**2005年高考文科数学**![](./data/image/media/image1.emf)**北京卷**![](./data/image/media/image1.emf)**试题及答案**

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本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第1卷l至2页，第Ⅱ卷3至9页．共150分![](./data/image/media/image2.emf)考试时阃120分钟![](./data/image/media/image2.emf)考试结束，将本试卷和答题卡---并交回![](./data/image/media/image2.emf)

第1卷(选择题 共40分)

注意事项：

1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上![](./data/image/media/image2.emf)

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑![](./data/image/media/image2.emf)如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号![](./data/image/media/image2.emf)不能答在试卷上![](./data/image/media/image2.emf)

一、选择题：本大题共8小题![](./data/image/media/image2.emf)每小题5分![](./data/image/media/image2.emf)共40分![](./data/image/media/image2.emf)在每小题列出的四个选项中．选出符合题目要求的一项![](./data/image/media/image2.emf)

(1)设全集U=R，集合M={x∣x\>l}，P={x∣x^2^\>l}，则下列关系中正确的是

(A)M=P (B) (C) (D)

（2）为了得到函数的图象，只需把函数上所有点

（A）向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

（B）向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

（C）向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

（D）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

(3)""是"直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直"的

(A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件

(C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(4)若，．，且，则向量与的夹角为

(A)30^0^ (B)60^0^ (C)120^0^ (D)150^0^

(5)从原点向圆=0作两条切线，则该圆夹在两条切线问的劣弧长为

\(A\) (B)2

(C)4 (D)6

(6)对任意的锐角，，下列不等关系中正确的是

(A)sin(+)\>sin+sin (B)sin(+)\>cos+cos

(C)cos (+)\<sin+sin (D)cos (+)\<cos+cos

(7)在正四面体P---ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是

(A)BC∥平面PDF (B)DF平面PAE

(C)平面PDF平面ABC (D)平面PAE平面ABC

（8）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有

（*A*）种 （*B*）种 （*C*）种 （*D*）种

第Ⅱ卷(共110分)

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上![](./data/image/media/image2.emf)

2答卷前将密封线内的项目填写清楚![](./data/image/media/image2.emf)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分![](./data/image/media/image2.emf)把答案填在题中横线上![](./data/image/media/image2.emf)

(9)抛物线 的准线方程是 [ ]{.underline} ，焦点坐标是 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2.emf)

(10)的展开式中的常数项是 [ ]{.underline} (用数字作答)

（11）函数的定义域是 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2.emf)

（12）在，AB=则BC的长度是 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2.emf)

(13)对于函数定义域中任意的 ()，有如下结论：

①； ②；

③\>0； ④\<．

当时，上述结论中正确结论的序号是 [ ]{.underline}

(14)已知n次多项式=．

如果在一种算法中，计算(k=2，3，4，...，n)的值需要k-1次乘法，计算的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算的值共需要 [ ]{.underline} 次运算．

下面给出一种减少运算次数的算法： =![](./data/image/media/image2.emf)P~n+1~()=P~n~()+ (k=0, l，2，...，n-1)．利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要 [ ]{.underline} 次运算．

三、解答题：本大题共6小题![](./data/image/media/image2.emf)共80分![](./data/image/media/image2.emf)解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤![](./data/image/media/image2.emf)

(15)已知tan=2，

求（1）tan（）的值

（2）的值

(16)(本小题共14分)

![](./data/image/media/image54.emf) 如图, 在直三棱柱中， ，点为的中点![](./data/image/media/image2.emf)

(Ⅰ)求证;

(Ⅱ) 求证;

(Ⅲ)求异面直线与所成角的余弦值![](./data/image/media/image2.emf)

(17)(本小题共13分)

数列的前n项和为S,且n=1,2,3....求

（I）的值及数列的通项公式；

（II）的值.

(18)(本小题共13分)

甲、乙俩人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为.

(Ⅰ)记甲恰好击中目标2次的概率;

(Ⅱ)求乙至少击中目标2次的概率;

(Ⅲ)求乙恰好比甲多击中目标2次的概率;

（19）（本小题共14分）

已知函数．

(I)求的单调递减区间；

(Ⅱ)若在区间\[一2，2\]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.

（20）(本小题共14分)

如图,直线＞0)与直线之间的阴影区域(不含边界)记为,其左半部分记为,右半部分记为.

(Ⅰ)分别有不等式组表示和.

(Ⅱ)若区域中的动点到的距离之积等于,求点的轨迹的方程;

(Ⅲ)设不过原点的直线与(Ⅱ)中的曲线相交于两点,且与分别交于两点.求证△的重心与△的重心重合.

![](./data/image/media/image90.emf)

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**参考答案**

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1） *C* （2）*A* （3）*B* （4）*C* （5）*B* （6）*D* （7）*C* （8）*B*

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）x=－1；(1, 0) （10）－20 （11）\[－1, 2)∪(2, +∞)

（12） （13）②③ （14）65；20

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共12分）

解：（I）∵ tan=2, ∴ ;

所以

=；

（II）由(I), tan*α*=－, 所以==.

（16）（共14分）

（I）直三棱柱ABC－A~1~B~1~C~1~，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC~1~在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC~1~；

（II）设CB~1~与C~1~B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC~1~的中点，∴ DE//AC~1~，

∵ DE平面CDB~1~，AC~1~平面CDB~1~，∴ AC~1~//平面CDB~1~；

（III）∵ DE//AC~1~，∴ ∠CED为AC~1~与B~1~C所成的角，

![](./data/image/media/image102.emf)在△CED中，ED=AC ~1~=，CD=AB=，CE=CB~1~=2，

∴ ，

∴ 异面直线 *AC*~1~与 *B*~1~*C*所成角的余弦值.

解法二：

∵直三棱锥底面三边长，

两两垂直![](./data/image/media/image2.emf)

如图建立坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C~1~(0,0,4),B(0,4,0),B~1~(0,4,4),D(,2,0)

(Ⅰ),![](./data/image/media/image2.emf)

(Ⅱ)设与的交点为E，则E(0,2,2)

![](./data/image/media/image115.emf)

![](./data/image/media/image2.emf)

(Ⅲ)

　　∴异面直线与所成角的余弦值为![](./data/image/media/image2.emf)

（17）（共13分）

解：（I）由*a*~1~=1，，n=1，2，3，......，得

，，，

由（n≥2），得（n≥2），

又*a*~2~=，所以*a~n~*=(n≥2),

∴ 数列{*a~n~*}的通项公式为；

（II）由（I）可知是首项为，公比为项数为n的等比数列，∴ =.

（18）（共13分）

解：（I）甲恰好击中目标的2次的概率为

（II）乙至少击中目标2次的概率为；

（III）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件*A*，乙恰击中目标2次且甲恰击中目标0次为事件*B*~1~，乙恰击中目标3次且甲恰击中目标1次为事件*B*~2~，则*A*＝*B*~1~＋*B*~2~，*B*~1~，*B*~2~为互斥事件．

=.

所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为.

（19）（共14分）

解：（I） *f* '(*x*)＝－3*x*^2^＋6*x*＋9．令*f* '(*x*)\<0，解得*x*\<－1或*x*\>3，

所以函数*f*(*x*)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．

（II）因为*f*(－2)＝8＋12－18＋*a*=2＋*a*，*f*(2)＝－8＋12＋18＋*a*＝22＋*a*，

所以*f*(2)\>*f*(－2)．因为在（－1，3）上*f* '(*x*)\>0，所以*f*(*x*)在\[－1, 2\]上单调递增，又由于*f*(*x*)在\[－2，－1\]上单调递减，因此*f*(2)和*f*(－1)分别是*f*(*x*)在区间\[－2，2\]上的最大值和最小值，于是有 22＋*a*＝20，解得 *a*＝－2．

故*f*(*x*)=－*x*^3^＋3*x*^2^＋9*x*－2，因此*f*(－1)＝1＋3－9－2＝－7，

即函数*f*(*x*)在区间\[－2，2\]上的最小值为－7．

（20）（共14分）

解：（I）W~1~={(*x*, *y*)\| k*x*\<*y*\<－k*x*, *x*\<0}，W~2~={(*x*, *y*)\| －k*x*\<*y*\<k*x*, *x*\>0}，

（II）直线*l*~1~：k*x*－*y*＝0，直线*l*~2~：k*x*＋*y*＝0，由题意得

, 即，

由*P*(*x*, *y*)∈W，知k^2^*x*^2^－*y*^2^\>0，

所以 ，即,

所以动点*P*的轨迹*C*的方程为；

（III）当直线*l*与*x*轴垂直时，可设直线*l*的方程为*x*＝*a*（*a*≠0）．由于直线*l*，曲线*C*关于*x*轴对称，且*l*~1~与*l*~2~关于*x*轴对称，于是*M*~1~*M*~2~，*M*~3~*M*~4~的中点坐标都为（*a*，0），所以△*OM*~1~*M*~2~，△*OM*~3~*M*~4~的重心坐标都为（*a*，0），即它们的重心重合，

当直线*l*~1~与*x*轴不垂直时，设直线*l*的方程为*y*=*mx*+*n*（*n*≠0）．

由，得

由直线*l*与曲线*C*有两个不同交点，可知k^2^－*m*^2^≠0且

△=\>0

设*M*~1~，*M*~2~的坐标分别为(*x*~1~, *y*~1~)，(*x*~2~, *y*~2~)，

则, ,

设*M*~3~，*M*~4~的坐标分别为(*x*~3~, *y*~3~)，(*x*~4~, *y*~4~)，

由得

从而，

所以*y*~3~+*y*~4~=*m*(*x*~3~+*x*~4~)+2*n*＝*m*(*x*~1~+*x*~2~)+2*n*＝*y*~1~+*y*~2~,

于是△*OM*~1~*M*~2~的重心与△*OM*~3~*M*~4~的重心也重合．
