
In fisica, un'onda sinusoidale è un'onda descritta matematicamente dalla funzione seno.
Una sinusoide o curva sinusoidale è la curva rappresentata dal grafico del seno. Una sinusoide è analoga alla curva relativa alla funzione coseno, detta cosinusoide, sfasata di formula_1.
Un'onda sinusoidale è un'onda dove la variabile formula_2 è una funzione della forma:
dove formula_4 è l'ampiezza, mentre:
è la pulsazione (o velocità angolare, indica quanti periodi ci sono in un intervallo di formula_6). Inoltre:
è la frequenza, che indica quante volte in un'unità di tempo la funzione si ripete, e:
è il periodo, con formula_9 oppure formula_10 la fase.
Il grafico di una tale classe di funzioni è compreso tra le rette formula_11 e formula_12. 
Poiché si tratta di una funzione periodica, detto formula_13 il periodo si ha:
Usando la formula di Eulero, un'onda sinusoidale può essere rappresentata come la parte reale della funzione: 
dove formula_16 è il vettore d'onda, che identifica la direzione di propagazione dell'onda al posto della velocità di propagazione. Il suo modulo è chiamato "pulsazione spaziale", ed è legato alla lunghezza d'onda dalla relazione:
Lo scalare formula_18 è l'ampiezza dell'onda, e rappresenta il massimo valore della grandezza rappresentativa dell'onda in un periodo. Il termine formula_19 rappresenta la fase iniziale dell'onda.
Le onde sinusoidali sono una soluzione particolare dell'equazione delle onde. L'onda è una funzione dello spazio e tempo, per cui un'onda monodimensionale associa ad ogni posizione spaziale formula_2 e ad ogni tempo formula_21 un'ampiezza di oscillazione formula_22 attorno alla posizione di equilibrio:
Sono possibili perciò due punti di vista: 
In entrambi i casi si può partire dalla dipendenza co-sinusoidale delle variabili nel moto armonico, ricavate considerando quest'ultimo come una opportuna proiezione di un moto circolare uniforme: 
dove formula_33 è l'ampiezza dell'oscillazione e formula_19 è la fase iniziale. Attribuendo a formula_19 un valore di 90 gradi si può passare da una forma in coseno ad una in seno, quindi le espressioni sono equivalenti. L'espressione è in formula_22 per attuare la "visualizzazione" dell'oscillazione lungo l'asse verticale del sistema coordinato.
Fissando la variabile formula_2 si ha:
dove formula_39 è il periodo dell'onda. La fase iniziale è nulla, e se la perturbazione sul mezzo si propaga dall'inizio muovendosi con velocità di fase formula_40 allora essa raggiungerà un altro punto (a destra dell'origine) ad una certa distanza formula_41 dopo un tempo:
Ciò significa che il punto alla coordinata formula_41 avrà, al tempo formula_21, uno spostamento verticale uguale a quello che aveva il punto iniziale t1 secondi prima. La propagazione è quindi descritta dall'espressione:
Raccogliendo formula_6 si può passare ad una forma più comune che talvolta si trova sui testi:
Se si chiama numero d'onda formula_48 la quantità formula_49, e se la pulsazione è formula_50, il rapporto già noto dallo studio del moto circolare formula_51 consente di pervenire formalmente all"'equazione delle onde armoniche":
Se all'espressione in coseno iniziale si fosse aggiunta una fase di 90° si sarebbe ottenuta un'espressione in seno negativo poiché formula_53, e questo avrebbe portato a un'espressione sinusoidale con i segni interni invertiti, cioè formula_54, che talvolta viene presentata sui testi.
Considerando il secondo caso dell'elenco sopra, ad un tempo fissato:
Si è espresso il tempo come formula_56, sostituendo ed usando la relazione fondamentale delle onde formula_57 (la lunghezza d'onda è lo spazio percorso da un'onda con velocità di fase formula_58 in un periodo formula_39): in ogni caso, quel che conta è che si ottiene una cosinusoide di periodo spaziale formula_60 dipendente solo dalla posizione formula_2. Se l'impulso si sta muovendo lungo l'asse delle ascisse, inducendo una oscillazione sulle ordinate, ad un certo istante successivo a quello fissato il punto alla certa coordinata formula_2 avrà una elevazione uguale a quella del punto formula_63 da cui l'impulso è partito formula_21 secondi prima. L'onda si propaga quindi (verso destra) con un profilo dato da:
mentre si sarebbe dovuta considerare una espressione in parentesi tonda del tipo formula_66 se si fosse voluta descrivere la propagazione verso sinistra. Esprimendo formula_67 e sostituendo, si ha l'espressione:
che considerando la relazione goniometrica formula_69 è analoga a quella ottenuta in precedenza (perché si cambiano i segni dell'argomento).
 


In matematica, in particolare in trigonometria, dato un triangolo rettangolo il seno di uno dei due angoli interni adiacenti all'ipotenusa è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto opposto all'angolo e dell'ipotenusa. 
Più in generale il seno di un angolo formula_1, espresso in gradi o radianti, è una quantità che dipende solo da formula_1, costruita usando la circonferenza unitaria.
Definendo come formula_3 il seno nell'angolo formula_4 si ottiene la funzione seno, una funzione trigonometrica di fondamentale importanza nell'analisi matematica. In ambito italiano questa funzione viene spesso indicata con formula_5.
Nel triangolo rosso in figura, il seno di formula_4 è dato da
Più in generale si definisce il seno di un angolo formula_4 a partire dalla circonferenza goniometrica, ovvero dalla circonferenza di raggio unitario nel piano cartesiano. Presa la semiretta uscente dall'origine che forma un angolo formula_4 con l'asse delle ascisse come in figura, il seno dell'angolo è quindi definito come il valore della coordinata formula_10 del punto di intersezione tra la semiretta e la circonferenza (in figura, è la lunghezza del segmento formula_11). 
Il dominio della funzione seno è l'insieme dei numeri reali, mentre il codominio è l'intervallo reale formula_12, ossia applicando tale funzione a qualunque numero reale si ottiene sempre un numero reale compreso tra formula_13 e formula_14, estremi inclusi.
La tabella seguente elenca i principali valori notevoli assunti dalla funzione seno:
D'altra parte il teorema di Pitagora applicato al triangolo formula_31 fornisce la relazione
e quindi 
Vale anche la relazione:
Come per il coseno, la cosecante di un angolo è formula_35 diviso il seno dell'angolo.
La derivata della funzione seno è la funzione coseno: 
La derivata seconda è invece
La funzione seno è una funzione analitica, la cui espansione in serie di Taylor è
In analisi matematica questa uguaglianza è spesso usata per definire il seno. La stessa serie definisce il seno come funzione olomorfa su tutto il piano complesso.
Seguono alcune equazioni fondamentali riguardanti la funzione seno:
con l'aggiunta della condizione che:
Esiste anche un'identità trigonometrica che mette in relazione la funzione seno alla funzione tangente:
Questa identità si rivela di fondamentale importanza nella risoluzione di equazioni goniometriche in cui l'incognita figuri come argomento sia di un seno sia di un coseno o di funzioni derivate da queste. Esiste infatti un'analoga identità per quanto riguarda il coseno e l'uso congiunto di queste due identità permette la risoluzione dell'equazione nell'incognita formula_44.
Il reciproco del seno, definito dove il seno è diverso da zero, è la cosecante:
La funzione seno ristretta all'intervallo formula_46 come dominio e con codominio formula_47 è biettiva, e quindi ha un’inversa, chiamata arcoseno e indicata con formula_48 o con formula_49 che riprende la notazione della funzione inversa. Per definizione si ha quindi: 
Dalla formula di Eulero si deduce che la funzione seno è in relazione con la funzione esponenziale e con la funzione seno iperbolico. Infatti per ogni numero reale formula_4 si ha 
Alcune formule particolari riguardanti la funzione seno coinvolgono l'operazione di prodotto. 
Per esempio risulta per ogni intero formula_53
In analisi complessa, applicando teorema di fattorizzazione di Weierstrass alla funzione seno, la si può esprimere come prodotto infinito, mediante la seguente formula che vale per ogni numero complesso formula_55
La funzione seno è anche in relazione con alcune funzioni speciali, come si evince, per esempio, dalla formula di riflessione della funzione Gamma 
e dall'equazione funzionale soddisfatta dalla funzione zeta di Riemann
Il concetto di seno fu introdotto dal matematico e astronomo indiano Aryabhata I (in devanāgarī: आर्यभट) nella sua opera "Aryabhatiya" (499).
Il seno è per definizione la metà di una "corda", cioè un segmento che unisce due punti (detti "estremi") di una circonferenza. In sanscrito, "metà corda" è reso con "jya-ardha", a volte sostituito con "ardha-jya" e abbreviato in "jya" "corda". Questo termine fu importato nella lingua araba come "jiba", un termine senza significato prima di allora, ma che rifletteva la pronuncia del nome "jya". Secondo le regole della lingua araba, questo nome venne scritto con le due consonanti "jb", senza vocali. Successivamente, quando i traduttori occidentali attinsero alle fonti arabe, interpretarono la parola "jb" come "jaib", il cui significato era "baia". Infine l'italiano Gherardo da Cremona (1114 - 1187) tradusse la parola in latino come "sinus", il cui significato era appunto "baia".
