
La sfera (dal greco σφαῖρα, "sphaîra") è il solido geometrico costituito da tutti i punti che sono a distanza minore o uguale a una distanza fissata formula_1, detta "raggio della sfera", da un punto formula_2 detto "centro della sfera".
L'insieme dei punti la cui distanza è eguale a formula_1 è detto "superficie sferica" di centro formula_2 e raggio formula_1.
È detta "semisfera" ciascuna delle metà di un solido sferico diviso in due da un piano passante per il centro o anche ciascuna delle due superfici di una sfera divisa da una sua circonferenza massima.
In geometria cartesiana, una superficie sferica con centro formula_6 e di raggio formula_1 è rappresentata dall'insieme di punti formula_8 tali che
I punti della superficie sferica possono essere parametrizzati in coordinate sferiche nel modo seguente
dove formula_11 e formula_12 rappresentano la latitudine e la longitudine del punto, variando negli intervalli
Ogni punto della superficie sferica è descritto da una sola coppia formula_14 di questo tipo, tranne i poli: la coppia formula_15 descrive sempre il polo nord, e formula_16 sempre il polo sud (per qualsiasi valore di formula_12).
Alternativamente si può utilizzare l'equazione cartesiana della superficie sferica:
con formula_19, formula_20, formula_21, formula_22, numeri reali tali che formula_23. Dall'equazione cartesiana si possono ricavare le coordinate del centro:
L'area della superficie di una sfera di raggio formula_25 è data dall'equazione:
La sfera può essere pensata come un solido di rotazione ottenuto ruotando attorno all'asse formula_27 il grafico della funzione
che rappresenta una semicirconferenza di raggio formula_25. Pertanto, per il primo teorema di Guldino, la superficie laterale è data da:
La superficie totale della sfera si può ottenere, per il primo teorema di Guldino, tramite il seguente integrale:
Il volume della sfera di raggio formula_25 è dato dall'equazione (integrale in formula_33 della superficie):
La dimostrazione di questa formula può essere ottenuta in modo immediato usando il metodo degli indivisibili oppure con gli strumenti nell'analisi matematica.
Si pensi di sommare tutte le aree dei cerchi che si ottengono sezionando la sfera con dei piani orizzontali. Il raggio di questi cerchi varierà con una funzione formula_35 della distanza del piano orizzontale dal centro della sfera e dato che l'area di un cerchio equivale a formula_36 per il raggio al quadrato:
dove formula_38 appunto è la distanza del piano dal centro della sfera.
Raggio alla distanza formula_27
Dunque, dal teorema di Pitagora, formula_35 vale:
che, sostituita nell'equazione del volume, si trova:
Allo stesso modo si può calcolare il volume formula_44 di un segmento di sfera di altezza formula_45
La sfera può anche essere intesa come l'insieme di numerose piramidi infinitesime, tutte con il vertice nel centro della sfera e con i poligoni di base delle piramidi che poggiano sulla superficie della sfera: queste infinite piramidi elementari riempiranno tutto e solo il volume della sfera. Il volume di ogni piramide è:
dal quale si desume il significato della formula per il volume della sfera.
La sfera è la figura tridimensionale con il minimo rapporto superficie/volume: ciò spiega perché a tale forma tendono molti oggetti fisici, dalle gocce di liquido ai corpi celesti. Ad esempio, le bolle sono sferiche perché la tensione superficiale tende a minimizzare l'area a parità di volume.
Il cilindro circoscritto ha un volume che è formula_50 quello della sfera, ed una superficie laterale che è la stessa di quella della sfera. Questo fatto, e le formule scritte sopra, erano già noti ad Archimede.
Con l'aumentare del raggio, il volume della sfera cresce più della superficie. Infatti il rapporto fra queste due quantità è formula_51.
Una sfera può anche essere definita come formata da un semicerchio che ruota intorno al suo diametro. Se si usa una ellisse, si ottiene un ellissoide di rotazione.
Due punti della superficie sferica che stanno sulla stessa retta passante per l'origine sono detti antipodali, e una tale retta è detta "asse", poiché è un asse di simmetria della sfera.
Un cerchio massimo è una circonferenza avente lo stesso centro della sfera, ottenuta quindi intersecando la superficie sferica con un piano passante per l'origine.
Se un punto della superficie sferica è identificato come polo nord, il suo antipodale è il polo sud e l'equatore è il cerchio massimo equidistante dai due poli. I cerchi massimi passanti per i poli sono i meridiani, mentre la linea retta passante per l'origine ed i due poli è l"'asse". Questa terminologia è usata anche per i corpi celesti come la terra, anche se non perfettamente sferici.
La sfera può essere generalizzata in altre dimensioni. Per ogni numero naturale formula_52, una sfera formula_52-dimensionale è l'insieme dei punti nello spazio euclideo formula_54-dimensionale formula_55 che hanno una distanza fissata formula_56 da un certo punto dello spazio.
Ad esempio:
Le sfere di dimensione > 2 sono chiamate anche ipersfere. La sfera formula_52-dimensionale di raggio unitario, centrata nell'origine, viene indicata con formula_61.
Più in generale, in uno spazio metrico formula_62, la sfera di centro formula_27 e raggio formula_56 è l'insieme 
Una sfera in uno spazio metrico può essere un oggetto molto diverso dalla sfera usuale. Ad esempio, può essere vuota: se consideriamo formula_66 con la metrica euclidea, una sfera di raggio formula_1 è vuota se e solo se formula_68 non può essere scritto come somma di formula_52 quadrati.
Dove con formula_1 si intende il raggio della sfera, con formula_45 l'altezza del segmento di sfera o della calotta sferica, con formula_72 l'ampiezza in steradianti della calotta.
Per quanto si sia avvicinato, l'uomo non è ancora riuscito a produrre alcun oggetto dalla sfericità matematicamente perfetta. Finora il miglior risultato è stato raggiunto dall"'Australian Centre for Precision Optics", di Lindfield (Australia). La sfera è stata ottenuta attraverso una levigazione ad altissima precisione di una barra di silicio 28 (un isotopo del silicio) ed è frutto del Progetto Avogadro, che si propone di arrivare alla definizione del chilogrammo perfetto, basata sulla conoscenza dell'esatto numero di atomi che compongono tale sfera. Il suo diametro è di 9,36 centimetri e come uniche imperfezioni presenta una rugosità di 0,3 nanometri e piccole deviazioni di sfericità di circa 60-70 nanometri. In precedenza, il miglior risultato era stato ottenuto dalla NASA, che per la sonda Gravity Probe B, costruita per degli studi gravitazionali in orbita, ha creato dei giroscopi con deviazioni inferiori ai 100 nanometri.
Parmenide paragona l'Essere a una sfera perfetta, sempre uguale a se stessa nello spazio e nel tempo, chiusa e finita (per gli antichi greci il finito era sinonimo di perfezione). La sfera è infatti l'unico solido geometrico che non ha differenze al suo interno, ed è uguale dovunque la si guardi; l'ipotesi collima suggestivamente con la teoria della relatività di Albert Einstein che nel 1900 dirà: «Se prendessimo un binocolo e lo puntassimo nello spazio, vedremmo una linea curva chiusa all'infinito» in tutte le direzioni dello spazio, ovvero, complessivamente, una sfera (per lo scienziato infatti l'universo è finito sebbene illimitato, fatto di uno spazio tondo ripiegato su se stesso).


finisce sistema di coordinate un sistema di riferimento basato su coordinate, le quali individuano la posizione di un oggetto in qualche spazio. A seconda del numero di coordinate usate, si può parlare di:
Il sistema di riferimento unidimensionale ideato da Cartesio è costituito da una retta, sulla quale un oggetto, di solito un punto, è vincolato a muoversi. Su questa retta si fissa un'origine, che è consuetudine indicare con formula_1, un verso di percorrenza ed un'unità di misura delle lunghezze.
È possibile individuare un punto sulla retta in base ad un numero reale, che individua la distanza dall'origine nell'unità di misura scelta, positiva se concorde con il verso di percorrenza scelto e negativa altrimenti, del punto. Tale numero è detto coordinata, e per indicare genericamente tale coordinata si usa la lettera formula_2. La retta su cui si è fissato origine, verso di percorrenza e unità di misura è detta ascissa.
Quando un punto, anziché su una retta, è vincolato a muoversi su una curva è possibile scegliere anche su quest'ultima un'origine, un verso di percorrenza ed un'unità di misura, ma in tal caso si parlerà di ascissa curvilinea. La distanza con segno del punto dall'origine è la coordinata curvilinea del punto.
Uno dei sistemi di riferimento bidimensionale è costituito da una coppia di rette incidenti. Tali rette sono indicate, in genere, con formula_3 e formula_4, ed il loro punto di intersezione è l'origine per entrambe le rette. Su ciascuna retta si fissa un verso di percorrenza ed un'unità di misura che in genere è uguale per entrambe le rette, ma per esigenze particolari può benissimo essere diversa per ciascuna retta. La posizione di un punto vincolato a muoversi su un piano può essere individuata da una coppia di valori reali, genericamente indicati con le lettere formula_2 e formula_6. Si indica con formula_2 il numero reale che individua la distanza dall'asse formula_4 del punto, misurata parallelamente all'asse formula_3 nell'unità di misura scelta per quest'ultimo; con formula_6 il numero reale che individua la distanza dall'asse formula_3 del punto, misurata parallelamente all'asse formula_4 nell'unità di misura scelta per quest'ultimo. La coppia di coordinate che individua il punto si indica scrivendo formula_13 oppure formula_14.
Quando gli assi formula_3 e formula_4 sono fra loro ortogonali tale sistema di riferimento si dice ortogonale. Se gli assi sono tra loro ortogonali e l'unità di misura di entrambi è la stessa tale sistema di riferimento si dice ortonormale o cartesiano, in onore del matematico francese Cartesio che lo riprese in età moderna, dopo che era già stato introdotto, nel Medioevo, da Nicola d'Oresme. In tal caso l'asse formula_3, orizzontale, prende il nome di asse delle ascisse, e l'asse formula_4, verticale, prende il nome di asse delle ordinate. Nelle opere di Oresme, erano, rispettivamente, "longitudo" e "latitudo".
Un sistema di riferimento polare è formato da due coordinate indicate con le lettere formula_19 e formula_20. Con formula_19 si indica la distanza del punto considerato dall'origine del sistema; in pratica se consideriamo il vettore formula_22 che congiunge l'origine degli assi con il nostro punto, formula_19 ne indica il modulo. Con formula_20, invece, ci si riferisce all'angolo o anomalia che si forma tra il vettore formula_22 considerato prima, e il verso positivo dell'asse formula_3 di un normale sistema ortogonale. Dunque, formula_19 è il raggio e formula_20 un angolo orientato.
Per passare dalle coordinate polari alle cartesiane si usano le seguenti formule:
e per passare da quelle cartesiane a quelle polari
Si può trovare in molti casi la coordinata formula_19 denotata con la lettera formula_34. Questo passaggio di coordinate è molto utile in alcune applicazioni della matematica come nella risoluzione degli integrali multipli su domini costituiti da corone circolari.
Il sistema di riferimento tridimensionale è costituito da tre rette non parallele, in genere indicate con formula_3, formula_4 e formula_37, passanti per un punto che è l'origine del sistema di riferimento. Per ciascuna di tali rette si sceglie un'unità di misura ed un verso di percorrenza. Le coordinate generiche di un punto nello spazio sono indicate con le lettere formula_2, formula_6 e formula_40. Si indica con formula_2 il numero reale che individua la distanza di un punto dal piano individuato dalle rette formula_4 e formula_37 misurata parallelamente all'asse formula_3 nell'unità di misura scelta per quest'ultimo asse. Si definiscono analogamente formula_6 e formula_40. Le tre coordinate che individuano un punto nello spazio sono indicate con la simbologia formula_47. Quando i tre assi sono fra loro ortogonali il sistema di riferimento si dice "ortogonale" o "rettangolare".
Ciascuna delle tre rette è un "asse cartesiano", e insieme formano la "terna cartesiana".
Il sistema cilindrico è la naturale espansione del sistema polare nelle tre dimensioni. In questo caso le coordinate sono formula_19, formula_20 e formula_40. Considerando un generico punto formula_51, e la sua proiezione formula_52 sul piano formula_53, la coordinata formula_40 indica la distanza formula_55. Con formula_19 si denota la distanza dall'origine del punto formula_52, mentre formula_20 individua l'angolo che si forma tra il vettore formula_22 e l'asse formula_2.
Per passare dal sistema cilindrico a quello rettangolare:
e per passare alle coordinate cilindriche:
Molto spesso la coordinata formula_19 viene indicata con formula_64.
Un altro sistema che si può usare per orientarsi nello spazio è il sistema sferico. È formato da tre coordinate: formula_19, formula_66 e formula_20. Si considera sempre un generico punto formula_51 e la sua proiezione sul piano formula_69 chiamata formula_52. Con formula_19 questa volta si indica la distanza di formula_51 dall'origine e formula_66 è l'angolo che formula_22 forma con il semiasse positivo delle formula_37, chiamato angolo di inclinazione. Indichiando invece con formula_76 il vettore che collega l'origine con il punto formula_52, si ha che formula_20 individua l'angolo che quest'ultimo vettore forma con l'asse formula_3, detto azimut.
Per passare da un sistema sferico ad uno rettangolare si usano le seguenti uguaglianze:
Per passare da coordinate cartesiane a sferiche:
Anche con questo sistema spesso si usa la lettera formula_34 al posto della lettera formula_19.
A partire dal sistema di coordinate sferiche si può definire una nuova base vettoriale in ogni punto dello spazio mediante i vettori tangenti alle linee coordinate. Sia
allora la base naturale dello spazio tangente (isomorfo a formula_89) è data dai tre vettori:
Definendo inoltre
la matrice del cambio di coordinate da formula_92 a formula_93, si ha che un vettore di formula_89può essere scritto nei due sistemi di coordinate come
Poiché formula_96 manda un sistema di coordinate ortonormali levogiro in un altro, si ha formula_97
Esprimendo in modo esplicito le relazioni tra i versori di base si ottiene:
e inversamente
In fisica delle particelle in alcuni casi si preferisce usare in luogo dell'angolo polare formula_66 la pseudorapidità definita come
