**1984年试题**

(理工农医类)

**一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.**

(1)数集X={(2n+1)π,n是整数}与数集Y={(4k±1)π,k是整数}之间的关系是

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(C)X=Y (D)X≠Y

【 】

\[Key\] **一、本题考查基本概念和基本运算.**

(1)C;

(2)如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点,那么

(A)F=0,G≠0,E≠0 (B)E=0,F=0,G≠0

(C)G=0,F=0,E≠0 (D)G=0,E=0,F≠0

【 】

\[Key\] (2)C;

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(A)一定是零 (B)一定是偶数

(C)是整数但不一定是偶数 (D)不一定是整数

【 】

\[Key\] (3)B;

(4)arccos(-x)大于arccosx的充要条件是

(A)x∈(0,1\] (B)x∈(-1,0)

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【 】

\[Key\] (4)A;

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(A)是第一象限角

(B)是第三象限角

(C)可能是第一象限角,也可能是第三象限角

(D)是第二象限角

【 】

**\[Key\]** (5)B.

**二、只要求直接写出结果.**

(1)已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形,求圆柱的体积.

(2)函数log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数?

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(6)要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少种不同的排法(只要求写出式子,不必计算).

**\[Key\] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.**

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(2)x\<-2;

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(4)-20;

(5)0;

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**三、本题只要求画出图形.**

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\[Key\] **三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力.**

**解:** ![](./data/image/media/image11.wmf)

四、已知三个平面两两相交,有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.

\[Key\] **四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.**

**证明：**设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.

∵ α∩β=c, α∩γ=b,

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从而c与b或交于一点或互相平行.

(1)若c与b交于一点,设c∩b=P.由P∈c,且cβ,有P∈β;又由P∈b,且bγ,有P∈γ.于是P∈β∩γ=a.

所以a,b,c交于一点(即P点).

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(2)若c∥b,则由bγ,有c∥γ.又由cβ,且β∩γ=a,可知c∥a.

所以a,b,c互相平行.

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\[Key\] **五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力.**

**解法一:**由原对数方程得

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cx2+d=1.

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这个不等式仅在以下两种情形下成立:

①c\>0,1-d\>0,即c\>0,d\<1;

②c\<0,1-d\<0,即c\<0,d\>1.

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**解法二:**原对数方程有解的充要条件是:

(1)x\>0,

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cx2+d=1.

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因此,条件组(1)(4)可简化为以下的等价条件组:

(1)x\>0,

(5)x≠1,

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这个不等式仅在以下两种情形下成立:

①c\>0,1-d\>0,即c\>0,d\<1;

②c\<0,1-d\<0,即c\<0,d\>1.

再由条件(1),(5)及(6),可知c≠1-d.

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六、(1)设p≠0,实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是z1,z2.求以z1,z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.

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\[Key\] **六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的求法.**

(1)**解法一:**因为p,q为实数,p≠0,z1,z2为虚数,所以

(-2p)2-4q\<0,q\>p2\>0.

由z1,z2为共轭虚数,知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.

根据椭圆的性质,复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系,可得椭圆的

短轴长=2b=│z1+z2│=│2p│=2│p│,

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**解法二:**同解法一,得q\>p2\>0.

根据实系数一元二次方程的求根公式,得

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可知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.

根据椭圆的性质和复数的几何意义,可得椭圆的

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注:也可利用椭圆长半轴的长等于短轴上的顶点到焦点的距离,直接得出

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(2)**解:**因为椭圆经过点M(1,2),且以y轴为准线,所以椭圆在y轴右侧,长轴平行于x轴.

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即

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这就是所求的轨迹方程.

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\[Key\] **七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.**

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a=6,b=8.

如图,设△ABC的内切圆圆心为O′,切点分别为D,E,F,则

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如图建立坐标系,则内切圆方程为

(x-2)2+(y-2)2=4.

设圆上动点P的坐标为(x,y),则

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因为P点在内切圆上,所以0≤x≤4.于是

S最大值=88-0=88,

S最小值=88-16=72.

**解法二:**同解法一,得△ABC是直角三角形,且r=2.

内切圆的参数方程为

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所以圆上动点P的坐标为(2+2cosα,2+2sinα).从而

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因为0≤α≤2π,所以

S最大值=80+8=88,

S最小值=80-8=72.

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**\[Key\] 八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用.**

(1)**证明:**先证明xn\>2(n=1,2,...).用数学归纳法.由条件α\>2及x1=α知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,因为由条件及归纳假设知

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再由归纳假设知不等式(xk-2)2\>0成立,所以不等式xk+1\>2也成立.从而不等式xn\>2对于所有的正整数n成立.

数学归纳法的第二个步骤也可以这样证:

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所以不等式xn\>2(n=1,2,...)成立.

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也可以这样证:对所有正整数n有

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还可以这样证:由于对所有正整数n有

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(2)**证法一:**用数学归纳法.由条件x1=α≤3知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,由条件及xk\>2知

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**证法二:**用数学归纳法.证不等式当n=k+1时成立用以下证法.由条件知

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再由xk\>2及归纳假设可得

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x1\>x2\>...\>xn\>xn+1≥3.

因此,由上面证明的结论及x1=α可得

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若xn≤3,则由第(1)小题可知xn+1\<xn,从而有xn+1\<3.

若xn\>3,则由第(1)小题可知x1\>x2\>...\>xn\>3.由此式及上面证明的结论,可得

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**九、附加题,不计入总分.**

如图,已知圆心为O、半径为1的圆与直线*l*相切于点A,一动点P自切点A沿直线l向右移动时,取弧的长为![](./data/image/media/image61.wmf),直线PC与直线![](./data/image/media/image62.wmf)

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**\[Key\] 九、(本题不计入总分)本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意义解决实际问题的能力.**

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![](./data/image/media/image65.wmf)

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解得

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