**2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II）**

**数学（理科）试卷**

（必修+选修II）

**注意事项：**

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共4页，总分150分考试时间120分钟。

2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上。

3．选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

4．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚。

5．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效。

6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

**第I卷（选择题）**

本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

**参考公式：**

如果事件A、B互斥，那么

P（A+B）=PA．+PB．

如果事件A、B相互独立，那么

P（A·B）=PA．·PB．

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

P~n~（k）=CP^k^（1－P）^n－k^

**一、选择题**

1．sin210° =

A． B．－ C． D．－

2．函数*y*=\|sin*x*\|的一个单调递增区间是

A．（－，） B．（，） C．（π，） D．（，2π）

3．设复数*z*满足=*i*，则*z* =

A．－2+i B．－2－i C．2－i D．2+i

4．以下四个数中的最大者是

A．（ln2）^2^ B．ln（ln2） C．ln D．ln2

5．在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=

A． B． C．－ D．－

6．不等式：\>0的解集为

A．（－2，1） B．（2，+∞）

C．（－2，1）∪（2，+∞） D．（－∞，－2）∪（1，+∞）

7．已知正三棱柱ABC－A~1~B~1~C~1~的侧棱长与底面边长相等，则AB~1~与侧面ACC~1~A~1~所成角的正弦值等于

A． B． C． D．

8．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为

A．3 B． 2 C． 1 D．

9．把函数*y*=*e^x^*的图象按向量***a***=（2，3）平移，得到*y*=*f*（*x*）的图象，则*f*（*x*）=

A．*e^x^*^－3^+2 B． *e^x^*^+3^－2 C． *e^x^*^－2^+3 D．*e^x^*^+2^－3

10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有

A．40种 B． 60种 C．100种 D．120种

11．设F~1~，F~2~分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F~1~AF~2~=90º，且\|AF~1~\|=3\|AF~2~\|，则双曲线离心率为

A． B． C． D．

12．设F为抛物线y^2^=4*x*的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=**0**，则\|FA\|+\|FB\|+\|FC\|=

A．9 B． 6 C． 4 D．3

**第II卷（非选择题）**

本卷共10题，共90分。

**二、填空题**

13．（1+2*x*^2^）（*x*－）^8^的展开式中常数项为 [ ]{.underline} 。（用数字作答）

14．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ^2^）（σ\>0），若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为 [ ]{.underline} 。

15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 [ ]{.underline} cm^2^。

16．已知数列的通项*a~n~*=－5*n*+2，其前*n*项和为S*~n~*，则= [ ]{.underline} 。

**三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。**

17．（本小题满分10分）

在 ∆ABC中，已知内角A=，边 BC=2，设内角B=*x*， 周长为y。

（1）求函数y=*f*（*x*）的解析式和定义域；

（2）求y的最大值。

18．（本小题满分12分）

从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A："取出的2件产品中至多有1件是二等品"的概率P（A）=0.96。

（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率*p*；

（2）若该批产品共有100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列。

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱

SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。

（I）求证：EF∥平面SAD；

（II）设SD = 2CD，求二面角A－EF－D的大小。

20．（本小题满分12分）

在直角坐标系*x*O*y*中，以O为圆心的圆与直线：*x*－y=4相切。

（1）求圆O的方程；

（2）圆O与*x*轴相交于A、B两点，圆内的动点P使\|PA\|、\|PO\|、\|PB\|成等比数列，求的取值范围。

21．（本小题满分12分）

设数列{*a~n~*}的首项*a*~1~∈（0，1）， *a*~n~=，*n*=2，3，4...

（1）求{*a~n~*}的通项公式；

（2）设，求证\<，其中*n*为正整数。

22．（本小题满分12分）

已知函数*f*（*x*）=*x*^3^－*x*。

（1）求曲线*y*=*f*（*x*）在点M（*t*，*f*（*t*））处的切线方程；

（2）设*a*\>0，如果过点（*a*，*b*）可作曲线*y*=*f*（*x*）的三条切线，证明：－*a*\<*b*\<*f*（*a*）。
