
In algebra lineare, con matrice elementare si indica generalmente una matrice quadrata di un certo tipo, utile in alcuni algoritmi come l'algoritmo di Gauss o le fattorizzazioni LU e QR.
Nella più grande generalità, una matrice elementare è una matrice quadrata a coefficienti reali o complessi, del tipo
dove formula_2 è la matrice identità e formula_3 è una matrice con rango al più uno. In altre parole, le colonne (o le righe) di formula_3 sono tutte multiple una dell'altra, ad esempio:
Equivalentemente, formula_6 è il prodotto di due vettori, il primo formula_7 colonna ed il secondo formula_8 riga (perché formula_8 indica la trasposta di formula_10). Nell'esempio, abbiamo
Risulta quindi comodo esprimere una matrice elementare come
dove formula_13 è un coefficiente (reale o complesso) e formula_14 sono vettori non nulli.
Le principali proprietà delle matrici elementari sono:
Le matrici elementari di Gauss sono matrici elementari molto semplici, definite per interpretare le mosse di Gauss come moltiplicazione per una matrice. Sono di tre tipi, ciascuno corrispondente ad un tipo di mossa.
La matrice formula_15 è ottenuta dalla matrice identità scambiando le righe formula_16-esima e formula_17-esima:
Può essere anche definita come 
dove 
è l'formula_21-esimo vettore della base canonica.
Analogamente, formula_22 è ottenuta dalla matrice identità moltiplicando la riga formula_16-esima per un numero formula_24.
Può anche essere definita come
La matrice formula_27 è ottenuta dalla matrice identità aggiungendo alla riga formula_16-esima la riga formula_17-esima moltiplicata per formula_24.
Può anche essere definita come
Se formula_33 è una matrice qualsiasi con formula_34 righe, allora le matrici formula_35 sono le matrici ottenute da formula_33 operando le corrispondenti mosse di Gauss.
Una matrice di Householder è una matrice elementare del tipo formula_37 dove formula_10 è un vettore di norma uno. 
Le matrici elementari di Householder sono utili per definire le trasformazioni di Householder e quindi la fattorizzazione QR.


In matematica, in particolare in algebra lineare, una matrice è detta quadrata se ha un numero uguale di righe e colonne, detto "ordine" della matrice. Viene altrimenti detta "matrice formula_1".
Si tratta del tipo più comune e più importante di matrice, l'unico su cui sono definiti concetti come determinante, traccia, autovalore.
Le matrici quadrate sono utili a modellizzare le trasformazioni lineari di uno spazio vettoriale in se stesso (più precisamente, i suoi endomorfismi), le forme bilineari ed i prodotti scalari.
L'insieme di tutte le matrici quadrate a valori in un campo formula_2 fissato (ad esempio, i numeri reali o complessi) costituisce, rispetto alle operazioni di somma e di prodotto fra matrici, un anello. Eccetto il caso formula_3, tale anello non è commutativo. Viene indicato generalmente con formula_4. 
L'elemento neutro per la somma è la matrice nulla, avente zeri ovunque. L'elemento neutro per la moltiplicazione è la matrice identità formula_5, contenente elementi pari a 1 nella diagonale principale e elementi nulli altrove. Per esempio, se formula_6:
Considerato anche con l'operazione di moltiplicazione per scalare, l'insieme formula_8 è anche uno spazio vettoriale su formula_2, di dimensione formula_10.
Le due strutture di anello e spazio vettoriale formano insieme una struttura di algebra su campo.
Gli elementi invertibili nell'anello si dicono matrici invertibili. Una matrice quadrata formula_11 è invertibile se e solo se esiste una matrice quadrata formula_12 tale che:
In tal caso, formula_12 è la matrice inversa di formula_15, ed è indicata con formula_16.
L'insieme di tutte le matrici invertibili di tipo formula_17, dotato dell'operazione di moltiplicazione, è un gruppo, chiamato gruppo generale lineare: si tratta di un particolare gruppo di Lie.
Se formula_18 è un numero in formula_19 e formula_20 è un vettore non nullo in formula_21 tali che 
si dice che formula_23 è un autovettore di formula_11 e formula_18 è l'autovalore ad esso associato. Lo studio degli autovalori e autovettori è di fondamentale importanza in algebra lineare, e porta al concetto di diagonalizzabilità. Gli autovalori di una matrice sono le radici del suo polinomio caratteristico, definito come
Il determinante di una matrice quadrata è una quantità importante che può essere definita in numerosi modi diversi, tutti equivalenti fra di loro. I determinanti caratterizzano l'invertibilità di una matrice quadrata: una matrice quadrata è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo.
La traccia di una matrice quadrata è la somma degli elementi della sua diagonale principale.
Il polinomio caratteristico, oltre ad essere uno strumento utile per il calcolo degli autovalori, è anche un oggetto che ha fra i suoi coefficienti il determinante, la traccia ed altri valori numerici simili.
Quando una matrice è diagonalizzabile, determinante e traccia sono rispettivamente il prodotto e la somma degli autovalori della matrice.
La funzione esponenziale di matrice è definita per matrici quadrate attraverso una serie di potenze.
