
In algebra, la decomposizione in fratti semplici di una funzione razionale, anche detta decomposizione in frazioni semplici o espansione in fratti semplici, è la scrittura della frazione tramite un polinomio (che può essere nullo) sommato ad una o più frazioni con un denominatore più semplice. Tale metodo fornisce un algoritmo che consente di valutare le primitive di una funzione razionale.
Per illustrare l'idea del procedimento, sia data una funzione razionale formula_1, in cui formula_2 e formula_3 sono polinomi, e si consideri la fattorizzazione formula_4 del denominatore. Per ogni fattore che ha la forma formula_5 si considerano le frazioni formula_6, mentre per ogni fattore che ha la forma formula_7 si considerano le frazioni:
Si ottiene così la scrittura:
e calcolando i coefficienti formula_10 e formula_11 si trova una decomposizione che consente, analizzandone ogni singolo termine, di integrare la frazione di partenza. Essa conduce quindi formula_12 ad un'espressione del tipo:
dove formula_14 e formula_15 sono polinomi di grado inferiore rispetto a formula_2 e formula_3.
Se si applica la decomposizione fin dove è possibile si ottiene che il denominatore di ogni termine è una potenza di un polinomio non fattorizzabile e il numeratore è un polinomio di grado inferiore di quello del polinomio non fattorizzabile.
Si consideri una funzione razionale formula_18 nella variabile formula_19 il cui denominatore si può fattorizzare come:
sul campo formula_21, che può essere ad esempio formula_22 o formula_23. Se formula_24 e formula_25 non hanno nessun fattore comune, allora formula_12 si può scrivere come:
per qualche coppia di polinomi formula_28 e formula_29 su formula_21. L'esistenza di tale decomposizione è una conseguenza del fatto che l'anello dei polinomi su formula_21 è un dominio ad ideali principali, sicché:
per qualche coppia di polinomi formula_33 e formula_34 (si veda l'identità di Bézout).
Con tale approccio si può induttivamente scrivere formula_35 come una somma di frazioni i cui denominatori sono potenze di polinomi irriducibili.
In modo più rigoroso, siano formula_2 e formula_3 polinomi non nulli su formula_21. Si scriva formula_3 come prodotto di potenze di polinomi non fattorizzabili:
Allora esistono unici i polinomi formula_41 e formula_42, di cui formula_42 hanno grado inferiore a quello di formula_44, tali che:
e se il grado di formula_2 è minore di quello di formula_3 allora formula_48.
Si può verificare tale teorema scrivendo formula_49 come una somma in cui i denominatori sono potenze di formula_50 ed i numeratori sono polinomi di grado inferiore a quello di formula_50, più un eventuale polinomio aggiuntivo. Per fare ciò si può utilizzare l'algoritmo di Euclide applicato ai polinomi.
Se formula_21 è il campo dei numeri complessi formula_23 allora per il teorema fondamentale dell'algebra si può assumere che ogni formula_44 ha grado 1.
Siano formula_2 e formula_3 polinomi non nulli sul campo formula_21. Si scriva formula_3 come prodotto di potenze di polinomi vicendevolmente primi che non hanno radici multiple in un campo algebricamente chiuso:
Allora esistono unici i polinomi formula_41 e formula_61, di cui formula_61 hanno grado inferiore a quello di formula_44, tali che:
dove l'apice denota la derivata. Questo risultato consente di ridurre il calcolo della primitiva di una funzione razionale all'integrazione della somma al secondo membro, detta "parte logaritmica" a causa del fatto che la sua primitiva è una combinazione lineare di logaritmi. Infatti, si ha:
Vi sono diversi metodi per calcolare tale decomposizione, il più semplice dei quali è il metodo di Hermite: si basa sul fatto che formula_61 ha grado inferiore a quello di formula_44, e che il grado di formula_68 è la differenza (positiva) tra i gradi di formula_2 e formula_3: questo consente di scrivere tali polinomi incogniti come polinomi noti con coefficienti ignoti. Riducendo i due termini della formula precedente in un'unica frazione si ottiene un sistema di equazioni lineari che consente di trovare tali coefficienti.
Si vuole decomporre l'espressione:
ovvero scriverla nella forma:
in cui i parametri formula_73, formula_74 e formula_75 sono ignoti. Moltiplicando queste due espressioni per formula_76 ed uguagliandole si ottiene:
Raccogliendo i termini che moltiplicano le potenze di formula_19 si ha:
Il polinomio al secondo membro ha solo il coefficiente di grado zero non nullo, e si possono uguagliare i coefficienti che moltiplicano le potenze di formula_19 di entrambi i membri. In questo modo si ottiene il sistema di equazioni lineari:
che fornisce:


La divisione è l'operazione aritmetica inversa della moltiplicazione.
Più specificamente, se 
dove "b" è diverso da zero, allora 
(da leggersi ""c" diviso "b"").
Ad esempio, 6 : 3 = 2, dato che 2 × 3 = 6.
La divisione per zero non viene definita.
Nell'espressione sopra, "a" rappresenta il "quoziente" ("quoto" nel caso di divisione senza resto), "b" il "divisore" (cioè la quantità che divide) e "c" il "dividendo" (cioè la quantità da dividere).
La divisione gode della "proprietà invariantiva" ovvero il quoziente non cambia se dividendo e divisore sono moltiplicati per una stessa quantità diversa da zero (il resto invece risulta moltiplicato per quella quantità).
L'espressione "c" : "b" viene anche scritta ""c"/"b"" (letta ""c" su "b"", o ""c" fratto "'b"", o ""c" "b"-esimi" ; se "b" è un intero positivo diverso da 2 questo si legge come ordinale, plurale se "c" è diverso da 1, es. 2/3 si legge "due terzi" ma 3/2 si legge "tre mezzi"), specialmente nelle matematiche superiori, incluse le applicazioni alla scienza e all'ingegneria, e nei linguaggi di programmazione.
Tale forma viene anche spesso usata come forma finale di una frazione.
La divisione fra due numeri interi "a" e "b", con "b"≠0, consiste invece nel trovare una coppia di interi "q" ed "r", detti "quoziente" e "resto", tali che "a" = "b" × "q" + "r" e 0 ≤ "r" < | "b" |. (Si dimostra che tale coppia di interi esiste ed è unica). Quando "r" = 0, il risultato della divisione "q" viene talvolta detto "quoto".
In inglese e sulle calcolatrici elettroniche, il simbolo della divisione è l'obelo che ha una barretta orizzontale tra i due punti: "c" ÷ "b". In italiano questo uso non è mai stato attestato: l'obelo è solo usato a volte in ingegneria e chimica per indicare un intervallo. Nell'uso inglese, invece, i due punti si utilizzano solo per il concetto correlato di rapporto.
A/B = C indica che il denominatore B è contenuto nel numeratore A una quantità di volte pari a C.
infatti come si evince dall'esempio 0,5 è contenuto 2 volte dentro il numeratore 1.
Un secondo modo di leggere la divisione: A/B = C indica che ad una unità del denominatore (B) corrispondano C unità del numeratore A.
cioè: a ogni unità del denominatore spetteranno 2 unità del numeratore.
Questo secondo metodo di lettura della divisione è un approccio particolarmente utile per comprendere il calcolo delle percentuali e il concetto di derivata. Infatti:
Cioè a ogni euro del prezzo della maglietta che si trova al denominatore corrispondono venti centesimi dei 7 euro sconto. Perciò moltiplicando 0,2 per 100 si ha la percentuale dello sconto pari al 20%.
Utilizzando la tavola pitagorica, si possono dividere due numeri interi con carta e penna.
Se il dividendo ha una parte frazionaria espressa come frazione decimale, si può continuare l'algoritmo dopo le unità; se è il divisore ad avere una parte frazionaria, basta spostare la virgola a destra dello stesso numero di posizioni - aggiungendo se necessario degli zeri a destra del dividendo - fino a che il divisore diventa un numero intero. Pertanto, per fare la divisione 245,7 : 3,78 si eseguirà quella equivalente 24570 : 378.
Un'altra possibilità che si ha per semplificare i conti è vedere se dividendo e divisore abbiano un fattore comune, ed eliminarlo; la divisione di cui sopra è dunque equivalente a 12285 : 189 (eliminando il fattore 2) e ancora a 1365 : 21 (eliminando un fattore 9), 455 : 7 (con un fattore 3), da cui si ottiene subito il risultato finale 65.
Si può calcolare la divisione con un abaco, scrivendo ripetutamente il dividendo e sottraendo man mano il divisore, spostato a sinistra quanto più possibile. Ogni volta che occorre riportare a destra il divisore, si passerà a una nuova cifra anche per il quoziente. Il procedimento risulta pertanto abbastanza simile a quello della divisione su carta, anche se in quel caso c'è la scorciatoia di utilizzare delle moltiplicazioni per ridurre il numero di sottrazioni necessarie.
Nella aritmetica modulare, alcuni numeri hanno un inverso moltiplicativo rispetto al modulo: ad esempio, in base 7, 3 ha come inverso 5. In questo caso, la divisione per 3 può essere calcolata moltiplicando per 5; questo approccio è utile in computer che non hanno una istruzione di divisione veloce.
La divisione tra interi - anche non considerando la divisione per zero, che non è definita, non è un'operazione chiusa; vale a dire, esistono coppie di numeri "a" e "b" tali che non esiste alcun intero "c" per cui "a" : "b" = "c". In questi casi si possono dare diverse possibili risposte:
Quando si fa una divisione tra interi in un linguaggio di programmazione occorre verificare attentamente la definizione. Nel linguaggio C, ad esempio, la divisione tra interi è definita come nel caso 4 qui sopra, e il risultato sarà pertanto un intero troncato; in altri linguaggi come MATLAB, invece, si inizia a convertire gli interi in numeri reali (o più correttamente numeri di macchina), e si ottiene così un numero reale come risposta, come nel caso 2 sopra.
A differenza del caso precedente, i numeri razionali sono chiusi rispetto alla divisione, se il divisore non è 0. Si può definire il risultato della divisione tra due numeri razionali "p"/"q" e "r"/"s" come il valore
Tutti e quattro i valori sono interi, e solo "p" può valere 0. Questa definizione assicura che la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione: si ricava infatti subito che
I casi particolari riguardano l'operazione di divisione quando 0 è il dividendo o il divisore. Il risultato di queste operazioni può essere indeterminato oppure impossibile. Detto "a" un qualsiasi numero reale diverso da zero, vale che:
Si verifica facilmente grazie alla definizione: l'unico numero che moltiplicato per un numero non nullo dà zero è lo zero stesso in quanto vale la legge di annullamento del prodotto.
Anche in questi due ultimi casi, il metodo per risolvere l"'impasse" è considerare la definizione dell'operazione di divisione, cioè come l'inverso della moltiplicazione. Risolvere i casi 2 e 3 equivale a cercare la soluzione dell'equazione 0 × "x" = "a"; questa ha:
In entrambe i casi non è possibile determinare il risultato che, come sappiamo, deve essere unico. Per tale motivo la divisione per zero non viene definita ed è priva di significato.
Il risultato della divisione di due numeri reali è un altro numero reale, se il divisore non è 0. Dati "a" e "b", si definisce "a"/"b" = "c" se e solo se "a" = "cb" e "b" ≠ 0.
Anche per i numeri complessi, così come per i numeri reali, la divisione è un'operazione chiusa eccetto il caso in cui il divisore sia zero, nel qual caso l'operazione non è definita.
Se si esprimono i numeri complessi con le comuni coordinate, il risultato della divisione di formula_4 per formula_5, dove "p", "q", "r" e "s" sono numeri reali e "r" e "s" non possono essere entrambi nulli, è dato da
Se i numeri complessi sono espressi mediante le coordinate polari, l'espressione è più semplice da esprimere e ricordare: il risultato della divisione tra formula_7 e formula_8, con "p", "q", "r" e "s" reali e finiti e "r" diverso da zero, è dato da
La divisione tra due polinomi (a coefficienti interi) può anch'essa venire definita come l'operazione inversa della moltiplicazione: come nel caso dei numeri interi, generalmente si otterrà un polinomio quoziente e un resto. Per maggiori informazioni su come viene condotta l'operazione, si veda la regola di Ruffini.
Nelle algebre astratte, come quella delle matrici e nei quaternioni, frazioni come formula_10 sono tipicamente definite come formula_11 oppure formula_12, quando "b" è un elemento invertibile (vale a dire, esiste un altro elemento "c" tale che "bc" = "cb" = 1, dove 1 è l'identità moltiplicativa; l'elemento "c" viene generalmente scritto come "b"). In un dominio d'integrità, in cui possono non esistere gli inversi, più che di "divisione" si può parlare di "cancellazione", nelle equazioni della forma "ab" = "ac" o "ba" = "ca", dove "a" viene cancellato da entrambi i membri.
La funzione quoziente di due funzioni "f" e "g" è la funzione "h" il cui valore in un punto "x" è dato da formula_13. È definita nell'intersezione dei due domini di "f" e "g", ad eccezione dei valori "x" che annullano la "g".
La derivata del quoziente di due funzioni è data dalla regola del quoziente:
Non esiste una regola generale per integrare il quoziente di due funzioni.
