**2005年高考理科数学**![](./data/image/media/image1.emf)**福建卷**![](./data/image/media/image1.emf)**试题及答案**

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回![](./data/image/media/image2.emf)

祝各位考生考试顺利！

第I卷（选择题 共60分）

**注意事项**：

1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上![](./data/image/media/image2.emf)

> 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上![](./data/image/media/image2.emf)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的![](./data/image/media/image2.emf)

1．复数的共轭复数是 （ ）

A． B． C． D．

2．已知等差数列中，，则的值是 （ ）

A．15 B．30 C．31 D．64

3．在△ABC中，∠C=90°，则k的值是 （ ）

A．5 B．－5 C． D．

4．已知直线m、n与平面，给出下列三个命题：

①若

②若

③若

其中真命题的个数是 （ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

![](./data/image/media/image18.emf)5．函数的图象如图，其中*a*、b为常数，则下列结论正确的是 （ ）

A．

B．

C．

D．

6．函数的部分图象如图，则 （ ）

![](./data/image/media/image25.emf) A． B．

C． D．

7．已知p：则p是q的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

![](./data/image/media/image31.emf) C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．如图，长方体ABCD---A~1~B~1~C~1~D~1~中，AA~1~=AB=2，

> AD=1，点E、F、G分别是DD~1~、AB、CC~1~的中
>
> 点，则异面直线A~1~E与GF所成的角是（ ）

A． B．

C． D．

9．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ）

A．300种 B．240种 C．144种 D．96种

10．已知F~1~、F~2~是双曲线的两焦点，以线段F~1~F~2~为边作正三角形MF~1~F~2~，若边MF~1~的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

A． B． C． D．

11．设的最小值是 （ ）

A． B． C．－3 D．

12．是定义在**R**上的以3为周期的奇函数，且在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置![](./data/image/media/image2.emf)

13．展开式中的常数项是 [ ]{.underline} （用数字作答）![](./data/image/media/image2.emf)

14．非负实数满足的最大值为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2.emf)

15．若常数b满足\|b\|\>1，则 [ ]{.underline} .

16．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：

若函数的图象与的图象关于[\_\_\_\_]{.underline}对称，则函数=[\_\_\_\_\_\_]{.underline}![](./data/image/media/image2.emf)

（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）.

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知.

（I）求sin*x*－cos*x*的值；

（Ⅱ）求的值.

18．（本小题满分12分）

甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投不中得0分.

（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；

（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；

19．（本小题满分12分）

已知函数的图象在点M（－1，*f*(*x*)）处的切线方程为*x*+2y+5=0.

（Ⅰ）求函数y=*f*(*x*)的解析式；

（Ⅱ）求函数y=*f*(*x*)的单调区间.

20．（本小题满分12分）

如图，直二面角D---AB---E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

![](./data/image/media/image57.emf)（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B---AC---E的大小；

（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.

21．（本小题满分12分）

已知方向向量为***v***=(1,)的直线*l*过点（0，－2）和椭圆C：的焦点，且椭圆C的中心关于直线*l*的对称点在椭圆C的右准线上.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.

![](./data/image/media/image61.emf)

22．（本小题满分14分）

已知数列{*a~n~*}满足*a*~1~=*a*, *a*~n+1~=1+我们知道当*a*取不同的值时，得到不同的数列，如当*a*=1时，得到无穷数列：

（Ⅰ）求当*a*为何值时*a*~4~=0；

> （Ⅱ）设数列{b~n­~}满足b~1~=－1, b~n+1~=，求证*a*取数列{b~n~}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{*a~n~*}；

（Ⅲ）若，求*a*的取值范围.

**2005年高考理科数学**![](./data/image/media/image1.emf)**福建卷**![](./data/image/media/image1.emf)**试题及答案**

**参考答案**

1． B． 2． A．3． A． 4． C． 5． D． 6． C．

7． A． 8． D． 9． B． 10． D． 11． C． 12． D？．

12．解答：∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0![](./data/image/media/image2.emf)

∵f(x)是以3为周期，f(2)＝0

∴f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝0![](./data/image/media/image2.emf)　f(5)＝f(2＋3)＝f(2)＝0![](./data/image/media/image2.emf)　　

∵f(－1)＝f(2－3)＝f(2)＝0；f(x)是奇函数，f(－1)＝－f(1)＝0。∴f(1)＝0![](./data/image/media/image2.emf)

　f(4)＝f(1＋3)＝f(1)＝0![](./data/image/media/image2.emf)

∵f(x)是以3为周期，∴f(1.5)＝f(1.5－3)＝f(－1.5)＝－f(1.5) ![](./data/image/media/image2.emf) 

也就是f(1.5)＝－f(1.5)，即2f(1.5)＝0,　f(1.5)＝0![](./data/image/media/image2.emf)　　f(4.5)＝f(1.5＋3)＝0![](./data/image/media/image2.emf)

由此可见，f(x)＝0在区间(0,6)内的解有7个，分别是：1、2、3、4、5、1.5、4.5![](./data/image/media/image2.emf)　

四个选项中都没有正确答案![](./data/image/media/image2.emf)　

说明出题者当时忽视了f(4.5)＝f(1.5)＝0也成立的情况![](./data/image/media/image2.emf)

构造出符合四个条件[（1）定义在**R**上；（2）奇函数；（3）周期为3；（4）*f*(2)=0]{.underline}的一个函数*f*(*x*)=sin*x*+sin*x，图像如下：*

![](./data/image/media/image68.emf)

只需后面再加上一项sin2πx，图像如下：

![](./data/image/media/image69.emf)

就可以在上一个原有的根不变的的基础上增加四个根：

若再增加一项：sin4πx

![](./data/image/media/image71.emf)

在前一个原有的根不变的基础上又可以增加四个根：这样符合四个条件的函数的根就有15个！

13． 240![](./data/image/media/image2.emf) 14． 9 ![](./data/image/media/image2.emf) 15． .

16．① ,![](./data/image/media/image2.emf)② ,![](./data/image/media/image2.emf)

③ ,![](./data/image/media/image2.emf)④ ,![](./data/image/media/image2.emf)

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知.

（I）求sin*x*－cos*x*的值；

（Ⅱ）求的值.

本题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、各个象限内三角函数符号的特点等基本知识，以及推理和运算能力![](./data/image/media/image2.emf)

解法一：（Ⅰ）由

即

又

故

（Ⅱ）

解法二：（Ⅰ）联立方程

由①得将其代入②，整理得

故

（Ⅱ）

18．（本小题满分12分）

甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投不中得0分.

（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；

（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；

本题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力![](./data/image/media/image2.emf)

解：（Ⅰ）依题意，记"甲投一次命中"为事件A，"乙投一次命中"为事件B，则

甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0、1、2，则ξ概率分布为：

  --- --- --- ---
  ξ   0   1   2
  P           
  --- --- --- ---

答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为.

（Ⅱ）"甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中"的事件是"甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球均未命中"的事件C的对立事件，

而![](./data/image/media/image2.emf)

∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为![](./data/image/media/image2.emf)

答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为![](./data/image/media/image2.emf)

19．（本小题满分12分）

已知函数的图象在点M（－1，*f*(*x*)）处的切线方程为*x*+2y+5=0.

（Ⅰ）求函数y=*f*(*x*)的解析式；

（Ⅱ）求函数y=*f*(*x*)的单调区间.

本题考查函数的单调性，导数的运用等知识，考察运用数学知识、分析问题和解决问题的能力![](./data/image/media/image2.emf)

解：由函数f(x)的图像在点M（-1，）处的切线的方程为x+2y+5=0,知，

，∴![](./data/image/media/image2.emf)

（II），

；

由得到，

所以函数*f*(*x*) 在上单调递减，在上单调递增![](./data/image/media/image2.emf)

20．（本小题满分12分）

如图，直二面角D---AB---E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

![](./data/image/media/image57.emf)（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B---AC---E的大小；

（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.

本题主要考查直线、直线和平面基点和平面的距离等基础知识，考察空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力![](./data/image/media/image2.emf)

（I）

（II）连结AC、BD交于G，连结FG，∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∵BF⊥平面ACE，∴FG⊥AC，∠FGB为二面角B-AC-E的平面角，由（I）可知，AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，又AE=EB，AB=2，AE=BE=，

在直角三角形BCE中，CE=

![](./data/image/media/image121.emf)在正方形中，BG=，在直角三角形BFG中，

∴二面角B-AC-E为![](./data/image/media/image2.emf)

（III）由（II）可知，在正方形ABCD中，BG=DG，D到平面ACB的距离等于B到平面ACE的距离，BF⊥平面ACE，线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为D到平面ACE的距离![](./data/image/media/image2.emf)所以D到平面的距离为![](./data/image/media/image2.emf)

另法：过点E作交AB于点O. OE=1.

∵二面角D---AB---E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.

设D到平面ACE的距离为h，

平面BCE，

∴点D到平面ACE的距离为

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为*x*轴，AB所在直线为*y*轴，过O点平行于AD的直线为*z*轴，建立空间直角坐标系O---*xyz*，如图.

面BCE，BE面BCE， ，

在的中点，

设平面AEC的一个法向量为，

则

解得

![](./data/image/media/image141.emf) 令得是平面AEC的一个法向量.

又平面BAC的一个法向量为，

∴二面角B---AC---E的大小为

（III）∵AD//z轴，AD=2，∴，

∴点D到平面ACE的距离

21．（本小题满分12分）

已知方向向量为***v***=(1,)的直线*l*过点（0，－2）和椭圆C：的焦点，且椭圆C的中心关于直线*l*的对称点在椭圆C的右准线上.

![](./data/image/media/image61.emf)（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.

本题考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力

（I）解法一：直线， ①

过原点垂直的直线方程为， ②

解①②得

∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，

∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.

故椭圆C的方程为 ③

解法二：直线.

设原点关于直线对称点为（p，q），则解得p=3.

∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，

∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.

故椭圆C的方程为 ③

（II）解法一：设M（），N（）.

![](./data/image/media/image162.emf)当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得

点O到直线MN的距离

即

![](./data/image/media/image172.emf) 即

整理得

当直线*m*垂直*x*轴时，也满足.

故直线*m*的方程为

或或

经检验上述直线均满足.

所以所求直线方程为或或

解法二：设M（），N（）.

当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得

∵E（－2，0）是椭圆C的左焦点，

∴\|MN\|=\|ME\|+\|NE\|

=

以下与解法一相同.

解法三：设M（），N（）.

设直线，代入③，整理得

即

∴=，整理得

解得或

故直线*m*的方程为或或

经检验上述直线方程为

所以所求直线方程为或或

22．（本小题满分14分）

已知数列{*a~n~*}满足*a*~1~=*a*, *a*~n+1~=1+我们知道当*a*取不同的值时，得到不同的数列，如当*a*=1时，得到无穷数列：

（Ⅰ）求当*a*为何值时*a*~4~=0；

> （Ⅱ）设数列{b~n­~}满足b~1~=－1, b~n+1~=，求证*a*取数列{b~n~}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{*a~n~*}；

（Ⅲ）若，求*a*的取值范围.

本题主要考查数列不等式的基础知识，考察逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力![](./data/image/media/image2.emf)

（I）解法1：

解法2：

（II）

所以数列{只能有n项为有穷数列![](./data/image/media/image2.emf)

（III）解法一：因为

所以

这就是所求的取值范围![](./data/image/media/image2.emf)

解法二：

为运算方便，引入**Fibonacci数列：**

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233...

令

当n＞1时，F~n+2~- F~n+1~ ＝ F~n~，而 ![](./data/image/media/image2.emf)

容易观察得到 ![](./data/image/media/image2.emf)

特别地，

所以，当时，对于，

由

恒成立；所以![](./data/image/media/image2.emf)

所以

这就是所求的取值范围![](./data/image/media/image2.emf)
