**1981年试题**

(理工农医类)

**一、**设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:(1)A∪B,(2)A∩B.

**\[Key\]**

**一、解:**(1)A∪B={实数}.(或A∪B=R,或A∪B=实数集合.)

(2)A∩B=.(或A∩B={ },或A∩B=空集.)

**二、**在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.

**\[Key\] 二、解:**

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所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)

AB,AC,AD,BC,BD,CD,

BA,CA,DA,CB,DB,DC.

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所有可能的选举结果:

ABC,ABD,ACD,BCD.

**三、**下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.

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**\[Key\] 三、解:** (1)必要条件

(2)充分条件

(3)充分条件

(4)充要条件

**四、**写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.

**\[Key\] 四、**公式:设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.

**证法一:**平面几何证法.

如果∠A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得

a2=CD2+DB2

=(bsinA)2+(c-bcosA)2

=b2+c2-2bccosA.

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如果∠A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得

a2=CD2+BD2

=\[bsin(180°-A)\]2+\[c+bcos(180°-A)\]2

=b2+c2-2bccosA.

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如果∠A是直角,cosA=0,

∴ a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.

**证法二:**解析几何证法

以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得

A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).

由两点间的距离公式得

a2=│BC│2 =(c-bcosA)2+(-bsinA)2

=b2+c2-2bccosA.

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**五、**解不等式(x为未知数):

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**\[Key\] 五、解:**原行列式可逐步简化如下:

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故原不等式为

x2(x-a-b-c)\>0.

原不等式的解是

x≠0,x\>a+b+c.

**六、**用数学归纳法证明等式

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对一切自然数n都成立.

**\[Key\]** ![](./data/image/media/image10.wmf)

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所以当n=1时等式成立.

(ii)假设当n=k时等式成立,即

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所以当n=k+1时等式也成立.

根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.

**七、**设1980年底我国人口以10亿计算.

(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?

(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?

下列对数值可供选用:

lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417

lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720

lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060

**\[Key\] 七、解:**(1)所求人口数x(亿)是等比数列10, 10×1.02, 10×(1.02)2,......的第21项,即

x=10×(1.02)20,

两边取对数,得

lgx=1+20lg1.02=1.17200,

∴ x=14.859(亿).

答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.

(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得

10×(1+y%)20≤12,

即 (1+y%)20≤1.2.

根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得

20lg(1+y%)≤lg1.2.

即 lg(1+y%)≤0.00396.

∴ 1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.

答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.

**八、**在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10.

(1)求直线AB和棱a所成的角;

(2)求直线AB和平面Q所成的角.

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\[Key\] **八、解:**(1)在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内,作直线BE⊥a于点E,从点D作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.∴∠ABC等于AB和a所成的角.

∠ADC为二面角P-a-Q的平面角,

∴ ∠ADC=120°.又AD=2,BCDE为矩形,

∴ CD=BE=4.

连结AC,由余弦定理得

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又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面,∴BC⊥AC.

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答:直线AB和棱a所成的角等于

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(2)在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于F点.因为△ACD所在的平面⊥平面Q,∴AF⊥平面Q.在△ADF中,∠ADF=60°,AD=2,

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连结BF,于是∠ABF是AB和平面Q所成的角,而△ABF为直角三角形,所以

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答:直线AB和平面Q所成的角为

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(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.

(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.

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**\[Key\] 九、解法一:**(1)设直线l的方程为

y=k(x-2)+1, (i)

将(i)式代入双曲线方程,得

(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0, (ii)

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到此,若指出所求轨迹的参数方程是

![](./data/image/media/image33.wmf)

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这就是所要求的轨迹方程.

(2)设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,整理得

(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0, (iii)

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由第二式解出k=2,但k=2不满足第一式,所以(Ⅰ)无解.

答:满足题中条件的直线m不存在.

**解法二:**(1)设l的参数方程为

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其中t是参数,θ为AP的倾斜角.代入所给双曲线方程,整理得:

(2cos2θ-sin2θ)t2+2(4cosθ-sinθ)t+5=0.(v)

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(2)也可用设m的参数方程的方法讨论此问,得出满足条件的直线m不存在的结论.

**十、附加题:计入总分**.

已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图).

设AC=a,BC=b,作数列

u1=a-b,

u2=a2-ab+b2,

u3=a3-a2b+ab2-b3,

......,

uk=ak-ak-1b+ak-2b2-......+(-1)kbk;

求证:un=un-1+un-2(n≥3).

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\[Key\] **十、证法一:**通项公式可写为

uk=ak-ak-1b+ak-2b2-...+(-1)kbk

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因 a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1,

ab=AC·BC=CD2=1.

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于是有

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**证法二:**由平面几何知识算出

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通项公式可写为

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要证un=un-1+un-2成立,只要证明

an+1-(-1)n+1bn+1=an-(-1)nbn+an-1-(-1)n-1bn-1,

即

an-1·a2-(-1)n-1bn-1·b2=an-1·a+(-1)n-1bn-1·b+an-1-(-1)n-1bn-1,

或

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或

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上式确是等式,故证得

un=un-1+un-2.

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