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2001年普通高等学校春季招生考试（北京、内蒙古、安徽卷）

数 学（文史类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

注意事项：

1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．

参考公式： 正棱台、圆台的侧面积公式

三角函数的积化和差公式

> 其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长
>
> 球体的体积公式
>
> 其中表示球的半径

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）集体的子集个数是

（A）32 （B）31 （C）16 （D）15

（2）函数对于任意的实数都有

（A） （B）

（C） （D）

（3）

（A）0 （B）2 （C） （D）

（4）函数的反函数是

（A） （B）

（C） （D）

（5）已知、是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于点*A、B*，若，则

（A）11 （B）10 （C）9 （D）16

（6）设动点*P*在直线上，*O*为坐标原点．以*OP*为直角边、点*O*为直角顶点作等腰，则动点*Q*的轨迹是

（A）圆 （B）两条平行直线 （C）抛物线 （D）双曲线

（7）已知，那么等于

（A） （B）8 （C）18 （D）

（8）若*A、B*是锐角的两个内角，则点在

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

（9）如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是

（A） （B） （C） （D）

（10）若为实数，且，则的最小值是

（A）18 （B）6 （C） （D）

（11）右图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，

①平行

②*CN*与*BE*是异面直线

③*CN*与*BM*成角

④*DM*与*BN*垂直

以上四个命题中，正确命题的序号是

（A）①②③ （B）②④

（C）③④ （D）②③④

（12）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量（万件）近似地满足

按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是

（A）5月、6月 （B）6月、7月 （C）7月、8月 （D）8月、9月

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2001年普通高等学校春季招生考试（北京、内蒙古、安徽卷）

数 学（文史类）

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

注意事项：

1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．

  ------- ---- ---- ------- ---- ---- ---- ---- --
  题 号   二   三   总 分                       
               17   18      19   20   21   22   
  分 数                                         
  ------- ---- ---- ------- ---- ---- ---- ---- --

  ------ --------
  得分   评卷人
         
  ------ --------

（13）已知球内接正方体的表面积为*S*，那么球体积等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．

（14）椭圆长轴上一个顶点为*A*，以*A*为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．

（15）已知、、均为锐角），那么的最大值等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．

（16）已知、是直线，、、是平面，给出下列命题：

1.  若，则；

> ②若∥，，则∥；
>
> ③若不垂直于，则不可能垂直于内的无数条直线；
>
> ④若，∥，且，则∥∥．
>
> 其中正确的命题的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

  ------ --------
  得分   评卷人
         
  ------ --------

方程有实根，且2、、为等差数列的前三项．求该等差数列公差的取值范围．

  ------ --------
  得分   评卷人
         
  ------ --------

设函数，求的单调区间，并证明在其单调区间上的单调性．

  ------ --------
  得分   评卷人
         
  ------ --------

已知．

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）设的辐角为，求的值．

  ------ --------
  得分   评卷人
         
  ------ --------

已知*VC*是所在平面的一条斜线，点*N*是*V*在平面*ABC*上的射影，且*N*位于的高*CD*上．之间的距离为．

（Ⅰ）证明∠*MDC*是二面角*M--AB--C*的平面角；

（Ⅱ）当∠*MDC*=∠*CVN*时，证明*VC*；

（Ⅲ）若∠*MDC*=∠*CVN*=，求四面体*MABC*的体积．

  ------ --------
  得分   评卷人
         
  ------ --------

某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为0.75，同时预计年销售量增加的比例为0.6．已知年利润=（出厂价--投入成本）年销售量．

（Ⅰ）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；

（Ⅱ）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例应在什么范围内？

  ------ --------
  得分   评卷人
         
  ------ --------

已知抛物线．过动点*M*（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点*A、B*．

（Ⅰ）若的取值范围；

（Ⅱ）若线段*AB*的垂直平分线交*AB*于点*Q*，交轴于点*N*，试求的面积．

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2001年普通高等学校春季招生考试（北京、内蒙古、安徽卷）

数学试题（文史类）参考解答及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

（1）A （2）C （3）D （4）C （5）A （6）B

（7）D （8）B （9）C （10）B （11）C （12）C

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．

（13） （14） （15） （16）②④

三、解答题

（17）本小题主要考查等差数列，一元二次方程与不等式的基本知识．考查综合运用数学基础知识的能力．满分12分．

解：依题意，有， ......2分

由方程有实根，得

，

即 ， ......6分

整理，得， ......8分

解得 ，

∴ ． ......12分

（18）本小题主要考查函数的基本性质，考查推理能力．满分12分．

解：函数的定义域为．

内是减函数内也是减函数． ......4分

证明内是减函数．

取，且，那么

， ......6分

∵ ，

∴ ，

即内是减函数． ......9分

同理可证内是减函数． ......12分

（19）本小题考查复数的基本概念和运算．满分12分．

解：（Ⅰ）由

，

得． ......4分

因为 ，

所以 ． ......6分

（Ⅱ）因为，

所以 ，而，所以，

，同理，

．

由（Ⅰ）知 ，

即 ，

所以 的实部为， ......8分

而的辐角为时，复数的实部为

，

所以 ......12分

（20）本小题考查运用直线与直线、直线与平面的基本性质证明线面关系的能力．满分12分．

（Ⅰ）证明：由已知，

![](./data/image/media/image92.png)

，

∴．

∴． ......2分

又*V*、*M*、*N*、*D*都在*VNC*所在平面内，

所以，*DM*与*VN*必相交，且，

∴∠*MDC*为二面角的平面角． ......4分

（Ⅱ）证明：由已知，∠*MDC*=∠*CVN*，

在中，

∠*NCV*=∠*MCD*，

又∵∠*VNC*=，

∴∠*DMC*=∠*VNC*=．

故有， ......6分

∴． ......8分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ），

，

∴．

又∵∠．

在中，

． ......10分

． ......12分

（21）本小题主要考查建立函数关系、运用不等式的性质和解法等数学知识解决实际问题的能力．满分12分．

解：（Ⅰ）由题意得，

......4分

整理得 ． ......6分

（Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，必须

即 ......9分

解不等式得 ．

答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例应满足． ......12分

（22）本小题考查直线与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力．满分14分．

解：（Ⅰ）直线的方程为：，

将 ，

得 ． ......2分

设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、，

则 ......4分

又，

∴

． ......6分

∵ ，

∴ ．

解得 ． ......8分

（Ⅱ）设，由中点坐标公式，得

，

． ......10分

∴ ．

又 为等腰直角三角形，

∴ ． ......14分
