2004年普通高等学校招生全国统一考试

文 科 数 学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.

第I卷

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么

P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么

P（A·B）=P（A）·P（B）

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

P~n~(k)=CP^k^(1－P)^n－k^

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1．已知集合，则集合= （ ）

A．{} B．{}

C．{} D． {}

2．函数的反函数是 （ ）

A． B．

C． D．

3．曲线在点（1，－1）处的切线方程为 （ ）

A． B． C． D．

4．已知圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为 （ ）

A． B．

C． D．

5．已知函数的图象过点，则可以是 （ ）

A． B． C． D．

6．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为 （ ）

A．75° B．60° C．45° D．30°

7．函数的图象 （ ）

A．与的图象 关于轴对称 B．与的图象关于坐标原点对称

C．与的图象关于轴对称 D．与的图象关于坐标原点对称

8．已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是 （ ）

A． B． C． D．

9．已知向量***a***、***b***满足：\|***a***\|=1，\|***b***\|=2，\|***a***－***b***\|=2，则\|***a***+***b***\|= （ ）

A．1 B． C． D．

10．已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则

球心O到平面ABC的距离为 （ ）

A． B． C． D．

11．函数的最小正周期为 （ ）

A． B． C． D．2

12．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521

的数共有 （ ）

A．56个 B．57个 C．58个 D．60个

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13．已知*a*为实数，展开式中的系数是－15，则 [ ]{.underline} .

14．设满足约束条件：

则的最大值是 [ ]{.underline} .

15．设中心的原点的椭圆与双曲线=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 [ ]{.underline} .

16．下面是关于四棱柱的四个命题：

①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱

④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱

其中，真命题的编号是 [ ]{.underline} （写出所有正确结论的编号）.

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知等差数列{}，

（Ⅰ）求{}的通项公式；

（Ⅱ）令，求数列的前n项和S~n~.

18．（本小题满分12分）

已知锐角三角形ABC中，

（Ⅰ）求证；

（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高.

19．（本小题满分12分）

已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支.

求：（Ⅰ）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；

（Ⅱ）A组中至少有两支弱队的概率.

20．（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC---A~1~B~1~C~1~中，∠ACB=90°，AC=1，

CB=，侧棱AA~1~=1，侧面AA~1~B~1~B的两条对角线交点为D，

B~1~C~1~的中点为M.

（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；

（Ⅱ）求面B~1~BD与面CBD所成二面角的大小.

21．（本小题满分12分）

若函数在区间（1，4）内为减函数，在区间

（6，+∞）上为增函数，试求实数*a*的取值范围.

22．（本小题满分14分）

给定抛物线C：F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A、B两点.

（Ⅰ）设的斜率为1，求夹角的大小；

（Ⅱ）设，求在轴上截距的变化范围.

2004年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案

**一、选择题**

C A B C A C D B D B B C

**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上**.

13． 14．5 15． 16．②④

**三、解答题**

17．本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质，考查运算能力，满分12分.

解：（Ⅰ）设数列的公差为*d*，依题意得方程组

解得

所以的通项公式为

（Ⅱ）由所以是首项，公式的等比数列.

于是得的前n项和

18．本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力，

满分12分.

（Ⅰ）证明：

所以

（Ⅱ）解：，

即 ，将代入上式并整理得

> 解得，舍去负值得，
>
> 设AB边上的高为CD.
>
> 则AB=AD+DB=
>
> 由AB=3，得CD=2+. 所以AB边上的高等于2+.

19．本小题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概率的计算，运用

数学知识解决问题的能力，满分12分.

（Ⅰ）解法一：三支弱队在同一组的概率为

故有一组恰有两支弱队的概率为

解法二：有一组恰有两支弱队的概率

（Ⅱ）解法一：A组中至少有两支弱队的概率

解法二：A、B两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A组和B组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A组中至少有两支弱队的概率为

20．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.

满分12分.

解法一：（Ⅰ）如图，连结CA~1~、AC~1~、CM，则CA~1~=

∵CB=CA~1~=，∴△CBA~1~为等腰三角形，

又知D为其底边A~1~B的中点，

∴CD⊥A~1~B. ∵A~1~C~1~=1，C~1~B~1~=，∴A~1~B~1~=

又BB~1~=1，A~1~B=2. ∵△A~1~CB为直角三角形，D为A~1~B的中点，

∴CD=A~1~B=1，CD=CC~1~，又DM=AC~1~=，DM=C~1~M.

∴△CDM≌△CC~1~M，∠CDM=∠CC~1~M=90°，即CD⊥DM.

因为A~1~B、DM为平在BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.

（Ⅱ）设F、G分别为BC、BD的中点，连结B~1~G、FG、B~1~F，则FG//CD，FG=CD.

∴FG=，FG⊥BD.

由侧面矩形BB~1~A~1~A的对角线的交点为D知BD=B~1~D=A~1~B=1，

所以△BB~1~D是边长为1的正三角形.

于是B~1~G⊥BD，B~1~G= ∴∠B~1~GF是所求二面角的平面角，

又 B~1~F^2^=B~1~B^2^+BF^2^=1+（=，

∴

即所求二面角的大小为

解法二：如图，以C为原点建立坐标系.

（Ⅰ）B（，0，0），B~1~（，1，0），A~1~（0，1，1），

D（，M（，1，0），

则 ∴CD⊥A~1~B，CD⊥DM.

因为A~1~B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.

（Ⅱ）设BD中点为G，连结B~1~G，则

G（），、、），

所以所求的二面角等于

21．本小题主要考查导数的概念的计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运

用数学知识解决问题的能力.满分12分.

解：函数的导数 令，解得

为增函数.

依题意应有 当

所以 解得

所以*a*的取值范围是\[5，7\].

22．本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。满分14分。

> 解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线*l*的斜率为1，所以*l*的方程为
>
> 将代入方程，并整理得
>
> 设则有
>
> 所以夹角的大小为
>
> （Ⅱ）由题设 得
>
> 即
>
> 由②得， ∵ ∴③
>
> 联立①、③解得，依题意有
>
> ∴又F（1，0），得直线*l*方程为
>
> 当时，*l*在方程y轴上的截距为
>
> 由 可知在\[4，9\]上是递减的，
>
> ∴
>
> 直线*l*在y轴上截距的变化范围为
