
, un intervallo è un sottoinsieme dei numeri reali formato da tutti i punti della retta reale che sono compresi tra due estremi formula_1 e formula_2. Gli estremi possono (ma non devono necessariamente) appartenere all'intervallo e possono essere infiniti.
Formalmente, un sottoinsieme formula_3 dei numeri reali formula_4 o di un altro insieme ordinato è un intervallo se per ogni coppia di elementi formula_5 e formula_6 di formula_3, ogni altro elemento formula_8 tale che formula_9 sta anch'esso in formula_3. In formula_4 gli intervalli corrispondono agli insiemi convessi.
Gli intervalli di formula_4 sono quindi gli insiemi seguenti (dove formula_1 e formula_2 sono due numeri reali tali che formula_15 (intervallo chiuso)
I punti formula_1 e formula_2 sono gli estremi dell'intervallo. Quindi una parentesi quadra formula_24 formula_25 indica che l'estremo appartiene all'intervallo, mentre una parentesi tonda formula_26 formula_27 indica che non vi appartiene. Una notazione alternativa usa formula_25 e formula_24 rispettivamente al posto di formula_26 e formula_27. Entrambe le notazioni fanno parte dello standard ISO 31-11 e del successivo ISO 80000-2 come equivalenti sebbene la notazione che prevede l'utilizzo delle parentesi tonde per indicare gli intervalli aperti sia in assoluto la più utilizzata.
I primi quattro intervalli hanno lunghezza formula_32, i cinque seguenti hanno lunghezza infinita, il punto e l'insieme vuoto hanno lunghezza formula_33.
L'intervallo unitario è l'intervallo chiuso formula_34.
Raramente, il simbolo ÷, chiamato obelo, viene usato in Italia per indicare un intervallo numerico. Ad esempio 3 ÷ 7 vuol dire 'da tre a sette', estremi compresi.


In matematica una funzione definita a tratti (o semplicemente funzione a tratti) è una funzione definita da varie sottofunzioni, ciascuna delle quali è definita su un certo sottodominio, cioè su un sottoinsieme del dominio della funzione definita a tratti. Questi sottodomini formano una partizione del dominio della funzione definita a tratti.
Consideriamo, ad esempio, la funzione valore assoluto:
formula_1
La funzione è definita dalle sottofunzioni formula_2 e formula_3, negli intervalli formula_4 e formula_5 rispettivamente.
Una funzione definita a tratti è continua su un dato intervallo se rispetta le seguenti condizioni:
La funzione in figura, ad esempio, è continua nei sottointervalli formula_6 e formula_7 in cui è definita a tratti, ma non è continua nell'intero dominio, dato che contiene un punto di discontinuità a salto: il punto formula_8.
Le seguenti funzioni sono definite a tratti:
