
In matematica si usa l'espressione somma vuota (o somma nullaria) quando in una addizione non ci sono addendi. Una tale situazione capita ad esempio quando l'indice inferiore di una sommatoria è più grande dell'indice superiore, come in
In questo caso infatti non c'è alcun indice formula_2 che soddisfi la condizione richiesta (essere contemporaneamente minore o uguale di 1 e maggiore o uguale di 2), dunque non ci sono addendi da poter sommare.
Si potrebbe cadere nell'errore di credere che una somma vuota non sia definibile, o che ricada in qualche errore concettuale. Invece il risultato di una somma vuota è semplicemente zero. Lo si può comprendere pensando che lo zero è l'elemento neutro dell'addizione e quindi il risultato che si ottiene quando "non si modifica nulla". Altrimenti, lo si può visualizzare semplicemente facendo un conto veloce: prendiamo ad esempio la somma formula_3 e sottraiamo uno dopo l'altro tutti gli addendi; togliendo formula_4 rimane la somma dei primi tre addendi,
e così via:
per definizione di elemento opposto. Dunque togliendo tutti gli addendi, cioè rimanendo con la somma vuota, il risultato ottenuto è proprio zero.


La sommatoria è un simbolo matematico che abbrevia, in una notazione sintetica, la somma di un certo insieme di addendi. La notazione prevede:
Nel caso più generale possibile abbiamo quindi una scrittura del tipo
dove formula_6 e formula_7 sono dei numeri interi, detti rispettivamente "limite inferiore della sommatoria" e "limite superiore della sommatoria". La scrittura si legge "sommatoria per formula_2 che va da formula_6 a formula_7 di formula_11". Con questa notazione si indica la somma di tutti gli addendi che si ottengono sostituendo all'indice formula_2 di formula_11 tutti i valori interi che vanno dal numero formula_6 al numero formula_7 compresi.
formula_16
Se formula_17
Oppure se formula_19
È anche possibile utilizzare questa notazione per somme di un numero infinito di termini; esse sono chiamate serie infinite. Al posto di formula_7 sopra il simbolo di sommatoria si usa il simbolo di infinito (formula_22). La somma di una serie siffatta è definita come il limite della somma dei primi formula_7 termini, al crescere di formula_7 oltre un qualsivoglia valore. In formule, 
Si può anche rimpiazzare formula_6 con un infinito negativo, e avere 
per un intero a scelta formula_6, ammesso che entrambi i limiti esistano.
È in uso lo stesso simbolo anche per descrivere somme i cui addendi non sono in corrispondenza con i numeri interi, ma soddisfano condizioni più generali, come ad esempio
dove la somma si estende a tutti i numeri che dividono un dato numero formula_7,
la somma di formula_32 su tutti gli formula_33 interi nell'intervallo specificato,
la somma su tutti gli formula_33 appartenenti all'insieme formula_36.
Nella matematica del continuo, l'equivalente della somma è l'integrale, il cui simbolo nasce appunto dalla deformazione del simbolo di sommatoria.
Albert Einstein introdusse per matrici e serie una notazione semplificata che da lui prende nome.
Nella notazione di sommatoria vale la seguente uguaglianza:
Si noti che perché l'uguaglianza sia valida, i limiti superiori ed inferiori delle due sommatorie devono essere uguali, altrimenti l'uguaglianza non è valida.
Nella notazione di sommatoria vale la seguente uguaglianza:
questo vuol dire che un fattore che si trova all'interno di una sommatoria può essere estratto da essa e, viceversa, un fattore esterno alla sommatoria può essere portato al suo interno.
Dalla dimostrazione si può dedurre che questa proprietà è equivalente alla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.
Ovviamente questa proprietà vale anche nel caso in cui un rapporto abbia una sommatoria al numeratore, infatti:
Scomposizione:
Traslazione di indici:
Nel caso in cui il termine della sommatoria sia un polinomio la traslazione dei limiti superiore e inferiore può essere fatta alterando opportunamente i soli termini dipendenti dall'indice:
Riflessione di indici:
La formula per la somma di tutti gli interi da formula_6 a formula_7 è 
Quindi in particolare la somma dei primi formula_7 interi positivi è 
La formula della somma dei primi formula_7 quadrati invece è
Da queste formule si può anche ricavare quella relativa alla somma dei primi formula_7 cubi.
Una relazione che lega i primi formula_7 cubi ai primi formula_7 numeri è la seguente:
