
In matematica, il coefficiente binomiale formula_1 (che si legge "formula_2 su formula_3") è un numero intero non negativo definito dalla seguente formula
e può essere calcolato anche facendo ricorso al triangolo di Tartaglia. Alla voce Combinazione è dimostrato che esso fornisce il numero delle combinazioni semplici di formula_2 elementi di classe formula_3.
Per esempio:
è il numero di combinazioni di formula_10 elementi presi formula_11 alla volta.
Il coefficiente binomiale ha le seguenti proprietà:
formula_62. Esempio:
formula_63
Si può estendere il coefficiente binomiale al caso che formula_3 sia negativo, oppure maggiore di formula_2, ponendo:
Si può anche estendere il coefficiente ai numeri reali. A tale scopo, può convenire iniziare con l'osservazione che il coefficiente binomiale è anche il rapporto tra il numero delle funzioni iniettive da un insieme di cardinalità formula_3 in uno di cardinalità formula_2 (ovvero il numero delle disposizioni semplici di formula_2 oggetti di classe formula_3) ed il numero delle permutazioni di formula_3 oggetti:
Si può porre:
ad esempio,
Con tale convenzione, si ha:
ad esempio:
Si può notare che per formula_78 il coefficiente binomiale equivale alla somma dei primi formula_79 numeri naturali:


In algebra il teorema binomiale (o anche formula di Newton, binomio di Newton e sviluppo binomiale) esprime lo sviluppo della potenza formula_1-esima di un binomio qualsiasi con la formula seguente:
in cui il fattore formula_3 rappresenta il coefficiente binomiale ed è sostituibile con 
formula_4. Tali coefficienti sono peraltro gli stessi che si trovano nel noto triangolo di Tartaglia.
Lo sviluppo vale per ogni coppia di numeri reali o complessi, ma più in generale vale in ogni anello commutativo.
Come esempio di applicazione della formula, riportiamo i casi piccoli, formula_5, formula_6 ed formula_7:
Nel caso in cui formula_1 sia un numero reale o complesso, la somma finita è sostituita da una serie infinita. Questa formula generalizzata, nel caso di formula_1 reale positivo, fu realizzata da Isaac Newton (da cui il nome). 
In base all'ultimo teorema di Fermat, (per formula_13) la serie dei prodotti intermedi più un termine n-esimo non può essere la potenza n-esima di "un numero intero". 
Per assurdo, infatti, dati (x , y) interi, se ad esempio per formula_14 potessi raccogliere qualche formula_15 "intero", posto formula_16 al primo membro, potrei scrivere formula_17 con x, s, z interi.
È possibile, secondo il teorema, sviluppare una qualunque potenza intera di formula_18 in una sommatoria nella forma
dove formula_20 rappresentano i coefficienti binomiali. Utilizzando la notazione di sommatoria, la stessa formula può essere scritta:
Una variante di questa formula binomiale può essere ottenuta sostituendo formula_22 ad formula_23 e formula_23 a formula_25, considerando quindi una sola variabile. In questa forma, si ha:
o, in maniera equivalente,
Il teorema binomiale può essere dimostrato per induzione. Infatti è possibile introdurre per tale teorema un passo base per cui esso risulta banalmente vero
e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente n qualsiasi. Infatti presa per corretta l'espressione 
sicuramente vera per formula_30, si ha 
moltiplicando la sommatoria per formula_18 si ha
da cui, essendo 
ed inoltre
Utilizzando nel primo passaggio la proprietà del coefficiente binomiale
si ha che
essendo infine 
e 
si ha che
e si ottiene l'espressione formale dello sviluppo della potenza successiva del binomio
che conferma la tesi.
Se scriviamo formula_51 come il prodotto 
formula_52 
con formula_1 fattori, è evidente che il numero delle volte in cui compare nello sviluppo il termine formula_54 è pari al numero di combinazioni che si possono ottenere prendendo formula_55 volte formula_23 e formula_57 volte formula_25 dai fattori del prodotto, numero che è dato proprio da formula_3. 
Poiché per la proprietà distributiva il prodotto è dato dalla somma di questi termini al variare di formula_57 da formula_61 a formula_1, si ha subito la tesi.
La definizione fornita del binomio di Newton è valida solo per formula_1 numero naturale. È tuttavia possibile fornire una generalizzazione valida per formula_64, nonché approssimarla in un intorno destro dello 0 con una serie di Taylor.
Nella pratica si usano spesso solo i primi due termini della serie, ossia 
formula_65 dove il resto formula_66 indica un infinitesimo di ordine superiore al primo.
Lo sviluppo completo è
dove formula_68 è il coefficiente binomiale generalizzato, dato da
Lo sviluppo attorno all'origine della funzione formula_70 è
e, poiché
si ottiene
che è la formula di cui sopra. Troncando la serie al formula_57-esimo termine, l'errore che si ottiene è un infinitesimo di ordine formula_77.
