
Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce che ogni polinomio di grado formula_1 (cioè non costante), su un campo algebricamente chiuso (come il campo dei numeri complessi), del tipo:
ammette esattamente formula_3 radici in quel campo, o zeri. Dal teorema segue che un polinomio complesso ammette esattamente formula_3 radici complesse (contate con la giusta molteplicità), mentre un polinomio reale ammette al più formula_3 radici reali.
Un'enunciazione del teorema in una pubblicazione fu opera del matematico di origine fiamminga Albert Girard nel 1629 nel libro "L'invention en algebre", per quanto anticipata da una formulazione debole da parte di Peter Roth, riportata nei suoi "Arithmetica Philosophica" (1608). Non vi era comunque alcuna dimostrazione. Nel 1702 Leibniz sostenne di aver trovato un controesempio con il polinomio formula_6. Nel 1742 Nicolas Bernoulli e Christian Goldbach in una lettera inviata allo stesso Leibniz dimostrarono l'esistenza di radici complesse del polinomio.
Il primo tentativo serio di dimostrazione del teorema fu operato da d'Alembert nel 1746, il quale però utilizzò un teorema non ancora dimostrato (la dimostrazione fu fatta da Puiseux nel 1751 utilizzando lo stesso teorema fondamentale dell'algebra). Altri tentativi di dimostrazione furono portati avanti nel 1749 da Eulero, Lagrange nel 1772, Laplace nel 1795.
Finalmente nel 1799 Gauss riuscì nell'intento sfruttando i tentativi dei suoi predecessori. Infine, nel 1814 Jean-Robert Argand, un libraio appassionato di matematica, pubblicò un'altra dimostrazione molto più semplice rispetto a quella di Gauss.
Un numero reale è un particolare numero complesso: il teorema è quindi valido per ogni polinomio a coefficienti reali. Ad esempio, si consideri il polinomio
Questo polinomio non ammette nessuna radice reale: i numeri reali non formano un campo algebricamente chiuso. Per il teorema fondamentale dell'algebra, il polinomio ha però almeno una radice complessa: questa è l'unità immaginaria formula_8. Infatti:
Questa non è però l'unica radice. Il polinomio ha grado due e ha due radici complesse formula_10 e formula_11.
Esistono numerose dimostrazioni del teorema fondamentale dell'algebra che coinvolgono settori molto diversi della matematica come la topologia, l'analisi complessa e l'algebra.
Sia formula_12 un polinomio a coefficienti complessi di grado formula_13. 
Abbiamo formula_14, quindi esiste formula_15 tale che 
formula_16 per ogni formula_17 tale che formula_18. 
Il disco chiuso formula_19 è compatto, dunque per il teorema di Weierstrass esiste un punto formula_20 in cui formula_21 assume il suo minimo valore assoluto in formula_22.
Proviamo che formula_23: sviluppando formula_12 in serie di Taylor intorno a formula_25 abbiamo
dove formula_27, formula_28 è intero e formula_29 con formula_30,
notare che la serie di Taylor è finita poiché formula_31 per ogni intero formula_32 essendo formula_12 un polinomio di grado formula_3. Quindi:
dove formula_36 per formula_37. 
Per ogni formula_38 possiamo scegliere formula_17 di modo che formula_40, in tal caso quando formula_41 allora formula_37 quindi per formula_43 sufficientemente piccolo avremo 
pertanto 
ovvero si è trovato un assurdo.
Sia formula_12 un polinomio complesso, tale che formula_47 per ogni formula_48 complesso. Allora la funzione 
è una funzione intera, cioè è una funzione olomorfa su tutto formula_50. D'altra parte
implica
e quindi la funzione formula_53 è limitata. Per il teorema di Liouville formula_53 è costante, da cui segue che anche formula_12 è costante.
Quindi gli unici polinomi senza zeri sono i polinomi costanti.
Consideriamo un polinomio a coefficienti complessi non costante
vogliamo dimostrare che esiste un punto formula_57 tale che formula_58. A tale scopo possiamo considerare il caso in cui formula_59.
Supponiamo per assurdo che formula_60 non ammetta radici, cioè che l'origine non sia nella sua immagine. Consideriamo sul piano complesso la circonferenza di centro l'origine e raggio formula_61 parametrizzata da
Il polinomio formula_60 rappresenta una funzione continua del piano complesso in sé stesso e come tale manderà la circonferenza formula_64 in una curva piana parametrizzata formula_65. La curva così ottenuta non passerà per l'origine dal momento che abbiamo assunto che 0 non è nell'immagine di formula_60, e questo qualunque sia il raggio formula_61. Quindi possiamo considerare l'indice di avvolgimento di formula_65 rispetto all'origine formula_69
Poniamo
Poiché l'indice di avvolgimento non varia per deformazioni della curva tali che questa non tocchi mai l'origine (è un invariante omotopico) la funzione formula_71 sarà continua e poiché l'indice assume solo valori interi dovrà anche essere una funzione costante.
Ora consideriamo il valore di formula_71 per due differenti valori di formula_61:
Il fatto che formula_71 assuma valori differenti per differenti raggi contraddice il fatto che deve essere una funzione costante, e siamo quindi giunti a un assurdo da cui concludiamo che l'ipotesi che formula_60 non avesse nessuna radice è impossibile.
Si dice che il campo complesso formula_50 è un campo algebricamente chiuso per indicare il fatto che 
ogni polinomio di grado maggiore o uguale a 1, a coefficienti complessi, ha almeno una radice in formula_50, come stabilisce il teorema qui esposto. Tale proprietà non è condivisa dai sottocampi formula_108 e formula_109 come si può vedere subito considerando i polinomi 
che non ha radici nel campo formula_108 dei razionali, e
che non ha radici nel campo formula_109 dei reali.


I numeri interi (o numeri interi relativi o, semplicemente, numeri relativi) corrispondono all'insieme ottenuto unendo i numeri naturali (0, 1, 2, ...) e i numeri interi negativi (−1, −2, −3...), cioè quelli ottenuti ponendo un segno “−” davanti ai naturali. Questo insieme in matematica viene indicato con Z o formula_1, perché è la lettera iniziale di “"Zahl"” che in tedesco significa numero (originariamente "far di conto", infatti l'espressione implica l'utilizzo dei numeri negativi). 
Gli interi vengono quindi definiti esattamente come l'insieme dei numeri che sono il risultato tra sottrazioni di numeri naturali. I numeri interi possono essere sommati, sottratti e moltiplicati e il risultato rimane un numero intero. L'inverso di un numero intero non è però un intero in generale, ma un numero razionale; formalmente questo fatto si esprime dicendo che formula_1 è un anello commutativo, ma non un campo.
Come i numeri naturali, formula_1 è "chiuso" rispetto alle operazioni di addizione e di moltiplicazione, cioè la somma o il prodotto di due interi è un intero. Inoltre, con l'inclusione dei numeri naturali negativi e dello zero, formula_1 (a differenza dei numeri naturali) è chiuso anche rispetto all'operazione di sottrazione: se formula_5 e formula_6 sono interi, anche formula_7 lo è. Tuttavia, formula_1 non è chiuso sotto l'operazione di divisione, poiché il quoziente di due interi (per esempio formula_9) non è necessariamente un numero intero.
La tabella seguente elenca alcune delle proprietà di base dell'addizione e della moltiplicazione per ogni intero formula_5, formula_6 e formula_12.
Nel linguaggio dell'algebra astratta, le prime cinque proprietà elencate sopra per l'addizione dicono che formula_1 è un gruppo abeliano con l'operazione "somma". In particolare, formula_1 è un gruppo ciclico, poiché ogni intero non nullo può essere scritto sommando un certo numero di volte formula_15 oppure formula_16. Il gruppo formula_1 è l"'unico" gruppo ciclico infinito, nel senso che ogni altro gruppo ciclico infinito è isomorfo a formula_1.
Le prime quattro proprietà elencate sopra per la moltiplicazione dicono che formula_1 con l'operazione "prodotto" forma un monoide commutativo. Tuttavia, si nota che non tutti gli interi hanno in inverso rispetto alla moltiplicazione; per esempio non esiste un intero formula_20 tale che formula_21. Quindi formula_1 non è un gruppo se considerato con l'operazione "prodotto".
Tutte le proprietà dalla tabella prese insieme dicono che formula_1 con l'addizione e la moltiplicazione è un anello commutativo con unità. In effetti formula_1 è la motivazione principale per la definizione di tale struttura. La mancanza dell'inverso rispetto alla moltiplicazione è tradotta nel fatto che formula_1 non è un campo. 
L'anello formula_1 è inoltre un dominio d'integrità, perché non contiene divisori dello zero. Ogni dominio di integrità è contenuto in un campo, e il più piccolo campo contenente gli interi è il campo formula_27 dei numeri razionali.
Anche se la divisione ordinaria non è definita su formula_1, è possibile usare l'algoritmo di Euclide per effettuare una divisione con resto: dati due interi formula_5 e formula_6 con formula_31, esistono e sono unici due interi formula_32 e formula_33 tali che 
dove formula_35 è il valore assoluto di formula_6. L'intero formula_32 è chiamato il "quoziente" e formula_33 è chiamato il "resto", risultanti dalla divisione di formula_5 con formula_6. 
L'algoritmo di Euclide mostra come due numeri interi abbiano sempre un massimo comune divisore ed un minimo comune multiplo. Inoltre, per il teorema fondamentale dell'aritmetica ogni numero intero ha un'unica decomposizione come prodotto di numeri primi. L'esistenza dell'algoritmo di Euclide fa di formula_1 un anello euclideo.
La cardinalità di un insieme di interi è equivalente a formula_42 (aleph-zero). Ciò è dimostrabile tramite la costruzione di una corrispondenza biunivoca (ovvero una funzione sia iniettiva che suriettiva) fra formula_43 e formula_44.
Considerando formula_45, tale corrispondenza è la funzione formula_46 tale che:
Mentre considerando formula_48 è la funzione formula_49 tale che:
Ogni membro di formula_1 avrà uno ed un solo membro corrispondente in formula_52 (o formula_53), pertanto i due insiemi hanno la stessa cardinalità.
L'insieme formula_1 è un insieme totalmente ordinato senza estremo superiore o inferiore. L'ordine di formula_1 è dato da
Un numero intero è positivo se è maggiore dello zero e negativo se minore di zero; zero non è considerato un numero positivo né negativo.
L'ordine seguente è compatibile con le regole dell'algebra:
Più semplicemente: se formula_60 e formula_61 sono due qualsiasi numeri relativi si dice che formula_60 è maggiore di formula_61, e si scrive formula_64, se esiste un numero naturale formula_65 tale che formula_66. L'insieme formula_1 può essere definito a partire dall'insieme formula_52 dei numeri naturali tramite il concetto di insieme quoziente. Si consideri il prodotto cartesiano formula_69, ovvero l'insieme di tutte le coppie ordinate di numeri naturali formula_70. Si consideri la seguente relazione formula_71
Questa è una relazione di equivalenza, infatti è:
Si definisce formula_1 come l'insieme quoziente di formula_87 con la relazione formula_71:
A questo punto è facile dimostrare che ogni classe di equivalenza formula_90 contiene uno e un solo elemento nella forma formula_91 con formula_92 oppure formula_93. In questo modo possiamo introdurre la notazione più familiare per i numeri interi nel modo seguente:
Si dimostra facilmente che esiste un isomorfismo tra l'insieme dei numeri naturali e il sottoinsieme di formula_1 costituito dagli elementi del tipo formula_98. In questo senso si può dire che i numeri naturali sono un sottoinsieme dei numeri interi.
Le operazioni di somma e prodotto possono essere definite nel modo seguente:
Si verifica che le operazioni sono compatibili con la relazione d'equivalenza, e che si traducono nelle normali operazioni di somma e prodotto degli interi tramite la notazione appena introdotta. Ad esempio:
Si può anche dimostrare direttamente che l'insieme formula_1 con queste operazioni è un anello commutativo.
