
Un'equazione (dal latino "aequatio") è una uguaglianza matematica tra due espressioni contenenti una o più variabili, dette "incognite". L'uso del termine risale a Leonardo Fibonacci.
Se un'equazione ha formula_1 incognite, allora ogni formula_1-upla (ordinata) di elementi che sostituiti alle corrispondenti incognite rendono vera l'uguaglianza è una "soluzione" dell'equazione. Risolvere un'equazione significa individuare l'insieme di tutte le sue soluzioni.
Il "dominio" (o "insieme di definizione") delle variabili incognite è l'insieme degli elementi per cui le espressioni ad ambo i membri dell'equazione sono definite, ovvero quell'insieme di numeri per cui l'equazione esiste. L'insieme delle soluzioni è condizionato dal dominio: per esempio l'equazione
non ammette soluzioni se il dominio è l'insieme dei numeri razionali, mentre ammette due soluzioni nei numeri reali, che possono essere scritte come formula_4. Analogamente, l'equazione
non possiede soluzioni reali ma è risolvibile se il dominio è il campo dei numeri complessi.
Due equazioni si dicono "equivalenti" se i rispettivi insiemi delle soluzioni coincidono. Vi sono due principi che consentono di manipolare le equazioni per trovare l'insieme delle soluzioni; essi sono una conseguenza diretta delle proprietà delle uguaglianze:
Tipicamente in un'equazione compaiono, oltre alle incognite, dei coefficienti noti che moltiplicano le incognite stesse e dei termini noti che sono ad esse applicati tramite somma algebrica: questi elementi, se non sono esplicitati nel loro valore numerico, sono indicati in genere con le lettere formula_13, formula_14, formula_15... mentre alle variabili incognite sono convenzionalmente attribuite le ultime lettere dell'alfabeto (formula_16, formula_17, formula_18...).
Le soluzioni di un'equazione vengono generalmente indicate esplicitando le incognite delle espressioni che contengano le costanti ed eventuali parametri arbitrari. Ad esempio, la soluzione dell'equazione
dove formula_13 è un parametro non nullo, e il dominio è l'insieme dei numeri reali, si scrive come
Un'equazione si dice:
Dal teorema fondamentale dell'algebra, segue immediatamente che un'equazione polinomiale (cioè formata da un polinomio uguagliato a zero, in una variabile) di grado formula_1 ammette sempre formula_1 soluzioni nel campo complesso, di cui alcune possono essere multiple. In altre parole, un'equazione di grado formula_1 ammette almeno formula_25 soluzione e al massimo formula_1 soluzioni complesse differenti.
Per il teorema di Abel-Ruffini, non esiste una formula generale per esprimere le radici delle equazioni polinomiali di grado formula_27 o superiore tramite una formula per radicali. Viceversa le equazioni di primo grado, secondo grado, terzo grado e quarto grado ammettono una formula risolutiva generica. Casi particolari di equazioni di grado superiore al quarto possono comunque essere risolti tramite radicali.
Il metodo delle tangenti di Newton, sotto determinate ipotesi, fornisce un algoritmo per la risoluzione numerica delle equazioni. Un altro algoritmo con ipotesi più generali è il metodo di bisezione. Le soluzioni trovate mediante metodi numerici vengono chiamate "approssimate" in contrapposizione alle soluzioni date da formule chiuse che vengono chiamate "esatte". La nomenclatura è in parte fuorviante perché i metodi approssimati possono, in alcuni casi, determinare in maniera più precisa e più veloce le soluzioni numeriche di una equazione rispetto alle formule chiuse.
Una prima classificazione delle equazioni può avvenire in questo modo:
Le equazioni algebriche possono essere divise in vari gruppi in base alle loro caratteristiche; è necessario ricordare che un'equazione deve appartenere ad almeno e solo una delle categorie per ogni gruppo.
In base al grado del polinomio:
Possono inoltre essere divise in base alla presenza di incognite al radicando di radici:
Si definisce "equazione omogenea", un'equazione algebrica in più variabili i cui termini hanno tutti lo stesso grado. Un'equazione omogenea ammette sempre la soluzione banale con tutte le variabili uguali a formula_28 e, su un campo algebricamente chiuso, ammette sempre infinite soluzioni, infatti da ogni soluzione se ne ottengono infinite altre alterandole per un fattore di proporzionalità. Ad esempio:
ha per soluzioni, sul campo dei numeri complessi la coppia formula_30 e formula_31 e la coppia formula_32 e formula_33 con formula_34 e formula_35 numeri complessi qualsiasi.
Non è vero su un campo non algebricamente chiuso, infatti l'equazione omogenea
ammette come unica soluzione, sul campo dei numeri reali, la coppia formula_37 e formula_38.
Le equazioni trascendenti coinvolgono almeno un'incognita come argomento di una funzione non polinomiale. Le più comuni categorie di equazioni trascendenti sono:
Le equazioni con valori assoluti contemplano oltre le incognite la presenza del valore assoluto di espressioni algebriche o trascendenti. Possiamo aver quindi:
Le equazioni funzionali hanno almeno un'incognita che è una funzione. Le più comuni categorie di equazioni funzionali sono:
In base alla presenza di altre espressioni letterali tutte le equazioni possono essere divise in:


In matematica, un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni che ammettono le stesse soluzioni.
Ad esempio:
è un sistema con due equazioni e due incognite che descrive l'intersezione di una circonferenza e una retta nel piano cartesiano.
La scrittura generica di un sistema di formula_2 equazioni in formula_3 incognite è la seguente:
dove formula_5 esprimono le funzioni delle incognite.
L"'insieme ambiente" formula_6 è l'insieme dei valori che possono assumere le variabili, ed è specificato "a priori". Generalmente, si assume che le variabili siano reali, e che le funzioni abbiano senso per ogni valore dell'insieme ambiente. Spesso l'insieme ambiente viene determinato "a posteriori" valutando per quali valori reali il sistema ha senso (valutando quindi il suo insieme di definizione). Ad esempio, il sistema
ha senso per ogni coppia di numeri reali formula_8 con formula_9.
Formalmente, l'insieme ambiente è quindi un sottoinsieme dello spazio euclideo formula_10, dove formula_3 è il numero di incognite.
In generale, i sistemi possono essere studiati anche con variabili non reali: possono essere ad esempio complesse, o più generalmente appartenere a qualche anello o campo.
"Risolvere un sistema" significa determinare l'insieme formula_12 dei valori che, sostituiti alle variabili, verificano tutte le equazioni. L'insieme formula_12 è un sottoinsieme dell'insieme ambiente, e prende il nome di "insieme delle soluzioni"; ciascuno dei suoi elementi è una "soluzione" del sistema.
Se formula_14 è l'insieme delle soluzioni della formula_15-esima equazione, abbiamo
I metodi di risoluzione più elementari si basano su operazioni che trasformano il sistema in un altro equivalente, ma più semplice. Negli esempi successivi si prendono in considerazione solo sistemi lineari per la loro facilità di risoluzione, ma questi metodi possono essere usati anche in altri casi.
Si esplicita un'incognita esprimendola in funzione delle altre (per esempio formula_17 diventa formula_18) in una delle equazioni del sistema e si sostituisce l'espressione così ottenuta nelle altre equazioni in luogo dell'incognita corrispondente. In questo modo l'incognita sparisce da tutte le equazioni eccetto la prima. Si applica iterativamente il metodo fino a giungere a un'equazione con una sola incognita; si calcola il valore di quest'ultima e si risale fino alla prima esplicitando via via i valori delle incognite calcolate.
Si esplicita, in due delle equazioni, una delle variabili (o in generale, una stessa quantità), ottenendo così di poter eguagliare i secondi membri (che risulteranno indipendenti dalla variabile esplicitata) per la proprietà transitiva dell'uguaglianza. L'equazione così composta potrà essere riscritta al posto di una delle due precedenti, ottenendo un sistema equivalente.
Dato un sistema lineare nella forma
dove formula_20 è il vettore colonna delle incognite, formula_21 è il vettore colonna dei termini noti e formula_6 è la matrice dei coefficienti ed è quadrata e invertibile, la soluzione è unica ed è pari al prodotto:
dove formula_24 è l'inversa di formula_6. Il calcolo della matrice inversa è spesso complicato e oneroso dal punto di vista computazionale, ragion per cui un sistema lineare normalmente non viene risolto calcolando direttamente la matrice inversa.
Di grande importanza teorica per i sistemi lineari, ma non utilizzata in pratica per motivi simili, è la regola di Cramer.
Di uso generale per sistemi con migliaia di equazioni è invece il metodo di eliminazione di Gauss, che si basa sul metodo di riduzione.
Il metodo di riduzione è specifico per i sistemi lineari. Il procedimento consiste nel sostituire una delle equazioni del sistema con una opportuna combinazione lineare di due equazioni del sistema stesso, ottenendo un sistema equivalente a quello dato. Più precisamente, se due righe sono espresse come prodotto tra opportune sottomatrici dei coefficienti e il vettore x delle soluzioni, ovvero 
allora è possibile sostituire una delle due con l'equazione 
dove formula_2 e formula_3 sono due numeri scalari qualsiasi, entrambi diversi da zero.
Lo studio dei sistemi non polinomiali è spesso molto difficile, e nella maggior parte dei casi non esistono formule o algoritmi che permettano di descrivere precisamente l'insieme delle soluzioni. Anche i sistemi polinomiali di grado basso sono spesso non risolvibili.
Spesso si ovvia a questo problema "linearizzando il sistema", studiando cioè le soluzioni di un sistema lineare che approssimi il sistema dato. In questo modo è spesso possibile ottenere una descrizione qualitativa o approssimativa delle soluzioni.
Si vuole utilizzare il metodo risolutivo per sostituzione. Esplicitiamo formula_31 nella prima equazione e sostituiamolo dove compare nelle altre:
Ora calcoliamo formula_33 nella seconda in funzione di formula_34:
In questo modo la terza equazione adesso contiene solo formula_34: risolvendola viene
Quindi ora calcolando la formula_33 nella seconda viene la soluzione
Si vuole utilizzare il metodo risolutivo per confronto. Isoliamo la variabile z nella prima e seconda equazione:
Confrontiamo le due espressioni risultanti:
Da cui risulta:
E risolvendo per sostituzione tra le prime due equazioni:
Dunque:
