
In matematica, un sistema di riferimento cartesiano è un sistema di riferimento formato da "n" rette ortogonali, intersecantesi tutte in un punto chiamato "origine", su ciascuna delle quali si fissa un orientamento (sono quindi "rette orientate") e per le quali si fissa anche un'unità di misura (cioè si fissa una metrica di solito euclidea) che consente di identificare qualsiasi punto dell'insieme mediante "n" numeri reali. In questo caso si dice che i punti di questo insieme sono in uno spazio di dimensione "n".
Un sistema di riferimento cartesiano in due dimensioni viene chiamato piano cartesiano.
Per identificare la posizione di punti nello spazio fisico viene solitamente utilizzato un sistema di riferimento cartesiano a tre dimensioni. Tuttavia per descrivere la posizione di oggetti più complicati vengono utilizzati altri sistemi di riferimento non necessariamente cartesiani e un differente numero di dimensioni, dette in questo contesto gradi di libertà.
Usando un sistema di riferimento cartesiano, è possibile descrivere tramite equazioni algebriche forme geometriche come curve o superfici: i punti dell'oggetto geometrico sono quelli che soddisfano l'equazione associata. Per esempio è possibile descrivere una circonferenza nel piano cartesiano, oppure una quadrica nello spazio tridimensionale.
L'uso delle coordinate geometriche venne introdotto per la prima volta da Nicola d'Oresme, matematico del XIV secolo operante a Parigi. L'aggettivo "cartesiano" è riferito al matematico e filosofo francese René Descartes (italianizzato in " Renato Cartesio", latinizzato in " Renatus Cartesius") il quale, tra le altre cose, riprendendo gli studi di Nicola d'Oresme, lavorò sulla fusione dell'algebra con la geometria euclidea. Questi studi furono influenti nello sviluppo della geometria analitica, del calcolo infinitesimale e della cartografia.
L'idea di questo sistema di riferimento fu sviluppato nel 1637 in due scritti da Cartesio e, indipendentemente, da Pierre de Fermat, anche se Fermat non pubblicò la sua scoperta. Nella seconda parte del suo Discorso sul metodo, Cartesio introduce la nuova idea di specificare la posizione di un punto o di un oggetto su una superficie usando due rette che si intersecano in un punto come strumenti di misura, idea ripresa in "La Geometria" .
Un sistema di coordinate cartesiane ortogonale in due dimensioni è semplicemente chiamato piano cartesiano, ed è costituito da:
Il piano cartesiano, che viene spesso chiamato "xy" dal nome degli assi, può essere immaginato, pensando che il piano sia immerso orizzontalmente nello spazio fisico (pavimento), e mettendosi in piedi in un punto con il braccio sinistro teso in avanti e il braccio destro teso di lato in modo da formare con le due braccia un angolo retto: il punto sul quale si rappresenta l'origine, la direzione del braccio destro rappresenta l'asse delle ascisse positive (dalla parte opposta le ascisse negative), la direzione del braccio sinistro rappresenta l'asse delle ordinate positive (alle spalle le ordinate negative).
Il sistema costituito dalla coppia dei due assi orientati (e implicitamente dall'origine) consente di individuare ogni punto del piano con una coppia di numeri reali chiamati rispettivamente "ascissa" e "ordinata" del punto, i cui valori assoluti rappresentano le distanze del punto rispettivamente dall'asse y (ordinata) e dall'asse x (ascissa). Le coordinate di un punto generico del piano o di un punto che si pensa variabile spesso si denotano con formula_1 e formula_2. I punti sull'asse "x" hanno quindi ordinata "y"=0, mentre i punti sull'asse "y" hanno ascissa "x"=0; di conseguenza l'origine ha coordinate "x"=0 e "y"=0. Talora il sistema dei due assi si denota con formula_3.
Un generico punto si può quindi esprimere scrivendo formula_4
oppure formula_5. Ad esempio, i punti formula_6 e formula_7 hanno la stessa ascissa (quindi si trovano su una retta parallela all'asse "y"), mentre i punti formula_8 e formula_9 hanno la stessa ordinata (quindi si trovano su una retta parallela all'asse "x"). In particolare: se due punti hanno la stessa ascissa ma ordinate opposte sono simmetrici rispetto all'asse "x"; se due punti hanno la stessa ordinata ma ascisse opposte sono simmetrici rispetto all'asse "y"; se due punti hanno coordinate opposte sono simmetrici rispetto all'origine.
Il piano cartesiano viene suddiviso in quattro regioni denominate quadranti, indicate mediante numeri romani progressivi in senso antiorario:
Il piano cartesiano permette di rappresentare graficamente funzioni di due variabili del tipo formula_10 in cui x è la variabile indipendente e y la variabile dipendente. Ciò permette di visualizzare la "forma" di curve e risolvere graficamente sistemi di più equazioni come intersezioni tra le curve corrispondenti.
Per definizione, esiste una corrispondenza biunivoca fra i punti del piano cartesiano e le coppie ordinate di numeri reali. L'insieme di tutte le coppie di numeri reali, formula_11 è un formula_12-spazio vettoriale. La base canonica di formula_11 è formula_14 ove formula_15 ed formula_16. Gli elementi di E hanno un importante significato geometrico: sono i versori fondamentali sul piano, rispettivamente formula_17 e formula_18. Ciò vuol dire, per la definizione stessa di base di uno spazio vettoriale, che il piano cartesiano è generato dai versori fondamentali e che ogni punto del piano è esprimibile, "in modo unico", come combinazione lineare dei versori fondamentali (ciò giustifica l'espressione dei punti del piano cartesiano).
Si noti inoltre che ogni asse cartesiano è sottospazio vettoriale del piano cartesiano.
Aggiungendo una terza dimensione al piano otteniamo lo spazio euclideo tridimensionale, che è la modellizzazione a noi più familiare dello spazio fisico, e quella usata in meccanica classica: un sistema di assi cartesiani può quindi essere usato come sistema di riferimento per localizzare degli oggetti nello spazio, attribuendogli delle coordinate.
Essendo una diretta generalizzazione del piano cartesiano, un sistema di riferimento cartesiano tridimensionale è formato da tre rette orientate perpendicolari tra loro e incidenti in un punto, denominato origine degli assi. I tre assi (chiamati solitamente "x", "y" e "z") identificano tre piani nello spazio ("xy", "xz" e "yz"), che dividono lo spazio in otto "ottanti", simili ai quattro quadranti formati dagli assi cartesiani in due dimensioni. Ogni punto è identificato da 3 coordinate, che rappresentano ognuna la distanza del punto al piano formato dagli altri due.
Come nel caso del piano, ogni punto dello spazio tridimensionale può essere individuato da un vettore nello spazio tridimensionale (indicato come formula_19 e viene espresso come combinazione lineare dei tre versori di base, indicati convenzionalmente con formula_20, formula_21 e formula_22:
dove "x", "y" e "z" rappresentano proprio le coordinate nel punto nel sistema di riferimento formato dalla base formula_24.
Il piano cartesiano (e più in generale il sistema di riferimento cartesiano a "n" dimensioni) ha permesso di conciliare la geometria e l'algebra in un'unica branca della matematica: la "geometria analitica" (chiamata così dall'analisi matematica). Per esempio nel piano cartesiano una retta può essere espressa mediante un'equazione di primo grado a due variabili che rappresenta una funzione lineare del tipo ax+by=c; l'intersezione di due (o più) rette rappresenta un sistema di equazioni lineari.
Le equazioni di cui si è detto prima possono essere espresse in due forme: la forma esplicita e la forma implicita.
Nel caso ad esempio di una retta, la prima consiste un'equazione del tipo "y = mx + q", mentre la seconda si presenta come "ax + by + c = 0". Per passare dalla forma implicita a quella esplicita basta portare tutti i termini escluso "by" nel secondo membro e poi dividere per "b" ("principio di equivalenza delle equazioni"). Si noti che, nella forma esplicita, il termine noto q, detto intercetta o ordinata all'origine, indica l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse y, mentre il coefficiente dell'incognita x, m, è detto coefficiente angolare ed indica la "pendenza" della retta.
Naturalmente il passaggio dalla forma implicita a quella esplicita è possibile solo se il coefficiente b è diverso da zero, cioè solo se la retta non è parallela all'asse delle ordinate.
Dati due punti distinti formula_25 e formula_26, l'equazione della retta passante per quei punti è: formula_27 anche detta formula_28 dove formula_29 è il coefficiente angolare dato da formula_30


In matematica, la radice quadrata o radice con indice 2 di un numero formula_1 è un numero formula_2 tale che il suo quadrato sia formula_1, ovvero tale che formula_4. Ogni numero reale non negativo ha un'unica radice quadrata non negativa, chiamata radice quadrata principale, che viene rappresentata simbolicamente come formula_5 o, nella notazione esponenziale, come formula_6. Ogni numero reale maggiore di zero ha due radici quadrate distinte, quella principale e il suo opposto, ovvero formula_5 e formula_8.
Il concetto di radice quadrata può essere esteso ai numeri negativi nell'ambito dei numeri complessi. Più generalmente, il concetto di radice quadrata può essere esteso in qualunque contesto in cui sia ben definita la nozione di quadrato di un elemento.
Quando si sono definiti i numeri reali si può definire radice quadrata principale di un numero reale non negativo formula_9 ogni numero reale non negativo formula_1 tale che
formula_11.
Questo numero formula_1, del quale si dimostrano l'esistenza e l'unicità, si indica con la scrittura formula_13. Si osserva poi che anche l'opposto formula_14 soddisfa la precedente equazione quadratica [*]; inoltre entrambe le soluzioni di tale equazione sono notevoli, in quanto danno i due zeri della parabola di equazione formula_15. È dunque opportuno definire radice quadrata di un numero reale positivo formula_9 quel numero reale positivo formula_1 che soddisfi la [*]. Lo zero reale possiede due radici quadrate coincidenti; ciò lo colloca sullo stesso piano dei numeri reali positivi, sebbene lo zero si possa considerare l'unico limite delle due radici quadrate formula_1 e formula_14 del numero formula_9 al tendere a 0 di questo reale. Perciò, volendo semplificare, si può dire che lo zero reale possiede come radice quadrata solo se stesso.
Restringendo la ricerca della radice quadrata al dominio dei numeri interi positivi, si trova che solo alcuni numeri, detti quadrati perfetti, ammettono per radice quadrata principale un numero intero. Sono quadrati perfetti ad esempio, formula_21 che ha per radice il numero formula_22, e formula_23 che ha per radice formula_24; viceversa molti altri interi positivi, a cominciare da formula_22 e formula_26, non ammettono una radice intera.
Se ampliamo il dominio di ricerca ad includere i numeri razionali positivi, si trova che solo i numeri razionali che sono quadrati perfetti, ovvero che sono dati da frazioni con numeratore e denominatore entrambi quadrati perfetti, ammettono per radice principale un numero razionale positivo: 4/9 ammette per radice 2/3, ma 1/2 o 25/39 non ammettono radici razionali.
Si è quindi trovato che l'insieme dei numeri razionali presenta una limitazione operativa e si è sentita la necessità di ampliare il campo dei razionali ad un campo numerico nel quale si possa trovare una radice quadrata per ogni numero positivo.
Questo ha condotto alla introduzione dei numeri reali: se allarghiamo il dominio a questi numeri, ogni numero reale positivo (che in questo contesto viene chiamato radicando) possiede una radice quadrata dello stesso genere. È possibile dimostrare che un numero che sia la radice quadrata di un numero che non è un quadrato perfetto o una frazione il cui numeratore e denominatore sono ambedue quadrati perfetti è un numero irrazionale, cioè un numero non esprimibile come frazione ma rappresentabile con una scrittura decimale infinita non periodica. Ad esempio è irrazionale la radice quadrata di formula_22; in più, l'insieme di tutti gli interi positivi non quadrati perfetti è un sottoinsieme numerabile dei numeri reali, come pure quello dei razionali, mentre l'insieme degli irrazionali è non numerabile.
Si osserva poi che nessun numero reale negativo possiede una radice quadrata reale e questo ha contribuito (vedi anche Rafael Bombelli) all'introduzione dei numeri complessi. Quando si estende a queste entità la ricerca di radici quadrate, si trova che ogni numero complesso ammette due radici quadrate complesse, l'una essendo il numero opposto dell'altra. Particolarmente importanti sono le radici quadrate di formula_28 indicate con formula_29, detta unità immaginaria, e con formula_30. In generale si trova che il numero espresso in forma polare come
possiede due radici complesse date da
Per esprimere questi numeri complessi può essere conveniente estendere agli argomenti complessi la nozione di radice quadrata principale e la relativa notazione
in modo da poter dire ancora che le radici del numero complesso formula_9 sono
formula_35.
Le radici del numero complesso formula_36 coincidono con lo stesso formula_36 e a tale radice si attribuisce molteplicità formula_22.
La funzione radice quadrata principale ha una grande utilità, perché pone in corrispondenza l'insieme dei numeri reali non negativi formula_39 con se stesso; si individua scrivendo formula_5 o anche formula_41. Più precisamente questa endofunzione entro formula_42 è una biiezione crescente e continua.
L'equazione formula_43 ha solo due soluzioni, formula_36 e formula_45. In altre parole la funzione radice quadrata principale è una permutazione (cioè una endofunzione biiettiva) di formula_46 avente formula_47 come insieme dei punti fissi.
Per ogni due numeri reali positivi formula_1 e formula_2 si trovano subito le identità
Queste uguaglianze sono in sintonia con il fatto che la funzione radice quadrata fa corrispondere all'area di un quadrato la lunghezza del suo lato. Esse inoltre per formula_51 diventano
Queste uguaglianze implicano che per tabulare nella notazione decimale i valori assunti dalla funzione radice quadrata principale è sufficiente conoscere i suoi valori nell'intervallo formula_53.
Per ogni numero reale formula_1 si trova che
Si supponga che formula_1 e formula_57 siano reali e che formula_58, e che si voglia ottenere la formula_1. Un errore comune consiste nell'estrarre la radice quadrata e dedurre che formula_60. Questo non è lecito, in quanto la radice quadrata principale di formula_61 non è formula_1, ma il valore assoluto formula_63, come dice l'uguaglianza precedente. Non commettendo questo errore si potrebbe concludere che formula_64, o equivalentemente formula_65.
L'uguaglianza che segue è utile in molti passi del calcolo infinitesimale, ad esempio per dimostrare che la funzione radice quadrata è continua e differenziabile, o per calcolare certi limiti:
valida per tutte le coppie di interi non negativi formula_1 e formula_2 che non sono entrambi zero.
La funzione formula_69 ha il seguente grafico, ottenibile da una metà di parabola avente come asse l'asse delle formula_1.
Questa funzione, continua per tutti gli formula_1 non negativi, è differenziabile per tutti gli formula_1 positivi, ma non è differenziabile per formula_73, poiché la pendenza della tangente nel corrispondente punto tende a formula_74).
La derivata della funzione è data da
La serie di Taylor di formula_76 in un intorno di formula_73 si può ottenere servendosi del teorema binomiale:
per formula_79.
Il problema dell'estrazione della radice quadrata può porsi anche in un generico anello e in altre strutture di genere algebrico nelle quali si definisce un prodotto.
In particolare si definisce radice quadrata di una matrice quadrata formula_80 su un campo ogni matrice formula_81 con lo stesso dominio tale che sia formula_82. Nel caso delle matrici formula_83 la ricerca della matrice radice quadrata si riconduce alla soluzione di un sistema di quattro equazioni di secondo grado in quattro incognite. Infatti l'equazione nelle incognite formula_84, formula_85, formula_1 e formula_2
equivale al sistema
In particolare una matrice diagonale formula_83 a valori reali
con formula_57 e formula_93 positivi possiede le quattro le radici quadrate date dall'espressione
Si può definire anche la radice quadrata di un linguaggio formale, in relazione al prodotto di giustapposizione, prodotto non commutativo e associativo. Ad esempio, se formula_57 è un carattere, il linguaggio formula_96 possiede come unica radice quadrata il linguaggio formula_97 e il linguaggio formula_98 possiede come unica radice quadrata il linguaggio formula_99; ogni linguaggio finito con più di una stringa non possiede invece alcuna radice quadrata.
