
In matematica, le funzioni trigonometriche o funzioni goniometriche o funzioni circolari sono funzioni di un angolo; esse sono importanti nello studio dei triangoli e nella modellizzazione dei fenomeni periodici, oltre a un gran numero di altre applicazioni.
Sono spesso definite come rapporti fra i lati di un triangolo rettangolo contenenti l'angolo e, equivalentemente, possono essere definite come le lunghezze di diversi segmenti costruiti dal cerchio unitario. Definizioni più moderne li esprimono come serie infinite o come soluzioni di certe equazioni differenziali, ottenendo la loro estensione a valori positivi o negativi e anche ai numeri complessi. Tutti questi differenti approcci sono presentati di seguito.
Lo studio delle funzioni trigonometriche risale ai tempi dei babilonesi, e una quantità considerevole del lavoro fondamentale fu svolto dai matematici greci, indiani e persiani.
Nell'uso corrente, vi sono sei funzioni trigonometriche di base, che sono elencate sotto insieme alle identità che le mettono in relazione. Specialmente per le ultime quattro, queste relazioni sono spesso prese come "definizioni" di quelle funzioni, sebbene sia ugualmente possibile definirle geometricamente o per altre vie, e solo in seguito derivare queste relazioni. Poche altre funzioni erano comuni in passato (e figuravano nelle vecchie tabelle) ma sono oggi poco usate, come il senoverso (1 − cos θ) e l'exsecante (sec θ − 1). Molte altre relazioni notevoli fra queste funzioni sono elencate nella voce sulle identità trigonometriche.
Il più antico riferimento alla funzione seno risale a "Sulba Sutras", scritto nell'antica India dall'VIII al VI secolo a.C. Più tardi, le funzioni trigonometriche furono studiate da Ipparco di Nicea (180-125 a.C.), Aryabhata (476 – 550), Varāhamihira, Brahmagupta, Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī, Abu'l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir al-Din Tusi, Regiomontano (1464), Ghiyath al-Kashi (XIV secolo), Ulugh Beg (XIV secolo), Madhava (1400 circa), Retico, il suo discepolo Valentin Otho. All"'Introductio in analysin infinitorum" (1748) di Leonardo Eulero si riconosce il merito di aver stabilito la trattazione analitica delle funzioni trigonometriche in Europa, definendole come serie infinite e presentando la "formula di Eulero".
La nozione secondo cui deve esserci una corrispondenza fra le lunghezze dei lati di un triangolo e gli angoli del triangolo sorge non appena si intuisce che i triangoli simili mantengono gli stessi rapporti fra i lati corrispondenti. In altri termini, per qualsiasi triangolo simile il rapporto fra l'ipotenusa (per esempio) e un altro dei lati rimane lo stesso. Se l'ipotenusa è il doppio, anche i lati sono lunghi il doppio. Le funzioni trigonometriche esprimono proprio questi rapporti.
Al fine di definire le funzioni trigonometriche di un angolo "A", si consideri un arbitrario triangolo rettangolo che contiene l'angolo "A":
Usiamo i seguenti nomi per i lati del triangolo:
Tutti i triangoli vengono considerati appartenenti al piano euclideo in modo che la somma degli angoli interni è π radianti (o 180°); di conseguenza, per un triangolo rettangolo, i due angoli non retti sono compresi fra 0 e π/2 radianti. A rigore, le definizioni che seguono consentono di definire le funzioni trigonometriche solo per gli angoli in questo intervallo. Si può tuttavia estendere le definizioni all'insieme dei numeri reali utilizzando la circonferenza unitaria, o imponendo che tali funzioni posseggano certe simmetrie o siano periodiche.
1) Il seno di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza dell'ipotenusa. Nel nostro caso
È importante notare che questo rapporto non dipende dal particolare triangolo rettangolo scelto, purché contenga l'angolo A, dal momento che tutti questi triangoli sono simili.
L'insieme degli zeri del seno è
2) Il coseno di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato adiacente e la lunghezza dell'ipotenusa. Nel nostro caso
L'insieme degli zeri del coseno è
3) La tangente di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza del lato adiacente. Nel nostro caso
L'insieme degli zeri della tangente è
Esso coincide con l'insieme degli zeri del seno poiché
Le funzioni rimanenti sono definite convenientemente utilizzando le tre definizioni già fornite.
4) La cosecante csc("A") è l'inverso moltiplicativo di sin("A"), ossia il rapporto fra la lunghezza dell'ipotenusa e quella del lato opposto:
5) La secante sec("A") è l'inverso moltiplicativo di cos("A"), ossia il rapporto fra la lunghezza dell'ipotenusa e quella del lato adiacente:
6) La cotangente cot("A") è l'inverso moltiplicativo di tan("A"), ossia il rapporto fra la lunghezza del lato adiacente e quella del lato opposto:
È possibile definire le sei funzioni trigonometriche a partire dalla circonferenza unitaria o circonferenza goniometrica, centrata nell'origine e con il raggio pari ad 1. La definizione attraverso la circonferenza goniometrica non aiuta nel calcolo pratico dei valori delle funzioni; infatti essa si basa sui triangoli rettangoli per molti angoli. Essa consente, tuttavia, la definizione delle funzioni trigonometriche per tutti gli argomenti reali, positivi e negativi, non solo quelli limitati all'intervallo fra 0 e π/2. Essa consente inoltre di visualizzare graficamente in una sola figura tutte le funzioni trigonometriche. L'equazione della circonferenza goniometrica è:
Nell'immagine sono indicati alcuni angoli comuni, misurati in radianti. Le misure in verso antiorario sono angoli positivi, quelli in verso orario sono negativi. Consideriamo l'intersezione con la circonferenza goniometrica di una retta che forma un angolo θ con la metà positiva dell'asse "x". L'ascissa "x" e l'ordinata "y" di questo punto sono uguali rispettivamente a cos θ e sin θ. Il triangolo nel disegno dimostra l'equivalenza con la definizione precedente: il raggio della circonferenza è l'ipotenusa del triangolo ed ha una lunghezza pari ad 1, pertanto sin θ = "y"/1 e cos θ = "x"/1. Si può pensare alla circonferenza goniometrica come ad un modo per considerare un numero infinito di triangoli rettangoli in cui varia la lunghezza dei cateti, mentre l'ipotenusa si mantiene uguale ad 1.
Per angoli maggiori di 2π o minori di −2π, si può semplicemente immaginare di compiere più giri intorno al cerchio. In questo modo, il seno ed il coseno diventano funzioni periodiche di periodo 2π.
per ogni angolo θ e ogni intero "k".
Il "più piccolo" periodo positivo di una funzione periodica è detto "periodo primitivo" della funzione. Il periodo primitivo del seno, del coseno, della secante e della cosecante è l'intera circonferenza, ossia 2π radianti o 360 gradi; il periodo primitivo della tangente e della cotangente è solo metà circonferenza, ossia π radianti o 180 gradi.
Sopra sono state definite sulla circonferenza unitaria soltanto le funzioni seno e coseno, ma le altre quattro funzioni trigonometriche possono essere definite da:
L'immagine sulla destra mostra il grafico sul piano cartesiano della funzione f(θ) = tan(θ), considerevolmente diverso da quelli visti prima per il seno e il coseno. I punti di intersezione con l'asse "x" coincidono corrispondenti di sin(θ), mentre la funzione non è definita in corrispondenza delle intersezioni della funzione cos(θ) con l'asse "x". I valori della funzione cambiano lentamente in prossimità di angoli pari a "k"π, mentre cambiano rapidamente per gli angoli in prossimità di ("k"/2) π. Il grafico della tangente ha anche un asintoto verticale per θ = "k"π/2: infatti la funzione tende ad infinito se l'angolo θ tende ad "k"/π da sinistra e meno infinito se θ tende ad "k"/π da destra.
In alternativa, è possibile definire "tutte" le funzioni trigonometriche di base a partire dalla circonferenza goniometrica (mostrata a destra); tali definizioni venivano usate storicamente. In particolare, data una corda "AB" della circonferenza, dove θ è la metà dell'angolo sotteso, sin(θ) è "AC" (metà della lunghezza della corda), ovvero il cateto del triangolo rettangolo avente la corda come ipotenusa e un cateto giacente sul raggio, una definizione introdotta in India (vedi sopra). cos(θ) è la distanza orizzontale "OC", ovvero l'altro cateto, e versin(θ) = 1 − cos(θ) è "CD, ovvero la distanza tra il coseno e il punto della circonferenza che tocca il raggio su cui giace". tan(θ) è la lunghezza del segmento "AE" sulla retta tangente per "A", da cui il nome "tangente, data dall'incrocio di questa con il prolungamento del raggio". cot(θ) è un altro segmento tangente, "AF, ovvero il prolungamento della tangente che incontra quello del raggio perpendicolare a quello su cui giace il coseno". sec(θ) = "OE" e csc(θ) = "OF" sono segmenti di rette secanti (che intersecano la circonferenza in due punti), ovvero la somma di seno, cosenoverso e secante esterna"OA" aglitale . "DE" è chiamata exsec(θ) = sec(θ) − 1 (la porzione della secante fuori che interseca la cotangente dal cerchio). Da queste costruzioni, è facile vedere che le funzioni secante e tangente divergono se θ tende a π/2 (90 gradi) e che la cosecante e la cotangente divergono se θ tende a zero. (È possibile effettuare molte costruzioni simili, e le identità trigonometriche di base si possono dimostrare graficamente.)
Utilizzando solo le nozioni di geometria e le proprietà dei limiti, si può dimostrare che la derivata del seno è il coseno e la derivata del coseno è l'opposto del seno. (Qui, e in genere nel calcolo infinitesimale, tutti gli angoli sono misurati in radianti; vedi anche l'importanza dei radianti sotto.) Si può usare la teoria delle serie di Taylor per dimostrare che le seguenti identità sono valide per ogni numero reale formula_16:
Queste identità sono spesso prese come "definizioni" delle funzioni seno e coseno. Esse sono spesso usate come punto di partenza per una trattazione rigorosa delle funzioni trigonometriche e delle loro applicazioni, dal momento che la teoria delle serie infinite può essere sviluppata a partire dai fondamenti del sistema dei numeri reali, prescindendo da ogni considerazione geometrica. La derivabilità e la continuità di queste funzioni sono quindi ottenute a partire dalla sola definizione in serie di potenze.
Si possono ottenere altri sviluppi in serie:
dove
Il coefficiente formula_25 a numeratore ha una interpretazione combinatoria: esso indica il numero di permutazioni alternate di insiemi finiti di cardinalità dispari.
Il coefficiente formula_26 a numeratore può essere interpretato, dal punto di vista combinatorio, come il numero di permutazioni alternate di insiemi finiti di cardinalità pari.
Per un teorema dell'analisi complessa, vi è un'unica estensione analitica di questa funzione ai numeri complessi. Le funzioni trigonometriche sono definite sui numeri complessi usando le serie di Taylor viste sopra.
Si può dimostrare, dalle definizioni in serie, che le funzioni seno e coseno sono rispettivamente la parte immaginaria e quella reale della funzione esponenziale complessa quando il suo argomento è un numero immaginario:
Questa relazione fu notata per la prima volta da Eulero e, per questo motivo, l'identità è conosciuta come formula di Eulero. In questo modo, le funzioni trigonometriche diventano essenziali nell'interpretazione geometrica dell'analisi complessa. Per esempio, se si considera la circonferenza unitaria nel piano complesso (dal punto di vista algebrico, con l'ordinaria moltiplicazione tra numeri complessi, si tratta di un gruppo moltiplicativo abeliano, noto come gruppo circolare), definita da formula_28, si può parametrizzare questa circonferenza in termini di coseni e seni, rendendo evidente la relazione fra le funzioni trigonometriche e l'esponenziale complesso.
Questo, inoltre, permette di estendere la definizione delle funzioni trigonometriche ad un argomento complesso formula_29:
dove formula_32. Inoltre, per formula_16 reale,
È noto anche che i processi esponenziali sono strettamente collegati al moto circolare e ai comportamenti periodici.
Entrambe le funzioni seno e coseno soddisfano l'equazione differenziale
Ossia, ognuna è l'opposto della sua derivata seconda. Nello spazio vettoriale bidimensionale "V" formato da tutte le soluzioni di questa equazione, la funzione seno è l'unica soluzione che soddisfa le condizioni iniziali "y"(0) = 0 e "y"′(0) = 1, e la funzione coseno è l'unica che soddisfa le condizioni iniziali "y"(0) = 1 e "y"′(0) = 0. Poiché le funzioni seno e coseno sono linearmente indipendenti, insieme formano una base di "V". Questo metodo per definire le funzioni seno e coseno è essenzialmente equivalente all'uso della formula di Eulero. (Vedi equazione differenziale lineare) Questa equazione differenziale può essere usata non solo per definire le funzioni seno e coseno, ma anche per dimostrare le identità trigonometriche per le funzioni seno e coseno.
La tangente è l'unica soluzione dell'equazione differenziale non lineare
che soddisfa la condizione iniziale "y"(0) = 0. Vi è una dimostrazione grafica molto interessante del fatto che la funzione tangente soddisfa questa equazione differenziale; vedi "Visual Complex Analysis" di Needham.
I radianti specificano un angolo misurando la lunghezza dell'arco corrispondente della circonferenza goniometrica. Esistono altre unità di misura per gli angoli, come i comuni gradi sessagesimali. Tuttavia, solo se l'angolo è misurato in radianti le funzioni seno e coseno soddisfano l'equazione differenziale che viene classicamente utilizzata per descriverle. Se l'argomento del seno o del coseno è moltiplicato per una opportuna costante di conversione,
allora la derivata sarà uguale a
Se "x" è in gradi, allora 
Ciò significa che la derivata seconda del seno in gradi non soddisfa l'equazione differenziale
ma
e un discorso analogo vale per il coseno.
Ciò significa che queste funzioni seno e coseno hanno un comportamento diverso, e, per esempio, la derivata quarta del seno è uguale al seno solo se l'argomento è misurato in radianti.
Vi sono molte identità che mettono in relazione le varie funzioni trigonometriche. Fra quelle usate più di frequente vi è l'identità fondamentale della trigonometria, altresì chiamata identità pitagorica, che afferma che, per ogni angolo, la somma tra il quadrato del seno ed il quadrato del coseno vale formula_43. Ciò si verifica facilmente applicando il teorema di Pitagora ad un triangolo rettangolo di ipotenusa formula_43. Simbolicamente si può scrivere
Altre relazioni di primaria importanza sono le formule di addizione e sottrazione, che forniscono il seno ed il coseno della somma e della differenza di due angoli in funzione del seno e del coseno degli angoli stessi.
Se i due angoli sono uguali, le formule di addizione si riducono ad identità più semplici note come formule di duplicazione.
Per gli integrali e le derivate delle funzioni trigonometriche, consultare le sezioni rilevanti delle tavola delle derivate, tavola degli integrali più comuni, e tavola degli integrali indefiniti di funzioni trigonometriche.
In analisi matematica, è possibile definire le funzioni trigonometriche ricorrendo ad equazioni funzionali basate su proprietà come le formule di addizione e sottrazione. Imponendo la validità di queste formule e dell'identità fondamentale, per esempio, si può dimostrare che esistono solo due funzioni reali che soddisfano queste condizioni. In simboli, esiste solo una coppia di funzioni reali formula_48 e formula_49 tali che, per tutti i numeri reali formula_16 e formula_51, siano soddisfatte le seguenti uguaglianze:
con, in aggiunta, la condizione che
Quindi:
Per determinare le funzioni trigonometriche degli angoli di π/3 radianti (60 gradi) e π/6 radianti (30 gradi), iniziamo con un triangolo equilatero di lato 1. Tutti i suoi angoli sono pari a π/3 radianti. Dividendo il triangolo in due parti tramite un'altezza, otteniamo un triangolo rettangolo con angoli di π/6 e π/3 radianti, ossia 30 e 60 gradi. Per questo triangolo, i due cateti valgono 1/2 e (√3)/2 e l'ipotenusa 1. Ciò implica:
Nel triangolo possono essere calcolate esattamente le funzioni trigonometriche degli angoli, mediante i lati, a titolo esemplificativo si usa soltanto l'angolo α relativo al vertici A e opposto al lato "a"
dove Δ rappresenta l'area del triangolo.
Poiché le funzioni trigonometriche sono periodiche, è necessario restringere il loro dominio per non avere ambiguità nella definizione dell'inverso. Di seguito presentiamo le definizioni usuali per le funzioni inverse:
Per le funzioni trigonometriche inverse, viene spesso usata anche la notazione sin, cos, ecc. in luogo di arcsin e arccos. Con questa notazione, però, corre il rischio di confondere le funzioni inverse con l'inverso moltiplicativo delle funzioni.
Analogamente al seno e al coseno, anche le funzioni trigonometriche inverse si possono definire tramite serie infinite. Ad esempio,
Queste funzioni si possono definire anche dimostrando che sono gli integrali indefiniti di altre funzioni. L'arcoseno, per esempio, si può scrivere tramite il seguente integrale:
Formule analoghe per le altre funzioni si possono trovare nella voce sulle funzioni trigonometriche inverse. Usando il logaritmo complesso, è possibile generalizzare tutte queste funzioni ad argomenti complessi:
Le funzioni trigonometriche, come dice il nome, sono di importanza cruciale nella trigonometria, principalmente per i due seguenti risultati.
Il teorema dei seni afferma che per ogni triangolo vale:
scritto spesso come:
Questo teorema si può dimostrare dividendo il triangolo in due triangoli rettangoli (tracciando l'altezza) e usando la definizione di seno. Il numero comune "a"/(sin"A") è uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo, ossia quella passante per i tre punti "A", "B" e "C". Il teorema dei seni è utile per calcolare la lunghezza di lati ignoti di un triangolo se sono noti due angoli e un lato. Questa situazione è comune nella "triangolazione", una tecnica per determinare le distanze misurando due angoli e la distanza fra i due punti in cui è effettuata la misurazione.
Il teorema del coseno o di Carnot è una generalizzazione a qualunque triangolo del teorema di Pitagora:
ossia:
Anche questo teorema si può dimostrare dividendo il triangolo in due triangoli rettangoli. Il teorema di Carnot è utile per la risoluzione di un triangolo di cui siano noti due lati e l'angolo compreso fra di essi.
Se l'angolo noto non è quello compreso fra i due lati, il triangolo potrebbe non essere unico. È necessario prestare la dovuta attenzione a questo caso ambiguo del teorema.
Esiste anche un teorema delle tangenti o teorema di Nepero:
La funzione seno (e di conseguenza la funzione coseno, che altro non è se non la funzione seno sfasata di π/2) è essenziale per la descrizione del moto armonico semplice, un concetto molto importante in fisica. In questo contesto, il seno e il coseno sono usati per descrivere la proiezione in una dimensione del moto circolare uniforme, il moto di una massa soggetta ad una forza elastica o piccole oscillazioni di un pendolo. Esse sono funzioni periodiche il cui grafico è il tipico schema di un'onda, e sono utili per la modellizzazione di fenomeni periodici come le onde acustiche o elettromagnetiche. Qualsiasi segnale si può rappresentare come una somma (tipicamente infinita) di funzioni seno e coseno di frequenza differente; questa è l'idea di base dell'analisi di Fourier, in cui le serie trigonometriche sono utilizzate per risolvere molti problemi con condizioni al contorno nelle equazioni differenziali alle derivate parziali. Per esempio, l'onda quadra si può scrivere attraverso la serie di Fourier


In matematica il termine angolo (dal latino "angulus", dal greco ἀγκύλος ("ankýlos"), derivazione dalla radice indoeuropea "ank", piegare, curvare) riguarda nozioni di larghissimo uso, innanzitutto nella geometria e nell'analisi infinitesimale.
Si definisce angolo ciascuna delle due porzioni di piano comprese tra due semirette aventi la stessa origine. Si chiama "angolo concavo" l'angolo che contiene i prolungamenti (lati) di queste semirette.
L"'angolo convesso" è la porzione di piano che non contiene i prolungamenti delle semirette che dividono il piano. La definizione di angolo convesso consente di sviluppare le basi della geometria piana euclidea e le prime nozioni di trigonometria.
A ogni angolo si associa un"'ampiezza", la misura correlata alla posizione di una semiretta rispetto all'altra e pertanto alla conformazione della porzione di piano costituente l'angolo: essa si esprime in gradi "sessagesimali" o "sessadecimali" oppure in gradi centesimali o infine in radianti, sempre con valori reali. Gli angoli convessi hanno ampiezza compresa tra 0 e 180 gradi sessagesimali, da 0 a 200 gradi centesimali, da 0 a "π radianti;" mentre l'ampiezza degli angoli concavi misura tra 180 e 360 gradi, ovvero da 200 a 400 gradi centesimali, ovvero da "π" a 2"π" radianti, quindi le ampiezze sono sempre positive.
Associando all'angolo un verso si introducono le ampiezze degli angoli con segno, entità meno intuitive che consentono di definire funzioni trigonometriche con argomenti reali qualsiasi fatte salve eventuali singolarità. Le ampiezze con segno sono da considerare insieme con il problema della rettificazione degli archi di circonferenza dotati di verso, alla natura del numero π e alle questioni relative alle aree con segno; tutti questi elementi forniscono contributi essenziali alle possibilità del calcolo infinitesimale e alle applicazioni alla fisica classica e alle conseguenti discipline quantitative.
Il termine angolo convesso riguarda una parte di piano definita da due semirette aventi l'origine in comune; le semirette "S" e "T" vengono dette "lati dell'angolo" e la loro origine "V" "vertice dell'angolo".
Se le semirette sono diverse, ma appartengono alla stessa retta "R", ciascuno dei due semipiani definiti da "R" muniti del vertice (che distingue le semirette) si dice angolo piatto.
A parte il caso particolare dell'angolo piatto, il piano si tripartisce in tre insiemi: l'insieme dei punti appartenenti alle due semirette, "S" e "T" (tra i quali il vertice) chiamata frontiera dell'angolo, e due insiemi connessi "K" e "K" e separati dai punti della frontiera. Uno solo di questi due insiemi "K" è costituito da punti che appartengono a segmenti con un estremo su una semiretta e l'altro sull'altra; in altre parole solo "K" è un insieme convesso. Il terzo insieme "K" non è convesso. Si definisce angolo convesso determinato da "S" e "T" l'unione di questo insieme convesso e della frontiera, formula_1. Si definisce angolo concavo determinato da "S" e "T" l'unione del terzo insieme non convesso e della frontiera, formula_2. I due angoli definiti dalle due semirette si dicono angoli esplementari.
Angoli convessi e concavi sono sottoinsiemi infiniti del piano, e quindi insiemi non misurabili attraverso la loro area che ha valore infinito. Spesso con angolo (convesso) si indica anche la parte di piano delimitata da due segmenti con un estremo in comune (vertice). Si può ricondurre questa definizione alla precedente prolungando i due segmenti dalla parte del loro estremo diverso dal vertice per ottenere le due semirette. Comunque questa estensione della definizione rende lecito assegnare a ogni triangolo tre angoli (convessi) associati biunivocamente ai suoi tre vertici.
Tuttavia il triangolo, essendo una parte del piano chiusa e limitata, ha area finita, infatti esso è l'intersezione degli angoli corrispondenti ai suoi tre vertici.
È naturale porsi il problema di "misurare un angolo": gli angoli possono servire per tante costruzioni e se a essi si associano misure numeriche ci si aspetta che per molte costruzioni possano essere utili calcoli numerici su queste misure.
Il problema della misura di un angolo non può essere risolto attraverso una misura della sua superficie che non è finita e che comunque non sarebbe significativa nemmeno nel caso di angoli sottesi da segmenti come nel caso del triangolo: si considerino per esempio triangoli simili.
Se si hanno due angoli convessi o concavi "A" e "B" con lo stesso vertice e "B" è sottoinsieme di "A" (situazione che si determina solo se i lati di "B" sono sottoinsiemi di "A") è ragionevole chiedere che la misura di "A" sia maggiore della misura di "B".
Dato un angolo convesso "A," si dice semiretta bisettrice dell'angolo la semiretta avente il vertice di "A" come estremo e i cui punti sono equidistanti dai lati di "A". Si può costruire facilmente la bisettrice con un compasso. La semiretta bisettrice di un angolo concavo si definisce come la semiretta avente come estremo il vertice dell'angolo allineata con la bisettrice del suo angolo (convesso) esplementare.
La semiretta bisettrice "B" di un angolo "A" convesso o concavo e ciascuno dei suoi due lati determinano due angoli convessi. La riflessione rispetto alla retta contenente la "B" scambia i due lati di "A" e trasforma uno dei due angoli nell'altro. È quindi ragionevole attribuire ai due angoli determinati dalla bisettrice una misura che sia la metà della misura di "A". È altrettanto ragionevole considerare che le misure dei due angoli determinati dalla semiretta bisettrice siano la metà della misura dell'angolo di partenza. Il processo di dimezzamento di un angolo può essere ripetuto N volte con N grande a piacere.
Un angolo convesso si dice angolo retto se i suoi due lati sono ortogonali, ovvero un angolo retto è la metà di un angolo piatto.
Un angolo convesso contenuto in un angolo retto avente il suo stesso vertice si dice angolo acuto. Un angolo convesso contenente un angolo retto avente lo stesso vertice si dice angolo ottuso.
Due angoli "A" e "B" che hanno in comune solo una semiretta si dicono angoli consecutivi. Se due angoli consecutivi hanno le semirette non in comune opposte (cioè la loro unione è una retta) allora si dicono angoli adiacenti. Per quanto riguarda gli angoli consecutivi, se questi sono angoli convessi la loro unione è un angolo che potrebbe essere convesso o concavo: si tratta dell'angolo definito dalle due semirette che sono i lati di uno solo dei due angoli. A questo angolo unione è ragionevole assegnare come misura la somma delle misure degli angoli adiacenti. L'angolo unione si dice "somma" dei due angoli "A" e "B".
In base alle considerazioni precedenti è lecito attribuire agli angoli misure costituite da numeri reali.
Due angoli trasformabili l'uno nell'altro mediante isometrie si dicono congruenti. Evidentemente una misura degli angoli invariante per le isometrie costituisce uno strumento con molti vantaggi: in particolare consente di individuare le classi di congruenza degli angoli. Quindi si chiede una misura degli angoli a valori reali e invariante per congruenza.
Se l'angolo è definito come la porzione del piano tra due semirette, la sua unità di misura dovrebbe essere una lunghezza al quadrato, ma questa misura non ha né significato né utilità pratica. Si è quindi pensato di considerare non la misura dell'angolo in sé, ma quella dell'ampiezza "del movimento" che porta una delle semirette a sovrapporsi all'altra.
Come giungere a determinare l'ampiezza di un angolo ha certamente chiesto maggiori sforzi all'intelletto umano di quanti ne abbia richiesti la misurazione di lunghezze e superfici. Misurare significa esprimere una grandezza "A" in rapporto a un'altra grandezza data, a essa omogenea, che funge da unità di misura. Se questo processo sorge abbastanza spontaneo per le grandezze spaziali, per cui basta ripetere un segmento o affiancare un quadrato U per n volte fino all'esaurimento della lunghezza o della superficie (A=n*U), lo stesso diventa meno intuitivo per le grandezze angolari, dove pure la stessa elaborazione mentale di un'unità di misura adatta richiede un maggior grado di astrazione.
Si prendano in considerazione i 4 angoli di ampiezza α della figura. Volendoli quantificare con l'area delimitata dai lati in verde, prolungando i lati a infinito nel caso A si ottiene un'area infinita e nei restanti casi B, C e D, considerando solo le superfici entro le linee tratteggiate, 3 aree determinate e quindi misurabili, ma visibilmente diverse fra loro, seppur originate dal medesimo angolo. Si presuma inoltre di dividere α esattamente in due angoli uguali, in modo che sia esprimibile in rapporto a questi ultimi, come formula_3= 2 formula_4; formula_4. Per quanto detto sopra, formula_4 può quindi essere considerato un"'unità di misura" e, se ora se ne considera l'area, l'uguaglianza sarà soddisfatta soltanto dai casi C e D, ma non da B, dove i due triangoli hanno aree diverse, pur trattandosi di due angoli formula_4 perfettamente sovrapponibili. Ne discende che "l'angolo non può essere misurato idoneamente in termini di area".
Si immagini quindi una semiretta che partendo dalla posizione verticale giri attorno al proprio estremo fino a diventare orizzontale; la semiretta ha compiuto un angolo α e nel suo movimento ha coperto la superficie compresa tra le due semirette. Sovrapponendo idealmente le immagini C e D si nota che, come in un compasso, allontanandosi dal centro di rotazione ogni punto traccia sul piano un arco più lungo, pur mantenendo immutato il rapporto fra lunghezza di quest'ultimo e il raggio. Inoltre se la semiretta compisse soltanto l'angolo formula_4 la lunghezza degli archi prodotti sarebbe invariabilmente la metà della lunghezza degli archi loro omologhi in formula_3.
Si consideri ora una rotazione completa che riporta la semiretta alla posizione di partenza, ovvero un angolo di massima ampiezza. In questo caso la semiretta copre l'intera superficie del piano tracciando infinite circonferenze; prendendo una qualunque di queste e segmentandola in "n" parti uguali, si possono individuare per ogni arco altrettante porzioni di piano equipollenti, in pratica una generica unità di misura per l'angolo. Dunque soltanto capendo che la misurazione dell'angolo non può essere avvenire quantificando un'area si comprende che bisogna astrarre il concetto di angolo come parte del piano e considerarlo invece cinematicamente come una porzione di superficie coperta da una semiretta in rotazione sul proprio estremo. Solo in questo modo è possibile misurarlo.
Sebbene questa nozione non sia immediata, deve comunque trattarsi di una conquista concettuale antica, se il sistema per la misurazione degli angoli comunemente più utilizzato ancora oggi, il sistema sessagesimale, è giunto sino noi dall'antica civiltà babilonese invariato nei secoli.
Nel sistema sessagesimale l'angolo completo o "angolo giro" è suddiviso in 360 spicchi, equivalenti all'unità di misura convenzionale denominata grado sessagesimale, indicata col simbolo °. La ragione della divisione in 360 parti dell'angolo giro è riconducibile all'uso astronomico che i babilonesi facevano di questa misura: dato che il Sole compie un giro completo sulla volta celeste nell'arco di un anno, a quel tempo stimato di circa 360 giorni, un grado corrisponde pressappoco allo spostamento del Sole sull'eclittica in un giorno.
Il nome "grado sessagesimale" deriva dal fatto che le sottounità del grado, il "minuto" e il "secondo", sono divise in sessantesimi; perciò, come nell'orologio, ogni grado è diviso in 60 minuti primi indicati col simbolo "'" e chiamati semplicemente minuti, e ogni minuto è diviso in 60 minuti secondi indicati col simbolo """ e chiamati semplicemente secondi. Ulteriori suddivisioni del secondo seguono invece il comune sistema decimale. Questa suddivisione deriva dal fatto che nell'antica Babilonia era in auge un sistema numerico su base sessagesimale, giunto sino a noi quale retaggio storico nell'orologio e sui goniometri.
L'ampiezza di un angolo potrebbe quindi essere espresso in una forma tipo:
Nel tempo sono poi stati adottati altri sistemi di misurazione nel tentativo di rendere più agevole la misura dell'ampiezza dell'angolo. Alla fine del Settecento non sfuggì ai tentativi di razionalizzazione neppure il sistema sessagesimale: venne proposto un sistema centesimale, basato appunto sul grado centesimale quale centesima parte nell'angolo retto, eletto ad angolo fondamentale per sostituire il 90 col più tondo e comodo 100, anche se trovò utilizzo pratico soltanto attorno al 1850 quando Ignazio Porro lo usò per costruire i suoi primi strumenti a divisione centesimale. Con questo sistema l'angolo giro viene diviso in 400 spicchi uguali con sottomultipli a frazioni decimali. Si tratta ancora di una unita di misura convenzionale non motivata da alcuna ragione matematica.
Dallo sviluppo dell'analisi infinitesimale guadagnò sempre più importanza un'altra unita di misura, per certi aspetti più "motivata" o "naturale:" il radiante, inteso come rapporto tra la lunghezza di un arco di circonferenza e il raggio della circonferenza stessa in quanto questo rapporto non dipende dal raggio, ma solo dall'angolo compreso. In questo modo l'angolo giro misura 2π, cioè il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il suo raggio.
Riepilogando, per misurare l'ampiezza dell'angolo i sistemi di misura più attestati sono:
Il primo viene più che altro usato in ambito strettamente topografico, mentre gli ultimi sono quelli maggiormente usati, il secondo per consuetudine il terzo per una maggiore semplicità dei calcoli nelle formule matematiche. La relazione che lega il sistema radiante e il sistema sessagesimale e permette il passaggio da uno all'altro è
dove formula_3 è la misura dell'ampiezza dell'angolo espresso in gradi, e formula_11 è la misura espressa in radianti.
Indicando l'ampiezza di un angolo con:
indicando con formula_17 la parte intera di un numero reale, e ricordando che vale la proporzione generale
valgono le seguenti formule di conversione da un sistema di misura all'altro
Nella nomenclatura degli angoli di ampiezza compresa tra 0 e formula_21 si è soliti usare aggettivi particolari per gli angoli associati a un angolo dato in quanto suoi "angoli di complemento" rispetto agli angoli fondamentali retto, piatto e giro.
Si dice complementare di un angolo di ampiezza α ogni angolo avente come ampiezza la β "mancante" per ottenere un angolo retto, cioè tale che sia formula_22. Da questa definizione segue che due angoli complementari devono essere entrambi acuti e che ha senso attribuire un complementare solo a un angolo acuto.
Si dice supplementare di un angolo di ampiezza α ogni angolo avente come ampiezza la β "mancante" per ottenere un angolo piatto, cioè tale che sia formula_23. Da questa definizione segue che ogni supplementare di un angolo acuto è un angolo ottuso e viceversa, mentre ogni supplementare di un angolo retto è anch'esso un angolo retto.
Quando due angoli supplementari sono anche "consecutivi", cioè hanno in comune solo una semiretta, vengono detti anche angoli adiacenti.
Si dice esplementare di un angolo di ampiezza α ogni angolo avente come ampiezza la β "mancante" per ottenere un angolo giro, cioè tale che sia formula_24. Ne segue che ogni esplementare di un angolo concavo è un angolo convesso e viceversa, mentre ogni esplementare di un angolo piatto è anch'esso piatto.
Due rette che si intersecano dividono il piano in 4 angoli; considerato uno qualsiasi di questi angoli: due degli altri gli sono adiacenti mentre il terzo, con il quale condivide solo il vertice, è detto angolo opposto al vertice. Due angoli sono tra loro opposti al vertice se i prolungamenti dei lati di uno risultano essere i lati dell'altro.
Sono adiacenti gli angoli delle coppie , , e .
Sono invece opposti al vertice gli angoli delle coppie e .
Quando sul piano due rette qualsiasi "r" e "s" vengono tagliate da un trasversale "t", si originano 8 angoli ognuno dei quali è posto in relazione con quelli a esso "non contigui".
Con riferimento ai due semipiani separati dalla trasversale t, sono definiti coniugati due angoli non contigui disposti sullo stesso semipiano, mentre sono considerati alterni due angoli non contigui situati sui due semipiani diversi. Rispetto alle rette r e s, invece sono definiti esterni due angoli non contigui avente in comune ai vertici solo uno dei semipiani originati dalla trasversale, mentre sono considerati interni due Sono inoltre definiti corrispondenti due angoli coniugati in comune ai vertici i semipiani originati dalle rette ma non reciprocamente; il che significa che solo uno degli angoli sarà contemporaneamente intersezione dei tre semi piani.
formula_25
formula_26
formula_27
formula_28
formula_29
Nel caso in cui le due rette "r" e "s" siano parallele gli angoli corrispondenti e gli angoli alterni, dello stesso tipo, sono congruenti. Invece gli angoli coniugati, anch'essi dello stesso tipo, sono supplementari.
Nella geometria euclidea la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre di 180 gradi. Più in generale, data una qualunque figura geometrica convessa di formula_30 lati, la somma di tutti i suoi angoli interni è uguale a formula_31 gradi. Quindi, per esempio, la somma totale di tutti gli angoli interni di un quadrilatero è uguale a formula_32 gradi. Un caso particolare è dato dal quadrato, che ha quattro angoli retti, la cui somma è infatti 360 gradi. Analogamente, la somma di tutti gli angoli interni di un pentagono, regolare o meno, è uguale a 540 gradi.
In altre geometrie, dette non euclidee, la somma degli angoli interni di un triangolo può assumere sia valori maggiori sia valori minori di 180 gradi.
Molti problemi portano ad ampliare la nozione di angolo in modo da disporre di un'entità a cui si possa attribuire un'ampiezza data da un numero reale e quindi anche superiore a 360 gradi e negativa. Per questo occorre abbandonare l'associazione angolo - sottoinsieme del piano. Si dice che un angolo α è maggiore di un angolo β quando una parte di angolo α è congruente all'angolo β. Un angolo convesso o concavo può essere descritto cinematicamente come la parte di piano "spazzata" da una semiretta mobile che ruota mantenendo fisso il suo estremo; questo è il vertice dell'angolo e le posizioni iniziale e finale della semiretta sono i lati dell'angolo. Questa descrizione porta a distinguere due versi del movimento rotatorio. Si definisce verso negativo o verso orario il verso della rotazione che, osservata dal di sopra del piano, corrisponde al movimento delle lancette di un orologio tradizionale; si definisce verso positivo o verso antiorario il verso opposto (es. formula_33).
Per sviluppare considerazioni quantitative si considera una circonferenza Γ il cui centro ha il ruolo del vertice "V" per gli angoli che si prendono in considerazione. Il raggio "r" di questa circonferenza può essere scelto ad arbitrio e talora risulta comodo avere "r" = 1; quando si riferisce il piano a una coppia di assi cartesiani risulta comodo porre il vertice degli angoli nell'origine, in modo che la circonferenza corrisponda all'equazione formula_34.
Ogni angolo di vertice "V" determina un arco sulla circonferenza. Si consideri ora un movimento di una semiretta con estremo in "V" in un verso o nell'altro da una posizione iniziale "S" fino a una posizione finale "T": esso determina sulla Γ un arco orientato che ha come estremo iniziale il punto in cui Γ viene intersecata dalla "S" e come estremo finale il punto in cui viene intersecato dalla "T". Si può pensare l'arco orientato come se fosse "tracciato" dalla penna di un compasso avente l'altro braccio nel punto "V". Gli archi orientati con verso positivo si possono chiamare semplicemente archi (di circonferenza) positivi, quelli con verso negativo archi negativi.
Si può estendere la nozione di arco orientato pensando che il compasso possa compiere più di un giro, in verso positivo o negativo.
Si possono identificare gli angoli convessi con gli angoli relativi agli archi positivi interamente contenuti in una semicirconferenza; gli angoli concavi con gli archi positivi che contengono una semicirconferenza e sono contenuti in una circonferenza.
A questo punto si possono definire come angoli con segno di vertice "V" le entità che generalizzano gli angoli convessi e concavi con vertice in "V" e sono associate biunivocamente agli archi orientati sulla circonferenza Γ.
Gli angoli con segno possono essere sommati senza le restrizioni degli angoli associati a parti di piano e gli archi relativi risultano essere giustapposti; angolo opposto a un angolo dato corrisponde all'arco considerato con il verso opposto. Di conseguenza agli angoli con segno si attribuisce un'ampiezza rappresentata da un numero reale tale che alla somma di due angoli con segno corrisponda la somma algebrica delle ampiezze.
A questo punto si è indotti naturalmente ad associare all'ampiezza di un angolo con segno la lunghezza con segno del corrispondente arco. Questo richiede di precisare cosa si intenda per lunghezza di un arco e più in particolare richiede di definire la lunghezza di una circonferenza
Le considerazioni sulla rettificazione di una circonferenza portano alla definizione del numero π e, sul piano computazionale, alle valutazioni del suo valore.
