**2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I）**

**数学（文科）试卷**

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

**第Ⅰ卷**

**注意事项：**

1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓号和科目。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3.本卷共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

**参考公式：**

如果事件*A*、*B*互斥，那么　　　　　　　　　　　　　球的表面积公式

*P*（*A*+*B*）=*P*A．+*P*B． 　　 *S*=4π*R*^2^

如果事件*A*、*B*相互独立，那么　　　　　　　　　　　其中R表示球的半径

*P*（*A*·*B*）＝*P*A．·*P*B．　　　　　　　　　　　　　球的体积公式

如果事件*A*在一次试验中发生的概率是*P*，那么　　　　*V*=π*R^3^*

*n*次独立重复试验中事件*A*恰好发生*k*次的概率

*P~n~*（*k*）=*CP^k^*（1－*P*）^*n*－*k*^（*k*=0，1，2，...，*n*）

**一、选择题**

1．设*S*=，*T*=，则*S*∩*T*=

A．Ø B．

C． D．

2．*α*是第四象限角，cos*α*＝，则sin*α*=

A． B．－ C． D．－

3．已知向量*a*=（－5，6），*b*=（6，5），则*a*与*b*

A．垂直　　　　　　　　　　　　　B．不垂直也不平行

C．平行且同向　　　　　　　　　　D．平行且反向

4．已知双曲线的离心率为2，焦点是（－4，0），（4，0），则双曲线方程为

A． B．

C． C．

5．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有

A．36种 B．48种 C．96种 D．192种

6．下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是

![](./data/image/media/image18.png)A．（0，2） B．（－2，0）

C．（0，－2） D．（2，0）

7．如图，正四棱柱*ABCD－A~1~B~1~C~1~D~1~*中，*AA*~1~=2*AB*，则异面直线A~1~B与AD~1~所成角的余弦值为

A． B．

C． D．

8．设*a*\>1，函数*f*（*x*）=log*~a~x*在区间［*a*，2*a*］上的最大值与最小值之差为则*a*=

A． B．2 C．2 D．4

9．*f*（*x*），g（*x*）是定义在R上的函数，h（*x*）=*f*（*x*）+ g（*x*），则"*f*（*x*），g（*x*）均为偶函数"，是"h（*x*）为偶函数"的

A．充要条件 B．充分而不必要的条件

C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件

10．函数y=2cos~­~^2^*x*的一个单调增区间是

A．（） B．（） C．（） D．（）

11．曲线y=在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为

A． B． C． D．

12．抛物线*y*^2^=4*x*的焦点为F，准线为*l*，经过F且斜率为的直线与抛物线在*x*轴上方的部分相交于点A，AK⊥*l*，垂足为K，则△AKF的面积是

A．4 B．3 C． 4 D．8

**第II卷**

**注意事项：**

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．第Ⅱ卷共2页，请用直径5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。

3．本卷共10题，共90分。

**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上。**

13．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：

492 496 494 495 498 497 501 502 504 496

497 503 506 508 507 492 496 500 501 499

根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5～501.5之间的概率约为\_\_\_\_\_\_。

14．函数*y=f（x）*的图像与函数*y*=log~3~*x*（*x*\>0）的图像关于直线*y=x*对称，则*f*（*x*）=\_\_\_\_。

15．正四棱锥*S－ABCD*的底面边长和各侧棱长都为，点*S、A、B、C、D*都在同一个球面上，则该球的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

16．等比数列{*a~n~*}的前*n*项和为S*~n~*，已知*S*~1~，2*S*~2~，3*S*~3~成等差数列，则{*a~n~*}的公比为 [ ]{.underline} 。

**三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。**

17．（本小题满分10分）

设锐角三角形*ABC*的内角*A，B，C*的对边分别为*a，b，c，a*=2*b*sin*A。*

（Ⅱ）求*B*的大小；

（Ⅲ）若*a*=3，*c*=5，求*b*。

18．（本小题满分12分）

某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买。根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6。经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元。

（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；

（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率。

19．（本小题满分12分）

![](./data/image/media/image38.png)四棱锥*S－ABCD*中，底面*ABCD*为平行四边形，侧面*SBC*⊥底面*ABCD*。已知∠*ABC*＝45°，*AB*＝2，*BC*=2，*SA*＝*SB*＝。

（Ⅰ）证明：*SA*⊥*BC*；

（Ⅱ）求直线*SD*与平面*SAB*所成角的大小。

20．（本小题满分12分）

设函数*f*（*x*）=2*x*^3^+3*ax*^2^+3*bx+*8*c*在*x*=1及*x*=2时取得极值。

（Ⅰ）求*a*、*b*的值；

（Ⅱ）若对于任意的*x*都有*f*（*x*）＜*c*^2^成立，求*c*的取值范围。

21．（本小题满分12分）

设{*a~n~*}是等差数列，{*b~n~*}是各项都为正数的等比数列，且*a*~1~=*b*~1~=1，*a*~3~+*b*~5~=21，*a*~5~+*b*~3~=13。

（Ⅰ）求{*a~n~*}，{*b~n~*}的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前*n*项和*S~n~*。

22．（本小题满分12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为*F*~1~、*F*~2~，过*F*~1~的直线交椭圆于*B*、*D*两点，过*F*~2~的直线交椭圆于*A*、*C*两点，且*AC*⊥*BD*，垂足为*P*。

（Ⅰ）设*P*点的坐标为（*x*~0~，*y*~0~），证明：；

（Ⅱ）求四过形*ABCD*的面积的最小值。
