
l concetto di insieme aperto si trova in matematica in molti ambiti e con diversi gradi di generalità. Intuitivamente, un insieme è aperto se è possibile spostarsi sufficientemente poco in ogni direzione a partire da ogni punto dell'insieme senza uscire dall'insieme stesso. In realtà, seguendo le definizioni generali ci si può allontanare abbastanza da questa idea intuitiva; attraverso la definizione di insieme aperto si possono definire concetti come "vicino", "lontano", "attaccato", "separato"; definizioni non intuitive di insiemi aperti corrisponderanno a situazioni matematiche in cui questi concetti vengono utilizzati in modo non intuitivo.
La topologia è l'ambito più generale in cui si incontrano gli insiemi aperti; in questo contesto il concetto di insieme aperto viene considerato fondamentale; preso un insieme X, se una qualunque collezione T di sottoinsiemi di X soddisfa le proprietà riportate sotto, X diventa uno spazio topologico, T viene chiamata topologia di X e gli insiemi di T, per definizione, i suoi aperti.
Perché la collezione T sia una topologia deve valere:
Lo spazio topologico viene indicato specificando la coppia (X,T). È da notare che se si considera uno stesso insieme X con due diverse topologie T e T', si hanno due spazi topologici diversi; tuttavia in molti casi, in cui la struttura topologica emerge in modo "naturale", indicare l'insieme è sufficiente per individuare lo spazio topologico.
In uno spazio metrico formula_1, un sottoinsieme formula_2 di formula_3 si dice aperto se, per ogni formula_4, esiste un numero reale formula_5 tale che i punti che distano da formula_6 per meno di formula_7 appartengono ancora a formula_2. Formalmente: se formula_9, allora formula_10. Gli aperti metrici così definiti costituiscono una topologia di formula_3 secondo la definizione precedente: in questo modo ogni spazio metrico è dotato in modo naturale di una struttura di spazio topologico, e tutti gli aperti metrici possono essere considerati aperti topologici ("ma non viceversa").
Lo spazio euclideo formula_12 è un particolare spazio metrico. Un insieme aperto formula_2 dello spazio euclideo è un insieme tale che per ogni formula_6 di formula_2 esiste una palla di raggio formula_16 centrata in formula_6, interamente contenuta in formula_2.
In particolare, un intervallo in formula_19 è aperto se è del tipo formula_20, dove formula_21 e formula_22 possono anche essere rispettivamente formula_23 e formula_24.
A ogni definizione di insieme aperto corrisponde una definizione di insieme chiuso. In generale, un insieme è chiuso se e solo se è il complementare di un insieme aperto; nell'ambito degli spazi topologici questa è esattamente la proprietà definitoria, negli altri ambiti si danno definizioni a parte e questa proprietà viene provata come un teorema.


Nella teoria degli insiemi si indica con insieme vuoto quel particolare insieme che non contiene alcun elemento.
Nella teoria assiomatica degli insiemi l'assioma dell'insieme vuoto ne postula l'esistenza. Partendo da questo sono costruiti tutti gli insiemi finiti. L'insieme vuoto è chiamato talvolta anche "insieme nullo", ma ciò può creare confusione con il concetto esposto nella voce insieme nullo, argomento studiato in teoria della misura.
Diverse proprietà insiemistiche sono banalmente vere per l'insieme vuoto.
Solitamente l'insieme vuoto è indicato col simbolo formula_1, formula_2, ∅ oppure formula_3, usato per la prima volta dal gruppo di matematici, principalmente francesi, dell'inizio del XX secolo che scrivevano sotto lo pseudonimo collettivo di Nicolas Bourbaki (in particolare, fu il matematico André Weil ad introdurlo nel 1939). Non deve essere confuso con la lettera greca Φ (phi) o con la vocale scandinava Øø (sebbene Weil si sia ispirato proprio a questa).
Si noti che la notazione {formula_2} indica l'insieme che contiene l'insieme vuoto e va pertanto non confusa con il semplice insieme vuoto formula_2.
Per notare meglio le differenze tra i vari simboli, li si osservi uno a fianco all'altro: ∅ Øø Φ - il simbolo di insieme vuoto è basato su un cerchio, mentre la lettera scandinava è più simile a un ovale, come la lettera O; infine la barra della Φ è verticale e non obliqua.
Poiché l'insieme vuoto è unico si parla "dell"'insieme vuoto e non "di un" insieme vuoto. Nella teoria degli insiemi, infatti, due insiemi sono uguali se hanno gli stessi elementi, quindi ci può essere un solo insieme senza elementi.
Considerato come sottoinsieme della retta reale (o, più in generale, di un qualsiasi spazio topologico), l'insieme vuoto è sia chiuso che aperto. Tutti i suoi punti frontiera (cioè nessun punto) appartengono all'insieme vuoto, che perciò è chiuso; ma anche tutti i suoi punti interni (ancora una volta nessun punto) appartengono all'insieme vuoto, che dunque è anche aperto. Inoltre l'insieme vuoto è un insieme compatto per il fatto che ogni insieme finito è compatto.
La chiusura dell'insieme vuoto è vuota. Questo fatto è noto come "conservazione dell'unione nulla".
Il concetto di insieme vuoto non è la stessa cosa che il concetto di "niente". È un insieme che non contiene niente al suo "interno", ma un insieme è "qualcosa". Questo fatto spesso causa difficoltà a chi lo incontra per la prima volta. Può essere d'aiuto immaginare un insieme come un contenitore di oggetti: un contenitore vuoto è vuoto, eppure certamente esiste.
L'insieme vuoto è un sottoinsieme di un qualunque insieme "A". Per definizione di sottoinsieme, si ha che per "ogni" elemento "x" di {}, "x" appartiene ad "A". Se non fosse vero che ogni elemento di {} si trova in "A", allora dovrebbe esistere almeno un elemento di {} che non è presente in "A". Ma dal momento che "non" ci sono elementi in {}, allora non esiste alcun elemento di {} che non sta in "A", e dunque si può concludere che ogni elemento di {} si trova in "A" e quindi {} è un sottoinsieme di "A". Questo concetto è spesso parafrasato con "tutto è vero per gli elementi dell'insieme vuoto" e può essere visto come una applicazione della regola logica "ex falso quodlibet".
Nella teoria assiomatica degli insiemi nota come teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel, l'esistenza dell'insieme vuoto è assicurata dall'assioma dell'insieme vuoto. L'unicità dell'insieme vuoto segue dall'assioma di estensionalità.
Ogni assioma che stabilisce l'esistenza di un qualunque insieme implica l'assioma dell'insieme vuoto, utilizzando lo schema di assiomi di specificazione. Per esempio, se formula_15 è un insieme, allora lo schema di assiomi di separazione permette la costruzione dell'insieme formula_16, che può essere definito come l'insieme vuoto.
Sebbene l'insieme vuoto sia un concetto standard ed universalmente accettato in matematica, esistono persone che ancora manifestano qualche dubbio.
Jonathan Lowe ha affermato che anche se l'idea "è stata certamente una pietra miliare nella storia della matematica, … non dobbiamo assumere che la sua utilità nei calcoli sia dipendente dal suo denotare effettivamente un qualche oggetto". Non è chiaro se tale idea abbia un senso. "Tutto ciò di cui siamo a conoscenza riguardo all'insieme vuoto è che (1) è un insieme, (2) non ha elementi, e (3) è unico tra tutti gli insiemi che non hanno elementi. Però esistono molte cose che "non hanno elementi" nel senso della teoria degli insiemi — e cioè tutti i non-insiemi. È chiaro il motivo per cui questi oggetti non hanno elementi: perché non sono insiemi. Ciò che non è chiaro è come possa esistere, in modo univoco tra gli insiemi, un "insieme" che non ha elementi. Non possiamo evocare una tale entità semplicemente per accordo".
In seguito George Boolos, in "To be is to be the value of a variable…", Journal of Philosophy, 1984 (ristampato nel suo libro "Logic, Logic and Logic"), ha detto che si può fare molta strada utilizzando semplicemente la quantificazione multipla sugli oggetti, senza reificare gli insiemi come singole entità che hanno altre entità come membri.
In un libro recente Tom McKay ha espresso un'opinione negativa riguardo all'assunzione "singolarista" che le espressioni naturali che usano il plurale possano essere analizzate utilizzando surrogati del plurale, come i simboli per gli insiemi. Egli appoggia una teoria anti-singolarista che differisce dalla teoria degli insiemi nel fatto che non esiste l'analogo dell'insieme vuoto, ed esiste una sola relazione, "fra" ("among" in inglese), che è analoga sia al concetto di appartenenza che a quello di inclusione.
Le operazioni sull'insieme vuoto (inteso come insieme di oggetti sui quali si effettua l'operazione) possono creare confusione. Per esempio, la somma degli elementi dell'insieme vuoto è zero, ma la moltiplicazione degli elementi dell'insieme vuoto è uno (è il prodotto vuoto). Questo fatto può sembrare sbagliato, dato che non ci sono elementi nell'insieme vuoto, e quindi sembra che non possa fare differenza se essi sono sommati o moltiplicati (dato che “essi” non esistono). In effetti, i risultati di queste operazioni rivelano di più sulle operazioni stesse di quanto non facciano sull'insieme vuoto. Per esempio, si noti che lo zero è l'elemento neutro per l'addizione, mentre l'uno è l'elemento neutro per la moltiplicazione.
Dato che l'insieme vuoto non ha elementi, quando viene considerato come sottoinsieme di un qualunque insieme ordinato risulta che ogni elemento di quell'insieme è sia un maggiorante che un minorante per l'insieme vuoto. Per esempio, quando l'insieme vuoto viene considerato un sottoinsieme dei numeri reali, con l'ordinamento usuale, risulta che ogni numero reale è sia maggiorante che minorante per esso. Quando viene considerato come sottoinsieme dei numeri reali estesi (formati aggiungendo i due "numeri" (o punti) "meno infinito", indicato con formula_17 e "più infinito", indicato con formula_18 ai numeri reali, definiti in modo tale che formula_17 è minore di qualunque numero reale e formula_18 è maggiore di qualunque numero reale) si ha che: 
e
E cioè, il più piccolo maggiorante (sup o estremo superiore) è formula_23, mentre il più grande minorante (inf o estremo inferiore) è formula_24.
In precedenza si è affermato che l'insieme vuoto ha zero elementi, o che la sua cardinalità è zero. La connessione tra questi due concetti va oltre: nella definizione astratta di numero naturale lo zero è "per definizione" associato all'insieme vuoto, l'uno all'insieme con unico elemento l'insieme vuoto, e così via, in questo modo:
Se "A" è un insieme, allora esiste esattamente una funzione "f" da {} a "A", la funzione vuota. Di conseguenza, l'insieme vuoto è l'unico oggetto iniziale della categoria degli insiemi e delle funzioni.
L'insieme vuoto può essere considerato uno spazio topologico in un unico modo (definendolo aperto); questo spazio topologico vuoto è l'unico oggetto iniziale nella categoria degli spazi topologici con funzioni continue.
