**1990年试题**

（理工农医类）

**一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内.**

![](./data/image/media/image1.wmf)

![](./data/image/media/image2.wmf)

\[Key\]

**一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.**

(1)A

![](./data/image/media/image3.wmf)

![](./data/image/media/image4.wmf)

![](./data/image/media/image5.wmf)

![](./data/image/media/image6.wmf)

![](./data/image/media/image7.wmf) 【 】

\[Key\] (2)B

(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于

![](./data/image/media/image8.wmf)

![](./data/image/media/image9.wmf)![](./data/image/media/image10.wmf)

![](./data/image/media/image11.wmf) **【** 】

\[Key\] (3)D

(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【 】

\[Key\] (4)C

\(5\)

![](./data/image/media/image12.wmf)

![](./data/image/media/image13.wmf)

![](./data/image/media/image14.wmf)

![](./data/image/media/image15.wmf)

![](./data/image/media/image16.wmf)

![](./data/image/media/image17.wmf) 【 】

\[Key\] (5)C

![](./data/image/media/image18.wmf)

(A){-2,4} (B){-2,0,4}

(C){-2,0,2,4} (D){-4,-2,0,4} 【 】

\[Key\] (6)B

(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么

![](./data/image/media/image19.wmf)

(C)a=3,b=-2 (D)a=3,b=6 【 】

\[Key\] (7)A

![](./data/image/media/image20.wmf)

(A)圆 (B)椭圆

(C)双曲线的一支 (D)抛物线 【 】

\[Key\] (8)D

![](./data/image/media/image21.wmf)

![](./data/image/media/image22.wmf) (B){(2,3)}

(C)(2,3) (D){(x,y)│y=x+1} 【 】

\[Key\] (9)B

![](./data/image/media/image23.wmf)

![](./data/image/media/image24.wmf) ![](./data/image/media/image25.wmf)

![](./data/image/media/image26.wmf) ![](./data/image/media/image27.wmf) 【 】

\[Key\] (10)D

(11)如图,正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于

![](./data/image/media/image28.wmf)

(A)90° (B)60° (C)45° (D)30° 【 】

\[Key\] (11)C

(12)已知h\>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│\<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│\<h且│b-1│\<h.那么

(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件

(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件

(C)甲是乙的充分条件

(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 【 】

\[Key\] (12)B

(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有

(A)24种 (B)60种 (C)90种 (D)120种 【 】

\[Key\] (13)B

(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有

(A)70个 (B)64个 (C)58个 (D)52个

【 】

\[Key\] (14)C

(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是

(A)y=-arctg(x-2) (B)y=arctg(x-2)

(C)y=-arctg(x+2) (D)y=arctg(x+2) 【 】

**\[Key\]** (15)D

**二、填空题:把答案填在题中横线上.**

![](./data/image/media/image29.wmf)

(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于 [ ]{.underline} .

(18)已知{an}是公差不为零的等差数列,如果Sn是{an}的前n项的和,那![](./data/image/media/image30.wmf)

(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是 [ ]{.underline} .

(20)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC

的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2＝ [ ]{.underline} .

![](./data/image/media/image31.wmf)

**\[Key\] 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.**

![](./data/image/media/image32.wmf)

**三、解答题.**7

(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.

\[Key\] **三、解答题.**

**(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.**

**解法一:**

![](./data/image/media/image33.wmf) ①

![](./data/image/media/image34.wmf)

由②式得 d=12-2a. ③

![](./data/image/media/image35.wmf)

整理得 a2-13a+36=0

解得 a1=4,a2=9.

代入③式得 d1=4,d2=-6.

从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

**解法二**:设四个数依次为x,y,12-y,16-x ①

![](./data/image/media/image36.wmf)

由①式得 x=3y-12. ③

将③式代入②式得 y(16-3y+12)=(12-y)2,

整理得 y2-13y+36=0.

解得 y1=4,y2=9.

代入③式得 x1=0,x2=15.

从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

![](./data/image/media/image37.wmf)

\[Key\] **(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.**

**解法一**:由已知得

![](./data/image/media/image38.wmf)

**解法二**:如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,

sinα）,点B的坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结![](./data/image/media/image39.wmf)

连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有

![](./data/image/media/image40.wmf)

![](./data/image/media/image41.wmf)

**解法三**:由题设得 4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).

![](./data/image/media/image42.wmf)

![](./data/image/media/image43.wmf)

将②式代入①式,可得 sin(α-)=sin(-β).

于是 α－＝(2k+1)π-(-β)(k∈Z),

或 α-=2kπ+(-β)(k∈Z).

若 α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z).

于是 sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.

![](./data/image/media/image44.wmf)

由此可知 α-=2kπ+(-β)(k∈Z),

即 α＋β＝2+2kπ(k∈Z).

![](./data/image/media/image45.wmf)

所以

![](./data/image/media/image46.wmf)

(23)如图,在三棱锥SABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.

![](./data/image/media/image47.wmf)

\[Key\] **(23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.**

**解法一**:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.

又已知 SC⊥DE,BE∩DE＝E,

∴SC⊥面BDE,

∴SC⊥BD.

又 ∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,

∴SA⊥BD.

而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.

∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,

∴BD⊥DE,BD⊥DC.

∴∠EDC是所求的二面角的平面角.

∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.

设SA＝a,

![](./data/image/media/image48.wmf)

又因为AB⊥BC,

![](./data/image/media/image49.wmf)

![](./data/image/media/image50.wmf)

∴∠ACS＝30°.

又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.

![](./data/image/media/image51.wmf)

**解法二**:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.

又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE,

∴SC⊥BD.

由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面 ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.

∵DE![](./data/image/media/image52.wmf)面BDE,DC![](./data/image/media/image52.wmf)面BDC,

∴∠EDC是所求的二面角的平面角.

以下同解法一.

(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.

\[Key\] **(24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.**

**解法一**:设z＝x+yi,代入原方程得

![](./data/image/media/image53.wmf)

于是原方程等价于方程组

![](./data/image/media/image54.wmf)

由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.

情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为

x2+2│x│=a. ③

(Ⅰ)令x\>0,方程③变为x2＋2x=a. ④

![](./data/image/media/image55.wmf).

由此可知:当a=0时,方程④无正根;

![](./data/image/media/image56.wmf)

(Ⅱ)令x\<0,方程③变为x2-2x=a. ⑤

![](./data/image/media/image57.wmf).

由此可知:当a=0时,方程⑤无负根;

当a\>0时,方程⑤有负根

x=1-![](./data/image/media/image58.wmf).

(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a.

由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0;

当a\>0时,方程⑥无零解.

所以,原方程的实数解是:

当a=0时,z=0;

![](./data/image/media/image59.wmf).

情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为

-y2+2│y│=a. ⑦

(Ⅰ)令y\>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a. ⑧

由此可知:当a\>1时,方程⑧无实根.

当a≤1时解方程⑧得

y=1±![](./data/image/media/image60.wmf),

从而, 当a=0时,方程⑧有正根 y=2;

当0\<a≤1时,方程⑧有正根 y=1±![](./data/image/media/image60.wmf).

(Ⅱ)令y\<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即 (y+1)2=1-a. ⑨

由此可知:当a\>1时,方程⑨无实根.

当a≤1时解方程⑨得 y=-1±![](./data/image/media/image60.wmf),

从而,当a=0时,方程⑨有负根 y=-2;

当0\<a≤1时,方程⑨有负根 y=-1±![](./data/image/media/image60.wmf)

所以,原方程的纯虚数解是:

当a=0时,z=±2i;

当0\<a≤1时, z=±(1+![](./data/image/media/image60.wmf))i,z=±(1-![](./data/image/media/image60.wmf))i.

而当a\>1时,原方程无纯虚数解.

**解法二**:设z=x+yi代入原方程得

![](./data/image/media/image61.wmf)

于是原方程等价于方程组

![](./data/image/media/image62.wmf)

由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.

情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为

x2+2│x│=a.

即 \| x \|2+2│x│=a. ③

解方程③得

![](./data/image/media/image63.wmf),

所以,原方程的实数解是

![](./data/image/media/image64.wmf).

情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为

-y2+2│y│=a.

即 -│y│2 +2│y│=a. ④

当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2,

即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.

当0\<a≤1时,解方程④得

![](./data/image/media/image65.wmf),

即当0\<a≤1时,原方程的纯虚数解是

![](./data/image/media/image66.wmf).

而当a\>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.

**解法三**:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其

解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y≠0).

情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.

情形2.若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2.

**解法四**:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ\<2π.代入原方程得

r2cos2θ＋2r+ir2sin2θ＝a.

于是原方程等价于方程组

![](./data/image/media/image67.wmf)

![](./data/image/media/image68.wmf)

情形1.若r=0.①式变成

0=a. ③

由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解.

当a\>0时,方程③无解.

所以, 当a=0时,原方程有解z=0;

当a\>0时,原方程无零解.

![](./data/image/media/image69.wmf)

考查r\>0的情形.

(Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为

r2+2r=a. ④

![](./data/image/media/image70.wmf).

由此可知:当a=0时,方程④无正根;

当a\>0时,方程④有正根 ![](./data/image/media/image71.wmf).

所以,当a\>0时,原方程有解 ![](./data/image/media/image72.wmf).

(Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为

-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a, ⑤

由此可知:当a\>1时,方程⑤无实根,从而无正根;

![](./data/image/media/image73.wmf).

从而, 当a=0时,方程⑤有正根 r=2;

![](./data/image/media/image74.wmf).

所以, 当a=0时,原方程有解z=±2i;

当0\<a≤1时,原方程有解

![](./data/image/media/image75.wmf)

当a\>1时,原方程无纯虚数解.

![](./data/image/media/image76.wmf)

![](./data/image/media/image77.wmf)

\[Key\] **(25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.**

**解法一:**根据题设条件,可取椭圆的参数方程是

![](./data/image/media/image78.wmf)

其中a\>b\>0待定,0≤θ\<2π.

![](./data/image/media/image79.wmf)

设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则

![](./data/image/media/image80.wmf)

![](./data/image/media/image81.wmf)

大值,由题设得

![](./data/image/media/image82.wmf),

![](./data/image/media/image83.wmf)

因此必有

![](./data/image/media/image84.wmf)

![](./data/image/media/image85.wmf),

由此可得 b=1,a=2.

所求椭圆的参数方程是

![](./data/image/media/image86.wmf)

![](./data/image/media/image87.wmf).

![](./data/image/media/image88.wmf)

**解法二:**设所求椭圆的直角坐标方程是

![](./data/image/media/image89.wmf)

其中a\>b\>0待定.

![](./data/image/media/image90.wmf),

设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则

![](./data/image/media/image91.wmf)

其中 -byb.

![](./data/image/media/image92.wmf)

![](./data/image/media/image93.wmf)

由此得

![](./data/image/media/image94.wmf)

![](./data/image/media/image95.wmf)

![](./data/image/media/image96.wmf),

由此可得 b=1,a=2.

所求椭圆的直角坐标方程是

![](./data/image/media/image97.wmf)

![](./data/image/media/image98.wmf)

![](./data/image/media/image99.wmf)

n≥2.

(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1\]时有意义,求a的取值范围;

(Ⅱ)如果a∈(0,1\],证明2f(x)\<f(2x)当x≠0时成立.

\[Key\] **(26)本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.**

(Ⅰ)**解:**f(x)当x∈(-∞,1\]时有意义的条件是

1+2x+...(n-1)x+nxa\>0 x∈(-∞,1\],n≥2,

![](./data/image/media/image100.wmf)

![](./data/image/media/image101.wmf)

上都是增函数,

![](./data/image/media/image102.wmf)

在(-∞,1\]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值

![](./data/image/media/image103.wmf)

![](./data/image/media/image104.wmf)

也就是a的取值范围为

![](./data/image/media/image105.wmf)

(Ⅱ)**证法一:**2f(x)\<f(2x) a∈(0,1\],x≠0.即

\[1+2x+...+(n-1)x+nxa\]2\<n\[1+22x+...+(n-1)2x+n2xa\]

a∈(0,1\],x≠0.②

现用数学归纳法证明②式.

（A）先证明当n=2时②式成立.

假如0\<a\<1,x≠0,则

(1+2xa)2=1+2·2xa+22xa2≤2(1+22x)\<2(1+22xa).

假如a=1,x≠0,因为1≠2x,所以

![](./data/image/media/image106.wmf)

因而当n=2时②式成立.

（B）假如当n=k(k≥2)时②式成立,即有

\[1+2x+...+(k-1)x+kxa\]2\<k\[1+22x+...+(k-1)2xa\] a∈(0,1\],x≠0,

那么,当a∈(0,1\],x≠0时

\[(1+2x+...+kx)+(k+1)xa\]2

=(1+2x+...+kx)2+2(1+2x+...+kx)(k+1)xa+(k+1)2xa2

\<k(1+22x+...+k2x)+2(1+2x+...+kx)(k+1)xa+(k+1)2xa2

=k(1+22x+...+k2x)+\[2·1·(k+1)xa+2·2x(k+1)xa+...

+2kx(k+1)xa\]+(k+1)2xa2\<k(1+22x+...

+k2x)+{\[1+(k+1)2xa2\]+\[22x+(k+1)2xa2\]+...

+\[k2x+(k+1)2xa2\]}+(k+1)2xa2\]

=(k+1)\[1+22x+...+k2x+(k+1)2xa2\]

≤(k+1)\[1+22x+...+k2x+(k+1)2xa\],

这就是说,当n=k+1时②式也成立.

根据(A),(B)可知,②式对任何n≥2(n∈N)都成立.即有

2f(x)\<f(2x) a∈(0,1\],x≠0.

**证法二**:只需证明n≥2时

![](./data/image/media/image107.wmf)

因为

![](./data/image/media/image108.wmf)

![](./data/image/media/image109.wmf)

其中等号当且仅当a1=a2=...=an时成立.

利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有

\[1+2x+...+(n-1)x+nx\]2\<n\[1+22x+...+(n-1)2x+n2x\].

当0\<a\<1,x≠0时,因a2\<a,所以有

\[1+2x+...+(n-1)x+nxa\]2

≤n\[1+22x+...+(n-1)2x+n2xa2\]\<n\[1+22x+...+(n-1)2x+n2xa\].

即有 2f(x)\<f(2x) a∈(0,1\],x≠0.
