
Un'equazione (dal latino "aequatio") è una uguaglianza matematica tra due espressioni contenenti una o più variabili, dette "incognite". L'uso del termine risale a Leonardo Fibonacci.
Se un'equazione ha formula_1 incognite, allora ogni formula_1-upla (ordinata) di elementi che sostituiti alle corrispondenti incognite rendono vera l'uguaglianza è una "soluzione" dell'equazione. Risolvere un'equazione significa individuare l'insieme di tutte le sue soluzioni.
Il "dominio" (o "insieme di definizione") delle variabili incognite è l'insieme degli elementi per cui le espressioni ad ambo i membri dell'equazione sono definite, ovvero quell'insieme di numeri per cui l'equazione esiste. L'insieme delle soluzioni è condizionato dal dominio: per esempio l'equazione
non ammette soluzioni se il dominio è l'insieme dei numeri razionali, mentre ammette due soluzioni nei numeri reali, che possono essere scritte come formula_4. Analogamente, l'equazione
non possiede soluzioni reali ma è risolvibile se il dominio è il campo dei numeri complessi.
Due equazioni si dicono "equivalenti" se i rispettivi insiemi delle soluzioni coincidono. Vi sono due principi che consentono di manipolare le equazioni per trovare l'insieme delle soluzioni; essi sono una conseguenza diretta delle proprietà delle uguaglianze:
Tipicamente in un'equazione compaiono, oltre alle incognite, dei coefficienti noti che moltiplicano le incognite stesse e dei termini noti che sono ad esse applicati tramite somma algebrica: questi elementi, se non sono esplicitati nel loro valore numerico, sono indicati in genere con le lettere formula_13, formula_14, formula_15... mentre alle variabili incognite sono convenzionalmente attribuite le ultime lettere dell'alfabeto (formula_16, formula_17, formula_18...).
Le soluzioni di un'equazione vengono generalmente indicate esplicitando le incognite delle espressioni che contengano le costanti ed eventuali parametri arbitrari. Ad esempio, la soluzione dell'equazione
dove formula_13 è un parametro non nullo, e il dominio è l'insieme dei numeri reali, si scrive come
Un'equazione si dice:
Dal teorema fondamentale dell'algebra, segue immediatamente che un'equazione polinomiale (cioè formata da un polinomio uguagliato a zero, in una variabile) di grado formula_1 ammette sempre formula_1 soluzioni nel campo complesso, di cui alcune possono essere multiple. In altre parole, un'equazione di grado formula_1 ammette almeno formula_25 soluzione e al massimo formula_1 soluzioni complesse differenti.
Per il teorema di Abel-Ruffini, non esiste una formula generale per esprimere le radici delle equazioni polinomiali di grado formula_27 o superiore tramite una formula per radicali. Viceversa le equazioni di primo grado, secondo grado, terzo grado e quarto grado ammettono una formula risolutiva generica. Casi particolari di equazioni di grado superiore al quarto possono comunque essere risolti tramite radicali.
Il metodo delle tangenti di Newton, sotto determinate ipotesi, fornisce un algoritmo per la risoluzione numerica delle equazioni. Un altro algoritmo con ipotesi più generali è il metodo di bisezione. Le soluzioni trovate mediante metodi numerici vengono chiamate "approssimate" in contrapposizione alle soluzioni date da formule chiuse che vengono chiamate "esatte". La nomenclatura è in parte fuorviante perché i metodi approssimati possono, in alcuni casi, determinare in maniera più precisa e più veloce le soluzioni numeriche di una equazione rispetto alle formule chiuse.
Una prima classificazione delle equazioni può avvenire in questo modo:
Le equazioni algebriche possono essere divise in vari gruppi in base alle loro caratteristiche; è necessario ricordare che un'equazione deve appartenere ad almeno e solo una delle categorie per ogni gruppo.
In base al grado del polinomio:
Possono inoltre essere divise in base alla presenza di incognite al radicando di radici:
Si definisce "equazione omogenea", un'equazione algebrica in più variabili i cui termini hanno tutti lo stesso grado. Un'equazione omogenea ammette sempre la soluzione banale con tutte le variabili uguali a formula_28 e, su un campo algebricamente chiuso, ammette sempre infinite soluzioni, infatti da ogni soluzione se ne ottengono infinite altre alterandole per un fattore di proporzionalità. Ad esempio:
ha per soluzioni, sul campo dei numeri complessi la coppia formula_30 e formula_31 e la coppia formula_32 e formula_33 con formula_34 e formula_35 numeri complessi qualsiasi.
Non è vero su un campo non algebricamente chiuso, infatti l'equazione omogenea
ammette come unica soluzione, sul campo dei numeri reali, la coppia formula_37 e formula_38.
Le equazioni trascendenti coinvolgono almeno un'incognita come argomento di una funzione non polinomiale. Le più comuni categorie di equazioni trascendenti sono:
Le equazioni con valori assoluti contemplano oltre le incognite la presenza del valore assoluto di espressioni algebriche o trascendenti. Possiamo aver quindi:
Le equazioni funzionali hanno almeno un'incognita che è una funzione. Le più comuni categorie di equazioni funzionali sono:
In base alla presenza di altre espressioni letterali tutte le equazioni possono essere divise in:


In matematica, per risolvere un'equazione si intende la ricerca degli elementi (numeri, funzioni, insieme, ecc.) che soddisfino la rispettiva equazione (due espressioni unite da un'uguaglianza). Queste espressioni contengono una o più incognite, che sono variabili libere per le quali sono cercati i valori che fanno sì che la condizione espressa dall'equazione sia soddisfatta. Per essere precisi, di solito si intende che questi valori non sono necessariamente valori reali, ma, in realtà, spesso sono espressioni matematiche. Una soluzione dell'equazione è un'assegnazione di espressioni alle incognite che soddisfi l'equazione, in altre parole, quando questi risultati vengono sostituiti alle incognite, l'equazione diventa una tautologia (un'affermazione dimostrabilmente vera).
Per esempio, l'equazione 
è risolvibile nell'incognita formula_2 da 
in quanto sostituendo formula_2 con formula_5 l'equazione sarà formula_6, un'affermazione vera. È anche possibile prendere in considerazione la variabile formula_7, e quindi la soluzione questa volta sarà formula_8. Oppure formula_2 and formula_7 possono essere trattate entrambe come incognite, e in questo caso ci sono più soluzioni dell'equazione, tra cui, ad esempio, formula_11 (cioè formula_12 e formula_13), formula_14, ed in generale formula_15 per ogni valore possibile formula_16.
A seconda del problema, il compito potrebbe essere quello di trovare una soluzione, o qualche soluzione, o tutte le soluzioni. L'insieme di tutte le soluzioni è detto insieme delle soluzioni. È anche possibile che l'obiettivo sia quello di trovare, tra le possibili, la soluzione migliore sotto qualche aspetto. Problemi di questo tipo sono chiamati problemi di ottimizzazione; risolvere un problema di ottimizzazione non è in genere chiamato "risoluzione di un'equazione".
Un'affermazione come" "un'equazione in formula_2 e formula_7"", o ""risolvere per formula_2 e formula_7"", significa che le incognite sono quelle indicate: in questo caso formula_2 e formula_7.
In un caso generale, abbiamo una situazione come:
dove formula_38 è una costante, che ha un insieme delle soluzioni formula_39 della forma:
dove formula_41 è il dominio della funzione. Si noti che l'insieme delle soluzioni può avere cardinalità arbitraria. Ad esempio:
Ad esempio, un'espressione come:
può essere risolto, per prima cosa si cerca di riscriverla in modo più leggibile matematica senza però modificare l'uguaglianza ad esempio possiamo portare tutto al primo membro sottraendo formula_46 da entrambi i lati dell'equazione ottenendo:
In questo caso particolare non vi è solo uno soluzione dell'equazione, ma un insieme infinito di soluzioni, che può essere scritto:
Una particolare soluzione è formula_49, formula_50, formula_51. In realtà, questo particolare insieme di soluzioni descrive un piano in tre dimensioni, che passa per il punto formula_52
se l'insieme delle soluzioni è vuoto, allora non ci sono formula_53 tali che:
diventa vera per un determinato formula_38.
Per esempio, esaminiamo il classico caso di una variabile, data una funzione:
Consideriamo l'equazione:
L'insieme soluzione è formula_43, in quanto nessun numero reale positivo risolve l'equazione. Tuttavia nel tentativo di trovare la soluzioni per l'equazione, se si modifica la definizione della funzione, più specificamente, della funzione del "dominio", siamo in grado di trovare la soluzioni a questa equazione. Quindi, se definiamo:
ha una serie di soluzioni formula_61, dove formula_62 è l'unità immaginaria. Questa equazione ha esattamente due soluzioni.
Abbiamo già visto che alcuni insiemi di soluzioni sono in grado di descrivere le superfici. Per esempio, nello studio della matematica elementare, si sa che l'insieme delle soluzioni di un'equazione in forma formula_63 con formula_16, formula_65, e formula_38 numeri reali a valori costanti, rappresenta una linea in uno spazio vettoriale formula_67 (cioè bidimensionale). Tuttavia, non sempre è facile rappresentare graficamente l'insiemi delle soluzioni.
Per esempio, la soluzione di un'equazione della forma formula_68 (con formula_16, formula_65, formula_38, formula_72, e formula_73 valori reali costanti) è un iperpiano formula_74.
I metodi per risolvere le equazioni, in generale, dipendono dal tipo di equazione, sia il tipo di espressioni nell'equazione che il tipo di valori che possono assumere le incognite. La varietà di tipi di equazioni è vasta, tanto quando i corrispondenti metodi risolutivi. Di seguito saranno trattati solo alcuni tipi specifici, un completo esame non è possibile.
In generale, data una classe di equazioni, può accadere che non esista un metodo sistematico (algoritmo) che garantisce la soluzione. Ciò può essere dovuto ad una mancanza di conoscenze matematiche, infatti alcuni problemi sono stati risolti solo dopo secoli di sforzo. Ma questo fa riflettere anche che, in generale, tale metodo non può esistere: alcuni problemi sono noti per essere irrisolvibili da un algoritmo, come il decimo problema di Hilbert, che è stato dimostrato irrisolvibile nel 1970.
Per le diverse classi di equazioni sono stati trovati algoritmi per risolverli, alcuni dei quali sono stati attuati e inseriti in sistemi di algebra computazionale, ma spesso richiedono solo "carta e penna". In altri casi, i metodi euristici conosciuti hanno spesso successo, ma non è garantito che portino al successo.
Se la soluzione di un'equazione è limitata, cioè è un insieme finito (come nel caso delle equazioni in aritmetica modulare, per esempio), o può essere limitata a un numero finito di possibilità (come nel caso di alcune equazioni diofantee), l'insieme delle soluzioni può essere trovato con la forza bruta, cioè verificando tutti i possibili valori e controllando se essi risolvono l'equazione. Può succedere, però, che il numero di possibilità da considerare, anche se finito, sia così grande che una ricerca con questo metodo è praticamente impossibile; su questa difficoltà si basano alcuni metodi di crittografia.
Come con tutti i tipi di problemi, procedere per tentativi ed errori può talvolta produrre una soluzione, in particolare quando la forma di un'equazione, o la sua somiglianza ad un'altra equazione nota (già risolta), possa portare ad un"'intuizione ispirata" della soluzione. Se un'intuizione, quando venga testata, non porta una soluzione, lo studio del modo in cui essa non funziona può portare ad una modifica e quindi alla soluzione.
Equazioni che coinvolgono semplici funzioni razionali o lineare, con una sola incognita appartenente al insieme dei reali, diciamo formula_2, come:
può essere risolta con metodi di algebra elementare, e applicando i principi di equivalenza.
I piccoli sistemi di equazioni lineari possono essere risolti con i metodi dell'algebra elementare. Per la risoluzione di sistemi di grandi dimensioni numeriche, gli algoritmi utilizzati si basano sull'algebra lineare.
I polinomi con grado minore al quinto possono essere risolte con metodi algebrici, tra cui ad esempio la formula quadratica è la più semplice. Equazioni polinomiali con un grado superiore al quinto richiedono metodi numerici (vedi sotto) o funzioni speciali come il trasporto di radicali.
Nelle equazioni diofantee le soluzioni devono appartenere ai numeri interi. In alcuni casi per risolverle può essere utilizzato un approccio mediante forza bruta, come indicato sopra. In altri casi, in particolare se l'equazione è ad una incognita, è possibile risolvere l'equazione per i valori razionali dell'incognita (vedi Teorema delle radici razionali), e quindi per trovare le soluzioni dell'equazione diofantea si limita la soluzione solo ai valori interi dell'insieme delle soluzioni. Ad esempio, l'equazione polinomiale
ha come soluzioni razionali formula_78 e formula_79, ma essendo un'equazione diofantea l'unica soluzione è formula_80.
Nel semplice caso di una funzione ad una variabile, per esempio, formula_81, possiamo risolvere un'equazione con la forma:
considerando che è nota la "funzione inversa" di formula_84.
Infatti, data una funzione formula_85, la funzione inversa (indicata con formula_86) e determinata da formula_87 è funzione tale che:
Ora, se applichiamo la funzione inversa a entrambi i membri della funzione:
otteniamo
e abbiamo trovato la soluzione dell'equazione. Tuttavia, a seconda della funzione, la funzione inversa può essere difficile da definire, o non può essere una funzione inversa se tutti i valori dell'insieme di formula_93 (o un sottoinsieme) non hanno un solo valore in formula_94.
Esempi di funzioni inverse includono la radice n-esima (l'inverso di formula_95), il logaritmo (l'inverso di formula_96), le funzioni trigonometriche inverse, e la funzione W di Lambert (l'inversa di formula_97).
Se il membro sinistro, cioè l'espressione formula_98, di un'equazione formula_99 può essere fattorizzato in formula_100, l'insieme delle soluzioni originale è costituito dall'unione della soluzione dei due insiemi di equazioni formula_101 e formula_102.Ad esempio, l'equazione goniometrica:
può essere riscritta in:
che può essere fattorizzata, utilizzando l'identità formula_105 (a condizione che i componenti siano definiti), diventando:
Le due equazioni formula_107 e formula_108 hanno l'identico insieme delle soluzioni
che è, quindi, la soluzione dell'equazione originale.
Con equazioni più complesse in reali o numeri complessi, i metodi semplici per risolvere l'equazioni possono fallire. Spesso, si può calcolare uno zero della funzione con metodi numerici come il metodo di Newton-Raphson che, per alcune applicazioni, può essere completamente sufficiente per risolvere certi problemi.
Un importante studio della matematica è volto ad esaminare se sia possibile generare qualche semplice funzione per approssimare un'equazione molto complessa ad punto dato. In effetti, polinomi in una o più variabili possono essere utilizzati per approssimare in questo modo le funzioni: queste sono note come serie di Taylor.
Le equazioni che coinvolgono matrici e vettori di numeri reali possono spesso essere risolte utilizzando metodi di algebra lineare.
C'è un vasto elenco di metodi per risolvere vari tipi di equazioni differenziali, sia numericamente che analiticamente. Un metodo per la ricerca di soluzioni analitiche a tempo indeterminato è l'algoritmo di Risch - che purtroppo è troppo complicato per l'uso con carta e penna.
