
Secondo la definizione moderna della geometria, il raggio di un cerchio o di una sfera è un segmento di retta avente un estremo sulla circonferenza o superficie sferica e l'altro estremo nel centro della figura. Per estensione si definisce raggio di un cerchio o di una sfera anche la lunghezza di un tale segmento. Il raggio misura la metà del diametro.
Più generalmente — in geometria, ingegneria, teoria dei grafi, e in molti altri settori — il raggio di qualcosa (per esempio di un cilindro, di un grafo, o di un componente meccanico) è la distanza dei suoi punti più esterni dal centro o asse.
La definizione di raggio data per i cerchi e per le sfere si lascia estendere naturalmente al caso di iperspazi con più di tre dimensioni. Generalmente, un segmento che congiunge un punto di un'ipersfera al suo centro è un raggio dell'ipersfera.
In una spirale il raggio è una funzione dell'angolo. Tutte le circonferenze sono assimilabili a spirali con raggio costante.
Il raggio formula_1 di un cerchio avente diametro formula_2 è
Il raggio formula_1 di un cerchio avente circonferenza formula_5 è
Il raggio formula_1 di un cerchio avente area formula_8 è
Il raggio formula_1 della circonferenza che attraversa tre punti non collineari formula_11 è dato da
dove formula_13 è l'angolo formula_14 La formula è calcolata utilizzando il teorema dei seni.
Con riferimento alla figura a destra, lo stesso raggio formula_1 può anche essere espresso nel modo seguente:
dove formula_17 indica la lunghezza del segmento di estremi formula_18 e formula_19 mentre formula_20 è l'angolo formula_21
Pertanto, se consideriamo tre punti di coordinate formula_22 e formula_23 il raggio della circonferenza che li attraversa è dato da:
Il raggio medio formula_1 di un'ellisse è definito come il raggio di un cerchio di area (superficie) uguale a quella dell'ellisse.
È uguale alla radice quadrata del prodotto dei due semiassi dell'ellisse:
Si definisce "cerchio principale" di un'ellisse, il cerchio con centro nel centro dell'ellisse e di raggio formula_27 uguale al semiasse maggiore dell'ellisse.
Si definisce "cerchio secondario" di un'ellisse, il cerchio con centro nel centro dell'ellisse e di raggio formula_28 uguale al semiasse minore dell'ellisse.
Il raggio di un poligono regolare è il segmento che unisce il centro a uno dei suoi vertici. Pertanto, la lunghezza di tale segmento è uguale al raggio della circonferenza circoscritta al poligono.
Il raggio formula_1 di un poligono di formula_30 lati di lunghezza formula_31 ciascuno, è dato da:
Il raggio in funzione della lunghezza dell'apotema formula_33, è dato da:
Raccogliendo tutte le costanti (nella prima delle due formule), si può scrivere che il raggio formula_1 del poligono è formula_36, ed è dato da formula_37 con formula_38
Si arriva così alla tabella dei seguenti numeri fissi:
che, noti la lunghezza e il numero di lati, permette di calcolare il raggio del poligono.
Il raggio formula_1 di un ipercubo formula_2-dimensionale e lato formula_31, è:


In geometria il punto è un concetto primitivo. Intuitivamente equivale ad un'entità adimensionale spaziale, per cui può essere considerato semplicemente come una posizione, cioè come una coordinata.
In topologia ed analisi matematica, viene spesso chiamato punto un elemento qualunque di uno spazio topologico e, in particolare, di uno spazio funzionale.
Negli "Elementi" di Euclide, al punto è riservata la prima delle definizioni del I libro, dove si indica che punto è ciò che non ha parti. Il punto è l'ente fondamentale della geometria ed è privo di una qualsiasi dimensione. Tale definizione è di tipo "ostensivo" cioè non ha una valenza logica ma che serve ad indicare ciò di cui ci si vuole occupare.
Con l'assiomatizzazione rigorosa della geometria effettuata da David Hilbert nei Grundlagen der Geometrie il punto, assieme alla retta ed al piano, diventa una delle nozioni primitive della geometria e quindi non è definito. Da notare che sarebbe possibile anche fondare la geometria assumendo come primitiva la nozione di regione e definendo i punti tramite opportune classi di "regioni sempre più piccole". Ricerche in tale direzione, che iniziano con alcune analisi di Alfred North Whitehead, vanno sotto il nome di "Geometria senza punti".
Molti preferiscono dare una definizione di questi tre enti fondamentali della geometria e definiscono il punto l'ente che, pur essendo reale, non ha dimensioni.
Un punto nella geometria euclidea non ha grandezze di alcun tipo (volume, area, lunghezza), e nessuna caratteristica in generale tranne la sua posizione. I postulati di Euclide asseriscono in alcuni casi l'esistenza di punti; un esempio: se due linee in un piano non sono parallele, c'è esattamente un punto che appartiene ad entrambe.
Tre o più punti nello spazio si dicono allineati se sono contenuti in una retta. Quattro o più punti nello spazio si dicono complanari se sono contenuti in un piano.
Nella geometria euclidea il punto è in relazione con gli altri enti geometrici fondamentali, quali la retta e il piano. Ad esempio:
Nella geometria cartesiana del piano e dello spazio euclideo un punto è identificato da un insieme ordinato di coordinate. Quindi un punto nello spazio tridimensionale è rappresentato da una terna ordinata di numeri, ad esempio: formula_1
In generale, un punto in uno spazio euclideo di dimensione formula_2 è una successione di formula_2 numeri. In questo contesto i punti possono essere identificati con i vettori (applicati nell'origine).
Le proprietà elencate sopra possono essere estese ad uno spazio euclideo di dimensione arbitraria nel modo seguente:
Oppure possono essere estese a oggetti "curvi", quali curve e superfici, ad esempio nel modo seguente:
