**2004年普通高等学校招生全国统一考试**

**数学（文史类）（老课程）**

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

**第I卷**

参考公式：

三角函数的和差化积公式

一、选择题

（1）设集合，，

则集合中元素的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

（2）函数的最小正周期是（ ）

A． B． C． D．

\(3\) 记函数的反函数为，则（ ）

A． 2 B． C． 3 D．

(4) 等比数列中， ，则的前4项和为（ ）

> A． 81 B． 120 C．168 D． 192

\(5\) 圆在点处的切线方程是（ ）

A． B．

C． D．

\(6\) 展开式中的常数项为（ ）

A． 15 B． C． 20 D．

\(7\) 设复数的幅角的主值为，虚部为，则（ ）

A． B．

C． D．

\(8\) 设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则双曲线的离心率（ ）

A． 5 B． C． D．

\(9\) 不等式的解集为（ ）

A． B．

C． D．

\(10\) 正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）

A． B． C． D．

\(11\) 在中，，则边上的高为（ ）

A． B． C． D．

\(12\) 4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）

A． 12 种 B． 24 种 C 36 种 D． 48 种

**第Ⅱ卷**

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上.

\(13\) 函数的定义域是 [ ]{.underline} .

\(14\) 用平面α截半径为R的球，如果球心到平面α的距离为，那么截得小圆的面积与球

的表面积的比值为 [ ]{.underline} .

\(15\) 函数的最大值为 [ ]{.underline} .

\(16\) 设P为圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为

[ ]{.underline} .

三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

(17)（本小题满分12分）

解方程

\(18\) （本小题满分12分）

已知α为锐角，且的值.

\(19\) （本上题满分12分）

设数列是公差不为零的等差数列，S~n~是数列的前n项和，且

，求数列的通项公式.

20．（本小题满分12分）

某村计划建造一个室内面积为800m^2^的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧

内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少

时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？

\(21\) （本小题满分12分）

三棱锥P---ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.

\(1\) 求证AB⊥BC；

\(2\) 如果AB=BC=，求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小.

(22)（本小题满分14分）

设椭圆的两个焦点是与，且椭圆上存在点P，

使得直线PF~2~与直线PF~2~垂直.

（1）求实数m的取值范围；

（2）设L是相应于焦点F~2~的准线，直线PF~2~与L相交于点Q. 若，

求直线PF~2~的方程.

**2004年普通高等学校招生全国统一考试**

**数学（文史类）（老课程）参考答案**

1---12 BCBBD AACDC BC

13． 14． 15． 16．1

三、解答题

17．本小题主要考查指数和对数的性质以及解方程的有关知识. 满分12分.

解：

（无解）. 所以

18．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等基础知识以及三角恒等变形

的能力. 满分12分.

解：原式

因为

所以 原式.

因为为锐角，由.

所以 原式

因为为锐角，由

所以 原式

19．本小题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式等基础知识，根据已知条件列方程

以及运算能力.满分12分.

解：设等差数列的公差为d，由及已知条件得

， ①

②

由②得，代入①有

解得 当舍去.

因此

故数列的通项公式

20．本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和方法解决问题的

能力. 满分12分.

解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则

蔬菜的种植面积

所以

当

答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最

大种植面积为648m^2^.

21．本小题主要考查两个平面垂直的性质、二面角等有关知识，以有逻辑思维能力和空间想

象能力. 满分12分.

（1）证明：如果，取AC中点D，连结PD、BD.

因为PA=PC，所以PD⊥AC，

又已知面PAC⊥面ABC，

所以PD⊥面ABC，D为垂足.

因为PA=PB=PC，

所以DA=DB=DC，可知AC为△ABC外接圆直径，

因此AB⊥BC.

（2）解：因为AB=BC，D为AC中点，所以BD⊥AC.

又面PAC⊥面ABC，

所以BD⊥平面PAC，D为垂足.

作BE⊥PC于E，连结DE，

因为DE为BE在平面PAC内的射影，

所以DE⊥PC，∠BED为所求二面角的平面角.

在Rt△ABC中，AB=BC=，所以BD=.

在Rt△PDC中，PC=3，DC=，PD=，

所以

因此，在Rt△BDE中，，

，

所以侧面PBC与侧面PAC所成的二面角为60°.

22．本小题主要考查直线和椭圆的基本知识，以及综合分析和解题能力. 满分14分.

解：（1）由题设有

设点P的坐标为（），由，得，

化简得 ①

将①与联立，解得

由

所以m的取值范围是.

（2）准线L的方程为设点Q的坐标为，则

②

将代入②，化简得

由题设，得 ，无解.

将代入②，化简得

由题设，得

解得m=2.

从而得到PF~2~的方程
