Đề bài
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) có \(P\left( A \right) = 0,4;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,2;P\left( {B|A} \right) = 0,3\). Tính \(P\left( {A|\overline B } \right)\). 


Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng công thức tính xác suất toàn phần: \(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).
‒ Sử dụng công thức Bayes: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\). 


Lời giải chi tiết



Ta có: \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0,4 = 0,6\).Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần ta có:\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,4.0,3 + 0,6.0,2 = 0,24\).Do đó \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,24 = 0,76\)\(P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 1 - 0,3 = 0,7\)


Áp dụng công thức Bayes ta có: \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {\overline B |A} \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0,4.0,7}}{{0,76}} = \frac{7}{{19}} \approx 0,368\).
[
    {
        "problem": "Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) có \(P\\left( A \\right) = 0,4;P\\left( {B|\\overline A } \\right) = 0,2;P\\left( {B|A} \\right) = 0,3\\). Tính \(P\\left( {A|\\overline B } \\right)\\).",
        "solution": "Ta có: \(P\\left( {\\overline A } \\right) = 1 - P\\left( A \\right) = 1 - 0,4 = 0,6\\). Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần ta có: \(P\\left( B \\right) = P\\left( A \\right).P\\left( {B|A} \\right) + P\\left( {\\overline A } \\right).P\\left( {B|\\overline A } \\right) = 0,4.0,3 + 0,6.0,2 = 0,24\\). Do đó \(P\\left( {\\overline B } \\right) = 1 - P\\left( B \\right) = 1 - 0,24 = 0,76\\). \(P\\left( {\\overline B |A} \\right) = 1 - P\\left( {B|A} \\right) = 1 - 0,3 = 0,7\\). Áp dụng công thức Bayes ta có: \(P\\left( {A|\\overline B } \\right) = \\frac{{P\\left( A \\right).P\\left( {\\overline B |A} \\right)}}{{P\\left( {\\overline B } \\right)}} = \\frac{{0,4.0,7}}{{0,76}} = \\frac{7}{{19}} \\approx 0,368\\)."
    }
]