
La crescita esponenziale (che comprende il decadimento esponenziale) si verifica quando il tasso di crescita di una funzione matematica è proporzionale al valore attuale della funzione. Nel caso di un dominio di definizione discreto con intervalli uguali è chiamata anche crescita geometrica o decadimento geometrico (i valori della funzione formano una progressione geometrica).
Il modello di crescita esponenziale è noto anche come Modello di Malthus.
Una quantità formula_1 dipende esponenzialmente dal tempo formula_2 se:
dove la costante formula_4 è il valore iniziale di formula_1, cioè formula_6, la costante formula_7 è un fattore di crescita positivo, e formula_8 è il tempo richiesto perché formula_1 aumenti di un fattore di formula_7:
Se formula_12 e formula_13, allora formula_1 ha crescita esponenziale. Se formula_15 e formula_13 o formula_12 e 0, allora formula_1 ha decadimento esponenziale.
Ad esempio, se una specie di batteri raddoppia ogni dieci minuti, cominciando con un batterio, per sapere quanti batteri sarebbero presenti dopo un'ora si procede ponendo formula_19, formula_20 e formula_8 pari a 10 minuti:
Ci sono quindi sessantaquattro batteri.
Per rappresentare un tasso di crescita si possono utilizzare diverse forme diverse ma matematicamente equivalenti, usando una base diversa. Le forme più comuni sono le seguenti:
Vi sono quindi molte possibilità di scegliere una coppia formula_25 di un numero non negativo adimensionale formula_7 e di un ammontare di tempo formula_8. Nello specifico, i parametri che compaiono (negativi nel caso del decadimento esponenziale) sono:
Le quantità "k", formula_8 e "T", e per un dato "p" anche "r", hanno un rapporto di uno a uno dato dalla seguente equazione (che può essere derivata prendendo il logaritmo naturale di cui sopra):
dove "k" = 0 corrisponde a "r" = 0 e a formula_8 e "T" che sono infiniti.
Se "p" è l'unità di tempo, il quoziente "t/p" è semplicemente il numero di unità di tempo. Usando la notazione "t" per il numero (adimensionale) di unità di tempo piuttosto che per il tempo stesso, "t/p" può essere sostituito da "t", ma per uniformità questo è stato qui evitato. In questo caso la divisione per "p" nell'ultima formula non è neanche una divisione numerica, ma converte un numero adimensionale nella corretta quantità contenente l'unità.
Un popolare metodo approssimato per calcolare il tempo di raddoppio dal tasso di crescita è la regola del 70,
cioè formula_38 (o meglio: formula_39).
La funzione esponenziale formula_40 soddisfa l'equazione differenziale lineare:
che stabilisce che il tasso di crescita di formula_1 al tempo formula_2 è proporzionale al valore di formula_44, con valore iniziale formula_6. Per formula_46 l'equazione differenziale è risolta dal metodo di separazione delle variabili:
da cui segue:
Incorporando il valore iniziale si ha:
ovvero:
La soluzione si applica per formula_51 dove il logaritmo non è definito.
Per una variazione non lineare di questo modello di crescita si veda funzione logistica.
Nel lungo periodo, qualsiasi tipo di crescita esponenziale sorpasserà qualsiasi tipo di crescita lineare (la base della catastrofe malthusiana nonché qualsiasi crescita polinomiale, cioè, per α qualunque:
C'è un'intera gerarchia di tassi di crescita concepibili che sono più lenti di quello esponenziale e più veloci di quello lineare (nel lungo periodo). Si veda grado di un polinomio.
I tassi di crescita possono essere anche più veloci di quello esponenziale.
Nell'equazione differenziale di sopra, se "k" < 0, allora la quantità sperimenta il decadimento esponenziale.
I modelli di crescita esponenziale dei fenomeni naturali si applicano soltanto entro regioni limitate, in quanto la crescita illimitata non è fisicamente realistica. Anche se la crescita può essere inizialmente esponenziale, i fenomeni modellizzati alla fine entreranno in una regione nella quale fattori di retroazione negativa precedentemente ignorati diventeranno significativi (portando a un modello di crescita logistica) oppure altre assunzioni sottostanti del modello di crescita esponenziale, come la continuità o la retroazione istantanea, vengono meno.
Secondo la leggenda, un cortigiano si presentò al re di Persia con una bella scacchiera. Il re chiese che cosa gli sarebbe piaciuto in cambio del suo regalo e il cortigiano sorprese il re chiedendo un chicco di riso sulla prima casella, due chicchi sulla seconda, quattro chicchi sulla terza, ecc. Il re acconsentì prontamente e chiese che fosse portato il riso. Tutto andò bene all'inizio, ma la richiesta di formula_53 chicchi sull"'n"-esima esigeva oltre un milione di chicchi sulla 21ª casella, più di un milione di milioni (o, come si dice, di un trilione) sulla 41ª e non c'era semplicemente abbastanza riso nell'intero mondo per le caselle finali.
Per varianti di questa storia si veda la seconda metà della scacchiera, in riferimento al punto in cui un fattore esponenzialmente crescente comincia ad avere un impatto economico significativo sulla complessiva strategia d'affari di un'organizzazione.
Ai bambini francesi si racconta una storia in cui immaginano di avere uno stagno con foglie di ninfea che galleggiano sulla superficie. La popolazione di ninfee raddoppia di dimensione ogni giorno e se lasciata incontrollata soffocherà lo stagno in 30 giorni, uccidendo tutte le altre cose viventi nell'acqua. Giorno dopo giorno la pianta sembra piccola e così si decide di lasciarla crescere fino a quando non ricopra metà dello stagno, prima di tagliarla nuovamente. È stato poi chiesto loro in che giorno ciò avverrà. Questo si rivela essere il 29º giorno, dopo di che ci sarà appena un giorno per salvare lo stagno.


L'aritmetica (dal greco ἀριθμός = numero) è la più antica branca della matematica, quella che studia le proprietà elementari delle "operazioni aritmetiche" sui numeri, specialmente i numeri interi.
È praticata quotidianamente da tutti per scopi molto semplici, come contare oggetti, valutare costi, stabilire distanze; viene utilizzata anche per scopi avanzati, ad esempio in complessi calcoli finanziari o nella tecnologia delle comunicazioni (crittografia).
I matematici talvolta usano il termine aritmetica per indicare la teoria dei numeri; questa disciplina però tratta problemi più avanzati e specifici rispetto all'aritmetica elementare e non viene presa in considerazione nel presente articolo.
La preistoria dell'aritmetica si limita ad un piccolo numero di piccoli artefatti che testimoniano una chiara concezione dell'addizione e della sottrazione; la prima fonte è l'osso d'Ishango rinvenuto nell'Africa centrale, datata circa tra il 20,000 e il 18,000 a.C.
È chiaro che i babilonesi avevano una solida conoscenza di quasi tutti gli aspetti dell'aritmetica elementare già intorno al 1800 a.C., anche se gli storici possono solo avanzare congetture sopra i metodi utilizzati per ottenere i risultati delle operazioni aritmetiche; questo è il caso dei risultati presentati nella tavoletta d'argilla Plimpton 322, che si presenta come una lista di terne pitagoriche; non si ha invece la possibilità di mostrare in qual modo questa lista sia stata originariamente prodotta. Similmente gli egizi, attraverso il Papiro di Rhind (che risale al 1650 a.C. circa, ma che, con ogni evidenza, è una copia di un vecchio testo del 1850 a.C. circa) testimoniano che le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione venivano effettuate all'interno di un sistema basato su frazioni unitarie.
Nicomaco di Gerasa, nella sua opera "Introduzione all'aritmetica", ha presentato concisamente l'approccio filosofico pitagorico ai numeri, e alle loro mutue relazioni. In quei tempi le operazioni aritmetiche di base costituivano attività molto complesse ed impegnative; è stato il metodo noto come il «Metodo degli indiani» (in latino "Modus Indorum"), che ha condotto all'aritmetica che conosciamo oggi. L'aritmetica indiana è stata molto più semplice di quella greca, a causa della semplicità del sistema di numerazione indiano, che per primo è riuscito a servirsi del numero zero e di una notazione posizionale. Nel VII secolo il vescovo siriaco Severo Sebokht menzionava questo metodo con ammirazione, precisando tuttavia che il metodo degli indiani si presentava senza alcuna descrizione.
Gli arabi appresero questo nuovo metodo e lo chiamarono "hesab". Leonardo Fibonacci (noto anche come Leonardo di Pisa), ha introdotto in Europa il metodo degli indiani nel 1202. Nel suo "Liber Abaci", Fibonacci afferma che, rispetto a questo nuovo metodo, tutti gli altri metodi sono stati sbagliati. Nel Medioevo, l'aritmetica era una delle sette Arti Liberali e veniva insegnata nelle università. Francesco Pellos ne compendiò lo stato nel XV secolo.
I moderni algoritmi dell'aritmetica (utilizzati sia per calcoli manuali che per calcoli automatici) sono stati resi possibili dalla introduzione dei numerali arabi e della loro notazione numerica posizionale e decimale. L'aritmetica araba basata sui numerali era stata sviluppata dai grandi matematici indiani Aryabhatta, Brahmagupta e Bhāskara I. Aryabhatta ha tentato di usare diverse notazioni posizionali e Brahmagupta ha arricchito dello zero il sistema numerico indiano. Brahmagupta ha messo a punto i procedimenti moderni per moltiplicazione, divisione, l'addizione e sottrazione basate sulle cifre decimali. Sebbene oggi siano ormai considerati elementari, questi procedimenti per la loro semplicità costituiscono il punto di arrivo di migliaia di anni di sviluppo della matematica. Per contrasto l'antico matematico Archimede ha dedicato un'intera opera, l"'Arenario ", a mettere a punto una notazione per un certo numero intero molto grande. Alla fioritura dell'algebra nel mondo islamico medievale e nell'Europa Rinascimentale ha contribuito in misura significativa anche l'enorme semplificazione dei calcoli numerici consentita dalla notazione decimale.
Il sistema numerico decimale è un sistema di numerazione posizionale che rappresenta i numeri a partire dalle cifre base da 0 a 9. Un numero decimale consiste in una sequenza di queste cifre base. Il valore di ciascuna cifra che compone il numero dipende dalla posizione che la cifra occupa nella notazione. Una parte essenziale di questo sistema (e un grande traguardo concettuale) è stato pensare allo 0 come ad un numero comparabile alle altre cifre base.
Le operazioni aritmetiche tradizionali sono addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, sebbene vengano a volte incluse nella materia anche operazioni più avanzate come l'elevamento a potenza, l'estrazione di radice, i logaritmi e l'uso delle percentuali. I calcoli aritmetici vengono effettuati rispettando l'ordine delle operazioni. Qualunque insieme su cui possono essere effettuate tutte e quattro le operazioni aritmetiche (eccetto la divisione per 0), e in cui le quattro operazioni godono delle comuni proprietà, è chiamato campo.
Il termine "aritmetica" è usato anche per riferirsi alla teoria dei numeri. Quest'ultima studia le proprietà degli interi collegate ai numeri primi, la divisibilità, e le soluzioni intere delle equazioni, che sono argomenti in rapida crescita nella matematica moderna. È in questo contesto che si incontrano il teorema fondamentale dell'aritmetica e le funzioni aritmetiche.
In generale nella scuola elementare vengono insegnati gli algoritmi di calcolo manuali per eseguire le quattro operazioni nell'insieme dei numeri naturali e dei numeri razionali positivi nella forma decimale; nelle medie inferiori gli algoritmi di queste stesse operazioni eseguite su frazioni e vengono introdotti l'insieme dei numeri razionali e quello dei numeri reali.
Sempre alle medie inferiori si studiano le operazioni di elevamento a potenza, di estrazione di radice (in particolare la radice quadrata), di massimo comune divisore e di minimo comune multiplo. Tradizionalmente si insegnava l'algoritmo manuale di estrazione di radice quadrata, ma ciò ora non è più sempre vero, visto che molti insegnanti preferiscono insegnare l'uso delle tavole numeriche o quello del calcolatore tascabile. Viene inoltre appreso il metodo di approssimazione dei risultati. Vengono introdotte le proporzioni e la proporzionalità e le sue applicazioni alla risoluzione di problemi del tre semplice e del tre composto, di ripartizione e di applicazioni di matematica finanziaria.
Nelle scuole medie superiori si studiano i logaritmi; anche qui si è passati dall'apprendimento dell'uso del regolo calcolatore a quello del calcolatore o del computer. Entrambi questi strumenti sono ampiamente utilizzati terminati gli studi per eseguire calcoli numerici.
