**2005年高考理科数学全国卷Ⅱ试题及答案**

**（黑龙江**![](./data/image/media/image1.emf)**吉林**![](./data/image/media/image1.emf)**广西**![](./data/image/media/image1.emf)**内蒙古**![](./data/image/media/image1.emf)**新疆）**

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分![](./data/image/media/image2.emf)第Ⅰ卷1至2页![](./data/image/media/image2.emf)第Ⅱ卷3到10页![](./data/image/media/image2.emf)考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回![](./data/image/media/image2.emf)

**第Ⅰ卷**

**注意事项：**

**1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上**![](./data/image/media/image2.emf)

**2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑**![](./data/image/media/image2.emf)**如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号**![](./data/image/media/image2.emf)**不能答在试题卷上**![](./data/image/media/image2.emf)

**3．本卷共12小题，每小题5分，共60分**![](./data/image/media/image2.emf)**在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的**![](./data/image/media/image2.emf)

参考公式：

> 如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式
>
> 如果事件A、Ｂ相互独立，那么 其中R表示球的半径
>
> 球的体积公式
>
> 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

　

**一、选择题**

（１）函数的最小正周期是

（A） （B） （C） （D）

（２）正方体中，、、分别是、、的中点．那么，正方体的过、、的截面图形是

（A）三角形（B）四边形（C）五边形（D）六边形

（３）函数的反函数是

（A）（B）

（C）（D）

（４）已知函数在内是减函数，则

（A）０＜≤１（B）－１≤＜０（C）≥１（D）≤－１

（５）设、、、，若为实数，则

（A）（B）

（C）（D）

（６）已知双曲线的焦点为、，点在双曲线上且轴，则到直线的距离为

（A）（B）（C）（D）

（７）锐角三角形的内角、满足，则有

（A）（B）

（C）（D）

（８）已知点，，．设的平分线与相交于，那么有，其中等于

（A）２（B）（C）－３（D）－

（９）已知集合，，则为

（A）或（B）或

（C）或　　　　（D）或

（10）点在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位）．设开始时点的坐标为（－１０，１０），则５秒后点的坐标为

（A）（-2，4）（B）（-30，25）（C）（10，-5）（D）（5，-10）

（11）如果，，...，为各项都大于零的等差数列，公差，则

（A）（B）（C）++（D）=

（12）将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为

（A）（B）2+（C）4+（D）

**第Ⅱ卷**

注意事项：

> 1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上![](./data/image/media/image2.emf)
>
> **2．答卷前将密封线内的项目填写清楚**![](./data/image/media/image2.emf)
>
> **3．本卷共10小题，共90分**![](./data/image/media/image2.emf)

**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上**![](./data/image/media/image2.emf)

（13）圆心为(1,2)且与直线相切的圆的方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．

（14）设为第四象限的角，若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．

（15）在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被５整除的数共有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_个．

（16）下面是关于三棱锥的四个命题：

①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．

②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．

③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．

④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．

其中，真命题的编号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．（写出所有真命题的编号）

**三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤**![](./data/image/media/image2.emf)

（17）（本小题满分12分）

设函数，求使的取值范围．

（18） （本小题满分12分）

已知是各项均为正数的等差数列，、、成等差数列．又，...．

（Ⅰ）证明为等比数列；

（Ⅱ）如果无穷等比数列各项的和，求数列的首项和公差．

（注：无穷数列各项的和即当时数列前项和的极限）

（19）（本小题满分12分）

甲、乙两队进行一场排球比赛．根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．令为本场比赛的局数．求的概率分布和数学期望．（精确到0.0001）

（20）（本小题满分12分）

![](./data/image/media/image120.emf)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点．

（Ⅰ）求证：EF垂直于平面PAB；

（Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小．

（21）（本小题满分14分）

P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．

（22）（本小题满分12分）

已知，函数．

（Ⅰ）当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；

（Ⅱ）设f(x)在\[-1,1\]上是单调函数，求a的取值范围．

**2005年高考理科数学全国卷Ⅱ试题及答案**

**（必修+选修Ⅱ）**

**（黑龙江**![](./data/image/media/image1.emf)**吉林**![](./data/image/media/image1.emf)**广西**![](./data/image/media/image1.emf)**内蒙古**![](./data/image/media/image1.emf)**新疆）**

**参考答案**

1-6: CDBBCC![](./data/image/media/image2.emf) 7-12:ACACBC![](./data/image/media/image2.emf)

(2)分析：本题主要考查学生对截面图形的空间想像，以及用所学知识进行作图的能力，通过画图，可以得到这个截面与正方体的六个面都相交，所以截面为六边形，故选D.

\(12\) 解析一：由题意，四个半径为1的小球的球心,恰好构成一个棱长为2的正四面体，并且各面与正四面体的容器的各对应面的距离都为1![](./data/image/media/image2.emf)

如图一所示显然![](./data/image/media/image2.emf)设分别为的中点，

![](./data/image/media/image135.emf)在棱长为2的正四面体中，

,

∴　，且.

作，则，

由于,

∴ ![](./data/image/media/image2.emf)

∴　![](./data/image/media/image2.emf)

故选C![](./data/image/media/image2.emf)

解析二：由题意，四个半径为1的小球的球心,恰好构成一个棱长为2的正四面体，并且各面与正四面体的容器的各对应面的距离都为1![](./data/image/media/image2.emf)　如图二所示,　正四面体与有共同的外接球球心的相似正四面体，其相似比为：

,所以![](./data/image/media/image2.emf)

所以![](./data/image/media/image2.emf)

![](./data/image/media/image149.emf)解析三：由题意，四个半径为1的小球的球心,恰好构成一个棱长为2的正四面体，并且各面与正四面体的容器的各对应面的距离都为1![](./data/image/media/image2.emf)　如图二所示,正四面体与有共同的外接球球心的相似正四面体，从而有

,

又, 所以![](./data/image/media/image2.emf)

由于,

所以![](./data/image/media/image2.emf)

13.；14. ；15. 192；16. ①，④![](./data/image/media/image2.emf)

**(13)分析：本题就是考查点到直线的距离公式，所求圆的半径就是圆心**(1,2)到直线5x－12y－7=0的距离：，再根据后面要学习的圆的标准方程，就容易得到圆的方程：![](./data/image/media/image159.emf)

（16）分析：②显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离(斜高)相等，根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影(垂足)到底面三边所在直线的距离也相等。由于在底面所在的平面内，到底面三边所在直线的距离相等的点有4个：内心(本题的中心)1个、旁心3个。因此不能保证三棱锥是正三棱锥．

17\. 本小题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法，考查分析问题的能力和运算能力

解：∵*f* (*x*)=2^\|*x*+1\|*－*\|*x－*1\|^≥2=, 即\|*x*+1\|*－*\|*x－*1\|≥![](./data/image/media/image2.emf)

当*x*≤ *－*1时，原不等式化为：*－*2≥(舍)；

当*－*1\<*x*≤ 1时，原不等式化为：2*x*≥ ∴*x*≥![](./data/image/media/image2.emf)

∴此时，≤ *x*≤ 1![](./data/image/media/image2.emf)

当*x*\>1时, 原不等式化为：2≥,

此时,*x*\>1![](./data/image/media/image2.emf)

故原不等式的解集为：![](./data/image/media/image2.emf)

18\. 本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力

⑴证明：设{*a*~n~}中首项为*a*~1~，公差为*d*.

∵lg*a*~1~,lg*a*~2~,lg*a*~4~成等差数列 ∴2lg*a*~2~=lg*a*~1~·lg*a*~4~ ∴*a*~2~^2^=*a*~1~·*a*~4~.

即(*a*~1~+*d*)^2^=*a*~1~(*a*~1~+3*d*) ∴*d*=0或*d*=*a*~1~![](./data/image/media/image2.emf)

当*d*=0时, *a*~n~=*a*~1~, *b~n~*=, ∴，∴为等比数列；

当*d*=*a*~1~时, *a~n~*=*na*~1~ *,b~n~*=，∴，∴为等比数列![](./data/image/media/image2.emf)

综上可知为等比数列![](./data/image/media/image2.emf)

⑵∵无穷等比数列{*b~n~* }各项的和![](./data/image/media/image2.emf)

∴\|q\|\<1, 由⑴知，q=, *d*=*a*~1~ . *b~n~*=

∴, ∴*a*~1~=3![](./data/image/media/image2.emf)

∴![](./data/image/media/image2.emf)

19\. 本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力

解：*ξ*的所有取值为3,4,5

*P*(*ξ*=3)=；

*P*(*ξ*=4)=；

*P*(*ξ*=5)= ![](./data/image/media/image2.emf)

∴*ξ*的分布列为：

  ----- ------ -------- --------
  *ξ*   3      4        5
  *P*   0.28   0.3744   0.3456
  ----- ------ -------- --------

∴E*ξ*=3×0.28+4×0.3744+5×0.3456=0.84+1.4976+1.728=4.0656![](./data/image/media/image2.emf)

20\. 本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识、及思维能力和空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力

![](./data/image/media/image177.emf)解：方法一：

⑴取*PA*中点*G*, 连结*FG*, *DG*![](./data/image/media/image2.emf)

![](./data/image/media/image2.emf)

![](./data/image/media/image2.emf)

![](./data/image/media/image2.emf)

⑵设*AC*, *BD*交于*O*，连结*FO*.

![](./data/image/media/image2.emf)

设*BC*=*a*, 则*AB*=*a*, ∴*PA*=*a*, *DG*=*a*=*EF*, ∴*PB*=2*a*, *AF*=*a*.

设*C*到平面*AEF*的距离为*h*.

> ∵V~C*－A*E*F*~=V~*F－A*CE~, ∴![](./data/image/media/image2.emf)
>
> 即 ∴![](./data/image/media/image2.emf)
>
> ∴*AC*与平面*AEF*所成角的正弦值为.

即*AC*与平面*AEF*所成角为![](./data/image/media/image2.emf)

方法二：以D为坐标原点，D*A*的长为单位，建立如图所示的直角坐标系，

（1）证明：

设，其中，则，

，

![](./data/image/media/image2.emf)

![](./data/image/media/image195.emf)又，

![](./data/image/media/image2.emf)

（2）解：由得，

可得

，

则异面直线*A*C，P*B*所成的角为，

，

又，*AF*为平面*A*E*F*内两条相交直线，

，

*A*C与平面*A*E*F*所成的角为，

即*A*C与平面*A*E*F*所成的角为![](./data/image/media/image2.emf)

21\. 本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件、两点间的距离、不等式的性质等基本知识及综合分析能力

解：∵. 即.

当*MN*或*PQ*中有一条直线垂直于*x*轴时，另一条直线必垂直于*y*轴.

不妨设*MN*⊥*y*轴，则*PQ*⊥*x*轴.

∵*F*(0, 1) ∴*MN*的方程为：*y*=1，*PQ*的方程为：*x*=0分别代入椭圆中得：\|*MN*\|=, \|*PQ*\|=2![](./data/image/media/image2.emf)

![](./data/image/media/image213.emf)∴*S*~四边形*PMQN*~=\|*MN*\|·\|*PQ*\|=××2=2![](./data/image/media/image2.emf)

当*MN*,*PQ*都不与坐标轴垂直时，设*MN*的方程为*y*=*kx*+1 (*k*≠0)，代入椭圆中得

(*k*^2^+2)*x*^2^+2*kx－*1=0,

∴*x*~1~+*x*~2~=, *x*~1~·*x*~2~=![](./data/image/media/image2.emf)

∴

同理可得：![](./data/image/media/image2.emf)

∴*S*~四边形*PMQN*~=\|*MN*\|·\|*PQ*\|==

(当且仅当即时，取等号).

又*S*~四边形*PMQN\ *~=，∴此时, *S*~四边形*PMQN*~![](./data/image/media/image2.emf)

综上可知：(*S*~四边形*PMQN\ *~)*~max~*=2, (*S*~四边形*PMQN\ *~)*~min~*=![](./data/image/media/image2.emf)

22\. 本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力

解：⑴令=0 即\[*x*^2^*－*2(*a－*1)*x－*2*a*\]*e^x^*=0 ∴*x*^2^*－*2(*a－*1)*x－*2*a*=0

∵△=\[2(*a－*1)\]^2^+8*a*=4(*a*^2^+1)\>0 ∴*x*~1~=, *x*~2~=

又∵当*x*∈(*－*∞, )时，\>0；

当*x*∈(, )时，\<0；

当*x*∈(, +∞)时，\>0![](./data/image/media/image2.emf)

∴*x*~1~, *x*~2~分别为*f* (*x*)的极大值与极小值点.

又∵；当时.

而*f* ()=\<0.

∴当*x*=时，*f* (*x*)取得最小值![](./data/image/media/image2.emf)

⑵*f* (*x*)在\[*－*1, 1\]上单调，则≥ 0(或≤ 0)在\[*－*1, 1\]上恒成立![](./data/image/media/image2.emf)

而=\[*x*^2^*－*2(*a－*1)*x－*2*a*\]*e^x^*, 令*g*(*x*)= *x*^2^*－*2(*a－*1)*x－*2*a*=\[*x－*(*a－*1)\]^2^*－*(*a*^2^+1).

∴≥ 0(或≤ 0) 即*g*(*x*) ≥ 0(或≤ 0) ![](./data/image/media/image2.emf)

当*g*(*x*) ≥ 0在\[*－*1, 1\]上恒成立时，有

①当*－*1≤ *a－*1 ≤1即0≤ *a* ≤2时, *g*(*x*)~min~=*g*(*a－*1)= *－*(*a*^2^+1) ≥ 0(舍)；

②当*a－*1\>1即*a* ≥ 2时, *g*(*x*)~min~=*g*(1)= 3*－*4*a* ≥ 0 ∴*a*≤(舍).

当*g*(*x*) ≤ 0在\[*－*1, 1\]上恒成立时，有

①当*－*1≤ *a－*1 ≤ 0即0≤ *a* ≤ 1时, *g*(*x*)~m*ax*~=*g*(1)=3*－*4*a* ≤ 0, ∴≤ *a* ≤ 1；

②当0\< *a－*1 ≤ 1即1\< *a* ≤ 2时, *g*(*x*)~m*ax*~=*g*(*－*1)= *－*1 ≤ 0, ∴1\< *a* ≤ 2；

③当1\< *a－*1即*a* \> 2时, *g*(*x*)~m*ax*~=*g*(*－*1)= *－*1 ≤ 0, ∴*a* \>2![](./data/image/media/image2.emf)

故*a*∈\[,+∞) ![](./data/image/media/image2.emf)
