**2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）**

**数 学 (文科) 全解全析**

**一．填空题（本大题满分44分，本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）**

1．方程的解是 [ ]{.underline} ．

**【答案】**

**【解析】**

2．函数的反函数 [ ]{.underline} ．

**【答案】**

**【解析】**由

3．直线的倾斜角 [ ]{.underline} ．

**【答案】**

**【解析】**.。

4．函数的最小正周期 [ ]{.underline} ．

**【答案】**

**【解析】**。

5．以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是

[ ]{.underline} ．

**【答案】**

**【解析】**双曲线的中心为O（0,0），该双曲线的右焦点为F（3,0）则抛物线的顶点为（0,0），焦点为（3,0），所以p=6，所以抛物线方程是)。

6．若向量的夹角为，，则 [ ]{.underline} ．

**【答案】**

**【解析】**。

7．如图，在直三棱柱中，，

，，则异面直线与所成角的

大小是 [ ]{.underline} （结果用反三角函数值表示）．

**【答案】**

**【解析】**异面直线与所成角为，易求，

。

8．某工程由四道工序组成，完成它们需用时间依次为天．四道工序的先后顺序及相互关系是：可以同时开工；完成后，可以开工；完成后，可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序需要的天数最大是[　 　]{.underline}．

**【答案】3**

**【解析】**因为完成后，才可以开工，C完成后，才可以开工，完成A、C、D需用时间依次为天，且可以同时开工，该工程总时数为9天，。

9．在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是

[ ]{.underline} （结果用数值表示）．

**【答案】**

**【解析】**剩下两个数字都是奇数，取出的三个数为两偶一奇，所以剩下两个数字都是奇数的概率是。

10．对于非零实数，以下四个命题都成立：

① ； ② ；

③ 若，则； ④ 若，则．

那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是 [ ]{.underline} ．

**【答案】**②④

**【解析】** 对于①：解方程得 *a*=± *i*，所以非零复数 *a* = ± *i*  使得，①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C中，\|1\|=\|*i*\|，则 ，所以③不成立；④显然成立。则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的所有序号是②④

11．如图，是直线上的两点，且．两个半径相等的动圆分别与相切于

点，是这两个圆的公共点，则圆弧，与

线段围成图形面积的取值范围是 [ ]{.underline} ．

![](./data/image/media/image85.emf)**【答案】**

**【解析】**如图，当外切于点C时，最大，此时，两圆半径为1，等于矩形ABO~2~O~1~的面积减去两扇形面积，，随着圆半径的变化，C可以向直线靠近，当C到直线的距离。

**二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．**

12．已知，且（是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两

个根，那么的值分别是（　　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

**【答案】A**

**【解析】** 因为2+ *a* i，*b*+3i（ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，所以2+ *a* i与*b*+3i互为共轭复数，则 *a*=－3，b=2。选A。

13．圆关于直线对称的圆的方程是（　　）

Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

**【答案】C**

**【解析】**圆，圆心（1，0），半径，关于直线对称的圆半径不变，排除A、B，两圆圆心连线段的中点在直线上，C中圆的圆心为（－3，2），验证适合，故选C。

14．数列中， 则数列的极限值（　　）

Ａ．等于 Ｂ．等于 Ｃ．等于或 Ｄ．不存在

**【答案】B**

**【解析】，**选B。

15．设是定义在正整数集上的函数，且满足："当成立时，总可推

出成立"． 那么，下列命题总成立的是（　　）

Ａ．若成立，则成立

Ｂ．若成立，则成立

Ｃ．若成立，则当时，均有成立

Ｄ．若成立，则当时，均有成立

**【答案】D**

**【解析】** 对A，因为"原命题成立，否命题不一定成立"，所以若成立，则不一定成立；对B，因为"原命题成立，则逆否命题一定成立"，所以只能得出：若成立，则成立，不能得出：．若成立，则成立；对C，当k=1或2时，不一定有成立；对D，对于任意的，均有成立。故选D。

**三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．**

**16．（本题满分12分）**

在正四棱锥中，，直线与平面所成的角为，求

正四棱锥的体积．

**【解析】**作平面，垂足为．连接，

是正方形的中心，是直线与平面

所成的角．

＝，． ．

，，

．

**17．（本题满分14分）**

在中，分别是三个内角的对边．若，，求的面积．

**【解析】**由题意，得为锐角，，

，

由正弦定理得 ， ．

**18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．**

近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．

（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；

（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？

**【解析】**（1） 由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为

，，，． 则2006年全球太阳电池的年生产量为

(兆瓦)．

（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则．

解得．

因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到．

**19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．**

已知函数，常数．

（1）当时，解不等式；

（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由．

**【解析】**（1），，

． 原不等式的解为．

（2）当时，，对任意，

， 为偶函数．

当时，，

取，得 ，

，

函数既不是奇函数，也不是偶函数．

**20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．**

如果有穷数列（为正整数）满足条件，，...，，即（），我们称其为"对称数列"．

例如，数列与数列都是"对称数列"．

（1）设是7项的"对称数列"，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；

（2）设是项的"对称数列"，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；

（3）设是项的"对称数列"，其中是首项为，公差为的等差数列．求前项的和．

**【解析】**（1）设数列的公差为，则，解得 ，

数列为．

（2）

67108861．

（3）．

由题意得 是首项为，公差为的等差数列．

当时，．

当时，

综上所述，

**21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．**

我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作"果圆"，其中，，．

如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是"果圆" 与，轴的交点，是线段的中点．

（1）若是边长为1的等边三角形，求该

"果圆"的方程；

（2）设是"果圆"的半椭圆

上任意一点．求证：当取得最小值时，

在点或处；

（3）若是"果圆"上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．

**【解析】**（1） ，

，于是，

所求"果圆"方程为，．

（2）设，则

，

， 的最小值只能在或处取到．

即当取得最小值时，在点或处．

（3），且和同时位于"果圆"的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于"果圆"的半椭圆上的情形即可．

．

当，即时，的最小值在时取到，

此时的横坐标是．

当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是．

综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；

若，当取得最小值时，点的横坐标是或．
