
In matematica, la radice quadrata o radice con indice 2 di un numero formula_1 è un numero formula_2 tale che il suo quadrato sia formula_1, ovvero tale che formula_4. Ogni numero reale non negativo ha un'unica radice quadrata non negativa, chiamata radice quadrata principale, che viene rappresentata simbolicamente come formula_5 o, nella notazione esponenziale, come formula_6. Ogni numero reale maggiore di zero ha due radici quadrate distinte, quella principale e il suo opposto, ovvero formula_5 e formula_8.
Il concetto di radice quadrata può essere esteso ai numeri negativi nell'ambito dei numeri complessi. Più generalmente, il concetto di radice quadrata può essere esteso in qualunque contesto in cui sia ben definita la nozione di quadrato di un elemento.
Quando si sono definiti i numeri reali si può definire radice quadrata principale di un numero reale non negativo formula_9 ogni numero reale non negativo formula_1 tale che
formula_11.
Questo numero formula_1, del quale si dimostrano l'esistenza e l'unicità, si indica con la scrittura formula_13. Si osserva poi che anche l'opposto formula_14 soddisfa la precedente equazione quadratica [*]; inoltre entrambe le soluzioni di tale equazione sono notevoli, in quanto danno i due zeri della parabola di equazione formula_15. È dunque opportuno definire radice quadrata di un numero reale positivo formula_9 quel numero reale positivo formula_1 che soddisfi la [*]. Lo zero reale possiede due radici quadrate coincidenti; ciò lo colloca sullo stesso piano dei numeri reali positivi, sebbene lo zero si possa considerare l'unico limite delle due radici quadrate formula_1 e formula_14 del numero formula_9 al tendere a 0 di questo reale. Perciò, volendo semplificare, si può dire che lo zero reale possiede come radice quadrata solo se stesso.
Restringendo la ricerca della radice quadrata al dominio dei numeri interi positivi, si trova che solo alcuni numeri, detti quadrati perfetti, ammettono per radice quadrata principale un numero intero. Sono quadrati perfetti ad esempio, formula_21 che ha per radice il numero formula_22, e formula_23 che ha per radice formula_24; viceversa molti altri interi positivi, a cominciare da formula_22 e formula_26, non ammettono una radice intera.
Se ampliamo il dominio di ricerca ad includere i numeri razionali positivi, si trova che solo i numeri razionali che sono quadrati perfetti, ovvero che sono dati da frazioni con numeratore e denominatore entrambi quadrati perfetti, ammettono per radice principale un numero razionale positivo: 4/9 ammette per radice 2/3, ma 1/2 o 25/39 non ammettono radici razionali.
Si è quindi trovato che l'insieme dei numeri razionali presenta una limitazione operativa e si è sentita la necessità di ampliare il campo dei razionali ad un campo numerico nel quale si possa trovare una radice quadrata per ogni numero positivo.
Questo ha condotto alla introduzione dei numeri reali: se allarghiamo il dominio a questi numeri, ogni numero reale positivo (che in questo contesto viene chiamato radicando) possiede una radice quadrata dello stesso genere. È possibile dimostrare che un numero che sia la radice quadrata di un numero che non è un quadrato perfetto o una frazione il cui numeratore e denominatore sono ambedue quadrati perfetti è un numero irrazionale, cioè un numero non esprimibile come frazione ma rappresentabile con una scrittura decimale infinita non periodica. Ad esempio è irrazionale la radice quadrata di formula_22; in più, l'insieme di tutti gli interi positivi non quadrati perfetti è un sottoinsieme numerabile dei numeri reali, come pure quello dei razionali, mentre l'insieme degli irrazionali è non numerabile.
Si osserva poi che nessun numero reale negativo possiede una radice quadrata reale e questo ha contribuito (vedi anche Rafael Bombelli) all'introduzione dei numeri complessi. Quando si estende a queste entità la ricerca di radici quadrate, si trova che ogni numero complesso ammette due radici quadrate complesse, l'una essendo il numero opposto dell'altra. Particolarmente importanti sono le radici quadrate di formula_28 indicate con formula_29, detta unità immaginaria, e con formula_30. In generale si trova che il numero espresso in forma polare come
possiede due radici complesse date da
Per esprimere questi numeri complessi può essere conveniente estendere agli argomenti complessi la nozione di radice quadrata principale e la relativa notazione
in modo da poter dire ancora che le radici del numero complesso formula_9 sono
formula_35.
Le radici del numero complesso formula_36 coincidono con lo stesso formula_36 e a tale radice si attribuisce molteplicità formula_22.
La funzione radice quadrata principale ha una grande utilità, perché pone in corrispondenza l'insieme dei numeri reali non negativi formula_39 con se stesso; si individua scrivendo formula_5 o anche formula_41. Più precisamente questa endofunzione entro formula_42 è una biiezione crescente e continua.
L'equazione formula_43 ha solo due soluzioni, formula_36 e formula_45. In altre parole la funzione radice quadrata principale è una permutazione (cioè una endofunzione biiettiva) di formula_46 avente formula_47 come insieme dei punti fissi.
Per ogni due numeri reali positivi formula_1 e formula_2 si trovano subito le identità
Queste uguaglianze sono in sintonia con il fatto che la funzione radice quadrata fa corrispondere all'area di un quadrato la lunghezza del suo lato. Esse inoltre per formula_51 diventano
Queste uguaglianze implicano che per tabulare nella notazione decimale i valori assunti dalla funzione radice quadrata principale è sufficiente conoscere i suoi valori nell'intervallo formula_53.
Per ogni numero reale formula_1 si trova che
Si supponga che formula_1 e formula_57 siano reali e che formula_58, e che si voglia ottenere la formula_1. Un errore comune consiste nell'estrarre la radice quadrata e dedurre che formula_60. Questo non è lecito, in quanto la radice quadrata principale di formula_61 non è formula_1, ma il valore assoluto formula_63, come dice l'uguaglianza precedente. Non commettendo questo errore si potrebbe concludere che formula_64, o equivalentemente formula_65.
L'uguaglianza che segue è utile in molti passi del calcolo infinitesimale, ad esempio per dimostrare che la funzione radice quadrata è continua e differenziabile, o per calcolare certi limiti:
valida per tutte le coppie di interi non negativi formula_1 e formula_2 che non sono entrambi zero.
La funzione formula_69 ha il seguente grafico, ottenibile da una metà di parabola avente come asse l'asse delle formula_1.
Questa funzione, continua per tutti gli formula_1 non negativi, è differenziabile per tutti gli formula_1 positivi, ma non è differenziabile per formula_73, poiché la pendenza della tangente nel corrispondente punto tende a formula_74).
La derivata della funzione è data da
La serie di Taylor di formula_76 in un intorno di formula_73 si può ottenere servendosi del teorema binomiale:
per formula_79.
Il problema dell'estrazione della radice quadrata può porsi anche in un generico anello e in altre strutture di genere algebrico nelle quali si definisce un prodotto.
In particolare si definisce radice quadrata di una matrice quadrata formula_80 su un campo ogni matrice formula_81 con lo stesso dominio tale che sia formula_82. Nel caso delle matrici formula_83 la ricerca della matrice radice quadrata si riconduce alla soluzione di un sistema di quattro equazioni di secondo grado in quattro incognite. Infatti l'equazione nelle incognite formula_84, formula_85, formula_1 e formula_2
equivale al sistema
In particolare una matrice diagonale formula_83 a valori reali
con formula_57 e formula_93 positivi possiede le quattro le radici quadrate date dall'espressione
Si può definire anche la radice quadrata di un linguaggio formale, in relazione al prodotto di giustapposizione, prodotto non commutativo e associativo. Ad esempio, se formula_57 è un carattere, il linguaggio formula_96 possiede come unica radice quadrata il linguaggio formula_97 e il linguaggio formula_98 possiede come unica radice quadrata il linguaggio formula_99; ogni linguaggio finito con più di una stringa non possiede invece alcuna radice quadrata.


In matematica, un numero è un modo di esprimere una quantità, oppure la posizione in un elenco di elementi, oppure il rapporto tra grandezze dello stesso tipo. Il concetto di numero nasce per la necessità del conteggio, come astrazione del concetto di quantità, realizzato attraverso una corrispondenza biunivoca tra elementi di due insiemi distinti.
Si definisce operazione numerica una procedura che, a partire da uno o più numeri, genera un altro numero. Le operazioni numeriche fondamentali (dette anche "operazioni aritmetiche") sono: l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione. Lo studio delle proprietà di queste operazioni è parte dell'algebra elementare.
Un insieme di numeri è frequentemente espresso attraverso il concetto di campo.
Un numero che esprime la dimensione di un insieme di elementi, così come un numero che identifica la posizione in una successione di oggetti, è detto numero naturale. La necessità di esprimere una grandezza in relazione ad un'altra grandezza ha reso necessaria l'introduzione di altre classi di numeri, come i numeri razionali ed i numeri reali. L'esigenza di rappresentare il numero ottenuto attraverso un'operazione matematica, infine, ha giustificato l'utilizzo di ulteriori classi di numeri come, ad esempio, i numeri algebrici.
Durante la storia della matematica sono stati definiti diversi insiemi numerici. Tra questi i numeri naturali, che sono:
I numeri naturali (il cui insieme è indicato per convenzione con il simbolo formula_1) sono usati per contare e per ordinare. La presenza dello zero fra i numeri naturali dipende dalla convenzione scelta. Lo zero è previsto dagli assiomi di Peano.
L'insieme dei numeri naturali costituisce una successione ordinata. Ogni numero è descritto tramite una o più cifre.
Se a partire dall'insieme dei numeri naturali si introduce il segno (e lo zero se non incluso), distinguendo tra "numeri positivi" e "numeri negativi", si ottengono i numeri interi relativi (o semplicemente "interi"), il cui insieme è indicato per convenzione con il simbolo formula_4. I numeri interi relativi sono:
Se a partire dai numeri interi si costruiscono numeri dati dal rapporto tra di loro, si ottengono i numeri razionali, i quali sono quindi esprimibili tramite una frazione ("ratio" in latino, da cui il nome di numeri "razionali"). Ad esempio:
L'insieme di tutti i numeri razionali è per convenzione indicato col simbolo formula_7.
I numeri algebrici sono numeri ottenibili come radici di equazioni algebriche a coefficienti interi. I numeri razionali sono algebrici. Il viceversa non è in generale vero: ad esempio:
sono numeri algebrici che non possono essere descritti tramite una frazione, non sono razionali.
Un numero non algebrico è detto "trascendente". Ad esempio, formula_11 (pi greco) ed formula_12 sono trascendenti: non è possibile ottenere formula_13 come radice di un'equazione polinomiale a coefficienti interi.
L'insieme dei numeri reali comprende i numeri esprimibili, con o senza la virgola, tramite il sistema numerico decimale. I numeri reali comprendono i numeri elencati precedentemente. In particolare i numeri reali si dividono in razionali e irrazionali, oppure in algebrici e trascendenti.
L'insieme dei numeri reali è simboleggiato per convenzione con formula_14.
L'insieme dei numeri reali non fornisce tutte le soluzioni delle equazioni algebriche. Per esempio, l'equazione:
non ha soluzioni nel campo dei numeri reali, perché il quadrato di un numero reale è sempre positivo o nullo. Per risolvere questo problema, è stata introdotta l'unità immaginaria formula_18 . Essa è così definita:
Tale numero non appartiene all'insieme dei numeri reali, esso appartiene all'insieme dei numeri complessi. In generale, un numero complesso è un'espressione del tipo:
dove formula_21 è l'unità immaginaria e formula_22 sono numeri reali. L'insieme dei numeri complessi è indicato per convenzione con il simbolo formula_16.
Gli insiemi numerici sono ciascuno sottoinsieme dell'altro, secondo quest'ordine (dove il simbolo formula_24 indica l'inclusione stretta):
Per particolari scopi, formula_16, può essere ulteriormente esteso, al prezzo, però, di perdere alcune proprietà e, di conseguenza, subire un declassamento come struttura algebrica.
I numeri complessi sono stati estesi e hanno dato luogo ai quaternioni. L'operazione di moltiplicazione dei quaternioni non gode della proprietà commutativa.
Gli ottonioni estendono i quaternioni. Questa volta si perde la proprietà associativa. Gli unici sistemi associativi con dimensione finita, oltre ai complessi, sono i quaternioni.
Estendendo gli ottonioni si ottengono i sedenioni, che perdono la proprietà dell'algebra alternativa, ma mantengono comunque la proprietà associativa della potenza.
I numeri vanno distinti per il tramite dei nomi, dato che i numeri sono dei concetti e anche se i nomi utilizzati nelle varie lingue variano i concetti rimangono gli stessi. La notazione di numero come serie di cifre è definita dai sistemi di numerazione. I popoli spesso associano a dei numeri utilizzati di frequente dei nomi particolari, oltre a quelli che vengono assegnati dal sistema di numerazione, spesso questi nomi sono utilizzati in contesti specifici, un classico esempio è la dozzina.
Gli ultimi sviluppi della teoria dei numeri hanno condotto ai numeri iperreali ed ai numeri surreali, che estendono i numeri reali dai numeri infinitesimi ai numeri infinitamente grandi attraverso degli inserimenti. Mentre i numeri reali sono infinitamente prolungabili alla destra del punto decimale, si può anche provare a espandere i numeri a sinistra in modo infinito, ciò conduce ai numeri p-adici. Per gestire insiemi infiniti, i numeri naturali sono stati generalizzati nei numeri ordinali e nei numeri cardinali. Il primo insieme viene utilizzato per definire l'ordine di inserimento degli insieme il secondo definisce il formato di inserimento. Nel caso di insiemi finiti si equivalgono.
Le operazioni aritmetiche sui numeri sono addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Queste operazioni sono state generalizzate in una branca dell'algebra chiamata algebra astratta. Essa contiene i concetti di gruppo, anello e campo.
In molte culture la rappresentazione grafica dei numeri è assai simile. I numeri "uno", "due" e "tre" degli antichi romani erano espressi come I, II, III (numeri romani). I cinesi usavano una notazione analoga, con le cifre in orizzontale, o in verticale, ma al contrario dei romani utilizzavano un sistema posizionale, simile al nostro attuale, con le cifre da 0 a 9. I numeri, detti "tsu" o "hêng", cambiavano orientamento a seconda della posizione: | = | era 121, - || - ◦ era 1210. Gli tsu erano verticali, gli hêng orizzontali, i numeri sopra al cinque avevano una bacchetta disposta perpendicolarmente alle altre. Il sistema era impiegato con le "bacchette da calcolo", che i cinesi manovravano a velocità tali da stupire i primi missionari nestoriani.
Tuttavia, non c'era un segno univoco per definire il quattro tra i romani, mentre per i cinesi era ||||. I romani usavano una notazione a sottrazione: esprimevano il quattro con una V preceduta da una I. La V indicava il numero cinque, il simbolo I anteposto indicava che andava sottratto (cinque meno uno = quattro). Nell'assegnare un simbolo particolare al cinque c'era un motivo antropomorfico - la mano ha cinque dita - ma vi era anche una motivazione che coinvolge il cervello umano. Gli psicologi hanno dimostrato che il nostro cervello ha difficoltà a distinguere più di cinque simboli simili vicini: si provi a dire se è più grande ||||||||| o ||||||||||; più semplice se sono scritti come IX e X.
Il sistema adottato in Europa è il sistema di numerazione decimale, detto anche numerazione araba. In realtà proviene dall'India, e molto probabilmente deriva dai numeri corsivi egiziani, i numeri copti. La cifra 1 è molto simile al simbolo romano, 2 e 3 sono varianti dello stesso simbolo che consentono di scrivere i numeri senza alzare la penna e quindi consentono una scrittura rapida, ma conservano l'idea della linea doppia o tripla orizzontale. Col simbolo 4 la corrispondenza si perde.
