**2007年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）**

**数　学（理工农医类）**

**参考答案**

**一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）**

1．C　　2．B　　3．D　　4．A　　5．B　　6．D　　7．A　　8．D

**二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）**

9．　　

10． 3

11．

12．

13．

14．

**三、解答题（本大题共6小题，共80分）**

15．（共13分）

解：（I），，，

因为，，成等比数列，

所以，

解得或．

当时，，不符合题意舍去，故．

（II）当时，由于

，

，

......

，

所以。

又，，故．

当n=1时，上式也成立，

所以

16．（共14分）

![](./data/image/media/image29.png)

**解法一：**

（I）由题意，，，

是二面角是直二面角，

又二面角是直二面角，

，又，

平面，

又平面，

平面平面．

（II）作，垂足为，连结（如图），则，

是异面直线与所成的角．

在中，，，

．

又．

在中，．

异面直线与所成角的大小为．

（III）由（I）知，平面，

是与平面所成的角，且．

当最小时，最大，

这时，，垂足为，，，

与平面所成角的最大值为．

**解法二：**

![](./data/image/media/image79.png)

（I）同解法一。

> （II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，

，，

> ．

异面直线与所成角的大小为．

（III）同解法一

17．（共14分）

解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．

又因为点在直线上，

所以边所在直线的方程为，

即　．

（II）由解得点的坐标为，

因为矩形两条对角线的交点为．

所以为矩形外接圆的圆心．

又．

从而矩形外接圆的方程为．

（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，

所以，

即．

故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．

因为实半轴长，半焦距．

所以虚半轴长．

从而动圆的圆心的轨迹方程为．

18．（共13分）

解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．

（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为．

（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为．

（III）从合唱团中任选两名学生，记"这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动"为事件，"这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动"为事件，"这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动"为事件．易知

；

；

又

的分布列：

  -- --- --- ---
     0   1   2
             
  -- --- --- ---

的数学期望：．

19．（共13分）

![](./data/image/media/image147.png)

解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为．

点的纵坐标满足方程，

解得

，

其定义域为．

（II）记，

则．

令，得．

因为当时，；当时，，所以是的最大值．

因此，当时，也取得最大值，最大值为．

即梯形面积的最大值为．

20．（共13分）

（I）解：集合不具有性质．

集合具有性质，其相应的集合和是，

．

（II）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．

因为，所以；

> 又因为当时，时，，所以当时，．

从而，集合中元素的个数最多为，

即．

（III）解：，证明如下：

（1）对于，根据定义，，，且，从而．

如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．

故与也是的不同元素．

可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，

（2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，

故与也是的不同元素．

可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，

由（1）（2）可知，。
