**1985年试题**

(理工农医类)

**一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.**

(1)如果正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为a,那么四面体

A′ABD的体积是

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【 】

\[Key\] **一、本题考查基本概念和基本运算.**

(1)D;

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(A)必要条件 (B)充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要的条件

【 】

\[Key\] (2)A;

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(A)y=x2 (x∈R)

(B)y=│sinx│ (x∈R)

(C)y=cos2x (x∈R)

(D)y=esin2x (x∈R)

【 】

\[Key\] (3)B;

(4)极坐标方程ρ=asinθ(a\>0)的图象是

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【 】

\[Key\] (4)C;

(5)用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有

(A)96个 (B)78个

(C)72个 (D)64个

【 】

**\[Key\]** (5)B.

**二、只要求直接写出结果.**

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(2)设│a│≤1,求arccosa+arccos(-a)的值.

(3)求曲线y2=-16x+64的焦点.

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(5)设函数f(x)的定义域是\[0,1\],求函数f(x2)的定义域.

\[Key\] **二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.**

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(2)π;

(3)(0,0);

(4)64(或26);

(5)\[-1,1\](或{x│-1≤x≤1},或-1≤x≤1).

三、(1)解方程 log4(3-x)+log0.25(3+x)=log4(1-x)+log0.25(2x+1).

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\[Key\] **三、本题考查对数方程、无理不等式的解法和分析问题的能力.**

(1)**解法一:**由原对数方程得

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因为log0.25a=-log4a,上式变成

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由此得到

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解这个方程,得到

x1=0,x2=7.

检验:把x=0代入原方程,左右两边都等于0;故x=0是原方程的根.但当x=7时,由于3-x\<0,1-x\<0,它们的对数无意义;故x=7不是原方程的根,应舍去.

因此,原对数方程的根是x=0.

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对原方程变形,同解法一,得 x1=0, x2=7.

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2x+5\>x2+2x+1,

x2\<4,即-2\<x\<2.

但由条件x≥-1,因此-1≤x\<2也是原不等式的解.

综合(i),(ii),得出原不等式的解集是

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四、如图,设平面AC和BD相交于BC,它们所成的一个二面角为

45°,P为面AC内的一点,Q为面BD内的一点.已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,并且M在BC上.又设PQ与平面BD所成的角为β,∠CMQ=θ(0°\<θ\<90°)线段PM的长为a.求线段PQ的长.

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\[Key\] **四、本题考查三垂线定理、二面角、斜线与平面所成的角、解三角形、空间想象能力和综合运用知识的能力.**

**解法一:**自点P作平面BD的垂线,垂足为R,由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,所以R在MQ上,过R作BC的垂线,设垂足为N,则PN⊥BC.(三垂线定理)

因此∠PNR是所给二面角的平面角,所以∠PNR=45°.

由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,所以∠PQR=β.

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在Rt△PNR中,NR=PRctg45°,所以NR=PR.

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又已知0°\<θ\<90°,所以

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**解法二:**同解法一,得∠PQR=β.

设:∠PMR=α则在Rt△PMR中,MR=acosα,

PR=asinα,

在Rt△MNR中,NR=MRsinθ=acosα·sinθ.

又在Rt△PNR中,由于∠PNR=45°,所以PR=NR.

于是 asinα=acosα·sinθ,

tgα=sinθ,

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在△PMQ中,应用正弦定理得

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五、设O为复平面的原点,Z1和Z2为复平面内的两个动点,并且满足:

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(2)△OZ1Z2的面积为定值S.

求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值.

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\[Key\] **五、本题考查复数的概念、复数运算的几何意义、三角恒等式、不等式以及灵活运用知识的能力.**

**解法一:**设Z1、Z2和Z对应的复数分别为z1、z2和z,其中

z1=r1(cosθ+isinθ),

z2=r2(cosθ-isinθ).

由于Z是△OZ1Z2的重心,根据复数加法的几何意义,则有3z=z1+z2=(r1+r2)cosθ+(r1-r2)isinθ.

于是 │3z│2=(r1+r2)2cos2θ+(r1-r2)2sin2θ

=(r1-r2)2cos2θ+4r1r2cos2θ+(r1-r2)2sin2θ

=(r1-r2)2+4r1r2cos2θ.

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**解法二:**同解法一,得3z=(r1+r2)cosθ+(r1-r2)isinθ.

于是│3z│2=(r1+r2)2cos2θ+(r1-r2)2sin2θ.

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又已知△OZ1Z2的面积为S,且r1为三角形边长,r1\>0,以及sin2\>θ(因![](./data/image/media/image30.wmf)

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\[Key\] **六、本题考查直线方程、两点间的距离公式、参数方程以及轨迹方程的求法.**

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2.当a≠0时,直线PA与QB相交,设交点为M(x,y),由(2)式得

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将上述两式代入(1)式,得

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整理得 x2-y2+2x-2y+8=0, (\*)

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当a=-2或a=-1时,直线PA和QB仍然相交,并且交点坐标也满足(\*)式.

所以(\*)式即为所求动点的轨迹方程.

**解法二:**设直线PA和QB的交点为M(x,y).

当点M与点P及点Q都不重合时,直线PM的方程是

(x+2)(Y-2)=(y-2)(X+2),

直线QM的方程是

x(Y-2)=(y-2)X.

由方程组

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解得直线PM和直线*l*的交点A的坐标为

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由方程组

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解得直线QM和直线*l*的交点B的坐标为

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根据题意,线段AB两端点A,B的横坐标有如下关系:

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从而得 x2-y2+2x-2y+8=0,(\*)

即

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又因点M与点P或点Q重合时,M点的坐标也满足(\*)式.所以(\*)式即为所求动点M的轨迹方程.

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(1)证明不等式

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对所有的正整数n都成立.

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\[Key\] **七、本题考查数列和极限的基础知识,证明不等式的基本方法.**

(1)**证法一:**用数学归纳法.

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假设当n=k(k≥1)时不等式成立,即

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当n=k+1时,可得

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即

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也成立.

从而不等式对所有的正整数n都成立.

**证法二:**直接证明.

由于不等式

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对所有的正整数k成立,把它对k从1到n(n≥1)求和,得到

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又因

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以及

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因此不等式

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对所有的正整数n都成立.

(2)由(1)及bn的定义知

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于是

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八、设a,b是两个实数,

A={(x,y)│x=n,y=na+b,n是整数},

B={(x,y)│x=,m,y=3m2+15,m是整数},

C={(x,y)│x2+y2≤144}

是平面XOY内的点集合.讨论是否存在a和b使得

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(2)(a,b)∈C

同时成立.

**\[Key\] 八、本题考查集合的基本知识,不等式的证明以及分析问题的能力.**

**解法一:**如果实数a和b使得(1)成立,于是存在整数m和n使得

(n,na+b)=(m,3m2+15),

即

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由此得出,存在整数n使得

na+b=3n2+15,

或写成

na+b-(3n2+15)=0.

这个等式表明点P(a,b)在直线*l*:nx+y-(3n2+15)=0上,记从原点到直线*l*的距离为d,于是

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当且仅当

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时上式中等号才成立.由于n是整数,因此n2≠3,所以上式中等号不可能成立.即

d\>12.

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所以,不存在实数a和b使得(1),(2)同时成立.

**解法二:**如果实数a和b使得(1),(2)同时成立.同解法一,由于(1)成立,知存在整数n使得na+b=3n2+15,即

b=3n2+15-an. (\*)

由(2)成立,得

a2+b2≤144.

把(\*)式代入上式,得关于a的不等式

(1+n2)a2-2n(3n2+15)a+(3n2+15)2-144≤0.(\*\*)

它的判别式

Δ=4n2(3n2+15)2-4(1+n)2\[(3n2+15)2-144\]

=-36(n2-3)2.

但n是整数,n2-3≠0,因而Δ\<0.

又因1+n2\>0,故(\*\*)式不可能有实数解a,这就表明,不存在实数a和b使得(1)、(2)同时成立.

**解法三:**如果实数a和b使(1)、(2)同时成立.同解法一,由(1)成立知,必存在整数n使得

3n2-an-(b-15)=0.(\*)

于是,它的判别式非负,即

Δ=a2+12b-180≥0,(\*\*)

由(\*\*)得 12b-180≥-a2.

由(2)成立知 a2+b2≤144,(\*\*\*)

即 -a2≥b2-144.

因此,12b-180≥b2-144,

即 (b-6)2≤0,

由此得出b=6.

把b=6代入判别式(\*\*),得出a2≥108,但把b=6代入(\*\*\*),得出a2≤108,因而必有a2=108.

此时,从(\*)式可解出

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所以,不存在实数a和b使得(1),(2)同时成立.

**九、(附加题,不计入总分)**

已知曲线y=x3-6x2+11x-6.在它对应于x∈\[0,2\]的弧段上求一点P,使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小,并求出这个最小值.

**\[Key\] 九、(本题分数不计入总分)本题考查导数的几何意义,利用导数解决函数的最大值、最小值问题的能力.**

**解:**已知曲线方程是y=x3-6x2+11x-6,因此y′=3x2-12x+11.

在曲线上任取一点P(x0,y0),则点P处切线的斜率是

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点P处切线方程是

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设这切线与y轴的截距为r,则

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根据题意,要求r(它是以x0为自变量的函数)在区间\[0,2\]上的最小值.因为

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当0\<x0\<2时r′\>0,因此r是增函数,故r在区间\[0,2\]的左端点x0=0处取到最小值.即在点P(0,-6)处切线在y轴上的截距最小.

这个最小值是

r最小值=-6.
