
In algebra, la decomposizione in fratti semplici di una funzione razionale, anche detta decomposizione in frazioni semplici o espansione in fratti semplici, è la scrittura della frazione tramite un polinomio (che può essere nullo) sommato ad una o più frazioni con un denominatore più semplice. Tale metodo fornisce un algoritmo che consente di valutare le primitive di una funzione razionale.
Per illustrare l'idea del procedimento, sia data una funzione razionale formula_1, in cui formula_2 e formula_3 sono polinomi, e si consideri la fattorizzazione formula_4 del denominatore. Per ogni fattore che ha la forma formula_5 si considerano le frazioni formula_6, mentre per ogni fattore che ha la forma formula_7 si considerano le frazioni:
Si ottiene così la scrittura:
e calcolando i coefficienti formula_10 e formula_11 si trova una decomposizione che consente, analizzandone ogni singolo termine, di integrare la frazione di partenza. Essa conduce quindi formula_12 ad un'espressione del tipo:
dove formula_14 e formula_15 sono polinomi di grado inferiore rispetto a formula_2 e formula_3.
Se si applica la decomposizione fin dove è possibile si ottiene che il denominatore di ogni termine è una potenza di un polinomio non fattorizzabile e il numeratore è un polinomio di grado inferiore di quello del polinomio non fattorizzabile.
Si consideri una funzione razionale formula_18 nella variabile formula_19 il cui denominatore si può fattorizzare come:
sul campo formula_21, che può essere ad esempio formula_22 o formula_23. Se formula_24 e formula_25 non hanno nessun fattore comune, allora formula_12 si può scrivere come:
per qualche coppia di polinomi formula_28 e formula_29 su formula_21. L'esistenza di tale decomposizione è una conseguenza del fatto che l'anello dei polinomi su formula_21 è un dominio ad ideali principali, sicché:
per qualche coppia di polinomi formula_33 e formula_34 (si veda l'identità di Bézout).
Con tale approccio si può induttivamente scrivere formula_35 come una somma di frazioni i cui denominatori sono potenze di polinomi irriducibili.
In modo più rigoroso, siano formula_2 e formula_3 polinomi non nulli su formula_21. Si scriva formula_3 come prodotto di potenze di polinomi non fattorizzabili:
Allora esistono unici i polinomi formula_41 e formula_42, di cui formula_42 hanno grado inferiore a quello di formula_44, tali che:
e se il grado di formula_2 è minore di quello di formula_3 allora formula_48.
Si può verificare tale teorema scrivendo formula_49 come una somma in cui i denominatori sono potenze di formula_50 ed i numeratori sono polinomi di grado inferiore a quello di formula_50, più un eventuale polinomio aggiuntivo. Per fare ciò si può utilizzare l'algoritmo di Euclide applicato ai polinomi.
Se formula_21 è il campo dei numeri complessi formula_23 allora per il teorema fondamentale dell'algebra si può assumere che ogni formula_44 ha grado 1.
Siano formula_2 e formula_3 polinomi non nulli sul campo formula_21. Si scriva formula_3 come prodotto di potenze di polinomi vicendevolmente primi che non hanno radici multiple in un campo algebricamente chiuso:
Allora esistono unici i polinomi formula_41 e formula_61, di cui formula_61 hanno grado inferiore a quello di formula_44, tali che:
dove l'apice denota la derivata. Questo risultato consente di ridurre il calcolo della primitiva di una funzione razionale all'integrazione della somma al secondo membro, detta "parte logaritmica" a causa del fatto che la sua primitiva è una combinazione lineare di logaritmi. Infatti, si ha:
Vi sono diversi metodi per calcolare tale decomposizione, il più semplice dei quali è il metodo di Hermite: si basa sul fatto che formula_61 ha grado inferiore a quello di formula_44, e che il grado di formula_68 è la differenza (positiva) tra i gradi di formula_2 e formula_3: questo consente di scrivere tali polinomi incogniti come polinomi noti con coefficienti ignoti. Riducendo i due termini della formula precedente in un'unica frazione si ottiene un sistema di equazioni lineari che consente di trovare tali coefficienti.
Si vuole decomporre l'espressione:
ovvero scriverla nella forma:
in cui i parametri formula_73, formula_74 e formula_75 sono ignoti. Moltiplicando queste due espressioni per formula_76 ed uguagliandole si ottiene:
Raccogliendo i termini che moltiplicano le potenze di formula_19 si ha:
Il polinomio al secondo membro ha solo il coefficiente di grado zero non nullo, e si possono uguagliare i coefficienti che moltiplicano le potenze di formula_19 di entrambi i membri. In questo modo si ottiene il sistema di equazioni lineari:
che fornisce:


In matematica, un numero è un modo di esprimere una quantità, oppure la posizione in un elenco di elementi, oppure il rapporto tra grandezze dello stesso tipo. Il concetto di numero nasce per la necessità del conteggio, come astrazione del concetto di quantità, realizzato attraverso una corrispondenza biunivoca tra elementi di due insiemi distinti.
Si definisce operazione numerica una procedura che, a partire da uno o più numeri, genera un altro numero. Le operazioni numeriche fondamentali (dette anche "operazioni aritmetiche") sono: l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione. Lo studio delle proprietà di queste operazioni è parte dell'algebra elementare.
Un insieme di numeri è frequentemente espresso attraverso il concetto di campo.
Un numero che esprime la dimensione di un insieme di elementi, così come un numero che identifica la posizione in una successione di oggetti, è detto numero naturale. La necessità di esprimere una grandezza in relazione ad un'altra grandezza ha reso necessaria l'introduzione di altre classi di numeri, come i numeri razionali ed i numeri reali. L'esigenza di rappresentare il numero ottenuto attraverso un'operazione matematica, infine, ha giustificato l'utilizzo di ulteriori classi di numeri come, ad esempio, i numeri algebrici.
Durante la storia della matematica sono stati definiti diversi insiemi numerici. Tra questi i numeri naturali, che sono:
I numeri naturali (il cui insieme è indicato per convenzione con il simbolo formula_1) sono usati per contare e per ordinare. La presenza dello zero fra i numeri naturali dipende dalla convenzione scelta. Lo zero è previsto dagli assiomi di Peano.
L'insieme dei numeri naturali costituisce una successione ordinata. Ogni numero è descritto tramite una o più cifre.
Se a partire dall'insieme dei numeri naturali si introduce il segno (e lo zero se non incluso), distinguendo tra "numeri positivi" e "numeri negativi", si ottengono i numeri interi relativi (o semplicemente "interi"), il cui insieme è indicato per convenzione con il simbolo formula_4. I numeri interi relativi sono:
Se a partire dai numeri interi si costruiscono numeri dati dal rapporto tra di loro, si ottengono i numeri razionali, i quali sono quindi esprimibili tramite una frazione ("ratio" in latino, da cui il nome di numeri "razionali"). Ad esempio:
L'insieme di tutti i numeri razionali è per convenzione indicato col simbolo formula_7.
I numeri algebrici sono numeri ottenibili come radici di equazioni algebriche a coefficienti interi. I numeri razionali sono algebrici. Il viceversa non è in generale vero: ad esempio:
sono numeri algebrici che non possono essere descritti tramite una frazione, non sono razionali.
Un numero non algebrico è detto "trascendente". Ad esempio, formula_11 (pi greco) ed formula_12 sono trascendenti: non è possibile ottenere formula_13 come radice di un'equazione polinomiale a coefficienti interi.
L'insieme dei numeri reali comprende i numeri esprimibili, con o senza la virgola, tramite il sistema numerico decimale. I numeri reali comprendono i numeri elencati precedentemente. In particolare i numeri reali si dividono in razionali e irrazionali, oppure in algebrici e trascendenti.
L'insieme dei numeri reali è simboleggiato per convenzione con formula_14.
L'insieme dei numeri reali non fornisce tutte le soluzioni delle equazioni algebriche. Per esempio, l'equazione:
non ha soluzioni nel campo dei numeri reali, perché il quadrato di un numero reale è sempre positivo o nullo. Per risolvere questo problema, è stata introdotta l'unità immaginaria formula_18 . Essa è così definita:
Tale numero non appartiene all'insieme dei numeri reali, esso appartiene all'insieme dei numeri complessi. In generale, un numero complesso è un'espressione del tipo:
dove formula_21 è l'unità immaginaria e formula_22 sono numeri reali. L'insieme dei numeri complessi è indicato per convenzione con il simbolo formula_16.
Gli insiemi numerici sono ciascuno sottoinsieme dell'altro, secondo quest'ordine (dove il simbolo formula_24 indica l'inclusione stretta):
Per particolari scopi, formula_16, può essere ulteriormente esteso, al prezzo, però, di perdere alcune proprietà e, di conseguenza, subire un declassamento come struttura algebrica.
I numeri complessi sono stati estesi e hanno dato luogo ai quaternioni. L'operazione di moltiplicazione dei quaternioni non gode della proprietà commutativa.
Gli ottonioni estendono i quaternioni. Questa volta si perde la proprietà associativa. Gli unici sistemi associativi con dimensione finita, oltre ai complessi, sono i quaternioni.
Estendendo gli ottonioni si ottengono i sedenioni, che perdono la proprietà dell'algebra alternativa, ma mantengono comunque la proprietà associativa della potenza.
I numeri vanno distinti per il tramite dei nomi, dato che i numeri sono dei concetti e anche se i nomi utilizzati nelle varie lingue variano i concetti rimangono gli stessi. La notazione di numero come serie di cifre è definita dai sistemi di numerazione. I popoli spesso associano a dei numeri utilizzati di frequente dei nomi particolari, oltre a quelli che vengono assegnati dal sistema di numerazione, spesso questi nomi sono utilizzati in contesti specifici, un classico esempio è la dozzina.
Gli ultimi sviluppi della teoria dei numeri hanno condotto ai numeri iperreali ed ai numeri surreali, che estendono i numeri reali dai numeri infinitesimi ai numeri infinitamente grandi attraverso degli inserimenti. Mentre i numeri reali sono infinitamente prolungabili alla destra del punto decimale, si può anche provare a espandere i numeri a sinistra in modo infinito, ciò conduce ai numeri p-adici. Per gestire insiemi infiniti, i numeri naturali sono stati generalizzati nei numeri ordinali e nei numeri cardinali. Il primo insieme viene utilizzato per definire l'ordine di inserimento degli insieme il secondo definisce il formato di inserimento. Nel caso di insiemi finiti si equivalgono.
Le operazioni aritmetiche sui numeri sono addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Queste operazioni sono state generalizzate in una branca dell'algebra chiamata algebra astratta. Essa contiene i concetti di gruppo, anello e campo.
In molte culture la rappresentazione grafica dei numeri è assai simile. I numeri "uno", "due" e "tre" degli antichi romani erano espressi come I, II, III (numeri romani). I cinesi usavano una notazione analoga, con le cifre in orizzontale, o in verticale, ma al contrario dei romani utilizzavano un sistema posizionale, simile al nostro attuale, con le cifre da 0 a 9. I numeri, detti "tsu" o "hêng", cambiavano orientamento a seconda della posizione: | = | era 121, - || - ◦ era 1210. Gli tsu erano verticali, gli hêng orizzontali, i numeri sopra al cinque avevano una bacchetta disposta perpendicolarmente alle altre. Il sistema era impiegato con le "bacchette da calcolo", che i cinesi manovravano a velocità tali da stupire i primi missionari nestoriani.
Tuttavia, non c'era un segno univoco per definire il quattro tra i romani, mentre per i cinesi era ||||. I romani usavano una notazione a sottrazione: esprimevano il quattro con una V preceduta da una I. La V indicava il numero cinque, il simbolo I anteposto indicava che andava sottratto (cinque meno uno = quattro). Nell'assegnare un simbolo particolare al cinque c'era un motivo antropomorfico - la mano ha cinque dita - ma vi era anche una motivazione che coinvolge il cervello umano. Gli psicologi hanno dimostrato che il nostro cervello ha difficoltà a distinguere più di cinque simboli simili vicini: si provi a dire se è più grande ||||||||| o ||||||||||; più semplice se sono scritti come IX e X.
Il sistema adottato in Europa è il sistema di numerazione decimale, detto anche numerazione araba. In realtà proviene dall'India, e molto probabilmente deriva dai numeri corsivi egiziani, i numeri copti. La cifra 1 è molto simile al simbolo romano, 2 e 3 sono varianti dello stesso simbolo che consentono di scrivere i numeri senza alzare la penna e quindi consentono una scrittura rapida, ma conservano l'idea della linea doppia o tripla orizzontale. Col simbolo 4 la corrispondenza si perde.
