
In matematica, e in particolare in geometria, una rotazione è una trasformazione del piano o dello spazio euclideo che sposta gli oggetti in modo rigido e che lascia fisso almeno un punto, nel caso del piano, o una retta, nel caso dello spazio. I punti che restano fissi nella trasformazione formano più in generale un sottospazio: quando questo insieme è un punto o una retta, si chiama rispettivamente il "centro" e l"'asse" della rotazione. 
Più precisamente, una rotazione è una isometria di uno spazio euclideo che ne preserva l'orientazione, ed è descritta da una matrice ortogonale speciale.
Qualunque sia il numero delle dimensioni dello spazio di rotazione, gli elementi della rotazione sono:
In due dimensioni, una rotazione è una trasformazione formula_1, la quale supposta antioraria dipende da un angolo formula_2, e che trasforma il vettore formula_3 in
Usando la moltiplicazione di matrici la rotazione antioraria può essere descritta così:
La matrice quadrata presente in questa espressione è una matrice ortogonale speciale di rango formula_6. Questa trasformazione è chiamata rotazione antioraria di angolo formula_2 intorno all'origine.
La matrice formula_8 che descrive la rotazione è spesso chiamata matrice di rotazione di angolo formula_2.
Le formule di rotazione possono essere ottenute ragionando nel modo seguente. 
Sia formula_10 un punto qualsiasi e siano formula_11 e formula_12 le sue coordinate polari.
Si ha
il punto formula_14, immagine di formula_15 in una rotazione antioraria di un angolo formula_2, ha coordinate polari formula_17. Le sue coordinate cartesiane sono perciò date dal sistema precedente, ove si ponga formula_18 al posto di formula_12:
applicando le formule di addizione di seno e coseno e tenendo conto anche delle formule iniziali, si ottengono le formule di rotazione, infatti:
Una rotazione si esprime in modo più conciso interpretando il piano come piano complesso: una rotazione equivale al prodotto per un numero complesso di modulo unitario. 
In questo modo, ad esempio, la rotazione di angolo formula_2, con centro nell'origine, si scrive come
L'insieme dei numeri complessi con modulo unitario è algebricamente chiuso rispetto al prodotto, formando così un gruppo abeliano, chiamato il gruppo circolare: l'interpretazione complessa delle rotazioni del piano può essere allora espressa come il fatto che il gruppo circolare e il gruppo ortogonale speciale formula_24 sono isomorfi.
In tre dimensioni, una rotazione è determinata da un "asse", dato da una retta formula_25 passante per l'origine, e da un "angolo" formula_2 di rotazione. Per evitare ambiguità, si fissa una direzione dell'asse, e si considera la rotazione di angolo formula_2 effettuata in senso antiorario rispetto all'asse orientato. La rotazione è descritta nel modo più sintetico scrivendo i vettori dello spazio in coordinate rispetto ad una base ortonormale formula_28, dove formula_29 è il vettore di lunghezza uno contenuto in formula_25 e avente direzione giusta. La rotazione intorno all'asse formula_31 trasforma il vettore di coordinate formula_32 in:
Una rotazione generale in 3 dimensioni può essere espressa come una composizione di 3 rotazioni intorno a tre assi indipendenti, come ad esempio gli assi formula_34. Quindi dati tre angoli formula_35, che indicano rispettivamente di quanto si deve ruotare intorno a ognuno degli assi, la matrice di rotazione risulta:
formula_36
Senza cambiare base, la rotazione di un angolo formula_2 intorno ad un asse determinato dal versore formula_38 (ossia un vettore di modulo unitario) è descritta dalla matrice seguente:
Ponendo formula_40 oppure formula_41 oppure formula_42 si ottiene rispettivamente la rotazione attorno all'asse formula_43 all'asse formula_44 e all'asse formula_45 
Tale matrice è stata ottenuta scrivendo la matrice associata alla trasformazione lineare (rispetto alle basi canoniche nel dominio e codominio) della formula di Rodrigues.
In molte applicazioni risulta conveniente usare l'algebra dei quaternioni per effettuare rotazioni nello spazio tridimensionale.
In uno spazio euclideo di dimensione arbitraria, una rotazione è una trasformazione lineare dello spazio in sé che è anche una isometria, e che mantiene l'orientazione dello spazio. Le matrici formula_46 che realizzano queste trasformazioni sono le matrici ortogonali speciali.


La retta o linea retta è uno dei tre enti geometrici fondamentali della geometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi "Elementi" come un concetto primitivo. Un filo di cotone o di spago ben teso tra due punti è un modello materiale che ci può aiutare a capire cosa sia la retta, un ente geometrico immateriale senza spessore e con una sola dimensione.
La retta è illimitata in entrambe le direzioni, e inoltre contiene infiniti punti, cioè è infinita. Viene generalmente contrassegnata con una lettera minuscola dell'alfabeto latino (solitamente con la "r").
La retta è il secondo ente fondamentale della geometria; geometricamente priva di alcuno spessore ha una sola dimensione: la lunghezza.
Una retta può "giacere" (cioè essere contenuta) nel piano o nello spazio tridimensionale.
Due rette nel piano possono essere:
Due rette nello spazio possono essere:
Date due rette sghembe, per ognuna di esse passa un unico piano parallelo all'altra retta. La distanza tra questi due piani equivale alla distanza tra le due rette.
Una retta nel piano cartesiano è descritta da un'equazione lineare
dove i coefficienti formula_2, formula_3 e formula_4 sono dei numeri reali fissati, con formula_2 e formula_3 non contemporaneamente nulli.
Se formula_7 oppure formula_8, è possibile descrivere la stessa retta in "forma esplicita" rispettivamente in una delle due forme seguenti:
dove formula_11 si chiama "coefficiente angolare" e quantifica la pendenza della retta. Nella prima delle equazioni di cui sopra il termine noto formula_12 rappresenta l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse delle formula_13 ("ordinata all'origine" o "intercetta"), nella seconda il termine noto formula_14 rappresenta l'ascissa del punto di intersezione della retta con l'asse delle formula_15.
Nello spazio euclideo tridimensionale, una retta può essere descritta tramite "equazioni cartesiane" come luogo di intersezione di due piani non paralleli:
In questo caso le soluzioni del sistema dipendono da un solo parametro formula_17 ed è sempre possibile ricavare un insieme di "equazioni parametriche" per la retta:
dove il vettore formula_19 è un vettore parallelo alla retta e il punto formula_20 è un punto appartenente alla retta.
Se formula_21 sono tutti diversi da zero è possibile ricavare le cosiddette "equazioni simmetriche" della retta:
Sia le equazioni cartesiane che le equazioni parametriche della retta non sono univocamente determinate, e sono in effetti infinite.
Nello spazio euclideo formula_23-dimensionale formula_24, una "retta" è un insieme dei punti del tipo
dove formula_26 e formula_27 sono due vettori fissati in formula_24 con formula_27 diverso da zero. Il vettore formula_27 descrive la direzione della retta, mentre formula_26 è un qualsiasi punto della retta. Scelte differenti dei vettori formula_26 e formula_27 possono descrivere la stessa retta.
Questa definizione di retta nello spazio di dimensione formula_23 è una estensione della rappresentazione in "forma esplicita" nel piano descritta sopra. Descrivere invece una retta in "forma implicita" come insieme di vettori che soddisfano delle equazioni lineari è più complicato, perché per il teorema di Rouché-Capelli sono necessarie formula_35 equazioni.
Si definisce come distanza tra due rette formula_36 e formula_37 la distanza minima tra due punti formula_38 e formula_39.
Tale distanza è ovviamente nulla nel caso di due rette che si intersecano. Per esaminare i restanti due casi (rette parallele e sghembe) verrà utilizzata la rappresentazione parametrica, che permette una trattazione unitaria per tutte le dimensioni. Siano dunque date due rette formula_40 e formula_41 di equazioni parametriche rispettivamente:
dove formula_43 e formula_44 sono i loro vettori direzionali e formula_45 e formula_46 i vettori associati al punto formula_47 della retta formula_40 e al punto formula_49 della retta formula_41, relativamente alla terna cartesiana formula_51.
Dato che le rette sono parallele possiamo misurare la distanza a partire da un punto qualsiasi della prima retta. Scegliamo il punto di formula_40 segnato dal vettore formula_45. Ogni punto della retta formula_41 può essere espresso nella forma formula_55. Se chiamo formula_56 il vettore ortogonale a formula_43 che segna la distanza dall'altra retta, allora per le proprietà del prodotto scalare
Ottenuto formula_56 risolvendo la precedente equazione (incognita in formula_60) è sufficiente calcolare la norma di formula_56 quindi con riferimento all'equazione parametrica la distanza formula_62 fra due rette parallele formula_36 e formula_64 si può scrivere come:
dove il vettore formula_27 è un vettore parallelo alle rette e il vettore formula_67 è il vettore che congiunge un punto formula_68 della retta formula_36 e un punto formula_70 della retta formula_64 ovvero la distanza fra due rette parallele è data dalla proiezione del vettore formula_67 nel verso ortogonale alle stesse.
Dimostrazione: dalle formule del prodotto vettoriale, i moduli dei versori sono unitari, resta:
formula_73
Se definiamo formula_56 come il vettore ortogonale a formula_75, la cui norma è la distanza tra le due rette, il nostro problema si riduce a trovare la norma di formula_56. I tre vettori formula_56, formula_43 e formula_44 sono una base, e possiamo quindi facilmente scomporre il vettore formula_80 lungo le tre componenti. Quindi
Molto semplicemente si ricava che
con riferimento all'equazione parametrica la distanza formula_62 fra due rette sghembe formula_36 e formula_64 si può scrivere come:
dove il vettore formula_67 è il vettore che congiunge un punto formula_68 della retta formula_36 che ha vettore parallelo formula_90 e un punto formula_70 della retta formula_64 che ha vettore parallelo formula_93, il vettore formula_94 è il vettore ortogonale formula_95 ovvero la distanza fra due rette sghembe è data dalla proiezione del vettore formula_67 nel verso del vettore formula_94.
Dimostrazione: dalle formule del prodotto scalare il modulo del versore è unitario, resta : formula_98
