
In matematica, il logaritmo di un numero in una data base è l'esponente al quale la base deve essere elevata per ottenere il numero stesso.
Per esempio, il logaritmo in base formula_1 di formula_2 è formula_3, poiché bisogna elevare formula_1 alla terza potenza per ottenere formula_2, ovvero formula_6. Più in generale, se formula_7, allora formula_8 è il logaritmo in base formula_9 di formula_10, cioè, scritto in notazione matematica,
I logaritmi furono introdotti da Nepero all'inizio del 1600, e trovarono subito applicazione nelle scienze e nell'ingegneria, soprattutto come strumento per semplificare calcoli con numeri molto grandi, grazie all'introduzione di "tavole di logaritmi".
La funzione formula_12 (logaritmo in base formula_9 di formula_14) è la funzione inversa della funzione esponenziale in base formula_9 data da formula_16
È di importanza fondamentale il logaritmo naturale, cioè il logaritmo che ha come base il numero di Nepero, indicato con formula_17 Il logaritmo naturale è l'inverso della funzione esponenziale formula_18
Dati due numeri reali positivi formula_9 e formula_10, con formula_21, si definisce "logaritmo" in base formula_9 di formula_10 l'esponente a cui elevare formula_9 per ottenere formula_25 Il numero formula_10 viene chiamato "argomento" del logaritmo. In altre parole, se formula_27
si scrive che
e si legge: formula_8 è il logaritmo in base formula_9 di formula_25
Le ipotesi su formula_9 e formula_10 sono necessarie per avere l'esistenza e l'unicità di formula_34 infatti:
Per esempio, formula_55 perché formula_56
I logaritmi possono anche essere negativi (a differenza della base e dell'argomento). Infatti
poiché formula_58
Dalle relazioni formula_59 e formula_60, che valgono qualsiasi sia la base formula_9, derivano le proprietà di base:
Inoltre, dalla definizione segue che:
Una delle più importanti proprietà dei logaritmi è che il logaritmo del prodotto di due numeri è la somma dei logaritmi dei due numeri stessi. Allo stesso modo, il logaritmo del quoziente di due numeri non è altro che la differenza tra i logaritmi degli stessi. In altre parole valgono
Applicando il logaritmo ad ambo i membri:
Il suo valore è ovviamente l'esponente stesso:
Inoltre, il logaritmo di un numero elevato a una certa potenza formula_72 è uguale a formula_72 moltiplicato per il logaritmo del numero stesso. Da questo discende che il logaritmo della radice formula_72-esima di un numero è uguale all'inverso di formula_72 per il logaritmo del numero, e che il logaritmo dell'inverso di un numero è l'opposto del logaritmo del numero stesso. In altre parole valgono le formule:
Noto il valore di un logaritmo in una base, è semplice calcolarne il valore in un'altra base (spesso le calcolatrici danno il logaritmo solo in basi formula_1 ed formula_80).
Se formula_10, formula_14, e formula_72 sono tutti numeri reali positivi (con formula_43 e formula_85):
dove "k" è una base qualsiasi. La formula può essere scritta nel modo seguente
e segue dalla relazione
Dalla formula del cambiamento di base, ponendo formula_89, si ricava la relazione seguente:
Anche se in linea di principio i logaritmi possono essere calcolati in qualunque base positiva e diversa da formula_45, quelle più utilizzate sono tre:
Il metodo dei logaritmi fu proposto dallo scozzese Nepero nel 1614, in un libro intitolato "Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio". Joost Bürgi inventò indipendentemente i logaritmi, ma pubblicò i suoi risultati sei anni dopo Nepero.
Per sottrazioni successive, Nepero calcolò formula_92 per formula_93 da formula_45 a formula_95; il risultato per formula_96 è approssimativamente formula_97, ovvero formula_98. Nepero poi calcolò il prodotto di questi numeri per formula_99, con formula_93 da formula_45 a formula_102. Questi calcoli, che occuparono 20 anni, gli permisero di trovare, per ogni numero intero formula_103 da 5 a 10 milioni, il numero formula_93 che risolve l'equazione
Nepero chiamò inizialmente questo valore un "numero artificiale", ma successivamente introdusse il nome "logaritmo", dalle parole del greco "logos", proporzione, e "arithmos", numero. Usando una notazione moderna, i calcoli di Nepero gli permisero di calcolare
dove l'approssimazione compiuta corrisponde alla seguente:
L'invenzione di Nepero fu subito largamente acclamata: i lavori di Bonaventura Cavalieri (Italia), Edmund Wingate (Francia), Xue Fengzuo (Cina) e Giovanni Keplero (Germania) permisero di diffondere velocemente l'idea.
Nel 1647, il fiammingo Gregorio di San Vincenzo collegò i logaritmi alla quadratura dell'iperbole, dimostrando che l'area formula_108 sottesa da formula_45 a formula_110 soddisfa
Il logaritmo naturale fu per la prima volta descritto da Nicolaus Mercator nel suo scritto "Logarithmotechnia" pubblicato nel 1668, anche se precedentemente l'insegnante di matematica John Speidell aveva compilato una tavola di logaritmi naturali nel 1619.
Intorno al 1730, Eulero definì la funzione esponenziale e la funzione logaritmo come
Eulero inoltre dimostrò che queste due funzioni erano una l'inversa dell'altra.
Semplificando calcoli complessi, i logaritmi contribuirono ampiamente all'avanzamento della scienza, e in particolare dell'astronomia. Lo strumento che ne permise l'uso pratico furono le tavole dei logaritmi. La prima di esse fu completata da Henry Briggs nel 1617, subito dopo l'invenzione di Nepero. Successivamente, furono scritte altre tavole con diversi scopi e precisione. In esse veniva elencato il valore di formula_114 e di formula_115 per ogni numero formula_14 in un certo intervallo, con una precisione fissata e con una base formula_10 scelta (solitamente formula_118). Per esempio, la tavola di Briggs conteneva il logaritmo in base formula_1 di tutti i numeri da formula_45 a formula_2, con una precisione di otto cifre decimali. La funzione formula_115, poiché inversa del logaritmo, venne chiamata "antilogaritmo".
Il prodotto e il quoziente di due numeri formula_8 e formula_124 venivano così calcolati con rispettivamente la somma e la differenza dei loro logaritmi. Il prodotto formula_125 è l'antilogaritmo della somma dei logaritmi di formula_8 e formula_124:
Il quoziente formula_129 è l'antilogaritmo della differenza dei logaritmi di formula_8 e formula_124:
Per compiere calcoli complessi con una buona precisione queste formule erano molto più veloci del calcolo diretto oppure dell'utilizzo di metodi precedenti, come quello di prostaferesi.
Anche il calcolo di potenze e di radici veniva semplificato, riducendosi a moltiplicazione e divisione di logaritmi:
e
Operando sui numeri reali, la "funzione logaritmo" è la funzione formula_135 definita da
La funzione ha come dominio l'intervallo formula_137 In figura sono disegnati tre esempi della funzione logaritmo con diversi valori per la base formula_10. La curva rossa è per la funzione con base formula_139 costante di Nepero (valore approssimato: formula_140).
Come si può notare dal grafico, il dominio della funzione logaritmo (l'insieme entro cui variano i valori delle formula_14), è l'intervallo formula_142; mentre il codominio, insieme in cui variano i valori delle formula_143, è formula_144.
La funzione logaritmo è derivabile e la sua derivata è la seguente:
dove "ln" è il logaritmo naturale, cioè con base formula_80. In particolare, la relazione seguente è fondamentale nel calcolo infinitesimale:
L'eguaglianza è dimostrabile usando la regola della funzione inversa:
La funzione inversa del logaritmo è la funzione esponenziale, la cui derivata coincide con se stessa:
Ne segue:
Si può utilizzare direttamente la definizione di derivata:
e, ricordando il limite notevole del logaritmo, si ottiene:
La derivata seconda della funzione logaritmo è
Se formula_156, questo valore è sempre negativo e la funzione è quindi funzione concava. Se formula_157 è invece sempre positivo e la funzione è convessa.
La funzione logaritmo è continua e quindi integrabile.
La funzione integrale del logaritmo, con base generica formula_10, è (applicando l'integrazione per parti):
dove formula_160 è la costante di integrazione, cioè una costante reale arbitraria.
La funzione logaritmo è analitica. Non è possibile però descrivere la funzione su tutto il suo dominio con una sola serie di potenze (come avviene ad esempio per la funzione esponenziale): lo sviluppo centrato in un punto formula_161 ha infatti raggio di convergenza formula_162 ed è quindi convergente solo nell'intervallo formula_163. Ad esempio, lo sviluppo in formula_164 è il seguente:
Per lo studio di funzioni esponenziali in cui è necessario estrapolare dati o parametri in modo semplice è possibile sfruttare la funzione logaritmo per ricavare una relazione implicita della funzione originale avente il vantaggio di essere lineare. Ad esempio, per una funzione descrivibile comeformula_166con "a" e "b" costanti è possibile pervenire alla relazione:formula_167che sul piano semi-logaritmico rappresenta una retta che interseca l'asse delle ordinate in "ln(a), "con derivata prima "b" e angolo di inclinazione pari ad "arctan(b)": in questo modo l'estrapolazione dei dati per la nuova funzione è più semplice ed accessibile.
La funzione logaritmo può essere estesa ai numeri complessi diversi da zero. Nel caso in cui si tratti di un logaritmo naturale con argomento complesso vale la formula seguente:
con formula_169 l'unità immaginaria e formula_170 l'argomento di formula_171. Il logaritmo complesso è in realtà una funzione a più valori, determinati dal parametro intero formula_72.


In matematica il numero formula_1 è una costante matematica il cui valore approssimato a 12 cifre decimali è formula_2. È la base della funzione esponenziale formula_3 e del logaritmo naturale. Può essere definita in vari modi, il più comune tra i quali è come il limite della successione formula_4 al tendere di formula_5 all'infinito. Insieme a π è la costante matematica più importante, per via della sua presenza in molte formule apparentemente non correlate.
È un numero trascendente, e dunque irrazionale, e tramite la formula di Eulero è legato alle funzioni trigonometriche. In ambito internazionale il numero formula_1 è chiamato numero di Eulero, mentre in Italia viene anche detto numero di Nepero.
Il numero formula_1 può essere definito in uno dei seguenti modi:
dove formula_10 è il fattoriale del numero naturale formula_5.
Una dimostrazione dell'equivalenza di queste definizioni è data di seguito. Le definizioni sono usate in modo analogo nella definizione della funzione esponenziale.
Un modo alternativo (non standard) di definire formula_1 coinvolge le equazioni differenziali: il numero di Nepero si può definire come il valore in formula_13 della funzione formula_14 soluzione unica del problema di Cauchy dato dall'equazione differenziale formula_15 con condizioni iniziali formula_16.
Il numero formula_1 è irrazionale, più precisamente un numero trascendente, ossia non esiste un'equazione algebrica a coefficienti razionali che lo ammetta come soluzione.
Questo è stato il primo numero che si è dimostrato essere trascendente senza essere stato costruito per essere collocato nell'insieme dei numeri reali non algebrici, come era accaduto in precedenza 
per la costante di Liouville.
Una dimostrazione della irrazionalità di e è stata data da Charles Hermite nel 1873. 
Si presume che esso sia un numero normale.
La costante formula_1 compare nella formula di Eulero, una delle
più importanti identità della matematica:
dove formula_20 indica l'unità immaginaria.
Il caso particolare con formula_21 è noto come identità di Eulero:
questa uguaglianza è stata chiamata da Richard Feynman "gioiello di Eulero".
Lo sviluppo di formula_1 come frazione continua infinita è espresso 
dalla seguente interessante configurazione:
Troncando la frazione continua si ottengono le approssimazioni razionali di formula_1, di cui le prime (non intere) sono formula_26.
Il numero formula_1 è il punto centrale della commutazione dell'elevamento a potenza. Siano date tutte le coppie formula_28 per le quali formula_29. Oltre al caso banale formula_30, l'unica coppia intera (e razionale) per cui vale la proprietà è formata dai numeri 2 e 4, ma vale anche per infinite coppie irrazionali distribuite lungo una curva nel primo quadrante, asintotica alle rette formula_13 e formula_32. Tale curva e la retta formula_33 si intersecano nel punto formula_34.
Sempre in merito a funzioni esponenziali, la radice formula_35-esima di formula_35, ovvero formula_37, ha massimo per formula_38 e l'esponenziale formula_35-esimo di formula_35, ovvero formula_41, ha minimo per formula_42.
Il primo riferimento ad formula_1 in letteratura risale al 1618 ed è contenuto
nella tavola di un'appendice di un lavoro sui logaritmi di John Napier. Nella tavola non appare la costante, bensì un elenco di logaritmi naturali calcolabili a partire dalla costante. Sembra che la tavola sia stata scritta da William Oughtred. La prima espressione di formula_1 come una costante è stata trovata da Jakob Bernoulli:
Da questa espressione è difficile ricavare un buon valore numerico per la costante.
La sua prima citazione, rappresentata con la lettera formula_46 compare in due lettere di Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens, del 1690 e del 1691. Leonhard Euler ha iniziato ad usare la lettera formula_1 per la costante nel 1727 e il primo uso di formula_1 compare nella "Mechanica" di Eulero (1736). Negli anni seguenti alcuni ricercatori hanno usato la lettera formula_49, poi l'uso di formula_1 si è fatto più comune. Oggi è usato come simbolo definitivo.
Non sono noti i motivi che condussero a scegliere la lettera formula_1, si può supporre che formula_1 fu scelto perché iniziale della parola "esponenziale". Un altro motivo sta nel fatto che formula_53, formula_46, formula_49, e formula_56 venivano frequentemente usate per altri oggetti matematici ed formula_1 era la prima lettera dell'alfabeto latino non utilizzata. È improbabile che Eulero abbia scelto la lettera in quanto iniziale del proprio nome, poiché il numero non era una sua scoperta, era già noto ai matematici dell'epoca.
La seguente dimostrazione prova l'equivalenza dello sviluppo in serie infinita presentato in precedenza e l'espressione del limite studiata da Bernoulli.
Definiamo
Dal teorema binomiale,
tale che
Qui deve essere usato il limite superiore o limsup, poiché non è ancora noto che formula_63 converge effettivamente.
Ora, per l'altra direzione, si nota che dall'espressione sopra di formula_63, se formula_65, abbiamo
Fissato formula_67 si fa tendere formula_5 all'infinito. Otteniamo
(di nuovo, dobbiamo usare il limite inferiore o liminf poiché non è ancora garantito che formula_63 converge).
Ora,
considerando la disuguaglianza precedente, formula_67 si avvicina all'infinito, e colloca quest'ultima assieme all'altra disuguaglianza; da cui:
Questo completa la dimostrazione.
Oltre alle rappresentazioni analitiche esatte per calcolare formula_1, esistono metodi stocastici per stimarlo. 
Uno di questi parte da una successione infinita di variabili casuali indipendenti formula_74 distribuite uniformemente 
nell'intervallo formula_75. Sia formula_76 il numero di somme parziali di variabili formula_77 che siano strettamente minori di formula_78, ponendo:
dove formula_80 allora il valore atteso formula_81 è proprio la costante formula_1.
