**2004年全国普通高等学校招生全国统一考试**

**数 学（广东卷）**

**一、选择题**（共12小题，每题5分，计60分）

1．已知平面向量=（3，1），=（x，--3），且，则x= （ ）

A．－3 B．－1 C．1 D．3

2．已知则 （ ）

A． B．

C． D．

3．设函数在x=2处连续,则a= （ ）

A． B． C． D．

4． 的值为 （ ）

A．－1 B．0 C． D．1

5．函数f(x)是 （ ）

A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数

C． 周期为2的偶函数 D．.周期为2的奇函数

> 6．一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是 （ ）

A．0.1536 B． 0.1808 C． 0.5632 D． 0.9728

> 7．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 （ ）

A． B． C． D．

8．若双曲线的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （ ）

A． 6 B． 8 C． 1 D． 4

9．当时,函数的最小值是 （ ）

A． 4 B． C．2 D．

10．变量x、y满足下列条件：

则使z=3x+2y的值最小的（x，y）是 （ ）

A． ( 4.5 ,3 ) B． ( 3,6 ) C． ( 9, 2 ) D． ( 6, 4 )

11．若则 （ ）

A． B．

C． D．

![](./data/image/media/image32.emf)12．如右下图,定圆半径为 ( b ,c ), 则直线ax+by+c=0

与直线 x--y+1=0的交点在( )

A． 第四象限

B． 第三象限

C．第二象限

D． 第一象限

**二、填空题**(共4小题，每题4分，计16分)

13．某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女生当选的概率是 [ ]{.underline} (用分数作答)

14．已知复数z与 (z +2)^2^-8i 均是纯虚数,则 z = [ ]{.underline} .

15．由图(1)有面积关系: 则由(2) 有体积关系:

![](./data/image/media/image34.emf)![](./data/image/media/image35.emf)

16． 函数的反函数

**三、解答题**(共6小题,74分)

17． (12分)已知成公比为2的等比数列(也成等比数列. 求的值.

![](./data/image/media/image41.emf)18． 如右下图,在长方体ABCD---A~1~B~1~C~1~D~1~中,已知AB= 4, AD =3, AA~1~= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.

\(1\) 求二面角C---DE---C~1~的正切值;

\(2\) 求直线EC~1~与FD~1~所成的余弦值.

19． (12分)设函数

\(1\) 证明: 当0\< a \< b ,且时,ab \>1;

> \(2\) 点P (x~0~, y~0~ ) (0\< x~0~ \<1 )在曲线上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用x~0~表达).

20． (12分)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)

21． (12分)设函数 其中常数m为整数.

\(1\) 当m为何值时,

> \(2\) **定理: 若函数g(x) 在\[a, b \]上连续,且g(a) 与g(b)异号,则至少存在一点x~0~∈(a,b),使g(x~0~)=0.**

试用上述定理证明:当整数m\>1时,方程f(x)= 0,在\[e^-ｍ^-m ,e^2ｍ^-m \]内有两个实根.

22．(14分)设直线与椭圆相交于A、B两点，又与双曲线x^2^--y^2^=1相交于C、D两点， C、D三等分线段AB． 求直线的方程.

**2004年普通高等学校招生全国统一考试**

**广东数学标准答案**

1.  选择题：

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  题号   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12
  A卷    B   C   B   A   A   D   B   C   D   B    A    C
  B卷    C   A   C   A   B   D   D   A   A   B    D    B
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2.  填空题：

（13） （14）－2i (15) (16)

3.  解答题

17．解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α

∵sinα,sinβ,sinγ成等比数列

当cosα=1时，sinα=0,与等比数列的首项不为零，故cosα=1应舍去，

18．解：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D~1~(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C~1~(4,3,2)

于是，

设向量与平面C~1~DE垂直，则有

（II）设EC~1~与FD~1~所成角为β，则

19．证明：（I）

> 故f(x)在（0，1上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0\<a\<b且f(a)=f(b)得0\<a\<1\<b和

故

（II）0\<x\<1时，

曲线y=f(x)在点P（x~0~，y~0~）处的切线方程为：

∴切线与x轴、y轴正向的交点为

故所求三角形面积听表达式为：

20．解：如图，

![](./data/image/media/image67.wmf)

以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）

设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得\|PA\|=\|PB\|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故\|PB\|－ \|PA\|=340×4=1360

由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，

依题意得a=680, c=1020，

用y=－x代入上式，得，∵\|PB\|\>\|PA\|,

答：巨响发生在接报中心的西偏北45^0^距中心处.

21．（I）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续，且

当x∈(-m,1-m)时,f ^'^（x）\<0,f(x)为减函数,f(x)\>f(1-m)

当x∈(1-m, +∞)时,f ^'^（x）\>0,f(x)为增函数,f(x)\>f(1-m)

根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且

对x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m

故当整数m≤1时，f(x) ≥1-m≥0

(II)证明：由（I）知，当整数m\>1时，f(1-m)=1-m\<0,

函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续减函数.

由所给定理知，存在唯一的

而当整数m\>1时，

> 类似地，当整数m\>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数且 f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的

故当m\>1时，方程f(x)=0在内有两个实根。

22．解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为

y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：

![](./data/image/media/image83.wmf)

依题意有，由

若，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故

由

故l的方程为

(ii)当b=0时，由(1)得

由

故l的方程为

再讨论l与x轴垂直的情况.

设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，

综上所述，故l的方程为、和
