**2006年普通高等学校招生全国统一考试**

**（四川卷）文科数学及参考答案**

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

**第Ⅰ卷**

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：

> 如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式
>
> 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
>
> 球的体积公式
>
> 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；

  ------ ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
  题号   1       2       3       4       5       6       7       8       9       10      11      12
  答案   **C**   **A**   **D**   **A**   **B**   **D**   **B**   **C**   **D**   **B**   **A**   **C**
  ------ ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------

（1）已知集合，集合，则集合

（A） （B）

（C） （D）

（2）函数的反函数是

（A） （B）

（C） （D）

![](./data/image/media/image18.png)（3）曲线在点处的切线方程是

（A） （B）

（C） （D）

（4）如图，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是

（A） （B）

（C） （D）

（5）甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为人的样本，应在这三校分别抽取学生

（A）人，人，人 （B）人，人，人

（C）人，人，人 （D）人，人，人

（6）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是

![](./data/image/media/image40.png)（A） （B）

（C） （D）

\(7\) 已知二面角的大小为，为异面直线，且，则所成的角为

（A） （B） （C） （D）

![](./data/image/media/image52.png)(8) 已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于

（A） （B） （C） （D）

\(9\) 如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一

个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是

（A） （B） （C） （D）

\(10\) 直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线

> 作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为

（A） （B） （C） （D）

（11）设分别是的三个内角所对的边，则是的

（A）充分条件 （B）充分而不必要条件

（C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件

（12）从到这个数字中任取个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被整除的概率为

（A） （B） （C） （D）

**第Ⅱ卷**

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上。

（13）展开式中的系数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（用数字作答）

（14）设满足约束条件：，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_;

![](./data/image/media/image95.png)（15）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_;

（16）是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题：

① ②

③ ④

其中真命题的编号是\_\_\_\_\_\_\_①，②\_\_\_\_\_\_\_\_\_;（写出所有真命题的编号）

三．解答题：本大题共6小题，共74分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本大题满分12分）

数列的前项和记为

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求

本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分12分。

解：（Ⅰ）由可得，两式相减得

又 ∴

故是首项为，公比为得等比数列

∴

（Ⅱ）设的公比为

由得，可得，可得![](./data/image/media/image127.wmf)

故可设

又

由题意可得

解得

∵等差数列的各项为正，∴

∴

∴

（18）（本大题满分12分）

已知是三角形三内角，向量，且

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，求

> 本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分12分。

解：（Ⅰ）∵ ∴

即

∵

∴

∴

（Ⅱ）由题知，整理得

∴ ∴

∴或

而使，舍去

∴

（19）（本大题满分12分）

某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记"合格"与"不合格"，两部分考核都是"合格"则该课程考核"合格"，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为；在实验考核中合格的概率分别为，所有考核是否合格相互之间没有影响

（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；

（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数）

> 本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法，考察应用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。

解：记"甲理论考核合格"为事件，"乙理论考核合格"为事件，"丙理论考核合格"为事件， 记为的对立事件，；记"甲实验考核合格"为事件，"乙实验考核合格"为事件，"丙实验考核合格"为事件，

（Ⅰ）记"理论考核中至少有两人合格"为事件，记为的对立事件

解法1：

解法2：

所以，理论考核中至少有两人合格的概率为

（Ⅱ）记"三人该课程考核都合格" 为事件

所以，这三人该课程考核都合格的概率为

![](./data/image/media/image187.png)（20）（本大题满分12分）

如图，在长方体中，分别是的

中点，分别是的中点，

（Ⅰ）求证：面；

（Ⅱ）求二面角的大小。

> 本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力。满分12分

解法一：

（Ⅰ）证明：取的中点，连结

![](./data/image/media/image200.png) ∵分别为的中点

∵

∴面，面

∴面面

∴面

（Ⅱ）设为的中点

∵为的中点 ∴

∴面

作，交于，连结，则由三垂线定理得

从而为二面角的平面角。

在中，，从而

在中，

故：二面角的大小为

方法二：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则

∵分别是的中点

∴

（Ⅰ）

取，显然面

，∴

又面

∴面

∴过作，交于，取的中点，则

设，则

又

由，及在直线上，可得:

解得

∴

∴ 即

∴与所夹的角等于二面角的大小

故：二面角的大小为

（21）（本大题满分12分）

已知函数，其中是的导函数

（Ⅰ）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；

（Ⅱ）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点

本小题主要考察函数的单调性、导数的应用、解不等式等基础知识，以及推理能力、运输能力和综合应用数学知识的能力。满分12分。

解：（Ⅰ）由题意

令，

对，恒有，即

∴ 即

解得

故时，对满足的一切的值，都有

（Ⅱ）

①当时，的图象与直线只有一个公共点

②当时，列表：

  -- -- ------ -- ------ --
                         
                         
        极大      极小   
  -- -- ------ -- ------ --

∴

又∵的值域是，且在上单调递增

∴当时函数的图象与直线只有一个公共点。

当时，恒有

由题意得

即

解得

综上，的取值范围是

（22）（本大题满分14分）

已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）如果，且曲线上存在点，使，求的值和的面积

本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分14分。

解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，

且，易知

故曲线的方程为

设，由题意建立方程组

消去，得

又已知直线与双曲线左支交于两点，有

解得

∵

依题意得

![](./data/image/media/image335.png)整理后得

∴或

但 ∴

故直线的方程为

设，由已知，得

∴，

又，

∴点![](./data/image/media/image350.wmf)

将点的坐标代入曲线的方程，得得，

但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意

∴，点的坐标为

到的距离为

∴的面积

录入：四川省内江市隆昌县黄家中学

程 亮

<lc_chengliang@163.com>
