
Il calcolo infinitesimale è la branca fondante dell'analisi matematica che studia il "comportamento locale" di una funzione tramite le nozioni di continuità e limite, usato in quasi tutti i campi della matematica e della fisica, e della scienza in generale.
Le funzioni a cui si applica sono a variabile reale o complessa. Tramite la nozione di limite, il calcolo infinitesimale definisce e studia le nozioni di convergenza di una successione o di una serie, continuità, derivata e integrale.
Il calcolo infinitesimale poggia sull'algebra, la geometria analitica e la trigonometria. Tra le nozioni che vi appartengono e di cui si avvale vanno ricordate quelle di successione e serie, spazio metrico, funzione di variabile reale, funzione analitica. Sue branche o prodotti sono la teoria dell'integrazione e la teoria della misura, le funzioni speciali (a partire da esponenziale, logaritmo e funzioni trigonometriche), l'analisi armonica.
Fornisce la base concettuale e metodologica per lo sviluppo del modello di un qualsiasi sistema continuo riguardante per esempio fenomeni e processi fisici, astronomici, tecnologici, economici e statistici. La conoscenza del calcolo infinitesimale costituisce quindi un bagaglio culturale di primaria importanza e sul piano storico il suo sviluppo può a buon diritto considerarsi uno dei processi fondamentali per la storia del pensiero scientifico, e più in generale, per la storia della filosofia occidentale. È significativo a questo proposito osservare che nella lingua inglese, in cui più si è sviluppato in partenza, il calcolo infinitesimale viene chiamato per antonomasia "calculus".
Il calcolo infinitesimale è stato inizialmente sviluppato nel mondo scientifico greco ed ellenistico del IV e del III secolo a.C. per opera di Eudosso (metodo di esaustione), di Euclide e Anassagora fino al raggiungimento di risultati di piena maturità con Archimede.
Con il successivo progressivo decadimento della scienza nell'area mediterranea, occorre attendere l'opera dei matematici indiani Aryabhata (476-550), Bhaskara (1114-1185), Madhava (1350-1425) e della scuola del Kerala per avere innovazioni come il teorema noto come teorema di Rolle, il passaggio al limite per una variabile tendente all'infinito e la manipolazione di alcune serie.
Per uno sviluppo sistematico del calcolo infinitesimale occorre attendere il periodo del recupero europeo dello spirito scientifico ellenistico nel secolo XVI (Tartaglia) e soprattutto nel secolo XVII. Dopo gli avanzamenti dovuti a Cavalieri, Barrow, Cartesio, Fermat, Huygens e Wallis, negli anni dal 1670 al 1710, ad opera principalmente di Pietro Mengoli, Newton e Leibniz furono posti i fondamenti del calcolo infinitesimale moderno e fu raggiunta la piena consapevolezza della sua portata per lo sviluppo di metodi e modelli per lo studio quantitativo degli oggetti dell'indagine scientifica. Nel secolo XVIII si assiste all'ampliamento dei metodi e delle applicazioni, con i Bernoulli, Eulero, Lagrange, Laplace, pur nella mancanza di fondamenti rigorosi. Una prima revisione critica dei fondamenti fu sviluppata da Cauchy intorno al 1821 sulla base della nozione di limite introdotta da d'Alembert nel 1765. In Giappone fu invece Kōwa Seki che per primo sviluppò i metodi fondamentali del calcolo integrale.
Per opera dello stesso Cauchy, e di matematici come Poisson, Liouville, Fourier gli obiettivi dell'analisi infinitesimale si ampliano a comprendere l'analisi complessa, le equazioni alle derivate parziali e l'analisi armonica. Intorno al 1850 Riemann introduce la teoria dell'integrale che porta il suo nome.
Intorno al 1860 Dedekind precisa la nozione di numero reale (altro recupero di una nozione ellenistica, ben chiara negli Elementi di Euclide). Questa consente che, intorno al 1870, sia precisata la definizione delle basi del calcolo infinitesimale per opera di Weierstrass e di vari altri matematici (Eduard Heine, Georg Cantor, Charles Méray, Camille Jordan...). Da allora le idee e le tecniche di calcolo infinitesimale - diventate analisi matematica o “analisi standard”, evitando di fare riferimento al concetto oscuro di infinitesimo - sono bagaglio essenziale per chi si dedica alla scienza e alla tecnologia.
All'inizio del XX secolo sono sviluppate teorie che forniscono basi (o “fondamenti”) più generali, astratte ed efficaci per lo studio dei problemi infinitesimali. Basti ricordare la teoria assiomatica degli insiemi (scuola di Hilbert), la teoria della misura (Lebesgue), la nozione di spazio di Hilbert, la nozione di spazio normato e quindi la definizione dell'analisi funzionale principalmente per opera di Banach. Infine Robinson tentò di rifondare l'analisi sugli infinitesimi, recuperando su basi logiche più rigorose la semplicità del metodo di Leibniz introducendo l'analisi non standard.


In fisica, il lavoro è l'energia scambiata tra due sistemi quando avviene uno spostamento attraverso l'azione di una forza, o una risultante di forze, che ha una componente non nulla nella direzione dello spostamento. Pertanto, ha le dimensioni di una forza applicata lungo una determinata distanza.
Dunque, il lavoro complessivo esercitato su un corpo è pari alla variazione della sua energia cinetica. In presenza, invece, di un campo di forza conservativo, cioè in assenza di effetti dissipativi, il lavoro svolto è pari alla variazione di energia potenziale tra gli estremi del percorso. Il lavoro compiuto da una forza è nullo se lo spostamento è nullo o se questa non ha componenti lungo la direzione dello spostamento.
Il termine "lavoro" è stato introdotto nel 1826 dal matematico francese Gaspard Gustave de Coriolis. Il simbolo più utilizzato per indicare il lavoro è la lettera formula_1, dall'inglese "work", anche se, spesso, nella letteratura italofona lo si indica con la lettera formula_2.
Nel Sistema Internazionale l'unità di misura del lavoro è il joule.
Il lavoro lineare elementare di un campo vettoriale, come una forza formula_3, associato allo spostamento elementare formula_4 è definito come:
che in termini di coordinate cartesiane, si può esprimere come:
Di conseguenza, il lavoro totale lungo una curva formula_7 è definito come l'integrale di linea di seconda specie dell'1-forma differenziale formula_8:
ovvero l'integrale di linea del campo vettoriale formula_3 lungo la curva formula_7.
Nel caso di un corpo che ruota, il lavoro elementare può essere espresso in funzione del momento meccanico, calcolato attorno a un polo formula_12, con formula_13 come braccio:
Pertanto, il lavoro totale del momento corrispondente ai due spostamenti angolari formula_15 e formula_16 è formalmente uguale all'integrale:
Dalla definizione di integrale curvilineo, si hanno le seguenti conseguenze immediate:
Per la proprietà di linearità dell'operatore integrale si ha che:
Per il teorema dell'energia cinetica, il lavoro compiuto dalla risultante delle forze agenti su un corpo è uguale alla variazione della sua energia cinetica: formula_27.
In generale, a causa della generalità del campo formula_28, che varia da punto a punto, il lavoro dipende dalla traiettoria per andare da formula_29 a formula_30. Vi sono però casi di notevole rilevanza fisica nei quali è possibile limitarsi a forze per le quali il lavoro non dipende dalla traiettoria seguita ma solo dalle posizioni iniziale e finale della traiettoria.
Nel caso di un campo di forza conservativo il lavoro è la variazione di energia potenziale tra gli estremi del percorso. In questo caso il lavoro non dipende dal particolare cammino seguito, ma solo dalla posizione iniziale formula_31 e dalla posizione finale formula_32.
A partire dal lavoro è possibile definire la conservatività di un campo di forze: il campo è conservativo "se e solo se" il lavoro della forza lungo una traiettoria chiusa qualsiasi è zero. Infatti:
Nel caso in cui la forza sia costante e il percorso rettilineo, il lavoro diventa pari al prodotto scalare del vettore forza per il vettore spostamento formula_45:
dove formula_47 l'angolo tra la direzione della forza e la direzione dello spostamento.
Il lavoro può essere sia positivo sia negativo, il segno dipende dall'angolo "formula_47" compreso tra il vettore forza formula_49 ed il vettore spostamento formula_45.
Il lavoro svolto dalla forza è positivo seformula_51ovvero se formula_52. Un lavoro positivo è causato da una forza detta "motrice", uno negativo (formula_53), invece, da una forza "resistente".
Il termine utilizzato in fisica differisce dalla definizione usuale di lavoro, che è decisamente legata all'esperienza quotidiana e si può ricondurre, ad esempio, alla fatica muscolare. Infatti si compie un lavoro se si ha uno spostamento: se per esempio si spinge contro un muro naturalmente esso rimarrà fermo e non si avrà lavoro.
Quando la forza ha la stessa direzione dello spostamento, il prodotto scalare equivale al prodotto aritmetico dei moduli dei due vettori:
Anche nel caso di forza parallela ma opposta allo spostamento, l'espressione del lavoro si riduce al prodotto aritmetico dei moduli, ma con segno opposto:
Quando forza e spostamento sono perpendicolari, il lavoro è nullo:
Per i campi conservativi è possibile definire una funzione scalare, detta energia potenziale, la cui variazione tra i punti formula_31 e formula_32 rappresenta il lavoro compiuto dalle forze per andare da formula_29 a formula_30, per quanto detto prima lungo un qualunque percorso.
si indica formula_62 perché, per convenzione, si considera solitamente la variazione di qualcosa dal punto finale a quello iniziale, cioè formula_63.
Il concetto continua a valere se formula_64 non dipende dalla "posizione" ma da uno "stato", ovvero da una posizione nello spazio delle fasi del sistema: ovviamente sostituendo formula_65 con l'equivalente nel caso in questione. Un esempio è il diagramma pressione/volume usato per le macchine termiche.
Considerando campi conservativi, dal teorema dell'energia cinetica (formula_66), si ha che la variazione di energia potenziale è contraria alla variazione di energia cinetica:
e quindi la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale, detta energia meccanica, è costante in virtù del teorema dell'energia meccanica.
ovvero
L'esempio classico di campi non conservativi si ha considerando le forze d'attrito: l'attrito si oppone sempre al moto, quindi lungo qualsiasi traiettoria avremo l'integrale di una funzione costantemente negativa. E il risultato sarà un lavoro costantemente negativo anche lungo traiettorie chiuse.
Avremmo un lavoro pari a zero, e quindi un campo conservativo solo se l'attrito fosse zero lungo tutto il percorso, solo se, cioè, non avessimo attriti.
Scomponendo, nel teorema dell'energia cinetica, il lavoro in due addendi: formula_70 quello derivante da forze conservative, pari alla variazione di energia potenziale, e quello derivante da forze non conservative abbiamo:
e quindi:
cioè la variazione dell'energia meccanica, cioè la somma di energia cinetica e potenziale, è uguale al lavoro compiuto dalla forze non conservative.
Nel Sistema Internazionale l'unità di misura per il lavoro è il joule che corrisponde allo spostamento di un metro di una forza di un newton:
Tra le altre unità di misura del lavoro ricordiamo:
In termodinamica, il "lavoro" viene scomposto per comodità in due contributi: un contributo relativo alla variazione di volume, detto lavoro di volume, e un contributo indipendente dalla variazione di volume, che prende il nome di lavoro isocoro.
In termodinamica un gas esercita una pressione formula_78 interna sulle pareti del recipiente in cui è contenuto. Se una di queste pareti di superficie formula_79 è mobile e si sposta di una quantità infinitesima formula_80 sotto l'azione di questa pressione, allora il lavoro infinitesimo compiuto dal gas è dato da:
dove formula_82 è la variazione del volume corrispondente. Questo è vero se la trasformazione è reversibile, infatti solo se il sistema è in equilibrio termodinamico è possibile conoscere il valore della pressione formula_78 interna al contenitore. La notazione formula_84 è usata per indicare che il lavoro in fisica non è una funzione di stato, ed invece dipende dalla particolare trasformazione eseguita sul sistema: in termini matematici si dice che il lavoro non è, in generale, esprimibile come un differenziale esatto.
Infine, se il sistema termodinamico subisce una trasformazione generica, quindi per lo più irreversibile, allora possiamo ancora quantificare il lavoro fatto dal gas o dal sistema così:
lavoro fatto contro la pressione esterna formula_86.
Sotto il termine di lavoro isocoro si annoverano tutti i tipi di lavoro che non si riflettono in una variazione di volume, ad esempio: il lavoro elettrico, il lavoro di un campo magnetico, oppure il lavoro svolto da una girante.
In un circuito elettrico il lavoro infinitesimo compiuto dalla batteria che genera la differenza di potenziale formula_87 per far circolare una corrente elettrica formula_88 per un tempo infinitesimo formula_89 è data da formula_90, il segno di tale lavoro sarà positivo o negativo a seconda che rispettivamente la pila eroghi o assorba corrente.
Il valore del lavoro elettrico scambiato tra il tempo formula_91 e il tempo formula_92 si può ottenere integrando l'equazione precedente, dalla quale si ottiene:
nel caso in cui la differenza di potenziale "formula_87" rimanga costante durante l'intervallo di tempo considerato, si può scrivere:
essendo:
La forza che agisce su una particella carica in movimento, immersa in un campo magnetico, è detta forza di Lorentz, che in assenza di campi elettrici esterni è data da:
dove formula_100 è la carica della particella, formula_103 è la sua velocità, formula_104 è il vettore di campo magnetico, legati dal prodotto vettoriale.
Se il moto della carica avviene in senso parallelo alle linee di forza del campo magnetico, significa che la forza è ortogonale allo spostamento, dunque il lavoro è nullo.
