
Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce che ogni polinomio di grado formula_1 (cioè non costante), su un campo algebricamente chiuso (come il campo dei numeri complessi), del tipo:
ammette esattamente formula_3 radici in quel campo, o zeri. Dal teorema segue che un polinomio complesso ammette esattamente formula_3 radici complesse (contate con la giusta molteplicità), mentre un polinomio reale ammette al più formula_3 radici reali.
Un'enunciazione del teorema in una pubblicazione fu opera del matematico di origine fiamminga Albert Girard nel 1629 nel libro "L'invention en algebre", per quanto anticipata da una formulazione debole da parte di Peter Roth, riportata nei suoi "Arithmetica Philosophica" (1608). Non vi era comunque alcuna dimostrazione. Nel 1702 Leibniz sostenne di aver trovato un controesempio con il polinomio formula_6. Nel 1742 Nicolas Bernoulli e Christian Goldbach in una lettera inviata allo stesso Leibniz dimostrarono l'esistenza di radici complesse del polinomio.
Il primo tentativo serio di dimostrazione del teorema fu operato da d'Alembert nel 1746, il quale però utilizzò un teorema non ancora dimostrato (la dimostrazione fu fatta da Puiseux nel 1751 utilizzando lo stesso teorema fondamentale dell'algebra). Altri tentativi di dimostrazione furono portati avanti nel 1749 da Eulero, Lagrange nel 1772, Laplace nel 1795.
Finalmente nel 1799 Gauss riuscì nell'intento sfruttando i tentativi dei suoi predecessori. Infine, nel 1814 Jean-Robert Argand, un libraio appassionato di matematica, pubblicò un'altra dimostrazione molto più semplice rispetto a quella di Gauss.
Un numero reale è un particolare numero complesso: il teorema è quindi valido per ogni polinomio a coefficienti reali. Ad esempio, si consideri il polinomio
Questo polinomio non ammette nessuna radice reale: i numeri reali non formano un campo algebricamente chiuso. Per il teorema fondamentale dell'algebra, il polinomio ha però almeno una radice complessa: questa è l'unità immaginaria formula_8. Infatti:
Questa non è però l'unica radice. Il polinomio ha grado due e ha due radici complesse formula_10 e formula_11.
Esistono numerose dimostrazioni del teorema fondamentale dell'algebra che coinvolgono settori molto diversi della matematica come la topologia, l'analisi complessa e l'algebra.
Sia formula_12 un polinomio a coefficienti complessi di grado formula_13. 
Abbiamo formula_14, quindi esiste formula_15 tale che 
formula_16 per ogni formula_17 tale che formula_18. 
Il disco chiuso formula_19 è compatto, dunque per il teorema di Weierstrass esiste un punto formula_20 in cui formula_21 assume il suo minimo valore assoluto in formula_22.
Proviamo che formula_23: sviluppando formula_12 in serie di Taylor intorno a formula_25 abbiamo
dove formula_27, formula_28 è intero e formula_29 con formula_30,
notare che la serie di Taylor è finita poiché formula_31 per ogni intero formula_32 essendo formula_12 un polinomio di grado formula_3. Quindi:
dove formula_36 per formula_37. 
Per ogni formula_38 possiamo scegliere formula_17 di modo che formula_40, in tal caso quando formula_41 allora formula_37 quindi per formula_43 sufficientemente piccolo avremo 
pertanto 
ovvero si è trovato un assurdo.
Sia formula_12 un polinomio complesso, tale che formula_47 per ogni formula_48 complesso. Allora la funzione 
è una funzione intera, cioè è una funzione olomorfa su tutto formula_50. D'altra parte
implica
e quindi la funzione formula_53 è limitata. Per il teorema di Liouville formula_53 è costante, da cui segue che anche formula_12 è costante.
Quindi gli unici polinomi senza zeri sono i polinomi costanti.
Consideriamo un polinomio a coefficienti complessi non costante
vogliamo dimostrare che esiste un punto formula_57 tale che formula_58. A tale scopo possiamo considerare il caso in cui formula_59.
Supponiamo per assurdo che formula_60 non ammetta radici, cioè che l'origine non sia nella sua immagine. Consideriamo sul piano complesso la circonferenza di centro l'origine e raggio formula_61 parametrizzata da
Il polinomio formula_60 rappresenta una funzione continua del piano complesso in sé stesso e come tale manderà la circonferenza formula_64 in una curva piana parametrizzata formula_65. La curva così ottenuta non passerà per l'origine dal momento che abbiamo assunto che 0 non è nell'immagine di formula_60, e questo qualunque sia il raggio formula_61. Quindi possiamo considerare l'indice di avvolgimento di formula_65 rispetto all'origine formula_69
Poniamo
Poiché l'indice di avvolgimento non varia per deformazioni della curva tali che questa non tocchi mai l'origine (è un invariante omotopico) la funzione formula_71 sarà continua e poiché l'indice assume solo valori interi dovrà anche essere una funzione costante.
Ora consideriamo il valore di formula_71 per due differenti valori di formula_61:
Il fatto che formula_71 assuma valori differenti per differenti raggi contraddice il fatto che deve essere una funzione costante, e siamo quindi giunti a un assurdo da cui concludiamo che l'ipotesi che formula_60 non avesse nessuna radice è impossibile.
Si dice che il campo complesso formula_50 è un campo algebricamente chiuso per indicare il fatto che 
ogni polinomio di grado maggiore o uguale a 1, a coefficienti complessi, ha almeno una radice in formula_50, come stabilisce il teorema qui esposto. Tale proprietà non è condivisa dai sottocampi formula_108 e formula_109 come si può vedere subito considerando i polinomi 
che non ha radici nel campo formula_108 dei razionali, e
che non ha radici nel campo formula_109 dei reali.


L'aritmetica (dal greco ἀριθμός = numero) è la più antica branca della matematica, quella che studia le proprietà elementari delle "operazioni aritmetiche" sui numeri, specialmente i numeri interi.
È praticata quotidianamente da tutti per scopi molto semplici, come contare oggetti, valutare costi, stabilire distanze; viene utilizzata anche per scopi avanzati, ad esempio in complessi calcoli finanziari o nella tecnologia delle comunicazioni (crittografia).
I matematici talvolta usano il termine aritmetica per indicare la teoria dei numeri; questa disciplina però tratta problemi più avanzati e specifici rispetto all'aritmetica elementare e non viene presa in considerazione nel presente articolo.
La preistoria dell'aritmetica si limita ad un piccolo numero di piccoli artefatti che testimoniano una chiara concezione dell'addizione e della sottrazione; la prima fonte è l'osso d'Ishango rinvenuto nell'Africa centrale, datata circa tra il 20,000 e il 18,000 a.C.
È chiaro che i babilonesi avevano una solida conoscenza di quasi tutti gli aspetti dell'aritmetica elementare già intorno al 1800 a.C., anche se gli storici possono solo avanzare congetture sopra i metodi utilizzati per ottenere i risultati delle operazioni aritmetiche; questo è il caso dei risultati presentati nella tavoletta d'argilla Plimpton 322, che si presenta come una lista di terne pitagoriche; non si ha invece la possibilità di mostrare in qual modo questa lista sia stata originariamente prodotta. Similmente gli egizi, attraverso il Papiro di Rhind (che risale al 1650 a.C. circa, ma che, con ogni evidenza, è una copia di un vecchio testo del 1850 a.C. circa) testimoniano che le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione venivano effettuate all'interno di un sistema basato su frazioni unitarie.
Nicomaco di Gerasa, nella sua opera "Introduzione all'aritmetica", ha presentato concisamente l'approccio filosofico pitagorico ai numeri, e alle loro mutue relazioni. In quei tempi le operazioni aritmetiche di base costituivano attività molto complesse ed impegnative; è stato il metodo noto come il «Metodo degli indiani» (in latino "Modus Indorum"), che ha condotto all'aritmetica che conosciamo oggi. L'aritmetica indiana è stata molto più semplice di quella greca, a causa della semplicità del sistema di numerazione indiano, che per primo è riuscito a servirsi del numero zero e di una notazione posizionale. Nel VII secolo il vescovo siriaco Severo Sebokht menzionava questo metodo con ammirazione, precisando tuttavia che il metodo degli indiani si presentava senza alcuna descrizione.
Gli arabi appresero questo nuovo metodo e lo chiamarono "hesab". Leonardo Fibonacci (noto anche come Leonardo di Pisa), ha introdotto in Europa il metodo degli indiani nel 1202. Nel suo "Liber Abaci", Fibonacci afferma che, rispetto a questo nuovo metodo, tutti gli altri metodi sono stati sbagliati. Nel Medioevo, l'aritmetica era una delle sette Arti Liberali e veniva insegnata nelle università. Francesco Pellos ne compendiò lo stato nel XV secolo.
I moderni algoritmi dell'aritmetica (utilizzati sia per calcoli manuali che per calcoli automatici) sono stati resi possibili dalla introduzione dei numerali arabi e della loro notazione numerica posizionale e decimale. L'aritmetica araba basata sui numerali era stata sviluppata dai grandi matematici indiani Aryabhatta, Brahmagupta e Bhāskara I. Aryabhatta ha tentato di usare diverse notazioni posizionali e Brahmagupta ha arricchito dello zero il sistema numerico indiano. Brahmagupta ha messo a punto i procedimenti moderni per moltiplicazione, divisione, l'addizione e sottrazione basate sulle cifre decimali. Sebbene oggi siano ormai considerati elementari, questi procedimenti per la loro semplicità costituiscono il punto di arrivo di migliaia di anni di sviluppo della matematica. Per contrasto l'antico matematico Archimede ha dedicato un'intera opera, l"'Arenario ", a mettere a punto una notazione per un certo numero intero molto grande. Alla fioritura dell'algebra nel mondo islamico medievale e nell'Europa Rinascimentale ha contribuito in misura significativa anche l'enorme semplificazione dei calcoli numerici consentita dalla notazione decimale.
Il sistema numerico decimale è un sistema di numerazione posizionale che rappresenta i numeri a partire dalle cifre base da 0 a 9. Un numero decimale consiste in una sequenza di queste cifre base. Il valore di ciascuna cifra che compone il numero dipende dalla posizione che la cifra occupa nella notazione. Una parte essenziale di questo sistema (e un grande traguardo concettuale) è stato pensare allo 0 come ad un numero comparabile alle altre cifre base.
Le operazioni aritmetiche tradizionali sono addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, sebbene vengano a volte incluse nella materia anche operazioni più avanzate come l'elevamento a potenza, l'estrazione di radice, i logaritmi e l'uso delle percentuali. I calcoli aritmetici vengono effettuati rispettando l'ordine delle operazioni. Qualunque insieme su cui possono essere effettuate tutte e quattro le operazioni aritmetiche (eccetto la divisione per 0), e in cui le quattro operazioni godono delle comuni proprietà, è chiamato campo.
Il termine "aritmetica" è usato anche per riferirsi alla teoria dei numeri. Quest'ultima studia le proprietà degli interi collegate ai numeri primi, la divisibilità, e le soluzioni intere delle equazioni, che sono argomenti in rapida crescita nella matematica moderna. È in questo contesto che si incontrano il teorema fondamentale dell'aritmetica e le funzioni aritmetiche.
In generale nella scuola elementare vengono insegnati gli algoritmi di calcolo manuali per eseguire le quattro operazioni nell'insieme dei numeri naturali e dei numeri razionali positivi nella forma decimale; nelle medie inferiori gli algoritmi di queste stesse operazioni eseguite su frazioni e vengono introdotti l'insieme dei numeri razionali e quello dei numeri reali.
Sempre alle medie inferiori si studiano le operazioni di elevamento a potenza, di estrazione di radice (in particolare la radice quadrata), di massimo comune divisore e di minimo comune multiplo. Tradizionalmente si insegnava l'algoritmo manuale di estrazione di radice quadrata, ma ciò ora non è più sempre vero, visto che molti insegnanti preferiscono insegnare l'uso delle tavole numeriche o quello del calcolatore tascabile. Viene inoltre appreso il metodo di approssimazione dei risultati. Vengono introdotte le proporzioni e la proporzionalità e le sue applicazioni alla risoluzione di problemi del tre semplice e del tre composto, di ripartizione e di applicazioni di matematica finanziaria.
Nelle scuole medie superiori si studiano i logaritmi; anche qui si è passati dall'apprendimento dell'uso del regolo calcolatore a quello del calcolatore o del computer. Entrambi questi strumenti sono ampiamente utilizzati terminati gli studi per eseguire calcoli numerici.
