
Il termine pendenza è usato per indicare il grado di ripidità o di inclinazione di una strada o di un tratto di percorso. La pendenza di una strada è indicata dalla segnaletica verticale con cartelli di pericolo che indicano la pendenza con una percentuale. Il termine pendenza è un termine usato anche in geometria analitica.
La pendenza m in un particolare punto della strada è definita matematicamente come la tangente dell'angolo θ di inclinazione:
La pendenza in percentuale ("m%") si ottiene moltiplicando m per 100:
Se invece si vuole risalire al valore dell'angolo θ a partire dal valore della pendenza "m" o dalla pendenza percentuale "m%", basta applicare le seguenti formule di conversione:
Un valore maggiore della pendenza corrisponde a una maggiore ripidità del tratto di strada. Un tratto orizzontale ha una pendenza che vale 0% (tangente = 0), un tratto di strada in salita che forma un angolo di 45° con l'orizzontale ha una pendenza di 100% (tangente = 1). A un tratto verticale non corrisponde una vera pendenza, visto che il suo valore sarebbe infinito (la funzione tangente ha un asintoto verticale in corrispondenza all'angolo retto).
La stessa definizione di pendenza come tangente trigonometrica di un angolo dovrebbe far comprendere che la pendenza, in quanto funzione trigonometrica, non è una funzione di tipo lineare. In altre parole una strada che ha una pendenza del 10% non è 10 volte meno pendente di una strada con pendenza del 100%: l'angolo di inclinazione di un tratto al 10% è di 5.7°, quello di un tratto al 100% è di 45°.
La pendenza media formula_5 di una strada è definita dal rapporto tra il dislivello Δy tra il punto di partenza e quello di arrivo e la distanza orizzontale Δx:
La distanza orizzontale Δx è la proiezione sull'orizzontale del percorso, non la distanza effettivamente percorsa Δs. Il suddetto rapporto è dunque matematicamente coincidente alla tangente trigonometrica media dell'angolo di incidenza sull'intero percorso, considerando cioè esclusivamente punto di partenza e punto di arrivo.
La pendenza media espressa in percentuale formula_7 si ottiene poi moltiplicando la pendenza media formula_5 per 100:
Un valore maggiore della pendenza corrisponde a una maggiore ripidità del tratto di strada. Una strada che abbia il punto di partenza e di arrivo alla stessa altitudine ha una pendenza dello 0%; aver percorso una strada con una pendenza media del 100% significa essersi spostati in orizzontale della stessa distanza che si è percorso in verticale.
Per pendenze non molto elevate si può anche usare, invece di Δy/Δx, il rapporto Δy/Δs (matematicamente il seno dell'angolo in questione), metodo molto più intuitivo e di facile misurazione rispetto al tradizionale approccio matematico, in quanto più facile da misurare sul terreno: infatti Δs si può ottenere direttamente con un contachilometri; su una mappa invece si misura più facilmente Δx. Per piccoli angoli seno e tangente sono approssimabili tra loro con un errore trascurabile: nella seguente tabella sono mostrati i valori della pendenza calcolati nei due modi e l'errore commesso nell'approssimare Δy/Δx a Δy/Δs:
Poiché le strade molto raramente presentano pendenze superiori al 20%, l'errore commesso nell'approssimare Δy/Δx a Δy/Δs è minore del 2% (e minore dello 0,5% per pendenze inferiori al 10%), quindi agli effetti pratici si può approssimare Δy/Δx a Δy/Δs.
La pendenza massima ammissibile per una strada, così come gli altri elementi geometrici (raggi delle curve, distanze di visibilità, ecc.), è commisurata alla velocità di progetto, che costituisce un valore ideale corrispondente alla velocità più alta che può essere mantenuta con sicurezza, su un determinato tratto stradale, quando le condizioni meteorologiche, di traffico e di ambiente sono così favorevoli che la stessa velocità dei veicoli è limitata solo dalle caratteristiche geometriche della strada.
Per le strade di nuova costruzione le pendenze massime sono stabilite dal d.m. 5 novembre 2001 (Norme funzionali e geometriche per la costruzione delle strade), emanato dal Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti in attuazione dell'art. 13, comma 1, del decreto legislativo 30 aprile 1992, n. 285 (Nuovo codice della strada).
La tabella seguente mostra alcuni valori:
Prima dell'emanazione del d.m. 5 novembre 2001 non esistevano regole cogenti per la costruzione delle strade: ciò spiega perché è frequentissimo che le strade già esistenti alla data del 4 gennaio 2002 (pubblicazione del decreto in Gazzetta Ufficiale) riportino valori di pendenza anche di molto superiori rispetto a quelli stabiliti con il d.m. del 2001.
Sono note ad esempio le pendenze, spesso superiori al 20%, delle strade alpine sulle quali transita il Giro d'Italia, abitualmente aperte anche al traffico automobilistico. 
Le ferrovie hanno le pendenze espresse in "per mille" (‰); una pendenza dell'1‰ corrisponde ad 1 metro di dislivello che viene superato con inclinazione costante su una distanza – anche eventualmente con parti curve – di mille metri (i mille metri sono riferiti alla lunghezza della proiezione del tracciato sul piano orizzontale, non alla lunghezza del tracciato – dei binari – che sarà quindi di estensione superiore).
I limiti massimi – per le ferrovie ad aderenza naturale – variano in base alla loro tipologia; le linee principali e ad alto traffico arrivano a massimo 10-12‰, per le secondarie raramente si arriva al 35‰ ed oltre.
In Italia vi sono casi estremi che arrivano fino al 60‰, ma sono per lo più relativi a ferrovie dismesse (raro esempio in funzione: ramo Perugia Ponte San Giovanni-Perugia Sant'Anna della Ferrovia Centrale Umbra) o a scartamento ridotto (esempio: Ferrovia Domodossola-Locarno).
Riguardo al resto d'Europa, la linea ferroviaria ad aderenza naturale e scartamento normale più ripida è la ferrovia dell'Uetliberg, che arriva al 79‰.
Le ferrovie con aderenza a cremagliera raggiungono anche pendenze fino al 480‰.
La pendenza massima di percorsi per carrozzine è dell'8%, pari a 4,57°.
Per i tetti a falda è consigliata una pendenza tra il 30% e il 40%, corrispondente a circa 16°-22°.
Si ammette come pendenza minima per il deflusso dell'acqua una pendenza del 2%, pari a 1,15°. Per valori inferiori l'acqua non defluisce abbastanza velocemente o non defluisce affatto.


La retta o linea retta è uno dei tre enti geometrici fondamentali della geometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi "Elementi" come un concetto primitivo. Un filo di cotone o di spago ben teso tra due punti è un modello materiale che ci può aiutare a capire cosa sia la retta, un ente geometrico immateriale senza spessore e con una sola dimensione.
La retta è illimitata in entrambe le direzioni, e inoltre contiene infiniti punti, cioè è infinita. Viene generalmente contrassegnata con una lettera minuscola dell'alfabeto latino (solitamente con la "r").
La retta è il secondo ente fondamentale della geometria; geometricamente priva di alcuno spessore ha una sola dimensione: la lunghezza.
Una retta può "giacere" (cioè essere contenuta) nel piano o nello spazio tridimensionale.
Due rette nel piano possono essere:
Due rette nello spazio possono essere:
Date due rette sghembe, per ognuna di esse passa un unico piano parallelo all'altra retta. La distanza tra questi due piani equivale alla distanza tra le due rette.
Una retta nel piano cartesiano è descritta da un'equazione lineare
dove i coefficienti formula_2, formula_3 e formula_4 sono dei numeri reali fissati, con formula_2 e formula_3 non contemporaneamente nulli.
Se formula_7 oppure formula_8, è possibile descrivere la stessa retta in "forma esplicita" rispettivamente in una delle due forme seguenti:
dove formula_11 si chiama "coefficiente angolare" e quantifica la pendenza della retta. Nella prima delle equazioni di cui sopra il termine noto formula_12 rappresenta l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse delle formula_13 ("ordinata all'origine" o "intercetta"), nella seconda il termine noto formula_14 rappresenta l'ascissa del punto di intersezione della retta con l'asse delle formula_15.
Nello spazio euclideo tridimensionale, una retta può essere descritta tramite "equazioni cartesiane" come luogo di intersezione di due piani non paralleli:
In questo caso le soluzioni del sistema dipendono da un solo parametro formula_17 ed è sempre possibile ricavare un insieme di "equazioni parametriche" per la retta:
dove il vettore formula_19 è un vettore parallelo alla retta e il punto formula_20 è un punto appartenente alla retta.
Se formula_21 sono tutti diversi da zero è possibile ricavare le cosiddette "equazioni simmetriche" della retta:
Sia le equazioni cartesiane che le equazioni parametriche della retta non sono univocamente determinate, e sono in effetti infinite.
Nello spazio euclideo formula_23-dimensionale formula_24, una "retta" è un insieme dei punti del tipo
dove formula_26 e formula_27 sono due vettori fissati in formula_24 con formula_27 diverso da zero. Il vettore formula_27 descrive la direzione della retta, mentre formula_26 è un qualsiasi punto della retta. Scelte differenti dei vettori formula_26 e formula_27 possono descrivere la stessa retta.
Questa definizione di retta nello spazio di dimensione formula_23 è una estensione della rappresentazione in "forma esplicita" nel piano descritta sopra. Descrivere invece una retta in "forma implicita" come insieme di vettori che soddisfano delle equazioni lineari è più complicato, perché per il teorema di Rouché-Capelli sono necessarie formula_35 equazioni.
Si definisce come distanza tra due rette formula_36 e formula_37 la distanza minima tra due punti formula_38 e formula_39.
Tale distanza è ovviamente nulla nel caso di due rette che si intersecano. Per esaminare i restanti due casi (rette parallele e sghembe) verrà utilizzata la rappresentazione parametrica, che permette una trattazione unitaria per tutte le dimensioni. Siano dunque date due rette formula_40 e formula_41 di equazioni parametriche rispettivamente:
dove formula_43 e formula_44 sono i loro vettori direzionali e formula_45 e formula_46 i vettori associati al punto formula_47 della retta formula_40 e al punto formula_49 della retta formula_41, relativamente alla terna cartesiana formula_51.
Dato che le rette sono parallele possiamo misurare la distanza a partire da un punto qualsiasi della prima retta. Scegliamo il punto di formula_40 segnato dal vettore formula_45. Ogni punto della retta formula_41 può essere espresso nella forma formula_55. Se chiamo formula_56 il vettore ortogonale a formula_43 che segna la distanza dall'altra retta, allora per le proprietà del prodotto scalare
Ottenuto formula_56 risolvendo la precedente equazione (incognita in formula_60) è sufficiente calcolare la norma di formula_56 quindi con riferimento all'equazione parametrica la distanza formula_62 fra due rette parallele formula_36 e formula_64 si può scrivere come:
dove il vettore formula_27 è un vettore parallelo alle rette e il vettore formula_67 è il vettore che congiunge un punto formula_68 della retta formula_36 e un punto formula_70 della retta formula_64 ovvero la distanza fra due rette parallele è data dalla proiezione del vettore formula_67 nel verso ortogonale alle stesse.
Dimostrazione: dalle formule del prodotto vettoriale, i moduli dei versori sono unitari, resta:
formula_73
Se definiamo formula_56 come il vettore ortogonale a formula_75, la cui norma è la distanza tra le due rette, il nostro problema si riduce a trovare la norma di formula_56. I tre vettori formula_56, formula_43 e formula_44 sono una base, e possiamo quindi facilmente scomporre il vettore formula_80 lungo le tre componenti. Quindi
Molto semplicemente si ricava che
con riferimento all'equazione parametrica la distanza formula_62 fra due rette sghembe formula_36 e formula_64 si può scrivere come:
dove il vettore formula_67 è il vettore che congiunge un punto formula_68 della retta formula_36 che ha vettore parallelo formula_90 e un punto formula_70 della retta formula_64 che ha vettore parallelo formula_93, il vettore formula_94 è il vettore ortogonale formula_95 ovvero la distanza fra due rette sghembe è data dalla proiezione del vettore formula_67 nel verso del vettore formula_94.
Dimostrazione: dalle formule del prodotto scalare il modulo del versore è unitario, resta : formula_98
