2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数 学（文史类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试用时120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 柱体(棱柱、圆柱)的体积公式

P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么 其中S表示柱体的底面积，

P（A·B）=P（A）·P（B） 表示柱体的高

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1．设集合那么下列结论正确的是 （ ）

A． B．包含Q C． D． 真包含于P

2． 不等式的解集为 （ ）

A． B． C． D．

3．对任意实数在下列命题中，真命题是 （ ）

A．是的必要条件 B．是的必要条件

C．是的充分条件 D．是的充分条件

4．若平面向量与向量的夹角是，且，则 （ ）

A． B． C． D．

5．设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点。若，则 （ ）

A． 或 B． 6 C． 7 D．9

6．若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则=（ ）

A． B． C． D．

7．若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交

点，则的取值范围是 （ ）

A． B． C． D．

8．如图，定点A和B都在平面内，定点 C是内异于A和B的动点，

且那么，动点C在平面内的轨迹是（ ）

A．一条线段，但要去掉两个点

B．一个圆，但要去掉两个点

C．一个椭圆，但要去掉两个点

D．半圆，但要去掉两个点

9． 函数的反函数是 （ ）

A． B．

C． D．

10．函数)为增函数的区间是 （ ）

A． B． C． D．

11．如图，在长方体中，

，分别过BC、

的两个平行截面将长方体分成

三部分，其体积分别记为，,

. 若，则截面的面积为 （ ）

A． B． C． D．

12．定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数.若的最小正周期是，且当时，，则的值为 （ ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上.

13．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5。现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量.

14．已知向量若与垂直，则实数等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

15．如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.

16．从中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_个.(用数字作答)

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知

(I)求的值；

(II)求的值.

18．（本小题满分12分）

从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.

\(I\) 求所选3人都是男生的概率；

(II)求所选3人中恰有1名女生的概率；

(III)求所选3人中至少有1名女生的概率.

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点.

(I)证明 平面；

(II)求EB与底面ABCD所成的角的正切值.

20．（本小题满分12分）

设是一个公差为的等差数列，它的前10项和且成等比数列.

(I)证明；

(II)求公差的值和数列的通项公式.

21．（本小题满分12分）

已知函数是R上的奇函数，当时取得极值.

(I)求的单调区间和极大值；

(II)证明对任意不等式恒成立.

22．（本小题满分14分）

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.

\(I\) 求椭圆的方程及离心率；

(II)若求直线PQ的方程.

2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学试题（文史类）参考解答

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.

> 1.D 2.A 3.B 4.A 5.C 6.A 7.A 8.B 9.D 10.C 11.C 12.D

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.

13．80 14． 15． 16．36

三、解答题

17．本小题考查两角和正切公式，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查运算能力.满分12分.

解：

(I)解：

由 ，有

解得 ........................4分

(II)解法一： ........................6分

........................12分

解法二：由(I)，，得

..............................6分

于是 ..............................8分

..............................10分

代入得

..............................12分

18．本小题考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力.满分12分.

(I)解： 所选3人都是男生的概率为

(II)解：所选3人中恰有1名女生的概率为

(III)解：所选3人中至少有1名女生的概率为

19．本小题考查直线直线与平面平行、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分.

方法一：

(I)证明：连结AC，AC交BD于O.连结EO.

底面ABCD是正方形，点O是AC的中点

在中，EO是中位线，.

而平面EDB且平面EDB，

所以，平面EDB. ..................3分

\(II\) 解：

作交DC于F.连结BF.设正方形

ABCD的边长为.

底面ABCD，

为DC的中点.

底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为直线EB与底面ABCD所成的角.

在中，

在中，

所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为 ..............................12分

方法二(略)

20．本小题考查等差数列及其通项公式，等差数列前项和公式以及等比中项等基础知识，考查运算能力和推理论证能力。满分12分.

(I)证明：因成等比数列，故

而 是等差数列，有于是

即

化简得

(II)解：由条件和得到

由(I)，代入上式得 故

因此，数列的通项公式为......12分

21．本小题主要考查函数的单调性及奇偶性，考查运用导数研究函数单调性及极值等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力.满分12分.

\(I\) 解：由奇函数定义，应有.

即

因此，

由条件 为的极值，必有故

解得

因此，

当 时，，故在单调区间上是增函数.

当 时，，故在单调区间上是减函数.

当 时，，故在单调区间上是增函数.

所以，在处取得极大值，极大值为

(II)解：由(I)知，是减函数，且

在上的最大值

在上的最小值

所以，对任意恒有

22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力. 满分14分.

(I)解：由题意，可设椭圆的方程为

由已知得

解得

所以椭圆的方程为，离心率 ..................4分

(II)解： 由(I)可得

设直线PQ的方程为由方程组

得

依题意 得

设 则

①

②

由直线PQ的方程得 于是

③

④

由①②③④得从而

所以直线PQ的方程为

或 ........................14分
