Đề bài
Cho \(P\left( A \right) = \frac{2}{5};{\rm{ }}P\left( B \right) = \frac{1}{3};{\rm{ }}P\left( {A \cup B} \right) = \frac{1}{2}\). Tính \(P\left( {A|B} \right)\) và \(P\left( {B|A} \right)\). 


Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\) và công thức tính \(P\left( {A|B} \right)\), \(P\left( {B|A} \right)\). 


Lời giải chi tiết



Ta có \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\) do đó \(\frac{2}{5} + \frac{1}{3} - P\left( {AB} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow P\left( {AB} \right) = \frac{7}{{30}}\).Suy ra \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{7}{{30}}:\frac{1}{3} = \frac{7}{{10}}\); \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{7}{{30}}:\frac{2}{5} = \frac{7}{{12}}\).
[
    {
        "problem": "Cho \(P\\left( A \\right) = \\frac{2}{5};{\\rm{ }}P\\left( B \\right) = \\frac{1}{3};{\\rm{ }}P\\left( {A \\cup B} \\right) = \\frac{1}{2}\\). Tính \(P\\left( {A|B} \\right)\\) và \(P\\left( {B|A} \\right)\\).",
        "solution": "Ta có \(P\\left( {A \\cup B} \\right) = P\\left( A \\right) + P\\left( B \\right) - P\\left( {AB} \\right)\\) do đó \\(\\frac{2}{5} + \\frac{1}{3} - P\\left( {AB} \\right) = \\frac{1}{2} \\Leftrightarrow P\\left( {AB} \\right) = \\frac{7}{{30}}\\). Suy ra \(P\\left( {A|B} \\right) = \\frac{{P\\left( {AB} \\right)}}{{P\\left( B \\right)}} = \\frac{7}{{30}}:\\frac{1}{3} = \\frac{7}{{10}}\\); \(P\\left( {B|A} \\right) = \\frac{{P\\left( {AB} \\right)}}{{P\\left( A \\right)}} = \\frac{7}{{30}}:\\frac{2}{5} = \\frac{7}{{12}}\\)."
    }
]