**1979年试题**

理工农医类

**1.**若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证:x,y,z成等差数列.

**\[Key\]** **1.证法一**:(z-x)2-4(x-y)(y-z)

=z2-2zx+x2+4zx-4xy-4yz+4y2

=(x+z)2-2·2y(z+x)+4y2

=(z+x-2y)2

=0,

∴ z+x-2y=0

即 z-y=y-x,

所以,x,y,z成等差数列,

**证法二**：令x-y=a,y-z=b,则

x-z=x-y+y-z=a+b.

(z-x)2-4(x-y)(y-z)=(a+b)2-4ab=(a-b)2=0.

∴ a=b.

即x-y=y-z,即y-x=z-y.所以,x,y,z成等差数列.

**2.**化简:

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**\[Key\]**

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**3.**甲、乙二容器内都盛有酒精.甲有公斤υ1公斤，乙有υ2公斤.甲中纯酒精与水(重量)之比为m1:n1,乙中纯酒精与水之比为m2:n2.问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少?

**\[Key\] 3.**解:

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甲乙共含纯酒精

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甲乙共含水

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混合后,纯酒精与水之比为

〔m1v1(m2+n2)+m2v2(m1+n1)〕:〔n1v1(m2+n2)+n2v2(m1+n1)〕.

**4.**叙述并且证明勾股定理.

\[Key\] **4.**解:略.(参考一般教科书)

5.外国般只,除特许者外,不得进入离我海岸线D以内的区城.设A及B是我们的观测站,A及B间的距离为S,海岸线是过A,B的直线.一外国船在P点.在A站测得

∠*BAP*=α,同时在B站测得∠*ABP*=β.问α及β满足什么简单的三角函数值不等式,就应当向此未经特许的外国船发出警告,命令退出我海城?

**\[Key\] 5.**解:

自P向直线AB作垂线PC,垂足为C.设PC=d.

在直角三角形PAC中,AC=d·ctgα.

在直角三角形PBC中,BC=d·ctgβ.

∴ S=AC+BC=d(ctgα+ctgβ).

当 d≤D,即

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时,应向外国船发出警告.

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**6.**设三棱锥V-*ABC*中,∠*AVB*=∠*BVC*=∠*CVA*=直角.

求证:△*ABC*是锐角三角形.

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**\[Key\] 6.**证法一:设VA=a,VB=b,VC=c,

AB=p,BC=q,CA=r.

于是 p2=a2+b2,q2=b2+c2,r2=c2+a2.

由余弦定理,

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所以∠CAB为锐角.

同理,∠ABC,∠BCA也是锐角.

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证法二:作VD⊥BC,D为垂足,因VA垂直于平面VBC,所以

VA⊥BC

又 BC⊥VD,所以BC垂直于平面VAD,从而

BC⊥AD

即在△ABC中,A在BC边上的垂足D介于B和C之间,

因此,∠B和∠C都是锐角.

同理可证∠A也是锐角.

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**7.**美国的物价从1939年的100增加到四十年后1979年的500.如果每年物价增长率相同,问每年增长百分之几?(注意:自然对数1nx是以e=2.718...为底的对数.本题中增长率x\<0.1,可用自然对数的近似公式:ln(1+x)≈x.取lg2=0.3,ln10=2.3来计算).

**\[Key\] 7.**解:年增长率x应满足

100(1+x)40=500, 即 (1+x)40=5,

取自然对数有 40ln(1+x)=ln5.

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答：每年约增长百分之四.

**8.**设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A,与CF的延长线相交于点B.

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**\[Key\] 8.**证法一:连结CD.因∠CFD=90°,

所以CD为圆O的直径.

由于AB切圆O于D,

∴ CD⊥AB.

又在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,

∴ AC2=AD·AB,BC2=BD·BA.

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**证法二:**由△BDF∽△ABC,得

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**9.**试问数列

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前多少项的和的值是最大?并求出这最大值.(这里取lg2=0.301)

**\[Key\] 9.解法一**:这个数列的第k项(任意项)为

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所以这个数列是递减等差列,且其首项为2.要前k项的和最大,必须前k项都是正数或0,而从第k+1项起以后都是负数.因此,k应适合下列条件:

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解此不等式组:

由(1)得 k≤14.2

由(2)得 k\>13.2

因k是自然数,所以k=14,即数列前14项的和最大.

取 k=14. 前14项的和

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**解法二**:这数列的第k项(任意项)为

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时,S有最大值.

因k表示项数,是自然数,在此,

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=2-1.9565\>0,

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由此可知这数列的前14项都是正数,从第15项起以后各项都是负数.

所以应取k=14,即数列前14项的和为最大,其值为

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**10.**设等腰△OAB的顶角为2θ,高为h.

(1)在△OAB内有一动点P,到三边OA,OB,AB的距离分别为│PD│,│PF│,│PE│并且满足关系│PD│·│PF│=│PE│2.求P点的轨迹.

(2)在上述轨迹中定出点P的坐标,使得│PD│+│PE│=│PF│.

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\[Key\] **10.解法一**:(1)设坐标系如图，点P的坐标为(x,y).由题设x\>0.

直线OA的方程为

y=xtgθ,

直线OB的方程为

y=-xtgθ,

直线AB的方程为 x=h.

又因为P点在∠AOB内,于是

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由条件│PD│·│PF│=│PE│2得

x2sin2θ-y2cos2θ=(h-x)2, (1)

即 x2cos2θ-2hx+y2cos2θ+h2=0.

除以 cos2θ(0≠)得

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(2)由条件│PD│+│PE│=│PF│得

xsinθ-ycosθ+h-x=xsinθ+ycosθ,

即 x+2ycosθ=h. (Ⅱ)

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由(1),(Ⅱ)得

x2sin2θ-y2cos2θ=4y2cos2θ

∴ 5y2cos2θ=x2sin2θ,

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由│ PD│+│PE││PF│可知y\>0,所以这里右端取正号.代入(Ⅱ)得

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**解法二**:设OP与正x轴的夹角为α,则

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│PD│=│OP│sin(θ-α)=│OP│(sinθcosαθ-cosθsinα)

=xsinθ-ycosθ,

│PF│=│OP│sin(θ+α)=│OP│sinθcosαθ+cosθsinα

=xsinθ+ycosθ.

以下与上面的解法一相同。
