Đề bài
Tung con xúc xắc cân đối liên tiếp hai lần. Xét các biến cố sau:
A: “Xuất hiện mặt một chấm ở lần gieo thứ nhất”;
B: “Xuất hiện mặt hai chấm ở lần gieo thứ hai”;
C: “Tổng số chấm xuất hiện ở hai lần gieo bằng 7”.
Chứng minh rằng:
a) Hai biến cố A và B độc lập;
b) Hai biến cố B và C độc lập;
c) Hai biến cố A và C độc lập. 


Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Liệt kê các biến cố và chứng minh \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\).
Ý b: Liệt kê các biến cố và chứng minh \(P\left( {BC} \right) = P\left( B \right) \cdot P\left( C \right)\).
Ý c: Liệt kê các biến cố và chứng minh \(P\left( {AC} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( C \right)\). 


Lời giải chi tiết



a) Ta có \(A = \left\{ {\left( {1,1} \right);\left( {1,2} \right);\left( {1,3} \right);\left( {1,4} \right);\left( {1,5} \right);\left( {1,6} \right)} \right\}\);\(B = \left\{ {\left( {1,2} \right);\left( {2,3} \right);\left( {3,2} \right);\left( {4,2} \right);\left( {5,2} \right);\left( {6,2} \right)} \right\}\); \(AB = \left\{ {\left( {1,2} \right)} \right\}\)Suy ra \(P\left( A \right) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6};P\left( B \right) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6};P\left( {AB} \right) = \frac{1}{6} \Rightarrow P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\).


Vậy hai biến cố A và B độc lập.b) Ta có \(C = \left\{ {\left( {1,6} \right);\left( {2,5} \right);\left( {3,4} \right);\left( {4,3} \right);\left( {5,2} \right);\left( {6,1} \right)} \right\}\); \(BC = \left\{ {\left( {5,2} \right)} \right\}\).Suy ra \(P\left( C \right) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6} \Rightarrow P\left( {BC} \right) = P\left( B \right) \cdot P\left( C \right)\).Vậy hai biến cố B và C độc lập.c) Ta có \(AC = \left\{ {\left( {1,6} \right)} \right\}\) nên \(P\left( {AC} \right) = \frac{1}{6} \Rightarrow P\left( {AC} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( C \right)\).Vậy hai biến cố A và C độc lập.
[
    {
        "problem": "Tung con xúc xắc cân đối liên tiếp hai lần. Xét các biến cố sau: A: “Xuất hiện mặt một chấm ở lần gieo thứ nhất”; B: “Xuất hiện mặt hai chấm ở lần gieo thứ hai”. Chứng minh rằng hai biến cố A và B độc lập.",
        "solution": "Ta có \(A = \\left\\{ {(1,1);(1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(1,6)} \\right\\}\\);\(B = \\left\\{ {(1,2);(2,3);(3,2);(4,2);(5,2);(6,2)} \\right\\}\\); \(AB = \\left\\{ {(1,2)} \\right\\}\\)Suy ra \(P\\left( A \\right) = \\frac{6}{{36}} = \\frac{1}{6};P\\left( B \\right) = \\frac{6}{{36}} = \\frac{1}{6};P\\left( {AB} \\right) = \\frac{1}{6} \\Rightarrow P\\left( {AB} \\right) = P\\left( A \\right) \\cdot P\\left( B \\right)\\). Vậy hai biến cố A và B độc lập."
    },
    {
        "problem": "Tung con xúc xắc cân đối liên tiếp hai lần. Xét các biến cố sau: B: “Xuất hiện mặt hai chấm ở lần gieo thứ hai”; C: “Tổng số chấm xuất hiện ở hai lần gieo bằng 7”. Chứng minh rằng hai biến cố B và C độc lập.",
        "solution": "Ta có \(C = \\left\\{ {(1,6);(2,5);(3,4);(4,3);(5,2);(6,1)} \\right\\}\\); \(BC = \\left\\{ {(5,2)} \\right\\}\\).Suy ra \(P\\left( C \\right) = \\frac{6}{{36}} = \\frac{1}{6} \\Rightarrow P\\left( {BC} \\right) = P\\left( B \\right) \\cdot P\\left( C \\right)\\).Vậy hai biến cố B và C độc lập."
    },
    {
        "problem": "Tung con xúc xắc cân đối liên tiếp hai lần. Xét các biến cố sau: A: “Xuất hiện mặt một chấm ở lần gieo thứ nhất”; C: “Tổng số chấm xuất hiện ở hai lần gieo bằng 7”. Chứng minh rằng hai biến cố A và C độc lập.",
        "solution": "Ta có \(AC = \\left\\{ {(1,6)} \\right\\}\\) nên \(P\\left( {AC} \\right) = \\frac{1}{6} \\Rightarrow P\\left( {AC} \\right) = P\\left( A \\right) \\cdot P\\left( C \\right)\\).Vậy hai biến cố A và C độc lập."
    }
]