**2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题**

**一、填空题**

（1）.

（2）微分方程的通解是 [ ]{.underline} .

（3）设是锥面（）的下侧，则

[ ]{.underline} .

（4）点到平面的距离= [ ]{.underline} .

（5）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则=

[ ]{.underline} .

（6）设随机变量与相互独立，且均服从区间\[0, 3\]上的均匀分布，则= [ ]{.underline} .

**二、选择题**

（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则

（A） （B）

（C） （D） 【 】

（8）设为连续函数，则等于

（A） （B）

（C） （C） 【 】

（9）若级数收敛，则级数

> （A）收敛. （B）收敛.
>
> （C）收敛. （D）收敛. 【 】

（10）设与均为可微函数，且. 已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是

（A）若，则.

（B）若，则.

（C）若，则.

（D）若，则. 【 】

（11）设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是

（A）若线性相关，则线性相关.

（B）若线性相关，则线性无关.

（C）若线性无关，则线性相关.

（D）若线性无关，则线性无关. 【 】

（12）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则

> （A） （B）

（C） （D） 【 】

（13）设为随机事件，且，则必有

（A） （B）

（C） （D） 【 】

（14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且

（A） （B）

（C） （D） 【 】

三 解答题

15 设区域D=,计算二重积分 .

16 设数列满足 .

求: (Ⅰ)证明存在,并求之 .

(Ⅱ)计算 .

17 将函数展开成x的幂级数.

18 设函数满足等式.

(Ⅰ)验证.

(Ⅱ)若.

19 设在上半平面D=内,数是有连续偏导数,且对任意的t\>0都有.

证明: 对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有.

20 已知非齐次线性方程组

Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩

Ⅱ求的值及方程组的通解

21 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量是线性方程组A=0的两个解, (Ⅰ)求A的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得.

22 随机变量x的概率密度为为二维随机变量(X,Y)的分布函数.

(Ⅰ)求Y的概率密度

(Ⅱ)

23 设总体X的概率密度为,

为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值,求的最大似然估计.

**2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题解析**

1.  填空题

（1）= [2]{.underline} .

（）

（2）微分方程的通解是，这是变量可分离方程.

（3）设是锥面的下侧，则

补一个曲面上侧

> ∴ （为锥面和平面所围区域）
>
> （为上述圆锥体体积）

而

（∵在上：）

（4）

(5)设***A***= 2 1 ,2阶矩阵***B*** 满足***BA***=***B*** +2***E***,则\|***B***\|= [ ]{.underline} .

-1 2

解:由***BA***=***B*** +2***E***化得***B***(***A***-***E***)=2***E,两边取行列式,得***

***\|B\|\|A***-***E\|=\|***2***E\|=4,***

计算出***\|A***-***E\|=2,因此***\|***B***\|=2.

**（6）**

2.  选择题

（7）设函数具有二阶导数，且，，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分.若，则

(11)设***α***~1~,***α***~2~,***...***,***α***~s~ 都是n维向量，***A***是m×n矩阵，则（ ）成立.

\(A\) 若***α***~1~,***α***~2~,***...***,***α***~s~线性相关,则***Aα***~1~,***Aα***~2~,***...***,***Aα***~s~线性相关.

\(B\) 若***α***~1~,***α***~2~,***...***,***α***~s~线性相关,则***Aα***~1~,***Aα***~2~,***...***,***Aα***~s~线性无关.

\(C\) 若***α***~1~,***α***~2~,***...***,***α***~s~线性无关,则***Aα***~1~,***Aα***~2~,***...***,***Aα***~s~线性相关.

\(D\) 若***α***~1~,***α***~2~,***...***,***α***~s~线性无关,则***Aα***~1~,***Aα***~2~,***...***,***Aα***~s~线性无关.

解: (A)

本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.

若***α***~1~,***α***~2~,***...***,***α***~s~线性相关,则存在不全为0的数c~1~,c~2~,...,c~s~使得

c~1~***α***~1~+c~2~***α***~2~+...+c~s~***α***~s~=0,

用***A***左乘等式两边,得

c~1~***Aα***~1~+c~2~***Aα***~2~+...+c~s~***Aα***~s~=0,

于是***Aα***~1~,***Aα***~2~,***...***,***Aα***~s~线性相关.

如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:

1.*** α***~1~,***α***~2~,***...***,***α***~s~ 线性无关⇔ r(***α***~1~,***α***~2~,***...***,***α***~s~ )=s.

2\. r(***AB***)≤ r(***B***).

矩阵(***Aα***~1~,***Aα***~2~,***...***,***Aα***~s~)=***A***(*** α***~1~,*** α***~2~,***...***,***α***~s~ ),因此

r(***Aα***~1~,***Aα***~2~,***...***,***Aα***~s~)≤ r(***α***~1~,*** α***~2~,***...***,***α***~s~ ).

由此马上可判断答案应该为(A).

(12)设***A***是3阶矩阵,将***A***的第2列加到第1列上得***B***,将***B***的第1列的-1倍加到第2列上得***C***.记 1 1 0

***P***= 0 1 0 ,则

0 0 1

\(A\) ***C***=***P***^-1^***AP***. (B) ***C***=***PAP***^-1^.

\(C\) ***C***=***P***^T^***AP***. (D) ***C***=***PAP***^T^.

解: (B)

用初等矩阵在乘法中的作用得出

***B***=***PA*** ,

1 -1 0

***C***=***B 0 1 0 =BP***^-1^***= PAP***^-1^***.***

***0 0 1***

**（13）**根据乘法公式与加法公式有：

P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B)

P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)

应选C

**（14）**依题：

　　　　　

**　　　　　**

因

即

所以

应选A

3.  解答题

（18）设函数内具有二阶导数，且满足等式

> （I）验证
>
> （II）若 求函数
>
> 证：（I）
>
> （II）令

（19）设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意都有

证明：对*D*内任意分段光滑的有向简单闭曲线*L*，

都有.

证：把

得：

令 ，则

再令

所给曲线积分等于0的充分必要条件为

今

要求 成立，只要

我们已经证明，，于是结论成立.

(20)已知非齐次线性方程组

                      x~1~+x~2~+x~3~+x~4~=-1,

4x~1~+3x~2~+5x~3~-x~4~=-1，

            ax~1~+x~2~+3x~3~+bx~4~=1

有3个线性无关的解.

① 证明此方程组的系数矩阵***A***的秩为2.

② 求a,b的值和方程组的通解.

***解:① 设α***~1~,***α***~2~,***α***~3~是方程组的***3个线性无关的解,则α***~2~-***α***~1~,***α***~3~-***α***~1~是***AX=0的两个线性无关的解.于是AX=0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A)≥2,从而r(A)≤2.***

***又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r(A)≥2.***

***两个不等式说明r(A)=2.***

***② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:***

1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1

(***A***\|***β***)= 4 3 5 -1 -1 → 0 --1 1 --5 3 ,

a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a

***由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:***

***1 0 2 -4 2***

→ 0 1 -1 5 -3 .

0 0 0 0 0

得同解方程组

x~1~=2-2x~3~+4x~4~，

x~2~=-3+x~3~-5x~4~，

***求出一个特解(2,-3,0,0)***^T^***和AX=0的基础解系(-2,1,1,0)***^T^***,(4,-5,0,1)*** ^T^***.得到方程组的通解:*** (***2,-3,0,0***)^T^+c~1~(***-2,1,1,0***)^T^+c~2~(***4,-5,0,1***)^T^, c~1~,c~2~任意.

\(21\) 设3阶实对称矩阵***A***的各行元素之和都为3,向量***α***~1~=(-1,2,-1)^T^,*** α***~2~=(0,-1,1)^T^都是齐次线性方程组***AX=0的解.***

① 求***A***的特征值和特征向量.

② 求作正交矩阵***Q***和对角矩阵***Λ***,使得

***Q*** ^T^***AQ***=***Λ***.

解:① 条件说明***A(1,1,1***)^T^***=(3,3,3***)^T^***,即 α***~0~=***(1,1,1***)^T^***是A的特征向量,特征值为3.又α***~1~,***α***~2~都是***AX=0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0.由于α***~1~,***α***~2~***线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,0,0.***

***属于3的特征向量:cα***~0~, ***c≠0.***

***属于0的特征向量:c***~1~***α***~1~+***c***~2~***α***~2~, ***c***~1~,***c***~2~***不都为0.***

② 将***α***~0~单位化,得***η***~0~=(,,)^T^***.***

***对α***~1~,***α***~2~作施密特正交化,的***η***~1~=(0,-,)^T^***, η***~2~=***(-***,,***)***^T^***.***

***作Q***=(***η***~0~,***η***~1~,***η***~2~),则***Q***是正交矩阵,并且

3 0 0

***Q*** ^T^***AQ***=***Q***^-1^***AQ***= 0 0 0 .

0 0 0

**（22）**随机变量的概率密度为，令，为二维随机变量的分布函数.

（Ⅰ）求的概率密度；（Ⅱ）

**解：**

（Ⅰ）

；

.

所以：

这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对y进行适当的讨论即可，在新东方的辅导班里我也经常讲到，是基本题型.

（Ⅱ）

.

**（23）**设总体的概率密度为，其中是未知参数（0\<\<1）.

为来自总体的简单随机样本，记N为样本值中小于1的个数.求的最大似然估计.

**解：**对样本按照\<1或者≥1进行分类：\<1，≥1.

似然函数，

在\<1，≥1时，

，

，所以.
