
La matematica (dal greco μάθημα ("máthema"), traducibile con i termini "scienza", "conoscenza" o "apprendimento"; μαθηματικός ("mathematikós") significa "incline ad apprendere") è la disciplina che studia le quantità (i numeri), lo spazio, le strutture e i calcoli.
Per l'origine del termine occorre andare al vocabolo egizio "maat", nella cui composizione appare il simbolo del cubito, strumento di misura lineare, un primo accostamento al concetto matematico. Simbolo geometrico di questo ordine è un rettangolo, da cui sorge la testa piumata della dea egizia Maat, personificazione dei concetti di ordine, verità e giustizia. Figlia di Ra, unico Uno, creatore di ogni cosa, la sua potenza demiurgica è limitata e ordinata da leggi naturali e matematiche.
All'inizio del papiro di Rhind si trova questa affermazione: ""Il calcolo accurato è la porta d'accesso alla conoscenza di tutte le cose e agli oscuri misteri"". Il termine "maat" riappare in copto, in babilonese e in greco. In greco la radice "ma", "math", "met" entra nella composizione di vocaboli contenenti le idee di ragione, disciplina, scienza, istruzione, giusta misura, e in latino il termine "materia" indica ciò che può essere misurato.
Col termine matematica di solito si designa la disciplina (ed il relativo corpo di conoscenze) che studia problemi concernenti quantità, estensioni e figure spaziali, movimenti di corpi, e tutte le strutture che permettono di trattare questi aspetti in modo generale. La matematica fa largo uso degli strumenti della logica e sviluppa le proprie conoscenze nel quadro di sistemi ipotetico-deduttivi che, a partire da definizioni rigorose e da assiomi riguardanti proprietà degli oggetti definiti (risultati da un procedimento di astrazione, come triangoli, funzioni, vettori ecc.), raggiunge nuove certezze, per mezzo delle dimostrazioni, attorno a proprietà meno intuitive degli oggetti stessi (espresse dai teoremi).
La potenza e la generalità dei risultati della matematica le ha reso l'appellativo di "regina delle scienze": ogni disciplina scientifica o tecnica, dalla fisica all'ingegneria, dall'economia all'informatica, fa largo uso degli strumenti di analisi, di calcolo e di modellizzazione offerti dalla matematica.
La matematica ha una lunga tradizione presso tutti i popoli della storia antica e moderna; è stata la prima disciplina a dotarsi di metodi di elevato rigore e portata. Ha progressivamente ampliato gli argomenti della sua indagine e progressivamente ha esteso i settori ai quali può fornire aiuti computazionali e di modellizzazione. È significativo che, in talune lingue e in talune situazioni, al termine singolare si preferisca il plurale "matematiche".
Nel corso della sua lunga storia e nei diversi ambienti culturali si sono avuti periodi di grandi progressi e periodi di stagnazione degli studi. Questo in parte è dovuto a singoli personaggi, capaci di dare apporti profondamente innovativi e illuminanti e di stimolare all'indagine matematica grazie alle loro doti didattiche. Si sono avuti anche periodi di arretramento delle conoscenze e dei metodi, specie in relazione a eventi distruttivi o a periodi di decadenza complessiva della vita intellettuale e civile. Negli ultimi 500 anni, per il miglioramento dei mezzi di comunicazione, è prevalsa la crescita del patrimonio di risultati e di metodi,
dovuta alla natura stessa delle attività matematiche, tese alla esposizione precisa di problemi e soluzioni; ciò impone di comunicare col fine ultimo di chiarire ogni dettaglio delle costruzioni logiche e dei risultati (alcuni chiarimenti richiedono un impegno non trascurabile, talora molti decenni). Questo ha corrisposto alla definizione di un linguaggio, strumento esemplare per la trasmissione e la sistemazione delle conoscenze.
Del linguaggio matematico moderno, fatto di simboli riconosciuti in tutto il mondo, la maggior parte è stata introdotta dopo il XVI secolo. Prima di allora la matematica era scritta usando parole, un processo faticoso che rallentava le scoperte matematiche. Eulero (1707-1783) è stato il responsabile di molte delle notazioni oggi in uso. La notazione matematica moderna rende molto più facile il lavoro del matematico, ma i principianti lo trovano scoraggiante. È estremamente compressa: pochi simboli contengono una grande quantità di informazioni; come le note musicali, la notazione matematica moderna ha una sintassi rigorosa (che in misura limitata varia da autore ad autore, e da disciplina a disciplina) e codifica informazioni difficili da scrivere in qualsiasi altro modo.
Il linguaggio matematico può essere difficile per i principianti. Parole come "o" e "solo" hanno precisi significati, più che nella lingua corrente. Inoltre, parole come aperto e campo hanno specifici significati matematici. Il "gergo matematico" comprende moltissimi termini tecnici, come omeomorfismo e integrabile, perché la matematica richiede assai più precisione del linguaggio quotidiano.
Nelle dimostrazioni matematiche è fondamentale il rigore. Per rigore si intende un utilizzo preciso e logico di teoremi già dimostrati, in modo che, analizzando la dimostrazione in profondità attraverso un processo a ritroso, si arrivi ad assiomi e definizioni "universalmente accettati". Il livello di rigore richiesto in matematica è variato col tempo: i Greci richiedevano argomentazioni dettagliate, ma nel periodo di Isaac Newton il rigore utilizzato nelle dimostrazioni si era alleggerito. I problemi nati dalle definizioni usate da Newton hanno portato alla rinascita di una attenta analisi delle dimostrazioni nel corso del Diciannovesimo secolo. Il significato di rigore matematico non è sempre chiaro. Ad esempio i matematici continuano a discutere sull'opportunità di considerare valide le dimostrazioni effettuate attraverso computer: dato che lunghi calcoli sono difficili da verificare, tali dimostrazioni potrebbero essere considerate non sufficientemente rigorose.
Gli assiomi, nel pensiero tradizionale, erano considerati le "verità auto-evidenti", ma questa concezione comporta alcuni problemi. A livello formale, un assioma è solo una successione di simboli, che ha un significato intrinseco solo nel contesto di tutte le formule derivabili di un sistema assiomatico. L'obiettivo del programma di Hilbert è stato proprio quello di fornire l'intera matematica di una solida base assiomatica, ma secondo il teorema di incompletezza di Gödel una completa assiomatizzazione della matematica è impossibile. Nonostante ciò, la matematica è spesso immaginata consistere (per lo meno nel suo contenuto formale) nella teoria degli insiemi in una qualche assiomatizzazione, nel senso che ogni enunciato matematico, o dimostrazione, può essere scritto con formule esprimibili all'interno di tale teoria.
Le attività matematiche sono naturalmente interessate alle possibili generalizzazioni e astrazioni, in relazione alle economie di pensiero e ai miglioramenti degli strumenti (in particolare degli strumenti di calcolo) che esse sono portate a realizzare. Le generalizzazioni e le astrazioni quindi spesso conducono a visioni più approfondite dei problemi e stabiliscono rilevanti sinergie tra progetti di indagine inizialmente rivolti ad obiettivi non collegati.
Nel corso dello sviluppo della matematica si possono rilevare periodi ed ambienti nei quali prevalgono alternativamente atteggiamenti generali e valori riconducibili a "due" differenti generi di motivazioni e di approcci: le "motivazioni applicative", con la loro spinta a individuare procedimenti efficaci, e le esigenze di "sistemazione concettuale" con la loro sollecitazione verso generalizzazioni, astrazioni e panoramiche strutturali.
Si tratta di due generi di atteggiamenti tra i quali si costituisce una certa polarizzazione; questa talora può diventare contrapposizione, anche astiosa, ma in molte circostanze i due atteggiamenti stabiliscono rapporti di reciproco arricchimento e sviluppano sinergie. Nel lungo sviluppo della matematica si sono avuti periodi di prevalenza di uno o dell'altro dei due atteggiamenti e dei rispettivi sistemi di valori.
Del resto la stessa nascita della matematica può ragionevolmente ricondursi a due ordini di interessi: da un lato le esigenze applicative che fanno ricercare valutazioni praticabili; dall'altro la ricerca di verità tutt'altro che evidenti, forse tenute nascoste, che risponde ad esigenze immateriali, la cui natura può essere filosofica, religiosa o estetica.
Negli ultimi 30 o 40 anni tra i due atteggiamenti si riscontra un certo equilibrio non privo di tensioni riemergenti, ma con molteplici episodi di mutuo supporto. A questo stato di cose contribuisce non poco la crescita del mondo del computer, rispetto al quale il mondo della matematica presenta sia canali di collegamento (che è ormai assurdo cercare di interrompere) che differenze, ad esempio differenze dovute a diverse velocità di mutazione e a diversi stili comunicativi, che proiettano le due discipline agli antipodi.
Cerchiamo ora di segnalare a grandi linee i temi dell'indagine matematica, illustrando una sorta di itinerario per un progressivo accostamento dei problemi, delle argomentazioni e delle sistemazioni teoriche.
I primi problemi che inducono ad accostarsi alla matematica sono quelli che si possono affrontare con l'aritmetica elementare: i calcoli eseguibili con le quattro operazioni possono riguardare contabilità finanziarie, valutazioni di grandezze geometriche o meccaniche, calcoli relativi agli oggetti ed alle tecniche che si incontrano nella vita quotidiana.
I più semplici di questi calcoli possono effettuarsi servendosi solo di numeri interi naturali, ma presto i problemi di calcolo richiedono di saper trattare i numeri interi relativi e i numeri razionali.
I problemi aritmetici più semplici sono risolti mediante formule che forniscono risultati conseguenti. Ad esempio: l'area di un rettangolo con lati lunghi formula_1 e formula_2 è il loro prodotto formula_3. Complicando gli enunciati diventa necessario servirsi di equazioni. 
Ad esempio: per il teorema di Pitagora, se un triangolo rettangolo ha i lati più corti (cateti) di lunghezza formula_1 e formula_5, quello più lungo (ipotenusa) ha come lunghezza il numero positivo formula_6 che risolve l'equazione:
formula_7.
Le equazioni più semplici sono le equazioni lineari, sia perché rappresentano le questioni geometriche più semplici, sia perché sono risolvibili con procedimenti standard.
Nelle formule e nelle equazioni conviene far entrare parametri con valori indeterminati: in tal modo si viene a disporre di strumenti di portata più generale, che permettono di conseguire evidenti economie di pensiero. 
Ad esempio: in un triangolo rettangolo con cateti di
lunghezza formula_8 e formula_9, la lunghezza dell'ipotenusa è il numero positivo formula_6 tale che formula_11. 
Per meglio valutare le formule e per risolvere molti tipi di equazioni è necessario sviluppare un calcolo letterale che permetta di rimaneggiarle. Le regole di questo calcolo letterale costituiscono la cosiddetta algebra elementare.
L'algebra moderna si occupa anche dello studio delle relazioni fra insiemi e delle strutture algebriche, cioè strutture che caratterizzano insiemi concreti (come i numeri) o astratti sui quali è stata definita una o più operazioni.
Lo studio della geometria piana e spaziale riguarda inizialmente primitivi: il punto, la retta, il piano. Combinando questi elementi nel piano o nello spazio si ottengono altri oggetti quali segmenti, angoli, angoli solidi, poligoni e poliedri.
Punto, retta, piano e spazio hanno dimensione rispettivamente 0, 1, 2 e 3. Tramite il calcolo vettoriale si definiscono e studiano spazi a dimensione più alta (anche infinita). Gli analoghi "curvi" di questi spazi "piatti" sono le curve e le superfici, di dimensione rispettivamente 1 e 2.
Uno spazio curvo in dimensione arbitraria si chiama varietà. 
Dentro a questo spazio si possono spesso definire punti e rette (dette geodetiche), ma la geometria che ne consegue può non soddisfare gli assiomi di Euclide: una tale geometria è generalmente detta non euclidea. Un esempio è dato dalla superficie
terrestre, che contiene triangoli aventi tutti e tre gli angoli retti.
L'analisi riguarda principalmente il calcolo infinitesimale, introduce la fondamentale nozione di limite, e quindi di derivata e integrale. Con questi strumenti sono analizzati i comportamenti delle funzioni, che spesso non hanno una descrizione esplicita ma sono soluzioni di una equazione differenziale, derivante ad esempio da un problema fisico.
Come riportato sopra, le discipline principali sviluppate all'interno della matematica sono nate dalla necessità di eseguire calcoli nel commercio, di capire i rapporti fra i numeri, di misurare la terra e di predire eventi astronomici. Questi quattro bisogni possono essere collegati approssimativamente con la suddivisione della matematica nello studio sulla quantità, sulla struttura, sullo spazio e sul cambiamento (cioè, aritmetica, algebra, geometria e analisi matematica). Oltre a queste, vi sono altre suddivisioni come la logica, la teoria degli insiemi, la matematica empirica di varie scienze (matematica applicata) e più recentemente allo studio rigoroso dell'incertezza.
Lo studio sulle quantità inizia con i numeri, in primo luogo con i numeri naturali (numeri interi non negativi) e tramite operazione aritmetiche su di essi. Le proprietà più profonde dei numeri interi sono studiate nella teoria dei numeri, di cui un esempio famoso è l'ultimo teorema di Fermat. La teoria dei numeri inoltre presenta due problemi non risolti, largamente considerati e discussi: la Congettura dei numeri primi gemelli e la congettura di Goldbach.
I numeri interi sono riconosciuti come sottoinsieme dei numeri razionali ("frazioni"). Questi, a loro volta, sono contenuti all'interno dei numeri reali, usati per rappresentare quantità continue. I numeri reali sono generalizzati ulteriormente dai numeri complessi. Queste sono i primi punti di una gerarchia dei numeri che continua ad includere i quaternioni e gli ottonioni. L'analisi dei numeri naturali conduce inoltre ai numeri infiniti.
Fra gli strumenti informatici negli ultimi anni si sono resi disponibili vari generi di pacchetti software volti ad automatizzare l'esecuzione di calcoli numerici, le elaborazioni simboliche, la costruzione di grafici e di ambienti di visualizzazione e, di conseguenza, volti a facilitare lo studio della matematica e lo sviluppo delle applicazioni che possano essere effettivamente incisive.
Particolare importanza ed efficacia vanno assumendo quelli che vengono chiamati sistemi di algebra computazionale o addirittura con il termine inglese Computer algebra systems, abbreviato con CAS.
Segnaliamo alcuni programmi open source o comunque gratuitamente disponibili per lo studio della matematica:
Molti oggetti matematici, come gli insiemi di numeri e funzioni, mostrano la loro struttura interna e coerente. Le proprietà strutturali di questi oggetti sono investigate nello studio di gruppi, anelli, campi e altri sistemi astratti, i quali sono a loro volta oggetti. Questo è il campo dell'algebra astratta. In questo campo un concetto importante è rappresentato dai vettori, generalizzati nello spazio vettoriale, e studiati nell'algebra lineare. Lo studio di vettori combina tre tra le fondamentali aree della matematica: quantità, struttura, e spazio. Il calcolo vettoriale espande il campo in una quarta area fondamentale, quella delle variazioni.
Lo studio dello spazio inizia con la geometria, in particolare con la geometria euclidea. La Trigonometria poi combina simultaneamente spazio e numeri. Lo studio moderno dello spazio generalizza queste premesse includendo la Geometria non euclidea (che assume un ruolo centrale nella teoria della relatività generale) e la topologia. Quantità e spazio sono trattati contemporaneamente in geometria analitica, geometria differenziale, e geometria algebrica. Con la geometria algebrica si ha la descrizione di oggetti geometrici come insiemi di soluzioni di equazioni polinomiali combinando i concetti di quantità e spazio, e anche lo studio di gruppi topologici, i quali combinano a loro volte spazio e strutture. I gruppi di Lie sono usati per studiare lo spazio, le strutture e le variazioni. La Topologia in tutte le sue molte ramificazioni può essere considerata la zona di sviluppo più grande nella matematica del XX secolo ed include la congettura di Poincaré e il controverso teorema dei quattro colori, di cui l'unica prova, eseguita a computer, non è mai stata verificata da un essere umano.
Matematica discreta è il nome comune per i campi della matematica utilizzati nella maggior parte dei casi nell'informatica teorica. Questa include teoria della computazione, teoria della complessità computazionale, e informatica teorica. La teoria della computazione esamina le limitazioni dei vari modelli di computer, compresi i modelli più potenti conosciuti - la Macchina di Turing. La teoria della complessità è lo studio delle possibilità di trattazione da parte di un calcolatore; alcuni problemi, nonostante siano teoricamente risolvibili attraverso un calcolatore, sono troppo costosi in termini di tempo o spazio tanto che risolverli risulta praticamente impossibile, anche prevedendo una rapida crescita delle potenze di calcolo. Infine la teoria dell'informazione si interessa della quantità di dati che possono essere immagazzinati su un dato evento o mezzo e quindi di concetti come compressione dei dati e entropia.
Come campo relativamente nuovo, la matematica discreta possiede un numero elevato di problemi aperti. Il più famoso di questi è il problema " P=NP?" uno dei problemi per il millennio.
La matematica applicata considera l'utilizzo della matematica teorica come strumento utilizzato per la risoluzione di problemi concreti nelle scienze, negli affari e in molte altre aree. Un campo importante della matematica è la statistica, la quale utilizza la teoria della probabilità e permette la descrizione, l'analisi, e la previsione di fenomeni aleatori. La maggior parte degli esperimenti, delle indagini e degli studi d'osservazione richiedono l'utilizzo della statistica (molti statistici, tuttavia, non si considerano come veri e propri matematici, ma come parte di un gruppo collegato ad essi). L'analisi numerica investiga metodi computazionali per risolvere efficientemente una vasta gamma di problemi matematici che sono, in genere, troppo grandi per le capacità di calcolo umane; essa include lo studio di vari tipi di errore che generalmente si verificano nel calcolo.


In matematica, il sistema di coordinate polari è un sistema di coordinate bidimensionale nel quale ogni punto del piano è identificato da un angolo e da una distanza da un punto fisso detto polo.
Il sistema di coordinate polari è utile specialmente nei casi in cui le relazioni tra due punti possono essere espresse più facilmente in termini di angoli e di distanza; nel più familiare sistema di coordinate cartesiane, o sistema di coordinate rettangolari, tale relazione può essere espressa solamente tramite le funzioni trigonometriche.
Siccome il sistema di coordinate è bidimensionale, ogni punto è determinato da due coordinate polari: la coordinata radiale e quella angolare. La prima, di solito identificata con la lettera formula_1, denota la distanza del punto da un punto fisso detto polo (equivalente all'origine del sistema cartesiano). La coordinata angolare, solitamente denotata con la lettera greca θ, è anche detta "angolo azimutale" ed identifica l'angolo che la semiretta a 0° deve spazzare in senso antiorario per andare a sovrapporsi a quella che congiunge il punto al polo.
I concetti di angolo e raggio erano già utilizzati dai popoli antichi del I millennio a.C. L'astronomo greco Ipparco di Nicea (190-120 a.C.) costruì una tabella delle funzioni delle corde, che fornivano la lunghezza della corda sottesa da ogni angolo; esistono anche riferimenti all'utilizzo delle coordinate polari per stabilire le posizioni delle stelle.
Nel saggio "Sulle Spirali", Archimede descrive la sua famosa spirale, una funzione il cui raggio dipende dall'angolo. L'opera dei greci, comunque, non si estese a un sistema di coordinate polari universalmente accettato.
Verso la metà del XVII secolo, Gregorio di San Vincenzo e Bonaventura Cavalieri introdussero, indipendentemente l'uno dall'altro, il concetto di coordinate polari. Il fiammingo Gregorio di San Vincenzo espose questo concetto nell'opera "Opus geometricus" del 1647, ma si ritiene che ne fosse a conoscenza dal 1625. Cavalieri pubblicò il suo lavoro nel 1635, ma nel 1653 fu stampata un'edizione più corretta. Cavalieri per primo utilizzò le coordinate polari per risolvere i problemi relativi al calcolo dell'area sottesa da una spirale di Archimede. Pascal, in seguito, utilizzò le coordinate polari per calcolare la lunghezza degli archi parabolici.
Nel "Metodo per il calcolo differenziale" (scritto nel 1671 e pubblicato nel 1736), Isaac Newton esaminò le trasformazioni che avvenivano tra le coordinate polari e quelle che sussistevano tra altri nove sistemi di coordinate.
Nel giornale "Acta Eruditorum" del 1691, Jacob Bernoulli utilizzò il sistema con un punto e una linea, che chiamò rispettivamente "polo" e "asse polare". Le coordinate erano specificate dalla distanza dal polo e dall'angolo formato con l'asse polare; l'opera di Bernoulli si estese al calcolo del raggio di curvatura delle curve, espresse in queste coordinate.
Il termine "coordinate polari" è stato attribuito a Gregorio Fontana, e fu utilizzato dagli scrittori italiani del XVIII secolo. Alexis Clairaut fu il primo a pensare le coordinate polari in tre dimensioni, ed Eulero fu il primo a svilupparle effettivamente.
Ogni punto del sistema di coordinate polari può essere descritto con le due coordinate polari, di solito chiamate formula_1 (coordinata radiale) e θ (coordinata angolare). La coordinata formula_1 rappresenta la distanza radiale dal polo, mentre la θ è l'angolo in senso antiorario da percorrere partendo da 0° (asse di riferimento).
Ad esempio, le coordinate polari (3, 60°) devono essere disegnate con un punto posto a tre unità di distanza dal polo e in modo tale che la semiretta congiungente il punto al polo formi un angolo di 60° con l'asse di riferimento. È ovvio che il punto (3, -300°) coinciderà con il punto precedente, perché l'angolo -300° corrisponde esattamente all'angolo 60°; per la stessa proprietà degli angoli, anche tutti i punti (3, 60° + "K"×360°), con K numero intero, coincideranno con il primo punto, perché sommando o sottraendo angoli giri dallo stesso angolo, il risultato non cambia. In generale, tutti i punti identificati dalle coordinate ("r", θ + "K"×360°) corrispondono allo stesso punto disegnato nel piano polare.
Ciò illustra un importante aspetto del sistema di coordinate polari, che non è presente in quello a coordinate cartesiane: ogni singolo punto può essere espresso con un numero infinito di coordinate differenti, ognuna delle quali è sfasata rispetto alle altre di un numero intero di angoli giri.
Le coordinate arbitrarie (0, θ) sono convenzionalmente utilizzate per rappresentare il polo, senza particolare interesse per il valore di θ, infatti ogni punto distante 0 dal polo coincide con il polo qualunque sia il suo angolo.
In notazione polare, gli angoli sono generalmente definiti in gradi o radianti, utilizzando la convenzione per cui 2π rad = 360°. Le applicazioni per la navigazione utilizzano maggiormente i gradi, mentre le applicazioni fisiche (specialmente in meccanica rotazionale) e quasi tutta la letteratura matematica sul calcolo utilizzano le misure in radianti.
Le due coordinate polari formula_1 e formula_5 possono essere convertite nelle coordinate cartesiane formula_6 e formula_7 utilizzando le formule delle funzioni trigonometriche seno e coseno:
mentre le due coordinate cartesiane formula_6 e formula_7 possono essere convertite nella coordinata polare formula_1 applicando il teorema di Pitagora:
Per determinare invece la coordinata angolare formula_5, bisogna considerare i due seguenti casi.
Per ottenere formula_5 nell'intervallo formula_21, si usano invece le seguenti:
Un metodo alternativo di ricavare formula_5 in termini di formula_6 e formula_7 è la seguente. Sfruttando un'identità trigonometrica
quindi
Il vantaggio di questo approccio è che vale questa unica formula per formula_5 su tutto formula_34.
Moltissimi software (tra cui Microsoft Excel) e linguaggi di programmazione (tra cui Java) dispongono della funzione "atan2" per passare dalle coordinate cartesiane a quelle polari.
L'equazione che definisce una curva algebrica espressa in coordinate polari è conosciuta come "equazione polare". In molti casi, tale equazione può essere semplicemente espressa definendo formula_1 come funzione di formula_5. La curva risultante consiste quindi dei punti della funzione formula_37 e può essere considerata come il grafico della funzione polare di formula_1.
Dall'equazione della funzione polare di formula_1 si possono dedurre diverse forme di simmetria. Se formula_40, la curva sarà simmetrica rispetto all'asse orizzontale, mentre se formula_41 sarà simmetrica rispetto a quello verticale, e se formula_42, costituirà una simmetria rotazionale di formula_43 in senso antiorario.
A causa della natura circolare del sistema di coordinate polari, molte curve possono essere descritte da una equazione polare piuttosto semplice, mentre la loro espressione cartesiana sarebbe più complicata. Tra le curve più conosciute di questa specie ci sono la rodonea, la spirale di Archimede, la lemniscata, il limaçon, e la cardioide.
L'equazione generale della circonferenza con centro in (formula_1, φ) e raggio formula_45 è
Questa formula può essere semplificata in vari modi, per adattarla a casi più specifici, come l'equazione 
per una circonferenza con centro nel polo e raggio formula_45.
Le rette radiali (che attraversano il polo) sono rappresentate dall'equazione 
in cui φ è l'angolo formato dalla retta; cioè, φ = arctan formula_50 dove formula_50 è l'inclinazione della retta nel sistema di coordinate cartesiane. La linea non radiale che attraversa la retta radiale θ = φ perpendicolarmente nel punto (formula_1, φ) ha equazione 
Una rodonea è una celebre curva matematica che appare come un fiore con petali, e che si può esprimere semplicemente con un'equazione polare, data da
o
Posto formula_56 come numero intero, l'equazione produrrà con formula_56 dispari una rodonea di tipo formula_56, con formula_56 pari di tipo formula_60. Se formula_56 è invece un numero irrazionale, la curva formerà un disco. È da notare che queste equazioni non definiscono il numero dei petali della rosa; la variabile formula_45 rappresenta solamente la lunghezza dei petali.
La spirale di Archimede è una famosa spirale che fu scoperta da Archimede, e che può essere espressa semplicemente con una equazione polare, della forma
Modificando il parametro formula_45, la spirale ruoterà, mentre formula_65 controlla la distanza tra i bracci, che per una data spirale è sempre costante. La spirale di Archimede presenta due bracci, uno per θ > 0 e l'altro per θ < 0, ed entrambi si congiungono nel polo. Prendendo l'immagine speculare di un braccio lungo la retta 90°/270°, i due bracci si sovrappongono. Questa curva è notevole anche per essere stata una delle prime curve, dopo le sezioni coniche, ad essere descritta in un trattato matematico, e per essere stata il primo esempio di una curva che è rappresentata dalle coordinate polari meglio che dalle cartesiane.
Una sezione conica con un fuoco sul polo e l'altro coincidente con un altro punto dell'asse a 0° (in modo che l'asse maggiore della conica possa giacere sull'asse polare) è data dall'equazione
in cui "e" è l'eccentricità della curva e formula_67 è la perpendicolare al semiasse maggiore della curva. Se "e" > 1, questa equazione definisce un'iperbole, se "e" = 1, definisce una parabola e se "e" < 1, definisce un'ellisse. Il caso particolare in cui "e" = 0, riduce l'ellisse a una circonferenza di raggio formula_67.
Ogni numero complesso può essere rappresentato come un punto del piano complesso, e può quindi essere espresso sia in coordinate cartesiane (chiamata "forma rettangolare") o nelle coordinate polari del punto (chiamata "forma polare"). Il numero complesso formula_69 si rappresenta in forma rettangolare come 
in cui formula_71 è l'unità immaginaria, o può alternativamente essere scritto in forma polare come 
e da qui come
in cui formula_74 è il numero di Nepero. Le due formule sono equivalenti per quanto stabilito dalla formula di Eulero. Per convertire la forma rettangolare a polare e viceversa, si possono applicare le formule sopra citate.
Per le operazioni di moltiplicazione, divisione e esponenziale di numeri complessi, è in generale più semplice operare con i numeri complessi espressi in forma polare, piuttosto che in forma rettangolare. Infatti, per le regole degli esponenziali:
Sfruttando la forma polare di un numero complesso si può arrivare alla formula della traslazione in coordinate polari. Presi due punti nelle coordinate polari formula_78 e formula_79, espressi con la formula di Eulero sono
Se consideriamo il punto formula_81 come punto traslato e formula_82 come origine del nuovo asse, sia poi formula_83 il punto non traslato, allora la traslazione è
Il modulo del numero complesso formula_85 è un numero reale positivo definito come
Considerando ora un'equazione polare
Per applicare una traslazione alla funzione possiamo sostituire formula_88 con la formula sopra, quindi
E l'equazione diventa
Se formula_91 è una funzione costante allora la traslazione rappresenta una circonferenza in quanto l'equazione
rappresenta una circonferenza con centro l'origine è raggio il valore della costante. Nota che in termini geometrici la traslazione di un punto è la distanza tra il punto e l'origine del nuovo asse, come è ben visibile dalla formula stessa. Per convertire la curva traslata da coordinate polari a cartesiane dobbiamo prelevare il punto sulla curva in coordinate polari e trasformarlo in coordinate cartesiane, si ottiene semplicemente lo stesso sistema visto sopra, basta infatti prelevare il punto formula_81 che è componente del punto formula_83.
Il calcolo infinitesimale può essere applicato alle equazioni espresse in coordinate polari. La coordinata angolare formula_5, in questa sezione, viene espressa in radianti, la scelta convenzionale nel calcolo infinitesimale.
Esistono le formule seguenti:
Oppure le inverse:
Per trovare la pendenza cartesiana della tangente alla curva polare formula_100 in un dato punto, la curva viene per prima cosa espressa con un sistema di equazioni parametriche.
Derivando entrambe le equazioni rispetto a formula_5
Effettuando il rapporto tra la seconda e la prima equazione, si ottiene la pendenza della retta tangente alla curva nel punto ("θ", "r"(θ)):
Se "R" indica la regione dello spazio racchiusa dalla curva "r"(θ) e dalle rette θ = "a" e θ = "b", in cui 0 < "b" - "a" < 2π, allora l'area di "R" è espressa da
Si può giungere a questo risultato come segue: per prima cosa, l'intervallo ["a", "b"] viene diviso in "n" sottointervalli, in cui "n" è un numero intero positivo arbitrario. Chiamata Δθ l'ampiezza di ogni sottointervallo, sussiste la relazione che Δθ è pari a "b" − "a" (l'ampiezza totale dell'intervallo), divisa per "n", numero dei subintervalli. Per ogni sottointervallo, "i" = 1, 2, …, "n", si chiama θ il suo punto medio, e si costruisce un settore circolare con centro nel polo, raggio "r"(θ), e angolo Δθ. L'area di ogni settore costruito è perciò pari a formula_108. L'area totale di tutti i settori sarà pertanto uguale a
Quando cresce il numero dei sottointervallo formula_110, l'approssimazione dell'area continua a migliorare. Al limite, per formula_111, la somma giunge ad essere la somma di Riemann per l'integrale precedente.
La lunghezza della linea espressa da una funzione polare, viene ottenuta per integrazione di segmenti infinitesimi lungo la curva "r"("θ") stessa. Usiamo "L" per denotare la lunghezza della linea a partire dal punto iniziale "A" fino al punto finale "B", dove questi punti corrispondono a: "formula_112 = a" , "formula_113 = b".
La lunghezza "L" della linea è allora data dal seguente integrale:
Utilizzando le coordinate cartesiane, un elemento infinitesimo di area può essere calcolato come formula_116. La regola della sostituzione per integrali multipli stabilisce che, passando ad altre coordinate, bisogna considerare il valore assoluto del determinante della matrice jacobiana:
formula_117
Pertanto, un elemento di area in coordinate polari può essere scritto come
Ora, una funzione data in coordinate polari, può essere integrata come segue:
Qui formula_120 è la stessa regione ricavata sopra, e corrisponde all'area racchiusa dalla curva formula_100 e dalle rette formula_122 e formula_123.
La formula per il calcolo di formula_120 è stata ricavata assumendo formula_91 identicamente uguale a formula_126. Un'applicazione sorprendente di questo risultato riguarda la possibilità di calcolare l'integrale di Gauss
Le coordinate polari si possono applicare anche al calcolo vettoriale e, in particolare, allo studio della cinematica dei moti piani. 
Sia formula_128 la posizione del vettore 
espresso in un sistema di coordinate cartesiane di versori di base formula_130 e formula_131,
Il modulo formula_1 e l'angolo polare formula_5 dipendono dal tempo formula_134 e descrivono il movimento di un corpo nel piano.
Siano formula_135 il vettore unità (versore) nella direzione di formula_128 e 
formula_137 il versore dell'angolo di formula_128.
Le derivate prima e seconda del vettore posizione
sono, rispettivamente, il vettore velocità
ed il vettore accelerazione 
del moto. Si ricorda che le derivate dei versori sono:
Il sistema di coordinate polari si può estendere anche alle tre dimensioni, con due differenti sistemi di coordinate, quelle cilindriche e quelle sferiche, delle quali entrambe richiedono coordinate polari planari o bidimensionali come base. In sintesi, il sistema di coordinate cilindriche estende le coordinate polari aggiungendo un'altra coordinata della distanza, mentre le coordinate sferiche aggiungono un'altra coordinata angolare.
Il "sistema di coordinate cilindriche" è un sistema di coordinate che estende il sistema bidimensionale polare aggiungendo una terza coordinata, che misura l'altezza di un punto dal piano base, in modo simile a quello in cui si introduce la terza dimensione nel piano cartesiano. La terza coordinata è spesso chiamata formula_144, e l'intera terna è quindi formula_145.
Le tre coordinate cilindriche possono essere convertite in coordinate cartesiane con le formule
Le coordinate polari possono essere estese in tre dimensioni anche utilizzando le coordinate formula_147, in cui formula_148 è la distanza dal polo, formula_5 è l'angolo formato con l'asse formula_69 e formula_151 è l'angolo formato dalla proiezione sul piano formula_152, con l'asse formula_6. Questo sistema di coordinate, chiamato "sistema di coordinate sferiche", è simile al sistema della latitudine e longitudine utilizzato per la Terra, con la latitudine δ che è il complementare di formula_5, se formula_69 è l'asse di rotazione terrestre, determinato dalla relazione δ = 90° − θ, e la longitudine est "l" = φ (se φ compreso fra 0° e 180°) ovvero la longitudine ovest "l" = - φ (se φ compreso fra -180° e 0°), se il semipiano formula_156 con formula_157 contiene il meridiano di Greenwich. 
Le tre coordinate cartesiane di un punto si ottengono dalle tre coordinate sferiche di quel punto con le formule:
Le coordinate polari sono bidimensionali, e pertanto possono essere utilizzate soltanto ove le posizioni dei punti giacciano su un singolo piano bidimensionale. Il loro utilizzo è appropriato in ogni contesto in cui il fenomeno considerato sia legato alla direzione e alla distanza da un certo punto; gli esempi sopra mostrati mostrano come elementari equazioni polari siano sufficienti a definire curvecome la spirale di Archimedela cui equazione in coordinate cartesiane sarebbe molto più intricata. Inoltre, molti sistemi fisicicome quelli riguardanti i corpi che si muovono intorno a un punto centrale e con fenomeni originanti da un punto centralepossono essere trattati in modo più semplice e più intuitivo utilizzando le coordinate polari. La motivazione iniziale per l'introduzione del sistema polare fu lo studio del moto circolare e del moto orbitale.
Le coordinate polari sono spesso utilizzate nella navigazione, quando la destinazione o la direzione del viaggio possono essere forniti attraverso un angolo e una distanza dal luogo di arrivo. Ad esempio, gli aeroplani utilizzano una versione leggermente modificata delle coordinate polari per la navigazione. In questo sistema, gli angoli sono considerati in senso orario. L'angolo a 360° (0°) corrisponde al nord magnetico, mentre gli angoli a 90°, 180° e 270° corrispondono all'est magnetico, sud magnetico e ovest magnetico rispettivamente. Pertanto, un aeroplano che viaggia a 5 miglia nautiche a est starà viaggiando a 5 unità verso l'angolo di 90°.
I sistemi che mostrano una simmetria radiale sono l'ambiente ideale per l'applicazione delle coordinate polari, con il punto centrale che agisce da polo. Sistemi con una forza centrale sono anche potenziali candidati all'utilizzo delle coordinate polari: questi sistemi includono i campi gravitazionali, che obbediscono alla legge dell'inverso del quadrato, come anche i sistemi con una sorgente puntiforme, come le radio antenne.
