
La sfera (dal greco σφαῖρα, "sphaîra") è il solido geometrico costituito da tutti i punti che sono a distanza minore o uguale a una distanza fissata formula_1, detta "raggio della sfera", da un punto formula_2 detto "centro della sfera".
L'insieme dei punti la cui distanza è eguale a formula_1 è detto "superficie sferica" di centro formula_2 e raggio formula_1.
È detta "semisfera" ciascuna delle metà di un solido sferico diviso in due da un piano passante per il centro o anche ciascuna delle due superfici di una sfera divisa da una sua circonferenza massima.
In geometria cartesiana, una superficie sferica con centro formula_6 e di raggio formula_1 è rappresentata dall'insieme di punti formula_8 tali che
I punti della superficie sferica possono essere parametrizzati in coordinate sferiche nel modo seguente
dove formula_11 e formula_12 rappresentano la latitudine e la longitudine del punto, variando negli intervalli
Ogni punto della superficie sferica è descritto da una sola coppia formula_14 di questo tipo, tranne i poli: la coppia formula_15 descrive sempre il polo nord, e formula_16 sempre il polo sud (per qualsiasi valore di formula_12).
Alternativamente si può utilizzare l'equazione cartesiana della superficie sferica:
con formula_19, formula_20, formula_21, formula_22, numeri reali tali che formula_23. Dall'equazione cartesiana si possono ricavare le coordinate del centro:
L'area della superficie di una sfera di raggio formula_25 è data dall'equazione:
La sfera può essere pensata come un solido di rotazione ottenuto ruotando attorno all'asse formula_27 il grafico della funzione
che rappresenta una semicirconferenza di raggio formula_25. Pertanto, per il primo teorema di Guldino, la superficie laterale è data da:
La superficie totale della sfera si può ottenere, per il primo teorema di Guldino, tramite il seguente integrale:
Il volume della sfera di raggio formula_25 è dato dall'equazione (integrale in formula_33 della superficie):
La dimostrazione di questa formula può essere ottenuta in modo immediato usando il metodo degli indivisibili oppure con gli strumenti nell'analisi matematica.
Si pensi di sommare tutte le aree dei cerchi che si ottengono sezionando la sfera con dei piani orizzontali. Il raggio di questi cerchi varierà con una funzione formula_35 della distanza del piano orizzontale dal centro della sfera e dato che l'area di un cerchio equivale a formula_36 per il raggio al quadrato:
dove formula_38 appunto è la distanza del piano dal centro della sfera.
Raggio alla distanza formula_27
Dunque, dal teorema di Pitagora, formula_35 vale:
che, sostituita nell'equazione del volume, si trova:
Allo stesso modo si può calcolare il volume formula_44 di un segmento di sfera di altezza formula_45
La sfera può anche essere intesa come l'insieme di numerose piramidi infinitesime, tutte con il vertice nel centro della sfera e con i poligoni di base delle piramidi che poggiano sulla superficie della sfera: queste infinite piramidi elementari riempiranno tutto e solo il volume della sfera. Il volume di ogni piramide è:
dal quale si desume il significato della formula per il volume della sfera.
La sfera è la figura tridimensionale con il minimo rapporto superficie/volume: ciò spiega perché a tale forma tendono molti oggetti fisici, dalle gocce di liquido ai corpi celesti. Ad esempio, le bolle sono sferiche perché la tensione superficiale tende a minimizzare l'area a parità di volume.
Il cilindro circoscritto ha un volume che è formula_50 quello della sfera, ed una superficie laterale che è la stessa di quella della sfera. Questo fatto, e le formule scritte sopra, erano già noti ad Archimede.
Con l'aumentare del raggio, il volume della sfera cresce più della superficie. Infatti il rapporto fra queste due quantità è formula_51.
Una sfera può anche essere definita come formata da un semicerchio che ruota intorno al suo diametro. Se si usa una ellisse, si ottiene un ellissoide di rotazione.
Due punti della superficie sferica che stanno sulla stessa retta passante per l'origine sono detti antipodali, e una tale retta è detta "asse", poiché è un asse di simmetria della sfera.
Un cerchio massimo è una circonferenza avente lo stesso centro della sfera, ottenuta quindi intersecando la superficie sferica con un piano passante per l'origine.
Se un punto della superficie sferica è identificato come polo nord, il suo antipodale è il polo sud e l'equatore è il cerchio massimo equidistante dai due poli. I cerchi massimi passanti per i poli sono i meridiani, mentre la linea retta passante per l'origine ed i due poli è l"'asse". Questa terminologia è usata anche per i corpi celesti come la terra, anche se non perfettamente sferici.
La sfera può essere generalizzata in altre dimensioni. Per ogni numero naturale formula_52, una sfera formula_52-dimensionale è l'insieme dei punti nello spazio euclideo formula_54-dimensionale formula_55 che hanno una distanza fissata formula_56 da un certo punto dello spazio.
Ad esempio:
Le sfere di dimensione > 2 sono chiamate anche ipersfere. La sfera formula_52-dimensionale di raggio unitario, centrata nell'origine, viene indicata con formula_61.
Più in generale, in uno spazio metrico formula_62, la sfera di centro formula_27 e raggio formula_56 è l'insieme 
Una sfera in uno spazio metrico può essere un oggetto molto diverso dalla sfera usuale. Ad esempio, può essere vuota: se consideriamo formula_66 con la metrica euclidea, una sfera di raggio formula_1 è vuota se e solo se formula_68 non può essere scritto come somma di formula_52 quadrati.
Dove con formula_1 si intende il raggio della sfera, con formula_45 l'altezza del segmento di sfera o della calotta sferica, con formula_72 l'ampiezza in steradianti della calotta.
Per quanto si sia avvicinato, l'uomo non è ancora riuscito a produrre alcun oggetto dalla sfericità matematicamente perfetta. Finora il miglior risultato è stato raggiunto dall"'Australian Centre for Precision Optics", di Lindfield (Australia). La sfera è stata ottenuta attraverso una levigazione ad altissima precisione di una barra di silicio 28 (un isotopo del silicio) ed è frutto del Progetto Avogadro, che si propone di arrivare alla definizione del chilogrammo perfetto, basata sulla conoscenza dell'esatto numero di atomi che compongono tale sfera. Il suo diametro è di 9,36 centimetri e come uniche imperfezioni presenta una rugosità di 0,3 nanometri e piccole deviazioni di sfericità di circa 60-70 nanometri. In precedenza, il miglior risultato era stato ottenuto dalla NASA, che per la sonda Gravity Probe B, costruita per degli studi gravitazionali in orbita, ha creato dei giroscopi con deviazioni inferiori ai 100 nanometri.
Parmenide paragona l'Essere a una sfera perfetta, sempre uguale a se stessa nello spazio e nel tempo, chiusa e finita (per gli antichi greci il finito era sinonimo di perfezione). La sfera è infatti l'unico solido geometrico che non ha differenze al suo interno, ed è uguale dovunque la si guardi; l'ipotesi collima suggestivamente con la teoria della relatività di Albert Einstein che nel 1900 dirà: «Se prendessimo un binocolo e lo puntassimo nello spazio, vedremmo una linea curva chiusa all'infinito» in tutte le direzioni dello spazio, ovvero, complessivamente, una sfera (per lo scienziato infatti l'universo è finito sebbene illimitato, fatto di uno spazio tondo ripiegato su se stesso).


In geometria una circonferenza è il luogo geometrico di punti del piano equidistanti da un punto fisso detto "centro". La distanza da qualsiasi punto della circonferenza dal centro si definisce raggio.
Le circonferenze sono curve chiuse semplici che dividono il piano in una superficie interna ed una esterna (infinita).
La superficie del piano contenuta in una circonferenza, insieme alla circonferenza stessa, prende il nome di cerchio, per cui: 
Per le altre superfici del piano geometrico, la lingua italiana non distingue l'area e il perimetro con due parole differenti. In inglese, oltre alle corrispondenti "circumference" e "circle", la parola "disk" indica una regione del piano con alcune importanti proprietà, che può essere chiusa, oppure aperta, se "non" contiene il cerchio che essa delimita. Nota la circonferenza di un cerchio, per qualsiasi superficie (chiusa) del piano geometrico si può disegnare una circonferenza inscritta ed una circonferenza circoscritta.
La circonferenza è il caso particolare di una ellisse, in cui i due fuochi coincidono in uno stesso punto, che è il centro della circonferenza: l'ellisse ha due centri (detti fuochi), la circonferenza ha invece un solo centro. Si dice quindi che la circonferenza ha eccentricità nulla. 
Ugualmente, la formula di calcolo per l'area del cerchio è un caso particolare della formula per l'area di un'ellisse.
Mediante il calcolo delle variazioni si dimostra che la circonferenza è la Figura piana che delimita la massima area per unità di perimetro quadrato.
Una circonferenza è inoltre un particolare caso di simmetria centrale, dal momento che tutti i punti della circonferenza sono equidistanti dal centro della stessa.
La formula per trovare la lunghezza della circonferenza è:
oppure:
Dove:
In geometria analitica una circonferenza in un piano può essere descritta utilmente sia mediante le coordinate cartesiane, sia mediante le coordinate polari, sia in forma parametrica.
In un sistema di riferimento cartesiano formula_8, la circonferenza di centro formula_9 e raggio formula_6 è il luogo dei punti caratterizzati dall'equazione:
cioè è l'insieme di tutti e soli i punti che distano formula_6 da formula_9.
All'equazione più generale si dà spesso la forma canonica:
collegata alla precedente dalle seguenti eguaglianze:
Da ciò segue che se formula_21 la circonferenza degenera in un solo punto, formula_22, se formula_23 il luogo geometrico (nel piano cartesiano reale) descritto dall'equazione non è una circonferenza, ma l'insieme vuoto.
Se il centro della circonferenza è l'origine formula_24, l'equazione diventa:
Se la circonferenza passa per l'origine formula_24, formula_27 e l'equazione diventa:
Se la circonferenza ha centro sull'asse x, formula_29 e l'equazione diventa:
Se la circonferenza ha centro sull'asse y, formula_31 e l'equazione diventa:
Nelle coordinate polari formula_33 e formula_34 l'equazione della circonferenza con centro nell'origine e raggio formula_6 è evidentemente data dall'equazione:
Una circonferenza formula_37 il cui centro ha coordinate formula_38 e raggio formula_39 viene descritta con la seguente forma parametrica:
formula_40
Basta usare l'equazione formula_41.
A questo problema sono riconducibili anche i seguenti
Basta ricordare che l'asse di una corda passa sempre per il centro della circonferenza. La procedura risolutiva è la seguente:
Il problema ha tre incognite: i coefficienti formula_42 dell'equazione canonica della circonferenza formula_43.
Si impone il passaggio per i tre punti dati dal problema e si ottiene un sistema lineare in tre equazioni e tre incognite formula_42.
Basta ricordare che la distanza della retta tangente dal centro è pari al raggio della circonferenza stessa. La procedura risolutiva è la seguente:
Basta ricordare che in un sistema di secondo grado (retta-circonferenza) la condizione di tangenza si ha quando il sistema ammette due soluzioni reali e coincidenti, cioè quando l"'equazione associata" di secondo grado al sistema ha formula_45.
Questo problema è risolto ricordando che la retta tangente alla circonferenza è perpendicolare al raggio nel suo punto di tangenza. Quindi, salvo casi particolari in cui la tangente è parallela all'asse y, la procedura risolutiva è la seguente:
Alternativamente è sufficiente usare la "formula di sdoppiamento" della circonferenza, così l'equazione della retta tangente alla circonferenza formula_43 nel punto formula_47 è semplicemente l'equazione
dove formula_49 sono dati.
Nel piano complesso una circonferenza di centro l'origine e raggio formula_39 può essere espressa dall'equazione parametrica
per formula_52.
Per rendersi conto che tale formula descrive una circonferenza è sufficiente considerare le equazioni parametriche descritte sopra e confrontarle con la formula di Eulero.
È possibile descrivere una circonferenza nello spazio come intersezione di una sfera S con un piano formula_4. Per calcolare il raggio di una circonferenza descritta nel seguente modo si può utilizzare il teorema di Pitagora:
formula_57.
La circonferenza
formula_58
è l'intersezione del piano
con la sfera "S" di centro origine e raggio 2.
La distanza del centro della sfera dal piano vale formula_60.
La distanza del centro della sfera dal piano è minore del raggio della sfera. Quindi il piano formula_4 interseca la sfera "S". A questo punto il raggio formula_56 della circonferenza si calcola utilizzando il teorema di Pitagora:
Tutte le circonferenze sono simili; di conseguenza, la circonferenza è proporzionale al raggio:
Una retta che incontra una circonferenza in due punti si chiama secante, mentre una che tocca la circonferenza in un solo punto, chiamato punto di tangenza, si chiama tangente. Il raggio che congiunge il centro della circonferenza con il punto di tangenza è sempre perpendicolare alla tangente. Presi due punti sulla circonferenza, questi dividono la circonferenza in due archi. Se i due archi sono della stessa lunghezza si chiamano semicirconferenze. Il segmento che congiunge due punti sulla circonferenza si chiama corda. La corda di lunghezza massima, che passa per il centro, si chiama diametro, ed equivale al doppio del raggio.
Per due punti passano infinite circonferenze, ed il luogo dei loro centri è l'asse del segmento che congiunge i due punti. La perpendicolare condotta dal centro di una circonferenza a una sua corda la divide a metà. Due corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro. Se da un punto formula_65, esterno a una circonferenza di centro formula_66 si tracciano le rette formula_6 e formula_68 a essa tangenti, i segmenti di tangente compresi tra formula_65 e i punti di contatto con la circonferenza sono congruenti e il segmento formula_70 è bisettrice dell'angolo formula_71 di vertice formula_65.
Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza, il cui centro coincide con l'intersezione degli assi dei segmenti che congiungono i punti. L'equazione della circonferenza passante per i punti formula_73, formula_74, formula_75 si può esprimere nel seguente modo:
dove l'espressione a sinistra è il determinante della matrice.
Date due circonferenze che si intersecano, si definisce asse radicale la retta passante per i due punti in comune ("punti base"). Con semplici calcoli, partendo dall'equazione canonica e indicando con apici i coefficienti della seconda circonferenza, si ottiene che questa retta ha equazione formula_77 ed è perpendicolare alla retta che congiunge i centri delle circonferenze. La definizione si estende facilmente al caso di circonferenze tangenti, chiamando asse radicale la retta tangente alle due circonferenze nel punto comune. Questo concetto può essere ulteriormente generalizzato considerando i fasci di circonferenze. Approccio che, tra l'altro, permette di trattare unitariamente i suddetti casi.
Una "circonferenza topologica" si ottiene considerando un intervallo chiuso sulla retta reale e dotandolo della topologia quoziente che si ha identificando gli estremi.
La circonferenza è dotata di una naturale struttura di varietà differenziabile di dimensione 1, è uno spazio compatto e connesso ma non semplicemente connesso, infatti il suo gruppo fondamentale è il gruppo formula_78 dei numeri interi.
La circonferenza è naturalmente dotata della struttura algebrica di gruppo: possiamo identificare ogni punto della circonferenza con l'angolo che esso forma rispetto ad una semiretta prefissata (in genere l'asse delle ascisse in un sistema di riferimento cartesiano) e definire la "somma" di due punti individuati dagli angoli formula_79 e formula_80 come il punto individuato dall'angolo formula_81. È immediato verificare che la circonferenza dotata di questa operazione verifica le proprietà di un gruppo e che come "gruppo" è isomorfo al gruppo quoziente formula_82.
La circonferenza è un esempio di gruppo di Lie.
