
In geometria un trapezio è un quadrilatero con almeno due lati paralleli.
Facendo riferimento alla figura a fianco del teorema, i due lati paralleli formula_1 e formula_2 sono detti basi del trapezio, rispettivamente "base maggiore" e "base minore", mentre gli altri due lati formula_3 e formula_4 sono detti lati obliqui del trapezio.
La distanza formula_5 fra i due lati paralleli, lunghezza di ogni segmento ortogonale che collega le basi o i loro prolungamenti, fornisce l'altezza del trapezio.
Nel caso particolare in cui anche i due lati obliqui siano paralleli si ha un parallelogramma. Se poi ha pure gli angoli retti si ha un rettangolo; se invece ha tutti i lati lunghi uguali si ha il rombo; se ha entrambe queste caratteristiche si ha il quadrato. Tutte queste figure sono trapezi, poiché hanno una coppia di lati paralleli.
Se i lati obliqui non sono paralleli, essi possono essere prolungati fino ad incontrarsi in un punto, in modo da formare un triangolo che contiene il trapezio: questo è il più piccolo triangolo circoscritto al trapezio che contiene il trapezio stesso ed è unico.
L'area formula_6 del trapezio si può calcolare facendo la somma delle basi per l'altezza il tutto diviso due.
Tale formula può essere spiegata se si fa riferimento alla figura a fianco: se al trapezio originario si affianca un altro trapezio ad esso congruente ottenuto tramite una rotazione di un angolo piatto, si nota che la figura così ottenuta è un parallelogramma la cui area è data dal prodotto della somma delle basi per l'altezza. Poiché essa è il doppio di quella voluta, ossia di quella del trapezio, ne va presa la metà.
Si definisce trapezio rettangolo un trapezio nel quale i due angoli adiacenti ad un lato obliquo sono angoli congruenti e quindi retti, poiché sono supplementari. Un trapezio, dunque, è rettangolo se e solo se ha un lato obliquo perpendicolare alle basi. 
Si definisce trapezio isoscele un trapezio nel quale i due angoli adiacenti ad una base siano congruenti. Di conseguenza i lati obliqui sono anch'essi congruenti. 
Si definisce trapezio ottusangolo un trapezio che presenta un angolo ottuso adiacente alla base di lunghezza maggiore. Un trapezio è ottusangolo se e solo se il corrispondente triangolo circoscritto è un triangolo ottusangolo.
Un trapezio ottusangolo non può essere isoscele.
Si definisce trapezio scaleno un trapezio con i lati di diversa lunghezza e gli angoli di diversa ampiezza: può essere fatto derivare dall'intersezione di un rettangolo con un triangolo scaleno. Alcune fonti definiscono il trapezio scaleno richiedendo solamente che i lati obliqui siano diversi fra loro.
Talvolta viene impropriamente usato il termine trapezoide al posto di trapezio: tale uso improprio sembra derivare dal fatto che in negli Stati Uniti e in Canada il trapezio viene chiamato "trapezoid" (a differenza della Gran Bretagna dove viene chiamato "trapezium").
Il termine appropriato è invece trapezio: infatti in italiano con "trapezoide" si intende, più genericamente, un semplice quadrilatero.
Con il termine trapezoide si intende anche un trapezio il cui lato obliquo è una curva; è utilizzato nelle funzioni.


In geometria, il quadrato è un quadrilatero regolare, cioè un poligono con quattro lati e quattro angoli congruenti (tutti retti).
Il quadrato è un caso particolare di rombo (in quanto ha tutti e quattro i lati congruenti) e di rettangolo (in quanto ha quattro angoli congruenti) quindi è un caso particolare di parallelogramma (in quanto ha i lati a due a due paralleli).
Le diagonali di un quadrato sono congruenti e perpendicolari, il loro punto di intersezione le divide a metà e misurano come il lato moltiplicato per la radice quadrata di 2:
Questa formula si dimostra con il teorema di Pitagora. Ciascuna diagonale, infatti, divide il quadrato in due triangoli rettangoli per i quali vale che la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull'ipotenusa (che è la diagonale).
Il perimetro di un quadrato, visto che ha tutti i lati congruenti, misura:
L'area di un quadrato, visto che l'altezza e la base sono congruenti, misura:
ma si può calcolare anche come
Da ciò si deduce che la diagonale di un quadrato di area a è il lato del quadrato con Area 2a.
Il quadrato possiede 4 assi di simmetria: 2 passanti per una coppia di vertici opposti e 2 passanti per una coppia di punti medi dei lati.
Il punto di intersezione delle due diagonali è detto centro del quadrato ed è centro di simmetria di rotazione e di simmetria centrale per il quadrato. L'ordine della simmetria di rotazione del quadrato è 4; in altre parole, il quadrato è invariante per le rotazioni intorno al suo centro relative agli angoli formula_6; naturalmente la rotazione di formula_7 radianti è la simmetria centrale.
Il quadrato formula_8 di lato 2 e centro l'origine può essere descritto in vari modi. Ad esempio:
Il suo bordo è quindi
Questo può essere anche descritto come
Più in generale, l'equazione cartesiana di un quadrato avente centro nell'origine degli assi è: formula_12
Se si considera invece il centro del quadrato nel punto di coordinate formula_13 l'equazione diventa: 
formula_14
da cui:
formula_15
ovvero nella forma più generale possibile:
formula_16
Il cui bordo è quindi:
formula_17
Una dimostrazione costruttiva dell'esistenza del quadrato è data da Euclide nella proposizione 46 del I libro degli Elementi, subito prima di usare questa figura nell'enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora. Nella tradizione didattica moderna l'esistenza dei quadrati è invece in genere data per scontata. Bisogna notare che la dimostrazione euclidea usa indirettamente il V postulato e l'esistenza di quadrati non è garantita nelle geometrie non euclidee.
Ad esempio, in geometria iperbolica non esistono poligoni con quattro lati uguali e quattro angoli retti: la somma degli angoli interni di un quadrilatero iperbolico è infatti sempre strettamente minore di un angolo giro. Esistono comunque "quadrati" nel piano iperbolico se si richiede solamente che i quattro angoli siano congruenti (ma non retti): per ogni numero reale formula_18 strettamente minore di formula_19 esiste infatti un poligono con quattro lati congruenti e quattro angoli congruenti pari a formula_18.
Un quadrato può essere inscritto in una circonferenza con riga e compasso. Qui sotto ne è mostrata un'animazione:
