
Il logaritmo naturale (o "logaritmo neperiano") è il logaritmo in base "e", dove formula_1 è uguale a formula_2 Il logaritmo naturale è definito per tutte le formula_3 reali e positive, ma anche per i numeri complessi diversi da zero.
Se la funzione esponenziale è stata definita usando una serie infinita, il logaritmo naturale può essere definito come la sua funzione inversa, intendendo che formula_4 è il numero per cui formula_5. Dal momento che il dominio della funzione esponenziale include tutti i numeri reali positivi e poiché la funzione esponenziale è strettamente crescente, questa è definita per tutte le formula_3 reali positive.
In alternativa è possibile definire il logaritmo come segue:
Questo definisce il logaritmo perché soddisfa la proprietà fondamentale dei logaritmi:
Questo può essere dimostrato definendo formula_8 e mediante la regola della sostituzione degli integrali, come segue:
Il numero formula_10 può essere definito come l'unico numero reale formula_11 tale che formula_12.
La funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione esponenziale, quindi si ha che:
In altre parole, la funzione logaritmo è la corrispondenza biunivoca dall'insieme di numeri reali positivi all'insieme di tutti i numeri reali. Nello specifico, è un isomorfismo da un gruppo di numeri reali positivi sotto moltiplicazione al gruppo dei numeri reali sotto addizione.
I logaritmi possono essere definiti per una qualsiasi base reale strettamente positiva e diversa da formula_22, non solo formula_1, inoltre possono essere utili nella risoluzione di equazioni in cui l'incognita appare all'esponente di una qualsiasi quantità.
La derivata della funzione logaritmo naturale è data da
La serie di Taylor centrata in formula_22 del logaritmo naturale è:
Utilizzando l'identità
e sostituendo formula_28 nella serie di Taylor dell'arcotangente iperbolica si ottiene
Applicando la trasformazione binomiale alla serie di Taylor si ottiene la seguente serie, valida per ogni formula_3 con valore assoluto maggiore di formula_22:
Si noti inoltre che formula_33 è la sua stessa funzione inversa, quindi per ottenere il logaritmo naturale di un certo numero formula_34 è sufficiente sostituire formula_35 al posto di formula_3.
Una serie esotica dovuta a Bill Gosper è la seguente:
L'integrale della funzione logaritmo naturale si risolve per parti:
Il logaritmo naturale è fondamentale per rapide integrazioni di funzioni della forma formula_39 che si traducono nella scrittura formula_40: l'integrale di una derivata fratto la sua funzione è uguale al logaritmo naturale del valore assoluto di quella funzione. Si tratta della diretta conseguenza della regola di derivazione per le funzioni composte, ossia:
Cioè
e
Con quest'ultima regola, è possibile calcolare gli integrali della tangente e della cotangente sfruttando le loro definizioni:
Da cui ponendo formula_46 si ha che formula_47 e quindi:
dove formula_50 è la costante reale arbitraria degli integrali indefiniti.
Prima della diffusione delle calcolatrici, la formula del cambio di base logaritmica era necessaria per il calcolo dei logaritmi neperiani, riportandoli su base formula_13. È ancora utile per ottenere l'ordine di grandezza di un numero neperiano (che è appunto una potenza di formula_13):
che diventa:
Alla fine delle tavole dei logaritmi, la tabella di trasformazione riportava i valori di:
e


In matematica il numero formula_1 è una costante matematica il cui valore approssimato a 12 cifre decimali è formula_2. È la base della funzione esponenziale formula_3 e del logaritmo naturale. Può essere definita in vari modi, il più comune tra i quali è come il limite della successione formula_4 al tendere di formula_5 all'infinito. Insieme a π è la costante matematica più importante, per via della sua presenza in molte formule apparentemente non correlate.
È un numero trascendente, e dunque irrazionale, e tramite la formula di Eulero è legato alle funzioni trigonometriche. In ambito internazionale il numero formula_1 è chiamato numero di Eulero, mentre in Italia viene anche detto numero di Nepero.
Il numero formula_1 può essere definito in uno dei seguenti modi:
dove formula_10 è il fattoriale del numero naturale formula_5.
Una dimostrazione dell'equivalenza di queste definizioni è data di seguito. Le definizioni sono usate in modo analogo nella definizione della funzione esponenziale.
Un modo alternativo (non standard) di definire formula_1 coinvolge le equazioni differenziali: il numero di Nepero si può definire come il valore in formula_13 della funzione formula_14 soluzione unica del problema di Cauchy dato dall'equazione differenziale formula_15 con condizioni iniziali formula_16.
Il numero formula_1 è irrazionale, più precisamente un numero trascendente, ossia non esiste un'equazione algebrica a coefficienti razionali che lo ammetta come soluzione.
Questo è stato il primo numero che si è dimostrato essere trascendente senza essere stato costruito per essere collocato nell'insieme dei numeri reali non algebrici, come era accaduto in precedenza 
per la costante di Liouville.
Una dimostrazione della irrazionalità di e è stata data da Charles Hermite nel 1873. 
Si presume che esso sia un numero normale.
La costante formula_1 compare nella formula di Eulero, una delle
più importanti identità della matematica:
dove formula_20 indica l'unità immaginaria.
Il caso particolare con formula_21 è noto come identità di Eulero:
questa uguaglianza è stata chiamata da Richard Feynman "gioiello di Eulero".
Lo sviluppo di formula_1 come frazione continua infinita è espresso 
dalla seguente interessante configurazione:
Troncando la frazione continua si ottengono le approssimazioni razionali di formula_1, di cui le prime (non intere) sono formula_26.
Il numero formula_1 è il punto centrale della commutazione dell'elevamento a potenza. Siano date tutte le coppie formula_28 per le quali formula_29. Oltre al caso banale formula_30, l'unica coppia intera (e razionale) per cui vale la proprietà è formata dai numeri 2 e 4, ma vale anche per infinite coppie irrazionali distribuite lungo una curva nel primo quadrante, asintotica alle rette formula_13 e formula_32. Tale curva e la retta formula_33 si intersecano nel punto formula_34.
Sempre in merito a funzioni esponenziali, la radice formula_35-esima di formula_35, ovvero formula_37, ha massimo per formula_38 e l'esponenziale formula_35-esimo di formula_35, ovvero formula_41, ha minimo per formula_42.
Il primo riferimento ad formula_1 in letteratura risale al 1618 ed è contenuto
nella tavola di un'appendice di un lavoro sui logaritmi di John Napier. Nella tavola non appare la costante, bensì un elenco di logaritmi naturali calcolabili a partire dalla costante. Sembra che la tavola sia stata scritta da William Oughtred. La prima espressione di formula_1 come una costante è stata trovata da Jakob Bernoulli:
Da questa espressione è difficile ricavare un buon valore numerico per la costante.
La sua prima citazione, rappresentata con la lettera formula_46 compare in due lettere di Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens, del 1690 e del 1691. Leonhard Euler ha iniziato ad usare la lettera formula_1 per la costante nel 1727 e il primo uso di formula_1 compare nella "Mechanica" di Eulero (1736). Negli anni seguenti alcuni ricercatori hanno usato la lettera formula_49, poi l'uso di formula_1 si è fatto più comune. Oggi è usato come simbolo definitivo.
Non sono noti i motivi che condussero a scegliere la lettera formula_1, si può supporre che formula_1 fu scelto perché iniziale della parola "esponenziale". Un altro motivo sta nel fatto che formula_53, formula_46, formula_49, e formula_56 venivano frequentemente usate per altri oggetti matematici ed formula_1 era la prima lettera dell'alfabeto latino non utilizzata. È improbabile che Eulero abbia scelto la lettera in quanto iniziale del proprio nome, poiché il numero non era una sua scoperta, era già noto ai matematici dell'epoca.
La seguente dimostrazione prova l'equivalenza dello sviluppo in serie infinita presentato in precedenza e l'espressione del limite studiata da Bernoulli.
Definiamo
Dal teorema binomiale,
tale che
Qui deve essere usato il limite superiore o limsup, poiché non è ancora noto che formula_63 converge effettivamente.
Ora, per l'altra direzione, si nota che dall'espressione sopra di formula_63, se formula_65, abbiamo
Fissato formula_67 si fa tendere formula_5 all'infinito. Otteniamo
(di nuovo, dobbiamo usare il limite inferiore o liminf poiché non è ancora garantito che formula_63 converge).
Ora,
considerando la disuguaglianza precedente, formula_67 si avvicina all'infinito, e colloca quest'ultima assieme all'altra disuguaglianza; da cui:
Questo completa la dimostrazione.
Oltre alle rappresentazioni analitiche esatte per calcolare formula_1, esistono metodi stocastici per stimarlo. 
Uno di questi parte da una successione infinita di variabili casuali indipendenti formula_74 distribuite uniformemente 
nell'intervallo formula_75. Sia formula_76 il numero di somme parziali di variabili formula_77 che siano strettamente minori di formula_78, ponendo:
dove formula_80 allora il valore atteso formula_81 è proprio la costante formula_1.
