**2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I）**

**数学（理科）试卷**

（河北 河南 山西 广西）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

**第Ⅰ卷**

**注意事项：**

1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3.本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

**参考公式：**

如果事件*A、B*互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件*A、B*相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）

如果事件*A*在一次试验中发生的概率是*P*，那么*n*次独立重复试验中事件*A*恰好发生*k*次的概率

球的表面积公式 其中*R*表示球的半径

球的体积公式 其中*R*表示球的半径

**一、选择题**

‍1．*a*是第四象限角，，则

‍ A． ‍B． ‍C． ‍D．

2．设*a*是实数，且是实数，则*a*＝

‍ A． ‍B．1 ‍C． ‍D．2

‍3．已知向量*a*＝（－5，6），*b*＝（6，5），则*a*与*b*

‍ A．垂直 ‍B．不垂直也不平行

‍ C．平行且同向 ‍D．平行且反向

‍4．已知双曲线的离心率为2，焦点是（－4，0），（4，0），则双曲线方程为

‍A． ‍B．

‍C． ‍D．

‍5．设，集合

‍A．1 ‍B．－1 ‍C． 2 ‍ D．－2

‍6．下面给出的四个点中，到直线x－y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是

A．（1，1） ‍B．（－1，1） ‍C．（－1，－1） D．（1，－1）

![](./data/image/media/image21.png)‍7．如图，正四棱柱ABCD---A~1~B~1~C~1~D~1~中，AA~1~=2AB，则异面直线A~1~B与AD~1~所成角的余弦值为

‍A．

‍B．

‍C．

‍D．

‍8．设a\>1，函数在区间\[a，2a\]上的最大值与最小值之差为，则a=

‍A． ‍B．2 ‍C．2 ‍D．4

‍9．是定义在R上的函数，，则"均为偶函数"是"为偶函数"的

‍A．充要条件 ‍B．充分而不必要的条件

‍C．必要而不充分的条件 ‍D．既不充分也不必要的条件

‍10．的展开式中，常数项为15，则n＝

‍A．3 ‍B．4 ‍C．5 ‍D．6

‍11．抛物线的焦点为F，准线为*l*，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点，垂足为，且△的面积是

A．4 B．3 C．4 D．8

12．函数的一个单调增区间是

‍A．（） ‍B．（） ‍C．（） ‍D．（－）

**第Ⅱ卷（非选择题 共95分）**

**注意事项：**

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。

3．本卷共10题，共90分。

**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上。**

‍13．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 [ ]{.underline} 种。（用数字作答）

14．函数的图像与函数\>0）的图像关于直线对称，则= [ ]{.underline} 。

15．等比数列{*a~n~*}的前*n*项和*S~n~*，已知成等差数列，则{*a~n~*}的公比为 [ ]{.underline} 。

16．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上。已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 [ ]{.underline} 。

**三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。**

‍17．（本小题满分10分）

设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=2bsinA。

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）求的取值范围。

18．（本小题满分12分）

某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ζ的分布列为

  --- ----- ----- ----- ----- -----
  ζ   1     2     3     4     5
  P   0.4   0.2   0.2   0.1   0.1
  --- ----- ----- ----- ----- -----

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元。*η*表示经销一件该商品的利润。

（Ⅰ）求事件*A*："购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款"的概率*P（*A）；

（Ⅱ）求*η*的分布列及期望*Eη*。

19．（本小题满分12分）

![](./data/image/media/image54.png)四棱锥*S－ABCD*中，底面*ABCD*为平行四边形，侧面*SBC*⊥底面*ABCD*。已知∠*ABC*＝45°，*AB*＝2，*BC*=2，*SA*＝*SB*＝。

（Ⅰ）证明：*SA*⊥*BC*；

（Ⅱ）求直线*SD*与平面*SAB*所成角的大小。

20．（本小题满分12分）

设函数*f*（*x*）*＝e^x^－e^－\ x^*。

（Ⅰ）证明：*f*（*x*）的导数*f＇*（*x*）≥2；

（Ⅱ）若对所有x≥0都有*f*（*x*）≥*ax*，求*a*的取值范围。

21．（本小题满分12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为*F*~1~、*F*~2~，过*F*~1~的直线交椭圆于*B*、*D*两点，过*F*~2~的直线交椭圆于*A*、*C*两点，且*AC*⊥*BD*，垂足为*P*。

（Ⅰ）设*P*点的坐标为（*x*~0~，*y*~0~），证明：；

（Ⅱ）求四过形*ABCD*的面积的最小值。

22．（本小题满分12分）

已知数列{*a~n~*}中*a*~1~＝2，*a~n~*~＋1~＝（）（*a~n~*＋2），*n*＝1，2，3...。

（Ⅰ）求{*a~n~*}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{*b~n~*}中*b*~1~＝2，*b~n~*~＋1~=，n＝1，2，3，...，证明：

...。
