**2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I）**

**数学（理科）试卷**

**参考答案**

**一、选择题：**

1．D 2．B 3．A 4．A 5．C 6．C

7．D 8．D 9．B 10．D 11．C 12．A

**二、填空题：**

13．36

14．

15．

16．

**三、解答题：**

17．解：

（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，

由为锐角三角形得。

（Ⅱ）

。

由为锐角三角形知，

，。

，

所以。

由此有，

所以，cosA+sinC的取值范围为。

18．解：

（Ⅰ）由A表示事件"购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款"。

知表示事件"购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款"

，

。

（Ⅱ）的可能取值为200元，250元，300元。

，

，

。

的分布列为

  --- ----- ----- -----
      200   250   300
  P   0.4   0.4   0.2
  --- ----- ----- -----

=240（元）。

19．**解法一：**

（Ⅰ）作，垂足为O，连结AO，由侧面底面ABCD，得底面ABCD。

因为SA=SB，所以AO=BO，

又，故为等腰直角三角形，，

由三垂线定理，得。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，

故，由，，，得

SO=1，。

△SAB的面积

。

连结DB，

得△DAB的面积

设D到平面SAB的距离为h，由于，得

，

解得。

设SD与平面SAB所成角为，则。

所以，直线SD与平面SBC所成的我为。

**解法二：**

（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结SO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD。

因为SA=SB，所以AO=BO。

又，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB。

如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O---xyz，

，，，S（0，0，1），，

，，所以SA⊥BC。

（Ⅱ）取AB中点E，，

连结SE，取SE中点G，连结OG，。

，，。

，，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直。

所以OG⊥平面SAB，与的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为，则与互余。

，。

，，

所以，直线SD与平面SAB所成的角为。

20．解：

（Ⅰ）*f*（*x*）的导数。

由于，故。

（当且仅当时，等号成立）。

（Ⅱ）令*g*（*x*）= *f*（*x*）-*ax*，则

，

（ⅰ）若，当*x*\>0时，，

故*g*（*x*）在上为增函数，

所以，时，，即。

（ⅱ）若a\>2，方程*g'*（*x*）=0的正根为，

此时，若，则*g'*（*x*）\<0，故*g*（*x*）在该区间为减函数。

所以，时，*g*（*x*）\< *g*（0）=0，即*f*（*x*）\<*ax*，与题设相矛盾。

综上，满足条件的*a*的取值范围是。

21．证明：

（Ⅰ）椭圆的半焦距，

由AC⊥BD知点P在以线段F~1~F~2~为直径的圆上，故，

所以，。

（Ⅱ）（ⅰ）当BC的斜率k存在且时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得。

设B（x~1~，y~1~），D（x~2~，y~2~），，则

，

；

因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为，

所以，。

四边形ABCD的面积

。

当k^2^=1时，上式取等号。

（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4。

综上，四边形ABCD的面积的最小值为。

22．解：

（Ⅰ）由题设：

，

。

所以，数列是首项为，公比为的等比数列，

，

即*a~n~*的通项公式为，n=1，2，3......。

（Ⅱ）用数学归纳法证明。

（ⅰ）当n=1时，因，b~1~=a~1~=2，所以

，结论成立。

（ⅱ）假设当n=k时，结论成立，即，

也即。

当n=k+1时，

，

又，

所以　　

。

也就是说，当n=k+1时，结论成立。

根据（ⅰ）和（ⅱ）知，。
