2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数 学（理工类）

本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分.考试用时120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么

如果事件A、B相互独立，那么

柱体（棱柱、圆柱）的体积公式

其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1． i是虚数单位，= （ ）

A． B． C． D．

2． 不等式的解集为 （ ）

A． B．

C． D．

3．若平面向量与向量的夹角是，且，则 （ ）

A． B． C． D．

4． 设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、F~2~分别是双曲线的左、右焦点，若，则 （ ）

A． 1或5 B． 6 C． 7 D． 9

5．若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则*a*=（ ）

A． B． C． D．

6． 如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于 （ ）

A． B．

C． D．

7． 若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是 （ ）

A． B．

C． D．

8． 已知数列，那么"对任意的，点都在直线上"是"

为等差数列"的 （ ）

A． 必要而不充分条件 B． 充分而不必要条件

C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

9． 函数为增函数的区间是 （ ）

A． B． C． D．

10． 如图，在长方体中，AB=6，AD=4，

。分别过BC、 的两个平行截面将长方

体分成三部分，其体积分别记为，

，.

若，则截面 的面积为（ ）

A． B． C． D． 16

11． 函数（）的反函数是 （ ）

A． B．

C． D．

12．定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为 （ ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13． 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n= [ ]{.underline} .

14． 如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数a的取值范围是 [ ]{.underline} .

15．若，则

[ ]{.underline} .（用数字作答）

16． 从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 [ ]{.underline} 个.（用数字作答）

三、 解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知，（1）求的值；（2）求的值.

18．（本小题满分12分）

从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.

（1）求的分布列；

（2）求的数学期望；

（3）求"所选3人中女生人数"的概率.

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P---ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

（1）证明PA//平面EDB；

（2）证明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C---PB---D的大小.

20．（本小题满分12分）

已知函数在处取得极值.

（1）讨论和是函数的极大值还是极小值；

（2）过点作曲线的切线，求此切线方程.

21．（本小题满分12分）

已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：

，

，其中*a*为常数，k为非零常数.

（1）令，证明数列是等比数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）当时，求.

22．（本小题满分14分）

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，\|OF\|=2\|FA\|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）若，求直线PQ的方程；

> （3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明.

2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理工类）参考解答

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.

1---5 DAACA 6---10 BABCC 11---12 DD

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。

13．80 14． 15． 2004 16．300

三、解答题：

17． 本小题考查两角和正切公式，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能.满分12分.

（1）解：.

由，有.

解得.

（2）解法一：

.

解法二：由（1），，得

∴ .

∴.

于是，

.

代入得.

18． 本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.

（1）解：可能取的值为0，1，2。

。

所以，的分布列为

  --- --- --- ---
      0   1   2
  P           
  --- --- --- ---

（2）解：由（1），的数学期望为

（3）解：由（1），"所选3人中女生人数"的概率为

19． 本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分.

方法一：

（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO。

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点

在中，EO是中位线，∴PA // EO

而平面EDB且平面EDB，

所以，PA // 平面EDB

（2）证明：

∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴

∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，

∴. ①

同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC。

而平面PDC，∴. ②

由①和②推得平面PBC.

而平面PBC，∴

又且，所以PB⊥平面EFD.

（3）解：由（2）知，，故是二面角C---PB---D的平面角.

由（2）知，.

设正方形ABCD的边长为a，则,

，

.

在中，。

在中，，∴.

所以，二面角C---PB---D的大小为.

方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设.

（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG.

依题意得.

∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且

.

∴，这表明PA//EG.

而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB.

（2）证明；依题意得，。又，故.

∴.

由已知，且，所以平面EFD.

（3）解：设点F的坐标为，，则

.

从而.所以

.

由条件知，，即

，解得

∴点F的坐标为，且

，

∴

即，故是二面角C---PB---D的平面角.

∵，且

，，

∴.

∴.

所以，二面角C---PB---D的大小为.

20． 本小题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力。满分12分.

（1）解：，依题意，，即

解得. ∴.

令，得.

若，则，故

在上是增函数，

在上是增函数.

若，则，故

在上是减函数.

所以，是极大值；是极小值.

（2）解：曲线方程为，点不在曲线上.

设切点为，则点M的坐标满足.

因，故切线的方程为

注意到点A（0，16）在切线上，有

化简得，解得.

所以，切点为，切线方程为.

21．本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分.

（1）证明：由，可得

.

由数学归纳法可证.

由题设条件，当时

因此，数列是一个公比为k的等比数列.

（2）解：由（1）知，

当时，

当时， .

而

所以，当时

.

上式对也成立。所以，数列的通项公式为

当时

.

上式对也成立，所以，数列的通项公式为

，

（2）解：当时

22． 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.

（1）解：由题意，可设椭圆的方程为.

由已知得

解得

所以椭圆的方程为，离心率.

（2）解：由（1）可得A（3，0）.

设直线PQ的方程为.由方程组

得

依题意，得.

设，则

， ① . ②

由直线PQ的方程得.于是

. ③

∵，∴. ④

由①②③④得，从而.

所以直线PQ的方程为或

（2）证明：.由已知得方程组

注意，解得

因，故

.

而，所以

.
