
Il teorema di Pitagora è un teorema della geometria euclidea che stabilisce una relazione fondamentale tra i lati di un triangolo rettangolo.
Si può considerare un caso speciale, per i triangoli rettangoli, del teorema del coseno.
Quello che modernamente conosciamo come "teorema di Pitagora" viene solitamente attribuito al filosofo e matematico Pitagora. In realtà il suo enunciato (ma non la sua dimostrazione) era già noto ai Babilonesi. Viene a volte affermato che il teorema di Pitagora fosse noto agli antichi Egizi: Carl Boyer esclude questa ipotesi, basandosi sull'assenza del teorema dai papiri matematici rinvenuti. Era conosciuto anche in Cina e sicuramente in India, come dimostrano molte scritture fra cui lo "Yuktibhāṣā" e gli "Śulbasūtra". La dimostrazione del teorema è invece con ogni probabilità successiva a Pitagora.
oppure:
L'uso dell'aggettivo "uguale" invece di "equivalente" richiede di riferirsi o alle aree dei quadrati "costruiti" sui cateti e sull'ipotenusa (area intesa come misura dell'estensione di una superficie), oppure ai quadrati delle lunghezze dei cateti/quadrato della lunghezza dell'ipotenusa. La possibile ambivalenza della lingua italiana deriva dal fatto che, in assenza del termine "costruito", la parola "quadrato" può definire sia la "superficie" della figura geometrica in quanto tale, sia la generica operazione di elevamento alla seconda potenza.
In altre lingue, segnatamente in inglese, francese e spagnolo, nell'enunciato del teorema di Pitagora si preferisce parlare di quadrati (delle lunghezze) dei cateti e dell'ipotenusa, il che consente il semplice utilizzo dei termini "equal" (in inglese), "égal" (in francese), "igual" (in spagnolo). 
Per esempio, in spagnolo, "el cuadrado de la hipotenusa" significa, senza ambiguità, il "quadrato (della misura) dell'ipotenusa".
Dato un triangolo rettangolo di lati formula_1, formula_2 e formula_3, ed indicando con formula_3 la sua ipotenusa e con formula_1 e formula_2 i suoi cateti, il teorema è espresso dall'equazione:
o, esplicitando formula_3:
Le misure dei cateti sono perciò:
e
Una terna di numeri interi positivi formula_12 che soddisfi il teorema di Pitagora si dice terna pitagorica.
Viceversa, ogni triangolo in cui i tre lati verifichino questa proprietà è rettangolo: questo teorema, con la sua dimostrazione, appare nell'ultimo enunciato del primo libro di "Elementi".
La dimostrazione classica del teorema di Pitagora completa il primo libro degli "Elementi" di Euclide, e ne costituisce il filo conduttore. Dato che richiede il postulato delle parallele, esso non vale nelle geometrie non-euclidee e nella geometria neutrale. Nel testo di Euclide la dimostrazione del teorema è immediatamente preceduta dalla dimostrazione della costruibilità dei quadrati. L'esistenza stessa dei quadrati dipende infatti dal postulato delle parallele e viene meno nelle geometrie non euclidee. Questo aspetto del problema è in genere trascurato nella didattica contemporanea, che tende spesso ad assumere come ovvia l'esistenza dei quadrati.
La dimostrazione del teorema di Pitagora consiste nel riempire uno stesso quadrato di lato uguale alla somma dei cateti prima con quattro copie del triangolo rettangolo più il quadrato costruito sull'ipotenusa e poi con quattro copie del triangolo rettangolo più i quadrati costruiti sui cateti, come in figura.
Essendo il teorema uno dei più noti della storia della matematica, ne esistono moltissime dimostrazioni, in totale alcune centinaia, opera di matematici, astronomi, agenti di cambio, per esempio un presidente statunitense James A. Garfield e Leonardo da Vinci. Per questo teorema sono state classificate dallo scienziato statunitense Elisha Scott Loomis 371 differenti dimostrazioni, che sono state pubblicate nel 1927 nel suo libro The Pythagorean Proposition.
La dimostrazione attribuita al matematico e astronomo persiano Abu'l-Wafa verso la fine del X secolo d.C. e riscoperta dall'agente di cambio Henry Perigal (trovata nel 1835-1840, pubblicata nel 1872 e successivamente nel 1891) si basa sulla scomposizione del quadrato costruito sul cateto maggiore, in giallo nell'immagine: tagliandolo infatti con due rette passanti per il suo centro, una perpendicolare ed una parallela all'ipotenusa, si può ricomporre in maniera da incorporare l'altro quadrato, e formando il quadrato sull'ipotenusa, come nella figura. Questo procedimento è legato al problema della trisezione del quadrato.
Esiste anche una dimostrazione poetica, dell'astronomo Sir George Airy, in inglese:
di cui una traduzione letterale è
I versi si riferiscono alla parte bianca: i primi due triangoli sono quelli rossi, i secondi quelli blu.
Sia quella di Perigal sia quest'ultima sono puramente geometriche, ossia non richiedono alcuna definizione di operazioni aritmetiche, ma solo congruenze di aree e di segmenti.
Dimostrazione geometrica basata su due quadrati concentrici, di lati rispettivamente pari all'ipotenusa (formula_3) e alla somma dei due cateti (formula_14).
Come si vede dalla figura, tolti i quattro triangoli rettangoli (in giallo di area formula_15) al quadrato più grande, che corrisponde all'area formula_16, si ottiene il quadrato più piccolo, rappresentato in bianco, che equivale invece all'area formula_17.
Quindi
da cui risolvendo si ottiene
Questa dimostrazione, utilizzando il passaggio algebrico del quadrato della somma di due numeri, ha una rappresentazione visiva semplice e diretta, che non richiede lo spostamento e sovrapposizione di forme come le altre dimostrazioni geometriche formulate.
Un'altra dimostrazione geometrica, nella cui costruzione non compare alcun quadrato, fu trovata nel 1876 da Garfield, che in seguito divenne il ventesimo Presidente degli Stati Uniti d'America. Allora nell'esercito, Garfield commentò il suo risultato: ""Questo è qualcosa su cui i due rami del parlamento potranno essere d'accordo"".
La dimostrazione segue sostanzialmente il metodo usato nella dimostrazione di Pomi, applicato però a metà figura, considerando cioè il trapezio anziché il quadrato:
In formule, detto formula_1 il cateto rosso, formula_2 il blu e formula_3 l'ipotenusa, e ricordando la potenza del binomio
Un'altra dimostrazione utilizza il primo teorema di Euclide. Si traccia l'altezza sull'ipotenusa. Questa spezza l'ipotenusa in due segmenti, di lunghezza formula_24 e formula_25. Il teorema di Euclide fornisce le relazioni
da cui
e quindi 
Vale anche l'inverso del Teorema di Pitagora (proposizione 48 del primo libro degli "Elementi" di Euclide):
"Se in un triangolo di lati formula_1, formula_2 e formula_3 vale la relazione formula_32, allora il triangolo è rettangolo".
"Dimostrazione". Sia formula_33 un triangolo di lati formula_1, formula_2 e formula_3 tale che formula_32. Consideriamo un secondo triangolo rettangolo formula_38 che abbia i cateti pari ad formula_1 e formula_2 (è sempre possibile costruire un triangolo rettangolo dati i due cateti). Per il Teorema di Pitagora (diretto) l'ipotenusa del triangolo formula_38 sarà pari a formula_42, ossia sarà uguale al lato formula_3 del triangolo formula_33. I due triangoli formula_33 e formula_38 risulteranno dunque congruenti per il terzo criterio di congruenza, avendo tutti e tre i lati ordinatamente uguali. Ma allora anche il triangolo formula_33 sarà rettangolo "(CVD)".
Un corollario del teorema di Pitagora consente di determinare se un triangolo sia o meno rettangolo, acutangolo o ottusangolo. Là dove c è scelto come ipotenusa, il lato più lungo dei tre, e formula_48 (altrimenti non avremo un triangolo), valgono le seguenti relazioni:
L'enunciato inverso fornisce anche un sistema per costruire un angolo retto (o per controllare la quadratura di un angolo già esistente) in situazioni pratiche, come la topografia o l'agrimensura.
A titolo di esempio, con una fune di lunghezza pari alla somma di una terna pitagorica (diciamo 12, somma di 5, 4 e 3, in una qualche unità di misura) sarebbe sufficiente disporre le due porzioni minori della corda (quelle di misura 4 e 3) ad un certo angolo fra loro; se gli estremi della fune, disposta infine in forma triangolare, si chiudono, si saprà che l'angolo compreso fra le due porzioni minori della corda (a questo punto i due cateti) è certamente retto.
Il teorema di Pitagora può essere generalizzato in vari modi. Solitamente, una generalizzazione è una relazione che si applica a tutti i triangoli, e che applicata ai triangoli rettangoli risulta essere equivalente al teorema di Pitagora.
Una generalizzazione del teorema di Pitagora è il teorema del coseno, che si applica ad un triangolo qualsiasi (non necessariamente retto). In un triangolo con vertici e angoli indicati come in figura, vale l'uguaglianza:
Nel caso in cui formula_53 sia retto, vale formula_54 e quindi l'enunciato è equivalente al teorema di Pitagora. Il termine aggiuntivo può essere interpretato come il prodotto scalare dei vettori formula_55 e formula_56.
Il teorema dei seni mette in relazione le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni degli angoli opposti. Anche questa relazione si applica a qualsiasi triangolo e, nel caso in cui questo sia rettangolo, può essere ritenuta equivalente al teorema di Pitagora (benché in modo meno immediato rispetto al teorema del coseno).
Il teorema dei seni asserisce che in un triangolo qualsiasi, con le notazioni come in figura, valgono le relazioni seguenti:
Elevando al quadrato:
Sommando i termini si ottiene:
Quando formula_60 è un angolo retto, si ottiene formula_61 e quindi 
Si ottiene quindi in questo caso il teorema di Pitagora
È possibile estendere il teorema di Pitagora ad un triangolo qualsiasi senza fare uso di funzioni trigonometriche quali il seno ed il coseno.
Dato un triangolo formula_64 come in figura, si tracciano due segmenti che collegano il vertice formula_65 con due punti formula_66 e formula_67 contenuti nel segmento opposto formula_68 (oppure in un suo prolungamento), in modo tale che gli angoli formula_69 e formula_70 siano entrambi uguali all'angolo formula_60 del vertice formula_65. La figura mostra un caso in cui l'angolo formula_60 è ottuso: se è acuto, i due punti formula_74 e formula_67 sono in ordine inverso (il primo a destra e il secondo a sinistra) e possono uscire dal segmento formula_68.
Vale la relazione seguente:
Quando formula_60 è un angolo retto, i punti formula_74 e formula_67 coincidono e si ottiene il teorema di Pitagora
La relazione generale può essere dimostrata sfruttando la similitudine fra i triangoli formula_82, formula_83 e formula_84, che porta alle relazioni
Si ottiene quindi
Sommando le due eguaglianze si ottiene la relazione iniziale.
Il Teorema di Pitagora continua a valere quando su ogni lato di un triangolo rettangolo si costruiscono figure simili tra loro anche non regolari.
Il suo enunciato diventa:
In ogni triangolo rettangolo, l'area di un qualunque poligono, anche curvilineo, costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei poligoni, simili a quello costruito sull'ipotenusa, costruiti sui cateti.
"Dimostrazione"
Siano:
e
Per il teorema di Pitagora in forma classica risulta:
e quindi
Ricordando che se due poligoni simili hanno 2 lati corrispondenti in rapporto formula_101 allora le loro superfici sono in rapporto formula_102, avendo definito formula_103 , risulta 
Avendo inoltre definito uguale a
formula_105
il rapporto tra i due cateti, per il motivo precedente risulta uguale a
formula_106 il rapporto tra le aree dei poligoni simili costruiti su di essi, ovvero:
Quindi:
E quindi
Come volevasi dimostrare.
Il teorema di Pitagora può essere "generalizzato" a spazi vettoriali di qualsiasi dimensione, come lo spazio euclideo di dimensione 3 o superiore, o uno spazio vettoriale su corpo complesso, continuando a valere anche su funzioni viste come somme infinite di vettori come nell'analisi funzionale, finché sia possibile definire un prodotto scalare, rendendo lo spazio vettoriale uno spazio prehilbertiano.
La dimostrazione è semplice, e l'enunciato del teorema è: "La somma dei quadrati delle norme di due vettori ortogonali è uguale al quadrato della norma del loro vettore somma", ovvero formula_110 .
Per definizione di ortogonalità, il prodotto scalare fra formula_111 e formula_112 è nullo e commuta. L'enunciato del teorema è equivalente, per la definizione di norma euclidea, a formula_113. Svolgendo il prodotto scalare al secondo membro sfruttando la sua bilinearità e ricordando che il prodotto scalare fra formula_112 e formula_111 è nullo, il teorema risulta provato.
Una leggenda racconta che Pitagora abbia formulato il suo teorema mentre stava aspettando un'udienza da Policrate. Seduto in un grande salone del palazzo di Samo, Pitagora si mise ad osservare le piastrelle quadrate del pavimento, si pensa che ne abbia vista una rotta perfettamente su una diagonale, così da formare due triangoli rettangoli uguali, ma oltre ad essere 2 triangoli rettangoli erano anche isosceli, avendo i due lati uguali. Pitagora immaginò un quadrato costruito sulla diagonale di rottura della piastrella, un quadrato avente come lati le diagonali delle piastrelle circostanti.
La dimostrazione è la seguente: 
Il teorema di Pitagora, in realtà, non era considerato solo una legge matematica del pensiero, ma anche una legge ontologica, cioè dell'essere, riguardante la realtà dell'uomo e del mondo. Il significato filosofico ed esoterico che esso pertanto assumeva costituiva parte integrante delle conoscenze iniziatiche riservate agli adepti della scuola pitagorica. 
Una delle possibili interpretazioni del teorema che si è tramandata fino ad oggi all'interno della massoneria, dove l'emblema dei quadrati costruiti sui lati di un triangolo rettangolo compare nel gioiello indossato dagli anziani Maestri ex-Venerabili (detti in inglese "Past Masters"), mette in relazione la volontà del Cielo, ossia la Provvidenza, rappresentata dal cateto verticale, con la volontà della singola individualità umana, simboleggiata dal cateto orizzontale. Quanto più l'individuo, anziché estendere arbitrariamente la propria volontà, cerca di adeguarla a quella del Cielo, tanto meno subirà il peso del Destino, cioè dell'ipotenusa, e quindi tanto più riuscirà a dominare le forze della necessità che gravano sulla sua vita.


In matematica, un numero razionale è un numero ottenibile come rapporto tra due numeri interi primi fra loro, il secondo dei quali diverso da 0. Ogni numero razionale quindi può essere espresso mediante una frazione "a/b", di cui a è detto il numeratore e b il denominatore. Sono ad esempio numeri razionali i seguenti:
I numeri razionali formano un campo, indicato con il simbolo formula_4, che sta per quoziente. In gran parte dell'analisi matematica i numeri razionali sono visti come particolari numeri reali, nel senso che esiste un isomorfismo tra i numeri reali dotati di parte decimale finita o periodica e i numeri razionali, il quale preserva la struttura di formula_4 come (sotto)-campo di formula_6; i numeri reali che non sono razionali sono detti "irrazionali". Ad esempio, sono irrazionali i seguenti:
Nessuno di questi numeri può infatti essere descritto come rapporto di due numeri interi. I numeri formula_8 e formula_9 indicano rispettivamente la costante di Nepero e pi greco.
Mentre oggi spesso l'insieme dei numeri razionali è visto come sottoinsieme di quello dei numeri reali, storicamente e naturalmente i razionali sono stati introdotti prima dei reali, per permettere l'operazione di divisione fra numeri interi. I numeri reali si possono introdurre servendosi dei numeri razionali in vari modi: mediante le sezioni di Dedekind, con una costruzione tramite successioni di Cauchy, con serie convergenti di numeri razionali.
In fisica, il risultato di una misurazione è solitamente esprimibile come numero razionale, dipendente dalla precisione dello strumento.
I numeri razionali (positivi) furono il primo tipo di numeri, dopo i naturali (ossia gli interi positivi) ad essere riconosciuti come numeri e ad essere comunemente usati in matematica.
Gli antichi Egizi li usavano scomponendoli come somme di frazioni dal numeratore unitario (ancora oggi chiamate frazioni egiziane), rappresentandoli ponendo un simbolo sopra la rappresentazione dell'intero corrispondente; i Babilonesi usavano invece una scrittura posizionale (come per gli interi) a base sessagesimale.
Pitagora e i pitagorici basavano la loro concezione del mondo sui rapporti tra numeri interi, ovvero sui numeri razionali, e pensavano che ogni cosa esistente al mondo potesse essere ridotta a tali numeri: la loro scoperta dell'irrazionalità della radice quadrata di due distrusse questa concezione. Lo stesso concetto di "rapporto" non è del tutto chiaro nemmeno negli "Elementi" di Euclide, dove l'intero quinto libro è dedicato alla teoria delle proporzioni. Secondo le sue definizioni, un rapporto è un "tipo di relazione dimensionale tra due grandezze dello stesso tipo", mentre due grandezze possono essere poste in rapporto se "esiste un multiplo intero della prima che supera l'altro" (definizione dovuta probabilmente a Eudosso, che ricalca quello che viene oggi chiamato assioma di Archimede). L'uguaglianza di rapporti implica un'altra definizione complicata: in notazione moderna, equivale a dire che formula_12 se e solo se, dati due numeri "m" ed "n", si ha che
La definizione di "grandezze commensurabili" è invece la prima del libro X, e stabilisce che queste sono le grandezze che hanno una misura comune, ovvero sono multipli interi dello stesso numero.
La notazione decimale dei numeri fu introdotta da Stevino verso la fine del XVI secolo, sebbene lui non accettasse sviluppo decimali che non si concludessero, lasciando fuori così un gran numero di razionali. Più tardi Clavius e Nepero eliminarono questa limitazione.
Il termine "razionale" deriva dal latino "ratio", nel suo significato di "rapporto".
Molte entità e strutture matematiche, come i polinomi o gli spazi vettoriali, nella loro definizione fanno riferimento ad un campo; l'aggettivo "razionale" attribuito ad una di queste entità è spesso usato per specificare che il campo scelto è quello dei numeri razionali. Per esempio si dice polinomio razionale ogni polinomio i cui coefficienti sono solo numeri razionali.
Va rilevato che sono dette "operazioni razionali" le quattro operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione definite su strutture algebriche come i campi o gli anelli. Ne consegue che in vari casi l'aggettivo "razionale" riguarda entità ottenibili servendosi delle quattro operazioni razionali a partire da certi oggetti di base. Ad esempio si dicono funzioni razionali (in una o più variabili) le funzioni ottenibili componendo con operazioni razionali la variabile o le variabili e gli elementi di un campo.
Da un punto di vista formale, non è possibile definire i numeri razionali semplicemente come coppie di numeri interi (cioè come l'insieme delle frazioni del tipo formula_13), perché in questo caso, ad esempio, le coppie (3,2) e (6,4) sarebbero numeri diversi, mentre tra i razionali vale l'uguaglianza
È necessario quindi introdurre le nozioni di relazione e classe d'equivalenza, nel modo seguente.
Ogni numero razionale è una classe di equivalenza di coppie ordinate di numeri interi
formula_15, con formula_16 diverso da zero. La relazione di equivalenza è la seguente
L'addizione e la moltiplicazione di numeri razionali sono definite come
Si verifica che entrambe le operazioni così definite sono compatibili con la relazione di equivalenza: il loro risultato, infatti, non dipende dalle particolari coppie ordinate scelte per indicare i numeri razionali da sommare o moltiplicare. L'insieme quoziente di questa relazione è quindi Q.
Si noti che le operazioni ora definite non sono altro che la formalizzazione delle consuete operazioni tra frazioni:
Con le operazioni di cui sopra, formula_20 risulta un campo, ove la classe di formula_21 gioca il ruolo dello zero, e la classe di formula_22 quello di uno. L'opposto della classe di formula_23 è la classe di formula_24. Inoltre, se formula_25, ovvero la classe di formula_23 è diversa da zero, allora la classe di formula_23 è invertibile, ed ha per inverso la classe di formula_28.
La classe di equivalenza corrisponde all'esistenza di più rappresentazioni come frazione dello stesso numero razionale:
per ogni "k" intero non nullo.
Possiamo definire anche un ordine totale su Q nel modo seguente: 
Come tutti i numeri reali, i numeri razionali possono essere rappresentati tramite il sistema numerico decimale. Lo sviluppo decimale dei numeri razionali ha la particolarità di essere "periodico": un numero reale è razionale se e solo se nella sua scrittura esiste una sequenza finita di cifre (detta "periodo") che si ripete all'infinito, da un certo punto in poi dopo la virgola.
Si può facilmente dimostrare che nessun numero razionale, nel suo sviluppo decimale in base 10, può ammettere periodo 9.
Ad esempio:
Un numero razionale può essere descritto quindi "soprallineando" il periodo, come in questi esempi.
Questa equivalenza tra razionali e numeri periodici implica che nessun numero razionale è normale in una qualunque base. Può essere usata anche per dimostrare l'irrazionalità di molti numeri: ad esempio
dove ogni 1 è separato da una sequenza di zeri di lunghezza crescente, è irrazionale in qualsiasi base, in quanto, se fosse razionale, il suo periodo conterrebbe una sequenza finita di zeri separati da 1. Tuttavia nell'espansione possono essere trovati gruppi di zeri di qualsiasi lunghezza, e quindi un periodo di tal genere non può esistere. Con metodi simili si può dimostrare che la costante di Copeland-Erdős
formula_36
formata, in base dieci, dalla giustapposizione dei numeri primi, è irrazionale.
Questa tecnica è tuttavia inutile per provare l'irrazionalità di numeri non definiti in base alla loro espansione decimale, come formula_37 e pi greco.
I numeri razionali hanno una rappresentazione in frazione continua semplice finita, e sono gli unici a possedere questa proprietà. Inoltre sono gli unici in cui la rappresentazione non è unica, ma doppia: ad esempio
Munito di addizione, moltiplicazione e relazione d'ordine, l'insieme formula_39 ha la struttura algebrica di un campo ordinato archimedeo, e tuttavia non è un campo completo (si può dimostrare che il sottoinsieme formula_40 ha come estremante superiore il valore formula_37, che non è un numero razionale).
L'unico sottocampo del campo dei numeri razionali è se stesso. Gli elementi neutri per la somma ed il prodotto sono rispettivamente 0 ed 1. La caratteristica del campo è 0; si può dimostrare inoltre che ogni campo con caratteristica 0 contiene un sottocampo isomorfo ai numeri razionali, e quindi che ogni campo di questo tipo può essere considerato come un'estensione dei razionali. In particolare, i razionali ne formano il sottocampo fondamentale.
La chiusura algebrica dei numeri razionali non è formata dai numeri reali, ma dai numeri algebrici, i quali formano uno spazio vettoriale di dimensione infinita sui razionali.
Il campo dei numeri razionali è inoltre il campo dei quozienti dell'insieme formula_42 dei numeri interi.
Per il teorema di Ostrowski, i razionali sono uno spazio metrico rispetto solo a due tipi di valore assoluto: l'usuale modulo
e il valore assoluto "p"-adico
dove "p" è un qualsiasi numero primo e "n" è tale che formula_45 e "a", "b" e "p" sono a due a due coprimi. Le norme riferiti a questi due valori assoluti sono rispettivamente
e
I razionali non sono completi rispetto a nessuna di queste due norme: i completamenti sono rispettivamente i numeri reali e i numeri "p"-adici. Quest'ultimo è particolarmente usato in teoria dei numeri, mentre l'introduzione dei numeri reali è necessaria per poter stabilire alcuni teoremi fondamentali dell'analisi, tra cui il teorema degli zeri e il teorema di Weierstrass.
formula_4 è numerabile, cioè esiste una corrispondenza biunivoca tra i razionali e i numeri naturali. Questo risultato, apparentemente paradossale (è naturale, infatti, pensare che le frazioni siano "molte di più" degli interi), è stato dimostrato da Georg Cantor. Il suo ragionamento si basa sul diagramma a fianco: possiamo infatti ordinare i razionali positivi, seguendo le frecce, in modo che ad ognuno di essi sia assegnato un numero naturale; anzi, ogni numero sarà contato infinite volte (perché ognuno ha un'infinità di rappresentazioni diverse), ma questo non può rendere l'insieme formula_4 più grande. Lo stesso argomento può essere usato per dimostrare che i razionali negativi sono numerabili. Poiché l'unione di due insiemi numerabili è ancora numerabile, formula_4 risulta essere numerabile.
Al contrario, l'insieme dei numeri reali non è numerabile, e quindi "quasi tutti" i numeri reali sono irrazionali. Questo implica che, sebbene formula_4 sia denso in formula_6, abbia misura di Lebesgue nulla.
L'anello dei polinomi a coefficienti razionali si indica con formula_53. Al contrario dei polinomi a coefficienti reali o complessi, non esiste un criterio semplice per individuare l'eventuale irriducibilità di un polinomio a coefficienti razionali.
La maggior parte dei criteri usati si basano sul lemma di Gauss, il quale afferma che un polinomio a coefficienti interi è
riducibile nell'anello formula_53 se e solo se è riducibile in fattori di grado maggiore di 0 nell'anello formula_55 dei polinomi a coefficienti interi. Poiché ogni polinomio a coefficienti razionali può essere trasformato in uno a coefficienti interi moltiplicando per il massimo comun divisore dei denominatori senza cambiare la sua irriducibilità, questo lemma permette di applicare ai polinomi a coefficienti razionali alcuni criteri, come il criterio di Eisenstein, che si applicano sui polinomi a coefficienti interi.
In particolare, questo criterio permette di costruire polinomi irriducibili di qualunque grado: ad esempio
è irriducibile. Questo non avviene negli anelli di polinomi a coefficienti reali o complessi: nel primo caso i polinomi irriducibili possono essere solamente di primo o di secondo grado, mentre nel caso complesso, in conseguenza del teorema fondamentale dell'algebra, ogni polinomio si scompone in fattori di primo grado.
Al contrario di quanto avviene con le radici reali (o complesse), esiste un algoritmo molto veloce per stabilire quali siano (se esistono) gli zeri razionali di un polinomio (a coefficienti interi, forma a cui può essere ridotto ogni polinomio a coefficienti razionali). Il "teorema delle radici razionali" afferma infatti che, se
con gli formula_58 interi, allora, nelle eventuali radici razionali "p"/"q", "p" è un divisore di formula_59 e "q" di formula_60. Poiché i divisori di questi due numeri sono in numero finito, sarà sufficiente, per il teorema del resto, controllare se per ogni coppia di divisori si ha P("p"/"q")=0 (nel qual caso "p"/"q" è una radice) oppure no.
I "razionali complessi", o "razionali gaussiani" per analogia con gli interi gaussiani, sono quei numeri complessi nella forma "a+ib", dove "a" e "b" sono razionali e "i" rappresenta l'unità immaginaria. L'insieme dei razionali gaussiani forma un campo, che è il campo dei quozienti dell'anello degli interi gaussiani.
Tale insieme si denota generalmente con formula_61, cioè il più piccolo campo contenente i razionali e l'unità immaginaria "i".
Poiché i razionali sono densi in formula_6, possono essere usati per approssimare i numeri reali. Il primo risultato ad essere dimostrato è che per ogni irrazionale formula_63 esistono infiniti razionali "p/q" tali che
Un risultato importante è il teorema di Liouville, dimostrato nel 1844 da Joseph Liouville: esso asserisce che se formula_63 è un numero algebrico di grado "n", allora esiste una costante "c">0 tale che
per ogni razionale "p"/"q". Da questo Liouville riuscì a costruire i primi esempi di numeri trascendenti (detti oggi numeri di Liouville), mostrando che per questi esistevano delle successioni di razionali che rendevano impossibile l'esistenza di un tale "c".
Nel 1955 Klaus Roth dimostrò che per ogni algebrico formula_63 e per ogni formula_68 la disuguaglianza
può avere solamente un numero finito di soluzioni in cui "p" e "q" sono interi coprimi. Tale risultato migliorava quelli ottenuti in precedenza da Axel Thue e Carl Ludwig Siegel.
