**2004年普通高等学校招生全国统一考试**

**数 学（浙江卷）(理工类)**

**第Ⅰ卷 (选择题 共60分)**

**一、选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.**

\(1\) 若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则 （ ）

\(A\) {1,2,3} (B) {2} (C) {1,3,4} (D) {4}

\(2\) 点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q的坐标为

（ ）

\(A\) (B) (

\(C\) ( (D) (

\(3\) 已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则= （ ）

\(A\) --4 (B) --6 (C) --8 (D) --10

(4)曲线关于直线x=2对称的曲线方程是 （ ）

\(A\) (B)

\(C\) (D)

\(5\) 设z=x---y ,式中变量x和y满足条件则z的最小值为 （ ）

\(A\) 1 (B) --1 (C) 3 (D) --3

\(6\) 已知复数,且是实数,则实数t= （ ）

\(A\) (B) (C) **\--** (D) **\--**

\(7\) 若展开式中存在常数项,则n的值可以是 （ ）

\(A\) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12

(8)在ΔABC中,"A\>30º"是"sinA\>"的 （ ）

\(A\) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件

\(C\) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件

(9)若椭圆的左、右焦点分别为F~1~、F~2~，线段F~1~F~2~被抛物线y~2~=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为 （ ）

\(A\) （B） （C） （D）

（10）如图，在正三棱柱ABC---A~1~B~1~C~1~中已知AB=1，D在棱BB~1~上，且BD=1，若AD与平面AA~1~C~1~C所成的角为α，则α= （ ）

\(A\)

\(B\)

\(C\)

\(D\)

（11）设是函数的导函数，

的图象如图所示，则的图象最有可能

的是（ ）

（12）若和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程有实数解，则不可能是

（A） （B）

（C） （D）

**第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）**

**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.把答案填在题中横线上.**

（13）已知则不等式≤5的解集是 [ ]{.underline} .

（14）已知平面上三点A、B、C满足 则AB· BC+BC·CA+CA·AB的值等于 [ ]{.underline} .

（15）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 [ ]{.underline} 种（用数字作答）.

（16）已知平面和平面交于直线，P是空间一点，PA⊥，垂足为A，PB⊥，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在内的射影与点B在内的射影重合，则点P到的距离为 [ ]{.underline} .

**三、 解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**

（17）（本题满分12分）

在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，且.

（Ⅰ）求的值；

> （Ⅱ）若，求bc的最大值.

（18）（本题满分12分）

> 盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）.记第一次与第二次取到球的标号之和为.
>
> （Ⅰ）求随机变量的分布列；
>
> （Ⅱ）求随机变量的期望.

（19）（本题满分12分）

> 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=，AF=1，M是线段EF的中点.
>
> （Ⅰ）求证AM∥平面BDE；
>
> （Ⅱ）求二面角A---DF---B的大小；
>
> （Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.

（20）（本题满分12分）

> 设曲线≥0）在点M（t,e^**\--**t^）处的切线与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t）.
>
> （Ⅰ）求切线的方程；
>
> （Ⅱ）求S（t）的最大值.

（21）（本题满分12分）

已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双曲线的右支上，支M（m,0）到直线AP的距离为1.

（Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围；

（Ⅱ）当时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程.

（22）（本题满分14分）

如图，ΔOBC的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P为线段BC的中点,P~2~为线段CO的中点,P~3~为线段OP~1~的中点,对于每一个正整数n,P~n+3~为线段P~n~P~n+1~的中点,令P~n~的坐标为(x~n,~y~n~),

> （Ⅰ）求及;
>
> （Ⅱ）证明
>
> (Ⅲ)若记证明是等比数列.

**2004年普通高等学校招生全国统一考试**

**数 学（浙江卷）参考答案**

**一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.**

> 1\. D 2.A 3.B 4.C 5.A 6.A 7.C 8.B 9.D 10.D 11.B 12.D

**二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,满分16分.**

> 13\. 14. 14 **\--**25 15. 5 16.

**三.解答题:本大题共6小题,满分74分.**

17\. (本题满分12分)

> 解: (Ⅰ)
>
> =
>
> =
>
> =
>
> =
>
> (Ⅱ) ∵
>
> ∴,
>
> 又∵
>
> ∴
>
> 当且仅当 b=c=时,bc=,故bc的最大值是.

\(18\) (满分12分)

> 解: (Ⅰ)由题意可得,随机变量的取值是2、3、4、6、7、10.
>
> 随机变量的概率分布列如下

  --- ------ ------ ------ ------ ------ ------
      2      3      4      6      7      10
  P   0.09   0.24   0.16   0.18   0.24   0.09
  --- ------ ------ ------ ------ ------ ------

> 随机变量的数学期望
>
> =2×0.09+3×0.24+4×0.16+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2.

\(19\) (满分12分)

> 方法一

解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,

![](./data/image/media/image85.png)∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，

∴四边形AOEM是平行四边形，

∴AM∥OE.

∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDE.

(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，

∵AB⊥AF， AB⊥AD，

∴AB⊥平面ADF，

∴AS是BS在平面ADF上的射影，

由三垂线定理得BS⊥DF.

∴∠BSA是二面角A---DF---B的平面角.

在RtΔASB中，

∴

∴二面角A---DF---B的大小为60º.

（Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，

∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，

∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，

∴PQ⊥QF.

在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，

PF=2PQ.

∵ΔPAQ为等腰直角三角形，

∴

又∵ΔPAF为直角三角形，

∴，

∴

> 所以t=1或t=3(舍去)
>
> 即点P是AC的中点.

方法二

（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系.

设，连接NE，

![](./data/image/media/image97.jpeg) 则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,

∴NE=(,

又点A、M的坐标分别是

（）、（

∴ AM=（

∴NE=AM且NE与AM不共线，

∴NE∥AM.

又∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDF.

![](./data/image/media/image104.png)（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF

∴AB⊥平面ADF.

∴为平面DAF的法向量.

∵NE·DB=（·=0，

∴NE·NF=（·=0得

NE⊥DB，NE⊥NF，

∴NE为平面BDF的法向量.

∴cos\<AB,NE\>=

∴AB与NE的夹角是60º.

即所求二面角A---DF---B的大小是60º.

（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤)得

∴CD=（，0，0）

又∵PF和CD所成的角是60º.

∴

解得或（舍去），

即点P是AC的中点.

（20）（满分12分）

解：（Ⅰ）因为

所以切线的斜率为

故切线的方程为即.

（Ⅱ）令y=0得x=t+1,

![](./data/image/media/image117.png)又令x=0得

所以S（t）=

=

从而

∵当（0，1）时，\>0,

当（1,+∞）时,\<0,

所以S(t)的最大值为S(1)=

\(21\) (满分12分)

解: (Ⅰ)由条件得直线AP的方程

即

因为点M到直线AP的距离为1,

∵

即.

∵

∴

解得+1≤m≤3或\--1≤m≤1\--.

∴m的取值范围是

(Ⅱ)可设双曲线方程为由

得.

又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1.因此，（不妨设P在第一象限）

直线PQ方程为.

直线AP的方程y=x-1,

∴解得P的坐标是（2+，1+），将P点坐标代入得，

所以所求双曲线方程为

即

（22）（满分14分）

解：(Ⅰ)因为，

所以，又由题意可知

∴

=

=

∴为常数列.

∴

(Ⅱ)将等式两边除以2，得

又∵

∴

（Ⅲ）∵

又∵

∴是公比为的等比数列.
