Đề bài
Có hai chiếc hộp, hộp I có 5 viên bi màu trắng và 5 viên bi màu đen, hộp II có 6 viên bi màu trắng và 4 viên bi màu đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II. Sau đó lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II.
a) Tính xác suất để viên bi được lấy ra là viên bi màu trắng.
b) Giả sử viên bi được lấy ra là viên bi màu trắng. Tính xác suất viên bi màu trắng đó thuộc hộp I. 


Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Sử dụng kiến thức về công thức xác suất toàn phần để tính: Cho hai biến cố A và B với \(0 < P\left( B \right) < 1\), ta có \(P\left( A \right) = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).
+ Sử dụng kiến thức về công thức Bayes để tính: Với hai biến cố A, B mà \(P\left( A \right) > 0,P\left( B \right) > 0\), ta có: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\). 


Lời giải chi tiết



a) Xét hai biến cố: A: “Viên bi lấy ra từ hộp I bỏ sang hộp II là bi màu trắng”, B: “Viên bi lấy ra từ hộp II là màu trắng”.Theo đề bài ta có: \(P\left( A \right) = P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{2};P\left( {B|A} \right) = \frac{7}{{11}};P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{6}{{11}}\).Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{1}{2}.\frac{7}{{11}} + \frac{1}{2}.\frac{6}{{11}} = \frac{{13}}{{22}}\).


b) Nếu viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng thì xác suất để viên bi đó thuộc hộp I là: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{2}.\frac{7}{{11}}}}{{\frac{{13}}{{22}}}} = \frac{7}{{13}}\).
[
    {
        "problem": "Có hai chiếc hộp, hộp I có 5 viên bi màu trắng và 5 viên bi màu đen, hộp II có 6 viên bi màu trắng và 4 viên bi màu đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II. Sau đó lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II. a) Tính xác suất để viên bi được lấy ra là viên bi màu trắng.",
        "solution": "Xét hai biến cố: A: “Viên bi lấy ra từ hộp I bỏ sang hộp II là bi màu trắng”, B: “Viên bi lấy ra từ hộp II là màu trắng”. Theo đề bài ta có: \(P\\left( A \\right) = P\\left( {\\overline A } \\right) = \\frac{1}{2};P\\left( {B|A} \\right) = \\frac{7}{{11}};P\\left( {B|\\overline A } \\right) = \\frac{6}{{11}}\\). Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có: \(P\\left( B \\right) = P\\left( A \\right).P\\left( {B|A} \\right) + P\\left( {\\overline A } \\right).P\\left( {B|\\overline A } \\right) = \\frac{1}{2}.\\frac{7}{{11}} + \\frac{1}{2}.\\frac{6}{{11}} = \\frac{{13}}{{22}}\\)."
    },
    {
        "problem": "Có hai chiếc hộp, hộp I có 5 viên bi màu trắng và 5 viên bi màu đen, hộp II có 6 viên bi màu trắng và 4 viên bi màu đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II. Sau đó lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II. b) Giả sử viên bi được lấy ra là viên bi màu trắng. Tính xác suất viên bi màu trắng đó thuộc hộp I.",
        "solution": "Nếu viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng thì xác suất để viên bi đó thuộc hộp I là: \(P\\left( {A|B} \\right) = \\frac{{P\\left( A \\right).P\\left( {B|A} \\right)}}{{P\\left( B \\right)}} = \\frac{{\\frac{1}{2}.\\frac{7}{{11}}}}{{\\frac{{13}}{{22}}}} = \\frac{7}{{13}}\\)."
    }
]