
In matematica, la lunghezza di un arco è un numero reale positivo che misura intuitivamente l"'estensione" di un arco o di una curva.
Benché la definizione di lunghezza di un segmento o di un "cammino poligonale" sia chiara da tempo, una definizione generale soddisfacente di "lunghezza d'arco" è relativamente recente. Questo problema, chiamato anche rettificazione, è stato prima affrontato per curve specifiche, e quindi risolto grazie al calcolo infinitesimale. La definizione risultante, accettata adesso da tutti i matematici, funziona per un insieme molto vasto di curve, dette rettificabili.
Scelto un numero finito di punti lungo la curva e connettendo ogni punto al successivo con un segmento, la somma delle lunghezze dei segmenti è la lunghezza del "cammino poligonale". La lunghezza del segmento sarà definita come la distanza tra i due estremi.
La lunghezza della curva è il più piccolo numero che la lunghezza del cammino poligonale non può superare, ovvero è l'estremo superiore della lunghezza del cammino della poligonale, al variare delle poligonali.
In termini matematici sia formula_1 la curva e formula_2 uno spazio metrico con la distanza "d". Per definire la poligonale bisogna scegliere i punti sulla curva. Sia quindi formula_3 una partizione dell'intervallo formula_4
La lunghezza della poligonale, è:
e la lunghezza della curva è l'estremo superiore di questa quantità al variare della partizione:
Se tale valore non è infinito, la curva si dice rettificabile. Le curve di Peano e di Koch non sono rettificabili. La lunghezza di una curva non dipende dalla sua parametrizzazione.
Se una curva è derivabile con continuità allora è rettificabile: per ogni punto "t" dell'intervallo è definita una velocità e si può dimostrare che la lunghezza definita come sopra è uguale all'integrale di questa velocità su "I" (quando la curva è in forma parametrica):
dove formula_9 è la norma indotta dalla distanza usata nella definizione sopra. Usando la nozione di integrale di linea si può scrivere anche:
A volte è utile conoscere la lunghezza del grafico di una funzione formula_11. In questo caso il grafico si può scrivere come curva formula_12:
Usando la definizione integrale di lunghezza di arco si perviene al risultato (quando la curva è in forma cartesiana):
dove formula_15 è la lunghezza dell'"i"-esima congiungente, data (per teorema di Pitagora) da formula_16, con formula_17. La lunghezza della curva tra "a" e "b" è allora data da
Osservando che, per "N" tendente a infinito, accade che
l'eguaglianza si riduce a
formula_22
Q.E.D.
se la curva bidimensionale è parametrica con x=f(t), y=g(t) la lunghezza dell'arco è:
se la curva è tridimensionale, con x=f(t), y=g(t), z=k(t) la lunghezza dell'arco è:
Durante la storia della matematica, per molto tempo, anche le menti migliori considerarono impossibile calcolare la lunghezza di un arco irregolare. Nonostante Archimede fosse stato pioniere con l'approssimazione rettangolare per trovare l'area sotto una curva con il suo metodo di esaustione, pochi credevano che fosse possibile che le curve avessero una lunghezza definita come le linee diritte. Come spesso avviene nel calcolo i primi risultati furono ottenuti come approssimazioni. Molti iniziarono a inscrivere i poligoni con delle curve e a calcolare la lunghezza dei lati. Usando sempre più lati e usando lati più piccoli, furono in grado di ottenere approssimazioni via via più accurate.
Nel 1600, il metodo d'esaustione consentì di rettificare con metodi geometrici molte curve trascendenti: la spirale logaritmica da parte di Evangelista Torricelli nel 1645 (alcune fonti dicono John Wallis negli anni 1650), la cicloide da parte di Christopher Wren nel 1658, e la catenaria da parte di Gottfried Leibniz nel 1691.
Prima del completo sviluppo del calcolo, le basi per la moderna lunghezza degli archi sotto forma di integrale furono scoperte indipendentemente da Hendrik van Heuraet e Pierre Fermat.
Nel 1659 van Heuraet pubblicò una costruzione mostrando che la lunghezza di un arco poteva essere interpretata come l'area sotto una curva, e lo applicò alla parabola. Nel 1660, Fermat pubblico una teoria più generale che conteneva gli stessi risultati nel suo "De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica".
Partendo dai suoi lavori sulle tangenti, Fermat usò la curva
la cui tangente in "x" = "a" ha pendenza:
quindi la retta tangente ha equazione
Successivamente, incrementò "a" di una piccola quantità a "a" + "ε", facendo diventare il segmento "AC" una buona approssimazione per la lunghezza della curva da "A" a "D". Per trovare la lunghezza del segmento "AC" usò il teorema di Pitagora:
che porta a
Per approssimare la lunghezza, Fermat sommò in una sommatoria di segmenti piccoli. Notare che il risultato moderno è:


Il triangolo rettangolo è un triangolo in cui l'angolo formato da due lati, detti cateti, è retto, ovvero di 90° (o radianti). Il lato opposto all'angolo retto si chiama ipotenusa. L'ipotenusa è per il teorema di Pitagora uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati dei cateti. 
Il triangolo rettangolo rappresenta un caso particolare di triangolo generico, per cui molte relazioni fondamentali si semplificano. Il caso più particolare è quello del triangolo rettangolo isoscele, caso per il quale 
Aggiungendo a un triangolo rettangolo il triangolo ottenuto con la sua riflessione rispetto all'ipotenusa si ottiene un aquilone. Aggiungendogli il triangolo ottenuto sottoponendolo alla rotazione di π intorno al punto medio dell'ipotenusa si ottiene il rettangolo per il quale l'ipotenusa è diagonale principale.
Dal triangolo rettangolo isoscele con entrambe le costruzioni si ottiene il quadrato di lato formula_2.
Ogni similitudine trasforma un triangolo rettangolo in un triangolo rettangolo. Le classi di similitudine dei triangoli rettangoli si possono quindi rappresentare fedelmente con i triangoli rettangoli aventi l'ipotenusa "c" di lunghezza 1 e il vertice opposto appartenente a una delle semicirconferenze aventi come diametro l'ipotenusa. La collezione delle classi di similitudine si può parametrizzare con il rapporto "a"/"b" delle lunghezze dei cateti ovvero con uno dei due angoli non retti, ad esempio con l'angolo formula_15 relativo al vertice "A". Dalla trigonometria segue che:
È chiamato anche Triangolo 90-45 per le ampiezze degli angoli che lo formano, invero è composto da un angolo retto e due angoli da 45°. Per costruzione, il triangolo rettangolo isoscele è la meta di un quadrato ed ha come ipotenusa la diagonale del quadrato e come cateti i suoi lati. Viene frequentemente rappresentato come un triangolo isoscele che ha come base l'ipotenusa. Ingloba le proprietà dei triangoli rettangoli e dei triangoli isosceli infatti, rispettivamente:
Per ciò, la caratteristica principale di questo triangolo è che l'altezza è congruente alla semi ipotenusa, cioè formula_19. Inoltre ha i due cateti uguali e misurano formula_20.
L'ortocentro di un triangolo rettangolo coincide con il vertice dell'angolo retto.
Il circocentro è il punto medio dell'ipotenusa.
Per individuare il baricentro può essere comodo riferire il triangolo ad una coppia di assi cartesiani ortogonali con l'origine nel vertice "C" relativo all'angolo retto, l'asse delle "x" contenente il lato "a" dalla parte delle ascisse positive e l'asse delle "y" contenente il lato "b". Scrivendo in tale riferimento le equazioni di due rette comprendenti due delle mediane e mettendole a sistema per trovarne l'intersezione si calcola che le coordinate del baricentro sono "a"/3 e "b"/3.
