**2006高考数学试题（湖北理）**

**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**

1.  已知向量***a***=,***b***是不平行于*x*轴的单位向量，且***ab*=**，则***b***=

> A. B. C. D.(1,0)

2.若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a+b+c=10,则a=

A.4 B.2 C.-2 D.-4

3.若的内角A满足sin2A=,则sinA+cosA=

A. B. C. D.

4.设f(x)=,则的定义域为

A. B. C. D.

5.在的展开式中，*x*的幂的指数是整数的项共有

A.3项 B.4项 C.5项 D.6项

6．关于直线m、n与平面,有下列四个命题：

若m//α,n//β且α//β,则m//n；

若mα,n//β且,则；

若mα,n//β且α//β,则；

若m//α,nβ且,则m//n.。

其中真命题的序号是

A.①、② B.③、④ C. ①、④ D. ②、③

7.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若,且，则P点的轨迹方程是

A. B.

C. D.

8.有限集合S中元素的个数记作*card*(S).设A、B都为有限集合，给出下列命题：

> ①的充要条件是；
>
> ②的必要条件是；
>
> ③的充分条件是
>
> ④A=B的充要条件是*card*(A)=*card*(B)
>
> 其中真命题的序号是
>
> A.③、④ B.①、② C.①、④ D.②、③

9.已知平面区域D由以A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成，若在区域D上有无穷多个点（x,y）可使目标函数z=x+my取得最小值，则m=

A.-2 B.-1 C.1 D.4

10.关于x的方程，给出下列四个命题：

①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；

其中假命题的个数是：

A.0 B.1 C.2 D.3

**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。**

11.设*x*、*y*为实数，且，则*x*+*y*=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.

12.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.（精确到0.01）

13．已知直线与圆相切，则*a*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.

![](./data/image/media/image38.wmf)14.某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.（用数字作答）

15．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，

就得到一个如右所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形。

从莱布尼茨三角形可看出

，其中x=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.

令，

则=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.

**三、解答题：本大题共6小题，共75分（12+13+12+10+14+14），解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。**

16.设函数,其中向量,,,.

（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期；

（2）将函数y=f(x)的图象按向量平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的.

17.已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f'(x)=6x-2.数列的前n项和为,点（n, ）均在函数y=f(x)的图象上。

1.  求数列的通项公式；

2.  设,是数列的前n项和，求使得\<对所有都成立的最小正整数m.

![](./data/image/media/image59.wmf)

18.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A~1~B~1~C~1~D~1~中，

P是侧棱CC~1~上的一点，CP=m.

1.  试确定m,使得直线AP与

2.  平面BDD~1~B~1~所成角的正切值为；

3.  在线段A1C1上是否存在一个定点Q，

4.  使得对任意的m，D1Q在平面APD1

5.  上的射影垂直于AP.并证明你的结论。

19．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100),已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。

1.  试问此次参赛的学生总数约为多少人？

2.  若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？

> 可供查阅的（部分）标准正态分布表

<table><tbody><tr class="odd"><td><em>X</em><sub>0</sub></td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td></tr><tr class="even"><td><p>1.2</p><p>1.3</p><p>1.4</p><p>1.9</p><p>2.0</p><p>2.1</p></td><td><p>0.8849</p><p>0.9032</p><p>0.9192</p><p>0.9713</p><p>0.9772</p><p>0.9821</p></td><td><p>0.8869</p><p>0.9049</p><p>0.9207</p><p>0.9719</p><p>0.9778</p><p>0.9826</p></td><td><p>0.8888</p><p>0.9066</p><p>0.9222</p><p>0.9726</p><p>0.9783</p><p>0.9830</p></td><td><p>0.8907</p><p>0.9082</p><p>0.9236</p><p>0.9732</p><p>0.9788</p><p>0.9834</p></td><td><p>0.8925</p><p>0.9099</p><p>0.9251</p><p>0.9738</p><p>0.9793</p><p>0.9838</p></td><td><p>0.8944</p><p>0.9115</p><p>0.9265</p><p>0.9744</p><p>0.9798</p><p>0.9842</p></td><td><p>0.8962</p><p>0.9131</p><p>0.9278</p><p>0.9750</p><p>0.9803</p><p>0.9846</p></td><td><p>0.8980</p><p>0.9147</p><p>0.9292</p><p>0.9756</p><p>0.9808</p><p>0.9850</p></td><td><p>0.8997</p><p>0.9162</p><p>0.9306</p><p>0.9762</p><p>0.9812</p><p>0.9854</p></td><td><p>0.9015</p><p>0.9177</p><p>0.9319</p><p>0.9767</p><p>0.9817</p><p>0.9857</p></td></tr></tbody></table>

20.设A、B分别为椭圆的左右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线。

1.  求椭圆的方程；

2.  设P为右准线上不同于点（4，0）任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内。

21．设x=3是函数的一个极值点。

1.  求*a*与*b*的关系式（用*a*表示*b*），并求*f*(*x*)的单调区间；

2.  设*a*\>0,若存在使得成立，求*a*的取值范围。
