
In matematica, in particolare in algebra lineare, un minore di una matrice formula_1 è il determinante di una matrice quadrata ottenibile da formula_1 eliminando alcune righe e/o colonne di formula_1.
I minori sono uno strumento utile per calcolare il rango di una matrice, e quindi per risolvere i sistemi lineari.
Una sottomatrice di una matrice formula_4, con formula_5 e formula_6 interi non negativi, è una matrice formula_7, con formula_8 e formula_9 interi tali che formula_10 e formula_11, ottenuta da formula_1 rimuovendo formula_13 righe e formula_14 colonne.
Un minore è il determinante di una sottomatrice (quadrata, cioè con formula_15). Il numero formula_8 è definito "ordine" del minore.
Un minore complementare è un minore di formula_17 ottenuto togliendo una sola riga e una sola colonna da formula_17. Si nota subito che i minori complementari sono definiti solo per matrici formula_17 quadrate, altrimenti la matrice risultante non sarebbe più quadrata e non se ne potrebbe calcolare il determinante. Il minore complementare rispetto all'elemento formula_20 di una matrice quadrata formula_17 si ottiene togliendo l'formula_22-esima riga e la formula_23-esima colonna e si indica con formula_24 o con formula_25. Se il minore complementare formula_24 viene considerato con il segno formula_27 esso è detto "complemento algebrico" o "cofattore" di formula_20.
Talvolta con "minore" si intende "sottomatrice quadrata", ma questo uso è meno comune e alcuni risultati potrebbero dover essere enunciati in modo differente. Qui e nel seguito si userà la definizione di minore come determinante.
Sia formula_17 una matrice formula_30 e siano formula_31 un sottoinsieme di formula_32 con formula_33 elementi e formula_34 un sottoinsieme di formula_35 con formula_33 elementi. Indicando con formula_37 il minore formula_38 di formula_17 che corrisponde alle righe con indice in formula_31 e colonne con indice in formula_34:
Il rango di una matrice formula_49 è uguale al massimo ordine di un minore non nullo di formula_49. Questo risultato fornisce uno strumento frequentemente utilizzato nel calcolo del rango di una matrice, ma non è molto efficiente per matrici di con elevato numero di righe e/o colonne.
La matrice dei cofattori è un'importante matrice associata ad una matrice quadrata ed è definita a partire dai suoi minori complementari.
Data una matrice ad elementi reali formula_51 e rango formula_8, allora esiste almeno un minore di ordine formula_8 non nullo e tutti i minori di ordine maggiore sono nulli.
Si consideri la matrice formula_54:
Allora alcune delle sue sottomatrici sono:
I minori di ordine formula_61 sono:
Alcuni dei minori di ordine formula_63 sono:
Infine i minori di ordine formula_65:


In algebra lineare, il determinante di una matrice quadrata formula_1 è un numero che descrive alcune proprietà algebriche e geometriche della matrice.
Esso viene generalmente indicato con formula_2 e, a volte, con formula_3. Quest'ultima notazione è più compatta, ma anche più ambigua, in quanto utilizzata talvolta per descrivere una norma della matrice.
Il determinante è un potente strumento usato in vari settori della matematica: innanzitutto nello studio dei sistemi di equazioni lineari, quindi nel calcolo infinitesimale a più dimensioni (ad esempio nello Jacobiano), nel calcolo tensoriale, nella geometria differenziale, nella teoria combinatoria, ecc.
Il significato geometrico principale del determinante si ottiene interpretando la matrice quadrata formula_1 di ordine formula_5 come trasformazione lineare di uno spazio vettoriale a formula_5 dimensioni: con questa interpretazione, il valore assoluto di formula_7 è il fattore con cui vengono modificati i volumi degli oggetti contenuti nello spazio (anche se ciò è improprio senza considerare il significato di misura). Se è diverso da zero, il segno del determinante indica inoltre se la trasformazione formula_8 preserva o cambia l'orientazione dello spazio rispetto agli assi di riferimento.
Il determinante di una matrice 2 × 2 è pari a:
Per definire il determinante di una generica matrice quadrata formula_10 si possono seguire due approcci: quello assiomatico, che definisce il determinante come l'unica quantità che soddisfa alcuni assiomi, e quello costruttivo tramite una formula esplicita. Esistono poi vari metodi di calcolo che risultano più agevoli a seconda del contesto.
Sia formula_11 lo spazio vettoriale delle matrici quadrate formula_12 a valori nel campo formula_13 (ad esempio, il campo dei numeri reali o complessi).
Il determinante è l'unica funzione formula_14 avente le proprietà seguenti: 
Le proprietà elencate hanno un significato geometrico: sono le proprietà che deve verificare una funzione il cui valore assoluto è il volume del poliedro individuato dai vettori riga della matrice formula_17 e il cui segno è positivo se e solo se tali vettori sono equiorientati alla base canonica.
Il determinante di una matrice formula_28 può essere definito in un modo più costruttivo, tramite la "formula di Leibniz":
Nella formula, formula_30 è l'insieme di tutte le permutazioni formula_31 dell'insieme numerico formula_32 e formula_33 denota il segno della permutazione (formula_34 se formula_31 è una permutazione pari, −1 se è dispari).
Da questa formula si vede che il numero di elementi della sommatoria è uguale a formula_36 (la cardinalità di formula_37).
Per esempio, il determinante di una matrice () è
In particolare:
Quest'ultima formula può essere memorizzata tramite la regola di Sarrus (che non è però estendibile ai casi formula_46).
La complessità della definizione costruttiva (comprese la generazione delle permutazioni) è elevata:
La definizione costruttiva del determinante è spesso complicata da usare per un calcolo concreto, perché si basa su una somma di ben formula_36 addendi. Esistono altri algoritmi che consentono di calcolare il determinante più facilmente. Ciascun metodo ha una efficienza variabile, dipendente dalla grandezza della matrice e dalla presenza di zeri.
Il determinante di una matrice 2 × 2 è pari a:
Il valore assoluto di questa espressione è pari all'area del parallelogramma con vertici in formula_50 e formula_51. Il segno del determinante (se questo è diverso da zero) dipende invece dall'ordine ciclico con cui compaiono i vertici del parallelogramma (il segno è negativo se il parallelogramma è stato "ribaltato", e positivo altrimenti).
Come spiegato più sotto, questa proprietà geometrica si estende anche in dimensioni maggiori di 2: il determinante di una matrice formula_52 è ad esempio il volume del poliedro i cui vertici si ricavano dalle colonne della matrice con lo stesso procedimento visto.
Il determinante di una matrice 3 × 3 è pari a:
Un metodo mnemonico per ricordare questa formula, espresso dalla regola di Sarrus (questo metodo non si estende a matrici più grandi), prevede di calcolare i prodotti dei termini sulle diagonali "continue". Ripetendo a destra della matrice le sue prime due colonne:
i prodotti delle componenti sulle 3 "diagonali" che partono dall'alto a sinistra (diagonali principali) sono formula_55, formula_56 e formula_57, mentre sulle 3 "diagonali" che partono dal basso a sinistra (diagonali secondarie) si trovano formula_58, formula_59, formula_60. Il determinante della matrice è esattamente la differenza tra la somma dei primi tre termini formula_61 e la somma degli ultimi tre formula_62.
Notare che il valore del determinante equivale in questo caso al prodotto misto tra i vettori:
e il suo valore assoluto equivale al volume del parallelepipedo che ha i tre vettori come spigoli.
Lo sviluppo di Laplace è un metodo di calcolo del determinante, che risulta efficiente solo per matrici molto piccole o contenenti un gran numero di zeri. Si procede scegliendo una riga, la formula_64-esima, tramite la formula:
dove formula_66 è il complemento algebrico della coppia formula_67, cioè formula_66 è data da formula_69 per il determinante (minore) di ordine formula_70 ottenuto dalla matrice formula_8 eliminando la riga formula_64-esima e la colonna formula_73-esima.
Esiste uno sviluppo analogo anche lungo la formula_73-esima colonna.
La definizione assiomatica fornisce un altro utile strumento di calcolo del determinante, che si basa su questi due principi:
Supponiamo di voler calcolare il determinante di:
Si può procedere direttamente tramite la definizione costruttiva:
Alternativamente si può utilizzare lo sviluppo di Laplace secondo una riga o una colonna. Conviene scegliere una riga o una colonna con molti zeri, in modo da ridurre gli addendi dello sviluppo; nel nostro caso sviluppiamo secondo la seconda colonna:
Lo sviluppo di Laplace può essere combinato con alcune mosse di Gauss. Ad esempio qui risulta particolarmente vantaggioso sommare la seconda colonna alla prima:
Questa mossa non cambia il determinante. Sviluppando lungo la prima colonna si ottiene quindi ancora:
Dalle proprietà elencate nella definizione assiomatica, è facile dedurre che:
Il determinante è una funzione moltiplicativa, nel senso che vale il teorema di Binet:
Una matrice quadrata formula_1 con valori in un campo formula_13 è invertibile se e solo se formula_93. In caso affermativo vale l'uguaglianza:
Le proprietà appena elencate mostrano che l'applicazione:
dal gruppo generale lineare negli elementi non nulli di formula_13 è un omomorfismo di gruppi.
Come conseguenza del teorema di Binet, se formula_16 è la matrice identità di tipo formula_98 e formula_99 uno scalare, è facile verificare che formula_100. Infatti:
Una matrice e la sua trasposta hanno lo stesso determinante:
Se formula_8 e formula_104 sono simili (cioè esiste una matrice invertibile formula_105 tale che formula_8 = formula_107) allora per il teorema di Binet formula_108
Questo significa che il determinante è un invariante per similitudine. Da questo segue che il determinante di una trasformazione lineare formula_109 è ben definito (non dipende dalla scelta di una base per lo spazio vettoriale formula_110).
D'altra parte, esistono matrici con lo stesso determinante che non sono simili.
Nel campo dei numeri reali, il segno del determinante è anche invariante per congruenza.
Il determinante di una matrice triangolare è il prodotto degli elementi nella diagonale.
Se formula_8 è di tipo formula_112 con valori reali o complessi e ha tutti gli autovalori formula_113 nel campo (contati con molteplicità), allora:
Questa uguaglianza segue dal fatto che formula_8 è sempre simile alla sua forma normale di Jordan, che è una matrice triangolare superiore con gli autovalori sulla diagonale principale.
Dal collegamento fra determinante e autovalori si può derivare una relazione fra la funzione traccia, la funzione esponenziale e il determinante:
Il determinante può considerarsi una funzione polinomiale:
quindi essa è differenziabile rispetto a ogni variabile corrispondente al valore che può assumere in una casella e per qualunque suo valore. Il suo differenziale può essere espresso mediante la formula di Jacobi:
dove formula_119 denota la trasposta della matrice dei cofattori (detta anche "dei complementi algebrici") di formula_8, mentre formula_121 ne denota la traccia. In particolare, se formula_8 è invertibile si ha:
o, più colloquialmente, se i valori della matrice formula_105 sono sufficientemente piccoli:
Il caso particolare di formula_8 coincidente con la matrice identità formula_127 comporta:
Il determinante è utile a calcolare il rango di una matrice e quindi a determinare se un sistema di equazioni lineari ha soluzione, tramite il teorema di Rouché-Capelli. Quando il sistema ha una sola soluzione, questa può essere esplicitata usando il determinante, mediante la regola di Cramer.
Una matrice è detta "singolare" se ha determinante nullo. Una matrice singolare non è mai invertibile, e se è definita su un campo vale anche l'inverso: una matrice non singolare è sempre invertibile.
Una trasformazione lineare del piano, dello spazio, o più in generale di uno spazio euclideo o vettoriale (di dimensione finita) formula_129 è rappresentata (dopo aver scelto una base) da una matrice quadrata formula_1. Il determinante è una quantità che non dipende dalla base scelta, e quindi solo dalla funzione formula_131: si può quindi parlare di "determinante di formula_131", che si indica con formula_133.
Molte affermazioni su formula_131 sono equivalenti:
Quindi ciascuna di queste affermazioni equivalenti è vera se e solo se il determinante non è zero.
Il determinante consente di trovare gli autovalori di una matrice formula_8 mediante il suo polinomio caratteristico:
dove formula_16 è la matrice identità avente stesso numero di righe di formula_1.
Dati formula_5 vettori nello spazio euclideo formula_149, sia formula_1 la matrice avente come colonne questi vettori. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
Se gli formula_5 vettori formano una base, allora il segno di formula_157 determina l'orientazione della base: se positivo, la base forma un "sistema di riferimento destrorso", mentre se è negativo si parla di "sistema di riferimento sinistrorso" (in analogia con la regola della mano destra).
Il valore assoluto formula_158 del determinante è uguale al volume del parallelepipedo sotteso dai vettori dati dalle colonne di formula_1 (il parallelepipedo è in realtà un parallelogramma se formula_42, e un solido di dimensione formula_161 in generale). Più in generale, data una trasformazione lineare:
rappresentata da una matrice formula_8, e un qualsiasi sottoinsieme formula_164 di formula_165 misurabile secondo Lebesgue, il volume dell'immagine formula_166 è dato da:
Ancora più in generale, se la trasformazione lineare formula_168 è rappresentata da una matrice formula_8 di tipo formula_170 e formula_171 è un sottoinsieme di formula_172 misurabile secondo Lebesgue, allora il volume di formula_166 è dato da:
Lo pfaffiano è un analogo del determinante per matrici antisimmetriche di tipo formula_175 . Si tratta di un polinomio di grado formula_176 il cui quadrato è uguale al determinante della matrice.
Per gli spazi a infinite dimensioni non si trova alcuna generalizzazione dei determinanti e della nozione di volume. Sono possibili svariati approcci, inclusa la utilizzazione dell'estensione della traccia di una matrice.
Se formula_177 è uno spazio vettoriale di dimensione finita formula_176 sul campo formula_179 allora è possibile definire il determinante di un endomorfismo formula_180 direttamente, senza fare ricorso a una base di formula_177. Sia formula_182 lo spazio vettoriale degli formula_183vettori di formula_177. Consideriamo l'endomorfismo formula_185 di formula_182 definito di modo che:
per ogni formula_188, ed esteso per linearità a tutto formula_182. Poiché formula_182 ha dimensione uguale a 1 risulta che formula_185 altro non è che la moltiplicazione per uno scalare. Quindi possiamo definire il determinante di formula_192 attraverso l'equazione:
per ogni formula_188. A questo punto seguono tutte le proprietà del determinante, in particolare è immediato che formula_195 dove formula_196 è l'endomorfismo identità di formula_177. Se formula_198 è un altro endomorfismo di formula_177 allora:
da cui formula_202. Se formula_192 non è un isomorfismo allora l'immagine di formula_192 ha dimensione strettamente minore di formula_176 e quindi formula_206 sono sicuramente linearmente dipendenti, essendo che formula_207 è una forma multilineare alternante segue che formula_208 e quindi formula_209. Si verifica che fissata una base su formula_177 il determinante della matrice associata a formula_192 rispetto a tale base coincide con il determinante di formula_192.
