**1986年试题**

**(理工农医类)**

**一、**本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.

(1)在下列各数中,已表示成三角形式的复数是

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【 】

\[Key\] **一、本题考查基本概念和基本运算.**

(1)B;

(2)函数y=(0.2)-x+1的反函数是

(A)y=log5x+1 (B)y=logx5+1

(C)y=log5(x-1) (D)y=log5x-1

【 】

\[Key\] (2)C;

![](./data/image/media/image2.wmf)

(A)一条平行于x轴的直线 (B)一条垂直于x轴的直线

(C)一个圆 (D)一条抛物线

【 】

\[Key\] (3)B;

![](./data/image/media/image3.wmf)

【 】

\[Key\] (4)A;

(5)给出20个数

87 91 94 88 93 91 89 87 92 86

90 92 88 90 91 86 89 92 95 88

它们的和是

(A)1789 (B)1799

(C)1879 (D)1899

【 】

\[Key\] (5)B;

(6)设甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,那么丁是甲的

(A)充分条件 (B)必要条件

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件

【 】

\[Key\] (6)D;

(7)如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F\>0)所表示的曲线关于直线y=x对称,那么必有

(A)D=E (B)D=F

(C)E=F (D)D=E=F

【 】

\[Key\] (7)A;

(8)在正方形SG1G2G3中E、F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体SEFG中必有

(A)SG⊥△EFG所在平面 (B)SD⊥△EFG所在平面

(C)GF⊥△SEF所在平面 (D)GD⊥△SEF所在平面

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【 】

\[Key\] (8)A;

(9)在下列各图中,y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0)的图象只可能是

![](./data/image/media/image5.wmf)【 】

\[Key\] (9)D;

(10)当x∈\[-1,0\]时,在下面关系式中正确的是

![](./data/image/media/image6.wmf)

【 】

**\[Key\]** (10)C.

**二、**只要求直接写出结果.

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(3)在xoy平面上,四边形ABCD的四个顶点坐标依次为(0,0)、(1,0)、(2,1)及(0,3),求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积.

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**\[Key\] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.**

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**三、**如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A、B的任意一点.

求证:平面PAC垂直于平面PBC.

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**\[Key\] 三、本题考查空间直线和平面的位置关系及推证能力.**

**证明:**设圆O所在平面为α.

由已知条件,PA⊥平面α,又BC在平面α内,

因此 PA⊥BC.

因此∠BCA是直角,

因此BC⊥AC.

而PA与AC是△PAC所在平面内的相交直线,

因此BC⊥△PAC所在平面.

从而证得△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直.

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**四、**当sin2x\>0时,求不等式log0.5(x2-2x-15)\>log0.5(x+13)的解集.

**\[Key\] 四、本题主要考查对数和不等式知识及运算推导能力.**

**解:**满足sin2x\>0的x取值范围是

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而由log0.5(x2-2x-15)\>log0.5(x+13)以及对数函数的定义域及性质得到

x2-2x-15\<x+13, ②

x2-2x-15\>0, ③

x+13\>0,④

解不等式②得:

-4\<x\<7, ⑤

解不等式③及④得

-13\<x\<-3或x\>5. ⑥

综合①、⑤及⑥,可知所求的解集为

(-π,-3)∪(2π,7).

**五、**如图,在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A、B.试在x轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C,使∠ACB取得最大值.

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**\[Key\] 五、本题主要考查三角函数、函数最大(小)值知识及分析问题的能力.**

**解:**设点A的坐标为(0,a)、点B的坐标为(0,b),0\<b\<a,又设所求点C的坐标为(x,0),x\>0.

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记∠BCA=α,∠OCB=β,则∠OCA=α+β.

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**六、**已知集合A和集合B各含有12个元素,A∩B含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:

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**\[Key\] 六、本题考查排列组合、集合等知识与分析问题的能力.**

**解法一:**因为A、B各含12个元素,A∩B含4个元素,因此,

A∪B元素的个数是12+12-4=20.

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**解法二:**由题目条件可知,属于B而不属于A的元素个数是12-4=8.

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**七、**过点M(-1,0)的直线*l*1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点.记:线段P1P2的中点为P;过点P和这个抛物线的焦点F的直线为*l*2;*l*1的斜率为k.试把直线*l*2的斜率与直线*l*1的斜率之比表示为k的函数,并指出这个函数的定义域、单调区间,同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.

\[Key\] **七、本题考查直线、抛物线和函数的基本知识及综合推导能力.**

**解:**由已知条件可知,直线*l*1的方程是

y=k(x+1), ①

把①代入抛物线方程y2=4x,整理后得到

k2x2+(2k2-4)x+k2=0, ②

因此,直线*l*1与该抛物线有两个交点的充要条件是:

(2k2-4)2-4k2·k2\>0, ③

及 k≠0. ④

解出③与④得到 k∈(-1,0)∪(0,1).

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今记*l*1与抛物线的两个交点P1与P2的横坐标分别为x1和x2,由韦达定理及②得

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定义域是 (-1,0)∪(0,1).

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注:可先解出k的取值范围作为定义域,后给出函数f(k)的表达式,也可先给出函数表达式,后解出k的取值范围作为定义域.

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**\[Key\] 八、本题主要考查数列的概念及运用数学归纳法解题的能力.**

**证明:**首先,

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由于x1\>0,由数列{xn}的定义可知

xn\>0,(n=1,2...)

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那么当n=k+1时

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从而对一切自然数n都有xn+1\>xn.

(ii)若x1\>1,同理可证,对一切自然数n都有xn+1\<xn.

**九、**(附加题不计入总分)

(1)求y=xarctgx2的导数.

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**\[Key\] 九、(附加题,不计入总分)本题主要考查导数的运算及几何意义.**

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