
In matematica, il limite di una funzione in un punto formula_1 di accumulazione per il suo dominio è un modo per esprimere la quantità a cui tende il valore assunto dalla funzione all'avvicinarsi del suo argomento a formula_1. Indicando con formula_3 la funzione, il limite viene indicato con la notazione:
In altri termini, formula_5 significa che quando il valore di formula_6 si avvicina a formula_1, esprimibile con formula_8, il valore formula_9 assunto dalla funzione si avvicina a formula_10, cioè formula_11. Il valore formula_10 può essere finito (formula_13), infinito (formula_14) o non esistere affatto. Il limite rappresenta in un certo senso il comportamento di un oggetto matematico quando una o più variabili del suo dominio tendono ad assumere un determinato valore.
Il concetto di limite di una funzione viene generalizzato da quello di limite di un filtro, mentre un caso particolare è quello di limite di una successione di punti in uno spazio topologico.
Siano dati una funzione formula_15 definita su un sottoinsieme formula_16 della retta reale formula_17, e un punto di accumulazione formula_18 di formula_19. Un numero reale formula_20 è il limite di formula_3 per formula_22 tendente a formula_1 se, fissato arbitrariamente un valore formula_24 della distanza fra formula_3 e formula_20, si riesce a trovare, in corrispondenza di questo, un valore formula_27 della distanza tra formula_28 ed formula_1 per il quale per tutti gli formula_28, escluso formula_1, che distano da formula_1 meno di formula_27, si ha che formula_3 disti da formula_20 meno di formula_24.
La distanza fra i punti è misurata usando il valore assoluto della differenza: quindi formula_37 è la distanza fra formula_22 e formula_1 e formula_40 è la distanza fra formula_3 e formula_20. I concetti di "fissato arbitrariamente" e "si riesce a trovare" sono espressi formalmente, rispettivamente, con i quantificatori "per ogni" (quantificatore universale) ed "esiste" (quantificatore esistenziale).
Formalmente, formula_20 è il limite di formula_9 per formula_6 che tende a formula_46 se per ogni numero reale formula_47 esiste un altro numero reale positivo formula_48 tale che se formula_49 allora formula_50, o con formalismo puramente matematico
che è riassunto dalla scrittura:
Una definizione equivalente che usa gli intorni è la seguente: formula_20 è limite se per ogni intorno formula_54 di formula_55 in formula_56 esiste un intorno formula_57 di formula_1 in formula_56 tale che formula_3 appartiene a formula_54 per ogni formula_62 in formula_63. Il punto formula_46 non è necessariamente contenuto nel dominio di formula_65. Il punto è comunque escluso nella definizione di limite, poiché il limite deve dipendere soltanto dai valori di formula_65 in punti arbitrariamente vicini a formula_46 ma non dal valore che formula_65 assume in formula_46: per questo motivo si chiede che formula_70 sia maggiore di zero.
La definizione di cui sopra è quella maggiormente utilizzata al giorno d'oggi. Tuttavia, nella seconda metà del XX secolo una revisione dei concetti basilari di topologia ha indotto alcuni illustri studiosi a proporre una definizione modificata di limite. Se infatti formula_46 è più in generale punto di aderenza per l'insieme formula_19, allora si dice che formula_10 è limite se per ogni numero reale formula_74 esiste formula_75 tale che formula_76 ogni volta che formula_77. La condizione formula_78 viene quindi a mancare. La definizione riformata non modifica i limiti tradizionali come ad esempio la definizione di derivata, ma tratta in modo diverso alcuni casi "patologici". Si osservi che la condizione di aderenza di formula_46 a formula_19 è condizione necessaria e sufficiente affinché il limite, inteso con la definizione riformata, sia unico. Inoltre, utilizzando questa definizione la continuità diventa un caso particolare di limite a tutti gli effetti: infatti si vede facilmente che formula_81 continua in formula_46, punto del suo dominio, equivale a dire che formula_81 ammette limite formula_84 in formula_46. Vari altri classici risultati assumono una forma più semplificata assumendo la definizione riformata di limite: ad esempio il teorema del passaggio al limite in una funzione composta vale sotto le ipotesi più naturali possibili.
La definizione di limite viene normalmente estesa per considerare anche i casi in cui formula_1 e/o formula_20 sono infiniti.
La funzione formula_65 ha limite formula_89 in un punto finito formula_1 se per ogni numero reale formula_91 esiste un altro numero reale formula_92 tale che formula_93 per ogni formula_22 in formula_95 con formula_96, ovvero
che in maniera più sintetica si scrive:
Analogamente si definisce il limite formula_99 sostituendo formula_100 con formula_101.
Per definire il limite per formula_102, è ancora necessario che formula_89 sia un "punto di accumulazione" per il dominio formula_95: questo si traduce nella richiesta che formula_95 contenga valori arbitrariamente grandi, cioè che il suo estremo superiore sia infinito:
In questo caso, un numero finito formula_107 è limite di formula_65 per formula_109 se per ogni numero reale formula_47 esiste un altro numero reale formula_111 tale che formula_50 per ogni formula_22 in formula_95 con formula_115, ovvero
che in maniera più sintetica si scrive:
Analogamente si definisce il limite per formula_118, sostituendo formula_119 con formula_120.
Resta quindi da esaminare il caso in cui entrambi formula_1 e formula_20 sono infiniti. La funzione formula_65 ha limite formula_124 per formula_125 se per ogni numero reale formula_91 esiste un altro numero reale formula_111 tale che formula_93 per ogni formula_22 in formula_95 con formula_115, ovvero
che in maniera più sintetica si scrive:
In maniera analoga si definiscono i casi in cui formula_134 e/o formula_135.
Tutte queste definizioni possono essere raggruppate elegantemente in una sola proposizione: per questo scopo, è sufficiente estendere la retta reale formula_56 alla retta reale estesa:
ottenuta aggiungendo due punti formula_138 e formula_139. La retta reale estesa è un insieme ordinato e uno spazio topologico. Il concetto di intorno si estende quindi alla retta reale estesa: gli intorni di formula_89 sono tutti gli insiemi che contengono una semiretta formula_141, per qualche formula_142.
In questo modo, si possono riunire tutte le definizioni precedenti in una sola proposizione, ottenuta sostituendo formula_56 con formula_144 nella definizione che usa gli intorni. Sia quindi formula_145 una funzione definita su un insieme formula_95 di formula_144, e sia formula_1 un punto di accumulazione per formula_95. Un valore formula_20 in formula_144 è "limite" di formula_65 in formula_1 se per ogni intorno formula_54 di formula_55 in formula_144 esiste un intorno formula_57 di formula_1 in formula_144 tale che formula_3 appartiene a formula_54 per ogni formula_62 in formula_63.
Per il teorema di unicità del limite, una funzione può avere un limite (finito o infinito) in formula_1 oppure nessuno (non può quindi averne più di uno).
Se il limite per formula_8 di formula_9 è 0, formula_9 si dice "infinitesima" o "convergente" in formula_1. D'altro canto, se formula_9 tende a formula_170 è detta "divergente". Se formula_1 è contenuto nel dominio formula_95 di formula_65, e se vale:
allora la funzione è continua in formula_1. La nozione di continuità è molto importante in matematica: intuitivamente, una funzione continua in formula_1 ha il grafico che "non fa salti" intorno al punto, quindi può essere disegnato manualmente senza staccare mai la penna dal foglio: in ogni punto formula_46 del suo dominio, la formula_81 assume in formula_46 il valore del suo limite per formula_8. Altrimenti, la funzione ha in formula_1 un punto di discontinuità.
Sono qui elencati alcuni esempi.
Per avere informazioni più precise è a volte utile utilizzare i concetti di "limite destro" e "limite sinistro", definiti tramite la nozione di "intorno destro" e "sinistro".
Un "intorno destro" di un punto formula_1 della retta estesa formula_201 è un intervallo del tipo formula_202 con formula_203. Analogamente, un "intorno sinistro" è un intervallo del tipo formula_204. In particolare, gli intorni di formula_138 sono tutti destri e quelli di formula_139 sono sinistri.
A questo punto, sia formula_207 con formula_1 punto di accumulazione per formula_95. Un valore formula_20 della retta estesa è limite destro per formula_65 in formula_1 se per ogni intorno formula_213 di formula_55 esiste un intorno destro formula_215 di formula_18 tale che formula_217 appartiene a formula_54 per ogni formula_28 in formula_220.
Il limite sinistro è definito in modo analogo. I limiti sinistro e destro (se esistono) vengono descritti rispettivamente come:
Vale il risultato seguente: una funzione ha limite in formula_1 se e soltanto se ha limite destro e sinistro, e questi due limiti sono finiti e coincidono.
Ad esempio, la funzione gradino formula_65 mostrata in figura ha limite sinistro e destro in formula_224, ma questi non coincidono: quindi non ha limite in formula_224:
Le nozioni di "limite per difetto" e "per eccesso" vengono definite in modo analogo, sostituendo l'intorno formula_54 di formula_228 con intorni destri e sinistri. I limiti per difetto e per eccesso (se esistono) possono essere indicati con un piccolo abuso di linguaggio nel modo seguente:
Per il teorema di limitatezza locale, una funzione che ha limite finito in formula_1 è limitata in un intorno di formula_1, ovvero esistono un numero formula_232 e un intorno formula_57 di formula_1 tale che formula_235 per ogni formula_22 del dominio contenuto in formula_57.
D'altra parte, una successione limitata in un intorno di formula_1 non ha necessariamente limite in formula_1: ad esempio la funzione gradino è ovunque limitata, ma non ha limite in zero.
Per il teorema di permanenza del segno, se una funzione ha limite formula_240 strettamente positivo in formula_1, allora assume valori strettamente positivi per ogni formula_22 sufficientemente vicino a formula_1. In altre parole, esiste un intorno formula_57 di formula_1 tale che formula_246 per ogni formula_22 del dominio in formula_57 diversa da formula_1.
Analogamente, una funzione che ha limite formula_250 strettamente negativo ha valori strettamente negativi per tutti gli formula_22 sufficientemente vicini a formula_1. Una funzione che ha limite formula_253 può assumere vicino a formula_1 valori di entrambi i segni (ad esempio la funzione formula_255 con formula_256).
Siano formula_65 e formula_258 due funzioni definite su un dominio formula_95, con formula_1 punto di accumulazione per formula_95. Se formula_262 per ogni formula_28 del dominio in un intorno formula_57 di formula_1, e se entrambe le funzioni hanno limite in formula_1, allora vale:
Questo risultato è ottenuto applicando il teorema di permanenza del segno alla differenza formula_268.
Il teorema del confronto (o "dei carabinieri") asserisce che una funzione "stretta fra due successioni" convergenti allo stesso limite converge anch'essa a questo limite. Formalmente, se formula_269 e formula_270 sono tre funzioni definite su un dominio formula_95 con punto di accumulazione formula_1, tali che:
per ogni formula_274 del dominio in un intorno di formula_1, e tali che:
allora anche:
Viene detto ""dei carabinieri"" perché formula_9 e formula_279 vengono immaginati come i due carabinieri che portano in cella formula_280 cioè il criminale, oppure perché si immaginano due carabinieri che cercano di catturare un criminale da due lati opposti, esso tenderà, insieme ai carabinieri (le funzioni esterne), allo stesso punto.
Funzioni aventi lo stesso dominio possono essere sommate o moltiplicate. In molti casi è possibile determinare il limite della funzione risultante dai limiti delle singole funzioni.
Siano formula_281 e formula_282 due funzioni con lo stesso dominio formula_95, e formula_1 un punto di accumulazione per formula_95. Se esistono i limiti:
allora:
Alcune delle uguaglianze elencate sono estendibili ai casi in cui formula_292 e/o formula_293 sia infinito.
Il concetto di limite è generalizzato a ogni funzione formula_294 fra spazi metrici formula_95 e formula_296 nel modo seguente. Se formula_1 è un punto di formula_95, un valore formula_299 di formula_296 è limite di formula_3 per formula_302 se formula_3 si avvicina arbitrariamente a formula_299 quando formula_22 si avvicina a formula_1. Formalmente, se per ogni formula_307 esiste formula_308 tale che formula_309 per ogni formula_22 con formula_311. In questo caso si scrive:
Continua a valere il teorema di unicità del limite: una funzione non può tendere a due limiti diversi in un punto.
Siano formula_313 e formula_314 due spazi topologici e siano formula_315 , formula_1 un elemento della chiusura di formula_317 in formula_95 , formula_319. 
Data formula_320 un'applicazione si dice che formula_20 è un limite di formula_3 per formula_302 in formula_317, e si scrive formula_325 se:
formula_326
è continua in formula_1 con formula_328 dotato della topologia indotta da formula_329 e formula_296 dotato della topologia formula_331.
Inoltre se formula_1 punto di accumulazione di formula_317 in formula_95 e lo spazio formula_314 è di Hausdorff allora l'insieme formula_336 ha al più un elemento (unicità del limite).
Lo spazio euclideo formula_337 è uno spazio metrico, con la metrica euclidea. Quindi la definizione di limite per spazi metrici si applica a qualsiasi funzione:
dove formula_95 è un qualsiasi sottoinsieme di formula_337.
Una funzione complessa formula_341 può essere interpretata come funzione:
In questo modo è quindi anche definito il limite per funzioni fra insiemi di numeri complessi.


La matematica (dal greco μάθημα ("máthema"), traducibile con i termini "scienza", "conoscenza" o "apprendimento"; μαθηματικός ("mathematikós") significa "incline ad apprendere") è la disciplina che studia le quantità (i numeri), lo spazio, le strutture e i calcoli.
Per l'origine del termine occorre andare al vocabolo egizio "maat", nella cui composizione appare il simbolo del cubito, strumento di misura lineare, un primo accostamento al concetto matematico. Simbolo geometrico di questo ordine è un rettangolo, da cui sorge la testa piumata della dea egizia Maat, personificazione dei concetti di ordine, verità e giustizia. Figlia di Ra, unico Uno, creatore di ogni cosa, la sua potenza demiurgica è limitata e ordinata da leggi naturali e matematiche.
All'inizio del papiro di Rhind si trova questa affermazione: ""Il calcolo accurato è la porta d'accesso alla conoscenza di tutte le cose e agli oscuri misteri"". Il termine "maat" riappare in copto, in babilonese e in greco. In greco la radice "ma", "math", "met" entra nella composizione di vocaboli contenenti le idee di ragione, disciplina, scienza, istruzione, giusta misura, e in latino il termine "materia" indica ciò che può essere misurato.
Col termine matematica di solito si designa la disciplina (ed il relativo corpo di conoscenze) che studia problemi concernenti quantità, estensioni e figure spaziali, movimenti di corpi, e tutte le strutture che permettono di trattare questi aspetti in modo generale. La matematica fa largo uso degli strumenti della logica e sviluppa le proprie conoscenze nel quadro di sistemi ipotetico-deduttivi che, a partire da definizioni rigorose e da assiomi riguardanti proprietà degli oggetti definiti (risultati da un procedimento di astrazione, come triangoli, funzioni, vettori ecc.), raggiunge nuove certezze, per mezzo delle dimostrazioni, attorno a proprietà meno intuitive degli oggetti stessi (espresse dai teoremi).
La potenza e la generalità dei risultati della matematica le ha reso l'appellativo di "regina delle scienze": ogni disciplina scientifica o tecnica, dalla fisica all'ingegneria, dall'economia all'informatica, fa largo uso degli strumenti di analisi, di calcolo e di modellizzazione offerti dalla matematica.
La matematica ha una lunga tradizione presso tutti i popoli della storia antica e moderna; è stata la prima disciplina a dotarsi di metodi di elevato rigore e portata. Ha progressivamente ampliato gli argomenti della sua indagine e progressivamente ha esteso i settori ai quali può fornire aiuti computazionali e di modellizzazione. È significativo che, in talune lingue e in talune situazioni, al termine singolare si preferisca il plurale "matematiche".
Nel corso della sua lunga storia e nei diversi ambienti culturali si sono avuti periodi di grandi progressi e periodi di stagnazione degli studi. Questo in parte è dovuto a singoli personaggi, capaci di dare apporti profondamente innovativi e illuminanti e di stimolare all'indagine matematica grazie alle loro doti didattiche. Si sono avuti anche periodi di arretramento delle conoscenze e dei metodi, specie in relazione a eventi distruttivi o a periodi di decadenza complessiva della vita intellettuale e civile. Negli ultimi 500 anni, per il miglioramento dei mezzi di comunicazione, è prevalsa la crescita del patrimonio di risultati e di metodi,
dovuta alla natura stessa delle attività matematiche, tese alla esposizione precisa di problemi e soluzioni; ciò impone di comunicare col fine ultimo di chiarire ogni dettaglio delle costruzioni logiche e dei risultati (alcuni chiarimenti richiedono un impegno non trascurabile, talora molti decenni). Questo ha corrisposto alla definizione di un linguaggio, strumento esemplare per la trasmissione e la sistemazione delle conoscenze.
Del linguaggio matematico moderno, fatto di simboli riconosciuti in tutto il mondo, la maggior parte è stata introdotta dopo il XVI secolo. Prima di allora la matematica era scritta usando parole, un processo faticoso che rallentava le scoperte matematiche. Eulero (1707-1783) è stato il responsabile di molte delle notazioni oggi in uso. La notazione matematica moderna rende molto più facile il lavoro del matematico, ma i principianti lo trovano scoraggiante. È estremamente compressa: pochi simboli contengono una grande quantità di informazioni; come le note musicali, la notazione matematica moderna ha una sintassi rigorosa (che in misura limitata varia da autore ad autore, e da disciplina a disciplina) e codifica informazioni difficili da scrivere in qualsiasi altro modo.
Il linguaggio matematico può essere difficile per i principianti. Parole come "o" e "solo" hanno precisi significati, più che nella lingua corrente. Inoltre, parole come aperto e campo hanno specifici significati matematici. Il "gergo matematico" comprende moltissimi termini tecnici, come omeomorfismo e integrabile, perché la matematica richiede assai più precisione del linguaggio quotidiano.
Nelle dimostrazioni matematiche è fondamentale il rigore. Per rigore si intende un utilizzo preciso e logico di teoremi già dimostrati, in modo che, analizzando la dimostrazione in profondità attraverso un processo a ritroso, si arrivi ad assiomi e definizioni "universalmente accettati". Il livello di rigore richiesto in matematica è variato col tempo: i Greci richiedevano argomentazioni dettagliate, ma nel periodo di Isaac Newton il rigore utilizzato nelle dimostrazioni si era alleggerito. I problemi nati dalle definizioni usate da Newton hanno portato alla rinascita di una attenta analisi delle dimostrazioni nel corso del Diciannovesimo secolo. Il significato di rigore matematico non è sempre chiaro. Ad esempio i matematici continuano a discutere sull'opportunità di considerare valide le dimostrazioni effettuate attraverso computer: dato che lunghi calcoli sono difficili da verificare, tali dimostrazioni potrebbero essere considerate non sufficientemente rigorose.
Gli assiomi, nel pensiero tradizionale, erano considerati le "verità auto-evidenti", ma questa concezione comporta alcuni problemi. A livello formale, un assioma è solo una successione di simboli, che ha un significato intrinseco solo nel contesto di tutte le formule derivabili di un sistema assiomatico. L'obiettivo del programma di Hilbert è stato proprio quello di fornire l'intera matematica di una solida base assiomatica, ma secondo il teorema di incompletezza di Gödel una completa assiomatizzazione della matematica è impossibile. Nonostante ciò, la matematica è spesso immaginata consistere (per lo meno nel suo contenuto formale) nella teoria degli insiemi in una qualche assiomatizzazione, nel senso che ogni enunciato matematico, o dimostrazione, può essere scritto con formule esprimibili all'interno di tale teoria.
Le attività matematiche sono naturalmente interessate alle possibili generalizzazioni e astrazioni, in relazione alle economie di pensiero e ai miglioramenti degli strumenti (in particolare degli strumenti di calcolo) che esse sono portate a realizzare. Le generalizzazioni e le astrazioni quindi spesso conducono a visioni più approfondite dei problemi e stabiliscono rilevanti sinergie tra progetti di indagine inizialmente rivolti ad obiettivi non collegati.
Nel corso dello sviluppo della matematica si possono rilevare periodi ed ambienti nei quali prevalgono alternativamente atteggiamenti generali e valori riconducibili a "due" differenti generi di motivazioni e di approcci: le "motivazioni applicative", con la loro spinta a individuare procedimenti efficaci, e le esigenze di "sistemazione concettuale" con la loro sollecitazione verso generalizzazioni, astrazioni e panoramiche strutturali.
Si tratta di due generi di atteggiamenti tra i quali si costituisce una certa polarizzazione; questa talora può diventare contrapposizione, anche astiosa, ma in molte circostanze i due atteggiamenti stabiliscono rapporti di reciproco arricchimento e sviluppano sinergie. Nel lungo sviluppo della matematica si sono avuti periodi di prevalenza di uno o dell'altro dei due atteggiamenti e dei rispettivi sistemi di valori.
Del resto la stessa nascita della matematica può ragionevolmente ricondursi a due ordini di interessi: da un lato le esigenze applicative che fanno ricercare valutazioni praticabili; dall'altro la ricerca di verità tutt'altro che evidenti, forse tenute nascoste, che risponde ad esigenze immateriali, la cui natura può essere filosofica, religiosa o estetica.
Negli ultimi 30 o 40 anni tra i due atteggiamenti si riscontra un certo equilibrio non privo di tensioni riemergenti, ma con molteplici episodi di mutuo supporto. A questo stato di cose contribuisce non poco la crescita del mondo del computer, rispetto al quale il mondo della matematica presenta sia canali di collegamento (che è ormai assurdo cercare di interrompere) che differenze, ad esempio differenze dovute a diverse velocità di mutazione e a diversi stili comunicativi, che proiettano le due discipline agli antipodi.
Cerchiamo ora di segnalare a grandi linee i temi dell'indagine matematica, illustrando una sorta di itinerario per un progressivo accostamento dei problemi, delle argomentazioni e delle sistemazioni teoriche.
I primi problemi che inducono ad accostarsi alla matematica sono quelli che si possono affrontare con l'aritmetica elementare: i calcoli eseguibili con le quattro operazioni possono riguardare contabilità finanziarie, valutazioni di grandezze geometriche o meccaniche, calcoli relativi agli oggetti ed alle tecniche che si incontrano nella vita quotidiana.
I più semplici di questi calcoli possono effettuarsi servendosi solo di numeri interi naturali, ma presto i problemi di calcolo richiedono di saper trattare i numeri interi relativi e i numeri razionali.
I problemi aritmetici più semplici sono risolti mediante formule che forniscono risultati conseguenti. Ad esempio: l'area di un rettangolo con lati lunghi formula_1 e formula_2 è il loro prodotto formula_3. Complicando gli enunciati diventa necessario servirsi di equazioni. 
Ad esempio: per il teorema di Pitagora, se un triangolo rettangolo ha i lati più corti (cateti) di lunghezza formula_1 e formula_5, quello più lungo (ipotenusa) ha come lunghezza il numero positivo formula_6 che risolve l'equazione:
formula_7.
Le equazioni più semplici sono le equazioni lineari, sia perché rappresentano le questioni geometriche più semplici, sia perché sono risolvibili con procedimenti standard.
Nelle formule e nelle equazioni conviene far entrare parametri con valori indeterminati: in tal modo si viene a disporre di strumenti di portata più generale, che permettono di conseguire evidenti economie di pensiero. 
Ad esempio: in un triangolo rettangolo con cateti di
lunghezza formula_8 e formula_9, la lunghezza dell'ipotenusa è il numero positivo formula_6 tale che formula_11. 
Per meglio valutare le formule e per risolvere molti tipi di equazioni è necessario sviluppare un calcolo letterale che permetta di rimaneggiarle. Le regole di questo calcolo letterale costituiscono la cosiddetta algebra elementare.
L'algebra moderna si occupa anche dello studio delle relazioni fra insiemi e delle strutture algebriche, cioè strutture che caratterizzano insiemi concreti (come i numeri) o astratti sui quali è stata definita una o più operazioni.
Lo studio della geometria piana e spaziale riguarda inizialmente primitivi: il punto, la retta, il piano. Combinando questi elementi nel piano o nello spazio si ottengono altri oggetti quali segmenti, angoli, angoli solidi, poligoni e poliedri.
Punto, retta, piano e spazio hanno dimensione rispettivamente 0, 1, 2 e 3. Tramite il calcolo vettoriale si definiscono e studiano spazi a dimensione più alta (anche infinita). Gli analoghi "curvi" di questi spazi "piatti" sono le curve e le superfici, di dimensione rispettivamente 1 e 2.
Uno spazio curvo in dimensione arbitraria si chiama varietà. 
Dentro a questo spazio si possono spesso definire punti e rette (dette geodetiche), ma la geometria che ne consegue può non soddisfare gli assiomi di Euclide: una tale geometria è generalmente detta non euclidea. Un esempio è dato dalla superficie
terrestre, che contiene triangoli aventi tutti e tre gli angoli retti.
L'analisi riguarda principalmente il calcolo infinitesimale, introduce la fondamentale nozione di limite, e quindi di derivata e integrale. Con questi strumenti sono analizzati i comportamenti delle funzioni, che spesso non hanno una descrizione esplicita ma sono soluzioni di una equazione differenziale, derivante ad esempio da un problema fisico.
Come riportato sopra, le discipline principali sviluppate all'interno della matematica sono nate dalla necessità di eseguire calcoli nel commercio, di capire i rapporti fra i numeri, di misurare la terra e di predire eventi astronomici. Questi quattro bisogni possono essere collegati approssimativamente con la suddivisione della matematica nello studio sulla quantità, sulla struttura, sullo spazio e sul cambiamento (cioè, aritmetica, algebra, geometria e analisi matematica). Oltre a queste, vi sono altre suddivisioni come la logica, la teoria degli insiemi, la matematica empirica di varie scienze (matematica applicata) e più recentemente allo studio rigoroso dell'incertezza.
Lo studio sulle quantità inizia con i numeri, in primo luogo con i numeri naturali (numeri interi non negativi) e tramite operazione aritmetiche su di essi. Le proprietà più profonde dei numeri interi sono studiate nella teoria dei numeri, di cui un esempio famoso è l'ultimo teorema di Fermat. La teoria dei numeri inoltre presenta due problemi non risolti, largamente considerati e discussi: la Congettura dei numeri primi gemelli e la congettura di Goldbach.
I numeri interi sono riconosciuti come sottoinsieme dei numeri razionali ("frazioni"). Questi, a loro volta, sono contenuti all'interno dei numeri reali, usati per rappresentare quantità continue. I numeri reali sono generalizzati ulteriormente dai numeri complessi. Queste sono i primi punti di una gerarchia dei numeri che continua ad includere i quaternioni e gli ottonioni. L'analisi dei numeri naturali conduce inoltre ai numeri infiniti.
Fra gli strumenti informatici negli ultimi anni si sono resi disponibili vari generi di pacchetti software volti ad automatizzare l'esecuzione di calcoli numerici, le elaborazioni simboliche, la costruzione di grafici e di ambienti di visualizzazione e, di conseguenza, volti a facilitare lo studio della matematica e lo sviluppo delle applicazioni che possano essere effettivamente incisive.
Particolare importanza ed efficacia vanno assumendo quelli che vengono chiamati sistemi di algebra computazionale o addirittura con il termine inglese Computer algebra systems, abbreviato con CAS.
Segnaliamo alcuni programmi open source o comunque gratuitamente disponibili per lo studio della matematica:
Molti oggetti matematici, come gli insiemi di numeri e funzioni, mostrano la loro struttura interna e coerente. Le proprietà strutturali di questi oggetti sono investigate nello studio di gruppi, anelli, campi e altri sistemi astratti, i quali sono a loro volta oggetti. Questo è il campo dell'algebra astratta. In questo campo un concetto importante è rappresentato dai vettori, generalizzati nello spazio vettoriale, e studiati nell'algebra lineare. Lo studio di vettori combina tre tra le fondamentali aree della matematica: quantità, struttura, e spazio. Il calcolo vettoriale espande il campo in una quarta area fondamentale, quella delle variazioni.
Lo studio dello spazio inizia con la geometria, in particolare con la geometria euclidea. La Trigonometria poi combina simultaneamente spazio e numeri. Lo studio moderno dello spazio generalizza queste premesse includendo la Geometria non euclidea (che assume un ruolo centrale nella teoria della relatività generale) e la topologia. Quantità e spazio sono trattati contemporaneamente in geometria analitica, geometria differenziale, e geometria algebrica. Con la geometria algebrica si ha la descrizione di oggetti geometrici come insiemi di soluzioni di equazioni polinomiali combinando i concetti di quantità e spazio, e anche lo studio di gruppi topologici, i quali combinano a loro volte spazio e strutture. I gruppi di Lie sono usati per studiare lo spazio, le strutture e le variazioni. La Topologia in tutte le sue molte ramificazioni può essere considerata la zona di sviluppo più grande nella matematica del XX secolo ed include la congettura di Poincaré e il controverso teorema dei quattro colori, di cui l'unica prova, eseguita a computer, non è mai stata verificata da un essere umano.
Matematica discreta è il nome comune per i campi della matematica utilizzati nella maggior parte dei casi nell'informatica teorica. Questa include teoria della computazione, teoria della complessità computazionale, e informatica teorica. La teoria della computazione esamina le limitazioni dei vari modelli di computer, compresi i modelli più potenti conosciuti - la Macchina di Turing. La teoria della complessità è lo studio delle possibilità di trattazione da parte di un calcolatore; alcuni problemi, nonostante siano teoricamente risolvibili attraverso un calcolatore, sono troppo costosi in termini di tempo o spazio tanto che risolverli risulta praticamente impossibile, anche prevedendo una rapida crescita delle potenze di calcolo. Infine la teoria dell'informazione si interessa della quantità di dati che possono essere immagazzinati su un dato evento o mezzo e quindi di concetti come compressione dei dati e entropia.
Come campo relativamente nuovo, la matematica discreta possiede un numero elevato di problemi aperti. Il più famoso di questi è il problema " P=NP?" uno dei problemi per il millennio.
La matematica applicata considera l'utilizzo della matematica teorica come strumento utilizzato per la risoluzione di problemi concreti nelle scienze, negli affari e in molte altre aree. Un campo importante della matematica è la statistica, la quale utilizza la teoria della probabilità e permette la descrizione, l'analisi, e la previsione di fenomeni aleatori. La maggior parte degli esperimenti, delle indagini e degli studi d'osservazione richiedono l'utilizzo della statistica (molti statistici, tuttavia, non si considerano come veri e propri matematici, ma come parte di un gruppo collegato ad essi). L'analisi numerica investiga metodi computazionali per risolvere efficientemente una vasta gamma di problemi matematici che sono, in genere, troppo grandi per le capacità di calcolo umane; essa include lo studio di vari tipi di errore che generalmente si verificano nel calcolo.
