Đề bài
Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ. Hộp thứ hai chứa 4 viên bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp thứ nhất và bỏ vào hộp thứ hai, rồi từ hộp thứ hai chọn ra ngẫu nhiên 2 viên bi.
a) Tính xác suất của biến cố 2 viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có cùng màu.
b) Biết 2 viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có cùng màu, tính xác suất 3 viên bị lấy ra từ hộp thứ nhất cũng có cùng màu. 


Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng công thức tính xác suất toàn phần: \(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).
‒ Sử dụng công thức Bayes: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\). 


Lời giải chi tiết



Gọi \(A\) là biến cố “2 viên bi ở hộp thứ hai lấy ra có cùng màu” và \(B\) là biến cố “3 viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có cùng màu”.• TH1: Chọn từ hộp thứ nhất 3 viên bi xanhHộp thứ nhất chứa 5 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ nên xác suất để 3 viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có cùng màu là: \(P\left( B \right) = \frac{{{C}_5^3}}{{{C}_6^3}} = \frac{1}{2}\).Khi đó hộp thứ hai có 3 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ.


Xác suất để chọn ra 2 viên bi xanh từ hộp thứ hai là: \(\frac{{{C}_3^2}}{{{C}_7^2}} = \frac{1}{7}\).Xác suất để chọn ra 2 viên bi đỏ từ hộp thứ hai là: \(\frac{{{C}_4^2}}{{{C}_7^2}} = \frac{2}{7}\).Vậy xác xuất để 2 viên bi ở hộp thứ hai lấy ra có cùng màu biết rằng lấy ra từ hộp thứ nhất 3 viên bi xanh là: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}\).• TH2: Chọn từ hộp thứ nhất 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ.
Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ nên xác suất để lấy ra từ hộp thứ nhất 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ là: \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).Khi đó hộp thứ hai có 2 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ.Xác suất để chọn ra 2 viên bi xanh từ hộp thứ hai là: \(\frac{{{C}_2^2}}{{{C}_7^2}} = \frac{1}{{21}}\).Xác suất để chọn ra 2 viên bi đỏ từ hộp thứ hai là: \(\frac{{{C}_5^2}}{{{C}_7^2}} = \frac{{10}}{{21}}\).
Vậy xác xuất để 2 viên bi ở hộp thứ hai lấy ra có cùng màu biết rằng lấy ra từ hộp thứ nhất 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ là: \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{1}{{21}} + \frac{{10}}{{21}} = \frac{{11}}{{21}}\).Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất 2 viên bi ở hộp thứ hai lấy ra có cùng màu là:\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{1}{2}.\frac{3}{7} + \frac{1}{2}.\frac{{11}}{{21}} = \frac{{10}}{{21}} \approx 0,476\).b) Theo công thức Bayes, xác suất 3 viên bi lấy ra ở hộp thứ nhất có cùng màu, biết rằng 2 viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có cùng màu là:\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{1}{2}.\frac{3}{7}}}{{\frac{{10}}{{21}}}} = 0,45\).
[
    {
        "problem": "Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ. Hộp thứ hai chứa 4 viên bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp thứ nhất và bỏ vào hộp thứ hai, rồi từ hộp thứ hai chọn ra ngẫu nhiên 2 viên bi. a) Tính xác suất của biến cố 2 viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có cùng màu.",
        "solution": "Gọi \(A\) là biến cố “2 viên bi ở hộp thứ hai lấy ra có cùng màu” và \(B\) là biến cố “3 viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có cùng màu”. \n• TH1: Chọn từ hộp thứ nhất 3 viên bi xanh. Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ nên xác suất để 3 viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có cùng màu là: \(P\\left( B \\right) = \\frac{{{C}_5^3}}{{{C}_6^3}} = \\frac{1}{2}\\). Khi đó hộp thứ hai có 3 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Xác suất để chọn ra 2 viên bi xanh từ hộp thứ hai là: \\(\\frac{{{C}_3^2}}{{{C}_7^2}} = \\frac{1}{7}\\). Xác suất để chọn ra 2 viên bi đỏ từ hộp thứ hai là: \\(\\frac{{{C}_4^2}}{{{C}_7^2}} = \\frac{2}{7}\\). Vậy xác xuất để 2 viên bi ở hộp thứ hai lấy ra có cùng màu biết rằng lấy ra từ hộp thứ nhất 3 viên bi xanh là: \(P\\left( {A|B} \\right) = \\frac{1}{7} + \\frac{2}{7} = \\frac{3}{7}\\). \n• TH2: Chọn từ hộp thứ nhất 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ. Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ nên xác suất để lấy ra từ hộp thứ nhất 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ là: \(P\\left( {\\overline B } \\right) = 1 - P\\left( B \\right) = 1 - \\frac{1}{2} = \\frac{1}{2}\\). Khi đó hộp thứ hai có 2 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ. Xác suất để chọn ra 2 viên bi xanh từ hộp thứ hai là: \\(\\frac{{{C}_2^2}}{{{C}_7^2}} = \\frac{1}{{21}}\\). Xác suất để chọn ra 2 viên bi đỏ từ hộp thứ hai là: \\(\\frac{{{C}_5^2}}{{{C}_7^2}} = \\frac{{10}}{{21}}\\). Vậy xác xuất để 2 viên bi ở hộp thứ hai lấy ra có cùng màu biết rằng lấy ra từ hộp thứ nhất 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ là: \(P\\left( {A|\\overline B } \\right) = \\frac{1}{{21}} + \\frac{{10}}{{21}} = \\frac{{11}}{{21}}\\). Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất 2 viên bi ở hộp thứ hai lấy ra có cùng màu là: \(P\\left( A \\right) = P\\left( B \\right).P\\left( {A|B} \\right) + P\\left( {\\overline B } \\right).P\\left( {A|\\overline B } \\right) = \\frac{1}{2}.\\frac{3}{7} + \\frac{1}{2}.\\frac{{11}}{{21}} = \\frac{{10}}{{21}} \\approx 0,476\\)."
    },
    {
        "problem": "Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ. Hộp thứ hai chứa 4 viên bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp thứ nhất và bỏ vào hộp thứ hai, rồi từ hộp thứ hai chọn ra ngẫu nhiên 2 viên bi. b) Biết 2 viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có cùng màu, tính xác suất 3 viên bị lấy ra từ hộp thứ nhất cũng có cùng màu.",
        "solution": "Theo công thức Bayes, xác suất 3 viên bi lấy ra ở hộp thứ nhất có cùng màu, biết rằng 2 viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có cùng màu là: \(P\\left( {B|A} \\right) = \\frac{{P\\left( B \\right).P\\left( {A|B} \\right)}}{{P\\left( A \\right)}} = \\frac{{\\frac{1}{2}.\\frac{3}{7}}}{{\\frac{{10}}{{21}}}} = 0,45\\)."
    }
]