Đề bài
Cho hai biến cố \(A,B\) có \(P\left( A \right) = 0,4;P\left( B \right) = 0,8;P\left( {A \cup B} \right) = 0,9\).
Tính \(P\left( {A|B} \right);P\left( {A|\overline B } \right);P\left( {\overline A |B} \right);P\left( {\overline A |\overline B } \right)\). 


Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng quy tắc cộng xác suất: \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\).
‒ Sử dụng công thức tính xác suất của \(A\) với điều kiện \(B\): \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\). 


Lời giải chi tiết



Theo quy tắc cộng xác suất ta có: \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\).Suy ra \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cup B} \right) = 0,4 + 0,8 - 0,9 = 0,3\).Theo công thức tính xác suất có điều kiện, ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,3}}{{0,8}} = 0,375\).


Vì \(AB\) và \(A\overline B \) là hai biến cố xung khắc và \(AB \cup A\overline B  = A\) nên theo tính chất của xác suất, ta có \(P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right) - P\left( {AB} \right) = 0,4 - 0,3 = 0,1\).Ta có: \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,8 = 0,2\).Theo công thức tính xác suất có điều kiện ta có: \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\left( {A\overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0,1}}{{0,2}} = 0,5\).
Do \(\overline A |B\) và \(A|B\) là hai biến cố đối nên ta có: \(P\left( {\overline A |B} \right) = 1 - P\left( {A|B} \right) = 1 - 0,375 = 0,625\).Do \(\overline A |\overline B \) và \(A|\overline B \) là hai biến cố đối nên ta có: \(P\left( {\overline A |\overline B } \right) = 1 - P\left( {A|\overline B } \right) = 1 - 0,5 = 0,5\).
[
    {
        "problem": "Cho hai biến cố \(A,B\) có \(P\\left( A \\right) = 0,4;P\\left( B \\right) = 0,8;P\\left( {A \\cup B} \\right) = 0,9\\). Tính \(P\\left( {A|B} \\right);P\\left( {A|\\overline B } \\right);P\\left( {\\overline A |B} \\right);P\\left( {\\overline A |\\overline B } \\right)\\).",
        "solution": "Theo quy tắc cộng xác suất ta có: \(P\\left( {A \\cup B} \\right) = P\\left( A \\right) + P\\left( B \\right) - P\\left( {AB} \\right)\\). Suy ra \(P\\left( {AB} \\right) = P\\left( A \\right) + P\\left( B \\right) - P\\left( {A \\cup B} \\right) = 0,4 + 0,8 - 0,9 = 0,3\\). Theo công thức tính xác suất có điều kiện, ta có: \(P\\left( {A|B} \\right) = \\frac{{P\\left( {AB} \\right)}}{{P\\left( B \\right)}} = \\frac{{0,3}}{{0,8}} = 0,375\\). Vì \(AB\) và \(A\\overline B \\) là hai biến cố xung khắc và \(AB \\cup A\\overline B = A\\) nên theo tính chất của xác suất, ta có \(P\\left( {A\\overline B } \\right) = P\\left( A \\right) - P\\left( {AB} \\right) = 0,4 - 0,3 = 0,1\\). Ta có: \(P\\left( {\\overline B } \\right) = 1 - P\\left( B \\right) = 1 - 0,8 = 0,2\\). Theo công thức tính xác suất có điều kiện ta có: \(P\\left( {A|\\overline B } \\right) = \\frac{{P\\left( {A\\overline B } \\right)}}{{P\\left( {\\overline B } \\right)}} = \\frac{{0,1}}{{0,2}} = 0,5\\). Do \\(\\overline A |B\\) và \\(A|B\\) là hai biến cố đối nên ta có: \(P\\left( {\\overline A |B} \\right) = 1 - P\\left( {A|B} \\right) = 1 - 0,375 = 0,625\\). Do \\(\\overline A |\\overline B \\) và \\(A|\\overline B \\) là hai biến cố đối nên ta có: \(P\\left( {\\overline A |\\overline B } \\right) = 1 - P\\left( {A|\\overline B } \\right) = 1 - 0,5 = 0,5\\)."
    }
]