2006年普通高等学校招生全国统一考试

数 学(理工农医类) (北京卷)

第Ⅰ卷(选择题 共40分)

一、本大题共**8**小题,每小题**5**分,共**40**分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题要求的一项.

(1)在复平面内,复数对应的点位于 ( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

答:D

解析:,在复平面内所对应的点是(1,－1),故选D.

(2)若***a***与***b***－***c***都是非零向量,则"***a***·***b***=***a***·***c***"是"***a***⊥(***b***－***c*)**"的 ( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

答:C

解析:***a***·***b***=***a***·***ca***·***b***－***a***·***c***=0***a***·(***b***－***c***)=0***a***⊥(***b***－***c*)**.

(3)在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有 ( )

A.36个 B.24个 C.18个 D.6个

答:B

解析:在所给的五个数字中,有三个奇数,两个偶数,则按要求组成的三位数可能是①由三个奇数组成1,3,5(共可组成个奇数);②由一个奇数、两个偶数组成,这时的可能性为:1,2,4;3,2,4;5,2,4(共可组成个奇数).所以共有+=24个

(4)平面的斜线*AB*交于点*B*,过定点*A*的动直线*l*与*AB*垂直,且交于点*C*,则动点*C*的轨迹是 ( )

A.一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一支

答:A.

解析:方法一:如图所示,设直线*AB*在平面内的射影为*O*,过*O*点建立如图所示的空间坐标系,并记,*AB=l*则有*A*(0,0,*l*sin), *B*(0,*l*cos,0), 再设*C*(*x*, *y*,0),则有

(*x*, *y*,－*l*sin),(0,*l*cos,－*l*sin),

由得,即(*x*, *y*,－*l*sin)·(0, *l*cos,－*l*sin)=0,所以*yl*cos＋*l*^2^sin^2^=0,这是一个直线方程.

方法二:坐标系的建立仍同方法一,则在Rt△*ABC*中,由勾股定理得*AB*^2^+*AC*^2^=*BC*^2^,即

\[(0－0)^2^＋(0－*l*cos)^2^＋(*l*sin－0)^2^\]＋\[(0－*x*)^2^＋(0－*y*)^2^＋(*l*sin－0)^2^\]=(0－*x*)^2^＋(*l*cos－0)^2^＋(0－0)^2^

由此得*yl*cos＋*l*^2^sin^2^=0.

![](./data/image/media/image16.emf)

(5)已知是上的减函数,那么*a*的取值范围是 ( )

A.(0,1) B.(0,) C.\[,) D.\[,1)

答:C

解析:当它在上为减函数的充要条件是,得.

当,它在上为减函数的充要条件是.

当时,要使在为减函数,须有,即,

即.

综上三种情况,得.

(6)在下列四个函数中,满足性质:"对于区间(1,2)上的任意*x*~1~, *x*~2~ (),\|恒成立"的只有 ( )

A. B. C. A.

答:A

解析:当时,要证\|,只要证在恒成立即可.

对于选项A,有,当,恒有,所以选A.

(7)设,则*f*(*n*)= ( )

A. B. C. D.

答:D

解析:数列是以首项为2,公比为8的等比数列,这个给出的数列共有项,根据等比数列的通项公式有.

(8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型.在某高峰时段,单位时间进出路口*A*,*B*,*C*的机动车辆数如图所示,图中*x*~1~,*x*~2~,*x*~3~分别表示该时段单位时间通过路段,,的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则

![](./data/image/media/image61.png)

A. B. C. D.

答:C

解析:按图中的数据列出方程组即可.

第Ⅱ卷(共110分)

**二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填写在题中横线上.**

(9)的值等于 [ ]{.underline} .

答:－.

解析:.

(10)在的展开式中,*x*^2^的系数是 [ ]{.underline} .(用数字作答)

答:－14.

解析:==,所以*x*^2^的系数是－14.

(11)若三点*A*(2,2),*B*(*a*,0),*C*(0,*b*) (*ab*0),共线,则的值等于 [ ]{.underline} .

答:.

解析:设过点*B*(*a*,0),*C*(0,*b*) 的直线方程为,由于点*A*(2,2)在此直线上,所以,则.

(12)在△*ABC*中,若sin*A*:sin*B*:sin*C*=5:7:8,则∠*B*的大小是 [ ]{.underline} .

答:.

解析:由正弦定理有 *a*:*b*:*c*=5:7:8,不妨设*a*=5,*b*=7, *c*=8,则由余弦定理得

cos∠*B*=,所以∠*B*=.

(13)已知点*P*(*x*, *y*)的坐标满足条件点*O*为坐标原点,即么\|*PO*\|的最小值等于 [ ]{.underline} ,最大值等于 [ ]{.underline} .

答:;.

解析:这是一个线性规划问题,由图中可以解得*A*(1,1), *B*(2,2), *C*(1,3),由图可见*OB*⊥*BC*,所以当*P*点与*C*点重合时,*OP*是最大距离为,当*P*点与*A*点重合时,*OA*是最小距离为.

![](./data/image/media/image83.png)

(14)已知*A*,*B*,*C*三点在球心为*O*,半径为*R*的球面上,*AC*⊥*BC*,且*AB*=*R*,那么*A*,*B*两点的球面距离为 [ ]{.underline} .

球心到平面*ABC*的距离为 [ ]{.underline} .

答:;.

解析:由于*AC*⊥*BC*,则知*A*,*B*,*C*在平面*ABC*与球的交面(圆)上,且*AB*为平面与球的所交的小圆的直径.

由*AB*=*R*,可见,则∠*BOO*~1~=30^0^,且.

*A*,*B*两点的球面距离即为∠*BOA*所对的大圆上的弧的长度,即.

![](./data/image/media/image89.png)

**三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.**

(15)(本小题共12分)已知函数.

(Ⅰ)求*f*(*x*)的定义域;

(Ⅱ)设是第四象限的角,且tan=,求*f*()的值.

解:(Ⅰ)要使函数*f*(*x*)有意义,则有,所以,则所求定义域为.

(Ⅱ)由是第四象限的角,且tan=可得.

=

=.

把代入上式,即得

*f*()=.

(16)(本小题共13分)已知函数在点*x*~0~处取得极大值,其导数*y=f\"*(*x*)的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,求:

(Ⅰ)*x*~0~的值;

(Ⅱ)的值.

![](./data/image/media/image102.png)

解:(Ⅰ)由图中可见与*x*轴的交点为且知.

则知方程的两根,

则有即

由此可得

当时,所取得的极大值是=;

当时,所取得的极大值是.

由于,则知当时,所取得的极大值是最大值.所以.

(Ⅱ)由==5,所以.将此代入①②得*b*=－9,*c*=12.

(17)(本小题共14分)如图,在底面为平行四边形的四棱锥*P-ABCD*中,*AB*⊥*AC*,*PA*平面*ABCD*,且*PA=PB*,点*E*是*PD*的中点.

(Ⅰ)求证:*AC*⊥*PB*;

(Ⅱ)求证:*PB*//平面*AEC*;

![](./data/image/media/image119.png)

(Ⅲ)求二面角*E-AC-B*的大小.

解法一:(Ⅰ)∵*PA*⊥平面*ABCD*,

∴*AB*是*PB*在平面*ABCD*上的射影.

又∵*AB*⊥*AC*,*AC*平面*ABCD*,∴*AC*⊥*PB*.

(Ⅱ)连接*BD*,与*AC*相交于*O*,连接*EO*.

∵*ABCD*是平行四边形,∴*O*是*BD*的中点,

又*E*是*PD*的中点,∴*EO//PB*.

又*PB*平面*AEC*,*EO*平面*AEC*,

∴*PB//*平面*AEC*.

(Ⅲ)取*BC*中点*G*,连接*OG*,则点*G*的坐标为(),,,,

∴

∴

∴*EOG*是二面角*E-AC-B*的平面角.

∵,

∴.

∴二面角*E-AC-B*的大小为135^0^.

(18)(本小题共13分)某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.

方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过;

方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为*a*,*b*,*c*,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.

(Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率;

(Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由)

解:记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C,

则P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c,

(Ⅰ)应聘者用方案一考试通过的概率

(Ⅱ)因为*a*,*b*,*c*,所以

故,即采用第一种方案,该应聘者考试通过的概率较大.

(19)(本小题共14分)已知点*M*(－2,0),*N*(2,0),动点*P*满足条件\|*PM*\|－\|*PN*\|=2.记动点*P*的轨迹为*W*.

(Ⅰ)求*W*的方程;

(Ⅱ)若*A*,*B*是*W*上的不同两点,*O*是坐标原点,求的最小值.

解法一:(Ⅰ)由\|*PM*\|－\|*PN*\|=2知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长.

又半焦距c=2,故虚半轴长,

所以W的方程为.

(Ⅱ)设*A*,*B*的坐标分别为(),(),

当*AB*⊥*x*轴时,从而

当*AB*与*x*轴不垂直时,设直线*AB*的方程为,与*W*的方程联立,消去*y*得

故,所以

又因为所以从而

综上,当*AB*⊥*x*轴时,取得最小值2.

解法二:(Ⅰ)同解法一;

(Ⅱ)设*A*,*B*的坐标分别为(),(),

令,则,且,所以

当且仅当,即时,\"=\"成立.

所以取得最小值2.

(20)(本小题共14分)在数列{*a~n~*}中,若*a*~1~,*a*~2~是正整数,且*a~n~*=\|*a~n－~*~1~*－a~n－~*~2~\|,...,则称{*a~n~*}为"绝对差数列".

(Ⅰ)举出一个前五项不为零的"绝对差数列"(只要求写出前十项);

(Ⅱ)若"绝对差数列"{*a~n~*}中,,,数列{*b~n~*}满足,...,分别判断当时,*a~n~*与*b~n~*的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;

(Ⅲ)证明:任何"绝对差数列"中总含有无穷多个为零的项.

解:(Ⅰ),,,,,,,,,.(答案不惟一)

(Ⅱ)因为在绝对差数列{*a~n~*}中,,所以自第20项开始,该数列是

,,,,....

即自第20项开始,每三个相邻的项的周期地取值3,0,3,所以当时,的极限不存在.

当时,=6,所以=6.

(Ⅲ)证明:根据定义,数列{*a~n~*}必在有限项后出现零项,证明如下:

假设{*a~n~*}中没有零项,由于*a~n~*=\|*a~n－~*~1~*－a~n－~*~2~\|,所以对于任意的n,都有,从而

当时,*a~n~*=*a~n－~*~1~*－a~n－~*~2;~

当时,*a~n~*=*a~n－~*~2~*－a~n－~*~1;~

即*a~n~*的值要么比*a~n－~*~1~至少小1,要么比*a~n－~*~2~至少小1.

令*n*=1,2,3,...,

则0

由于*c*~1~是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项*c~n~*\<0,这与*c~n~*\>0 (*n*=1,2,3,...)矛盾.从而{*a~n~*}必有零项.

若第一次出现的零项为第*n*项,记*a~n－~*~1~=*A* (*A*≠0),则自第*n*项开始,每三个相邻的项周期地取值0,A,A,即

k=0,1,2,3,....

所以绝对差数列{*a~n~*}中有无穷多个为零的项.
