
In matematica, la divisione dei polinomi è un algoritmo che permette di trovare il quoziente tra due polinomi, di cui il secondo di grado non superiore al grado del primo. È un'operazione che si può svolgere a mano, poiché spezza il problema in varie divisioni tra monomi, facilmente calcolabili.
Ricordiamo che, se i polinomi sono a coefficienti reali (o più in generale in un campo) per ogni coppia di polinomi formula_1 e formula_2 esistono "unici" altri due polinomi formula_3 e formula_4 tali che:
posto che il grado di formula_4 sia minore di quello di formula_2. Questo fatto è proprio degli anelli euclidei, come sono gli anelli di polinomi costruiti su un campo.
Il grado di formula_8 sarà equivalente invece alla differenza tra il grado di formula_9 e quello di formula_10.
Nel caso in cui formula_11, formula_1 sarebbe divisibile per formula_10.
L'algoritmo comporta l'esecuzione dei seguenti passi:
Per comprendere meglio l'algoritmo di divisione dei polinomi, in seguito viene svolto un esercizio a titolo d'esempio.
Dividiamo il polinomio
per il polinomio
Scriviamo i due polinomi formula_1 e formula_2 come nel modo illustrato più sopra. Così che ognuno dei due polinomi sia ordinato per grado (in modo decrescente) e siano esplicitati anche i monomi con coefficiente 0.
Dividiamo il termine di grado massimo di formula_1, che risulta essere formula_19, per il termine di grado massimo di formula_2, che è formula_21 e scriviamo il risultato sotto formula_2.
Ora scriviamo, sotto formula_1, il polinomio ricavato moltiplicando il risultato della divisione dei termini di grado massimo, per il polinomio formula_2. Bisogna tenere conto dei termini con coefficiente nullo.
Si può notare che, come già detto nel caso generale, i termini di grado maggiore di formula_1 e del polinomio scritto sotto formula_1, sono uguali.
Ora sottraiamo formula_1 con il polinomio scritto al di sotto per ottenere il polinomio formula_28.
Il grado di formula_29 è maggiore di quello di formula_2, dunque iteriamo il procedimento.
Dividiamo il termine di grado massimo di formula_31 che risulta essere formula_32 per il termine di grado massimo di formula_2 e scriviamo il risultato accanto a quello ottenuto precedentemente.
Ora, come nel passo 3, moltiplichiamo il risultato della divisione appena eseguita che, nel nostro esempio risulta essere formula_34, per il polinomio formula_2 e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto formula_28.
Eseguiamo la sottrazione tra il polinomio formula_28 e il polinomio scritto sotto per ottenere formula_38.
Dato che il grado di formula_38 non è inferiore a quello di formula_2 dobbiamo iterare ancora un'altra volta il procedimento.
Dividiamo il termine di grado superiore di formula_38 per il termine di grado superiore di formula_2.
Moltiplichiamo formula_2 per il risultato della divisione appena eseguita e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto formula_38.
Eseguiamo la sottrazione tra formula_38 e il polinomio scritto sotto per ottenere il polinomio formula_46.
Siamo giunti a formula_47, che ha grado strettamente minore di formula_15, dunque il resto è
e il quoziente della nostra divisione è
possiamo quindi scrivere
Una versione più sintetica di questo procedimento è attuabile quando il divisore "B" è della forma formula_52 o formula_53, un binomio di primo grado. Tale regola è stata esposta da Paolo Ruffini per la prima volta nel 1810.


L'addizione (denotata normalmente dal simbolo del più, "+") è una delle quattro operazioni fondamentali dell'aritmetica, insieme alla sottrazione, alla moltiplicazione e alla divisione. L'addizione di due numeri naturali può essere definita in termini insiemistici. Per sommare due numeri naturali "a" e "b", si considerano due insiemi "A" e "B" che abbiano, rispettivamente, "a" e "b" come numero di elementi, e che siano disgiunti (cioè non abbiano elementi in comune). Allora il risultato dell'addizione di "a" e "b" è il numero di elementi dell'insieme unione di "A" e "B" (l'insieme "A" ∪ "B").
Ad esempio, se in un sacchetto abbiamo tre mele e in un altro sacchetto abbiamo due mele, mettendo insieme il contenuto dei due sacchetti avremo cinque mele. Questa osservazione è equivalente all'espressione matematica "3 + 2 = 5", ovvero "3 più 2 è uguale a 5".
L'addizione può essere definita anche su quantità più astratte, quali i numeri interi relativi, i numeri razionali, i numeri reali e i numeri complessi, e su altri oggetti matematici quali i vettori e le matrici.
L'addizione gode di alcune proprietà basilari. È commutativa, ovvero cambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia. È associativa, ovvero quando si sommano più di due numeri, il risultato è lo stesso indipendentemente dall'ordine in cui vengono effettuate le addizioni. Lo zero è l'elemento neutro dell'addizione, ovvero sommare zero ad un numero lascia quel numero invariato.
I numeri o termini coinvolti nell'addizione sono collettivamente detti addendi, e il risultato dell'addizione è la loro somma.
Se gli addendi sono scritti individualmente, l'addizione è rappresentata dal carattere "+", che si interpone tra un termine e l'altro. Tra la sequenza degli addendi e la loro somma si interpone il simbolo dell'uguaglianza, "=". Sono addizioni valide:
e la prima di queste si legge, indifferentemente,
Negli scritti precedenti al XVI secolo è possibile trovare un altro simbolo indicante l'addizione. Si tratta di una "P" in corsivo che rimpiazzava la parola "più".
Se i termini non sono scritti individualmente, ma la sequenza degli addendi si ricava facilmente dalla scrittura, la somma si può indicare con un'ellissi ("...") per indicare i termini mancanti: la somma dei numeri naturali da 1 a 100 si può dunque scrivere come 1 + 2 + … + 99 + 100 = 5050.
In alternativa, la somma può essere rappresentata con il simbolo di sommatoria, rappresentato dalla lettera greca Sigma maiuscola. In particolare, data una sequenza di numeri denotati con formula_4, la somma degli "n-m+1" compresi fra quello di posizione "m" e quello di posizione "n" può essere espressa con la scrittura
Il simbolo "+" è un'abbreviazione della parola latina "et", che significa "e". Il suo uso in opere a stampa è attestato sin dal 1486.
Una delle interpretazioni dell'addizione è quella della combinazione di insiemi: 
Questa interpretazione, facile da visualizzare, è anche alla base della definizione formale di addizione tra numeri cardinali.
Una seconda interpretazione dell'addizione è data dall'estensione di una lunghezza (intera) di partenza in termini di una lunghezza (intera) data: 
Questa interpretazione è alla base della definizione formale di addizione tra numeri ordinali.
L'addizione è un'operazione "commutativa", ovvero cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia: 
Ad esempio: formula_7
L'addizione è un'operazione "associativa", ovvero quando si sommano tre o più addendi, l'ordine delle operazioni non influisce sul risultato:
Ad esempio: formula_9
Aggiungere zero ad un numero qualunque lascia quel numero invariato; in altre parole, lo zero è l'elemento neutro dell'addizione. In formule,
Per eseguire velocemente un'addizione fra numeri naturali, si allineano in colonna gli addendi, partendo dalla cifra delle unità a destra. Dopodiché si sommano le cifre di ciascuna colonna, da destra verso sinistra, e nell'eventualità che il risultato della somma su di una colonna sia maggiore o pari a dieci, si "riportano" le decine in eccesso come ulteriore addendo sulla colonna immediatamente a sinistra a quella appena calcolata.
Ad esempio, nell'addizione 27 + 59,
7 + 9 = 16, e la cifra 1 è il riporto.
Il metodo discusso sopra può essere applicato per sommare due qualunque numeri naturali ad "n" cifre "A"=a...aa e "B"=b...bb (nel caso il numero di cifre di "A" e "B" sia diverso, è sufficiente aggiungere il numero appropriato di zeri in testa al numero con meno cifre). In pseudocodice, l'algoritmo è il seguente:
Seguendo un metodo simile a quello descritto sopra si possono sommare anche due frazioni decimali. Si allineano i due numeri decimali in modo tale che la virgola sia nella stessa posizione. Se necessario, si aggiungono degli zeri in coda al numero più corto perché abbia lo stesso numero di cifre di quello più lungo. Infine, si segue il procedimento visto sopra, con l'unica accortezza di aggiungere la virgola al risultato nella stessa posizione in cui compare nei due addendi. Ad esempio, 45,1 + 4,34 si svolge nel seguente modo:
Questa estensione del metodo fu divulgata da Simone Stevino.
Nella teoria dell'algebra astratta si può chiamare "addizione" una qualunque operazione associativa e commutativa definita su un insieme, che sia dotata di un elemento neutro. Una struttura algebrica che includa una simile operazione è detta "monoide commutativo".
Già gli antichi Egizi avevano un semplice metodo per sommare numeri naturali. Nella notazione geroglifica, i numeri venivano indicati ripetendo una quantità appropriata di simboli rappresentanti le unità, le decine, le centinaia, eccetera. Per ottenere la somma di due numeri, quindi, era sufficiente combinare le unità, poi le decine, poi le centinaia, e così via, con l'accortezza di rimpiazzare eventuali gruppi di dieci simboli identici con un simbolo del tipo successivo. 
Ad esempio, per sommare 783 e 275, si combina
Il metodo di addizione posizionale moderno era sicuramente già noto in India intorno all'anno 600 d.C., ma è assai plausibile che lo stesso genere di algoritmo fosse già utilizzato dai Babilonesi in Mesopotamia nel 1700 a.C., anche se in un sistema sessagesimale anziché decimale.
In Europa, l'algoritmo di addizione moderno fu introdotto nel XII secolo attraverso la traduzione degli scritti del matematico persiano al-Khwarizmi.
