
I numeri interi (o numeri interi relativi o, semplicemente, numeri relativi) corrispondono all'insieme ottenuto unendo i numeri naturali (0, 1, 2, ...) e i numeri interi negativi (−1, −2, −3...), cioè quelli ottenuti ponendo un segno “−” davanti ai naturali. Questo insieme in matematica viene indicato con Z o formula_1, perché è la lettera iniziale di “"Zahl"” che in tedesco significa numero (originariamente "far di conto", infatti l'espressione implica l'utilizzo dei numeri negativi). 
Gli interi vengono quindi definiti esattamente come l'insieme dei numeri che sono il risultato tra sottrazioni di numeri naturali. I numeri interi possono essere sommati, sottratti e moltiplicati e il risultato rimane un numero intero. L'inverso di un numero intero non è però un intero in generale, ma un numero razionale; formalmente questo fatto si esprime dicendo che formula_1 è un anello commutativo, ma non un campo.
Come i numeri naturali, formula_1 è "chiuso" rispetto alle operazioni di addizione e di moltiplicazione, cioè la somma o il prodotto di due interi è un intero. Inoltre, con l'inclusione dei numeri naturali negativi e dello zero, formula_1 (a differenza dei numeri naturali) è chiuso anche rispetto all'operazione di sottrazione: se formula_5 e formula_6 sono interi, anche formula_7 lo è. Tuttavia, formula_1 non è chiuso sotto l'operazione di divisione, poiché il quoziente di due interi (per esempio formula_9) non è necessariamente un numero intero.
La tabella seguente elenca alcune delle proprietà di base dell'addizione e della moltiplicazione per ogni intero formula_5, formula_6 e formula_12.
Nel linguaggio dell'algebra astratta, le prime cinque proprietà elencate sopra per l'addizione dicono che formula_1 è un gruppo abeliano con l'operazione "somma". In particolare, formula_1 è un gruppo ciclico, poiché ogni intero non nullo può essere scritto sommando un certo numero di volte formula_15 oppure formula_16. Il gruppo formula_1 è l"'unico" gruppo ciclico infinito, nel senso che ogni altro gruppo ciclico infinito è isomorfo a formula_1.
Le prime quattro proprietà elencate sopra per la moltiplicazione dicono che formula_1 con l'operazione "prodotto" forma un monoide commutativo. Tuttavia, si nota che non tutti gli interi hanno in inverso rispetto alla moltiplicazione; per esempio non esiste un intero formula_20 tale che formula_21. Quindi formula_1 non è un gruppo se considerato con l'operazione "prodotto".
Tutte le proprietà dalla tabella prese insieme dicono che formula_1 con l'addizione e la moltiplicazione è un anello commutativo con unità. In effetti formula_1 è la motivazione principale per la definizione di tale struttura. La mancanza dell'inverso rispetto alla moltiplicazione è tradotta nel fatto che formula_1 non è un campo. 
L'anello formula_1 è inoltre un dominio d'integrità, perché non contiene divisori dello zero. Ogni dominio di integrità è contenuto in un campo, e il più piccolo campo contenente gli interi è il campo formula_27 dei numeri razionali.
Anche se la divisione ordinaria non è definita su formula_1, è possibile usare l'algoritmo di Euclide per effettuare una divisione con resto: dati due interi formula_5 e formula_6 con formula_31, esistono e sono unici due interi formula_32 e formula_33 tali che 
dove formula_35 è il valore assoluto di formula_6. L'intero formula_32 è chiamato il "quoziente" e formula_33 è chiamato il "resto", risultanti dalla divisione di formula_5 con formula_6. 
L'algoritmo di Euclide mostra come due numeri interi abbiano sempre un massimo comune divisore ed un minimo comune multiplo. Inoltre, per il teorema fondamentale dell'aritmetica ogni numero intero ha un'unica decomposizione come prodotto di numeri primi. L'esistenza dell'algoritmo di Euclide fa di formula_1 un anello euclideo.
La cardinalità di un insieme di interi è equivalente a formula_42 (aleph-zero). Ciò è dimostrabile tramite la costruzione di una corrispondenza biunivoca (ovvero una funzione sia iniettiva che suriettiva) fra formula_43 e formula_44.
Considerando formula_45, tale corrispondenza è la funzione formula_46 tale che:
Mentre considerando formula_48 è la funzione formula_49 tale che:
Ogni membro di formula_1 avrà uno ed un solo membro corrispondente in formula_52 (o formula_53), pertanto i due insiemi hanno la stessa cardinalità.
L'insieme formula_1 è un insieme totalmente ordinato senza estremo superiore o inferiore. L'ordine di formula_1 è dato da
Un numero intero è positivo se è maggiore dello zero e negativo se minore di zero; zero non è considerato un numero positivo né negativo.
L'ordine seguente è compatibile con le regole dell'algebra:
Più semplicemente: se formula_60 e formula_61 sono due qualsiasi numeri relativi si dice che formula_60 è maggiore di formula_61, e si scrive formula_64, se esiste un numero naturale formula_65 tale che formula_66. L'insieme formula_1 può essere definito a partire dall'insieme formula_52 dei numeri naturali tramite il concetto di insieme quoziente. Si consideri il prodotto cartesiano formula_69, ovvero l'insieme di tutte le coppie ordinate di numeri naturali formula_70. Si consideri la seguente relazione formula_71
Questa è una relazione di equivalenza, infatti è:
Si definisce formula_1 come l'insieme quoziente di formula_87 con la relazione formula_71:
A questo punto è facile dimostrare che ogni classe di equivalenza formula_90 contiene uno e un solo elemento nella forma formula_91 con formula_92 oppure formula_93. In questo modo possiamo introdurre la notazione più familiare per i numeri interi nel modo seguente:
Si dimostra facilmente che esiste un isomorfismo tra l'insieme dei numeri naturali e il sottoinsieme di formula_1 costituito dagli elementi del tipo formula_98. In questo senso si può dire che i numeri naturali sono un sottoinsieme dei numeri interi.
Le operazioni di somma e prodotto possono essere definite nel modo seguente:
Si verifica che le operazioni sono compatibili con la relazione d'equivalenza, e che si traducono nelle normali operazioni di somma e prodotto degli interi tramite la notazione appena introdotta. Ad esempio:
Si può anche dimostrare direttamente che l'insieme formula_1 con queste operazioni è un anello commutativo.


In matematica, in particolare in trigonometria, dato un triangolo rettangolo il seno di uno dei due angoli interni adiacenti all'ipotenusa è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto opposto all'angolo e dell'ipotenusa. 
Più in generale il seno di un angolo formula_1, espresso in gradi o radianti, è una quantità che dipende solo da formula_1, costruita usando la circonferenza unitaria.
Definendo come formula_3 il seno nell'angolo formula_4 si ottiene la funzione seno, una funzione trigonometrica di fondamentale importanza nell'analisi matematica. In ambito italiano questa funzione viene spesso indicata con formula_5.
Nel triangolo rosso in figura, il seno di formula_4 è dato da
Più in generale si definisce il seno di un angolo formula_4 a partire dalla circonferenza goniometrica, ovvero dalla circonferenza di raggio unitario nel piano cartesiano. Presa la semiretta uscente dall'origine che forma un angolo formula_4 con l'asse delle ascisse come in figura, il seno dell'angolo è quindi definito come il valore della coordinata formula_10 del punto di intersezione tra la semiretta e la circonferenza (in figura, è la lunghezza del segmento formula_11). 
Il dominio della funzione seno è l'insieme dei numeri reali, mentre il codominio è l'intervallo reale formula_12, ossia applicando tale funzione a qualunque numero reale si ottiene sempre un numero reale compreso tra formula_13 e formula_14, estremi inclusi.
La tabella seguente elenca i principali valori notevoli assunti dalla funzione seno:
D'altra parte il teorema di Pitagora applicato al triangolo formula_31 fornisce la relazione
e quindi 
Vale anche la relazione:
Come per il coseno, la cosecante di un angolo è formula_35 diviso il seno dell'angolo.
La derivata della funzione seno è la funzione coseno: 
La derivata seconda è invece
La funzione seno è una funzione analitica, la cui espansione in serie di Taylor è
In analisi matematica questa uguaglianza è spesso usata per definire il seno. La stessa serie definisce il seno come funzione olomorfa su tutto il piano complesso.
Seguono alcune equazioni fondamentali riguardanti la funzione seno:
con l'aggiunta della condizione che:
Esiste anche un'identità trigonometrica che mette in relazione la funzione seno alla funzione tangente:
Questa identità si rivela di fondamentale importanza nella risoluzione di equazioni goniometriche in cui l'incognita figuri come argomento sia di un seno sia di un coseno o di funzioni derivate da queste. Esiste infatti un'analoga identità per quanto riguarda il coseno e l'uso congiunto di queste due identità permette la risoluzione dell'equazione nell'incognita formula_44.
Il reciproco del seno, definito dove il seno è diverso da zero, è la cosecante:
La funzione seno ristretta all'intervallo formula_46 come dominio e con codominio formula_47 è biettiva, e quindi ha un’inversa, chiamata arcoseno e indicata con formula_48 o con formula_49 che riprende la notazione della funzione inversa. Per definizione si ha quindi: 
Dalla formula di Eulero si deduce che la funzione seno è in relazione con la funzione esponenziale e con la funzione seno iperbolico. Infatti per ogni numero reale formula_4 si ha 
Alcune formule particolari riguardanti la funzione seno coinvolgono l'operazione di prodotto. 
Per esempio risulta per ogni intero formula_53
In analisi complessa, applicando teorema di fattorizzazione di Weierstrass alla funzione seno, la si può esprimere come prodotto infinito, mediante la seguente formula che vale per ogni numero complesso formula_55
La funzione seno è anche in relazione con alcune funzioni speciali, come si evince, per esempio, dalla formula di riflessione della funzione Gamma 
e dall'equazione funzionale soddisfatta dalla funzione zeta di Riemann
Il concetto di seno fu introdotto dal matematico e astronomo indiano Aryabhata I (in devanāgarī: आर्यभट) nella sua opera "Aryabhatiya" (499).
Il seno è per definizione la metà di una "corda", cioè un segmento che unisce due punti (detti "estremi") di una circonferenza. In sanscrito, "metà corda" è reso con "jya-ardha", a volte sostituito con "ardha-jya" e abbreviato in "jya" "corda". Questo termine fu importato nella lingua araba come "jiba", un termine senza significato prima di allora, ma che rifletteva la pronuncia del nome "jya". Secondo le regole della lingua araba, questo nome venne scritto con le due consonanti "jb", senza vocali. Successivamente, quando i traduttori occidentali attinsero alle fonti arabe, interpretarono la parola "jb" come "jaib", il cui significato era "baia". Infine l'italiano Gherardo da Cremona (1114 - 1187) tradusse la parola in latino come "sinus", il cui significato era appunto "baia".
