
L'eccentricità in matematica è un parametro numerico non negativo "e" che caratterizza le sezioni coniche a meno di similitudine: ellissi per "e<1", parabole per "e=1", iperboli per "e>1". L'eccentricità può essere interpretata come una misura di quanto una sezione conica è lontana dall'essere una circonferenza.
L'eccentricità può essere definita come un parametro che interviene nella costruzione di una conica, oppure in funzione degli angoli del cono e del piano che lo seziona, rispetto all'asse di rotazione del cono. Siccome il "tipo" di conica (la sua classe di similitudine) e le sue caratteristiche sono definiti in funzione dell'eccentricità, questa può essere ricavata indirettamente dalle formule.
Fissati nel piano una retta "r" ("direttrice") e un punto "F" ("fuoco") esterno a "r", una conica di eccentricità "e>0" è il luogo dei punti "P" che hanno distanza dal fuoco pari a "e" volte la loro distanza dalla direttrice:
Fissati nello spazio un cono circolare retto di apertura α (l'angolo tra l'asse di rotazione e la retta generatrice del cono) e un piano non passante per il vertice, che forma un angolo β con l'asse di rotazione del cono; l'eccentricità della sezione conica è definita come:
Per formula_3, ovvero formula_4, si ha un'ellisse, che ha "F" come uno dei due fuochi.
Scrivendo l'equazione dell'ellisse in forma canonica
l'eccentricità "e", l'asse maggiore "2a", l'asse minore "2b" e la distanza interfocale "2c" sono legati tra loro dalle formule
Invertendo le formule si può esprimere l'eccentricità come
L'eccentricità fornisce dunque una misura di quanto l'ellisse sia "schiacciata", anche se in maniera meno diretta del rapporto "a/b" tra i semiassi.
In particolare per formula_11, ovvero "a=b", l'ellisse diventa una circonferenza (solo come sezione conica: con la costruzione geometrica si ottiene il solo punto "F").
Per formula_12, ovvero formula_13 si ottiene una parabola avente fuoco "F" e direttrice "r": è il luogo dei punti equidistanti da "F" e da "r".
Per formula_14, ovvero formula_15, si ha un'iperbole, uno dei cui due fuochi è "F".
Scrivendo l'equazione dell'iperbole in forma canonica
con asintoti
l'eccentricità "e", la distanza tra i vertici "2a", i coefficienti angolari "±b/a" degli asintoti e la distanza interfocale "2c" sono legati tra loro dalle formule
Invertendo le formule si può esprimere l'eccentricità come
L'eccentricità fornisce dunque una misura di quanto l'iperbole sia "schiacciata", anche se in maniera meno diretta dei coefficienti angolari "±a/b" degli asintoti.
In particolare per formula_20, ovvero "a=b", l'iperbole è equilatera (questo è possibile solo se "cos(α)=cos(β)/√2≤1/√2=cos(π/4)", ovvero per "α≥π/4".)


In matematica, e in particolare in geometria analitica e in geometria proiettiva, con sezione conica, o semplicemente conica, si intende genericamente una curva piana che sia luogo dei punti ottenibili intersecando la superficie di un cono circolare con un piano.
Le sezioni coniche sono state studiate accuratamente in epoca ellenistica, in particolare da Menecmo ed Apollonio di Perga intorno al 200 a.C.; questi diede anche i nomi tuttora in uso per i tre tipi fondamentali di sezioni coniche: ellisse (la circonferenza ne è un caso degenere), parabola e iperbole.
Si consideri il cono circolare retto costituito dalle rette generatrici che, con il suo asse, formano un angolo di ampiezza θ.
Si tenga presente che i punti del cono si tripartiscono in tre sottoinsiemi: uno costituito solo dal suo vertice e due sottoinsiemi separatamente connessi dette "falde" o "nappe".
A seconda del tipo di piano che interseca il cono si hanno due tipi di curve: le cosiddette "non degeneri" e le "degeneri". Per quanto riguarda le prime si può avere:
Le cosiddette "coniche degeneri" si ottengono, invece, per intersezioni con piani passanti per il vertice del cono:
Il grafico di ogni equazione quadratica in due variabili reali, se i coefficienti soddisfano determinate condizioni che preciseremo, individua una sezione conica di un piano cartesiano, cioè di un piano riferito ad un sistema di coordinate cartesiane. Si trova inoltre che tutte le sezioni coniche si possono ottenere in questo modo.
Se si considera l'equazione quadratica nella forma 
si ha la seguente casistica:
Condizione necessaria affinché la curva sia una circonferenza è che formula_8.
Quello che si sta dicendo è che se formula_9 l'equazione data non può rappresentare una circonferenza, se invece formula_10 allora l'equazione potrebbe rappresentare una circonferenza. Ciò implica che, ad esempio, formula_11 non può essere l'equazione di una circonferenza, mentre invece formula_12 potrebbe esserlo, tuttavia formula_13, perciò non esiste nessun punto che soddisfi l'equazione data.
Una definizione alternativa delle sezioni coniche viene data a partite da una retta formula_14, la "direttrice," un punto formula_15 esterno a formula_14, detto "fuoco", e un numero formula_17, che prende il nome di "eccentricità". A tali enti si fa corrispondere la sezione conica consistente in tutti i punti la cui distanza da "formula_15" è uguale al prodotto di formula_19 per la rispettiva distanza da "formula_14". Per formula_21 si ottiene una circonferenza, per formula_22 un'ellisse, per formula_23 una parabola e per formula_24 un'iperbole.
Per una ellisse e una iperbole si possono assumere due coppie fuoco + direttrice, ciascuna fornendo la stessa intera curva. La distanza del centro dalla direttrice è formula_25, dove formula_26 denota il semiasse maggiore dell'ellisse, oppure la distanza del centro da ciascuno dei punti di distanza minima dell'iperbole. La distanza del centro da un fuoco è formula_27.
Nel caso della circonferenza si deve immaginare la retta direttrice a distanza infinita dal fuoco, cioè la retta si trova all'infinito del piano. Questo caso non si può trattare a partire dalla richiesta che la circonferenza sia il luogo dei punti la cui distanza dal centro sia "formula_19" volte la distanza da formula_14, in quanto si avrebbe una forma indeterminata della forma zero per infinito; questo caso va trattato come caso limite di ellissi.
Si può dunque affermare che l'eccentricità di una sezione conica dia una misura di quanto essa si allontani dall'essere circolare.
Per una data lunghezza formula_26 del semiasse maggiore, quanto più formula_19 si avvicina a 1, tanto più piccolo è il semiasse minore.
Sia formula_32 l'equazione associata alla conica tale che formula_33.Ad essa si associano due matrici formula_34 e formula_35 simmetriche tali che:
formula_36
È possibile distinguere i diversi tipi di conica studiando il determinante delle due matrici:
Si definisce semilato retto di una sezione conica C un segmento ortogonale all'asse maggiore che ha una estremità nel suo fuoco singolo o in uno dei suoi due fuochi e l'altra in un punto della C; la sua lunghezza di solito si denota con "l". Questa grandezza viene collegata alle lunghezze dei semiassi "a" e "b" dall'uguaglianza formula_43.
In coordinate polari, una sezione conica con un fuoco nell'origine e, se dotata di un secondo fuoco, con questo sul semiasse positivo delle "x", è determinata dall'equazione
Le sezioni coniche sono importanti in astronomia: le orbite di due corpi (con masse elevate) che interagiscono secondo la legge di gravitazione universale sono sezioni coniche rispetto al loro comune centro di massa considerato a riposo. Se tra di loro si esercita una attrazione sufficiente, entrambi percorrono un'ellisse; se l'attrazione reciproca è insufficiente si muovono con la possibilità di allontanarsi illimitatamente percorrendo entrambi parabole o iperboli. Si veda in proposito problema dei due corpi.
In geometria proiettiva le sezioni coniche nel piano proiettivo sono considerate equivalenti, nel senso che possono essere trasformate l'una nell'altra mediante una trasformazione proiettiva.
In epoca ellenistica la conoscenza delle coniche permise la costruzione di specchi parabolici, forse applicati in attività belliche (v. Specchi ustori) e nella costruzioni di fari di grande portata (v. Faro di Alessandria).
Per una trattazione breve e abbastanza semplice delle sezioni coniche che mostra come esse si possono caratterizzare equivalentemente come intersezioni di un piano con un cono e in termini di fuochi o di un fuoco e una direttrice vedi Sfere di Dandelin.
Consideriamo un cono avente come asse l'asse delle "z" e il vertice nell'origine. Esso è determinato dall'equazione 
dove
e formula_47 denota l'angolo che ogni generatrice del cono forma con l'asse. Si noti che questa equazione individua due superfici una posta al di sopra e l'altra al di sotto del vertice; nel parlare comune ciascuna di queste superfici viene detta cono; i matematici preferiscono parlare di due nappe la cui unione costituisce il cono e la cui intersezione si riduce al vertice del cono.
Consideriamo un piano P che interseca il piano "Oxy" in una retta parallela all'asse delle "y" e che interseca il piano "Oxz" in una retta con una certa pendenza; la sua equazione è
dove
e formula_50 è l'angolo che P forma con il piano "Oxy".
Ci proponiamo di individuare l'intersezione del cono con il piano P: questo richiede la combinazione delle due equazioni (1) e (2). Queste si possono risolvere nella variabile "z" e le espressioni trovate si possono uguagliare. 
L'equazione (1) per la "z" fornisce
di conseguenza 
Elevati al quadrato i due membri e sviluppato il binomio del membro a destra si ottiene 
Raggruppando le variabili si giunge alla
Si noti che questa è l'equazione della proiezione della sezione conica sul piano "Oxy"; Quindi questa equazione fornisce una figura ottenuta dalla sezione conica mediante una contrazione nella direzione dell'asse delle "x".
Si ottiene una parabola quando la pendenza del piano P è uguale alla pendenza delle generatrici del cono. In questo caso gli angoli
formula_47 
e
formula_50
sono complementari. Questo implica che
di conseguenza 
Sostituendo l'equazione (4) nell'equazione (3) si fa scomparire il primo termine nell'equazione (3) e rimane l'equazione
Moltiplicando entrambi i membri per "a",
a questo punto si può trovare un'espressione per la "x":
L'equazione (5) descrive una parabola il cui asse è parallelo all'asse delle "x". Altre versioni della equazione (5) si possono ottenere ruotando il piano intorno all'asse delle "z".
Si individua un'ellisse quando la somma degli angoli formula_62 e formula_50 è inferiore ad un angolo retto:
In tal caso la tangente della somma dei due angoli è positiva.
Ricordiamo ora la identità trigonometrica 
questa implica
Ma "m + a" è positivo, in quanto è la somma di due numeri positivi; quindi la disuguaglianza (6) è positiva se anche il denominatore è positivo:
Dalla disuguaglianza (7) si deducono:
Riprendiamo ancora l'equazione (3),
ma questa volta assumiamo che il coefficiente di "x" non si annulli ma sia invece positivo. Risolviamo per la "y": 
Questa equazione descriverebbe chiaramente un'ellisse, se non fosse presente il secondo termine sotto il segno di radice, "2 m b x": sarebbe l'equazione di una circonferenza dilatata proporzionalmente secondo le direzioni dell'asse delle "x" e dell'asse delle "y". L'equazione (8) in effetti individua un'ellisse ma in modo non evidente; quindi occorre manipolarla ulteriormente per convincersi di questo fatto. Completiamo il quadrato sotto il segno di radice:
Raccogliamo i termini in "b":
Dividiamo per "a" ed eleviamo al quadrato entrambi i membri:
Un'ulteriore manipolazione delle costanti finalmente conduce a 
Il coefficiente del termine in "y" è positivo (per un'ellisse). Cambiando i nomi dei coefficienti e delle costanti ci conduce a 
che è chiaramente l'equazione di un'ellisse. In altri termini, l'equazione (9) descrive una circonferenza di raggio "R" e centro "(C,0)" che viene poi dilatata verticalmente per un fattore formula_82. Il secondo termine del membro a sinistra (il termine nella "x") non ha coefficiente ma è un quadrato, quindi deve essere positivo. Il raggio è un prodotto di quadrati e quindi deve essere anch'esso positivo. Il primo termine del membro a sinistra (il termine in "y") ha un coefficiente positivo, e dunque l'equazione descrive un'ellisse.
L'intersezione del cono con il piano P fornisce un'iperbole quando la somma degli angoli formula_83 e formula_84 è un angolo ottuso, maggiore di un angolo retto. La tangente di un angolo ottuso è negativa e tutte le disuguaglianze trovate per l'ellisse vengono cambiate nelle loro opposte. Quindi si ottiene
Di conseguenza per l'iperbole si trova l'equazione che differisce da quella trovata per l'ellisse solo per avere negativo il coefficiente "A" del termine in "y". Questo cambiamento di segno fa passare da un'ellisse ad un'iperbole. Il collegamento fra ellissi e iperbole può descriversi anche osservando che l'equazione di un'ellisse con coordinate reali può interpretarsi come l'equazione di un'iperbole con una coordinata immaginaria e, simmetricamente, che l'equazione di un'iperbole con coordinate reali può interpretarsi come l'equazione di un'ellisse con una coordinata immaginaria (vedi numero immaginario). Il cambiamento di segno del coefficiente "A" equivale allo scambio fra valori reali e immaginari della funzione della forma "y=f(x)" che si legge nell'equazione (9).
Una ellisse non ha punti impropri. Una parabola ha un solo punto improprio. Una iperbole ha due punti impropri.
