2000年普通高等学校春季招生考试（北京、安徽卷）

**数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准**

说明：

1.  本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解

法供参考，如果考生的解法与本题解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

> 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答

未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较重的错误，就不再给分。

> 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
>
> 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

**一、选择题：本题考查基础知识和基础运算。第（1）---（10）每小题4**

**分，第（11）---（14）题每小题5分，满分60分。**

> （1）D （2）A （3）C （4）D （5）C

（6）B （7）B （8）B （9）D （10）B

（11）A （12）D （13）C （14）A

**二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。**

（15） （16） （17）210

（18）①，④

**三、解答题**

（19）本小题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理等基础知识，考查三角函数简单的变形技能。满分12分。

证明：由余弦定理

---------3分

∴

整理得 ---------6分

依正弦定理，有 ---------9分

∴

---------12分

（20）本小题主要考查空间线间关系，及运算、推理、空间想象能力。满分12

分。

**解**：（I）在直角梯形ABCD中，

由已知DAC为等腰直角三角形，

∴

过C作CH⊥AB，由AB=2，

可推得 AC=BC=

∴ AC⊥BC ---------2分

取 AC的中点E，连结，

则 ⊥AC

又 ∵ 二面角为直二面角，

∴ ⊥

又 ∵ 平面

∴ BC⊥

∴ BC⊥，而，

∴ BC⊥ ---------4分

∴ 为二面角的平面角。

由于，

∴二面角为。 ---------6分

（II）取AC的中点E，连结，再过作，垂足为O，连结

OE。

∵ AC⊥，

∴ AC⊥

∴ 为二面角的平面角，

∴ ---------9分

在中，，

∴，

---------12分

（21）本小题主要考查函数的单调性、对数函数的性质、运算能力，考查分析问题解决问题的能力。满分12分。

证明：由已知 ---------2分

∵ ，，

∴ 、不能同时在区间 上，又由于，故必有；

---------6分

若 ，显然有 ---------8分

若 ，由，

有 ，

故 ，

∴ ---------12分

（22）本小题主要考查直线、抛物线的基础知识，考查由动点求轨迹方程的基

本方法以及方程化简的基本技能。满分12分。

解：如图，点A，B在抛物线上，

设 ，OA、OB的斜率分别为、。

∴ ---------2分

由OA⊥AB，得 ① ---------4分

依点A在AB上，得直线AB方程

② ---------6分

由OM⊥AB，得直线OM方程 ③ ---------8分

设点M，则满足②、③两式，将②式两边同时乘以，并利用③式整理得

④ ---------10分

由③、④两式得

由①式知，

∴

因为A、B是原点以外的两点，所以

所以M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。

------12分

（23）本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数

学知识、思想和方法解决实际问题的能力。满分12分。

**解：**（I）：设下调后的电价为元/，依题意知用电量增至，电力部门的收益为

---------5分

（II）依题意有

---------9分

整理得

解此不等式得

答：当电价最低定为元/仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%。

（24）本小题主要考查函数及数列的基本概念和性质，考查分析、归纳、推理、

运算的能力。满分14分。

**解**（I）：函数图象：

![](./data/image/media/image74.wmf)

说明：图象过、、点；在区间上的图象为上凸的曲线段；在区间上的图象为直线段。

（II）：*f*~2~(*x*)=-2*x*-2，的反函数为：

---------5分

由已知条件得：

......

∴

即 ， ---------8分

∴ ---------10分

（III）：由已知，

∴ ，

由 的值域，得

∴

由，整理得 ，

解得

因为，所以 ---------14分
