
La sfera (dal greco σφαῖρα, "sphaîra") è il solido geometrico costituito da tutti i punti che sono a distanza minore o uguale a una distanza fissata formula_1, detta "raggio della sfera", da un punto formula_2 detto "centro della sfera".
L'insieme dei punti la cui distanza è eguale a formula_1 è detto "superficie sferica" di centro formula_2 e raggio formula_1.
È detta "semisfera" ciascuna delle metà di un solido sferico diviso in due da un piano passante per il centro o anche ciascuna delle due superfici di una sfera divisa da una sua circonferenza massima.
In geometria cartesiana, una superficie sferica con centro formula_6 e di raggio formula_1 è rappresentata dall'insieme di punti formula_8 tali che
I punti della superficie sferica possono essere parametrizzati in coordinate sferiche nel modo seguente
dove formula_11 e formula_12 rappresentano la latitudine e la longitudine del punto, variando negli intervalli
Ogni punto della superficie sferica è descritto da una sola coppia formula_14 di questo tipo, tranne i poli: la coppia formula_15 descrive sempre il polo nord, e formula_16 sempre il polo sud (per qualsiasi valore di formula_12).
Alternativamente si può utilizzare l'equazione cartesiana della superficie sferica:
con formula_19, formula_20, formula_21, formula_22, numeri reali tali che formula_23. Dall'equazione cartesiana si possono ricavare le coordinate del centro:
L'area della superficie di una sfera di raggio formula_25 è data dall'equazione:
La sfera può essere pensata come un solido di rotazione ottenuto ruotando attorno all'asse formula_27 il grafico della funzione
che rappresenta una semicirconferenza di raggio formula_25. Pertanto, per il primo teorema di Guldino, la superficie laterale è data da:
La superficie totale della sfera si può ottenere, per il primo teorema di Guldino, tramite il seguente integrale:
Il volume della sfera di raggio formula_25 è dato dall'equazione (integrale in formula_33 della superficie):
La dimostrazione di questa formula può essere ottenuta in modo immediato usando il metodo degli indivisibili oppure con gli strumenti nell'analisi matematica.
Si pensi di sommare tutte le aree dei cerchi che si ottengono sezionando la sfera con dei piani orizzontali. Il raggio di questi cerchi varierà con una funzione formula_35 della distanza del piano orizzontale dal centro della sfera e dato che l'area di un cerchio equivale a formula_36 per il raggio al quadrato:
dove formula_38 appunto è la distanza del piano dal centro della sfera.
Raggio alla distanza formula_27
Dunque, dal teorema di Pitagora, formula_35 vale:
che, sostituita nell'equazione del volume, si trova:
Allo stesso modo si può calcolare il volume formula_44 di un segmento di sfera di altezza formula_45
La sfera può anche essere intesa come l'insieme di numerose piramidi infinitesime, tutte con il vertice nel centro della sfera e con i poligoni di base delle piramidi che poggiano sulla superficie della sfera: queste infinite piramidi elementari riempiranno tutto e solo il volume della sfera. Il volume di ogni piramide è:
dal quale si desume il significato della formula per il volume della sfera.
La sfera è la figura tridimensionale con il minimo rapporto superficie/volume: ciò spiega perché a tale forma tendono molti oggetti fisici, dalle gocce di liquido ai corpi celesti. Ad esempio, le bolle sono sferiche perché la tensione superficiale tende a minimizzare l'area a parità di volume.
Il cilindro circoscritto ha un volume che è formula_50 quello della sfera, ed una superficie laterale che è la stessa di quella della sfera. Questo fatto, e le formule scritte sopra, erano già noti ad Archimede.
Con l'aumentare del raggio, il volume della sfera cresce più della superficie. Infatti il rapporto fra queste due quantità è formula_51.
Una sfera può anche essere definita come formata da un semicerchio che ruota intorno al suo diametro. Se si usa una ellisse, si ottiene un ellissoide di rotazione.
Due punti della superficie sferica che stanno sulla stessa retta passante per l'origine sono detti antipodali, e una tale retta è detta "asse", poiché è un asse di simmetria della sfera.
Un cerchio massimo è una circonferenza avente lo stesso centro della sfera, ottenuta quindi intersecando la superficie sferica con un piano passante per l'origine.
Se un punto della superficie sferica è identificato come polo nord, il suo antipodale è il polo sud e l'equatore è il cerchio massimo equidistante dai due poli. I cerchi massimi passanti per i poli sono i meridiani, mentre la linea retta passante per l'origine ed i due poli è l"'asse". Questa terminologia è usata anche per i corpi celesti come la terra, anche se non perfettamente sferici.
La sfera può essere generalizzata in altre dimensioni. Per ogni numero naturale formula_52, una sfera formula_52-dimensionale è l'insieme dei punti nello spazio euclideo formula_54-dimensionale formula_55 che hanno una distanza fissata formula_56 da un certo punto dello spazio.
Ad esempio:
Le sfere di dimensione > 2 sono chiamate anche ipersfere. La sfera formula_52-dimensionale di raggio unitario, centrata nell'origine, viene indicata con formula_61.
Più in generale, in uno spazio metrico formula_62, la sfera di centro formula_27 e raggio formula_56 è l'insieme 
Una sfera in uno spazio metrico può essere un oggetto molto diverso dalla sfera usuale. Ad esempio, può essere vuota: se consideriamo formula_66 con la metrica euclidea, una sfera di raggio formula_1 è vuota se e solo se formula_68 non può essere scritto come somma di formula_52 quadrati.
Dove con formula_1 si intende il raggio della sfera, con formula_45 l'altezza del segmento di sfera o della calotta sferica, con formula_72 l'ampiezza in steradianti della calotta.
Per quanto si sia avvicinato, l'uomo non è ancora riuscito a produrre alcun oggetto dalla sfericità matematicamente perfetta. Finora il miglior risultato è stato raggiunto dall"'Australian Centre for Precision Optics", di Lindfield (Australia). La sfera è stata ottenuta attraverso una levigazione ad altissima precisione di una barra di silicio 28 (un isotopo del silicio) ed è frutto del Progetto Avogadro, che si propone di arrivare alla definizione del chilogrammo perfetto, basata sulla conoscenza dell'esatto numero di atomi che compongono tale sfera. Il suo diametro è di 9,36 centimetri e come uniche imperfezioni presenta una rugosità di 0,3 nanometri e piccole deviazioni di sfericità di circa 60-70 nanometri. In precedenza, il miglior risultato era stato ottenuto dalla NASA, che per la sonda Gravity Probe B, costruita per degli studi gravitazionali in orbita, ha creato dei giroscopi con deviazioni inferiori ai 100 nanometri.
Parmenide paragona l'Essere a una sfera perfetta, sempre uguale a se stessa nello spazio e nel tempo, chiusa e finita (per gli antichi greci il finito era sinonimo di perfezione). La sfera è infatti l'unico solido geometrico che non ha differenze al suo interno, ed è uguale dovunque la si guardi; l'ipotesi collima suggestivamente con la teoria della relatività di Albert Einstein che nel 1900 dirà: «Se prendessimo un binocolo e lo puntassimo nello spazio, vedremmo una linea curva chiusa all'infinito» in tutte le direzioni dello spazio, ovvero, complessivamente, una sfera (per lo scienziato infatti l'universo è finito sebbene illimitato, fatto di uno spazio tondo ripiegato su se stesso).


In geometria piana, si dicono tassellature (talvolta tassellazioni o pavimentazioni) i modi di ricoprire il piano con una o più figure geometriche ripetute all'infinito senza sovrapposizioni.
Tali figure geometriche, (dette appunto "tasselli"), sono spesso poligoni, regolari o no, ma possono anche avere lati curvilinei, o non avere alcun vertice. L'unica condizione che solitamente si pone è che siano connessi, anzi semplicemente connessi (ovvero che siano un pezzo unico e non abbiano buchi).
In matematica sono state molto studiate anche le tassellazioni dello spazio, dove i tasselli sono solidi.
Si dicono regolari (o "periodiche") quelle tassellature che rispettano la seguente regola: "esistono due traslazioni indipendenti che mandano la tassellatura in sé stessa" (con ""indipendenti"" si intende che le due traslazioni non devono avere la stessa direzione).
Tale condizione viene solitamente detta regola del parallelogramma perché se chiamiamo formula_1 e formula_2 i vettori associati alle due più piccole traslazioni che mandano la tassellatura in sé ci accorgiamo che il parallelogramma avente come lati formula_1 e formula_2 (e che viene detto "parallelogramma di base") "genera" la tassellatura mediante le due traslazioni (in altre parole, possiamo ridisegnare tutta la tassellatura replicando il parallelogramma di base e senza mai doverlo ruotare o "rovesciare").
Sebbene tale condizione possa sembrare molto restrittiva, è rispettata da quasi tutte le pavimentazioni a cui si possa pensare. Il motivo per cui risulta utile è che permette di confrontare tra di loro tassellature all'apparenza totalmente diverse.
La sagoma del parallelogramma di base non è però il modo più completo per classificare le tassellature regolari; conoscere le misure dei suoi angoli e dei suoi lati infatti non ci permette di stabilire con certezza le caratteristiche geometriche della nostra tassellatura: potrebbe accadere che ci sia una porzione di piano "più piccola" del parallelogramma (più precisamente, una proporzione del parallelogramma) con la quale sia possibile ricostruire tutta la tassellatura (non più con sole traslazioni, ma utilizzando anche altre isometrie): il disegno minimo. Diremo quindi che due tassellature appartengono alla stessa classe se:
Ad esempio, nell'immagine a fianco vediamo una tassellatura con accanto il suo parallelogramma di base (un quadrato) e il suo disegno minimo (un triangolo rettangolo). La tassellatura si può ottenere traslando il quadrato, ma anche traslando e riflettendo il solo triangolo rettangolo. Invece non esiste nessuna porzione di piano più piccola del triangolo con cui si possa ricreare tutta la tassellatura.
Si dimostra che le classi di tassellature regolari sono esattamente 17. Per catalogare una qualsiasi tassellazione è sufficiente conoscere le trasformazioni necessarie per generarla a partire dal disegno minimo, come schematizzato nella seguente tabella:
Esiste una grandissima varietà di tassellature regolari aventi come tasselli dei poligoni regolari. Si dimostra però che ne esistono "solo 11" che rispettano le seguenti due condizioni:
Quando diciamo che ne esistono esattamente 11, non ci riferiamo più alle classi, ma proprio alla forma degli spigoli: stiamo dicendo che date 12 tali tassellature ce ne saranno sempre almeno 2 tali che, scalandone e colorandone opportunamente una, essa diventi identica all'altra.
In particolare, è piuttosto facile osservare che se imponiamo l'utilizzo di "un solo poligono regolare" per tutta la tassellatura, abbiamo 3 configurazioni possibili; infatti la misura degli angoli del tassello dovrà essere un divisore intero di 360, e quindi andranno bene solo il triangolo equilatero (formula_5), il quadrato (formula_6) e l'esagono regolare (formula_7):
Con due o più poligoni regolari abbiamo invece le seguenti configurazioni (sotto ogni immagine sta la "descrizione dei vertici", che - ricordiamo - sono tutti uguali: ogni numero indica il tipo di poligono adiacente, girando in senso orario):
Come già detto, molte delle tassellature a cui viene da pensare sono regolari. Altre tassellature, pur non essendo regolari, vengono mandate in sé stesse da particolari traslazioni (è il caso ad esempio di tassellature composte da bande di lunghezza infinita una accanto all'altra che siano ricoperte ognuna da una stessa tassellatura regolare ma disposte sfalsate tra di loro).
È possibile però realizzare, ed è un risultato a cui i matematici sono arrivati in tempi relativamente recenti, anche tassellature "aperiodiche", ovvero tali che "nessuna" traslazione le mandi in sé. È il caso ad esempio dei domino di Wang, delle piastrelle di Robinson e della famosa tassellatura di Penrose.
Abbiamo visto che l'unico requisito richiesto a una forma geometrica per essere un "buon" tassello è essere connessa, anzi semplicemente connessa. Il motivo è semplice: supporre che un tassello non abbia tale caratteristica non aumenta sostanzialmente le possibili configurazioni, quindi non è geometricamente interessante.
Infatti se un tassello non sarà connesso sarà diviso in due parti, che potranno essere considerate come due tasselli separati.
Se un tassello invece è un pezzo unico ma presenta un buco dovrà essere riempito con uno o più tasselli, ma questo riempimento diventa un problema completamente indipendente dalla tassellatura intorno.
Le tassellature nell'arte figurativa, astratta e nell'architettura sono da sempre un modo di unire estetica, eleganza e semplicità, e sono state utilizzate in miriadi di contesti; riportiamo alcuni esempi significativi:
Non è un caso che le tassellature vengano chiamate anche "pavimentazioni": in effetti ogni possibile modo di coprire un pavimento con delle mattonelle di forma data non è altro che una tassellatura. È per questo che le tassellature sono necessariamente presenti in grandissima parte degli edifici realizzati nel corso della storia. In particolare tassellature colorate sono state spesso viste come un espediente per vivacizzare un pavimento, o una parete.
Famosissime sono le tassellature che ricoprono molte pareti del complesso de l'Alhambra, a Granada, frutto dell'arte e dei gusti arabi della dinastia nasride: gli arabi sono sempre stati grandi studiosi di matematica e geometria, e tali conoscenze pervadono anche la loro arte, tanto che è tuttora comunemente usato, per indicare motivi decorativi geometrici, il termine "arabesco".
Moltissime delle opere dell'artista olandese Maurits Cornelis Escher sono tassellature, i cui tasselli rappresentano solitamente pesci, uccelli, cavalli, pipistrelli, ma anche figure antropomorfe. Escher non solo dedicò moltissima attenzione alla realizzazione di tasselli che assomigliassero effettivamente agli animali che desiderava rappresentare, ma anche allo studio matematico e alla catalogazione delle tassellature, confrontandosi anche con matematici del suo tempo.
Dal punto di vista matematico le sue opere più ardite sono probabilmente quelle in cui raffigura tassellature disposte non su un ordinario piano euclideo ma trasferendo sul piano geometrie non euclidee. Sebbene queste non siano formalmente delle tassellature (dato che i tasselli non vengono solo ripetuti ma anche scalati), il ragionamento geometrico di base è lo stesso, adattato al modello di geometria non euclidea scelto. Ad esempio, nella famosa serie Limite del cerchio si può riconoscere i postulati del piano iperbolico studiato da Henri Poincaré.
Notevole è anche la serie Metamorphosis, in cui Escher concatena in una lunga striscia diverse tassellature alternate ad altri motivi geometrici o disegnati a mano libera, dando così anche l'idea che le semplici regole geometriche alla base delle tassellature siano presenti ovunque e alla base della natura stessa.
Molti materiali, sia naturali che artificiali, sono caratterizzati da una struttura microscopica che si ripete sempre più o meno uguale (fino alla regolarità estrema dei cristalli).
Ci sono svariati casi in cui è però possibile trovare tassellature di una regolarità talvolta sorprendente anche di dimensioni macroscopiche e quindi visibili a occhio nudo:
Nella computer grafica, in particolar modo nel rendering di ambienti 3D, questa tecnica permette di suddividere ulteriormente i poligoni, i quali grazie ad una displacement mapping o mappatura spostamenti potranno creare una forma tridimensionale più dettagliata.
Con la tassellazione dinamica si ha una diversa incisione di questo effetto, il quale sarà più marcato per oggetti vicini, mentre sarà ridotto per oggetti distanti, evitando così un inutile spreco di risorse.
