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2003年普通高等学校春季招生考试

数 学（理工农医类）（北京卷）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.

参考公式：

三角函数的积化和差公式

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1．若集合 （ ）

A． B． C． D．

2．若，则方程的根是 （ ）

A． B．－ C．2 D．－2

3．设复数 （ ）

A． B． C． D．－

4．函数的最大值是 （ ）

A． B． C． D．

5．在同一坐标系中，方程的曲线大致是（ ）

6．若A，B，C是△ABC的三个内角，且，则下列结论中正确的是（ ）

A． B． C． D．

7．椭圆为参数）的焦点坐标为 （ ）

A．（0，0），（0，－8） B．（0，0），（－8，0）

C．（0，0），（0，8） D．（0，0），（8，0）

8．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，

G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC

沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度

数为 （ ）

A．90° B．60°

C．45° D．0°

9．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两

个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 （ ）

A．42 B．30 C．20 D．12

10．已知直线相切，则三条边长分别为\|*a*\|，\|b\|，\|c\|

的三角形 （ ）

A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在

11．若不等式的解集为（－1，2），则实数*a*等于 （ ）

A．8 B．2 C．－4 D．－8

12．在直角坐标系*xOy*中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为，

则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是 （ ）

A．95 B．91 C．88 D．75

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2003年普通高等学校春季招生考试

数 学（理工农医类）（北京卷）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项：

1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.

  ------- ---- ---- ------- ---- ---- ---- ---- --
  题 号   二   三   总 分                       
               17   18      19   20   21   22   
  分 数                                         
  ------- ---- ---- ------- ---- ---- ---- ---- --

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中

横线上.

13．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有

适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水

面高度恰好升高r，则 [ ]{.underline} .

14．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与

相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ [ ]{.underline} ）内.

  ----------------------- --------------------------------------------------
  年龄（岁）              30 35 40 45 50 55 60 65
  收缩压（水银柱 毫米）   110 115 120 125 130 135 （ [ ]{.underline} ）145
  舒张压（水银柱 毫米）   70 73 75 78 80 83 （ [ ]{.underline} ）88
  ----------------------- --------------------------------------------------

15．如图，F~1~，F~2~分别为椭圆的左、右焦

点，点P在椭圆上，△POF~2~是面积为的正三角

形，则b^2^的值是 [ ]{.underline} .

16．若存在常数，使得函数

的一个正周期为 [ ]{.underline} .

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

解不等式：

18．（本小题满分12分）

已知函数的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.

19．（本小题满分12分）

如图，正四棱柱ABCD---A~1~B~1~C~1~D~1~中，底面边长为，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G.

（Ⅰ）求证：平面B~1~EF⊥平面BDD~1~B~1~；

（Ⅱ）求点D~1~到平面B~1~EF的距离*d*；

（Ⅲ）求三棱锥B~1~---EFD~1~的体积V.

20．（本小题满分12分）

某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.

（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

21．（本小题满分13分）

如图，在边长为*l*的等边△ABC中，圆O~1~为△ABC的内切圆，圆O~2~与圆O~1~外切，且与AB，BC相切，...，圆O~n+1~与圆O~n~外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去. 记圆O~n~的面积为.

（Ⅰ）证明是等比数列；

（Ⅱ）求的值.

22．（本小题满分13分）

已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切，点C在*l*上.

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；

（Ⅱ）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A，B两点.

（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；

（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.

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2003年普通高等学校春季招生考试

数学试题（理工农医类）（北京卷）参考答案

一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.

1.C 2.A 3.C 4.D 5.D 6.A 7.D 8.B 9.A 10.B 11.C 12.B

二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.

13． 14．（[140]{.underline}）（[85]{.underline}） 15． 16．注：填的正整数倍中的任何一个都正确.

三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满分12

分.

解：原不等式变形为.所以，原不等式

.

故原不等式的解集为.

18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 满分12分.

解：由.

所以的定义域为

因为的定义域关于原点对称，且

是偶函数.

当

，

所以的值域为

19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分12分.

（Ⅰ）证法一：

连结AC.

∵正四棱柱ABCD---A~1~B~1~C~1~D~1~的底面是正方形，

∴AC⊥BD，又AC⊥D~1~D，故AC⊥平面BDD~1~B~1~.

∵E，F分别为AB，BC的中点，故EF∥AC，

∴EF⊥平面BDD~1~B~1~，

∴平面B~1~EF⊥平面BDD~1~B~1~.

证法二：

∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF⊥BD. 又 EF⊥D~1~D

∴EF⊥平面BDD~1~B~1~， ∴平面B~1~EF⊥平面BDD~1~B~1~.

（Ⅱ）在对角面BDD~1~B~1~中，作D~1~H⊥B~1~G，垂足为H.

∵平面B~1~EF⊥平面BDD~1~B~1~，且平面B~1~EF∩平面BDD~1~B~1~=B~1~G，

∴D~1~H⊥平面B~1~EF，且垂足为H，∴点D~1~到平面B~1~EF的距离d=D~1~H.

解法一：

在Rt△D~1~HB~1~中，D~1~H=D~1~B~1~·sin∠D~1~B~1~H.

∵，

∴

解法二：

∵△D~1~HB~1~～△B~1~BG， ∴， ∴

解法三：

连结D~1~G，则三角形D~1~GB~1~的面积等于正方形DBB~1~D~1~面积的一半，

即，

（Ⅲ）

20．本小题主要考查二次函数的性质等基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分12分.

解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了

88辆车.

（Ⅱ）设每辆车的月租金定为*x*元，则租赁公司的月收益为

，

整理得.

所以，当*x*=4050时，最大，最大值为，

即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元.

21．本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分13分.

（Ⅰ）证明：记r~n~为圆O~n~的半径，则

所以

故成等比数列.

（Ⅱ）解：因为所以

22．本小题主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能

力. 满分13分.

解：（Ⅰ）依题意，曲线M是以点P为焦点，直线*l*为准线的抛物线，所以曲线M的方程为.

（Ⅱ）（i）由题意得，直线AB的方程为消*y*得

所以A点坐标为，B点坐标为（3，），

假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则\|BC\|=\|AB\|且\|AC\|=\|AB\|，即

由①－②得

但不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.

因此，直线*l*上不存在点C，使得△ABC是正三角形.

（ii）解法一：

设C（－1，*y*）使△ABC成钝角三角形，

由，

即当点C的坐标为（－1，）时，A，B，C三点共线，故.

又，

， .

当，即，

即为钝角.

当，即，

即为钝角.

又，即，

即. 该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是.

解法二：

以AB为直径的圆的方程为.

圆心到直线的距离为，

所以，以AB为直径的圆与直线*l*相切于点G.

当直线*l*上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G

点不重合，且A，B，C三点不共线时， ∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角.

因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.

过点A且与AB垂直的直线方程为.

过点B且与AB垂直的直线方程为. 令.

又由，所以，当点C的坐标为（－1，）时，A，B，C三点共

线，不构成三角形.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标*y*的取值范围是
