
In matematica, la divisione dei polinomi è un algoritmo che permette di trovare il quoziente tra due polinomi, di cui il secondo di grado non superiore al grado del primo. È un'operazione che si può svolgere a mano, poiché spezza il problema in varie divisioni tra monomi, facilmente calcolabili.
Ricordiamo che, se i polinomi sono a coefficienti reali (o più in generale in un campo) per ogni coppia di polinomi formula_1 e formula_2 esistono "unici" altri due polinomi formula_3 e formula_4 tali che:
posto che il grado di formula_4 sia minore di quello di formula_2. Questo fatto è proprio degli anelli euclidei, come sono gli anelli di polinomi costruiti su un campo.
Il grado di formula_8 sarà equivalente invece alla differenza tra il grado di formula_9 e quello di formula_10.
Nel caso in cui formula_11, formula_1 sarebbe divisibile per formula_10.
L'algoritmo comporta l'esecuzione dei seguenti passi:
Per comprendere meglio l'algoritmo di divisione dei polinomi, in seguito viene svolto un esercizio a titolo d'esempio.
Dividiamo il polinomio
per il polinomio
Scriviamo i due polinomi formula_1 e formula_2 come nel modo illustrato più sopra. Così che ognuno dei due polinomi sia ordinato per grado (in modo decrescente) e siano esplicitati anche i monomi con coefficiente 0.
Dividiamo il termine di grado massimo di formula_1, che risulta essere formula_19, per il termine di grado massimo di formula_2, che è formula_21 e scriviamo il risultato sotto formula_2.
Ora scriviamo, sotto formula_1, il polinomio ricavato moltiplicando il risultato della divisione dei termini di grado massimo, per il polinomio formula_2. Bisogna tenere conto dei termini con coefficiente nullo.
Si può notare che, come già detto nel caso generale, i termini di grado maggiore di formula_1 e del polinomio scritto sotto formula_1, sono uguali.
Ora sottraiamo formula_1 con il polinomio scritto al di sotto per ottenere il polinomio formula_28.
Il grado di formula_29 è maggiore di quello di formula_2, dunque iteriamo il procedimento.
Dividiamo il termine di grado massimo di formula_31 che risulta essere formula_32 per il termine di grado massimo di formula_2 e scriviamo il risultato accanto a quello ottenuto precedentemente.
Ora, come nel passo 3, moltiplichiamo il risultato della divisione appena eseguita che, nel nostro esempio risulta essere formula_34, per il polinomio formula_2 e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto formula_28.
Eseguiamo la sottrazione tra il polinomio formula_28 e il polinomio scritto sotto per ottenere formula_38.
Dato che il grado di formula_38 non è inferiore a quello di formula_2 dobbiamo iterare ancora un'altra volta il procedimento.
Dividiamo il termine di grado superiore di formula_38 per il termine di grado superiore di formula_2.
Moltiplichiamo formula_2 per il risultato della divisione appena eseguita e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto formula_38.
Eseguiamo la sottrazione tra formula_38 e il polinomio scritto sotto per ottenere il polinomio formula_46.
Siamo giunti a formula_47, che ha grado strettamente minore di formula_15, dunque il resto è
e il quoziente della nostra divisione è
possiamo quindi scrivere
Una versione più sintetica di questo procedimento è attuabile quando il divisore "B" è della forma formula_52 o formula_53, un binomio di primo grado. Tale regola è stata esposta da Paolo Ruffini per la prima volta nel 1810.


La divisione è l'operazione aritmetica inversa della moltiplicazione.
Più specificamente, se 
dove "b" è diverso da zero, allora 
(da leggersi ""c" diviso "b"").
Ad esempio, 6 : 3 = 2, dato che 2 × 3 = 6.
La divisione per zero non viene definita.
Nell'espressione sopra, "a" rappresenta il "quoziente" ("quoto" nel caso di divisione senza resto), "b" il "divisore" (cioè la quantità che divide) e "c" il "dividendo" (cioè la quantità da dividere).
La divisione gode della "proprietà invariantiva" ovvero il quoziente non cambia se dividendo e divisore sono moltiplicati per una stessa quantità diversa da zero (il resto invece risulta moltiplicato per quella quantità).
L'espressione "c" : "b" viene anche scritta ""c"/"b"" (letta ""c" su "b"", o ""c" fratto "'b"", o ""c" "b"-esimi" ; se "b" è un intero positivo diverso da 2 questo si legge come ordinale, plurale se "c" è diverso da 1, es. 2/3 si legge "due terzi" ma 3/2 si legge "tre mezzi"), specialmente nelle matematiche superiori, incluse le applicazioni alla scienza e all'ingegneria, e nei linguaggi di programmazione.
Tale forma viene anche spesso usata come forma finale di una frazione.
La divisione fra due numeri interi "a" e "b", con "b"≠0, consiste invece nel trovare una coppia di interi "q" ed "r", detti "quoziente" e "resto", tali che "a" = "b" × "q" + "r" e 0 ≤ "r" < | "b" |. (Si dimostra che tale coppia di interi esiste ed è unica). Quando "r" = 0, il risultato della divisione "q" viene talvolta detto "quoto".
In inglese e sulle calcolatrici elettroniche, il simbolo della divisione è l'obelo che ha una barretta orizzontale tra i due punti: "c" ÷ "b". In italiano questo uso non è mai stato attestato: l'obelo è solo usato a volte in ingegneria e chimica per indicare un intervallo. Nell'uso inglese, invece, i due punti si utilizzano solo per il concetto correlato di rapporto.
A/B = C indica che il denominatore B è contenuto nel numeratore A una quantità di volte pari a C.
infatti come si evince dall'esempio 0,5 è contenuto 2 volte dentro il numeratore 1.
Un secondo modo di leggere la divisione: A/B = C indica che ad una unità del denominatore (B) corrispondano C unità del numeratore A.
cioè: a ogni unità del denominatore spetteranno 2 unità del numeratore.
Questo secondo metodo di lettura della divisione è un approccio particolarmente utile per comprendere il calcolo delle percentuali e il concetto di derivata. Infatti:
Cioè a ogni euro del prezzo della maglietta che si trova al denominatore corrispondono venti centesimi dei 7 euro sconto. Perciò moltiplicando 0,2 per 100 si ha la percentuale dello sconto pari al 20%.
Utilizzando la tavola pitagorica, si possono dividere due numeri interi con carta e penna.
Se il dividendo ha una parte frazionaria espressa come frazione decimale, si può continuare l'algoritmo dopo le unità; se è il divisore ad avere una parte frazionaria, basta spostare la virgola a destra dello stesso numero di posizioni - aggiungendo se necessario degli zeri a destra del dividendo - fino a che il divisore diventa un numero intero. Pertanto, per fare la divisione 245,7 : 3,78 si eseguirà quella equivalente 24570 : 378.
Un'altra possibilità che si ha per semplificare i conti è vedere se dividendo e divisore abbiano un fattore comune, ed eliminarlo; la divisione di cui sopra è dunque equivalente a 12285 : 189 (eliminando il fattore 2) e ancora a 1365 : 21 (eliminando un fattore 9), 455 : 7 (con un fattore 3), da cui si ottiene subito il risultato finale 65.
Si può calcolare la divisione con un abaco, scrivendo ripetutamente il dividendo e sottraendo man mano il divisore, spostato a sinistra quanto più possibile. Ogni volta che occorre riportare a destra il divisore, si passerà a una nuova cifra anche per il quoziente. Il procedimento risulta pertanto abbastanza simile a quello della divisione su carta, anche se in quel caso c'è la scorciatoia di utilizzare delle moltiplicazioni per ridurre il numero di sottrazioni necessarie.
Nella aritmetica modulare, alcuni numeri hanno un inverso moltiplicativo rispetto al modulo: ad esempio, in base 7, 3 ha come inverso 5. In questo caso, la divisione per 3 può essere calcolata moltiplicando per 5; questo approccio è utile in computer che non hanno una istruzione di divisione veloce.
La divisione tra interi - anche non considerando la divisione per zero, che non è definita, non è un'operazione chiusa; vale a dire, esistono coppie di numeri "a" e "b" tali che non esiste alcun intero "c" per cui "a" : "b" = "c". In questi casi si possono dare diverse possibili risposte:
Quando si fa una divisione tra interi in un linguaggio di programmazione occorre verificare attentamente la definizione. Nel linguaggio C, ad esempio, la divisione tra interi è definita come nel caso 4 qui sopra, e il risultato sarà pertanto un intero troncato; in altri linguaggi come MATLAB, invece, si inizia a convertire gli interi in numeri reali (o più correttamente numeri di macchina), e si ottiene così un numero reale come risposta, come nel caso 2 sopra.
A differenza del caso precedente, i numeri razionali sono chiusi rispetto alla divisione, se il divisore non è 0. Si può definire il risultato della divisione tra due numeri razionali "p"/"q" e "r"/"s" come il valore
Tutti e quattro i valori sono interi, e solo "p" può valere 0. Questa definizione assicura che la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione: si ricava infatti subito che
I casi particolari riguardano l'operazione di divisione quando 0 è il dividendo o il divisore. Il risultato di queste operazioni può essere indeterminato oppure impossibile. Detto "a" un qualsiasi numero reale diverso da zero, vale che:
Si verifica facilmente grazie alla definizione: l'unico numero che moltiplicato per un numero non nullo dà zero è lo zero stesso in quanto vale la legge di annullamento del prodotto.
Anche in questi due ultimi casi, il metodo per risolvere l"'impasse" è considerare la definizione dell'operazione di divisione, cioè come l'inverso della moltiplicazione. Risolvere i casi 2 e 3 equivale a cercare la soluzione dell'equazione 0 × "x" = "a"; questa ha:
In entrambe i casi non è possibile determinare il risultato che, come sappiamo, deve essere unico. Per tale motivo la divisione per zero non viene definita ed è priva di significato.
Il risultato della divisione di due numeri reali è un altro numero reale, se il divisore non è 0. Dati "a" e "b", si definisce "a"/"b" = "c" se e solo se "a" = "cb" e "b" ≠ 0.
Anche per i numeri complessi, così come per i numeri reali, la divisione è un'operazione chiusa eccetto il caso in cui il divisore sia zero, nel qual caso l'operazione non è definita.
Se si esprimono i numeri complessi con le comuni coordinate, il risultato della divisione di formula_4 per formula_5, dove "p", "q", "r" e "s" sono numeri reali e "r" e "s" non possono essere entrambi nulli, è dato da
Se i numeri complessi sono espressi mediante le coordinate polari, l'espressione è più semplice da esprimere e ricordare: il risultato della divisione tra formula_7 e formula_8, con "p", "q", "r" e "s" reali e finiti e "r" diverso da zero, è dato da
La divisione tra due polinomi (a coefficienti interi) può anch'essa venire definita come l'operazione inversa della moltiplicazione: come nel caso dei numeri interi, generalmente si otterrà un polinomio quoziente e un resto. Per maggiori informazioni su come viene condotta l'operazione, si veda la regola di Ruffini.
Nelle algebre astratte, come quella delle matrici e nei quaternioni, frazioni come formula_10 sono tipicamente definite come formula_11 oppure formula_12, quando "b" è un elemento invertibile (vale a dire, esiste un altro elemento "c" tale che "bc" = "cb" = 1, dove 1 è l'identità moltiplicativa; l'elemento "c" viene generalmente scritto come "b"). In un dominio d'integrità, in cui possono non esistere gli inversi, più che di "divisione" si può parlare di "cancellazione", nelle equazioni della forma "ab" = "ac" o "ba" = "ca", dove "a" viene cancellato da entrambi i membri.
La funzione quoziente di due funzioni "f" e "g" è la funzione "h" il cui valore in un punto "x" è dato da formula_13. È definita nell'intersezione dei due domini di "f" e "g", ad eccezione dei valori "x" che annullano la "g".
La derivata del quoziente di due funzioni è data dalla regola del quoziente:
Non esiste una regola generale per integrare il quoziente di due funzioni.
