**1988年试题**

(理工农医类)

**一、本题每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.**

![](./data/image/media/image1.wmf)

(A)1 (B)-1 (C)I (D)-i

【 】

\[Key\]

**一、本题考查基本概念和基本运算.**

(1)B

(2)设圆M的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线*L*的方程为x+y-3=0,点P的坐标为(2,1),那么

(A)点P在直线*L*上,但不在圆M上

(B)点P在圆M上,但不在直线*L*上

(C)点P既在圆M上,又在直线*L*上

(D)点P既不在圆M上,也不在直线*L*上

【 】

\[Key\] (2)C

(3)集合{1,2,3}的子集总共有

(A)7个 (B)8个

(C)6个 (D)5个

【 】

\[Key\] (3)B

![](./data/image/media/image2.wmf)

(A)10 (B)5

![](./data/image/media/image3.wmf)

【 】

\[Key\] (4)A

(5)在![](./data/image/media/image4.wmf)的展开式中,x6的系数是

![](./data/image/media/image5.wmf) 【 】

\[Key\] (5)D

(6)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是

(A)π (B)2π

![](./data/image/media/image6.wmf)

【 】

\[Key\] (6)A

(7)方程![](./data/image/media/image7.wmf)的解集是

![](./data/image/media/image8.wmf)

![](./data/image/media/image9.wmf)

![](./data/image/media/image10.wmf)

![](./data/image/media/image11.wmf)

【 】

\[Key\] (7)C

![](./data/image/media/image12.wmf)

(A)圆 (B)双曲线右支

(C)抛物线 (D)椭圆

【 】

\[Key\] (8)D

(9)如图,正四棱台中,A＇D＇所在的直线与BB＇所在的直线是

(A)相交直线

(B)平行直线

(C)不互相垂直的异面直线

(D)互相垂直的异面直线

【 】

![](./data/image/media/image13.wmf)

\[Key\] (9)C

![](./data/image/media/image14.wmf)

![](./data/image/media/image15.wmf)

【 】

\[Key\] (10)D

(11)设命题甲:△ABC的一个内角为60°.

命题乙:△ABC的三个内角的度数成等差数列.那么

(A)甲是乙的充分条件,但不是必要条件

(B)甲是乙的必要条件,但不是充分条件

(C)甲是乙的充要条件

(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件

【 】

\[Key\] (11)C

(12)复平面内,若复数z满足│z+1│=│z-i│,则z所对应的点Z的集合构成的图形是

(A)圆 (B)直线 (C)椭圆 (D)双曲线

【 】

\[Key\] (12)B

(13)如果曲线x2-y2-2x-2y-1=0经过平移坐标轴后的新方程为![](./data/image/media/image16.wmf)那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为

(A)(1,1) (B)(-1,-1)

(C)(-1,1) (D)(1,-1)

【 】

\[Key\] (13)D

(14)假设在200件产品中有3件是次品,现在从中任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有

![](./data/image/media/image17.wmf)

![](./data/image/media/image18.wmf)

【 】

\[Key\] (14)B

(15)如图,二面角αˉABˉβ的平面角是锐角,C是面α内的一点(它不在棱AB

上),点D是点C在面β上的射影,点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任意一点,那么

(A)∠CEB\>∠DEB

(B)∠CEB=∠DEB

(C)∠CEB\<∠DEB

(D)∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定

【 】

![](./data/image/media/image19.wmf)

**\[Key\]** (15)A

**二、只要求直接写出结果.**

![](./data/image/media/image20.wmf)

![](./data/image/media/image21.wmf) (5)已知等比数列{an}的公比q\>1,并且a1=b(b≠0),求

![](./data/image/media/image22.wmf)

\[Key\] **二、本题考查基础知识和基本运算,只需要写出结果.**

![](./data/image/media/image23.wmf)

![](./data/image/media/image24.wmf)

\[Key\] **三、本题主要考查三角公式和进行三角式的恒等变形的能力.**

**解法一:**

![](./data/image/media/image25.wmf)

![](./data/image/media/image26.wmf)

![](./data/image/media/image27.wmf)

![](./data/image/media/image28.wmf)

![](./data/image/media/image29.wmf)

![](./data/image/media/image30.wmf)

![](./data/image/media/image31.wmf)

![](./data/image/media/image32.wmf)

**解法二:**

![](./data/image/media/image33.wmf)

![](./data/image/media/image34.wmf)

![](./data/image/media/image35.wmf)

![](./data/image/media/image36.wmf)

![](./data/image/media/image37.wmf)

![](./data/image/media/image38.wmf)

**解法三:**

![](./data/image/media/image39.wmf)

![](./data/image/media/image40.wmf)

**解法四:**

![](./data/image/media/image41.wmf)

![](./data/image/media/image42.wmf)

![](./data/image/media/image43.wmf)

![](./data/image/media/image44.wmf)

![](./data/image/media/image45.wmf)

四、如图,正三棱锥S-ABC的侧面是边长为a的正三角形,D是SA的中点,E是BC的中点,求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积.

![](./data/image/media/image46.wmf)

\[Key\] **四、本题主要考查空间想象能力、体积计算等知识和推理能力.**

**解法一:**连接AE,因为△SBC和△ABC都是边长为a的正三角形,并且SE和AE分别是它们的中线,所以SE=AE,从而△SEA为等腰三角形,由于D是SA的中点,所以ED⊥SA.

作DF⊥SE,交SE于点F.考虑直角△SDE的面积,得到

![](./data/image/media/image47.wmf)

![](./data/image/media/image48.wmf)

![](./data/image/media/image49.wmf)

![](./data/image/media/image50.wmf)

![](./data/image/media/image51.wmf)

所求的旋转体的体积是以DF为底面半径,分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和,即

![](./data/image/media/image52.wmf)

![](./data/image/media/image53.wmf)

![](./data/image/media/image54.wmf)

**解法二:**连结BD.因为BD是正三角形SBA的中线,所以BD⊥SA.连结CD,同理CD⊥SA.于是SA⊥平面BDC,所以SA⊥DE.

作DF⊥SE,交SE于点F.在直角△SDE中,

SD2=SF·SE,

![](./data/image/media/image55.wmf)

![](./data/image/media/image56.wmf)

所求的旋转体的体积为

![](./data/image/media/image57.wmf)

![](./data/image/media/image58.wmf)

![](./data/image/media/image59.wmf)

![](./data/image/media/image60.wmf)

\[Key\] **五、本题主要考查对数函数的性质,以及运用重要不等式解决问题的能力.**

**解法一:**

![](./data/image/media/image61.wmf)

![](./data/image/media/image62.wmf)

![](./data/image/media/image63.wmf)![](./data/image/media/image64.wmf)

![](./data/image/media/image65.wmf)

![](./data/image/media/image66.wmf)

![](./data/image/media/image67.wmf)

![](./data/image/media/image68.wmf)

情形1∶0\<a\<1.

![](./data/image/media/image69.wmf)

![](./data/image/media/image70.wmf)

![](./data/image/media/image71.wmf)

情形2∶a\>1.

![](./data/image/media/image72.wmf)

![](./data/image/media/image73.wmf)

![](./data/image/media/image74.wmf)

**解法二:**当t\>0时,由重要不等式可得

![](./data/image/media/image75.wmf)

当且仅当t=1时取"="号.

![](./data/image/media/image76.wmf)

![](./data/image/media/image77.wmf)

当0\<a\<1时,y=logax是减函数,

![](./data/image/media/image78.wmf)

当a\>1时,y=logax是增函数,

![](./data/image/media/image79.wmf)

**解法三:**因为t\>0,又有

![](./data/image/media/image80.wmf)

当且仅当t=1时取"="号,

![](./data/image/media/image81.wmf)

当且仅当t=1时取"="号.

以下同解法二.

六、给定实数a,a≠0,且a≠1设函数

![](./data/image/media/image82.wmf)

证明(1)经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴;

(2)这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形.

\[Key\] **六、本题主要考查考生在正确理解数学概念(函数的图象的概念,轴对称图形的概念等)的基础上进行推理的能力,以及灵活运用学过的代数和解析几何的知识(互为反函数的图象之间的关系,两条直线平行的条件等)解决问题的能力.**

**证法一:**

(1)设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是这个函数图象上任意两个不同的点,

![](./data/image/media/image83.wmf)

![](./data/image/media/image84.wmf)

![](./data/image/media/image85.wmf)

![](./data/image/media/image86.wmf)

∵ a≠1,且x1≠x2,

∴ y2-y1≠0.

![](./data/image/media/image87.wmf)

因此,M1M2不平行于x轴.

![](./data/image/media/image88.wmf)

![](./data/image/media/image89.wmf)

![](./data/image/media/image90.wmf)

![](./data/image/media/image91.wmf)

即,由此得a=1,与已知矛盾,

![](./data/image/media/image92.wmf)

于是由②式得

![](./data/image/media/image93.wmf)

![](./data/image/media/image94.wmf)

**证法二:**

(1)设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是这个函数的图象上任意两个不同的点,则x1≠x2.假如直线M1M2平行于x轴,那么y1=y2,即

![](./data/image/media/image95.wmf)

亦即(x1-1)(ax2-1)=(x2-1)(ax1-1),

整理得a(x1-x2)=x1-x2,

因为x1≠x2,所以a=1,这与已知矛盾.

因此M1M2不平行于x轴.

(2)先求所给函数的反函数:由

![](./data/image/media/image96.wmf)

得 y(ax-1)=x-1,

即 (ay-1)x=y-1.

![](./data/image/media/image97.wmf)

![](./data/image/media/image98.wmf)

即 ax-a=ax-1,

由此得a=1,与已知矛盾,所以ay-1≠0.

因此得到

![](./data/image/media/image99.wmf)

![](./data/image/media/image100.wmf)

![](./data/image/media/image101.wmf)

由于函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对

![](./data/image/media/image102.wmf)

**证法三:**

(1)任取一条与x轴平行的直线*L*,则*l*的方程为y=c(c为常数).

考虑*L*与所给函数的图象是否相交以及交点数目的情况.

![](./data/image/media/image103.wmf)

将②代入①得

c(ax-1)=x-1,

即 (ca-1)x=c-1. ③

![](./data/image/media/image104.wmf)

![](./data/image/media/image105.wmf)

![](./data/image/media/image106.wmf)

从而直线*L*与所给函数的图象无交点.

![](./data/image/media/image107.wmf)

![](./data/image/media/image108.wmf)

这说明原方程组恰有一个解,从而直线*L*与所给函数的图象恰有一个交点.

综上述,平行于x轴的直线与所给函数的图象或者不相交,或者恰有一个交点.

因此,经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.

(2)同证法一或证法二.

![](./data/image/media/image109.wmf)

![](./data/image/media/image110.wmf)

![](./data/image/media/image111.wmf)

**\[Key\] 七、本题主要考查考生利用方程研究曲线性质的能力,以及综合运用学过的代数知识(一元二次方程的判别式,根与系数的关系,解二元二次方程组,解不等式等)去解题的能力.**

**解法一:**假定椭圆上有符合题意的四个点,则这四个点的坐标都应满足下面的椭圆方程:

![](./data/image/media/image112.wmf)

又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程

y2=2px,

从而它们都是下面的方程组的解:

![](./data/image/media/image113.wmf)

将②式代入①式,得

![](./data/image/media/image114.wmf)

由于上述方程组有4个不同的实数解,所以方程③的判别式应大于零,

![](./data/image/media/image115.wmf)

整理得 3p2-4p+1\>0,

![](./data/image/media/image116.wmf)

由已知,椭圆上的点的横坐标都大于零,所以方程③的两个根应都为正数,于是得 7p-4\<0,

解此不等式得

![](./data/image/media/image117.wmf)

由④、⑤以及已知条件得

![](./data/image/media/image118.wmf)

![](./data/image/media/image119.wmf)

![](./data/image/media/image120.wmf)

一次项系数7p-4\<0,所以x1,x2都为正数.

把x1及x2分别代入②中,可解得

![](./data/image/media/image121.wmf)

显然y1,y2,y3,y4两两不相等.

由于(x1,y1)适合②式和③式,从而也适合①式,因此点M1(x1,y1)是符合题意的点.

同理M2(x1,y2),M3(x2,y3),M4(x2,y4)都是符合题意的点,并且它们是互不相同的.

![](./data/image/media/image122.wmf)

**解法二:**椭圆上有四个点符合题意的充要条件是方程组

![](./data/image/media/image123.wmf)

有四个不同的实数解.

![](./data/image/media/image124.wmf)

![](./data/image/media/image125.wmf)

![](./data/image/media/image126.wmf)

所以原方程组有四个不同的实数解,当且仅当方程③有两个不相等的正根.而这又等介于

![](./data/image/media/image127.wmf)

在p\>0的条件下,解此不等式组,得到

![](./data/image/media/image128.wmf)

![](./data/image/media/image129.wmf)

**解法三:**易求出所给椭圆的方程为

![](./data/image/media/image130.wmf)

假定这个椭圆上有符合题意的四个点,则这些点的坐标应是下述方程组的解:

![](./data/image/media/image131.wmf)

把②式化简得 y2=2px.

以下同解法一．
