
Il moto circolare è uno dei moti semplici studiati dalla fisica e dalla cinematica, e consiste in un moto di un punto materiale lungo una circonferenza.
Il moto circolare assume importanza per il fatto che la velocità e l'accelerazione variano in funzione del cambiamento di direzione del moto. Tale cambiamento si può misurare comodamente usando le misure angolari per cui le equazioni del moto, introdotte con il moto rettilineo, vanno riviste e rielaborate con misure angolari.
La retta passante per il centro della circonferenza e perpendicolare alla stessa prende il nome di asse di rotazione. Per semplificare l'analisi di questo tipo di moto, infatti, consideriamo che l'osservatore si ponga sull'asse di rotazione. Ciò è possibile per l'isotropia e l'omogeneità dello spazio.
Il sistema più comodo per analizzare un moto circolare fa uso delle coordinate polari. Infatti nel caso particolare di movimento che avviene su una circonferenza di raggio R, il moto in coordinate polari è determinato dalle coordinate:
mentre in coordinate cartesiane si ha:
che soddisfano la seguente identità (in ogni istante di tempo):
Nel moto circolare si possono definire due diverse tipologie di velocità: la velocità angolare e la velocità tangenziale.
Per descriverle consideriamo nello spazio tridimensionale, il vettore infinitesimo "spostamento angolare"
dove formula_5 è un versore disposto lungo l'asse di rotazione e formula_6 la variazione infinitesima della variabile angolare formula_7.
Sia ora formula_8 il vettore posizione del punto "P" ad ogni istante formula_9, allora lo "spostamento lineare" formula_10 (ovvero la variazione infinitesima di formula_8) del punto "P" sull'arco di circonferenza nell'intervallo di tempo (infinitesimo) formula_12 sarà legata allo spostamento angolare formula_13 dal prodotto vettoriale:
La direzione e il verso risultano corretti per la regola della mano destra, come si vede dalla figura a lato. Il modulo è dato da (si ricordi che l'angolo è infinitesimo):
che corrisponde, per definizione essendo formula_6 espresso in radianti, all'arco di circonferenza sottesa dall'angolo formula_17.
La velocità angolare è definita come la derivata, rispetto al tempo, del vettore spostamento angolare ed è comunemente indicata con la lettera greca formula_18 (omega):
(ricordando che formula_20 è costante) ed è una misura della velocità di variazione dell'angolo formato dal vettore posizione, si misura in radianti al secondo formula_21 ed ha la stessa direzione del vettore spostamento angolare.
La velocità lineare (o tangenziale) si ottiene derivando rispetto al tempo il vettore posizione formula_22:
ed è legata alla velocità angolare dalla seguente relazione (per approfondire si veda anche derivata di un vettore):
Si noti che la costanza della velocità angolare implica la costanza del modulo della velocità.
Se si esegue il prodotto scalare dei due vettori formula_25 e formula_26 si ottiene zero per ogni istante di tempo "t", e questo dimostra che la velocità tangenziale è sempre ortogonale al raggio vettore formula_25.
Oltre a queste, si può introdurre la velocità areolare, definita come la derivata, rispetto al tempo, dell'area spazzata dal raggio vettore formula_28:
formula_29
si misura in metri quadri al secondo formula_30 ed ha la stessa direzione e lo stesso verso della velocità angolare.
Derivando rispetto al tempo l'espressione del vettore velocità tangenziale otteniamo l'accelerazione; che ha una componente parallela alla velocità (responsabile della variazione del modulo di questa) e una normale (o radiale): si tratta rispettivamente dell'accelerazione tangenziale e dell'accelerazione centripeta:
La prima frazione si chiama accelerazione angolare di solito indicata con formula_32, formula_33 oppure formula_34.
Si misura in radianti su secondi quadri formula_35, fornisce la variazione della velocità angolare ed ha stessa direzione di questa.
Sviluppando la relazione precedente otteniamo (tralasciando le dipendenze dal tempo):
dove si vede chiaramente la componente tangenziale che rappresenta la variazione del modulo della velocità lineare e la componente normale o centripeta che rappresenta la variazione della direzione della velocità lineare, diretta sempre verso il centro della circonferenza.
Pertanto possiamo concludere che l'accelerazione ha un componente radiale di modulo:
e una tangenziale di modulo:
Può essere utile a questo punto introdurre la curvatura definita come formula_39, misurata in formula_40. Inserendola nelle formule dell'accelerazione si ha:
Da ciò si deduce che all'aumentare della curvatura, e conseguentemente al diminuire del raggio, prevale la componente normale dell'accelerazione, restringendo la traiettoria. Viceversa, al crescere del raggio, con conseguente riduzione della curvatura, prevale la componente tangenziale che conduce ad un allargamento della traiettoria. 
Per questa ragione il moto rettilineo può essere letto come un moto circolare con accelerazione normale nulla.
Omologamente, derivando la velocità areolare, si ottiene l'accelerazione areolare, misurata in metri quadri su secondi quadri formula_43:
formula_44
Se il moto circolare è uniforme significa che è costante il vettore velocità angolare, cioè si ha velocità lineare costante in modulo.
Integrando la formula_45 tra i due istanti, l'iniziale formula_46, e formula_9 corrispondenti ad un angolo iniziale formula_48 e un altro angolo formula_7:
essendo formula_18 la velocità angolare costante.
Ne consegue (dalle equazioni viste alla sezione precedente) che la velocità tangenziale ha modulo costante pari a:
e dal momento che essa vettorialmente varia solo in direzione, segue che formula_53, dunque l'accelerazione ha solo componente radiale, detta accelerazione centripeta:
Il moto circolare uniformemente accelerato è il moto più generale ad accelerazione costante in modulo e in inclinazione rispetto alla velocità.
In particolare ciò significa che l'accelerazione angolare è costante. Integrando l'accelerazione angolare formula_56 tra due istanti di tempo formula_46 e formula_9 corrispondenti alle due velocità angolari iniziale e finale formula_59 e formula_18:
formula_61
Integrando la relazione formula_62 tra due istanti di tempo iniziale e finale formula_46 e formula_9 e sostituendo a formula_65 il valore trovato sopra, possiamo ricavare lo spostamento angolare formula_66:
formula_67
Risulta costante anche l'accelerazione areolare:
formula_68
Per una rappresentazione vettoriale delle grandezze cinematiche relative al moto circolare, è opportuno introdurre i versori tangente e normale alla traiettoria, che sono definiti nel modo seguente (il versore normale punta verso l'interno):
Tenendo conto delle regole di derivazione, le derivate di questi versori rispetto al tempo sono date da
Possiamo quindi esprimere i vettori posizione, velocità e accelerazione usando i versori formula_73 e formula_74:
Nel moto circolare uniforme l'accelerazione tangenziale è nulla.
Infine si possono scrivere le componenti del vettore velocità in coordinate cartesiane:
Introdotto il "vettore velocità angolare", di modulo formula_87, con direzione perpendicolare al piano del moto e con verso tale da vedere ruotare il corpo in senso antiorario,
il vettore velocità può semplicemente essere scritto come:


La retta o linea retta è uno dei tre enti geometrici fondamentali della geometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi "Elementi" come un concetto primitivo. Un filo di cotone o di spago ben teso tra due punti è un modello materiale che ci può aiutare a capire cosa sia la retta, un ente geometrico immateriale senza spessore e con una sola dimensione.
La retta è illimitata in entrambe le direzioni, e inoltre contiene infiniti punti, cioè è infinita. Viene generalmente contrassegnata con una lettera minuscola dell'alfabeto latino (solitamente con la "r").
La retta è il secondo ente fondamentale della geometria; geometricamente priva di alcuno spessore ha una sola dimensione: la lunghezza.
Una retta può "giacere" (cioè essere contenuta) nel piano o nello spazio tridimensionale.
Due rette nel piano possono essere:
Due rette nello spazio possono essere:
Date due rette sghembe, per ognuna di esse passa un unico piano parallelo all'altra retta. La distanza tra questi due piani equivale alla distanza tra le due rette.
Una retta nel piano cartesiano è descritta da un'equazione lineare
dove i coefficienti formula_2, formula_3 e formula_4 sono dei numeri reali fissati, con formula_2 e formula_3 non contemporaneamente nulli.
Se formula_7 oppure formula_8, è possibile descrivere la stessa retta in "forma esplicita" rispettivamente in una delle due forme seguenti:
dove formula_11 si chiama "coefficiente angolare" e quantifica la pendenza della retta. Nella prima delle equazioni di cui sopra il termine noto formula_12 rappresenta l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse delle formula_13 ("ordinata all'origine" o "intercetta"), nella seconda il termine noto formula_14 rappresenta l'ascissa del punto di intersezione della retta con l'asse delle formula_15.
Nello spazio euclideo tridimensionale, una retta può essere descritta tramite "equazioni cartesiane" come luogo di intersezione di due piani non paralleli:
In questo caso le soluzioni del sistema dipendono da un solo parametro formula_17 ed è sempre possibile ricavare un insieme di "equazioni parametriche" per la retta:
dove il vettore formula_19 è un vettore parallelo alla retta e il punto formula_20 è un punto appartenente alla retta.
Se formula_21 sono tutti diversi da zero è possibile ricavare le cosiddette "equazioni simmetriche" della retta:
Sia le equazioni cartesiane che le equazioni parametriche della retta non sono univocamente determinate, e sono in effetti infinite.
Nello spazio euclideo formula_23-dimensionale formula_24, una "retta" è un insieme dei punti del tipo
dove formula_26 e formula_27 sono due vettori fissati in formula_24 con formula_27 diverso da zero. Il vettore formula_27 descrive la direzione della retta, mentre formula_26 è un qualsiasi punto della retta. Scelte differenti dei vettori formula_26 e formula_27 possono descrivere la stessa retta.
Questa definizione di retta nello spazio di dimensione formula_23 è una estensione della rappresentazione in "forma esplicita" nel piano descritta sopra. Descrivere invece una retta in "forma implicita" come insieme di vettori che soddisfano delle equazioni lineari è più complicato, perché per il teorema di Rouché-Capelli sono necessarie formula_35 equazioni.
Si definisce come distanza tra due rette formula_36 e formula_37 la distanza minima tra due punti formula_38 e formula_39.
Tale distanza è ovviamente nulla nel caso di due rette che si intersecano. Per esaminare i restanti due casi (rette parallele e sghembe) verrà utilizzata la rappresentazione parametrica, che permette una trattazione unitaria per tutte le dimensioni. Siano dunque date due rette formula_40 e formula_41 di equazioni parametriche rispettivamente:
dove formula_43 e formula_44 sono i loro vettori direzionali e formula_45 e formula_46 i vettori associati al punto formula_47 della retta formula_40 e al punto formula_49 della retta formula_41, relativamente alla terna cartesiana formula_51.
Dato che le rette sono parallele possiamo misurare la distanza a partire da un punto qualsiasi della prima retta. Scegliamo il punto di formula_40 segnato dal vettore formula_45. Ogni punto della retta formula_41 può essere espresso nella forma formula_55. Se chiamo formula_56 il vettore ortogonale a formula_43 che segna la distanza dall'altra retta, allora per le proprietà del prodotto scalare
Ottenuto formula_56 risolvendo la precedente equazione (incognita in formula_60) è sufficiente calcolare la norma di formula_56 quindi con riferimento all'equazione parametrica la distanza formula_62 fra due rette parallele formula_36 e formula_64 si può scrivere come:
dove il vettore formula_27 è un vettore parallelo alle rette e il vettore formula_67 è il vettore che congiunge un punto formula_68 della retta formula_36 e un punto formula_70 della retta formula_64 ovvero la distanza fra due rette parallele è data dalla proiezione del vettore formula_67 nel verso ortogonale alle stesse.
Dimostrazione: dalle formule del prodotto vettoriale, i moduli dei versori sono unitari, resta:
formula_73
Se definiamo formula_56 come il vettore ortogonale a formula_75, la cui norma è la distanza tra le due rette, il nostro problema si riduce a trovare la norma di formula_56. I tre vettori formula_56, formula_43 e formula_44 sono una base, e possiamo quindi facilmente scomporre il vettore formula_80 lungo le tre componenti. Quindi
Molto semplicemente si ricava che
con riferimento all'equazione parametrica la distanza formula_62 fra due rette sghembe formula_36 e formula_64 si può scrivere come:
dove il vettore formula_67 è il vettore che congiunge un punto formula_68 della retta formula_36 che ha vettore parallelo formula_90 e un punto formula_70 della retta formula_64 che ha vettore parallelo formula_93, il vettore formula_94 è il vettore ortogonale formula_95 ovvero la distanza fra due rette sghembe è data dalla proiezione del vettore formula_67 nel verso del vettore formula_94.
Dimostrazione: dalle formule del prodotto scalare il modulo del versore è unitario, resta : formula_98
