**2006年数学（二）考研真题及解答**

**一、填空题**

（1）曲线的水平渐近线方程为 [ ]{.underline} .

（2）设函数在处连续，则 [ ]{.underline} .

（3）广义积分 [ ]{.underline} .

（4）微分方程的通解是 [ ]{.underline} .

（5）设函数由方程确定，则= [ ]{.underline} .

（6）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则=

[ ]{.underline} .

二、选择题

（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则

（A） （B）

（C） （D） 【 】

（8）设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是

> （A）连续的奇函数. （B）连续的偶函数
>
> （C）在间断的奇函数 （D）在间断的偶函数. 【 】

（9）设函数可微，，则等于

（A）. （B）

（C） （D） 【 】

（10）函数满足一个微分方程是

（A） （B）

（C） （D）

（11）设为连续函数，则等于

（A） （B）

（C） （D） 【 】

（12）设与均为可微函数，且. 已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是

（A）若，则.

（B）若，则.

（C）若，则.

（D）若，则. 【 】

（13）设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是

（A）若线性相关，则线性相关.

（B）若线性相关，则线性无关.

（C）若线性无关，则线性相关.

> （D）若线性无关，则线性无关. 【 】

（14）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则

> （A） （B）

（C） （D）

**三 解答题**

15．试确定A，B，C的常数值，使得，其中是当

。

16．

17．

18．

19．

20 设函数满足等式

(Ⅰ)验证.

(Ⅱ)若.

21 已知曲线的方程为

（Ⅰ）讨论的凹凸性；

（Ⅱ）过点（-1，0）引的切线，求切点，并写出切线的方程；

（Ⅲ）求此切线与（对应于的部分）及轴所围成的平面图形的面积。

22 已知非齐次线性方程组

Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩

Ⅱ求的值及方程组的通解

23 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量是线性方程组A=0的两个解, (Ⅰ)求A的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得.

**\
真题答案解析**

一、填空题

（1）曲线的水平渐近线方程为[]{.underline}

（2）设函数 在*x*=0处连续，则*a*=[]{.underline}

（3）广义积分[]{.underline}

（4）微分方程的通解是[]{.underline}

（5）设函数确定，则[]{.underline}

当*x*=0时，*y*=1，

又把方程每一项对*x*求导，

二、选择题

（7）设函数具有二阶导数，且为自变量*x*在点*x*~0~处的增量，，则\[A\]

（A） （B）

（C） （D）

由严格单调增加

是凹的

即知

（8）设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则

是\[B\]

（A）连续的奇函数 （B）连续的偶函数

（C）在*x*=0间断的奇函数 （D）在*x*=0间断的偶函数

（9）设函数则*g*(1)等于\[C\]

（A） （B）

（C） （D）

∵ ，

（10）函数满足的一个微分方程是\[D\]

（A） （B）

（C） （D）

∵ 特征根为1和-2，故特征方程为

（11）设为连续函数，则等于\[C\]

（A） （B）

（C） （D）

（12）设均为可微函数，且在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是\[D\]

（A）若

（B）若

（C）若

（D）若

今 代入(1) 得

今 故选\[D\]

三、解答题

（15）试确定A，B，C的常数值，使其中是当.

解：泰勒公式代入已知等式得

整理得

比较两边同次幂函数得

*B*+1=*A* ①

*C*+*B*+=0 ②

③

式②-③得

代入①得

代入②得

（16）求

解：原式=

（17）设区域

计算二重积分

解：用极坐标系

（18）设数列满足，

证明：（1）存在，并求极限

（2）计算

证：（1）

单调减少有下界

根据准则1，存在

在两边取极限得

因此

（2）原式

离散散不能直接用洛必达法则

先考虑

用洛必达法则

（19）证明：当时，

证：令

只需证明单调增加（严格）

> 单调减少（严格）
>
> 又
>
> 故单调增加（严格）
>
> 得证

（20）设函数内具有二阶导数，且满足等式

（I）验证

（II）若 求函数

> 证：（I）
>
> （II）令

（21）已知曲线*L*的方程

（I）讨论*L*的凹凸性

（II）过点引*L*的切线，求切点，并写出切线的方程

（III）求此切线与*L*（对应部分）及*x*轴所围的平面图形的面积

> 解：（I）
>
> （II）切线方程为，设，，
>
> 则
>
> 得
>
> 点为（2，3），切线方程为
>
> （III）设*L*的方程
>
> 则
>
> 由于（2，3）在*L*上，由

**线代**

\(6\) 设***A***= 2 1 ,2阶矩阵***B*** 满足***BA***=***B*** +2***E***,则\|***B***\|= [ ]{.underline} .

-1 2

解:由***BA***=***B*** +2***E***化得***B***(***A***-***E***)=2***E,两边取行列式,得***

***\|B\|\|A***-***E\|=\|***2***E\|=4,***

计算出***\|A***-***E\|=2,因此***\|***B***\|=2.

(13)设***α***~1~,***α***~2~,***...***,***α***~s~ 都是n维向量，***A***是m×n矩阵，则（ ）成立.

\(A\) 若***α***~1~,***α***~2~,***...***,***α***~s~线性相关,则***Aα***~1~,***Aα***~2~,***...***,***Aα***~s~线性相关.

\(B\) 若***α***~1~,***α***~2~,***...***,***α***~s~线性相关,则***Aα***~1~,***Aα***~2~,***...***,***Aα***~s~线性无关.

\(C\) 若***α***~1~,***α***~2~,***...***,***α***~s~线性无关,则***Aα***~1~,***Aα***~2~,***...***,***Aα***~s~线性相关.

\(D\) 若***α***~1~,***α***~2~,***...***,***α***~s~线性无关,则***Aα***~1~,***Aα***~2~,***...***,***Aα***~s~线性无关.

解: (A)

本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.

若***α***~1~,***α***~2~,***...***,***α***~s~线性相关,则存在不全为0的数c~1~,c~2~,...,c~s~使得

c~1~***α***~1~+c~2~***α***~2~+...+c~s~***α***~s~=0,

用***A***左乘等式两边,得

c~1~***Aα***~1~+c~2~***Aα***~2~+...+c~s~***Aα***~s~=0,

于是***Aα***~1~,***Aα***~2~,***...***,***Aα***~s~线性相关.

如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:

1.*** α***~1~,***α***~2~,***...***,***α***~s~ 线性无关⇔ r(***α***~1~,***α***~2~,***...***,***α***~s~ )=s.

2\. r(***AB***)≤ r(***B***).

矩阵(***Aα***~1~,***Aα***~2~,***...***,***Aα***~s~)=***A***(*** α***~1~,*** α***~2~,***...***,***α***~s~ ),因此

r(***Aα***~1~,***Aα***~2~,***...***,***Aα***~s~)≤ r(***α***~1~,*** α***~2~,***...***,***α***~s~ ).

由此马上可判断答案应该为(A).

(14)设***A***是3阶矩阵,将***A***的第2列加到第1列上得***B***,将***B***的第1列的-1倍加到第2列上得***C***.记 1 1 0

***P***= 0 1 0 ,则

0 0 1

\(A\) ***C***=***P***^-1^***AP***. (B) ***C***=***PAP***^-1^.

\(C\) ***C***=***P***^T^***AP***. (D) ***C***=***PAP***^T^.

解: (B)

用初等矩阵在乘法中的作用得出

***B***=***PA*** ,

1 -1 0

***C***=***B 0 1 0 =BP***^-1^***= PAP***^-1^***.***

***0 0 1***

(22)已知非齐次线性方程组

                      x~1~+x~2~+x~3~+x~4~=-1,

4x~1~+3x~2~+5x~3~-x~4~=-1，

            ax~1~+x~2~+3x~3~+bx~4~=1

有3个线性无关的解.

① 证明此方程组的系数矩阵***A***的秩为2.

② 求a,b的值和方程组的通解.

***解:① 设α***~1~,***α***~2~,***α***~3~是方程组的***3个线性无关的解,则α***~2~-***α***~1~,***α***~3~-***α***~1~是***AX=0的两个线性无关的解.于是AX=0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A)≥2,从而r(A)≤2.***

***又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r(A)≥2.***

***两个不等式说明r(A)=2.***

***② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:***

1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1

(***A***\|***β***)= 4 3 5 -1 -1 → 0 --1 1 --5 3 ,

a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a

***由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:***

***1 0 2 -4 2***

→ 0 1 -1 5 -3 .

0 0 0 0 0

得同解方程组

x~1~=2-2x~3~+4x~4~，

x~2~=-3+x~3~-5x~4~，

***求出一个特解(2,-3,0,0)***^T^***和AX=0的基础解系(-2,1,1,0)***^T^***,(4,-5,0,1)*** ^T^***.得到方程组的通解:*** (***2,-3,0,0***)^T^+c~1~(***-2,1,1,0***)^T^+c~2~(***4,-5,0,1***)^T^, c~1~,c~2~任意.

\(23\) 设3阶实对称矩阵***A***的各行元素之和都为3,向量***α***~1~=(-1,2,-1)^T^,*** α***~2~=(0,-1,1)^T^都是齐次线性方程组***AX=0的解.***

① 求***A***的特征值和特征向量.

② 求作正交矩阵***Q***和对角矩阵***Λ***,使得

***Q*** ^T^***AQ***=***Λ***.

解:① 条件说明***A(1,1,1***)^T^***=(3,3,3***)^T^***,即 α***~0~=***(1,1,1***)^T^***是A的特征向量,特征值为3.又α***~1~,***α***~2~都是***AX=0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0.由于α***~1~,***α***~2~***线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,0,0.***

***属于3的特征向量:cα***~0~, ***c≠0.***

***属于0的特征向量:c***~1~***α***~1~+***c***~2~***α***~2~, ***c***~1~,***c***~2~***不都为0.***

② 将***α***~0~单位化,得***η***~0~=(,,)^T^***.***

***对α***~1~,***α***~2~作施密特正交化,的***η***~1~=(0,-,)^T^***, η***~2~=***(-***,,***)***^T^***.***

***作Q***=(***η***~0~,***η***~1~,***η***~2~),则***Q***是正交矩阵,并且

3 0 0

***Q*** ^T^***AQ***=***Q***^-1^***AQ***= 0 0 0 .

0 0 0
