**2007年普通高等学招生全国统一考试（安徽卷）**

**数　学（文科）**

**参考答案**

**一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分55分.**

1．D　　2．A　　3．C　　4．D　　5．C　　6．A

7．B　　8．B　　9．A　　10．C　 11．D

**二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.**

12．-256

13．

114．

15．①②③

**三、解答题**

16．（本小题满分10分）

本小题主要考查三角函数的基本性质，含绝对值不等式的解法，考查基本运算能力.本小题满分10分。

解：因为对任意所以原不等式等价于

即

所以原不等式的解集为

17．（本小题满分4分）

本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力.本小题满分14分。

**解法1**（向量法）：

以*D*为原点，以*DA*,*DC*,所在直线分别为*x*轴，*y*轴，*z*轴建立空间直角坐标系D---xyz如图，则有：

*A*（2，0，0），*B*（2，2，0），*C*（0，2，0），

*A~1~*（1，0，2），*B~1~*（1，1，2），*C~1~*（0，1，2），D~1~（0，0，2）

![](./data/image/media/image8.png)

（Ⅰ）证明：

于是与*AC*共面，与*BD*共面.

（Ⅱ）证明：

内的两条相交直线，

∴AC⊥平面B~1~BDD~1~

又平面

∴平面A~1~ACC~1~⊥平面B~1~BDD~1~

（Ⅲ）解：

设

于是

设

于是

**解法2（综合法）：**

![](./data/image/media/image29.png)

（Ⅰ）证明：

∥平面*ABCD*

于是∥*CD*，∥DA

设*E*，*F*分别为*DA*，*DC*的中点，连结*EF*，

有∥∥

∴∥

于是∥

由*DE*=*DF*=1,得*EF*∥*AC*，

故∥AC

与*AC*共面

过点

于是

所以点*O*在*BD*上，故

（Ⅱ）证明：

又*BD*⊥*AC*（正方形的对角线互相垂直），

内的两条相交直线，

又平面

（Ⅲ）解：∵直线*DB*是直线

根据三垂线定理，有AC⊥

过点*A*在平面

则

于是

所以，∠*AMC*是二面角

根据勾股定理，有

二面角

18．（本小题满分4分）

本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点和焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力，本小题满分14分

解：

（Ⅰ）设切点知抛物线在*Q*点处的切线斜率为，故所求切线方程为

即

因为点*P*（0，-4）在切线上，

所以

所以切线方程为*y*=±2*x*-4.

（Ⅱ）设

由题设知，直线*AC*的斜率*k*存在，由对称性，不妨设*k*＞0.

因直线*AC*过焦点*F*（0，1），所以直线*AC*的方程为*y*=*kx*+1.

点*A*，*C*的坐标满足方程组

得

由根与系数的关系知

同理可求得

当*k*=1时，等号成立.所以，四边形*ABCD*面积的最小值为32。

19．（本小题满分3分）

本小题主要考查排列、组合知道与等可能事件、互斥事件概率的计算，运用概率知识分析问题及解决实际问题的能力.本小题满分13分.

解：以表示恰剩下*k*只果绳的事件（*k*=0,1,...,6）,

以表示至少剩下*m*只果绳的事件（*m*=0,1,...,6）

可以有多种不同的计算*P*的方法

**方法1（组合模式）：**

当事件发生时，第 8-*k*只飞出的绳子是苍绳，且在前7-*k*只飞出的绳子中有1只苍绳，所以

**方法2（排列模式）：**

当事件发生时，共飞走8-*k*只绳子，其中第8-*k*只飞出的绳子是苍绳，哪一只？有两种不同可能.在前7-*k*只飞出的绳子中有6-*k*只是果绳，有种不同的选择可能，还需考虑这7-*k*只绳子的排列顺序.所以

由上式立得

20．（本小题满分4分）

本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性.考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间、极值与最值等问题的综合能力。本小题满分14分.

解：（Ⅰ）我们有

＝

＝

＝

由于

（Ⅱ）我们有

列表如下：

  --------- ---- -------- ---- -------- ----
                                        
  G′（t）   \+   0        \-   0        \+
  G′（t）   ↑    极大值   →    极小值   ↑
  --------- ---- -------- ---- -------- ----

由此可见，

*g*（*t*）在区间

21．（本小题满分4分）

本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.本小题满分14分。

解：（Ⅰ）我们有

（Ⅱ）

＝ ①

在①式两端同乘1+*r*，得

②

②-①，得

＝

即

如果记

则

其中

。
