
In matematica un polinomio è un'espressione composta da costanti e variabili combinate usando soltanto addizione, sottrazione e moltiplicazione. In altre parole, un polinomio tipico, cioè ridotto in forma normale, è la somma algebrica di alcuni monomi non simili tra loro, vale a dire con parti letterali diverse. Ad esempio:
è la somma di tre monomi. Ciascun monomio viene chiamato "termine" del polinomio.
Le costanti sono anche chiamate "coefficienti" e sono tutte elementi di uno stesso insieme numerico o di un anello.
Quando valutati in un opportuno dominio, i polinomi possono essere interpretati come funzioni. Ad esempio, il polinomio
definisce una funzione reale di variabile reale.
Quando questo ha senso, le radici del polinomio sono definite come l'insieme di quei valori che, sostituiti alle variabili, danno all'espressione polinomiale il valore nullo. Ad esempio, formula_3 ha come radici i valori formula_4 e formula_5, poiché sostituendoli nell'espressione del polinomio si ha 
I polinomi sono oggetti matematici di fondamentale importanza, alla base soprattutto dell'algebra, ma anche dell'analisi e della geometria analitica.
Un polinomio si dice:
Due polinomi sono considerati "uguali" se, dopo essere stati ridotti in forma normale, hanno gli stessi termini, a meno dell'ordine. Quindi i polinomi seguenti sono uguali:
Il "grado" di un polinomio non nullo e ridotto in forma normale è il massimo grado dei suoi monomi, mentre il "grado parziale" rispetto ad una variabile è il grado risultante vedendo tutte le altre variabili come coefficienti. Quindi
ha grado due, mentre ha gradi parziali uno rispetto sia a formula_16 che a formula_17.
Si dicono "coefficienti" di un polinomio i coefficienti dei suoi singoli termini. Quindi i coefficienti di formula_18 sono rispettivamente formula_5, formula_4 e formula_4: il coefficiente formula_4 in un monomio è solitamente sottinteso.
Il "termine noto" di un polinomio ridotto in forma normale è l'unico monomio (se esiste) di grado zero, cioè non contenente variabili. Se non esiste un tale monomio, il termine noto è considerato generalmente inesistente o uguale a zero, secondo il contesto. Ad esempio, in
il termine noto è l'ultimo monomio: formula_24.
Due polinomi possono essere sommati, sottratti, e moltiplicati usando le usuali proprietà commutativa, associativa e distributiva delle operazioni di somma e prodotto. Ad esempio, se
allora la somma ed il prodotto di "p" e "q" sono rispettivamente
Somme e prodotti di polinomi danno come risultato un nuovo polinomio.
Il grado ("degree") della somma (o differenza) di due polinomi è minore o uguale al polinomio di grado maggiore. È sempre uguale al massimo tra i due, quando i due polinomi hanno grado differente:
Esempi:
Il grado del prodotto di un polinomio per un numero scalare (diverso da zero) è uguale al grado del polinomio:
Esempio:
Si noti che questo non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello che contiene un divisore di zero. Ad esempio, in formula_36, formula_37, ma formula_38. L'insieme dei polinomi aventi coefficienti da un dato campo F e grado minore o uguale a n, forma uno spazio vettoriale (questo insieme non è un anello, e non è chiuso, come mostrato in precedenza).
Il grado del prodotto di due polinomi definiti su un campo -(oggetto in cui sono definite le operazioni di somma e prodotto, con certe proprietà)- oppure su un dominio d'integrità, è pari alla somma dei gradi dei due polinomi:
Es.:
Si noti che ciò non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello arbitrario. Ad esempio, in formula_36, formula_43, ma formula_44.
Il grado della composizione di due polinomi formula_45 e formula_46 a coefficienti non costanti è uguale al prodotto dei rispettivi gradi:
Es.:
Si noti che ciò non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello arbitrario. Ad esempio, in formula_36, formula_52, ma formula_53.
Possiamo affermare correttamente sia che il grado del polinomio zero è indefinito, sia che il grado del polinomio zero può essere definito con un numero negativo (per convenzione −1 o −∞).
Come qualsiasi valore costante, il valore zero può essere considerato come un polinomio (costante), detto polinomio-zero. Questo polinomio non ha termini che non siano nulli, e perciò, propriamente non ha un grado, vale a dire che il suo grado è indefinito.
Le proposizioni precedenti sul grado della somma, prodotto e composizione di polinomi non si applicano se anche uno dei due è un polinomio-zero..
Le formule valgono se si introducono alcune opportune estensioni. È pertanto utile definire il grado di un polinomio-zero, pari a "meno infinito", −∞, e introdurre quindi queste regole aritmetiche
e
I seguenti esempi illustrano come questa estensione soddisfi quelle di somma, prodotto e composizione di due polinomi.:
In un polinomio, è spesso utile considerare alcune variabili come costanti. Ad esempio, il polinomio
può essere considerato anche come polinomio in formula_16 soltanto, dando a formula_17 il ruolo di un valore costante. Alternativamente, può essere visto come polinomio in formula_17 soltanto. Le proprietà dei polinomi che ne risultano possono essere molto diverse tra loro: qui ad esempio formula_68 ha grado formula_5 rispetto a formula_16, e solo formula_4 rispetto a formula_17. Ad esempio, il polinomio
è di grado formula_24, ma se visto soltanto nelle singole variabili formula_16 o formula_17 o formula_12 ha grado rispettivamente formula_5, formula_79 e formula_80.
Un polinomio generico con una sola variabile si può rappresentare con la seguente scrittura:
con formula_82 diverso da zero. Con questa scrittura, formula_83 è il termine noto e formula_84 è il grado. formula_82 si dice "coefficiente direttore".
Un tale polinomio è
Una "radice" di un polinomio formula_89 in una sola variabile è un numero formula_90 tale che
cioè tale che, sostituito a formula_16, rende nulla l'espressione. Quindi se
il numero formula_90 è radice se
Nel caso di polinomi a coefficienti reali l'insieme delle radici reali di un polinomio formula_68 si può visualizzare sul piano cartesiano come l'intersezione del grafico della funzione polinomiale formula_97 con l'asse delle ascisse.
In un dominio, un polinomio di grado formula_84 può avere al più formula_84 radici distinte. Esistono polinomi senza radici reali, come ad esempio
poiché formula_101 per ogni formula_90 reale. D'altra parte, per il teorema fondamentale dell'algebra ogni polinomio complesso ha esattamente formula_84 radici complesse, contate con molteplicità.
Nella scuola vengono insegnate formule per trovare le radici dei polinomi di primo e secondo grado. Esistono formule analoghe per esprimere la radici di un polinomio di terzo e quarto grado in termini dei coefficienti, utilizzando solamente le quattro operazioni ed estrazioni di radice (la cosiddetta "risoluzione per radicali"). È stato invece dimostrato nella teoria di Galois che non esiste una formula generale di questo tipo per polinomi dal quinto grado in su.
Sia formula_104 un anello. A un polinomio
a coefficienti in formula_104 si può associare una "funzione polinomiale", che è la funzione da formula_104 in sé definita da
per formula_109. Se formula_104 è finito, allora polinomi diversi possono dare luogo alla stessa funzione. Per esempio se formula_111 è il campo con un numero primo formula_68 di elementi, allora al polinomio nullo e al polinomio formula_113 è comunque associata, per il piccolo teorema di Fermat, la funzione che manda ogni elemento di formula_104 in zero. Lo stesso può valere se formula_104 è infinito, ma non è un dominio, per esempio se formula_104 è un'algebra esterna infinita, in cui vale formula_117 per ogni formula_118.
Se invece formula_104 è un dominio infinito, allora vale il seguente "principio d'identità dei polinomi", che afferma che a polinomi diversi sono associate funzioni polinomiali diverse (cioè la funzione sopra descritta che associa a un polinomio una funzione polinomiale è iniettiva):
Questo dipende dal fatto che in un dominio un polinomio non nullo ha solo un numero finito di radici.
Negli esempi che seguono, fissiamo formula_104 eguale al campo dei numeri reali. A seconda del grado,
Una funzione polinomiale a coefficienti reali
è derivabile e la sua derivata è ancora un polinomio,
Ragionando quindi induttivamente, si può quindi affermare che le funzioni polinomiali sono infinitamente derivabili (o "lisce") e che la derivata ("n"+1)-esima di un polinomio di grado formula_84 è la funzione nulla. In realtà esse sono anche funzioni analitiche.
Dato un anello formula_104, il simbolo
denota l'insieme di tutti i polinomi nelle variabili formula_135 con coefficienti in formula_104. Ad esempio, formula_104 può essere un campo come quello dei numeri reali o complessi.
L'insieme formula_134 risulta essere anch'esso un anello, l'anello dei polinomi in formula_84 variabili con coefficienti in formula_104. Lo studio delle proprietà di questo anello è una parte importante dell'algebra e della geometria algebrica.
Se formula_104 è un campo, l'anello dei polinomi è un'algebra su formula_104, e quando formula_143 è anche un anello euclideo, nel senso che i polinomi possono essere divisi con quoziente e resto come i numeri interi (se formula_144 questo non è vero poiché l'anello di polinomi non è un dominio ad ideali principali).
Il calcolo della derivata di un polinomio si estende come "definizione" di derivata (chiamata "derivata formale") nel caso in cui il polinomio abbia coefficienti in un anello formula_104, anche in assenza del calcolo infinitesimale. Molte delle proprietà della derivata si estendono anche alla derivata formale.
Siano formula_163 le n radici di un polinomio di grado formula_84, e sia formula_165.
Allora
Per le relazioni radici/coefficienti un polinomio di secondo grado si può scrivere nella forma
dove
Allora
Per le relazioni radici/coefficienti un polinomio di terzo grado si può scrivere nella forma
dove
Allora


In matematica, la radice formula_1-esima o radicale formula_1-esimo, con formula_3, di un numero reale formula_4, scritto come formula_5, è un numero reale formula_6 tale che formula_7. Il numero reale formula_8 è detto radicando, il numero formula_1 è detto indice e il numero formula_10 è detto radice formula_1-esima di formula_8.
Una radice con indice 2 è indicata con il nome di radice quadrata e una radice con indice 3 con il nome di radice cubica o radice terza, ma esistono e si possono creare radici con qualsiasi indice.
Le condizioni di esistenza sono quell'insieme dei valori delle variabili contenute nel radicale per i quali esso esiste nel campo dei numeri reali.
La funzione radice formula_1-esima è una funzione definita da formula_14, perciò formula_5 resta definita formula_16
Per esempio, i seguenti radicali esprimono numeri reali: 
Si può ottenere un risultato analogo alla radice ennesima attraverso l'elevamento a potenza con esponente frazionario:
Tuttavia la funzione potenza è definita da formula_19, perciò essa permette di definire due sottocasi:
Ciò implica che equazioni del tipo formula_22, con formula_1 pari e formula_24 non hanno soluzioni reali, esse infatti appartengono all'insieme dei numeri immaginari, sottoinsieme dell'insieme dei numeri complessi, indicato con formula_25, che vengono espressi come somma di un numero reale e un numero immaginario.
Ad esempio, l'equazione formula_26 avrà per soluzioni formula_27 e formula_28, dove formula_29 rappresenta l'unità immaginaria.
Quanto visto finora ci permette d'individuare che, ad esempio, la condizione di esistenza del radicale formula_30 è formula_31, dato che il radicando deve essere sempre positivo.
Ecco altri esempi di condizioni di esistenza:
Esistono delle proprietà fondamentali delle radici che vengono elencate di seguito:
Dalla definizione di radicale segue che: 
Si elevino all'ennesima potenza entrambi i membri dell'uguaglianza:
Poiché le formula_1-esime potenze dei due membri sono uguali (formula_59), sono uguali anche le basi.
Applicando la proprietà:
Allo stesso modo, con formula_61:
Si elevino all'ennesima potenza entrambi i membri dell'uguaglianza:
Poiché le formula_1-esime potenze dei due membri sono uguali formula_70, sono uguali anche le basi.
Applicando la proprietà:
Allo stesso modo, con formula_72:
Non è necessario dimostrare questa proprietà in quanto è una diretta conseguenza della seconda proprietà dei radicali con il radicando sempre positivo.
Applicando la proprietà:
Allo stesso modo, con formula_78
Si elevino all'formula_83-esima potenza entrambi i membri dell'uguaglianza:
Poiché le formula_83-esime potenze dei due membri sono uguali (formula_87), sono uguali anche le basi.
Applicando la proprietà:
Allo stesso modo, con formula_89, formula_90
Per il teorema del prodotto si ottiene:
Ma, per la seconda proprietà fondamentale dei radicale è formula_97, perciò:
Applicando la proprietà:
Allo stesso modo, con formula_100:
Il teorema presenta le seguenti varianti, facilmente verificabili:
Elevando tutto alla formula_1-esima potenza si ottiene:
Radicando ora il tutto sotto radice di indice formula_1 risulta:
Quindi:
Applicando la proprietà:
Allo stesso modo:
Il teorema presenta le seguenti varianti, facilmente verificabili:
Tenendo conto di quanto detto finora, si ha che per formula_4
Il primo enunciato si ottiene direttamente dalla definizione di radicale, il secondo applicando il teorema delle potenze ad esponente negativo.
dove formula_24, formula_65e formula_136.
Per ogni numero complesso formula_137, ci sono formula_1 diversi numeri complessi formula_10 tali che formula_7, quindi il simbolo formula_5 non può essere usato univocamente. Se formula_142, parliamo di radici n-esime dell'unità.
È importante ricordare che, in generale, è sempre (per formula_47, formula_54):
tenendo presente che l'uguaglianza si ha se e solo se almeno uno tra formula_8 e formula_10 è formula_148.
Quindi, affermare che formula_149 sarebbe un gravissimo errore.
Partendo dalla disequazione:
Elevando al quadrato si ottiene:
Poiché è formula_47 e formula_54 per ipotesi, è anche formula_156, quindi la tesi è vera.
Il teorema è facilmente estendibile alle radici di indice formula_1-esimo:
La somma di radicali è possibile solo se sono presenti radicali simili, cioè nel caso in cui:
Ad esempio:
Nel secondo esempio si tenga presente che vale formula_166.
La proprietà invariantiva dei radicali afferma che:
""Moltiplicando o dividendo sia l'indice di un radicale che l'esponente del suo radicando per un numero naturale diverso da 0, si ottiene un radicale equivalente a quello dato.""
In simboli:
Si elevi alla formula_170 potenza ciascuno dei due membri:
Si ottiene formula_173, e, poiché le formula_170-esime potenze dei due membri sono uguali, sono uguali anche le basi.
Utilizzando la proprietà invariantiva è possibile semplificare i radicali, dividendo sia indice che esponente del radicando per uno stesso numero:
Allo stesso modo:
Si noti che nell'espressione è stato inserito il valore assoluto: questo perché, mentre il primo radicale formula_177 esiste sempre, dato che ha il radicando elevato ad un indice pari, successivamente viene semplificato ed il suo radicando non è più elevato ad un esponente pari. Quindi è necessario inserire il valore assoluto, per fare in modo che l'uguaglianza si mantenga valida.
La radice formula_1-esima di formula_148 vale sempre formula_148, escludendo il caso in cui è formula_181, poiché la radice di indice formula_148 ha significato solo se il radicando è uguale ad formula_183, ossia nel caso:
Inoltre, è sempre:
Nelle elaborazioni di espressioni e formule algebriche, è spesso utile manipolare i radicali usando le relazioni scritte sopra, senza tentare di calcolare il valore di ogni singolo elemento. Ad esempio, se formula_8 e formula_10 sono due numeri positivi distinti:
L'ultima relazione può servire per razionalizzare il denominatore di un'espressione o di un'equazione.
Può capitare, spesso in analisi, di trovare radicali letterali, ossia radici quadrate con radicando letterale. In questo caso, dapprima bisogna trovare la condizione di esistenza (chiamata anche C.A. "Condizione di accettabilità", o C.R.R. "Condizione di Realtà del Radicando"), nel caso si lavori solo tra i numeri reali, per poi considerare sempre quando le lettere indicano numeri positivi o numeri negativi.
Un esempio di radicale letterale:
Le condizioni di esistenza si ricavano nel seguente modo:
Pertanto il campo di esistenza del radicale è: formula_200.
