
In matematica, in particolare in algebra lineare, un minore di una matrice formula_1 è il determinante di una matrice quadrata ottenibile da formula_1 eliminando alcune righe e/o colonne di formula_1.
I minori sono uno strumento utile per calcolare il rango di una matrice, e quindi per risolvere i sistemi lineari.
Una sottomatrice di una matrice formula_4, con formula_5 e formula_6 interi non negativi, è una matrice formula_7, con formula_8 e formula_9 interi tali che formula_10 e formula_11, ottenuta da formula_1 rimuovendo formula_13 righe e formula_14 colonne.
Un minore è il determinante di una sottomatrice (quadrata, cioè con formula_15). Il numero formula_8 è definito "ordine" del minore.
Un minore complementare è un minore di formula_17 ottenuto togliendo una sola riga e una sola colonna da formula_17. Si nota subito che i minori complementari sono definiti solo per matrici formula_17 quadrate, altrimenti la matrice risultante non sarebbe più quadrata e non se ne potrebbe calcolare il determinante. Il minore complementare rispetto all'elemento formula_20 di una matrice quadrata formula_17 si ottiene togliendo l'formula_22-esima riga e la formula_23-esima colonna e si indica con formula_24 o con formula_25. Se il minore complementare formula_24 viene considerato con il segno formula_27 esso è detto "complemento algebrico" o "cofattore" di formula_20.
Talvolta con "minore" si intende "sottomatrice quadrata", ma questo uso è meno comune e alcuni risultati potrebbero dover essere enunciati in modo differente. Qui e nel seguito si userà la definizione di minore come determinante.
Sia formula_17 una matrice formula_30 e siano formula_31 un sottoinsieme di formula_32 con formula_33 elementi e formula_34 un sottoinsieme di formula_35 con formula_33 elementi. Indicando con formula_37 il minore formula_38 di formula_17 che corrisponde alle righe con indice in formula_31 e colonne con indice in formula_34:
Il rango di una matrice formula_49 è uguale al massimo ordine di un minore non nullo di formula_49. Questo risultato fornisce uno strumento frequentemente utilizzato nel calcolo del rango di una matrice, ma non è molto efficiente per matrici di con elevato numero di righe e/o colonne.
La matrice dei cofattori è un'importante matrice associata ad una matrice quadrata ed è definita a partire dai suoi minori complementari.
Data una matrice ad elementi reali formula_51 e rango formula_8, allora esiste almeno un minore di ordine formula_8 non nullo e tutti i minori di ordine maggiore sono nulli.
Si consideri la matrice formula_54:
Allora alcune delle sue sottomatrici sono:
I minori di ordine formula_61 sono:
Alcuni dei minori di ordine formula_63 sono:
Infine i minori di ordine formula_65:


In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la moltiplicazione di matrici è il prodotto righe per colonne tra due matrici, possibile sotto certe condizioni, che dà luogo ad un'altra matrice. Se una matrice rappresenta una applicazione lineare, il prodotto fra matrici è la traduzione della composizione di due applicazioni lineari. Quindi se due matrici 2 x 2 rappresentano ad esempio due rotazioni nel piano di angoli α e β, il loro prodotto è definito in modo tale da rappresentare una rotazione di angolo α + β.
Sia formula_1 un anello. Siano date una matrice formula_2 di dimensione formula_3 ed una seconda matrice formula_4 di dimensioni formula_5 a valori in formula_1. Siano formula_7 gli elementi di formula_2 e formula_9 gli elementi di formula_4. Si definisce il prodotto matriciale di formula_2 per formula_4 la matrice formula_13 a valori in formula_1 e di dimensioni formula_15 i cui elementi formula_16 sono dati da:
per ogni valore di riga "i" e di colonna "j".
Due matrici possono essere moltiplicate fra loro solo se il numero di colonne della prima è uguale al numero di righe della seconda, ed il prodotto tra due matrici non è commutativo.
Una matrice può essere moltiplicata con se stessa solo se è quadrata. In questo caso, il prodotto formula_18 si denota con formula_19. Più in generale, la potenza formula_20-esima di una matrice è:
dove formula_20 è un numero naturale, anche se spesso per esponenti molto maggiori dell'ordine della matrice è più semplice calcolarle servendosi della teoria della funzione di matrice, che permette inoltre di generalizzare la definizione di potenza fino ad ammettere un esponente non solo complesso, ma addirittura arbitrario.
Un'altra definizione informale della moltiplicazione matriciale, atta a permetterne una più rapida e immediata memorizzazione, è "moltiplicazione riga per colonna", infatti, per ottenere l'elemento della i-esima riga e j-esima colonna della matrice prodotto basta porre un indice sulla riga i della prima matrice, l'altro sulla colonna j della seconda e moltiplicare gli elementi indicati, quindi scorrere di un posto con le dita e moltiplicare, fino a raggiungere la fine della colonna e della riga, infine sommare i vari prodotti ottenuti.
Una matrice con una sola riga, cioè di dimensione formula_63, è un vettore riga. Analogamente, una matrice con una sola colonna, cioè di dimensione formula_64 è un vettore colonna. Nell'operazione di moltiplicazione questi due oggetti si comportano in modo differente. 
Siano formula_65 una matrice formula_3 e formula_67 un vettore colonna formula_68.
Il prodotto di formula_2 per il vettore formula_70 è il prodotto di matrici:
Le componenti di formula_72 sono:
Un algoritmo per la moltiplicazione matrice per vettore è:
Questo prodotto è ampiamente usato in algebra lineare perché descrive una applicazione lineare. Ad esempio, il prodotto:
rappresenta una rotazione di angolo formula_75 nel piano cartesiano.
In alcuni casi può essere utile effettuare il prodotto formula_76: il risultato è un altro vettore riga.
La moltiplicazione di una matrice formula_77 per uno scalare formula_78, cioè un elemento dell'anello cui appartengono gli formula_79, è ottenuta moltiplicando ogni elemento di formula_80 per lo scalare:
Se l'anello di partenza non è commutativo, questa viene indicata come "moltiplicazione sinistra", e può differire dalla "moltiplicazione destra":
Se l'anello di partenza non è commutativo, ad esempio se è l'anello dei quaternioni, le due moltiplicazioni non sono equivalenti. Ad esempio:
Sono stati definiti nel tempo altri tipi di prodotto tra matrici, meno fortunati in quanto a utilizzo dell'usuale prodotto righe per colonne. In particolare si può nominare il "prodotto di Hadamard" o "prodotto puntuale", in cui il prodotto di formula_86 e formula_87 è dato da formula_88. Ad esempio:
Un'altra costruzione è data dal prodotto di Kronecker, che trova applicazioni nel calcolo tensoriale, dato da:
espressa sotto forma di matrice a blocchi, in cui ogni blocco formula_91-esimo è dato dalla matrice formula_4 moltiplicata per lo scalare formula_7.
