
In algebra, una funzione quadratica è una funzione in una o più variabili definita in modo esplicito attraverso un polinomio di secondo grado. Ad esempio, una funzione quadratica nelle variabili "x", "y", "z" ha la seguente forma generale:
formula_1 con almeno uno tra formula_2 diverso da 0.
Una funzione quadratica in una variabile ha forma:
formula_3
Il suo grafico è una parabola con l'asse di simmetria parallelo all'asse "y". Uguagliando a zero una funzione quadratica si ottiene una equazione di secondo grado; le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono dette radici del polinomio associato.
Una funzione quadratica in due variabili ha forma:
formula_4 con formula_5 non contemporaneamente nulli. Il grafico di una funzione quadratica è, in generale, una ipersuperficie detta quadrica. 
Il sottoinsieme di formula_6 descritto da formula_7 è una sezione conica (ellisse, circonferenza, parabola, iperbole).
I coefficienti del polinomio che definisce la funzione possono essere reali o complessi, perché un polinomio può essere definito su qualunque anello.
Nel caso in cui tutti i coefficienti dei termini di secondo grado siano uguali a zero, si parla di caso degenere della funzione.
I polinomi di secondo grado (e quindi anche le funzioni quadratiche) sono generalizzate sugli spazi vettoriali dal concetto di forma quadratica.
L'aggettivo "quadratico " deriva dal latino "quadratum" (quadrato). Un termine di secondo grado formula_8 è detto quadrato perché rappresenta l'area di un quadrato di lato formula_9.
Una funzione quadratica in una variabile può essere espressa in tre forme:
La conversione dalla forma normale a quella fattorizzata si effettua calcolando le radici del polinomio; la conversione dalla forma normale a quella del vertice si effettua attraverso il completamento del quadrato; la forma normale si ricava dalle altre due eseguendo le operazioni indicate.
A prescindere dalla forma dell'espressione, il grafico di una funzione quadratica in una variabile formula_3 è una parabola. Da questo si ha, equivalentemente, che una parabola può essere descritta come formula_16.
Se formula_17, la parabola volge la concavità verso l'alto; se formula_18, la parabola volge la concavità verso il basso.
Il coefficiente formula_19 controlla la curvatura del grafico: maggiore è il suo valore assoluto, più stretta è la parabola. I coefficienti formula_19 e formula_21 concorrono a definire la posizione dell'asse di simmetria della parabola, quindi la coordinata formula_22 del vertice, data da formula_23. Il coefficiente formula_24 controlla l'altezza della parabola; in particolare essa intercetta l'asse "y" nel punto di coordinate formula_25.
Il vertice è il massimo o minimo assoluto della parabola. Se la funzione è nella forma del vertice, le sue coordinate sono formula_14.
Attraverso il completamento del quadrato, la forma normale
formula_3
può essere trasformata in
formula_28;
ponendo formula_29 (discriminante)
allora il vertice ha coordinate formula_30
quindi l'asse di simmetria passa per il vertice.
Se la funzione è in forma fattorizzata, sfruttando la simmetria della parabola, si dimostra che le coordinate del vertice possono essere calcolate equivalentemente come formula_31.
Siccome il punto di vertice è un massimo o un minimo della funzione quadratica, esso può essere trovato attraverso i teoremi dell'analisi matematica. Quindi, il punto di vertice deve essere radice della derivata:
formula_32
in questo punto la funzione vale
formula_33
quindi le coordinate del vertice sono:
formula_30
in accordo con quanto trovato prima.
Le radici (o zeri) di una funzione in una variabile sono i valori di formula_9 per i quali formula_36. Per il teorema fondamentale dell'algebra per una funzione quadratica le radici sono due (eventualmente coincidenti). Attraverso il completamento del quadrato si trova che:
formula_37.
Quindi a seconda del segno del discriminante si possono avere tre casi:
Il modulo delle radici non può essere più grande di formula_42, dove formula_43è la sezione aurea.
La funzione data dalla radice quadrata di una funzione quadratica in una variabile ha forma formula_44 ed ha come grafico una ellisse o una iperbole.
Se formula_17 il grafico è un'iperbole. La direzione dell'asse dell'iperbole è determinata dall'ordinata del vertice: se è negativa l'asse trasverso è verticale, se è negativa l'asse trasverso è orizzontale.
Se formula_18 il grafico è un'ellisse se esistono due radici reali e distinte; altrimenti è un punto (radici coincidenti), oppure non esiste grafico sul piano cartesiano (radici complesse).
Iterare una funzione significa applicarla ripetutamente, sostituendo alla variabile indipendente il valore della funzione trovato nella iterazione precedente. L'iterazione "n"-esima viene indicata con formula_47; la notazione può essere estesa ai numeri negativi se è possibile iterare la funzione inversa (se esiste) di formula_48. Non è sempre possibile scrivere l'espressione analitica di formula_47. Di seguito sono trattati due casi di funzioni quadratiche iterate in cui può essere scritto la forma analitica in modo esplicito.
Per la funzione formula_50 (con formula_51 parametri reali) la forma iterata è
formula_52
ponendo formula_53
allora formula_54
quindi per induzione formula_55
sempre per induzione si ha che formula_56
allora formula_57 è la soluzione esplicita.
La mappa logistica formula_58 con parametro formula_59 può essere risolta solo in alcuni casi, almeno uno dei quali è caotico e uno non lo è. Nel caso caotico formula_60 la soluzione è
formula_61 dove la condizione iniziale formula_62 è data da formula_63.
Per formula_62 razionale, dopo un numero finito di iterazioni, formula_65 entra in una sequenza periodica. Per formula_62 irrazionale formula_65 non si ripete mai con sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali; siccome la maggior parte dei formula_62 è irrazionale, il comportamento è caotico.
La soluzione della mappa logistica con formula_69 è formula_70 per formula_71.
Se formula_72, per ogni valore di formula_22 diverso dal valore instabile formula_74, il termine formula_75 per formula_76, quindi formula_77.
Una funzione quadratica in due variabili è una funzione definita da un polinomio di secondo grado della forma:
formula_4
dove formula_2 sono costanti e formula_80 non sono contemporaneamente nulli. Il grafico di questa funzione è una superficie(quadrica). L'insieme descritto da formula_7 è l'intersezione tra la superficie e il piano formula_82 ovvero una sezione conica.
Se formula_83 la funzione non ha massimi né minimi; il grafico è un paraboloide iperbolico.
Se formula_84 la funzione ha un punto di massimo (formula_17) o di minimo (formula_17); il suo grafico è un paraboloide ellittico. Le coordinate del punto di massimo o minimo sono formula_87.
Se formula_88 e formula_89 la funzione non ha massimi né minimi; il suo grafico è un cilindro parabolico.
Se formula_88 e formula_91 la funzione raggiunge un punto di massimo (formula_18) o minimo (formula_17); il suo grafico è un cilindro parabolico.


In matematica, una funzione è una relazione tra due insiemi, chiamati dominio e codominio della funzione, che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.
Se i due insiemi sono rispettivamente indicati con formula_1 e formula_2, la relazione è indicata con formula_3 e l'elemento associato a formula_4 tramite la funzione formula_5 viene abitualmente indicato con formula_6 (si pronuncia "effe di x").
La parola funzione quindi non si riferisce alla sola relazione, ma alla terna: relazione, domino e codominio.
Per esempio: la funzione che associa a un numero "naturale" la radice quadrata di quel numero è diversa dalla funzione che associa a un numero "intero" la radice quadrata di quel numero (a seconda di come è definito il codominio, la seconda potrebbe non essere neppure un'associazione corretta).
Si dice che formula_7 è l'argomento della funzione, oppure un valore della variabile indipendente, mentre formula_8 è un valore della variabile dipendente della funzione. 
Sinonimi del termine "funzione" sono "applicazione" e "mappa". Il termine "trasformazione" viene utilizzato spesso in ambito geometrico per indicare una funzione formula_9 invertibile e che conserva le proprietà geometriche di formula_1, mentre "operatore" è talvolta utilizzato nella trattazione di funzioni lineari tra spazi vettoriali. 
Le funzioni hanno un ruolo molto importante in tutte le scienze esatte. Il concetto di dipendenza funzionale tra due grandezze sostituisce infatti, all'interno delle teorie fisiche e matematiche, quello di causa-effetto, che, al contrario del precedente, non riguarda gli enti teorici ma direttamente gli elementi della realtà concreta. Se si afferma, ad esempio, che la pressione di una certa quantità di gas perfetto è funzione della sua temperatura e del suo volume si sta facendo un'affermazione interna a un modello termodinamico, mentre il rapporto di causa-effetto che viene individuato fra le tre grandezze dipende in modo sostanziale dalle possibilità di intervento concreto su di esse. Rimanendo a questo esempio, il valore della pressione viene visto più spesso come conseguenza del valore degli altri due parametri, poiché è generalmente molto più facile intervenire sul volume e sulla temperatura che direttamente sulla pressione.
Gli esempi più semplici di funzione sono quelli per cui sia il dominio che il codominio sono insiemi numerici. Per esempio, se a ogni numero naturale si associa il doppio di tale numero, si ha una funzione, il cui dominio è dato dai naturali e il cui codominio è costituito dai naturali pari.
Tuttavia si parla di funzione anche quando il dominio o il codominio, o entrambi, non sono insiemi numerici. Se, per esempio, a ogni triangolo del piano si associa il cerchio in esso inscritto, si ha ugualmente una funzione, in quanto per ogni triangolo esiste uno e un solo cerchio in esso inscritto.
Inoltre spesso si parla di funzioni con più argomenti, o con più valori: per esempio la funzione che alle coordinate formula_11 di un punto nello spazio fa corrispondere temperatura formula_12 e pressione formula_13 dell'aria. In tal caso, la funzione ha in realtà sempre un solo argomento, che è la terna formula_14 e ha sempre un solo valore, che è la coppia formula_15
Dati due insiemi non vuoti formula_1 e formula_2, si chiama funzione da formula_1 in formula_2 una relazione formula_5 tale che per ogni formula_21 esiste uno ed un solo elemento formula_22 tale che formula_23. Tale elemento tradizionalmente si denota con formula_6: in altre parole, invece di scrivere formula_23 si può usare la scrittura più tradizionale:
Il fatto che formula_5 sia una funzione da formula_1 in formula_2 che associa a formula_7 l'elemento formula_6 si può esprimere con la scrittura:
L'insieme formula_1 (da cui la funzione formula_5 "prende" i valori) è il dominio della funzione formula_5, mentre l'insieme formula_2 (in cui si trovano i valori "restituiti" dalla funzione formula_5) è il codominio della funzione formula_5.
Le espressioni "prendere un valore" e "restituire un valore" fanno riferimento a un modello meccanico delle funzioni, rappresentate come meccanismi che, fornito loro un elemento del dominio, lo "trasformano" nel corrispondente elemento del codominio. 
Data una funzione formula_5 di dominio formula_1 e codominio formula_41 comunque scelto un elemento formula_7 del dominio, si chiama "immagine" di formula_7 il corrispondente elemento del codominio, indicato con formula_44 Analogamente, se formula_45 è un elemento del codominio che sia immagine di un elemento formula_7 del dominio, cioè se formula_47, si dice che formula_7 è una controimmagine di formula_49 Mentre a ogni elemento del dominio di formula_5 è assegnata una e una sola immagine, è possibile che un elemento nel codominio possegga diverse controimmagini, o che non ne possieda affatto. Si definisce quindi "controimmagine" dell'elemento formula_51 l'insieme
Se formula_53 per ogni formula_54 si dice che formula_5 è "suriettiva", mentre se formula_56 contiene al più un elemento per ogni formula_45 si dice che formula_5 è "iniettiva". Se valgono entrambe le condizioni, formula_5 è detta "biiettiva" o "biunivoca".
L'insieme
degli elementi formula_45 del codominio per i quali esiste almeno un formula_7 nel dominio che ha formula_45 come immagine è detto "immagine" di formula_5 e si denota con formula_65 o con formula_66.
Per il valore di una funzione formula_67 corrispondente a un elemento formula_7, denotabile con la notazione tradizionale formula_69, vengono usate anche altre due scritture.
Per quella che chiamiamo notazione a funzione prefissa si pone
Per quella che chiamiamo notazione a funzione suffissale si pone
A volte al posto delle parentesi tonde si usano parentesi quadrate:
In questo modo si evitano confusioni con le parentesi che indicano l'ordine delle operazioni. Questa notazione è usata da alcuni programmi di calcolo simbolico.
Nelle funzioni di due variabili si usa talvolta la notazione infissa, ossia
ad esempio, nelle usuali operazioni di addizione e sottrazione si usa scrivere formula_74 e formula_75 invece di formula_76 e formula_77
Data una funzione formula_78 e un insieme formula_1 tale che formula_80, si dice che la funzione formula_81 è un'"estensione di f all'insieme formula_1" se
dove formula_84 è l'inclusione di formula_85 in formula_1, data da formula_87. Si dice viceversa che "formula_5 è la restrizione di "formula_89" all'insieme formula_85".
La restrizione di una funzione formula_5 a un insieme formula_85 contenuto nel suo dominio è abitualmente indicata con formula_93.
Quando il dominio di una funzione formula_5 è il prodotto cartesiano di due o più insiemi, e dunque la funzione agisce su formula_95-uple di elementi di insiemi, allora l'immagine del vettore di questi elementi formula_96 viene indicata con la notazione
In questo caso la funzione viene anche chiamata funzione di vettore. A tal proposito in fisica si parla di campo.
Per esempio, si consideri la funzione di moltiplicazione che associa un vettore di due numeri naturali formula_7 e formula_45 al loro prodotto: formula_100. Questa funzione può essere definita formalmente come avente per dominio formula_101, l'insieme di tutte le coppie di numeri naturali; si noti inoltre che in questo caso la funzione è simmetrica rispetto alle componenti del vettore: formula_102 e quindi si tratta di una funzione di un insieme formula_103 in cui non importa cioè l'ordine degli elementi. Sono inoltre possibili anche altri raggruppamenti delle variabili: per esempio risulta estremamente importante nello studio dei sistemi di equazioni differenziali la teoria della funzione di matrice:
Molte operazioni binarie dell'aritmetica, come l'addizione e la moltiplicazione, sono funzioni dal prodotto cartesiano formula_105 a valori in formula_106, e vengono descritte tramite la notazione infissa: si scrive cioè formula_107 (e non formula_108) per descrivere l'immagine della coppia formula_109 tramite l'operazione formula_110.
Questa notazione è stata generalizzata dall'algebra moderna, per definire strutture algebriche come ad esempio quella di gruppo, come un insieme formula_111 dotato di alcune operazioni binarie aventi determinate proprietà.
Se il "codominio" di una funzione formula_112 è il prodotto cartesiano di due o più insiemi, questa può essere indicata come funzione vettoriale. Tali variabili spesso vengono aggregate in un vettore; a tal proposito in fisica si parla di campo vettoriale.
Un esempio tipico è dato da una trasformazione lineare del piano, ad esempio:
Una funzione è invece detta polidroma nel caso in cui esista almeno un elemento del dominio cui corrisponde più di un elemento del codominio. In effetti tali funzioni non rientrano nella definizione data inizialmente, ma in alcuni campi (ad esempio in analisi complessa) essa viene estesa proprio in questo senso. Un esempio di funzione polidroma è la radice quadrata di un numero reale positivo, che può essere descritta come una funzione
che associa a ogni numero reale positivo l'insieme delle sue due radici quadrate. Un esempio analogo è il logaritmo definito sull'insieme dei numeri complessi.
Nella matematica e sostanzialmente in tutte le sue applicazioni si incontrano numerosi tipi di funzioni, che si presentano anche con caratteristiche molto diverse, e che vengono classificate seguendo diversi criteri.
Data una funzione formula_6 di variabile reale a valori reali e una costante formula_116, su di essa sono applicabili le operazioni aritmetiche elementari ovvero somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza, radice "n"-esima ovvero:
se formula_120 si ha anche
se formula_122 si ha anche
e se formula_124 intero maggiore di 1, e se formula_124 pari si deve avere anche formula_126, si ha anche
Date due funzioni formula_6 e formula_129 di variabile reale a valori reali sono applicabili le operazioni aritmetiche elementari di cui sopra ovvero:
se formula_133 si ha anche
se formula_122 (o formula_126 nel caso in cui formula_137) si ha anche 
Date due funzioni formula_5 : formula_1 → formula_2 e formula_142 : formula_2 → formula_144 si può definire la loro composizione: questa è definita applicando prima formula_5 ad formula_7 e quindi applicando formula_142 al risultato formula_6.
Questa nuova funzione viene denotata con formula_149 Riconducendoci alla notazione tradizionale con le due notazioni il risultato della precedente composizione applicato all'elemento x del dominio si può scrivere
Data una funzione formula_6 di variabile reale a valori reali e una costante formula_152:
Data una funzione formula_6 di variabile reale a valori reali:
