
In matematica, un numero è un modo di esprimere una quantità, oppure la posizione in un elenco di elementi, oppure il rapporto tra grandezze dello stesso tipo. Il concetto di numero nasce per la necessità del conteggio, come astrazione del concetto di quantità, realizzato attraverso una corrispondenza biunivoca tra elementi di due insiemi distinti.
Si definisce operazione numerica una procedura che, a partire da uno o più numeri, genera un altro numero. Le operazioni numeriche fondamentali (dette anche "operazioni aritmetiche") sono: l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione. Lo studio delle proprietà di queste operazioni è parte dell'algebra elementare.
Un insieme di numeri è frequentemente espresso attraverso il concetto di campo.
Un numero che esprime la dimensione di un insieme di elementi, così come un numero che identifica la posizione in una successione di oggetti, è detto numero naturale. La necessità di esprimere una grandezza in relazione ad un'altra grandezza ha reso necessaria l'introduzione di altre classi di numeri, come i numeri razionali ed i numeri reali. L'esigenza di rappresentare il numero ottenuto attraverso un'operazione matematica, infine, ha giustificato l'utilizzo di ulteriori classi di numeri come, ad esempio, i numeri algebrici.
Durante la storia della matematica sono stati definiti diversi insiemi numerici. Tra questi i numeri naturali, che sono:
I numeri naturali (il cui insieme è indicato per convenzione con il simbolo formula_1) sono usati per contare e per ordinare. La presenza dello zero fra i numeri naturali dipende dalla convenzione scelta. Lo zero è previsto dagli assiomi di Peano.
L'insieme dei numeri naturali costituisce una successione ordinata. Ogni numero è descritto tramite una o più cifre.
Se a partire dall'insieme dei numeri naturali si introduce il segno (e lo zero se non incluso), distinguendo tra "numeri positivi" e "numeri negativi", si ottengono i numeri interi relativi (o semplicemente "interi"), il cui insieme è indicato per convenzione con il simbolo formula_4. I numeri interi relativi sono:
Se a partire dai numeri interi si costruiscono numeri dati dal rapporto tra di loro, si ottengono i numeri razionali, i quali sono quindi esprimibili tramite una frazione ("ratio" in latino, da cui il nome di numeri "razionali"). Ad esempio:
L'insieme di tutti i numeri razionali è per convenzione indicato col simbolo formula_7.
I numeri algebrici sono numeri ottenibili come radici di equazioni algebriche a coefficienti interi. I numeri razionali sono algebrici. Il viceversa non è in generale vero: ad esempio:
sono numeri algebrici che non possono essere descritti tramite una frazione, non sono razionali.
Un numero non algebrico è detto "trascendente". Ad esempio, formula_11 (pi greco) ed formula_12 sono trascendenti: non è possibile ottenere formula_13 come radice di un'equazione polinomiale a coefficienti interi.
L'insieme dei numeri reali comprende i numeri esprimibili, con o senza la virgola, tramite il sistema numerico decimale. I numeri reali comprendono i numeri elencati precedentemente. In particolare i numeri reali si dividono in razionali e irrazionali, oppure in algebrici e trascendenti.
L'insieme dei numeri reali è simboleggiato per convenzione con formula_14.
L'insieme dei numeri reali non fornisce tutte le soluzioni delle equazioni algebriche. Per esempio, l'equazione:
non ha soluzioni nel campo dei numeri reali, perché il quadrato di un numero reale è sempre positivo o nullo. Per risolvere questo problema, è stata introdotta l'unità immaginaria formula_18 . Essa è così definita:
Tale numero non appartiene all'insieme dei numeri reali, esso appartiene all'insieme dei numeri complessi. In generale, un numero complesso è un'espressione del tipo:
dove formula_21 è l'unità immaginaria e formula_22 sono numeri reali. L'insieme dei numeri complessi è indicato per convenzione con il simbolo formula_16.
Gli insiemi numerici sono ciascuno sottoinsieme dell'altro, secondo quest'ordine (dove il simbolo formula_24 indica l'inclusione stretta):
Per particolari scopi, formula_16, può essere ulteriormente esteso, al prezzo, però, di perdere alcune proprietà e, di conseguenza, subire un declassamento come struttura algebrica.
I numeri complessi sono stati estesi e hanno dato luogo ai quaternioni. L'operazione di moltiplicazione dei quaternioni non gode della proprietà commutativa.
Gli ottonioni estendono i quaternioni. Questa volta si perde la proprietà associativa. Gli unici sistemi associativi con dimensione finita, oltre ai complessi, sono i quaternioni.
Estendendo gli ottonioni si ottengono i sedenioni, che perdono la proprietà dell'algebra alternativa, ma mantengono comunque la proprietà associativa della potenza.
I numeri vanno distinti per il tramite dei nomi, dato che i numeri sono dei concetti e anche se i nomi utilizzati nelle varie lingue variano i concetti rimangono gli stessi. La notazione di numero come serie di cifre è definita dai sistemi di numerazione. I popoli spesso associano a dei numeri utilizzati di frequente dei nomi particolari, oltre a quelli che vengono assegnati dal sistema di numerazione, spesso questi nomi sono utilizzati in contesti specifici, un classico esempio è la dozzina.
Gli ultimi sviluppi della teoria dei numeri hanno condotto ai numeri iperreali ed ai numeri surreali, che estendono i numeri reali dai numeri infinitesimi ai numeri infinitamente grandi attraverso degli inserimenti. Mentre i numeri reali sono infinitamente prolungabili alla destra del punto decimale, si può anche provare a espandere i numeri a sinistra in modo infinito, ciò conduce ai numeri p-adici. Per gestire insiemi infiniti, i numeri naturali sono stati generalizzati nei numeri ordinali e nei numeri cardinali. Il primo insieme viene utilizzato per definire l'ordine di inserimento degli insieme il secondo definisce il formato di inserimento. Nel caso di insiemi finiti si equivalgono.
Le operazioni aritmetiche sui numeri sono addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Queste operazioni sono state generalizzate in una branca dell'algebra chiamata algebra astratta. Essa contiene i concetti di gruppo, anello e campo.
In molte culture la rappresentazione grafica dei numeri è assai simile. I numeri "uno", "due" e "tre" degli antichi romani erano espressi come I, II, III (numeri romani). I cinesi usavano una notazione analoga, con le cifre in orizzontale, o in verticale, ma al contrario dei romani utilizzavano un sistema posizionale, simile al nostro attuale, con le cifre da 0 a 9. I numeri, detti "tsu" o "hêng", cambiavano orientamento a seconda della posizione: | = | era 121, - || - ◦ era 1210. Gli tsu erano verticali, gli hêng orizzontali, i numeri sopra al cinque avevano una bacchetta disposta perpendicolarmente alle altre. Il sistema era impiegato con le "bacchette da calcolo", che i cinesi manovravano a velocità tali da stupire i primi missionari nestoriani.
Tuttavia, non c'era un segno univoco per definire il quattro tra i romani, mentre per i cinesi era ||||. I romani usavano una notazione a sottrazione: esprimevano il quattro con una V preceduta da una I. La V indicava il numero cinque, il simbolo I anteposto indicava che andava sottratto (cinque meno uno = quattro). Nell'assegnare un simbolo particolare al cinque c'era un motivo antropomorfico - la mano ha cinque dita - ma vi era anche una motivazione che coinvolge il cervello umano. Gli psicologi hanno dimostrato che il nostro cervello ha difficoltà a distinguere più di cinque simboli simili vicini: si provi a dire se è più grande ||||||||| o ||||||||||; più semplice se sono scritti come IX e X.
Il sistema adottato in Europa è il sistema di numerazione decimale, detto anche numerazione araba. In realtà proviene dall'India, e molto probabilmente deriva dai numeri corsivi egiziani, i numeri copti. La cifra 1 è molto simile al simbolo romano, 2 e 3 sono varianti dello stesso simbolo che consentono di scrivere i numeri senza alzare la penna e quindi consentono una scrittura rapida, ma conservano l'idea della linea doppia o tripla orizzontale. Col simbolo 4 la corrispondenza si perde.


In matematica, la radice formula_1-esima o radicale formula_1-esimo, con formula_3, di un numero reale formula_4, scritto come formula_5, è un numero reale formula_6 tale che formula_7. Il numero reale formula_8 è detto radicando, il numero formula_1 è detto indice e il numero formula_10 è detto radice formula_1-esima di formula_8.
Una radice con indice 2 è indicata con il nome di radice quadrata e una radice con indice 3 con il nome di radice cubica o radice terza, ma esistono e si possono creare radici con qualsiasi indice.
Le condizioni di esistenza sono quell'insieme dei valori delle variabili contenute nel radicale per i quali esso esiste nel campo dei numeri reali.
La funzione radice formula_1-esima è una funzione definita da formula_14, perciò formula_5 resta definita formula_16
Per esempio, i seguenti radicali esprimono numeri reali: 
Si può ottenere un risultato analogo alla radice ennesima attraverso l'elevamento a potenza con esponente frazionario:
Tuttavia la funzione potenza è definita da formula_19, perciò essa permette di definire due sottocasi:
Ciò implica che equazioni del tipo formula_22, con formula_1 pari e formula_24 non hanno soluzioni reali, esse infatti appartengono all'insieme dei numeri immaginari, sottoinsieme dell'insieme dei numeri complessi, indicato con formula_25, che vengono espressi come somma di un numero reale e un numero immaginario.
Ad esempio, l'equazione formula_26 avrà per soluzioni formula_27 e formula_28, dove formula_29 rappresenta l'unità immaginaria.
Quanto visto finora ci permette d'individuare che, ad esempio, la condizione di esistenza del radicale formula_30 è formula_31, dato che il radicando deve essere sempre positivo.
Ecco altri esempi di condizioni di esistenza:
Esistono delle proprietà fondamentali delle radici che vengono elencate di seguito:
Dalla definizione di radicale segue che: 
Si elevino all'ennesima potenza entrambi i membri dell'uguaglianza:
Poiché le formula_1-esime potenze dei due membri sono uguali (formula_59), sono uguali anche le basi.
Applicando la proprietà:
Allo stesso modo, con formula_61:
Si elevino all'ennesima potenza entrambi i membri dell'uguaglianza:
Poiché le formula_1-esime potenze dei due membri sono uguali formula_70, sono uguali anche le basi.
Applicando la proprietà:
Allo stesso modo, con formula_72:
Non è necessario dimostrare questa proprietà in quanto è una diretta conseguenza della seconda proprietà dei radicali con il radicando sempre positivo.
Applicando la proprietà:
Allo stesso modo, con formula_78
Si elevino all'formula_83-esima potenza entrambi i membri dell'uguaglianza:
Poiché le formula_83-esime potenze dei due membri sono uguali (formula_87), sono uguali anche le basi.
Applicando la proprietà:
Allo stesso modo, con formula_89, formula_90
Per il teorema del prodotto si ottiene:
Ma, per la seconda proprietà fondamentale dei radicale è formula_97, perciò:
Applicando la proprietà:
Allo stesso modo, con formula_100:
Il teorema presenta le seguenti varianti, facilmente verificabili:
Elevando tutto alla formula_1-esima potenza si ottiene:
Radicando ora il tutto sotto radice di indice formula_1 risulta:
Quindi:
Applicando la proprietà:
Allo stesso modo:
Il teorema presenta le seguenti varianti, facilmente verificabili:
Tenendo conto di quanto detto finora, si ha che per formula_4
Il primo enunciato si ottiene direttamente dalla definizione di radicale, il secondo applicando il teorema delle potenze ad esponente negativo.
dove formula_24, formula_65e formula_136.
Per ogni numero complesso formula_137, ci sono formula_1 diversi numeri complessi formula_10 tali che formula_7, quindi il simbolo formula_5 non può essere usato univocamente. Se formula_142, parliamo di radici n-esime dell'unità.
È importante ricordare che, in generale, è sempre (per formula_47, formula_54):
tenendo presente che l'uguaglianza si ha se e solo se almeno uno tra formula_8 e formula_10 è formula_148.
Quindi, affermare che formula_149 sarebbe un gravissimo errore.
Partendo dalla disequazione:
Elevando al quadrato si ottiene:
Poiché è formula_47 e formula_54 per ipotesi, è anche formula_156, quindi la tesi è vera.
Il teorema è facilmente estendibile alle radici di indice formula_1-esimo:
La somma di radicali è possibile solo se sono presenti radicali simili, cioè nel caso in cui:
Ad esempio:
Nel secondo esempio si tenga presente che vale formula_166.
La proprietà invariantiva dei radicali afferma che:
""Moltiplicando o dividendo sia l'indice di un radicale che l'esponente del suo radicando per un numero naturale diverso da 0, si ottiene un radicale equivalente a quello dato.""
In simboli:
Si elevi alla formula_170 potenza ciascuno dei due membri:
Si ottiene formula_173, e, poiché le formula_170-esime potenze dei due membri sono uguali, sono uguali anche le basi.
Utilizzando la proprietà invariantiva è possibile semplificare i radicali, dividendo sia indice che esponente del radicando per uno stesso numero:
Allo stesso modo:
Si noti che nell'espressione è stato inserito il valore assoluto: questo perché, mentre il primo radicale formula_177 esiste sempre, dato che ha il radicando elevato ad un indice pari, successivamente viene semplificato ed il suo radicando non è più elevato ad un esponente pari. Quindi è necessario inserire il valore assoluto, per fare in modo che l'uguaglianza si mantenga valida.
La radice formula_1-esima di formula_148 vale sempre formula_148, escludendo il caso in cui è formula_181, poiché la radice di indice formula_148 ha significato solo se il radicando è uguale ad formula_183, ossia nel caso:
Inoltre, è sempre:
Nelle elaborazioni di espressioni e formule algebriche, è spesso utile manipolare i radicali usando le relazioni scritte sopra, senza tentare di calcolare il valore di ogni singolo elemento. Ad esempio, se formula_8 e formula_10 sono due numeri positivi distinti:
L'ultima relazione può servire per razionalizzare il denominatore di un'espressione o di un'equazione.
Può capitare, spesso in analisi, di trovare radicali letterali, ossia radici quadrate con radicando letterale. In questo caso, dapprima bisogna trovare la condizione di esistenza (chiamata anche C.A. "Condizione di accettabilità", o C.R.R. "Condizione di Realtà del Radicando"), nel caso si lavori solo tra i numeri reali, per poi considerare sempre quando le lettere indicano numeri positivi o numeri negativi.
Un esempio di radicale letterale:
Le condizioni di esistenza si ricavano nel seguente modo:
Pertanto il campo di esistenza del radicale è: formula_200.
