Đề bài
Ở một khu rừng nọ có 7 chú lùn, trong đó có 4 chú luôn nói thật, 3 chú còn lại luôn tự nhận mình nói thật nhưng xác suất để mỗi chú này nói thật là 0,5. Bạn Tuyết gặp ngẫu nhiên 1 chú lùn. Gọi \(A\) là biến cố “Chú lùn đó luôn nói thật” và \(B\) là biến cố “Chú lùn đó tự nhận mình luôn nói thật”.
a) Tính xác suất của các biến cố \(A\) và \(B\).
b) Biết rằng chú lùn mà bạn Tuyết gặp tự nhận mình là người luôn nói thật. Tính xác suất để chú lùn đó luôn nói thật. 


Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Xác suất của biến cố \(A\) là thương của số lượng chú lùn luôn nói thật và tổng số chú lùn. Để tính \(P\left( B \right)\), ta sử dụng công thức xác suất toàn phần: \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right)\).
b) Xác suất cần tính là \(P\left( {A|B} \right)\), sử dụng công thức Bayes để tính xác suất đó. 


Lời giải chi tiết



a) Có 7 chú lùn, trong đó có 4 chú lùn luôn nói thật, nên xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{4}{7}\). Suy ra \(P\left( {\bar A} \right) = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}\).Nếu chọn được chú lùn luôn nói thật, xác suất chú lùn đó nói thật là 1. Như vậy \(P\left( {B|A} \right) = 1\).Nếu chọn được chú lùn tự nhận mình nói thật, xác suất chú lùn đó nói thật là 0,5. Như vậy \(P\left( {B|\bar A} \right) = 0,5\).


Vậy xác suất của biến cố \(B\) là\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right) = \frac{4}{7}.1 + \frac{3}{7}.0,5 = \frac{{11}}{{14}}.\)b) Xác suất chú lùn đó luôn nói thật, nếu bạn Tuyết gặp một chú lùn tự nhận mình nói thật là \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{4}{7}.1}}{{\frac{{11}}{{14}}}} = \frac{8}{{11}}.\)
[
    {
        "problem": "Ở một khu rừng nọ có 7 chú lùn, trong đó có 4 chú luôn nói thật, 3 chú còn lại luôn tự nhận mình nói thật nhưng xác suất để mỗi chú này nói thật là 0,5. Bạn Tuyết gặp ngẫu nhiên 1 chú lùn. Gọi \(A\) là biến cố “Chú lùn đó luôn nói thật” và \(B\) là biến cố “Chú lùn đó tự nhận mình luôn nói thật”. a) Tính xác suất của các biến cố \(A\) và \(B\\).",
        "solution": "Có 7 chú lùn, trong đó có 4 chú lùn luôn nói thật, nên xác suất của biến cố \(A\) là \(P\\left( A \\right) = \\frac{4}{7}\\). Suy ra \(P\\left( {\\bar A} \\right) = 1 - \\frac{4}{7} = \\frac{3}{7}\\). Nếu chọn được chú lùn luôn nói thật, xác suất chú lùn đó nói thật là 1. Như vậy \(P\\left( {B|A} \\right) = 1\\). Nếu chọn được chú lùn tự nhận mình nói thật, xác suất chú lùn đó nói thật là 0,5. Như vậy \(P\\left( {B|\\bar A} \\right) = 0,5\\). Vậy xác suất của biến cố \(B\) là \(P\\left( B \\right) = P\\left( A \\right).P\\left( {B|A} \\right) + P\\left( {\\bar A} \\right).P\\left( {B|\\bar A} \\right) = \\frac{4}{7}.1 + \\frac{3}{7}.0,5 = \\frac{{11}}{{14}}\\)."
    },
    {
        "problem": "Biết rằng chú lùn mà bạn Tuyết gặp tự nhận mình là người luôn nói thật. Tính xác suất để chú lùn đó luôn nói thật.",
        "solution": "Xác suất chú lùn đó luôn nói thật, nếu bạn Tuyết gặp một chú lùn tự nhận mình nói thật là \(P\\left( {A|B} \\right) = \\frac{{P\\left( A \\right).P\\left( {B|A} \\right)}}{{P\\left( B \\right)}} = \\frac{{\\frac{4}{7}.1}}{{\\frac{{11}}{{14}}}} = \\frac{8}{{11}}\\)."
    }
]