
In matematica, in particolare in trigonometria, dato un triangolo rettangolo il seno di uno dei due angoli interni adiacenti all'ipotenusa è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto opposto all'angolo e dell'ipotenusa. 
Più in generale il seno di un angolo formula_1, espresso in gradi o radianti, è una quantità che dipende solo da formula_1, costruita usando la circonferenza unitaria.
Definendo come formula_3 il seno nell'angolo formula_4 si ottiene la funzione seno, una funzione trigonometrica di fondamentale importanza nell'analisi matematica. In ambito italiano questa funzione viene spesso indicata con formula_5.
Nel triangolo rosso in figura, il seno di formula_4 è dato da
Più in generale si definisce il seno di un angolo formula_4 a partire dalla circonferenza goniometrica, ovvero dalla circonferenza di raggio unitario nel piano cartesiano. Presa la semiretta uscente dall'origine che forma un angolo formula_4 con l'asse delle ascisse come in figura, il seno dell'angolo è quindi definito come il valore della coordinata formula_10 del punto di intersezione tra la semiretta e la circonferenza (in figura, è la lunghezza del segmento formula_11). 
Il dominio della funzione seno è l'insieme dei numeri reali, mentre il codominio è l'intervallo reale formula_12, ossia applicando tale funzione a qualunque numero reale si ottiene sempre un numero reale compreso tra formula_13 e formula_14, estremi inclusi.
La tabella seguente elenca i principali valori notevoli assunti dalla funzione seno:
D'altra parte il teorema di Pitagora applicato al triangolo formula_31 fornisce la relazione
e quindi 
Vale anche la relazione:
Come per il coseno, la cosecante di un angolo è formula_35 diviso il seno dell'angolo.
La derivata della funzione seno è la funzione coseno: 
La derivata seconda è invece
La funzione seno è una funzione analitica, la cui espansione in serie di Taylor è
In analisi matematica questa uguaglianza è spesso usata per definire il seno. La stessa serie definisce il seno come funzione olomorfa su tutto il piano complesso.
Seguono alcune equazioni fondamentali riguardanti la funzione seno:
con l'aggiunta della condizione che:
Esiste anche un'identità trigonometrica che mette in relazione la funzione seno alla funzione tangente:
Questa identità si rivela di fondamentale importanza nella risoluzione di equazioni goniometriche in cui l'incognita figuri come argomento sia di un seno sia di un coseno o di funzioni derivate da queste. Esiste infatti un'analoga identità per quanto riguarda il coseno e l'uso congiunto di queste due identità permette la risoluzione dell'equazione nell'incognita formula_44.
Il reciproco del seno, definito dove il seno è diverso da zero, è la cosecante:
La funzione seno ristretta all'intervallo formula_46 come dominio e con codominio formula_47 è biettiva, e quindi ha un’inversa, chiamata arcoseno e indicata con formula_48 o con formula_49 che riprende la notazione della funzione inversa. Per definizione si ha quindi: 
Dalla formula di Eulero si deduce che la funzione seno è in relazione con la funzione esponenziale e con la funzione seno iperbolico. Infatti per ogni numero reale formula_4 si ha 
Alcune formule particolari riguardanti la funzione seno coinvolgono l'operazione di prodotto. 
Per esempio risulta per ogni intero formula_53
In analisi complessa, applicando teorema di fattorizzazione di Weierstrass alla funzione seno, la si può esprimere come prodotto infinito, mediante la seguente formula che vale per ogni numero complesso formula_55
La funzione seno è anche in relazione con alcune funzioni speciali, come si evince, per esempio, dalla formula di riflessione della funzione Gamma 
e dall'equazione funzionale soddisfatta dalla funzione zeta di Riemann
Il concetto di seno fu introdotto dal matematico e astronomo indiano Aryabhata I (in devanāgarī: आर्यभट) nella sua opera "Aryabhatiya" (499).
Il seno è per definizione la metà di una "corda", cioè un segmento che unisce due punti (detti "estremi") di una circonferenza. In sanscrito, "metà corda" è reso con "jya-ardha", a volte sostituito con "ardha-jya" e abbreviato in "jya" "corda". Questo termine fu importato nella lingua araba come "jiba", un termine senza significato prima di allora, ma che rifletteva la pronuncia del nome "jya". Secondo le regole della lingua araba, questo nome venne scritto con le due consonanti "jb", senza vocali. Successivamente, quando i traduttori occidentali attinsero alle fonti arabe, interpretarono la parola "jb" come "jaib", il cui significato era "baia". Infine l'italiano Gherardo da Cremona (1114 - 1187) tradusse la parola in latino come "sinus", il cui significato era appunto "baia".


Il triangolo è un poligono con tre lati e tre angoli.
Il triangolo è caratterizzato dalle seguenti proprietà:
Due triangoli sono congruenti se soddisfano almeno uno dei criteri di congruenza.
Due triangoli si dicono simili se soddisfano almeno uno dei criteri di similitudine.
I triangoli possono essere classificati in base alla lunghezza relativa dei lati:
I triangoli possono essere classificati anche in base alle dimensioni del loro angolo interno più ampio; sono descritti di seguito usando i gradi d'arco.
Per i triangoli che non sono rettangoli vale una generalizzazione del teorema di Pitagora nota in trigonometria come teorema di Carnot. 
Si dice triangolo degenere un triangolo che presenta un angolo 
di 180°. Gli altri due angoli hanno necessariamente ampiezza zero, ed un lato misura quanto la somma degli altri due: tale triangolo, come insieme di punti (graficamente), costituisce un segmento.
Si usa il termine "triangolo degenere" anche per una figura ottenuta come limite di un triangolo nel quale alcuni dei suoi vertici vanno all'infinito; tale figura si chiama anche triangolo ideale. Questa costruzione è molto usata in geometria iperbolica.
Un triangolo ideale con un vertice all'infinito risulta essere una striscia delimitata da un segmento e da due semirette che si estendono illimitatamente nella stessa direzione, ciascuna delle quali ha come estremità una di quelle del segmento; in particolare le rette possono essere ortogonali al segmento.
Ad ogni triangolo sono associati vari punti, ciascuno dei quali svolge un ruolo che, per qualche aspetto, lo qualifica come centrale per il triangolo stesso. Definiamo concisamente questi punti riferendoci ad un triangolo formula_1 i cui vertici denotiamo con formula_2, formula_3 e formula_4 e i cui lati opposti denotiamo rispettivamente con formula_5, formula_6 e formula_7.
L'area di un triangolo può essere trovata per via trigonometrica. Usando le lettere della figura a destra, l'altezza formula_55. Sostituendo questo nella formula trovata precedentemente (per via geometrica), formula_56. L'area di un triangolo è quindi anche uguale al semiprodotto di due lati per il seno dell'angolo compreso.
Di conseguenza, per la nota identità formula_57, l'area di un triangolo qualsiasi con i due lati formula_5 e formula_6 e l'angolo compreso formula_60, è uguale all'area del triangolo con gli stessi lati formula_5 e formula_6 ma con angolo compreso supplementare formula_63
L'area di un parallelogramma con due lati adiacenti formula_5 e formula_6 e angolo compreso formula_60 è il doppio di quella del triangolo che ha gli stessi dati, cioè formula_67.
Per risolvere il triangolo, cioè determinare la misura di tutti i lati ed angoli, dati due lati e l'angolo compreso fra di essi, o un lato e i due angoli adiacenti, si usano il teorema dei seni e il teorema del coseno, quest'ultimo meglio noto col nome di Carnot.
L'area formula_2 del triangolo può essere misurata con la formula matematica:
dove formula_6 è la base e formula_71 l'altezza ad essa relativa, perché il triangolo va visto come la metà di un parallelogramma di base formula_6 e altezza formula_71.
Alternativamente l'area del triangolo può essere calcolata con
dove formula_5, formula_6 e formula_7 sono i lati e formula_78 il semiperimetro (Formula di Erone).
Consideriamo un triangolo formula_79 nel piano cartesiano individuato attraverso le coppie di coordinate dei vertici formula_80.
La sua area formula_2 è dato dall'espressione
oppure con un'espressione che non utilizza il concetto di matrice
oppure
dove
e il suo perimetro formula_89 è dato da
Il concetto di triangolo si estende ed è ampiamente usato in tutte le geometrie non euclidee. Un triangolo in una geometria non euclidea si differenzia generalmente per il fatto che la somma dei suoi angoli interni non è 180°: questa somma è inferiore a 180° per ogni triangolo nel caso di una geometria iperbolica, mentre è superiore per ogni triangolo nel caso di una geometria ellittica.
Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due lati e l'angolo tra essi compreso, essi sono congruenti.
Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due angoli e il lato ad essi adiacente, essi sono congruenti.
Se due triangoli hanno rispettivamente congruente i tre lati, essi sono congruenti.
Criterio generale di congruenza dei triangoli
Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti un lato e due angoli qualsiasi, essi sono congruenti.
In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti ad esso.
In un triangolo l'angolo esterno di uno di essi è uguale alla somma degli altri due angoli interni.
In un triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.
Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti, allora sono simili. 
Se due triangoli hanno rispettivamente due lati proporzionali e l'angolo tra essi compreso congruente, allora sono simili. 
Se due triangoli hanno i tre lati rispettivamente proporzionali, allora sono simili.
Criterio generale di similitudine dei triangoli
Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti, essi sono simili.
In un triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa. 
In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. 
In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
