
In geometria si definisce piramide un poliedro individuato da una faccia poligonale chiamata "base" e da un vertice che non giace sul piano della base e che talora viene chiamato "apice della piramide". 
Sono suoi spigoli i lati del poligono di base e i segmenti delimitati dall'apice e da ciascuno dei vertici della base. Sono facce della piramide la sua base e le facce triangolari (chiamate facce laterali) che hanno come vertice il suo apice.
Una piramide avente come base un poligono di formula_1 lati (formula_2) si dice "piramide formula_1-gonale" ed ha formula_4 facce, formula_5 spigoli ed formula_4 vertici.
Si dice altezza di una piramide il segmento che ha una estremità nell'apice e cade ortogonalmente sul piano contenente la base.
Le piramidi possono essere rette: nella base può essere inscritto un cerchio e il piede dell'altezza risiede nel centro di quel cerchio.
In una piramide retta si dice apotema ogni segmento che congiunge perpendicolarmente il suo apice con un suo lato di base, ovvero la loro lunghezza comune. Si dice apotema di base il raggio del cerchio inscritto nel poligono di base.
Una piramide è convessa se e solo se il poligono di base è convesso. Talora viene chiamata piramide obliqua una piramide la cui altezza cade al di fuori del poligono di base (o del suo inviluppo convesso).
Le piramidi più considerate sono quelle che hanno per base un poligono regolare e la cui altezza cade nel centro di tale poligono. Una tale piramide talora viene detta piramide simmetrica(o piramide regolare); essa in effetti ha la simmetria, elevata, del poligono di base. Spesso per piramide si intende, per antonomasia, una piramide simmetrica a base quadrata.
Le uniche piramidi che sono anche poliedri regolari sono i tetraedri che hanno base e facce laterali triangolari e tutte uguali.
Secando una piramide formula_7 con un piano parallelo alla base di formula_7, e conservando la parte compresa tra il piano della base e quello della sezione, si ha la cosiddetta piramide tronca (o tronco di piramide). In questo modo, tra il piano della base e quello della sezione intercorre una corrispondenza biunivoca, detta omotetia.
Le facce laterali della piramide tronca sono dei trapezi.
L'area laterale per le piramidi rette è
dove formula_10 è il perimetro di base e formula_11 è l'apotema della piramide.
L'area totale si calcola come: Area di base + Area laterale.
Il volume di una piramide generica è uguale ad un terzo del prodotto dell'area della base per la misura dell'altezza. Detto formula_12 il volume, formula_13 l'area di base e formula_14 l'altezza, si calcola come:
Cioè il volume della piramide è 1/3 di quello di un prisma con uguale altezza e base. Questa formula costituiva il teorema 7 del libro XII degli "Elementi" di Euclide ed era dimostrata con il metodo di esaustione (oggi diremmo con il calcolo infinitesimale).
È possibile visualizzare una dimostrazione grafica del fatto che una piramide occupa un terzo del volume del prisma che la contiene. La cosa è particolarmente semplice partendo da un cubo e dividendolo in tre piramidi uguali, come si vede nella figura a lato.
Da un vertice del cubo si tracciano le quattro diagonali che uniscono il vertice alle tre facce opposte.
Nel caso della figura, si vede il vertice in alto in primo piano che va a congiungersi con la faccia di fondo, la faccia sul retro e la faccia laterale.
Si formano tre piramidi, ciascuna con base (quadrata) coincidente con una faccia (nascosta) del cubo, con due delle facce laterali (ciascuna coincidente con mezza faccia del cubo) costituite da triangoli rettangoli ortogonali alla base, e con le altre due facce (interne al cubo), delimitate dalle diagonali di faccia e dalla diagonale principale del cubo.
L'altezza di ciascuna piramide coincide con un lato del cubo.
Si vede dunque che le tre piramidi sono esattamente uguali e insieme costituiscono il cubo di partenza.
Quindi hanno un volume pari ad 1/3 di quello del cubo.
Per estendere il risultato ad una piramide di forma qualsiasi, ed anche al volume del cono rispetto al cilindro che lo contiene, si può far ricorso al principio di Cavalieri.


Il triangolo è un poligono con tre lati e tre angoli.
Il triangolo è caratterizzato dalle seguenti proprietà:
Due triangoli sono congruenti se soddisfano almeno uno dei criteri di congruenza.
Due triangoli si dicono simili se soddisfano almeno uno dei criteri di similitudine.
I triangoli possono essere classificati in base alla lunghezza relativa dei lati:
I triangoli possono essere classificati anche in base alle dimensioni del loro angolo interno più ampio; sono descritti di seguito usando i gradi d'arco.
Per i triangoli che non sono rettangoli vale una generalizzazione del teorema di Pitagora nota in trigonometria come teorema di Carnot. 
Si dice triangolo degenere un triangolo che presenta un angolo 
di 180°. Gli altri due angoli hanno necessariamente ampiezza zero, ed un lato misura quanto la somma degli altri due: tale triangolo, come insieme di punti (graficamente), costituisce un segmento.
Si usa il termine "triangolo degenere" anche per una figura ottenuta come limite di un triangolo nel quale alcuni dei suoi vertici vanno all'infinito; tale figura si chiama anche triangolo ideale. Questa costruzione è molto usata in geometria iperbolica.
Un triangolo ideale con un vertice all'infinito risulta essere una striscia delimitata da un segmento e da due semirette che si estendono illimitatamente nella stessa direzione, ciascuna delle quali ha come estremità una di quelle del segmento; in particolare le rette possono essere ortogonali al segmento.
Ad ogni triangolo sono associati vari punti, ciascuno dei quali svolge un ruolo che, per qualche aspetto, lo qualifica come centrale per il triangolo stesso. Definiamo concisamente questi punti riferendoci ad un triangolo formula_1 i cui vertici denotiamo con formula_2, formula_3 e formula_4 e i cui lati opposti denotiamo rispettivamente con formula_5, formula_6 e formula_7.
L'area di un triangolo può essere trovata per via trigonometrica. Usando le lettere della figura a destra, l'altezza formula_55. Sostituendo questo nella formula trovata precedentemente (per via geometrica), formula_56. L'area di un triangolo è quindi anche uguale al semiprodotto di due lati per il seno dell'angolo compreso.
Di conseguenza, per la nota identità formula_57, l'area di un triangolo qualsiasi con i due lati formula_5 e formula_6 e l'angolo compreso formula_60, è uguale all'area del triangolo con gli stessi lati formula_5 e formula_6 ma con angolo compreso supplementare formula_63
L'area di un parallelogramma con due lati adiacenti formula_5 e formula_6 e angolo compreso formula_60 è il doppio di quella del triangolo che ha gli stessi dati, cioè formula_67.
Per risolvere il triangolo, cioè determinare la misura di tutti i lati ed angoli, dati due lati e l'angolo compreso fra di essi, o un lato e i due angoli adiacenti, si usano il teorema dei seni e il teorema del coseno, quest'ultimo meglio noto col nome di Carnot.
L'area formula_2 del triangolo può essere misurata con la formula matematica:
dove formula_6 è la base e formula_71 l'altezza ad essa relativa, perché il triangolo va visto come la metà di un parallelogramma di base formula_6 e altezza formula_71.
Alternativamente l'area del triangolo può essere calcolata con
dove formula_5, formula_6 e formula_7 sono i lati e formula_78 il semiperimetro (Formula di Erone).
Consideriamo un triangolo formula_79 nel piano cartesiano individuato attraverso le coppie di coordinate dei vertici formula_80.
La sua area formula_2 è dato dall'espressione
oppure con un'espressione che non utilizza il concetto di matrice
oppure
dove
e il suo perimetro formula_89 è dato da
Il concetto di triangolo si estende ed è ampiamente usato in tutte le geometrie non euclidee. Un triangolo in una geometria non euclidea si differenzia generalmente per il fatto che la somma dei suoi angoli interni non è 180°: questa somma è inferiore a 180° per ogni triangolo nel caso di una geometria iperbolica, mentre è superiore per ogni triangolo nel caso di una geometria ellittica.
Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due lati e l'angolo tra essi compreso, essi sono congruenti.
Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due angoli e il lato ad essi adiacente, essi sono congruenti.
Se due triangoli hanno rispettivamente congruente i tre lati, essi sono congruenti.
Criterio generale di congruenza dei triangoli
Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti un lato e due angoli qualsiasi, essi sono congruenti.
In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti ad esso.
In un triangolo l'angolo esterno di uno di essi è uguale alla somma degli altri due angoli interni.
In un triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.
Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti, allora sono simili. 
Se due triangoli hanno rispettivamente due lati proporzionali e l'angolo tra essi compreso congruente, allora sono simili. 
Se due triangoli hanno i tre lati rispettivamente proporzionali, allora sono simili.
Criterio generale di similitudine dei triangoli
Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti, essi sono simili.
In un triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa. 
In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. 
In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
