Keplersche Gesetze

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Himmelsmechanik
Johannes Kepler als Namensgeber

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Die drei '''Keplerschen Gesetze''' sind die fundamentalen Gesetzmäßigkeiten des Umlaufs der [[Planet]]en um die Sonne. [[Johannes Kepler]] fand die Gesetze Anfang des 17. Jahrhunderts, als er das [[Kopernikanisches System#Neues Paradigma durch Nikolaus Kopernikus|(fast) heliozentrische System nach Kopernikus]] an die genauen astronomischen Beobachtungen von [[Tycho Brahe]] anzupassen versuchte und dabei die Sonne als mathematischen Bezugspunkt wählte. Ende des 17. Jahrhunderts konnte [[Isaac Newton]] die Keplerschen Gesetze in der von ihm begründeten [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]] als exakte Lösung des [[Zweikörperproblem]]s herleiten, wenn zwischen den beiden Körpern eine Anziehungskraft herrscht, die mit dem Quadrat des Abstands abnimmt.

Die Keplerschen Gesetze lauten:
; Erstes Keplersches Gesetz: Die Bahn eines jeden Planeten ist eine [[Ellipse]], in deren einem [[Brennpunkt (Geometrie)#Ellipse|Brennpunkt]] die Sonne steht.
; Zweites Keplersches Gesetz: Die Geschwindigkeit der Planeten auf ihrer Bahn variiert so, dass ein von der Sonne zum Planeten gezogener [[Fahrstrahl#Himmelsmechanik|Fahrstrahl]] in gleichen Zeiten gleich große Flächen überstreicht.
; Drittes Keplersches Gesetz: Die [[Quadrat (Mathematik)|Quadrate]] der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich zueinander wie die Kuben (die dritten [[Potenz (Mathematik)|Potenzen]]) der großen Halbachsen ihrer [[Ellipse|Bahnellipsen]].

Die Keplerschen Gesetze gelten für die Planeten im Sonnensystem in guter Näherung. Die wahren Positionen am Himmel weichen meist weniger als eine [[Winkelminute]] (ca. 1/30 Vollmonddurchmesser) von den berechneten ab. Die Abweichungen werden als [[Bahnstörung]]en bezeichnet und beruhen vor allem darauf, dass die Planeten nicht nur durch die Sonne angezogen werden, sondern sich auch untereinander anziehen. Weitere sehr viel kleinere Korrekturen können mit der [[Allgemeine Relativitätstheorie#Periheldrehung|allgemeinen Relativitätstheorie]] berechnet werden.

Die Aufstellung der Keplerschen Gesetze stellte bei der Überwindung der mittelalterlichen hin zur neuzeitlichen Wissenschaft einen wesentlichen Schritt dar. Sie sind bis heute von grundlegender Bedeutung in der [[Astronomie]].

== Geschichte ==
=== Keplers Ausgangspunkt ===
Kepler war überzeugt vom heliozentrischen System von [[Nikolaus Kopernikus|Kopernikus]] (1543), weil es konzeptionell einfacher war und mit weniger angenommenen Kreisen und Parametern auskam als das [[Claudius Ptolemäus#Ptolemäisches Weltbild|geozentrische System von Ptolemäus]], das seit ca. 150 n. Chr. vorherrschte. Das kopernikanische System ermöglichte zudem weitergehende Fragestellungen, denn erstmals wurde hier, ohne weitere Hypothesen zu bemühen, die Größe aller Planetenbahnen im Verhältnis zur Größe der [[Erdbahn]] eindeutig festgelegt. Für diese von Kopernikus gefundenen Größenverhältnisse suchte Kepler sein Leben lang nach einer tieferen Erklärung. Weiter war damals klar geworden, dass die Planeten nicht von festen rotierenden Kristallsphären entlang ihrer [[Deferent]]en und [[Epizykel]] bewegt werden konnten, denn nach den Beobachtungen von [[Tycho Brahe]] am [[C/1577 V1 (Großer Komet von 1577)|Kometen von 1577]] hätte dieser mehrere solcher Schalen durchschlagen müssen. Offenbar fanden Kometen und Planeten selbstständig ihren Weg durch den Raum. Auch ihre Geschwindigkeiten, die sich aus der Größe ihrer Bahn und ihrer Umlaufzeit ermitteln ließen, standen zu den philosophisch begründeten Annahmen im ptolemäischen System im Gegensatz. Dass die Geschwindigkeiten längs der Bahn nicht konstant blieben, war zwar altbekannt, verlangte aber nun ebenso wie die Form der Bahnen nach einer neuen Erklärung. All dies bewog Kepler, in der Astronomie den entscheidenden Schritt zu machen, für die Planetenbewegung „physikalische“ Ursachen anzunehmen, also solche, die sich schon beim Studium irdischer Bewegungen zeigten. Damit widersprach er der bis dahin sakrosankten aristotelischen Lehre, nach der es zwischen Himmel und Erde einen prinzipiellen Gegensatz gebe, und leistete einen bedeutenden Beitrag zur [[Kopernikanische Wende|kopernikanischen Wende]].<ref>Thomas S. Kuhn: ''Die Kopernikanische Revolution.'' Vieweg, Braunschweig 1980, ISBN 3-528-08433-2.</ref>

Um dies genauer zu erforschen, war zuerst eine Bestimmung der tatsächlichen Planetenbahnen notwendig. Dafür standen Kepler die Daten aus Tychos jahrzehntelangen Himmelsbeobachtungen zur Verfügung, die nicht nur wesentlich genauer waren (Unsicherheit maximal ca. zwei Winkelminuten) als die immer noch benutzten Daten aus der Antike, sondern sich zum ersten Mal auch über große Teile der Planetenbahnen erstreckten. Bei der Auswertung dieser Daten folgte Kepler konsequent der neuartigen Leitidee, dass die physikalische Ursache der Planetenbewegungen in der Sonne liegt und nicht in dem fiktiven Punkt namens „[[mittlere Sonne]]“, der von Ptolemäus eingeführt und von Kopernikus in den ansonsten leeren Mittelpunkt desjenigen Kreises gesetzt worden war, den er der Erde zugewiesen hatte. Dabei stellte Kepler sich vor, die wirkliche Sonne wirke auf die Planeten wie ein Magnet, und führte dieses Bild auch detailliert aus.

Bei seiner Arbeit betrat Kepler auch in einer zweiten Hinsicht Neuland. Zum Ausgangspunkt der Analyse der Bahnen nahm er, anders als alle früheren Astronomen, nicht die von den Philosophen seit Platon und Aristoteles vorgeschriebene gleichförmige Kreisbewegung, der dann weitere gleichförmige Kreisbewegungen hinzugefügt wurden ([[Epizykeltheorie]]), um die Abweichungen von den am Himmel beobachteten Planetenpositionen zu verringern. Vielmehr versuchte er, aus den Himmelsbeobachtungen die tatsächlichen Bahnen und die veränderliche Geschwindigkeit, mit der die Planeten auf ihnen laufen, zunächst direkt zu rekonstruieren.

Zum Dritten betrat Kepler auch in der Art der Darstellung seiner Arbeit Neuland. Üblich war bei Astronomen bis dahin, dass sie ihr System erst im fertig ausgearbeiteten Zustand veröffentlichten. Sie erklärten, wie es Stück für Stück aufzubauen sei, indem sie für jede der nötigen Einzelannahmen philosophische oder theologische Begründungen anführten. Kepler hingegen beschrieb Schritt für Schritt den tatsächlichen Fortgang seiner jahrelangen Arbeit, einschließlich seiner zwischenzeitlichen Fehlschläge aufgrund von untauglichen Ansätzen (wie etwa eine ovale Form der Bahn). Im Jahr 1609 veröffentlichte er den ersten Teil seiner Ergebnisse mit dem bezeichnenden Titel ''Astronomia Nova'' mit dem Zusatz „Neue Astronomie, ursächlich begründet, oder Physik des Himmels, […] nach Beobachtungen des Edelmanns Tycho Brahe“. Das Werk gipfelt in den beiden ersten Keplerschen Gesetzen, die für jede Planetenbahn einzeln gelten. Keplers tiefere Erklärung des gesamten Systems und der Beziehungen der Planetenbahnen untereinander erschien 1619 unter dem Titel ''Harmonices mundi'' („Harmonien der Welt“). Darin findet sich – eher beiläufig – ein Satz, der die Bahnen verschiedener Planeten aufeinander bezieht und später als das dritte Keplersche Gesetz bekannt wurde.

=== Keplers Vorgehensweise ===
Keplers erstes Ergebnis bei der Arbeit war, dass weder das ptolemäische noch das kopernikanische System die Planetenpositionen hinreichend genau wiedergeben konnte, auch nicht nach Verbesserung einzelner Parameter, z. B. der [[Exzentrizität (Astronomie)|Exzentrizitäten]]. Er benutzte diese Modelle aber weiter als Näherung, um aus Tychos Beobachtungen diejenigen auszuwählen, die für genauere Charakterisierung der Bahnen am geeignetsten wären. So fand er, dass die exzentrischen Bahnen von Mars und Erde gegenüber den Fixsternen (mit hinreichender Genauigkeit) fest bleiben, dass jede in einer Ebene verläuft, in der auch die Sonne steht, und dass die beiden Bahnebenen leicht gegeneinander geneigt sind.

So konnte Kepler annehmen, dass der Mars, obwohl seine genaue Bahn noch unbekannt war, nach jedem seiner Umläufe um die Sonne wieder die gleiche Position im Weltraum einnimmt, auch wenn er von der Erde aus gesehen an verschiedenen Himmelspositionen erscheint, weil dann die Erde jedes Mal an einer anderen Stelle ihrer Bahn steht. Daraus bestimmte er zunächst mit ca. vierstelliger Genauigkeit die Erdbahn. Auf dieser Basis wertete er die übrigen Beobachtungen des Mars aus, bei dem die Abweichungen von einer Kreisbahn deutlicher sind als bei der Erde. Als er nach vielen Fehlschlägen und langem Probieren den Maximalfehler bei der Position des Mars am Himmel nicht unter acht Winkelminuten (etwa 1/4 Vollmonddurchmesser) drücken konnte, nahm er einen weiteren Anlauf und fand – halbwegs zufällig –, dass die Marsbahn am besten durch eine Ellipse wiederzugeben ist, wobei die Sonne in einem ihrer Brennpunkte steht. Dieses Ergebnis bestätigte sich auch bei der Erdbahn, und es passte auch zu allen anderen von Tycho beobachteten Planeten. Kepler war bekannt, dass auch eine ellipsenförmige Bahn exakt aus zwei Kreisbewegungen zusammengesetzt werden kann, er beachtete diese Möglichkeit aber nicht weiter. Zur genauen Darstellung der Bewegung müssten diese Kreisbewegungen nämlich um ihre jeweiligen Mittelpunkte mit variabler Geschwindigkeit ablaufen, wofür kein physikalischer Grund ersichtlich sei:

{{Zitat
 |Text=Kepler did not make use of the epicyclic generation of the ellipse because ''it does not agree with the natural causes which produce the ellipse […].''
 |ref=<ref name="Boyer1947">{{Literatur |Autor=Carl B. Boyer |Titel=Note on Epicycles & the Ellipse from Copernicus to Lahire |Sammelwerk=Isis |Band=38 |Datum=1947 |Seiten=54–56}} Der hier kursiv zitierte Satz von Kepler ist dort als direkte Übersetzung wiedergegeben.</ref>}}

Bei der anschließenden Suche nach dem Gesetz über den gesamten Aufbau des Sonnensystems, die wiederum etwa ein Jahrzehnt dauerte, verfolgte Kepler die Idee einer dem Schöpfungsplan zugrunde liegenden Harmonie, die sich – wie im Fall der Harmonie in der Musik – in einfachen Zahlenbeziehungen auffinden lassen müsste. Sein Ergebnis publizierte er 1619 als [[Johannes Kepler#Harmonice mundi|Harmonice mundi]] (‚Harmonien der Welt‘). Für die spätere Astronomie ist darin von bleibendem Wert nur die kurze Mitteilung (im 5. Buch des Werks), nach der die Quadrate der Umlaufzeiten aller Planeten im selben Verhältnis stehen wie (in modernen Worten) die dritten Potenzen der großen Halbachsen ihrer Bahnellipsen.

Kepler suchte auch nach einer physikalischen Erklärung, wie die Sonne auf die Planeten einwirken könne, um die beobachteten Bewegungen zu verursachen. Seine Überlegungen zu einer magnetischen Fernwirkung oder einer den Planeten innewohnenden ''[[Anima motrix]]'' blieben aber fruchtlos. Später konnte [[Isaac Newton]] nachweisen, dass die drei Keplerschen Gesetze die exakte Lösung der Bewegung eines Körpers unter der Einwirkung einer [[Kraft]] nach dem [[Newtonsches Gravitationsgesetz|Newtonschen Gravitationsgesetz]] wiedergeben. Dies gilt als ein bedeutender Schritt bei der Entwicklung der klassischen Mechanik und der modernen Naturwissenschaft insgesamt.<ref name="Koestler">{{Literatur |Autor=Arthur Koestler |Titel=Die Nachtwandler: Die Entstehungsgeschichte unserer Welterkenntnis |Verlag=Suhrkamp |Datum=1980}}</ref><ref name="Stephenson">{{Literatur |Autor=Bruce Stephenson |Titel=Kepler’s physical astronomy |Verlag=Springer Science & Business Media Bd. 13 |Datum=2012}}</ref><ref name="Holder2015">{{Literatur |Autor=Martin Holder |Titel=Die Kepler-Ellipse |Verlag=universi |Ort=Siegen |Datum=2015 |Online=[http://dokumentix.ub.uni-siegen.de/opus/volltexte/2015/967/pdf/Holder_Die_Kepler_Ellipse.pdf online] |Abruf=2017-11-01}}</ref><ref name="Wilson1972">{{Literatur |Autor=Curtis Wilson |Titel=How Did Kepler Discover His First Two Laws? |Sammelwerk=Scientific American |Band=226 |Nummer=3 |Datum=1972 |Seiten=92–107 |JSTOR=24927297}}</ref>

=== Entwicklung des Geltungsbereichs ===
Kepler formulierte die Gesetze für die [[Planet]]en, die ihm bekannt waren. Nach dem [[Kosmologisches Prinzip|kosmologischen Prinzip]] sind sie aber ''überall'' im [[Universum]] gültig. Das [[heliozentrisch]]e [[Sonnensystem]] ist der weitaus bedeutendste Anwendungsfall, daher werden die Keplerschen Gesetze in der Literatur häufig nur eingeschränkt für Planeten formuliert. Sie gelten aber ebenso auch für [[Satellit (Astronomie)|Monde]], den [[Asteroidengürtel]] und die [[Oortsche Wolke]], oder die Ringe des [[Jupiter (Planet)|Jupiter]] und [[Saturn (Planet)|Saturn]], für [[Sternhaufen]] wie auch für Objekte auf der Umlaufbahn um das Zentrum einer [[Galaxie]], und für alle anderen [[Astronomisches Objekt|Objekte im Weltall]]. Außerdem bilden sie die Basis der [[Raumfahrt]] und erklären die Bahnen der [[Satellit (Raumfahrt)|Satelliten]].

In kosmischem Maßstab beginnen sich aber relativistische Effekte auszuwirken, und die Differenzen zum Keplermodell dienen primär als Prüfkriterium für die entsprechenden moderneren Konzepte über Astrophysik. Die Formungsmechanismen in Spiralgalaxien etwa lassen sich mit einem rein auf den Keplerschen Gesetzen beruhenden Modell nicht mehr stimmig nachvollziehen.

== Herleitung und moderne Darstellung ==
Kepler suchte nach Gesetzen, mit denen die beobachteten Planetenbewegungen zu beschreiben sind. Die Gesetze, die er fand, sind daher empirisch. Newton fand 70 Jahre später das nach ihm benannte [[Newtonsches Gravitationsgesetz|Gravitationsgesetz]], aus dem er diese Gesetze theoretisch herleiten konnte. Demnach gelten die Keplerschen Gesetze ebenso für alle zentralsymmetrischen Kraftfelder, bei denen die Kraft mit wachsendem Abstand der beiden Körper proportional zum Quadrat des Abstandes abnimmt, also insbesondere auch für die elektrostatische [[Coulombkraft]].

In stark abgekürzter Weise kann heute die Herleitung der Keplerschen Gesetze aus der Newtonschen Theorie der Bewegung so dargestellt werden:
* Das erste Gesetz folgt aus der [[Clairautsche Gleichung|Clairautschen Gleichung]],<ref name="Guth 37">Guthmann, § II.2.37 ''Lösung der Clairotschen Gleichung: Der Fall e<1.'' S. 81 f.</ref> die eine vollständige Lösung einer Bewegung in rotationssymmetrischen Kraftfeldern beschreibt.<ref name="Guth Cl">Guthmann, § II.1 ''Ein- und Zweikörperproblem.'' Einführung, S. 64 f. und 30. ''Die Clairotsche Gleichung.'' S. 71 ff.</ref>
* Das zweite Gesetz ist eine geometrische Deutung der [[Drehimpulserhaltung]].<ref name="Guth 26">Guthmann, § II.1.26 ''Der Flächensatz.'' S. 66 f.</ref>
* Das dritte Gesetz folgt aus der [[Keplergleichung]] mittels Integration aus dem zweiten<ref name="Guth #5">Guthmann, § II.5 ''Bahndynamik des Keplerproblems.'' S. 108 ff.</ref>, alternativ folgt es mittels des ''[[Hodograph]]en'' direkt aus den Newtonschen Gesetzen.<ref>David L. Goodstein, Judith R. Goodstein: ''[[Feynmans verschollene Vorlesung: Die Bewegung der Planeten um die Sonne]].'' Piper Verlag GmbH, München 1998.</ref> Zudem folgt es nach dem Prinzip der [[Mechanische Ähnlichkeit|mechanischen Ähnlichkeit]] direkt aus dem invers-quadratischen Zusammenhang zwischen der Gravitationskraft und dem Abstand.<ref>{{Literatur |Autor=L. D. Landau und E. M. Lifshitz |Titel=Mechanics |Auflage=3 |Verlag=Butterworth-Heinemann |Ort=Oxford |Datum=1976 |ISBN=978-0-7506-2896-9 |Seiten=22–24 |Sprache=en}}</ref>

=== Erstes Keplersches Gesetz (Ellipsensatz) {{Anker|Ellipsensatz 1. Keplersches Gesetz}} {{Anker|Erstes Keplersches Gesetz}} {{Anker|Erstes keplersches Gesetz}} {{Anker|Ellipsensatz}} ===
[[Datei:Kepler-first-law-math.svg|mini|Erstes Keplersches Gesetz  –  Umlaufbahn des Massepunktes ''m'' um das Schwerezentrum ''M''. Der zweite [[Brennpunkt (Geometrie)|geometrische Brennpunkt]] der elliptischen Flugbahn ist als roter Punkt dargestellt.]]
: ''Die [[Umlaufbahn]] eines Trabanten um einen Stern ist eine  raumfeste, ebene [[Ellipse]], die einen ihrer [[Brennpunkt (Geometrie)|Brennpunkte]] am Ort des Sterns hat.''
Dieses Gesetz ergibt sich aus [[Isaac Newton|Newtons]] [[Gravitationsgesetz]].

Die Energie eines Trabanten mit Masse <math>m</math> im Newtonschen Gravitationsfeld der Sonne mit Masse <math>M</math> ist in [[Kugelkoordinaten]] mit der Sonne bei <math>r=0</math>
:<math>E = E_\mathrm{kin} + E_\mathrm{pot} = \frac{1}{2} m (\dot r^2 + r^2 \dot\phi^2) - \frac{GMm}{r}.</math>
Mit Hilfe des [[Drehimpuls]]es <math>L=mr^2 d\phi/dt</math> und
:<math>\frac{dr}{dt} = \frac{dr}{d\phi}\frac{d\phi}{dt}\ \Rightarrow\ \dot r = \frac{dr}{d\phi} \dot\phi</math>
lässt sich die Energiegleichung zu
:<math> \left(\frac{dr}{d\phi}\right)^2 = 2m \frac{r^4}{L^2} \left[ E + \frac{GMm}{r} - \frac{L^2}{2mr^2} \right]</math>
umformen.
Diese Differentialgleichung wird mit dem Ansatz
:<math>r (\phi) = \frac{p}{1 + \varepsilon \cdot \cos \phi}</math>
gelöst, der die allgemeine Formel eines [[Kegelschnitt#Polargleichung einer Kegelschnittschar|Kegelschnitts]] mit Parameter <math>p</math> und [[Exzentrizität (Mathematik)|numerischer Exzentrizität]] <math>\varepsilon</math> darstellt. Dazu wird die Ableitung
:<math>\frac{dr}{d\phi} = \frac{p \varepsilon \cdot \sin \phi}{(1 + \varepsilon \cdot \cos \phi)^2} =  \frac{r^2 \varepsilon \cdot \sin \phi}{p}</math>
quadriert und daraus <math>\phi</math> eliminiert, was erneutes durch Einsetzen des umgestellten Ansatzes
:<math>\varepsilon \cdot \cos \phi = \frac{p}{r}-1</math>
gelingt. Es folgt
:<math>\left(\frac{dr}{d\phi} \right)^2 = \frac{r^4 \varepsilon^2 (1 - \cos^2 \phi)}{p^2}= \frac{r^4}{p^2} \left(\varepsilon^2- \left(\frac{p}{r}-1 \right)^2 \right) = \frac{r^4}{p^2} \left(\varepsilon^2-1 + \frac{2p}{r} - \frac{p^2}{r^2} \right)</math>
Daher ist die Energiegleichung erfüllt, wenn die beiden Parameter wie folgt festgelegt werden:
:<math> p = \frac{(\frac{L}{m})^2}{GM} \text{   und   } \varepsilon = \sqrt{1 + \frac{2 \frac{E}{m} (\frac{L}{m})^2}{G^2M^2}}</math>

Der Parameter <math>p</math> und die numerische Exzentrizität <math>\varepsilon</math> sind die [[Bahnelement#Gestaltelemente|Gestaltelemente der Bahn]]. Für den Fall <math>E < 0</math>, also <math>0 < \varepsilon < 1</math> gilt:
Der durch  <math>r (\phi)</math> beschriebene Kegelschnitt ist eine Ellipse mit einem Brennpunkt bei <math>r=0</math>.  Damit ist das erste Keplersche Gesetz hergeleitet. Die Ellipse besitzt folgende Eigenschaften:

{| class="wikitable"
|+ Beschreibung der Ellipse
|-
| Große Halbachse || <math>a = \frac {p}{1 - \varepsilon^2}</math>
|-
| Kleine Halbachse || <math>b = \frac {p}{\sqrt{1 - \varepsilon^2}}</math>
|-
| Brennpunkte (in (x,y)-Koordinaten) || <math>F_1 = (0, 0)</math>
<math>F_2 = \left( -\frac{2 \varepsilon p}{1 - \varepsilon^2}, 0 \right)</math>
|-
| r minimal (Perizentrum) || <math>P = \left(\frac {p}{1 + \varepsilon}, 0 \right)</math>
|-
| r maximal (Apozentrum) || <math> A = \left(-\frac {p}{1 - \varepsilon}, 0 \right)</math>
|}

In dieser Herleitung wurde zur Vereinfachung das Kraftzentrum – die Sonne – als ruhend angenommen. Für die genaue Herleitung aus der Newtonschen Mechanik müssen Trabant und Sonne als [[Zweikörpersystem]] behandelt werden. Bei ruhendem [[Massenmittelpunkt]] bewegen sich dann beide Körper. Aus dieser exakten Behandlung ergibt sich für die Bewegung der Körper relativ zueinander die gleiche Lösung wie oben, es muss nur die Masse <math>m</math> des Trabanten durch die [[reduzierte Masse]] <math>m/(1+m/M)</math> ersetzt werden. Es spielt auch keine Rolle, ob die Bahn vom Massenmittelpunkt, dem [[Baryzentrum]], aus beschrieben wird statt von der Sonne aus. Nur die Bahnellipse schrumpft um denselben Faktor <math>1/(1+m/M)</math>, der sich beim Erde-Sonne-System nur um 10−6 von 1 unterscheidet.

Ferner ist die obige Rechnung für eine anziehende Kraft formuliert worden. Für eine abstoßende Kraft wie z. B. zwischen zwei gleichnamigen elektrischen Ladungen muss nur das Vorzeichen von <math>M</math> bzw. <math>p</math> umgedreht werden.
[[Datei:Orbit3.gif|mini|Zwei Körper kreisen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt –
hier auf Kreisbahnen als Spezialform der Ellipse]]

=== Zweites Keplersches Gesetz (Flächensatz) {{Anker|Flächensatz 2. Keplersches Gesetz}} {{Anker|Zweites Keplersches Gesetz}} {{Anker|Zweites keplersches Gesetz}} {{Anker|Flächensatz}} ===
[[Datei:kepler-second-law.svg|mini|Zweites Keplersches Gesetz  –  Elliptische [[Flugbahn]] (blau) eines Himmelskörpers um zwei [[Brennpunkt (Geometrie)|Brennpunkte]] (schwarz) mit [[Schwerezentrum]] im linken Brennpunkt. Die beispielhaft ausgewählten blauen Flächen werden vom [[Fahrstrahl]] des Himmelskörpers in der gleichen Zeitdauer überstrichen und sind gleich groß.]]

:''In gleichen Zeiten überstreicht der [[Fahrstrahl]] gleiche Flächen.''

Unter dem ''Fahrstrahl'' versteht man die Verbindungslinie zwischen dem [[Massenmittelpunkt|Schwerpunkt]] eines [[Himmelskörper]]s, z. B. eines Planeten oder Mondes, und dem [[Gravizentrum]], z. B. in erster Näherung der Sonne respektive des Planeten, um das er sich bewegt.

[[Datei:Kepler2.png|mini|Illustration zur Herleitung des Flächensatzes aus einem kleinen Zeitschritt. Die drei Hilfslinien sind Parallelen in jeweils gleichem Abstand.]]
Eine einfache Herleitung ergibt sich, wenn man die Flächen betrachtet, die der Fahrstrahl in kleinen Zeitabschnitten zurücklegt und die Kraft als momentanen [[Kraftstoß]] nur jeweils am Ende eines Abschnitts einwirken lässt. Lässt man die Zeitschritte [[infinitesimal]] kleiner werden, so erhält man die Bahnbewegung bei kontinuierlich einwirkender Kraft. In der Graphik rechts sei ''Z'' das Kraftzentrum. Der Trabant bewegt sich im Zeitabschnitt <math>\Delta t</math> zunächst von ''A'' nach ''B.'' Würde sich seine Geschwindigkeit nicht ändern, so würde er sich im nächsten Zeitschritt  <math>\Delta t</math> von ''B'' nach ''C'' bewegen. Da die beiden Dreiecke ''ZAB'' und ''ZBC'' die Seite ''ZB'' gemeinsam haben und zu dieser Seite auch eine gleich große [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] (Projektion von ''AB'' bzw. ''BC'' auf die Normale zu ''ZB''), beinhalten sie auch die gleiche Fläche. Wirkt nun im Punkt ''B'' eine Kraft in Richtung ''Z,'' so wird die Geschwindigkeit <math>v</math> um ein <math>\Delta v</math> abgelenkt, das parallel zur Strecke ''ZB'' ist. Statt bei ''C'' landet der Trabant also bei ''C’.'' Da auch die beiden Dreiecke ''ZBC'' und ''ZBC’'' dieselbe Basis und die gleiche Höhe haben, ist auch ihre Fläche gleich. Damit gilt der Flächensatz für die beiden kleinen Zeitabschnitte der Länge <math>\Delta t</math>, und nach dem Grenzübergang <math>\Delta t \rightarrow 0</math> auch für die gekrümmte Bahnkurve.

Eine formelmäßige Herleitung geht von der in einem infinitesimalen Zeitschritt überstrichenen Fläche <math>F</math> aus:
:<math>F(t, t+\mathrm{d}t) = \frac{1}{2} |\mathrm{r}(t) \times \mathbf{\dot r} (t)\mathrm{d}t| = \frac{L}{2m} \mathrm{d}t</math>.
Da für eine Zentralkraft der Drehimpuls wegen
:<math>\mathbf{\dot L} = m (\mathbf{\dot r} \times \mathbf{\dot r} + \mathbf r \times \mathbf{\ddot r}) = m\mathbf r \times \mathbf{\ddot r} = m\mathbf r \times f(r)\mathbf r = \mathbf 0</math>
konstant ist, ist das Flächenintegral somit gerade
:<math>F(t_0, t_1) = \frac{1}{2} \int_{t_0}^{t_1} |\mathbf r (t) \times \mathbf{\dot r} (t) |\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\frac{L}{m} \int_{t_0}^{t_1} \mathrm{d}t = \frac{L}{2m} \,(t_1-t_0)</math>.

Für gleiche Zeitdifferenzen <math>t_1-t_0</math> ist also die überstrichene Fläche gleich groß.

Das zweite Keplersche Gesetz definiert also sowohl die geometrische Grundlage einer astrometrischen Bahn (als Bahn in einer Ebene) als auch deren Bahndynamik (das zeitliche Verhalten). Kepler formulierte das Gesetz nur für den Umlauf der Planeten um die Sonne, es gilt aber auch auf [[Keplerbahn|nicht geschlossenen Bahnen]]. Das zweite Keplersche Gesetz ist im Gegensatz zu den anderen beiden Gesetzen nicht auf die <math>1/r^2</math>-Kraft der Gravitation beschränkt (tatsächlich ging Kepler mit seiner [[Anima motrix]] auch von einer <math>1/r</math>-Kraft aus), sondern gilt allgemein für alle [[Zentralkraft|Zentralkräfte]] und Bewegungen mit konstantem Drehimpuls. Kepler war lediglich an einer Beschreibung der Planetenbahnen interessiert, doch ist das zweite Gesetz bereits die erste Formulierung des Gesetzes, das wir heute als [[Drehimpulserhaltung]] kennen. Das zweite Keplersche Gesetz kann als spezielle Formulierung des Drehimpulssatzes gesehen werden (siehe auch [[Drallsatz #Flächensatz]]).

Das zweite Keplersche Gesetz hat zwei grundlegende Konsequenzen auch für die Bewegungsverhältnisse in Mehrkörpersystemen, sowohl für Sonnensysteme als auch für die Raumfahrt: Die ''Konstanz des Bahnnormalenvektors'' besagt, dass elementare Himmelsmechanik ein ebenes Problem ist. Tatsächlich ergeben sich auch hier Abweichungen durch die Volumina der Himmelskörper, sodass Masse außerhalb der Bahnebene liegt, und die Bahnebenen [[Präzession|präzedieren]] (ihre Lage im Raum verändern). Daher liegen die Bahnen der Planeten nicht alle in einer Ebene (der idealen Sonnensystemebene, der [[Ekliptik]]), sie zeigen vielmehr eine [[Bahnneigung|Inklination]] und auch [[Periheldrehung]], zudem schwankt auch die [[ekliptikale Breite der Sonne]]. Umgekehrt ist es verhältnismäßig leicht, einen Raumflugkörper in der Sonnensystemebene zu bewegen, aber enorm aufwändig, etwa eine Sonde über dem Nordpol der Sonne zu platzieren.

Die ''Konstanz der Flächengeschwindigkeit'' besagt, dass von einer gedachten Verbindungslinie zwischen dem Zentralkörper, genauer dem Schwerpunkt der beiden Himmelskörper, und einem Trabanten in gleichen Zeiten stets die gleiche Fläche überstrichen wird. Ein Körper bewegt sich also schneller, wenn er sich nahe an seinem Schwerezentrum befindet und umso langsamer, je weiter er davon entfernt ist. Dies gilt beispielsweise für den Lauf der Erde um die Sonne wie auch für den Lauf des Mondes oder eines Satelliten um die Erde. Eine Bahn stellt sich als dauerndes [[Freier Fall|freies Fallen]], nahes Vorbeischwingen um den Schwerpunkt, und Wiederaufsteigen zum fernsten Kulminationspunkt der Bahn dar: Der Körper wird immer schneller, hat im Perizentrum (zentrumsnächsten Punkt) die höchste Geschwindigkeit und wird ab dann immer langsamer bis zum Apozentrum (zentrumsfernsten Punkt), von dem aus er wieder beschleunigt. So gesehen ist die Keplerellipse ein Spezialfall des [[Schiefer Wurf|schiefen Wurfs]], der sich in seiner Bahn schließt. Diese Überlegung spielt in der Raumfahrtphysik eine zentrale Rolle, wo es darum geht, mit einem passend gewählten Anfangsimpuls (durch den Start) eine geeignete Umlaufbahn zu erzeugen: Je kreisähnlicher die Bahn, desto gleichmäßiger die Umlaufgeschwindigkeit.

=== Drittes Keplersches Gesetz {{Anker|Kepler 3. Keplersches Gesetz}} {{Anker|Drittes Keplersches Gesetz}} {{Anker|Drittes keplersches Gesetz}} ===
[[Datei:SolarSystem Radii and Period (math).svg|mini|300px|Darstellung der Beziehung zwischen Orbitalradius und Orbitalperiode]]
:''Die [[Quadrat (Mathematik)|Quadrate]] der [[Umlaufzeit]]en <math>T_1</math> und <math>T_2</math> je zweier Trabanten um ein gemeinsames Zentrum sind proportional zu den dritten [[Potenz (Mathematik)|Potenzen]] der [[Große Halbachse|großen Halbachsen]] <math>a_1</math> und <math>a_2</math> ihrer Ellipsenbahnen.''
oder
: ''Die Quadrate der Umlaufzeiten stehen im gleichen Verhältnis wie die Kuben (dritten Potenzen) der großen Halbachsen:''

:<math style="border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em;">\left( \frac{T_1}{T_2} \right)^2 = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^3 </math> … ''drittes Keplersches Gesetz''

Kepler verwendete für die halben [[Bahnachse]]n <math>a_{1,2}</math> die ''mittleren Entfernungen von der Sonne'' (im Sinne des Mittels von [[Periheldistanz]] und [[Apheldistanz]]).
: <math style="border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em;">C = \frac{T^2}{a^3}</math> … ''drittes Keplersches Gesetz,'' massenunabhängige Formulierung mit [[Kepler-Konstante]] der Zentralmasse ([[Gaußsche Gravitationskonstante]] des Sonnensystems)

In Kombination mit dem [[Newtonsches Gravitationsgesetz|Gravitationsgesetz]] erhält das dritte Keplersche Gesetz für die Bewegung zweier Massen <math>M</math> und <math>m</math> die Form

:<math style="border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em;">T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M + m)} \cdot a^3 \approx \frac{4\pi^2}{GM} \cdot a^3</math> … ''drittes Keplersches Gesetz,'' Formulierung mit zwei Massen

Dabei gilt die Näherung, wenn die Masse <math>m</math> vernachlässigbar klein im Vergleich zu <math>M</math> ist (etwa im Sonnensystem). Durch diese Form kann man etwa die Gesamtmasse von [[Doppelstern]]systemen aus der Messung der Umlaufdauer und des Abstandes bestimmen.

Berücksichtigt man die unterschiedlichen Massen zweier Himmelskörper und obige Formel, so lautet eine exaktere Formulierung des dritten Keplerschen Gesetzes:

:<math style="border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em;">\left( \frac{T_1}{T_2} \right)^2 = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^3 \frac{M+m_2}{M+m_1}</math> … ''drittes Keplersches Gesetz,'' Formulierung mit drei Massen

Offensichtlich gewinnt die Abweichung nur dann an Bedeutung, wenn beide Trabanten sich stark in ihren Massen unterscheiden und das Zentralobjekt eine Masse <math>M</math> hat, die von der eines der beiden Trabanten nicht stark abweicht.

Das dritte Keplersche Gesetz gilt dabei für alle Kräfte, die quadratisch mit dem Abstand abnehmen, wie man auch leicht aus der [[Skaleninvarianz|Skalenbetrachtung]] herleiten kann. In der Gleichung
:<math>m \frac{d^2r}{(dt)^2} = \frac{GMm}{r^2}</math>
taucht <math>r</math> in der dritten Potenz und <math>t</math> quadratisch auf. Unter einer Skalentransformation <math>r' = \alpha r, t' = \beta t</math> erhält man somit dieselbe Gleichung, wenn <math>\alpha^3 = \beta^2</math> ist. Andererseits ist dadurch schnell erkennbar, dass das Analogon des dritten Keplerschen Gesetzes für geschlossene Bahnen in einem <math>1/r^k</math>-Kraftfeld für beliebiges <math>k</math> gerade <math>(a_1/a_2)^{k+1}=(T_1/T_2)^2</math> lautet.<ref>J. Wess: ''Theoretische Mechanik.'' Springer. Kapitel über das ''Zweikörperproblem.''</ref>

== Siehe auch ==
* [[Hohmann-Transfer]], die Verbindungsbahn zweier Keplerbahnen der Raumfahrt
* [[Spezifischer Drehimpuls]], relativ einfache Herleitung der Keplerschen Gesetze ausgehend von der Drehimpulserhaltung

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Johannes Kepler
   |Hrsg=Max Caspar
   |Titel=Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis
   |Sammelwerk=Gesammelte Werke
   |Band=3
   |Verlag=C. H. Beck
   |Ort=München
   |Datum=1938}}
* {{Literatur
   |Autor=Johannes Kepler
   |Hrsg=Max Caspar
   |Titel=Harmonices Mundi libri V
   |Sammelwerk=Gesammelte Werke
   |Band=6
   |Verlag=C. H. Beck
   |Ort=München
   |Datum=1990
   |ISBN=3-406-01648-0}}
* {{Literatur
   |Autor=Andreas Guthmann
   |Titel=Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung
   |Verlag=BI-Wiss.-Verlag
   |Ort=Mannheim
   |Datum=1994
   |ISBN=3-411-17051-4}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Kepler motions|Keplersche Gesetze}}
* Walter Fendt: [https://www.walter-fendt.de/html5/phde/keplerlaw1_de.htm 1. Keplersches Gesetz], [https://www.walter-fendt.de/html5/phde/keplerlaw2_de.htm 2. Keplersches Gesetz] (HTML5-Apps).
* [https://www.leifiphysik.de/mechanik/weltbilder-keplersche-gesetze/grundwissen/keplersche-gesetze Keplersche Gesetze] ([[LEIFI]]).
* Joachim Hoffmüller: [http://www.lpg.musin.de/physik/flaechensatz 2. Keplersches Gesetz (Flächensatz): Beweis mit dynamischen Arbeitsblättern selbst nachvollziehen.] Geometrisch-anschaulicher Beweis nach Newton, ohne höhere Mathematik ([[Java-Applet]]).
* {{TIBAV |14888 |Linktext=Keplersche Gesetze der Planetenbewegungen |Herausgeber=IWF |Jahr=1978 |DOI=10.3203/IWF/C-1286 }}
* Video: ''[https://www.youtube.com/watch?v=nIeLLGKel_M Das Heliozentrische Weltbild und die Keplerschen Gesetze der Planetenbewegungen]'' – Entwicklung des Heliozentrischen Weltbilds von Nikolaus Kopernikus bis Johannes Kepler, mit Visualisierung und Erläuterung der Keplerschen Gesetze der Planetenbewegungen

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4365820-9|LCCN=|NDL=|VIAF=}}

[[Kategorie:Himmelsmechanik]]
[[Kategorie:Johannes Kepler als Namensgeber]]

Abstract: Die drei Keplerschen Gesetze sind die fundamentalen Gesetzmäßigkeiten des Umlaufs der Planeten um die Sonne. Johannes Kepler fand die Gesetze Anfang des 17. Jahrhunderts, als er das (fast) heliozentrische System nach Kopernikus an die genauen astronomischen Beobachtungen von Tycho Brahe anzupassen versuchte und dabei die Sonne als mathematischen Bezugspunkt wählte. Ende des 17. Jahrhunderts konnte Isaac Newton die Keplerschen Gesetze in der von ihm begründeten klassischen Mechanik als exakte Lösung des Zweikörperproblems herleiten, wenn zwischen den beiden Körpern eine Anziehungskraft herrscht, die mit dem Quadrat des Abstands abnimmt. Die Keplerschen Gesetze lauten: Die Keplerschen Gesetze gelten für die Planeten im Sonnensystem in guter Näherung. Die wahren Positionen am Himmel weichen meist weniger als eine Winkelminute von den berechneten ab. Die Abweichungen werden als Bahnstörungen bezeichnet und beruhen vor allem darauf, dass die Planeten nicht nur durch die Sonne angezogen werden, sondern sich auch untereinander anziehen. Weitere sehr viel kleinere Korrekturen können mit der allgemeinen Relativitätstheorie berechnet werden. Die Aufstellung der Keplerschen Gesetze stellte bei der Überwindung der mittelalterlichen hin zur neuzeitlichen Wissenschaft einen wesentlichen Schritt dar. Sie sind bis heute von grundlegender Bedeutung in der Astronomie.

Erstes Keplersches Gesetz  –  Umlaufbahn des Massepunktes m um das Schwerezentrum M. Der zweite geometrische Brennpunkt der elliptischen Flugbahn ist als roter Punkt dargestellt.

Zwei Körper kreisen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt –hier auf Kreisbahnen als Spezialform der Ellipse

Zweites Keplersches Gesetz  –  Elliptische Flugbahn (blau) eines Himmelskörpers um zwei Brennpunkte (schwarz) mit Schwerezentrum im linken Brennpunkt. Die beispielhaft ausgewählten blauen Flächen werden vom Fahrstrahl des Himmelskörpers in der gleichen Zeitdauer überstrichen und sind gleich groß.

Die drei **Keplerschen Gesetze** sind die fundamentalen GesetzmÃ¤Ãigkeiten des Umlaufs der Planeten um die Sonne. Johannes Kepler fand die Gesetze Anfang des 17.Â Jahrhunderts, als er das (fast) heliozentrische System nach Kopernikus an die genauen astronomischen Beobachtungen von Tycho Brahe anzupassen versuchte und dabei die Sonne als mathematischen Bezugspunkt wÃ¤hlte. Ende des 17.Â Jahrhunderts konnte Isaac Newton die Keplerschen Gesetze in der von ihm begrÃ¼ndeten klassischen Mechanik als exakte LÃ¶sung des ZweikÃ¶rperproblems herleiten, wenn zwischen den beiden KÃ¶rpern eine Anziehungskraft herrscht, die mit dem Quadrat des Abstands abnimmt.

Die Keplerschen Gesetze lauten:

Erstes Keplersches GesetzDie Bahn eines jeden Planeten ist eine Ellipse, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
Zweites Keplersches GesetzDie Geschwindigkeit der Planeten auf ihrer Bahn variiert so, dass ein von der Sonne zum Planeten gezogener Fahrstrahl in gleichen Zeiten gleich groÃe FlÃ¤chen Ã¼berstreicht.
Drittes Keplersches GesetzDie Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich zueinander wie die Kuben (die dritten Potenzen) der groÃen Halbachsen ihrer Bahnellipsen.
Die Keplerschen Gesetze gelten fÃ¼r die Planeten im Sonnensystem in guter NÃ¤herung. Die wahren Positionen am Himmel weichen meist weniger als eine Winkelminute (ca. 1/30 Vollmonddurchmesser) von den berechneten ab. Die Abweichungen werden als BahnstÃ¶rungen bezeichnet und beruhen vor allem darauf, dass die Planeten nicht nur durch die Sonne angezogen werden, sondern sich auch untereinander anziehen. Weitere sehr viel kleinere Korrekturen kÃ¶nnen mit der allgemeinen RelativitÃ¤tstheorie berechnet werden.

Die Aufstellung der Keplerschen Gesetze stellte bei der Ãberwindung der mittelalterlichen hin zur neuzeitlichen Wissenschaft einen wesentlichen Schritt dar. Sie sind bis heute von grundlegender Bedeutung in der Astronomie.

Geschichte
----------

### Keplers Ausgangspunkt

Kepler war Ã¼berzeugt vom heliozentrischen System von Kopernikus (1543), weil es konzeptionell einfacher war und mit weniger angenommenen Kreisen und Parametern auskam als das geozentrische System von PtolemÃ¤us, das seit ca. 150 n.Â Chr. vorherrschte. Das kopernikanische System ermÃ¶glichte zudem weitergehende Fragestellungen, denn erstmals wurde hier, ohne weitere Hypothesen zu bemÃ¼hen, die GrÃ¶Ãe aller Planetenbahnen im VerhÃ¤ltnis zur GrÃ¶Ãe der Erdbahn eindeutig festgelegt. FÃ¼r diese von Kopernikus gefundenen GrÃ¶ÃenverhÃ¤ltnisse suchte Kepler sein Leben lang nach einer tieferen ErklÃ¤rung. Weiter war damals klar geworden, dass die Planeten nicht von festen rotierenden KristallsphÃ¤ren entlang ihrer Deferenten und Epizykel bewegt werden konnten, denn nach den Beobachtungen von Tycho Brahe am Kometen von 1577 hÃ¤tte dieser mehrere solcher Schalen durchschlagen mÃ¼ssen. Offenbar fanden Kometen und Planeten selbststÃ¤ndig ihren Weg durch den Raum. Auch ihre Geschwindigkeiten, die sich aus der GrÃ¶Ãe ihrer Bahn und ihrer Umlaufzeit ermitteln lieÃen, standen zu den philosophisch begrÃ¼ndeten Annahmen im ptolemÃ¤ischen System im Gegensatz. Dass die Geschwindigkeiten lÃ¤ngs der Bahn nicht konstant blieben, war zwar altbekannt, verlangte aber nun ebenso wie die Form der Bahnen nach einer neuen ErklÃ¤rung. All dies bewog Kepler, in der Astronomie den entscheidenden Schritt zu machen, fÃ¼r die Planetenbewegung "physikalische" Ursachen anzunehmen, also solche, die sich schon beim Studium irdischer Bewegungen zeigten. Damit widersprach er der bis dahin sakrosankten aristotelischen Lehre, nach der es zwischen Himmel und Erde einen prinzipiellen Gegensatz gebe, und leistete einen bedeutenden Beitrag zur kopernikanischen Wende.

Um dies genauer zu erforschen, war zuerst eine Bestimmung der tatsÃ¤chlichen Planetenbahnen notwendig. DafÃ¼r standen Kepler die Daten aus Tychos jahrzehntelangen Himmelsbeobachtungen zur VerfÃ¼gung, die nicht nur wesentlich genauer waren (Unsicherheit maximal ca. zwei Winkelminuten) als die immer noch benutzten Daten aus der Antike, sondern sich zum ersten Mal auch Ã¼ber groÃe Teile der Planetenbahnen erstreckten. Bei der Auswertung dieser Daten folgte Kepler konsequent der neuartigen Leitidee, dass die physikalische Ursache der Planetenbewegungen in der Sonne liegt und nicht in dem fiktiven Punkt namens "mittlere Sonne", der von PtolemÃ¤us eingefÃ¼hrt und von Kopernikus in den ansonsten leeren Mittelpunkt desjenigen Kreises gesetzt worden war, den er der Erde zugewiesen hatte. Dabei stellte Kepler sich vor, die wirkliche Sonne wirke auf die Planeten wie ein Magnet, und fÃ¼hrte dieses Bild auch detailliert aus.

Bei seiner Arbeit betrat Kepler auch in einer zweiten Hinsicht Neuland. Zum Ausgangspunkt der Analyse der Bahnen nahm er, anders als alle frÃ¼heren Astronomen, nicht die von den Philosophen seit Platon und Aristoteles vorgeschriebene gleichfÃ¶rmige Kreisbewegung, der dann weitere gleichfÃ¶rmige Kreisbewegungen hinzugefÃ¼gt wurden (Epizykeltheorie), um die Abweichungen von den am Himmel beobachteten Planetenpositionen zu verringern. Vielmehr versuchte er, aus den Himmelsbeobachtungen die tatsÃ¤chlichen Bahnen und die verÃ¤nderliche Geschwindigkeit, mit der die Planeten auf ihnen laufen, zunÃ¤chst direkt zu rekonstruieren.

Zum Dritten betrat Kepler auch in der Art der Darstellung seiner Arbeit Neuland. Ãblich war bei Astronomen bis dahin, dass sie ihr System erst im fertig ausgearbeiteten Zustand verÃ¶ffentlichten. Sie erklÃ¤rten, wie es StÃ¼ck fÃ¼r StÃ¼ck aufzubauen sei, indem sie fÃ¼r jede der nÃ¶tigen Einzelannahmen philosophische oder theologische BegrÃ¼ndungen anfÃ¼hrten. Kepler hingegen beschrieb Schritt fÃ¼r Schritt den tatsÃ¤chlichen Fortgang seiner jahrelangen Arbeit, einschlieÃlich seiner zwischenzeitlichen FehlschlÃ¤ge aufgrund von untauglichen AnsÃ¤tzen (wie etwa eine ovale Form der Bahn). Im Jahr 1609 verÃ¶ffentlichte er den ersten Teil seiner Ergebnisse mit dem bezeichnenden Titel *Astronomia Nova* mit dem Zusatz "Neue Astronomie, ursÃ¤chlich begrÃ¼ndet, oder Physik des Himmels, [â¦] nach Beobachtungen des Edelmanns Tycho Brahe". Das Werk gipfelt in den beiden ersten Keplerschen Gesetzen, die fÃ¼r jede Planetenbahn einzeln gelten. Keplers tiefere ErklÃ¤rung des gesamten Systems und der Beziehungen der Planetenbahnen untereinander erschien 1619 unter dem Titel *Harmonices mundi* ("Harmonien der Welt"). Darin findet sich â eher beilÃ¤ufig â ein Satz, der die Bahnen verschiedener Planeten aufeinander bezieht und spÃ¤ter als das dritte Keplersche Gesetz bekannt wurde.

### Keplers Vorgehensweise

Keplers erstes Ergebnis bei der Arbeit war, dass weder das ptolemÃ¤ische noch das kopernikanische System die Planetenpositionen hinreichend genau wiedergeben konnte, auch nicht nach Verbesserung einzelner Parameter, z.Â B. der ExzentrizitÃ¤ten. Er benutzte diese Modelle aber weiter als NÃ¤herung, um aus Tychos Beobachtungen diejenigen auszuwÃ¤hlen, die fÃ¼r genauere Charakterisierung der Bahnen am geeignetsten wÃ¤ren. So fand er, dass die exzentrischen Bahnen von Mars und Erde gegenÃ¼ber den Fixsternen (mit hinreichender Genauigkeit) fest bleiben, dass jede in einer Ebene verlÃ¤uft, in der auch die Sonne steht, und dass die beiden Bahnebenen leicht gegeneinander geneigt sind.

So konnte Kepler annehmen, dass der Mars, obwohl seine genaue Bahn noch unbekannt war, nach jedem seiner UmlÃ¤ufe um die Sonne wieder die gleiche Position im Weltraum einnimmt, auch wenn er von der Erde aus gesehen an verschiedenen Himmelspositionen erscheint, weil dann die Erde jedes Mal an einer anderen Stelle ihrer Bahn steht. Daraus bestimmte er zunÃ¤chst mit ca. vierstelliger Genauigkeit die Erdbahn. Auf dieser Basis wertete er die Ã¼brigen Beobachtungen des Mars aus, bei dem die Abweichungen von einer Kreisbahn deutlicher sind als bei der Erde. Als er nach vielen FehlschlÃ¤gen und langem Probieren den Maximalfehler bei der Position des Mars am Himmel nicht unter acht Winkelminuten (etwa 1/4 Vollmonddurchmesser) drÃ¼cken konnte, nahm er einen weiteren Anlauf und fand âÂ halbwegs zufÃ¤lligÂ â, dass die Marsbahn am besten durch eine Ellipse wiederzugeben ist, wobei die Sonne in einem ihrer Brennpunkte steht. Dieses Ergebnis bestÃ¤tigte sich auch bei der Erdbahn, und es passte auch zu allen anderen von Tycho beobachteten Planeten. Kepler war bekannt, dass auch eine ellipsenfÃ¶rmige Bahn exakt aus zwei Kreisbewegungen zusammengesetzt werden kann, er beachtete diese MÃ¶glichkeit aber nicht weiter. Zur genauen Darstellung der Bewegung mÃ¼ssten diese Kreisbewegungen nÃ¤mlich um ihre jeweiligen Mittelpunkte mit variabler Geschwindigkeit ablaufen, wofÃ¼r kein physikalischer Grund ersichtlich sei:

>
> "Kepler did not make use of the epicyclic generation of the ellipse because *it does not agree with the natural causes which produce the ellipse [â¦].*"
>
>
>

Bei der anschlieÃenden Suche nach dem Gesetz Ã¼ber den gesamten Aufbau des Sonnensystems, die wiederum etwa ein Jahrzehnt dauerte, verfolgte Kepler die Idee einer dem SchÃ¶pfungsplan zugrunde liegenden Harmonie, die sich âÂ wie im Fall der Harmonie in der MusikÂ â in einfachen Zahlenbeziehungen auffinden lassen mÃ¼sste. Sein Ergebnis publizierte er 1619 als Harmonice mundi ('Harmonien der Welt'). FÃ¼r die spÃ¤tere Astronomie ist darin von bleibendem Wert nur die kurze Mitteilung (im 5.Â Buch des Werks), nach der die Quadrate der Umlaufzeiten aller Planeten im selben VerhÃ¤ltnis stehen wie (in modernen Worten) die dritten Potenzen der groÃen Halbachsen ihrer Bahnellipsen.

Kepler suchte auch nach einer physikalischen ErklÃ¤rung, wie die Sonne auf die Planeten einwirken kÃ¶nne, um die beobachteten Bewegungen zu verursachen. Seine Ãberlegungen zu einer magnetischen Fernwirkung oder einer den Planeten innewohnenden *Anima motrix* blieben aber fruchtlos. SpÃ¤ter konnte Isaac Newton nachweisen, dass die drei Keplerschen Gesetze die exakte LÃ¶sung der Bewegung eines KÃ¶rpers unter der Einwirkung einer Kraft nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz wiedergeben. Dies gilt als ein bedeutender Schritt bei der Entwicklung der klassischen Mechanik und der modernen Naturwissenschaft insgesamt.

### Entwicklung des Geltungsbereichs

Kepler formulierte die Gesetze fÃ¼r die Planeten, die ihm bekannt waren. Nach dem kosmologischen Prinzip sind sie aber *Ã¼berall* im Universum gÃ¼ltig. Das heliozentrische Sonnensystem ist der weitaus bedeutendste Anwendungsfall, daher werden die Keplerschen Gesetze in der Literatur hÃ¤ufig nur eingeschrÃ¤nkt fÃ¼r Planeten formuliert. Sie gelten aber ebenso auch fÃ¼r Monde, den AsteroidengÃ¼rtel und die Oortsche Wolke, oder die Ringe des Jupiter und Saturn, fÃ¼r Sternhaufen wie auch fÃ¼r Objekte auf der Umlaufbahn um das Zentrum einer Galaxie, und fÃ¼r alle anderen Objekte im Weltall. AuÃerdem bilden sie die Basis der Raumfahrt und erklÃ¤ren die Bahnen der Satelliten.

In kosmischem MaÃstab beginnen sich aber relativistische Effekte auszuwirken, und die Differenzen zum Keplermodell dienen primÃ¤r als PrÃ¼fkriterium fÃ¼r die entsprechenden moderneren Konzepte Ã¼ber Astrophysik. Die Formungsmechanismen in Spiralgalaxien etwa lassen sich mit einem rein auf den Keplerschen Gesetzen beruhenden Modell nicht mehr stimmig nachvollziehen.

Herleitung und moderne Darstellung
----------------------------------

Kepler suchte nach Gesetzen, mit denen die beobachteten Planetenbewegungen zu beschreiben sind. Die Gesetze, die er fand, sind daher empirisch. Newton fand 70 Jahre spÃ¤ter das nach ihm benannte Gravitationsgesetz, aus dem er diese Gesetze theoretisch herleiten konnte. Demnach gelten die Keplerschen Gesetze ebenso fÃ¼r alle zentralsymmetrischen Kraftfelder, bei denen die Kraft mit wachsendem Abstand der beiden KÃ¶rper proportional zum Quadrat des Abstandes abnimmt, also insbesondere auch fÃ¼r die elektrostatische Coulombkraft.

In stark abgekÃ¼rzter Weise kann heute die Herleitung der Keplerschen Gesetze aus der Newtonschen Theorie der Bewegung so dargestellt werden:

* Das erste Gesetz folgt aus der Clairautschen Gleichung, die eine vollstÃ¤ndige LÃ¶sung einer Bewegung in rotationssymmetrischen Kraftfeldern beschreibt.
* Das zweite Gesetz ist eine geometrische Deutung der Drehimpulserhaltung.
* Das dritte Gesetz folgt aus der Keplergleichung mittels Integration aus dem zweiten, alternativ folgt es mittels des *Hodographen* direkt aus den Newtonschen Gesetzen. Zudem folgt es nach dem Prinzip der mechanischen Ãhnlichkeit direkt aus dem invers-quadratischen Zusammenhang zwischen der Gravitationskraft und dem Abstand.

### Erstes Keplersches Gesetz (Ellipsensatz)

*Die Umlaufbahn eines Trabanten um einen Stern ist eine raumfeste, ebene Ellipse, die einen ihrer Brennpunkte am Ort des Sterns hat.*
Dieses Gesetz ergibt sich aus Newtons Gravitationsgesetz.

Die Energie eines Trabanten mit Masse

m

{\displaystyle m}
m im Newtonschen Gravitationsfeld der Sonne mit Masse

M

{\displaystyle M}
M ist in Kugelkoordinaten mit der Sonne bei

r
=
0

{\displaystyle r=0}
r=0

E
=
E

k
i
n

+
E

p
o
t

=

1
2

m
(

r
Ë

2

+
r
2

Ï
Ë

2

)
â

G
M
m
r

.

{\displaystyle E=E\_{\mathrm {kin} }+E\_{\mathrm {pot} }={rac {1}{2}}m({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2})-{rac {GMm}{r}}.}
E=E_{{\mathrm  {kin}}}+E_{{\mathrm  {pot}}}={rac  {1}{2}}m({\dot  r}^{2}+r^{2}{\dot  \phi }^{2})-{rac  {GMm}{r}}.
Mit Hilfe des Drehimpulses

L
=
m
r
2

d
Ï
/
d
t

{\displaystyle L=mr^{2}d\phi /dt}
L=mr^{2}d\phi /dt und

d
r

d
t

=

d
r

d
Ï

d
Ï

d
t

Â
â
Â

r
Ë

=

d
r

d
Ï

Ï
Ë

{\displaystyle {rac {dr}{dt}}={rac {dr}{d\phi }}{rac {d\phi }{dt}}\ \Rightarrow \ {\dot {r}}={rac {dr}{d\phi }}{\dot {\phi }}}
{rac  {dr}{dt}}={rac  {dr}{d\phi }}{rac  {d\phi }{dt}}\ \Rightarrow \ {\dot  r}={rac  {dr}{d\phi }}{\dot  \phi }
lÃ¤sst sich die Energiegleichung zu

(

d
r

d
Ï

)

2

=
2
m

r
4

L
2

[
E
+

G
M
m
r

â

L
2

2
m
r
2

]

{\displaystyle \left({rac {dr}{d\phi }}
ight)^{2}=2m{rac {r^{4}}{L^{2}}}\left[E+{rac {GMm}{r}}-{rac {L^{2}}{2mr^{2}}}
ight]}
\left({rac  {dr}{d\phi }}
ight)^{2}=2m{rac  {r^{4}}{L^{2}}}\left[E+{rac  {GMm}{r}}-{rac  {L^{2}}{2mr^{2}}}
ight]
umformen.
Diese Differentialgleichung wird mit dem Ansatz

r
(
Ï
)
=

p
1
+
Îµ
â
cos
â¡
Ï

{\displaystyle r(\phi )={rac {p}{1+arepsilon \cdot \cos \phi }}}
r(\phi )={rac  {p}{1+arepsilon \cdot \cos \phi }}
gelÃ¶st, der die allgemeine Formel eines Kegelschnitts mit Parameter

p

{\displaystyle p}
p und numerischer ExzentrizitÃ¤t

Îµ

{\displaystyle arepsilon }
arepsilon  darstellt. Dazu wird die Ableitung

d
r

d
Ï

=

p
Îµ
â
sin
â¡
Ï

(
1
+
Îµ
â
cos
â¡
Ï
)
2

=

r
2

Îµ
â
sin
â¡
Ï
p

{\displaystyle {rac {dr}{d\phi }}={rac {parepsilon \cdot \sin \phi }{(1+arepsilon \cdot \cos \phi )^{2}}}={rac {r^{2}arepsilon \cdot \sin \phi }{p}}}
{\displaystyle {rac {dr}{d\phi }}={rac {parepsilon \cdot \sin \phi }{(1+arepsilon \cdot \cos \phi )^{2}}}={rac {r^{2}arepsilon \cdot \sin \phi }{p}}}
quadriert und daraus

Ï

{\displaystyle \phi }
\phi  eliminiert, was erneutes durch Einsetzen des umgestellten Ansatzes

Îµ
â
cos
â¡
Ï
=

p
r

â
1

{\displaystyle arepsilon \cdot \cos \phi ={rac {p}{r}}-1}
arepsilon \cdot \cos \phi ={rac  {p}{r}}-1
gelingt. Es folgt

(

d
r

d
Ï

)

2

=

r
4

Îµ
2

(
1
â
cos
2

â¡
Ï
)

p
2

=

r
4

p
2

(

Îµ
2

â

(

p
r

â
1
)

2

)
=

r
4

p
2

(

Îµ
2

â
1
+

2
p
r

â

p
2

r
2

)

{\displaystyle \left({rac {dr}{d\phi }}
ight)^{2}={rac {r^{4}arepsilon ^{2}(1-\cos ^{2}\phi )}{p^{2}}}={rac {r^{4}}{p^{2}}}\left(arepsilon ^{2}-\left({rac {p}{r}}-1
ight)^{2}
ight)={rac {r^{4}}{p^{2}}}\left(arepsilon ^{2}-1+{rac {2p}{r}}-{rac {p^{2}}{r^{2}}}
ight)}
{\displaystyle \left({rac {dr}{d\phi }}
ight)^{2}={rac {r^{4}arepsilon ^{2}(1-\cos ^{2}\phi )}{p^{2}}}={rac {r^{4}}{p^{2}}}\left(arepsilon ^{2}-\left({rac {p}{r}}-1
ight)^{2}
ight)={rac {r^{4}}{p^{2}}}\left(arepsilon ^{2}-1+{rac {2p}{r}}-{rac {p^{2}}{r^{2}}}
ight)}
Daher ist die Energiegleichung erfÃ¼llt, wenn die beiden Parameter wie folgt festgelegt werden:

p
=

(

L
m

)
2

G
M

Â undÂ
Îµ
=

1
+

2

E
m

(

L
m

)
2

G
2

M
2

{\displaystyle p={rac {({rac {L}{m}})^{2}}{GM}}{	ext{ und }}arepsilon ={\sqrt {1+{rac {2{rac {E}{m}}({rac {L}{m}})^{2}}{G^{2}M^{2}}}}}}
p={rac  {({rac  {L}{m}})^{2}}{GM}}{	ext{   und   }}arepsilon ={\sqrt  {1+{rac  {2{rac  {E}{m}}({rac  {L}{m}})^{2}}{G^{2}M^{2}}}}}
Der Parameter

p

{\displaystyle p}
p und die numerische ExzentrizitÃ¤t

Îµ

{\displaystyle arepsilon }
arepsilon  sind die Gestaltelemente der Bahn. FÃ¼r den Fall

E
<
0

{\displaystyle E<0}
E < 0, also

0
<
Îµ
<
1

{\displaystyle 0<arepsilon <1}
0 < arepsilon < 1 gilt:
Der durch

r
(
Ï
)

{\displaystyle r(\phi )}
{\displaystyle r(\phi )} beschriebene Kegelschnitt ist eine Ellipse mit einem Brennpunkt bei

r
=
0

{\displaystyle r=0}
r=0. Damit ist das erste Keplersche Gesetz hergeleitet. Die Ellipse besitzt folgende Eigenschaften:

Beschreibung der Ellipse| GroÃe Halbachse |

a
=

p
1
â
Îµ
2

{\displaystyle a={rac {p}{1-arepsilon ^{2}}}}
{\displaystyle a={rac {p}{1-arepsilon ^{2}}}} |
| Kleine Halbachse |

b
=

p
1
â
Îµ
2

{\displaystyle b={rac {p}{\sqrt {1-arepsilon ^{2}}}}}
{\displaystyle b={rac {p}{\sqrt {1-arepsilon ^{2}}}}} |
| Brennpunkte (in (x,y)-Koordinaten) |

F
1

=
(
0
,
0
)

{\displaystyle F\_{1}=(0,0)}
F_{1}=(0,0)

F
2

=
(
â

2
Îµ
p

1
â
Îµ
2

,
0
)

{\displaystyle F\_{2}=\left(-{rac {2arepsilon p}{1-arepsilon ^{2}}},0
ight)}
{\displaystyle F_{2}=\left(-{rac {2arepsilon p}{1-arepsilon ^{2}}},0
ight)} |
| r minimal (Perizentrum) |

P
=
(

p
1
+
Îµ

,
0
)

{\displaystyle P=\left({rac {p}{1+arepsilon }},0
ight)}
{\displaystyle P=\left({rac {p}{1+arepsilon }},0
ight)} |
| r maximal (Apozentrum) |

A
=
(
â

p
1
â
Îµ

,
0
)

{\displaystyle A=\left(-{rac {p}{1-arepsilon }},0
ight)}
{\displaystyle A=\left(-{rac {p}{1-arepsilon }},0
ight)} |

In dieser Herleitung wurde zur Vereinfachung das Kraftzentrum â die Sonne â als ruhend angenommen. FÃ¼r die genaue Herleitung aus der Newtonschen Mechanik mÃ¼ssen Trabant und Sonne als ZweikÃ¶rpersystem behandelt werden. Bei ruhendem Massenmittelpunkt bewegen sich dann beide KÃ¶rper. Aus dieser exakten Behandlung ergibt sich fÃ¼r die Bewegung der KÃ¶rper relativ zueinander die gleiche LÃ¶sung wie oben, es muss nur die Masse

m

{\displaystyle m}
m des Trabanten durch die reduzierte Masse

m
/
(
1
+
m
/
M
)

{\displaystyle m/(1+m/M)}
{\displaystyle m/(1+m/M)} ersetzt werden. Es spielt auch keine Rolle, ob die Bahn vom Massenmittelpunkt, dem Baryzentrum, aus beschrieben wird statt von der Sonne aus. Nur die Bahnellipse schrumpft um denselben Faktor

1
/
(
1
+
m
/
M
)

{\displaystyle 1/(1+m/M)}
{\displaystyle 1/(1+m/M)}, der sich beim Erde-Sonne-System nur um 10â6 von 1 unterscheidet.

Ferner ist die obige Rechnung fÃ¼r eine anziehende Kraft formuliert worden. FÃ¼r eine abstoÃende Kraft wie z.Â B. zwischen zwei gleichnamigen elektrischen Ladungen muss nur das Vorzeichen von

M

{\displaystyle M}
M bzw.

p

{\displaystyle p}
p umgedreht werden.

### Zweites Keplersches Gesetz (FlÃ¤chensatz)

*In gleichen Zeiten Ã¼berstreicht der Fahrstrahl gleiche FlÃ¤chen.*
Unter dem *Fahrstrahl* versteht man die Verbindungslinie zwischen dem Schwerpunkt eines HimmelskÃ¶rpers, z.Â B. eines Planeten oder Mondes, und dem Gravizentrum, z.Â B. in erster NÃ¤herung der Sonne respektive des Planeten, um das er sich bewegt.

Eine einfache Herleitung ergibt sich, wenn man die FlÃ¤chen betrachtet, die der Fahrstrahl in kleinen Zeitabschnitten zurÃ¼cklegt und die Kraft als momentanen KraftstoÃ nur jeweils am Ende eines Abschnitts einwirken lÃ¤sst. LÃ¤sst man die Zeitschritte infinitesimal kleiner werden, so erhÃ¤lt man die Bahnbewegung bei kontinuierlich einwirkender Kraft. In der Graphik rechts sei *Z* das Kraftzentrum. Der Trabant bewegt sich im Zeitabschnitt

Î
t

{\displaystyle \Delta t}
\Delta t zunÃ¤chst von *A* nach *B.* WÃ¼rde sich seine Geschwindigkeit nicht Ã¤ndern, so wÃ¼rde er sich im nÃ¤chsten Zeitschritt

Î
t

{\displaystyle \Delta t}
\Delta t von *B* nach *C* bewegen. Da die beiden Dreiecke *ZAB* und *ZBC* die Seite *ZB* gemeinsam haben und zu dieser Seite auch eine gleich groÃe HÃ¶he (Projektion von *AB* bzw. *BC* auf die Normale zu *ZB*), beinhalten sie auch die gleiche FlÃ¤che. Wirkt nun im Punkt *B* eine Kraft in Richtung *Z,* so wird die Geschwindigkeit

v

{\displaystyle v}
v um ein

Î
v

{\displaystyle \Delta v}
\Delta v abgelenkt, das parallel zur Strecke *ZB* ist. Statt bei *C* landet der Trabant also bei *C'.* Da auch die beiden Dreiecke *ZBC* und *ZBC'* dieselbe Basis und die gleiche HÃ¶he haben, ist auch ihre FlÃ¤che gleich. Damit gilt der FlÃ¤chensatz fÃ¼r die beiden kleinen Zeitabschnitte der LÃ¤nge

Î
t

{\displaystyle \Delta t}
\Delta t, und nach dem GrenzÃ¼bergang

Î
t
â
0

{\displaystyle \Delta t
ightarrow 0}
{\displaystyle \Delta t
ightarrow 0} auch fÃ¼r die gekrÃ¼mmte Bahnkurve.

Eine formelmÃ¤Ãige Herleitung geht von der in einem infinitesimalen Zeitschritt Ã¼berstrichenen FlÃ¤che

F

{\displaystyle F}
F aus:

F
(
t
,
t
+
d
t
)
=

1
2

|

r
(
t
)
Ã

r
Ë

(
t
)
d
t
|
=

L
2
m

d
t

{\displaystyle F(t,t+\mathrm {d} t)={rac {1}{2}}|\mathrm {r} (t)	imes \mathbf {\dot {r}} (t)\mathrm {d} t|={rac {L}{2m}}\mathrm {d} t}
{\displaystyle F(t,t+\mathrm {d} t)={rac {1}{2}}|\mathrm {r} (t)	imes \mathbf {\dot {r}} (t)\mathrm {d} t|={rac {L}{2m}}\mathrm {d} t}.
Da fÃ¼r eine Zentralkraft der Drehimpuls wegen

L
Ë

=
m
(

r
Ë

Ã

r
Ë

+
r
Ã

r
Â¨

)
=
m
r
Ã

r
Â¨

=
m
r
Ã
f
(
r
)
r
=
0

{\displaystyle \mathbf {\dot {L}} =m(\mathbf {\dot {r}} 	imes \mathbf {\dot {r}} +\mathbf {r} 	imes \mathbf {\ddot {r}} )=m\mathbf {r} 	imes \mathbf {\ddot {r}} =m\mathbf {r} 	imes f(r)\mathbf {r} =\mathbf {0} }
{\displaystyle \mathbf {\dot {L}} =m(\mathbf {\dot {r}} 	imes \mathbf {\dot {r}} +\mathbf {r} 	imes \mathbf {\ddot {r}} )=m\mathbf {r} 	imes \mathbf {\ddot {r}} =m\mathbf {r} 	imes f(r)\mathbf {r} =\mathbf {0} }
konstant ist, ist das FlÃ¤chenintegral somit gerade

F
(
t
0

,
t
1

)
=

1
2

â«

t
0

t
1

|

r
(
t
)
Ã

r
Ë

(
t
)
|

d
t
=

1
2

L
m

â«

t
0

t
1

d
t
=

L
2
m

(
t
1

â
t
0

)

{\displaystyle F(t\_{0},t\_{1})={rac {1}{2}}\int \_{t\_{0}}^{t\_{1}}|\mathbf {r} (t)	imes \mathbf {\dot {r}} (t)|\,\mathrm {d} t={rac {1}{2}}{rac {L}{m}}\int \_{t\_{0}}^{t\_{1}}\mathrm {d} t={rac {L}{2m}}\,(t\_{1}-t\_{0})}
{\displaystyle F(t_{0},t_{1})={rac {1}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}|\mathbf {r} (t)	imes \mathbf {\dot {r}} (t)|\,\mathrm {d} t={rac {1}{2}}{rac {L}{m}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathrm {d} t={rac {L}{2m}}\,(t_{1}-t_{0})}.
FÃ¼r gleiche Zeitdifferenzen

t
1

â
t
0

{\displaystyle t\_{1}-t\_{0}}
{\displaystyle t_{1}-t_{0}} ist also die Ã¼berstrichene FlÃ¤che gleich groÃ.

Das zweite Keplersche Gesetz definiert also sowohl die geometrische Grundlage einer astrometrischen Bahn (als Bahn in einer Ebene) als auch deren Bahndynamik (das zeitliche Verhalten). Kepler formulierte das Gesetz nur fÃ¼r den Umlauf der Planeten um die Sonne, es gilt aber auch auf nicht geschlossenen Bahnen. Das zweite Keplersche Gesetz ist im Gegensatz zu den anderen beiden Gesetzen nicht auf die

1
/

r
2

{\displaystyle 1/r^{2}}
1/r^{2}-Kraft der Gravitation beschrÃ¤nkt (tatsÃ¤chlich ging Kepler mit seiner Anima motrix auch von einer

1
/
r

{\displaystyle 1/r}
1/r-Kraft aus), sondern gilt allgemein fÃ¼r alle ZentralkrÃ¤fte und Bewegungen mit konstantem Drehimpuls. Kepler war lediglich an einer Beschreibung der Planetenbahnen interessiert, doch ist das zweite Gesetz bereits die erste Formulierung des Gesetzes, das wir heute als Drehimpulserhaltung kennen. Das zweite Keplersche Gesetz kann als spezielle Formulierung des Drehimpulssatzes gesehen werden (siehe auch Drallsatz #FlÃ¤chensatz).

Das zweite Keplersche Gesetz hat zwei grundlegende Konsequenzen auch fÃ¼r die BewegungsverhÃ¤ltnisse in MehrkÃ¶rpersystemen, sowohl fÃ¼r Sonnensysteme als auch fÃ¼r die Raumfahrt: Die *Konstanz des Bahnnormalenvektors* besagt, dass elementare Himmelsmechanik ein ebenes Problem ist. TatsÃ¤chlich ergeben sich auch hier Abweichungen durch die Volumina der HimmelskÃ¶rper, sodass Masse auÃerhalb der Bahnebene liegt, und die Bahnebenen prÃ¤zedieren (ihre Lage im Raum verÃ¤ndern). Daher liegen die Bahnen der Planeten nicht alle in einer Ebene (der idealen Sonnensystemebene, der Ekliptik), sie zeigen vielmehr eine Inklination und auch Periheldrehung, zudem schwankt auch die ekliptikale Breite der Sonne. Umgekehrt ist es verhÃ¤ltnismÃ¤Ãig leicht, einen RaumflugkÃ¶rper in der Sonnensystemebene zu bewegen, aber enorm aufwÃ¤ndig, etwa eine Sonde Ã¼ber dem Nordpol der Sonne zu platzieren.

Die *Konstanz der FlÃ¤chengeschwindigkeit* besagt, dass von einer gedachten Verbindungslinie zwischen dem ZentralkÃ¶rper, genauer dem Schwerpunkt der beiden HimmelskÃ¶rper, und einem Trabanten in gleichen Zeiten stets die gleiche FlÃ¤che Ã¼berstrichen wird. Ein KÃ¶rper bewegt sich also schneller, wenn er sich nahe an seinem Schwerezentrum befindet und umso langsamer, je weiter er davon entfernt ist. Dies gilt beispielsweise fÃ¼r den Lauf der Erde um die Sonne wie auch fÃ¼r den Lauf des Mondes oder eines Satelliten um die Erde. Eine Bahn stellt sich als dauerndes freies Fallen, nahes Vorbeischwingen um den Schwerpunkt, und Wiederaufsteigen zum fernsten Kulminationspunkt der Bahn dar: Der KÃ¶rper wird immer schneller, hat im Perizentrum (zentrumsnÃ¤chsten Punkt) die hÃ¶chste Geschwindigkeit und wird ab dann immer langsamer bis zum Apozentrum (zentrumsfernsten Punkt), von dem aus er wieder beschleunigt. So gesehen ist die Keplerellipse ein Spezialfall des schiefen Wurfs, der sich in seiner Bahn schlieÃt. Diese Ãberlegung spielt in der Raumfahrtphysik eine zentrale Rolle, wo es darum geht, mit einem passend gewÃ¤hlten Anfangsimpuls (durch den Start) eine geeignete Umlaufbahn zu erzeugen: Je kreisÃ¤hnlicher die Bahn, desto gleichmÃ¤Ãiger die Umlaufgeschwindigkeit.

### Drittes Keplersches Gesetz

*Die Quadrate der Umlaufzeiten

T
1

{\displaystyle T\_{1}}
T_{1} und

T
2

{\displaystyle T\_{2}}
T_{2} je zweier Trabanten um ein gemeinsames Zentrum sind proportional zu den dritten Potenzen der groÃen Halbachsen

a
1

{\displaystyle a\_{1}}
a_{1} und

a
2

{\displaystyle a\_{2}}
a_2 ihrer Ellipsenbahnen.*
oder

*Die Quadrate der Umlaufzeiten stehen im gleichen VerhÃ¤ltnis wie die Kuben (dritten Potenzen) der groÃen Halbachsen:*

(

T
1

T
2

)

2

=

(

a
1

a
2

)

3

{\displaystyle \left({rac {T\_{1}}{T\_{2}}}
ight)^{2}=\left({rac {a\_{1}}{a\_{2}}}
ight)^{3}}
\left({rac  {T_{1}}{T_{2}}}
ight)^{2}=\left({rac  {a_{1}}{a_{2}}}
ight)^{3} â¦ *drittes Keplersches Gesetz*
Kepler verwendete fÃ¼r die halben Bahnachsen

a
1
,
2

{\displaystyle a\_{1,2}}
a_{{1,2}} die *mittleren Entfernungen von der Sonne* (im Sinne des Mittels von Periheldistanz und Apheldistanz).

C
=

T
2

a
3

{\displaystyle C={rac {T^{2}}{a^{3}}}}
C={rac  {T^{2}}{a^{3}}} â¦ *drittes Keplersches Gesetz,* massenunabhÃ¤ngige Formulierung mit Kepler-Konstante der Zentralmasse (GauÃsche Gravitationskonstante des Sonnensystems)
In Kombination mit dem Gravitationsgesetz erhÃ¤lt das dritte Keplersche Gesetz fÃ¼r die Bewegung zweier Massen

M

{\displaystyle M}
M und

m

{\displaystyle m}
m die Form

T
2

=

4
Ï
2

G
(
M
+
m
)

â
a
3

â

4
Ï
2

G
M

â
a
3

{\displaystyle T^{2}={rac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}\cdot a^{3}pprox {rac {4\pi ^{2}}{GM}}\cdot a^{3}}
T^{2}={rac  {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}\cdot a^{3}pprox {rac  {4\pi ^{2}}{GM}}\cdot a^{3} â¦ *drittes Keplersches Gesetz,* Formulierung mit zwei Massen
Dabei gilt die NÃ¤herung, wenn die Masse

m

{\displaystyle m}
m vernachlÃ¤ssigbar klein im Vergleich zu

M

{\displaystyle M}
M ist (etwa im Sonnensystem). Durch diese Form kann man etwa die Gesamtmasse von Doppelsternsystemen aus der Messung der Umlaufdauer und des Abstandes bestimmen.

BerÃ¼cksichtigt man die unterschiedlichen Massen zweier HimmelskÃ¶rper und obige Formel, so lautet eine exaktere Formulierung des dritten Keplerschen Gesetzes:

(

T
1

T
2

)

2

=

(

a
1

a
2

)

3

M
+
m
2

M
+
m
1

{\displaystyle \left({rac {T\_{1}}{T\_{2}}}
ight)^{2}=\left({rac {a\_{1}}{a\_{2}}}
ight)^{3}{rac {M+m\_{2}}{M+m\_{1}}}}
\left({rac  {T_{1}}{T_{2}}}
ight)^{2}=\left({rac  {a_{1}}{a_{2}}}
ight)^{3}{rac  {M+m_{2}}{M+m_{1}}} â¦ *drittes Keplersches Gesetz,* Formulierung mit drei Massen
Offensichtlich gewinnt die Abweichung nur dann an Bedeutung, wenn beide Trabanten sich stark in ihren Massen unterscheiden und das Zentralobjekt eine Masse

M

{\displaystyle M}
M hat, die von der eines der beiden Trabanten nicht stark abweicht.

Das dritte Keplersche Gesetz gilt dabei fÃ¼r alle KrÃ¤fte, die quadratisch mit dem Abstand abnehmen, wie man auch leicht aus der Skalenbetrachtung herleiten kann. In der Gleichung

m

d
2

r

(
d
t
)
2

=

G
M
m

r
2

{\displaystyle m{rac {d^{2}r}{(dt)^{2}}}={rac {GMm}{r^{2}}}}
m{rac  {d^{2}r}{(dt)^{2}}}={rac  {GMm}{r^{2}}}
taucht

r

{\displaystyle r}
r in der dritten Potenz und

t

{\displaystyle t}
t quadratisch auf. Unter einer Skalentransformation

r
â²
=
Î±
r
,
t
â²
=
Î²
t

{\displaystyle r'=lpha r,t'=eta t}
r'=lpha r,t'=eta t erhÃ¤lt man somit dieselbe Gleichung, wenn

Î±
3

=
Î²
2

{\displaystyle lpha ^{3}=eta ^{2}}
{\displaystyle lpha ^{3}=eta ^{2}} ist. Andererseits ist dadurch schnell erkennbar, dass das Analogon des dritten Keplerschen Gesetzes fÃ¼r geschlossene Bahnen in einem

1
/

r
k

{\displaystyle 1/r^{k}}
1/r^{k}-Kraftfeld fÃ¼r beliebiges

k

{\displaystyle k}
k gerade

(
a
1

/

a
2

)
k
+
1

=
(
T
1

/

T
2

)
2

{\displaystyle (a\_{1}/a\_{2})^{k+1}=(T\_{1}/T\_{2})^{2}}
(a_{1}/a_{2})^{{k+1}}=(T_{1}/T_{2})^{2} lautet.

Siehe auch
----------

* Hohmann-Transfer, die Verbindungsbahn zweier Keplerbahnen der Raumfahrt
* Spezifischer Drehimpuls, relativ einfache Herleitung der Keplerschen Gesetze ausgehend von der Drehimpulserhaltung

Literatur
---------

* Johannes Kepler: Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis. In: Max Caspar (Hrsg.): Gesammelte Werke. BandÂ 3. C.Â H. Beck, MÃ¼nchen 1938.
* Johannes Kepler: Harmonices Mundi libri V. In: Max Caspar (Hrsg.): Gesammelte Werke. BandÂ 6. C.Â H. Beck, MÃ¼nchen 1990, ISBN 3-406-01648-0.
* Andreas Guthmann: EinfÃ¼hrung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung. BI-Wiss.-Verlag, Mannheim 1994, ISBN 3-411-17051-4.

Weblinks
--------

**Commons: Keplersche Gesetze**Â â Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
* Walter Fendt: 1. Keplersches Gesetz, 2. Keplersches Gesetz (HTML5-Apps).
* Keplersche Gesetze (LEIFI).
* Joachim HoffmÃ¼ller: 2. Keplersches Gesetz (FlÃ¤chensatz): Beweis mit dynamischen ArbeitsblÃ¤ttern selbst nachvollziehen. Geometrisch-anschaulicher Beweis nach Newton, ohne hÃ¶here Mathematik (Java-Applet).
* Video: *Keplersche Gesetze der Planetenbewegungen*. Institut fÃ¼r den Wissenschaftlichen Film (IWF) 1978, zur VerfÃ¼gung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.3203/IWF/C-1286.

Einzelnachweise
---------------

1. â  Thomas S. Kuhn: *Die Kopernikanische Revolution.* Vieweg, Braunschweig 1980, ISBN 3-528-08433-2.
2. â  Carl B. Boyer: Note on Epicycles & the Ellipse from Copernicus to Lahire. In: Isis. BandÂ 38, 1947, S.Â 54â56.Â  Der hier kursiv zitierte Satz von Kepler ist dort als direkte Ãbersetzung wiedergegeben.
3. â  Arthur Koestler: Die Nachtwandler: Die Entstehungsgeschichte unserer Welterkenntnis. Suhrkamp, 1980.
4. â  Bruce Stephenson: Kepler's physical astronomy. Springer Science & Business Media Bd. 13, 2012.
5. â  Martin Holder: Die Kepler-Ellipse. universi, Siegen 2015 (online [PDF; abgerufen am 1.Â November 2017]).
6. â  Curtis Wilson: How Did Kepler Discover His First Two Laws? In: Scientific American. BandÂ 226, Nr.Â 3, 1972, S.Â 92â107, JSTOR:24927297.
7. â  Guthmann, Â§ II.2.37 *LÃ¶sung der Clairotschen Gleichung: Der Fall e<1.* S.Â 81Â f.
8. â  Guthmann, Â§ II.1 *Ein- und ZweikÃ¶rperproblem.* EinfÃ¼hrung, S.Â 64Â f. und 30. *Die Clairotsche Gleichung.* S.Â 71Â ff.
9. â  Guthmann, Â§ II.1.26 *Der FlÃ¤chensatz.* S.Â 66Â f.
10. â  Guthmann, Â§ II.5 *Bahndynamik des Keplerproblems.* S.Â 108Â ff.
11. â  David L. Goodstein, Judith R. Goodstein: *Feynmans verschollene Vorlesung: Die Bewegung der Planeten um die Sonne.* Piper Verlag GmbH, MÃ¼nchen 1998.
12. â  L. D. Landau und E. M. Lifshitz: Mechanics. 3. Auflage. Butterworth-Heinemann, Oxford 1976, ISBN 978-0-7506-2896-9, S.Â 22â24 (englisch).
13. â  J. Wess: *Theoretische Mechanik.* Springer. Kapitel Ã¼ber das *ZweikÃ¶rperproblem.*

NormdatenÂ (Sachbegriff): GND: 4365820-9 (lobid, OGND, AKS)


Balkan Melodie

IMDb
Filmportal
Swiss Films
Internetquelle
Infobox Film
Zitat

Filmtitel 2012
Musikfilm
Dokumentarfilm
Schweizer Film
Deutscher Film
Bulgarischer Film
Südosteuropa
Weltmusik
Musikgeschichte

{{Infobox Film
| Bild             =
| Deutscher Titel  =
| Originaltitel    = Balkan Melodie
| Produktionsland  = Deutschland, Schweiz, Bulgarien
| Originalsprache  = Deutsch
| Erscheinungsjahr = 2012
| Länge            = 92
| FSK              = 0{{FSK|1301|137167K}}
| JMK              =
| Regie            = [[Stefan Schwietert]]
| Drehbuch         = Stefan Schwietert
| Produzent        = [[Cornelia Seitler]],
[[Brigitte Hofer]],
[[Thomas Kufus]]
[[Martička Božilova]]
| Musik            = [[Marcel Cellier]],
[[Gheorghe Zamfir]],
[[Mahala Rai Banda]]
| Kamera           = [[Pierre Mennel]],
[[Pio Corradi]]
| Schnitt          = [[Isabel Meier]]
| Besetzung        =
* [[Marcel Cellier]]
* [[Catherine Cellier]]
* [[Gheorghe Zamfir]]
* [[Ion Pop]]
* [[Aurel Ionita]]
* [[Le Mystère des Voix Bulgares]]
* [[Mahala Rai Banda]]
* [[Fanfare Ciocărlia]]
* [[Grupul Iza]]
| Synchronisation  =
}}

'''Balkan Melodie''' ist ein [[schweiz]]erischer [[Dokumentarfilm]], der sich mit [[Marcel Cellier|Marcel]] und Catherine Celliers leidenschaftlicher musikethnologischer Tätigkeit im Rahmen des Sammelns und Publizierens von südosteuropäischer Musik beschäftigt. Marcel Cellier dokumentierte und veröffentlichte inmitten des [[Kalter Krieg|Kalten Krieges]] über 40 Jahre lang die bis dahin im Westen völlig unbekannte Klänge des Balkans. Mit Radiosendungen und Schallplatten machte er Musiker und Ensembles weltberühmt.

== Inhalt ==
Der Dokumentarfilm erzählt anhand der Reisen und Erfahrungen des Hobby-Musikethnologen Marcel Cellier die Entdeckung und das Avancieren des rumänischen Panflötenvirtuosen [[Gheorghe Zamfir]] und der bulgarischen Frauenstimmen von [[Le Mystère des Voix Bulgares]] zu weltweiter Bekanntheit. Cellier brachte von seinen Reisen Tondokumente mit, die er als Schallplatten veröffentlichte und mit denen er Radiosendungen produzierte. Außerdem organisierte er für die entdeckten Künstler Tourneen. Die Faszination des westlichen Publikums für diese Musik war geprägt durch die Archaik und Avantgarde, der durch den Kommunismus von der Außenwelt hermetisch abgeriegelten und vor äußeren Einflüssen weitgehend bewahrten Länder. Auf der Suche nach den Protagonisten kommen nicht nur Marcel Cellier, Catherine Zellier und Gheorghe Zamfir zu Wort, sondern auch andere der Künstle, die durch Cellier berühmt wurden. Schließlicht spannt der Film auf den Spuren seiner Leidenschaft den Bogen zum zeitgenössischen Phänomenen des Exports der Musik vom Balkan in den Westen. So verkörpern die Gypsy-Pop-Formationen [[Mahala Rai Banda]] und [[Fanfare Ciocarlia|Fanfare Ciocărlia]] den Erfolg der Arbeiten Celliers.

== Kritiken ==
{{Zitat
 |Text=Stefan Schwietert, der Meister der besonderen Musikfilme (Heimatklänge, Accordion Tribe, A tickle in the Heart) meldet sich mit BALKAN MELODIE zurück. Schöner kann Kino kaum klingen
 |Quelle=[[ARTTV]] [https://www.trigon-film.org/de/shop/DVD_Edition_Look_Now/Balkan_Melodie]
}}
{{Zitat
 |Text=Ein grossartikger, in Herz und Beine fahrender Musikfilm
 |Quelle=[[Filmbulletin]] [https://www.trigon-film.org/de/shop/DVD_Edition_Look_Now/Balkan_Melodie]
}}
{{Zitat
 |Text=Der Film begleitet das Lebenswerk des Ehepaars und schweift zum Ende mit einem kurzen Blick auf den aktuellen Balkan Pop sinnvoll ab. Musik gibt es dabei reichlich zu hören.
 |Quelle=Christian Meyer [https://www.choices.de/film/balkan-melodie/filmkritik]
}}
{{Zitat
 |Text=Schwieterts Film wird (...)  zu einer Zeitreise, gleichzeitig zeigt er einen Landstrich, indem Musik nicht nur gehört, sondern immer noch gelebt wird.
 |Quelle=Anke Leweke [https://www.deutschlandfunkkultur.de/balkan-melodie.1216.de.html?dram:article_id=236581/]
}}
{{Zitat
 |Text=Der Schweizer Musikdokumentarfilmer Stefan Schwietert hat ein vielschichtiges musikalisches Panorama geschaffen, das den Zuschauer von der ersten (Klang-)Szene an in seinen Bann zieht. Er lernt nicht nur ganz besondere Musikstile und -einflüsse, sondern auch die äußerst sympathischen Menschen dahinter kennen, so z.B. die Frauen des bulgarischen Chors. Dazu gesellen sich intelligente, gesellschaftspolitische Texte. Ein sehenswerter Film, der auch noch lange nach dem Kinobesuch wirken wird.
 |Quelle=[[Kino.de]] [https://www.kino.de/film/balkan-melodie-2012/]
}}

== Auszeichnungen ==
* Filmfestival Solothurn 2011<ref name=":0">{{Internetquelle |url=https://www.filmuniversitaet.de/portrait/person/stefan-schwietert |titel=Stefan Schwietert |sprache=de-DE |abruf=2021-05-31}}</ref>
* Publikumspreis Heimatfilmfestival Freistadt 2011<ref name=":0" />
* Nominierung [[Schweizer Filmpreis]] 2011<ref name=":0" />

== Weblinks ==
* {{IMDb|tt2311290}}
* {{Filmportal|b9d694384cd040f294598c3f346ca81d}}
* {{Swiss Films|3C2B761E9939447C96C6C37AE63EFD23}}
* [https://www.youtube.com/watch?v=ANaTk9pvu1k Offizieller Trailer]
* [https://www.youtube.com/watch?v=7vPmxOIo8Sc Das Interview zum Film mit Stefan Schwietert]
* [http://www.alexcellier.ch/Duocd/Marcel_files/PD_BALKAN%20MELODIE_29012012.pdf Filmheft von Alex Cellier] (PDF; 6,1 MB)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Filmtitel 2012]]
[[Kategorie:Schweizer Film]]
[[Kategorie:Deutscher Film]]
[[Kategorie:Bulgarischer Film]]
[[Kategorie:Musikfilm]]
[[Kategorie:Südosteuropa]]
[[Kategorie:Weltmusik]]
[[Kategorie:Musikgeschichte]]
[[Kategorie:Dokumentarfilm]]

Abstract: Balkan Melodie ist ein schweizerischer Dokumentarfilm, der sich mit Marcel und Catherine Celliers leidenschaftlicher musikethnologischer Tätigkeit im Rahmen des Sammelns und Publizierens von südostereuropäischer Musik beschäftigt. Marcel Cellier dokumentierte und veröffentlichte inmitten des Kalten Krieges über 40 Jahre lang die bis dahin im Westen völlig unbekannte Klänge des Balkans. Mit Radiosendungen und Schallplatten machte er Musiker und Ensembles weltberühmt.

Film

Titel
Balkan Melodie

Produktionsland
Deutschland, Schweiz, Bulgarien

Originalsprache
Deutsch

Erscheinungsjahr
2012

Länge
92 Minuten

Altersfreigabe

FSK 0

Stab

Regie
Stefan Schwietert

Drehbuch
Stefan Schwietert

Produktion
Cornelia Seitler,
Brigitte Hofer,
Thomas Kufus
Martička Božilova

Musik
Marcel Cellier,
Gheorghe Zamfir,
Mahala Rai Banda

Kamera
Pierre Mennel,
Pio Corradi

Schnitt
Isabel Meier

Besetzung

Marcel Cellier

Catherine Cellier

Gheorghe Zamfir

Ion Pop

Aurel Ionita

Le Mystère des Voix Bulgares

Mahala Rai Banda

Fanfare Ciocărlia

Grupul Iza

**Balkan Melodie** ist ein schweizerischer Dokumentarfilm, der sich mit Marcel und Catherine Celliers leidenschaftlicher musikethnologischer TÃ¤tigkeit im Rahmen des Sammelns und Publizierens von sÃ¼dostereuropÃ¤ischer Musik beschÃ¤ftigt. Marcel Cellier dokumentierte und verÃ¶ffentlichte inmitten des Kalten Krieges Ã¼ber 40 Jahre lang die bis dahin im Westen vÃ¶llig unbekannte KlÃ¤nge des Balkans. Mit Radiosendungen und Schallplatten machte er Musiker und Ensembles weltberÃ¼hmt.

Inhalt
------

Der Dokumentarfilm erzÃ¤hlt anhand der Reisen und Erfahrungen des Hobby-Musikethnologen Marcel Cellier die Entdeckung und das Avancieren des rumÃ¤nischen PanflÃ¶tenvirtuosen Gheorghe Zamfir und der bulgarischen Frauenstimmen von Le MystÃ¨re des Voix Bulgares zu weltweiter Bekanntheit. Cellier brachte von seinen Reisen Tondokumente mit, die er als Schallplatten verÃ¶ffentlichte und mit denen er Radiosendungen produzierte. AuÃerdem organisierte er fÃ¼r die entdeckten KÃ¼nstler Tourneen. Die Faszination des westlichen Publikums fÃ¼r diese Musik war geprÃ¤gt durch die Archaik und Avantgarde, der durch den Kommunismus von der AuÃenwelt hermetisch abgeriegelten und vor Ã¤uÃeren EinflÃ¼ssen weitgehend bewahrten LÃ¤nder. Auf der Suche nach den Protagonisten kommen nicht nur Marcel Cellier, Catherine Zellier und Gheorghe Zamfir zu Wort, sondern auch andere der KÃ¼nstle, die durch Cellier berÃ¼hmt wurden. SchlieÃlicht spannt der Film auf den Spuren seiner Leidenschaft den Bogen zum zeitgenÃ¶ssischen PhÃ¤nomenen des Exports der Musik vom Balkan in den Westen. So verkÃ¶rpern die Gypsy-Pop-Formationen Mahala Rai Banda und Fanfare CiocÄrlia den Erfolg der Arbeiten Celliers.

Kritiken
--------

>
> "Stefan Schwietert, der Meister der besonderen Musikfilme (HeimatklÃ¤nge, Accordion Tribe, A tickle in the Heart) meldet sich mit BALKAN MELODIE zurÃ¼ck. SchÃ¶ner kann Kino kaum klingen"
>
>
>

â ARTTV

>
> "Ein grossartikger, in Herz und Beine fahrender Musikfilm"
>
>
>

â Filmbulletin

>
> "Der Film begleitet das Lebenswerk des Ehepaars und schweift zum Ende mit einem kurzen Blick auf den aktuellen Balkan Pop sinnvoll ab. Musik gibt es dabei reichlich zu hÃ¶ren."
>
>
>

â Christian Meyer

>
> "Schwieterts Film wird (...) zu einer Zeitreise, gleichzeitig zeigt er einen Landstrich, indem Musik nicht nur gehÃ¶rt, sondern immer noch gelebt wird."
>
>
>

â Anke Leweke

>
> "Der Schweizer Musikdokumentarfilmer Stefan Schwietert hat ein vielschichtiges musikalisches Panorama geschaffen, das den Zuschauer von der ersten (Klang-)Szene an in seinen Bann zieht. Er lernt nicht nur ganz besondere Musikstile und -einflÃ¼sse, sondern auch die Ã¤uÃerst sympathischen Menschen dahinter kennen, so z.B. die Frauen des bulgarischen Chors. Dazu gesellen sich intelligente, gesellschaftspolitische Texte. Ein sehenswerter Film, der auch noch lange nach dem Kinobesuch wirken wird."
>
>
>

â Kino.de
Auszeichnungen
--------------

* Filmfestival Solothurn 2011
* Publikumspreis Heimatfilmfestival Freistadt 2011
* Nominierung Schweizer Filmpreis 2011

Weblinks
--------

* *Balkan Melodie* in der Internet Movie Database (englisch)
* *Balkan Melodie* bei filmportal.de
* *Balkan Melodie* bei swissfilms.ch
* Offizieller Trailer
* Das Interview zum Film mit Stefan Schwietert
* Filmheft von Alex Cellier (PDF; 6,1Â MB)

Einzelnachweise
---------------

1. â   Freigabebescheinigung fÃ¼r *Balkan Melodie*. Freiwillige Selbstkontrolle der Filmwirtschaft, Januar 2013 (PDF; PrÃ¼fÂnummer:Â 137Â 167Â K).
2. 1 2 3  *Stefan Schwietert.* Abgerufen am 31.Â Mai 2021 (deutsch).


Detlef Reck

Belege fehlen
Infobox American-Football-Spieler
Internetquelle
Personendaten

{{Belege fehlen}}
{{Infobox American-Football-Spieler
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'''Detlef Reck''' (* [[26. März]] [[1965]] in [[Rheinkamp]] jetzt [[Moers]], [[Nordrhein-Westfalen]]) ist ein [[Deutschland|deutscher]] [[American Football|American-Football]]-Trainer und ehemaliger -Spieler, welcher seit [[ELF 2022|2022]] bei [[Rhein Fire]] in der [[European League of Football]] (ELF) unter Vertrag steht.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.rheinfire.eu/coaches-2023/ |titel=Rhein Fire Coaches Staff 2023 |werk=rheinfire.eu |sprache=de-de |abruf=2023-11-14}}</ref>

== Laufbahn ==
=== Spieler ===
Von 1984 bis 1990 spielte Reck bei den [[Kamp-Lintfort Gladiators]] und von 1990 bis 1992 bei den Duisburg Flames auf der Position eines [[Tight End]], ehe er seine aktive Karriere 1993 bei den [[Düsseldorf Panther]] verletzungsbedingt beenden musste.

=== Trainer ===
1995 begann Reck seine Ausbildung zum Athletik- und Konditionstrainer zunächst auf Vereinsbasis, ehe er von 2001 bis 2021 hauptberuflich als Sportübungsleiter beim Land NRW beschäftigt war.

2011 heuerte Reck unter der Leitung von Head Coach [[Walter Rohlfing]] bei den [[Mönchengladbach Mavericks|Möchengladbach Mavericks]] an und erreichte mit ihnen das Halbfinale<ref>{{Internetquelle |url=https://gfl.info/service/afvd-plugin/saison/?liga=GFL&saison=2011 |titel=Erima German Football League 2011 |werk=gfl.info |sprache=de-de |abruf=2023-11-14}}</ref>  der [[German Football League|GFL]].
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Am 24. September 2023 gewann Rhein Fire den Titel im eigenen Stadion. Sie verloren in der gesamten Saison kein einziges Spiel und wurden somit zum ersten Team in der Geschichte der European League of Football mit einer sogenannten [[Perfect season]].<ref>{{Internetquelle |url=https://europeanleague.football/news/rhein-fire-are-the-2023-european-league-of-football-champions-1510 |werk=europeanleague.football |titel=Rhein Fire are the 2023 European League of Football champions! |sprache=en |abruf=2023-09-27}}</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

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Abstract: Detlef Reck ist ein deutscher American-Football-Trainer und ehemaliger -Spieler, welcher seit 2022 bei Rhein Fire in der European League of Football (ELF) unter Vertrag steht.

Detlef Reck

Position:
Assistant Head Coach

Geburtsdatum: 26. März 1965
in Rheinkamp, Nordrhein-Westfalen

Karriereinformationen

Aktiv: seit 1984

Teams

als Spieler:

Kamp-Lintfort Gladiators (1984-1990)
Tight End

Duisburg Flames (1991-1992)
Tight End

Düsseldorf Panther (1993)
Tight End

als Trainer:

Mönchengladbach Mavericks (2011)
Assistant Coach

Düsseldorf Panther (2013-2015)
Tight End Coach

Rhein Fire (2022)
Tight End Coach

Rhein Fire (seit 2023)
Assistant Head Coach

Karriere-Höhepunkte und Auszeichnungen

Halbfinale German Bowl 2011

Alumni Selection Düsseldorf Panther  - Class of 2013

Junior Bowl Vize-Champion 2014

European League of Football Champion 2023

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**Detlef Reck** (\* 26. MÃ¤rz 1965 in Rheinkamp jetzt Moers, Nordrhein-Westfalen) ist ein deutscher American-Football-Trainer und ehemaliger -Spieler, welcher seit 2022 bei Rhein Fire in der European League of Football (ELF) unter Vertrag steht.

Laufbahn
--------

### Spieler

Von 1984 bis 1990 spielte Reck bei den Kamp-Lintfort Gladiators und von 1990 bis 1992 bei den Duisburg Flames auf der Position eines Tight End, ehe er seine aktive Karriere 1993 bei den DÃ¼sseldorf Panther verletzungsbedingt beenden musste.

### Trainer

1995 begann Reck seine Ausbildung zum Athletik- und Konditionstrainer zunÃ¤chst auf Vereinsbasis, ehe er von 2001 bis 2021 hauptberuflich als SportÃ¼bungsleiter beim Land NRW beschÃ¤ftigt war.

2011 heuerte Reck unter der Leitung von Head Coach Walter Rohlfing bei den MÃ¶chengladbach Mavericks an und erreichte mit ihnen das Halbfinale der GFL.
Von 2013 bis 2015 stand Reck als Tight End Coach und Assistent von Head Coach Detlef Zorn bei den DÃ¼sseldorf Panther unter Vertrag. Mit dem U19 Team  erreichte er 2014 das Finale um den Junior Bowl.

2021 erhielt Reck von den Besitzern des neugegrÃ¼ndeten Rhein Fire Franchise der European League of Football (ELF) den Auftrag, beim Aufbau des Trainerteams und des Spielerkaders mitzuwirken. Beim Trainingsauftakt im April 2022 noch als Positionstrainer fÃ¼r die Tight Ends verantwortlich, wurde er zu Beginn der Saison von Head Coach Jim Tomsula zu seinem Assistent befÃ¶rdert. Seinen Einstand als hauptverantwortlicher Ãbungsleiter gab Reck beim Heimspiel gegen die Helvetic Guards.

Am 24. September 2023 gewann Rhein Fire den Titel im eigenen Stadion. Sie verloren in der gesamten Saison kein einziges Spiel und wurden somit zum ersten Team in der Geschichte der European League of Football mit einer sogenannten Perfect season.

Einzelnachweise
---------------

1. â  *Alumni Sellection.* Abgerufen am 12.Â November 2023 (deutsch).
2. â  *Rhein Fire Coaches Staff 2023.* In: *rheinfire.eu.* Abgerufen am 14.Â November 2023 (deutsch).
3. â  *Erima German Football League 2011.* In: *gfl.info.* Abgerufen am 14.Â November 2023 (deutsch).
4. â  *German Football League Juniors 2014.* In: *gfl-juniors.de.* Abgerufen am 14.Â November 2023 (deutsch).
5. â  *Rhein Fire setzt auf Asberger als Tomsulas Stellvertreter.* In: *Neue Ruhr Zeitung.* Abgerufen am 14.Â November 2023 (deutsch).
6. â  *Rhein Fire lÃ¤sst den Helvetic Guards keine Chance.* In: *NRWFootball.de.* Abgerufen am 14.Â November 2023 (deutsch).
7. â  *Rhein Fire are the 2023 European League of Football champions!* In: *europeanleague.football.* Abgerufen am 27.Â September 2023 (englisch).

| Personendaten |
| --- |
| NAME | Reck, Detlef |
| KURZBESCHREIBUNG | deutscher American-Football-Spieler und -Trainer |
| GEBURTSDATUM | 26. MÃ¤rz 1965 |
| GEBURTSORT | Rheinkamp |