
La divisione è l'operazione aritmetica inversa della moltiplicazione.
Più specificamente, se 
dove "b" è diverso da zero, allora 
(da leggersi ""c" diviso "b"").
Ad esempio, 6 : 3 = 2, dato che 2 × 3 = 6.
La divisione per zero non viene definita.
Nell'espressione sopra, "a" rappresenta il "quoziente" ("quoto" nel caso di divisione senza resto), "b" il "divisore" (cioè la quantità che divide) e "c" il "dividendo" (cioè la quantità da dividere).
La divisione gode della "proprietà invariantiva" ovvero il quoziente non cambia se dividendo e divisore sono moltiplicati per una stessa quantità diversa da zero (il resto invece risulta moltiplicato per quella quantità).
L'espressione "c" : "b" viene anche scritta ""c"/"b"" (letta ""c" su "b"", o ""c" fratto "'b"", o ""c" "b"-esimi" ; se "b" è un intero positivo diverso da 2 questo si legge come ordinale, plurale se "c" è diverso da 1, es. 2/3 si legge "due terzi" ma 3/2 si legge "tre mezzi"), specialmente nelle matematiche superiori, incluse le applicazioni alla scienza e all'ingegneria, e nei linguaggi di programmazione.
Tale forma viene anche spesso usata come forma finale di una frazione.
La divisione fra due numeri interi "a" e "b", con "b"≠0, consiste invece nel trovare una coppia di interi "q" ed "r", detti "quoziente" e "resto", tali che "a" = "b" × "q" + "r" e 0 ≤ "r" < | "b" |. (Si dimostra che tale coppia di interi esiste ed è unica). Quando "r" = 0, il risultato della divisione "q" viene talvolta detto "quoto".
In inglese e sulle calcolatrici elettroniche, il simbolo della divisione è l'obelo che ha una barretta orizzontale tra i due punti: "c" ÷ "b". In italiano questo uso non è mai stato attestato: l'obelo è solo usato a volte in ingegneria e chimica per indicare un intervallo. Nell'uso inglese, invece, i due punti si utilizzano solo per il concetto correlato di rapporto.
A/B = C indica che il denominatore B è contenuto nel numeratore A una quantità di volte pari a C.
infatti come si evince dall'esempio 0,5 è contenuto 2 volte dentro il numeratore 1.
Un secondo modo di leggere la divisione: A/B = C indica che ad una unità del denominatore (B) corrispondano C unità del numeratore A.
cioè: a ogni unità del denominatore spetteranno 2 unità del numeratore.
Questo secondo metodo di lettura della divisione è un approccio particolarmente utile per comprendere il calcolo delle percentuali e il concetto di derivata. Infatti:
Cioè a ogni euro del prezzo della maglietta che si trova al denominatore corrispondono venti centesimi dei 7 euro sconto. Perciò moltiplicando 0,2 per 100 si ha la percentuale dello sconto pari al 20%.
Utilizzando la tavola pitagorica, si possono dividere due numeri interi con carta e penna.
Se il dividendo ha una parte frazionaria espressa come frazione decimale, si può continuare l'algoritmo dopo le unità; se è il divisore ad avere una parte frazionaria, basta spostare la virgola a destra dello stesso numero di posizioni - aggiungendo se necessario degli zeri a destra del dividendo - fino a che il divisore diventa un numero intero. Pertanto, per fare la divisione 245,7 : 3,78 si eseguirà quella equivalente 24570 : 378.
Un'altra possibilità che si ha per semplificare i conti è vedere se dividendo e divisore abbiano un fattore comune, ed eliminarlo; la divisione di cui sopra è dunque equivalente a 12285 : 189 (eliminando il fattore 2) e ancora a 1365 : 21 (eliminando un fattore 9), 455 : 7 (con un fattore 3), da cui si ottiene subito il risultato finale 65.
Si può calcolare la divisione con un abaco, scrivendo ripetutamente il dividendo e sottraendo man mano il divisore, spostato a sinistra quanto più possibile. Ogni volta che occorre riportare a destra il divisore, si passerà a una nuova cifra anche per il quoziente. Il procedimento risulta pertanto abbastanza simile a quello della divisione su carta, anche se in quel caso c'è la scorciatoia di utilizzare delle moltiplicazioni per ridurre il numero di sottrazioni necessarie.
Nella aritmetica modulare, alcuni numeri hanno un inverso moltiplicativo rispetto al modulo: ad esempio, in base 7, 3 ha come inverso 5. In questo caso, la divisione per 3 può essere calcolata moltiplicando per 5; questo approccio è utile in computer che non hanno una istruzione di divisione veloce.
La divisione tra interi - anche non considerando la divisione per zero, che non è definita, non è un'operazione chiusa; vale a dire, esistono coppie di numeri "a" e "b" tali che non esiste alcun intero "c" per cui "a" : "b" = "c". In questi casi si possono dare diverse possibili risposte:
Quando si fa una divisione tra interi in un linguaggio di programmazione occorre verificare attentamente la definizione. Nel linguaggio C, ad esempio, la divisione tra interi è definita come nel caso 4 qui sopra, e il risultato sarà pertanto un intero troncato; in altri linguaggi come MATLAB, invece, si inizia a convertire gli interi in numeri reali (o più correttamente numeri di macchina), e si ottiene così un numero reale come risposta, come nel caso 2 sopra.
A differenza del caso precedente, i numeri razionali sono chiusi rispetto alla divisione, se il divisore non è 0. Si può definire il risultato della divisione tra due numeri razionali "p"/"q" e "r"/"s" come il valore
Tutti e quattro i valori sono interi, e solo "p" può valere 0. Questa definizione assicura che la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione: si ricava infatti subito che
I casi particolari riguardano l'operazione di divisione quando 0 è il dividendo o il divisore. Il risultato di queste operazioni può essere indeterminato oppure impossibile. Detto "a" un qualsiasi numero reale diverso da zero, vale che:
Si verifica facilmente grazie alla definizione: l'unico numero che moltiplicato per un numero non nullo dà zero è lo zero stesso in quanto vale la legge di annullamento del prodotto.
Anche in questi due ultimi casi, il metodo per risolvere l"'impasse" è considerare la definizione dell'operazione di divisione, cioè come l'inverso della moltiplicazione. Risolvere i casi 2 e 3 equivale a cercare la soluzione dell'equazione 0 × "x" = "a"; questa ha:
In entrambe i casi non è possibile determinare il risultato che, come sappiamo, deve essere unico. Per tale motivo la divisione per zero non viene definita ed è priva di significato.
Il risultato della divisione di due numeri reali è un altro numero reale, se il divisore non è 0. Dati "a" e "b", si definisce "a"/"b" = "c" se e solo se "a" = "cb" e "b" ≠ 0.
Anche per i numeri complessi, così come per i numeri reali, la divisione è un'operazione chiusa eccetto il caso in cui il divisore sia zero, nel qual caso l'operazione non è definita.
Se si esprimono i numeri complessi con le comuni coordinate, il risultato della divisione di formula_4 per formula_5, dove "p", "q", "r" e "s" sono numeri reali e "r" e "s" non possono essere entrambi nulli, è dato da
Se i numeri complessi sono espressi mediante le coordinate polari, l'espressione è più semplice da esprimere e ricordare: il risultato della divisione tra formula_7 e formula_8, con "p", "q", "r" e "s" reali e finiti e "r" diverso da zero, è dato da
La divisione tra due polinomi (a coefficienti interi) può anch'essa venire definita come l'operazione inversa della moltiplicazione: come nel caso dei numeri interi, generalmente si otterrà un polinomio quoziente e un resto. Per maggiori informazioni su come viene condotta l'operazione, si veda la regola di Ruffini.
Nelle algebre astratte, come quella delle matrici e nei quaternioni, frazioni come formula_10 sono tipicamente definite come formula_11 oppure formula_12, quando "b" è un elemento invertibile (vale a dire, esiste un altro elemento "c" tale che "bc" = "cb" = 1, dove 1 è l'identità moltiplicativa; l'elemento "c" viene generalmente scritto come "b"). In un dominio d'integrità, in cui possono non esistere gli inversi, più che di "divisione" si può parlare di "cancellazione", nelle equazioni della forma "ab" = "ac" o "ba" = "ca", dove "a" viene cancellato da entrambi i membri.
La funzione quoziente di due funzioni "f" e "g" è la funzione "h" il cui valore in un punto "x" è dato da formula_13. È definita nell'intersezione dei due domini di "f" e "g", ad eccezione dei valori "x" che annullano la "g".
La derivata del quoziente di due funzioni è data dalla regola del quoziente:
Non esiste una regola generale per integrare il quoziente di due funzioni.


In matematica, la sottrazione è una delle quattro operazioni aritmetiche fondamentali. È normalmente denotata con un segno meno infisso ("−"). 
La sottrazione tra due numeri naturali può essere definita in termini di addizione. Dati due numeri naturali "n" ed "m", il primo detto minuendo ed il secondo sottraendo, si dice differenza il numero naturale "d", se esiste, che aggiunto ad "m" dà come somma "n". In simboli, 
La sottrazione viene utilizzata per modellare i tre processi fisici seguenti.
Matematicamente è spesso utile vedere la sottrazione non come un'operazione separata, ma come addizione dell'opposto del sottraendo. Così, 7-3 diventa la somma di 7 e di "−3". In questo modo, si possono applicare alla sottrazione tutte le regole familiari e la nomenclatura dell'addizione. Si consideri inoltre che la sottrazione non è commutativa né associativa, ma l'addizione di quantità con segno sì; questo significa che un matematico non userà spesso le parole "minuendo" e "sottraendo" ma considererà 7-3 come la somma degli addendi "7" e "−3”.
Prendiamo un segmento di lunghezza "b" disegnato per terra con l'estremo di sinistra chiamato "a" e quello destro "c".
Partendo dalla posizione "a", saranno necessari "b" passaggi per raggiungere la posizione "c". Questo movimento verso destra, chiamato addizione, può essere scritto come:
Dalla posizione "c", saranno necessari "b" passaggi per ritornare all'estremo "a". Questo movimento verso sinistra, chiamato "sottrazione", può essere scritto come:
Immaginiamo ora un segmento le cui posizioni siano contrassegnate dai numeri 1, 2 e 3.
Dalla posizione 3, per rimanere alla posizione 3 non è necessario nessun passaggio, quindi
Dalla posizione 3, per andare alla posizione 2 è necessario 1 passaggio, quindi
Dalla posizione 3, per andare alla posizione 1 sono necessari 2 passaggi, quindi
Cosa succederebbe se si continuasse nel processo andando per 3 volte verso sinistra dalla posizione 3? Per il nostro esempio, si andrebbe oltre la linea disegnata, cosa che non sarebbe permessa. Quindi per fare questo la linea deve essere estesa.
Per la sottrazione dei numeri naturali, la linea dovrebbe avere tutti i numeri naturali (0, 1, 2, 3, 4, ...) su di essa.
Usando la linea dei numeri naturali, dalla posizione 3, tornando per 3 volte verso sinistra si raggiungerebbe la posizione 0, quindi
Ma per i numeri naturali, 3 − 4 sarebbe una operazione non valida. Per eseguirla dobbiamo ulteriormente estendere la linea.
Usando la linea dei numeri interi (…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …), dalla posizione 3, togliendo 4 arriveremmo alla posizione −1, quindi
Per fare una sottrazione in colonna bisogna scrivere prima il minuendo e sotto il sottraendo: 86 - 34 = 52
Si prende il primo numero da destra e gli si sottrae quello che ha sotto (6-4=2). Si fa la stessa cosa con quello a sinistra (8-3=5). Si scrivono i due risultati sotto le corrispondenti sottrazioni.
Aggiungendo o sottraendo uno stesso termine al minuendo e al sottraendo la differenza non cambia. Cioè se
allora si ha anche
