
In geometria il punto è un concetto primitivo. Intuitivamente equivale ad un'entità adimensionale spaziale, per cui può essere considerato semplicemente come una posizione, cioè come una coordinata.
In topologia ed analisi matematica, viene spesso chiamato punto un elemento qualunque di uno spazio topologico e, in particolare, di uno spazio funzionale.
Negli "Elementi" di Euclide, al punto è riservata la prima delle definizioni del I libro, dove si indica che punto è ciò che non ha parti. Il punto è l'ente fondamentale della geometria ed è privo di una qualsiasi dimensione. Tale definizione è di tipo "ostensivo" cioè non ha una valenza logica ma che serve ad indicare ciò di cui ci si vuole occupare.
Con l'assiomatizzazione rigorosa della geometria effettuata da David Hilbert nei Grundlagen der Geometrie il punto, assieme alla retta ed al piano, diventa una delle nozioni primitive della geometria e quindi non è definito. Da notare che sarebbe possibile anche fondare la geometria assumendo come primitiva la nozione di regione e definendo i punti tramite opportune classi di "regioni sempre più piccole". Ricerche in tale direzione, che iniziano con alcune analisi di Alfred North Whitehead, vanno sotto il nome di "Geometria senza punti".
Molti preferiscono dare una definizione di questi tre enti fondamentali della geometria e definiscono il punto l'ente che, pur essendo reale, non ha dimensioni.
Un punto nella geometria euclidea non ha grandezze di alcun tipo (volume, area, lunghezza), e nessuna caratteristica in generale tranne la sua posizione. I postulati di Euclide asseriscono in alcuni casi l'esistenza di punti; un esempio: se due linee in un piano non sono parallele, c'è esattamente un punto che appartiene ad entrambe.
Tre o più punti nello spazio si dicono allineati se sono contenuti in una retta. Quattro o più punti nello spazio si dicono complanari se sono contenuti in un piano.
Nella geometria euclidea il punto è in relazione con gli altri enti geometrici fondamentali, quali la retta e il piano. Ad esempio:
Nella geometria cartesiana del piano e dello spazio euclideo un punto è identificato da un insieme ordinato di coordinate. Quindi un punto nello spazio tridimensionale è rappresentato da una terna ordinata di numeri, ad esempio: formula_1
In generale, un punto in uno spazio euclideo di dimensione formula_2 è una successione di formula_2 numeri. In questo contesto i punti possono essere identificati con i vettori (applicati nell'origine).
Le proprietà elencate sopra possono essere estese ad uno spazio euclideo di dimensione arbitraria nel modo seguente:
Oppure possono essere estese a oggetti "curvi", quali curve e superfici, ad esempio nel modo seguente:


In matematica, la lunghezza di un arco è un numero reale positivo che misura intuitivamente l"'estensione" di un arco o di una curva.
Benché la definizione di lunghezza di un segmento o di un "cammino poligonale" sia chiara da tempo, una definizione generale soddisfacente di "lunghezza d'arco" è relativamente recente. Questo problema, chiamato anche rettificazione, è stato prima affrontato per curve specifiche, e quindi risolto grazie al calcolo infinitesimale. La definizione risultante, accettata adesso da tutti i matematici, funziona per un insieme molto vasto di curve, dette rettificabili.
Scelto un numero finito di punti lungo la curva e connettendo ogni punto al successivo con un segmento, la somma delle lunghezze dei segmenti è la lunghezza del "cammino poligonale". La lunghezza del segmento sarà definita come la distanza tra i due estremi.
La lunghezza della curva è il più piccolo numero che la lunghezza del cammino poligonale non può superare, ovvero è l'estremo superiore della lunghezza del cammino della poligonale, al variare delle poligonali.
In termini matematici sia formula_1 la curva e formula_2 uno spazio metrico con la distanza "d". Per definire la poligonale bisogna scegliere i punti sulla curva. Sia quindi formula_3 una partizione dell'intervallo formula_4
La lunghezza della poligonale, è:
e la lunghezza della curva è l'estremo superiore di questa quantità al variare della partizione:
Se tale valore non è infinito, la curva si dice rettificabile. Le curve di Peano e di Koch non sono rettificabili. La lunghezza di una curva non dipende dalla sua parametrizzazione.
Se una curva è derivabile con continuità allora è rettificabile: per ogni punto "t" dell'intervallo è definita una velocità e si può dimostrare che la lunghezza definita come sopra è uguale all'integrale di questa velocità su "I" (quando la curva è in forma parametrica):
dove formula_9 è la norma indotta dalla distanza usata nella definizione sopra. Usando la nozione di integrale di linea si può scrivere anche:
A volte è utile conoscere la lunghezza del grafico di una funzione formula_11. In questo caso il grafico si può scrivere come curva formula_12:
Usando la definizione integrale di lunghezza di arco si perviene al risultato (quando la curva è in forma cartesiana):
dove formula_15 è la lunghezza dell'"i"-esima congiungente, data (per teorema di Pitagora) da formula_16, con formula_17. La lunghezza della curva tra "a" e "b" è allora data da
Osservando che, per "N" tendente a infinito, accade che
l'eguaglianza si riduce a
formula_22
Q.E.D.
se la curva bidimensionale è parametrica con x=f(t), y=g(t) la lunghezza dell'arco è:
se la curva è tridimensionale, con x=f(t), y=g(t), z=k(t) la lunghezza dell'arco è:
Durante la storia della matematica, per molto tempo, anche le menti migliori considerarono impossibile calcolare la lunghezza di un arco irregolare. Nonostante Archimede fosse stato pioniere con l'approssimazione rettangolare per trovare l'area sotto una curva con il suo metodo di esaustione, pochi credevano che fosse possibile che le curve avessero una lunghezza definita come le linee diritte. Come spesso avviene nel calcolo i primi risultati furono ottenuti come approssimazioni. Molti iniziarono a inscrivere i poligoni con delle curve e a calcolare la lunghezza dei lati. Usando sempre più lati e usando lati più piccoli, furono in grado di ottenere approssimazioni via via più accurate.
Nel 1600, il metodo d'esaustione consentì di rettificare con metodi geometrici molte curve trascendenti: la spirale logaritmica da parte di Evangelista Torricelli nel 1645 (alcune fonti dicono John Wallis negli anni 1650), la cicloide da parte di Christopher Wren nel 1658, e la catenaria da parte di Gottfried Leibniz nel 1691.
Prima del completo sviluppo del calcolo, le basi per la moderna lunghezza degli archi sotto forma di integrale furono scoperte indipendentemente da Hendrik van Heuraet e Pierre Fermat.
Nel 1659 van Heuraet pubblicò una costruzione mostrando che la lunghezza di un arco poteva essere interpretata come l'area sotto una curva, e lo applicò alla parabola. Nel 1660, Fermat pubblico una teoria più generale che conteneva gli stessi risultati nel suo "De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica".
Partendo dai suoi lavori sulle tangenti, Fermat usò la curva
la cui tangente in "x" = "a" ha pendenza:
quindi la retta tangente ha equazione
Successivamente, incrementò "a" di una piccola quantità a "a" + "ε", facendo diventare il segmento "AC" una buona approssimazione per la lunghezza della curva da "A" a "D". Per trovare la lunghezza del segmento "AC" usò il teorema di Pitagora:
che porta a
Per approssimare la lunghezza, Fermat sommò in una sommatoria di segmenti piccoli. Notare che il risultato moderno è:
