
In matematica una curva piana è una curva che giace interamente in un (unico) piano ed è identificabile da una funzione continua formula_1, dove formula_2 è un intervallo nell'insieme dei numeri reali. Ad esempio, una curva su uno spazio euclideo di dimensione maggiore di 2 è piana se il suo supporto giace su un piano contenuto nello spazio euclideo in cui è definita.
L'immagine di una curva viene anche chiamata "supporto" della curva. Talvolta si usa l'espressione "curva" anche per indicare il supporto di una curva.
Le curve piane sono oggetti geometrici ampiamente studiati, fin dall'antichità, con obiettivi non solo di tipo matematico. La collezione delle curve che sono state studiate in termini matematici è molto varia e complessa, e conviene rilevare subito alcune distinzioni.
Una curva piana si dice "semplice" se non si autointerseca, ovvero se per ogni formula_3 si ha formula_4. In caso contrario si dice dotata di punti doppi, tripli, e così via.
Un'altra distinzione riguarda il fatto che una curva piana sia "limitata", cioè abbia come supporto un insieme limitato di punti di formula_5, oppure sia "illimitata". Curve piane limitate sono le ellissi e le lemniscate, mentre sono illimitate le iperboli e le spirali.
Un tipo di rappresentazione della curva piana è l'equazione:
tale che ad ogni punto formula_7 corrisponde un punto formula_8, e in modo che ogni punto formula_9 del piano rappresenti il supporto della curva. Una curva di questo tipo si dice anche grafico in riferimento al grafico delle funzioni reali. In effetti la rappresentazione si può anche scrivere come:
cioè come funzione di una variabile indipendente. Questa rappresentazione ha molti limiti geometrici derivanti dal fatto che una curva molto spesso ha una descrizione molto complessa in questa forma, non adatta allo studio delle proprietà geometriche.
Una curva si può rappresentare anche nella forma:
cioè come funzione di due variabili indipendenti. Sebbene questa rappresentazione sia per alcune finalità migliore di quella esplicita si possono incontrare problemi quando è necessario esplicitare una variabile in funzione dell'altra, cosa che non è nemmeno sempre possibile.
La migliore rappresentazione è sicuramente quella parametrica, del tipo:
oppure:
dove formula_14 si chiama "parametro". La condizione di continuità non basta per rappresentare e studiare le curve intese come oggetti filiformi ad una dimensione con le caratteristiche di regolarità volute. La condizione aggiuntiva è che la curva piana sia differenziabile entro formula_2.
Una curva piana parametrica formula_16 si dice differenziabile in ogni punto se le funzioni formula_17 e formula_18 hanno derivate continue in ogni punto. Una curva piana differenziabile si dice "regolare" in un punto formula_19 se formula_20 e regolare in I se formula_21 in ogni punto di I. Un punto in cui si abbia formula_22 si dice che è un punto "singolare" per la curva.
La regolarità della curva permette di definire la retta tangente alla curva. Sia formula_23 una curva differenziabile e formula_24 un punto regolare. Si può definire la retta tangente alla curva in quel punto come la retta passante per formula_25 parallela al vettore formula_26.
La retta tangente ha equazione cartesiana nel punto formula_19:
e equazioni parametriche:
Nel caso di curva rappresentata esplicitamente da un'equazione formula_6, la retta tangente nel punto formula_31 è data:
mentre nel caso di una curva rappresentata da un'equazione implicita formula_11 la retta tangente nel punto formula_31 è data da:
La regolarità della curva permette di definire anche la "retta normale" alla curva nel punto formula_19 di equazione cartesiana:
Nel caso di curva rappresentata esplicitamente:
mentre per il caso di curva rappresentata implicitamente:
Dalla definizione stessa di derivata si ottiene:
che geometricamente rappresenta la pendenza della retta tangente, cioè la tangente goniometrica dell'angolo che la retta tangente forma con l'asse orizzontale "x". Da questa relazione si possono estrarre i coseni direttori della retta tangente:
Data una curva formula_42 differenziabile e una funzione formula_43 definita sull'intervallo formula_44 allora la curva:
tale che per ogni formula_46 si ha formula_47 è una riparametrizzazione della curva formula_48. La riparametrizzazione è regolare se formula_49 e formula_50.
Si mostra che se formula_51 è una riparametrizzazione di formula_52 tramite formula_53 allora:
Infatti, se formula_55 allora formula_56 e per la regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene:
e così si ha:
Sia data formula_55 differenziabile e formula_60. Allora la lunghezza dell'arco di curva compreso tra formula_61 vale:
Si aggiunga che, se formula_63 è una riparametrizzazione della curva, allora:
Se la curva è rappresentata in forma cartesiana esplicita:
cioè:
allora, sapendo che:
e che:
applicando il teorema di Pitagora ad elementi infinitesimali, ed integrando nell'intervallo di variazione dell'ascissa, la lunghezza della curva è data da:
Una forma di parametrizzazione che assume importanza notevole nello studio della matematica, della geometria e in molti campi di applicazione della matematica è quella in coordinate polari piane. Data una curva che ha parametrizzazione in coordinate polari piane in forma cartesiana:
e in forma parametrica con parametro formula_71:
allora sue derivate sono:
di modo che la lunghezza della curva sia uguale a:
Si definisce "ascissa curvilinea" oppure "parametro lunghezza arco" la riparametrizzazione particolare ottenuta fissando l'estremo inferiore di integrazione formula_75 in modo che l'integrale:
dipenda solo dall'estremo superiore formula_77 inteso come variabile. Questa funzione è la lunghezza dell'arco di curva a partire da un punto fisso formula_75 e può avere segno. Si può sempre riparametrizzare la curva nell'ascissa curvilinea. In tal modo se si vuole calcolare la retta tangente in un punto, si sa che essa è parallela ad un vettore tangente unitario, cioè ad un versore. Si dimostra che si può sempre riparametrizzare una curva tramite l'ascissa curvilinea nel modo seguente:
dato che formula_79 allora si può invertire formula_80 e se la sua inversa è formula_43 allora si ha la riparametrizzazione ascissa curvilinea data da:
Si dimostra poi che il vettore tangente è unitario nel modo seguente:
Sia formula_63 una curva parametrizzata secondo l'ascissa curvilinea e formula_85 il suo versore tangente. Si considera la funzione formula_86 che associa ad ogni formula_46 il valore formula_88. La funzione formula_89 è la curvatura della curva.
Se la curva è rappresentata esplicitamente, la sua curvatura è:
mentre per una curva rappresentata da un'equazione implicita:
Una curva (sufficientemente regolare) nello spazio ha in ogni suo punto un sistema di riferimento, detto "triedro di Frenet", dato da una terna di vettori "tangente", "normale" e "binormale". Tale curva è piana precisamente quando il vettore binormale è sempre costante.
Sia formula_92 una curva parametrizzata secondo l'ascissa curvilinea. Il versore tangente è dato da:
Il versore normale è dato da:
dove formula_2 è l'unità immaginaria. Sfruttando la definizione di curvatura si può dare un'altra forma al versore normale:
Si dimostra che il vettore formula_97 è ortogonale a formula_98 e quindi parallelo ad formula_99.
In definitiva le formule di Frenet e la curvatura per una curva piana con parametrizzazione qualsiasi formula_100 sono:


Una retta è detta "asintoto" del grafico di una funzione quando la distanza di un punto qualsiasi della funzione da tale retta tende a 0 al tendere all'formula_1 dell'ascissa o dell'ordinata del punto.
Il termine asintoto è utilizzato in matematica per designare una retta, o più generalmente una curva, alla quale si avvicina indefinitamente una funzione data. Con il termine "asintoto", senza ulteriori specificazioni, si intende, genericamente, una retta, a meno che dal contesto non emerga un altro significato, quando si vuole essere più specifici si parla di retta asintotica o, più in generale, di curva asintotica.
In matematica espressioni come "avvicinarsi indefinitamente" (o l'equivalente "tendere a") non sono definite rigorosamente, se non utilizzando in modo esplicito il concetto di limite. Volendo adottare un linguaggio più conforme a quello che si impiega nello studio dei limiti, si può dire che "la curva A è un asintoto della curva C" se, comunque si fissi una distanza minima, esiste un tratto contiguo, non limitato, della curva C che dista dall'asintoto A meno della distanza minima fissata.
In generale, la curva C può intersecare anche più volte il suo asintoto A. Tuttavia storicamente e in modo intuitivo, l'asintoto era considerato una curva A alla quale la nostra curva C si avvicina senza mai raggiungerla. Questo rende ragione della etimologia del termine, che deriva dal greco ἀσύμπτωτος "a-sým-ptōtos", dove "a-" ha un valore privativo, mentre "sým-ptōtos" è composto da "syn-", "con", e "ptōtós", un aggettivo che connota ciò che "cade". Dunque "sým-ptōtos" descrive ciò che "cade assieme", ovvero ciò che "interseca", e "a-sým-ptōtos" etimologicamente descrive ciò che "non interseca", nel senso che si diceva poco fa. Volendo si può fare ricorso ad un linguaggio figurato e dire che c'è una "intersezione all'infinito" fra A e C. È questa particolare "intersezione all'infinito" che rende A "asintoto" di C.
La retta di equazione formula_2 è asintoto verticale alla curva rappresentativa della funzione formula_3, se vale almeno una delle seguenti relazioni
La retta di equazione formula_2 può essere asintoto verticale ascendente o discendente a seconda che formula_7 tenda a più infinito o a meno infinito. In generale la ricerca degli asintoti verticali per una funzione si effettua calcolando i limiti destro e sinistro (o uno di questi), e, in tal caso, vale comunque la definizione data.
Per esempio la funzione tangente ha un numero infinito di asintoti verticali in corrispondenza dei valori formula_8 con formula_9, cioè le rette formula_10 sono asintoti verticali.
Un altro esempio è il logaritmo naturale il quale ha come asintoto verticale la retta formula_11.
La retta di equazione formula_12 è asintoto orizzontale alla curva di equazione formula_3, se:
In generale, si ha un asintoto orizzontale quando la funzione è scrivibile nella forma: formula_15
dove formula_16 è una funzione infinitesima nell'intorno dell'infinito (tende a zero per formula_17 tendente ad infinito) e formula_18 è un valore finito.
A volte può esistere un asintoto obliquo, ovvero la funzione tende asintoticamente ad una retta di equazione formula_19.
Questo accade quando si ha 
e una condizione analoga si ha per i limiti a formula_21.
Esiste un teorema che afferma che la condizione necessaria e sufficiente affinché formula_19 sia asintoto obliquo del grafico di formula_7 per formula_24 è che esista finito:
e che esista finito anche:
L'enunciato per formula_29 è identico.
Come esempio notevole consideriamo la funzione
il cui grafico è contenuto in una iperbole. Si può facilmente verificare che le rette formula_31 sono asintoti rispettivamente a formula_32.
Le tre situazioni precedenti ne formano solo una in geometria proiettiva, con un asintoto visto come tangente all'infinito.
Un esempio è la spirale.
Una curva di equazione formula_33 ammette una parabola asintoto di equazione formula_34 e un'iperbole asintoto di equazione formula_35. La figura costituisce un tridente di Newton.
