
In trigonometria, il teorema dei seni (noto anche come teorema di Eulero) esprime una relazione di proporzionalità diretta fra le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni dei rispettivi angoli opposti.
Si consideri il triangolo generico "ABC" rappresentato nella figura a lato, in cui gli angoli sono indicati da lettere greche minuscole e i lati opposti agli angoli dalle corrispondenti lettere latine minuscole.
Vale quindi
dove "R" è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo "ABC" e 
è l'area del triangolo ricavata dal semiperimetro "p" grazie alla formula di Erone.
La relazione di proporzionalità viene formulata a volte in questo modo:
Il teorema può essere adoperato
Per una superficie non euclidea dalla curvatura "K", il "raggio di curvatura" "ρ" è
Si definiscono quindi le dimensioni ridotte del triangolo:
Nel caso di un "triangolo sferico", "a", "b" e "c" corrispondono alle misure angolari dei segmenti degli archi grandi ["BC"], ["AC"] e ["AB"] (vedere figura).
In un triangolo sferico "ABC" tracciato sulla sfera di centro "O" e di raggio "ρ", il teorema del seno è espresso da
dove "V" è il volume del tetraedro "OABC".
In un triangolo iperbolico, il teorema dei seni si esprime con
Si consideri un tetraedro "A""A""A""A" nello spazio tridimensionale. La figura di lato mostra un tetraedro proiettato su un piano e indica le notazioni di vertici, facce e angoli del tetraedro:
Il seno dell'angolo triedro in corrispondenza del vertice "A" si definisce nel modo seguente:
E in modo analogo per gli altri angoli triedri.
Vale quindi
dove "V" è il volume del tetraedro.


In geometria un poligono è una figura geometrica piana delimitata da una linea spezzata chiusa. I segmenti che compongono la spezzata chiusa si chiamano lati del poligono e i punti in comune a due lati consecutivi si dicono vertici del poligono.
La parola "poligono" deriva dal greco πολύς (polys, "molti") e γωνία (gōnia, "angolo").
Una definizione di poligono è la seguente.
Ricordiamo che una linea spezzata è l'insieme finito e totalmente ordinato di segmenti, detti lati, che sono ordinatamente consecutivi e ordinatamente non adiacenti. Una linea spezzata è "chiusa" quando il secondo estremo dell'ultimo segmento coincide con il primo estremo del primo. Una linea spezzata è "semplice" (o "non intrecciata") se due lati non successivi, secondo l'ordinamento assegnato, non si intersecano (a parte il primo e l'ultimo lato che possono avere in comune rispettivamente il primo e il secondo estremo).
Il punto in comune a due lati consecutivi è detto "vertice".
Il fatto che una linea spezzata chiusa non intrecciata delimiti effettivamente una porzione di piano è, per quanto intuitivo, un risultato non banale della geometria piana: si tratta di una conseguenza del teorema della curva di Jordan. 
Una definizione costruttiva è la seguente: un punto formula_1 del piano appartiene al poligono se (con al più un numero finito di eccezioni) tutte le semirette uscenti da formula_1 intersecano la spezzata in un numero finito e dispari di punti distinti.
Una prima classificazione di un poligono riguarda il suo numero di lati (vedi i nomi di poligono).
Un poligono è:
Un poligono semplice è:
In base alla simmetria, un poligono è:
La somma degli angoli interni di un poligono è pari a tanti angoli piatti quanti sono i suoi lati (formula_4), meno due
Ad esempio, il poligono in figura ha cinque lati, e quindi:
La dimostrazione può essere svolta per induzione: in un triangolo la somma degli angoli è formula_3, e preso un qualunque poligono una sua diagonale lo divide in due altri poligoni con un numero minore di lati, per cui si può far valere l'ipotesi induttiva.
La somma degli angoli esterni di un poligono convesso con formula_4 lati è uguale a 
In quanto la somma di tutti gli angoli esterni ed interni è, evidentemente, uguale a formula_4 volte un angolo giro: sottraendo al totale la somma di quelli interni, avremo la somma di quelli esterni.
Con la formula dell'area di Gauss è possibile calcolare l'area di un poligono con formula_4 vertici aventi coordinate cartesiane formula_12 nel modo seguente: 
con la convenzione che formula_14.
Con questa formula possiamo ricavare una superficie di una qualsiasi figura piana attraverso le coordinate dei suoi vertici. È una formula molto utilizzata nella topografia e nella trigonometria.
Distinzione in base al numero di lati e, quindi, di angoli:
