
In matematica, il sistema di coordinate polari è un sistema di coordinate bidimensionale nel quale ogni punto del piano è identificato da un angolo e da una distanza da un punto fisso detto polo.
Il sistema di coordinate polari è utile specialmente nei casi in cui le relazioni tra due punti possono essere espresse più facilmente in termini di angoli e di distanza; nel più familiare sistema di coordinate cartesiane, o sistema di coordinate rettangolari, tale relazione può essere espressa solamente tramite le funzioni trigonometriche.
Siccome il sistema di coordinate è bidimensionale, ogni punto è determinato da due coordinate polari: la coordinata radiale e quella angolare. La prima, di solito identificata con la lettera formula_1, denota la distanza del punto da un punto fisso detto polo (equivalente all'origine del sistema cartesiano). La coordinata angolare, solitamente denotata con la lettera greca θ, è anche detta "angolo azimutale" ed identifica l'angolo che la semiretta a 0° deve spazzare in senso antiorario per andare a sovrapporsi a quella che congiunge il punto al polo.
I concetti di angolo e raggio erano già utilizzati dai popoli antichi del I millennio a.C. L'astronomo greco Ipparco di Nicea (190-120 a.C.) costruì una tabella delle funzioni delle corde, che fornivano la lunghezza della corda sottesa da ogni angolo; esistono anche riferimenti all'utilizzo delle coordinate polari per stabilire le posizioni delle stelle.
Nel saggio "Sulle Spirali", Archimede descrive la sua famosa spirale, una funzione il cui raggio dipende dall'angolo. L'opera dei greci, comunque, non si estese a un sistema di coordinate polari universalmente accettato.
Verso la metà del XVII secolo, Gregorio di San Vincenzo e Bonaventura Cavalieri introdussero, indipendentemente l'uno dall'altro, il concetto di coordinate polari. Il fiammingo Gregorio di San Vincenzo espose questo concetto nell'opera "Opus geometricus" del 1647, ma si ritiene che ne fosse a conoscenza dal 1625. Cavalieri pubblicò il suo lavoro nel 1635, ma nel 1653 fu stampata un'edizione più corretta. Cavalieri per primo utilizzò le coordinate polari per risolvere i problemi relativi al calcolo dell'area sottesa da una spirale di Archimede. Pascal, in seguito, utilizzò le coordinate polari per calcolare la lunghezza degli archi parabolici.
Nel "Metodo per il calcolo differenziale" (scritto nel 1671 e pubblicato nel 1736), Isaac Newton esaminò le trasformazioni che avvenivano tra le coordinate polari e quelle che sussistevano tra altri nove sistemi di coordinate.
Nel giornale "Acta Eruditorum" del 1691, Jacob Bernoulli utilizzò il sistema con un punto e una linea, che chiamò rispettivamente "polo" e "asse polare". Le coordinate erano specificate dalla distanza dal polo e dall'angolo formato con l'asse polare; l'opera di Bernoulli si estese al calcolo del raggio di curvatura delle curve, espresse in queste coordinate.
Il termine "coordinate polari" è stato attribuito a Gregorio Fontana, e fu utilizzato dagli scrittori italiani del XVIII secolo. Alexis Clairaut fu il primo a pensare le coordinate polari in tre dimensioni, ed Eulero fu il primo a svilupparle effettivamente.
Ogni punto del sistema di coordinate polari può essere descritto con le due coordinate polari, di solito chiamate formula_1 (coordinata radiale) e θ (coordinata angolare). La coordinata formula_1 rappresenta la distanza radiale dal polo, mentre la θ è l'angolo in senso antiorario da percorrere partendo da 0° (asse di riferimento).
Ad esempio, le coordinate polari (3, 60°) devono essere disegnate con un punto posto a tre unità di distanza dal polo e in modo tale che la semiretta congiungente il punto al polo formi un angolo di 60° con l'asse di riferimento. È ovvio che il punto (3, -300°) coinciderà con il punto precedente, perché l'angolo -300° corrisponde esattamente all'angolo 60°; per la stessa proprietà degli angoli, anche tutti i punti (3, 60° + "K"×360°), con K numero intero, coincideranno con il primo punto, perché sommando o sottraendo angoli giri dallo stesso angolo, il risultato non cambia. In generale, tutti i punti identificati dalle coordinate ("r", θ + "K"×360°) corrispondono allo stesso punto disegnato nel piano polare.
Ciò illustra un importante aspetto del sistema di coordinate polari, che non è presente in quello a coordinate cartesiane: ogni singolo punto può essere espresso con un numero infinito di coordinate differenti, ognuna delle quali è sfasata rispetto alle altre di un numero intero di angoli giri.
Le coordinate arbitrarie (0, θ) sono convenzionalmente utilizzate per rappresentare il polo, senza particolare interesse per il valore di θ, infatti ogni punto distante 0 dal polo coincide con il polo qualunque sia il suo angolo.
In notazione polare, gli angoli sono generalmente definiti in gradi o radianti, utilizzando la convenzione per cui 2π rad = 360°. Le applicazioni per la navigazione utilizzano maggiormente i gradi, mentre le applicazioni fisiche (specialmente in meccanica rotazionale) e quasi tutta la letteratura matematica sul calcolo utilizzano le misure in radianti.
Le due coordinate polari formula_1 e formula_5 possono essere convertite nelle coordinate cartesiane formula_6 e formula_7 utilizzando le formule delle funzioni trigonometriche seno e coseno:
mentre le due coordinate cartesiane formula_6 e formula_7 possono essere convertite nella coordinata polare formula_1 applicando il teorema di Pitagora:
Per determinare invece la coordinata angolare formula_5, bisogna considerare i due seguenti casi.
Per ottenere formula_5 nell'intervallo formula_21, si usano invece le seguenti:
Un metodo alternativo di ricavare formula_5 in termini di formula_6 e formula_7 è la seguente. Sfruttando un'identità trigonometrica
quindi
Il vantaggio di questo approccio è che vale questa unica formula per formula_5 su tutto formula_34.
Moltissimi software (tra cui Microsoft Excel) e linguaggi di programmazione (tra cui Java) dispongono della funzione "atan2" per passare dalle coordinate cartesiane a quelle polari.
L'equazione che definisce una curva algebrica espressa in coordinate polari è conosciuta come "equazione polare". In molti casi, tale equazione può essere semplicemente espressa definendo formula_1 come funzione di formula_5. La curva risultante consiste quindi dei punti della funzione formula_37 e può essere considerata come il grafico della funzione polare di formula_1.
Dall'equazione della funzione polare di formula_1 si possono dedurre diverse forme di simmetria. Se formula_40, la curva sarà simmetrica rispetto all'asse orizzontale, mentre se formula_41 sarà simmetrica rispetto a quello verticale, e se formula_42, costituirà una simmetria rotazionale di formula_43 in senso antiorario.
A causa della natura circolare del sistema di coordinate polari, molte curve possono essere descritte da una equazione polare piuttosto semplice, mentre la loro espressione cartesiana sarebbe più complicata. Tra le curve più conosciute di questa specie ci sono la rodonea, la spirale di Archimede, la lemniscata, il limaçon, e la cardioide.
L'equazione generale della circonferenza con centro in (formula_1, φ) e raggio formula_45 è
Questa formula può essere semplificata in vari modi, per adattarla a casi più specifici, come l'equazione 
per una circonferenza con centro nel polo e raggio formula_45.
Le rette radiali (che attraversano il polo) sono rappresentate dall'equazione 
in cui φ è l'angolo formato dalla retta; cioè, φ = arctan formula_50 dove formula_50 è l'inclinazione della retta nel sistema di coordinate cartesiane. La linea non radiale che attraversa la retta radiale θ = φ perpendicolarmente nel punto (formula_1, φ) ha equazione 
Una rodonea è una celebre curva matematica che appare come un fiore con petali, e che si può esprimere semplicemente con un'equazione polare, data da
o
Posto formula_56 come numero intero, l'equazione produrrà con formula_56 dispari una rodonea di tipo formula_56, con formula_56 pari di tipo formula_60. Se formula_56 è invece un numero irrazionale, la curva formerà un disco. È da notare che queste equazioni non definiscono il numero dei petali della rosa; la variabile formula_45 rappresenta solamente la lunghezza dei petali.
La spirale di Archimede è una famosa spirale che fu scoperta da Archimede, e che può essere espressa semplicemente con una equazione polare, della forma
Modificando il parametro formula_45, la spirale ruoterà, mentre formula_65 controlla la distanza tra i bracci, che per una data spirale è sempre costante. La spirale di Archimede presenta due bracci, uno per θ > 0 e l'altro per θ < 0, ed entrambi si congiungono nel polo. Prendendo l'immagine speculare di un braccio lungo la retta 90°/270°, i due bracci si sovrappongono. Questa curva è notevole anche per essere stata una delle prime curve, dopo le sezioni coniche, ad essere descritta in un trattato matematico, e per essere stata il primo esempio di una curva che è rappresentata dalle coordinate polari meglio che dalle cartesiane.
Una sezione conica con un fuoco sul polo e l'altro coincidente con un altro punto dell'asse a 0° (in modo che l'asse maggiore della conica possa giacere sull'asse polare) è data dall'equazione
in cui "e" è l'eccentricità della curva e formula_67 è la perpendicolare al semiasse maggiore della curva. Se "e" > 1, questa equazione definisce un'iperbole, se "e" = 1, definisce una parabola e se "e" < 1, definisce un'ellisse. Il caso particolare in cui "e" = 0, riduce l'ellisse a una circonferenza di raggio formula_67.
Ogni numero complesso può essere rappresentato come un punto del piano complesso, e può quindi essere espresso sia in coordinate cartesiane (chiamata "forma rettangolare") o nelle coordinate polari del punto (chiamata "forma polare"). Il numero complesso formula_69 si rappresenta in forma rettangolare come 
in cui formula_71 è l'unità immaginaria, o può alternativamente essere scritto in forma polare come 
e da qui come
in cui formula_74 è il numero di Nepero. Le due formule sono equivalenti per quanto stabilito dalla formula di Eulero. Per convertire la forma rettangolare a polare e viceversa, si possono applicare le formule sopra citate.
Per le operazioni di moltiplicazione, divisione e esponenziale di numeri complessi, è in generale più semplice operare con i numeri complessi espressi in forma polare, piuttosto che in forma rettangolare. Infatti, per le regole degli esponenziali:
Sfruttando la forma polare di un numero complesso si può arrivare alla formula della traslazione in coordinate polari. Presi due punti nelle coordinate polari formula_78 e formula_79, espressi con la formula di Eulero sono
Se consideriamo il punto formula_81 come punto traslato e formula_82 come origine del nuovo asse, sia poi formula_83 il punto non traslato, allora la traslazione è
Il modulo del numero complesso formula_85 è un numero reale positivo definito come
Considerando ora un'equazione polare
Per applicare una traslazione alla funzione possiamo sostituire formula_88 con la formula sopra, quindi
E l'equazione diventa
Se formula_91 è una funzione costante allora la traslazione rappresenta una circonferenza in quanto l'equazione
rappresenta una circonferenza con centro l'origine è raggio il valore della costante. Nota che in termini geometrici la traslazione di un punto è la distanza tra il punto e l'origine del nuovo asse, come è ben visibile dalla formula stessa. Per convertire la curva traslata da coordinate polari a cartesiane dobbiamo prelevare il punto sulla curva in coordinate polari e trasformarlo in coordinate cartesiane, si ottiene semplicemente lo stesso sistema visto sopra, basta infatti prelevare il punto formula_81 che è componente del punto formula_83.
Il calcolo infinitesimale può essere applicato alle equazioni espresse in coordinate polari. La coordinata angolare formula_5, in questa sezione, viene espressa in radianti, la scelta convenzionale nel calcolo infinitesimale.
Esistono le formule seguenti:
Oppure le inverse:
Per trovare la pendenza cartesiana della tangente alla curva polare formula_100 in un dato punto, la curva viene per prima cosa espressa con un sistema di equazioni parametriche.
Derivando entrambe le equazioni rispetto a formula_5
Effettuando il rapporto tra la seconda e la prima equazione, si ottiene la pendenza della retta tangente alla curva nel punto ("θ", "r"(θ)):
Se "R" indica la regione dello spazio racchiusa dalla curva "r"(θ) e dalle rette θ = "a" e θ = "b", in cui 0 < "b" - "a" < 2π, allora l'area di "R" è espressa da
Si può giungere a questo risultato come segue: per prima cosa, l'intervallo ["a", "b"] viene diviso in "n" sottointervalli, in cui "n" è un numero intero positivo arbitrario. Chiamata Δθ l'ampiezza di ogni sottointervallo, sussiste la relazione che Δθ è pari a "b" − "a" (l'ampiezza totale dell'intervallo), divisa per "n", numero dei subintervalli. Per ogni sottointervallo, "i" = 1, 2, …, "n", si chiama θ il suo punto medio, e si costruisce un settore circolare con centro nel polo, raggio "r"(θ), e angolo Δθ. L'area di ogni settore costruito è perciò pari a formula_108. L'area totale di tutti i settori sarà pertanto uguale a
Quando cresce il numero dei sottointervallo formula_110, l'approssimazione dell'area continua a migliorare. Al limite, per formula_111, la somma giunge ad essere la somma di Riemann per l'integrale precedente.
La lunghezza della linea espressa da una funzione polare, viene ottenuta per integrazione di segmenti infinitesimi lungo la curva "r"("θ") stessa. Usiamo "L" per denotare la lunghezza della linea a partire dal punto iniziale "A" fino al punto finale "B", dove questi punti corrispondono a: "formula_112 = a" , "formula_113 = b".
La lunghezza "L" della linea è allora data dal seguente integrale:
Utilizzando le coordinate cartesiane, un elemento infinitesimo di area può essere calcolato come formula_116. La regola della sostituzione per integrali multipli stabilisce che, passando ad altre coordinate, bisogna considerare il valore assoluto del determinante della matrice jacobiana:
formula_117
Pertanto, un elemento di area in coordinate polari può essere scritto come
Ora, una funzione data in coordinate polari, può essere integrata come segue:
Qui formula_120 è la stessa regione ricavata sopra, e corrisponde all'area racchiusa dalla curva formula_100 e dalle rette formula_122 e formula_123.
La formula per il calcolo di formula_120 è stata ricavata assumendo formula_91 identicamente uguale a formula_126. Un'applicazione sorprendente di questo risultato riguarda la possibilità di calcolare l'integrale di Gauss
Le coordinate polari si possono applicare anche al calcolo vettoriale e, in particolare, allo studio della cinematica dei moti piani. 
Sia formula_128 la posizione del vettore 
espresso in un sistema di coordinate cartesiane di versori di base formula_130 e formula_131,
Il modulo formula_1 e l'angolo polare formula_5 dipendono dal tempo formula_134 e descrivono il movimento di un corpo nel piano.
Siano formula_135 il vettore unità (versore) nella direzione di formula_128 e 
formula_137 il versore dell'angolo di formula_128.
Le derivate prima e seconda del vettore posizione
sono, rispettivamente, il vettore velocità
ed il vettore accelerazione 
del moto. Si ricorda che le derivate dei versori sono:
Il sistema di coordinate polari si può estendere anche alle tre dimensioni, con due differenti sistemi di coordinate, quelle cilindriche e quelle sferiche, delle quali entrambe richiedono coordinate polari planari o bidimensionali come base. In sintesi, il sistema di coordinate cilindriche estende le coordinate polari aggiungendo un'altra coordinata della distanza, mentre le coordinate sferiche aggiungono un'altra coordinata angolare.
Il "sistema di coordinate cilindriche" è un sistema di coordinate che estende il sistema bidimensionale polare aggiungendo una terza coordinata, che misura l'altezza di un punto dal piano base, in modo simile a quello in cui si introduce la terza dimensione nel piano cartesiano. La terza coordinata è spesso chiamata formula_144, e l'intera terna è quindi formula_145.
Le tre coordinate cilindriche possono essere convertite in coordinate cartesiane con le formule
Le coordinate polari possono essere estese in tre dimensioni anche utilizzando le coordinate formula_147, in cui formula_148 è la distanza dal polo, formula_5 è l'angolo formato con l'asse formula_69 e formula_151 è l'angolo formato dalla proiezione sul piano formula_152, con l'asse formula_6. Questo sistema di coordinate, chiamato "sistema di coordinate sferiche", è simile al sistema della latitudine e longitudine utilizzato per la Terra, con la latitudine δ che è il complementare di formula_5, se formula_69 è l'asse di rotazione terrestre, determinato dalla relazione δ = 90° − θ, e la longitudine est "l" = φ (se φ compreso fra 0° e 180°) ovvero la longitudine ovest "l" = - φ (se φ compreso fra -180° e 0°), se il semipiano formula_156 con formula_157 contiene il meridiano di Greenwich. 
Le tre coordinate cartesiane di un punto si ottengono dalle tre coordinate sferiche di quel punto con le formule:
Le coordinate polari sono bidimensionali, e pertanto possono essere utilizzate soltanto ove le posizioni dei punti giacciano su un singolo piano bidimensionale. Il loro utilizzo è appropriato in ogni contesto in cui il fenomeno considerato sia legato alla direzione e alla distanza da un certo punto; gli esempi sopra mostrati mostrano come elementari equazioni polari siano sufficienti a definire curvecome la spirale di Archimedela cui equazione in coordinate cartesiane sarebbe molto più intricata. Inoltre, molti sistemi fisicicome quelli riguardanti i corpi che si muovono intorno a un punto centrale e con fenomeni originanti da un punto centralepossono essere trattati in modo più semplice e più intuitivo utilizzando le coordinate polari. La motivazione iniziale per l'introduzione del sistema polare fu lo studio del moto circolare e del moto orbitale.
Le coordinate polari sono spesso utilizzate nella navigazione, quando la destinazione o la direzione del viaggio possono essere forniti attraverso un angolo e una distanza dal luogo di arrivo. Ad esempio, gli aeroplani utilizzano una versione leggermente modificata delle coordinate polari per la navigazione. In questo sistema, gli angoli sono considerati in senso orario. L'angolo a 360° (0°) corrisponde al nord magnetico, mentre gli angoli a 90°, 180° e 270° corrispondono all'est magnetico, sud magnetico e ovest magnetico rispettivamente. Pertanto, un aeroplano che viaggia a 5 miglia nautiche a est starà viaggiando a 5 unità verso l'angolo di 90°.
I sistemi che mostrano una simmetria radiale sono l'ambiente ideale per l'applicazione delle coordinate polari, con il punto centrale che agisce da polo. Sistemi con una forza centrale sono anche potenziali candidati all'utilizzo delle coordinate polari: questi sistemi includono i campi gravitazionali, che obbediscono alla legge dell'inverso del quadrato, come anche i sistemi con una sorgente puntiforme, come le radio antenne.


In matematica, un numero è un modo di esprimere una quantità, oppure la posizione in un elenco di elementi, oppure il rapporto tra grandezze dello stesso tipo. Il concetto di numero nasce per la necessità del conteggio, come astrazione del concetto di quantità, realizzato attraverso una corrispondenza biunivoca tra elementi di due insiemi distinti.
Si definisce operazione numerica una procedura che, a partire da uno o più numeri, genera un altro numero. Le operazioni numeriche fondamentali (dette anche "operazioni aritmetiche") sono: l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione. Lo studio delle proprietà di queste operazioni è parte dell'algebra elementare.
Un insieme di numeri è frequentemente espresso attraverso il concetto di campo.
Un numero che esprime la dimensione di un insieme di elementi, così come un numero che identifica la posizione in una successione di oggetti, è detto numero naturale. La necessità di esprimere una grandezza in relazione ad un'altra grandezza ha reso necessaria l'introduzione di altre classi di numeri, come i numeri razionali ed i numeri reali. L'esigenza di rappresentare il numero ottenuto attraverso un'operazione matematica, infine, ha giustificato l'utilizzo di ulteriori classi di numeri come, ad esempio, i numeri algebrici.
Durante la storia della matematica sono stati definiti diversi insiemi numerici. Tra questi i numeri naturali, che sono:
I numeri naturali (il cui insieme è indicato per convenzione con il simbolo formula_1) sono usati per contare e per ordinare. La presenza dello zero fra i numeri naturali dipende dalla convenzione scelta. Lo zero è previsto dagli assiomi di Peano.
L'insieme dei numeri naturali costituisce una successione ordinata. Ogni numero è descritto tramite una o più cifre.
Se a partire dall'insieme dei numeri naturali si introduce il segno (e lo zero se non incluso), distinguendo tra "numeri positivi" e "numeri negativi", si ottengono i numeri interi relativi (o semplicemente "interi"), il cui insieme è indicato per convenzione con il simbolo formula_4. I numeri interi relativi sono:
Se a partire dai numeri interi si costruiscono numeri dati dal rapporto tra di loro, si ottengono i numeri razionali, i quali sono quindi esprimibili tramite una frazione ("ratio" in latino, da cui il nome di numeri "razionali"). Ad esempio:
L'insieme di tutti i numeri razionali è per convenzione indicato col simbolo formula_7.
I numeri algebrici sono numeri ottenibili come radici di equazioni algebriche a coefficienti interi. I numeri razionali sono algebrici. Il viceversa non è in generale vero: ad esempio:
sono numeri algebrici che non possono essere descritti tramite una frazione, non sono razionali.
Un numero non algebrico è detto "trascendente". Ad esempio, formula_11 (pi greco) ed formula_12 sono trascendenti: non è possibile ottenere formula_13 come radice di un'equazione polinomiale a coefficienti interi.
L'insieme dei numeri reali comprende i numeri esprimibili, con o senza la virgola, tramite il sistema numerico decimale. I numeri reali comprendono i numeri elencati precedentemente. In particolare i numeri reali si dividono in razionali e irrazionali, oppure in algebrici e trascendenti.
L'insieme dei numeri reali è simboleggiato per convenzione con formula_14.
L'insieme dei numeri reali non fornisce tutte le soluzioni delle equazioni algebriche. Per esempio, l'equazione:
non ha soluzioni nel campo dei numeri reali, perché il quadrato di un numero reale è sempre positivo o nullo. Per risolvere questo problema, è stata introdotta l'unità immaginaria formula_18 . Essa è così definita:
Tale numero non appartiene all'insieme dei numeri reali, esso appartiene all'insieme dei numeri complessi. In generale, un numero complesso è un'espressione del tipo:
dove formula_21 è l'unità immaginaria e formula_22 sono numeri reali. L'insieme dei numeri complessi è indicato per convenzione con il simbolo formula_16.
Gli insiemi numerici sono ciascuno sottoinsieme dell'altro, secondo quest'ordine (dove il simbolo formula_24 indica l'inclusione stretta):
Per particolari scopi, formula_16, può essere ulteriormente esteso, al prezzo, però, di perdere alcune proprietà e, di conseguenza, subire un declassamento come struttura algebrica.
I numeri complessi sono stati estesi e hanno dato luogo ai quaternioni. L'operazione di moltiplicazione dei quaternioni non gode della proprietà commutativa.
Gli ottonioni estendono i quaternioni. Questa volta si perde la proprietà associativa. Gli unici sistemi associativi con dimensione finita, oltre ai complessi, sono i quaternioni.
Estendendo gli ottonioni si ottengono i sedenioni, che perdono la proprietà dell'algebra alternativa, ma mantengono comunque la proprietà associativa della potenza.
I numeri vanno distinti per il tramite dei nomi, dato che i numeri sono dei concetti e anche se i nomi utilizzati nelle varie lingue variano i concetti rimangono gli stessi. La notazione di numero come serie di cifre è definita dai sistemi di numerazione. I popoli spesso associano a dei numeri utilizzati di frequente dei nomi particolari, oltre a quelli che vengono assegnati dal sistema di numerazione, spesso questi nomi sono utilizzati in contesti specifici, un classico esempio è la dozzina.
Gli ultimi sviluppi della teoria dei numeri hanno condotto ai numeri iperreali ed ai numeri surreali, che estendono i numeri reali dai numeri infinitesimi ai numeri infinitamente grandi attraverso degli inserimenti. Mentre i numeri reali sono infinitamente prolungabili alla destra del punto decimale, si può anche provare a espandere i numeri a sinistra in modo infinito, ciò conduce ai numeri p-adici. Per gestire insiemi infiniti, i numeri naturali sono stati generalizzati nei numeri ordinali e nei numeri cardinali. Il primo insieme viene utilizzato per definire l'ordine di inserimento degli insieme il secondo definisce il formato di inserimento. Nel caso di insiemi finiti si equivalgono.
Le operazioni aritmetiche sui numeri sono addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Queste operazioni sono state generalizzate in una branca dell'algebra chiamata algebra astratta. Essa contiene i concetti di gruppo, anello e campo.
In molte culture la rappresentazione grafica dei numeri è assai simile. I numeri "uno", "due" e "tre" degli antichi romani erano espressi come I, II, III (numeri romani). I cinesi usavano una notazione analoga, con le cifre in orizzontale, o in verticale, ma al contrario dei romani utilizzavano un sistema posizionale, simile al nostro attuale, con le cifre da 0 a 9. I numeri, detti "tsu" o "hêng", cambiavano orientamento a seconda della posizione: | = | era 121, - || - ◦ era 1210. Gli tsu erano verticali, gli hêng orizzontali, i numeri sopra al cinque avevano una bacchetta disposta perpendicolarmente alle altre. Il sistema era impiegato con le "bacchette da calcolo", che i cinesi manovravano a velocità tali da stupire i primi missionari nestoriani.
Tuttavia, non c'era un segno univoco per definire il quattro tra i romani, mentre per i cinesi era ||||. I romani usavano una notazione a sottrazione: esprimevano il quattro con una V preceduta da una I. La V indicava il numero cinque, il simbolo I anteposto indicava che andava sottratto (cinque meno uno = quattro). Nell'assegnare un simbolo particolare al cinque c'era un motivo antropomorfico - la mano ha cinque dita - ma vi era anche una motivazione che coinvolge il cervello umano. Gli psicologi hanno dimostrato che il nostro cervello ha difficoltà a distinguere più di cinque simboli simili vicini: si provi a dire se è più grande ||||||||| o ||||||||||; più semplice se sono scritti come IX e X.
Il sistema adottato in Europa è il sistema di numerazione decimale, detto anche numerazione araba. In realtà proviene dall'India, e molto probabilmente deriva dai numeri corsivi egiziani, i numeri copti. La cifra 1 è molto simile al simbolo romano, 2 e 3 sono varianti dello stesso simbolo che consentono di scrivere i numeri senza alzare la penna e quindi consentono una scrittura rapida, ma conservano l'idea della linea doppia o tripla orizzontale. Col simbolo 4 la corrispondenza si perde.
