
La moltiplicazione è una delle quattro operazioni fondamentali dell'aritmetica. È un modo rapido per rappresentare la somma di numeri uguali. Il risultato di una moltiplicazione è chiamato "prodotto", mentre i due numeri moltiplicati sono detti "fattori" se considerati insieme, e rispettivamente "moltiplicando" e "moltiplicatore" se presi individualmente.
Nella scrittura matematica, esistono due diversi simboli utilizzati per indicare la moltiplicazione: entrambe le seguenti notazioni significano "cinque moltiplicato per due volte" ed entrambe si leggono "cinque per due":
Qualora i due moltiplicandi non siano scritti in cifre, e quindi non ci sia il rischio di equivoco, è possibile anche semplicemente giustapporli, come in:
anche per leggere queste formule vale lo stesso principio: se non c'è rischio di equivoco si può omettere il "per", come nella prima ("due zeta"), altrimenti verrà detto, come nella seconda ("due per, aperta parentesi, zeta più due, chiusa parentesi" o "due per, tra parentesi, zeta più due") o infine "due che moltiplica zeta più due".
Nei linguaggi di programmazione e nelle calcolatrici, la moltiplicazione viene solitamente indicata con l'asterisco (*).
Dati due numeri interi positivi formula_4 e formula_5, detto il primo "moltiplicando" ed il secondo "moltiplicatore", la definizione di moltiplicazione non è altro che:
ovvero "addizionare il numero formula_4 per formula_5 volte".
Usando una formula più ristretta, con il simbolo di sommatoria:
Quindi, per esempio:
Data la proprietà commutativa della moltiplicazione (vedi più in basso), talvolta si dà la seguente definizione (equivalente) di moltiplicazione:
A partire dalla definizione, si può dimostrare che la moltiplicazione ha le seguenti proprietà:
Per la moltiplicazione nel campo dei numeri razionali (v. sotto) vale anche
Nel libro "Arithmetices principia, nova methodo exposita", Giuseppe Peano propose un sistema assiomatico per i numeri naturali; due di questi assiomi riguardano la moltiplicazione:
Qui "b"' rappresenta l'elemento dei numeri naturali successivo di "b". Con gli altri nove assiomi di Peano, è possibile provare le regole comuni della moltiplicazione, come la proprietà distributiva e associativa. I due assiomi elencati forniscono una definizione ricorsiva della moltiplicazione.
Estendiamo l'operazione di moltiplicazione al caso dei numeri negativi, definendo quanto segue: dato x numero naturale
dove con − x si intende l'inverso additivo di x : 
Da qui abbiamo che la moltiplicazione di interi qualunque si riduce alla moltiplicazione di interi positivi e di formula_24. 
Lo schema che ne deriva è detto "regola dei segni":
Quest'ultima regola pratica ha un'interpretazione anche nella vita reale. Supponiamo di guadagnare "m" euro l'anno; tra "n" anni avremo "mn" euro (un numero positivo), mentre se questo guadagno era iniziato nel passato allora "n" anni fa (cioè "tra meno "n" anni") avevamo "mn" euro in meno (un numero negativo). Se invece perdessimo "m" euro l'anno (cioè guadagnassimo "meno "m" euro"), tra "n" anni ne avremo "mn" in meno, ma "n" anni fa ne avevamo "mn" in più di quanti ne abbiamo ora.
La definizione di moltiplicazione si può infine estendere ai numeri razionali, ai numeri reali, e ai numeri complessi.
Per i numeri razionali abbiamo che 
verificando che la definizione è indipendente dai rappresentanti scelti.
Per i numeri reali, una definizione di moltiplicazione si può ottenere prendendo il modello di numero reale come sezione di Dedekind: dati due numeri reali positivi, rappresentati come sezioni in campo razionale, moltiplicando (con opportuni accorgimenti) i minoranti tra loro e i maggioranti tra loro si ottiene ancora una sezione, che rappresenta il prodotto dei due numeri. La definizione si può poi estendere a tutti i numeri reali seguendo la regola dei segni indicata nella sezione precedente.
Per i numeri complessi, infine, si ha:


In algebra lineare, con matrice elementare si indica generalmente una matrice quadrata di un certo tipo, utile in alcuni algoritmi come l'algoritmo di Gauss o le fattorizzazioni LU e QR.
Nella più grande generalità, una matrice elementare è una matrice quadrata a coefficienti reali o complessi, del tipo
dove formula_2 è la matrice identità e formula_3 è una matrice con rango al più uno. In altre parole, le colonne (o le righe) di formula_3 sono tutte multiple una dell'altra, ad esempio:
Equivalentemente, formula_6 è il prodotto di due vettori, il primo formula_7 colonna ed il secondo formula_8 riga (perché formula_8 indica la trasposta di formula_10). Nell'esempio, abbiamo
Risulta quindi comodo esprimere una matrice elementare come
dove formula_13 è un coefficiente (reale o complesso) e formula_14 sono vettori non nulli.
Le principali proprietà delle matrici elementari sono:
Le matrici elementari di Gauss sono matrici elementari molto semplici, definite per interpretare le mosse di Gauss come moltiplicazione per una matrice. Sono di tre tipi, ciascuno corrispondente ad un tipo di mossa.
La matrice formula_15 è ottenuta dalla matrice identità scambiando le righe formula_16-esima e formula_17-esima:
Può essere anche definita come 
dove 
è l'formula_21-esimo vettore della base canonica.
Analogamente, formula_22 è ottenuta dalla matrice identità moltiplicando la riga formula_16-esima per un numero formula_24.
Può anche essere definita come
La matrice formula_27 è ottenuta dalla matrice identità aggiungendo alla riga formula_16-esima la riga formula_17-esima moltiplicata per formula_24.
Può anche essere definita come
Se formula_33 è una matrice qualsiasi con formula_34 righe, allora le matrici formula_35 sono le matrici ottenute da formula_33 operando le corrispondenti mosse di Gauss.
Una matrice di Householder è una matrice elementare del tipo formula_37 dove formula_10 è un vettore di norma uno. 
Le matrici elementari di Householder sono utili per definire le trasformazioni di Householder e quindi la fattorizzazione QR.
