
In matematica l'uguaglianza indica comunemente una relazione binaria di equivalenza fra due enti, detti membri dell'uguaglianza. 
Rappresenta uno dei concetti più importanti e fondamentali introdotti a livello della logica di una teoria.
Più formalmente per uguaglianza/Identità, in una teoria del primo ordine, si intende una relazione, di solito definita col simbolo "=", che verifichi i seguenti assiomi:
dove formula_3 è un predicato contenente la variabile libera formula_4
L'assioma di riflessività e lo schema degli assiomi caratterizzano formalmente l'idea intuitiva di uguaglianza: il primo assioma afferma che ogni oggetto è uguale a se stesso, mentre il secondo afferma che due oggetti uguali verificano le stesse proprietà. In particolare lo schema degli assiomi afferma che due oggetti uguali sono essenzialmente la stessa cosa, infatti non c'è modo di distinguerli dato che: "" tutto ciò che è vero per uno, è vero per l'altro"".
In particolare in una logica del secondo ordine, gli assiomi di uguaglianza si possono riformulare nel seguente modo:
dove formula_7 è un predicato.
Si noti, che in questo caso, si hanno solo due assiomi, mentre nell'altra definizione abbiamo uno schema di assiomi, questo è dovuto al fatto che nella logica del primo ordine non si può quantificare sulle proprietà diversamente da quanto avviene nella logica del secondo ordine.
L'uguaglianza è una relazione di equivalenza; tuttavia essa è molto particolare in quanto tutte le sue classi di equivalenza hanno cardinalità 1, e ciò è dovuto al fatto che l'uguaglianza gode di proprietà più restrittive rispetto alle consuete proprietà delle relazioni di equivalenza. 
Una relazione di uguaglianza definita su un dato universo ha per grafico, nel prodotto cartesiano formula_8, l'insieme formula_9 


In matematica, un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni che ammettono le stesse soluzioni.
Ad esempio:
è un sistema con due equazioni e due incognite che descrive l'intersezione di una circonferenza e una retta nel piano cartesiano.
La scrittura generica di un sistema di formula_2 equazioni in formula_3 incognite è la seguente:
dove formula_5 esprimono le funzioni delle incognite.
L"'insieme ambiente" formula_6 è l'insieme dei valori che possono assumere le variabili, ed è specificato "a priori". Generalmente, si assume che le variabili siano reali, e che le funzioni abbiano senso per ogni valore dell'insieme ambiente. Spesso l'insieme ambiente viene determinato "a posteriori" valutando per quali valori reali il sistema ha senso (valutando quindi il suo insieme di definizione). Ad esempio, il sistema
ha senso per ogni coppia di numeri reali formula_8 con formula_9.
Formalmente, l'insieme ambiente è quindi un sottoinsieme dello spazio euclideo formula_10, dove formula_3 è il numero di incognite.
In generale, i sistemi possono essere studiati anche con variabili non reali: possono essere ad esempio complesse, o più generalmente appartenere a qualche anello o campo.
"Risolvere un sistema" significa determinare l'insieme formula_12 dei valori che, sostituiti alle variabili, verificano tutte le equazioni. L'insieme formula_12 è un sottoinsieme dell'insieme ambiente, e prende il nome di "insieme delle soluzioni"; ciascuno dei suoi elementi è una "soluzione" del sistema.
Se formula_14 è l'insieme delle soluzioni della formula_15-esima equazione, abbiamo
I metodi di risoluzione più elementari si basano su operazioni che trasformano il sistema in un altro equivalente, ma più semplice. Negli esempi successivi si prendono in considerazione solo sistemi lineari per la loro facilità di risoluzione, ma questi metodi possono essere usati anche in altri casi.
Si esplicita un'incognita esprimendola in funzione delle altre (per esempio formula_17 diventa formula_18) in una delle equazioni del sistema e si sostituisce l'espressione così ottenuta nelle altre equazioni in luogo dell'incognita corrispondente. In questo modo l'incognita sparisce da tutte le equazioni eccetto la prima. Si applica iterativamente il metodo fino a giungere a un'equazione con una sola incognita; si calcola il valore di quest'ultima e si risale fino alla prima esplicitando via via i valori delle incognite calcolate.
Si esplicita, in due delle equazioni, una delle variabili (o in generale, una stessa quantità), ottenendo così di poter eguagliare i secondi membri (che risulteranno indipendenti dalla variabile esplicitata) per la proprietà transitiva dell'uguaglianza. L'equazione così composta potrà essere riscritta al posto di una delle due precedenti, ottenendo un sistema equivalente.
Dato un sistema lineare nella forma
dove formula_20 è il vettore colonna delle incognite, formula_21 è il vettore colonna dei termini noti e formula_6 è la matrice dei coefficienti ed è quadrata e invertibile, la soluzione è unica ed è pari al prodotto:
dove formula_24 è l'inversa di formula_6. Il calcolo della matrice inversa è spesso complicato e oneroso dal punto di vista computazionale, ragion per cui un sistema lineare normalmente non viene risolto calcolando direttamente la matrice inversa.
Di grande importanza teorica per i sistemi lineari, ma non utilizzata in pratica per motivi simili, è la regola di Cramer.
Di uso generale per sistemi con migliaia di equazioni è invece il metodo di eliminazione di Gauss, che si basa sul metodo di riduzione.
Il metodo di riduzione è specifico per i sistemi lineari. Il procedimento consiste nel sostituire una delle equazioni del sistema con una opportuna combinazione lineare di due equazioni del sistema stesso, ottenendo un sistema equivalente a quello dato. Più precisamente, se due righe sono espresse come prodotto tra opportune sottomatrici dei coefficienti e il vettore x delle soluzioni, ovvero 
allora è possibile sostituire una delle due con l'equazione 
dove formula_2 e formula_3 sono due numeri scalari qualsiasi, entrambi diversi da zero.
Lo studio dei sistemi non polinomiali è spesso molto difficile, e nella maggior parte dei casi non esistono formule o algoritmi che permettano di descrivere precisamente l'insieme delle soluzioni. Anche i sistemi polinomiali di grado basso sono spesso non risolvibili.
Spesso si ovvia a questo problema "linearizzando il sistema", studiando cioè le soluzioni di un sistema lineare che approssimi il sistema dato. In questo modo è spesso possibile ottenere una descrizione qualitativa o approssimativa delle soluzioni.
Si vuole utilizzare il metodo risolutivo per sostituzione. Esplicitiamo formula_31 nella prima equazione e sostituiamolo dove compare nelle altre:
Ora calcoliamo formula_33 nella seconda in funzione di formula_34:
In questo modo la terza equazione adesso contiene solo formula_34: risolvendola viene
Quindi ora calcolando la formula_33 nella seconda viene la soluzione
Si vuole utilizzare il metodo risolutivo per confronto. Isoliamo la variabile z nella prima e seconda equazione:
Confrontiamo le due espressioni risultanti:
Da cui risulta:
E risolvendo per sostituzione tra le prime due equazioni:
Dunque:
