**2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II）**

**数学（理科）试卷**

**参考答案**

一、选择题

1．D

2．C

3．C

4．C

5．A

6．C

7．A

8．A

9．C

10．B

11．B

12．B

**二、填空题**

13．－42

14．0.8

15．2+4

16．

**三、解答题：**

17．解：（1）△ABC的内角和A+B+C=π，由A=，B\>0，C\>0，得0\<B\<，

应用正弦定理，知

AC=

AB=

因为*y*=AB+BC+AC

所以*y*=4sin*x*+

（II）因为*y*=

=

所以，当，即时，*y*取得最大值。

18．解：

（I）记A~0~表示事件"取出的2件产品中无二等品"；

A~1~表示事件"取出的2件产品中只有1件二等品"；

则A~0~、A~1~互斥，则A=A~0~+ A~1~，故

P（A）=P（A~0~+ A~1~）

=P（A~0~）+P（A~1~）

=（1－p）^2^+

=1－p^2^

于是，0.96=1－p^2^

解得 p~1~=0.2，p~2~=－0.2（舍去）

（II）ξ的可能取值为0，1，2

若该批产品共100件，由（I）知其二等品有100×0.2=20件，故

P（ξ=0）=

P（ξ=1）=

P（ξ=2）=

所以ξ的分布列为

  --- --- --- ---
  ξ   0   1   2
  P           
  --- --- --- ---

19．**解法一：**

（I）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点，

连结AG，FG![](./data/image/media/image20.png)CD，又CD![](./data/image/media/image20.png)AB，

故FG![](./data/image/media/image20.png)AE，AEFG为平行四边形。

EF∥AG，又AG平面SAD，EF![](./data/image/media/image23.png)平面SAD，所以EF∥平面SAD。

（II）不妨设DC=2，则SD=4，DG=2，ΔADG为等腰直角三角形，

取AG中点H，连结DH，则DH⊥AG。

又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB∩AG=A。![](./data/image/media/image24.png)

所以DH⊥平面AEF，

取EF中点M，连结MH，则HM⊥EF

连结DM，则DM⊥EF

故∠DMH为二面角A---EF---D的平面角，

tan∠DMH=

所以，二面角A---EF---D的大小为arctan

**解法二：**

（I）如图，建立空间直角坐标系D---*xy*z，设A（*a*，0，0），S（0，0，*b*），则

B（*a*，*a*，0），C（0，*a*，0），E（*a*，，0），F（0，，），

，

取SD的中点G（0，0，），则

，

，EF∥AG， AG平面SAD，EF![](./data/image/media/image23.png)平面SAD

所以EF∥平面SAD

（II）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），E（1，，0），F（0，，1）。

EF中点M（，，），=（－，－，－），=（－1，0，1），·=0，MD⊥EF，

又=（0，－，0），·=0，EA⊥EF。

所以向量和的夹角等于二面角A---EF---D的平面角。

=

所以二面角A---EF---D的大小为arccos。

20．解：

（I）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，

即

得圆O的方程为*x*^2^+*y*^2^=4

（II）不妨设A（*x*~1~，0），B（*x*~2~，0），*x*~1~\< *x*~2~。由*x*^2^=4即得A（－2，0），B（2，0）

设P（*x*，*y*），由\|PA\|、\|PO\|、\|PB\|成等比数列，得

即*x*^2^－*y*^2^=2

= *x*^2^－4+*y*^2^

=2（*y*^2^－1）

由于点P在圆O内，故

由此得*y*^2^\<1

所以的取值范围为\[－2，0）。

21．解：（I）由

整理得1－*a*~n~=－（1－*a*~n－1~）

又1－ *a*~1~≠0，所以{1－ *a*~n~ }是首项为1－ *a*~1~，公比为－的等比数列，得

*a*~n~ =

（II）方法一：

由（I）可知0\< *a*~n~ \<，故*b*~n~\>0

那么，

又由（I）知\>0，且*a*~n~≠1，故\>0，

因此*b*~n~\<*b*~n+1~，n为正整数。

方法二：

由（I）可知0\< *a*~n~ \<，*a*~n~≠1

因为，

所以

由*a*~n~≠1可得\<

即\<

两边开平方得

\<

即*b*~n~\<*b*~n+1~，n为正整数。

22．解：

（I）求函数*f*（*x*）的导数，*f*′（*x*）=3*x*^2^－1。

曲线*y*= *f*（*x*）在点M（*t*，*f*（*t*））处的切线方程为：

*y*－ *f*（*t*）= *f*′（*t*）（*x*－*t*）

即*y*=（3*t*^2^－1）*a*－2*t*^3^。

于是，若过点（*a*，*b*）可作曲线*y*= *f*（*x*）的三条切线，则方程

2*t*^3^－3*at*^2^+*a*+*b*=0

有三个相异的实数根。

记*g*（*t*）=2*t*^3^－3*at*^2^+*a*+*b*

则*g*′（*t*）=6*t*^2^－6*at*

=6*t*（*t*－*a*）

当*t*变化时，*g*（*t*）、*g*′（*t*）变化情况如下表：

  ------------- ------------ --------------- ------------ ------------------------ -------------
  *t*           （－∞，0）   0               （0，*a*）   *a*                      （*a*，+∞）
  *g*（*t*）    \+           0               －           0                        \+
  *g*′（*t*）   ↗            极大值*a*+*b*   ↘            极小值*b*---*f*（*a*）   ↗
  ------------- ------------ --------------- ------------ ------------------------ -------------

由*g*（*t*）的单调性，当极大值*a*+*b*\<0或极小值*b*－*f*（*a*）\>0时，方程*g*（*t*）=0最多有一个实数根；

当*a*+*b*=0时，解方程*g*（*t*）=0得*t*=0，*t*=，即方程*g*（*t*）=0只有两个相异的实数根；

当*b*－*f*（*a*）=0时，解方程*g*（*t*）=0得*t*=－，*t*=*a*，即方程*g*（*t*）=0只有两个相异的实数根。

综上，如果过（*a*，*b*）可作曲线*y*= *f*（*x*）三条切线，即*g*（*t*）=0有三个相异的实数根，则

即－*a*\<*b*\< *f*（*a*）
