**2005年普等学校招生全国统试一考试（天津卷）**

**数学（理工类）**

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

**第Ⅰ卷（选择题 共50分）**

**注意事项：**

1.  答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

2.  每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。

**参考公式：**

> 如果事件A、B互斥，那么 球的体积公式
>
> 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径

= 柱体（棱柱、圆柱）的体积公式

> 如果事件A在一次试验中发生的概率 V~柱体~=Sh
>
> 是P，那么n次独立重复试验中恰好发 其中S表示柱体的底面积，
>
> 生k次的概率 h表示柱体的高。

P~n~（k）=C~n~P^k^(1-P)^n-k^

> **一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是最符合题目要求的。**
>
> （1）设集合, , 则A∩B=
>
> \(A\) (B)
>
> \(C\) (D)
>
> (2)若复数（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为
>
> （A）-2 (B)4 (C) -6 (D)6
>
> (3)给出下列三个命题
>
> ①若,则
>
> ②若正整数m和n满足,则
>
> ③设为圆上任一点，圆以为圆心且半径为1.当时,圆与圆相切
>
> 其中假命题的个数为
>
> \(A\) 0 (B) 1 (C) 2 (D)3
>
> (4)设为平面，为直线，则的一个充分条件是
>
> \(A\) (B)
>
> \(C\) (D)
>
> (5)设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为
>
> \(A\) (B) (C) (D)
>
> (6)从集合{1,2,3...，11}中任选两个元素作为椭圆方程中的m和n,则能组成落在矩形区域B={(x,y)\| \|x\|\<11且\|y\|\<9}内的椭圆个数为
>
> (A)43 (B) 72 (C) 86 (D) 90
>
> (7)某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为
>
> \(A\) (B) (C) (D)
>
> (8)要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的
>
> (A)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度
>
> (B)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
>
> (C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
>
> (D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
>
> (9)设是函数的反函数，则使成立的x的取值范围为
>
> \(A\) (B) (C) (D)
>
> (10)若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是
>
> \(A\) (B) (C) (D)
>
> **第Ⅱ卷（非选择题 共100分）**
>
> **注意事项：**
>
> 1答卷前将密封线内的项目填写清楚
>
> 2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上
>
> **二．填空题：本大题共6小题， 每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上。**
>
> ![](./data/image/media/image58.png)（11）设,则 [ ]{.underline}
>
> （12）如图，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°且PA=AC=BC=a则异面直线PB与AC所成角的正切值等于\_\_\_\_\_\_\_\_
>
> （13）在数列{a~n~}中,a~1~=1,a~2~=2,且则=\_\_\_\_\_
>
> （14）在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且\| \|=2,则= [ ]{.underline}
>
> （15）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：

  ---------- ----------
  投资成功   投资失败
  192次      8次
  ---------- ----------

> 则该公司一年后估计可获收益的期望是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（元）
>
> （16）设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图象关于直线对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
>
> **三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。**
>
> (17)(本小题满分12分)
>
> 在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值
>
> （18）（本小题满分12分）
>
> 已知。
>
> （Ⅰ）当时，求数列的前n项和
>
> （Ⅱ）求
>
> （19）（本小题满分12分）
>
> 如图，在斜三棱柱中，，侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点
>
> ![](./data/image/media/image82.png)（Ⅰ）求与底面ABC所成的角
>
> （Ⅱ）证明∥平面
>
> （Ⅲ）求经过四点的球的体积
>
> （20）（本小题满分12）
>
> ![](./data/image/media/image87.png)某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，与水平地面的夹角为a ,tana=1/2试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）
>
> （21）（本小题满分14分）
>
> 抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x~0~,y~0~)(x~0~≠0)作斜率为k~1~,k~2~的两条直线分别交抛物线C于A(x~1~,y~1~)B(x~2~,y~2~)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足。
>
> （Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程
>
> （Ⅱ）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上
>
> （Ⅲ）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围
>
> （22）（本小题满分14分）
>
> 设函数.
>
> （Ⅰ）证明,其中为k为整数；
>
> （Ⅱ）设为的一个极值点，证明；
>
> （Ⅲ）设在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列,证明
