
In geometria, si chiama diagonale il segmento che congiunge due vertici non consecutivi di un poligono o di un poliedro. Le diagonali possono essere interne o esterne al perimetro del poligono o al volume del poliedro, in particolare sono tutte interne se la figura è convessa.
Per sapere quante diagonali partono da un vertice di un poligono di formula_1 vertici si contano tutti i vertici tranne il vertice considerato e i due consecutivi ad esso, in quanto i segmenti ottenuti costituirebbero due lati (e quindi non sarebbero "diagonali" secondo la definizione sopra riportata), quindi si hanno formula_2 diagonali.
Il numero totale delle diagonali di un poligono di formula_1 vertici è dato dalla formula
Si dimentichi per un attimo il poligono e lo si sostituisca con l'insieme degli formula_5 punti corrispettivi dei vertici. Si tracci da ciascun punto le diagonali verso ognuno dei restanti formula_6 (per semplicità ora non si farà distinzioni fra lati e diagonali); si ha quindi che da ogni vertice del poligono partono in totale formula_6 diagonali, se però le si vogliono contare correttamente occorre fare il seguente ragionamento:
Il numero totale delle diagonali è quindi la sommatoria di una progressione aritmetica
da cui però bisogna togliere gli formula_5 lati, che inizialmente sono stati considerati per semplicità delle diagonali, quindi
Come si può verificare dalla formula, il triangolo con i suoi 3 lati è l'unico poligono a non avere diagonali.
Iniziamo dicendo che per formare una diagonale occorrono due vertici. Inoltre il segmento formula_22 e il segmento formula_23 rappresentano la stessa diagonale, quindi l'ordine con cui si prendono i vertici non è importante. Si tratta allora di contare quante configurazioni ordinate posso formare con formula_5 oggetti presi 2 alla volta. Per contare queste configurazioni ci viene in aiuto il calcolo combinatorio, infatti le configurazioni possibili sono le combinazioni semplici di formula_5 oggetti di classe 2
A queste configurazioni vanno poi tolte quelle ottenute prendendo due vertici consecutivi, quindi il numero formula_5 dei vertici del poligono
da cui
formula_29
Provando a tracciare le diagonali di diversi poligoni si ottiene la seguente tabella:
Si osserva che mentre i lati si susseguono linearmente, il numero delle rispettive diagonali aumenta in modo parabolico (per convincersene basta immettere i dati in un piano cartesiano), quindi la formula risolutiva deve essere un'equazione di secondo grado. Per trovarla si impieghi un sistema di 3 equazioni
formula_30
dove formula_31 è il numero dei lati e formula_32 è il numero delle diagonali corrispondenti. Poiché sia formula_31 che formula_32 sono noti (almeno per un numero finito di casi), le incognite sono formula_35. Sostituendo, ad esempio, formula_36 e i corrispondenti valori di formula_32 si ha
formula_38
e risolvendo il sistema si ottiene formula_39.
Quindi la formula risolutiva è formula_40 che sul piano cartesiano assume la forma della conica con formula_41 e formula_42.


In geometria un aquilone (o deltoide) è un quadrilatero che presenta due coppie di lati consecutivi che sono congruenti (mentre un parallelogramma presenta due coppie di lati congruenti che sono opposti). 
In un deltoide le due diagonali si intersecano ortogonalmente, è sempre presente almeno una coppia di angoli opposti congruenti e la diagonale tra i due vertici opposti comuni alle due coppie di lati congruenti è asse di simmetria per la figura.
L'insieme dei deltoidi si bipartisce nei due sottoinsiemi degli aquiloni convessi e dei concavi: il punto di intersezione delle due diagonali è punto interno per gli aquiloni convessi, mentre è punto esterno per gli aquiloni concavi. Tra queste due classi di aquiloni si possono collocare i triangoli isosceli visti come caso limite degli aquiloni quando due dei lati consecutivi congruenti formano tra loro un angolo piatto (in questo caso, però, non si ha un quadrilatero e si parla di "aquilone degenere").
Un deltoide convesso è sempre circoscrivibile ad una circonferenza, ossia esiste sempre una circonferenza alla quale tutti i suoi lati sono tangenti.
La diagonale che è asse di simmetria divide ogni aquilone in due triangoli l'uno simmetrico dell'altro. L'altra diagonale divide ogni aquilone convesso in due triangoli isosceli e individua per ogni aquilone concavo due triangoli isosceli per i quali l'aquilone costituisce la chiusura topologica della loro differenza insiemistica.
Un aquilone (convesso) che ha tutti i quattro lati congruenti è un rombo. 
Ad ogni aquilone si possono associare i due triangoli isosceli caratterizzati rispettivamente da una coppia di lati congruenti. Fissati i tre vertici di uno dei due suddetti triangoli isosceli, facendo muovere il quarto vertice sul suo asse di simmetria si individua una famiglia di aquiloni che comprende anche i due aquiloni degeneri costituiti dal triangolo fissato e da due dei suoi lati.
Un quadrilatero è un aquilone se e solo se le sue diagonali sono ortogonali e una delle due viene divisa in due segmenti congruenti dal loro punto di intersezione. 
Un quadrilatero è un aquilone se e solo se sono congruenti due suoi lati adiacenti e sono congruenti i due angoli delimitati dalle due coppie di lati per i quali non si è richiesta la congruenza.
Un aquilone è un quadrilatero ciclico, cioè ha tutti i vertici appartenenti al suo circumcerchio, se e solo se due suoi angoli opposti sono angoli retti; in tale caso la diagonale di simmetria dell'aquilone è diagonale del circumcerchio e i due triangoli tra loro simmetrici che lo compongono sono rettangoli.
L'area si può ottenere con la seguente formula che calcola l'area di un qualsiasi parallelogramma con le diagonali perpendicolari:
formula_1
dove formula_2 è la diagonale maggiore e formula_3 è quella minore.
