
In matematica, la potenza è un'operazione che associa a una coppia di numeri formula_1 e formula_2 detti rispettivamente base ed esponente, il numero dato dal prodotto di formula_3 fattori uguali ad formula_1:
in questo contesto formula_1 può essere un numero intero, razionale o reale mentre formula_3 è un numero intero positivo. Con opportune ipotesi su formula_1 è possibile considerare anche altri valori numerici per gli esponenti, ad esempio esponenti interi (anche non positivi), razionali o reali.
Le potenze scritte nella forma formula_9 si leggono come "formula_1 elevato alla formula_3" o più semplicemente "formula_1 alla formula_3". L'esponente è usualmente rappresentato come apice immediatamente a destra della base.
Alcuni esponenti hanno un loro nome. L'esponente due è spesso indicato come "al quadrato" (un numero alla seconda rappresenta l'area di un quadrato che abbia per lato quel valore) e l'esponente formula_14 come "al cubo" (un numero alla terza rappresenta il volume di un cubo che abbia per spigolo quel valore).
Esempi:
L'operazione si estende ad formula_19 ponendo per ogni formula_20
e ad formula_3 negativi ponendo
Ad esempio,
Le seguenti proprietà sono di immediata verifica nel caso in cui gli esponenti siano numeri interi positivi:
Estraendo fino ad avere formula_27 otteniamo il seguente risultato:
formula_28
Notiamo che la definizione formula_36 risulta ora più comprensibile poiché è consistente con le proprietà appena viste, infatti:
Si noti che formula_38 è un prodotto vuoto e pertanto è uguale a formula_39
E lo stesso vale per la definizione di formula_40, infatti:
Dato un numero reale non negativo formula_1 e un numero intero positivo formula_2 si chiama radice formula_3-esima di formula_1 quel numero reale non negativo formula_46 tale che formula_47, tale numero si indica con formula_48.
Da questa definizione si ha subito che
per ogni numero reale non negativo formula_1. Quindi è ragionevole (in virtù delle proprietà delle potenze) porre
In questo modo le proprietà delle potenze sono ancora rispettate, infatti
come avviene per la radice formula_3-esima.
Più in generale la definizione di potenza può essere estesa ulteriormente, con alcune restrizioni, consentendo all'esponente di essere un numero razionale formula_54, con formula_55 e formula_56 interi primi tra loro e formula_57, se si pone:
In questo caso:
Trascurando tali restrizioni e l'ipotesi formula_55 e formula_56 primi tra loro si cade in assurdi quali:
Il passaggio errato è il terzo, in quanto formula_69 non è definito in formula_70.
È possibile estendere la definizione dell'operazione di elevamento a potenza anche ai casi in cui base ed esponente sono dei generici numeri reali (con la base però sempre positiva) facendo in modo che si conservino le regole di operazione tra potenze e che la funzione potenza risultante sia una funzione continua, e questa estensione è unica. Si può in tal modo dare senso a espressioni come formula_71 o e.
Definiamo inizialmente formula_72 con la base formula_73 e l'esponente formula_74, entrambi numeri reali.
Possiamo scrivere formula_46 nella sua rappresentazione in base formula_76 con la scrittura:
La successione formula_78 dei numeri
è una successione di numeri razionali crescente che tende a formula_46.
La potenza formula_85 ha esponente razionale, quindi è stata definita.
La successione di numeri reali
è una successione anch'essa crescente (poiché formula_73), risulta quindi naturale definire il valore di formula_72 come l'estremo superiore di tale successione:
Nel caso in cui la base fosse un numero compreso tra formula_93 e formula_94 si può definire:
poiché formula_96 in questo caso è maggiore di formula_94 e quindi il secondo membro è definito.
Difatti, essendo formula_98, si ha la seguente successione di numeri reali (considerando formula_78 come prima):
che è una successione decrescente e quindi si può porre, in questo caso, formula_104.


 matematica, un raggruppamento di oggetti rappresenta un insieme se esiste un criterio oggettivo che permette di decidere univocamente se un qualunque oggetto fa parte o no del raggruppamento. Si tratta di un concetto fondamentale della matematica moderna, a partire dal quale si è sviluppata la teoria degli insiemi.
Nell'uso informale gli oggetti della collezione possono essere qualunque cosa: numeri, lettere, persone, figure, ecc., anche non necessariamente omogenei; nelle formalizzazioni matematiche gli oggetti della collezione vanno invece ben definiti e determinati. Il concetto di insieme è considerato primitivo ed intuitivo: "primitivo" perché viene introdotto come nozione non derivabile da concetti più elementari; "intuitivo" perché viene introdotto come generalizzazione della nozione di insieme finito, che a sua volta è introdotta dall'analogia con l'esperienza sensibile di scatole che contengono oggetti materiali (tendenzialmente omogenei); questa impostazione si basa sulla convinzione che l'idea di insieme sia naturalmente presente nella mente umana.
Gli oggetti che compongono un insieme si dicono elementi di questo insieme; nel linguaggio matematico, detto "a" un elemento dell'insieme "A", si dice che "a appartiene ad A" o in simboli formula_1. Un insieme "A" è sottoinsieme di un altro insieme "B" quando tutti gli elementi di "A" appartengono anche a "B".
Ciò che caratterizza il concetto di insieme e lo differenzia da strutture matematiche simili sono essenzialmente le seguenti proprietà:
Gli insiemi, con le loro operazioni e relazioni, possono essere rappresentati graficamente con i diagrammi di Eulero-Venn.
Solitamente un insieme viene indicato con le lettere maiuscole dell'alfabeto: "A", "B", "E", "M", "S" ... e si chiede che sia univocamente determinato: se ad esempio diciamo che "M" è l"'insieme degli x tali che x è un mammifero marino", allora supponiamo che si sappia sempre decidere se un qualsiasi animale possibile ed immaginabile abbia o meno le caratteristiche necessarie per rientrare in "M." Se un oggetto "x" appartiene ad un insieme "F" viene detto "elemento" di "F" e la relazione si denota nella forma formula_2. Viceversa, la relazione di non appartenenza a un insieme si denota nella forma formula_3.
Un insieme può essere definito nei seguenti modi:
La cardinalità di un insieme è il numero che indica la quantità dei suoi elementi. Ad esempio, l'insieme formula_11 ha tre elementi (considerando distinte le tre lettere), quindi cardinalità 3; l'insieme dei numeri naturali formula_12 ha invece cardinalità formula_13, il primo cardinale infinito.
Un insieme si dice "finito" se ha un numero finito di elementi, "infinito" se contiene infiniti elementi.
Le principali operazioni tra insiemi sono:
Due insiemi "A" e "B" si dicono inoltre:
"B" è sottoinsieme di "A" se "A" contiene gli elementi di "B". Secondo la definizione ogni insieme è contenuto in sé stesso. Per esprimere questo si usa la notazione:
Se si vuole escludere che "B" coincida con "A", cioè prevedere che esistono elementi di "A" non contenuti in "B", si usa la notazione:
che si legge: ""B è un sottoinsieme proprio di A"" oppure ""B è incluso propriamente in A"" oppure ""B è contenuto propriamente in A"". Alcuni autori utilizzano solo la seconda notazione, indipendentemente dal tipo di inclusione.
La relazione binaria di inclusione tra insiemi rende una qualsiasi classe di insiemi un insieme parzialmente ordinato.
Insieme vuoto è l'insieme che non contiene "nessun" elemento. Si indica con i simboli formula_25, formula_26 o con due parentesi graffe, la prima aperta e l'altra chiusa formula_27.
L'insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme (incluso sé stesso).
Per qualunque insieme "A" si definisce insieme delle parti o "insieme potenza" di "A" e si indica con formula_28 o formula_29 l'insieme che ha come elementi tutti e soli i sottoinsiemi di "A". Ad esempio, se formula_30 allora il suo insieme delle parti è costituito da formula_31.
L'insieme delle parti ha cardinalità strettamente maggiore di quella dell'insieme di partenza. Se "A" è finito ed ha |"A"| elementi, il numero degli elementi di formula_28 è dato da formula_33 (in simboli, formula_34).
L'insieme delle parti di qualsiasi insieme, considerato congiuntamente all'operazione di differenza simmetrica, forma un gruppo abeliano. Se vengono considerate insieme unione, intersezione e complementazione la struttura generata è un'algebra di Boole.
Si chiama partizione dell'insieme A un insieme di sottoinsiemi di A che ha queste caratteristiche:
Dati gli insiemi A e B, con Bformula_35A, l'insieme complementare di B rispetto ad A è A-B. Lo indichiamo con formula_36(B).
Alcuni insiemi, detti "numerici", hanno un ruolo particolarmente importante e pervasivo in tutte le branche della matematica:
Questi insiemi si possono vedere intuitivamente come contenuti uno nell'altro:
Più propriamente si dovrebbe parlare di immersione di ogni insieme nel seguente, poiché secondo la corrente assiomatizzazione i vari insiemi sono definiti in modi radicalmente diversi l'uno dall'altro.
