
In matematica, un'equazione di secondo grado o quadratica ad un'incognita formula_1 è un'equazione algebrica in cui il grado massimo con cui compare l'incognita è 2, ed è sempre riconducibile alla forma:
Per il teorema fondamentale dell'algebra, le soluzioni (dette anche radici o zeri dell'equazione) delle equazioni di secondo grado nel campo complesso sono sempre due, se contate con la loro molteplicità. Nel campo reale invece le equazioni quadratiche possono ammettere due soluzioni, una soluzione doppia, oppure nessuna soluzione.
Sono poi particolarmente semplici da risolvere le cosiddette equazioni "incomplete", dove alcuni coefficienti sono uguali a zero.
Il grafico della funzione
nel piano cartesiano è una parabola, la cui concavità dipende dal segno di formula_4. Più precisamente: se formula_5 la parabola ha la concavità rivolta verso l'alto, se formula_6 la parabola ha la concavità rivolta verso il basso.
Gli antichi babilonesi lasciarono nelle tavolette di argilla le prime testimonianze della scoperta delle equazioni quadratiche e trovarono le prime tecniche per risolverle. In Mesopotamia spesso le equazioni erano introdotte da problemi di tipo geometrico: ad esempio si chiede di trovare il lato di un quadrato sapendo che l'area meno un lato è uguale a 870; problema che corrisponde alla nostra equazione formula_7 (ridotta in forma normale come formula_8). I Babilonesi non accettavano però le soluzioni negative e nulle delle equazioni e, non accettando il fatto che i coefficienti potessero assumere valori sia positivi che negativi, non veniva riconosciuta nemmeno una forma normale unica ma erano distinti tre casi con coefficienti positivi:
Espresse nella forma moderna la prima ha il termine noto negativo, la seconda il coefficiente di secondo grado negativo, e la terza entrambi i coefficienti minori di zero. L'equazione con tutti i termini positivi non era nemmeno presa in considerazione in quanto ammette solo soluzioni negative.
Nella forma normale babilonese il coefficiente di secondo grado è unitario ma non arrivavano a tale forma, come successivamente gli arabi dividendo tutti i membri per formula_4. Data, per esempio, l'equazione formula_13, entrambi i membri venivano infatti moltiplicati per formula_4: formula_15 e poi veniva effettuata la sostituzione formula_16 in modo da ottenere un'equazione in forma normale nella variabile formula_17; formula_18. Questo procedimento testimonia l'elevato grado di flessibilità raggiunto dall'algebra babilonese.
La soluzione era data tramite formule che ricordano molto quelle odierne. Per esempio la formula risolutiva per il primo caso era, espressa in notazione moderna, la seguente:
che può essere ridotta tramite semplici passaggi algebrici alla formula risolutiva moderna per questo caso
Il matematico indiano Baudhāyana, che scrisse un Shulba Sutras nell'antica India all'incirca nell'VIII secolo a.C., usò per primo equazioni quadratiche della forma formula_21 e formula_22, indicando i metodi per risolverle.
I matematici babilonesi (intorno al 400 a.C.) e cinesi utilizzarono il metodo del completamento del quadrato per risolvere varie equazioni quadratiche con radici positive, ma non ottennero una formula generale.
Euclide descrisse un metodo geometrico più astratto intorno al 300 a.C.; Diofanto di Alessandria si occupò della soluzione delle equazioni di secondo grado, tuttavia il suo lavoro non ebbe conseguenze significative poiché la matematica greca era in una fase di declino. Il "manoscritto di Bakshali", scritto in India fra il 200 a.C. e il 400 d.C., introdusse la formula risolutiva delle equazioni quadratiche.
Il primo matematico noto ad aver usato la formula algebrica generale, consentendo sia le soluzioni positive che quelle negative, fu Brahmagupta (India, VII secolo).
Al-Khwarizmi (BagdĀd, IX secolo d.C) sviluppò indipendentemente un insieme di formule che funzionava per le soluzioni positive. Nell"'al-Jabr", al-Khwarizmi distingue 5 tipi di equazione: i tre già noti ai babilonesi e in più l'equazione pura formula_23 e quella spuria formula_24. Anche qui si pone il coefficiente di secondo grado uguale a 1 ma ci si arriva tramite divisione. Le soluzioni negative non sono, nemmeno stavolta, accettate.
Il metodo usato da al-Khwarizmi è quello del "completamento del quadrato". L'equazione formula_25, per esempio, sarebbe stata risolta aggiungendo 16 a entrambi i termini in modo da "completare" il quadrato al primo membro: formula_26 ossia formula_27. Da questa si otteneva formula_28 e si trovava così a soluzione positiva formula_29.
Il matematico arabo proponeva anche una trasposizione grafica. Supponiamo di dover risolvere la stessa equazione formula_25. Il metodo usato dal persiano in questo caso avrebbe potuto essere "simile" al seguente: si tracci un quadrato che supponiamo avere lato formula_1 (quello blu in figura). Vi si affianchino due rettangoli di dimensioni formula_1 e 4 ossia formula_33 (quelli verdi in figura). L'area della figura verde e blu è formula_34. Poniamo ora questa area = 33. Aggiungiamo ora il quadratino rosso di lato 4, in modo da "completare" il quadrato grande. L'area totale sarà quindi formula_35 e il lato del quadrato grande è dunque 7. Poiché il lato grande è dato dal lato del quadrato blu (cioè formula_1) sommato al lato del rettangolo verde (cioè 4); formula_37.
Al-Khwaritzmi pone per la prima volta l'accento sul segno del discriminante, che deve essere positivo perché l'equazione sia risolubile.
La priorità della scoperta della formula generale per risolvere un'equazione quadratica è stata attribuita a Sridhara (870-930 circa), sebbene ai suoi tempi vi sia stata una disputa. La regola (come riportata da Bhaskara II) è:
Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (conosciuto anche con il nome latino Savasorda) fu il primo a introdurre in Europa la soluzione completa con il suo "Liber embadorum".
Nell'epoca moderna, in Europa, si iniziò ad accettare le soluzioni negative e, successivamente, quelle complesse e a porre l'equazione in un'unica forma normale.
Cartesio introdusse nel XVII secolo la regola dei segni, secondo la quale un'equazione di secondo grado ha tante soluzioni positive quanti sono i cambi di segno fra due coefficienti consecutivi. L'equazione formula_38, per esempio, ammette una soluzione negativa, invece formula_39 ne ha due.
Viète introdusse per primo delle lettere per esprimere i coefficienti delle equazioni, ipotizzando per primo che potessero assumere anche valori negativi. Scoprì poi le formule che portano il suo nome e che mettono in relazione i coefficienti dell'equazione con le radici. In particolare per l'equazione di secondo grado si afferma che se il coefficiente di secondo grado formula_4 è 1, allora il prodotto delle radici dà il termine noto e l'opposto della loro somma il coefficiente di primo grado.
Si dice "spuria" un'equazione quadratica che manca del termine noto, ossia avente la forma:
Un'equazione di questo tipo si risolve facilmente tramite scomposizione:
Per la legge di annullamento del prodotto quest'equazione è equivalente alle due:
E in definitiva le sue soluzioni sono
Si dice "equazione quadratica pura" un'equazione polinomiale di secondo grado mancante del termine di primo grado:
Portando formula_46 al secondo membro e dividendo per formula_4 si ottiene:
Se formula_49, non ammette soluzioni nel campo reale, in quanto non esistono numeri reali che siano radici quadrate di un numero negativo (per esempio formula_50) bensì esistono due soluzioni nel campo dei numeri complessi.
Se formula_51, l'equazione è risolta da:
Si dice "equazione monomia" un'equazione quadratica nella quale formula_53 e formula_54, dunque nella forma formula_55. In questo caso l'equazione ammette come unica soluzione doppia, o di molteplicità due, formula_56
Un'equazione polinomiale di secondo grado viene detta "equazione quadratica completa" quando tutti i suoi coefficienti sono diversi da 0. Essa viene risolta con il cosiddetto metodo del completamento del quadrato, così chiamato perché si modifica l'equazione fino a ottenere al suo primo membro il quadrato di un binomio nella forma formula_57.
Anzitutto portiamo formula_46 al secondo membro:
Moltiplichiamo per formula_60 entrambi i membri, ottenendo:
Notiamo che
e che
dunque possiamo considerare il termine formula_64 come la formula_65 della formula del quadrato di binomio e formula_66 come il doppio prodotto formula_67 dove la formula_68 è uguale a formula_69, dunque, per fare in modo che al primo membro si abbia un quadrato di binomio, sommiamo ad ambo i membri dell'equazione formula_70:
ovvero:
Il secondo membro di quest'equazione è detto "discriminante" e in genere viene indicato con la lettera greca formula_73 (Delta). Se formula_74 è negativo non ci sono soluzioni reali, dal momento che il primo membro, essendo un quadrato, è sempre maggiore o uguale a formula_75. In caso contrario, possiamo scrivere:
che con semplici passaggi possiamo riscrivere come:
Quest'ultima è nota come "formula risolutiva delle equazioni di secondo grado".
Alla luce della dimostrazione precedente è chiaro che, nella risoluzione di un'equazione quadratica, è anzitutto necessario calcolare il discriminante formula_78.

In algebra, una funzione quadratica è una funzione in una o più variabili definita in modo esplicito attraverso un polinomio di secondo grado. Ad esempio, una funzione quadratica nelle variabili "x", "y", "z" ha la seguente forma generale:
formula_1 con almeno uno tra formula_2 diverso da 0.
Una funzione quadratica in una variabile ha forma:
formula_3
Il suo grafico è una parabola con l'asse di simmetria parallelo all'asse "y". Uguagliando a zero una funzione quadratica si ottiene una equazione di secondo grado; le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono dette radici del polinomio associato.
Una funzione quadratica in due variabili ha forma:
formula_4 con formula_5 non contemporaneamente nulli. Il grafico di una funzione quadratica è, in generale, una ipersuperficie detta quadrica. 
Il sottoinsieme di formula_6 descritto da formula_7 è una sezione conica (ellisse, circonferenza, parabola, iperbole).
I coefficienti del polinomio che definisce la funzione possono essere reali o complessi, perché un polinomio può essere definito su qualunque anello.
Nel caso in cui tutti i coefficienti dei termini di secondo grado siano uguali a zero, si parla di caso degenere della funzione.
I polinomi di secondo grado (e quindi anche le funzioni quadratiche) sono generalizzate sugli spazi vettoriali dal concetto di forma quadratica.
L'aggettivo "quadratico " deriva dal latino "quadratum" (quadrato). Un termine di secondo grado formula_8 è detto quadrato perché rappresenta l'area di un quadrato di lato formula_9.
Una funzione quadratica in una variabile può essere espressa in tre forme:
La conversione dalla forma normale a quella fattorizzata si effettua calcolando le radici del polinomio; la conversione dalla forma normale a quella del vertice si effettua attraverso il completamento del quadrato; la forma normale si ricava dalle altre due eseguendo le operazioni indicate.
A prescindere dalla forma dell'espressione, il grafico di una funzione quadratica in una variabile formula_3 è una parabola. Da questo si ha, equivalentemente, che una parabola può essere descritta come formula_16.
Se formula_17, la parabola volge la concavità verso l'alto; se formula_18, la parabola volge la concavità verso il basso.
Il coefficiente formula_19 controlla la curvatura del grafico: maggiore è il suo valore assoluto, più stretta è la parabola. I coefficienti formula_19 e formula_21 concorrono a definire la posizione dell'asse di simmetria della parabola, quindi la coordinata formula_22 del vertice, data da formula_23. Il coefficiente formula_24 controlla l'altezza della parabola; in particolare essa intercetta l'asse "y" nel punto di coordinate formula_25.
Il vertice è il massimo o minimo assoluto della parabola. Se la funzione è nella forma del vertice, le sue coordinate sono formula_14.
Attraverso il completamento del quadrato, la forma normale
formula_3
può essere trasformata in
formula_28;
ponendo formula_29 (discriminante)
allora il vertice ha coordinate formula_30
quindi l'asse di simmetria passa per il vertice.
Se la funzione è in forma fattorizzata, sfruttando la simmetria della parabola, si dimostra che le coordinate del vertice possono essere calcolate equivalentemente come formula_31.
Siccome il punto di vertice è un massimo o un minimo della funzione quadratica, esso può essere trovato attraverso i teoremi dell'analisi matematica. Quindi, il punto di vertice deve essere radice della derivata:
formula_32
in questo punto la funzione vale
formula_33
quindi le coordinate del vertice sono:
formula_30
in accordo con quanto trovato prima.
Le radici (o zeri) di una funzione in una variabile sono i valori di formula_9 per i quali formula_36. Per il teorema fondamentale dell'algebra per una funzione quadratica le radici sono due (eventualmente coincidenti). Attraverso il completamento del quadrato si trova che:
formula_37.
Quindi a seconda del segno del discriminante si possono avere tre casi:
Il modulo delle radici non può essere più grande di formula_42, dove formula_43è la sezione aurea.
La funzione data dalla radice quadrata di una funzione quadratica in una variabile ha forma formula_44 ed ha come grafico una ellisse o una iperbole.
Se formula_17 il grafico è un'iperbole. La direzione dell'asse dell'iperbole è determinata dall'ordinata del vertice: se è negativa l'asse trasverso è verticale, se è negativa l'asse trasverso è orizzontale.
Se formula_18 il grafico è un'ellisse se esistono due radici reali e distinte; altrimenti è un punto (radici coincidenti), oppure non esiste grafico sul piano cartesiano (radici complesse).
Iterare una funzione significa applicarla ripetutamente, sostituendo alla variabile indipendente il valore della funzione trovato nella iterazione precedente. L'iterazione "n"-esima viene indicata con formula_47; la notazione può essere estesa ai numeri negativi se è possibile iterare la funzione inversa (se esiste) di formula_48. Non è sempre possibile scrivere l'espressione analitica di formula_47. Di seguito sono trattati due casi di funzioni quadratiche iterate in cui può essere scritto la forma analitica in modo esplicito.
Per la funzione formula_50 (con formula_51 parametri reali) la forma iterata è
formula_52
ponendo formula_53
allora formula_54
quindi per induzione formula_55
sempre per induzione si ha che formula_56
allora formula_57 è la soluzione esplicita.
La mappa logistica formula_58 con parametro formula_59 può essere risolta solo in alcuni casi, almeno uno dei quali è caotico e uno non lo è. Nel caso caotico formula_60 la soluzione è
formula_61 dove la condizione iniziale formula_62 è data da formula_63.
Per formula_62 razionale, dopo un numero finito di iterazioni, formula_65 entra in una sequenza periodica. Per formula_62 irrazionale formula_65 non si ripete mai con sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali; siccome la maggior parte dei formula_62 è irrazionale, il comportamento è caotico.
La soluzione della mappa logistica con formula_69 è formula_70 per formula_71.
Se formula_72, per ogni valore di formula_22 diverso dal valore instabile formula_74, il termine formula_75 per formula_76, quindi formula_77.
Una funzione quadratica in due variabili è una funzione definita da un polinomio di secondo grado della forma:
formula_4
dove formula_2 sono costanti e formula_80 non sono contemporaneamente nulli. Il grafico di questa funzione è una superficie(quadrica). L'insieme descritto da formula_7 è l'intersezione tra la superficie e il piano formula_82 ovvero una sezione conica.
Se formula_83 la funzione non ha massimi né minimi; il grafico è un paraboloide iperbolico.
Se formula_84 la funzione ha un punto di massimo (formula_17) o di minimo (formula_17); il suo grafico è un paraboloide ellittico. Le coordinate del punto di massimo o minimo sono formula_87.
Se formula_88 e formula_89 la funzione non ha massimi né minimi; il suo grafico è un cilindro parabolico.
Se formula_88 e formula_91 la funzione raggiunge un punto di massimo (formula_18) o minimo (formula_17); il suo grafico è un cilindro parabolico.
