
In algebra, il teorema delle radici razionali afferma che ogni soluzione razionale di un'equazione polinomiale a coefficienti interi:
è della forma formula_2, dove:
Il teorema non dà alcuna informazione su eventuali radici irrazionali o complesse.
Ad esempio, se abbiamo un'equazione della forma
allora le eventuali radici razionali sono contenute in quest'insieme:
Se il polinomio è monico, cioè è formula_9, evidentemente la formula si semplifica restringendo le opzioni tra i soli divisori del termine noto. La verifica di ogni singola possibile radice si può ad esempio attuare con il teorema del resto (oppure con la regola di Ruffini se si vuole avere direttamente anche direttamente il quoziente). Se nessun valore soddisfa le richieste, allora tutte le sue radici (che esistono per il teorema fondamentale dell'algebra) sono irrazionali o complesse. Al contrario, se sono state trovate formula_10 radici razionali, allora il polinomio è completamente fattorizzabile in polinomi lineari con coefficienti razionali.
Il teorema delle radici razionali è una diretta conseguenza del lemma di Gauss, il quale afferma che se un polinomio (a coefficienti interi) è fattorizzabile sui razionali, allora lo è anche sugli interi.
Quindi se esiste una radice razionale formula_2, questo significa che potremo scrivere il nostro polinomio iniziale come formula_12 con tutti i formula_13 interi. Facendo il prodotto (i coefficienti intermedi non ci interessano) e sfruttando il fatto che due polinomi sono uguali se e solo se coincidono tutti i coefficienti, avremo formula_14 e formula_15, da cui il teorema.
In altro modo, supponiamo che la frazione formula_16 sia una radice del polinomio. Possiamo supporre che la frazione sia ridotta ai minimi termini, ovvero che gli interi formula_3 e formula_5 siano primi fra loro. Sostituendo si ottiene 
da cui, moltiplicando per formula_20,
Ora formula_3 divide i primi formula_10 termini, dunque deve dividere anche l'ultimo termine formula_24. Dato che formula_3 e formula_5 sono primi fra loro, formula_3 deve dividere formula_4. Con un ragionamento analogo si vede che formula_5 divide formula_6.


In matematica, per risolvere un'equazione si intende la ricerca degli elementi (numeri, funzioni, insieme, ecc.) che soddisfino la rispettiva equazione (due espressioni unite da un'uguaglianza). Queste espressioni contengono una o più incognite, che sono variabili libere per le quali sono cercati i valori che fanno sì che la condizione espressa dall'equazione sia soddisfatta. Per essere precisi, di solito si intende che questi valori non sono necessariamente valori reali, ma, in realtà, spesso sono espressioni matematiche. Una soluzione dell'equazione è un'assegnazione di espressioni alle incognite che soddisfi l'equazione, in altre parole, quando questi risultati vengono sostituiti alle incognite, l'equazione diventa una tautologia (un'affermazione dimostrabilmente vera).
Per esempio, l'equazione 
è risolvibile nell'incognita formula_2 da 
in quanto sostituendo formula_2 con formula_5 l'equazione sarà formula_6, un'affermazione vera. È anche possibile prendere in considerazione la variabile formula_7, e quindi la soluzione questa volta sarà formula_8. Oppure formula_2 and formula_7 possono essere trattate entrambe come incognite, e in questo caso ci sono più soluzioni dell'equazione, tra cui, ad esempio, formula_11 (cioè formula_12 e formula_13), formula_14, ed in generale formula_15 per ogni valore possibile formula_16.
A seconda del problema, il compito potrebbe essere quello di trovare una soluzione, o qualche soluzione, o tutte le soluzioni. L'insieme di tutte le soluzioni è detto insieme delle soluzioni. È anche possibile che l'obiettivo sia quello di trovare, tra le possibili, la soluzione migliore sotto qualche aspetto. Problemi di questo tipo sono chiamati problemi di ottimizzazione; risolvere un problema di ottimizzazione non è in genere chiamato "risoluzione di un'equazione".
Un'affermazione come" "un'equazione in formula_2 e formula_7"", o ""risolvere per formula_2 e formula_7"", significa che le incognite sono quelle indicate: in questo caso formula_2 e formula_7.
In un caso generale, abbiamo una situazione come:
dove formula_38 è una costante, che ha un insieme delle soluzioni formula_39 della forma:
dove formula_41 è il dominio della funzione. Si noti che l'insieme delle soluzioni può avere cardinalità arbitraria. Ad esempio:
Ad esempio, un'espressione come:
può essere risolto, per prima cosa si cerca di riscriverla in modo più leggibile matematica senza però modificare l'uguaglianza ad esempio possiamo portare tutto al primo membro sottraendo formula_46 da entrambi i lati dell'equazione ottenendo:
In questo caso particolare non vi è solo uno soluzione dell'equazione, ma un insieme infinito di soluzioni, che può essere scritto:
Una particolare soluzione è formula_49, formula_50, formula_51. In realtà, questo particolare insieme di soluzioni descrive un piano in tre dimensioni, che passa per il punto formula_52
se l'insieme delle soluzioni è vuoto, allora non ci sono formula_53 tali che:
diventa vera per un determinato formula_38.
Per esempio, esaminiamo il classico caso di una variabile, data una funzione:
Consideriamo l'equazione:
L'insieme soluzione è formula_43, in quanto nessun numero reale positivo risolve l'equazione. Tuttavia nel tentativo di trovare la soluzioni per l'equazione, se si modifica la definizione della funzione, più specificamente, della funzione del "dominio", siamo in grado di trovare la soluzioni a questa equazione. Quindi, se definiamo:
ha una serie di soluzioni formula_61, dove formula_62 è l'unità immaginaria. Questa equazione ha esattamente due soluzioni.
Abbiamo già visto che alcuni insiemi di soluzioni sono in grado di descrivere le superfici. Per esempio, nello studio della matematica elementare, si sa che l'insieme delle soluzioni di un'equazione in forma formula_63 con formula_16, formula_65, e formula_38 numeri reali a valori costanti, rappresenta una linea in uno spazio vettoriale formula_67 (cioè bidimensionale). Tuttavia, non sempre è facile rappresentare graficamente l'insiemi delle soluzioni.
Per esempio, la soluzione di un'equazione della forma formula_68 (con formula_16, formula_65, formula_38, formula_72, e formula_73 valori reali costanti) è un iperpiano formula_74.
I metodi per risolvere le equazioni, in generale, dipendono dal tipo di equazione, sia il tipo di espressioni nell'equazione che il tipo di valori che possono assumere le incognite. La varietà di tipi di equazioni è vasta, tanto quando i corrispondenti metodi risolutivi. Di seguito saranno trattati solo alcuni tipi specifici, un completo esame non è possibile.
In generale, data una classe di equazioni, può accadere che non esista un metodo sistematico (algoritmo) che garantisce la soluzione. Ciò può essere dovuto ad una mancanza di conoscenze matematiche, infatti alcuni problemi sono stati risolti solo dopo secoli di sforzo. Ma questo fa riflettere anche che, in generale, tale metodo non può esistere: alcuni problemi sono noti per essere irrisolvibili da un algoritmo, come il decimo problema di Hilbert, che è stato dimostrato irrisolvibile nel 1970.
Per le diverse classi di equazioni sono stati trovati algoritmi per risolverli, alcuni dei quali sono stati attuati e inseriti in sistemi di algebra computazionale, ma spesso richiedono solo "carta e penna". In altri casi, i metodi euristici conosciuti hanno spesso successo, ma non è garantito che portino al successo.
Se la soluzione di un'equazione è limitata, cioè è un insieme finito (come nel caso delle equazioni in aritmetica modulare, per esempio), o può essere limitata a un numero finito di possibilità (come nel caso di alcune equazioni diofantee), l'insieme delle soluzioni può essere trovato con la forza bruta, cioè verificando tutti i possibili valori e controllando se essi risolvono l'equazione. Può succedere, però, che il numero di possibilità da considerare, anche se finito, sia così grande che una ricerca con questo metodo è praticamente impossibile; su questa difficoltà si basano alcuni metodi di crittografia.
Come con tutti i tipi di problemi, procedere per tentativi ed errori può talvolta produrre una soluzione, in particolare quando la forma di un'equazione, o la sua somiglianza ad un'altra equazione nota (già risolta), possa portare ad un"'intuizione ispirata" della soluzione. Se un'intuizione, quando venga testata, non porta una soluzione, lo studio del modo in cui essa non funziona può portare ad una modifica e quindi alla soluzione.
Equazioni che coinvolgono semplici funzioni razionali o lineare, con una sola incognita appartenente al insieme dei reali, diciamo formula_2, come:
può essere risolta con metodi di algebra elementare, e applicando i principi di equivalenza.
I piccoli sistemi di equazioni lineari possono essere risolti con i metodi dell'algebra elementare. Per la risoluzione di sistemi di grandi dimensioni numeriche, gli algoritmi utilizzati si basano sull'algebra lineare.
I polinomi con grado minore al quinto possono essere risolte con metodi algebrici, tra cui ad esempio la formula quadratica è la più semplice. Equazioni polinomiali con un grado superiore al quinto richiedono metodi numerici (vedi sotto) o funzioni speciali come il trasporto di radicali.
Nelle equazioni diofantee le soluzioni devono appartenere ai numeri interi. In alcuni casi per risolverle può essere utilizzato un approccio mediante forza bruta, come indicato sopra. In altri casi, in particolare se l'equazione è ad una incognita, è possibile risolvere l'equazione per i valori razionali dell'incognita (vedi Teorema delle radici razionali), e quindi per trovare le soluzioni dell'equazione diofantea si limita la soluzione solo ai valori interi dell'insieme delle soluzioni. Ad esempio, l'equazione polinomiale
ha come soluzioni razionali formula_78 e formula_79, ma essendo un'equazione diofantea l'unica soluzione è formula_80.
Nel semplice caso di una funzione ad una variabile, per esempio, formula_81, possiamo risolvere un'equazione con la forma:
considerando che è nota la "funzione inversa" di formula_84.
Infatti, data una funzione formula_85, la funzione inversa (indicata con formula_86) e determinata da formula_87 è funzione tale che:
Ora, se applichiamo la funzione inversa a entrambi i membri della funzione:
otteniamo
e abbiamo trovato la soluzione dell'equazione. Tuttavia, a seconda della funzione, la funzione inversa può essere difficile da definire, o non può essere una funzione inversa se tutti i valori dell'insieme di formula_93 (o un sottoinsieme) non hanno un solo valore in formula_94.
Esempi di funzioni inverse includono la radice n-esima (l'inverso di formula_95), il logaritmo (l'inverso di formula_96), le funzioni trigonometriche inverse, e la funzione W di Lambert (l'inversa di formula_97).
Se il membro sinistro, cioè l'espressione formula_98, di un'equazione formula_99 può essere fattorizzato in formula_100, l'insieme delle soluzioni originale è costituito dall'unione della soluzione dei due insiemi di equazioni formula_101 e formula_102.Ad esempio, l'equazione goniometrica:
può essere riscritta in:
che può essere fattorizzata, utilizzando l'identità formula_105 (a condizione che i componenti siano definiti), diventando:
Le due equazioni formula_107 e formula_108 hanno l'identico insieme delle soluzioni
che è, quindi, la soluzione dell'equazione originale.
Con equazioni più complesse in reali o numeri complessi, i metodi semplici per risolvere l'equazioni possono fallire. Spesso, si può calcolare uno zero della funzione con metodi numerici come il metodo di Newton-Raphson che, per alcune applicazioni, può essere completamente sufficiente per risolvere certi problemi.
Un importante studio della matematica è volto ad esaminare se sia possibile generare qualche semplice funzione per approssimare un'equazione molto complessa ad punto dato. In effetti, polinomi in una o più variabili possono essere utilizzati per approssimare in questo modo le funzioni: queste sono note come serie di Taylor.
Le equazioni che coinvolgono matrici e vettori di numeri reali possono spesso essere risolte utilizzando metodi di algebra lineare.
C'è un vasto elenco di metodi per risolvere vari tipi di equazioni differenziali, sia numericamente che analiticamente. Un metodo per la ricerca di soluzioni analitiche a tempo indeterminato è l'algoritmo di Risch - che purtroppo è troppo complicato per l'uso con carta e penna.
