
In geometria un poligono è una figura geometrica piana delimitata da una linea spezzata chiusa. I segmenti che compongono la spezzata chiusa si chiamano lati del poligono e i punti in comune a due lati consecutivi si dicono vertici del poligono.
La parola "poligono" deriva dal greco πολύς (polys, "molti") e γωνία (gōnia, "angolo").
Una definizione di poligono è la seguente.
Ricordiamo che una linea spezzata è l'insieme finito e totalmente ordinato di segmenti, detti lati, che sono ordinatamente consecutivi e ordinatamente non adiacenti. Una linea spezzata è "chiusa" quando il secondo estremo dell'ultimo segmento coincide con il primo estremo del primo. Una linea spezzata è "semplice" (o "non intrecciata") se due lati non successivi, secondo l'ordinamento assegnato, non si intersecano (a parte il primo e l'ultimo lato che possono avere in comune rispettivamente il primo e il secondo estremo).
Il punto in comune a due lati consecutivi è detto "vertice".
Il fatto che una linea spezzata chiusa non intrecciata delimiti effettivamente una porzione di piano è, per quanto intuitivo, un risultato non banale della geometria piana: si tratta di una conseguenza del teorema della curva di Jordan. 
Una definizione costruttiva è la seguente: un punto formula_1 del piano appartiene al poligono se (con al più un numero finito di eccezioni) tutte le semirette uscenti da formula_1 intersecano la spezzata in un numero finito e dispari di punti distinti.
Una prima classificazione di un poligono riguarda il suo numero di lati (vedi i nomi di poligono).
Un poligono è:
Un poligono semplice è:
In base alla simmetria, un poligono è:
La somma degli angoli interni di un poligono è pari a tanti angoli piatti quanti sono i suoi lati (formula_4), meno due
Ad esempio, il poligono in figura ha cinque lati, e quindi:
La dimostrazione può essere svolta per induzione: in un triangolo la somma degli angoli è formula_3, e preso un qualunque poligono una sua diagonale lo divide in due altri poligoni con un numero minore di lati, per cui si può far valere l'ipotesi induttiva.
La somma degli angoli esterni di un poligono convesso con formula_4 lati è uguale a 
In quanto la somma di tutti gli angoli esterni ed interni è, evidentemente, uguale a formula_4 volte un angolo giro: sottraendo al totale la somma di quelli interni, avremo la somma di quelli esterni.
Con la formula dell'area di Gauss è possibile calcolare l'area di un poligono con formula_4 vertici aventi coordinate cartesiane formula_12 nel modo seguente: 
con la convenzione che formula_14.
Con questa formula possiamo ricavare una superficie di una qualsiasi figura piana attraverso le coordinate dei suoi vertici. È una formula molto utilizzata nella topografia e nella trigonometria.
Distinzione in base al numero di lati e, quindi, di angoli:


Secondo la definizione moderna della geometria, il raggio di un cerchio o di una sfera è un segmento di retta avente un estremo sulla circonferenza o superficie sferica e l'altro estremo nel centro della figura. Per estensione si definisce raggio di un cerchio o di una sfera anche la lunghezza di un tale segmento. Il raggio misura la metà del diametro.
Più generalmente — in geometria, ingegneria, teoria dei grafi, e in molti altri settori — il raggio di qualcosa (per esempio di un cilindro, di un grafo, o di un componente meccanico) è la distanza dei suoi punti più esterni dal centro o asse.
La definizione di raggio data per i cerchi e per le sfere si lascia estendere naturalmente al caso di iperspazi con più di tre dimensioni. Generalmente, un segmento che congiunge un punto di un'ipersfera al suo centro è un raggio dell'ipersfera.
In una spirale il raggio è una funzione dell'angolo. Tutte le circonferenze sono assimilabili a spirali con raggio costante.
Il raggio formula_1 di un cerchio avente diametro formula_2 è
Il raggio formula_1 di un cerchio avente circonferenza formula_5 è
Il raggio formula_1 di un cerchio avente area formula_8 è
Il raggio formula_1 della circonferenza che attraversa tre punti non collineari formula_11 è dato da
dove formula_13 è l'angolo formula_14 La formula è calcolata utilizzando il teorema dei seni.
Con riferimento alla figura a destra, lo stesso raggio formula_1 può anche essere espresso nel modo seguente:
dove formula_17 indica la lunghezza del segmento di estremi formula_18 e formula_19 mentre formula_20 è l'angolo formula_21
Pertanto, se consideriamo tre punti di coordinate formula_22 e formula_23 il raggio della circonferenza che li attraversa è dato da:
Il raggio medio formula_1 di un'ellisse è definito come il raggio di un cerchio di area (superficie) uguale a quella dell'ellisse.
È uguale alla radice quadrata del prodotto dei due semiassi dell'ellisse:
Si definisce "cerchio principale" di un'ellisse, il cerchio con centro nel centro dell'ellisse e di raggio formula_27 uguale al semiasse maggiore dell'ellisse.
Si definisce "cerchio secondario" di un'ellisse, il cerchio con centro nel centro dell'ellisse e di raggio formula_28 uguale al semiasse minore dell'ellisse.
Il raggio di un poligono regolare è il segmento che unisce il centro a uno dei suoi vertici. Pertanto, la lunghezza di tale segmento è uguale al raggio della circonferenza circoscritta al poligono.
Il raggio formula_1 di un poligono di formula_30 lati di lunghezza formula_31 ciascuno, è dato da:
Il raggio in funzione della lunghezza dell'apotema formula_33, è dato da:
Raccogliendo tutte le costanti (nella prima delle due formule), si può scrivere che il raggio formula_1 del poligono è formula_36, ed è dato da formula_37 con formula_38
Si arriva così alla tabella dei seguenti numeri fissi:
che, noti la lunghezza e il numero di lati, permette di calcolare il raggio del poligono.
Il raggio formula_1 di un ipercubo formula_2-dimensionale e lato formula_31, è:
