
Il calcolo infinitesimale è la branca fondante dell'analisi matematica che studia il "comportamento locale" di una funzione tramite le nozioni di continuità e limite, usato in quasi tutti i campi della matematica e della fisica, e della scienza in generale.
Le funzioni a cui si applica sono a variabile reale o complessa. Tramite la nozione di limite, il calcolo infinitesimale definisce e studia le nozioni di convergenza di una successione o di una serie, continuità, derivata e integrale.
Il calcolo infinitesimale poggia sull'algebra, la geometria analitica e la trigonometria. Tra le nozioni che vi appartengono e di cui si avvale vanno ricordate quelle di successione e serie, spazio metrico, funzione di variabile reale, funzione analitica. Sue branche o prodotti sono la teoria dell'integrazione e la teoria della misura, le funzioni speciali (a partire da esponenziale, logaritmo e funzioni trigonometriche), l'analisi armonica.
Fornisce la base concettuale e metodologica per lo sviluppo del modello di un qualsiasi sistema continuo riguardante per esempio fenomeni e processi fisici, astronomici, tecnologici, economici e statistici. La conoscenza del calcolo infinitesimale costituisce quindi un bagaglio culturale di primaria importanza e sul piano storico il suo sviluppo può a buon diritto considerarsi uno dei processi fondamentali per la storia del pensiero scientifico, e più in generale, per la storia della filosofia occidentale. È significativo a questo proposito osservare che nella lingua inglese, in cui più si è sviluppato in partenza, il calcolo infinitesimale viene chiamato per antonomasia "calculus".
Il calcolo infinitesimale è stato inizialmente sviluppato nel mondo scientifico greco ed ellenistico del IV e del III secolo a.C. per opera di Eudosso (metodo di esaustione), di Euclide e Anassagora fino al raggiungimento di risultati di piena maturità con Archimede.
Con il successivo progressivo decadimento della scienza nell'area mediterranea, occorre attendere l'opera dei matematici indiani Aryabhata (476-550), Bhaskara (1114-1185), Madhava (1350-1425) e della scuola del Kerala per avere innovazioni come il teorema noto come teorema di Rolle, il passaggio al limite per una variabile tendente all'infinito e la manipolazione di alcune serie.
Per uno sviluppo sistematico del calcolo infinitesimale occorre attendere il periodo del recupero europeo dello spirito scientifico ellenistico nel secolo XVI (Tartaglia) e soprattutto nel secolo XVII. Dopo gli avanzamenti dovuti a Cavalieri, Barrow, Cartesio, Fermat, Huygens e Wallis, negli anni dal 1670 al 1710, ad opera principalmente di Pietro Mengoli, Newton e Leibniz furono posti i fondamenti del calcolo infinitesimale moderno e fu raggiunta la piena consapevolezza della sua portata per lo sviluppo di metodi e modelli per lo studio quantitativo degli oggetti dell'indagine scientifica. Nel secolo XVIII si assiste all'ampliamento dei metodi e delle applicazioni, con i Bernoulli, Eulero, Lagrange, Laplace, pur nella mancanza di fondamenti rigorosi. Una prima revisione critica dei fondamenti fu sviluppata da Cauchy intorno al 1821 sulla base della nozione di limite introdotta da d'Alembert nel 1765. In Giappone fu invece Kōwa Seki che per primo sviluppò i metodi fondamentali del calcolo integrale.
Per opera dello stesso Cauchy, e di matematici come Poisson, Liouville, Fourier gli obiettivi dell'analisi infinitesimale si ampliano a comprendere l'analisi complessa, le equazioni alle derivate parziali e l'analisi armonica. Intorno al 1850 Riemann introduce la teoria dell'integrale che porta il suo nome.
Intorno al 1860 Dedekind precisa la nozione di numero reale (altro recupero di una nozione ellenistica, ben chiara negli Elementi di Euclide). Questa consente che, intorno al 1870, sia precisata la definizione delle basi del calcolo infinitesimale per opera di Weierstrass e di vari altri matematici (Eduard Heine, Georg Cantor, Charles Méray, Camille Jordan...). Da allora le idee e le tecniche di calcolo infinitesimale - diventate analisi matematica o “analisi standard”, evitando di fare riferimento al concetto oscuro di infinitesimo - sono bagaglio essenziale per chi si dedica alla scienza e alla tecnologia.
All'inizio del XX secolo sono sviluppate teorie che forniscono basi (o “fondamenti”) più generali, astratte ed efficaci per lo studio dei problemi infinitesimali. Basti ricordare la teoria assiomatica degli insiemi (scuola di Hilbert), la teoria della misura (Lebesgue), la nozione di spazio di Hilbert, la nozione di spazio normato e quindi la definizione dell'analisi funzionale principalmente per opera di Banach. Infine Robinson tentò di rifondare l'analisi sugli infinitesimi, recuperando su basi logiche più rigorose la semplicità del metodo di Leibniz introducendo l'analisi non standard.


In matematica, il concetto di limite serve a descrivere l'andamento di una funzione all'avvicinarsi del suo argomento a un dato valore (limite di una funzione) oppure l'andamento di una successione al crescere illimitato dell'indice (limite di una successione). I limiti si utilizzano in tutti i rami dell'analisi matematica; sono usati ad esempio per definire la continuità, la derivazione e l'integrazione.
Il concetto di limite di una funzione, più generale del limite di una successione, può essere generalizzato da quello di limite di un filtro.
Il concetto di limite era già presente in modo intuitivo nell'antichità, per esempio in Archimede (nel suo metodo di esaustione), e fu utilizzato, anche se non in modo rigoroso, a partire dalla fine del XVII secolo da Newton, Leibniz, Eulero e D'Alembert.
La prima definizione abbastanza rigorosa di limite risale al XIX secolo con Cauchy, seguita da una miglior formalizzazione di Weierstrass.
Una completa teoria del limite si ha con Heine, che nel 1872 pubblicò un lavoro che creò molto interesse all'epoca e nel quale stilò regole e proprietà del limite. Molti altri studiosi si sono interessati al problema del limite, approfondendo l'argomento con lo studio dell'analisi infinitesimale, tra cui Bolzano, Dedekind e Cantor.
Ma solo nel 1922 Eliakim Hastings Moore ed H.L. Smith diedero una nozione generale (topologica) di limite, ed è quella attualmente utilizzata in matematica. Nel 1937, Henri Cartan ne fornì una versione equivalente, basata sul concetto di filtro.
Una successione formula_1 di numeri reali ha come limite il numero formula_2 se al crescere di formula_3 i termini della successione "sono arbitrariamente vicini" al valore formula_4. Formalmente, questa nozione è resa chiedendo che per ogni formula_5 piccolo a piacere esista un numero naturale formula_6 tale che formula_7 per ogni formula_8.
Una successione può non avere limite, ad esempio formula_9, data da:
non ha limite. D'altra parte, se esiste un limite formula_2, si dice che la successione converge ad formula_2; in questo caso, il limite è unico (una successione non può convergere a due valori distinti). Ad esempio, la successione formula_13, data da:
converge a zero.
Considerando uno spazio topologico formula_15, una successione formula_16 con formula_17 tende al limite formula_18 se, comunque si prenda un intorno formula_19 di formula_4, esiste un formula_21 tale per cui formula_22 per tutti gli formula_23, e si scrive:
Se formula_15 è uno spazio di Hausdorff il limite di formula_16 con formula_17, se esiste, è unico.
Il limite di una funzione generalizza il limite di una successione di punti in uno spazio topologico formula_28; si considera la successione una funzione formula_29 nello spazio topologico formula_30 con la topologia discreta. In tale definizione, un intorno di formula_31 ha la forma formula_32.
Siano dati una funzione formula_33 definita su un sottoinsieme formula_15 della retta reale formula_35 ed un punto di accumulazione formula_36 di formula_15. Un numero reale formula_38 è il limite di formula_39 per formula_40 tendente a formula_41 se la distanza fra formula_39 ed formula_38 è arbitrariamente piccola quando formula_44 si avvicina a formula_41.
La distanza fra i punti è misurata usando il valore assoluto della differenza: quindi formula_46 è la distanza fra formula_40 e formula_41 e formula_49 è la distanza fra formula_39 ed formula_38. Il concetto di "arbitrariamente piccolo" è espresso formalmente con i quantificatori "per ogni" (quantificatore universale) ed "esiste" (quantificatore esistenziale).
Formalmente, formula_38 è limite se per ogni numero reale formula_5 piccolo a piacere esiste un altro numero reale positivo formula_54 tale che:
In questo caso si scrive:
La definizione di limite di una funzione è necessaria per formalizzare il concetto di funzione continua.
Dato uno spazio topologico formula_60, un punto formula_61 è il limite di un ultrafiltro formula_62 su formula_15 se ogni intorno di formula_64 appartiene a formula_62.
Il limite di una funzione rispetto ad un filtro è definito considerando una funzione formula_66 tra spazi topologici e un filtro formula_62 su formula_19. Il punto formula_69 è il limite di formula_70 in formula_61 rispetto ad formula_62 se formula_64 è il limite di formula_62 e formula_75 è il limite di formula_76. Si scrive in tal caso:
Il concetto di limite si estende anche alle successioni di insiemi attraverso le nozioni di limite superiore e limite inferiore: data una successione di insiemi formula_78, l'insieme limite è definito come l'insieme che intuitivamente contiene gli elementi che stanno nel maggior numero di insiemi della successione. Formalmente, una successione di insiemi si dice possedere limite se vale la seguente uguaglianza:
