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2003年普通高等学校春季招生考试

数 学（文史类）（北京卷）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.

参考公式：

三角函数的积化和差公式

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1．设，且下列结论中正确的是 （ ）

A． B． C． D．

2．设M和m分别表示函数的最大值和最小值，则M+m等于 （ ）

A． B． C． D．－2

3．若，则方程的根是 （ ）

A．－2 B．2 C．－ D．

4．若集合 （ ）

A． B． C． D．

5．若A，B，C是△ABC的三个内角，且，则下列结论中正确的是（ ）

A． B． C． D．

6．在等差数列中，已知，那么等于 （ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

7．设复数 （ ）

A．－ B． C． D．

8．函数的递增区间依次是 （ ）

A． B． C． D

9．在同一坐标系中，方程的曲线大致是 （ ）

10．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两

个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 （ ）

A．6 B．12 C．15 D．30

11．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，

G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC

沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度

数为 （ ）

A．90° B．60°

C．45° D．0°

12．已知直线相切，

则三条边长分别为\|*a*\|，\|b\|，\|c\|的三角形 （ ）

A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在

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2003年普通高等学校春季招生考试

数 学（文史类）（北京卷）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项：

1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.

  ------- ---- ---- ------- ---- ---- ---- ---- --
  题 号   二   三   总 分                       
               17   18      19   20   21   22   
  分 数                                         
  ------- ---- ---- ------- ---- ---- ---- ---- --

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中

横线上.

13．函数的最小正周期为 [ ]{.underline} .

14．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有

适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水

面高度恰好升高r，则 [ ]{.underline} .

15．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察

表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ [ ]{.underline} ）内.

  ----------------------- --------------------------------------------------
  年龄（岁）              30 35 40 45 50 55 60 65
  收缩压（水银柱 毫米）   110 115 120 125 130 135 （ [ ]{.underline} ）145
  舒张压（水银柱 毫米）   70 73 75 78 80 83 （ [ ]{.underline} ）88
  ----------------------- --------------------------------------------------

16．如图，F~1~，F~2~分别为椭圆的左、右焦点，

点P在椭圆上，△POF~2~是面积为的正三角形，则

b^2^的值是 [ ]{.underline} .

三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

解不等式：

18．（本小题满分12分）

已知函数的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.

19．（本小题满分12分）

如图，ABCD---A~1~B~1~C~1~D~1~是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点.

（Ⅰ）求三棱锥D~1~---DBC的体积.；

（Ⅱ）证明BD~1~∥平面C~1~DE；

（Ⅲ）求面C~1~DE与面CDE所成二面角的正切值.

20．（本小题满分12分）

设为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值，求P点的轨迹.

21．（本小题满分13分）

某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费200元.

（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？

22．（本小题满分13分）

如图，在边长为*l*的等边△ABC中，圆O~1~为△ABC的内切圆，圆O~2~与圆O~1~外切，且与AB，BC相切，...，圆O~n+1~与圆O~n~外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去. 记圆O~n~的面积为.

（Ⅰ）证明是等比数列；

（Ⅱ）求的值.

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2003年普通高等学校春季招生考试

数学试题（文史类）（北京卷）参考答案

一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.

1.A 2.D 3.D 4.C 5.C 6.A 7.B 8.C 9.A 10.D 11.B 12.B

二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.

13．π 14． 15．（[140]{.underline}）（[85]{.underline}） 16． .

三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满分12

分.

解：原不等式

.

故原不等式的解集是.

18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 满分12分.

解：由.

所以的定义域为

因为的定义域关于原点对称，且

是偶函数.

又当

，

所以的值域为

19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分12分.

（Ⅰ）解：.

（Ⅱ）证明：记D~1~C与DC~1~的交点为O，连结OE.

∵O是CD~1~的中点，E是BC的中点，

∴EO∥BD~1~.

∵BD~1~平面C~1~DE，EO平面C~1~DE，

∴BD~1~∥平面C~1~DE.

（Ⅲ）解：过C作CH⊥DE于H，连结C~1~H.

在正四棱柱ABCD---A~1~B~1~C~1~D~1~中，

C~1~C⊥平面ABCD，

∴∠C~1~H⊥DE， ∴∠C~1~HC是面C~1~DE与面CDE所成二面角的平面角.

∵DC=2，CC~1~=1，CE=1， ∴，

∴ 即面C~1~DE与面CDE所成二面角的正切值为

20．本小题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力.

满分12分.

解：设动点P的坐标为（*x*，y）. 由.

化简得

当，整理得.

当*a*=1时，化简得*x*=0.

所以当时，P点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；

当*a*=1时，P点的轨迹为*y*轴.

21．本小题主要考查二次函数的基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分13分.

解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，

所以这时租出了88辆车.

（Ⅱ）设每辆车的月租金定为*x*元，则租赁公司的月收益为

，

整理得.

所以，当*x*=4100时，最大，最大值为，

即当每辆车的月租金定为4100元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为304200元.

22．本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分13分.

（Ⅰ）证明：记r~n~为圆O~n~的半径，

则

所以

故成等比数列.

（Ⅱ）解：因为

所以
