**2005年高考理科数学全国卷Ⅲ试题及答案**

**（四川**![](./data/image/media/image1.emf)**陕西**![](./data/image/media/image1.emf)**云南**![](./data/image/media/image1.emf)**甘肃等地区用）**

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本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.

第I卷

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么

P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么

P（A·B）=P（A）·P（B）

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

P~n~(k)=CP^k^(1－P)^n－k^

1.  选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分![](./data/image/media/image2.emf)在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）

1.已知是第三象限的角，则是（ ）.

A.第一或二象限的角 B.第二或三象限的角

C.第一或三象限的角 D.第二或四象限的角

2\. 已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为（ ）.

A.0 B.-8 C.2 D.10

3.在(x-1)(x+1)^8^的展开式中x^5^的系数是( )

A.-14 B.14 C.-28 D.28

4.设三棱柱ABC-A~1~B~1~C~1~的体积是V，P.Q分别是侧棱AA~1~.CC~1~上的点，且PA=QC~1~，则四棱锥B-APQC的体积为（ ）

A. B. C. D.

5.=（ ）

A.- B. C.- D.

6.若,则( )

A.a\<b\<c B.c\<b\<a C.c\<a\<b D.b\<a\<c

7.设0≤x\<2π,且=sinx-cosx, 则( )

A.0≤x≤π B.≤x≤ C.≤x≤ D.≤x≤

8.( )

A.tanx B.tan2x C.1 D.

9.已知双曲线的焦点为F~1~.F~2~，点M在双曲线上且，则点M到x轴的距离为( )

A. B. C. D.

10.设椭圆的两个焦点分别为F~1~.F~2~，过F~2~作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若三角形F~1~PF~2~为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）

A. B. C. D.

11.不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（ ）个

A.3 B.4 C.6 D.7

12.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0\~9和字母A\~F共16个计数符号![](./data/image/media/image2.emf)这些符号与十进制的数的对应关系如下表：

  ---------- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- ---- ---- ---- ---- ----
  十六进制   0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   A    B    C    D    E    F
  十进制     0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15
  ---------- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- ---- ---- ---- ---- ----

例如用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=（ ）

A.6E B.72 C.5F D.B0

二、填空题: 本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上![](./data/image/media/image2.emf)

13.已知复数z~0~=3+2i, 复数z满足zz~0~=3z+z~0~，则z= [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2.emf)

14.已知向量，且A.B.C三点共线，则k= [ ]{.underline} .

15.设为平面上过点(0,1)的直线，的斜率等可能地取-2,-,-,0,,, 2, 用ξ表示坐标原点到的距离，则随机变量ξ的数学期望Eξ= [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2.emf)

16.已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则P到AC.BC距离的的乘积的最大值是 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2.emf)

三、解答题（共76分）

17.（本小题满分12分）

甲.乙.丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响![](./data/image/media/image2.emf)已知在某一个小时内，甲.乙都需要照顾的概率是0.05，甲.丙都需要照顾的概率是0.05，乙.丙都需要照顾的概率是0.125![](./data/image/media/image2.emf)

1）求甲.乙.丙三台机器在这一个小时内各自需要照顾的概率？

2）计算在这一个小时内至少有一台需要照顾的概率？

18.（本小题满分12分）

四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，

平面VAD⊥底面ABCD![](./data/image/media/image2.emf)

![](./data/image/media/image45.emf) 1）求证AB⊥面VAD；

2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．

**19.（本小题满分12分）**

中，内角..的对边分别为..，已知..成等比数列，且![](./data/image/media/image2.emf)

（1）求的值；

（2）若，求的值![](./data/image/media/image2.emf)

20.（本小题满分12分）

在等差数列{a~n~}中，公差d≠0,且a~2~是a~1~和a~4~的等比中项,已知a~1~,a~3~,成等比数列，求数列k~1~,k~2~,k~3~,...,k~n~的通项k~n~![](./data/image/media/image2.emf)

21.（本小题满分14分）

设.两点在抛物线上，是的垂直平分线![](./data/image/media/image2.emf)

1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；

2）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围![](./data/image/media/image2.emf)

22.（本小题满分12分）

已知函数f(x)=

(1)求函数f(x)的单调区间和值域；

（2）设a≥1, 函数g(x)=x^3^-3a^2^x-2a, x∈\[0,1\], 若对于任意x~1~∈\[0,1\], 总存在x~0~∈\[0,1\], 使得g((x~0~) =f(x~1~)成立，求a的取值范围![](./data/image/media/image2.emf)

**2005年高考理科数学全国卷Ⅲ试题及答案**

**（必修+选修Ⅱ）**

**（四川**![](./data/image/media/image1.emf)**陕西**![](./data/image/media/image1.emf)**云南**![](./data/image/media/image1.emf)**甘肃等地区用）**

参考答案

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  题号   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12
  答案   D   B   B   C   A   C   C   B   C   D    D    A
  ------ --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- ---- ----

13.![](./data/image/media/image2.emf)14.![](./data/image/media/image2.emf)15.![](./data/image/media/image2.emf)16.3![](./data/image/media/image2.emf)

17.（本小题满分12分）

甲.乙.丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响![](./data/image/media/image2.emf)已知在某一个小时内，甲.乙都需要照顾的概率是0.05，甲.丙都需要照顾的概率是0.05，乙.丙都需要照顾的概率是0.125![](./data/image/media/image2.emf)

1）求甲.乙.丙三台机器在这一个小时内各自需要照顾的概率？

2）计算在这一个小时内至少有一台需要照顾的概率？

解：记"甲机器需要照顾"为事件A，"乙机器需要照顾"为事件B，"丙机器需要照顾"为事件C，由题意三个事件互不影响，因而A，B，C互相独立

(1)由已知有：P（AB）= P(A)P(B)=0.05,

P（AC）= P(A)P(C)=0.1

P（CB）= P(B)P(C)=0.125

解得P（A）=0.2, P(B)=0.25, P(C)=0.5,

所以甲.乙.丙三台机器在这一个小时内各自需要照顾的概率分别为0.2;0.25;0.5.

(2)记事件A的对立事件为，事件B的对立事件为，事件C的对立事件为，

则P()=0.8, P()=0.75, P()=0.5,

于是P(A+B+C)=1-P()=1-P()P()P()=0.7.

故在这一个小时内至少有一台需要照顾的概率为0.7.

18.（本小题满分12分）

四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，

平面VAD⊥底面ABCD![](./data/image/media/image2.emf)

1）求证AB⊥面VAD；

![](./data/image/media/image81.emf) 2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．

**证法一：**（1）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E，则VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD，则VE⊥AB![](./data/image/media/image2.emf)

又面ABCD是正方形，则AB⊥CD，故AB⊥面VAD![](./data/image/media/image2.emf)

（2）由AB⊥面VAD，则点B在平面VAD内的射影是A，设VD的中点为F，连AF，BF由△VAD是正△，则AF⊥VD，由三垂线定理知BF⊥VD，故∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角![](./data/image/media/image2.emf)

设正方形ABCD的边长为a，

则在Rt△ABF中，,AB=a, AF=a，tan∠AFB =

故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为![](./data/image/media/image2.emf)

**证明二：**（Ⅰ）作AD的中点O，则VO⊥底面ABCD．............1分

建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，.........2分

则A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），V（0，0，），

![](./data/image/media/image87.emf)∴......3分

由............4分

......5分

又AB∩AV=A ∴AB⊥平面VAD..............................6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得是面VAD的法向量........................7分

设是面VDB的法向量，则

......9分

∴，...............11分

又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为......12分

（II）**证法三：**由（Ⅰ）得是面VAD的法向量.....................7分

设平面VDB的方程为mx+ny+pZ+q=0,将V.B.D三点的坐标代入可得

解之可得令q=则平面VDB的方程为x-y+Z+=0

故平面VDB的法向量是....................................9分

∴，..................11分

又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为......12分

19.（本小题满分12分）

中，内角..的对边分别为..，已知..成等比数列，且![](./data/image/media/image2.emf)

（1）求的值；

（2）若，求的值![](./data/image/media/image2.emf)

解：（1）由得：

由及正弦定理得：

于是：

![](./data/image/media/image2.emf)

（2）由得：，因，所以：，即：![](./data/image/media/image2.emf)

由余弦定理得：

于是：

故：![](./data/image/media/image2.emf)

20.（本小题满分12分）

在等差数列{a~n~}中，公差d≠0,且a~2~是a~1~和a~4~的等比中项,已知a~1~,a~3~,成等比数列，求数列k~1~,k~2~,k~3~,...,k~n~的通项k~n~![](./data/image/media/image2.emf)

**解：由题意得：...............1分**

**即............3分**

**又............4分**

**又成等比数列,**

**∴该数列的公比为，.........6分**

**所以.........8分**

**又..........................................10分**

**所以数列的通项为.................................12分**

21.（本小题满分14分）

设、两点在抛物线上，是的垂直平分线![](./data/image/media/image2.emf)

（1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；

（2）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围![](./data/image/media/image2.emf)

**注：**本小题主要考察直线与抛物线等基础知识，考察逻辑推理能力和综合分析、解决问题的能力![](./data/image/media/image2.emf)

解法一：（1）、两点到抛物线的准线的距离相等

因为：抛物线的准线是轴的平行线，，依题意、不同时为0

所以，上述条件等价于；

注意到：，所以上述条件等价于![](./data/image/media/image2.emf)

即：当且仅当时，直线经过抛物线的焦点![](./data/image/media/image2.emf)

（2）设在轴上的截距为，依题意得的方程为；过点、的直线方程可写为，所以、满足方程，即

、为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式，也就是：![](./data/image/media/image2.emf)设的中点的坐标为为，则有：

，

由得：，于是：![](./data/image/media/image2.emf)

即：在轴上截距的取值范围是![](./data/image/media/image2.emf)

.解法二：（Ⅰ）∵抛物线，即，

∴焦点为................................................1分

（1）直线的斜率不存在时，显然有..................3分

（2）直线的斜率存在时，设为k， 截距为b

即直线：y=kx+b 由已知得：

......5分

.........7分

即的斜率存在时，不可能经过焦点........................8分

所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F...............9分

**(II)解：**设直线的方程为：y=2x+b,

故有过AB的直线的方程为，代入抛物线方程有2x^2^+=0, 得x~1~+x~2~=-.

由A.B是抛物线上不同的两点，于是上述方程的判别式，即

由直线AB的中点为=，

则 于是

即得l在y轴上的截距的取值范围是![](./data/image/media/image2.emf)

22.（本小题满分12分）

已知函数f(x)=

(1)求函数f(x)的单调区间和值域；

（2）设a≥1, 函数g(x)=x^3^-3a^2^x-2a, x∈\[0,1\], 若对于任意x~1~∈\[0,1\], 总存在x~0~∈\[0,1\], 使得g((x~0~) =f(x~1~)成立，求a的取值范围![](./data/image/media/image2.emf)

解： （1）对函数f(x)=求导，得f'(x)=，令f'(x)=0解得x=或x=. 当x变化时，f'(x), f(x)的变化情况如下表所示：

  ------- -------------------------------------- ------ ---- ---- ----
  x       0                                      (0,)             1
  f'(x)                                          \-     0    \+   
  f(x)    ![](./data/image/media/image180.wmf)   ↘      -4   ↗    -3
  ------- -------------------------------------- ------ ---- ---- ----

所以，当时，f(x)是减函数；当时，f(x)是增函数![](./data/image/media/image2.emf)

当时，f(x)的值域是\[-4，-3\]![](./data/image/media/image2.emf)

（II）对函数g(x)求导，则g'(x)=3(x^2^-a^2^).

因为，当时，g'(x)\<5(1-a^2^)≤0,

因此当时，g(x)为减函数，

从而当x∈\[0,1\]时有g(x)∈\[g(1),g(0)\],

又g(1)=1-2a-3a^2^,g(0)=-2a,

即当x∈\[0,1\]时有g(x)∈\[1-2a-3a^2^,-2a\],

任给x~1~∈\[0,1\],f(x~1~)∈\[-4,-3\],存在x~0~∈\[0,1\]使得g(x~0~)=f(x~1~),

则\[1-2a-3a^2^,-2a\]，

即 ,

解①式得a≥1或a,

解②式得，

又,故a的取值范围内是.
