
In geometria il punto è un concetto primitivo. Intuitivamente equivale ad un'entità adimensionale spaziale, per cui può essere considerato semplicemente come una posizione, cioè come una coordinata.
In topologia ed analisi matematica, viene spesso chiamato punto un elemento qualunque di uno spazio topologico e, in particolare, di uno spazio funzionale.
Negli "Elementi" di Euclide, al punto è riservata la prima delle definizioni del I libro, dove si indica che punto è ciò che non ha parti. Il punto è l'ente fondamentale della geometria ed è privo di una qualsiasi dimensione. Tale definizione è di tipo "ostensivo" cioè non ha una valenza logica ma che serve ad indicare ciò di cui ci si vuole occupare.
Con l'assiomatizzazione rigorosa della geometria effettuata da David Hilbert nei Grundlagen der Geometrie il punto, assieme alla retta ed al piano, diventa una delle nozioni primitive della geometria e quindi non è definito. Da notare che sarebbe possibile anche fondare la geometria assumendo come primitiva la nozione di regione e definendo i punti tramite opportune classi di "regioni sempre più piccole". Ricerche in tale direzione, che iniziano con alcune analisi di Alfred North Whitehead, vanno sotto il nome di "Geometria senza punti".
Molti preferiscono dare una definizione di questi tre enti fondamentali della geometria e definiscono il punto l'ente che, pur essendo reale, non ha dimensioni.
Un punto nella geometria euclidea non ha grandezze di alcun tipo (volume, area, lunghezza), e nessuna caratteristica in generale tranne la sua posizione. I postulati di Euclide asseriscono in alcuni casi l'esistenza di punti; un esempio: se due linee in un piano non sono parallele, c'è esattamente un punto che appartiene ad entrambe.
Tre o più punti nello spazio si dicono allineati se sono contenuti in una retta. Quattro o più punti nello spazio si dicono complanari se sono contenuti in un piano.
Nella geometria euclidea il punto è in relazione con gli altri enti geometrici fondamentali, quali la retta e il piano. Ad esempio:
Nella geometria cartesiana del piano e dello spazio euclideo un punto è identificato da un insieme ordinato di coordinate. Quindi un punto nello spazio tridimensionale è rappresentato da una terna ordinata di numeri, ad esempio: formula_1
In generale, un punto in uno spazio euclideo di dimensione formula_2 è una successione di formula_2 numeri. In questo contesto i punti possono essere identificati con i vettori (applicati nell'origine).
Le proprietà elencate sopra possono essere estese ad uno spazio euclideo di dimensione arbitraria nel modo seguente:
Oppure possono essere estese a oggetti "curvi", quali curve e superfici, ad esempio nel modo seguente:


Una terna pitagorica è una terna di numeri naturali formula_1, formula_2, formula_3 tali che formula_4. 
Il nome viene dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica e viceversa.
Se formula_5 è una terna pitagorica, lo è anche formula_6, dove formula_7 è un numero naturale qualsiasi. Il numero formula_7 è quindi un divisore comune dei tre numeri formula_9, formula_10, formula_11. Una terna pitagorica si dice "primitiva" se formula_1, formula_2 e formula_3 non hanno divisori comuni. I triangoli descritti da terne pitagoriche non primitive sono sempre simili a quelli descritti dalla corrispondente terna primitiva.
Esiste una formula capace di generare tutte le terne pitagoriche primitive; tali formule sono citate da Euclide (Ευκλείδης) nei suoi Elementi (τα Στοιχεία):
Le formule di Euclide generano una terna pitagorica primitiva se e solo se formula_16 e formula_17 sono coprimi ed uno di loro è pari e l'altro dispari (se sia formula_17 che formula_16 sono dispari formula_1, formula_2 e formula_3 sono pari, e quindi quella terna pitagorica non può essere primitiva). Tutte le terne primitive si possono ottenere in questo modo da un'unica coppia di numeri coprimi formula_23, mentre le restanti (non primitive) si possono ottenere moltiplicando i termini di una terna primitiva per un opportuno fattore. Le formule così modificate sono quindi in grado di generare tutte le terne possibili, anche se in modo non univoco:
Una conseguenza immediata di queste formule è che le terne pitagoriche sono infinite, in quanto sono infinite le possibili scelte di formula_16 e formula_17.
Inoltre è facile dimostrare che il prodotto di formula_1 per formula_2 (dei due cateti) è sempre divisibile per formula_29, mentre il prodotto formula_30 (di tutti e tre i lati del triangolo pitagorico) è sempre divisibile per formula_31 (formula_32).
Esistono solo 16 terne pitagoriche primitive con formula_33:
Eccone altre:
È interessante notare che ci possono essere più terne pitagoriche primitive con lo stesso intero minore. Il primo esempio è con il 20, che è il più piccolo intero di due terne primitive: 20, 21, 29 e 20, 99, 101.
Al contrario, il numero 1 229 779 565 176 982 820 è l'intero minore in esattamente 15 386 terne primitive; la più piccola e la più grande fra queste sono:
1 229 779 565 176 982 820
1 230 126 649 417 435 981
1 739 416 382 736 996 181
e
1 229 779 565 176 982 820
378 089 444 731 722 233 953 867 379 643 788 099
378 089 444 731 722 233 953 867 379 643 788 101.
Per i curiosi, si consideri la fattorizzazione:
L'ultimo teorema di Fermat afferma che non esistono terne non banali analoghe a quelle pitagoriche ma con esponenti maggiori di formula_35 (cioè che l'equazione formula_36 non ammette soluzioni se formula_37; a parte, come detto, i casi banali in cui almeno uno dei numeri è uguale a zero).
Un legame tra terne pitagoriche e primi gemelli può essere stabilito tramite la derivata aritmetica. Infatti un semiprimo i cui fattori primi siano due primi gemelli può essere espresso come formula_38, la sua derivata aritmetica come formula_39 e formula_40. Questi numeri sono fra loro coprimi e perciò costituiscono una terna pitagorica primitiva.
Ciascun numero naturale maggiore di 2 appartiene almeno a una terna pitagorica e ogni numero primo può appartenere al più a 2 terne (in quest'ultima situazione una volta come cateto e una volta come ipotenusa del triangolo rettangolo cui si riferisce).
