
Il criterio di Cartesio, descritto nel suo libro "La Géométrie", è una regola algebrica che determina il numero "massimo" di radici reali positive e negative di un polinomio a coefficienti reali.
Sia dato un polinomio a coefficienti "reali":
con coefficienti formula_2 reali e non tutti nulli. La regola di Cartesio stabilisce che:
Il massimo numero di radici reali positive di un polinomio è dato dal numero di variazioni di segno fra coefficienti consecutivi, trascurando eventuali coefficienti nulli. Inoltre, le radici sono ordinate in modulo decrescente da quella corrispondente alla coppia di coefficienti ai gradi massimo e subito precedente fino a quella corrispondente alla coppia di coefficienti lineare e di grado nullo.
L'informazione relativa al numero di radici negative si deduce applicando la stessa regola al polinomio trasformato a radici opposte, ossia al polinomio formula_3. Esso ha infatti radici opposte a quelle di formula_4.
Perciò: le variazioni relative ai coefficienti del polinomio formula_5 danno informazioni circa le sue radici positive e, di conseguenza, circa le radici negative di formula_4.
Se il polinomio ha tutte le radici non immaginarie, il numero di radici positive è quello massimo. Il criterio di Routh-Hurwitz raffina determinando il numero effettivo delle radici a parte reale positiva e negativa.
Il polinomio
formula_7
presenta due variazioni di segno fra coefficienti di grado 5 e 3 e tra i coefficienti di grado 3 e 1. Questo indica che ci possono essere 2 o nessuna radice positiva.
Il polinomio trasformato a radici opposte è:
formula_8
che presenta due variazioni di segno. Questo indica che il polinomio P(-x) può avere due o nessuna radice positiva e quindi il polinomio iniziale può avere due o nessuna radice negativa.
Le radici del polinomio formula_4 sono 0, -2,+2,-3,+3.
Si noti come l'assenza di permanenze di segno nel polinomio iniziale (0 permanenze) non fornisce assolutamente alcuna informazione circa il numero di radici negative (che infatti risulta essere pari a 2).


La moltiplicazione è una delle quattro operazioni fondamentali dell'aritmetica. È un modo rapido per rappresentare la somma di numeri uguali. Il risultato di una moltiplicazione è chiamato "prodotto", mentre i due numeri moltiplicati sono detti "fattori" se considerati insieme, e rispettivamente "moltiplicando" e "moltiplicatore" se presi individualmente.
Nella scrittura matematica, esistono due diversi simboli utilizzati per indicare la moltiplicazione: entrambe le seguenti notazioni significano "cinque moltiplicato per due volte" ed entrambe si leggono "cinque per due":
Qualora i due moltiplicandi non siano scritti in cifre, e quindi non ci sia il rischio di equivoco, è possibile anche semplicemente giustapporli, come in:
anche per leggere queste formule vale lo stesso principio: se non c'è rischio di equivoco si può omettere il "per", come nella prima ("due zeta"), altrimenti verrà detto, come nella seconda ("due per, aperta parentesi, zeta più due, chiusa parentesi" o "due per, tra parentesi, zeta più due") o infine "due che moltiplica zeta più due".
Nei linguaggi di programmazione e nelle calcolatrici, la moltiplicazione viene solitamente indicata con l'asterisco (*).
Dati due numeri interi positivi formula_4 e formula_5, detto il primo "moltiplicando" ed il secondo "moltiplicatore", la definizione di moltiplicazione non è altro che:
ovvero "addizionare il numero formula_4 per formula_5 volte".
Usando una formula più ristretta, con il simbolo di sommatoria:
Quindi, per esempio:
Data la proprietà commutativa della moltiplicazione (vedi più in basso), talvolta si dà la seguente definizione (equivalente) di moltiplicazione:
A partire dalla definizione, si può dimostrare che la moltiplicazione ha le seguenti proprietà:
Per la moltiplicazione nel campo dei numeri razionali (v. sotto) vale anche
Nel libro "Arithmetices principia, nova methodo exposita", Giuseppe Peano propose un sistema assiomatico per i numeri naturali; due di questi assiomi riguardano la moltiplicazione:
Qui "b"' rappresenta l'elemento dei numeri naturali successivo di "b". Con gli altri nove assiomi di Peano, è possibile provare le regole comuni della moltiplicazione, come la proprietà distributiva e associativa. I due assiomi elencati forniscono una definizione ricorsiva della moltiplicazione.
Estendiamo l'operazione di moltiplicazione al caso dei numeri negativi, definendo quanto segue: dato x numero naturale
dove con − x si intende l'inverso additivo di x : 
Da qui abbiamo che la moltiplicazione di interi qualunque si riduce alla moltiplicazione di interi positivi e di formula_24. 
Lo schema che ne deriva è detto "regola dei segni":
Quest'ultima regola pratica ha un'interpretazione anche nella vita reale. Supponiamo di guadagnare "m" euro l'anno; tra "n" anni avremo "mn" euro (un numero positivo), mentre se questo guadagno era iniziato nel passato allora "n" anni fa (cioè "tra meno "n" anni") avevamo "mn" euro in meno (un numero negativo). Se invece perdessimo "m" euro l'anno (cioè guadagnassimo "meno "m" euro"), tra "n" anni ne avremo "mn" in meno, ma "n" anni fa ne avevamo "mn" in più di quanti ne abbiamo ora.
La definizione di moltiplicazione si può infine estendere ai numeri razionali, ai numeri reali, e ai numeri complessi.
Per i numeri razionali abbiamo che 
verificando che la definizione è indipendente dai rappresentanti scelti.
Per i numeri reali, una definizione di moltiplicazione si può ottenere prendendo il modello di numero reale come sezione di Dedekind: dati due numeri reali positivi, rappresentati come sezioni in campo razionale, moltiplicando (con opportuni accorgimenti) i minoranti tra loro e i maggioranti tra loro si ottiene ancora una sezione, che rappresenta il prodotto dei due numeri. La definizione si può poi estendere a tutti i numeri reali seguendo la regola dei segni indicata nella sezione precedente.
Per i numeri complessi, infine, si ha:
