Đề bài
Một doanh nghiệp có 30% số nhân viên trên 40 tuổi. Tỉ lệ nhân viên trên 40 tuổi có bằng đại học là 40%. Tỉ lệ nhân viên không quá 40 tuổi có bằng đại học là 60%. Chọn ngẫu nhiên 1 nhân viên của doanh nghiệp.
a) Tính xác suất nhân viên được chọn có bằng đại học.
b) Biết nhân viên đó có bằng đại học, tính xác suất để nhân viên đó trên 40 tuổi. 


Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng công thức tính xác suất toàn phần: \(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).
‒ Sử dụng công thức Bayes: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\). 


Lời giải chi tiết



a) Gọi \(A\) là biến cố “Nhân viên được chọn có bằng đại học” và \(B\) là biến cố “Nhân viên được chọn trên 40 tuổi”.Doanh nghiệp có 30% số nhân viên trên 40 tuổi nên ta có \(P\left( B \right) = 0,3\).Do đó xác suất để nhân viên đó không quá 40 tuổi là \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,3 = 0,7\).Tỉ lệ nhân viên trên 40 tuổi có bằng đại học là 40% nên ta có \(P\left( {A|B} \right) = 0,4\).


Tỉ lệ nhân viên không quá 40 tuổi có bằng đại học là 60% nên ta có \(P\left( {A|\overline B } \right) = 0,6\).Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất nhân viên được chọn có bằng đại học là:\(P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {A|\overline B } \right) = 0,3.0,4 + 0,7.0,6 = 0,54\).b) Theo công thức Bayes, xác suất để nhân viên được chọn trên 40 tuổi, biết rằng nhân viên đó có bằng đại học là:\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,3.0,4}}{{0,54}} = \frac{2}{9} \approx 0,222\).
[
    {
        "problem": "Một doanh nghiệp có 30% số nhân viên trên 40 tuổi. Tỉ lệ nhân viên trên 40 tuổi có bằng đại học là 40%. Tỉ lệ nhân viên không quá 40 tuổi có bằng đại học là 60%. Chọn ngẫu nhiên 1 nhân viên của doanh nghiệp. Tính xác suất nhân viên được chọn có bằng đại học.",
        "solution": "Gọi \(A\) là biến cố “Nhân viên được chọn có bằng đại học” và \(B\) là biến cố “Nhân viên được chọn trên 40 tuổi”. Doanh nghiệp có 30% số nhân viên trên 40 tuổi nên ta có \(P\\left( B \\right) = 0,3\). Do đó xác suất để nhân viên đó không quá 40 tuổi là \(P\\left( \\overline B \\right) = 1 - P\\left( B \\right) = 1 - 0,3 = 0,7\). Tỉ lệ nhân viên trên 40 tuổi có bằng đại học là 40% nên ta có \(P\\left( A|B \\right) = 0,4\). Tỉ lệ nhân viên không quá 40 tuổi có bằng đại học là 60% nên ta có \(P\\left( A|\\overline B \\right) = 0,6\). Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất nhân viên được chọn có bằng đại học là: \(P\\left( A \\right) = P\\left( B \\right)P\\left( A|B \\right) + P\\left( \\overline B \\right)P\\left( A|\\overline B \\right) = 0,3.0,4 + 0,7.0,6 = 0,54\)."
    },
    {
        "problem": "Một doanh nghiệp có 30% số nhân viên trên 40 tuổi. Tỉ lệ nhân viên trên 40 tuổi có bằng đại học là 40%. Tỉ lệ nhân viên không quá 40 tuổi có bằng đại học là 60%. Chọn ngẫu nhiên 1 nhân viên của doanh nghiệp. Biết nhân viên đó có bằng đại học, tính xác suất để nhân viên đó trên 40 tuổi.",
        "solution": "Theo công thức Bayes, xác suất để nhân viên được chọn trên 40 tuổi, biết rằng nhân viên đó có bằng đại học là: \(P\\left( B|A \\right) = \\frac{P\\left( B \\right).P\\left( A|B \\right)}{P\\left( A \\right)} = \\frac{0,3.0,4}{0,54} = \\frac{2}{9} \\approx 0,222\)."
    }
]