
L'aritmetica (dal greco ἀριθμός = numero) è la più antica branca della matematica, quella che studia le proprietà elementari delle "operazioni aritmetiche" sui numeri, specialmente i numeri interi.
È praticata quotidianamente da tutti per scopi molto semplici, come contare oggetti, valutare costi, stabilire distanze; viene utilizzata anche per scopi avanzati, ad esempio in complessi calcoli finanziari o nella tecnologia delle comunicazioni (crittografia).
I matematici talvolta usano il termine aritmetica per indicare la teoria dei numeri; questa disciplina però tratta problemi più avanzati e specifici rispetto all'aritmetica elementare e non viene presa in considerazione nel presente articolo.
La preistoria dell'aritmetica si limita ad un piccolo numero di piccoli artefatti che testimoniano una chiara concezione dell'addizione e della sottrazione; la prima fonte è l'osso d'Ishango rinvenuto nell'Africa centrale, datata circa tra il 20,000 e il 18,000 a.C.
È chiaro che i babilonesi avevano una solida conoscenza di quasi tutti gli aspetti dell'aritmetica elementare già intorno al 1800 a.C., anche se gli storici possono solo avanzare congetture sopra i metodi utilizzati per ottenere i risultati delle operazioni aritmetiche; questo è il caso dei risultati presentati nella tavoletta d'argilla Plimpton 322, che si presenta come una lista di terne pitagoriche; non si ha invece la possibilità di mostrare in qual modo questa lista sia stata originariamente prodotta. Similmente gli egizi, attraverso il Papiro di Rhind (che risale al 1650 a.C. circa, ma che, con ogni evidenza, è una copia di un vecchio testo del 1850 a.C. circa) testimoniano che le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione venivano effettuate all'interno di un sistema basato su frazioni unitarie.
Nicomaco di Gerasa, nella sua opera "Introduzione all'aritmetica", ha presentato concisamente l'approccio filosofico pitagorico ai numeri, e alle loro mutue relazioni. In quei tempi le operazioni aritmetiche di base costituivano attività molto complesse ed impegnative; è stato il metodo noto come il «Metodo degli indiani» (in latino "Modus Indorum"), che ha condotto all'aritmetica che conosciamo oggi. L'aritmetica indiana è stata molto più semplice di quella greca, a causa della semplicità del sistema di numerazione indiano, che per primo è riuscito a servirsi del numero zero e di una notazione posizionale. Nel VII secolo il vescovo siriaco Severo Sebokht menzionava questo metodo con ammirazione, precisando tuttavia che il metodo degli indiani si presentava senza alcuna descrizione.
Gli arabi appresero questo nuovo metodo e lo chiamarono "hesab". Leonardo Fibonacci (noto anche come Leonardo di Pisa), ha introdotto in Europa il metodo degli indiani nel 1202. Nel suo "Liber Abaci", Fibonacci afferma che, rispetto a questo nuovo metodo, tutti gli altri metodi sono stati sbagliati. Nel Medioevo, l'aritmetica era una delle sette Arti Liberali e veniva insegnata nelle università. Francesco Pellos ne compendiò lo stato nel XV secolo.
I moderni algoritmi dell'aritmetica (utilizzati sia per calcoli manuali che per calcoli automatici) sono stati resi possibili dalla introduzione dei numerali arabi e della loro notazione numerica posizionale e decimale. L'aritmetica araba basata sui numerali era stata sviluppata dai grandi matematici indiani Aryabhatta, Brahmagupta e Bhāskara I. Aryabhatta ha tentato di usare diverse notazioni posizionali e Brahmagupta ha arricchito dello zero il sistema numerico indiano. Brahmagupta ha messo a punto i procedimenti moderni per moltiplicazione, divisione, l'addizione e sottrazione basate sulle cifre decimali. Sebbene oggi siano ormai considerati elementari, questi procedimenti per la loro semplicità costituiscono il punto di arrivo di migliaia di anni di sviluppo della matematica. Per contrasto l'antico matematico Archimede ha dedicato un'intera opera, l"'Arenario ", a mettere a punto una notazione per un certo numero intero molto grande. Alla fioritura dell'algebra nel mondo islamico medievale e nell'Europa Rinascimentale ha contribuito in misura significativa anche l'enorme semplificazione dei calcoli numerici consentita dalla notazione decimale.
Il sistema numerico decimale è un sistema di numerazione posizionale che rappresenta i numeri a partire dalle cifre base da 0 a 9. Un numero decimale consiste in una sequenza di queste cifre base. Il valore di ciascuna cifra che compone il numero dipende dalla posizione che la cifra occupa nella notazione. Una parte essenziale di questo sistema (e un grande traguardo concettuale) è stato pensare allo 0 come ad un numero comparabile alle altre cifre base.
Le operazioni aritmetiche tradizionali sono addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, sebbene vengano a volte incluse nella materia anche operazioni più avanzate come l'elevamento a potenza, l'estrazione di radice, i logaritmi e l'uso delle percentuali. I calcoli aritmetici vengono effettuati rispettando l'ordine delle operazioni. Qualunque insieme su cui possono essere effettuate tutte e quattro le operazioni aritmetiche (eccetto la divisione per 0), e in cui le quattro operazioni godono delle comuni proprietà, è chiamato campo.
Il termine "aritmetica" è usato anche per riferirsi alla teoria dei numeri. Quest'ultima studia le proprietà degli interi collegate ai numeri primi, la divisibilità, e le soluzioni intere delle equazioni, che sono argomenti in rapida crescita nella matematica moderna. È in questo contesto che si incontrano il teorema fondamentale dell'aritmetica e le funzioni aritmetiche.
In generale nella scuola elementare vengono insegnati gli algoritmi di calcolo manuali per eseguire le quattro operazioni nell'insieme dei numeri naturali e dei numeri razionali positivi nella forma decimale; nelle medie inferiori gli algoritmi di queste stesse operazioni eseguite su frazioni e vengono introdotti l'insieme dei numeri razionali e quello dei numeri reali.
Sempre alle medie inferiori si studiano le operazioni di elevamento a potenza, di estrazione di radice (in particolare la radice quadrata), di massimo comune divisore e di minimo comune multiplo. Tradizionalmente si insegnava l'algoritmo manuale di estrazione di radice quadrata, ma ciò ora non è più sempre vero, visto che molti insegnanti preferiscono insegnare l'uso delle tavole numeriche o quello del calcolatore tascabile. Viene inoltre appreso il metodo di approssimazione dei risultati. Vengono introdotte le proporzioni e la proporzionalità e le sue applicazioni alla risoluzione di problemi del tre semplice e del tre composto, di ripartizione e di applicazioni di matematica finanziaria.
Nelle scuole medie superiori si studiano i logaritmi; anche qui si è passati dall'apprendimento dell'uso del regolo calcolatore a quello del calcolatore o del computer. Entrambi questi strumenti sono ampiamente utilizzati terminati gli studi per eseguire calcoli numerici.


In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la moltiplicazione di matrici è il prodotto righe per colonne tra due matrici, possibile sotto certe condizioni, che dà luogo ad un'altra matrice. Se una matrice rappresenta una applicazione lineare, il prodotto fra matrici è la traduzione della composizione di due applicazioni lineari. Quindi se due matrici 2 x 2 rappresentano ad esempio due rotazioni nel piano di angoli α e β, il loro prodotto è definito in modo tale da rappresentare una rotazione di angolo α + β.
Sia formula_1 un anello. Siano date una matrice formula_2 di dimensione formula_3 ed una seconda matrice formula_4 di dimensioni formula_5 a valori in formula_1. Siano formula_7 gli elementi di formula_2 e formula_9 gli elementi di formula_4. Si definisce il prodotto matriciale di formula_2 per formula_4 la matrice formula_13 a valori in formula_1 e di dimensioni formula_15 i cui elementi formula_16 sono dati da:
per ogni valore di riga "i" e di colonna "j".
Due matrici possono essere moltiplicate fra loro solo se il numero di colonne della prima è uguale al numero di righe della seconda, ed il prodotto tra due matrici non è commutativo.
Una matrice può essere moltiplicata con se stessa solo se è quadrata. In questo caso, il prodotto formula_18 si denota con formula_19. Più in generale, la potenza formula_20-esima di una matrice è:
dove formula_20 è un numero naturale, anche se spesso per esponenti molto maggiori dell'ordine della matrice è più semplice calcolarle servendosi della teoria della funzione di matrice, che permette inoltre di generalizzare la definizione di potenza fino ad ammettere un esponente non solo complesso, ma addirittura arbitrario.
Un'altra definizione informale della moltiplicazione matriciale, atta a permetterne una più rapida e immediata memorizzazione, è "moltiplicazione riga per colonna", infatti, per ottenere l'elemento della i-esima riga e j-esima colonna della matrice prodotto basta porre un indice sulla riga i della prima matrice, l'altro sulla colonna j della seconda e moltiplicare gli elementi indicati, quindi scorrere di un posto con le dita e moltiplicare, fino a raggiungere la fine della colonna e della riga, infine sommare i vari prodotti ottenuti.
Una matrice con una sola riga, cioè di dimensione formula_63, è un vettore riga. Analogamente, una matrice con una sola colonna, cioè di dimensione formula_64 è un vettore colonna. Nell'operazione di moltiplicazione questi due oggetti si comportano in modo differente. 
Siano formula_65 una matrice formula_3 e formula_67 un vettore colonna formula_68.
Il prodotto di formula_2 per il vettore formula_70 è il prodotto di matrici:
Le componenti di formula_72 sono:
Un algoritmo per la moltiplicazione matrice per vettore è:
Questo prodotto è ampiamente usato in algebra lineare perché descrive una applicazione lineare. Ad esempio, il prodotto:
rappresenta una rotazione di angolo formula_75 nel piano cartesiano.
In alcuni casi può essere utile effettuare il prodotto formula_76: il risultato è un altro vettore riga.
La moltiplicazione di una matrice formula_77 per uno scalare formula_78, cioè un elemento dell'anello cui appartengono gli formula_79, è ottenuta moltiplicando ogni elemento di formula_80 per lo scalare:
Se l'anello di partenza non è commutativo, questa viene indicata come "moltiplicazione sinistra", e può differire dalla "moltiplicazione destra":
Se l'anello di partenza non è commutativo, ad esempio se è l'anello dei quaternioni, le due moltiplicazioni non sono equivalenti. Ad esempio:
Sono stati definiti nel tempo altri tipi di prodotto tra matrici, meno fortunati in quanto a utilizzo dell'usuale prodotto righe per colonne. In particolare si può nominare il "prodotto di Hadamard" o "prodotto puntuale", in cui il prodotto di formula_86 e formula_87 è dato da formula_88. Ad esempio:
Un'altra costruzione è data dal prodotto di Kronecker, che trova applicazioni nel calcolo tensoriale, dato da:
espressa sotto forma di matrice a blocchi, in cui ogni blocco formula_91-esimo è dato dalla matrice formula_4 moltiplicata per lo scalare formula_7.
