
In matematica, la sottrazione è una delle quattro operazioni aritmetiche fondamentali. È normalmente denotata con un segno meno infisso ("−"). 
La sottrazione tra due numeri naturali può essere definita in termini di addizione. Dati due numeri naturali "n" ed "m", il primo detto minuendo ed il secondo sottraendo, si dice differenza il numero naturale "d", se esiste, che aggiunto ad "m" dà come somma "n". In simboli, 
La sottrazione viene utilizzata per modellare i tre processi fisici seguenti.
Matematicamente è spesso utile vedere la sottrazione non come un'operazione separata, ma come addizione dell'opposto del sottraendo. Così, 7-3 diventa la somma di 7 e di "−3". In questo modo, si possono applicare alla sottrazione tutte le regole familiari e la nomenclatura dell'addizione. Si consideri inoltre che la sottrazione non è commutativa né associativa, ma l'addizione di quantità con segno sì; questo significa che un matematico non userà spesso le parole "minuendo" e "sottraendo" ma considererà 7-3 come la somma degli addendi "7" e "−3”.
Prendiamo un segmento di lunghezza "b" disegnato per terra con l'estremo di sinistra chiamato "a" e quello destro "c".
Partendo dalla posizione "a", saranno necessari "b" passaggi per raggiungere la posizione "c". Questo movimento verso destra, chiamato addizione, può essere scritto come:
Dalla posizione "c", saranno necessari "b" passaggi per ritornare all'estremo "a". Questo movimento verso sinistra, chiamato "sottrazione", può essere scritto come:
Immaginiamo ora un segmento le cui posizioni siano contrassegnate dai numeri 1, 2 e 3.
Dalla posizione 3, per rimanere alla posizione 3 non è necessario nessun passaggio, quindi
Dalla posizione 3, per andare alla posizione 2 è necessario 1 passaggio, quindi
Dalla posizione 3, per andare alla posizione 1 sono necessari 2 passaggi, quindi
Cosa succederebbe se si continuasse nel processo andando per 3 volte verso sinistra dalla posizione 3? Per il nostro esempio, si andrebbe oltre la linea disegnata, cosa che non sarebbe permessa. Quindi per fare questo la linea deve essere estesa.
Per la sottrazione dei numeri naturali, la linea dovrebbe avere tutti i numeri naturali (0, 1, 2, 3, 4, ...) su di essa.
Usando la linea dei numeri naturali, dalla posizione 3, tornando per 3 volte verso sinistra si raggiungerebbe la posizione 0, quindi
Ma per i numeri naturali, 3 − 4 sarebbe una operazione non valida. Per eseguirla dobbiamo ulteriormente estendere la linea.
Usando la linea dei numeri interi (…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …), dalla posizione 3, togliendo 4 arriveremmo alla posizione −1, quindi
Per fare una sottrazione in colonna bisogna scrivere prima il minuendo e sotto il sottraendo: 86 - 34 = 52
Si prende il primo numero da destra e gli si sottrae quello che ha sotto (6-4=2). Si fa la stessa cosa con quello a sinistra (8-3=5). Si scrivono i due risultati sotto le corrispondenti sottrazioni.
Aggiungendo o sottraendo uno stesso termine al minuendo e al sottraendo la differenza non cambia. Cioè se
allora si ha anche


In matematica i numeri naturali sono quei numeri usati per contare e ordinare. Nel linguaggio comune i "numeri cardinali" sono quelli usati per contare e i "numeri ordinali" sono quelli usati per ordinare.
I numeri naturali corrispondono all'insieme {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
Essi vengono fatti corrispondere biunivocamente all'insieme dei numeri interi non negativi {0, +1, +2, +3, +4, ...}.
Talvolta vengono usati anche per indicare l'insieme dei numeri interi positivi {1, 2, 3, 4, ...}.
I numeri naturali sono i numeri più "intuitivi" che esistono. L'operazione di distinguere tra nessuno, uno e molti risale all'uomo primitivo. Ma la comprensione che, ad esempio, una pecora e un albero hanno in comune il fatto di essere "uno", cioè la nozione astratta di numero, fu un processo graduale (probabilmente non legato a una singola cultura o popolazione) che da vari studi viene fatto risalire circa al 30.000 a.C. Col tempo furono introdotti diversi simboli e parole per indicare i numeri naturali e in diversi casi anche alcuni tipi di frazioni. Esistono simboli risalenti agli antichi Egizi che indicano frazioni unitarie, cioè con numeratore uguale a uno. Se ne possono trovare ad esempio nel papiro di Rhind risalente circa al 2000 a.C. Tuttavia il numero zero dovette aspettare più tempo per venire considerato un numero al pari degli altri.Le origini dell'idea di numero naturale astratto vengono fatte risalire ai Babilonesi nel 2000 a.C., come testimoniato dalla tavoletta "Plimpton 322", "sussidiario di matematica" per gli studenti dell'epoca, che contiene problemi matematici che a un'attenta analisi sembrano essere qualcosa di più di semplici esercizi con fini utilitaristici. Il superamento dei numeri naturali in favore dei numeri razionali positivi è attribuito ai pitagorici che sembra furono i primi a considerare la frazione non più come entità unica ma come rapporto tra numeri naturali.
Importanti risultati riguardanti i numeri naturali sono contenuti negli Elementi di Euclide, successivamente Diofanto di Alessandria si pose il problema della ricerca di soluzioni intere positive di equazioni date.
L'introduzione dei numeri interi relativi, in particolare dei numeri negativi dovette aspettare ulteriormente. Risultati e spunti fondamentali sono dovuti a Pierre de Fermat. Lo studio dei numeri interi, noto oggi come teoria dei numeri, viene ripreso nel XIX secolo da matematici del livello di Carl Friedrich Gauss e Carl Jacobi e da allora viene considerato un capitolo primario della matematica (vedi anche: Ultimo teorema di Fermat).
In matematica si usa il simbolo formula_1 (o N) per indicare l'insieme dei numeri naturali. Nella maggior parte della letteratura matematica contemporanea, nelle voci qui presenti e nello standard ISO 31-11 sui simboli matematici, si assume che l'insieme dei numeri naturali contenga anche lo zero; per evitare ogni ambiguità è spesso usata la dizione "interi non negativi". Per mettere in evidenza che l'insieme non contiene lo formula_2 si usa la scrittura formula_3, quindi
Per indicare l'insieme dei naturali senza lo zero si possono usare anche le scritture N, N, N, ℕ, ℕ, formula_5. Talvolta con la notazione formula_5 si indica invece l'insieme dei naturali con lo zero incluso.
Nella teoria degli insiemi, l'insieme dei numeri naturali in quanto insieme bene ordinato viene denotato con formula_7, e rappresenta il più piccolo numero ordinale infinito. Quando è usata questa notazione, lo zero è incluso.
Nonostante la sua intuitività, quello di numero naturale non è, in matematica, un concetto primitivo: è infatti possibile darne una definizione basandosi unicamente sulla teoria degli insiemi. La definizione è utile perché permette anche di estendere il concetto di numero a oggetti più generali: i numeri transfiniti.
Storicamente, la precisa definizione matematica dei numeri naturali ha incontrato alcune difficoltà. Gli assiomi di Peano definiscono le condizioni che ogni definizione matematica precisa deve soddisfare. Alcune costruzioni mostrano che dall'interno di una teoria degli insiemi è possibile costruire un modello degli assiomi di Peano.
Bisogna notare che lo "0", nella definizione sopra descritta, non deve necessariamente corrispondere con quello che si considera normalmente il numero zero. "0" significa semplicemente un oggetto che, quando combinato con una funzione successiva appropriata, soddisfa gli assiomi di Peano. Ci sono molti sistemi che soddisfano questi assiomi, inclusi i numeri naturali (sia che partano da zero o da uno).
Un numero naturale si può definire come una classe di insiemi aventi uguale cardinalità finita. In sostanza, si parte dalla proprietà (intuitiva) che tra due insiemi qualsiasi aventi lo stesso numero di elementi si può stabilire una corrispondenza biunivoca e la si riformula come definizione: tutti gli insiemi tra i quali si può stabilire una corrispondenza biunivoca vengono accomunati in una classe, che è come assegnare loro un'"etichetta", a questa etichetta viene dato il nome di numero naturale. La classe corrispondente all'insieme vuoto viene indicata con 0.
La seguente è una costruzione standard nella teoria degli insiemi per definire i numeri naturali:
