
Un numero complesso è un numero formato da una parte reale e da una parte immaginaria sommate tra loro. Può essere rappresentato dalla somma di un numero reale e di un numero immaginario (un multiplo dell'unità immaginaria, indicata con la lettera formula_1). I numeri complessi sono usati in tutti i campi della matematica, in molti campi della fisica (notoriamente in meccanica quantistica), nonché in ingegneria, specialmente in elettronica/telecomunicazioni o elettrotecnica, per la loro utilità nel rappresentare onde elettromagnetiche e correnti elettriche ad andamento temporale sinusoidale.
In matematica i numeri complessi formano un campo (nonché un'algebra reale bidimensionale) e sono generalmente visualizzati come punti di un piano, detto piano complesso. La proprietà più importante dei numeri complessi è basata sul teorema fondamentale dell'algebra, secondo il quale qualunque equazione polinomiale di grado n ha n soluzioni complesse, non necessariamente distinte.
Nel corso dei secoli gli insiemi dei numeri sono andati man mano allargandosi, presumibilmente per rispondere all'esigenza di dare soluzione a equazioni e problemi sempre nuovi.
I numeri complessi sono un'estensione dei numeri reali, nata inizialmente per consentire di trovare tutte le soluzioni delle equazioni polinomiali. Ad esempio, l'equazione 
non ha soluzioni nell'insieme dei numeri reali, perché in questo insieme non esistono numeri il cui quadrato sia negativo.
Si definisce allora il valore formula_1, chiamato unità immaginaria, che gode della seguente proprietà:
I numeri complessi sono formati da due parti, una parte reale e una parte immaginaria, e sono rappresentati dalla seguente espressione:
dove formula_6 e formula_7 sono numeri reali, formula_1 è l'unità immaginaria.
Le leggi della somma algebrica e del prodotto nei numeri complessi si applicano facendo i conti nel modo usuale e sapendo che formula_9.
Come i numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, quelli complessi sono in corrispondenza con i punti del piano, detto piano complesso (o di Argand-Gauss): al numero complesso formula_10 si associa il punto di coordinate cartesiane formula_11.
Usando la relazione formula_4 si possono risolvere tutte le equazioni di secondo grado
con formula_14, incluse quelle che non hanno soluzioni reali perché dotate di discriminante negativo:
Le soluzioni sono determinate dalla formula risolutiva dell'equazione
che nel caso in cui il discriminante sia negativo, si svolge nel modo seguente:
Ad esempio:
Più in generale è vero che se un numero complesso è soluzione di un'equazione a coefficienti reali, allora anche il suo complesso coniugato è soluzione della stessa equazione. Quindi nel caso di un'equazione di grado dispari, tra le soluzioni ci sarà sempre almeno un numero reale.
I numeri complessi hanno avuto una genesi dilatata nel tempo. Cominciarono a essere utilizzati formalmente nel XVI secolo nelle formule di risoluzione delle equazioni di terzo e quarto grado di Tartaglia. I primi che riuscirono ad attribuire soluzioni alle equazioni cubiche furono Scipione Dal Ferro, il Bombelli e anche Niccolò Tartaglia, quest'ultimo, dopo molte insistenze, passò i risultati a Girolamo Cardano con la promessa di non divulgarli. Cardano dopo aver verificato l'esattezza delle soluzioni di Tartaglia non rispettò la sua promessa e pubblicò i risultati, citandone l'autore però, nella sua nota "Ars Magna" del 1545. Tartaglia aveva molte amicizie tra gli inquisitori e in seguito Cardano ebbe problemi legati alla giustizia del tempo, molti dei quali provenienti da accuse di eresia. Attualmente la comparsa di radici di numeri negativi viene attribuita principalmente a Tartaglia mentre nelle meno numerose pagine dedicate a Cardano non vi è traccia del suo probabile importante contributo a tale rappresentazione numerica.
Inizialmente i numeri complessi non vennero considerati come "numeri" ma solo come artifici algebrici utili a risolvere equazioni. Erano infatti numeri "che non dovrebbero esistere": Cartesio nel XVII secolo li chiamò "numeri immaginari". Abraham de Moivre ed Eulero nel XVIII secolo incominciarono a fornire ai numeri complessi una base teorica, finché questi assunsero piena cittadinanza nel mondo matematico con i lavori di Gauss. Contemporaneamente si affermò l'interpretazione dei numeri complessi come punti del piano.
In matematica molti oggetti e teoremi dipendono dalla scelta di un insieme numerico di base: spesso la scelta è fra numeri reali e complessi. L'aggettivo "complesso" è in questo caso usato per specificare questo insieme di base. Per esempio, si definiscono le matrici complesse, i polinomi complessi, gli spazi vettoriali complessi e l'algebra di Lie complessa. Esistono anche il teorema di Sylvester complesso e il teorema spettrale complesso.
Formalmente un numero complesso si può definire come una coppia ordinata di numeri reali formula_19. Si definiscono quindi somma e prodotto di due numeri complessi nel modo seguente:
Con queste due operazioni, l'insieme dei numeri complessi risulta essere un campo, che viene indicato con formula_22.
Il numero complesso formula_23 viene identificato con il numero reale formula_24, mentre il numero formula_25 è chiamato unità immaginaria ed è descritto con la lettera formula_26. L'elemento 1 è l'elemento neutro per la moltiplicazione, mentre si verifica che:
Ogni numero complesso formula_28 si scrive facilmente come combinazione lineare nel modo seguente:
I numeri "a" e "b" sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di "z". Questa rappresentazione dei numeri complessi rende agevole lo svolgimento delle operazioni di somma e prodotto. Ad esempio:
Usando gli strumenti della teoria dei campi, il campo dei numeri complessi può essere definito come la chiusura algebrica del campo dei numeri reali. 
Usando gli strumenti della teoria degli anelli, può anche essere introdotto come l'anello quoziente dell'anello dei polinomi reali con una variabile tramite l'ideale generato dal polinomio formula_31:
Questo è effettivamente un campo perché formula_31 è irriducibile. La radice del polinomio formula_31 è l'unità immaginaria formula_26, quindi l'anello quoziente è isomorfo a formula_36.
Un numero complesso può essere visto come un punto del piano cartesiano, chiamato in questo caso piano di Gauss. Una rappresentazione di questo tipo si chiama diagramma di Argand-Gauss. Nella figura si vede che
essendo formula_38 e formula_39 funzioni trigonometriche.
Le formule inverse sono:
Usando la formula di Eulero, possiamo esprimere formula_45 come
tramite la funzione esponenziale. Qui formula_47 è il modulo (o valore assoluto o norma) e formula_48 (detta anomalia) è l'argomento di formula_45. L'argomento è determinato da formula_45 se è inteso nell'intervallo formula_51, altrimenti è definito solo a meno di somme con formula_52 per qualche intero formula_53.
Il valore assoluto (modulo) ha le seguenti proprietà:
valide per tutti i numeri complessi formula_45 e formula_60.
La prima proprietà è una versione della disuguaglianza triangolare.
La distanza fra due punti del piano complesso è data semplicemente da
Il complesso coniugato del numero complesso formula_62 è definito come 
A volte è anche indicato come formula_64. Nel piano complesso formula_65 è ottenuto da formula_45 per simmetria rispetto all'asse reale. Valgono le seguenti proprietà:
Conoscendo il valore assoluto e il coniugato di un numero complesso formula_74 è possibile calcolare il suo reciproco formula_75 attraverso la formula:
Ovvero, se formula_62 otteniamo
Valgono le relazioni
La somma di due numeri complessi equivale alla usuale somma fra vettori nel piano complesso.
Vale
In realtà il prodotto non è che il risultato di un normalissimo prodotto di binomi. Usando la rappresentazione 
e le proprietà della funzione esponenziale, il prodotto di due numeri complessi 
assume la forma più agevole
In altre parole, nel prodotto di due numeri complessi, si sommano gli argomenti e si moltiplicano i moduli.
Questa affermazione consente di dimostrare la regola dei segni del prodotto: formula_85. Difatti se si considera che l'argomento di un numero reale negativo è 180º, moltiplicando tra loro due di questi numeri si ottiene un numero con argomento 360° e quindi 0° che è l'argomento di un numero reale positivo.
Una moltiplicazione per un numero complesso può essere vista come una simultanea rotazione e omotetia. Moltiplicare un vettore o equivalentemente un numero complesso per l'elemento formula_26 produce una rotazione di 90°, in senso antiorario, del numero complesso di partenza. Ovviamente la moltiplicazione per formula_26 e poi ancora per formula_26 produce una rotazione di 180º; ciò è logico visto che formula_9.
Il rapporto fra due numeri complessi formula_90 e formula_91 è dato da:
Usando la rappresentazione 
il rapporto di due numeri complessi è
Rappresentando ogni numero complesso come
è facile descrivere la potenza formula_96-esima
per ogni formula_96 intero. Con una notazione lievemente differente:
Si ottiene la formula di De Moivre:
Inoltre, ogni numero complesso ha esattamente formula_101 radici formula_101-esime: in particolare non esiste un modo univoco di definire la radice quadrata di un numero complesso.
La funzione esponenziale complessa formula_103 è definita facendo uso delle serie e degli strumenti del calcolo infinitesimale, nel modo seguente:
In particolare, se formula_105 si ottiene
facendo uso della formula di Eulero.
Il logaritmo naturale formula_107 di un numero complesso formula_108 è per definizione un numero complesso formula_109 tale che
Se 
il logaritmo di formula_108 è un qualsiasi numero complesso formula_109 del tipo
dove formula_115 è un numero intero qualsiasi. Poiché il valore formula_115 è arbitrario, un numero complesso ha una infinità di logaritmi distinti, che differiscono per multipli interi di formula_117. 
Se formula_118 si può scrivere
In questo caso, se formula_45 è reale (cioè se formula_121) fra gli infiniti valori ce n'è uno reale, che corrisponde all'usuale logaritmo di un numero reale positivo.
Supponiamo di voler individuare i numeri complessi z tali che 
La prima possibilità è quella di porre formula_123 e di uguagliare la parte reale di formula_124 alla parte reale del coniugato di formula_125 e analogamente per le rispettive parti immaginarie. Seguendo questa strada si ottengono due equazioni:
da cui si ricavano 7 soluzioni:
In alternativa, si può usare la rappresentazione polare
e uguagliare le norme e gli argomenti di formula_124 e del coniugato di formula_125, ottenendo anche qui due equazioni: 
con formula_134. Ovviamente si ottengono le stesse soluzioni, per esempio 
Diversamente dai numeri reali, i numeri complessi non possono essere ordinati in modo compatibile con le operazioni aritmetiche. Non è cioè possibile definire un ordine tale che
come avviene con i numeri reali. Quindi non ha senso chiedere ad esempio se formula_1 è maggiore o minore di formula_139, né studiare disequazioni nel campo complesso. Infatti in ogni campo ordinato tutti i quadrati devono essere maggiori o uguali a zero: per costruzione dell'unità immaginaria, invece formula_4.
Ciò non deve essere confuso con il dire che l'insieme dei numeri complessi non può essere totalmente ben ordinato. Infatti i numeri complessi hanno, ad esempio, un ordinamento in termini di ordine lessicografico, e costituiscono quindi un insieme ordinabile (come ogni insieme in ZFC stante l'assioma della scelta), ma non formano un campo ordinato (per la ragione di cui sopra) né una struttura algebrica ordinabile rispetto alla metrica indotta da una norma. 
Quando si disegna una funzione nel piano cartesiano il cui codominio contiene numeri dell'insieme immaginario, tali numeri non possono essere rappresentati da una coppia di coordinate formula_141, poiché essendo formula_142 complesso non può avere ordinamento rispetto alla retta formula_142.
L'insieme formula_144 è contemporaneamente uno spazio vettoriale complesso a una dimensione (come tutti i campi), e uno spazio vettoriale reale a due dimensioni. In quanto spazio vettoriale reale a dimensione finita è inoltre uno spazio normato completo, cioè uno spazio di Banach, e più in particolare uno spazio di Hilbert.
Una "radice complessa" di un polinomio formula_145 a coefficienti reali è un numero complesso formula_108 tale che formula_147. Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce che ogni polinomio di grado formula_101 ha esattamente formula_101 soluzioni complesse, contate con molteplicità. Questo risultato indica che i numeri complessi sono (a differenza dei reali) un campo algebricamente chiuso.
Lo studio delle funzioni con variabili complesse è detto analisi complessa e trova largo impiego nella matematica applicata e nella teoria dei numeri, oltre che in altre branche della matematica, della fisica e dell'ingegneria. Spesso, le dimostrazioni più semplici per gli enunciati dell'analisi reale o persino della teoria dei numeri impiegano tecniche di analisi complessa (vedi teorema dei numeri primi per un esempio). Diversamente dalle funzioni reali, che sono rappresentate comunemente come grafici bidimensionali, le funzioni complesse hanno grafici a quattro dimensioni e spesso vengono rappresentate come grafici colorati dove il colore sopperisce alla dimensione mancante (si veda, ad esempio, la voce Immagini conformi). Si possono anche usare delle animazioni per mostrare la trasformazione dinamica della funzione complessa del piano complesso.
I numeri complessi sono presenti in tutta la matematica, e sono protagonisti di interi settori, come l'analisi complessa o la geometria algebrica. Elenchiamo qui soltanto alcune applicazioni dei numeri complessi a settori della matematica in cui questi non hanno un ruolo dominante.
I numeri complessi sono utilizzati per la risoluzione delle equazioni differenziali associate al moto di tipo vibratorio dei sistemi meccanici. Sono molto usati anche nell'ingegneria elettrica, soprattutto per rappresentare lo sfasamento tra reattanza e resistenza.
I numeri complessi vengono utilizzati nell'analisi dei segnali e in tutti i campi dove si trattano segnali che variano sinusoidalmente nel tempo, o anche semplicemente periodici. Il valore assoluto di |"z"| è interpretato come l'ampiezza del segnale mentre l'argomento di "z" è interpretato come la fase. I numeri complessi rendono possibile anche l'analisi di Fourier, che rende possibile scomporre un generico segnale tempo-invariante in una somma di infinite sinusoidi: ogni sinusoide è scritta come un singolo numero complesso
dove ω è la pulsazione della sinusoide e "z" la sua ampiezza.
Nell'ingegneria elettrica ed elettronica vengono utilizzati per indicare la tensione e la corrente. L'analisi dei componenti resistivi, capacitivi e induttivi è stata unificata con l'introduzione dei numeri complessi, che riassumono tutte e tre queste componenti in una sola entità detta impedenza, semplificando notevolmente i calcoli. Possono esprimere delle relazioni che tengono conto delle frequenze e di come i componenti varino il loro comportamento al variare della frequenza. In questo tipo di calcoli si usa tradizionalmente la lettera "j" per indicare l'unità immaginaria, dato che la "i" è riservata alla corrente: i primi trattati di elettrotecnica, all'inizio del XX secolo, stabilivano "j" = "-i", cioè l'unità immaginaria nelle formule usate per l'elettrotecnica era il negativo di quella usata dai matematici. L'uso è stato mantenuto nel tempo, e questo dettaglio, sia pure ignoto ai più, è parzialmente vero anche oggi. Anche se, la stragrande maggioranza delle volte, nella letteratura tecnica con "j" oramai si intende l'unità immaginaria stessa, per cui "j"="i"
Il processo di estensione del campo R dei numeri reali al campo C dei numeri complessi è noto come costruzione di Cayley-Dickson. Esso può essere portato oltre a dimensioni più elevate, ottenendo i quaternioni H, gli ottetti (o ottonioni) O e i sedenioni, i quali costituiscono, rispettivamente, delle algebre a "4", "8", "16" dimensioni sul campo dei numeri reali.
In questo contesto, i numeri complessi sono stati chiamati binarioni.
Le algebre prodotte da questo processo sono note come algebre di Cayley-Dickson e, poiché estendono i numeri complessi, vanno a costituire una famiglia dell'insieme dei cosiddetti numeri ipercomplessi, il quale, tuttavia, include anche la famiglia delle algebre di Clifford.


In matematica, i numeri reali possono essere descritti in maniera non formale come numeri ai quali è possibile attribuire uno sviluppo decimale finito o infinito, come formula_1 I numeri reali possono essere positivi, negativi o nulli e comprendono, come casi particolari, i numeri interi (come formula_2), i numeri razionali (come formula_3) e i numeri irrazionali algebrici (come formula_4) e trascendenti (come formula_5 ed formula_6). Un numero reale razionale presenta uno sviluppo decimale finito o periodico; ad esempio formula_7 è razionale. L'insieme dei numeri reali è generalmente indicato con la lettera R o formula_8.
I numeri reali possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, detta "retta numerica" o "retta reale".
La definizione formale dei numeri reali ha rappresentato uno degli sviluppi più significativi del XIX secolo. Tra le definizioni maggiormente adottate oggi figurano le classi di equivalenza di successioni di Cauchy di numeri razionali, le sezioni di Dedekind, una ridefinizione del termine "rappresentazione decimale" e una definizione assiomatica come unico "campo archimedeo completo ordinato".
I termini "reale" e "immaginario" sono stati introdotti ne "La Géometrie" di René Descartes (1637), relativamente allo studio delle radici delle equazioni. Per estensione diversi autori hanno cominciato a parlare di "numeri reali" e "numeri immaginari". Nel 1874 appare un articolo fondamentale di Georg Cantor nel quale l'autore prende in considerazione l'insieme dei numeri reali dimostrando che tale insieme non è numerabile.
I numeri reali possono rappresentare qualsiasi grandezza fisica, come il prezzo di un prodotto, la distanza temporale fra due eventi, l'altitudine (positiva o negativa) di un sito geografico, la massa di un atomo o la distanza fra galassie. Gran parte dei numeri reali è usata quotidianamente, ad esempio in economia, informatica, matematica, fisica o ingegneria.
Di fatto, la maggior parte delle volte sono usati solo alcuni sottoinsiemi:
Questi insiemi, benché infiniti, hanno tutti cardinalità numerabile e sono quindi un'infinitesima parte dell'insieme dei numeri reali.
Ogni numero reale può essere identificato dalla sua numerazione decimale, ovvero mediante l'elenco delle cifre decimali della sua parte intera e, separate da una virgola, l'elenco delle cifre della parte frazionaria. In generale il numero di cifre decimali della parte frazionaria può essere infinito. Per questo in pratica il numero reale viene espresso presentando solo le prime cifre decimali come ad esempio nella scrittura formula_9 dove i tre punti esprimono il fatto che ci sono altre, infinite, cifre. Con questo procedimento di approssimazione è possibile presentare un numero razionale arbitrariamente vicino al numero reale in questione. Più sono le cifre decimali, più il numero razionale è vicino al numero reale che si vuole rappresentare, e maggiore quindi è la precisione dell'approssimazione. Ad esempio, pi greco può essere approssimato come
La rappresentazione decimale, molto utile nelle scienze applicate, presenta molti difetti dal punto di vista matematico, ad esempio:
Per questo motivo i matematici preferiscono definire e trattare i numeri reali con altre notazioni più astratte.
Sui numeri reali è possibile fare tutte le operazioni definite per i razionali, quali somma, differenza, prodotto, divisione per un numero diverso da zero ed elevamento a potenza con base positiva. Tali operazioni possono essere definite tramite il calcolo infinitesimale oppure è possibile estendere ai numeri reali, mediante approssimazione, le definizioni delle medesime operazioni date sui numeri razionali.
Dal punto di vista fisico, ogni esperimento è soggetto in modo intrinseco a un errore e quindi questo tipo di rappresentazione approssimata dei numeri reali non causa ulteriori problemi.
In informatica, i computer possono solo approssimare i numeri reali con numeri razionali: queste approssimazioni sono realizzate ad esempio in modo efficiente tramite la scrittura in virgola mobile. Alcuni programmi riescono a trattare alcuni numeri non razionali in modo esatto: ad esempio alcuni numeri algebrici possono essere descritti utilizzando la loro descrizione algebrica (come per esempio formula_10) piuttosto che la loro approssimazione decimale.
Più in generale, l'informatica può trattare in modo preciso solo i numeri "calcolabili": un numero reale è calcolabile se esiste un algoritmo che produce le sue cifre. Poiché esiste un'infinità numerabile di algoritmi ma un'infinità non numerabile di numeri reali, "quasi tutti" i numeri reali non sono calcolabili.
In matematica, i numeri reali giocano un ruolo fondamentale, e vengono continuamente manipolati, nonostante gran parte di questi non siano calcolabili. Il costruttivismo è una corrente matematica che accetta l'esistenza solo dei reali calcolabili.
La necessità di dare un nome ad alcune grandezze misurabili data dell'antichità. La prima risposta, realizzata dai Sumeri e nell'antico Egitto, fu quella di costruire le frazioni (⁄). Questo strumento permise subito la misura di qualsiasi grandezza positiva con precisione arbitraria.
La prima formalizzazione matematica nota è quella di Euclide nel III secolo a.C. Negli Elementi di Euclide, la geometria è formalizzata con assiomi, teoremi e dimostrazioni. Qui i numeri sono messi in corrispondenza con le lunghezze dei segmenti.
L'approccio di Euclide mette in evidenza che i numeri dell'epoca (le frazioni, cioè i numeri razionali) non potevano svolgere direttamente il ruolo di rappresentare le lunghezze di segmenti.
Un caso particolare del teorema di Pitagora mostra infatti che la lunghezza formula_11 dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti hanno lunghezza formula_12, è tale che
D'altra parte, è facile mostrare che una tale formula_11 non è esprimibile come frazione: un risultato che risale alla scuola pitagorica ed era ben noto a Euclide. Una dimostrazione del risultato pitagorico, citata da Paul Erdős come una delle più belle di tutta la matematica, è mostrata a destra.
Per risolvere l'apparente contraddizione Euclide, nel V libro degli "Elementi", sviluppa una raffinata teoria dei rapporti tra grandezze (anche tra loro incommensurabili). Occorreva per questo innanzitutto avere un criterio per giudicare l'eventuale uguaglianza di due rapporti tra incommensurabili. Euclide fornisce un tale criterio nelle definizioni 4-9 del V libro, che riportiamo in una forma leggermente modernizzata nelle notazioni:
Date quattro grandezze formula_15, si dice che formula_16 se e solo se per ogni coppia di naturali, formula_17, formula_18, si verifica sempre una delle seguenti tre possibilità:
Grazie alla definizione precedente di uguaglianza tra rapporti anche i rapporti tra incommensurabili divennero un legittimo oggetto di studio della matematica e la loro eventuale uguaglianza era decisa semplicemente confrontando multipli interi delle grandezze considerate. In altre parole ogni rapporto tra incommensurabili era caratterizzato dal suo comportamento rispetto a tutte le coppie di naturali.
Altri sviluppi della matematica ellenistica che anticiparono in parte la moderna teoria dei reali furono quelli presenti nel metodo che fu poi detto "di esaustione"; ricordiamo che anche il primo calcolo di somme di serie risale ad Archimede (che sommò la serie geometrica di ragione formula_25).
Con l'ausilio delle frazioni i greci potevano esprimere con precisione arbitraria qualsiasi numero reale. L'assenza di un sistema di numerazione adeguato rendeva però difficili le operazioni elementari fra queste quantità, quali ad esempio la somma o la divisione.
Si deve attendere fino al V secolo per vedere finalmente riconosciuto lo zero come numero dalla scuola indiana, e per lo sviluppo del sistema di numerazione decimale.
Con il sistema di numerazione decimale compare un nuovo problema. Con questo sistema, ogni frazione possiede uno sviluppo decimale "periodico" ovvero la successione di decimali reitera all'infinito la stessa sequenza di numeri. Che significato dare a un oggetto avente uno sviluppo non periodico? Un esempio è il seguente
Nella seconda metà del XVII secolo, si assiste a un interessamento straordinario da parte dei matematici al calcolo delle serie e successioni. Tra questi, Nicolaus Mercator, i Bernoulli, James Gregory, Gottfried Leibniz lavorano su delle serie che sembrano convergere a un limite non razionale, come ad esempio:
Inoltre Joseph Liouville mostra nel 1844 l'esistenza di numeri trascendenti, cioè di numeri che non sono radici di nessun polinomio a coefficienti interi. Non è quindi sufficiente aggiungere i numeri algebrici ai razionali per ottenere "tutti i numeri".
Durante la seconda parte del XVII secolo, Isaac Newton e Gottfried Leibniz inventano una nuova branca della matematica, chiamata adesso analisi matematica, e conosciuta all'epoca come calcolo infinitesimale. Questa raggiunge subito la massima notorietà perché alla base di una nuova teoria fisica universale: la meccanica classica e la teoria della gravitazione universale.
Il calcolo infinitesimale necessita di un insieme di numeri più grande dei razionali, che "comprenda tutti i buchi", in modo da stare tutti su una retta, detta "retta reale".
Nel linguaggio moderno, la proprietà necessaria al calcolo è la completezza, e può essere espressa nel modo seguente:
Tale nozione, introdotta successivamente proprio da Cauchy, è estremamente importante in tutti i settori della matematica, e sarà anche all'origine della topologia all'inizio del XX secolo.
Il calcolo infinitesimale permette un'intuizione sempre più precisa sulla topologia dei numeri. Sarà necessario un ulteriore secolo per formalizzare in modo preciso l'insieme dei numeri reali, cioè per "tappare i buchi" lasciati dai razionali.
Come spesso accade in matematica, quando il problema è maturo, la soluzione arriva contemporaneamente da due ricercatori.
Il primo ad affrontare con successo la costruzione dei numeri reali è Augustin-Louis Cauchy. Il suo approccio resta il più fruttuoso, perché si applica anche ad altri casi. La sua idea è la seguente: una successione "dovrebbe" convergere se gli elementi sono (dopo un certo punto) arbitrariamente vicini fra loro: una tale successione è oggi detta successione di Cauchy.
Questa idea si traduce in una definizione rigorosa dei numeri reali solo verso la fine del XIX secolo, grazie ai lavori di Cantor e Dedekind nel 1872. Quest'ultimo propone in "Was sind und was sollen die Zahlen" (cosa sono e cosa devono essere i numeri) un metodo che sfrutta la relazione d'ordine fra le frazioni. La sua idea consiste nell'introdurre i reali non razionali tramite sottoinsiemi di razionali, i cosiddetti "tagli di Dedekind": ad esempio, la radice di 2 è rappresentata dall'insieme di tutti i numeri razionali il cui quadrato è minore di formula_30. Vi è un evidente rapporto tra la definizione di Dedekind e l'antica definizione di Euclide, ma anche una profonda differenza: mentre per Euclide e per gli altri matematici greci l'oggetto privilegiato di studio erano le grandezze e solo considerando i loro rapporti si trovavano di fronte a qualcosa di parzialmente analogo ai nostri numeri reali, all'epoca di Dedekind le grandezze numeriche avevano assunto da tempo un ruolo di protagonisti autonomi.
Sia formula_8 l'insieme di tutti i numeri reali. Allora:
L'ultima proprietà è quella che differenzia i reali dai razionali.
Per esempio, l'insieme dei numeri razionali il cui quadrato è minore di formula_30 ha un maggiorante razionale (per esempio formula_56) ma l'estremo superiore, che è il minore dei maggioranti, non è razionale in quanto la radice quadrata di formula_30 non è razionale.
I numeri reali son definiti in modo univoco dalle proprietà precedenti.
Detto in modo più preciso, dati due campi ordinati completi formula_58 e formula_59, esiste un unico isomorfismo da formula_58 a formula_59. Questa proprietà permette di pensare a essi come a un unico oggetto matematico.
L"'insieme reale esteso" si ottiene ampliando l'insieme dei numeri reali con due elementi aggiuntivi, indicati con formula_62 e formula_63:
La relazione d'ordine si estende a questi nuovi punti ponendo:
Alcune delle normali operazioni di somma e prodotto possono essere estese all'insieme reale esteso, ma non tutte. In particolare tale insieme non è più un campo e neppure un gruppo.
L'insieme reale esteso è però dotato di una topologia che estende quella dei numeri reali: un intorno di formula_63 (risp. formula_62) è una semiretta destra (risp. sinistra). Questo insieme è quindi spesso usato per definire in modo più uniforme il concetto di limite, e considerare alla stessa stregua le successioni che convergono a un numero reale o all'infinito.
La ragione principale che ha portato all'introduzione dei reali è che essi costituiscono uno spazio "senza buchi". Più precisamente, i reali sono uno spazio metrico completo. La completezza può essere espressa in vari modi, tutti equivalenti all'assioma di Dedekind descritto sopra.
Nei numeri reali vale, per definizione di completezza, il fatto seguente:
Ricordiamo che:
In uno spazio metrico qualsiasi, ogni successione convergente è una successione di Cauchy. Quando è vero anche l'opposto (come nei numeri reali), lo spazio si dice "completo".
L'insieme dei razionali non è completo.
Per esempio, la successione delle prime formula_18 cifre della radice quadrata di formula_30, ossia
è di Cauchy ma non converge a un numero razionale.
La completezza dei numeri reali può essere espressa nel modo seguente: dati due sottoinsiemi formula_83 non vuoti di formula_8 tali che
esiste un numero reale formula_86 tale che
Per i numeri reali vale l'"assioma di Archimede": dati due numeri formula_88 reali positivi, con formula_89, esiste un numero naturale formula_18 tale che
Un campo ordinato in cui vale questo assioma è detto "archimedeo". David Hilbert definisce il campo dei numeri reali come il ""campo completo archimedeo"": con questa frase, Hilbert sottolinea il fatto che i numeri reali formano il "più grande" campo archimedeo, nel senso che ogni altro campo archimedeo è contenuto in formula_8. In questo senso, formula_8 è "completo" secondo Hilbert.
Questo significato di completezza è il più vicino alla costruzione dei numeri reali a partire dai numeri surreali, poiché la costruzione comincia con una classe che contiene ogni campo ordinato (i surreali) e seleziona da essa il più grande sottocampo archimedeo.
A differenza dei numeri razionali, i reali non formano un insieme numerabile; l'insieme dei numeri reali è "strettamente più grande" di quello dei numeri naturali (pur considerando che entrambi sono infiniti). Formalmente, questo equivale a dire che non esiste una corrispondenza biunivoca fra i numeri reali e i numeri naturali.
Questo fatto distingue i numeri reali dagli altri insiemi numerici normalmente utilizzati. Infatti gli insiemi dei numeri naturali, razionali, algebrici hanno tutti la stessa cardinalità (ovvero possono essere messi in corrispondenza biunivoca), mentre l'insieme dei reali ha una "cardinalità superiore": esiste una funzione iniettiva dai numeri razionali ai reali, ma non viceversa.
In altre parole, nel tappare tutti i buchi lasciati dai numeri razionali si deve aggiungere una "tale quantità" di numeri nuovi da farne crescere la cardinalità. Questo fatto può essere dimostrato con il procedimento diagonale di Cantor.
Effettivamente, l'insieme formula_8 ha cardinalità 2, la stessa dell'insieme delle parti di un insieme numerabile: ovvero, la stessa cardinalità dell'insieme di tutti i sottoinsiemi dei numeri naturali.
Poiché anche i numeri algebrici hanno cardinalità numerabile, "quasi tutti" i numeri reali sono trascendenti.
L'ipotesi del continuo sostiene la non esistenza di una cardinalità intermedia fra quella degli interi e quella dei reali. Nell'ambito della teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel, che è quella comunemente usata, questa ipotesi non può essere né dimostrata né confutata, cioè è indipendente dai suoi assiomi.
L'insieme formula_95 dei numeri razionali è denso nell'insieme dei numeri reali.
Siano formula_96 con formula_97, allora formula_98
formula_99 e formula_100 sono discordi: formula_101formula_102.
formula_99 e formula_100 sono ambedue positivi: formula_105
Dato che formula_105 si ha che formula_107 e che anche formula_108 quindi per la proprietà archimedea dei numeri reali formula_109 quindi:
Sia formula_115, formula_116, quindi per la proprietà archimedea dei numeri reali formula_117 infatti formula_118. Per le proprietà di buon ordinamento dei numeri naturali formula_119 ammette minimo ovvero formula_120 quindi:
formula_99 e formula_100 sono ambedue negativi: formula_131
formula_132formula_133 come nel caso appena illustrato formula_134 moltiplicando per −1 si invertono i segni della disuguaglianza e si ha che formula_135, formula_136.
Definito l'insieme formula_137 dei numeri irrazionali si dimostra che anch'esso è denso in formula_8.
Siano formula_139 con formula_97, allora formula_141.
Per la proprietà di compatibilità della relazione d'ordine fissata su formula_142 rispetto all'operazione di somma algebrica se formula_97 allora formula_144formula_145 e formula_146 quindi per la proprietà di densità dei numeri razionali nell'insieme dei numeri reali formula_147, aggiungendo formula_4 a tutti i membri della disuguaglianza si ha che formula_149 e che quindi formula_150.
I numeri reali formano uno spazio metrico: la distanza tra formula_35 e formula_36 è definita come il valore assoluto formula_153. Come accennato sopra, formula_8 risulta essere uno spazio metrico completo.
La metrica appena definita induce su formula_8 una struttura di spazio topologico. Un sottoinsieme formula_119 di formula_8 è aperto se e solo se è unione di intervalli aperti formula_158, dove formula_99 e formula_100 possono essere anche formula_161 o formula_63.
Lo spazio formula_8 è connesso ma non compatto. Lo spazio
è comunque localmente compatto, ed è una varietà differenziale di dimensione 1. Risulta essere omeomorfo a un qualsiasi intervallo aperto formula_158.
Lo spazio formula_8 è contraibile, e quindi semplicemente connesso, con tutti i gruppi di omotopia banali.
I numeri reali sono il prototipo di spazio vettoriale reale di dimensione uno: la moltiplicazione per uno scalare non è altro che la moltiplicazione usuale. La struttura lineare è compatibile con la topologia sopra descritta, dunque formula_8 è uno spazio vettoriale topologico.
L'insieme formula_8 può anche essere pensato come uno spazio vettoriale sul campo formula_168 dei numeri razionali; in questo caso risulta avere una dimensione infinita (così come il campo dei numeri algebrici).
Inoltre, la moltiplicazione funge anche da prodotto scalare, rendendo formula_8 uno spazio di Hilbert e quindi uno spazio normato, in cui la norma non è altro che la funzione valore assoluto.
I numeri reali sono dotati di una misura canonica, la misura di Lebesgue. La misura dell'intervallo formula_158 si definisce come formula_171. Qualsiasi sottoinsieme numerabile (come ad esempio quello dei numeri razionali), ha misura nulla. Esistono anche sottoinsiemi di misura nulla non numerabili, come l'insieme di Cantor.
Ci sono in formula_8 anche insiemi non misurabili, ma la loro costruzione necessita dell'assioma della scelta: un esempio è l'insieme di Vitali.
La misura di Lebesgue è la misura di Haar della struttura di formula_8 come gruppo topologico, normalizzata in modo che l'intervallo [0,1] abbia misura 1.
Ogni numero reale non negativo ha la sua radice quadrata in formula_8, i reali negativi no. Questo mostra che l'ordinamento in formula_8 è determinato dalla sua struttura algebrica.
Ogni polinomio di grado dispari ha almeno una radice. Esistono comunque polinomi senza radici reali, e questo fa di formula_8 un campo non algebricamente chiuso.
La chiusura algebrica di formula_8 (ovvero il più piccolo campo algebricamente chiuso che lo contiene) è il campo dei numeri complessi.
L'assioma di Dedekind si riferisce a sottoinsiemi di reali e quindi è un predicato della logica del secondo ordine. In generale, non è possibile caratterizzare i reali usando solo la logica del primo ordine.
Per il teorema di Löwenheim-Skolem (debole), esiste un insieme denso numerabile di numeri reali che soddisfa gli stessi predicati nella logica del prim'ordine dei numeri reali.
L'insieme dei numeri iperreali è più grande di formula_8 ma soddisfa gli stessi predicati della logica del prim'ordine di formula_8. I campi ordinati che soddisfano gli stessi predicati della logica del prim'ordine di formula_8 sono chiamati modelli non standard di formula_8. Questo è ciò che permette all'analisi non standard di funzionare; dimostrando un predicato del prim'ordine in qualche modello non standard (che può essere più semplice che dimostrarlo in formula_8), se ne deduce che lo stesso predicato è vero anche per formula_8.
I numeri reali possono essere generalizzati ed estesi in numerose direzioni. Forse l'estensione più naturale è quella dei numeri complessi, che formano un campo algebricamente chiuso. Tuttavia, rispetto ai reali, essi perdono la struttura di ordinamento, ciò significa che i numeri complessi non sono un campo ordinato. I numeri complessi hanno innumereveli applicazioni in fisica: per esempio, in elettrotecnica e in elettronica sono alla base del metodo simbolico che semplifica enormemente lo studio dei circuiti elettrici in regime sinusoidale, così come sono fondamentali in meccanica quantistica, poiché questa teoria è sviluppata in uno spazio di Hilbert a dimensione infinita sul campo dei complessi e, inoltre, l'unità immaginaria compare nell'equazione di Schrödinger.
Il campo dei numeri complessi è l'algebra ottenuta dal campo dei numeri reali mediante la costruzione di Cayley-Dickson. Proseguendo con tale costruzione, si ottengono algebre successive sul campo dei numeri reali, ciascuna di dimensione via via doppia rispetto all'algebra precedente, al prezzo della progressiva perdita di alcune proprietà. Dopo i numeri complessi, si ottengono, in sequenza, i quaternioni, gli ottonioni e i sedenioni. Tutte queste algebre costituiscono la famiglia delle algebre di Cayley-Dickson, che è inclusa nell'insieme dei cosiddetti numeri ipercomplessi, il quale, tuttavia, include anche la famiglia delle algebre di Clifford.
Un'altra possibile estensione per i numeri reali è rappresentata dai numeri duali che, sotto alcuni aspetti, mostrano proprietà complementari rispetto a quelle dei numeri complessi e che, a differenza di questi ultimi, sono caratterizzati da un'unità immaginaria nilpotente. Inoltre, a differenza dei numeri complessi, i numeri duali non costituiscono un campo, ma costituiscono semplicemente un'algebra associativa e commutativa dotata di unità, introducendo le operazioni di somma e di prodotto. Anche i numeri duali hanno applicazioni in fisica, come un semplice esempio di superspazio, utilizzato da alcune teorie fisiche, quali la relatività generale e le teorie supersimmetriche, per descrivere la configurazione spaziale. 
Ancora un'altra possibile estensione per i numeri reali è rappresentata dai numeri complessi iperbolici, caratterizzati da un'unità immaginaria il cui quadrato è posto uguale a "1", invece che a "-1", come accade per gli ordinari numeri complessi. I numeri complessi iperbolici presentano diverse analogie con gli ordinari numeri complessi, tuttavia, a differenza di questi ultimi e come i numeri duali, non costituiscono un campo; essi costituiscono, infatti, solamente un anello. Anche i numeri complessi iperbolici trovano applicazioni in fisica: per esempio, nell'ambito della relatività ristretta, possono essere utilizzati per rappresentare le trasformazioni di Lorentz.
Esempi di campi ordinati che estendono i reali sono i numeri iperreali e i numeri surreali: entrambi contengono numeri infinitesimali e infinitamente grandi, ma non soddisfano l'assioma di Archimede descritto sopra.
Occasionalmente, come scritto sopra, gli elementi formali formula_63 e formula_62 sono aggiunti ai reali per formare la "retta numerica estesa", con una naturale topologia compatta. Questo insieme non è un campo ma mantiene molte delle proprietà dei numeri reali.
Le forme hermitiane su uno spazio di Hilbert (per esempio, le matrici quadrate complesse autoaggiunte) generalizzano i reali in molti aspetti: possono essere ordinate (non totalmente), sono complete, i loro autovalori sono reali e formano un'algebra associativa reale. Gli operatori definiti positivi corrispondono ai numeri reali positivi e gli operatori normali corrispondono ai numeri complessi.
