**2007年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）**

**数　学（理工农医类）**

本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

**第I卷（选择题　共40分）**

注意事项：

1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上。

**一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。**

1．已知，那么角是（　　）

A．第一或第二象限角

B．第二或第三象限角

C．第三或第四象限角

D．第一或第四象限角

2．函数的反函数的定义域为（　　）

A．

B．

C．

D．

3．平面平面的一个充分条件是（　　）

A．存在一条直线

B．存在一条直线

C．存在两条平行直线

D．存在两条异面直线

4．已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　　）

A．

B．

C．

D．

5．记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　　）

A．1440种

B．960种

C．720种

D．480种

6．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．或

7．如果正数满足，那么（　　）

A．，且等号成立时的取值唯一

B．，且等号成立时的取值唯一

C．，且等号成立时的取值不唯一

D．，且等号成立时的取值不唯一

8．对于函数①，②，③，判断如下三个命题的真假：

命题甲：是偶函数；

命题乙：在上是减函数，在上是增函数；

命题丙：在上是增函数．

能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（　　）

A．①③

B．①②

C．③

D．②

**第II卷（共110分）**

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚

**二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上．**

9． [ ]{.underline} 。

10．若数列的前项和，则此数列的通项公式为 [ ]{.underline} ；数列中数值最小的项是第 [ ]{.underline} 项。

11．在中，若，，，则 [ ]{.underline} 。

12．已知集合，若，则实数的取值范围是 [ ]{.underline} 。

13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的。弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于 [ ]{.underline} 。

14．已知函数，分别由下表给出

  -- --- --- ---
     1   2   3
     1   3   1
  -- --- --- ---

  -- --- --- ---
     1   2   3
     3   2   1
  -- --- --- ---

则的值为 [ ]{.underline} ；满足的的值是 [ ]{.underline} 。

**三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．**

15．（本小题共13分）

数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列。

（I）求的值；

（II）求的通项公式。

16．（本小题共14分）

![](./data/image/media/image82.png)

如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上。

（I）求证：平面平面；

（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；

（III）求与平面所成角的最大值。

17．（本小题共14分）

矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在直线上。

（I）求边所在直线的方程；

（II）求矩形外接圆的方程；

（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程。

18．（本小题共13分）

![](./data/image/media/image109.png)

某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．

（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；

（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；

（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望。

19．（本小题共13分）

![](./data/image/media/image113.png)

如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为。

（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；

（II）求面积的最大值。

20．（本小题共13分）

已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：

，．

其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．

若对于任意的，总有，则称集合具有性质．

（I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；

（II）对任何具有性质的集合，证明：；

（III）判断和的大小关系，并证明你的结论。
