**1987年试题**

(理工农医类)

**一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.**

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(A)X (B)T (C)φ (D)S

【 】

\[Key\] **一、本题考查基本概念和基本运算.**

(1)D

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![](./data/image/media/image3.wmf)

【 】

\[Key\] (2)C

(3)设a,b是满足ab\<0的实数,那么

(A)│a+b│\>│a-b│ (B)│a+b│\<│a-b│

(C)│a-b│\<││a│-│b│ (D)│a-b│\<│a│+│b│

【 】

\[Key\] (3)B

(4)已知E,F,G,H为空间中的四个点,设

命题甲:点E,F,G,H不共面.

命题乙:直线EF和GH不相交.

那么

(A)甲是乙的充分条件,但不是必要条件.

(B)甲是乙的必要条件,但不是充分条件.

(C)甲是乙的充要条件.

(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件.

【 】

\[Key\] (4)A

(5)在区间(-∞,0)上为增函数的是

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【 】

\[Key\] (5)B

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![](./data/image/media/image6.wmf)

【 】

![](./data/image/media/image7.wmf)

\[Key\] (6)D

(7)极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是

(A)直线 (B)圆

(C)双曲线 (D)抛物线

【 】

\[Key\] (7)B

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【 】

**\[Key\]** (8)A

**二、只要求写出结果.**

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![](./data/image/media/image11.wmf)

(3)若(1+x)n的展开式中,x3的系数等于x的系数的7倍,求n.

![](./data/image/media/image12.wmf)

(5)在抛物线y=4x2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离为最短.

(6)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数.求这种五位数的个数.

(7)一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm,而侧面积等于两底面积之差,求斜高.

**\[Key\] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需写出结果.**

![](./data/image/media/image13.wmf)

**三**、求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

**\[Key\] 三、本题考查三角的恒等变形知识和运算能力.**

**解法一:**sin10°sin50°sin70°

![](./data/image/media/image14.wmf)

![](./data/image/media/image15.wmf)

∴sin10°sin30°sin50°sin70°

![](./data/image/media/image16.wmf)

**解法二:**

∵sin10°sin50°sin70°

![](./data/image/media/image17.wmf)

![](./data/image/media/image18.wmf)

![](./data/image/media/image19.wmf)

![](./data/image/media/image20.wmf)

![](./data/image/media/image21.wmf)

![](./data/image/media/image22.wmf),

![](./data/image/media/image23.wmf).

**解法三:**

sin10°sin30°sin50°sin70°

=![](./data/image/media/image24.wmf)![](./data/image/media/image25.wmf)

=![](./data/image/media/image26.wmf)![](./data/image/media/image27.wmf)

![](./data/image/media/image28.wmf)

**四**、如图,三棱锥PABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=L,PA,BC的公垂线ED=h.

![](./data/image/media/image29.wmf)

![](./data/image/media/image30.wmf)

**\[Key\] 四、本题考查直线和平面的位置关系、体积计算等知识和推理能力.**

**证明:**连结AD和PD.

∵BC⊥PA，BC⊥ED，PA与ED相交，

∴BC⊥平面PAD,

![](./data/image/media/image31.wmf)

三棱锥BPAD体积

![](./data/image/media/image32.wmf)

同理,三棱锥CPAD的体积

![](./data/image/media/image33.wmf)

∴ 三棱锥PABC体积

∵ V=V1+V2,

![](./data/image/media/image34.wmf)

若E,D不是分别在线段AP,BC上,结论仍成立.

![](./data/image/media/image35.wmf)

**五**、设对所有实数x,不等式

![](./data/image/media/image36.wmf)

恒成立,求a的取值范围.

**\[Key\] 五、本题考查对数、不等式等知识和运算能力.**

**解:**由题意得

![](./data/image/media/image37.wmf)

![](./data/image/media/image38.wmf)

化简为 z(6-z)\<0,

解得 z\>6,或z\<0. ④

①式变形为log28-z\>0,

∴ z\<3, ⑤

综合④,⑤得 z\<0,

![](./data/image/media/image39.wmf)

解①，⑥得a的取值范围： 0\<a\<1.

**六**、设复数z1和z2满足关系式

![](./data/image/media/image40.wmf)

其中A为不等于0的复数.证明:

(1)│z1+A││z2+A│=│A│2;

![](./data/image/media/image41.wmf)

**\[Key\] 六、本题考查复数知识和运算以及推理能力.**

**解法一:**(1)由已知的关系式得

![](./data/image/media/image42.wmf)

∵│z1+A││z2+A│

![](./data/image/media/image43.wmf)

由①证得

│z1+A││z2+A│=││A│2│=│A│2. ②

(2)∵ A≠0,由①得

z1+A≠0,![](./data/image/media/image44.wmf)

![](./data/image/media/image45.wmf)

由此得

![](./data/image/media/image46.wmf)

由②得

![](./data/image/media/image47.wmf)

**解法二**:(1)由题设

![](./data/image/media/image48.wmf)

![](./data/image/media/image49.wmf)

![](./data/image/media/image50.wmf)

![](./data/image/media/image51.wmf)

![](./data/image/media/image52.wmf)

![](./data/image/media/image53.wmf)

所以证得 ![](./data/image/media/image54.wmf)

\(2\)

![](./data/image/media/image55.wmf)![](./data/image/media/image56.wmf)

![](./data/image/media/image57.wmf)

以(1)中的结果代入得

![](./data/image/media/image58.wmf)

**解法三**:(1)由已知的关系式得

![](./data/image/media/image59.wmf)

令 z1+A=r(cosα+isinα),z2+A=s(cosβ+isinβ),

由于A≠0,我们有r≠0,s≠0.

![](./data/image/media/image60.wmf)

由①得

rs\[cos(α-β)+isin(α-β)\]=│A│2,

于是

rscos(α-β)=│A│2,sin(α-β)=0,

∴ cos(α-β)=1,

rs=│A│2,

而 │z1+A││z2+A│=rs,

所以证得 │z1+A││z2+A│=│A│2.

![](./data/image/media/image61.wmf)

![](./data/image/media/image62.wmf)

解法四:(1)│z1+A││z2+A│

![](./data/image/media/image63.wmf)

![](./data/image/media/image64.wmf)

![](./data/image/media/image65.wmf)

![](./data/image/media/image66.wmf)

![](./data/image/media/image67.wmf)

=│A│2.

(2)由A≠0和(1)的结论知z2+A≠0.

![](./data/image/media/image68.wmf)

![](./data/image/media/image69.wmf)

![](./data/image/media/image70.wmf)

利用(1)的结果

![](./data/image/media/image58.wmf)

**七**、设数列a1,a2,...,an,...的前n项的和Sn与an的关系是

![](./data/image/media/image71.wmf)

其中是b与n无关的常数,且b≠-1.

(1)求an和an-1的关系式;

(2)写出用n和b表示an的表达式;

![](./data/image/media/image72.wmf)

**\[Key\] 七、本题考查数列、极限等知识和运算以及推理能力.**

**解法一**:(1)an=Sn-Sn-1

![](./data/image/media/image73.wmf)

由此解得

![](./data/image/media/image74.wmf)

![](./data/image/media/image75.wmf)

![](./data/image/media/image76.wmf)

![](./data/image/media/image77.wmf)

![](./data/image/media/image78.wmf)

由此推得

![](./data/image/media/image79.wmf)

把②代入③得

![](./data/image/media/image80.wmf)

![](./data/image/media/image81.wmf)

![](./data/image/media/image82.wmf)

∵0\<b\<1时

![](./data/image/media/image83.wmf)

所以当0\<b\<1时

![](./data/image/media/image84.wmf)

**解法二:**(1)同解法一，

![](./data/image/media/image85.wmf)

(2)同解法一得,

![](./data/image/media/image86.wmf)

由①得

![](./data/image/media/image87.wmf)

我们来证明

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由②知n=1时③式成立.

设 n=K时③式成立,则由递推公式①有

![](./data/image/media/image89.wmf)

即当n=K+1时③式也成立.由归纳原理,对任意自然数n,③式成立.

以下同解法一.

(3)同解法一.

**八**、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动,记线段AB的中点为M.求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.

**\[Key\] 八、本题考查距离公式、中点坐标等解析几何知识、最小值知识及分析问题的能力.**

**解法一:**设A(x1,y1),B(x2,y2),AB长度为3,那么

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32=(x2-x1)2+(y2-y1)2

![](./data/image/media/image91.wmf)

=(y2-y1)2·\[(y2+y1)2+1\]. ②

线段AB的中点M(x,y)到y轴的距离为

![](./data/image/media/image92.wmf)

![](./data/image/media/image93.wmf)

由②得

![](./data/image/media/image94.wmf)

并且当

(y1-y2)2=(y1+y2)2+1=3 ③

![](./data/image/media/image95.wmf)

下面证明x能达到最小值,根据题意不防设y1\>y2,由③得

![](./data/image/media/image96.wmf)

![](./data/image/media/image97.wmf)

**解法二:**设A(x1,y1)和B(x2,y2),那么

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32=(x2-x1)2+(y2-y1)2. ②

AB中点M(x,y)到y轴的距离

![](./data/image/media/image99.wmf)

由②得

![](./data/image/media/image100.wmf)

整理得

4(y1y2)2+2y1y2+32-4x2-2x=0, ④

因y1y2为实数,故

△=4-4×4(32-4x2-2x)≥0,

由此得

16x2+8x+1≥4×32,

(4x+1)2≥4×32,

因为x≥0,所以

4x+1≥6,

![](./data/image/media/image101.wmf)

![](./data/image/media/image102.wmf)

![](./data/image/media/image103.wmf)

由⑥,⑦可解得y1,y2,由①即得相应x1,x2,故AB中点M距y轴最短距离为

![](./data/image/media/image104.wmf)

且相应中点坐标为

![](./data/image/media/image105.wmf)

**解法三:**同解法二得④,由此得

![](./data/image/media/image106.wmf)

![](./data/image/media/image107.wmf)

![](./data/image/media/image108.wmf)

以下同解法二.

**九、(附加题,不计入总分)**

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(2)设y=xln(1+x2),求y′.

**\[Key\] 九、本题考查极限和导数运算.**

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