
In matematica, il concetto di limite serve a descrivere l'andamento di una funzione all'avvicinarsi del suo argomento a un dato valore (limite di una funzione) oppure l'andamento di una successione al crescere illimitato dell'indice (limite di una successione). I limiti si utilizzano in tutti i rami dell'analisi matematica; sono usati ad esempio per definire la continuità, la derivazione e l'integrazione.
Il concetto di limite di una funzione, più generale del limite di una successione, può essere generalizzato da quello di limite di un filtro.
Il concetto di limite era già presente in modo intuitivo nell'antichità, per esempio in Archimede (nel suo metodo di esaustione), e fu utilizzato, anche se non in modo rigoroso, a partire dalla fine del XVII secolo da Newton, Leibniz, Eulero e D'Alembert.
La prima definizione abbastanza rigorosa di limite risale al XIX secolo con Cauchy, seguita da una miglior formalizzazione di Weierstrass.
Una completa teoria del limite si ha con Heine, che nel 1872 pubblicò un lavoro che creò molto interesse all'epoca e nel quale stilò regole e proprietà del limite. Molti altri studiosi si sono interessati al problema del limite, approfondendo l'argomento con lo studio dell'analisi infinitesimale, tra cui Bolzano, Dedekind e Cantor.
Ma solo nel 1922 Eliakim Hastings Moore ed H.L. Smith diedero una nozione generale (topologica) di limite, ed è quella attualmente utilizzata in matematica. Nel 1937, Henri Cartan ne fornì una versione equivalente, basata sul concetto di filtro.
Una successione formula_1 di numeri reali ha come limite il numero formula_2 se al crescere di formula_3 i termini della successione "sono arbitrariamente vicini" al valore formula_4. Formalmente, questa nozione è resa chiedendo che per ogni formula_5 piccolo a piacere esista un numero naturale formula_6 tale che formula_7 per ogni formula_8.
Una successione può non avere limite, ad esempio formula_9, data da:
non ha limite. D'altra parte, se esiste un limite formula_2, si dice che la successione converge ad formula_2; in questo caso, il limite è unico (una successione non può convergere a due valori distinti). Ad esempio, la successione formula_13, data da:
converge a zero.
Considerando uno spazio topologico formula_15, una successione formula_16 con formula_17 tende al limite formula_18 se, comunque si prenda un intorno formula_19 di formula_4, esiste un formula_21 tale per cui formula_22 per tutti gli formula_23, e si scrive:
Se formula_15 è uno spazio di Hausdorff il limite di formula_16 con formula_17, se esiste, è unico.
Il limite di una funzione generalizza il limite di una successione di punti in uno spazio topologico formula_28; si considera la successione una funzione formula_29 nello spazio topologico formula_30 con la topologia discreta. In tale definizione, un intorno di formula_31 ha la forma formula_32.
Siano dati una funzione formula_33 definita su un sottoinsieme formula_15 della retta reale formula_35 ed un punto di accumulazione formula_36 di formula_15. Un numero reale formula_38 è il limite di formula_39 per formula_40 tendente a formula_41 se la distanza fra formula_39 ed formula_38 è arbitrariamente piccola quando formula_44 si avvicina a formula_41.
La distanza fra i punti è misurata usando il valore assoluto della differenza: quindi formula_46 è la distanza fra formula_40 e formula_41 e formula_49 è la distanza fra formula_39 ed formula_38. Il concetto di "arbitrariamente piccolo" è espresso formalmente con i quantificatori "per ogni" (quantificatore universale) ed "esiste" (quantificatore esistenziale).
Formalmente, formula_38 è limite se per ogni numero reale formula_5 piccolo a piacere esiste un altro numero reale positivo formula_54 tale che:
In questo caso si scrive:
La definizione di limite di una funzione è necessaria per formalizzare il concetto di funzione continua.
Dato uno spazio topologico formula_60, un punto formula_61 è il limite di un ultrafiltro formula_62 su formula_15 se ogni intorno di formula_64 appartiene a formula_62.
Il limite di una funzione rispetto ad un filtro è definito considerando una funzione formula_66 tra spazi topologici e un filtro formula_62 su formula_19. Il punto formula_69 è il limite di formula_70 in formula_61 rispetto ad formula_62 se formula_64 è il limite di formula_62 e formula_75 è il limite di formula_76. Si scrive in tal caso:
Il concetto di limite si estende anche alle successioni di insiemi attraverso le nozioni di limite superiore e limite inferiore: data una successione di insiemi formula_78, l'insieme limite è definito come l'insieme che intuitivamente contiene gli elementi che stanno nel maggior numero di insiemi della successione. Formalmente, una successione di insiemi si dice possedere limite se vale la seguente uguaglianza:


In matematica, ogni numero intero è pari oppure dispari: un numero è pari se è multiplo di 2, altrimenti è dispari. Esempi di numero pari sono: −56, 0, 12, 28, 56, 388. Esempi di numero dispari: −7, 19, 83, 95, 463, 1005, 32721.
L'insieme dei numeri pari può essere scritto nel seguente modo:
L'insieme dei numeri dispari può essere scritto nel seguente modo:
La caratterizzazione di un intero relativa all'essere pari o dispari si dice parità. Essa equivale alla appartenenza ad una delle due classe di resti modulo 2: [0] per gli interi pari, [1] per i dispari.
Un numero espresso con il sistema di numerazione decimale è pari o dispari a seconda che la sua ultima cifra sia pari o dispari. Ovvero, se l'ultima cifra è 1, 3, 5, 7, o 9, è dispari, altrimenti è pari. La stessa idea è valida se si usa una qualsiasi base pari. In particolare, un numero espresso nel sistema di numerazione binario è dispari se l'ultima cifra è 1 e pari se l'ultima cifra è 0; un intero espresso nella base 4 è pari se la sua ultima cifra è 0 o 2, è dispari in caso contrario, cioè se la sua ultima cifra è 1 o 3. In sistemi di numerazione a base dispari, il numero è pari o dispari a seconda della parità delle somma delle sue cifre, ovvero a seconda della sua radice fondamentale.
I numeri pari formano un ideale nell'anello degli interi, i numeri dispari invece no. Un intero è pari se è congruente a 0 modulo l'ideale, in altre parole se è congruente a 0 modulo 2, e dispari se è congruente a 1 modulo 2.
Tutti i numeri primi sono dispari con una eccezione: il numero primo 2. Tutti i numeri perfetti conosciuti sono pari; non si sa se esistano dei numeri perfetti dispari.
La congettura di Goldbach asserisce che qualsiasi numero pari maggiore di 2 può essere rappresentato come una somma di due numeri primi. I calcoli eseguiti con i moderni computer hanno mostrato che questa congettura è vera per interi fino ad almeno 4 × 10, ma non è ancora stata trovata una dimostrazione matematica generale.
Le leggi seguenti possono essere verificate usando le proprietà di divisibilità, e il fatto che 2 è un numero primo:
La divisione di due numeri interi non dà necessariamente come risultato un numero intero. Ad esempio, 1 diviso 4 è uguale a 1/4, che non è né pari né dispari, in quanto il concetto di pari o dispari si applica solo agli interi.
Ma quando il risultato è un intero:
