
In algebra, il teorema delle radici razionali afferma che ogni soluzione razionale di un'equazione polinomiale a coefficienti interi:
è della forma formula_2, dove:
Il teorema non dà alcuna informazione su eventuali radici irrazionali o complesse.
Ad esempio, se abbiamo un'equazione della forma
allora le eventuali radici razionali sono contenute in quest'insieme:
Se il polinomio è monico, cioè è formula_9, evidentemente la formula si semplifica restringendo le opzioni tra i soli divisori del termine noto. La verifica di ogni singola possibile radice si può ad esempio attuare con il teorema del resto (oppure con la regola di Ruffini se si vuole avere direttamente anche direttamente il quoziente). Se nessun valore soddisfa le richieste, allora tutte le sue radici (che esistono per il teorema fondamentale dell'algebra) sono irrazionali o complesse. Al contrario, se sono state trovate formula_10 radici razionali, allora il polinomio è completamente fattorizzabile in polinomi lineari con coefficienti razionali.
Il teorema delle radici razionali è una diretta conseguenza del lemma di Gauss, il quale afferma che se un polinomio (a coefficienti interi) è fattorizzabile sui razionali, allora lo è anche sugli interi.
Quindi se esiste una radice razionale formula_2, questo significa che potremo scrivere il nostro polinomio iniziale come formula_12 con tutti i formula_13 interi. Facendo il prodotto (i coefficienti intermedi non ci interessano) e sfruttando il fatto che due polinomi sono uguali se e solo se coincidono tutti i coefficienti, avremo formula_14 e formula_15, da cui il teorema.
In altro modo, supponiamo che la frazione formula_16 sia una radice del polinomio. Possiamo supporre che la frazione sia ridotta ai minimi termini, ovvero che gli interi formula_3 e formula_5 siano primi fra loro. Sostituendo si ottiene 
da cui, moltiplicando per formula_20,
Ora formula_3 divide i primi formula_10 termini, dunque deve dividere anche l'ultimo termine formula_24. Dato che formula_3 e formula_5 sono primi fra loro, formula_3 deve dividere formula_4. Con un ragionamento analogo si vede che formula_5 divide formula_6.


In matematica l'uguaglianza indica comunemente una relazione binaria di equivalenza fra due enti, detti membri dell'uguaglianza. 
Rappresenta uno dei concetti più importanti e fondamentali introdotti a livello della logica di una teoria.
Più formalmente per uguaglianza/Identità, in una teoria del primo ordine, si intende una relazione, di solito definita col simbolo "=", che verifichi i seguenti assiomi:
dove formula_3 è un predicato contenente la variabile libera formula_4
L'assioma di riflessività e lo schema degli assiomi caratterizzano formalmente l'idea intuitiva di uguaglianza: il primo assioma afferma che ogni oggetto è uguale a se stesso, mentre il secondo afferma che due oggetti uguali verificano le stesse proprietà. In particolare lo schema degli assiomi afferma che due oggetti uguali sono essenzialmente la stessa cosa, infatti non c'è modo di distinguerli dato che: "" tutto ciò che è vero per uno, è vero per l'altro"".
In particolare in una logica del secondo ordine, gli assiomi di uguaglianza si possono riformulare nel seguente modo:
dove formula_7 è un predicato.
Si noti, che in questo caso, si hanno solo due assiomi, mentre nell'altra definizione abbiamo uno schema di assiomi, questo è dovuto al fatto che nella logica del primo ordine non si può quantificare sulle proprietà diversamente da quanto avviene nella logica del secondo ordine.
L'uguaglianza è una relazione di equivalenza; tuttavia essa è molto particolare in quanto tutte le sue classi di equivalenza hanno cardinalità 1, e ciò è dovuto al fatto che l'uguaglianza gode di proprietà più restrittive rispetto alle consuete proprietà delle relazioni di equivalenza. 
Una relazione di uguaglianza definita su un dato universo ha per grafico, nel prodotto cartesiano formula_8, l'insieme formula_9 
