
In geometria, l'ellisse (dal greco "ἔλλειψις", col significato di "mancanza") è una curva piana ottenuta intersecando un cono con un piano in modo da produrre una curva chiusa.
Affinché la sezione conica produca una curva chiusa l'inclinazione del piano deve essere superiore a quella della generatrice del cono rispetto al suo asse. Per contro, le due sezioni coniche ottenute con piani aventi inclinazione uguale o inferiore a quella della retta generatrice rispetto all'asse del cono danno vita ad altri due tipi di curve che sono aperte e illimitate: la parabola e l'iperbole.
La circonferenza è un caso speciale di ellisse che si ottiene quando l'intersezione viene fatta con un piano ortogonale all'asse del cono.
Un'ellisse è anche il luogo geometrico dei punti del piano per i quali "la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi rimane costante".
L'ellisse può essere anche la proiezione verticale su un piano orizzontale di una circonferenza appartenente a un piano inclinato: se il piano inclinato forma un angolo formula_1 con il piano orizzontale, la proiezione verticale della circonferenza è un'ellisse di eccentricità formula_2.
Dopo la circonferenza, si tratta della più semplice tra le figure di Lissajous ottenuta dalla composizione dei due moti verticale e orizzontale di tipo sinusoidale della stessa frequenza.
In base alle leggi di Keplero, l'orbita di un pianeta è un'ellisse con il Sole che ne occupa uno dei due fuochi.
L'ellisse è una curva simile a un cerchio allungato in una direzione: è un esempio di sezione conica e può essere definita come il luogo dei punti del piano per cui la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, rimane costante. Se i due fuochi coincidono si ha una circonferenza, che quindi può essere considerata il caso particolare di ellisse a eccentricità nulla.
È una curva con due assi di simmetria e un centro di simmetria. La distanza tra i punti antipodali dell'ellisse, cioè tra punti simmetrici rispetto al suo centro, è massima lungo l'asse maggiore, che contiene anche i due fuochi, ed è minima lungo l'asse minore perpendicolare a quello maggiore. Il semiasse maggiore è una delle due metà dell'asse maggiore: parte dal centro, passa attraverso un fuoco e arriva all'ellisse. Analogamente il semiasse minore è metà dell'asse minore. I due assi sono per l'ellisse l'equivalente del diametro per la circonferenza, mentre i due semiassi sono l'equivalente del raggio.
La dimensione e la forma di un'ellisse sono determinate da due costanti reali positive, dette convenzionalmente formula_3 e formula_4. La costante maggiore è la lunghezza del semiasse maggiore mentre la costante minore quella del semiasse minore.
L'equazione dell'ellisse si trova uguagliando la somma delle distanze fra i due fuochi formula_5 e formula_6 e un punto generico formula_7 con il doppio del semiasse maggiore:
che equivale a:
Per trovare l"'equazione canonica o normale" dell'ellisse, con centro nell'origine e fuochi sull'asse delle formula_10 (cioè formula_11), si operino le sostituzioni formula_12, formula_13, formula_14, formula_15, formula_16. Dopo alcuni passaggi si ricava che l'ellisse centrata nell'origine di un sistema di assi cartesiani con l'asse maggiore posto lungo l'asse delle ascisse è definita dall'equazione:
La stessa ellisse è rappresentata anche dall'equazione parametrica:
che fa uso delle funzioni trigonometriche seno e coseno.
L'eccentricità formula_19 di un'ellisse è compresa tra formula_20 e formula_21 ed è il rapporto della distanza tra i due fuochi formula_22 ed formula_23 e la lunghezza dell'asse maggiore formula_24:
L'eccentricità rende conto della forma più o meno schiacciata dell'ellisse: quando è uguale a formula_20, i due fuochi coincidono e l'ellisse degenera in una circonferenza di raggio formula_3. Facendo tendere l'eccentricità a formula_21, l'ellisse si schiaccia sempre più e quando assume il valore unitario essa degenera in un segmento lungo formula_24 percorso due volte, quindi il perimetro dell'ellisse è uguale a formula_30.
Il semilato retto di un'ellisse, solitamente denotato dalla lettera formula_31, è la distanza tra ciascuno dei fuochi dell'ellisse e i punti sull'ellisse di cui i fuochi sono proiezione ortogonale sull'asse maggiore. È legato ad formula_3 e formula_4 dalla formula
Come per le altre coniche, anche per l'ellisse vale la proprietà seguente:
i punti medi di un fascio di corde parallele sono allineati.
Il segmento che congiunge i punti medi di un fascio di corde parallele prende il nome di diametro dell'ellisse. I punti medi delle corde parallele ad un diametro dell'ellisse costituiscono il diametro coniugato al diametro dato. Due diametri coniugati si intersecano nel centro dell'ellisse. Gli assi di simmetria dell'ellisse sono gli unici diametri coniugati perpendicolari tra loro. La retta tangente ad un'ellisse nell'estremo di un diametro è sempre parallela al diametro coniugato.
In coordinate polari, un'ellisse con un fuoco nell'origine e con la coordinata angolare formula_35 misurata a partire dall'asse maggiore è rappresentata dall'equazione:
dove formula_31 denota il semilato retto e la coordinata angolare formula_35 è l'angolo che la retta r passante per formula_39 forma con l'asse maggiore (vedere figura a lato).
Se si considera la retta formula_40 passante per il fuoco formula_41 e la coordinata angolare formula_35 è l'angolo che la retta formula_40 passante per formula_41 forma con l'asse maggiore, l'equazione diviene:
L'area racchiusa da un'ellisse è data da
[[File:Ellisse5.png|thumb|upright=1.3|Coefficiente angolare: formula_47Equazione: formula_48 e il punto formula_49, con formula_50 e formula_51. Sapendo che nella traslazione si conserva anche il parallelismo, i coefficienti angolari delle tangenti a formula_52 passanti per formula_53 sono uguali a quelli delle tangenti a formula_54 passanti per il punto formula_55. Si scrive il sistema di due equazioni con la prima relativa all'equazione dell'ellisse e la seconda relativa al fascio di rette passanti per il punto formula_55
Si impone la condizione di tangenza, ossia che il discriminante formula_61 sia nullo:
[[File:Tangent lines to an ellipse from a point outside.JPG|thumb|upright=1.8| Rette tangenti ad un'ellisse condotte da un punto esterno formula_53]]
È data un'ellisse di fuochi formula_39, formula_41 e asse maggiore formula_24, e un punto formula_53 esterno all'ellisse. Esistono due metodi per tracciare le rette tangenti all'ellisse condotte dal punto esterno formula_53.
Tracciare la circonferenza di centro formula_39 e raggio formula_24. Tracciare la circonferenza di centro formula_53 e raggio formula_77. Le due circonferenze si intersecano nei punti formula_78 e formula_79. Tracciare i segmenti formula_80 e formula_81. Fissare i punti formula_82 ed formula_83 di intersezione tra i due segmenti e l'ellisse. Le rette formula_84 e formula_85 sono le rette tangenti cercate.
Tracciare la circonferenza di centro formula_39 e raggio formula_24. Tracciare la circonferenza di centro formula_53 e raggio formula_77. Le due circonferenze si intersecano nei punti formula_78 e formula_79. Tracciare i segmenti formula_101 e formula_102. Condurre per formula_53 la retta formula_104 perpendicolare al segmento formula_101. Condurre per formula_53 la retta formula_107 perpendicolare al segmento formula_102. Le rette formula_104 ed formula_107 sono le rette tangenti cercate.
L'equazione generale dell'ellisse avente i fuochi formula_113 ed formula_114 posti in posizione generica sul piano cartesiano e avente il semiasse maggiore denotato con formula_3 è data da
dove i parametri formula_78, formula_79, formula_119, formula_120, formula_121 ed formula_122 sono uguali a
La [[Curva (matematica)#Lunghezza della curva|lunghezza]] dell'ellisse è:
in cui la funzione formula_121 è l'[[integrale ellittico completo di seconda specie]] ed formula_19 è l'eccentricità.
Sono state proposte numerose formule approssimate per il calcolo della lunghezza dell'ellisse, che differiscono molto per complessità e accuratezza.
Lo sviluppo in [[serie]] è:
Una semplice ma poco raffinata approssimazione per la lunghezza è
che fornisce il risultato esatto quando l'ellisse è una circonferenza, cioè per formula_134, mentre dà un risultato approssimato per eccesso negli altri casi. Nel caso limite in cui formula_135 la formula dà formula_136, mentre il valore esatto è formula_137. La formula è più precisa per ellissi con bassa eccentricità. Utilizzare questa formula equivale ad assumere che l'ellisse abbia la stessa lunghezza di una circonferenza che ha raggio uguale alla media quadratica dei semiassi dell'ellisse.
Un'approssimazione migliore si ottiene con uno sviluppo in serie nel modo seguente: posto formula_138 si ha
Anche in questo caso l'approssimazione è migliore per le ellissi di bassa eccentricità.
Due formule approssimate sono dovute a [[Ramanujan]]:
Entrambe le formule danno il risultato esatto per una circonferenza e, nel caso generale, l'errore delle due formule è dell'ordine di formula_142e di formula_143, rispettivamente. Nel caso di ellisse degenere in un segmento (formula_135, formula_145) la prima dà formula_146, mentre la seconda dà formula_147, quando il risultato esatto è formula_137.
Fissare i due fuochi formula_39 e formula_41 e l'asse maggiore di lunghezza formula_24 (con formula_152). Costruire una circonferenza di centro formula_39 e raggio formula_24. Fissare sulla circonferenza un punto generico formula_155. Tracciare il raggio formula_156. Tracciare il segmento formula_157 e l'asse di tale segmento (retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio formula_158) che interseca formula_156 nel punto formula_53. Il punto formula_53 è equidistante da formula_41 e da formula_155 in quanto sta sull'asse del segmento formula_157. Dunque formula_165. D'altra parte formula_166 e quindi formula_167. Quindi formula_53 è un punto dell'ellisse.
Questo metodo viene detto della tangente in quanto la retta formula_169 è la tangente all'ellisse nel punto formula_53, infatti gode della proprietà tangenziale, precedentemente descritta.
In questo caso sono note le lunghezze dei lati del rettangolo circoscritto all'ellisse. La linea rossa nella sia la corda utilizzata dal "giardiniere" per tracciare l'ellisse. Nel film [[Agora (film)|Agorà]] del 2009 Ipazia, interpretata da [[Rachel Weisz]], studiando l'orbita della Terra attorno al Sole traccia sulla sabbia un'ellisse con il metodo del giardiniere. In alcuni momenti si vede anche un [[Sezione conica|cono di Apollonio]].
[[Categoria:Sezioni coniche]]
[[Categoria:Curve piane]]


In matematica, una curva è un oggetto "unidimensionale" e "continuo", come ad esempio la circonferenza e la retta. Una curva può giacere su un piano, nello spazio euclideo, o in uno spazio topologico più generale.
Una "curva" può essere pensata intuitivamente come la traiettoria descritta da un oggetto puntiforme che si muove con continuità in qualche spazio.Per definire la curva si fa ricorso alle nozioni di funzione continua e funzione differenziabile.
In topologia, una curva è una funzione vettoriale continua
dove formula_2 è un intervallo della retta reale e formula_3 è un qualsiasi spazio topologico.
Ad esempio, formula_3 può essere il piano cartesiano formula_5, lo spazio euclideo formula_6 o un generico spazio formula_7. L'intervallo formula_2 può essere ad esempio un intervallo chiuso formula_9, un intervallo aperto formula_10, una semiretta formula_11, ecc.
L'immagine di una curva formula_12 viene anche chiamata "sostegno", o "supporto", della curva. Spesso, con un abuso di linguaggio, per "curva" si intende il sostegno e non la funzione. In topologia, quando l'intervallo di partenza formula_2 è quello unitario formula_14 si parla di "cammino" o "arco".
Ad esempio, una circonferenza è il sostegno della curva
Una curva formula_16 che coincide sui suoi estremi, cioè tale che formula_17, è una "curva chiusa" o un "laccio".
Una curva formula_16 si dice "semplice" se è tale che presi due punti distinti formula_19, di cui almeno uno appartenente all'intervallo formula_10, risulta formula_21. In altre parole la funzione formula_22 è quasi iniettiva e la curva non ha autointersezioni con un'unica eccezione ammessa: formula_23
Una curva piana chiusa e semplice è anche detta curva di Jordan, quindi una circonferenza è una curva di Jordan.
Una curva piana è una curva a valori nel piano cartesiano formula_5. 
Se formula_26 è un omeomorfismo crescente dell'intervallo, ad esempio una funzione derivabile e biettiva con derivata positiva, allora formula_27 ottenuta componendo formula_28 e formula_22 è un'altra curva avente lo stesso sostegno di formula_22. Si dice che formula_31 è un'altra "parametrizzazione" della curva formula_22.
Una curva topologica, per quanto sembri rispondere all'esigenza di rappresentare oggetti "filiformi" e "senza spessore" che localmente sembrano una retta incurvata, può essere molto bizzarra se non si fissano delle condizioni aggiuntive. Ad esempio nel 1890 il matematico Giuseppe Peano scoprì una curva, nota ora come curva di Peano, avente come sostegno un quadrato. La curva di Koch è invece un frattale con dimensione di Hausdorff compresa tra uno e due, un oggetto dimensionalmente intermedio tra la retta e il piano.
Una condizione aggiuntiva che garantisce l'aspetto "filiforme" del sostegno è la differenziabilità: se formula_3 è il piano o un altro spazio euclideo, è possibile chiedere che formula_22 sia differenziabile in ogni punto e in questo caso si parla di "curva differenziabile" o "regolare". In una curva differenziabile, per ogni formula_35 è definita una tangente alla curva in formula_36: la tangente è il vettore delle derivate di formula_22.
Se si immagina di percorrere la curva nel tempo, la lunghezza del vettore tangente è la "velocità" della curva nel punto. La velocità può cambiare tramite riparametrizzazione della curva: data una curva, c'è sempre un'unica parametrizzazione tale che la velocità sia costantemente uno e questa parametro è la lunghezza d'arco.
In molti contesti è utile parlare di curve "lisce" che . Per questo scopo si definisce una "curva regolare a tratti" come una curva il cui dominio formula_2 è unione di intervalli successivi, su ciascuno dei quali la curva è regolare. Formalmente, si chiede che esista una partizione di un intervallo formula_39 in alcuni intervalli formula_40 tali che la restrizione della curva su ciascun formula_41 sia regolare.
Due modi utilizzati per rappresentare una curva in tre dimensioni sono la forma cartesiana e la forma parametrica.
È possibile rappresentare una curva tridimensionale in forma implicita identificando il suo supporto con il luogo di zeri di un campo vettoriale formula_42, ovvero i punti di coordinate formula_43 che verificano il sistema:
dove formula_22 e formula_31 sono funzioni di classe almeno formula_47 a valori reali. Questa rappresentazione può essere pensata come curva intersezione di due superfici in forma implicita.
Condizione sufficiente per la regolarità locale di una curva così rappresentata nell'intorno di un suo punto formula_48 è che la jacobiana:
abbia rango massimo
Una curva in forma parametrica è una funzione vettoriale di una sola variabile formula_50 del tipo:
Si può scrivere anche:
La variabile formula_35 si chiama "parametro". Una curva è una funzione di classe formula_54 in un intervallo se le funzioni formula_55, formula_56 e formula_57 hanno derivate continue in questo intervallo. Una curva formula_54 si dice "regolare" in un punto formula_59 se:
e regolare in formula_2 se ciò vale in ogni punto di formula_62. Un punto in cui si abbia formula_63 si dice "punto singolare" per la curva.
Se formula_64 è uno spazio metrico (ad esempio, il piano o uno spazio euclideo) si può usare la metrica stessa per definire la lunghezza di una curva. Sia data una curva formula_65 e una partizione dell'intervallo formula_9 cioè un insieme finito di punti formula_67 tale che:
Allora si può definire la poligonale, cioè una curva che è l'unione dei segmenti aventi vertici l'immagine degli elementi della partizione tramite formula_69. In pratica la poligonale è una curva spezzata i cui vertici appartengono alla curva originale. Più i vertici della poligonale sono numerosi e più la sua lunghezza approssimerà quella della curva.
Si può definire la "lunghezza" della curva formula_22 come estremo superiore della lunghezza della poligonale al variare della partizione formula_71:
Se questo valore non è infinito, la curva si dice "rettificabile". Le curve di Peano e di Koch non sono rettificabili.
La lunghezza di una curva non dipende dalla sua parametrizzazione, cioè non varia se si considerano "parametrizzazioni equivalenti".
Una curva derivabile è rettificabile: per ogni punto formula_73 dell'intervallo è definita una velocità, e si può dimostrare che la lunghezza definita come sopra è uguale all'integrale di questa velocità su formula_74
usando la nozione di integrale di linea si può scrivere anche:
