
In geometria il punto è un concetto primitivo. Intuitivamente equivale ad un'entità adimensionale spaziale, per cui può essere considerato semplicemente come una posizione, cioè come una coordinata.
In topologia ed analisi matematica, viene spesso chiamato punto un elemento qualunque di uno spazio topologico e, in particolare, di uno spazio funzionale.
Negli "Elementi" di Euclide, al punto è riservata la prima delle definizioni del I libro, dove si indica che punto è ciò che non ha parti. Il punto è l'ente fondamentale della geometria ed è privo di una qualsiasi dimensione. Tale definizione è di tipo "ostensivo" cioè non ha una valenza logica ma che serve ad indicare ciò di cui ci si vuole occupare.
Con l'assiomatizzazione rigorosa della geometria effettuata da David Hilbert nei Grundlagen der Geometrie il punto, assieme alla retta ed al piano, diventa una delle nozioni primitive della geometria e quindi non è definito. Da notare che sarebbe possibile anche fondare la geometria assumendo come primitiva la nozione di regione e definendo i punti tramite opportune classi di "regioni sempre più piccole". Ricerche in tale direzione, che iniziano con alcune analisi di Alfred North Whitehead, vanno sotto il nome di "Geometria senza punti".
Molti preferiscono dare una definizione di questi tre enti fondamentali della geometria e definiscono il punto l'ente che, pur essendo reale, non ha dimensioni.
Un punto nella geometria euclidea non ha grandezze di alcun tipo (volume, area, lunghezza), e nessuna caratteristica in generale tranne la sua posizione. I postulati di Euclide asseriscono in alcuni casi l'esistenza di punti; un esempio: se due linee in un piano non sono parallele, c'è esattamente un punto che appartiene ad entrambe.
Tre o più punti nello spazio si dicono allineati se sono contenuti in una retta. Quattro o più punti nello spazio si dicono complanari se sono contenuti in un piano.
Nella geometria euclidea il punto è in relazione con gli altri enti geometrici fondamentali, quali la retta e il piano. Ad esempio:
Nella geometria cartesiana del piano e dello spazio euclideo un punto è identificato da un insieme ordinato di coordinate. Quindi un punto nello spazio tridimensionale è rappresentato da una terna ordinata di numeri, ad esempio: formula_1
In generale, un punto in uno spazio euclideo di dimensione formula_2 è una successione di formula_2 numeri. In questo contesto i punti possono essere identificati con i vettori (applicati nell'origine).
Le proprietà elencate sopra possono essere estese ad uno spazio euclideo di dimensione arbitraria nel modo seguente:
Oppure possono essere estese a oggetti "curvi", quali curve e superfici, ad esempio nel modo seguente:


Un ettagono, o eptagono, è un poligono che ha sette lati e sette angoli. Si dice ettagono regolare un ettagono convesso con tutti i lati della stessa lunghezza e con gli angoli interni della stessa ampiezza (la somma degli angoli interni è sempre 900°), pari a formula_1 radianti, circa 128,571 gradi. L'area di un ettagono regolare di lato formula_2 è data da
Un ettagono regolare non è costruibile con riga e compasso ma è costruibile con un righello graduato e compasso. Questo tipo di costruzione è chiamata costruzione di Neusi. È inoltre costruibile con il compasso, la riga ed il trisettore di angolo. L'impossibilità della costruzione tramite riga e compasso segue dall'osservazione che formula_4 è uno zero del polinomio irriducibile cubico formula_5. Di conseguenza questo polinomio è il polinomio minimo di formula_6, mentre il grado del polinomio minimo per un numero costruibile deve essere una potenza di formula_7.
Una costruzione esatta, per quanto non ottenuta con l'uso classico di riga e compasso, può essere ottenuta grazie a una costruzione di Neusi (vedi figura accanto). formula_8 è un quadrato di lato unitario; la retta verticale identificata dal punto formula_9 è l'asse del segmento formula_10 mentre l'arco formula_11 è tracciato con centro in formula_12. La costruzione di Neusi comporta la ricerca di un segmento di lunghezza unitaria passante per formula_13 e i cui estremi cadano sull'asse di formula_10 e sull'arco formula_11: l'angolo formula_16 è l'angolo interno dell'ettagono.
Con riga e compasso classici un ettagono regolare non può essere costruito in modo esatto.
