
In matematica un polinomio è un'espressione composta da costanti e variabili combinate usando soltanto addizione, sottrazione e moltiplicazione. In altre parole, un polinomio tipico, cioè ridotto in forma normale, è la somma algebrica di alcuni monomi non simili tra loro, vale a dire con parti letterali diverse. Ad esempio:
è la somma di tre monomi. Ciascun monomio viene chiamato "termine" del polinomio.
Le costanti sono anche chiamate "coefficienti" e sono tutte elementi di uno stesso insieme numerico o di un anello.
Quando valutati in un opportuno dominio, i polinomi possono essere interpretati come funzioni. Ad esempio, il polinomio
definisce una funzione reale di variabile reale.
Quando questo ha senso, le radici del polinomio sono definite come l'insieme di quei valori che, sostituiti alle variabili, danno all'espressione polinomiale il valore nullo. Ad esempio, formula_3 ha come radici i valori formula_4 e formula_5, poiché sostituendoli nell'espressione del polinomio si ha 
I polinomi sono oggetti matematici di fondamentale importanza, alla base soprattutto dell'algebra, ma anche dell'analisi e della geometria analitica.
Un polinomio si dice:
Due polinomi sono considerati "uguali" se, dopo essere stati ridotti in forma normale, hanno gli stessi termini, a meno dell'ordine. Quindi i polinomi seguenti sono uguali:
Il "grado" di un polinomio non nullo e ridotto in forma normale è il massimo grado dei suoi monomi, mentre il "grado parziale" rispetto ad una variabile è il grado risultante vedendo tutte le altre variabili come coefficienti. Quindi
ha grado due, mentre ha gradi parziali uno rispetto sia a formula_16 che a formula_17.
Si dicono "coefficienti" di un polinomio i coefficienti dei suoi singoli termini. Quindi i coefficienti di formula_18 sono rispettivamente formula_5, formula_4 e formula_4: il coefficiente formula_4 in un monomio è solitamente sottinteso.
Il "termine noto" di un polinomio ridotto in forma normale è l'unico monomio (se esiste) di grado zero, cioè non contenente variabili. Se non esiste un tale monomio, il termine noto è considerato generalmente inesistente o uguale a zero, secondo il contesto. Ad esempio, in
il termine noto è l'ultimo monomio: formula_24.
Due polinomi possono essere sommati, sottratti, e moltiplicati usando le usuali proprietà commutativa, associativa e distributiva delle operazioni di somma e prodotto. Ad esempio, se
allora la somma ed il prodotto di "p" e "q" sono rispettivamente
Somme e prodotti di polinomi danno come risultato un nuovo polinomio.
Il grado ("degree") della somma (o differenza) di due polinomi è minore o uguale al polinomio di grado maggiore. È sempre uguale al massimo tra i due, quando i due polinomi hanno grado differente:
Esempi:
Il grado del prodotto di un polinomio per un numero scalare (diverso da zero) è uguale al grado del polinomio:
Esempio:
Si noti che questo non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello che contiene un divisore di zero. Ad esempio, in formula_36, formula_37, ma formula_38. L'insieme dei polinomi aventi coefficienti da un dato campo F e grado minore o uguale a n, forma uno spazio vettoriale (questo insieme non è un anello, e non è chiuso, come mostrato in precedenza).
Il grado del prodotto di due polinomi definiti su un campo -(oggetto in cui sono definite le operazioni di somma e prodotto, con certe proprietà)- oppure su un dominio d'integrità, è pari alla somma dei gradi dei due polinomi:
Es.:
Si noti che ciò non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello arbitrario. Ad esempio, in formula_36, formula_43, ma formula_44.
Il grado della composizione di due polinomi formula_45 e formula_46 a coefficienti non costanti è uguale al prodotto dei rispettivi gradi:
Es.:
Si noti che ciò non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello arbitrario. Ad esempio, in formula_36, formula_52, ma formula_53.
Possiamo affermare correttamente sia che il grado del polinomio zero è indefinito, sia che il grado del polinomio zero può essere definito con un numero negativo (per convenzione −1 o −∞).
Come qualsiasi valore costante, il valore zero può essere considerato come un polinomio (costante), detto polinomio-zero. Questo polinomio non ha termini che non siano nulli, e perciò, propriamente non ha un grado, vale a dire che il suo grado è indefinito.
Le proposizioni precedenti sul grado della somma, prodotto e composizione di polinomi non si applicano se anche uno dei due è un polinomio-zero..
Le formule valgono se si introducono alcune opportune estensioni. È pertanto utile definire il grado di un polinomio-zero, pari a "meno infinito", −∞, e introdurre quindi queste regole aritmetiche
e
I seguenti esempi illustrano come questa estensione soddisfi quelle di somma, prodotto e composizione di due polinomi.:
In un polinomio, è spesso utile considerare alcune variabili come costanti. Ad esempio, il polinomio
può essere considerato anche come polinomio in formula_16 soltanto, dando a formula_17 il ruolo di un valore costante. Alternativamente, può essere visto come polinomio in formula_17 soltanto. Le proprietà dei polinomi che ne risultano possono essere molto diverse tra loro: qui ad esempio formula_68 ha grado formula_5 rispetto a formula_16, e solo formula_4 rispetto a formula_17. Ad esempio, il polinomio
è di grado formula_24, ma se visto soltanto nelle singole variabili formula_16 o formula_17 o formula_12 ha grado rispettivamente formula_5, formula_79 e formula_80.
Un polinomio generico con una sola variabile si può rappresentare con la seguente scrittura:
con formula_82 diverso da zero. Con questa scrittura, formula_83 è il termine noto e formula_84 è il grado. formula_82 si dice "coefficiente direttore".
Un tale polinomio è
Una "radice" di un polinomio formula_89 in una sola variabile è un numero formula_90 tale che
cioè tale che, sostituito a formula_16, rende nulla l'espressione. Quindi se
il numero formula_90 è radice se
Nel caso di polinomi a coefficienti reali l'insieme delle radici reali di un polinomio formula_68 si può visualizzare sul piano cartesiano come l'intersezione del grafico della funzione polinomiale formula_97 con l'asse delle ascisse.
In un dominio, un polinomio di grado formula_84 può avere al più formula_84 radici distinte. Esistono polinomi senza radici reali, come ad esempio
poiché formula_101 per ogni formula_90 reale. D'altra parte, per il teorema fondamentale dell'algebra ogni polinomio complesso ha esattamente formula_84 radici complesse, contate con molteplicità.
Nella scuola vengono insegnate formule per trovare le radici dei polinomi di primo e secondo grado. Esistono formule analoghe per esprimere la radici di un polinomio di terzo e quarto grado in termini dei coefficienti, utilizzando solamente le quattro operazioni ed estrazioni di radice (la cosiddetta "risoluzione per radicali"). È stato invece dimostrato nella teoria di Galois che non esiste una formula generale di questo tipo per polinomi dal quinto grado in su.
Sia formula_104 un anello. A un polinomio
a coefficienti in formula_104 si può associare una "funzione polinomiale", che è la funzione da formula_104 in sé definita da
per formula_109. Se formula_104 è finito, allora polinomi diversi possono dare luogo alla stessa funzione. Per esempio se formula_111 è il campo con un numero primo formula_68 di elementi, allora al polinomio nullo e al polinomio formula_113 è comunque associata, per il piccolo teorema di Fermat, la funzione che manda ogni elemento di formula_104 in zero. Lo stesso può valere se formula_104 è infinito, ma non è un dominio, per esempio se formula_104 è un'algebra esterna infinita, in cui vale formula_117 per ogni formula_118.
Se invece formula_104 è un dominio infinito, allora vale il seguente "principio d'identità dei polinomi", che afferma che a polinomi diversi sono associate funzioni polinomiali diverse (cioè la funzione sopra descritta che associa a un polinomio una funzione polinomiale è iniettiva):
Questo dipende dal fatto che in un dominio un polinomio non nullo ha solo un numero finito di radici.
Negli esempi che seguono, fissiamo formula_104 eguale al campo dei numeri reali. A seconda del grado,
Una funzione polinomiale a coefficienti reali
è derivabile e la sua derivata è ancora un polinomio,
Ragionando quindi induttivamente, si può quindi affermare che le funzioni polinomiali sono infinitamente derivabili (o "lisce") e che la derivata ("n"+1)-esima di un polinomio di grado formula_84 è la funzione nulla. In realtà esse sono anche funzioni analitiche.
Dato un anello formula_104, il simbolo
denota l'insieme di tutti i polinomi nelle variabili formula_135 con coefficienti in formula_104. Ad esempio, formula_104 può essere un campo come quello dei numeri reali o complessi.
L'insieme formula_134 risulta essere anch'esso un anello, l'anello dei polinomi in formula_84 variabili con coefficienti in formula_104. Lo studio delle proprietà di questo anello è una parte importante dell'algebra e della geometria algebrica.
Se formula_104 è un campo, l'anello dei polinomi è un'algebra su formula_104, e quando formula_143 è anche un anello euclideo, nel senso che i polinomi possono essere divisi con quoziente e resto come i numeri interi (se formula_144 questo non è vero poiché l'anello di polinomi non è un dominio ad ideali principali).
Il calcolo della derivata di un polinomio si estende come "definizione" di derivata (chiamata "derivata formale") nel caso in cui il polinomio abbia coefficienti in un anello formula_104, anche in assenza del calcolo infinitesimale. Molte delle proprietà della derivata si estendono anche alla derivata formale.
Siano formula_163 le n radici di un polinomio di grado formula_84, e sia formula_165.
Allora
Per le relazioni radici/coefficienti un polinomio di secondo grado si può scrivere nella forma
dove
Allora
Per le relazioni radici/coefficienti un polinomio di terzo grado si può scrivere nella forma
dove
Allora


L'aritmetica (dal greco ἀριθμός = numero) è la più antica branca della matematica, quella che studia le proprietà elementari delle "operazioni aritmetiche" sui numeri, specialmente i numeri interi.
È praticata quotidianamente da tutti per scopi molto semplici, come contare oggetti, valutare costi, stabilire distanze; viene utilizzata anche per scopi avanzati, ad esempio in complessi calcoli finanziari o nella tecnologia delle comunicazioni (crittografia).
I matematici talvolta usano il termine aritmetica per indicare la teoria dei numeri; questa disciplina però tratta problemi più avanzati e specifici rispetto all'aritmetica elementare e non viene presa in considerazione nel presente articolo.
La preistoria dell'aritmetica si limita ad un piccolo numero di piccoli artefatti che testimoniano una chiara concezione dell'addizione e della sottrazione; la prima fonte è l'osso d'Ishango rinvenuto nell'Africa centrale, datata circa tra il 20,000 e il 18,000 a.C.
È chiaro che i babilonesi avevano una solida conoscenza di quasi tutti gli aspetti dell'aritmetica elementare già intorno al 1800 a.C., anche se gli storici possono solo avanzare congetture sopra i metodi utilizzati per ottenere i risultati delle operazioni aritmetiche; questo è il caso dei risultati presentati nella tavoletta d'argilla Plimpton 322, che si presenta come una lista di terne pitagoriche; non si ha invece la possibilità di mostrare in qual modo questa lista sia stata originariamente prodotta. Similmente gli egizi, attraverso il Papiro di Rhind (che risale al 1650 a.C. circa, ma che, con ogni evidenza, è una copia di un vecchio testo del 1850 a.C. circa) testimoniano che le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione venivano effettuate all'interno di un sistema basato su frazioni unitarie.
Nicomaco di Gerasa, nella sua opera "Introduzione all'aritmetica", ha presentato concisamente l'approccio filosofico pitagorico ai numeri, e alle loro mutue relazioni. In quei tempi le operazioni aritmetiche di base costituivano attività molto complesse ed impegnative; è stato il metodo noto come il «Metodo degli indiani» (in latino "Modus Indorum"), che ha condotto all'aritmetica che conosciamo oggi. L'aritmetica indiana è stata molto più semplice di quella greca, a causa della semplicità del sistema di numerazione indiano, che per primo è riuscito a servirsi del numero zero e di una notazione posizionale. Nel VII secolo il vescovo siriaco Severo Sebokht menzionava questo metodo con ammirazione, precisando tuttavia che il metodo degli indiani si presentava senza alcuna descrizione.
Gli arabi appresero questo nuovo metodo e lo chiamarono "hesab". Leonardo Fibonacci (noto anche come Leonardo di Pisa), ha introdotto in Europa il metodo degli indiani nel 1202. Nel suo "Liber Abaci", Fibonacci afferma che, rispetto a questo nuovo metodo, tutti gli altri metodi sono stati sbagliati. Nel Medioevo, l'aritmetica era una delle sette Arti Liberali e veniva insegnata nelle università. Francesco Pellos ne compendiò lo stato nel XV secolo.
I moderni algoritmi dell'aritmetica (utilizzati sia per calcoli manuali che per calcoli automatici) sono stati resi possibili dalla introduzione dei numerali arabi e della loro notazione numerica posizionale e decimale. L'aritmetica araba basata sui numerali era stata sviluppata dai grandi matematici indiani Aryabhatta, Brahmagupta e Bhāskara I. Aryabhatta ha tentato di usare diverse notazioni posizionali e Brahmagupta ha arricchito dello zero il sistema numerico indiano. Brahmagupta ha messo a punto i procedimenti moderni per moltiplicazione, divisione, l'addizione e sottrazione basate sulle cifre decimali. Sebbene oggi siano ormai considerati elementari, questi procedimenti per la loro semplicità costituiscono il punto di arrivo di migliaia di anni di sviluppo della matematica. Per contrasto l'antico matematico Archimede ha dedicato un'intera opera, l"'Arenario ", a mettere a punto una notazione per un certo numero intero molto grande. Alla fioritura dell'algebra nel mondo islamico medievale e nell'Europa Rinascimentale ha contribuito in misura significativa anche l'enorme semplificazione dei calcoli numerici consentita dalla notazione decimale.
Il sistema numerico decimale è un sistema di numerazione posizionale che rappresenta i numeri a partire dalle cifre base da 0 a 9. Un numero decimale consiste in una sequenza di queste cifre base. Il valore di ciascuna cifra che compone il numero dipende dalla posizione che la cifra occupa nella notazione. Una parte essenziale di questo sistema (e un grande traguardo concettuale) è stato pensare allo 0 come ad un numero comparabile alle altre cifre base.
Le operazioni aritmetiche tradizionali sono addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, sebbene vengano a volte incluse nella materia anche operazioni più avanzate come l'elevamento a potenza, l'estrazione di radice, i logaritmi e l'uso delle percentuali. I calcoli aritmetici vengono effettuati rispettando l'ordine delle operazioni. Qualunque insieme su cui possono essere effettuate tutte e quattro le operazioni aritmetiche (eccetto la divisione per 0), e in cui le quattro operazioni godono delle comuni proprietà, è chiamato campo.
Il termine "aritmetica" è usato anche per riferirsi alla teoria dei numeri. Quest'ultima studia le proprietà degli interi collegate ai numeri primi, la divisibilità, e le soluzioni intere delle equazioni, che sono argomenti in rapida crescita nella matematica moderna. È in questo contesto che si incontrano il teorema fondamentale dell'aritmetica e le funzioni aritmetiche.
In generale nella scuola elementare vengono insegnati gli algoritmi di calcolo manuali per eseguire le quattro operazioni nell'insieme dei numeri naturali e dei numeri razionali positivi nella forma decimale; nelle medie inferiori gli algoritmi di queste stesse operazioni eseguite su frazioni e vengono introdotti l'insieme dei numeri razionali e quello dei numeri reali.
Sempre alle medie inferiori si studiano le operazioni di elevamento a potenza, di estrazione di radice (in particolare la radice quadrata), di massimo comune divisore e di minimo comune multiplo. Tradizionalmente si insegnava l'algoritmo manuale di estrazione di radice quadrata, ma ciò ora non è più sempre vero, visto che molti insegnanti preferiscono insegnare l'uso delle tavole numeriche o quello del calcolatore tascabile. Viene inoltre appreso il metodo di approssimazione dei risultati. Vengono introdotte le proporzioni e la proporzionalità e le sue applicazioni alla risoluzione di problemi del tre semplice e del tre composto, di ripartizione e di applicazioni di matematica finanziaria.
Nelle scuole medie superiori si studiano i logaritmi; anche qui si è passati dall'apprendimento dell'uso del regolo calcolatore a quello del calcolatore o del computer. Entrambi questi strumenti sono ampiamente utilizzati terminati gli studi per eseguire calcoli numerici.
