
In matematica, la divisione dei polinomi è un algoritmo che permette di trovare il quoziente tra due polinomi, di cui il secondo di grado non superiore al grado del primo. È un'operazione che si può svolgere a mano, poiché spezza il problema in varie divisioni tra monomi, facilmente calcolabili.
Ricordiamo che, se i polinomi sono a coefficienti reali (o più in generale in un campo) per ogni coppia di polinomi formula_1 e formula_2 esistono "unici" altri due polinomi formula_3 e formula_4 tali che:
posto che il grado di formula_4 sia minore di quello di formula_2. Questo fatto è proprio degli anelli euclidei, come sono gli anelli di polinomi costruiti su un campo.
Il grado di formula_8 sarà equivalente invece alla differenza tra il grado di formula_9 e quello di formula_10.
Nel caso in cui formula_11, formula_1 sarebbe divisibile per formula_10.
L'algoritmo comporta l'esecuzione dei seguenti passi:
Per comprendere meglio l'algoritmo di divisione dei polinomi, in seguito viene svolto un esercizio a titolo d'esempio.
Dividiamo il polinomio
per il polinomio
Scriviamo i due polinomi formula_1 e formula_2 come nel modo illustrato più sopra. Così che ognuno dei due polinomi sia ordinato per grado (in modo decrescente) e siano esplicitati anche i monomi con coefficiente 0.
Dividiamo il termine di grado massimo di formula_1, che risulta essere formula_19, per il termine di grado massimo di formula_2, che è formula_21 e scriviamo il risultato sotto formula_2.
Ora scriviamo, sotto formula_1, il polinomio ricavato moltiplicando il risultato della divisione dei termini di grado massimo, per il polinomio formula_2. Bisogna tenere conto dei termini con coefficiente nullo.
Si può notare che, come già detto nel caso generale, i termini di grado maggiore di formula_1 e del polinomio scritto sotto formula_1, sono uguali.
Ora sottraiamo formula_1 con il polinomio scritto al di sotto per ottenere il polinomio formula_28.
Il grado di formula_29 è maggiore di quello di formula_2, dunque iteriamo il procedimento.
Dividiamo il termine di grado massimo di formula_31 che risulta essere formula_32 per il termine di grado massimo di formula_2 e scriviamo il risultato accanto a quello ottenuto precedentemente.
Ora, come nel passo 3, moltiplichiamo il risultato della divisione appena eseguita che, nel nostro esempio risulta essere formula_34, per il polinomio formula_2 e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto formula_28.
Eseguiamo la sottrazione tra il polinomio formula_28 e il polinomio scritto sotto per ottenere formula_38.
Dato che il grado di formula_38 non è inferiore a quello di formula_2 dobbiamo iterare ancora un'altra volta il procedimento.
Dividiamo il termine di grado superiore di formula_38 per il termine di grado superiore di formula_2.
Moltiplichiamo formula_2 per il risultato della divisione appena eseguita e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto formula_38.
Eseguiamo la sottrazione tra formula_38 e il polinomio scritto sotto per ottenere il polinomio formula_46.
Siamo giunti a formula_47, che ha grado strettamente minore di formula_15, dunque il resto è
e il quoziente della nostra divisione è
possiamo quindi scrivere
Una versione più sintetica di questo procedimento è attuabile quando il divisore "B" è della forma formula_52 o formula_53, un binomio di primo grado. Tale regola è stata esposta da Paolo Ruffini per la prima volta nel 1810.


L'aritmetica (dal greco ἀριθμός = numero) è la più antica branca della matematica, quella che studia le proprietà elementari delle "operazioni aritmetiche" sui numeri, specialmente i numeri interi.
È praticata quotidianamente da tutti per scopi molto semplici, come contare oggetti, valutare costi, stabilire distanze; viene utilizzata anche per scopi avanzati, ad esempio in complessi calcoli finanziari o nella tecnologia delle comunicazioni (crittografia).
I matematici talvolta usano il termine aritmetica per indicare la teoria dei numeri; questa disciplina però tratta problemi più avanzati e specifici rispetto all'aritmetica elementare e non viene presa in considerazione nel presente articolo.
La preistoria dell'aritmetica si limita ad un piccolo numero di piccoli artefatti che testimoniano una chiara concezione dell'addizione e della sottrazione; la prima fonte è l'osso d'Ishango rinvenuto nell'Africa centrale, datata circa tra il 20,000 e il 18,000 a.C.
È chiaro che i babilonesi avevano una solida conoscenza di quasi tutti gli aspetti dell'aritmetica elementare già intorno al 1800 a.C., anche se gli storici possono solo avanzare congetture sopra i metodi utilizzati per ottenere i risultati delle operazioni aritmetiche; questo è il caso dei risultati presentati nella tavoletta d'argilla Plimpton 322, che si presenta come una lista di terne pitagoriche; non si ha invece la possibilità di mostrare in qual modo questa lista sia stata originariamente prodotta. Similmente gli egizi, attraverso il Papiro di Rhind (che risale al 1650 a.C. circa, ma che, con ogni evidenza, è una copia di un vecchio testo del 1850 a.C. circa) testimoniano che le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione venivano effettuate all'interno di un sistema basato su frazioni unitarie.
Nicomaco di Gerasa, nella sua opera "Introduzione all'aritmetica", ha presentato concisamente l'approccio filosofico pitagorico ai numeri, e alle loro mutue relazioni. In quei tempi le operazioni aritmetiche di base costituivano attività molto complesse ed impegnative; è stato il metodo noto come il «Metodo degli indiani» (in latino "Modus Indorum"), che ha condotto all'aritmetica che conosciamo oggi. L'aritmetica indiana è stata molto più semplice di quella greca, a causa della semplicità del sistema di numerazione indiano, che per primo è riuscito a servirsi del numero zero e di una notazione posizionale. Nel VII secolo il vescovo siriaco Severo Sebokht menzionava questo metodo con ammirazione, precisando tuttavia che il metodo degli indiani si presentava senza alcuna descrizione.
Gli arabi appresero questo nuovo metodo e lo chiamarono "hesab". Leonardo Fibonacci (noto anche come Leonardo di Pisa), ha introdotto in Europa il metodo degli indiani nel 1202. Nel suo "Liber Abaci", Fibonacci afferma che, rispetto a questo nuovo metodo, tutti gli altri metodi sono stati sbagliati. Nel Medioevo, l'aritmetica era una delle sette Arti Liberali e veniva insegnata nelle università. Francesco Pellos ne compendiò lo stato nel XV secolo.
I moderni algoritmi dell'aritmetica (utilizzati sia per calcoli manuali che per calcoli automatici) sono stati resi possibili dalla introduzione dei numerali arabi e della loro notazione numerica posizionale e decimale. L'aritmetica araba basata sui numerali era stata sviluppata dai grandi matematici indiani Aryabhatta, Brahmagupta e Bhāskara I. Aryabhatta ha tentato di usare diverse notazioni posizionali e Brahmagupta ha arricchito dello zero il sistema numerico indiano. Brahmagupta ha messo a punto i procedimenti moderni per moltiplicazione, divisione, l'addizione e sottrazione basate sulle cifre decimali. Sebbene oggi siano ormai considerati elementari, questi procedimenti per la loro semplicità costituiscono il punto di arrivo di migliaia di anni di sviluppo della matematica. Per contrasto l'antico matematico Archimede ha dedicato un'intera opera, l"'Arenario ", a mettere a punto una notazione per un certo numero intero molto grande. Alla fioritura dell'algebra nel mondo islamico medievale e nell'Europa Rinascimentale ha contribuito in misura significativa anche l'enorme semplificazione dei calcoli numerici consentita dalla notazione decimale.
Il sistema numerico decimale è un sistema di numerazione posizionale che rappresenta i numeri a partire dalle cifre base da 0 a 9. Un numero decimale consiste in una sequenza di queste cifre base. Il valore di ciascuna cifra che compone il numero dipende dalla posizione che la cifra occupa nella notazione. Una parte essenziale di questo sistema (e un grande traguardo concettuale) è stato pensare allo 0 come ad un numero comparabile alle altre cifre base.
Le operazioni aritmetiche tradizionali sono addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, sebbene vengano a volte incluse nella materia anche operazioni più avanzate come l'elevamento a potenza, l'estrazione di radice, i logaritmi e l'uso delle percentuali. I calcoli aritmetici vengono effettuati rispettando l'ordine delle operazioni. Qualunque insieme su cui possono essere effettuate tutte e quattro le operazioni aritmetiche (eccetto la divisione per 0), e in cui le quattro operazioni godono delle comuni proprietà, è chiamato campo.
Il termine "aritmetica" è usato anche per riferirsi alla teoria dei numeri. Quest'ultima studia le proprietà degli interi collegate ai numeri primi, la divisibilità, e le soluzioni intere delle equazioni, che sono argomenti in rapida crescita nella matematica moderna. È in questo contesto che si incontrano il teorema fondamentale dell'aritmetica e le funzioni aritmetiche.
In generale nella scuola elementare vengono insegnati gli algoritmi di calcolo manuali per eseguire le quattro operazioni nell'insieme dei numeri naturali e dei numeri razionali positivi nella forma decimale; nelle medie inferiori gli algoritmi di queste stesse operazioni eseguite su frazioni e vengono introdotti l'insieme dei numeri razionali e quello dei numeri reali.
Sempre alle medie inferiori si studiano le operazioni di elevamento a potenza, di estrazione di radice (in particolare la radice quadrata), di massimo comune divisore e di minimo comune multiplo. Tradizionalmente si insegnava l'algoritmo manuale di estrazione di radice quadrata, ma ciò ora non è più sempre vero, visto che molti insegnanti preferiscono insegnare l'uso delle tavole numeriche o quello del calcolatore tascabile. Viene inoltre appreso il metodo di approssimazione dei risultati. Vengono introdotte le proporzioni e la proporzionalità e le sue applicazioni alla risoluzione di problemi del tre semplice e del tre composto, di ripartizione e di applicazioni di matematica finanziaria.
Nelle scuole medie superiori si studiano i logaritmi; anche qui si è passati dall'apprendimento dell'uso del regolo calcolatore a quello del calcolatore o del computer. Entrambi questi strumenti sono ampiamente utilizzati terminati gli studi per eseguire calcoli numerici.
