
In matematica un polinomio è un'espressione composta da costanti e variabili combinate usando soltanto addizione, sottrazione e moltiplicazione. In altre parole, un polinomio tipico, cioè ridotto in forma normale, è la somma algebrica di alcuni monomi non simili tra loro, vale a dire con parti letterali diverse. Ad esempio:
è la somma di tre monomi. Ciascun monomio viene chiamato "termine" del polinomio.
Le costanti sono anche chiamate "coefficienti" e sono tutte elementi di uno stesso insieme numerico o di un anello.
Quando valutati in un opportuno dominio, i polinomi possono essere interpretati come funzioni. Ad esempio, il polinomio
definisce una funzione reale di variabile reale.
Quando questo ha senso, le radici del polinomio sono definite come l'insieme di quei valori che, sostituiti alle variabili, danno all'espressione polinomiale il valore nullo. Ad esempio, formula_3 ha come radici i valori formula_4 e formula_5, poiché sostituendoli nell'espressione del polinomio si ha 
I polinomi sono oggetti matematici di fondamentale importanza, alla base soprattutto dell'algebra, ma anche dell'analisi e della geometria analitica.
Un polinomio si dice:
Due polinomi sono considerati "uguali" se, dopo essere stati ridotti in forma normale, hanno gli stessi termini, a meno dell'ordine. Quindi i polinomi seguenti sono uguali:
Il "grado" di un polinomio non nullo e ridotto in forma normale è il massimo grado dei suoi monomi, mentre il "grado parziale" rispetto ad una variabile è il grado risultante vedendo tutte le altre variabili come coefficienti. Quindi
ha grado due, mentre ha gradi parziali uno rispetto sia a formula_16 che a formula_17.
Si dicono "coefficienti" di un polinomio i coefficienti dei suoi singoli termini. Quindi i coefficienti di formula_18 sono rispettivamente formula_5, formula_4 e formula_4: il coefficiente formula_4 in un monomio è solitamente sottinteso.
Il "termine noto" di un polinomio ridotto in forma normale è l'unico monomio (se esiste) di grado zero, cioè non contenente variabili. Se non esiste un tale monomio, il termine noto è considerato generalmente inesistente o uguale a zero, secondo il contesto. Ad esempio, in
il termine noto è l'ultimo monomio: formula_24.
Due polinomi possono essere sommati, sottratti, e moltiplicati usando le usuali proprietà commutativa, associativa e distributiva delle operazioni di somma e prodotto. Ad esempio, se
allora la somma ed il prodotto di "p" e "q" sono rispettivamente
Somme e prodotti di polinomi danno come risultato un nuovo polinomio.
Il grado ("degree") della somma (o differenza) di due polinomi è minore o uguale al polinomio di grado maggiore. È sempre uguale al massimo tra i due, quando i due polinomi hanno grado differente:
Esempi:
Il grado del prodotto di un polinomio per un numero scalare (diverso da zero) è uguale al grado del polinomio:
Esempio:
Si noti che questo non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello che contiene un divisore di zero. Ad esempio, in formula_36, formula_37, ma formula_38. L'insieme dei polinomi aventi coefficienti da un dato campo F e grado minore o uguale a n, forma uno spazio vettoriale (questo insieme non è un anello, e non è chiuso, come mostrato in precedenza).
Il grado del prodotto di due polinomi definiti su un campo -(oggetto in cui sono definite le operazioni di somma e prodotto, con certe proprietà)- oppure su un dominio d'integrità, è pari alla somma dei gradi dei due polinomi:
Es.:
Si noti che ciò non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello arbitrario. Ad esempio, in formula_36, formula_43, ma formula_44.
Il grado della composizione di due polinomi formula_45 e formula_46 a coefficienti non costanti è uguale al prodotto dei rispettivi gradi:
Es.:
Si noti che ciò non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello arbitrario. Ad esempio, in formula_36, formula_52, ma formula_53.
Possiamo affermare correttamente sia che il grado del polinomio zero è indefinito, sia che il grado del polinomio zero può essere definito con un numero negativo (per convenzione −1 o −∞).
Come qualsiasi valore costante, il valore zero può essere considerato come un polinomio (costante), detto polinomio-zero. Questo polinomio non ha termini che non siano nulli, e perciò, propriamente non ha un grado, vale a dire che il suo grado è indefinito.
Le proposizioni precedenti sul grado della somma, prodotto e composizione di polinomi non si applicano se anche uno dei due è un polinomio-zero..
Le formule valgono se si introducono alcune opportune estensioni. È pertanto utile definire il grado di un polinomio-zero, pari a "meno infinito", −∞, e introdurre quindi queste regole aritmetiche
e
I seguenti esempi illustrano come questa estensione soddisfi quelle di somma, prodotto e composizione di due polinomi.:
In un polinomio, è spesso utile considerare alcune variabili come costanti. Ad esempio, il polinomio
può essere considerato anche come polinomio in formula_16 soltanto, dando a formula_17 il ruolo di un valore costante. Alternativamente, può essere visto come polinomio in formula_17 soltanto. Le proprietà dei polinomi che ne risultano possono essere molto diverse tra loro: qui ad esempio formula_68 ha grado formula_5 rispetto a formula_16, e solo formula_4 rispetto a formula_17. Ad esempio, il polinomio
è di grado formula_24, ma se visto soltanto nelle singole variabili formula_16 o formula_17 o formula_12 ha grado rispettivamente formula_5, formula_79 e formula_80.
Un polinomio generico con una sola variabile si può rappresentare con la seguente scrittura:
con formula_82 diverso da zero. Con questa scrittura, formula_83 è il termine noto e formula_84 è il grado. formula_82 si dice "coefficiente direttore".
Un tale polinomio è
Una "radice" di un polinomio formula_89 in una sola variabile è un numero formula_90 tale che
cioè tale che, sostituito a formula_16, rende nulla l'espressione. Quindi se
il numero formula_90 è radice se
Nel caso di polinomi a coefficienti reali l'insieme delle radici reali di un polinomio formula_68 si può visualizzare sul piano cartesiano come l'intersezione del grafico della funzione polinomiale formula_97 con l'asse delle ascisse.
In un dominio, un polinomio di grado formula_84 può avere al più formula_84 radici distinte. Esistono polinomi senza radici reali, come ad esempio
poiché formula_101 per ogni formula_90 reale. D'altra parte, per il teorema fondamentale dell'algebra ogni polinomio complesso ha esattamente formula_84 radici complesse, contate con molteplicità.
Nella scuola vengono insegnate formule per trovare le radici dei polinomi di primo e secondo grado. Esistono formule analoghe per esprimere la radici di un polinomio di terzo e quarto grado in termini dei coefficienti, utilizzando solamente le quattro operazioni ed estrazioni di radice (la cosiddetta "risoluzione per radicali"). È stato invece dimostrato nella teoria di Galois che non esiste una formula generale di questo tipo per polinomi dal quinto grado in su.
Sia formula_104 un anello. A un polinomio
a coefficienti in formula_104 si può associare una "funzione polinomiale", che è la funzione da formula_104 in sé definita da
per formula_109. Se formula_104 è finito, allora polinomi diversi possono dare luogo alla stessa funzione. Per esempio se formula_111 è il campo con un numero primo formula_68 di elementi, allora al polinomio nullo e al polinomio formula_113 è comunque associata, per il piccolo teorema di Fermat, la funzione che manda ogni elemento di formula_104 in zero. Lo stesso può valere se formula_104 è infinito, ma non è un dominio, per esempio se formula_104 è un'algebra esterna infinita, in cui vale formula_117 per ogni formula_118.
Se invece formula_104 è un dominio infinito, allora vale il seguente "principio d'identità dei polinomi", che afferma che a polinomi diversi sono associate funzioni polinomiali diverse (cioè la funzione sopra descritta che associa a un polinomio una funzione polinomiale è iniettiva):
Questo dipende dal fatto che in un dominio un polinomio non nullo ha solo un numero finito di radici.
Negli esempi che seguono, fissiamo formula_104 eguale al campo dei numeri reali. A seconda del grado,
Una funzione polinomiale a coefficienti reali
è derivabile e la sua derivata è ancora un polinomio,
Ragionando quindi induttivamente, si può quindi affermare che le funzioni polinomiali sono infinitamente derivabili (o "lisce") e che la derivata ("n"+1)-esima di un polinomio di grado formula_84 è la funzione nulla. In realtà esse sono anche funzioni analitiche.
Dato un anello formula_104, il simbolo
denota l'insieme di tutti i polinomi nelle variabili formula_135 con coefficienti in formula_104. Ad esempio, formula_104 può essere un campo come quello dei numeri reali o complessi.
L'insieme formula_134 risulta essere anch'esso un anello, l'anello dei polinomi in formula_84 variabili con coefficienti in formula_104. Lo studio delle proprietà di questo anello è una parte importante dell'algebra e della geometria algebrica.
Se formula_104 è un campo, l'anello dei polinomi è un'algebra su formula_104, e quando formula_143 è anche un anello euclideo, nel senso che i polinomi possono essere divisi con quoziente e resto come i numeri interi (se formula_144 questo non è vero poiché l'anello di polinomi non è un dominio ad ideali principali).
Il calcolo della derivata di un polinomio si estende come "definizione" di derivata (chiamata "derivata formale") nel caso in cui il polinomio abbia coefficienti in un anello formula_104, anche in assenza del calcolo infinitesimale. Molte delle proprietà della derivata si estendono anche alla derivata formale.
Siano formula_163 le n radici di un polinomio di grado formula_84, e sia formula_165.
Allora
Per le relazioni radici/coefficienti un polinomio di secondo grado si può scrivere nella forma
dove
Allora
Per le relazioni radici/coefficienti un polinomio di terzo grado si può scrivere nella forma
dove
Allora


I numeri interi (o numeri interi relativi o, semplicemente, numeri relativi) corrispondono all'insieme ottenuto unendo i numeri naturali (0, 1, 2, ...) e i numeri interi negativi (−1, −2, −3...), cioè quelli ottenuti ponendo un segno “−” davanti ai naturali. Questo insieme in matematica viene indicato con Z o formula_1, perché è la lettera iniziale di “"Zahl"” che in tedesco significa numero (originariamente "far di conto", infatti l'espressione implica l'utilizzo dei numeri negativi). 
Gli interi vengono quindi definiti esattamente come l'insieme dei numeri che sono il risultato tra sottrazioni di numeri naturali. I numeri interi possono essere sommati, sottratti e moltiplicati e il risultato rimane un numero intero. L'inverso di un numero intero non è però un intero in generale, ma un numero razionale; formalmente questo fatto si esprime dicendo che formula_1 è un anello commutativo, ma non un campo.
Come i numeri naturali, formula_1 è "chiuso" rispetto alle operazioni di addizione e di moltiplicazione, cioè la somma o il prodotto di due interi è un intero. Inoltre, con l'inclusione dei numeri naturali negativi e dello zero, formula_1 (a differenza dei numeri naturali) è chiuso anche rispetto all'operazione di sottrazione: se formula_5 e formula_6 sono interi, anche formula_7 lo è. Tuttavia, formula_1 non è chiuso sotto l'operazione di divisione, poiché il quoziente di due interi (per esempio formula_9) non è necessariamente un numero intero.
La tabella seguente elenca alcune delle proprietà di base dell'addizione e della moltiplicazione per ogni intero formula_5, formula_6 e formula_12.
Nel linguaggio dell'algebra astratta, le prime cinque proprietà elencate sopra per l'addizione dicono che formula_1 è un gruppo abeliano con l'operazione "somma". In particolare, formula_1 è un gruppo ciclico, poiché ogni intero non nullo può essere scritto sommando un certo numero di volte formula_15 oppure formula_16. Il gruppo formula_1 è l"'unico" gruppo ciclico infinito, nel senso che ogni altro gruppo ciclico infinito è isomorfo a formula_1.
Le prime quattro proprietà elencate sopra per la moltiplicazione dicono che formula_1 con l'operazione "prodotto" forma un monoide commutativo. Tuttavia, si nota che non tutti gli interi hanno in inverso rispetto alla moltiplicazione; per esempio non esiste un intero formula_20 tale che formula_21. Quindi formula_1 non è un gruppo se considerato con l'operazione "prodotto".
Tutte le proprietà dalla tabella prese insieme dicono che formula_1 con l'addizione e la moltiplicazione è un anello commutativo con unità. In effetti formula_1 è la motivazione principale per la definizione di tale struttura. La mancanza dell'inverso rispetto alla moltiplicazione è tradotta nel fatto che formula_1 non è un campo. 
L'anello formula_1 è inoltre un dominio d'integrità, perché non contiene divisori dello zero. Ogni dominio di integrità è contenuto in un campo, e il più piccolo campo contenente gli interi è il campo formula_27 dei numeri razionali.
Anche se la divisione ordinaria non è definita su formula_1, è possibile usare l'algoritmo di Euclide per effettuare una divisione con resto: dati due interi formula_5 e formula_6 con formula_31, esistono e sono unici due interi formula_32 e formula_33 tali che 
dove formula_35 è il valore assoluto di formula_6. L'intero formula_32 è chiamato il "quoziente" e formula_33 è chiamato il "resto", risultanti dalla divisione di formula_5 con formula_6. 
L'algoritmo di Euclide mostra come due numeri interi abbiano sempre un massimo comune divisore ed un minimo comune multiplo. Inoltre, per il teorema fondamentale dell'aritmetica ogni numero intero ha un'unica decomposizione come prodotto di numeri primi. L'esistenza dell'algoritmo di Euclide fa di formula_1 un anello euclideo.
La cardinalità di un insieme di interi è equivalente a formula_42 (aleph-zero). Ciò è dimostrabile tramite la costruzione di una corrispondenza biunivoca (ovvero una funzione sia iniettiva che suriettiva) fra formula_43 e formula_44.
Considerando formula_45, tale corrispondenza è la funzione formula_46 tale che:
Mentre considerando formula_48 è la funzione formula_49 tale che:
Ogni membro di formula_1 avrà uno ed un solo membro corrispondente in formula_52 (o formula_53), pertanto i due insiemi hanno la stessa cardinalità.
L'insieme formula_1 è un insieme totalmente ordinato senza estremo superiore o inferiore. L'ordine di formula_1 è dato da
Un numero intero è positivo se è maggiore dello zero e negativo se minore di zero; zero non è considerato un numero positivo né negativo.
L'ordine seguente è compatibile con le regole dell'algebra:
Più semplicemente: se formula_60 e formula_61 sono due qualsiasi numeri relativi si dice che formula_60 è maggiore di formula_61, e si scrive formula_64, se esiste un numero naturale formula_65 tale che formula_66. L'insieme formula_1 può essere definito a partire dall'insieme formula_52 dei numeri naturali tramite il concetto di insieme quoziente. Si consideri il prodotto cartesiano formula_69, ovvero l'insieme di tutte le coppie ordinate di numeri naturali formula_70. Si consideri la seguente relazione formula_71
Questa è una relazione di equivalenza, infatti è:
Si definisce formula_1 come l'insieme quoziente di formula_87 con la relazione formula_71:
A questo punto è facile dimostrare che ogni classe di equivalenza formula_90 contiene uno e un solo elemento nella forma formula_91 con formula_92 oppure formula_93. In questo modo possiamo introdurre la notazione più familiare per i numeri interi nel modo seguente:
Si dimostra facilmente che esiste un isomorfismo tra l'insieme dei numeri naturali e il sottoinsieme di formula_1 costituito dagli elementi del tipo formula_98. In questo senso si può dire che i numeri naturali sono un sottoinsieme dei numeri interi.
Le operazioni di somma e prodotto possono essere definite nel modo seguente:
Si verifica che le operazioni sono compatibili con la relazione d'equivalenza, e che si traducono nelle normali operazioni di somma e prodotto degli interi tramite la notazione appena introdotta. Ad esempio:
Si può anche dimostrare direttamente che l'insieme formula_1 con queste operazioni è un anello commutativo.
