
Un'equazione (dal latino "aequatio") è una uguaglianza matematica tra due espressioni contenenti una o più variabili, dette "incognite". L'uso del termine risale a Leonardo Fibonacci.
Se un'equazione ha formula_1 incognite, allora ogni formula_1-upla (ordinata) di elementi che sostituiti alle corrispondenti incognite rendono vera l'uguaglianza è una "soluzione" dell'equazione. Risolvere un'equazione significa individuare l'insieme di tutte le sue soluzioni.
Il "dominio" (o "insieme di definizione") delle variabili incognite è l'insieme degli elementi per cui le espressioni ad ambo i membri dell'equazione sono definite, ovvero quell'insieme di numeri per cui l'equazione esiste. L'insieme delle soluzioni è condizionato dal dominio: per esempio l'equazione
non ammette soluzioni se il dominio è l'insieme dei numeri razionali, mentre ammette due soluzioni nei numeri reali, che possono essere scritte come formula_4. Analogamente, l'equazione
non possiede soluzioni reali ma è risolvibile se il dominio è il campo dei numeri complessi.
Due equazioni si dicono "equivalenti" se i rispettivi insiemi delle soluzioni coincidono. Vi sono due principi che consentono di manipolare le equazioni per trovare l'insieme delle soluzioni; essi sono una conseguenza diretta delle proprietà delle uguaglianze:
Tipicamente in un'equazione compaiono, oltre alle incognite, dei coefficienti noti che moltiplicano le incognite stesse e dei termini noti che sono ad esse applicati tramite somma algebrica: questi elementi, se non sono esplicitati nel loro valore numerico, sono indicati in genere con le lettere formula_13, formula_14, formula_15... mentre alle variabili incognite sono convenzionalmente attribuite le ultime lettere dell'alfabeto (formula_16, formula_17, formula_18...).
Le soluzioni di un'equazione vengono generalmente indicate esplicitando le incognite delle espressioni che contengano le costanti ed eventuali parametri arbitrari. Ad esempio, la soluzione dell'equazione
dove formula_13 è un parametro non nullo, e il dominio è l'insieme dei numeri reali, si scrive come
Un'equazione si dice:
Dal teorema fondamentale dell'algebra, segue immediatamente che un'equazione polinomiale (cioè formata da un polinomio uguagliato a zero, in una variabile) di grado formula_1 ammette sempre formula_1 soluzioni nel campo complesso, di cui alcune possono essere multiple. In altre parole, un'equazione di grado formula_1 ammette almeno formula_25 soluzione e al massimo formula_1 soluzioni complesse differenti.
Per il teorema di Abel-Ruffini, non esiste una formula generale per esprimere le radici delle equazioni polinomiali di grado formula_27 o superiore tramite una formula per radicali. Viceversa le equazioni di primo grado, secondo grado, terzo grado e quarto grado ammettono una formula risolutiva generica. Casi particolari di equazioni di grado superiore al quarto possono comunque essere risolti tramite radicali.
Il metodo delle tangenti di Newton, sotto determinate ipotesi, fornisce un algoritmo per la risoluzione numerica delle equazioni. Un altro algoritmo con ipotesi più generali è il metodo di bisezione. Le soluzioni trovate mediante metodi numerici vengono chiamate "approssimate" in contrapposizione alle soluzioni date da formule chiuse che vengono chiamate "esatte". La nomenclatura è in parte fuorviante perché i metodi approssimati possono, in alcuni casi, determinare in maniera più precisa e più veloce le soluzioni numeriche di una equazione rispetto alle formule chiuse.
Una prima classificazione delle equazioni può avvenire in questo modo:
Le equazioni algebriche possono essere divise in vari gruppi in base alle loro caratteristiche; è necessario ricordare che un'equazione deve appartenere ad almeno e solo una delle categorie per ogni gruppo.
In base al grado del polinomio:
Possono inoltre essere divise in base alla presenza di incognite al radicando di radici:
Si definisce "equazione omogenea", un'equazione algebrica in più variabili i cui termini hanno tutti lo stesso grado. Un'equazione omogenea ammette sempre la soluzione banale con tutte le variabili uguali a formula_28 e, su un campo algebricamente chiuso, ammette sempre infinite soluzioni, infatti da ogni soluzione se ne ottengono infinite altre alterandole per un fattore di proporzionalità. Ad esempio:
ha per soluzioni, sul campo dei numeri complessi la coppia formula_30 e formula_31 e la coppia formula_32 e formula_33 con formula_34 e formula_35 numeri complessi qualsiasi.
Non è vero su un campo non algebricamente chiuso, infatti l'equazione omogenea
ammette come unica soluzione, sul campo dei numeri reali, la coppia formula_37 e formula_38.
Le equazioni trascendenti coinvolgono almeno un'incognita come argomento di una funzione non polinomiale. Le più comuni categorie di equazioni trascendenti sono:
Le equazioni con valori assoluti contemplano oltre le incognite la presenza del valore assoluto di espressioni algebriche o trascendenti. Possiamo aver quindi:
Le equazioni funzionali hanno almeno un'incognita che è una funzione. Le più comuni categorie di equazioni funzionali sono:
In base alla presenza di altre espressioni letterali tutte le equazioni possono essere divise in:


In matematica, un'equazione di secondo grado o quadratica ad un'incognita formula_1 è un'equazione algebrica in cui il grado massimo con cui compare l'incognita è 2, ed è sempre riconducibile alla forma:
Per il teorema fondamentale dell'algebra, le soluzioni (dette anche radici o zeri dell'equazione) delle equazioni di secondo grado nel campo complesso sono sempre due, se contate con la loro molteplicità. Nel campo reale invece le equazioni quadratiche possono ammettere due soluzioni, una soluzione doppia, oppure nessuna soluzione.
Sono poi particolarmente semplici da risolvere le cosiddette equazioni "incomplete", dove alcuni coefficienti sono uguali a zero.
Il grafico della funzione
nel piano cartesiano è una parabola, la cui concavità dipende dal segno di formula_4. Più precisamente: se formula_5 la parabola ha la concavità rivolta verso l'alto, se formula_6 la parabola ha la concavità rivolta verso il basso.
Gli antichi babilonesi lasciarono nelle tavolette di argilla le prime testimonianze della scoperta delle equazioni quadratiche e trovarono le prime tecniche per risolverle. In Mesopotamia spesso le equazioni erano introdotte da problemi di tipo geometrico: ad esempio si chiede di trovare il lato di un quadrato sapendo che l'area meno un lato è uguale a 870; problema che corrisponde alla nostra equazione formula_7 (ridotta in forma normale come formula_8). I Babilonesi non accettavano però le soluzioni negative e nulle delle equazioni e, non accettando il fatto che i coefficienti potessero assumere valori sia positivi che negativi, non veniva riconosciuta nemmeno una forma normale unica ma erano distinti tre casi con coefficienti positivi:
Espresse nella forma moderna la prima ha il termine noto negativo, la seconda il coefficiente di secondo grado negativo, e la terza entrambi i coefficienti minori di zero. L'equazione con tutti i termini positivi non era nemmeno presa in considerazione in quanto ammette solo soluzioni negative.
Nella forma normale babilonese il coefficiente di secondo grado è unitario ma non arrivavano a tale forma, come successivamente gli arabi dividendo tutti i membri per formula_4. Data, per esempio, l'equazione formula_13, entrambi i membri venivano infatti moltiplicati per formula_4: formula_15 e poi veniva effettuata la sostituzione formula_16 in modo da ottenere un'equazione in forma normale nella variabile formula_17; formula_18. Questo procedimento testimonia l'elevato grado di flessibilità raggiunto dall'algebra babilonese.
La soluzione era data tramite formule che ricordano molto quelle odierne. Per esempio la formula risolutiva per il primo caso era, espressa in notazione moderna, la seguente:
che può essere ridotta tramite semplici passaggi algebrici alla formula risolutiva moderna per questo caso
Il matematico indiano Baudhāyana, che scrisse un Shulba Sutras nell'antica India all'incirca nell'VIII secolo a.C., usò per primo equazioni quadratiche della forma formula_21 e formula_22, indicando i metodi per risolverle.
I matematici babilonesi (intorno al 400 a.C.) e cinesi utilizzarono il metodo del completamento del quadrato per risolvere varie equazioni quadratiche con radici positive, ma non ottennero una formula generale.
Euclide descrisse un metodo geometrico più astratto intorno al 300 a.C.; Diofanto di Alessandria si occupò della soluzione delle equazioni di secondo grado, tuttavia il suo lavoro non ebbe conseguenze significative poiché la matematica greca era in una fase di declino. Il "manoscritto di Bakshali", scritto in India fra il 200 a.C. e il 400 d.C., introdusse la formula risolutiva delle equazioni quadratiche.
Il primo matematico noto ad aver usato la formula algebrica generale, consentendo sia le soluzioni positive che quelle negative, fu Brahmagupta (India, VII secolo).
Al-Khwarizmi (BagdĀd, IX secolo d.C) sviluppò indipendentemente un insieme di formule che funzionava per le soluzioni positive. Nell"'al-Jabr", al-Khwarizmi distingue 5 tipi di equazione: i tre già noti ai babilonesi e in più l'equazione pura formula_23 e quella spuria formula_24. Anche qui si pone il coefficiente di secondo grado uguale a 1 ma ci si arriva tramite divisione. Le soluzioni negative non sono, nemmeno stavolta, accettate.
Il metodo usato da al-Khwarizmi è quello del "completamento del quadrato". L'equazione formula_25, per esempio, sarebbe stata risolta aggiungendo 16 a entrambi i termini in modo da "completare" il quadrato al primo membro: formula_26 ossia formula_27. Da questa si otteneva formula_28 e si trovava così a soluzione positiva formula_29.
Il matematico arabo proponeva anche una trasposizione grafica. Supponiamo di dover risolvere la stessa equazione formula_25. Il metodo usato dal persiano in questo caso avrebbe potuto essere "simile" al seguente: si tracci un quadrato che supponiamo avere lato formula_1 (quello blu in figura). Vi si affianchino due rettangoli di dimensioni formula_1 e 4 ossia formula_33 (quelli verdi in figura). L'area della figura verde e blu è formula_34. Poniamo ora questa area = 33. Aggiungiamo ora il quadratino rosso di lato 4, in modo da "completare" il quadrato grande. L'area totale sarà quindi formula_35 e il lato del quadrato grande è dunque 7. Poiché il lato grande è dato dal lato del quadrato blu (cioè formula_1) sommato al lato del rettangolo verde (cioè 4); formula_37.
Al-Khwaritzmi pone per la prima volta l'accento sul segno del discriminante, che deve essere positivo perché l'equazione sia risolubile.
La priorità della scoperta della formula generale per risolvere un'equazione quadratica è stata attribuita a Sridhara (870-930 circa), sebbene ai suoi tempi vi sia stata una disputa. La regola (come riportata da Bhaskara II) è:
Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (conosciuto anche con il nome latino Savasorda) fu il primo a introdurre in Europa la soluzione completa con il suo "Liber embadorum".
Nell'epoca moderna, in Europa, si iniziò ad accettare le soluzioni negative e, successivamente, quelle complesse e a porre l'equazione in un'unica forma normale.
Cartesio introdusse nel XVII secolo la regola dei segni, secondo la quale un'equazione di secondo grado ha tante soluzioni positive quanti sono i cambi di segno fra due coefficienti consecutivi. L'equazione formula_38, per esempio, ammette una soluzione negativa, invece formula_39 ne ha due.
Viète introdusse per primo delle lettere per esprimere i coefficienti delle equazioni, ipotizzando per primo che potessero assumere anche valori negativi. Scoprì poi le formule che portano il suo nome e che mettono in relazione i coefficienti dell'equazione con le radici. In particolare per l'equazione di secondo grado si afferma che se il coefficiente di secondo grado formula_4 è 1, allora il prodotto delle radici dà il termine noto e l'opposto della loro somma il coefficiente di primo grado.
Si dice "spuria" un'equazione quadratica che manca del termine noto, ossia avente la forma:
Un'equazione di questo tipo si risolve facilmente tramite scomposizione:
Per la legge di annullamento del prodotto quest'equazione è equivalente alle due:
E in definitiva le sue soluzioni sono
Si dice "equazione quadratica pura" un'equazione polinomiale di secondo grado mancante del termine di primo grado:
Portando formula_46 al secondo membro e dividendo per formula_4 si ottiene:
Se formula_49, non ammette soluzioni nel campo reale, in quanto non esistono numeri reali che siano radici quadrate di un numero negativo (per esempio formula_50) bensì esistono due soluzioni nel campo dei numeri complessi.
Se formula_51, l'equazione è risolta da:
Si dice "equazione monomia" un'equazione quadratica nella quale formula_53 e formula_54, dunque nella forma formula_55. In questo caso l'equazione ammette come unica soluzione doppia, o di molteplicità due, formula_56
Un'equazione polinomiale di secondo grado viene detta "equazione quadratica completa" quando tutti i suoi coefficienti sono diversi da 0. Essa viene risolta con il cosiddetto metodo del completamento del quadrato, così chiamato perché si modifica l'equazione fino a ottenere al suo primo membro il quadrato di un binomio nella forma formula_57.
Anzitutto portiamo formula_46 al secondo membro:
Moltiplichiamo per formula_60 entrambi i membri, ottenendo:
Notiamo che
e che
dunque possiamo considerare il termine formula_64 come la formula_65 della formula del quadrato di binomio e formula_66 come il doppio prodotto formula_67 dove la formula_68 è uguale a formula_69, dunque, per fare in modo che al primo membro si abbia un quadrato di binomio, sommiamo ad ambo i membri dell'equazione formula_70:
ovvero:
Il secondo membro di quest'equazione è detto "discriminante" e in genere viene indicato con la lettera greca formula_73 (Delta). Se formula_74 è negativo non ci sono soluzioni reali, dal momento che il primo membro, essendo un quadrato, è sempre maggiore o uguale a formula_75. In caso contrario, possiamo scrivere:
che con semplici passaggi possiamo riscrivere come:
Quest'ultima è nota come "formula risolutiva delle equazioni di secondo grado".
Alla luce della dimostrazione precedente è chiaro che, nella risoluzione di un'equazione quadratica, è anzitutto necessario calcolare il discriminante formula_78.