
L'addizione (denotata normalmente dal simbolo del più, "+") è una delle quattro operazioni fondamentali dell'aritmetica, insieme alla sottrazione, alla moltiplicazione e alla divisione. L'addizione di due numeri naturali può essere definita in termini insiemistici. Per sommare due numeri naturali "a" e "b", si considerano due insiemi "A" e "B" che abbiano, rispettivamente, "a" e "b" come numero di elementi, e che siano disgiunti (cioè non abbiano elementi in comune). Allora il risultato dell'addizione di "a" e "b" è il numero di elementi dell'insieme unione di "A" e "B" (l'insieme "A" ∪ "B").
Ad esempio, se in un sacchetto abbiamo tre mele e in un altro sacchetto abbiamo due mele, mettendo insieme il contenuto dei due sacchetti avremo cinque mele. Questa osservazione è equivalente all'espressione matematica "3 + 2 = 5", ovvero "3 più 2 è uguale a 5".
L'addizione può essere definita anche su quantità più astratte, quali i numeri interi relativi, i numeri razionali, i numeri reali e i numeri complessi, e su altri oggetti matematici quali i vettori e le matrici.
L'addizione gode di alcune proprietà basilari. È commutativa, ovvero cambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia. È associativa, ovvero quando si sommano più di due numeri, il risultato è lo stesso indipendentemente dall'ordine in cui vengono effettuate le addizioni. Lo zero è l'elemento neutro dell'addizione, ovvero sommare zero ad un numero lascia quel numero invariato.
I numeri o termini coinvolti nell'addizione sono collettivamente detti addendi, e il risultato dell'addizione è la loro somma.
Se gli addendi sono scritti individualmente, l'addizione è rappresentata dal carattere "+", che si interpone tra un termine e l'altro. Tra la sequenza degli addendi e la loro somma si interpone il simbolo dell'uguaglianza, "=". Sono addizioni valide:
e la prima di queste si legge, indifferentemente,
Negli scritti precedenti al XVI secolo è possibile trovare un altro simbolo indicante l'addizione. Si tratta di una "P" in corsivo che rimpiazzava la parola "più".
Se i termini non sono scritti individualmente, ma la sequenza degli addendi si ricava facilmente dalla scrittura, la somma si può indicare con un'ellissi ("...") per indicare i termini mancanti: la somma dei numeri naturali da 1 a 100 si può dunque scrivere come 1 + 2 + … + 99 + 100 = 5050.
In alternativa, la somma può essere rappresentata con il simbolo di sommatoria, rappresentato dalla lettera greca Sigma maiuscola. In particolare, data una sequenza di numeri denotati con formula_4, la somma degli "n-m+1" compresi fra quello di posizione "m" e quello di posizione "n" può essere espressa con la scrittura
Il simbolo "+" è un'abbreviazione della parola latina "et", che significa "e". Il suo uso in opere a stampa è attestato sin dal 1486.
Una delle interpretazioni dell'addizione è quella della combinazione di insiemi: 
Questa interpretazione, facile da visualizzare, è anche alla base della definizione formale di addizione tra numeri cardinali.
Una seconda interpretazione dell'addizione è data dall'estensione di una lunghezza (intera) di partenza in termini di una lunghezza (intera) data: 
Questa interpretazione è alla base della definizione formale di addizione tra numeri ordinali.
L'addizione è un'operazione "commutativa", ovvero cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia: 
Ad esempio: formula_7
L'addizione è un'operazione "associativa", ovvero quando si sommano tre o più addendi, l'ordine delle operazioni non influisce sul risultato:
Ad esempio: formula_9
Aggiungere zero ad un numero qualunque lascia quel numero invariato; in altre parole, lo zero è l'elemento neutro dell'addizione. In formule,
Per eseguire velocemente un'addizione fra numeri naturali, si allineano in colonna gli addendi, partendo dalla cifra delle unità a destra. Dopodiché si sommano le cifre di ciascuna colonna, da destra verso sinistra, e nell'eventualità che il risultato della somma su di una colonna sia maggiore o pari a dieci, si "riportano" le decine in eccesso come ulteriore addendo sulla colonna immediatamente a sinistra a quella appena calcolata.
Ad esempio, nell'addizione 27 + 59,
7 + 9 = 16, e la cifra 1 è il riporto.
Il metodo discusso sopra può essere applicato per sommare due qualunque numeri naturali ad "n" cifre "A"=a...aa e "B"=b...bb (nel caso il numero di cifre di "A" e "B" sia diverso, è sufficiente aggiungere il numero appropriato di zeri in testa al numero con meno cifre). In pseudocodice, l'algoritmo è il seguente:
Seguendo un metodo simile a quello descritto sopra si possono sommare anche due frazioni decimali. Si allineano i due numeri decimali in modo tale che la virgola sia nella stessa posizione. Se necessario, si aggiungono degli zeri in coda al numero più corto perché abbia lo stesso numero di cifre di quello più lungo. Infine, si segue il procedimento visto sopra, con l'unica accortezza di aggiungere la virgola al risultato nella stessa posizione in cui compare nei due addendi. Ad esempio, 45,1 + 4,34 si svolge nel seguente modo:
Questa estensione del metodo fu divulgata da Simone Stevino.
Nella teoria dell'algebra astratta si può chiamare "addizione" una qualunque operazione associativa e commutativa definita su un insieme, che sia dotata di un elemento neutro. Una struttura algebrica che includa una simile operazione è detta "monoide commutativo".
Già gli antichi Egizi avevano un semplice metodo per sommare numeri naturali. Nella notazione geroglifica, i numeri venivano indicati ripetendo una quantità appropriata di simboli rappresentanti le unità, le decine, le centinaia, eccetera. Per ottenere la somma di due numeri, quindi, era sufficiente combinare le unità, poi le decine, poi le centinaia, e così via, con l'accortezza di rimpiazzare eventuali gruppi di dieci simboli identici con un simbolo del tipo successivo. 
Ad esempio, per sommare 783 e 275, si combina
Il metodo di addizione posizionale moderno era sicuramente già noto in India intorno all'anno 600 d.C., ma è assai plausibile che lo stesso genere di algoritmo fosse già utilizzato dai Babilonesi in Mesopotamia nel 1700 a.C., anche se in un sistema sessagesimale anziché decimale.
In Europa, l'algoritmo di addizione moderno fu introdotto nel XII secolo attraverso la traduzione degli scritti del matematico persiano al-Khwarizmi.


Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce che ogni polinomio di grado formula_1 (cioè non costante), su un campo algebricamente chiuso (come il campo dei numeri complessi), del tipo:
ammette esattamente formula_3 radici in quel campo, o zeri. Dal teorema segue che un polinomio complesso ammette esattamente formula_3 radici complesse (contate con la giusta molteplicità), mentre un polinomio reale ammette al più formula_3 radici reali.
Un'enunciazione del teorema in una pubblicazione fu opera del matematico di origine fiamminga Albert Girard nel 1629 nel libro "L'invention en algebre", per quanto anticipata da una formulazione debole da parte di Peter Roth, riportata nei suoi "Arithmetica Philosophica" (1608). Non vi era comunque alcuna dimostrazione. Nel 1702 Leibniz sostenne di aver trovato un controesempio con il polinomio formula_6. Nel 1742 Nicolas Bernoulli e Christian Goldbach in una lettera inviata allo stesso Leibniz dimostrarono l'esistenza di radici complesse del polinomio.
Il primo tentativo serio di dimostrazione del teorema fu operato da d'Alembert nel 1746, il quale però utilizzò un teorema non ancora dimostrato (la dimostrazione fu fatta da Puiseux nel 1751 utilizzando lo stesso teorema fondamentale dell'algebra). Altri tentativi di dimostrazione furono portati avanti nel 1749 da Eulero, Lagrange nel 1772, Laplace nel 1795.
Finalmente nel 1799 Gauss riuscì nell'intento sfruttando i tentativi dei suoi predecessori. Infine, nel 1814 Jean-Robert Argand, un libraio appassionato di matematica, pubblicò un'altra dimostrazione molto più semplice rispetto a quella di Gauss.
Un numero reale è un particolare numero complesso: il teorema è quindi valido per ogni polinomio a coefficienti reali. Ad esempio, si consideri il polinomio
Questo polinomio non ammette nessuna radice reale: i numeri reali non formano un campo algebricamente chiuso. Per il teorema fondamentale dell'algebra, il polinomio ha però almeno una radice complessa: questa è l'unità immaginaria formula_8. Infatti:
Questa non è però l'unica radice. Il polinomio ha grado due e ha due radici complesse formula_10 e formula_11.
Esistono numerose dimostrazioni del teorema fondamentale dell'algebra che coinvolgono settori molto diversi della matematica come la topologia, l'analisi complessa e l'algebra.
Sia formula_12 un polinomio a coefficienti complessi di grado formula_13. 
Abbiamo formula_14, quindi esiste formula_15 tale che 
formula_16 per ogni formula_17 tale che formula_18. 
Il disco chiuso formula_19 è compatto, dunque per il teorema di Weierstrass esiste un punto formula_20 in cui formula_21 assume il suo minimo valore assoluto in formula_22.
Proviamo che formula_23: sviluppando formula_12 in serie di Taylor intorno a formula_25 abbiamo
dove formula_27, formula_28 è intero e formula_29 con formula_30,
notare che la serie di Taylor è finita poiché formula_31 per ogni intero formula_32 essendo formula_12 un polinomio di grado formula_3. Quindi:
dove formula_36 per formula_37. 
Per ogni formula_38 possiamo scegliere formula_17 di modo che formula_40, in tal caso quando formula_41 allora formula_37 quindi per formula_43 sufficientemente piccolo avremo 
pertanto 
ovvero si è trovato un assurdo.
Sia formula_12 un polinomio complesso, tale che formula_47 per ogni formula_48 complesso. Allora la funzione 
è una funzione intera, cioè è una funzione olomorfa su tutto formula_50. D'altra parte
implica
e quindi la funzione formula_53 è limitata. Per il teorema di Liouville formula_53 è costante, da cui segue che anche formula_12 è costante.
Quindi gli unici polinomi senza zeri sono i polinomi costanti.
Consideriamo un polinomio a coefficienti complessi non costante
vogliamo dimostrare che esiste un punto formula_57 tale che formula_58. A tale scopo possiamo considerare il caso in cui formula_59.
Supponiamo per assurdo che formula_60 non ammetta radici, cioè che l'origine non sia nella sua immagine. Consideriamo sul piano complesso la circonferenza di centro l'origine e raggio formula_61 parametrizzata da
Il polinomio formula_60 rappresenta una funzione continua del piano complesso in sé stesso e come tale manderà la circonferenza formula_64 in una curva piana parametrizzata formula_65. La curva così ottenuta non passerà per l'origine dal momento che abbiamo assunto che 0 non è nell'immagine di formula_60, e questo qualunque sia il raggio formula_61. Quindi possiamo considerare l'indice di avvolgimento di formula_65 rispetto all'origine formula_69
Poniamo
Poiché l'indice di avvolgimento non varia per deformazioni della curva tali che questa non tocchi mai l'origine (è un invariante omotopico) la funzione formula_71 sarà continua e poiché l'indice assume solo valori interi dovrà anche essere una funzione costante.
Ora consideriamo il valore di formula_71 per due differenti valori di formula_61:
Il fatto che formula_71 assuma valori differenti per differenti raggi contraddice il fatto che deve essere una funzione costante, e siamo quindi giunti a un assurdo da cui concludiamo che l'ipotesi che formula_60 non avesse nessuna radice è impossibile.
Si dice che il campo complesso formula_50 è un campo algebricamente chiuso per indicare il fatto che 
ogni polinomio di grado maggiore o uguale a 1, a coefficienti complessi, ha almeno una radice in formula_50, come stabilisce il teorema qui esposto. Tale proprietà non è condivisa dai sottocampi formula_108 e formula_109 come si può vedere subito considerando i polinomi 
che non ha radici nel campo formula_108 dei razionali, e
che non ha radici nel campo formula_109 dei reali.
