
In matematica, la disuguaglianza triangolare afferma che, in un triangolo, la somma delle lunghezze di due lati è maggiore della lunghezza del terzo. Una sua conseguenza, la disuguaglianza triangolare inversa, afferma invece che la differenza tra le lunghezze dei due lati è minore della lunghezza del rimanente.
Nel contesto della geometria euclidea, la disuguaglianza triangolare è un teorema, conseguenza del teorema del coseno, e, nel caso di triangoli rettangoli, conseguenza del teorema di Pitagora. Essa può essere usata per dimostrare che il percorso più breve tra due punti è il segmento rettilineo che li congiunge.
Nell'ambito degli spazi normati e degli spazi metrici, la disuguaglianza triangolare è una proprietà che ogni norma o distanza deve possedere per essere considerata tale.
Euclide dimostrò la disuguaglianza triangolare usando la costruzione in figura. Iniziando con un triangolo formula_1, si costruisce un triangolo isoscele prendendo il lato formula_2 e un segmento formula_3 della stessa lunghezza lungo il lato formula_4. Poiché l'angolo formula_5 è maggiore dell'angolo formula_6, per i corrispondenti lati opposti vale la stessa disuguaglianza: quindi formula_7. Ma poiché formula_8, si ha che formula_9, ovvero la disuguaglianza cercata. Questa dimostrazione compare negli Elementi di Euclide, libro 1, proposizione 20. Nel 1752, la proposizione euclidea è oggetto di una dissertazione di Tommaso Maria Gabrini, che ne conferma la tesi.
Nel caso di triangolo rettangoli, la disuguaglianza afferma che la somma dei due cateti è maggiore dell'ipotenusa, mentre la differenza è minore di essa.
La disuguaglianza triangolare può essere estesa, tramite induzione matematica, ad un poligono con un numero qualsiasi di lati. In questo caso, essa afferma che la lunghezza di un lato è minore della somma di tutti i rimanenti.
La disuguaglianza triangolare può essere usata per provare che la distanza più breve tra due punti è realizzata dal segmento rettilineo che li congiunge.
Nella sua forma per poligoni generali, essa già prova che ogni percorso lungo una linea spezzata è più lungo di quello lungo il segmento rettilineo che congiunge i due punti. Poiché la lunghezza di una curva qualsiasi è definita come l'estremo superiore della lunghezza delle spezzate che approssimano la curva, si ha che essa è più lunga proprio di queste spezzate, e quindi anche del segmento rettilineo tra i due punti.
Nell'ambito degli spazi metrici, la disuguaglianza triangolare è una proprietà che deve soddisfare una distanza per essere tale. Essa afferma che, in uno spazio metrico formula_10, comunque si scelgano tre punti formula_11, formula_12 e formula_13, vale che:
La disuguaglianza triangolare è responsabile di molte proprietà interessanti delle metriche, tra cui quelle riguardanti la convergenza: è grazie ad essa che si può dimostrare che ogni successione convergente in uno spazio metrico è una successione di Cauchy.
Nell'ambito degli spazi normati, ogni norma deve soddisfare la disuguaglianza triangolare per essere tale. Quindi, considerato uno spazio vettoriale normato formula_15, comunque si scelgano due vettori formula_11 e formula_12 deve valere che
ovvero la norma della somma di due vettori è minore o uguale della somma delle loro norme.
Grazie a tale proprietà, ponendo per ogni formula_11 e formula_12
la funzione formula_22 è una metrica, detta metrica indotta dalla norma. Vale infatti la disuguaglianza triangolare:
Il valore assoluto è una norma per i numeri reali, e quindi soddisfa la disuguaglianza triangolare. Infatti, poiché valgono le seguenti relazioni per ogni formula_11 e formula_12:
sommando membro a membro si ottiene
da cui la disuguaglianza triangolare (applicando una delle proprietà del valore assoluto)
Più precisamente,
Se su uno spazio è definito un prodotto scalare formula_34, è possibile definire la norma indotta da esso:
Come conseguenza della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, essa soddisfa la disuguaglianza triangolare:
da cui, estraendo la radice:
La disuguaglianza triangolare inversa è una immediata conseguenza della disuguaglianza triangolare, che dà un limite dal basso invece che dall'alto. Nell'ambito della geometria euclidea essa afferma che ogni lato è maggiore della differenza degli altri due.
Nel caso di spazi normati, essa afferma che:
Nel caso di spazi metrici, invece:
Questa proprietà implica che sia la funzione norma formula_39 che la funzione distanza da un punto formula_40 sono funzioni di Lipschitz con costante di Lipschitz uguale a 1.


In geometria il punto è un concetto primitivo. Intuitivamente equivale ad un'entità adimensionale spaziale, per cui può essere considerato semplicemente come una posizione, cioè come una coordinata.
In topologia ed analisi matematica, viene spesso chiamato punto un elemento qualunque di uno spazio topologico e, in particolare, di uno spazio funzionale.
Negli "Elementi" di Euclide, al punto è riservata la prima delle definizioni del I libro, dove si indica che punto è ciò che non ha parti. Il punto è l'ente fondamentale della geometria ed è privo di una qualsiasi dimensione. Tale definizione è di tipo "ostensivo" cioè non ha una valenza logica ma che serve ad indicare ciò di cui ci si vuole occupare.
Con l'assiomatizzazione rigorosa della geometria effettuata da David Hilbert nei Grundlagen der Geometrie il punto, assieme alla retta ed al piano, diventa una delle nozioni primitive della geometria e quindi non è definito. Da notare che sarebbe possibile anche fondare la geometria assumendo come primitiva la nozione di regione e definendo i punti tramite opportune classi di "regioni sempre più piccole". Ricerche in tale direzione, che iniziano con alcune analisi di Alfred North Whitehead, vanno sotto il nome di "Geometria senza punti".
Molti preferiscono dare una definizione di questi tre enti fondamentali della geometria e definiscono il punto l'ente che, pur essendo reale, non ha dimensioni.
Un punto nella geometria euclidea non ha grandezze di alcun tipo (volume, area, lunghezza), e nessuna caratteristica in generale tranne la sua posizione. I postulati di Euclide asseriscono in alcuni casi l'esistenza di punti; un esempio: se due linee in un piano non sono parallele, c'è esattamente un punto che appartiene ad entrambe.
Tre o più punti nello spazio si dicono allineati se sono contenuti in una retta. Quattro o più punti nello spazio si dicono complanari se sono contenuti in un piano.
Nella geometria euclidea il punto è in relazione con gli altri enti geometrici fondamentali, quali la retta e il piano. Ad esempio:
Nella geometria cartesiana del piano e dello spazio euclideo un punto è identificato da un insieme ordinato di coordinate. Quindi un punto nello spazio tridimensionale è rappresentato da una terna ordinata di numeri, ad esempio: formula_1
In generale, un punto in uno spazio euclideo di dimensione formula_2 è una successione di formula_2 numeri. In questo contesto i punti possono essere identificati con i vettori (applicati nell'origine).
Le proprietà elencate sopra possono essere estese ad uno spazio euclideo di dimensione arbitraria nel modo seguente:
Oppure possono essere estese a oggetti "curvi", quali curve e superfici, ad esempio nel modo seguente:
