Đề bài
Người ta quan sát một nhóm người trưởng thành trong 5 năm. Ở thời điểm bắt đầu quan sát, có 30% số người được quan sát thường xuyên hút thuốc. Sau 5 năm, người ta nhận thấy tỉ lệ tử vong trong số những người thường xuyên hút thuốc cao gấp 3 lần tỉ lệ này trong nhóm những người còn lại. Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm và thấy người này tử vong trong 5 năm quan sát, tính xác suất người đó thường xuyên hút thuốc. 


Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng công thức tính xác suất toàn phần: \(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).
‒ Sử dụng công thức Bayes: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\). 


Lời giải chi tiết



Gọi \(A\) là biến cố “Một người tử vong trong 5 năm quan sát” và \(B\) là biến cố “Một người thường xuyên hút thuốc”.Do ở thời điểm bắt đầu quan sát, có 30% số người được quan sát thường xuyên hút thuốc nên ta có \(P\left( B \right) = 0,3\) và \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,3 = 0,7\).Gọi tỉ lệ tử vong trong số những người không thường xuyên hút thuốc là \(a\left( {0 \le a \le 1} \right)\).


Do ở thời điểm sau 5 năm, người ta nhận thấy tỉ lệ tử vong trong số những người thường xuyên hút thuốc cao gấp 3 lần tỉ lệ này trong nhóm những người còn lại nên \(P\left( {A|\overline B } \right) = a\)và \(P\left( {A|B} \right) = 3a\).Theo công thức xác suất toàn phần, tỉ lệ một người tử vong trong 5 năm quan sát là:\(P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {A|\overline B } \right) = 0,3.3a + 0,7.a = 1,6a\).Theo công thức Bayes, xác suất một người thường xuyên hút thuốc, biết rằng người đó tử vong trong 5 năm quan sát là\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,3.3{\rm{a}}}}{{1,6{\rm{a}}}} = 0,5625\).
[
    {
        "problem": "Người ta quan sát một nhóm người trưởng thành trong 5 năm. Ở thời điểm bắt đầu quan sát, có 30% số người được quan sát thường xuyên hút thuốc. Sau 5 năm, người ta nhận thấy tỉ lệ tử vong trong số những người thường xuyên hút thuốc cao gấp 3 lần tỉ lệ này trong nhóm những người còn lại. Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm và thấy người này tử vong trong 5 năm quan sát, tính xác suất người đó thường xuyên hút thuốc.",
        "solution": "Gọi \(A\) là biến cố “Một người tử vong trong 5 năm quan sát” và \(B\) là biến cố “Một người thường xuyên hút thuốc”. Do ở thời điểm bắt đầu quan sát, có 30% số người được quan sát thường xuyên hút thuốc nên ta có \(P\\left( B \\right) = 0,3\) và \(P\\left( {\\overline B } \\right) = 1 - P\\left( B \\right) = 1 - 0,3 = 0,7\\). Gọi tỉ lệ tử vong trong số những người không thường xuyên hút thuốc là \(a\\left( {0 \\le a \\le 1} \\right)\\). Do ở thời điểm sau 5 năm, người ta nhận thấy tỉ lệ tử vong trong số những người thường xuyên hút thuốc cao gấp 3 lần tỉ lệ này trong nhóm những người còn lại nên \(P\\left( {A|\\overline B } \\right) = a\) và \(P\\left( {A|B} \\right) = 3a\\). Theo công thức xác suất toàn phần, tỉ lệ một người tử vong trong 5 năm quan sát là: \(P\\left( A \\right) = P\\left( B \\right)P\\left( {A|B} \\right) + P\\left( {\\overline B } \\right)P\\left( {A|\\overline B } \\right) = 0,3.3a + 0,7.a = 1,6a\\). Theo công thức Bayes, xác suất một người thường xuyên hút thuốc, biết rằng người đó tử vong trong 5 năm quan sát là \(P\\left( {B|A} \\right) = \\frac{{P\\left( B \\right).P\\left( {A|B} \\right)}}{{P\\left( A \\right)}} = \\frac{{0,3.3{\\rm{a}}}}{{1,6{\\rm{a}}}} = 0,5625\\)."
    }
]