
Il logaritmo naturale (o "logaritmo neperiano") è il logaritmo in base "e", dove formula_1 è uguale a formula_2 Il logaritmo naturale è definito per tutte le formula_3 reali e positive, ma anche per i numeri complessi diversi da zero.
Se la funzione esponenziale è stata definita usando una serie infinita, il logaritmo naturale può essere definito come la sua funzione inversa, intendendo che formula_4 è il numero per cui formula_5. Dal momento che il dominio della funzione esponenziale include tutti i numeri reali positivi e poiché la funzione esponenziale è strettamente crescente, questa è definita per tutte le formula_3 reali positive.
In alternativa è possibile definire il logaritmo come segue:
Questo definisce il logaritmo perché soddisfa la proprietà fondamentale dei logaritmi:
Questo può essere dimostrato definendo formula_8 e mediante la regola della sostituzione degli integrali, come segue:
Il numero formula_10 può essere definito come l'unico numero reale formula_11 tale che formula_12.
La funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione esponenziale, quindi si ha che:
In altre parole, la funzione logaritmo è la corrispondenza biunivoca dall'insieme di numeri reali positivi all'insieme di tutti i numeri reali. Nello specifico, è un isomorfismo da un gruppo di numeri reali positivi sotto moltiplicazione al gruppo dei numeri reali sotto addizione.
I logaritmi possono essere definiti per una qualsiasi base reale strettamente positiva e diversa da formula_22, non solo formula_1, inoltre possono essere utili nella risoluzione di equazioni in cui l'incognita appare all'esponente di una qualsiasi quantità.
La derivata della funzione logaritmo naturale è data da
La serie di Taylor centrata in formula_22 del logaritmo naturale è:
Utilizzando l'identità
e sostituendo formula_28 nella serie di Taylor dell'arcotangente iperbolica si ottiene
Applicando la trasformazione binomiale alla serie di Taylor si ottiene la seguente serie, valida per ogni formula_3 con valore assoluto maggiore di formula_22:
Si noti inoltre che formula_33 è la sua stessa funzione inversa, quindi per ottenere il logaritmo naturale di un certo numero formula_34 è sufficiente sostituire formula_35 al posto di formula_3.
Una serie esotica dovuta a Bill Gosper è la seguente:
L'integrale della funzione logaritmo naturale si risolve per parti:
Il logaritmo naturale è fondamentale per rapide integrazioni di funzioni della forma formula_39 che si traducono nella scrittura formula_40: l'integrale di una derivata fratto la sua funzione è uguale al logaritmo naturale del valore assoluto di quella funzione. Si tratta della diretta conseguenza della regola di derivazione per le funzioni composte, ossia:
Cioè
e
Con quest'ultima regola, è possibile calcolare gli integrali della tangente e della cotangente sfruttando le loro definizioni:
Da cui ponendo formula_46 si ha che formula_47 e quindi:
dove formula_50 è la costante reale arbitraria degli integrali indefiniti.
Prima della diffusione delle calcolatrici, la formula del cambio di base logaritmica era necessaria per il calcolo dei logaritmi neperiani, riportandoli su base formula_13. È ancora utile per ottenere l'ordine di grandezza di un numero neperiano (che è appunto una potenza di formula_13):
che diventa:
Alla fine delle tavole dei logaritmi, la tabella di trasformazione riportava i valori di:
e


In matematica, la potenza è un'operazione che associa a una coppia di numeri formula_1 e formula_2 detti rispettivamente base ed esponente, il numero dato dal prodotto di formula_3 fattori uguali ad formula_1:
in questo contesto formula_1 può essere un numero intero, razionale o reale mentre formula_3 è un numero intero positivo. Con opportune ipotesi su formula_1 è possibile considerare anche altri valori numerici per gli esponenti, ad esempio esponenti interi (anche non positivi), razionali o reali.
Le potenze scritte nella forma formula_9 si leggono come "formula_1 elevato alla formula_3" o più semplicemente "formula_1 alla formula_3". L'esponente è usualmente rappresentato come apice immediatamente a destra della base.
Alcuni esponenti hanno un loro nome. L'esponente due è spesso indicato come "al quadrato" (un numero alla seconda rappresenta l'area di un quadrato che abbia per lato quel valore) e l'esponente formula_14 come "al cubo" (un numero alla terza rappresenta il volume di un cubo che abbia per spigolo quel valore).
Esempi:
L'operazione si estende ad formula_19 ponendo per ogni formula_20
e ad formula_3 negativi ponendo
Ad esempio,
Le seguenti proprietà sono di immediata verifica nel caso in cui gli esponenti siano numeri interi positivi:
Estraendo fino ad avere formula_27 otteniamo il seguente risultato:
formula_28
Notiamo che la definizione formula_36 risulta ora più comprensibile poiché è consistente con le proprietà appena viste, infatti:
Si noti che formula_38 è un prodotto vuoto e pertanto è uguale a formula_39
E lo stesso vale per la definizione di formula_40, infatti:
Dato un numero reale non negativo formula_1 e un numero intero positivo formula_2 si chiama radice formula_3-esima di formula_1 quel numero reale non negativo formula_46 tale che formula_47, tale numero si indica con formula_48.
Da questa definizione si ha subito che
per ogni numero reale non negativo formula_1. Quindi è ragionevole (in virtù delle proprietà delle potenze) porre
In questo modo le proprietà delle potenze sono ancora rispettate, infatti
come avviene per la radice formula_3-esima.
Più in generale la definizione di potenza può essere estesa ulteriormente, con alcune restrizioni, consentendo all'esponente di essere un numero razionale formula_54, con formula_55 e formula_56 interi primi tra loro e formula_57, se si pone:
In questo caso:
Trascurando tali restrizioni e l'ipotesi formula_55 e formula_56 primi tra loro si cade in assurdi quali:
Il passaggio errato è il terzo, in quanto formula_69 non è definito in formula_70.
È possibile estendere la definizione dell'operazione di elevamento a potenza anche ai casi in cui base ed esponente sono dei generici numeri reali (con la base però sempre positiva) facendo in modo che si conservino le regole di operazione tra potenze e che la funzione potenza risultante sia una funzione continua, e questa estensione è unica. Si può in tal modo dare senso a espressioni come formula_71 o e.
Definiamo inizialmente formula_72 con la base formula_73 e l'esponente formula_74, entrambi numeri reali.
Possiamo scrivere formula_46 nella sua rappresentazione in base formula_76 con la scrittura:
La successione formula_78 dei numeri
è una successione di numeri razionali crescente che tende a formula_46.
La potenza formula_85 ha esponente razionale, quindi è stata definita.
La successione di numeri reali
è una successione anch'essa crescente (poiché formula_73), risulta quindi naturale definire il valore di formula_72 come l'estremo superiore di tale successione:
Nel caso in cui la base fosse un numero compreso tra formula_93 e formula_94 si può definire:
poiché formula_96 in questo caso è maggiore di formula_94 e quindi il secondo membro è definito.
Difatti, essendo formula_98, si ha la seguente successione di numeri reali (considerando formula_78 come prima):
che è una successione decrescente e quindi si può porre, in questo caso, formula_104.
