**1993年试题**

(理工农医类)

**一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.**

(1)如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率为

![](./data/image/media/image1.wmf)

【 】

\[Key\]

**一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.**

(1)C

![](./data/image/media/image2.wmf)

【 】

\[Key\] (2)B

![](./data/image/media/image3.wmf)

(A)45° (B)60° (C)90° (D)120°

【 】

\[Key\] (3)C

![](./data/image/media/image4.wmf)

(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i

【 】

\[Key\] (4)D

(5)直线bx+ay=ab(a\<0,b\<0)的倾斜角是

![](./data/image/media/image5.wmf)

【 】

\[Key\] (5)C

(6)在直角三角形中两锐角为A和B,则sinAsinB

![](./data/image/media/image6.wmf)

(C)既无最大值也无最小值

(D)有最大值1,但无最小值

【 】

\[Key\] (6)B

(7)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a5a6=9,则log3a1+log3a2+...+log3a10=

(A)12 (B)10 (C)8 (D)2+log35

【 】

\[Key\] (7)B

![](./data/image/media/image7.wmf)

(A)是奇函数

(B)是偶函数

(C)可能是奇函数也可能是偶函数

(D)不是奇函数也不是偶函数

【 】

\[Key\] (8)A

![](./data/image/media/image8.wmf)

(A)线段 (B)双曲线的一支

(C)圆弧 (D)射线

【 】

\[Key\] (9)A

(10)若a、b是任意实数,且a\>b,则

![](./data/image/media/image9.wmf)

【 】

\[Key\] (10)D

(11)已知集合E={θ│cosθ\<sinθ,0≤θ≤2π},F={θ│tgθ\<sinθ},那么E∩F为区间

![](./data/image/media/image10.wmf)

【 】

\[Key\] (11)A

(12)一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为

(A)抛物线 (B)圆

(C)双曲线的一支 (D)椭圆

【 】

\[Key\] (12)C

![](./data/image/media/image11.wmf)

(A)三棱锥 (B)四棱锥

(C)五棱锥 (D)六棱锥

【 】

\[Key\] (13)D

(14)如果圆柱轴截面的周长*l*为定值,那么圆柱体积的最大值是

![](./data/image/media/image12.wmf)

【 】

\[Key\] (14)A

![](./data/image/media/image13.wmf)

(A)50项 (B)17项

(C)16项 (D)15项

【 】

\[Key\] (15)B

(16)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么

![](./data/image/media/image14.wmf)

【 】

\[Key\] (16)B

(17)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有

(A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种

【 】

\[Key\] (17)B

(18)已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a,b所成的角都是30°的直线有且仅有

(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条

【 】

**\[Key\]** (18)B

**二、填空题:把答案填在题中横线上.**

![](./data/image/media/image15.wmf)

(20)在半径为30m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为120°.若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为

[ ]{.underline} m(精确到0.1m).

(21)在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共 [ ]{.underline} 种(用数字作答).

(22)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为 [ ]{.underline} 元.

(23)设f(x)=4x-2x+1,则f-1(0)= [ ]{.underline} .

![](./data/image/media/image16.wmf)

**\[Key\] 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.**

(19)2 (20)17.3 (21)4186

![](./data/image/media/image17.wmf)

**三、解答题:解答应写出文字说明、演算步骤.**

![](./data/image/media/image18.wmf)

\[Key\] **三、解答题.**

**(25)本小题考查对数函数的概念及性质,不等式的解法.**

![](./data/image/media/image19.wmf)

(26)如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作*l*.

![](./data/image/media/image20.wmf)

(Ⅰ)判定直线A1C1和*l*的位置关系,并加以证明;

(Ⅱ)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点到直线*l*的距离.

\[Key\] (26)本小题主要考查空间图形的线面关系、三棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力.

**解:**(Ⅰ)*l*∥A1C1.证明如下:

根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行.

由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1,直线*l*=平面A1BC1∩平面ABC.

根据两平面平行的性质定理有*l*∥A1C1.

![](./data/image/media/image21.wmf)

(Ⅱ)**解法一:**

过点A1作A1E⊥*l*于E,则A1E的长为点A1到*l*的距离.

连结AE.由直棱柱的定义知A1A⊥平面ABC.

∴ 直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影.

又 *l*在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有

AE⊥*l*.

由棱柱的定义知A1C1∥AC,又*l*∥A1C1,

∵ *l*∥AC.

作BD⊥AC于D,则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,

![](./data/image/media/image22.wmf)

在Rt△A1AE中,

∵ A1A=1,∠A1AE=90°,

![](./data/image/media/image23.wmf)

**解法二:**

同解法一得*l*∥AC.

由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE,从而有Rt△ABC∽Rt△BEA,AE:BC=AB:AC,

![](./data/image/media/image24.wmf)

以下同解法一.

![](./data/image/media/image25.wmf)

出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.

![](./data/image/media/image26.wmf)

\[Key\] **(27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用的能力.**

**解法一:**建立直角坐标系如图:以MN所在直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴.

![](./data/image/media/image27.wmf)

![](./data/image/media/image28.wmf)

(c,0)和(x0,y0).

∵ tgα=tg(π-∠N)=2,

∴ 由题设知

![](./data/image/media/image29.wmf)

**解法二:**

![](./data/image/media/image30.wmf)

![](./data/image/media/image31.wmf)

\[Key\] **(28)本小题考查复数的基本概念和运算,三角函数式的恒等变形及综合解题能力.**

![](./data/image/media/image32.wmf)

![](./data/image/media/image33.wmf)

(29)已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α,β.证明:

(Ⅰ)如果│α│\<2,│β│\<2,那么2│α│\<4+b且│b│\<4;

(Ⅱ)如果2│α│\<4+b且│b│\<4,那么│α│\<2,│β│\<2.

\[Key\] **(29)本小题考查一元二次方程根与系数的关系,绝对值不等式的性质和证明;逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力.**

**证法一:**

依题设,二次方程有两个实根α,β,所以判别式

△=a2-4b≥0.

![](./data/image/media/image34.wmf)

平方得 a2-4b\<16-8a+a2,a2-4b\<16+8a+a2,

由此得 -4(4+b)\<8a\<4(4+b),

∴2│a│\<4+b.

(Ⅱ)∵2│a│\<4+b,│b│\<4,

![](./data/image/media/image35.wmf)

4±a\>0;

且 △=a2-4b\<a2-4(2│a│-4)

=a2±8a+16=(4±a)2,

又 △≥0,

![](./data/image/media/image36.wmf)

∴ -2\<α≤β\<2,

得 │α│\<2,│β│\<2.

**证法二:**

(Ⅰ)根据韦达定理│b│=│αβ│\<4.

因为二次函数f(x)=x2+ax+b开口向上,│α│\<2,│β│\<2.

故必有f(±2)\>0,

即4+2a+b\>0,2a\>-(4+b);

4-2a+b\>0,2a\<4+b.

∴2│a│\<4+b.

(Ⅱ)由2│a│\<4+b得4+2a+b\>0即22+2a+b\>0,f(2)\>0. ①

及4-2a+b\>0即(-2)2+(-2)a+b\>0,f(-2)\>0. ②

由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间(-2,2)之内或者在(-2,2)之外.若两根α,β均落在(-2,2)之外,则与│b│=│αβ│\<4矛盾.

若α(或β)落在(-2,2)外,则由于│b│=│αβ│\<4,另一个根β(或α)必须落在(-2,2)内,则与①、②式矛盾.

综上所述α,β均落在(-2,2)内.

∴│α│\<2,│β│\<2.
