
In matematica, il logaritmo di un numero in una data base è l'esponente al quale la base deve essere elevata per ottenere il numero stesso.
Per esempio, il logaritmo in base formula_1 di formula_2 è formula_3, poiché bisogna elevare formula_1 alla terza potenza per ottenere formula_2, ovvero formula_6. Più in generale, se formula_7, allora formula_8 è il logaritmo in base formula_9 di formula_10, cioè, scritto in notazione matematica,
I logaritmi furono introdotti da Nepero all'inizio del 1600, e trovarono subito applicazione nelle scienze e nell'ingegneria, soprattutto come strumento per semplificare calcoli con numeri molto grandi, grazie all'introduzione di "tavole di logaritmi".
La funzione formula_12 (logaritmo in base formula_9 di formula_14) è la funzione inversa della funzione esponenziale in base formula_9 data da formula_16
È di importanza fondamentale il logaritmo naturale, cioè il logaritmo che ha come base il numero di Nepero, indicato con formula_17 Il logaritmo naturale è l'inverso della funzione esponenziale formula_18
Dati due numeri reali positivi formula_9 e formula_10, con formula_21, si definisce "logaritmo" in base formula_9 di formula_10 l'esponente a cui elevare formula_9 per ottenere formula_25 Il numero formula_10 viene chiamato "argomento" del logaritmo. In altre parole, se formula_27
si scrive che
e si legge: formula_8 è il logaritmo in base formula_9 di formula_25
Le ipotesi su formula_9 e formula_10 sono necessarie per avere l'esistenza e l'unicità di formula_34 infatti:
Per esempio, formula_55 perché formula_56
I logaritmi possono anche essere negativi (a differenza della base e dell'argomento). Infatti
poiché formula_58
Dalle relazioni formula_59 e formula_60, che valgono qualsiasi sia la base formula_9, derivano le proprietà di base:
Inoltre, dalla definizione segue che:
Una delle più importanti proprietà dei logaritmi è che il logaritmo del prodotto di due numeri è la somma dei logaritmi dei due numeri stessi. Allo stesso modo, il logaritmo del quoziente di due numeri non è altro che la differenza tra i logaritmi degli stessi. In altre parole valgono
Applicando il logaritmo ad ambo i membri:
Il suo valore è ovviamente l'esponente stesso:
Inoltre, il logaritmo di un numero elevato a una certa potenza formula_72 è uguale a formula_72 moltiplicato per il logaritmo del numero stesso. Da questo discende che il logaritmo della radice formula_72-esima di un numero è uguale all'inverso di formula_72 per il logaritmo del numero, e che il logaritmo dell'inverso di un numero è l'opposto del logaritmo del numero stesso. In altre parole valgono le formule:
Noto il valore di un logaritmo in una base, è semplice calcolarne il valore in un'altra base (spesso le calcolatrici danno il logaritmo solo in basi formula_1 ed formula_80).
Se formula_10, formula_14, e formula_72 sono tutti numeri reali positivi (con formula_43 e formula_85):
dove "k" è una base qualsiasi. La formula può essere scritta nel modo seguente
e segue dalla relazione
Dalla formula del cambiamento di base, ponendo formula_89, si ricava la relazione seguente:
Anche se in linea di principio i logaritmi possono essere calcolati in qualunque base positiva e diversa da formula_45, quelle più utilizzate sono tre:
Il metodo dei logaritmi fu proposto dallo scozzese Nepero nel 1614, in un libro intitolato "Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio". Joost Bürgi inventò indipendentemente i logaritmi, ma pubblicò i suoi risultati sei anni dopo Nepero.
Per sottrazioni successive, Nepero calcolò formula_92 per formula_93 da formula_45 a formula_95; il risultato per formula_96 è approssimativamente formula_97, ovvero formula_98. Nepero poi calcolò il prodotto di questi numeri per formula_99, con formula_93 da formula_45 a formula_102. Questi calcoli, che occuparono 20 anni, gli permisero di trovare, per ogni numero intero formula_103 da 5 a 10 milioni, il numero formula_93 che risolve l'equazione
Nepero chiamò inizialmente questo valore un "numero artificiale", ma successivamente introdusse il nome "logaritmo", dalle parole del greco "logos", proporzione, e "arithmos", numero. Usando una notazione moderna, i calcoli di Nepero gli permisero di calcolare
dove l'approssimazione compiuta corrisponde alla seguente:
L'invenzione di Nepero fu subito largamente acclamata: i lavori di Bonaventura Cavalieri (Italia), Edmund Wingate (Francia), Xue Fengzuo (Cina) e Giovanni Keplero (Germania) permisero di diffondere velocemente l'idea.
Nel 1647, il fiammingo Gregorio di San Vincenzo collegò i logaritmi alla quadratura dell'iperbole, dimostrando che l'area formula_108 sottesa da formula_45 a formula_110 soddisfa
Il logaritmo naturale fu per la prima volta descritto da Nicolaus Mercator nel suo scritto "Logarithmotechnia" pubblicato nel 1668, anche se precedentemente l'insegnante di matematica John Speidell aveva compilato una tavola di logaritmi naturali nel 1619.
Intorno al 1730, Eulero definì la funzione esponenziale e la funzione logaritmo come
Eulero inoltre dimostrò che queste due funzioni erano una l'inversa dell'altra.
Semplificando calcoli complessi, i logaritmi contribuirono ampiamente all'avanzamento della scienza, e in particolare dell'astronomia. Lo strumento che ne permise l'uso pratico furono le tavole dei logaritmi. La prima di esse fu completata da Henry Briggs nel 1617, subito dopo l'invenzione di Nepero. Successivamente, furono scritte altre tavole con diversi scopi e precisione. In esse veniva elencato il valore di formula_114 e di formula_115 per ogni numero formula_14 in un certo intervallo, con una precisione fissata e con una base formula_10 scelta (solitamente formula_118). Per esempio, la tavola di Briggs conteneva il logaritmo in base formula_1 di tutti i numeri da formula_45 a formula_2, con una precisione di otto cifre decimali. La funzione formula_115, poiché inversa del logaritmo, venne chiamata "antilogaritmo".
Il prodotto e il quoziente di due numeri formula_8 e formula_124 venivano così calcolati con rispettivamente la somma e la differenza dei loro logaritmi. Il prodotto formula_125 è l'antilogaritmo della somma dei logaritmi di formula_8 e formula_124:
Il quoziente formula_129 è l'antilogaritmo della differenza dei logaritmi di formula_8 e formula_124:
Per compiere calcoli complessi con una buona precisione queste formule erano molto più veloci del calcolo diretto oppure dell'utilizzo di metodi precedenti, come quello di prostaferesi.
Anche il calcolo di potenze e di radici veniva semplificato, riducendosi a moltiplicazione e divisione di logaritmi:
e
Operando sui numeri reali, la "funzione logaritmo" è la funzione formula_135 definita da
La funzione ha come dominio l'intervallo formula_137 In figura sono disegnati tre esempi della funzione logaritmo con diversi valori per la base formula_10. La curva rossa è per la funzione con base formula_139 costante di Nepero (valore approssimato: formula_140).
Come si può notare dal grafico, il dominio della funzione logaritmo (l'insieme entro cui variano i valori delle formula_14), è l'intervallo formula_142; mentre il codominio, insieme in cui variano i valori delle formula_143, è formula_144.
La funzione logaritmo è derivabile e la sua derivata è la seguente:
dove "ln" è il logaritmo naturale, cioè con base formula_80. In particolare, la relazione seguente è fondamentale nel calcolo infinitesimale:
L'eguaglianza è dimostrabile usando la regola della funzione inversa:
La funzione inversa del logaritmo è la funzione esponenziale, la cui derivata coincide con se stessa:
Ne segue:
Si può utilizzare direttamente la definizione di derivata:
e, ricordando il limite notevole del logaritmo, si ottiene:
La derivata seconda della funzione logaritmo è
Se formula_156, questo valore è sempre negativo e la funzione è quindi funzione concava. Se formula_157 è invece sempre positivo e la funzione è convessa.
La funzione logaritmo è continua e quindi integrabile.
La funzione integrale del logaritmo, con base generica formula_10, è (applicando l'integrazione per parti):
dove formula_160 è la costante di integrazione, cioè una costante reale arbitraria.
La funzione logaritmo è analitica. Non è possibile però descrivere la funzione su tutto il suo dominio con una sola serie di potenze (come avviene ad esempio per la funzione esponenziale): lo sviluppo centrato in un punto formula_161 ha infatti raggio di convergenza formula_162 ed è quindi convergente solo nell'intervallo formula_163. Ad esempio, lo sviluppo in formula_164 è il seguente:
Per lo studio di funzioni esponenziali in cui è necessario estrapolare dati o parametri in modo semplice è possibile sfruttare la funzione logaritmo per ricavare una relazione implicita della funzione originale avente il vantaggio di essere lineare. Ad esempio, per una funzione descrivibile comeformula_166con "a" e "b" costanti è possibile pervenire alla relazione:formula_167che sul piano semi-logaritmico rappresenta una retta che interseca l'asse delle ordinate in "ln(a), "con derivata prima "b" e angolo di inclinazione pari ad "arctan(b)": in questo modo l'estrapolazione dei dati per la nuova funzione è più semplice ed accessibile.
La funzione logaritmo può essere estesa ai numeri complessi diversi da zero. Nel caso in cui si tratti di un logaritmo naturale con argomento complesso vale la formula seguente:
con formula_169 l'unità immaginaria e formula_170 l'argomento di formula_171. Il logaritmo complesso è in realtà una funzione a più valori, determinati dal parametro intero formula_72.


Un numero complesso è un numero formato da una parte reale e da una parte immaginaria sommate tra loro. Può essere rappresentato dalla somma di un numero reale e di un numero immaginario (un multiplo dell'unità immaginaria, indicata con la lettera formula_1). I numeri complessi sono usati in tutti i campi della matematica, in molti campi della fisica (notoriamente in meccanica quantistica), nonché in ingegneria, specialmente in elettronica/telecomunicazioni o elettrotecnica, per la loro utilità nel rappresentare onde elettromagnetiche e correnti elettriche ad andamento temporale sinusoidale.
In matematica i numeri complessi formano un campo (nonché un'algebra reale bidimensionale) e sono generalmente visualizzati come punti di un piano, detto piano complesso. La proprietà più importante dei numeri complessi è basata sul teorema fondamentale dell'algebra, secondo il quale qualunque equazione polinomiale di grado n ha n soluzioni complesse, non necessariamente distinte.
Nel corso dei secoli gli insiemi dei numeri sono andati man mano allargandosi, presumibilmente per rispondere all'esigenza di dare soluzione a equazioni e problemi sempre nuovi.
I numeri complessi sono un'estensione dei numeri reali, nata inizialmente per consentire di trovare tutte le soluzioni delle equazioni polinomiali. Ad esempio, l'equazione 
non ha soluzioni nell'insieme dei numeri reali, perché in questo insieme non esistono numeri il cui quadrato sia negativo.
Si definisce allora il valore formula_1, chiamato unità immaginaria, che gode della seguente proprietà:
I numeri complessi sono formati da due parti, una parte reale e una parte immaginaria, e sono rappresentati dalla seguente espressione:
dove formula_6 e formula_7 sono numeri reali, formula_1 è l'unità immaginaria.
Le leggi della somma algebrica e del prodotto nei numeri complessi si applicano facendo i conti nel modo usuale e sapendo che formula_9.
Come i numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, quelli complessi sono in corrispondenza con i punti del piano, detto piano complesso (o di Argand-Gauss): al numero complesso formula_10 si associa il punto di coordinate cartesiane formula_11.
Usando la relazione formula_4 si possono risolvere tutte le equazioni di secondo grado
con formula_14, incluse quelle che non hanno soluzioni reali perché dotate di discriminante negativo:
Le soluzioni sono determinate dalla formula risolutiva dell'equazione
che nel caso in cui il discriminante sia negativo, si svolge nel modo seguente:
Ad esempio:
Più in generale è vero che se un numero complesso è soluzione di un'equazione a coefficienti reali, allora anche il suo complesso coniugato è soluzione della stessa equazione. Quindi nel caso di un'equazione di grado dispari, tra le soluzioni ci sarà sempre almeno un numero reale.
I numeri complessi hanno avuto una genesi dilatata nel tempo. Cominciarono a essere utilizzati formalmente nel XVI secolo nelle formule di risoluzione delle equazioni di terzo e quarto grado di Tartaglia. I primi che riuscirono ad attribuire soluzioni alle equazioni cubiche furono Scipione Dal Ferro, il Bombelli e anche Niccolò Tartaglia, quest'ultimo, dopo molte insistenze, passò i risultati a Girolamo Cardano con la promessa di non divulgarli. Cardano dopo aver verificato l'esattezza delle soluzioni di Tartaglia non rispettò la sua promessa e pubblicò i risultati, citandone l'autore però, nella sua nota "Ars Magna" del 1545. Tartaglia aveva molte amicizie tra gli inquisitori e in seguito Cardano ebbe problemi legati alla giustizia del tempo, molti dei quali provenienti da accuse di eresia. Attualmente la comparsa di radici di numeri negativi viene attribuita principalmente a Tartaglia mentre nelle meno numerose pagine dedicate a Cardano non vi è traccia del suo probabile importante contributo a tale rappresentazione numerica.
Inizialmente i numeri complessi non vennero considerati come "numeri" ma solo come artifici algebrici utili a risolvere equazioni. Erano infatti numeri "che non dovrebbero esistere": Cartesio nel XVII secolo li chiamò "numeri immaginari". Abraham de Moivre ed Eulero nel XVIII secolo incominciarono a fornire ai numeri complessi una base teorica, finché questi assunsero piena cittadinanza nel mondo matematico con i lavori di Gauss. Contemporaneamente si affermò l'interpretazione dei numeri complessi come punti del piano.
In matematica molti oggetti e teoremi dipendono dalla scelta di un insieme numerico di base: spesso la scelta è fra numeri reali e complessi. L'aggettivo "complesso" è in questo caso usato per specificare questo insieme di base. Per esempio, si definiscono le matrici complesse, i polinomi complessi, gli spazi vettoriali complessi e l'algebra di Lie complessa. Esistono anche il teorema di Sylvester complesso e il teorema spettrale complesso.
Formalmente un numero complesso si può definire come una coppia ordinata di numeri reali formula_19. Si definiscono quindi somma e prodotto di due numeri complessi nel modo seguente:
Con queste due operazioni, l'insieme dei numeri complessi risulta essere un campo, che viene indicato con formula_22.
Il numero complesso formula_23 viene identificato con il numero reale formula_24, mentre il numero formula_25 è chiamato unità immaginaria ed è descritto con la lettera formula_26. L'elemento 1 è l'elemento neutro per la moltiplicazione, mentre si verifica che:
Ogni numero complesso formula_28 si scrive facilmente come combinazione lineare nel modo seguente:
I numeri "a" e "b" sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di "z". Questa rappresentazione dei numeri complessi rende agevole lo svolgimento delle operazioni di somma e prodotto. Ad esempio:
Usando gli strumenti della teoria dei campi, il campo dei numeri complessi può essere definito come la chiusura algebrica del campo dei numeri reali. 
Usando gli strumenti della teoria degli anelli, può anche essere introdotto come l'anello quoziente dell'anello dei polinomi reali con una variabile tramite l'ideale generato dal polinomio formula_31:
Questo è effettivamente un campo perché formula_31 è irriducibile. La radice del polinomio formula_31 è l'unità immaginaria formula_26, quindi l'anello quoziente è isomorfo a formula_36.
Un numero complesso può essere visto come un punto del piano cartesiano, chiamato in questo caso piano di Gauss. Una rappresentazione di questo tipo si chiama diagramma di Argand-Gauss. Nella figura si vede che
essendo formula_38 e formula_39 funzioni trigonometriche.
Le formule inverse sono:
Usando la formula di Eulero, possiamo esprimere formula_45 come
tramite la funzione esponenziale. Qui formula_47 è il modulo (o valore assoluto o norma) e formula_48 (detta anomalia) è l'argomento di formula_45. L'argomento è determinato da formula_45 se è inteso nell'intervallo formula_51, altrimenti è definito solo a meno di somme con formula_52 per qualche intero formula_53.
Il valore assoluto (modulo) ha le seguenti proprietà:
valide per tutti i numeri complessi formula_45 e formula_60.
La prima proprietà è una versione della disuguaglianza triangolare.
La distanza fra due punti del piano complesso è data semplicemente da
Il complesso coniugato del numero complesso formula_62 è definito come 
A volte è anche indicato come formula_64. Nel piano complesso formula_65 è ottenuto da formula_45 per simmetria rispetto all'asse reale. Valgono le seguenti proprietà:
Conoscendo il valore assoluto e il coniugato di un numero complesso formula_74 è possibile calcolare il suo reciproco formula_75 attraverso la formula:
Ovvero, se formula_62 otteniamo
Valgono le relazioni
La somma di due numeri complessi equivale alla usuale somma fra vettori nel piano complesso.
Vale
In realtà il prodotto non è che il risultato di un normalissimo prodotto di binomi. Usando la rappresentazione 
e le proprietà della funzione esponenziale, il prodotto di due numeri complessi 
assume la forma più agevole
In altre parole, nel prodotto di due numeri complessi, si sommano gli argomenti e si moltiplicano i moduli.
Questa affermazione consente di dimostrare la regola dei segni del prodotto: formula_85. Difatti se si considera che l'argomento di un numero reale negativo è 180º, moltiplicando tra loro due di questi numeri si ottiene un numero con argomento 360° e quindi 0° che è l'argomento di un numero reale positivo.
Una moltiplicazione per un numero complesso può essere vista come una simultanea rotazione e omotetia. Moltiplicare un vettore o equivalentemente un numero complesso per l'elemento formula_26 produce una rotazione di 90°, in senso antiorario, del numero complesso di partenza. Ovviamente la moltiplicazione per formula_26 e poi ancora per formula_26 produce una rotazione di 180º; ciò è logico visto che formula_9.
Il rapporto fra due numeri complessi formula_90 e formula_91 è dato da:
Usando la rappresentazione 
il rapporto di due numeri complessi è
Rappresentando ogni numero complesso come
è facile descrivere la potenza formula_96-esima
per ogni formula_96 intero. Con una notazione lievemente differente:
Si ottiene la formula di De Moivre:
Inoltre, ogni numero complesso ha esattamente formula_101 radici formula_101-esime: in particolare non esiste un modo univoco di definire la radice quadrata di un numero complesso.
La funzione esponenziale complessa formula_103 è definita facendo uso delle serie e degli strumenti del calcolo infinitesimale, nel modo seguente:
In particolare, se formula_105 si ottiene
facendo uso della formula di Eulero.
Il logaritmo naturale formula_107 di un numero complesso formula_108 è per definizione un numero complesso formula_109 tale che
Se 
il logaritmo di formula_108 è un qualsiasi numero complesso formula_109 del tipo
dove formula_115 è un numero intero qualsiasi. Poiché il valore formula_115 è arbitrario, un numero complesso ha una infinità di logaritmi distinti, che differiscono per multipli interi di formula_117. 
Se formula_118 si può scrivere
In questo caso, se formula_45 è reale (cioè se formula_121) fra gli infiniti valori ce n'è uno reale, che corrisponde all'usuale logaritmo di un numero reale positivo.
Supponiamo di voler individuare i numeri complessi z tali che 
La prima possibilità è quella di porre formula_123 e di uguagliare la parte reale di formula_124 alla parte reale del coniugato di formula_125 e analogamente per le rispettive parti immaginarie. Seguendo questa strada si ottengono due equazioni:
da cui si ricavano 7 soluzioni:
In alternativa, si può usare la rappresentazione polare
e uguagliare le norme e gli argomenti di formula_124 e del coniugato di formula_125, ottenendo anche qui due equazioni: 
con formula_134. Ovviamente si ottengono le stesse soluzioni, per esempio 
Diversamente dai numeri reali, i numeri complessi non possono essere ordinati in modo compatibile con le operazioni aritmetiche. Non è cioè possibile definire un ordine tale che
come avviene con i numeri reali. Quindi non ha senso chiedere ad esempio se formula_1 è maggiore o minore di formula_139, né studiare disequazioni nel campo complesso. Infatti in ogni campo ordinato tutti i quadrati devono essere maggiori o uguali a zero: per costruzione dell'unità immaginaria, invece formula_4.
Ciò non deve essere confuso con il dire che l'insieme dei numeri complessi non può essere totalmente ben ordinato. Infatti i numeri complessi hanno, ad esempio, un ordinamento in termini di ordine lessicografico, e costituiscono quindi un insieme ordinabile (come ogni insieme in ZFC stante l'assioma della scelta), ma non formano un campo ordinato (per la ragione di cui sopra) né una struttura algebrica ordinabile rispetto alla metrica indotta da una norma. 
Quando si disegna una funzione nel piano cartesiano il cui codominio contiene numeri dell'insieme immaginario, tali numeri non possono essere rappresentati da una coppia di coordinate formula_141, poiché essendo formula_142 complesso non può avere ordinamento rispetto alla retta formula_142.
L'insieme formula_144 è contemporaneamente uno spazio vettoriale complesso a una dimensione (come tutti i campi), e uno spazio vettoriale reale a due dimensioni. In quanto spazio vettoriale reale a dimensione finita è inoltre uno spazio normato completo, cioè uno spazio di Banach, e più in particolare uno spazio di Hilbert.
Una "radice complessa" di un polinomio formula_145 a coefficienti reali è un numero complesso formula_108 tale che formula_147. Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce che ogni polinomio di grado formula_101 ha esattamente formula_101 soluzioni complesse, contate con molteplicità. Questo risultato indica che i numeri complessi sono (a differenza dei reali) un campo algebricamente chiuso.
Lo studio delle funzioni con variabili complesse è detto analisi complessa e trova largo impiego nella matematica applicata e nella teoria dei numeri, oltre che in altre branche della matematica, della fisica e dell'ingegneria. Spesso, le dimostrazioni più semplici per gli enunciati dell'analisi reale o persino della teoria dei numeri impiegano tecniche di analisi complessa (vedi teorema dei numeri primi per un esempio). Diversamente dalle funzioni reali, che sono rappresentate comunemente come grafici bidimensionali, le funzioni complesse hanno grafici a quattro dimensioni e spesso vengono rappresentate come grafici colorati dove il colore sopperisce alla dimensione mancante (si veda, ad esempio, la voce Immagini conformi). Si possono anche usare delle animazioni per mostrare la trasformazione dinamica della funzione complessa del piano complesso.
I numeri complessi sono presenti in tutta la matematica, e sono protagonisti di interi settori, come l'analisi complessa o la geometria algebrica. Elenchiamo qui soltanto alcune applicazioni dei numeri complessi a settori della matematica in cui questi non hanno un ruolo dominante.
I numeri complessi sono utilizzati per la risoluzione delle equazioni differenziali associate al moto di tipo vibratorio dei sistemi meccanici. Sono molto usati anche nell'ingegneria elettrica, soprattutto per rappresentare lo sfasamento tra reattanza e resistenza.
I numeri complessi vengono utilizzati nell'analisi dei segnali e in tutti i campi dove si trattano segnali che variano sinusoidalmente nel tempo, o anche semplicemente periodici. Il valore assoluto di |"z"| è interpretato come l'ampiezza del segnale mentre l'argomento di "z" è interpretato come la fase. I numeri complessi rendono possibile anche l'analisi di Fourier, che rende possibile scomporre un generico segnale tempo-invariante in una somma di infinite sinusoidi: ogni sinusoide è scritta come un singolo numero complesso
dove ω è la pulsazione della sinusoide e "z" la sua ampiezza.
Nell'ingegneria elettrica ed elettronica vengono utilizzati per indicare la tensione e la corrente. L'analisi dei componenti resistivi, capacitivi e induttivi è stata unificata con l'introduzione dei numeri complessi, che riassumono tutte e tre queste componenti in una sola entità detta impedenza, semplificando notevolmente i calcoli. Possono esprimere delle relazioni che tengono conto delle frequenze e di come i componenti varino il loro comportamento al variare della frequenza. In questo tipo di calcoli si usa tradizionalmente la lettera "j" per indicare l'unità immaginaria, dato che la "i" è riservata alla corrente: i primi trattati di elettrotecnica, all'inizio del XX secolo, stabilivano "j" = "-i", cioè l'unità immaginaria nelle formule usate per l'elettrotecnica era il negativo di quella usata dai matematici. L'uso è stato mantenuto nel tempo, e questo dettaglio, sia pure ignoto ai più, è parzialmente vero anche oggi. Anche se, la stragrande maggioranza delle volte, nella letteratura tecnica con "j" oramai si intende l'unità immaginaria stessa, per cui "j"="i"
Il processo di estensione del campo R dei numeri reali al campo C dei numeri complessi è noto come costruzione di Cayley-Dickson. Esso può essere portato oltre a dimensioni più elevate, ottenendo i quaternioni H, gli ottetti (o ottonioni) O e i sedenioni, i quali costituiscono, rispettivamente, delle algebre a "4", "8", "16" dimensioni sul campo dei numeri reali.
In questo contesto, i numeri complessi sono stati chiamati binarioni.
Le algebre prodotte da questo processo sono note come algebre di Cayley-Dickson e, poiché estendono i numeri complessi, vanno a costituire una famiglia dell'insieme dei cosiddetti numeri ipercomplessi, il quale, tuttavia, include anche la famiglia delle algebre di Clifford.
