**1983年试题**

**(理工农医类)**

**一、本题共5个小题,每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的.把正确结论的代号写在题后的括号内.**

(1)两条异面直线,指的是

(A)在空间内不相交的两条直线.

(B)分别位于两个不同平面内的两条直线.

(C)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线.

(D)不在同一平面内的两条直线.

【 】

\[Key\] **一、本题考查对一些基本概念和常用的词语的理解.**

(1)D;

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(A)两条相交直线. (B)两条平行直线.

(C)两条重合直线. (D)一个点.

【 】

\[Key\] (2)A;

(3)三个数a,b,c不完全为零的充要条件是

(A)a,b,c都不是零. (B)a,b,c中最多有一个是零.

(C)a,b,c中只有一个是零. (D)a,b,c中至少有一个不是零.

【 】

\[Key\] (3)D;

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【 】

\[Key\] (4)C;

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【 】

\[Key\] (5)C.

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(2)在极坐标系内,方程ρ=5cosθ表示什么曲线?画出它的图形.

\[Key\] **二、本题考查在直角坐标系内和极坐标系内画出图形的能力.**

**解:**(1)图形如右所示.

交点坐标是:

O(0,0),

P(1,-1).

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(2)曲线名称是:圆.

图形如下所示.

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(2)一个小组共有10名同学,其中4名是女同学,6名是男同学.要从小组内选出3名代表,其中至少有1名女同学,求一共有多少种选法.

**\[Key\] 三、本题考查求初等函数微分的方法和解决简单的排列组合应用题的能力.**

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所以3名代表中至少有1名女同学的选法有

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所以3名代表中至少有1名女同学的选法有

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**四、**计算行列式(要求结果最简):

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\[Key\] **四、本题考查行列式的性质(或定义,或按一列展开)和三角公式的运用.**

**解法一:**把第1列乘以sinϕ加到第2列上,再把第3列乘以(-cosϕ)加到第2列上,得

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**解法二:**把行列式的第2列用三角公式展开,然后运用行列式的性质,得

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**解法三:**把行列式按第2列展开,得

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**解法四:**把行列式按定义展开,并运用三角公式,得

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![](./data/image/media/image21.wmf)![](./data/image/media/image22.wmf)

**\[Key\] 五、本题考查复数、不等式和三角函数的基础知识以及运用它们解题的能力.**

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显然r=│z│≠0.因为

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这就是所求的实数t的取值范围.

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以下同解法一的后半部分.

**六、**如图,在三棱锥SˉABC中,S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是侧棱SC上的一点,使截面MAB与底面所成的角等于∠NSC.求证SC垂直于截面MAB.

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\[Key\] 六、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.

**证法一:**因为SN是底面的垂线,NC是斜线SC在底面上的射影,AB⊥NC,所以AB⊥SC(据三垂线定理).

连结DM.因为AB⊥DC,AB⊥SC,所以AB垂直于DC和SC所决定的平面.又因DM在这平面内,所以AB⊥DM.

∴∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角,∠MDC=∠NSC.

在△MDC和△NSC中,因为∠MDC=∠NSC,∠DCS是公共角,所以∠DMC=∠SNC=90°从而DM⊥SC.

从AB⊥SC,DM⊥SC,可知SC⊥截面MAB.

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**证法二:**连结DS,DM(参见证法一中的图).

因为SN是底面的垂线,AB⊥DN,所以AB⊥DS(据三垂线定理).从而AB⊥平面SDC.

因SC,DM都在平面SDC内,故AB⊥SC,AB⊥DM.

由AB⊥DM,AB⊥DC,可知∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角,

∠MDC=∠NSC.

以下同证法一,故SC⊥截面MAB.

**证法三:**连结DM,DS.

因为M,N分别在△SDC的两边上,所以SN和DM都在平面内,且相交于一点P.

又因PN是底面的垂线,AB⊥DN,所以AB⊥DM(据三垂线定理).

∴∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角,∠MDC=∠NSC.

又∠MDC=∠NSC,∠DCS是△DCM和△SCN的公共角,故∠DMC=∠SNC=90°.从而DM⊥SC.

从AB⊥DM,AB⊥DC,可知AB⊥平面MDC.因为SC是平面MDC内的直线,所以AB⊥SC.

从AB⊥SC,DM⊥SC,可知SC⊥截面MAB.

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**\[Key\] 七、本题考查合理选择坐标系和灵活运用直线、椭圆性质解决问题的能力以及简单三角方程的解法.**

**解法一:**以椭圆焦点F1为极点,以F1为起点并过F2的射线为极轴建立极坐标系.

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**解法二:**以椭圆中心为原点,F1F2所在直线为x轴建立直角坐标系(如图).

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解方程组

![](./data/image/media/image51.wmf)

![](./data/image/media/image52.wmf)

以下同解法一.

**解法三:**以椭圆中心为原点,F1F2所在直线为x轴建立直角坐标系(如图).

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解方程组

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解得

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以下同解法一.

**解法四:**

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同理,设│F1N│=y,则│F2N│=6-y.

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以下同解法一.

**八、**已知数列{an}的首项a1=b(b≠0),它的前n项的和Sn=a1+a2+...+an(n≥1),并且S1,S2,...,Sn,...是一个等比数列,其公比为p(p≠0且│p│\<1).

(1)证明

a2,a3,...,an...,

(即{an}从第2项起)是一个等比数列.

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**\[Key\] 八、本题考查数列的基础知识和极限的计算方法.**

(1)证明:由已知条件得S1=a1=b.

Sn=S1pn-1=bpn-1\>(n≥1).

因为当n≥2时,Sn=a1+a2+...+an-1+an=Sn-1+an,所以an=Sn-Sn-1

=bpn-1-bpn-2=bP n-2(p-1)(n≥2).

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因此a2,a3...,an,...是一个公比为p的等比数列.

(2)**解法一:**当n≥2时,

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且由已知条件可知P2\<1,因此数列

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于是

![](./data/image/media/image66.wmf)

因此

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![](./data/image/media/image68.wmf)

![](./data/image/media/image69.wmf)

![](./data/image/media/image70.wmf)

![](./data/image/media/image71.wmf)

**九、**(1)已知a,b为实数,并且e\<a\<b,其中e是自然对数的底,证明ab\>ba.

(2)如果正实数a,b满足ab=ba,且a\<1,证明a=b.

**\[Key\] 九、本题考查对函数概念的理解,对幂函数、指数函数和对数函数性质的运用及利用导数判断函数增减性从而比较函数值大小的方法.**

![](./data/image/media/image72.wmf)

![](./data/image/media/image73.wmf)

![](./data/image/media/image74.wmf)

在\[a,b\]上对f(x)运用中值定理,得

![](./data/image/media/image75.wmf)

![](./data/image/media/image76.wmf)

![](./data/image/media/image77.wmf)

因为在(0,1)内f′(x)\>0,所以f(x)在(0,1)内是增函数.

![](./data/image/media/image78.wmf)

![](./data/image/media/image79.wmf)

同证法一,证得b\<1.

![](./data/image/media/image80.wmf)

![](./data/image/media/image81.wmf)

![](./data/image/media/image82.wmf)

因此a=b.

![](./data/image/media/image83.wmf)

![](./data/image/media/image84.wmf) 因此a=b.

![](./data/image/media/image85.wmf)

**九、**(1)已知a,b为实数,并且e\<a\<b,其中e是自然对数的底,证明ab\>ba.

(2)如果正实数a,b满足ab=ba,且a\<1,证明a=b.

**\[Key\] 九、本题考查对函数概念的理解,对幂函数、指数函数和对数函数性质的运用及利用导数判断函数增减性从而比较函数值大小的方法.**

![](./data/image/media/image72.wmf)

![](./data/image/media/image73.wmf)

![](./data/image/media/image74.wmf)

在\[a,b\]上对f(x)运用中值定理,得

![](./data/image/media/image75.wmf)

![](./data/image/media/image76.wmf)

![](./data/image/media/image77.wmf)

因为在(0,1)内f′(x)\>0,所以f(x)在(0,1)内是增函数.

![](./data/image/media/image78.wmf)

![](./data/image/media/image79.wmf)

同证法一,证得b\<1.

![](./data/image/media/image80.wmf)

![](./data/image/media/image81.wmf)

![](./data/image/media/image82.wmf)

因此a=b.

![](./data/image/media/image83.wmf)

![](./data/image/media/image84.wmf) 因此a=b.

![](./data/image/media/image85.wmf)
