
In algebra, il teorema delle radici razionali afferma che ogni soluzione razionale di un'equazione polinomiale a coefficienti interi:
è della forma formula_2, dove:
Il teorema non dà alcuna informazione su eventuali radici irrazionali o complesse.
Ad esempio, se abbiamo un'equazione della forma
allora le eventuali radici razionali sono contenute in quest'insieme:
Se il polinomio è monico, cioè è formula_9, evidentemente la formula si semplifica restringendo le opzioni tra i soli divisori del termine noto. La verifica di ogni singola possibile radice si può ad esempio attuare con il teorema del resto (oppure con la regola di Ruffini se si vuole avere direttamente anche direttamente il quoziente). Se nessun valore soddisfa le richieste, allora tutte le sue radici (che esistono per il teorema fondamentale dell'algebra) sono irrazionali o complesse. Al contrario, se sono state trovate formula_10 radici razionali, allora il polinomio è completamente fattorizzabile in polinomi lineari con coefficienti razionali.
Il teorema delle radici razionali è una diretta conseguenza del lemma di Gauss, il quale afferma che se un polinomio (a coefficienti interi) è fattorizzabile sui razionali, allora lo è anche sugli interi.
Quindi se esiste una radice razionale formula_2, questo significa che potremo scrivere il nostro polinomio iniziale come formula_12 con tutti i formula_13 interi. Facendo il prodotto (i coefficienti intermedi non ci interessano) e sfruttando il fatto che due polinomi sono uguali se e solo se coincidono tutti i coefficienti, avremo formula_14 e formula_15, da cui il teorema.
In altro modo, supponiamo che la frazione formula_16 sia una radice del polinomio. Possiamo supporre che la frazione sia ridotta ai minimi termini, ovvero che gli interi formula_3 e formula_5 siano primi fra loro. Sostituendo si ottiene 
da cui, moltiplicando per formula_20,
Ora formula_3 divide i primi formula_10 termini, dunque deve dividere anche l'ultimo termine formula_24. Dato che formula_3 e formula_5 sono primi fra loro, formula_3 deve dividere formula_4. Con un ragionamento analogo si vede che formula_5 divide formula_6.


Il criterio di Cartesio, descritto nel suo libro "La Géométrie", è una regola algebrica che determina il numero "massimo" di radici reali positive e negative di un polinomio a coefficienti reali.
Sia dato un polinomio a coefficienti "reali":
con coefficienti formula_2 reali e non tutti nulli. La regola di Cartesio stabilisce che:
Il massimo numero di radici reali positive di un polinomio è dato dal numero di variazioni di segno fra coefficienti consecutivi, trascurando eventuali coefficienti nulli. Inoltre, le radici sono ordinate in modulo decrescente da quella corrispondente alla coppia di coefficienti ai gradi massimo e subito precedente fino a quella corrispondente alla coppia di coefficienti lineare e di grado nullo.
L'informazione relativa al numero di radici negative si deduce applicando la stessa regola al polinomio trasformato a radici opposte, ossia al polinomio formula_3. Esso ha infatti radici opposte a quelle di formula_4.
Perciò: le variazioni relative ai coefficienti del polinomio formula_5 danno informazioni circa le sue radici positive e, di conseguenza, circa le radici negative di formula_4.
Se il polinomio ha tutte le radici non immaginarie, il numero di radici positive è quello massimo. Il criterio di Routh-Hurwitz raffina determinando il numero effettivo delle radici a parte reale positiva e negativa.
Il polinomio
formula_7
presenta due variazioni di segno fra coefficienti di grado 5 e 3 e tra i coefficienti di grado 3 e 1. Questo indica che ci possono essere 2 o nessuna radice positiva.
Il polinomio trasformato a radici opposte è:
formula_8
che presenta due variazioni di segno. Questo indica che il polinomio P(-x) può avere due o nessuna radice positiva e quindi il polinomio iniziale può avere due o nessuna radice negativa.
Le radici del polinomio formula_4 sono 0, -2,+2,-3,+3.
Si noti come l'assenza di permanenze di segno nel polinomio iniziale (0 permanenze) non fornisce assolutamente alcuna informazione circa il numero di radici negative (che infatti risulta essere pari a 2).
