**2000年全国普通高等学校招生统一考试**

**上海 数学试卷（文史类）**

考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分。

一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．已知向量、，若，则 [ ]{.underline} 。

2．函数的定义域为 [ ]{.underline} 。

3．圆锥曲线的焦点坐标是 [ ]{.underline} 。

4．计算： [ ]{.underline} 。

5．已知的反函数为，若的图象经过点，则 [ ]{.underline} 。

6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP（GDP是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需 [ ]{.underline} 年。

（按：1999年本市常住人口总数约1300万）

![](./data/image/media/image13.png)7．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且 [ ]{.underline} 的三棱锥是正三棱锥。

8．设函数是最小正周期为2的偶函数，它在区间\[0，1\]上的图象为如图所示的线段AB，则在区间\[1，2\]上，= [ ]{.underline} 。

9．在二项式的展开式中，系数是小的项的系数为 [ ]{.underline} 。（结果用数值表示）

10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码不相同的概率是 [ ]{.underline} 。

11．图中阴影部分的点满足不等式组

![](./data/image/media/image17.png)，在这些点中，使目标函数取得最大

值的点的坐标是 [ ]{.underline} 。

12．在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 [ ]{.underline} 成立。

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。

13．函数是

（A）增函数 （B）减函数 （C）偶函数 （D）奇函数

\[答\]（ ）

14．设有不同的直线、和不同的平面、、，给出下列三个命题：

（1）若，，则。

（2）若，，则。

（3）若，，则。

其中正确的个数是

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

\[答\]（ ）

15．若集合是

（A） （B） （C） （D）有限集

\[答\]（ ）

16．下列命题中正确的命题是

（A）若点为角终边上一点，则。

（B）同时满足的角有且只有一个。

（C）当时，的值恒正。

（D）三角方程的解集为。

三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤

17．（本题满分12分）

已知椭圆C的焦点分别为和，长轴长为6，设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。

\[解\]

![](./data/image/media/image53.png)

18．（本题满分12分）

如图所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为，求四面体ABCD的体积。

\[解\]

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2小题满分8分。

已知函数。

（1）当时，求函数的最小值。

（2）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围。

\[解\]（1）

\[解\]（2）

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。

根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（为正时，按逆时针方向旋转，为负时，按顺时针方向旋转－），再朝其面对的方向沿直线行走距离。

![](./data/image/media/image65.png)（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点（4，4）。

（2）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）。

\[解\]（1）

\[解\]（2）

21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。

在XOY平面上有一点列对每个自然数，点位于函数的图象上，且点，点与点构成一个以为顶点的等腰三角形

（1）求点的纵坐标的表达式；

（2）若对每个自然数，以，，为边长能构成一个三角形，求的取值范围；

（3）设，若取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列前多少项的和最大？试说明理由。

\[解\]（1）

\[解\]（2）

\[解\]（3）

22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。

已知复数和，其中均为实数，为虚数单位，且对于任意复数，有，。

（1）试求的值，并分别写出和用、表示的关系式：

（2）将（、）用为点的坐标，(、)作为点的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点。

已知点经该变换后得到的点的坐标为，试求点的坐标；

（3）若直线上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求的值。

\[解\]（1）

\[解\]（2）

\[解\]（3）

**2000年全国普通高等学校招生统一考试**

**上海数学试卷（文史类）答案要点及评分标准**

说明

1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照角答中评分标准的精神进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后不解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定反面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

3．第17题至第22题中左端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数。给分或扣分均以1分为单位。

解答

一、（第1题至第12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分。

1．4 2． 3．（－4，0），（6，0） 4．

5．1 6．9 7．侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/...... 8．

9．－462 10． 11．（0，5）

12．

二、（第13题至第16题）每一题正确的给4分。

  ------ ---- ---- ---- ----
  题号   13   14   15   16
  代号   C    A    A    D
  ------ ---- ---- ---- ----

三、（第17题至第22题）

17．\[解\]设椭圆C的方程为 ...（2分）

由题意，，于是。

∴椭圆C的方程为 ...（4分）

由得

因为该二次方程的判别，所以直线与椭圆有两个不同交点。 ...（8分）

设

则，

故线段AB的中点坐标为 ...（12分）

18．\[解法一\]如图建立空间直角坐标系， ...（2分）

![](./data/image/media/image115.png)由题意，有，，

设D点的坐标为，

则， ...（6分）

则，

且所成的角的大小为。

∴，

得，故BD的长度是4， ...（10分）

又，

因此四面体ABCD的体积是， ...（12分）

\[解法二\]过A引BE的平行线，交CB的延长线于F，∠DAF是异面直线BE与AD所成的角。

![](./data/image/media/image130.png)∴∠DAF=， ...（4分）

∵E是AC的中点，∴B是CF的中点，

AF=2BE=。 ...（6分）

又BF，BA分别是DF，DA的射影，且BF=BC=BA，

∴DF=DA ...（8分）

三角形ADF是等腰三角形，

AD=， ...（10分）

因此四面体ABCD的体积是 ...（12分）

19．\[解\]（1）当时，，

在区间\[\]上为增函数， ...（3分）

在区间\[\]上的最小值为 ...（6分）

（2）\[解法一\]在区间的\[\]上，

的恒成立恒成立， ...（8分）

设，

递增，∴当时，， ...（12分）

于是当且仅当时，函数恒成立，

故 ...（14分）

（2）\[解法二\]，

当时，函数的值恒为正， ...（8分）

当时，函数递增，

故当时，， ...（12分）

于是当且仅当时，

函数恒成立，

故 ...（14分）

20．\[解\]（1），，

![](./data/image/media/image159.png)得指令为， ...（4分）

（2）设机器人最快在点处截住小球...（6分）

则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有

...（8分）

即

得。

∵要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，

∴

故机器人最快可在点处截住小球， ...（10分）

所给的指令为 ...（14分）

21．\[解\]（1）由题意，，

...（4分）

\[解\]（2）∵函数递减，

∴对每个自然数，有＞＞，

则以，，为边长能构成一个三角形的充要条件是+＞，

即， ...（7分）

解得，

∴ ...（10分）

\[解\]（3）∵，

∴，

， ...（12分）

于是,

数列是一个递减的等差数列。

因此，当且仅当，且时，数列的前项的和最大。

由，

得，

∴ ...（16分）

22．\[解\]（1）由题设，，

于是由 ...（3分）

因此由，

...（5分）

\[解\]（2）由题意，有 ...（7分）

，

即P点的坐标为。 ...（10分）

\[解\]（3）∵直线上的任意点P，其经变换后的点仍在该直线上，

∴，

即 ...（13分）

\[解法一\]∵当时，，不是同一条直线，

∴，

于是， ...（16分）

即

解得 ...（18分）

\[解法二\]取直线上的点。

...（16分）

经检验，确实满足条件 ...（18分）
