**1964年试题**

![](./data/image/media/image1.wmf)

**\[Key\] 1.解法一:**

![](./data/image/media/image2.wmf)

![](./data/image/media/image3.wmf)

![](./data/image/media/image4.wmf)

![](./data/image/media/image5.wmf)

![](./data/image/media/image6.wmf)

![](./data/image/media/image7.wmf)

**解法二:**

![](./data/image/media/image8.wmf)

![](./data/image/media/image9.wmf)

![](./data/image/media/image10.wmf)

![](./data/image/media/image11.wmf)

![](./data/image/media/image12.wmf)

**2.**甲乙二人在河的南岸O处,隔河在正北方向有一建筑物P.甲向正东、乙向正西沿河岸而行,甲每分钟比乙多走a米.10分钟后,甲望建筑物P在北a度西(即北偏西a度),乙望建筑物P在北β度东(即北偏东β度),求O与P之间的距离.

**\[Key\] 2.解:**如图,设OB=x,则OA=x+10a.

再设OP=h,则

htgα=x+10a,

htgβ=x.

h(tgα-tgβ)=10a,

![](./data/image/media/image13.wmf)

![](./data/image/media/image14.wmf)

**3.**解方程x4+1=0;并且证明:平面内表示这个方程的根的四个点是一个正方形的顶点.

**\[Key\] 3.解法一:**原方程即x4=-1,也就是

x4=cos(2k+1)π+isin(2k+1)π

![](./data/image/media/image15.wmf)

令k=0、1、2、3,就得到原方程的四个根:

![](./data/image/media/image16.wmf)

![](./data/image/media/image17.wmf)

![](./data/image/media/image18.wmf)

![](./data/image/media/image19.wmf)

![](./data/image/media/image20.wmf)

![](./data/image/media/image21.wmf)

如图,∠M1OM2等于x2的辐角减去x1的辐角，故

![](./data/image/media/image22.wmf)

![](./data/image/media/image23.wmf)

![](./data/image/media/image24.wmf)

∴M1M2=M2M3=M3M4=M4M1.

∴M1M2M3M4是一个正方形.

**解法二:**x4+1=(x4+2x2+1)-2x2

![](./data/image/media/image25.wmf)

![](./data/image/media/image26.wmf)

∴原方程即

![](./data/image/media/image27.wmf)

它的根是

![](./data/image/media/image28.wmf)

![](./data/image/media/image29.wmf)

如图,线段M2M1与M3M4显然都平行于OX轴,线段M4M1与M3M2都平行于OY轴.

![](./data/image/media/image30.wmf)

所以M1M2M3M4是一个正方形.

![](./data/image/media/image31.wmf)

**4.**已知A、B、C是三角形的三个内角,求证:

![](./data/image/media/image32.wmf)

**\[Key\] 4.解法一:**利用正弦定理

![](./data/image/media/image33.wmf)

![](./data/image/media/image34.wmf)

代入所要证明的等式的右边,并化简得

![](./data/image/media/image35.wmf)

由余弦定理,上式右边就是cosA.

**解法二:**利用A=π-(B+C),

sin2B+sin2C-sin2A=sin2B+sin2c-sin2(B+C)

=sin2B+sin2C-(sinBcosC+cosBsinC)2

=sin2B+sin2C-sin2Bcos2C-cos2Bsin2C-2sinBsinCcosBcosC

=sin2B(1-cos2C)+sin2C(1-cos2B)-2sinBsinCcosBcosC

=2sin2Bsin2C-2sinBsinCcosBcosC

=2sinBsinC(sinBsinC-cosBcosC)

=2sinBsinC\[-cos(B+C)\]

=2sinBsinC·cos\[π-(B+C)\]

=2sinBsinCcosA.

两边除以2sinBsinC,得到

![](./data/image/media/image36.wmf)

**5.**已知方程x3+mx2-3x+n=0的三个根的平方和为6,且知这个方程有两相等的正根,求m、n的值.

**\[Key\] 5.解法一:**设这个方程的三个根为α、α、β.根据已知条件和根与系数的关系,得

![](./data/image/media/image37.wmf)

(2)的两边乘以2,得

2α2+4αβ=-6,(3)

(1)与(3)的两边分别相加,得

4α2+4αβ+β2=0,

即(2α+β)2=0,

∴β=-2α.

代入(1),2α2+(-2α)2=6,

6α2=6,∴α=±1.

α=-1不符合题意,舍去.

故α=1,β=-2.

∴m=-(2α+β)=0,

n=-α2β=2.

**解法二:**仿解法一得

![](./data/image/media/image38.wmf)

![](./data/image/media/image39.wmf)

![](./data/image/media/image40.wmf)

代简,得α4-2α2+1=0,

即(α2-1)2=0,

∴α=±1.

α=-1不合题意,舍去.

故α=1,代入(2)得,β=-2.

∴m=-(2α+β)=0,

n=-α2β=2.

**6.**圆台形铁桶的上口半径是15厘米,下底半径是10厘米,母线长是30厘米,将铁桶的侧面沿一条母线剪开铺平,得图中扇面形状的铁片ABCD.求A、B两点间的距离. ![](./data/image/media/image41.wmf)

**\[Key\] 6.解法一:**

![](./data/image/media/image42.wmf)

延长AD、BC相交于O,设∠COD=θ,OD=x,则

(x+30)θ=30π,

xθ=20π,

相减,得30θ=10π,

![](./data/image/media/image43.wmf)

因为△OAB是一个等边三角形,所以

AB=OA=90（厘米）.

**解法二:**

![](./data/image/media/image44.wmf)

延长AD、BC相交于O,设OD=x,则

![](./data/image/media/image45.wmf)

解出x,得

x=60,

![](./data/image/media/image46.wmf)

因为△OAB是一个等边三角形,所以

AB=OA=90（厘米）

![](./data/image/media/image47.wmf).

**7.**A、B、C、D四个点在平面M和平面N之外,A、B、C、D在平面M内的射影是A1、B1、C1、D1,在平面N内的射影是A2、B2、C2、D2.已知A1、B1、C1、D1在一条直线上,A2B2C2D2是一个平行四边形,求证ABCD也是一个平行四边形.

**\[Key\] 7.解:**如图,设A1、B1、C1、D1所在的直线为l,过直线l与直线作AA1作一平面P,则P必垂直于M.显然A在平面P内.又因B1在平面P内,且直线BB1垂直于平面M,故BB1必在平面P内.因而B也在平面P内.同理,C、D也在平面P内.

因AA2∥DD2,且A2B2∥D2C2,故由AA2与A2B2所决定的平面平行于由DD2与D2C2所决定的平面.又P与这两个平面的交线分别为AB与CD,故AB∥CD.同理BC∥AD.故ABCD是平行四边形.

![](./data/image/media/image48.wmf)

**8.**下图中ABCD是正方形,其每边长为1;在正方形内,⊙O与⊙O＇互相外切,并且⊙O与AB、AD两边相切,⊙O＇与CB、CD两边相切.

(1)求这两圆半径之和.

(2)当两圆半径各多么长时,两圆面积之和最小?当半径各多么长时,面积之和最大?证明你的结论

![](./data/image/media/image49.wmf).

**\[Key\] 8.解法一:**

![](./data/image/media/image50.wmf)

但OO是两圆连心线,所以OO抇=r+r抇=s.故由上式得

![](./data/image/media/image51.wmf)

![](./data/image/media/image52.wmf)

![](./data/image/media/image53.wmf)

(2)两圆面积之和是

π(r2+r＇2)=π\[r2+(s-r)2\]

![](./data/image/media/image54.wmf)

![](./data/image/media/image55.wmf)

![](./data/image/media/image56.wmf)

![](./data/image/media/image57.wmf)

![](./data/image/media/image58.wmf)

现在讨论当半径各多么长时,面积之和最大.不妨先设r≥r＇,即不妨![](./data/image/media/image59.wmf)

![](./data/image/media/image60.wmf)

![](./data/image/media/image61.wmf)

**解法二:**

![](./data/image/media/image62.wmf)

![](./data/image/media/image63.wmf)

![](./data/image/media/image64.wmf)

![](./data/image/media/image65.wmf)

![](./data/image/media/image66.wmf)

(2)两圆面积之和是

![](./data/image/media/image67.wmf)

![](./data/image/media/image68.wmf)

两圆面积之和最小.

![](./data/image/media/image69.wmf)

由(Ⅲ),得

![](./data/image/media/image70.wmf)

![](./data/image/media/image71.wmf)

![](./data/image/media/image72.wmf)

![](./data/image/media/image73.wmf)

**附加题**

(1)如果把第8题中的正方形改成矩形,你能得到什么结果?为什么?

(2)如果把第8题中的正方形改成棱长为1的正方体,把圆改成球,你能得到什么结果?为什么?

**\[Key\] 附加题**

(1)如果把第8题中的正方形改成矩形,你能得什么结果?为什么? ![](./data/image/media/image74.wmf)

容易看出:AP=r,RB=O＇Q=r＇.

因此, OS=PR=a-s.

仿此, O＇S=b-s.

但△OSO＇是直角三角形,而OO＇=r+r＇=s,

故得 (a-s)2+(b-s)2=s2.

即 s2-2(a+b)s+a2+b2=0.

![](./data/image/media/image75.wmf)

显然s\<a+b,故应取"-"号.因此

![](./data/image/media/image76.wmf)

另一方面,两圆面积之和为

![](./data/image/media/image77.wmf)

![](./data/image/media/image78.wmf)

![](./data/image/media/image79.wmf)

又由（Ⅱ）有

![](./data/image/media/image80.wmf)

![](./data/image/media/image81.wmf)

![](./data/image/media/image82.wmf)

![](./data/image/media/image83.wmf)![](./data/image/media/image84.wmf)

(2)如果把第8题中的正方形改成棱长为1的正方体,把圆改成球,你能得到什么结果?为什么?

**解:**设球O与球O′互相外切,并且都在正方体ABCDBACD内部.设球O与过A的三个面相切,球O与C的三个面相切.设球O与球的半径分别为r与r＇,r+r＇=s. ![](./data/image/media/image85.wmf)

![](./data/image/media/image86.wmf)

两球表面积之和是

4π(r2+r2)=2π\[(r+r＇)2+(r-r＇)2\]

=2π\[s2+(r-r＇)2\]

=2π\[s2+(2r-s)2\].

![](./data/image/media/image87.wmf)

![](./data/image/media/image88.wmf)

两球体积之和是

![](./data/image/media/image89.wmf)

![](./data/image/media/image90.wmf)

![](./data/image/media/image91.wmf)

![](./data/image/media/image92.wmf)
