
L’ottagono, in geometria, è un poligono con otto lati.
Per ottagono regolare si intende un ottagono convesso avente i lati della stessa lunghezza e gli angoli della stessa ampiezza (pari a 135°).
L'area dell'ottagono regolare di lato "a" si ricava con la seguente formula:
L'apotema di un ottagono di lato "a" è dunque pari a 
formula_2
È possibile costruire un ottagono regolare con riga e compasso. Il procedimento è illustrato, in 18 passi, dalla seguente animazione. Da notare che l'apertura del compasso rimane fissa nei passaggi da 7 a 10.
Il numero 8 fu importante soprattutto nell'arte Cristiana per il significato di questo numero come si enuncia nelle parole di Sant'Ambrogio:
Sette sono i giorni della Creazione secondo la Genesi, sette i giorni della settimana e l'ottavo è il giorno in più, l'eternità. L'otto simboleggiato dall'ottagono, infatti, rappresenta l'equilibrio cosmico nonché lo spirito universale per gli islamici.
La forma ottagonale nell'architettura ebbe subito grande importanza anche se la diffusione ne è limitata. Edifici a pianta ottagonale si iniziano a vedere nell'architettura romanica dove ne sono esempi i battisteri. 
Sette sono i giorni della Creazione secondo la Genesi, sette i giorni della settimana e l'ottavo è l'eternità. Lo studioso Jacques Le Goff scrive:: " In un trattato edito nella "Patrologia del Migne", Ugo di San Vittore esponendo i dati numerici simbolici secondo le Scritture, spiega il significato delle ineguaglianze tra i numeri [...] 8 maggiore del 7 è l'eternità dopo la vita terrena - si ritrova l'8 dell'ottagono di Aquisgrana, di San Vitale a Ravenna, del Santo Sepolcro, della Gerusalemme Celeste ". Anche i battisteri di Parma, Cremona, Firenze, Pistoia, Ascoli Piceno e i battisteri di Ravenna (Battistero Neoniano, Battistero degli ariani) sono ottagoni. "Dei battisteri antichi che ancora si conservano, la maggior parte ha una struttura ottagonale, che si ispira soprattutto al Battistero di San Giovanni in Laterano, modello imitato per secoli. La forma rappresenta l'ottavo giorno della settimana, "il nuovo giorno", in cui inizia l'era del Cristo: dopo i sei giorni della creazione e dopo il settimo, cioè il sabato, l'ottavo rappresenta l'Eternità, la resurrezione di Gesù e quella dell'umanità". L'otto è dunque un numero escatologico e l'autore della "Lettera di Barnaba", nel commento alle Scritture, fa dire a Dio: "Mettendo fine all'universo, darò inizio all'ottavo giorno, vale a dire a un altro mondo. Per questo motivo celebriamo con gioia l'ottavo giorno, nel quale Gesù è risorto" (par. 16).
Questa simbologia è talvolta chiamata dai Padri della Chiesa "ogdoade", "gruppo di otto". Essa rappresenta il mondo nuovo, nato dalla Resurrezione di Cristo, e la dimora celeste dei beati. Origene parla del "mistero dell'ogdoade" e Ilario di Poitiers di "sacramentum ogdoadis": è attraverso il battesimo che si resuscita con Cristo e si diventa cittadini del regno di Dio.
Nell'architettura moderna una "casa ottagonale" è una casa costruita con la forma di un ottagono la "Poplar Forest" di Thomas Jefferson, vicino a Lynchburg (Virginia) e la "Tayloe House" a Washington, DC, progettata da William Thornton per il colonnello John Tayloe.
In Italia Castel del Monte (vicino ad Andria, in Puglia), rappresentato anche sulle monete da un centesimo di Euro, è un edificio di pianta ottagonale, come ottagonali sono anche le torrette presenti ad ogni vertice.
Torre Santa Sabina invece ha la forma di ottagono concavo.
In architettura islamica all'interno delle moschee o in certi edifici civili del passato sono presenti gli howz, delle vasche per le abluzioni o per mera funzione decorativa che hanno forma ottagonale.
 Come trovare l'area di un ottagono


In geometria, il quadrato è un quadrilatero regolare, cioè un poligono con quattro lati e quattro angoli congruenti (tutti retti).
Il quadrato è un caso particolare di rombo (in quanto ha tutti e quattro i lati congruenti) e di rettangolo (in quanto ha quattro angoli congruenti) quindi è un caso particolare di parallelogramma (in quanto ha i lati a due a due paralleli).
Le diagonali di un quadrato sono congruenti e perpendicolari, il loro punto di intersezione le divide a metà e misurano come il lato moltiplicato per la radice quadrata di 2:
Questa formula si dimostra con il teorema di Pitagora. Ciascuna diagonale, infatti, divide il quadrato in due triangoli rettangoli per i quali vale che la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull'ipotenusa (che è la diagonale).
Il perimetro di un quadrato, visto che ha tutti i lati congruenti, misura:
L'area di un quadrato, visto che l'altezza e la base sono congruenti, misura:
ma si può calcolare anche come
Da ciò si deduce che la diagonale di un quadrato di area a è il lato del quadrato con Area 2a.
Il quadrato possiede 4 assi di simmetria: 2 passanti per una coppia di vertici opposti e 2 passanti per una coppia di punti medi dei lati.
Il punto di intersezione delle due diagonali è detto centro del quadrato ed è centro di simmetria di rotazione e di simmetria centrale per il quadrato. L'ordine della simmetria di rotazione del quadrato è 4; in altre parole, il quadrato è invariante per le rotazioni intorno al suo centro relative agli angoli formula_6; naturalmente la rotazione di formula_7 radianti è la simmetria centrale.
Il quadrato formula_8 di lato 2 e centro l'origine può essere descritto in vari modi. Ad esempio:
Il suo bordo è quindi
Questo può essere anche descritto come
Più in generale, l'equazione cartesiana di un quadrato avente centro nell'origine degli assi è: formula_12
Se si considera invece il centro del quadrato nel punto di coordinate formula_13 l'equazione diventa: 
formula_14
da cui:
formula_15
ovvero nella forma più generale possibile:
formula_16
Il cui bordo è quindi:
formula_17
Una dimostrazione costruttiva dell'esistenza del quadrato è data da Euclide nella proposizione 46 del I libro degli Elementi, subito prima di usare questa figura nell'enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora. Nella tradizione didattica moderna l'esistenza dei quadrati è invece in genere data per scontata. Bisogna notare che la dimostrazione euclidea usa indirettamente il V postulato e l'esistenza di quadrati non è garantita nelle geometrie non euclidee.
Ad esempio, in geometria iperbolica non esistono poligoni con quattro lati uguali e quattro angoli retti: la somma degli angoli interni di un quadrilatero iperbolico è infatti sempre strettamente minore di un angolo giro. Esistono comunque "quadrati" nel piano iperbolico se si richiede solamente che i quattro angoli siano congruenti (ma non retti): per ogni numero reale formula_18 strettamente minore di formula_19 esiste infatti un poligono con quattro lati congruenti e quattro angoli congruenti pari a formula_18.
Un quadrato può essere inscritto in una circonferenza con riga e compasso. Qui sotto ne è mostrata un'animazione:
