
In matematica, e in particolare in geometria solida e in teoria dei grafi, un poliedro è un solido delimitato da un numero finito di facce piane poligonali. Come primi poliedri da prendere in considerazione, per la loro semplicità, vi sono i cubi, i parallelepipedi, le piramidi e i prismi. Fra i poliedri più complessi occupano un ruolo centrale i cinque solidi platonici, noti fin dall'antica Grecia.
Il termine "poliedro" deriva dal greco πολύεδρον (πολύς, "polys" = "molti" e ἔδρον, "édron" = "faccia"). Molti oggetti microscopici naturali (molecole, protozoi, virus, etc.) hanno forme o simmetrie poliedrali. I cristalli si possono presentare in questa forma anche a livello macroscopico.
In matematica non esiste una definizione univoca di poliedro. Nei casi più studiati, i poligoni formano una superficie che delimita una zona solida dello spazio: in questo caso per "poliedro" si intende questo solido, e non solo i poligoni che ne delimitano la superficie. Nei libri di testo la definizione formale di "poliedro" è spesso accompagnata da ipotesi tecniche aggiuntive, volte ad escludere alcuni casi considerati "patologici". Ad esempio, in Dedò (1999, p. 65) si definisce una "superficie poliedrale" come un numero finito di poligoni nello spazio tali che:
La scelta di ipotesi tecniche aggiuntive non è però univoca e dipende fortemente dalla scelta dell'autore. Le ipotesi qui elencate sono volte rispettivamente ad impedire che:
I poligoni sono le "facce" del poliedro. Le facce possono avere le forme più svariate: possono essere tutte congruenti come nel cubo, avere sempre lo stesso numero di lati senza però essere congruenti come in un più generico parallelepipedo, oppure avere numero di lati variabile come in un prisma o una piramide.
I lati delle facce sono gli "spigoli" del poliedro; per definizione, uno spigolo appartiene contemporaneamente a due facce distinte e la sua quantità più rappresentativa è la lunghezza. Un poliedro può possedere spigoli di lunghezza costante (come nel cubo) o variabile.
Le due facce che toccano uno spigolo formano un angolo, detto angolo diedrale, che varia in generale da spigolo a spigolo, ma che può assumere un valore costante in alcuni poliedri: per esempio, nel cubo è sempre un angolo retto, mentre nel tetraedro è approssimativamente di 70° 32'.
I vertici delle facce (cioè le estremità degli spigoli) sono i "vertici" del poliedro. Ogni vertice appartiene almeno a 3 facce distinte. Il numero formula_12 di facce cui appartiene è anche uguale al numero di spigoli che tocca: questo numero è la valenza del vertice.
La cuspide di un vertice è la struttura locale del poliedro intorno a questo.
Si dicono "vertici adiacenti" del poliedro due vertici che sono estremità comuni di uno spigolo; si dicono "spigoli adiacenti" del poliedro due spigoli che hanno un vertice in comune; si dicono "facce adiacenti" del poliedro due facce che hanno uno spigolo in comune. Ciascuna delle tre relazioni di adiacenza fra vertici, spigoli e facce di un poliedro chiaramente è una relazione simmetrica.
Ad esempio, in un tetraedro due vertici e due facce sono sempre adiacenti, mentre uno spigolo è adiacente a tutti gli altri spigoli tranne uno (detto "opposto").
Per fissare una terminologia, si introducono anche tre "relazioni di incidenza"; si dicono "incidenti": un vertice e uno spigolo di cui il vertice è estremità; un vertice e una faccia di cui il vertice fa parte; uno spigolo e una faccia della quale lo spigolo è lato.
Per ogni formula_13 maggiore o uguale a 4 esiste un poliedro con formula_13 facce.
Una prima classificazione dei poliedri riguarda il numero delle loro facce: un poliedro di 4, 5, 6, 7, 8, ...12, ...20, ... facce può essere chiamato rispettivamente tetraedro, pentaedro, esaedro, ettaedro, ottaedro... dodecaedro... icosaedro... secondo i prefissi numerici greci usati anche per i poligoni. I nomi ottaedro, dodecaedro e icosaedro sono però generalmente riservati a tre poliedri ben specifici, e non ad un generico poliedro con 8, 12 e 20 facce: si tratta di tre dei 5 solidi platonici.
Il numero di facce, spigoli e vertici di un poliedro forma una terna di numeri indicati con formula_15. Il tetraedro è il più piccolo poliedro, nel senso che esso presenta 4 facce, 6 spigoli e 4 vertici, mentre per tutti i poliedri rimanenti valgono le relazioni formula_16, formula_17, formula_18
Un "poliedro convesso" è un poliedro che individua un solido convesso. Questa condizione può essere espressa in vari modi equivalenti. 
Un poliedro non convesso è a volte detto "concavo".
I poliedri più noti sono convessi. Mentre la definizione generale di poliedro varia a seconda dell'autore, esiste una definizione di poliedro convesso universalmente accettata dai matematici, descritta sotto. Un "semispazio" è una delle due porzioni di spazio delimitate da un piano.
A partire da questa definizione, è possibile definire le "facce" come i poligoni ottenuti intersecando il poliedro con i piani che delimitano questi semispazi. Ad esempio, il cubo è un poliedro convesso con 6 facce e può essere ottenuto come intersezione di 6 semispazi, delimitati dai piani contenenti le facce.
Vertici e spigoli di un poliedro formano un grafo, detto "scheletro" del poliedro. Ad esempio, lo scheletro del tetraedro è un grafo completo con 4 vertici.
Lo scheletro di un poliedro convesso è un grafo planare: infatti è possibile proiettare da un punto interno del poliedro il grafo su una qualsiasi sfera centrata nel punto, e quindi successivamente nel piano tramite una proiezione stereografica. Il grafo di un poliedro più complesso può non essere planare.
Lo sviluppo piano di un poliedro è una figura piana che consiste in un certo numero di poligoni accoppiati lungo alcuni lati, che possono essere piegati nello spazio in modo da chiudersi e formare un poliedro. Lo sviluppo piano è uno strumento concreto utile per costruire poliedri di carta.
Qualsiasi poliedro convesso può essere costruito a partire da uno sviluppo piano. Lo stesso poliedro può essere costruito a partire da sviluppi piani differenti: l'insieme dei poligoni presenti è sempre lo stesso (sono le facce del poliedro), ma il percorso che queste formano può essere differente.
La "struttura combinatoria" di un poliedro è l'insieme dei suoi vertici, spigoli e facce e le relazioni di incidenza fra questi. La "struttura metrica" di un poliedro è invece la struttura del poliedro come spazio metrico, cioè come spazio dotato di distanza fra punti.
Una rotazione intorno ad un asse o una traslazione lasciano immutate le strutture metriche e combinatorie del poliedro. Una omotetia trasforma la struttura metrica (poiché modifica ad esempio le distanze fra i vertici) ma lascia invariata la struttura combinatoria. Più in generale, la struttura combinatoria è più flessibile: ad esempio, due parallelepipedi hanno sempre la stessa struttura combinatoria, ma non necessariamente metrica.
La terna formula_19 dà una buona descrizione della struttura combinatoria del poliedro: la descrizione non è però completa, perché non contiene tutte le informazioni sulle adiacenze. Un'ulteriore informazione è la valenza dei vertici.
Le proprietà topologiche di un poliedro sono quelle che ne descrivono solamente la forma globale. I poliedri più studiati (ad esempio, i convessi) hanno tutti la stessa forma topologica: sono "topologicamente equivalenti" ad una palla; tali poliedri sono detti "semplici". Per i poliedri semplici vale una formula importante, detta relazione di Eulero.
La superficie di un poliedro è l'unione delle sue facce. In alcuni casi, come nel grande icosaedro mostrato in figura, queste facce possono intersecarsi, e formare quindi una figura complicata. Quando questo accade, può non essere chiaro quale sia la porzione solida di spazio da considerare effettivamente "compresa" dalle facce. Questo fenomeno è simile a quello che si presenta in dimensione 2 nei poligoni stellati.
Nei casi più studiati però le facce non si intersecano e formano effettivamente una superficie che può essere studiata da un punto di vista topologico: se ne descrive cioè la forma globale, disinteressandosi degli angoli formati localmente dai vari spigoli e vertici. Una superficie delimita sempre una porzione di spazio.
Da un punto di vista topologico, una superficie nello spazio è caratterizzata soprattutto dal "numero di pezzi disgiunti" e dal "numero di buchi". Quando questa è formata da un pezzo solo e non ha buchi, è equivalente ad una sfera. I pezzi disgiunti ed il numero di buchi in matematica sono formalizzati rispettivamente con le nozioni di componente connessa e genere. Un poliedro con un buco ha una superficie avente la forma di un toro.
Un poliedro le cui facce formano una superficie con un pezzo solo e senza buchi è detto semplice. I poliedri convessi, e la maggior parte dei poliedri studiati, sono semplici.
La relazione di Eulero collega i numeri formula_20, formula_21 e formula_11 delle facce, degli spigoli e dei vertici di un poliedro semplice nel modo seguente:
Ad esempio:
La relazione di Eulero può essere usata per dimostrare ad esempio che non è possibile costruire un pallone da calcio simile a quello in figura ma con facce tutte esagonali.
La relazione di Eulero può non valere nei poliedri non semplici. Ad esempio, in un poliedro a forma di toro come quello mostrato in figura vale la relazione formula_40. La quantità formula_41 dipende effettivamente soltanto dalla topologia del poliedro ed è chiamata caratteristica di Eulero-Poincaré: si tratta di una quantità molto importante in topologia.
I poliedri più studiati sono quelli che presentano numerose simmetrie. Una simmetria di un poliedro è una isometria dello spazio che trasforma il poliedro in se stesso. Le simmetrie di un poliedro formano un gruppo, detto gruppo di simmetria.
Esistono due classi di isometria dello spazio euclideo tridimensionale: quelle che preservano l'orientazione dello spazio (trasformano cioè una mano destra in una mano destra) e quelle che la invertono (trasformano una mano destra in una sinistra). La stessa classificazione si riflette sulle simmetrie di un poliedro.
Ad esempio, il tetraedro ha 7 assi di simmetria: quattro per ogni vertice e tre per ogni coppia di spigoli opposti (si veda la figura). Ha inoltre 6 piani di simmetria (uno per ogni spigolo). Le simmetrie sono però in realtà 24. Di queste, 12 mantengono l'orientazione, e sono: l'identità, 2 rotazioni intorno ad ogni asse del primo tipo (di 120° e 240°) e una rotazione di 180° intorno ad un asse del secondo tipo (quindi formula_47). Ci sono inoltre 12 simmetrie che non mantengono l'orientazione: 6 sono riflessioni lungo piani come in figura, e altre 6 sono composizioni di riflessioni e rotazioni.
Piani e assi di simmetria sono il risultato della presenza di simmetrie riflessive e rotatorie. L'intersezione di tutti gli assi e di tutti i piani di simmetria può essere un piano, una retta, un punto, o vuota. L'intersezione può essere vuota solo se non vi sono simmetrie. Se l'intersezione è un punto, questo è chiamato "centro" del poliedro. Se l'intersezione è una retta, questa è l"'asse" del poliedro.
Ad esempio, il tetraedro ed il cubo hanno un centro. Una piramide quadrata non ha un centro, ma ha un asse.
Un poliedro è "chirale" se non è equivalente alla sua immagine riflessa. Più precisamente, un poliedro è chirale se tutte le sue simmetrie sono rotatorie: non ha cioè simmetrie che invertono l'orientazione. Più concretamente, un poliedro chirale si comporta come una mano: si presenta in due forme (una "sinistra" e una "destra") che sono una lo specchio dell'altra.
Una simmetria sposta un vertice su un vertice, che può essere uguale o diverso da quello di partenza. Analogamente, sposta uno spigolo su uno spigolo, ed una faccia su di una faccia. La simmetria determina quindi una permutazione dei vertici, degli spigoli e delle facce.
Le simmetrie di un poliedro inducono una relazione di equivalenza sull'insieme dei suoi vertici (e analogamente sull'insieme dei suoi spigoli e delle sue facce): due vertici (o spigoli o facce) sono "equivalenti" se esiste una simmetria che sposta il primo nel secondo. Due vertici (o spigoli o facce) equivalenti devono avere necessariamente lo stesso aspetto: ad esempio, due vertici equivalenti devono avere lo stesso tipo di cuspide (in particolare, la stessa valenza), due spigoli la stessa lunghezza e lo stesso angolo diedrale e due facce equivalenti devono essere congruenti. Tutte queste condizioni necessarie non sono generalmente sufficienti: possono esistere facce congruenti non equivalenti, spigoli della stessa lunghezza e con lo stesso angolo diedrale non equivalenti, ecc.
Se i vertici di un poliedro sono tutti equivalenti, questo è detto "regolare sui vertici". Analogamente, se sono equivalenti tutti gli spigoli o tutte le facce, è detto "regolare sugli spigoli" o "sulle facce". I termini "omogeneo" e "transitivo" possono essere usati come sinonimo di "regolare".
Un poliedro che è regolare sui vertici, sugli spigoli e sulle facce è detto "regolare". Esistono solo 5 poliedri semplici regolari: questi sono i solidi platonici.
Le simmetrie di un poliedro formano un gruppo con l'operazione di composizione. Questo gruppo è sempre un gruppo finito.
Ad esempio, il gruppo di simmetria del tetraedro è il gruppo di permutazioni formula_48 di 4 elementi: infatti ogni permutazione dei 4 vertici è realizzata esattamente da una simmetria. Le simmetrie sono effettivamente 4! = 24.
Le simmetrie che preservano l'orientazione formano un sottogruppo, detto "gruppo delle rotazioni". Questo può coincidere con tutto il gruppo (se il poliedro è chirale) oppure avere indice 2 (se non è chirale). Il tetraedro non è chirale: il gruppo delle rotazioni è il gruppo alternante formula_49, avente 12 elementi.
Nonostante la grande varietà di poliedri esistenti, vi sono poche classi di gruppi di simmetrie possibili. Ad esempio, gli unici gruppi che possono essere gruppi di rotazioni di qualche poliedro sono
dove formula_51 è il gruppo ciclico di ordine formula_12, formula_53 è il gruppo diedrale di ordine formula_54, formula_55 è il gruppo simmetrico di ordine formula_56 e formula_57 è il gruppo alternante di ordine formula_58. I gruppi formula_59 e formula_53 sono ottenuti anche come gruppi di rotazione e di simmetria di un poligono regolare con formula_12 lati: sono quindi gruppi che si ottengono anche nel piano, e la loro presenza non è quindi sorprendente.
I gruppi formula_62 e formula_63 sono quindi gli unici gruppi di rotazioni essenzialmente tridimensionali. Sono i gruppi di rotazioni dei 5 solidi platonici: formula_49 per il tetraedro, formula_48 per cubo e ottaedro, formula_66 per icosaedro e dodecaedro. I solidi platonici giocano qui (come in molti altri contesti) un ruolo centrale.
Due poliedri formula_67 e formula_68 sono "duali" se hanno i ruoli di vertici e facce scambiati. Più precisamente, ad ogni vertice, spigolo o faccia di formula_67 corrisponde rispettivamente una faccia, spigolo o vertice di formula_68, in modo che siano preservate adiacenze e incidenze. Ad esempio, se un vertice di formula_67 è adiacente ad uno spigolo di formula_67, la corrispondente faccia di formula_68 è adiacente al corrispondente spigolo di formula_68.
In particolare, le terne di numeri formula_75 dei due poliedri sono l'una l'opposta dall'altra. Ad esempio, il cubo, avente formula_76 è duale dell'ottaedro, avente formula_77. In molti casi (come questo) la dualità è realizzata in modo che i vertici di formula_68 siano punti interni delle corrispondenti facce di formula_67 (si veda un esempio in figura).
Ogni poliedro convesso ha un poliedro duale, che può essere definito come il risultato di una inversione rispetto ad una sfera. Quando il poliedro ha un centro, è naturale prendere come sfera una sfera centrata in questo punto. La costruzione del duale di poliedri non convessi è più problematica.
Un prismatoide è un poliedro i cui vertici giacciono in due piani paralleli. 
Tranne rare eccezioni, i prismatoidi hanno generalmente al più un asse di simmetria (ortogonale ai piani paralleli), ed il loro gruppo di simmetrie è ciclico (formula_59) o diedrale (formula_53), simile cioè al gruppo di simmetrie di un poligono nel piano.
Esistono varie famiglie infinite di prismatoidi. Qui sono elencate le più usate.
Esistono esattamente 5 poliedri semplici regolari sulle facce, sugli spigoli e sui vertici. Questi sono i solidi platonici. Questi poliedri sono detti anche "regolari".
La tabella indica per ogni solido platonico la terna formula_19 ed una coppia formula_83, con formula_84 pari al numero di lati di ogni faccia e formula_85 pari al numero di spigoli su ogni vertice (cioè la sua valenza). Cubo e ottaedro sono duali, dodecaedro e icosaedro sono duali. Il tetraedro è duale a se stesso (la dualità inverte le terne e le coppie di numeri nelle tabelle).
Il centro di ogni solido platonico è anche centro di una sfera inscritta (interna e tangente a tutte le facce) e di una sfera circoscritta (esterna e contenente tutti i vertici).
I poliedri, per essere "regolari", oltre ad avere come facce poligoni regolari tutti uguali, devono anche avere tutti gli spigoli e i vertici equivalenti.
I solidi platonici giocano un ruolo centrale nella geometria solida: sono i solidi che presentano la maggiore regolarità possibile e il maggior numero di simmetrie. I loro gruppi di simmetrie hanno collegamenti con le sezioni più disparate della matematica. Hanno inoltre un posto di rilievo nella storia del pensiero greco, arabo e rinascimentale. Platone, nel Timeo, associò ad ognuno di essi un elemento: al tetraedro il fuoco, al cubo la terra, all'ottaedro l'aria, all'icosaedro l'acqua, mentre ritenne che il dodecaedro fosse la forma dell'universo.
Oltre ai 5 poliedri platonici, esistono altri 4 poliedri regolari non semplici. Le facce di questi poliedri si intersecano vicendevolmente: due di questi, scoperti da Keplero, hanno come facce poligoni regolari stellati; altri due, scoperti da Louis Poinsot, hanno facce regolari non stellate, ma comunque intrecciate.
I due poliedri stellati hanno come facce 12 pentagoni stellati (pentagrammi). I valori formula_19 e formula_83 hanno lo stesso significato descritto precedentemente. I primi due poliedri sono uno duale dell'altro, come lo sono anche gli ultimi due.
Un poliedro uniforme è un poliedro 
Il poliedro non è necessariamente semplice. I poliedri uniformi sono catalogati nel modo seguente:
I poliedri duali dei poliedri uniformi sono regolari sulle facce e hanno cuspidi regolari. Tra questi, i 13 solidi duali dei solidi archimedei sono detti poliedri di Catalan dal nome del matematico belga Eugène Charles Catalan.
Un solido di Johnson è un poliedro convesso 
In altre parole, i solidi di Johnson sono i solidi convessi con facce regolari che non sono uniformi.
I solidi di Johnson sono 92, e vengono generalmente indicati con una sigla che va da formula_88 fino a formula_89.
I solidi convessi aventi facce regolari sono quindi: prismi e antiprismi regolari (in quantità infinita), i solidi platonici (5), i solidi archimedei (13) e quelli di Johnson (92).
Un poliedro composto è un poliedro ottenuto come unione di più poliedri distinti aventi lo stesso centro. Un poliedro di questo tipo generalmente non è convesso.
Ad esempio, la stella octangula mostrata precedentemente può essere descritta come poliedro composto, formato da due tetraedri, aventi lo stesso centro ma posizionati in modo differente.
I poliedri composti più importanti sono quelli che presentano molte simmetrie. Ad esempio il poliedro mostrato accanto in figura, denominato cinque tetraedri nel dodecaedro, è effettivamente l'unione di 5 tetraedri concentrici: ha formula_90 vertici, i quali sono anche i vertici di un dodecaedro regolare.
Alcune operazioni permettono di trasformare un poliedro in un altro, o di affiancare più poliedri in modo da ricoprire lo spazio.
Il "troncamento" di un vertice formula_1 di un poliedro consiste nell'eliminazione di una porzione di poliedro (una cuspide) tramite un taglio vicino a formula_1. Il pezzo da rimuovere è una piramide con vertice in formula_1 e base determinata dal piano lungo cui viene fatto il taglio. La base è un poligono con formula_12 lati, dove formula_12 è la valenza di formula_1.
Il nuovo poliedro ha una faccia in più del precedente. Troncando un vertice alla volta, è quindi possibile, partendo dal tetraedro, costruire poliedri con un numero arbitrario 4, 5, 6... di facce.
Molti solidi archimedei sono ottenuti troncando opportunamente tutti i vertici di un solido platonico. Una troncatura variabile può essere usata in alcuni casi per passare da un poliedro al suo duale, come in questa sequenza che collega il cubo all'ottaedro:
La "stellazione" è un'operazione definita da Keplero nel 1619: consiste nell'estendere alcune facce del poliedro fino ad un punto in cui queste si incontrano nuovamente. Con questa operazione Keplero costruì, partendo dal dodecaedro regolare, due dei quattro poliedri noti oggi come solidi di Keplero-Poinsot. La stella octangula è una stellazione dell'ottaedro regolare.
Qui sotto sono elencate alcune stellazioni: una dell'ottaedro regolare (la stella octangula), tre del dodecaedro regolare (le prime due sono i solidi di Keplero), e una dell'icosaedro.
Alcuni poliedri possono essere usati come mattoni per riempire lo spazio senza lasciare buchi, similmente a quanto accade nelle arnie: una tale operazione è detta tassellazione dello spazio (o "pavimentazione" dello spazio). I poliedri in una tassellazione sono adiacenti lungo le loro facce. Fra i solidi platonici, l'unico in grado di tassellare lo spazio è il cubo; fra i solidi archimedei, vi sono il dodecaedro rombico e l'ottaedro troncato. Ottaedri e tetraedri regolari possono essere usati a coppie per tassellare lo spazio.
Molti minerali cristallizzano con una forma, detta "abito", che corrisponde ad un poliedro. La pirite si può presentare con tre abiti diversi: con cristalli cubici, ottaedrici o aventi la forma di un dodecaedro non regolare (detto "pentadodecaedro" o "piritoedro"). Nessun minerale ha però la forma di un icosaedro o dodecaedro "regolare".
La leucite può avere la forma di un icositetraedro trapezoidale (un solido di Catalan). Il piropo può avere la forma di un dodecaedro rombico (un poliedro di Catalan) e l'aragonite la forma di un prisma esagonale.
Molti organismi microscopici hanno forme o simmetrie poliedrali. Tra questi, i radiolari possono avere la forma di un icosaedro regolare o di un geode. Nella forma geodale, è possibile verificare una delle conseguenze della relazione di Eulero descritta sopra: non è possibile costruire un solido i cui vertici hanno valenza 3 e le cui facce sono tutte esagonali. Nella figura sono infatti presenti alcuni pentagoni. Le regolari geometrie degli scheletri di questi microorganismi hanno affascinato dalla fine del secolo XIX molti naturalisti, tra cui Ernst Haeckel e Thompson D'Arcy, che hanno anche cercato una interpretazione integrata fra biologia e geometria sul significato di queste strutture:
Il solido artificiale più antico di cui è rimasta traccia è sicuramente la piramide.
Il dado da gioco classico ha la forma di un cubo. Alcuni giochi di ruolo fanno però uso di tutti e 5 i solidi platonici: la regolarità del solido infatti garantisce che ogni faccia abbia la stessa probabilità di uscire dopo un lancio (naturalmente la densità del solido dev'essere uniforme).
Per mantenere la stessa probabilità è sufficiente che il solido sia regolare sulle facce: per questo motivo vengono usati anche i trapezoedri. Ad esempio, due trapezoedri con 10 facce come in figura usati simultaneamente permettono di sorteggiare un numero da 0 a 99.
Una cupola geodetica è un solido con molte facce, la cui forma è molto simile a quella di una sfera (o di una porzione di questa). Come nei radiolari mostrati sopra, nelle cupole geodetiche è spesso facile verificare gli effetti della relazione di Eulero.


In matematica il termine angolo (dal latino "angulus", dal greco ἀγκύλος ("ankýlos"), derivazione dalla radice indoeuropea "ank", piegare, curvare) riguarda nozioni di larghissimo uso, innanzitutto nella geometria e nell'analisi infinitesimale.
Si definisce angolo ciascuna delle due porzioni di piano comprese tra due semirette aventi la stessa origine. Si chiama "angolo concavo" l'angolo che contiene i prolungamenti (lati) di queste semirette.
L"'angolo convesso" è la porzione di piano che non contiene i prolungamenti delle semirette che dividono il piano. La definizione di angolo convesso consente di sviluppare le basi della geometria piana euclidea e le prime nozioni di trigonometria.
A ogni angolo si associa un"'ampiezza", la misura correlata alla posizione di una semiretta rispetto all'altra e pertanto alla conformazione della porzione di piano costituente l'angolo: essa si esprime in gradi "sessagesimali" o "sessadecimali" oppure in gradi centesimali o infine in radianti, sempre con valori reali. Gli angoli convessi hanno ampiezza compresa tra 0 e 180 gradi sessagesimali, da 0 a 200 gradi centesimali, da 0 a "π radianti;" mentre l'ampiezza degli angoli concavi misura tra 180 e 360 gradi, ovvero da 200 a 400 gradi centesimali, ovvero da "π" a 2"π" radianti, quindi le ampiezze sono sempre positive.
Associando all'angolo un verso si introducono le ampiezze degli angoli con segno, entità meno intuitive che consentono di definire funzioni trigonometriche con argomenti reali qualsiasi fatte salve eventuali singolarità. Le ampiezze con segno sono da considerare insieme con il problema della rettificazione degli archi di circonferenza dotati di verso, alla natura del numero π e alle questioni relative alle aree con segno; tutti questi elementi forniscono contributi essenziali alle possibilità del calcolo infinitesimale e alle applicazioni alla fisica classica e alle conseguenti discipline quantitative.
Il termine angolo convesso riguarda una parte di piano definita da due semirette aventi l'origine in comune; le semirette "S" e "T" vengono dette "lati dell'angolo" e la loro origine "V" "vertice dell'angolo".
Se le semirette sono diverse, ma appartengono alla stessa retta "R", ciascuno dei due semipiani definiti da "R" muniti del vertice (che distingue le semirette) si dice angolo piatto.
A parte il caso particolare dell'angolo piatto, il piano si tripartisce in tre insiemi: l'insieme dei punti appartenenti alle due semirette, "S" e "T" (tra i quali il vertice) chiamata frontiera dell'angolo, e due insiemi connessi "K" e "K" e separati dai punti della frontiera. Uno solo di questi due insiemi "K" è costituito da punti che appartengono a segmenti con un estremo su una semiretta e l'altro sull'altra; in altre parole solo "K" è un insieme convesso. Il terzo insieme "K" non è convesso. Si definisce angolo convesso determinato da "S" e "T" l'unione di questo insieme convesso e della frontiera, formula_1. Si definisce angolo concavo determinato da "S" e "T" l'unione del terzo insieme non convesso e della frontiera, formula_2. I due angoli definiti dalle due semirette si dicono angoli esplementari.
Angoli convessi e concavi sono sottoinsiemi infiniti del piano, e quindi insiemi non misurabili attraverso la loro area che ha valore infinito. Spesso con angolo (convesso) si indica anche la parte di piano delimitata da due segmenti con un estremo in comune (vertice). Si può ricondurre questa definizione alla precedente prolungando i due segmenti dalla parte del loro estremo diverso dal vertice per ottenere le due semirette. Comunque questa estensione della definizione rende lecito assegnare a ogni triangolo tre angoli (convessi) associati biunivocamente ai suoi tre vertici.
Tuttavia il triangolo, essendo una parte del piano chiusa e limitata, ha area finita, infatti esso è l'intersezione degli angoli corrispondenti ai suoi tre vertici.
È naturale porsi il problema di "misurare un angolo": gli angoli possono servire per tante costruzioni e se a essi si associano misure numeriche ci si aspetta che per molte costruzioni possano essere utili calcoli numerici su queste misure.
Il problema della misura di un angolo non può essere risolto attraverso una misura della sua superficie che non è finita e che comunque non sarebbe significativa nemmeno nel caso di angoli sottesi da segmenti come nel caso del triangolo: si considerino per esempio triangoli simili.
Se si hanno due angoli convessi o concavi "A" e "B" con lo stesso vertice e "B" è sottoinsieme di "A" (situazione che si determina solo se i lati di "B" sono sottoinsiemi di "A") è ragionevole chiedere che la misura di "A" sia maggiore della misura di "B".
Dato un angolo convesso "A," si dice semiretta bisettrice dell'angolo la semiretta avente il vertice di "A" come estremo e i cui punti sono equidistanti dai lati di "A". Si può costruire facilmente la bisettrice con un compasso. La semiretta bisettrice di un angolo concavo si definisce come la semiretta avente come estremo il vertice dell'angolo allineata con la bisettrice del suo angolo (convesso) esplementare.
La semiretta bisettrice "B" di un angolo "A" convesso o concavo e ciascuno dei suoi due lati determinano due angoli convessi. La riflessione rispetto alla retta contenente la "B" scambia i due lati di "A" e trasforma uno dei due angoli nell'altro. È quindi ragionevole attribuire ai due angoli determinati dalla bisettrice una misura che sia la metà della misura di "A". È altrettanto ragionevole considerare che le misure dei due angoli determinati dalla semiretta bisettrice siano la metà della misura dell'angolo di partenza. Il processo di dimezzamento di un angolo può essere ripetuto N volte con N grande a piacere.
Un angolo convesso si dice angolo retto se i suoi due lati sono ortogonali, ovvero un angolo retto è la metà di un angolo piatto.
Un angolo convesso contenuto in un angolo retto avente il suo stesso vertice si dice angolo acuto. Un angolo convesso contenente un angolo retto avente lo stesso vertice si dice angolo ottuso.
Due angoli "A" e "B" che hanno in comune solo una semiretta si dicono angoli consecutivi. Se due angoli consecutivi hanno le semirette non in comune opposte (cioè la loro unione è una retta) allora si dicono angoli adiacenti. Per quanto riguarda gli angoli consecutivi, se questi sono angoli convessi la loro unione è un angolo che potrebbe essere convesso o concavo: si tratta dell'angolo definito dalle due semirette che sono i lati di uno solo dei due angoli. A questo angolo unione è ragionevole assegnare come misura la somma delle misure degli angoli adiacenti. L'angolo unione si dice "somma" dei due angoli "A" e "B".
In base alle considerazioni precedenti è lecito attribuire agli angoli misure costituite da numeri reali.
Due angoli trasformabili l'uno nell'altro mediante isometrie si dicono congruenti. Evidentemente una misura degli angoli invariante per le isometrie costituisce uno strumento con molti vantaggi: in particolare consente di individuare le classi di congruenza degli angoli. Quindi si chiede una misura degli angoli a valori reali e invariante per congruenza.
Se l'angolo è definito come la porzione del piano tra due semirette, la sua unità di misura dovrebbe essere una lunghezza al quadrato, ma questa misura non ha né significato né utilità pratica. Si è quindi pensato di considerare non la misura dell'angolo in sé, ma quella dell'ampiezza "del movimento" che porta una delle semirette a sovrapporsi all'altra.
Come giungere a determinare l'ampiezza di un angolo ha certamente chiesto maggiori sforzi all'intelletto umano di quanti ne abbia richiesti la misurazione di lunghezze e superfici. Misurare significa esprimere una grandezza "A" in rapporto a un'altra grandezza data, a essa omogenea, che funge da unità di misura. Se questo processo sorge abbastanza spontaneo per le grandezze spaziali, per cui basta ripetere un segmento o affiancare un quadrato U per n volte fino all'esaurimento della lunghezza o della superficie (A=n*U), lo stesso diventa meno intuitivo per le grandezze angolari, dove pure la stessa elaborazione mentale di un'unità di misura adatta richiede un maggior grado di astrazione.
Si prendano in considerazione i 4 angoli di ampiezza α della figura. Volendoli quantificare con l'area delimitata dai lati in verde, prolungando i lati a infinito nel caso A si ottiene un'area infinita e nei restanti casi B, C e D, considerando solo le superfici entro le linee tratteggiate, 3 aree determinate e quindi misurabili, ma visibilmente diverse fra loro, seppur originate dal medesimo angolo. Si presuma inoltre di dividere α esattamente in due angoli uguali, in modo che sia esprimibile in rapporto a questi ultimi, come formula_3= 2 formula_4; formula_4. Per quanto detto sopra, formula_4 può quindi essere considerato un"'unità di misura" e, se ora se ne considera l'area, l'uguaglianza sarà soddisfatta soltanto dai casi C e D, ma non da B, dove i due triangoli hanno aree diverse, pur trattandosi di due angoli formula_4 perfettamente sovrapponibili. Ne discende che "l'angolo non può essere misurato idoneamente in termini di area".
Si immagini quindi una semiretta che partendo dalla posizione verticale giri attorno al proprio estremo fino a diventare orizzontale; la semiretta ha compiuto un angolo α e nel suo movimento ha coperto la superficie compresa tra le due semirette. Sovrapponendo idealmente le immagini C e D si nota che, come in un compasso, allontanandosi dal centro di rotazione ogni punto traccia sul piano un arco più lungo, pur mantenendo immutato il rapporto fra lunghezza di quest'ultimo e il raggio. Inoltre se la semiretta compisse soltanto l'angolo formula_4 la lunghezza degli archi prodotti sarebbe invariabilmente la metà della lunghezza degli archi loro omologhi in formula_3.
Si consideri ora una rotazione completa che riporta la semiretta alla posizione di partenza, ovvero un angolo di massima ampiezza. In questo caso la semiretta copre l'intera superficie del piano tracciando infinite circonferenze; prendendo una qualunque di queste e segmentandola in "n" parti uguali, si possono individuare per ogni arco altrettante porzioni di piano equipollenti, in pratica una generica unità di misura per l'angolo. Dunque soltanto capendo che la misurazione dell'angolo non può essere avvenire quantificando un'area si comprende che bisogna astrarre il concetto di angolo come parte del piano e considerarlo invece cinematicamente come una porzione di superficie coperta da una semiretta in rotazione sul proprio estremo. Solo in questo modo è possibile misurarlo.
Sebbene questa nozione non sia immediata, deve comunque trattarsi di una conquista concettuale antica, se il sistema per la misurazione degli angoli comunemente più utilizzato ancora oggi, il sistema sessagesimale, è giunto sino noi dall'antica civiltà babilonese invariato nei secoli.
Nel sistema sessagesimale l'angolo completo o "angolo giro" è suddiviso in 360 spicchi, equivalenti all'unità di misura convenzionale denominata grado sessagesimale, indicata col simbolo °. La ragione della divisione in 360 parti dell'angolo giro è riconducibile all'uso astronomico che i babilonesi facevano di questa misura: dato che il Sole compie un giro completo sulla volta celeste nell'arco di un anno, a quel tempo stimato di circa 360 giorni, un grado corrisponde pressappoco allo spostamento del Sole sull'eclittica in un giorno.
Il nome "grado sessagesimale" deriva dal fatto che le sottounità del grado, il "minuto" e il "secondo", sono divise in sessantesimi; perciò, come nell'orologio, ogni grado è diviso in 60 minuti primi indicati col simbolo "'" e chiamati semplicemente minuti, e ogni minuto è diviso in 60 minuti secondi indicati col simbolo """ e chiamati semplicemente secondi. Ulteriori suddivisioni del secondo seguono invece il comune sistema decimale. Questa suddivisione deriva dal fatto che nell'antica Babilonia era in auge un sistema numerico su base sessagesimale, giunto sino a noi quale retaggio storico nell'orologio e sui goniometri.
L'ampiezza di un angolo potrebbe quindi essere espresso in una forma tipo:
Nel tempo sono poi stati adottati altri sistemi di misurazione nel tentativo di rendere più agevole la misura dell'ampiezza dell'angolo. Alla fine del Settecento non sfuggì ai tentativi di razionalizzazione neppure il sistema sessagesimale: venne proposto un sistema centesimale, basato appunto sul grado centesimale quale centesima parte nell'angolo retto, eletto ad angolo fondamentale per sostituire il 90 col più tondo e comodo 100, anche se trovò utilizzo pratico soltanto attorno al 1850 quando Ignazio Porro lo usò per costruire i suoi primi strumenti a divisione centesimale. Con questo sistema l'angolo giro viene diviso in 400 spicchi uguali con sottomultipli a frazioni decimali. Si tratta ancora di una unita di misura convenzionale non motivata da alcuna ragione matematica.
Dallo sviluppo dell'analisi infinitesimale guadagnò sempre più importanza un'altra unita di misura, per certi aspetti più "motivata" o "naturale:" il radiante, inteso come rapporto tra la lunghezza di un arco di circonferenza e il raggio della circonferenza stessa in quanto questo rapporto non dipende dal raggio, ma solo dall'angolo compreso. In questo modo l'angolo giro misura 2π, cioè il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il suo raggio.
Riepilogando, per misurare l'ampiezza dell'angolo i sistemi di misura più attestati sono:
Il primo viene più che altro usato in ambito strettamente topografico, mentre gli ultimi sono quelli maggiormente usati, il secondo per consuetudine il terzo per una maggiore semplicità dei calcoli nelle formule matematiche. La relazione che lega il sistema radiante e il sistema sessagesimale e permette il passaggio da uno all'altro è
dove formula_3 è la misura dell'ampiezza dell'angolo espresso in gradi, e formula_11 è la misura espressa in radianti.
Indicando l'ampiezza di un angolo con:
indicando con formula_17 la parte intera di un numero reale, e ricordando che vale la proporzione generale
valgono le seguenti formule di conversione da un sistema di misura all'altro
Nella nomenclatura degli angoli di ampiezza compresa tra 0 e formula_21 si è soliti usare aggettivi particolari per gli angoli associati a un angolo dato in quanto suoi "angoli di complemento" rispetto agli angoli fondamentali retto, piatto e giro.
Si dice complementare di un angolo di ampiezza α ogni angolo avente come ampiezza la β "mancante" per ottenere un angolo retto, cioè tale che sia formula_22. Da questa definizione segue che due angoli complementari devono essere entrambi acuti e che ha senso attribuire un complementare solo a un angolo acuto.
Si dice supplementare di un angolo di ampiezza α ogni angolo avente come ampiezza la β "mancante" per ottenere un angolo piatto, cioè tale che sia formula_23. Da questa definizione segue che ogni supplementare di un angolo acuto è un angolo ottuso e viceversa, mentre ogni supplementare di un angolo retto è anch'esso un angolo retto.
Quando due angoli supplementari sono anche "consecutivi", cioè hanno in comune solo una semiretta, vengono detti anche angoli adiacenti.
Si dice esplementare di un angolo di ampiezza α ogni angolo avente come ampiezza la β "mancante" per ottenere un angolo giro, cioè tale che sia formula_24. Ne segue che ogni esplementare di un angolo concavo è un angolo convesso e viceversa, mentre ogni esplementare di un angolo piatto è anch'esso piatto.
Due rette che si intersecano dividono il piano in 4 angoli; considerato uno qualsiasi di questi angoli: due degli altri gli sono adiacenti mentre il terzo, con il quale condivide solo il vertice, è detto angolo opposto al vertice. Due angoli sono tra loro opposti al vertice se i prolungamenti dei lati di uno risultano essere i lati dell'altro.
Sono adiacenti gli angoli delle coppie , , e .
Sono invece opposti al vertice gli angoli delle coppie e .
Quando sul piano due rette qualsiasi "r" e "s" vengono tagliate da un trasversale "t", si originano 8 angoli ognuno dei quali è posto in relazione con quelli a esso "non contigui".
Con riferimento ai due semipiani separati dalla trasversale t, sono definiti coniugati due angoli non contigui disposti sullo stesso semipiano, mentre sono considerati alterni due angoli non contigui situati sui due semipiani diversi. Rispetto alle rette r e s, invece sono definiti esterni due angoli non contigui avente in comune ai vertici solo uno dei semipiani originati dalla trasversale, mentre sono considerati interni due Sono inoltre definiti corrispondenti due angoli coniugati in comune ai vertici i semipiani originati dalle rette ma non reciprocamente; il che significa che solo uno degli angoli sarà contemporaneamente intersezione dei tre semi piani.
formula_25
formula_26
formula_27
formula_28
formula_29
Nel caso in cui le due rette "r" e "s" siano parallele gli angoli corrispondenti e gli angoli alterni, dello stesso tipo, sono congruenti. Invece gli angoli coniugati, anch'essi dello stesso tipo, sono supplementari.
Nella geometria euclidea la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre di 180 gradi. Più in generale, data una qualunque figura geometrica convessa di formula_30 lati, la somma di tutti i suoi angoli interni è uguale a formula_31 gradi. Quindi, per esempio, la somma totale di tutti gli angoli interni di un quadrilatero è uguale a formula_32 gradi. Un caso particolare è dato dal quadrato, che ha quattro angoli retti, la cui somma è infatti 360 gradi. Analogamente, la somma di tutti gli angoli interni di un pentagono, regolare o meno, è uguale a 540 gradi.
In altre geometrie, dette non euclidee, la somma degli angoli interni di un triangolo può assumere sia valori maggiori sia valori minori di 180 gradi.
Molti problemi portano ad ampliare la nozione di angolo in modo da disporre di un'entità a cui si possa attribuire un'ampiezza data da un numero reale e quindi anche superiore a 360 gradi e negativa. Per questo occorre abbandonare l'associazione angolo - sottoinsieme del piano. Si dice che un angolo α è maggiore di un angolo β quando una parte di angolo α è congruente all'angolo β. Un angolo convesso o concavo può essere descritto cinematicamente come la parte di piano "spazzata" da una semiretta mobile che ruota mantenendo fisso il suo estremo; questo è il vertice dell'angolo e le posizioni iniziale e finale della semiretta sono i lati dell'angolo. Questa descrizione porta a distinguere due versi del movimento rotatorio. Si definisce verso negativo o verso orario il verso della rotazione che, osservata dal di sopra del piano, corrisponde al movimento delle lancette di un orologio tradizionale; si definisce verso positivo o verso antiorario il verso opposto (es. formula_33).
Per sviluppare considerazioni quantitative si considera una circonferenza Γ il cui centro ha il ruolo del vertice "V" per gli angoli che si prendono in considerazione. Il raggio "r" di questa circonferenza può essere scelto ad arbitrio e talora risulta comodo avere "r" = 1; quando si riferisce il piano a una coppia di assi cartesiani risulta comodo porre il vertice degli angoli nell'origine, in modo che la circonferenza corrisponda all'equazione formula_34.
Ogni angolo di vertice "V" determina un arco sulla circonferenza. Si consideri ora un movimento di una semiretta con estremo in "V" in un verso o nell'altro da una posizione iniziale "S" fino a una posizione finale "T": esso determina sulla Γ un arco orientato che ha come estremo iniziale il punto in cui Γ viene intersecata dalla "S" e come estremo finale il punto in cui viene intersecato dalla "T". Si può pensare l'arco orientato come se fosse "tracciato" dalla penna di un compasso avente l'altro braccio nel punto "V". Gli archi orientati con verso positivo si possono chiamare semplicemente archi (di circonferenza) positivi, quelli con verso negativo archi negativi.
Si può estendere la nozione di arco orientato pensando che il compasso possa compiere più di un giro, in verso positivo o negativo.
Si possono identificare gli angoli convessi con gli angoli relativi agli archi positivi interamente contenuti in una semicirconferenza; gli angoli concavi con gli archi positivi che contengono una semicirconferenza e sono contenuti in una circonferenza.
A questo punto si possono definire come angoli con segno di vertice "V" le entità che generalizzano gli angoli convessi e concavi con vertice in "V" e sono associate biunivocamente agli archi orientati sulla circonferenza Γ.
Gli angoli con segno possono essere sommati senza le restrizioni degli angoli associati a parti di piano e gli archi relativi risultano essere giustapposti; angolo opposto a un angolo dato corrisponde all'arco considerato con il verso opposto. Di conseguenza agli angoli con segno si attribuisce un'ampiezza rappresentata da un numero reale tale che alla somma di due angoli con segno corrisponda la somma algebrica delle ampiezze.
A questo punto si è indotti naturalmente ad associare all'ampiezza di un angolo con segno la lunghezza con segno del corrispondente arco. Questo richiede di precisare cosa si intenda per lunghezza di un arco e più in particolare richiede di definire la lunghezza di una circonferenza
Le considerazioni sulla rettificazione di una circonferenza portano alla definizione del numero π e, sul piano computazionale, alle valutazioni del suo valore.
