Đề bài
Trong một nhà máy có hai phân xưởng. Phân xưởng I sản xuất 40% sản phẩm. Phân xưởng II sản xuất 60% sản phẩm. Xác suất làm ra phế phẩm của hai phân xưởng I và II tương ứng là 0,05 và 0,02. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy thì đó là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó là do phân xưởng I sản xuất. 


Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xác định các biến cố và áp dụng công thức Bayes . 


Lời giải chi tiết



Gọi A là biến cố: “Sản phẩm của phân xưởng I”;       B là biến cố: “Sản phẩm là phế phẩm”.Khi đó \(\overline A \) là biến cố:”Sản phẩm của phân xưởng II”; \(\overline B \) là biến cố: “Sản phẩm không làphế phẩm”.Ta có \(P\left( A \right) = 0,4\), \(P\left( B|A \right)=0,05\);\(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 0,6\), \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,02\).Theo công thức Bayes ta có:


\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {B|\bar A} \right)}} = \frac{{0,4 \cdot 0,05}}{{0,4 \cdot 0,05 + 0,6 \cdot 0,02}} = \frac{5}{8}\).
[
    {
        "problem": "Trong một nhà máy có hai phân xưởng. Phân xưởng I sản xuất 40% sản phẩm. Phân xưởng II sản xuất 60% sản phẩm. Xác suất làm ra phế phẩm của hai phân xưởng I và II tương ứng là 0,05 và 0,02. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy thì đó là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó là do phân xưởng I sản xuất.",
        "solution": "Gọi A là biến cố: “Sản phẩm của phân xưởng I”; B là biến cố: “Sản phẩm là phế phẩm”. Khi đó \\(\\overline{A}\\) là biến cố:”Sản phẩm của phân xưởng II”; \\(\\overline{B}\\) là biến cố: “Sản phẩm không là phế phẩm”. Ta có \\(P\\left( A \\right) = 0,4\\), \\(P\\left( B|A \\right) = 0,05\\); \\(P\\left( {\\overline{A} } \\right) = 1 - P\\left( A \\right) = 0,6\\), \\(P\\left( {B|\\overline{A} } \\right) = 0,02\\). Theo công thức Bayes ta có: \\(P\\left( {A|B} \\right) = \\frac{{P\\left( A \\right) \\cdot P\\left( {B|A} \\right)}}{{P\\left( A \\right) \\cdot P\\left( {B|A} \\right) + P\\left( {\\bar{A}} \\right) \\cdot P\\left( {B|\\bar{A}} \\right)}} = \\frac{{0,4 \\cdot 0,05}}{{0,4 \\cdot 0,05 + 0,6 \\cdot 0,02}} = \\frac{5}{8}\\)."
    }
]