2004年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理工类）（湖北卷）

> 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．与直线的平行的抛物线的切线方程是 （ ）

A． B．

C． D．

2．复数的值是 （ ）

A．－16 B．16 C． D．

3．已知的解析式可取为 （ ）

A． B． C． D．

4．已知为非零的平面向量. 甲： （ ）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

> 5．若，则下列不等式①；②③；④中，正确的不等式有 （ ）
>
> A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
>
> 6．已知椭圆的左、右焦点分别为F~1~、F~2~，点P在椭圆上，若P、F~1~、F~2~是一个直角三角形的三个顶点，则点P到*x*轴的距离为 （ ）
>
> A． B．3 C． D．
>
> 7．函数上的最大值和最小值之和为*a*，则*a*的值为（ ）
>
> A． B． C．2 D．4
>
> 8．已知数列{}的前*n*项和其中*a*、b是非零常数，则存在数列{}、{}使得 （ ）
>
> A．为等差数列，{}为等比数列
>
> B．和{}都为等差数列
>
> C．为等差数列，{}都为等比数列
>
> D．和{}都为等比数列
>
> 9．函数有极值的充要条件是 （ ）
>
> A． B． C． D．
>
> 10．设集合对任意实数*x*恒成立}，则下列关系中成立的是 （ ）
>
> A．P Q B．Q P C．P=Q D．PQ=
>
> 11．已知平面所成的二面角为80°，P为、外一定点，过点P的一条直线与、所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有 （ ）
>
> A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
>
> 12．设是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：

  --- ---- ------ ------ ----- ------ ------ ------ ----- ------
  t   0    3      6      9     12     15     18     21    24
  y   12   15.1   12.1   9.1   11.9   14.9   11.9   8.9   12.1
  --- ---- ------ ------ ----- ------ ------ ------ ----- ------

> 经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 （ ）
>
> A． B．
>
> C． D．
>
> 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
>
> 13．设随机变量的概率分布为 [ ]{.underline} .
>
> 14．将标号为1，2，...，10的10个球放入标号为1，2，...，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 [ ]{.underline}
>
> 种.（以数字作答）
>
> 15．设A、B为两个集合，下列四个命题：
>
> zz ①A B对任意 ②A B
>
> ③A BAB ④A B存在
>
> 其中真命题的序号是 [ ]{.underline} .（把符合要求的命题序号都填上）
>
> 16．某日中午12时整，甲船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距间对时间的变化率是 [ ]{.underline} km/h.
>
> 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
>
> 17．（本小题满分12分）
>
> 已知的值.
>
> 18．（本小题满分12分）
>
> 如图，在棱长为1的正方体ABCD---A~1~B~1~C~1~D~1~中，点E是棱BC的中点，点F是棱
>
> CD上的动点.
>
> （I）试确定点F的位置，使得D~1~E⊥平面AB~1~F；
>
> （II）当D­~1~E⊥平面AB~1~F时，求二面角C~1~---EF---A的大小（结果用反三角函数值表示）.
>
> 19．（本小题满分12分）
>
> 如图，在Rt△ABC中，已知BC=*a*，若长为2*a*的线段PQ以点A为中点，问
>
> 的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.
>
> 20．（本小题满分12分）
>
> 直线的右支交于不同的两点A、B.
>
> （I）求实数k的取值范围；
>
> （II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
>
> 21．（本小题满分12分）
>
> 某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成
>
> 400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施
>
> 所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9
>
> 和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防
>
> 方案使总费用最少.
>
> （总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）
>
> 22．（本小题满分14分）
>
> 已知
>
> （I）已知数列极限存在且大于零，求（将A用*a*表示）；
>
> （II）设
>
> （III）若都成立，求*a*的取值范围.
>
> 参考答案

一、选择题

1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．D 7．B 8．C 9．B

10．A 11．D 12．A

二、填空题

13．4 14．240 15．（4） 16．－1.6

三、解答题

> 17．本小题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能，满分12分.

解法一：由已知得：

由已知条件可知

解法二：由已知条件可知

> 18．本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，满分12分.
>
> 解法一：（I）连结A~1~B，则A~1~B是D~1~E在面ABB~1~A；内的射影
>
> ∵AB~1~⊥A~1~B，∴D~1~E⊥AB~1~，
>
> 于是D~1~E⊥平面AB~1~FD~1~E⊥AF.
>
> 连结DE，则DE是D~1~E在底面ABCD内的射影.
>
> ∴D~1~E⊥AFDE⊥AF.
>
> ∵ABCD是正方形，E是BC的中点.
>
> ∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
>
> 即当点F是CD的中点时，D~1~E⊥平面AB~1~F.............6分
>
> （II）当D~1~E⊥平面AB~1~F时，由（I）知点F是CD的中点.
>
> 又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD. 连结AC，
>
> 设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连结C~1~H，则CH是
>
> C~1~H在底面ABCD内的射影.
>
> C~1~H⊥EF，即∠C~1~HC是二面角C~1~---EF---C的平面角.
>
> 在Rt△C~1~CH中，∵C~1~C=1，CH=AC=，
>
> ∴tan∠C~1~HC=.
>
> ∴∠C~1~HC=arctan，从而∠AHC~1~=.
>
> 故二面角C~1~---EF---A的大小为.
>
> 解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
>
> （1）设DF=*x*，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），
>
> A~1~（0，0，1），B（1，0，1），D~1~（0，1，1），E，F（*x*，1，0）
>
> （1）当D~1~E⊥平面AB~1~F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD. 连结AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF. 连结C~1~H，则CH是C~1~H在底面ABCD内的射影.
>
> ∴C~1~H⊥EF，即∠AHC~1~是二面角C~1~---EF---A的平面角.

19．本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分12分.

> 解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.
>
> 20．本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，满分12分.

解：（Ⅰ）将直线

......①

依题意，直线*l*与双曲线C的右支交于不同两点，故

（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得

......②

假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）.

则由FA⊥FB得：

整理得

......③

把②式及代入③式化简得

解得

可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.

> 21．本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，满分12分.
>
> 解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）；
>
> ②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为
>
> 1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）
>
> ③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；
>
> ④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.
>
> 综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.
>
> 22．本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.

解：（I）由

（II）

（III）

（i）当n=1时结论成立（已验证）.

（ii）假设当

故只须证明

即n=k+1时结论成立.

根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立.

故
