
In matematica un cilindro ellittico è una quadrica (cioè una superficie nello spazio tridimensionale definita da un'equazione polinomiale di secondo grado in formula_1, formula_2, formula_3), che soddisfa la seguente equazione in coordinate cartesiane:
Questa è l'equazione di un cilindro ellittico. Un cilindro può essere anche considerato un prisma a base circolare, dove il numero dei rettangoli è quindi infinito.
Se formula_5 si ha la superficie di un "cilindro circolare". Il cilindro è una "quadrica degenere" in quanto una delle coordinate dello spazio non compare nella sua equazione (nel caso precedente la coordinata formula_3). Secondo certe terminologie i cilindri non sono considerati casi particolari di quadriche.
Nell'uso comune, con la parola "cilindro" si intende l'insieme limitato dei punti delimitati da un "cilindro circolare retto" e da due piani ortogonali al suo asse; alle sue due estremità piane esso presenta due superfici circolari, come nella figura a destra. Se questo cilindro ha raggio formula_7 e altezza formula_8, il suo volume è dato da
e la sua superficie laterale
mentre la sua superficie totale è data dalla somma della superficie laterale e del doppio della superficie di base.
Superficie di base:
Superficie totale:
Si può calcolare il volume del cilindro per mezzo del calcolo integrale come il volume del solido ottenuto dalla rotazione di una retta parallela all'asse delle ordinate (del tipo formula_13, con formula_14 costante) attorno all'asse delle ascisse. Si ha:
Essendo formula_14 proprio il raggio formula_7 del cilindro.
Per un dato volume, il cilindro con la minima area superficiale, ha formula_18. Per una data area superficiale, il cilindro con più esteso volume ha formula_18. Un cilindro di questo tipo è detto "cilindro equilatero".
Qualora si dovesse calcolare il volume di un cilindro circolare troncato si deve utilizzare la seguente formula:
dove formula_8 indica la lunghezza del lato corto, mentre formula_22 indica la lunghezza del lato lungo.
Nel caso si dovesse calcolare la superficie laterale di un cilindro circolare troncato la formula è:
Un cilindro ellittico è invariante per le rotazioni di formula_24 intorno al suo asse di simmetria, l'asse delle formula_3 nel caso della equazione di partenza; esso è anche invariante per tutte le traslazioni dirette come il suo asse. Un cilindro circolare è anche invariante per tutte le rotazioni intorno al suo asse.
Ci sono altri tipi di cilindro meno usuali. Quello caratterizzato dall'equazione che segue viene detto "cilindro ellittico immaginario":
il "cilindro iperbolico" ha equazione:
mentre il "cilindro parabolico" ha equazione:
Più in generale, data una curva ed una retta, un cilindro è la superficie rigata costituita dalle rette parallele alla retta data ed incidenti con la curva.
Un problema ricorrente è il calcolo del volume di liquido posto all'interno di un cilindro in orizzontale di lunghezza formula_29 e raggio formula_7, in funzione dell'altezza formula_31 raggiunta dal liquido. Il problema è di facile risoluzione: il volume è pari all'area sottesa tra la corda di altezza formula_8 e la circonferenza, moltiplicata per la lunghezza formula_29 del cilindro.
Sia formula_34 l'angolo al centro (misurato in radianti) che insiste sulla corda; stabiliamo sia formula_35 se formula_36 e formula_37 se invece formula_38; sarà:
La formula sarà allora data dall'area della sezione circolare individuata dall'angolo formula_34 meno il prodotto
(che rappresenta l'area del triangolo che ha come vertici il centro del cerchio e le intersezioni fra i lati dell'angolo e la circonferenza, o il suo opposto, a seconda del segno di formula_43), il tutto moltiplicato per la lunghezza formula_29 del cilindro, e quindi:
Dall'applicazione del calcolo integrale si ottiene invece la seguente formula, valida per qualsiasi altezza di liquido (formula_8) sia per un livello al di sotto della metà del serbatoio, sia per un livello al di sopra della metà stessa, applicabile misurando direttamente la sola altezza h del liquido e conoscendo la lunghezza del cilindro e il suo raggio. In tale formula, per formula_8 si intende l'altezza di liquido misurata con l'asticella graduata dal fondo del serbatoio.
Va tuttavia tenuto presente che generalmente i serbatoi non sono perfettamente cilindrici. Vengono pertanto predisposte apposite tabelle di ragguaglio per la determinazione del volume di liquido, contenuto in un serbatoio posto orizzontalmente, in base al livello del liquido stesso.


La sfera (dal greco σφαῖρα, "sphaîra") è il solido geometrico costituito da tutti i punti che sono a distanza minore o uguale a una distanza fissata formula_1, detta "raggio della sfera", da un punto formula_2 detto "centro della sfera".
L'insieme dei punti la cui distanza è eguale a formula_1 è detto "superficie sferica" di centro formula_2 e raggio formula_1.
È detta "semisfera" ciascuna delle metà di un solido sferico diviso in due da un piano passante per il centro o anche ciascuna delle due superfici di una sfera divisa da una sua circonferenza massima.
In geometria cartesiana, una superficie sferica con centro formula_6 e di raggio formula_1 è rappresentata dall'insieme di punti formula_8 tali che
I punti della superficie sferica possono essere parametrizzati in coordinate sferiche nel modo seguente
dove formula_11 e formula_12 rappresentano la latitudine e la longitudine del punto, variando negli intervalli
Ogni punto della superficie sferica è descritto da una sola coppia formula_14 di questo tipo, tranne i poli: la coppia formula_15 descrive sempre il polo nord, e formula_16 sempre il polo sud (per qualsiasi valore di formula_12).
Alternativamente si può utilizzare l'equazione cartesiana della superficie sferica:
con formula_19, formula_20, formula_21, formula_22, numeri reali tali che formula_23. Dall'equazione cartesiana si possono ricavare le coordinate del centro:
L'area della superficie di una sfera di raggio formula_25 è data dall'equazione:
La sfera può essere pensata come un solido di rotazione ottenuto ruotando attorno all'asse formula_27 il grafico della funzione
che rappresenta una semicirconferenza di raggio formula_25. Pertanto, per il primo teorema di Guldino, la superficie laterale è data da:
La superficie totale della sfera si può ottenere, per il primo teorema di Guldino, tramite il seguente integrale:
Il volume della sfera di raggio formula_25 è dato dall'equazione (integrale in formula_33 della superficie):
La dimostrazione di questa formula può essere ottenuta in modo immediato usando il metodo degli indivisibili oppure con gli strumenti nell'analisi matematica.
Si pensi di sommare tutte le aree dei cerchi che si ottengono sezionando la sfera con dei piani orizzontali. Il raggio di questi cerchi varierà con una funzione formula_35 della distanza del piano orizzontale dal centro della sfera e dato che l'area di un cerchio equivale a formula_36 per il raggio al quadrato:
dove formula_38 appunto è la distanza del piano dal centro della sfera.
Raggio alla distanza formula_27
Dunque, dal teorema di Pitagora, formula_35 vale:
che, sostituita nell'equazione del volume, si trova:
Allo stesso modo si può calcolare il volume formula_44 di un segmento di sfera di altezza formula_45
La sfera può anche essere intesa come l'insieme di numerose piramidi infinitesime, tutte con il vertice nel centro della sfera e con i poligoni di base delle piramidi che poggiano sulla superficie della sfera: queste infinite piramidi elementari riempiranno tutto e solo il volume della sfera. Il volume di ogni piramide è:
dal quale si desume il significato della formula per il volume della sfera.
La sfera è la figura tridimensionale con il minimo rapporto superficie/volume: ciò spiega perché a tale forma tendono molti oggetti fisici, dalle gocce di liquido ai corpi celesti. Ad esempio, le bolle sono sferiche perché la tensione superficiale tende a minimizzare l'area a parità di volume.
Il cilindro circoscritto ha un volume che è formula_50 quello della sfera, ed una superficie laterale che è la stessa di quella della sfera. Questo fatto, e le formule scritte sopra, erano già noti ad Archimede.
Con l'aumentare del raggio, il volume della sfera cresce più della superficie. Infatti il rapporto fra queste due quantità è formula_51.
Una sfera può anche essere definita come formata da un semicerchio che ruota intorno al suo diametro. Se si usa una ellisse, si ottiene un ellissoide di rotazione.
Due punti della superficie sferica che stanno sulla stessa retta passante per l'origine sono detti antipodali, e una tale retta è detta "asse", poiché è un asse di simmetria della sfera.
Un cerchio massimo è una circonferenza avente lo stesso centro della sfera, ottenuta quindi intersecando la superficie sferica con un piano passante per l'origine.
Se un punto della superficie sferica è identificato come polo nord, il suo antipodale è il polo sud e l'equatore è il cerchio massimo equidistante dai due poli. I cerchi massimi passanti per i poli sono i meridiani, mentre la linea retta passante per l'origine ed i due poli è l"'asse". Questa terminologia è usata anche per i corpi celesti come la terra, anche se non perfettamente sferici.
La sfera può essere generalizzata in altre dimensioni. Per ogni numero naturale formula_52, una sfera formula_52-dimensionale è l'insieme dei punti nello spazio euclideo formula_54-dimensionale formula_55 che hanno una distanza fissata formula_56 da un certo punto dello spazio.
Ad esempio:
Le sfere di dimensione > 2 sono chiamate anche ipersfere. La sfera formula_52-dimensionale di raggio unitario, centrata nell'origine, viene indicata con formula_61.
Più in generale, in uno spazio metrico formula_62, la sfera di centro formula_27 e raggio formula_56 è l'insieme 
Una sfera in uno spazio metrico può essere un oggetto molto diverso dalla sfera usuale. Ad esempio, può essere vuota: se consideriamo formula_66 con la metrica euclidea, una sfera di raggio formula_1 è vuota se e solo se formula_68 non può essere scritto come somma di formula_52 quadrati.
Dove con formula_1 si intende il raggio della sfera, con formula_45 l'altezza del segmento di sfera o della calotta sferica, con formula_72 l'ampiezza in steradianti della calotta.
Per quanto si sia avvicinato, l'uomo non è ancora riuscito a produrre alcun oggetto dalla sfericità matematicamente perfetta. Finora il miglior risultato è stato raggiunto dall"'Australian Centre for Precision Optics", di Lindfield (Australia). La sfera è stata ottenuta attraverso una levigazione ad altissima precisione di una barra di silicio 28 (un isotopo del silicio) ed è frutto del Progetto Avogadro, che si propone di arrivare alla definizione del chilogrammo perfetto, basata sulla conoscenza dell'esatto numero di atomi che compongono tale sfera. Il suo diametro è di 9,36 centimetri e come uniche imperfezioni presenta una rugosità di 0,3 nanometri e piccole deviazioni di sfericità di circa 60-70 nanometri. In precedenza, il miglior risultato era stato ottenuto dalla NASA, che per la sonda Gravity Probe B, costruita per degli studi gravitazionali in orbita, ha creato dei giroscopi con deviazioni inferiori ai 100 nanometri.
Parmenide paragona l'Essere a una sfera perfetta, sempre uguale a se stessa nello spazio e nel tempo, chiusa e finita (per gli antichi greci il finito era sinonimo di perfezione). La sfera è infatti l'unico solido geometrico che non ha differenze al suo interno, ed è uguale dovunque la si guardi; l'ipotesi collima suggestivamente con la teoria della relatività di Albert Einstein che nel 1900 dirà: «Se prendessimo un binocolo e lo puntassimo nello spazio, vedremmo una linea curva chiusa all'infinito» in tutte le direzioni dello spazio, ovvero, complessivamente, una sfera (per lo scienziato infatti l'universo è finito sebbene illimitato, fatto di uno spazio tondo ripiegato su se stesso).
