
, un intervallo è un sottoinsieme dei numeri reali formato da tutti i punti della retta reale che sono compresi tra due estremi formula_1 e formula_2. Gli estremi possono (ma non devono necessariamente) appartenere all'intervallo e possono essere infiniti.
Formalmente, un sottoinsieme formula_3 dei numeri reali formula_4 o di un altro insieme ordinato è un intervallo se per ogni coppia di elementi formula_5 e formula_6 di formula_3, ogni altro elemento formula_8 tale che formula_9 sta anch'esso in formula_3. In formula_4 gli intervalli corrispondono agli insiemi convessi.
Gli intervalli di formula_4 sono quindi gli insiemi seguenti (dove formula_1 e formula_2 sono due numeri reali tali che formula_15 (intervallo chiuso)
I punti formula_1 e formula_2 sono gli estremi dell'intervallo. Quindi una parentesi quadra formula_24 formula_25 indica che l'estremo appartiene all'intervallo, mentre una parentesi tonda formula_26 formula_27 indica che non vi appartiene. Una notazione alternativa usa formula_25 e formula_24 rispettivamente al posto di formula_26 e formula_27. Entrambe le notazioni fanno parte dello standard ISO 31-11 e del successivo ISO 80000-2 come equivalenti sebbene la notazione che prevede l'utilizzo delle parentesi tonde per indicare gli intervalli aperti sia in assoluto la più utilizzata.
I primi quattro intervalli hanno lunghezza formula_32, i cinque seguenti hanno lunghezza infinita, il punto e l'insieme vuoto hanno lunghezza formula_33.
L'intervallo unitario è l'intervallo chiuso formula_34.
Raramente, il simbolo ÷, chiamato obelo, viene usato in Italia per indicare un intervallo numerico. Ad esempio 3 ÷ 7 vuol dire 'da tre a sette', estremi compresi.


l concetto di insieme aperto si trova in matematica in molti ambiti e con diversi gradi di generalità. Intuitivamente, un insieme è aperto se è possibile spostarsi sufficientemente poco in ogni direzione a partire da ogni punto dell'insieme senza uscire dall'insieme stesso. In realtà, seguendo le definizioni generali ci si può allontanare abbastanza da questa idea intuitiva; attraverso la definizione di insieme aperto si possono definire concetti come "vicino", "lontano", "attaccato", "separato"; definizioni non intuitive di insiemi aperti corrisponderanno a situazioni matematiche in cui questi concetti vengono utilizzati in modo non intuitivo.
La topologia è l'ambito più generale in cui si incontrano gli insiemi aperti; in questo contesto il concetto di insieme aperto viene considerato fondamentale; preso un insieme X, se una qualunque collezione T di sottoinsiemi di X soddisfa le proprietà riportate sotto, X diventa uno spazio topologico, T viene chiamata topologia di X e gli insiemi di T, per definizione, i suoi aperti.
Perché la collezione T sia una topologia deve valere:
Lo spazio topologico viene indicato specificando la coppia (X,T). È da notare che se si considera uno stesso insieme X con due diverse topologie T e T', si hanno due spazi topologici diversi; tuttavia in molti casi, in cui la struttura topologica emerge in modo "naturale", indicare l'insieme è sufficiente per individuare lo spazio topologico.
In uno spazio metrico formula_1, un sottoinsieme formula_2 di formula_3 si dice aperto se, per ogni formula_4, esiste un numero reale formula_5 tale che i punti che distano da formula_6 per meno di formula_7 appartengono ancora a formula_2. Formalmente: se formula_9, allora formula_10. Gli aperti metrici così definiti costituiscono una topologia di formula_3 secondo la definizione precedente: in questo modo ogni spazio metrico è dotato in modo naturale di una struttura di spazio topologico, e tutti gli aperti metrici possono essere considerati aperti topologici ("ma non viceversa").
Lo spazio euclideo formula_12 è un particolare spazio metrico. Un insieme aperto formula_2 dello spazio euclideo è un insieme tale che per ogni formula_6 di formula_2 esiste una palla di raggio formula_16 centrata in formula_6, interamente contenuta in formula_2.
In particolare, un intervallo in formula_19 è aperto se è del tipo formula_20, dove formula_21 e formula_22 possono anche essere rispettivamente formula_23 e formula_24.
A ogni definizione di insieme aperto corrisponde una definizione di insieme chiuso. In generale, un insieme è chiuso se e solo se è il complementare di un insieme aperto; nell'ambito degli spazi topologici questa è esattamente la proprietà definitoria, negli altri ambiti si danno definizioni a parte e questa proprietà viene provata come un teorema.
