
In matematica, una funzione è una relazione tra due insiemi, chiamati dominio e codominio della funzione, che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.
Se i due insiemi sono rispettivamente indicati con formula_1 e formula_2, la relazione è indicata con formula_3 e l'elemento associato a formula_4 tramite la funzione formula_5 viene abitualmente indicato con formula_6 (si pronuncia "effe di x").
La parola funzione quindi non si riferisce alla sola relazione, ma alla terna: relazione, domino e codominio.
Per esempio: la funzione che associa a un numero "naturale" la radice quadrata di quel numero è diversa dalla funzione che associa a un numero "intero" la radice quadrata di quel numero (a seconda di come è definito il codominio, la seconda potrebbe non essere neppure un'associazione corretta).
Si dice che formula_7 è l'argomento della funzione, oppure un valore della variabile indipendente, mentre formula_8 è un valore della variabile dipendente della funzione. 
Sinonimi del termine "funzione" sono "applicazione" e "mappa". Il termine "trasformazione" viene utilizzato spesso in ambito geometrico per indicare una funzione formula_9 invertibile e che conserva le proprietà geometriche di formula_1, mentre "operatore" è talvolta utilizzato nella trattazione di funzioni lineari tra spazi vettoriali. 
Le funzioni hanno un ruolo molto importante in tutte le scienze esatte. Il concetto di dipendenza funzionale tra due grandezze sostituisce infatti, all'interno delle teorie fisiche e matematiche, quello di causa-effetto, che, al contrario del precedente, non riguarda gli enti teorici ma direttamente gli elementi della realtà concreta. Se si afferma, ad esempio, che la pressione di una certa quantità di gas perfetto è funzione della sua temperatura e del suo volume si sta facendo un'affermazione interna a un modello termodinamico, mentre il rapporto di causa-effetto che viene individuato fra le tre grandezze dipende in modo sostanziale dalle possibilità di intervento concreto su di esse. Rimanendo a questo esempio, il valore della pressione viene visto più spesso come conseguenza del valore degli altri due parametri, poiché è generalmente molto più facile intervenire sul volume e sulla temperatura che direttamente sulla pressione.
Gli esempi più semplici di funzione sono quelli per cui sia il dominio che il codominio sono insiemi numerici. Per esempio, se a ogni numero naturale si associa il doppio di tale numero, si ha una funzione, il cui dominio è dato dai naturali e il cui codominio è costituito dai naturali pari.
Tuttavia si parla di funzione anche quando il dominio o il codominio, o entrambi, non sono insiemi numerici. Se, per esempio, a ogni triangolo del piano si associa il cerchio in esso inscritto, si ha ugualmente una funzione, in quanto per ogni triangolo esiste uno e un solo cerchio in esso inscritto.
Inoltre spesso si parla di funzioni con più argomenti, o con più valori: per esempio la funzione che alle coordinate formula_11 di un punto nello spazio fa corrispondere temperatura formula_12 e pressione formula_13 dell'aria. In tal caso, la funzione ha in realtà sempre un solo argomento, che è la terna formula_14 e ha sempre un solo valore, che è la coppia formula_15
Dati due insiemi non vuoti formula_1 e formula_2, si chiama funzione da formula_1 in formula_2 una relazione formula_5 tale che per ogni formula_21 esiste uno ed un solo elemento formula_22 tale che formula_23. Tale elemento tradizionalmente si denota con formula_6: in altre parole, invece di scrivere formula_23 si può usare la scrittura più tradizionale:
Il fatto che formula_5 sia una funzione da formula_1 in formula_2 che associa a formula_7 l'elemento formula_6 si può esprimere con la scrittura:
L'insieme formula_1 (da cui la funzione formula_5 "prende" i valori) è il dominio della funzione formula_5, mentre l'insieme formula_2 (in cui si trovano i valori "restituiti" dalla funzione formula_5) è il codominio della funzione formula_5.
Le espressioni "prendere un valore" e "restituire un valore" fanno riferimento a un modello meccanico delle funzioni, rappresentate come meccanismi che, fornito loro un elemento del dominio, lo "trasformano" nel corrispondente elemento del codominio. 
Data una funzione formula_5 di dominio formula_1 e codominio formula_41 comunque scelto un elemento formula_7 del dominio, si chiama "immagine" di formula_7 il corrispondente elemento del codominio, indicato con formula_44 Analogamente, se formula_45 è un elemento del codominio che sia immagine di un elemento formula_7 del dominio, cioè se formula_47, si dice che formula_7 è una controimmagine di formula_49 Mentre a ogni elemento del dominio di formula_5 è assegnata una e una sola immagine, è possibile che un elemento nel codominio possegga diverse controimmagini, o che non ne possieda affatto. Si definisce quindi "controimmagine" dell'elemento formula_51 l'insieme
Se formula_53 per ogni formula_54 si dice che formula_5 è "suriettiva", mentre se formula_56 contiene al più un elemento per ogni formula_45 si dice che formula_5 è "iniettiva". Se valgono entrambe le condizioni, formula_5 è detta "biiettiva" o "biunivoca".
L'insieme
degli elementi formula_45 del codominio per i quali esiste almeno un formula_7 nel dominio che ha formula_45 come immagine è detto "immagine" di formula_5 e si denota con formula_65 o con formula_66.
Per il valore di una funzione formula_67 corrispondente a un elemento formula_7, denotabile con la notazione tradizionale formula_69, vengono usate anche altre due scritture.
Per quella che chiamiamo notazione a funzione prefissa si pone
Per quella che chiamiamo notazione a funzione suffissale si pone
A volte al posto delle parentesi tonde si usano parentesi quadrate:
In questo modo si evitano confusioni con le parentesi che indicano l'ordine delle operazioni. Questa notazione è usata da alcuni programmi di calcolo simbolico.
Nelle funzioni di due variabili si usa talvolta la notazione infissa, ossia
ad esempio, nelle usuali operazioni di addizione e sottrazione si usa scrivere formula_74 e formula_75 invece di formula_76 e formula_77
Data una funzione formula_78 e un insieme formula_1 tale che formula_80, si dice che la funzione formula_81 è un'"estensione di f all'insieme formula_1" se
dove formula_84 è l'inclusione di formula_85 in formula_1, data da formula_87. Si dice viceversa che "formula_5 è la restrizione di "formula_89" all'insieme formula_85".
La restrizione di una funzione formula_5 a un insieme formula_85 contenuto nel suo dominio è abitualmente indicata con formula_93.
Quando il dominio di una funzione formula_5 è il prodotto cartesiano di due o più insiemi, e dunque la funzione agisce su formula_95-uple di elementi di insiemi, allora l'immagine del vettore di questi elementi formula_96 viene indicata con la notazione
In questo caso la funzione viene anche chiamata funzione di vettore. A tal proposito in fisica si parla di campo.
Per esempio, si consideri la funzione di moltiplicazione che associa un vettore di due numeri naturali formula_7 e formula_45 al loro prodotto: formula_100. Questa funzione può essere definita formalmente come avente per dominio formula_101, l'insieme di tutte le coppie di numeri naturali; si noti inoltre che in questo caso la funzione è simmetrica rispetto alle componenti del vettore: formula_102 e quindi si tratta di una funzione di un insieme formula_103 in cui non importa cioè l'ordine degli elementi. Sono inoltre possibili anche altri raggruppamenti delle variabili: per esempio risulta estremamente importante nello studio dei sistemi di equazioni differenziali la teoria della funzione di matrice:
Molte operazioni binarie dell'aritmetica, come l'addizione e la moltiplicazione, sono funzioni dal prodotto cartesiano formula_105 a valori in formula_106, e vengono descritte tramite la notazione infissa: si scrive cioè formula_107 (e non formula_108) per descrivere l'immagine della coppia formula_109 tramite l'operazione formula_110.
Questa notazione è stata generalizzata dall'algebra moderna, per definire strutture algebriche come ad esempio quella di gruppo, come un insieme formula_111 dotato di alcune operazioni binarie aventi determinate proprietà.
Se il "codominio" di una funzione formula_112 è il prodotto cartesiano di due o più insiemi, questa può essere indicata come funzione vettoriale. Tali variabili spesso vengono aggregate in un vettore; a tal proposito in fisica si parla di campo vettoriale.
Un esempio tipico è dato da una trasformazione lineare del piano, ad esempio:
Una funzione è invece detta polidroma nel caso in cui esista almeno un elemento del dominio cui corrisponde più di un elemento del codominio. In effetti tali funzioni non rientrano nella definizione data inizialmente, ma in alcuni campi (ad esempio in analisi complessa) essa viene estesa proprio in questo senso. Un esempio di funzione polidroma è la radice quadrata di un numero reale positivo, che può essere descritta come una funzione
che associa a ogni numero reale positivo l'insieme delle sue due radici quadrate. Un esempio analogo è il logaritmo definito sull'insieme dei numeri complessi.
Nella matematica e sostanzialmente in tutte le sue applicazioni si incontrano numerosi tipi di funzioni, che si presentano anche con caratteristiche molto diverse, e che vengono classificate seguendo diversi criteri.
Data una funzione formula_6 di variabile reale a valori reali e una costante formula_116, su di essa sono applicabili le operazioni aritmetiche elementari ovvero somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza, radice "n"-esima ovvero:
se formula_120 si ha anche
se formula_122 si ha anche
e se formula_124 intero maggiore di 1, e se formula_124 pari si deve avere anche formula_126, si ha anche
Date due funzioni formula_6 e formula_129 di variabile reale a valori reali sono applicabili le operazioni aritmetiche elementari di cui sopra ovvero:
se formula_133 si ha anche
se formula_122 (o formula_126 nel caso in cui formula_137) si ha anche 
Date due funzioni formula_5 : formula_1 → formula_2 e formula_142 : formula_2 → formula_144 si può definire la loro composizione: questa è definita applicando prima formula_5 ad formula_7 e quindi applicando formula_142 al risultato formula_6.
Questa nuova funzione viene denotata con formula_149 Riconducendoci alla notazione tradizionale con le due notazioni il risultato della precedente composizione applicato all'elemento x del dominio si può scrivere
Data una funzione formula_6 di variabile reale a valori reali e una costante formula_152:
Data una funzione formula_6 di variabile reale a valori reali:


In matematica, il logaritmo di un numero in una data base è l'esponente al quale la base deve essere elevata per ottenere il numero stesso.
Per esempio, il logaritmo in base formula_1 di formula_2 è formula_3, poiché bisogna elevare formula_1 alla terza potenza per ottenere formula_2, ovvero formula_6. Più in generale, se formula_7, allora formula_8 è il logaritmo in base formula_9 di formula_10, cioè, scritto in notazione matematica,
I logaritmi furono introdotti da Nepero all'inizio del 1600, e trovarono subito applicazione nelle scienze e nell'ingegneria, soprattutto come strumento per semplificare calcoli con numeri molto grandi, grazie all'introduzione di "tavole di logaritmi".
La funzione formula_12 (logaritmo in base formula_9 di formula_14) è la funzione inversa della funzione esponenziale in base formula_9 data da formula_16
È di importanza fondamentale il logaritmo naturale, cioè il logaritmo che ha come base il numero di Nepero, indicato con formula_17 Il logaritmo naturale è l'inverso della funzione esponenziale formula_18
Dati due numeri reali positivi formula_9 e formula_10, con formula_21, si definisce "logaritmo" in base formula_9 di formula_10 l'esponente a cui elevare formula_9 per ottenere formula_25 Il numero formula_10 viene chiamato "argomento" del logaritmo. In altre parole, se formula_27
si scrive che
e si legge: formula_8 è il logaritmo in base formula_9 di formula_25
Le ipotesi su formula_9 e formula_10 sono necessarie per avere l'esistenza e l'unicità di formula_34 infatti:
Per esempio, formula_55 perché formula_56
I logaritmi possono anche essere negativi (a differenza della base e dell'argomento). Infatti
poiché formula_58
Dalle relazioni formula_59 e formula_60, che valgono qualsiasi sia la base formula_9, derivano le proprietà di base:
Inoltre, dalla definizione segue che:
Una delle più importanti proprietà dei logaritmi è che il logaritmo del prodotto di due numeri è la somma dei logaritmi dei due numeri stessi. Allo stesso modo, il logaritmo del quoziente di due numeri non è altro che la differenza tra i logaritmi degli stessi. In altre parole valgono
Applicando il logaritmo ad ambo i membri:
Il suo valore è ovviamente l'esponente stesso:
Inoltre, il logaritmo di un numero elevato a una certa potenza formula_72 è uguale a formula_72 moltiplicato per il logaritmo del numero stesso. Da questo discende che il logaritmo della radice formula_72-esima di un numero è uguale all'inverso di formula_72 per il logaritmo del numero, e che il logaritmo dell'inverso di un numero è l'opposto del logaritmo del numero stesso. In altre parole valgono le formule:
Noto il valore di un logaritmo in una base, è semplice calcolarne il valore in un'altra base (spesso le calcolatrici danno il logaritmo solo in basi formula_1 ed formula_80).
Se formula_10, formula_14, e formula_72 sono tutti numeri reali positivi (con formula_43 e formula_85):
dove "k" è una base qualsiasi. La formula può essere scritta nel modo seguente
e segue dalla relazione
Dalla formula del cambiamento di base, ponendo formula_89, si ricava la relazione seguente:
Anche se in linea di principio i logaritmi possono essere calcolati in qualunque base positiva e diversa da formula_45, quelle più utilizzate sono tre:
Il metodo dei logaritmi fu proposto dallo scozzese Nepero nel 1614, in un libro intitolato "Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio". Joost Bürgi inventò indipendentemente i logaritmi, ma pubblicò i suoi risultati sei anni dopo Nepero.
Per sottrazioni successive, Nepero calcolò formula_92 per formula_93 da formula_45 a formula_95; il risultato per formula_96 è approssimativamente formula_97, ovvero formula_98. Nepero poi calcolò il prodotto di questi numeri per formula_99, con formula_93 da formula_45 a formula_102. Questi calcoli, che occuparono 20 anni, gli permisero di trovare, per ogni numero intero formula_103 da 5 a 10 milioni, il numero formula_93 che risolve l'equazione
Nepero chiamò inizialmente questo valore un "numero artificiale", ma successivamente introdusse il nome "logaritmo", dalle parole del greco "logos", proporzione, e "arithmos", numero. Usando una notazione moderna, i calcoli di Nepero gli permisero di calcolare
dove l'approssimazione compiuta corrisponde alla seguente:
L'invenzione di Nepero fu subito largamente acclamata: i lavori di Bonaventura Cavalieri (Italia), Edmund Wingate (Francia), Xue Fengzuo (Cina) e Giovanni Keplero (Germania) permisero di diffondere velocemente l'idea.
Nel 1647, il fiammingo Gregorio di San Vincenzo collegò i logaritmi alla quadratura dell'iperbole, dimostrando che l'area formula_108 sottesa da formula_45 a formula_110 soddisfa
Il logaritmo naturale fu per la prima volta descritto da Nicolaus Mercator nel suo scritto "Logarithmotechnia" pubblicato nel 1668, anche se precedentemente l'insegnante di matematica John Speidell aveva compilato una tavola di logaritmi naturali nel 1619.
Intorno al 1730, Eulero definì la funzione esponenziale e la funzione logaritmo come
Eulero inoltre dimostrò che queste due funzioni erano una l'inversa dell'altra.
Semplificando calcoli complessi, i logaritmi contribuirono ampiamente all'avanzamento della scienza, e in particolare dell'astronomia. Lo strumento che ne permise l'uso pratico furono le tavole dei logaritmi. La prima di esse fu completata da Henry Briggs nel 1617, subito dopo l'invenzione di Nepero. Successivamente, furono scritte altre tavole con diversi scopi e precisione. In esse veniva elencato il valore di formula_114 e di formula_115 per ogni numero formula_14 in un certo intervallo, con una precisione fissata e con una base formula_10 scelta (solitamente formula_118). Per esempio, la tavola di Briggs conteneva il logaritmo in base formula_1 di tutti i numeri da formula_45 a formula_2, con una precisione di otto cifre decimali. La funzione formula_115, poiché inversa del logaritmo, venne chiamata "antilogaritmo".
Il prodotto e il quoziente di due numeri formula_8 e formula_124 venivano così calcolati con rispettivamente la somma e la differenza dei loro logaritmi. Il prodotto formula_125 è l'antilogaritmo della somma dei logaritmi di formula_8 e formula_124:
Il quoziente formula_129 è l'antilogaritmo della differenza dei logaritmi di formula_8 e formula_124:
Per compiere calcoli complessi con una buona precisione queste formule erano molto più veloci del calcolo diretto oppure dell'utilizzo di metodi precedenti, come quello di prostaferesi.
Anche il calcolo di potenze e di radici veniva semplificato, riducendosi a moltiplicazione e divisione di logaritmi:
e
Operando sui numeri reali, la "funzione logaritmo" è la funzione formula_135 definita da
La funzione ha come dominio l'intervallo formula_137 In figura sono disegnati tre esempi della funzione logaritmo con diversi valori per la base formula_10. La curva rossa è per la funzione con base formula_139 costante di Nepero (valore approssimato: formula_140).
Come si può notare dal grafico, il dominio della funzione logaritmo (l'insieme entro cui variano i valori delle formula_14), è l'intervallo formula_142; mentre il codominio, insieme in cui variano i valori delle formula_143, è formula_144.
La funzione logaritmo è derivabile e la sua derivata è la seguente:
dove "ln" è il logaritmo naturale, cioè con base formula_80. In particolare, la relazione seguente è fondamentale nel calcolo infinitesimale:
L'eguaglianza è dimostrabile usando la regola della funzione inversa:
La funzione inversa del logaritmo è la funzione esponenziale, la cui derivata coincide con se stessa:
Ne segue:
Si può utilizzare direttamente la definizione di derivata:
e, ricordando il limite notevole del logaritmo, si ottiene:
La derivata seconda della funzione logaritmo è
Se formula_156, questo valore è sempre negativo e la funzione è quindi funzione concava. Se formula_157 è invece sempre positivo e la funzione è convessa.
La funzione logaritmo è continua e quindi integrabile.
La funzione integrale del logaritmo, con base generica formula_10, è (applicando l'integrazione per parti):
dove formula_160 è la costante di integrazione, cioè una costante reale arbitraria.
La funzione logaritmo è analitica. Non è possibile però descrivere la funzione su tutto il suo dominio con una sola serie di potenze (come avviene ad esempio per la funzione esponenziale): lo sviluppo centrato in un punto formula_161 ha infatti raggio di convergenza formula_162 ed è quindi convergente solo nell'intervallo formula_163. Ad esempio, lo sviluppo in formula_164 è il seguente:
Per lo studio di funzioni esponenziali in cui è necessario estrapolare dati o parametri in modo semplice è possibile sfruttare la funzione logaritmo per ricavare una relazione implicita della funzione originale avente il vantaggio di essere lineare. Ad esempio, per una funzione descrivibile comeformula_166con "a" e "b" costanti è possibile pervenire alla relazione:formula_167che sul piano semi-logaritmico rappresenta una retta che interseca l'asse delle ordinate in "ln(a), "con derivata prima "b" e angolo di inclinazione pari ad "arctan(b)": in questo modo l'estrapolazione dei dati per la nuova funzione è più semplice ed accessibile.
La funzione logaritmo può essere estesa ai numeri complessi diversi da zero. Nel caso in cui si tratti di un logaritmo naturale con argomento complesso vale la formula seguente:
con formula_169 l'unità immaginaria e formula_170 l'argomento di formula_171. Il logaritmo complesso è in realtà una funzione a più valori, determinati dal parametro intero formula_72.
