
In matematica la tavola trigonometrica è una tabella che elenca il valore di una funzione trigonometrica per un certo numero di possibili valori angolari. Una tavola trigonometrica è principalmente caratterizzata da due aspetti:
Il dettaglio può non essere costante per meglio mappare funzioni che abbiano asintoti verticali o orizzontali, che implicano significative variazioni del valore delle funzione in prossimità di alcuni valori angolari.
La prima tavola trigonometrica di cui si ha testimonianza risale al II secolo a.C. ed è quella predisposta da Ipparco di Nicea allo scopo di risolvere, ovvero individuare tutti gli angoli e le lunghezze dei lati nota una parte di essi, ogni possibile triangolo.
Secondo alcune interpretazioni della tavoletta d'argilla di origine babilonese nota con il nome di "Plimpton 322" (risalente al 1800 a.C.) potrebbe essere una rudimentale tavola trigonometrica.
Claudio Tolomeo, attorno al 150, nella sua opera "Almagesto" spiega come costruire una "tavola delle corde" utile per i calcoli astronomici.
È curioso notare come le prime tavole trigonometriche non mappassero le funzioni seno e coseno, come normalmente accade oggi, quanto le funzioni seno e senoverso.
Prima dell'introduzione delle calcolatrici tascabili, le tavole trigonometiche erano essenziali per i calcoli richiesti in numerose aree della scienza e delle applicazioni pratiche, si veda ad esempio l'importanza dell'algoritmo di prostaferesi per la navigazione e l'astronomia.
Il calcolo delle tabelle matematiche era un'area di studio molto importante che portò all'invenzione dei primi dispositivi automatici di calcolo.
Tra i matematici che si ricordano per aver contribuito a definire tavole sempre più accurate, vanno citati:
Oggi ogni calcolatrice è in grado di fornire i valori delle funzioni trigonometriche per qualsiasi angolo. I metodi usati dalle calcolatrici per ottenere questo risultato comprendono:
L'interpolazione, anche di tabelle non molto dettagliate, trova ancora oggi impiego nella computer grafica, dove la precisione di calcolo non deve essere necessariamente elevata volendo prediligere la velocità di calcolo.
Un'altra importante applicazione delle tabelle trigonometriche è negli algoritmi per il calcolo della trasformata di Fourier veloce (FFT), dove gli stessi valori delle funzioni trigonometriche (i cosiddetti fattori "twiddle" o "di rotazione") devono essere calcolati più volte all'interno della stessa trasformata, soprattutto nel caso non raro in cui si eseguono più trasformazioni dello stesso ordine. In questo caso non sarebbe accettabile chiamare ripetutamente la routine generica di calcolo poiché il tempo complessivo sarebbe eccessivo. Una possibilità è quella di chiamare la routine un'unica volta per ciascun valore twiddle e storicizzarne il risultato in una tabella da consultare durante l'algoritmo. Seppure efficace, la soluzione non risulta efficiente in termine di quantità di memoria usata.
Storicamente, il metodo più antico, e probabilmente quello più comunemente usato fino all'avvento dei calcolatori elettronici, per ottenere e ampliare con sistematicità una tavola trigonometrica è stato quello di applicare ripetutamente le identità trigonometriche notevoli note come formule di bisezione e formule di addizione e sottrazione partendo da valori noti quali formula_1 oppure formula_2:
L'impiego più remoto, di cui ci sia pervenuta una testimonianza scritta, risale a Tolomeo.
È un metodo rapido, ma impreciso, per ottenere una tabella di dimensione N nell'intervallo formula_7
Posto formula_8 e formula_9, si usano le seguenti formule:
per "n" = 0...,"N"-1, dove "d" = 2π/"N".
Queste formule si ottengono applicando il metodo di Eulero per l'integrazione del seguente sistema di equazioni differenziali ordinarie:
con le condizioni al contorno "s"(0) = 0 e "c"(0) = 1, la cui soluzione analitica è formula_12 e formula_13.
L'errore che si commette con l'uso di questo algoritmo è inversamente proporzionale ad N. In particolare per il seno il massimo dell'approssimazione è circa 15/N, mentre per il coseno è 20/N.
Ad esempio, per "N" = 256 l'errore massimo che si commette nel calcolo del seno è circa ~0.061 ("s" = -1.0368 invece di -0.9757). Per "N" = 1024, l'errore massimo che si commette nel calcolo del seno è circa ~0.015 ("s" = -0.99321 invece di -0.97832), all'incirca 4 (=1024/256) volte inferiore.
L'andamento dell'ampiezza dell'errore non è lineare ma oscillante e divergente, per cui se si volesse tracciare la curva definita anche da coppie (s,c) ottenute per valori superiori a N, si otterrebbe una spirale logaritmica anziché un cerchio.
Una semplice formula ricorsiva per la generazione delle tabelle trigonometriche è basata sulla Formula di Eulero e sulla seguente relazione:
Possiamo così calcolare i valori trigonometrici "s" e "c" come segue:
per "n" = 0, ..., "N - 1", dove formula_15 e formula_16. I due valori iniziali sono generalmente calcolati avvalendosi di funzioni di libreria esistenti (ad esempio utilizzando semplicemente con il metodo di Newton nel piano complesso per il calcolo delle radici dell'unità di "z" − 1).
Questo metodo in teoria (cioè in aritmetica esatta) dovrebbe fornire una tavola di valori "esatta", tuttavia gli errori dovuti all'aritmetica finita (virgola mobile) fanno sì che l'errore commesso sia un O(ε "N") (nel peggiore dei casi ma anche mediamente), dove ε è la precisione della rappresentazione in virgola mobile.
Un significativo miglioramento si ottiene utilizzando la seguente modifica, uno stratagemma (ideato da Richard C. Singleton) sovente utilizzato per ottenere i valori trigonometrici nelle implementazioni della FFT:
dove α = 2 sin(π/"N") e β = sin(2π/"N"). Gli errori di questo metodo sono molto più piccoli, O(ε √"N") in media e O(ε "N") nel peggiore dei casi, che è comunque in grado di inficiare significativamente la precisione per FFT di grandi dimensioni.


La trigonometria (dal greco "trígonon" (τρίγωνον, triangolo) e "métron" (μέτρον, misura): risoluzione del triangolo) è la parte della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli. Il compito principale della trigonometria, così come rivela l'etimologia del nome, consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi di un triangolo (lati, angoli, mediane, etc.) partendo da altre misure già note (almeno tre, di cui almeno una lunghezza), per mezzo di speciali funzioni.
Tale compito è indicato come "risoluzione del triangolo". È anche possibile servirsi di calcoli trigonometrici nella risoluzione di problemi correlati a figure geometriche più complesse, come poligoni o figure geometriche solide, ed in molti altri rami della matematica.
Le funzioni trigonometriche (le più importanti delle quali sono il seno e il coseno), introdotte in questo ambito, vengono anche usate in maniera indipendente dalla geometria, comparendo anche in altri campi della matematica e delle sue applicazioni, ad esempio in connessione con la funzione esponenziale o con le operazioni vettoriali.
Per molti secoli, la trigonometria dovette i suoi progressi quasi esclusivamente all'opera di grandi astronomi e geografi. Infatti, la fondazione di questa scienza si deve a Ipparco di Nicea e a Claudio Tolomeo, entrambi più astronomi e geografi che matematici.
Contributi notevoli furono apportati a questa scienza dagli arabi, dal francese Levi ben Gershon e, successivamente, da Niccolò Copernico e Tycho Brahe, intenti a descrivere e a prevedere con sempre maggior precisione i fenomeni celesti, anche per un più esatto e comodo calcolo di longitudini e latitudini.
Strumento indispensabile della trigonometria sono le funzioni trigonometriche. Sono queste funzioni che associano lunghezze ad angoli, e viceversa.
Le tabelle in questa sezione mostrano le funzioni trigonometriche insieme alle loro principali proprietà; per ulteriori caratteristiche, consultare la voce relativa alla particolare funzione.
Sono dette funzioni trigonometriche "dirette" quelle che ad un angolo, solitamente espresso in radianti, associano una lunghezza o un rapporto fra lunghezze. A causa dell'equivalenza circolare degli angoli, tutte le funzioni trigonometriche dirette sono anche funzioni periodiche con periodo formula_1 o formula_2.
Ad ogni funzione trigonometrica diretta è associata una funzione inversa. Il dominio di ciascuna funzione trigonometrica inversa corrisponde, com'è prevedibile, al codominio della rispettiva funzione diretta. Poiché le funzioni dirette sono, tuttavia, "periodiche", e perciò non iniettive, per poterle invertire è necessario restringerne il dominio rendendole biiettive. La scelta della restrizione è teoricamente irrilevante e le possibilità sono infinite. La convenzione (rigida, in questo campo) vuole però che i domini vengano ristretti agli intervalli formula_3 oppure formula_4, in cui le funzioni — e dunque anche le loro inverse — siano monotone. Anche le funzioni arcosecante ed arcocosecante vengono definite dall'inversione delle funzioni dirette ristrette ad uno di tali intervalli.
Da questa si ricavano
Ricordare di valutare la posizione di formula_8 per la scelta opportuna dei segni.
che vale solo per formula_10 con formula_11.
Dalle due precedenti relazioni si ricava che
che vale solo per formula_10 con formula_11.
Da questa si ricava
Ricordare di valutare la posizione di formula_8 per la scelta opportuna dei segni.
che vale solo per formula_18 con formula_11.
che vale solo per formula_10 con formula_11.
che vale solo per formula_18 con formula_11.
Nella circonferenza goniometrica chiamiamo angoli associati gli angoli formula_8, formula_27, formula_28 e formula_29. Tali angoli hanno in valore assoluto stesso seno e stesso coseno.
formula_30
formula_31
formula_32
formula_33
formula_34
formula_35
formula_36
formula_37
formula_38
formula_39
formula_40
formula_41
Si dice che formula_42 è una funzione pari, mentre formula_43 e formula_44 sono dispari.
formula_45
formula_46
formula_47
formula_48
formula_49
formula_50
In trigonometria, le formule di addizione e sottrazione permettono di trasformare le funzioni trigonometriche della somma o differenza di due angoli in un'espressione composta da funzioni trigonometriche dei due angoli.
La formula della tangente vale per formula_55 con formula_56
La formula della cotangente vale per formula_57 con formula_56
La formula della tangente vale per formula_63 con formula_56
La formula della cotangente vale per formula_65 con formula_56
L'ultima formula vale per formula_70 e formula_71 con formula_11
L'ultima formula vale per formula_76 con formula_11
Attenzione: è necessario valutare in quale quadrante cade formula_78 per poter scegliere i segni opportuni delle seguenti formule
L'ultima formula vale per formula_82.
dove formula_86 con formula_82.
Le formule di prostaferesi trasformano somme di funzioni goniometriche in prodotti.
Le formule di Werner trasformano prodotti di funzioni goniometriche in somme.
La seguente uguaglianza è verificata sotto le seguenti condizioni
formula_96
Fare attenzione al fatto che la tangente goniometrica è periodica di 180° e dunque bisogna valutare preventivamente la posizione di formula_99 dunque
Nel gergo matematico risolvere un triangolo rettangolo significa calcolare le misure dei lati e degli angoli del triangolo.
Per convenzione esiste una nomenclatura nei triangoli rettangoli che si può vedere in figura. 
Si ricorda che 
Ad esempio formula_103 è opposto al cateto formula_104 e adiacente al cateto formula_105.
Sotto queste convenzioni in un triangolo rettangolo valgono i seguenti teoremi
Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa con il seno dell'angolo opposto al cateto
Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa con il coseno dell'angolo acuto adiacente al cateto.
Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto con la tangente dell'angolo opposto al cateto da calcolare.
Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto con la cotangente dell'angolo acuto adiacente al cateto da calcolare.
Tali teoremi si traducono nelle seguenti formule per la risoluzione dei triangoli rettangoli
Si consideri un triangolo rettangolo formula_114 con angolo retto di vertice formula_115. Detto formula_116 l'asse formula_117, sul vertice formula_118 si costruisce una circonferenza di raggio formula_119. Le coordinate del punto formula_120 rappresentano il formula_121 e il formula_122, e poiché formula_123 è acuto indicano anche rispettivamente le lunghezze dei cateti formula_124 e formula_125.
Dalla figura si può osservare che i due triangoli rettangoli formula_114 e formula_127 sono simili in quanto hanno due angoli congruenti: formula_123 in comune e gli angoli retti di vertice formula_115 e formula_130. Quindi è possibile costruire la proporzione fra i lati omologhi dei due triangoli simili (lati opposti agli angoli congruenti):
Sostituendo le misure dei lati si ottiene
e quindi
da queste due si ricava anche
Questo ragionamento può essere chiaramente esteso anche al terzo angolo formula_103 in modo da ottenere formule analoghe
Si consideri il seguente problema: calcolare l'altezza di una torre formula_142, potendo stare solo alla base (piano orizzontale) della stessa. Si distinguono due casi
In questo caso basta misurare il cateto formula_143 (formula_104), e dal punto formula_118 misurare l'angolo acuto formula_146 (formula_123) sotto cui si vede la sommità della torre formula_142 (formula_105). Applicando opportunamente le formule si ottiene
In questo caso formula_143 (formula_152) è incognita (in quanto il piede formula_115 non è raggiungibile). Si fa dunque una misura orizzontale formula_154 (formula_155) (quindi il cateto formula_156 è formula_157). Dal punto formula_118 si misura l'angolo acuto formula_146 (formula_160) e da formula_161 si misura l'angolo acuto formula_162 (formula_163) sotto cui si vede la sommità della torre formula_142 (formula_105). Applicando opportunamente le formule si ottiene
Confrontando le due altezze si ottiene una equazione nell'incognita formula_117
questa equazione è facilmente risolvibile noti d, formula_160 e formula_171
Trovato formula_117 si ha formula_173 e quindi si può calcolare
Per calcolare l'area del triangolo formula_114, di base formula_176, serve l'altezza formula_177. Nel triangolo rettangolo formula_178, di ipotenusa formula_179, l'altezza formula_180 può essere vista come il cateto che si oppone all'angolo formula_123. Utilizzando in modo opportuno le formule dei triangoli rettangoli si ottiene
e quindi
Questa formula vale anche se formula_123 è ottuso.
Fissato su un piano un punto origine formula_185 e una semiretta formula_186, dato un punto formula_120 del piano esso è univocamente individuato da una coppia di numeri reali formula_188 con la condizione formula_189 e formula_190. La coppia di numeri reali rappresenta le coordinate polari di formula_120.
Geometricamente formula_192 rappresenta la distanza formula_193, mentre formula_194 rappresenta l'angolo formula_195 misurato in senso antiorario con primo lato formula_196.
È possibile trovare le relazioni esistenti tra le coordinate cartesiane formula_197 e le coordinate polari formula_198 del punto formula_120. Le seguenti considerazioni fatte per un punto formula_120 sul primo quadrante valgono anche per gli altri quadranti.
Utilizzando le formule dei triangoli rettangoli si trovano le formule per la trasformazione in coordinate cartesiane
Elevando al quadrato e sommando si ottiene formula_202 e quindi si possono ricavare le formule per la trasformazione in coordinate polari
Fare attenzione che la tangente goniometrica non esiste per formula_205 ed è periodica di 180° e dunque bisogna valutare preventivamente la posizione di formula_120 per calcolare correttamente formula_194
I teoremi trigonometrici permettono la risoluzione di problemi di varia natura legata alla figura di un triangolo qualsiasi, esprimendo rapporti tra i lati e gli angoli di questo.
Data una circonferenza e una corda formula_142, il rapporto tra tale corda e il seno di un qualsiasi angolo alla circonferenza che insiste su di essa è uguale al diametro della circonferenza:
Considerato un triangolo qualsiasi di lati formula_211, formula_104 e formula_105, il rapporto tra i lati e i seni dei rispettivi angoli opposti è costante ed è uguale al diametro della circonferenza circoscritta:
Il teorema del coseno (chiamato anche teorema di Carnot) afferma che in un qualsiasi triangolo, il quadrato di un lato è uguale alla differenza tra la somma dei quadrati degli altri due lati e il doppio prodotto di tali lati per il coseno dell'angolo compreso tra essi.
Ovvero, indicando con formula_216 la lunghezza dei lati e formula_217 gli angoli ad essi opposti, si ottiene
Può essere considerato una generalizzazione del Teorema di Pitagora.
 Nel gergo matematico risolvere un triangolo significa calcolare le misure dei lati e degli angoli del triangolo.
Per risolvere un triangolo qualsiasi devono essere noti tre elementi dei quali almeno uno deve essere un lato. Si possono presentare quattro casi:
La nomenclatura dei lati e degli angoli segue la convenzione in figura.
Il problema ha sempre una sola soluzione se sono rispettate le seguenti condizioni
in caso contrario il problema non ha soluzione.
Il problema ha sempre una sola soluzione se sono rispettate le disuguaglianze triangolari
in caso contrario il problema non ha soluzione.
Il problema ha sempre una sola soluzione
Il problema può avere nessuna soluzione, una soluzione o due soluzioni.
Come per il resto delle lingue europee, l'italiano eredita i nomi delle funzioni trigonometriche dalle corrispondenti voci latine.
Il termine "seno" proviene dalla traduzione latina "sinus" della parola araba "jaib" (letteralmente "baia", tradotto in latino "sinus" a causa di una lettura equivoca: dal momento che l'arabo non scrive le vocali, la sequenza "jb", che stava per "jiba" ricalcando una parola sanscrita, è stata interpretata erroneamente come "baia", in luogo del corretto "corda") usata per indicare la metà della corda; in questo senso, il seno denota la corda piegata su se stessa.
La parola "tangente" viene da latino "tangens", letteralmente «che tocca», in riferimento alle proprietà geometriche del segmento utilizzato per la definizione grafica di questa funzione.
Analogamente si spiega l'etimologia della "secante", in latino "secans", «che taglia».
Le parole "coseno", "cotangente" e "cosecante" derivano dalla contrazione delle rispettive voci latine "complementi sinus", "complementi tangens", "complementi secans", vale a dire «seno dell'angolo complementare», «tangente dell'angolo complementare», «secante dell'angolo complementare».
