
Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce che ogni polinomio di grado formula_1 (cioè non costante), su un campo algebricamente chiuso (come il campo dei numeri complessi), del tipo:
ammette esattamente formula_3 radici in quel campo, o zeri. Dal teorema segue che un polinomio complesso ammette esattamente formula_3 radici complesse (contate con la giusta molteplicità), mentre un polinomio reale ammette al più formula_3 radici reali.
Un'enunciazione del teorema in una pubblicazione fu opera del matematico di origine fiamminga Albert Girard nel 1629 nel libro "L'invention en algebre", per quanto anticipata da una formulazione debole da parte di Peter Roth, riportata nei suoi "Arithmetica Philosophica" (1608). Non vi era comunque alcuna dimostrazione. Nel 1702 Leibniz sostenne di aver trovato un controesempio con il polinomio formula_6. Nel 1742 Nicolas Bernoulli e Christian Goldbach in una lettera inviata allo stesso Leibniz dimostrarono l'esistenza di radici complesse del polinomio.
Il primo tentativo serio di dimostrazione del teorema fu operato da d'Alembert nel 1746, il quale però utilizzò un teorema non ancora dimostrato (la dimostrazione fu fatta da Puiseux nel 1751 utilizzando lo stesso teorema fondamentale dell'algebra). Altri tentativi di dimostrazione furono portati avanti nel 1749 da Eulero, Lagrange nel 1772, Laplace nel 1795.
Finalmente nel 1799 Gauss riuscì nell'intento sfruttando i tentativi dei suoi predecessori. Infine, nel 1814 Jean-Robert Argand, un libraio appassionato di matematica, pubblicò un'altra dimostrazione molto più semplice rispetto a quella di Gauss.
Un numero reale è un particolare numero complesso: il teorema è quindi valido per ogni polinomio a coefficienti reali. Ad esempio, si consideri il polinomio
Questo polinomio non ammette nessuna radice reale: i numeri reali non formano un campo algebricamente chiuso. Per il teorema fondamentale dell'algebra, il polinomio ha però almeno una radice complessa: questa è l'unità immaginaria formula_8. Infatti:
Questa non è però l'unica radice. Il polinomio ha grado due e ha due radici complesse formula_10 e formula_11.
Esistono numerose dimostrazioni del teorema fondamentale dell'algebra che coinvolgono settori molto diversi della matematica come la topologia, l'analisi complessa e l'algebra.
Sia formula_12 un polinomio a coefficienti complessi di grado formula_13. 
Abbiamo formula_14, quindi esiste formula_15 tale che 
formula_16 per ogni formula_17 tale che formula_18. 
Il disco chiuso formula_19 è compatto, dunque per il teorema di Weierstrass esiste un punto formula_20 in cui formula_21 assume il suo minimo valore assoluto in formula_22.
Proviamo che formula_23: sviluppando formula_12 in serie di Taylor intorno a formula_25 abbiamo
dove formula_27, formula_28 è intero e formula_29 con formula_30,
notare che la serie di Taylor è finita poiché formula_31 per ogni intero formula_32 essendo formula_12 un polinomio di grado formula_3. Quindi:
dove formula_36 per formula_37. 
Per ogni formula_38 possiamo scegliere formula_17 di modo che formula_40, in tal caso quando formula_41 allora formula_37 quindi per formula_43 sufficientemente piccolo avremo 
pertanto 
ovvero si è trovato un assurdo.
Sia formula_12 un polinomio complesso, tale che formula_47 per ogni formula_48 complesso. Allora la funzione 
è una funzione intera, cioè è una funzione olomorfa su tutto formula_50. D'altra parte
implica
e quindi la funzione formula_53 è limitata. Per il teorema di Liouville formula_53 è costante, da cui segue che anche formula_12 è costante.
Quindi gli unici polinomi senza zeri sono i polinomi costanti.
Consideriamo un polinomio a coefficienti complessi non costante
vogliamo dimostrare che esiste un punto formula_57 tale che formula_58. A tale scopo possiamo considerare il caso in cui formula_59.
Supponiamo per assurdo che formula_60 non ammetta radici, cioè che l'origine non sia nella sua immagine. Consideriamo sul piano complesso la circonferenza di centro l'origine e raggio formula_61 parametrizzata da
Il polinomio formula_60 rappresenta una funzione continua del piano complesso in sé stesso e come tale manderà la circonferenza formula_64 in una curva piana parametrizzata formula_65. La curva così ottenuta non passerà per l'origine dal momento che abbiamo assunto che 0 non è nell'immagine di formula_60, e questo qualunque sia il raggio formula_61. Quindi possiamo considerare l'indice di avvolgimento di formula_65 rispetto all'origine formula_69
Poniamo
Poiché l'indice di avvolgimento non varia per deformazioni della curva tali che questa non tocchi mai l'origine (è un invariante omotopico) la funzione formula_71 sarà continua e poiché l'indice assume solo valori interi dovrà anche essere una funzione costante.
Ora consideriamo il valore di formula_71 per due differenti valori di formula_61:
Il fatto che formula_71 assuma valori differenti per differenti raggi contraddice il fatto che deve essere una funzione costante, e siamo quindi giunti a un assurdo da cui concludiamo che l'ipotesi che formula_60 non avesse nessuna radice è impossibile.
Si dice che il campo complesso formula_50 è un campo algebricamente chiuso per indicare il fatto che 
ogni polinomio di grado maggiore o uguale a 1, a coefficienti complessi, ha almeno una radice in formula_50, come stabilisce il teorema qui esposto. Tale proprietà non è condivisa dai sottocampi formula_108 e formula_109 come si può vedere subito considerando i polinomi 
che non ha radici nel campo formula_108 dei razionali, e
che non ha radici nel campo formula_109 dei reali.


In matematica un polinomio è un'espressione composta da costanti e variabili combinate usando soltanto addizione, sottrazione e moltiplicazione. In altre parole, un polinomio tipico, cioè ridotto in forma normale, è la somma algebrica di alcuni monomi non simili tra loro, vale a dire con parti letterali diverse. Ad esempio:
è la somma di tre monomi. Ciascun monomio viene chiamato "termine" del polinomio.
Le costanti sono anche chiamate "coefficienti" e sono tutte elementi di uno stesso insieme numerico o di un anello.
Quando valutati in un opportuno dominio, i polinomi possono essere interpretati come funzioni. Ad esempio, il polinomio
definisce una funzione reale di variabile reale.
Quando questo ha senso, le radici del polinomio sono definite come l'insieme di quei valori che, sostituiti alle variabili, danno all'espressione polinomiale il valore nullo. Ad esempio, formula_3 ha come radici i valori formula_4 e formula_5, poiché sostituendoli nell'espressione del polinomio si ha 
I polinomi sono oggetti matematici di fondamentale importanza, alla base soprattutto dell'algebra, ma anche dell'analisi e della geometria analitica.
Un polinomio si dice:
Due polinomi sono considerati "uguali" se, dopo essere stati ridotti in forma normale, hanno gli stessi termini, a meno dell'ordine. Quindi i polinomi seguenti sono uguali:
Il "grado" di un polinomio non nullo e ridotto in forma normale è il massimo grado dei suoi monomi, mentre il "grado parziale" rispetto ad una variabile è il grado risultante vedendo tutte le altre variabili come coefficienti. Quindi
ha grado due, mentre ha gradi parziali uno rispetto sia a formula_16 che a formula_17.
Si dicono "coefficienti" di un polinomio i coefficienti dei suoi singoli termini. Quindi i coefficienti di formula_18 sono rispettivamente formula_5, formula_4 e formula_4: il coefficiente formula_4 in un monomio è solitamente sottinteso.
Il "termine noto" di un polinomio ridotto in forma normale è l'unico monomio (se esiste) di grado zero, cioè non contenente variabili. Se non esiste un tale monomio, il termine noto è considerato generalmente inesistente o uguale a zero, secondo il contesto. Ad esempio, in
il termine noto è l'ultimo monomio: formula_24.
Due polinomi possono essere sommati, sottratti, e moltiplicati usando le usuali proprietà commutativa, associativa e distributiva delle operazioni di somma e prodotto. Ad esempio, se
allora la somma ed il prodotto di "p" e "q" sono rispettivamente
Somme e prodotti di polinomi danno come risultato un nuovo polinomio.
Il grado ("degree") della somma (o differenza) di due polinomi è minore o uguale al polinomio di grado maggiore. È sempre uguale al massimo tra i due, quando i due polinomi hanno grado differente:
Esempi:
Il grado del prodotto di un polinomio per un numero scalare (diverso da zero) è uguale al grado del polinomio:
Esempio:
Si noti che questo non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello che contiene un divisore di zero. Ad esempio, in formula_36, formula_37, ma formula_38. L'insieme dei polinomi aventi coefficienti da un dato campo F e grado minore o uguale a n, forma uno spazio vettoriale (questo insieme non è un anello, e non è chiuso, come mostrato in precedenza).
Il grado del prodotto di due polinomi definiti su un campo -(oggetto in cui sono definite le operazioni di somma e prodotto, con certe proprietà)- oppure su un dominio d'integrità, è pari alla somma dei gradi dei due polinomi:
Es.:
Si noti che ciò non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello arbitrario. Ad esempio, in formula_36, formula_43, ma formula_44.
Il grado della composizione di due polinomi formula_45 e formula_46 a coefficienti non costanti è uguale al prodotto dei rispettivi gradi:
Es.:
Si noti che ciò non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello arbitrario. Ad esempio, in formula_36, formula_52, ma formula_53.
Possiamo affermare correttamente sia che il grado del polinomio zero è indefinito, sia che il grado del polinomio zero può essere definito con un numero negativo (per convenzione −1 o −∞).
Come qualsiasi valore costante, il valore zero può essere considerato come un polinomio (costante), detto polinomio-zero. Questo polinomio non ha termini che non siano nulli, e perciò, propriamente non ha un grado, vale a dire che il suo grado è indefinito.
Le proposizioni precedenti sul grado della somma, prodotto e composizione di polinomi non si applicano se anche uno dei due è un polinomio-zero..
Le formule valgono se si introducono alcune opportune estensioni. È pertanto utile definire il grado di un polinomio-zero, pari a "meno infinito", −∞, e introdurre quindi queste regole aritmetiche
e
I seguenti esempi illustrano come questa estensione soddisfi quelle di somma, prodotto e composizione di due polinomi.:
In un polinomio, è spesso utile considerare alcune variabili come costanti. Ad esempio, il polinomio
può essere considerato anche come polinomio in formula_16 soltanto, dando a formula_17 il ruolo di un valore costante. Alternativamente, può essere visto come polinomio in formula_17 soltanto. Le proprietà dei polinomi che ne risultano possono essere molto diverse tra loro: qui ad esempio formula_68 ha grado formula_5 rispetto a formula_16, e solo formula_4 rispetto a formula_17. Ad esempio, il polinomio
è di grado formula_24, ma se visto soltanto nelle singole variabili formula_16 o formula_17 o formula_12 ha grado rispettivamente formula_5, formula_79 e formula_80.
Un polinomio generico con una sola variabile si può rappresentare con la seguente scrittura:
con formula_82 diverso da zero. Con questa scrittura, formula_83 è il termine noto e formula_84 è il grado. formula_82 si dice "coefficiente direttore".
Un tale polinomio è
Una "radice" di un polinomio formula_89 in una sola variabile è un numero formula_90 tale che
cioè tale che, sostituito a formula_16, rende nulla l'espressione. Quindi se
il numero formula_90 è radice se
Nel caso di polinomi a coefficienti reali l'insieme delle radici reali di un polinomio formula_68 si può visualizzare sul piano cartesiano come l'intersezione del grafico della funzione polinomiale formula_97 con l'asse delle ascisse.
In un dominio, un polinomio di grado formula_84 può avere al più formula_84 radici distinte. Esistono polinomi senza radici reali, come ad esempio
poiché formula_101 per ogni formula_90 reale. D'altra parte, per il teorema fondamentale dell'algebra ogni polinomio complesso ha esattamente formula_84 radici complesse, contate con molteplicità.
Nella scuola vengono insegnate formule per trovare le radici dei polinomi di primo e secondo grado. Esistono formule analoghe per esprimere la radici di un polinomio di terzo e quarto grado in termini dei coefficienti, utilizzando solamente le quattro operazioni ed estrazioni di radice (la cosiddetta "risoluzione per radicali"). È stato invece dimostrato nella teoria di Galois che non esiste una formula generale di questo tipo per polinomi dal quinto grado in su.
Sia formula_104 un anello. A un polinomio
a coefficienti in formula_104 si può associare una "funzione polinomiale", che è la funzione da formula_104 in sé definita da
per formula_109. Se formula_104 è finito, allora polinomi diversi possono dare luogo alla stessa funzione. Per esempio se formula_111 è il campo con un numero primo formula_68 di elementi, allora al polinomio nullo e al polinomio formula_113 è comunque associata, per il piccolo teorema di Fermat, la funzione che manda ogni elemento di formula_104 in zero. Lo stesso può valere se formula_104 è infinito, ma non è un dominio, per esempio se formula_104 è un'algebra esterna infinita, in cui vale formula_117 per ogni formula_118.
Se invece formula_104 è un dominio infinito, allora vale il seguente "principio d'identità dei polinomi", che afferma che a polinomi diversi sono associate funzioni polinomiali diverse (cioè la funzione sopra descritta che associa a un polinomio una funzione polinomiale è iniettiva):
Questo dipende dal fatto che in un dominio un polinomio non nullo ha solo un numero finito di radici.
Negli esempi che seguono, fissiamo formula_104 eguale al campo dei numeri reali. A seconda del grado,
Una funzione polinomiale a coefficienti reali
è derivabile e la sua derivata è ancora un polinomio,
Ragionando quindi induttivamente, si può quindi affermare che le funzioni polinomiali sono infinitamente derivabili (o "lisce") e che la derivata ("n"+1)-esima di un polinomio di grado formula_84 è la funzione nulla. In realtà esse sono anche funzioni analitiche.
Dato un anello formula_104, il simbolo
denota l'insieme di tutti i polinomi nelle variabili formula_135 con coefficienti in formula_104. Ad esempio, formula_104 può essere un campo come quello dei numeri reali o complessi.
L'insieme formula_134 risulta essere anch'esso un anello, l'anello dei polinomi in formula_84 variabili con coefficienti in formula_104. Lo studio delle proprietà di questo anello è una parte importante dell'algebra e della geometria algebrica.
Se formula_104 è un campo, l'anello dei polinomi è un'algebra su formula_104, e quando formula_143 è anche un anello euclideo, nel senso che i polinomi possono essere divisi con quoziente e resto come i numeri interi (se formula_144 questo non è vero poiché l'anello di polinomi non è un dominio ad ideali principali).
Il calcolo della derivata di un polinomio si estende come "definizione" di derivata (chiamata "derivata formale") nel caso in cui il polinomio abbia coefficienti in un anello formula_104, anche in assenza del calcolo infinitesimale. Molte delle proprietà della derivata si estendono anche alla derivata formale.
Siano formula_163 le n radici di un polinomio di grado formula_84, e sia formula_165.
Allora
Per le relazioni radici/coefficienti un polinomio di secondo grado si può scrivere nella forma
dove
Allora
Per le relazioni radici/coefficienti un polinomio di terzo grado si può scrivere nella forma
dove
Allora
