
In matematica il dominio e il codominio di una funzione sono gli insiemi su cui è definita la funzione la quale associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.
In matematica una funzione è il dato di tre oggetti: un "dominio" formula_1, un "codominio" formula_2 e una "legge" formula_3 che associa ad ogni elemento formula_4 di formula_1 uno e un solo elemento di formula_2 che viene indicato formula_7. Una funzione viene definita indicando tutti e tre questi oggetti, che vengono raccolti nella notazione
o nella notazione equivalente
È importante notare che il dominio e il codominio devono essere definiti "prima" della legge di applicazione, e che "tutti" assieme questi oggetti definiscono una funzione. In particolare, senza indicare il dominio e il codominio non può essere definita alcuna funzione.
Ad esempio, per ogni insieme formula_10 è ben definita una funzione "identità su formula_10", con dominio formula_10, codominio formula_10 e legge di applicazione formula_14:
Omettendo dominio e codominio, la sola legge di applicazione formula_14 non è ben definita e non definisce alcuna funzione.
In alcuni ambienti si usa sottintendere il dominio e il codominio di una funzione reale di variabile reale (cioè con dominio e codominio contenuti nell'insieme dei numeri reali) quando il dominio è pari all'insieme di definizione della funzione e il codominio è l'intero insieme dei numeri reali.
Ad esempio,
Dunque nel sottintendere dominio e codominio, ci si limita a sottoinsiemi dei numeri reali e si rinuncia a studiare le proprietà di una funzione (come iniettività, suriettività, morfismo).
Come il dominio, anche il codominio è parte integrante della definizione di funzione e senza di esso non è possibile definire una legge di applicazione.
Da un punto di vista puramente computazionale, ovvero se ci si interessa alle sole immagini formula_7 dei singoli elementi del dominio, si considera il solo insieme delle immagini, o immagine formula_27, che è un sottoinsieme del codominio.
È sempre possibile definire una "nuova" funzione
che è talvolta identificata con la funzione stessa, pur avendo diverse proprietà (come suriettività o morfismo).
Ad esempio, nel calcolo di formula_29 vengono identificate le due funzioni
anche se solo la seconda è un isomorfismo tra il gruppo formula_32 e il gruppo formula_33.
In analisi complessa con dominio solitamente si indica un sottoinsieme aperto e connesso di formula_34.
In topologia per dominio si intende la chiusura di un insieme aperto. Inoltre, se il suddetto aperto manifesta la proprietà della connessione, anche il dominio può dirsi "connesso".


In matematica una disuguaglianza (o "diseguaglianza") è una relazione d'ordine totale sull'insieme dei numeri reali o su un suo sottoinsieme.
Può essere intesa in senso "largo" o in senso "stretto", a seconda che la relazione d'ordine sia riflessiva o meno. Nei due casi vengono utilizzate le coppie di simboli formula_1 e formula_2, oppure formula_3 e formula_4.
Gli stessi simboli possono essere utilizzati per "confrontare" due funzioni a valori reali.
La disuguaglianza in senso largo si indica con le scritture equivalenti formula_5 e formula_6, che si leggono ""a" è maggiore o uguale a "b"" e ""b" è minore o uguale ad "a"".
La disuguaglianza in senso stretto si indica invece le scritture equivalenti formula_7 e formula_8, si verifica una e una sola relazione tra: formula_9 e formula_10.
Se la disuguaglianza è larga:
Ogni coppia di elementi è confrontabile, ovvero:
formula_11 si verifica una relazione tra: formula_12 e formula_6.
Se la disuguaglianza è stretta, allora vale la tricotomia:
Le disuguaglianze vengono preservate se ad entrambi i termini viene aggiunto o sottratto uno stesso numero:
Lo stesso vale con la disuguaglianza in senso largo.
Questa proprietà indica che confrontare due numeri "a" e "b" è equivalente a verificare se la loro differenza "a-b" è positiva o negativa, ovvero a confrontare "a-b" e "0". Inoltre "a>0" equivale a "-a<0", così come "a>b" equivale a "-a<-b".
Questa proprietà in generale descrive i gruppi ordinati.
Le disuguaglianze vengono preservate se entrambi i termini vengono moltiplicati o divisi per uno stesso numero strettamente positivo. Moltiplicando o dividendo per un numero strettamente negativo, invece, le disuguaglianze si scambiano:
A volte si abusa della notazione per la disuguaglianza, scrivendo "f>0" anche quando "f" è una funzione a valori reali. Con questa notazione si intende che "f" assume solo valori strettamente positivi, ovvero che "f(x)>0" per ogni "x" nel dominio di "f". Nello stesso modo, "f>g" indica che "f-g>0", ovvero che "f(x)>g(x)" per ogni "x" nel comune dominio di "f" e "g". Lo stesso capita con la disuguaglianza in senso largo.
Quando il dominio delle funzioni non viene specificato, si parla di disequazione.
Alcune "famose" disuguaglianze in matematica sono elencate di seguito.
