
Nella geometria euclidea, una traslazione è una trasformazione affine dello spazio euclideo, che sposta tutti i punti di una distanza fissa nella stessa direzione. La si può anche interpretare come addizione di un vettore costante a ogni punto, o come spostamento dell'origine del sistema di coordinate. In altri termini, se formula_1 è un vettore fisso, la traslazione formula_2 è definita dall'operazione
Sia formula_4 una traslazione, allora l'immagine di un sottoinsieme di punti formula_5 relativo alla funzione formula_4 si chiama «formula_5 traslato di formula_4». L'insieme formula_5 traslato di formula_2 viene indicato spesso con la notazione formula_11.
Tutte le traslazioni sono isometrie.
La traslazione può anche essere vista come il risultato di una rotazione eseguita da un centro di rotazione che si trova all'infinito nella direzione ortogonale alla direzione di traslazione.
La traslazione nel piano è un'operazione utile in geometria analitica per spostare curve come rette e coniche: questo viene fatto modificando le equazioni che le descrivono.
La formula generale per ottenere un'equazione traslata è la seguente:
dove formula_13 sono le coordinate da ottenere; formula_14 sono quelle dell'equazione originale; formula_15 sono le componenti del vettore associato alla traslazione, utile per traslare le coniche nel piano cartesiano in due dimensioni. Pertanto, alla traslazione di equazioni formula_16 e formula_17 è associato il vettore formula_18 e viceversa.
Dati una funzione formula_19 e le componenti formula_20 e formula_21 del vettore associato a una specifica traslazione, si ottiene una "funzione traslata" formula_22, la cui espressione può essere scritta così:
Dal momento che la traslazione è una trasformazione affine ma non lineare, per rappresentarla con le matrici ci si serve generalmente di "coordinate omogenee". La trasformazione da coordinate cartesiane a coordinate omogenee è definita in questo modo:
La traslazione di un punto in coordinate omogenee lungo il vettore formula_25 si effettua allora per mezzo della "matrice di traslazione":
Moltiplicando la matrice di traslazione per il vettore in coordinate omogenee si ottiene il risultato aspettato:
L'inverso della matrice di traslazione si ottiene invertendo il segno del vettore associato:
Analogamente, il prodotto di matrici di traslazione si ottiene sommando i vettori associati:
Poiché l'addizione vettoriale è un'operazione commutativa, lo è anche la moltiplicazione di matrici di traslazione, a differenza della moltiplicazione fra matrici generiche.
Le traslazioni formano un gruppo. In particolare, la composizione di due traslazioni è una traslazione.


Il termine simmetria indica generalmente la presenza di alcune ripetizioni nella forma geometrica di un oggetto. L'oggetto può essere ad esempio una figura bidimensionale (un dipinto, un poligòno, una tassellazione, ...) oppure una figura tridimensionale (una statua, un poliedro, ...). Molte simmetrie sono osservabili in natura.
Il concetto di simmetria è ampiamente studiato in geometria ed è usato in matematica e fisica con un'accezione più generale.
Un oggetto ha una "simmetria" quando la sua forma presenta delle ripetizioni regolari. Ci sono vari tipi di simmetria.
La simmetria è una tecnica compositiva molto utilizzata nel campo artistico. Può essere di diversi tipi:
- Simmetria bilaterale (criterio principalmente medioevale che fa uso dei seguenti metodi: al centro la figura principale e ai lati due forme o figure che si equilibrano, con caratteristiche simili e di conseguenza ugual peso visivo, che forniscono staticità e equilibrio all'opera)
- Simmetria speculare (più statica della precedente, implica l'uguaglianza tra le figure laterali)
- Simmetria traslatoria (definita anche come variante del ritmo, consiste nella ripetizione di figure rispetto a un asse)
- Simmetria rotatoria, centrale o radiale (le forme hanno caratteristiche simili e si sviluppano attorno a un punto, il centro. È tipica dei formati circolari e della pittura in generale.
La simmetria permette di dare equilibrio e armonia all'opera in cui viene utilizzata.
