**2005年高考文科数学**![](./data/image/media/image1.emf)**湖南卷**![](./data/image/media/image1.emf)**试题及答案**

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟![](./data/image/media/image2.emf)

第Ⅰ卷（选择题）

**一、选择题：本大题共10小，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**

1．设全集U={－2,－1,0,1,2}，A={－2,－1,0}，B={0,1,2}，则 =（　　）

　 A．{0}　 B．{－2，－1}　　 C．{1，2}　　 D．*{0，1，2}*

2．tan600°的值是（　 ）

　　A．　　 B．　　 C．　　 D．

3．函数*f*(*x*)＝的定义域是　 （　 ）

A．－∞，0\]　　 B．\[0，＋∞　 C．（－∞，0）　 D．（－∞，＋∞）

![](./data/image/media/image11.emf)4．如图，正方体ABCD－A~1~B~1~C~1~D~1~的棱长为1，E是A~1~B~1~的中点，则E到平面AB C~1~D~1~的距离为（ 　 ）

A．　 B．　

C．　 D．

5．已知数列满足，则= （ ）

A．0 B． C． D．

6．设集合A＝｛*x*\|＜0，B＝｛*x* \|\| *x* －1\|＜*a*，若"*a*＝1"是" "的（ 　）

　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件　 D．既不充分又不必要条件

7．设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是 （　 ）

　　A．20　 B．19 C．18 D．16

8．已知双曲线－＝1（*a*＞0，*b*＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为（O为原点），则两条渐近线的夹角为　（ 　）

　　A．30º　　 B．45º　　 C．60º　　 D．90º

9．P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（　 ）

　　A．外心　 B．内心　 C．重心　 D．垂心

10．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L~1~=5.06*x*－0.15 *x* ^2^和L~2~=2 *x*，其中*x*为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最

大利润为（ ）

A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51

第Ⅱ卷（非选择题）

**二、填空题：本大题共5小题，每小题4分（第15小题每空2分），共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.**

11．设直线和圆相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程是 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2.emf)

12．一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线.为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样.已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了[　　　]{.underline} 件产品![](./data/image/media/image2.emf)

13．在的展开式中，*x* ^2^项的系数是[　　　　]{.underline}.（用数字作答）

14．设函数*f*(*x*)的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数,*f* (4)＝0，则＝[　]{.underline} .

15．已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤.

（i）当满足条件 [ ]{.underline} 时，有；（ii）当满足条件 [ ]{.underline} 时，有![](./data/image/media/image2.emf)

（填所选条件的序号）

**三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**

16．（本小题满分12分）

已知数列为等差数列，且

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）证明

17．（本小题满分12分）

已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小![](./data/image/media/image2.emf)

18．（本小题满分14分）

如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO~1~折成直二面角，如图2![](./data/image/media/image2.emf)

　　（Ⅰ）证明：AC⊥BO~1~；

（Ⅱ）求二面角O－AC－O~1~的大小.

19．（本小题满分14分）

设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线![](./data/image/media/image2.emf)

> （Ⅰ）用表示*a*，b，c；
>
> （Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围![](./data/image/media/image2.emf)

20．（本小题满分14分）

某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.

（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；

（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率![](./data/image/media/image2.emf)

21．（本小题满分14分）

　 已知椭圆C：＋＝1（*a*＞b＞0）的左．右焦点为F~1~、F~2~，离心率为e. 直线

*l*：*y*＝e*x*＋*a*与*x*轴．y轴分别交于点A、B，M是直线*l*与椭圆C的一个公共点，P是点F~1~关于直线*l*的对称点，设＝λ.

（Ⅰ）证明：λ＝1－e^2^；

（Ⅱ）若，△PF~1~F~2~的周长为6；写出椭圆C的方程；

（Ⅲ）确定λ的值，使得△PF~1~F~2~是等腰三角形![](./data/image/media/image2.emf)

**2005年高考文科数学**![](./data/image/media/image1.emf)**湖南卷**![](./data/image/media/image1.emf)**试题及答案**

**参考答案**

一、选择题：1---5：CDABB 6---10： ACDDB

二、填空题：

11． 12．5600 13．35 14．－2 15．③⑤ ②⑤

三、解答题：

16．（I）解：设等差数列的公差为*d*.

由即*d*=1.

所以即

（II）证明因为，

所以

17．解法一 由

得

所以

即

因为所以，从而

由知 从而.

由

即

由此得所以

解法二：由

由、，所以

即

由得

所以

即 因为，所以

由从而，知B+2C=不合要求.

再由，得 所以

18．解法一（I）证明 由题设知OA⊥OO~1~，OB⊥OO~1~.

所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO~1~

所在直线分别为轴、*y*轴、*z*轴建立空间直角坐标系，

如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），

B（0，3，0），C（0，1，）

O~1~（0，0，）.

从而

所以AC⊥BO~1~.

（II）解：因为所以BO~1~⊥OC，

由（I）AC⊥BO~1~，所以BO~1~⊥平面OAC，是平面OAC的一个法向量.

设是0平面O~1~AC的一个法向量，

由 得.

设二面角O---AC---O~1~的大小为，由、的方向可知，\>，

所以cos，\>=

即二面角O---AC---O~1~的大小是

解法二（I）证明 由题设知OA⊥OO~1~，OB⊥OO~1~，

所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

即OA⊥OB. 从而AO⊥平面OBCO~1~，

OC是AC在面OBCO~1~内的射影.

因为 ，

所以∠OO~1~B=60°，∠O~1~OC=30°，从而OC⊥BO~1~

由三垂线定理得AC⊥BO~1~.

（II）解 由（I）AC⊥BO~1~，OC⊥BO~1~，知BO~1~⊥平面AOC.

设OC∩O~1~B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O~1~F（如图4），则EF是O~1~F在平面AOC内的射影，由三垂线定理得O~1~F⊥AC.

所以∠O~1~FE是二面角O---AC---O~1~的平面角.

由题设知OA=3，OO~1~=，O~1~C=1，

所以，

从而， 又O~1~E=OO~1~·sin30°=，

所以 即二面角O---AC---O~1~的大小是

19．解：（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以，

即.因为所以.

又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以

而

将代入上式得 因此故，，

（II）解法一.

当时，函数单调递减.

由，若；若

由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则

所以

又当时，函数在（－1，3）上单调递减.

所以的取值范围为

解法二：

因为函数在（－1，3）上单调递减，且是（－1，3）上的抛物线，

所以 即解得

所以的取值范围为

20．解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为3^4^.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.

（I）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为（从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记"3个景区都有部门选择"为事件A~1~，那么事件A~1~的概率为

> P（A~1~）=

（II）解法一：分别记"恰有2个景区有部门选择"和"4个部门都选择同一个景区"为事件A~2~和A~3~，则事件A~3~的概率为P（A~3~）=，事件A~2~的概率为

> P（A~2~）=1－P（A~1~）－P（A~3~）=

解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为（先从3个景区任意选定2个，共有种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有种不同选法）.所以P（A~2~）=

21．（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线*l*：与*x*轴、y轴的交点，

所以A、B的坐标分别是![](./data/image/media/image2.emf)

> 所以点M的坐标是（）.
>
> 由
>
> 即，

证法二：因为A、B分别是直线*l*：与*x*轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是

所以

因为点M在椭圆上，所以

即

解得

（Ⅱ）当时，，所以

由△MF~1~F~­2­­~的周长为6，得

所以

椭圆方程为

（Ⅲ）解法一：因为PF~1~⊥*l*，所以∠PF~1~F~2~=90°+∠BAF~1~为钝角，要使△PF~1~F~2~为等腰三角形，必有\|PF~1~\|=\|F~1~F~2~\|，即

设点F~1~到*l*的距离为d，由

得

> 所以

即当△PF~1~F~­2­­~为等腰三角形![](./data/image/media/image2.emf)

> 解法二：因为PF~1~⊥*l*，所以∠PF~1~F~2~=90°+∠BAF~1~为钝角，要使△PF~1~F~2~为等腰三角形，必有\|PF~1~\|=\|F~1~F~2~\|，
>
> 设点P的坐标是，
>
> 则，
>
> 由\|PF~1~\|=\|F~1~F~2~\|得
>
> 两边同时除以4*a*^2^，化简得
>
> 从而
>
> 于是. 即当时，△PF~1~F~2~为等腰三角形![](./data/image/media/image2.emf)
