
In matematica, il concetto di limite serve a descrivere l'andamento di una funzione all'avvicinarsi del suo argomento a un dato valore (limite di una funzione) oppure l'andamento di una successione al crescere illimitato dell'indice (limite di una successione). I limiti si utilizzano in tutti i rami dell'analisi matematica; sono usati ad esempio per definire la continuità, la derivazione e l'integrazione.
Il concetto di limite di una funzione, più generale del limite di una successione, può essere generalizzato da quello di limite di un filtro.
Il concetto di limite era già presente in modo intuitivo nell'antichità, per esempio in Archimede (nel suo metodo di esaustione), e fu utilizzato, anche se non in modo rigoroso, a partire dalla fine del XVII secolo da Newton, Leibniz, Eulero e D'Alembert.
La prima definizione abbastanza rigorosa di limite risale al XIX secolo con Cauchy, seguita da una miglior formalizzazione di Weierstrass.
Una completa teoria del limite si ha con Heine, che nel 1872 pubblicò un lavoro che creò molto interesse all'epoca e nel quale stilò regole e proprietà del limite. Molti altri studiosi si sono interessati al problema del limite, approfondendo l'argomento con lo studio dell'analisi infinitesimale, tra cui Bolzano, Dedekind e Cantor.
Ma solo nel 1922 Eliakim Hastings Moore ed H.L. Smith diedero una nozione generale (topologica) di limite, ed è quella attualmente utilizzata in matematica. Nel 1937, Henri Cartan ne fornì una versione equivalente, basata sul concetto di filtro.
Una successione formula_1 di numeri reali ha come limite il numero formula_2 se al crescere di formula_3 i termini della successione "sono arbitrariamente vicini" al valore formula_4. Formalmente, questa nozione è resa chiedendo che per ogni formula_5 piccolo a piacere esista un numero naturale formula_6 tale che formula_7 per ogni formula_8.
Una successione può non avere limite, ad esempio formula_9, data da:
non ha limite. D'altra parte, se esiste un limite formula_2, si dice che la successione converge ad formula_2; in questo caso, il limite è unico (una successione non può convergere a due valori distinti). Ad esempio, la successione formula_13, data da:
converge a zero.
Considerando uno spazio topologico formula_15, una successione formula_16 con formula_17 tende al limite formula_18 se, comunque si prenda un intorno formula_19 di formula_4, esiste un formula_21 tale per cui formula_22 per tutti gli formula_23, e si scrive:
Se formula_15 è uno spazio di Hausdorff il limite di formula_16 con formula_17, se esiste, è unico.
Il limite di una funzione generalizza il limite di una successione di punti in uno spazio topologico formula_28; si considera la successione una funzione formula_29 nello spazio topologico formula_30 con la topologia discreta. In tale definizione, un intorno di formula_31 ha la forma formula_32.
Siano dati una funzione formula_33 definita su un sottoinsieme formula_15 della retta reale formula_35 ed un punto di accumulazione formula_36 di formula_15. Un numero reale formula_38 è il limite di formula_39 per formula_40 tendente a formula_41 se la distanza fra formula_39 ed formula_38 è arbitrariamente piccola quando formula_44 si avvicina a formula_41.
La distanza fra i punti è misurata usando il valore assoluto della differenza: quindi formula_46 è la distanza fra formula_40 e formula_41 e formula_49 è la distanza fra formula_39 ed formula_38. Il concetto di "arbitrariamente piccolo" è espresso formalmente con i quantificatori "per ogni" (quantificatore universale) ed "esiste" (quantificatore esistenziale).
Formalmente, formula_38 è limite se per ogni numero reale formula_5 piccolo a piacere esiste un altro numero reale positivo formula_54 tale che:
In questo caso si scrive:
La definizione di limite di una funzione è necessaria per formalizzare il concetto di funzione continua.
Dato uno spazio topologico formula_60, un punto formula_61 è il limite di un ultrafiltro formula_62 su formula_15 se ogni intorno di formula_64 appartiene a formula_62.
Il limite di una funzione rispetto ad un filtro è definito considerando una funzione formula_66 tra spazi topologici e un filtro formula_62 su formula_19. Il punto formula_69 è il limite di formula_70 in formula_61 rispetto ad formula_62 se formula_64 è il limite di formula_62 e formula_75 è il limite di formula_76. Si scrive in tal caso:
Il concetto di limite si estende anche alle successioni di insiemi attraverso le nozioni di limite superiore e limite inferiore: data una successione di insiemi formula_78, l'insieme limite è definito come l'insieme che intuitivamente contiene gli elementi che stanno nel maggior numero di insiemi della successione. Formalmente, una successione di insiemi si dice possedere limite se vale la seguente uguaglianza:


l concetto di infinito (simbolo formula_1) ha molti significati, in correlazione con la nozione di limite, sia in analisi classica sia in analisi non standard. Nozioni di infinito sono usate in teoria degli insiemi e in geometria proiettiva.
Nella teoria degli insiemi un insieme formula_2 si dice infinito se ogni suo sottoinsieme finito è un sottoinsieme proprio. Una definizione alternativa è la seguente: un insieme formula_2 è infinito se esiste un'applicazione biunivoca di formula_2 in un suo sottoinsieme proprio formula_5. In altre parole, formula_2 è infinito se e solo se è equipotente a un suo sottoinsieme proprio. Per dimostrare l'equivalenza delle due definizioni è indispensabile l'assioma della scelta.
È possibile fare una distinzione tra differenti gradi di infinità dal momento che possono essere individuati insiemi infiniti che hanno una cardinalità più grande degli altri. Georg Cantor sviluppò la teoria dei numeri cardinali transfiniti, in cui il primo numero transfinito è aleph-zero formula_7, che corrisponde alla cardinalità dell'insieme dei numeri naturali. Il successivo grado di infinito noto è formula_8. L'infinito corrispondente alla cardinalità dei numeri reali viene generalmente indicato con formula_9. Il problema se formula_10, vale a dire dell'esistenza o meno di una cardinalità intermedia tra queste due, è la cosiddetta ipotesi del continuo. Nel 1940 Kurt Gödel dimostrò che tale ipotesi è coerente con gli assiomi di Zermelo - Fraenkel (con o senza l'assioma della scelta); nel 1963 Paul Cohen ha poi dimostrato che anche la negazione di tale ipotesi è coerente con quegli assiomi. Di conseguenza l'ipotesi del continuo, nell'ambito degli assiomi di Zermelo - Fraenkel, non è né dimostrabile né refutabile.
Cantor sviluppò anche la teoria dei numeri ordinali transfiniti, che generalizzano agli insiemi infiniti la nozione di ordinamento e di posizione di un elemento all'interno di un ordinamento.
Un esempio è il teorema di Goodstein, che può essere risolto solamente mediante le proprietà degli ordinali transfiniti, mentre non è dimostrabile con i soli assiomi di Peano.
Nello studio dei limiti si usa il simbolo formula_1, che talvolta è indicato pure col termine lemniscata.
Risulta utile servirsi di due entità collegate con l'infinito: l'insieme reale esteso è l'unione dei numeri reali con due punti, indicati con formula_12 e formula_13. In simboli:
La relazione d'ordine dei reali si estende a questi nuovi punti ponendo: 
si hanno invece limitazioni a estendere le operazioni aritmetiche a tali entità (formula_17).
Da un punto di vista topologico si tratta di una compattificazione della retta reale mediante l'aggiunta di due punti.
Una menzione a parte merita l'analisi non standard, introdotta da Abraham Robinson nel 1966: al contrario dell'analisi matematica comune, in essa gli infiniti (indicati con "Ω") e infinitesimi ("ε") hanno piena cittadinanza tra i numeri, e assieme ai reali formano i numeri iperreali. Ad esempio "1" e "1+ε" sono numeri iperreali distinti. Al contrario dei numeri complessi, è possibile un ordinamento dei numeri iperreali grazie al concetto di ultrafiltro. L'analisi non standard è perfettamente coerente, e anzi semplifica le dimostrazioni di molti teoremi, sia nel calcolo infinitesimale sia nella teoria dei numeri.
In geometria proiettiva invece risulta naturale completare le rette con il loro, unico, punto all'infinito, oggetto chiamato punto improprio o direzione della retta; tale nozione, in particolare, permette di dire che anche due rette parallele hanno un punto in comune, il loro punto all'infinito. Inoltre nel piano proiettivo si colloca anche la retta impropria, insieme dei punti impropri (all'infinito) delle varie rette; per non dire dello spazio proiettivo, "avvolto" nel suo piano improprio.
