**2000年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）**

**数学**

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至8页。共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号、考试科目、试卷类型（A或B）用铅笔涂写在答题卡上，同时将才生号条形码粘贴在答题卡"条形码粘贴处"。

2．每小题选出答案后，用铅笑把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：

三角函数的积化和差公式

正棱台、圆台的侧面积公式

其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长

台体的体积公式

其中、分别表示上、下底面积，表示高。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合，那么的真子集的个数是：

（A）15 （B）16 （C）3 （D）4

（2）在复平面内，把复数对应的向量按顺时钟方向旋转，所得向量对应的复数是：

（A）2 （B） （C） （D）3+

（3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，，，这个长方体对角线的长是：

（A）2 （B）3 （C）6 （D）

（4）已知＞，那么下列命题成立的是

（A）若、是第一象限角，则＞

（B）若、是第二象限角，则＞

（C）若、是第三象限角，则＞

（D）若、是第四象限角，则＞

（5）函数的部分图象是

![](./data/image/media/image26.jpeg)

（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：

  -------------------------- ------
  全月应纳税所得额           税率
  不超过500元的部分          5%
  超过500元至2000元的部分    10%
  超过2000元至5000元的部分   15%
  ...                        ...
  -------------------------- ------

某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于

（A）800\~900元 （B）900\~1200元 （C）1200\~1500元 （D）1500\~2800元

（7）若＞＞1，，则

（A）R＜P＜Q （B）P＜Q＜R （C）Q＜P＜R （D）P＜R＜Q

（8）以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是

（A） （B）

（C） （C）

（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是

（A） （B） （C） （D）

（10）过原点的直线与圆+++3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是

（A） （B） （C） （D）

（11）过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则+等于

（A） （B） （C） （D）

![](./data/image/media/image52.jpeg)（12）如图，是圆雏底面中心互母线的垂线，绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为

（A） （B） （C） （D）

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数学

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

注意事项：

1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚，并在试卷右上角填上座位号。

  ------ ---- ---- ------ ---- ---- ---- ---- --
  题号   二   三   总分                       
              17   18     19   20   21   22   
  分数                                        
  ------ ---- ---- ------ ---- ---- ---- ---- --

  ------ --------
  得分   评卷人
         
         
  ------ --------

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

（13）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 [ ]{.underline} 种（用数字作答）。

（14）椭圆的焦点、，点为其上的动点，当∠为钝角时,点横坐标的取值范围是 [ ]{.underline} 。

![](./data/image/media/image63.jpeg)（15）设是首项为1的正项数列，且（n+1）(n=1，2，3，...)，则它的通项公式是 [ ]{.underline} 。

（16）如图，E、F分别为正方体面ADD~1~A~1~、面BCC~1~B~1~的中心，则四边形BFD~1~E在该正方体的面上的射影可能是 [ ]{.underline} 。

（要求：把可能的图序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

![](./data/image/media/image67.jpeg)

  ------ --------
  得分   评卷人
         
         
  ------ --------

（17）（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）当函数取得最大值时，求自变量的集合；

（Ⅱ）该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

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  得分   评卷人
         
         
  ------ --------

（18）（本小题满分12分）

设为等比数例，，已知，。

（Ⅰ）求数列的首项和公式；

（Ⅱ）求数列的通项公式。

  ------ --------
  得分   评卷人
         
         
  ------ --------

（19）（本小题满分12分）

![](./data/image/media/image77.jpeg)如图，已知平行六面体ABCD---A~1~B~1~C~1~D~1~的底面ABCD上菱形，且∠C~1~CB=∠C~1~CD=∠BCD，

（Ⅰ）证明：C~1~C⊥BD；

（Ⅱ）当的值为多少时，能使A~1~C⊥平面C~1~BD？请给出证明。

  ------ --------
  得分   评卷人
         
         
  ------ --------

（20）（本小题满分12分）

设函数

，其中。

（Ⅰ）解不等式≤1；

（Ⅱ）证明：当≥1时，函数在区间\[0，+∞\]上是单调函数。

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  得分   评卷人
         
         
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（21）（本小题满分12分）

某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。

![](./data/image/media/image83.jpeg)

（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式；

写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式；

（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

（注：市场售价各种植成本的单位：元/10^2^㎏，时间单位：天）

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  得分   评卷人
         
         
  ------ --------

（22）（本小题满分14分）

如图，已知梯形ABCD中\|AB\|=2\|CD\|，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为伪点，当时，求双曲线离心率c的取值范围。![](./data/image/media/image89.jpeg)

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**数学试题参考解答及评分标准**

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不局，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空不给中间分。

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。

A型卷答案

（1）A （2）B （3）D （4）D （5）D （6）C （7）B （8）C （9）A

（10）C （11）C （12）D

B型卷答案

（1）C （2）B （3）D （4）D （5）D （6）A （7）B （8）A （9）C （10）A （11）A （12）D

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。

（13）252 （14） （15） （16）

三、解答题

（17）本小题主要考查三角函数的图象和性质、利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力。满分12分。

解：（1）

。 ............3分

取得最大值必须且只需

即

所以，使函数取得最大值的自变量的集合为

............6分

（Ⅱ）变换的步骤是：

（1）把函数的图象向左平移得到 ............9分

的图象；

（2）令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到

的图象；

经过这样的变换就得到函数的图象。 ............12分

（18）本小题主要考查等比数列的基础知识和基本技能，运算能力，满分12分。

（Ⅰ）解：设等比数列以比为，则

。 ............2分

∵，

∴。 ............4分

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，故,

因此，， ............6分

∴

。 ............12分

解法二：设。

由（Ⅰ）知。

∴ ............6分

∴

（19）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分。

![](./data/image/media/image114.png)（Ⅰ）证明：连结、和交于，连结。

∵四边形ABCD是菱形，

∴⊥，=。

又∵∠=∠，=，

∴，

∴B=D，

∵

∴， 3分

但，

∴平面。

又平面，

∴。 ............6分

（Ⅱ）当时，能使平面。

证明一：

∵，

∴，

又，

由此可推得。

∴三棱锥是正三棱锥。 ............9分

设与相交于。

∵，且：：1，

∴：=2：1。

又是正三角形的边上的高和中线，

∴点是正三角形的中心，

∴平面，

即平面。 ............12分

证明：

由（Ⅰ）知，平面，

∵平面，∴。 ............9分

当时，平行六面体的六个面是全等的菱形，

同的正法可得。

又，

∴平面。 ............12分

（20）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力，满分12分。

（Ⅰ）解：不等式即

，

由此得，即，其中常数。

所以，原不等式等价于

即

............3分

所以，当时，所给不等式的解集为；

当时，所给不等式的解集为。 ............6分

（Ⅱ）证明：在区间上任取使得

∵，

∴，

又，

∴，

即。

所以，当时，函数在区间上是单调递减函数。 ............12分

（21）本小题主要考查由函数图建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分。

解：（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为

由图二可得种植成本与时间的函数关系为

。 ............4分

（Ⅱ）设时刻的纯收益为，则由题意得

=，

即

= ............6分

当时，配方整理得

=。

所以，当时，取得区间\[0，200\]上的最大值100；

当时，配方整理得

=，

所以，当时，取得区间（200，300）上的最大值87.5 ............10分

综上，由可知，在区间\[0，300\]上可以取得最大值100，此时，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大。 ............12分

（22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分。

解：如图，以AB的垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则轴。

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称，............2分

依题意，记，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得

设双曲线的方程为，则离心率，由点C、E在双曲线上，将点C、E坐标和代入双曲线的方程，得

，

. ............7分

由式得，

将式代入式，整理得

，

故 ............10分

由题设得，。

解得，

所以，双曲线的离心率的取值范围为\[\]， ............14分
