**2005年高考理科数学**![](./data/image/media/image1.emf)**北京卷**![](./data/image/media/image1.emf)**试题及答案**

本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第1卷l至2页，第Ⅱ卷3至9页．共150分![](./data/image/media/image2.emf)考试时阃120分钟![](./data/image/media/image2.emf)考试结束，将本试卷和答题卡---并交回![](./data/image/media/image2.emf)

第1卷(选择题 共40分)

注意事项：

1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上![](./data/image/media/image2.emf)

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑![](./data/image/media/image2.emf)如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号![](./data/image/media/image2.emf)不能答在试卷上![](./data/image/media/image2.emf)

一、本大题共8小题![](./data/image/media/image2.emf)每小题5分![](./data/image/media/image2.emf)共40分![](./data/image/media/image2.emf)在每小题列出的四个选项中．选出符合题目要求的一项![](./data/image/media/image2.emf)

(1)设全集U=R，集合M={x∣x\>l}，P={x∣x^2^\>l}，则下列关系中正确的是

(A)M=P (B) (C) (D)

(2)"m="是"直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直"的

(A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件

(C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(3)若，=2．**c**=+，且ca，则向量与的夹角为

(A)30^0^ (B)60^0^ (C)120^0^ (D)150^0^

(4)从原点向圆=0作两条切线，则该圆夹在两条切线问的劣弧长为

\(A\) (B)2 (C)4 (D)6

(5)对任意的锐角，，下列不等关系中正确的是

(A)sin(+)\>sin+sin (B)sin(+)\>cos+cos

(C)cos (+)\<sin+sin (D)cos (+)\<cos+cos

(6)在正四面体P---ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是

(A)BC∥平面PDF (B)DF平面PAE

(C)平面PDF平面ABC (D)平面PAE平面ABC

(7)北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为

\(A\) (B)

\(C\) (D)

(8)函数

(A)在\[0，)，(，\]上递增，在\[，)，(，2\]上递减

(B)在\[0，)，\[，)上递增，在(，\]，(，2\]上递减

(C)在(，\]，(，2\]上递增，在\[0，)，\[，)上递减

(D)在\[，)，(，2\]上递增，在\[0，)，(，\]上递减

第Ⅱ卷(共110分)

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上![](./data/image/media/image2.emf)

2答卷前将密封线内的项目填写清楚![](./data/image/media/image2.emf)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分![](./data/image/media/image2.emf)把答案填在题中横线上![](./data/image/media/image2.emf)

(9)若z~l~=a+2i，z~2~=3-4i，且为纯虚数，则实数a的值为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2.emf)

(10)已知tan=2，则tan的值为 [ ]{.underline} ，tan(+)的值为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2.emf)

(11)的展开式中的常数项是 [ ]{.underline} (用数字作答)

(12)过原点作曲线y=的切线，则切点的坐标为 [ ]{.underline} ，切线的斜率为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2.emf)

\(13\) [ ]{.underline} 对于函数定义域中任意的 ()，有如下结论：

①； ②；

③\>0； ④\<![](./data/image/media/image2.emf)

当时，上述结论中正确结论的序号是 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2.emf)

\(14\) 已知n次多项式=![](./data/image/media/image2.emf)

如果在一种算法中，计算(k=2，3，4，...，n)的值需要k-1次乘法，计算的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算的值共需要 [ ]{.underline} 次运算．

下面给出一种减少运算次数的算法： =![](./data/image/media/image2.emf)P~n+1~()=P~n~()+ (k=0, l，2，...，n-1)．利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要 [ ]{.underline} 次运算![](./data/image/media/image2.emf)

三、解答题：本大题共6小题![](./data/image/media/image2.emf)共80分![](./data/image/media/image2.emf)解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤![](./data/image/media/image2.emf)

15 （本小题共13分）

已知函数![](./data/image/media/image2.emf)

(I)求的单调递减区间；

(Ⅱ)若在区间\[一2，2\]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值![](./data/image/media/image2.emf)

(16)(本小题共14分)

如图,在直四棱柱中,,

![](./data/image/media/image70.emf)垂足为![](./data/image/media/image2.emf)

(Ⅰ)求证;

(Ⅱ)求二面角的大小;

(Ⅲ)求异面直线与所成角的大小![](./data/image/media/image2.emf)

(17)(本小题共13分)

甲、乙俩人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为![](./data/image/media/image2.emf)

(Ⅰ)记甲击中目标的次数为,求的概率分布及数学期望;

(Ⅱ)求乙至多击中目标2次的概率;

(Ⅲ)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率![](./data/image/media/image2.emf)

(18)(本小题共14分)

![](./data/image/media/image81.emf)如图,直线＞0)与直线之间的阴影区域(不含边界)记为,其左半部分记为,右半部分记为![](./data/image/media/image2.emf)

(Ⅰ)分别有不等式组表示和![](./data/image/media/image2.emf)

(Ⅱ)若区域中的动点到的距离之积等于,求点的轨迹的方程;

(Ⅲ)设不过原点的直线与(Ⅱ)中的曲线相交于两点,且与分别交于两点.求证△的重心与△的重心重合![](./data/image/media/image2.emf)

(19)(本小题共12分)

设数列的首项,且,记![](./data/image/media/image2.emf)

(Ⅰ)求

(Ⅱ)判断数列是否为等比数列,并证明你的结论;

(Ⅲ)求![](./data/image/media/image2.emf)

20 （本小题共14分）

设是定义在\[0，1\]上的函数，若存在，使得在\[0，\]上单调递增，在\[，1\]单调递减，则称为\[0，1\]上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为含峰区间![](./data/image/media/image2.emf)

对任意的\[0，1\]上的单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度的方法![](./data/image/media/image2.emf)

（Ⅰ）证明：对任意的 , ,若，则（0，）为含峰区间；若，则（，1）为含峰区间；

（Ⅱ）对给定的（0\<\<0.5），证明：存在,满足，使得由（Ⅰ）确定的含峰区间的长度不大于0.5+;

(Ⅲ)选取, 由（Ⅰ）可确定含峰区间为（0，）或（，1），在所得的含峰区间内选取,由与或与类似地可确定是一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为（0，）的情况下，试确定的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34![](./data/image/media/image2.emf)

（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）![](./data/image/media/image2.emf)

**2005年高考理科数学**![](./data/image/media/image1.emf)**北京卷**![](./data/image/media/image1.emf)**试题及答案**

**参考答案**

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1） *C* （2）*B* （3）*C* （4）*B* （5）*D* （6）*C* （7）*A* （8）*A*

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9） （10）－；－ （11）15 （12）(1, *e*)；*e*

（13）②③ （14）*n*(*n*＋3)；2*n*

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（I） ．

令 \<0，解得*x*\<－1或*x*\>3，

所以函数*f*(*x*)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．

（II）因为*f*(－2)＝8＋12－18＋*a*=2＋*a*，*f*(2)＝－8＋12＋18＋*a*＝22＋*a*，

所以*f*(2)\>*f*(－2)．因为在（－1，3）上 \>0，所以*f*(*x*)在\[－1, 2\]上单调递增，又由于*f*(*x*)在\[－2，－1\]上单调递减，因此*f*(2)和*f*(－1)分别是*f*(*x*)在区间\[－2，2\]上的最大值和最小值，于是有 22＋*a*＝20，解得 *a*＝－2．

故*f*(*x*)=－*x*^3^＋3*x*^2^＋9*x*－2，因此*f*(－1)＝1＋3－9－2＝－7，

即函数*f*(*x*)在区间\[－2，2\]上的最小值为－7．

（16）（共14分）

（I）在直四棱柱*ABCD*－*AB*~1~*C*~1~*D*~1~中，

![](./data/image/media/image126.emf)∵*AA*~1~⊥底面*ABCD*．∴ *AC*是*A*~1~*C*在平面*ABCD*上的射影．

∵*BD*⊥*AC*．∴ *BD*⊥*A*~1~*C*；

（II）连结*A*~1~*E*，*C*~1~*E*，*A*~1~ *C*~1~．

与（I）同理可证*BD*⊥*A*~1~*E*，*BD*⊥*C*~1~*E*，

∴ ∠*A*~1~*EC*~1~为二面角*A*~1~－*BD*－*C*~1~的平面角．

∵ *AD*⊥*DC*，∴ ∠*A*~1~*D*~1~*C*~1~=∠*ADC*＝90°，

又*A*~1~*D*~1~=*AD*＝2，*D*~1~*C*~1~= *DC*＝2，*AA*~1~=且 *AC*⊥*BD*，

∴ *A*~1~*C*~1~＝4，*AE*＝1，*EC*＝3，∴ *A*~1~*E*＝2，*C*~1~*E*＝2，

在△*A*~1~*EC*~1~中，*A*~1~*C*~1~^2^＝*A*~1~*E*^2^＋*C*~1~*E*^2^， ∴ ∠*A*~1~*EC*~1~＝90°，

即二面角*A*~1~－*BD*－*C*~1~的大小为90°．

（III）过*B*作 *BF*//*AD*交 *AC*于 *F*，连结*FC*~1~，

则∠*C*~1~*BF*就是*AD*与*BC*~1~所成的角．

∵ *AB*＝*AD*＝2， *BD*⊥*AC*，*AE*＝1，

∴ *BF*=2，*EF*＝1，*FC*＝2，*BC*＝*DC*，∴ *FC*~1~=，*BC*~1~＝，

在△*BFC*~1~ 中，,∴ ∠*C*~1~*BF*=

即异面直线*AD*与*BC*~1~所成角的大小为．

解法二：

（Ⅰ）同解法一![](./data/image/media/image2.emf)

![](./data/image/media/image132.emf)（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系![](./data/image/media/image2.emf)

连结

与(1)同理可证,,

∴为二面角的平面角.

由

得

∴

∴即

∴二面角的大小为

（Ⅲ）如图,由,

得

∴

∴

∵异面直线与所成角的大小为![](./data/image/media/image2.emf)

解法三：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）如图,建立空间直角坐标系,坐标原点为E.连结.

![](./data/image/media/image159.emf)与（Ⅰ）同理可证

∴为二面角的平面角![](./data/image/media/image2.emf)

由

得

∵

∴即

∴二面角的大小为![](./data/image/media/image2.emf)

（17）（共13分）

解：（I）*P*(ξ＝0)＝，*P*(ξ＝1)＝，*P*(ξ＝2)＝，

*P*(ξ＝3)＝，

ξ的概率分布如下表：

  ----- --- --- --- ---
  ξ     0   1   2   3
  *P*               
  ----- --- --- --- ---

*E*ξ＝, （或*E*ξ=3·=1.5）；

（II）乙至多击中目标2次的概率为1－=；

（III）设甲恰比乙多击中目标2次为事件*A*，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件*B*~1~，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件*B*~2~，则*A*＝*B*~1~＋*B*~2~，

*B*~1~，*B*~2~为互斥事件![](./data/image/media/image2.emf)

所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为![](./data/image/media/image2.emf)

（18）（共14分）

解：（I）W~1~={(*x*, *y*)\| k*x*\<*y*\<－k*x*, *x*\<0}，W~2~={(*x*, *y*)\| －k*x*\<*y*\<k*x*, *x*\>0}，

（II）直线*l*~1~：k*x*－*y*＝0，直线*l*~2~：k*x*＋*y*＝0，由题意得

, 即，

由*P*(*x*, *y*)∈W，知k^2^*x*^2^－*y*^2^\>0，

所以 ，即,

所以动点*P*的轨迹*C*的方程为；

（III）当直线与*x*轴垂直时，可设直线的方程为*x*＝*a*（*a*≠0）．由于直线，曲线*C*关于*x*轴对称，且~1~与~2~关于*x*轴对称，于是*M*~1~*M*~2~，*M*~3~*M*~4~的中点坐标都为（*a*，0），所以△*OM*~1~*M*~2~，△*OM*~3~*M*~4~的重心坐标都为（*a*，0），即它们的重心重合，

当直线~1~与*x*轴不垂直时，设直线的方程为*y*=*mx*+*n*（*n*≠0）![](./data/image/media/image2.emf)

由，得

由直线与曲线*C*有两个不同交点，可知k^2^－*m*^2^≠0且

△=\>0

设*M*~1~，*M*~2~的坐标分别为(*x*~1~, *y*~1~)，(*x*~2~, *y*~2~)，

则, ,

设*M*~3~，*M*~4~的坐标分别为(*x*~3~, *y*~3~)，(*x*~4~, *y*~4~)，

由得

从而，

所以*y*~3~+*y*~4~=*m*(*x*~3~+*x*~4~)+2*n*＝*m*(*x*~1~+*x*~2~)+2*n*＝*y*~1~+*y*~2~,

于是△*OM*~1~*M*~2~的重心与△*OM*~3~*M*~4~的重心也重合．

（19）（共12分）

解：（I）*a*~2~＝*a*~1~+=*a*+，*a*~3~=*a*~2~=*a*+；

（II）∵ *a*~4~=*a*~3~+=*a*+, 所以*a*~5~=*a*~4~=*a*+,

所以*b*~1~=*a*~1~－=*a*－, *b*~2~=*a*~3~－=(*a*－), *b*~3~=*a*~5~－=(*a*－),

猜想：{*b~n~*}是公比为的等比数列·

证明如下：

因为*b~n~*~+1~＝*a*~2*n*+1~－=*a*~2*n*~－=(*a*~2*n*－1~－)=*b~n~*, (*n*∈*N*\*)

所以{*b~n~*}是首项为*a*－, 公比为的等比数列![](./data/image/media/image2.emf)

（III）.

（20）（共14分）

（I）证明：设*x*\*为*f*(*x*) 的峰点，则由单峰函数定义可知，*f*(*x*)在\[0, *x*\*\]上单调递增，在\[*x*\*, 1\]上单调递减．

当*f*(*x*~1~)≥*f*(*x*~2~)时，假设*x*\*(0, *x*~2~)，则*x*~1~\<*x*~2~\<*x*\*，从而*f*(*x*\*)≥*f*(*x*~2~)\>*f*(*x*~1~)，

这与*f*(*x*~1~)≥*f*(*x*~2~)矛盾，所以*x*\*∈(0, *x*~2~)，即(0, *x*~2~)是含峰区间![](./data/image/media/image2.emf)

当*f*(*x*~1~)≤*f*(*x*~2~)时，假设*x*\*( *x*~2~, 1)，则*x*\*\<≤*x*~1~\<*x*~2~，从而*f*(*x*\*)≥*f*(*x*~1~)\>*f*(*x*~2~)，

这与*f*(*x*~1~)≤*f*(*x*~2~)矛盾，所以*x*\*∈(*x*~1~, 1)，即(*x*~1~, 1)是含峰区间![](./data/image/media/image2.emf)

（II）证明：由（*I*）的结论可知：

当*f*(*x*~1~)≥*f*(*x*~2~)时，含峰区间的长度为*l*~1~＝*x*~2~；

当*f*(*x*~1~)≤*f*(*x*~2~)时，含峰区间的长度为*l*~2~=1－*x*~1~；

对于上述两种情况，由题意得

①

由①得 1＋*x*~2~－*x*~1~≤1+2r，即*x*~1~－*x*~1~≤2r![](./data/image/media/image2.emf)

又因为*x*~2~－*x*~1~≥2r，所以*x*~2~－*x*~1~=2r, ②

将②代入①得

*x*~1~≤0.5－r, *x*~2~≥0.5－r， ③

由①和③解得 *x*~1~＝0.5－r， *x*~2~＝0.5＋r![](./data/image/media/image2.emf)

所以这时含峰区间的长度*l*~1~＝*l*~1~＝0.5＋r，即存在*x*~1~，*x*~2~使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r![](./data/image/media/image2.emf)

（III）解：对先选择的*x*~1~；*x*~2~，*x*~1~\<*x*~2~，由（*II*）可知

*x*~1~＋*x*~2~＝l， ④

在第一次确定的含峰区间为(0, *x*~2~)的情况下，*x*~3~的取值应满足

*x*~3~＋*x*~1~＝*x*~2~， ⑤

由④与⑤可得,

当*x*~1~\>*x*~3~时，含峰区间的长度为*x*~1~．

由条件*x*~1~－*x*~3~≥0.02，得*x*~1~－(1－2*x*~1~)≥0.02，从而*x*~1~≥0.34![](./data/image/media/image2.emf)

因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取*x*~1~＝0.34，*x*~2~＝0.66，*x*~3~=0.32![](./data/image/media/image2.emf)
