
In matematica, una funzione continua è una funzione che, intuitivamente, fa corrispondere ad elementi sufficientemente vicini del dominio elementi arbitrariamente vicini del codominio.
Esistono diverse definizioni di continuità, corrispondenti ai contesti matematici in cui vengono utilizzate: la continuità di una funzione è uno dei concetti di base della topologia e dell'analisi matematica.
La continuità di una funzione può essere definita anche in modo locale: in questo caso si parla di "continuità in un punto" del dominio. Una funzione continua è, per definizione, continua in ogni punto del proprio dominio.
Una funzione che non è continua è detta "discontinua", e i punti del dominio in cui non è continua sono detti "punti di discontinuità".
Per esempio, la funzione "h(t)" che descrive l'altezza di un uomo rispetto alla sua età può essere vista come una funzione continua: in periodi brevi l'uomo cresce di poco. Al contrario, la funzione "g(t)" che rappresenta la quantità di denaro presente in un conto corrente nel tempo è una funzione discontinua, poiché prelievi e depositi le fanno fare salti da un valore all'altro.
La continuità di una funzione è un concetto topologico, e quindi la definizione generale di funzione continua si sviluppa con funzioni tra spazi topologici. Lo stesso concetto è però usato in ambiti meno generali, soprattutto per quanto riguarda il suo utilizzo in analisi matematica: è spesso presentata la definizione di continuità solo per funzioni tra spazi metrici, o ancora, solo per funzioni di una variabile reale.
Nel caso di funzioni di una variabile reale, spesso la continuità è presentata come una proprietà del grafico: la funzione è continua se il suo grafico è formato da un'unica curva che non compia mai salti. Sebbene questa nozione possa essere usata nei casi più semplici per distinguere funzioni continue da funzioni discontinue, non è formalmente corretta, e può portare ad ambiguità o errori.
Una funzione formula_1 si definisce continua nel punto formula_2 del suo dominio se il suo limite per formula_3 tendente a formula_2 coincide con la valutazione della funzione in formula_2, ovvero con formula_6. In simboli:
Tale definizione è usata maggiormente per funzioni definite su un intervallo della retta reale: infatti, essa ha senso solo se formula_2 è un punto di accumulazione per il dominio di formula_1. Essa è comunque estendibile anche nel caso di domini più complicati, che comprendono punti isolati: in essi, formula_1 risulta continua per una "verità vuota" (dall'inglese "vacuous truth").
La funzione si dice continua se è continua in ogni punto formula_2 del dominio.
Una funzione formula_12 definita su un sottoinsieme formula_13 dei numeri reali a valori reali si dice continua in un punto formula_14 se per ogni numero formula_15, arbitrariamente piccolo, esiste un secondo numero formula_16 tale che, formula_17, la funzione formula_18 dista da formula_6 per meno di formula_20, ovvero:
In linguaggio simbolico, una funzione è continua in un punto formula_2 se:
Se questa proprietà vale per ogni punto nel dominio di definizione della funzione, allora si dice che la funzione è continua.
In questo caso si dice che formula_24, che è l'insieme delle funzioni continue a valori reali e variabili in formula_13.
Più intuitivamente, se si vuole che la funzione formula_18 disti di un valore piccolo da formula_6 ci basta restringerci ad un intorno abbastanza piccolo del punto formula_2. Se questo è possibile qualunque sia la distanza scelta (a meno di restringere ulteriormente l'intorno di formula_2), allora la funzione è continua in formula_2.
Questa definizione è equivalente a quella data in precedenza: essa è costruita dalla prima semplicemente esplicitando la definizione di limite di una funzione. È stata usata per la prima volta da Cauchy.
La definizione di continuità data nel caso di funzioni reali può essere generalizzata in contesti più ampi, come quello degli spazi topologici.
Siano due spazi topologici formula_31, formula_32 e sia formula_33 un'applicazione. Allora:
formula_1 si dice continua in formula_35 se formula_36 intorno di formula_37 formula_38 intorno di formula_39 tale che formula_40;
formula_1 si dice continua se formula_42 aperto in formula_43 formula_44 è un insieme aperto in formula_45.
Osserviamo che altre definizioni equivalenti di funzione continua sono:
La definizione di continuità è strettamente legata alla topologia scelta nel dominio e nel codominio: funzioni continue con alcune scelte di topologia possono non esserlo con altre. Per esempio, la funzione identità è continua se lo spazio di arrivo ha la stessa topologia dello spazio di partenza, oppure se ne ha una meno fine, ovvero con meno aperti. Se invece lo spazio di arrivo ha una topologia più fine, con più aperti, la funzione identità non risulta continua.
Gli spazi metrici sono spazi topologici nei quali la topologia è generata da una base di intorni circolari. Sia formula_1 una funzione tra due spazi metrici formula_69 e formula_70. La funzione f si dice continua in un punto formula_2 se, per ogni scelta di formula_72, esiste un formula_73, tale che, per ogni punto formula_74 che dista meno di formula_75 da p, ovvero che:
si ha che formula_18 dista per meno di formula_20 da formula_6, ovvero:
La definizione può essere scritta servendosi della nozione di intorno sferico formula_81 centrato in formula_2, di raggio formula_75: in questo caso, la funzione è continua se formula_84 implica che formula_85 o, simbolicamente:
dove formula_87 è l'insieme di definizione di formula_1.
Nel caso di funzioni reali, le definizioni coincidono se le due distanze su dominio e codominio non sono altro che il modulo della differenza tra due valori in formula_89.
Inoltre, questa definizione è valida per funzioni definite e a valori in tutti gli spazi vettoriali normati, dove la distanza sia la norma della differenza tra due punti. In particolare, è valida in formula_90 con la norma euclidea, ed estende quindi la definizione di continuità a funzioni di più variabili.
Sono esempi di funzioni continue:
Sono esempi di funzioni "non" continue:
Sia formula_110 una funzione continua a valori reali definita su un intervallo formula_111. Valgono:
Se formula_1 è una funzione continua biiettiva a valori reali definita su un intervallo, allora formula_1 è strettamente monotona e la funzione inversa formula_137 è continua e strettamente monotona. L'implicazione non vale in generale per le funzioni il cui dominio non è un intervallo.
Sia formula_138 una funzione tra spazi metrici. Valgono:
Sia formula_154 una funzione continua tra spazi topologici. Valgono:
La composizione di funzioni continue è una funzione continua, ovvero se formula_1 e formula_156 sono due funzioni continue, allora anche:
è una funzione continua.
Come conseguenza di questa proprietà si hanno le seguenti:
In generale, l'inverso non è vero: ad esempio, se una funzione continua è somma di due funzioni, non è detto che entrambi gli addendi siano a loro volta funzioni continue. Ad esempio se
allora formula_1 e formula_156 non sono continue, ma
sono entrambe continue su tutto formula_166. Analogamente se
allora formula_1 e formula_156 non sono continue, ma
è continua su tutto formula_166.
Data una successione di funzioni continue formula_172 tali che il limite:
esiste finito per ogni formula_174 (convergenza puntuale), allora non è vero che formula_18 è una funzione continua. Se però la successione converge uniformemente, allora il limite puntuale formula_18 è continuo.
Una funzione derivabile (o più in generale una funzione differenziabile) in un punto formula_2 è sempre continua in quel punto. Non è vero l'inverso: esistono funzioni continue non derivabili, come ad esempio la funzione valore assoluto, continua in 0 ma non derivabile nello stesso punto. Esistono anche funzioni a variabile reale continue in tutti i punti del dominio e non derivabili in nessuno di essi, come la funzione di Weierstrass.
Una funzione continua formula_178 è sempre integrabile secondo Riemann (e quindi anche secondo Lebesgue). Inoltre, formula_1 ammette sempre primitive e ogni sua primitiva è continua. Viceversa, non tutte le funzioni integrabili sono continue: per esempio, sono integrabili tutte le funzioni costanti a tratti.
Una funzione formula_1 a valori reali è "continua per successioni" in formula_39 se, per ogni successione formula_182 a valori nel dominio della funzione e convergente a formula_39, la successione formula_184 converge a formula_37.
Questa formulazione di continuità è dovuta ad Eduard Heine.
Una funzione continua è sempre continua per successioni, mentre, al contrario è possibile dare esempi di funzioni continue per successioni, ma non continue. L'inverso vale solo se il dominio formula_186 è uno spazio sequenziale, come lo sono gli spazi primo-numerabili e dunque in particolare gli spazi metrici: in questo caso, quindi, le due definizioni si possono considerare equivalenti.
Una funzione reale formula_1 si dice "continua a destra" in formula_39 se:
dove il limite è inteso solo come limite destro.
Una funzione formula_1 si dice "continua a sinistra" in formula_39 se:
Una funzione è continua in un punto se e solo se è ivi continua a destra e a sinistra.
Queste proprietà non sono estendibili a funzioni a più di una variabile, in quanto nel piano, nello spazio, e generalmente in formula_90 quando formula_194 non esiste relazione d'ordine, ovvero non è possibile definire una "destra" o una "sinistra".
Una funzione formula_1 definita su uno spazio topologico formula_45 a valori reali si dice "semicontinua inferiormente" in formula_35 se per ogni formula_72 esiste un intorno formula_199 di formula_39 tale che per ogni formula_201, si ha:
Se invece vale, per ogni formula_203:
la funzione viene detta "semicontinua superiormente" in formula_39.
Se la prima (o rispettivamente la seconda) proprietà vale in ogni punto del dominio, si dice che la funzione è semicontinua inferiormente (o rispettivamente semicontinua superiormente).
La semicontinuità (sia inferiore che superiore), è una proprietà più debole della continuità: esistono funzioni semicontinue ma non continue. Viceversa, una funzione è continua se e solo se è sia semicontinua inferiormente che semicontinua superiormente.
Nel caso di funzioni di più variabili, è possibile definire una condizione più debole di continuità, detta "continuità separata": una funzione formula_1 è continua separatamente in un punto formula_2 rispetto a una delle variabili formula_208 se è continua la funzione di una variabile dipendente solo dal parametro formula_208, lasciando le restanti variabili fissate al valore assunto nel punto in esame.
Una condizione più forte (e globale) di continuità è quella di "continuità uniforme": una funzione continua tra due spazi metrici si dice uniformemente continua se il parametro formula_75 della definizione non dipende dal punto formula_2 considerato, ovvero se è possibile scegliere un formula_75 che soddisfi la definizione per tutti i punti del dominio.
Più precisamente, una funzione formula_1 è uniformemente continua se, per ogni formula_72 esiste un formula_73 tale che, comunque presi due punti formula_2 e formula_132 nel dominio di formula_1 che distano per meno di formula_75, allora le loro immagini formula_6 e formula_221 distano per meno di formula_20.
Quando gli elementi di un insieme di funzioni continue hanno il medesimo modulo di continuità, si parla di "insieme equicontinuo". Nello specifico, Siano formula_45 e formula_43 due spazi metrici e formula_225 una famiglia di funzioni definite da formula_45 in formula_43. La famiglia formula_225 è equicontinua nel punto formula_229 se per ogni formula_230 esiste formula_73 tale che formula_232 per tutte le formula_233 e per ogni formula_3 tali che formula_235. La famiglia formula_225 è equicontinua (in tutto formula_45) se è equicontinua in ogni suo punto. La famiglia formula_225 è uniformemente equicontinua se per ogni formula_230 esiste formula_73 tale che formula_241 per tutte le formula_233 e per ogni coppia di punti formula_243 e formula_244 in formula_45 tali che formula_246.
Più in generale, quando formula_45 è uno spazio topologico, un insieme formula_225 di funzioni da formula_45 in formula_43 è equicontinuo nel punto formula_74 se per ogni formula_230 il punto formula_3 possiede un intorno formula_254 tale che:
Tale definizione è sapesso utilizzata nell'ambito degli spazi vettoriali topologici.
L'insieme di tutte le funzioni continue su un dominio fissato formula_13 e a valori reali:
può essere dotato di una struttura di spazio vettoriale ponendo per formula_1 e formula_156 in tale insieme:
e per formula_261 numero reale:
Lo spazio vettoriale così definito è detto "spazio delle funzioni continue su formula_13".
Se il dominio formula_13 è compatto (e quindi per tutte le funzioni in formula_265 vale il teorema di Weierstrass) nello spazio formula_265 può essere definita una norma ponendo:
detta "norma uniforme" o "norma del sup".
La coppia costituita dallo spazio formula_265 e dalla norma uniforme individua uno spazio di Banach.


In matematica, una funzione è una relazione tra due insiemi, chiamati dominio e codominio della funzione, che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.
Se i due insiemi sono rispettivamente indicati con formula_1 e formula_2, la relazione è indicata con formula_3 e l'elemento associato a formula_4 tramite la funzione formula_5 viene abitualmente indicato con formula_6 (si pronuncia "effe di x").
La parola funzione quindi non si riferisce alla sola relazione, ma alla terna: relazione, domino e codominio.
Per esempio: la funzione che associa a un numero "naturale" la radice quadrata di quel numero è diversa dalla funzione che associa a un numero "intero" la radice quadrata di quel numero (a seconda di come è definito il codominio, la seconda potrebbe non essere neppure un'associazione corretta).
Si dice che formula_7 è l'argomento della funzione, oppure un valore della variabile indipendente, mentre formula_8 è un valore della variabile dipendente della funzione. 
Sinonimi del termine "funzione" sono "applicazione" e "mappa". Il termine "trasformazione" viene utilizzato spesso in ambito geometrico per indicare una funzione formula_9 invertibile e che conserva le proprietà geometriche di formula_1, mentre "operatore" è talvolta utilizzato nella trattazione di funzioni lineari tra spazi vettoriali. 
Le funzioni hanno un ruolo molto importante in tutte le scienze esatte. Il concetto di dipendenza funzionale tra due grandezze sostituisce infatti, all'interno delle teorie fisiche e matematiche, quello di causa-effetto, che, al contrario del precedente, non riguarda gli enti teorici ma direttamente gli elementi della realtà concreta. Se si afferma, ad esempio, che la pressione di una certa quantità di gas perfetto è funzione della sua temperatura e del suo volume si sta facendo un'affermazione interna a un modello termodinamico, mentre il rapporto di causa-effetto che viene individuato fra le tre grandezze dipende in modo sostanziale dalle possibilità di intervento concreto su di esse. Rimanendo a questo esempio, il valore della pressione viene visto più spesso come conseguenza del valore degli altri due parametri, poiché è generalmente molto più facile intervenire sul volume e sulla temperatura che direttamente sulla pressione.
Gli esempi più semplici di funzione sono quelli per cui sia il dominio che il codominio sono insiemi numerici. Per esempio, se a ogni numero naturale si associa il doppio di tale numero, si ha una funzione, il cui dominio è dato dai naturali e il cui codominio è costituito dai naturali pari.
Tuttavia si parla di funzione anche quando il dominio o il codominio, o entrambi, non sono insiemi numerici. Se, per esempio, a ogni triangolo del piano si associa il cerchio in esso inscritto, si ha ugualmente una funzione, in quanto per ogni triangolo esiste uno e un solo cerchio in esso inscritto.
Inoltre spesso si parla di funzioni con più argomenti, o con più valori: per esempio la funzione che alle coordinate formula_11 di un punto nello spazio fa corrispondere temperatura formula_12 e pressione formula_13 dell'aria. In tal caso, la funzione ha in realtà sempre un solo argomento, che è la terna formula_14 e ha sempre un solo valore, che è la coppia formula_15
Dati due insiemi non vuoti formula_1 e formula_2, si chiama funzione da formula_1 in formula_2 una relazione formula_5 tale che per ogni formula_21 esiste uno ed un solo elemento formula_22 tale che formula_23. Tale elemento tradizionalmente si denota con formula_6: in altre parole, invece di scrivere formula_23 si può usare la scrittura più tradizionale:
Il fatto che formula_5 sia una funzione da formula_1 in formula_2 che associa a formula_7 l'elemento formula_6 si può esprimere con la scrittura:
L'insieme formula_1 (da cui la funzione formula_5 "prende" i valori) è il dominio della funzione formula_5, mentre l'insieme formula_2 (in cui si trovano i valori "restituiti" dalla funzione formula_5) è il codominio della funzione formula_5.
Le espressioni "prendere un valore" e "restituire un valore" fanno riferimento a un modello meccanico delle funzioni, rappresentate come meccanismi che, fornito loro un elemento del dominio, lo "trasformano" nel corrispondente elemento del codominio. 
Data una funzione formula_5 di dominio formula_1 e codominio formula_41 comunque scelto un elemento formula_7 del dominio, si chiama "immagine" di formula_7 il corrispondente elemento del codominio, indicato con formula_44 Analogamente, se formula_45 è un elemento del codominio che sia immagine di un elemento formula_7 del dominio, cioè se formula_47, si dice che formula_7 è una controimmagine di formula_49 Mentre a ogni elemento del dominio di formula_5 è assegnata una e una sola immagine, è possibile che un elemento nel codominio possegga diverse controimmagini, o che non ne possieda affatto. Si definisce quindi "controimmagine" dell'elemento formula_51 l'insieme
Se formula_53 per ogni formula_54 si dice che formula_5 è "suriettiva", mentre se formula_56 contiene al più un elemento per ogni formula_45 si dice che formula_5 è "iniettiva". Se valgono entrambe le condizioni, formula_5 è detta "biiettiva" o "biunivoca".
L'insieme
degli elementi formula_45 del codominio per i quali esiste almeno un formula_7 nel dominio che ha formula_45 come immagine è detto "immagine" di formula_5 e si denota con formula_65 o con formula_66.
Per il valore di una funzione formula_67 corrispondente a un elemento formula_7, denotabile con la notazione tradizionale formula_69, vengono usate anche altre due scritture.
Per quella che chiamiamo notazione a funzione prefissa si pone
Per quella che chiamiamo notazione a funzione suffissale si pone
A volte al posto delle parentesi tonde si usano parentesi quadrate:
In questo modo si evitano confusioni con le parentesi che indicano l'ordine delle operazioni. Questa notazione è usata da alcuni programmi di calcolo simbolico.
Nelle funzioni di due variabili si usa talvolta la notazione infissa, ossia
ad esempio, nelle usuali operazioni di addizione e sottrazione si usa scrivere formula_74 e formula_75 invece di formula_76 e formula_77
Data una funzione formula_78 e un insieme formula_1 tale che formula_80, si dice che la funzione formula_81 è un'"estensione di f all'insieme formula_1" se
dove formula_84 è l'inclusione di formula_85 in formula_1, data da formula_87. Si dice viceversa che "formula_5 è la restrizione di "formula_89" all'insieme formula_85".
La restrizione di una funzione formula_5 a un insieme formula_85 contenuto nel suo dominio è abitualmente indicata con formula_93.
Quando il dominio di una funzione formula_5 è il prodotto cartesiano di due o più insiemi, e dunque la funzione agisce su formula_95-uple di elementi di insiemi, allora l'immagine del vettore di questi elementi formula_96 viene indicata con la notazione
In questo caso la funzione viene anche chiamata funzione di vettore. A tal proposito in fisica si parla di campo.
Per esempio, si consideri la funzione di moltiplicazione che associa un vettore di due numeri naturali formula_7 e formula_45 al loro prodotto: formula_100. Questa funzione può essere definita formalmente come avente per dominio formula_101, l'insieme di tutte le coppie di numeri naturali; si noti inoltre che in questo caso la funzione è simmetrica rispetto alle componenti del vettore: formula_102 e quindi si tratta di una funzione di un insieme formula_103 in cui non importa cioè l'ordine degli elementi. Sono inoltre possibili anche altri raggruppamenti delle variabili: per esempio risulta estremamente importante nello studio dei sistemi di equazioni differenziali la teoria della funzione di matrice:
Molte operazioni binarie dell'aritmetica, come l'addizione e la moltiplicazione, sono funzioni dal prodotto cartesiano formula_105 a valori in formula_106, e vengono descritte tramite la notazione infissa: si scrive cioè formula_107 (e non formula_108) per descrivere l'immagine della coppia formula_109 tramite l'operazione formula_110.
Questa notazione è stata generalizzata dall'algebra moderna, per definire strutture algebriche come ad esempio quella di gruppo, come un insieme formula_111 dotato di alcune operazioni binarie aventi determinate proprietà.
Se il "codominio" di una funzione formula_112 è il prodotto cartesiano di due o più insiemi, questa può essere indicata come funzione vettoriale. Tali variabili spesso vengono aggregate in un vettore; a tal proposito in fisica si parla di campo vettoriale.
Un esempio tipico è dato da una trasformazione lineare del piano, ad esempio:
Una funzione è invece detta polidroma nel caso in cui esista almeno un elemento del dominio cui corrisponde più di un elemento del codominio. In effetti tali funzioni non rientrano nella definizione data inizialmente, ma in alcuni campi (ad esempio in analisi complessa) essa viene estesa proprio in questo senso. Un esempio di funzione polidroma è la radice quadrata di un numero reale positivo, che può essere descritta come una funzione
che associa a ogni numero reale positivo l'insieme delle sue due radici quadrate. Un esempio analogo è il logaritmo definito sull'insieme dei numeri complessi.
Nella matematica e sostanzialmente in tutte le sue applicazioni si incontrano numerosi tipi di funzioni, che si presentano anche con caratteristiche molto diverse, e che vengono classificate seguendo diversi criteri.
Data una funzione formula_6 di variabile reale a valori reali e una costante formula_116, su di essa sono applicabili le operazioni aritmetiche elementari ovvero somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza, radice "n"-esima ovvero:
se formula_120 si ha anche
se formula_122 si ha anche
e se formula_124 intero maggiore di 1, e se formula_124 pari si deve avere anche formula_126, si ha anche
Date due funzioni formula_6 e formula_129 di variabile reale a valori reali sono applicabili le operazioni aritmetiche elementari di cui sopra ovvero:
se formula_133 si ha anche
se formula_122 (o formula_126 nel caso in cui formula_137) si ha anche 
Date due funzioni formula_5 : formula_1 → formula_2 e formula_142 : formula_2 → formula_144 si può definire la loro composizione: questa è definita applicando prima formula_5 ad formula_7 e quindi applicando formula_142 al risultato formula_6.
Questa nuova funzione viene denotata con formula_149 Riconducendoci alla notazione tradizionale con le due notazioni il risultato della precedente composizione applicato all'elemento x del dominio si può scrivere
Data una funzione formula_6 di variabile reale a valori reali e una costante formula_152:
Data una funzione formula_6 di variabile reale a valori reali:
