2004年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数 学

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式

P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互独立，那么

P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R表示球的半径球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是

P，那么n次独立重复试验中恰好发生*k*

次的概率 其中R表示球的半径

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1．若的终边所在象限是

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．对于，给出下列四个不等式

① ②

③ ④

其中成立的是

A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④

3．已知*α*、*β*是不同的两个平面，直线，命题无公共点；命题

. 则的

A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件

4．设复数*z*满足

A．0 B．1 C． D．2

5．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p~1~，乙解决这个问题的概率是

p~2~，那么恰好有1人解决这个问题的概率是

A． B．

C． D．

6．已知点、，动点，则点P的轨迹是

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

7．已知函数，则下列命题正确的是

A．是周期为1的奇函数 B．是周期为2的偶函数

C．是周期为1的非奇非偶函数 D．是周期为2的非奇非偶函数

8．已知随机变量的概率分布如下：

  -- --- --- --- --- --- --- --- --- --- ----
     1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
                                         m
  -- --- --- --- --- --- --- --- --- --- ----

则

A． B． C． D．

9．已知点、，动点P满足. 当点P的纵坐标是时，

点P到坐标原点的距离是

A． B． C． D．2

10．设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该

平面的距离是球半径的一半，则球的体积是

A． B． C． D．

11．若函数的图象（部分）如图所示，则的取值是

A． B．

C． D．

12．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个

座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是

A．234 B．346 C．350 D．363

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13．若经过点P（－1，0）的直线与圆相切，则此直线在y轴上

的截距是 [ ]{.underline} .

14．= [ ]{.underline} .

15．如图，四棱柱ABCD---A~1~B~1~C~1~D~1~的底面ABCD

为正方形，侧棱与底面边长均为2*a*，

且，则侧棱AA~1~和截面B~1~D~1~DB的距离是 [ ]{.underline} .

16．口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出

5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 [ ]{.underline} .（以

数值作答）

三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知四棱锥P---ABCD，底面ABCD是菱形，平面ABCD，PD=AD，

点E为AB中点，点F为PD中点.

（1）证明平面PED⊥平面PAB；

（2）求二面角P---AB---F的平面角的余弦值.

18．（本小题满分12分）

设全集U=R

（1）解关于*x*的不等式

（2）记A为（1）中不等式的解集，集合，

若（ ~∪~A）∩B恰有3个元素，求*a*的取值范围.

19．（本小题满分12分）

设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线*l*交椭圆于点A、B，O是坐标原点，

点P满足，点N的坐标为，当*l*绕点M旋转时，求：

（1）动点P的轨迹方程；

（2）的最小值与最大值.

20．（本小题满分12分）

甲方是一农场，乙方是一工厂. 由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方

索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润*x*

（元）与年产量t（吨）满足函数关系.

若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格），

（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润

的年产量；

（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大

利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的

赔付价格s是多少？

21．（本小题满分14分）

已知函数的最大值不大于，又当

（1）求*a*的值；

（2）设

22．（本小题满分12分）

已知函数.

（1）求函数的反函数的导数

（2）假设对任意成立，求实

数m的取值范围.

2004年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数学试题答案与评分参考

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.

1.D 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D 7.B 8.C 9.A 10.A 11.C 12.B

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题4分，满分16分.

13．1 14． 15．*a* 16．

三、解答题

17．本小题主要考查空间中的线面关系，四棱锥的有关概念及余弦定理等基础知识，考查空

间想象能力和推理能力. 满分12分.

（1）证明：连接BD.

为等边三角形.

是AB中点，............2分

面ABCD，AB面ABCD，

面PED，PD面PED，面PED.............4分

面PAB，面PAB. ........................6分

（2）解：平面PED，PE面PED，

连接EF，PED，

为二面角P---AB---F的平面角. ............ 9分

设AD=2，那么PF=FD=1，DE=.

在

即二面角P---AB---F的平面角的余弦值为...12分

18．本小题主要考查集合的有关概念，含绝对值的不等式，简单三角函数式的化简和已知三

角函数值求角等基础知识，考查简单的分类讨论方法，以及分析问题和推理计算能力. 满

分12分.

解：（1）由

当时，解集是R；

当时，解集是........................3分

（2）当时，（ ~∪~A）=；

当时， ~∪~A=........................5分

因

由............8分

当（ ~∪~A）∩B怡有3个元素时，*a*就满足 解得...12分

19．本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以

及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 满分

12分.

（1）解法一：直线*l*过点M（0，1）设其斜率为k，则*l*的方程为

记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组

的解...............................2分

将①代入②并化简得，，所以

于是

............6分

设点P的坐标为则

消去参数k得 ③

当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方

程为..................8分

解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以

④ ⑤

④---⑤得，所以

当时，有 ⑥

并且 ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 ⑧

当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）

也满足⑧，所以点P的轨迹方程为

..................8分

（2）解：由点P的轨迹方程知所以

......10分

故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，

最大值为........................12分

注：若将代入的表达式求解，可参照上述标准给分.

21．本小题主要考查函数和不等式的概念，考查数学归纳法，以及灵活运用数学方法分析和

解决问题的能力. 满分14分.

（1）解：由于的最大值不大于所以

① ..................3分

又所以. ②

由①②得..................6分

（2）证法一：（i）当n=1时，，不等式成立；

因时不等式也成立.

（ii）假设时，不等式成立，因为的

对称轴为知为增函数，所以由得

..................8分

于是有

............12分

所以当n=k+1时，不等式也成立.

根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立.............14分

证法二：（i）当n=1时，，不等式成立；

（ii）假设时不等式成立，即，则当n=k+1时，

..................8分

因所以

......12分

于是 因此当n=k+1时，不等式也成立.

根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立.............14分

证法三：（i）当n=1时，不等式成立；

（ii）假设时.

若则 ①............8分

所以都是增函数.

因此当时，的最大值为的最小值为

而不等式②成立当且仅当即

，于是得 ..................12分

解法二：由得

设

于是原不等式对于恒成立等价于 ③...7分

由，注意到

故有，从而可均在

上单调递增，因此不等式③成立当且仅当

即 ..................12分
