
In matematica, una curva è un oggetto "unidimensionale" e "continuo", come ad esempio la circonferenza e la retta. Una curva può giacere su un piano, nello spazio euclideo, o in uno spazio topologico più generale.
Una "curva" può essere pensata intuitivamente come la traiettoria descritta da un oggetto puntiforme che si muove con continuità in qualche spazio.Per definire la curva si fa ricorso alle nozioni di funzione continua e funzione differenziabile.
In topologia, una curva è una funzione vettoriale continua
dove formula_2 è un intervallo della retta reale e formula_3 è un qualsiasi spazio topologico.
Ad esempio, formula_3 può essere il piano cartesiano formula_5, lo spazio euclideo formula_6 o un generico spazio formula_7. L'intervallo formula_2 può essere ad esempio un intervallo chiuso formula_9, un intervallo aperto formula_10, una semiretta formula_11, ecc.
L'immagine di una curva formula_12 viene anche chiamata "sostegno", o "supporto", della curva. Spesso, con un abuso di linguaggio, per "curva" si intende il sostegno e non la funzione. In topologia, quando l'intervallo di partenza formula_2 è quello unitario formula_14 si parla di "cammino" o "arco".
Ad esempio, una circonferenza è il sostegno della curva
Una curva formula_16 che coincide sui suoi estremi, cioè tale che formula_17, è una "curva chiusa" o un "laccio".
Una curva formula_16 si dice "semplice" se è tale che presi due punti distinti formula_19, di cui almeno uno appartenente all'intervallo formula_10, risulta formula_21. In altre parole la funzione formula_22 è quasi iniettiva e la curva non ha autointersezioni con un'unica eccezione ammessa: formula_23
Una curva piana chiusa e semplice è anche detta curva di Jordan, quindi una circonferenza è una curva di Jordan.
Una curva piana è una curva a valori nel piano cartesiano formula_5. 
Se formula_26 è un omeomorfismo crescente dell'intervallo, ad esempio una funzione derivabile e biettiva con derivata positiva, allora formula_27 ottenuta componendo formula_28 e formula_22 è un'altra curva avente lo stesso sostegno di formula_22. Si dice che formula_31 è un'altra "parametrizzazione" della curva formula_22.
Una curva topologica, per quanto sembri rispondere all'esigenza di rappresentare oggetti "filiformi" e "senza spessore" che localmente sembrano una retta incurvata, può essere molto bizzarra se non si fissano delle condizioni aggiuntive. Ad esempio nel 1890 il matematico Giuseppe Peano scoprì una curva, nota ora come curva di Peano, avente come sostegno un quadrato. La curva di Koch è invece un frattale con dimensione di Hausdorff compresa tra uno e due, un oggetto dimensionalmente intermedio tra la retta e il piano.
Una condizione aggiuntiva che garantisce l'aspetto "filiforme" del sostegno è la differenziabilità: se formula_3 è il piano o un altro spazio euclideo, è possibile chiedere che formula_22 sia differenziabile in ogni punto e in questo caso si parla di "curva differenziabile" o "regolare". In una curva differenziabile, per ogni formula_35 è definita una tangente alla curva in formula_36: la tangente è il vettore delle derivate di formula_22.
Se si immagina di percorrere la curva nel tempo, la lunghezza del vettore tangente è la "velocità" della curva nel punto. La velocità può cambiare tramite riparametrizzazione della curva: data una curva, c'è sempre un'unica parametrizzazione tale che la velocità sia costantemente uno e questa parametro è la lunghezza d'arco.
In molti contesti è utile parlare di curve "lisce" che . Per questo scopo si definisce una "curva regolare a tratti" come una curva il cui dominio formula_2 è unione di intervalli successivi, su ciascuno dei quali la curva è regolare. Formalmente, si chiede che esista una partizione di un intervallo formula_39 in alcuni intervalli formula_40 tali che la restrizione della curva su ciascun formula_41 sia regolare.
Due modi utilizzati per rappresentare una curva in tre dimensioni sono la forma cartesiana e la forma parametrica.
È possibile rappresentare una curva tridimensionale in forma implicita identificando il suo supporto con il luogo di zeri di un campo vettoriale formula_42, ovvero i punti di coordinate formula_43 che verificano il sistema:
dove formula_22 e formula_31 sono funzioni di classe almeno formula_47 a valori reali. Questa rappresentazione può essere pensata come curva intersezione di due superfici in forma implicita.
Condizione sufficiente per la regolarità locale di una curva così rappresentata nell'intorno di un suo punto formula_48 è che la jacobiana:
abbia rango massimo
Una curva in forma parametrica è una funzione vettoriale di una sola variabile formula_50 del tipo:
Si può scrivere anche:
La variabile formula_35 si chiama "parametro". Una curva è una funzione di classe formula_54 in un intervallo se le funzioni formula_55, formula_56 e formula_57 hanno derivate continue in questo intervallo. Una curva formula_54 si dice "regolare" in un punto formula_59 se:
e regolare in formula_2 se ciò vale in ogni punto di formula_62. Un punto in cui si abbia formula_63 si dice "punto singolare" per la curva.
Se formula_64 è uno spazio metrico (ad esempio, il piano o uno spazio euclideo) si può usare la metrica stessa per definire la lunghezza di una curva. Sia data una curva formula_65 e una partizione dell'intervallo formula_9 cioè un insieme finito di punti formula_67 tale che:
Allora si può definire la poligonale, cioè una curva che è l'unione dei segmenti aventi vertici l'immagine degli elementi della partizione tramite formula_69. In pratica la poligonale è una curva spezzata i cui vertici appartengono alla curva originale. Più i vertici della poligonale sono numerosi e più la sua lunghezza approssimerà quella della curva.
Si può definire la "lunghezza" della curva formula_22 come estremo superiore della lunghezza della poligonale al variare della partizione formula_71:
Se questo valore non è infinito, la curva si dice "rettificabile". Le curve di Peano e di Koch non sono rettificabili.
La lunghezza di una curva non dipende dalla sua parametrizzazione, cioè non varia se si considerano "parametrizzazioni equivalenti".
Una curva derivabile è rettificabile: per ogni punto formula_73 dell'intervallo è definita una velocità, e si può dimostrare che la lunghezza definita come sopra è uguale all'integrale di questa velocità su formula_74
usando la nozione di integrale di linea si può scrivere anche:


In matematica una curva piana è una curva che giace interamente in un (unico) piano ed è identificabile da una funzione continua formula_1, dove formula_2 è un intervallo nell'insieme dei numeri reali. Ad esempio, una curva su uno spazio euclideo di dimensione maggiore di 2 è piana se il suo supporto giace su un piano contenuto nello spazio euclideo in cui è definita.
L'immagine di una curva viene anche chiamata "supporto" della curva. Talvolta si usa l'espressione "curva" anche per indicare il supporto di una curva.
Le curve piane sono oggetti geometrici ampiamente studiati, fin dall'antichità, con obiettivi non solo di tipo matematico. La collezione delle curve che sono state studiate in termini matematici è molto varia e complessa, e conviene rilevare subito alcune distinzioni.
Una curva piana si dice "semplice" se non si autointerseca, ovvero se per ogni formula_3 si ha formula_4. In caso contrario si dice dotata di punti doppi, tripli, e così via.
Un'altra distinzione riguarda il fatto che una curva piana sia "limitata", cioè abbia come supporto un insieme limitato di punti di formula_5, oppure sia "illimitata". Curve piane limitate sono le ellissi e le lemniscate, mentre sono illimitate le iperboli e le spirali.
Un tipo di rappresentazione della curva piana è l'equazione:
tale che ad ogni punto formula_7 corrisponde un punto formula_8, e in modo che ogni punto formula_9 del piano rappresenti il supporto della curva. Una curva di questo tipo si dice anche grafico in riferimento al grafico delle funzioni reali. In effetti la rappresentazione si può anche scrivere come:
cioè come funzione di una variabile indipendente. Questa rappresentazione ha molti limiti geometrici derivanti dal fatto che una curva molto spesso ha una descrizione molto complessa in questa forma, non adatta allo studio delle proprietà geometriche.
Una curva si può rappresentare anche nella forma:
cioè come funzione di due variabili indipendenti. Sebbene questa rappresentazione sia per alcune finalità migliore di quella esplicita si possono incontrare problemi quando è necessario esplicitare una variabile in funzione dell'altra, cosa che non è nemmeno sempre possibile.
La migliore rappresentazione è sicuramente quella parametrica, del tipo:
oppure:
dove formula_14 si chiama "parametro". La condizione di continuità non basta per rappresentare e studiare le curve intese come oggetti filiformi ad una dimensione con le caratteristiche di regolarità volute. La condizione aggiuntiva è che la curva piana sia differenziabile entro formula_2.
Una curva piana parametrica formula_16 si dice differenziabile in ogni punto se le funzioni formula_17 e formula_18 hanno derivate continue in ogni punto. Una curva piana differenziabile si dice "regolare" in un punto formula_19 se formula_20 e regolare in I se formula_21 in ogni punto di I. Un punto in cui si abbia formula_22 si dice che è un punto "singolare" per la curva.
La regolarità della curva permette di definire la retta tangente alla curva. Sia formula_23 una curva differenziabile e formula_24 un punto regolare. Si può definire la retta tangente alla curva in quel punto come la retta passante per formula_25 parallela al vettore formula_26.
La retta tangente ha equazione cartesiana nel punto formula_19:
e equazioni parametriche:
Nel caso di curva rappresentata esplicitamente da un'equazione formula_6, la retta tangente nel punto formula_31 è data:
mentre nel caso di una curva rappresentata da un'equazione implicita formula_11 la retta tangente nel punto formula_31 è data da:
La regolarità della curva permette di definire anche la "retta normale" alla curva nel punto formula_19 di equazione cartesiana:
Nel caso di curva rappresentata esplicitamente:
mentre per il caso di curva rappresentata implicitamente:
Dalla definizione stessa di derivata si ottiene:
che geometricamente rappresenta la pendenza della retta tangente, cioè la tangente goniometrica dell'angolo che la retta tangente forma con l'asse orizzontale "x". Da questa relazione si possono estrarre i coseni direttori della retta tangente:
Data una curva formula_42 differenziabile e una funzione formula_43 definita sull'intervallo formula_44 allora la curva:
tale che per ogni formula_46 si ha formula_47 è una riparametrizzazione della curva formula_48. La riparametrizzazione è regolare se formula_49 e formula_50.
Si mostra che se formula_51 è una riparametrizzazione di formula_52 tramite formula_53 allora:
Infatti, se formula_55 allora formula_56 e per la regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene:
e così si ha:
Sia data formula_55 differenziabile e formula_60. Allora la lunghezza dell'arco di curva compreso tra formula_61 vale:
Si aggiunga che, se formula_63 è una riparametrizzazione della curva, allora:
Se la curva è rappresentata in forma cartesiana esplicita:
cioè:
allora, sapendo che:
e che:
applicando il teorema di Pitagora ad elementi infinitesimali, ed integrando nell'intervallo di variazione dell'ascissa, la lunghezza della curva è data da:
Una forma di parametrizzazione che assume importanza notevole nello studio della matematica, della geometria e in molti campi di applicazione della matematica è quella in coordinate polari piane. Data una curva che ha parametrizzazione in coordinate polari piane in forma cartesiana:
e in forma parametrica con parametro formula_71:
allora sue derivate sono:
di modo che la lunghezza della curva sia uguale a:
Si definisce "ascissa curvilinea" oppure "parametro lunghezza arco" la riparametrizzazione particolare ottenuta fissando l'estremo inferiore di integrazione formula_75 in modo che l'integrale:
dipenda solo dall'estremo superiore formula_77 inteso come variabile. Questa funzione è la lunghezza dell'arco di curva a partire da un punto fisso formula_75 e può avere segno. Si può sempre riparametrizzare la curva nell'ascissa curvilinea. In tal modo se si vuole calcolare la retta tangente in un punto, si sa che essa è parallela ad un vettore tangente unitario, cioè ad un versore. Si dimostra che si può sempre riparametrizzare una curva tramite l'ascissa curvilinea nel modo seguente:
dato che formula_79 allora si può invertire formula_80 e se la sua inversa è formula_43 allora si ha la riparametrizzazione ascissa curvilinea data da:
Si dimostra poi che il vettore tangente è unitario nel modo seguente:
Sia formula_63 una curva parametrizzata secondo l'ascissa curvilinea e formula_85 il suo versore tangente. Si considera la funzione formula_86 che associa ad ogni formula_46 il valore formula_88. La funzione formula_89 è la curvatura della curva.
Se la curva è rappresentata esplicitamente, la sua curvatura è:
mentre per una curva rappresentata da un'equazione implicita:
Una curva (sufficientemente regolare) nello spazio ha in ogni suo punto un sistema di riferimento, detto "triedro di Frenet", dato da una terna di vettori "tangente", "normale" e "binormale". Tale curva è piana precisamente quando il vettore binormale è sempre costante.
Sia formula_92 una curva parametrizzata secondo l'ascissa curvilinea. Il versore tangente è dato da:
Il versore normale è dato da:
dove formula_2 è l'unità immaginaria. Sfruttando la definizione di curvatura si può dare un'altra forma al versore normale:
Si dimostra che il vettore formula_97 è ortogonale a formula_98 e quindi parallelo ad formula_99.
In definitiva le formule di Frenet e la curvatura per una curva piana con parametrizzazione qualsiasi formula_100 sono:
