
In matematica, una circonferenza unitaria è una circonferenza di raggio unitario, cioè una circonferenza il cui raggio è formula_1. Frequentemente, specialmente in trigonometria, la circonferenza unitaria è centrata nell'origine formula_2 in un sistema di coordinate cartesiane nel piano euclideo.
La circonferenza unitaria è spesso indicata con formula_3; la generalizzazione a più dimensioni è la sfera unitaria.
Se formula_4 è un punto della circonferenza unitaria del primo quadrante, allora formula_5 e formula_6 sono le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo la cui ipotenusa ha lunghezza 1. Quindi, per il teorema di Pitagora, formula_5 e formula_6 soddisfano l'equazione
Poiché formula_10 per ogni formula_5, e poiché la riflessione di ogni punto della circonferenza unitaria sull'asse formula_5 (o formula_6) appartiene ancora alla circonferenza unitaria, l'equazione precedente vale per ogni punto formula_4 della circonferenza unitaria, non solo nel primo quadrante.
Si può anche usare la nozione di "distanza" per definire altre "circonferenze unitarie".
Ovvero le si può definire come il luogo dei punti che hanno distanza unitaria (modulo uguale a formula_1) dall'origine. In coordinate polari l'equazione sarà
Vedere la voce sugli spazi normati per alcuni esempi.
Il cerchio unitario è il luogo dei punti del piano aventi una distanza minore o uguale all'unità da un punto detto centro del cerchio. In altri termini il cerchio unitario comprende la circonferenza unitaria e la parte di piano racchiusa dalla circonferenza stessa. Esso è indicato dalle disequazioni:
Le funzioni trigonometriche coseno e seno possono essere definite sulla circonferenza unitaria come segue. Se formula_4 è un punto della circonferenza unitaria, e se il raggio dall'origine formula_2 a formula_4 forma un angolo formula_22 con l'asse formula_5 positivo, (l'angolo misurato nel verso antiorario), allora
Per definizione delle funzioni seno e coseno, l'equazione formula_26 fornisce la relazione
che è vera per ogni formula_22 reale.
formula_22 è definito come un angolo orientato, che cioè assume un segno positivo in un verso e negativo nell'altro, a seconda della convenzione oraria o antioraria adottata. Solitamente si adotta la convenzione antioraria, e si suppone che l'angolo sia positivo spostandosi dall'asse delle ascisse in senso antiorario. Una circonferenza con tale angolo orientato è detta circonferenza goniometrica.
La circonferenza trigonometrica è una circonferenza goniometrica di raggio unitario (ossia goniometrica e unitaria). Essa è detta trigonometrica perché per definire seno, coseno, e da essi tutte le altre funzioni trigonometriche, servono un angolo orientato e un raggio unitario. Gli altri elementi presenti nei disegni sono una costruzione di geometria euclidea.
La circonferenza unitaria fornisce un modo intuitivo per visualizzare il seno e il coseno come funzioni periodiche, con le identità
Queste identità discendono dal fatto che le coordinate formula_5 e formula_6 di un punto sulla circonferenza unitaria rimangono le stesse incrementando o decrementando l'angolo formula_22 di un numero qualsiasi di giri (1 giro = 2π radianti).
Quando si lavora con triangoli rettangoli, seni, coseni, e altre funzioni trigonometriche ha senso parlare di misura di angoli maggiore di zero e minore di π/2. Tuttavia, usando la circonferenza unitaria, queste funzioni hanno un significato intuitivo per ogni misura di angolo reale.
In effetti, non solo seno e coseno, ma tutte le sei funzioni trigonometriche standard — seno, coseno, tangente, cotangente, secante, e cosecante, come anche le funzioni arcaiche come senoverso e exsecante — possono essere definite geometricamente in termini della circonferenza unitaria.
Prendendo in considerazione solo la parte della circonferenza descritta dall'equazione formula_36 che la rappresenta nel 1° e nel 2º secondo quadrante, l'area di questa si calcolerà
con un integrale formula_37. Allo stesso modo prendendo in considerazione la parte formula_38,che descrive la circonferenza nel 3° e nel 4° quadrante, l'integrale che ne definisce l'area sarà formula_39. Si può dire pertanto che l'area della circonferenza unitaria ha come valore formula_40, visto che si può considerare come la somma dei due integrali
formula_41.
Si può inoltre dimostrare la veridicità di questa formula attraverso l'utilizzo della formula per calcolare l'area è formula_42.
Sapendo che formula_43 otteniamo che formula_44 C.V.D.
Ogni numero complesso può essere identificato con un punto del piano euclideo, chiamando il numero complesso formula_45 esso è identificato con il punto formula_46. Con questa relazione la circonferenza unitaria è un gruppo sotto la moltiplicazione, chiamato anche gruppo circolare. Questo gruppo ha importanti applicazioni in matematica e nelle scienze.


In geometria una circonferenza è il luogo geometrico di punti del piano equidistanti da un punto fisso detto "centro". La distanza da qualsiasi punto della circonferenza dal centro si definisce raggio.
Le circonferenze sono curve chiuse semplici che dividono il piano in una superficie interna ed una esterna (infinita).
La superficie del piano contenuta in una circonferenza, insieme alla circonferenza stessa, prende il nome di cerchio, per cui: 
Per le altre superfici del piano geometrico, la lingua italiana non distingue l'area e il perimetro con due parole differenti. In inglese, oltre alle corrispondenti "circumference" e "circle", la parola "disk" indica una regione del piano con alcune importanti proprietà, che può essere chiusa, oppure aperta, se "non" contiene il cerchio che essa delimita. Nota la circonferenza di un cerchio, per qualsiasi superficie (chiusa) del piano geometrico si può disegnare una circonferenza inscritta ed una circonferenza circoscritta.
La circonferenza è il caso particolare di una ellisse, in cui i due fuochi coincidono in uno stesso punto, che è il centro della circonferenza: l'ellisse ha due centri (detti fuochi), la circonferenza ha invece un solo centro. Si dice quindi che la circonferenza ha eccentricità nulla. 
Ugualmente, la formula di calcolo per l'area del cerchio è un caso particolare della formula per l'area di un'ellisse.
Mediante il calcolo delle variazioni si dimostra che la circonferenza è la Figura piana che delimita la massima area per unità di perimetro quadrato.
Una circonferenza è inoltre un particolare caso di simmetria centrale, dal momento che tutti i punti della circonferenza sono equidistanti dal centro della stessa.
La formula per trovare la lunghezza della circonferenza è:
oppure:
Dove:
In geometria analitica una circonferenza in un piano può essere descritta utilmente sia mediante le coordinate cartesiane, sia mediante le coordinate polari, sia in forma parametrica.
In un sistema di riferimento cartesiano formula_8, la circonferenza di centro formula_9 e raggio formula_6 è il luogo dei punti caratterizzati dall'equazione:
cioè è l'insieme di tutti e soli i punti che distano formula_6 da formula_9.
All'equazione più generale si dà spesso la forma canonica:
collegata alla precedente dalle seguenti eguaglianze:
Da ciò segue che se formula_21 la circonferenza degenera in un solo punto, formula_22, se formula_23 il luogo geometrico (nel piano cartesiano reale) descritto dall'equazione non è una circonferenza, ma l'insieme vuoto.
Se il centro della circonferenza è l'origine formula_24, l'equazione diventa:
Se la circonferenza passa per l'origine formula_24, formula_27 e l'equazione diventa:
Se la circonferenza ha centro sull'asse x, formula_29 e l'equazione diventa:
Se la circonferenza ha centro sull'asse y, formula_31 e l'equazione diventa:
Nelle coordinate polari formula_33 e formula_34 l'equazione della circonferenza con centro nell'origine e raggio formula_6 è evidentemente data dall'equazione:
Una circonferenza formula_37 il cui centro ha coordinate formula_38 e raggio formula_39 viene descritta con la seguente forma parametrica:
formula_40
Basta usare l'equazione formula_41.
A questo problema sono riconducibili anche i seguenti
Basta ricordare che l'asse di una corda passa sempre per il centro della circonferenza. La procedura risolutiva è la seguente:
Il problema ha tre incognite: i coefficienti formula_42 dell'equazione canonica della circonferenza formula_43.
Si impone il passaggio per i tre punti dati dal problema e si ottiene un sistema lineare in tre equazioni e tre incognite formula_42.
Basta ricordare che la distanza della retta tangente dal centro è pari al raggio della circonferenza stessa. La procedura risolutiva è la seguente:
Basta ricordare che in un sistema di secondo grado (retta-circonferenza) la condizione di tangenza si ha quando il sistema ammette due soluzioni reali e coincidenti, cioè quando l"'equazione associata" di secondo grado al sistema ha formula_45.
Questo problema è risolto ricordando che la retta tangente alla circonferenza è perpendicolare al raggio nel suo punto di tangenza. Quindi, salvo casi particolari in cui la tangente è parallela all'asse y, la procedura risolutiva è la seguente:
Alternativamente è sufficiente usare la "formula di sdoppiamento" della circonferenza, così l'equazione della retta tangente alla circonferenza formula_43 nel punto formula_47 è semplicemente l'equazione
dove formula_49 sono dati.
Nel piano complesso una circonferenza di centro l'origine e raggio formula_39 può essere espressa dall'equazione parametrica
per formula_52.
Per rendersi conto che tale formula descrive una circonferenza è sufficiente considerare le equazioni parametriche descritte sopra e confrontarle con la formula di Eulero.
È possibile descrivere una circonferenza nello spazio come intersezione di una sfera S con un piano formula_4. Per calcolare il raggio di una circonferenza descritta nel seguente modo si può utilizzare il teorema di Pitagora:
formula_57.
La circonferenza
formula_58
è l'intersezione del piano
con la sfera "S" di centro origine e raggio 2.
La distanza del centro della sfera dal piano vale formula_60.
La distanza del centro della sfera dal piano è minore del raggio della sfera. Quindi il piano formula_4 interseca la sfera "S". A questo punto il raggio formula_56 della circonferenza si calcola utilizzando il teorema di Pitagora:
Tutte le circonferenze sono simili; di conseguenza, la circonferenza è proporzionale al raggio:
Una retta che incontra una circonferenza in due punti si chiama secante, mentre una che tocca la circonferenza in un solo punto, chiamato punto di tangenza, si chiama tangente. Il raggio che congiunge il centro della circonferenza con il punto di tangenza è sempre perpendicolare alla tangente. Presi due punti sulla circonferenza, questi dividono la circonferenza in due archi. Se i due archi sono della stessa lunghezza si chiamano semicirconferenze. Il segmento che congiunge due punti sulla circonferenza si chiama corda. La corda di lunghezza massima, che passa per il centro, si chiama diametro, ed equivale al doppio del raggio.
Per due punti passano infinite circonferenze, ed il luogo dei loro centri è l'asse del segmento che congiunge i due punti. La perpendicolare condotta dal centro di una circonferenza a una sua corda la divide a metà. Due corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro. Se da un punto formula_65, esterno a una circonferenza di centro formula_66 si tracciano le rette formula_6 e formula_68 a essa tangenti, i segmenti di tangente compresi tra formula_65 e i punti di contatto con la circonferenza sono congruenti e il segmento formula_70 è bisettrice dell'angolo formula_71 di vertice formula_65.
Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza, il cui centro coincide con l'intersezione degli assi dei segmenti che congiungono i punti. L'equazione della circonferenza passante per i punti formula_73, formula_74, formula_75 si può esprimere nel seguente modo:
dove l'espressione a sinistra è il determinante della matrice.
Date due circonferenze che si intersecano, si definisce asse radicale la retta passante per i due punti in comune ("punti base"). Con semplici calcoli, partendo dall'equazione canonica e indicando con apici i coefficienti della seconda circonferenza, si ottiene che questa retta ha equazione formula_77 ed è perpendicolare alla retta che congiunge i centri delle circonferenze. La definizione si estende facilmente al caso di circonferenze tangenti, chiamando asse radicale la retta tangente alle due circonferenze nel punto comune. Questo concetto può essere ulteriormente generalizzato considerando i fasci di circonferenze. Approccio che, tra l'altro, permette di trattare unitariamente i suddetti casi.
Una "circonferenza topologica" si ottiene considerando un intervallo chiuso sulla retta reale e dotandolo della topologia quoziente che si ha identificando gli estremi.
La circonferenza è dotata di una naturale struttura di varietà differenziabile di dimensione 1, è uno spazio compatto e connesso ma non semplicemente connesso, infatti il suo gruppo fondamentale è il gruppo formula_78 dei numeri interi.
La circonferenza è naturalmente dotata della struttura algebrica di gruppo: possiamo identificare ogni punto della circonferenza con l'angolo che esso forma rispetto ad una semiretta prefissata (in genere l'asse delle ascisse in un sistema di riferimento cartesiano) e definire la "somma" di due punti individuati dagli angoli formula_79 e formula_80 come il punto individuato dall'angolo formula_81. È immediato verificare che la circonferenza dotata di questa operazione verifica le proprietà di un gruppo e che come "gruppo" è isomorfo al gruppo quoziente formula_82.
La circonferenza è un esempio di gruppo di Lie.
