
In matematica, la composizione di funzioni è l'applicazione di una funzione al risultato di un'altra funzione.
Più precisamente, una funzione formula_1 tra due insiemi formula_2 e formula_3 trasforma ogni elemento di formula_2 in uno di formula_3: in presenza di un'altra funzione formula_6 che trasforma ogni elemento di formula_3 in un elemento di un altro insieme formula_8, si definisce la composizione di formula_1 e formula_6 come la funzione che trasforma ogni elemento di formula_2 in uno di formula_8 usando prima formula_1 e poi formula_6. Il simbolo Unicode dell'operatore è ∘ (U+2218).
Formalmente, date due funzioni formula_15 e formula_16 definiamo la funzione composta
applicando prima formula_1 ad formula_20 e quindi applicando formula_6 al risultato formula_22.
Ad esempio, supponiamo che l'altezza di un aereo al tempo formula_23 sia data da una funzione formula_24 e che la concentrazione di ossigeno nell'atmosfera all'altezza formula_20 sia data da un'altra funzione formula_26. Allora formula_27 descrive la concentrazione di ossigeno nella posizione in cui sta l'aereo al tempo formula_23.
Per ragioni storiche la composizione è scritta "da destra verso sinistra", in contrasto con la normale lettura "da sinistra a destra" delle lingue europee. Per questo motivo alcuni autori preferiscono usare una notazione invertita, e scrivere formula_29 invece di formula_30.
Per comporre due funzioni è strettamente necessario che il dominio di formula_6 coincida con il codominio di formula_1. In alcuni ambiti, tuttavia, identificando impropriamente due funzioni che hanno la stessa legge di applicazione, ma diversi domini e codomini, si ritiene sufficiente che l'immagine di formula_1 e il dominio di formula_6 abbiano un'intersezione non vuota.
La composizione di funzioni è sempre associativa. In altre parole, se formula_1, formula_6 e formula_37 sono tre funzioni con domini e codomini opportuni, allora formula_38. Per questo motivo si possono omettere le parentesi nella composizione di più funzioni.
La composizione di due funzioni iniettive è iniettiva, e di due funzioni suriettive è suriettiva. Quindi la composizione di due funzioni biettive è biettiva. Ma non vale il viceversa.
L'insieme delle funzioni biettive formula_39, con l'operazione di composizione, è un gruppo. La proprietà associativa è garantita per quanto detto sopra, l'elemento neutro è la funzione identità formula_40 per ogni formula_20) e un inverso esiste sempre perché le funzioni sono biettive.
Questo gruppo è detto anche gruppo delle permutazioni di formula_2.
Se l'insieme formula_2 contiene più di due elementi, tale gruppo non è commutativo: generalmente due funzioni biettive non commutano.
La derivata della funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione "esterna" moltiplicata per la derivata della funzione "interna":
dove le notazioni formula_45 e formula_46 indicano il medesimo significato di derivata.
La formula è valida anche per funzioni di più variabili reali e per funzioni vettoriali. Il teorema di derivazione delle funzioni composte afferma che se:
è un vettore di formula_48 le cui componenti sono funzioni derivabili:
e se formula_1 è una funzione differenziabile in formula_51, allora la funzione composta:
è differenziabile nella variabile formula_23 e si ha:
dove formula_55 è il gradiente di formula_1 e formula_57 è il prodotto scalare euclideo standard.
Infine, se formula_58 e formula_59 sono due funzioni vettoriali differenziabili componibili, allora:
dove formula_61 è la moltiplicazione di matrici e formula_62 è la matrice jacobiana di formula_58.
Una funzione formula_39 (non necessariamente biettiva) può essere composta con sé stessa formula_65 volte, ed il risultato, detto iterata formula_65-esima di formula_1, può essere scritto formula_68 quando non genera ambiguità. Ad esempio con formula_69 si denota comunemente il quadrato del seno di formula_20, cioè formula_71, anziché il valore in formula_20 della composizione del seno con se stesso, cioè formula_73.
Lo studio delle composizioni iterate di una funzione è argomento comune nell'ambito dei sistemi dinamici discreti e in particolare nella definizione dei frattali, che si possono trovare iterando "infinite volte" una funzione.


In matematica i numeri naturali sono quei numeri usati per contare e ordinare. Nel linguaggio comune i "numeri cardinali" sono quelli usati per contare e i "numeri ordinali" sono quelli usati per ordinare.
I numeri naturali corrispondono all'insieme {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
Essi vengono fatti corrispondere biunivocamente all'insieme dei numeri interi non negativi {0, +1, +2, +3, +4, ...}.
Talvolta vengono usati anche per indicare l'insieme dei numeri interi positivi {1, 2, 3, 4, ...}.
I numeri naturali sono i numeri più "intuitivi" che esistono. L'operazione di distinguere tra nessuno, uno e molti risale all'uomo primitivo. Ma la comprensione che, ad esempio, una pecora e un albero hanno in comune il fatto di essere "uno", cioè la nozione astratta di numero, fu un processo graduale (probabilmente non legato a una singola cultura o popolazione) che da vari studi viene fatto risalire circa al 30.000 a.C. Col tempo furono introdotti diversi simboli e parole per indicare i numeri naturali e in diversi casi anche alcuni tipi di frazioni. Esistono simboli risalenti agli antichi Egizi che indicano frazioni unitarie, cioè con numeratore uguale a uno. Se ne possono trovare ad esempio nel papiro di Rhind risalente circa al 2000 a.C. Tuttavia il numero zero dovette aspettare più tempo per venire considerato un numero al pari degli altri.Le origini dell'idea di numero naturale astratto vengono fatte risalire ai Babilonesi nel 2000 a.C., come testimoniato dalla tavoletta "Plimpton 322", "sussidiario di matematica" per gli studenti dell'epoca, che contiene problemi matematici che a un'attenta analisi sembrano essere qualcosa di più di semplici esercizi con fini utilitaristici. Il superamento dei numeri naturali in favore dei numeri razionali positivi è attribuito ai pitagorici che sembra furono i primi a considerare la frazione non più come entità unica ma come rapporto tra numeri naturali.
Importanti risultati riguardanti i numeri naturali sono contenuti negli Elementi di Euclide, successivamente Diofanto di Alessandria si pose il problema della ricerca di soluzioni intere positive di equazioni date.
L'introduzione dei numeri interi relativi, in particolare dei numeri negativi dovette aspettare ulteriormente. Risultati e spunti fondamentali sono dovuti a Pierre de Fermat. Lo studio dei numeri interi, noto oggi come teoria dei numeri, viene ripreso nel XIX secolo da matematici del livello di Carl Friedrich Gauss e Carl Jacobi e da allora viene considerato un capitolo primario della matematica (vedi anche: Ultimo teorema di Fermat).
In matematica si usa il simbolo formula_1 (o N) per indicare l'insieme dei numeri naturali. Nella maggior parte della letteratura matematica contemporanea, nelle voci qui presenti e nello standard ISO 31-11 sui simboli matematici, si assume che l'insieme dei numeri naturali contenga anche lo zero; per evitare ogni ambiguità è spesso usata la dizione "interi non negativi". Per mettere in evidenza che l'insieme non contiene lo formula_2 si usa la scrittura formula_3, quindi
Per indicare l'insieme dei naturali senza lo zero si possono usare anche le scritture N, N, N, ℕ, ℕ, formula_5. Talvolta con la notazione formula_5 si indica invece l'insieme dei naturali con lo zero incluso.
Nella teoria degli insiemi, l'insieme dei numeri naturali in quanto insieme bene ordinato viene denotato con formula_7, e rappresenta il più piccolo numero ordinale infinito. Quando è usata questa notazione, lo zero è incluso.
Nonostante la sua intuitività, quello di numero naturale non è, in matematica, un concetto primitivo: è infatti possibile darne una definizione basandosi unicamente sulla teoria degli insiemi. La definizione è utile perché permette anche di estendere il concetto di numero a oggetti più generali: i numeri transfiniti.
Storicamente, la precisa definizione matematica dei numeri naturali ha incontrato alcune difficoltà. Gli assiomi di Peano definiscono le condizioni che ogni definizione matematica precisa deve soddisfare. Alcune costruzioni mostrano che dall'interno di una teoria degli insiemi è possibile costruire un modello degli assiomi di Peano.
Bisogna notare che lo "0", nella definizione sopra descritta, non deve necessariamente corrispondere con quello che si considera normalmente il numero zero. "0" significa semplicemente un oggetto che, quando combinato con una funzione successiva appropriata, soddisfa gli assiomi di Peano. Ci sono molti sistemi che soddisfano questi assiomi, inclusi i numeri naturali (sia che partano da zero o da uno).
Un numero naturale si può definire come una classe di insiemi aventi uguale cardinalità finita. In sostanza, si parte dalla proprietà (intuitiva) che tra due insiemi qualsiasi aventi lo stesso numero di elementi si può stabilire una corrispondenza biunivoca e la si riformula come definizione: tutti gli insiemi tra i quali si può stabilire una corrispondenza biunivoca vengono accomunati in una classe, che è come assegnare loro un'"etichetta", a questa etichetta viene dato il nome di numero naturale. La classe corrispondente all'insieme vuoto viene indicata con 0.
La seguente è una costruzione standard nella teoria degli insiemi per definire i numeri naturali:
