
Il piano è un concetto primitivo della geometria, ovvero un concetto per il quale non esiste una definizione formale e che si suppone intuitivamente comprensibile e/o esperianzialmente acquisito, pertanto un'idea universalmente accettata ed unica rappresentabile con oggetti concreti che fungono da esempio ma che per la loro sussistenza stessa non risolvono pienamente il concetto (gli altri concetti primitivi della geometria sono il punto e la retta). Nel caso del piano per rappresentarlo idealmente si pensi ad un foglio di carta di dimensioni infinite: il piano è l'idea, il concetto astratto, ma non è il foglio di carta sia perché questo ha uno spessore ed un piano ideale non ne ha e sia perché non è possibile produrre o ritrovare un foglio di carta di dimensioni infinite.
In definitiva, esso:
Le relazioni che intercorrono tra un piano e i punti e le rette che esso contiene sono espresse dagli assiomi di Euclide e dagli assiomi di Hilbert.
L'equazione canonica del piano nello spazio tridimensionale formula_1 è del tipo: 
con formula_3 e formula_4 non tutti nulli.
Siano formula_5 tre punti dello spazio non allineati. Per questi tre punti passa uno ed un solo piano formula_6.
Un punto formula_7 appartiene al piano formula_6 solo se il vettore formula_9 è combinazione lineare dei vettori formula_10 e formula_11, ovvero se
Sviluppando il determinante con la regola di Laplace rispetto alla prima riga si ottiene:
Dove
Infine, per ottenere l'equazione canonica del piano, si definisce formula_15 come segue:
Dove formula_17 è un punto che appartiene al piano, pertanto in questo caso si possono utilizzare le coordinate di un punto qualsiasi fra formula_18, formula_19 e formula_20.
Si può studiare la posizione reciproca di due piani mettendo a sistema le loro equazioni. Quando la matrice dei coefficienti ha Rango due il sistema è compatibile e risulta ammettere una semplice infinità (formula_21) soluzioni, che rappresentano tutti i punti della retta di intersezione tra i due piani.
Quando la matrice dei coefficienti ha rango 1, le soluzioni ammesse sono una doppia infinità (formula_22), e i piani risultano essere paralleli e coincidenti (Parallelismo Improprio).
Se infine la matrice dei coefficienti ha rango 0, il sistema risulta essere incompatibile, e i piani sono paralleli e distinti (Parallelismo Proprio).
È possibile calcolare la distanza di un punto formula_23 da un piano formula_6 utilizzando la seguente formula:
In particolare, se formula_26, allora il punto formula_27 appartiene al piano formula_6.


In matematica, e in particolare in geometria, una rotazione è una trasformazione del piano o dello spazio euclideo che sposta gli oggetti in modo rigido e che lascia fisso almeno un punto, nel caso del piano, o una retta, nel caso dello spazio. I punti che restano fissi nella trasformazione formano più in generale un sottospazio: quando questo insieme è un punto o una retta, si chiama rispettivamente il "centro" e l"'asse" della rotazione. 
Più precisamente, una rotazione è una isometria di uno spazio euclideo che ne preserva l'orientazione, ed è descritta da una matrice ortogonale speciale.
Qualunque sia il numero delle dimensioni dello spazio di rotazione, gli elementi della rotazione sono:
In due dimensioni, una rotazione è una trasformazione formula_1, la quale supposta antioraria dipende da un angolo formula_2, e che trasforma il vettore formula_3 in
Usando la moltiplicazione di matrici la rotazione antioraria può essere descritta così:
La matrice quadrata presente in questa espressione è una matrice ortogonale speciale di rango formula_6. Questa trasformazione è chiamata rotazione antioraria di angolo formula_2 intorno all'origine.
La matrice formula_8 che descrive la rotazione è spesso chiamata matrice di rotazione di angolo formula_2.
Le formule di rotazione possono essere ottenute ragionando nel modo seguente. 
Sia formula_10 un punto qualsiasi e siano formula_11 e formula_12 le sue coordinate polari.
Si ha
il punto formula_14, immagine di formula_15 in una rotazione antioraria di un angolo formula_2, ha coordinate polari formula_17. Le sue coordinate cartesiane sono perciò date dal sistema precedente, ove si ponga formula_18 al posto di formula_12:
applicando le formule di addizione di seno e coseno e tenendo conto anche delle formule iniziali, si ottengono le formule di rotazione, infatti:
Una rotazione si esprime in modo più conciso interpretando il piano come piano complesso: una rotazione equivale al prodotto per un numero complesso di modulo unitario. 
In questo modo, ad esempio, la rotazione di angolo formula_2, con centro nell'origine, si scrive come
L'insieme dei numeri complessi con modulo unitario è algebricamente chiuso rispetto al prodotto, formando così un gruppo abeliano, chiamato il gruppo circolare: l'interpretazione complessa delle rotazioni del piano può essere allora espressa come il fatto che il gruppo circolare e il gruppo ortogonale speciale formula_24 sono isomorfi.
In tre dimensioni, una rotazione è determinata da un "asse", dato da una retta formula_25 passante per l'origine, e da un "angolo" formula_2 di rotazione. Per evitare ambiguità, si fissa una direzione dell'asse, e si considera la rotazione di angolo formula_2 effettuata in senso antiorario rispetto all'asse orientato. La rotazione è descritta nel modo più sintetico scrivendo i vettori dello spazio in coordinate rispetto ad una base ortonormale formula_28, dove formula_29 è il vettore di lunghezza uno contenuto in formula_25 e avente direzione giusta. La rotazione intorno all'asse formula_31 trasforma il vettore di coordinate formula_32 in:
Una rotazione generale in 3 dimensioni può essere espressa come una composizione di 3 rotazioni intorno a tre assi indipendenti, come ad esempio gli assi formula_34. Quindi dati tre angoli formula_35, che indicano rispettivamente di quanto si deve ruotare intorno a ognuno degli assi, la matrice di rotazione risulta:
formula_36
Senza cambiare base, la rotazione di un angolo formula_2 intorno ad un asse determinato dal versore formula_38 (ossia un vettore di modulo unitario) è descritta dalla matrice seguente:
Ponendo formula_40 oppure formula_41 oppure formula_42 si ottiene rispettivamente la rotazione attorno all'asse formula_43 all'asse formula_44 e all'asse formula_45 
Tale matrice è stata ottenuta scrivendo la matrice associata alla trasformazione lineare (rispetto alle basi canoniche nel dominio e codominio) della formula di Rodrigues.
In molte applicazioni risulta conveniente usare l'algebra dei quaternioni per effettuare rotazioni nello spazio tridimensionale.
In uno spazio euclideo di dimensione arbitraria, una rotazione è una trasformazione lineare dello spazio in sé che è anche una isometria, e che mantiene l'orientazione dello spazio. Le matrici formula_46 che realizzano queste trasformazioni sono le matrici ortogonali speciali.
