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2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

数学（文史类）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．直线关于x轴对称的直线方程为 （ ）

A． B． C． D．

2．已知 （ ）

A． B．－ C． D．－

3．抛物线的准线方程是，则*a*的值为 （ ）

A． B．－ C．8 D．－8

4．等差数列{*a ~n~*}中，已知 （ ）

A．48 B．49 C．50 D．51

5．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F~1~，F~2~，∠ F~1~MF~2~=120°则双曲线的离心率为

（ ）

A． B． C． D．

6．设函数的取值范围是 （ ）

A．（－1，1） B．（---1，+∞）

C．（－∞，－2）∪（0，+∞） D．（－∞，－1）∪（1，+∞）

7．已知 （ ）

A． B． C． D．

8．函数上的偶函数，则= （ ）

A．0 B． C． D．

9．已知点的距离为1，则*a*= （ ）

A． B．－ C． D．

10．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为R，该圆柱的全面积为 （ ）

A． B． C． D．

11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）一质点从AB的中点P~0~沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P~1~后，依次反射到CD、DA和AB上的点P~2~、P~3~和P~4~（入射角等于反射角）.若P~4~与P~0~重合，则tgθ= （ ）

A． B． C． D．1

12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）

A． B．4 C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.

13．不等式的解集是 [ ]{.underline} .

14．的系数是 [ ]{.underline} .

15．在平面几何里，有勾股定理："设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB^2^+AC^2^=BC^2^"

拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是："设三棱锥A---BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 [ ]{.underline} ."

16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地

> 图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，
>
> 现有4种颜色可供选择，则不同的着色方
>
> 法共有 [ ]{.underline} 种.（以数字作答）

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知正四棱柱ABCD---A~1~B~1~C~1~D~1~，AB=1，AA~1~=2，点E为CC~1~中点，点F为BD~1~中点.

（I）证明EF为BD~1~与CC~1~的公垂线；

（II）求点D~1~到面BDE的距离.

18．（本小题满分12分）

已知复数z的辐角为60°，且\|z－1\|是\|z\|和\|z－2\|的等比中项，求\|z\|.

19．（本小题满分12分）

已知数列\|\|满足

（I）求

（II）证明

20．（本小题满分12分）

已知函数.

（I）函数数的最小正周期和最大值;

（II）在给出的直角坐标系中，画出函数上的图象.

21．（本小题满分12分）

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南

> 方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

22．（本小题满分14分）

已知常数在矩形ABCD中，AB=4，BC=4*a*，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

数学（文史类）参考答案

一、

1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．B 11．C 12．A

二、13． 14． 15． 16．72

三、

17．（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM，

∵F为BD~1~中点， ∴FM∥D~1~D且FM=D~1~D

又EC=CC~1~，且EC⊥MC，

∴四边形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC~1~

又CM⊥面DBD~1~ ∴EF⊥面DBD~1~

∵BD~1~面DBD~1~，

∴EF⊥BD~1~ 故EF为BD~1~与CC~1~的公垂线

（II）解：连结ED~1~，有V

> 由（I）知EF⊥面DBD~1~，设点D~1~到面BDE的距离为d，
>
> 则S~△DBC~·d=S~△DCD~·EF.
>
> ∵AA~1~=2·AB=1.
>
> 故点D~1~到平面BDE的距离为.

18．解：设z=

由题设

即

（舍去）

即\|z\|=

19．（I）解∵

（II）证明：由已知

=

所以

20．解（I）

所以函数的最小正周期为π，最大值为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

  -- --- -- --- -- ---
                   
     1      1      1
  -- --- -- --- -- ---

故函数在区间上的图象是

21．解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为*x*轴正向.

在时刻：t（h）台风中心的坐标为

此时台风侵袭的区域是，

其中t+60，

若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有

即

即， 解得.

答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭

22．解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得

点P到定点距离的和为定值.

按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4*a*），D（－2，4*a*）

设，

由此有E（2，4*ak*），F（2－4*k*，4*a*），G（－2，4*a*－4*ak*）.

直线OF的方程为：， ①

直线GE的方程为：.　　②

从①，②消去参数*k*，得点P（*x*，*y*）坐标满足方程，

整理得.

当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.

当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.

当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值.

当时，点P到椭圆两个焦点的距离之

和为定值.
