**2005年高考理科数学**![](./data/image/media/image1.emf)**江西卷**![](./data/image/media/image1.emf)**试题及答案**

YCY

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分![](./data/image/media/image2.emf)

第I卷

**注意事项**：

> 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的"准考证号、姓名、考试科目"与考生本人准考证号、姓名是否一致．
>
> 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效![](./data/image/media/image2.emf)
>
> 3．考试结束，临考员将试题卷、答题卡一并收回![](./data/image/media/image2.emf)

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式

P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径

P(A·B)=P(A)·P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式

P，那么n次独立重复试验中恰好发生*k*

次的概率 其中R表示球的半径

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合 (）= （ ）

A．{1} B．{1，2} C．{2} D．{0，1，2}

2．设复数：为实数，则*x*= （ ）

A．－2 B．－1 C．1 D．2

3． "*a*=*b*"是"直线"的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

4．的展开式中，含x的正整数次幂的项共有 （ ）

A．4项 B．3项 C．2项 D．1项

5．设函数为 （ ）

A．周期函数，最小正周期为 B．周期函数，最小正周期为

C．周期函数，数小正周期为 D．非周期函数

6．已知向量 （ ）

A．30° B．60°

![](./data/image/media/image16.emf) C．120° D．150°

7．已知函数，下面四个图象中的图象大致是 （ ）

![](./data/image/media/image20.emf) ![](./data/image/media/image21.emf)![](./data/image/media/image22.emf)![](./data/image/media/image23.emf)

A B C D

8． （ ）

A．－1 B．1 C．－ D．

9．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为 （ ）

A． B． C． D．

10．已知实数*a*, *b*满足等式下列五个关系式

①0\<*b*\<*a* ②*a*\<*b*\<0 ③0\<*a*\<*b* ④*b*\<*a*\<0 ⑤*a*=*b*

其中不可能成立的关系式有 （ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

11．在△OAB中，O为坐标原点，，则△OAB的面积达到最大值时， （ ）

A． B． C． D．

12．将1，2，...，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共15分，请将答案填在答题卡上.

13．若函数是奇函数，则*a*= [ ]{.underline} .

![](./data/image/media/image42.emf)14．设实数*x*, *y*满足 [ ]{.underline} .

15．如图，在直三棱柱ABC---A~1~B~1~C~1~中，AB=BC=，BB~1~=2，，E、F分别为AA~1~、C~1~B~1~的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 [ ]{.underline} .

16．以下同个关于圆锥曲线的命题中

①设A、B为两个定点，*k*为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；

②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；

③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④双曲线有相同的焦点.

其中真命题的序号为 [ ]{.underline} （写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知函数（*a*，b为常数）且方程*f*(*x*)－*x*+12=0有两个实根为*x*~1~=3, *x*~2~=4.

（1）求函数*f*(*x*)的解析式；

（2）设k\>1，解关于*x*的不等式；

18．（本小题满分12分）

已知向量.

是否存在实数若存在，则求出*x*的值；若不存在，则证明之.

19．（本小题满分12分）

A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设表示游戏终止时掷硬币的次数.

（1）求的取值范围；

（2）求的数学期望E.

20．（本小题满分12分）

如图，在长方体ABCD---A~1~B~1~C~1~D~1~，中，AD=AA~1~=1，AB=2，点E在棱AB上移动.

（1）证明：D~1~E⊥A~1~D；

（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD~1~的距离；

![](./data/image/media/image55.emf) （3）AE等于何值时，二面角D~1~---EC---D的大小为.

21．（本小题满分12分）

已知数列

（1）证明

（2）求数列的通项公式*a~n~*.

22．（本小题满分14分）

如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.

（1）求△APB的重心G的轨迹方程.

（2）证明∠PFA=∠PFB.

**2005年高考理科数学**![](./data/image/media/image1.emf)**江西卷**![](./data/image/media/image1.emf)**试题及答案**

**参考答案**

一、选择题

1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B 11．D 12．A

二、填空题

13． 14．

15．

![](./data/image/media/image66.emf)解：如图所示，沿侧棱AA~1~剪开将棱锥的侧面展开成一个矩形，并将上底面分别按两种情况掀开，就可以得到从E到F的四个较短路径EOF、EPF、EQF、ERF，计算出四个值EOF=EPF=、EQF\>ERF=，其中最小值ERF=就是所求的![](./data/image/media/image2.emf)

说明：关于多面体或旋转体的表面最短路经的问题，一般都是研究其展开图![](./data/image/media/image2.emf)

16．③④

三、解答题

17．解：（1）将得

（2）不等式即为

即

①当

②当

③.

18．解：

19．解：（1）设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则，可得：

（2）

20．解法（一）

> （1）证明：∵AE⊥平面AA~1~DD~1~，A~1~D⊥AD~1~，∴A~1~D⊥D~1~E
>
> （2）设点E到面ACD~1~的距离为*h*，在△ACD~1~中，AC=CD~1~=，AD~1~=，
>
> 故
>
> （3）过D作DH⊥CE于H，连D~1~H、DE，则D~1~H⊥CE，
>
> ![](./data/image/media/image90.emf) ∴∠DHD~1~为二面角D~1~---EC---D的平面角.
>
> 设AE=*x*，则BE=2－*x*
>
> 解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD~1~分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=*x*，则A~1~（1，0，1），D~1~（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）
>
> （1）

（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），

![](./data/image/media/image94.emf)从而，

，

设平面ACD~1~的法向量为，

则

也即，得，从而，所以点E到平面AD~1~C的距离为

（3）设平面D~1~EC的法向量，∴

由 令b=1, ∴c=2,*a*=2－*x*，

∴

依题意

∴（不合，舍去）， .

∴AE=时，二面角D~1~---EC---D的大小为.

21．解：（1）方法一 用数学归纳法证明：

1°当n=1时，

∴，命题正确.

2°假设*n*=*k*时有

则

而

又

∴时命题正确.

由1°、2°知，对一切n∈N时有

方法二：用数学归纳法证明：

1°当n=1时，∴；

2°假设*n*=*k*时有成立，

令，在\[0，2\]上单调递增，所以由假设

有：即

也即当n=k+1时 成立，所以对一切

（2）下面来求数列的通项：

所以　　

,

又b~n~=－1，所以

22．解：（1）设切点A、B坐标分别为，

∴切线AP的方程为：

切线BP的方程为：

解得P点的坐标为：

所以△APB的重心G的坐标为 ，

所以，由点P在直线*l*上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

（2）方法1：因为

由于P点在抛物线外，则

∴

同理有

∴∠AFP=∠PFB.

> 方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：
>
> 即
>
> 所以P点到直线BF的距离为：
>
> 所以d~1~=d~2~，即得∠AFP=∠PFB.
>
> ②当时，直线AF的方程：
>
> 直线BF的方程：
>
> 所以P点到直线AF的距离为：
>
> ，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d~1~=d~2~，可得到∠AFP=∠PFB![](./data/image/media/image2.emf)
