
La divisione è l'operazione aritmetica inversa della moltiplicazione.
Più specificamente, se 
dove "b" è diverso da zero, allora 
(da leggersi ""c" diviso "b"").
Ad esempio, 6 : 3 = 2, dato che 2 × 3 = 6.
La divisione per zero non viene definita.
Nell'espressione sopra, "a" rappresenta il "quoziente" ("quoto" nel caso di divisione senza resto), "b" il "divisore" (cioè la quantità che divide) e "c" il "dividendo" (cioè la quantità da dividere).
La divisione gode della "proprietà invariantiva" ovvero il quoziente non cambia se dividendo e divisore sono moltiplicati per una stessa quantità diversa da zero (il resto invece risulta moltiplicato per quella quantità).
L'espressione "c" : "b" viene anche scritta ""c"/"b"" (letta ""c" su "b"", o ""c" fratto "'b"", o ""c" "b"-esimi" ; se "b" è un intero positivo diverso da 2 questo si legge come ordinale, plurale se "c" è diverso da 1, es. 2/3 si legge "due terzi" ma 3/2 si legge "tre mezzi"), specialmente nelle matematiche superiori, incluse le applicazioni alla scienza e all'ingegneria, e nei linguaggi di programmazione.
Tale forma viene anche spesso usata come forma finale di una frazione.
La divisione fra due numeri interi "a" e "b", con "b"≠0, consiste invece nel trovare una coppia di interi "q" ed "r", detti "quoziente" e "resto", tali che "a" = "b" × "q" + "r" e 0 ≤ "r" < | "b" |. (Si dimostra che tale coppia di interi esiste ed è unica). Quando "r" = 0, il risultato della divisione "q" viene talvolta detto "quoto".
In inglese e sulle calcolatrici elettroniche, il simbolo della divisione è l'obelo che ha una barretta orizzontale tra i due punti: "c" ÷ "b". In italiano questo uso non è mai stato attestato: l'obelo è solo usato a volte in ingegneria e chimica per indicare un intervallo. Nell'uso inglese, invece, i due punti si utilizzano solo per il concetto correlato di rapporto.
A/B = C indica che il denominatore B è contenuto nel numeratore A una quantità di volte pari a C.
infatti come si evince dall'esempio 0,5 è contenuto 2 volte dentro il numeratore 1.
Un secondo modo di leggere la divisione: A/B = C indica che ad una unità del denominatore (B) corrispondano C unità del numeratore A.
cioè: a ogni unità del denominatore spetteranno 2 unità del numeratore.
Questo secondo metodo di lettura della divisione è un approccio particolarmente utile per comprendere il calcolo delle percentuali e il concetto di derivata. Infatti:
Cioè a ogni euro del prezzo della maglietta che si trova al denominatore corrispondono venti centesimi dei 7 euro sconto. Perciò moltiplicando 0,2 per 100 si ha la percentuale dello sconto pari al 20%.
Utilizzando la tavola pitagorica, si possono dividere due numeri interi con carta e penna.
Se il dividendo ha una parte frazionaria espressa come frazione decimale, si può continuare l'algoritmo dopo le unità; se è il divisore ad avere una parte frazionaria, basta spostare la virgola a destra dello stesso numero di posizioni - aggiungendo se necessario degli zeri a destra del dividendo - fino a che il divisore diventa un numero intero. Pertanto, per fare la divisione 245,7 : 3,78 si eseguirà quella equivalente 24570 : 378.
Un'altra possibilità che si ha per semplificare i conti è vedere se dividendo e divisore abbiano un fattore comune, ed eliminarlo; la divisione di cui sopra è dunque equivalente a 12285 : 189 (eliminando il fattore 2) e ancora a 1365 : 21 (eliminando un fattore 9), 455 : 7 (con un fattore 3), da cui si ottiene subito il risultato finale 65.
Si può calcolare la divisione con un abaco, scrivendo ripetutamente il dividendo e sottraendo man mano il divisore, spostato a sinistra quanto più possibile. Ogni volta che occorre riportare a destra il divisore, si passerà a una nuova cifra anche per il quoziente. Il procedimento risulta pertanto abbastanza simile a quello della divisione su carta, anche se in quel caso c'è la scorciatoia di utilizzare delle moltiplicazioni per ridurre il numero di sottrazioni necessarie.
Nella aritmetica modulare, alcuni numeri hanno un inverso moltiplicativo rispetto al modulo: ad esempio, in base 7, 3 ha come inverso 5. In questo caso, la divisione per 3 può essere calcolata moltiplicando per 5; questo approccio è utile in computer che non hanno una istruzione di divisione veloce.
La divisione tra interi - anche non considerando la divisione per zero, che non è definita, non è un'operazione chiusa; vale a dire, esistono coppie di numeri "a" e "b" tali che non esiste alcun intero "c" per cui "a" : "b" = "c". In questi casi si possono dare diverse possibili risposte:
Quando si fa una divisione tra interi in un linguaggio di programmazione occorre verificare attentamente la definizione. Nel linguaggio C, ad esempio, la divisione tra interi è definita come nel caso 4 qui sopra, e il risultato sarà pertanto un intero troncato; in altri linguaggi come MATLAB, invece, si inizia a convertire gli interi in numeri reali (o più correttamente numeri di macchina), e si ottiene così un numero reale come risposta, come nel caso 2 sopra.
A differenza del caso precedente, i numeri razionali sono chiusi rispetto alla divisione, se il divisore non è 0. Si può definire il risultato della divisione tra due numeri razionali "p"/"q" e "r"/"s" come il valore
Tutti e quattro i valori sono interi, e solo "p" può valere 0. Questa definizione assicura che la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione: si ricava infatti subito che
I casi particolari riguardano l'operazione di divisione quando 0 è il dividendo o il divisore. Il risultato di queste operazioni può essere indeterminato oppure impossibile. Detto "a" un qualsiasi numero reale diverso da zero, vale che:
Si verifica facilmente grazie alla definizione: l'unico numero che moltiplicato per un numero non nullo dà zero è lo zero stesso in quanto vale la legge di annullamento del prodotto.
Anche in questi due ultimi casi, il metodo per risolvere l"'impasse" è considerare la definizione dell'operazione di divisione, cioè come l'inverso della moltiplicazione. Risolvere i casi 2 e 3 equivale a cercare la soluzione dell'equazione 0 × "x" = "a"; questa ha:
In entrambe i casi non è possibile determinare il risultato che, come sappiamo, deve essere unico. Per tale motivo la divisione per zero non viene definita ed è priva di significato.
Il risultato della divisione di due numeri reali è un altro numero reale, se il divisore non è 0. Dati "a" e "b", si definisce "a"/"b" = "c" se e solo se "a" = "cb" e "b" ≠ 0.
Anche per i numeri complessi, così come per i numeri reali, la divisione è un'operazione chiusa eccetto il caso in cui il divisore sia zero, nel qual caso l'operazione non è definita.
Se si esprimono i numeri complessi con le comuni coordinate, il risultato della divisione di formula_4 per formula_5, dove "p", "q", "r" e "s" sono numeri reali e "r" e "s" non possono essere entrambi nulli, è dato da
Se i numeri complessi sono espressi mediante le coordinate polari, l'espressione è più semplice da esprimere e ricordare: il risultato della divisione tra formula_7 e formula_8, con "p", "q", "r" e "s" reali e finiti e "r" diverso da zero, è dato da
La divisione tra due polinomi (a coefficienti interi) può anch'essa venire definita come l'operazione inversa della moltiplicazione: come nel caso dei numeri interi, generalmente si otterrà un polinomio quoziente e un resto. Per maggiori informazioni su come viene condotta l'operazione, si veda la regola di Ruffini.
Nelle algebre astratte, come quella delle matrici e nei quaternioni, frazioni come formula_10 sono tipicamente definite come formula_11 oppure formula_12, quando "b" è un elemento invertibile (vale a dire, esiste un altro elemento "c" tale che "bc" = "cb" = 1, dove 1 è l'identità moltiplicativa; l'elemento "c" viene generalmente scritto come "b"). In un dominio d'integrità, in cui possono non esistere gli inversi, più che di "divisione" si può parlare di "cancellazione", nelle equazioni della forma "ab" = "ac" o "ba" = "ca", dove "a" viene cancellato da entrambi i membri.
La funzione quoziente di due funzioni "f" e "g" è la funzione "h" il cui valore in un punto "x" è dato da formula_13. È definita nell'intersezione dei due domini di "f" e "g", ad eccezione dei valori "x" che annullano la "g".
La derivata del quoziente di due funzioni è data dalla regola del quoziente:
Non esiste una regola generale per integrare il quoziente di due funzioni.


L'addizione (denotata normalmente dal simbolo del più, "+") è una delle quattro operazioni fondamentali dell'aritmetica, insieme alla sottrazione, alla moltiplicazione e alla divisione. L'addizione di due numeri naturali può essere definita in termini insiemistici. Per sommare due numeri naturali "a" e "b", si considerano due insiemi "A" e "B" che abbiano, rispettivamente, "a" e "b" come numero di elementi, e che siano disgiunti (cioè non abbiano elementi in comune). Allora il risultato dell'addizione di "a" e "b" è il numero di elementi dell'insieme unione di "A" e "B" (l'insieme "A" ∪ "B").
Ad esempio, se in un sacchetto abbiamo tre mele e in un altro sacchetto abbiamo due mele, mettendo insieme il contenuto dei due sacchetti avremo cinque mele. Questa osservazione è equivalente all'espressione matematica "3 + 2 = 5", ovvero "3 più 2 è uguale a 5".
L'addizione può essere definita anche su quantità più astratte, quali i numeri interi relativi, i numeri razionali, i numeri reali e i numeri complessi, e su altri oggetti matematici quali i vettori e le matrici.
L'addizione gode di alcune proprietà basilari. È commutativa, ovvero cambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia. È associativa, ovvero quando si sommano più di due numeri, il risultato è lo stesso indipendentemente dall'ordine in cui vengono effettuate le addizioni. Lo zero è l'elemento neutro dell'addizione, ovvero sommare zero ad un numero lascia quel numero invariato.
I numeri o termini coinvolti nell'addizione sono collettivamente detti addendi, e il risultato dell'addizione è la loro somma.
Se gli addendi sono scritti individualmente, l'addizione è rappresentata dal carattere "+", che si interpone tra un termine e l'altro. Tra la sequenza degli addendi e la loro somma si interpone il simbolo dell'uguaglianza, "=". Sono addizioni valide:
e la prima di queste si legge, indifferentemente,
Negli scritti precedenti al XVI secolo è possibile trovare un altro simbolo indicante l'addizione. Si tratta di una "P" in corsivo che rimpiazzava la parola "più".
Se i termini non sono scritti individualmente, ma la sequenza degli addendi si ricava facilmente dalla scrittura, la somma si può indicare con un'ellissi ("...") per indicare i termini mancanti: la somma dei numeri naturali da 1 a 100 si può dunque scrivere come 1 + 2 + … + 99 + 100 = 5050.
In alternativa, la somma può essere rappresentata con il simbolo di sommatoria, rappresentato dalla lettera greca Sigma maiuscola. In particolare, data una sequenza di numeri denotati con formula_4, la somma degli "n-m+1" compresi fra quello di posizione "m" e quello di posizione "n" può essere espressa con la scrittura
Il simbolo "+" è un'abbreviazione della parola latina "et", che significa "e". Il suo uso in opere a stampa è attestato sin dal 1486.
Una delle interpretazioni dell'addizione è quella della combinazione di insiemi: 
Questa interpretazione, facile da visualizzare, è anche alla base della definizione formale di addizione tra numeri cardinali.
Una seconda interpretazione dell'addizione è data dall'estensione di una lunghezza (intera) di partenza in termini di una lunghezza (intera) data: 
Questa interpretazione è alla base della definizione formale di addizione tra numeri ordinali.
L'addizione è un'operazione "commutativa", ovvero cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia: 
Ad esempio: formula_7
L'addizione è un'operazione "associativa", ovvero quando si sommano tre o più addendi, l'ordine delle operazioni non influisce sul risultato:
Ad esempio: formula_9
Aggiungere zero ad un numero qualunque lascia quel numero invariato; in altre parole, lo zero è l'elemento neutro dell'addizione. In formule,
Per eseguire velocemente un'addizione fra numeri naturali, si allineano in colonna gli addendi, partendo dalla cifra delle unità a destra. Dopodiché si sommano le cifre di ciascuna colonna, da destra verso sinistra, e nell'eventualità che il risultato della somma su di una colonna sia maggiore o pari a dieci, si "riportano" le decine in eccesso come ulteriore addendo sulla colonna immediatamente a sinistra a quella appena calcolata.
Ad esempio, nell'addizione 27 + 59,
7 + 9 = 16, e la cifra 1 è il riporto.
Il metodo discusso sopra può essere applicato per sommare due qualunque numeri naturali ad "n" cifre "A"=a...aa e "B"=b...bb (nel caso il numero di cifre di "A" e "B" sia diverso, è sufficiente aggiungere il numero appropriato di zeri in testa al numero con meno cifre). In pseudocodice, l'algoritmo è il seguente:
Seguendo un metodo simile a quello descritto sopra si possono sommare anche due frazioni decimali. Si allineano i due numeri decimali in modo tale che la virgola sia nella stessa posizione. Se necessario, si aggiungono degli zeri in coda al numero più corto perché abbia lo stesso numero di cifre di quello più lungo. Infine, si segue il procedimento visto sopra, con l'unica accortezza di aggiungere la virgola al risultato nella stessa posizione in cui compare nei due addendi. Ad esempio, 45,1 + 4,34 si svolge nel seguente modo:
Questa estensione del metodo fu divulgata da Simone Stevino.
Nella teoria dell'algebra astratta si può chiamare "addizione" una qualunque operazione associativa e commutativa definita su un insieme, che sia dotata di un elemento neutro. Una struttura algebrica che includa una simile operazione è detta "monoide commutativo".
Già gli antichi Egizi avevano un semplice metodo per sommare numeri naturali. Nella notazione geroglifica, i numeri venivano indicati ripetendo una quantità appropriata di simboli rappresentanti le unità, le decine, le centinaia, eccetera. Per ottenere la somma di due numeri, quindi, era sufficiente combinare le unità, poi le decine, poi le centinaia, e così via, con l'accortezza di rimpiazzare eventuali gruppi di dieci simboli identici con un simbolo del tipo successivo. 
Ad esempio, per sommare 783 e 275, si combina
Il metodo di addizione posizionale moderno era sicuramente già noto in India intorno all'anno 600 d.C., ma è assai plausibile che lo stesso genere di algoritmo fosse già utilizzato dai Babilonesi in Mesopotamia nel 1700 a.C., anche se in un sistema sessagesimale anziché decimale.
In Europa, l'algoritmo di addizione moderno fu introdotto nel XII secolo attraverso la traduzione degli scritti del matematico persiano al-Khwarizmi.
