**1992年试题**

(理工农医类)

**一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后的括号内.**

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【 】

\[Key\] **一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.**

(1)A

(2)如果函数y=sin(ωx)cos(ωx)的最小正周期是4π,那么常数ω为

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【 】

\[Key\] (2)D

(3)极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是

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【 】

\[Key\] (3)D

(4)方程sin4xcos5x=-cos4xsin5x的一个解是

(A)10°. (B)20°. (C)50°. (D)70°

【 】

\[Key\] (4)B

(5)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的全面积与球的表面积的比是

(A)6:5. (B)5:4. (C)4:3. (D)3:2

【 】

\[Key\] (5)D

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个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为

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【 】

\[Key\] (6)B

(7)若loga2\<logb2\<0,则

(A)0\<a\<b\<1 (B)0\<b\<a\<1

(C)a\>b\>1 (D)b\>a\>1

【 】

\[Key\] (7)B

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(A)20°. (B)70°. (C)110°. (D)160°

【 】

\[Key\] (8)C

(9)在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有

(A)1个. (B)2个. (C)3个. (D)4个.

【 】

\[Key\] (9)D

(10)圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是

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【 】

\[Key\] (10)D

(11)在(x2+3x+2)5的展开式中x的系数为

(A)160. (B)240. (C)360. (D)800.

【 】

\[Key\] (11)B

(12)若0\<a\<1,在\[0,2π\]上满足sinx≥a的x的范围是

(A)\[0,arcsina\]. (B)\[arcsina,π-arcsina\].

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【 】

\[Key\] (12)B

(13)已知直线l1和l2夹角的平分线为y=x,如果l1的方程是ax+by+c=0

(ab\>0),那么l2的方程是

(A)bx+ay+c=0. (B)ax-by+c=0.

(C)bx+ay-c=0. (D)bx-ay+c=0.

【 】

\[Key\] (13)A

(14)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是

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【 】

\[Key\] (14)D

(15)已知复数z的模为2,则│z-i│的最大值为

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【 】

\[Key\] (15)D

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(A)是奇函数,它在(0,+∞)上是减函数.

(B)是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数.

(C)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数.

(D)是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数.

【 】

\[Key\] (16)C

(17)如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么

(A)f(2)\<f(1)\<f(4). (B)f(1)\<f(2)\<f(4).

(C)f(2)\<f(4)\<f(1). (D)f(4)\<f(2)\<f(1).

【 】

\[Key\] (17)A

(18)长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为

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(C)5. (D)6.

【 】

**\[Key\]** (18)C

**二、填空题:把答案填在题中横线上.**

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(20)sin15°sin75°的值是 [ ]{.underline} .

(21)设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的

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(22)焦点为F1(-2,0)和F2(6,0),离心率为2的双曲线的方程是.

(23)已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则

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**\[Key\] 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.**

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**三、解答题:解答应写出文字说明、演算步骤.**

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\[Key\] **三、解答案**

**(24)本小题考查复数相等的条件及解方程的知识.**

**解:**设z=x+yi(x,y∈R).

将z=x+yi代入原方程,得

(x+yi)(x-yi)-3i(x-yi)=1+3i,

整理得

x2+y2-3y-3xi=1+3i.

根据复数相等的定义,得

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由①得 x=-1.

将x=-1代入②式解得y=0,y=3.

∴z1=-1,z2=-1+3i.

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\[Key\] (25)本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力.

**解:**由题设知α-β为第一象限的角,

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由题设知α+β为第三象限的角,

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∴ sin2α=sin\[(α-β)+(α+β)\]

=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)

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(26)已知:两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线段AA1的长度为d.在直线a、b上分别取点E、F,设A1E=m,AF=n.

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\[Key\] **(26)本小题考查空间图形的线面关系,空间想象能力和逻辑思维能力.**

**解法一:**设经过b与a平行的平面为α,经过a和AA1的平面为β,α∩β=c,则c∥a.因而b,c所成的角等于θ,且AA1⊥c(如图).

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∵ AA1⊥b, ∴ AA1⊥α.

根据两个平面垂直的判定定理,β⊥α.

在平面β内作EG⊥c,垂足为G,则EG=AA1.并且根据两个平面垂直的性质定理,EG⊥α.连结FG,则EG⊥FG.在Rt△EFG中,EF2=EG2+FG2.

∵ AG=m,

∴在△AFG中,

FG2=m2+n2-2mncosθ.

∵ EG2=d2,

∴ EF2=d2+m2+n2-2mncosθ.

如果点F(或E)在点A(或A1)的另一侧,则

EF2=d2+m2+n2+2mncosθ.

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**解法二:**经过点A作直线c∥a,则c、b所成的角等于θ,且AA1⊥c.

根据直线和平面垂直的判定定理,AA1垂直于b、c所确定的平面α.

在两平行直线a、c所确定的平面内,作EG⊥c,垂足为G,则EG平行且等于AA1,

从而EG⊥α.

连结FG,则根据直线和平面垂直的定义,EG⊥FG.

在Rt△EFG中,EF2=EG2+FG2.

(以下同解法一)

(27)设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3=12,S12\>0,S13\<0.

(Ⅰ)求公差d的取值范围.

(Ⅱ)指出S1,S2,...,S12中哪一个值最大,并说明理由.

\[Key\] **(27)本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力.**

**(Ⅰ)解:**依题意,有

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由a3=12,得

a1=12-2d. ③

将③式分别代①、②入,得

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**(Ⅱ)解法一:**由d\<0可知

a1\>a2\>a3\>...\>a12\>a13.

因此,若1≤n≤12在中存在自然数n,使得an\>0,an+1\<0,

则Sn就是S1,S2,...,S12中的最大值.

由于 S12=6(a6+a7)\>0,

S13=13a7\<0,

即 a6+a7\>0,

a7\<0.

由此得 a6\>-a7\>0.

因为 a6\>0,a7\<0,

故在S1,S2,...,S12中S6的值最大.

**(Ⅱ)解法二:**

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∵ d\<0,

![](./data/image/media/image36.wmf)

![](./data/image/media/image37.wmf)

∴ S6最大.

**(Ⅱ)解法三:**

由d\<0可知 a1\>a2\>a3\>...\>a12\>a13.

因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an\>0,an+1\<0,

则Sn就是S1,S2,...,S12中的最大值.

![](./data/image/media/image38.wmf)

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![](./data/image/media/image40.wmf)

故在S1,S2,...,S12中S6的值最大.

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**\[Key\] (28)本小题考查椭圆性质、直线方程等知识,以及综合分析能力.**

**证法一:**设A、B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2).因线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行于y轴,即x1≠x2.又交点为P(x0,0),故

│PA│=│PB│,即

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∵ A、B在椭圆上,

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将上式代入①,得

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∵ x1≠x2,可得

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∵ -a≤x1≤a,-a≤x2≤a,且x1≠x2,

∴ -2a\<x1+x2\<2a,

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**证法二:**设A、B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2).因P(x0,0)在AB的垂直平分线上,以点P为圆心,│PA│=r为半径的圆P过A、B两点,圆P的方程为

(x-x0)2+y2=r2,

与椭圆方程联立,消去y得

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因A、B是椭圆与圆P的交点,故x1,x2为方程①的两个根.由韦达定理得

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因-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,且x1≠x2,故

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