
In fisica, un'onda sinusoidale è un'onda descritta matematicamente dalla funzione seno.
Una sinusoide o curva sinusoidale è la curva rappresentata dal grafico del seno. Una sinusoide è analoga alla curva relativa alla funzione coseno, detta cosinusoide, sfasata di formula_1.
Un'onda sinusoidale è un'onda dove la variabile formula_2 è una funzione della forma:
dove formula_4 è l'ampiezza, mentre:
è la pulsazione (o velocità angolare, indica quanti periodi ci sono in un intervallo di formula_6). Inoltre:
è la frequenza, che indica quante volte in un'unità di tempo la funzione si ripete, e:
è il periodo, con formula_9 oppure formula_10 la fase.
Il grafico di una tale classe di funzioni è compreso tra le rette formula_11 e formula_12. 
Poiché si tratta di una funzione periodica, detto formula_13 il periodo si ha:
Usando la formula di Eulero, un'onda sinusoidale può essere rappresentata come la parte reale della funzione: 
dove formula_16 è il vettore d'onda, che identifica la direzione di propagazione dell'onda al posto della velocità di propagazione. Il suo modulo è chiamato "pulsazione spaziale", ed è legato alla lunghezza d'onda dalla relazione:
Lo scalare formula_18 è l'ampiezza dell'onda, e rappresenta il massimo valore della grandezza rappresentativa dell'onda in un periodo. Il termine formula_19 rappresenta la fase iniziale dell'onda.
Le onde sinusoidali sono una soluzione particolare dell'equazione delle onde. L'onda è una funzione dello spazio e tempo, per cui un'onda monodimensionale associa ad ogni posizione spaziale formula_2 e ad ogni tempo formula_21 un'ampiezza di oscillazione formula_22 attorno alla posizione di equilibrio:
Sono possibili perciò due punti di vista: 
In entrambi i casi si può partire dalla dipendenza co-sinusoidale delle variabili nel moto armonico, ricavate considerando quest'ultimo come una opportuna proiezione di un moto circolare uniforme: 
dove formula_33 è l'ampiezza dell'oscillazione e formula_19 è la fase iniziale. Attribuendo a formula_19 un valore di 90 gradi si può passare da una forma in coseno ad una in seno, quindi le espressioni sono equivalenti. L'espressione è in formula_22 per attuare la "visualizzazione" dell'oscillazione lungo l'asse verticale del sistema coordinato.
Fissando la variabile formula_2 si ha:
dove formula_39 è il periodo dell'onda. La fase iniziale è nulla, e se la perturbazione sul mezzo si propaga dall'inizio muovendosi con velocità di fase formula_40 allora essa raggiungerà un altro punto (a destra dell'origine) ad una certa distanza formula_41 dopo un tempo:
Ciò significa che il punto alla coordinata formula_41 avrà, al tempo formula_21, uno spostamento verticale uguale a quello che aveva il punto iniziale t1 secondi prima. La propagazione è quindi descritta dall'espressione:
Raccogliendo formula_6 si può passare ad una forma più comune che talvolta si trova sui testi:
Se si chiama numero d'onda formula_48 la quantità formula_49, e se la pulsazione è formula_50, il rapporto già noto dallo studio del moto circolare formula_51 consente di pervenire formalmente all"'equazione delle onde armoniche":
Se all'espressione in coseno iniziale si fosse aggiunta una fase di 90° si sarebbe ottenuta un'espressione in seno negativo poiché formula_53, e questo avrebbe portato a un'espressione sinusoidale con i segni interni invertiti, cioè formula_54, che talvolta viene presentata sui testi.
Considerando il secondo caso dell'elenco sopra, ad un tempo fissato:
Si è espresso il tempo come formula_56, sostituendo ed usando la relazione fondamentale delle onde formula_57 (la lunghezza d'onda è lo spazio percorso da un'onda con velocità di fase formula_58 in un periodo formula_39): in ogni caso, quel che conta è che si ottiene una cosinusoide di periodo spaziale formula_60 dipendente solo dalla posizione formula_2. Se l'impulso si sta muovendo lungo l'asse delle ascisse, inducendo una oscillazione sulle ordinate, ad un certo istante successivo a quello fissato il punto alla certa coordinata formula_2 avrà una elevazione uguale a quella del punto formula_63 da cui l'impulso è partito formula_21 secondi prima. L'onda si propaga quindi (verso destra) con un profilo dato da:
mentre si sarebbe dovuta considerare una espressione in parentesi tonda del tipo formula_66 se si fosse voluta descrivere la propagazione verso sinistra. Esprimendo formula_67 e sostituendo, si ha l'espressione:
che considerando la relazione goniometrica formula_69 è analoga a quella ottenuta in precedenza (perché si cambiano i segni dell'argomento).
 


La retta o linea retta è uno dei tre enti geometrici fondamentali della geometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi "Elementi" come un concetto primitivo. Un filo di cotone o di spago ben teso tra due punti è un modello materiale che ci può aiutare a capire cosa sia la retta, un ente geometrico immateriale senza spessore e con una sola dimensione.
La retta è illimitata in entrambe le direzioni, e inoltre contiene infiniti punti, cioè è infinita. Viene generalmente contrassegnata con una lettera minuscola dell'alfabeto latino (solitamente con la "r").
La retta è il secondo ente fondamentale della geometria; geometricamente priva di alcuno spessore ha una sola dimensione: la lunghezza.
Una retta può "giacere" (cioè essere contenuta) nel piano o nello spazio tridimensionale.
Due rette nel piano possono essere:
Due rette nello spazio possono essere:
Date due rette sghembe, per ognuna di esse passa un unico piano parallelo all'altra retta. La distanza tra questi due piani equivale alla distanza tra le due rette.
Una retta nel piano cartesiano è descritta da un'equazione lineare
dove i coefficienti formula_2, formula_3 e formula_4 sono dei numeri reali fissati, con formula_2 e formula_3 non contemporaneamente nulli.
Se formula_7 oppure formula_8, è possibile descrivere la stessa retta in "forma esplicita" rispettivamente in una delle due forme seguenti:
dove formula_11 si chiama "coefficiente angolare" e quantifica la pendenza della retta. Nella prima delle equazioni di cui sopra il termine noto formula_12 rappresenta l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse delle formula_13 ("ordinata all'origine" o "intercetta"), nella seconda il termine noto formula_14 rappresenta l'ascissa del punto di intersezione della retta con l'asse delle formula_15.
Nello spazio euclideo tridimensionale, una retta può essere descritta tramite "equazioni cartesiane" come luogo di intersezione di due piani non paralleli:
In questo caso le soluzioni del sistema dipendono da un solo parametro formula_17 ed è sempre possibile ricavare un insieme di "equazioni parametriche" per la retta:
dove il vettore formula_19 è un vettore parallelo alla retta e il punto formula_20 è un punto appartenente alla retta.
Se formula_21 sono tutti diversi da zero è possibile ricavare le cosiddette "equazioni simmetriche" della retta:
Sia le equazioni cartesiane che le equazioni parametriche della retta non sono univocamente determinate, e sono in effetti infinite.
Nello spazio euclideo formula_23-dimensionale formula_24, una "retta" è un insieme dei punti del tipo
dove formula_26 e formula_27 sono due vettori fissati in formula_24 con formula_27 diverso da zero. Il vettore formula_27 descrive la direzione della retta, mentre formula_26 è un qualsiasi punto della retta. Scelte differenti dei vettori formula_26 e formula_27 possono descrivere la stessa retta.
Questa definizione di retta nello spazio di dimensione formula_23 è una estensione della rappresentazione in "forma esplicita" nel piano descritta sopra. Descrivere invece una retta in "forma implicita" come insieme di vettori che soddisfano delle equazioni lineari è più complicato, perché per il teorema di Rouché-Capelli sono necessarie formula_35 equazioni.
Si definisce come distanza tra due rette formula_36 e formula_37 la distanza minima tra due punti formula_38 e formula_39.
Tale distanza è ovviamente nulla nel caso di due rette che si intersecano. Per esaminare i restanti due casi (rette parallele e sghembe) verrà utilizzata la rappresentazione parametrica, che permette una trattazione unitaria per tutte le dimensioni. Siano dunque date due rette formula_40 e formula_41 di equazioni parametriche rispettivamente:
dove formula_43 e formula_44 sono i loro vettori direzionali e formula_45 e formula_46 i vettori associati al punto formula_47 della retta formula_40 e al punto formula_49 della retta formula_41, relativamente alla terna cartesiana formula_51.
Dato che le rette sono parallele possiamo misurare la distanza a partire da un punto qualsiasi della prima retta. Scegliamo il punto di formula_40 segnato dal vettore formula_45. Ogni punto della retta formula_41 può essere espresso nella forma formula_55. Se chiamo formula_56 il vettore ortogonale a formula_43 che segna la distanza dall'altra retta, allora per le proprietà del prodotto scalare
Ottenuto formula_56 risolvendo la precedente equazione (incognita in formula_60) è sufficiente calcolare la norma di formula_56 quindi con riferimento all'equazione parametrica la distanza formula_62 fra due rette parallele formula_36 e formula_64 si può scrivere come:
dove il vettore formula_27 è un vettore parallelo alle rette e il vettore formula_67 è il vettore che congiunge un punto formula_68 della retta formula_36 e un punto formula_70 della retta formula_64 ovvero la distanza fra due rette parallele è data dalla proiezione del vettore formula_67 nel verso ortogonale alle stesse.
Dimostrazione: dalle formule del prodotto vettoriale, i moduli dei versori sono unitari, resta:
formula_73
Se definiamo formula_56 come il vettore ortogonale a formula_75, la cui norma è la distanza tra le due rette, il nostro problema si riduce a trovare la norma di formula_56. I tre vettori formula_56, formula_43 e formula_44 sono una base, e possiamo quindi facilmente scomporre il vettore formula_80 lungo le tre componenti. Quindi
Molto semplicemente si ricava che
con riferimento all'equazione parametrica la distanza formula_62 fra due rette sghembe formula_36 e formula_64 si può scrivere come:
dove il vettore formula_67 è il vettore che congiunge un punto formula_68 della retta formula_36 che ha vettore parallelo formula_90 e un punto formula_70 della retta formula_64 che ha vettore parallelo formula_93, il vettore formula_94 è il vettore ortogonale formula_95 ovvero la distanza fra due rette sghembe è data dalla proiezione del vettore formula_67 nel verso del vettore formula_94.
Dimostrazione: dalle formule del prodotto scalare il modulo del versore è unitario, resta : formula_98
