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2006年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)

数学试题卷（理工农医类）

数学试题（理工农医类）共5页，满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

> 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
>
> 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
>
> 3.答非选择题时，必须使0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题止规定的位置上。

　　4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。　

　　5.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

　　参考公式：

如果事件*A、B*互斥，那么*P（A+B）*－*P(A)+P(B)* . 　　　　　　

> 如果事件*A、B*相互独立，那么*P(A·B)*－*P(A)·P(B)* 　　　　　　　

如果事件*A*在一次试验中发生的概率是*P*，那么*n*次独立事件重复试验中恰好发生*k*次的概率*P~n~(k)*=*C^k^~n~P^k^(1-P)^n-k\ ^*

1.  选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

(1)已知集合*U*={1,2,3,4,5,6,7}, *A*={2,4,5,7},*B*={3,4,5},则(![](./data/image/media/image1.png)*~u~A*)∪(![](./data/image/media/image1.png)*~u~B*)=

(A){1,6} (B){4,5}

(C){1,2,3,4,5,7} (D){1,2,3,6,7}

(2)在等差数列｛*a~n~*｝中，若a~a+~a~b~=12,S~N~是数列｛a~n~｝的前n项和，则*S~N~*的值为

（A）48 (B)54 (C)60 (D)66

(3)过坐标原点且与*x^2^*｜*y*^2^ 4*x*｜2*y*+=0相切的直线的方程为

（A）*y*=-3*x*或*y*=*x* (B) *y*=-3*x*或*y*=-*x*

（C）*y*=-3*x*或*y*=-*x* (B) *y*=3*x*或*y*=*x*

(4)对于任意的直线*l*与平同*a*,在平面*a*内必有直线*m*,使*m*与*l*

(A)平行　　　　　　　　　　　　　　（B）相交

(C)垂直 (D)互为异面直线

（5）若　*^n^*的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为

(A)-540 (B)

(c)162 (D)540

(6)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：

![](./data/image/media/image6.png)

根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是

(A)20 (B)30

(C)40 （D）50

(7)与向量***a***=的夹解相等，且模为1的向量是

\(A\) (B) 或

（C） （D）或

（８）将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有

![](./data/image/media/image13.png)（A）３０种　　　　　　　　　　　　（B）９０种

（C）１８０种　　　　　　　　　　　（D）２７０种

（９）如图所示，单位圆中弧*AB*的长为*x*,*f*(*x*)表示弧*AB*与弦*AB*

所围成的弓形面积的２倍，则函数*y*=*f*(*x*)的图象是 　　　

题　（９）图

　　　　　

![](./data/image/media/image14.png)

（１０）若*a*,*b*,*c*＞0且*a*(*a*+*b*+*c*)+*bc*=4-2,则2*a*+*b*+*c*的最小值为

（A）-1 (B) +1

\(C\) 2+2 (D) 2-2

1.  填空题：本大题共6小题，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上

（11）复数复数的值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_.

(12)\_\_\_\_\_\_\_\_\_.

(13)已知，sin()=－ sin则os=\_\_\_\_\_\_\_\_.

(14)在数列｛*a~n~*｝中，若*a*~1~=1,*a~n~*~+1~=2a~n~+3 (*n≥*1),则该数列的通项*a~n~*=\_\_\_\_\_\_\_\_\_.

(15)设*a＞*0,*n*1,函数*f*(*x*)=*a*lg^(*x*2-*2n*+1)^~­~ 有最大值.则不等式log*~n~*(*x*^2^-5*x*+7) *＞*0的解集为\_\_\_\_\_\_\_.

(16)已知变量*x*,*y*满足约束条件1*≤x+y≤*4,-2*≤x-y≤*2.若目标函数*z*=*ax*+*y*(其中*a＞*0)仅在点(3,1)处取得最大值，则*a*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.

2.  解答题：本大题共６小题，共７６分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分13分）

设函数*f*(*x*)=cos^2^cos+sinrcosx+a(其中*＞*0,*a***R**),且*f*(*x*)的图象在*y*轴右侧的第一个高点的横坐标为.

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）如果*f*(*x*)在区间上的最小值为，求*a*的值.

（１８）（本小题满分13分）

某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5

位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求：

（Ⅰ）随机变量ξ的分布列；

（Ⅱ）随机变量ξ的期望.

（１９）（本小题满分１３分）

如图，在四棱锥*P*－*ABCD*中，*PA*底面*ABCD*,*DAB*为直角，*AB‖CD,AD*=*CD*=24*B,E、F*分别为*PC、CD*的中点.

![](./data/image/media/image35.png)（Ⅰ）试证：CD平面BEF;

（Ⅱ）设*PA*＝*k·AB*,且二面角*E*-*BD*-*C*的平面角大于,求*k*的取值范围.

（20）(本小题满分13分)

已知函数*f*(*x*)=(*x*^2^~­­~+*bx*+*c*)c*^x^*,其中*b*,*c***R**为常数.　　　　　　　　图(19)图

（Ⅰ）若*b*^2^＞4*(a*-1),讨论函数*f*(*x*)的单调性；

（Ⅱ）若*b*^2^＜4(*c*-1),且=4,试证：－6≤b≤2.

(21)(本小题满分12分)

已知定义域为**R**的函数*f*(*x*)满足*f*(*f*(*x*)-*x*^2^+*y*\_=f(*x*)-*x*^2^+*x*.

（Ⅰ）若*f*(2)-3,求*f*(1);又若*f*(0)=*a*,求*f*(*a*);

（Ⅱ）设有且仅有一个实数*x*~0~,使得f(*x*~0­~)= *x*~0,~求函数*f*(*x*)的解析表达式.

(22)(本小题满分12分)

已知一列椭圆*C*~n~:*x*^2^~­+~=1. 0＜b~n~＜1,n=1,2..若椭圆*C*上有一点*P*~n~使*P*~n~到右准线*l*~n~的距离*d*.是｜*P*~n~*F*~n~｜与｜*P*~n~*C*~n~｜的等差中项，其中*F~n~*、*C~n~*分别是*C~n~*的左、右焦点.

![](./data/image/media/image41.png)（Ⅰ）试证：*b~n~*≤ (*n*≥1);

（Ⅱ）取*b~n~*＝，并用*S~A~*表示*P~n~F~n~G~n~*的面积，试证：*S~1~*＜*S~1~*且*S~n~*＜*S~n+3\ ~* (*n*≥3).

图(２２)图

（20）(本小题满分13分)

已知函数*f*(*x*)=(*x*^2^~­­~+*bx*+*c*)c*^x^*,其中*b*,*c***R**为常数.

（Ⅰ）若*b*^2^＞4*(a*-1),讨论函数*f*(*x*)的单调性；

（Ⅱ）若*b*^2^＜4(*c*-1),且=4,试证：－6≤b≤2.

(21)(本小题满分12分)

已知定义域为**R**的函数*f*(*x*)满足*f*(*f*(*x*)-*x*^2^+*y*\_=f(*x*)-*x*^2^+*x*.

（Ⅰ）若*f*(2)-3,求*f*(1);又若*f*(0)=*a*,求*f*(*a*);

（Ⅱ）设有且仅有一个实数*x*~0~,使得f(*x*~0­~)= *x*~0,~求函数*f*(*x*)的解析表达式.

(22)(本小题满分12分)

已知一列椭圆*C*~n~:*x*^2^~­+~=1. 0＜b~n~＜1,n=1,2..若椭圆*C*上有一点*P*~n~使*P*~n~到右准线*l*~n~的距离*d*.是｜*P*~n~*F*~n~｜与｜*P*~n~*C*~n~｜的等差中项，其中*F~n~*、*C~n~*分别是*C~n~*的左、右焦点.

（Ⅰ）试证：*b~n~*≤ (*n*≥1);

（Ⅱ）取*b~n~*＝，并用*S~A~*表示*P~n~F~n~G~n~*的面积，试证：*S~1~*＜*S~1~*且*S~n~*＜*S~n+3\ ~* (*n*≥3).

![](./data/image/media/image41.png)

图(２２)图

(18)(本小题13分)

解法一：（Ⅰ）ξ的所有可能值为０，１，２，３，４，５.

由等可能性事件的概率公式得

*P*(ξ=0)==, *P*(ξ=1)=

*P*(ξ=2)= =, *P*(ξ=3)=

*P*(ξ=4)= =, *P*(ξ=5)=

从而ξ的分布列为

  --- --- --- --- --- --- ---
  ξ   0   1   2   3   4   5
  P                       
  --- --- --- --- --- --- ---

（Ⅱ）由（Ⅰ）得ξ的期望为

*E*ξ=0×+１×+2×+3×+4×+5×

==.

解法二：（Ⅰ）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验.

故ξ－*B*,即有

*P*(ξ=*k*)=C,*k*=0,1,2,3,4,5.

由此计算ξ的分布列如解法一.

解法三：　（Ⅰ）同解法一或解二.

（Ⅱ）由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等.

即3*E*ξ=5,从而*E*ξ=.

（19）（本小题13分）

![](./data/image/media/image71.png)解法一：

（Ⅰ）证：由已知*DF*∥AB且*DAD*为直角，故ABFD是矩形，从而*CDBF*.

又*PA*底面ABCD,*CDAD*，故由三垂线定理知*CDPD*.在△*PDC*中，*E、F*分别

*PC*、*CD*的中点，故*EF*∥*PD*,从而*CDEF*,由此得*CD*面*BEF*. 　　　第（19）图１

（Ⅱ）连结*AC*交*BF*于*G*.易知*G*为*AC*的中点.连接*EG*,则在△*PAC*中易知*EC*∥*PA*.又因

*PA*底面*ABCD*,故*BC*底面*ABCD*.在底面*ABCD*中，过*C*作*GHBD*,垂足为*H*,连接*EH*.由三垂线定理知*EHBD*.从而*EHG*为二面角*E*-*BD*-*C*的平面角.

![](./data/image/media/image72.png)设*AB=a*,则在△*PAC*中，有

*BG*=*PA*=*ka*.

以下计算*GH*，考察底面的平面图（如答(19)图２）.连结*GD*.

因*S*~△*CBD*~=BD*·GH=*GB*·OF.*

故*GH*=.

在△*ABD*中，因为*AB*＝a,*AD*=2*A*,得*BD*=a　　　　　　　　　　第（19）图２

而*GB*=*FB*=*AD*-a.*DF-AB*,从而得

*GH*== ＝

因此tan*EHG=*=

由*k*＞0知是锐角，故要使＞，必须

＞tan=

解之得，k的取值范围为*k*＞

解法二：

（Ⅰ）如图，以*A*为原点，*AB*所在直线为*x*轴，*AD*所在直线为*y*轴，*AP*所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设*AB=a*,则易知点*A,B,C,D,F*的坐标分别为

![](./data/image/media/image85.png)*A*(0,0,0),*B*(*a*,0,0),*C*(2*a*,2*a*,0),*D*(0,2*a*,0),

*F*(*a*,2*a*,0).

从而*=*(2*a*,0,0), *=*(0,2*a*,0), 　　　　

*·*=0,故 *.*

设*PA*=*b*,则*P*(0,0,*b*),而*E*为*PC*中点.故 第（19）３

E.从而=.
========

*·*=0,故*.*

由此得*CD*面*BEF*.

（Ⅱ）设*E*在*xOy*平面上的投影为G，过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.

从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.

由PA＝k*·*AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).

设H(x,y,0)，则*=*(x-a,y-a,0), *=*(-a,2a,0),

由*·*=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即

x-2y=-a ①

又因=(x,a,y,0),且与的方向相同，故＝，即

2x+y=2a ②

由①②解得*x*=a,y=a,从而*＝*，｜｜＝a.

tan*EHG*===.

由*k*＞0知，EHC是锐角，由EHC＞得tanEHG＞tan即

＞

故*k*的取值范围为*k*＞.

(20)（本小题13分）

解：（Ⅰ）求导得*f^2^*(*x*)=［*x*^2^+(*b*+2)*x*+*b+c*］e^x^.^.^

因*b*^2^＞4(c-1),故方程*f*^2^(*x*)=0即*x*^2^+(*b*+2)*x*+*b*+*c*=0有两根；

*x*~1~=－＜*x*~2~=－

令*f′*（*x*）＞0，解得*x*＜*x*~1~或*x*＞*x*~1~；

又令*f′*（*x*）＞0，解得*x*~1~＜*x*＜*x*~2.~

故当*xε*（-, *x*~1~）时，*f*(*x*)是增函数，当 *xε*（*x*~2，+~）时，f(x)也是增函数，但当*xε*（*x*~1~ ， *x*~2~）时，f(x)是减函数.

（Ⅱ）易知*f*(0)=*c*,*f*(*u*)=*b*+*c*,因此

.

所以，由已知条件得

*b*+*e*=4

*b*^2^≤4(e-1),

因此*b*^2+^4*b*-12≤0.

解得-6≤*b*≤2.

(21)（本小题12分）

解：（Ⅰ）因为对任意*xεR，*有*f*(*f*(*x*)- *x*^2^ + *x*)=*f*(*x*)- *x*^2^ +*x*，所以

*f*(*f*(2)- 2^2^+2)=*f*(2)- 2^2^+2.

又由*f*(2)=3，得*f*(3-2^2^+2)-3-2^2^+2，即*f*(1)=1.

若*f*(0)=*a*，则*f*(*a*-0^2^+0)=*a*-0^2^+0，即*f*(*a*)=*a*.

（Ⅱ）因为对任意*xεR，*有*f*(*f*(*x*))- *x*^2^ +*x*)=*f*(*x*)- *x*^2^ +*x*.

又因为有且只有一个实数*x*~0~,使得*f*(*x*~0~)- *x*~0.~

所以对任意*xεR，*有*f*(*x*)- *x*^2^ +*x*= *x*~0.~

在上式中令*x*= *x*~0~,有*f*(*x*~0~)-*x* + *x*~0=~ *x*~0,~

又因为*f*(*x*~0~)- *x*~0~，所以*x*~0-~ *x*=0，故*x*~0=~0或*x*~0~=1.

若*x*~0~=0，则*f*(*x*)- *x*^2^ +*x*=0，即

*f*(*x*)= *x*^2^ --*x*.

但方程*x*^2^ --*x*=*x*有两上不同实根，与题设条件矛质，故*x*~2~*≠*0.

若*x*~2~*=*1,则有*f*(*x*)- *x*^2^ +*x*=1，即*f*(*x*)= *x*^2^ --*x*+1.易验证该函数满足题设条件.

综上，所求函数为

*f*(*x*)= *x*^2^ --*x*+1（*x***R**）.

（22）（本小题12分）

证：（1）由题设及椭圆的几何性质有

　　　　

设

![](./data/image/media/image41.png)

因此，由题意应满足

即

即,

从而对任意

（Ⅱ）设点

得两极，从而易知f(c)在（，）内是增函数，而在（，1）内是减函数.

　　　现在由题设取是增数列.又易知

　　　

故由前已证，知
