
In matematica, e in particolare in geometria analitica e in geometria proiettiva, con sezione conica, o semplicemente conica, si intende genericamente una curva piana che sia luogo dei punti ottenibili intersecando la superficie di un cono circolare con un piano.
Le sezioni coniche sono state studiate accuratamente in epoca ellenistica, in particolare da Menecmo ed Apollonio di Perga intorno al 200 a.C.; questi diede anche i nomi tuttora in uso per i tre tipi fondamentali di sezioni coniche: ellisse (la circonferenza ne è un caso degenere), parabola e iperbole.
Si consideri il cono circolare retto costituito dalle rette generatrici che, con il suo asse, formano un angolo di ampiezza θ.
Si tenga presente che i punti del cono si tripartiscono in tre sottoinsiemi: uno costituito solo dal suo vertice e due sottoinsiemi separatamente connessi dette "falde" o "nappe".
A seconda del tipo di piano che interseca il cono si hanno due tipi di curve: le cosiddette "non degeneri" e le "degeneri". Per quanto riguarda le prime si può avere:
Le cosiddette "coniche degeneri" si ottengono, invece, per intersezioni con piani passanti per il vertice del cono:
Il grafico di ogni equazione quadratica in due variabili reali, se i coefficienti soddisfano determinate condizioni che preciseremo, individua una sezione conica di un piano cartesiano, cioè di un piano riferito ad un sistema di coordinate cartesiane. Si trova inoltre che tutte le sezioni coniche si possono ottenere in questo modo.
Se si considera l'equazione quadratica nella forma 
si ha la seguente casistica:
Condizione necessaria affinché la curva sia una circonferenza è che formula_8.
Quello che si sta dicendo è che se formula_9 l'equazione data non può rappresentare una circonferenza, se invece formula_10 allora l'equazione potrebbe rappresentare una circonferenza. Ciò implica che, ad esempio, formula_11 non può essere l'equazione di una circonferenza, mentre invece formula_12 potrebbe esserlo, tuttavia formula_13, perciò non esiste nessun punto che soddisfi l'equazione data.
Una definizione alternativa delle sezioni coniche viene data a partite da una retta formula_14, la "direttrice," un punto formula_15 esterno a formula_14, detto "fuoco", e un numero formula_17, che prende il nome di "eccentricità". A tali enti si fa corrispondere la sezione conica consistente in tutti i punti la cui distanza da "formula_15" è uguale al prodotto di formula_19 per la rispettiva distanza da "formula_14". Per formula_21 si ottiene una circonferenza, per formula_22 un'ellisse, per formula_23 una parabola e per formula_24 un'iperbole.
Per una ellisse e una iperbole si possono assumere due coppie fuoco + direttrice, ciascuna fornendo la stessa intera curva. La distanza del centro dalla direttrice è formula_25, dove formula_26 denota il semiasse maggiore dell'ellisse, oppure la distanza del centro da ciascuno dei punti di distanza minima dell'iperbole. La distanza del centro da un fuoco è formula_27.
Nel caso della circonferenza si deve immaginare la retta direttrice a distanza infinita dal fuoco, cioè la retta si trova all'infinito del piano. Questo caso non si può trattare a partire dalla richiesta che la circonferenza sia il luogo dei punti la cui distanza dal centro sia "formula_19" volte la distanza da formula_14, in quanto si avrebbe una forma indeterminata della forma zero per infinito; questo caso va trattato come caso limite di ellissi.
Si può dunque affermare che l'eccentricità di una sezione conica dia una misura di quanto essa si allontani dall'essere circolare.
Per una data lunghezza formula_26 del semiasse maggiore, quanto più formula_19 si avvicina a 1, tanto più piccolo è il semiasse minore.
Sia formula_32 l'equazione associata alla conica tale che formula_33.Ad essa si associano due matrici formula_34 e formula_35 simmetriche tali che:
formula_36
È possibile distinguere i diversi tipi di conica studiando il determinante delle due matrici:
Si definisce semilato retto di una sezione conica C un segmento ortogonale all'asse maggiore che ha una estremità nel suo fuoco singolo o in uno dei suoi due fuochi e l'altra in un punto della C; la sua lunghezza di solito si denota con "l". Questa grandezza viene collegata alle lunghezze dei semiassi "a" e "b" dall'uguaglianza formula_43.
In coordinate polari, una sezione conica con un fuoco nell'origine e, se dotata di un secondo fuoco, con questo sul semiasse positivo delle "x", è determinata dall'equazione
Le sezioni coniche sono importanti in astronomia: le orbite di due corpi (con masse elevate) che interagiscono secondo la legge di gravitazione universale sono sezioni coniche rispetto al loro comune centro di massa considerato a riposo. Se tra di loro si esercita una attrazione sufficiente, entrambi percorrono un'ellisse; se l'attrazione reciproca è insufficiente si muovono con la possibilità di allontanarsi illimitatamente percorrendo entrambi parabole o iperboli. Si veda in proposito problema dei due corpi.
In geometria proiettiva le sezioni coniche nel piano proiettivo sono considerate equivalenti, nel senso che possono essere trasformate l'una nell'altra mediante una trasformazione proiettiva.
In epoca ellenistica la conoscenza delle coniche permise la costruzione di specchi parabolici, forse applicati in attività belliche (v. Specchi ustori) e nella costruzioni di fari di grande portata (v. Faro di Alessandria).
Per una trattazione breve e abbastanza semplice delle sezioni coniche che mostra come esse si possono caratterizzare equivalentemente come intersezioni di un piano con un cono e in termini di fuochi o di un fuoco e una direttrice vedi Sfere di Dandelin.
Consideriamo un cono avente come asse l'asse delle "z" e il vertice nell'origine. Esso è determinato dall'equazione 
dove
e formula_47 denota l'angolo che ogni generatrice del cono forma con l'asse. Si noti che questa equazione individua due superfici una posta al di sopra e l'altra al di sotto del vertice; nel parlare comune ciascuna di queste superfici viene detta cono; i matematici preferiscono parlare di due nappe la cui unione costituisce il cono e la cui intersezione si riduce al vertice del cono.
Consideriamo un piano P che interseca il piano "Oxy" in una retta parallela all'asse delle "y" e che interseca il piano "Oxz" in una retta con una certa pendenza; la sua equazione è
dove
e formula_50 è l'angolo che P forma con il piano "Oxy".
Ci proponiamo di individuare l'intersezione del cono con il piano P: questo richiede la combinazione delle due equazioni (1) e (2). Queste si possono risolvere nella variabile "z" e le espressioni trovate si possono uguagliare. 
L'equazione (1) per la "z" fornisce
di conseguenza 
Elevati al quadrato i due membri e sviluppato il binomio del membro a destra si ottiene 
Raggruppando le variabili si giunge alla
Si noti che questa è l'equazione della proiezione della sezione conica sul piano "Oxy"; Quindi questa equazione fornisce una figura ottenuta dalla sezione conica mediante una contrazione nella direzione dell'asse delle "x".
Si ottiene una parabola quando la pendenza del piano P è uguale alla pendenza delle generatrici del cono. In questo caso gli angoli
formula_47 
e
formula_50
sono complementari. Questo implica che
di conseguenza 
Sostituendo l'equazione (4) nell'equazione (3) si fa scomparire il primo termine nell'equazione (3) e rimane l'equazione
Moltiplicando entrambi i membri per "a",
a questo punto si può trovare un'espressione per la "x":
L'equazione (5) descrive una parabola il cui asse è parallelo all'asse delle "x". Altre versioni della equazione (5) si possono ottenere ruotando il piano intorno all'asse delle "z".
Si individua un'ellisse quando la somma degli angoli formula_62 e formula_50 è inferiore ad un angolo retto:
In tal caso la tangente della somma dei due angoli è positiva.
Ricordiamo ora la identità trigonometrica 
questa implica
Ma "m + a" è positivo, in quanto è la somma di due numeri positivi; quindi la disuguaglianza (6) è positiva se anche il denominatore è positivo:
Dalla disuguaglianza (7) si deducono:
Riprendiamo ancora l'equazione (3),
ma questa volta assumiamo che il coefficiente di "x" non si annulli ma sia invece positivo. Risolviamo per la "y": 
Questa equazione descriverebbe chiaramente un'ellisse, se non fosse presente il secondo termine sotto il segno di radice, "2 m b x": sarebbe l'equazione di una circonferenza dilatata proporzionalmente secondo le direzioni dell'asse delle "x" e dell'asse delle "y". L'equazione (8) in effetti individua un'ellisse ma in modo non evidente; quindi occorre manipolarla ulteriormente per convincersi di questo fatto. Completiamo il quadrato sotto il segno di radice:
Raccogliamo i termini in "b":
Dividiamo per "a" ed eleviamo al quadrato entrambi i membri:
Un'ulteriore manipolazione delle costanti finalmente conduce a 
Il coefficiente del termine in "y" è positivo (per un'ellisse). Cambiando i nomi dei coefficienti e delle costanti ci conduce a 
che è chiaramente l'equazione di un'ellisse. In altri termini, l'equazione (9) descrive una circonferenza di raggio "R" e centro "(C,0)" che viene poi dilatata verticalmente per un fattore formula_82. Il secondo termine del membro a sinistra (il termine nella "x") non ha coefficiente ma è un quadrato, quindi deve essere positivo. Il raggio è un prodotto di quadrati e quindi deve essere anch'esso positivo. Il primo termine del membro a sinistra (il termine in "y") ha un coefficiente positivo, e dunque l'equazione descrive un'ellisse.
L'intersezione del cono con il piano P fornisce un'iperbole quando la somma degli angoli formula_83 e formula_84 è un angolo ottuso, maggiore di un angolo retto. La tangente di un angolo ottuso è negativa e tutte le disuguaglianze trovate per l'ellisse vengono cambiate nelle loro opposte. Quindi si ottiene
Di conseguenza per l'iperbole si trova l'equazione che differisce da quella trovata per l'ellisse solo per avere negativo il coefficiente "A" del termine in "y". Questo cambiamento di segno fa passare da un'ellisse ad un'iperbole. Il collegamento fra ellissi e iperbole può descriversi anche osservando che l'equazione di un'ellisse con coordinate reali può interpretarsi come l'equazione di un'iperbole con una coordinata immaginaria e, simmetricamente, che l'equazione di un'iperbole con coordinate reali può interpretarsi come l'equazione di un'ellisse con una coordinata immaginaria (vedi numero immaginario). Il cambiamento di segno del coefficiente "A" equivale allo scambio fra valori reali e immaginari della funzione della forma "y=f(x)" che si legge nell'equazione (9).
Una ellisse non ha punti impropri. Una parabola ha un solo punto improprio. Una iperbole ha due punti impropri.


La geometria (dal greco antico ""γεωμετρία"", composto dal prefisso "geo" che rimanda alla parola "γή" = "terra" e "μετρία", "metria" = "misura", tradotto quindi letteralmente come "misurazione della terra") è quella parte della scienza matematica che si occupa delle forme nel piano e nello spazio e delle loro mutue relazioni.
La geometria coincide fino all'inizio del XIX secolo con la geometria euclidea. Questa definisce come concetti primitivi il punto, la retta e il piano, e assume la veridicità di alcuni assiomi, gli assiomi di Euclide. Da questi assiomi vengono quindi dedotti dei teoremi anche complessi, come il teorema di Pitagora ed i teoremi della geometria proiettiva.
La scelta dei concetti primitivi e degli assiomi è motivata dal desiderio di rappresentare la realtà, e in particolare gli oggetti nello spazio tridimensionale in cui viviamo. Concetti primitivi come la retta ed il piano vengono descritti informalmente come "fili e fogli di carta senza spessore", e d'altro canto molti oggetti della vita reale vengono idealizzati tramite enti geometrici come il triangolo o la piramide. In questo modo, i teoremi forniscono fin dall'antichità degli strumenti utili per le discipline che riguardano lo spazio in cui viviamo: meccanica, architettura, geografia, navigazione, astronomia.
La geometria piana si occupa delle figure geometriche nel piano. A partire dal concetto primitivo di retta, vengono costruiti i segmenti, e quindi i poligoni come il triangolo, il quadrato, il pentagono, l'esagono, ecc.
Le quantità numeriche importanti nella geometria piana sono la lunghezza, l'angolo e l'area. Ogni segmento ha una lunghezza, e due segmenti che si incontrano in un estremo formano un angolo. Ogni poligono ha un'area. Molti teoremi della geometria piana mettono in relazione le lunghezze, angoli e aree presenti in alcune figure geometriche. Ad esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo risulta essere un angolo piatto, e l'area di un rettangolo si esprime come prodotto delle lunghezze dei segmenti di "base" e "altezza". La trigonometria studia le relazioni fra gli angoli e le lunghezze.
La geometria solida (o stereometria) studia le costruzioni geometriche nello spazio. Con segmenti e poligoni si costruiscono i poliedri, come il tetraedro, il cubo e la piramide.
I poliedri hanno vertici, spigoli e facce. Ogni spigolo ha una lunghezza, ed ogni faccia ha un'area. In più, il poliedro ha un volume. Si parla inoltre di angoli diedrali per esprimere l'angolo formato da due facce adiacenti in uno spigolo. Molti teoremi mettono in relazione queste quantità: ad esempio il volume della piramide può essere espresso tramite l'area della figura di base e la lunghezza dell'altezza.
La geometria euclidea considera anche alcune figure curve. Le figure "base" sono la circonferenza nel piano e la sfera nello spazio, definite come luogo dei punti equidistanti da un punto fissato. Partendo da queste figure, ne vengono definite altre come il cono. A queste figure vengono associate grandezze analoghe ai poliedri: si parla quindi di lunghezza della circonferenza, di area del cerchio e di volume della sfera.
L'intersezione nello spazio di un cono con un piano forma una nuova figura curvilinea: a seconda dell'inclinazione del piano, questa è una ellisse, una parabola, un'iperbole o una circonferenza. Queste sezioni coniche sono le curve più semplici realizzabili nel piano.
Ruotando una figura intorno ad una retta, si ottengono altre figure curve. Ad esempio, ruotando un'ellisse o una parabola si ottengono l'ellissoide ed il paraboloide. Anche in questo caso, il volume dell'oggetto può essere messo in relazione con altre quantità.
La geometria euclidea non fornisce però sufficienti strumenti per dare una corretta definizione di lunghezza e area per molte figure curve.
La geometria cartesiana (o analitica) ingloba le figure ed i teoremi della geometria euclidea, introducendone di nuovi grazie a due altre importanti discipline della matematica: l'algebra e l'analisi. Lo spazio (ed il piano) sono rappresentati con delle coordinate cartesiane. In questo modo ogni figura geometrica è descrivibile tramite una o più equazioni (o disequazioni).
Rette e piani sono oggetti risultanti da equazioni di primo grado, mentre le coniche sono definite tramite equazioni di secondo grado. Equazioni polinomiali di grado superiore definiscono nuovi oggetti curvi.
Il calcolo infinitesimale permette di estendere con precisione i concetti di lunghezza e area a queste nuove figure. L'integrale è un utile strumento analitico per determinare queste quantità. Si parla in generale quindi di curve e superfici nel piano e nello spazio.
Retta (passante per l'origine), piano (contenente l'origine) e spazio sono esempi di spazi vettoriali di dimensione rispettivamente 1, 2 e 3: infatti ogni punto è esprimile rispettivamente con 1, 2 o 3 coordinate. La geometria cartesiana è facilmente estendibile alle dimensioni superiori: in questo modo si definiscono spazi di dimensione 4 e oltre, come insiemi di punti aventi 4 o più coordinate.
Grazie all'algebra lineare, lo studio delle rette e dei piani nello spazio può essere esteso allo studio dei sottospazi di uno spazio vettoriale, di dimensione arbitraria. Lo studio di questi oggetti è strettamente collegato a quello dei sistemi lineari e delle loro soluzioni.
In dimensione più alta, alcuni risultati possono contrastare con l'intuizione geometrica tridimensionale a cui siamo abituati. Ad esempio, in uno spazio di dimensione 4, due piani possono intersecarsi in un punto solo.
In uno spazio vettoriale l'origine (cioè il punto da cui partono gli assi, di coordinate tutte nulle) gioca un ruolo fondamentale: per poter usare in modo efficace l'algebra lineare, si considerano infatti solo sottospazi passanti per l'origine. In questo modo si ottengono delle relazioni eleganti fra i sottospazi, come la formula di Grassmann.
Nella geometria affine il ruolo predominante dell'origine è abbandonato. I sottospazi non sono vincolati, e possono quindi essere paralleli: questo crea una quantità considerevole di casistiche in più. In particolare, la formula di Grassmann non è più valida. Lo spazio affine è considerato (fino alla scoperta della relatività ristretta) come lo strumento migliore per creare modelli dell'universo, con 3 dimensioni spaziali ed eventualmente 1 dimensione temporale, senza "origini" o punti privilegiati.
Dal XIX secolo in poi l'algebra diventa uno strumento preponderante per lo studio della geometria. Nel tentativo di "abbellire" il quadro, e di ricondurre molte proprietà e teoremi ad un numero sempre minore di proprietà fondamentali, la geometria analitica viene progressivamente inglobata in un concetto più ampio di geometria: si aggiungono i "punti all'infinito" (creando così la geometria proiettiva), e si fanno variare le coordinate di un punto non solo nei numeri reali, ma anche in quelli complessi.
La geometria proiettiva nasce come strumento legato al disegno in prospettiva, e viene formalizzata nel XIX secolo come un arricchimento della geometria cartesiana. La geometria proiettiva include i "punti all'infinito" ed elimina quindi alcune casistiche considerate fastidiose, come la presenza di rette parallele.
In questa geometria molte situazioni si semplificano: due piani distinti si intersecano sempre in una retta, e oggetti differenti della geometria analitica (come le coniche ellisse, parabola e iperbole) risultano essere equivalenti in questo nuovo contesto.
La geometria proiettiva è anche un esempio di compattificazione: similmente a quanto accade con la proiezione stereografica, aggiungendo i punti all'infinito lo spazio diventa compatto, cioè "limitato", "finito".
La geometria algebrica verte essenzialmente sullo studio dei polinomi e delle loro radici: gli oggetti che tratta, chiamati varietà algebriche, sono gli insiemi dello spazio proiettivo, affine o euclideo definiti come luoghi di zeri di polinomi.
Nel XX secolo il concetto di varietà algebrica assume un'importanza sempre maggiore. Rette, piani, coniche, ellissoidi, sono tutti esempi di varietà algebriche. Lo studio di questi oggetti raggiunge risultati impressionanti quando le coordinate dello spazio vengono fatte variare nel campo dei numeri complessi: in questo caso, grazie al teorema fondamentale dell'algebra, un polinomio ha sempre delle radici.
Questo fatto algebrico di grande importanza (esprimibile dicendo che i numeri complessi formano un campo algebricamente chiuso) ha come conseguenza la validità di alcuni teoremi potenti di carattere molto generale. Ad esempio, il teorema di Bézout asserisce che due curve di grado formula_1 e formula_2 nel piano che non hanno componenti in comune si intersecano "sempre" in formula_3 punti, contanti con un'opportuna molteplicità. Questo risultato necessita che il "piano" sia proiettivo e complesso. In particolare, è certamente falso nell'ambito classico della geometria analitica: due circonferenze non devono intersecarsi necessariamente in 4 punti, possono anche essere disgiunte.
Lo studio della geometria nello spazio proiettivo complesso aiuta anche a capire la geometria analitica classica. Le curve nel piano cartesiano reale possono ad esempio essere viste come "sezioni" di oggetti più grandi, contenuti nel piano proiettivo complesso, ed i teoremi generali validi in questo "mondo più vasto e perfetto" si riflettono nel piano cartesiano, pur in modo meno elegante.
Come lo studio della geometria affine fa largo uso dell'algebra lineare, quello delle varietà algebriche attinge a piene mani dall'algebra commutativa.
La geometria differenziale è lo studio di oggetti geometrici tramite l'analisi. Gli oggetti geometrici non sono necessariamente definiti da polinomi (come nella geometria algebrica), ma sono ad esempio curve e superfici, cioè oggetti che, visti localmente con una lente di ingrandimento, sembrano quasi rettilinei o piatti. Oggetti cioè "senza spessore", e magari un po' curvi. Come la superficie terrestre, che all'uomo sembra piatta, benché non lo sia.
Questo concetto di "spazio curvo" è espresso tramite la nozione di varietà differenziabile. La sua definizione non necessita neppure di "vivere" in uno spazio ambiente, ed è quindi usata ad esempio nella relatività generale per descrivere intrinsecamente la forma dell'universo. Una varietà può essere dotata di una proprietà fondamentale, la curvatura, che viene misurata tramite oggetti matematici molto complessi, come il tensore di Riemann. Nel caso in cui lo spazio sia una curva o una superficie, questi oggetti matematici risultano più semplici: si parla ad esempio di curvatura gaussiana per le superfici.
Su una varietà dotata di curvatura, detta varietà riemanniana, sono definite una distanza fra punti, e le geodetiche: queste sono curve che modellizzano i percorsi localmente più brevi, come le rette nel piano, o i meridiani sulla superficie terrestre.
Con la geometria differenziale è possibile costruire un "piano" in cui valgono tutti i postulati di Euclide, tranne il quinto, quello "delle parallele". Questo postulato ha avuto un'importanza storica fondamentale, perché ci sono voluti 2000 anni per dimostrare la sua effettiva indipendenza dai precedenti. Asserisce che, fissati una retta formula_4 ed un punto formula_5 non contenuto in formula_4, esiste un'unica retta formula_7 parallela a formula_4 e passante per formula_5.
Una geometria non euclidea è una geometria in cui valgono tutti gli assiomi di Euclide, tranne quello delle parallele. La sfera, con le geodetiche che giocano il ruolo delle rette, fornisce un esempio semplice di geometria non euclidea: due geodetiche si intersecano "sempre" in due punti antipodali, e quindi non ci sono rette parallele. Un tale esempio di geometria è detta ellittica. Esistono anche esempi opposti, in cui ci sono "così tante" rette parallele, che le rette formula_7 parallele a formula_4 e passanti per formula_5 sono infinite (e non una). Questo tipo di geometria è detta iperbolica, ed è più difficile da descrivere concretamente.
La topologia è infine lo studio delle forme, e di tutte quelle proprietà degli enti geometrici che non cambiano quando questi vengono deformati in modo continuo, senza strappi. La topologia studia tutti gli oggetti geometrici (definiti in modo algebrico, differenziale, o quant'altro) guardando solo la loro forma. Distingue ad esempio la sfera dal toro, perché quest'ultimo ha "un buco in mezzo". Studia le proprietà di connessione (spazi "fatti di un pezzo solo") e di compattezza (spazi "limitati"), e le funzioni continue fra questi.
Le forme degli oggetti vengono codificate tramite oggetti algebrici, come il gruppo fondamentale: un gruppo che codifica in modo raffinato la presenza di "buchi" in uno spazio topologico.
Nel 1872 Felix Klein elaborò un programma di ricerca, l"'Erlanger Programm", in grado di produrre una grande sintesi delle conoscenze geometriche e integrarle con altri settori della matematica, quali la teoria dei gruppi.
Nella prospettiva di Klein una "geometria" consiste nello studio di proprietà di uno spazio che sono invarianti rispetto ad un gruppo di trasformazioni (geometria delle trasformazioni):
La geometria analitica e l'algebra lineare forniscono importanti collegamenti tra l'intuizione geometrica e il calcolo algebrico che sono diventati ormai una parte costitutiva di tutta la matematica moderna e delle sue applicazioni in tutte le scienze.
La geometria differenziale ha trovato importanti applicazioni nella costruzione di modelli per la fisica e per la cosmologia.
La geometria piana e dello spazio fornisce inoltre degli strumenti per modellizzare, progettare e costruire oggetti reali nello spazio tridimensionale: è quindi di fondamentale importanza in architettura e in ingegneria come anche nel disegno e nella computer grafica.
La geometria descrittiva è una disciplina che permette, attraverso determinate costruzioni grafiche, di rappresentare oggetti tridimensionali già esistenti (rilievo) e/o da costruire (progettazione).
L'applicazione informatizzata della geometria descrittiva permette oggi la creazione di superfici e solidi, anche ad alta complessità tridimensionale. Inoltre, e soprattutto, ne permette il controllo in modo inequivocabile di ogni loro forma e dimensione.
I maggiori campi d'impiego della geometria descrittiva sono quelli dell'architettura, dell'ingegneria e quelli del design industriale.
La nascita della Geometria si fa risalire all'epoca degli antichi egizi. Erodoto racconta che a causa dei fenomeni di erosione e di deposito dovuti alle piene del Nilo, l'estensione delle proprietà terriere egiziane variavano ogni anno e dovevano quindi essere ricalcolate a fini fiscali. Nacque così il bisogno di inventare tecniche di "misura della terra" ("geometria" nel significato originario del termine).
Lo sviluppo della Geometria pratica è molto antico, per le numerose applicazioni che consente e per le quali è stata sviluppata, e in epoche remote fu a volte riservata a una categoria di sapienti con attribuzioni sacerdotali.
Presso l'Antica Grecia, , si diffuse massicciamente l'uso della riga e del compasso (sebbene pare che questi strumenti fossero già stati inventati altrove) e, soprattutto, nacque l'idea nuova di usare tecniche dimostrative. La geometria greca servì da base per lo sviluppo della geografia, dell'astronomia, dell'ottica, della meccanica e di altre scienze, nonché di varie tecniche, come quelle per la navigazione. 
Nella civiltà greca, oltre alla geometria euclidea che si studia ancora a scuola, e alla teoria delle coniche, nacquero anche la geometria sferica e la trigonometria (piana e sferica).
