
In matematica un cilindro ellittico è una quadrica (cioè una superficie nello spazio tridimensionale definita da un'equazione polinomiale di secondo grado in formula_1, formula_2, formula_3), che soddisfa la seguente equazione in coordinate cartesiane:
Questa è l'equazione di un cilindro ellittico. Un cilindro può essere anche considerato un prisma a base circolare, dove il numero dei rettangoli è quindi infinito.
Se formula_5 si ha la superficie di un "cilindro circolare". Il cilindro è una "quadrica degenere" in quanto una delle coordinate dello spazio non compare nella sua equazione (nel caso precedente la coordinata formula_3). Secondo certe terminologie i cilindri non sono considerati casi particolari di quadriche.
Nell'uso comune, con la parola "cilindro" si intende l'insieme limitato dei punti delimitati da un "cilindro circolare retto" e da due piani ortogonali al suo asse; alle sue due estremità piane esso presenta due superfici circolari, come nella figura a destra. Se questo cilindro ha raggio formula_7 e altezza formula_8, il suo volume è dato da
e la sua superficie laterale
mentre la sua superficie totale è data dalla somma della superficie laterale e del doppio della superficie di base.
Superficie di base:
Superficie totale:
Si può calcolare il volume del cilindro per mezzo del calcolo integrale come il volume del solido ottenuto dalla rotazione di una retta parallela all'asse delle ordinate (del tipo formula_13, con formula_14 costante) attorno all'asse delle ascisse. Si ha:
Essendo formula_14 proprio il raggio formula_7 del cilindro.
Per un dato volume, il cilindro con la minima area superficiale, ha formula_18. Per una data area superficiale, il cilindro con più esteso volume ha formula_18. Un cilindro di questo tipo è detto "cilindro equilatero".
Qualora si dovesse calcolare il volume di un cilindro circolare troncato si deve utilizzare la seguente formula:
dove formula_8 indica la lunghezza del lato corto, mentre formula_22 indica la lunghezza del lato lungo.
Nel caso si dovesse calcolare la superficie laterale di un cilindro circolare troncato la formula è:
Un cilindro ellittico è invariante per le rotazioni di formula_24 intorno al suo asse di simmetria, l'asse delle formula_3 nel caso della equazione di partenza; esso è anche invariante per tutte le traslazioni dirette come il suo asse. Un cilindro circolare è anche invariante per tutte le rotazioni intorno al suo asse.
Ci sono altri tipi di cilindro meno usuali. Quello caratterizzato dall'equazione che segue viene detto "cilindro ellittico immaginario":
il "cilindro iperbolico" ha equazione:
mentre il "cilindro parabolico" ha equazione:
Più in generale, data una curva ed una retta, un cilindro è la superficie rigata costituita dalle rette parallele alla retta data ed incidenti con la curva.
Un problema ricorrente è il calcolo del volume di liquido posto all'interno di un cilindro in orizzontale di lunghezza formula_29 e raggio formula_7, in funzione dell'altezza formula_31 raggiunta dal liquido. Il problema è di facile risoluzione: il volume è pari all'area sottesa tra la corda di altezza formula_8 e la circonferenza, moltiplicata per la lunghezza formula_29 del cilindro.
Sia formula_34 l'angolo al centro (misurato in radianti) che insiste sulla corda; stabiliamo sia formula_35 se formula_36 e formula_37 se invece formula_38; sarà:
La formula sarà allora data dall'area della sezione circolare individuata dall'angolo formula_34 meno il prodotto
(che rappresenta l'area del triangolo che ha come vertici il centro del cerchio e le intersezioni fra i lati dell'angolo e la circonferenza, o il suo opposto, a seconda del segno di formula_43), il tutto moltiplicato per la lunghezza formula_29 del cilindro, e quindi:
Dall'applicazione del calcolo integrale si ottiene invece la seguente formula, valida per qualsiasi altezza di liquido (formula_8) sia per un livello al di sotto della metà del serbatoio, sia per un livello al di sopra della metà stessa, applicabile misurando direttamente la sola altezza h del liquido e conoscendo la lunghezza del cilindro e il suo raggio. In tale formula, per formula_8 si intende l'altezza di liquido misurata con l'asticella graduata dal fondo del serbatoio.
Va tuttavia tenuto presente che generalmente i serbatoi non sono perfettamente cilindrici. Vengono pertanto predisposte apposite tabelle di ragguaglio per la determinazione del volume di liquido, contenuto in un serbatoio posto orizzontalmente, in base al livello del liquido stesso.


L'accezione matematica del termine distanza ha un significato analogo a quello dell'uso comune, cioè quello della misura della "lontananza" tra due punti di un insieme al quale si possa attribuire qualche carattere spaziale. In matematica però questa nozione assume caratteri astratti e si basa solo su proprietà formali che ne fanno perdere l'univocità: esistono esempi di insiemi anche comuni come formula_1 in cui possono essere date infinite definizioni di distanza, tutte soddisfacenti le proprietà generali. Si può dire che in matematica il termine distanza caratterizza strumenti computazionali con alcune caratteristiche comuni, ma utilizzabili per scopi diversificati.
Il concetto di distanza e quello collegato di lunghezza vengono generalizzati mediante la definizione della geodetica come il più breve percorso tra due punti di uno "spazio curvo".
Una distanza (o metrica) su un insieme formula_2 è una funzione 
che soddisfa le seguenti proprietà per ogni scelta di formula_4 in formula_2:
La coppia formula_10 è chiamata spazio metrico.
In realtà solo le proprietà 2,3,4 sono indipendenti tra loro. Questo significa che si possono definire delle funzioni che soddisfano alcune tra 2,3,4 ma non altre.
Per esempio, se formula_11 allora la funzione formula_12 per questi particolari valori soddisfa le 2,4 ma non la 3 e quindi in generale non soddisfa la 3.
La dimostrazione che le 3,4 implicano la 1 è molto semplice.
Infatti, sfruttando la 4 si ha
formula_13 e formula_14. Sommando ora membro a membro otteniamo
formula_15 infine (sfruttando la 3) l’espressione si semplifica in 
formula_16 che è appunto la 1, dopo aver diviso per 2 (e scambiato i membri).
Data una norma formula_17 è possibile definire una distanza formula_18 definendo
Si verifica che la funzione così definita è una distanza, infatti:
Si osserva che ogni distanza indotta da una norma è invariante per traslazioni (ovvero, per ogni tripletta di vettori formula_24).
La distanza normalmente considerata in formula_25 è quella euclidea, pari alla radice quadrata del quadrato della differenza orizzontale (tra i due punti) più il quadrato della differenza verticale:
Se si elimina la seconda dimensione questa funzione si riduce al modulo della differenza tra i due numeri: formula_27.
Più in generale nello spazio euclideo formula_28 si può definire la distanza tra due punti formula_29 e formula_30 nei seguenti modi:
La "2-distanza" in uno spazio a "n" dimensioni corrisponde al teorema di Pitagora applicato "n-1" volte: è la distanza di uno spazio euclideo, normalmente usata nel piano o nello spazio e viene detta anche distanza pitagorica. La "1-distanza", detta anche "distanza L1" o distanza Manhattan, genera invece una geometria diversa, detta geometria del taxi. La "∞-distanza (o distanza L∞)" è la cosiddetta distanza di Chebyshev.
Nel caso di uno spazio di Hilbert formula_45, il teorema della proiezione afferma che per ogni punto formula_46 e per ogni insieme convesso chiuso formula_47 esiste un unico formula_48 tale per cui formula_49 assume il valore minimo su formula_50. In particolare, questo è vero per ogni sottospazio chiuso formula_51 di formula_45: in tal caso una condizione necessaria e sufficiente per formula_53 è che il vettore formula_54 sia ortogonale a formula_51.
Data una distanza su un insieme si può definire come palla, o bolla, o disco, centrata in un punto formula_56 di un certo raggio formula_57 positivo l'insieme dei punti dell'insieme che distano da formula_56 meno di formula_57:
Solitamente la definizione si intende con il <; se però c'è bisogno di specificare, si dirà "disco aperto" l'insieme definito dalla relazione " < " e "disco chiuso" l'insieme definito dalla relazione " ≤ ".
Si definisce anche "bordo" del disco l'insieme
L'insieme dei dischi aperti centrati nei vari punti dello spazio soddisfa la definizione topologica di base: la topologia sull'insieme formula_62 determinata da questa base si dice "topologia generata" (o "indotta") dalla distanza formula_63.
È importante notare come il disco chiuso non coincida sempre con la chiusura del disco aperto, ma in generale ne sia solo un soprainsieme; in particolare nello spazio euclideo comunque le due nozioni coincidono.
Due distanze formula_63 e formula_65 si dicono equivalenti se l'applicazione identità
è un omeomorfismo.
Equivalentemente, esse si possono dire equivalenti se ogni disco della prima metrica contiene un qualche disco della seconda metrica e viceversa. Ad esempio una distanza "d" è equivalente a quella data dalla funzione formula_67 ed a quella data dalla funzione formula_68.
Due distanze equivalenti generano la stessa topologia.
Se si indeboliscono le richieste su formula_63 si ottengono spazi con proprietà più deboli e più poveri come possibilità algoritmiche:
Al contrario, rinforzando la disuguaglianza triangolare e imponendo che
si ottiene una cosiddetta ultrametrica.
