrittura esiste una sequenza finita di cifre (detta "periodo") che si ripete all'infinito, da un certo punto in poi dopo la virgola.
Si può facilmente dimostrare che nessun numero razionale, nel suo sviluppo decimale in base 10, può ammettere periodo 9.
Ad esempio:
Un numero razionale può essere descritto quindi "soprallineando" il periodo, come in questi esempi.
Questa equivalenza tra razionali e numeri periodici implica che nessun numero razionale è normale in una qualunque base. Può essere usata anche per dimostrare l'irrazionalità di molti numeri: ad esempio
dove ogni 1 è separato da una sequenza di zeri di lunghezza crescente, è irrazionale in qualsiasi base, in quanto, se fosse razionale, il suo periodo conterrebbe una sequenza finita di zeri separati da 1. Tuttavia nell'espansione possono essere trovati gruppi di zeri di qualsiasi lunghezza, e quindi un periodo di tal genere non può esistere. Con metodi simili si può dimostrare che la costante di Copeland-Erdős
formula_36
formata, in base dieci, dalla giustapposizione dei numeri primi, è irrazionale.
Questa tecnica è tuttavia inutile per provare l'irrazionalità di numeri non definiti in base alla loro espansione decimale, come formula_37 e pi greco.
I numeri razionali hanno una rappresentazione in frazione continua semplice finita, e sono gli unici a possedere questa proprietà. Inoltre sono gli unici in cui la rappresentazione non è unica, ma doppia: ad esempio
Munito di addizione, moltiplicazione e relazione d'ordine, l'insieme formula_39 ha la struttura algebrica di un campo ordinato archimedeo, e tuttavia non è un campo completo (si può dimostrare che il sottoinsieme formula_40 ha come estremante superiore il valore formula_37, che non è un numero razionale).
L'unico sottocampo del campo dei numeri razionali è se stesso. Gli elementi neutri per la somma ed il prodotto sono rispettivamente 0 ed 1. La caratteristica del campo è 0; si può dimostrare inoltre che ogni campo con caratteristica 0 contiene un sottocampo isomorfo ai numeri razionali, e quindi che ogni campo di questo tipo può essere considerato come un'estensione dei razionali. In particolare, i razionali ne formano il sottocampo fondamentale.
La chiusura algebrica dei numeri razionali non è formata dai numeri reali, ma dai numeri algebrici, i quali formano uno spazio vettoriale di dimensione infinita sui razionali.
Il campo dei numeri razionali è inoltre il campo dei quozienti dell'insieme formula_42 dei numeri interi.
Per il teorema di Ostrowski, i razionali sono uno spazio metrico rispetto solo a due tipi di valore assoluto: l'usuale modulo
e il valore assoluto "p"-adico
dove "p" è un qualsiasi numero primo e "n" è tale che formula_45 e "a", "b" e "p" sono a due a due coprimi. Le norme riferiti a questi due valori assoluti sono rispettivamente
e
I razionali non sono completi rispetto a nessuna di queste due norme: i completamenti sono rispettivamente i numeri reali e i numeri "p"-adici. Quest'ultimo è particolarmente usato in teoria dei numeri, mentre l'introduzione dei numeri reali è necessaria per poter stabilire alcuni teoremi fondamentali dell'analisi, tra cui il teorema degli zeri e il teorema di Weierstrass.
formula_4 è numerabile, cioè esiste una corrispondenza biunivoca tra i razionali e i numeri naturali. Questo risultato, apparentemente paradossale (è naturale, infatti, pensare che le frazioni siano "molte di più" degli interi), è stato dimostrato da Georg Cantor. Il suo ragionamento si basa sul diagramma a fianco: possiamo infatti ordinare i razionali positivi, seguendo le frecce, in modo che ad ognuno di essi sia assegnato un numero naturale; anzi, ogni numero sarà contato infinite volte (perché ognuno ha un'infinità di rappresentazioni diverse), ma questo non può rendere l'insieme formula_4 più grande. Lo stesso argomento può essere usato per dimostrare che i razionali negativi sono numerabili. Poiché l'unione di due insiemi numerabili è ancora numerabile, formula_4 risulta essere numerabile.
Al contrario, l'insieme dei numeri reali non è numerabile, e quindi "quasi tutti" i numeri reali sono irrazionali. Questo implica che, sebbene formula_4 sia denso in formula_6, abbia misura di Lebesgue nulla.
L'anello dei polinomi a coefficienti razionali si indica con formula_53. Al contrario dei polinomi a coefficienti reali o complessi, non esiste un criterio semplice per individuare l'eventuale irriducibilità di un polinomio a coefficienti razionali.
La maggior parte dei criteri usati si basano sul lemma di Gauss, il quale afferma che un polinomio a coefficienti interi è
riducibile nell'anello formula_53 se e solo se è riducibile in fattori di grado maggiore di 0 nell'anello formula_55 dei polinomi a coefficienti interi. Poiché ogni polinomio a coefficienti razionali può essere trasformato in uno a coefficienti interi moltiplicando per il massimo comun divisore dei denominatori senza cambiare la sua irriducibilità, questo lemma permette di applicare ai polinomi a coefficienti razionali alcuni criteri, come il criterio di Eisenstein, che si applicano sui polinomi a coefficienti interi.
In particolare, questo criterio permette di costruire polinomi irriducibili di qualunque grado: ad esempio
è irriducibile. Questo non avviene negli anelli di polinomi a coefficienti reali o complessi: nel primo caso i polinomi irriducibili possono essere solamente di primo o di secondo grado, mentre nel caso complesso, in conseguenza del teorema fondamentale dell'algebra, ogni polinomio si scompone in fattori di primo grado.
Al contrario di quanto avviene con le radici reali (o complesse), esiste un algoritmo molto veloce per stabilire quali siano (se esistono) gli zeri razionali di un polinomio (a coefficienti interi, forma a cui può essere ridotto ogni polinomio a coefficienti razionali). Il "teorema delle radici razionali" afferma infatti che, se
con gli formula_58 interi, allora, nelle eventuali radici razionali "p"/"q", "p" è un divisore di formula_59 e "q" di formula_60. Poiché i divisori di questi due numeri sono in numero finito, sarà sufficiente, per il teorema del resto, controllare se per ogni coppia di divisori si ha P("p"/"q")=0 (nel qual caso "p"/"q" è una radice) oppure no.
I "razionali complessi", o "razionali gaussiani" per analogia con gli interi gaussiani, sono quei numeri complessi nella forma "a+ib", dove "a" e "b" sono razionali e "i" rappresenta l'unità immaginaria. L'insieme dei razionali gaussiani forma un campo, che è il campo dei quozienti dell'anello degli interi gaussiani.
Tale insieme si denota generalmente con formula_61, cioè il più piccolo campo contenente i razionali e l'unità immaginaria "i".
Poiché i razionali sono densi in formula_6, possono essere usati per approssimare i numeri reali. Il primo risultato ad essere dimostrato è che per ogni irrazionale formula_63 esistono infiniti razionali "p/q" tali che
Un risultato importante è il teorema di Liouville, dimostrato nel 1844 da Joseph Liouville: esso asserisce che se formula_63 è un numero algebrico di grado "n", allora esiste una costante "c">0 tale che
per ogni razionale "p"/"q". Da questo Liouville riuscì a costruire i primi esempi di numeri trascendenti (detti oggi numeri di Liouville), mostrando che per questi esistevano delle successioni di razionali che rendevano impossibile l'esistenza di un tale "c".
Nel 1955 Klaus Roth dimostrò che per ogni algebrico formula_63 e per ogni formula_68 la disuguaglianza
può avere solamente un numero finito di soluzioni in cui "p" e "q" sono interi coprimi. Tale risultato migliorava quelli ottenuti in precedenza da Axel Thue e Carl Ludwig Siegel.


In matematica il numero formula_1 è una costante matematica il cui valore approssimato a 12 cifre decimali è formula_2. È la base della funzione esponenziale formula_3 e del logaritmo naturale. Può essere definita in vari modi, il più comune tra i quali è come il limite della successione formula_4 al tendere di formula_5 all'infinito. Insieme a π è la costante matematica più importante, per via della sua presenza in molte formule apparentemente non correlate.
È un numero trascendente, e dunque irrazionale, e tramite la formula di Eulero è legato alle funzioni trigonometriche. In ambito internazionale il numero formula_1 è chiamato numero di Eulero, mentre in Italia viene anche detto numero di Nepero.
Il numero formula_1 può essere definito in uno dei seguenti modi:
dove formula_10 è il fattoriale del numero naturale formula_5.
Una dimostrazione dell'equivalenza di queste definizioni è data di seguito. Le definizioni sono usate in modo analogo nella definizione della funzione esponenziale.
Un modo alternativo (non standard) di definire formula_1 coinvolge le equazioni differenziali: il numero di Nepero si può definire come il valore in formula_13 della funzione formula_14 soluzione unica del problema di Cauchy dato dall'equazione differenziale formula_15 con condizioni iniziali formula_16.
Il numero formula_1 è irrazionale, più precisamente un numero trascendente, ossia non esiste un'equazione algebrica a coefficienti razionali che lo ammetta come soluzione.
Questo è stato il primo numero che si è dimostrato essere trascendente senza essere stato costruito per essere collocato nell'insieme dei numeri reali non algebrici, come era accaduto in precedenza 
per la costante di Liouville.
Una dimostrazione della irrazionalità di e è stata data da Charles Hermite nel 1873. 
Si presume che esso sia un numero normale.
La costante formula_1 compare nella formula di Eulero, una delle
più importanti identità della matematica:
dove formula_20 indica l'unità immaginaria.
Il caso particolare con formula_21 è noto come identità di Eulero:
questa uguaglianza è stata chiamata da Richard Feynman "gioiello di Eulero".
Lo sviluppo di formula_1 come frazione continua infinita è espresso 
dalla seguente interessante configurazione:
Troncando la frazione continua si ottengono le approssimazioni razionali di formula_1, di cui le prime (non intere) sono formula_26.
Il numero formula_1 è il punto centrale della commutazione dell'elevamento a potenza. Siano date tutte le coppie formula_28 per le quali formula_29. Oltre al caso banale formula_30, l'unica coppia intera (e razionale) per cui vale la proprietà è formata dai numeri 2 e 4, ma vale anche per infinite coppie irrazionali distribuite lungo una curva nel primo quadrante, asintotica alle rette formula_13 e formula_32. Tale curva e la retta formula_33 si intersecano nel punto formula_34.
Sempre in merito a funzioni esponenziali, la radice formula_35-esima di formula_35, ovvero formula_37, ha massimo per formula_38 e l'esponenziale formula_35-esimo di formula_35, ovvero formula_41, ha minimo per formula_42.
Il primo riferimento ad formula_1 in letteratura risale al 1618 ed è contenuto
nella tavola di un'appendice di un lavoro sui logaritmi di John Napier. Nella tavola non appare la costante, bensì un elenco di logaritmi naturali calcolabili a partire dalla costante. Sembra che la tavola sia stata scritta da William Oughtred. La prima espressione di formula_1 come una costante è stata trovata da Jakob Bernoulli:
Da questa espressione è difficile ricavare un buon valore numerico per la costante.
La sua prima citazione, rappresentata con la lettera formula_46 compare in due lettere di Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens, del 1690 e del 1691. Leonhard Euler ha iniziato ad usare la lettera formula_1 per la costante nel 1727 e il primo uso di formula_1 compare nella "Mechanica" di Eulero (1736). Negli anni seguenti alcuni ricercatori hanno usato la lettera formula_49, poi l'uso di formula_1 si è fatto più comune. Oggi è usato come simbolo definitivo.
Non sono noti i motivi che condussero a scegliere la lettera formula_1, si può supporre che formula_1 fu scelto perché iniziale della parola "esponenziale". Un altro motivo sta nel fatto che formula_53, formula_46, formula_49, e formula_56 venivano frequentemente usate per altri oggetti matematici ed formula_1 era la prima lettera dell'alfabeto latino non utilizzata. È improbabile che Eulero abbia scelto la lettera in quanto iniziale del proprio nome, poiché il numero non era una sua scoperta, era già noto ai matematici dell'epoca.
La seguente dimostrazione prova l'equivalenza dello sviluppo in serie infinita presentato in precedenza e l'espressione del limite studiata da Bernoulli.
Definiamo
Dal teorema binomiale,
tale che
Qui deve essere usato il limite superiore o limsup, poiché non è ancora noto che formula_63 converge effettivamente.
Ora, per l'altra direzione, si nota che dall'espressione sopra di formula_63, se formula_65, abbiamo
Fissato formula_67 si fa tendere formula_5 all'infinito. Otteniamo
(di nuovo, dobbiamo usare il limite inferiore o liminf poiché non è ancora garantito che formula_63 converge).
Ora,
considerando la disuguaglianza precedente, formula_67 si avvicina all'infinito, e colloca quest'ultima assieme all'altra disuguaglianza; da cui:
Questo completa la dimostrazione.
Oltre alle rappresentazioni analitiche esatte per calcolare formula_1, esistono metodi stocastici per stimarlo. 
Uno di questi parte da una successione infinita di variabili casuali indipendenti formula_74 distribuite uniformemente 
nell'intervallo formula_75. Sia formula_76 il numero di somme parziali di variabili formula_77 che siano strettamente minori di formula_78, ponendo:
dove formula_80 allora il valore atteso formula_81 è proprio la costante formula_1.
