**2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I）**

**数学（文科）试卷**

**参考答案**

**一、选择题**

1．D　　2．B　　3．A　　4．A　　5．C　　 6．C　　

7．D　　8．D　　9．B 10．D　　11．A　 12．C

**二、填空题**

13．0.25　　

14．　　

15．　　

16．

**三、解答题**

17．解：

（Ⅰ）由*a*=2*b*sinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，

由△ABC为锐角三角形得。

（Ⅱ）根据余弦定理，得*b*^2^=*a*^2^+*c*^2^－2*ac* cosB=27+25－45=7

所以，。

18．解：

（Ⅰ）记A表示事件："3位顾客中至少1位采用一次性付款"，则表示事件："3位顾客中无人采用一次性付款"。

=（1－0.6）^2^=0.064，

P（A）=1－=1－0.064=0.936。

（Ⅱ）记B表示事件："3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元"。

B~0~表示事件："购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款"。

B~1~表示事件："购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款"。

则B= B~0~+ B~1~。

P（B~0~）=0.6^3^=0.216，。

P（B）=P（B~0~+ B~1~）

=P（B~0~）+P（B~1~）

=0.216+0.432

=0.648

19．**解法一：**

（1）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD。

因为SA=SB，所以AO=BO，

又∠ABC=45°，故为等腰直角三角形，AO⊥BO，

由三垂线定理，得SA⊥BC。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，

依题设，

故SA⊥AD，

由AD=BC=2，

，

。

又AO=ABsin45°=，作DE⊥BC，垂足为E，

则DE⊥平面SBC，连结SE。∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角。

所以，直线SD与平面SBC所成的角为。

**解法二：**

（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD。

因为SA=SB，所以AO=BO。

又∠ABC=45°，为等腰直角三角形，AO⊥OB。

如图，以O为坐标原点，OA为*x*轴正向，建立直角坐标系O---*xyz*，

因为，

，

又，所以，

，。

，，

，，所以。

（Ⅱ），.

与的夹角记为，SD与平面ABC所成的角记为，

因为为平面SBC的法向量，所以与互余。

，

，

所以，直线SD与平面SBC所成的角为。

20．解：

（Ⅰ），

因为函数*f*（*x*）在*x*=1及*x*=2取得极值，则有，。

即

解得*a*=－3，*b*=4。

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

。

当*x*∈（0，1）时，；

当*x*∈（1，2）时，；

当*x*∈（2，3）时，。

所以，当*x*=1时，*f*（*x*）取得极大值*f*（1）=5+8*c*，又*f*（0）=8*c*，*f*（3）=9+8*c*。

则当*x*∈\[0，3\]时，*f*（*x*）的最大值为*f*（3）=9+8*c*。

因为对于任意的*x*∈\[0，3\]，有*f*（*x*）\<*c*^2^恒成立，

所以　，

解得　*c*\<－1或*c*\>9，

因此*c*的取值范围为。

21．解：

（Ⅰ）设{*a~n~*}的公差为*d*，{ *b~n~* }的公比为*q*，则依题意有*q*\>0且

解得*d*=2，*q*=2。

所以，

。

（Ⅱ）。

，①

，②

②－①得，

。

22．证明

（Ⅰ）椭圆的半焦距，

由AC⊥BD知点P在以线段F~1~F~2~为直径的圆上，

故，

所以，。

（Ⅱ）（ⅰ）当BC的斜率*k*存在且时，BC的方程为y=*k*（*x*+1），代入椭圆方程，并化简得。

设B（*x*~1~，y~1~），D（*x*~2~，y~2~）则

，，

；

因为AC与BC相交于点p，且AC的斜率为。

所以，。

四边形ABCD的面积

。

当*k*^2^=1时，上式取等号。

（ⅱ）当BC的斜率*k*=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4。

综上，四边形ABCD的面积的最小值为。
