Đề bài
Cho hai biến cố A và B với \(P\left( A \right) > 0,{\rm{ }}P\left( A \right) > 0\). Chứng minh rằng nếu \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\) thì \(A,B\) độc lập. 


Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tính xác suất có điều kiện để biến đổi, cần chứng minh \(P\left( {A|B} \right) = P\left( A \right)\) và \(P\left( {B|A} \right) = P\left( B \right)\). 


Lời giải chi tiết



Giả sử \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\) với \(P\left( A \right) > 0,{\rm{ }}P\left( A \right) > 0\).Ta có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)}}{{P\left( B \right)}} = P\left( A \right)\); \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)}}{{P\left( A \right)}} = P\left( B \right)\).


Suy ra việc xảy ra biến cố B không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố A và ngược lại.Do đó A và B độc lập.
[
    {
        "problem": "Cho hai biến cố A và B với \(P\\left( A \\right) > 0,{\\rm{ }}P\\left( A \\right) > 0\\). Chứng minh rằng nếu \(P\\left( {AB} \\right) = P\\left( A \\right) \\cdot P\\left( B \\right)\\) thì \(A,B\) độc lập.",
        "solution": "Giả sử \(P\\left( {AB} \\right) = P\\left( A \\right) \\cdot P\\left( B \\right)\\) với \(P\\left( A \\right) > 0,{\\rm{ }}P\\left( A \\right) > 0\\).Ta có \(P\\left( {A|B} \\right) = \\frac{{P\\left( {AB} \\right)}}{{P\\left( B \\right)}} = \\frac{{P\\left( A \\right) \\cdot P\\left( B \\right)}}{{P\\left( B \\right)}} = P\\left( A \\right)\\); \(P\\left( {B|A} \\right) = \\frac{{P\\left( {AB} \\right)}}{{P\\left( A \\right)}} = \\frac{{P\\left( A \\right) \\cdot P\\left( B \\right)}}{{P\\left( A \\right)}} = P\\left( B \\right)\\). Suy ra việc xảy ra biến cố B không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố A và ngược lại. Do đó A và B độc lập."
    }
]