Đề bài
Cho hai biến cố ngẫu nhiên \(A\) và \(B\). Biết rằng \(P\left( {A|B} \right) = 2P\left( {B|A} \right)\) và \(P\left( {AB} \right) \ne 0\). Tính tỉ số \(\frac{{P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}}\). 


Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức Bayes để tính tỉ số \(\frac{{P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}}\). 


Lời giải chi tiết



Do \(P\left( {AB} \right) \ne 0\) và \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)\) nên \(P\left( {A|B} \right)\), \(P\left( B \right)\), \(P\left( A \right)\) và \(P\left( {B|A} \right)\) đều khác 0.Do \(P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)\) nên \(\frac{{P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( {B|A} \right)}}\).


Vậy \(\frac{{P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( {B|A} \right)}} = 2\).
[
    {
        "problem": "Cho hai biến cố ngẫu nhiên \(A\) và \(B\). Biết rằng \(P\\left( {A|B} \\right) = 2P\\left( {B|A} \\right)\\) và \(P\\left( {AB} \\right) \\ne 0\\). Tính tỉ số \\(\\frac{{P\\left( A \\right)}}{{P\\left( B \\right)}}\\).",
        "solution": "Do \(P\\left( {AB} \\right) \\ne 0\\) và \(P\\left( {AB} \\right) = P\\left( A \\right).P\\left( {B|A} \\right) = P\\left( B \\right).P\\left( {A|B} \\right)\\) nên \(P\\left( {A|B} \\right)\\), \(P\\left( B \\right)\\), \(P\\left( A \\right)\\) và \(P\\left( {B|A} \\right)\\) đều khác 0. Do \(P\\left( A \\right).P\\left( {B|A} \\right) = P\\left( B \\right).P\\left( {A|B} \\right)\\) nên \\(\\frac{{P\\left( A \\right)}}{{P\\left( B \\right)}} = \\frac{{P\\left( {A|B} \\right)}}{{P\\left( {B|A} \\right)}}\\). Vậy \\(\\frac{{P\\left( A \\right)}}{{P\\left( B \\right)}} = \\frac{{P\\left( {A|B} \\right)}}{{P\\left( {B|A} \\right)}} = 2\\)."
    }
]