2006年广东

1.  函数 *f* (*x*) = + **lg** (3*x* + 1) 的定义域是\
    (A) (－,+∞) (B) (－,1) (C) (－,) (D) (－∞,－)

2.  若复数 *z* 满足方程 *z* ^2^ + 2 = 0，则 *z* ^3^ =\
    (A) ±2 (B) －2 (C) －2***i*** (D) ±2***i***

3.  下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是\
    (A) *y* = －*x* ^3^，*x* ∈ **R** (B) *y* = **sin** *x*，*x* ∈ **R** (C) *y* = *x*，*x* ∈ **R** (D) *y* = ( ) *^x^*，*x* ∈ **R**

4.  如图1所示，*D*是△*ABC* 的边 *AB* 上的中点，则向量\
    (A) －+ (B) －－\
    (C) － (D) +

5.  给出以下四个命题：\
    ① 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。\
    ② 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。\
    ③ 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行。\
    ④ 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。\
    其中真命题的个数是\
    (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1

6.  已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为\
    (A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2

7.  函数 *y* = *f* (*x*) 的反函数 *y* = *f* ^－1^ (*x*) 的图像与 *y* 轴交于点*P*(0,2)（如图2所示），则方程 *f* (*x*) = 0 在 \[1,4\] 上的根是 *x* =\
    (A) 4 (B) 3\
    (C) 2 (D) 1

8.  已知双曲线 3*x* ^2^－*y* ^2^ = 9，则双曲线右支上的点 *P* 到右焦点的距离与点 *P* 到右准线的距离之比等于\
    (A) (B) (C) 2 (D) 4

9.  在约束条件 下，当 3≤*s*≤5 时，目标函数 *z* = 3*x* + 2*y* 的最大值的变化范围是\
    (A) \[6,15\] (B) \[7,15\]\
    (C) \[6,8\] (D) \[7,8\]

10. 对于任意的两个实数对 (*a*,*b*) 和 (*c*,*d*)，规定：(*a*,*b*) = (*c*,*d*)当且仅当 *a* = *c*，*b* = *d*；运算"⊗"为：(*a*,*b*) ⊗ (*c*,*d*) = (*ac*－*bd*,*bc* + *ad*)；运算"⊕"为：(*a*,*b*) ⊕ (*c*,*d*) = (*a* + *c*,*b* + *d*)，设*p*、*q* ∈ **R**，若(1,2) ⊗ (*p*,*q*) = (5,0)，则 (1,2) ⊕ (*p*,*q*) =\
    (A) (4,0) (B) (2,0) (C) (0,2) (D) (0,－4)

二、填空题

11. ~→~( －) = [ ]{.underline} 。

12. 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 [ ]{.underline} 。

13. 在 (*x*－) ^11^ 的展开式中，*x* ^5^ 的系数为 [ ]{.underline} 。

14. ![](./data/image/media/image1.png)在德国不来梅举行的第48届世兵赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆"正三棱锥"形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2、3、4、... 堆最低层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放。从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 *n* 堆第 *n* 层就放一个乒乓球。以 *f* (*n*) 表示第 *n* 堆的乒乓球总数，则 *f* (3) = [ ]{.underline} ；*f* (*n*) = [ ]{.underline} （答案用 *n* 表示）。

三、解答题

15. 已知函数 *f* (*x*) = **sin** *x* + **sin** (*x* + *π*)，*x* ∈ **R**

\(I\) 求 *f* (*x*) 的最小正周期；

\(II\) 求 *f* (*x*) 的最大值和最小值；

\(III\) 若 *f* (*α* ) = ，求 **sin** 2*α* 的值。

16. 某运动员射击一次所得环数*X*的分布列如下

  ----- ------ ----- ----- ----- -----
  *X*   0\~6   7     8     9     10
  *P*   0      0.2   0.3   0.2   0.2
  ----- ------ ----- ----- ----- -----

现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩记为 *ξ* ，

\(I\) 求该运动员两次都命中7环的概率；

\(II\) 求 *ξ* 的分布列；

\(III\) 求 *ξ* 的数学期望 **E***ξ*

17. 如图所示，*AF*、*DE* 分别是⊙*O*、⊙*O*~1~ 的直径，*AD* 与两圆所在的平面垂直，*AD* = 8，*BC*是⊙*O* 的直径，*AB* = *AC* = 6，*OE*∥*AD*

\(I\) 求二面角 *B*－*AD*－*F* 的大小；

\(II\) 求直线 *BD* 与 *EF* 所成的角。

18. （14'）设函数 *f* (*x*) = －*x* ^3^ + 3*x* + 2 分别在 *x*~1~、*x*~2~ 处取极小值、极大值，*xoy* 平面上点 *A*、*B* 的坐标分别为 (*x*~1~, *f* (*x*~1~))、(*x*~2~, *f* (*x*~2~))，该平面上动点 *P* 满足·= 4，点*Q*是点*P*关于直线 *y* = 2 (*x*－4) 的对称点，求

\(I\) 点*A*、*B* 的坐标；

\(II\) 动点 *Q* 的轨迹方程。

19. （14'）已知公比为 *q*（0 \< *q* \< 1）的无穷等比数列 {*a~n~*} 各项的和为 9，无穷等比数列 {*a~n~*^2^} 各项的和为

\(I\) 求数列 {*a~n~*} 的首项 *a*~1~ 和公比 *q*；

\(II\) 对给定的 *k*（*k* = 1,2...,*n*），设 *T* ^(*k*)^ 是首项为 *a~k~*，公差为 2*a~k~*－1 的等差数列，求数列 *T* ^(2)^ 的前10项之和；

\(III\) 设 *b**~i~*** 为数列 *T* ^(*i*)^ 的第 *i* 项，*S~n~* = *b*~1~ + *b*~2~ + ... + *b~n~*，求 *S~n~*，并求正整数 *m*（*m* \> 1）使得 ~→∞~存在且不等于零。

20. （12'）*A* 是由定义在 \[2,4\] 上且满足如下条件的函数 *ϕ*(*x*) 组成的集合：

① 对任意 *x* ∈ \[1,2\]，都有 *ϕ*(2*x*) ∈ (1,2)；

② 存在常数 *L*（0 \< *L* \< 1），使得对任意 *x*~1~、*x*~2~ ∈ \[1,2\]，都有 \| *ϕ*(2*x*~1~)－*ϕ*(2*x*~2~) \|≤*L* \| *x*~1~－*x*~2~ \|

\(I\) 设 *ϕ*(*x*) = ，*x* ∈ \[2,4\]，证明：*ϕ*(*x*) ∈ *A*

\(II\) 设 *ϕ*(*x*) ∈ *A*，如果存在 *x*~0~ ∈ (1,2)，使得 *x*~0~ = *ϕ*(2*x*~0~)，那么这样的 *x*~0~ 是唯一的；

\(III\) 设 *ϕ*(*x*) ∈ *A*，任取 *x*~1~ ∈ (1,2)，令 *x~n~*~+1~ = *ϕ*(2*x~n~*)，*n* = 1,2,...，证明：给定正整数 *k*，对任意的正整数 *p*，成立不等式：\| *x~k~*~+*p*~－*x~k~* \|≤ \| *x*~1~－*x*~2~ \|
