
Il moto circolare è uno dei moti semplici studiati dalla fisica e dalla cinematica, e consiste in un moto di un punto materiale lungo una circonferenza.
Il moto circolare assume importanza per il fatto che la velocità e l'accelerazione variano in funzione del cambiamento di direzione del moto. Tale cambiamento si può misurare comodamente usando le misure angolari per cui le equazioni del moto, introdotte con il moto rettilineo, vanno riviste e rielaborate con misure angolari.
La retta passante per il centro della circonferenza e perpendicolare alla stessa prende il nome di asse di rotazione. Per semplificare l'analisi di questo tipo di moto, infatti, consideriamo che l'osservatore si ponga sull'asse di rotazione. Ciò è possibile per l'isotropia e l'omogeneità dello spazio.
Il sistema più comodo per analizzare un moto circolare fa uso delle coordinate polari. Infatti nel caso particolare di movimento che avviene su una circonferenza di raggio R, il moto in coordinate polari è determinato dalle coordinate:
mentre in coordinate cartesiane si ha:
che soddisfano la seguente identità (in ogni istante di tempo):
Nel moto circolare si possono definire due diverse tipologie di velocità: la velocità angolare e la velocità tangenziale.
Per descriverle consideriamo nello spazio tridimensionale, il vettore infinitesimo "spostamento angolare"
dove formula_5 è un versore disposto lungo l'asse di rotazione e formula_6 la variazione infinitesima della variabile angolare formula_7.
Sia ora formula_8 il vettore posizione del punto "P" ad ogni istante formula_9, allora lo "spostamento lineare" formula_10 (ovvero la variazione infinitesima di formula_8) del punto "P" sull'arco di circonferenza nell'intervallo di tempo (infinitesimo) formula_12 sarà legata allo spostamento angolare formula_13 dal prodotto vettoriale:
La direzione e il verso risultano corretti per la regola della mano destra, come si vede dalla figura a lato. Il modulo è dato da (si ricordi che l'angolo è infinitesimo):
che corrisponde, per definizione essendo formula_6 espresso in radianti, all'arco di circonferenza sottesa dall'angolo formula_17.
La velocità angolare è definita come la derivata, rispetto al tempo, del vettore spostamento angolare ed è comunemente indicata con la lettera greca formula_18 (omega):
(ricordando che formula_20 è costante) ed è una misura della velocità di variazione dell'angolo formato dal vettore posizione, si misura in radianti al secondo formula_21 ed ha la stessa direzione del vettore spostamento angolare.
La velocità lineare (o tangenziale) si ottiene derivando rispetto al tempo il vettore posizione formula_22:
ed è legata alla velocità angolare dalla seguente relazione (per approfondire si veda anche derivata di un vettore):
Si noti che la costanza della velocità angolare implica la costanza del modulo della velocità.
Se si esegue il prodotto scalare dei due vettori formula_25 e formula_26 si ottiene zero per ogni istante di tempo "t", e questo dimostra che la velocità tangenziale è sempre ortogonale al raggio vettore formula_25.
Oltre a queste, si può introdurre la velocità areolare, definita come la derivata, rispetto al tempo, dell'area spazzata dal raggio vettore formula_28:
formula_29
si misura in metri quadri al secondo formula_30 ed ha la stessa direzione e lo stesso verso della velocità angolare.
Derivando rispetto al tempo l'espressione del vettore velocità tangenziale otteniamo l'accelerazione; che ha una componente parallela alla velocità (responsabile della variazione del modulo di questa) e una normale (o radiale): si tratta rispettivamente dell'accelerazione tangenziale e dell'accelerazione centripeta:
La prima frazione si chiama accelerazione angolare di solito indicata con formula_32, formula_33 oppure formula_34.
Si misura in radianti su secondi quadri formula_35, fornisce la variazione della velocità angolare ed ha stessa direzione di questa.
Sviluppando la relazione precedente otteniamo (tralasciando le dipendenze dal tempo):
dove si vede chiaramente la componente tangenziale che rappresenta la variazione del modulo della velocità lineare e la componente normale o centripeta che rappresenta la variazione della direzione della velocità lineare, diretta sempre verso il centro della circonferenza.
Pertanto possiamo concludere che l'accelerazione ha un componente radiale di modulo:
e una tangenziale di modulo:
Può essere utile a questo punto introdurre la curvatura definita come formula_39, misurata in formula_40. Inserendola nelle formule dell'accelerazione si ha:
Da ciò si deduce che all'aumentare della curvatura, e conseguentemente al diminuire del raggio, prevale la componente normale dell'accelerazione, restringendo la traiettoria. Viceversa, al crescere del raggio, con conseguente riduzione della curvatura, prevale la componente tangenziale che conduce ad un allargamento della traiettoria. 
Per questa ragione il moto rettilineo può essere letto come un moto circolare con accelerazione normale nulla.
Omologamente, derivando la velocità areolare, si ottiene l'accelerazione areolare, misurata in metri quadri su secondi quadri formula_43:
formula_44
Se il moto circolare è uniforme significa che è costante il vettore velocità angolare, cioè si ha velocità lineare costante in modulo.
Integrando la formula_45 tra i due istanti, l'iniziale formula_46, e formula_9 corrispondenti ad un angolo iniziale formula_48 e un altro angolo formula_7:
essendo formula_18 la velocità angolare costante.
Ne consegue (dalle equazioni viste alla sezione precedente) che la velocità tangenziale ha modulo costante pari a:
e dal momento che essa vettorialmente varia solo in direzione, segue che formula_53, dunque l'accelerazione ha solo componente radiale, detta accelerazione centripeta:
Il moto circolare uniformemente accelerato è il moto più generale ad accelerazione costante in modulo e in inclinazione rispetto alla velocità.
In particolare ciò significa che l'accelerazione angolare è costante. Integrando l'accelerazione angolare formula_56 tra due istanti di tempo formula_46 e formula_9 corrispondenti alle due velocità angolari iniziale e finale formula_59 e formula_18:
formula_61
Integrando la relazione formula_62 tra due istanti di tempo iniziale e finale formula_46 e formula_9 e sostituendo a formula_65 il valore trovato sopra, possiamo ricavare lo spostamento angolare formula_66:
formula_67
Risulta costante anche l'accelerazione areolare:
formula_68
Per una rappresentazione vettoriale delle grandezze cinematiche relative al moto circolare, è opportuno introdurre i versori tangente e normale alla traiettoria, che sono definiti nel modo seguente (il versore normale punta verso l'interno):
Tenendo conto delle regole di derivazione, le derivate di questi versori rispetto al tempo sono date da
Possiamo quindi esprimere i vettori posizione, velocità e accelerazione usando i versori formula_73 e formula_74:
Nel moto circolare uniforme l'accelerazione tangenziale è nulla.
Infine si possono scrivere le componenti del vettore velocità in coordinate cartesiane:
Introdotto il "vettore velocità angolare", di modulo formula_87, con direzione perpendicolare al piano del moto e con verso tale da vedere ruotare il corpo in senso antiorario,
il vettore velocità può semplicemente essere scritto come:


In matematica, una curva è un oggetto "unidimensionale" e "continuo", come ad esempio la circonferenza e la retta. Una curva può giacere su un piano, nello spazio euclideo, o in uno spazio topologico più generale.
Una "curva" può essere pensata intuitivamente come la traiettoria descritta da un oggetto puntiforme che si muove con continuità in qualche spazio.Per definire la curva si fa ricorso alle nozioni di funzione continua e funzione differenziabile.
In topologia, una curva è una funzione vettoriale continua
dove formula_2 è un intervallo della retta reale e formula_3 è un qualsiasi spazio topologico.
Ad esempio, formula_3 può essere il piano cartesiano formula_5, lo spazio euclideo formula_6 o un generico spazio formula_7. L'intervallo formula_2 può essere ad esempio un intervallo chiuso formula_9, un intervallo aperto formula_10, una semiretta formula_11, ecc.
L'immagine di una curva formula_12 viene anche chiamata "sostegno", o "supporto", della curva. Spesso, con un abuso di linguaggio, per "curva" si intende il sostegno e non la funzione. In topologia, quando l'intervallo di partenza formula_2 è quello unitario formula_14 si parla di "cammino" o "arco".
Ad esempio, una circonferenza è il sostegno della curva
Una curva formula_16 che coincide sui suoi estremi, cioè tale che formula_17, è una "curva chiusa" o un "laccio".
Una curva formula_16 si dice "semplice" se è tale che presi due punti distinti formula_19, di cui almeno uno appartenente all'intervallo formula_10, risulta formula_21. In altre parole la funzione formula_22 è quasi iniettiva e la curva non ha autointersezioni con un'unica eccezione ammessa: formula_23
Una curva piana chiusa e semplice è anche detta curva di Jordan, quindi una circonferenza è una curva di Jordan.
Una curva piana è una curva a valori nel piano cartesiano formula_5. 
Se formula_26 è un omeomorfismo crescente dell'intervallo, ad esempio una funzione derivabile e biettiva con derivata positiva, allora formula_27 ottenuta componendo formula_28 e formula_22 è un'altra curva avente lo stesso sostegno di formula_22. Si dice che formula_31 è un'altra "parametrizzazione" della curva formula_22.
Una curva topologica, per quanto sembri rispondere all'esigenza di rappresentare oggetti "filiformi" e "senza spessore" che localmente sembrano una retta incurvata, può essere molto bizzarra se non si fissano delle condizioni aggiuntive. Ad esempio nel 1890 il matematico Giuseppe Peano scoprì una curva, nota ora come curva di Peano, avente come sostegno un quadrato. La curva di Koch è invece un frattale con dimensione di Hausdorff compresa tra uno e due, un oggetto dimensionalmente intermedio tra la retta e il piano.
Una condizione aggiuntiva che garantisce l'aspetto "filiforme" del sostegno è la differenziabilità: se formula_3 è il piano o un altro spazio euclideo, è possibile chiedere che formula_22 sia differenziabile in ogni punto e in questo caso si parla di "curva differenziabile" o "regolare". In una curva differenziabile, per ogni formula_35 è definita una tangente alla curva in formula_36: la tangente è il vettore delle derivate di formula_22.
Se si immagina di percorrere la curva nel tempo, la lunghezza del vettore tangente è la "velocità" della curva nel punto. La velocità può cambiare tramite riparametrizzazione della curva: data una curva, c'è sempre un'unica parametrizzazione tale che la velocità sia costantemente uno e questa parametro è la lunghezza d'arco.
In molti contesti è utile parlare di curve "lisce" che . Per questo scopo si definisce una "curva regolare a tratti" come una curva il cui dominio formula_2 è unione di intervalli successivi, su ciascuno dei quali la curva è regolare. Formalmente, si chiede che esista una partizione di un intervallo formula_39 in alcuni intervalli formula_40 tali che la restrizione della curva su ciascun formula_41 sia regolare.
Due modi utilizzati per rappresentare una curva in tre dimensioni sono la forma cartesiana e la forma parametrica.
È possibile rappresentare una curva tridimensionale in forma implicita identificando il suo supporto con il luogo di zeri di un campo vettoriale formula_42, ovvero i punti di coordinate formula_43 che verificano il sistema:
dove formula_22 e formula_31 sono funzioni di classe almeno formula_47 a valori reali. Questa rappresentazione può essere pensata come curva intersezione di due superfici in forma implicita.
Condizione sufficiente per la regolarità locale di una curva così rappresentata nell'intorno di un suo punto formula_48 è che la jacobiana:
abbia rango massimo
Una curva in forma parametrica è una funzione vettoriale di una sola variabile formula_50 del tipo:
Si può scrivere anche:
La variabile formula_35 si chiama "parametro". Una curva è una funzione di classe formula_54 in un intervallo se le funzioni formula_55, formula_56 e formula_57 hanno derivate continue in questo intervallo. Una curva formula_54 si dice "regolare" in un punto formula_59 se:
e regolare in formula_2 se ciò vale in ogni punto di formula_62. Un punto in cui si abbia formula_63 si dice "punto singolare" per la curva.
Se formula_64 è uno spazio metrico (ad esempio, il piano o uno spazio euclideo) si può usare la metrica stessa per definire la lunghezza di una curva. Sia data una curva formula_65 e una partizione dell'intervallo formula_9 cioè un insieme finito di punti formula_67 tale che:
Allora si può definire la poligonale, cioè una curva che è l'unione dei segmenti aventi vertici l'immagine degli elementi della partizione tramite formula_69. In pratica la poligonale è una curva spezzata i cui vertici appartengono alla curva originale. Più i vertici della poligonale sono numerosi e più la sua lunghezza approssimerà quella della curva.
Si può definire la "lunghezza" della curva formula_22 come estremo superiore della lunghezza della poligonale al variare della partizione formula_71:
Se questo valore non è infinito, la curva si dice "rettificabile". Le curve di Peano e di Koch non sono rettificabili.
La lunghezza di una curva non dipende dalla sua parametrizzazione, cioè non varia se si considerano "parametrizzazioni equivalenti".
Una curva derivabile è rettificabile: per ogni punto formula_73 dell'intervallo è definita una velocità, e si può dimostrare che la lunghezza definita come sopra è uguale all'integrale di questa velocità su formula_74
usando la nozione di integrale di linea si può scrivere anche:
