2004年普通高等学校招生全国统一考试

理 科 数 学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.

第I卷

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么

P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么

P（A·B）=P（A）·P（B）

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

P~n~(k)=CP^k^(1－P)^n－k^

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合 （ ）

A．{} B．{}

C．{} D． {}

2． （ ）A． B．1 C． D．

3．设复数= （ ）

A． B． C． D．

4．已知圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为 （ ）

A． B．

C． D．

5．已知函数的图象过点，则可以是 （ ）

A． B． C． D．

6．函数的图象 （ ）

A．与的图象关于y轴对称 B．与的图象关于坐标原点对称

C．与的图象关于轴对称 D．与的图象关于坐标原点对称

7．已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则

球心O到平面ABC的距离为 （ ）

A． B． C． D．

8．在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（ ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

9．已知平面上直线*l*的方向向量***e***=点O（0，0）和A（1，－2）在*l*上的射影分别是O′和A′，则***e***，其中= （ ）

A． B． C．2 D．－2

10．函数在下面哪个区间内是增函数 （ ）

A． B． C． D．

11．函数的最小正周期为 （ ）

A． B． C． D．2

12．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521

的数共有 （ ）

A．56个 B．57个 C．58个 D．60个

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为

14．设满足约束条件：

则的最大值是 [ ]{.underline} .

15．设中心在原点的椭圆与双曲线=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 [ ]{.underline} .

16．下面是关于四棱柱的四个命题：

①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱

④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱

其中，真命题的编号是 [ ]{.underline} （写出所有正确结论的编号）.

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知锐角三角形ABC中，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高.

18．（本小题满分12分）

已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支.

求：（Ⅰ）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；

（Ⅱ）A组中至少有两支弱队的概率.

19．（本小题满分12分）

数列的前n项和记为S~n~，已知证明：

（Ⅰ）数列是等比数列；

（Ⅱ）

20．（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC---A~1~B~1~C~1~中，∠ACB=90°，AC=1，CB=，侧棱AA~1~=1，侧面AA~1~B~1~B的两条对角线交点为D，B~1~C~1~的中点为M.

（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；

（Ⅱ）求面B~1~BD与面CBD所成二面角的大小.

21．（本小题满分12分）

给定抛物线C：y^2^=4*x*，F是C的焦点，过点F的直线*l*与C相交于A、B两点。

（Ⅰ）设*l*的斜率为1，求与的夹角的大小；

（Ⅱ）设，若λ∈\[4,9\]，求*l*在y轴上截距的变化范围.

22．（本小题满分14分）

已知函数*f(x*)=ln(1+*x*)－*x*，g(*x*)=*x*ln*x*.

（Ⅰ）求函数*f(x)*的最大值；

（Ⅱ）设0\<*a*\<b,证明0\<g(*a*)+g(b)-2g()\<(b-a)ln2.

2004年普通高等学校招生全国统一考试

数学参考答案（理）（选修Ⅱ）

1.C 2.A 3.C 4.C 5.A 6.D 7.B 8.B 9.D 10.B 11.B 12.C

13．0.1，0.6，0.3 14．5 15． 16．②④

17．本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质，考查运算能力，满分12分.

本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力，

满分12分.

（Ⅰ）证明：

所以

（Ⅱ）解：，

即 ，将代入上式并整理得

解得，舍去负值得，

设AB边上的高为CD.

则AB=AD+DB=

由AB=3，得CD=2+. 所以AB边上的高等于2+.

18．本小题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概率的计算，运用

数学知识解决问题的能力，满分12分.

（Ⅰ）解法一：三支弱队在同一组的概率为

故有一组恰有两支弱队的概率为

解法二：有一组恰有两支弱队的概率

（Ⅱ）解法一：A组中至少有两支弱队的概率

解法二：A、B两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A组和B组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A组中至少有两支弱队的概率为

19．本小题主要考查数列、等比数列的概念和性质，分析和推理能力，满分12分。

证明：（Ⅰ）∵

∴ 整理得

所以 故是以2为公比 的等比数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 于是

又 故

因此对于任意正整数 都有

20．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.

满分12分.

解法一：（Ⅰ）如图，连结CA~1~、AC~1~、CM，则CA~1~=

∵CB=CA~1~=，∴△CBA~1~为等腰三角形，

又知D为其底边A~1~B的中点，

∴CD⊥A~1~B. ∵A~1~C~1~=1，C~1~B~1~=，∴A~1~B~1~=

又BB~1~=1，A~1~B=2. ∵△A~1~CB为直角三角形，D为A~1~B的中点，

∴CD=A~1~B=1，CD=CC~1~，又DM=AC~1~=，DM=C~1~M.

∴△CDM≌△CC~1~M，∠CDM=∠CC~1~M=90°，即CD⊥DM.

因为A~1~B、DM为平在BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.

（Ⅱ）设F、G分别为BC、BD的中点，连结B~1~G、FG、B~1~F，则FG//CD，FG=CD.

∴FG=，FG⊥BD.

由侧面矩形BB~1~A~1~A的对角线的交点为D知BD=B~1~D=A~1~B=1，

所以△BB~1~D是边长为1的正三角形.

于是B~1~G⊥BD，B~1~G= ∴∠B~1~GF是所求二面角的平面角，

又 B~1~F^2^=B~1~B^2^+BF^2^=1+（=，

∴

即所求二面角的大小为

解法二：如图，以C为原点建立坐标系.

（Ⅰ）B（，0，0），B~1~（，1，0），A~1~（0，1，1），

D（，M（，1，0），

则 ∴CD⊥A~1~B，CD⊥DM.

因为A~1~B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.

（Ⅱ）设BD中点为G，连结B~1~G，则

G（），、、），

所以所求的二面角等于

21．本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。满分12分。

> 解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线*l*的斜率为1，所以*l*的方程为
>
> 将代入方程，并整理得
>
> 设则有
>
> 所以夹角的大小为
>
> （Ⅱ）由题设 得
>
> 即
>
> 由②得， ∵ ∴③
>
> 联立①、③解得，依题意有
>
> ∴又F（1，0），得直线*l*方程为
>
> 当时，*l*在方程y轴上的截距为
>
> 由 可知在\[4，9\]上是递减的，
>
> ∴
>
> 直线*l*在y轴上截距的变化范围为

22．本小题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合推理论证的能力，满分14分.

（Ⅰ）解：函数的定义域为.

令

当 当 又

故当且仅当*x*=0时，取得最大值，最大值为0.

（Ⅱ）证法一：

由（Ⅰ）结论知

由题设

因此

所以

又

综上

证法二：

设

则

当 在此内为减函数.

当上为增函数.

从而，当有极小值

因此 即

设 则

当 因此上为减函数.

因为

即
