
In matematica, un'operazione binaria formula_1 definita su un insieme formula_2 è commutativa se 
per ogni coppia di elementi formula_4 e formula_5 in formula_2. Se questa proprietà non è valida per ogni coppia di elementi, l'operazione è quindi detta non commutativa.
Due elementi formula_4 e formula_5 commutano se formula_9. Quindi l'operazione formula_1 è commutativa se e solo se due elementi di formula_2 commutano sempre.
I più comuni esempi di operazioni binarie commutative sono l'addizione (formula_12) e la moltiplicazione (formula_13), considerate sull'insieme di tutti i numeri reali, o solo sui numeri positivi, naturali o razionali, oppure estese ai numeri complessi; per esempio:
Altre operazioni binarie commutative sono:
Tra le operazioni binarie non commutative tra numeri vi sono la sottrazione (formula_16), la divisione (formula_17) e l'elevamento a potenza (formula_18), definite su insiemi opportuni di numeri reali.
Anche la composizione di funzioni (formula_19) in molti contesti non è commutativa: ad esempio le funzioni reali formula_20 e formula_21 non commutano, in quanto 
Un'altra importante operazione non commutativa è la moltiplicazione fra matrici quadrate. Ad esempio,
Un gruppo è abeliano, o anche "commutativo", se l'operazione che vi è definita è commutativa.
Un anello ha definite due operazioni, chiamate generalmente "somma" e "prodotto" in analogia con i numeri interi. L'operazione di "somma" è sempre commutativa, ma l'operazione "prodotto" no. Un anello è chiamato "abeliano" o "commutativo" se anche la moltiplicazione è commutativa.
Generalmente, le strutture algebriche abeliane sono molto più semplici delle analoghe non abeliane.
Un'operazione è commutativa se e solo se la sua tavola di composizione è simmetrica. Per esempio le tavole di composizione delle operazioni minimo comune multiplo e massimo comun divisore per l'insieme dei numeri interi da 1 a 6 sono
formula_26
e
formula_27


In matematica, la composizione di funzioni è l'applicazione di una funzione al risultato di un'altra funzione.
Più precisamente, una funzione formula_1 tra due insiemi formula_2 e formula_3 trasforma ogni elemento di formula_2 in uno di formula_3: in presenza di un'altra funzione formula_6 che trasforma ogni elemento di formula_3 in un elemento di un altro insieme formula_8, si definisce la composizione di formula_1 e formula_6 come la funzione che trasforma ogni elemento di formula_2 in uno di formula_8 usando prima formula_1 e poi formula_6. Il simbolo Unicode dell'operatore è ∘ (U+2218).
Formalmente, date due funzioni formula_15 e formula_16 definiamo la funzione composta
applicando prima formula_1 ad formula_20 e quindi applicando formula_6 al risultato formula_22.
Ad esempio, supponiamo che l'altezza di un aereo al tempo formula_23 sia data da una funzione formula_24 e che la concentrazione di ossigeno nell'atmosfera all'altezza formula_20 sia data da un'altra funzione formula_26. Allora formula_27 descrive la concentrazione di ossigeno nella posizione in cui sta l'aereo al tempo formula_23.
Per ragioni storiche la composizione è scritta "da destra verso sinistra", in contrasto con la normale lettura "da sinistra a destra" delle lingue europee. Per questo motivo alcuni autori preferiscono usare una notazione invertita, e scrivere formula_29 invece di formula_30.
Per comporre due funzioni è strettamente necessario che il dominio di formula_6 coincida con il codominio di formula_1. In alcuni ambiti, tuttavia, identificando impropriamente due funzioni che hanno la stessa legge di applicazione, ma diversi domini e codomini, si ritiene sufficiente che l'immagine di formula_1 e il dominio di formula_6 abbiano un'intersezione non vuota.
La composizione di funzioni è sempre associativa. In altre parole, se formula_1, formula_6 e formula_37 sono tre funzioni con domini e codomini opportuni, allora formula_38. Per questo motivo si possono omettere le parentesi nella composizione di più funzioni.
La composizione di due funzioni iniettive è iniettiva, e di due funzioni suriettive è suriettiva. Quindi la composizione di due funzioni biettive è biettiva. Ma non vale il viceversa.
L'insieme delle funzioni biettive formula_39, con l'operazione di composizione, è un gruppo. La proprietà associativa è garantita per quanto detto sopra, l'elemento neutro è la funzione identità formula_40 per ogni formula_20) e un inverso esiste sempre perché le funzioni sono biettive.
Questo gruppo è detto anche gruppo delle permutazioni di formula_2.
Se l'insieme formula_2 contiene più di due elementi, tale gruppo non è commutativo: generalmente due funzioni biettive non commutano.
La derivata della funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione "esterna" moltiplicata per la derivata della funzione "interna":
dove le notazioni formula_45 e formula_46 indicano il medesimo significato di derivata.
La formula è valida anche per funzioni di più variabili reali e per funzioni vettoriali. Il teorema di derivazione delle funzioni composte afferma che se:
è un vettore di formula_48 le cui componenti sono funzioni derivabili:
e se formula_1 è una funzione differenziabile in formula_51, allora la funzione composta:
è differenziabile nella variabile formula_23 e si ha:
dove formula_55 è il gradiente di formula_1 e formula_57 è il prodotto scalare euclideo standard.
Infine, se formula_58 e formula_59 sono due funzioni vettoriali differenziabili componibili, allora:
dove formula_61 è la moltiplicazione di matrici e formula_62 è la matrice jacobiana di formula_58.
Una funzione formula_39 (non necessariamente biettiva) può essere composta con sé stessa formula_65 volte, ed il risultato, detto iterata formula_65-esima di formula_1, può essere scritto formula_68 quando non genera ambiguità. Ad esempio con formula_69 si denota comunemente il quadrato del seno di formula_20, cioè formula_71, anziché il valore in formula_20 della composizione del seno con se stesso, cioè formula_73.
Lo studio delle composizioni iterate di una funzione è argomento comune nell'ambito dei sistemi dinamici discreti e in particolare nella definizione dei frattali, che si possono trovare iterando "infinite volte" una funzione.
