
In geometria, si definisce triangolo isoscele un triangolo che possiede due lati congruenti.
Vale il seguente "teorema": "Un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti". Questo teorema costituisce la quinta proposizione del Libro I degli Elementi di Euclide ed è noto come pons asinorum.
In un triangolo isoscele la bisettrice relativa all'angolo al vertice coincide con la mediana, l'altezza e l'asse relativi alla base. 
Particolari triangoli isosceli sono i triangoli equilateri e i triangoli rettangoli isosceli.
Esistono anche triangoli isosceli acutangoli e ottusangoli. 
I triangoli isosceli rettangoli sono tutti simili tra di loro, come i triangoli equilateri.
Un triangolo isoscele che non sia equilatero è invariante solo per la riflessione rispetto alla bisettrice dell'angolo diverso dai due rimanenti. Il suo gruppo di simmetria, oltre alla trasformazione identità, comprende solo questa riflessione e quindi è isomorfo al gruppo di due elementi, ovvero al gruppo moltiplicativo sull'insieme formula_1.
Teorema 1: Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela agli assi sia isoscele è che abbia i due lati di coefficiente angolare opposto.
Dimostrazione.
Date le tre rette
ne calcoliamo l'intersezione.
Ora calcoliamo la distanza dei segmenti formula_14 e formula_15.
Quindi il triangolo è isoscele sulla base formula_18. In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse formula_19.
Viceversa costruiamo un triangolo isoscele con la base parallela all'asse delle ascisse.
Dati i due punti:
poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo formula_22 e poi formula_23.
Quindi troviamo formula_23, che avrà la stessa ascissa di formula_22 e diversa ordinata.
Verifichiamo che il triangolo è isoscele:
Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:
Teorema 2: Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela alla bisettrice di due quadranti sia isoscele è che abbia i due lati di coefficiente angolare inverso.
Dimostrazione.
Date le tre rette
ne calcoliamo l'intersezione.
Ora calcoliamo la distanza dei segmenti formula_14 e formula_15.
Quindi il triangolo è isoscele sulla base formula_18. In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse formula_19.
Viceversa costruiamo un triangolo isoscele con la base parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante (lo stesso vale per quella parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante).
Dati i due punti:
poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo formula_22 e poi formula_23.
Quindi troviamo formula_23, che si trova sulla retta di equazione formula_58 perpendicolare alla base e passante per formula_22.
dove formula_61 è un numero reale arbitrario diverso da formula_62.
Verifichiamo che il triangolo è isoscele:
Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:


In geometria un poligono è una figura geometrica piana delimitata da una linea spezzata chiusa. I segmenti che compongono la spezzata chiusa si chiamano lati del poligono e i punti in comune a due lati consecutivi si dicono vertici del poligono.
La parola "poligono" deriva dal greco πολύς (polys, "molti") e γωνία (gōnia, "angolo").
Una definizione di poligono è la seguente.
Ricordiamo che una linea spezzata è l'insieme finito e totalmente ordinato di segmenti, detti lati, che sono ordinatamente consecutivi e ordinatamente non adiacenti. Una linea spezzata è "chiusa" quando il secondo estremo dell'ultimo segmento coincide con il primo estremo del primo. Una linea spezzata è "semplice" (o "non intrecciata") se due lati non successivi, secondo l'ordinamento assegnato, non si intersecano (a parte il primo e l'ultimo lato che possono avere in comune rispettivamente il primo e il secondo estremo).
Il punto in comune a due lati consecutivi è detto "vertice".
Il fatto che una linea spezzata chiusa non intrecciata delimiti effettivamente una porzione di piano è, per quanto intuitivo, un risultato non banale della geometria piana: si tratta di una conseguenza del teorema della curva di Jordan. 
Una definizione costruttiva è la seguente: un punto formula_1 del piano appartiene al poligono se (con al più un numero finito di eccezioni) tutte le semirette uscenti da formula_1 intersecano la spezzata in un numero finito e dispari di punti distinti.
Una prima classificazione di un poligono riguarda il suo numero di lati (vedi i nomi di poligono).
Un poligono è:
Un poligono semplice è:
In base alla simmetria, un poligono è:
La somma degli angoli interni di un poligono è pari a tanti angoli piatti quanti sono i suoi lati (formula_4), meno due
Ad esempio, il poligono in figura ha cinque lati, e quindi:
La dimostrazione può essere svolta per induzione: in un triangolo la somma degli angoli è formula_3, e preso un qualunque poligono una sua diagonale lo divide in due altri poligoni con un numero minore di lati, per cui si può far valere l'ipotesi induttiva.
La somma degli angoli esterni di un poligono convesso con formula_4 lati è uguale a 
In quanto la somma di tutti gli angoli esterni ed interni è, evidentemente, uguale a formula_4 volte un angolo giro: sottraendo al totale la somma di quelli interni, avremo la somma di quelli esterni.
Con la formula dell'area di Gauss è possibile calcolare l'area di un poligono con formula_4 vertici aventi coordinate cartesiane formula_12 nel modo seguente: 
con la convenzione che formula_14.
Con questa formula possiamo ricavare una superficie di una qualsiasi figura piana attraverso le coordinate dei suoi vertici. È una formula molto utilizzata nella topografia e nella trigonometria.
Distinzione in base al numero di lati e, quindi, di angoli:
