**1989年试题**

**(理工农医类)**

**一、选择题:每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.**

![](./data/image/media/image1.wmf)【 】

\[Key\] **一、本题考查基本概念和基本运算.**

(1)A

(2)与函数y=x有相同图象的一个函数是

![](./data/image/media/image2.wmf)

![](./data/image/media/image3.wmf)

【 】

\[Key\] (2)D

![](./data/image/media/image4.wmf)

![](./data/image/media/image5.wmf)

![](./data/image/media/image6.wmf)

【 】

\[Key\] (3)C

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![](./data/image/media/image8.wmf)

![](./data/image/media/image9.wmf)

【 】

\[Key\] (4)A

![](./data/image/media/image10.wmf)

(A)8 (B)16

(C)32 (D)48

【 】

\[Key\] (5)B

![](./data/image/media/image11.wmf)

![](./data/image/media/image12.wmf)

![](./data/image/media/image13.wmf)

【 】

\[Key\] (6)C

![](./data/image/media/image14.wmf)

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![](./data/image/media/image16.wmf)

【 】

\[Key\] (7)D

(8)已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是

(A)4 (B)3

(C)2 (D)5

【 】

\[Key\] (8)B

![](./data/image/media/image17.wmf)

![](./data/image/media/image18.wmf)

![](./data/image/media/image19.wmf)

【 】

\[Key\] (9)C

![](./data/image/media/image20.wmf)

![](./data/image/media/image21.wmf)

![](./data/image/media/image22.wmf)

【 】

\[Key\] (10)D

(11)已知f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f(2-x2),那么g(x)

(A)在区间(-1,0)上是减函数

(B)在区间(0,1)上是减函数

(C)在区间(-2,0)上是增函数

(D)在区间(0,2)上是增函数

【 】

\[Key\] (11)A

(12)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有

(A)60个 (B)48个

(C)36个 (D)24个

【 】

**\[Key\]** (12)C

**二、填空题:只要求直接填写结果.**

![](./data/image/media/image23.wmf)

\[Key\] **二、本题考查基本概念和基本运算,只需要写出结果.**

![](./data/image/media/image24.wmf)

(14)不等式│x2-3x│\>4的解集是 [ ]{.underline} .

\[Key\] ![](./data/image/media/image25.wmf)

![](./data/image/media/image26.wmf)

\[Key\] (15)(-1,1)

(16)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+...+a7x7,那么a1+a2+...+a7= [ ]{.underline} .

\[Key\] (16)-2

![](./data/image/media/image27.wmf)

\[Key\] (17)必要,必要

(18)如图,已知圆柱的底面半径是3,高是4,A、B两点分别在两底面的圆周上,并且AB=5,那么直线AB与轴OO＇之间的距离等于 [ ]{.underline} .

![](./data/image/media/image28.wmf)

**\[Key\]** (18)![](./data/image/media/image29.wmf)

![](./data/image/media/image30.wmf)

**三、解答题.**

![](./data/image/media/image31.wmf)

\[Key\] **三、解答题.**

**(19)本题主要考查:运用三角公式进行恒等变形的能力.**

**证法一:**

![](./data/image/media/image32.wmf)

![](./data/image/media/image33.wmf)

![](./data/image/media/image34.wmf)

![](./data/image/media/image35.wmf)

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**证法二:**

![](./data/image/media/image37.wmf)

![](./data/image/media/image38.wmf)

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![](./data/image/media/image40.wmf)

![](./data/image/media/image41.wmf)

![](./data/image/media/image42.wmf)

![](./data/image/media/image43.wmf)

(Ⅰ)求证:顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上;

(Ⅱ)求这个平行六面体的体积.

\[Key\] **(20)本题主要考查:线面关系,三垂线定理以及空间想象能力.**

![](./data/image/media/image44.wmf)

(Ⅰ)**证明:**

如图,连结A1O,则A1O⊥底面ABCD.作OM⊥AB交AB于M,作ON⊥AD交AD于N,连结A1M,A1N.

由三垂线定理得

A1M⊥AB,A1N⊥AD.

∵ ∠A1AM=∠A1AN,

∴ Rt△A1NA≌Rt△A1MA.

∴ A1M=A1N.

∴ OM=ON.

∴ 点O在∠BAD的平分线上.

(Ⅱ)**解:**

![](./data/image/media/image45.wmf)

![](./data/image/media/image46.wmf)

![](./data/image/media/image47.wmf)

![](./data/image/media/image48.wmf)

∴ 平行六面体的体积

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(21)自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线L所在直线的方程.

\[Key\] **(21)本题主要考查:直线和圆的方程以及灵活应用有关知识解决问题的能力.**

![](./data/image/media/image50.wmf)

**解法一:**

已知圆的标准方程是

(x-2)2+(y-2)2=1,

它关于x轴的对称圆的方程是

(x-2)2+(y+2)2=1.

设光线L所在直线的方程是

y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).

由题设知对称圆的圆心C到这条直线的距离等于1,即

![](./data/image/media/image51.wmf)

整理得

12k2+25k+12=0,

![](./data/image/media/image52.wmf)

故所求的直线方程是

![](./data/image/media/image53.wmf)

即 3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0.

**解法二:**

已知圆的标准方程是

(x-2)2+(y-2)2=1.

设光线L所在直线的方程是

y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).

由题意知k≠0,于是L的反射点的坐标是

![](./data/image/media/image54.wmf)

因为光线的入射角等于反射角,所以反射光线L＇所在直线的方程是

![](./data/image/media/image55.wmf)

即 y+kx+3(1+k)=0.

这条直线应与已知圆相切,故圆心C到它的距离等于1,

![](./data/image/media/image56.wmf)

以下同解法一.

(22)已知a\>0,a≠1,试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2有解的k的取值范围.

\[Key\] **(22)本题主要考查:对数函数的性质以及解不等式的能力.**

**解:**

由对数函数的性质可知,原方程的解x应满足

![](./data/image/media/image57.wmf)

当①,②同时成立时,③显然成立,因此只需解

![](./data/image/media/image58.wmf)

由①得 2kx=a(2+k2). ④

当 k=0时,由a\>0知④无解,因而原方程无解.

![](./data/image/media/image59.wmf)

把⑤代入②,得

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当 k\<0时得k2\>1,即-∞\<k\<-1.

当 k\>0时得k2\<1,即0\<k\<1.

综合得,当k在集合(-∞,-1)∪(0,1)内取值时,原方程有解.

(23)是否存在常数a,b,c使得等式

![](./data/image/media/image61.wmf)

对一切自然数n都成立？并证明你的结论.

\[Key\] **(23)本题主要考查:综合运用待定系数法、数学归纳法解决问题的能力.**

**解法一:**

假设存在a,b,c使题设的等式成立,这时,

![](./data/image/media/image62.wmf)

![](./data/image/media/image63.wmf)

令 n=3 得 70=9a+3b+c,

经整理得

![](./data/image/media/image64.wmf)

解得

a=3,b=11,c=10.

于是,对n=1,2,3下面等式成立:

![](./data/image/media/image65.wmf)

记 Sn=1·22+2·32+...+n(n+1)2.

设 n=k时上式成立,即

![](./data/image/media/image66.wmf)

那么

Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2

![](./data/image/media/image67.wmf)

![](./data/image/media/image68.wmf)

![](./data/image/media/image69.wmf)

![](./data/image/media/image70.wmf)

也就是说,等式对n=k+1也成立.

综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对一切自然数n成立.

**解法二:**

因为 n(n+1)2=n3+2n2+n,所以

Sn=1·22+2·32+...+n(n+1)2

=(13+2·12+1)+(23+2·22+2)+...+(n3+2n2+n)

=(13+23+...+n3)+2(12+22+...+n2)+(1+2+...+n).

由于下列等式对一切自然数n成立:

![](./data/image/media/image71.wmf)

![](./data/image/media/image72.wmf)

![](./data/image/media/image73.wmf)

由此可知

![](./data/image/media/image74.wmf)

综上所述,当a=3,b=11,c=10时,

题设的等式对一切自然数n成立.

(24)设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用Ik表示区间(2k-1,2k+1\],已知当x∈I0时f(x)=x2.

(Ⅰ)求f(x)在Ik上的解析表达式;

(Ⅱ)对自然数k,求集合Mk={a│使方程f(x)=ax在Ik上有两个不相等的实根}.

**\[Key\] (24)本题主要考查:周期函数的概念,解不等式的能力.**

(Ⅰ)**解:**∵ f(x)是以2为周期的函数,

∴ 当k∈Z时,2k是f(x)的周期.

又∵ 当x∈Ik时,(x-2k)∈I0,

∴ f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.

即对 k∈Z,当x∈Ik时,f(x)=(x-2k)2.

(Ⅱ)**解:**当k∈N且x∈Ik时,利用(Ⅰ)的结论可得方程(x-2k)2=ax,

整理得 x2-(4k+a)x+4k2=0.

它的判别式是

△=(4k+a)2-16k2=a(a+8k).

上述方程在区间Ik上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足

![](./data/image/media/image75.wmf)

化简得

![](./data/image/media/image76.wmf)

由①知a\>0,或a\<-8k.

当a\>0时:

![](./data/image/media/image77.wmf)

![](./data/image/media/image78.wmf)

![](./data/image/media/image79.wmf)

![](./data/image/media/image80.wmf)

当a\<-8k时:

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故所求集合

![](./data/image/media/image83.wmf)
