
In matematica, una funzione formula_1 si dice invertibile se esiste una funzione formula_2 tale che
più formalmente,
dove formula_9 indica la funzione composta e formula_10 indica la funzione identità su formula_11.
Se formula_12 è invertibile, allora la funzione formula_13 della definizione è unica; quest'unica funzione formula_13 è detta funzione inversa di formula_12 e viene indicata con formula_16 (coerentemente con la notazione per l'elemento inverso rispetto alla composizione).
Se una funzione è invertibile, allora è biiettiva, ovvero è sia iniettiva che suriettiva. Infatti, con le notazioni di cui sopra
Viceversa, se formula_12 è una biiezione, allora possiamo definirne un'inversa formula_13, stipulando che formula_26 sia quell'unico elemento formula_4 tale che formula_28; infatti tale formula_29 esiste per la suriettività, ed è unico per l'iniettività. Inoltre risulta formula_30 per ogni formula_31 e formula_32 per ogni formula_33.
Una funzione formula_34 ammette un'inversa destra (in alcuni contesti sezione) se esiste una funzione formula_35 tale che
Con l'assioma della scelta, una funzione ammette un'inversa destra se e solo se è suriettiva.

In matematica, le funzioni trigonometriche inverse sono un insieme di funzioni strettamente collegate alle funzioni trigonometriche. Le funzioni inverse principali sono elencate nella seguente tabella.
Talvolta vengono utilizzate le notazioni formula_1, formula_2, etc in luogo di arcsin, arccos, etc, ma questa notazione ha lo svantaggio di creare confusione, per esempio, fra formula_3 e formula_4, sebbene il contesto sia generalmente sufficiente a chiarire l'ambiguità.
Nei linguaggi di programmazione al computer le funzioni arcsin, arccos, arctan sono generalmente chiamate asin, acos, atan. Molti linguaggi di programmazione forniscono anche la funzione con due argomenti atan2, che calcola l'arcotangente di "y"/"x" dati "y" ed "x", ma in un intervallo di [-π,π].
Analogamente al seno ed al coseno, le funzioni trigonometriche inverse si possono in alternativa definire in termini di serie infinite.
Queste funzioni si possono anche definire dimostrando che sono integrali di altre funzioni.
È possibile esprimere queste funzioni usando i logaritmi naturali. Ciò permette di estendere in modo naturale il loro dominio all'intero piano complesso.
Queste relazioni si possono dimostrare elementarmente tramite l'espansione delle funzioni trigonometriche alla forma esponenziale.
Sia formula_25
Le derivate delle funzioni trigonometriche inverse valgono:
Questi risultati si ottengono facilmente derivando la forma logaritmica mostrata sopra.
Tutti questi integrali si ricavano integrazione per parti e le derivate elencate al paragrafo precedente.
È possibile combinare la somma o differenza di due funzioni trigonometriche inverse in un'espressione dove la funzione trigonometrica compare una sola volta:
