
Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce che ogni polinomio di grado formula_1 (cioè non costante), su un campo algebricamente chiuso (come il campo dei numeri complessi), del tipo:
ammette esattamente formula_3 radici in quel campo, o zeri. Dal teorema segue che un polinomio complesso ammette esattamente formula_3 radici complesse (contate con la giusta molteplicità), mentre un polinomio reale ammette al più formula_3 radici reali.
Un'enunciazione del teorema in una pubblicazione fu opera del matematico di origine fiamminga Albert Girard nel 1629 nel libro "L'invention en algebre", per quanto anticipata da una formulazione debole da parte di Peter Roth, riportata nei suoi "Arithmetica Philosophica" (1608). Non vi era comunque alcuna dimostrazione. Nel 1702 Leibniz sostenne di aver trovato un controesempio con il polinomio formula_6. Nel 1742 Nicolas Bernoulli e Christian Goldbach in una lettera inviata allo stesso Leibniz dimostrarono l'esistenza di radici complesse del polinomio.
Il primo tentativo serio di dimostrazione del teorema fu operato da d'Alembert nel 1746, il quale però utilizzò un teorema non ancora dimostrato (la dimostrazione fu fatta da Puiseux nel 1751 utilizzando lo stesso teorema fondamentale dell'algebra). Altri tentativi di dimostrazione furono portati avanti nel 1749 da Eulero, Lagrange nel 1772, Laplace nel 1795.
Finalmente nel 1799 Gauss riuscì nell'intento sfruttando i tentativi dei suoi predecessori. Infine, nel 1814 Jean-Robert Argand, un libraio appassionato di matematica, pubblicò un'altra dimostrazione molto più semplice rispetto a quella di Gauss.
Un numero reale è un particolare numero complesso: il teorema è quindi valido per ogni polinomio a coefficienti reali. Ad esempio, si consideri il polinomio
Questo polinomio non ammette nessuna radice reale: i numeri reali non formano un campo algebricamente chiuso. Per il teorema fondamentale dell'algebra, il polinomio ha però almeno una radice complessa: questa è l'unità immaginaria formula_8. Infatti:
Questa non è però l'unica radice. Il polinomio ha grado due e ha due radici complesse formula_10 e formula_11.
Esistono numerose dimostrazioni del teorema fondamentale dell'algebra che coinvolgono settori molto diversi della matematica come la topologia, l'analisi complessa e l'algebra.
Sia formula_12 un polinomio a coefficienti complessi di grado formula_13. 
Abbiamo formula_14, quindi esiste formula_15 tale che 
formula_16 per ogni formula_17 tale che formula_18. 
Il disco chiuso formula_19 è compatto, dunque per il teorema di Weierstrass esiste un punto formula_20 in cui formula_21 assume il suo minimo valore assoluto in formula_22.
Proviamo che formula_23: sviluppando formula_12 in serie di Taylor intorno a formula_25 abbiamo
dove formula_27, formula_28 è intero e formula_29 con formula_30,
notare che la serie di Taylor è finita poiché formula_31 per ogni intero formula_32 essendo formula_12 un polinomio di grado formula_3. Quindi:
dove formula_36 per formula_37. 
Per ogni formula_38 possiamo scegliere formula_17 di modo che formula_40, in tal caso quando formula_41 allora formula_37 quindi per formula_43 sufficientemente piccolo avremo 
pertanto 
ovvero si è trovato un assurdo.
Sia formula_12 un polinomio complesso, tale che formula_47 per ogni formula_48 complesso. Allora la funzione 
è una funzione intera, cioè è una funzione olomorfa su tutto formula_50. D'altra parte
implica
e quindi la funzione formula_53 è limitata. Per il teorema di Liouville formula_53 è costante, da cui segue che anche formula_12 è costante.
Quindi gli unici polinomi senza zeri sono i polinomi costanti.
Consideriamo un polinomio a coefficienti complessi non costante
vogliamo dimostrare che esiste un punto formula_57 tale che formula_58. A tale scopo possiamo considerare il caso in cui formula_59.
Supponiamo per assurdo che formula_60 non ammetta radici, cioè che l'origine non sia nella sua immagine. Consideriamo sul piano complesso la circonferenza di centro l'origine e raggio formula_61 parametrizzata da
Il polinomio formula_60 rappresenta una funzione continua del piano complesso in sé stesso e come tale manderà la circonferenza formula_64 in una curva piana parametrizzata formula_65. La curva così ottenuta non passerà per l'origine dal momento che abbiamo assunto che 0 non è nell'immagine di formula_60, e questo qualunque sia il raggio formula_61. Quindi possiamo considerare l'indice di avvolgimento di formula_65 rispetto all'origine formula_69
Poniamo
Poiché l'indice di avvolgimento non varia per deformazioni della curva tali che questa non tocchi mai l'origine (è un invariante omotopico) la funzione formula_71 sarà continua e poiché l'indice assume solo valori interi dovrà anche essere una funzione costante.
Ora consideriamo il valore di formula_71 per due differenti valori di formula_61:
Il fatto che formula_71 assuma valori differenti per differenti raggi contraddice il fatto che deve essere una funzione costante, e siamo quindi giunti a un assurdo da cui concludiamo che l'ipotesi che formula_60 non avesse nessuna radice è impossibile.
Si dice che il campo complesso formula_50 è un campo algebricamente chiuso per indicare il fatto che 
ogni polinomio di grado maggiore o uguale a 1, a coefficienti complessi, ha almeno una radice in formula_50, come stabilisce il teorema qui esposto. Tale proprietà non è condivisa dai sottocampi formula_108 e formula_109 come si può vedere subito considerando i polinomi 
che non ha radici nel campo formula_108 dei razionali, e
che non ha radici nel campo formula_109 dei reali.


In matematica l'uguaglianza indica comunemente una relazione binaria di equivalenza fra due enti, detti membri dell'uguaglianza. 
Rappresenta uno dei concetti più importanti e fondamentali introdotti a livello della logica di una teoria.
Più formalmente per uguaglianza/Identità, in una teoria del primo ordine, si intende una relazione, di solito definita col simbolo "=", che verifichi i seguenti assiomi:
dove formula_3 è un predicato contenente la variabile libera formula_4
L'assioma di riflessività e lo schema degli assiomi caratterizzano formalmente l'idea intuitiva di uguaglianza: il primo assioma afferma che ogni oggetto è uguale a se stesso, mentre il secondo afferma che due oggetti uguali verificano le stesse proprietà. In particolare lo schema degli assiomi afferma che due oggetti uguali sono essenzialmente la stessa cosa, infatti non c'è modo di distinguerli dato che: "" tutto ciò che è vero per uno, è vero per l'altro"".
In particolare in una logica del secondo ordine, gli assiomi di uguaglianza si possono riformulare nel seguente modo:
dove formula_7 è un predicato.
Si noti, che in questo caso, si hanno solo due assiomi, mentre nell'altra definizione abbiamo uno schema di assiomi, questo è dovuto al fatto che nella logica del primo ordine non si può quantificare sulle proprietà diversamente da quanto avviene nella logica del secondo ordine.
L'uguaglianza è una relazione di equivalenza; tuttavia essa è molto particolare in quanto tutte le sue classi di equivalenza hanno cardinalità 1, e ciò è dovuto al fatto che l'uguaglianza gode di proprietà più restrittive rispetto alle consuete proprietà delle relazioni di equivalenza. 
Una relazione di uguaglianza definita su un dato universo ha per grafico, nel prodotto cartesiano formula_8, l'insieme formula_9 
