
In matematica, una funzione è una relazione tra due insiemi, chiamati dominio e codominio della funzione, che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.
Se i due insiemi sono rispettivamente indicati con formula_1 e formula_2, la relazione è indicata con formula_3 e l'elemento associato a formula_4 tramite la funzione formula_5 viene abitualmente indicato con formula_6 (si pronuncia "effe di x").
La parola funzione quindi non si riferisce alla sola relazione, ma alla terna: relazione, domino e codominio.
Per esempio: la funzione che associa a un numero "naturale" la radice quadrata di quel numero è diversa dalla funzione che associa a un numero "intero" la radice quadrata di quel numero (a seconda di come è definito il codominio, la seconda potrebbe non essere neppure un'associazione corretta).
Si dice che formula_7 è l'argomento della funzione, oppure un valore della variabile indipendente, mentre formula_8 è un valore della variabile dipendente della funzione. 
Sinonimi del termine "funzione" sono "applicazione" e "mappa". Il termine "trasformazione" viene utilizzato spesso in ambito geometrico per indicare una funzione formula_9 invertibile e che conserva le proprietà geometriche di formula_1, mentre "operatore" è talvolta utilizzato nella trattazione di funzioni lineari tra spazi vettoriali. 
Le funzioni hanno un ruolo molto importante in tutte le scienze esatte. Il concetto di dipendenza funzionale tra due grandezze sostituisce infatti, all'interno delle teorie fisiche e matematiche, quello di causa-effetto, che, al contrario del precedente, non riguarda gli enti teorici ma direttamente gli elementi della realtà concreta. Se si afferma, ad esempio, che la pressione di una certa quantità di gas perfetto è funzione della sua temperatura e del suo volume si sta facendo un'affermazione interna a un modello termodinamico, mentre il rapporto di causa-effetto che viene individuato fra le tre grandezze dipende in modo sostanziale dalle possibilità di intervento concreto su di esse. Rimanendo a questo esempio, il valore della pressione viene visto più spesso come conseguenza del valore degli altri due parametri, poiché è generalmente molto più facile intervenire sul volume e sulla temperatura che direttamente sulla pressione.
Gli esempi più semplici di funzione sono quelli per cui sia il dominio che il codominio sono insiemi numerici. Per esempio, se a ogni numero naturale si associa il doppio di tale numero, si ha una funzione, il cui dominio è dato dai naturali e il cui codominio è costituito dai naturali pari.
Tuttavia si parla di funzione anche quando il dominio o il codominio, o entrambi, non sono insiemi numerici. Se, per esempio, a ogni triangolo del piano si associa il cerchio in esso inscritto, si ha ugualmente una funzione, in quanto per ogni triangolo esiste uno e un solo cerchio in esso inscritto.
Inoltre spesso si parla di funzioni con più argomenti, o con più valori: per esempio la funzione che alle coordinate formula_11 di un punto nello spazio fa corrispondere temperatura formula_12 e pressione formula_13 dell'aria. In tal caso, la funzione ha in realtà sempre un solo argomento, che è la terna formula_14 e ha sempre un solo valore, che è la coppia formula_15
Dati due insiemi non vuoti formula_1 e formula_2, si chiama funzione da formula_1 in formula_2 una relazione formula_5 tale che per ogni formula_21 esiste uno ed un solo elemento formula_22 tale che formula_23. Tale elemento tradizionalmente si denota con formula_6: in altre parole, invece di scrivere formula_23 si può usare la scrittura più tradizionale:
Il fatto che formula_5 sia una funzione da formula_1 in formula_2 che associa a formula_7 l'elemento formula_6 si può esprimere con la scrittura:
L'insieme formula_1 (da cui la funzione formula_5 "prende" i valori) è il dominio della funzione formula_5, mentre l'insieme formula_2 (in cui si trovano i valori "restituiti" dalla funzione formula_5) è il codominio della funzione formula_5.
Le espressioni "prendere un valore" e "restituire un valore" fanno riferimento a un modello meccanico delle funzioni, rappresentate come meccanismi che, fornito loro un elemento del dominio, lo "trasformano" nel corrispondente elemento del codominio. 
Data una funzione formula_5 di dominio formula_1 e codominio formula_41 comunque scelto un elemento formula_7 del dominio, si chiama "immagine" di formula_7 il corrispondente elemento del codominio, indicato con formula_44 Analogamente, se formula_45 è un elemento del codominio che sia immagine di un elemento formula_7 del dominio, cioè se formula_47, si dice che formula_7 è una controimmagine di formula_49 Mentre a ogni elemento del dominio di formula_5 è assegnata una e una sola immagine, è possibile che un elemento nel codominio possegga diverse controimmagini, o che non ne possieda affatto. Si definisce quindi "controimmagine" dell'elemento formula_51 l'insieme
Se formula_53 per ogni formula_54 si dice che formula_5 è "suriettiva", mentre se formula_56 contiene al più un elemento per ogni formula_45 si dice che formula_5 è "iniettiva". Se valgono entrambe le condizioni, formula_5 è detta "biiettiva" o "biunivoca".
L'insieme
degli elementi formula_45 del codominio per i quali esiste almeno un formula_7 nel dominio che ha formula_45 come immagine è detto "immagine" di formula_5 e si denota con formula_65 o con formula_66.
Per il valore di una funzione formula_67 corrispondente a un elemento formula_7, denotabile con la notazione tradizionale formula_69, vengono usate anche altre due scritture.
Per quella che chiamiamo notazione a funzione prefissa si pone
Per quella che chiamiamo notazione a funzione suffissale si pone
A volte al posto delle parentesi tonde si usano parentesi quadrate:
In questo modo si evitano confusioni con le parentesi che indicano l'ordine delle operazioni. Questa notazione è usata da alcuni programmi di calcolo simbolico.
Nelle funzioni di due variabili si usa talvolta la notazione infissa, ossia
ad esempio, nelle usuali operazioni di addizione e sottrazione si usa scrivere formula_74 e formula_75 invece di formula_76 e formula_77
Data una funzione formula_78 e un insieme formula_1 tale che formula_80, si dice che la funzione formula_81 è un'"estensione di f all'insieme formula_1" se
dove formula_84 è l'inclusione di formula_85 in formula_1, data da formula_87. Si dice viceversa che "formula_5 è la restrizione di "formula_89" all'insieme formula_85".
La restrizione di una funzione formula_5 a un insieme formula_85 contenuto nel suo dominio è abitualmente indicata con formula_93.
Quando il dominio di una funzione formula_5 è il prodotto cartesiano di due o più insiemi, e dunque la funzione agisce su formula_95-uple di elementi di insiemi, allora l'immagine del vettore di questi elementi formula_96 viene indicata con la notazione
In questo caso la funzione viene anche chiamata funzione di vettore. A tal proposito in fisica si parla di campo.
Per esempio, si consideri la funzione di moltiplicazione che associa un vettore di due numeri naturali formula_7 e formula_45 al loro prodotto: formula_100. Questa funzione può essere definita formalmente come avente per dominio formula_101, l'insieme di tutte le coppie di numeri naturali; si noti inoltre che in questo caso la funzione è simmetrica rispetto alle componenti del vettore: formula_102 e quindi si tratta di una funzione di un insieme formula_103 in cui non importa cioè l'ordine degli elementi. Sono inoltre possibili anche altri raggruppamenti delle variabili: per esempio risulta estremamente importante nello studio dei sistemi di equazioni differenziali la teoria della funzione di matrice:
Molte operazioni binarie dell'aritmetica, come l'addizione e la moltiplicazione, sono funzioni dal prodotto cartesiano formula_105 a valori in formula_106, e vengono descritte tramite la notazione infissa: si scrive cioè formula_107 (e non formula_108) per descrivere l'immagine della coppia formula_109 tramite l'operazione formula_110.
Questa notazione è stata generalizzata dall'algebra moderna, per definire strutture algebriche come ad esempio quella di gruppo, come un insieme formula_111 dotato di alcune operazioni binarie aventi determinate proprietà.
Se il "codominio" di una funzione formula_112 è il prodotto cartesiano di due o più insiemi, questa può essere indicata come funzione vettoriale. Tali variabili spesso vengono aggregate in un vettore; a tal proposito in fisica si parla di campo vettoriale.
Un esempio tipico è dato da una trasformazione lineare del piano, ad esempio:
Una funzione è invece detta polidroma nel caso in cui esista almeno un elemento del dominio cui corrisponde più di un elemento del codominio. In effetti tali funzioni non rientrano nella definizione data inizialmente, ma in alcuni campi (ad esempio in analisi complessa) essa viene estesa proprio in questo senso. Un esempio di funzione polidroma è la radice quadrata di un numero reale positivo, che può essere descritta come una funzione
che associa a ogni numero reale positivo l'insieme delle sue due radici quadrate. Un esempio analogo è il logaritmo definito sull'insieme dei numeri complessi.
Nella matematica e sostanzialmente in tutte le sue applicazioni si incontrano numerosi tipi di funzioni, che si presentano anche con caratteristiche molto diverse, e che vengono classificate seguendo diversi criteri.
Data una funzione formula_6 di variabile reale a valori reali e una costante formula_116, su di essa sono applicabili le operazioni aritmetiche elementari ovvero somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza, radice "n"-esima ovvero:
se formula_120 si ha anche
se formula_122 si ha anche
e se formula_124 intero maggiore di 1, e se formula_124 pari si deve avere anche formula_126, si ha anche
Date due funzioni formula_6 e formula_129 di variabile reale a valori reali sono applicabili le operazioni aritmetiche elementari di cui sopra ovvero:
se formula_133 si ha anche
se formula_122 (o formula_126 nel caso in cui formula_137) si ha anche 
Date due funzioni formula_5 : formula_1 → formula_2 e formula_142 : formula_2 → formula_144 si può definire la loro composizione: questa è definita applicando prima formula_5 ad formula_7 e quindi applicando formula_142 al risultato formula_6.
Questa nuova funzione viene denotata con formula_149 Riconducendoci alla notazione tradizionale con le due notazioni il risultato della precedente composizione applicato all'elemento x del dominio si può scrivere
Data una funzione formula_6 di variabile reale a valori reali e una costante formula_152:
Data una funzione formula_6 di variabile reale a valori reali:


In matematica, la radice quadrata o radice con indice 2 di un numero formula_1 è un numero formula_2 tale che il suo quadrato sia formula_1, ovvero tale che formula_4. Ogni numero reale non negativo ha un'unica radice quadrata non negativa, chiamata radice quadrata principale, che viene rappresentata simbolicamente come formula_5 o, nella notazione esponenziale, come formula_6. Ogni numero reale maggiore di zero ha due radici quadrate distinte, quella principale e il suo opposto, ovvero formula_5 e formula_8.
Il concetto di radice quadrata può essere esteso ai numeri negativi nell'ambito dei numeri complessi. Più generalmente, il concetto di radice quadrata può essere esteso in qualunque contesto in cui sia ben definita la nozione di quadrato di un elemento.
Quando si sono definiti i numeri reali si può definire radice quadrata principale di un numero reale non negativo formula_9 ogni numero reale non negativo formula_1 tale che
formula_11.
Questo numero formula_1, del quale si dimostrano l'esistenza e l'unicità, si indica con la scrittura formula_13. Si osserva poi che anche l'opposto formula_14 soddisfa la precedente equazione quadratica [*]; inoltre entrambe le soluzioni di tale equazione sono notevoli, in quanto danno i due zeri della parabola di equazione formula_15. È dunque opportuno definire radice quadrata di un numero reale positivo formula_9 quel numero reale positivo formula_1 che soddisfi la [*]. Lo zero reale possiede due radici quadrate coincidenti; ciò lo colloca sullo stesso piano dei numeri reali positivi, sebbene lo zero si possa considerare l'unico limite delle due radici quadrate formula_1 e formula_14 del numero formula_9 al tendere a 0 di questo reale. Perciò, volendo semplificare, si può dire che lo zero reale possiede come radice quadrata solo se stesso.
Restringendo la ricerca della radice quadrata al dominio dei numeri interi positivi, si trova che solo alcuni numeri, detti quadrati perfetti, ammettono per radice quadrata principale un numero intero. Sono quadrati perfetti ad esempio, formula_21 che ha per radice il numero formula_22, e formula_23 che ha per radice formula_24; viceversa molti altri interi positivi, a cominciare da formula_22 e formula_26, non ammettono una radice intera.
Se ampliamo il dominio di ricerca ad includere i numeri razionali positivi, si trova che solo i numeri razionali che sono quadrati perfetti, ovvero che sono dati da frazioni con numeratore e denominatore entrambi quadrati perfetti, ammettono per radice principale un numero razionale positivo: 4/9 ammette per radice 2/3, ma 1/2 o 25/39 non ammettono radici razionali.
Si è quindi trovato che l'insieme dei numeri razionali presenta una limitazione operativa e si è sentita la necessità di ampliare il campo dei razionali ad un campo numerico nel quale si possa trovare una radice quadrata per ogni numero positivo.
Questo ha condotto alla introduzione dei numeri reali: se allarghiamo il dominio a questi numeri, ogni numero reale positivo (che in questo contesto viene chiamato radicando) possiede una radice quadrata dello stesso genere. È possibile dimostrare che un numero che sia la radice quadrata di un numero che non è un quadrato perfetto o una frazione il cui numeratore e denominatore sono ambedue quadrati perfetti è un numero irrazionale, cioè un numero non esprimibile come frazione ma rappresentabile con una scrittura decimale infinita non periodica. Ad esempio è irrazionale la radice quadrata di formula_22; in più, l'insieme di tutti gli interi positivi non quadrati perfetti è un sottoinsieme numerabile dei numeri reali, come pure quello dei razionali, mentre l'insieme degli irrazionali è non numerabile.
Si osserva poi che nessun numero reale negativo possiede una radice quadrata reale e questo ha contribuito (vedi anche Rafael Bombelli) all'introduzione dei numeri complessi. Quando si estende a queste entità la ricerca di radici quadrate, si trova che ogni numero complesso ammette due radici quadrate complesse, l'una essendo il numero opposto dell'altra. Particolarmente importanti sono le radici quadrate di formula_28 indicate con formula_29, detta unità immaginaria, e con formula_30. In generale si trova che il numero espresso in forma polare come
possiede due radici complesse date da
Per esprimere questi numeri complessi può essere conveniente estendere agli argomenti complessi la nozione di radice quadrata principale e la relativa notazione
in modo da poter dire ancora che le radici del numero complesso formula_9 sono
formula_35.
Le radici del numero complesso formula_36 coincidono con lo stesso formula_36 e a tale radice si attribuisce molteplicità formula_22.
La funzione radice quadrata principale ha una grande utilità, perché pone in corrispondenza l'insieme dei numeri reali non negativi formula_39 con se stesso; si individua scrivendo formula_5 o anche formula_41. Più precisamente questa endofunzione entro formula_42 è una biiezione crescente e continua.
L'equazione formula_43 ha solo due soluzioni, formula_36 e formula_45. In altre parole la funzione radice quadrata principale è una permutazione (cioè una endofunzione biiettiva) di formula_46 avente formula_47 come insieme dei punti fissi.
Per ogni due numeri reali positivi formula_1 e formula_2 si trovano subito le identità
Queste uguaglianze sono in sintonia con il fatto che la funzione radice quadrata fa corrispondere all'area di un quadrato la lunghezza del suo lato. Esse inoltre per formula_51 diventano
Queste uguaglianze implicano che per tabulare nella notazione decimale i valori assunti dalla funzione radice quadrata principale è sufficiente conoscere i suoi valori nell'intervallo formula_53.
Per ogni numero reale formula_1 si trova che
Si supponga che formula_1 e formula_57 siano reali e che formula_58, e che si voglia ottenere la formula_1. Un errore comune consiste nell'estrarre la radice quadrata e dedurre che formula_60. Questo non è lecito, in quanto la radice quadrata principale di formula_61 non è formula_1, ma il valore assoluto formula_63, come dice l'uguaglianza precedente. Non commettendo questo errore si potrebbe concludere che formula_64, o equivalentemente formula_65.
L'uguaglianza che segue è utile in molti passi del calcolo infinitesimale, ad esempio per dimostrare che la funzione radice quadrata è continua e differenziabile, o per calcolare certi limiti:
valida per tutte le coppie di interi non negativi formula_1 e formula_2 che non sono entrambi zero.
La funzione formula_69 ha il seguente grafico, ottenibile da una metà di parabola avente come asse l'asse delle formula_1.
Questa funzione, continua per tutti gli formula_1 non negativi, è differenziabile per tutti gli formula_1 positivi, ma non è differenziabile per formula_73, poiché la pendenza della tangente nel corrispondente punto tende a formula_74).
La derivata della funzione è data da
La serie di Taylor di formula_76 in un intorno di formula_73 si può ottenere servendosi del teorema binomiale:
per formula_79.
Il problema dell'estrazione della radice quadrata può porsi anche in un generico anello e in altre strutture di genere algebrico nelle quali si definisce un prodotto.
In particolare si definisce radice quadrata di una matrice quadrata formula_80 su un campo ogni matrice formula_81 con lo stesso dominio tale che sia formula_82. Nel caso delle matrici formula_83 la ricerca della matrice radice quadrata si riconduce alla soluzione di un sistema di quattro equazioni di secondo grado in quattro incognite. Infatti l'equazione nelle incognite formula_84, formula_85, formula_1 e formula_2
equivale al sistema
In particolare una matrice diagonale formula_83 a valori reali
con formula_57 e formula_93 positivi possiede le quattro le radici quadrate date dall'espressione
Si può definire anche la radice quadrata di un linguaggio formale, in relazione al prodotto di giustapposizione, prodotto non commutativo e associativo. Ad esempio, se formula_57 è un carattere, il linguaggio formula_96 possiede come unica radice quadrata il linguaggio formula_97 e il linguaggio formula_98 possiede come unica radice quadrata il linguaggio formula_99; ogni linguaggio finito con più di una stringa non possiede invece alcuna radice quadrata.
