
La notazione scientifica (indicata anche come notazione esponenziale) è un modo conciso di esprimere numeri reali con molte cifre che altrimenti sarebbe poco conveniente rappresentare in notazione decimale. Per ottenere questo risultato si utilizzano potenze intere della base utilizzata per la notazione posizionale in uso. 
Utilizzando la notazione scientifica, per esempio, tutti i numeri in base dieci vengono rappresentati nella forma: 
"m" × 10 
("m" volte "dieci" elevato alla potenza di "n") dove l'esponente "n" è un numero intero e il coefficiente "m" è un qualsiasi numero reale. L'esponente "n" viene chiamato "ordine di grandezza" e il coefficiente "m" viene chiamato "mantissa". Il termine "mantissa" potrebbe tuttavia causare confusione, dal momento che è anche il nome della parte decimale di un logaritmo. 
La maggior parte delle calcolatrici e dei programmi per computer presentano i numeri molto grandi e molto piccoli usando la notazione scientifica. Il 10 è normalmente omesso e la lettera E è usata per indicare l'esponente: per esempio, 1,56234 E29. Da notare che questa E non ha relazioni con la costante matematica e.
In termini più generali possiamo dire che un numero "reale" formula_1 può essere rappresentato in una base formula_2 in questo modo: formula_3
Il "." è detto punto radice, mentre le prime cifre della mantissa (formula_4), sono dette cifre significative (o essenziali)
La notazione scientifica è molto utile per esprimere grandezze fisiche, dato che è possibile scrivere solo le cifre significative, rendendo leggibili testi che trattano quantità molto grandi o molto piccole in semplicità e chiarezza senza alterare il valore iniziale.
Qualsiasi numero intero può essere scritto nel formato "m" × 10 in molti modi: ad esempio, 350 può essere scritto come 3,5 × 10 o 35 × 10 o 350 × 10.
Nella notazione normalizzata, l'esponente "n" è scelto in modo che il valore assoluto di "m" rimanga almeno uno ma inferiore a dieci (1 ≤ |"m"| < 10). Quindi 350 è scritto come 3,5 × 10. Questa forma consente un facile confronto dei numeri, in quanto l'esponente "n" fornisce l'ordine di grandezza del numero. Nella notazione normalizzata, l'esponente "n" è negativo per un numero con valore assoluto compreso tra 0 e 1 (ad es. 0,5 è scritto come 5 × 10). Il 10 e l'esponente sono spesso omessi quando l'esponente è 0.
La forma scientifica normalizzata è la tipica forma di espressione di grandi numeri in molti campi, a meno che non si desideri una forma non normalizzata, come la notazione ingegneristica. La notazione scientifica normalizzata viene spesso chiamata notazione esponenziale, anche se quest'ultimo è più generale e si applica anche quando "m" non è limitato all'intervallo da 1 a 10 (come nella notazione di ingegneria per esempio) e a basi diverse da 10 (come in 3,15 × 2).
La notazione ingegneristica (spesso indicata come modalità di visualizzazione "ENG" sui calcolatori scientifici) differisce dalla notazione scientifica normalizzata in quanto l'esponente "n" è limitato a multipli di 3. Di conseguenza, il valore assoluto di "m" è compreso nell'intervallo 1 ≤ |"m"| < 1000, anziché 1 ≤ |"m"| < 10. Sebbene simile nel concetto, notazione ingegneristica è raramente chiamata notazione scientifica. La notazione ingegneristica consente ai numeri di corrispondere esplicitamente ai prefissi SI corrispondenti, il che facilita la lettura e la comunicazione orale. Ad esempio, 12,5 × 10 m possono essere letti come "dodici virgola cinque nanometri" e scritti come 12,5 nm, mentre la sua notazione scientifica equivalente a 1,25 × 10 m verrebbe probabilmente letta come "uno virgola venticinque per dieci alla meno otto metri".
Una cifra significativa è una cifra in un numero che contribuisce a migliorarne la precisione. Sono definiti significativi tutti i numeri diversi da zero, gli zeri posizionati in mezzo a cifre significative e gli zeri esplicitamente indicati come significativi. Gli zeri all'inizio ed alla fine di un numero non sono significativi perché servono unicamente a definirne l'ordine di grandezza. Quindi, 1 230 400 normalmente presenta cinque cifre significative: 1, 2, 3, 0, e 4; gli ultimi due zeri non contribuiscono ad aumentare la precisione del valore.
Quando un numero viene convertito in notazione normalizzata in base dieci, la mantissa mantiene tutte le cifre significative, mentre gli zeri all'inizio e alla fine del numero vengono scartati. Dunque 1 230 400 diventa 1,2304 × 10. Di conseguenza questa notazione rende il numero di cifre significative facilmente identificabile.


In matematica, la potenza è un'operazione che associa a una coppia di numeri formula_1 e formula_2 detti rispettivamente base ed esponente, il numero dato dal prodotto di formula_3 fattori uguali ad formula_1:
in questo contesto formula_1 può essere un numero intero, razionale o reale mentre formula_3 è un numero intero positivo. Con opportune ipotesi su formula_1 è possibile considerare anche altri valori numerici per gli esponenti, ad esempio esponenti interi (anche non positivi), razionali o reali.
Le potenze scritte nella forma formula_9 si leggono come "formula_1 elevato alla formula_3" o più semplicemente "formula_1 alla formula_3". L'esponente è usualmente rappresentato come apice immediatamente a destra della base.
Alcuni esponenti hanno un loro nome. L'esponente due è spesso indicato come "al quadrato" (un numero alla seconda rappresenta l'area di un quadrato che abbia per lato quel valore) e l'esponente formula_14 come "al cubo" (un numero alla terza rappresenta il volume di un cubo che abbia per spigolo quel valore).
Esempi:
L'operazione si estende ad formula_19 ponendo per ogni formula_20
e ad formula_3 negativi ponendo
Ad esempio,
Le seguenti proprietà sono di immediata verifica nel caso in cui gli esponenti siano numeri interi positivi:
Estraendo fino ad avere formula_27 otteniamo il seguente risultato:
formula_28
Notiamo che la definizione formula_36 risulta ora più comprensibile poiché è consistente con le proprietà appena viste, infatti:
Si noti che formula_38 è un prodotto vuoto e pertanto è uguale a formula_39
E lo stesso vale per la definizione di formula_40, infatti:
Dato un numero reale non negativo formula_1 e un numero intero positivo formula_2 si chiama radice formula_3-esima di formula_1 quel numero reale non negativo formula_46 tale che formula_47, tale numero si indica con formula_48.
Da questa definizione si ha subito che
per ogni numero reale non negativo formula_1. Quindi è ragionevole (in virtù delle proprietà delle potenze) porre
In questo modo le proprietà delle potenze sono ancora rispettate, infatti
come avviene per la radice formula_3-esima.
Più in generale la definizione di potenza può essere estesa ulteriormente, con alcune restrizioni, consentendo all'esponente di essere un numero razionale formula_54, con formula_55 e formula_56 interi primi tra loro e formula_57, se si pone:
In questo caso:
Trascurando tali restrizioni e l'ipotesi formula_55 e formula_56 primi tra loro si cade in assurdi quali:
Il passaggio errato è il terzo, in quanto formula_69 non è definito in formula_70.
È possibile estendere la definizione dell'operazione di elevamento a potenza anche ai casi in cui base ed esponente sono dei generici numeri reali (con la base però sempre positiva) facendo in modo che si conservino le regole di operazione tra potenze e che la funzione potenza risultante sia una funzione continua, e questa estensione è unica. Si può in tal modo dare senso a espressioni come formula_71 o e.
Definiamo inizialmente formula_72 con la base formula_73 e l'esponente formula_74, entrambi numeri reali.
Possiamo scrivere formula_46 nella sua rappresentazione in base formula_76 con la scrittura:
La successione formula_78 dei numeri
è una successione di numeri razionali crescente che tende a formula_46.
La potenza formula_85 ha esponente razionale, quindi è stata definita.
La successione di numeri reali
è una successione anch'essa crescente (poiché formula_73), risulta quindi naturale definire il valore di formula_72 come l'estremo superiore di tale successione:
Nel caso in cui la base fosse un numero compreso tra formula_93 e formula_94 si può definire:
poiché formula_96 in questo caso è maggiore di formula_94 e quindi il secondo membro è definito.
Difatti, essendo formula_98, si ha la seguente successione di numeri reali (considerando formula_78 come prima):
che è una successione decrescente e quindi si può porre, in questo caso, formula_104.
