Đề bài
Có ba chiếc túi I, II và III. Túi I có chứa 5 viên bị trắng và 5 viên bị đen cùng kích thước, khối lượng. Túi II và III mỗi túi có chứa 2 viên bị trắng và 8 viên bị đen. Bạn Minh lấy ngẫu nhiên từ mỗi túi một viên bi. Gọi X là số viên bị trắng lấy được.
a) Lập bảng phân bố xác suất của X.
b) Chứng minh rằng X không phải là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức. 

Lời giải chi tiết



a) X là số viên bị trắng lấy được. Các giá trị có thể có của X là {0, 1, 2, 3}Xác suất để lấy được 1 bi trắng ở các túi I, II, III lần lượt là 0,5; 0,2; 0,2.- Biến cố {X = 0} là biến cố không có bi trắng lấy được từ một trong ba túi\(P(X = 0) = 0,5.0.8.0,8 = 0,32\)- Biến cố {X = 1} là biến cố có bi trắng lấy được từ một trong ba túi\(P(X = 1) = 0,5.0,8.0,8 + 0,5.0,2.0,8 + 0,5.0,8.0,2 = 0,48\)- Biến cố {X = 2} là biến cố có bi trắng lấy được từ hai trong ba túi


\(P(X = 2) = 0,5.0,2.0,8 + 0,5.0,8.0,2 + 0,5.0,2.0,2 = 0,18\)- Biến cố {X = 3} là biến cố có bi trắng lấy được từ cả ba túi\(P(X = 3) = 0,5.0,2.0,2 = 0,02\)Ta có bảng phân bố xác suất:b) Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức. Khi đó, \(X \sim B(3,p)\)\(\begin{array}{l}P(X = 3) = C_3^3.{p^3} = {p^3} = 0,02 \Rightarrow p \approx 0,27\\P(X = 0) = C_3^0.{\left( {1 - p} \right)^3} = {0,73^3} = 0,389 \ne 0,32\end{array}\)Vậy X không là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức.
[
    {
        "problem": "Có ba chiếc túi I, II và III. Túi I có chứa 5 viên bị trắng và 5 viên bị đen cùng kích thước, khối lượng. Túi II và III mỗi túi có chứa 2 viên bị trắng và 8 viên bị đen. Bạn Minh lấy ngẫu nhiên từ mỗi túi một viên bi. Gọi X là số viên bị trắng lấy được. a) Lập bảng phân bố xác suất của X.",
        "solution": "X là số viên bị trắng lấy được. Các giá trị có thể có của X là {0, 1, 2, 3}. Xác suất để lấy được 1 bi trắng ở các túi I, II, III lần lượt là 0,5; 0,2; 0,2. - Biến cố {X = 0} là biến cố không có bi trắng lấy được từ một trong ba túi \(P(X = 0) = 0,5 \\cdot 0,8 \\cdot 0,8 = 0,32\). - Biến cố {X = 1} là biến cố có bi trắng lấy được từ một trong ba túi \(P(X = 1) = 0,5 \\cdot 0,8 \\cdot 0,8 + 0,5 \\cdot 0,2 \\cdot 0,8 + 0,5 \\cdot 0,8 \\cdot 0,2 = 0,48\). - Biến cố {X = 2} là biến cố có bi trắng lấy được từ hai trong ba túi \(P(X = 2) = 0,5 \\cdot 0,2 \\cdot 0,8 + 0,5 \\cdot 0,8 \\cdot 0,2 + 0,5 \\cdot 0,2 \\cdot 0,2 = 0,18\). - Biến cố {X = 3} là biến cố có bi trắng lấy được từ cả ba túi \(P(X = 3) = 0,5 \\cdot 0,2 \\cdot 0,2 = 0,02\). Ta có bảng phân bố xác suất:"
    },
    {
        "problem": "Có ba chiếc túi I, II và III. Túi I có chứa 5 viên bị trắng và 5 viên bị đen cùng kích thước, khối lượng. Túi II và III mỗi túi có chứa 2 viên bị trắng và 8 viên bị đen. Bạn Minh lấy ngẫu nhiên từ mỗi túi một viên bi. Gọi X là số viên bị trắng lấy được. b) Chứng minh rằng X không phải là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức.",
        "solution": "Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức. Khi đó, \(X \\sim B(3,p)\). \\[ P(X = 3) = C_3^3 \\cdot p^3 = p^3 = 0,02 \\Rightarrow p \\approx 0,27 \\] \\[ P(X = 0) = C_3^0 \\cdot (1 - p)^3 = 0,73^3 = 0,389 \\ne 0,32 \\] Vậy X không là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức."
    }
]