**2005年高考数学**![](./data/image/media/image1.emf)**辽宁卷**![](./data/image/media/image1.emf)**试题及答案**

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式

P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互独立，那么

P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R表示球的半径

如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式

P，那么n次独立重复试验中恰好发生*k*

次的概率 其中R表示球的半径

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．复数在复平面内，*z*所对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．极限存在是函数在点处连续的（ ）

A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件

3．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）

A． B． C． D．

4．已知*m*、*n*是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：

①若；

②若；

③若；

④若*m*、*n*是异面直线，

其中真命题是（ ）

A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④

5．函数的反函数是（ ）

A． B． C． D．

6．若，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

7．在R上定义运算若不等式对任意实数成立，

则（ ）

A． B． C． D．

8．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范

围是（ ）

A．（1，2） B．（2，+∞） C．\[3，+∞ D．（3，+∞）

9．若直线按向量平移后与圆相切，则*c*的值为（ ）

A．8或－2 B．6或－4 C．4或－6 D．2或－8

10．已知是定义在R上的单调函数，实数，

，若，则 （ ）

A． B． C． D．

11．已知双曲线的中心在原点，离心率为.若它的一条准线与抛物线的准线重合，

则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是（ ）

A．2+ B． C． D．21

12．一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（ ）

![](./data/image/media/image60.emf)![](./data/image/media/image61.emf)![](./data/image/media/image62.emf)![](./data/image/media/image63.emf)

A B C D

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

![](./data/image/media/image64.emf)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13．的展开式中常数项是 [ ]{.underline} .

14．如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是 [ ]{.underline} .

15．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有 [ ]{.underline} 个.（用数字作答）

16．是正实数，设是奇函数}，若对每个实数，的元素不超过2个，且有使含2个元素，则的取值范围是 [ ]{.underline} .

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

![](./data/image/media/image71.emf)17．（本小题满分12分）

已知三棱锥P---ABC中，E、F分别是AC、AB的中点,△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB.

（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；

（Ⅱ）求二面角P---AB---C的平面角的余弦值；

（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的

球面上，求△ABC的边长.

![](./data/image/media/image72.emf)18．（本小题满分12分）

如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、

邻边互相垂直的十字形，其中

（Ⅰ）将十字形的面积表示为的函数；

（Ⅱ）为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

19．（本小题满分12分）

已知函数设数列}满足，数列}满足

（Ⅰ）用数学归纳法证明；

（Ⅱ）证明

20．（本小题满分12分）

某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品.

（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结

果为A级的概率如表一所示，分别求生产

出的甲、乙产品为一等品的概率P~甲~、P~乙~；

（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、

η分别表示一件甲、乙产品的利润，在

（I）的条件下，求ξ、η的分布列及

Eξ、Eη；

（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额

如表三所示.该工厂有工人40名，可用资.

金60万元.设*x*、*y*分别表示生产甲、乙产

品的数量，在（II）的条件下，*x*、*y*为何

值时，最大？最大值是多少？

（解答时须给出图示）

21．（本小题满分14分）

已知椭圆的左、右焦点分别是F~1~（－c，0）、F~2~（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F~1~Q与该椭圆的交点，点T在线段F~2~Q上，并且满足

![](./data/image/media/image86.emf) （Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；

（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；

（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，

使△F~1~MF~2~的面积S=若存在，求∠F~1~MF~2~

的正切值；若不存在，请说明理由.

22．（本小题满分12分）

函数在区间（0，+∞）内可导，导函数是减函数，且 设

是曲线在点（）得的切线方程，并设函数

（Ⅰ）用、、表示m；

（Ⅱ）证明：当；

（Ⅲ）若关于的不等式上恒成立，其中*a*、*b*为实数，

求*b*的取值范围及*a*与*b*所满足的关系.

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**参考答案**

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则![](./data/image/media/image2.emf)

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分![](./data/image/media/image2.emf)

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数![](./data/image/media/image2.emf)

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分![](./data/image/media/image2.emf)

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.

1.B 2.B 3.D 4.D 5.C 6.C 7.C 8.B 9.A 10.A 11.B 12.A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算![](./data/image/media/image2.emf)每小题4分，满分16分![](./data/image/media/image2.emf)

13．－160 14． 15．576

16．![](./data/image/media/image2.emf)

解： ①是奇函数}

②对每个实数，的元素不超过2个，且有使含2个元素，也就是说中任意相邻的两个元素之间隔必小于1，并且中任意相邻的三个元素的两间隔之和必大于等于1 ![](./data/image/media/image2.emf)

三、解答题

17．本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考

![](./data/image/media/image110.emf)查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法，满分12分.

（Ⅰ）证明： 连结CF.

......4分

（Ⅱ）解法一：

为所求二面角的平面角. 设AB=*a*，则AB=*a*，则

........................8分

解法二：设P在平面ABC内的射影为O. ≌≌

得PA=PB=PC. 于是O是△ABC的中心. 为所求二面角的平面角.

设AB=*a*，则 .........8分

（Ⅲ）解法一：设PA=*x*，球半径为R.

，的边长为.......12分

解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径.

连结OA、AD，可知△PAD为直角三角形. 设AB=*x*，球半径为R.

.......12分

18．本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和

三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力. 满分12分.

（Ⅰ）解：设S为十字形的面积，则

..................4分

（Ⅱ）解法一：

其中.........8分 当最大.......10分

所以，当最大. S的最大值为............12分

解法二： 因为 所以

........................8分

令S′=0，即

可解得 ..................10分

所以，当时，S最大，S的最大值为 ............12分

19．本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力，满分12分![](./data/image/media/image2.emf)

（Ⅰ）证明：当 因为*a*~1~=1，

> 所以 ..................2分
>
> 下面用数学归纳法证明不等式

（1）当n=1时，b~1~=，不等式成立，

（2）假设当n=k时，不等式成立，即

那么 ..................6分

所以，当n=k+1时，不等也成立![](./data/image/media/image2.emf)

根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N\*都成立![](./data/image/media/image2.emf) ............8分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，

所以

............10分

故对任意..................（12分）

20．（本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建

立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力，满分12

分.

（Ⅰ）解：............2分

（Ⅱ）解：随机变量、的分别列是

  --- ------ ------
      5      2.5
  P   0.68   0.32
  --- ------ ------

  --- ----- -----
      2.5   1.5
  P   0.6   0.4
  --- ----- -----

............6分

（Ⅲ）解：由题设知

目标函数为 ......8分

![](./data/image/media/image162.emf)作出可行域（如图）：

作直线

将*l*向右上方平移至*l*~1~位置时，直线经过可行域上

的点M点与原点距离最大，

此时 ............10分

取最大值. 解方程组

得即时，z取最大值，z的最大值为25.2 ................12分

21．本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应

用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.

![](./data/image/media/image169.emf)（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为

由P在椭圆上，得

由，所以 ...........................3分

证法二：设点P的坐标为记

则

由

证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为

由椭圆第二定义得，即

由，所以..............................3分

（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为

当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.

当\|时，由，得.

又，所以T为线段F~2~Q的中点.

在△QF~1~F~2~中，，所以有

综上所述，点T的轨迹C的方程是..............................7分

解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.

当\|时，由，得.

又，所以T为线段F~2~Q的中点.

设点Q的坐标为（），则

因此 ①

由得 ②

将①代入②，可得

综上所述，点T的轨迹C的方程是........................7分

（Ⅲ）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是

由③得，由④得 所以，当时，存在点M，使S=；

当时，不存在满足条件的点M............................11分

当时，，

由，

，

，得

解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是

由④得 上式代入③得

于是，当时，存在点M，使S=；

当时，不存在满足条件的点M............................11分

当时，记，

由知，所以............14分

22．本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分

（Ⅰ）解：................................................2分

（Ⅱ）证明：令

因为递减，所以递增，因此，当；

当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的

最小值为0，因此即..............................6分

（Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.

对任意成立的充要条件是

另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结果可知，的充要条件是：过点（0，）与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为

于是的充要条件是..............................10分

综上，不等式对任意成立的充要条件是

①

显然，存在*a*、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②

有解、解不等式②得 ③

因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在*a*与b所满足的关系.............12分

（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.

对任意成立的充要条件是

........................................................................8分

令，于是对任意成立的充要条件是

由

当时当时，，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即..................10分

综上，不等式对任意成立的充要条件是

①

显然，存在*a*、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②

有解、解不等式②得

因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在*a*与b所满足的关系.............12分
