**2005年高考文科数学**![](./data/image/media/image1.emf)**福建卷**![](./data/image/media/image1.emf)**试题及答案**

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

祝各位考生考试顺利！

第I卷（选择题 共60分）

**注意事项**：

1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．

> 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合R\|，等于 （ ）

A．P B．Q C．{1，2} D．{0，1，2}

2．不等式的解集是 （ ）

A． B．

C． D．

3．已知等差数列中，，则的值是 （ ）

A．15 B．30 C．31 D．64

4．函数在下列哪个区间上是减函数 （ ）

A． B． C． D．

5．下列结论正确的是 （ ）

A．当 B．

C．的最小值为2 D．当无最大值

![](./data/image/media/image22.emf)6．函数的图象如图，其中*a*、b为常数，则下列结论正确的是 （ ）

A．

B．

C．

D．

7．已知直线m、n与平面，给出下列三个命题：

①若

②若

③若

其中真命题的个数是 （ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

8．已知的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9．已知定点A、B且\|AB\|=4，动点P满足\|PA\|－\|PB\|=3，则\|PA\|的最小值是 （ ）

A． B． C． D．5

10．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ）

A．300种 B．240种 C．144种 D．96种

11．如图，长方体ABCD---A~1~B~1~C~1~D~1~中，AA~1~=AB=2，

> ![](./data/image/media/image36.emf)AD=1，点E、F、G分别是DD~1~、AB、CC~1~的中
>
> 点，则异面直线A~1~E与GF所成的角是（ ）

A． B．

C． D．

12．是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）

A．5 B．4 C．3 D．2

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置![](./data/image/media/image2.emf)

13．展开式中的常数项是 [ ]{.underline} （用数字作答）![](./data/image/media/image2.emf)

14．在△ABC中，∠A=90°，的值是 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2.emf)

15．非负实数满足的最大值为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2.emf)

16．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：

若函数的图象与的图象关于 [ ]{.underline} 对称，则函数= [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2.emf)

（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）.

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知.

（I）求sin*x*－cos*x*的值；

（Ⅱ）求的值.

18．（本小题满分12分）

甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投不中得0分.

（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；

（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；

19．已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.

（Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S~n~，当n≥2时，比较S~n~与b~n~的大小，并说明理由.

20．（本小题满分12分）

已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，*f*（－1））处的切线方程为.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）求函数的单调区间.

21．（本小题满分12分）

![](./data/image/media/image58.emf)如图，直二面角D---AB---E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B---AC---E的大小；

（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.

22．（本小题满分14分）

已知方向向量为***v***=(1,)的直线*l*过点（0，－2）和椭圆C：的焦点，且椭圆C的中心关于直线*l*的对称点在椭圆C的右准线上.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.

![](./data/image/media/image62.emf)

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**参考答案**

1． D． 2． A． 3． A．4． C． 5． B． 6． D．

7． C．8． B． 9． C．10． B． 11． D．12． B．

13． 240 ![](./data/image/media/image2.emf)14． ![](./data/image/media/image2.emf)15． 9 ![](./data/image/media/image2.emf)

16． ① ,![](./data/image/media/image2.emf)② ,![](./data/image/media/image2.emf)

③ ,![](./data/image/media/image2.emf)④ ,![](./data/image/media/image2.emf)

17．（本小题满分12分）

已知.

（I）求sin*x*－cos*x*的值；

（Ⅱ）求的值.

本题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、各个象限内三角函数符号的特点等基本知识，以及推理和运算能力![](./data/image/media/image2.emf)

解法一：（Ⅰ）由

即

又

故

解法二：（Ⅰ）联立方程

由①得将其代入②，整理得

故

18．（本小题满分12分）

甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投不中得0分.

（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；

（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；

本题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力![](./data/image/media/image2.emf)

解：（I）依题意，记"甲投一次命中"为事件A，"乙投一次命中"为事件B，则，

恰好命中一次的概率为=

（Ⅱ）"甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中"的事件是"甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球均未命中"的事件C的对立事件，

而![](./data/image/media/image2.emf)

∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为![](./data/image/media/image2.emf)

答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为![](./data/image/media/image2.emf)

另法：（II）"甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中"的事件是"甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球均未命中"的事件C的对立事件，

而![](./data/image/media/image2.emf)

∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为![](./data/image/media/image2.emf)

答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为![](./data/image/media/image2.emf)

19．已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.

（Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S~n~，当n≥2时，比较S~n~与b~n~的大小，并说明理由.

本题主要考查等差数列、等比数列及不等式的基本知识，考察利用分类讨论的思想分析和解决问题的能力

（1）由题意可知，；

（II）

当

20．（本小题满分12分）

已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，*f*（－1））处的切线方程为.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）求函数的单调区间.

本题考查函数的单调性，导数的运用等知识，考察运用数学知识、分析问题和解决问题的能力![](./data/image/media/image2.emf)

解：（I）由函数的图像经过点（0，2）可知，，

，∵在点M（－1，*f*（－1））处的切线方程为.

，

（II）

21．（本小题满分12分）

![](./data/image/media/image58.emf)如图，直二面角D---AB---E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B---AC---E的大小；

（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.

本题主要考查直线、直线和平面基点和平面的距离等基础知识，考察空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力![](./data/image/media/image2.emf)

（I）

（II）连结AC、BD交于G，连结FG，∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∵BF⊥平面ACE，∴FG⊥AC，∠FGB为二面角B-AC-E的平面角，由（I）可知，AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，又AE=EB，AB=2，AE=BE=，

在直角三角形BCE中，CE=

![](./data/image/media/image112.emf)在正方形中，BG=，在直角三角形BFG中，

∴二面角B-AC-E为![](./data/image/media/image2.emf)

（III）由（II）可知，在正方形ABCD中，BG=DG，D到平面ACB的距离等于B到平面ACE的距离，BF⊥平面ACE，线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为D到平面ACE的距离![](./data/image/media/image2.emf)所以D到平面的距离为![](./data/image/media/image2.emf)

另法：过点E作交AB于点O. OE=1.

∵二面角D---AB---E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.

设D到平面ACE的距离为h，

平面BCE，

∴点D到平面ACE的距离为

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为*x*轴，AB所在直线为*y*轴，过O点平行于AD的直线为*z*轴，建立空间直角坐标系O---*xyz*，如图.

面BCE，BE面BCE， ，

在的中点，

设平面AEC的一个法向量为，

![](./data/image/media/image130.emf)则

解得

令得是平面AEC的一个法向量.

又平面BAC的一个法向量为，

∴二面角B---AC---E的大小为

（III）∵AD//z轴，AD=2，∴，

∴点D到平面ACE的距离

22．（本小题满分14分）

已知方向向量为***v***=(1,)的直线*l*过点（0，－2）和椭圆C：的焦点，且椭圆C的中心关于直线*l*的对称点在椭圆C的右准线上.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.

![](./data/image/media/image62.emf)

本题考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力

（I）解法一：直线， ①

过原点垂直的直线方程为， ②

解①②得

∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，

∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.

故椭圆C的方程为 ③

解法二：直线.

设原点关于直线对称点为（p，q），则解得p=3.

∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，

∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.

故椭圆C的方程为 ③

![](./data/image/media/image151.emf)（II）解法一：设M（），N（）.

当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得

点O到直线MN的距离

即

![](./data/image/media/image163.emf) 即

整理得

当直线*m*垂直*x*轴时，也满足.

故直线*m*的方程为

或或

经检验上述直线均满足.

所以所求直线方程为或或

解法二：设M（），N（）.

当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得

∵E（－2，0）是椭圆C的左焦点，

∴\|MN\|=\|ME\|+\|NE\|

=

以下与解法一相同.

解法三：设M（），N（）.

设直线，代入③，整理得

即

∴=，整理得

解得或

故直线*m*的方程为或或

经检验上述直线方程为

所以所求直线方程为或或

22．（本小题满分14分）

已知数列{*a~n~*}满足*a*~1~=*a*, *a*~n+1~=1+我们知道当*a*取不同的值时，得到不同的数列，如当*a*=1时，得到无穷数列：

（Ⅰ）求当*a*为何值时*a*~4~=0；

> （Ⅱ）设数列{b~n­~}满足b~1~=－1, b~n+1~=，求证*a*取数列{b~n~}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{*a~n~*}；

（Ⅲ）若，求*a*的取值范围.

本题主要考查数列不等式的基础知识，考察逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力![](./data/image/media/image2.emf)

（I）解法1：

解法2：

（II）

所以数列{只能有n项为有穷数列![](./data/image/media/image2.emf)

（III）

所以这就是所求的取值范围![](./data/image/media/image2.emf)
