
In matematica, un'equazione di secondo grado o quadratica ad un'incognita formula_1 è un'equazione algebrica in cui il grado massimo con cui compare l'incognita è 2, ed è sempre riconducibile alla forma:
Per il teorema fondamentale dell'algebra, le soluzioni (dette anche radici o zeri dell'equazione) delle equazioni di secondo grado nel campo complesso sono sempre due, se contate con la loro molteplicità. Nel campo reale invece le equazioni quadratiche possono ammettere due soluzioni, una soluzione doppia, oppure nessuna soluzione.
Sono poi particolarmente semplici da risolvere le cosiddette equazioni "incomplete", dove alcuni coefficienti sono uguali a zero.
Il grafico della funzione
nel piano cartesiano è una parabola, la cui concavità dipende dal segno di formula_4. Più precisamente: se formula_5 la parabola ha la concavità rivolta verso l'alto, se formula_6 la parabola ha la concavità rivolta verso il basso.
Gli antichi babilonesi lasciarono nelle tavolette di argilla le prime testimonianze della scoperta delle equazioni quadratiche e trovarono le prime tecniche per risolverle. In Mesopotamia spesso le equazioni erano introdotte da problemi di tipo geometrico: ad esempio si chiede di trovare il lato di un quadrato sapendo che l'area meno un lato è uguale a 870; problema che corrisponde alla nostra equazione formula_7 (ridotta in forma normale come formula_8). I Babilonesi non accettavano però le soluzioni negative e nulle delle equazioni e, non accettando il fatto che i coefficienti potessero assumere valori sia positivi che negativi, non veniva riconosciuta nemmeno una forma normale unica ma erano distinti tre casi con coefficienti positivi:
Espresse nella forma moderna la prima ha il termine noto negativo, la seconda il coefficiente di secondo grado negativo, e la terza entrambi i coefficienti minori di zero. L'equazione con tutti i termini positivi non era nemmeno presa in considerazione in quanto ammette solo soluzioni negative.
Nella forma normale babilonese il coefficiente di secondo grado è unitario ma non arrivavano a tale forma, come successivamente gli arabi dividendo tutti i membri per formula_4. Data, per esempio, l'equazione formula_13, entrambi i membri venivano infatti moltiplicati per formula_4: formula_15 e poi veniva effettuata la sostituzione formula_16 in modo da ottenere un'equazione in forma normale nella variabile formula_17; formula_18. Questo procedimento testimonia l'elevato grado di flessibilità raggiunto dall'algebra babilonese.
La soluzione era data tramite formule che ricordano molto quelle odierne. Per esempio la formula risolutiva per il primo caso era, espressa in notazione moderna, la seguente:
che può essere ridotta tramite semplici passaggi algebrici alla formula risolutiva moderna per questo caso
Il matematico indiano Baudhāyana, che scrisse un Shulba Sutras nell'antica India all'incirca nell'VIII secolo a.C., usò per primo equazioni quadratiche della forma formula_21 e formula_22, indicando i metodi per risolverle.
I matematici babilonesi (intorno al 400 a.C.) e cinesi utilizzarono il metodo del completamento del quadrato per risolvere varie equazioni quadratiche con radici positive, ma non ottennero una formula generale.
Euclide descrisse un metodo geometrico più astratto intorno al 300 a.C.; Diofanto di Alessandria si occupò della soluzione delle equazioni di secondo grado, tuttavia il suo lavoro non ebbe conseguenze significative poiché la matematica greca era in una fase di declino. Il "manoscritto di Bakshali", scritto in India fra il 200 a.C. e il 400 d.C., introdusse la formula risolutiva delle equazioni quadratiche.
Il primo matematico noto ad aver usato la formula algebrica generale, consentendo sia le soluzioni positive che quelle negative, fu Brahmagupta (India, VII secolo).
Al-Khwarizmi (BagdĀd, IX secolo d.C) sviluppò indipendentemente un insieme di formule che funzionava per le soluzioni positive. Nell"'al-Jabr", al-Khwarizmi distingue 5 tipi di equazione: i tre già noti ai babilonesi e in più l'equazione pura formula_23 e quella spuria formula_24. Anche qui si pone il coefficiente di secondo grado uguale a 1 ma ci si arriva tramite divisione. Le soluzioni negative non sono, nemmeno stavolta, accettate.
Il metodo usato da al-Khwarizmi è quello del "completamento del quadrato". L'equazione formula_25, per esempio, sarebbe stata risolta aggiungendo 16 a entrambi i termini in modo da "completare" il quadrato al primo membro: formula_26 ossia formula_27. Da questa si otteneva formula_28 e si trovava così a soluzione positiva formula_29.
Il matematico arabo proponeva anche una trasposizione grafica. Supponiamo di dover risolvere la stessa equazione formula_25. Il metodo usato dal persiano in questo caso avrebbe potuto essere "simile" al seguente: si tracci un quadrato che supponiamo avere lato formula_1 (quello blu in figura). Vi si affianchino due rettangoli di dimensioni formula_1 e 4 ossia formula_33 (quelli verdi in figura). L'area della figura verde e blu è formula_34. Poniamo ora questa area = 33. Aggiungiamo ora il quadratino rosso di lato 4, in modo da "completare" il quadrato grande. L'area totale sarà quindi formula_35 e il lato del quadrato grande è dunque 7. Poiché il lato grande è dato dal lato del quadrato blu (cioè formula_1) sommato al lato del rettangolo verde (cioè 4); formula_37.
Al-Khwaritzmi pone per la prima volta l'accento sul segno del discriminante, che deve essere positivo perché l'equazione sia risolubile.
La priorità della scoperta della formula generale per risolvere un'equazione quadratica è stata attribuita a Sridhara (870-930 circa), sebbene ai suoi tempi vi sia stata una disputa. La regola (come riportata da Bhaskara II) è:
Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (conosciuto anche con il nome latino Savasorda) fu il primo a introdurre in Europa la soluzione completa con il suo "Liber embadorum".
Nell'epoca moderna, in Europa, si iniziò ad accettare le soluzioni negative e, successivamente, quelle complesse e a porre l'equazione in un'unica forma normale.
Cartesio introdusse nel XVII secolo la regola dei segni, secondo la quale un'equazione di secondo grado ha tante soluzioni positive quanti sono i cambi di segno fra due coefficienti consecutivi. L'equazione formula_38, per esempio, ammette una soluzione negativa, invece formula_39 ne ha due.
Viète introdusse per primo delle lettere per esprimere i coefficienti delle equazioni, ipotizzando per primo che potessero assumere anche valori negativi. Scoprì poi le formule che portano il suo nome e che mettono in relazione i coefficienti dell'equazione con le radici. In particolare per l'equazione di secondo grado si afferma che se il coefficiente di secondo grado formula_4 è 1, allora il prodotto delle radici dà il termine noto e l'opposto della loro somma il coefficiente di primo grado.
Si dice "spuria" un'equazione quadratica che manca del termine noto, ossia avente la forma:
Un'equazione di questo tipo si risolve facilmente tramite scomposizione:
Per la legge di annullamento del prodotto quest'equazione è equivalente alle due:
E in definitiva le sue soluzioni sono
Si dice "equazione quadratica pura" un'equazione polinomiale di secondo grado mancante del termine di primo grado:
Portando formula_46 al secondo membro e dividendo per formula_4 si ottiene:
Se formula_49, non ammette soluzioni nel campo reale, in quanto non esistono numeri reali che siano radici quadrate di un numero negativo (per esempio formula_50) bensì esistono due soluzioni nel campo dei numeri complessi.
Se formula_51, l'equazione è risolta da:
Si dice "equazione monomia" un'equazione quadratica nella quale formula_53 e formula_54, dunque nella forma formula_55. In questo caso l'equazione ammette come unica soluzione doppia, o di molteplicità due, formula_56
Un'equazione polinomiale di secondo grado viene detta "equazione quadratica completa" quando tutti i suoi coefficienti sono diversi da 0. Essa viene risolta con il cosiddetto metodo del completamento del quadrato, così chiamato perché si modifica l'equazione fino a ottenere al suo primo membro il quadrato di un binomio nella forma formula_57.
Anzitutto portiamo formula_46 al secondo membro:
Moltiplichiamo per formula_60 entrambi i membri, ottenendo:
Notiamo che
e che
dunque possiamo considerare il termine formula_64 come la formula_65 della formula del quadrato di binomio e formula_66 come il doppio prodotto formula_67 dove la formula_68 è uguale a formula_69, dunque, per fare in modo che al primo membro si abbia un quadrato di binomio, sommiamo ad ambo i membri dell'equazione formula_70:
ovvero:
Il secondo membro di quest'equazione è detto "discriminante" e in genere viene indicato con la lettera greca formula_73 (Delta). Se formula_74 è negativo non ci sono soluzioni reali, dal momento che il primo membro, essendo un quadrato, è sempre maggiore o uguale a formula_75. In caso contrario, possiamo scrivere:
che con semplici passaggi possiamo riscrivere come:
Quest'ultima è nota come "formula risolutiva delle equazioni di secondo grado".
Alla luce della dimostrazione precedente è chiaro che, nella risoluzione di un'equazione quadratica, è anzitutto necessario calcolare il discriminante formula_78.

In matematica, per risolvere un'equazione si intende la ricerca degli elementi (numeri, funzioni, insieme, ecc.) che soddisfino la rispettiva equazione (due espressioni unite da un'uguaglianza). Queste espressioni contengono una o più incognite, che sono variabili libere per le quali sono cercati i valori che fanno sì che la condizione espressa dall'equazione sia soddisfatta. Per essere precisi, di solito si intende che questi valori non sono necessariamente valori reali, ma, in realtà, spesso sono espressioni matematiche. Una soluzione dell'equazione è un'assegnazione di espressioni alle incognite che soddisfi l'equazione, in altre parole, quando questi risultati vengono sostituiti alle incognite, l'equazione diventa una tautologia (un'affermazione dimostrabilmente vera).
Per esempio, l'equazione 
è risolvibile nell'incognita formula_2 da 
in quanto sostituendo formula_2 con formula_5 l'equazione sarà formula_6, un'affermazione vera. È anche possibile prendere in considerazione la variabile formula_7, e quindi la soluzione questa volta sarà formula_8. Oppure formula_2 and formula_7 possono essere trattate entrambe come incognite, e in questo caso ci sono più soluzioni dell'equazione, tra cui, ad esempio, formula_11 (cioè formula_12 e formula_13), formula_14, ed in generale formula_15 per ogni valore possibile formula_16.
A seconda del problema, il compito potrebbe essere quello di trovare una soluzione, o qualche soluzione, o tutte le soluzioni. L'insieme di tutte le soluzioni è detto insieme delle soluzioni. È anche possibile che l'obiettivo sia quello di trovare, tra le possibili, la soluzione migliore sotto qualche aspetto. Problemi di questo tipo sono chiamati problemi di ottimizzazione; risolvere un problema di ottimizzazione non è in genere chiamato "risoluzione di un'equazione".
Un'affermazione come" "un'equazione in formula_2 e formula_7"", o ""risolvere per formula_2 e formula_7"", significa che le incognite sono quelle indicate: in questo caso formula_2 e formula_7.
In un caso generale, abbiamo una situazione come:
dove formula_38 è una costante, che ha un insieme delle soluzioni formula_39 della forma:
dove formula_41 è il dominio della funzione. Si noti che l'insieme delle soluzioni può avere cardinalità arbitraria. Ad esempio:
Ad esempio, un'espressione come:
può essere risolto, per prima cosa si cerca di riscriverla in modo più leggibile matematica senza però modificare l'uguaglianza ad esempio possiamo portare tutto al primo membro sottraendo formula_46 da entrambi i lati dell'equazione ottenendo:
In questo caso particolare non vi è solo uno soluzione dell'equazione, ma un insieme infinito di soluzioni, che può essere scritto:
Una particolare soluzione è formula_49, formula_50, formula_51. In realtà, questo particolare insieme di soluzioni descrive un piano in tre dimensioni, che passa per il punto formula_52
se l'insieme delle soluzioni è vuoto, allora non ci sono formula_53 tali che:
diventa vera per un determinato formula_38.
Per esempio, esaminiamo il classico caso di una variabile, data una funzione:
Consideriamo l'equazione:
L'insieme soluzione è formula_43, in quanto nessun numero reale positivo risolve l'equazione. Tuttavia nel tentativo di trovare la soluzioni per l'equazione, se si modifica la definizione della funzione, più specificamente, della funzione del "dominio", siamo in grado di trovare la soluzioni a questa equazione. Quindi, se definiamo:
ha una serie di soluzioni formula_61, dove formula_62 è l'unità immaginaria. Questa equazione ha esattamente due soluzioni.
Abbiamo già visto che alcuni insiemi di soluzioni sono in grado di descrivere le superfici. Per esempio, nello studio della matematica elementare, si sa che l'insieme delle soluzioni di un'equazione in forma formula_63 con formula_16, formula_65, e formula_38 numeri reali a valori costanti, rappresenta una linea in uno spazio vettoriale formula_67 (cioè bidimensionale). Tuttavia, non sempre è facile rappresentare graficamente l'insiemi delle soluzioni.
Per esempio, la soluzione di un'equazione della forma formula_68 (con formula_16, formula_65, formula_38, formula_72, e formula_73 valori reali costanti) è un iperpiano formula_74.
I metodi per risolvere le equazioni, in generale, dipendono dal tipo di equazione, sia il tipo di espressioni nell'equazione che il tipo di valori che possono assumere le incognite. La varietà di tipi di equazioni è vasta, tanto quando i corrispondenti metodi risolutivi. Di seguito saranno trattati solo alcuni tipi specifici, un completo esame non è possibile.
In generale, data una classe di equazioni, può accadere che non esista un metodo sistematico (algoritmo) che garantisce la soluzione. Ciò può essere dovuto ad una mancanza di conoscenze matematiche, infatti alcuni problemi sono stati risolti solo dopo secoli di sforzo. Ma questo fa riflettere anche che, in generale, tale metodo non può esistere: alcuni problemi sono noti per essere irrisolvibili da un algoritmo, come il decimo problema di Hilbert, che è stato dimostrato irrisolvibile nel 1970.
Per le diverse classi di equazioni sono stati trovati algoritmi per risolverli, alcuni dei quali sono stati attuati e inseriti in sistemi di algebra computazionale, ma spesso richiedono solo "carta e penna". In altri casi, i metodi euristici conosciuti hanno spesso successo, ma non è garantito che portino al successo.
Se la soluzione di un'equazione è limitata, cioè è un insieme finito (come nel caso delle equazioni in aritmetica modulare, per esempio), o può essere limitata a un numero finito di possibilità (come nel caso di alcune equazioni diofantee), l'insieme delle soluzioni può essere trovato con la forza bruta, cioè verificando tutti i possibili valori e controllando se essi risolvono l'equazione. Può succedere, però, che il numero di possibilità da considerare, anche se finito, sia così grande che una ricerca con questo metodo è praticamente impossibile; su questa difficoltà si basano alcuni metodi di crittografia.
Come con tutti i tipi di problemi, procedere per tentativi ed errori può talvolta produrre una soluzione, in particolare quando la forma di un'equazione, o la sua somiglianza ad un'altra equazione nota (già risolta), possa portare ad un"'intuizione ispirata" della soluzione. Se un'intuizione, quando venga testata, non porta una soluzione, lo studio del modo in cui essa non funziona può portare ad una modifica e quindi alla soluzione.
Equazioni che coinvolgono semplici funzioni razionali o lineare, con una sola incognita appartenente al insieme dei reali, diciamo formula_2, come:
può essere risolta con metodi di algebra elementare, e applicando i principi di equivalenza.
I piccoli sistemi di equazioni lineari possono essere risolti con i metodi dell'algebra elementare. Per la risoluzione di sistemi di grandi dimensioni numeriche, gli algoritmi utilizzati si basano sull'algebra lineare.
I polinomi con grado minore al quinto possono essere risolte con metodi algebrici, tra cui ad esempio la formula quadratica è la più semplice. Equazioni polinomiali con un grado superiore al quinto richiedono metodi numerici (vedi sotto) o funzioni speciali come il trasporto di radicali.
Nelle equazioni diofantee le soluzioni devono appartenere ai numeri interi. In alcuni casi per risolverle può essere utilizzato un approccio mediante forza bruta, come indicato sopra. In altri casi, in particolare se l'equazione è ad una incognita, è possibile risolvere l'equazione per i valori razionali dell'incognita (vedi Teorema delle radici razionali), e quindi per trovare le soluzioni dell'equazione diofantea si limita la soluzione solo ai valori interi dell'insieme delle soluzioni. Ad esempio, l'equazione polinomiale
ha come soluzioni razionali formula_78 e formula_79, ma essendo un'equazione diofantea l'unica soluzione è formula_80.
Nel semplice caso di una funzione ad una variabile, per esempio, formula_81, possiamo risolvere un'equazione con la forma:
considerando che è nota la "funzione inversa" di formula_84.
Infatti, data una funzione formula_85, la funzione inversa (indicata con formula_86) e determinata da formula_87 è funzione tale che:
Ora, se applichiamo la funzione inversa a entrambi i membri della funzione:
otteniamo
e abbiamo trovato la soluzione dell'equazione. Tuttavia, a seconda della funzione, la funzione inversa può essere difficile da definire, o non può essere una funzione inversa se tutti i valori dell'insieme di formula_93 (o un sottoinsieme) non hanno un solo valore in formula_94.
Esempi di funzioni inverse includono la radice n-esima (l'inverso di formula_95), il logaritmo (l'inverso di formula_96), le funzioni trigonometriche inverse, e la funzione W di Lambert (l'inversa di formula_97).
Se il membro sinistro, cioè l'espressione formula_98, di un'equazione formula_99 può essere fattorizzato in formula_100, l'insieme delle soluzioni originale è costituito dall'unione della soluzione dei due insiemi di equazioni formula_101 e formula_102.Ad esempio, l'equazione goniometrica:
può essere riscritta in:
che può essere fattorizzata, utilizzando l'identità formula_105 (a condizione che i componenti siano definiti), diventando:
Le due equazioni formula_107 e formula_108 hanno l'identico insieme delle soluzioni
che è, quindi, la soluzione dell'equazione originale.
Con equazioni più complesse in reali o numeri complessi, i metodi semplici per risolvere l'equazioni possono fallire. Spesso, si può calcolare uno zero della funzione con metodi numerici come il metodo di Newton-Raphson che, per alcune applicazioni, può essere completamente sufficiente per risolvere certi problemi.
Un importante studio della matematica è volto ad esaminare se sia possibile generare qualche semplice funzione per approssimare un'equazione molto complessa ad punto dato. In effetti, polinomi in una o più variabili possono essere utilizzati per approssimare in questo modo le funzioni: queste sono note come serie di Taylor.
Le equazioni che coinvolgono matrici e vettori di numeri reali possono spesso essere risolte utilizzando metodi di algebra lineare.
C'è un vasto elenco di metodi per risolvere vari tipi di equazioni differenziali, sia numericamente che analiticamente. Un metodo per la ricerca di soluzioni analitiche a tempo indeterminato è l'algoritmo di Risch - che purtroppo è troppo complicato per l'uso con carta e penna.
