**2005年高考文科数学全国卷Ⅲ试题及答案**

**（四川**![](./data/image/media/image1.emf)**陕西**![](./data/image/media/image1.emf)**云南**![](./data/image/media/image1.emf)**甘肃等地区用）**

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分![](./data/image/media/image2.emf). 共150分. 考试时间120分钟![](./data/image/media/image2.emf)

第I卷

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么

P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么

P（A·B）=P（A）·P（B）

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

P~n~(k)=CP^k^(1－P)^n－k^

**一、选择题：**（本大题共12个小题，每小题5分，共60分![](./data/image/media/image2.emf)在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）

（1）已知为第三象限角，则所在的象限是

（A）第一或第二象限 （B）第二或第三象限

（C）第一或第三象限 （D）第二或第四象限

（2）已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为

（A）0 （B）-8 （C）2 （D）10

（3）在的展开式中的系数是

（A）-14 （B）14 （C）-28 （D）28

(4)设三棱柱ABC-A~1~B~1~C~1~的体积为V，P、Q分别是侧棱AA~1~、CC~1~上的点，且PA=QC~1~，则四棱锥B-APQC的体积为

（A） （B） （C） （D）

（5）设，则

（A）-2\<x\<-1 （B）-3\<x\<-2 （C）-1\<x\<0 （D）0\<x\<1

(6)若,则

(A)a\<b\<c (B)c\<b\<a (C)c\<a\<b (D)b\<a\<c

(7)设,且,则

\(A\) (B) (C) (D)

\(8\)

\(A\) (B) (C) 1 (D)

（9）已知双曲线的焦点为F~1~、F~2~，点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为

（A） （B） （C） （D）

（10）设椭圆的两个焦点分别为F~1、~、F~2~，过F~2~作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F~1~PF~2~为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是

（A） （B） （C） （D）

（11）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有

（A）3个 （B）4个 （C）6个 （D）7个

（12）计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：

  -------- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- ---- ---- ---- ---- --------------------------------------
  16进制   0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   A    B    C    D    E    F
  10进制   0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15![](./data/image/media/image2.emf)
  -------- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- ---- ---- ---- ---- --------------------------------------

例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=

（A）6E （B）72 （C）5F （D）B0

第Ⅱ卷

**二、填空题：**本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上![](./data/image/media/image2.emf)

（13）经问卷调查，某班学生对摄影分别执"喜欢"、"不喜欢"和"一般"三种态度，其中执"一般"态度的比"不喜欢"态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的5位"喜欢"摄影的同学、1位"不喜欢"摄影的同学和3位执"一般"态度的同学，那么全班学生中"喜欢"摄影的比全班人数的一半还多 [ ]{.underline} 人![](./data/image/media/image2.emf)

（14）已知向量，且A、B、C三点共线，则k= [ ]{.underline}

（15）曲线在点（1，1）处的切线方程为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2.emf)

（16）已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2.emf)

**三、解答题：**

(17)(本小题满分12分)

已知函数求使为正值的的集合![](./data/image/media/image2.emf)

（18）(本小题满分12分)

设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响![](./data/image/media/image2.emf)已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，

（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；

（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率![](./data/image/media/image2.emf)

（19）(本小题满分12分)

在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，

![](./data/image/media/image43.emf) 平面VAD⊥底面ABCD![](./data/image/media/image2.emf)

1）求证AB⊥面VAD；

2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小![](./data/image/media/image2.emf)

（20）(本小题满分12分)

在等差数列中，公差，是与的等差中项，已知数列,,,,

......,,......成等比数列，求数列的通项![](./data/image/media/image2.emf)

\(21\) (本小题满分12分)

![](./data/image/media/image55.emf)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

\(22\) (本小题满分14分)

设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线，

（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论；

（Ⅱ）当时，求直线的方程![](./data/image/media/image2.emf)

**2005年高考全国卷Ⅲ数学试题及答案**

**（四川**![](./data/image/media/image1.emf)**陕西**![](./data/image/media/image1.emf)**云南**![](./data/image/media/image1.emf)**甘肃等地区用）**

**参考答案**

一、DBBCA，CCBCD，DA

二、13.3，14.，15.x+y-2=0，16.3

三、解答题：

（17）解：∵...................................................2分

......................................................4分

................................................6分

.................................8分

......................................................10分

又

∴......................................................12分

另法：

为正值当且仅当与同号，

在上，

若与均为正值，则；

若与均为负值，则

所以所求的集合为![](./data/image/media/image2.emf)

（18）解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A、B、C，......1分

则A、B、C相互独立，

由题意得：

P（AB）=P（A）P（B）=0.05

P（AC）=P（A）P（C）=0.1

P（BC）=P（B）P（C）=0.125..................................................................4分

解得：P（A）=0.2；P（B）=0.25；P（C）=0.5

所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5......6分

（Ⅱ）∵A、B、C相互独立，∴相互独立，..........................................7分

∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为

.................................10分

∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为......12分

（19）（本小题满分12分）

四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，

平面VAD⊥底面ABCD![](./data/image/media/image2.emf)

1）求证AB⊥面VAD；

2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．

![](./data/image/media/image82.emf)**证法一：**（1）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E，则VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD，则VE⊥AB![](./data/image/media/image2.emf)

又面ABCD是正方形，则AB⊥CD，故AB⊥面VAD![](./data/image/media/image2.emf)

（2）由AB⊥面VAD，则点B在平面VAD内的射影是A，设VD的中点为F，连AF，BF由△VAD是正△，则AF⊥VD，由三垂线定理知BF⊥VD，故∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角![](./data/image/media/image2.emf)

设正方形ABCD的边长为a，

则在Rt△ABF中，,AB=a, AF=a，tan∠AFB =

故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为![](./data/image/media/image2.emf)

**证明二：**（Ⅰ）作AD的中点O，则VO⊥底面ABCD．............1分

建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，.........2分

则A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），V（0，0，），

![](./data/image/media/image87.emf)∴......3分

由............4分

......5分

又AB∩AV=A ∴AB⊥平面VAD..............................6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得是面VAD的法向量........................7分

设是面VDB的法向量，则

......9分

∴，...............11分

又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为......12分

（II）**证法三：**由（Ⅰ）得是面VAD的法向量.....................7分

设平面VDB的方程为mx+ny+pZ+q=0,将V.B.D三点的坐标代入可得

解之可得令q=则平面VDB的方程为x-y+Z+=0

故平面VDB的法向量是....................................9分

∴，..................11分

又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为......12分

（20）解：由题意得：....................................1分

即................................................3分

又∴............................................................4分

又,,,,......,,......成等比数列，

∴该数列的公比为，...........................6分

所以................................................8分

又..............................10分

∴

所以数列的通项为.................................12分

（21）解：设容器的高为x，容器的体积为V，........................1分

则V=（90-2x）（48-2x）x,(0\<V\<24).......................................5分

=4x^3^-276x^2^+4320x

∵V′=12 x^2^-552x+4320...................................................7分

由V′=12 x^2^-552x+4320=0得x~1~=10，x~2~=36

∵x\<10 时，V′\>0,

10\<x\<36时，V′\<0,

x\>36时，V′\>0,

所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960....................................10分

又V(0)=0,V(24)=0,.........................................................11分

所以当x=10,V有最大值V(10)=1960..........................................12分

（22）解：（Ⅰ）∵抛物线，即，∴，

∴焦点为......................................................1分

（1）直线的斜率不存在时，显然有=0...............3分

（2）直线的斜率存在时，设为k， 截距为b

即直线：y=kx+b

由已知得：

....................................5分

.......................................7分

即的斜率存在时，不可能经过焦点...........................8分

所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F............9分

（Ⅱ）当时，

直线的斜率显然存在，设为：y=kx+b........................10分

则由（Ⅰ）得：

....................................11分

...................................................13分

所以直线的方程为，即..................14分
