
In matematica, e in particolare in algebra lineare, un sistema di equazioni lineari, anche detto sistema lineare, è un sistema composto da più equazioni lineari che devono essere verificate tutte contemporaneamente. Una soluzione del sistema è un vettore i cui elementi sono le soluzioni delle equazioni che compongono il sistema, ovvero tali che se sostituiti alle incognite rendono le equazioni delle identità.
Un sistema di equazioni lineari è un insieme di formula_1 equazioni lineari in formula_2 incognite, che può essere scritto nel modo seguente:
Il numero formula_2 delle incognite è detto anche ordine del sistema.
Se termini noti formula_5 sono tutti nulli il sistema è detto "omogeneo".
Una formula_2-upla formula_7 di elementi nel campo è una "soluzione" del sistema se soddisfa tutte le formula_1 equazioni.
Due sistemi si dicono "equivalenti" se hanno lo stesso insieme di soluzioni. In particolare, due sistemi lineari sono equivalenti se ogni equazione di uno è combinazione lineare delle equazioni dell'altro.
In notazione indiciale il sistema si scrive:
Definendo i vettori dei coefficienti:
e il vettore degli formula_1 termini noti:
il sistema è equivalente alla combinazione lineare:
Definendo formula_14 il vettore delle formula_2 incognite:
ciascuna equazione è equivalente ad un prodotto scalare standard:
Se il sistema è omogeneo il vettore delle incognite è quindi ortogonale ai vettori dei coefficienti.
Usando le matrici ed il prodotto scalare fra matrici (prodotto riga per colonna) si possono separare i coefficienti, le incognite ed i termini noti del sistema, scrivendolo nel modo seguente:
Ora seformula_21 è la matrice formula_22 dei coefficienti:
di cui in effetti formula_24 sono le colonne, con le definizioni del vettore delle incognite e di quello dei termini noti il sistema si scrive finalmente in forma matriciale:
Il sistema può essere descritto usando la matrice completa:
detta matrice associata al sistema. Essa è ottenuta dalla giustapposizione della matrice dei coefficienti e del vettore dei termini noti.
Le matrici formula_27 e formula_28 sono dette rispettivamente matrice "incompleta" (o matrice dei coefficienti) e "completa" (o "orlata"). I numeri formula_29 sono le incognite, i numeri formula_30 sono i coefficienti ed i numeri formula_5 i termini noti. Coefficienti e termini noti sono elementi di un campo, ad esempio quello formato dai numeri reali o complessi.
Il grado di un sistema di equazioni polinomiali è definito come il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono. Quindi un sistema lineare è un sistema polinomiale di primo grado.
In generale, un sistema lineare può essere:
Se il campo formula_32 di appartenenza di coefficienti e termini noti di un sistema di ordine formula_2 è infinito, ci sono tre possibilità: esiste una sola soluzione, non ci sono soluzioni oppure ce ne sono infinite. Il teorema che asserisce questo fatto e che permette di stabilire se e quante soluzioni esistono senza risolvere il sistema è il teorema di Rouché-Capelli. Nel caso in cui esistano soluzioni, queste formano un sottospazio affine di formula_34.
Si consideri l'operazione lineare:
Il nucleo di formula_36 è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato, mentre l'immagine è lo spazio generato dalle colonne formula_37. Per il teorema del rango segue che la dimensione dello spazio delle soluzioni più il rango per colonne di formula_21 è pari ad formula_2.
Essendo il vettore delle incognite ortogonale ai vettori riga della matrice dei coefficienti, lo spazio delle soluzioni è il complemento ortogonale del sottospazio generato dalle righe di formula_21. La somma delle rispettive dimensioni deve pertanto essere pari ad formula_2.
Dalle due affermazioni precedenti si conclude che il rango formula_42 per righe è pari al rango per colonne, e che lo spazio delle soluzioni ha dimensione formula_43. Lo spazio delle soluzioni è dunque un sottospazio vettoriale di dimensione formula_44.
Il sistema ammette soluzione se e solo se il vettore formula_45 è l'immagine del vettore formula_46 ottenuta mediante l'applicazione lineare formula_47 definita nel seguente modo:
L'immagine di formula_49 è generata dai vettori dati dalle colonne di formula_50, e quindi formula_45 è nell'immagine se e solo se lo span delle colonne di formula_21 contiene formula_45, cioè se e solo se lo spazio generato dalle colonne di formula_50 è uguale allo spazio generato dalle colonne di formula_55. In modo equivalente il sistema ammette soluzione se e solo se le due matrici abbiano lo stesso rango, come stabilisce il teorema di Rouché-Capelli.
Se esiste una soluzione formula_56, ogni altra soluzione si scrive come formula_57, dove formula_58 è una soluzione del sistema lineare omogeneo associato:
Infatti:
Lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore formula_61, è quindi il sottospazio affine dato da:
La dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema completo è uguale alla dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato. Per il teorema di Rouché-Capelli tale soluzione è unica se e solo se il rango della matrice formula_21 è formula_2. Altrimenti se il campo formula_32 è infinito esistono infinite soluzioni, e queste formano un sottospazio vettoriale di formula_66, avente come dimensione la nullità formula_67 della matrice.
Dato un sistema lineare nella forma
dove formula_69 è il vettore colonna delle incognite, formula_70 è il vettore colonna dei termini noti e formula_50 è la matrice dei coefficienti ed è quadrata e invertibile, la soluzione è unica ed è pari al prodotto:
dove formula_73 è l'inversa di formula_50. Il calcolo della matrice inversa è spesso complicato e oneroso dal punto di vista computazionale, ragion per cui un sistema lineare normalmente non viene risolto calcolando direttamente la matrice inversa.
Di grande importanza teorica per i sistemi lineari, ma non utilizzata in pratica per motivi simili, è la regola di Cramer.
Di uso generale per sistemi con migliaia di equazioni è invece il metodo di eliminazione di Gauss, che si basa sul metodo di riduzione.
Il metodo di riduzione è specifico per i sistemi lineari. Il procedimento consiste nel sostituire una delle equazioni del sistema con una opportuna combinazione lineare di due equazioni del sistema stesso, ottenendo un sistema equivalente a quello dato. Più precisamente, se due righe sono espresse come prodotto tra opportune sottomatrici dei coefficienti e il vettore x delle soluzioni, ovvero 
allora è possibile sostituire una delle due con l'equazione 
dove formula_77 e formula_78 sono due numeri scalari qualsiasi, entrambi diversi da zero.


Un'equazione lineare, o equazione di primo grado, è un'equazione algebrica in cui il grado massimo delle incognite è uguale a uno.
Quelle a una sola incognita sono riconducibili (tramite le usuali regole dell'algebra elementare) alla cosiddetta "forma normale" (o canonica):
dove formula_2 e formula_3 sono numeri reali o complessi.
Se formula_4 allora trasportando formula_3 al secondo membro e dividendo per formula_2 si ottiene:
L'equazione di primo grado ammette dunque una e una sola soluzione, pari a formula_8.
Se invece formula_9 allora l'equazione può essere impossibile o indeterminata:
Più in generale, un'equazione lineare in formula_17 incognite formula_18 è riconducibile alla forma:
In geometria analitica, un'equazione lineare a due incognite (scritta in genere nella forma formula_20 oppure formula_21) rappresenta una retta nel piano cartesiano. Nello spazio a tre dimensioni, un'equazione in tre incognite della forma formula_22 rappresenta un piano. In generale, nello spazio euclideo formula_17-dimensionale, l'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare in formula_17 incognite rappresenta un iperpiano, cioè uno spazio ad formula_25 dimensioni. Allo stesso modo un'equazione lineare a una sola incognita rappresenta un semplice punto.
