Đề bài
Một hệ thống tin có n thành phần hoạt động độc lập với nhau. Xác suất hoạt động của mỗi thành phần là p. Hệ hoạt động nếu có ít nhất một nửa các thành phần hoạt động. Với giá trị nào của p thì hệ 5 thành phần tốt hơn hệ 3 thành phần? 


Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng chú ý về phân bố nhị thức. 


Lời giải chi tiết



+ Với hệ 5 thành phần:Gọi X là số thành phần hoạt động. Khi đó, \(X \sim B(5;p)\)Hệ hoạt động nếu \(X \ge 3\). Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có:\(\begin{array}{l}P(X \ge 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)\\{\rm{               }} = C_5^3.{p^3}.{(1 - p)^2} + C_5^4.{p^4}.(1 - p) + {p^5}\\{\rm{               }} = 10.({p^3} - 2{p^4} + {p^5}) + 5.({p^4} - {p^5}) + {p^5}\\{\rm{               }} = 6{p^5} - 15{p^4} + 10{p^3}\end{array}\)  + Với hệ 3 thành phần:


Gọi Y là số thành phần hoạt động. Khi đó, \(Y \sim B(3;p)\)Hệ hoạt động nếu \(Y \ge 2\). Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có:\(\begin{array}{l}P(Y \ge 3) = P(Y = 2) + P(X = 3)\\{\rm{               }} = C_3^2.{p^2}.(1 - p) + {p^3}\\{\rm{               }} = 3{p^2} - 2{p^3}\end{array}\)Để hệ 5 thành phần tốt hơn hệ 3 thành phần thì:\(\begin{array}{l}{\rm{     }}6{p^5} - 15{p^4} + 10{p^3} > 3{p^2} - 2{p^3}\\ \Leftrightarrow 6{p^5} - 15{p^4} + 12{p^3} - 3{p^2} > 0\\ \Leftrightarrow 2{p^3} - 5{p^2} + 4p - 1 > 0{\rm{ (Do }}p \ge 0)\\ \Leftrightarrow {\left( {p - 1} \right)^2}.(2p - 1) > 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}p \ne 1\\p > \frac{1}{2}\end{array} \right.{\rm{ }}\end{array}\)Mà \(p \in \left[ {0;1} \right]\) nên \(\frac{1}{2} < p < 1\).
[
    {
        "problem": "Một hệ thống tin có n thành phần hoạt động độc lập với nhau. Xác suất hoạt động của mỗi thành phần là p. Hệ hoạt động nếu có ít nhất một nửa các thành phần hoạt động. Với giá trị nào của p thì hệ 5 thành phần tốt hơn hệ 3 thành phần?",
        "solution": "+ Với hệ 5 thành phần: Gọi X là số thành phần hoạt động. Khi đó, \(X \\sim B(5;p)\) Hệ hoạt động nếu \(X \\ge 3\). Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có: \(\begin{array}{l}P(X \\ge 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)\\{\\rm{               }} = C_5^3.{p^3}.{(1 - p)^2} + C_5^4.{p^4}.(1 - p) + {p^5}\\{\\rm{               }} = 10.({p^3} - 2{p^4} + {p^5}) + 5.({p^4} - {p^5}) + {p^5}\\{\\rm{               }} = 6{p^5} - 15{p^4} + 10{p^3}\end{array}\)  + Với hệ 3 thành phần: Gọi Y là số thành phần hoạt động. Khi đó, \(Y \\sim B(3;p)\) Hệ hoạt động nếu \(Y \\ge 2\). Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có: \(\begin{array}{l}P(Y \\ge 3) = P(Y = 2) + P(X = 3)\\{\\rm{               }} = C_3^2.{p^2}.(1 - p) + {p^3}\\{\\rm{               }} = 3{p^2} - 2{p^3}\end{array}\) Để hệ 5 thành phần tốt hơn hệ 3 thành phần thì: \(\begin{array}{l}{\\rm{     }}6{p^5} - 15{p^4} + 10{p^3} > 3{p^2} - 2{p^3}\\ \\Leftrightarrow 6{p^5} - 15{p^4} + 12{p^3} - 3{p^2} > 0\\ \\Leftrightarrow 2{p^3} - 5{p^2} + 4p - 1 > 0{\\rm{ (Do }}p \\ge 0)\\ \\Leftrightarrow {\\left( {p - 1} \\right)^2}.(2p - 1) > 0\\ \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}p \\ne 1\\p > \\frac{1}{2}\\end{array} \\right.{\\rm{ }}\\end{array}\) Mà \(p \\in \\left[ {0;1} \\right]\) nên \\(\\frac{1}{2} < p < 1\\)."
    }
]