
La matematica (dal greco μάθημα ("máthema"), traducibile con i termini "scienza", "conoscenza" o "apprendimento"; μαθηματικός ("mathematikós") significa "incline ad apprendere") è la disciplina che studia le quantità (i numeri), lo spazio, le strutture e i calcoli.
Per l'origine del termine occorre andare al vocabolo egizio "maat", nella cui composizione appare il simbolo del cubito, strumento di misura lineare, un primo accostamento al concetto matematico. Simbolo geometrico di questo ordine è un rettangolo, da cui sorge la testa piumata della dea egizia Maat, personificazione dei concetti di ordine, verità e giustizia. Figlia di Ra, unico Uno, creatore di ogni cosa, la sua potenza demiurgica è limitata e ordinata da leggi naturali e matematiche.
All'inizio del papiro di Rhind si trova questa affermazione: ""Il calcolo accurato è la porta d'accesso alla conoscenza di tutte le cose e agli oscuri misteri"". Il termine "maat" riappare in copto, in babilonese e in greco. In greco la radice "ma", "math", "met" entra nella composizione di vocaboli contenenti le idee di ragione, disciplina, scienza, istruzione, giusta misura, e in latino il termine "materia" indica ciò che può essere misurato.
Col termine matematica di solito si designa la disciplina (ed il relativo corpo di conoscenze) che studia problemi concernenti quantità, estensioni e figure spaziali, movimenti di corpi, e tutte le strutture che permettono di trattare questi aspetti in modo generale. La matematica fa largo uso degli strumenti della logica e sviluppa le proprie conoscenze nel quadro di sistemi ipotetico-deduttivi che, a partire da definizioni rigorose e da assiomi riguardanti proprietà degli oggetti definiti (risultati da un procedimento di astrazione, come triangoli, funzioni, vettori ecc.), raggiunge nuove certezze, per mezzo delle dimostrazioni, attorno a proprietà meno intuitive degli oggetti stessi (espresse dai teoremi).
La potenza e la generalità dei risultati della matematica le ha reso l'appellativo di "regina delle scienze": ogni disciplina scientifica o tecnica, dalla fisica all'ingegneria, dall'economia all'informatica, fa largo uso degli strumenti di analisi, di calcolo e di modellizzazione offerti dalla matematica.
La matematica ha una lunga tradizione presso tutti i popoli della storia antica e moderna; è stata la prima disciplina a dotarsi di metodi di elevato rigore e portata. Ha progressivamente ampliato gli argomenti della sua indagine e progressivamente ha esteso i settori ai quali può fornire aiuti computazionali e di modellizzazione. È significativo che, in talune lingue e in talune situazioni, al termine singolare si preferisca il plurale "matematiche".
Nel corso della sua lunga storia e nei diversi ambienti culturali si sono avuti periodi di grandi progressi e periodi di stagnazione degli studi. Questo in parte è dovuto a singoli personaggi, capaci di dare apporti profondamente innovativi e illuminanti e di stimolare all'indagine matematica grazie alle loro doti didattiche. Si sono avuti anche periodi di arretramento delle conoscenze e dei metodi, specie in relazione a eventi distruttivi o a periodi di decadenza complessiva della vita intellettuale e civile. Negli ultimi 500 anni, per il miglioramento dei mezzi di comunicazione, è prevalsa la crescita del patrimonio di risultati e di metodi,
dovuta alla natura stessa delle attività matematiche, tese alla esposizione precisa di problemi e soluzioni; ciò impone di comunicare col fine ultimo di chiarire ogni dettaglio delle costruzioni logiche e dei risultati (alcuni chiarimenti richiedono un impegno non trascurabile, talora molti decenni). Questo ha corrisposto alla definizione di un linguaggio, strumento esemplare per la trasmissione e la sistemazione delle conoscenze.
Del linguaggio matematico moderno, fatto di simboli riconosciuti in tutto il mondo, la maggior parte è stata introdotta dopo il XVI secolo. Prima di allora la matematica era scritta usando parole, un processo faticoso che rallentava le scoperte matematiche. Eulero (1707-1783) è stato il responsabile di molte delle notazioni oggi in uso. La notazione matematica moderna rende molto più facile il lavoro del matematico, ma i principianti lo trovano scoraggiante. È estremamente compressa: pochi simboli contengono una grande quantità di informazioni; come le note musicali, la notazione matematica moderna ha una sintassi rigorosa (che in misura limitata varia da autore ad autore, e da disciplina a disciplina) e codifica informazioni difficili da scrivere in qualsiasi altro modo.
Il linguaggio matematico può essere difficile per i principianti. Parole come "o" e "solo" hanno precisi significati, più che nella lingua corrente. Inoltre, parole come aperto e campo hanno specifici significati matematici. Il "gergo matematico" comprende moltissimi termini tecnici, come omeomorfismo e integrabile, perché la matematica richiede assai più precisione del linguaggio quotidiano.
Nelle dimostrazioni matematiche è fondamentale il rigore. Per rigore si intende un utilizzo preciso e logico di teoremi già dimostrati, in modo che, analizzando la dimostrazione in profondità attraverso un processo a ritroso, si arrivi ad assiomi e definizioni "universalmente accettati". Il livello di rigore richiesto in matematica è variato col tempo: i Greci richiedevano argomentazioni dettagliate, ma nel periodo di Isaac Newton il rigore utilizzato nelle dimostrazioni si era alleggerito. I problemi nati dalle definizioni usate da Newton hanno portato alla rinascita di una attenta analisi delle dimostrazioni nel corso del Diciannovesimo secolo. Il significato di rigore matematico non è sempre chiaro. Ad esempio i matematici continuano a discutere sull'opportunità di considerare valide le dimostrazioni effettuate attraverso computer: dato che lunghi calcoli sono difficili da verificare, tali dimostrazioni potrebbero essere considerate non sufficientemente rigorose.
Gli assiomi, nel pensiero tradizionale, erano considerati le "verità auto-evidenti", ma questa concezione comporta alcuni problemi. A livello formale, un assioma è solo una successione di simboli, che ha un significato intrinseco solo nel contesto di tutte le formule derivabili di un sistema assiomatico. L'obiettivo del programma di Hilbert è stato proprio quello di fornire l'intera matematica di una solida base assiomatica, ma secondo il teorema di incompletezza di Gödel una completa assiomatizzazione della matematica è impossibile. Nonostante ciò, la matematica è spesso immaginata consistere (per lo meno nel suo contenuto formale) nella teoria degli insiemi in una qualche assiomatizzazione, nel senso che ogni enunciato matematico, o dimostrazione, può essere scritto con formule esprimibili all'interno di tale teoria.
Le attività matematiche sono naturalmente interessate alle possibili generalizzazioni e astrazioni, in relazione alle economie di pensiero e ai miglioramenti degli strumenti (in particolare degli strumenti di calcolo) che esse sono portate a realizzare. Le generalizzazioni e le astrazioni quindi spesso conducono a visioni più approfondite dei problemi e stabiliscono rilevanti sinergie tra progetti di indagine inizialmente rivolti ad obiettivi non collegati.
Nel corso dello sviluppo della matematica si possono rilevare periodi ed ambienti nei quali prevalgono alternativamente atteggiamenti generali e valori riconducibili a "due" differenti generi di motivazioni e di approcci: le "motivazioni applicative", con la loro spinta a individuare procedimenti efficaci, e le esigenze di "sistemazione concettuale" con la loro sollecitazione verso generalizzazioni, astrazioni e panoramiche strutturali.
Si tratta di due generi di atteggiamenti tra i quali si costituisce una certa polarizzazione; questa talora può diventare contrapposizione, anche astiosa, ma in molte circostanze i due atteggiamenti stabiliscono rapporti di reciproco arricchimento e sviluppano sinergie. Nel lungo sviluppo della matematica si sono avuti periodi di prevalenza di uno o dell'altro dei due atteggiamenti e dei rispettivi sistemi di valori.
Del resto la stessa nascita della matematica può ragionevolmente ricondursi a due ordini di interessi: da un lato le esigenze applicative che fanno ricercare valutazioni praticabili; dall'altro la ricerca di verità tutt'altro che evidenti, forse tenute nascoste, che risponde ad esigenze immateriali, la cui natura può essere filosofica, religiosa o estetica.
Negli ultimi 30 o 40 anni tra i due atteggiamenti si riscontra un certo equilibrio non privo di tensioni riemergenti, ma con molteplici episodi di mutuo supporto. A questo stato di cose contribuisce non poco la crescita del mondo del computer, rispetto al quale il mondo della matematica presenta sia canali di collegamento (che è ormai assurdo cercare di interrompere) che differenze, ad esempio differenze dovute a diverse velocità di mutazione e a diversi stili comunicativi, che proiettano le due discipline agli antipodi.
Cerchiamo ora di segnalare a grandi linee i temi dell'indagine matematica, illustrando una sorta di itinerario per un progressivo accostamento dei problemi, delle argomentazioni e delle sistemazioni teoriche.
I primi problemi che inducono ad accostarsi alla matematica sono quelli che si possono affrontare con l'aritmetica elementare: i calcoli eseguibili con le quattro operazioni possono riguardare contabilità finanziarie, valutazioni di grandezze geometriche o meccaniche, calcoli relativi agli oggetti ed alle tecniche che si incontrano nella vita quotidiana.
I più semplici di questi calcoli possono effettuarsi servendosi solo di numeri interi naturali, ma presto i problemi di calcolo richiedono di saper trattare i numeri interi relativi e i numeri razionali.
I problemi aritmetici più semplici sono risolti mediante formule che forniscono risultati conseguenti. Ad esempio: l'area di un rettangolo con lati lunghi formula_1 e formula_2 è il loro prodotto formula_3. Complicando gli enunciati diventa necessario servirsi di equazioni. 
Ad esempio: per il teorema di Pitagora, se un triangolo rettangolo ha i lati più corti (cateti) di lunghezza formula_1 e formula_5, quello più lungo (ipotenusa) ha come lunghezza il numero positivo formula_6 che risolve l'equazione:
formula_7.
Le equazioni più semplici sono le equazioni lineari, sia perché rappresentano le questioni geometriche più semplici, sia perché sono risolvibili con procedimenti standard.
Nelle formule e nelle equazioni conviene far entrare parametri con valori indeterminati: in tal modo si viene a disporre di strumenti di portata più generale, che permettono di conseguire evidenti economie di pensiero. 
Ad esempio: in un triangolo rettangolo con cateti di
lunghezza formula_8 e formula_9, la lunghezza dell'ipotenusa è il numero positivo formula_6 tale che formula_11. 
Per meglio valutare le formule e per risolvere molti tipi di equazioni è necessario sviluppare un calcolo letterale che permetta di rimaneggiarle. Le regole di questo calcolo letterale costituiscono la cosiddetta algebra elementare.
L'algebra moderna si occupa anche dello studio delle relazioni fra insiemi e delle strutture algebriche, cioè strutture che caratterizzano insiemi concreti (come i numeri) o astratti sui quali è stata definita una o più operazioni.
Lo studio della geometria piana e spaziale riguarda inizialmente primitivi: il punto, la retta, il piano. Combinando questi elementi nel piano o nello spazio si ottengono altri oggetti quali segmenti, angoli, angoli solidi, poligoni e poliedri.
Punto, retta, piano e spazio hanno dimensione rispettivamente 0, 1, 2 e 3. Tramite il calcolo vettoriale si definiscono e studiano spazi a dimensione più alta (anche infinita). Gli analoghi "curvi" di questi spazi "piatti" sono le curve e le superfici, di dimensione rispettivamente 1 e 2.
Uno spazio curvo in dimensione arbitraria si chiama varietà. 
Dentro a questo spazio si possono spesso definire punti e rette (dette geodetiche), ma la geometria che ne consegue può non soddisfare gli assiomi di Euclide: una tale geometria è generalmente detta non euclidea. Un esempio è dato dalla superficie
terrestre, che contiene triangoli aventi tutti e tre gli angoli retti.
L'analisi riguarda principalmente il calcolo infinitesimale, introduce la fondamentale nozione di limite, e quindi di derivata e integrale. Con questi strumenti sono analizzati i comportamenti delle funzioni, che spesso non hanno una descrizione esplicita ma sono soluzioni di una equazione differenziale, derivante ad esempio da un problema fisico.
Come riportato sopra, le discipline principali sviluppate all'interno della matematica sono nate dalla necessità di eseguire calcoli nel commercio, di capire i rapporti fra i numeri, di misurare la terra e di predire eventi astronomici. Questi quattro bisogni possono essere collegati approssimativamente con la suddivisione della matematica nello studio sulla quantità, sulla struttura, sullo spazio e sul cambiamento (cioè, aritmetica, algebra, geometria e analisi matematica). Oltre a queste, vi sono altre suddivisioni come la logica, la teoria degli insiemi, la matematica empirica di varie scienze (matematica applicata) e più recentemente allo studio rigoroso dell'incertezza.
Lo studio sulle quantità inizia con i numeri, in primo luogo con i numeri naturali (numeri interi non negativi) e tramite operazione aritmetiche su di essi. Le proprietà più profonde dei numeri interi sono studiate nella teoria dei numeri, di cui un esempio famoso è l'ultimo teorema di Fermat. La teoria dei numeri inoltre presenta due problemi non risolti, largamente considerati e discussi: la Congettura dei numeri primi gemelli e la congettura di Goldbach.
I numeri interi sono riconosciuti come sottoinsieme dei numeri razionali ("frazioni"). Questi, a loro volta, sono contenuti all'interno dei numeri reali, usati per rappresentare quantità continue. I numeri reali sono generalizzati ulteriormente dai numeri complessi. Queste sono i primi punti di una gerarchia dei numeri che continua ad includere i quaternioni e gli ottonioni. L'analisi dei numeri naturali conduce inoltre ai numeri infiniti.
Fra gli strumenti informatici negli ultimi anni si sono resi disponibili vari generi di pacchetti software volti ad automatizzare l'esecuzione di calcoli numerici, le elaborazioni simboliche, la costruzione di grafici e di ambienti di visualizzazione e, di conseguenza, volti a facilitare lo studio della matematica e lo sviluppo delle applicazioni che possano essere effettivamente incisive.
Particolare importanza ed efficacia vanno assumendo quelli che vengono chiamati sistemi di algebra computazionale o addirittura con il termine inglese Computer algebra systems, abbreviato con CAS.
Segnaliamo alcuni programmi open source o comunque gratuitamente disponibili per lo studio della matematica:
Molti oggetti matematici, come gli insiemi di numeri e funzioni, mostrano la loro struttura interna e coerente. Le proprietà strutturali di questi oggetti sono investigate nello studio di gruppi, anelli, campi e altri sistemi astratti, i quali sono a loro volta oggetti. Questo è il campo dell'algebra astratta. In questo campo un concetto importante è rappresentato dai vettori, generalizzati nello spazio vettoriale, e studiati nell'algebra lineare. Lo studio di vettori combina tre tra le fondamentali aree della matematica: quantità, struttura, e spazio. Il calcolo vettoriale espande il campo in una quarta area fondamentale, quella delle variazioni.
Lo studio dello spazio inizia con la geometria, in particolare con la geometria euclidea. La Trigonometria poi combina simultaneamente spazio e numeri. Lo studio moderno dello spazio generalizza queste premesse includendo la Geometria non euclidea (che assume un ruolo centrale nella teoria della relatività generale) e la topologia. Quantità e spazio sono trattati contemporaneamente in geometria analitica, geometria differenziale, e geometria algebrica. Con la geometria algebrica si ha la descrizione di oggetti geometrici come insiemi di soluzioni di equazioni polinomiali combinando i concetti di quantità e spazio, e anche lo studio di gruppi topologici, i quali combinano a loro volte spazio e strutture. I gruppi di Lie sono usati per studiare lo spazio, le strutture e le variazioni. La Topologia in tutte le sue molte ramificazioni può essere considerata la zona di sviluppo più grande nella matematica del XX secolo ed include la congettura di Poincaré e il controverso teorema dei quattro colori, di cui l'unica prova, eseguita a computer, non è mai stata verificata da un essere umano.
Matematica discreta è il nome comune per i campi della matematica utilizzati nella maggior parte dei casi nell'informatica teorica. Questa include teoria della computazione, teoria della complessità computazionale, e informatica teorica. La teoria della computazione esamina le limitazioni dei vari modelli di computer, compresi i modelli più potenti conosciuti - la Macchina di Turing. La teoria della complessità è lo studio delle possibilità di trattazione da parte di un calcolatore; alcuni problemi, nonostante siano teoricamente risolvibili attraverso un calcolatore, sono troppo costosi in termini di tempo o spazio tanto che risolverli risulta praticamente impossibile, anche prevedendo una rapida crescita delle potenze di calcolo. Infine la teoria dell'informazione si interessa della quantità di dati che possono essere immagazzinati su un dato evento o mezzo e quindi di concetti come compressione dei dati e entropia.
Come campo relativamente nuovo, la matematica discreta possiede un numero elevato di problemi aperti. Il più famoso di questi è il problema " P=NP?" uno dei problemi per il millennio.
La matematica applicata considera l'utilizzo della matematica teorica come strumento utilizzato per la risoluzione di problemi concreti nelle scienze, negli affari e in molte altre aree. Un campo importante della matematica è la statistica, la quale utilizza la teoria della probabilità e permette la descrizione, l'analisi, e la previsione di fenomeni aleatori. La maggior parte degli esperimenti, delle indagini e degli studi d'osservazione richiedono l'utilizzo della statistica (molti statistici, tuttavia, non si considerano come veri e propri matematici, ma come parte di un gruppo collegato ad essi). L'analisi numerica investiga metodi computazionali per risolvere efficientemente una vasta gamma di problemi matematici che sono, in genere, troppo grandi per le capacità di calcolo umane; essa include lo studio di vari tipi di errore che generalmente si verificano nel calcolo.


In matematica, le funzioni trigonometriche o funzioni goniometriche o funzioni circolari sono funzioni di un angolo; esse sono importanti nello studio dei triangoli e nella modellizzazione dei fenomeni periodici, oltre a un gran numero di altre applicazioni.
Sono spesso definite come rapporti fra i lati di un triangolo rettangolo contenenti l'angolo e, equivalentemente, possono essere definite come le lunghezze di diversi segmenti costruiti dal cerchio unitario. Definizioni più moderne li esprimono come serie infinite o come soluzioni di certe equazioni differenziali, ottenendo la loro estensione a valori positivi o negativi e anche ai numeri complessi. Tutti questi differenti approcci sono presentati di seguito.
Lo studio delle funzioni trigonometriche risale ai tempi dei babilonesi, e una quantità considerevole del lavoro fondamentale fu svolto dai matematici greci, indiani e persiani.
Nell'uso corrente, vi sono sei funzioni trigonometriche di base, che sono elencate sotto insieme alle identità che le mettono in relazione. Specialmente per le ultime quattro, queste relazioni sono spesso prese come "definizioni" di quelle funzioni, sebbene sia ugualmente possibile definirle geometricamente o per altre vie, e solo in seguito derivare queste relazioni. Poche altre funzioni erano comuni in passato (e figuravano nelle vecchie tabelle) ma sono oggi poco usate, come il senoverso (1 − cos θ) e l'exsecante (sec θ − 1). Molte altre relazioni notevoli fra queste funzioni sono elencate nella voce sulle identità trigonometriche.
Il più antico riferimento alla funzione seno risale a "Sulba Sutras", scritto nell'antica India dall'VIII al VI secolo a.C. Più tardi, le funzioni trigonometriche furono studiate da Ipparco di Nicea (180-125 a.C.), Aryabhata (476 – 550), Varāhamihira, Brahmagupta, Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī, Abu'l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir al-Din Tusi, Regiomontano (1464), Ghiyath al-Kashi (XIV secolo), Ulugh Beg (XIV secolo), Madhava (1400 circa), Retico, il suo discepolo Valentin Otho. All"'Introductio in analysin infinitorum" (1748) di Leonardo Eulero si riconosce il merito di aver stabilito la trattazione analitica delle funzioni trigonometriche in Europa, definendole come serie infinite e presentando la "formula di Eulero".
La nozione secondo cui deve esserci una corrispondenza fra le lunghezze dei lati di un triangolo e gli angoli del triangolo sorge non appena si intuisce che i triangoli simili mantengono gli stessi rapporti fra i lati corrispondenti. In altri termini, per qualsiasi triangolo simile il rapporto fra l'ipotenusa (per esempio) e un altro dei lati rimane lo stesso. Se l'ipotenusa è il doppio, anche i lati sono lunghi il doppio. Le funzioni trigonometriche esprimono proprio questi rapporti.
Al fine di definire le funzioni trigonometriche di un angolo "A", si consideri un arbitrario triangolo rettangolo che contiene l'angolo "A":
Usiamo i seguenti nomi per i lati del triangolo:
Tutti i triangoli vengono considerati appartenenti al piano euclideo in modo che la somma degli angoli interni è π radianti (o 180°); di conseguenza, per un triangolo rettangolo, i due angoli non retti sono compresi fra 0 e π/2 radianti. A rigore, le definizioni che seguono consentono di definire le funzioni trigonometriche solo per gli angoli in questo intervallo. Si può tuttavia estendere le definizioni all'insieme dei numeri reali utilizzando la circonferenza unitaria, o imponendo che tali funzioni posseggano certe simmetrie o siano periodiche.
1) Il seno di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza dell'ipotenusa. Nel nostro caso
È importante notare che questo rapporto non dipende dal particolare triangolo rettangolo scelto, purché contenga l'angolo A, dal momento che tutti questi triangoli sono simili.
L'insieme degli zeri del seno è
2) Il coseno di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato adiacente e la lunghezza dell'ipotenusa. Nel nostro caso
L'insieme degli zeri del coseno è
3) La tangente di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza del lato adiacente. Nel nostro caso
L'insieme degli zeri della tangente è
Esso coincide con l'insieme degli zeri del seno poiché
Le funzioni rimanenti sono definite convenientemente utilizzando le tre definizioni già fornite.
4) La cosecante csc("A") è l'inverso moltiplicativo di sin("A"), ossia il rapporto fra la lunghezza dell'ipotenusa e quella del lato opposto:
5) La secante sec("A") è l'inverso moltiplicativo di cos("A"), ossia il rapporto fra la lunghezza dell'ipotenusa e quella del lato adiacente:
6) La cotangente cot("A") è l'inverso moltiplicativo di tan("A"), ossia il rapporto fra la lunghezza del lato adiacente e quella del lato opposto:
È possibile definire le sei funzioni trigonometriche a partire dalla circonferenza unitaria o circonferenza goniometrica, centrata nell'origine e con il raggio pari ad 1. La definizione attraverso la circonferenza goniometrica non aiuta nel calcolo pratico dei valori delle funzioni; infatti essa si basa sui triangoli rettangoli per molti angoli. Essa consente, tuttavia, la definizione delle funzioni trigonometriche per tutti gli argomenti reali, positivi e negativi, non solo quelli limitati all'intervallo fra 0 e π/2. Essa consente inoltre di visualizzare graficamente in una sola figura tutte le funzioni trigonometriche. L'equazione della circonferenza goniometrica è:
Nell'immagine sono indicati alcuni angoli comuni, misurati in radianti. Le misure in verso antiorario sono angoli positivi, quelli in verso orario sono negativi. Consideriamo l'intersezione con la circonferenza goniometrica di una retta che forma un angolo θ con la metà positiva dell'asse "x". L'ascissa "x" e l'ordinata "y" di questo punto sono uguali rispettivamente a cos θ e sin θ. Il triangolo nel disegno dimostra l'equivalenza con la definizione precedente: il raggio della circonferenza è l'ipotenusa del triangolo ed ha una lunghezza pari ad 1, pertanto sin θ = "y"/1 e cos θ = "x"/1. Si può pensare alla circonferenza goniometrica come ad un modo per considerare un numero infinito di triangoli rettangoli in cui varia la lunghezza dei cateti, mentre l'ipotenusa si mantiene uguale ad 1.
Per angoli maggiori di 2π o minori di −2π, si può semplicemente immaginare di compiere più giri intorno al cerchio. In questo modo, il seno ed il coseno diventano funzioni periodiche di periodo 2π.
per ogni angolo θ e ogni intero "k".
Il "più piccolo" periodo positivo di una funzione periodica è detto "periodo primitivo" della funzione. Il periodo primitivo del seno, del coseno, della secante e della cosecante è l'intera circonferenza, ossia 2π radianti o 360 gradi; il periodo primitivo della tangente e della cotangente è solo metà circonferenza, ossia π radianti o 180 gradi.
Sopra sono state definite sulla circonferenza unitaria soltanto le funzioni seno e coseno, ma le altre quattro funzioni trigonometriche possono essere definite da:
L'immagine sulla destra mostra il grafico sul piano cartesiano della funzione f(θ) = tan(θ), considerevolmente diverso da quelli visti prima per il seno e il coseno. I punti di intersezione con l'asse "x" coincidono corrispondenti di sin(θ), mentre la funzione non è definita in corrispondenza delle intersezioni della funzione cos(θ) con l'asse "x". I valori della funzione cambiano lentamente in prossimità di angoli pari a "k"π, mentre cambiano rapidamente per gli angoli in prossimità di ("k"/2) π. Il grafico della tangente ha anche un asintoto verticale per θ = "k"π/2: infatti la funzione tende ad infinito se l'angolo θ tende ad "k"/π da sinistra e meno infinito se θ tende ad "k"/π da destra.
In alternativa, è possibile definire "tutte" le funzioni trigonometriche di base a partire dalla circonferenza goniometrica (mostrata a destra); tali definizioni venivano usate storicamente. In particolare, data una corda "AB" della circonferenza, dove θ è la metà dell'angolo sotteso, sin(θ) è "AC" (metà della lunghezza della corda), ovvero il cateto del triangolo rettangolo avente la corda come ipotenusa e un cateto giacente sul raggio, una definizione introdotta in India (vedi sopra). cos(θ) è la distanza orizzontale "OC", ovvero l'altro cateto, e versin(θ) = 1 − cos(θ) è "CD, ovvero la distanza tra il coseno e il punto della circonferenza che tocca il raggio su cui giace". tan(θ) è la lunghezza del segmento "AE" sulla retta tangente per "A", da cui il nome "tangente, data dall'incrocio di questa con il prolungamento del raggio". cot(θ) è un altro segmento tangente, "AF, ovvero il prolungamento della tangente che incontra quello del raggio perpendicolare a quello su cui giace il coseno". sec(θ) = "OE" e csc(θ) = "OF" sono segmenti di rette secanti (che intersecano la circonferenza in due punti), ovvero la somma di seno, cosenoverso e secante esterna"OA" aglitale . "DE" è chiamata exsec(θ) = sec(θ) − 1 (la porzione della secante fuori che interseca la cotangente dal cerchio). Da queste costruzioni, è facile vedere che le funzioni secante e tangente divergono se θ tende a π/2 (90 gradi) e che la cosecante e la cotangente divergono se θ tende a zero. (È possibile effettuare molte costruzioni simili, e le identità trigonometriche di base si possono dimostrare graficamente.)
Utilizzando solo le nozioni di geometria e le proprietà dei limiti, si può dimostrare che la derivata del seno è il coseno e la derivata del coseno è l'opposto del seno. (Qui, e in genere nel calcolo infinitesimale, tutti gli angoli sono misurati in radianti; vedi anche l'importanza dei radianti sotto.) Si può usare la teoria delle serie di Taylor per dimostrare che le seguenti identità sono valide per ogni numero reale formula_16:
Queste identità sono spesso prese come "definizioni" delle funzioni seno e coseno. Esse sono spesso usate come punto di partenza per una trattazione rigorosa delle funzioni trigonometriche e delle loro applicazioni, dal momento che la teoria delle serie infinite può essere sviluppata a partire dai fondamenti del sistema dei numeri reali, prescindendo da ogni considerazione geometrica. La derivabilità e la continuità di queste funzioni sono quindi ottenute a partire dalla sola definizione in serie di potenze.
Si possono ottenere altri sviluppi in serie:
dove
Il coefficiente formula_25 a numeratore ha una interpretazione combinatoria: esso indica il numero di permutazioni alternate di insiemi finiti di cardinalità dispari.
Il coefficiente formula_26 a numeratore può essere interpretato, dal punto di vista combinatorio, come il numero di permutazioni alternate di insiemi finiti di cardinalità pari.
Per un teorema dell'analisi complessa, vi è un'unica estensione analitica di questa funzione ai numeri complessi. Le funzioni trigonometriche sono definite sui numeri complessi usando le serie di Taylor viste sopra.
Si può dimostrare, dalle definizioni in serie, che le funzioni seno e coseno sono rispettivamente la parte immaginaria e quella reale della funzione esponenziale complessa quando il suo argomento è un numero immaginario:
Questa relazione fu notata per la prima volta da Eulero e, per questo motivo, l'identità è conosciuta come formula di Eulero. In questo modo, le funzioni trigonometriche diventano essenziali nell'interpretazione geometrica dell'analisi complessa. Per esempio, se si considera la circonferenza unitaria nel piano complesso (dal punto di vista algebrico, con l'ordinaria moltiplicazione tra numeri complessi, si tratta di un gruppo moltiplicativo abeliano, noto come gruppo circolare), definita da formula_28, si può parametrizzare questa circonferenza in termini di coseni e seni, rendendo evidente la relazione fra le funzioni trigonometriche e l'esponenziale complesso.
Questo, inoltre, permette di estendere la definizione delle funzioni trigonometriche ad un argomento complesso formula_29:
dove formula_32. Inoltre, per formula_16 reale,
È noto anche che i processi esponenziali sono strettamente collegati al moto circolare e ai comportamenti periodici.
Entrambe le funzioni seno e coseno soddisfano l'equazione differenziale
Ossia, ognuna è l'opposto della sua derivata seconda. Nello spazio vettoriale bidimensionale "V" formato da tutte le soluzioni di questa equazione, la funzione seno è l'unica soluzione che soddisfa le condizioni iniziali "y"(0) = 0 e "y"′(0) = 1, e la funzione coseno è l'unica che soddisfa le condizioni iniziali "y"(0) = 1 e "y"′(0) = 0. Poiché le funzioni seno e coseno sono linearmente indipendenti, insieme formano una base di "V". Questo metodo per definire le funzioni seno e coseno è essenzialmente equivalente all'uso della formula di Eulero. (Vedi equazione differenziale lineare) Questa equazione differenziale può essere usata non solo per definire le funzioni seno e coseno, ma anche per dimostrare le identità trigonometriche per le funzioni seno e coseno.
La tangente è l'unica soluzione dell'equazione differenziale non lineare
che soddisfa la condizione iniziale "y"(0) = 0. Vi è una dimostrazione grafica molto interessante del fatto che la funzione tangente soddisfa questa equazione differenziale; vedi "Visual Complex Analysis" di Needham.
I radianti specificano un angolo misurando la lunghezza dell'arco corrispondente della circonferenza goniometrica. Esistono altre unità di misura per gli angoli, come i comuni gradi sessagesimali. Tuttavia, solo se l'angolo è misurato in radianti le funzioni seno e coseno soddisfano l'equazione differenziale che viene classicamente utilizzata per descriverle. Se l'argomento del seno o del coseno è moltiplicato per una opportuna costante di conversione,
allora la derivata sarà uguale a
Se "x" è in gradi, allora 
Ciò significa che la derivata seconda del seno in gradi non soddisfa l'equazione differenziale
ma
e un discorso analogo vale per il coseno.
Ciò significa che queste funzioni seno e coseno hanno un comportamento diverso, e, per esempio, la derivata quarta del seno è uguale al seno solo se l'argomento è misurato in radianti.
Vi sono molte identità che mettono in relazione le varie funzioni trigonometriche. Fra quelle usate più di frequente vi è l'identità fondamentale della trigonometria, altresì chiamata identità pitagorica, che afferma che, per ogni angolo, la somma tra il quadrato del seno ed il quadrato del coseno vale formula_43. Ciò si verifica facilmente applicando il teorema di Pitagora ad un triangolo rettangolo di ipotenusa formula_43. Simbolicamente si può scrivere
Altre relazioni di primaria importanza sono le formule di addizione e sottrazione, che forniscono il seno ed il coseno della somma e della differenza di due angoli in funzione del seno e del coseno degli angoli stessi.
Se i due angoli sono uguali, le formule di addizione si riducono ad identità più semplici note come formule di duplicazione.
Per gli integrali e le derivate delle funzioni trigonometriche, consultare le sezioni rilevanti delle tavola delle derivate, tavola degli integrali più comuni, e tavola degli integrali indefiniti di funzioni trigonometriche.
In analisi matematica, è possibile definire le funzioni trigonometriche ricorrendo ad equazioni funzionali basate su proprietà come le formule di addizione e sottrazione. Imponendo la validità di queste formule e dell'identità fondamentale, per esempio, si può dimostrare che esistono solo due funzioni reali che soddisfano queste condizioni. In simboli, esiste solo una coppia di funzioni reali formula_48 e formula_49 tali che, per tutti i numeri reali formula_16 e formula_51, siano soddisfatte le seguenti uguaglianze:
con, in aggiunta, la condizione che
Quindi:
Per determinare le funzioni trigonometriche degli angoli di π/3 radianti (60 gradi) e π/6 radianti (30 gradi), iniziamo con un triangolo equilatero di lato 1. Tutti i suoi angoli sono pari a π/3 radianti. Dividendo il triangolo in due parti tramite un'altezza, otteniamo un triangolo rettangolo con angoli di π/6 e π/3 radianti, ossia 30 e 60 gradi. Per questo triangolo, i due cateti valgono 1/2 e (√3)/2 e l'ipotenusa 1. Ciò implica:
Nel triangolo possono essere calcolate esattamente le funzioni trigonometriche degli angoli, mediante i lati, a titolo esemplificativo si usa soltanto l'angolo α relativo al vertici A e opposto al lato "a"
dove Δ rappresenta l'area del triangolo.
Poiché le funzioni trigonometriche sono periodiche, è necessario restringere il loro dominio per non avere ambiguità nella definizione dell'inverso. Di seguito presentiamo le definizioni usuali per le funzioni inverse:
Per le funzioni trigonometriche inverse, viene spesso usata anche la notazione sin, cos, ecc. in luogo di arcsin e arccos. Con questa notazione, però, corre il rischio di confondere le funzioni inverse con l'inverso moltiplicativo delle funzioni.
Analogamente al seno e al coseno, anche le funzioni trigonometriche inverse si possono definire tramite serie infinite. Ad esempio,
Queste funzioni si possono definire anche dimostrando che sono gli integrali indefiniti di altre funzioni. L'arcoseno, per esempio, si può scrivere tramite il seguente integrale:
Formule analoghe per le altre funzioni si possono trovare nella voce sulle funzioni trigonometriche inverse. Usando il logaritmo complesso, è possibile generalizzare tutte queste funzioni ad argomenti complessi:
Le funzioni trigonometriche, come dice il nome, sono di importanza cruciale nella trigonometria, principalmente per i due seguenti risultati.
Il teorema dei seni afferma che per ogni triangolo vale:
scritto spesso come:
Questo teorema si può dimostrare dividendo il triangolo in due triangoli rettangoli (tracciando l'altezza) e usando la definizione di seno. Il numero comune "a"/(sin"A") è uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo, ossia quella passante per i tre punti "A", "B" e "C". Il teorema dei seni è utile per calcolare la lunghezza di lati ignoti di un triangolo se sono noti due angoli e un lato. Questa situazione è comune nella "triangolazione", una tecnica per determinare le distanze misurando due angoli e la distanza fra i due punti in cui è effettuata la misurazione.
Il teorema del coseno o di Carnot è una generalizzazione a qualunque triangolo del teorema di Pitagora:
ossia:
Anche questo teorema si può dimostrare dividendo il triangolo in due triangoli rettangoli. Il teorema di Carnot è utile per la risoluzione di un triangolo di cui siano noti due lati e l'angolo compreso fra di essi.
Se l'angolo noto non è quello compreso fra i due lati, il triangolo potrebbe non essere unico. È necessario prestare la dovuta attenzione a questo caso ambiguo del teorema.
Esiste anche un teorema delle tangenti o teorema di Nepero:
La funzione seno (e di conseguenza la funzione coseno, che altro non è se non la funzione seno sfasata di π/2) è essenziale per la descrizione del moto armonico semplice, un concetto molto importante in fisica. In questo contesto, il seno e il coseno sono usati per descrivere la proiezione in una dimensione del moto circolare uniforme, il moto di una massa soggetta ad una forza elastica o piccole oscillazioni di un pendolo. Esse sono funzioni periodiche il cui grafico è il tipico schema di un'onda, e sono utili per la modellizzazione di fenomeni periodici come le onde acustiche o elettromagnetiche. Qualsiasi segnale si può rappresentare come una somma (tipicamente infinita) di funzioni seno e coseno di frequenza differente; questa è l'idea di base dell'analisi di Fourier, in cui le serie trigonometriche sono utilizzate per risolvere molti problemi con condizioni al contorno nelle equazioni differenziali alle derivate parziali. Per esempio, l'onda quadra si può scrivere attraverso la serie di Fourier
