
In geometria, il quadrato è un quadrilatero regolare, cioè un poligono con quattro lati e quattro angoli congruenti (tutti retti).
Il quadrato è un caso particolare di rombo (in quanto ha tutti e quattro i lati congruenti) e di rettangolo (in quanto ha quattro angoli congruenti) quindi è un caso particolare di parallelogramma (in quanto ha i lati a due a due paralleli).
Le diagonali di un quadrato sono congruenti e perpendicolari, il loro punto di intersezione le divide a metà e misurano come il lato moltiplicato per la radice quadrata di 2:
Questa formula si dimostra con il teorema di Pitagora. Ciascuna diagonale, infatti, divide il quadrato in due triangoli rettangoli per i quali vale che la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull'ipotenusa (che è la diagonale).
Il perimetro di un quadrato, visto che ha tutti i lati congruenti, misura:
L'area di un quadrato, visto che l'altezza e la base sono congruenti, misura:
ma si può calcolare anche come
Da ciò si deduce che la diagonale di un quadrato di area a è il lato del quadrato con Area 2a.
Il quadrato possiede 4 assi di simmetria: 2 passanti per una coppia di vertici opposti e 2 passanti per una coppia di punti medi dei lati.
Il punto di intersezione delle due diagonali è detto centro del quadrato ed è centro di simmetria di rotazione e di simmetria centrale per il quadrato. L'ordine della simmetria di rotazione del quadrato è 4; in altre parole, il quadrato è invariante per le rotazioni intorno al suo centro relative agli angoli formula_6; naturalmente la rotazione di formula_7 radianti è la simmetria centrale.
Il quadrato formula_8 di lato 2 e centro l'origine può essere descritto in vari modi. Ad esempio:
Il suo bordo è quindi
Questo può essere anche descritto come
Più in generale, l'equazione cartesiana di un quadrato avente centro nell'origine degli assi è: formula_12
Se si considera invece il centro del quadrato nel punto di coordinate formula_13 l'equazione diventa: 
formula_14
da cui:
formula_15
ovvero nella forma più generale possibile:
formula_16
Il cui bordo è quindi:
formula_17
Una dimostrazione costruttiva dell'esistenza del quadrato è data da Euclide nella proposizione 46 del I libro degli Elementi, subito prima di usare questa figura nell'enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora. Nella tradizione didattica moderna l'esistenza dei quadrati è invece in genere data per scontata. Bisogna notare che la dimostrazione euclidea usa indirettamente il V postulato e l'esistenza di quadrati non è garantita nelle geometrie non euclidee.
Ad esempio, in geometria iperbolica non esistono poligoni con quattro lati uguali e quattro angoli retti: la somma degli angoli interni di un quadrilatero iperbolico è infatti sempre strettamente minore di un angolo giro. Esistono comunque "quadrati" nel piano iperbolico se si richiede solamente che i quattro angoli siano congruenti (ma non retti): per ogni numero reale formula_18 strettamente minore di formula_19 esiste infatti un poligono con quattro lati congruenti e quattro angoli congruenti pari a formula_18.
Un quadrato può essere inscritto in una circonferenza con riga e compasso. Qui sotto ne è mostrata un'animazione:


La similitudine è una trasformazione geometrica, del piano o dello spazio, che conserva i rapporti tra le distanze. In altre parole, una trasformazione formula_1 del piano (o dello spazio) in sé è una similitudine se e solo se esiste un numero reale positivo formula_2 tale che:
per ogni coppia di punti formula_4
Ogni similitudine si può ottenere dalla composizione di una "omotetia" e una "isometria", o viceversa.
Queste trasformazioni mantengono la "forma" (non vengono modificati gli angoli) dell'oggetto, pur cambiandone la posizione, l'orientazione o la grandezza; quindi due oggetti simili hanno la stessa "forma".
Due circonferenze nel piano sono sempre simili. Tutti i quadrati sono simili: più in generale, tutti i poligoni regolari con un numero fissato di lati sono simili.
Tutte le parabole sono simili fra loro, mentre ellissi ed iperboli non lo sono necessariamente.
Quando due oggetti formula_5 e formula_6 sono simili, si scrive generalmente
In geometria affine, una similitudine del piano cartesiano è una particolare affinità
In questa notazione formula_9 indica un generico punto del piano formula_10, mentre formula_11 è una matrice 2x2
e formula_13 è un vettore colonna fissato formula_14. Nella notazione si fa uso della moltiplicazione fra matrici. 
Una affinità descritta in questo modo è una similitudine se e solo se:
Questo è equivalente a chiedere che i coefficienti formula_16 siano non tutti nulli e che una delle due seguenti condizioni sia verificata:
Nel primo caso, il determinante di formula_11 è positivo, la similitudine preserva l'orientazione e si dice "diretta". Nel secondo caso il determinante è negativo, l'orientazione è ribaltata e si dice "inversa".
Esistono alcuni criteri che permettono di determinare se due triangoli sono simili, il primo è il più noto:
Esistono criteri analoghi per due poligoni arbitrari nel piano. Il più importante è il seguente:
In verità, non è necessario effettuare la verifica su tutti gli angoli e tutti i lati: è possibile escludere 
Se il poligono non è un triangolo, "non" è vero che due poligoni aventi gli angoli interni uguali sono simili: ad esempio, due rettangoli hanno sempre gli stessi angoli interni, ma sono simili soltanto se hanno lo stesso rapporto fra i lati.
Ogni similitudine fra due oggetti nel piano può essere elegantemente espressa tramite l'uso dei numeri complessi. È sufficiente descrivere il piano come piano complesso: in questo modo, ogni similitudine è esprimibile tramite una trasformazione lineare del tipo
oppure
dove formula_22 e formula_23 sono due numeri complessi, e formula_24 è il complesso coniugato di formula_25.
Un frattale è un oggetto geometrico "autosimilare": ogni sua piccola parte contiene un oggetto simile all'oggetto grande. 
