
In matematica, la potenza è un'operazione che associa a una coppia di numeri formula_1 e formula_2 detti rispettivamente base ed esponente, il numero dato dal prodotto di formula_3 fattori uguali ad formula_1:
in questo contesto formula_1 può essere un numero intero, razionale o reale mentre formula_3 è un numero intero positivo. Con opportune ipotesi su formula_1 è possibile considerare anche altri valori numerici per gli esponenti, ad esempio esponenti interi (anche non positivi), razionali o reali.
Le potenze scritte nella forma formula_9 si leggono come "formula_1 elevato alla formula_3" o più semplicemente "formula_1 alla formula_3". L'esponente è usualmente rappresentato come apice immediatamente a destra della base.
Alcuni esponenti hanno un loro nome. L'esponente due è spesso indicato come "al quadrato" (un numero alla seconda rappresenta l'area di un quadrato che abbia per lato quel valore) e l'esponente formula_14 come "al cubo" (un numero alla terza rappresenta il volume di un cubo che abbia per spigolo quel valore).
Esempi:
L'operazione si estende ad formula_19 ponendo per ogni formula_20
e ad formula_3 negativi ponendo
Ad esempio,
Le seguenti proprietà sono di immediata verifica nel caso in cui gli esponenti siano numeri interi positivi:
Estraendo fino ad avere formula_27 otteniamo il seguente risultato:
formula_28
Notiamo che la definizione formula_36 risulta ora più comprensibile poiché è consistente con le proprietà appena viste, infatti:
Si noti che formula_38 è un prodotto vuoto e pertanto è uguale a formula_39
E lo stesso vale per la definizione di formula_40, infatti:
Dato un numero reale non negativo formula_1 e un numero intero positivo formula_2 si chiama radice formula_3-esima di formula_1 quel numero reale non negativo formula_46 tale che formula_47, tale numero si indica con formula_48.
Da questa definizione si ha subito che
per ogni numero reale non negativo formula_1. Quindi è ragionevole (in virtù delle proprietà delle potenze) porre
In questo modo le proprietà delle potenze sono ancora rispettate, infatti
come avviene per la radice formula_3-esima.
Più in generale la definizione di potenza può essere estesa ulteriormente, con alcune restrizioni, consentendo all'esponente di essere un numero razionale formula_54, con formula_55 e formula_56 interi primi tra loro e formula_57, se si pone:
In questo caso:
Trascurando tali restrizioni e l'ipotesi formula_55 e formula_56 primi tra loro si cade in assurdi quali:
Il passaggio errato è il terzo, in quanto formula_69 non è definito in formula_70.
È possibile estendere la definizione dell'operazione di elevamento a potenza anche ai casi in cui base ed esponente sono dei generici numeri reali (con la base però sempre positiva) facendo in modo che si conservino le regole di operazione tra potenze e che la funzione potenza risultante sia una funzione continua, e questa estensione è unica. Si può in tal modo dare senso a espressioni come formula_71 o e.
Definiamo inizialmente formula_72 con la base formula_73 e l'esponente formula_74, entrambi numeri reali.
Possiamo scrivere formula_46 nella sua rappresentazione in base formula_76 con la scrittura:
La successione formula_78 dei numeri
è una successione di numeri razionali crescente che tende a formula_46.
La potenza formula_85 ha esponente razionale, quindi è stata definita.
La successione di numeri reali
è una successione anch'essa crescente (poiché formula_73), risulta quindi naturale definire il valore di formula_72 come l'estremo superiore di tale successione:
Nel caso in cui la base fosse un numero compreso tra formula_93 e formula_94 si può definire:
poiché formula_96 in questo caso è maggiore di formula_94 e quindi il secondo membro è definito.
Difatti, essendo formula_98, si ha la seguente successione di numeri reali (considerando formula_78 come prima):
che è una successione decrescente e quindi si può porre, in questo caso, formula_104.


In matematica, una circonferenza unitaria è una circonferenza di raggio unitario, cioè una circonferenza il cui raggio è formula_1. Frequentemente, specialmente in trigonometria, la circonferenza unitaria è centrata nell'origine formula_2 in un sistema di coordinate cartesiane nel piano euclideo.
La circonferenza unitaria è spesso indicata con formula_3; la generalizzazione a più dimensioni è la sfera unitaria.
Se formula_4 è un punto della circonferenza unitaria del primo quadrante, allora formula_5 e formula_6 sono le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo la cui ipotenusa ha lunghezza 1. Quindi, per il teorema di Pitagora, formula_5 e formula_6 soddisfano l'equazione
Poiché formula_10 per ogni formula_5, e poiché la riflessione di ogni punto della circonferenza unitaria sull'asse formula_5 (o formula_6) appartiene ancora alla circonferenza unitaria, l'equazione precedente vale per ogni punto formula_4 della circonferenza unitaria, non solo nel primo quadrante.
Si può anche usare la nozione di "distanza" per definire altre "circonferenze unitarie".
Ovvero le si può definire come il luogo dei punti che hanno distanza unitaria (modulo uguale a formula_1) dall'origine. In coordinate polari l'equazione sarà
Vedere la voce sugli spazi normati per alcuni esempi.
Il cerchio unitario è il luogo dei punti del piano aventi una distanza minore o uguale all'unità da un punto detto centro del cerchio. In altri termini il cerchio unitario comprende la circonferenza unitaria e la parte di piano racchiusa dalla circonferenza stessa. Esso è indicato dalle disequazioni:
Le funzioni trigonometriche coseno e seno possono essere definite sulla circonferenza unitaria come segue. Se formula_4 è un punto della circonferenza unitaria, e se il raggio dall'origine formula_2 a formula_4 forma un angolo formula_22 con l'asse formula_5 positivo, (l'angolo misurato nel verso antiorario), allora
Per definizione delle funzioni seno e coseno, l'equazione formula_26 fornisce la relazione
che è vera per ogni formula_22 reale.
formula_22 è definito come un angolo orientato, che cioè assume un segno positivo in un verso e negativo nell'altro, a seconda della convenzione oraria o antioraria adottata. Solitamente si adotta la convenzione antioraria, e si suppone che l'angolo sia positivo spostandosi dall'asse delle ascisse in senso antiorario. Una circonferenza con tale angolo orientato è detta circonferenza goniometrica.
La circonferenza trigonometrica è una circonferenza goniometrica di raggio unitario (ossia goniometrica e unitaria). Essa è detta trigonometrica perché per definire seno, coseno, e da essi tutte le altre funzioni trigonometriche, servono un angolo orientato e un raggio unitario. Gli altri elementi presenti nei disegni sono una costruzione di geometria euclidea.
La circonferenza unitaria fornisce un modo intuitivo per visualizzare il seno e il coseno come funzioni periodiche, con le identità
Queste identità discendono dal fatto che le coordinate formula_5 e formula_6 di un punto sulla circonferenza unitaria rimangono le stesse incrementando o decrementando l'angolo formula_22 di un numero qualsiasi di giri (1 giro = 2π radianti).
Quando si lavora con triangoli rettangoli, seni, coseni, e altre funzioni trigonometriche ha senso parlare di misura di angoli maggiore di zero e minore di π/2. Tuttavia, usando la circonferenza unitaria, queste funzioni hanno un significato intuitivo per ogni misura di angolo reale.
In effetti, non solo seno e coseno, ma tutte le sei funzioni trigonometriche standard — seno, coseno, tangente, cotangente, secante, e cosecante, come anche le funzioni arcaiche come senoverso e exsecante — possono essere definite geometricamente in termini della circonferenza unitaria.
Prendendo in considerazione solo la parte della circonferenza descritta dall'equazione formula_36 che la rappresenta nel 1° e nel 2º secondo quadrante, l'area di questa si calcolerà
con un integrale formula_37. Allo stesso modo prendendo in considerazione la parte formula_38,che descrive la circonferenza nel 3° e nel 4° quadrante, l'integrale che ne definisce l'area sarà formula_39. Si può dire pertanto che l'area della circonferenza unitaria ha come valore formula_40, visto che si può considerare come la somma dei due integrali
formula_41.
Si può inoltre dimostrare la veridicità di questa formula attraverso l'utilizzo della formula per calcolare l'area è formula_42.
Sapendo che formula_43 otteniamo che formula_44 C.V.D.
Ogni numero complesso può essere identificato con un punto del piano euclideo, chiamando il numero complesso formula_45 esso è identificato con il punto formula_46. Con questa relazione la circonferenza unitaria è un gruppo sotto la moltiplicazione, chiamato anche gruppo circolare. Questo gruppo ha importanti applicazioni in matematica e nelle scienze.
