**2005年高考文科数学**![](./data/image/media/image1.emf)**山东卷**![](./data/image/media/image1.emf)**试题及答案**

**第Ⅰ卷（选择题 共60分）**

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么

如果事件A、B相互独立，那么 =

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是最符合题目要求的![](./data/image/media/image5.emf)

（1）是首顶,公差的等差数列,如果,则序号等于

（A）667 (B) 668 (C) 669 (D)670

（2）下列大小关系正确的是

（A） (B)

\(C\) (D)

（3）函数的反函数的图象大致是

![](./data/image/media/image16.emf) ![](./data/image/media/image17.emf) ![](./data/image/media/image18.emf) ![](./data/image/media/image19.emf)

（A） (B) (C) (D)

（4）已知函数则下列判断正确的是

（A）此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是

\(B\) 此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是

\(C\) 此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是

\(D\) 此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是

（5）下列函数中既是奇函数，又是区间上单调递减的是

（A） (B)

\(C\) (D)

（6）如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是

（A） (B) (C) (D)

（7）函数若则的所有可能值为

（A） (B) , (C) (D) ,

（8）已知向量，且则一定共线的

（A） Ａ、B、D (B) A、B、C (C) B、C、D (D)A、C、D

（9）设地球半径为R，若甲地位于北纬东经，乙地位于南纬度东经，则甲、乙两地球面距离为

（A） (B) (C) (D)

（10）10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是

（A） (B) (C) (D)

（11）设集合A、B是全集U的两个子集，则是

（A） 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件

\(C\) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件

（12）设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使的面积为的点P的个数为

（A） 1 (B) 2 (C) 3 (D)4

> **第Ⅱ卷（共100分）**

二、填空题：本大题共4小题， 每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上![](./data/image/media/image5.emf)

\(13\) 某学校共有教师490人,其中不到40岁的有350人, 40岁及以上的有140人,为了普通话在该校教师中的推广普及情况,用分层抽样的方法,从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试,其中在不到40岁的教师中应抽取的人数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_![](./data/image/media/image5.emf)

(14)设双曲线的右焦点为F,右准线与两条渐近线交于P、Q两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率![](./data/image/media/image5.emf)

(15)设满足约束条件则使得目标函数的值最大的点是\_\_\_\_\_\_\_![](./data/image/media/image5.emf)

(16)已知m、n是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：

① 若，则平行于平面内的任意一条直线![](./data/image/media/image5.emf)

②若则![](./data/image/media/image5.emf)

③若,则![](./data/image/media/image5.emf)

④若则 ![](./data/image/media/image5.emf)

上面命题中，真命题的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(写出所有真命的序号）![](./data/image/media/image5.emf)

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤![](./data/image/media/image5.emf)

(17)（本小题满分12分）

　　已知向量和，且，求的值![](./data/image/media/image5.emf)

\(18\) （本小题满分12分）

袋中装有罴球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止![](./data/image/media/image5.emf)每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需的取球次数．

（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；

（Ⅱ）求取球2次终止的概率；

（Ⅲ）求甲取到白球的概率![](./data/image/media/image5.emf)

\(19\) （本小题满分12分）

已知是函数的一个极值点,其中.

（Ⅰ）求m与n的关系表达式;

（Ⅱ）求的单调区间；

\(20\) （本小题满分12分）

![](./data/image/media/image94.emf)　　　如图，已知长方体，，直线与平面所成的角为，垂直于为的中点．

　（Ⅰ）求异面直线与所成的角；

（Ⅱ）求平面与平面所成二面角（锐角）的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离![](./data/image/media/image5.emf)

\(21\) （本小题满分12分）已知数列的首项前项和为，且

（I）证明数列是等比数列；

（II）令，求函数在点处的导数![](./data/image/media/image5.emf)

\(22\) （本小题满分14分）已知动圆过定点，且与直线相切，其中.

（I）求动圆圆心的轨迹的方程；

（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标![](./data/image/media/image5.emf)

**2005年高考文科数学**![](./data/image/media/image1.emf)**山东卷**![](./data/image/media/image1.emf)**试题及答案**

**参考答案**

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  题号   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12
  答案   C   C   B   B   D   C   B   A   D   D    A    B
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（13）50 （14） （15）） （16）③④

(17)（本小题满分12分）**考查知识点：（三角和向量相结合）**

解法一：

　　　

由已知，得![](./data/image/media/image5.emf)

又

所以　　![](./data/image/media/image5.emf)

∵　

∴　![](./data/image/media/image5.emf)

解法二：

　　　　

　由已知，得

∵　，∴　

∴　![](./data/image/media/image5.emf)

\(18\) （本小题满分12分）**（考查知识点：概率及分布列）**

解：（１）设袋中原有个白球，由题意知：

　　　　　　　　

　　所以，解得舍去，即袋中原有３个白球![](./data/image/media/image5.emf)

（Ⅱ）记"取球2次终止"的事件为A.

![](./data/image/media/image5.emf)

（Ⅲ）记"甲取到白球"的事件为B，因为甲先取,所以甲只有可能在第1次、第3次和第5次取球，则 （""，或""，或""）.

因为事件""、""、""两两互斥，所以

![](./data/image/media/image5.emf)

\(19\) （本小题满分12分）**（考查知识点：函数结合导数）**

（Ⅰ）解：.

因为是的一个极值点,所以,即.

所以![](./data/image/media/image5.emf)

（Ⅱ）解:由（Ⅰ）知

当时,有,当变化时与的变化如下表:

  -- ---------- -------- ---------- -------- ----------
                                    1        
     \<0        0        \>0        0        \<0
     单调递减   极小值   单调递增   极大值   单调递减
  -- ---------- -------- ---------- -------- ----------

由上表知,当时,在单调递减,在单调递增,在单调递减![](./data/image/media/image5.emf)

当时,有,当变化时与的变化如下表:

  -- ---------- -------- ---------- -------- ----------
                1                            
     \>0        0        \<0        0        \>0
     单调递增   极大值   单调递减   极小值   单调递增
  -- ---------- -------- ---------- -------- ----------

由上表知,当时,在单调递增,在单调递减,在单调递增![](./data/image/media/image5.emf)

\(20\) （本小题满分12分）**(考查知识点：立体几何)**

解法一：（向量法）

在长方体中，以所在直线为轴，所在直线为轴，　所在直线为轴建立空间直角坐标系如图．

![](./data/image/media/image204.emf)　　　　由已知，可得．

　　　　又平面，从面与平面所成的角即为

　　　　又![](./data/image/media/image5.emf)

　　　　从而易得![](./data/image/media/image5.emf)

　　　　（Ⅰ）![](./data/image/media/image5.emf)

　　　　　　　![](./data/image/media/image5.emf)

　　　即异面直线、所成的角为![](./data/image/media/image5.emf)

（Ⅱ）易知平面的一个法向量![](./data/image/media/image5.emf)

　　　设是平面的一个法向量．![](./data/image/media/image5.emf)

　　　由　　　![](./data/image/media/image5.emf)

　　　取![](./data/image/media/image5.emf)

∴![](./data/image/media/image5.emf)

即平面与平面所成二面角（锐角）大小为![](./data/image/media/image5.emf)

（Ⅲ）点A到平面BDF的距离，即在平面BDF的法向量上的投影的绝对值![](./data/image/media/image5.emf)

所以距离

　

![](./data/image/media/image5.emf)

所以点A到平面BDF的距离为![](./data/image/media/image5.emf)

解法二：(几何法)

![](./data/image/media/image239.emf)（Ⅰ）连结，过F作的垂线，垂足为K，

∵与两底面ABCD，都垂直，

∴

又

因此![](./data/image/media/image5.emf)

∴为异面直线与所成的角![](./data/image/media/image5.emf)

连结BK，由FK⊥面得，

从而 为![](./data/image/media/image5.emf)

在 和中，

由得![](./data/image/media/image5.emf)

又， ∴![](./data/image/media/image5.emf)

∴异面直线与所成的角为![](./data/image/media/image5.emf)

![](./data/image/media/image262.emf)（Ⅱ）由于面由作的垂线，垂足 为，连结，由三垂线定理知![](./data/image/media/image5.emf)

∴即为平面与平面所成二面角的平面角![](./data/image/media/image5.emf)

且，在平面中，延长与；交于点![](./data/image/media/image5.emf)

∵为的中点，

∴、分别为、的中点![](./data/image/media/image5.emf)

即，

∴为等腰直角三角形，垂足点实为斜边的中点F，即F、G重合![](./data/image/media/image5.emf)

易得，在中，![](./data/image/media/image5.emf)

∴，

∴，

即平面于平面所成二面角（锐角）的大小为![](./data/image/media/image5.emf)

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面是平面与平面所成二面角的平面角所在的平面

![](./data/image/media/image299.emf)　　　∴面![](./data/image/media/image5.emf)

　　　在中，由Ａ作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离![](./data/image/media/image5.emf)

由AHDF=ADAF，得

![](./data/image/media/image5.emf)

所以点A到平面BDF的距离为![](./data/image/media/image5.emf)

\(21\) （本小题满分12分）**（考查知识点:数列）**

解：由已知

可得两式相减得

，即![](./data/image/media/image5.emf)

从而

当时,，所以![](./data/image/media/image5.emf)

又所以，从而![](./data/image/media/image5.emf)

故总有，

又，从而,

即数列是以为首项，2为公比的等比数列；

（II）由（I）知

因为所以

从而=

=-=.

![](./data/image/media/image328.emf) (22) （本小题满分14分）（**考查知识点:圆锥曲线）**

解：（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；

（II）如图，设，由题意得，

又直线OA,OB的倾斜角满足，故，

所以直线的斜率存在，

否则，OA,OB直线的倾斜角之和为![](./data/image/media/image5.emf)

从而设AB方程为，显然，

将与联立消去，得

由韦达定理知①

由，得1＝==

将①式代入上式整理化简可得：，所以，

此时，直线的方程可表示为即

所以直线恒过定点.
