**2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）**

**数学（文科）试卷**

**一、选择题**

（1）设集合*M*=\|4，5，6，8\|，集合*N*=\|3，5，7，8\|，那么*M*∪*N*=

（A）\|3，4，5，6，7，8\| （B）\|5，8\|

（C）\|3，5，7，8\| （D）\|4，5，6，8\|

（2）函数*f*（*x*）=1+log~2~*x*与*g*（*x*）=2^-x+1^在同一直角坐标系下的图象大致是

![](./data/image/media/image1.png)

> （3）某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是

![](./data/image/media/image2.png)（A）150.2克 （B）149.8克

（C）149.4克 （D）147.8克

（4）如图，ABCD-*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~为正方体，下面结论错误的是

（A）*BD*∥平面*CB*~1~*D*~1~

（B）*AC*1⊥BD

（C）*AC*~1~⊥平面*CB*~1~*D*~1~

（D）异面直线*AD*与*CB*所成的角为60°

> （5）如果双曲线上一点*P*到双曲线右焦点的距离是2，那么点*P*到*y*轴的距离是

（A） （B）

（C） （D）

> ![](./data/image/media/image8.png)（6）设球*O*的半径是1，*A、B、C*是球面上三点，已知*A*到*B、C*两点的球面距离都是，且二面角*B-OA-C*的大小是，则从*A*点沿球面经*B、C*两点再回到*A*点的最短距离是

（A） （B）

（C） （D）

> （7）等差数列{*a~n~*}中，*a*~1~=1，*a*~3~+*a*~5~=14，其降*n*项和*S~n~*=100，则*n*=

（A）9 （B）10

（C）11 （D）12

> （8）设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA与OB在OC方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为

（A）4a-5b=3 （B）5a-4b=3

（C）4a+5b=14 （D）5a+4b=12

（9）用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有

（A）48个 （B）36个 （C）24个 （D）18个

（10）已知抛物线y-x^2^*+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则\|AB\|等于*

（A）3 （B）4 （C）3 （D）4

> （11）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为

（A）36万元 （B）31.2万元 （C）30.4万元 （D）24万元

> ![](./data/image/media/image18.png)（12）如图，l~1~、l~2~、l~3~是同一平面内的三条平行直线，l~1~与l~2~与l~3~同的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l~1~、l~2~、l~3~上，则△ABC的边长是

（A）2 （B）

（C） （D）

**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题横线上。**

![](./data/image/media/image23.png)（13）的展开式中的第5项为常数项，那么正整数a的值是 [ ]{.underline} 。

（14）如图，在正三棱柱*ABC*-*A~1~B~1~C~1~*中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC~1~与侧面*ACC~1~A~2~*所成的角是 [ ]{.underline} 。

（15）已知*⊙O*的方程是*z^2^+y^2^-2*=0， *⊙O′*的方程是*x^2^+y^2^=8x+10=0*。由动点*P*内*⊙O*和*⊙O′*所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是 [ ]{.underline} 。

（16）下面有五个命题：

①函数y=sin^2^x-cos^2^x，的最小正周期是π。

②终边在y轴上的角的集合是\|*a\|α*=，*k∈Z\|*。

③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点。

④把函数*y*=3sin（2*x*+）的图象向右平移得到*y*=3 sin2*x*的图象。

⑤角*θ*为第一象限角的充要条件是sin*θ*\>0。

其中，真命题的编号是 [ ]{.underline} （写出所有真命题的编号）。

**三、解答题：本大题共6小题。共74分，解答应写出文字说明。证明过程或运算步骤**

（17）（本小题满分12分）

厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家对一般产品致冷商家的，商家符合规定拾取一定数量的产品做检验，以决定是否验收这些产品。

（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.3，从中任意取出4种进行检验，求至少要1件是合格产品的概率。

（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，来进行检验，只有2件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家计算出不合格产品为1件和2件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率。

（18）（本小题满分12分）

已知cosα=，cos（α-β）＝，且0\<β\<α\<，

（Ⅰ）求tan2α的值；

（Ⅱ）求β。

（19）（本小题满分12分）

![](./data/image/media/image32.png)如图，平面PCBM⊥平面ABC，∠PCB=90°，PM∥BC，直线AM与直线PC所成的角为60°，又AC=1，BC=2PM=2，∠ACB=90°

（Ⅰ）求证：AC⊥BM；

（Ⅱ）求二面角M-AB-C的大小；

（Ⅲ）求多面体PMABC的体积。

（20）（本小题满分12分）

设函数*f*（*x*）=*ax*^3^+*bx*+*c*（*a*≠0）为奇函数，其图象在点（1，*f*（1））处的切线与直线*x*－6*y*－7=0垂直，导函数*f＇*（*x*）的最小值为－12。

（Ⅰ）求*a*，*b*，*c*的值；

（Ⅱ）求函数*f*（*x*）的单调递增区间，并求函数*f*（*x*）在〔－1，3〕上的最大值和最小值。

（21）（本小题满分12分）

求*F*~1~、*F*~2~分别是横线的左、右焦点。

（Ⅰ）若*r*是第一象限内该数轴上的一点，其*PF*＋*PF*＝－，求点*P*的作标；

（Ⅱ）设过定点*M*（0，2）的直线*l*与椭圆交于同的两点*A*、*B*，且∠*ADB*为锐角（其中*O*为作标原点），求直线l的斜率k的取值范围。

（22）（本小题满分14分）

已知函数*f*（*x*）=*x*^8^－4，设曲线*y*＝*f*（*x*）在点（*x~n~*，*f*（*x~n~*））处的切线与*x*轴的交点为（*F~n~*~+1~，*u*）（*u*，*N* ^+^），其中为正实数。

（Ⅰ）用*F~x~*表示*x~a~*+1；

（Ⅱ）若*a*~1~－4，记*a~n~*－lg，证明数列｛*a*~1~｝成等比数列，并求数列｛*x~a~*｝的通项公式；

（Ⅲ）若*x*~1~＝4，*b~n~*＝*x~a~*－2，*T~n~*是数列｛*b~a~*｝的前*n*项和，证明*T~a~*\<3。
