
In matematica, il limite di una funzione in un punto formula_1 di accumulazione per il suo dominio è un modo per esprimere la quantità a cui tende il valore assunto dalla funzione all'avvicinarsi del suo argomento a formula_1. Indicando con formula_3 la funzione, il limite viene indicato con la notazione:
In altri termini, formula_5 significa che quando il valore di formula_6 si avvicina a formula_1, esprimibile con formula_8, il valore formula_9 assunto dalla funzione si avvicina a formula_10, cioè formula_11. Il valore formula_10 può essere finito (formula_13), infinito (formula_14) o non esistere affatto. Il limite rappresenta in un certo senso il comportamento di un oggetto matematico quando una o più variabili del suo dominio tendono ad assumere un determinato valore.
Il concetto di limite di una funzione viene generalizzato da quello di limite di un filtro, mentre un caso particolare è quello di limite di una successione di punti in uno spazio topologico.
Siano dati una funzione formula_15 definita su un sottoinsieme formula_16 della retta reale formula_17, e un punto di accumulazione formula_18 di formula_19. Un numero reale formula_20 è il limite di formula_3 per formula_22 tendente a formula_1 se, fissato arbitrariamente un valore formula_24 della distanza fra formula_3 e formula_20, si riesce a trovare, in corrispondenza di questo, un valore formula_27 della distanza tra formula_28 ed formula_1 per il quale per tutti gli formula_28, escluso formula_1, che distano da formula_1 meno di formula_27, si ha che formula_3 disti da formula_20 meno di formula_24.
La distanza fra i punti è misurata usando il valore assoluto della differenza: quindi formula_37 è la distanza fra formula_22 e formula_1 e formula_40 è la distanza fra formula_3 e formula_20. I concetti di "fissato arbitrariamente" e "si riesce a trovare" sono espressi formalmente, rispettivamente, con i quantificatori "per ogni" (quantificatore universale) ed "esiste" (quantificatore esistenziale).
Formalmente, formula_20 è il limite di formula_9 per formula_6 che tende a formula_46 se per ogni numero reale formula_47 esiste un altro numero reale positivo formula_48 tale che se formula_49 allora formula_50, o con formalismo puramente matematico
che è riassunto dalla scrittura:
Una definizione equivalente che usa gli intorni è la seguente: formula_20 è limite se per ogni intorno formula_54 di formula_55 in formula_56 esiste un intorno formula_57 di formula_1 in formula_56 tale che formula_3 appartiene a formula_54 per ogni formula_62 in formula_63. Il punto formula_46 non è necessariamente contenuto nel dominio di formula_65. Il punto è comunque escluso nella definizione di limite, poiché il limite deve dipendere soltanto dai valori di formula_65 in punti arbitrariamente vicini a formula_46 ma non dal valore che formula_65 assume in formula_46: per questo motivo si chiede che formula_70 sia maggiore di zero.
La definizione di cui sopra è quella maggiormente utilizzata al giorno d'oggi. Tuttavia, nella seconda metà del XX secolo una revisione dei concetti basilari di topologia ha indotto alcuni illustri studiosi a proporre una definizione modificata di limite. Se infatti formula_46 è più in generale punto di aderenza per l'insieme formula_19, allora si dice che formula_10 è limite se per ogni numero reale formula_74 esiste formula_75 tale che formula_76 ogni volta che formula_77. La condizione formula_78 viene quindi a mancare. La definizione riformata non modifica i limiti tradizionali come ad esempio la definizione di derivata, ma tratta in modo diverso alcuni casi "patologici". Si osservi che la condizione di aderenza di formula_46 a formula_19 è condizione necessaria e sufficiente affinché il limite, inteso con la definizione riformata, sia unico. Inoltre, utilizzando questa definizione la continuità diventa un caso particolare di limite a tutti gli effetti: infatti si vede facilmente che formula_81 continua in formula_46, punto del suo dominio, equivale a dire che formula_81 ammette limite formula_84 in formula_46. Vari altri classici risultati assumono una forma più semplificata assumendo la definizione riformata di limite: ad esempio il teorema del passaggio al limite in una funzione composta vale sotto le ipotesi più naturali possibili.
La definizione di limite viene normalmente estesa per considerare anche i casi in cui formula_1 e/o formula_20 sono infiniti.
La funzione formula_65 ha limite formula_89 in un punto finito formula_1 se per ogni numero reale formula_91 esiste un altro numero reale formula_92 tale che formula_93 per ogni formula_22 in formula_95 con formula_96, ovvero
che in maniera più sintetica si scrive:
Analogamente si definisce il limite formula_99 sostituendo formula_100 con formula_101.
Per definire il limite per formula_102, è ancora necessario che formula_89 sia un "punto di accumulazione" per il dominio formula_95: questo si traduce nella richiesta che formula_95 contenga valori arbitrariamente grandi, cioè che il suo estremo superiore sia infinito:
In questo caso, un numero finito formula_107 è limite di formula_65 per formula_109 se per ogni numero reale formula_47 esiste un altro numero reale formula_111 tale che formula_50 per ogni formula_22 in formula_95 con formula_115, ovvero
che in maniera più sintetica si scrive:
Analogamente si definisce il limite per formula_118, sostituendo formula_119 con formula_120.
Resta quindi da esaminare il caso in cui entrambi formula_1 e formula_20 sono infiniti. La funzione formula_65 ha limite formula_124 per formula_125 se per ogni numero reale formula_91 esiste un altro numero reale formula_111 tale che formula_93 per ogni formula_22 in formula_95 con formula_115, ovvero
che in maniera più sintetica si scrive:
In maniera analoga si definiscono i casi in cui formula_134 e/o formula_135.
Tutte queste definizioni possono essere raggruppate elegantemente in una sola proposizione: per questo scopo, è sufficiente estendere la retta reale formula_56 alla retta reale estesa:
ottenuta aggiungendo due punti formula_138 e formula_139. La retta reale estesa è un insieme ordinato e uno spazio topologico. Il concetto di intorno si estende quindi alla retta reale estesa: gli intorni di formula_89 sono tutti gli insiemi che contengono una semiretta formula_141, per qualche formula_142.
In questo modo, si possono riunire tutte le definizioni precedenti in una sola proposizione, ottenuta sostituendo formula_56 con formula_144 nella definizione che usa gli intorni. Sia quindi formula_145 una funzione definita su un insieme formula_95 di formula_144, e sia formula_1 un punto di accumulazione per formula_95. Un valore formula_20 in formula_144 è "limite" di formula_65 in formula_1 se per ogni intorno formula_54 di formula_55 in formula_144 esiste un intorno formula_57 di formula_1 in formula_144 tale che formula_3 appartiene a formula_54 per ogni formula_62 in formula_63.
Per il teorema di unicità del limite, una funzione può avere un limite (finito o infinito) in formula_1 oppure nessuno (non può quindi averne più di uno).
Se il limite per formula_8 di formula_9 è 0, formula_9 si dice "infinitesima" o "convergente" in formula_1. D'altro canto, se formula_9 tende a formula_170 è detta "divergente". Se formula_1 è contenuto nel dominio formula_95 di formula_65, e se vale:
allora la funzione è continua in formula_1. La nozione di continuità è molto importante in matematica: intuitivamente, una funzione continua in formula_1 ha il grafico che "non fa salti" intorno al punto, quindi può essere disegnato manualmente senza staccare mai la penna dal foglio: in ogni punto formula_46 del suo dominio, la formula_81 assume in formula_46 il valore del suo limite per formula_8. Altrimenti, la funzione ha in formula_1 un punto di discontinuità.
Sono qui elencati alcuni esempi.
Per avere informazioni più precise è a volte utile utilizzare i concetti di "limite destro" e "limite sinistro", definiti tramite la nozione di "intorno destro" e "sinistro".
Un "intorno destro" di un punto formula_1 della retta estesa formula_201 è un intervallo del tipo formula_202 con formula_203. Analogamente, un "intorno sinistro" è un intervallo del tipo formula_204. In particolare, gli intorni di formula_138 sono tutti destri e quelli di formula_139 sono sinistri.
A questo punto, sia formula_207 con formula_1 punto di accumulazione per formula_95. Un valore formula_20 della retta estesa è limite destro per formula_65 in formula_1 se per ogni intorno formula_213 di formula_55 esiste un intorno destro formula_215 di formula_18 tale che formula_217 appartiene a formula_54 per ogni formula_28 in formula_220.
Il limite sinistro è definito in modo analogo. I limiti sinistro e destro (se esistono) vengono descritti rispettivamente come:
Vale il risultato seguente: una funzione ha limite in formula_1 se e soltanto se ha limite destro e sinistro, e questi due limiti sono finiti e coincidono.
Ad esempio, la funzione gradino formula_65 mostrata in figura ha limite sinistro e destro in formula_224, ma questi non coincidono: quindi non ha limite in formula_224:
Le nozioni di "limite per difetto" e "per eccesso" vengono definite in modo analogo, sostituendo l'intorno formula_54 di formula_228 con intorni destri e sinistri. I limiti per difetto e per eccesso (se esistono) possono essere indicati con un piccolo abuso di linguaggio nel modo seguente:
Per il teorema di limitatezza locale, una funzione che ha limite finito in formula_1 è limitata in un intorno di formula_1, ovvero esistono un numero formula_232 e un intorno formula_57 di formula_1 tale che formula_235 per ogni formula_22 del dominio contenuto in formula_57.
D'altra parte, una successione limitata in un intorno di formula_1 non ha necessariamente limite in formula_1: ad esempio la funzione gradino è ovunque limitata, ma non ha limite in zero.
Per il teorema di permanenza del segno, se una funzione ha limite formula_240 strettamente positivo in formula_1, allora assume valori strettamente positivi per ogni formula_22 sufficientemente vicino a formula_1. In altre parole, esiste un intorno formula_57 di formula_1 tale che formula_246 per ogni formula_22 del dominio in formula_57 diversa da formula_1.
Analogamente, una funzione che ha limite formula_250 strettamente negativo ha valori strettamente negativi per tutti gli formula_22 sufficientemente vicini a formula_1. Una funzione che ha limite formula_253 può assumere vicino a formula_1 valori di entrambi i segni (ad esempio la funzione formula_255 con formula_256).
Siano formula_65 e formula_258 due funzioni definite su un dominio formula_95, con formula_1 punto di accumulazione per formula_95. Se formula_262 per ogni formula_28 del dominio in un intorno formula_57 di formula_1, e se entrambe le funzioni hanno limite in formula_1, allora vale:
Questo risultato è ottenuto applicando il teorema di permanenza del segno alla differenza formula_268.
Il teorema del confronto (o "dei carabinieri") asserisce che una funzione "stretta fra due successioni" convergenti allo stesso limite converge anch'essa a questo limite. Formalmente, se formula_269 e formula_270 sono tre funzioni definite su un dominio formula_95 con punto di accumulazione formula_1, tali che:
per ogni formula_274 del dominio in un intorno di formula_1, e tali che:
allora anche:
Viene detto ""dei carabinieri"" perché formula_9 e formula_279 vengono immaginati come i due carabinieri che portano in cella formula_280 cioè il criminale, oppure perché si immaginano due carabinieri che cercano di catturare un criminale da due lati opposti, esso tenderà, insieme ai carabinieri (le funzioni esterne), allo stesso punto.
Funzioni aventi lo stesso dominio possono essere sommate o moltiplicate. In molti casi è possibile determinare il limite della funzione risultante dai limiti delle singole funzioni.
Siano formula_281 e formula_282 due funzioni con lo stesso dominio formula_95, e formula_1 un punto di accumulazione per formula_95. Se esistono i limiti:
allora:
Alcune delle uguaglianze elencate sono estendibili ai casi in cui formula_292 e/o formula_293 sia infinito.
Il concetto di limite è generalizzato a ogni funzione formula_294 fra spazi metrici formula_95 e formula_296 nel modo seguente. Se formula_1 è un punto di formula_95, un valore formula_299 di formula_296 è limite di formula_3 per formula_302 se formula_3 si avvicina arbitrariamente a formula_299 quando formula_22 si avvicina a formula_1. Formalmente, se per ogni formula_307 esiste formula_308 tale che formula_309 per ogni formula_22 con formula_311. In questo caso si scrive:
Continua a valere il teorema di unicità del limite: una funzione non può tendere a due limiti diversi in un punto.
Siano formula_313 e formula_314 due spazi topologici e siano formula_315 , formula_1 un elemento della chiusura di formula_317 in formula_95 , formula_319. 
Data formula_320 un'applicazione si dice che formula_20 è un limite di formula_3 per formula_302 in formula_317, e si scrive formula_325 se:
formula_326
è continua in formula_1 con formula_328 dotato della topologia indotta da formula_329 e formula_296 dotato della topologia formula_331.
Inoltre se formula_1 punto di accumulazione di formula_317 in formula_95 e lo spazio formula_314 è di Hausdorff allora l'insieme formula_336 ha al più un elemento (unicità del limite).
Lo spazio euclideo formula_337 è uno spazio metrico, con la metrica euclidea. Quindi la definizione di limite per spazi metrici si applica a qualsiasi funzione:
dove formula_95 è un qualsiasi sottoinsieme di formula_337.
Una funzione complessa formula_341 può essere interpretata come funzione:
In questo modo è quindi anche definito il limite per funzioni fra insiemi di numeri complessi.


In matematica, il concetto di limite serve a descrivere l'andamento di una funzione all'avvicinarsi del suo argomento a un dato valore (limite di una funzione) oppure l'andamento di una successione al crescere illimitato dell'indice (limite di una successione). I limiti si utilizzano in tutti i rami dell'analisi matematica; sono usati ad esempio per definire la continuità, la derivazione e l'integrazione.
Il concetto di limite di una funzione, più generale del limite di una successione, può essere generalizzato da quello di limite di un filtro.
Il concetto di limite era già presente in modo intuitivo nell'antichità, per esempio in Archimede (nel suo metodo di esaustione), e fu utilizzato, anche se non in modo rigoroso, a partire dalla fine del XVII secolo da Newton, Leibniz, Eulero e D'Alembert.
La prima definizione abbastanza rigorosa di limite risale al XIX secolo con Cauchy, seguita da una miglior formalizzazione di Weierstrass.
Una completa teoria del limite si ha con Heine, che nel 1872 pubblicò un lavoro che creò molto interesse all'epoca e nel quale stilò regole e proprietà del limite. Molti altri studiosi si sono interessati al problema del limite, approfondendo l'argomento con lo studio dell'analisi infinitesimale, tra cui Bolzano, Dedekind e Cantor.
Ma solo nel 1922 Eliakim Hastings Moore ed H.L. Smith diedero una nozione generale (topologica) di limite, ed è quella attualmente utilizzata in matematica. Nel 1937, Henri Cartan ne fornì una versione equivalente, basata sul concetto di filtro.
Una successione formula_1 di numeri reali ha come limite il numero formula_2 se al crescere di formula_3 i termini della successione "sono arbitrariamente vicini" al valore formula_4. Formalmente, questa nozione è resa chiedendo che per ogni formula_5 piccolo a piacere esista un numero naturale formula_6 tale che formula_7 per ogni formula_8.
Una successione può non avere limite, ad esempio formula_9, data da:
non ha limite. D'altra parte, se esiste un limite formula_2, si dice che la successione converge ad formula_2; in questo caso, il limite è unico (una successione non può convergere a due valori distinti). Ad esempio, la successione formula_13, data da:
converge a zero.
Considerando uno spazio topologico formula_15, una successione formula_16 con formula_17 tende al limite formula_18 se, comunque si prenda un intorno formula_19 di formula_4, esiste un formula_21 tale per cui formula_22 per tutti gli formula_23, e si scrive:
Se formula_15 è uno spazio di Hausdorff il limite di formula_16 con formula_17, se esiste, è unico.
Il limite di una funzione generalizza il limite di una successione di punti in uno spazio topologico formula_28; si considera la successione una funzione formula_29 nello spazio topologico formula_30 con la topologia discreta. In tale definizione, un intorno di formula_31 ha la forma formula_32.
Siano dati una funzione formula_33 definita su un sottoinsieme formula_15 della retta reale formula_35 ed un punto di accumulazione formula_36 di formula_15. Un numero reale formula_38 è il limite di formula_39 per formula_40 tendente a formula_41 se la distanza fra formula_39 ed formula_38 è arbitrariamente piccola quando formula_44 si avvicina a formula_41.
La distanza fra i punti è misurata usando il valore assoluto della differenza: quindi formula_46 è la distanza fra formula_40 e formula_41 e formula_49 è la distanza fra formula_39 ed formula_38. Il concetto di "arbitrariamente piccolo" è espresso formalmente con i quantificatori "per ogni" (quantificatore universale) ed "esiste" (quantificatore esistenziale).
Formalmente, formula_38 è limite se per ogni numero reale formula_5 piccolo a piacere esiste un altro numero reale positivo formula_54 tale che:
In questo caso si scrive:
La definizione di limite di una funzione è necessaria per formalizzare il concetto di funzione continua.
Dato uno spazio topologico formula_60, un punto formula_61 è il limite di un ultrafiltro formula_62 su formula_15 se ogni intorno di formula_64 appartiene a formula_62.
Il limite di una funzione rispetto ad un filtro è definito considerando una funzione formula_66 tra spazi topologici e un filtro formula_62 su formula_19. Il punto formula_69 è il limite di formula_70 in formula_61 rispetto ad formula_62 se formula_64 è il limite di formula_62 e formula_75 è il limite di formula_76. Si scrive in tal caso:
Il concetto di limite si estende anche alle successioni di insiemi attraverso le nozioni di limite superiore e limite inferiore: data una successione di insiemi formula_78, l'insieme limite è definito come l'insieme che intuitivamente contiene gli elementi che stanno nel maggior numero di insiemi della successione. Formalmente, una successione di insiemi si dice possedere limite se vale la seguente uguaglianza:
