
atematica, in particolare in topologia, un sottoinsieme formula_1 di uno spazio topologico formula_2 è chiuso se il suo complementare è aperto. Intuitivamente se un insieme è chiuso vuol dire che il "bordo" dell'insieme appartiene all'insieme stesso, infatti una definizione equivalente alla precedente è la seguente: formula_1 è "chiuso" se contiene la sua frontiera.
Gli insiemi chiusi hanno quindi le seguenti proprietà, "complementari" a quelle degli insiemi aperti, valide in un qualsiasi spazio topologico:
Si possono usare queste proprietà come assiomi per definire una topologia su formula_4 a partire dai chiusi, che coincide con quella generata nel modo usuale dalla famiglia formula_6 degli aperti complementari.
Sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:
Non sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:
Altri esempi di insiemi chiusi sono:


 matematica, un raggruppamento di oggetti rappresenta un insieme se esiste un criterio oggettivo che permette di decidere univocamente se un qualunque oggetto fa parte o no del raggruppamento. Si tratta di un concetto fondamentale della matematica moderna, a partire dal quale si è sviluppata la teoria degli insiemi.
Nell'uso informale gli oggetti della collezione possono essere qualunque cosa: numeri, lettere, persone, figure, ecc., anche non necessariamente omogenei; nelle formalizzazioni matematiche gli oggetti della collezione vanno invece ben definiti e determinati. Il concetto di insieme è considerato primitivo ed intuitivo: "primitivo" perché viene introdotto come nozione non derivabile da concetti più elementari; "intuitivo" perché viene introdotto come generalizzazione della nozione di insieme finito, che a sua volta è introdotta dall'analogia con l'esperienza sensibile di scatole che contengono oggetti materiali (tendenzialmente omogenei); questa impostazione si basa sulla convinzione che l'idea di insieme sia naturalmente presente nella mente umana.
Gli oggetti che compongono un insieme si dicono elementi di questo insieme; nel linguaggio matematico, detto "a" un elemento dell'insieme "A", si dice che "a appartiene ad A" o in simboli formula_1. Un insieme "A" è sottoinsieme di un altro insieme "B" quando tutti gli elementi di "A" appartengono anche a "B".
Ciò che caratterizza il concetto di insieme e lo differenzia da strutture matematiche simili sono essenzialmente le seguenti proprietà:
Gli insiemi, con le loro operazioni e relazioni, possono essere rappresentati graficamente con i diagrammi di Eulero-Venn.
Solitamente un insieme viene indicato con le lettere maiuscole dell'alfabeto: "A", "B", "E", "M", "S" ... e si chiede che sia univocamente determinato: se ad esempio diciamo che "M" è l"'insieme degli x tali che x è un mammifero marino", allora supponiamo che si sappia sempre decidere se un qualsiasi animale possibile ed immaginabile abbia o meno le caratteristiche necessarie per rientrare in "M." Se un oggetto "x" appartiene ad un insieme "F" viene detto "elemento" di "F" e la relazione si denota nella forma formula_2. Viceversa, la relazione di non appartenenza a un insieme si denota nella forma formula_3.
Un insieme può essere definito nei seguenti modi:
La cardinalità di un insieme è il numero che indica la quantità dei suoi elementi. Ad esempio, l'insieme formula_11 ha tre elementi (considerando distinte le tre lettere), quindi cardinalità 3; l'insieme dei numeri naturali formula_12 ha invece cardinalità formula_13, il primo cardinale infinito.
Un insieme si dice "finito" se ha un numero finito di elementi, "infinito" se contiene infiniti elementi.
Le principali operazioni tra insiemi sono:
Due insiemi "A" e "B" si dicono inoltre:
"B" è sottoinsieme di "A" se "A" contiene gli elementi di "B". Secondo la definizione ogni insieme è contenuto in sé stesso. Per esprimere questo si usa la notazione:
Se si vuole escludere che "B" coincida con "A", cioè prevedere che esistono elementi di "A" non contenuti in "B", si usa la notazione:
che si legge: ""B è un sottoinsieme proprio di A"" oppure ""B è incluso propriamente in A"" oppure ""B è contenuto propriamente in A"". Alcuni autori utilizzano solo la seconda notazione, indipendentemente dal tipo di inclusione.
La relazione binaria di inclusione tra insiemi rende una qualsiasi classe di insiemi un insieme parzialmente ordinato.
Insieme vuoto è l'insieme che non contiene "nessun" elemento. Si indica con i simboli formula_25, formula_26 o con due parentesi graffe, la prima aperta e l'altra chiusa formula_27.
L'insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme (incluso sé stesso).
Per qualunque insieme "A" si definisce insieme delle parti o "insieme potenza" di "A" e si indica con formula_28 o formula_29 l'insieme che ha come elementi tutti e soli i sottoinsiemi di "A". Ad esempio, se formula_30 allora il suo insieme delle parti è costituito da formula_31.
L'insieme delle parti ha cardinalità strettamente maggiore di quella dell'insieme di partenza. Se "A" è finito ed ha |"A"| elementi, il numero degli elementi di formula_28 è dato da formula_33 (in simboli, formula_34).
L'insieme delle parti di qualsiasi insieme, considerato congiuntamente all'operazione di differenza simmetrica, forma un gruppo abeliano. Se vengono considerate insieme unione, intersezione e complementazione la struttura generata è un'algebra di Boole.
Si chiama partizione dell'insieme A un insieme di sottoinsiemi di A che ha queste caratteristiche:
Dati gli insiemi A e B, con Bformula_35A, l'insieme complementare di B rispetto ad A è A-B. Lo indichiamo con formula_36(B).
Alcuni insiemi, detti "numerici", hanno un ruolo particolarmente importante e pervasivo in tutte le branche della matematica:
Questi insiemi si possono vedere intuitivamente come contenuti uno nell'altro:
Più propriamente si dovrebbe parlare di immersione di ogni insieme nel seguente, poiché secondo la corrente assiomatizzazione i vari insiemi sono definiti in modi radicalmente diversi l'uno dall'altro.
