
In geometria, si chiama diagonale il segmento che congiunge due vertici non consecutivi di un poligono o di un poliedro. Le diagonali possono essere interne o esterne al perimetro del poligono o al volume del poliedro, in particolare sono tutte interne se la figura è convessa.
Per sapere quante diagonali partono da un vertice di un poligono di formula_1 vertici si contano tutti i vertici tranne il vertice considerato e i due consecutivi ad esso, in quanto i segmenti ottenuti costituirebbero due lati (e quindi non sarebbero "diagonali" secondo la definizione sopra riportata), quindi si hanno formula_2 diagonali.
Il numero totale delle diagonali di un poligono di formula_1 vertici è dato dalla formula
Si dimentichi per un attimo il poligono e lo si sostituisca con l'insieme degli formula_5 punti corrispettivi dei vertici. Si tracci da ciascun punto le diagonali verso ognuno dei restanti formula_6 (per semplicità ora non si farà distinzioni fra lati e diagonali); si ha quindi che da ogni vertice del poligono partono in totale formula_6 diagonali, se però le si vogliono contare correttamente occorre fare il seguente ragionamento:
Il numero totale delle diagonali è quindi la sommatoria di una progressione aritmetica
da cui però bisogna togliere gli formula_5 lati, che inizialmente sono stati considerati per semplicità delle diagonali, quindi
Come si può verificare dalla formula, il triangolo con i suoi 3 lati è l'unico poligono a non avere diagonali.
Iniziamo dicendo che per formare una diagonale occorrono due vertici. Inoltre il segmento formula_22 e il segmento formula_23 rappresentano la stessa diagonale, quindi l'ordine con cui si prendono i vertici non è importante. Si tratta allora di contare quante configurazioni ordinate posso formare con formula_5 oggetti presi 2 alla volta. Per contare queste configurazioni ci viene in aiuto il calcolo combinatorio, infatti le configurazioni possibili sono le combinazioni semplici di formula_5 oggetti di classe 2
A queste configurazioni vanno poi tolte quelle ottenute prendendo due vertici consecutivi, quindi il numero formula_5 dei vertici del poligono
da cui
formula_29
Provando a tracciare le diagonali di diversi poligoni si ottiene la seguente tabella:
Si osserva che mentre i lati si susseguono linearmente, il numero delle rispettive diagonali aumenta in modo parabolico (per convincersene basta immettere i dati in un piano cartesiano), quindi la formula risolutiva deve essere un'equazione di secondo grado. Per trovarla si impieghi un sistema di 3 equazioni
formula_30
dove formula_31 è il numero dei lati e formula_32 è il numero delle diagonali corrispondenti. Poiché sia formula_31 che formula_32 sono noti (almeno per un numero finito di casi), le incognite sono formula_35. Sostituendo, ad esempio, formula_36 e i corrispondenti valori di formula_32 si ha
formula_38
e risolvendo il sistema si ottiene formula_39.
Quindi la formula risolutiva è formula_40 che sul piano cartesiano assume la forma della conica con formula_41 e formula_42.


In geometria un poligono è una figura geometrica piana delimitata da una linea spezzata chiusa. I segmenti che compongono la spezzata chiusa si chiamano lati del poligono e i punti in comune a due lati consecutivi si dicono vertici del poligono.
La parola "poligono" deriva dal greco πολύς (polys, "molti") e γωνία (gōnia, "angolo").
Una definizione di poligono è la seguente.
Ricordiamo che una linea spezzata è l'insieme finito e totalmente ordinato di segmenti, detti lati, che sono ordinatamente consecutivi e ordinatamente non adiacenti. Una linea spezzata è "chiusa" quando il secondo estremo dell'ultimo segmento coincide con il primo estremo del primo. Una linea spezzata è "semplice" (o "non intrecciata") se due lati non successivi, secondo l'ordinamento assegnato, non si intersecano (a parte il primo e l'ultimo lato che possono avere in comune rispettivamente il primo e il secondo estremo).
Il punto in comune a due lati consecutivi è detto "vertice".
Il fatto che una linea spezzata chiusa non intrecciata delimiti effettivamente una porzione di piano è, per quanto intuitivo, un risultato non banale della geometria piana: si tratta di una conseguenza del teorema della curva di Jordan. 
Una definizione costruttiva è la seguente: un punto formula_1 del piano appartiene al poligono se (con al più un numero finito di eccezioni) tutte le semirette uscenti da formula_1 intersecano la spezzata in un numero finito e dispari di punti distinti.
Una prima classificazione di un poligono riguarda il suo numero di lati (vedi i nomi di poligono).
Un poligono è:
Un poligono semplice è:
In base alla simmetria, un poligono è:
La somma degli angoli interni di un poligono è pari a tanti angoli piatti quanti sono i suoi lati (formula_4), meno due
Ad esempio, il poligono in figura ha cinque lati, e quindi:
La dimostrazione può essere svolta per induzione: in un triangolo la somma degli angoli è formula_3, e preso un qualunque poligono una sua diagonale lo divide in due altri poligoni con un numero minore di lati, per cui si può far valere l'ipotesi induttiva.
La somma degli angoli esterni di un poligono convesso con formula_4 lati è uguale a 
In quanto la somma di tutti gli angoli esterni ed interni è, evidentemente, uguale a formula_4 volte un angolo giro: sottraendo al totale la somma di quelli interni, avremo la somma di quelli esterni.
Con la formula dell'area di Gauss è possibile calcolare l'area di un poligono con formula_4 vertici aventi coordinate cartesiane formula_12 nel modo seguente: 
con la convenzione che formula_14.
Con questa formula possiamo ricavare una superficie di una qualsiasi figura piana attraverso le coordinate dei suoi vertici. È una formula molto utilizzata nella topografia e nella trigonometria.
Distinzione in base al numero di lati e, quindi, di angoli:
