
In geometria, il quadrato è un quadrilatero regolare, cioè un poligono con quattro lati e quattro angoli congruenti (tutti retti).
Il quadrato è un caso particolare di rombo (in quanto ha tutti e quattro i lati congruenti) e di rettangolo (in quanto ha quattro angoli congruenti) quindi è un caso particolare di parallelogramma (in quanto ha i lati a due a due paralleli).
Le diagonali di un quadrato sono congruenti e perpendicolari, il loro punto di intersezione le divide a metà e misurano come il lato moltiplicato per la radice quadrata di 2:
Questa formula si dimostra con il teorema di Pitagora. Ciascuna diagonale, infatti, divide il quadrato in due triangoli rettangoli per i quali vale che la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull'ipotenusa (che è la diagonale).
Il perimetro di un quadrato, visto che ha tutti i lati congruenti, misura:
L'area di un quadrato, visto che l'altezza e la base sono congruenti, misura:
ma si può calcolare anche come
Da ciò si deduce che la diagonale di un quadrato di area a è il lato del quadrato con Area 2a.
Il quadrato possiede 4 assi di simmetria: 2 passanti per una coppia di vertici opposti e 2 passanti per una coppia di punti medi dei lati.
Il punto di intersezione delle due diagonali è detto centro del quadrato ed è centro di simmetria di rotazione e di simmetria centrale per il quadrato. L'ordine della simmetria di rotazione del quadrato è 4; in altre parole, il quadrato è invariante per le rotazioni intorno al suo centro relative agli angoli formula_6; naturalmente la rotazione di formula_7 radianti è la simmetria centrale.
Il quadrato formula_8 di lato 2 e centro l'origine può essere descritto in vari modi. Ad esempio:
Il suo bordo è quindi
Questo può essere anche descritto come
Più in generale, l'equazione cartesiana di un quadrato avente centro nell'origine degli assi è: formula_12
Se si considera invece il centro del quadrato nel punto di coordinate formula_13 l'equazione diventa: 
formula_14
da cui:
formula_15
ovvero nella forma più generale possibile:
formula_16
Il cui bordo è quindi:
formula_17
Una dimostrazione costruttiva dell'esistenza del quadrato è data da Euclide nella proposizione 46 del I libro degli Elementi, subito prima di usare questa figura nell'enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora. Nella tradizione didattica moderna l'esistenza dei quadrati è invece in genere data per scontata. Bisogna notare che la dimostrazione euclidea usa indirettamente il V postulato e l'esistenza di quadrati non è garantita nelle geometrie non euclidee.
Ad esempio, in geometria iperbolica non esistono poligoni con quattro lati uguali e quattro angoli retti: la somma degli angoli interni di un quadrilatero iperbolico è infatti sempre strettamente minore di un angolo giro. Esistono comunque "quadrati" nel piano iperbolico se si richiede solamente che i quattro angoli siano congruenti (ma non retti): per ogni numero reale formula_18 strettamente minore di formula_19 esiste infatti un poligono con quattro lati congruenti e quattro angoli congruenti pari a formula_18.
Un quadrato può essere inscritto in una circonferenza con riga e compasso. Qui sotto ne è mostrata un'animazione:


La perpendicolarità è un concetto geometrico che indica la presenza di un angolo retto tra due entità geometriche. Queste possono essere ad esempio due rette in un piano, oppure una retta ed un piano o due piani incidenti nello spazio.
Il significato fondamentale del termine si riferisce alla posizione di due linee rette.
Nel piano due rette si dicono perpendicolari, o equivalentemente ortogonali, se si incontrano formando angoli uguali (che si dicono retti). Due segmenti si dicono perpendicolari se tali sono le rette cui essi appartengono. Nel caso di rette nello spazio, si osservi che se esse sono incidenti esiste un piano (unico) che le contiene entrambe, e quindi si può applicare la definizione precedente considerando gli angoli da esse formati proprio su questo piano. 
Molti teoremi geometrici e trigonometrici riguardano proprietà strettamente collegate alla perpendicolarità.
In un sistema di coordinate cartesiane ortogonali gli assi di riferimento (in tre dimensioni gli assi x, y e z) sono mutuamente perpendicolari. Ogni triangolo rettangolo è definito da due segmenti perpendicolari, i suoi cateti: i cateti di triangoli rettangoli servono a definire le funzioni angolari che sono alla base della trigonometria.
Una retta nel piano cartesiano può essere descritta in vari modi, e per ciascuno di questi esistono delle condizioni per determinare se due rette sono perpendicolari. Ad esempio, due rette descritte nella forma
sono perpendicolari se e solo se
Avendo definito la perpendicolarità fra rette, è facile estendere la definizione ai piani. In particolare, una retta ed un piano incidenti si dicono perpendicolari se la retta è perpendicolare a qualsiasi retta del piano passante per il punto in comune con la retta data.
Affinché la suddetta condizione sia soddisfatta, è sufficiente che la retta data sia perpendicolare a due di queste.
La perpendicolare a tutte le rette appartenenti ad un piano si dice normale al piano.
Due piani nello spazio si dicono perpendicolari se esiste una retta in uno dei due piani perpendicolare all'altro piano.
La nozione di perpendicolarità fra rette e piani può essere estesa a linee e superfici curve, purché per esse siano definiti rette e piani tangenti. In questo caso, ogni punto su una curva planare o superficie ha un vettore perpendicolare, detto normale alla curva o normale alla superficie, che è quello passante per il punto e perpendicolare alla retta o al piano tangenti. Due curve o due superfici si dicono perpendicolari se tali sono le normali in un determinato punto.
La motivazione intuitiva di questa definizione è che, se consideriamo curve e superfici sufficientemente "regolari", esse ci appaiono tanto più simili a una retta o a un piano quanto più le "ingrandiamo", e quindi possiamo approssimarle localmente con questi due enti. La retta tangente in un punto a una curva, ad esempio, è proprio quella retta che approssima meglio, nelle vicinanze di quel punto, la curva stessa.
