**2000年全国普通主等学校招生统一考试**

**上海 数学试卷（理工农医类）**

考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分

一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．已知向量(－1，2)、=(3，m)，若┴，则m= [ ]{.underline} 。

2．函数，的定义域为 [ ]{.underline} 。

3．圆锥曲线的焦点坐标是 [ ]{.underline} 。

4．计算：= [ ]{.underline} 。

5．已知的反函数为的图象经过点，则= [ ]{.underline} 。

6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP是指国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需 [ ]{.underline} 年。

（按：1999年本市常住人口总数约1300）

![](./data/image/media/image11.png)7．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A的等价题B可以是：底面为正三角形，且 [ ]{.underline} 的三棱锥是正三棱锥。

8．设函数是最小正周期为2的偶函数，它在区间\[0，1\]上的图象为如图所示的线段，则在区间\[1，2\]上= [ ]{.underline} 。

9．在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为 [ ]{.underline} ，（结果用数值表示）

10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 [ ]{.underline} 。

11．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线两点，则 [ ]{.underline} 。

12．在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相就夺：在等此数列中，若，则有等式 [ ]{.underline} 成立。

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。

13．复数

\[答\]（ ）

14．设有不同的直线、和不同的平面、、，给出下列三个命题：

（1）若，，则。 （2）若，，则。

（3）若,，则。

其中正确的个数是

（A）0． （B）1． （C）2． （D）3．

\[答\]（ ）

15．若集合是：

.

\[答\]（ ）

16．下列命题中正确的命题是

（A）若点为角终边上一点，则。

（B）同时满足的角有且只有一个。

（C）当时，的值恒正。

（D）三角方程的解集为。

\[答\]（ ）

三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

17．（本题满分12分）

已知椭圆的焦点分别为，长轴长为6，设直交椭圆于、两点，求线段的中点坐标。

![](./data/image/media/image53.png)\[解\]

18．（本题满分12分）

如图所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为，求四面体ABCD的体积。

\[解\]

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。已知函数。

（1）当时，求函数的最小值：

（2）若对任意恒成立，试求实数的取值范围。

\[解\]（1）

\[解\]（2）

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。

根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（为正时，按逆时针方向旋转，为负时，按顺时针方向旋转－），再朝其面对的方向沿直线行走距离。

（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点（4，4）。

![](./data/image/media/image64.png)（2）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）。

\[解\]（1）

\[解\]（2）

21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。

在XOY平面上有一点列对每个自然数，点，位于函数的图象上，且点，点构成一个以为顶点的等腰三角形。

（1）求点的纵坐标的表达式。

（2）若对每个自然数，以，为边长能构成一个三角形，求取值范围。

（3）设，若取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列的最大项的项数。

\[解\]（1）

\[解\]（2）

\[解\]（3）

22．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。

已知复数均为实数，为虚数单位，且对于任意复数。

（1）试求的值，并分别写出和用、表示的关系式；

（2）将(、)作为点的坐标，(、)作为点的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点，

当点在直线上移动时，试求点经该变换后得到的点的轨迹方程；

（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。

\[解\]（1）

\[解\]（2）

\[解\]（3）

**2000年全国普通高等学校招生统一考试**

**上海数学试卷（理工农医类）答案要点及评分标准**

说明

1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅以底，不要因为考生的解称中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

3．第17至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数，给分或扣分均以1分为单位。

解答

一、（第1题至第12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分。

1．4． 2． 3．(－4，0)，(6，0)。 4．。 5．1． 6．9． 7．侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/...... 8．X． 9．－462。 10． 11． 12．

二、（第13题至第16题）第一题正确的给4分。

  ------ ---- ---- ---- ----
  题号   13   14   15   16
  代号   C    A    A    D
  ------ ---- ---- ---- ----

三、（第17题至第22题）

17．\[解\]设椭圆C的方程为

由题意

因为该二次方程的判别式△＞0，所以直线与椭圆有两个不同交点， ...（8分）

![](./data/image/media/image97.png)设

18．\[解法一\]如图建立空间直角坐标系 ...（2分）

由题意，有A(0，2，0)，C(2，0，0)，E(1，1，0)。设D点的坐标为(0，0，z)，则

又

\[解法二\]过A引BE的平行线，交与CB的延长线于F，∠DAF是异面直线BE与AD所成的角，

![](./data/image/media/image102.png)∴∠DAF= ...（4分）

∵E是AC的中点，∴B是CF的中点，

AF=2BE=。 ...（6分）

又BF，BA分别是DF，DA的射影，且BF=BC=BA。

∴DF=DA。 ...（8分）

三角形ADF是等腰三角形，，

故， ...（10分）

又，

因此四面体ABCD的体积是， ...（12分）

19．\[解\]（1）当，

在区间上为增函数， ...（3分）

地区间上最小值为， ...（6分）

（2）\[解法一\]在区让上，

恒成立， ...（8分）

设，

递增，∴当时，， ...（12分）

于是当且仅当时，函数恒成立，

故。 ...（14分）

（2）\[解法二\]，当时，函数的值恒为正， ...（8分）

当时，函数递增，故当， ...（12分）

![](./data/image/media/image125.png)于是当且仅当时，函数恒成立，故。 ...（14分）

20．\[解\]（1），得指令为， ...（4分）

（2）设机器人最快在点处截住小球 ...（6分）

则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有，...（8分）。

即，得或，

∵要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，，

故机器人最快可在点处截住小球， （10分）

所给的指令为， （14分）

21．\[解\]（1）由题意，，∴， ...（4分）

\[解\]（2）∵函数递减，

∴对每个自然数n，有，则以为边长能构成一个三角形的充要条件是，

即 ...（7分）

解得或 ∴， ...（10分）

\[解\]（3）∴ ∴ ...（12分）

数列是一个递减的正数数列，对每个自然数，

于是当时，，当时，，

因此，数列的最大项的项数满足不等式且。

22．\[解\]（1）由题设，，

于是由， ...（3分）

因此由，

得关系式 ...（5分）

\[解\]（2）设点在直线上，则其经变换后的点满足

， ...（7分）

消去，得，

故点的轨迹方程为 ...（10分）

\[解\]（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，

∴所求直线可设为， ...（12分）

\[解法一\]∵该直线上的任一点，其经变换后得到的点

仍在该直线上，

∴，

即，

当时，方程组无解，

故这样的直线不存在。 ...（16分）

当时，由

得，

解得或，

故这样的直线存在，其方程为或， ...（18分）

\[解法二\]取直线上一点，其经变换后的点仍在该直线上，

∴，

得， ...（14分）

故所求直线为，取直线上一点，其经变换后得到的点仍在该直线上。

∴， ...（16分）

即，得或，

故这样的直线存在，其方程为或， ...（18分）
