
In geometria piana, si dicono tassellature (talvolta tassellazioni o pavimentazioni) i modi di ricoprire il piano con una o più figure geometriche ripetute all'infinito senza sovrapposizioni.
Tali figure geometriche, (dette appunto "tasselli"), sono spesso poligoni, regolari o no, ma possono anche avere lati curvilinei, o non avere alcun vertice. L'unica condizione che solitamente si pone è che siano connessi, anzi semplicemente connessi (ovvero che siano un pezzo unico e non abbiano buchi).
In matematica sono state molto studiate anche le tassellazioni dello spazio, dove i tasselli sono solidi.
Si dicono regolari (o "periodiche") quelle tassellature che rispettano la seguente regola: "esistono due traslazioni indipendenti che mandano la tassellatura in sé stessa" (con ""indipendenti"" si intende che le due traslazioni non devono avere la stessa direzione).
Tale condizione viene solitamente detta regola del parallelogramma perché se chiamiamo formula_1 e formula_2 i vettori associati alle due più piccole traslazioni che mandano la tassellatura in sé ci accorgiamo che il parallelogramma avente come lati formula_1 e formula_2 (e che viene detto "parallelogramma di base") "genera" la tassellatura mediante le due traslazioni (in altre parole, possiamo ridisegnare tutta la tassellatura replicando il parallelogramma di base e senza mai doverlo ruotare o "rovesciare").
Sebbene tale condizione possa sembrare molto restrittiva, è rispettata da quasi tutte le pavimentazioni a cui si possa pensare. Il motivo per cui risulta utile è che permette di confrontare tra di loro tassellature all'apparenza totalmente diverse.
La sagoma del parallelogramma di base non è però il modo più completo per classificare le tassellature regolari; conoscere le misure dei suoi angoli e dei suoi lati infatti non ci permette di stabilire con certezza le caratteristiche geometriche della nostra tassellatura: potrebbe accadere che ci sia una porzione di piano "più piccola" del parallelogramma (più precisamente, una proporzione del parallelogramma) con la quale sia possibile ricostruire tutta la tassellatura (non più con sole traslazioni, ma utilizzando anche altre isometrie): il disegno minimo. Diremo quindi che due tassellature appartengono alla stessa classe se:
Ad esempio, nell'immagine a fianco vediamo una tassellatura con accanto il suo parallelogramma di base (un quadrato) e il suo disegno minimo (un triangolo rettangolo). La tassellatura si può ottenere traslando il quadrato, ma anche traslando e riflettendo il solo triangolo rettangolo. Invece non esiste nessuna porzione di piano più piccola del triangolo con cui si possa ricreare tutta la tassellatura.
Si dimostra che le classi di tassellature regolari sono esattamente 17. Per catalogare una qualsiasi tassellazione è sufficiente conoscere le trasformazioni necessarie per generarla a partire dal disegno minimo, come schematizzato nella seguente tabella:
Esiste una grandissima varietà di tassellature regolari aventi come tasselli dei poligoni regolari. Si dimostra però che ne esistono "solo 11" che rispettano le seguenti due condizioni:
Quando diciamo che ne esistono esattamente 11, non ci riferiamo più alle classi, ma proprio alla forma degli spigoli: stiamo dicendo che date 12 tali tassellature ce ne saranno sempre almeno 2 tali che, scalandone e colorandone opportunamente una, essa diventi identica all'altra.
In particolare, è piuttosto facile osservare che se imponiamo l'utilizzo di "un solo poligono regolare" per tutta la tassellatura, abbiamo 3 configurazioni possibili; infatti la misura degli angoli del tassello dovrà essere un divisore intero di 360, e quindi andranno bene solo il triangolo equilatero (formula_5), il quadrato (formula_6) e l'esagono regolare (formula_7):
Con due o più poligoni regolari abbiamo invece le seguenti configurazioni (sotto ogni immagine sta la "descrizione dei vertici", che - ricordiamo - sono tutti uguali: ogni numero indica il tipo di poligono adiacente, girando in senso orario):
Come già detto, molte delle tassellature a cui viene da pensare sono regolari. Altre tassellature, pur non essendo regolari, vengono mandate in sé stesse da particolari traslazioni (è il caso ad esempio di tassellature composte da bande di lunghezza infinita una accanto all'altra che siano ricoperte ognuna da una stessa tassellatura regolare ma disposte sfalsate tra di loro).
È possibile però realizzare, ed è un risultato a cui i matematici sono arrivati in tempi relativamente recenti, anche tassellature "aperiodiche", ovvero tali che "nessuna" traslazione le mandi in sé. È il caso ad esempio dei domino di Wang, delle piastrelle di Robinson e della famosa tassellatura di Penrose.
Abbiamo visto che l'unico requisito richiesto a una forma geometrica per essere un "buon" tassello è essere connessa, anzi semplicemente connessa. Il motivo è semplice: supporre che un tassello non abbia tale caratteristica non aumenta sostanzialmente le possibili configurazioni, quindi non è geometricamente interessante.
Infatti se un tassello non sarà connesso sarà diviso in due parti, che potranno essere considerate come due tasselli separati.
Se un tassello invece è un pezzo unico ma presenta un buco dovrà essere riempito con uno o più tasselli, ma questo riempimento diventa un problema completamente indipendente dalla tassellatura intorno.
Le tassellature nell'arte figurativa, astratta e nell'architettura sono da sempre un modo di unire estetica, eleganza e semplicità, e sono state utilizzate in miriadi di contesti; riportiamo alcuni esempi significativi:
Non è un caso che le tassellature vengano chiamate anche "pavimentazioni": in effetti ogni possibile modo di coprire un pavimento con delle mattonelle di forma data non è altro che una tassellatura. È per questo che le tassellature sono necessariamente presenti in grandissima parte degli edifici realizzati nel corso della storia. In particolare tassellature colorate sono state spesso viste come un espediente per vivacizzare un pavimento, o una parete.
Famosissime sono le tassellature che ricoprono molte pareti del complesso de l'Alhambra, a Granada, frutto dell'arte e dei gusti arabi della dinastia nasride: gli arabi sono sempre stati grandi studiosi di matematica e geometria, e tali conoscenze pervadono anche la loro arte, tanto che è tuttora comunemente usato, per indicare motivi decorativi geometrici, il termine "arabesco".
Moltissime delle opere dell'artista olandese Maurits Cornelis Escher sono tassellature, i cui tasselli rappresentano solitamente pesci, uccelli, cavalli, pipistrelli, ma anche figure antropomorfe. Escher non solo dedicò moltissima attenzione alla realizzazione di tasselli che assomigliassero effettivamente agli animali che desiderava rappresentare, ma anche allo studio matematico e alla catalogazione delle tassellature, confrontandosi anche con matematici del suo tempo.
Dal punto di vista matematico le sue opere più ardite sono probabilmente quelle in cui raffigura tassellature disposte non su un ordinario piano euclideo ma trasferendo sul piano geometrie non euclidee. Sebbene queste non siano formalmente delle tassellature (dato che i tasselli non vengono solo ripetuti ma anche scalati), il ragionamento geometrico di base è lo stesso, adattato al modello di geometria non euclidea scelto. Ad esempio, nella famosa serie Limite del cerchio si può riconoscere i postulati del piano iperbolico studiato da Henri Poincaré.
Notevole è anche la serie Metamorphosis, in cui Escher concatena in una lunga striscia diverse tassellature alternate ad altri motivi geometrici o disegnati a mano libera, dando così anche l'idea che le semplici regole geometriche alla base delle tassellature siano presenti ovunque e alla base della natura stessa.
Molti materiali, sia naturali che artificiali, sono caratterizzati da una struttura microscopica che si ripete sempre più o meno uguale (fino alla regolarità estrema dei cristalli).
Ci sono svariati casi in cui è però possibile trovare tassellature di una regolarità talvolta sorprendente anche di dimensioni macroscopiche e quindi visibili a occhio nudo:
Nella computer grafica, in particolar modo nel rendering di ambienti 3D, questa tecnica permette di suddividere ulteriormente i poligoni, i quali grazie ad una displacement mapping o mappatura spostamenti potranno creare una forma tridimensionale più dettagliata.
Con la tassellazione dinamica si ha una diversa incisione di questo effetto, il quale sarà più marcato per oggetti vicini, mentre sarà ridotto per oggetti distanti, evitando così un inutile spreco di risorse.


Il triangolo è un poligono con tre lati e tre angoli.
Il triangolo è caratterizzato dalle seguenti proprietà:
Due triangoli sono congruenti se soddisfano almeno uno dei criteri di congruenza.
Due triangoli si dicono simili se soddisfano almeno uno dei criteri di similitudine.
I triangoli possono essere classificati in base alla lunghezza relativa dei lati:
I triangoli possono essere classificati anche in base alle dimensioni del loro angolo interno più ampio; sono descritti di seguito usando i gradi d'arco.
Per i triangoli che non sono rettangoli vale una generalizzazione del teorema di Pitagora nota in trigonometria come teorema di Carnot. 
Si dice triangolo degenere un triangolo che presenta un angolo 
di 180°. Gli altri due angoli hanno necessariamente ampiezza zero, ed un lato misura quanto la somma degli altri due: tale triangolo, come insieme di punti (graficamente), costituisce un segmento.
Si usa il termine "triangolo degenere" anche per una figura ottenuta come limite di un triangolo nel quale alcuni dei suoi vertici vanno all'infinito; tale figura si chiama anche triangolo ideale. Questa costruzione è molto usata in geometria iperbolica.
Un triangolo ideale con un vertice all'infinito risulta essere una striscia delimitata da un segmento e da due semirette che si estendono illimitatamente nella stessa direzione, ciascuna delle quali ha come estremità una di quelle del segmento; in particolare le rette possono essere ortogonali al segmento.
Ad ogni triangolo sono associati vari punti, ciascuno dei quali svolge un ruolo che, per qualche aspetto, lo qualifica come centrale per il triangolo stesso. Definiamo concisamente questi punti riferendoci ad un triangolo formula_1 i cui vertici denotiamo con formula_2, formula_3 e formula_4 e i cui lati opposti denotiamo rispettivamente con formula_5, formula_6 e formula_7.
L'area di un triangolo può essere trovata per via trigonometrica. Usando le lettere della figura a destra, l'altezza formula_55. Sostituendo questo nella formula trovata precedentemente (per via geometrica), formula_56. L'area di un triangolo è quindi anche uguale al semiprodotto di due lati per il seno dell'angolo compreso.
Di conseguenza, per la nota identità formula_57, l'area di un triangolo qualsiasi con i due lati formula_5 e formula_6 e l'angolo compreso formula_60, è uguale all'area del triangolo con gli stessi lati formula_5 e formula_6 ma con angolo compreso supplementare formula_63
L'area di un parallelogramma con due lati adiacenti formula_5 e formula_6 e angolo compreso formula_60 è il doppio di quella del triangolo che ha gli stessi dati, cioè formula_67.
Per risolvere il triangolo, cioè determinare la misura di tutti i lati ed angoli, dati due lati e l'angolo compreso fra di essi, o un lato e i due angoli adiacenti, si usano il teorema dei seni e il teorema del coseno, quest'ultimo meglio noto col nome di Carnot.
L'area formula_2 del triangolo può essere misurata con la formula matematica:
dove formula_6 è la base e formula_71 l'altezza ad essa relativa, perché il triangolo va visto come la metà di un parallelogramma di base formula_6 e altezza formula_71.
Alternativamente l'area del triangolo può essere calcolata con
dove formula_5, formula_6 e formula_7 sono i lati e formula_78 il semiperimetro (Formula di Erone).
Consideriamo un triangolo formula_79 nel piano cartesiano individuato attraverso le coppie di coordinate dei vertici formula_80.
La sua area formula_2 è dato dall'espressione
oppure con un'espressione che non utilizza il concetto di matrice
oppure
dove
e il suo perimetro formula_89 è dato da
Il concetto di triangolo si estende ed è ampiamente usato in tutte le geometrie non euclidee. Un triangolo in una geometria non euclidea si differenzia generalmente per il fatto che la somma dei suoi angoli interni non è 180°: questa somma è inferiore a 180° per ogni triangolo nel caso di una geometria iperbolica, mentre è superiore per ogni triangolo nel caso di una geometria ellittica.
Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due lati e l'angolo tra essi compreso, essi sono congruenti.
Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due angoli e il lato ad essi adiacente, essi sono congruenti.
Se due triangoli hanno rispettivamente congruente i tre lati, essi sono congruenti.
Criterio generale di congruenza dei triangoli
Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti un lato e due angoli qualsiasi, essi sono congruenti.
In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti ad esso.
In un triangolo l'angolo esterno di uno di essi è uguale alla somma degli altri due angoli interni.
In un triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.
Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti, allora sono simili. 
Se due triangoli hanno rispettivamente due lati proporzionali e l'angolo tra essi compreso congruente, allora sono simili. 
Se due triangoli hanno i tre lati rispettivamente proporzionali, allora sono simili.
Criterio generale di similitudine dei triangoli
Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti, essi sono simili.
In un triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa. 
In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. 
In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
