绝密★启用前

2006年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

（理工农医类）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

1.  选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

> (1)设*a、b、c、d*∈**R**，则复数(*a*+*b*i)(*c*+*d*i)为实数的充要条件是
>
> A.*ad*－*bc*=0 B.*ac*－*bd*=0 C. *ac*+*bd*=0 D.*ad*+*bc*=0
>
> (2)在等差数列｛*a*｝中，已知*a*=2,*a+a=13*，则*a*+*a*+*a*等于
>
> A.40 B.42 C.43 D.45
>
> (3)已知∈(,)，sin=,则tan()等于
>
> A. B.7 C.－ D.－7

(4)已知全集*U*=**R,**且*A=*｛*x*︱︱*x*－1︱\>2｝,*B*=｛*x*︱*x*－6*x*+8\<0｝，则(![](./data/image/media/image17.png)*A*)∩等于

> A.\[－1,4\] B. (2,3) C. (2,3) D.(－1,4)
>
> (5)已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于
>
> A.2 B. C. D.
>
> (6)在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于
>
> A. B. C. D.
>
> (7)对于平面和共面的直线*m、n*，下列命题中真命题是
>
> A.若*m*⊥，*m*⊥*n*，则*n*∥ B.若*m*∥，*n*∥，则*m*∥*n*
>
> C.若*m*，*n*∥，则*m*∥*n* D.若*m*、*n*与所成的角相等，则*n*∥*m*
>
> (8)函数y=㏒(*x*﹥1)的反函数是

A.*y*= (*x*\>0) B.*y*= (*x*\<0)

C.*y*= (*x*\>0) D. .*y*= (*x*\<0)

(9)已知函数*f*(*x*)=2sinx(\>0)在区间\[,\]上的最小值是－2，则的最小值等于

A. B. C.2 D.3

(10)已知双曲线(*a*\>0,*b*\<0)的右焦点为*F*，若过点*F*且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

> A.( 1,2) B. (1,2) C.\[2,+∞\] D.(2,+∞)
>
> (11)已知︱︱=1，︱︱=,=0,点*C*在∠*AOB*内，且∠*AOC*=30°，设=*m*+*n*(*m*、*n*∈**R**)，则等于

A. B.3 C. D.

> (12)对于直角坐标平面内的任意两点*A*(*x,y*)、*B*(*x*，*y*)，定义它们之间的一种"距离"：‖*AB*‖=︱*x－x*︱+︱*y－y*︱.
>
> 给出下列三个命题：

①若点*C*在线段*AB*上，则‖*AC*‖+‖*CB*‖=‖*AB*‖;

②在△*ABC*中，若∠*C*=90°，则‖*AC*‖+‖*CB*‖=‖*AB*‖；

③在△*ABC*中，‖*AC*‖+‖*CB*‖\>‖*AB*‖.

其中真命题的个数为

> A.0 B.1 C.2 D.3
>
> 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.

> (13)(*x－*)展开式中*x*的系数是 [(]{.underline}用数字作答)
>
> (14)已知直线*x*－*y*－1=0与抛物线*y*=*ax*相切，则*a= [ ]{.underline}*
>
> (15)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是 [ ]{.underline}
>
> （16）如图，连结△*ABC*的各边中点得到一个新的△*A~1~B~1~C~1~*，又连结的△*A~1~B~1~C~1~*各边中点得到，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△*ABC*，△*A~1~B~1~C~1~*，△*A~2~B~2~C~2~，...，*这一系列三角形趋向于一个点*M*，已知*A*(0,0) *,B*(3,0),*C*(2,2)，则点*M*的坐标是 [ ]{.underline} .
>
> ![](./data/image/media/image62.png)

2.  解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

> （17）（本小题满分12分）
>
> 已知函数*f*(*x*)=sin^2^*x*+*x*cos*x*+2cos^2^*x*,*x***R.**
>
> （I）求函数*f*(*x*)的最小正周期和单调增区间；
>
> （Ⅱ）函数*f*(*x*)的图象可以由函数*y*=sin2*x*(*x*∈**R**)的图象经过怎样的变换得到？
>
> （18）（本小题满分12分）
>
> 如图，四面体*ABCD*中，*O、E*分别*BD、BC*的中点,*CA*=*CB*=*CD*=*BD*=2
>
> （Ⅰ）求证：*AO*⊥平面*BCD*；
>
> （Ⅱ）求异面直线*AB*与*CD*所成角的大小；
>
> （Ⅲ）求点*E*到平面的距离.
>
> ![](./data/image/media/image65.png)
>
> （19）（本小题满分12分）
>
> 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量*y*（升）关于行驶速度*x*（千米/小时）的函数解析式可以表示为：*y*=(0\<*x*≤120).已知甲、乙两地相距100千米。
>
> （Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
>
> （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
>
> （20）（本小题满分12分）
>
> 已知椭圆的左焦点为*F*，*O*为坐标原点。
>
> （Ⅰ）求过点*O、F*，并且与椭圆的左准线*l*相切的圆的方程；
>
> （Ⅱ）设过点*F*且不与坐标轴垂直交椭圆于*A、B*两点，线段*AB*的垂直平分线与*x*轴交于点*G*，求点*G*横坐标的取值范围.
>
> ![](./data/image/media/image68.png)
>
> （21）（本小题满分12分）
>
> 已知函数*f*(*x*)=－*x+*8*x,g*(*x*)*=*6ln*x+m*
>
> （Ⅰ）求*f*(*x*)在区间\[*t*,*t*+1\]上的最大值*h*(*t*);
>
> （Ⅱ）是否存在实数*m*，使得*y*=*f*(*x*)的图象与*y*=*g*(*x*)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出*m*的取值范围；，若不存在，说明理由。
>
> （22）（本小题满分14分）
>
> 已知数列｛*a*｝满足*a=*1,*a*=2*a+*1(*n*∈**N)**
>
> （Ⅰ）求数列｛*a*｝的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b~n~}满足4^k­1-1^4^k2-1^...4^k-1^=(a~n~+1)^km^(n∈N^\*^),证明:{b~n~}是等差数列;

（Ⅲ）证明:(n∈N^\*^).\
数学试题(理工农医类)参考答案\
一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分.\
(1)D (2)B (3)A (4)C (5)D (6)A\
(7)C (8)A (9)B (10)C (11)B (12)B\
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分16分.\
(13)10 (14)　　　　　(15) (16)()

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.\
(17)本小题主要考查三角函数的基本公式，三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本识，以及推理和运算能力，满分12分.\
解:（1）f(x)=

=

=sin(2x+.\
∴f(x)的最小正周期T==π.\
由题意得2kπ-≤2x+,k∈Z,\
∴f(x)的单调增区间为［kπ-］,k∈Z.\
(2)方法一：\
先把y=sin 2x图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y=sin(2x+)的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位年度，就得到y=sin(2x+)+的图象.\
方法二：\
把y=sin 2x图象上所有的点按向量a=(-)平移，就得到y=sin(2x+)+的图象.\
(18)本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.\
方法一:\
(1)证明：连结OC.\
∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD.\
∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD.\
在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=.\
而AC=2,\
∴AO^2^+CO^2^=AC^2,\
^∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.\
![](./data/image/media/image92.png)

∴*AB*平面*BCD*.

（Ⅱ）解：取*AC*的中点*M*,连结*OM、ME、OE*，由*E*为*BC*的中点知*ME*∥*AB*,*OE*∥*DC*.

∴直线*OE*与*EM*所成的锐角就是异面直线*AB*与*CD*所成的角.

在△*OME*中，

是直角△*AOC*斜边*AC*上的中线，∴

∴

∴异面直线*AB*与*CD*所成角的大小为

（Ⅲ）解：设点*E*到平面*ACD*的距离为*h*.

,

∴·*S*~△*ACD*~ =·*AO*·*S*~△*CDE*~.

在△*ACD*中，*CA*=*CD*=2,*AD*=,

∴*S*~△*ACD*~=

而*AO*=1, *S*~△*CDE*~=

∴*h*=

∴点*E*到平面*ACD*的距离为.

方法二：

（Ⅰ）同方法一：

（Ⅱ）解：以*O*为原点，如图建立空间直角坐标系，则*B*(1，0，0)，*D*(-1，0，0)，

*C*(0，，0)，*A*(0,0,1),*E*(,,0),

∴

∴异面直线*AB*与*CD*所成角的大小为

![](./data/image/media/image112.png)（Ⅲ）解：设平面*ACD*的法向量为*n*=(*x,y,z*),则

∴

令y=1，得n=(-)是平面ACD的一个法向量.\
又

∴点E到平面ACD的距离\
h=

(19)本小题主要考查函数，导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分12分.\
解: (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时,\
要耗油(.\
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.\
(2)当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了设耗油量为h(x)升，衣题意得\
h(x)=()·,

h'(x)=(0＜x≤120＝\
令h'(x)=0，得x=80.\
当x∈(0,80)时，h'(x)＜0,h(x)是减函数;\
当x∈(80,120)时，h'(x)＞0,h(x)是增函数.\
∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.\
因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值.\
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.\
(20)本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，

考查运算能力和综合能力.满分12分.

![](./data/image/media/image68.png)

解(1) ∵a^2^=2,b^2^=1,∴c=1,F(-1,0),l:x=-2.\
∵圆过点O、F.\
∴圆心M在直线x=-

设M(-),则圆半径

r=\|(-)-(-2)\|=.\
由\|OM\|=r,得\
解得t=±,\
∴所求圆的方程为(x+)^2^+(y±) ^2^=.\
(2)设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0),\
代入+y^2^=1,整理得(1+2k^2^)x^2^+4k^2^x+2k^2^-2=0.\
∵直线AB过椭圆的左焦点F,\
∴方程有两个不等实根.\
记A(x~1~,y~1~),B(x~2~,y~2~),AB中点N(x~0~,y~0~),\
则x~1~+x~1~=-

*x*~0=~

> *AB*垂直平分线*NG*的方程为
>
> 令*y*=0，得

∵

∴点*G*横坐标的取值范围为（）。

（21）本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。

解：（I）*f*(*x*)=－*x*^2^+8*x=*－(*x*－4)^2^+16,

当*t*+1\<4，即*t*\<3时，*f*(*x*)在\[*t*，*t*+1\]上单调递增，

> *h*(*t*)=*f*(*t*+1)=－(*t*+1)^2^+8(*t*+1)=－*t*^2^+6*t*+7;

当*t*≤4≤*t*+1时,即3≤*t*≤4时，*h*(*t*)=*f*(4)=16;

当*t*\>4时，*f*(*x*)在\[*t*，*t*+1\]上单调递减，

*h*(*t*)=*f*(*x*)=－*t*^2^+8*t* .

综上，*h*(*t*)=

（II）函数*y*=*f*(*x*)的图象与*y*=*g*(*x*)的图象有且只有三个不同的交点，即函数

*ϕ*(*x*)=*g*(*x*)－*f*(*x*)的图象与*x*轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

∴*ϕ*(*x*)=*x*^2^－8*x*+16ln *x*+*m,*

∵*ϕ′*(*x*)=2*x*－8+

当x∈(0,1)时，*ϕ*′(*x*)\>0，*ϕ*(*x*)是增函数；

当x∈(1,3)时，*ϕ*′(*x*)\<0，*ϕ*(*x*)是减函数；

当x∈(3,+∞)时，*ϕ*′(*x*)\>0，*ϕ*(*x*)是增函数；

当x=1，或*x*=3时，* ϕ*′(*x*)=0；

∴*ϕ*(*x*)~极大值~=*ϕ*(1)=*m*－7,* ϕ*(*x*)~极小值~=*ϕ*(3)=*m+*6ln 3－15.

∵当*x*充分接近0时，*ϕ*(*x*)\<0，当*x*充分大时，*ϕ*(*x*)\>0.

∴要使*ϕ*(*x*)的图象与*x*轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须

既7\<*m*\<－6ln 3.

所以存在实数*m*，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，*m*的取值范围为（7，15---6ln 3）.

（22）本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。

（I）解：∵*a~n~*~+1~=2 *a~n~*+1（n∈N）,

∴*a~n~*~+1~+1=2(*a~n~*+1),

∴\| *a~n~*+1\| 是以*a*~1~+1=2为首项，2为公比的等比数列。

∴*a~n~*+1=2*^n^*，

既*a~n~*=2*^n^*－1(*n*∈N)。

（II）证法一：∵4^b1－1^4 ^b2－2^...4 ^b*n*－1^=(*a*+1)^bn^，

∵4^k1+k2+...+kn^ =2^nk^,\
∴2\[(b~1~+b~2~+...+b~n~)-n\]=nb, ①\
2\[(b~1~+b~2~+...+b~n+1~)-(n+1)\]=(n+1)b~n+1~ ②

②-①,得2(b~n+1~-1)=(n+1)b~n+1~-nb,\
即 (n-1)b~n+1~-nb~n~+2=0. ③\
nb~n+2~=(n+1)b~n+1~+2=0. ④\
④-③，得nb~n+2~-2nb~n+1-~nb~n~=0,

即 b~n+2~-2b~n+1~+b=0,

∴b~n-2~-b~n+1~=b~n~(n∈N^\*^),\
∴{b~n~}是等差数列.\
证法二：同证法一，得\
(n-1)b~n+1~=nb~n~+2=0\
令n=1，得b~1~=2.\
设b~2~=2+d(d∈R),，下面用数学归纳法证明 b~n~=2+(n-1)d.\
(1)当n=1,得b~1~=2.\
(2)假设当n=k(k≥2)时，b~1~=2+(k-1)d,那么\
b~k+1~=

这就是说，当n=k+1时，等式也成立.\
根据(1)和(2)，可知b~n~=2(n-1)d对任何n∈N^\*^都成立.\
∵b~n+1~-b~n~=d, ∴{b~n~}是等差数列.\
(3)证明：∵

∴

∵≥(),k=1,2,...,n,\
数　　学（文史类）

第Ⅰ卷(选择题　共60分)\
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.\
(1)已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，则a等于

A.2 B.1 C.0 D.-1\
(2)在等差数列{a~n~}中，已知a~1~=2,a~2~+a~3~=13,则a~4~+a~5~+a~6~等于\
A.40 B.42 C.43 D.45\
(3)"tan a=1"是"a="的\
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
