aritmetička funkcija;multiplikativna funkcija;potpuno multiplikativna funkcija;Eulerova funkcija;Dirichletov produkt (kovolucija) aritmetičkih funkcija;racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1);arithmetic function;multiplicative function;completely multiplicative function,Euler's phi-function;Dirichlet  convolution;totient function;rational arithmetical function of degree (1,1);info:eu-repo/classification/udc/511.1(043.2)

<s>Zahvaljujem se svom mentoru doc. dr. Danielu Eremiti na velikoj pomoći pri pisanju rada, vrijednim savjetima, preciznošću i strpljenju kojim mi je pokazao put samostalnog rada.</s><s>Također, zahvaljujem na značajnoj literaturi koja mi je olakšala pisanje.</s><s>Veliko hvala Referatu FNM za podršku i individualni pristup u svakom trenutku.</s><s>Nekaj karakterizacij racionalnih aritmetičnih funkcij stopnje program magistrskeg dela</s>
<s>Aritmetični funkciji pravimo racionalna aritmetična funkcija stopnje (1,1), če jo lahko zapišemo kot Dirichletov produkt popolnoma multiplikativne funkcije in inverza popolnoma multiplikativne funkcije.</s><s>Glavni cilj magistrskega dela je obravnava različnih karakterizacij racionalnih aritmetičnih funkcij stopnje (1,1), ki so bile izpeljane v članku Š2Ć.</s><s>Posebej naj bodo obravnane tudi različne karakterizacije popolnoma multiplikativnih funkcij.</s><s>Uvodoma naj bodo predstavljene osnovne teorije aritmetičnih funkcij.</s>
<s>VASILJEVIĆ, N. : Neke karakterizacije racionalnih aritmetičnih funkcija stupnja (1,1).</s><s>Magistrsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Oddelek za matematiko in računalništvo, 2019.</s>
<s>Dirichletov produkt potpuno multiplikativne funkcije i inverza potpuno multiplikativne funkcije definiramo kao racionalnu aritmetičku funkciju stupnja (1,1).</s><s>U ovom diplomskom radu, koji se sastoji od tri poglavlja, u prvom dijelu donosimo osnovnu teoriju aritmetičkih funkcija, točnije navodimo definicije i svojstva nekih multiplikativnih funkcija.</s>
<s>U drugom dijelu prvo definiramo Dirichletov produkt (konvoluciju) aritmetičkih funkcija i Dirichletov inverz aritmetičke funkcije, zatim slijede iskazi i dokazi nekih karakterizacija potpuno multiplikativnih funkcija.</s>
<s>Konačno, u trećem poglavlju definiramoracionalne aritmetičke funkcije stupnja (1,1).</s><s>Jedan od najpoznatijih primjera je Eulerova funkcija.</s><s>U literaturi postoji veliki broj karakterizacija potpuno multiplikativnih funkcija, dok karakterizacije racionalnih aritmetičkih funkcija stupnja (1,1) nisu često proučavane, stoga iznosimo neke njihove karakterizacije koje su dostupne u navedoj literaturi.</s>
<s>Ključne riječi: aritmetička funkcija, multiplikativna funkcija, potpuno multiplikativna funkcija, Eulerova funkcija, Dirichletov produkt (kovolucija) aritmetičkih funkcija, racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1)</s>
<s>Prvo poglavlje magistrskega dela je namenjeno predstavitvi osnov teorije multiplikativnih aritmetičnih funkcij.</s><s>Neničelna aritmetična funkcija f je multiplikativna, če je za sve pare tujih naravnih števil m in n. Če je pogoj izpolnjen za vsa</s>
<s>RAZŠIRJEN POVZETAK V SLOVENSKEM JEZIKU naravna števila m, n pravimo, da je neničelna aritmetična funkcija f popolnoma multiplikativna.</s><s>V tem poglavju izpeljemo osnovne lastnosti multiplikativnih funkcij.</s><s>Predstavimo tudi naslednje klasične primere multiplikativnih funkcij: Eulerjevo funkcijo 𝜙, funkciji 𝜏 in σ ter Möbiousovo funkcijo μ.</s>
<s>Glavni cilj drugega poglavlja izpeljava različnih karakterizacij popolnoma multiplikativnih funkcij.</s><s>Najprej definiramo Dirichletov produkt poljubnih aritmetičnih</s>
<s>RAZŠIRJEN POVZETAK V SLOVENSKEM JEZIKU funkcij f in g. Gre za aritmetično funkcijo, ki je podana z naslednjim predpisom ℕ.</s><s>Izkaže se, d množica vseh aritmetičnih funkcij skupaj z operacijo seštevanja funkcij in Dirichletovim produktom tvori komutativen kolobar z enoto.</s><s>Vpeljemo tudi pojem Dirichletovega inverza</s>
<s>nkcija f z lastnostjo enolično določen Dirichletov inverz.</s><s>Pri tem opazimo, da je Dirichletov inverz multiplikativne funkcije spet multiplikativna funkcija.</s><s>Opazimo tudi, da je Dirichletov produkt dveh multiplikativnih funkcij spet multiplikativna funkcija.</s><s>V nadaljevanju izpeljemo številne lastnosti popolnoma multiplikativnih funkcij.</s><s>Posebna pozornost je namenjena potrebnim in zadostnim pogojem za popolno multiplikativnost multiplikativnih funkcij.</s><s>Tako dokažemo, da je multiplikativna funkcija f popolnoma multiplikativna natanko za vsa naravna števila n. Dokažemo tudi, da je ta pogoj izpolnjen natanko tedaj, ko je za vsa praštevila p i vsa naravna števila a, ki so večja od 1. V tem poglavju poiščemo tudi Dirichletove inverse zgoraj omenjenih klasičnih primerov multiplikativnih funkcij.</s><s>Vpeljemo tudi Liouvilleovo funkcijo λ in pokažemo, da je funkcija njen Dirichletov inverz.</s><s>V tretjem poglavju obravnavamo različne karakterizacije racionalnih aritmetičnih funkcij stopnje (1,1), kar je glavni cilj magistrskega dela.</s><s>Aritmetični funkciji f pravimo racionalna aritmetična funkcija stopnje (1,1) , če jo lahko zapišemo kot Dirichletov produkt popolnoma multiplikativne funkcije in inverza popolnoma multiplikativne funkcije.</s><s>To pomeni, da je</s>
<s>nkcija f z lastnostjo za neki popolnoma multiplikativni funkciji f .</s><s>Zlahka opazimo, da je vsaka popolnoma multiplikativna funkcija f racionalna aritmetična funkcija stopnje (1,1).</s><s>Znan primer racionalne aritmetične funkcije stopnje (1,1) je Eulerjeva funkcija 𝜙, saj se izkaže, da velja kjer je</s>
<s>nkcija f z lastnostjo za vsa naravna števila n. Vpeljemo tudi Jordanovo funkcijo da je racionalna aritmetična funkcija stopnje (1,1).</s><s>V nadaljevanju izpeljemo različne karakterizacije racionalnih aritmetičnih funkcij stopnje (1,1).</s><s>Tako se na primer izkaže, da je aritmetična funkcija f racionalna aritmetična funkcija stopnje (1,1) natanko tedaj, ko je f multiplikativna in za vsako praštevilo p obstaja tako kompleksno število za vsako naravno število e. Naslednja karakterizacija pravi, da je multiplikativna funkcija f racionalna aritmetična funkcija stopnje (1,1) natanko tedaj, ko je geometrijsko zaporedje za vsako praštevilo p .</s><s>Izpeljemo tudi izrek, ki pove, da je aritmetična funkcija f racionalna aritmetična funkcija stopnje (1,1) natanko tedaj, ko obstajata taki popolnoma multiplikativni funkciji g in h, da velja za vsak nϵℕ.</s><s>Še več, izkaže se, da je to ekvivalentno pogoju, da obstaja taka multiplikativna funkcija h, da je</s>
<s>nkcija f z lastnostjo za vse m, nϵℕ.</s><s>Nadaljujemo z naslednjim izrekom, ki pove, da je aritmetična funkcija f racionalna aritmetična funkcija stopnje (1,1) natanko tedaj, ko obstaja taka popolnoma mulitplikativna funkcija h, da velja</s>
<s>Sadržaj za vse m, nϵℕ.</s><s>Izkaže se, da je to ekvivalentno pogoju, da obstajata taki popolnoma multiplikativni funkcij g in h, da velja za vse m, nϵℕ. v tem poglavju vpeljemu tudi Dedekindovo funkcijo 𝜓 in izpeljemo še nekaj dodatnih lastnosti racionalnih aritmetičnih funkcij stopnje (1,1).</s>
<s>2.2 Neke karakterizacije potpuno multiplikativnih funkcija 3. Neke karakterizacije racionalnih aritmetičkih funkcija stupnja (1, 1) Literatura</s>
<s>Jedna od najstarijih i najvažnijih grana matematike je aritmetika, koja se bavi proučavanjem brojeva.</s><s>Prvi aritmetički problemi u povijesti su zapisani u starom Egiptu i Babilonu.</s><s>Aritmetika se smatra kraljicom matematike, a jedan od najvećih matematičara Johann Carl FriedrichGauss (1777.-1855.) rekao je "Matematika je kraljica znanosti, a teorija brojeva je kraljicamatematike."</s>
<s>Teorija brojeva je grana matematike koja ponajprije proučava svojstva skupa prirodnih brojeva te skupa cijelih i racionalnih brojeva.</s><s>Teorija brojeva se često bavi i nizovima realnih ili kompleksnih brojeva, koji se u teoriji brojeva nazivaju aritmetičke funkcije.</s><s>Artimetičke funkcije su realne ili kompleksne funkcije koje se definiraju na skupu prirodnih brojeva.</s><s>Aritmetičke funkcije imaju široku primjenu u svim granama matematike, a jedna od najistaknutijih je u kriptografiji, gdje su baza raznih metoda šifriranja i dešifriranja poruka.</s>
<s>U ovom diplomskom radu upoznat ćemo se s multiplikativnim i potpuno multiplikativnim aritmetičkim funkcijama te nekim njihovim karakterizacijama.</s><s>Upoznat ćemo se s racionalnim aritmetičkim funkcijama stupnja (1,1) i nekim njihovim karakterizacijama.</s>
<s>U prvom poglavlju rada predstavit ćemo osnovnu teoriju aritmetičkih funkcija.</s><s>Upoznat ćemo se s multiplikativnim funkcijama te ćemo predstaviti neke istaknute multiplikativne funkcije kao što su Eulerova funkcija, broj i zbroj djelitelja, Möbiusova funkcija.</s>
<s>U drugom poglavlju predstavit ćemo neke različite karakterizacije potpuno multiplikativnih funkcija, a na početku ćemo definirati novu operaciju na skupu aritmetičkih funkcija, Dirichletov produkt koji još nazivamo i Dirichletova konvolucija ili samo konvolucija.</s><s>Na samom kraju predstavit ćemo Liouvilleovu funkciju kao važan primjer potpuno multiplikativne funkcije.</s>
<s>U trećem poglavlju ćemo upoznati neke karakterizacije racionalnih aritmetičkih funkcija stupnja (1,1).</s><s>Predstavit ćemoracionalne aritmetičke funkcije stupnja (1,1) te navesti nužne i dovoljne uvjete da bi aritmetička funkcija bilaracionalna aritmetička funkcija stupnja Poglavlje 1</s>
<s>Funkcije koje su definirane za sve prirodne brojeve n nazivaju se aritmetičke funkcije.</s><s>Aritmetičkoj funkcijif domena je skup prirodnih brojeva, a kodomena podskup kompleksnih brojeva ℂ.</s>
<s>vrijedi za sve parove relativno prostih brojeva m i n. Funkcija f je potpuno multiplikativna ako nije nul funkcija i ako svojstvo (1.1) vrijedi za sve prirodne brojeve n i m.</s>
<s>U cijelom radu promatrat ćemo pozitivne djelitelje d prirodnog broja te za najvećeg zajedničkog djelitelja dva broja m i n koristimo i oznaku ( Napomena 1.1.1.</s><s>Svaka potpuno multiplikativna funkcija f je multiplikativna funkcija.</s>
<s>ako je za sve proste brojeve p i prirodne brojeve m. Dokaz.</s><s>Najprije pretpostavimo da f zadovoljava Neka su n1i n2 relativno prosti brojevi, .</s><s>Kada bismo napravili</s>
<s>U svakom slučaju dobivamo da vrijedi definicijsko svojstvo (1.1), tj. f je multiplikativna funkcija.</s><s>Obratno, pretpostavimo da je f multiplikativna funkcija tada f nije nul funkcija pa , dobivamo</s>
<s>Ako je f potpuno multiplikativna funkcija, onda za bilo koji prost broj pm imamo Obratno, ako je f multiplikativna i zadovoljava za sve proste brojevep i sve</s>
<s>dobivamo upravo svojstvo (1.2). prirodne brojeve monda se po (1.2) može zapisati kao faktorizacija broja n na (ne nužno različite) proste brojeve pi.</s><s>Neka su n1i n2 bilo koja dva prirodna brojačije faktorizacije na proste faktore su Tada je</s>
<s>Dokaz.</s><s>Rezultat ovog teoremaslijedi neposredno iz definicije multiplikativnosti.</s><s>Dokazat ćemo prvu tvrdnju, a za drugu tvrdnju postupak je analogan.</s><s>Neka su fi gdvije multiplikativne funkcije.</s><s>Neka su m i n relativno prosti brojevi tj. ( Iz multiplikativnost funkcijafi g slijedi Tada je</s>
<s>Definicija 1.1.2.</s><s>Neka je f aritmetička funkcija .</s><s>Tada predstavlja sumu vrijednosti funkcije f za sve pozitivne djelitelje od n. Funkcija F se zove sumativna funkcija od f.</s>
<s>Primjer 1.1.2.</s><s>Ako je f aritmetička funkcija sa sumativnom funkcijom F, slijedi i F je sumativna funkcija funkcije f , tada je 455</s>
<s>Sada ćemopredstaviti neke istaknute multiplikativne funkcije kao što su Eulerova funkcija, suma i broj djelitelja, Möbiusova funkcija , a reći ćemo nešto i o savršenim brojevima.</s><s>1.2 Eulerova funkcija</s>
<s>Eulerova funkcija je jedna od najvažnijih funkcija u teoriji brojeva.</s><s>Ime je dobila po velikom matematičaru Leonhardu Euleru (1707.- 1783.) koji ju je istraživao i predstavio davne 1763. godine kao funkciju koja „broji broj prirodnih brojeva koji nisu veći od prirodnog broja n i nemaju zajedničkog djelitelja s n.“ Oznaka Eulerove funkcije je 𝜙 ,koju je uveo Gauss u Disquisitiones Arithmeticae objavljenim 1801. godine.</s><s>Eulerova funkcija 𝜙 je funkcija koja priodnom broju n pridružuje broj prirodnih brojeva koji nisu veći od n koji su relativno prosti s n.</s>
<s>Rješenje: Brojevi manji od 6 koji su relativno prosti s 6 su 1 i 5 pa je prost broj pa su svi brojevi manji od njega relativno prosti s njim i imamo zaključak za</s>
<s>ima brojeva manjih od pa koji su s njim relativno prosti te slijedi da je Primjer 1.2.2.</s><s>Koristeći teorem 1.2.2. nalazimo da je Pokažimo svojstvo multiplikativnost Eulerove funkcije.</s><s>Teorem 1.2.3. (Multiplikativnost Eulerovefunkcije ) Neka su m i n relativno prosti prirodni brojevi.</s><s>Tada vrijedi (</s>
<s>, dakle trebamo prebrojati koliko elemenata ove tablice je relativno .</s><s>Pretpostavimo da prirodan broj r ne premašuje m tj. i pretpostavimo</s>
<s>Kombiniranjem teorema 1.2.2. i teorema 1.2.3. dolazimo do novog teorema i formule za ( ) Teorem 1.2.4.</s><s>Neka je nϵℕ, n>1 dan kanonskim rastavom na proste faktore Tadaje</s>
<s>Dokaz.</s><s>Kako je 𝜙 multiplikativna funkcija, teorem 1.1.1 nam kaže da vrijedi Dodatno, po teoremu 1.2.2. znamo da vrijedi Nadalje imamo,</s>
<s>Ilustrirajmo primjenu gore navedenog teorema u sljedećem primjeru.</s><s>Primjer 1.2.3.</s><s>Odredimo koliko je prirodnih brojeva manjih od 50 relativno prostih s 50.</s><s>Teorem 1.2.5.</s><s>Ako je n prirodan broj tada vrijedi Dokaz.</s><s>Rastavimoskup</s>
<s>Stoga, broj brojeva u Sd je broj prirodnih brojeva koji ne premašuju n/d i koji su relativno prosti s brojem n/d. Promatrajući vidimo da vrijedi Zato što je</s>
<s>U ovom dijelu rada ćemo pokazati da su funkcije suma djelitelja i broj djelitelja multiplikativne funkcije.</s><s>Prvo definirajmo jednu i drugu funkciju.</s><s>Definicija 1.3.1.</s><s>Neka je nϵℕ.</s><s>Suma djelitelja je funkcija ,koja prirodnom broju n pridružuje sumu (zbroj) svih pozitivnih djelitelja broja n tj. ( ) Svi pozitivni djelitelji broja 10 su brojevi pa imamo da je</s>
<s>Definicija 1.3.2.</s><s>Neka je nϵℕ.</s><s>Broj djelitelja je funkcija , koja prirodnom broj n pridružuje broj svih pozitivnih djelitelja broja n, ( ) Primjer 1.3.2.</s><s>Odredimo</s>
<s>primjetimo koristeći formulu za sumu članova geometrijskog Primjer 1.3.3.</s><s>Kada upotrijebimo lemu 1.3.1 s , nalazimo da je</s>
<s>Primjer 1.3.4.</s><s>Odredimo koje nalazimo u lemi 1.3.1., dobivamo željene formule.</s><s>U sljedećem primjeru ilustirat ćemo korištenje teorema 1.3.1.</s>
<s>.</s><s>Prostih brojeva ima beskonačno mnogo pa slijedi da postoji beskonačno mnogo brojeva n za koje vrijedi Isto tako postoji i beskonačno mnogo brojeva n za koje vrijedi Mi ne znamo postoji li beskonačno mnogo brojeva n za koje vrijedi .</s><s>Brojevi koji</s>
<s>1.4 Savršeni brojevi ispunjavaju navedenu jednakost su savršeni brojevi.</s><s>Definicija 1.4.1.</s><s>Neka je n prirodan broj i vrijedi , tada n zovemo savršeni broj.</s>
<s>Za prirodan broj kažemo da je savršen ako je jednak sumi svojih pravih djelitelja.</s><s>Primjer 1.4.1.</s><s>Primjeri savršenih brojeva su brojevi 6 i 28.</s>
<s>Naziv savršeni brojevi su dobili od Pitagorejaca, koji suim pridavali mistična svojstva.</s><s>Problem određivanja parnih savršenih brojeva datira od starih Grka.</s><s>Stari Grci su poznavali samo četiri savršena broja: 6, 28, 496, 8128 koji su navedeni u Nikomahovoj knjiziIntroductioArithmeticae.</s>
<s>ako je zbroj prost, pomnožimo ga posljednjim pribrojnikom i imamo savršeni broj.</s><s>Primjer 1.4.2.</s><s>Pokažimo kako na taj način dolazimo da navedena četiri savršena broja.</s><s>8128</s>
<s>Oko 2000 godina nakon Euklida, Euler je dopunio njegov rezultat.</s><s>Teorem 1.4.1.</s><s>Paran broj n je savršen ako i samo ako se može prikazati u obliku pri čemu je</s>
<s>Napomenimo da su postavljani mnogi uvjeti koje treba zadovoljavati neparan savršen broj, no još nije poznato postoji li ijedan neparan savršen broj.</s><s>Prema teoremu 1.4.1., važnu ulogu u određivanju pranih savršenih brojeva imaju prosti brojevi oblika</s>
<s>, pri čemu je n prirodan broj.</s><s>Ovi su brojevi nazvani po francuskom redovniku i matematičaru Marinu Mersenneu koji je živio u drugoj polovici 16. stoljeća i prvoj polovici 17. stoljeća.</s>
<s>Möbiusova funkcija je vrlo bitna multiplikativna funkcija u teoriji brojeva i kombinatorici koja je dobila ime po njemačkom matematičaru i astronomu Augustu Ferdinandu Möbiusu.</s>
<s>Iz definicije vidimo da je definirana za sve prirodne brojeve n i poprima vrijednosti iz , ako je n kvadratno slobodan prirodan broj sa parnim brojem prostih faktora,</s>
<s>brojem prostih faktora, a ako n nije kvadratno slobodan.</s><s>Napomenimo da za prirodan broj n kažemo da je kvadratno slobodan ako je 1 najveći kvadrat koji dijeli n. Služeći se defincijom možemo napraviti sljedeću tablicu vrijednosti Möbiusove funkcije za prvih deset prirodnih brojeva.</s>
<s>Tablica 1.5.1.</s><s>Vrijednosti funkcije μ(n) Sada ćemo iskazati i dokazati teorem o multiplikativnosti Möbiusove funkcije, što dolazi direktno iz definicije.</s>
<s>Teorem 1.5.1.</s><s>Möbiusova funkcija μ je multiplikativna funkcija.</s><s>Dokaz.</s><s>Neka su m i n relativno prosti brojevi.</s><s>Kako bismo pokazali da je multiplikativna, trebamo pokazati da vrijedi Neka su</s>
<s>prirodni brojevi.</s><s>Ako je neki od od eksponenata broja m strogo veći od 1, tada je imamo i u faktorizaciji broja mn eksponent strogo veći od 1, pa je i vrijedi</s>
<s>Analogno, dobijemo ako je neki od eksponenata broja n strogoveći od 1.U slučaju, ako su svi eksponetni jednaki 1, tada je i vrijedi</s>
<s>Kako je F multiplikativna funkcija slijedi faktor na desnoj strani ove jednadžbe 0, slijedi da je Neka je f aritmetička funkcija i neka je F definirana s izrazom , sumativna</s>
<s>, koji ima kanonski prikaz funkcija funkcije f , čije su vrijednosti iskazane preko vrijednosti funkcije f. Možemo li ovu vezu zaokrenuti?</s><s>Postoji li način da vrijednosti funkcije f prikažemo preko vrijednost Zapišimo funkcijske vrijednosti</s>
<s>Multiplikativna svojstva mogu biti korisna pri dokazivanju identiteta između aritmetičkih funkcija.</s><s>Povezanost aritmetičkih funkcija vidimo u Möbiusovoj formuli inverzije koju iskazujemo u sljedećem teoremu.</s>
<s>Dokaz.</s><s>Dokaz ove formule uključuje manipulacije sa dvostrukim sumama.</s><s>Započinjemo sa sumom na desnoj strani formule, supstituirajući za definicije za funkciju F kao sumativnu funkciju funkcije f. Sada imamo Uočimo da ako</s>
<s>Po teoremu 1.1.3. znamo da ako je f multiplikativna funkcija, tada je i sumativna funkcija, .</s><s>Korisna posljedica Möbiusove formule inverzije je da vrijedi i obratna tvrdnja.</s>
<s>Teorem 1.5.4.</s><s>Neka je f aritmetička funkcija sa sumativnom funkcijom Ako je F multiplikativna funkcija, onda je f također multiplikativna.</s><s>Dokaz.</s><s>Pretpostavimo da su m i n relativno prosti prirodni brojevi.</s><s>Želimo pokazati da vrijedi .</s><s>Znamo da ako je d djelitelj od mn, onda postoji jedinstveni par djelitelja takvih da je</s>
<s>Koristeći Möbiusovu formulu inverzije i činjenicu da su μ i F multiplikativne funkcije, vidimo da je Kao posljedicu teorema 1.5.3. imamo sljedeći korolar.</s><s>Korolar 1.5.1.</s><s>Za proizvoljni prirodni broj n vrijedi Na taj način smo povezali Eulerovu i Möbiusovu funkciju.</s><s>Primjer 1.5.1.</s><s>Izračunajmo vrijednost Eulerove funkcije koristeći vrijednosti</s>
<s>.</s><s>Konačno, uvrštavanjem dobivenih vrijednosti imamo Napomena 1.5.1.</s><s>Möbiusova funkcija i Eulerova funkcijanisu potpuno multiplikativne funkcije.</s><s>Teoremom 1.2.3. smo dokazali da je Eulerova funkcija multiplikativna, međutim nije potpuno multiplikativna jer na primjer .</s><s>Također, u teoremu 1.5.1. smo dokazali da je Möbiusova funkcija multiplikativna, ali kao i za funkciju  vidimo da Poglavlje 2</s>
<s>, redom, su neutralni elementi s obzirom na te binarne operacije.</s><s>Aditivni i multiplikativni inverzi funkcije f su redom.</s>
<s>Dirichletov produkt ima lijepa algebarska svojstva koja su iskazana sljedećim teoremima. proizvoljne aritmetičke funkcije, tada vrijedi ( komutativnost),</s>
<s>Pri čemu se sumira po svim parovima prirodnih brojeva (a,b) s produktom n. (i) Kako bismo dokazali komutativnost, koristimo simetrični zapis Dirichletova produkta (2.1).</s><s>Kako je produkt prirodnih brojeva komutativan pišemo , pa je operacija komutativna.</s>
<s>Na ovaj način dokazali smo asocijativnost.</s><s>Preostaje još dokazati (iii).</s><s>Koristimo također izraz (2.1) i računamo Te smo dokazali da je Dirichletov produkt distributivan.</s><s>Iz teorema 2.1.1. slijedi da je skup svih aritmetičkih funkcija, zajedno s binarnim operacijama zbrajanja i Dirithletov produkt, Abelov prsten.</s><s>Definicija 2.1.1.</s><s>Aritmetička funkcija I definirana s zove se identiteta.</s>
<s>Teorem 2.1.2.</s><s>Funkcija I je neutralni element za .</s><s>Tada za sve aritmetičke funkcije f vrijedi Dokaz.</s><s>Neka je f aritmetička funkcija i n prirodan broj.</s><s>Imamo jer je</s>
<s>, tada postoji takva jedinstvena aritmetička funkcija g takva da vrijedi tj. postoji jedinstveni Dirichletov inverz funkcije f.</s>
<s>Dirichletov inverz funkcije f ako vrijedi .</s><s>Imamo sljedeći beskonačni sustav jednadžbi Trebamo dokazati da sustav</s>
<s>Iz teorema 2.1.3. vidimo da Dirichletov inverz aritmetičke funkcije f ( ako je žemo izraziti prema definiciji Dirichletovog inverza sljedećim načinom: Iz ovoga vidimo da aritmetička funkcija nemaDirichletovog inverza ako broju 1 pridružuje i općenito za</s>
<s>Jedan od razloga uvođenja Dirichletovog produkta je da mnoge aritmetičke funkcije imaju oblik Dirichletovog produkta te se brojni identiteti između aritmetičkih funkcija mogu zapisati pomoću Dirichletovog produkta.</s><s>Pogledajmo sljedeći primjer na multiplikativnim funkcijama koje smo navodili u prethodnom poglavlju. (i) Za funkciju vrijedi</s>
<s>U ovom potpoglavlju vidjeli smo da je definirani Dirichletov produkt komutativan i asocijativan.</s><s>Također, aritmetička funkcija I definirana definicijom 2.1.1. je jedinični element Dirichletovog produkta.</s><s>U teoremu 2.1.3. vidjeli smo da ako je jedinstveni inverz</s>
<s>Prema tome, skup aritmetičkih funkcija s uz Dirichletov produkt je Abelova grupa.</s><s>Multiplikativne funkcije su podgrupa ove grupe.</s><s>Međutim, potpuno multiplikativne funkcije nisu podgrupa, jer Dirichletov produkt dvije potpuno multiplikativne funkcije ne mora biti potpuno multiplikativna funkcija.</s>
<s>2.2 Neke karakterizacije potpuno multiplikativnih funkcija Za aritmetičku funkciju f koja nije nul funkcija kažemo da je multiplikativna ako te kažemo da je potpuno multiplikativna ako Također, u prvom poglavlju pokazali smo da ako je f multiplikativna funkcija onda je p međusobno različiti prosti brojevi.</s>
<s>U nastavku ćemo izreći neka svojstva multiplikativnih i potpuno multiplikativnih funkcija.</s><s>Iskazat ćemo neke nužne i dovoljne uvjete da bi multiplikativna funkcija fbila potpuno multiplikativna.</s><s>Iz gore napisanog, vidimo da je jedan takav uvjet za sve relativno proste prirodne brojeve m i n sljedeći je</s>
<s>, za sve proste brojeve p i prirodne brojeve Ostali nužni i dovoljni uvjeti mogu biti dani u terminima Dirichletovog produkta kojeg smo definirali u prethodnom potpoglavlju.</s><s>Za početak pokažimo da je konvolucija dvije multiplikativne funkcije, takoder multiplikativna funkcija.</s>
<s>Pokažimo sada je je inverz multiplikativne funkcije također multiplikativna funkcija.</s><s>Teorem 2.2.2.</s><s>Ako je f multiplikativna funkcija onda je multiplikativna funkcija.</s>
<s>Štoviše, ako je p proizvoljni prost broj slijedi Dokaz.</s><s>Ako je n =1, izraz (i) vrijedi trivijalno.</s><s>Pretpostavimo da je i n je kvadratno</s>
<s>Kao posljedicu ovog teorema i teorema 2.2.3., imamo sljedeći nužan i dovoljan uvjet da bi multiplikativna funkcija bila potpuno multiplikativna.</s><s>Teorem 2.2.5.</s><s>Neka je f multiplikativna funkcija.</s><s>Onda je f potpuno multiplikativna funkcija ako i samo ako</s>
<s>Time je dokaz gotov. za sve proste brojeve p i sve prirodne brojeve Dokaz.</s><s>Ako je f potpuno multiplikativna funkcija, teorem 2.2.3. pokazuje da je ako je</s>
<s>Dirichletovog produkta , gdje točka predstavlja standardno množenje funkcija. (i) Ako je f potpuno multiplikativna funkcija onda za sve aritmetičke funkcije g i h.</s>
<s>Napomena 2.2.1.</s><s>Kao posljedicu teorema 2.2.6. imamo: Pretpostavimo da je f multiplikativna funkcija.</s><s>Tada je f potpuno multiplikativna ako i samo ako</s>
<s>Teorem 2.2.6. koristimo u dokazu sljedećeg teorema. (i)Ako je f potpuno multiplikativna, onda vrijedi za svaku aritmetičku funkciju g, za koju je (ii)Ako je f multiplikativna funkcija i ako vrijedi za</s>
<s>Po teoremu 2.2.3. dokazano je da je f potpuno multiplikativna funkcija.</s><s>Napomena 2.2.2.</s><s>Kao posljedicu teorema 2.2.7. imamo : Pretpostavimo da je f multiplikativna funkcija.</s><s>Tada je f potpuno multiplikativna ako i samo ako</s>
<s>, za svaku aritmetičku funkciju za koju je Teorem 2.2.8.</s><s>Neka je G proizvoljna aritmetička funkcija i neka (i) Ako je f potpuno multiplikativna, onda za svaki G imamo (ii) Pretpostavimo da je f multiplikativna.</s><s>Ako (2.6)vrijedi za neku potpuno multiplikativnu funkciju G takvu da je</s>
<s>Ovo vrijedi direktno iz teorema 2.2.6. pod (i).</s><s>Dokažimo sada tvrdnju (ii).</s><s>Dano nam je da je f multiplikativna te da vrijedi (2.6) za neku potpuno multiplikativnu funkcijuG, pri čemu je , za sve proste brojeve p. Trebamo</s>
<s>.</s><s>Također iz izraza (2.5) uvrštavanjem dobivamo Kako za multiplikativnu funkciju f i bilo koji prost broj po teoremu 2.2.4. vrijedi , izraz (2.8) uvrštavanjem postaje</s>
<s>u izrazu i ponovno koristimo pretpostavku indukcije, nalazimo Iskoristimo dobiveno uvrštavanjem u izraz (2.10) dobivamo što</s>
<s>.</s><s>Indukcijom, ovo dokazuje da je proste brojeve p i sve prirodne brojeve .</s><s>Stoga po teoremu 2.2.4. znamo da je funkcija f potpuno multiplikativna.</s>
<s>Navedimo još jedno svojstvo karakterizirano uvjetom sličnim kao u teoremu 2.2.4.</s><s>Teorem 2.2.9.</s><s>Multiplikativna funkcija f je konvolucija dvije potpuno multiplikativne funkcije ako i samo ako</s>
<s>, gdje su g i h potpuno multiplikativne funkcije.</s><s>Ako je S obzirom da je g potpuno multiplikativna slijedi Kako je i h potpuno multiplikativna i</s>
<s>Obratno, neka je f multiplikativna funkcija za koju vrijedi dani uvjet.</s><s>Neka je g potpuno multiplikativna funkcija takva da za svaki prost broj p, je korijen kvadratne jednadžbe</s>
<s>.</s><s>Tada je h multiplikativna funkcija i za sve proste brojeve p i sve Prema tome, h je potpuno multiplikativna po teoremu 2.2.5. i vrijedi 2.3Liouvilleova funkcija</s>
<s>Važan primjer potpuno multiplikativne funkcije je Liouvilleova funkcija λ, koja je dobila ime po francuskom matematičaru Josephu Liouvilleu.</s>
<s>Funkcije koje su Dirichletov produkt potpuno multiplikativne funkcije i inverza potpuno multiplikativne funkcije su aritmetičke funkcije stupnja (1,1) ili često nazivane u stranoj literaturi totientne funkcije (naziv totientna funkcija koristi se u engleskoj literaturi, a prvi je uveo engleski matematičar Sylvester 1879.).</s><s>Najpoznatija takva funkcija, koju smo upoznali u prvom poglavlju je Eulerova funkcija.</s>
<s>3.1 Racionalne aritmetičke funkcije stupnja (1, 1) U dosadašnjem radu definirali smo multiplikativne funkcije i potpuno multiplikativne funkcije te smo naveli kada su one u potpunosti određene.</s><s>Prisjetimo se da je multiplikativna funkcija f u potpunosti određena vrijednostima sve proste brojeve p i prirodne brojeve a. Potpuno multiplikativna funkcija f je u potpunosti određena svojim vrijednostima za sve</s>
<s>gdje su f potpuno multiplikativne funkcije.</s><s>Takve funkcije f se zovu racionalne aritmetičke funkcije stupnja (1,1).</s><s>Funkcije f su integralne i inverzne komponente</s>
<s>Razmatrat ćemo racionalne aritmetičke funkcije stupnja (1, 1) .</s><s>Napomena 3.1.2.</s><s>Potpuno multiplikativne funkcije su racionalne aritmetičke funkcije stupnja (1,0).</s><s>Primjetimo da sve potpuno multiplikativne funkcije su racionalne aritmetičke funkcije , gdje je I neutralni element Dirichletovog produkta ( definicija 2.1.1.).</s><s>3.2 Jordanova totientna funkcija</s>
<s>.</s><s>Postoji veliki broj generalizacija i analoga Eulerove funkcije (racionalna aritmetička funkcija stupnja (1, 1)) kroz literaturu.</s><s>Mnoge te generalizacije posjeduju strukturu racionalnih aritmetičkih funkcija stupnja (1, 1) koju smo predstavili u prethodnom potpoglavlju.</s><s>Jedan takav primjer je Jordanova funkcija Eulerovu funkciju kao i Jordanovu funkciju možemo evaluirati koristeći formulu uključivanja –isključivanja (FUI) .</s><s>Prije definranja Jordanove funkcije J navedimo sljedeći teorem.</s>
<s>Zbog jednostavnosti zapisa uvedimo oznaku za podskup indeksa I, Primijenimo pretpostavku indukcije na posljednja dva člana uz oznake uz konvenciju</s>
<s>Ilustrirajmo upotrebu formule za evaluaciju Jordanove funkcije.</s><s>Definicija 3.2.1.</s><s>Ako je k prirodan broj Jordanova funkcija J je definirana sa</s>
<s>3.3 Neke karakterizacije racionalnih aritmetičkih funkcija stupnja (1,1) Navest ćemo neke nužne i dovoljne uvjete kako bi aritmetička funkcija f bila racionalna aritmetička funkcija stupnja (1, 1).</s><s>Karakterizacije ovih funkcija nisu puno proučavane u literaturi za razliku od karakterizacija potpuno multiplikativnih funkcija.</s><s>1972. godine dana je karakteritzacija da je multiplikativna funkcija f racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1) ako i samo ako</s>
<s>Prema tome, je geometrijski niz za svaki prost broj p. Mnoge karakterizacije koje ćemo ovdje navesti su izvedene iz poznatih svojstava nekih konkretnih primjera racionalnih aritmetičkih funkcija stupnja (1, 1).</s><s>Napomenimo da u cijelom ovom potpoglavlju uzimamo da vrijedi Teorem 3.3.1.</s><s>Aritmetička funkcija f je racionalna aritmetička funkcija stupnja (1, 1) ako i samo ako, f je multiplikativna i za svaki prosti broj postoji kompleksni broj a(p) takav da za sve</s>
<s>Teorem 3.3.1. slijedi neposredno iz definicije racionalne aritmetičke funkcije stupnja (1,1) i svojstva potpuno multiplikativnih funkcija koja smo naveli u drugom poglavlju.</s><s>Dokaz.</s><s>Neka je f je racionalna aritmetička funkcija stupnja (1, 1) dokažimo da je f multiplikativna i da vrijedi (3.1).</s>
<s>Nadalje je f multiplikativna funkcija i njen inverz je multiplikativna funkcija.</s><s>Sada vidimo da je funkcija f jednaka Dirichletovom produktu dvije multiplikativne funkcije, a po teoremu 2.2.1. slijedi da je onda f multiplikativna.</s>
<s>slijedi što smo i htjeli pokazati.</s><s>Obratno dobijemo na sličan način.</s><s>Korolar 3.3.1.</s><s>Neka su f i g racionalne aritmetičke funkcije stupnja (1,1), tada fg je racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1) sa ( Dokaz.</s><s>Kako bismo dokazali ovu tvrdnju koristimo teorem 3.3.1.</s><s>Po teoremu 3.3.1 ako su f i g racionalne aritmetičke funkcije stupnja (1,1) za svaki prosti broj p postoje kompleksni brojevi</s>
<s>Korištenjem definicije racionalne aritmetičke funkcije stupnja (1,1) i svojstav potpuno multiplikativnih funkcija slijedi redom Po definciji, niz je geometrijski ako mu je kvocijent uzastopnih članova stalan., što je vidljivo iz gornjih izraza te je time tvrdnja dokazana.</s><s>Obrat, izostavljamo.</s><s>Napomena 3.3.1.</s><s>Nekoliko daljnjih karakterizacija možemo izvesti iz teorema 3.3.1. koristeći formulu</s>
<s>Teorem 3.3.2.</s><s>Aritmetička funkcija f je racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1) ako i samo ako postoje potpuno multiplikativne funkcije g i h takve da U ovom slučaju</s>
<s>Dokaz.</s><s>Ako je f racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1), onda I tako smo dobili izraz (3.2).</s><s>Obratno dobijemo na sličan način.</s><s>Napomena 3.3.2.</s><s>Za Eulerovu funkciju , izraz (3.2) se svodi na što je zapravo definicija Eulerove funkcije koja kaže da je definirana kao broj svih prirodnih brojeva koji nisu veći od n i za koje je Definicija 3.3.1.</s><s>Aritmetička funkcija f:ℕ2⟶ℂ dvije varijable je multiplikativna u ako</s>
<s>Sljedeći teorem daje nam nužan uvjet za racionalnu aritmetičku funkciju stupnja (1,1).</s><s>Teorem 3.3.3.</s><s>Aritmetička funkcija f je racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1) ako i samo ako postoji multiplikativna funkcija h takva da U ovom slučaju je</s>
<s>Dokaz.</s><s>Izraz (3.3) možemo dokazati pokazujući da su i lijeva i desna strana izraza multiplikativne funkcije dvije varijable.</s><s>Obratno, pretpostavimo da vrijedi izraz (3.3) i dokažimo da je f racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1).</s><s>Uzmimo</s>
<s>Prema tome, po teoremu 3.3.1. funkcija f je racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1).</s><s>Definicija 3.3.2.</s><s>Definiramokao multikativnu funkciju takvu da za sve proste</s>
<s>Navodimo još jedan teorem koji daje nužan uvjet za racionalnu aritmetičku funkciju stupnja Teorem 3.3.4.</s><s>Aritmetička funkcija f je racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1) ako i samo ako postoji potpuno multiplikativna funkcija h takva da U ovom slučaju</s>
<s>Teorem 3.3.5.</s><s>Aritmetička funkcija f je racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1) ako i samo ako postoje potpuno multiplikativne funkcije g i h tahve da U ovom slučaju</s>
<s>Obratno dobijemo uzimajući predstavlja najmanji zajednički višekratnik Dokaz.</s><s>Izraz (3.5) se može dokazati tako što pokažemo da su i lijeva i desna strana izraza multiplikativne funkcije dvije varijable, uz znanje prostih brojeva.</s>
<s>Definicija 3.3.3.</s><s>Za dijelitelj d prirodnog broja n kažemo da je unitarni djelitelj broja n ako .</s><s>Najveći zajednički unitarni djelitelj brojeva m i n označavamo Primjer 3.3.1.</s><s>Broj 4 je unitarni djelitelj broja 28 jer je Međutim broj 2 nije unitarni djelitelj broja 28 jer je Teorem 3.3.6.</s><s>Ako je f racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1), onda kadgod je</s>
<s>, onda je f racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1) te Napomena 3.3.4.</s><s>Izraz (3.7) je poznat za Eulerovu funkciju .</s><s>Definicija 3.3.4.</s><s>Kažemo da aritmetička funkcija f zadovoljava svojstvo O ako sve proste brojeve p implicira</s>
<s>Primjer 3.3.2.</s><s>Dokažimo Eulerova totientna funkcija ima sljedeće svojstvo: Dokaz.</s><s>Prvo dokažimo da za Eulerovu funkciju vrijedi pa ćemo dedukcijom doći do traženog svojstva.</s><s>Zapišimo izraz iz teorema 1.2.4. na sljedeći način</s>
<s>.</s><s>Sada rezultat slijedi indukcijom po b. Ako pretpostavimo da je svojstvo vrijedi trivijalno.</s><s>Pretpostavimo stoga da ovo svojstvo vrijedi za sve cijele brojeve manje od b. Tada vrijedi za c pa</s>
<s>što znači da i time je dokazano svojstvo Eulerove funkcije.</s><s>Teorem 3.3.8.</s><s>Aritmetička funkcija f je racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1) ako i samo ako f zadovoljava svojstvo O i postoji potpuno multiplikativna funkcija g takva da U ovom slučaju je</s>
<s>Napomena 3.3.5.</s><s>Vidimo da izraz (3.8) vrijedi za Eulerovu funkciju pa je za sve prirodne brojeve m i n. Ako imamo gornji izraz se svodi na</s>
<s>Obratno, uzmimo da je pa je  multiplikativna, što je poznato.</s><s>Dokaz.</s><s>Jedna i druga strana izraza su multiplikativne funkcije za m i n pa vrijedi (3.8) Š3Ć.</s>
<s>Napomena 3.3.6.</s><s>Apostol i Zuckerman Š3Ć su pokazali da aritmetička funkcija f s zadovoljava (3.8) ako i samo ako je f multiplikativna funkcija i za sve proste brojeve p i prirodne brojeve Korolar 3.3.3.</s><s>Ako je f cjelobrojna racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1), onda za sve prirodne brojeve a i b vrijedi</s>
<s>Teorem 3.3.9.</s><s>Neka su f i g aritmetičke funkcije i neka je racionalne aritmetičke funkcije stupnja (1,1) s gdje je</s>
<s>, onda je f racionalna aritmetička funkcija stupnja Dokaz.</s><s>Izraz (3.9) slijedi direktno iz teorema 9. kojeg su u svom članku dokazali Haukkanen i McCarthy.</s><s>Dokazat ćemo izraz (3.9’).</s><s>Pretpostavimo da vrijedi (3.9’).</s><s>Prvo ćemo dokazati da je f multiplikativna funkcija.</s><s>Nastavljamo s indukcijom po ab kako bismo dokazali da je .</s><s>Pretpostavimo da</s>
<s>Teorem 3.3.10.</s><s>Neka su f i g aritmetičke funkcije takve da ( i g racionalne aritmetičke funkcije stupnja (1,1) s gdje</s>
<s>, onda je f racionalna aritmetička funkcija stupnja Teorem se može dokazati slično kao i teorem 3.3.9.</s><s>Napomena 3.3.7.</s><s>Izraz (3.9) i (3.10) možemo shvatiti kao generalizirani Landau identitet.</s>
<s>Sumacija na lijevoj strani je preko djelitelja d od n, relativno prostihs m, a sumacija na desnoj strani je po zajedničkim djeliteljima od m i n. Generalizacije danih identiteta mogu se razmatrati kao karakterizacije racionalnih aritmetičkih funkcija stupnja (1,1).</s>
<s>Teorem 3.3.11.</s><s>Aritmetička funkcija f je racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1) ako i samo ako je f multiplikativna i ako za sve proste brojeve p postoje kompleksni brojevi takvi da</s>
<s>Dokaz.</s><s>Neka je f racionalna aritmetička funkcija stupnja (1, 1), tada Obratno, neka su g i h potpuno multiplikativne funkcije definirane s za sve proste brojeve p. Tada</s>
<s>Funkcija f je racionalna aritmetička funkcija stupnja (1, 1) i ovime je dokaz gotov.</s><s>Sada navedimo još jedan primjer racionalne aritmetičke funkcije stupnja (1, 1) s oznakom Definicija 3.3.6.</s><s>Aritmetička funkcija</s>
<s>.</s><s>Funkcija je generalizirana Liouvilleova funkcija s  klasična Liouvilleova funkcija.</s><s>Prema tome je potpuno multiplikativna funkcija, stoga posjeduje strukturu racionalne</s>