
In geometria, il quadrato è un quadrilatero regolare, cioè un poligono con quattro lati e quattro angoli congruenti (tutti retti).
Il quadrato è un caso particolare di rombo (in quanto ha tutti e quattro i lati congruenti) e di rettangolo (in quanto ha quattro angoli congruenti) quindi è un caso particolare di parallelogramma (in quanto ha i lati a due a due paralleli).
Le diagonali di un quadrato sono congruenti e perpendicolari, il loro punto di intersezione le divide a metà e misurano come il lato moltiplicato per la radice quadrata di 2:
Questa formula si dimostra con il teorema di Pitagora. Ciascuna diagonale, infatti, divide il quadrato in due triangoli rettangoli per i quali vale che la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull'ipotenusa (che è la diagonale).
Il perimetro di un quadrato, visto che ha tutti i lati congruenti, misura:
L'area di un quadrato, visto che l'altezza e la base sono congruenti, misura:
ma si può calcolare anche come
Da ciò si deduce che la diagonale di un quadrato di area a è il lato del quadrato con Area 2a.
Il quadrato possiede 4 assi di simmetria: 2 passanti per una coppia di vertici opposti e 2 passanti per una coppia di punti medi dei lati.
Il punto di intersezione delle due diagonali è detto centro del quadrato ed è centro di simmetria di rotazione e di simmetria centrale per il quadrato. L'ordine della simmetria di rotazione del quadrato è 4; in altre parole, il quadrato è invariante per le rotazioni intorno al suo centro relative agli angoli formula_6; naturalmente la rotazione di formula_7 radianti è la simmetria centrale.
Il quadrato formula_8 di lato 2 e centro l'origine può essere descritto in vari modi. Ad esempio:
Il suo bordo è quindi
Questo può essere anche descritto come
Più in generale, l'equazione cartesiana di un quadrato avente centro nell'origine degli assi è: formula_12
Se si considera invece il centro del quadrato nel punto di coordinate formula_13 l'equazione diventa: 
formula_14
da cui:
formula_15
ovvero nella forma più generale possibile:
formula_16
Il cui bordo è quindi:
formula_17
Una dimostrazione costruttiva dell'esistenza del quadrato è data da Euclide nella proposizione 46 del I libro degli Elementi, subito prima di usare questa figura nell'enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora. Nella tradizione didattica moderna l'esistenza dei quadrati è invece in genere data per scontata. Bisogna notare che la dimostrazione euclidea usa indirettamente il V postulato e l'esistenza di quadrati non è garantita nelle geometrie non euclidee.
Ad esempio, in geometria iperbolica non esistono poligoni con quattro lati uguali e quattro angoli retti: la somma degli angoli interni di un quadrilatero iperbolico è infatti sempre strettamente minore di un angolo giro. Esistono comunque "quadrati" nel piano iperbolico se si richiede solamente che i quattro angoli siano congruenti (ma non retti): per ogni numero reale formula_18 strettamente minore di formula_19 esiste infatti un poligono con quattro lati congruenti e quattro angoli congruenti pari a formula_18.
Un quadrato può essere inscritto in una circonferenza con riga e compasso. Qui sotto ne è mostrata un'animazione:


 la geometria euclidea, un parallelogramma (o parallelogrammo) è un quadrilatero con i lati opposti paralleli. I lati e gli angoli opposti di un parallelogramma sono congruenti.
La congruenza dei lati e degli angoli opposti è una diretta conseguenza del V postulato di Euclide, relativo agli angoli interni determinati da una retta che ne taglia due, e nessuna delle caratteristiche del quadrilatero può essere dimostrata senza ricorrere al postulato di Euclide o a una delle sue formulazioni equivalenti.
L'etimologia, dal greco παραλληλ-όγραμμον, una forma "di linee parallele", riflette la definizione.
Il parallelogramma è un caso particolare di trapezio. Il parallelogramma ha una sola altezza (le possibili altezze sono due) che dipende da quale lato viene considerato come base.
Dalle definizioni illustrate precedentemente è affermabile che:
La legge del parallelogramma caratterizza gli spazi di Hilbert nell'ambito degli spazi di Banach.
Ogni parallelogramma consente di costruire una tassellazione del piano.
La figura solida corrispondente tridimensionale del parallelogramma è il parallelepipedo.
Un parallelogramma con base formula_1 e altezza formula_2 può essere diviso in un trapezoide e un triangolo retto, per essere ricombinato in un rettangolo, come mostrato nella figura a destra. Questo significa che l'area di un parallelogramma è la stessa di quella di un rettangolo con identica base e altezza: 
