1998年普通高等学校招生全国统一考试

**数学**

(理工农医类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.

**第Ⅰ卷**(选择题共65分)

1.  **选择题:**本大题共15小题;第(1)(10)题每小题4分,第(11)(15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的**.**

(1)设集合M=｛x│0≤x\<2｝,集合N=｛x│x2-2x-3\<0｝,集合M∩N为

(A)｛x│0≤x\<1｝ (B)｛x│0≤x\<2｝

(C)｛x│0≤x≤1｝ (D)｛x│0≤x≤2｝

\[Key\] B

(2)如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a为

\[Key\] B

(3)函数在一个周期内的图象是

![](./data/image/media/image3.wmf)

\[Key\] A

(4)已知三棱锥D-ABC的三个则面与底面全等，且AB=AC=，BC=2，则BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是

\[Key\] C

（5）函数的最小正周期是

\[Key\] B

(6)满足arccos(1-x)≥arccosx的x的取值范围是

\[Key\] D

(7)将y=2x的图象

(A)先向左平行移动1个单位 (B)先向右平行移动1个单位

(C)先向上平行移动1个单位 (D)先向下平行移动1个单位

再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=log2(x+1)的图象.

\[Key\] D

(8)长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是

\[Key\] C

(9)曲线的参数方程（t是参数，t≠0）,它的普通方程是

\[Key\] B

(10)函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为

\[Key\] B

(11)椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是

\(A\)

\(B\)

\(C\)

\(D\)

\[Key\] A

(12)圆台上、下底面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的体积是

\[Key\] D

(13)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间［0,+∞)的图象与f(x)的图象重合.设a\>b\>0,给出下列不等式

①f(b)-f(-a)\>g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)\<g(a)-g(-b);

③f(a)-f(-b)\>g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)\<g(b)-g(-a),

其中成立的是

(A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④

\[Key\] C

（14）不等式组的解集是

\[Key\] C

(15)四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有

(A)150种 (B)147种 (C)144种 (D)141种

\[Key\] D

(16)已知的展开式中x3的系数为，常数a的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_.

\[Key\] 4

(17)已知直线的极坐标方程则极点到该直线的距离是\_\_\_\_\_\_\_。

\[Key\]

(18)的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

\[Key\]

(19)已知m、*l*是直线,α、β是平面,给出下列命题:

①若*l*垂直于α内的两条相交直线,则*l*⊥α;

②若*l*平行于α,则*l*平行于α内的所有直线;

③若mα, *l* β,且*l*⊥m,则α⊥β;

④若*l* β,且*l*⊥α,则α⊥β;

⑤若mα, *l* β,且α∥β,则m∥*l.*

其中正确的命题的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.(注:把你认为正确的命题的序号**都**填上)

\[Key\] ①④

(20)已知复数平面上所对应的点分别为P、Q，证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）

\[Key\] 本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识,考查运算能力和逻辑推理能力.满分10分.

**解法一**：

\-\-\-\-\--2分

于是

由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三解形

**解法二:**

由此得OP⊥OQ,│OP│=│OQ│.

由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三角形.\-\--10分

(21)(本小题满分11分)

已知数列｛an｝,｛bn｝都是由正数组成的等比数列,公比分别为p,q,

其中p\>q,且p≠1,q≠1.设cn=an+bn,sn为数列｛cn｝的前n项和.求

\[Key\] 本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识,考查逻辑推理能力和运算能力.满分11分.

**解:**

,分两种情况讨论.

(Ⅰ)p\>1.

=p. \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--7分

(Ⅱ)p\<1.

∵ 0\<q\<p\<1,

\-\-\-\-\-\--11分

(22)(本小题满分12分)

甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时.已知汽车**每小时的运输成本**(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元.

(Ⅰ)**全程运输成本**把y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;

(Ⅱ)为了使**全程运输成本**最小,汽车应以多大速度行驶?

\[Key\] 本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识,考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,满分12分.

（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为s/v，全程运输成本为

\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--4分

故所求函数及其定义域为

.. \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--5分

(Ⅱ)依题意知S,a,b,v都为正数,故有

因为c-v≥0,且a\>bc2,故有

a-bcv≥a-bc2\>0,

也即当v=c时,全程运输成本y最小.

(23)(本小题满分12分)

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.

(Ⅰ)证明AD⊥D1F;

(Ⅱ)求AE与D1F所成的角;

(Ⅲ)证明面AED⊥面A1FD1;

\[Key\] 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,考查逻辑推理能力和空间想象能力,满分12分.

**解:**(Ⅰ)∵AC1是正方体,

∴AD⊥面DC1.

又D1F面DC1,

∴AD⊥D1F. \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--2分

(Ⅱ)取AB中点G,连结A1G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.

设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角,因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,∠GA1A=∠GAH，从而

∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成角为直角. \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--5分

(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F,由(Ⅱ)知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因为D1F面A1FD1,所以面AED⊥面A1FD1. \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--7分

(Ⅳ)连结GE,GD1.

∵FG∥A1D1,∴FG∥面A1ED1,

∵AA1=2,

面积S△A1GE=S□ABB1A1-2S△A1AG\--S△GBE=

(24)(本小题满分12分)

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a\>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足

(Ⅰ)当x∈(0,x1)时,证明x\<f(x)\<x1;

.

\[Key\] 本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识,考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分.

**证明:**(Ⅰ)令F(x)=f(x)-x.因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,所以

F(x)=a(x-x1)(x-x2). \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--2分

当x∈(0,x1)时,由于x1\<x2,得(x−x1)(x−x2)\>0,又a\>0,得

F(x)=a(x−x1)(x−x2)\>0,

即x\<f(x). \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--4分

所以x1−x\>0,1+a(x−x2)=1+ax−ax2\>1−ax2\>0.

得 x1-f(x)\>0.

由此得f(x)\<x1. \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--7分

(Ⅱ)依题意知

因为x1,x2是方程f(x)−x=0的根,即x1,x2是方程ax2+(b−1)x+c=0的根.

,

因为ax2\<1,所以

\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--12分

(25)(本小题满分12分)

设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线ι:x-2y=0的距离最小的圆的方程.

\[Key\] 本小题主要考查轨迹的思想,求最小值的方法,考查综合运用知识建立曲线方程的能力.满分12分.

**解法一**:设圆的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│.

由题设圆P截X轴所得劣弧对的圆心角为，，知圆P截X轴的弦长为，故

r2=2b2 \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--2分

又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有

r2=a2+1.

从而得2b2-a2=1. \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--5分

又点P(a,b)到直线x−2y=0的距离为

\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--7分

所以5d2=│a-2b│2

=a2+4b2-4ab

≥a2+4b2-2(a2+b2)

=2b2-a2=1,

当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值.

\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--10分

由此有

解此方程组得

由于r2=2b2知

于是,所求圆的方程是

(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--12分

**解法二:**同解法一得

将a2=2b2-1代入①式,整理得

②

把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即

△=8(5d2-1)≥0,

得 5d2≥1.

所以5d2有最小值1，从而d有最小值 10分

将其代入②式得2b2±4b+2=0.解得b=±1.

将b=±1代入r2=2b2,得r2=2.由r2=a2+1得a=±1.

综上 a=±1,b=±1,r2=2.

由│a-2b│=1知a,b同号.

于是,所求圆的方程是

(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--12分
