
In matematica si dice che una funzione a valori reali:
ha in un punto formula_2 del proprio dominio formula_3 un massimo globale (o assoluto) se in formula_2 assume un valore maggiore o uguale a quello che assume negli altri punti di formula_3, ovvero
Viceversa formula_7 ha un minimo globale (o assoluto) in un punto formula_2 di formula_3 se
Si dice che una funzione formula_7 ha in formula_2 un massimo locale (o relativo) se formula_2 appartiene al dominio formula_3 di formula_7, è di accumulazione per formula_3, e inoltre formula_17 in un intorno di formula_2. 
formula_7 ha invece un minimo locale (o relativo) in formula_2 se formula_2 appartiene al dominio formula_3 di formula_7, è di accumulazione per formula_3, e inoltre formula_25 in un intorno di formula_2.
In tutti questi casi, si parla di formula_2 come di "punto di massimo" (o "di minimo") "assoluto" (o "relativo").
I punti di massimo e minimo vengono anche detti punti estremanti, e i valori assunti dalla funzione in questi punti sono detti estremi della funzione.
Nel caso di una funzione derivabile di una variabile reale la condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché un punto possa, eventualmente, essere di massimo o di minimo locale è data dal teorema di Fermat, in base al quale la derivata prima di una funzione deve annullarsi se calcolata in corrispondenza di un punto di massimo o minimo locale:
Tale condizione permette di trovare un certo numero di punti ("x", "x", ...) che si chiamano punti critici o stazionari. Naturalmente questa condizione vale per tutti i punti interni al dominio di derivabilità, cioè nei punti interni di questo insieme, mentre negli estremi dell'insieme non è detto che la derivata esista e proprio per questo motivo la condizione vale per gli intervalli aperti. Questa condizione si può dimostrare: infatti se formula_2 è un punto di massimo locale, allora in un intorno formula_30 di "x" vale che il rapporto incrementale:
formula_31
per cui passando al limite di una funzione per formula_32 si deduce che necessariamente formula_33.
Geometricamente questa condizione significa che la retta tangente nel punto "x" è orizzontale. Tale condizione non è né necessaria né sufficiente per avere un massimo o un minimo locale: infatti da un lato ci possono essere punti di massimo o minimo locale anche laddove la funzione non è derivabile, e dall'altro ci possono essere punti (di flesso) dove la derivata si annulla ma la funzione non ha massimo o minimo locale.
Possiamo utilizzare la derivata prima per classificare i punti critici. Un punto formula_2 è di massimo locale per "f" se nei suoi intorni destro e sinistro:
Viceversa è di minimo locale se:
Se infine il valore della derivata non cambia attraversando il punto formula_2 allora questo è un punto di flesso ascendente o discendente a seconda che la derivata prima rimanga sempre positiva o sempre negativa.
Alternativamente se la funzione ammette la derivata seconda in un punto, un punto è di massimo o minimo relativo se la derivata prima della funzione si annulla (quindi formula_2 è un punto stazionario) e la derivata seconda non si annulla. Più precisamente, posto che la derivata prima si annulli, se la derivata seconda risulta essere maggiore di 0, allora significa che la concavità sarà rivolta verso l'alto, perciò il punto è di minimo. Mentre, se la derivata seconda è minore di zero, significa che la concavità è rivolta verso il basso e quindi si tratterà di un punto di massimo. Se invece la derivata seconda si annulla, nel caso in cui la derivata terza sia diversa da zero, avremo in quel punto un flesso a tangenza orizzontale ascendente o discendente e, per la definizione di flesso, la funzione cambierà concavità in tale punto.
Nel caso di funzioni in più variabili, il discorso fatto è analogo, ma ad annullarsi è il differenziale (e quindi il gradiente) della funzione. 
Nel caso di funzioni di 2 variabili, per verificare se il punto è di massimo o minimo, si guarda il segno del determinante della matrice hessiana e il primo termine della matrice: 
Nel caso di funzioni di 3 o più variabili, invece, si deve studiare il segno degli autovalori della matrice hessiana (nei punti critici, cioè dove si annulla il gradiente) e:
In caso di funzioni di due o più variabili, la ricerca dei punti di massimo e minimo non si esaurisce all'interno del dominio dove la funzione è derivabile, ma si devono cercare i massimi e i minimi anche sulla frontiera, in cui in generale la funzione non è differenziabile. In tal caso, nelle funzioni di due variabili si parametrizza la frontiera e si cercano i punti di massimo e di minimo come visto per una variabile reale.
Si consideri 
Calcoliamo la derivata prima:
Calcoliamo la derivata seconda: 
La derivata prima si annulla nei punti 
Nel punto formula_43 la derivata seconda è negativa, quindi è un punto di massimo, mentre nel punto formula_44 la derivata seconda è positiva, quindi è un punto di minimo.
Si consideri la funzione di 2 variabili
Calcoliamo le derivate parziali prime:
Quindi il gradiente di formula_48 è:
I punti critici sono dati dalla soluzione del sistema:
Quindi... 
formula_51 
oppure
formula_52 
Calcoliamo le derivate parziali seconde:
Quindi la matrice hessiana di z sarà:
Basandosi sul modello:
Calcoliamo la matrice hessiana nei punti critici (anche detti "punti stazionari"):
Questa matrice ha determinante negativo (-9), quindi è un punto di sella.
Questa seconda matrice ha invece determinante positivo (27) e primo termine (-6) negativo quindi è un punto di massimo relativo.


In matematica, una funzione iniettiva (detta anche funzione ingettiva oppure iniezione) è una funzione che associa, a elementi distinti del dominio, elementi distinti del codominio.
In altre parole: una funzione da un insieme formula_1 a un insieme formula_2 è iniettiva se ogni elemento di formula_2 non può essere ottenuto in più modi diversi partendo dagli elementi di formula_1. 
Una funzione formula_5 si dice iniettiva se due elementi distinti del dominio hanno immagini distinte, ossia formula_6 implica formula_7; equivalentemente, se due elementi del dominio hanno la stessa immagine allora coincidono necessariamente, ossia formula_8 implica formula_9.
Simbolicamente:
oppure, nella forma contronominale:
Se formula_5 è una funzione iniettiva, allora ogni elemento dell'immagine formula_13 è immagine di esattamente un elemento del dominio, e la proiezione del grafico formula_14 sulla seconda coordinata è una funzione iniettiva.
In particolare, se formula_15 è una funzione reale di una variabile reale iniettiva, qualunque retta parallela all'asse delle formula_16 intersecherà il grafico della funzione in "al massimo" un punto.
Se inoltre la funzione iniettiva è definita e continua su un intervallo, allora è strettamente monotòna (strettamente crescente o strettamente decrescente).
Viceversa, se formula_15 è una funzione reale di variabile reale non iniettiva, allora esistono due elementi del dominio che hanno la stessa immagine, formula_18. Dunque la retta formula_19 interseca il grafico formula_20 in almeno due punti: formula_21 e formula_22.
Un omomorfismo di gruppi è iniettivo ("monomorfismo") se e solo se il suo nucleo è costituito dal solo elemento neutro.
In particolare, un'applicazione lineare tra spazi vettoriali è iniettiva se e solo se il suo nucleo è composto solo dal vettore nullo.
Equivalentemente in spazi di dimensione finita, un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se la dimensione dell'immagine è uguale alla dimensione del dominio: non esistono quindi applicazioni lineari iniettive da uno spazio ad un altro di dimensione minore.
L'iniettività è una condizione necessaria ma non sufficiente per l'invertibilità.
Una funzione iniettiva formula_5 non è in generale invertibile, perché dovrebbe essere anche suriettiva. Restringendo però il codominio all'immagine si ottiene una diversa funzione formula_24, invertibile.
Una funzione invertibile formula_15 è iniettiva, ed anche la sua inversa formula_26, essendo invertibile, è iniettiva.
La composizione di due (o più) funzioni iniettive è iniettiva:
Se la funzione composta formula_28 è iniettiva, allora formula_15 è iniettiva, ma non è detto che formula_30 lo sia.
Ad esempio, la funzione iniettiva formula_31 è composizione di una funzione iniettiva formula_32 e di una funzione non iniettiva formula_33.
Se esistono due funzioni "distinte" formula_34 tali che formula_35, allora formula_15 non è iniettiva:
infatti esiste un formula_37 con formula_38, ma formula_39.
Una funzione il cui dominio abbia cardinalità superiore al codominio non può essere iniettiva. Dunque una funzione iniettiva tra due insiemi ha un codominio di cardinalità maggiore o uguale al dominio.
Questa proprietà è vera, oltre che per insiemi di cardinalità finita anche per insiemi di cardinalità infinita: per esempio, non esistono funzioni iniettive da un insieme con la cardinalità del continuo a un insieme numerabile.
Il numero di funzioni iniettive da un insieme finito formula_40 con formula_41 elementi ad un insieme finito formula_42 con formula_43 elementi è pari al numero di disposizioni semplici di formula_43 elementi, presi formula_41 a formula_41:
Quelle che seguono sono formulazioni equivalenti alla definizione dell'iniettività di una funzione formula_58 e, pertanto, sono interpretabili come ulteriori caratterizzazioni della stessa proprietà.
