**1991年试题**

**(理工农医类)**

**一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.**

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【 】

\[Key\]

**一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.**

常规卷和A型卷答案

(1)A

(2)焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是

(A)y2=8(x+1) (B)y2=-8(x+1)

(C)y2=8(x-1) (D)y2=-8(x-1)

【 】

\[Key\] (2)D

(3)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是

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【 】

\[Key\] (3)B

(4)如果把两条异面直线看成"一对",那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有

(A)12对 (B)24对 (C)36对 (D)48对

【 】

\[Key\] (4)B

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![](./data/image/media/image4.wmf)

【 】

\[Key\] (5)A

(6)如果三棱锥SABC的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相

等,且顶点S在底面的射影O在△ABC内,那么O是△ABC的

(A)垂心 (B)重心 (C)外心 (D)内心

【 】

\[Key\] (6)D

(7)已知{an}是等比数列,且an\>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于

(A)5 (B)10 (C)15 (D)20

【 】

\[Key\] (7)A

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(A)(0,0),(6,π) (B)(-3,0),(3,0)

(C)(0,0),(3,0) (D)(0,0),(6,0)

【 】

\[Key\] (8)D

(9)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有

(A)140种 (B)84种 (C)70种 (D)35种

【 】

\[Key\] (9)C

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(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

【 】

\[Key\] (10)C

(11)设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么

(A)丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件

(B)丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件

(C)丙是甲的充要条件

(D)丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件

【 】

\[Key\] (11)A

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(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

【 】

\[Key\] (12)C

(13)如果奇函数f(x)在区间\[3,7\]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间\[-7,-3\]上是

(A)增函数且最小值为－5 (B)增函数且最大值为－5

(C)减函数且最小值为－5 (D)减函数且最大值为－5

【 】

\[Key\] (13)B

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(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

【 】

\[Key\] (14)C

(15)设全集为R,f(x)=sinx,g(x)=cosx,M={x│f(x)≠0},N={x│g(x)≠0},那么集合{x│f(x)g(x)=0}等于

![](./data/image/media/image9.wmf)

【 】

**\[Key\]** (15)D

**二、填空题:把答案填在题中横线上.**

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(18)已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是

45°,那么这个正三棱台的体积等于 [ ]{.underline} .

(19)在(ax+1)7的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项,若实数

a\>1,那么a= [ ]{.underline} .

(20)在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直,且PA＝PB＝PC＝a.那么这个球面的面积是 [ ]{.underline} .

**\[Key\] 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.**

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**三、解答题.**

(21)求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的x的集合.

\[Key\] **三、解答题.**

**(21)本小题考查三角形函数式的恒等变形及三角函数的性质.**

**解:**y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x

=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x

=1+sin2x+(1+cos2x)

=2+sin2x+cos2x

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![](./data/image/media/image14.wmf)

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\[Key\] **(22)本小题考查复数基本概念和运算能力.**

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(23)已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC＝2.求点B到平面EFG的距离.

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\[Key\] **(23)本小题考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,以及逻辑推理和空间想象能力.**

**解:**如图,连结EG、FG、EF、BD、AC.EF、BD分别交AC于H、O. 因为ABCD是正方形,E、F分别为AB和AD的中点,故EF∥BD,H为AO的中点.

BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛盾.

由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,

所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离.

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∵BD⊥AC,

∴EF⊥HC.

∵GC⊥平面ABCD,

∴EF⊥GC,

∴EF⊥平面HCG.

∴平面EFG⊥平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线.

作OK⊥HG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG,所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离.

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注:未证明"BD不在平面EFG上"不扣分.

(24)根据函数单调性的定义,证明函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上

是减函数.

\[Key\] **(24)本小题考查函数单调性的概念,不等式的证明,以及逻辑推理能力.**

**证法一:**在(-∞,+∞)上任取x1,x2,且x1\<x2,

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∵x1\<x2,

∴x1-x2\<0.

![](./data/image/media/image21.wmf)

所以,函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.

**证法二:**在(-∞,+∞)上任取x1,x2,且x1\<x2,

![](./data/image/media/image22.wmf)

∵ x1\<x2,

∴ x1-x2\<0.

∵ x1,x2不同时为零,

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![](./data/image/media/image24.wmf)

即 f(x2)\<f(x1).

所以,函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.

(25)已知n为自然数,实数a\>1,解关于x的不等式

![](./data/image/media/image25.wmf)

\[Key\] **(25)本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识,以及分析问题的能**

**力.**

**解:**利用对数换底公式,原不等式左端化为

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因为a\>1,②式等价于

![](./data/image/media/image27.wmf)

![](./data/image/media/image28.wmf)

![](./data/image/media/image29.wmf)

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logax\<loga(x2-a).

因为a\>1,②式等价于

![](./data/image/media/image31.wmf)

![](./data/image/media/image32.wmf)

**\[Key\] (26)本小题考查双曲线性质,两点距离公式,两直线垂直条件,代数二次方程等基本知识,以及综合分析能力.**

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依题意知,点P,Q的坐标满足方程组

![](./data/image/media/image34.wmf)

将②式代入①式,整理得

(5b2-3a2)x2+6a2cx-(3a2c2+5a2b2)=0. ③

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根据根与系数的关系,有

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整理得3c(x1+x2)-8x1x2-3c2=0. ⑥

将④,⑤式及c2=a2+b2代入⑥式,并整理得

3a4+8a2b2-3b4=0,

(a2+3b2)(3a2-b2)=0.

因为 a2+3b2≠0,解得b2=3a2,

![](./data/image/media/image39.wmf)

整理得(x1+x2)2-4x1x2-10=0. ⑦

将④,⑤式及b2=3a2,c=2a代入⑦式,解得a2=1.

将a2 =1代入b2=3a2 得 b2=3.

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**解法二:**④式以上同解法一.

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将④式及c2=a2+b2代入⑤式并整理得 3a4+8a2b2-3b4=0,

即 (a2+3b2)(3a2-b2)=0.

因a2+3b2≠0,解得b2=3a2.

![](./data/image/media/image42.wmf)

即 (x2-x1)2=10. ⑥

将④式代入⑥式并整理得

(5b2-3a2)2-16a2b4=0.

将b2=3a2代入上式,得a2=1,

将a2=1代入b2=3a2得b2=3.

故所求双曲线方程为

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