**2007年普通高等学招生全国统一考试（上海卷）**

**数　学（理科）**

**一、填空题**

1．函数的定义域为

2．已知与，若两直线平行，则的值为

3．函数的反函数

4．方程的解是

5．函数的最小正周期是

6．已知，且，则的最大值为

7．有数字，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为

8．已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为

9．若为非零实数，则下列四个命题都成立：

①

②

③若，则

④若，则则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的序号是。

10．平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。已知两个相交平面与两直线，又知在内的射影为，在内的射影为。试写出与满足的条件，使之一定能成为是异面直线的充分条件

11．已知圆的方程，为圆上任意一点（不包括原点）。直线的倾斜角为弧度，，则的图象大致为

**二、选择题**

12．已知是实系数一元二次方程的两根，则的值为

A．

B．

C．

D．

13．已知为非零实数，且，则下列命题成立的是

A．

B．

C．

D．

14．在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，，，则K的可能值有

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

15．已知是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的，若成立，则成立，下列命题成立的是

A．若成立，则对于任意，均有成立

B．若成立，则对于任意的，均有成立

C．若成立，则对于任意的，均有成立

D．若成立，则对于任意的，均有成立

**三、解答题**

16．体积为1的直三棱柱中，，，求直线与平面所成角。

17．在三角形中，，求三角形的面积。

18．（背景省略）已知2002年全球太阳能年生产量为670兆瓦，年增长率为34%。在此后的四年里，增长率以每年2%的速度增长（例如2003年的年生产量增长率为36%）

（1）求2006年的太阳能年生产量（精确到0.1兆瓦）

（2）已知2006年太阳能年安装量为1420兆瓦，在此后的4年里年生产量保持42%的增长率，若2010年的年安装量不少于年生产量的95%，求4年内年安装量的增长率的最小值（精确到0.1%）

19．已知函数

（1）判断的奇偶性

（2）若在是增函数，求实数的范围

20．若有穷数列（是正整数），满足即（是正整数，且），就称该数列为"对称数列"。

（1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项

（2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？

（3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和

21．已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为"果圆"，其中，是对应的焦点。

（1）若三角形是边长为1的等边三角形，求"果圆"的方程；

（2）若，求的取值范围；

（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。
