**2005年高考理科数学**![](./data/image/media/image1.emf)**湖北卷**![](./data/image/media/image1.emf)**试题及答案**

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分![](./data/image/media/image2.emf)在每小题给出的上个选项中，中有一项是符合题目要求的![](./data/image/media/image2.emf)）

1．设P、Q为两个非空数集，定义集合P+Q={a+b\|a∈P，b∈Q}![](./data/image/media/image2.emf)若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q中元素的个数是

A．9 B．8 C．7 D．6

2．对任意实数a，b，c，给出下列命题：

①"a=b"是"ac=bc"的充要条件；

②"a+5是无理数"是"a是无理数"的充要条件；

③"a\>b"是"a^2^\>b^2^"的充分条件；

④"a\<5"是"a\<3"的必要条件![](./data/image/media/image2.emf)

其中真命题的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

3．=

A．-2-i B．-2+i C．2-i D．2+i

4． 函数的图象大致是 （ ）

![](./data/image/media/image5.emf) ![](./data/image/media/image6.emf) ![](./data/image/media/image7.emf)![](./data/image/media/image8.emf)

5．双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为

A． B． C． D．

6．在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

7．若，则

A．（0，） B．（，） C．（，） D．（，）

8．若，则常数a，b的值为

A．a=-2，b=4 B．a=2，b=-4

C．a=-2，b=-4 D．a=2，b=4

9．若，则2x与3sinx的大小关系：

A．2x\>3sinx B．2x\<3sinx C．2x=3sinx D．与x的取值有关

![](./data/image/media/image33.emf)10．如图，在三棱柱中，点E、F、H、K分别为、、、 的中点，G为ΔABC的重心![](./data/image/media/image2.emf)从K、H、G、中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为

A．K B．H

C．G D．

11．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，...，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，...，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：

①7，34，61，88，115，142，169，223，250；

②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；

③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；

④30![](./data/image/media/image2.emf)57![](./data/image/media/image2.emf)84![](./data/image/media/image2.emf)111![](./data/image/media/image2.emf)138![](./data/image/media/image2.emf)165![](./data/image/media/image2.emf)192![](./data/image/media/image2.emf)219![](./data/image/media/image2.emf)246![](./data/image/media/image2.emf)270![](./data/image/media/image2.emf)

关于上述样本的下列结论中，正确的是

A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样

C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样

12．以平行六面体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分 ,共16分![](./data/image/media/image2.emf)把答案填写在答题卡相应的位置上![](./data/image/media/image2.emf)）

13．已知向量a=（-2，2），b=（5，k）![](./data/image/media/image2.emf)若\|a+b\|不超过5，则k的取值范围是 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2.emf)

14．的展开式中整理后的常数项等于 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2.emf)

15．设等比数列{}的公比为q，前n项和为，若，，成等差数列，则q的值为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2.emf)

16．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元![](./data/image/media/image2.emf)在满足需要的条件下，最少要花费 [ ]{.underline} 元![](./data/image/media/image2.emf)

三、解答题（本大题共6小题，共74分![](./data/image/media/image2.emf)解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤![](./data/image/media/image2.emf)）

17．（本小题满分12分）

已知向量***a***=(，x+1)，***b***= (1-x，t)![](./data/image/media/image2.emf)若函数=***a***·***b***在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围![](./data/image/media/image2.emf)

18．（本小题满分12分）

在ΔABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值![](./data/image/media/image2.emf)

19．（本小题满分12分）

某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一量某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止![](./data/image/media/image2.emf)如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9![](./data/image/media/image2.emf)求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列和的期望，并求李明在一所内领到驾照的概率![](./data/image/media/image2.emf)

20．（本小题满分12分）

![](./data/image/media/image57.emf)如图，在四棱锥P---ABC右，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点![](./data/image/media/image2.emf)

（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，

并求出N点到AB和AP的距离![](./data/image/media/image2.emf)

21．（本小题满分12分）

设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点![](./data/image/media/image2.emf)

（Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由![](./data/image/media/image2.emf)

22．（本小题满分14分）

已知不等式，其中n为大于2的整数，表示不超过的最大整数![](./data/image/media/image2.emf)设数列{}的各项为正，且满足，![](./data/image/media/image2.emf)

（Ⅰ）证明：，；

（Ⅱ）猜测数列{}是否有极限？如果有，写出极限的值；

（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当n\>N时，对任意b\>0，都有![](./data/image/media/image2.emf)

**2005年高考理科数学**![](./data/image/media/image1.emf)**湖北卷**![](./data/image/media/image1.emf)**试题及答案**

**参考答案**

1．B 2．B 3．C 4．D 5．A 6．B

7．C 8．C 9．D 10．C 11．D 12．A

13．\[-6，2\] 14． 15．-2 16．500

17．解法一：依定义![](./data/image/media/image2.emf)

则，

若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设≥0![](./data/image/media/image2.emf)

∴≥0在（-1，1）上恒成立![](./data/image/media/image2.emf)

考虑函数，由于的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，故要使在（-1，1）上恒成立，即t≥5![](./data/image/media/image2.emf)

而当t≥5时，在（-1，1）上满足\>0，即在（-1，1）上是增函数![](./data/image/media/image2.emf)

故t的取值范围是t≥5![](./data/image/media/image2.emf)

解法二：依定义，

![](./data/image/media/image2.emf)

若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设≥0![](./data/image/media/image2.emf)

∵的图象是开口向下的抛物线，

∴当且仅当，且时，

在（-1，1）上满足\>0，即在（-1，1）上是增函数![](./data/image/media/image2.emf)

故t的取值范围是t≥5![](./data/image/media/image2.emf)

18．解法一：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且，设BE=x![](./data/image/media/image2.emf)

在ΔBDE中利用余弦定理可得：

，

，解得，（舍去）![](./data/image/media/image2.emf)

故BC=2，从而，即![](./data/image/media/image2.emf)

又，故，![](./data/image/media/image2.emf)

解法二：以B为坐标原点，为x轴正向建立直角坐标指法，且不妨设点A位于第一象限![](./data/image/media/image2.emf)

由，则，

设=（x，0），则![](./data/image/media/image2.emf)

由条件得![](./data/image/media/image2.emf)

从而x=2，（舍去）![](./data/image/media/image2.emf)故![](./data/image/media/image2.emf)

于是![](./data/image/media/image2.emf)

∴![](./data/image/media/image2.emf)

解法三：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BP=DP，连接AP、PC![](./data/image/media/image2.emf)

过窗PN⊥BC交BC的延长线于N，则，

，

![](./data/image/media/image108.emf)而，∴BC=BN=CN=2，，

![](./data/image/media/image2.emf)

故由正弦定理得，∴![](./data/image/media/image2.emf)

19．解：的取值分别为1，2，3，4![](./data/image/media/image2.emf)

=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P（=1）=0.6![](./data/image/media/image2.emf)

=2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P（=2）=（1-0.6）×0.7=0.28![](./data/image/media/image2.emf)

=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故

P（=3）=（1-0.6）×（1-0.7）×0.8=0.096![](./data/image/media/image2.emf)

=4，表明李明在第一、二、三次考试都未通过，故

P（=4）=（1-0.6）×（1-0.7）×（1-0.8）=0.024![](./data/image/media/image2.emf)

∴李明实际参加考试次数的分布列为

  --- ----- ------ ------- -------
      1     2      3       4
  P   0.6   0.28   0.096   0.024
  --- ----- ------ ------- -------

∴的期望E=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544![](./data/image/media/image2.emf)

李明在一年内领到驾照的概第为

1-（1-0.6）×（1-0.7）×（1-0.8）×（1-0.9）=0.9976![](./data/image/media/image2.emf)

20．解法一：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则A、B、C、D、P、E的坐标分别为A（0，0，0），

B（，0，0），C（，1，0），D（0，1，0），

P（0，0，2），E（0，，2）![](./data/image/media/image2.emf)

从而=（，1，0），=（，0，-2）![](./data/image/media/image2.emf)

设与的夹角为，则

，

∴AC与PB所成角的余弦值为![](./data/image/media/image2.emf)

（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，0，z），

则![](./data/image/media/image2.emf)

![](./data/image/media/image123.emf)由NE⊥面PAC可得：即

化简得

即N点的坐标为（，0，1），从而N点到AB、AP的距离分别为1，![](./data/image/media/image2.emf)

解法二：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，

∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角![](./data/image/media/image2.emf)

在ΔAOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，

∴![](./data/image/media/image2.emf)

即AC与PB所成角的余弦值为![](./data/image/media/image2.emf)

（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则![](./data/image/media/image2.emf)

连PF，则在RtΔADF中DF=![](./data/image/media/image2.emf)

设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，

∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC![](./data/image/media/image2.emf)从而NE⊥面PAC![](./data/image/media/image2.emf)

∴N点到AB的距离=AP=1，N点到AP的距离=AF=![](./data/image/media/image2.emf)

21．（Ⅰ）解法一：依题意，可设直线AB的方程为y=k（x-1）+3，

代入，整理得：

![](./data/image/media/image2.emf)①

设A（），B（），则，是方程①的两个不同的根，

∴，②

且![](./data/image/media/image2.emf)由N（1，3）是线段AB的中点，得=2，

∴![](./data/image/media/image2.emf)解得k=-1，代入②得，

即的取值范围是（12，+∞）![](./data/image/media/image2.emf)

于是直线AB的方程为，即![](./data/image/media/image2.emf)

解法二：设A（），B（），则有

![](./data/image/media/image2.emf)

依题意，![](./data/image/media/image2.emf)

∵N（1，3）是AB的中点，∴=2，=6，从而![](./data/image/media/image2.emf)

又由N（1，3）在椭圆内，∴，

∴的取值范围是（12，+∞）![](./data/image/media/image2.emf)

直线AB的方程为，即![](./data/image/media/image2.emf)

（Ⅱ）解法一：∵CD垂直平分AB，

∴直线CD的方程为y-3=x-1，即x-y+2=0![](./data/image/media/image2.emf)代入椭圆方程，整理得

![](./data/image/media/image2.emf)③

又设C（），D（），CD的中点为M（），

则，是方程③的两根，

∴+=-1，且，即M（，）![](./data/image/media/image2.emf)

于是由弦长公式可得![](./data/image/media/image2.emf)④

将直线AB的方程代入椭圆方程得

![](./data/image/media/image2.emf)⑤

同理可得![](./data/image/media/image2.emf)⑥

∵当时，\>，

∴\|AB\|\<\|CD\|![](./data/image/media/image2.emf)

假设存在，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心![](./data/image/media/image2.emf)

点M到直线AB的距离为

![](./data/image/media/image2.emf)⑦

于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得

![](./data/image/media/image2.emf)

故当时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，\|\|为半径的圆上![](./data/image/media/image2.emf)

（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：

A、B、C、D共圆ACD为直角三角形，A为直角

> ，

即![](./data/image/media/image2.emf)⑧

由⑥式知，⑧式左边=，

由④⑦知，⑧式右边=![](./data/image/media/image2.emf)

∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆![](./data/image/media/image2.emf)）

解法二：由（Ⅱ）解法一知，

∵CD垂直平分AB，

∴直线CD的方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得

![](./data/image/media/image2.emf)③

将直线AB的方程代入椭圆方程整理得

![](./data/image/media/image2.emf)⑤

解③和⑤式可得，，

不妨设A（，），

C（，），D（，）![](./data/image/media/image2.emf)

∴，

，

计算可得，

∴A在以CD为直径的圆上![](./data/image/media/image2.emf)

又B为A关于CD的对称点，

∴A、B、C、D四点共圆![](./data/image/media/image2.emf)

（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）

22．（Ⅰ）证法一：∵当n≥2时，，

∴，即，

于是有，，...，，

所有不等式两边相加可得 ![](./data/image/media/image2.emf)

由已知不等式知，当n≥3时有![](./data/image/media/image2.emf)

∵，∴![](./data/image/media/image2.emf)

∴![](./data/image/media/image2.emf)

证法二：设，首先利用数学归纳法证不等式

![](./data/image/media/image2.emf)

（ⅰ）当n=3时，由，

知不等式成立![](./data/image/media/image2.emf)

（ⅱ）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即，则

即当n=k+1时，不等式也成立![](./data/image/media/image2.emf)

由（ⅰ）（ⅱ）知，![](./data/image/media/image2.emf)

又由已知不等式得![](./data/image/media/image2.emf)

（Ⅱ）有极限，且![](./data/image/media/image2.emf)

（Ⅲ）∵，令，

则有，

故取N=1024，可使沁n\>N时，都有![](./data/image/media/image2.emf)
