
Il teorema di Pitagora è un teorema della geometria euclidea che stabilisce una relazione fondamentale tra i lati di un triangolo rettangolo.
Si può considerare un caso speciale, per i triangoli rettangoli, del teorema del coseno.
Quello che modernamente conosciamo come "teorema di Pitagora" viene solitamente attribuito al filosofo e matematico Pitagora. In realtà il suo enunciato (ma non la sua dimostrazione) era già noto ai Babilonesi. Viene a volte affermato che il teorema di Pitagora fosse noto agli antichi Egizi: Carl Boyer esclude questa ipotesi, basandosi sull'assenza del teorema dai papiri matematici rinvenuti. Era conosciuto anche in Cina e sicuramente in India, come dimostrano molte scritture fra cui lo "Yuktibhāṣā" e gli "Śulbasūtra". La dimostrazione del teorema è invece con ogni probabilità successiva a Pitagora.
oppure:
L'uso dell'aggettivo "uguale" invece di "equivalente" richiede di riferirsi o alle aree dei quadrati "costruiti" sui cateti e sull'ipotenusa (area intesa come misura dell'estensione di una superficie), oppure ai quadrati delle lunghezze dei cateti/quadrato della lunghezza dell'ipotenusa. La possibile ambivalenza della lingua italiana deriva dal fatto che, in assenza del termine "costruito", la parola "quadrato" può definire sia la "superficie" della figura geometrica in quanto tale, sia la generica operazione di elevamento alla seconda potenza.
In altre lingue, segnatamente in inglese, francese e spagnolo, nell'enunciato del teorema di Pitagora si preferisce parlare di quadrati (delle lunghezze) dei cateti e dell'ipotenusa, il che consente il semplice utilizzo dei termini "equal" (in inglese), "égal" (in francese), "igual" (in spagnolo). 
Per esempio, in spagnolo, "el cuadrado de la hipotenusa" significa, senza ambiguità, il "quadrato (della misura) dell'ipotenusa".
Dato un triangolo rettangolo di lati formula_1, formula_2 e formula_3, ed indicando con formula_3 la sua ipotenusa e con formula_1 e formula_2 i suoi cateti, il teorema è espresso dall'equazione:
o, esplicitando formula_3:
Le misure dei cateti sono perciò:
e
Una terna di numeri interi positivi formula_12 che soddisfi il teorema di Pitagora si dice terna pitagorica.
Viceversa, ogni triangolo in cui i tre lati verifichino questa proprietà è rettangolo: questo teorema, con la sua dimostrazione, appare nell'ultimo enunciato del primo libro di "Elementi".
La dimostrazione classica del teorema di Pitagora completa il primo libro degli "Elementi" di Euclide, e ne costituisce il filo conduttore. Dato che richiede il postulato delle parallele, esso non vale nelle geometrie non-euclidee e nella geometria neutrale. Nel testo di Euclide la dimostrazione del teorema è immediatamente preceduta dalla dimostrazione della costruibilità dei quadrati. L'esistenza stessa dei quadrati dipende infatti dal postulato delle parallele e viene meno nelle geometrie non euclidee. Questo aspetto del problema è in genere trascurato nella didattica contemporanea, che tende spesso ad assumere come ovvia l'esistenza dei quadrati.
La dimostrazione del teorema di Pitagora consiste nel riempire uno stesso quadrato di lato uguale alla somma dei cateti prima con quattro copie del triangolo rettangolo più il quadrato costruito sull'ipotenusa e poi con quattro copie del triangolo rettangolo più i quadrati costruiti sui cateti, come in figura.
Essendo il teorema uno dei più noti della storia della matematica, ne esistono moltissime dimostrazioni, in totale alcune centinaia, opera di matematici, astronomi, agenti di cambio, per esempio un presidente statunitense James A. Garfield e Leonardo da Vinci. Per questo teorema sono state classificate dallo scienziato statunitense Elisha Scott Loomis 371 differenti dimostrazioni, che sono state pubblicate nel 1927 nel suo libro The Pythagorean Proposition.
La dimostrazione attribuita al matematico e astronomo persiano Abu'l-Wafa verso la fine del X secolo d.C. e riscoperta dall'agente di cambio Henry Perigal (trovata nel 1835-1840, pubblicata nel 1872 e successivamente nel 1891) si basa sulla scomposizione del quadrato costruito sul cateto maggiore, in giallo nell'immagine: tagliandolo infatti con due rette passanti per il suo centro, una perpendicolare ed una parallela all'ipotenusa, si può ricomporre in maniera da incorporare l'altro quadrato, e formando il quadrato sull'ipotenusa, come nella figura. Questo procedimento è legato al problema della trisezione del quadrato.
Esiste anche una dimostrazione poetica, dell'astronomo Sir George Airy, in inglese:
di cui una traduzione letterale è
I versi si riferiscono alla parte bianca: i primi due triangoli sono quelli rossi, i secondi quelli blu.
Sia quella di Perigal sia quest'ultima sono puramente geometriche, ossia non richiedono alcuna definizione di operazioni aritmetiche, ma solo congruenze di aree e di segmenti.
Dimostrazione geometrica basata su due quadrati concentrici, di lati rispettivamente pari all'ipotenusa (formula_3) e alla somma dei due cateti (formula_14).
Come si vede dalla figura, tolti i quattro triangoli rettangoli (in giallo di area formula_15) al quadrato più grande, che corrisponde all'area formula_16, si ottiene il quadrato più piccolo, rappresentato in bianco, che equivale invece all'area formula_17.
Quindi
da cui risolvendo si ottiene
Questa dimostrazione, utilizzando il passaggio algebrico del quadrato della somma di due numeri, ha una rappresentazione visiva semplice e diretta, che non richiede lo spostamento e sovrapposizione di forme come le altre dimostrazioni geometriche formulate.
Un'altra dimostrazione geometrica, nella cui costruzione non compare alcun quadrato, fu trovata nel 1876 da Garfield, che in seguito divenne il ventesimo Presidente degli Stati Uniti d'America. Allora nell'esercito, Garfield commentò il suo risultato: ""Questo è qualcosa su cui i due rami del parlamento potranno essere d'accordo"".
La dimostrazione segue sostanzialmente il metodo usato nella dimostrazione di Pomi, applicato però a metà figura, considerando cioè il trapezio anziché il quadrato:
In formule, detto formula_1 il cateto rosso, formula_2 il blu e formula_3 l'ipotenusa, e ricordando la potenza del binomio
Un'altra dimostrazione utilizza il primo teorema di Euclide. Si traccia l'altezza sull'ipotenusa. Questa spezza l'ipotenusa in due segmenti, di lunghezza formula_24 e formula_25. Il teorema di Euclide fornisce le relazioni
da cui
e quindi 
Vale anche l'inverso del Teorema di Pitagora (proposizione 48 del primo libro degli "Elementi" di Euclide):
"Se in un triangolo di lati formula_1, formula_2 e formula_3 vale la relazione formula_32, allora il triangolo è rettangolo".
"Dimostrazione". Sia formula_33 un triangolo di lati formula_1, formula_2 e formula_3 tale che formula_32. Consideriamo un secondo triangolo rettangolo formula_38 che abbia i cateti pari ad formula_1 e formula_2 (è sempre possibile costruire un triangolo rettangolo dati i due cateti). Per il Teorema di Pitagora (diretto) l'ipotenusa del triangolo formula_38 sarà pari a formula_42, ossia sarà uguale al lato formula_3 del triangolo formula_33. I due triangoli formula_33 e formula_38 risulteranno dunque congruenti per il terzo criterio di congruenza, avendo tutti e tre i lati ordinatamente uguali. Ma allora anche il triangolo formula_33 sarà rettangolo "(CVD)".
Un corollario del teorema di Pitagora consente di determinare se un triangolo sia o meno rettangolo, acutangolo o ottusangolo. Là dove c è scelto come ipotenusa, il lato più lungo dei tre, e formula_48 (altrimenti non avremo un triangolo), valgono le seguenti relazioni:
L'enunciato inverso fornisce anche un sistema per costruire un angolo retto (o per controllare la quadratura di un angolo già esistente) in situazioni pratiche, come la topografia o l'agrimensura.
A titolo di esempio, con una fune di lunghezza pari alla somma di una terna pitagorica (diciamo 12, somma di 5, 4 e 3, in una qualche unità di misura) sarebbe sufficiente disporre le due porzioni minori della corda (quelle di misura 4 e 3) ad un certo angolo fra loro; se gli estremi della fune, disposta infine in forma triangolare, si chiudono, si saprà che l'angolo compreso fra le due porzioni minori della corda (a questo punto i due cateti) è certamente retto.
Il teorema di Pitagora può essere generalizzato in vari modi. Solitamente, una generalizzazione è una relazione che si applica a tutti i triangoli, e che applicata ai triangoli rettangoli risulta essere equivalente al teorema di Pitagora.
Una generalizzazione del teorema di Pitagora è il teorema del coseno, che si applica ad un triangolo qualsiasi (non necessariamente retto). In un triangolo con vertici e angoli indicati come in figura, vale l'uguaglianza:
Nel caso in cui formula_53 sia retto, vale formula_54 e quindi l'enunciato è equivalente al teorema di Pitagora. Il termine aggiuntivo può essere interpretato come il prodotto scalare dei vettori formula_55 e formula_56.
Il teorema dei seni mette in relazione le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni degli angoli opposti. Anche questa relazione si applica a qualsiasi triangolo e, nel caso in cui questo sia rettangolo, può essere ritenuta equivalente al teorema di Pitagora (benché in modo meno immediato rispetto al teorema del coseno).
Il teorema dei seni asserisce che in un triangolo qualsiasi, con le notazioni come in figura, valgono le relazioni seguenti:
Elevando al quadrato:
Sommando i termini si ottiene:
Quando formula_60 è un angolo retto, si ottiene formula_61 e quindi 
Si ottiene quindi in questo caso il teorema di Pitagora
È possibile estendere il teorema di Pitagora ad un triangolo qualsiasi senza fare uso di funzioni trigonometriche quali il seno ed il coseno.
Dato un triangolo formula_64 come in figura, si tracciano due segmenti che collegano il vertice formula_65 con due punti formula_66 e formula_67 contenuti nel segmento opposto formula_68 (oppure in un suo prolungamento), in modo tale che gli angoli formula_69 e formula_70 siano entrambi uguali all'angolo formula_60 del vertice formula_65. La figura mostra un caso in cui l'angolo formula_60 è ottuso: se è acuto, i due punti formula_74 e formula_67 sono in ordine inverso (il primo a destra e il secondo a sinistra) e possono uscire dal segmento formula_68.
Vale la relazione seguente:
Quando formula_60 è un angolo retto, i punti formula_74 e formula_67 coincidono e si ottiene il teorema di Pitagora
La relazione generale può essere dimostrata sfruttando la similitudine fra i triangoli formula_82, formula_83 e formula_84, che porta alle relazioni
Si ottiene quindi
Sommando le due eguaglianze si ottiene la relazione iniziale.
Il Teorema di Pitagora continua a valere quando su ogni lato di un triangolo rettangolo si costruiscono figure simili tra loro anche non regolari.
Il suo enunciato diventa:
In ogni triangolo rettangolo, l'area di un qualunque poligono, anche curvilineo, costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei poligoni, simili a quello costruito sull'ipotenusa, costruiti sui cateti.
"Dimostrazione"
Siano:
e
Per il teorema di Pitagora in forma classica risulta:
e quindi
Ricordando che se due poligoni simili hanno 2 lati corrispondenti in rapporto formula_101 allora le loro superfici sono in rapporto formula_102, avendo definito formula_103 , risulta 
Avendo inoltre definito uguale a
formula_105
il rapporto tra i due cateti, per il motivo precedente risulta uguale a
formula_106 il rapporto tra le aree dei poligoni simili costruiti su di essi, ovvero:
Quindi:
E quindi
Come volevasi dimostrare.
Il teorema di Pitagora può essere "generalizzato" a spazi vettoriali di qualsiasi dimensione, come lo spazio euclideo di dimensione 3 o superiore, o uno spazio vettoriale su corpo complesso, continuando a valere anche su funzioni viste come somme infinite di vettori come nell'analisi funzionale, finché sia possibile definire un prodotto scalare, rendendo lo spazio vettoriale uno spazio prehilbertiano.
La dimostrazione è semplice, e l'enunciato del teorema è: "La somma dei quadrati delle norme di due vettori ortogonali è uguale al quadrato della norma del loro vettore somma", ovvero formula_110 .
Per definizione di ortogonalità, il prodotto scalare fra formula_111 e formula_112 è nullo e commuta. L'enunciato del teorema è equivalente, per la definizione di norma euclidea, a formula_113. Svolgendo il prodotto scalare al secondo membro sfruttando la sua bilinearità e ricordando che il prodotto scalare fra formula_112 e formula_111 è nullo, il teorema risulta provato.
Una leggenda racconta che Pitagora abbia formulato il suo teorema mentre stava aspettando un'udienza da Policrate. Seduto in un grande salone del palazzo di Samo, Pitagora si mise ad osservare le piastrelle quadrate del pavimento, si pensa che ne abbia vista una rotta perfettamente su una diagonale, così da formare due triangoli rettangoli uguali, ma oltre ad essere 2 triangoli rettangoli erano anche isosceli, avendo i due lati uguali. Pitagora immaginò un quadrato costruito sulla diagonale di rottura della piastrella, un quadrato avente come lati le diagonali delle piastrelle circostanti.
La dimostrazione è la seguente: 
Il teorema di Pitagora, in realtà, non era considerato solo una legge matematica del pensiero, ma anche una legge ontologica, cioè dell'essere, riguardante la realtà dell'uomo e del mondo. Il significato filosofico ed esoterico che esso pertanto assumeva costituiva parte integrante delle conoscenze iniziatiche riservate agli adepti della scuola pitagorica. 
Una delle possibili interpretazioni del teorema che si è tramandata fino ad oggi all'interno della massoneria, dove l'emblema dei quadrati costruiti sui lati di un triangolo rettangolo compare nel gioiello indossato dagli anziani Maestri ex-Venerabili (detti in inglese "Past Masters"), mette in relazione la volontà del Cielo, ossia la Provvidenza, rappresentata dal cateto verticale, con la volontà della singola individualità umana, simboleggiata dal cateto orizzontale. Quanto più l'individuo, anziché estendere arbitrariamente la propria volontà, cerca di adeguarla a quella del Cielo, tanto meno subirà il peso del Destino, cioè dell'ipotenusa, e quindi tanto più riuscirà a dominare le forze della necessità che gravano sulla sua vita.


In matematica, la radice quadrata o radice con indice 2 di un numero formula_1 è un numero formula_2 tale che il suo quadrato sia formula_1, ovvero tale che formula_4. Ogni numero reale non negativo ha un'unica radice quadrata non negativa, chiamata radice quadrata principale, che viene rappresentata simbolicamente come formula_5 o, nella notazione esponenziale, come formula_6. Ogni numero reale maggiore di zero ha due radici quadrate distinte, quella principale e il suo opposto, ovvero formula_5 e formula_8.
Il concetto di radice quadrata può essere esteso ai numeri negativi nell'ambito dei numeri complessi. Più generalmente, il concetto di radice quadrata può essere esteso in qualunque contesto in cui sia ben definita la nozione di quadrato di un elemento.
Quando si sono definiti i numeri reali si può definire radice quadrata principale di un numero reale non negativo formula_9 ogni numero reale non negativo formula_1 tale che
formula_11.
Questo numero formula_1, del quale si dimostrano l'esistenza e l'unicità, si indica con la scrittura formula_13. Si osserva poi che anche l'opposto formula_14 soddisfa la precedente equazione quadratica [*]; inoltre entrambe le soluzioni di tale equazione sono notevoli, in quanto danno i due zeri della parabola di equazione formula_15. È dunque opportuno definire radice quadrata di un numero reale positivo formula_9 quel numero reale positivo formula_1 che soddisfi la [*]. Lo zero reale possiede due radici quadrate coincidenti; ciò lo colloca sullo stesso piano dei numeri reali positivi, sebbene lo zero si possa considerare l'unico limite delle due radici quadrate formula_1 e formula_14 del numero formula_9 al tendere a 0 di questo reale. Perciò, volendo semplificare, si può dire che lo zero reale possiede come radice quadrata solo se stesso.
Restringendo la ricerca della radice quadrata al dominio dei numeri interi positivi, si trova che solo alcuni numeri, detti quadrati perfetti, ammettono per radice quadrata principale un numero intero. Sono quadrati perfetti ad esempio, formula_21 che ha per radice il numero formula_22, e formula_23 che ha per radice formula_24; viceversa molti altri interi positivi, a cominciare da formula_22 e formula_26, non ammettono una radice intera.
Se ampliamo il dominio di ricerca ad includere i numeri razionali positivi, si trova che solo i numeri razionali che sono quadrati perfetti, ovvero che sono dati da frazioni con numeratore e denominatore entrambi quadrati perfetti, ammettono per radice principale un numero razionale positivo: 4/9 ammette per radice 2/3, ma 1/2 o 25/39 non ammettono radici razionali.
Si è quindi trovato che l'insieme dei numeri razionali presenta una limitazione operativa e si è sentita la necessità di ampliare il campo dei razionali ad un campo numerico nel quale si possa trovare una radice quadrata per ogni numero positivo.
Questo ha condotto alla introduzione dei numeri reali: se allarghiamo il dominio a questi numeri, ogni numero reale positivo (che in questo contesto viene chiamato radicando) possiede una radice quadrata dello stesso genere. È possibile dimostrare che un numero che sia la radice quadrata di un numero che non è un quadrato perfetto o una frazione il cui numeratore e denominatore sono ambedue quadrati perfetti è un numero irrazionale, cioè un numero non esprimibile come frazione ma rappresentabile con una scrittura decimale infinita non periodica. Ad esempio è irrazionale la radice quadrata di formula_22; in più, l'insieme di tutti gli interi positivi non quadrati perfetti è un sottoinsieme numerabile dei numeri reali, come pure quello dei razionali, mentre l'insieme degli irrazionali è non numerabile.
Si osserva poi che nessun numero reale negativo possiede una radice quadrata reale e questo ha contribuito (vedi anche Rafael Bombelli) all'introduzione dei numeri complessi. Quando si estende a queste entità la ricerca di radici quadrate, si trova che ogni numero complesso ammette due radici quadrate complesse, l'una essendo il numero opposto dell'altra. Particolarmente importanti sono le radici quadrate di formula_28 indicate con formula_29, detta unità immaginaria, e con formula_30. In generale si trova che il numero espresso in forma polare come
possiede due radici complesse date da
Per esprimere questi numeri complessi può essere conveniente estendere agli argomenti complessi la nozione di radice quadrata principale e la relativa notazione
in modo da poter dire ancora che le radici del numero complesso formula_9 sono
formula_35.
Le radici del numero complesso formula_36 coincidono con lo stesso formula_36 e a tale radice si attribuisce molteplicità formula_22.
La funzione radice quadrata principale ha una grande utilità, perché pone in corrispondenza l'insieme dei numeri reali non negativi formula_39 con se stesso; si individua scrivendo formula_5 o anche formula_41. Più precisamente questa endofunzione entro formula_42 è una biiezione crescente e continua.
L'equazione formula_43 ha solo due soluzioni, formula_36 e formula_45. In altre parole la funzione radice quadrata principale è una permutazione (cioè una endofunzione biiettiva) di formula_46 avente formula_47 come insieme dei punti fissi.
Per ogni due numeri reali positivi formula_1 e formula_2 si trovano subito le identità
Queste uguaglianze sono in sintonia con il fatto che la funzione radice quadrata fa corrispondere all'area di un quadrato la lunghezza del suo lato. Esse inoltre per formula_51 diventano
Queste uguaglianze implicano che per tabulare nella notazione decimale i valori assunti dalla funzione radice quadrata principale è sufficiente conoscere i suoi valori nell'intervallo formula_53.
Per ogni numero reale formula_1 si trova che
Si supponga che formula_1 e formula_57 siano reali e che formula_58, e che si voglia ottenere la formula_1. Un errore comune consiste nell'estrarre la radice quadrata e dedurre che formula_60. Questo non è lecito, in quanto la radice quadrata principale di formula_61 non è formula_1, ma il valore assoluto formula_63, come dice l'uguaglianza precedente. Non commettendo questo errore si potrebbe concludere che formula_64, o equivalentemente formula_65.
L'uguaglianza che segue è utile in molti passi del calcolo infinitesimale, ad esempio per dimostrare che la funzione radice quadrata è continua e differenziabile, o per calcolare certi limiti:
valida per tutte le coppie di interi non negativi formula_1 e formula_2 che non sono entrambi zero.
La funzione formula_69 ha il seguente grafico, ottenibile da una metà di parabola avente come asse l'asse delle formula_1.
Questa funzione, continua per tutti gli formula_1 non negativi, è differenziabile per tutti gli formula_1 positivi, ma non è differenziabile per formula_73, poiché la pendenza della tangente nel corrispondente punto tende a formula_74).
La derivata della funzione è data da
La serie di Taylor di formula_76 in un intorno di formula_73 si può ottenere servendosi del teorema binomiale:
per formula_79.
Il problema dell'estrazione della radice quadrata può porsi anche in un generico anello e in altre strutture di genere algebrico nelle quali si definisce un prodotto.
In particolare si definisce radice quadrata di una matrice quadrata formula_80 su un campo ogni matrice formula_81 con lo stesso dominio tale che sia formula_82. Nel caso delle matrici formula_83 la ricerca della matrice radice quadrata si riconduce alla soluzione di un sistema di quattro equazioni di secondo grado in quattro incognite. Infatti l'equazione nelle incognite formula_84, formula_85, formula_1 e formula_2
equivale al sistema
In particolare una matrice diagonale formula_83 a valori reali
con formula_57 e formula_93 positivi possiede le quattro le radici quadrate date dall'espressione
Si può definire anche la radice quadrata di un linguaggio formale, in relazione al prodotto di giustapposizione, prodotto non commutativo e associativo. Ad esempio, se formula_57 è un carattere, il linguaggio formula_96 possiede come unica radice quadrata il linguaggio formula_97 e il linguaggio formula_98 possiede come unica radice quadrata il linguaggio formula_99; ogni linguaggio finito con più di una stringa non possiede invece alcuna radice quadrata.
