
Una terna pitagorica è una terna di numeri naturali formula_1, formula_2, formula_3 tali che formula_4. 
Il nome viene dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica e viceversa.
Se formula_5 è una terna pitagorica, lo è anche formula_6, dove formula_7 è un numero naturale qualsiasi. Il numero formula_7 è quindi un divisore comune dei tre numeri formula_9, formula_10, formula_11. Una terna pitagorica si dice "primitiva" se formula_1, formula_2 e formula_3 non hanno divisori comuni. I triangoli descritti da terne pitagoriche non primitive sono sempre simili a quelli descritti dalla corrispondente terna primitiva.
Esiste una formula capace di generare tutte le terne pitagoriche primitive; tali formule sono citate da Euclide (Ευκλείδης) nei suoi Elementi (τα Στοιχεία):
Le formule di Euclide generano una terna pitagorica primitiva se e solo se formula_16 e formula_17 sono coprimi ed uno di loro è pari e l'altro dispari (se sia formula_17 che formula_16 sono dispari formula_1, formula_2 e formula_3 sono pari, e quindi quella terna pitagorica non può essere primitiva). Tutte le terne primitive si possono ottenere in questo modo da un'unica coppia di numeri coprimi formula_23, mentre le restanti (non primitive) si possono ottenere moltiplicando i termini di una terna primitiva per un opportuno fattore. Le formule così modificate sono quindi in grado di generare tutte le terne possibili, anche se in modo non univoco:
Una conseguenza immediata di queste formule è che le terne pitagoriche sono infinite, in quanto sono infinite le possibili scelte di formula_16 e formula_17.
Inoltre è facile dimostrare che il prodotto di formula_1 per formula_2 (dei due cateti) è sempre divisibile per formula_29, mentre il prodotto formula_30 (di tutti e tre i lati del triangolo pitagorico) è sempre divisibile per formula_31 (formula_32).
Esistono solo 16 terne pitagoriche primitive con formula_33:
Eccone altre:
È interessante notare che ci possono essere più terne pitagoriche primitive con lo stesso intero minore. Il primo esempio è con il 20, che è il più piccolo intero di due terne primitive: 20, 21, 29 e 20, 99, 101.
Al contrario, il numero 1 229 779 565 176 982 820 è l'intero minore in esattamente 15 386 terne primitive; la più piccola e la più grande fra queste sono:
1 229 779 565 176 982 820
1 230 126 649 417 435 981
1 739 416 382 736 996 181
e
1 229 779 565 176 982 820
378 089 444 731 722 233 953 867 379 643 788 099
378 089 444 731 722 233 953 867 379 643 788 101.
Per i curiosi, si consideri la fattorizzazione:
L'ultimo teorema di Fermat afferma che non esistono terne non banali analoghe a quelle pitagoriche ma con esponenti maggiori di formula_35 (cioè che l'equazione formula_36 non ammette soluzioni se formula_37; a parte, come detto, i casi banali in cui almeno uno dei numeri è uguale a zero).
Un legame tra terne pitagoriche e primi gemelli può essere stabilito tramite la derivata aritmetica. Infatti un semiprimo i cui fattori primi siano due primi gemelli può essere espresso come formula_38, la sua derivata aritmetica come formula_39 e formula_40. Questi numeri sono fra loro coprimi e perciò costituiscono una terna pitagorica primitiva.
Ciascun numero naturale maggiore di 2 appartiene almeno a una terna pitagorica e ogni numero primo può appartenere al più a 2 terne (in quest'ultima situazione una volta come cateto e una volta come ipotenusa del triangolo rettangolo cui si riferisce).


Il triangolo è un poligono con tre lati e tre angoli.
Il triangolo è caratterizzato dalle seguenti proprietà:
Due triangoli sono congruenti se soddisfano almeno uno dei criteri di congruenza.
Due triangoli si dicono simili se soddisfano almeno uno dei criteri di similitudine.
I triangoli possono essere classificati in base alla lunghezza relativa dei lati:
I triangoli possono essere classificati anche in base alle dimensioni del loro angolo interno più ampio; sono descritti di seguito usando i gradi d'arco.
Per i triangoli che non sono rettangoli vale una generalizzazione del teorema di Pitagora nota in trigonometria come teorema di Carnot. 
Si dice triangolo degenere un triangolo che presenta un angolo 
di 180°. Gli altri due angoli hanno necessariamente ampiezza zero, ed un lato misura quanto la somma degli altri due: tale triangolo, come insieme di punti (graficamente), costituisce un segmento.
Si usa il termine "triangolo degenere" anche per una figura ottenuta come limite di un triangolo nel quale alcuni dei suoi vertici vanno all'infinito; tale figura si chiama anche triangolo ideale. Questa costruzione è molto usata in geometria iperbolica.
Un triangolo ideale con un vertice all'infinito risulta essere una striscia delimitata da un segmento e da due semirette che si estendono illimitatamente nella stessa direzione, ciascuna delle quali ha come estremità una di quelle del segmento; in particolare le rette possono essere ortogonali al segmento.
Ad ogni triangolo sono associati vari punti, ciascuno dei quali svolge un ruolo che, per qualche aspetto, lo qualifica come centrale per il triangolo stesso. Definiamo concisamente questi punti riferendoci ad un triangolo formula_1 i cui vertici denotiamo con formula_2, formula_3 e formula_4 e i cui lati opposti denotiamo rispettivamente con formula_5, formula_6 e formula_7.
L'area di un triangolo può essere trovata per via trigonometrica. Usando le lettere della figura a destra, l'altezza formula_55. Sostituendo questo nella formula trovata precedentemente (per via geometrica), formula_56. L'area di un triangolo è quindi anche uguale al semiprodotto di due lati per il seno dell'angolo compreso.
Di conseguenza, per la nota identità formula_57, l'area di un triangolo qualsiasi con i due lati formula_5 e formula_6 e l'angolo compreso formula_60, è uguale all'area del triangolo con gli stessi lati formula_5 e formula_6 ma con angolo compreso supplementare formula_63
L'area di un parallelogramma con due lati adiacenti formula_5 e formula_6 e angolo compreso formula_60 è il doppio di quella del triangolo che ha gli stessi dati, cioè formula_67.
Per risolvere il triangolo, cioè determinare la misura di tutti i lati ed angoli, dati due lati e l'angolo compreso fra di essi, o un lato e i due angoli adiacenti, si usano il teorema dei seni e il teorema del coseno, quest'ultimo meglio noto col nome di Carnot.
L'area formula_2 del triangolo può essere misurata con la formula matematica:
dove formula_6 è la base e formula_71 l'altezza ad essa relativa, perché il triangolo va visto come la metà di un parallelogramma di base formula_6 e altezza formula_71.
Alternativamente l'area del triangolo può essere calcolata con
dove formula_5, formula_6 e formula_7 sono i lati e formula_78 il semiperimetro (Formula di Erone).
Consideriamo un triangolo formula_79 nel piano cartesiano individuato attraverso le coppie di coordinate dei vertici formula_80.
La sua area formula_2 è dato dall'espressione
oppure con un'espressione che non utilizza il concetto di matrice
oppure
dove
e il suo perimetro formula_89 è dato da
Il concetto di triangolo si estende ed è ampiamente usato in tutte le geometrie non euclidee. Un triangolo in una geometria non euclidea si differenzia generalmente per il fatto che la somma dei suoi angoli interni non è 180°: questa somma è inferiore a 180° per ogni triangolo nel caso di una geometria iperbolica, mentre è superiore per ogni triangolo nel caso di una geometria ellittica.
Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due lati e l'angolo tra essi compreso, essi sono congruenti.
Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due angoli e il lato ad essi adiacente, essi sono congruenti.
Se due triangoli hanno rispettivamente congruente i tre lati, essi sono congruenti.
Criterio generale di congruenza dei triangoli
Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti un lato e due angoli qualsiasi, essi sono congruenti.
In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti ad esso.
In un triangolo l'angolo esterno di uno di essi è uguale alla somma degli altri due angoli interni.
In un triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.
Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti, allora sono simili. 
Se due triangoli hanno rispettivamente due lati proporzionali e l'angolo tra essi compreso congruente, allora sono simili. 
Se due triangoli hanno i tre lati rispettivamente proporzionali, allora sono simili.
Criterio generale di similitudine dei triangoli
Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti, essi sono simili.
In un triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa. 
In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. 
In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
