
Secondo la definizione moderna della geometria, il raggio di un cerchio o di una sfera è un segmento di retta avente un estremo sulla circonferenza o superficie sferica e l'altro estremo nel centro della figura. Per estensione si definisce raggio di un cerchio o di una sfera anche la lunghezza di un tale segmento. Il raggio misura la metà del diametro.
Più generalmente — in geometria, ingegneria, teoria dei grafi, e in molti altri settori — il raggio di qualcosa (per esempio di un cilindro, di un grafo, o di un componente meccanico) è la distanza dei suoi punti più esterni dal centro o asse.
La definizione di raggio data per i cerchi e per le sfere si lascia estendere naturalmente al caso di iperspazi con più di tre dimensioni. Generalmente, un segmento che congiunge un punto di un'ipersfera al suo centro è un raggio dell'ipersfera.
In una spirale il raggio è una funzione dell'angolo. Tutte le circonferenze sono assimilabili a spirali con raggio costante.
Il raggio formula_1 di un cerchio avente diametro formula_2 è
Il raggio formula_1 di un cerchio avente circonferenza formula_5 è
Il raggio formula_1 di un cerchio avente area formula_8 è
Il raggio formula_1 della circonferenza che attraversa tre punti non collineari formula_11 è dato da
dove formula_13 è l'angolo formula_14 La formula è calcolata utilizzando il teorema dei seni.
Con riferimento alla figura a destra, lo stesso raggio formula_1 può anche essere espresso nel modo seguente:
dove formula_17 indica la lunghezza del segmento di estremi formula_18 e formula_19 mentre formula_20 è l'angolo formula_21
Pertanto, se consideriamo tre punti di coordinate formula_22 e formula_23 il raggio della circonferenza che li attraversa è dato da:
Il raggio medio formula_1 di un'ellisse è definito come il raggio di un cerchio di area (superficie) uguale a quella dell'ellisse.
È uguale alla radice quadrata del prodotto dei due semiassi dell'ellisse:
Si definisce "cerchio principale" di un'ellisse, il cerchio con centro nel centro dell'ellisse e di raggio formula_27 uguale al semiasse maggiore dell'ellisse.
Si definisce "cerchio secondario" di un'ellisse, il cerchio con centro nel centro dell'ellisse e di raggio formula_28 uguale al semiasse minore dell'ellisse.
Il raggio di un poligono regolare è il segmento che unisce il centro a uno dei suoi vertici. Pertanto, la lunghezza di tale segmento è uguale al raggio della circonferenza circoscritta al poligono.
Il raggio formula_1 di un poligono di formula_30 lati di lunghezza formula_31 ciascuno, è dato da:
Il raggio in funzione della lunghezza dell'apotema formula_33, è dato da:
Raccogliendo tutte le costanti (nella prima delle due formule), si può scrivere che il raggio formula_1 del poligono è formula_36, ed è dato da formula_37 con formula_38
Si arriva così alla tabella dei seguenti numeri fissi:
che, noti la lunghezza e il numero di lati, permette di calcolare il raggio del poligono.
Il raggio formula_1 di un ipercubo formula_2-dimensionale e lato formula_31, è:


In matematica, la lunghezza di un arco è un numero reale positivo che misura intuitivamente l"'estensione" di un arco o di una curva.
Benché la definizione di lunghezza di un segmento o di un "cammino poligonale" sia chiara da tempo, una definizione generale soddisfacente di "lunghezza d'arco" è relativamente recente. Questo problema, chiamato anche rettificazione, è stato prima affrontato per curve specifiche, e quindi risolto grazie al calcolo infinitesimale. La definizione risultante, accettata adesso da tutti i matematici, funziona per un insieme molto vasto di curve, dette rettificabili.
Scelto un numero finito di punti lungo la curva e connettendo ogni punto al successivo con un segmento, la somma delle lunghezze dei segmenti è la lunghezza del "cammino poligonale". La lunghezza del segmento sarà definita come la distanza tra i due estremi.
La lunghezza della curva è il più piccolo numero che la lunghezza del cammino poligonale non può superare, ovvero è l'estremo superiore della lunghezza del cammino della poligonale, al variare delle poligonali.
In termini matematici sia formula_1 la curva e formula_2 uno spazio metrico con la distanza "d". Per definire la poligonale bisogna scegliere i punti sulla curva. Sia quindi formula_3 una partizione dell'intervallo formula_4
La lunghezza della poligonale, è:
e la lunghezza della curva è l'estremo superiore di questa quantità al variare della partizione:
Se tale valore non è infinito, la curva si dice rettificabile. Le curve di Peano e di Koch non sono rettificabili. La lunghezza di una curva non dipende dalla sua parametrizzazione.
Se una curva è derivabile con continuità allora è rettificabile: per ogni punto "t" dell'intervallo è definita una velocità e si può dimostrare che la lunghezza definita come sopra è uguale all'integrale di questa velocità su "I" (quando la curva è in forma parametrica):
dove formula_9 è la norma indotta dalla distanza usata nella definizione sopra. Usando la nozione di integrale di linea si può scrivere anche:
A volte è utile conoscere la lunghezza del grafico di una funzione formula_11. In questo caso il grafico si può scrivere come curva formula_12:
Usando la definizione integrale di lunghezza di arco si perviene al risultato (quando la curva è in forma cartesiana):
dove formula_15 è la lunghezza dell'"i"-esima congiungente, data (per teorema di Pitagora) da formula_16, con formula_17. La lunghezza della curva tra "a" e "b" è allora data da
Osservando che, per "N" tendente a infinito, accade che
l'eguaglianza si riduce a
formula_22
Q.E.D.
se la curva bidimensionale è parametrica con x=f(t), y=g(t) la lunghezza dell'arco è:
se la curva è tridimensionale, con x=f(t), y=g(t), z=k(t) la lunghezza dell'arco è:
Durante la storia della matematica, per molto tempo, anche le menti migliori considerarono impossibile calcolare la lunghezza di un arco irregolare. Nonostante Archimede fosse stato pioniere con l'approssimazione rettangolare per trovare l'area sotto una curva con il suo metodo di esaustione, pochi credevano che fosse possibile che le curve avessero una lunghezza definita come le linee diritte. Come spesso avviene nel calcolo i primi risultati furono ottenuti come approssimazioni. Molti iniziarono a inscrivere i poligoni con delle curve e a calcolare la lunghezza dei lati. Usando sempre più lati e usando lati più piccoli, furono in grado di ottenere approssimazioni via via più accurate.
Nel 1600, il metodo d'esaustione consentì di rettificare con metodi geometrici molte curve trascendenti: la spirale logaritmica da parte di Evangelista Torricelli nel 1645 (alcune fonti dicono John Wallis negli anni 1650), la cicloide da parte di Christopher Wren nel 1658, e la catenaria da parte di Gottfried Leibniz nel 1691.
Prima del completo sviluppo del calcolo, le basi per la moderna lunghezza degli archi sotto forma di integrale furono scoperte indipendentemente da Hendrik van Heuraet e Pierre Fermat.
Nel 1659 van Heuraet pubblicò una costruzione mostrando che la lunghezza di un arco poteva essere interpretata come l'area sotto una curva, e lo applicò alla parabola. Nel 1660, Fermat pubblico una teoria più generale che conteneva gli stessi risultati nel suo "De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica".
Partendo dai suoi lavori sulle tangenti, Fermat usò la curva
la cui tangente in "x" = "a" ha pendenza:
quindi la retta tangente ha equazione
Successivamente, incrementò "a" di una piccola quantità a "a" + "ε", facendo diventare il segmento "AC" una buona approssimazione per la lunghezza della curva da "A" a "D". Per trovare la lunghezza del segmento "AC" usò il teorema di Pitagora:
che porta a
Per approssimare la lunghezza, Fermat sommò in una sommatoria di segmenti piccoli. Notare che il risultato moderno è:
