Đề bài
Có hai đội thi đấu môn Bắn súng. Đội I có 5 vận động viên, đội II có 7 vận động viên. Xác suất đạt huy chương vàng của mỗi vận động viên đội I và đội II tương ứng là 0,65 và 0,55. Chọn ngẫu nhiên một vận động viên.
a) Tính xác suất để vận động viên này đạt huy chương vàng;
b) Giả sử vận động viên được chọn đạt huy chương vàng. Tính xác suất để vận động viên này thuộc đội I. 


Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về công thức xác suất toàn phần để tính: Cho hai biến cố A và B. Khi đó, ta có công thức sau: \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\).  
Sử dụng kiến thức về công thức Bayes để tính: Cho A và B là hai biến cố, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, ta có công thức sau: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}}\). 


Lời giải chi tiết



Gọi A là biến cố: “Vận động viên đạt huy chương vàng”, B là biến cố: “Thành viên đội I” thì \(\overline B \) là biến cố: “Thành viên đội II đạt huy chương vàng”.Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{5}{{12}};P\left( {\overline B } \right) = \frac{7}{{12}},P\left( {A|B} \right) = 0,65,P\left( {A|\overline B } \right) = 0,55\)a) Theo công thức xác suất toàn phần ta có:\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{5}{{12}}.0,65 + \frac{7}{{12}}.0,55 = \frac{{71}}{{120}}\)


Vậy xác suất để vận động viên này đạt huy chương vàng là \(\frac{{71}}{{120}}\)b) Ta cần tính: \(P\left( {B|A} \right)\). Theo công thức Bayes ta có:\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{5}{{12}}.0,65}}{{\frac{{71}}{{120}}}} = \frac{{65}}{{142}}\)
[
    {
        "problem": "Có hai đội thi đấu môn Bắn súng. Đội I có 5 vận động viên, đội II có 7 vận động viên. Xác suất đạt huy chương vàng của mỗi vận động viên đội I và đội II tương ứng là 0,65 và 0,55. Chọn ngẫu nhiên một vận động viên. a) Tính xác suất để vận động viên này đạt huy chương vàng;",
        "solution": "Gọi A là biến cố: \\\"Vận động viên đạt huy chương vàng\\\", B là biến cố: \\\"Thành viên đội I\\\" thì \\(\\overline{B}\\) là biến cố: \\\"Thành viên đội II đạt huy chương vàng\\\". Do đó, \\(P\\left( B \\right) = \\frac{5}{{12}};P\\left( {\\overline{B}} \\right) = \\frac{7}{{12}},P\\left( {A|B} \\right) = 0,65,P\\left( {A|\\overline{B}} \\right) = 0,55\\). Theo công thức xác suất toàn phần ta có: \\(P\\left( A \\right) = P\\left( B \\right).P\\left( {A|B} \\right) + P\\left( {\\overline{B}} \\right).P\\left( {A|\\overline{B}} \\right) = \\frac{5}{{12}}.0,65 + \\frac{7}{{12}}.0,55 = \\frac{{71}}{{120}}\\). Vậy xác suất để vận động viên này đạt huy chương vàng là \\(\\frac{{71}}{{120}}\\)."
    },
    {
        "problem": "Có hai đội thi đấu môn Bắn súng. Đội I có 5 vận động viên, đội II có 7 vận động viên. Xác suất đạt huy chương vàng của mỗi vận động viên đội I và đội II tương ứng là 0,65 và 0,55. Chọn ngẫu nhiên một vận động viên. b) Giả sử vận động viên được chọn đạt huy chương vàng. Tính xác suất để vận động viên này thuộc đội I.",
        "solution": "Gọi A là biến cố: \\\"Vận động viên đạt huy chương vàng\\\", B là biến cố: \\\"Thành viên đội I\\\" thì \\(\\overline{B}\\) là biến cố: \\\"Thành viên đội II đạt huy chương vàng\\\". Do đó, \\(P\\left( B \\right) = \\frac{5}{{12}};P\\left( {\\overline{B}} \\right) = \\frac{7}{{12}},P\\left( {A|B} \\right) = 0,65,P\\left( {A|\\overline{B}} \\right) = 0,55\\). Theo công thức Bayes ta có: \\(P\\left( {B|A} \\right) = \\frac{{P\\left( B \\right).P\\left( {A|B} \\right)}}{{P\\left( A \\right)}} = \\frac{{\\frac{5}{{12}}.0,65}}{{\\frac{{71}}{{120}}}} = \\frac{{65}}{{142}}\\)."
    }
]