
In matematica, il valore assoluto o modulo di un numero reale formula_1 è una funzione che associa a formula_1 un numero reale non negativo secondo la seguente definizione: se formula_1 è non negativo, il suo valore assoluto è formula_1 stesso; se formula_1 è negativo, il suo valore assoluto è formula_6. Ad esempio, il valore assoluto sia di formula_7 che di formula_8 è formula_7. Il valore assoluto di un numero formula_1 si indica con formula_11.
Nel caso di numeri reali, il valore assoluto si definisce come la seguente funzione a tratti:
oppure
oppure come composizione di 2 funzioni algebriche
o mediante le parentesi di Iverson:
Se rappresentiamo i numeri reali sulla retta reale, allora il valore assoluto di un numero può essere visto come la sua "distanza" dallo zero. Concetti che generalizzano quest'idea sono la nozione matematica di distanza e quella di norma, che talvolta usa la stessa notazione del valore assoluto.
Il valore assoluto ha le seguenti proprietà:
Le ultime due proprietà sono spesso sfruttate nella soluzione delle disequazioni del tipo:
Per argomenti reali, la funzione valore assoluto formula_34 è pari, continua ovunque e derivabile per formula_35. Tale funzione non è invertibile, in quanto non iniettiva: per ogni valore del codominio ci sono due numeri (un numero ed il suo opposto) con lo stesso valore assoluto (tranne che nel caso dello zero).
Una funzione formula_36 può essere trasformata a seconda di cosa sia l'argomento del modulo: in una funzione del tipo formula_37 il modulo rende positivo ciò che è negativo e lascia positivo ciò che è positivo; pertanto il grafico della funzione risulterà simmetrizzato rispetto all'asse formula_1 negli intervalli in cui formula_39. Se l'argomento del modulo è anche la variabile indipendente della funzione, ovvero è del tipo formula_40, la funzione diviene pari; ne consegue che la parte di grafico a sinistra dell'asse formula_41 (formula_42) viene cancellata e rimpiazzata dalla simmetria rispetto all'asse formula_41 della parte di grafico a destra di questi (formula_44).
Il termine "valore assoluto" è solitamente utilizzato in ambito reale. Generalizzando tale nozione ai numeri complessi, ai vettori e a più generali spazi metrici, si utilizza più frequentemente il termine "modulo".
Nel caso di un numero complesso formula_45 il modulo è definito come
dove formula_47 è la parte reale del numero e formula_48 la parte immaginaria. Dunque formula_49 è la distanza fra l'origine e formula_45 nel piano complesso. Questa definizione coincide con la precedente se il numero complesso formula_45 è un numero reale.
In maniera equivalente si può definire il modulo di formula_52 come formula_53, dove formula_54 è il complesso coniugato di formula_45.
Questa definizione di modulo su formula_56 soddisfa le proprietà dalla 1 alla 7 sopra indicate: infatti, identificando il campo complesso con lo spazio formula_57, essa non è altro che la norma euclidea del vettore formula_58.
Per argomenti complessi, la funzione modulo formula_59 è sempre continua ma non è mai differenziabile (si può vedere mostrando che non soddisfa le equazioni di Cauchy-Riemann).
Il modulo di un vettore formula_60-dimensionale formula_61 è generalmente dato da:
Si noti che formula_63 è la distanza del vettore formula_64 dall'origine degli assi e che oltre al termine "modulo" si utilizza spesso il termine "norma euclidea" o "pitagorica" (in quanto in 2 dimensioni questa formula è proprio il teorema di Pitagora).
L'utilizzo di questo termine si spiega con il fatto che il modulo come scritto qui può considerarsi un caso particolare, all'interno dello spazio euclideo, della nozione di norma di un vettore di uno spazio normato o di una matrice: l'insieme dei reali e l'insieme dei complessi si possono infatti considerare spazi normati unidimensionali e insiemi di matrici formula_65.
Nel linguaggio C il valore assoluto di un numero è calcolato dalle funzioni codice_1, codice_2, codice_3 (in C99), codice_4, codice_5, e codice_6. Scrivere la versione della funzione per i numeri interi è banale, se non si considera il caso limite in cui venga immesso il più grande numero intero negativo:
Le versioni per numeri a virgola mobile sono più complesse, in quanto devono tener conto dei codici speciali per l'infinito e not-a-number.


In algebra il segno è una proprietà che esprime l'ordine di un numero reale rispetto allo zero.
Di un numero reale "x" si dice che esso ha segno più o che è "positivo" se vale la relazione "x" > 0; si dice invece che "x" ha segno meno o che è "negativo" quando vale "x" < 0.
Nel caso di "x" = 0 si dice che "x" è "neutro": allora il segno non è definito.
Per la notazione matematica del segno si usano i simboli + ("più") e - ("meno"): il segno è seguito immediatamente dal valore assoluto del numero.
Se il segno non è espresso davanti a un numero diverso da zero, il numero s'intende positivo.
Va rilevato che i simboli + e - sono usati in matematica anche con altri significati, per esempio per notare le operazioni di addizione e sottrazione
oppure per distinguere i limiti destro e sinistro di una funzione in un punto di accumulazione
In questi casi l'uso dei simboli matematici non è legato al segno di un numero. Si parla qui di "segno" nel senso comune di "simbolo" o "carattere tipografico".
Il simbolo ± ("più o meno") nelle espressioni matematiche indica che due valori di segno opposto sono entrambi validi.
Il concetto di segno si estende naturalmente all'ambito delle funzioni. Il segno di una funzione "f" in un intervallo "I" è per definizione quello comune ad ogni valore che la funzione assume nell'intervallo.
Nell'analisi matematica, lo studio del segno di una funzione è particolarmente utile per tracciarne il grafico.
Se "f"("x") è una funzione continua in un dato intervallo, i valori di "x" per cui "f"("x") cambia di segno sono le ascisse dei punti in cui il grafico della funzione interseca l'asse delle "x", e dunque soluzioni dell'equazione "f"("x") = 0.
Ulteriori indicazioni sull'andamento di una funzione continua si possono ricavare studiando il segno della sua derivata, quando questa esiste. Dalla definizione matematica di monotonia si evince che una funzione continua e derivabile in un intervallo è strettamente crescente solo se la sua derivata è positiva; la funzione è invece strettamente decrescente negli intervalli dove la sua derivata è negativa.
Per alcune applicazioni pratiche legate alla fisica è interessante conoscere il segno di una grandezza anche quando il valore esatto non è noto: considerando per esempio che le cariche elettriche di segno uguale si respingono e le cariche di segno opposto si attraggono si può in certi casi prevedere il comportamento di un sistema senza misurarne le caratteristiche rilevanti.
