
In matematica un monomio è un'espressione algebrica costituita da un coefficiente ed una parte letterale dove tra le lettere compaiono moltiplicazioni e elevamenti a potenza aventi esponente naturale. Questi sono tre esempi:
Nell'ultimo esempio, l'esponente "n" è un numero naturale non specificato. In alcuni casi si ammette la presenza nel monomio di esponenti negativi e si parla di monomi "frazionari" (o "fratti"): in questo caso, il monomio è in realtà una frazione algebrica:
Talvolta si ammette anche l'operazione di estrazione di radice. I monomi con esponenti esclusivamente interi positivi sono detti "interi" e in questa voce ci limitiamo a considerare questo tipo di monomi.
In un monomio non compaiono somme o sottrazioni; una espressione del tipo
dove compaiono anche delle somme algebriche è invece detta polinomio: un polinomio è quindi una somma algebrica di monomi.
Ogni monomio è diviso in due parti:
Ad esempio il monomio
ha coefficiente 6 e parte letterale formula_6. I monomi
hanno coefficiente formula_4 e formula_9 rispettivamente.
In alcuni contesti il coefficiente può contenere delle costanti non numeriche, indicate con delle lettere. Ad esempio l'espressione
può indicare un monomio avente coefficiente formula_11 e parte letterale formula_12. Di solito si intende distinguere fra quelle lettere come formula_13 che rappresentano delle costanti e altre lettere come formula_14 che rappresentano le variabili.
Un monomio senza parte letterale è detto "costante".
Il "grado" di un monomio è la somma algebrica degli esponenti della parte letterale. 
Ad esempio, il monomio
ha grado 2. Le variabili senza esponente hanno come di consueto esponente 1 anche se non indicato esplicitamente: quindi
ha grado 1+3 = 4: le variabili formula_14 e formula_18 hanno infatti esponente 1 e 3 rispettivamente.
I monomi costanti sono precisamente quelli con grado zero.
I monomi ridotti in forma normale aventi la stessa parte letterale, con gli stessi esponenti, si dicono "monomi simili". Ad esempio
Tra questi due monomi aventi il coefficiente con valore assoluto uguale e segno opposto si dicono "opposti", mentre due monomi aventi lo stesso coefficiente si diranno appunto uguali.
Lo 0 viene chiamato "monomio nullo".
Una somma algebrica di monomi viene chiamata polinomio.
La "somma algebrica" di due o più monomi simili è un monomio simile ad essi, in cui il coefficiente è la somma algebrica dei coefficienti dei singoli monomi. Quando i monomi non sono simili la somma non può essere applicata e si lascia l'espressione inalterata. Quando si ha un'espressione con più monomi si deve sempre cercare di sommare i termini simili fino ad arrivare ad una forma non più modificabile.
L'addizione algebrica tra monomi simili è una operazione "interna", ossia ha come risultato un monomio simile a quelli dati il cui coefficiente è la somma algebrica dei coefficienti. Operativamente, si raccoglie a fattor comune la parte letterale, applicando all'inverso la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione e poi si esegue la somma dei coefficienti numerici. Dei semplici esempi sono dati dalle seguenti somme: 
Quando i monomi non sono simili l'addizione algebrica non porta semplificazioni, l'espressione rimane inalterata ed il risultato non è più un monomio, ma un polinomio:
La somma algebrica viene fatta solo tra monomi simili lasciando inalterati gli altri:
questo procedimento viene anche detto "riduzione dei termini simili".
Il prodotto di due o più monomi è il monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti dei singoli monomi e come parte letterale il prodotto delle loro parti letterali. Ogni fattore letterale ha l'esponente uguale alla somma degli esponenti che esso ha nei singoli monomi.
Considerando ad esempio il prodotto tra formula_26 e formula_27, il prodotto dei coefficienti è:
mentre quello delle parti letterali è:
quindi il prodotto dei singoli monomi risulta essere
Altri esempi di moltiplicazione tra monomi:
La potenza di un monomio è il monomio che ha per coefficiente la potenza del coefficiente e per parte letterale la potenza di ciascun fattore letterale del monomio. Considerando il monomio formula_34 calcolare il suo cubo vuol dire moltiplicare 3 volte per se stesso il monomio:
che per le regole del prodotto viste sopra diventa:
Altre potenze di monomi sono:
In alcuni casi molto particolari, anche il quoziente di due monomi è un monomio:
Questo accade però solo in casi molto particolari, cioè quando il grado del monomio dividendo è maggiore o uguale del monomio divisore e quando le lettere che compaiono nel divisore si trovano, con grado maggiore o uguale, anche nel dividendo. In generale, un monomio che contiene delle lettere non ha un inverso (rispetto alla moltiplicazione). Ad esempio, dato il monomio 
non esiste nessun altro monomio che, moltiplicato per formula_40, dia come risultato 1. Questo perché la moltiplicazione fra monomi può solo incrementare il numero di lettere coinvolte, e non può eliminarle.
Minimo comune multiplo tra due monomi è definito come quel monomio di grado minimo che è divisibile per i due dati.
I minimi comuni multipli tra due monomi sono infiniti, essi infatti possono avere qualsiasi coefficiente.
Per determinare la parte letterale dell'm.c.m. tra due monomi si prendono tutte le lettere, comuni e non comuni, dei monomi con il loro massimo esponente.
Per quanto riguarda il coefficiente, per convenzione, si utilizza l'm.c.m. tra i coefficienti quando è possibile calcolarlo, altrimenti 1.
Esempio:
Massimo comune divisore tra due monomi è definito come quel monomio di grado massimo che divide i due dati.
I massimi comuni divisori tra due monomi sono infiniti, essi infatti possono avere qualsiasi coefficiente.
I monomi descritti sopra sono tutti in "forma normale", cioè espressi come un unico coefficiente numerico che moltiplica delle lettere, ciascuna delle quali compare una volta sola con un certo esponente. Lo stesso monomio può però essere espresso anche in altre forme, posizionando in modo diverso i suoi elementi. Ad esempio, le scritture
rappresentano tutte lo stesso monomio, scritto in modi diversi. Solo la prima di esse rappresenta il monomio in forma normale.


In algebra, la decomposizione in fratti semplici di una funzione razionale, anche detta decomposizione in frazioni semplici o espansione in fratti semplici, è la scrittura della frazione tramite un polinomio (che può essere nullo) sommato ad una o più frazioni con un denominatore più semplice. Tale metodo fornisce un algoritmo che consente di valutare le primitive di una funzione razionale.
Per illustrare l'idea del procedimento, sia data una funzione razionale formula_1, in cui formula_2 e formula_3 sono polinomi, e si consideri la fattorizzazione formula_4 del denominatore. Per ogni fattore che ha la forma formula_5 si considerano le frazioni formula_6, mentre per ogni fattore che ha la forma formula_7 si considerano le frazioni:
Si ottiene così la scrittura:
e calcolando i coefficienti formula_10 e formula_11 si trova una decomposizione che consente, analizzandone ogni singolo termine, di integrare la frazione di partenza. Essa conduce quindi formula_12 ad un'espressione del tipo:
dove formula_14 e formula_15 sono polinomi di grado inferiore rispetto a formula_2 e formula_3.
Se si applica la decomposizione fin dove è possibile si ottiene che il denominatore di ogni termine è una potenza di un polinomio non fattorizzabile e il numeratore è un polinomio di grado inferiore di quello del polinomio non fattorizzabile.
Si consideri una funzione razionale formula_18 nella variabile formula_19 il cui denominatore si può fattorizzare come:
sul campo formula_21, che può essere ad esempio formula_22 o formula_23. Se formula_24 e formula_25 non hanno nessun fattore comune, allora formula_12 si può scrivere come:
per qualche coppia di polinomi formula_28 e formula_29 su formula_21. L'esistenza di tale decomposizione è una conseguenza del fatto che l'anello dei polinomi su formula_21 è un dominio ad ideali principali, sicché:
per qualche coppia di polinomi formula_33 e formula_34 (si veda l'identità di Bézout).
Con tale approccio si può induttivamente scrivere formula_35 come una somma di frazioni i cui denominatori sono potenze di polinomi irriducibili.
In modo più rigoroso, siano formula_2 e formula_3 polinomi non nulli su formula_21. Si scriva formula_3 come prodotto di potenze di polinomi non fattorizzabili:
Allora esistono unici i polinomi formula_41 e formula_42, di cui formula_42 hanno grado inferiore a quello di formula_44, tali che:
e se il grado di formula_2 è minore di quello di formula_3 allora formula_48.
Si può verificare tale teorema scrivendo formula_49 come una somma in cui i denominatori sono potenze di formula_50 ed i numeratori sono polinomi di grado inferiore a quello di formula_50, più un eventuale polinomio aggiuntivo. Per fare ciò si può utilizzare l'algoritmo di Euclide applicato ai polinomi.
Se formula_21 è il campo dei numeri complessi formula_23 allora per il teorema fondamentale dell'algebra si può assumere che ogni formula_44 ha grado 1.
Siano formula_2 e formula_3 polinomi non nulli sul campo formula_21. Si scriva formula_3 come prodotto di potenze di polinomi vicendevolmente primi che non hanno radici multiple in un campo algebricamente chiuso:
Allora esistono unici i polinomi formula_41 e formula_61, di cui formula_61 hanno grado inferiore a quello di formula_44, tali che:
dove l'apice denota la derivata. Questo risultato consente di ridurre il calcolo della primitiva di una funzione razionale all'integrazione della somma al secondo membro, detta "parte logaritmica" a causa del fatto che la sua primitiva è una combinazione lineare di logaritmi. Infatti, si ha:
Vi sono diversi metodi per calcolare tale decomposizione, il più semplice dei quali è il metodo di Hermite: si basa sul fatto che formula_61 ha grado inferiore a quello di formula_44, e che il grado di formula_68 è la differenza (positiva) tra i gradi di formula_2 e formula_3: questo consente di scrivere tali polinomi incogniti come polinomi noti con coefficienti ignoti. Riducendo i due termini della formula precedente in un'unica frazione si ottiene un sistema di equazioni lineari che consente di trovare tali coefficienti.
Si vuole decomporre l'espressione:
ovvero scriverla nella forma:
in cui i parametri formula_73, formula_74 e formula_75 sono ignoti. Moltiplicando queste due espressioni per formula_76 ed uguagliandole si ottiene:
Raccogliendo i termini che moltiplicano le potenze di formula_19 si ha:
Il polinomio al secondo membro ha solo il coefficiente di grado zero non nullo, e si possono uguagliare i coefficienti che moltiplicano le potenze di formula_19 di entrambi i membri. In questo modo si ottiene il sistema di equazioni lineari:
che fornisce:
