**2005年高考理科数学**![](./data/image/media/image1.emf)**重庆卷**![](./data/image/media/image1.emf)**试题及答案**

数学试题（理工农医类）分选择题和非选择题两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上![](./data/image/media/image2.emf)

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑![](./data/image/media/image2.emf)如需改动，用

> 橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号![](./data/image/media/image2.emf)

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上![](./data/image/media/image2.emf)

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效![](./data/image/media/image2.emf)

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回![](./data/image/media/image2.emf)

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)

> 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生*k*次的概

率

第一部分（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．圆关于原点（0，0）对称的圆的方程为（ ）

A． B．

C． D．

2．（ ）

A． B．－ C． D．－

3．若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的*x*的取值范围是（ ）

A． B． C．D．（－2，2）

4．已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量与的夹角为（ ）

A． B． C． D．－

5．若*x*，y是正数，则的最小值是（ ）

A．3 B． C．4 D．

6．已知、均为锐角，若的 （ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．对于不重合的两个平面与，给定下列条件：

①存在平面，使得、都垂直于；

②存在平面，使得、都平行于；

③内有不共线的三点到的距离相等；

④存在异面直线*l*、*m*，使得*l*//，*l*//，*m*//，*m*//，

其中，可以判定与平行的条件有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．若^n^展开式中含项的系数与含项的系数之比为－5，则*n*等于 （ ）

A．4 B．6 C．8 D．10

9．若动点（）在曲线上变化，则的最大值为 （ ）

A． B．

![](./data/image/media/image39.emf) C． D．2

10．如图，在体积为1的三棱锥A---BCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G， 使AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥O---BCD的体积等于 （ ）

> A． B．
>
> C． D．

第二部分（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上.

11．集合R\| ，则= [ ]{.underline} .

12．曲线处的切线与*x*轴、直线所围成的三角形的面积为= [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2.emf)

13．已知、均为锐角，且= [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2.emf)

14．= [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2.emf)

15．某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2.emf)

16．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 [ ]{.underline} （填写所有正确选项的序号）![](./data/image/media/image2.emf)

①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形

④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形

三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分13分）

若函数的最大值为2，试确定常数*a*的值.

18．（本小题满分13分）

在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：

（Ⅰ）该顾客中奖的概率；

（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值（元）的概率分布列和期望![](./data/image/media/image2.emf)

19．（本小题满分13分）

已知，讨论函数的极值点的个数![](./data/image/media/image2.emf)

20．（本小题满分13分）

如图，在三棱柱ABC---A~1~B~1~C~1~中，AB⊥侧面BB~1~C~1~C，E为棱CC~1~上异于C、C~1~的一点，EA⊥EB~1~，已知AB=，BB~1~=2，BC=1，∠BCC~1~=，求：

![](./data/image/media/image61.emf) （Ⅰ）异面直线AB与EB~1~的距离；

（Ⅱ）二面角A---EB~1~---A~1~的平面角的正切值.

21．（本小题满分12分）

已知椭圆C~1~的方程为，双曲线C~2~的左、右焦点分别为C~1~的左、右顶点，而C~2~的左、右顶点分别是C~1~的左、右焦点.

（Ⅰ）求双曲线C~2~的方程；

> （Ⅱ）若直线与椭圆C~1~及双曲线C~2~都恒有两个不同的交点，且*l*与C~2~的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围.

22．（本小题满分12分）

数列{*a~n~*}满足.

（Ⅰ）用数学归纳法证明：；

> （Ⅱ）已知不等式，其中无理数
>
> e=2.71828....

**2005年高考理科数学**![](./data/image/media/image1.emf)**重庆卷**![](./data/image/media/image1.emf)**试题及答案**

**参考答案**

一、选择题：每小题5分，满分50分.

1．A 2．A 3．D 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．A 10．C

二、填空题：每小题4分，满分24分.

11． 12． 13．1 14．－3 15． 16．②③⑤

三、解答题：满分76分.

17．（本小题13分）

18．（本小题13分）

解法一：

（Ⅰ），即该顾客中奖的概率为.

（Ⅱ）的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.

故有分布列：

  --- --- ---- ---- ---- ----
      0   10   20   50   60
  P                      
  --- --- ---- ---- ---- ----

从而期望

解法二：

（Ⅰ）

（Ⅱ）的分布列求法同解法一

> 由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值=2×8=16（元）.

19．（本小题13分）

（1）当

  ----- ---- ---------- ---- ---------- ----
  *x*        *x*~1~                     
        \+   0          －   0          \+
        ↗    为极大值   ↘    为极小值   ↗
  ----- ---- ---------- ---- ---------- ----

即此时有两个极值点.

> （2）当有两个相同的实根
>
> 于是

无极值.

（3）

> 为增函数，此时无极值. 因此当无极值点.

20．（本小题13分）

解法一：

（Ⅰ）因AB⊥面BB~1~C~1~C，故AB⊥BE.

又EB~1~⊥EA，且EA在面BCC~1~B~1~内的射影为EB.

![](./data/image/media/image100.emf)由三垂线定理的逆定理知EB~1~⊥BE，因此BE是异面直线

AB与EB~1~的公垂线，

在平行四边形BCC~1~B~1~中，设EB=*x*，则EB~1~=，

作BD⊥CC~1~，交CC~1~于D，则BD=BC·

在△BEB~1~中，由面积关系得.

（负根舍去）

解之得CE=2，故此时E与C~1~重合，由题意舍去.

因此*x*=1，即异面直线AB与EB~1~的距离为1.

（Ⅱ）过E作EG//B~1~A~1~，则GE⊥面BCC~1~B，故GE⊥EB~1~且GE在圆A~1~B~1~E内，

又已知AE⊥EB~1~

故∠AEG是二面角A---EB~1~---A~1~的平面角.

因EG//B~1~A~1~//BA，∠AEG=∠BAE，故

解法二：

![](./data/image/media/image108.emf)（Ⅰ）

而BB~1~C~1~C得AB⊥EB~1~从而=0.

设O是BB~1~的中点，连接EO及OC~1~，则在Rt△BEB~1~中，EO=BB~1~=OB~1~=1，

因为在△OB~1~C~1~中，B~1~C~1~=1，∠OB~1~C~1~=，故△OB~1~C~1~是正三角形，

所以OC~1~=OB~1~=1，

又因∠OC~1~E=∠B~1~C~1~C－∠B~1~C~1~O=故△OC~1~E是正三角形，

所以C~1~E=1，故CE=1，易见△BCE是正三角形，从面BE=1，

即异面直线AB与EB~1~的距离是1.

（Ⅱ）由（I）可得∠AEB是二面角A---EB~1~---B的平面角，在Rt△ABE中，由AB=，

BE=1，得tanAEB=.

又由已知得平面A~1~B~1~E⊥平面BB~1~C~1~C，

故二面角A---EB~1~---A~1~的平面角，故

解法三：

（I）以B为原点，、分别为y、z轴建立空间直角坐标系.

由于BC=1，BB~1~=2，AB=，∠BCC~1~=，

![](./data/image/media/image119.emf) 在三棱柱ABC---A~1~B~1~C~1~中有

B（0，0，0），A（0，0，），B~1~（0，2，0），

设

又AB⊥面BCC~1~B~1~，故AB⊥BE. 因此BE是异面直线AB、EB~1~的公垂线，

则，故异面直线AB、EB~1~的距离为1.

（II）由已知有故二面角A---EB~1~---A~1~的平面角的大小为向量的夹角.

21．（本小题12分）

解：（Ⅰ）设双曲线C~2~的方程为，则

故C~2~的方程为

（II）将

由直线*l*与椭圆C~1~恒有两个不同的交点得

即 ①

.

由直线*l*与双曲线C~2~恒有两个不同的交点A，B得

解此不等式得

③

由①、②、③得

故k的取值范围为

22．（本小题12分）

（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，，不等式成立.

（2）假设当时不等式成立，即

那么. 这就是说，当时不等式成立.

根据（1）、（2）可知：成立.

（Ⅱ）证法一：

由递推公式及（Ⅰ）的结论有

两边取对数并利用已知不等式得

故

上式从1到求和可得

即

（Ⅱ）证法二：

由数学归纳法易证成立，故

令

取对数并利用已知不等式得

上式从2到n求和得

因

故成立.
