
In geometria, l'ellisse (dal greco "ἔλλειψις", col significato di "mancanza") è una curva piana ottenuta intersecando un cono con un piano in modo da produrre una curva chiusa.
Affinché la sezione conica produca una curva chiusa l'inclinazione del piano deve essere superiore a quella della generatrice del cono rispetto al suo asse. Per contro, le due sezioni coniche ottenute con piani aventi inclinazione uguale o inferiore a quella della retta generatrice rispetto all'asse del cono danno vita ad altri due tipi di curve che sono aperte e illimitate: la parabola e l'iperbole.
La circonferenza è un caso speciale di ellisse che si ottiene quando l'intersezione viene fatta con un piano ortogonale all'asse del cono.
Un'ellisse è anche il luogo geometrico dei punti del piano per i quali "la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi rimane costante".
L'ellisse può essere anche la proiezione verticale su un piano orizzontale di una circonferenza appartenente a un piano inclinato: se il piano inclinato forma un angolo formula_1 con il piano orizzontale, la proiezione verticale della circonferenza è un'ellisse di eccentricità formula_2.
Dopo la circonferenza, si tratta della più semplice tra le figure di Lissajous ottenuta dalla composizione dei due moti verticale e orizzontale di tipo sinusoidale della stessa frequenza.
In base alle leggi di Keplero, l'orbita di un pianeta è un'ellisse con il Sole che ne occupa uno dei due fuochi.
L'ellisse è una curva simile a un cerchio allungato in una direzione: è un esempio di sezione conica e può essere definita come il luogo dei punti del piano per cui la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, rimane costante. Se i due fuochi coincidono si ha una circonferenza, che quindi può essere considerata il caso particolare di ellisse a eccentricità nulla.
È una curva con due assi di simmetria e un centro di simmetria. La distanza tra i punti antipodali dell'ellisse, cioè tra punti simmetrici rispetto al suo centro, è massima lungo l'asse maggiore, che contiene anche i due fuochi, ed è minima lungo l'asse minore perpendicolare a quello maggiore. Il semiasse maggiore è una delle due metà dell'asse maggiore: parte dal centro, passa attraverso un fuoco e arriva all'ellisse. Analogamente il semiasse minore è metà dell'asse minore. I due assi sono per l'ellisse l'equivalente del diametro per la circonferenza, mentre i due semiassi sono l'equivalente del raggio.
La dimensione e la forma di un'ellisse sono determinate da due costanti reali positive, dette convenzionalmente formula_3 e formula_4. La costante maggiore è la lunghezza del semiasse maggiore mentre la costante minore quella del semiasse minore.
L'equazione dell'ellisse si trova uguagliando la somma delle distanze fra i due fuochi formula_5 e formula_6 e un punto generico formula_7 con il doppio del semiasse maggiore:
che equivale a:
Per trovare l"'equazione canonica o normale" dell'ellisse, con centro nell'origine e fuochi sull'asse delle formula_10 (cioè formula_11), si operino le sostituzioni formula_12, formula_13, formula_14, formula_15, formula_16. Dopo alcuni passaggi si ricava che l'ellisse centrata nell'origine di un sistema di assi cartesiani con l'asse maggiore posto lungo l'asse delle ascisse è definita dall'equazione:
La stessa ellisse è rappresentata anche dall'equazione parametrica:
che fa uso delle funzioni trigonometriche seno e coseno.
L'eccentricità formula_19 di un'ellisse è compresa tra formula_20 e formula_21 ed è il rapporto della distanza tra i due fuochi formula_22 ed formula_23 e la lunghezza dell'asse maggiore formula_24:
L'eccentricità rende conto della forma più o meno schiacciata dell'ellisse: quando è uguale a formula_20, i due fuochi coincidono e l'ellisse degenera in una circonferenza di raggio formula_3. Facendo tendere l'eccentricità a formula_21, l'ellisse si schiaccia sempre più e quando assume il valore unitario essa degenera in un segmento lungo formula_24 percorso due volte, quindi il perimetro dell'ellisse è uguale a formula_30.
Il semilato retto di un'ellisse, solitamente denotato dalla lettera formula_31, è la distanza tra ciascuno dei fuochi dell'ellisse e i punti sull'ellisse di cui i fuochi sono proiezione ortogonale sull'asse maggiore. È legato ad formula_3 e formula_4 dalla formula
Come per le altre coniche, anche per l'ellisse vale la proprietà seguente:
i punti medi di un fascio di corde parallele sono allineati.
Il segmento che congiunge i punti medi di un fascio di corde parallele prende il nome di diametro dell'ellisse. I punti medi delle corde parallele ad un diametro dell'ellisse costituiscono il diametro coniugato al diametro dato. Due diametri coniugati si intersecano nel centro dell'ellisse. Gli assi di simmetria dell'ellisse sono gli unici diametri coniugati perpendicolari tra loro. La retta tangente ad un'ellisse nell'estremo di un diametro è sempre parallela al diametro coniugato.
In coordinate polari, un'ellisse con un fuoco nell'origine e con la coordinata angolare formula_35 misurata a partire dall'asse maggiore è rappresentata dall'equazione:
dove formula_31 denota il semilato retto e la coordinata angolare formula_35 è l'angolo che la retta r passante per formula_39 forma con l'asse maggiore (vedere figura a lato).
Se si considera la retta formula_40 passante per il fuoco formula_41 e la coordinata angolare formula_35 è l'angolo che la retta formula_40 passante per formula_41 forma con l'asse maggiore, l'equazione diviene:
L'area racchiusa da un'ellisse è data da
[[File:Ellisse5.png|thumb|upright=1.3|Coefficiente angolare: formula_47Equazione: formula_48 e il punto formula_49, con formula_50 e formula_51. Sapendo che nella traslazione si conserva anche il parallelismo, i coefficienti angolari delle tangenti a formula_52 passanti per formula_53 sono uguali a quelli delle tangenti a formula_54 passanti per il punto formula_55. Si scrive il sistema di due equazioni con la prima relativa all'equazione dell'ellisse e la seconda relativa al fascio di rette passanti per il punto formula_55
Si impone la condizione di tangenza, ossia che il discriminante formula_61 sia nullo:
[[File:Tangent lines to an ellipse from a point outside.JPG|thumb|upright=1.8| Rette tangenti ad un'ellisse condotte da un punto esterno formula_53]]
È data un'ellisse di fuochi formula_39, formula_41 e asse maggiore formula_24, e un punto formula_53 esterno all'ellisse. Esistono due metodi per tracciare le rette tangenti all'ellisse condotte dal punto esterno formula_53.
Tracciare la circonferenza di centro formula_39 e raggio formula_24. Tracciare la circonferenza di centro formula_53 e raggio formula_77. Le due circonferenze si intersecano nei punti formula_78 e formula_79. Tracciare i segmenti formula_80 e formula_81. Fissare i punti formula_82 ed formula_83 di intersezione tra i due segmenti e l'ellisse. Le rette formula_84 e formula_85 sono le rette tangenti cercate.
Tracciare la circonferenza di centro formula_39 e raggio formula_24. Tracciare la circonferenza di centro formula_53 e raggio formula_77. Le due circonferenze si intersecano nei punti formula_78 e formula_79. Tracciare i segmenti formula_101 e formula_102. Condurre per formula_53 la retta formula_104 perpendicolare al segmento formula_101. Condurre per formula_53 la retta formula_107 perpendicolare al segmento formula_102. Le rette formula_104 ed formula_107 sono le rette tangenti cercate.
L'equazione generale dell'ellisse avente i fuochi formula_113 ed formula_114 posti in posizione generica sul piano cartesiano e avente il semiasse maggiore denotato con formula_3 è data da
dove i parametri formula_78, formula_79, formula_119, formula_120, formula_121 ed formula_122 sono uguali a
La [[Curva (matematica)#Lunghezza della curva|lunghezza]] dell'ellisse è:
in cui la funzione formula_121 è l'[[integrale ellittico completo di seconda specie]] ed formula_19 è l'eccentricità.
Sono state proposte numerose formule approssimate per il calcolo della lunghezza dell'ellisse, che differiscono molto per complessità e accuratezza.
Lo sviluppo in [[serie]] è:
Una semplice ma poco raffinata approssimazione per la lunghezza è
che fornisce il risultato esatto quando l'ellisse è una circonferenza, cioè per formula_134, mentre dà un risultato approssimato per eccesso negli altri casi. Nel caso limite in cui formula_135 la formula dà formula_136, mentre il valore esatto è formula_137. La formula è più precisa per ellissi con bassa eccentricità. Utilizzare questa formula equivale ad assumere che l'ellisse abbia la stessa lunghezza di una circonferenza che ha raggio uguale alla media quadratica dei semiassi dell'ellisse.
Un'approssimazione migliore si ottiene con uno sviluppo in serie nel modo seguente: posto formula_138 si ha
Anche in questo caso l'approssimazione è migliore per le ellissi di bassa eccentricità.
Due formule approssimate sono dovute a [[Ramanujan]]:
Entrambe le formule danno il risultato esatto per una circonferenza e, nel caso generale, l'errore delle due formule è dell'ordine di formula_142e di formula_143, rispettivamente. Nel caso di ellisse degenere in un segmento (formula_135, formula_145) la prima dà formula_146, mentre la seconda dà formula_147, quando il risultato esatto è formula_137.
Fissare i due fuochi formula_39 e formula_41 e l'asse maggiore di lunghezza formula_24 (con formula_152). Costruire una circonferenza di centro formula_39 e raggio formula_24. Fissare sulla circonferenza un punto generico formula_155. Tracciare il raggio formula_156. Tracciare il segmento formula_157 e l'asse di tale segmento (retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio formula_158) che interseca formula_156 nel punto formula_53. Il punto formula_53 è equidistante da formula_41 e da formula_155 in quanto sta sull'asse del segmento formula_157. Dunque formula_165. D'altra parte formula_166 e quindi formula_167. Quindi formula_53 è un punto dell'ellisse.
Questo metodo viene detto della tangente in quanto la retta formula_169 è la tangente all'ellisse nel punto formula_53, infatti gode della proprietà tangenziale, precedentemente descritta.
In questo caso sono note le lunghezze dei lati del rettangolo circoscritto all'ellisse. La linea rossa nella sia la corda utilizzata dal "giardiniere" per tracciare l'ellisse. Nel film [[Agora (film)|Agorà]] del 2009 Ipazia, interpretata da [[Rachel Weisz]], studiando l'orbita della Terra attorno al Sole traccia sulla sabbia un'ellisse con il metodo del giardiniere. In alcuni momenti si vede anche un [[Sezione conica|cono di Apollonio]].
[[Categoria:Sezioni coniche]]
[[Categoria:Curve piane]]


La geometria (dal greco antico ""γεωμετρία"", composto dal prefisso "geo" che rimanda alla parola "γή" = "terra" e "μετρία", "metria" = "misura", tradotto quindi letteralmente come "misurazione della terra") è quella parte della scienza matematica che si occupa delle forme nel piano e nello spazio e delle loro mutue relazioni.
La geometria coincide fino all'inizio del XIX secolo con la geometria euclidea. Questa definisce come concetti primitivi il punto, la retta e il piano, e assume la veridicità di alcuni assiomi, gli assiomi di Euclide. Da questi assiomi vengono quindi dedotti dei teoremi anche complessi, come il teorema di Pitagora ed i teoremi della geometria proiettiva.
La scelta dei concetti primitivi e degli assiomi è motivata dal desiderio di rappresentare la realtà, e in particolare gli oggetti nello spazio tridimensionale in cui viviamo. Concetti primitivi come la retta ed il piano vengono descritti informalmente come "fili e fogli di carta senza spessore", e d'altro canto molti oggetti della vita reale vengono idealizzati tramite enti geometrici come il triangolo o la piramide. In questo modo, i teoremi forniscono fin dall'antichità degli strumenti utili per le discipline che riguardano lo spazio in cui viviamo: meccanica, architettura, geografia, navigazione, astronomia.
La geometria piana si occupa delle figure geometriche nel piano. A partire dal concetto primitivo di retta, vengono costruiti i segmenti, e quindi i poligoni come il triangolo, il quadrato, il pentagono, l'esagono, ecc.
Le quantità numeriche importanti nella geometria piana sono la lunghezza, l'angolo e l'area. Ogni segmento ha una lunghezza, e due segmenti che si incontrano in un estremo formano un angolo. Ogni poligono ha un'area. Molti teoremi della geometria piana mettono in relazione le lunghezze, angoli e aree presenti in alcune figure geometriche. Ad esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo risulta essere un angolo piatto, e l'area di un rettangolo si esprime come prodotto delle lunghezze dei segmenti di "base" e "altezza". La trigonometria studia le relazioni fra gli angoli e le lunghezze.
La geometria solida (o stereometria) studia le costruzioni geometriche nello spazio. Con segmenti e poligoni si costruiscono i poliedri, come il tetraedro, il cubo e la piramide.
I poliedri hanno vertici, spigoli e facce. Ogni spigolo ha una lunghezza, ed ogni faccia ha un'area. In più, il poliedro ha un volume. Si parla inoltre di angoli diedrali per esprimere l'angolo formato da due facce adiacenti in uno spigolo. Molti teoremi mettono in relazione queste quantità: ad esempio il volume della piramide può essere espresso tramite l'area della figura di base e la lunghezza dell'altezza.
La geometria euclidea considera anche alcune figure curve. Le figure "base" sono la circonferenza nel piano e la sfera nello spazio, definite come luogo dei punti equidistanti da un punto fissato. Partendo da queste figure, ne vengono definite altre come il cono. A queste figure vengono associate grandezze analoghe ai poliedri: si parla quindi di lunghezza della circonferenza, di area del cerchio e di volume della sfera.
L'intersezione nello spazio di un cono con un piano forma una nuova figura curvilinea: a seconda dell'inclinazione del piano, questa è una ellisse, una parabola, un'iperbole o una circonferenza. Queste sezioni coniche sono le curve più semplici realizzabili nel piano.
Ruotando una figura intorno ad una retta, si ottengono altre figure curve. Ad esempio, ruotando un'ellisse o una parabola si ottengono l'ellissoide ed il paraboloide. Anche in questo caso, il volume dell'oggetto può essere messo in relazione con altre quantità.
La geometria euclidea non fornisce però sufficienti strumenti per dare una corretta definizione di lunghezza e area per molte figure curve.
La geometria cartesiana (o analitica) ingloba le figure ed i teoremi della geometria euclidea, introducendone di nuovi grazie a due altre importanti discipline della matematica: l'algebra e l'analisi. Lo spazio (ed il piano) sono rappresentati con delle coordinate cartesiane. In questo modo ogni figura geometrica è descrivibile tramite una o più equazioni (o disequazioni).
Rette e piani sono oggetti risultanti da equazioni di primo grado, mentre le coniche sono definite tramite equazioni di secondo grado. Equazioni polinomiali di grado superiore definiscono nuovi oggetti curvi.
Il calcolo infinitesimale permette di estendere con precisione i concetti di lunghezza e area a queste nuove figure. L'integrale è un utile strumento analitico per determinare queste quantità. Si parla in generale quindi di curve e superfici nel piano e nello spazio.
Retta (passante per l'origine), piano (contenente l'origine) e spazio sono esempi di spazi vettoriali di dimensione rispettivamente 1, 2 e 3: infatti ogni punto è esprimile rispettivamente con 1, 2 o 3 coordinate. La geometria cartesiana è facilmente estendibile alle dimensioni superiori: in questo modo si definiscono spazi di dimensione 4 e oltre, come insiemi di punti aventi 4 o più coordinate.
Grazie all'algebra lineare, lo studio delle rette e dei piani nello spazio può essere esteso allo studio dei sottospazi di uno spazio vettoriale, di dimensione arbitraria. Lo studio di questi oggetti è strettamente collegato a quello dei sistemi lineari e delle loro soluzioni.
In dimensione più alta, alcuni risultati possono contrastare con l'intuizione geometrica tridimensionale a cui siamo abituati. Ad esempio, in uno spazio di dimensione 4, due piani possono intersecarsi in un punto solo.
In uno spazio vettoriale l'origine (cioè il punto da cui partono gli assi, di coordinate tutte nulle) gioca un ruolo fondamentale: per poter usare in modo efficace l'algebra lineare, si considerano infatti solo sottospazi passanti per l'origine. In questo modo si ottengono delle relazioni eleganti fra i sottospazi, come la formula di Grassmann.
Nella geometria affine il ruolo predominante dell'origine è abbandonato. I sottospazi non sono vincolati, e possono quindi essere paralleli: questo crea una quantità considerevole di casistiche in più. In particolare, la formula di Grassmann non è più valida. Lo spazio affine è considerato (fino alla scoperta della relatività ristretta) come lo strumento migliore per creare modelli dell'universo, con 3 dimensioni spaziali ed eventualmente 1 dimensione temporale, senza "origini" o punti privilegiati.
Dal XIX secolo in poi l'algebra diventa uno strumento preponderante per lo studio della geometria. Nel tentativo di "abbellire" il quadro, e di ricondurre molte proprietà e teoremi ad un numero sempre minore di proprietà fondamentali, la geometria analitica viene progressivamente inglobata in un concetto più ampio di geometria: si aggiungono i "punti all'infinito" (creando così la geometria proiettiva), e si fanno variare le coordinate di un punto non solo nei numeri reali, ma anche in quelli complessi.
La geometria proiettiva nasce come strumento legato al disegno in prospettiva, e viene formalizzata nel XIX secolo come un arricchimento della geometria cartesiana. La geometria proiettiva include i "punti all'infinito" ed elimina quindi alcune casistiche considerate fastidiose, come la presenza di rette parallele.
In questa geometria molte situazioni si semplificano: due piani distinti si intersecano sempre in una retta, e oggetti differenti della geometria analitica (come le coniche ellisse, parabola e iperbole) risultano essere equivalenti in questo nuovo contesto.
La geometria proiettiva è anche un esempio di compattificazione: similmente a quanto accade con la proiezione stereografica, aggiungendo i punti all'infinito lo spazio diventa compatto, cioè "limitato", "finito".
La geometria algebrica verte essenzialmente sullo studio dei polinomi e delle loro radici: gli oggetti che tratta, chiamati varietà algebriche, sono gli insiemi dello spazio proiettivo, affine o euclideo definiti come luoghi di zeri di polinomi.
Nel XX secolo il concetto di varietà algebrica assume un'importanza sempre maggiore. Rette, piani, coniche, ellissoidi, sono tutti esempi di varietà algebriche. Lo studio di questi oggetti raggiunge risultati impressionanti quando le coordinate dello spazio vengono fatte variare nel campo dei numeri complessi: in questo caso, grazie al teorema fondamentale dell'algebra, un polinomio ha sempre delle radici.
Questo fatto algebrico di grande importanza (esprimibile dicendo che i numeri complessi formano un campo algebricamente chiuso) ha come conseguenza la validità di alcuni teoremi potenti di carattere molto generale. Ad esempio, il teorema di Bézout asserisce che due curve di grado formula_1 e formula_2 nel piano che non hanno componenti in comune si intersecano "sempre" in formula_3 punti, contanti con un'opportuna molteplicità. Questo risultato necessita che il "piano" sia proiettivo e complesso. In particolare, è certamente falso nell'ambito classico della geometria analitica: due circonferenze non devono intersecarsi necessariamente in 4 punti, possono anche essere disgiunte.
Lo studio della geometria nello spazio proiettivo complesso aiuta anche a capire la geometria analitica classica. Le curve nel piano cartesiano reale possono ad esempio essere viste come "sezioni" di oggetti più grandi, contenuti nel piano proiettivo complesso, ed i teoremi generali validi in questo "mondo più vasto e perfetto" si riflettono nel piano cartesiano, pur in modo meno elegante.
Come lo studio della geometria affine fa largo uso dell'algebra lineare, quello delle varietà algebriche attinge a piene mani dall'algebra commutativa.
La geometria differenziale è lo studio di oggetti geometrici tramite l'analisi. Gli oggetti geometrici non sono necessariamente definiti da polinomi (come nella geometria algebrica), ma sono ad esempio curve e superfici, cioè oggetti che, visti localmente con una lente di ingrandimento, sembrano quasi rettilinei o piatti. Oggetti cioè "senza spessore", e magari un po' curvi. Come la superficie terrestre, che all'uomo sembra piatta, benché non lo sia.
Questo concetto di "spazio curvo" è espresso tramite la nozione di varietà differenziabile. La sua definizione non necessita neppure di "vivere" in uno spazio ambiente, ed è quindi usata ad esempio nella relatività generale per descrivere intrinsecamente la forma dell'universo. Una varietà può essere dotata di una proprietà fondamentale, la curvatura, che viene misurata tramite oggetti matematici molto complessi, come il tensore di Riemann. Nel caso in cui lo spazio sia una curva o una superficie, questi oggetti matematici risultano più semplici: si parla ad esempio di curvatura gaussiana per le superfici.
Su una varietà dotata di curvatura, detta varietà riemanniana, sono definite una distanza fra punti, e le geodetiche: queste sono curve che modellizzano i percorsi localmente più brevi, come le rette nel piano, o i meridiani sulla superficie terrestre.
Con la geometria differenziale è possibile costruire un "piano" in cui valgono tutti i postulati di Euclide, tranne il quinto, quello "delle parallele". Questo postulato ha avuto un'importanza storica fondamentale, perché ci sono voluti 2000 anni per dimostrare la sua effettiva indipendenza dai precedenti. Asserisce che, fissati una retta formula_4 ed un punto formula_5 non contenuto in formula_4, esiste un'unica retta formula_7 parallela a formula_4 e passante per formula_5.
Una geometria non euclidea è una geometria in cui valgono tutti gli assiomi di Euclide, tranne quello delle parallele. La sfera, con le geodetiche che giocano il ruolo delle rette, fornisce un esempio semplice di geometria non euclidea: due geodetiche si intersecano "sempre" in due punti antipodali, e quindi non ci sono rette parallele. Un tale esempio di geometria è detta ellittica. Esistono anche esempi opposti, in cui ci sono "così tante" rette parallele, che le rette formula_7 parallele a formula_4 e passanti per formula_5 sono infinite (e non una). Questo tipo di geometria è detta iperbolica, ed è più difficile da descrivere concretamente.
La topologia è infine lo studio delle forme, e di tutte quelle proprietà degli enti geometrici che non cambiano quando questi vengono deformati in modo continuo, senza strappi. La topologia studia tutti gli oggetti geometrici (definiti in modo algebrico, differenziale, o quant'altro) guardando solo la loro forma. Distingue ad esempio la sfera dal toro, perché quest'ultimo ha "un buco in mezzo". Studia le proprietà di connessione (spazi "fatti di un pezzo solo") e di compattezza (spazi "limitati"), e le funzioni continue fra questi.
Le forme degli oggetti vengono codificate tramite oggetti algebrici, come il gruppo fondamentale: un gruppo che codifica in modo raffinato la presenza di "buchi" in uno spazio topologico.
Nel 1872 Felix Klein elaborò un programma di ricerca, l"'Erlanger Programm", in grado di produrre una grande sintesi delle conoscenze geometriche e integrarle con altri settori della matematica, quali la teoria dei gruppi.
Nella prospettiva di Klein una "geometria" consiste nello studio di proprietà di uno spazio che sono invarianti rispetto ad un gruppo di trasformazioni (geometria delle trasformazioni):
La geometria analitica e l'algebra lineare forniscono importanti collegamenti tra l'intuizione geometrica e il calcolo algebrico che sono diventati ormai una parte costitutiva di tutta la matematica moderna e delle sue applicazioni in tutte le scienze.
La geometria differenziale ha trovato importanti applicazioni nella costruzione di modelli per la fisica e per la cosmologia.
La geometria piana e dello spazio fornisce inoltre degli strumenti per modellizzare, progettare e costruire oggetti reali nello spazio tridimensionale: è quindi di fondamentale importanza in architettura e in ingegneria come anche nel disegno e nella computer grafica.
La geometria descrittiva è una disciplina che permette, attraverso determinate costruzioni grafiche, di rappresentare oggetti tridimensionali già esistenti (rilievo) e/o da costruire (progettazione).
L'applicazione informatizzata della geometria descrittiva permette oggi la creazione di superfici e solidi, anche ad alta complessità tridimensionale. Inoltre, e soprattutto, ne permette il controllo in modo inequivocabile di ogni loro forma e dimensione.
I maggiori campi d'impiego della geometria descrittiva sono quelli dell'architettura, dell'ingegneria e quelli del design industriale.
La nascita della Geometria si fa risalire all'epoca degli antichi egizi. Erodoto racconta che a causa dei fenomeni di erosione e di deposito dovuti alle piene del Nilo, l'estensione delle proprietà terriere egiziane variavano ogni anno e dovevano quindi essere ricalcolate a fini fiscali. Nacque così il bisogno di inventare tecniche di "misura della terra" ("geometria" nel significato originario del termine).
Lo sviluppo della Geometria pratica è molto antico, per le numerose applicazioni che consente e per le quali è stata sviluppata, e in epoche remote fu a volte riservata a una categoria di sapienti con attribuzioni sacerdotali.
Presso l'Antica Grecia, , si diffuse massicciamente l'uso della riga e del compasso (sebbene pare che questi strumenti fossero già stati inventati altrove) e, soprattutto, nacque l'idea nuova di usare tecniche dimostrative. La geometria greca servì da base per lo sviluppo della geografia, dell'astronomia, dell'ottica, della meccanica e di altre scienze, nonché di varie tecniche, come quelle per la navigazione. 
Nella civiltà greca, oltre alla geometria euclidea che si studia ancora a scuola, e alla teoria delle coniche, nacquero anche la geometria sferica e la trigonometria (piana e sferica).
