**绝密★启用前**

**2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）**

**数学（理工农医类）**

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。全卷共150分。考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

注意事项：

1.  答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.  每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3.  考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则

A．（） B．（） C．（） D．（）

2.若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则

A．4 B．2 C．－2 D．－4

3.若的内角满足，则

A. B． C． D．

4．设，则的定义域为

A． B．

C． D．

5．在的展开式中，的幂的指数是整数的项共有

A．3项 B．4项 C．5项 D．6项

6．关于直线与平面，有以下四个命题：

①若且，则；

②若且，则；

③若且，则；

④若且，则；

其中真命题的序号是

A．①② B．③④ C．①④ D．②③

7．设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且，则点的轨迹方程是

A． B．

C． D．

8．有限集合中元素的个数记做，设都为有限集合，给出下列命题：

①的充要条件是；

②的充要条件是；

③的充要条件是；

④的充要条件是；

其中真命题的序号是

A．③④ B．①② C．①④ D．②③

9．已知平面区域D由以为顶点的三角形内部＆边界组成。若在区域D上有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则

A．－2 B．－1 C．1 D．4

10．关于的方程，给出下列四个命题：

①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；

其中假命题的个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

注意事项：

第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。

11．设为实数，且，则 [ ]{.underline} 。

12．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0．80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 [ ]{.underline} 。（精确到0．01）

13．已知直线与圆相切，则的值为 [ ]{.underline} 。

14．某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 [ ]{.underline} 。（用数字作答）

15．将杨辉三角中的每一个数都换成，就得到一个如右图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中 [ ]{.underline} 。令，则 [ ]{.underline} 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

设函数，其中向量，，，。

（Ⅰ）、求函数的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）、将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。

17．（本小题满分13分）

已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。

（Ⅰ）、求数列的通项公式；

（Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；

18．（本小题满分12分）

如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。

（Ⅰ）、试确定，使直线与平面所成角的正切值为；

（Ⅱ）、在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于，并证明尼的结论。

20．（本小题满分10分）

在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。

（Ⅰ）、试问此次参赛学生总数约为多少人？

（Ⅱ）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？

可共查阅的（部分）标准正态分布表

<table><tbody><tr class="odd"><td></td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td></tr><tr class="even"><td><p>1.2</p><p>1.3</p><p>1.4</p><p>1.9</p><p>2.0</p><p>2.1</p></td><td><p>0.8849</p><p>0.9032</p><p>0.9192</p><p>0.9713</p><p>0.9772</p><p>0.9821</p></td><td><p>0.8869</p><p>0.9049</p><p>0.9207</p><p>0.9719</p><p>0.9778</p><p>0.9826</p></td><td><p>0.888</p><p>0.9066</p><p>0.9222</p><p>0.9726</p><p>0.9783</p><p>0.9830</p></td><td><p>0.8907</p><p>0.9082</p><p>0.9236</p><p>0.9732</p><p>0.9788</p><p>0.9834</p></td><td><p>0.8925</p><p>0.9099</p><p>0.9251</p><p>0.9738</p><p>0.9793</p><p>0.9838</p></td><td><p>0.8944</p><p>0.9115</p><p>0.9265</p><p>0.9744</p><p>0.9798</p><p>0.9842</p></td><td><p>0.8962</p><p>0.9131</p><p>0.9278</p><p>0.9750</p><p>0.9803</p><p>0.9846</p></td><td><p>0.8980</p><p>0.9147</p><p>0.9292</p><p>0.9756</p><p>0.9808</p><p>0.9850</p></td><td><p>0.8997</p><p>0.9162</p><p>0.9306</p><p>0.9762</p><p>0.9812</p><p>0.9854</p></td><td><p>0.9015</p><p>0.9177</p><p>0.9319</p><p>0.9767</p><p>0.9817</p><p>0.9857</p></td></tr></tbody></table>

21．（本小题满分14分）

设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。

（Ⅰ）、求椭圆的方程；

（Ⅱ）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。

（此题不要求在答题卡上画图）

22．（本小题满分14分）

设是函数的一个极值点。

（Ⅰ）、求与的关系式（用表示），并求的单调区间；

（Ⅱ）、设，。若存在使得成立，求的取值范围。
