
In matematica, la divisione dei polinomi è un algoritmo che permette di trovare il quoziente tra due polinomi, di cui il secondo di grado non superiore al grado del primo. È un'operazione che si può svolgere a mano, poiché spezza il problema in varie divisioni tra monomi, facilmente calcolabili.
Ricordiamo che, se i polinomi sono a coefficienti reali (o più in generale in un campo) per ogni coppia di polinomi formula_1 e formula_2 esistono "unici" altri due polinomi formula_3 e formula_4 tali che:
posto che il grado di formula_4 sia minore di quello di formula_2. Questo fatto è proprio degli anelli euclidei, come sono gli anelli di polinomi costruiti su un campo.
Il grado di formula_8 sarà equivalente invece alla differenza tra il grado di formula_9 e quello di formula_10.
Nel caso in cui formula_11, formula_1 sarebbe divisibile per formula_10.
L'algoritmo comporta l'esecuzione dei seguenti passi:
Per comprendere meglio l'algoritmo di divisione dei polinomi, in seguito viene svolto un esercizio a titolo d'esempio.
Dividiamo il polinomio
per il polinomio
Scriviamo i due polinomi formula_1 e formula_2 come nel modo illustrato più sopra. Così che ognuno dei due polinomi sia ordinato per grado (in modo decrescente) e siano esplicitati anche i monomi con coefficiente 0.
Dividiamo il termine di grado massimo di formula_1, che risulta essere formula_19, per il termine di grado massimo di formula_2, che è formula_21 e scriviamo il risultato sotto formula_2.
Ora scriviamo, sotto formula_1, il polinomio ricavato moltiplicando il risultato della divisione dei termini di grado massimo, per il polinomio formula_2. Bisogna tenere conto dei termini con coefficiente nullo.
Si può notare che, come già detto nel caso generale, i termini di grado maggiore di formula_1 e del polinomio scritto sotto formula_1, sono uguali.
Ora sottraiamo formula_1 con il polinomio scritto al di sotto per ottenere il polinomio formula_28.
Il grado di formula_29 è maggiore di quello di formula_2, dunque iteriamo il procedimento.
Dividiamo il termine di grado massimo di formula_31 che risulta essere formula_32 per il termine di grado massimo di formula_2 e scriviamo il risultato accanto a quello ottenuto precedentemente.
Ora, come nel passo 3, moltiplichiamo il risultato della divisione appena eseguita che, nel nostro esempio risulta essere formula_34, per il polinomio formula_2 e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto formula_28.
Eseguiamo la sottrazione tra il polinomio formula_28 e il polinomio scritto sotto per ottenere formula_38.
Dato che il grado di formula_38 non è inferiore a quello di formula_2 dobbiamo iterare ancora un'altra volta il procedimento.
Dividiamo il termine di grado superiore di formula_38 per il termine di grado superiore di formula_2.
Moltiplichiamo formula_2 per il risultato della divisione appena eseguita e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto formula_38.
Eseguiamo la sottrazione tra formula_38 e il polinomio scritto sotto per ottenere il polinomio formula_46.
Siamo giunti a formula_47, che ha grado strettamente minore di formula_15, dunque il resto è
e il quoziente della nostra divisione è
possiamo quindi scrivere
Una versione più sintetica di questo procedimento è attuabile quando il divisore "B" è della forma formula_52 o formula_53, un binomio di primo grado. Tale regola è stata esposta da Paolo Ruffini per la prima volta nel 1810.


In matematica, il grafico di una funzione è l'insieme delle coppie ordinate costituite dagli elementi del dominio e dalle rispettive immagini.
Data una funzione formula_1, si definisce grafico di formula_2 il sottoinsieme del prodotto cartesiano formula_3 (cioè una relazione tra gli insiemi formula_4 e formula_5) dato da:
Per una funzione reale di variabile reale formula_7, il grafico formula_8 è il sottinsieme di formula_9 dato da formula_10. Per funzioni continue su un intervallo il grafico può essere visto come una curva in formula_9; la curva è inoltre «liscia» sugli intervalli in cui la funzione è regolare (ossia differenziabile).
Nel caso di una funzione reale di due variabili reali formula_12 definita su un sottinsieme del piano "x"-"y", il grafico è dato da:
La sua rappresentazione è tridimensionale per cui ad ogni punto del piano corrisponde un'ordinata formula_14 nello spazio. In alternativa si può usare il metodo delle curve di livello. In tal caso le curve di livello della funzione formula_15 sono date dall'insieme:
dove formula_17 è una costante in generale intera. La sua rappresentazione è quindi una famiglia di curve in cui ogni curva rappresenta un'altezza diversa del grafico. In pratica le curve sono le curve di intersezione del grafico formula_14 con i vari piani formula_19.
Si supponga che formula_4 e formula_5 siano spazi di Banach, e che formula_22 sia un operatore lineare. Il teorema del grafico chiuso afferma che formula_23 è continuo (e dunque limitato) se e solo se il suo grafico è chiuso nello spazio formula_3 dotato della topologia prodotto.
La restrizione sul dominio è necessaria a causa dell'esistenza di operatori lineari chiusi illimitati, che non sono necessariamente continui.
