
Il teorema di Pitagora è un teorema della geometria euclidea che stabilisce una relazione fondamentale tra i lati di un triangolo rettangolo.
Si può considerare un caso speciale, per i triangoli rettangoli, del teorema del coseno.
Quello che modernamente conosciamo come "teorema di Pitagora" viene solitamente attribuito al filosofo e matematico Pitagora. In realtà il suo enunciato (ma non la sua dimostrazione) era già noto ai Babilonesi. Viene a volte affermato che il teorema di Pitagora fosse noto agli antichi Egizi: Carl Boyer esclude questa ipotesi, basandosi sull'assenza del teorema dai papiri matematici rinvenuti. Era conosciuto anche in Cina e sicuramente in India, come dimostrano molte scritture fra cui lo "Yuktibhāṣā" e gli "Śulbasūtra". La dimostrazione del teorema è invece con ogni probabilità successiva a Pitagora.
oppure:
L'uso dell'aggettivo "uguale" invece di "equivalente" richiede di riferirsi o alle aree dei quadrati "costruiti" sui cateti e sull'ipotenusa (area intesa come misura dell'estensione di una superficie), oppure ai quadrati delle lunghezze dei cateti/quadrato della lunghezza dell'ipotenusa. La possibile ambivalenza della lingua italiana deriva dal fatto che, in assenza del termine "costruito", la parola "quadrato" può definire sia la "superficie" della figura geometrica in quanto tale, sia la generica operazione di elevamento alla seconda potenza.
In altre lingue, segnatamente in inglese, francese e spagnolo, nell'enunciato del teorema di Pitagora si preferisce parlare di quadrati (delle lunghezze) dei cateti e dell'ipotenusa, il che consente il semplice utilizzo dei termini "equal" (in inglese), "égal" (in francese), "igual" (in spagnolo). 
Per esempio, in spagnolo, "el cuadrado de la hipotenusa" significa, senza ambiguità, il "quadrato (della misura) dell'ipotenusa".
Dato un triangolo rettangolo di lati formula_1, formula_2 e formula_3, ed indicando con formula_3 la sua ipotenusa e con formula_1 e formula_2 i suoi cateti, il teorema è espresso dall'equazione:
o, esplicitando formula_3:
Le misure dei cateti sono perciò:
e
Una terna di numeri interi positivi formula_12 che soddisfi il teorema di Pitagora si dice terna pitagorica.
Viceversa, ogni triangolo in cui i tre lati verifichino questa proprietà è rettangolo: questo teorema, con la sua dimostrazione, appare nell'ultimo enunciato del primo libro di "Elementi".
La dimostrazione classica del teorema di Pitagora completa il primo libro degli "Elementi" di Euclide, e ne costituisce il filo conduttore. Dato che richiede il postulato delle parallele, esso non vale nelle geometrie non-euclidee e nella geometria neutrale. Nel testo di Euclide la dimostrazione del teorema è immediatamente preceduta dalla dimostrazione della costruibilità dei quadrati. L'esistenza stessa dei quadrati dipende infatti dal postulato delle parallele e viene meno nelle geometrie non euclidee. Questo aspetto del problema è in genere trascurato nella didattica contemporanea, che tende spesso ad assumere come ovvia l'esistenza dei quadrati.
La dimostrazione del teorema di Pitagora consiste nel riempire uno stesso quadrato di lato uguale alla somma dei cateti prima con quattro copie del triangolo rettangolo più il quadrato costruito sull'ipotenusa e poi con quattro copie del triangolo rettangolo più i quadrati costruiti sui cateti, come in figura.
Essendo il teorema uno dei più noti della storia della matematica, ne esistono moltissime dimostrazioni, in totale alcune centinaia, opera di matematici, astronomi, agenti di cambio, per esempio un presidente statunitense James A. Garfield e Leonardo da Vinci. Per questo teorema sono state classificate dallo scienziato statunitense Elisha Scott Loomis 371 differenti dimostrazioni, che sono state pubblicate nel 1927 nel suo libro The Pythagorean Proposition.
La dimostrazione attribuita al matematico e astronomo persiano Abu'l-Wafa verso la fine del X secolo d.C. e riscoperta dall'agente di cambio Henry Perigal (trovata nel 1835-1840, pubblicata nel 1872 e successivamente nel 1891) si basa sulla scomposizione del quadrato costruito sul cateto maggiore, in giallo nell'immagine: tagliandolo infatti con due rette passanti per il suo centro, una perpendicolare ed una parallela all'ipotenusa, si può ricomporre in maniera da incorporare l'altro quadrato, e formando il quadrato sull'ipotenusa, come nella figura. Questo procedimento è legato al problema della trisezione del quadrato.
Esiste anche una dimostrazione poetica, dell'astronomo Sir George Airy, in inglese:
di cui una traduzione letterale è
I versi si riferiscono alla parte bianca: i primi due triangoli sono quelli rossi, i secondi quelli blu.
Sia quella di Perigal sia quest'ultima sono puramente geometriche, ossia non richiedono alcuna definizione di operazioni aritmetiche, ma solo congruenze di aree e di segmenti.
Dimostrazione geometrica basata su due quadrati concentrici, di lati rispettivamente pari all'ipotenusa (formula_3) e alla somma dei due cateti (formula_14).
Come si vede dalla figura, tolti i quattro triangoli rettangoli (in giallo di area formula_15) al quadrato più grande, che corrisponde all'area formula_16, si ottiene il quadrato più piccolo, rappresentato in bianco, che equivale invece all'area formula_17.
Quindi
da cui risolvendo si ottiene
Questa dimostrazione, utilizzando il passaggio algebrico del quadrato della somma di due numeri, ha una rappresentazione visiva semplice e diretta, che non richiede lo spostamento e sovrapposizione di forme come le altre dimostrazioni geometriche formulate.
Un'altra dimostrazione geometrica, nella cui costruzione non compare alcun quadrato, fu trovata nel 1876 da Garfield, che in seguito divenne il ventesimo Presidente degli Stati Uniti d'America. Allora nell'esercito, Garfield commentò il suo risultato: ""Questo è qualcosa su cui i due rami del parlamento potranno essere d'accordo"".
La dimostrazione segue sostanzialmente il metodo usato nella dimostrazione di Pomi, applicato però a metà figura, considerando cioè il trapezio anziché il quadrato:
In formule, detto formula_1 il cateto rosso, formula_2 il blu e formula_3 l'ipotenusa, e ricordando la potenza del binomio
Un'altra dimostrazione utilizza il primo teorema di Euclide. Si traccia l'altezza sull'ipotenusa. Questa spezza l'ipotenusa in due segmenti, di lunghezza formula_24 e formula_25. Il teorema di Euclide fornisce le relazioni
da cui
e quindi 
Vale anche l'inverso del Teorema di Pitagora (proposizione 48 del primo libro degli "Elementi" di Euclide):
"Se in un triangolo di lati formula_1, formula_2 e formula_3 vale la relazione formula_32, allora il triangolo è rettangolo".
"Dimostrazione". Sia formula_33 un triangolo di lati formula_1, formula_2 e formula_3 tale che formula_32. Consideriamo un secondo triangolo rettangolo formula_38 che abbia i cateti pari ad formula_1 e formula_2 (è sempre possibile costruire un triangolo rettangolo dati i due cateti). Per il Teorema di Pitagora (diretto) l'ipotenusa del triangolo formula_38 sarà pari a formula_42, ossia sarà uguale al lato formula_3 del triangolo formula_33. I due triangoli formula_33 e formula_38 risulteranno dunque congruenti per il terzo criterio di congruenza, avendo tutti e tre i lati ordinatamente uguali. Ma allora anche il triangolo formula_33 sarà rettangolo "(CVD)".
Un corollario del teorema di Pitagora consente di determinare se un triangolo sia o meno rettangolo, acutangolo o ottusangolo. Là dove c è scelto come ipotenusa, il lato più lungo dei tre, e formula_48 (altrimenti non avremo un triangolo), valgono le seguenti relazioni:
L'enunciato inverso fornisce anche un sistema per costruire un angolo retto (o per controllare la quadratura di un angolo già esistente) in situazioni pratiche, come la topografia o l'agrimensura.
A titolo di esempio, con una fune di lunghezza pari alla somma di una terna pitagorica (diciamo 12, somma di 5, 4 e 3, in una qualche unità di misura) sarebbe sufficiente disporre le due porzioni minori della corda (quelle di misura 4 e 3) ad un certo angolo fra loro; se gli estremi della fune, disposta infine in forma triangolare, si chiudono, si saprà che l'angolo compreso fra le due porzioni minori della corda (a questo punto i due cateti) è certamente retto.
Il teorema di Pitagora può essere generalizzato in vari modi. Solitamente, una generalizzazione è una relazione che si applica a tutti i triangoli, e che applicata ai triangoli rettangoli risulta essere equivalente al teorema di Pitagora.
Una generalizzazione del teorema di Pitagora è il teorema del coseno, che si applica ad un triangolo qualsiasi (non necessariamente retto). In un triangolo con vertici e angoli indicati come in figura, vale l'uguaglianza:
Nel caso in cui formula_53 sia retto, vale formula_54 e quindi l'enunciato è equivalente al teorema di Pitagora. Il termine aggiuntivo può essere interpretato come il prodotto scalare dei vettori formula_55 e formula_56.
Il teorema dei seni mette in relazione le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni degli angoli opposti. Anche questa relazione si applica a qualsiasi triangolo e, nel caso in cui questo sia rettangolo, può essere ritenuta equivalente al teorema di Pitagora (benché in modo meno immediato rispetto al teorema del coseno).
Il teorema dei seni asserisce che in un triangolo qualsiasi, con le notazioni come in figura, valgono le relazioni seguenti:
Elevando al quadrato:
Sommando i termini si ottiene:
Quando formula_60 è un angolo retto, si ottiene formula_61 e quindi 
Si ottiene quindi in questo caso il teorema di Pitagora
È possibile estendere il teorema di Pitagora ad un triangolo qualsiasi senza fare uso di funzioni trigonometriche quali il seno ed il coseno.
Dato un triangolo formula_64 come in figura, si tracciano due segmenti che collegano il vertice formula_65 con due punti formula_66 e formula_67 contenuti nel segmento opposto formula_68 (oppure in un suo prolungamento), in modo tale che gli angoli formula_69 e formula_70 siano entrambi uguali all'angolo formula_60 del vertice formula_65. La figura mostra un caso in cui l'angolo formula_60 è ottuso: se è acuto, i due punti formula_74 e formula_67 sono in ordine inverso (il primo a destra e il secondo a sinistra) e possono uscire dal segmento formula_68.
Vale la relazione seguente:
Quando formula_60 è un angolo retto, i punti formula_74 e formula_67 coincidono e si ottiene il teorema di Pitagora
La relazione generale può essere dimostrata sfruttando la similitudine fra i triangoli formula_82, formula_83 e formula_84, che porta alle relazioni
Si ottiene quindi
Sommando le due eguaglianze si ottiene la relazione iniziale.
Il Teorema di Pitagora continua a valere quando su ogni lato di un triangolo rettangolo si costruiscono figure simili tra loro anche non regolari.
Il suo enunciato diventa:
In ogni triangolo rettangolo, l'area di un qualunque poligono, anche curvilineo, costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei poligoni, simili a quello costruito sull'ipotenusa, costruiti sui cateti.
"Dimostrazione"
Siano:
e
Per il teorema di Pitagora in forma classica risulta:
e quindi
Ricordando che se due poligoni simili hanno 2 lati corrispondenti in rapporto formula_101 allora le loro superfici sono in rapporto formula_102, avendo definito formula_103 , risulta 
Avendo inoltre definito uguale a
formula_105
il rapporto tra i due cateti, per il motivo precedente risulta uguale a
formula_106 il rapporto tra le aree dei poligoni simili costruiti su di essi, ovvero:
Quindi:
E quindi
Come volevasi dimostrare.
Il teorema di Pitagora può essere "generalizzato" a spazi vettoriali di qualsiasi dimensione, come lo spazio euclideo di dimensione 3 o superiore, o uno spazio vettoriale su corpo complesso, continuando a valere anche su funzioni viste come somme infinite di vettori come nell'analisi funzionale, finché sia possibile definire un prodotto scalare, rendendo lo spazio vettoriale uno spazio prehilbertiano.
La dimostrazione è semplice, e l'enunciato del teorema è: "La somma dei quadrati delle norme di due vettori ortogonali è uguale al quadrato della norma del loro vettore somma", ovvero formula_110 .
Per definizione di ortogonalità, il prodotto scalare fra formula_111 e formula_112 è nullo e commuta. L'enunciato del teorema è equivalente, per la definizione di norma euclidea, a formula_113. Svolgendo il prodotto scalare al secondo membro sfruttando la sua bilinearità e ricordando che il prodotto scalare fra formula_112 e formula_111 è nullo, il teorema risulta provato.
Una leggenda racconta che Pitagora abbia formulato il suo teorema mentre stava aspettando un'udienza da Policrate. Seduto in un grande salone del palazzo di Samo, Pitagora si mise ad osservare le piastrelle quadrate del pavimento, si pensa che ne abbia vista una rotta perfettamente su una diagonale, così da formare due triangoli rettangoli uguali, ma oltre ad essere 2 triangoli rettangoli erano anche isosceli, avendo i due lati uguali. Pitagora immaginò un quadrato costruito sulla diagonale di rottura della piastrella, un quadrato avente come lati le diagonali delle piastrelle circostanti.
La dimostrazione è la seguente: 
Il teorema di Pitagora, in realtà, non era considerato solo una legge matematica del pensiero, ma anche una legge ontologica, cioè dell'essere, riguardante la realtà dell'uomo e del mondo. Il significato filosofico ed esoterico che esso pertanto assumeva costituiva parte integrante delle conoscenze iniziatiche riservate agli adepti della scuola pitagorica. 
Una delle possibili interpretazioni del teorema che si è tramandata fino ad oggi all'interno della massoneria, dove l'emblema dei quadrati costruiti sui lati di un triangolo rettangolo compare nel gioiello indossato dagli anziani Maestri ex-Venerabili (detti in inglese "Past Masters"), mette in relazione la volontà del Cielo, ossia la Provvidenza, rappresentata dal cateto verticale, con la volontà della singola individualità umana, simboleggiata dal cateto orizzontale. Quanto più l'individuo, anziché estendere arbitrariamente la propria volontà, cerca di adeguarla a quella del Cielo, tanto meno subirà il peso del Destino, cioè dell'ipotenusa, e quindi tanto più riuscirà a dominare le forze della necessità che gravano sulla sua vita.


In matematica il termine angolo (dal latino "angulus", dal greco ἀγκύλος ("ankýlos"), derivazione dalla radice indoeuropea "ank", piegare, curvare) riguarda nozioni di larghissimo uso, innanzitutto nella geometria e nell'analisi infinitesimale.
Si definisce angolo ciascuna delle due porzioni di piano comprese tra due semirette aventi la stessa origine. Si chiama "angolo concavo" l'angolo che contiene i prolungamenti (lati) di queste semirette.
L"'angolo convesso" è la porzione di piano che non contiene i prolungamenti delle semirette che dividono il piano. La definizione di angolo convesso consente di sviluppare le basi della geometria piana euclidea e le prime nozioni di trigonometria.
A ogni angolo si associa un"'ampiezza", la misura correlata alla posizione di una semiretta rispetto all'altra e pertanto alla conformazione della porzione di piano costituente l'angolo: essa si esprime in gradi "sessagesimali" o "sessadecimali" oppure in gradi centesimali o infine in radianti, sempre con valori reali. Gli angoli convessi hanno ampiezza compresa tra 0 e 180 gradi sessagesimali, da 0 a 200 gradi centesimali, da 0 a "π radianti;" mentre l'ampiezza degli angoli concavi misura tra 180 e 360 gradi, ovvero da 200 a 400 gradi centesimali, ovvero da "π" a 2"π" radianti, quindi le ampiezze sono sempre positive.
Associando all'angolo un verso si introducono le ampiezze degli angoli con segno, entità meno intuitive che consentono di definire funzioni trigonometriche con argomenti reali qualsiasi fatte salve eventuali singolarità. Le ampiezze con segno sono da considerare insieme con il problema della rettificazione degli archi di circonferenza dotati di verso, alla natura del numero π e alle questioni relative alle aree con segno; tutti questi elementi forniscono contributi essenziali alle possibilità del calcolo infinitesimale e alle applicazioni alla fisica classica e alle conseguenti discipline quantitative.
Il termine angolo convesso riguarda una parte di piano definita da due semirette aventi l'origine in comune; le semirette "S" e "T" vengono dette "lati dell'angolo" e la loro origine "V" "vertice dell'angolo".
Se le semirette sono diverse, ma appartengono alla stessa retta "R", ciascuno dei due semipiani definiti da "R" muniti del vertice (che distingue le semirette) si dice angolo piatto.
A parte il caso particolare dell'angolo piatto, il piano si tripartisce in tre insiemi: l'insieme dei punti appartenenti alle due semirette, "S" e "T" (tra i quali il vertice) chiamata frontiera dell'angolo, e due insiemi connessi "K" e "K" e separati dai punti della frontiera. Uno solo di questi due insiemi "K" è costituito da punti che appartengono a segmenti con un estremo su una semiretta e l'altro sull'altra; in altre parole solo "K" è un insieme convesso. Il terzo insieme "K" non è convesso. Si definisce angolo convesso determinato da "S" e "T" l'unione di questo insieme convesso e della frontiera, formula_1. Si definisce angolo concavo determinato da "S" e "T" l'unione del terzo insieme non convesso e della frontiera, formula_2. I due angoli definiti dalle due semirette si dicono angoli esplementari.
Angoli convessi e concavi sono sottoinsiemi infiniti del piano, e quindi insiemi non misurabili attraverso la loro area che ha valore infinito. Spesso con angolo (convesso) si indica anche la parte di piano delimitata da due segmenti con un estremo in comune (vertice). Si può ricondurre questa definizione alla precedente prolungando i due segmenti dalla parte del loro estremo diverso dal vertice per ottenere le due semirette. Comunque questa estensione della definizione rende lecito assegnare a ogni triangolo tre angoli (convessi) associati biunivocamente ai suoi tre vertici.
Tuttavia il triangolo, essendo una parte del piano chiusa e limitata, ha area finita, infatti esso è l'intersezione degli angoli corrispondenti ai suoi tre vertici.
È naturale porsi il problema di "misurare un angolo": gli angoli possono servire per tante costruzioni e se a essi si associano misure numeriche ci si aspetta che per molte costruzioni possano essere utili calcoli numerici su queste misure.
Il problema della misura di un angolo non può essere risolto attraverso una misura della sua superficie che non è finita e che comunque non sarebbe significativa nemmeno nel caso di angoli sottesi da segmenti come nel caso del triangolo: si considerino per esempio triangoli simili.
Se si hanno due angoli convessi o concavi "A" e "B" con lo stesso vertice e "B" è sottoinsieme di "A" (situazione che si determina solo se i lati di "B" sono sottoinsiemi di "A") è ragionevole chiedere che la misura di "A" sia maggiore della misura di "B".
Dato un angolo convesso "A," si dice semiretta bisettrice dell'angolo la semiretta avente il vertice di "A" come estremo e i cui punti sono equidistanti dai lati di "A". Si può costruire facilmente la bisettrice con un compasso. La semiretta bisettrice di un angolo concavo si definisce come la semiretta avente come estremo il vertice dell'angolo allineata con la bisettrice del suo angolo (convesso) esplementare.
La semiretta bisettrice "B" di un angolo "A" convesso o concavo e ciascuno dei suoi due lati determinano due angoli convessi. La riflessione rispetto alla retta contenente la "B" scambia i due lati di "A" e trasforma uno dei due angoli nell'altro. È quindi ragionevole attribuire ai due angoli determinati dalla bisettrice una misura che sia la metà della misura di "A". È altrettanto ragionevole considerare che le misure dei due angoli determinati dalla semiretta bisettrice siano la metà della misura dell'angolo di partenza. Il processo di dimezzamento di un angolo può essere ripetuto N volte con N grande a piacere.
Un angolo convesso si dice angolo retto se i suoi due lati sono ortogonali, ovvero un angolo retto è la metà di un angolo piatto.
Un angolo convesso contenuto in un angolo retto avente il suo stesso vertice si dice angolo acuto. Un angolo convesso contenente un angolo retto avente lo stesso vertice si dice angolo ottuso.
Due angoli "A" e "B" che hanno in comune solo una semiretta si dicono angoli consecutivi. Se due angoli consecutivi hanno le semirette non in comune opposte (cioè la loro unione è una retta) allora si dicono angoli adiacenti. Per quanto riguarda gli angoli consecutivi, se questi sono angoli convessi la loro unione è un angolo che potrebbe essere convesso o concavo: si tratta dell'angolo definito dalle due semirette che sono i lati di uno solo dei due angoli. A questo angolo unione è ragionevole assegnare come misura la somma delle misure degli angoli adiacenti. L'angolo unione si dice "somma" dei due angoli "A" e "B".
In base alle considerazioni precedenti è lecito attribuire agli angoli misure costituite da numeri reali.
Due angoli trasformabili l'uno nell'altro mediante isometrie si dicono congruenti. Evidentemente una misura degli angoli invariante per le isometrie costituisce uno strumento con molti vantaggi: in particolare consente di individuare le classi di congruenza degli angoli. Quindi si chiede una misura degli angoli a valori reali e invariante per congruenza.
Se l'angolo è definito come la porzione del piano tra due semirette, la sua unità di misura dovrebbe essere una lunghezza al quadrato, ma questa misura non ha né significato né utilità pratica. Si è quindi pensato di considerare non la misura dell'angolo in sé, ma quella dell'ampiezza "del movimento" che porta una delle semirette a sovrapporsi all'altra.
Come giungere a determinare l'ampiezza di un angolo ha certamente chiesto maggiori sforzi all'intelletto umano di quanti ne abbia richiesti la misurazione di lunghezze e superfici. Misurare significa esprimere una grandezza "A" in rapporto a un'altra grandezza data, a essa omogenea, che funge da unità di misura. Se questo processo sorge abbastanza spontaneo per le grandezze spaziali, per cui basta ripetere un segmento o affiancare un quadrato U per n volte fino all'esaurimento della lunghezza o della superficie (A=n*U), lo stesso diventa meno intuitivo per le grandezze angolari, dove pure la stessa elaborazione mentale di un'unità di misura adatta richiede un maggior grado di astrazione.
Si prendano in considerazione i 4 angoli di ampiezza α della figura. Volendoli quantificare con l'area delimitata dai lati in verde, prolungando i lati a infinito nel caso A si ottiene un'area infinita e nei restanti casi B, C e D, considerando solo le superfici entro le linee tratteggiate, 3 aree determinate e quindi misurabili, ma visibilmente diverse fra loro, seppur originate dal medesimo angolo. Si presuma inoltre di dividere α esattamente in due angoli uguali, in modo che sia esprimibile in rapporto a questi ultimi, come formula_3= 2 formula_4; formula_4. Per quanto detto sopra, formula_4 può quindi essere considerato un"'unità di misura" e, se ora se ne considera l'area, l'uguaglianza sarà soddisfatta soltanto dai casi C e D, ma non da B, dove i due triangoli hanno aree diverse, pur trattandosi di due angoli formula_4 perfettamente sovrapponibili. Ne discende che "l'angolo non può essere misurato idoneamente in termini di area".
Si immagini quindi una semiretta che partendo dalla posizione verticale giri attorno al proprio estremo fino a diventare orizzontale; la semiretta ha compiuto un angolo α e nel suo movimento ha coperto la superficie compresa tra le due semirette. Sovrapponendo idealmente le immagini C e D si nota che, come in un compasso, allontanandosi dal centro di rotazione ogni punto traccia sul piano un arco più lungo, pur mantenendo immutato il rapporto fra lunghezza di quest'ultimo e il raggio. Inoltre se la semiretta compisse soltanto l'angolo formula_4 la lunghezza degli archi prodotti sarebbe invariabilmente la metà della lunghezza degli archi loro omologhi in formula_3.
Si consideri ora una rotazione completa che riporta la semiretta alla posizione di partenza, ovvero un angolo di massima ampiezza. In questo caso la semiretta copre l'intera superficie del piano tracciando infinite circonferenze; prendendo una qualunque di queste e segmentandola in "n" parti uguali, si possono individuare per ogni arco altrettante porzioni di piano equipollenti, in pratica una generica unità di misura per l'angolo. Dunque soltanto capendo che la misurazione dell'angolo non può essere avvenire quantificando un'area si comprende che bisogna astrarre il concetto di angolo come parte del piano e considerarlo invece cinematicamente come una porzione di superficie coperta da una semiretta in rotazione sul proprio estremo. Solo in questo modo è possibile misurarlo.
Sebbene questa nozione non sia immediata, deve comunque trattarsi di una conquista concettuale antica, se il sistema per la misurazione degli angoli comunemente più utilizzato ancora oggi, il sistema sessagesimale, è giunto sino noi dall'antica civiltà babilonese invariato nei secoli.
Nel sistema sessagesimale l'angolo completo o "angolo giro" è suddiviso in 360 spicchi, equivalenti all'unità di misura convenzionale denominata grado sessagesimale, indicata col simbolo °. La ragione della divisione in 360 parti dell'angolo giro è riconducibile all'uso astronomico che i babilonesi facevano di questa misura: dato che il Sole compie un giro completo sulla volta celeste nell'arco di un anno, a quel tempo stimato di circa 360 giorni, un grado corrisponde pressappoco allo spostamento del Sole sull'eclittica in un giorno.
Il nome "grado sessagesimale" deriva dal fatto che le sottounità del grado, il "minuto" e il "secondo", sono divise in sessantesimi; perciò, come nell'orologio, ogni grado è diviso in 60 minuti primi indicati col simbolo "'" e chiamati semplicemente minuti, e ogni minuto è diviso in 60 minuti secondi indicati col simbolo """ e chiamati semplicemente secondi. Ulteriori suddivisioni del secondo seguono invece il comune sistema decimale. Questa suddivisione deriva dal fatto che nell'antica Babilonia era in auge un sistema numerico su base sessagesimale, giunto sino a noi quale retaggio storico nell'orologio e sui goniometri.
L'ampiezza di un angolo potrebbe quindi essere espresso in una forma tipo:
Nel tempo sono poi stati adottati altri sistemi di misurazione nel tentativo di rendere più agevole la misura dell'ampiezza dell'angolo. Alla fine del Settecento non sfuggì ai tentativi di razionalizzazione neppure il sistema sessagesimale: venne proposto un sistema centesimale, basato appunto sul grado centesimale quale centesima parte nell'angolo retto, eletto ad angolo fondamentale per sostituire il 90 col più tondo e comodo 100, anche se trovò utilizzo pratico soltanto attorno al 1850 quando Ignazio Porro lo usò per costruire i suoi primi strumenti a divisione centesimale. Con questo sistema l'angolo giro viene diviso in 400 spicchi uguali con sottomultipli a frazioni decimali. Si tratta ancora di una unita di misura convenzionale non motivata da alcuna ragione matematica.
Dallo sviluppo dell'analisi infinitesimale guadagnò sempre più importanza un'altra unita di misura, per certi aspetti più "motivata" o "naturale:" il radiante, inteso come rapporto tra la lunghezza di un arco di circonferenza e il raggio della circonferenza stessa in quanto questo rapporto non dipende dal raggio, ma solo dall'angolo compreso. In questo modo l'angolo giro misura 2π, cioè il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il suo raggio.
Riepilogando, per misurare l'ampiezza dell'angolo i sistemi di misura più attestati sono:
Il primo viene più che altro usato in ambito strettamente topografico, mentre gli ultimi sono quelli maggiormente usati, il secondo per consuetudine il terzo per una maggiore semplicità dei calcoli nelle formule matematiche. La relazione che lega il sistema radiante e il sistema sessagesimale e permette il passaggio da uno all'altro è
dove formula_3 è la misura dell'ampiezza dell'angolo espresso in gradi, e formula_11 è la misura espressa in radianti.
Indicando l'ampiezza di un angolo con:
indicando con formula_17 la parte intera di un numero reale, e ricordando che vale la proporzione generale
valgono le seguenti formule di conversione da un sistema di misura all'altro
Nella nomenclatura degli angoli di ampiezza compresa tra 0 e formula_21 si è soliti usare aggettivi particolari per gli angoli associati a un angolo dato in quanto suoi "angoli di complemento" rispetto agli angoli fondamentali retto, piatto e giro.
Si dice complementare di un angolo di ampiezza α ogni angolo avente come ampiezza la β "mancante" per ottenere un angolo retto, cioè tale che sia formula_22. Da questa definizione segue che due angoli complementari devono essere entrambi acuti e che ha senso attribuire un complementare solo a un angolo acuto.
Si dice supplementare di un angolo di ampiezza α ogni angolo avente come ampiezza la β "mancante" per ottenere un angolo piatto, cioè tale che sia formula_23. Da questa definizione segue che ogni supplementare di un angolo acuto è un angolo ottuso e viceversa, mentre ogni supplementare di un angolo retto è anch'esso un angolo retto.
Quando due angoli supplementari sono anche "consecutivi", cioè hanno in comune solo una semiretta, vengono detti anche angoli adiacenti.
Si dice esplementare di un angolo di ampiezza α ogni angolo avente come ampiezza la β "mancante" per ottenere un angolo giro, cioè tale che sia formula_24. Ne segue che ogni esplementare di un angolo concavo è un angolo convesso e viceversa, mentre ogni esplementare di un angolo piatto è anch'esso piatto.
Due rette che si intersecano dividono il piano in 4 angoli; considerato uno qualsiasi di questi angoli: due degli altri gli sono adiacenti mentre il terzo, con il quale condivide solo il vertice, è detto angolo opposto al vertice. Due angoli sono tra loro opposti al vertice se i prolungamenti dei lati di uno risultano essere i lati dell'altro.
Sono adiacenti gli angoli delle coppie , , e .
Sono invece opposti al vertice gli angoli delle coppie e .
Quando sul piano due rette qualsiasi "r" e "s" vengono tagliate da un trasversale "t", si originano 8 angoli ognuno dei quali è posto in relazione con quelli a esso "non contigui".
Con riferimento ai due semipiani separati dalla trasversale t, sono definiti coniugati due angoli non contigui disposti sullo stesso semipiano, mentre sono considerati alterni due angoli non contigui situati sui due semipiani diversi. Rispetto alle rette r e s, invece sono definiti esterni due angoli non contigui avente in comune ai vertici solo uno dei semipiani originati dalla trasversale, mentre sono considerati interni due Sono inoltre definiti corrispondenti due angoli coniugati in comune ai vertici i semipiani originati dalle rette ma non reciprocamente; il che significa che solo uno degli angoli sarà contemporaneamente intersezione dei tre semi piani.
formula_25
formula_26
formula_27
formula_28
formula_29
Nel caso in cui le due rette "r" e "s" siano parallele gli angoli corrispondenti e gli angoli alterni, dello stesso tipo, sono congruenti. Invece gli angoli coniugati, anch'essi dello stesso tipo, sono supplementari.
Nella geometria euclidea la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre di 180 gradi. Più in generale, data una qualunque figura geometrica convessa di formula_30 lati, la somma di tutti i suoi angoli interni è uguale a formula_31 gradi. Quindi, per esempio, la somma totale di tutti gli angoli interni di un quadrilatero è uguale a formula_32 gradi. Un caso particolare è dato dal quadrato, che ha quattro angoli retti, la cui somma è infatti 360 gradi. Analogamente, la somma di tutti gli angoli interni di un pentagono, regolare o meno, è uguale a 540 gradi.
In altre geometrie, dette non euclidee, la somma degli angoli interni di un triangolo può assumere sia valori maggiori sia valori minori di 180 gradi.
Molti problemi portano ad ampliare la nozione di angolo in modo da disporre di un'entità a cui si possa attribuire un'ampiezza data da un numero reale e quindi anche superiore a 360 gradi e negativa. Per questo occorre abbandonare l'associazione angolo - sottoinsieme del piano. Si dice che un angolo α è maggiore di un angolo β quando una parte di angolo α è congruente all'angolo β. Un angolo convesso o concavo può essere descritto cinematicamente come la parte di piano "spazzata" da una semiretta mobile che ruota mantenendo fisso il suo estremo; questo è il vertice dell'angolo e le posizioni iniziale e finale della semiretta sono i lati dell'angolo. Questa descrizione porta a distinguere due versi del movimento rotatorio. Si definisce verso negativo o verso orario il verso della rotazione che, osservata dal di sopra del piano, corrisponde al movimento delle lancette di un orologio tradizionale; si definisce verso positivo o verso antiorario il verso opposto (es. formula_33).
Per sviluppare considerazioni quantitative si considera una circonferenza Γ il cui centro ha il ruolo del vertice "V" per gli angoli che si prendono in considerazione. Il raggio "r" di questa circonferenza può essere scelto ad arbitrio e talora risulta comodo avere "r" = 1; quando si riferisce il piano a una coppia di assi cartesiani risulta comodo porre il vertice degli angoli nell'origine, in modo che la circonferenza corrisponda all'equazione formula_34.
Ogni angolo di vertice "V" determina un arco sulla circonferenza. Si consideri ora un movimento di una semiretta con estremo in "V" in un verso o nell'altro da una posizione iniziale "S" fino a una posizione finale "T": esso determina sulla Γ un arco orientato che ha come estremo iniziale il punto in cui Γ viene intersecata dalla "S" e come estremo finale il punto in cui viene intersecato dalla "T". Si può pensare l'arco orientato come se fosse "tracciato" dalla penna di un compasso avente l'altro braccio nel punto "V". Gli archi orientati con verso positivo si possono chiamare semplicemente archi (di circonferenza) positivi, quelli con verso negativo archi negativi.
Si può estendere la nozione di arco orientato pensando che il compasso possa compiere più di un giro, in verso positivo o negativo.
Si possono identificare gli angoli convessi con gli angoli relativi agli archi positivi interamente contenuti in una semicirconferenza; gli angoli concavi con gli archi positivi che contengono una semicirconferenza e sono contenuti in una circonferenza.
A questo punto si possono definire come angoli con segno di vertice "V" le entità che generalizzano gli angoli convessi e concavi con vertice in "V" e sono associate biunivocamente agli archi orientati sulla circonferenza Γ.
Gli angoli con segno possono essere sommati senza le restrizioni degli angoli associati a parti di piano e gli archi relativi risultano essere giustapposti; angolo opposto a un angolo dato corrisponde all'arco considerato con il verso opposto. Di conseguenza agli angoli con segno si attribuisce un'ampiezza rappresentata da un numero reale tale che alla somma di due angoli con segno corrisponda la somma algebrica delle ampiezze.
A questo punto si è indotti naturalmente ad associare all'ampiezza di un angolo con segno la lunghezza con segno del corrispondente arco. Questo richiede di precisare cosa si intenda per lunghezza di un arco e più in particolare richiede di definire la lunghezza di una circonferenza
Le considerazioni sulla rettificazione di una circonferenza portano alla definizione del numero π e, sul piano computazionale, alle valutazioni del suo valore.
