
In geometria, si definisce triangolo isoscele un triangolo che possiede due lati congruenti.
Vale il seguente "teorema": "Un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti". Questo teorema costituisce la quinta proposizione del Libro I degli Elementi di Euclide ed è noto come pons asinorum.
In un triangolo isoscele la bisettrice relativa all'angolo al vertice coincide con la mediana, l'altezza e l'asse relativi alla base. 
Particolari triangoli isosceli sono i triangoli equilateri e i triangoli rettangoli isosceli.
Esistono anche triangoli isosceli acutangoli e ottusangoli. 
I triangoli isosceli rettangoli sono tutti simili tra di loro, come i triangoli equilateri.
Un triangolo isoscele che non sia equilatero è invariante solo per la riflessione rispetto alla bisettrice dell'angolo diverso dai due rimanenti. Il suo gruppo di simmetria, oltre alla trasformazione identità, comprende solo questa riflessione e quindi è isomorfo al gruppo di due elementi, ovvero al gruppo moltiplicativo sull'insieme formula_1.
Teorema 1: Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela agli assi sia isoscele è che abbia i due lati di coefficiente angolare opposto.
Dimostrazione.
Date le tre rette
ne calcoliamo l'intersezione.
Ora calcoliamo la distanza dei segmenti formula_14 e formula_15.
Quindi il triangolo è isoscele sulla base formula_18. In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse formula_19.
Viceversa costruiamo un triangolo isoscele con la base parallela all'asse delle ascisse.
Dati i due punti:
poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo formula_22 e poi formula_23.
Quindi troviamo formula_23, che avrà la stessa ascissa di formula_22 e diversa ordinata.
Verifichiamo che il triangolo è isoscele:
Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:
Teorema 2: Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela alla bisettrice di due quadranti sia isoscele è che abbia i due lati di coefficiente angolare inverso.
Dimostrazione.
Date le tre rette
ne calcoliamo l'intersezione.
Ora calcoliamo la distanza dei segmenti formula_14 e formula_15.
Quindi il triangolo è isoscele sulla base formula_18. In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse formula_19.
Viceversa costruiamo un triangolo isoscele con la base parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante (lo stesso vale per quella parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante).
Dati i due punti:
poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo formula_22 e poi formula_23.
Quindi troviamo formula_23, che si trova sulla retta di equazione formula_58 perpendicolare alla base e passante per formula_22.
dove formula_61 è un numero reale arbitrario diverso da formula_62.
Verifichiamo che il triangolo è isoscele:
Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:


Si possono dare varie definizioni intuitive di retta tangente a una curva nel piano.
La parola "tangente" viene da "tangere" cioè toccare. L'idea intuitiva di una retta tangente a una curva è quella di una retta che "tocca" la curva senza "tagliarla" o "secarla" (immaginando la curva come se fosse un oggetto fisico non penetrabile). Una retta che attraversa la curva "tagliandola" è invece chiamata "secante".
Data inoltre una "secante" che passa per due punti distinti P e Q di una curva, si può pensare la tangente in P come la retta cui tende (eventualmente) la secante quando il punto Q si avvicina a P lungo la curva.
Un ulteriore modo di vedere il concetto di tangenza si ha pensando che la tangente in un punto P a una curva γ, è la retta che "approssima" meglio γ nei dintorni di P.
Anche da queste definizioni informali ci si rende conto che possono esistere casi in cui la retta tangente non è definita. Ad esempio, se la curva è costituita dal perimetro di un triangolo e P è un vertice, è ovvio che nessuna delle due definizioni precedenti corrisponde univocamente a una retta passante per P.
Nell'ambito della geometria sintetica si possono dare definizioni rigorose alternative di retta tangente a curve specifiche che funzionano solo per tali curve. Ad esempio la tangente ad una circonferenza di centro O e raggio r in un suo punto P può essere definita come la retta passante per P e avente distanza r da O, o come l'unica retta del piano avente in comune con la circonferenza il solo punto P.
In una geometria a più dimensioni, si può definire il piano tangente ad una superficie in modo simile e, generalizzando, lo spazio tangente.
Per definire la tangente nel caso di una curva generica in genere si ricorre agli strumenti del calcolo infinitesimale.
Posto che una curva sia il grafico di una funzione formula_1, e che siamo interessati al suo punto (x,y), dove y=f(x), diremo che la curva ha una tangente non verticale nel punto (x,y) se e solo se la funzione è derivabile in x. In questo caso il coefficiente angolare della tangente è dato da f'(x). Si ha una tangente verticale se e solo se la curva raggiunge l'altezza di più o meno infinito.
L'equazione della tangente alla curva nel punto (x,y) è data dalla formula:
La stessa formula può essere scritta nella seguente notazione, dove la variabile m rappresenta il coefficiente angolare della funzione.
Se la tangente tocca la curva in un punto e la derivata seconda della funzione nel punto è nulla, mentre non lo è la derivata terza, la tangente è una tangente d'inflessione, ossia una tangente in un punto di flesso della funzione. Esiste in questo caso un intorno finito del punto di tangenza nel quale la curva attraversa la tangente e permane ai due lati opposti della stessa.
Ciò avviene anche quando tutte le derivate sono nulle fino a una derivata dispari non nulla.
