
Un numero complesso è un numero formato da una parte reale e da una parte immaginaria sommate tra loro. Può essere rappresentato dalla somma di un numero reale e di un numero immaginario (un multiplo dell'unità immaginaria, indicata con la lettera formula_1). I numeri complessi sono usati in tutti i campi della matematica, in molti campi della fisica (notoriamente in meccanica quantistica), nonché in ingegneria, specialmente in elettronica/telecomunicazioni o elettrotecnica, per la loro utilità nel rappresentare onde elettromagnetiche e correnti elettriche ad andamento temporale sinusoidale.
In matematica i numeri complessi formano un campo (nonché un'algebra reale bidimensionale) e sono generalmente visualizzati come punti di un piano, detto piano complesso. La proprietà più importante dei numeri complessi è basata sul teorema fondamentale dell'algebra, secondo il quale qualunque equazione polinomiale di grado n ha n soluzioni complesse, non necessariamente distinte.
Nel corso dei secoli gli insiemi dei numeri sono andati man mano allargandosi, presumibilmente per rispondere all'esigenza di dare soluzione a equazioni e problemi sempre nuovi.
I numeri complessi sono un'estensione dei numeri reali, nata inizialmente per consentire di trovare tutte le soluzioni delle equazioni polinomiali. Ad esempio, l'equazione 
non ha soluzioni nell'insieme dei numeri reali, perché in questo insieme non esistono numeri il cui quadrato sia negativo.
Si definisce allora il valore formula_1, chiamato unità immaginaria, che gode della seguente proprietà:
I numeri complessi sono formati da due parti, una parte reale e una parte immaginaria, e sono rappresentati dalla seguente espressione:
dove formula_6 e formula_7 sono numeri reali, formula_1 è l'unità immaginaria.
Le leggi della somma algebrica e del prodotto nei numeri complessi si applicano facendo i conti nel modo usuale e sapendo che formula_9.
Come i numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, quelli complessi sono in corrispondenza con i punti del piano, detto piano complesso (o di Argand-Gauss): al numero complesso formula_10 si associa il punto di coordinate cartesiane formula_11.
Usando la relazione formula_4 si possono risolvere tutte le equazioni di secondo grado
con formula_14, incluse quelle che non hanno soluzioni reali perché dotate di discriminante negativo:
Le soluzioni sono determinate dalla formula risolutiva dell'equazione
che nel caso in cui il discriminante sia negativo, si svolge nel modo seguente:
Ad esempio:
Più in generale è vero che se un numero complesso è soluzione di un'equazione a coefficienti reali, allora anche il suo complesso coniugato è soluzione della stessa equazione. Quindi nel caso di un'equazione di grado dispari, tra le soluzioni ci sarà sempre almeno un numero reale.
I numeri complessi hanno avuto una genesi dilatata nel tempo. Cominciarono a essere utilizzati formalmente nel XVI secolo nelle formule di risoluzione delle equazioni di terzo e quarto grado di Tartaglia. I primi che riuscirono ad attribuire soluzioni alle equazioni cubiche furono Scipione Dal Ferro, il Bombelli e anche Niccolò Tartaglia, quest'ultimo, dopo molte insistenze, passò i risultati a Girolamo Cardano con la promessa di non divulgarli. Cardano dopo aver verificato l'esattezza delle soluzioni di Tartaglia non rispettò la sua promessa e pubblicò i risultati, citandone l'autore però, nella sua nota "Ars Magna" del 1545. Tartaglia aveva molte amicizie tra gli inquisitori e in seguito Cardano ebbe problemi legati alla giustizia del tempo, molti dei quali provenienti da accuse di eresia. Attualmente la comparsa di radici di numeri negativi viene attribuita principalmente a Tartaglia mentre nelle meno numerose pagine dedicate a Cardano non vi è traccia del suo probabile importante contributo a tale rappresentazione numerica.
Inizialmente i numeri complessi non vennero considerati come "numeri" ma solo come artifici algebrici utili a risolvere equazioni. Erano infatti numeri "che non dovrebbero esistere": Cartesio nel XVII secolo li chiamò "numeri immaginari". Abraham de Moivre ed Eulero nel XVIII secolo incominciarono a fornire ai numeri complessi una base teorica, finché questi assunsero piena cittadinanza nel mondo matematico con i lavori di Gauss. Contemporaneamente si affermò l'interpretazione dei numeri complessi come punti del piano.
In matematica molti oggetti e teoremi dipendono dalla scelta di un insieme numerico di base: spesso la scelta è fra numeri reali e complessi. L'aggettivo "complesso" è in questo caso usato per specificare questo insieme di base. Per esempio, si definiscono le matrici complesse, i polinomi complessi, gli spazi vettoriali complessi e l'algebra di Lie complessa. Esistono anche il teorema di Sylvester complesso e il teorema spettrale complesso.
Formalmente un numero complesso si può definire come una coppia ordinata di numeri reali formula_19. Si definiscono quindi somma e prodotto di due numeri complessi nel modo seguente:
Con queste due operazioni, l'insieme dei numeri complessi risulta essere un campo, che viene indicato con formula_22.
Il numero complesso formula_23 viene identificato con il numero reale formula_24, mentre il numero formula_25 è chiamato unità immaginaria ed è descritto con la lettera formula_26. L'elemento 1 è l'elemento neutro per la moltiplicazione, mentre si verifica che:
Ogni numero complesso formula_28 si scrive facilmente come combinazione lineare nel modo seguente:
I numeri "a" e "b" sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di "z". Questa rappresentazione dei numeri complessi rende agevole lo svolgimento delle operazioni di somma e prodotto. Ad esempio:
Usando gli strumenti della teoria dei campi, il campo dei numeri complessi può essere definito come la chiusura algebrica del campo dei numeri reali. 
Usando gli strumenti della teoria degli anelli, può anche essere introdotto come l'anello quoziente dell'anello dei polinomi reali con una variabile tramite l'ideale generato dal polinomio formula_31:
Questo è effettivamente un campo perché formula_31 è irriducibile. La radice del polinomio formula_31 è l'unità immaginaria formula_26, quindi l'anello quoziente è isomorfo a formula_36.
Un numero complesso può essere visto come un punto del piano cartesiano, chiamato in questo caso piano di Gauss. Una rappresentazione di questo tipo si chiama diagramma di Argand-Gauss. Nella figura si vede che
essendo formula_38 e formula_39 funzioni trigonometriche.
Le formule inverse sono:
Usando la formula di Eulero, possiamo esprimere formula_45 come
tramite la funzione esponenziale. Qui formula_47 è il modulo (o valore assoluto o norma) e formula_48 (detta anomalia) è l'argomento di formula_45. L'argomento è determinato da formula_45 se è inteso nell'intervallo formula_51, altrimenti è definito solo a meno di somme con formula_52 per qualche intero formula_53.
Il valore assoluto (modulo) ha le seguenti proprietà:
valide per tutti i numeri complessi formula_45 e formula_60.
La prima proprietà è una versione della disuguaglianza triangolare.
La distanza fra due punti del piano complesso è data semplicemente da
Il complesso coniugato del numero complesso formula_62 è definito come 
A volte è anche indicato come formula_64. Nel piano complesso formula_65 è ottenuto da formula_45 per simmetria rispetto all'asse reale. Valgono le seguenti proprietà:
Conoscendo il valore assoluto e il coniugato di un numero complesso formula_74 è possibile calcolare il suo reciproco formula_75 attraverso la formula:
Ovvero, se formula_62 otteniamo
Valgono le relazioni
La somma di due numeri complessi equivale alla usuale somma fra vettori nel piano complesso.
Vale
In realtà il prodotto non è che il risultato di un normalissimo prodotto di binomi. Usando la rappresentazione 
e le proprietà della funzione esponenziale, il prodotto di due numeri complessi 
assume la forma più agevole
In altre parole, nel prodotto di due numeri complessi, si sommano gli argomenti e si moltiplicano i moduli.
Questa affermazione consente di dimostrare la regola dei segni del prodotto: formula_85. Difatti se si considera che l'argomento di un numero reale negativo è 180º, moltiplicando tra loro due di questi numeri si ottiene un numero con argomento 360° e quindi 0° che è l'argomento di un numero reale positivo.
Una moltiplicazione per un numero complesso può essere vista come una simultanea rotazione e omotetia. Moltiplicare un vettore o equivalentemente un numero complesso per l'elemento formula_26 produce una rotazione di 90°, in senso antiorario, del numero complesso di partenza. Ovviamente la moltiplicazione per formula_26 e poi ancora per formula_26 produce una rotazione di 180º; ciò è logico visto che formula_9.
Il rapporto fra due numeri complessi formula_90 e formula_91 è dato da:
Usando la rappresentazione 
il rapporto di due numeri complessi è
Rappresentando ogni numero complesso come
è facile descrivere la potenza formula_96-esima
per ogni formula_96 intero. Con una notazione lievemente differente:
Si ottiene la formula di De Moivre:
Inoltre, ogni numero complesso ha esattamente formula_101 radici formula_101-esime: in particolare non esiste un modo univoco di definire la radice quadrata di un numero complesso.
La funzione esponenziale complessa formula_103 è definita facendo uso delle serie e degli strumenti del calcolo infinitesimale, nel modo seguente:
In particolare, se formula_105 si ottiene
facendo uso della formula di Eulero.
Il logaritmo naturale formula_107 di un numero complesso formula_108 è per definizione un numero complesso formula_109 tale che
Se 
il logaritmo di formula_108 è un qualsiasi numero complesso formula_109 del tipo
dove formula_115 è un numero intero qualsiasi. Poiché il valore formula_115 è arbitrario, un numero complesso ha una infinità di logaritmi distinti, che differiscono per multipli interi di formula_117. 
Se formula_118 si può scrivere
In questo caso, se formula_45 è reale (cioè se formula_121) fra gli infiniti valori ce n'è uno reale, che corrisponde all'usuale logaritmo di un numero reale positivo.
Supponiamo di voler individuare i numeri complessi z tali che 
La prima possibilità è quella di porre formula_123 e di uguagliare la parte reale di formula_124 alla parte reale del coniugato di formula_125 e analogamente per le rispettive parti immaginarie. Seguendo questa strada si ottengono due equazioni:
da cui si ricavano 7 soluzioni:
In alternativa, si può usare la rappresentazione polare
e uguagliare le norme e gli argomenti di formula_124 e del coniugato di formula_125, ottenendo anche qui due equazioni: 
con formula_134. Ovviamente si ottengono le stesse soluzioni, per esempio 
Diversamente dai numeri reali, i numeri complessi non possono essere ordinati in modo compatibile con le operazioni aritmetiche. Non è cioè possibile definire un ordine tale che
come avviene con i numeri reali. Quindi non ha senso chiedere ad esempio se formula_1 è maggiore o minore di formula_139, né studiare disequazioni nel campo complesso. Infatti in ogni campo ordinato tutti i quadrati devono essere maggiori o uguali a zero: per costruzione dell'unità immaginaria, invece formula_4.
Ciò non deve essere confuso con il dire che l'insieme dei numeri complessi non può essere totalmente ben ordinato. Infatti i numeri complessi hanno, ad esempio, un ordinamento in termini di ordine lessicografico, e costituiscono quindi un insieme ordinabile (come ogni insieme in ZFC stante l'assioma della scelta), ma non formano un campo ordinato (per la ragione di cui sopra) né una struttura algebrica ordinabile rispetto alla metrica indotta da una norma. 
Quando si disegna una funzione nel piano cartesiano il cui codominio contiene numeri dell'insieme immaginario, tali numeri non possono essere rappresentati da una coppia di coordinate formula_141, poiché essendo formula_142 complesso non può avere ordinamento rispetto alla retta formula_142.
L'insieme formula_144 è contemporaneamente uno spazio vettoriale complesso a una dimensione (come tutti i campi), e uno spazio vettoriale reale a due dimensioni. In quanto spazio vettoriale reale a dimensione finita è inoltre uno spazio normato completo, cioè uno spazio di Banach, e più in particolare uno spazio di Hilbert.
Una "radice complessa" di un polinomio formula_145 a coefficienti reali è un numero complesso formula_108 tale che formula_147. Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce che ogni polinomio di grado formula_101 ha esattamente formula_101 soluzioni complesse, contate con molteplicità. Questo risultato indica che i numeri complessi sono (a differenza dei reali) un campo algebricamente chiuso.
Lo studio delle funzioni con variabili complesse è detto analisi complessa e trova largo impiego nella matematica applicata e nella teoria dei numeri, oltre che in altre branche della matematica, della fisica e dell'ingegneria. Spesso, le dimostrazioni più semplici per gli enunciati dell'analisi reale o persino della teoria dei numeri impiegano tecniche di analisi complessa (vedi teorema dei numeri primi per un esempio). Diversamente dalle funzioni reali, che sono rappresentate comunemente come grafici bidimensionali, le funzioni complesse hanno grafici a quattro dimensioni e spesso vengono rappresentate come grafici colorati dove il colore sopperisce alla dimensione mancante (si veda, ad esempio, la voce Immagini conformi). Si possono anche usare delle animazioni per mostrare la trasformazione dinamica della funzione complessa del piano complesso.
I numeri complessi sono presenti in tutta la matematica, e sono protagonisti di interi settori, come l'analisi complessa o la geometria algebrica. Elenchiamo qui soltanto alcune applicazioni dei numeri complessi a settori della matematica in cui questi non hanno un ruolo dominante.
I numeri complessi sono utilizzati per la risoluzione delle equazioni differenziali associate al moto di tipo vibratorio dei sistemi meccanici. Sono molto usati anche nell'ingegneria elettrica, soprattutto per rappresentare lo sfasamento tra reattanza e resistenza.
I numeri complessi vengono utilizzati nell'analisi dei segnali e in tutti i campi dove si trattano segnali che variano sinusoidalmente nel tempo, o anche semplicemente periodici. Il valore assoluto di |"z"| è interpretato come l'ampiezza del segnale mentre l'argomento di "z" è interpretato come la fase. I numeri complessi rendono possibile anche l'analisi di Fourier, che rende possibile scomporre un generico segnale tempo-invariante in una somma di infinite sinusoidi: ogni sinusoide è scritta come un singolo numero complesso
dove ω è la pulsazione della sinusoide e "z" la sua ampiezza.
Nell'ingegneria elettrica ed elettronica vengono utilizzati per indicare la tensione e la corrente. L'analisi dei componenti resistivi, capacitivi e induttivi è stata unificata con l'introduzione dei numeri complessi, che riassumono tutte e tre queste componenti in una sola entità detta impedenza, semplificando notevolmente i calcoli. Possono esprimere delle relazioni che tengono conto delle frequenze e di come i componenti varino il loro comportamento al variare della frequenza. In questo tipo di calcoli si usa tradizionalmente la lettera "j" per indicare l'unità immaginaria, dato che la "i" è riservata alla corrente: i primi trattati di elettrotecnica, all'inizio del XX secolo, stabilivano "j" = "-i", cioè l'unità immaginaria nelle formule usate per l'elettrotecnica era il negativo di quella usata dai matematici. L'uso è stato mantenuto nel tempo, e questo dettaglio, sia pure ignoto ai più, è parzialmente vero anche oggi. Anche se, la stragrande maggioranza delle volte, nella letteratura tecnica con "j" oramai si intende l'unità immaginaria stessa, per cui "j"="i"
Il processo di estensione del campo R dei numeri reali al campo C dei numeri complessi è noto come costruzione di Cayley-Dickson. Esso può essere portato oltre a dimensioni più elevate, ottenendo i quaternioni H, gli ottetti (o ottonioni) O e i sedenioni, i quali costituiscono, rispettivamente, delle algebre a "4", "8", "16" dimensioni sul campo dei numeri reali.
In questo contesto, i numeri complessi sono stati chiamati binarioni.
Le algebre prodotte da questo processo sono note come algebre di Cayley-Dickson e, poiché estendono i numeri complessi, vanno a costituire una famiglia dell'insieme dei cosiddetti numeri ipercomplessi, il quale, tuttavia, include anche la famiglia delle algebre di Clifford.


In matematica un polinomio è un'espressione composta da costanti e variabili combinate usando soltanto addizione, sottrazione e moltiplicazione. In altre parole, un polinomio tipico, cioè ridotto in forma normale, è la somma algebrica di alcuni monomi non simili tra loro, vale a dire con parti letterali diverse. Ad esempio:
è la somma di tre monomi. Ciascun monomio viene chiamato "termine" del polinomio.
Le costanti sono anche chiamate "coefficienti" e sono tutte elementi di uno stesso insieme numerico o di un anello.
Quando valutati in un opportuno dominio, i polinomi possono essere interpretati come funzioni. Ad esempio, il polinomio
definisce una funzione reale di variabile reale.
Quando questo ha senso, le radici del polinomio sono definite come l'insieme di quei valori che, sostituiti alle variabili, danno all'espressione polinomiale il valore nullo. Ad esempio, formula_3 ha come radici i valori formula_4 e formula_5, poiché sostituendoli nell'espressione del polinomio si ha 
I polinomi sono oggetti matematici di fondamentale importanza, alla base soprattutto dell'algebra, ma anche dell'analisi e della geometria analitica.
Un polinomio si dice:
Due polinomi sono considerati "uguali" se, dopo essere stati ridotti in forma normale, hanno gli stessi termini, a meno dell'ordine. Quindi i polinomi seguenti sono uguali:
Il "grado" di un polinomio non nullo e ridotto in forma normale è il massimo grado dei suoi monomi, mentre il "grado parziale" rispetto ad una variabile è il grado risultante vedendo tutte le altre variabili come coefficienti. Quindi
ha grado due, mentre ha gradi parziali uno rispetto sia a formula_16 che a formula_17.
Si dicono "coefficienti" di un polinomio i coefficienti dei suoi singoli termini. Quindi i coefficienti di formula_18 sono rispettivamente formula_5, formula_4 e formula_4: il coefficiente formula_4 in un monomio è solitamente sottinteso.
Il "termine noto" di un polinomio ridotto in forma normale è l'unico monomio (se esiste) di grado zero, cioè non contenente variabili. Se non esiste un tale monomio, il termine noto è considerato generalmente inesistente o uguale a zero, secondo il contesto. Ad esempio, in
il termine noto è l'ultimo monomio: formula_24.
Due polinomi possono essere sommati, sottratti, e moltiplicati usando le usuali proprietà commutativa, associativa e distributiva delle operazioni di somma e prodotto. Ad esempio, se
allora la somma ed il prodotto di "p" e "q" sono rispettivamente
Somme e prodotti di polinomi danno come risultato un nuovo polinomio.
Il grado ("degree") della somma (o differenza) di due polinomi è minore o uguale al polinomio di grado maggiore. È sempre uguale al massimo tra i due, quando i due polinomi hanno grado differente:
Esempi:
Il grado del prodotto di un polinomio per un numero scalare (diverso da zero) è uguale al grado del polinomio:
Esempio:
Si noti che questo non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello che contiene un divisore di zero. Ad esempio, in formula_36, formula_37, ma formula_38. L'insieme dei polinomi aventi coefficienti da un dato campo F e grado minore o uguale a n, forma uno spazio vettoriale (questo insieme non è un anello, e non è chiuso, come mostrato in precedenza).
Il grado del prodotto di due polinomi definiti su un campo -(oggetto in cui sono definite le operazioni di somma e prodotto, con certe proprietà)- oppure su un dominio d'integrità, è pari alla somma dei gradi dei due polinomi:
Es.:
Si noti che ciò non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello arbitrario. Ad esempio, in formula_36, formula_43, ma formula_44.
Il grado della composizione di due polinomi formula_45 e formula_46 a coefficienti non costanti è uguale al prodotto dei rispettivi gradi:
Es.:
Si noti che ciò non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello arbitrario. Ad esempio, in formula_36, formula_52, ma formula_53.
Possiamo affermare correttamente sia che il grado del polinomio zero è indefinito, sia che il grado del polinomio zero può essere definito con un numero negativo (per convenzione −1 o −∞).
Come qualsiasi valore costante, il valore zero può essere considerato come un polinomio (costante), detto polinomio-zero. Questo polinomio non ha termini che non siano nulli, e perciò, propriamente non ha un grado, vale a dire che il suo grado è indefinito.
Le proposizioni precedenti sul grado della somma, prodotto e composizione di polinomi non si applicano se anche uno dei due è un polinomio-zero..
Le formule valgono se si introducono alcune opportune estensioni. È pertanto utile definire il grado di un polinomio-zero, pari a "meno infinito", −∞, e introdurre quindi queste regole aritmetiche
e
I seguenti esempi illustrano come questa estensione soddisfi quelle di somma, prodotto e composizione di due polinomi.:
In un polinomio, è spesso utile considerare alcune variabili come costanti. Ad esempio, il polinomio
può essere considerato anche come polinomio in formula_16 soltanto, dando a formula_17 il ruolo di un valore costante. Alternativamente, può essere visto come polinomio in formula_17 soltanto. Le proprietà dei polinomi che ne risultano possono essere molto diverse tra loro: qui ad esempio formula_68 ha grado formula_5 rispetto a formula_16, e solo formula_4 rispetto a formula_17. Ad esempio, il polinomio
è di grado formula_24, ma se visto soltanto nelle singole variabili formula_16 o formula_17 o formula_12 ha grado rispettivamente formula_5, formula_79 e formula_80.
Un polinomio generico con una sola variabile si può rappresentare con la seguente scrittura:
con formula_82 diverso da zero. Con questa scrittura, formula_83 è il termine noto e formula_84 è il grado. formula_82 si dice "coefficiente direttore".
Un tale polinomio è
Una "radice" di un polinomio formula_89 in una sola variabile è un numero formula_90 tale che
cioè tale che, sostituito a formula_16, rende nulla l'espressione. Quindi se
il numero formula_90 è radice se
Nel caso di polinomi a coefficienti reali l'insieme delle radici reali di un polinomio formula_68 si può visualizzare sul piano cartesiano come l'intersezione del grafico della funzione polinomiale formula_97 con l'asse delle ascisse.
In un dominio, un polinomio di grado formula_84 può avere al più formula_84 radici distinte. Esistono polinomi senza radici reali, come ad esempio
poiché formula_101 per ogni formula_90 reale. D'altra parte, per il teorema fondamentale dell'algebra ogni polinomio complesso ha esattamente formula_84 radici complesse, contate con molteplicità.
Nella scuola vengono insegnate formule per trovare le radici dei polinomi di primo e secondo grado. Esistono formule analoghe per esprimere la radici di un polinomio di terzo e quarto grado in termini dei coefficienti, utilizzando solamente le quattro operazioni ed estrazioni di radice (la cosiddetta "risoluzione per radicali"). È stato invece dimostrato nella teoria di Galois che non esiste una formula generale di questo tipo per polinomi dal quinto grado in su.
Sia formula_104 un anello. A un polinomio
a coefficienti in formula_104 si può associare una "funzione polinomiale", che è la funzione da formula_104 in sé definita da
per formula_109. Se formula_104 è finito, allora polinomi diversi possono dare luogo alla stessa funzione. Per esempio se formula_111 è il campo con un numero primo formula_68 di elementi, allora al polinomio nullo e al polinomio formula_113 è comunque associata, per il piccolo teorema di Fermat, la funzione che manda ogni elemento di formula_104 in zero. Lo stesso può valere se formula_104 è infinito, ma non è un dominio, per esempio se formula_104 è un'algebra esterna infinita, in cui vale formula_117 per ogni formula_118.
Se invece formula_104 è un dominio infinito, allora vale il seguente "principio d'identità dei polinomi", che afferma che a polinomi diversi sono associate funzioni polinomiali diverse (cioè la funzione sopra descritta che associa a un polinomio una funzione polinomiale è iniettiva):
Questo dipende dal fatto che in un dominio un polinomio non nullo ha solo un numero finito di radici.
Negli esempi che seguono, fissiamo formula_104 eguale al campo dei numeri reali. A seconda del grado,
Una funzione polinomiale a coefficienti reali
è derivabile e la sua derivata è ancora un polinomio,
Ragionando quindi induttivamente, si può quindi affermare che le funzioni polinomiali sono infinitamente derivabili (o "lisce") e che la derivata ("n"+1)-esima di un polinomio di grado formula_84 è la funzione nulla. In realtà esse sono anche funzioni analitiche.
Dato un anello formula_104, il simbolo
denota l'insieme di tutti i polinomi nelle variabili formula_135 con coefficienti in formula_104. Ad esempio, formula_104 può essere un campo come quello dei numeri reali o complessi.
L'insieme formula_134 risulta essere anch'esso un anello, l'anello dei polinomi in formula_84 variabili con coefficienti in formula_104. Lo studio delle proprietà di questo anello è una parte importante dell'algebra e della geometria algebrica.
Se formula_104 è un campo, l'anello dei polinomi è un'algebra su formula_104, e quando formula_143 è anche un anello euclideo, nel senso che i polinomi possono essere divisi con quoziente e resto come i numeri interi (se formula_144 questo non è vero poiché l'anello di polinomi non è un dominio ad ideali principali).
Il calcolo della derivata di un polinomio si estende come "definizione" di derivata (chiamata "derivata formale") nel caso in cui il polinomio abbia coefficienti in un anello formula_104, anche in assenza del calcolo infinitesimale. Molte delle proprietà della derivata si estendono anche alla derivata formale.
Siano formula_163 le n radici di un polinomio di grado formula_84, e sia formula_165.
Allora
Per le relazioni radici/coefficienti un polinomio di secondo grado si può scrivere nella forma
dove
Allora
Per le relazioni radici/coefficienti un polinomio di terzo grado si può scrivere nella forma
dove
Allora
