**2005年高考理科数学**![](./data/image/media/image1.emf)**山东卷**![](./data/image/media/image1.emf)**试题及答案**

**第Ⅰ卷（选择题 共60分）**

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 ![](./data/image/media/image3.emf)

如果事件A、B相互独立，那么 =![](./data/image/media/image3.emf)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是最符合题目要求的![](./data/image/media/image3.emf)

（1）

（A） (B) (C) (D)

（2）函数的反函数的图象大致是

![](./data/image/media/image12.emf) ![](./data/image/media/image13.emf) ![](./data/image/media/image14.emf) ![](./data/image/media/image15.emf)

（A） (B) (C) (D)

（3）已知函数则下列判断正确的是

（A）此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是

\(B\) 此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是

\(C\) 此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是

\(D\) 此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是

（4）下列函数中既是奇函数，又是区间上单调递减的是

（A） (B)

\(C\) (D)

（5）如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是

（A） (B) (C) (D)

（6）函数若则的所有可能值为

（A） (B) (C) , (D) ,

（7）已知向量，且则一定共线的

（A） Ａ、B、D (B) A、B、C (C) B、C、D (D)A、C、D

（8）设地球半径为R，若甲地位于北纬东经，乙地位于南纬度东经，则甲、乙两地球面距离为

（A） (B) (C) (D)

（9）10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是

（A） (B) (C) (D)

（10）设集合A、B是全集U的两个子集，则是

（A） 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件

\(C\) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件

（11）下列不等式一定成立的是

（A）

\(B\)

\(C\)

\(D\)

（12）设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使的面积为的点P的个数为

（A） 1 (B) 2 (C) 3 (D)4

> **第Ⅱ卷（共100分）**

二、填空题：本大题共4小题， 每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上![](./data/image/media/image3.emf)

(13)\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_![](./data/image/media/image3.emf)

(14)设双曲线的右焦点为F,右准线与两条渐近线交于P、Q两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率![](./data/image/media/image3.emf)

(15)设满足约束条件则使得目标函数的值最大的点是\_\_\_\_\_\_\_![](./data/image/media/image3.emf)

(16)已知m、n是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：

①若则 ![](./data/image/media/image3.emf)

②若则![](./data/image/media/image3.emf)

③若,则![](./data/image/media/image3.emf)

④m、n是两条异面直线，若则![](./data/image/media/image3.emf)

上面命题中，真命题的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(写出所有真命的序号）![](./data/image/media/image3.emf)

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤![](./data/image/media/image3.emf)

(17)（本小题满分12分）

　　已知向量和，且，求的值![](./data/image/media/image3.emf)

\\

\(18\) （本小题满分12分）

袋中装有罴球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止![](./data/image/media/image3.emf)每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需的取球次数．

（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；

（Ⅱ）求随机变量的概率分布；

（Ⅲ）求甲取到白球的概率![](./data/image/media/image3.emf)

\(19\) （本小题满分12分）

已知是函数的一个极值点,其中.

（Ⅰ）求m与n的关系表达式;

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）当时,函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围![](./data/image/media/image3.emf)

![](./data/image/media/image97.emf) (20) （本小题满分12分）

　　　如图，已知长方体，，直线与平面所成的角为，垂直于为的中点．

（Ⅰ）求异面直线与所成的角；

（Ⅱ）求平面与平面所成二面角（锐角）的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离![](./data/image/media/image3.emf)

\(21\) （本小题满分12分）已知数列的首项前项和为，且

（I）证明数列是等比数列；

（II）令，求函数在点处的导数并比较与的大小![](./data/image/media/image3.emf)

\(22\) （本小题满分14分）已知动圆过定点，且与直线相切，其中.

（I）求动圆圆心的轨迹的方程；

（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标![](./data/image/media/image3.emf)

**2005年高考理科数学**![](./data/image/media/image1.emf)**山东卷**![](./data/image/media/image1.emf)**试题及答案**

**参考答案**

  ------ --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- ---- ----
  题号   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12
  答案   D   B   B   D   C   C   A   D   D   A    A    B
  ------ --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- ---- ----

（13） （14） （15）） （16）③④

(17)（本小题满分12分）**考查知识点：（三角和向量相结合）**

解法一：

　　　

由已知，得![](./data/image/media/image3.emf)

又

所以　　![](./data/image/media/image3.emf)

∵　

∴　![](./data/image/media/image3.emf)

解法二：

　　　　

　由已知，得

∵　，∴　

∴　![](./data/image/media/image3.emf)

\(18\) （本小题满分12分）**（考查知识点：概率及分布列）**

解：（１）设袋中原有个白球，由题意知：

　　　　　　　　

　　所以，解得舍去，即袋中原有３个白球![](./data/image/media/image3.emf)

（Ⅱ）由题意，的可能妈值为１,2,3,4,5.

: :

:

所以,取球次数的分布列为：

  -- --- --- --- --- ---
     1   2   3   4   5
                     
  -- --- --- --- --- ---

（Ⅲ）因为甲先取,所以甲只有可能在第1次、第3次和第5次取球，记"甲取到白球"的事件为A，则 （""，或""，或""）.

因为事件""、""、""两两互斥，所以

![](./data/image/media/image3.emf)

\(19\) （本小题满分12分）**（考查知识点：函数结合导数）**

（Ⅰ）解：.

因为是的一个极值点,所以,即.

所以![](./data/image/media/image3.emf)

（Ⅱ）解:由（Ⅰ）知

当时,有,当变化时与的变化如下表:

  -- ---------- -------- ---------- -------- ----------
                                    1        
     \<0        0        \>0        0        \<0
     单调递减   极小值   单调递增   极大值   单调递减
  -- ---------- -------- ---------- -------- ----------

由上表知,当时,在单调递减,在单调递增,　在单调递减![](./data/image/media/image3.emf)

（Ⅲ）解法一:由已知,得,即.

.

.

即. （\*）

设,其函数图象的开口向上.

由题意(\*)式恒成立,

又.

即的取值范围是![](./data/image/media/image3.emf)

解法二：由已知,得，即，

. . (\*)

时. (\*)式化为怛成立..

时.

(\*)式化为 ．

令,则,记 ,

则在区间是单调增函数![](./data/image/media/image3.emf)

．

由(\*)式恒成立,必有又．

．

综上、知![](./data/image/media/image3.emf)

\(20\) （本小题满分12分）**(考查知识点：立体几何)**

解法一：（向量法）

在长方体中，以所在直线为轴，所在直线为轴，　所在直线为轴建立空间直角坐标系如图．

![](./data/image/media/image249.emf)　　　　由已知，可得．

　　　　又平面，从面与平面所成的角即为

　　　　又![](./data/image/media/image3.emf)

　　　　从而易得![](./data/image/media/image3.emf)

　　　　（Ⅰ）![](./data/image/media/image3.emf)

　　　　　　　![](./data/image/media/image3.emf)

　　　即异面直线、所成的角为![](./data/image/media/image3.emf)

（Ⅱ）易知平面的一个法向量![](./data/image/media/image3.emf)

　　　设是平面的一个法向量．![](./data/image/media/image3.emf)

　　　由　　　![](./data/image/media/image3.emf)

　　　取![](./data/image/media/image3.emf)

∴![](./data/image/media/image3.emf)

即平面与平面所成二面角（锐角）大小为![](./data/image/media/image3.emf)

（Ⅲ）点A到平面BDF的距离，即在平面BDF的法向量上的投影的绝对值![](./data/image/media/image3.emf)

所以距离

![](./data/image/media/image3.emf)

所以点A到平面BDF的距离为![](./data/image/media/image3.emf)

解法二：(几何法)

![](./data/image/media/image285.emf)（Ⅰ）连结，过F作的垂线，垂足为K，

∵与两底面ABCD，都垂直，

∴

又

因此![](./data/image/media/image3.emf)

∴为异面直线与所成的角![](./data/image/media/image3.emf)

连结BK，由FK⊥面得，

从而 为![](./data/image/media/image3.emf)

在 和中，

由得![](./data/image/media/image3.emf)

又， ∴![](./data/image/media/image3.emf)

∴异面直线与所成的角为![](./data/image/media/image3.emf)

![](./data/image/media/image308.emf)（Ⅱ）由于面由作的垂线，垂足 为，连结，由三垂线定理知![](./data/image/media/image3.emf)

∴即为平面与平面所成二面角的平面角![](./data/image/media/image3.emf)

且，在平面中，延长与；交于点![](./data/image/media/image3.emf)

∵为的中点，

∴、分别为、的中点![](./data/image/media/image3.emf)

即，

∴为等腰直角三角形，垂足点实为斜边的中点F，即F、G重合![](./data/image/media/image3.emf)

易得，在中，![](./data/image/media/image3.emf)

∴，

∴，

即平面于平面所成二面角（锐角）的大小为![](./data/image/media/image3.emf)

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面是平面与平面所成二面角的平面角所在的平面

![](./data/image/media/image345.emf)　　　∴面![](./data/image/media/image3.emf)

　　　在中，由Ａ作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离![](./data/image/media/image3.emf)

由AHDF=ADAF，得

![](./data/image/media/image3.emf)

所以点A到平面BDF的距离为![](./data/image/media/image3.emf)

\(21\) （本小题满分12分）**（考查知识点:数列）**

解：由已知，

可得两式相减得

即

从而

当时所以又所以

从而

故总有，又

从而即数列是等比数列；

（II）由（I）知

因为所以

从而=

=-=

由上-=

=12①

当时，①式=0所以；

当时，①式=-12所以

当时，又

所以即①从而

\(22\) （本小题满分14分）（**考查知识点:圆锥曲线）**

![](./data/image/media/image390.emf)解：（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；

（II）如图，设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得

由韦达定理知①

（1）当时，即时，所以，所以

由①知：所以

因此直线的方程可表示为，

即所以直线恒过定点

（2）当时，由，得==

将①式代入上式整理化简可得：，所以，

此时，直线的方程可表示为即

所以直线恒过定点![](./data/image/media/image3.emf)

所以由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点![](./data/image/media/image3.emf)
