
In matematica, un campo vettoriale su uno spazio euclideo è una costruzione del calcolo vettoriale che associa a ogni punto di una regione di uno spazio euclideo un vettore dello spazio stesso. 
Un campo vettoriale tangente su una varietà differenziabile è una funzione che associa ad ogni punto della varietà un vettore dello spazio tangente in quel punto alla varietà.
Il teorema di Helmholtz è fondamentale per questi oggetti, in quanto afferma che la conoscenza della divergenza e del rotore sono necessari e sufficienti alla conoscenza del campo stesso.
Un campo vettoriale sul piano si può rappresentare visivamente pensando ad una distribuzione nel piano di vettori bidimensionali, in modo che il vettore immagine del punto formula_1 abbia l'origine in formula_1 stesso (eventualmente riscalato per una migliore resa visiva come in figura). In modo analogo, si possono visualizzare campi vettoriali su superfici o nello spazio tridimensionale.
Dato un insieme aperto e connesso formula_3 contenuto in formula_4, un "campo vettoriale" è una funzione:
alla quale si richiede generalmente di essere continua o differenziabile per un certo numero di volte. In quanto funzione, ad esempio, nel caso di superficie, si può scrivere:
mentre nel caso di spazio:
Le "linee di flusso" sono intuitivamente delle curve che seguono in ogni loro punto le direzioni individuate dal campo vettoriale con velocità data dall'ampiezza dei vettori del campo.
Interpretando il campo vettoriale come un campo di velocità di un fluido, queste linee rappresentano le traiettorie di ogni singola particella. Formalmente, una linea di flusso passante per un punto formula_8 è una curva differenziabile:
definita per qualche formula_10 positivo, tale che 
Se il campo è sufficientemente "regolare" (ad esempio, se formula_14 è differenziabile o almeno lipschitziano), per ogni punto passa esattamente una linea di flusso. Questo perché una linea di flusso è soluzione di un problema di Cauchy, la cui esistenza e unicità è garantita dal teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy.
Una linea di flusso è definita su un intervallo aperto formula_15, ma non è necessariamente definita su tutta la retta reale. In un campo vettoriale tale che tutte le linee di flusso sono definite sull'intera retta reale, è possibile definire una applicazione
che associa ad una coppia formula_17 - data da un "tempo" e un punto dello spazio delle fasi - il punto di arrivo che si ottiene seguendo la linea di flusso che parte da formula_1 per un tempo formula_19 a partire dal punto formula_1. Tale applicazione è il flusso associato al campo vettoriale e si è soliti scrivere formula_21 per indicare l'immagine della coppia formula_17.
Formalmente il flusso associato al campo vettoriale formula_14 è individuato da una famiglia di applicazioni
che verificano le condizioni:
per ogni formula_1 e per ogni tempo formula_27.
Il flusso è un "gruppo ad un parametro": è un gruppo perché soddisfa le proprietà seguenti
e definisce un'azione di formula_30 su formula_3. Le proprietà di gruppo ci dicono informalmente che l'evoluzione dello spazio indotta dal flusso per un tempo formula_32 corrisponde a lasciare tutto com'è, e che l'evoluzione per un tempo formula_33 equivale all'applicazione successiva di due evoluzioni per tempi formula_34 e formula_19.
Un punto critico o "punto singolare" per un campo vettoriale è un punto in cui il campo si annulla, o in cui non è definito perché tende a infinito (similmente a quanto accade per i poli). Generalmente, si suppone che il campo sia sufficientemente regolare, così che i punti critici sono isolati.
I punti critici devono il proprio nome al ruolo "speciale" che rivestono all'interno del campo vettoriale. Nell'intorno di qualsiasi punto "non" critico la struttura topologica del campo vettoriale è sempre la stessa: il campo ristretto ad un intorno piccolo del punto è diffeomorfo ad un campo costante (che associa ad ogni punto lo stesso vettore non nullo), le cui linee di flusso sono quindi rette parallele, come stabilito dal teorema della scatola di flusso. I punti critici invece hanno una casistica molto più ricca.
Le possibili strutture topologiche del campo in un intorno del punto critico isolato si possono classificare associando ai punti critici un numero intero chiamato indice.
Il tipo ed il numero complessivo dei punti critici di un campo vettoriale sono anche legati alla struttura topologica globale del dominio su cui il campo è definito. Questo legame è stabilito dal teorema di Poincaré-Hopf il quale afferma che se il campo vettoriale è definito su una varietà differenziabile compatta allora la somma degli "indici" dei suoi punti critici è uguale alla caratteristica di Eulero della varietà.
Una varietà differenziale è "pettinabile" se ammette un campo vettoriale (sufficientemente regolare) mai nullo. Per il teorema di Poincaré-Hopf menzionato sopra, una varietà compatta pettinabile deve avere caratteristica di Eulero zero. Per questo motivo, la sfera non è pettinabile: questo enunciato è il teorema della sfera pelosa.
D'altro canto, il toro e la bottiglia di Klein sono superfici con caratteristica di Eulero zero, e sono pettinabili.
I campi vettoriali si incontrano sia nella matematica pura che in quella applicata:
Data una funzione differenziabile su formula_36
il "campo gradiente" di formula_38 è il campo vettoriale che associa ad ogni formula_39 in formula_40 il vettore 
dato dal gradiente di formula_38 in formula_1.
Un campo gradiente è conservativo, cioè il rotore è ovunque nullo.
Le linee di flusso di un campo gradiente associato ad una funzione scalare formula_38 sono ovunque ortogonali alle superfici di livello di formula_38, cioè alle ipersuperfici date dall'equazione cartesiana formula_46 al variare di formula_47 in formula_48.
Data una funzione differenziabile su un aperto formula_49 del piano cartesiano formula_50:
il "campo Hamiltoniano" di formula_52 è il campo vettoriale che associa ad un punto formula_53 in formula_40 il vettore 
dove formula_56 e formula_57 denotano le derivate parziali di formula_58.
La funzione scalare formula_52 che genera il campo Hamiltoniano si chiama "Hamiltoniana".


finisce sistema di coordinate un sistema di riferimento basato su coordinate, le quali individuano la posizione di un oggetto in qualche spazio. A seconda del numero di coordinate usate, si può parlare di:
Il sistema di riferimento unidimensionale ideato da Cartesio è costituito da una retta, sulla quale un oggetto, di solito un punto, è vincolato a muoversi. Su questa retta si fissa un'origine, che è consuetudine indicare con formula_1, un verso di percorrenza ed un'unità di misura delle lunghezze.
È possibile individuare un punto sulla retta in base ad un numero reale, che individua la distanza dall'origine nell'unità di misura scelta, positiva se concorde con il verso di percorrenza scelto e negativa altrimenti, del punto. Tale numero è detto coordinata, e per indicare genericamente tale coordinata si usa la lettera formula_2. La retta su cui si è fissato origine, verso di percorrenza e unità di misura è detta ascissa.
Quando un punto, anziché su una retta, è vincolato a muoversi su una curva è possibile scegliere anche su quest'ultima un'origine, un verso di percorrenza ed un'unità di misura, ma in tal caso si parlerà di ascissa curvilinea. La distanza con segno del punto dall'origine è la coordinata curvilinea del punto.
Uno dei sistemi di riferimento bidimensionale è costituito da una coppia di rette incidenti. Tali rette sono indicate, in genere, con formula_3 e formula_4, ed il loro punto di intersezione è l'origine per entrambe le rette. Su ciascuna retta si fissa un verso di percorrenza ed un'unità di misura che in genere è uguale per entrambe le rette, ma per esigenze particolari può benissimo essere diversa per ciascuna retta. La posizione di un punto vincolato a muoversi su un piano può essere individuata da una coppia di valori reali, genericamente indicati con le lettere formula_2 e formula_6. Si indica con formula_2 il numero reale che individua la distanza dall'asse formula_4 del punto, misurata parallelamente all'asse formula_3 nell'unità di misura scelta per quest'ultimo; con formula_6 il numero reale che individua la distanza dall'asse formula_3 del punto, misurata parallelamente all'asse formula_4 nell'unità di misura scelta per quest'ultimo. La coppia di coordinate che individua il punto si indica scrivendo formula_13 oppure formula_14.
Quando gli assi formula_3 e formula_4 sono fra loro ortogonali tale sistema di riferimento si dice ortogonale. Se gli assi sono tra loro ortogonali e l'unità di misura di entrambi è la stessa tale sistema di riferimento si dice ortonormale o cartesiano, in onore del matematico francese Cartesio che lo riprese in età moderna, dopo che era già stato introdotto, nel Medioevo, da Nicola d'Oresme. In tal caso l'asse formula_3, orizzontale, prende il nome di asse delle ascisse, e l'asse formula_4, verticale, prende il nome di asse delle ordinate. Nelle opere di Oresme, erano, rispettivamente, "longitudo" e "latitudo".
Un sistema di riferimento polare è formato da due coordinate indicate con le lettere formula_19 e formula_20. Con formula_19 si indica la distanza del punto considerato dall'origine del sistema; in pratica se consideriamo il vettore formula_22 che congiunge l'origine degli assi con il nostro punto, formula_19 ne indica il modulo. Con formula_20, invece, ci si riferisce all'angolo o anomalia che si forma tra il vettore formula_22 considerato prima, e il verso positivo dell'asse formula_3 di un normale sistema ortogonale. Dunque, formula_19 è il raggio e formula_20 un angolo orientato.
Per passare dalle coordinate polari alle cartesiane si usano le seguenti formule:
e per passare da quelle cartesiane a quelle polari
Si può trovare in molti casi la coordinata formula_19 denotata con la lettera formula_34. Questo passaggio di coordinate è molto utile in alcune applicazioni della matematica come nella risoluzione degli integrali multipli su domini costituiti da corone circolari.
Il sistema di riferimento tridimensionale è costituito da tre rette non parallele, in genere indicate con formula_3, formula_4 e formula_37, passanti per un punto che è l'origine del sistema di riferimento. Per ciascuna di tali rette si sceglie un'unità di misura ed un verso di percorrenza. Le coordinate generiche di un punto nello spazio sono indicate con le lettere formula_2, formula_6 e formula_40. Si indica con formula_2 il numero reale che individua la distanza di un punto dal piano individuato dalle rette formula_4 e formula_37 misurata parallelamente all'asse formula_3 nell'unità di misura scelta per quest'ultimo asse. Si definiscono analogamente formula_6 e formula_40. Le tre coordinate che individuano un punto nello spazio sono indicate con la simbologia formula_47. Quando i tre assi sono fra loro ortogonali il sistema di riferimento si dice "ortogonale" o "rettangolare".
Ciascuna delle tre rette è un "asse cartesiano", e insieme formano la "terna cartesiana".
Il sistema cilindrico è la naturale espansione del sistema polare nelle tre dimensioni. In questo caso le coordinate sono formula_19, formula_20 e formula_40. Considerando un generico punto formula_51, e la sua proiezione formula_52 sul piano formula_53, la coordinata formula_40 indica la distanza formula_55. Con formula_19 si denota la distanza dall'origine del punto formula_52, mentre formula_20 individua l'angolo che si forma tra il vettore formula_22 e l'asse formula_2.
Per passare dal sistema cilindrico a quello rettangolare:
e per passare alle coordinate cilindriche:
Molto spesso la coordinata formula_19 viene indicata con formula_64.
Un altro sistema che si può usare per orientarsi nello spazio è il sistema sferico. È formato da tre coordinate: formula_19, formula_66 e formula_20. Si considera sempre un generico punto formula_51 e la sua proiezione sul piano formula_69 chiamata formula_52. Con formula_19 questa volta si indica la distanza di formula_51 dall'origine e formula_66 è l'angolo che formula_22 forma con il semiasse positivo delle formula_37, chiamato angolo di inclinazione. Indichiando invece con formula_76 il vettore che collega l'origine con il punto formula_52, si ha che formula_20 individua l'angolo che quest'ultimo vettore forma con l'asse formula_3, detto azimut.
Per passare da un sistema sferico ad uno rettangolare si usano le seguenti uguaglianze:
Per passare da coordinate cartesiane a sferiche:
Anche con questo sistema spesso si usa la lettera formula_34 al posto della lettera formula_19.
A partire dal sistema di coordinate sferiche si può definire una nuova base vettoriale in ogni punto dello spazio mediante i vettori tangenti alle linee coordinate. Sia
allora la base naturale dello spazio tangente (isomorfo a formula_89) è data dai tre vettori:
Definendo inoltre
la matrice del cambio di coordinate da formula_92 a formula_93, si ha che un vettore di formula_89può essere scritto nei due sistemi di coordinate come
Poiché formula_96 manda un sistema di coordinate ortonormali levogiro in un altro, si ha formula_97
Esprimendo in modo esplicito le relazioni tra i versori di base si ottiene:
e inversamente
In fisica delle particelle in alcuni casi si preferisce usare in luogo dell'angolo polare formula_66 la pseudorapidità definita come
