**1980年试题**

**(理工农医类)**

**一、**将多项式x5y-9xy5分别在下列范围内分解因式:

(1)有理数范围; (2)实数范围 (3)复数范围.

**\[Key\]**

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**二、**半径为1、2、3的三个圆两两外切.证明:以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形.

**\[Key\] 二、证明:**设⊙O1、⊙O2、⊙O3的半径分别为1、2、3.

因这三个圆两两外切,故有

O1O2=1+2=3,

O2O3=2+3=5,

O1O3=1+3=4,

![](./data/image/media/image2.wmf)

根据勾股弦定理的逆定理,或余弦定理,△O1O2O3为直角三角形.

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**三、**用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点.

\[Key\] 三、证明:取△ABC最长的一边BC所在的直线为x轴,经过A的高线为y轴,设A、B、C的坐标分别为A(0,a)、B(b,0)、C(c,0),

根据所选坐标系,如图,有a\>0,b\<0,c\>0.

![](./data/image/media/image4.wmf)

解(1)、(2),得:(b-c)x=0.

∵b-c≠0,∴x=0.

这就是说,高线CE、BD的交点的横坐标为0,即交点在高线AO上.

因此,三条高线交于一点.

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![](./data/image/media/image6.wmf)

(a、b、N都是正数,a≠1,b≠1)

**\[Key\]** 四、证法一:令logbN=x,根据对数定义,

bx=N.

两端取以a为底的对数,

logabx=logaN,

xlogab=logaN.

∵ b≠1,∴logab≠0,

![](./data/image/media/image7.wmf)

**证法二:**令logbN=x,根据对数定义,

N=bx

=(alogab)x=axlogab,

∴ xlogab=logaN.

∵ b≠1,logab≠0,

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**五、**直升飞机上一点P在地平面M上的正射影是A.从P看地平面上一物体B(不同于A),直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N(如图).证明:平面N必与平面M相交,且交线*l*垂直于AB.

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\[Key\] **五、证明:**用反证法.假如平面N与平面M平行,则PA也垂直于N,因此PA与PB重合,B点与A点重合,但这与题设矛盾,所以平面N与平面M相交.

设平面N与平面M的交线为*l*.

∵PA⊥平面M,∴PA⊥*l*.

又∵PB⊥平面N,∴PB⊥*l*.

∴*l*⊥平面PAB,∴*l*⊥AB.

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(1)写出f(x)的极大值M、极小值m与最小正周期T;

(2)试求最小的正整数k,使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m.

**\[Key\] 六、解:**(1)M=1,m=-1,

![](./data/image/media/image12.wmf)

(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m.

而任意两个整数间的距离都≥1.因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m,必须且只须使f(x)的周期≤1.

![](./data/image/media/image13.wmf)

可见,k=32就是这样的最小正整数.

**七、**CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高,已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比数列,求∠B(用反三角函数表示).

\[Key\] **七、解法一:**设CD=h,AB=c,BD=x,

则 AD=c-x.

![](./data/image/media/image14.wmf)

即x2=c(c-x),

即x2+cx-c2=0,

![](./data/image/media/image15.wmf)

∵取负号不合题意,

![](./data/image/media/image16.wmf)

又依直角三角形的性质,有

AC2=AD·AB=c(c-x).

但x2=c(c-x),∴AC2=x2,

![](./data/image/media/image17.wmf)

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**解法二:**由题设有(CD·BD)2=(CD·AD)·(CD·AB),

∴BD2=AD·AB.

但 AC2=AD·AB,

∴BD=AC.

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![](./data/image/media/image21.wmf)

**\[Key\]**

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两端乘以正数sin![](./data/image/media/image23.wmf),问题化为证明

2sin![](./data/image/media/image23.wmf)sin2![](./data/image/media/image23.wmf)≤1+cos![](./data/image/media/image23.wmf).

而2sin![](./data/image/media/image23.wmf)sin2![](./data/image/media/image23.wmf)=4sin2![](./data/image/media/image23.wmf)cos![](./data/image/media/image23.wmf)=4(1-cos2![](./data/image/media/image23.wmf))cos![](./data/image/media/image23.wmf)

=4(1-cos![](./data/image/media/image23.wmf))(1+cos![](./data/image/media/image23.wmf))cos![](./data/image/media/image23.wmf).

所以问题又化为证明不等式

(1+cos![](./data/image/media/image23.wmf))\[4(1-cos![](./data/image/media/image23.wmf))cos![](./data/image/media/image23.wmf)-1\]≤0.

![](./data/image/media/image24.wmf)

8t2(1-t2)≤(1+t2)2,

即 -9t4+6t2-1≤0,

-(3t2-1)2≤0.

∴不等式成立.

![](./data/image/media/image25.wmf)

![](./data/image/media/image26.wmf)

![](./data/image/media/image27.wmf)

**九、**抛物线的方程是y2=2x,有一个半径为1的圆,圆心在x轴上运动.问这个圆运动到什么位置时,圆与抛物线在交点处的切线互相垂直.

![](./data/image/media/image28.wmf)![](./data/image/media/image29.wmf)

![](./data/image/media/image30.wmf)

**\[Key\] 九、解:**设圆的方程为

(x-k)2+y2=1.

再设圆与抛物线的一个交点为P(x0y0).

![](./data/image/media/image31.wmf)

在P点抛物线的切线与圆的切线垂直,必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切.

![](./data/image/media/image32.wmf)

由(1)、(2)式消去y0,得x0=-k,

将(2)代入(3),得(x0-k)2+2x0-1=0,

将x0=-k代入,得 4k2-2k-1=0,

![](./data/image/media/image33.wmf)

由于对称性,圆与抛物线的另一交点 (x0,-y0)处的切线也互相垂直.

**附加题**

![](./data/image/media/image34.wmf)

![](./data/image/media/image35.wmf)

问a、b应满足什么条件,使得对于任意m值来说,直线(L)与椭圆(E)总有公共点.

\[Key\] **附加题**

**解法一:**消去参数,得

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消去y,整理得

(1+a2m2)x2+2(a2mb-1)x+a2b2-a2+1=0.

![](./data/image/media/image37.wmf)

(a2mb-1)2-(1+a2m2)(a2b2-a2+1)≥0.

化简并约去a2得

(a2-1)m2-2bm+(1-b2)≥0.

对任何m的值,要使这个式子永远成立,条件是

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即为所求的条件.

**解法二:**

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直线(L)即y=mx+b;它通过P(0,b)点,斜率为m.

如果P(0,b)落在(E)内或(E)上,如P1,则过P1点作任意直线(L)显然与椭圆(E)总有公共点.

如果P(0,b)落在(E)外,如P2,那么由P2向椭圆作两切线,则(E)上所有的点都在两切线的一个夹角内,所以可以选择斜率m的值,使直线(L)落在这个夹角的补角内,(L)与(E)就没有公共点了.

因此,(L)与(E)总有公共点的充要条件是p(0,b)点落在(E)内或(E)上.

要使(E)与y轴有公共点,其充要条件是│a│≥1;这时,(E)与y轴的![](./data/image/media/image40.wmf)
