Đề bài
Trong một lớp học có 6 bóng đèn hoạt động độc lập với nhau. Mỗi bóng có xác suất bị hỏng là 0,25. Gọi X là số bóng sáng.
a) Gọi tên phân bố xác suất biến ngẫu nhiên X.
b) Biết rằng lớp học có đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng sáng. Tính xác suất để lớp học đủ ánh sáng.
c) Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X. 


Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng chú ý về phân bố nhị thức, công thức tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của phân bố nhị thức. 


Lời giải chi tiết



a) X là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với \(n = 6;p = 0,75\).b) Lớp học có đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng sáng tức là \(X \ge 4\).Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có:\(\begin{array}{l}P\left( {X \ge 4} \right) = P\left( {X = 4} \right) + P\left( {X = 5} \right) + P\left( {X = 6} \right)\\{\rm{                }} = {\rm{ }}C_6^4.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^4}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} + C_6^5.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^5}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^1} + C_6^6.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^6} \approx 0,8306\end{array}\)


c) \(X \sim B(6;0,75) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}E(X) = 6.0,75 = 4,5\\V(X) = 6.0,75.0,25 = 1,125\\\sigma (X) = \sqrt {6.0,75.0,25}  = 1,061\end{array} \right.\)
[
    {
        "problem": "Trong một lớp học có 6 bóng đèn hoạt động độc lập với nhau. Mỗi bóng có xác suất bị hỏng là 0,25. Gọi X là số bóng sáng. Gọi tên phân bố xác suất biến ngẫu nhiên X.",
        "solution": "X là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với \(n = 6;p = 0,75\)."
    },
    {
        "problem": "Trong một lớp học có 6 bóng đèn hoạt động độc lập với nhau. Mỗi bóng có xác suất bị hỏng là 0,25. Gọi X là số bóng sáng. Biết rằng lớp học có đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng sáng. Tính xác suất để lớp học đủ ánh sáng.",
        "solution": "Lớp học có đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng sáng tức là \(X \\ge 4\). Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có:\\(P\\left( {X \\ge 4} \\right) = P\\left( {X = 4} \\right) + P\\left( {X = 5} \\right) + P\\left( {X = 6} \\right) = C_6^4.{\\left( {\\frac{3}{4}} \\right)^4}.{\\left( {\\frac{1}{4}} \\right)^2} + C_6^5.{\\left( {\\frac{3}{4}} \\right)^5}.{\\left( {\\frac{1}{4}} \\right)^1} + C_6^6.{\\left( {\\frac{3}{4}} \\right)^6} \\approx 0,8306\\)"
    },
    {
        "problem": "Trong một lớp học có 6 bóng đèn hoạt động độc lập với nhau. Mỗi bóng có xác suất bị hỏng là 0,25. Gọi X là số bóng sáng. Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.",
        "solution": "X \\sim B(6;0,75) \\Rightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}E(X) = 6.0,75 = 4,5\\\\V(X) = 6.0,75.0,25 = 1,125\\\\\\sigma (X) = \\sqrt {6.0,75.0,25} = 1,061\\end{array} \\right."
    }
]