
In matematica i numeri naturali sono quei numeri usati per contare e ordinare. Nel linguaggio comune i "numeri cardinali" sono quelli usati per contare e i "numeri ordinali" sono quelli usati per ordinare.
I numeri naturali corrispondono all'insieme {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
Essi vengono fatti corrispondere biunivocamente all'insieme dei numeri interi non negativi {0, +1, +2, +3, +4, ...}.
Talvolta vengono usati anche per indicare l'insieme dei numeri interi positivi {1, 2, 3, 4, ...}.
I numeri naturali sono i numeri più "intuitivi" che esistono. L'operazione di distinguere tra nessuno, uno e molti risale all'uomo primitivo. Ma la comprensione che, ad esempio, una pecora e un albero hanno in comune il fatto di essere "uno", cioè la nozione astratta di numero, fu un processo graduale (probabilmente non legato a una singola cultura o popolazione) che da vari studi viene fatto risalire circa al 30.000 a.C. Col tempo furono introdotti diversi simboli e parole per indicare i numeri naturali e in diversi casi anche alcuni tipi di frazioni. Esistono simboli risalenti agli antichi Egizi che indicano frazioni unitarie, cioè con numeratore uguale a uno. Se ne possono trovare ad esempio nel papiro di Rhind risalente circa al 2000 a.C. Tuttavia il numero zero dovette aspettare più tempo per venire considerato un numero al pari degli altri.Le origini dell'idea di numero naturale astratto vengono fatte risalire ai Babilonesi nel 2000 a.C., come testimoniato dalla tavoletta "Plimpton 322", "sussidiario di matematica" per gli studenti dell'epoca, che contiene problemi matematici che a un'attenta analisi sembrano essere qualcosa di più di semplici esercizi con fini utilitaristici. Il superamento dei numeri naturali in favore dei numeri razionali positivi è attribuito ai pitagorici che sembra furono i primi a considerare la frazione non più come entità unica ma come rapporto tra numeri naturali.
Importanti risultati riguardanti i numeri naturali sono contenuti negli Elementi di Euclide, successivamente Diofanto di Alessandria si pose il problema della ricerca di soluzioni intere positive di equazioni date.
L'introduzione dei numeri interi relativi, in particolare dei numeri negativi dovette aspettare ulteriormente. Risultati e spunti fondamentali sono dovuti a Pierre de Fermat. Lo studio dei numeri interi, noto oggi come teoria dei numeri, viene ripreso nel XIX secolo da matematici del livello di Carl Friedrich Gauss e Carl Jacobi e da allora viene considerato un capitolo primario della matematica (vedi anche: Ultimo teorema di Fermat).
In matematica si usa il simbolo formula_1 (o N) per indicare l'insieme dei numeri naturali. Nella maggior parte della letteratura matematica contemporanea, nelle voci qui presenti e nello standard ISO 31-11 sui simboli matematici, si assume che l'insieme dei numeri naturali contenga anche lo zero; per evitare ogni ambiguità è spesso usata la dizione "interi non negativi". Per mettere in evidenza che l'insieme non contiene lo formula_2 si usa la scrittura formula_3, quindi
Per indicare l'insieme dei naturali senza lo zero si possono usare anche le scritture N, N, N, ℕ, ℕ, formula_5. Talvolta con la notazione formula_5 si indica invece l'insieme dei naturali con lo zero incluso.
Nella teoria degli insiemi, l'insieme dei numeri naturali in quanto insieme bene ordinato viene denotato con formula_7, e rappresenta il più piccolo numero ordinale infinito. Quando è usata questa notazione, lo zero è incluso.
Nonostante la sua intuitività, quello di numero naturale non è, in matematica, un concetto primitivo: è infatti possibile darne una definizione basandosi unicamente sulla teoria degli insiemi. La definizione è utile perché permette anche di estendere il concetto di numero a oggetti più generali: i numeri transfiniti.
Storicamente, la precisa definizione matematica dei numeri naturali ha incontrato alcune difficoltà. Gli assiomi di Peano definiscono le condizioni che ogni definizione matematica precisa deve soddisfare. Alcune costruzioni mostrano che dall'interno di una teoria degli insiemi è possibile costruire un modello degli assiomi di Peano.
Bisogna notare che lo "0", nella definizione sopra descritta, non deve necessariamente corrispondere con quello che si considera normalmente il numero zero. "0" significa semplicemente un oggetto che, quando combinato con una funzione successiva appropriata, soddisfa gli assiomi di Peano. Ci sono molti sistemi che soddisfano questi assiomi, inclusi i numeri naturali (sia che partano da zero o da uno).
Un numero naturale si può definire come una classe di insiemi aventi uguale cardinalità finita. In sostanza, si parte dalla proprietà (intuitiva) che tra due insiemi qualsiasi aventi lo stesso numero di elementi si può stabilire una corrispondenza biunivoca e la si riformula come definizione: tutti gli insiemi tra i quali si può stabilire una corrispondenza biunivoca vengono accomunati in una classe, che è come assegnare loro un'"etichetta", a questa etichetta viene dato il nome di numero naturale. La classe corrispondente all'insieme vuoto viene indicata con 0.
La seguente è una costruzione standard nella teoria degli insiemi per definire i numeri naturali:


La divisione è l'operazione aritmetica inversa della moltiplicazione.
Più specificamente, se 
dove "b" è diverso da zero, allora 
(da leggersi ""c" diviso "b"").
Ad esempio, 6 : 3 = 2, dato che 2 × 3 = 6.
La divisione per zero non viene definita.
Nell'espressione sopra, "a" rappresenta il "quoziente" ("quoto" nel caso di divisione senza resto), "b" il "divisore" (cioè la quantità che divide) e "c" il "dividendo" (cioè la quantità da dividere).
La divisione gode della "proprietà invariantiva" ovvero il quoziente non cambia se dividendo e divisore sono moltiplicati per una stessa quantità diversa da zero (il resto invece risulta moltiplicato per quella quantità).
L'espressione "c" : "b" viene anche scritta ""c"/"b"" (letta ""c" su "b"", o ""c" fratto "'b"", o ""c" "b"-esimi" ; se "b" è un intero positivo diverso da 2 questo si legge come ordinale, plurale se "c" è diverso da 1, es. 2/3 si legge "due terzi" ma 3/2 si legge "tre mezzi"), specialmente nelle matematiche superiori, incluse le applicazioni alla scienza e all'ingegneria, e nei linguaggi di programmazione.
Tale forma viene anche spesso usata come forma finale di una frazione.
La divisione fra due numeri interi "a" e "b", con "b"≠0, consiste invece nel trovare una coppia di interi "q" ed "r", detti "quoziente" e "resto", tali che "a" = "b" × "q" + "r" e 0 ≤ "r" < | "b" |. (Si dimostra che tale coppia di interi esiste ed è unica). Quando "r" = 0, il risultato della divisione "q" viene talvolta detto "quoto".
In inglese e sulle calcolatrici elettroniche, il simbolo della divisione è l'obelo che ha una barretta orizzontale tra i due punti: "c" ÷ "b". In italiano questo uso non è mai stato attestato: l'obelo è solo usato a volte in ingegneria e chimica per indicare un intervallo. Nell'uso inglese, invece, i due punti si utilizzano solo per il concetto correlato di rapporto.
A/B = C indica che il denominatore B è contenuto nel numeratore A una quantità di volte pari a C.
infatti come si evince dall'esempio 0,5 è contenuto 2 volte dentro il numeratore 1.
Un secondo modo di leggere la divisione: A/B = C indica che ad una unità del denominatore (B) corrispondano C unità del numeratore A.
cioè: a ogni unità del denominatore spetteranno 2 unità del numeratore.
Questo secondo metodo di lettura della divisione è un approccio particolarmente utile per comprendere il calcolo delle percentuali e il concetto di derivata. Infatti:
Cioè a ogni euro del prezzo della maglietta che si trova al denominatore corrispondono venti centesimi dei 7 euro sconto. Perciò moltiplicando 0,2 per 100 si ha la percentuale dello sconto pari al 20%.
Utilizzando la tavola pitagorica, si possono dividere due numeri interi con carta e penna.
Se il dividendo ha una parte frazionaria espressa come frazione decimale, si può continuare l'algoritmo dopo le unità; se è il divisore ad avere una parte frazionaria, basta spostare la virgola a destra dello stesso numero di posizioni - aggiungendo se necessario degli zeri a destra del dividendo - fino a che il divisore diventa un numero intero. Pertanto, per fare la divisione 245,7 : 3,78 si eseguirà quella equivalente 24570 : 378.
Un'altra possibilità che si ha per semplificare i conti è vedere se dividendo e divisore abbiano un fattore comune, ed eliminarlo; la divisione di cui sopra è dunque equivalente a 12285 : 189 (eliminando il fattore 2) e ancora a 1365 : 21 (eliminando un fattore 9), 455 : 7 (con un fattore 3), da cui si ottiene subito il risultato finale 65.
Si può calcolare la divisione con un abaco, scrivendo ripetutamente il dividendo e sottraendo man mano il divisore, spostato a sinistra quanto più possibile. Ogni volta che occorre riportare a destra il divisore, si passerà a una nuova cifra anche per il quoziente. Il procedimento risulta pertanto abbastanza simile a quello della divisione su carta, anche se in quel caso c'è la scorciatoia di utilizzare delle moltiplicazioni per ridurre il numero di sottrazioni necessarie.
Nella aritmetica modulare, alcuni numeri hanno un inverso moltiplicativo rispetto al modulo: ad esempio, in base 7, 3 ha come inverso 5. In questo caso, la divisione per 3 può essere calcolata moltiplicando per 5; questo approccio è utile in computer che non hanno una istruzione di divisione veloce.
La divisione tra interi - anche non considerando la divisione per zero, che non è definita, non è un'operazione chiusa; vale a dire, esistono coppie di numeri "a" e "b" tali che non esiste alcun intero "c" per cui "a" : "b" = "c". In questi casi si possono dare diverse possibili risposte:
Quando si fa una divisione tra interi in un linguaggio di programmazione occorre verificare attentamente la definizione. Nel linguaggio C, ad esempio, la divisione tra interi è definita come nel caso 4 qui sopra, e il risultato sarà pertanto un intero troncato; in altri linguaggi come MATLAB, invece, si inizia a convertire gli interi in numeri reali (o più correttamente numeri di macchina), e si ottiene così un numero reale come risposta, come nel caso 2 sopra.
A differenza del caso precedente, i numeri razionali sono chiusi rispetto alla divisione, se il divisore non è 0. Si può definire il risultato della divisione tra due numeri razionali "p"/"q" e "r"/"s" come il valore
Tutti e quattro i valori sono interi, e solo "p" può valere 0. Questa definizione assicura che la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione: si ricava infatti subito che
I casi particolari riguardano l'operazione di divisione quando 0 è il dividendo o il divisore. Il risultato di queste operazioni può essere indeterminato oppure impossibile. Detto "a" un qualsiasi numero reale diverso da zero, vale che:
Si verifica facilmente grazie alla definizione: l'unico numero che moltiplicato per un numero non nullo dà zero è lo zero stesso in quanto vale la legge di annullamento del prodotto.
Anche in questi due ultimi casi, il metodo per risolvere l"'impasse" è considerare la definizione dell'operazione di divisione, cioè come l'inverso della moltiplicazione. Risolvere i casi 2 e 3 equivale a cercare la soluzione dell'equazione 0 × "x" = "a"; questa ha:
In entrambe i casi non è possibile determinare il risultato che, come sappiamo, deve essere unico. Per tale motivo la divisione per zero non viene definita ed è priva di significato.
Il risultato della divisione di due numeri reali è un altro numero reale, se il divisore non è 0. Dati "a" e "b", si definisce "a"/"b" = "c" se e solo se "a" = "cb" e "b" ≠ 0.
Anche per i numeri complessi, così come per i numeri reali, la divisione è un'operazione chiusa eccetto il caso in cui il divisore sia zero, nel qual caso l'operazione non è definita.
Se si esprimono i numeri complessi con le comuni coordinate, il risultato della divisione di formula_4 per formula_5, dove "p", "q", "r" e "s" sono numeri reali e "r" e "s" non possono essere entrambi nulli, è dato da
Se i numeri complessi sono espressi mediante le coordinate polari, l'espressione è più semplice da esprimere e ricordare: il risultato della divisione tra formula_7 e formula_8, con "p", "q", "r" e "s" reali e finiti e "r" diverso da zero, è dato da
La divisione tra due polinomi (a coefficienti interi) può anch'essa venire definita come l'operazione inversa della moltiplicazione: come nel caso dei numeri interi, generalmente si otterrà un polinomio quoziente e un resto. Per maggiori informazioni su come viene condotta l'operazione, si veda la regola di Ruffini.
Nelle algebre astratte, come quella delle matrici e nei quaternioni, frazioni come formula_10 sono tipicamente definite come formula_11 oppure formula_12, quando "b" è un elemento invertibile (vale a dire, esiste un altro elemento "c" tale che "bc" = "cb" = 1, dove 1 è l'identità moltiplicativa; l'elemento "c" viene generalmente scritto come "b"). In un dominio d'integrità, in cui possono non esistere gli inversi, più che di "divisione" si può parlare di "cancellazione", nelle equazioni della forma "ab" = "ac" o "ba" = "ca", dove "a" viene cancellato da entrambi i membri.
La funzione quoziente di due funzioni "f" e "g" è la funzione "h" il cui valore in un punto "x" è dato da formula_13. È definita nell'intersezione dei due domini di "f" e "g", ad eccezione dei valori "x" che annullano la "g".
La derivata del quoziente di due funzioni è data dalla regola del quoziente:
Non esiste una regola generale per integrare il quoziente di due funzioni.
