
In matematica, un campo vettoriale su uno spazio euclideo è una costruzione del calcolo vettoriale che associa a ogni punto di una regione di uno spazio euclideo un vettore dello spazio stesso. 
Un campo vettoriale tangente su una varietà differenziabile è una funzione che associa ad ogni punto della varietà un vettore dello spazio tangente in quel punto alla varietà.
Il teorema di Helmholtz è fondamentale per questi oggetti, in quanto afferma che la conoscenza della divergenza e del rotore sono necessari e sufficienti alla conoscenza del campo stesso.
Un campo vettoriale sul piano si può rappresentare visivamente pensando ad una distribuzione nel piano di vettori bidimensionali, in modo che il vettore immagine del punto formula_1 abbia l'origine in formula_1 stesso (eventualmente riscalato per una migliore resa visiva come in figura). In modo analogo, si possono visualizzare campi vettoriali su superfici o nello spazio tridimensionale.
Dato un insieme aperto e connesso formula_3 contenuto in formula_4, un "campo vettoriale" è una funzione:
alla quale si richiede generalmente di essere continua o differenziabile per un certo numero di volte. In quanto funzione, ad esempio, nel caso di superficie, si può scrivere:
mentre nel caso di spazio:
Le "linee di flusso" sono intuitivamente delle curve che seguono in ogni loro punto le direzioni individuate dal campo vettoriale con velocità data dall'ampiezza dei vettori del campo.
Interpretando il campo vettoriale come un campo di velocità di un fluido, queste linee rappresentano le traiettorie di ogni singola particella. Formalmente, una linea di flusso passante per un punto formula_8 è una curva differenziabile:
definita per qualche formula_10 positivo, tale che 
Se il campo è sufficientemente "regolare" (ad esempio, se formula_14 è differenziabile o almeno lipschitziano), per ogni punto passa esattamente una linea di flusso. Questo perché una linea di flusso è soluzione di un problema di Cauchy, la cui esistenza e unicità è garantita dal teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy.
Una linea di flusso è definita su un intervallo aperto formula_15, ma non è necessariamente definita su tutta la retta reale. In un campo vettoriale tale che tutte le linee di flusso sono definite sull'intera retta reale, è possibile definire una applicazione
che associa ad una coppia formula_17 - data da un "tempo" e un punto dello spazio delle fasi - il punto di arrivo che si ottiene seguendo la linea di flusso che parte da formula_1 per un tempo formula_19 a partire dal punto formula_1. Tale applicazione è il flusso associato al campo vettoriale e si è soliti scrivere formula_21 per indicare l'immagine della coppia formula_17.
Formalmente il flusso associato al campo vettoriale formula_14 è individuato da una famiglia di applicazioni
che verificano le condizioni:
per ogni formula_1 e per ogni tempo formula_27.
Il flusso è un "gruppo ad un parametro": è un gruppo perché soddisfa le proprietà seguenti
e definisce un'azione di formula_30 su formula_3. Le proprietà di gruppo ci dicono informalmente che l'evoluzione dello spazio indotta dal flusso per un tempo formula_32 corrisponde a lasciare tutto com'è, e che l'evoluzione per un tempo formula_33 equivale all'applicazione successiva di due evoluzioni per tempi formula_34 e formula_19.
Un punto critico o "punto singolare" per un campo vettoriale è un punto in cui il campo si annulla, o in cui non è definito perché tende a infinito (similmente a quanto accade per i poli). Generalmente, si suppone che il campo sia sufficientemente regolare, così che i punti critici sono isolati.
I punti critici devono il proprio nome al ruolo "speciale" che rivestono all'interno del campo vettoriale. Nell'intorno di qualsiasi punto "non" critico la struttura topologica del campo vettoriale è sempre la stessa: il campo ristretto ad un intorno piccolo del punto è diffeomorfo ad un campo costante (che associa ad ogni punto lo stesso vettore non nullo), le cui linee di flusso sono quindi rette parallele, come stabilito dal teorema della scatola di flusso. I punti critici invece hanno una casistica molto più ricca.
Le possibili strutture topologiche del campo in un intorno del punto critico isolato si possono classificare associando ai punti critici un numero intero chiamato indice.
Il tipo ed il numero complessivo dei punti critici di un campo vettoriale sono anche legati alla struttura topologica globale del dominio su cui il campo è definito. Questo legame è stabilito dal teorema di Poincaré-Hopf il quale afferma che se il campo vettoriale è definito su una varietà differenziabile compatta allora la somma degli "indici" dei suoi punti critici è uguale alla caratteristica di Eulero della varietà.
Una varietà differenziale è "pettinabile" se ammette un campo vettoriale (sufficientemente regolare) mai nullo. Per il teorema di Poincaré-Hopf menzionato sopra, una varietà compatta pettinabile deve avere caratteristica di Eulero zero. Per questo motivo, la sfera non è pettinabile: questo enunciato è il teorema della sfera pelosa.
D'altro canto, il toro e la bottiglia di Klein sono superfici con caratteristica di Eulero zero, e sono pettinabili.
I campi vettoriali si incontrano sia nella matematica pura che in quella applicata:
Data una funzione differenziabile su formula_36
il "campo gradiente" di formula_38 è il campo vettoriale che associa ad ogni formula_39 in formula_40 il vettore 
dato dal gradiente di formula_38 in formula_1.
Un campo gradiente è conservativo, cioè il rotore è ovunque nullo.
Le linee di flusso di un campo gradiente associato ad una funzione scalare formula_38 sono ovunque ortogonali alle superfici di livello di formula_38, cioè alle ipersuperfici date dall'equazione cartesiana formula_46 al variare di formula_47 in formula_48.
Data una funzione differenziabile su un aperto formula_49 del piano cartesiano formula_50:
il "campo Hamiltoniano" di formula_52 è il campo vettoriale che associa ad un punto formula_53 in formula_40 il vettore 
dove formula_56 e formula_57 denotano le derivate parziali di formula_58.
La funzione scalare formula_52 che genera il campo Hamiltoniano si chiama "Hamiltoniana".


, l'immagine di un sottoinsieme del dominio di una funzione è l'insieme degli elementi ottenuti applicando la funzione a tale sottoinsieme. Si tratta quindi di un sottoinsieme del codominio della funzione. L'immagine degli elementi dell'intero dominio è anche detta immagine della funzione, e se la funzione è suriettiva essa coincide col codominio.
Sia formula_1 una funzione. Si definisce immagine di formula_2 tramite formula_3, o immagine di formula_3, il sottoinsieme di formula_5 così definito: 
ove l'uguaglianza con formula_5 sussiste se e solo se la funzione formula_3 è suriettiva.
Si tratta, quindi, di quegli elementi formula_9 di formula_5 per i quali esiste un elemento di formula_2 che venga portato in formula_5 da formula_3.
Notare che nello scrivere formula_14 si è attuato un leggero abuso di notazione, in quanto formula_3 è una trasformazione che agisce sugli elementi di formula_2, non su formula_2 stesso. Tale uso è però talmente diffuso che sarebbe inutile provare a combatterlo. Altre notazioni, che non provocano alcun imbarazzo formale e che trovano comunque un certo seguito, sono: formula_18 e formula_19
Più in generale, se formula_20 è un sottoinsieme del dominio formula_2 si chiama "immagine di formula_22 tramite formula_3" l'insieme:
Se formula_25, si chiama immagine di formula_26 tramite formula_3 l'unico elemento formula_28 associato ad formula_26 da formula_3.
Considerata una funzione formula_1, valgono le seguenti proprietà:
È un esercizio utile e proposto regolarmente nelle scuole quello, data una funzione, di identificare la sua immagine. Per fare questo, se non si è in grado di farlo "a priori" (ad esempio, è noto senza fare alcun calcolo che la funzione formula_42 ha come immagine tutta la semiretta positiva delle ordinate formula_43, compreso lo zero), ci sono due metodi: o, con gli strumenti dell'analisi matematica, si identificano gli intervalli di monotonia e i massimi e i minimi, o, con calcoli puramente algebrici, si esplicita la formula_44 in funzione della formula_43, trovando in pratica la funzione inversa; ad esempio, se
allora la sua inversa si ottiene mediante:
Visto che nei vari passaggi si è applicato prima un logaritmo e poi una radice quadrata, si ottengono delle restrizioni, le uniche, per la formula_43, precisamente formula_49   e   formula_50
L'intersezione di queste due condizioni dà l'immagine, poiché i valori di formula_43 risultanti possiedono, per costruzione, un valore di partenza (dato dall'espressione trovata); in questo caso, dunque, l'immagine è formula_52
