
In algebra, una funzione quadratica è una funzione in una o più variabili definita in modo esplicito attraverso un polinomio di secondo grado. Ad esempio, una funzione quadratica nelle variabili "x", "y", "z" ha la seguente forma generale:
formula_1 con almeno uno tra formula_2 diverso da 0.
Una funzione quadratica in una variabile ha forma:
formula_3
Il suo grafico è una parabola con l'asse di simmetria parallelo all'asse "y". Uguagliando a zero una funzione quadratica si ottiene una equazione di secondo grado; le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono dette radici del polinomio associato.
Una funzione quadratica in due variabili ha forma:
formula_4 con formula_5 non contemporaneamente nulli. Il grafico di una funzione quadratica è, in generale, una ipersuperficie detta quadrica. 
Il sottoinsieme di formula_6 descritto da formula_7 è una sezione conica (ellisse, circonferenza, parabola, iperbole).
I coefficienti del polinomio che definisce la funzione possono essere reali o complessi, perché un polinomio può essere definito su qualunque anello.
Nel caso in cui tutti i coefficienti dei termini di secondo grado siano uguali a zero, si parla di caso degenere della funzione.
I polinomi di secondo grado (e quindi anche le funzioni quadratiche) sono generalizzate sugli spazi vettoriali dal concetto di forma quadratica.
L'aggettivo "quadratico " deriva dal latino "quadratum" (quadrato). Un termine di secondo grado formula_8 è detto quadrato perché rappresenta l'area di un quadrato di lato formula_9.
Una funzione quadratica in una variabile può essere espressa in tre forme:
La conversione dalla forma normale a quella fattorizzata si effettua calcolando le radici del polinomio; la conversione dalla forma normale a quella del vertice si effettua attraverso il completamento del quadrato; la forma normale si ricava dalle altre due eseguendo le operazioni indicate.
A prescindere dalla forma dell'espressione, il grafico di una funzione quadratica in una variabile formula_3 è una parabola. Da questo si ha, equivalentemente, che una parabola può essere descritta come formula_16.
Se formula_17, la parabola volge la concavità verso l'alto; se formula_18, la parabola volge la concavità verso il basso.
Il coefficiente formula_19 controlla la curvatura del grafico: maggiore è il suo valore assoluto, più stretta è la parabola. I coefficienti formula_19 e formula_21 concorrono a definire la posizione dell'asse di simmetria della parabola, quindi la coordinata formula_22 del vertice, data da formula_23. Il coefficiente formula_24 controlla l'altezza della parabola; in particolare essa intercetta l'asse "y" nel punto di coordinate formula_25.
Il vertice è il massimo o minimo assoluto della parabola. Se la funzione è nella forma del vertice, le sue coordinate sono formula_14.
Attraverso il completamento del quadrato, la forma normale
formula_3
può essere trasformata in
formula_28;
ponendo formula_29 (discriminante)
allora il vertice ha coordinate formula_30
quindi l'asse di simmetria passa per il vertice.
Se la funzione è in forma fattorizzata, sfruttando la simmetria della parabola, si dimostra che le coordinate del vertice possono essere calcolate equivalentemente come formula_31.
Siccome il punto di vertice è un massimo o un minimo della funzione quadratica, esso può essere trovato attraverso i teoremi dell'analisi matematica. Quindi, il punto di vertice deve essere radice della derivata:
formula_32
in questo punto la funzione vale
formula_33
quindi le coordinate del vertice sono:
formula_30
in accordo con quanto trovato prima.
Le radici (o zeri) di una funzione in una variabile sono i valori di formula_9 per i quali formula_36. Per il teorema fondamentale dell'algebra per una funzione quadratica le radici sono due (eventualmente coincidenti). Attraverso il completamento del quadrato si trova che:
formula_37.
Quindi a seconda del segno del discriminante si possono avere tre casi:
Il modulo delle radici non può essere più grande di formula_42, dove formula_43è la sezione aurea.
La funzione data dalla radice quadrata di una funzione quadratica in una variabile ha forma formula_44 ed ha come grafico una ellisse o una iperbole.
Se formula_17 il grafico è un'iperbole. La direzione dell'asse dell'iperbole è determinata dall'ordinata del vertice: se è negativa l'asse trasverso è verticale, se è negativa l'asse trasverso è orizzontale.
Se formula_18 il grafico è un'ellisse se esistono due radici reali e distinte; altrimenti è un punto (radici coincidenti), oppure non esiste grafico sul piano cartesiano (radici complesse).
Iterare una funzione significa applicarla ripetutamente, sostituendo alla variabile indipendente il valore della funzione trovato nella iterazione precedente. L'iterazione "n"-esima viene indicata con formula_47; la notazione può essere estesa ai numeri negativi se è possibile iterare la funzione inversa (se esiste) di formula_48. Non è sempre possibile scrivere l'espressione analitica di formula_47. Di seguito sono trattati due casi di funzioni quadratiche iterate in cui può essere scritto la forma analitica in modo esplicito.
Per la funzione formula_50 (con formula_51 parametri reali) la forma iterata è
formula_52
ponendo formula_53
allora formula_54
quindi per induzione formula_55
sempre per induzione si ha che formula_56
allora formula_57 è la soluzione esplicita.
La mappa logistica formula_58 con parametro formula_59 può essere risolta solo in alcuni casi, almeno uno dei quali è caotico e uno non lo è. Nel caso caotico formula_60 la soluzione è
formula_61 dove la condizione iniziale formula_62 è data da formula_63.
Per formula_62 razionale, dopo un numero finito di iterazioni, formula_65 entra in una sequenza periodica. Per formula_62 irrazionale formula_65 non si ripete mai con sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali; siccome la maggior parte dei formula_62 è irrazionale, il comportamento è caotico.
La soluzione della mappa logistica con formula_69 è formula_70 per formula_71.
Se formula_72, per ogni valore di formula_22 diverso dal valore instabile formula_74, il termine formula_75 per formula_76, quindi formula_77.
Una funzione quadratica in due variabili è una funzione definita da un polinomio di secondo grado della forma:
formula_4
dove formula_2 sono costanti e formula_80 non sono contemporaneamente nulli. Il grafico di questa funzione è una superficie(quadrica). L'insieme descritto da formula_7 è l'intersezione tra la superficie e il piano formula_82 ovvero una sezione conica.
Se formula_83 la funzione non ha massimi né minimi; il grafico è un paraboloide iperbolico.
Se formula_84 la funzione ha un punto di massimo (formula_17) o di minimo (formula_17); il suo grafico è un paraboloide ellittico. Le coordinate del punto di massimo o minimo sono formula_87.
Se formula_88 e formula_89 la funzione non ha massimi né minimi; il suo grafico è un cilindro parabolico.
Se formula_88 e formula_91 la funzione raggiunge un punto di massimo (formula_18) o minimo (formula_17); il suo grafico è un cilindro parabolico.


In geometria una circonferenza è il luogo geometrico di punti del piano equidistanti da un punto fisso detto "centro". La distanza da qualsiasi punto della circonferenza dal centro si definisce raggio.
Le circonferenze sono curve chiuse semplici che dividono il piano in una superficie interna ed una esterna (infinita).
La superficie del piano contenuta in una circonferenza, insieme alla circonferenza stessa, prende il nome di cerchio, per cui: 
Per le altre superfici del piano geometrico, la lingua italiana non distingue l'area e il perimetro con due parole differenti. In inglese, oltre alle corrispondenti "circumference" e "circle", la parola "disk" indica una regione del piano con alcune importanti proprietà, che può essere chiusa, oppure aperta, se "non" contiene il cerchio che essa delimita. Nota la circonferenza di un cerchio, per qualsiasi superficie (chiusa) del piano geometrico si può disegnare una circonferenza inscritta ed una circonferenza circoscritta.
La circonferenza è il caso particolare di una ellisse, in cui i due fuochi coincidono in uno stesso punto, che è il centro della circonferenza: l'ellisse ha due centri (detti fuochi), la circonferenza ha invece un solo centro. Si dice quindi che la circonferenza ha eccentricità nulla. 
Ugualmente, la formula di calcolo per l'area del cerchio è un caso particolare della formula per l'area di un'ellisse.
Mediante il calcolo delle variazioni si dimostra che la circonferenza è la Figura piana che delimita la massima area per unità di perimetro quadrato.
Una circonferenza è inoltre un particolare caso di simmetria centrale, dal momento che tutti i punti della circonferenza sono equidistanti dal centro della stessa.
La formula per trovare la lunghezza della circonferenza è:
oppure:
Dove:
In geometria analitica una circonferenza in un piano può essere descritta utilmente sia mediante le coordinate cartesiane, sia mediante le coordinate polari, sia in forma parametrica.
In un sistema di riferimento cartesiano formula_8, la circonferenza di centro formula_9 e raggio formula_6 è il luogo dei punti caratterizzati dall'equazione:
cioè è l'insieme di tutti e soli i punti che distano formula_6 da formula_9.
All'equazione più generale si dà spesso la forma canonica:
collegata alla precedente dalle seguenti eguaglianze:
Da ciò segue che se formula_21 la circonferenza degenera in un solo punto, formula_22, se formula_23 il luogo geometrico (nel piano cartesiano reale) descritto dall'equazione non è una circonferenza, ma l'insieme vuoto.
Se il centro della circonferenza è l'origine formula_24, l'equazione diventa:
Se la circonferenza passa per l'origine formula_24, formula_27 e l'equazione diventa:
Se la circonferenza ha centro sull'asse x, formula_29 e l'equazione diventa:
Se la circonferenza ha centro sull'asse y, formula_31 e l'equazione diventa:
Nelle coordinate polari formula_33 e formula_34 l'equazione della circonferenza con centro nell'origine e raggio formula_6 è evidentemente data dall'equazione:
Una circonferenza formula_37 il cui centro ha coordinate formula_38 e raggio formula_39 viene descritta con la seguente forma parametrica:
formula_40
Basta usare l'equazione formula_41.
A questo problema sono riconducibili anche i seguenti
Basta ricordare che l'asse di una corda passa sempre per il centro della circonferenza. La procedura risolutiva è la seguente:
Il problema ha tre incognite: i coefficienti formula_42 dell'equazione canonica della circonferenza formula_43.
Si impone il passaggio per i tre punti dati dal problema e si ottiene un sistema lineare in tre equazioni e tre incognite formula_42.
Basta ricordare che la distanza della retta tangente dal centro è pari al raggio della circonferenza stessa. La procedura risolutiva è la seguente:
Basta ricordare che in un sistema di secondo grado (retta-circonferenza) la condizione di tangenza si ha quando il sistema ammette due soluzioni reali e coincidenti, cioè quando l"'equazione associata" di secondo grado al sistema ha formula_45.
Questo problema è risolto ricordando che la retta tangente alla circonferenza è perpendicolare al raggio nel suo punto di tangenza. Quindi, salvo casi particolari in cui la tangente è parallela all'asse y, la procedura risolutiva è la seguente:
Alternativamente è sufficiente usare la "formula di sdoppiamento" della circonferenza, così l'equazione della retta tangente alla circonferenza formula_43 nel punto formula_47 è semplicemente l'equazione
dove formula_49 sono dati.
Nel piano complesso una circonferenza di centro l'origine e raggio formula_39 può essere espressa dall'equazione parametrica
per formula_52.
Per rendersi conto che tale formula descrive una circonferenza è sufficiente considerare le equazioni parametriche descritte sopra e confrontarle con la formula di Eulero.
È possibile descrivere una circonferenza nello spazio come intersezione di una sfera S con un piano formula_4. Per calcolare il raggio di una circonferenza descritta nel seguente modo si può utilizzare il teorema di Pitagora:
formula_57.
La circonferenza
formula_58
è l'intersezione del piano
con la sfera "S" di centro origine e raggio 2.
La distanza del centro della sfera dal piano vale formula_60.
La distanza del centro della sfera dal piano è minore del raggio della sfera. Quindi il piano formula_4 interseca la sfera "S". A questo punto il raggio formula_56 della circonferenza si calcola utilizzando il teorema di Pitagora:
Tutte le circonferenze sono simili; di conseguenza, la circonferenza è proporzionale al raggio:
Una retta che incontra una circonferenza in due punti si chiama secante, mentre una che tocca la circonferenza in un solo punto, chiamato punto di tangenza, si chiama tangente. Il raggio che congiunge il centro della circonferenza con il punto di tangenza è sempre perpendicolare alla tangente. Presi due punti sulla circonferenza, questi dividono la circonferenza in due archi. Se i due archi sono della stessa lunghezza si chiamano semicirconferenze. Il segmento che congiunge due punti sulla circonferenza si chiama corda. La corda di lunghezza massima, che passa per il centro, si chiama diametro, ed equivale al doppio del raggio.
Per due punti passano infinite circonferenze, ed il luogo dei loro centri è l'asse del segmento che congiunge i due punti. La perpendicolare condotta dal centro di una circonferenza a una sua corda la divide a metà. Due corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro. Se da un punto formula_65, esterno a una circonferenza di centro formula_66 si tracciano le rette formula_6 e formula_68 a essa tangenti, i segmenti di tangente compresi tra formula_65 e i punti di contatto con la circonferenza sono congruenti e il segmento formula_70 è bisettrice dell'angolo formula_71 di vertice formula_65.
Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza, il cui centro coincide con l'intersezione degli assi dei segmenti che congiungono i punti. L'equazione della circonferenza passante per i punti formula_73, formula_74, formula_75 si può esprimere nel seguente modo:
dove l'espressione a sinistra è il determinante della matrice.
Date due circonferenze che si intersecano, si definisce asse radicale la retta passante per i due punti in comune ("punti base"). Con semplici calcoli, partendo dall'equazione canonica e indicando con apici i coefficienti della seconda circonferenza, si ottiene che questa retta ha equazione formula_77 ed è perpendicolare alla retta che congiunge i centri delle circonferenze. La definizione si estende facilmente al caso di circonferenze tangenti, chiamando asse radicale la retta tangente alle due circonferenze nel punto comune. Questo concetto può essere ulteriormente generalizzato considerando i fasci di circonferenze. Approccio che, tra l'altro, permette di trattare unitariamente i suddetti casi.
Una "circonferenza topologica" si ottiene considerando un intervallo chiuso sulla retta reale e dotandolo della topologia quoziente che si ha identificando gli estremi.
La circonferenza è dotata di una naturale struttura di varietà differenziabile di dimensione 1, è uno spazio compatto e connesso ma non semplicemente connesso, infatti il suo gruppo fondamentale è il gruppo formula_78 dei numeri interi.
La circonferenza è naturalmente dotata della struttura algebrica di gruppo: possiamo identificare ogni punto della circonferenza con l'angolo che esso forma rispetto ad una semiretta prefissata (in genere l'asse delle ascisse in un sistema di riferimento cartesiano) e definire la "somma" di due punti individuati dagli angoli formula_79 e formula_80 come il punto individuato dall'angolo formula_81. È immediato verificare che la circonferenza dotata di questa operazione verifica le proprietà di un gruppo e che come "gruppo" è isomorfo al gruppo quoziente formula_82.
La circonferenza è un esempio di gruppo di Lie.
