
In matematica, e in particolare in algebra lineare, un sistema di equazioni lineari, anche detto sistema lineare, è un sistema composto da più equazioni lineari che devono essere verificate tutte contemporaneamente. Una soluzione del sistema è un vettore i cui elementi sono le soluzioni delle equazioni che compongono il sistema, ovvero tali che se sostituiti alle incognite rendono le equazioni delle identità.
Un sistema di equazioni lineari è un insieme di formula_1 equazioni lineari in formula_2 incognite, che può essere scritto nel modo seguente:
Il numero formula_2 delle incognite è detto anche ordine del sistema.
Se termini noti formula_5 sono tutti nulli il sistema è detto "omogeneo".
Una formula_2-upla formula_7 di elementi nel campo è una "soluzione" del sistema se soddisfa tutte le formula_1 equazioni.
Due sistemi si dicono "equivalenti" se hanno lo stesso insieme di soluzioni. In particolare, due sistemi lineari sono equivalenti se ogni equazione di uno è combinazione lineare delle equazioni dell'altro.
In notazione indiciale il sistema si scrive:
Definendo i vettori dei coefficienti:
e il vettore degli formula_1 termini noti:
il sistema è equivalente alla combinazione lineare:
Definendo formula_14 il vettore delle formula_2 incognite:
ciascuna equazione è equivalente ad un prodotto scalare standard:
Se il sistema è omogeneo il vettore delle incognite è quindi ortogonale ai vettori dei coefficienti.
Usando le matrici ed il prodotto scalare fra matrici (prodotto riga per colonna) si possono separare i coefficienti, le incognite ed i termini noti del sistema, scrivendolo nel modo seguente:
Ora seformula_21 è la matrice formula_22 dei coefficienti:
di cui in effetti formula_24 sono le colonne, con le definizioni del vettore delle incognite e di quello dei termini noti il sistema si scrive finalmente in forma matriciale:
Il sistema può essere descritto usando la matrice completa:
detta matrice associata al sistema. Essa è ottenuta dalla giustapposizione della matrice dei coefficienti e del vettore dei termini noti.
Le matrici formula_27 e formula_28 sono dette rispettivamente matrice "incompleta" (o matrice dei coefficienti) e "completa" (o "orlata"). I numeri formula_29 sono le incognite, i numeri formula_30 sono i coefficienti ed i numeri formula_5 i termini noti. Coefficienti e termini noti sono elementi di un campo, ad esempio quello formato dai numeri reali o complessi.
Il grado di un sistema di equazioni polinomiali è definito come il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono. Quindi un sistema lineare è un sistema polinomiale di primo grado.
In generale, un sistema lineare può essere:
Se il campo formula_32 di appartenenza di coefficienti e termini noti di un sistema di ordine formula_2 è infinito, ci sono tre possibilità: esiste una sola soluzione, non ci sono soluzioni oppure ce ne sono infinite. Il teorema che asserisce questo fatto e che permette di stabilire se e quante soluzioni esistono senza risolvere il sistema è il teorema di Rouché-Capelli. Nel caso in cui esistano soluzioni, queste formano un sottospazio affine di formula_34.
Si consideri l'operazione lineare:
Il nucleo di formula_36 è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato, mentre l'immagine è lo spazio generato dalle colonne formula_37. Per il teorema del rango segue che la dimensione dello spazio delle soluzioni più il rango per colonne di formula_21 è pari ad formula_2.
Essendo il vettore delle incognite ortogonale ai vettori riga della matrice dei coefficienti, lo spazio delle soluzioni è il complemento ortogonale del sottospazio generato dalle righe di formula_21. La somma delle rispettive dimensioni deve pertanto essere pari ad formula_2.
Dalle due affermazioni precedenti si conclude che il rango formula_42 per righe è pari al rango per colonne, e che lo spazio delle soluzioni ha dimensione formula_43. Lo spazio delle soluzioni è dunque un sottospazio vettoriale di dimensione formula_44.
Il sistema ammette soluzione se e solo se il vettore formula_45 è l'immagine del vettore formula_46 ottenuta mediante l'applicazione lineare formula_47 definita nel seguente modo:
L'immagine di formula_49 è generata dai vettori dati dalle colonne di formula_50, e quindi formula_45 è nell'immagine se e solo se lo span delle colonne di formula_21 contiene formula_45, cioè se e solo se lo spazio generato dalle colonne di formula_50 è uguale allo spazio generato dalle colonne di formula_55. In modo equivalente il sistema ammette soluzione se e solo se le due matrici abbiano lo stesso rango, come stabilisce il teorema di Rouché-Capelli.
Se esiste una soluzione formula_56, ogni altra soluzione si scrive come formula_57, dove formula_58 è una soluzione del sistema lineare omogeneo associato:
Infatti:
Lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore formula_61, è quindi il sottospazio affine dato da:
La dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema completo è uguale alla dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato. Per il teorema di Rouché-Capelli tale soluzione è unica se e solo se il rango della matrice formula_21 è formula_2. Altrimenti se il campo formula_32 è infinito esistono infinite soluzioni, e queste formano un sottospazio vettoriale di formula_66, avente come dimensione la nullità formula_67 della matrice.
Dato un sistema lineare nella forma
dove formula_69 è il vettore colonna delle incognite, formula_70 è il vettore colonna dei termini noti e formula_50 è la matrice dei coefficienti ed è quadrata e invertibile, la soluzione è unica ed è pari al prodotto:
dove formula_73 è l'inversa di formula_50. Il calcolo della matrice inversa è spesso complicato e oneroso dal punto di vista computazionale, ragion per cui un sistema lineare normalmente non viene risolto calcolando direttamente la matrice inversa.
Di grande importanza teorica per i sistemi lineari, ma non utilizzata in pratica per motivi simili, è la regola di Cramer.
Di uso generale per sistemi con migliaia di equazioni è invece il metodo di eliminazione di Gauss, che si basa sul metodo di riduzione.
Il metodo di riduzione è specifico per i sistemi lineari. Il procedimento consiste nel sostituire una delle equazioni del sistema con una opportuna combinazione lineare di due equazioni del sistema stesso, ottenendo un sistema equivalente a quello dato. Più precisamente, se due righe sono espresse come prodotto tra opportune sottomatrici dei coefficienti e il vettore x delle soluzioni, ovvero 
allora è possibile sostituire una delle due con l'equazione 
dove formula_77 e formula_78 sono due numeri scalari qualsiasi, entrambi diversi da zero.


Un'equazione (dal latino "aequatio") è una uguaglianza matematica tra due espressioni contenenti una o più variabili, dette "incognite". L'uso del termine risale a Leonardo Fibonacci.
Se un'equazione ha formula_1 incognite, allora ogni formula_1-upla (ordinata) di elementi che sostituiti alle corrispondenti incognite rendono vera l'uguaglianza è una "soluzione" dell'equazione. Risolvere un'equazione significa individuare l'insieme di tutte le sue soluzioni.
Il "dominio" (o "insieme di definizione") delle variabili incognite è l'insieme degli elementi per cui le espressioni ad ambo i membri dell'equazione sono definite, ovvero quell'insieme di numeri per cui l'equazione esiste. L'insieme delle soluzioni è condizionato dal dominio: per esempio l'equazione
non ammette soluzioni se il dominio è l'insieme dei numeri razionali, mentre ammette due soluzioni nei numeri reali, che possono essere scritte come formula_4. Analogamente, l'equazione
non possiede soluzioni reali ma è risolvibile se il dominio è il campo dei numeri complessi.
Due equazioni si dicono "equivalenti" se i rispettivi insiemi delle soluzioni coincidono. Vi sono due principi che consentono di manipolare le equazioni per trovare l'insieme delle soluzioni; essi sono una conseguenza diretta delle proprietà delle uguaglianze:
Tipicamente in un'equazione compaiono, oltre alle incognite, dei coefficienti noti che moltiplicano le incognite stesse e dei termini noti che sono ad esse applicati tramite somma algebrica: questi elementi, se non sono esplicitati nel loro valore numerico, sono indicati in genere con le lettere formula_13, formula_14, formula_15... mentre alle variabili incognite sono convenzionalmente attribuite le ultime lettere dell'alfabeto (formula_16, formula_17, formula_18...).
Le soluzioni di un'equazione vengono generalmente indicate esplicitando le incognite delle espressioni che contengano le costanti ed eventuali parametri arbitrari. Ad esempio, la soluzione dell'equazione
dove formula_13 è un parametro non nullo, e il dominio è l'insieme dei numeri reali, si scrive come
Un'equazione si dice:
Dal teorema fondamentale dell'algebra, segue immediatamente che un'equazione polinomiale (cioè formata da un polinomio uguagliato a zero, in una variabile) di grado formula_1 ammette sempre formula_1 soluzioni nel campo complesso, di cui alcune possono essere multiple. In altre parole, un'equazione di grado formula_1 ammette almeno formula_25 soluzione e al massimo formula_1 soluzioni complesse differenti.
Per il teorema di Abel-Ruffini, non esiste una formula generale per esprimere le radici delle equazioni polinomiali di grado formula_27 o superiore tramite una formula per radicali. Viceversa le equazioni di primo grado, secondo grado, terzo grado e quarto grado ammettono una formula risolutiva generica. Casi particolari di equazioni di grado superiore al quarto possono comunque essere risolti tramite radicali.
Il metodo delle tangenti di Newton, sotto determinate ipotesi, fornisce un algoritmo per la risoluzione numerica delle equazioni. Un altro algoritmo con ipotesi più generali è il metodo di bisezione. Le soluzioni trovate mediante metodi numerici vengono chiamate "approssimate" in contrapposizione alle soluzioni date da formule chiuse che vengono chiamate "esatte". La nomenclatura è in parte fuorviante perché i metodi approssimati possono, in alcuni casi, determinare in maniera più precisa e più veloce le soluzioni numeriche di una equazione rispetto alle formule chiuse.
Una prima classificazione delle equazioni può avvenire in questo modo:
Le equazioni algebriche possono essere divise in vari gruppi in base alle loro caratteristiche; è necessario ricordare che un'equazione deve appartenere ad almeno e solo una delle categorie per ogni gruppo.
In base al grado del polinomio:
Possono inoltre essere divise in base alla presenza di incognite al radicando di radici:
Si definisce "equazione omogenea", un'equazione algebrica in più variabili i cui termini hanno tutti lo stesso grado. Un'equazione omogenea ammette sempre la soluzione banale con tutte le variabili uguali a formula_28 e, su un campo algebricamente chiuso, ammette sempre infinite soluzioni, infatti da ogni soluzione se ne ottengono infinite altre alterandole per un fattore di proporzionalità. Ad esempio:
ha per soluzioni, sul campo dei numeri complessi la coppia formula_30 e formula_31 e la coppia formula_32 e formula_33 con formula_34 e formula_35 numeri complessi qualsiasi.
Non è vero su un campo non algebricamente chiuso, infatti l'equazione omogenea
ammette come unica soluzione, sul campo dei numeri reali, la coppia formula_37 e formula_38.
Le equazioni trascendenti coinvolgono almeno un'incognita come argomento di una funzione non polinomiale. Le più comuni categorie di equazioni trascendenti sono:
Le equazioni con valori assoluti contemplano oltre le incognite la presenza del valore assoluto di espressioni algebriche o trascendenti. Possiamo aver quindi:
Le equazioni funzionali hanno almeno un'incognita che è una funzione. Le più comuni categorie di equazioni funzionali sono:
In base alla presenza di altre espressioni letterali tutte le equazioni possono essere divise in:
