
In matematica, in particolare nel calcolo vettoriale, il prodotto scalare è un'operazione binaria che associa ad ogni coppia di vettori appartenenti ad uno spazio vettoriale definito sul campo reale un elemento del campo. Si tratta di un prodotto interno sul campo reale, ovvero una forma bilineare simmetrica definita positiva a valori reali. Essendo un prodotto puramente algebrico non può essere rappresentato graficamente come vettore unitario.
La nozione di prodotto scalare è generalizzata in algebra lineare dallo spazio euclideo ad uno spazio vettoriale qualsiasi: tale spazio può avere dimensione infinita ed essere definito su un campo arbitrario (non necessariamente quello reale). Questa generalizzazione è di fondamentale importanza ad esempio in geometria differenziale e in meccanica razionale. Aggiungendo un'ulteriore proprietà, la completezza, porta inoltre al concetto di spazio di Hilbert, per il quale la teoria si arricchisce di strumenti più sofisticati, basilari nella modellizzazione della meccanica quantistica e in molti campi dell'analisi funzionale.
Si definisce prodotto scalare sullo spazio vettoriale formula_1 una forma bilineare simmetrica che associa a due vettori formula_2 e formula_3 di formula_1 uno scalare nel campo reale formula_5, generalmente indicato con formula_6 o formula_7.
Si tratta di un operatore binario che verifica le seguenti condizioni per formula_2, formula_3, formula_10 vettori arbitrari e formula_11 elemento del campo:
Diversi autori richiedono anche che la forma sia "definita positiva", cioè che:
per ogni formula_2 diverso da zero.
Le precedenti richieste implicano anche le seguenti proprietà:
e dal momento che un vettore moltiplicato per 0 restituisce il vettore nullo, segue che:
Il prodotto scalare è "degenere" se esiste un vettore formula_2 non nullo ortogonale a tutti i vettori, cioè tale che:
per ogni vettore formula_3 dello spazio.
Un prodotto scalare su uno spazio vettoriale formula_1 è definito positivo se:
definito negativo se:
semi-definito positivo:
semi-definito negativo se:
Un prodotto scalare semi-definito positivo è (raramente) chiamato anche "prodotto pseudoscalare".
Il prodotto scalare di due vettori formula_28 e formula_29 del piano, applicati sullo stesso punto, è definito come:
dove formula_31 e formula_32 sono le lunghezze di formula_28 e formula_29, e formula_35 è l'angolo tra i due vettori. Il prodotto scalare si indica come formula_36, e soddisfa le proprietà algebriche di simmetria:
per ogni coppia di vettori formula_28 e formula_29, e di bilinearità:
per ogni tripletta di vettori formula_28, formula_29, formula_46 e per ogni numero reale formula_47. Le prime due relazioni esprimono la "linearità a destra" e le altre due "a sinistra".
Il prodotto scalare di un vettore con se stesso è sempre maggiore o uguale a zero:
Inoltre, questo è zero se e solo se il vettore è zero (proprietà di annullamento del prodotto scalare):
Questa proprietà può essere espressa affermando che il prodotto scalare è definito positivo.
Poiché formula_50 è la lunghezza della proiezione ortogonale di formula_28 su formula_29, si può interpretare geometricamente il prodotto scalare come il prodotto delle lunghezze di questa proiezione e di formula_29. Si possono inoltre scambiare i ruoli di formula_28 e formula_29, interpretare formula_56 come la lunghezza della proiezione di formula_29 su formula_28 ed il prodotto scalare come il prodotto delle lunghezze di questa proiezione e della lunghezza di formula_28.
Il coseno di un angolo formula_35 è positivo se formula_35 è un angolo acuto (cioè compreso fra -90° e 90°), nullo se formula_35 è un angolo retto e negativo se è un angolo ottuso. Ne segue che il prodotto scalare formula_36 è:
I casi in cui formula_35 è acuto ed ottuso sono mostrati in figura. In entrambi i casi il prodotto scalare è calcolato usando l'interpretazione geometrica, ma il segno è differente.
In particolare, valgono inoltre le proprietà seguenti:
Se formula_28 e formula_29 sono versori, cioè vettori di lunghezza 1, il loro prodotto scalare è semplicemente il coseno dell'angolo compreso.
Il prodotto scalare di un vettore formula_28 con se stesso formula_83 è il quadrato della lunghezza formula_31 del vettore.
Nella fisica classica, il prodotto scalare è usato nei contesti in cui si debba calcolare la proiezione di un vettore lungo una determinata componente. Ad esempio, il lavoro formula_85 compiuto da una forza costante formula_86 su un corpo che si sposti in direzione formula_10 è il prodotto scalare:
dei due vettori.
Il teorema del coseno può essere formulato agevolmente usando il prodotto scalare. Dati tre punti formula_89, formula_90, formula_91 qualsiasi del piano, vale la relazione seguente:
Il prodotto scalare è definito in geometria analitica in modo differente: si tratta della funzione che, in un qualsiasi spazio euclideo associa a due vettori formula_93 e formula_94 il numero:
dove formula_96 denota una sommatoria.
Ad esempio, il prodotto scalare di due vettori tridimensionali [1, 3, −2] e [4, −2, −1] è [1, 3, −2]·[4, −2, −1] = 1×4 + 3×(−2) + (−2)×(−1) = 0.
In questo modo è possibile "definire" l'angolo formula_35 compreso fra due vettori in un qualsiasi spazio euclideo, invertendo la formula data sopra, facendo cioè dipendere l'angolo dal prodotto scalare e non viceversa:
Spesso il prodotto scalare fra formula_28 e formula_29 si indica anche come formula_101 o come formula_102. Utilizzando il prodotto tra matrici e considerando i vettori come matrici formula_103, il prodotto scalare canonico si scrive anche come:
dove formula_105 è la trasposta di formula_106. L'esempio visto sopra si scrive quindi in notazione matriciale nel modo seguente:
L'equivalenza fra le due definizioni può essere verificata facendo uso del teorema del coseno. Nella forma descritta sopra, il teorema asserisce che il prodotto scalare di due vettori formula_28 e formula_29 nel piano, definito in modo geometrico, è pari a:
Ponendo formula_111 e formula_112 ed usando il teorema di Pitagora si ottiene:
L'equivalenza in uno spazio euclideo di dimensione arbitraria può essere verificata in modo analogo.
Il prodotto scalare riveste fondamentale importanza sia in fisica che in vari settori della matematica, ad esempio nella classificazione delle coniche, nello studio di una funzione differenziabile intorno ad un punto stazionario, delle trasformazioni del piano o nella risoluzione di alcune equazioni differenziali. Spesso in questi contesti viene fatto uso del teorema spettrale, un importante risultato connesso al prodotto scalare.
Nel piano cartesiano il prodotto scalare permette di definire e trattare la nozione geometrica di lunghezza di un vettore. Tale concetto può essere esteso ad uno spazio vettoriale di dimensione arbitraria introducendo un concetto analogo: la norma. Formalmente, se formula_114 ed il prodotto scalare è definito positivo, è possibile dotare lo spazio vettoriale di una norma. Più precisamente, la funzione:
soddisfa per ogni vettore formula_116, formula_117 e per ogni scalare formula_47 le proprietà:
e dunque rende lo spazio vettoriale uno spazio normato.
In modo analogo alla matrice associata ad una applicazione lineare, fissata una base formula_123, un prodotto scalare formula_124 è identificato dalla matrice simmetrica associata formula_125, definita nel modo seguente:
formula_126
D'altro canto, ogni matrice simmetrica dà luogo ad un prodotto scalare. Molte proprietà del prodotto scalare e della base possono essere lette sulla matrice associata.
Fissata la matrice formula_127, per ogni coppia di vettori colonna formula_128 il prodotto scalare è definito dalla legge 
formula_129
Dove formula_130 è il vettore riga formula_131 trasposto.
La matrice scritta rispetto ad una base ortonormale di un certo prodotto scalare è la matrice identità; se la base è ortogonale ma non normalizzata, invece, la matrice sarà semplicemente diagonale.
Il "radicale" di un prodotto scalare è l'insieme dei vettori formula_132 per cui:
per ogni formula_134. Il radicale è un sottospazio vettoriale di formula_1. Il prodotto scalare si dice "degenere" se il radicale ha dimensione maggiore di zero.
Se formula_1 ha dimensione finita e formula_125 è la matrice associata a formula_124 rispetto ad una qualsiasi base, applicando il teorema della dimensione si trova facilmente che:
dove formula_140 è il rango di formula_125 e formula_142 è il radicale. Quindi un prodotto scalare è non degenere se e solo se la matrice associata è invertibile. Si definisce il "rango" del prodotto scalare come formula_140.
Un prodotto scalare definito positivo o negativo è necessariamente non degenere. Non è vero il contrario, infatti il prodotto scalare associato rispetto alla base canonica alla matrice:
non è degenere, ma non è né definito positivo né definito negativo.
Un vettore formula_2 è "isotropo" se formula_146 = 0. Tutti i vettori del radicale sono isotropi, ma possono esistere vettori isotropi che non appartengono al radicale. Ad esempio, per il prodotto scalare associato alla matrice formula_89 descritta sopra il vettore formula_148 è isotropo ma non è contenuto nel radicale, che ha dimensione zero.
Due vettori formula_2 e formula_3 si dicono ortogonali se formula_151. Il sottospazio ortogonale a formula_152 (sottospazio vettoriale di formula_1 ) è definito come:
Il sottospazio ortogonale è appunto un sottospazio vettoriale di formula_1. Contrariamente a quanto accade con il prodotto canonico nello spazio euclideo, un sottospazio ed il suo ortogonale non si intersecano in generale in un punto solo (possono addirittura coincidere). Per quanto riguarda le loro dimensioni, vale la seguente disuguaglianza:
Se il prodotto scalare è non degenere, vale l'uguaglianza
Infine, se il prodotto scalare è definito positivo o negativo, effettivamente uno spazio e il suo ortogonale si intersecano solo nell'origine e sono in somma diretta. Si ottiene:
Una base ortogonale di vettori di formula_1 è una base di vettori a due a due ortogonali. Una base è ortogonale se e solo se la matrice associata al prodotto scalare rispetto a questa base è diagonale.
Una trasformazione ortogonale è una applicazione lineare invertibile formula_160 in sé che preserva il prodotto scalare, cioè tale che:
Se formula_114 è il campo dei numeri reali e formula_1 ha dimensione "n", il teorema di Sylvester reale afferma che, dato un prodotto scalare formula_124 su formula_1, si ha che:
Quindi la matrice associata è una matrice diagonale avente sulla diagonale solo i numeri 0, 1, e -1, in ordine sparso. Siano formula_170, formula_171 e formula_172 rispettivamente il numero di volte che compaiono i numeri 0, 1 e -1 sulla diagonale: la terna formula_173 è la segnatura del prodotto scalare.
La segnatura è un invariante completo per l'isometria: due spazi vettoriali con prodotto scalare sono isometrici se e solo se hanno la stessa segnatura.
Il teorema di Sylvester complesso dice invece che esiste sempre una base ortogonale formula_174 tale che per ogni formula_175 il numero formula_176 è uguale a 0 oppure 1. In questo caso, il rango è un invariante completo per l'isometria: due spazi vettoriali complessi con prodotto scalare sono isometrici se e solo se hanno lo stesso rango.
Un endomorfismo formula_160 è simmetrico o "autoaggiunto" rispetto al prodotto scalare se:
per ogni coppia di vettori formula_179. Un endomorfismo è simmetrico se e solo se la matrice associata rispetto ad una qualsiasi base ortonormale è simmetrica.


In matematica, un numero è un modo di esprimere una quantità, oppure la posizione in un elenco di elementi, oppure il rapporto tra grandezze dello stesso tipo. Il concetto di numero nasce per la necessità del conteggio, come astrazione del concetto di quantità, realizzato attraverso una corrispondenza biunivoca tra elementi di due insiemi distinti.
Si definisce operazione numerica una procedura che, a partire da uno o più numeri, genera un altro numero. Le operazioni numeriche fondamentali (dette anche "operazioni aritmetiche") sono: l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione. Lo studio delle proprietà di queste operazioni è parte dell'algebra elementare.
Un insieme di numeri è frequentemente espresso attraverso il concetto di campo.
Un numero che esprime la dimensione di un insieme di elementi, così come un numero che identifica la posizione in una successione di oggetti, è detto numero naturale. La necessità di esprimere una grandezza in relazione ad un'altra grandezza ha reso necessaria l'introduzione di altre classi di numeri, come i numeri razionali ed i numeri reali. L'esigenza di rappresentare il numero ottenuto attraverso un'operazione matematica, infine, ha giustificato l'utilizzo di ulteriori classi di numeri come, ad esempio, i numeri algebrici.
Durante la storia della matematica sono stati definiti diversi insiemi numerici. Tra questi i numeri naturali, che sono:
I numeri naturali (il cui insieme è indicato per convenzione con il simbolo formula_1) sono usati per contare e per ordinare. La presenza dello zero fra i numeri naturali dipende dalla convenzione scelta. Lo zero è previsto dagli assiomi di Peano.
L'insieme dei numeri naturali costituisce una successione ordinata. Ogni numero è descritto tramite una o più cifre.
Se a partire dall'insieme dei numeri naturali si introduce il segno (e lo zero se non incluso), distinguendo tra "numeri positivi" e "numeri negativi", si ottengono i numeri interi relativi (o semplicemente "interi"), il cui insieme è indicato per convenzione con il simbolo formula_4. I numeri interi relativi sono:
Se a partire dai numeri interi si costruiscono numeri dati dal rapporto tra di loro, si ottengono i numeri razionali, i quali sono quindi esprimibili tramite una frazione ("ratio" in latino, da cui il nome di numeri "razionali"). Ad esempio:
L'insieme di tutti i numeri razionali è per convenzione indicato col simbolo formula_7.
I numeri algebrici sono numeri ottenibili come radici di equazioni algebriche a coefficienti interi. I numeri razionali sono algebrici. Il viceversa non è in generale vero: ad esempio:
sono numeri algebrici che non possono essere descritti tramite una frazione, non sono razionali.
Un numero non algebrico è detto "trascendente". Ad esempio, formula_11 (pi greco) ed formula_12 sono trascendenti: non è possibile ottenere formula_13 come radice di un'equazione polinomiale a coefficienti interi.
L'insieme dei numeri reali comprende i numeri esprimibili, con o senza la virgola, tramite il sistema numerico decimale. I numeri reali comprendono i numeri elencati precedentemente. In particolare i numeri reali si dividono in razionali e irrazionali, oppure in algebrici e trascendenti.
L'insieme dei numeri reali è simboleggiato per convenzione con formula_14.
L'insieme dei numeri reali non fornisce tutte le soluzioni delle equazioni algebriche. Per esempio, l'equazione:
non ha soluzioni nel campo dei numeri reali, perché il quadrato di un numero reale è sempre positivo o nullo. Per risolvere questo problema, è stata introdotta l'unità immaginaria formula_18 . Essa è così definita:
Tale numero non appartiene all'insieme dei numeri reali, esso appartiene all'insieme dei numeri complessi. In generale, un numero complesso è un'espressione del tipo:
dove formula_21 è l'unità immaginaria e formula_22 sono numeri reali. L'insieme dei numeri complessi è indicato per convenzione con il simbolo formula_16.
Gli insiemi numerici sono ciascuno sottoinsieme dell'altro, secondo quest'ordine (dove il simbolo formula_24 indica l'inclusione stretta):
Per particolari scopi, formula_16, può essere ulteriormente esteso, al prezzo, però, di perdere alcune proprietà e, di conseguenza, subire un declassamento come struttura algebrica.
I numeri complessi sono stati estesi e hanno dato luogo ai quaternioni. L'operazione di moltiplicazione dei quaternioni non gode della proprietà commutativa.
Gli ottonioni estendono i quaternioni. Questa volta si perde la proprietà associativa. Gli unici sistemi associativi con dimensione finita, oltre ai complessi, sono i quaternioni.
Estendendo gli ottonioni si ottengono i sedenioni, che perdono la proprietà dell'algebra alternativa, ma mantengono comunque la proprietà associativa della potenza.
I numeri vanno distinti per il tramite dei nomi, dato che i numeri sono dei concetti e anche se i nomi utilizzati nelle varie lingue variano i concetti rimangono gli stessi. La notazione di numero come serie di cifre è definita dai sistemi di numerazione. I popoli spesso associano a dei numeri utilizzati di frequente dei nomi particolari, oltre a quelli che vengono assegnati dal sistema di numerazione, spesso questi nomi sono utilizzati in contesti specifici, un classico esempio è la dozzina.
Gli ultimi sviluppi della teoria dei numeri hanno condotto ai numeri iperreali ed ai numeri surreali, che estendono i numeri reali dai numeri infinitesimi ai numeri infinitamente grandi attraverso degli inserimenti. Mentre i numeri reali sono infinitamente prolungabili alla destra del punto decimale, si può anche provare a espandere i numeri a sinistra in modo infinito, ciò conduce ai numeri p-adici. Per gestire insiemi infiniti, i numeri naturali sono stati generalizzati nei numeri ordinali e nei numeri cardinali. Il primo insieme viene utilizzato per definire l'ordine di inserimento degli insieme il secondo definisce il formato di inserimento. Nel caso di insiemi finiti si equivalgono.
Le operazioni aritmetiche sui numeri sono addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Queste operazioni sono state generalizzate in una branca dell'algebra chiamata algebra astratta. Essa contiene i concetti di gruppo, anello e campo.
In molte culture la rappresentazione grafica dei numeri è assai simile. I numeri "uno", "due" e "tre" degli antichi romani erano espressi come I, II, III (numeri romani). I cinesi usavano una notazione analoga, con le cifre in orizzontale, o in verticale, ma al contrario dei romani utilizzavano un sistema posizionale, simile al nostro attuale, con le cifre da 0 a 9. I numeri, detti "tsu" o "hêng", cambiavano orientamento a seconda della posizione: | = | era 121, - || - ◦ era 1210. Gli tsu erano verticali, gli hêng orizzontali, i numeri sopra al cinque avevano una bacchetta disposta perpendicolarmente alle altre. Il sistema era impiegato con le "bacchette da calcolo", che i cinesi manovravano a velocità tali da stupire i primi missionari nestoriani.
Tuttavia, non c'era un segno univoco per definire il quattro tra i romani, mentre per i cinesi era ||||. I romani usavano una notazione a sottrazione: esprimevano il quattro con una V preceduta da una I. La V indicava il numero cinque, il simbolo I anteposto indicava che andava sottratto (cinque meno uno = quattro). Nell'assegnare un simbolo particolare al cinque c'era un motivo antropomorfico - la mano ha cinque dita - ma vi era anche una motivazione che coinvolge il cervello umano. Gli psicologi hanno dimostrato che il nostro cervello ha difficoltà a distinguere più di cinque simboli simili vicini: si provi a dire se è più grande ||||||||| o ||||||||||; più semplice se sono scritti come IX e X.
Il sistema adottato in Europa è il sistema di numerazione decimale, detto anche numerazione araba. In realtà proviene dall'India, e molto probabilmente deriva dai numeri corsivi egiziani, i numeri copti. La cifra 1 è molto simile al simbolo romano, 2 e 3 sono varianti dello stesso simbolo che consentono di scrivere i numeri senza alzare la penna e quindi consentono una scrittura rapida, ma conservano l'idea della linea doppia o tripla orizzontale. Col simbolo 4 la corrispondenza si perde.
