
In matematica, in particolare nel calcolo vettoriale, il prodotto vettoriale è un'operazione binaria interna tra due vettori in uno spazio euclideo tridimensionale che restituisce un altro vettore che è normale al piano formato dai vettori di partenza.
Il prodotto vettoriale è indicato con il simbolo formula_1 o con il simbolo formula_2. Il secondo simbolo è però anche usato per indicare il "prodotto esterno" (o "prodotto wedge") nell'algebra di Grassmann, di Clifford e nelle forme differenziali. Storicamente, il prodotto esterno è stato definito da Grassmann circa trent'anni prima che Gibbs e Heaviside definissero il prodotto vettoriale.
Il prodotto vettoriale tra due vettori formula_3 e formula_4 in formula_5 è definito come il vettore a loro perpendicolare:
dove formula_7 è l'angolo tra formula_3 e formula_4 e formula_10 è un versore normale al piano formato da formula_3 e formula_4, che fornisce la direzione del prodotto vettoriale. Si nota che il modulo formula_13 del prodotto vettoriale è l'area del parallelogramma individuato dai due vettori formula_3 e formula_4.
Esplicitamente, detti formula_16, formula_17 e formula_18 i vettori di una base ortonormale di formula_5, il prodotto di formula_20 e formula_21 può essere scritto in tale base come il determinante di una matrice (con un abuso di notazione):
Poiché il prodotto vettoriale tra due vettori non appartiene allo spazio di partenza, ci si riferisce ad esso come a uno pseudovettore. Sono ad esempio degli pseudovettori (detti anche vettori assiali) il momento angolare, la velocità angolare, il campo magnetico.
Dal momento che vi sono due versori formula_10 e formula_24 perpendicolari sia ad formula_3 che a formula_4, convenzionalmente si sceglie formula_27 in modo tale che i vettori formula_3, formula_4 ed formula_30 siano orientati secondo un sistema destrogiro se il sistema di assi coordinati formula_31 è destrogiro, oppure sinistrogiro se il sistema di assi è sinistrogiro. L'orientazione del versore formula_27 dipende quindi dall'orientazione dei vettori nello spazio, ovvero dalla chiralità del sistema di coordinate ortonormali.
Un modo semplice per determinare il verso del prodotto vettore è la «regola della mano destra». In un sistema destrogiro si punta il pollice nella direzione del primo vettore, l'indice in quella del secondo, il medio dà la direzione del prodotto vettore. In un sistema di riferimento sinistrogiro (terna sinistrosa) basta invertire il verso del prodotto vettore, ovvero usare la mano sinistra.
Un altro semplice metodo è quello della "vite destrorsa". In un sistema destrogiro si simula il movimento di avvitatura o di svitatura di una vite destrorsa; guardato dall'alto, se ruotando il primo vettore verso il secondo la rotazione è oraria, la vite verrà avvitata e quindi il verso del vettore sarà rivolto verso il basso; viceversa, se si compie una rotazione antioraria, la vite sarà svitata ed il verso del vettore sarà rivolto verso l'alto.
Il prodotto vettoriale formula_33 può essere definito in termini del tensore di Levi-Civita formula_34 come:
dove gli indici formula_36 sono le componenti ortogonali del vettore, usando la notazione di Einstein.
Il prodotto triplo di tre vettori è definito come:
Si tratta del volume con segno del parallelepipedo con lati formula_57, formula_58 e formula_59, e tali vettori possono essere interscambiati:
Un altro prodotto a tre vettori, detto "doppio prodotto vettoriale", è legato al prodotto scalare dalla formula:
Come caso speciale si ha:
Si tratta di una relazione particolarmente utile nel calcolo differenziale, in quanto riguarda l'equivalenza tra il rotore doppio e la differenza fra il gradiente della divergenza formula_63 e il laplaciano formula_64.
Un'altra relazione che lega il prodotto vettoriale con il prodotto triplo è:
Mentre per:
e più in generale:
Un'utile identità è:
che può essere confrontata con l'identità di Lagrange espressa come:
in cui formula_3 e formula_4 sono vettori "n"-dimensionali. Questo mostra che la forma di volume Riemanniana per le superfici è esattamente l'elemento di superficie del calcolo vettoriale. Nel caso tridimensionale, combinando le due precedenti relazioni si ottiene il modulo del prodotto vettoriale scritto attraverso le componenti:
Si tratta di un caso speciale delle moltiplicazione formula_73 della norma nell'algebra dei quaternioni.
La regola di Leibniz si applica anche al prodotto vettoriale:
come si può dimostrare utilizzando la rappresentazione tramite moltiplicazione tra matrici.
Il prodotto vettoriale è largamente adoperato anche in fisica e in ingegneria, oltre che in geometria e in algebra.
Si riporta un elenco - non esaustivo - di alcune applicazioni.
Il momento angolare formula_75 di un corpo è definito come:
dove formula_77 è il vettore quantità di moto, mentre formula_78 è il vettore-posizione del corpo rispetto al polo di riferimento. 
Analogamente, il momento di una forza
è definito come:
dove formula_80 è la forza applicata al punto individuato dal raggio vettore formula_78.
Poiché posizione formula_78, quantità di moto formula_77
e forza formula_80 sono tutti "vettori polari", 
sia il momento angolare formula_75
sia il momento meccanico formula_86
sono "pseudo-vettori" o "vettori assiali"
Il prodotto vettoriale compare anche nella descrizione dei moti di rotazione.
Ad esempio, per due punti "P" e "Q" su un corpo rigido vale la seguente "legge di trasporto"
delle velocità:
dove formula_78 è la posizione di un punto, formula_89 la sua velocità
e formula_90 la velocità angolare del corpo rigido.
Poiché posizione formula_78 e velocità formula_89
sono "vettori polari", la velocità angolare formula_90 è uno "pseudo-vettore".
Data una particella puntiforme, la forza elettromagnetica esercitata su di essa è pari a:
dove:
Si noti che la componente magnetica della forza è proporzionale al prodotto vettoriale tra 
formula_89 e formula_101 , pertanto
essa risulta sempre perpendicolare alla velocità formula_89
e non compie lavoro.
Poiché velocità formula_89, forza formula_80
e campo elettrico formula_105 sono tutti "vettori polari", 
il campo magnetico formula_101 è uno "pseudo-vettore".
Il prodotto esterno (prodotto wedge) di due vettori è un bivettore, cioè un elemento di piano orientato (analogamente ad un vettore che può essere visto come un elemento di linea orientato). Dati due vettori formula_107 e formula_108, il bivettore formula_109 è il parallelogramma orientato formato dai due vettori formula_107 e formula_108. Il prodotto vettoriale si ottiene considerando il duale di Hodge del bivettore formula_109:
che mappa bivettori in vettori. Si può pensare a tale prodotto come un elemento multidimensionale, che in tre dimensioni è un vettore, che è "perpendicolare" al bivettore.
Non esiste un analogo del prodotto vettoriale in spazi di dimensione maggiore che restituisca un vettore. Il prodotto esterno, tuttavia, gode di proprietà molto simili, anche se produce un bivettore e non un vettore. Il duale di Hodge del prodotto wedge produce un vettore di formula_114 componenti che è una naturale generalizzazione del prodotto vettoriale in dimensione arbitraria.
Il prodotto vettoriale può essere visto come uno dei più semplici prodotti di Lie, ed è pertanto generalizzato dalle algebre di Lie, che sono assiomatizzate come prodotti binari soddisfacenti gli assiomi di multilinearità, antisimmetria e l'identità di Jacobi. Ad esempio, l'algebra di Heisenberg fornisce un'altra struttura di algebra di Lie su formula_5. Nella base formula_116 il prodotto è:
Un prodotto esterno per vettori 7-dimensionali può essere ottenuto similmente utilizzando gli ottonioni invece dei quaternioni. Invece non possono esistere altre estensioni del prodotto vettoriale che restituiscano un vettore
e ciò è collegato al fatto che le sole algebre di divisione normate sono quelle con dimensioni 1,2,4 e 8.
Se però si considera il risultato dell'operazione non più come un vettore o pseudovettore ma come una matrice, allora è possibile estendere l'idea di prodotto vettoriale in qualsiasi numero di dimensioni
In meccanica, ad esempio, la velocità angolare può essere interpretata sia come uno pseudo-vettore formula_118 sia come una matrice antisimmetrica formula_119. In quest'ultimo caso
la "legge di trasporto" delle velocità per un corpo rigido sarà:
dove formula_119 è definita formalmente a partire dalla matrice di rotazione formula_122 del corpo rigido:
formula_123
In ambito quantistico anche il momento angolare formula_124 viene spesso rappresentato con una matrice antisimmetrica
risultato di un prodotto tra posizione formula_125 e
quantità di moto formula_77:
Dato che formula_125 e formula_77 possono avere un numero arbitrario formula_130 di componenti, questa forma di prodotto "vettoriale" (che pure non produce un vettore) si può generalizzare in qualsiasi dimensione, pur conservando l'interpretazione "fisica" dell'operazione stessa.
Nel contesto dell'algebra multilineare il prodotto vettoriale può essere visto come un tensore (misto) di ordine (1,2), nello specifico una mappa bilineare, ottenuto da una forma di volume tridimensionale per innalzamento degli indici.
Il prodotto vettoriale × è rappresentato come:


La moltiplicazione è una delle quattro operazioni fondamentali dell'aritmetica. È un modo rapido per rappresentare la somma di numeri uguali. Il risultato di una moltiplicazione è chiamato "prodotto", mentre i due numeri moltiplicati sono detti "fattori" se considerati insieme, e rispettivamente "moltiplicando" e "moltiplicatore" se presi individualmente.
Nella scrittura matematica, esistono due diversi simboli utilizzati per indicare la moltiplicazione: entrambe le seguenti notazioni significano "cinque moltiplicato per due volte" ed entrambe si leggono "cinque per due":
Qualora i due moltiplicandi non siano scritti in cifre, e quindi non ci sia il rischio di equivoco, è possibile anche semplicemente giustapporli, come in:
anche per leggere queste formule vale lo stesso principio: se non c'è rischio di equivoco si può omettere il "per", come nella prima ("due zeta"), altrimenti verrà detto, come nella seconda ("due per, aperta parentesi, zeta più due, chiusa parentesi" o "due per, tra parentesi, zeta più due") o infine "due che moltiplica zeta più due".
Nei linguaggi di programmazione e nelle calcolatrici, la moltiplicazione viene solitamente indicata con l'asterisco (*).
Dati due numeri interi positivi formula_4 e formula_5, detto il primo "moltiplicando" ed il secondo "moltiplicatore", la definizione di moltiplicazione non è altro che:
ovvero "addizionare il numero formula_4 per formula_5 volte".
Usando una formula più ristretta, con il simbolo di sommatoria:
Quindi, per esempio:
Data la proprietà commutativa della moltiplicazione (vedi più in basso), talvolta si dà la seguente definizione (equivalente) di moltiplicazione:
A partire dalla definizione, si può dimostrare che la moltiplicazione ha le seguenti proprietà:
Per la moltiplicazione nel campo dei numeri razionali (v. sotto) vale anche
Nel libro "Arithmetices principia, nova methodo exposita", Giuseppe Peano propose un sistema assiomatico per i numeri naturali; due di questi assiomi riguardano la moltiplicazione:
Qui "b"' rappresenta l'elemento dei numeri naturali successivo di "b". Con gli altri nove assiomi di Peano, è possibile provare le regole comuni della moltiplicazione, come la proprietà distributiva e associativa. I due assiomi elencati forniscono una definizione ricorsiva della moltiplicazione.
Estendiamo l'operazione di moltiplicazione al caso dei numeri negativi, definendo quanto segue: dato x numero naturale
dove con − x si intende l'inverso additivo di x : 
Da qui abbiamo che la moltiplicazione di interi qualunque si riduce alla moltiplicazione di interi positivi e di formula_24. 
Lo schema che ne deriva è detto "regola dei segni":
Quest'ultima regola pratica ha un'interpretazione anche nella vita reale. Supponiamo di guadagnare "m" euro l'anno; tra "n" anni avremo "mn" euro (un numero positivo), mentre se questo guadagno era iniziato nel passato allora "n" anni fa (cioè "tra meno "n" anni") avevamo "mn" euro in meno (un numero negativo). Se invece perdessimo "m" euro l'anno (cioè guadagnassimo "meno "m" euro"), tra "n" anni ne avremo "mn" in meno, ma "n" anni fa ne avevamo "mn" in più di quanti ne abbiamo ora.
La definizione di moltiplicazione si può infine estendere ai numeri razionali, ai numeri reali, e ai numeri complessi.
Per i numeri razionali abbiamo che 
verificando che la definizione è indipendente dai rappresentanti scelti.
Per i numeri reali, una definizione di moltiplicazione si può ottenere prendendo il modello di numero reale come sezione di Dedekind: dati due numeri reali positivi, rappresentati come sezioni in campo razionale, moltiplicando (con opportuni accorgimenti) i minoranti tra loro e i maggioranti tra loro si ottiene ancora una sezione, che rappresenta il prodotto dei due numeri. La definizione si può poi estendere a tutti i numeri reali seguendo la regola dei segni indicata nella sezione precedente.
Per i numeri complessi, infine, si ha:
