2004年普通高等学校招生全国统一考试

**数学（理工农医类）（重庆卷）**

本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分 考试时间120分钟.

第Ⅰ部分（选择题 共60分）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那幺 P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互独立，那幺 P(A·B)=P(A)·P(B)

> 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生*k*次的概率

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．函数的定义域是： （ ）

A． B． C． D．

2．设复数, 则 （ ）

A．--3 B．3 C．－3i D．3i

3．圆的圆心到直线的距离为 （ ）

A．2 B． C．1 D．

4．不等式的解集是 （ ）

A． B．

C． D．

5． （ ）

A． B． C． D．

6．若向量的夹角为，,则向量的模为 （ ）

A．2 B．4 C．6 D．12

7．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：

（ ）

A． B． C． D．

8．设P是的二面角内一点，垂足，则AB的长为 （ ）

A． B． C． D．

9． 若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是： （ ）

A．4005 B．4006 C．4007 D．4008

10．已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为： （ ）

A． B． C． D．

11．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为： （ ）

A． B． C． D．

12．若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成图形可能是 （ ）

（A） （B）

（C） （D）

第Ⅱ部分（非选择题 共90分）

  ------- ---- ---- ------- ---- ---- ---- ---- --
  题 号   二   三   总 分                       
               17   18      19   20   21   22   
  分 数                                         
  ------- ---- ---- ------- ---- ---- ---- ---- --

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13.若在的展开式中的系数为，则.

14．曲线在交点处切线的夹角是\_\_\_\_\_\_，（用幅度数作答）

15．如图P~1~是一块半径为1的半圆形纸板，在P~1~的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P~2~，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P~3~、P~4~、.....，P~n~，...,记纸板P~n~的面积为，则.

16．对任意实数K，直线：与椭圆：恒有公共点，则b取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

求函数的最小正周期和最小值；并写出该函数在

上的单调递增区间。

18．（本小题满分12分）

设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，表示停车时已经通过的路口数，求：

（1）的概率的分布列及期望E;

(2 ) 停车时最多已通过3个路口的概率。

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，

（1）明MF是异面直线AB与PC的公垂线；

（2）若,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值。

20．（本小题满分12分）

设函数

（1）求导数; 并证明有两个不同的极值点;

（2）若不等式成立，求的取值范围.

21．（本小题满分12分）

设是一常数，过点的直线与抛物线交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）。试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程.

22．（本小题满分14分）

设数列满足

（1）证明对一切正整数n 成立；

（2）令,判断的大小，并说明理由。

参考答案

一、选择题：每小题5分，共60分.

1．D 2．A 3．D 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．B 10．B 11．D 12．D

二、填空题：每小题4分，共16分.

13．－2 14． 15． 16．\[－1，3\]

三、解答题：共74分.

17．（本小题12分）

解：

故该函数的最小正周期是；最小值是－2；

单增区间是\[\]，

18．（本小题12分）

解：（I）的所有可能值为0，1，2，3，4

用A~K~表示"汽车通过第k个路口时不停（遇绿灯）"，

则P（A~K~）=独立.

故

从而有分布列：

0 1 2 3 4

P

（II）

答：停车时最多已通过3个路口的概率为.

19．（本小题12分）

（I）证明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，

故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，

又AM∥CD∥EF，且AM=EF，

证得AEFM是矩形，故AM⊥MF.

又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，

而MF∥AE，得MF⊥面PCD，

故MF⊥PC，

因此MF是AB与PC的公垂线.

（II）解：连结BD交AC于O，连结BE，过O作BE的垂线OH，

垂足H在BE上.

易知PD⊥面MAE，故DE⊥BE，

又OH⊥BE，故OH//DE，

因此OH⊥面MAE.

连结AH，则∠HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角

设AB=*a*，则PA=3*a*， .

因Rt△ADE\~Rt△PDA，故

20．（本小题12分）

解：（I）

因此是极大值点，是极小值点.

（II）因

又由（I）知

代入前面不等式，两边除以（1+*a*），并化简得

21．（本小题12分）

解法一：由题意，直线AB不能是水平线， 故可设直线方程为：.

又设，则其坐标满足

消去*x*得

由此得

因此.

故O必在圆H的圆周上.

又由题意圆心H（）是AB的中点，故

由前已证，OH应是圆H的半径，且.

从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.

此时，直线AB的方程为：x=2p.

解法二：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：*ky*=*x*－2*p*

又设，则其坐标满足

分别消去x，y得

故得A、B所在圆的方程

明显地，O（0，0）满足上面方程所表示的圆上，

又知A、B中点H的坐标为

故

而前面圆的方程可表示为

故\|OH\|为上面圆的半径R，从而以AB为直径的圆必过点O（0，0）.

又，

故当k=0时，R^2^最小，从而圆的面积最小，此时直线AB的方程为：x=2p.

解法三：同解法一得O必在圆H的圆周上

又直径\|AB\|=

上式当时，等号成立，直径\|AB\|最小，从而圆面积最小.

此时直线AB的方程为x=2p.

22．（本小题14分）

（I）证法一：当不等式成立.

综上由数学归纳法可知，对一切正整数成立.

证法二：当n=1时，.结论成立.

假设n=k时结论成立，即

当的单增性和归纳假设有

所以当n=k+1时，结论成立.

因此，对一切正整数n均成立.

证法三：由递推公式得

上述各式相加并化简得

（II）解法一：

解法二：

解法三：

故.

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