
l concetto di insieme aperto si trova in matematica in molti ambiti e con diversi gradi di generalità. Intuitivamente, un insieme è aperto se è possibile spostarsi sufficientemente poco in ogni direzione a partire da ogni punto dell'insieme senza uscire dall'insieme stesso. In realtà, seguendo le definizioni generali ci si può allontanare abbastanza da questa idea intuitiva; attraverso la definizione di insieme aperto si possono definire concetti come "vicino", "lontano", "attaccato", "separato"; definizioni non intuitive di insiemi aperti corrisponderanno a situazioni matematiche in cui questi concetti vengono utilizzati in modo non intuitivo.
La topologia è l'ambito più generale in cui si incontrano gli insiemi aperti; in questo contesto il concetto di insieme aperto viene considerato fondamentale; preso un insieme X, se una qualunque collezione T di sottoinsiemi di X soddisfa le proprietà riportate sotto, X diventa uno spazio topologico, T viene chiamata topologia di X e gli insiemi di T, per definizione, i suoi aperti.
Perché la collezione T sia una topologia deve valere:
Lo spazio topologico viene indicato specificando la coppia (X,T). È da notare che se si considera uno stesso insieme X con due diverse topologie T e T', si hanno due spazi topologici diversi; tuttavia in molti casi, in cui la struttura topologica emerge in modo "naturale", indicare l'insieme è sufficiente per individuare lo spazio topologico.
In uno spazio metrico formula_1, un sottoinsieme formula_2 di formula_3 si dice aperto se, per ogni formula_4, esiste un numero reale formula_5 tale che i punti che distano da formula_6 per meno di formula_7 appartengono ancora a formula_2. Formalmente: se formula_9, allora formula_10. Gli aperti metrici così definiti costituiscono una topologia di formula_3 secondo la definizione precedente: in questo modo ogni spazio metrico è dotato in modo naturale di una struttura di spazio topologico, e tutti gli aperti metrici possono essere considerati aperti topologici ("ma non viceversa").
Lo spazio euclideo formula_12 è un particolare spazio metrico. Un insieme aperto formula_2 dello spazio euclideo è un insieme tale che per ogni formula_6 di formula_2 esiste una palla di raggio formula_16 centrata in formula_6, interamente contenuta in formula_2.
In particolare, un intervallo in formula_19 è aperto se è del tipo formula_20, dove formula_21 e formula_22 possono anche essere rispettivamente formula_23 e formula_24.
A ogni definizione di insieme aperto corrisponde una definizione di insieme chiuso. In generale, un insieme è chiuso se e solo se è il complementare di un insieme aperto; nell'ambito degli spazi topologici questa è esattamente la proprietà definitoria, negli altri ambiti si danno definizioni a parte e questa proprietà viene provata come un teorema.


 matematica, un raggruppamento di oggetti rappresenta un insieme se esiste un criterio oggettivo che permette di decidere univocamente se un qualunque oggetto fa parte o no del raggruppamento. Si tratta di un concetto fondamentale della matematica moderna, a partire dal quale si è sviluppata la teoria degli insiemi.
Nell'uso informale gli oggetti della collezione possono essere qualunque cosa: numeri, lettere, persone, figure, ecc., anche non necessariamente omogenei; nelle formalizzazioni matematiche gli oggetti della collezione vanno invece ben definiti e determinati. Il concetto di insieme è considerato primitivo ed intuitivo: "primitivo" perché viene introdotto come nozione non derivabile da concetti più elementari; "intuitivo" perché viene introdotto come generalizzazione della nozione di insieme finito, che a sua volta è introdotta dall'analogia con l'esperienza sensibile di scatole che contengono oggetti materiali (tendenzialmente omogenei); questa impostazione si basa sulla convinzione che l'idea di insieme sia naturalmente presente nella mente umana.
Gli oggetti che compongono un insieme si dicono elementi di questo insieme; nel linguaggio matematico, detto "a" un elemento dell'insieme "A", si dice che "a appartiene ad A" o in simboli formula_1. Un insieme "A" è sottoinsieme di un altro insieme "B" quando tutti gli elementi di "A" appartengono anche a "B".
Ciò che caratterizza il concetto di insieme e lo differenzia da strutture matematiche simili sono essenzialmente le seguenti proprietà:
Gli insiemi, con le loro operazioni e relazioni, possono essere rappresentati graficamente con i diagrammi di Eulero-Venn.
Solitamente un insieme viene indicato con le lettere maiuscole dell'alfabeto: "A", "B", "E", "M", "S" ... e si chiede che sia univocamente determinato: se ad esempio diciamo che "M" è l"'insieme degli x tali che x è un mammifero marino", allora supponiamo che si sappia sempre decidere se un qualsiasi animale possibile ed immaginabile abbia o meno le caratteristiche necessarie per rientrare in "M." Se un oggetto "x" appartiene ad un insieme "F" viene detto "elemento" di "F" e la relazione si denota nella forma formula_2. Viceversa, la relazione di non appartenenza a un insieme si denota nella forma formula_3.
Un insieme può essere definito nei seguenti modi:
La cardinalità di un insieme è il numero che indica la quantità dei suoi elementi. Ad esempio, l'insieme formula_11 ha tre elementi (considerando distinte le tre lettere), quindi cardinalità 3; l'insieme dei numeri naturali formula_12 ha invece cardinalità formula_13, il primo cardinale infinito.
Un insieme si dice "finito" se ha un numero finito di elementi, "infinito" se contiene infiniti elementi.
Le principali operazioni tra insiemi sono:
Due insiemi "A" e "B" si dicono inoltre:
"B" è sottoinsieme di "A" se "A" contiene gli elementi di "B". Secondo la definizione ogni insieme è contenuto in sé stesso. Per esprimere questo si usa la notazione:
Se si vuole escludere che "B" coincida con "A", cioè prevedere che esistono elementi di "A" non contenuti in "B", si usa la notazione:
che si legge: ""B è un sottoinsieme proprio di A"" oppure ""B è incluso propriamente in A"" oppure ""B è contenuto propriamente in A"". Alcuni autori utilizzano solo la seconda notazione, indipendentemente dal tipo di inclusione.
La relazione binaria di inclusione tra insiemi rende una qualsiasi classe di insiemi un insieme parzialmente ordinato.
Insieme vuoto è l'insieme che non contiene "nessun" elemento. Si indica con i simboli formula_25, formula_26 o con due parentesi graffe, la prima aperta e l'altra chiusa formula_27.
L'insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme (incluso sé stesso).
Per qualunque insieme "A" si definisce insieme delle parti o "insieme potenza" di "A" e si indica con formula_28 o formula_29 l'insieme che ha come elementi tutti e soli i sottoinsiemi di "A". Ad esempio, se formula_30 allora il suo insieme delle parti è costituito da formula_31.
L'insieme delle parti ha cardinalità strettamente maggiore di quella dell'insieme di partenza. Se "A" è finito ed ha |"A"| elementi, il numero degli elementi di formula_28 è dato da formula_33 (in simboli, formula_34).
L'insieme delle parti di qualsiasi insieme, considerato congiuntamente all'operazione di differenza simmetrica, forma un gruppo abeliano. Se vengono considerate insieme unione, intersezione e complementazione la struttura generata è un'algebra di Boole.
Si chiama partizione dell'insieme A un insieme di sottoinsiemi di A che ha queste caratteristiche:
Dati gli insiemi A e B, con Bformula_35A, l'insieme complementare di B rispetto ad A è A-B. Lo indichiamo con formula_36(B).
Alcuni insiemi, detti "numerici", hanno un ruolo particolarmente importante e pervasivo in tutte le branche della matematica:
Questi insiemi si possono vedere intuitivamente come contenuti uno nell'altro:
Più propriamente si dovrebbe parlare di immersione di ogni insieme nel seguente, poiché secondo la corrente assiomatizzazione i vari insiemi sono definiti in modi radicalmente diversi l'uno dall'altro.
