**2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）**

数 学 (理 科) **全解全析**

一、填空题（本大题满分**44**分）本大题共有**11**题，只要求直接填写结果，每个空格填对得**4**分，否则一律得零分．

1、函数的定义域为

**【答案】**

**【解析】** ⇒

2、已知与，若两直线平行，则的值为

**【答案】**

**【解析】**

3、函数的反函数

**【答案】**

**【解析】**由

4、方程的解是

**【答案】**

**【解析】** （舍去），。

5、已知，且，则的最大值为

**【答案】**

**【解析】 ，**当且仅当x=4y=时取等号.

6、函数的最小正周期是

**【答案】**

**【解析】**

。

7、有数字，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为

**【答案】**

**【解析】**

8、已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为

**【答案】**

**【解析】**双曲线的中心为O（0,0），该双曲线的左焦点为F（－3,0）则抛物线的顶点为（－3,0），焦点为（0,0），所以p=6，所以抛物线方程是)

9、若为非零实数，则下列四个命题都成立：

① ② ③若，则

④若，则。则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的序号是。

**【答案】**②④

**【解析】** 对于①：解方程得 *a*=± *i*，所以非零复数 *a* = ± *i*  使得，①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C中，\|1\|=\|*i*\|，则 ，所以③不成立；④显然成立。则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的所有序号是②④

10、平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。已知两个相交平面与两直线，又知在内的射影为，在内的射影为。试写出与满足的条件，使之一定能成为是异面直线的充分条件 [ ]{.underline}

**【答案】** ，并且与相交（，并且与相交）

**【解析】** 作图易得"能成为是异面直线的充分条件"的是"，并且与相交"或"，并且与相交"。

11、已知圆的方程，为圆上任意一点（不包括原点）。直线的倾斜角为弧度，，则的图象大致为

![](./data/image/media/image67.png)**【答案】** ![](./data/image/media/image68.png)

**【解析】**

二、选择题（本大题满分**16**分）本大题共有**4** 题，每题都给出代号为**A**，**B**，**C**，**D**的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得**4**分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．

12、已知是实系数一元二次方程的两根，则的值为

A、 B、 C、 D、

**【答案】A**

**【解析】** 因为2+ *a* i，*b*+i（ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，所以*a*=－1，b=2，所以实系数一元二次方程的两个根是 所以。

13、已知为非零实数，且，则下列命题成立的是

A、 B、 C、 D、

**【答案】C**

**【解析】**若*a*\<*b*\<0*a^2^*\>*b^2^*，A不成立；若B不成立；若*a*=1，b=2，则,所以D不成立 ,故选C。

14、在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，，，则的可能值有

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

**【答案】B**

**【解析】解法一：**

（1） 若A为直角，则；

（2） 若B为直角，则；

（3） 若C为直角，则。

![](./data/image/media/image100.png)所以 *k* 的可能值个数是2，选B

**解法二：**数形结合．如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以 *k* 的可能值个数是2，选B

15、已知是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的，若 成立，则成立，下列命题成立的是

A、若成立，则对于任意，均有成立；

B、若成立，则对于任意的，均有成立；

C、若成立，则对于任意的，均有成立；

D、若成立，则对于任意的，均有成立。

**【答案】D**

**【解析】** 对A，当k=1或2时，不一定有成立；对B，应有成立；

对C，只能得出：对于任意的，均有成立，不能得出：任意的，均有成立；对D，对于任意的，均有成立。故选D。

三、解答题（本大题满分**90**分）本大题共有**6**题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

16、体积为1的直三棱柱中，，，求直线与平面所成角。

**【解析】法一**： 由题意，可得体积，

．连接． ，

平面，

是直线与平面所成的角．

，，

则 ＝．即直线与平面所成角的大小为．

**法二：** 由题意，可得

体积，

，

如图，建立空间直角坐标系． 得点，

，． 则，

平面的法向量为．

设直线与平面所成的角为，与的夹角为，

则， ，

即直线与平面所成角的大小为．

17、在三角形中，，求三角形的面积。

**【解析】** 由题意，得为锐角，，

，

由正弦定理得 ， ．

18、近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，已知2002年全球太阳能年生产量为670兆瓦，年增长率为34%。在此后的四年里，增长率以每年2%的速度增长（例如2003年的年生产量增长率为36%）

（1）求2006年的太阳能年生产量（精确到0.1兆瓦）

（2）已知2006年太阳能年安装量为1420兆瓦，在此后的4年里年生产量保持42%的增长率，若2010年的年安装量不少于年生产量的95%，求4年内年安装量的增长率的最小值（精确到0.1%）

**【解析】**（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为

，，，．

则2006年全球太阳电池的年生产量为 (兆瓦)．

（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则．解得．

因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到．

19、已知函数

（1）判断的奇偶性 （2）若在是增函数，求实数的范围

**【解析】**（1）当时，，

对任意，， 为偶函数．

当时，，

取，得 ，

， 函数既不是奇函数，也不是偶函数．

（2）解法一：设，

，

要使函数在上为增函数，必须恒成立．

，即恒成立．

又，． 的取值范围是．

解法二：当时，，显然在为增函数．

当时，反比例函数在为增函数，在为增函数．

当时，同解法一．

20、若有穷数列（是正整数），满足即

（是正整数，且），就称该数列为"对称数列"。

（1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项

（2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？

（3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和

**【解析】**（1）设的公差为，则，解得 ，

数列为．

（2），

，

当时，取得最大值．的最大值为626．

（3）所有可能的"对称数列"是：

① ；

② ；

③ ；

④ ．

对于①，当时，．

当时，

．

对于②，当时，．

当时，．

对于③，当时，．

当时，．

对于④，当时，．

当时，．

21、已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为"果圆"，其中。如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是"果圆" 与，轴的交点，

（1）若三角形是边长为1的等边三角形，求"果圆"的方程；

（2）若，求的取值范围；

（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。

**【解析】**（1） ，

，

于是，所求"果圆"方程为

，

（2）由题意，得 ，即．

，，得．

又． ．

（3）设"果圆"的方程为，．

记平行弦的斜率为．

当时，直线与半椭圆的交点是

，与半椭圆的交点是．

的中点满足 得 ．

， ．

综上所述，当时，"果圆"平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．

当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是．

由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，

即不在某一椭圆上．

当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．
