
In matematica una curva piana è una curva che giace interamente in un (unico) piano ed è identificabile da una funzione continua formula_1, dove formula_2 è un intervallo nell'insieme dei numeri reali. Ad esempio, una curva su uno spazio euclideo di dimensione maggiore di 2 è piana se il suo supporto giace su un piano contenuto nello spazio euclideo in cui è definita.
L'immagine di una curva viene anche chiamata "supporto" della curva. Talvolta si usa l'espressione "curva" anche per indicare il supporto di una curva.
Le curve piane sono oggetti geometrici ampiamente studiati, fin dall'antichità, con obiettivi non solo di tipo matematico. La collezione delle curve che sono state studiate in termini matematici è molto varia e complessa, e conviene rilevare subito alcune distinzioni.
Una curva piana si dice "semplice" se non si autointerseca, ovvero se per ogni formula_3 si ha formula_4. In caso contrario si dice dotata di punti doppi, tripli, e così via.
Un'altra distinzione riguarda il fatto che una curva piana sia "limitata", cioè abbia come supporto un insieme limitato di punti di formula_5, oppure sia "illimitata". Curve piane limitate sono le ellissi e le lemniscate, mentre sono illimitate le iperboli e le spirali.
Un tipo di rappresentazione della curva piana è l'equazione:
tale che ad ogni punto formula_7 corrisponde un punto formula_8, e in modo che ogni punto formula_9 del piano rappresenti il supporto della curva. Una curva di questo tipo si dice anche grafico in riferimento al grafico delle funzioni reali. In effetti la rappresentazione si può anche scrivere come:
cioè come funzione di una variabile indipendente. Questa rappresentazione ha molti limiti geometrici derivanti dal fatto che una curva molto spesso ha una descrizione molto complessa in questa forma, non adatta allo studio delle proprietà geometriche.
Una curva si può rappresentare anche nella forma:
cioè come funzione di due variabili indipendenti. Sebbene questa rappresentazione sia per alcune finalità migliore di quella esplicita si possono incontrare problemi quando è necessario esplicitare una variabile in funzione dell'altra, cosa che non è nemmeno sempre possibile.
La migliore rappresentazione è sicuramente quella parametrica, del tipo:
oppure:
dove formula_14 si chiama "parametro". La condizione di continuità non basta per rappresentare e studiare le curve intese come oggetti filiformi ad una dimensione con le caratteristiche di regolarità volute. La condizione aggiuntiva è che la curva piana sia differenziabile entro formula_2.
Una curva piana parametrica formula_16 si dice differenziabile in ogni punto se le funzioni formula_17 e formula_18 hanno derivate continue in ogni punto. Una curva piana differenziabile si dice "regolare" in un punto formula_19 se formula_20 e regolare in I se formula_21 in ogni punto di I. Un punto in cui si abbia formula_22 si dice che è un punto "singolare" per la curva.
La regolarità della curva permette di definire la retta tangente alla curva. Sia formula_23 una curva differenziabile e formula_24 un punto regolare. Si può definire la retta tangente alla curva in quel punto come la retta passante per formula_25 parallela al vettore formula_26.
La retta tangente ha equazione cartesiana nel punto formula_19:
e equazioni parametriche:
Nel caso di curva rappresentata esplicitamente da un'equazione formula_6, la retta tangente nel punto formula_31 è data:
mentre nel caso di una curva rappresentata da un'equazione implicita formula_11 la retta tangente nel punto formula_31 è data da:
La regolarità della curva permette di definire anche la "retta normale" alla curva nel punto formula_19 di equazione cartesiana:
Nel caso di curva rappresentata esplicitamente:
mentre per il caso di curva rappresentata implicitamente:
Dalla definizione stessa di derivata si ottiene:
che geometricamente rappresenta la pendenza della retta tangente, cioè la tangente goniometrica dell'angolo che la retta tangente forma con l'asse orizzontale "x". Da questa relazione si possono estrarre i coseni direttori della retta tangente:
Data una curva formula_42 differenziabile e una funzione formula_43 definita sull'intervallo formula_44 allora la curva:
tale che per ogni formula_46 si ha formula_47 è una riparametrizzazione della curva formula_48. La riparametrizzazione è regolare se formula_49 e formula_50.
Si mostra che se formula_51 è una riparametrizzazione di formula_52 tramite formula_53 allora:
Infatti, se formula_55 allora formula_56 e per la regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene:
e così si ha:
Sia data formula_55 differenziabile e formula_60. Allora la lunghezza dell'arco di curva compreso tra formula_61 vale:
Si aggiunga che, se formula_63 è una riparametrizzazione della curva, allora:
Se la curva è rappresentata in forma cartesiana esplicita:
cioè:
allora, sapendo che:
e che:
applicando il teorema di Pitagora ad elementi infinitesimali, ed integrando nell'intervallo di variazione dell'ascissa, la lunghezza della curva è data da:
Una forma di parametrizzazione che assume importanza notevole nello studio della matematica, della geometria e in molti campi di applicazione della matematica è quella in coordinate polari piane. Data una curva che ha parametrizzazione in coordinate polari piane in forma cartesiana:
e in forma parametrica con parametro formula_71:
allora sue derivate sono:
di modo che la lunghezza della curva sia uguale a:
Si definisce "ascissa curvilinea" oppure "parametro lunghezza arco" la riparametrizzazione particolare ottenuta fissando l'estremo inferiore di integrazione formula_75 in modo che l'integrale:
dipenda solo dall'estremo superiore formula_77 inteso come variabile. Questa funzione è la lunghezza dell'arco di curva a partire da un punto fisso formula_75 e può avere segno. Si può sempre riparametrizzare la curva nell'ascissa curvilinea. In tal modo se si vuole calcolare la retta tangente in un punto, si sa che essa è parallela ad un vettore tangente unitario, cioè ad un versore. Si dimostra che si può sempre riparametrizzare una curva tramite l'ascissa curvilinea nel modo seguente:
dato che formula_79 allora si può invertire formula_80 e se la sua inversa è formula_43 allora si ha la riparametrizzazione ascissa curvilinea data da:
Si dimostra poi che il vettore tangente è unitario nel modo seguente:
Sia formula_63 una curva parametrizzata secondo l'ascissa curvilinea e formula_85 il suo versore tangente. Si considera la funzione formula_86 che associa ad ogni formula_46 il valore formula_88. La funzione formula_89 è la curvatura della curva.
Se la curva è rappresentata esplicitamente, la sua curvatura è:
mentre per una curva rappresentata da un'equazione implicita:
Una curva (sufficientemente regolare) nello spazio ha in ogni suo punto un sistema di riferimento, detto "triedro di Frenet", dato da una terna di vettori "tangente", "normale" e "binormale". Tale curva è piana precisamente quando il vettore binormale è sempre costante.
Sia formula_92 una curva parametrizzata secondo l'ascissa curvilinea. Il versore tangente è dato da:
Il versore normale è dato da:
dove formula_2 è l'unità immaginaria. Sfruttando la definizione di curvatura si può dare un'altra forma al versore normale:
Si dimostra che il vettore formula_97 è ortogonale a formula_98 e quindi parallelo ad formula_99.
In definitiva le formule di Frenet e la curvatura per una curva piana con parametrizzazione qualsiasi formula_100 sono:


La retta o linea retta è uno dei tre enti geometrici fondamentali della geometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi "Elementi" come un concetto primitivo. Un filo di cotone o di spago ben teso tra due punti è un modello materiale che ci può aiutare a capire cosa sia la retta, un ente geometrico immateriale senza spessore e con una sola dimensione.
La retta è illimitata in entrambe le direzioni, e inoltre contiene infiniti punti, cioè è infinita. Viene generalmente contrassegnata con una lettera minuscola dell'alfabeto latino (solitamente con la "r").
La retta è il secondo ente fondamentale della geometria; geometricamente priva di alcuno spessore ha una sola dimensione: la lunghezza.
Una retta può "giacere" (cioè essere contenuta) nel piano o nello spazio tridimensionale.
Due rette nel piano possono essere:
Due rette nello spazio possono essere:
Date due rette sghembe, per ognuna di esse passa un unico piano parallelo all'altra retta. La distanza tra questi due piani equivale alla distanza tra le due rette.
Una retta nel piano cartesiano è descritta da un'equazione lineare
dove i coefficienti formula_2, formula_3 e formula_4 sono dei numeri reali fissati, con formula_2 e formula_3 non contemporaneamente nulli.
Se formula_7 oppure formula_8, è possibile descrivere la stessa retta in "forma esplicita" rispettivamente in una delle due forme seguenti:
dove formula_11 si chiama "coefficiente angolare" e quantifica la pendenza della retta. Nella prima delle equazioni di cui sopra il termine noto formula_12 rappresenta l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse delle formula_13 ("ordinata all'origine" o "intercetta"), nella seconda il termine noto formula_14 rappresenta l'ascissa del punto di intersezione della retta con l'asse delle formula_15.
Nello spazio euclideo tridimensionale, una retta può essere descritta tramite "equazioni cartesiane" come luogo di intersezione di due piani non paralleli:
In questo caso le soluzioni del sistema dipendono da un solo parametro formula_17 ed è sempre possibile ricavare un insieme di "equazioni parametriche" per la retta:
dove il vettore formula_19 è un vettore parallelo alla retta e il punto formula_20 è un punto appartenente alla retta.
Se formula_21 sono tutti diversi da zero è possibile ricavare le cosiddette "equazioni simmetriche" della retta:
Sia le equazioni cartesiane che le equazioni parametriche della retta non sono univocamente determinate, e sono in effetti infinite.
Nello spazio euclideo formula_23-dimensionale formula_24, una "retta" è un insieme dei punti del tipo
dove formula_26 e formula_27 sono due vettori fissati in formula_24 con formula_27 diverso da zero. Il vettore formula_27 descrive la direzione della retta, mentre formula_26 è un qualsiasi punto della retta. Scelte differenti dei vettori formula_26 e formula_27 possono descrivere la stessa retta.
Questa definizione di retta nello spazio di dimensione formula_23 è una estensione della rappresentazione in "forma esplicita" nel piano descritta sopra. Descrivere invece una retta in "forma implicita" come insieme di vettori che soddisfano delle equazioni lineari è più complicato, perché per il teorema di Rouché-Capelli sono necessarie formula_35 equazioni.
Si definisce come distanza tra due rette formula_36 e formula_37 la distanza minima tra due punti formula_38 e formula_39.
Tale distanza è ovviamente nulla nel caso di due rette che si intersecano. Per esaminare i restanti due casi (rette parallele e sghembe) verrà utilizzata la rappresentazione parametrica, che permette una trattazione unitaria per tutte le dimensioni. Siano dunque date due rette formula_40 e formula_41 di equazioni parametriche rispettivamente:
dove formula_43 e formula_44 sono i loro vettori direzionali e formula_45 e formula_46 i vettori associati al punto formula_47 della retta formula_40 e al punto formula_49 della retta formula_41, relativamente alla terna cartesiana formula_51.
Dato che le rette sono parallele possiamo misurare la distanza a partire da un punto qualsiasi della prima retta. Scegliamo il punto di formula_40 segnato dal vettore formula_45. Ogni punto della retta formula_41 può essere espresso nella forma formula_55. Se chiamo formula_56 il vettore ortogonale a formula_43 che segna la distanza dall'altra retta, allora per le proprietà del prodotto scalare
Ottenuto formula_56 risolvendo la precedente equazione (incognita in formula_60) è sufficiente calcolare la norma di formula_56 quindi con riferimento all'equazione parametrica la distanza formula_62 fra due rette parallele formula_36 e formula_64 si può scrivere come:
dove il vettore formula_27 è un vettore parallelo alle rette e il vettore formula_67 è il vettore che congiunge un punto formula_68 della retta formula_36 e un punto formula_70 della retta formula_64 ovvero la distanza fra due rette parallele è data dalla proiezione del vettore formula_67 nel verso ortogonale alle stesse.
Dimostrazione: dalle formule del prodotto vettoriale, i moduli dei versori sono unitari, resta:
formula_73
Se definiamo formula_56 come il vettore ortogonale a formula_75, la cui norma è la distanza tra le due rette, il nostro problema si riduce a trovare la norma di formula_56. I tre vettori formula_56, formula_43 e formula_44 sono una base, e possiamo quindi facilmente scomporre il vettore formula_80 lungo le tre componenti. Quindi
Molto semplicemente si ricava che
con riferimento all'equazione parametrica la distanza formula_62 fra due rette sghembe formula_36 e formula_64 si può scrivere come:
dove il vettore formula_67 è il vettore che congiunge un punto formula_68 della retta formula_36 che ha vettore parallelo formula_90 e un punto formula_70 della retta formula_64 che ha vettore parallelo formula_93, il vettore formula_94 è il vettore ortogonale formula_95 ovvero la distanza fra due rette sghembe è data dalla proiezione del vettore formula_67 nel verso del vettore formula_94.
Dimostrazione: dalle formule del prodotto scalare il modulo del versore è unitario, resta : formula_98
