1997年普通高等学校招生全国统一考试

**数学**

(理工农医类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.

**第Ⅰ卷**(选择题共65分)

**一、选择题:**本大题共15小题;第(1)(10)题每小题4分,第(11)(15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的**.**

1、sin600°的值是

\[Key\] D

2、函数的图象是

![](./data/image/media/image3.wmf)

\[Key\] B

3、曲线的极坐标方程化成直角坐标方程为

A． B．

C． D．

\[Key\] B

4、两条直线垂直的充要条件是

A． B．

C． D．

\[Key\] A

5、函数的反函数

A． x(x≠0) B．

C． -x(x≠0) D．

\[Key\] B

6、已知点在第一象限，则在内α的取值范围是

A． B．

C． D．

\[Key\] B°

7、已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为

A．120° B．150° C．180° D．240°

\[Key\] C

8、复数*-i*的一个立方根是*i*，它的另外两个立方根是

A． B． C． D．

\[Key\] D

9、如果棱台的两底面积分别是*S*， S\'，中截面的面积是*S*0，那么

A． B．

C． D．

\[Key\] A

10、向高为*H*的水瓶中注水，注满为止，如果注水量*V*与水深*h*的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是

![](./data/image/media/image32.wmf)

![](./data/image/media/image33.wmf)

\[Key\] B

11、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有

A．90种 B．180种 C．270种 D．540种

\[Key\] D

12、椭圆的焦点为F1和F2，点*P*在椭圆上，如果线段*PF*1的中点在*y*轴上，那么\|PF1\|是\|PF2\|的

A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍

\[Key\] A

13、球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为

A． B． C．2 D．

\[Key\] B

14、一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为

A． B．

C． D．

\[Key\] B

15、在等比数列{an}中，a1\>1，且前*n*项和*Sn*满足，那么a1的取值范围是

A．(1,+∞) B．(1,4) C．(1,2) D．(1,)

\[Key\] D

16、设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 \_\_\_\_\_\_\_。

![](./data/image/media/image45.wmf)

\[Key\]

17、的展开式中x10的系数为\_\_\_\_ [ ]{.underline} （用数字作答）。

\[Key\] 179

18、如图，在直四棱柱*A*1*B*1*C*1*D*1 *ABCD*中，当底面四边形*ABCD*满足条件[\_\_\_\_\_]{.underline}时，有*A1C⊥B1D1*。（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形。）

\[Key\] *AC⊥BD*，或任何能推导出这个条件的其他条件。例如*ABCD*是正方形，菱形等。

19、关于函数，有下列命题：

①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍；

②的表达式可改写为；

③的图象关于点对称；

④的图象关于直线![](./data/image/media/image52.wmf)对称。

其中正确的命题的序号是 [ ]{.underline} 。（注：把你认为正确的命题的序号都填上。）

\[Key\] ②，③ 注：第19题多填、漏填和错填均给0分。

20、（本小题满分10分）

在△ABC中，*a，b，c*分别是角*A*，*B*，*C*的对边，设。求sinB的值。

以下公式供解题时参考：

![](./data/image/media/image55.wmf)

\[Key\] 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力。满分10分。

解：由正弦定理和已知条件a+c=2b，得sinA+sinC=2sinB

由和差化积公式得

由A+B+C=π 得

21、（本小题满分11分）

如图，直线l1和l2相交于点*M*，l1⊥l2，点N∈l1。以*A*，*B*为端点的曲线段*C*上的任一点到*l*2的距离与到点*N*的距离相等，若△AMN为锐角三角形， \|AM\|=，\|AN\|=3且\|BN\|=6。建立适当的坐标系，求曲线段*C*的方程。

\[Key\] 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想。考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力。满分11分。

![](./data/image/media/image60.wmf)

解法一：如图建立坐标系，以*l*1为*x*轴，*MN*的垂直平分线为*y*轴，点*O*为坐标原点。

依题意知：曲线段*C*是以点*N*为焦点，以*l*2为准线的抛物线的一段，其中*A*，*B*分别为*C*的端点。

设曲线段*C*的方程为

，其中xA,xB分别为*A*，*B*的横坐标，P=\|MN\|。

由①，②两式联立解得。再将其代入①式并由p\>0解得

因为△AMN是锐角三角形，所以，故舍去

∴p=4,xA=1

由点*B*在曲线段*C*上，得。

综上得曲线段*C*的方程为

解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为

轴，*M*为坐标原点。

作AE⊥l1,AD⊥l2，BF⊥l2垂足分别为*E*、*D*、*F*

设A(xA, yA)、B(xB, yB)、N(xN, 0)

依题意有

![](./data/image/media/image69.wmf)

22、（本小题满分12分）

![](./data/image/media/image71.wmf)

如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从*A*孔流入，经沉淀后从*B*孔流出。设箱体的长度为*a*米，高度为*b*米。已知流出的水中该杂质的质量分数与*a*，*b*的乘积*ab*成反比。现有制箱材料60平方米。问当*a*，*b*各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（*A*、*B*孔的面积忽略不计）。

\[Key\] 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识。满分12分。

解法一：设*y*为流出的水中杂质的质量分数，则，其中k\>0为比例系数，依题意，即所求的*a*，*b*值使*y*值最小。

这时a=6,a=-10(舍去)

将a=6代入①式得*b=*3。

故当*a*为6米，*b*为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

解法二：

依题意，即所求的*a*，*b*的值使*ab*最大。

由题设知

当且仅当a=2b时，上式取等号。

由a\>0,b\>0，解得0\<ab≤18

即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18。

2b2=18解b=3,a=6

故当*a*为6米，*b*为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

23、（本小题满分12分）

![](./data/image/media/image75.wmf)

已知斜三棱柱*ABC A*1*B*1*C*1的侧面*A*1*ACC*1与底面*ABC*垂直，∠ABC=90°，*BC=*2，AC=2，且AA1⊥A1C，AA1=A1C。

（Ⅰ）求侧棱A1A与底面*ABC*所成角的大小；

（Ⅱ）求侧面*A*1*ABB*1与底面*ABC*所成二面角

的大小；

（Ⅲ）求顶点*C*到侧面*A*1*ABB*1的距离。

\[Key\] 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力。满分12分。

注：题中赋分为得得该结论时所得分值，不给中间分。

（Ⅰ）解：

作A1D⊥AC，垂足为*D*，

由面*A*1*ACC*1⊥面*ABC*，得*A*1*D*⊥面*ABC*，

∴∠*A*1*AD*为*A*1*A*与面*ABC*所成的角。

∵∠*AA*1⊥*A*1*C*，*AA*1*=A*1*C*，

∴∠*A*1*AD=*45° 为所求

![](./data/image/media/image76.wmf)

（Ⅱ）解：

作*DE*⊥*AB*，垂足为*E*，连*A*1*E*，则由*A*1*D*⊥面*ABC*，得*A*1*E*⊥*AB*。

∴∠*A*1*ED*是面*A*1*ABB*1与面*ABC*所成二面角的平面角。

由已知，*AB*⊥*BC*，得*ED//BC*，又*D*是*AC*的中点，*BC=*2，*AC=*2

∴*DE=*1，*AD=A*1*D=*，

故∠*A*1*ED=*60° 为所求。

（Ⅲ）解法一：

由点*C*作平面*A*1*ABB*1的垂线，垂足为*H*，则*CH*的长是*C*到平面*A*1*ABB*1的距离。

连结*HB*，由于*AB*⊥*BC*，得*AB*⊥*HB*

又*A*1*E*⊥*AB*，知*HB//A*1*E*，且*BC//ED*，

∴∠*HBC=*∠*A*1*ED=60*°

∴为所求

解法二：连结A1B

根据定义，点*C*到面*A*1*ABB*1的距离，即为三棱锥*C* *A*1*AB*的高*h*。

由

24、（本小题满分12分）

设曲线*C*的方程是y=x3-x，将*C*沿x轴、*y*轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线*C*1。

（Ⅰ）写出曲线*C*1的方程；

（Ⅱ）证明曲线*C*与*C*1关于点对称；

（Ⅲ）如果曲线*C*与*C*1有且仅有一个公共点，证明且t≠0。

\[Key\] 本小题主要考查函数图象、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，考查运动、交换等数学思想方法，以及综合运用数学知识解决问题的能力。满分12分。

（Ⅰ）解：曲线*C*1的方程为

y=(x-t)3+(x-t)+s

（Ⅱ）证明：在曲线*C*上任取一点B1(x1,y1)。。设B2(x2,y2)是*B*1关于点*A*的对称点，则有：

代入曲线*C*的方程，得x2和y2满足方程：

可知点B2(x2,y2)在曲线*C*1上。

反过来，同样可以证明，在曲线*C*1上的 点关于点*A*的对称点在曲线*C*上。因此，曲线*C*与*C*1关于点*A*对称。

（Ⅲ）证明：因为曲线*C*与*C*1有且仅有一个公共点，所以，方程组

有且仅有一组解。

消去y，整理得

S20=2S\'S

这个关于*x*的一元二次方程有且仅有一个根。

所以t≠0并且其根的判别式

25、（本小题满分12分）

已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+...+b10=145。

（Ⅰ）求数列{bn}的通项bn；

（Ⅱ）设数列{bn}的通项（其中a\>0，且a≠1），记Sn是数列{an}的前

n项和。试比较Sn与的大小，并证明你的结论。

\[Key\] 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力。满分12分。

解：（Ⅰ）设数列{bn}的公差为d，由题意得

（Ⅱ）由bn=3n-2，知

因此要比较Sn与的大小，可先比较

。

取n=1有

取n=2有

......

由此推测 ①

若①式成立，则由对数函数性质可断定：

当a\>1时，

当 0\<a\<1时，

下面用数学归纳法证明①式。

（i）当n=1时已验证①式成立。

（ii）假设当n=k(k≥1)时，①式成立，即

那么，当n=k+1时，

这就是说①式当n=k+1时也成立。

由（i），（ii）知①式对任何正整数*n*都成立

由此证得：

当a\>1时，

当0\<a\<1时，
