
In matematica, una divisione per zero è una divisione della forma formula_1. Il risultato non esiste (cioè l'espressione non ha significato) in aritmetica e in algebra.
È piuttosto diffusa l'errata opinione per cui il valore di formula_1 sarebbe formula_3 (infinito). Questa affermazione fa riferimento, in modo non del tutto corretto, a un'interpretazione della divisione in termini della teoria dei limiti dell'analisi matematica.
Un primissimo riferimento registrato dell'impossibilità di assegnare un risultato alla divisione per zero si ha nella critica al calcolo infinitesimale contenuta in "The Analyst" di George Berkeley.
Esistono comunque particolari strutture matematiche all'interno delle quali la divisione per zero potrebbe essere definita in modo consistente (per esempio, la sfera di Riemann).
In informatica, e in particolare nell'implementazione elettronica dell'aritmetica nelle ALU dei processori, una divisione per zero causa un'eccezione (o "trap") hardware e di conseguenza (in genere) la terminazione del programma che ha tentato l'operazione. Nei linguaggi interpretati come Java, un tentativo di eseguire una divisione per zero viene generalmente intercettato dall'interprete, che segnala l'anomalia (per esempio attraverso una eccezione) senza tentare di eseguire l'operazione. In JavaScript, al contrario, il risultato è Infinity.
Il "brahmasphutasiddhanta" di Brahmagupta è il più antico testo conosciuto che tratta lo zero come un numero vero e proprio e che cerca di definire le operazioni che lo riguardano. L'autore tuttavia dà alla divisione per zero un significato che noi considereremmo scorretto; secondo Brahmagupta, infatti:
Nell'830, Mahavira tentò senza successo di correggere l'errore di Brahmagupta nel suo libro "Ganita Sara Samgraha":
Bhaskara II tentò di risolvere il problema definendo formula_4. Questa definizione non è priva di senso, ma può portare a paradossi se non viene trattata con attenzione. È difficile che Bhaskara II abbia compreso tutti i problemi connessi, quindi la sua soluzione non viene considerata corretta.
È generalmente stabilito fra i matematici che un modo naturale per interpretare la divisione per zero è prima definire la divisione in termini di altre operazioni aritmetiche. Stando alle normali regole per l'aritmetica su interi, numeri razionali, numeri reali e numeri complessi, il valore di una divisione per zero è "indefinito", così come in un qualunque campo. Il motivo è che la divisione è definita in modo da essere l'operazione inversa della moltiplicazione. Questo significa che il valore di formula_5 è la soluzione formula_6 dell'equazione
qualora un tale valore esista e sia unico. In caso contrario l'espressione formula_5 è indefinita. Per formula_9, l'equazione formula_10 può essere riscritta come formula_11 o semplicemente formula_12. Quindi, in questo caso, l'equazione formula_10 ha "nessuna soluzione" se formula_14 è diverso da formula_15, e ne ha "infinite" se formula_16 è uguale a formula_15. In entrambi i casi, formula_5 è indefinito. Al contrario, negli insiemi numerici menzionati sopra, l'espressione formula_5 è "sempre" definita se formula_20 non è uguale a zero.
È possibile nascondere una divisione per zero in una dimostrazione algebrica, portando ad un sofisma algebrico simile a come segue:
La fallacia è nell'assumere che la divisione per formula_24, dunque per zero, sia definita. In pratica, la divisione per un termine in una qualunque dimostrazione algebrica richiede o una esplicita assunzione che il termine non sia mai zero o una separata giustificazione che mostri che tale termine non possa mai essere zero.
Simili proposizioni sono vere in strutture algebriche più generali, come in un anello o in un campo. In un campo, ogni elemento non zero è invertibile sotto la moltiplicazione, così, come sopra, la divisione pone problemi solo durante la divisione per zero. In altri anelli, però, anche la divisione per elementi non zero può porre problemi. Consideriamo, per esempio, l'anello formula_30 degli interi modulo 6. Quale significato dobbiamo dare all'espressione formula_31.
Questa dovrebbe essere la soluzione formula_6 dell'equazione
Ma l'equazione ha due distinte soluzioni, e per cui l'espressione è indefinita. Il problema sorge poiché 2 non è invertibile rispetto alla moltiplicazione.
Ad un primo acchito, potrebbe sembrare possibile definire formula_34 considerando il limite di formula_5 con formula_36 che tende a formula_15.
Con formula_36 che tende a formula_15 da destra (positivo), per ogni formula_14 maggiore di zero (positivo), è noto che:
invece per ogni formula_14 minore di zero (negativo),
Studiando invece il limite con formula_36 che tende a formula_15 da sinistra (negativo), per formula_14 positivo
e per formula_14 negativo
Tuttavia usando l'equazione
si giunge al risultato errato formula_51 (che è scaturito dal non considerare la diversità del limite destro e sinistro in formula_15). Si potrebbe anche condurre uno studio considerando un "infinito senza segno", ma la definizione che ne risulterebbe non sarebbe utile in questo contesto poiché non sarebbe compatibile con la struttura dei numeri reali di campo ordinato.
L'equazione
ancora non possiede soluzione per ogni formula_14 finito. Inoltre, non vi è nessuna definizione ovvia di formula_55 che possa essere derivata considerando il limite di una divisione. Il limite
non esiste. Limiti nella forma
nei quali sia formula_58 e formula_59 tendono a formula_15 quando formula_6 tende a formula_15, possono convergere a qualunque valore o non convergere affatto. Vedere la regola di De L'Hôpital per discussioni ed esempi sui limiti di rapporti.
Nella teoria delle distribuzioni si può estendere la funzione formula_63 ad una distribuzione sullo spazio intero dei numeri reali (utilizzando il valore principale di Cauchy). Non ha comunque senso chiedere il 'valore' di questa distribuzione con formula_64; una risposta sofisticata si appoggia al supporto singolare della distribuzione.
Anche se la divisione per zero è indefinita coi numeri reali e gli interi è possibile definirla consistentemente in altre strutture matematiche, per esempio sulla sfera di Riemann (vedere anche i poli in analisi complessa). Nei numeri iperreali e nei numeri surreali la divisione per infinitesimi è possibile. Se un sistema numerico forma un anello commutativo, come gli interi, i numeri reali e i numeri complessi, per esempio, può essere esteso ad una ruota nella quale la divisione per zero è sempre possibile, anche se la divisione ha un significato leggermente diverso.
Nello standard IEEE 754 per la virgola mobile, supportato da praticamente tutti i moderni processori, viene specificato che ogni operazione aritmetica in virgola mobile, compresa la divisione per zero, ha un risultato ben definito. Nell'aritmetica IEEE 754, formula_34 è infinito positivo quando formula_14 è positivo, infinito negativo quando formula_14 è negativo, e NaN ("not a number") quando formula_68. Queste definizioni derivano dalle proprietà dei limiti di rapporti, come discusso sopra.
La divisione intera per zero è generalmente gestita differentemente poiché non vi è una rappresentazione intera per il risultato. La maggior parte dei processori genera una eccezione quando viene tentata la divisione intera per zero. Il risultato è tipicamente la terminazione del programma anche se in alcuni casi (specialmente quelli che impiegano l'aritmetica a virgola fissa nel caso in cui non sia disponibile hardware dedicato per la virgola mobile) viene impiegato un comportamento simile allo standard IEEE, utilizzando grandi numeri positivi e negativi per approssimare gli infiniti.


L'aritmetica (dal greco ἀριθμός = numero) è la più antica branca della matematica, quella che studia le proprietà elementari delle "operazioni aritmetiche" sui numeri, specialmente i numeri interi.
È praticata quotidianamente da tutti per scopi molto semplici, come contare oggetti, valutare costi, stabilire distanze; viene utilizzata anche per scopi avanzati, ad esempio in complessi calcoli finanziari o nella tecnologia delle comunicazioni (crittografia).
I matematici talvolta usano il termine aritmetica per indicare la teoria dei numeri; questa disciplina però tratta problemi più avanzati e specifici rispetto all'aritmetica elementare e non viene presa in considerazione nel presente articolo.
La preistoria dell'aritmetica si limita ad un piccolo numero di piccoli artefatti che testimoniano una chiara concezione dell'addizione e della sottrazione; la prima fonte è l'osso d'Ishango rinvenuto nell'Africa centrale, datata circa tra il 20,000 e il 18,000 a.C.
È chiaro che i babilonesi avevano una solida conoscenza di quasi tutti gli aspetti dell'aritmetica elementare già intorno al 1800 a.C., anche se gli storici possono solo avanzare congetture sopra i metodi utilizzati per ottenere i risultati delle operazioni aritmetiche; questo è il caso dei risultati presentati nella tavoletta d'argilla Plimpton 322, che si presenta come una lista di terne pitagoriche; non si ha invece la possibilità di mostrare in qual modo questa lista sia stata originariamente prodotta. Similmente gli egizi, attraverso il Papiro di Rhind (che risale al 1650 a.C. circa, ma che, con ogni evidenza, è una copia di un vecchio testo del 1850 a.C. circa) testimoniano che le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione venivano effettuate all'interno di un sistema basato su frazioni unitarie.
Nicomaco di Gerasa, nella sua opera "Introduzione all'aritmetica", ha presentato concisamente l'approccio filosofico pitagorico ai numeri, e alle loro mutue relazioni. In quei tempi le operazioni aritmetiche di base costituivano attività molto complesse ed impegnative; è stato il metodo noto come il «Metodo degli indiani» (in latino "Modus Indorum"), che ha condotto all'aritmetica che conosciamo oggi. L'aritmetica indiana è stata molto più semplice di quella greca, a causa della semplicità del sistema di numerazione indiano, che per primo è riuscito a servirsi del numero zero e di una notazione posizionale. Nel VII secolo il vescovo siriaco Severo Sebokht menzionava questo metodo con ammirazione, precisando tuttavia che il metodo degli indiani si presentava senza alcuna descrizione.
Gli arabi appresero questo nuovo metodo e lo chiamarono "hesab". Leonardo Fibonacci (noto anche come Leonardo di Pisa), ha introdotto in Europa il metodo degli indiani nel 1202. Nel suo "Liber Abaci", Fibonacci afferma che, rispetto a questo nuovo metodo, tutti gli altri metodi sono stati sbagliati. Nel Medioevo, l'aritmetica era una delle sette Arti Liberali e veniva insegnata nelle università. Francesco Pellos ne compendiò lo stato nel XV secolo.
I moderni algoritmi dell'aritmetica (utilizzati sia per calcoli manuali che per calcoli automatici) sono stati resi possibili dalla introduzione dei numerali arabi e della loro notazione numerica posizionale e decimale. L'aritmetica araba basata sui numerali era stata sviluppata dai grandi matematici indiani Aryabhatta, Brahmagupta e Bhāskara I. Aryabhatta ha tentato di usare diverse notazioni posizionali e Brahmagupta ha arricchito dello zero il sistema numerico indiano. Brahmagupta ha messo a punto i procedimenti moderni per moltiplicazione, divisione, l'addizione e sottrazione basate sulle cifre decimali. Sebbene oggi siano ormai considerati elementari, questi procedimenti per la loro semplicità costituiscono il punto di arrivo di migliaia di anni di sviluppo della matematica. Per contrasto l'antico matematico Archimede ha dedicato un'intera opera, l"'Arenario ", a mettere a punto una notazione per un certo numero intero molto grande. Alla fioritura dell'algebra nel mondo islamico medievale e nell'Europa Rinascimentale ha contribuito in misura significativa anche l'enorme semplificazione dei calcoli numerici consentita dalla notazione decimale.
Il sistema numerico decimale è un sistema di numerazione posizionale che rappresenta i numeri a partire dalle cifre base da 0 a 9. Un numero decimale consiste in una sequenza di queste cifre base. Il valore di ciascuna cifra che compone il numero dipende dalla posizione che la cifra occupa nella notazione. Una parte essenziale di questo sistema (e un grande traguardo concettuale) è stato pensare allo 0 come ad un numero comparabile alle altre cifre base.
Le operazioni aritmetiche tradizionali sono addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, sebbene vengano a volte incluse nella materia anche operazioni più avanzate come l'elevamento a potenza, l'estrazione di radice, i logaritmi e l'uso delle percentuali. I calcoli aritmetici vengono effettuati rispettando l'ordine delle operazioni. Qualunque insieme su cui possono essere effettuate tutte e quattro le operazioni aritmetiche (eccetto la divisione per 0), e in cui le quattro operazioni godono delle comuni proprietà, è chiamato campo.
Il termine "aritmetica" è usato anche per riferirsi alla teoria dei numeri. Quest'ultima studia le proprietà degli interi collegate ai numeri primi, la divisibilità, e le soluzioni intere delle equazioni, che sono argomenti in rapida crescita nella matematica moderna. È in questo contesto che si incontrano il teorema fondamentale dell'aritmetica e le funzioni aritmetiche.
In generale nella scuola elementare vengono insegnati gli algoritmi di calcolo manuali per eseguire le quattro operazioni nell'insieme dei numeri naturali e dei numeri razionali positivi nella forma decimale; nelle medie inferiori gli algoritmi di queste stesse operazioni eseguite su frazioni e vengono introdotti l'insieme dei numeri razionali e quello dei numeri reali.
Sempre alle medie inferiori si studiano le operazioni di elevamento a potenza, di estrazione di radice (in particolare la radice quadrata), di massimo comune divisore e di minimo comune multiplo. Tradizionalmente si insegnava l'algoritmo manuale di estrazione di radice quadrata, ma ciò ora non è più sempre vero, visto che molti insegnanti preferiscono insegnare l'uso delle tavole numeriche o quello del calcolatore tascabile. Viene inoltre appreso il metodo di approssimazione dei risultati. Vengono introdotte le proporzioni e la proporzionalità e le sue applicazioni alla risoluzione di problemi del tre semplice e del tre composto, di ripartizione e di applicazioni di matematica finanziaria.
Nelle scuole medie superiori si studiano i logaritmi; anche qui si è passati dall'apprendimento dell'uso del regolo calcolatore a quello del calcolatore o del computer. Entrambi questi strumenti sono ampiamente utilizzati terminati gli studi per eseguire calcoli numerici.
