**2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）**

**数学（理工农医类）**

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共5页。全卷共150分。考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数的定义域是( )

A.(3,+∞) B.\[3, +∞) C.(4, +∞) D.\[4, +∞)

2.数列{}满足:,且对于任意的正整数m,n都有,则

( )

A. B. C. D.2

3.过平行六面体ABCD-A~1~B~1~C~1~D~1~任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB~1~D~1~平行的直线共有 ( )

A.4条 B.6条 C.8条 D.12条

4."a=1"是"函数在区间\[1, +∞)上为增函数"的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 ( )

A.\[0,\] B. C. D.

6.某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 ( )

A.16种 B.36种 C.42种 D.60种

7.过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且\|AB\|=\|BC\|,则双曲线M的离心率是 ( )

A. B. C. D.

8.设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 ( )

A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. \[1,+∞)

9.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 ( )

A. B.

C. D.

10.若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 ( )

A.\[\] B.\[\] C.\[ D.

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

注意事项：

第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，(第15小题每空2分)共20分，把答案填在答题卡相应位置上。

11.若的展开式中的系数是-80,则实数的值是 [ ]{.underline} .

12.已知则的最小值是 [ ]{.underline} .

13.曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积

是 [ ]{.underline} .

14.若是偶函数,则有序实数对()可以是 [ ]{.underline} .(注:只要填满足的一组数即可)(写出你认为正确的一组数即可).

15.如图2,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是 [ ]{.underline} ;

当时,的取值范围是 [ ]{.underline} .

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

如图3,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.

(1) 证明 ;

(2) 若AC=DC,求的值.

17.（本小题满分12分）

某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):

(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率;

(Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改;

(Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.

18\. （本小题满分14分）

如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.

(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;

(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;

(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.

19\. （本小题满分14分）

已知函数,数列{}满足:

证明:(ⅰ);(ⅱ).

20\. （本小题满分14分）

对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为(1≤a≤3).设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是(),用质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中是该物体初次清洗后的清洁度.

(Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;

(Ⅱ)若采用方案乙,当为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

21\. （本小题满分14分）

已知椭圆C~1~:,抛物线C~2~:,且C~1~、C~2~的公共弦AB过椭圆C~1~的右焦点.

(Ⅰ)当AB⊥轴时,求、的值，并判断抛物线C~2~的焦点是否在直线AB上；

(Ⅱ)是否存在、的值，使抛物线C~2~的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的、的值；若不存在，请说明理由.
