**1978年试题**

**注意事项:**

**1.理工科考生要求除作（一）棗（四）题和（七）题外,再由（五）、（六）两题中选作一题.文科考生要求作（一）棗（四）题,再由（五）、（六）两题中选作一题;不要求作第（七）题.**

**2.考生解题作答时,不必抄题.但须准确地写明题号,例如（一）2、（五）等.**

**（一）**1.分解因式:x2-4xy+4y2-4z2.

\[Key\]

**（一）1.解:**原式=(x2-4xy+4y2)-4z2

=(x-2y)2-(2z)2

=(x-2y-2z)(x-2y+2z).

2.已知正方形的边长为a.求侧面积等于这个正方形的面积、高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积.

\[Key\] **2.解:**设直圆柱体的底面半径为r.则底面周长2πr=a.

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\[Key\] **3.解:**∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.

x≥-1为所求的定义域.

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\[Key\] ![](./data/image/media/image5.wmf)

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**\[Key\]**

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**（二）**已知方程kx2+y2=4,其中k为实数.对于不同范围的k值,分别指出方程所代表图形的类型,并画出显示其数量特征的草图.

**\[Key\] （二）解:（注意:只要求考生作出全面而正确的分析,不要求写法和本题解完全一致.）**

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**（三）**（如图）AB是半圆的直径,C是半圆上一点,直线MN切半圆于C点,AM⊥MN于M点,BN⊥MN于N点,CD⊥AB于D点.

求证:1)CD=CM=CN;

2)CD2=AM·BN.

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**\[Key\] （三）证明:**

1)连CA、CB,则∠ACB=90°.

∠ACM=∠ABC（弦切角等于同弧上的圆周角）,

∠ACD=∠ABC（同角的余角相等）,

∴ ∠ACM=∠ACD.

∴ △ACM≌△ADC.

∴ CM=CD.

同理 CN=CD.∴ CD=CM=CN.

2)∵ CD⊥AB,∠ACB=90°,

∴ CD2=AD·DB（比例中项定理）.

由1),可知 AM=AD,BN=BD,

∴ CD2=AM·BN.

**（四）**已知log189=a(a≠2),18b=5.求log3645.

**\[Key\] （四）解法一:**∵log189=a,∴18a=9.

又 18b=5,

∴ 45=9×5=18a·18b=18a+b,

设 log3645=x,则36x=45=18a+b,

∴ log1836x=log1818a+b

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但 36=2×18=4×9,

∴ log18(2×18)=log18(22×9).

即 1+log182=2log182+log189=2log182+a.

∴ log182=1-a.

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以下解法同解法一.

**（五）**（本题和第（六）题选作一题）已知△ABC的三内角的大小成![](./data/image/media/image18.wmf)

![](./data/image/media/image19.wmf)![](./data/image/media/image20.wmf)

**\[Key\] （五）解:**A+B+C=180°,

又 2B=A+C.

∴ 3B=180°,B=60°,A+C=120°.

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![](./data/image/media/image24.wmf)

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**（六）**已知α、β为锐角,且

3sin2α+2sin2β=1,

3sin2α-2sin2β=0.

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**\[Key\]**

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以下同证法一.

**（七）**（文科考生不要求作此题）

已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1（m为实数）.

(1)m是什么数值时,y的极值是0?

(2)求证:不论m是什么数值,函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线l1上.画出m=-1、0、1时抛物线的草图,来检验这个结论.

(3)平行于l1的直线中,哪些与抛物线相交,哪些不相交?求证:任一条平行于l1而与抛物线相交的直线,被各抛物线截出的线段都相等.

\[Key\] **（七）解:**(1)用配方法得

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此即各抛物线顶点坐标所满足的方程.它的图形是一条直线,方程中不![](./data/image/media/image32.wmf)

当m=-1、0、1时,x,y之间的函数关系为

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分别作出它们的图象P1、P2、P3. 它们的顶点都在直线l1上.

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(3)设l:x-y=a为任一条平行于l1的直线.

与抛物线y=x2+(2m-1)x+m2-1方程联立求解.

消去y,得x2+2mx+m2-1+a=0.

∴ (x+m)2=1-a.

因而当1-a≥0即a≤1时,直线l与抛物线相交,而1-a\<0即a\>1时,直线l与抛物线不相交.

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即直线*l*与抛物线两交点横坐标为

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因直线*l*的斜率为1,它的倾斜角为45°.

∵ 直线*l*被抛物线截出的线段等于

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而这与m无关.

因此直线*l*被各抛物线截出的线段都相等.

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