
In geometria, si chiama diagonale il segmento che congiunge due vertici non consecutivi di un poligono o di un poliedro. Le diagonali possono essere interne o esterne al perimetro del poligono o al volume del poliedro, in particolare sono tutte interne se la figura è convessa.
Per sapere quante diagonali partono da un vertice di un poligono di formula_1 vertici si contano tutti i vertici tranne il vertice considerato e i due consecutivi ad esso, in quanto i segmenti ottenuti costituirebbero due lati (e quindi non sarebbero "diagonali" secondo la definizione sopra riportata), quindi si hanno formula_2 diagonali.
Il numero totale delle diagonali di un poligono di formula_1 vertici è dato dalla formula
Si dimentichi per un attimo il poligono e lo si sostituisca con l'insieme degli formula_5 punti corrispettivi dei vertici. Si tracci da ciascun punto le diagonali verso ognuno dei restanti formula_6 (per semplicità ora non si farà distinzioni fra lati e diagonali); si ha quindi che da ogni vertice del poligono partono in totale formula_6 diagonali, se però le si vogliono contare correttamente occorre fare il seguente ragionamento:
Il numero totale delle diagonali è quindi la sommatoria di una progressione aritmetica
da cui però bisogna togliere gli formula_5 lati, che inizialmente sono stati considerati per semplicità delle diagonali, quindi
Come si può verificare dalla formula, il triangolo con i suoi 3 lati è l'unico poligono a non avere diagonali.
Iniziamo dicendo che per formare una diagonale occorrono due vertici. Inoltre il segmento formula_22 e il segmento formula_23 rappresentano la stessa diagonale, quindi l'ordine con cui si prendono i vertici non è importante. Si tratta allora di contare quante configurazioni ordinate posso formare con formula_5 oggetti presi 2 alla volta. Per contare queste configurazioni ci viene in aiuto il calcolo combinatorio, infatti le configurazioni possibili sono le combinazioni semplici di formula_5 oggetti di classe 2
A queste configurazioni vanno poi tolte quelle ottenute prendendo due vertici consecutivi, quindi il numero formula_5 dei vertici del poligono
da cui
formula_29
Provando a tracciare le diagonali di diversi poligoni si ottiene la seguente tabella:
Si osserva che mentre i lati si susseguono linearmente, il numero delle rispettive diagonali aumenta in modo parabolico (per convincersene basta immettere i dati in un piano cartesiano), quindi la formula risolutiva deve essere un'equazione di secondo grado. Per trovarla si impieghi un sistema di 3 equazioni
formula_30
dove formula_31 è il numero dei lati e formula_32 è il numero delle diagonali corrispondenti. Poiché sia formula_31 che formula_32 sono noti (almeno per un numero finito di casi), le incognite sono formula_35. Sostituendo, ad esempio, formula_36 e i corrispondenti valori di formula_32 si ha
formula_38
e risolvendo il sistema si ottiene formula_39.
Quindi la formula risolutiva è formula_40 che sul piano cartesiano assume la forma della conica con formula_41 e formula_42.


In geometria euclidea l'asse di un segmento o asse di un lato è la retta perpendicolare al segmento che passa per il suo punto medio.
L'asse di un segmento si può caratterizzare come il luogo dei punti che hanno uguale distanza dai due estremi del segmento.
In un triangolo, tutti gli assi dei lati sono concorrenti nel circocentro "O", e oltre a questi sono sempre su di essi anche i punti medi "M" e i centri "J" dei cerchi di Johnson
Il circocentro è interno al triangolo acutangolo, sul punto medio dell'ipotenusa del triangolo rettangolo e esterno all'ottusangolo.
