
La moltiplicazione è una delle quattro operazioni fondamentali dell'aritmetica. È un modo rapido per rappresentare la somma di numeri uguali. Il risultato di una moltiplicazione è chiamato "prodotto", mentre i due numeri moltiplicati sono detti "fattori" se considerati insieme, e rispettivamente "moltiplicando" e "moltiplicatore" se presi individualmente.
Nella scrittura matematica, esistono due diversi simboli utilizzati per indicare la moltiplicazione: entrambe le seguenti notazioni significano "cinque moltiplicato per due volte" ed entrambe si leggono "cinque per due":
Qualora i due moltiplicandi non siano scritti in cifre, e quindi non ci sia il rischio di equivoco, è possibile anche semplicemente giustapporli, come in:
anche per leggere queste formule vale lo stesso principio: se non c'è rischio di equivoco si può omettere il "per", come nella prima ("due zeta"), altrimenti verrà detto, come nella seconda ("due per, aperta parentesi, zeta più due, chiusa parentesi" o "due per, tra parentesi, zeta più due") o infine "due che moltiplica zeta più due".
Nei linguaggi di programmazione e nelle calcolatrici, la moltiplicazione viene solitamente indicata con l'asterisco (*).
Dati due numeri interi positivi formula_4 e formula_5, detto il primo "moltiplicando" ed il secondo "moltiplicatore", la definizione di moltiplicazione non è altro che:
ovvero "addizionare il numero formula_4 per formula_5 volte".
Usando una formula più ristretta, con il simbolo di sommatoria:
Quindi, per esempio:
Data la proprietà commutativa della moltiplicazione (vedi più in basso), talvolta si dà la seguente definizione (equivalente) di moltiplicazione:
A partire dalla definizione, si può dimostrare che la moltiplicazione ha le seguenti proprietà:
Per la moltiplicazione nel campo dei numeri razionali (v. sotto) vale anche
Nel libro "Arithmetices principia, nova methodo exposita", Giuseppe Peano propose un sistema assiomatico per i numeri naturali; due di questi assiomi riguardano la moltiplicazione:
Qui "b"' rappresenta l'elemento dei numeri naturali successivo di "b". Con gli altri nove assiomi di Peano, è possibile provare le regole comuni della moltiplicazione, come la proprietà distributiva e associativa. I due assiomi elencati forniscono una definizione ricorsiva della moltiplicazione.
Estendiamo l'operazione di moltiplicazione al caso dei numeri negativi, definendo quanto segue: dato x numero naturale
dove con − x si intende l'inverso additivo di x : 
Da qui abbiamo che la moltiplicazione di interi qualunque si riduce alla moltiplicazione di interi positivi e di formula_24. 
Lo schema che ne deriva è detto "regola dei segni":
Quest'ultima regola pratica ha un'interpretazione anche nella vita reale. Supponiamo di guadagnare "m" euro l'anno; tra "n" anni avremo "mn" euro (un numero positivo), mentre se questo guadagno era iniziato nel passato allora "n" anni fa (cioè "tra meno "n" anni") avevamo "mn" euro in meno (un numero negativo). Se invece perdessimo "m" euro l'anno (cioè guadagnassimo "meno "m" euro"), tra "n" anni ne avremo "mn" in meno, ma "n" anni fa ne avevamo "mn" in più di quanti ne abbiamo ora.
La definizione di moltiplicazione si può infine estendere ai numeri razionali, ai numeri reali, e ai numeri complessi.
Per i numeri razionali abbiamo che 
verificando che la definizione è indipendente dai rappresentanti scelti.
Per i numeri reali, una definizione di moltiplicazione si può ottenere prendendo il modello di numero reale come sezione di Dedekind: dati due numeri reali positivi, rappresentati come sezioni in campo razionale, moltiplicando (con opportuni accorgimenti) i minoranti tra loro e i maggioranti tra loro si ottiene ancora una sezione, che rappresenta il prodotto dei due numeri. La definizione si può poi estendere a tutti i numeri reali seguendo la regola dei segni indicata nella sezione precedente.
Per i numeri complessi, infine, si ha:


In algebra il teorema binomiale (o anche formula di Newton, binomio di Newton e sviluppo binomiale) esprime lo sviluppo della potenza formula_1-esima di un binomio qualsiasi con la formula seguente:
in cui il fattore formula_3 rappresenta il coefficiente binomiale ed è sostituibile con 
formula_4. Tali coefficienti sono peraltro gli stessi che si trovano nel noto triangolo di Tartaglia.
Lo sviluppo vale per ogni coppia di numeri reali o complessi, ma più in generale vale in ogni anello commutativo.
Come esempio di applicazione della formula, riportiamo i casi piccoli, formula_5, formula_6 ed formula_7:
Nel caso in cui formula_1 sia un numero reale o complesso, la somma finita è sostituita da una serie infinita. Questa formula generalizzata, nel caso di formula_1 reale positivo, fu realizzata da Isaac Newton (da cui il nome). 
In base all'ultimo teorema di Fermat, (per formula_13) la serie dei prodotti intermedi più un termine n-esimo non può essere la potenza n-esima di "un numero intero". 
Per assurdo, infatti, dati (x , y) interi, se ad esempio per formula_14 potessi raccogliere qualche formula_15 "intero", posto formula_16 al primo membro, potrei scrivere formula_17 con x, s, z interi.
È possibile, secondo il teorema, sviluppare una qualunque potenza intera di formula_18 in una sommatoria nella forma
dove formula_20 rappresentano i coefficienti binomiali. Utilizzando la notazione di sommatoria, la stessa formula può essere scritta:
Una variante di questa formula binomiale può essere ottenuta sostituendo formula_22 ad formula_23 e formula_23 a formula_25, considerando quindi una sola variabile. In questa forma, si ha:
o, in maniera equivalente,
Il teorema binomiale può essere dimostrato per induzione. Infatti è possibile introdurre per tale teorema un passo base per cui esso risulta banalmente vero
e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente n qualsiasi. Infatti presa per corretta l'espressione 
sicuramente vera per formula_30, si ha 
moltiplicando la sommatoria per formula_18 si ha
da cui, essendo 
ed inoltre
Utilizzando nel primo passaggio la proprietà del coefficiente binomiale
si ha che
essendo infine 
e 
si ha che
e si ottiene l'espressione formale dello sviluppo della potenza successiva del binomio
che conferma la tesi.
Se scriviamo formula_51 come il prodotto 
formula_52 
con formula_1 fattori, è evidente che il numero delle volte in cui compare nello sviluppo il termine formula_54 è pari al numero di combinazioni che si possono ottenere prendendo formula_55 volte formula_23 e formula_57 volte formula_25 dai fattori del prodotto, numero che è dato proprio da formula_3. 
Poiché per la proprietà distributiva il prodotto è dato dalla somma di questi termini al variare di formula_57 da formula_61 a formula_1, si ha subito la tesi.
La definizione fornita del binomio di Newton è valida solo per formula_1 numero naturale. È tuttavia possibile fornire una generalizzazione valida per formula_64, nonché approssimarla in un intorno destro dello 0 con una serie di Taylor.
Nella pratica si usano spesso solo i primi due termini della serie, ossia 
formula_65 dove il resto formula_66 indica un infinitesimo di ordine superiore al primo.
Lo sviluppo completo è
dove formula_68 è il coefficiente binomiale generalizzato, dato da
Lo sviluppo attorno all'origine della funzione formula_70 è
e, poiché
si ottiene
che è la formula di cui sopra. Troncando la serie al formula_57-esimo termine, l'errore che si ottiene è un infinitesimo di ordine formula_77.
