
In matematica, una serie geometrica è una serie tale per cui il rapporto tra due termini successivi è costante.
La serie geometrica è una serie del tipo formula_1. In modo equivalente, può essere definita come il limite della successione delle somme parziali formula_2, in cui:
La somma parziale formula_4-esima di una serie geometrica è dunque la somma per formula_5 che va da zero ad formula_4 di formula_7. Il rapporto di ogni termine della somma rispetto al termine precedente è costantemente uguale a formula_8 ed è detto "ragione della serie".
Questo tipo di serie ricorre con una particolare frequenza nell'analisi degli algoritmi; in molti casi il valore di questi ultimi può essere calcolato direttamente con le formule illustrate successivamente. Una delle espressioni più comuni è proprio la somma parziale della nota serie geometrica.
Possiamo dimostrare che formula_9 in diversi modi.
Osserviamo che per formula_10 si ottiene formula_11 pertanto la base induttiva è verificata. Supponiamo che la formula sia vera per formula_4, ovvero che la somma dei primi formula_4 termini valga proprio formula_14, allora la somma dei primi formula_15 termini vale
Pertanto la formula, supposta vera per i primi formula_4 termini, è vera anche per i primi formula_15 termini, pertanto è stato dimostrato per induzione matematica che: formula_19
Osserviamo che tale formula è valida per formula_20, se formula_21 la somma vale banalmente formula_22.
Se la serie non parte da formula_23, ma da un altro termine formula_24, allora
Derivando la somma rispetto a formula_8 si possono trovare formule per somme del tipo
ad esempio:
La serie ha il seguente carattere:
Se infatti formula_39 la somma della serie esiste e vale
Quest'ultima formula è valida in ogni algebra di Banach con la condizione che la norma di formula_8 sia minore di formula_36, e anche nel campo dei numeri p-adici se formula_43. In particolare è valida nel campo dei numeri complessi con l'usuale definizione di valore assoluto.
Come nel caso delle somme finite, possiamo derivare la serie per trovare le formule di somme analoghe. Ad esempio:
Questa formula naturalmente è valida solo per formula_39.
Per effettuare la stima della somma geometrica finita conoscendo quella infinita, spezziamo la serie come segue
ricordando che la serie geometrica ha somma pari a formula_47 otteniamo che
Se si pone che formula_49 si ha che:
La funzione formula_51 viene chiamata serie geometrica troncata. La serie geometrica troncata è alla base delle stime di somme molto complesse. Utilizzando l'operatore formula_52 (dove con formula_53 si indica la derivata) si ha che 
riconducendosi alla serie geometrica troncata. Quindi si ha
Si vuole calcolare la seguente sommatoria:
Consideriamo la funzione 
e osserviamo che la sua derivata è data da 
questo significa che 
e quindi il nostro problema si riduce a valutare la derivata di formula_60 in formula_61. Poiché formula_62 per ogni formula_63 otteniamo 
e di conseguenza 


L'area è la misura dell'estensione di una regione bidimensionale di uno spazio, ovvero la misura dell'estensione di una superficie.
Come per le altre misure di natura geometrica, per la precisione si dovrebbe distinguere fra la regione bidimensionale (insieme di punti) e la sua area (valore numerico associato alla precedente). Spesso però, nel parlare comune ma anche in esposizioni scientifiche, il termine area e il termine superficie vengono usati indifferentemente.
Per l'area sono state e sono utilizzate tuttora varie unità di misura. Nel passato si sceglievano unità sulla base di esigenze locali e, in particolare nel mondo rurale, si avevano misure diverse anche in regioni limitrofe. Successivamente, a partire dalle spinte illuministiche, si sono date definizioni razionali e unificanti. Qui presentiamo le unità più importanti.
Unità di misura anglosassoni (sistema imperiale britannico e sistema consuetudinario statunitense):
