
In matematica, una radice di una funzione formula_1 è un elemento formula_2 nel dominio di formula_1 tale che formula_4. La definizione quindi generalizza la nozione di radicale, che è in questa chiave la radice delle funzioni della forma:
Questa definizione è molto importante in algebra quando formula_1 è un polinomio, per cui si parla anche di "zero".
In analisi complessa le radici di un polinomio sono dette zeri. Il teorema fondamentale dell'algebra garantisce l'esistenza di un numero di radici (contate con molteplicità) uguale al grado del polinomio.
Tra i casi non polinomiali più studiati, l'ipotesi di Riemann è una famosa congettura riguardante gli zeri della funzione zeta di Riemann.
Sia formula_7 una funzione fra due insiemi, tale che formula_8 contiene un elemento "zero". Ad esempio, formula_8 può essere l'insieme dei numeri reali, interi, o un qualsiasi altro gruppo. Un elemento formula_10 è una radice di formula_1 se
in altre parole, se l'immagine di formula_2 tramite formula_1 è zero (vedi la voce nucleo per una trattazione da un punto di vista algebrico).
Denotiamo con formula_15 l'insieme dei numeri reali. Si consideri la funzione polinomiale formula_16 data da:
Il numero 3 è radice di formula_1, perché formula_19. Più in generale, le radici di una funzione formula_16 sono i punti in cui il grafico di formula_1 interseca l'asse formula_2. Tra queste, la funzione esponenziale non ha radici, mentre la funzione seno ne ha infinite.
Si definisce la molteplicità di una radice formula_23 di un polinomio formula_24 come il numero naturale formula_25 tale che
dove formula_27 è diverso da zero. In altre parole, per il teorema di Ruffini, formula_25 è il numero di volte in cui possiamo dividere formula_29 per formula_30.
Se il polinomio formula_29 si "spezza" come
allora la molteplicità di formula_23 è il numero di volte che compare fra i vari formula_34. La molteplicità è però definita in generale, anche nel caso in cui il polinomio non si possa fattorizzare, perché siamo nel campo dei numeri reali, o semplicemente perché non riusciamo a farlo: ad esempio si vede subito che il polinomio
ha la radice zero con molteplicità 2, infatti
e 0 non è radice di formula_37.
Usando il teorema di Ruffini si dimostra facilmente per induzione che un polinomio formula_24 di grado formula_25 ha al più formula_25 radici, nel modo seguente: 
Sempre usando il teorema di Ruffini, si vede che formula_29 ha formula_25 radici se e solo se possiamo scrivere
dove formula_61 sono numeri reali distinti (le radici di formula_29).
Radici multiple e valore della derivataIl teorema di Ruffini permette di osservare facilmente che se formula_63 è una radice con molteplicità superiore a 1, allora la derivata del polinomio si annulla in formula_63 ,cioè formula_65.
Basta osservare che il polinomio si scompone come formula_66 e che calcolando la derivata, si ottiene un polinomio multiplo di formula_67
Equazione formula_68 (con formula_69 polinomio di grado formula_25)L'equazione è equivalente a formula_71. Poiché formula_72 è un polinomio di grado formula_25, l'equazione ammette sempre "n" radici (tenuto conto delle radici multiple). È possibile dimostrare che esistono al massimo formula_47 valori di formula_75 per cui l'equazione ammette radici multiple (equivalentemente: esistono al massimo formula_47 valori di formula_75 per cui la controimmagine formula_78 ha cardinalità inferiore a formula_25).
La dimostrazione utilizza quanto detto sopra rispetto al fatto che se formula_23 è una radice con molteplicità superiore a 1, allora la derivata formula_81 si annulla.
Un polinomio in una variabile a coefficienti reali è interpretabile come una particolare funzione formula_82. Lo studio delle radici di un dato formula_29 è stato sempre un problema centrale nello sviluppo della matematica, che equivale a risolvere l'equazione formula_50, il cui grado è pari al grado di formula_29. Il teorema di Niels Henrik Abel e Paolo Ruffini asserisce che non esistono sempre formule analoghe per le equazioni di grado maggiore al quarto, per cui è necessario l'ausilio della teoria dei gruppi. Alcune di queste sono tuttavia riconducibili con la Regola di Ruffini a equazioni di grado minore o uguale al quarto, per cui la soluzione sotto forma di radicale esiste sempre.
Un polinomio a coefficienti reali di grado dispari ha sempre una radice reale, mentre esistono polinomi di grado pari (arbitrariamente alto) che non ne hanno. In particolare:
Un polinomio reale può non avere radici: ad esempio formula_86 non ne ha, perché formula_87 per ogni formula_88. Per questo motivo sono stati introdotti i numeri complessi, che soddisfano molte proprietà mancanti ai numeri reali. Visto nel campo dei numeri complessi, lo stesso polinomio formula_86 ha due radici: formula_90.
Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce infatti che un qualsiasi polinomio formula_29 a coefficienti complessi ha almeno una radice (il campo complesso è "algebricamente chiuso"). Usando il teorema di Ruffini come sopra, si dimostra come conseguenza che formula_29 si può sempre scrivere come
dove formula_61 sono numeri complessi non necessariamente distinti.
Viene in aiuto, per calcolare gli zeri di funzioni non polinomiali, l'analisi numerica, che ha sviluppato vari metodi iterativi che, seppur non fornendo il valore esatto del punto, vi si avvicinano con approssimazioni accettabili. I metodi principali sono:


In matematica una funzione costante (a volte anche chiamata collasso) è una funzione i cui valori non variano, e rimangono quindi costanti al variare della variabile indipendente nel suo dominio. 
Una funzione formula_1 tra due insiemi è costante se e solo se esiste un formula_2 in formula_3 per cui formula_4 per ogni formula_5 in formula_6. La funzione formula_7 assume cioè lo stesso valore formula_2 su tutti gli formula_5 in formula_6.
Ad esempio, la funzione formula_11 definita sui numeri reali data da formula_12 (indipendentemente da formula_5) è costante.
In termini più astratti, una funzione formula_1 è costante se e solo se vale la seguente "proprietà universale": 
Questa proprietà dice che la funzione costante è un "morfismo costante" nella categoria delle funzioni.
