
In matematica, un numero è un modo di esprimere una quantità, oppure la posizione in un elenco di elementi, oppure il rapporto tra grandezze dello stesso tipo. Il concetto di numero nasce per la necessità del conteggio, come astrazione del concetto di quantità, realizzato attraverso una corrispondenza biunivoca tra elementi di due insiemi distinti.
Si definisce operazione numerica una procedura che, a partire da uno o più numeri, genera un altro numero. Le operazioni numeriche fondamentali (dette anche "operazioni aritmetiche") sono: l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione. Lo studio delle proprietà di queste operazioni è parte dell'algebra elementare.
Un insieme di numeri è frequentemente espresso attraverso il concetto di campo.
Un numero che esprime la dimensione di un insieme di elementi, così come un numero che identifica la posizione in una successione di oggetti, è detto numero naturale. La necessità di esprimere una grandezza in relazione ad un'altra grandezza ha reso necessaria l'introduzione di altre classi di numeri, come i numeri razionali ed i numeri reali. L'esigenza di rappresentare il numero ottenuto attraverso un'operazione matematica, infine, ha giustificato l'utilizzo di ulteriori classi di numeri come, ad esempio, i numeri algebrici.
Durante la storia della matematica sono stati definiti diversi insiemi numerici. Tra questi i numeri naturali, che sono:
I numeri naturali (il cui insieme è indicato per convenzione con il simbolo formula_1) sono usati per contare e per ordinare. La presenza dello zero fra i numeri naturali dipende dalla convenzione scelta. Lo zero è previsto dagli assiomi di Peano.
L'insieme dei numeri naturali costituisce una successione ordinata. Ogni numero è descritto tramite una o più cifre.
Se a partire dall'insieme dei numeri naturali si introduce il segno (e lo zero se non incluso), distinguendo tra "numeri positivi" e "numeri negativi", si ottengono i numeri interi relativi (o semplicemente "interi"), il cui insieme è indicato per convenzione con il simbolo formula_4. I numeri interi relativi sono:
Se a partire dai numeri interi si costruiscono numeri dati dal rapporto tra di loro, si ottengono i numeri razionali, i quali sono quindi esprimibili tramite una frazione ("ratio" in latino, da cui il nome di numeri "razionali"). Ad esempio:
L'insieme di tutti i numeri razionali è per convenzione indicato col simbolo formula_7.
I numeri algebrici sono numeri ottenibili come radici di equazioni algebriche a coefficienti interi. I numeri razionali sono algebrici. Il viceversa non è in generale vero: ad esempio:
sono numeri algebrici che non possono essere descritti tramite una frazione, non sono razionali.
Un numero non algebrico è detto "trascendente". Ad esempio, formula_11 (pi greco) ed formula_12 sono trascendenti: non è possibile ottenere formula_13 come radice di un'equazione polinomiale a coefficienti interi.
L'insieme dei numeri reali comprende i numeri esprimibili, con o senza la virgola, tramite il sistema numerico decimale. I numeri reali comprendono i numeri elencati precedentemente. In particolare i numeri reali si dividono in razionali e irrazionali, oppure in algebrici e trascendenti.
L'insieme dei numeri reali è simboleggiato per convenzione con formula_14.
L'insieme dei numeri reali non fornisce tutte le soluzioni delle equazioni algebriche. Per esempio, l'equazione:
non ha soluzioni nel campo dei numeri reali, perché il quadrato di un numero reale è sempre positivo o nullo. Per risolvere questo problema, è stata introdotta l'unità immaginaria formula_18 . Essa è così definita:
Tale numero non appartiene all'insieme dei numeri reali, esso appartiene all'insieme dei numeri complessi. In generale, un numero complesso è un'espressione del tipo:
dove formula_21 è l'unità immaginaria e formula_22 sono numeri reali. L'insieme dei numeri complessi è indicato per convenzione con il simbolo formula_16.
Gli insiemi numerici sono ciascuno sottoinsieme dell'altro, secondo quest'ordine (dove il simbolo formula_24 indica l'inclusione stretta):
Per particolari scopi, formula_16, può essere ulteriormente esteso, al prezzo, però, di perdere alcune proprietà e, di conseguenza, subire un declassamento come struttura algebrica.
I numeri complessi sono stati estesi e hanno dato luogo ai quaternioni. L'operazione di moltiplicazione dei quaternioni non gode della proprietà commutativa.
Gli ottonioni estendono i quaternioni. Questa volta si perde la proprietà associativa. Gli unici sistemi associativi con dimensione finita, oltre ai complessi, sono i quaternioni.
Estendendo gli ottonioni si ottengono i sedenioni, che perdono la proprietà dell'algebra alternativa, ma mantengono comunque la proprietà associativa della potenza.
I numeri vanno distinti per il tramite dei nomi, dato che i numeri sono dei concetti e anche se i nomi utilizzati nelle varie lingue variano i concetti rimangono gli stessi. La notazione di numero come serie di cifre è definita dai sistemi di numerazione. I popoli spesso associano a dei numeri utilizzati di frequente dei nomi particolari, oltre a quelli che vengono assegnati dal sistema di numerazione, spesso questi nomi sono utilizzati in contesti specifici, un classico esempio è la dozzina.
Gli ultimi sviluppi della teoria dei numeri hanno condotto ai numeri iperreali ed ai numeri surreali, che estendono i numeri reali dai numeri infinitesimi ai numeri infinitamente grandi attraverso degli inserimenti. Mentre i numeri reali sono infinitamente prolungabili alla destra del punto decimale, si può anche provare a espandere i numeri a sinistra in modo infinito, ciò conduce ai numeri p-adici. Per gestire insiemi infiniti, i numeri naturali sono stati generalizzati nei numeri ordinali e nei numeri cardinali. Il primo insieme viene utilizzato per definire l'ordine di inserimento degli insieme il secondo definisce il formato di inserimento. Nel caso di insiemi finiti si equivalgono.
Le operazioni aritmetiche sui numeri sono addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Queste operazioni sono state generalizzate in una branca dell'algebra chiamata algebra astratta. Essa contiene i concetti di gruppo, anello e campo.
In molte culture la rappresentazione grafica dei numeri è assai simile. I numeri "uno", "due" e "tre" degli antichi romani erano espressi come I, II, III (numeri romani). I cinesi usavano una notazione analoga, con le cifre in orizzontale, o in verticale, ma al contrario dei romani utilizzavano un sistema posizionale, simile al nostro attuale, con le cifre da 0 a 9. I numeri, detti "tsu" o "hêng", cambiavano orientamento a seconda della posizione: | = | era 121, - || - ◦ era 1210. Gli tsu erano verticali, gli hêng orizzontali, i numeri sopra al cinque avevano una bacchetta disposta perpendicolarmente alle altre. Il sistema era impiegato con le "bacchette da calcolo", che i cinesi manovravano a velocità tali da stupire i primi missionari nestoriani.
Tuttavia, non c'era un segno univoco per definire il quattro tra i romani, mentre per i cinesi era ||||. I romani usavano una notazione a sottrazione: esprimevano il quattro con una V preceduta da una I. La V indicava il numero cinque, il simbolo I anteposto indicava che andava sottratto (cinque meno uno = quattro). Nell'assegnare un simbolo particolare al cinque c'era un motivo antropomorfico - la mano ha cinque dita - ma vi era anche una motivazione che coinvolge il cervello umano. Gli psicologi hanno dimostrato che il nostro cervello ha difficoltà a distinguere più di cinque simboli simili vicini: si provi a dire se è più grande ||||||||| o ||||||||||; più semplice se sono scritti come IX e X.
Il sistema adottato in Europa è il sistema di numerazione decimale, detto anche numerazione araba. In realtà proviene dall'India, e molto probabilmente deriva dai numeri corsivi egiziani, i numeri copti. La cifra 1 è molto simile al simbolo romano, 2 e 3 sono varianti dello stesso simbolo che consentono di scrivere i numeri senza alzare la penna e quindi consentono una scrittura rapida, ma conservano l'idea della linea doppia o tripla orizzontale. Col simbolo 4 la corrispondenza si perde.


In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la base di uno spazio vettoriale è un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano lo spazio. In modo equivalente, ogni elemento dello spazio vettoriale può essere scritto in modo unico come combinazione lineare dei vettori appartenenti alla base.
Se la base di uno spazio vettoriale è composta da un numero finito di elementi allora la dimensione dello spazio è finita. In particolare, il numero di elementi della base coincide con la dimensione dello spazio.
Sia formula_1 uno spazio vettoriale su un campo formula_2. L'insieme formula_3 di elementi di formula_1 è una base di formula_1 se valgono entrambe le seguenti proprietà:
Si dice anche che i vettori formula_16 appartenenti a una qualsiasi base di formula_1 costituiscono un sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti dello spazio. Questo significa che i vettori formula_16 sono tali che esistono formula_9 tali che:
ossia l'aggiunta al sottoinsieme massimale di un qualsiasi altro elemento dello spazio determina la dipendenza lineare degli elementi del sottoinsieme.
Una base è dunque composta da un minimo numero di vettori generatori dello spazio. Uno spazio vettoriale non banale con un campo infinito possiede infinite possibili basi diverse.
Uno spazio vettoriale in generale non ha una sola base, e solitamente si trattano spazi con infinite basi possibili. Il teorema della dimensione per spazi vettoriali afferma che tutte le possibili basi di uno stesso spazio hanno la stessa cardinalità, sono formate cioè sempre dallo stesso numero di vettori. Questo numero è la dimensione dello spazio, e permette di definire spazi di dimensione arbitrariamente alta. La dimensione dello spazio è inoltre uguale sia al massimo numero di vettori indipendenti che esso contiene, sia al minimo numero di vettori necessari per generare lo spazio stesso.
Qualsiasi sia lo spazio vettoriale formula_1, è sempre possibile trovarne una base. La dimostrazione richiede l'uso del lemma di Zorn nel caso generale, mentre nel caso particolare degli spazi finitamente generati esistono dimostrazioni più semplici.
Si consideri la collezione formula_22 dei sottoinsiemi di formula_1 linearmente indipendenti. È immediato dedurre che l'inclusione è un ordine parziale su formula_22, e che per ogni catena formula_25 l'insieme formula_26 ne è un maggiorante (è linearmente indipendente in quanto unione di elementi di una catena ordinata per inclusione). Applicando il lemma di Zorn, esiste un insieme massimale linearmente indipendente formula_27 in formula_22. Dunque formula_27 è una base, infatti se formula_30 ma non appartiene a formula_27 allora per la massimalità di formula_27 l'insieme formula_33 deve essere linearmente dipendente, cioè esistono degli scalari formula_9 non tutti nulli tali che
con formula_36, dal momento che se fosse nulla allora anche gli altri formula_37 dovrebbero esserlo, essendo gli elementi di formula_27 linearmente indipendenti. Quindi formula_13 può essere scritto come combinazione lineare finita di elementi di formula_27, che oltre a essere linearmente indipendenti generano formula_1. Dunque formula_27 è una base.
Per esprimere un vettore in modo unico attraverso una base è necessario definire un ordinamento nell'insieme dei vettori che costituiscono la base. Una "base ordinata" è una successione di vettori linearmente indipendenti che generano lo spazio. In particolare, se la successione formula_3 di elementi è una base ordinata di formula_1, allora l'insieme di tali vettori è una base di formula_1.
Ogni vettore formula_46 si può scrivere in modo unico come combinazione lineare dei vettori di base:
Si definisce l'insieme delle coordinate di formula_48 rispetto alla base data il vettore:
Si tratta del vettore che ha come componenti i coefficienti della combinazione lineare di vettori di base attraverso i quali si può scrivere formula_48. Tale vettore dipende dalla base scelta.
La mappa formula_51 che associa ad ogni vettore formula_13 le sue coordinate formula_53 è un isomorfismo di spazi vettoriali, cioè è una applicazione lineare biettiva.
Sia formula_2 un campo. L'insieme formula_55 è uno spazio vettoriale di dimensione formula_56. Si definisce base canonica di formula_55 l'insieme di vettori:
Ogni vettore formula_62 si può allora scrivere come combinazione lineare dei vettori di base:
Il vettore:
è il vettore delle coordinate di formula_48 rispetto alla base canonica. Solitamente si identifica un vettore attraverso le sue coordinate rispetto alla base canonica, ovvero formula_66.
Ad esempio, i vettori formula_67 ed formula_68 sono una base di formula_69, infatti ogni vettore formula_70 si scrive come:
Il concetto di base in spazi di dimensione infinita (in cui cioè esista un insieme infinito di vettori linearmente indipendenti) è più problematico. Per tali spazi esistono due nozioni differenti di base: la prima, detta "base di Hamel", è definita algebricamente, mentre la seconda, detta "base di Schauder", necessita della presenza di una topologia.
Una base di Hamel per uno spazio vettoriale formula_72 è un insieme formula_73 di vettori linearmente indipendenti, parametrizzato da un insieme ordinato formula_74 di indici, tale che ogni vettore formula_75 di formula_72 è combinazione lineare di un insieme finito di questi. 
Nel caso in cui formula_74 è un insieme finito, la definizione coincide con quella data precedentemente.
Grazie al lemma di Zorn ogni spazio vettoriale ha una base di Hamel, ed inoltre due basi di Hamel qualsiasi di uno stesso spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità, che è pari alla dimensione (di Hamel) dello spazio vettoriale. Infine, continua a rimanere vero il fatto che ogni vettore dello spazio formula_72 si scrive in modo "unico" come combinazione lineare dei vettori di una base di Hamel.
Ad esempio, una base di Hamel per lo spazio vettoriale formula_79 formato da tutti i polinomi a coefficienti in un campo formula_80 è data dall'insieme di tutti i monomi:
Infatti ogni polinomio formula_82 è combinazione lineare di un insieme finito di questi.
L'insieme dei numeri reali può essere considerato uno spazio vettoriale su formula_83. Ne consegue che ogni numero reale può essere espresso come combinazione lineare finita di elementi presi da un sottoinsieme proprio di formula_84: tale sottoinsieme non potrà essere finito o numerabile poiché formula_84 ha la potenza del continuo (analoghe considerazioni possono essere fatte considerando formula_86 come spazio vettoriale su formula_83).
Più generalmente per uno spazio topologico è possibile estendere la definizione di Hamel in modo diverso, ammettendo somme infinite di vettori. Il senso di queste somme infinite è infatti dato dalle nozioni di limite di una successione e di serie.
Se formula_72 è uno spazio vettoriale topologico (ad esempio uno spazio di Hilbert o di Banach), un insieme ordinato formula_73 di vettori linearmente indipendenti è una "base di Schauder" (o "topologica") se lo spazio da essi generato è denso in formula_72. In altre parole, se ogni vettore formula_75 di formula_72 può essere approssimato da somme (finite) di vettori in formula_73, e quindi come limite di una somma infinita di questi:
dove formula_95 è un sottoinsieme numerabile.
Si pone il problema dell'esistenza di una base di Schauder in spazi di Hilbert o di Banach. La risposta, in generale, è negativa: infatti, dalla definizione consegue, in particolare, che uno spazio di Hilbert o di Banach che possiede una base di Schauder deve necessariamente essere separabile (infatti, dallo spazio generato dai formula_73, che è denso in formula_72 è sempre possibile estrarre un sottoinsieme denso e numerabile utilizzando le combinazioni lineari a coefficienti in formula_83)
In uno spazio di Hilbert, è di particolare importanza la nozione di base ortonormale: in uno spazio di Hilbert separabile, una base ortonormale è una base di Schauder.
L'esistenza di una base di Schauder in uno spazio di Banach non è, in genere, assicurata nemmeno aggiungendo l'ipotesi (peraltro necessaria) che si tratti di uno spazio separabile: un controesempio è stato fornito nel 1973 da Per Enflo. Un teorema di Stanisław Mazur mostra che in uno ogni spazio di Banach (a dimensione infinita) esiste sempre un sottospazio di dimensione infinita che possiede una base di Schauder.
L'esistenza di una base di Schauder consente di estendere alcuni teoremi .
Le due nozioni di basi sono generalmente molto differenti, e anche le loro cardinalità possono differire, portando a due concetti diversi di dimensione, chiamati rispettivamente "dimensione di Hamel" e "dimensione di Schauder". La dimensione di Hamel può avere cardinalità superiore a quella di Schauder (pur essendo entrambe infinite).
Ad esempio, sia formula_72 lo spazio delle funzioni continue reali definite sull'intervallo formula_100. Questo è uno spazio di Banach con la norma:
Come conseguenza della teoria delle serie di Fourier, una base di Schauder per formula_72 è costruita a partire dalle funzioni trigonometriche:
ed ha cardinalità numerabile. Una base di Hamel ha invece cardinalità non numerabile, ed è molto più difficile da costruire (e scarsamente utilizzata).
