**2005年高考文科数学**![](./data/image/media/image1.emf)**天津卷**![](./data/image/media/image1.emf)**试题及答案**

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟![](./data/image/media/image2.emf)第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页![](./data/image/media/image2.emf)考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回![](./data/image/media/image2.emf)

祝各位考生考试顺利！

**第Ⅰ卷 (选择题 共50分)**

**注意事项：**

1\. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码![](./data/image/media/image2.emf)

2\. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑![](./data/image/media/image2.emf)如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号![](./data/image/media/image2.emf)答在试卷上的无效![](./data/image/media/image2.emf)

**参考公式：**

> 如果事件*A*、*B*互斥，那么 球的体积公式
>
> 如果事件*A*、*B*相互独立，那么 其中*R*表示球的半径

 柱体(棱柱、圆柱)的体积公式

> 如果事件*A*在一次试验中发生的概率 *V*~柱体~*Sh*
>
> 是*P*，那么*n*次独立重复试验中恰好发 其中*S*表示柱体的底面积，
>
> 生*k*次的概率 *h*表示柱体的高![](./data/image/media/image2.emf)
>
> 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是最符合题目要求的![](./data/image/media/image2.emf)
>
> (1)设集合N}的真子集的个数是(　　)
>
> \(A\) 16 (B) 8； (C) 7 (D) 4

(2)已知，则( )

> \(A\) 2*^b^*\>2*^a^*\>2*^c^*； (B) 2*^a^*\>2*^b^*\>2*^c^*； (C) 2*^c^*\>2*^b^*\>2*^a^* (D) 2*^c^*\>2*^a^*\>2*^b^*
>
> (3)某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为(　　)
>
> \(A\) (B) (C) (D)
>
> (4)将直线2*x**y**λ*0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆*x*^2^*y*^2^2*x*4*y*0相切，则实数*λ*的值为
>
> \(A\) 3或7 (B) 2或8 (C) 0或10 (D) 1或11
>
> (5)设为平面，为直线，则的一个充分条件是(　　)
>
> \(A\) (B)
>
> \(C\) (D)
>
> (6)设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为(　　)
>
> \(A\) (B) (C) (D)
>
> (7)给出下列三个命题：①若,则；②若正整数和满足,则；③设为圆上任一点，圆以为圆心且半径为1.当时,圆与圆相切

其中假命题的个数为(　　)

> \(A\) 0 (B) 1 (C) 2 (D)3

![](./data/image/media/image39.emf)(8)函数*y**A*(sin*ωx**ϕ*)(*ω*\>0，，*x*∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为 ( )

> \(A\)
>
> \(B\)
>
> \(C\)
>
> \(D\)
>
> (9)若函数在区间内恒有*f*(*x*)\>0，则*f*(*x*)的单调递增区间为(　　)
>
> \(A\) 　　　　　　(B)
>
> \(C\) (0,∞) 　　　　　(D)
>
> (10)设*f*(*x*)是定义在R上以6为周期的函数，*f*(*x*)在(0,3)内单调递增，且*y**f*(*x*)的图象关于直线*x*3对称，则下面正确的结论是(　　)
>
> \(A\) *f*(1.5)\<*f*(3.5)\<*f*(6.5) (B) *f*(3.5)\<*f*(1.5)\<*f*(6.5)
>
> \(C\) *f*(6.5)\<*f*(3.5)\<*f*(1.5) (D) *f*(3.5)\<*f*(6.5)\<*f*(1.5)
>
> **第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)**

**注意事项：**

1\. 答卷前将密封线内的项目填写清楚

2\. 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上

> 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上![](./data/image/media/image2.emf)
>
> (11)二项式的展开式中常数项为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(用数字作答)．
>
> ![](./data/image/media/image51.emf)(12)已知，，与的夹角为，以，为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_![](./data/image/media/image2.emf)
>
> \(13\) 如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a则异面直线PB与AC所成角的正切值等于\_\_\_\_\_\_\_\_．
>
> (14)在数列{*a~n~*}中，*a*~1~1，*a*~2~2，且N^\*^)则S~10~\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_![](./data/image/media/image2.emf)
>
> ![](./data/image/media/image60.emf)(15)设函数，则函数的定义域为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_![](./data/image/media/image2.emf)
>
> (16)在三角形的每条边上各取三个分点(如图)![](./data/image/media/image2.emf)以这9个分点为顶点可画出若干个三角形![](./data/image/media/image2.emf)若从中任意抽取一个三角形，则其三个顶点分别落在原三角形的三条不同边上的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(用数字作答)![](./data/image/media/image2.emf)
>
> 三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤![](./data/image/media/image2.emf)
>
> (17)(本小题满分12分)
>
> 已知，，求sin*α*及![](./data/image/media/image2.emf)
>
> (18)(本小题满分12分)
>
> 若公比为*c*的等比数列的首项且满足(*n*3,4,...)![](./data/image/media/image2.emf)
>
> (Ⅰ)求*c*的值；
>
> (Ⅱ)求数列的前*n*项和![](./data/image/media/image2.emf)
>
> （19）（本小题满分12分）
>
> 如图，在斜三棱柱中，，侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点
>
> ![](./data/image/media/image76.emf)（Ⅰ）求与底面ABC所成的角
>
> （Ⅱ）证明∥平面
>
> （Ⅲ）求经过四点的球的体积![](./data/image/media/image2.emf)
>
> ![](./data/image/media/image81.emf)(20)(本小题满分12)
>
> 某人在一山坡*P*处观看对面山项上的一座铁塔![](./data/image/media/image2.emf)如图所示，塔及所在的山崖可视为图中的竖线*OC*，塔高*BC*80(米)，山高*OB*220(米)，*OA*200(米)，图中所示的山坡可视为直线*l*且点*P*在直线*l*上，与水平地面的夹角为*α*，t![](./data/image/media/image2.emf)试问，此人距山崖的水平地面多高时，观看塔的视角∠*BPC*最大(不计此人的身高)？
>
> (21)(本小题满分14分)
>
> 已知*m*∈R，设*P*：和是方程的两个实根，不等式
>
> 对任意实数∈\[-1,1\]恒成立；
>
> *Q*：函数在(－∞,+∞)上有极值![](./data/image/media/image2.emf)
>
> 求使*P*正确且*Q*正确的*m*的取值范围![](./data/image/media/image2.emf)
>
> (22)(本小题满分14分)
>
> 抛物线*C*的方程为，过抛物线*C*上一点*P*(*x*~0~,*y*~0~)(*x*~0~≠0)作斜率为*k*~1~,*k~2~*的两条直线分别交抛物线*C*于*A*(*x*~1~,*y*~1~)、B(*x*~2~,*y*~2~)两点(*P*、*A*、*B*三点互不相同)，且满足![](./data/image/media/image2.emf)
>
> (Ⅰ)求抛物线*C*的焦点坐标和准线方程
>
> (Ⅱ)设直线*AB*上一点*M*，满足，证明线段*PM*的中点在*y*轴上
>
> (Ⅲ)当1时，若点*P*的坐标为(1,1)，求∠*PAB*为钝角时点*A*的纵坐标的取值范围

**2005年高考文科数学**![](./data/image/media/image1.emf)**天津卷**![](./data/image/media/image1.emf)**试题及答案**

**参考答案**

一、选择题(每小题5分，共50分)

  ------ ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- --------
  题号   \(1\)   \(2\)   \(3\)   \(4\)   \(5\)   \(6\)   \(7\)   \(8\)   \(9\)   \(10\)
  答案   C       A       B       A       D       C       B       A       D       B
  ------ ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- --------

二、填空题(每小题4分，共24分)

(11)210； (12)； (13)； (14)35； (15)(2,1)∪(1,2)； (16)．

三、解答题(共76分，以下各题为累计得分，其他解法请相应给分)

(17)解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得

，即 ①

由题设条件，应用二倍角余弦公式得

故 ②

由①和②式得，![](./data/image/media/image2.emf)

因此，，由两角和的正切公式

解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得，

解得　　，即![](./data/image/media/image2.emf)

由可得![](./data/image/media/image2.emf)

由于，且，故*α*在第二象限![](./data/image/media/image2.emf)于是，

从而![](./data/image/media/image2.emf)

以下同解法一![](./data/image/media/image2.emf)

(18)解：(Ⅰ)解：由题设，当时，，

，

由题设条件可得，因此，即![](./data/image/media/image2.emf)

解得*c*＝1或![](./data/image/media/image2.emf)

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)，需要分两种情况讨论，

当*c*＝1时，数列是一个常数列，即 (*n*∈N^\*^)![](./data/image/media/image2.emf)

这时，数列的前*n*项和![](./data/image/media/image2.emf)

当时，数列是一个公比为的等比数列，即 (*n*∈N^\*^)![](./data/image/media/image2.emf)

这时，数列的前*n*项和

①

1.  式两边同乘，得

②

①式减去②式，得

![](./data/image/media/image129.emf)所以(*n*∈N^\*^)![](./data/image/media/image2.emf)

（19）解：（Ⅰ）过作平面，垂足为．

连结，并延长交于，

于是为与底面所成的角．

∵，∴为的平分线．

又∵，∴，且为的中点．

因此，由三垂线定理．

∵，且，∴．

于是为二面角的平面角，

即．

由于四边形为平行四边形，得．

（Ⅱ）证明：设与的交点为，则点为的中点．连结．

在平行四边形中，因为的中点，故．

而平面，平面，所以平面．

（Ⅲ）连结．在和中，由于，，，则

≌，故．由已知得．

又∵平面，∴为的外心．

设所求球的球心为，则，且球心与中点的连线．

在中，．故所求球的半径，球的体积．

(20)解：如图所示，建立平面直角坐标系，则，，．

直线的方程为，即．

![](./data/image/media/image198.emf)设点的坐标为，则()

由经过两点的直线的斜率公式

，

．

由直线到直线的角的公式得

()

要使达到最大，只须达到最小．

由均值不等式．当且仅当时上式取等号．故当时最大．这时，点的纵坐标为．

由此实际问题知，，所以最大时，最大．故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角最大．

(21)解：(Ⅰ)由题设和是方程的两个实根，得

\+*＝*且＝－2，

所以，

当∈\[-1,1\]时，的最大值为9，即≤3![](./data/image/media/image2.emf)

由题意，不等式对任意实数∈\[1,1\]恒成立的*m*的解集等于不等式的解集![](./data/image/media/image2.emf)由此不等式得

　　　　①

或　　 　　②

不等式①的解为![](./data/image/media/image2.emf)

不等式②的解为或![](./data/image/media/image2.emf)

因为，对或或时，*P*是正确的![](./data/image/media/image2.emf)

(Ⅱ)对函数求导

令，即![](./data/image/media/image2.emf)此一元二次不等式的判别式

![](./data/image/media/image2.emf)

若∆＝0，则有两个相等的实根，且的符号如下：

  -- -------- --- -------
     (－∞,)       (,+∞)
     \+       0   \+
  -- -------- --- -------

因为，*f*()不是函数*f*()的极值![](./data/image/media/image2.emf)

若∆\>0，则有两个不相等的实根和 (\<)，且的符号如下：

  ----- -------- --- ------ --- -------
  *x*   (－∞,)       (，)       (,+∞)
        +       0   －    0   \+
  ----- -------- --- ------ --- -------

因此，函数*f*()在＝处取得极大值，在＝处取得极小值![](./data/image/media/image2.emf)

综上所述，当且仅当∆\>0时，函数*f*()在(－∞,+∞)上有极值![](./data/image/media/image2.emf)

由得或，

因为，当或时，Q是正确得![](./data/image/media/image2.emf)

综上，使P正确且Q正确时，实数m的取值范围为(-∞,1)∪![](./data/image/media/image2.emf)

(22)解：(Ⅰ)由抛物线的方程()得，

焦点坐标为，准线方程为．

(Ⅱ)证明：设直线的方程为，

直线的方程为．

点和点的坐标是方程组

的解．将②式代入①式得，

于是，故　③

又点和点的坐标是方程组

的解．将⑤式代入④式得．

于是，故．

由已知得，，则．　　⑥

设点的坐标为，由，则．

将③式和⑥式代入上式得，即．

所以线段的中点在轴上．

(Ⅲ)因为点在抛物线上，所以，抛物线方程为．

由③式知，代入得．

将代入⑥式得，代入得．

因此，直线、分别与抛物线的交点、的坐标为

，．

于是，，

．

因为钝角且、、三点互不相同，故必有．

求得的取值范围是或．

又点的纵坐标满足，故

当时，；当时，．

即
