
In matematica, il logaritmo di un numero in una data base è l'esponente al quale la base deve essere elevata per ottenere il numero stesso.
Per esempio, il logaritmo in base formula_1 di formula_2 è formula_3, poiché bisogna elevare formula_1 alla terza potenza per ottenere formula_2, ovvero formula_6. Più in generale, se formula_7, allora formula_8 è il logaritmo in base formula_9 di formula_10, cioè, scritto in notazione matematica,
I logaritmi furono introdotti da Nepero all'inizio del 1600, e trovarono subito applicazione nelle scienze e nell'ingegneria, soprattutto come strumento per semplificare calcoli con numeri molto grandi, grazie all'introduzione di "tavole di logaritmi".
La funzione formula_12 (logaritmo in base formula_9 di formula_14) è la funzione inversa della funzione esponenziale in base formula_9 data da formula_16
È di importanza fondamentale il logaritmo naturale, cioè il logaritmo che ha come base il numero di Nepero, indicato con formula_17 Il logaritmo naturale è l'inverso della funzione esponenziale formula_18
Dati due numeri reali positivi formula_9 e formula_10, con formula_21, si definisce "logaritmo" in base formula_9 di formula_10 l'esponente a cui elevare formula_9 per ottenere formula_25 Il numero formula_10 viene chiamato "argomento" del logaritmo. In altre parole, se formula_27
si scrive che
e si legge: formula_8 è il logaritmo in base formula_9 di formula_25
Le ipotesi su formula_9 e formula_10 sono necessarie per avere l'esistenza e l'unicità di formula_34 infatti:
Per esempio, formula_55 perché formula_56
I logaritmi possono anche essere negativi (a differenza della base e dell'argomento). Infatti
poiché formula_58
Dalle relazioni formula_59 e formula_60, che valgono qualsiasi sia la base formula_9, derivano le proprietà di base:
Inoltre, dalla definizione segue che:
Una delle più importanti proprietà dei logaritmi è che il logaritmo del prodotto di due numeri è la somma dei logaritmi dei due numeri stessi. Allo stesso modo, il logaritmo del quoziente di due numeri non è altro che la differenza tra i logaritmi degli stessi. In altre parole valgono
Applicando il logaritmo ad ambo i membri:
Il suo valore è ovviamente l'esponente stesso:
Inoltre, il logaritmo di un numero elevato a una certa potenza formula_72 è uguale a formula_72 moltiplicato per il logaritmo del numero stesso. Da questo discende che il logaritmo della radice formula_72-esima di un numero è uguale all'inverso di formula_72 per il logaritmo del numero, e che il logaritmo dell'inverso di un numero è l'opposto del logaritmo del numero stesso. In altre parole valgono le formule:
Noto il valore di un logaritmo in una base, è semplice calcolarne il valore in un'altra base (spesso le calcolatrici danno il logaritmo solo in basi formula_1 ed formula_80).
Se formula_10, formula_14, e formula_72 sono tutti numeri reali positivi (con formula_43 e formula_85):
dove "k" è una base qualsiasi. La formula può essere scritta nel modo seguente
e segue dalla relazione
Dalla formula del cambiamento di base, ponendo formula_89, si ricava la relazione seguente:
Anche se in linea di principio i logaritmi possono essere calcolati in qualunque base positiva e diversa da formula_45, quelle più utilizzate sono tre:
Il metodo dei logaritmi fu proposto dallo scozzese Nepero nel 1614, in un libro intitolato "Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio". Joost Bürgi inventò indipendentemente i logaritmi, ma pubblicò i suoi risultati sei anni dopo Nepero.
Per sottrazioni successive, Nepero calcolò formula_92 per formula_93 da formula_45 a formula_95; il risultato per formula_96 è approssimativamente formula_97, ovvero formula_98. Nepero poi calcolò il prodotto di questi numeri per formula_99, con formula_93 da formula_45 a formula_102. Questi calcoli, che occuparono 20 anni, gli permisero di trovare, per ogni numero intero formula_103 da 5 a 10 milioni, il numero formula_93 che risolve l'equazione
Nepero chiamò inizialmente questo valore un "numero artificiale", ma successivamente introdusse il nome "logaritmo", dalle parole del greco "logos", proporzione, e "arithmos", numero. Usando una notazione moderna, i calcoli di Nepero gli permisero di calcolare
dove l'approssimazione compiuta corrisponde alla seguente:
L'invenzione di Nepero fu subito largamente acclamata: i lavori di Bonaventura Cavalieri (Italia), Edmund Wingate (Francia), Xue Fengzuo (Cina) e Giovanni Keplero (Germania) permisero di diffondere velocemente l'idea.
Nel 1647, il fiammingo Gregorio di San Vincenzo collegò i logaritmi alla quadratura dell'iperbole, dimostrando che l'area formula_108 sottesa da formula_45 a formula_110 soddisfa
Il logaritmo naturale fu per la prima volta descritto da Nicolaus Mercator nel suo scritto "Logarithmotechnia" pubblicato nel 1668, anche se precedentemente l'insegnante di matematica John Speidell aveva compilato una tavola di logaritmi naturali nel 1619.
Intorno al 1730, Eulero definì la funzione esponenziale e la funzione logaritmo come
Eulero inoltre dimostrò che queste due funzioni erano una l'inversa dell'altra.
Semplificando calcoli complessi, i logaritmi contribuirono ampiamente all'avanzamento della scienza, e in particolare dell'astronomia. Lo strumento che ne permise l'uso pratico furono le tavole dei logaritmi. La prima di esse fu completata da Henry Briggs nel 1617, subito dopo l'invenzione di Nepero. Successivamente, furono scritte altre tavole con diversi scopi e precisione. In esse veniva elencato il valore di formula_114 e di formula_115 per ogni numero formula_14 in un certo intervallo, con una precisione fissata e con una base formula_10 scelta (solitamente formula_118). Per esempio, la tavola di Briggs conteneva il logaritmo in base formula_1 di tutti i numeri da formula_45 a formula_2, con una precisione di otto cifre decimali. La funzione formula_115, poiché inversa del logaritmo, venne chiamata "antilogaritmo".
Il prodotto e il quoziente di due numeri formula_8 e formula_124 venivano così calcolati con rispettivamente la somma e la differenza dei loro logaritmi. Il prodotto formula_125 è l'antilogaritmo della somma dei logaritmi di formula_8 e formula_124:
Il quoziente formula_129 è l'antilogaritmo della differenza dei logaritmi di formula_8 e formula_124:
Per compiere calcoli complessi con una buona precisione queste formule erano molto più veloci del calcolo diretto oppure dell'utilizzo di metodi precedenti, come quello di prostaferesi.
Anche il calcolo di potenze e di radici veniva semplificato, riducendosi a moltiplicazione e divisione di logaritmi:
e
Operando sui numeri reali, la "funzione logaritmo" è la funzione formula_135 definita da
La funzione ha come dominio l'intervallo formula_137 In figura sono disegnati tre esempi della funzione logaritmo con diversi valori per la base formula_10. La curva rossa è per la funzione con base formula_139 costante di Nepero (valore approssimato: formula_140).
Come si può notare dal grafico, il dominio della funzione logaritmo (l'insieme entro cui variano i valori delle formula_14), è l'intervallo formula_142; mentre il codominio, insieme in cui variano i valori delle formula_143, è formula_144.
La funzione logaritmo è derivabile e la sua derivata è la seguente:
dove "ln" è il logaritmo naturale, cioè con base formula_80. In particolare, la relazione seguente è fondamentale nel calcolo infinitesimale:
L'eguaglianza è dimostrabile usando la regola della funzione inversa:
La funzione inversa del logaritmo è la funzione esponenziale, la cui derivata coincide con se stessa:
Ne segue:
Si può utilizzare direttamente la definizione di derivata:
e, ricordando il limite notevole del logaritmo, si ottiene:
La derivata seconda della funzione logaritmo è
Se formula_156, questo valore è sempre negativo e la funzione è quindi funzione concava. Se formula_157 è invece sempre positivo e la funzione è convessa.
La funzione logaritmo è continua e quindi integrabile.
La funzione integrale del logaritmo, con base generica formula_10, è (applicando l'integrazione per parti):
dove formula_160 è la costante di integrazione, cioè una costante reale arbitraria.
La funzione logaritmo è analitica. Non è possibile però descrivere la funzione su tutto il suo dominio con una sola serie di potenze (come avviene ad esempio per la funzione esponenziale): lo sviluppo centrato in un punto formula_161 ha infatti raggio di convergenza formula_162 ed è quindi convergente solo nell'intervallo formula_163. Ad esempio, lo sviluppo in formula_164 è il seguente:
Per lo studio di funzioni esponenziali in cui è necessario estrapolare dati o parametri in modo semplice è possibile sfruttare la funzione logaritmo per ricavare una relazione implicita della funzione originale avente il vantaggio di essere lineare. Ad esempio, per una funzione descrivibile comeformula_166con "a" e "b" costanti è possibile pervenire alla relazione:formula_167che sul piano semi-logaritmico rappresenta una retta che interseca l'asse delle ordinate in "ln(a), "con derivata prima "b" e angolo di inclinazione pari ad "arctan(b)": in questo modo l'estrapolazione dei dati per la nuova funzione è più semplice ed accessibile.
La funzione logaritmo può essere estesa ai numeri complessi diversi da zero. Nel caso in cui si tratti di un logaritmo naturale con argomento complesso vale la formula seguente:
con formula_169 l'unità immaginaria e formula_170 l'argomento di formula_171. Il logaritmo complesso è in realtà una funzione a più valori, determinati dal parametro intero formula_72.


In matematica, la radice formula_1-esima o radicale formula_1-esimo, con formula_3, di un numero reale formula_4, scritto come formula_5, è un numero reale formula_6 tale che formula_7. Il numero reale formula_8 è detto radicando, il numero formula_1 è detto indice e il numero formula_10 è detto radice formula_1-esima di formula_8.
Una radice con indice 2 è indicata con il nome di radice quadrata e una radice con indice 3 con il nome di radice cubica o radice terza, ma esistono e si possono creare radici con qualsiasi indice.
Le condizioni di esistenza sono quell'insieme dei valori delle variabili contenute nel radicale per i quali esso esiste nel campo dei numeri reali.
La funzione radice formula_1-esima è una funzione definita da formula_14, perciò formula_5 resta definita formula_16
Per esempio, i seguenti radicali esprimono numeri reali: 
Si può ottenere un risultato analogo alla radice ennesima attraverso l'elevamento a potenza con esponente frazionario:
Tuttavia la funzione potenza è definita da formula_19, perciò essa permette di definire due sottocasi:
Ciò implica che equazioni del tipo formula_22, con formula_1 pari e formula_24 non hanno soluzioni reali, esse infatti appartengono all'insieme dei numeri immaginari, sottoinsieme dell'insieme dei numeri complessi, indicato con formula_25, che vengono espressi come somma di un numero reale e un numero immaginario.
Ad esempio, l'equazione formula_26 avrà per soluzioni formula_27 e formula_28, dove formula_29 rappresenta l'unità immaginaria.
Quanto visto finora ci permette d'individuare che, ad esempio, la condizione di esistenza del radicale formula_30 è formula_31, dato che il radicando deve essere sempre positivo.
Ecco altri esempi di condizioni di esistenza:
Esistono delle proprietà fondamentali delle radici che vengono elencate di seguito:
Dalla definizione di radicale segue che: 
Si elevino all'ennesima potenza entrambi i membri dell'uguaglianza:
Poiché le formula_1-esime potenze dei due membri sono uguali (formula_59), sono uguali anche le basi.
Applicando la proprietà:
Allo stesso modo, con formula_61:
Si elevino all'ennesima potenza entrambi i membri dell'uguaglianza:
Poiché le formula_1-esime potenze dei due membri sono uguali formula_70, sono uguali anche le basi.
Applicando la proprietà:
Allo stesso modo, con formula_72:
Non è necessario dimostrare questa proprietà in quanto è una diretta conseguenza della seconda proprietà dei radicali con il radicando sempre positivo.
Applicando la proprietà:
Allo stesso modo, con formula_78
Si elevino all'formula_83-esima potenza entrambi i membri dell'uguaglianza:
Poiché le formula_83-esime potenze dei due membri sono uguali (formula_87), sono uguali anche le basi.
Applicando la proprietà:
Allo stesso modo, con formula_89, formula_90
Per il teorema del prodotto si ottiene:
Ma, per la seconda proprietà fondamentale dei radicale è formula_97, perciò:
Applicando la proprietà:
Allo stesso modo, con formula_100:
Il teorema presenta le seguenti varianti, facilmente verificabili:
Elevando tutto alla formula_1-esima potenza si ottiene:
Radicando ora il tutto sotto radice di indice formula_1 risulta:
Quindi:
Applicando la proprietà:
Allo stesso modo:
Il teorema presenta le seguenti varianti, facilmente verificabili:
Tenendo conto di quanto detto finora, si ha che per formula_4
Il primo enunciato si ottiene direttamente dalla definizione di radicale, il secondo applicando il teorema delle potenze ad esponente negativo.
dove formula_24, formula_65e formula_136.
Per ogni numero complesso formula_137, ci sono formula_1 diversi numeri complessi formula_10 tali che formula_7, quindi il simbolo formula_5 non può essere usato univocamente. Se formula_142, parliamo di radici n-esime dell'unità.
È importante ricordare che, in generale, è sempre (per formula_47, formula_54):
tenendo presente che l'uguaglianza si ha se e solo se almeno uno tra formula_8 e formula_10 è formula_148.
Quindi, affermare che formula_149 sarebbe un gravissimo errore.
Partendo dalla disequazione:
Elevando al quadrato si ottiene:
Poiché è formula_47 e formula_54 per ipotesi, è anche formula_156, quindi la tesi è vera.
Il teorema è facilmente estendibile alle radici di indice formula_1-esimo:
La somma di radicali è possibile solo se sono presenti radicali simili, cioè nel caso in cui:
Ad esempio:
Nel secondo esempio si tenga presente che vale formula_166.
La proprietà invariantiva dei radicali afferma che:
""Moltiplicando o dividendo sia l'indice di un radicale che l'esponente del suo radicando per un numero naturale diverso da 0, si ottiene un radicale equivalente a quello dato.""
In simboli:
Si elevi alla formula_170 potenza ciascuno dei due membri:
Si ottiene formula_173, e, poiché le formula_170-esime potenze dei due membri sono uguali, sono uguali anche le basi.
Utilizzando la proprietà invariantiva è possibile semplificare i radicali, dividendo sia indice che esponente del radicando per uno stesso numero:
Allo stesso modo:
Si noti che nell'espressione è stato inserito il valore assoluto: questo perché, mentre il primo radicale formula_177 esiste sempre, dato che ha il radicando elevato ad un indice pari, successivamente viene semplificato ed il suo radicando non è più elevato ad un esponente pari. Quindi è necessario inserire il valore assoluto, per fare in modo che l'uguaglianza si mantenga valida.
La radice formula_1-esima di formula_148 vale sempre formula_148, escludendo il caso in cui è formula_181, poiché la radice di indice formula_148 ha significato solo se il radicando è uguale ad formula_183, ossia nel caso:
Inoltre, è sempre:
Nelle elaborazioni di espressioni e formule algebriche, è spesso utile manipolare i radicali usando le relazioni scritte sopra, senza tentare di calcolare il valore di ogni singolo elemento. Ad esempio, se formula_8 e formula_10 sono due numeri positivi distinti:
L'ultima relazione può servire per razionalizzare il denominatore di un'espressione o di un'equazione.
Può capitare, spesso in analisi, di trovare radicali letterali, ossia radici quadrate con radicando letterale. In questo caso, dapprima bisogna trovare la condizione di esistenza (chiamata anche C.A. "Condizione di accettabilità", o C.R.R. "Condizione di Realtà del Radicando"), nel caso si lavori solo tra i numeri reali, per poi considerare sempre quando le lettere indicano numeri positivi o numeri negativi.
Un esempio di radicale letterale:
Le condizioni di esistenza si ricavano nel seguente modo:
Pertanto il campo di esistenza del radicale è: formula_200.
