
In matematica, e più precisamente in geometria, una riflessione è una trasformazione della retta, del piano o dello spazio che "specchia" tutti i punti rispetto a (rispettivamente) un punto, una retta, o un piano (detti rispettivamente centro, asse o piano di riflessione).
Sia "π" un iperpiano in uno spazio euclideo di dimensione "n" passante per l'origine. In altre parole, "π" è un sottospazio vettoriale di dimensione "n" − 1. 
Una riflessione rispetto a "π" è la trasformazione lineare data da
dove "a" è un qualsiasi vettore ortogonale a "π", e "v"·"a" è il prodotto scalare fra "v" ed "a".
Sia "p" un punto nello spazio euclideo. Una riflessione rispetto a "p" è la trasformazione lineare data da
Nel piano euclideo, due punti A e A' si dicono simmetrici rispetto a una retta "r" 
(cui non appartengono) quando "r" è l'asse del segmento [AA']. Il punto A' è il "simmetrico" di A rispetto ad "r" e viceversa. 
La corrispondenza biunivoca che associa ad ogni punto A che non appartiene ad "r" il punto A' suo simmetrico, e ad ogni punto C in "r" associa il punto C stesso, è detta simmetria assiale di "asse r" nel piano considerato.
La simmetria assiale è un"'isometria del piano", cioè conserva la lunghezza dei segmenti. 
Alcuni autori utilizzano la notazione formula_3 per indicare la simmetria assiale di asse "r"; il simmetrico di A si scrive quindi formula_4.
La simmetria assiale è involutoria, cioè coincide con la propria inversa e composta con se stessa dà l'identità. 
Infine, la simmetria assiale è un"'isometria di tipo inverso", cioè inverte l'orientazione degli oggetti (ad esempio, una coppia di assi ortogonali, il senso di percorrenza dei lati di un triangolo, etc.)
Si dice simmetria assiale di asse r la trasformazione geometrica che lascia invariata la retta r e che associa ad ogni punto P del piano non appartenente ad r il punto Q in modo tale che il segmento PQ sia perpendicolare alla retta r e abbia come punto medio H, piede della perpendicolare condotta da P a r.
Data l'equazione dell'asse di simmetria formula_5 e il segmento di estremi formula_6 e formula_7, la retta passante per P e Q è perpendicolare all'asse di simmetria (pertanto formula_8) e lo interseca nel punto medio H di coordinate
formula_9
Poiché H appartiene all'asse, vale la seguente equazione:
formula_10
Il coefficiente angolare della retta passante per P e Q si può scrivere come
formula_11
Pertanto,
formula_12
Per determinare le coordinate del punto Q, simmetrico di P, si ricorre al sistema di equazioni
formula_13
Da cui si ricava
formula_14
formula_16
formula_18
formula_20
formula_22
formula_24
formula_26
La riflessione è un tipo di corrispondenza biunivoca detta affinità che può essere ortogonale, quando il piano di riflesso (specchio) è ortogonale al piano della figura oggettiva, altrimenti obliqua.


In matematica, e in particolare in geometria, una rotazione è una trasformazione del piano o dello spazio euclideo che sposta gli oggetti in modo rigido e che lascia fisso almeno un punto, nel caso del piano, o una retta, nel caso dello spazio. I punti che restano fissi nella trasformazione formano più in generale un sottospazio: quando questo insieme è un punto o una retta, si chiama rispettivamente il "centro" e l"'asse" della rotazione. 
Più precisamente, una rotazione è una isometria di uno spazio euclideo che ne preserva l'orientazione, ed è descritta da una matrice ortogonale speciale.
Qualunque sia il numero delle dimensioni dello spazio di rotazione, gli elementi della rotazione sono:
In due dimensioni, una rotazione è una trasformazione formula_1, la quale supposta antioraria dipende da un angolo formula_2, e che trasforma il vettore formula_3 in
Usando la moltiplicazione di matrici la rotazione antioraria può essere descritta così:
La matrice quadrata presente in questa espressione è una matrice ortogonale speciale di rango formula_6. Questa trasformazione è chiamata rotazione antioraria di angolo formula_2 intorno all'origine.
La matrice formula_8 che descrive la rotazione è spesso chiamata matrice di rotazione di angolo formula_2.
Le formule di rotazione possono essere ottenute ragionando nel modo seguente. 
Sia formula_10 un punto qualsiasi e siano formula_11 e formula_12 le sue coordinate polari.
Si ha
il punto formula_14, immagine di formula_15 in una rotazione antioraria di un angolo formula_2, ha coordinate polari formula_17. Le sue coordinate cartesiane sono perciò date dal sistema precedente, ove si ponga formula_18 al posto di formula_12:
applicando le formule di addizione di seno e coseno e tenendo conto anche delle formule iniziali, si ottengono le formule di rotazione, infatti:
Una rotazione si esprime in modo più conciso interpretando il piano come piano complesso: una rotazione equivale al prodotto per un numero complesso di modulo unitario. 
In questo modo, ad esempio, la rotazione di angolo formula_2, con centro nell'origine, si scrive come
L'insieme dei numeri complessi con modulo unitario è algebricamente chiuso rispetto al prodotto, formando così un gruppo abeliano, chiamato il gruppo circolare: l'interpretazione complessa delle rotazioni del piano può essere allora espressa come il fatto che il gruppo circolare e il gruppo ortogonale speciale formula_24 sono isomorfi.
In tre dimensioni, una rotazione è determinata da un "asse", dato da una retta formula_25 passante per l'origine, e da un "angolo" formula_2 di rotazione. Per evitare ambiguità, si fissa una direzione dell'asse, e si considera la rotazione di angolo formula_2 effettuata in senso antiorario rispetto all'asse orientato. La rotazione è descritta nel modo più sintetico scrivendo i vettori dello spazio in coordinate rispetto ad una base ortonormale formula_28, dove formula_29 è il vettore di lunghezza uno contenuto in formula_25 e avente direzione giusta. La rotazione intorno all'asse formula_31 trasforma il vettore di coordinate formula_32 in:
Una rotazione generale in 3 dimensioni può essere espressa come una composizione di 3 rotazioni intorno a tre assi indipendenti, come ad esempio gli assi formula_34. Quindi dati tre angoli formula_35, che indicano rispettivamente di quanto si deve ruotare intorno a ognuno degli assi, la matrice di rotazione risulta:
formula_36
Senza cambiare base, la rotazione di un angolo formula_2 intorno ad un asse determinato dal versore formula_38 (ossia un vettore di modulo unitario) è descritta dalla matrice seguente:
Ponendo formula_40 oppure formula_41 oppure formula_42 si ottiene rispettivamente la rotazione attorno all'asse formula_43 all'asse formula_44 e all'asse formula_45 
Tale matrice è stata ottenuta scrivendo la matrice associata alla trasformazione lineare (rispetto alle basi canoniche nel dominio e codominio) della formula di Rodrigues.
In molte applicazioni risulta conveniente usare l'algebra dei quaternioni per effettuare rotazioni nello spazio tridimensionale.
In uno spazio euclideo di dimensione arbitraria, una rotazione è una trasformazione lineare dello spazio in sé che è anche una isometria, e che mantiene l'orientazione dello spazio. Le matrici formula_46 che realizzano queste trasformazioni sono le matrici ortogonali speciali.
