
In matematica, in particolare nel calcolo vettoriale, il prodotto vettoriale è un'operazione binaria interna tra due vettori in uno spazio euclideo tridimensionale che restituisce un altro vettore che è normale al piano formato dai vettori di partenza.
Il prodotto vettoriale è indicato con il simbolo formula_1 o con il simbolo formula_2. Il secondo simbolo è però anche usato per indicare il "prodotto esterno" (o "prodotto wedge") nell'algebra di Grassmann, di Clifford e nelle forme differenziali. Storicamente, il prodotto esterno è stato definito da Grassmann circa trent'anni prima che Gibbs e Heaviside definissero il prodotto vettoriale.
Il prodotto vettoriale tra due vettori formula_3 e formula_4 in formula_5 è definito come il vettore a loro perpendicolare:
dove formula_7 è l'angolo tra formula_3 e formula_4 e formula_10 è un versore normale al piano formato da formula_3 e formula_4, che fornisce la direzione del prodotto vettoriale. Si nota che il modulo formula_13 del prodotto vettoriale è l'area del parallelogramma individuato dai due vettori formula_3 e formula_4.
Esplicitamente, detti formula_16, formula_17 e formula_18 i vettori di una base ortonormale di formula_5, il prodotto di formula_20 e formula_21 può essere scritto in tale base come il determinante di una matrice (con un abuso di notazione):
Poiché il prodotto vettoriale tra due vettori non appartiene allo spazio di partenza, ci si riferisce ad esso come a uno pseudovettore. Sono ad esempio degli pseudovettori (detti anche vettori assiali) il momento angolare, la velocità angolare, il campo magnetico.
Dal momento che vi sono due versori formula_10 e formula_24 perpendicolari sia ad formula_3 che a formula_4, convenzionalmente si sceglie formula_27 in modo tale che i vettori formula_3, formula_4 ed formula_30 siano orientati secondo un sistema destrogiro se il sistema di assi coordinati formula_31 è destrogiro, oppure sinistrogiro se il sistema di assi è sinistrogiro. L'orientazione del versore formula_27 dipende quindi dall'orientazione dei vettori nello spazio, ovvero dalla chiralità del sistema di coordinate ortonormali.
Un modo semplice per determinare il verso del prodotto vettore è la «regola della mano destra». In un sistema destrogiro si punta il pollice nella direzione del primo vettore, l'indice in quella del secondo, il medio dà la direzione del prodotto vettore. In un sistema di riferimento sinistrogiro (terna sinistrosa) basta invertire il verso del prodotto vettore, ovvero usare la mano sinistra.
Un altro semplice metodo è quello della "vite destrorsa". In un sistema destrogiro si simula il movimento di avvitatura o di svitatura di una vite destrorsa; guardato dall'alto, se ruotando il primo vettore verso il secondo la rotazione è oraria, la vite verrà avvitata e quindi il verso del vettore sarà rivolto verso il basso; viceversa, se si compie una rotazione antioraria, la vite sarà svitata ed il verso del vettore sarà rivolto verso l'alto.
Il prodotto vettoriale formula_33 può essere definito in termini del tensore di Levi-Civita formula_34 come:
dove gli indici formula_36 sono le componenti ortogonali del vettore, usando la notazione di Einstein.
Il prodotto triplo di tre vettori è definito come:
Si tratta del volume con segno del parallelepipedo con lati formula_57, formula_58 e formula_59, e tali vettori possono essere interscambiati:
Un altro prodotto a tre vettori, detto "doppio prodotto vettoriale", è legato al prodotto scalare dalla formula:
Come caso speciale si ha:
Si tratta di una relazione particolarmente utile nel calcolo differenziale, in quanto riguarda l'equivalenza tra il rotore doppio e la differenza fra il gradiente della divergenza formula_63 e il laplaciano formula_64.
Un'altra relazione che lega il prodotto vettoriale con il prodotto triplo è:
Mentre per:
e più in generale:
Un'utile identità è:
che può essere confrontata con l'identità di Lagrange espressa come:
in cui formula_3 e formula_4 sono vettori "n"-dimensionali. Questo mostra che la forma di volume Riemanniana per le superfici è esattamente l'elemento di superficie del calcolo vettoriale. Nel caso tridimensionale, combinando le due precedenti relazioni si ottiene il modulo del prodotto vettoriale scritto attraverso le componenti:
Si tratta di un caso speciale delle moltiplicazione formula_73 della norma nell'algebra dei quaternioni.
La regola di Leibniz si applica anche al prodotto vettoriale:
come si può dimostrare utilizzando la rappresentazione tramite moltiplicazione tra matrici.
Il prodotto vettoriale è largamente adoperato anche in fisica e in ingegneria, oltre che in geometria e in algebra.
Si riporta un elenco - non esaustivo - di alcune applicazioni.
Il momento angolare formula_75 di un corpo è definito come:
dove formula_77 è il vettore quantità di moto, mentre formula_78 è il vettore-posizione del corpo rispetto al polo di riferimento. 
Analogamente, il momento di una forza
è definito come:
dove formula_80 è la forza applicata al punto individuato dal raggio vettore formula_78.
Poiché posizione formula_78, quantità di moto formula_77
e forza formula_80 sono tutti "vettori polari", 
sia il momento angolare formula_75
sia il momento meccanico formula_86
sono "pseudo-vettori" o "vettori assiali"
Il prodotto vettoriale compare anche nella descrizione dei moti di rotazione.
Ad esempio, per due punti "P" e "Q" su un corpo rigido vale la seguente "legge di trasporto"
delle velocità:
dove formula_78 è la posizione di un punto, formula_89 la sua velocità
e formula_90 la velocità angolare del corpo rigido.
Poiché posizione formula_78 e velocità formula_89
sono "vettori polari", la velocità angolare formula_90 è uno "pseudo-vettore".
Data una particella puntiforme, la forza elettromagnetica esercitata su di essa è pari a:
dove:
Si noti che la componente magnetica della forza è proporzionale al prodotto vettoriale tra 
formula_89 e formula_101 , pertanto
essa risulta sempre perpendicolare alla velocità formula_89
e non compie lavoro.
Poiché velocità formula_89, forza formula_80
e campo elettrico formula_105 sono tutti "vettori polari", 
il campo magnetico formula_101 è uno "pseudo-vettore".
Il prodotto esterno (prodotto wedge) di due vettori è un bivettore, cioè un elemento di piano orientato (analogamente ad un vettore che può essere visto come un elemento di linea orientato). Dati due vettori formula_107 e formula_108, il bivettore formula_109 è il parallelogramma orientato formato dai due vettori formula_107 e formula_108. Il prodotto vettoriale si ottiene considerando il duale di Hodge del bivettore formula_109:
che mappa bivettori in vettori. Si può pensare a tale prodotto come un elemento multidimensionale, che in tre dimensioni è un vettore, che è "perpendicolare" al bivettore.
Non esiste un analogo del prodotto vettoriale in spazi di dimensione maggiore che restituisca un vettore. Il prodotto esterno, tuttavia, gode di proprietà molto simili, anche se produce un bivettore e non un vettore. Il duale di Hodge del prodotto wedge produce un vettore di formula_114 componenti che è una naturale generalizzazione del prodotto vettoriale in dimensione arbitraria.
Il prodotto vettoriale può essere visto come uno dei più semplici prodotti di Lie, ed è pertanto generalizzato dalle algebre di Lie, che sono assiomatizzate come prodotti binari soddisfacenti gli assiomi di multilinearità, antisimmetria e l'identità di Jacobi. Ad esempio, l'algebra di Heisenberg fornisce un'altra struttura di algebra di Lie su formula_5. Nella base formula_116 il prodotto è:
Un prodotto esterno per vettori 7-dimensionali può essere ottenuto similmente utilizzando gli ottonioni invece dei quaternioni. Invece non possono esistere altre estensioni del prodotto vettoriale che restituiscano un vettore
e ciò è collegato al fatto che le sole algebre di divisione normate sono quelle con dimensioni 1,2,4 e 8.
Se però si considera il risultato dell'operazione non più come un vettore o pseudovettore ma come una matrice, allora è possibile estendere l'idea di prodotto vettoriale in qualsiasi numero di dimensioni
In meccanica, ad esempio, la velocità angolare può essere interpretata sia come uno pseudo-vettore formula_118 sia come una matrice antisimmetrica formula_119. In quest'ultimo caso
la "legge di trasporto" delle velocità per un corpo rigido sarà:
dove formula_119 è definita formalmente a partire dalla matrice di rotazione formula_122 del corpo rigido:
formula_123
In ambito quantistico anche il momento angolare formula_124 viene spesso rappresentato con una matrice antisimmetrica
risultato di un prodotto tra posizione formula_125 e
quantità di moto formula_77:
Dato che formula_125 e formula_77 possono avere un numero arbitrario formula_130 di componenti, questa forma di prodotto "vettoriale" (che pure non produce un vettore) si può generalizzare in qualsiasi dimensione, pur conservando l'interpretazione "fisica" dell'operazione stessa.
Nel contesto dell'algebra multilineare il prodotto vettoriale può essere visto come un tensore (misto) di ordine (1,2), nello specifico una mappa bilineare, ottenuto da una forma di volume tridimensionale per innalzamento degli indici.
Il prodotto vettoriale × è rappresentato come:


L'aritmetica (dal greco ἀριθμός = numero) è la più antica branca della matematica, quella che studia le proprietà elementari delle "operazioni aritmetiche" sui numeri, specialmente i numeri interi.
È praticata quotidianamente da tutti per scopi molto semplici, come contare oggetti, valutare costi, stabilire distanze; viene utilizzata anche per scopi avanzati, ad esempio in complessi calcoli finanziari o nella tecnologia delle comunicazioni (crittografia).
I matematici talvolta usano il termine aritmetica per indicare la teoria dei numeri; questa disciplina però tratta problemi più avanzati e specifici rispetto all'aritmetica elementare e non viene presa in considerazione nel presente articolo.
La preistoria dell'aritmetica si limita ad un piccolo numero di piccoli artefatti che testimoniano una chiara concezione dell'addizione e della sottrazione; la prima fonte è l'osso d'Ishango rinvenuto nell'Africa centrale, datata circa tra il 20,000 e il 18,000 a.C.
È chiaro che i babilonesi avevano una solida conoscenza di quasi tutti gli aspetti dell'aritmetica elementare già intorno al 1800 a.C., anche se gli storici possono solo avanzare congetture sopra i metodi utilizzati per ottenere i risultati delle operazioni aritmetiche; questo è il caso dei risultati presentati nella tavoletta d'argilla Plimpton 322, che si presenta come una lista di terne pitagoriche; non si ha invece la possibilità di mostrare in qual modo questa lista sia stata originariamente prodotta. Similmente gli egizi, attraverso il Papiro di Rhind (che risale al 1650 a.C. circa, ma che, con ogni evidenza, è una copia di un vecchio testo del 1850 a.C. circa) testimoniano che le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione venivano effettuate all'interno di un sistema basato su frazioni unitarie.
Nicomaco di Gerasa, nella sua opera "Introduzione all'aritmetica", ha presentato concisamente l'approccio filosofico pitagorico ai numeri, e alle loro mutue relazioni. In quei tempi le operazioni aritmetiche di base costituivano attività molto complesse ed impegnative; è stato il metodo noto come il «Metodo degli indiani» (in latino "Modus Indorum"), che ha condotto all'aritmetica che conosciamo oggi. L'aritmetica indiana è stata molto più semplice di quella greca, a causa della semplicità del sistema di numerazione indiano, che per primo è riuscito a servirsi del numero zero e di una notazione posizionale. Nel VII secolo il vescovo siriaco Severo Sebokht menzionava questo metodo con ammirazione, precisando tuttavia che il metodo degli indiani si presentava senza alcuna descrizione.
Gli arabi appresero questo nuovo metodo e lo chiamarono "hesab". Leonardo Fibonacci (noto anche come Leonardo di Pisa), ha introdotto in Europa il metodo degli indiani nel 1202. Nel suo "Liber Abaci", Fibonacci afferma che, rispetto a questo nuovo metodo, tutti gli altri metodi sono stati sbagliati. Nel Medioevo, l'aritmetica era una delle sette Arti Liberali e veniva insegnata nelle università. Francesco Pellos ne compendiò lo stato nel XV secolo.
I moderni algoritmi dell'aritmetica (utilizzati sia per calcoli manuali che per calcoli automatici) sono stati resi possibili dalla introduzione dei numerali arabi e della loro notazione numerica posizionale e decimale. L'aritmetica araba basata sui numerali era stata sviluppata dai grandi matematici indiani Aryabhatta, Brahmagupta e Bhāskara I. Aryabhatta ha tentato di usare diverse notazioni posizionali e Brahmagupta ha arricchito dello zero il sistema numerico indiano. Brahmagupta ha messo a punto i procedimenti moderni per moltiplicazione, divisione, l'addizione e sottrazione basate sulle cifre decimali. Sebbene oggi siano ormai considerati elementari, questi procedimenti per la loro semplicità costituiscono il punto di arrivo di migliaia di anni di sviluppo della matematica. Per contrasto l'antico matematico Archimede ha dedicato un'intera opera, l"'Arenario ", a mettere a punto una notazione per un certo numero intero molto grande. Alla fioritura dell'algebra nel mondo islamico medievale e nell'Europa Rinascimentale ha contribuito in misura significativa anche l'enorme semplificazione dei calcoli numerici consentita dalla notazione decimale.
Il sistema numerico decimale è un sistema di numerazione posizionale che rappresenta i numeri a partire dalle cifre base da 0 a 9. Un numero decimale consiste in una sequenza di queste cifre base. Il valore di ciascuna cifra che compone il numero dipende dalla posizione che la cifra occupa nella notazione. Una parte essenziale di questo sistema (e un grande traguardo concettuale) è stato pensare allo 0 come ad un numero comparabile alle altre cifre base.
Le operazioni aritmetiche tradizionali sono addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, sebbene vengano a volte incluse nella materia anche operazioni più avanzate come l'elevamento a potenza, l'estrazione di radice, i logaritmi e l'uso delle percentuali. I calcoli aritmetici vengono effettuati rispettando l'ordine delle operazioni. Qualunque insieme su cui possono essere effettuate tutte e quattro le operazioni aritmetiche (eccetto la divisione per 0), e in cui le quattro operazioni godono delle comuni proprietà, è chiamato campo.
Il termine "aritmetica" è usato anche per riferirsi alla teoria dei numeri. Quest'ultima studia le proprietà degli interi collegate ai numeri primi, la divisibilità, e le soluzioni intere delle equazioni, che sono argomenti in rapida crescita nella matematica moderna. È in questo contesto che si incontrano il teorema fondamentale dell'aritmetica e le funzioni aritmetiche.
In generale nella scuola elementare vengono insegnati gli algoritmi di calcolo manuali per eseguire le quattro operazioni nell'insieme dei numeri naturali e dei numeri razionali positivi nella forma decimale; nelle medie inferiori gli algoritmi di queste stesse operazioni eseguite su frazioni e vengono introdotti l'insieme dei numeri razionali e quello dei numeri reali.
Sempre alle medie inferiori si studiano le operazioni di elevamento a potenza, di estrazione di radice (in particolare la radice quadrata), di massimo comune divisore e di minimo comune multiplo. Tradizionalmente si insegnava l'algoritmo manuale di estrazione di radice quadrata, ma ciò ora non è più sempre vero, visto che molti insegnanti preferiscono insegnare l'uso delle tavole numeriche o quello del calcolatore tascabile. Viene inoltre appreso il metodo di approssimazione dei risultati. Vengono introdotte le proporzioni e la proporzionalità e le sue applicazioni alla risoluzione di problemi del tre semplice e del tre composto, di ripartizione e di applicazioni di matematica finanziaria.
Nelle scuole medie superiori si studiano i logaritmi; anche qui si è passati dall'apprendimento dell'uso del regolo calcolatore a quello del calcolatore o del computer. Entrambi questi strumenti sono ampiamente utilizzati terminati gli studi per eseguire calcoli numerici.
