**1966年试题**

**1.**有红灯泡7只,绿灯泡5只.从这12只灯泡中,要选出5只.如果这5只中,至少有1只、至多有2只是绿灯泡,一共有多少种选法?

**\[Key\]** **1.解:**从12只灯泡中,选5只,如果其中有1只绿灯泡,4只红灯泡,那么,选法的种数为

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如果其中有2只绿灯泡,3只红灯泡,那么,选法的种数为

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所以一共有175+350=525种选法.

**2.**一个正四棱台的上底面每边长8尺,下底面每边长10尺,侧棱长6尺.

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分别表示棱台的高和上、下底面的面积.）

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**\[Key\] 2.解法一:**

如图,已知AD=8,BC=10,CD=6.

用O、O1表示上、下底面的中心,E、F表示AD、BC的中点.连结OO1、EF、OE和O1F,则OO1FE为直角梯形.

从E点作O1F的垂线,垂足为G,EG就是正四棱台的高.

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**解法二:**

如图，已知AD=8,BC=10,AB=6.

用O、O1表示上、下底面的中心.连结OO1、OA和O1B，则OO1BA为直角梯形.

从A点作O1B的垂线，垂足为H,AH就是正四棱台的高.

![](./data/image/media/image12.wmf)

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**3.**如图,AC是一个山坡,它的倾斜角为θ.B是山坡AC上的一点,它和A点的距离是a米.从A和B测得山下平地上D点的俯角分别是α和β.求C、D两点间的距离. ![](./data/image/media/image16.wmf)

**\[Key\] 3.解法一:**如图,

在△ABD中,AB=a,∠BAD=θ-α,∠BDA=α-β,由正弦定理,得

![](./data/image/media/image17.wmf)

![](./data/image/media/image18.wmf)

![](./data/image/media/image19.wmf)

**解法二:**如图,

从D点作AC的垂线与AC的延长线交于E点.设DE=h.

在直角三角形AED中,

![](./data/image/media/image20.wmf)

在直角三角形BED中,

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由(1)、(2)可得

![](./data/image/media/image22.wmf)

在直角三角形CED中,

![](./data/image/media/image23.wmf)

由(3)、(4)可得

![](./data/image/media/image24.wmf)

**4.**已知双曲线的方程为

16x2-9y2+64x+18y-89=0.

(1)求它的两个焦点的坐标.

(2)一个圆通过这两个焦点并且与x轴交于两点,这两点的距离是8.求这个圆的方程.

**\[Key\] 4.解法一:**

(1)把所给方程按x、y配方,得

16(x+2)2-9(y-1)2=144.

令 x+2=x＇,y-1=y＇, (1)

得 16x＇2-9y＇2=144,

![](./data/image/media/image25.wmf)

所以这个双曲线的两个焦点在新坐标系中的坐标,分别为

![](./data/image/media/image26.wmf)

由(1)可以求出这个双曲线的两个焦点在旧坐标系中的坐标,分别为

(-7,1),(3,1)

(2)设所求的圆的方程是

(x-a)2+(y-b)2=r2

因为F1(-7,1)、F2(3,1)在圆上,所以

(7+a)2+(1-b)2=r2, (1)

(3-a)2+(1-b)2=r2. (2)

又由图不难看出

b2+│AM│2=r2,

就是

b2+16=r2. (3)

由(1)式减去(2)式,得

(7+a)2-(3-a)2=0,

就是

10(2a+4)=0

∴ a=-2.

代入(2)式,得

(1-b)2+25=r2. (4)

由(4)式减去(3)式,得

(1-b)2-b2+9=0,

就是

10-2b=0.

∴ b=5.

代入(4)式,得

r2=41.

因此,所求的圆的方程是

(x+2)2+(y-5)2=41,

或 x2+y2+4x-10y-12=0.

![](./data/image/media/image27.wmf)

**解法二:**

(1)同解法一.

(2)如图,F1、F2为双曲线的两个焦点,A、B为圆与x轴的两个交点,C为圆心.因为过C点与x轴垂直的直线必平分线段F1F2,且平分线段AB,所以

![](./data/image/media/image28.wmf)

常数.利用商高定理,由直角三角形ACM得到

![](./data/image/media/image29.wmf)

又

![](./data/image/media/image30.wmf)

由以上二式,得b=5,│AC│2=41.所以圆心C的坐标为(-2,5),圆的方程为

(x+2)2+(y-5)2=41,

或 x2+y2+4x-10y-12=0.

**解法三:**

(1)同解法一.

(2)由解法二的分析,可知M=(-2,0).又因│AM│=│MB│=4,所以A=(-6,0),B=(2,0).

设所求的圆的方程为

x2y2+Dx+Ey+F=0.

因为(-6,0),(2,0),(3,1)在圆上,所以得到

![](./data/image/media/image31.wmf)

由(1),(2)消去F得到D=4.由此得F=-12,E=-10.因此,所求圆的方程为

x2+y2+4x-10y-12=0.

**解法四:**

(1)同解法一.

(2)设所求圆的方程为

x2+y2+Dx+Ey+F=0. (1)

因为(-7,1),(3,1)两点都在圆上,所以把它们的坐标代入(1)得

-7D+E+F+50=0, (2)

3D+E+F+10=0. (3)

在(1)内令y=0得

x2+Dx+F=0. (4)

设所求圆与x轴的交点为(α,0),(β,0),则α与β是(4)的两个根.因为两个点的距离是8,所以

(α-β)2=64.

又

(α-β)2=(α+β)2-4αβ,

所以

(α+β)2-4αβ=64

利用根与系数的关系,可以知道α+β=-D,αβ=F.

代入上式得

D2-4F=64. (5)

解方程组(2)、(3)、(5)得

D=4,F=-12,E=-10.

因此,所求圆的方程为

x2+y2+4x-10y-12=0.

**5.**解方程组:

![](./data/image/media/image32.wmf)

**\[Key\] 5.解法一:**

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(1)式两边平方并化简,得

![](./data/image/media/image34.wmf)

两边再平方,得

(x+y)2-14(x+y)+49=4(x+1)(y+1).

整理后得

(x+y)2-18(x+y)-4xy+45=0. (3)

把(2)和(3)组成方程组,并设u=x+y,v=xy,得

![](./data/image/media/image35.wmf)

从(5)式得

v=u-15.

代入(4)式并化简,得

u2-22u+105=0.

所以

u=7,u=15.

代入(5)式,得

v=-8,v=0.

所以

![](./data/image/media/image36.wmf)

就是

![](./data/image/media/image37.wmf)

解这两个方程组,得

![](./data/image/media/image38.wmf)

检验后可以知道,只有前两组数是原方程组的解.

**解法二:**

![](./data/image/media/image39.wmf)

(1)式两边平方并化简,得

![](./data/image/media/image40.wmf)

两边再平方,得

(x+y)2-14(x+y)+49=4(x+1)(y+1).

整理后得

x2+y2-2xy-18x-18y+45=0. (3)

由(2)式得

![](./data/image/media/image41.wmf)

代入(3)式并化简,得

x4-22x3+97x2+120x=0.

利用综合除法分解因式,得

x(x+1)(x-15)(x-8)=0.

因此 x=0,-1,15,8.

代入(4)式,得

y=15,8,0,-1.

就是

![](./data/image/media/image42.wmf)

检验后可以知道,原方程组的解是

![](./data/image/media/image43.wmf)

**解法三:**

![](./data/image/media/image44.wmf)

![](./data/image/media/image45.wmf)

![](./data/image/media/image46.wmf)

就是

![](./data/image/media/image47.wmf)

把(1)代入(2)并化简,得

u2v2+4uv=0.

所以

uv=0,uv=-4.

把上式分别与(1)式组成下列两个方程组:

![](./data/image/media/image48.wmf)

解这两个方程组,得

![](./data/image/media/image49.wmf)

就是

![](./data/image/media/image50.wmf)

所以

![](./data/image/media/image51.wmf)

检验后可以知道,只有前两组数是原方程组的解.

**解法四:**

![](./data/image/media/image52.wmf)

(1)式两边平方并化简,得

![](./data/image/media/image53.wmf)

由(2)式得

2(x+y)=xy+x+y+15. (4)

比较(3)与(4)得,

![](./data/image/media/image54.wmf)

![](./data/image/media/image55.wmf)

上面第二个式子不可能成立.因此,

![](./data/image/media/image56.wmf)

由此得

![](./data/image/media/image57.wmf)

解之,得

![](./data/image/media/image58.wmf)

经检验,这都是原方程组的解.

**6.**在△ABC中,BC=a,CA=b,AB=c.

![](./data/image/media/image59.wmf)

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(3)如果△ABC不是等边三角形,求证:△ABC与△ABC这两个三角形不论它们的边怎样对应都不相似.

\[Key\] **6.解:**

![](./data/image/media/image61.wmf)

![](./data/image/media/image62.wmf)因为a、b、c是△ABC的三边,所以b+c\>a,而

![](./data/image/media/image63.wmf)

两边开方,得

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以作成一个三角形.

![](./data/image/media/image66.wmf)

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(3)不失一般性可以认为a≥b≥c,并且至少有一个不等号成立.由于![](./data/image/media/image68.wmf)

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![](./data/image/media/image70.wmf)

![](./data/image/media/image71.wmf)

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