
In matematica, e in particolare in algebra lineare, un sistema di equazioni lineari, anche detto sistema lineare, è un sistema composto da più equazioni lineari che devono essere verificate tutte contemporaneamente. Una soluzione del sistema è un vettore i cui elementi sono le soluzioni delle equazioni che compongono il sistema, ovvero tali che se sostituiti alle incognite rendono le equazioni delle identità.
Un sistema di equazioni lineari è un insieme di formula_1 equazioni lineari in formula_2 incognite, che può essere scritto nel modo seguente:
Il numero formula_2 delle incognite è detto anche ordine del sistema.
Se termini noti formula_5 sono tutti nulli il sistema è detto "omogeneo".
Una formula_2-upla formula_7 di elementi nel campo è una "soluzione" del sistema se soddisfa tutte le formula_1 equazioni.
Due sistemi si dicono "equivalenti" se hanno lo stesso insieme di soluzioni. In particolare, due sistemi lineari sono equivalenti se ogni equazione di uno è combinazione lineare delle equazioni dell'altro.
In notazione indiciale il sistema si scrive:
Definendo i vettori dei coefficienti:
e il vettore degli formula_1 termini noti:
il sistema è equivalente alla combinazione lineare:
Definendo formula_14 il vettore delle formula_2 incognite:
ciascuna equazione è equivalente ad un prodotto scalare standard:
Se il sistema è omogeneo il vettore delle incognite è quindi ortogonale ai vettori dei coefficienti.
Usando le matrici ed il prodotto scalare fra matrici (prodotto riga per colonna) si possono separare i coefficienti, le incognite ed i termini noti del sistema, scrivendolo nel modo seguente:
Ora seformula_21 è la matrice formula_22 dei coefficienti:
di cui in effetti formula_24 sono le colonne, con le definizioni del vettore delle incognite e di quello dei termini noti il sistema si scrive finalmente in forma matriciale:
Il sistema può essere descritto usando la matrice completa:
detta matrice associata al sistema. Essa è ottenuta dalla giustapposizione della matrice dei coefficienti e del vettore dei termini noti.
Le matrici formula_27 e formula_28 sono dette rispettivamente matrice "incompleta" (o matrice dei coefficienti) e "completa" (o "orlata"). I numeri formula_29 sono le incognite, i numeri formula_30 sono i coefficienti ed i numeri formula_5 i termini noti. Coefficienti e termini noti sono elementi di un campo, ad esempio quello formato dai numeri reali o complessi.
Il grado di un sistema di equazioni polinomiali è definito come il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono. Quindi un sistema lineare è un sistema polinomiale di primo grado.
In generale, un sistema lineare può essere:
Se il campo formula_32 di appartenenza di coefficienti e termini noti di un sistema di ordine formula_2 è infinito, ci sono tre possibilità: esiste una sola soluzione, non ci sono soluzioni oppure ce ne sono infinite. Il teorema che asserisce questo fatto e che permette di stabilire se e quante soluzioni esistono senza risolvere il sistema è il teorema di Rouché-Capelli. Nel caso in cui esistano soluzioni, queste formano un sottospazio affine di formula_34.
Si consideri l'operazione lineare:
Il nucleo di formula_36 è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato, mentre l'immagine è lo spazio generato dalle colonne formula_37. Per il teorema del rango segue che la dimensione dello spazio delle soluzioni più il rango per colonne di formula_21 è pari ad formula_2.
Essendo il vettore delle incognite ortogonale ai vettori riga della matrice dei coefficienti, lo spazio delle soluzioni è il complemento ortogonale del sottospazio generato dalle righe di formula_21. La somma delle rispettive dimensioni deve pertanto essere pari ad formula_2.
Dalle due affermazioni precedenti si conclude che il rango formula_42 per righe è pari al rango per colonne, e che lo spazio delle soluzioni ha dimensione formula_43. Lo spazio delle soluzioni è dunque un sottospazio vettoriale di dimensione formula_44.
Il sistema ammette soluzione se e solo se il vettore formula_45 è l'immagine del vettore formula_46 ottenuta mediante l'applicazione lineare formula_47 definita nel seguente modo:
L'immagine di formula_49 è generata dai vettori dati dalle colonne di formula_50, e quindi formula_45 è nell'immagine se e solo se lo span delle colonne di formula_21 contiene formula_45, cioè se e solo se lo spazio generato dalle colonne di formula_50 è uguale allo spazio generato dalle colonne di formula_55. In modo equivalente il sistema ammette soluzione se e solo se le due matrici abbiano lo stesso rango, come stabilisce il teorema di Rouché-Capelli.
Se esiste una soluzione formula_56, ogni altra soluzione si scrive come formula_57, dove formula_58 è una soluzione del sistema lineare omogeneo associato:
Infatti:
Lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore formula_61, è quindi il sottospazio affine dato da:
La dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema completo è uguale alla dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato. Per il teorema di Rouché-Capelli tale soluzione è unica se e solo se il rango della matrice formula_21 è formula_2. Altrimenti se il campo formula_32 è infinito esistono infinite soluzioni, e queste formano un sottospazio vettoriale di formula_66, avente come dimensione la nullità formula_67 della matrice.
Dato un sistema lineare nella forma
dove formula_69 è il vettore colonna delle incognite, formula_70 è il vettore colonna dei termini noti e formula_50 è la matrice dei coefficienti ed è quadrata e invertibile, la soluzione è unica ed è pari al prodotto:
dove formula_73 è l'inversa di formula_50. Il calcolo della matrice inversa è spesso complicato e oneroso dal punto di vista computazionale, ragion per cui un sistema lineare normalmente non viene risolto calcolando direttamente la matrice inversa.
Di grande importanza teorica per i sistemi lineari, ma non utilizzata in pratica per motivi simili, è la regola di Cramer.
Di uso generale per sistemi con migliaia di equazioni è invece il metodo di eliminazione di Gauss, che si basa sul metodo di riduzione.
Il metodo di riduzione è specifico per i sistemi lineari. Il procedimento consiste nel sostituire una delle equazioni del sistema con una opportuna combinazione lineare di due equazioni del sistema stesso, ottenendo un sistema equivalente a quello dato. Più precisamente, se due righe sono espresse come prodotto tra opportune sottomatrici dei coefficienti e il vettore x delle soluzioni, ovvero 
allora è possibile sostituire una delle due con l'equazione 
dove formula_77 e formula_78 sono due numeri scalari qualsiasi, entrambi diversi da zero.


La retta o linea retta è uno dei tre enti geometrici fondamentali della geometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi "Elementi" come un concetto primitivo. Un filo di cotone o di spago ben teso tra due punti è un modello materiale che ci può aiutare a capire cosa sia la retta, un ente geometrico immateriale senza spessore e con una sola dimensione.
La retta è illimitata in entrambe le direzioni, e inoltre contiene infiniti punti, cioè è infinita. Viene generalmente contrassegnata con una lettera minuscola dell'alfabeto latino (solitamente con la "r").
La retta è il secondo ente fondamentale della geometria; geometricamente priva di alcuno spessore ha una sola dimensione: la lunghezza.
Una retta può "giacere" (cioè essere contenuta) nel piano o nello spazio tridimensionale.
Due rette nel piano possono essere:
Due rette nello spazio possono essere:
Date due rette sghembe, per ognuna di esse passa un unico piano parallelo all'altra retta. La distanza tra questi due piani equivale alla distanza tra le due rette.
Una retta nel piano cartesiano è descritta da un'equazione lineare
dove i coefficienti formula_2, formula_3 e formula_4 sono dei numeri reali fissati, con formula_2 e formula_3 non contemporaneamente nulli.
Se formula_7 oppure formula_8, è possibile descrivere la stessa retta in "forma esplicita" rispettivamente in una delle due forme seguenti:
dove formula_11 si chiama "coefficiente angolare" e quantifica la pendenza della retta. Nella prima delle equazioni di cui sopra il termine noto formula_12 rappresenta l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse delle formula_13 ("ordinata all'origine" o "intercetta"), nella seconda il termine noto formula_14 rappresenta l'ascissa del punto di intersezione della retta con l'asse delle formula_15.
Nello spazio euclideo tridimensionale, una retta può essere descritta tramite "equazioni cartesiane" come luogo di intersezione di due piani non paralleli:
In questo caso le soluzioni del sistema dipendono da un solo parametro formula_17 ed è sempre possibile ricavare un insieme di "equazioni parametriche" per la retta:
dove il vettore formula_19 è un vettore parallelo alla retta e il punto formula_20 è un punto appartenente alla retta.
Se formula_21 sono tutti diversi da zero è possibile ricavare le cosiddette "equazioni simmetriche" della retta:
Sia le equazioni cartesiane che le equazioni parametriche della retta non sono univocamente determinate, e sono in effetti infinite.
Nello spazio euclideo formula_23-dimensionale formula_24, una "retta" è un insieme dei punti del tipo
dove formula_26 e formula_27 sono due vettori fissati in formula_24 con formula_27 diverso da zero. Il vettore formula_27 descrive la direzione della retta, mentre formula_26 è un qualsiasi punto della retta. Scelte differenti dei vettori formula_26 e formula_27 possono descrivere la stessa retta.
Questa definizione di retta nello spazio di dimensione formula_23 è una estensione della rappresentazione in "forma esplicita" nel piano descritta sopra. Descrivere invece una retta in "forma implicita" come insieme di vettori che soddisfano delle equazioni lineari è più complicato, perché per il teorema di Rouché-Capelli sono necessarie formula_35 equazioni.
Si definisce come distanza tra due rette formula_36 e formula_37 la distanza minima tra due punti formula_38 e formula_39.
Tale distanza è ovviamente nulla nel caso di due rette che si intersecano. Per esaminare i restanti due casi (rette parallele e sghembe) verrà utilizzata la rappresentazione parametrica, che permette una trattazione unitaria per tutte le dimensioni. Siano dunque date due rette formula_40 e formula_41 di equazioni parametriche rispettivamente:
dove formula_43 e formula_44 sono i loro vettori direzionali e formula_45 e formula_46 i vettori associati al punto formula_47 della retta formula_40 e al punto formula_49 della retta formula_41, relativamente alla terna cartesiana formula_51.
Dato che le rette sono parallele possiamo misurare la distanza a partire da un punto qualsiasi della prima retta. Scegliamo il punto di formula_40 segnato dal vettore formula_45. Ogni punto della retta formula_41 può essere espresso nella forma formula_55. Se chiamo formula_56 il vettore ortogonale a formula_43 che segna la distanza dall'altra retta, allora per le proprietà del prodotto scalare
Ottenuto formula_56 risolvendo la precedente equazione (incognita in formula_60) è sufficiente calcolare la norma di formula_56 quindi con riferimento all'equazione parametrica la distanza formula_62 fra due rette parallele formula_36 e formula_64 si può scrivere come:
dove il vettore formula_27 è un vettore parallelo alle rette e il vettore formula_67 è il vettore che congiunge un punto formula_68 della retta formula_36 e un punto formula_70 della retta formula_64 ovvero la distanza fra due rette parallele è data dalla proiezione del vettore formula_67 nel verso ortogonale alle stesse.
Dimostrazione: dalle formule del prodotto vettoriale, i moduli dei versori sono unitari, resta:
formula_73
Se definiamo formula_56 come il vettore ortogonale a formula_75, la cui norma è la distanza tra le due rette, il nostro problema si riduce a trovare la norma di formula_56. I tre vettori formula_56, formula_43 e formula_44 sono una base, e possiamo quindi facilmente scomporre il vettore formula_80 lungo le tre componenti. Quindi
Molto semplicemente si ricava che
con riferimento all'equazione parametrica la distanza formula_62 fra due rette sghembe formula_36 e formula_64 si può scrivere come:
dove il vettore formula_67 è il vettore che congiunge un punto formula_68 della retta formula_36 che ha vettore parallelo formula_90 e un punto formula_70 della retta formula_64 che ha vettore parallelo formula_93, il vettore formula_94 è il vettore ortogonale formula_95 ovvero la distanza fra due rette sghembe è data dalla proiezione del vettore formula_67 nel verso del vettore formula_94.
Dimostrazione: dalle formule del prodotto scalare il modulo del versore è unitario, resta : formula_98
