
Il triangolo è un poligono con tre lati e tre angoli.
Il triangolo è caratterizzato dalle seguenti proprietà:
Due triangoli sono congruenti se soddisfano almeno uno dei criteri di congruenza.
Due triangoli si dicono simili se soddisfano almeno uno dei criteri di similitudine.
I triangoli possono essere classificati in base alla lunghezza relativa dei lati:
I triangoli possono essere classificati anche in base alle dimensioni del loro angolo interno più ampio; sono descritti di seguito usando i gradi d'arco.
Per i triangoli che non sono rettangoli vale una generalizzazione del teorema di Pitagora nota in trigonometria come teorema di Carnot. 
Si dice triangolo degenere un triangolo che presenta un angolo 
di 180°. Gli altri due angoli hanno necessariamente ampiezza zero, ed un lato misura quanto la somma degli altri due: tale triangolo, come insieme di punti (graficamente), costituisce un segmento.
Si usa il termine "triangolo degenere" anche per una figura ottenuta come limite di un triangolo nel quale alcuni dei suoi vertici vanno all'infinito; tale figura si chiama anche triangolo ideale. Questa costruzione è molto usata in geometria iperbolica.
Un triangolo ideale con un vertice all'infinito risulta essere una striscia delimitata da un segmento e da due semirette che si estendono illimitatamente nella stessa direzione, ciascuna delle quali ha come estremità una di quelle del segmento; in particolare le rette possono essere ortogonali al segmento.
Ad ogni triangolo sono associati vari punti, ciascuno dei quali svolge un ruolo che, per qualche aspetto, lo qualifica come centrale per il triangolo stesso. Definiamo concisamente questi punti riferendoci ad un triangolo formula_1 i cui vertici denotiamo con formula_2, formula_3 e formula_4 e i cui lati opposti denotiamo rispettivamente con formula_5, formula_6 e formula_7.
L'area di un triangolo può essere trovata per via trigonometrica. Usando le lettere della figura a destra, l'altezza formula_55. Sostituendo questo nella formula trovata precedentemente (per via geometrica), formula_56. L'area di un triangolo è quindi anche uguale al semiprodotto di due lati per il seno dell'angolo compreso.
Di conseguenza, per la nota identità formula_57, l'area di un triangolo qualsiasi con i due lati formula_5 e formula_6 e l'angolo compreso formula_60, è uguale all'area del triangolo con gli stessi lati formula_5 e formula_6 ma con angolo compreso supplementare formula_63
L'area di un parallelogramma con due lati adiacenti formula_5 e formula_6 e angolo compreso formula_60 è il doppio di quella del triangolo che ha gli stessi dati, cioè formula_67.
Per risolvere il triangolo, cioè determinare la misura di tutti i lati ed angoli, dati due lati e l'angolo compreso fra di essi, o un lato e i due angoli adiacenti, si usano il teorema dei seni e il teorema del coseno, quest'ultimo meglio noto col nome di Carnot.
L'area formula_2 del triangolo può essere misurata con la formula matematica:
dove formula_6 è la base e formula_71 l'altezza ad essa relativa, perché il triangolo va visto come la metà di un parallelogramma di base formula_6 e altezza formula_71.
Alternativamente l'area del triangolo può essere calcolata con
dove formula_5, formula_6 e formula_7 sono i lati e formula_78 il semiperimetro (Formula di Erone).
Consideriamo un triangolo formula_79 nel piano cartesiano individuato attraverso le coppie di coordinate dei vertici formula_80.
La sua area formula_2 è dato dall'espressione
oppure con un'espressione che non utilizza il concetto di matrice
oppure
dove
e il suo perimetro formula_89 è dato da
Il concetto di triangolo si estende ed è ampiamente usato in tutte le geometrie non euclidee. Un triangolo in una geometria non euclidea si differenzia generalmente per il fatto che la somma dei suoi angoli interni non è 180°: questa somma è inferiore a 180° per ogni triangolo nel caso di una geometria iperbolica, mentre è superiore per ogni triangolo nel caso di una geometria ellittica.
Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due lati e l'angolo tra essi compreso, essi sono congruenti.
Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due angoli e il lato ad essi adiacente, essi sono congruenti.
Se due triangoli hanno rispettivamente congruente i tre lati, essi sono congruenti.
Criterio generale di congruenza dei triangoli
Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti un lato e due angoli qualsiasi, essi sono congruenti.
In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti ad esso.
In un triangolo l'angolo esterno di uno di essi è uguale alla somma degli altri due angoli interni.
In un triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.
Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti, allora sono simili. 
Se due triangoli hanno rispettivamente due lati proporzionali e l'angolo tra essi compreso congruente, allora sono simili. 
Se due triangoli hanno i tre lati rispettivamente proporzionali, allora sono simili.
Criterio generale di similitudine dei triangoli
Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti, essi sono simili.
In un triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa. 
In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. 
In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.


In matematica, un sistema di riferimento cartesiano è un sistema di riferimento formato da "n" rette ortogonali, intersecantesi tutte in un punto chiamato "origine", su ciascuna delle quali si fissa un orientamento (sono quindi "rette orientate") e per le quali si fissa anche un'unità di misura (cioè si fissa una metrica di solito euclidea) che consente di identificare qualsiasi punto dell'insieme mediante "n" numeri reali. In questo caso si dice che i punti di questo insieme sono in uno spazio di dimensione "n".
Un sistema di riferimento cartesiano in due dimensioni viene chiamato piano cartesiano.
Per identificare la posizione di punti nello spazio fisico viene solitamente utilizzato un sistema di riferimento cartesiano a tre dimensioni. Tuttavia per descrivere la posizione di oggetti più complicati vengono utilizzati altri sistemi di riferimento non necessariamente cartesiani e un differente numero di dimensioni, dette in questo contesto gradi di libertà.
Usando un sistema di riferimento cartesiano, è possibile descrivere tramite equazioni algebriche forme geometriche come curve o superfici: i punti dell'oggetto geometrico sono quelli che soddisfano l'equazione associata. Per esempio è possibile descrivere una circonferenza nel piano cartesiano, oppure una quadrica nello spazio tridimensionale.
L'uso delle coordinate geometriche venne introdotto per la prima volta da Nicola d'Oresme, matematico del XIV secolo operante a Parigi. L'aggettivo "cartesiano" è riferito al matematico e filosofo francese René Descartes (italianizzato in " Renato Cartesio", latinizzato in " Renatus Cartesius") il quale, tra le altre cose, riprendendo gli studi di Nicola d'Oresme, lavorò sulla fusione dell'algebra con la geometria euclidea. Questi studi furono influenti nello sviluppo della geometria analitica, del calcolo infinitesimale e della cartografia.
L'idea di questo sistema di riferimento fu sviluppato nel 1637 in due scritti da Cartesio e, indipendentemente, da Pierre de Fermat, anche se Fermat non pubblicò la sua scoperta. Nella seconda parte del suo Discorso sul metodo, Cartesio introduce la nuova idea di specificare la posizione di un punto o di un oggetto su una superficie usando due rette che si intersecano in un punto come strumenti di misura, idea ripresa in "La Geometria" .
Un sistema di coordinate cartesiane ortogonale in due dimensioni è semplicemente chiamato piano cartesiano, ed è costituito da:
Il piano cartesiano, che viene spesso chiamato "xy" dal nome degli assi, può essere immaginato, pensando che il piano sia immerso orizzontalmente nello spazio fisico (pavimento), e mettendosi in piedi in un punto con il braccio sinistro teso in avanti e il braccio destro teso di lato in modo da formare con le due braccia un angolo retto: il punto sul quale si rappresenta l'origine, la direzione del braccio destro rappresenta l'asse delle ascisse positive (dalla parte opposta le ascisse negative), la direzione del braccio sinistro rappresenta l'asse delle ordinate positive (alle spalle le ordinate negative).
Il sistema costituito dalla coppia dei due assi orientati (e implicitamente dall'origine) consente di individuare ogni punto del piano con una coppia di numeri reali chiamati rispettivamente "ascissa" e "ordinata" del punto, i cui valori assoluti rappresentano le distanze del punto rispettivamente dall'asse y (ordinata) e dall'asse x (ascissa). Le coordinate di un punto generico del piano o di un punto che si pensa variabile spesso si denotano con formula_1 e formula_2. I punti sull'asse "x" hanno quindi ordinata "y"=0, mentre i punti sull'asse "y" hanno ascissa "x"=0; di conseguenza l'origine ha coordinate "x"=0 e "y"=0. Talora il sistema dei due assi si denota con formula_3.
Un generico punto si può quindi esprimere scrivendo formula_4
oppure formula_5. Ad esempio, i punti formula_6 e formula_7 hanno la stessa ascissa (quindi si trovano su una retta parallela all'asse "y"), mentre i punti formula_8 e formula_9 hanno la stessa ordinata (quindi si trovano su una retta parallela all'asse "x"). In particolare: se due punti hanno la stessa ascissa ma ordinate opposte sono simmetrici rispetto all'asse "x"; se due punti hanno la stessa ordinata ma ascisse opposte sono simmetrici rispetto all'asse "y"; se due punti hanno coordinate opposte sono simmetrici rispetto all'origine.
Il piano cartesiano viene suddiviso in quattro regioni denominate quadranti, indicate mediante numeri romani progressivi in senso antiorario:
Il piano cartesiano permette di rappresentare graficamente funzioni di due variabili del tipo formula_10 in cui x è la variabile indipendente e y la variabile dipendente. Ciò permette di visualizzare la "forma" di curve e risolvere graficamente sistemi di più equazioni come intersezioni tra le curve corrispondenti.
Per definizione, esiste una corrispondenza biunivoca fra i punti del piano cartesiano e le coppie ordinate di numeri reali. L'insieme di tutte le coppie di numeri reali, formula_11 è un formula_12-spazio vettoriale. La base canonica di formula_11 è formula_14 ove formula_15 ed formula_16. Gli elementi di E hanno un importante significato geometrico: sono i versori fondamentali sul piano, rispettivamente formula_17 e formula_18. Ciò vuol dire, per la definizione stessa di base di uno spazio vettoriale, che il piano cartesiano è generato dai versori fondamentali e che ogni punto del piano è esprimibile, "in modo unico", come combinazione lineare dei versori fondamentali (ciò giustifica l'espressione dei punti del piano cartesiano).
Si noti inoltre che ogni asse cartesiano è sottospazio vettoriale del piano cartesiano.
Aggiungendo una terza dimensione al piano otteniamo lo spazio euclideo tridimensionale, che è la modellizzazione a noi più familiare dello spazio fisico, e quella usata in meccanica classica: un sistema di assi cartesiani può quindi essere usato come sistema di riferimento per localizzare degli oggetti nello spazio, attribuendogli delle coordinate.
Essendo una diretta generalizzazione del piano cartesiano, un sistema di riferimento cartesiano tridimensionale è formato da tre rette orientate perpendicolari tra loro e incidenti in un punto, denominato origine degli assi. I tre assi (chiamati solitamente "x", "y" e "z") identificano tre piani nello spazio ("xy", "xz" e "yz"), che dividono lo spazio in otto "ottanti", simili ai quattro quadranti formati dagli assi cartesiani in due dimensioni. Ogni punto è identificato da 3 coordinate, che rappresentano ognuna la distanza del punto al piano formato dagli altri due.
Come nel caso del piano, ogni punto dello spazio tridimensionale può essere individuato da un vettore nello spazio tridimensionale (indicato come formula_19 e viene espresso come combinazione lineare dei tre versori di base, indicati convenzionalmente con formula_20, formula_21 e formula_22:
dove "x", "y" e "z" rappresentano proprio le coordinate nel punto nel sistema di riferimento formato dalla base formula_24.
Il piano cartesiano (e più in generale il sistema di riferimento cartesiano a "n" dimensioni) ha permesso di conciliare la geometria e l'algebra in un'unica branca della matematica: la "geometria analitica" (chiamata così dall'analisi matematica). Per esempio nel piano cartesiano una retta può essere espressa mediante un'equazione di primo grado a due variabili che rappresenta una funzione lineare del tipo ax+by=c; l'intersezione di due (o più) rette rappresenta un sistema di equazioni lineari.
Le equazioni di cui si è detto prima possono essere espresse in due forme: la forma esplicita e la forma implicita.
Nel caso ad esempio di una retta, la prima consiste un'equazione del tipo "y = mx + q", mentre la seconda si presenta come "ax + by + c = 0". Per passare dalla forma implicita a quella esplicita basta portare tutti i termini escluso "by" nel secondo membro e poi dividere per "b" ("principio di equivalenza delle equazioni"). Si noti che, nella forma esplicita, il termine noto q, detto intercetta o ordinata all'origine, indica l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse y, mentre il coefficiente dell'incognita x, m, è detto coefficiente angolare ed indica la "pendenza" della retta.
Naturalmente il passaggio dalla forma implicita a quella esplicita è possibile solo se il coefficiente b è diverso da zero, cioè solo se la retta non è parallela all'asse delle ordinate.
Dati due punti distinti formula_25 e formula_26, l'equazione della retta passante per quei punti è: formula_27 anche detta formula_28 dove formula_29 è il coefficiente angolare dato da formula_30
