2004年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修Ⅱ）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.

第I卷（选择题 共60分）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么

P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么

P（A·B）=P（A）·P（B）

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

P~n~(k)=CP^k^(1－P)^n－k^

一、选择题 ：本大题共12小题，每小题6分，共60。

1．(1－i)^2^·i= （ ）

A．2－2i B．2+2i C．－2 D．2

2．已知函数 （ ）

A．b B．－b C． D．－

3．已知**a**、**b**均为单位向量，它们的夹角为60°，那么\|**a**+3**b**\|= （ ）

A． B． C． D．4

4．函数的反函数是 （ ）

A．y=*x*^2^－2*x*+2(*x*\<1) B．y=*x*^2^－2*x*+2(*x*≥1)

C．y=*x*^2^－2*x* (*x*\<1) D．y=*x*^2^－2*x* (*x*≥1)

5．的展开式中常数项是 （ ）

A．14 B．－14 C．42 D．－42

6．设A、B、I均为非空集合，且满足AB I，则下列各式中错误的是 （ ）

A．( ~I~ A)∪B=I B．( ~I~ A)∪( ~I~ B)=I

C．A∩( ~I~ B)= D．( ~I~ A)∪( ~I~ B)= ~I~ B

7．椭圆的两个焦点为F~1~、F~2~，过F~1~作垂直于*x*轴的直线与椭圆相交，一个交点

为P，则= （ ）

A． B． C． D．4

8．设抛物线y^2^=8*x*的准线与*x*轴交于点Q，若过点Q的直线*l*与抛物线有公共点，则直线*l*

的斜率的取值范围是 （ ）

A．\[－，\] B．\[－2，2\] C．\[－1，1\] D．\[－4，4\]

9．为了得到函数的图象，可以将函数的图象 （ ）

A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

10．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则等于 （ ）

A． B． C． D．

11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为 （ ）

A． B． C． D．

12．的最小值为 （ ）

A．－ B．－ C．－－ D．+

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13．不等式\|*x*+2\|≥\|*x*\|的解集是 [ ]{.underline} .

14．由动点P向圆*x*^2^+y^2^=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 [ ]{.underline} .

15．已知数列{*a~n~*}，满足*a*~1~=1，*a*~n~=*a*~1~+2*a*~2~+3*a*~3~+...+(*n*－1)*a~n~*~－1~(*n*≥2)，则{*a~n~*}的通项

1, n=1,

*a*~n~=

[ ]{.underline} ,n≥2.

16．已知*a*、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则*a*、b在α上的射影有可能是 [ ]{.underline} .

①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线

③同一条直线 ④一条直线及其外一点

在一面结论中，正确结论的编号是 [ ]{.underline} （写出所有正确结论的编号）.

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

求函数的最小正周期、最大值和最小值.

18．（本小题满分12分）

一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.

19．（本小题满分12分）

已知求函数的单调区间.

20．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥 P---ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.

（I）求点P到平面ABCD的距离，

（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.

21．（本小题满分12分）

设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.

（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：

（II）设直线*l*与y轴的交点为P，且求*a*的值.

22．（本小题满分14分）

已知数列，且

*a*~2k~=*a*~2k－1~+(－1)[^k^,]{.smallcaps}

*a*~2k+1~=*a*~2k~+3^k^,

其中k=1,2,3,.......

（I）求*a*~3~, *a*~5~；

[（II）求{]{.smallcaps} *a*~n~}的通项公式.

2004年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修I）参考答案

**一、选择题**

DBCBABCCBADB

**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上**.

13．{*x*\|*x*≥－1} 14．*x*^2^+y^2^=4 15． 16．①②④

**三、解答题**

17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.

解：

所以函数*f*(*x*)的最小正周期是π，最大值是，最小值是.

18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.

解：P(ξ=0)=0.5^2^×0.6^2^=0.09.

P(ξ=1)= ×0.5^2^×0.6^2^+ ×0.5^2^×0.4×0.6=0.3

P(ξ=2)= ×0.5^2^×0.6^2^+×0.5^2^×0.4×0.6+ ×0.5^2^×0.4^2^=0.37.

P(ξ=3)= ×0.5^2^×0.4×0.6+×0.5^2^×0.4^2^=0.2

P(ξ=4)= 0.5^2^×0.4^2^=0.04

于是得到随机变量ξ的概率分布列为：

  --- ------ ----- ------ ----- ------
  ξ   0      1     2      3     4
  P   0.09   0.3   0.37   0.2   0.04
  --- ------ ----- ------ ----- ------

所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.

19．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分.

解：函数*f*(*x*)的导数：

（I）当*a*=0时，若*x*\<0，则\<0，若*x*\>0,则\>0.

所以当*a*=0时，函数*f*(*x*)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.

（II）当

由

所以，当*a*\>0时，函数*f*(*x*)在区间（－∞，－）内为增函数，在区间（－，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；

（III）当*a*\<0时，由2*x*+*ax*^2^\>0，解得0\<*x*\<－,

由2*x*+*ax*^2^\<0，解得*x*\<0或*x*\>－.

所以当*a*\<0时，函数*f*(*x*)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－）内为增函数，在区间（－，+∞）内为减函数.

20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.

（I）解：如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连结PE.

∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，

> ∵PA=PD，∴OA=OD，
>
> 于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.
>
> 由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，
>
> ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°
>
> 由已知可求得PE=
>
> ∴PO=PE·sin60°=，
>
> 即点P到平面ABCD的距离为.
>
> （II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，*x*轴平行于DA.
>
> .连结AG.
>
> 又知由此得到：
>
> 所以
>
> 等于所求二面角的平面角，
>
> 于是
>
> 所以所求二面角的大小为 .
>
> 解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG//BC，FG=BC.
>
> ∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，
>
> ∴∠AGF是所求二面角的平面角.
>
> ∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.
>
> 又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.
>
> 在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=.
>
> 在Rt△PEG中，EG=AD=1.
>
> 于是tan∠GAE==,
>
> 又∠AGF=π－∠GAE.
>
> 所以所求二面角的大小为π－arctan.

21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.

解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组

有两个不同的实数解.消去y并整理得

（1－*a*^2^）*x*^2^+2*a*^2^*x*－2*a*^2^=0. ①

双曲线的离心率

（II）设

由于*x*~1~+*x*~2~都是方程①的根，且1－*a*^2^≠0，

[22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.]{.smallcaps}

[解]{.smallcaps}：（I）*a*~2~=*a*~1~+(－1)^1^=0,

*a*~3~=*a*~2~+3^1^=3.

*a*~4~=*a*~3~+(－1)^2^=4,

*a*~5~=*a*~4~+3^2^=13,

所以*，a*~3~=3,*a*~5~=13.

\(II\) *a*~2k+1~=*a*~2k~+3^k^

[=]{.smallcaps} *a*~2k－1~+(－1)^k^+3^k^,

[所以]{.smallcaps}*a*~2k+1~－*a*~2k－1~=3^k^+(－1)^k^,

同理*a*~2k－1~－*a*~2k－3~=3^k－1^+(－1)^k－1^,

......

*a*~3~－*a*~1~=3+(－1).

所以(*a*~2k+1~－*a*~2k－1~)+(*a*~2k－1~－*a*~2k－3~)+...+(*a*~3~－*a*~1~)

=(3^k^+3^k－1^+...+3)+\[(－1)^k^+(－1)^k－1^+...+(－1)\],

由此得*a*~2k+1~－*a*~1~=(3^k^－1)+\[(－1)^k^－1\],

于是*a*~2k+1~=

*a*~2k~= *a*~2k－1~+(－1)^k^

=(－1)^k－1^－1+(－1)^k^

=(－1)^k^=1.

> {*a*~n~}的通项公式为：

当n为奇数时，*a*~n~­=

当n为偶数时，
