
In analisi matematica un'equazione differenziale è un'equazione che lega una funzione incognita alle sue derivate: se la funzione è di una sola variabile e l'equazione presenta soltanto derivate ordinarie viene detta equazione differenziale ordinaria; se invece la funzione è a più variabili e l'equazione contiene derivate parziali della funzione stessa è detta equazione alle derivate parziali.
Lo studio delle equazioni differenziali ha inizio in seguito all'introduzione del calcolo infinitesimale da parte di Newton e Leibniz nel diciassettesimo secolo. Nel secondo capitolo del suo testo del 1671 "Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum", Isaac Newton focalizza il discorso su tre tipologie di equazioni differenziali di primo grado, di cui due ordinarie:
e una con derivate parziali:
Ne risolve inoltre un esempio per ognuna delle tipologie, esprimendo il termine non derivato come serie di potenze e ponendo che abbiano come soluzione delle serie infinite, di cui nota che i coefficienti possono essere scelti in maniera arbitraria producendo così un'infinità di soluzioni particolari.
Un importante contributo alle equazioni ordinarie fu dato dai fratelli Jacob e Johann Bernoulli. Nel 1695 Jacob Bernoulli si occupa dell'equazione oggi nota come equazione differenziale di Bernoulli:
per la quale Leibniz, l'anno successivo, ottiene delle soluzioni semplificandola ad un'equazione lineare. L'anno successivo il fratello Johann si occupa invece del problema della curva brachistocrona.
Un altro importante problema meccanico, quello della corda vibrante, viene inoltre incluso negli studi di Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, e Joseph-Louis Lagrange. Nel 1746, d'Alembert affronta l'equazione delle onde monodimensionale:
e successivamente Eulero introduce il caso tridimensionale.
A partire dal 1750 fu poi sviluppata l'equazione di Eulero-Lagrange da parte di Eulero e Lagrange, che è alla base della meccanica lagrangiana.
Un altro importante testo è "Théorie analytique de la chaleur" del 1822, in cui Fourier espone l'equazione del calore.
Le equazioni differenziali sono tra le equazioni più studiate in matematica, avendo un ruolo fondamentale nella controparte matematica di moltissimi ambiti della scienza e dell'ingegneria. Possono descrivere, per esempio, una situazione generale in cui una certa quantità formula_5 varia rispetto al tempo in una maniera che dipende dal valore della quantità stessa in quel momento: ciò corrisponde al fatto che nell'equazione compare sia la funzione incognita formula_5 che la sua derivata rispetto al tempo formula_7. Nel caso più semplice compare solo la derivata:
e l'equazione viene risolta utilizzando il teorema fondamentale del calcolo integrale. Le sue soluzioni hanno cioè la forma:
dove formula_10 è costante e formula_11 è la primitiva di formula_12:
Si tratta tuttavia di relazioni di cui è raramente possibile avere una forma analitica della soluzione, o una sua espressione in termini di funzioni elementari, ma vengono piuttosto studiate l'esistenza e l'unicità delle soluzioni e il loro comportamento in contesti di particolare interesse, solitamente in relazione alla situazione di un sistema fisico descritto dall'equazione differenziale. L'insieme di tutte le soluzioni di un'equazione differenziale è detto "integrale generale" dell'equazione differenziale data.
Lo studio delle equazioni differenziali, come avviene spesso in matematica, è stato fortemente influenzato dall'esigenza di analizzare problemi concreti; coinvolge poi diversi ambiti, come l'algebra lineare, l'analisi numerica e l'analisi funzionale. 
Data una funzione formula_14 definita in un intervallo formula_15 dell'insieme dei numeri reali, l'equazione differenziale ad essa associata è un'equazione differenziale ordinaria (abbreviato con ODE, acronimo di "Ordinary Differential Equation") e si chiama "ordine" o "grado" dell'equazione il più alto ordine tra gli ordini delle derivate presenti nell'equazione. La scrittura generale di un'equazione differenziale ordinaria di ordine formula_16 per una funzione formula_17 può avere la forma:
dove formula_19 sono le derivate di formula_20 fino all'ordine formula_16. Se formula_5 è lineare, l'equazione è lineare. Per esempio, l'equazione differenziale di primo grado:
viene soddisfatta dalla funzione esponenziale formula_24, che è uguale alla propria derivata.
Nel caso in cui la funzione incognita formula_20 dipende da più variabili, le derivate sono derivate parziali e si ha un'equazione differenziale alle derivate parziali (abbreviato con PDE, da "Partial Differential Equation"). Una PDE di ordine formula_26 per la funzione formula_27 ha la forma:
dove formula_26 è un numero intero e la funzione formula_5 è data. Esempi particolarmente importanti di equazioni (lineari) alle derivate parziali sono l'equazione delle onde, l'equazione del calore, l'equazione di Poisson, l'equazione del trasporto, l'equazione di continuità, o l'equazione di Helmholtz.
Per esempio, l'equazione:
afferma che formula_32 è indipendente da formula_33, e non avendo nessuna informazione sulla dipendenza da formula_34 ha soluzione generale:
dove formula_5 è una funzione arbitraria di formula_34. L'equazione ordinaria:
ha invece soluzione formula_39 con formula_40 costante.
Le equazioni differenziali vengono analizzate conferendo un preciso valore ad alcune delle variabili in gioco, in particolare la funzione incognita e le sue derivate (fino all'ordine formula_41 per un'equazione in forma normale di ordine formula_42) in certi punti del dominio di definizione dell'equazione. Il problema differenziale che ne risulta è detto "problema di Cauchy"; consiste solitamente nel porre delle condizioni iniziali o delle condizioni al contorno per gli estremi del dominio in cui è definita l'equazione.
Nel caso l'equazione sia definita su una superficie, fornire le condizioni al contorno consiste nel dare il valore della funzione sulla frontiera o della sua derivata rispetto alla direzione normale alla frontiera. Tale assegnazione viene detta condizioni al contorno di Cauchy, e corrisponde ad imporre sia le condizioni al contorno di Dirichlet (i valori che la soluzione assume sul bordo della superficie) che le condizioni al contorno di Neumann (i valori della derivata della soluzione).
Per le equazioni ordinarie il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy stabilisce che per un problema:
esiste una sola funzione formula_44 che soddisfa tutte le relazioni se formula_45 è sufficientemente regolare, ad esempio se è differenziabile in un intorno di formula_46.
Per un'equazione alle derivate parziali di ordine formula_42 definita su formula_48 le condizioni iniziali sono date dal valore dell'incognita e delle sue derivate fino all'ordine formula_41 su una varietà liscia formula_50 di dimensione formula_51, detta talvolta "superficie di Cauchy". Il problema di Cauchy consiste, nello specifico, nel trovare la funzione formula_20 soluzione della PDE che soddisfa:
dove formula_55 sono funzioni date definite sulla superficie formula_56 e la derivata formula_57 è calcolata rispetto alla direzione formula_58 del versore normale a formula_56.
Il teorema di Cauchy-Kovalevskaya, che si applica sia per le equazioni alle derivate parziali che per quelle ordinarie, stabilisce che se l'incognita e le condizioni iniziali di un'equazione differenziale sono localmente funzioni analitiche allora una soluzione analitica esiste ed è unica.
Data una generica equazione ordinaria:
è lineare se:
Un'equazione ordinaria lineare si può scrivere come:
Se formula_63 sono fattori costanti l'equazione si risolve trovando una soluzione all'equazione omogenea associata:
alla quale si somma una soluzione particolare dell'equazione completa, ottenibile ad esempio con il metodo delle variazioni delle costanti. Per ogni equazione ordinaria lineare omogenea (anche a coefficienti non costanti) vale inoltre il principio di sovrapposizione: se formula_65 e formula_66 sono soluzioni, allora lo è anche ogni loro combinazione lineare formula_67, con formula_68 e formula_69 costanti.
Un'equazione differenziale alle derivate parziali può essere invece lineare, semilineare, quasilineare o totalmente non lineare. L'equazione si dice lineare se ha la forma:
per opportune funzioni formula_71 ed formula_72, dove formula_73 è la derivazione di ordine formula_74 rispetto ad una o più variabili. Se formula_75 l'equazione si dice "omogenea".
Si dice semilineare se ha la forma:
quasilineare se ha la forma:
e totalmente non lineare se dipende non-linearmente dal più alto grado di derivazione.
Le equazioni che non sono lineari sono spesso molto difficili da affrontare, ed in molti casi si cercano metodi per linearizzarle.
Una classe di equazioni alle derivate parziali di cui si trovano frequentemente soluzioni analitiche, e che sono ampiamente utilizzate in fisica ed ingegneria, sono le equazioni lineari del secondo ordine, ovvero del tipo:
Supponendo che formula_79, formula_80 e formula_81 non siano tutti nulli, i termini con le derivate seconde definiscono una forma quadratica nel punto formula_82:
alla quale si associa la matrice simmetrica:
L'equazione nel punto formula_82 si dice:
Le equazioni a coefficienti costanti sono iperboliche, ellittiche o paraboliche in tutti i punti del loro dominio, ed in tal caso si parla rispettivamente di "equazione iperbolica", "equazione ellittica" o "equazione parabolica". Ad esempio l'equazione di Poisson (e la sua versione omogenea, l'equazione di Laplace) è ellittica, l'equazione del calore è parabolica, e l'equazione delle onde è iperbolica.
Le equazioni a coefficienti non costanti possono tuttavia presentare un carattere "misto", cioè possono essere iperboliche in alcune regioni del dominio ed ellittiche o paraboliche in altre. Ad esempio l'equazione di Eulero-Tricomi:
è ellittica nella regione formula_93, iperbolica nella regione formula_94 e parabolica degenere sulla retta formula_95.
Un esempio elementare di come le equazioni differenziali possano emergere naturalmente nello studio dei sistemi è il seguente: si supponga di avere una popolazione di batteri composta inizialmente da formula_96 individui e sia formula_97 la popolazione al tempo formula_98. È ragionevole aspettarsi che, in media, in ogni istante formula_98 dopo un tempo relativamente piccolo formula_100 nasca una quantità di nuovi individui proporzionale alla popolazione e al tempo trascorso formula_100, cioè pari a formula_102, dove formula_16 è un numero (che si suppone costante) che individua il tasso di natalità. Analogamente è ragionevole aspettarsi che muoiano formula_104 individui nello stesso intervallo di tempo, essendo formula_105 il tasso (costante) di mortalità. La popolazione al tempo formula_106, quindi, sarà data dalla popolazione al tempo formula_98 a cui si aggiunge la popolazione appena nata e si sottrae quella morta, ovvero:
Quindi si ha che:
Si può riconoscere nell'espressione a primo membro il rapporto incrementale della funzione formula_97; se formula_100 è molto piccolo, tale rapporto verrà sostituito con la derivata formula_112 e si scriverà:
Questa è un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine. Risolvere questa equazione significa determinare l'andamento nel tempo della popolazione, cioè la funzione formula_97. Si sta cercando quindi una funzione che sia dimensionalmente sommabile alla sua derivata prima, ovvero la funzione esponenziale (la cui derivate sono la funzione stessa per una costante):
dove formula_116 e formula_26 sono costanti. Imponendo di rispettare il vincolo formula_118 si ha:
Si tratta di una funzione esponenziale che cresce nel tempo se formula_120, cioè se la natalità è maggiore della mortalità, e decresce fino ad annullarsi velocemente se formula_121. Il modello che si è esaminato è particolarmente semplificato; in generale il tasso di crescita non è semplicemente proporzionale alla popolazione presente con una costante fissa di proporzionalità: è ragionevole aspettarsi ad esempio che le risorse a disposizione siano limitate ed insufficienti a soddisfare una popolazione arbitrariamente grande. Si possono considerare, inoltre, situazioni più complicate come quella in cui ci siano più popolazioni che interagiscono tra loro, come ad esempio prede e predatori nel modello di Volterra-Lotka.
Solitamente non è possibile trovare soluzioni esatte per le equazioni differenziali. Invece che trovare un'espressione analitica di una funzione che soddisfi l'equazione si è spesso limitati a studiarne l'esistenza e l'andamento qualitativo, oppure se ne determinano soluzioni approssimate servendosi di computer in grado di effettuare approssimazioni tramite metodi di calcolo numerici. Nel corso dei secoli sono tuttavia stati trovati diversi casi in cui è possibile ricavare l'espressione analitica di funzioni che sono soluzione di un'equazione differenziale, così come sono stati sviluppati molti strumenti di vario tipo per la ricerca di tali soluzioni: per affrontare le equazioni ordinarie si può ricorrere ad esempio all'utilizzo di un fattore di integrazione, del metodo delle differenze finite, del metodo delle variazioni delle costanti e diversi altri metodi di soluzione analitica e numerica.
Per quanto riguarda le equazioni alle derivate parziali, non vi è una teoria generale per analizzarle, ma vi sono casi in cui è possibile trovare una soluzione unica che dipende in modo continuo dai dati forniti dal problema. Tali soluzioni sono dette "classiche", e si distinguono da soluzioni deboli o generalizzate. Tra i molti metodi utilizzati per studiare le PDE vi è il metodo delle caratteristiche, l'utilizzo della funzione di Green, diverse trasformate integrali o il metodo di separazione delle variabili.
Accade inoltre spesso che si identificano classi di funzioni caratterizzate dal fatto che soddisfano alcune importanti equazioni differenziali, e per tale motivo godono di proprietà particolari che le rendono di notevole interesse. Ad esempio le onde, che soddisfanno l'equazione delle onde, le funzioni armoniche, che soddisfano l'equazione di Laplace, e le funzioni speciali, tra cui le funzioni ipergeometriche che soddisfano l'equazione ipergeometrica, oppure le funzioni di Struve, le funzioni di Anger e le funzioni di Weber che soddisfano le equazioni di Bessel.
Le soluzioni numeriche sono degli algoritmi che permettono di approssimare la soluzione del sistema di equazioni differenziali che costituiscono il "modello matematico" del sistema. Questi algoritmi sono alla base dei software di simulazione come MATLAB/Simulink ed in linea generale possono risolvere anche problemi che non ammettono soluzioni in forma chiusa.


Un'equazione (dal latino "aequatio") è una uguaglianza matematica tra due espressioni contenenti una o più variabili, dette "incognite". L'uso del termine risale a Leonardo Fibonacci.
Se un'equazione ha formula_1 incognite, allora ogni formula_1-upla (ordinata) di elementi che sostituiti alle corrispondenti incognite rendono vera l'uguaglianza è una "soluzione" dell'equazione. Risolvere un'equazione significa individuare l'insieme di tutte le sue soluzioni.
Il "dominio" (o "insieme di definizione") delle variabili incognite è l'insieme degli elementi per cui le espressioni ad ambo i membri dell'equazione sono definite, ovvero quell'insieme di numeri per cui l'equazione esiste. L'insieme delle soluzioni è condizionato dal dominio: per esempio l'equazione
non ammette soluzioni se il dominio è l'insieme dei numeri razionali, mentre ammette due soluzioni nei numeri reali, che possono essere scritte come formula_4. Analogamente, l'equazione
non possiede soluzioni reali ma è risolvibile se il dominio è il campo dei numeri complessi.
Due equazioni si dicono "equivalenti" se i rispettivi insiemi delle soluzioni coincidono. Vi sono due principi che consentono di manipolare le equazioni per trovare l'insieme delle soluzioni; essi sono una conseguenza diretta delle proprietà delle uguaglianze:
Tipicamente in un'equazione compaiono, oltre alle incognite, dei coefficienti noti che moltiplicano le incognite stesse e dei termini noti che sono ad esse applicati tramite somma algebrica: questi elementi, se non sono esplicitati nel loro valore numerico, sono indicati in genere con le lettere formula_13, formula_14, formula_15... mentre alle variabili incognite sono convenzionalmente attribuite le ultime lettere dell'alfabeto (formula_16, formula_17, formula_18...).
Le soluzioni di un'equazione vengono generalmente indicate esplicitando le incognite delle espressioni che contengano le costanti ed eventuali parametri arbitrari. Ad esempio, la soluzione dell'equazione
dove formula_13 è un parametro non nullo, e il dominio è l'insieme dei numeri reali, si scrive come
Un'equazione si dice:
Dal teorema fondamentale dell'algebra, segue immediatamente che un'equazione polinomiale (cioè formata da un polinomio uguagliato a zero, in una variabile) di grado formula_1 ammette sempre formula_1 soluzioni nel campo complesso, di cui alcune possono essere multiple. In altre parole, un'equazione di grado formula_1 ammette almeno formula_25 soluzione e al massimo formula_1 soluzioni complesse differenti.
Per il teorema di Abel-Ruffini, non esiste una formula generale per esprimere le radici delle equazioni polinomiali di grado formula_27 o superiore tramite una formula per radicali. Viceversa le equazioni di primo grado, secondo grado, terzo grado e quarto grado ammettono una formula risolutiva generica. Casi particolari di equazioni di grado superiore al quarto possono comunque essere risolti tramite radicali.
Il metodo delle tangenti di Newton, sotto determinate ipotesi, fornisce un algoritmo per la risoluzione numerica delle equazioni. Un altro algoritmo con ipotesi più generali è il metodo di bisezione. Le soluzioni trovate mediante metodi numerici vengono chiamate "approssimate" in contrapposizione alle soluzioni date da formule chiuse che vengono chiamate "esatte". La nomenclatura è in parte fuorviante perché i metodi approssimati possono, in alcuni casi, determinare in maniera più precisa e più veloce le soluzioni numeriche di una equazione rispetto alle formule chiuse.
Una prima classificazione delle equazioni può avvenire in questo modo:
Le equazioni algebriche possono essere divise in vari gruppi in base alle loro caratteristiche; è necessario ricordare che un'equazione deve appartenere ad almeno e solo una delle categorie per ogni gruppo.
In base al grado del polinomio:
Possono inoltre essere divise in base alla presenza di incognite al radicando di radici:
Si definisce "equazione omogenea", un'equazione algebrica in più variabili i cui termini hanno tutti lo stesso grado. Un'equazione omogenea ammette sempre la soluzione banale con tutte le variabili uguali a formula_28 e, su un campo algebricamente chiuso, ammette sempre infinite soluzioni, infatti da ogni soluzione se ne ottengono infinite altre alterandole per un fattore di proporzionalità. Ad esempio:
ha per soluzioni, sul campo dei numeri complessi la coppia formula_30 e formula_31 e la coppia formula_32 e formula_33 con formula_34 e formula_35 numeri complessi qualsiasi.
Non è vero su un campo non algebricamente chiuso, infatti l'equazione omogenea
ammette come unica soluzione, sul campo dei numeri reali, la coppia formula_37 e formula_38.
Le equazioni trascendenti coinvolgono almeno un'incognita come argomento di una funzione non polinomiale. Le più comuni categorie di equazioni trascendenti sono:
Le equazioni con valori assoluti contemplano oltre le incognite la presenza del valore assoluto di espressioni algebriche o trascendenti. Possiamo aver quindi:
Le equazioni funzionali hanno almeno un'incognita che è una funzione. Le più comuni categorie di equazioni funzionali sono:
In base alla presenza di altre espressioni letterali tutte le equazioni possono essere divise in:
