
In matematica, la radice formula_1-esima o radicale formula_1-esimo, con formula_3, di un numero reale formula_4, scritto come formula_5, è un numero reale formula_6 tale che formula_7. Il numero reale formula_8 è detto radicando, il numero formula_1 è detto indice e il numero formula_10 è detto radice formula_1-esima di formula_8.
Una radice con indice 2 è indicata con il nome di radice quadrata e una radice con indice 3 con il nome di radice cubica o radice terza, ma esistono e si possono creare radici con qualsiasi indice.
Le condizioni di esistenza sono quell'insieme dei valori delle variabili contenute nel radicale per i quali esso esiste nel campo dei numeri reali.
La funzione radice formula_1-esima è una funzione definita da formula_14, perciò formula_5 resta definita formula_16
Per esempio, i seguenti radicali esprimono numeri reali: 
Si può ottenere un risultato analogo alla radice ennesima attraverso l'elevamento a potenza con esponente frazionario:
Tuttavia la funzione potenza è definita da formula_19, perciò essa permette di definire due sottocasi:
Ciò implica che equazioni del tipo formula_22, con formula_1 pari e formula_24 non hanno soluzioni reali, esse infatti appartengono all'insieme dei numeri immaginari, sottoinsieme dell'insieme dei numeri complessi, indicato con formula_25, che vengono espressi come somma di un numero reale e un numero immaginario.
Ad esempio, l'equazione formula_26 avrà per soluzioni formula_27 e formula_28, dove formula_29 rappresenta l'unità immaginaria.
Quanto visto finora ci permette d'individuare che, ad esempio, la condizione di esistenza del radicale formula_30 è formula_31, dato che il radicando deve essere sempre positivo.
Ecco altri esempi di condizioni di esistenza:
Esistono delle proprietà fondamentali delle radici che vengono elencate di seguito:
Dalla definizione di radicale segue che: 
Si elevino all'ennesima potenza entrambi i membri dell'uguaglianza:
Poiché le formula_1-esime potenze dei due membri sono uguali (formula_59), sono uguali anche le basi.
Applicando la proprietà:
Allo stesso modo, con formula_61:
Si elevino all'ennesima potenza entrambi i membri dell'uguaglianza:
Poiché le formula_1-esime potenze dei due membri sono uguali formula_70, sono uguali anche le basi.
Applicando la proprietà:
Allo stesso modo, con formula_72:
Non è necessario dimostrare questa proprietà in quanto è una diretta conseguenza della seconda proprietà dei radicali con il radicando sempre positivo.
Applicando la proprietà:
Allo stesso modo, con formula_78
Si elevino all'formula_83-esima potenza entrambi i membri dell'uguaglianza:
Poiché le formula_83-esime potenze dei due membri sono uguali (formula_87), sono uguali anche le basi.
Applicando la proprietà:
Allo stesso modo, con formula_89, formula_90
Per il teorema del prodotto si ottiene:
Ma, per la seconda proprietà fondamentale dei radicale è formula_97, perciò:
Applicando la proprietà:
Allo stesso modo, con formula_100:
Il teorema presenta le seguenti varianti, facilmente verificabili:
Elevando tutto alla formula_1-esima potenza si ottiene:
Radicando ora il tutto sotto radice di indice formula_1 risulta:
Quindi:
Applicando la proprietà:
Allo stesso modo:
Il teorema presenta le seguenti varianti, facilmente verificabili:
Tenendo conto di quanto detto finora, si ha che per formula_4
Il primo enunciato si ottiene direttamente dalla definizione di radicale, il secondo applicando il teorema delle potenze ad esponente negativo.
dove formula_24, formula_65e formula_136.
Per ogni numero complesso formula_137, ci sono formula_1 diversi numeri complessi formula_10 tali che formula_7, quindi il simbolo formula_5 non può essere usato univocamente. Se formula_142, parliamo di radici n-esime dell'unità.
È importante ricordare che, in generale, è sempre (per formula_47, formula_54):
tenendo presente che l'uguaglianza si ha se e solo se almeno uno tra formula_8 e formula_10 è formula_148.
Quindi, affermare che formula_149 sarebbe un gravissimo errore.
Partendo dalla disequazione:
Elevando al quadrato si ottiene:
Poiché è formula_47 e formula_54 per ipotesi, è anche formula_156, quindi la tesi è vera.
Il teorema è facilmente estendibile alle radici di indice formula_1-esimo:
La somma di radicali è possibile solo se sono presenti radicali simili, cioè nel caso in cui:
Ad esempio:
Nel secondo esempio si tenga presente che vale formula_166.
La proprietà invariantiva dei radicali afferma che:
""Moltiplicando o dividendo sia l'indice di un radicale che l'esponente del suo radicando per un numero naturale diverso da 0, si ottiene un radicale equivalente a quello dato.""
In simboli:
Si elevi alla formula_170 potenza ciascuno dei due membri:
Si ottiene formula_173, e, poiché le formula_170-esime potenze dei due membri sono uguali, sono uguali anche le basi.
Utilizzando la proprietà invariantiva è possibile semplificare i radicali, dividendo sia indice che esponente del radicando per uno stesso numero:
Allo stesso modo:
Si noti che nell'espressione è stato inserito il valore assoluto: questo perché, mentre il primo radicale formula_177 esiste sempre, dato che ha il radicando elevato ad un indice pari, successivamente viene semplificato ed il suo radicando non è più elevato ad un esponente pari. Quindi è necessario inserire il valore assoluto, per fare in modo che l'uguaglianza si mantenga valida.
La radice formula_1-esima di formula_148 vale sempre formula_148, escludendo il caso in cui è formula_181, poiché la radice di indice formula_148 ha significato solo se il radicando è uguale ad formula_183, ossia nel caso:
Inoltre, è sempre:
Nelle elaborazioni di espressioni e formule algebriche, è spesso utile manipolare i radicali usando le relazioni scritte sopra, senza tentare di calcolare il valore di ogni singolo elemento. Ad esempio, se formula_8 e formula_10 sono due numeri positivi distinti:
L'ultima relazione può servire per razionalizzare il denominatore di un'espressione o di un'equazione.
Può capitare, spesso in analisi, di trovare radicali letterali, ossia radici quadrate con radicando letterale. In questo caso, dapprima bisogna trovare la condizione di esistenza (chiamata anche C.A. "Condizione di accettabilità", o C.R.R. "Condizione di Realtà del Radicando"), nel caso si lavori solo tra i numeri reali, per poi considerare sempre quando le lettere indicano numeri positivi o numeri negativi.
Un esempio di radicale letterale:
Le condizioni di esistenza si ricavano nel seguente modo:
Pertanto il campo di esistenza del radicale è: formula_200.


In matematica, la razionalizzazione del denominatore di una frazione è un procedimento algebrico che consente di eliminare dal denominatore le espressioni irrazionali, ossia quelle contenenti radicali algebrici. Ciò viene ottenuto tramite la moltiplicazione del numeratore e del denominatore della frazione per un opportuno fattore. La razionalizzazione è utile, fra l'altro, per semplificare il calcolo numerico di tali espressioni, dal momento che la divisione per un numero irrazionale comporta un calcolo laborioso e potenzialmente più soggetto ad errori di approssimazione.
Si consideri una frazione della forma:
In questo caso, certamente il più semplice, si riesce a razionalizzare il denominatore moltiplicando semplicemente numeratore e denominatore per formula_2:
Nel caso più generale della forma: 
con "n" > "m", il fattore razionalizzante è formula_5. Infatti:
Le frazioni della forma normale:
ricordando il prodotto notevole formula_8, si razionalizzano come segue:
Lo stesso accorgimento funziona ovviamente anche quando nel denominatore vi sono somme come formula_10 o somme di 3 o più radicali quadratici. Ad esempio:
Le frazioni della forma:
si risolvono facilmente ricorrendo ai prodotti notevoli:
Infatti:
Anche in questo caso, il procedimento funziona bene anche per denominatori della forma formula_15 o simili.
Sebbene sia più frequente la necessità di razionalizzare il denominatore di una frazione (riconducendosi ad un'espressione equivalente con i radicali al numeratore), talvolta può essere utile applicare tecniche del tutto analoghe al numeratore. Per esempio, in analisi matematica, ciò consente di risolvere alcune forme indeterminate che possono comparire nel calcolo dei limiti. Ad esempio:
Questo limite si presenta nella forma indeterminata formula_17. In questo caso risulta conveniente razionalizzare il numeratore della frazione:
A questo punto, osservando che formula_19, il limite si può riscrivere come segue:
Si può notare come la razionalizzazione del numeratore abbia consentito di eliminare a denominatore il fattore formula_21 che rendeva impossibile il calcolo immediato del limite.
La razionalizzazione si effettua anche per determinare il reciproco di un numero complesso e, di conseguenza, per effettuare la divisione. Infatti, dato un numero complesso formula_22, si può determinare il reciproco moltiplicando il numeratore e il denominatore per il coniugato di formula_23:
