
atematica, in particolare in topologia, un sottoinsieme formula_1 di uno spazio topologico formula_2 è chiuso se il suo complementare è aperto. Intuitivamente se un insieme è chiuso vuol dire che il "bordo" dell'insieme appartiene all'insieme stesso, infatti una definizione equivalente alla precedente è la seguente: formula_1 è "chiuso" se contiene la sua frontiera.
Gli insiemi chiusi hanno quindi le seguenti proprietà, "complementari" a quelle degli insiemi aperti, valide in un qualsiasi spazio topologico:
Si possono usare queste proprietà come assiomi per definire una topologia su formula_4 a partire dai chiusi, che coincide con quella generata nel modo usuale dalla famiglia formula_6 degli aperti complementari.
Sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:
Non sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:
Altri esempi di insiemi chiusi sono:


, un intervallo è un sottoinsieme dei numeri reali formato da tutti i punti della retta reale che sono compresi tra due estremi formula_1 e formula_2. Gli estremi possono (ma non devono necessariamente) appartenere all'intervallo e possono essere infiniti.
Formalmente, un sottoinsieme formula_3 dei numeri reali formula_4 o di un altro insieme ordinato è un intervallo se per ogni coppia di elementi formula_5 e formula_6 di formula_3, ogni altro elemento formula_8 tale che formula_9 sta anch'esso in formula_3. In formula_4 gli intervalli corrispondono agli insiemi convessi.
Gli intervalli di formula_4 sono quindi gli insiemi seguenti (dove formula_1 e formula_2 sono due numeri reali tali che formula_15 (intervallo chiuso)
I punti formula_1 e formula_2 sono gli estremi dell'intervallo. Quindi una parentesi quadra formula_24 formula_25 indica che l'estremo appartiene all'intervallo, mentre una parentesi tonda formula_26 formula_27 indica che non vi appartiene. Una notazione alternativa usa formula_25 e formula_24 rispettivamente al posto di formula_26 e formula_27. Entrambe le notazioni fanno parte dello standard ISO 31-11 e del successivo ISO 80000-2 come equivalenti sebbene la notazione che prevede l'utilizzo delle parentesi tonde per indicare gli intervalli aperti sia in assoluto la più utilizzata.
I primi quattro intervalli hanno lunghezza formula_32, i cinque seguenti hanno lunghezza infinita, il punto e l'insieme vuoto hanno lunghezza formula_33.
L'intervallo unitario è l'intervallo chiuso formula_34.
Raramente, il simbolo ÷, chiamato obelo, viene usato in Italia per indicare un intervallo numerico. Ad esempio 3 ÷ 7 vuol dire 'da tre a sette', estremi compresi.
