
Nella geometria euclidea, un triangolo equilatero è un triangolo avente i suoi tre lati congruenti tra loro. Si dimostra che i suoi angoli sono tutti congruenti e pari a 60° = formula_1rad. Poiché è sia equilatero sia equiangolo è il poligono regolare con tre lati.
I triangoli equilateri sono particolari triangoli isosceli. Tutti i triangoli equilateri sono simili tra di loro: per caratterizzare metricamente un triangolo equilatero, ovvero per caratterizzare la classe dei triangoli equilateri nel piano ottenibili gli uni dagli altri mediante traslazioni e rotazioni, serve e basta un parametro estensivo; tipicamente si usa la lunghezza dei suoi lati. 
Nei triangoli equilateri, le bisettrici, le mediane, le altezze e gli assi si sovrappongono cosicché lo stesso punto rappresenta l'ortocentro, il baricentro, l'incentro e il circocentro. 
Il gruppo delle simmetrie del "triangolo equilatero" è costituito dall'identità, dalle rotazioni intorno al suo centro di 120° e di 240° e dalle riflessioni rispetto alle bisettrici degli angoli. Tale gruppo è isomorfo al gruppo simmetrico di 3 oggetti S.
Come mostra Euclide in Elementi I, 1 (è la prima proposizione di tutta l'opera), il triangolo equilatero dato il lato AB si può costruire con riga e compasso in questo modo:
La dimostrazione è semplice: essendo, per definizione, tutti i punti della circonferenza equidistanti dal centro, il segmento AB è congruente ad AC, e AB è congruente a BC. Ma allora per la proprietà transitiva della congruenza, AB = AC = BC e il triangolo è equilatero.
Indicando con formula_2 il lato del triangolo, con formula_3 il perimetro, con formula_4 l'area, con formula_5 la base e con formula_6 l'altezza si ha:
Il centro geometrico del triangolo è il centro delle circonferenze inscritta e circoscritta al triangolo equilatero
Il raggio della circonferenza circoscritta è formula_15
da cui formula_16
Il raggio della circonferenza inscritta è formula_17
da cui formula_18
L'area, noto R, è formula_19


In geometria un poligono è una figura geometrica piana delimitata da una linea spezzata chiusa. I segmenti che compongono la spezzata chiusa si chiamano lati del poligono e i punti in comune a due lati consecutivi si dicono vertici del poligono.
La parola "poligono" deriva dal greco πολύς (polys, "molti") e γωνία (gōnia, "angolo").
Una definizione di poligono è la seguente.
Ricordiamo che una linea spezzata è l'insieme finito e totalmente ordinato di segmenti, detti lati, che sono ordinatamente consecutivi e ordinatamente non adiacenti. Una linea spezzata è "chiusa" quando il secondo estremo dell'ultimo segmento coincide con il primo estremo del primo. Una linea spezzata è "semplice" (o "non intrecciata") se due lati non successivi, secondo l'ordinamento assegnato, non si intersecano (a parte il primo e l'ultimo lato che possono avere in comune rispettivamente il primo e il secondo estremo).
Il punto in comune a due lati consecutivi è detto "vertice".
Il fatto che una linea spezzata chiusa non intrecciata delimiti effettivamente una porzione di piano è, per quanto intuitivo, un risultato non banale della geometria piana: si tratta di una conseguenza del teorema della curva di Jordan. 
Una definizione costruttiva è la seguente: un punto formula_1 del piano appartiene al poligono se (con al più un numero finito di eccezioni) tutte le semirette uscenti da formula_1 intersecano la spezzata in un numero finito e dispari di punti distinti.
Una prima classificazione di un poligono riguarda il suo numero di lati (vedi i nomi di poligono).
Un poligono è:
Un poligono semplice è:
In base alla simmetria, un poligono è:
La somma degli angoli interni di un poligono è pari a tanti angoli piatti quanti sono i suoi lati (formula_4), meno due
Ad esempio, il poligono in figura ha cinque lati, e quindi:
La dimostrazione può essere svolta per induzione: in un triangolo la somma degli angoli è formula_3, e preso un qualunque poligono una sua diagonale lo divide in due altri poligoni con un numero minore di lati, per cui si può far valere l'ipotesi induttiva.
La somma degli angoli esterni di un poligono convesso con formula_4 lati è uguale a 
In quanto la somma di tutti gli angoli esterni ed interni è, evidentemente, uguale a formula_4 volte un angolo giro: sottraendo al totale la somma di quelli interni, avremo la somma di quelli esterni.
Con la formula dell'area di Gauss è possibile calcolare l'area di un poligono con formula_4 vertici aventi coordinate cartesiane formula_12 nel modo seguente: 
con la convenzione che formula_14.
Con questa formula possiamo ricavare una superficie di una qualsiasi figura piana attraverso le coordinate dei suoi vertici. È una formula molto utilizzata nella topografia e nella trigonometria.
Distinzione in base al numero di lati e, quindi, di angoli:
