2004年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（必修+选修I）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.

第I卷（选择题 共60分）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么

P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么

P（A·B）=P（A）·P（B）

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

P~n~(k)=CP^k^(1－P)^n－k^

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（ ~U~ B）= （ ）

A．{2} B．{2，3} C．{3} D． {1，3}

2．已知函数 （ ）

A． B．－ C．2 D．－2

3．已知***a***+***b***均为单位向量，它们的夹角为60°，那么\|***a***+3***b***\|= （ ）

A． B． C． D．4

4．函数的反函数是 （ ）

A． B．

C． D．

5．的展开式中常数项是 （ ）

A．14 B．－14 C．42 D．－42

6．设若则= （ ）

A． B． C． D．4

7．椭圆的两个焦点为F~1~、F~2~，过F~1~作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交点

为P，则= （ ）

A． B． C． D．4

8．设抛物线的准线与轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则直线

的斜率的取值范围是 （ ）

A． B．\[－2，2\] C．\[－1，1\] D．\[－4，4\]

9．为了得到函数的图象，可以将函数的图象 （ ）

A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

10．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH

的表面积为T，则等于 （ ）

A． B． C． D．

11．从1，2，......，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是

（ ）

A． B． C． D．

12．已知的最小值为 （ ）

A．－ B．－ C．－－ D．+

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13．不等式*x*+*x*^3^≥0的解集是 [ ]{.underline} .

14．已知等比数列{则该数列的通项= [ ]{.underline} .

15．由动点P向圆*x*^2^+y^2^=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 [ ]{.underline} .

16．已知*a*、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则*a*、b在上的射影有可能是 [ ]{.underline} .

①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线

③同一条直线 ④一条直线及其外一点

在一面结论中，正确结论的编号是 [ ]{.underline} （写出所有正确结论的编号）.

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

等差数列{}的前n项和记为S~n~.已知

（Ⅰ）求通项；

（Ⅱ）若S~n~=242，求n.

18．（本小题满分12分）

求函数的最小正周期、最大值和最小值.

19．（本小题满分12分）

已知在**R**上是减函数，求的取值范围.

20．（本小题满分12分）

从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为，每位男同学能通过测验的概率均为.试求：

（I）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；

[（II）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率]{.smallcaps}.

21．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥 P---ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.

（I）求点P到平面ABCD的距离；

（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.

22．（本小题满分14分）

设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.

（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：

（II）设直线*l*与y轴的交点为P，且求*a*的值.

2004年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（必修+选修I）参考答案

**一、选择题**

DBCBABCCBACB

**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上**.

13．{*x*\|*x*≥0} 14．3·2^n－3^ 15． 16．①②④

**三、解答题**

17．本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力.满分12分.

解：（Ⅰ）由得方程组

......4分 解得 所以 ......7分

（Ⅱ）由得方程

......10分 解得.........12分

18．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函数的有关性质.满分12分.

解：

所以函数的最小正周期是，最大值是最小值是............12分

19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.

解：函数*f*(*x*)的导数：..................3分

（Ⅰ）当（）时，是减函数.

所以，当是减函数；..................9分

（II）当时，=

由函数在R上的单调性，可知

当时，）是减函数；

（Ⅲ）当时，在R上存在一个区间，其上有

所以，当时，函数不是减函数.

综上，所求的取值范围是（..................12分

20．本小题主要考查组合，概率等基本概念，独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识

解决实际问题的能力，满分12分.

解：（Ⅰ）随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为

1－；..................6分

（Ⅱ）甲、乙被选中且能通过测验的概率为

；..................12分

21．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.

（I）解：如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连结PE.

∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，

> ∵PA=PD，∴OA=OD，
>
> 于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.
>
> 由此知∠PEB为面PAD与面ABCD
>
> 所成二面角的平面角，..................4分
>
> ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°
>
> 由已知可求得PE=
>
> ∴PO=PE·sin60°=，
>
> 即点P到平面ABCD的距离为...................6分
>
> （II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，*x*轴平行于DA.
>
> .连结AG.
>
> 又知由此得到：
>
> 所以
>
> 等于所求二面角的平面角，............10分
>
> 于是
>
> 所以所求二面角的大小为.............12分

解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG//BC，

FG=BC.

> ∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，
>
> ∴∠AGF是所求二面角的平面角.......9分
>
> ∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.
>
> 又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.
>
> 在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=.
>
> 在Rt△PEG中，EG=AD=1. 于是tan∠GAE==，
>
> 又∠AGF=π－∠GAE. 所以所求二面角的大小为π－arctan.............12分

22．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分14分.

解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组

有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1－*a*^2^）*x*^2^+2*a*^2^*x*－2*a*^2^=0. ① ......2分

双曲线的离心率

（II）设

......8分

由于*x*~1~，*x*~2~都是方程①的根，且1－*a*^2^≠0，
