**2006高等学校全国统一数学文试题（江西卷）**

**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**

1．已知集合，，则等于（　　）

Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

2．函数的最小正周期为（　　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

3．在各项均不为零的等差数列中，若，则（　　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

4．下列四个条件中，是的必要不充分条件的是（　　）

Ａ．，

Ｂ．，

Ｃ．为双曲线，

Ｄ．，

5．对于上可导的任意函数，若满足，则必有（　　）

Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

6．若不等式对一切成立，则的最小值为（　　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

7．在的二项展开式中，若常数项为，则等于（　　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

8．袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（　　）

Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

9．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为"等腰四棱锥"，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（　　）

Ａ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

Ｂ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

Ｃ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆

Ｄ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

10．已知等差数列的前项和为，若，且三点共线（该直线不过点），则等于（　　　）

Ａ．100 Ｂ．101 Ｃ．200 Ｄ．201

11．为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（　　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

12．某地一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图（1）所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差）．与之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象大致是（　　）

第II卷

**二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．**

13．已知向量，，则的最大值为 [ ]{.underline} ．

14．设的反函数为，若，则 [ ]{.underline} ．

15．如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 [ ]{.underline} ．

16．已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，为坐标原点．下面四个命题（　　）

Ａ．的内切圆的圆心必在直线上；

Ｂ．的内切圆的圆心必在直线上；

Ｃ．的内切圆的圆心必在直线上；

Ｄ．的内切圆必通过点．

其中真命题的代号是 [ ]{.underline} （写出所有真命题的代号）．

**三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**

17．（本小题满分12分）

已知函数在与时都取得极值．

（1）求的值及函数的单调区间；

（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围．

18．（本小题满分12分）

某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求

（1）甲、乙两人都没有中奖的概率；

（2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率．

19．（本小题满分12分）

在锐角中，角所对的边分别为，已知，

（1）求的值；

（2）若，，求的值．

20．（本小题满分12分）

如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点．

（1）求点到面的距离；

（2）求异面直线与所成的角；

（3）求二面角的大小．

21．（本小题满分12分）

如图，椭圆的右焦点为，过点的一动直线绕点转动，并且交椭圆于两点，为线段的中点．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）若在的方程中，令，

．

设轨迹的最高点和最低点分别为和．当为何值时，为一个正三角形？

22．（本小题满分14分）

已知各项均为正数的数列，满足：，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，求，并确定最小正整数，使为整数．
