Đề bài
Hai máy X và Y cùng sản xuất một sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm đạt chuẩn của máy X và máy Y lần lượt là 95% và 90%. Một hộp chứa 1 sản phẩm do máy X sản xuất và 9 sản phẩm do máy Y sản xuất. Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp.
a) Tính xác suất cả 2 sản phẩm được chọn đều đạt chuẩn.
b) Biết rằng cả 2 sản phẩm lấy ra đều đạt chuẩn, tính xác suất chúng do máy Y sản xuất. 


Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng công thức tính xác suất toàn phần: \(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).
‒ Sử dụng công thức Bayes: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\). 


Lời giải chi tiết



a) Gọi \(A\) là biến cố “Cả 2 sản phẩm lấy ra đều đạt chuẩn” và \(B\) là biến cố “Cả 2 sản phẩm đều do máy Y sản xuất”.Vì trong hộp có chứa 1 sản phẩm do máy X sản xuất và 9 sản phẩm do máy Y sản xuất nên xác suất cả 2 sản phẩm đều do máy Y sản xuất là: \(P\left( B \right) = \frac{{{C}_9^2}}{{{C}_{10}^2}} = 0,8\).Do đó \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - 0,8 = 0,2\).Tỉ lệ sản phẩm đạt chuẩn của máy X là 95% và máy Y lần lượt và 90% nên ta có \(P\left( {A|B} \right) = 0,9.0,9 = 0,81\) và \(P\left( {A|\overline B } \right) = 0,9.0,95 = 0,855\).


Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất cả hai sản phẩm được chọn đều đạt chuẩn là:\(P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( B \right)P\left( {A|\overline B } \right) = 0,8.0,81 + 0,2.0,855 = 0,819\).b) Theo công thức Bayes, xác suất cả 2 sản phẩm đều do máy Y sản xuất, biết rằng cả 2 sản phẩm lấy ra đều đạt chuẩn là:\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,8.0,81}}{{0,819}} = \frac{{72}}{{91}} \approx 0,791\).
[
    {
        "problem": "Hai máy X và Y cùng sản xuất một sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm đạt chuẩn của máy X và máy Y lần lượt là 95% và 90%. Một hộp chứa 1 sản phẩm do máy X sản xuất và 9 sản phẩm do máy Y sản xuất. Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp. a) Tính xác suất cả 2 sản phẩm được chọn đều đạt chuẩn.",
        "solution": "Gọi \(A\) là biến cố “Cả 2 sản phẩm lấy ra đều đạt chuẩn” và \(B\) là biến cố “Cả 2 sản phẩm đều do máy Y sản xuất”. Vì trong hộp có chứa 1 sản phẩm do máy X sản xuất và 9 sản phẩm do máy Y sản xuất nên xác suất cả 2 sản phẩm đều do máy Y sản xuất là: \(P\\left( B \\right) = \\frac{{{C}_9^2}}{{{C}_{10}^2}} = 0,8\). Do đó \(P\\left( {\\overline B } \\right) = 1 - 0,8 = 0,2\). Tỉ lệ sản phẩm đạt chuẩn của máy X là 95% và máy Y lần lượt và 90% nên ta có \(P\\left( {A|B} \\right) = 0,9.0,9 = 0,81\) và \(P\\left( {A|\\overline B } \\right) = 0,9.0,95 = 0,855\). Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất cả hai sản phẩm được chọn đều đạt chuẩn là: \(P\\left( A \\right) = P\\left( B \\right)P\\left( {A|B} \\right) + P\\left( B \\right)P\\left( {A|\\overline B } \\right) = 0,8.0,81 + 0,2.0,855 = 0,819\)."
    },
    {
        "problem": "Hai máy X và Y cùng sản xuất một sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm đạt chuẩn của máy X và máy Y lần lượt là 95% và 90%. Một hộp chứa 1 sản phẩm do máy X sản xuất và 9 sản phẩm do máy Y sản xuất. Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp. b) Biết rằng cả 2 sản phẩm lấy ra đều đạt chuẩn, tính xác suất chúng do máy Y sản xuất.",
        "solution": "Theo công thức Bayes, xác suất cả 2 sản phẩm đều do máy Y sản xuất, biết rằng cả 2 sản phẩm lấy ra đều đạt chuẩn là: \(P\\left( {B|A} \\right) = \\frac{{P\\left( B \\right).P\\left( {A|B} \\right)}}{{P\\left( A \\right)}} = \\frac{{0,8.0,81}}{{0,819}} = \\frac{{72}}{{91}} \\approx 0,791\)."
    }
]