
La matematica (dal greco μάθημα ("máthema"), traducibile con i termini "scienza", "conoscenza" o "apprendimento"; μαθηματικός ("mathematikós") significa "incline ad apprendere") è la disciplina che studia le quantità (i numeri), lo spazio, le strutture e i calcoli.
Per l'origine del termine occorre andare al vocabolo egizio "maat", nella cui composizione appare il simbolo del cubito, strumento di misura lineare, un primo accostamento al concetto matematico. Simbolo geometrico di questo ordine è un rettangolo, da cui sorge la testa piumata della dea egizia Maat, personificazione dei concetti di ordine, verità e giustizia. Figlia di Ra, unico Uno, creatore di ogni cosa, la sua potenza demiurgica è limitata e ordinata da leggi naturali e matematiche.
All'inizio del papiro di Rhind si trova questa affermazione: ""Il calcolo accurato è la porta d'accesso alla conoscenza di tutte le cose e agli oscuri misteri"". Il termine "maat" riappare in copto, in babilonese e in greco. In greco la radice "ma", "math", "met" entra nella composizione di vocaboli contenenti le idee di ragione, disciplina, scienza, istruzione, giusta misura, e in latino il termine "materia" indica ciò che può essere misurato.
Col termine matematica di solito si designa la disciplina (ed il relativo corpo di conoscenze) che studia problemi concernenti quantità, estensioni e figure spaziali, movimenti di corpi, e tutte le strutture che permettono di trattare questi aspetti in modo generale. La matematica fa largo uso degli strumenti della logica e sviluppa le proprie conoscenze nel quadro di sistemi ipotetico-deduttivi che, a partire da definizioni rigorose e da assiomi riguardanti proprietà degli oggetti definiti (risultati da un procedimento di astrazione, come triangoli, funzioni, vettori ecc.), raggiunge nuove certezze, per mezzo delle dimostrazioni, attorno a proprietà meno intuitive degli oggetti stessi (espresse dai teoremi).
La potenza e la generalità dei risultati della matematica le ha reso l'appellativo di "regina delle scienze": ogni disciplina scientifica o tecnica, dalla fisica all'ingegneria, dall'economia all'informatica, fa largo uso degli strumenti di analisi, di calcolo e di modellizzazione offerti dalla matematica.
La matematica ha una lunga tradizione presso tutti i popoli della storia antica e moderna; è stata la prima disciplina a dotarsi di metodi di elevato rigore e portata. Ha progressivamente ampliato gli argomenti della sua indagine e progressivamente ha esteso i settori ai quali può fornire aiuti computazionali e di modellizzazione. È significativo che, in talune lingue e in talune situazioni, al termine singolare si preferisca il plurale "matematiche".
Nel corso della sua lunga storia e nei diversi ambienti culturali si sono avuti periodi di grandi progressi e periodi di stagnazione degli studi. Questo in parte è dovuto a singoli personaggi, capaci di dare apporti profondamente innovativi e illuminanti e di stimolare all'indagine matematica grazie alle loro doti didattiche. Si sono avuti anche periodi di arretramento delle conoscenze e dei metodi, specie in relazione a eventi distruttivi o a periodi di decadenza complessiva della vita intellettuale e civile. Negli ultimi 500 anni, per il miglioramento dei mezzi di comunicazione, è prevalsa la crescita del patrimonio di risultati e di metodi,
dovuta alla natura stessa delle attività matematiche, tese alla esposizione precisa di problemi e soluzioni; ciò impone di comunicare col fine ultimo di chiarire ogni dettaglio delle costruzioni logiche e dei risultati (alcuni chiarimenti richiedono un impegno non trascurabile, talora molti decenni). Questo ha corrisposto alla definizione di un linguaggio, strumento esemplare per la trasmissione e la sistemazione delle conoscenze.
Del linguaggio matematico moderno, fatto di simboli riconosciuti in tutto il mondo, la maggior parte è stata introdotta dopo il XVI secolo. Prima di allora la matematica era scritta usando parole, un processo faticoso che rallentava le scoperte matematiche. Eulero (1707-1783) è stato il responsabile di molte delle notazioni oggi in uso. La notazione matematica moderna rende molto più facile il lavoro del matematico, ma i principianti lo trovano scoraggiante. È estremamente compressa: pochi simboli contengono una grande quantità di informazioni; come le note musicali, la notazione matematica moderna ha una sintassi rigorosa (che in misura limitata varia da autore ad autore, e da disciplina a disciplina) e codifica informazioni difficili da scrivere in qualsiasi altro modo.
Il linguaggio matematico può essere difficile per i principianti. Parole come "o" e "solo" hanno precisi significati, più che nella lingua corrente. Inoltre, parole come aperto e campo hanno specifici significati matematici. Il "gergo matematico" comprende moltissimi termini tecnici, come omeomorfismo e integrabile, perché la matematica richiede assai più precisione del linguaggio quotidiano.
Nelle dimostrazioni matematiche è fondamentale il rigore. Per rigore si intende un utilizzo preciso e logico di teoremi già dimostrati, in modo che, analizzando la dimostrazione in profondità attraverso un processo a ritroso, si arrivi ad assiomi e definizioni "universalmente accettati". Il livello di rigore richiesto in matematica è variato col tempo: i Greci richiedevano argomentazioni dettagliate, ma nel periodo di Isaac Newton il rigore utilizzato nelle dimostrazioni si era alleggerito. I problemi nati dalle definizioni usate da Newton hanno portato alla rinascita di una attenta analisi delle dimostrazioni nel corso del Diciannovesimo secolo. Il significato di rigore matematico non è sempre chiaro. Ad esempio i matematici continuano a discutere sull'opportunità di considerare valide le dimostrazioni effettuate attraverso computer: dato che lunghi calcoli sono difficili da verificare, tali dimostrazioni potrebbero essere considerate non sufficientemente rigorose.
Gli assiomi, nel pensiero tradizionale, erano considerati le "verità auto-evidenti", ma questa concezione comporta alcuni problemi. A livello formale, un assioma è solo una successione di simboli, che ha un significato intrinseco solo nel contesto di tutte le formule derivabili di un sistema assiomatico. L'obiettivo del programma di Hilbert è stato proprio quello di fornire l'intera matematica di una solida base assiomatica, ma secondo il teorema di incompletezza di Gödel una completa assiomatizzazione della matematica è impossibile. Nonostante ciò, la matematica è spesso immaginata consistere (per lo meno nel suo contenuto formale) nella teoria degli insiemi in una qualche assiomatizzazione, nel senso che ogni enunciato matematico, o dimostrazione, può essere scritto con formule esprimibili all'interno di tale teoria.
Le attività matematiche sono naturalmente interessate alle possibili generalizzazioni e astrazioni, in relazione alle economie di pensiero e ai miglioramenti degli strumenti (in particolare degli strumenti di calcolo) che esse sono portate a realizzare. Le generalizzazioni e le astrazioni quindi spesso conducono a visioni più approfondite dei problemi e stabiliscono rilevanti sinergie tra progetti di indagine inizialmente rivolti ad obiettivi non collegati.
Nel corso dello sviluppo della matematica si possono rilevare periodi ed ambienti nei quali prevalgono alternativamente atteggiamenti generali e valori riconducibili a "due" differenti generi di motivazioni e di approcci: le "motivazioni applicative", con la loro spinta a individuare procedimenti efficaci, e le esigenze di "sistemazione concettuale" con la loro sollecitazione verso generalizzazioni, astrazioni e panoramiche strutturali.
Si tratta di due generi di atteggiamenti tra i quali si costituisce una certa polarizzazione; questa talora può diventare contrapposizione, anche astiosa, ma in molte circostanze i due atteggiamenti stabiliscono rapporti di reciproco arricchimento e sviluppano sinergie. Nel lungo sviluppo della matematica si sono avuti periodi di prevalenza di uno o dell'altro dei due atteggiamenti e dei rispettivi sistemi di valori.
Del resto la stessa nascita della matematica può ragionevolmente ricondursi a due ordini di interessi: da un lato le esigenze applicative che fanno ricercare valutazioni praticabili; dall'altro la ricerca di verità tutt'altro che evidenti, forse tenute nascoste, che risponde ad esigenze immateriali, la cui natura può essere filosofica, religiosa o estetica.
Negli ultimi 30 o 40 anni tra i due atteggiamenti si riscontra un certo equilibrio non privo di tensioni riemergenti, ma con molteplici episodi di mutuo supporto. A questo stato di cose contribuisce non poco la crescita del mondo del computer, rispetto al quale il mondo della matematica presenta sia canali di collegamento (che è ormai assurdo cercare di interrompere) che differenze, ad esempio differenze dovute a diverse velocità di mutazione e a diversi stili comunicativi, che proiettano le due discipline agli antipodi.
Cerchiamo ora di segnalare a grandi linee i temi dell'indagine matematica, illustrando una sorta di itinerario per un progressivo accostamento dei problemi, delle argomentazioni e delle sistemazioni teoriche.
I primi problemi che inducono ad accostarsi alla matematica sono quelli che si possono affrontare con l'aritmetica elementare: i calcoli eseguibili con le quattro operazioni possono riguardare contabilità finanziarie, valutazioni di grandezze geometriche o meccaniche, calcoli relativi agli oggetti ed alle tecniche che si incontrano nella vita quotidiana.
I più semplici di questi calcoli possono effettuarsi servendosi solo di numeri interi naturali, ma presto i problemi di calcolo richiedono di saper trattare i numeri interi relativi e i numeri razionali.
I problemi aritmetici più semplici sono risolti mediante formule che forniscono risultati conseguenti. Ad esempio: l'area di un rettangolo con lati lunghi formula_1 e formula_2 è il loro prodotto formula_3. Complicando gli enunciati diventa necessario servirsi di equazioni. 
Ad esempio: per il teorema di Pitagora, se un triangolo rettangolo ha i lati più corti (cateti) di lunghezza formula_1 e formula_5, quello più lungo (ipotenusa) ha come lunghezza il numero positivo formula_6 che risolve l'equazione:
formula_7.
Le equazioni più semplici sono le equazioni lineari, sia perché rappresentano le questioni geometriche più semplici, sia perché sono risolvibili con procedimenti standard.
Nelle formule e nelle equazioni conviene far entrare parametri con valori indeterminati: in tal modo si viene a disporre di strumenti di portata più generale, che permettono di conseguire evidenti economie di pensiero. 
Ad esempio: in un triangolo rettangolo con cateti di
lunghezza formula_8 e formula_9, la lunghezza dell'ipotenusa è il numero positivo formula_6 tale che formula_11. 
Per meglio valutare le formule e per risolvere molti tipi di equazioni è necessario sviluppare un calcolo letterale che permetta di rimaneggiarle. Le regole di questo calcolo letterale costituiscono la cosiddetta algebra elementare.
L'algebra moderna si occupa anche dello studio delle relazioni fra insiemi e delle strutture algebriche, cioè strutture che caratterizzano insiemi concreti (come i numeri) o astratti sui quali è stata definita una o più operazioni.
Lo studio della geometria piana e spaziale riguarda inizialmente primitivi: il punto, la retta, il piano. Combinando questi elementi nel piano o nello spazio si ottengono altri oggetti quali segmenti, angoli, angoli solidi, poligoni e poliedri.
Punto, retta, piano e spazio hanno dimensione rispettivamente 0, 1, 2 e 3. Tramite il calcolo vettoriale si definiscono e studiano spazi a dimensione più alta (anche infinita). Gli analoghi "curvi" di questi spazi "piatti" sono le curve e le superfici, di dimensione rispettivamente 1 e 2.
Uno spazio curvo in dimensione arbitraria si chiama varietà. 
Dentro a questo spazio si possono spesso definire punti e rette (dette geodetiche), ma la geometria che ne consegue può non soddisfare gli assiomi di Euclide: una tale geometria è generalmente detta non euclidea. Un esempio è dato dalla superficie
terrestre, che contiene triangoli aventi tutti e tre gli angoli retti.
L'analisi riguarda principalmente il calcolo infinitesimale, introduce la fondamentale nozione di limite, e quindi di derivata e integrale. Con questi strumenti sono analizzati i comportamenti delle funzioni, che spesso non hanno una descrizione esplicita ma sono soluzioni di una equazione differenziale, derivante ad esempio da un problema fisico.
Come riportato sopra, le discipline principali sviluppate all'interno della matematica sono nate dalla necessità di eseguire calcoli nel commercio, di capire i rapporti fra i numeri, di misurare la terra e di predire eventi astronomici. Questi quattro bisogni possono essere collegati approssimativamente con la suddivisione della matematica nello studio sulla quantità, sulla struttura, sullo spazio e sul cambiamento (cioè, aritmetica, algebra, geometria e analisi matematica). Oltre a queste, vi sono altre suddivisioni come la logica, la teoria degli insiemi, la matematica empirica di varie scienze (matematica applicata) e più recentemente allo studio rigoroso dell'incertezza.
Lo studio sulle quantità inizia con i numeri, in primo luogo con i numeri naturali (numeri interi non negativi) e tramite operazione aritmetiche su di essi. Le proprietà più profonde dei numeri interi sono studiate nella teoria dei numeri, di cui un esempio famoso è l'ultimo teorema di Fermat. La teoria dei numeri inoltre presenta due problemi non risolti, largamente considerati e discussi: la Congettura dei numeri primi gemelli e la congettura di Goldbach.
I numeri interi sono riconosciuti come sottoinsieme dei numeri razionali ("frazioni"). Questi, a loro volta, sono contenuti all'interno dei numeri reali, usati per rappresentare quantità continue. I numeri reali sono generalizzati ulteriormente dai numeri complessi. Queste sono i primi punti di una gerarchia dei numeri che continua ad includere i quaternioni e gli ottonioni. L'analisi dei numeri naturali conduce inoltre ai numeri infiniti.
Fra gli strumenti informatici negli ultimi anni si sono resi disponibili vari generi di pacchetti software volti ad automatizzare l'esecuzione di calcoli numerici, le elaborazioni simboliche, la costruzione di grafici e di ambienti di visualizzazione e, di conseguenza, volti a facilitare lo studio della matematica e lo sviluppo delle applicazioni che possano essere effettivamente incisive.
Particolare importanza ed efficacia vanno assumendo quelli che vengono chiamati sistemi di algebra computazionale o addirittura con il termine inglese Computer algebra systems, abbreviato con CAS.
Segnaliamo alcuni programmi open source o comunque gratuitamente disponibili per lo studio della matematica:
Molti oggetti matematici, come gli insiemi di numeri e funzioni, mostrano la loro struttura interna e coerente. Le proprietà strutturali di questi oggetti sono investigate nello studio di gruppi, anelli, campi e altri sistemi astratti, i quali sono a loro volta oggetti. Questo è il campo dell'algebra astratta. In questo campo un concetto importante è rappresentato dai vettori, generalizzati nello spazio vettoriale, e studiati nell'algebra lineare. Lo studio di vettori combina tre tra le fondamentali aree della matematica: quantità, struttura, e spazio. Il calcolo vettoriale espande il campo in una quarta area fondamentale, quella delle variazioni.
Lo studio dello spazio inizia con la geometria, in particolare con la geometria euclidea. La Trigonometria poi combina simultaneamente spazio e numeri. Lo studio moderno dello spazio generalizza queste premesse includendo la Geometria non euclidea (che assume un ruolo centrale nella teoria della relatività generale) e la topologia. Quantità e spazio sono trattati contemporaneamente in geometria analitica, geometria differenziale, e geometria algebrica. Con la geometria algebrica si ha la descrizione di oggetti geometrici come insiemi di soluzioni di equazioni polinomiali combinando i concetti di quantità e spazio, e anche lo studio di gruppi topologici, i quali combinano a loro volte spazio e strutture. I gruppi di Lie sono usati per studiare lo spazio, le strutture e le variazioni. La Topologia in tutte le sue molte ramificazioni può essere considerata la zona di sviluppo più grande nella matematica del XX secolo ed include la congettura di Poincaré e il controverso teorema dei quattro colori, di cui l'unica prova, eseguita a computer, non è mai stata verificata da un essere umano.
Matematica discreta è il nome comune per i campi della matematica utilizzati nella maggior parte dei casi nell'informatica teorica. Questa include teoria della computazione, teoria della complessità computazionale, e informatica teorica. La teoria della computazione esamina le limitazioni dei vari modelli di computer, compresi i modelli più potenti conosciuti - la Macchina di Turing. La teoria della complessità è lo studio delle possibilità di trattazione da parte di un calcolatore; alcuni problemi, nonostante siano teoricamente risolvibili attraverso un calcolatore, sono troppo costosi in termini di tempo o spazio tanto che risolverli risulta praticamente impossibile, anche prevedendo una rapida crescita delle potenze di calcolo. Infine la teoria dell'informazione si interessa della quantità di dati che possono essere immagazzinati su un dato evento o mezzo e quindi di concetti come compressione dei dati e entropia.
Come campo relativamente nuovo, la matematica discreta possiede un numero elevato di problemi aperti. Il più famoso di questi è il problema " P=NP?" uno dei problemi per il millennio.
La matematica applicata considera l'utilizzo della matematica teorica come strumento utilizzato per la risoluzione di problemi concreti nelle scienze, negli affari e in molte altre aree. Un campo importante della matematica è la statistica, la quale utilizza la teoria della probabilità e permette la descrizione, l'analisi, e la previsione di fenomeni aleatori. La maggior parte degli esperimenti, delle indagini e degli studi d'osservazione richiedono l'utilizzo della statistica (molti statistici, tuttavia, non si considerano come veri e propri matematici, ma come parte di un gruppo collegato ad essi). L'analisi numerica investiga metodi computazionali per risolvere efficientemente una vasta gamma di problemi matematici che sono, in genere, troppo grandi per le capacità di calcolo umane; essa include lo studio di vari tipi di errore che generalmente si verificano nel calcolo.


In analisi matematica un'equazione differenziale è un'equazione che lega una funzione incognita alle sue derivate: se la funzione è di una sola variabile e l'equazione presenta soltanto derivate ordinarie viene detta equazione differenziale ordinaria; se invece la funzione è a più variabili e l'equazione contiene derivate parziali della funzione stessa è detta equazione alle derivate parziali.
Lo studio delle equazioni differenziali ha inizio in seguito all'introduzione del calcolo infinitesimale da parte di Newton e Leibniz nel diciassettesimo secolo. Nel secondo capitolo del suo testo del 1671 "Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum", Isaac Newton focalizza il discorso su tre tipologie di equazioni differenziali di primo grado, di cui due ordinarie:
e una con derivate parziali:
Ne risolve inoltre un esempio per ognuna delle tipologie, esprimendo il termine non derivato come serie di potenze e ponendo che abbiano come soluzione delle serie infinite, di cui nota che i coefficienti possono essere scelti in maniera arbitraria producendo così un'infinità di soluzioni particolari.
Un importante contributo alle equazioni ordinarie fu dato dai fratelli Jacob e Johann Bernoulli. Nel 1695 Jacob Bernoulli si occupa dell'equazione oggi nota come equazione differenziale di Bernoulli:
per la quale Leibniz, l'anno successivo, ottiene delle soluzioni semplificandola ad un'equazione lineare. L'anno successivo il fratello Johann si occupa invece del problema della curva brachistocrona.
Un altro importante problema meccanico, quello della corda vibrante, viene inoltre incluso negli studi di Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, e Joseph-Louis Lagrange. Nel 1746, d'Alembert affronta l'equazione delle onde monodimensionale:
e successivamente Eulero introduce il caso tridimensionale.
A partire dal 1750 fu poi sviluppata l'equazione di Eulero-Lagrange da parte di Eulero e Lagrange, che è alla base della meccanica lagrangiana.
Un altro importante testo è "Théorie analytique de la chaleur" del 1822, in cui Fourier espone l'equazione del calore.
Le equazioni differenziali sono tra le equazioni più studiate in matematica, avendo un ruolo fondamentale nella controparte matematica di moltissimi ambiti della scienza e dell'ingegneria. Possono descrivere, per esempio, una situazione generale in cui una certa quantità formula_5 varia rispetto al tempo in una maniera che dipende dal valore della quantità stessa in quel momento: ciò corrisponde al fatto che nell'equazione compare sia la funzione incognita formula_5 che la sua derivata rispetto al tempo formula_7. Nel caso più semplice compare solo la derivata:
e l'equazione viene risolta utilizzando il teorema fondamentale del calcolo integrale. Le sue soluzioni hanno cioè la forma:
dove formula_10 è costante e formula_11 è la primitiva di formula_12:
Si tratta tuttavia di relazioni di cui è raramente possibile avere una forma analitica della soluzione, o una sua espressione in termini di funzioni elementari, ma vengono piuttosto studiate l'esistenza e l'unicità delle soluzioni e il loro comportamento in contesti di particolare interesse, solitamente in relazione alla situazione di un sistema fisico descritto dall'equazione differenziale. L'insieme di tutte le soluzioni di un'equazione differenziale è detto "integrale generale" dell'equazione differenziale data.
Lo studio delle equazioni differenziali, come avviene spesso in matematica, è stato fortemente influenzato dall'esigenza di analizzare problemi concreti; coinvolge poi diversi ambiti, come l'algebra lineare, l'analisi numerica e l'analisi funzionale. 
Data una funzione formula_14 definita in un intervallo formula_15 dell'insieme dei numeri reali, l'equazione differenziale ad essa associata è un'equazione differenziale ordinaria (abbreviato con ODE, acronimo di "Ordinary Differential Equation") e si chiama "ordine" o "grado" dell'equazione il più alto ordine tra gli ordini delle derivate presenti nell'equazione. La scrittura generale di un'equazione differenziale ordinaria di ordine formula_16 per una funzione formula_17 può avere la forma:
dove formula_19 sono le derivate di formula_20 fino all'ordine formula_16. Se formula_5 è lineare, l'equazione è lineare. Per esempio, l'equazione differenziale di primo grado:
viene soddisfatta dalla funzione esponenziale formula_24, che è uguale alla propria derivata.
Nel caso in cui la funzione incognita formula_20 dipende da più variabili, le derivate sono derivate parziali e si ha un'equazione differenziale alle derivate parziali (abbreviato con PDE, da "Partial Differential Equation"). Una PDE di ordine formula_26 per la funzione formula_27 ha la forma:
dove formula_26 è un numero intero e la funzione formula_5 è data. Esempi particolarmente importanti di equazioni (lineari) alle derivate parziali sono l'equazione delle onde, l'equazione del calore, l'equazione di Poisson, l'equazione del trasporto, l'equazione di continuità, o l'equazione di Helmholtz.
Per esempio, l'equazione:
afferma che formula_32 è indipendente da formula_33, e non avendo nessuna informazione sulla dipendenza da formula_34 ha soluzione generale:
dove formula_5 è una funzione arbitraria di formula_34. L'equazione ordinaria:
ha invece soluzione formula_39 con formula_40 costante.
Le equazioni differenziali vengono analizzate conferendo un preciso valore ad alcune delle variabili in gioco, in particolare la funzione incognita e le sue derivate (fino all'ordine formula_41 per un'equazione in forma normale di ordine formula_42) in certi punti del dominio di definizione dell'equazione. Il problema differenziale che ne risulta è detto "problema di Cauchy"; consiste solitamente nel porre delle condizioni iniziali o delle condizioni al contorno per gli estremi del dominio in cui è definita l'equazione.
Nel caso l'equazione sia definita su una superficie, fornire le condizioni al contorno consiste nel dare il valore della funzione sulla frontiera o della sua derivata rispetto alla direzione normale alla frontiera. Tale assegnazione viene detta condizioni al contorno di Cauchy, e corrisponde ad imporre sia le condizioni al contorno di Dirichlet (i valori che la soluzione assume sul bordo della superficie) che le condizioni al contorno di Neumann (i valori della derivata della soluzione).
Per le equazioni ordinarie il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy stabilisce che per un problema:
esiste una sola funzione formula_44 che soddisfa tutte le relazioni se formula_45 è sufficientemente regolare, ad esempio se è differenziabile in un intorno di formula_46.
Per un'equazione alle derivate parziali di ordine formula_42 definita su formula_48 le condizioni iniziali sono date dal valore dell'incognita e delle sue derivate fino all'ordine formula_41 su una varietà liscia formula_50 di dimensione formula_51, detta talvolta "superficie di Cauchy". Il problema di Cauchy consiste, nello specifico, nel trovare la funzione formula_20 soluzione della PDE che soddisfa:
dove formula_55 sono funzioni date definite sulla superficie formula_56 e la derivata formula_57 è calcolata rispetto alla direzione formula_58 del versore normale a formula_56.
Il teorema di Cauchy-Kovalevskaya, che si applica sia per le equazioni alle derivate parziali che per quelle ordinarie, stabilisce che se l'incognita e le condizioni iniziali di un'equazione differenziale sono localmente funzioni analitiche allora una soluzione analitica esiste ed è unica.
Data una generica equazione ordinaria:
è lineare se:
Un'equazione ordinaria lineare si può scrivere come:
Se formula_63 sono fattori costanti l'equazione si risolve trovando una soluzione all'equazione omogenea associata:
alla quale si somma una soluzione particolare dell'equazione completa, ottenibile ad esempio con il metodo delle variazioni delle costanti. Per ogni equazione ordinaria lineare omogenea (anche a coefficienti non costanti) vale inoltre il principio di sovrapposizione: se formula_65 e formula_66 sono soluzioni, allora lo è anche ogni loro combinazione lineare formula_67, con formula_68 e formula_69 costanti.
Un'equazione differenziale alle derivate parziali può essere invece lineare, semilineare, quasilineare o totalmente non lineare. L'equazione si dice lineare se ha la forma:
per opportune funzioni formula_71 ed formula_72, dove formula_73 è la derivazione di ordine formula_74 rispetto ad una o più variabili. Se formula_75 l'equazione si dice "omogenea".
Si dice semilineare se ha la forma:
quasilineare se ha la forma:
e totalmente non lineare se dipende non-linearmente dal più alto grado di derivazione.
Le equazioni che non sono lineari sono spesso molto difficili da affrontare, ed in molti casi si cercano metodi per linearizzarle.
Una classe di equazioni alle derivate parziali di cui si trovano frequentemente soluzioni analitiche, e che sono ampiamente utilizzate in fisica ed ingegneria, sono le equazioni lineari del secondo ordine, ovvero del tipo:
Supponendo che formula_79, formula_80 e formula_81 non siano tutti nulli, i termini con le derivate seconde definiscono una forma quadratica nel punto formula_82:
alla quale si associa la matrice simmetrica:
L'equazione nel punto formula_82 si dice:
Le equazioni a coefficienti costanti sono iperboliche, ellittiche o paraboliche in tutti i punti del loro dominio, ed in tal caso si parla rispettivamente di "equazione iperbolica", "equazione ellittica" o "equazione parabolica". Ad esempio l'equazione di Poisson (e la sua versione omogenea, l'equazione di Laplace) è ellittica, l'equazione del calore è parabolica, e l'equazione delle onde è iperbolica.
Le equazioni a coefficienti non costanti possono tuttavia presentare un carattere "misto", cioè possono essere iperboliche in alcune regioni del dominio ed ellittiche o paraboliche in altre. Ad esempio l'equazione di Eulero-Tricomi:
è ellittica nella regione formula_93, iperbolica nella regione formula_94 e parabolica degenere sulla retta formula_95.
Un esempio elementare di come le equazioni differenziali possano emergere naturalmente nello studio dei sistemi è il seguente: si supponga di avere una popolazione di batteri composta inizialmente da formula_96 individui e sia formula_97 la popolazione al tempo formula_98. È ragionevole aspettarsi che, in media, in ogni istante formula_98 dopo un tempo relativamente piccolo formula_100 nasca una quantità di nuovi individui proporzionale alla popolazione e al tempo trascorso formula_100, cioè pari a formula_102, dove formula_16 è un numero (che si suppone costante) che individua il tasso di natalità. Analogamente è ragionevole aspettarsi che muoiano formula_104 individui nello stesso intervallo di tempo, essendo formula_105 il tasso (costante) di mortalità. La popolazione al tempo formula_106, quindi, sarà data dalla popolazione al tempo formula_98 a cui si aggiunge la popolazione appena nata e si sottrae quella morta, ovvero:
Quindi si ha che:
Si può riconoscere nell'espressione a primo membro il rapporto incrementale della funzione formula_97; se formula_100 è molto piccolo, tale rapporto verrà sostituito con la derivata formula_112 e si scriverà:
Questa è un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine. Risolvere questa equazione significa determinare l'andamento nel tempo della popolazione, cioè la funzione formula_97. Si sta cercando quindi una funzione che sia dimensionalmente sommabile alla sua derivata prima, ovvero la funzione esponenziale (la cui derivate sono la funzione stessa per una costante):
dove formula_116 e formula_26 sono costanti. Imponendo di rispettare il vincolo formula_118 si ha:
Si tratta di una funzione esponenziale che cresce nel tempo se formula_120, cioè se la natalità è maggiore della mortalità, e decresce fino ad annullarsi velocemente se formula_121. Il modello che si è esaminato è particolarmente semplificato; in generale il tasso di crescita non è semplicemente proporzionale alla popolazione presente con una costante fissa di proporzionalità: è ragionevole aspettarsi ad esempio che le risorse a disposizione siano limitate ed insufficienti a soddisfare una popolazione arbitrariamente grande. Si possono considerare, inoltre, situazioni più complicate come quella in cui ci siano più popolazioni che interagiscono tra loro, come ad esempio prede e predatori nel modello di Volterra-Lotka.
Solitamente non è possibile trovare soluzioni esatte per le equazioni differenziali. Invece che trovare un'espressione analitica di una funzione che soddisfi l'equazione si è spesso limitati a studiarne l'esistenza e l'andamento qualitativo, oppure se ne determinano soluzioni approssimate servendosi di computer in grado di effettuare approssimazioni tramite metodi di calcolo numerici. Nel corso dei secoli sono tuttavia stati trovati diversi casi in cui è possibile ricavare l'espressione analitica di funzioni che sono soluzione di un'equazione differenziale, così come sono stati sviluppati molti strumenti di vario tipo per la ricerca di tali soluzioni: per affrontare le equazioni ordinarie si può ricorrere ad esempio all'utilizzo di un fattore di integrazione, del metodo delle differenze finite, del metodo delle variazioni delle costanti e diversi altri metodi di soluzione analitica e numerica.
Per quanto riguarda le equazioni alle derivate parziali, non vi è una teoria generale per analizzarle, ma vi sono casi in cui è possibile trovare una soluzione unica che dipende in modo continuo dai dati forniti dal problema. Tali soluzioni sono dette "classiche", e si distinguono da soluzioni deboli o generalizzate. Tra i molti metodi utilizzati per studiare le PDE vi è il metodo delle caratteristiche, l'utilizzo della funzione di Green, diverse trasformate integrali o il metodo di separazione delle variabili.
Accade inoltre spesso che si identificano classi di funzioni caratterizzate dal fatto che soddisfano alcune importanti equazioni differenziali, e per tale motivo godono di proprietà particolari che le rendono di notevole interesse. Ad esempio le onde, che soddisfanno l'equazione delle onde, le funzioni armoniche, che soddisfano l'equazione di Laplace, e le funzioni speciali, tra cui le funzioni ipergeometriche che soddisfano l'equazione ipergeometrica, oppure le funzioni di Struve, le funzioni di Anger e le funzioni di Weber che soddisfano le equazioni di Bessel.
Le soluzioni numeriche sono degli algoritmi che permettono di approssimare la soluzione del sistema di equazioni differenziali che costituiscono il "modello matematico" del sistema. Questi algoritmi sono alla base dei software di simulazione come MATLAB/Simulink ed in linea generale possono risolvere anche problemi che non ammettono soluzioni in forma chiusa.
