Đề bài
Một bài thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, mỗi câu trả lời sai trừ 1 điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách ở mỗi câu hỏi chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Tính xác suất để thí sinh đó sau khi hoàn thành hết 10 câu trong bài thi, có kết quả:
a) 15 điểm;
b) Bị âm điểm. 


Phương pháp giải - Xem chi tiết

Từ các dữ kiện đề bài ta xác định được biến ngẫu nhiên X có phân bố nhị thức. Ta áp dụng công thức của phân bố nhị thức và chú ý về phân bố nhị thức sẽ tính được các xác suất đề bài yêu cầu. 


Lời giải chi tiết



Gọi X là số câu trả lời đúng của thí sinh. X là một biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số \(n = 10,{\rm{ }}p = \frac{1}{4}\) tức là \(X \sim B\left( {10,{\rm{ }}\frac{1}{4}} \right)\) .a) Thí sinh đạt 15 điểm thì có 5 câu trả lời đúng và 5 câu trả lời sai, tức là \(X = 5\).Khi đó, xác suất để thí sinh đó sau khi hoàn thành hết 10 câu trong bài thi, có kết quả 15 điểm là\(P(X = 5) = C_{10}^5.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^5}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^5} \approx 0,0584\)


b) Thí sinh bị điểm âm tức là thí sinh trả lời đúng nhiều nhất 1 câu, tức là \(X \le 1\).Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có, xác suất để thí sinh đó sau khi hoàn thành hết 10 câu trong bài thi, bị âm điểm là:\(P(X \le 1) = C_{10}^0.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^0}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{10}} + C_{10}^1.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^1}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^9} \approx 0,244\)
[
    {
        "problem": "Một bài thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, mỗi câu trả lời sai trừ 1 điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách ở mỗi câu hỏi chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Tính xác suất để thí sinh đó sau khi hoàn thành hết 10 câu trong bài thi, có kết quả: a) 15 điểm;",
        "solution": "Gọi X là số câu trả lời đúng của thí sinh. X là một biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số \(n = 10, p = \\frac{1}{4}\) tức là \(X \\sim B\\left( 10, \\frac{1}{4} \\right)\). Thí sinh đạt 15 điểm thì có 5 câu trả lời đúng và 5 câu trả lời sai, tức là \(X = 5\). Khi đó, xác suất để thí sinh đó sau khi hoàn thành hết 10 câu trong bài thi, có kết quả 15 điểm là \(P(X = 5) = C_{10}^5.{\\left( {\\frac{1}{4}} \\right)^5}.{\\left( {\\frac{3}{4}} \\right)^5} \\approx 0,0584\)"
    },
    {
        "problem": "Một bài thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, mỗi câu trả lời sai trừ 1 điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách ở mỗi câu hỏi chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Tính xác suất để thí sinh đó sau khi hoàn thành hết 10 câu trong bài thi, có kết quả: b) Bị âm điểm.",
        "solution": "Thí sinh bị điểm âm tức là thí sinh trả lời đúng nhiều nhất 1 câu, tức là \(X \\le 1\). Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có, xác suất để thí sinh đó sau khi hoàn thành hết 10 câu trong bài thi, bị âm điểm là \(P(X \\le 1) = C_{10}^0.{\\left( {\\frac{1}{4}} \\right)^0}.{\\left( {\\frac{3}{4}} \\right)^{10}} + C_{10}^1.{\\left( {\\frac{1}{4}} \\right)^1}.{\\left( {\\frac{3}{4}} \\right)^9} \\approx 0,244\)"
    }
]