
In geometria, si definisce triangolo isoscele un triangolo che possiede due lati congruenti.
Vale il seguente "teorema": "Un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti". Questo teorema costituisce la quinta proposizione del Libro I degli Elementi di Euclide ed è noto come pons asinorum.
In un triangolo isoscele la bisettrice relativa all'angolo al vertice coincide con la mediana, l'altezza e l'asse relativi alla base. 
Particolari triangoli isosceli sono i triangoli equilateri e i triangoli rettangoli isosceli.
Esistono anche triangoli isosceli acutangoli e ottusangoli. 
I triangoli isosceli rettangoli sono tutti simili tra di loro, come i triangoli equilateri.
Un triangolo isoscele che non sia equilatero è invariante solo per la riflessione rispetto alla bisettrice dell'angolo diverso dai due rimanenti. Il suo gruppo di simmetria, oltre alla trasformazione identità, comprende solo questa riflessione e quindi è isomorfo al gruppo di due elementi, ovvero al gruppo moltiplicativo sull'insieme formula_1.
Teorema 1: Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela agli assi sia isoscele è che abbia i due lati di coefficiente angolare opposto.
Dimostrazione.
Date le tre rette
ne calcoliamo l'intersezione.
Ora calcoliamo la distanza dei segmenti formula_14 e formula_15.
Quindi il triangolo è isoscele sulla base formula_18. In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse formula_19.
Viceversa costruiamo un triangolo isoscele con la base parallela all'asse delle ascisse.
Dati i due punti:
poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo formula_22 e poi formula_23.
Quindi troviamo formula_23, che avrà la stessa ascissa di formula_22 e diversa ordinata.
Verifichiamo che il triangolo è isoscele:
Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:
Teorema 2: Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela alla bisettrice di due quadranti sia isoscele è che abbia i due lati di coefficiente angolare inverso.
Dimostrazione.
Date le tre rette
ne calcoliamo l'intersezione.
Ora calcoliamo la distanza dei segmenti formula_14 e formula_15.
Quindi il triangolo è isoscele sulla base formula_18. In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse formula_19.
Viceversa costruiamo un triangolo isoscele con la base parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante (lo stesso vale per quella parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante).
Dati i due punti:
poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo formula_22 e poi formula_23.
Quindi troviamo formula_23, che si trova sulla retta di equazione formula_58 perpendicolare alla base e passante per formula_22.
dove formula_61 è un numero reale arbitrario diverso da formula_62.
Verifichiamo che il triangolo è isoscele:
Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:


In geometria il punto è un concetto primitivo. Intuitivamente equivale ad un'entità adimensionale spaziale, per cui può essere considerato semplicemente come una posizione, cioè come una coordinata.
In topologia ed analisi matematica, viene spesso chiamato punto un elemento qualunque di uno spazio topologico e, in particolare, di uno spazio funzionale.
Negli "Elementi" di Euclide, al punto è riservata la prima delle definizioni del I libro, dove si indica che punto è ciò che non ha parti. Il punto è l'ente fondamentale della geometria ed è privo di una qualsiasi dimensione. Tale definizione è di tipo "ostensivo" cioè non ha una valenza logica ma che serve ad indicare ciò di cui ci si vuole occupare.
Con l'assiomatizzazione rigorosa della geometria effettuata da David Hilbert nei Grundlagen der Geometrie il punto, assieme alla retta ed al piano, diventa una delle nozioni primitive della geometria e quindi non è definito. Da notare che sarebbe possibile anche fondare la geometria assumendo come primitiva la nozione di regione e definendo i punti tramite opportune classi di "regioni sempre più piccole". Ricerche in tale direzione, che iniziano con alcune analisi di Alfred North Whitehead, vanno sotto il nome di "Geometria senza punti".
Molti preferiscono dare una definizione di questi tre enti fondamentali della geometria e definiscono il punto l'ente che, pur essendo reale, non ha dimensioni.
Un punto nella geometria euclidea non ha grandezze di alcun tipo (volume, area, lunghezza), e nessuna caratteristica in generale tranne la sua posizione. I postulati di Euclide asseriscono in alcuni casi l'esistenza di punti; un esempio: se due linee in un piano non sono parallele, c'è esattamente un punto che appartiene ad entrambe.
Tre o più punti nello spazio si dicono allineati se sono contenuti in una retta. Quattro o più punti nello spazio si dicono complanari se sono contenuti in un piano.
Nella geometria euclidea il punto è in relazione con gli altri enti geometrici fondamentali, quali la retta e il piano. Ad esempio:
Nella geometria cartesiana del piano e dello spazio euclideo un punto è identificato da un insieme ordinato di coordinate. Quindi un punto nello spazio tridimensionale è rappresentato da una terna ordinata di numeri, ad esempio: formula_1
In generale, un punto in uno spazio euclideo di dimensione formula_2 è una successione di formula_2 numeri. In questo contesto i punti possono essere identificati con i vettori (applicati nell'origine).
Le proprietà elencate sopra possono essere estese ad uno spazio euclideo di dimensione arbitraria nel modo seguente:
Oppure possono essere estese a oggetti "curvi", quali curve e superfici, ad esempio nel modo seguente:
