Đề bài
Có hai nhóm học sinh. Nhóm thứ nhất có 5 nam và 6 nữ. Nhóm thứ hai có 5 nam và 7 nữ. Từ mỗi nhóm học sinh, ta chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Gọi X là số học sinh nữ trong số 2 học sinh được chọn ra.
a) Lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X.
b) Tính kì vọng, phương sai của X. 


Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Gọi \(X = 0;X = 1;X = 2\)lần lượt là biến cố: “không có HS nữ được chọn”; “ có 1 HS nữ trong 2 HS được chọn”; “chọn được 2 HS nữ.”
Tính \(P(X = 0);P(X = 1);P(X = 2)\)
Lập bảng phân bố xác suất.
b) Áp dụng công thức:
Kì vọng: \(E(X) = {x_1}{p_1} + {x_2}{p_2} + ... + {x_n}{p_n}\)
Phương sai: \(V(X) = {({x_1} - \mu )^2}{p_1} + {({x_2} - \mu )^2}{p_2} + ... + {({x_n} - \mu )^2}{p_n}\) 


Lời giải chi tiết



a) X là biến ngẫu nhiên rời rạc và nhận giá trị trong tập \(\left\{ {0;1;2} \right\}\)Ta có \(n(\Omega ) = C_{11}^1.C_{12}^1 = 132\)+ Biến cố X=0 là biến cố :”Không có học sinh nữ được chọn.”Suy ra \(n(X = 0) = C_5^1.C_5^1 = 25 \Rightarrow P(X = 0) = \frac{{25}}{{132}}.\)+ Biến cố X=1 là biến cố :”Có 1 học sinh nữ trong số 2 hs được chọn.”TH1: Nhóm 1 chọn được học sinh nữ, nhóm 2 chọn được học sinh nam


Suy ra có \(C_6^1.C_5^1 = 30\) cách chọnTH2: Nhóm 1 chọn được học sinh nam, nhóm 2 chọn được học sinh nữ.Suy ra có \(C_5^1.C_7^1 = 35\) cách chọnDo đó \(P(X = 1) = \frac{{30 + 35}}{{132}} = \frac{{65}}{{132}}\)+ Biến cố X=2 là biến cố :”Chọn được 2 HS nữ.”Suy ra \(n(X = 2) = C_6^1.C_7^1 = 42 \Rightarrow P(X = 2) = \frac{{42}}{{132}}.\)Bảng phân bố xác suất của X là:b) Có:\(\begin{array}{l}E(X) = 0.\frac{{25}}{{132}} + 1.\frac{{65}}{{132}} + 2.\frac{{42}}{{132}} = \frac{{49}}{{132}}\\V(X) = {\left( {0 - \frac{{49}}{{132}}} \right)^2}.\frac{{25}}{{132}} + {\left( {1 - \frac{{49}}{{132}}} \right)^2}.\frac{{65}}{{132}} + {\left( {2 - \frac{{49}}{{132}}} \right)^2}.\frac{{42}}{{132}} \approx 0,49\end{array}\)
[
    {
        "problem": "Có hai nhóm học sinh. Nhóm thứ nhất có 5 nam và 6 nữ. Nhóm thứ hai có 5 nam và 7 nữ. Từ mỗi nhóm học sinh, ta chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Gọi X là số học sinh nữ trong số 2 học sinh được chọn ra. a) Lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X.",
        "solution": "X là biến ngẫu nhiên rời rạc và nhận giá trị trong tập \\(\\left\\{ {0;1;2} \\right\\}\\)Ta có \\(n(\\Omega ) = C_{11}^1.C_{12}^1 = 132\\)+ Biến cố X=0 là biến cố :”Không có học sinh nữ được chọn.”Suy ra \\(n(X = 0) = C_5^1.C_5^1 = 25 \\Rightarrow P(X = 0) = \\frac{{25}}{{132}}.\\)+ Biến cố X=1 là biến cố :”Có 1 học sinh nữ trong số 2 hs được chọn.”TH1: Nhóm 1 chọn được học sinh nữ, nhóm 2 chọn được học sinh namSuy ra có \\(C_6^1.C_5^1 = 30\\) cách chọnTH2: Nhóm 1 chọn được học sinh nam, nhóm 2 chọn được học sinh nữ.Suy ra có \\(C_5^1.C_7^1 = 35\\) cách chọnDo đó \\(P(X = 1) = \\frac{{30 + 35}}{{132}} = \\frac{{65}}{{132}}\\)+ Biến cố X=2 là biến cố :”Chọn được 2 HS nữ.”Suy ra \\(n(X = 2) = C_6^1.C_7^1 = 42 \\Rightarrow P(X = 2) = \\frac{{42}}{{132}}.\\)Bảng phân bố xác suất của X là:"
    },
    {
        "problem": "Có hai nhóm học sinh. Nhóm thứ nhất có 5 nam và 6 nữ. Nhóm thứ hai có 5 nam và 7 nữ. Từ mỗi nhóm học sinh, ta chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Gọi X là số học sinh nữ trong số 2 học sinh được chọn ra. b) Tính kì vọng, phương sai của X.",
        "solution": "Có:\\(\\begin{array}{l}E(X) = 0.\\frac{{25}}{{132}} + 1.\\frac{{65}}{{132}} + 2.\\frac{{42}}{{132}} = \\frac{{49}}{{132}}\\\\V(X) = {( {0 - \\frac{{49}}{{132}}} )^2}.\\frac{{25}}{{132}} + {( {1 - \\frac{{49}}{{132}}} )^2}.\\frac{{65}}{{132}} + {( {2 - \\frac{{49}}{{132}}} )^2}.\\frac{{42}}{{132}} \\approx 0,49\\end{array}\\)"
    }
]