
In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la moltiplicazione di matrici è il prodotto righe per colonne tra due matrici, possibile sotto certe condizioni, che dà luogo ad un'altra matrice. Se una matrice rappresenta una applicazione lineare, il prodotto fra matrici è la traduzione della composizione di due applicazioni lineari. Quindi se due matrici 2 x 2 rappresentano ad esempio due rotazioni nel piano di angoli α e β, il loro prodotto è definito in modo tale da rappresentare una rotazione di angolo α + β.
Sia formula_1 un anello. Siano date una matrice formula_2 di dimensione formula_3 ed una seconda matrice formula_4 di dimensioni formula_5 a valori in formula_1. Siano formula_7 gli elementi di formula_2 e formula_9 gli elementi di formula_4. Si definisce il prodotto matriciale di formula_2 per formula_4 la matrice formula_13 a valori in formula_1 e di dimensioni formula_15 i cui elementi formula_16 sono dati da:
per ogni valore di riga "i" e di colonna "j".
Due matrici possono essere moltiplicate fra loro solo se il numero di colonne della prima è uguale al numero di righe della seconda, ed il prodotto tra due matrici non è commutativo.
Una matrice può essere moltiplicata con se stessa solo se è quadrata. In questo caso, il prodotto formula_18 si denota con formula_19. Più in generale, la potenza formula_20-esima di una matrice è:
dove formula_20 è un numero naturale, anche se spesso per esponenti molto maggiori dell'ordine della matrice è più semplice calcolarle servendosi della teoria della funzione di matrice, che permette inoltre di generalizzare la definizione di potenza fino ad ammettere un esponente non solo complesso, ma addirittura arbitrario.
Un'altra definizione informale della moltiplicazione matriciale, atta a permetterne una più rapida e immediata memorizzazione, è "moltiplicazione riga per colonna", infatti, per ottenere l'elemento della i-esima riga e j-esima colonna della matrice prodotto basta porre un indice sulla riga i della prima matrice, l'altro sulla colonna j della seconda e moltiplicare gli elementi indicati, quindi scorrere di un posto con le dita e moltiplicare, fino a raggiungere la fine della colonna e della riga, infine sommare i vari prodotti ottenuti.
Una matrice con una sola riga, cioè di dimensione formula_63, è un vettore riga. Analogamente, una matrice con una sola colonna, cioè di dimensione formula_64 è un vettore colonna. Nell'operazione di moltiplicazione questi due oggetti si comportano in modo differente. 
Siano formula_65 una matrice formula_3 e formula_67 un vettore colonna formula_68.
Il prodotto di formula_2 per il vettore formula_70 è il prodotto di matrici:
Le componenti di formula_72 sono:
Un algoritmo per la moltiplicazione matrice per vettore è:
Questo prodotto è ampiamente usato in algebra lineare perché descrive una applicazione lineare. Ad esempio, il prodotto:
rappresenta una rotazione di angolo formula_75 nel piano cartesiano.
In alcuni casi può essere utile effettuare il prodotto formula_76: il risultato è un altro vettore riga.
La moltiplicazione di una matrice formula_77 per uno scalare formula_78, cioè un elemento dell'anello cui appartengono gli formula_79, è ottenuta moltiplicando ogni elemento di formula_80 per lo scalare:
Se l'anello di partenza non è commutativo, questa viene indicata come "moltiplicazione sinistra", e può differire dalla "moltiplicazione destra":
Se l'anello di partenza non è commutativo, ad esempio se è l'anello dei quaternioni, le due moltiplicazioni non sono equivalenti. Ad esempio:
Sono stati definiti nel tempo altri tipi di prodotto tra matrici, meno fortunati in quanto a utilizzo dell'usuale prodotto righe per colonne. In particolare si può nominare il "prodotto di Hadamard" o "prodotto puntuale", in cui il prodotto di formula_86 e formula_87 è dato da formula_88. Ad esempio:
Un'altra costruzione è data dal prodotto di Kronecker, che trova applicazioni nel calcolo tensoriale, dato da:
espressa sotto forma di matrice a blocchi, in cui ogni blocco formula_91-esimo è dato dalla matrice formula_4 moltiplicata per lo scalare formula_7.


In algebra lineare, con matrice elementare si indica generalmente una matrice quadrata di un certo tipo, utile in alcuni algoritmi come l'algoritmo di Gauss o le fattorizzazioni LU e QR.
Nella più grande generalità, una matrice elementare è una matrice quadrata a coefficienti reali o complessi, del tipo
dove formula_2 è la matrice identità e formula_3 è una matrice con rango al più uno. In altre parole, le colonne (o le righe) di formula_3 sono tutte multiple una dell'altra, ad esempio:
Equivalentemente, formula_6 è il prodotto di due vettori, il primo formula_7 colonna ed il secondo formula_8 riga (perché formula_8 indica la trasposta di formula_10). Nell'esempio, abbiamo
Risulta quindi comodo esprimere una matrice elementare come
dove formula_13 è un coefficiente (reale o complesso) e formula_14 sono vettori non nulli.
Le principali proprietà delle matrici elementari sono:
Le matrici elementari di Gauss sono matrici elementari molto semplici, definite per interpretare le mosse di Gauss come moltiplicazione per una matrice. Sono di tre tipi, ciascuno corrispondente ad un tipo di mossa.
La matrice formula_15 è ottenuta dalla matrice identità scambiando le righe formula_16-esima e formula_17-esima:
Può essere anche definita come 
dove 
è l'formula_21-esimo vettore della base canonica.
Analogamente, formula_22 è ottenuta dalla matrice identità moltiplicando la riga formula_16-esima per un numero formula_24.
Può anche essere definita come
La matrice formula_27 è ottenuta dalla matrice identità aggiungendo alla riga formula_16-esima la riga formula_17-esima moltiplicata per formula_24.
Può anche essere definita come
Se formula_33 è una matrice qualsiasi con formula_34 righe, allora le matrici formula_35 sono le matrici ottenute da formula_33 operando le corrispondenti mosse di Gauss.
Una matrice di Householder è una matrice elementare del tipo formula_37 dove formula_10 è un vettore di norma uno. 
Le matrici elementari di Householder sono utili per definire le trasformazioni di Householder e quindi la fattorizzazione QR.
