UNIVERZA NA PRIMORSKEM
PEDAGOŠKA FAKULTETA
Doktorski študijski program
Edukacijske vede

Doktorska disertacija

SUSTAVNO UREĐENJE DAROVITOSTI U
NASTAVI MATEMATIKE PRIMARNOG
OBRAZOVANJA

SISTEMSKA UREDITEV NADARJENOSTI PRI
POUKU MATEMATIKE NA RAZREDNI STOPNJI

mr. sc. Sandra Kadum-Bošnjak

Koper 2013
Mentor: prof. dr. Mara Cotič

Somentor: izr. prof. dr. Dejan Hozjan

IZJAVA O AVTORSTVU

Podpisana Sandra Kadum-Bošnjak študentka študijskega programa Edukacijske vede

izjavljam,

da je doktorska disertacija z naslovom Sistemska ureditev nadarjenosti pri pouku
matematike na razredni stopnji (Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike
primarnog obrazovanja)

– rezultat lastnega raziskovalnega dela,
– so rezultati korektno navedeni in
– nisem kršila pravic intelektualne lastnine drugih.

Podpis

_______________________

V Kopru, ____________________

Nema ničeg tako nejednakog,
kao što je jednak pristup nejednakima.
T. G. Thurstone (američki psiholog),
(prema: Ferbežer 2002)

i
SAŽETAK

U radu se izlažu rezultati istraživanja čiji je cilj bio da se, na slučajno odabranom
uzorku, ispitaju stavovi učitelja primarnog obrazovanja kao i stručnih suradnika uključe-
nih u sustav osnovnoškolskog odgoja i obrazovanja o darovitosti i darovitim učenicima,
njihovoj edukaciji, kao i njihova mišljenja o zastupljenosti darovitosti, vrstama darovitos-
ti koje prevladavaju kod učenika, postupcima u radu s darovitima, potrebi škole za po-
sebnim edukacijskim programima, o značaju darovitih učenika za društvenu zajednicu
kao cjelinu, te mogućeg poboljšanja sadašnjeg stanja u radu s darovitim učenicima.
Iako je pitanje darovitosti i rada s darovitim učenicima općenito, pa tako i u mate-
matici primarnog obrazovanja, u Hrvatskoj sustavno riješeno na dobar način, rezultati
istraživanja ukazuju na nezadovoljavajuće stanje u primjeni i praksi glede darovitosti i
rada s darovitim učenicima: ne provodi se identifikacija darovitih niti se, samim time, ne
prati njihov razvoj; darovite učenike uočavaju sami učitelji, sa malom ili neznatnom po-
moći stručnih suradnika i bez sudjelovanja stručnjaka s područja darovitosti; u radu s
darovitima ne primjenjuju se suvremene strategije učenja i poučavanja, niti se rabe su-
vremeni oblici rada; u školama nema kvalitetnih nastavnih sredstava i pomagala, niti
odgovarajuće znanstveno-metodičke literature za darovite učenike. Stoga valja podu-
zeti određene mjere kako bi se rad s (matematički) darovitim učenicima u primarnom
obrazovanju, podigao na višu razinu. U tom cilju trebalo bi sustavno provoditi identifika-
ciju darovitih i na odgovarajući način pratiti njihov razvojni put; rabiti suvremene strate-
gije i oblike učenja i poučavanja, te kvalitetnu nastavnu tehniku i tehnologiju; sustavno
nabavljati znanstveno-popularnu literaturu za darovite učenike; organizirati stručne sku-
pove o darovitosti i darovitima, te omogućiti učiteljima i stručnim suradnicima aktivno
sudjelovanje u raspravama glede darovitosti i darovitih.

Ključne riječi: sustavno uređenje, darovitost, nastava matematike, primarno ob-
razovanje, daroviti učenici, učitelj, stručni suradnik.

ii
POVZETEK

V delu so izpostavljeni rezultati raziskovanja, ki je imelo za svoj cilj, da se na slu-
čajno izbranem vzorcu preučijo stališča učiteljev v osnovnošolskem izobraževanju kot
tudi strokovnih sodelavcev, vključenih v sistem osnovnošolske vzgoje in izobraževanja,
o nadarjenosti in nadarjenih učencih, njihovi edukaciji kot tudi njihovo mnenje o zasto-
panosti nadarjenosti, vrstah nadarjenosti, ki prevladujejo pri učencih, postopkih pri delu
z nadarjenimi, potrebi šole glede posebnih edukacijskih programov, o pomenu nadarje-
nih učencev za družbeno skupnost kot celoto ter možnem izboljšanju sedanjega stanja
pri delu z nadarjenimi učenci.
Četudi je vprašanje nadarjenosti in dela z nadarjenimi učenci nasploh ter tako tu-
di pri matematiki v osnovnošolskem izobraževanju na Hrvaškem sistemsko dobro reše-
no, rezultati raziskovanja kažejo na nezadovoljivo stanje pri uporabi in v praksi glede
nadarjenosti in dela z nadarjenimi učenci: ne izvaja se identifikacija nadarjenih niti se s
samim tem ne spremlja njihovega razvoja; nadarjene učence opažajo sami učitelji, z
majhno ali neznatno pomočjo strokovnih sodelavcev in brez sodelovanja strokovnjakov
s področja nadarjenosti; pri delu z nadarjenimi se ne uporabljajo sodobne strategije
učenja in poučevanja niti se ne uporabljajo sodobne oblike dela; v šolah ni kvalitetnih
učnih sredstev in pomagal niti ustrezne znanstveno-metodične literature o nadarjenih
učencih. Zatorej je treba izvesti določene ukrepe, da bi se delo z (matematično) nadar-
jenimi učenci v osnovnošolskem izobraževanju dvignilo na višjo raven. Pri tem cilju bi
bilo treba sistemsko izvajati identifikacijo nadarjenih in na ustrezen način spremljati nji-
hovo razvojno pot; uporabljati sodobne strategije in oblike učenja in poučevanja ter
kvalitetno učno tehniko in tehnologijo; sistemsko nabavljati poljudnoznanstveno literatu-
ro za nadarjene učence; organizirati strokovne posvete o nadarjenosti in nadarjenih ter
omogočiti učiteljem in strokovnim sodelavcem aktivno sodelovanje v razpravah o na-
darjenosti in nadarjenih.

Ključne besede: sistemska ureditev, nadarjenost, pouk matematike, osnovno-
šolsko izobraževanje, nadarjeni učenci, učitelj, strokovni sodelavec.

iii
SUMMARY

This paper presents the results of the research whose goal was, on a random
sample, to examine the attitudes of primary school teachers and assistants, involved in
the system of primary education, about gifted and talented children, their education as
well as their opinions on the representation of talent, about types of gifts that are pre-
valent among students, procedures for working with gifted students, the school needs
for special education programs, about importance of gifted students for the community
as a whole, and the possible improvement of the current situation in work with gifted
students.
Although the issue of talent and work with gifted students in general, as well as in
primary mathematics education in Croatia, is systematically solved in a good way, the
survey results indicate unsatisfactory state of the uses and practices in work with gifted
and talented students: the identification of gifted is not implemented, and therefore, it
doesn’t follow their development; gifted students perceive teachers alone, with small or
insignificant help of their associates and without the participation of experts from the
field of talent; in work with gifted children aren’t applied modern learning and teaching
strategies, nor use of modern forms of work, good quality teaching materials and sup-
plies are not present in schools, nor corresponding scientific-methodical literature for
gifted students. Therefore, we should take some measures in work with (mathemati-
cally) gifted students in primary education in order to raise it to a higher level. In that
sense, identifications of gifted children should be carried out systematically and monito-
ring of their development path should be appropriately done; modern strategies and
ways of learning and teaching must be used, as well as quality teaching techniques
and technologies. Furthermore, systematical acquisitions of scientific and popular lite-
rature for gifted students, organizing professional meetings about the talents and gifted
students and allowing teachers and professional associates to actively participate in
discussions about giftedness and gifted should be done.

Keywords: comprehensive solutions, ability, mathematics, primary education,
gifted students, teacher, teacher’s associate.

1
SADRŽAJ

UVOD   .........................................................................................................
1

I.
TEORIJSKE OSNOVE   ............................................................................
5

1 Osnovni pojmovi   ...............................................................................
5

1.1 Darovitost   .....................................................................................
5

1.1.1 Udio darovitih u populaciji   ...................................................
17

1.1.2 Dimenzije darovitosti   ...........................................................
18

1.2 Talentiranost   .................................................................................
23

1.3 Prepoznavanje i razvijanje darovitosti u području matematike   .....
24

2 Teorijski pravci o darovitosti i njihov utjecaj na oblike poticanja

darovitih pojedinaca   .........................................................................
41

2.1 Renzulli-Reisova troprstenasta definicija darovitosti   ....................
41

2.2 Sternbergova teorija intelektualnog funkcioniranja   .......................
43

2.3 Gardnerova teorija višestruke inteligencije   ...................................
48

3 Prikaz najpoznatijih istraživanja na području darovitosti   .............
55

4 Osobine darovitih pojedinaca   ..........................................................
63

4.1 Socijalno i emocionalno funkcioniranje   .........................................
63

4.2 Samoregulirano učenje   .................................................................
65

4.3 Motivacija   ......................................................................................
68

4.4 Kognitivne potrebe   ........................................................................
70

4.5 Odgojno-obrazovne potrebe   .........................................................
71

4.6 Pojam metakognicije   ....................................................................
73

4.7 Metakognicija i matematika   ..........................................................
74

5 Pojam kreativnosti  .............................................................................
77

5.1  Psihička uvjetovanost kreativnosti  ................................................
81

5.2 Odgoj kreativnosti u nastavi   .........................................................
84

5.3 Modeli poticanja kreativnosti   ........................................................
89

6 Osobine učitelja za rad s darovitim učenicima   ..............................
95

7 Uloga obitelji u razvoju darovitih učenika   ......................................
101

7.1. Uspostavljanje suradnje škole (učitelja) i obitelji (roditelja)   ..........
101

7.2 Uloga obitelji u razvoju darovitih   ...................................................
102

8 Problemska nastava   ..........................................................................
109

9 Kreativne radionice kao oblik poticanja darovitosti u matematici
119

10 Osnovni oblici odgojno-obrazovne podrške darovitim učenicima
129

10.1 Obogaćivanje nastavnih programa   ............................................
131

10.1.1 Pojam i sadržaj obogaćenog kurikuluma   ........................
133

10.2 Homogeno grupiranje prema sposobnostima   ..........................
136

10.3 Školska akceleracija   .................................................................
138

11 Sustavno uređenje darovitosti i rada s darovitim učenicima (u

nastavi matematike primarnog obrazovanja)   .................................
143

11.1 Daroviti i hrvatsko školsko zakonodavstvo   ................................
143

11.2 Daroviti i slovensko školsko zakonodavstvo   ..............................
144

2

II.
METODOLOGIJA ISTRAŽIVANJA   .........................................................
149

1
Predmet istraživanja  ........................................................................
149

2
Cilj i zadaci istraživanja   ..................................................................
149

3
Istraživačke hipoteze   ......................................................................
150

4
Metode, postupci, instrumenti   .......................................................
151

5
Varijable istraživanja   .......................................................................
152

6
Populacija i uzorak istraživanja   .....................................................
152

7
Statistička obrada podataka   ..........................................................
154

8
Organizacija i tijek istraživanja   ......................................................
154

III.
REZULTATI ISTRAŽIVANJA I NJIHOVA INTERPRETACIJA   ...............
155

1
Analiza upitnikâ o darovitosti i darovitima   ...................................
155

2
Prepoznavanje darovitih učenika   ..................................................
157

3
Pripremljenost učitelja za rad s darovitim učenicima   .................
161

4
Posebni edukacijski programi za rad s darovitim učenicima   .....
163

5
Odnos učitelja spram darovitih i način rada s darovitima   ..........
167

6
Postupci u radu s darovitim učenicima   ........................................
171

7
Daroviti učenici – opterećenje učiteljima   .....................................
173

8
Prihvaćenost darovitih učenika od vršnjaka   ................................
175

9
Dosjei o darovitim učenicima   ........................................................
177

10 Daroviti – vrijedan resurs za društvenu zajednicu   ......................
179

11 Mogućnost sustavnog uređenja pitanja darovitosti i darovitih   .
181

12 Djelovanje i međusobni utjecaj zavisnih i nezavisnih varijabli   ..
185

IV. ZAKLJUČAK   ............................................................................................
189

V.
LITERATURA   …........................................................................................
199

VI. IZVLEČEK   .................................................................................................
211

VSEBINA   ………………………………………………………………………
216

VII. PRILOZI   ...................................................................................................
219

1
Upitnik za učitelje primarnog obrazovanja   ...................................
219

2
Upitnik za stručne suradnike u osnovnim školama   ....................
222

1
KAZALO PRILOGA

1 Upitnik za učitelje primarnog obrazovanja   ..................................................
219

2 Upitnik za stručne suradnike u osnovnim školama   .................................... 222

2
KAZALO SLIKA

Slika 1.
Klasifikacija darovitosti prema sposobnostima (prilagođeno prema:

Baldwin: 1985.; Koren: 1985)   ...............................................................
7
Slika 2.
Sposobnosti i krivulja normalne distribucije (Greenes: 1996)   ...............
18
Slika 3.
Shematski prikaz troprstenaste definicije darovitosti (Renzulli i Reis:

1985; prema: Čudina-Obradović: 1991)   ...............................................
42
Slika 4.  Mentalno funkcioniranje prema teoriji R. Sternberga (modificirano

prema: Obradović-Čudina: 1991)   .........................................................
44
Slika 5.
Karakteristike intelektualnog funkcioniranja darovitog pojedinca

(prema teoriji R. Sternberga; prema: Obradović-Čudina: 1991)   ...........
46
Slika 6.
Samoregulacija (Mrkonjić i sur.: 2011)   .................................................
66
Slika 7.
Shematski prikaz motivacijskog procesa (Musek: 1982; prema:

Kadum: 2009)   .......................................................................................
69
Slika 8.
Osnovna struktura povezivanja roditelja i škole (Kadum-Bošnjak,

2012)   ....................................................................................................
102
Slika 9.
Razine aktivnosti pri učenju i poučavanju (Furlan: 1969; prema:

Kadum: 2005)   .......................................................................................
110
Slika 10. Nizanje etapa rješavanja problemskih zadataka (Cotič: 2009)   ............. 116
Slika 11. Etape rješavanja problemskih zadataka i njihova povezanost

(Kadum: 2005)   ...................................................................................... 116
Slika 12. Prepoznavanje učenika darovitih za matematiku   .................................
158
Slika 13. Pripremljenost učitelja za rad s darovitim učenicima   ...........................
161
Slika 14. Učenici daroviti za matematiku omiljeni su u razrednom odjelu i školi   .
176
Slika 15. Vođenje dosjea o darovitim učenicima   .................................................
177
Slika 16. Mogućnost sustavnog uređenja pitanja darovitosti i darovitih učenika   . 182

3
KAZALO TABLICA

Tablica 1. Primarni pokazatelji darovitosti (Coleman: 1994)   ...............................
15
Tablica 2. Razlika između biste i darovite djece (Szabos: 1980; prema:

Hadžimehmedović: 2009)   ..................................................................
27
Tablica 3. Stilovi učenja lijeve i desne hemisfere mozga (Torrance: 1977;

prema: Hadžimehmedović: 2009)   ......................................................
59
Tablica 4. Načini na koje šest instrukcijskih strategija poboljšavaju kognitivne,

metakognitivne i motivacijske procese   ...............................................
67
Tablica 5. Radno iskustvo sudionika istraživanja   ...............................................
152
Tablica 6. Stručna kvalifikacija sudionika istraživanja – učitelji primarnog

obrazovanja   ........................................................................................ 153
Tablica 7. Stručna kvalifikacija sudionika istraživanja – stručnih suradnika
.........
153
Tablica 8. Faktorska struktura skalâ darovitosti i darovitih: faktorska

opterećenja i Chronbachov alfa koeficijent pouzdanosti   ....................
155
Tablica 9. Čestost susretanja s učenicima koji pokazuju pojačani interes za

matematiku   ......................................................................................... 157
Tablica 10. Primjećivanje vida darovitosti   .............................................................
159
Tablica 11. Matrica Pearsonovih koeficijenata korelacije   .....................................
159
Tablica 12. Škole bi trebale darovitim učenicima ponuditi posebne

matematičke edukativne programe   ....................................................
163
Tablica 13. Godišnjim programom rada škole su planirale aktivnosti za rad s

darovitim učenicima   ...........................................................................
164
Tablica 14. Programski sadržaji rada iz matematike za rad s darovitim

učenicima   ...........................................................................................
165
Tablica 15. Poticanje darovitosti i sudjelovanje darovitih na natjecanjima iz

matematike   ......................................................................................... 167
Tablica 16. Matrica Pearsonovih koeficijenata korelacije   .....................................
168
Tablica 17. Sudjelovanje darovitih učenika na natjecanjima iz matematike
..........
168
Tablica 18. Učiteljev rad i odnos prema učenicima darovitim za matematiku   ......
169
Tablica 19. Matrica Pearsonovih koeficijenata korelacije   .....................................
170
Tablica 20. Daroviti učenici – opterećenje učiteljima   ............................................
174
Tablica 21. Izdvajanje darovitih u posebne razredne odjele, ostali učenici mogli

bi se osjećati podcijenjeno   .................................................................
175
Tablica 22. Dosjee o darovitim učenicima vodi   ..................................................... 177
Tablica 23. Daroviti – vrijedan su resurs za društvenu zajednicu   .........................
179
Tablica 24. Mogućnost sustavnog uređenja pitanja darovitosti i darovitih učenika
181
Tablica 25. Djelovanje i međusobni utjecaj zavisnih i nezavisnih varijabli –

učitelji primarnog obrazovanja   ............................................................ 185
Tablica 26. Djelovanje i međusobni utjecaj zavisnih i nezavisnih varijabli –

stručni suradnici   .................................................................................. 187

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
1
UVOD

Odrasli su oduvijek bili opčinjeni djecom koja su darovita, koja posjeduju određe-
ne vještine, znanja i/ili sposobnosti daleko iznad svojih vršnjaka. Svi oni koji se bave
obrazovanjem i rade s djecom proučavali su i proučavaju razvoj visoko sposobne dje-
ce, pokušavajući shvatiti uvjete koji olakšavaju ili otežavaju njihov razvitak u produktiv-
ne odrasle osobe.
Darovitost nije lako definirati. Mnogobrojni su i različiti pokušaji definiranja darovi-
tosti, a koji u mnogome zavise i od određenih društveno-povijesnih okolnosti. U različi-
tim povijesnim trenucima i u raznim kulturama, darovitost se različito pojmila i definira-
la. To iz razloga što su i različite sposobnosti bile važne, kako za opstanak, tako i za
napredak nekog društva i kulture. Darovitost se dugo vremena smatrala općom osobi-
nom pojedinca u kojoj dominiraju njegove sposobnosti izražavanja i zaključivanja. Pro-
blem određivanja pojma darovitosti je više kvalitativne negoli kvantitativne prirode. Pri-
tom se navodi da nije moguće predvidjeti sve mogućnosti i granice razvoja sposobnos-
ti, jer razvoj svakog pojedinca određuju uvjeti u kojima živi i radi, pri čemu su uloga ob-
razovanja i duljina života od osobite važnosti.
Sustavno se i znanstveno darovitost počela proučavati tijekom prošloga stoljeća.
Prvi koji su se tim bavili bili su Galton i Terman. Značajan doprinos izučavanju darovi-
tosti dali su Renzulli, Sternberg, Gardner, Winner i drugi, a s područja bivše zajedničke
države ističu se Koren, Furlan, Čudina-Obradović, Ferbežer, Đorđević, Gojkov, …
Na osnovu rezultata mnogih istraživanja i sustavnog prikupljanja podataka o da-
rovitosti se danas mnogo zna. No, i dalje postoje mnoge različite teorije i postupci o
ovom pedagoško-psihološkom fenomenu, a time i mnoge nejasnoće, nedorečenosti i
nerazjašnjenih problema, kao i mnoga nova pitanja koja čekaju odgovore. Kasnija
shvaćanja pojma darovitosti i teorijâ o darovitosti i darovitima predstavljaju dopunu ra-
zumijevanja ovoga fenomena.
Već je u vrlo ranoj povijesti spoznato da su daroviti pojedinci najveće bogatstvo
svakoga društva. Tako je već Platon (1995) u svom djelu Republika1 priznavao intelek-
tualnu elitu i dijelio ljude na ljude od zlata, ljude od srebra i ljude od željeza. Međutim,
dugo se vremena darovitost "nije razmatrala kao fenomen budući da se smatralo kako
nije demokratično pružiti pomoć onima koji su i sami prirodno daroviti te koji će se 'sa-
mi lako snaći u životu'" (Zloković 1998: 41).
Tijekom povijesti, u ime te "lažne demokratičnosti i 'humanosti'" (Zloković 1998:
41), gubili su se najperspektivniji i potencijalno najvredniji članovi društvene zajednice,

1 Platonovo djelo Država prevodi se i kao Republika.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
2
čije se sposobnosti nisu otkrivale, niti na odgovarajući način razvijale i iskorištavale.
Štoviše kao da je bilo sramotno biti darovit. Darovita djeca, zbog svoje 'posebnosti', od
nekih učitelja2 nisu bila voljena, čak su i neki roditelji imali negativan stav spram darovi-
tog djeteta koje uvijek nešto pita, u nešto sumnja, istražuje, eksperimentira i ne prihva-
ća imperative.
Razvojem društva mijenjaju se i stavovi spram darovite djece, uviđaju se njihove
vrijednosti i njihov potencijal. Svjedoci smo, međutim, vremena u kojemu često dolazi
do reformskih zahvata u djelatnosti odgoja i obrazovanja. Tim reformama uvode se raz-
ličite promjene, najviše za djecu koja imaju određenih – većih ili manjih – teškoća u
učenju, dok se vrlo malo pažnje posvećuje darovitim učenicima.
U vremenu u kojem živimo čovječanstvo se suočava sa sve dubljom krizom i sve
većim izazovima. Stoga je razvoj najproduktivnijih ljudskih potencijala – relevantno pita-
nje. Još uvijek prevladavaju pogrešna shvaćanja da će daroviti, usprkos svemu, uspje-
ti, pa se i dalje zanemaruju njihove obrazovne i razvojne potrebe. Daroviti su, kada je
obrazovanje u pitanju, zapravo, najuskraćenija skupina učenika.
Hadžimehmedović (2009), Winner (2005), Cvetković-Lay (2002), Čudina-Obrado-
vić (1991), ali i drugi, ukazuju na osnovno pitanje koje si postavljaju roditelji, odgojitelji i
učitelji kada su suočeni s problemom rada s darovitim djetetom kao pripadnikom najus-
kraćenije skupine učenika je: Po čemu i u čemu moj rad mora biti drugačiji? U čemu su
potrebe ovoga djeteta drugačije i veće od obrazovnih potreba ostale djece? Dakle, ka-
kav mora biti sadržaj i metode nastavnog rada s darovitom djecom kako bi se zadovo-
ljile potrebe njihova specifičnog razvoja. Pritom, kada mislimo na učenike osnovno na-
čelo prepoznavanja i razvijanja matematičke darovitosti (kao u ostalom i svake druge
darovitosti), te podrške matematički darovitih pojedinaca i njihove edukacije i konstant-
nog praćenja, odnosi se na osiguranje širenja i produbljivanja matematičke baze zna-
nja, uz istovremeno osiguranje elastične i kreativne uporabe toga znanja, a u ozračju
sigurnosti, prihvaćenosti i osjećaja neprestanog osobnog napretka i razvoja. Kada je ri-
ječ o učiteljima tada mislimo na prepoznavanje onih učitelja koji mogu osigurati susta-
van i kvalitetan rad s (matematički) darovitim učenicima, koji su spremni dodatno se
educirati radi poboljšanja sadašnjeg stanja u prepoznavanju darovitih, mijenjanju stavo-
va spram darovitih i koristiti se suvremenim znanstvenim dostignućima i postupcima u
radu s darovitim učenicima.
Iz rečenog se može zaključiti da nema područja ljudskog djelovanja u kojoj mate-
matika nije našla svoju primjenu. Shodno tome, matematici pripada zapaženo mjesto i
uloga u nastavi na svim razinama obrazovanja. Zato se matematičkom obrazovanju

2 Pojam učitelj vrijedi za oba roda, osim kad je razlika posebno naglašena.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
3
mora posvetiti posebna pozornost, posebice učenicima koji pokazuju pojačani interes
za matematiku, onim koji u matematici mogu i žele više, onima darovitim za matemati-
ku3, počevši već od najranije (pred)školske dobi. Veći dio potreba darovitih bit će zado-
voljen u onoj odgojno-obrazovnoj ustanovi (vrtiću, školi) koja vodi opću brigu za maksi-
malan napredak svakog djeteta/učenika.

3 Termini, odnosno fraze "darovito dijete", "onaj koji može i želi više" i "onaj koji pokazuje
pojačani interes" nisu ekvivalentni, tj. jednakog značenja i iste praktične vrijednosti. No, za po-
trebe ovoga rada dopustit ćemo si poistovjećivanje ovih triju termina, odnosno fraza.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
4

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
5
I. TEORIJSKE OSNOVE

Suvremeni svijet, praćen znanstveno-tehničkom revolucijom, nalazi se u veoma
dinamičnome kretanju (Kadum 2005), što dovodi u brojnih terminoloških nedoumica.
Zahvaljujući novim spoznajama u znanostima, niz pojmova u psihologiji i pedagogiji da-
nas se kod različitih autora različito shvaća. Anticipiranje određenog pojma zavisi od te-
orijskog pristupa i razine onoga tko tumači taj pojam. Vrlo često zavisi i od opredjeljenja
autora i/ili potrebe područja ili problema koji autor želi definirati. Tako, na primjer, po-
jam diferencijacija ima jedno značenje u sociologiji, drugo u pedagogiji, treće u psiholo-
giji itd. Nadalje, nerijetko u okviru iste znanstvene discipline nalazimo različite pristupe
semantici istoga pojma.

1 OSNOVNI POJMOVI

1.1 Darovitost

Pojam darovitost veoma je složen i vrlo kompleksan, kao i činitelji koji utječu na
razvoj darovitosti. Darovitost je rezultat naročito povoljno kombiniranih nasljednih oso-
bina i njihove interakcije s poticajno učinkovitim okruženjem i samoaktivnošću određe-
nog pojedinca, a taj učinak može se prepoznati kao vrijedan i kreativan doprinos u tom
području djelovanja.
Definicije darovitosti mijenjale su se sukladno poznavanjem njezinih osobitosti,
pri čemu se darovitost dugo vremena smatrala općom osobinom u kojoj dominiraju
sposobnosti izražavanja i zaključivanja. Tako ruski psiholog Tepolov (Stojaković 2002)
smatra da je problem određivanja pojmova darovitosti i kreativnosti više kvalitativne ne-
go kvantitativne prirode. Mišljenja je da se ne mogu predvidjeti sve mogućnosti i grani-
ce razvoja sposobnosti, jer razvoj svakog pojedinca određuje i duljina njena života,
uvjeti u kojima osoba živi i radi, u čemu posebno važnu ulogu ima obrazovanje.
Jedna od najpoznatijih definicija darovitosti je ona koju je dao Terman (1926) pre-
ma kojoj su „daroviti pojedinci (oni) koji se mogu svrstati u gornjih 1% prema općim in-
telektualnim sposobnostima, utvrđenim Bine-Standfordovom skalom inteligencije, ili ne-
kim sličnim instrumentom" (Miščević 2006: 283). S obzirom da testovi inteligencije uka-
zuju samo na jedan značajan indikator darovitosti, Thurstone (1947), Guilford (1967) i
Đorđević (2008), smatrajući da se intelekt ne može iskazivati samo na jednoobrazan
način, ovakvo su konzervativno stajalište Termana nastojali promijeniti, predlažući
kompleksniji pristup inteligenciji. Kasnije je Terman (1964) korigirao svoju definiciju da-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
6
rovitosti, navodeći da je darovito dijete ono koje pokazuje značajna postignuća u nekoj
aktivnosti. Pored intelektualno darovite djece, Terman je smatrao da treba uključiti i
onu djecu koja obećavaju u glazbi, umjetnosti, mehaničkim spretnostima, vodstvu i
stvaralačkom pisanju (Đorđević 2005).
Za razliku od Termana koji, kako je rečeno, darovitost vezuje uz intelektualne
sposobnosti i polučivanje značajnih postignuća u nekoj ljudskoj djelatnosti, za Wittya
(1951) darovit je onaj pojedinac čije je postignuće konstantno značajno u bilo kojem
potencijalno vrijednom području ljudske djelatnosti. Iako se Witty u određivanju darovi-
tosti ograničava na postignuća pojedinca u konstantno vrijednom području djelovanja,
ova definicija svojom jednostavnošću i obuhvatnošću zaslužuje pozornost.
Kasnija shvaćanja i teorije o darovitosti predstavljaju daljnju razradu i dopunu
ovih shvaćanja o darovitosti. Tako, Gallgher smatra da su darovita djeca ona koja ima-
ju potencijalne sposobnosti i postižu visoke rezultate u nekom području. On govori o:
(1) općim intelektualnim sposobnostima – visok stupanj inteligencije, bogatstvo
rječnika, radoznalost, oduševljenje novim idejama, sposobnost apstrahiranja, lako uče-
nje itd.,
(2) specijalnim školskim sposobnostima (za određene predmete) – dobra memo-
rija, erudicija, široka obaviještenost u području osobnih interesa, brzo usvajanje znanja
i vještina, brzo shvaćanje itd.,
(3) stvaralačkom i/ili produktivnom mišljenju – nezavisnost i fleksibilnost mišlje-
nja, inventivnost, smisao za improvizaciju, smisao za humor, originalnost ideja, mašto-
vitost itd.,
(4) sposobnostima za vođenje – prihvaćanje odgovornosti, sposobnost dobrog
prosuđivanja, visoka očekivanja od sebe i drugih, organizacijske sposobnosti, tendenci-
ja dominacije itd.,
(5) vizualnim i drugim umjetničkim sposobnostima sposobnost opažanja i mo-
torne koordinacije, izvanrednost u osjećanju i izražavanju preko glazbe, glume, plesa,
literature, likovnih umjetnosti itd., te
(6) psihomotornim sposobnostima – dobra koordinacija i manipulativne vještine,
preciznost pokreta, velike atletske mogućnosti, visok stupanj tjelesne energije itd.;
(Gallgher 1976).
Analizirajući Gallgherovu definiciju darovitosti i njegovih šest područja uz koja
se vezuje, Koren (1989) navodi da svako od navedenih područja ima neke dominantne
osobitosti koje mu daju određenu prepoznatljivost, tj. identitet, ali su pojedina obilježja
zajednička za više područja.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
7
Navedena podjela područja darovitosti danas je uobičajena i daje mogućnost
uspostavljanja specifičnih postupaka i usporednih edukativnih tretmana kojima će se
obuhvatiti cijeli spektar područja potencijalne darovitosti. Pritom, pri svrstavanju darovi-
tih učenika u određeno/a područje/a postoje velika ograničenja. Naime, bogatstvo po-
javnih oblika darovitosti prelaze postavljene granice između navedenih područja pa je
konkretnog učenika veoma teško – gotovo nemoguće – "cijelog", "bez ostatka" svrstati
u neku od tih kategorija. To znači da je veoma teško odrediti područje darovitosti, pa
stoga valja biti oprezan i ne donositi zaključke na osnovi nedovoljnog broja informacija.
Opisanu klasifikaciju darovitosti prema sposobnostima grafički je moguće prika-
zati na način kako je to učinjeno na slici 1.

Slika 1. Klasifikacija darovitosti prema sposobnostima

(prilagođeno prema: Baldwin 1985; Koren 1985)

Gardnerova teorija o sposobnosti (1985), pored navedenih činitelja darovitosti,
sadrži i neke nove, kao što su: lingvistička, glazbena, logičko-matematička, prostorna
(spacijalna), tjelesno-kinestatička, te personalna (intra-personalna i inter-personalna).
Pritom, dominante suvremene koncepcije darovitosti, koje su se pojavile u različitim
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
8
kulturama, usmjeravaju pažnju na visoku razinu potencijala i mogućnosti u različitim
oblicima i područjima koje prevladavaju uska školska područja, (Gardner 1985)4.
Gardner (1976) smatra da svaki pojedinac posjeduje jedinstveni sklop navedenih
inteligencija, pri čemu se svaka od njih može javljati u različitom intenzitetu. Pojavi li se
neka od navedenih inteligencija kao dominirajuća, tj. ako se manifestira u značajno ve-
ćem intenzitetu, tada je takav pojedinac darovit u tom području. Nadalje, Gardner sma-
tra da razvoj pojedinih inteligencija zavisi od toga kako su one vrednovane u pojedinim
društvima i kulturama. Ona inteligencija ili sposobnost koja se od rana potiče, koja je
od osobite važnosti i vrijednosti u društvu, za koju postoje pravi modeli, prije će i razvi-
jati darovitost. U zapadnoj kulturi preferiraju se prve dvije inteligencije dok se ostale
promatraju kao talentiranost. Ovakav je pristup sposobnostima kvalitativne naravi i to
zato što Gardner nije posebno cijenio numerički pristup, pa samim tim ni upotrebu psi-
holoških mjernih instrumenata za utvrđivanje razine pojedine sposobnosti.
Za razliku od dosad prikazanih definicija darovitosti, Gage (1995: 106-108), po-
jam darovitosti opisuje kao "posjedovanje visokih prirodnih sposobnosti, dijelom urođe-
nih, koje se mogu smatrati 'darovima' prirode i koje su dijelom razvijene procesom sa-
zrijevanja kao i svakodnevnim korištenjem i/ili formalnom praksom". I dok Gage (1995)
smatra da je darovitost potencijal, a talent isticanje u jednom ili više područja
sposobnosti: interkulturalnoj, kreativnoj, socio-emotivnoj, senzornoj i "ostalim", Maksić
(1998) navodi da darovitost čine sposobnosti, postignuće, učenje, motivacija, kreativ-
nost i određene osobnosti pojedinca.
Na sličan način kao što Witty (1951) definira darovitost i kaže da je darovit onaj
pojedinac čije je postignuće konstantno značajno u bilo kojem potencijalno vrijednom
području ljudske djelatnosti, definiranju pojma darovitosti pristupaju i Kalin i Valenčič
Zuljan (2004). One navode da se o darovitosti može govoriti "onda, kada pojedinci na
jednom ili više područja ljudske djelatnosti osjetno polučuju natprosječne rezultate".
Pritom se darovitost kod pojedinca "iskazuje u različitim spletovima osobina i djelatnos-
ti (socijalno-osobne osobine, motivacija i kreativnost, značajnost učenja i rezultati). Da-
roviti učenici su znatiželjni ispitivači, s bogatim idejama i netipičnim rješenjima, s
bogatim sadržajno raznolikim znanjem (...) te dobrim pamćenjem i rječitošću, sposobni
su brzo uzročno-posljedično zaključivati te precizno promatrati, cijene sadržajnost, raz-
nolikost i neobičnost, a mrze rutinu i monotonost". (Kalin i Valenčič-Zuljan 2004: 113).
Oni su – navode dalje Kalin i Valenčič Zuljan – (samo)kritični ocjenjivači, nekonformisti,
s razvijenom težnjom za potpunošću.

4 Više o tome dano je u točki 2.3 Gardnerova teorija višestruke inteligencije.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
9
Na vrlo sličan način kako to čini Witty (1951), a kasnije i Kalin i Valenčič Zuljan
(2004), darovitost definiraju i Furlan i Koren. I dok Furlan (1988) pod darovitošću razu-
mijeva opću ili specifičnu visoko razvijenu sposobnost koja omogućava iznadprosječan
učinak u određenom području ili više područja, Koren (1989: 80) navodi da je darovitost
"svojevrstan sklop osobina koje omogućuju pojedincu da na produktivan ili reproduk-
tivan način polučuje dosljedno izrazito nadprosječan uradak u jednom ili više područja
ljudske djelatnosti, a uvjetovana je visokim stupnjem razvitka pojedinih sposobnosti,
odnosno njihovih kompozicija i povoljnom unutarnjom i vanjskom stimulacijom". Darovi-
tost je – navodi nadalje Koren – rezultat naročito povoljno kombiniranih nasljednih oso-
bina i njihove interakcije s poticajno učinkovitim okruženjem i samoaktivnošću određe-
nog pojedinca.
Kada bi se ovoj Korenovoj definiciji darovitosti dodalo još i „a taj se uradak može
prepoznati kao vrijedan i kreativan doprinos u tom području“ (Renzulli i Reis 1985: 23)
dobili bismo dosta obuhvatan iskaz pojma darovitosti, tj. ovakvo određenje pojma daro-
vitosti uključili bi sve ili gotovo sve elemente darovitosti koji proizlaze iz nasljeđa, pozi-
tivnog djelovanja okruženja i aktivnosti pojedinca, koja se javlja u formi potencijalnog i
manifestnog ujedinjenog u jedinstvenu cjelinu.
Za razliku od Korena (1989), Čudina-Obradović (1991) darovitost shvaća kao ne-
običnost, iznimnost ponašanja, koja se očituje u kvalitetnijem i značajnijem rezultatu ili
produktu nego što ga polučuju ostali pojedinci sa sličnim karakteristikama, dotle Ren-
zulli (1984) darovitost definira kao organizaciju triju karakterističnih svojstava: (1) nat-
prosječne sposobnosti, (2) ispunjavanja zadataka i (3) kreativnosti. "Uključivanje ispu-
njavanja zadataka kao neintelektualnog svojstva osobnih karakteristika u definiranju
darovitosti predstavlja nešto sasvim novo. Suvremena definicija (darovitosti), (...) treba-
la bi da podrazumijeva podjednaku pozornost za sva tri karakteristična svojstva.“ (Fer-
bežer 2002: 128).
S obzirom na definicije u kojima se darovitost opisuje pomoću pojmova inteligen-
cije i kreativnosti, za Avramovića (2009) darovitost nije pojam koji je identičan inteligen-
ciji ali ni pojmu kreativnosti. Inteligencija se mjeri testovima i ne može se poistovjetiti s
darovitošću koja je daleko složenije ponašanje, dok je kreativnost nalaženje rješenja za
neko iskustvo ili misaoni problem. Darovitost uključuje inteligenciju i kreativnost ali i
nešto više – ona je veoma značajna pri ocijeni opće sposobnosti i posebne/ih sposob-
nosti darovitog djeteta i vrste motivacije.
Raspravljajući o praktičnim aspektima suvremenih shvaćanja darovitosti, Božin
(2008) ukazuje na odnos teorijske i praktične djelatnosti, ističući da taj odnos nije jed-
nosmjeran već su teorija i praksa u dinamičkoj interakciji. Pritom, teorijska objašnjena
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
10
trebaju omogućiti predviđanje daljnjeg tijeka razvoja darovitih pojedinaca kao i njihovu
buduću stvaralačku produkciju, dok se praktična objašnjenja, koji se često ističu u
znanstvenim i drugim raspravama o darovitosti i darovitima, odnose na društvene po-
trebe, pravu na osobni razvoj i otklanjanje poremećaja. Imajući u vidu upravo rečeno,
Božin navodi da je darovitost karakteristika pojedinca u razvoju tako da je svaka sadr-
žajnija teorija darovitosti nužno i teorija o razvoju darovitosti ili, kako navodi Gagné
(2004), o transformiranju darova (gifts) u talente (talents). Zato je svaka cjelovitija teo-
rija darovitosti – slično teorijama ljudskog razvoja uopće – primorana da zauzme stav
prema nekim ključnim pitanjima razvoja, kao što su: ljudska priroda, kvalitativan ili
kvantitativan razvoj, naslijeđe, utjecaj okružja na razvoj i sl.
Postoje različiti termini kojima se darovitost opisuje, pa stoga različiti autori taj po-
jam različito definiraju. To, između ostalog, znači da se pri definiranju ovoga pojma ko-
riste različiti nazivi za darovitost; riječ je o sljedećim terminima koji se rabe kao isto-
značnice (sinonimi): natprosječnost, nadarenost, obdarenost, genijalnost, talentiranost.
Najčešća istoznačnica za darovitost je nadarenost. Termin nadarenost koriste, na pri-
mjer, Koren (1989), Čudina-Obradović (1991), ali i neki drugi autori.
I dok Ferbežer (2002) rabi oba termina na ekvivalentan način, kao istoznačnice i
pritom ne pravi nikakvu razliku među njima, Furlan (1988) smatra da termini nadaren i
darovit nisu istoznačnice i ukazuje na bitnu razliku među njima. Ističe da razlike između
tih dvaju termina postoje u tome što prvi termin, nadarenost, može imati pasivan priz-
vuk, u smislu da je pojedinac dobio neke natprosječne sposobnosti, dok je u slučaju
darovitog pojedinca moguće očekivati neka postignuća, neke "darove". To znači da je
darovit pojedinac aktivan i da aktivno koristi svoju darovitost (Ćaro 2009). Pritom, Đor-
đević (2008) navodi da je darovitost samo jedan od oblika ukupnog razvoja pri čemu
darovitost i socijalno okruženje pružaju mogućnosti za razvoj i manifestiranje različitih
osobnosti i svojstava pojedinca.
Iz različitih pristupa darovitosti nastale su i različite definicije razmatranog pojma,
koje Suzić (2005) svrstava u tri osnovne skupine:
1. definicije s naglaskom na intelektualnoj komponenti;
2. definicije koje darovitost poistovjećuju s kreativnošću; i
3. definicije koje darovitost tumače interakcijom visoko razvijenih sposobnosti,
kreativnosti, osobina ličnosti i učinkovitog okruženja.
Najranije definicije su one iz prve skupine dok su novije definicije one koje ukazu-
ju na nužnost interakcije većeg broja kognitivnih i konativnih činitelja. Definicije s na-
glaskom na intelektualnoj sposobnosti najšire su prihvaćene i usprkos kritikama još uvi-
jek su nezamjenjiv pristup teorijskim gledanjima na darovitost, koja je najjasnije izraže-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
11
na u stavu da je najbitnija osnova darovitosti visok stupanj opće inteligencije. Visok stu-
panj opće inteligencije je mogućnost pojedinca da se dobro snalazi u većini zadataka
koji zahtijevaju uporabu simbola i mentalnih operacija. Definicije koje darovitosti poisto-
vjećuju s kreativnošću opisuju darovitog pojedinca kao osobu koja uočava, vidi, doživ-
ljava, kombinira stvari i pojave na nov, svjež, neuobičajen način i proizvodi nove, neuo-
bičajene, drugačije ideje i djela. Spajanjem karakteristika prvih dviju skupina definicijâ
dolazi se do definicijâ darovitosti u kojima se darovitost definira kao interakcija visoko
razvijenih sposobnosti, kreativnosti, osobina ličnosti i učinkovitog okruženja.
Ljudska priroda tijesno je povezana sa viđenjem ljudske prirode određenog struč-
njaka, što je opet u tijesnoj svezi sa njegovim pogledom na svijet. Naime, svaka razvoj-
na teorija, pa tako i teorija o razvoju darovitosti, polazi od određenog shvaćanja čovje-
ka koja se temelji na nekim filozofskim, ekonomskim i političkim uvjerenjima. To shva-
ćanje često je implicitno, a ponekad sam stručnjak nije svjestan pretpostavki na kojima
se zasniva njegovo shvaćanje. Osim toga, u većoj ili manjoj mjeri, implicitno shvaćanje
čovjeka utječe ne samo na razvijanje teorije već i na odluku što istraživati, koje metode
koristiti i kako tumačiti dobivene podatke.
Kvalitativne promjene odnose se na promjene vrste ili tipa, pri čemu nove pojave
ili karakteristike koje nastaju nije moguće svesti na ranije elemente. Nasuprot tome
kvantitativne promjene odnose se na promjene u količini, učestalosti ili stupnju, a sama
promjena odvija se postepeno, u malim koracima. Odluka o tome je li riječ o kvantitativ-
nim ili kvalitativnim promjena nije nimalo jednostavna. Na jednoj općenitoj razini, pita-
nje jesu li razvojne promjene kvalitativne ili kvantitativne pretvara se u pitanje postoje li
stadiji u razvoju ili ne.
Kako naslijeđe i sredina doprinose razvoju, pitanje je oko kojega se mnogo ras-
pravljalo, ponajprije u filozofiji. Danas se smatra da svaka osoba ima dva geneotipa –
biološki ili naslijeđe i socijalni ili sredina. Ova dva geneotipa tijekom razvoja jedinke ne
djeluju odvojeno, ali ni u interakciji to iz razloga što ovaj posljednji izraz sugerira posto-
janje dva nezavisna entiteta. Naprotiv, biološki i socijalni genotip su fuzionirani, a fuzija,
za razliku od interakcije, uključuje postojanje recipročne reakcije između sastavnih dije-
lova isprepletenog sustava (Lerner 1998).
Simonton (1999) u svojoj teoriji o talentu i razvoju talenta navodi da se talent sas-
toji iz dvije skupine fizičkih, fizioloških, kognitivnih i dispozicijskih komponenti: emerge-
ničke koje su prisutne prilikom rođenja i epigenetičke koje se shvaćaju kao moduli i koji
se razvijaju relativno nezavisno jedni od drugih prema različitim epigenetičkim pravili-
ma.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
12
Utjecaj okružja na razvoj ogleda se u sljedećim dimenzijama: razina analize (od
molekularnog do molarnog); je li naglasak na strukturi ili procesu; je li naglasak stavljen
na vanjske ili unutarnje aspekte ponašanja; koja se metodologija koristi (Miller 1983).
U skladu s boljim i kvalitetnijim upoznavanjem fenomena darovitosti, njegovih
elemenata, uvjeta nastanka i njene prirode, mijenjala se i definicija darovitosti. S pro-
mjenama definicije darovitosti moguće je uočiti usvajanje njegovih općih spoznaja o
njenoj prirodi; navodimo:
· Darovitost nije rezultat jedne karakteristike, već je to kombinacija osobina, spo-
sobnosti i same osobe.
· Darovitost se javlja u različitim područjima sposobnosti, ili kao izrazito jedna
sposobnost ili kao kombinacija dviju ili više sposobnosti koje dolaze do izražaja u ne-
kom području ljudskog znanja i aktivnosti.
· Darovitost se može manifestirati u obliku produktivno-kreativne aktivnosti i pro-
dukata ili kao potencijalna (latentna) koja će se uz podršku okoline, poticanjem i njego-
vanjem razviti u produktivnu darovitost – u stvaralaštvo.
Polazeći od rečenog, tj. uvažavajući da je darovitost rezultat kombinacija osobi-
na, sposobnosti i samog pojedinca, da se javlja u različitim područjima ljudske djelat-
nosti i da darovitost može biti manifestan ili latentna, Winner (2005) navodi da su djeca
s takvim obilježjima oduvijek pobuđuju očaranost i strahopoštovanje, strahovalo se da
su opsjednuta jer iako mlada znaju i razumiju previše stvari. Upravo zato Winner ističe
da je darovito dijete ono rođeno s neuobičajenom sposobnošću da svlada određeno
područje5 (ili područja) i pritom, pod terminom darovitost razumijeva tri karakteristične i
atipične osobine koje posjeduju darovita djeca u odnosu prema drugoj djeci:
(1) Prijevremena razvijenost – Darovita djeca razvijaju se prije vremena. Prve
korake u svladavanju nekog područja poduzimaju ranije no što je to uobičajeno. Jedna-
ko tako, u tom području napreduju brže od prosječne djece jer u njemu lako uče.
(2) Insistiranje da "sviraju po svom" – Darovita djeca, osim što uče brže od pro-
sječne ili čak bistre djece, imaju drugačije putove učenja, i s obzirom na kvalitetu, pos-
tignuća su im viša i kvalitetnija. Ona „sviraju po svom“ i pritom od odraslih traže mini-
malnu pomoć jer uglavnom uče samostalno, stvarajući pravila unutar same aktivnosti i
otkrivajući nove, neobične načine rješavanja problema.
(3) Žar za svladavanjem – Darovita djeca visoko su motivirana, opsesivnog inte-
resa da shvate smisao područja u kojem pokazuju znakove prijevremene razvijenosti.

5 Pod izrazom područje razumijevaju se organizirana područja znanja kao što su jezici,
matematika, glazba, likovna umjetnost, šah, bridž, balet, gimnastika, atletika, tenis ili klizanje
(Winner 2005).
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
13
Zaokupljena učenjem u području u kojem iskazuju aktivnost, proživljavaju optimalna
stanja pri kojima se potpuno udubljuju u problem i gube svaki osjećaj vanjskoga svijeta.
Kod darovitih, navodi dalje Winner, lako se uočava unutarnja (intrizična) motivaci-
ja, koja je ponašanje koje se izvodi zbog sebe samoga, zbog vlastitog zadovoljstva6.
Darovitu djecu ne treba nagovarati, a još manje prisiljavati na vježbanje, a područje nji-
hova interesa je zapravo područje njihova zadovoljstva i razonode.
Upravo u činjenici da darovite na treba nagovarati niti prisiljavati na učenje i
vježbanje, jer je područje njihova interesa zapravo područje njihova spoznavanja, čuv-
stvenog doživljavanja i općeg zadovoljstva, Muminović (2003) smatra da je darovitost
potencijalno i manifestno u kognitivnoj, afektivnoj, konativnoj i psihomotornoj strukturi
pojedinca. Riječ je zapravo o posebnoj psihofizičkoj energiji i sklopu pojedinca koja se
kvalitetno razlikuje kod prosječnih i ispodprosječnih i polučuje visoke rezultate u odre-
đenom području ljudske djelatnosti. Ma koje svojstvo pojedinca da se javi – intelek-
tualno, emocionalno, voljno, psihomotorno itd. – ono je determinirano i visinom stimuli-
rajuće korelativnosti.
Slatina (2003) ističe da se o darovitosti može govoriti kao o potencijalu i produk-
tu. U ranoj dobi djeca uglavnom posjeduju potencijalnu darovitost koju još ne manifesti-
raju kao produktivnu darovitost. Stoga prostor između darovitosti kao potencijala i daro-
vitosti kao produkta označavamo kao prostor odgojno-obrazovnog utjecaja, potičućeg i
unapređujućeg djelovanja.
Darovitost, posebice ako je riječ o ekstremno razvijenim sposobnostima u jednom
ili više područja, čini dijete toliko drugačijim od ostale djece da to može postati ozbiljan
problem za njega i njegovo okruženje. Istovremeno, riječ je o djeci koja su zasigurno
vrijedan potencijal i nacionalni resurs. Iako djeca rastu i razvijaju se u velikom rasponu
individualnih razlika, ipak im se postavljaju unutarnje, mentalne „granice očekivanja“
(Cvetković-Lay 2002). Opisujući darovito dijete navodi da je riječ o dijetu koje zasigurno
može i hoće više i da takvo dijete odgojitelji već u vrtiću mogu prepoznati jer ono, u
odnosu prema svojim vršnjacima, mnogo toga čini prije, više, brže, uspješnije, bolje,
drukčije i koje u tome što čini ima dosljedno bolja i viša postignuća.
Ukazujući na činjenicu da darovito dijete (predškolske dobi i darovit učenik u pri-
marnom obrazovanju) ima neobično razvijen rječnik, te veliko znanje o različitim pa i
neobičnim sadržajima, da oštro i živo opaža, da prima mnogo više informacija od svojih
vršnjaka, da se lako prilagođava novim situacijama, sadržajima i razmišljanjima, Andri-
lović i Čudina-Obradović (1996) ukazuju na suvremena shvaćanja darovitosti:

6 za razliku od vanjske, ekstrinzične motivacije koja nije sama sebi svrhom, već je instru-
mentalna za polučivanje nekih vanjskih ciljeva
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
14
1. Darovitost se pojavljuje u različitim područjima sposobnosti kao jedna ili kao
kombinacija dviju ili više sposobnosti koje dolaze do izražaja u nekom području ljud-
skog znanja ili aktivnosti.
2. Darovitost može biti izražena u produktivno-kreativne aktivnosti i rezultate ili
kao potencijal koji će se uz potporu okruženja, poticanjem i njegovanjem, moći razviti u
produktivnu darovitost, tj. stvaralaštvo.
3. Darovitost nije jedna osobina pojedinca, već rezultat kombinacije sposobnosti,
emocija i motivacije.
4. Darovitost se razvija međudjelovanjem pojedinca i okruženja, od rođenja do
faze pune produktivnosti.
Analizirajući definicije darovitosti, Zovko (1999) ih dijeli na:
– jednodimenzionalne, one koje u osnovi imaju intelektualne sposobnosti mjere-
ne testovima inteligencije i
– višedimenzionalne, koje u osnovi u određivanju pojma darovitosti imaju i druge
kvalitete individue.
Na osnovi analize brojnih osobitosti darovitih pojedinaca, Coleman je (1994) utvr-
dio osamnaest općih primarnih pokazatelja darovitosti, koji su tipični za darovitost pri-
padnika različitih društava, odnosno kultura i svih dobi, pri čemu se njihova manifest-
nost razlikuje s obzirom na zahtjeve i mogućnosti određene kulture i/ili dobi darovitog
pojedinca. Ovi su primarni pokazatelji darovitosti prikazani u tablici 1.
Često se, uz različita shvaćanja i definicije darovitosti vežu pojmovi koji ponekad
označavaju različitost unutar pojma darovitosti, a ponekad su to istoznačnice ili zastar-
jeli nazivi koji su s vremenom izgubili na značenju. Mogu se čuti nazivi: čudo od djeteta
(Wunderkind), idioti-mudraci (Idiot-savants), genij i talent (Čudina-Obradović 1991).
Ovdje ćemo se zadržati na prva tri naziva, dok će o talentima i talentiranosti biti riječi u
kasnijem tekstu.
ČUDO OD DJETETA poseban je slučaj darovitog djeteta. Kada se govori o čudu
od djeteta misli se na pojedinca, dijete kod kojega susrećemo neujednačeni razvoj
različitih sposobnosti. Zbog povoljne kombinacije naslijeđenih faktora i posebno
pogodnih uvjeta okoline, darovito dijete već u ranoj dobi polučuje rezultate pune
produktivno-kreativne darovitosti, koje je moguće uspoređivati s rezultatima zrelog
stvaratelja. Takvo se dijete posebno ističe u rezultatima i razvijenosti sposobnosti u
jednom od područja, dok se ostali aspekti razvoja odvijaju normalnim tempom. Kao
primjer možemo navesti sljedeće slučajeve: (1) šestogodišnje dijete zna nekoliko
svjetskih jezika, (2) devetogodišnje dijete je potpuno glazbeno zrelo, (3)
desetogodišnjak upisuje studij matematike itd.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
15
Svaki pojedini slučaj čuda od djeteta rezultat je vrlo rijetke kombinacije okolnosti,
tj. slučajnog spoja izrazito specijaliziranih nasljednih dispozicija sa specifičnom, poseb-
no izraženom prihvatljivošću i osjetljivošću okoline. Prema suvremenom shvaćanju, ču-
do od djeteta nije u pravom smislu riječi čudo, već samo ekstreman, najizraženiji slučaj
onoga što se događa u razvoju svakog darovitog djeteta.

Tablica 1. Primarni pokazatelji darovitosti
Osobito kvalitetno
učenje
Osobito kvalitetna
uporaba znanja
Samostalno
stvaranje novoga
znanja (kreativnost)
Velika motiviranost
iznimno dobro
pamćenje
vješta i neuobičajena
uporaba znanja
kreativno ponašanje,
posebno u vlastitom
području interesa
izrazito nastojanje da
se poluče najviši
mogući rezultati,
posebno u području
osobnog talenta i
interesa
brzo i lako usvajanje
novih sadržaja
uporaba složenih
simboličkih sustava
za razumijevanje i
iskazivanje znanja
odstupanje od tipičnih
ili uobičajenih načina
mišljenja ili opažanja
inicijativnost,
nezavisnost
razumijevanje
sadržaja na višoj i
dubinskoj razini
traženje objašnjenja
za sve nejasne ili
nedovoljno dokazane
dijelove znanja
uvažavanje u
izražavanju vlastitih
misli, osjećanja i
uvjerenja
neprekinuta aktivnost
u preispitivanju
činjenica i
razmišljanja o njima

dobra primjena prije
stečenih znanja u
novim problemskim
situacijama, odličan
prijenos znanja iz
jednog područja u
drugo
izrazit osjećaj za
humor koji odražava
neobično dobro
shvaćanje odnosa i
značenja
dugotrajna pozornost
za sadržaje unutar
područja interesa

izrazita znatiželja za
uzorke, posljedice i
sve nepoznanice
želja i sposobnost
organiziranja i
vođenja drugih

snažna želja za
znanjem,
spoznavanjem i
otkrivanjem činjenica i
zakonitosti
(Coleman 1994)

IDIOTI-MUDRACI oblik su, također, neuravnoteženog i neravnopravnog, vrlo in-
tenzivnog razvoja neke specifične sposobnosti. Takva djeca vrlo rano pokazuju izrazito
specijalizirane talente. Kao primjer navodimo da takva djeca vrlo lako pamte brojeve,
datume, registarske oznake automobila, fantastično računanje napamet, pamćenje slo-
ženih glazbenih sadržaja i sl.
Kod idiota mudraca pokazuje se velika razvijenost jedne vrlo uske sposobnosti,
dok su im ostale sposobnosti najčešće usporene u razvoju.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
16
Pojam GENIJ, unutar pojma darovitosti, ima dva značenja i oba se vezuju uz
shvaćanje rijetkog i vrlo visokog, vrhunskog stupnja sposobnosti. Promatrano u
okvirima psihometrijske definicije, termin genijalan se odnosi na osobe kod kojih je
testovima inteligencije utvrđen vrlo visok kvocijent inteligencije – viši od 160. „Dijete
genij samo je ekstremnija verzija darovitog djeteta, djeteta koje je toliko darovito da
pojedine aktivnosti obavlja na stupnju odrasle osobe.“ (Winner 2005: 4).
Naziv genij se, u ovom statističko-psihometrijskom smislu, danas napušta i
umjesto njega rabi se termin izuzetno visoko darovit.
Genijalnost je – možemo reći – takva stvaralačka aktivnost koja daje znanstvena,
umjetnička ili pronalazačka djela koja su od osobitog i trajnog značaja za razvoj dru-
štva.
Drugo značenje pojma genij odnosi se na osobu koja tijekom duljeg vremenskog
perioda, tj. tijekom duljeg životnog razdoblja stvara velik broj dijela koja su od osobita
značaja i imaju dugotrajan utjecaj na ljudsku misao i život (Čudina-Obradović 1991).
Ovo je shvaćanje pojma genij u skladu sa produktivno-kreativnom definicijom darovi-
tosti i naglašava prisutnost osobito velike razvijenosti motivacijsko-kreativnog sklopa
osobina. Vodi nas to do djeteta genija, što je u stvari ekstremnija verzija darovitog dje-
teta, djeteta koje je toliko darovito da određene aktivnosti obavlja na razini odrasle oso-
be.
Vezano uz darovite pojedince i genije, Winner (2005) navodi da pri uporabi izraza
darovito, misli na svu darovitu djecu uključujući i onu koju nazivamo genijima, a kada
koristi izraz genij tada se to odnosi samo na najekstremnije slučajeve.

– o 0 o –

Iz ovog kratkog pregleda može se vidjeti da postoji više načina definiranja pojma
darovitosti, ali jedne sveobuhvatne definicije kao takve – nema. Huzjak (2006) navodi
da je danas u uporabi oko 140 definicija darovitosti i svaka od njih ima svoje "pokriće" i
"opravdanost" postojanja.
Gledajući u cjelini rečeno o definicijama darovitosti, navedene definicije ne odre-
đuju u cijelosti darovitost kao pojavu. Većina se njih ograničava na visokorazvijene
sposobnosti. Iako su visokorazvijene sposobnosti od izuzetnog značaja u određivanju
definicije darovitosti, darovitost ne čine samo one već i njene osobine, motivacijski pro-
cesi, procesi socijalizacije, spoj naslijeđenoga i sociokulturnog, spoj potencijalnog ma-
nifestnog, strategija vođenja i odgojnog djelovanja i dr. U određivanju pojma darovitosti
važno mjesto pripada i radnom angažmanu, radinosti i samoaktivnosti. Tako, na pri-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
17
mjer, prosječna ili ispodprosječna aktivnost može umanjiti i potencijalno i manifestno
kod darovitih, ma koliko one bile osnova za darovitost.
Novija proučavanja fenomena darovitosti pomiču definiciju darovitosti s produktiv-
ne darovitosti na darovitost kao potencijalnu produktivnost7 (Muratović 2003). S tim u
vezi je i orijentacija na shvaćanje darovitosti kao visoko područno-specifične sposob-
nosti8 (Bloom 1982; Gardner 1983; Feldman 1987) i potreba da se, pored kvantitativ-
nog pristupa u proučavanju darovitosti, sve više koristi kvalitativni pristup.
Iz svega rečenog slijedi zapravo da treba i dalje raditi na potpunijem i sažetijem
određenju pojma darovitosti kako bi se sama darovitost bolje razumjela. Pritom držimo
da bi najprihvatljivija definicija darovitosti bila:
Darovitost je rezultat naročito povoljno kombiniranih nasljednih osobina i njihove
interakcije s poticajno učinkovitim okruženjem i samoaktivnošću određenog pojedinca,
a taj učinak može se prepoznati kao vrijedan i kreativan doprinos u tom području djelo-
vanja.

1.1.1 Udio darovitih u populaciji

Analiziranjem fenomena darovitosti i rečenih definicija pojma darovitosti može se
zaključiti da je darovit onaj pojedinac čije je postignuće značajno u bilo kojem potenci-
jalno vrijednom području ljudskog djelovanja koje se može prepoznati kao vrijedan i
kreativan doprinos u tom području djelovanja. A koliko je darovitih u društvu?
Budući da je darovitost slučajan rezultat utjecaja nepredvidivo mnogo slučajnih
činitelja (Greenes 1996), ljudske sposobnosti mogu se relativno dobro opisati normal-
nom distribucijom na način kako je to učinjeno na slici 2.
Sa slike 2 je zapravo vidljivo da je oko 68.4% populacije prosječnih sposobnosti,
od kojih je polovica ispod prosjeka, a polovica iznad. Dio populacije u poluintervalu [M,
M + sñ je dakle iznadprosječnih sposobnosti i ima je oko 34.2%. Za populaciju u poluin-
tervalu [M + s, M + 2sñ, kojih je oko 13.5%, kažemo da je talentirana, dok poluinterval
[M + 2s, M + 3sñ obuhvaća darovite – ima ih oko 2.2% – koji su, mnogi među njima,

7 Potencijalna produktivnost vezuje se uz sklop osobina (sposobnosti, motivacije i krea-
tivnosti) koji omogućuje pojedincu da polučuje izrazito natprosječan produkt (rezultat) u nekom
području ljudske djelatnosti, a taj se produkt može prepoznati kao nov i originalan doprinos u
tom području.
8 Pojam visoko područno-specifična sposobnost vezuje se uz darovitog učenika, onog ko-
ji uz razvijene opće intelektualne sposobnosti ima naročito visoke sposobnosti za jedno specifič-
no područje, na primjer, glazbu, sport, matematiku,... za čije ovladavanje pokazuje izvanrednu
motivaciju, predanost i zainteresiranost, a što nailazi na razumijevanje, potporu i aktivni angaž-
man obitelji i šire društvene zajednice.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
18
daroviti u više područja. Populacija obuhvaćena poluintervalom [M + 3s, + ¥ñ, ima je
oko 0.1%, je istaknuto darovita.

Slika 2. Sposobnosti i krivulja normalne distribucije

(Greenes 1996)

Rečeno se odnosi općenito na udio sposobnosti u populaciji. Međutim, usmjeri-
mo li naša razmatranja i promatranja na one koji su daroviti u prirodnim znanostima,
posebice za matematiku, postoci prikazani na slici 2 bitno se smanjuju.

1.1.2. Dimenzije darovitosti

Područje darovitosti nije jednostavno odrediti niti je moguće zahvatiti sve njegove
segmente i oblike. Gotovo da je i prirodno očekivati da će se zbog širine, mnogostra-
nosti i osjetljivosti fenomena darovitosti ponešto izostaviti.
Da bi se preciznije odredila i identificirala darovitost potrebno je znati njene di-
menzije, njenu strukturu. Međutim, iako je parcijalno zahvaćan i spominjan u različitim
kontekstima, mora se istaknuti da, ni ovaj aspekt darovitosti nije do kraja elaboriran.
Mogućnost sagledavanja dimenzija darovitosti determiniran je prirodom darovitosti. Ta-
ko su dimenzije darovitosti dane u latentnom ili manifestnom obliku, eksplicitnom ili im-
plicitnom, odnosno s obzirom na trajanje dugotrajnom ili kratkotrajnom obliku9. To znači

9 Kada se govori o dimenzijama darovitosti tada se pod latentnom ili potencijalnom doro-
vitošću razumijeva ona darovitost koja je u pojedincu pritajena, prikrivena, koju čini niz naslije-
đenih predispozicija, za razliku od manifestne ili pojavne darovitosti koja se iskazuje, izražava,
koja je vidljiva. Iz latentne darovitosti nastoji se prognozirati manifestna darovitost. Da bi se la-
tentna darovitost razvila u manifestnu, pojedinac mora biti izložen povoljnim okolinskim uvjetima
koji će oblikovati njegovu ličnost i njegovo specifično iskustvo.
Implicitna dimenzija darovitost odnosi se na one karakteristike, osobine i ponašanje poje-
dinca za koje se smatra da su odraz njegove inteligencije. Radi se zapravo o neformalnom miš-
ljenju laika (ali i psihologa) o određenim pojavama, koje nisu utemeljene na znanstvenim istraži-
vanjima, već su konstrukti u umovima ljudi o prirodi inteligencije. Implicitna zato jer obuhvaća
M
M+2s
M–2s
M+s
M+3s
M–3s
M–s
~ 34.2%
~ 13.5%
~ 2.2%
x
f(x)
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
19
da polje darovitost nije jednostavno odrediti niti zahvatiti sve njegove segmente i oblike
– skoro da je prirodno da će zbog širine, mnogostranosti i osjetljivosti pojave ponešto
izostajati (Muminović 2003).
Sagledavanjem dimenzija darovitosti moguće je shvatiti širinu, dubinu i važnost
razmatranog fenomena. Mijenjanju se stavovi spram darovitosti, afirmira se teorija i
praksa, otklanjaju se jednostranosti i simplifikacije koje samo parcijalno zahvaćaju pro-
blem darovitosti. Pritom, Sternbergova, Gilfordova i Gardnerova teorije sposobnosti
predstavljaju dobru osnovu za pravilan pristup darovitim i strategijama sustavnog od-
gojnog djelovanja.
Neki autori u objašnjavanju darovitosti, svoje su elaboracije svodili na visoko raz-
vijene sposobnosti. Stoga su pod darovitim smatrali da je to onaj pojedinac koji ima vi-
soko razvijene sposobnosti, odnosno – još uže – da su to pojedinci s visokom inteligen-
cijom. Prema tome, "dimenzije darovitosti jesu dimenzije visokorazvijenih sposobnosti
ili visokorazvijene inteligencije. Taj aspekt su, manje ili više, rasvjetljavale različite teo-
rije sposobnosti, počevši od Vernona i Spearmana pa do Gardnera i Sternberga" (Mu-
minović 2003: 144).
U sagledavanju dimenzija darovitosti, Čudina-Obradović (1991) na sažet je način
izložila različita shvaćanja i pritom govori o darovitosti kao (1) visokoj općoj sposob-
nosti, (2) visokoj općoj i specifičnoj sposobnosti, (3) općoj sposobnosti divergentnog
mišljenja, (4) produktivno-kreativnim sposobnostima, (5) sposobnostima kvalitetne upo-
rabe misaonih procesa i (6) visoko razvijenim područno-specifičnim sposobnostima.
Zovko (1999) pišući o darovitosti govori – između ostaloga – i o dimenzijama da-
rovitih i pritom razlikuje potencijalnu i manifestu darovitost. Navodi da se pojedinac za
kojega se kaže da je darovit može analizirati kroz pet kategorija; to su: (1) izuzetnost,
(2) rijetkost, (3) valjanost, (4) produktivnost, (5) demonstrativnost. Mišljenja je da daro-
viti imaju svoje kvalitete u školi, što je i prirodno, ali prihvaća i stajališta drugih autora –
na primjer, Seagoea – koji, pored pozitivnih obilježja ukazuju i na negativna obilježja, u
koja spadaju zlouporaba sposobnosti i drugih vrijednosti u neprihvatljivim situacijama,
sklonost dominaciji, dobivanje različitih negativnih etiketa, suprotstavljanje standardima
i pravilima ponašanja, osjećanje dosade u školi, brzo gubljenje interesa za ono što rade
itd.

koncept darovitosti, a ne darovitost samu. Za razliku od implicitne dimenzije darovitosti, ekspli-
citna dimenzija darovitosti predstavlja znanstveno testirane hipoteze, dobivene, nastale na os-
novi znanstenih metoda istraživanja. Implicitna dimenzija darovitosti pruža strukturu za definira-
nje konstrukta, a eksplicitna pribavlja sadržaj unutar te strukture. (Sternberg i Zhang 1995;
Sternberg 1990).
Dimenzije darovitosti s obzirom na njeno trajanje mogu biti u dugotrajnom ili kratkotrajmo
obliku. Za razliku od dugotrajne dimenzije darovitosti, kratkotrajna dimenzija darovitosti odnosi
se na "bljesak" pojedinca koji se nakon toga "bljeska" gubi u prosječnosti.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
20
Svaki od pristupa dao je pojašnjenja vezana uz dimenzije darovitosti. One jesu
sastavni dio strukture darovitosti, ali time nije zahvaćen važan dio područja darovitosti.
Insistiranjem isključivo na specifičnim sposobnostima zahvaćena je praktična strana
darovitosti i time je objašnjen njegov važan dio. Međutim, za potpunije sagledavanje di-
menzija darovitosti, spajanje općih i specifičnih sposobnosti je neminovno. Ali ne samo
njih već i svih drugih potencijala individue – motivacijskog sklopa, osobitosti individue,
kreativnosti i dr. Stoga je, u sagledavanju dimenzija darovitosti, neophodno tragati za
dijalektičkim spajanjem elemenata svih aspekata u jedinstvenu teoriju koja će polaziti
od visoko kreativnih sposobnosti i pritom se oslanjati na opće i specifične sposobnosti,
osobitosti pojedinca, znanja, umijeća, interesa, volje, motivacije i razine aspiracija. (Mu-
minović 2003).
Struktura intelekta ili inteligencije, odnosno darovitosti, koju je definirao Gardner,
određena je strukturom mozga u kojemu su locirane različite specifične sposobnosti; ri-
ječ je zapravo o inteligencijama:
(1) lingvističkoj,
(2) logičko-matematičkoj,
(3) prostornoj (spacijalnoj),
(4) glazbenoj,
(5) tjelesno-kinestetičkoj i
(6) socijalnoj (osjećaj osobnog identiteta, sposobnost razumijevanja, ...)10
Gardner (1983) smatra da svaki pojedinac posjeduje jedinstveni sklop navedenih
inteligencija, pri čemu se svaka od njih može javljati u različitom intenzitetu. Pojavi li se
neka od navedenih inteligencija kao dominirajuća, tj. ako se manifestira u značajno ve-
ćem intenzitetu, tada je takav pojedinac darovit u tom području. Nadalje, Gardner sma-
tra da razvoj pojedinih inteligencija zavisi od toga kako su one vrednovane u pojedinim
društvima i kulturama. Ona inteligencija ili sposobnost koja se od rana potiče, koja je
od osobite važnosti i vrijednosti u društvu, za koju postoje pravi modeli, prije će i razvi-
jati darovitost. U zapadnoj kulturi preferiraju se prve dvije inteligencije dok se ostale
promatraju kao talentiranost. Ovakav je pristup sposobnostima kvalitativne naravi i to
zato što Gardner nije posebno cijenio numerički pristup, pa samim tim ni upotrebu psi-
holoških mjernih instrumenata za utvrđivanje razine pojedine sposobnosti.
Za razliku od Gardnera, Sternberg cjelovitije zahvaća pitanje područjâ darovitosti.
Svoju pažnju usmjerava na učinak pojedinca sa svim raspoloživim potencijalom. Nje-
gova teorija razvoja od izuzetna je značaja za odgoj, posebice za odgoj darovitih. U
svom propitivanju ne zadržava se na tome što pojedinac jeste, što posjeduje od intelek-

10 Više o tome vidjeti u točki 2.3 Gardnerova teorija višestruke inteligencije.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
21
tualnog i drugog potencijala, već koliko je to što posjeduje aktivno i koliko je u funkciji
progresivnog razvoja (Sternberg 1999).
Sternbergova teorija sposobnosti je trodijelna i čine je sljedeće sposobnosti:
– analitičke sposobnosti,
– kreativne sposobnosti,
– praktične sposobnosti11.
Iako ovako predstavljena struktura intelekta izgleda poznata, posebice ako se
imaju na umu teorijski konstrukti drugih teorija koje su više ili manje zahvatile ova tri as-
pekta darovitosti, ona na jasan, razborit i sustavan način objašnjava ljudske sposob-
nosti. Sternberg nikako ne misli da su ova tri tipa inteligencije odvojena i da je u njiho-
voj strukturi odvojeno intelektualno, emotivno i voljno. Naprotiv, riječ je o uskoj poveza-
nosti sva tri tipa inteligencije i svih elemenata unutar jedne jedinstvene strukture. U
analizi konkretne individue vidi se da je na prvom mjestu analitička inteligencija (spo-
sobnost), na drugom praktična, dok je na trećem mjestu kreativna sposobnost (inteli-
gencija). Za njega je od osobite važnosti taj raspored, razina njihove razvijenosti i me-
đusobna povezanost. Zato Sternberg najčešće ispituje sva tri tipa inteligencije zahva-
ćajući verbalne, kvantitativne, brojčane i pisane aktivnosti. Koliko mu je važna veza
analitičkog, kreativnog i praktičnog u objašnjavanju pojedinca posebno ističe ravnotežu
ova tri tipa. To, nadalje, znači da u objašnjavanju ljudskih sposobnosti treba prodrijeti u
pojedinačne segmente, ali isto toliko pažnju posvetiti svim vezama pojedinačnog. Po
njemu je maksimalna ravnoteža sva tri tipa inteligencije ostvarena kod genijalca. (Mu-
minović 2003).
Ovakvo razvijanje teorije sposobnosti cjelovitije zahvaća problem darovitosti. On
unutar tri komponente traži najrazvijenije i uz potporu drugih manje razvijenijih računa
na razinu maksimalnog iskazivanja. Tako je moguće doći do najrelevantnijih dimenzija
darovitosti. On sve dimenzije darovitosti stavlja na mjesto koje im pripada s ciljem da

11 Analitički tip sposobnosti (inteligencije) odnosi se na rješavanje različitih vrsta proble-
ma. Obuhvaća sve procese od uočavanja problema do donošenja rješenja. Uvodi novi pojam u
objašnjavanju analitičke inteligencije – metakomponentnost, što predstavlja procese neprekid-
nog unutarnjeg rješavanja problema. Njega interesira na kojoj je razini, kako se odražava i koli-
ko je aktivna energija za neprekidno rješavanje problema. Ovaj tip inteligencije je dio sposob-
nosti koje mjere klasični testovi inteligencije.
Kreativni tip sposobnosti (inteligencije) je ona snaga individue koju karakterizira iznadpro-
sječnost i neuobičajenost. Kreativne sposobnosti su posebna obilježja pojedinca koja su pre-
poznatljiva i važna za nova znanstvena, umjetnička, tehnička i druga postignuća. Kreativni poje-
dinci probleme rješavaju na nov način, fleksibilni su i posjeduju visoku volju i motivaciju.
Praktične sposobnosti (inteligencije) obuhvaća primjenu stečenog i potencijalno raspolo-
živog u rješavanju praktičnih životnih problema. Taj tip inteligencije je prepoznatljiv i zaslužuje
ozbiljniju teorijsku elaboraciju. Ona se javlja u praktičnim situacijama i može se pouzdano utvr-
diti stupanj njene razvijenosti. Ako je to tako, zašto tu sposobnost ne nazivati njenim imenom. I
ovaj tip inteligencije, kao i navedene, sadrže praktične sposobnosti pojedinca, ali i druge karak-
teristike značajne za rješavanje praktičnih problema. (prema: Muminović 2003)
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
22
se nastavi s djelovanjem i iznalazi put za upravljanje k maksimalnom postignuću. Time
se praktički isključuje jednostranost u identifikaciji i zagovara višestranost i svestranost.
To je put do uspješne inteligencije.
Obrazlažući osobitosti intelektualnog funkcioniranja darovitih, Sternberg navodi
sljedeće:
– visok stupanj opće inteligencije, naročito visok stupanj određene specifične
sposobnosti (daroviti posjeduju opće sposobnosti bez obzira koliko u prvom planu bile
neke specifične sposobnosti);
– visoka razvijenost sposobnosti uočavanja odnosa (pored uočavanja veza iz-
među pojava daroviti posjeduju sposobnost uočavanja odnosa višeg reda – odnosi iz-
među dva odnosa, odnosi među sustavima odnosa);
– visoko razvijenu sposobnost rješavanja problema (posebice prepoznavanje
bitnih problema, problema koji se mogu istražiti, širih problema itd);
– sposobnost korištenja kombinacija sposobnosti koje su najrazvijenije (vještina
korištenja postojećih sposobnosti i njihove kombinacije u različitim praktičnim situacija-
ma);
– naročita sposobnost mijenjanja okoline (imaju aktivan odnos prema svojoj
okolini, nastoje da je mijenjaju za opće dobro, ali i prema sebi), (Furlan i Kobola 1971).
Analizirajući Sternbergovu teoriju sposobnosti, Čudina-Obradović (1991) ističe da
je ona uporabljiva za sagledavanje dimenzija i misaonih procesa darovitih, i pritom na-
vodi da darovite karakterizira sljedeće:
1. velika opća i područna baza znanja;
2. snažan i neprekidno prisutan međusobni utjecaj procesa stjecanja znanja i
uporabe znanja preko rastuće količine metakomponenti;
3. izrazito razvijene metakomponente;
4. izrazito razvijena metakomponentna planiranja i odlučivanja;
5. izrazita fleksibilnost u mijenjanju plana prema situaciji i novim podacima;
6. velika vještina u izboru reprezentacije podataka (da se problem rješava pomo-
ću vizualnih, verbalnih ili specijalnih simbola);
7. velika sposobnost uporabe baze znanja na nov način;
8. velika osjetljivost za probleme;
9. velika razvijenost generalizacije (sposobnost baratanja potpuno novim
pojmovima i sustavima mišljenja).
Iz izloženoga je zapravo vidljivo da kada je riječ o dimenzijama darovitosti, onda
su uistinu u prvom planu pozitivna obilježja darovitosti. Međutim, valja imati na umu i
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
23
negativna obilježja koja znaju biti smetnja u procesu pravilnijega odgajanja i vođenja
darovitih.
Nadalje, iz rečenog se vidi da su dimenzije darovitosti polazna osnova u ozbilj-
nom teorijskom i praktičnom tretiranju ovog problema. One su povezane sa svim dru-
gim pitanjima počevši od određenja do neposrednog odgojnog djelovanja. Sagledava-
njem dimenzija darovitih shvaćamo širinu, dubinu i važnost problema, mijenjaju se sta-
vovi sprema darovitosti i pritom se afirmira teorija i praksa darovitosti. Može se zaklju-
čiti da dimenzije darovitosti predstavljaju teorijski okvir za pravilno odgojno djelovanje,
tj. tretiranje darovitih.
Brojni autori pokušali su navesti, tj. prebrojiti dimenzije darovitosti ali im to nije us-
pjelo, odnosno nisu to do kraja učinili. Jer, problem darovitosti je otvoren i on će to biti i
u budućnosti.

1.2 Talentiranost

Danas se izrazu talentiranost pripisuju različita značenja, ali ga se uvijek određu-
je prema pojmu darovitosti. Stoga definiranje pojma talentiranost unutar pojma darovi-
tosti nije jasno određeno, tj. neodređene je uporabne vrijednosti.
Jedno od značenja pojma talentiranost odnosilo se na ono što se danas naziva
manifestna, iskazana darovitost, za razliku od potencijalne darovitosti, koja je označe-
na samo s pojmom darovitost. U drugom značenju talentiranost se odnosi na nešto ni-
žu razinu od razine darovitosti kojoj pripada viši stupanj intelektualne darovitosti (Koren
1987).
Za razliku od Korena, najnovija shvaćanja pojam talentiranost vezuju uz višestru-
ku definiciju darovitosti: i dok visoke intelektualne sposobnosti predstavljaju osnovu op-
će darovitosti, dotle su sposobnosti koje osiguravaju polučivanje visokog postignuća u
specifičnim područjima – kao što su, na primjer, umjetničko područje, sportsko, mate-
matika, druge prirodne znanosti i sl. – osnova su specifične darovitosti, odnosno talen-
tiranost (Dejić i sur. 2009).
Nakon uvođenja višestruke definicije darovitosti dugo se vremena zadržala sin-
tagma „daroviti i talentirani“, kako bi se naglasila društvena i obrazovna važnost i spe-
cifičnost darovitosti. Međutim, danas se pojam talentiranost shvaća kao područno spe-
cifična darovitost, pa su gledajući tako sintagme „matematička talentiranost“ i „matema-
tička darovitost“ u stvari istoznačnice (Čudina-Obradović 1991). Stoga možemo reći da
je (matematički) talentiran onaj učenik koji posjeduje izuzetne, iznadprosječne sposob-
nosti i interes (za matematiku). Pritom pod (matematičkom) talentiranošću razumijeva-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
24
mo visoku sposobnost (matematičkog) mišljenja, rasuđivanja i razumijevanja (matema-
tičkih) ideja.
Uz talentiranost se vezuje pojam talent.
Na portalu www.thefreedictionary.com (2012) pojam talent definira se kao uro-
đena prirodna sposobnost koja pojedincu omogućuje visoko dostignuće u određenom
području, kao na primjer u glazbi, sportu, matematici itd.
Pojedini autori ne prave razliku između darovitosti i talentiranosti. Tako, na pri-
mjer, Čehić (1998) za učenike koji polučuju iznadprosječne rezultate koristi tri naziva,
tj. termina:
(1) talentiranost,
(2) nadarenost i
(3) darovitost.
Prema tome, na osnovi izloženog možemo zapravo reći da se izrazom darovit oz-
načavaju oni pojedinci koji imaju visoko razvijene sposobnosti, a izrazom talent one koji
postižu visoka postignuća u pojedinom području, tj. u aktivnostima kojima se bave.
Koren (1987) navodi da je vezu između darovitosti i talentiranosti relativno dobro
opisao Gagné, koji navodi da je svaka talentirana osoba u isto vrijeme i darovita, dok
svaki daroviti pojedinac ne mora biti talentiran. Daroviti pojedinac, naime, u svom pona-
šanju iskazuje potencijalnu darovitost, tj. posjeduje predispoziciju da se razvije u stva-
raoca, dok talent iskazuje manifestiranu darovitost. U drugom pak značenju talentira-
nost se odnosi na nešto nižu, a darovitost na višu razinu intelektualne zrelosti. Novije
shvaćanje pojma talentiranosti u vezi je s višestrukom definicijom darovitosti: dok viso-
ke intelektualne sposobnosti predstavljaju osnovu opće darovitosti, dotle su sposob-
nosti koje osiguravaju visoko postignuće u specifičnim područjima (sport, umjetnost,
matematika, ...) osnova specifične darovitosti ili talentiranosti (Čudina-Obradović 1991).

1.3 Prepoznavanje i razvijanje darovitosti

u području matematike

Brojna shvaćanja objašnjavaju darovitost kao posljedicu specifičnih uvjeta unutar
i izvan osobe. Složenost fenomena darovitosti izazivala je zainteresiranost i pokretanje
brojnih istraživanja s ciljem da se bolje upoznaju osobitosti darovitih pojedinaca, te da
se u odgojno-obrazovnom procesu i društvu u cjelini tretiraju na primjeren način. Stoga
je pitanje prepoznavanje darovitih i njihov daljnji razvoj jedno od važnijih, ako ne i naj-
važnije pitanja vezano uz darovite.
Prepoznavanje darovitih bitno je teorijsko i praktično pitanje, i usko je povezano
sa svim pitanjima o kojima je dosad bilo govora kao i o onima o kojima će se kasnije pi-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
25
sati. Uzima se kao bitna etapa u procesu operacionalizacije odgojnog rada. Dakle,
identifikacija je samo etapa, dio postupka i aktivnosti ukupnog odgojno-obrazovnog tre-
tiranja darovitih (Muminović 2003).
„Pod identifikacijom razumijevamo postupak koji ima za cilj da u ukupnoj popula-
ciji izdvoji darovite pojedince kako bi se za njih planirao i organizirao poseban pro-
gram.“ (Dejić i sur. 2009: 95). Identifikacija je stručno utvrđivanje jesu li opažene i pre-
poznate osobitosti doista znaci razvijene sposobnosti, te hoće li dijete doista profitirati
od sustavnog i intenzivnog programa razvoja, ili bi takav program bio neprimjeren dječ-
jim sposobnostima, neusklađen s motivacijom, nametnut i možda zbog toga štetan
(Čudina-Obradović 1991).
Muminović (2003: 149) navodi da u postupcima „identifikacije valja poći od stava
da je darovitost realnost u svim sredinama, da ima svoju društvenu i svaku drugu važ-
nost, da se u odgoju mladih posebno izdvaja dio populacije. Za darovitost trebaju znati
svi društveni činitelji koji se bave odgojem mladih, da se razumije dimenzija darovitosti
kako se darovitost ne bi svela na pojedina područja te da je moguće pedagoški os-
misliti strategije i pravce usmjeravanja darovitih.“
Za postupak izlučivanja darovitih pojedinaca iz populacije upotrebljava se dvojaki
izraz prepoznavanje i identifikacija. Pritom ta dva izraza valja pojmovno razlikovati, jer
prepoznati (otkriti) znači samo indicirati darovitog pojedinca, dok identificirati znači utvr-
diti skup osobina koje pojedinca čine darovitim ili, još preciznije, utvrditi vrstu i stupanj
njegove darovitosti. Prema tome, pojam identifikacije je širi od pojma otkrivanja, pa se
stoga proces otkrivanja smatra etapom u procesu identifikacije.
Koren (1989) navodi da su u metodološkom smislu prepoznavanje i identifikacija
jedinstven dijagnostičko-prognostički postupak, pri čemu u procesu prepoznavanja više
sudjeluju učitelji s različitim tehnikama procjenjivanja, dok se u procesu utvrđivanja vr-
ste i stupnja darovitosti obvezno uključuju i stručnjaci različitih profila (psiholozi, peda-
gozi, sociolozi, liječnici, …) sa specifičnom metodikom i mjernim instrumentima. Prema
tome, za razliku od prepoznavanja, identifikacija pretpostavlja timski pristup.
Prepoznavanje i identifikacija darovitih učenika standardiziran je i kontinuiran pro-
ces, obuhvaća sve učenike iz populacije i pritom je svaki učenik stalno „potencijalni
kandidat“ na svim dobnim razinama tijekom svog odgojno-obrazovnog razvoja. Takav
je pristup nužan jer se različite vrste darovitosti na ljestvici kronološke dobi manifestira-
ju u različito vrijeme i posebice što unutar istog tipa darovitosti postoje bitne individual-
ne razlike u vremenu njezina evidentnog iskazivanja. Tijekom samog identifikacijskog
postupka, u određenim trenucima, donose se i konkretne dijagnoze od posebnog zna-
čaja za edukativni tretman pojedinih darovitih učenika, a one su podvrgnute stalnoj re-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
26
valorizaciji. Naime, ako se pojave valjane pretpostavke prethodno neidentificirani uče-
nici uključuju se u proces identificirane darovite učenike, pojave li se za to valjani razlo-
zi, provodi se revizija ili modifikacija dijagnoze. Stoga se ovi postupci i nazivaju proces-
na ili dinamička dijagnostika.
U procesu prepoznavanja darovitih učenika uključeni su postupci sustavnog opa-
žanja, praćenja i evidentiranja. „Otkriti darovitog učenika znači uočiti neke elemente
trajnijih opće vrijednih oblika njegova (školskog i izvanškolskog) ponašanja, koji ga
znatno izdvajaju od takvog ponašanja njegovih vršnjaka. To je moguće uz uvjet da pos-
toji organizirano opažanje i dokumentiranje tih manifestacija, što je inače samo specifi-
čan slučaj praćenja odgojno-obrazovnog razvoja svih učenika u suvremenoj školi.“ (Ko-
ren 1989: 12). Budući da se iskazivanje određene darovitosti u darovitih može javiti i
prije polaska djeteta u školu, veoma je važno da se od roditelja i odgojitelja u predškol-
skim ustanovama prikupe odgovarajući relevantni podaci. Najjednostavnija i najuobiča-
jenija tehnika evidentiranja rezultata opažanja i praćenja jesu kumulativni dosjei, koji se
mogu voditi kompjutorski, što je posebno važno za praćenje darovitih učenika sa širih
prostora (regije).
Ispravne i kvalitetne primjene identifikacijskih postupaka, te ispravnog odnosa
prema identificiranim pojedincima u osnovi su samo dosljedna individualizacija pristupa
diferenciranim osobinama pojedinih učenika. To zapravo znači, ističe Koren (1989), da
će identificirani daroviti učenici realizirati svoj optimalni razvoj zajedno s ostalim učeni-
cima iz razrednog odjela, ali i u različitim izvannastavnim i/ili izvanškolskim aktivnosti-
ma, te, posebno, putem specifičnih individualnih aktivnosti zasnovanih na sposobnosti-
ma i interesima konkretnih pojedinaca.
Darovitost je rezultat razvoja određenih psihičkih i tjelesnih potencijala u određe-
nom vremenu, pa sustavno podržavanje i poticanje tog razvoja prethodi samoj identifi-
kaciji. Rečeno vrijedi za djecu predškolske dobi, posebno za rani školski razvojni pe-
riod. Pritom će omjer darovitih u nekoj školskoj populaciji više određivati bogatstvo sti-
mulativnih odgojno-obrazovnih oblika rada sa svim učenicima nego sama primjena,
makar i opsežnih i najpreciznijih identifikacijskih postupaka. S druge pak strane identifi-
kacija omogućuje ispravno usmjeravanje takve sustavne podrške, što znači da je opti-
malno rješenje ono u kojemu se procesi identifikacije i stimulativnog tretmana uzajam-
no isprepliću i dopunjuju. Dakle, odgovarajući uvjeti omogućit će iskazivanje visokovri-
jednih potencijala učenika, a identifikacija će usmjeriti na različite modalitete podrške
njihovi daljnjem razvoju (Koren 1989).
Darovito dijete razlikuje se od svojih vršnjaka po interesu koji iskazuje za određe-
ne stvari i pojave, brzini usvajanja novih znanja i dubini njihova shvaćanja. Kako bi se
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
27
lakše prepoznalo (otkrilo) darovito dijete, od pomoći može biti usporedba bistre i daro-
vite djece koju je postavila Szabos (1980). Ona je, na osnovu vlastitih istraživanja i us-
poređivanjem bistre i darovite djece u standardnom razredu, utvrdila osam razlika koje
se mogu prikazati na način kako je to dano u tablici 2.
Za razliku od darovitog djeteta bistro dijete može uložiti mnoge sate u ovladava-
nju određenim područjem i može, također, impresionirati svojim postignućem. Međutim,
takvo dijete nije ranije sazrelo. Ono ne uči iznimno bržim tempom i s posebnom lako-
ćom. Da bi napredovalo, ono zahtjeva stalnu potporu, pomoć, instrukcije i ohrabrenje
odraslih, i obično ne dolazi samostalno do otkrića o području svoga interesa, ne otkriva
nove putove rješavanja problema, niti očituje unutarnju „strast“ za ovladavanjem nekim
područjem. Unatoč svom trudu, ono nikada ne dostiže onu razinu postignuća u nekom
području koje darovito dijete polučuje s očito manje truda (Cvetković-Lay 2002).
U procesu prepoznavanja i identificiranja darovitih učenika, u određenim trenuci-
ma valja donositi konkretne dijagnoze, koje su obično opisne karakteristike učenika i
kojeg po unaprijed utvrđenim kriterijima možemo uvrstiti u kategoriju darovitih. Pritom,
s utvrđenim kriterijima moraju biti upoznati i učenik i njegovi roditelji, ali i učitelji, a po-
nekad i šira javnost. To je zapravo preduvjet za organiziranu podršku u daljnjem razvo-
ju darovitih učenika, što je i krajnji cilj svakog identifikacijskog postupka. Kako identifi-
kacijski postupak ne bi doveo do neželjenih posljedica po darovitom učeniku, u identifi-
kacijskim aktivnostima potrebno je osigurati visoku razinu stručnosti i savjesnosti. Zato
organizatori i nosioci tih postupaka snose punu etičku i svaku drugu odgovornost.

Tablica 2. Razlika između bistre i darovite djece
Bistro dijete
Darovito dijete
Bistro dijete zna odgovor na pitanje.
Darovito dijete postavlja pitanja.
Bistro dijete uživa sa svojim vršnjacima.
Darovito dijete uživa s odraslim osobama.
Bistro dijete voli školu i razumije sve ciljeve.
Darovito dijete voli učenje i apstraktne ideje i
ciljeve.
Bistro dijete dobro memorira.
Darovito dijete je dobro u pogađanju.
Bisto će dijete mnogo raditi.
Darovito dijete će se igrati, a opet dobro proći
na svim testiranjima.
Bistrom djetetu je potrebno ponavljati sadržaje
od šest do osam puta kako bi vladao njima.
Darovitom dijetu potrebno je ponoviti jednom
do najviše dva puta.
Bistro je dijete tehničar.
Darovito je dijete pronalazač.
Bistro dijete je zadovoljno svojim učenjem.
Darovito dijete može biti jako samokritično.
(Szabos, prema: Hadžimehmedović 2009.)

Za identifikaciju darovitih od posebnog je značaja sustav odgoja i obrazovanja,
koji može odrediti – i to uglavnom čini – mjesto darovitih u društvu. Sustavnim rješenji-
ma, unutar kojih su i zakonska, bit će označen i poseban sustav identifikacije darovitih.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
28
Pritom u sustavu treba jasno odrediti oblike i forme, financiranje i strategije odgojno-ob-
razovnog rada s darovitim učenicima (Muminović 2003).
Pored sustava odgoja i obrazovanja, u procesu prepoznavanja i identifikacije da-
rovitih pojedinaca, važna uloga pripada okruženju u kojemu pojedinac živi. Ako okružje
jasno i argumentirano postavi pitanje identifikacije, onda će se više i bolje kontrolirati či-
nitelji od kojih ovisi identifikacija – misli se ovdje na roditelje, odgojitelje, učitelje, vodite-
lje klubova, tečajeva, izvannastavnih i izvanškolskih aktivnosti, zatim sustav valorizaci-
je, nagrađivanja itd.
Postoje različita shvaćanja i postupci razvijanja darovitosti. Pritom se mogu iz-
dvojiti dva osnovna postupka koja su od osobitog utjecaja na pedagošku praksu i pro-
grame rada s darovitima:
1. Orijentacija na „proces“ koja proizlazi iz gledanja na darovitost kao rezultat ne-
ke opće visoke sposobnosti (opće inteligencije ili opće dispozicije kreativnosti), pri če-
mu je glavni pedagoški napor usmjeren na poboljšanje „procesa“. Stoga su programi
rada usmjereni na poučavanje strategija rješavanja problema i kreativnog mišljenja, što
dovodi do poboljšanja funkcioniranja čiji će učinci doći do izražaja u nekim budućim ak-
tivnostima i problemskim situacijama.
2. Orijentacija na „proizvod“ stavlja naglasak na važnost sadržaja unutar kojega
se odvija proces mišljenja i kreativnosti. Darovitost, po tom shvaćanju, nije rezultat op-
će sposobnosti koja se može razvijati na nekim apstraktnim sadržajima: u njenom raz-
voju najvažnije je ovladavanje specifičnom bazom znanja, tj. učenje unutar određenog
područja znanja i vještina. Rezultat ovoga učenja je „proizvod“, odnosno rezultat unutar
određenog područja interesa. (Čudina-Obradović 1991).
Suvremeno gledanje na darovitost jasno je usmjereno na razvijanje područno-
specifičnih darovitosti. Smatra se da je darovitost područno-specifična, što znači da je
strukturno drugačija u različitim područjima. S tim u vezi Rabinowitz i Glaser (1985) na-
vode da je struktura znanja u specifičnom području najvažnija odrednica darovitosti.
Područno-specifičan pristup darovitosti sadrži određeni broj postavki koje objaš-
njavaju njen nastanak i razvoj. Osnova darovitosti, prema tom pristupu, jesu reflektivno
nezavisne, specifične ljudske sposobnosti (Gardner 1983) koje mogu biti biološki ne-
ravnomjerno zasnovane. U obliku izrazito velike razvijenosti bioloških predispozicija
sposobnosti za neko specifično područje (Feldman 1987) one nailaze na povoljnu druš-
tvenu klimu i razumijevanje (Gardner 1983; Tennenbaum 1983), te izazivaju usmjera-
vajući napor djelovanja roditelja, mentora, voditelja i dr. u organizaciji specifičnog uče-
nja (Bloom 1982; Feldman 1987) i organiziraju se složeni sustavi ciljeva tijekom socija-
lizacije u ulogu stvaraoca (Wallace 1985). Stoga program za razvoj darovitosti mora biti
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
29
područno-specifičan, mora sadržavati sadržaje iz područno-specifičnih znanja i vješti-
na, što mora biti usklađeno s područjem dominirajuće sposobnosti djeteta.
Broj i vrsta područno-specifičnih darovitosti određeno je razvojnom razinom i po-
trebama društva. Podjelu na područja koje se danas smatraju vrijednim područjima
ljudske aktivnosti i u kojima dolazi do izražaja različite kombinacije sposobnosti mogu-
će je razmatrati kao integrirani model darovitosti.
Sposobnosti u osnovi matematičke darovitosti nisu tako jasno specifične, kao na
primjer u području glazbe i likovne umjetnosti. Iako je vrlo teško definirati matematičku
darovitost, odnosno matematički darovitog učenika, Cotič (2008: 72) ističe da se "zasi-
gurno može tvrditi da matematički daroviti učenici brže i bolje usvajaju matematičke
pojmove i koncepte te uspješnije rješavaju različite matematičke probleme". Glede toga
Gardner (1983) navodi da se matematička darovitost razvija iz jedne opće, logičko-ma-
tematičke sposobnosti koja se može poistovjetiti s općom intelektualnom sposobnošću.
Za diferencijaciju logičko-matematičkih sposobnosti, za usmjeravanje interesa ka
matematičkim sadržajima, od osobite je važnosti međusobni utjecaj vanjskih, slučajnih
činitelja i unutarnjih potreba kao i sklonosti pojedinaca. Ove su sklonosti najčešće pos-
ljedica razvijenosti jedne od sastavnica logičko-matematičke sposobnosti ili njihovih od-
ređenih kombinacija. Zbog djelovanja obiju grupa ovih činitelja, tijekom razvoja djeca
se počinju usmjeravati na različite aspekte iskustva. Tako se budući matematičari us-
mjeravaju na najopćenitije zakonitosti, algoritme, teoreme i dr. Utjecaji matematičke
kulture i matematičke pismenosti u ovom su području od osobite važnosti, višestruki su
i vrlo kompleksni. Posebno se cijeni osjetljivost za pojam količine i odnosa među objek-
tima, te numeričke karakteristike stvarnosti. (Čudina-Obradović 1991).
Matematičke sposobnosti možemo zamisliti kao rezultat istovremene aktivacije
sljedećih užih sposobnosti:
1. brojevna sposobnost – razumijevanje brojevnih simbola, značenja oznaka za
različite matematičke odnose, razumijevanja pojma količine, razumijevanje brojevnih
operacija i odnosa, sposobnost čitanja i pisanja matematičkih simbola, jasno je različita
i odvojena od verbalne sposobnosti;
2. sposobnost pamćenja i planiranja – potrebna je za sukcesivno rješavanje ko-
raka u problemu kao i lanca zaključaka;
3. sposobnost prostornog predočavanja – potrebna za uporabom papira i olovke,
razumijevanje geometrije i prostornih oblika i odnosa;
4. sposobnost logičkog zaključivanja i uočavanja veza – potrebna je za pravilno
rasuđivanje i pravilnu primjenu algoritama.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
30
Prateći razvoj sposobnosti maloga djeteta da logički uređuje stvarnost oko sebe,
uočava, zaključuje i predviđa odnose, Piaget (1950) je opisao tijek razvoja logičko-ma-
tematičke sposobnosti, koji je ovaj razvoj podijelio u sljedeće četiri faze:
1. SENZOMOTORIČKA FAZA (od rođenja do druge godine života). U početku di-
jete stječe znanja o okruženju kroz svoje akcije na predmetima i s predmetima. Dakle,
spoznavanje okruženja započinje preko operiranja predmetima. Kroz vlastitu akciju na
predmetima i sa predmetima dijete postepeno stvara jednostavne mentalne sheme:
(1) Permanentnost objekata (devet do osamnaest mjeseci): svijest o postojanju
predmeta i u njegovoj fizičkoj odsutnosti.
Ponašanje djeteta: čuđenje ako je nešto "nestalo", traženje nestalog predmeta,
uživanje u igri "nestajanje – pojavljivanje".
(2) Uspostavljanje veze: sredstvo – cilj.
Ponašanje djeteta: povlači uzicu kad želi doći do igračke.
(3) Uspostavljanje veze: uzrok – posljedica.
Ponašanje djeteta: lutkicu koja je prestala "plesati" daje odraslome da je "navije".
(4) Uspostavljanje jednostavne oponašajuće sheme.
Ponašanje djeteta: na spominjanje djeda dijete imitira, na primjer, djedov kašalj.
(5) Internalizacija akcije.
Ponašanje djeteta: akcija se izvodi nakon "zamisli", bez direktnog operiranja
predmetima; planiranje akcije "u glavi".
2. PREDOPERACIONA FAZA (od druge do šeste godine života). Dijete stvara re-
lativno stalne slike, neelastične mentalne sheme, koje su vizualna zamjena za predme-
te i akcije u svijesti. Unutarnje zamjene za stvarnost – predmete i akcije – jesu slike,
vizualne predodžbe koje su čvrsto zasnovane na percepciji i istodobnoj usmjerenosti
pažnje na samo jedan aspekt stvarnosti. Mišljenje je predoperacionalno jer djeca ne
operiraju misaonim operacijama reverzibilnosti, analize, sinteze, apstrakcije i generali-
zacije. Zbog toga im je onemogućeno uočavanje nepromjenjivosti količine i odnosa u
promijenjenim perceptivnim uvjetima, kao i formiranje pojmova klasifikacijom po bitnom
svojstvu.
3. FAZA KONKRETIH OPERACIJA (od šeste-sedme do jedanaeste godine života).
Dijete usvaja mentalne operacije: reverzibilnost, uspoređivanje, apstrakciju, generaliza-
ciju, klasifikaciju. Započinje s misaonim operacijama, koje su ograničene na konkretne
situacije i pojmove, koji su bliski realnosti i koji su u realnost već doživljeni. Djeca klasi-
ficiraju i stvarju pojmove prema bitnom obilježju, uočavaju konstantnost odnosa i količi-
na (decentralizacijom s jednog svojstva), ali su u svemu tome ograničena na realnost,
prisutnu ili ranije doživljenu, operiraju konkretnim pojmovima, nesposobna su da se is-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
31
pravno služe apstraktnim pojmovima i mogućim hipotetskim situacijama, te nesposob-
na da zauzmu tuđe ili objektivno stanovište.
4. FAZA FORMALNIH OPERACIJA (od jedanaeste godine života pa dalje). Punu
zrelost dijete postiže u fazi formalnih operacija, kad u mišljenju ne operira samo s pred-
metima ili vizualnim zamjenama za predmete, nego operira simbolima koji zamjenjuju
predmete i akcije na predmetima. Radi se o fazi apstraktnog mišljenja, kada dijete po-
prima karakteristike zrelog mišljenja odrasla čovjeka. Sve misaone operacije mogu se
odvijati na konkretnoj, ali i na apstraktnoj razini: operira se apstraktnim pojmovima, hi-
potetskim tvrdnjama, otkrivaju se odnosi i implikacije koje nastaju iz međusobne veze
tih tvrdnji.12
O razvoju matematičke darovitosti, mnoštvo korisnih informacija i podataka, te
gotovo potpunu sliku tijeka razvoja darovitosti na području matematike, pružila su istra-
živanja Blooma (1982). Istraživanjem je bilo obuhvaćeno i 25 darovitih matematičara.
Čudina-Obradović (1991: 146) navodi da su Bloomove analize pokazale kako su svi
"roditelji budućih uspješnih matematičara najviše pomagali u razvoju ove djece upravo
tražeći najpodesnije odgovore na njihova pitanja", što je često zahtijevalo njihovo veliko
angažiranje u pronalaženju podataka u literaturi.
I dok Drašković (1998) navodi da se već u djetinjstvu mogu uočiti dvije osobitosti
koje darovito dijete razlikuje od ostale djece – riječ je o tome da darovita djeca postav-
ljaju svrhovita pitanja i da su usamljena i sanjare, Dejić sa sur. (2009) ističe da rezultati

12 Proučavajući složene oblike apstraktnog mišljenja, istraživači su (Bujas, prema: Petz
1983; Gowan 1980; Arlin 1975) spoznali u čemu se sastoje složeniji i savršeniji oblici logičko-
matematičke sposobnosti. Pritom se kao najviši oblik mišljenja smatra ono pomoću kojeg se uo-
čava novi problem. Osjetljivost na probleme, uočavanje "u čemu je problem", pronalaženje no-
vih gledanja na problem, smatra se najvišim oblikom misaone djelatnosti. Bio bi to peti, najsavr-
šeniji stupanj razvoja misaone sposobnosti.
Shvaćanja o produženom razvoju logičko-matematičkih sposobnosti, koja su proizašla iz
istraživanja ovih procesa na uzrastima starijima od onih kojima se bavio Piaget, važna su za ra-
zumijevanje darovitosti u ovome području. Zato se, na temelju iznesenih istraživanja o misao-
nom funkcioniranju u adolescenciji i kasnijoj adolescenciji može konstruirati pretpostavljena pro-
dužena Piagetova shema razvoja.
Produžena shema logičko-matematičkih sposobnosti bila bi sljedećeg oblika:
1. senzomotorna faza (motorno mišljenje),
2. predoperaciona faza (perceptivno mišljenje)
3. faza konkretnih operacija (konkretno mišljenje),
4. faza formalnih operacija (apstraktno mišljenje),
5. uočavanje odnosa drugog reda (mišljenje u analogijama),
6. uočavanje odnosa trećeg reda (mišljenje u sustavima),
7. uočavanje odnosa četvrtog reda (metasustavno mišljenje),
8. sposobnost pronalaženja problema.
Prema opisanoj razvojnoj shemi pravo se apstraktno mišljenje kod djece ne može očeki-
vati prije njihove jedanaeste odnosno dvanaeste godine života, a više oblike ne prije adolescen-
tne dobi.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
32
nekih istraživanja (Bloom 1982) kazuju da se matematička darovitost može uočiti u
dvjema fazama: neke se osobitosti primjećuju već u djetinjstvu, prije polaska u školu,
dakle prije šeste-sedme godine djetetova života, a neke, drugačije, u adolescenciji.
Vezano uz rečeno sva djeca već od treće godine života počinju s postavljanjem
mnoštvo pitanja o svemu što ih okružuje. Pitanja što ih postavljaju matematički darovita
djeca suvisla su, pamte odgovore, primjenjuju ih u drugoj, novoj situaciji i često su ne-
zadovoljna ako je dobiveni odgovor površan i nejasan. Druga osobitost ove djece jest
sposobnost i potreba da duga razdoblja provode sama. U prvom trenutku obično je ri-
ječ o usamljenoj igri, a kasnije samostalna aktivnost "istraživanja" i čitanja. Sljedeća
osobitost ove djece je sanjarenje otvorenih očiju, pa zbog toga vrlo često izbjegavaju
društvo druge djece i/ili odraslih, i imaju potrebu da se izdvoje iz društva. Ova sposob-
nost razmišljanja i zamišljanja je specifična osobitost koju matematički daroviti posebno
razvijaju. Oni su od najranijeg djetinjstva skloni da razmišljaju o opaženom, da zamiš-
ljaju i traže odgovore i od drugih i iz vlastitog zapažanja i eksperimentiranja. Ovu spo-
sobnost matematički darovita djeca koriste i kasnije u zreloj dobi, jer se veliki dio njiho-
vog rada odvija u glavi, a tek kada dođu do rješenja posežu za olovkom i papirom (De-
jić i sur. 2009).
Mada je u prvoj fazi razvoja dijete inhibirano, mirnih i kontroliranih vanjskih reak-
cija, odlikuju ga dugotrajna pažnja, duga samostalna aktivnost i vrlo živa unutarnja ak-
tivnost – zapažanje vanjske situacije, odnosa, neravnoteže i manjkavosti u odnosima
stvari i pojava oko njega (Dejić i sur. 2009).
U adolescenciji matematički daroviti pojedinci, osim visoke sposobnosti za mate-
matiku, pokazuju i sklonost ka samostalnom učenju. Karakteristično je da najveći dio
znanja stječu samostalnim učenjem iz knjiga i opažanjem drugih. Oni vole biti u blizini
poznatih stručnjaka iz područja svoga interesa, promatrajući ih dok rade i pritom su
stručnjaci za njih važan izvor informacija i znanja. Daroviti zapažaju strategije kojima se
stručnjaci služe pri rješavanju određenog (problemskog) zadatka, imitiraju te strategije i
njihove postupke, tehnike i organizaciju rada. U toj dobi – dobi adolescencije – dolazi i
do promjene u socijalnom ponašanju: više se ne usamljuju i nisu socijalno izolirani; sa-
da se naročito dobro snalaze i napreduju u društvu sebi sličnih.
U razvoju matematičke darovitosti mogu se uočiti tri razdoblja. Samo u srednjem
razdoblju, koje se nalazi između adolescencije i zrelosti, nailazimo na sposobnost pro-
nalaženja i postavljanja problema i visok stupanj uviđanja odnosa između sustava ide-
ja. Ovo je razdoblje najproduktivnije razdoblje znanstvenog mišljenja matematički daro-
vitog pojedinca. U djetinjstvu, mada je prisutna znatiželja i osjetljivost za probleme, di-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
33
jete još uvijek ne operira misaonim operacijama i znanjima pomoću kojih bi te probleme
mogli jasno definirati i tražiti odgovore (Dejić i sur. 2009).
Na razini školskog uzrasta, tipični znaci matematičke darovitosti učenika jesu:
– kreiranje novih riječi, simbola i crteža;
– traženje problema umjesto da čeka na njih;
– fantaziranje;
– u sučeljavanju s problemom ne zadržava se i ne insistira na detaljima, već "vi-
di" glavnu ideju;
– sklonost sistematiziranju i uopćavanju ideja;
– divljenje prema činjenicama i formulama (koje drugi učenici prihvaćaju kao ak-
siome ili teoreme), iz čega proizlaze zapitkivanja o razlozima i dokazivanju.
Stepanek (1999) kao pokazatelje matematičke darovitosti navodi sljedeće osobi-
ne: (1) neobična znatiželja za brojeve i matematičke informacije; (2) sposobnost brzog
razumijevanja i primjena idejâ; (3) visoka sposobnost uviđanja zavisnosti i pravila, te
sposobnost apstraktnog mišljenja; (4) uporaba fleksibilnih i kreativnih strategija i rješe-
nja; (5) sposobnost prijenosa matematičkih idejâ na nepoznate (problemske) situacije;
(6) upornost u rješavanju zahtjevnijih i kompleksnijih problemskih zadataka; (7) upora-
ba analitičkog, deduktivnog i induktivnog zaključivanja. Ovo se reflektira na razmišljanja
da učenici visokog stupnja darovitosti imaju visoku inteligenciju. Pritom valja ukazati da
rezultati testa inteligencije pokazuju veću razliku unutar skupine visoko darovitih negoli
kod učenika koji nisu osposobljeni za uspješno učenje kao i kod nekih visoko darovitih
učenika (Arslanagić 2001).
U skladu s iskazanom refleksijom da i unutar skupine darovitih učenika postoje
razlike u uspješnosti rješavanja problemskih (matematičkih) situacija, Krutetsky (1976)
razlikuje tri skupine matematički darovitih pojedinaca:
1. ANALITIČKI TIP odlikuje se matematički apstraktnom ulogom razuma. Kod da-
rovitih ovoga tipa prevladavaju dobro razvijene verbalno-logičke komponente u odnosu
na slabim vizualno-slikovnim komentarima. Lako funkcioniraju kada su u pitanju ap-
straktni modeli i kada razmišljaju o matematičkim relacijama nemaju potrebu za vizual-
nim osloncima. Teže uporabi kompliciranih analitičkih metoda u rješavanju problema,
pa čak i kada vizualni pristup nudi mnogo jednostavnija rješenja. Više vole i bolje se
snalaze u apstraktnim situacijama, pa kad god su u mogućnosti nastoje konkretne pro-
bleme prevesti u apstraktne forme. Mogu imati slabije razvijenu vizualnu sposobnost,
naročito za trodimenzionalni prostor. U školi obično više nadmašuju ostale učenike u
aritmetici i algebri nego u geometriji.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
34
2. GEOMETRIJSKI TIP darovitog učenika pokazuje matematičko-slikoviti način
razmišljanja, što je posljedica dobro razvijene vizualne komponente. Vizualna kompo-
nenta potiče ih da interpretiraju vizualno-matematičke odnose. Mada njihova verbalno-
logička sposobnost može biti značajno razvijena, oni će i dalje koristiti vizualne sheme,
čak i kada je za rješavanje problema prikladnije rabiti analitičko mišljenje. Ovi učenici
često bolje razumiju funkcionalne relacije i analitičke forme kad im se da vizualna inter-
pretacija.
3. HARMONIJSKI TIP darovitog učenika pokazuje relativnu ravnotežu između
ekstremnosti analitičkog i geometrijskog tipa učenika. Ovi učenici posjeduju dobro raz-
vijene i verbalno-logičke i vizualno-slikovite sposobnosti. To znači da pri suočenju s
problemom, oni su u stanju da do rješenja dođu na oba načina. Krutetsky smatra da
postoje dva podtipa harmonijskog tipa darovitosti: oni koji su skloni misaonim operaci-
jama bez uporabe vizualnih mogućnosti i oni koji su skloni misaonim operacijama sa
uporabom vizualnih mogućnosti.
Uvažavajući Krutetskyjevu podjelu darovitih učenika u tri skupine (analitička geo-
metrijska i harmonijska), Arsnalagić (2001) ukazuje i na sljedeće osobitosti matematički
darovitih učenika:
1.
oblikovana percepcija matematičkih sadržaja i sposobnosti shvaćanja formal-
ne strukture problema;
2.
logička sposobnost mišljenja o karakterističnim i prostornim odnosima te
sposobnost dobrog pronicanja u matematičke simbole;
3.
brza i široka generalizacija matematičkih objekata, relacija i operacija;
4.
skraćivanje matematičkih rasuđivanja i sposobnost pronicanja u sažete
strukture;
5.
fleksibilnost misaonih procesa;
6.
težnja ka jasnoći, jednostavnosti, ekonomičnosti, racionalnosti i raznovrsnos-
ti rješenja kao i poboljšanju dobivenih rezultata;
7.
brza i slobodna rekonstrukcija misaonog procesa kao i mogućnost promjene
smjera matematičkog rasuđivanja;
8.
generalizirana memorija za matematičke odnose, karakteristike, argumente,
dokaze, metode rješavanja i načela problemskog rješavanja;
9.
matematički način razmišljanja; i
10. energija i istrajnost u rješavanju problema.
Fox i Washington (1985) navode kako je najpoznatiji, ujedno i najstariji sustavni
program za razvijanje matematičke darovitosti onaj definiran i uveden od Juliana Stan-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
35
lya, poznat kao Model Hopkins13. Model Hopkins jedan je od najtemeljitijih planiranih
programa, uzima u obzir sve osobitosti matematički darovitih adolescenata i specifič-
nosti njihova razvoja: velika brzina napredovanja u području interesa, velika uspješnost
u samostalnom učenju iz literature, potreba za uspostavljanje socijalnih odnosa i komu-
nikacije u grupi vršnjaka istih interesa i sposobnosti, potreba za uspostavljanjem emo-
cionalnih odnosa, imitacije i identifikacije s mentorom/učiteljem. U taj su program bila
uključena djeca od dvanaest, trinaest godina (dakle, učenici sedmog razreda), koja su
na testu matematičkih sposobnosti14 polučivala vrlo visoke rezultata.
Iz rečenoga slijedi da je važno imati sustavni program za razvijanje matematičke
darovitosti, ali se uz to nameće pitanje kako blagovremeno prepoznati i identificirati dje-
cu darovitu za matematiku i usmjeriti ih u željenom pravcu? Veliku ulogu u ovome ima-
ju roditelji, odgojitelji, učitelji i škola koju učenici pohađaju. Pritom valja imati na umu da
sva djeca koja polučuju visoke rezultate na školskim testovima nisu i obvezno darovita.
Činjenica je da su školski testovi uglavnom usmjereni provjeriti vještine računanja, a ne
sposobnosti matematičkog mišljenja, te stoga treba biti vrlo pažljiv.
U identificiranju darovitih u matematičkom području uzimaju se u obzir i rezultati
na testovima kreativnosti, postignuća i sposobnosti. Testovima postignuća provjerava
se sposobnost računanja kod učenika, te njihove rezultate treba prihvatiti s dužnom
pažnjom. Učenici koji osvoje preko 95%15 od ukupnog broja bodova na ovim testovima
mogu posjedovati visoke matematičke sposobnosti. Međutim, ovo ipak ne znači da me-
đu onim učenicima s manjim ostvarenim postotkom bodova nema stvarno darovitih,

13 Model Hopkins sastoji se od dva programa – program za ubrzano poučavanje i pro-
gram za samostalan rad učenika. Prvi program, program za ubrzano poučavanje, odvija se u
razredima matematički darovitih učenika, koji se sastaju jednom tjedno, obično subotom, i rade
tri sata. Glavni predavač – učitelj, koji vodi razred ubrzano kroz program određenog fakultetskog
(matematičkog) kolegija. Glavni način rada jesu trosatna predavanja i veliki broj zadataka za do-
maći rad, tako da intenzivnim samostalnim radom prorađuju ono o čemu su slušali na predava-
njima. Iako ukupni fond sati predavanja nije velik, na ovaj se način obrađuje vrlo veliki sadržaji,
pa se dvije godine fakultetskog (matematičkog) programa svladaju u jednoj godini ovakvog ra-
da.
Drugi program, program za samostalni rad učenika, organiziran po mentorskom sustavu,
u intenzivnim ljetnim tečajevima. Osnova ovoga programa je dijagnostičko testiranje – propisa-
na instrukcija (DT-PI), što znači da se svakom učeniku pojedinačno propisuje individualan pro-
gram napredovanja i to na temelju testom utvrđenih znanja i manjkavosti u znanju matematike.
Rezultati Modela Hopkins redovito se prate. Praćenje učenika koji su završili ovaj pro-
gram pokazuje uspjeh uglavnom u dva aspekta – mnogi polaznici upisuju se na fakultet prije ne-
go što bi to mogli redovitim školovanjem, a oni koji su fakultet upisali u redovnom roku pokazuju
velik uspjeh i brzo napredovanje.
Iako je Model Hopkins u stvari primjer programa akceleracije, praćenje učenika nije po-
kazalo negativne posljedice u obliku socijalne ili emocionalne neprilagođenosti što se obično ve-
zuje uz akceleraciju.
14 Ovaj se test inače primjenjuje za ispitivanje matematičkih sposobnosti pri prijemu (i upi-
su) na fakultete i vrlo je zahtjevan za trinaest godišnjake.
15 Prema nacionalnoj normi u Sjedinjenim Američkim Državama.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
36
već da u postupku identificiranja tih učenika valja uzeti u obzir i neke druge činjenice.
Testovi sposobnosti su mnogo korisniji u procesu identificiranja, jer je njihov naglasak
na sposobnosti matematičkog mišljenja, a ne vještinu računanja.
Budući da precizno i učinkovito identificiranje matematički darovitog učenika nije
jednostavno ni lako, s pravom se postavlja pitanje: Koji sustavni postupci se s uspje-
hom mogu koristiti u identifikaciji matematički darovitih pojedinaca? Više je načina da
se ovo učini! Neki uobičajeni postupci uspješne identifikacije koji se uglavnom provode
u školskom obrazovanju, kombiniraju se u sljedećem modelu, koji je prilično fleksibilan
u primjeni kako bi omogućio da se matematički darovitim učenicima pruži svaka šansa
da budu otkriveni.
U spomenutom modelu16 se za svakog potencijalno darovitog učenika sačinjava
identifikacijska ček-lista u kojoj se upisuju rezultati na testovima postignuća, sposob-
nosti i kreativnosti, te komentari roditelja i učitelja. Uzima se u obzir i činjenica pokazuje
li učenik povećani interes za matematiku. Nakon uspoređivanja svih ovih informacija vr-
ši se odabir učenika kojima se, uz suglasnost roditelja, daje test postignuća sa sadržaji-
ma koja se uče u višim razredima. Učenik je primoran da sam pronalazi putove rješa-
vanja, koristeći pritom neke nove koje do tada nije učio niti u radu susretao. Zbog za-
htjevnosti zadataka, ovi testovi i za najsposobnije učenike predstavljaju izazov, pruža-
jući mogućnost izdvajanja onih stvarno darovitih od onih koji su jednostavno samo jako
dobri u matematici. Rezultati dobiveni na ovome testu uspoređuju se s identifikacijskom
ček-listom, i u većini slučajeva ukazuju na razinu matematičke darovitosti. Oni pojedinci
koji ostvare preko 74% bodova nalaze se među 1% populacije koja posjeduje visoke
matematičke sposobnosti, dok se oni sa preko 64% osvojenih bodova nalaze među 3%
populacije. Učenici iz ove druge skupine identificiraju se kao matematički daroviti.
Budući da se najveći dio fonda nastavnih sati predviđenih za matematiku "troši"
na rješavanju matematičkih zadataka, navodimo neka karakteristična pitanja vezana uz
te zadatke, a koja će biti od koristi i omogućiti učitelju da identificira dijete darovito u
području matematike. Bez pretenzije na potpunost i konačnost, navodimo listu pitanja
(koja se može proširivati s nizom drugih pitanja):
Je li učenik zadatak riješio na više načina?
Je li uporabio novo pravilo i/ili novi zakon?
Je li koristio nove oznake?
Je li uočio nemoguće slučajeve?
Je li predvidio sve moguće slučajeve?

16 Ovaj se model već gotovo 20 godina uspješno koristi u identificiranju i otkrivanju mate-
matički darovitih učenika, i u ostvarivanju matematičkih programa u osnovnim i srednjim ško-
lama u Sjedinjenim Američkim Državama.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
37
Kako koristi misaone operacije?
Na koji način provjerava dobiveni rezultat, umije li formulirati inverzni zadatak?
Rješava li zadatke primjenom analitičke metode?
Kako rješava nestandardne zadatke?
Popunjava li praznine u znanju, koje je uočio pri rješavanju matematičkih proble-
ma, samostalno?
Traži li, pri rješavanju zadataka, pomoć?
Je li uporan u rješavanju zadataka?
Koristi li olakšice pri rješavanju zadataka?
Daje li nestandardna rješenja?
Koliko brzo rješava zadatke?
Pokazuje li izrazitu želju da prvi riješi postavljeni zadatak?
Primjenjuje li ranije usvojena znanja, koja mu pomažu da odstupi od šablonskog
rješavanja zadatka?
Koristi li široku lepezu ideja usvojenih u ranijim rješavanjima zadataka?
Kolika je trajnost znanja, može li u odloženom vremenu riješiti isti ili sličan zada-
tak?
Umije li, za osobne potrebe i primjene, transformirati znanja stečena u školi?
Koliko uopćava i primjenjuje rezultate zadatka, umije li naći slično u različitom?
Može li sam postavljati (formulirati) probleme?
Ima li izraženu dosjetljivost pri rješavanju zadataka?
Ima li osjećaj zadovoljstva pri rješavanju zahtjevnijih zadataka?
Umije li koristiti crteže i modele?
Traži li potrebne informacije u zbirkama i knjigama da bi riješio zadatak?
Umije li naći kontra primjer?
Kako primjenjuje poznate algoritme u konkretnoj situaciji?
Dovodi li do kraja zamišljeni plan rješenja?
Uočava li nove odnose?
Umije li izdvojiti bitne od nebitnih elemenata u zadatku?
Shvaća li zadatak brzo i postavlja li plan za rješavanje?
Nastoji li biti racionalan pri rješavanju zadataka?
Ima li izraženu ljubav prema rješavanju zahtjevnijih i nestandardnih zadataka?
Pruža li otpor prema rješavanju rutinskih zadataka?
Navedena lista pitanja nije konačna, zatvorena već se može proširivati i drugim
pitanjima, i ona (lista pitanja – ovakva ili proširena) može u velikoj mjeri doprinijeti pre-
poznavanju i identifikaciji darovitih pojedinaca za matematiku.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
38
Pri davanju odgovora na navedena pitanja, valja imati na umu da su i daroviti
učenici među sobom različiti. Neki će daroviti pojedinac brže, a drugi sporije rješavati
postavljeni zadatak, nečija će znanja biti trajnija, nečija rješenja sažetija itd. Ako je od-
govor na većinu pitanja pozitivan (potvrdan), u dužem periodu praćenja rada, učitelj je
uspio identificirati potencijalno darovitog učenika za matematiku.
Daljnje procjene valja provoditi sa stručnjacima na polju prepoznavanja i identifi-
kacije darovitih – s psihologom i pedagogom. To znači da svako daljnje angažiranje
učitelja (primarnog obrazovanja) glede darovitosti i rada s darovitim učenicima valja
provoditi uz obavezno sudjelovanje stručnjaka s područja otkrivanja i identifikaciju da-
rovitih. Dakle, daroviti učenici moraju biti pod konstantnom paskom učitelja i stručnjaka
kako bi uspješno napredovali u području svoje darovitosti.

– o 0 o –

Učenici na satu nastave matematike najčešće rade individualno. Ovaj oblik rada
podrazumijeva samostalan rada učenika u rješavanju istih zadataka u okviru istog nas-
tavnog vremena i istog nastavnog sadržaja. Zadaci istog sadržaja, drugačije formulira-
ni, pored samostalnog stjecanja znanja i vještina, učenici u individualiziranoj nastavi
mogu razviti svoje stvaralačke sposobnosti, inicijativu i samostalnosti. Drugačije formu-
liran zadatak bit će od velike koristi pri prepoznavanju matematičkih sposobnosti.
Učenici u primarnom obrazovanju individualno rješavaju jednadžbe oblika

i dolaze do algoritma rješavanja jednadžbi oblika
a + x = b,     c – x = d.
Međutim, da bi učenici, pored samostalnog stjecanja znanja i vještina, individuali-
ziranom nastavom razvili stvaralačke sposobnosti, inicijativu i samostalnost, potrebno
je zadatak formulirati drugačije. Može se to učiniti na sljedeći način:
Sastavite jednadžbe s brojevima 2, 3, 5, 7 i 9 i zatim ih riješite.
Sada svaki učenik samostalno postavlja jednadžbe oblika
2 + x = 7,     3 + x = 9,     7 – x = 5,     9 – x = 3, ….
Slabiji učenici postavit će možda jednu ili dvije jednadžbe, dok će bolji učenici
postaviti više jednadžbi. Ovdje će se, na najbolji način, iskazati individualne sposob-
nosti svakog učenika. Rješavanjem postavljenih zadataka, zahtijevaju se stvaralačke
sposobnosti, koje su na ovaj način i razvijaju. Pritom nije dovoljno da učenici samo rije-
še postavljene jednadžbe, već moraju znati i uzajamne veze između komponenti i re-
zultata operacije. Naime, moraju znati da jednadžbe oblika
8 + x = 4,
3 +         =5,     9 –         = 6
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
39
u skupu prirodnih brojeva „nema rješenja“ i trebali bi znati zašto: Dodamo li broju 8 ma
koji prirodan broj, nikako se kao zbroj (rezultat) ne može dobiti 4.
Ovakvim načinom rada svi učenici radili su isti zadatak, ali je način rada svakog
učenika individualiziran. Pritom je, rješavajući zadatak, svaki učenik došao do razine
svojih sposobnosti. Što će zapravo učitelju zasigurno pomo-
ći u prepoznavanju sposobnosti svakog učenika pa i onog
darovitog za matematiku.
Navodimo primjer zadata geometrijskog sadržaja. Radi
se o opsegu trokuta.
Zada li se učenicima da odrede opseg trokuta prema
podacima sa slike, oni će to vrlo lako učiniti, pa i onda kada nisu u cijelosti usvojili po-
jam opsega. Ovo nam neće dati potpunu sliku o njihovom znanju, a o sposobnosti da i
ne govorimo.
Međutim, zada li se svim učenicima zadatak formuliran na sljedeći način: Nacrtaj-
te sve trokute kojima je opseg 9 cm, tada pored znanja do izražaja dolaze i individualne
sposobnosti, inicijativa i samostalnost. Svaki učenik, u skladu sa svojim sposobnosti-
ma, lako će naći trojke brojeva kojih je zbroj 9 i zatim pokušati nacrtati trokute. Neki će
učenici naći jednu trojku brojeva, neki drugi dvije-tri, a neki sve trojke brojeva – ukupno
je 15 mogućnosti. Najsposobniji će učenici crtajući uočiti da je trokut moguće nacrtati
samo ako najdulja stranica – u razmatranom slučaju – nije dulja od 4 cm i ako je zbroj
duljina svake dvije stranice veći od duljine treće stranice (nejednakost trokuta).
Nalaženjem svih mogućih trojki brojeva kod učenika razvija kombinatorno mišlje-
nje. Rješavajući postavljeni zadatak, najsposobniji će učenici zasigurno doći do vrlo
važnog svojstva trokuta: Zbroj duljina svake dvije stranice trokuta veći je od duljine
treće stranice, tj. vrijedi:
a + b > c   i   a + c > b   i   b + c > a.

2 cm
3 cm
4 cm
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
40

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
41
2 TEORIJSKI PRAVCI O DAROVITOSTI I NJIHOV UTJECAJ
 NA OBLIKE POTICANJA DAROVITIH POJEDINACA

Između osamdesetih i devedesetih godina prošloga stoljeća provedena su mno-
ga istraživanja kojima je podržan koncept višestrukih komponenti inteligencije. Tako
Renzulli (2002) predstavlja svoju troprstenastu koncepciju darovitosti, Sternberg (1981)
izlaže svoju triarhičnu teoriju inteligencije sa kategorijama analitičke, kreativne i prak-
tične inteligencije17, dok Gardner (1993) na inteligenciju gleda kao na sposobnost rje-
šavanja problemskih situacija (zadataka) ili stvaranja produkata koji su vrijedni unutar
jednog ili više područja.

2.1 Renzulli-Reisova troprstenasta definicija darovitosti

Novije definicije i shvaćanja darovitosti kazuju da darovitost nije samo sposob-
nost brzog i kvalitetnog prikupljanja informacija (podataka) i reprodukcija usvojena zna-
nja, već je ona uporaba znanja u produkciji, ali takvoj koja donosi nešto novo, original-
no, koja dovodi do spoznaja koje obogaćuju i/ili mijenjaju poimanje čovjeka, umjetnosti,
sporta, prirode. Takva produktivno-kreativna darovitost rezultat je niza osobitosti i po-
našanja darovitog pojedinca. Ove mnogobrojne činitelje popisali su Renzulli i Reis
(1985), svrstavši ih u tri grupe, koje se poput tri prstena (odavde i naziv troprstenasta)
međusobno prožimaju i dopunjuju, utječući pritom jedan na drugi. Njihova je zajednička
rezultanta darovito ponašanje – stvaralaštvo.
Renzulli i Reis (1985) ističu da se darovito ponašanje sastoji od ponašanja koja
odražavaju interakciju triju osnovnih skupina ljudskih osobina: (1) iznad prosječne opće
i/ili specifične sposobnosti, (2) velike predanosti zadatku i (3) velikog stupnja kreativ-
nosti. Pojedinci koji imaju mogućnosti da iskazuju darovito ponašanje jesu oni koji ima-
ju ili mogu razviti ovu kombinaciju osobina i primijeniti je u nekom vrijednom području
ljudske aktivnosti. Ovaj odnos između triju skupina osobina Renzulli i Reis prikazali su
shematski na način kako je to dano na slici 3.
Danas je općeprihvaćen stav da je za svako kreativno ponašanje potrebno sudje-
lovanje i interakcija sva tri navedena činitelja. Međutim, dobro poznavanje svakog od tri
prstena pruža nam vrlo složenu sliku njihova razvoja, važnosti i međusobnog odnosa i
prožimanja. Najprije, jasno je da čitav niz osobitosti pojedinca i njegova okruženja uvje-
tuje njihovo javljanje, međusobni utjecaj i razvoj (Renzulli i Reis 1985). Nadalje, tri pr-
stena nisu jednake stalnosti. Najmanje su promjenama podložne sposobnosti, dok su

17 Sternberg je zajedno s Davidsonom (1985) predstavio šesnaest različitih pogleda na
prirodnu darovitost.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
42
kreativnost, a posebno motivacija, činitelji koji se mijenjaju tijekom vremena. Stoga, u
najranijoj fazi, u fazi potencijalne darovitosti nije opravdano, prilikom identifikacije daro-
vitosti, tražiti prisutnost sva tri činitelja. I treće, važnost svakog od tri prstena za nasta-
nak kreativnog doprinosa nije moguće odrediti. Može se, naime, dogoditi da su oni u
zamjenskim odnosima, što znači da se, na primjer, sposobnosti velikim zalaganjem
mogu u određenim granicama zamijeniti i – kao posljedica toga – dovesti do toga da se
sposobnosti poboljšaju. Međutim, zamjenske mogućnosti su ograničene. Pritom je pri-
sutnost visokog stupnja sva tri činitelja neophodan preduvjet manifestiranja darovitosti.

Slika 3. Shematski prikaz troprstenaste definicije darovitosti

(Renzulli i Reis 1985; prema: Čudina-Obradović 1991)

U dječjoj dobi je, prema suvremenom shvaćanju kreativnosti, moguće primijetiti
tek neke elemente kreativnosti, tj. stvaralačkih vještina, a prava će se kreativnost razviti
kao posljedica dugotrajnog i ozbiljnog bavljenja aktivnošću iz područja darovitosti. Nai-
me, kod neke djece bit će prisutni znakovi velike sposobnosti kombinirane s kreativnoš-
ću i velikom motivacijom, dok će se kod većine darovite djece moći primijetiti i identifici-
rati visoke sposobnosti, a motivacija će se razvijati postepeno, pri čemu su od poseb-
nog značaja činitelji okruženja (Čudina-Obradović 1991).
„Udio tri skupine činitelja različit je u različitim razvojnim fazama stvaralaštva. Na
najvišoj razini stvaralaštva su najvjerojatnije sposobnosti, motivacija i kreativnost tako
čvrsto međusobno isprepleteni da ih nije moguće niti zasebno analizirati.“ (Čudina-Ob-
radović 1991: 21).
Može se zaključiti da Renzulli-Reisov troprstenasti model darovitosti predstavlja
kvalitetnu teorijsku osnovu na kojoj se nadograđuju empirijske projekcije i strategije
razvoja darovitosti, nudeći pritom kompleksan i multičiniteljski spektar koji podržava da-
rovite u polučivanju izuzetnih postignuća u jednom ili više područja ljudske djelatnosti.
Shvaćanje da darovitost predstavlja sklop triju temeljnih osobina – visoka intelektualna
primjenjuje
se za
specifična
područja
aktivnosti
iznad
prosječna
sposobnost
kreativnost
motivacija
(predanost
zadatku)
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
43
sposobnost, kreativnost i motivacija – smjernice su u kreiranju suvremenih nastavnih
strategija učenja i poučavanja.

2.2 Sternbergova teorija intelektualnog funkcioniranja

Analizirajući intelektualno funkcioniranje čovjeka i polazeći od činjenice da poje-
dinci koji u testu inteligencije polučuju visoke rezultate i koji su u školi vrlo uspješni,
Sternberg (1981) ističe da u realnim životnim situacijama nisu jednako tako učinkoviti.
Stoga zaključuje da su za uspjeh u školi i uspjeh u životu potrebne različite vrste inteli-
gencije i mišljenja je da valja razlikovati barem tri tipa inteligencije. Pritom razlikuje:
(1) komponencijalni tip inteligencije,
(2) iskustveni tip inteligencije i
(3) situacijski (kontekstualni) tip inteligencije (Sternberger 1981)
KOMPONENCIJALNI TIP INTELIGENCIJE dolazi do izražaja u problemskim situaci-
jama u kojima se zahtjeva analitičko (konvergentno) mišljenje, tj. u zadacima gdje treba
pronaći jedno točno rješenje. Ovaj tip inteligencije najbliži je klasičnom, tradicionalnom
shvaćanju intelektualnih sposobnosti.
Analizirajući kako pojedinac dolazi do rješenja problema Sternberg uočava slje-
dećih pet osnovnih procesa obrade podataka: (1) primanje podataka, (2) spremanje (u
memoriju) i pozivanje podataka (iz memorije), (3) prijenos podataka iz jednog područja
u drugo, (4) misaono operiranje podacima i (5) metaspoznaja. Pritom, osnovne jedinice
ovih procesa on naziva komponentama. Značajna novost u odnosu na Guilfordovu teo-
riju o strukturi intelekta18 je u tome što Sternberg glavni naglasak stavlja na ulogu meta-
spoznajnih procesa – metakomponente. Rješavanje problema usmjerena je, planirana i
kontrolirana obrada informacija, pri čemu središnje mjesto u tom procesu pripada me-
takomponentama: procesi neprekidnog unutarnjeg praćenja tijeka rješavanja problema
(Sternberg 1981).
Jednostavnosti radi predočenja velikog broja elemenata kojima Sternberg objaš-
njava proces rješavanja problemskih situacija, različite komponente i njihove međuod-
nose shematski prikazujemo na način kako je to dano na slici 4.

18 Podjelu na pojedine faze obrade susrećemo i kod Guilforda, koji, u svojoj Teoriji o
strukturi intelekta (SOI), definiranoj 1956., a modificiranoj 1967. godine, model intelektualnog
funkcioniranja shvaća kao proces obrade podataka.
Po SOI shvaćanju ljudska se inteligencija sastoji od 120 sposobnosti ili funkcija od kojih
je svaka 'zadužena' za obradu određene vrste informacija. Tih 120 osnovnih intelektualnih pro-
cesa proizlazi iz pet vrsta mentalnih operacija koje se primjenjuju na četiri vrste sadržaja, tj. ma-
terijala i mogu rezultirati u šest vrsta produkata (5 × 4 × 6 = 120).
Promatranje ljudskog intelekta na ovakav način, tj. kao da se on sastoji od 120 osnovnih
sposobnosti ili funkcija, ima teorijske i praktične prednosti: ono daje sliku cjelovitosti inteligencije
– u svakoj mentalnoj radnji sudjeluje čitava svijest, ali samo s pojedinim aspektima, što je ovis-
no o zadatku.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
44
Slika 4. Mentalno funkcioniranje prema teoriji Sternberga

(modificirano prema: Obradović-Čudina 1991)

Sternberg, proces rješavanja problema, opisuje na sljedeći način:
„Prvo, komponente stjecanja znanja osiguravaju nastanak baze znanja. Drugo,
metakomponente provjeravaju učinkovitost kako onih komponenti za stjecanje znanja
tako i onih vezanih uz ponašanja (operiranje znanjem), i pružaju podatke o tome. Ovaj
sustav omogućuje pojedincu da upotrijebi komponente kako bi učio na osnovi osobnih
pogrešaka, da uključi ove podatke u buduće ponašanje. Treće, povratna informacija iz
komponenti stjecanja znanja u metakomponente omogućuje pojedincu da korigira i po-
boljša svoj rezultat.“ (Sternberg 1981: 51). Prema tome, kvalitetno rješavanje problem-
skih situacija (zadataka) slijedi iz kvalitetne baze znanja i razvijenog sustava metakom-
ponenti koje potpomažu brzu i fleksibilnu uporabu toga znanja. Kako se razvija, širi i
produbljuje baza znanja, povećava se i količina metakomponenti, što utječe na daljnje
proširivanje baze znanja.
Iz rečenog slijedi da je za kvalitetno intelektualno funkcioniranje potrebna široka i
produbljena baza znanja „koja nastaje tijekom nebrojnih sati interakcije s materijalom iz
PONAŠANJE
Građa i
fiziološko
funkcioniranje
mozga
MENTALNO FUNKCIONIRANJE
(obrada podataka)
BAZA ZNANJA
KOMPONENTE
STJECANJA
ZNANJA
METAKOMPONENTE
RJEŠAVANJE PROBLEMA
KOMPONENTE
OPERIRANJA
PODACIMA
VJEŠTINE
POTREBNE ZA:
- stjecanje novih
 informacija
- dozivanje
 informacija iz
 pamćenja
- generalizacija
 informacija iz
 jedne situacije u
 drugu
KONTROLNI PROCESI
(planiranje i odlučivanje)
- odlučivanje o biti
 problema
- izbor postupaka
- izbor vizualnog,
 verbalnog, spacijalnog i
 reprezentiranje podataka
- raspoređivanje snaga na
 različite elemente
 problema
- kontrola uspješnosti

METAMEMORIJA

PROCESI RJEŠAVANJA
PROBLEMA
- razumijevanje
- uočavanje odnosa
 elemenata
- usporedba odnosa
 unutar dva područja
- primjena uočenoga
 za predviđanje
- usporedba različitih
 predviđanja
- provjera
održivosti
 odabrane pretpostavke
- formuliranje rješenja
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
45
određenog područja znanja, što dovodi i do razvoja vještina stjecanja znanja“ (Stern-
berg 1981: 90).
ISKUSTVENI TIP INTELIGENCIJE najbliži je klasičnom, tradicionalnom shvaćanju
kreativnog mišljenja. Ova je vrsta inteligencije karakteristična za darovite, odnosno za
stvaraoce.
Ovaj tip inteligencije ne dolazi do izražaja u zadacima u kojima treba odrediti (na-
ći) jedno točno rješenje, već kod onih zadataka u kojima se zahtijeva uvid u problem.
Uvid u problem moguće je postići primjenom sljedeća tri mentalna postupka:
(1) selektivno uočavanje: proizlazi iz mogućnosti pojedinca da se usredotoči na
kritične informacije, bitne podatke, pri čemu u informaciji zanemaruje detalje koji za
razmatrani problem nisu bitni;
(2) selektivno kombiniranje: proizlazi iz mogućnosti pojedinca da povezuje uoče-
ne bitne informacije u novu suvislu cjelinu;
(3) selektivna usporedba: predstavlja mogućnost povezivanja dobivene cjeline s
prijašnjim iskustvom: ili se nova cjelina „uviđa“ kao nešto već od prije postojeće ili se
neka prijašnja cjelina „uviđa“ na nov, analogan i metaforan način.
Iskustveni tip inteligencije naročito je karakterističan za darovite koji su vješti u
polučivanju uvida u problem – bolje uočavaju bitne elemente problema i elastičniji su u
korištenju prijašnjeg iskustva (Sternberg 1981).
SITUACIJSKI TIP INTELIGENCIJE poznat je i pod nazivom kontekstualna inteli-
gencija. Ovaj tip inteligencije najbliži je pojmu „praktične inteligencije“, i pojedincu omo-
gućuje da rješava probleme u različitim životnim situacijama u kojima se ne može oslo-
niti na znanje „iz knjige“.
Praktična inteligencija pretpostavlja određeno „implicitno znanje“ koje proizlazi iz
vlastitog iskustva stečenog u situaciji u kojoj se to znanje očekuje, ali ga nitko ne pou-
čava, nije propisano, zadano niti popisano.
Drugi oblik implicitnog znanja jeste korištenje iskustva za uviđanje koje se vlastite
sposobnosti mogu najbolje iskoristiti, a koje nedostatke valja nadoknaditi da bi se os-
tvario maksimum iz određene situacije.
Uporaba sva tri tipa inteligencije omogućuje pojedincu da različite komponente
misaonog funkcioniranja – komponencijalna inteligencija – poveže sa svojim dosadaš-
njim iskustvom – iskustvena inteligencija – i uporabi ove rezultate da bi se snašao u
praktičnim zadacima izbora ili mijenjanja situacije – isituacijska inteligencija. Maksimal-
no funkcioniranje sva tri tipa inteligencije najvjerojatnije možemo naći samo kod genijal-
nih stvaratelja, koji imaju analitičku snagu mišljenja, sposobnosti stvaranja novoga i
osjetljivost za stvarne potrebe života (Sternberg 1981).
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
46
Sternberg (1985, 1998) raspravljajući o problemu darovitih, ukazuje da je intelek-
tualna izuzetnost kompleksan i višedimenzionalan konstrukt koji se može proučavati s
više stanovišta:
– u odnosu na sustav: mentalni mehanizmi koji određuju razine posebne inteli-
gencije;
– sa stanovišta iskustva: sposobnosti da rješavaju pitanja elemenata novine, da
se oblikuju mehanizmi za preradu informacija;
– sa tekstualnog, praktičnog stajališta: sposobnost se prilagođava, mijenja i bira
okolinu.

Slika 5. Karakteristike intelektualnog funkcioniranja darovitog pojedinca

(prema teoriji Sternberga), (prema: Obradović-Čudina 1991)

Na osnovu ovakvoga Sternbergovog shvaćanja mogu se izdvojiti tri manifestna
oblika inteligencije – analitička, sintetička i praktična. Pritom, svaki od ovih oblika zah-
tjeva posebne i specifične metodološke postupke za analizu i mjerenje19, pri čemu je za

19 Ovdje mislimo na: (1) postupak rješavanja problemskih zadataka, sličnih onima koji se
koriste u tradicionalnim testovima inteligencije (analitička inteligencija), zatim (2) postupak sna-
laženja u novim i neobičnim situacijama (sintetička inteligencija) i najzad (3) postupak prilago-
đavanja svakodnevnim životnim situacijama, uz korištenje postojećih znanja i vještina (praktična
inteligencija).
VANJSKO
PONAŠANJE
VEĆE
ZNANJE
VEĆI
RJEČNIK
BRZO
UČENJE
BOLJE
PAMĆENJE
MENTALNI
PROCESI
GRAĐA
MOZGA
METAMEMORIJA
BOLJI REZULTATI
U TESTU
- brže rješavanje
- bolje rješavanje
- fleksibilnije rješavanje
KOMPONENTE
STJECANJA
ZNANJA
BAZA ZNANJA
METAKOMPONENTE
KOMPONENTE
OPERIRANJA
PODACIMA
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
47
analizu složenosti intelektualne izuzetnosti i posebnosti neophodan širi koncept, pa – u
okviru ovog zadatka – postavlja i predlaže koncept inteligencije uspjeha.
Sternbergova teorija intelektualnog funkcioniranja mnogo više od bilo koje prijaš-
nje teorije objašnjava misaone procese i osobitosti darovitog pojedinca. Eksperimental-
nim provjerama nekih postavki Sternbergove teorije spoznalo se da se daroviti razlikuju
od nedarovitih u boljoj uporabi metakomponenti (Sternberg i Davidson 1985). Istraživa-
njem uloge i važnosti baze znanja i metakomponenti utvrđeno je da je baza znanja bit-
na za specifične strategije ponašanja koje su važne u određenom području znanja i
vještine, dok metakomponente omogućuju kvalitetne opće strategije.
Polazeći od Sternbergovih pretpostavki i određenih provjera njegove teorije mo-
guće je sačiniti shemu intelektualnog funkcioniranja darovitog pojedinca na način kako
je to prikazano na slici 5.
Sternberg i Davidson (1986) navode sljedeće karakteristike intelektualnog funk-
cioniranja darovitih:
(1) Visok stupanj opće inteligencije i naročito visok stupanj neke specifične spo-
sobnosti – Bez obzira na područje, daroviti pokazuju visoku razinu razvijenosti opće in-
telektualne sposobnosti, ali polučuju još bolje rezultate u sposobnostima koje su speci-
fične za njihovo područje aktivnosti.
(2) Visokorazvijena sposobnost uočavanja odnosa – Darovite karakterizira spo-
sobnost uočavanja odnosa ne samo između dva predmeta ili dvije pojave, već su izra-
zito sposobni i za uočavanje odnosa višeg reda: odnosa među dva odnosa i odnosa
među sustavima odnosa (sustavno i metasustavno mišljenje). To im omogućuje jasno
sagledavanje i operiranje bogatim cjelinama sadržaja koje se mijenjaju tijekom vreme-
na (razvojni sustavi).
(3) Visokorazvijena sposobnost pronalaženja problema – Daroviti su sposobniji
od ostalih pojedinaca da u svom području rada pronađu probleme koji su širi, važniji i
koji se mogu istražiti ili pretvoriti u akciju.
(4) Velika vještina korištenja kombinacija onih sposobnosti u kojima su najbolji –
Daroviti imaju velike opće i specifične sposobnosti i sposobni su da te opće i specifične
sposobnosti dobro koriste. Vrlo su vješti u tome da u svom području rada upotrijebe
sve sposobnosti koje imaju a da istovremeno nadoknade svoje nedostatke.
(5) Naročita sposobnost mijenjanja okružja (okoline) – Iako su daroviti, možda
više od ostalih pojedinaca, produkt okoline, oni imaju vrlo aktivan odnos prema svojoj
okolini. Pritom, iz okoline koriste maksimalno sve ono što im je potrebno. Ako okolina
ne zadovoljava njihove potrebe, oni vrlo vješto okolinu prilagođavaju sebi, a ne prilago-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
48
đavaju se nedostatku okoline. Na taj način oni mijenjaju okolinu i za potrebe drugih,
odnosno za potrebe čovječanstva. (Sternberg i Davidson 1986).
Pored navedenih karakteristika intelektualnog funkcioniranja darovitih, prema
kvalitativnim tumačenjima sposobnosti, tipične intelektualne karakteristike darovitog po-
jedinca jesu:
1. velika opća i velika područno-specifična baza znanja (Rabinowitz i Glaser
1985);
2. snažan i neprekidno prisutan utjecaj procesa stjecanja znanja i uporabe zna-
nja preko rastuće količine metakomponenti (Sternberg i Davidson 1985);
3. izrazito razvijene metakomponente i odlučivanje (Sternberg 1981);
4. izrazita fleksibilnost u mijenjanju plana prema situaciji i novim podacima
(Sternberg 1981);
5. vrlo vješto uočavanje biti problema, neopterećenost nevažnim detaljima
(Sternberg 1981);
6. velika vještina u izboru reprezentacije podataka ovisno o tome da li se prob-
lem rješava pomoću vizualnih, verbalnih ili prostornih simbola (Sternberg 1981);
7. velika sposobnost uporabe baze znanja na nov način – sposobnost uvida
(Sternberg i Davidson 1985);
8. velika osjetljivost za probleme (Sternberg 1981);
9. velika razvijenost komponenti generalizacije – sposobnost operiranja potpuno
novim pojmovima i sustavima mišljenja (Sternberg 1982).
Kvalitativni pristupi izučavanju sposobnosti značajno su doprinijeli suvremenom
shvaćanju darovitosti i postupcima za njeno razvijanje. Najvažniji među doprinosima
odnose se na: pridavanje sve većeg značenja razvijanju opće i područno-specifične ba-
ze znanja, približavanje pojmova kreativnosti i opće intelektualne sposobnosti te poj-
mova kreativnosti i specifične baze znanja i obogaćivanje obrazovnih programa za da-
rovite elementima koji će razvijati metakomponente i njihovu uporabu (Čudina-Obrado-
vić 1991).

2.3 Gardnerova teorija višestruke inteligencije

Osamdesetak godina nakon pojave prvih testova inteligencije, Gardner (1983) u
svojoj knjizi Frames of Mind: The Theory of Multiple Intelligences (Okviri uma: teorija vi-
šestrukih inteligencija) negira tradicionalno shvaćanje da je inteligencija jedinstvena
sposobnost i pritom predlaže postojanje barem sedam osnovnih inteligencija koje mo-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
49
gu biti nezavisne jedna od druge20. Odmah se vidjelo da ova teorija nudi dovoljno širo-
ke okvire za razvoj navedenih sposobnosti.
Teorijom višestrukih inteligencija Gardner želi osloboditi ljudski potencijal od og-
raničenja koje nameće mjerenje kvocijenta inteligencije. U pitanje dovodi vrijednost od-
ređivanja individualne inteligencije na način da se osoba izdvaja iz svojih prirodnih si-
tuacija učenja, i pritom se od nje očekuje da riješi nepovezane zadatke koje nikada
prije nije vidjela. Gardner (1983) smatra da se inteligencija više odnosi na sposobnost
(1) rješavanja problema i (2) oblikovanje produkata u određenom kontekstualnom i pri-
rodnom okruženju.
Pored tri konvencionalne – lingvističke, logičko-matematičke i prostorne – tu su
još i glazbena inteligencija, tjelesno-kinestetička inteligencija, kao i interpersonalna i in-
trapersonalna inteligencija, te prirodoslovna inteligencija.
LINGVISTIČKA INTELIGENCIJA odnosi se na sposobnost učinkovitog korištenja ri-
ječima, u govoru govorništvo i/ili pismu. Ova inteligencija uključuje sposobnost operira-
nja sintaksom, fonologijom, semantikom te pragmatičnom dimenzijom. Neke od tih vje-
ština podrazumijevaju i retoriku, mnemotehniku i metajezik.
LOGIČKO-MATEMATIČKA INTELIGENCIJA sposobnost je uspješnog korištenja
brojeva, odnosno logičkog mišljenja. Ova inteligencija uključuje osjetljivost na logičke
obrasce i relacije, premise i sudove, funkcije i druga srodna apstraktna pitanja. Logič-
ko-matematička inteligencija koristi se u postupcima poput kategorizacije, klasifikacije,
zaključivanja, generalizacije, računanja i testiranja hipoteze.
PROSTORNA (SPACIJALNA) INTELIGENCIJA predstavlja sposobnost opažanja vi-
zualno-prostornog svijeta, odnosno oblikovanja tih informacija. Ona podrazumijeva
osjetljivost na boje, linije, oblike, likove, prostor, kao i njihove međusobne relacije.
Prostorna inteligencija uključuje sposobnost vizualizacije, grafičkog predstavljanja vid-
nih i prostornih ideja ili orijentacije u prostornoj matrici.
GLAZBENA INTELIGENCIJA je sposobnost opažanja, razlikovanja, prenošenja i
izražavanja glazbenih oblika. Uključuje osjetljivost na ritam, ton ili modulaciju i boju to-
na glazbenog djela.
TJELESNO-KINESTETIČKA INTELIGENCIJA odnosi se na korištenje vlastitog tijela
u izražavanju ideja i osjećaja, te sposobnost korištenju ruku u izradi i/ili oblikovanju
stvari. Ona uključuje posebne tjelesne vještine poput koordinacije, ravnoteže, okretnos-
ti, snage, fleksibilnosti i brzine, te proporcionalne, taktilne i haptičke sposobnosti.

20 Nedavno je dodao i osmu (prirodna inteligencija) te pretpostavio mogućnost devete
inteligencije.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
50
INTERPERSONALNA INTELIGENCIJA omogućava zapažanje i razlikovanje raspo-
loženja, namjera, motiva i osjećaje drugih ljudi. Ona može uključivati i osjetljivost na nji-
hove izraze lica, glasove i pokrete; sposobnost razlikovanja različitih vrsta interperso-
nalnih znakova i pragmatičkog odgovora na te znakove.
INTRAPERSONALNA INTELIGENCIJA predstavlja sposobnost spoznavanja samo-
ga sebe i djelovanja na osnovi toga. Uključuje stvaranje vjerne slike o samome sebi,
svijest o unutarnjem raspoloženju, namjerama, motivima, prirodi i željama. Nadalje,
predstavlja sposobnost samodiscipline, samorazumijevanje i samopoštovanje.
PRIRODNA INTELIGENCIJA označava sposobnost prepoznavanja i klasificiranja
različitih vrsta – u biljnom i životinjskom svijetu – iz našeg okruženja. Nadalje, ona uk-
ljučuje i osjetljivost na druge prirodne pojave, a kod onih koji odrastaju u urbanim sre-
dinama, sposobnost razlikovanja nevažnih oblika. (Gardner 1983).
Ovako shvaćanje nadmašuje ono što se smatralo pod klasičnim pojmom inteli-
gencije, a potvrdu svojih hipoteza Gardner (1983) je našao, između ostalog, i u neurofi-
ziološkim istraživanjima funkcioniranja ljudskog mozga i nalazi niz dokaza o postojanju
njegovih međusobno nezavisnih funkcija. Ti dokazi su: (1) specifično i različito funkcio-
niranje pojedinih područja mozga; (2) postojanje ograničenih i specifičnih nedostataka
u funkcioniranju kod oboljenja (na primjer, zadržavanje numeričke sposobnosti kod ne-
razumijevanja verbalnih simbola /afazije/); (3) postojanje izrazito visokih sposobnosti u
jednom specifičnom području (kod 'čuda od djeteta'); (4) postojanje 'izoliranih' sposob-
nosti: vrlo razvijene usko specifične sposobnosti uz retardaciju svih ostalih (kod 'idiota-
mudraca'), (Gardner 1983).
Uz opis osam inteligencija i njihove teorijske osnove, Gardner (1983) navodi da
je bitno istaknuti neke odlike modela, pa navodi sljedeće:
– svaka osoba ima svih osam inteligencija,
– većina ljudi može razviti svaku inteligenciju do zadovoljavajuće razine,
– inteligencije obično imaju složeno zajedničko djelovanje,
– mnogo je načina kako biti inteligentan unutar svake kategorije.
Ono što razlikuje ljude jedne od drugih je njihov jedinstveni profil navedenih spo-
sobnosti, njihov različit stupanj razvijenosti. Teorijski je moguće da neka osoba poluču-
je jednako dobre rezultate u svih osam sposobnosti, što znači da su te sposobnosti na
približno jednakoj razini razvijenosti. Međutim, u najvećem broju slučajeva svaka poje-
dina osoba ima različitu razinu razvijenosti sposobnosti, odnosno u nekim od njih polu-
čuje velike rezultate i pokazuje svoju snagu, dok u drugima pokazuje skromne rezultate
i svoju slabost. Prema tome, svaka osoba ima svoj individualni profil sposobnosti po
kojem se razlikuje od drugih (Gardner 1983).
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
51
Ono što je od osobite važnosti u Gardnerovoj teoriji višestruke inteligencije je
njen pedagoški optimizam i shvaćanje da se inteligencija može mijenjati, poboljšavati
vježbanjem i odgojem, za razliku od većine tradicionalnih shvaćanja koja su inteligen-
ciju vidjeli kao fiksiranu sposobnost i statički entitet. I ono što je, prema Gardneru, još
važnije to je da upravo modeli višestruke inteligencije govore o tome da postoje mno-
gobrojni načini učenja i spoznavanja vanjskog svijeta (Gardner 1983).
Gardner (1983, 1999) smatra da pri određivanju visoke intelektualne darovitosti
treba uključiti postojanje većeg broja inteligencija. Ukazuje da postoje i atipične inteli-
gencije koje su, prema Gardneru, gotovo neistražene i izrazite su u okviru nekih speci-
fičnih zadataka čija se evaluacija može obaviti jedino strogo profesionalnom metodom.
Pritom, pravi razliku između (1) individualno specifične inteligencije, (2) inteligencije
specifičnih područja (u kojima se iskazuje ono što je izvanredno) i (3) inteligencije spe-
cifične društveno-manifestnim područjima izuzetnog i briljirajućeg. Prva od njih može
biti, ističe Gardner, analizirana u okvirima neurobiologije, druga odražava razine rezul-
tata i uspjeha u disciplinama zanatstva, sporta, umjetnosti i dr., te specifične kulture u
kojoj je rođen ili interkulturaliziran pojedinac. Treća kategorija predstavlja sociološki
konstrukt koji uključuje institucije i mehanizme za promociju, socijalne grupe koje su
nositelji sudova o vrijednostima individualnih rezultata i ostvarenja. Navedene kategori-
je nisu dane neovisno jedna od druge, već su one na određeni način povezane, ispre-
pliću se i prožimaju. (Gardner 1983).
Suprotno shvaćanju da se specifične sposobnosti diferenciraju, razvijaju iz općih
sposobnosti, i da su one samo jedan vid općih sposobnosti (Humphreys 1985), Gar-
dner je mišljenja da se specifične sposobnosti razvijaju paralelno i nezavisno, i da nji-
hova relativna razvijenost ovisi o utjecajima okruženja: kulture i obitelji koji su prisutni
od najranije dobi.
Važno je, također, istaknuti da svaki pojedinac posjeduje svih osam vrsta inteli-
gencije, uz napomenu da one nisu jednako razvijene kod svakog u jednakoj mjeri pa ih
stoga i ne možemo koristiti u jednakoj mjeri. Najčešće se događa da pojedinci imaju vi-
še razvijenu jednu ili drugu od navedenih sedam autonomnih sposobnosti, a u ostalima
se manje ističu (Gardner 1983).
Gardnerova teorija višestruke inteligencije svrstava se među kvantitativne pristu-
pe, jer se u njoj, pri međusobnoj usporedbi, govori o jače ili slabije razvijenim specifič-
nim sposobnostima, o njihovoj relativnoj razvijenosti. No, valja naglasiti da Gardner,
kao mjerilo neke sposobnosti, ne uvažava numerički rezultat dobiven u testu. On, nai-
me, zastupa načelo zaključivanja o sposobnosti iz promatranja ponašanja djeteta i nje-
gova snalaženja u vizualnim, glazbenim, spacijalnim i verbalnim obrascima.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
52
Iako Gardenrova teorija višestruke inteligencije nije potpuno znanstveno verifici-
rana niti je opće prihvaćena, ona daje značajan doprinos u sagledavanju fenomena da-
rovitosti i stoga je značajno utjecala na mnoga stajališta o razvoju darovitosti. Njegova
struktura intelekta ne ograničava se samo na kognitivni segment već zahvaća i druge
segmente kao što su psihomotorni, afektivni i socijalizacijski (Hadžimehmedović 2009).

– o 0 o –

Analiziranjem izloženih teorijskih pravaca o darovitosti i njihovom utjecaju na obli-
ke poticanja darovitih pojedinaca, tj. opisanih teorijskih pristupa, može se među njima
uočiti više slaganja nego bitnih razlika. U svim izloženim pristupima uočava se bitna ka-
rakteristika darovitih a to je visok učinak u rješavanju problemskih zadataka. Pritom,
tradicionalni, psihometrijski pristup naglasak stavlja na konvergentni tip mišljenja, tj. na
zadatke s jednim točnim rješenjem, dok noviji, kvalitativni pristupi zahtjeva divergentno
mišljenje te uzimaju u obzir i osjetljivost za probleme i snalaženje u novim problemskim
situacijama.
Nadalje, psihometrijski pristup naglašava važnost opće inteligencije, a to znači da
u svim intelektualnim zadacima sudjeluje jedna opća sposobnost snalaženja, bez obzi-
ra na razlike u specifičnom sadržaju zadataka. Specifične sposobnosti koje posjeduju
umjetnički ili sportski talenti ne smatraju ih aspektima inteligencije niti bitnima za snala-
ženje u problemima, već ih se smatra zasebnima.
Nasuprot takvog stajališta je Gardnerovo shvaćanje koje naglašava zasebnost i
važnost specifičnih sposobnosti, koji smatra da su opće intelektualne sposobnosti sa-
mo jedna posebna, specifična vrsta sposobnosti – logičko-matematička – koja posebnu
važnost ima samo u zapadnoeuropskoj kulturi. U drugim kulturama važnost pripada ne-
kim drugim sposobnostima. Međutim, u dokazivanju ovih tvrdnji Gardner vrlo često uo-
čava i širinu, nemogućnost lokalizacije logičko-matematičke sposobnosti, kao i njezinu
prisutnost u velikom broju različitih aktivnosti. Tako on zapravo ne odstupa previše od
priznavanja opće intelektualne sposobnosti koju on jednostavno naziva logičko-mate-
matičkom sposobnošću.
Od posebnog je značaja Gardnerov doprinos uvažavanju i obraćanju pažnje i
specifičnim sposobnostima, čija posebna razvijenost dovodi također do darovitog pona-
šanja i stvaralačkog doprinosa.
Kognitivni, kvalitativni pristup ne odbacuje visok stupanj sposobnosti kao karakte-
ristiku ili mjerilo darovitosti: izučavaju koji su procesi doveli do visokog rezultata, kakvi
postupci prijema, obrade i operiranja podacima i njihovim misaonim reprezentacijama
omogućuju visok rezultat u testu. Predstavnici kvalitativnog pristupa često kritiziraju
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
53
mjere inteligencije kao mjerila stvarne sposobnosti mišljenja, ali sami nastoje naći me-
tode (testove) kojima će mjeriti pojedine komponente mišljenja kako bi ih razvili (Stern-
berg 1982).
Različiti pristupi u proučavanju sposobnosti kod darovitih međusobno se dopu-
njuju i svaki od njih pridonosi boljem razumijevanju pojedinih svojstava sposobnosti da-
rovitih. Njihovo najveće približavanje najjasnije se očituje u suvremenim načelima raz-
voja darovitosti koja naglasak stavljaju na nedjeljivosti inteligencije i kreativnosti, nedje-
ljivost i inteligencije i kreativnosti od bogate baze znanja, te nedjeljivosti opće baze
znanja od područno-specifičnih sadržaja. Ova su načela zastupljena u pojmu područ-
no-specifičnog razvoja darovitosti.
Sažimajući doprinose različitih teorijskih pristupa darovitosti kao i rezultate istraži-
vanja vezano uz darovitost i darovite, može se zaključiti da su predstavljali i da pred-
stavljaju poticaj daljnjem proučavanju razmatranog fenomena. Odnosi se to i na naš
rad, tj. saznanja do kojih smo došli proučavajući teorije i rezultate glede fenomena da-
rovitosti i darovitih bili su nam poticaj i smjernice u našem istraživanju.

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
54

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
55
3 PRIKAZ NAJPOZNATIJIH ISTRAŽIVANJA

NA PODRUČJU DAROVITOSTI

Bez pretenzija da ponudimo cjelovit prikaz istraživanja vezana uz darovitost i da-
rovite osobe/pojedinca, osvrnut ćemo se na rezultate do kojih su došli neki od istraživa-
ča s europskog i van europskog podneblja. Prikazat ćemo, dakle, najpoznatija istraži-
vanja na području darovitosti i darovitih.
Jedno od prvih i važnijih znanstvenih istraživanja na području darovitosti i darovi-
tih pojedinaca veže se uz ime engleskog biologa Galtona, koji je rezultate istraživanja
prikazao 1869. godine u knjizi "Naslijeđe genijalnosti: uvod u zakone i posljedice". Os-
lanjajući se na rezultate Darwinova istraživanja, istraživao je individualne razlike pojedi-
naca, koristeći se pritom statističkim metodama. Genealoškim studijama nastojao je
dokazati svoju tezu da se geniji rađaju (Galton 1869).
Galtonov interes bio je usmjeren na proučavanje nasljeđivanja inteligencije i u
tom je smislu proučio stotinu muškaraca istaknutih u povijesti, kao na primjer Darwina,
Bacha, Newtona i niza drugih, te njihovu braću i njihove sinove. Otkrio je da su 23% nji-
hove braće i 36% njihovih sinova također postali istaknuti, što je znatno više od omjera
u normalnoj populaciji: 1 : 400. Temeljem ovih podataka zaključio je da je genijalnost
kolala u obiteljima, te da se, stoga, prenosila genetski (Galton 1869).
Iako je jedno od prvih i važnijih istraživanja na području darovitosti i darovitih ve-
zano uz Galtona, znanstveno zanimanje za darovite obično se vezuje uz američkog
psihologa Termana, koji je početkom dvadesetih godina prošlog stoljeća započeo svoje
longitudinalno istraživanje intelektualno darovite djece. U istraživanje je bilo uključeno
1528 djece od četvrte do osamnaeste godine – dakle, rođenih između 1903. i 1917. go-
dine – i pratilo ih se kroz cijeli život. Za identifikaciju darovitih koristio je Binet-Stanforov
test inteligencije, koji procjenjuje verbalne, logičke, matematičke i prostorne sposob-
nosti ispitanika. Prosječna inteligencija koja se dobiva primjenom ovoga testa je izme-
đu 90 i 109; Termanovi ispitanici varirali su od 135 do 196, s prosjekom od oko 150.
Došao je do procjene kako su u populaciji nalazi 1% najboljih, tj. darovitih pojedinaca,
stavljajući pritom naglasak na inteligenciju (IQ), (Terman 1926). Nadalje, rezultati Ter-
manova istraživanja kazuju da je većina ispitanika prohodala ranije, čitali su prije polas-
ka u školu, učili brže i bez napora, bili su izrazito znatiželjniji, boljeg zdravlja, s visokim
akademskim sposobnostima. Unatoč zamjerkama u identifikacijskim postupcima, tim je
istraživanjem dobiven uvid u karakteristike i razvoj darovitih.
Koristeći se metodom statističke analize, Terman je sa suradnicima spoznao i
druge biološke faktore svojih ispitanika. Ustanovio je da se najveći broj darovite djece
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
56
rađa od očeva koji imaju između 30 i 35 godina života i to su najčešće prvorođena
djeca. Što se tiče majki, darovitost najbolje "preuzme" prvorođeno dijete. To upućuje na
zaključak da su generativne strukture očeva spomenute kronološke dobi najpogodnije i
da generativne strukture majki najbolje "iskoristi" njeno prvo dijete (Terman 1964).
Nadalje, Terman je, slično kao i Galton, zaključio da bliski rođaci djece s visokim
koeficijentom inteligencije također su bili intelektualno superiorniji.
Riječ je o prvom istraživanju u kojem su daroviti (i njihova darovitost) praćeni do
odrasle dobi radi proučavanja prilagodbe i snalaženja u životu, kako radnim tako i ži-
votnim situacijama. Istraživanjem je dokazao da daroviti nisu "čudaci" već imaju samo
snažnije razvijene vizije istih atributa kao i prosječni, te je naglašena važnost rane ob-
razovne podrške. Među ispitanicima nije se pojavio niti jedan briljantan pojedinac, ali
rezultati praćenja ispitanika kazuju nam sljedeće: (1) godine 1950. kada su imali u pro-
sjeku 40 godina objavili su 67 knjiga i to u području prirodnih i društvenih znanosti, te
umjetnosti; (2) objavili su preko 1400 stručnih članaka; i (3) autorizirali su 150 inovacija,
tj. patenata (Terman 1964).
Ovo je Termanovo longitudinalno istraživanje pokazalo da je važno identificirati
darovito dijete i područje njegove darovitosti, kako bi ono moglo zadovoljiti svoje potre-
be i kako bi imalo i odgovarajuću podršku.
Winner (2005) je, međutim, svojim istraživanjima i analiziranjem rezultata istraži-
vanja Galtona i Termana, zaključila da zaključci Galtona i Termana nisu zajamčeni, jer
članovi obitelji dijele i gene, ali i okružje. Naime, neki Galtonovi geniji, kao na primjer
Beethoven, Michelangelo i Newton, nisu u obitelji imali istaknute članove. Stoga je pret-
postavila da se genijalnost ne prenosi, već nastaje određenom kombinacijom gena.
Ono što se nasljeđuje – zaključuje dalje Winner – ne mora nužno biti visoki koeficijent
inteligencije, već neki drugi činitelj(i), kao što je, na primjer, temperament. Pored toga
visoka nasljednost osobina ne znači da se ta osobina ne može mijenjati, barem u odre-
đenoj mjeri. I najzad, naslijeđe se ne mora iskazati u identičnom području (Winner
2005).
Uz pitanje nasljeđivanja darovitosti, Winner (2005) je mišljenja da se pojavljuju
nove teorije. Pritom ukazuje na:
1. Aditivni model u kojem, bez obzira na prisutnost drugih gena, svaki od mnoš-
tva gena pomalo prenosi svoj utjecaj.
2. Ne-aditivni model, tzv. emergeneza model u kojem osobinu prenosi isključivo
cijela pošiljka gena, a dio pošiljke ne rezultira djelomičnom osobinom. Pritom navodi da
kod identičnih blizanaca oni dijele sve gene: ako jedna jedinka primi pošiljku gena, pri-
ma je i druga jedinka. I nadalje navodi da dijete koje je primilo polovicu pošiljke gena
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
57
neće postati – recimo – pola genija. Ovaj model, tj. model "emergeneze" sugerira kako
se genijalnost ne prenosi, već nastaje određenom kombinacijom gena.
Istražujući utjecaj nasljeđa na razvoj ličnosti i darovitosti, Ceci (1990) je došao do
vrlo značajne činjenice, na koju smo već ukazali. Naime, Ceci smatra da ono što se
nasljeđuje ne mora nužno biti kvocijent inteligencije, već neki drugi činitelj, kao na pri-
mjer temperament, koji može utjecati na dijete na način da poveća ili smanji koncentra-
ciju i tako odrediti dobrim dijelom njegove uspjehe.
Vezano uz istraživanja Winner, u bliskoj prošlosti bihevioralni genetičari prouča-
vali su jednojajčane (identične) i dvojajčane (neidentične) blizance, istražujući pritom
stupanj podudarnosti nekih sposobnosti. Utvrdili su da jednojajčani blizanci dijele sve
gene, dok dvojajčani blizanci dijele samo polovicu gena21. Kod jednojajčanih blizanaca
pronađene su veće sličnosti22, što – naravno – može biti i posljedica činjenice da oni za
sebe stvaraju sličnije okružje i to iz razloga što ih se doživljava identičnima. Nadalje,
kod jednojajčanih blizanaca koji su odgajani odvojeno utvrđeno je bolje poklapanje u
odnosu na poklapanje kod posvojene nebiološke braće odgajane zajedno. Iako je mno-
go spoznato o činjenici da je kvocijent inteligencije nasljedan, malo se spoznalo o nas-
ljeđivanju darovitosti.
Želeći ispitati karakteristike svojih ispitanika, na Sveučilištu John Hopkins u Sjedi-
njenim Američkim Državama provedena su istraživanja koja su temeljena na analizi ka-
rakteristika nekoliko tisuća djece, u dobi od 12 do 14 godina života. Dobiveni rezultati
kazuju da su ispitanici na testovima pokazali najviše jezične ili matematičke sposob-
nosti (Benbow i Stenly 1980).
Najstarije i najrasprostranjenije shvaćanje darovitosti proizlazi iz psihometrijske
definicije inteligencije. Iz opažanja da se ljudska sposobnost snalaženja u različitim
problemskim situacijama raspoređuje u skladu sa krivuljom normalne distribucije23, pro-
izašao je zaključak da je moguće mjerenje te sposobnosti, odnosno inteligencije. Raz-
like u sposobnosti pojedinaca moguće je mjeriti – na primjer, brojem točno riješenih za-
dataka u nekom testu – i izraziti kao kvocijent inteligencije:

21 Istraživanjem je utvrđeno da jednojajčani blizanci imaju potpuno isti DNK, a dvojajčani
dijele polovicu DNK kao i ostali braća i sestre. (Režek 2010)
22 Hipoteza u istraživanju bila je: ako je jedan od jednojajčanih blizanaca uspješniji od
brata ili sestre, za tu je razliku odgovoran učitelj. Proučeno je 280 parova jednojajčanih i 526 pa-
rova dvojajčanih blizanaca u prvom i drugom razredu osnovne škole. Kada su učitelji bili dobri,
geni u djece uistinu su bili bitni. Ako je jedan od jednojajčanih blizanaca bio izvrstan u razredu
dobrog učitelja, izvrstan je bio i drugi. No, ako je jedan imao dobrog učitelja, a drugi lošeg, djeca
velikog genetskog potencijala polučivala su prosječne rezultate u razredu lošeg učitelja. (Režek
2010)
23 Ovo znači da najviše ima prosječno uspješnih pojedinaca (oko 50%), a da ispodpro-
sječnih i iznadprosječnih ima podjednak broj (otprilike po 25%).
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
58
dob
kronološka
dob
a
ln
menta
=
IQ
.
Pritom, koeficijent inteligencije (IQ) prosječnog pojedinca iznosi 100.
George (2005) ističe da je Ogilvie 1972. godine, na osnovi rezultata svojih istraži-
vanja, predložio područja u kojima se može prepoznati isticanje pojedinaca; to su: tje-
lesna talentiranost, spretnost u tehnici, virtualna i izvedbena sposobnost, istaknuto vod-
stvo i socijalna svijest, kreativnost i visok stupanj inteligencije. I dalje, George navodi
da je Oglive, u postocima, dosta izdašan vjerojatnošću – identificirao je 3% višestruko
darovite djece i oko 36% djece koja posjeduju jedan osebujan ili specifičan talent.
Druga, po obujmu skupina istraživanja unutar statističkog pristupa jesu mjerenja
sposobnosti divergentnog mišljenja, koja započinju Guilfordovim uvođenjem modela
strukture intelekta (Guilford 1956). Ovim je modelom stavljen naglasak na oblik mišlje-
nja koji za razliku od konvergentnog mišljenja (logičkog zaključivanja) omogućuje broj-
na nova i originalnog rješenja razmatrane problemske situacije (divergentni oblik miš-
ljenja).
Iz ovih ali i nekih drugih istraživanja divergentnog mišljenja dobiven je niz podata-
ka o karakteristikama ličnosti i o motivaciji darovitih pojedinaca (MacKinnon 1983), te
podataka o međusobnoj neovisnosti inteligencije i kreativnosti (Wallach i Kogan 1965),
kao i niz podataka o mnogobrojnim činiteljima razvoja kreativnosti i mogućnostima nje-
govog odgajanja (Torrance 1972).
Gardner (1983) je utvrđivao organsku i fiziološku osnovu sposobnosti i pritom za-
ključio da postoje biološke i neurološke osnove za sedam različitih, specifičnih ljudskih
sposobnosti, koje on naziva "sedam inteligencija"24.
Vezano uz lokalizaciju pojedinih kognitivnih funkcija u mozgu, vršena su brojna
istraživanja i u tom je smislu utvrđena razlika u funkcioniranju lijeve i desne moždane
hemisfere. U lijevoj hemisferi nalaze se kognitivna središta i ona perceptivne informaci-
ja obrađuju u misao i akciju neprekidnog tijeka unutarnjeg govora. To znači da se infor-
macije u ovoj hemisferi obrađuju verbalno-sekvencijski. Lijeva hemisfera mozga je,
dakle, specijalizirana za logično, sukcesivno obrađivanje verbalnih i apstraktnih podata-
ka.
Hadžimehmedović (2009) navodi kako Ćatić smatra da se u desnoj moždanoj he-
misferi nalaze središta za vizualno-spacijalno mišljenje, vizualno pamćenje, crtanje ge-
ometrijskih likova/figura i glazbene sposobnosti. Pritom je obrada informacija u desnoj
hemisferi predodžbeno-spacijalna i mnogi istraživači su mišljenja da je upravo ovaj dio
mozga osnova kreativnosti.

24 O tome više vidjeti u točki 2.3 Gardnerova teorija višestruke inteligencije.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
59
Analizirajući rezultate istraživanja drugih ali i rezultate svojih istraživanja, Torran-
ce (1977) je sačinio tabelu stilova učenja s obzirom na lijevu i desnu hemisferu mozga.
Ovu tabelu prikazujemo tablicom 3.

Tablica 3. Stilovi učenja lijeve i desne hemisfere mozga
S T I L O V I   U Č E N J A   I   M I Š L J E N J A
stil lijeve hemisfere
stil desne hemisfere
· pristupa problemu razigrano
· problemu pristupa s ozbiljnošću
· više voli dobru opću sliku
· više uči o činjenicama, insistira na

detaljima
· voli otvorenu nedefiniranu situaciju
· voli situaciju koja je unaprijed

organizirana
· improvizira s materijalima koji su

mu pri ruci
· "pravi" materijale i "pravi"

konkretne zadatke
· više voli apstraktne zadatke, isto-

vremeno se bavi s nekoliko proble-

ma, materijal obrađuje cjelovito
· materijal obrađuje dio po dio
· do ideja dolazi intuitivno
· dolazi do logičkih rješenja
· više voli vizualna objašnjenja
· više voli verbalna objašnjenja
(Torrance 1977; prema: Hadžimehmedović 2009)

Istraživanja darovitosti (Terman, Galton, Winner, Furlan, Đorđević, Fornežer i dr.)
otvorila su pitanje zašto su neka djeca darovita, a druga nisu. Prikazana istraživanja u
prvi plan stavljaju faktor naslijeđa, što znači da daroviti roditelji imaju i darovitu djecu.
Međutim, na darovitost – u isto vrijeme – utječe i faktor okružja. Jer, daroviti roditelji
svojoj djeci, već od najranijeg djetinjstva, nastoje osigurati i povoljnije razvojne uvjete,
tj. povoljnije okružje.
Istraživanjem se spoznalo da se ne nasljeđuju "gotove" sposobnosti, već samo
dispozicije iz kojih se sposobnosti mogu, ali i ne moraju, razviti. Dispozicije se moraju
shvatiti kao specifične anatomsko-fiziološke strukture od kojih ovisi razvoj sposobnosti.
Vezano uz to Furlan i Kobola (1971) navode da se tu pokazuje kompatibilnost faktora
naslijeđa i faktora okružja. Da bi se sposobnosti mogle razviti, potrebno je da se za njih
naslijede potrebne dispozicije, a da bi ove mogle prerasti u sposobnosti potrebno je da
pojedinci (djeca) posjeduju odgovarajući utjecaj okružja, bilo slučajnim ili institucional-
nim djelovanjem.
Darovitost se, kako je već istaknuto, razvija tijekom života. Andrilović i Čudina-
Obradović (1996) navode da se razvoj darovitosti odvija kroz tri etape: (1) predškolska
faza – etapa razvoja sposobnosti; (2) kasna predškolska faza i školska faza do polovi-
ce srednje škole – etapa razvoja stvaralačkih sposobnosti; (3) faza završetka srednje
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
60
škole i dalje – etapa razvoja stvaralaštva. "To znači da ni najpovoljnija okolina ne može
'stvoriti' darovitog pojedinca ako on u sebi ne nosi naslijeđene potencijale, ali i to da se
pojedinac ni uz najbolji naslijeđeni potencijal neće razviti u darovitog stvaraoca ako od
najranije dobi nije naišao na brigu i potporu okoline." (Andrilović i Čudina-Obradović
1996: 204). Darovito predškolsko dijete i darovit učenik primarnog obrazovanja ima ne-
obično razvijen rječnik, veliko znanje o različitim i neobičnim sadržajima, veliku moć
opažanja, izrazito je znatiželjno, "vidi i prima više" od vršnjaka, mnogo čita, postiže du-
boku koncentraciju za sadržaje za koje je zainteresiran, samokritičan je, lako se prila-
gođava novim situacijama, sadržajima i novim oblicima mišljenja. Darovit osnovnoško-
lac i srednjoškolac lako uči i posjeduje veliko znanje, bogat mu je rječnik i lako se iz-
ražava, iskazuje veliku logičnost u mišljenju i postupcima, ne prihvaća gotova mišljenja
i rješenja, znatiželjan je, originalan i maštovit, lako se prilagođava novim situacijama,
pokazuje veliku socijalnu osjetljivost. Posjeduje izrazite likovne, glazbene, matematičke
ili informatičko-računalne sposobnosti (Andrilović i Čudina-Obradović 1996).
Rečeno znači da ni najpovoljnije okružje ne može "stvoriti" darovitog pojedinca
ako on u sebi nema naslijeđenih potencijala, ali i to da se pojedinac ni uz najbolji nasli-
jeđeni potencijal neće razviti u darovitog stvaratelja ako od najranije dobi nije naišao na
razumijevanje, brigu, poticaj i potporu okružja.
Ovdje valja navesti i stav Cvetković-Lay (2002), koja ukazuje na vrlo često prisut-
nu zabludu našeg okružja da roditelji "proizvode" darovitu djecu programirano radeći s
njima. Darovito dijete rađa se s visokim potencijalom i potiče svoje roditelje, a ne rodi-
telji njega, darovitog pojedinca.
Sljedeći čije rezultati istraživanja prikazujemo je Boolm. Proučavajući obitelji s da-
rovitom djecom uočio je kako su se roditelji budućih pijanista gotovo uvijek i sami, ak-
tivno ili pasivno, bavili glazbom: aktivno, svirajući osobno, a pasivno odlazeći na kon-
certe i/ili slušajući glazbu kod kuće. U većini slučaja roditelji su bili ti koju su inicirali
glazbenu poduku. Međutim, kod likovne umjetnosti situacija je bila bitno drugačija. Nai-
me, roditelji uglavnom nisu bili sami umjetnici s područja likovne umjetnosti, ali je polo-
vica njih (ispitanika) posjećivala muzeje, četvrtina njih umjetnost je smatralo vrijednom,
dok preostali – njih oko 25% – nisu držali do umjetnosti, tj. nisu cijenili umjetnost. Pri-
tom, poruke koje su prenosili djeci bile su samoispunjavanje, a ne rezultat školskog
dostignuća (Bloom 1985).
Istraživanjem darovitosti i darovitih pojedinaca, Bloom je uočio da učitelji u uobi-
čajenoj, tradicionalnoj nastavi ponekad postanu frustrirani. Uzrok tome vidi u činjenici
što učenici s visokim sposobnostima propisane nastavne sadržaje usvajaju znatno brže
od ostalih učenika i što vrlo često ti učenici nemaju što konstruktivno raditi. Da bi se za
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
61
ove učenike omogućilo i školsko i intelektualno proširenje, učitelji – ističe Bloom – mo-
raju modificirati nastavne sadržaje, pokušavajući se fokusirati na kreiranju različitih ak-
tivnosti, odabiru područja koja ima najviše "leže" i proširivati ove ideje koliko im i kako
vrijeme dozvoljava (Bloom 1985).
Polazeći od rezultata istraživanja, a s namjerom da pomogne učiteljima, Bloom je
postavio sljedeću taksonomiju razmišljanja:
– najniža razina je znanje i razumijevanje, koje zahtjeva samo malo više osnov-
nog podsjećanja učenika;
– sljedeća razina je primjena i analiza koja zahtjeva više kompleksno sudjelova-
nje, oboje i učitelja i učenika;
– na vrhu hijerarhijske skale su sinteza i evaluacija koja zahtjeva najkompleksni-
je razine mentalnog angažiranja.
Bloom je taksonomiju ciljeva i zadaća u kognitivnom području postavio na slijede-
ći način:
– pamćenje: prepoznavanje činjenica, osnovnih pojmova i načela;
– shvaćanje: sposobnost da se razumije, objasni i interpretira sadržaj;
– primjena: sposobnost da se usvojena znanja koriste i primjenjuju u novim si-
tuacijama učenja i rješavanja problema;
– analiza: sposobnost da se složeniji sadržaji učenja i zahtjevniji problemi koji se
rješavaju rastave na manje cjeline ili sastavne dijelove;
– sinteza: sposobnost integracije specifičnih činjenica i pojedinačnih dijelova cje-
line; riječ je, u stvari, o sposobnosti izvođenja zaključaka i generalizacija;
– evaluacija: sposobnost da se nešto vrednuje ili o nečemu sudi na osnovi pos-
tavljenih kriterija i standarda.
Kada se radi o podučavanju darovitih učenika među najznačajnije spadaju radovi
Piageta i Blooma. Piaget je na osnovi svojih istraživanja i proučavanja ponudio opis
razvojnih faza i njihovu povezanost s učenicima. Daroviti su učenici vrlo često u formal-
no-operacionalnoj fazi dok su njihovi vršnjaci još uvijek u preoperacionalnoj ili konkret-
no-operacionalnoj fazi. Kada dijete razvojno napreduje, ono ima različite sposobnosti i
potrebe učenja. Pritom može od koristi biti i Bloomova taksonomija. Učenici u formalno-
operacionalnoj fazi trebaju učena iskustva s vrha skale Bloomove taksonomije. U stvari
– kako navodi Bloom – svi zadaci trebali bi u svakom učeniku pobuditi mogućnost ko-
rištenja sposobnost naprednijeg mišljenja poput analize, sinteze i evaluacije. To znači
da je za darovite učenike, za svaki nastavni sat, potrebno pripremiti određena pitanja i
zadatke koji traže razmišljanja na višim razinama. Stoga je Bloomova taksonomija ob-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
62
razovnih ciljeva pravi ali i najčešće rabljeni pristup u modificiranju nastavnog procesa
(prema: Winebrenner 2000).
Na osnovi podataka dobivenih istraživanjem, Bloom (1982) je rekonstruirao put i
zakonitosti razvoja 125-orice vrhunskih stvaralaca iz šest različitih područja koji su vr-
hunske rezultate postigli prije 35-e godine života. Rezultati njegova istraživanja kazuju
da se perzistencija kod većine darovitih ogleda u upornosti za dugotrajno vježbanje i
zadovoljstva visokim postignućima na području koje se vježba.
Proučavajući osjetljivost darovite djece i njihovu osjetilnu reakciju na okolinu – na
primjer, na zvuk – Čudina-Obradovć (1991) navodi da će količina i vrste zvukovnog
okružja, kojom su djeca okružena, u najranijoj dobi značajno utjecati na stupanj osjet-
ljivosti na glazbu, te da većina djece ima određen stupanj sposobnosti koji se može
povećati prisutnošću "glazbene atmosfere" u porodici, tj. domu.

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
63
4 OSOBINE DAROVITIH POJEDINACA

4.1 Socijalno i emocionalno funkcioniranje

Za darovitost su pored kognitivnih, tj. intelektualnih činitelja, od posebnog znača-
ja socijalni i emocionalni aspekti razvoja djeteta. Iz same činjenice da su "drugačija",
darovita djeca se mogu susresti s određenim, vrlo ozbiljnim problemima socijalne i
emocionalne naravi. Tako neki autori govore o tzv. hipersenzitivnosti odnosno preo-
sjetljivosti koju daroviti mogu manifestirati, između ostalog, i na emocionalnom planu.
Često se događa da u skupini darovite djece imamo dijete koje se vrlo emocio-
nalno uznemiri na socijalnu nepravdu ili je vrlo zabrinuto vezano uz pojedine ekološke
krize. Stupanj emocionalnosti koje pritom to dijete izražava, prije bismo mogli očekivati
od adolescenata, negoli kod djeteta te dobi. Međutim, valja napomenuti da takvi snažni
osjećaji, odnosno reakcije ne predstavljaju manifestaciju eventualnih emocionalnih pro-
blema, već su one jednostavno dio ličnosti darovitih pojedinaca.
Kao skupina, darovita su djeca sklona preuzimanju rizika, osjetljivija su na očeki-
vanja i osjećaje drugih, često vrlo rano izražavaju idealizam i smisao za pravdu, neza-
visni su i kompetitivni (Brown i sur. 1995).
O socijalnom i emocionalnom funkcioniranju darovitih može se govoriti o nekim
unutarnjim i vanjskim karakteristikama njihova razvoja. Jedna od unutarnjih karakteristi-
ka je da je razvoj vrlo često neujednačen, odnosno asinkroničan (Delisle 1992; Silver-
man 1994; prema: Heller i sur. 2000). Tako ponekad njihov kognitivni razvoj znatno
premašuje afektivan razvoj. U tom slučaju problem najčešće predstavljaju odrasli, od-
nosno okružje, koja očekuje "zrelo ponašanje" kod takvih pojedinaca. Odrasli se onda
ponašaju prema djetetovoj darovitosti na taj način da ili ignoriraju te posebne sposob-
nosti ili stavljaju pritisak na dijete da se ponaša "normalno". Sljedeća karakteristika je
sklonost savršenstvu, odnosno posjedovanje visokih i nerealnih očekivanja vezanih uz
rješavanje zadataka. Također, daroviti su vrlo često jako samokritični što dolazi do izra-
žaja kada ne uspiju u izvođenju svojih idealističkih zadataka, a još više joj doprinosi već
spomenuta tendencija savršenstvu.
Često spomenuta osobina socijalnog i emocionalnog razvoja darovitih je i tzv.
multipotencijalnost, pod kojim razumijevamo uspješnost u mnogo različitih područja. Bi-
ti uspješan u mnogim različitim područjima vrlo je teško, zahtjeva jako mnogo vremena
i posvećenosti svakom od područja interesa. Zbog ove karakteristike darovita djeca
mogu imati problema oko odabira zanimanja. Multipotencijalnost može postati velik
problem u socijalnom i emocionalnom funkcioniranju ali i razvoju darovitih, te je često
izvor stresa i raznih emocionalnih problema.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
64
Vanjske karakteristike socijalnog i emocionalnog funkcioniranja darovitih vezane
su uz kulturu, društvo, norme i očekivanja okružja u kojoj žive. Tako, na primjer, vrlo
često školsko okružje ne prihvaća učenike koji "previše pametuju". Kao posljedicu, da-
roviti osjećaju veliku potrebu za prihvaćanjem, potrebu za druženjem s drugom darovi-
tom djecom kao i potrebu za priznanjem odnosno odobravanjem.
Kako su vanjske karakteristike socijalnog i emocionalnog funkcioniranja darovitih
vrlo često uzrok stresa i raznih socio-emocionalnih problema, koji u većoj ili manjoj
mjeri utječu na razvoj darovitosti, navodimo neke od tih uzroka:
(1) Problemi okružja vezani su uz školu i nastavne procese. Nedostatak dovolj-
no izazovnog i zanimljivog nastavnog programa često kod darovite djece izaziva dosa-
du, hostilnost i ogorčenost. Problemi nastaju kada se u školskom sustavu cijeni i priz-
naje prosječnost, a odstupanja prema odličnom se ne prepoznaju ili se ignoriraju.
(2) Interpersonalni problemi nastaju kada vršnjaci, roditelji i učitelji doživljavaju
darovitu djecu kao "drugačiju". Kako bi se osjećali prihvaćenima, daroviti onda često
odbacuju ili poriču svoj potencijal. Problemi mogu također nastati zbog nerealističkih
očekivanja vezanih uz postignuće i ponašanje darovite djece, od strane roditelja, učite-
lja i ostalih odraslih.
(3) Intrapersonalni problemi su vezani uz pojam o sebi, samopoštovanje, samo-
pouzdanje te samoprihvaćanje. Razvoj ovih koncepata može dovesti ili do zdravih, od-
govarajućih strategija suočavanja ili pak do onih disfunkcionalnih.
Uz ove tri skupine problema, upravo zbog većeg potencijala i postignuća, te mul-
tipotencijalnosti daroviti često imaju problema oko donošenja odluke vezane za izbor
zanimanja. Svi ovi problemi mogu zahtijevati savjetovanje prilikom kojeg će se uzeti u
obzir jedinstvene potrebe ove djece.
Procjenjuje se da čak 20-25% darovite djece i adolescenata ima socijalne i emo-
cionalne poteškoće, što je dvostruko više od onoga što susrećemo u normalnoj popula-
ciji školske djece. Važno je napomenuti da psihičke poteškoće koje se javljaju u popu-
laciji darovite djece i mladih imaju potpuno iste uzroke kao i u populaciji nedarovitih, na
primjer, konflikti u obitelji i drugi oblici obiteljske patologije (Heller i sur. 2000).
Obiteljska struktura, prema mnogim pokazateljima, ima presudnu ulogu u tome
hoće li dijete s visokim sposobnostima "uspjeti u životu", odnosno uspjeti pretvoriti svo-
je potencijale u produktivnu darovitost ili ne.
Danas neki autori25 pokazuju veliku zabrinutost za emocionalan razvoj djece.
Smatraju da živimo u vrlo izazovnom, ubrzanom i složenom svijetu, tj. da nam naša

25 Silverman 1994; Brown 1995; Heller i sur. 2000, i dr.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
65
svakodnevnica predstavlja mnoge izazove, koji nam onda mogu predstavljati problem,
tj. mogu biti izvor stresa i određenih emocionalnih problema.
Rezultati mnogih istraživanja26 provedenih u Hrvatskoj ali i u svijetu pokazala su
kako i tzv. neprihvatljivo ponašanje kod djece – velikim dijelom ovisi o (ne)zadovoljstvu
njihovih specifičnih potreba, kao i prevelikim očekivanjima koje okolina pred njih pos-
tavlja. Ovo se posebno očituje kod djece iznadprosječnih sposobnosti. Djeca iznadpro-
sječnih sposobnosti uglavnom se ne uklapaju u uobičajena očekivanja, ni po ponaša-
nju, a često ni po uspjehu u školi. Dok društvo preferira konformizam i oportunizam, ta-
kva djeca su kreativna, uče brže i na kvalitativno različit način, tvrdoglavi su i buntovni,
te nerijetko odbijaju metode "prokušane" na prosječnom dijelu populacije. Zbog svega
toga, takva djeca gotovo u pravilu nisu miljenici niti svojih vršnjaka, niti svojih učitelja, a
u socijalnoj izolaciji kojoj su izložena razvijaju posebnu i povećanu osjetljivost i emocio-
nalnu nestabilnost. Zbog svojih neuobičajenih osobina takva djeca već rano mogu steći
osjećaj da su drugačija od vršnjaka. Individualnost pristupa temelji se na upućenosti u
potrebe djeteta koje nisu bile zadovoljene, te u mehanizme obrane koje primjenjuje i na
taj način bolje razumijevanje njegova ponašanja, doživljavanja, tjelesnih i kognitivnih
poteškoća (Cvetković-Lay 1999).
Različite usporedbe "uspješne" i "neuspješne" djece iznadprosječnih sposobnosti
pokazale su da se neuspješni razlikuju od uspješnih ponajviše po neopravdano niskoj
slici o samima sebi. Također, kod većine djece prosječnih i iznadprosječnih sposobnos-
ti, uz niži školski uspjeh, mogu se pojaviti i poremećaji u ponašanju koji se očituju u
emocionalnoj nezrelosti, neadekvatnom odnosu prema uspjehu i neuspjehu, otporu
prema autoritetu, te agresivnom reagiranju na frustracije, a zbog čega se takva djeca
svrstavaju ne u kategoriju talentirane djece i djece s iznadprosječnim sposobnostima (u
bilo kojemu području), već u kategoriju djece s poremećajima u ponašanju.
Svakom djetetu potrebno je suportivno osigurati, suglasno raspoloživim uvjetima,
povoljniji položaj obiteljskih, školskih i društvenih činitelja koji će ga pokrenuti k pozitiv-
nim vrijednostima i trendovima razvoja i samoaktualizacije u neposrednoj okolini i druš-
tvu uopće.

4.2 Samoregulirano učenje

Učenje predstavlja proces u kojem pojedinac na temelju svog iskustva nastoji za-
dovoljiti brojne osobne ciljeve (Lavrnja 1998). Pritom se samoregulirano učenje odnosi
na sposobnost razumijevanja i kontroliranja okruženja u kojemu se uči. Da bi se to mo-

26 Kvaščev 1974, 1975; Cvetković-Lay 1999; Ferbežer 2002; Polovina 2005; Zloković
2005; i dr.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
66
glo postići moraju se postaviti ciljevi, odabrati povoljne strategije učenja koje pomažu u
postizanju postavljenih ciljeva i promatrati napredak u polučivanju ciljeva.
Samoreguliranje učenja ima korijene u teoriji socio-kognitivnog učenja Bandure
(1997), koje je osnova da je učenje rezultat činitelja okruženja i ponašanja, te osobnih
činitelja.
Činitelji okruženja uključuju kvalitetu instrukcije, učiteljeve povratne informacije,
pristup informacijama i pomoć roditelja. Činitelji ponašanja uključuju učinke prijašnje iz-
vedbe, osobni činitelji uključuju učenikova uvjerenja i stavove koji utječu na učenje i po-
našanje. Pritom, svaki od tih triju činitelja utječe na preostala dva.
Samoregulirajuće učenje sastoji se od tri značajne komponente – motivacije,
kognicije i metakognicije. Motivacija uključuje uvjerenja i stavove koji utječu na uporabu
i razvoj kognitivnih i metakognitivnih vještina; kognicija uključuje vještine potrebne za
kodiranje, pamćenje i prisjećanje informacija, dok metakognicija uključuje one vještine
koje omogućuju učenicima da razumiju i promatraju svoje kognitivne procese. Pritom
se mora istaknuti da svaka od tih triju komponenti je potrebna, ali nije dovoljna za sa-
moregulaciju. Tako Zimmerman (2000) navodi da oni koji posjeduju kognitivne vještine,
a nisu motivirani da ih upotrebljavaju, ne polučuju onoliko koliko oni učenici koji posje-
duju vještine i motivirani su da ih upotrebljavaju. Slično tome, oni koji su motivirani a ne
posjeduju potrebne kognitivne i metakognitivna vještine, vrlo često ne uspijevaju do-
segnuti visok stupanj samoregulacije.
Tri osnovne komponente mogu se dalje podijeliti na podkomponente koje su
prikazane na slici 6.

Slika 6. Samoregulacija

(Mrkonjić i sur. 2011)

Suvremena samoregulirajuća teorija učenja usmjerava se na prelazak od ovisnog
na samostalnog učenika. Samoregulirajući učenici imaju integrirani repertoar kognitiv-
nih, metakognitivnih i motivacijskih vještina, koje oni upotrebljavaju za planiranje, pos-
samoučinkovitost
epistemologija
Samoregulirajuće
učenje
Kognicija
Metakognicija
Motivacija
jednostavne strategije
rješavanje problema
kritičko razmišljanje
znanje o kognicije
regulacija kognicije
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
67
tavljanje ciljeva, implementaciju i promatranje korištenja strategija i evaluaciju njihovih
ciljeva. Takvi učenici rabe širok spektar strategija na fleksibilan način, pojačavajući ih
različitim motivacijskim uvjerenjima, poput samoučinkovitosti i epistemološki pogled na
svijet.
Mrkonjić sa suradnicima (2011) opisuje šest instrukcijskih strategija koje potiču
samoregulaciju pomažući učenicima razviti repertoar kognitivnih vještina, metakognitiv-
nu svijest i čvrsta motivacijska uvjerenja. Postoji mnogo načina na koje se kognitivne,
metakognitivne i motivacijske vještine mogu poboljšati uporabom tih strategija.
U tablici 4 dan je sažetak osnovnih načina na koji svaka od šest instrukcijskih
strategija poboljšava kogniciju, metakogniciju i motivaciju. Samoregulacija je od osobi-
tog značaja za učenike. Škole trebaju pripremiti učenike za cjeloživotno učenje u zna-
nosti i u drugim školskim područjima, u čemu im uvelike mogu pomoći instrukcijske
strategije koje poboljšavaju učenje i povećavaju uspjeh.

Tablica 4. Načini na koje šest instrukcijskih strategija poboljšavaju kognitivne,
metakognitivne i motivacijske procese

kognitivni procesi
metakognitivni procesi
motivacijski procesi
istraživanje
potiče kritičko razmiš-
ljanje kroz eksperimen-
tiranje i refleksiju
poboljšava eksplicitno
planiranje, promatranje i
evaluaciju
omogućuje ekspertno
modeliranje
suradnja
modelira strategije za
početnike
modelira samorefleksiju
omogućava socijalnu
podršku
strategije
omogućuju niz strategija
pomažu učenicima razviti
kondicionalno znanje
povećavaju samoučinko-
vitost u učenju
mentalni
modeli
omogućuju analiziranje
eksplicitnih modela
potiču eksplicitnu reflek-
siju i evaluaciju predlo-
ženog modela
potiču rekonstrukciju i
konceptualnu promjenu
tehnologija
ilustrira vještine povrat-
nim informacijama, omo-
gućuje modele i stimulira
podatke
pomaže učenicima tes-
tirati i evaluirati modele
daju izvore informacija i
omogućuju suradničku
potporu
osobna
uvjerenja
povećavaju uključivanje i
ustrajnost među učenici-
ma
potiču konceptualnu
promjenu i refleksiju
potiču modeliranje epis-
temološke karakteristike
ekspertnih znanstvenika

Učitelji kod učenika razvijaju sposobnost samoregulacije nizom aktivnosti. Koraci
u uvježbavanju učenika da sami sebe usmjeravaju jesu:
1. učitelj služi kao model – upute daje naglas dok izvodi zadatak;
2. učenik dok izvodi zadatak glasno ponavlja upute;
3. učenik dok izvodi zadatak vrlo tiho ponavlja upute; i
4. učenik dok izvodi zadatak u sebi ponavlja upute.
Od posebne je važnosti poticati samoregulaciju učenja, jer učenici čije je učenje
samoregulirano su samodisciplinirani (u stanju su odgoditi trenutno zadovoljstvo za po-
lučivanje nekog udaljenog cilja), poučavaju sami sebe, nisu potrebni vanjski poticaji,
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
68
motivirani su uspjehom u učenju, koriste učinkovitije strategije učenja, uspješniji su u
učenju, motivirani su za učenje tijekom cijelog života. Malo je učenika koji se mogu sa-
moregulirati. Oni s razvijenijim vještinama samoreguliranja uče više s manje napora i
polučuju bolje rezultate (Pintrich 2000; Zimmerman 2000).

4.3 Motivacija

Donedavno se darovitost smatrala posljedicom i znakom velikih intelektualnih ali i
specifičnih sposobnosti. Često se pokazalo da koliko god je za darovitost bitna visoka
opća ili specifična sposobnost, ako ona nije kombinirana s motivacijskim činiteljima,
prava se darovitost neće manifestirati.
Motivacija je utjecaj koji izaziva, usmjerava i odražava željeno ponašanje ljudi.
Opisuje se kao aktivnost ili proces u čovjeku koji pokreće na neko djelovanje, koje je
usmjereno prema unaprijed određenom cilju a koji će čovjek dostići samo ako je motivi-
ran. Motivacija je, prema tome, sve ono što potiče čovjeka na aktivnost, što tu aktivnost
usmjerava i što joj određuje intenzitet i trajanje (Kadum-Bošnjak i Volf 2005).
Intenzitet motivacije za obavljanje određene aktivnosti pod utjecajem je procjene
važnosti nekog cilja, očekivanog napora što ga je potrebno uložiti da se postavljeni cilj
dostigne, kao i vjerojatnosti da će cilj biti ostvaren ukoliko je prethodno uložen potreban
napor. Pritom će se pojedinac više zalagati ako cilj doživljava važnim te ako njegovo
polučivanje ne zahtjeva prevelik napor ili ako nije prevelika vjerojatnost da će iz nekih
slučajnih i nekontroliranih razloga uloženi trud biti uzaludan (Kadum, 2009).
Skup motiva označava motivaciju. Motiv je potreba, želja ili nagon, poticajni raz-
log, povod ili pobuda da se nešto izvrši, bilo zbog unutarnjih pobuda ili određenih vanj-
skih poticaja (Kadum-Bošnjak i Volf 2005).
Motivi mogu biti sukladni i suprotstavljeni. Više motiva može istovremeno poticati
određenu aktivnost što obično dovodi do snažnog angažmana i visokog učinka. S dru-
ge strane, mogući su i istovremeni, ali i oprečni motivi što vodi u tzv. ambivalenciju. Ri-
ječ je, u stvari, o situacijama u kojima je određena aktivnost pod istovremenim utjeca-
jem pozitivnih motiva (na primjer, stjecanje novih znanja) i negativnih motiva (na pri-
mjer, neprimjeren utrošak vremena). Također, moguće su situacije u kojima su prisutna
dva motiva koja se međusobno isključuju, tj. dvije podjednako privlačne aktivnosti od
kojih je u nekoj situaciji moguće izabrati i obaviti samo jednu (Kadum 2009).
Motivacijsku situaciju čine energija, potreba, pobuda, motivacijska djelatnosti i
cilj, a veza među elementima motivacijske situacije prikazana je na slici 7. Da bi čovjek
uopće mogao nešto učiniti, potrebna je energija. Kao sastavnica motivacijske situacije
pojavljuje se potreba, kao fiziološko ili psihičko pomanjkanje odnosno rušenje homeos-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
69
taze unutar čovjeka koja teži stabilnosti. To dovodi do pobuđivanja motivacijske djelat-
nosti. Međutim to nije dostatno. U okružju mora biti prisutna pobuda koja uzrokuje po-
javljivanje motiva koji aktiviraju motivacijsko djelovanje usmjereno ka motivacijskom ci-
lju. Kada je cilj postignut motivacijski je proces okončan (homeostatično zadovoljavanje
potreba). Ostvareni cilj potiče na pojavljivanje novih, viših potreba, odnosno ciljeva
(progresivno zadovoljavanje potreba), (Kadum 2009).

SLIKA 7. Shematski prikaz motivacijskog procesa

(Musek 1982; prema: Kadum 2009)

Izvori motivacije mogu biti unutarnji ili intrinzični (osobni afiniteti, zadovoljstvo
zbog obavljene određene aktivnosti i sl.), kao i vanjski ili ekstrinzični (nagrade ili kazne,
te obveze ili pravila). Unutarnja (intrinzična) motivacija je ona motivacija kod koje je po-
treba nastala iz unutarnjih pobuda, a zadovoljstvo proizlazi iz same te aktivnosti ili nje-
nog značenja, a ne zbog vanjskih razloga (na primjer, nagrade ili straha od kazne).
Unutarnja motivacija proizlazi iz potrebe, želje za napredovanjem i/ili znanjem, znatiže-
lje i iz unutarnjeg potkrjepljenja. Vanjska (ekstrinzična) motivacija je motivacija kojoj je
porijeklo u činiteljima izvan individue (na primjer, nagrade, različite povlastice), a ne u
unutarnjim pobudama (Petz 1992). Vanjska motivacija u nastavi dolazi od učitelja, a
sastoji se od uvjeravanja, nagrada, pohvala, dobrih ocjena, a ponekad – rjeđe – i od
kazne.
Obično je motivacija veća ako su prisutni i unutarnji i vanjski poticaji, pri čemu su
unutarnji motivacijski poticaji ponekad dugotrajniji i ne smanjuju se nakon što više (ne-
ko vrijeme) nije moguće dobivanje nagrada.
Za motiviranje pojedinca posebno je važno da nagradu doživljava pravednom ili
proporcionalno uloženom naporu. Posebno je demotivirajući utjecaj onih nagrada koje
nisu pravilno dodijeljene, tj. situacija u kojima pojedinac spozna da je neka druga oso-
ba za isti ili sličan trud ili učinak dobila, objektivno ili prema njenoj subjektivnoj ocjeni,
bitno veću (ili bitno manju) nagradu.
cilj
energija
potreba
motivacijska
djelatnost
pobuda
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
70
Motivacija se zasniva na biološkim, psihološkim i socijalnim potrebama, a pove-
zana je s aktivnošću i interesima pojedinca (Cviić 1980). Ako postoji motivacija javlja se
interes i pojedinac zadatke rješava kroz određene kreativne aktivnosti. Zato motivacija
ima dva aspekta: (1) izazivanje interesa i (2) podržavanje toga interesa.
Motivacija je za svakog pojedinca od velike važnosti za njegov uspjeh. Ona je bit-
na za uspjeh u nastavi, tj. učenje, ali i za bilo koji drugi rad. Često se nije svjesno koliko
je važno sebi, radeći neki posao, u cijelosti razjasniti koja je svrha toga posla i koji je
cilj. Važno je stoga spoznati što se može i naučiti kako to postići (Kadum-Bošnjak i Volf
2005). Jer, sve što radimo bez volje i s negativnim stavom s vremenom ostavlja trago-
ve na pojedincu, a može dovesti i do psihičke nestabilnosti pojedinca.

4.4 Kognitivne potrebe

Izraz kognicija ili spoznaja opisuje se kao moć saznanja (cognitive power). Rabi
se za bilo koju vrstu mentalne operacije ili strukture koje se može proučavati u preciz-
nim izrazima (Lakoff i Johnson 1999). Dakle, kognicija je poimanje stvarnosti koje se
zasniva na čovjekovu iskustvu i mišljenju. Uključuje svaki mentalni proces koji se može
opisati kao iskustvo saznanja, opažanja, prepoznavanja, rasuđivanja i zaključivanja.
Veoma se često rabi u atributivnom značenju, kao na primjer, kognitivne potrebe.
Za razliku od kvantitativnih pristupa koji darovitost objašnjavaju visokim stupnjem
razvijenosti (opće ili specifične) sposobnosti, kvalitativni pristupi traže specifičnost da-
rovitosti u načinu mentalnog funkcioniranja. Začetnik ovog pristupa je Piaget, kojem je
interes bio usmjeren ka načinu rješavanja problema i uzrocima neuspjeha, a ne prema
ukupnosti rezultata u testu. Stoga se taj pristup i naziva kognitivni (ili neopjažeovski).
Čudina-Obradović (1991) navodi da daroviti pojedinci imaju sljedeće zajedničke
kognitivne osobine:
1. sposobnost usmjeravanja pažnje na relevantne informacije i sposobnost zadr-
žavanje pažnje;
2. visoko razvijena sposobnost uočavanja odnosa u području svog interesa, tj. u
području svoje darovitosti, tzv. sustavno razmišljanje;
3. visoko razvijena sposobnost za uočavanje i nalaženje novih problema, tzv.
analitičko razmišljanje;
4. originalan i aktivan pristup prema okolini;
5. sposobnost učinkovitog spremanja, tj. pohrane informacija koja osigurava bo-
gatu i dobro organiziranu mrežu pojmova i specifičnih znanja; i
6. sposobnost brzog pretraživanja dugoročnog pamćenja.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
71
Kognitivne potrebe koje proizlaze iz osobitosti darovitog pojedinca, iz njegova in-
telektualnog funkcioniranja jesu "da nauče više, brže, na višoj razini, produbljenije i s
većim naglaskom na teorijsku organizaciju ideja" (Čudina-Obradović 1991: 152). Viso-
ka osjetljivost za probleme; specifično i široko opće znanje; metakognitivna znanja i
vještine; brzo odvajanje bitnog od nebitnog; uočavanje odnosa između zadanih i ne-
poznatih veličina (podataka); mogućnost lakog poopćavanje, odnosno generaliziranje;
sposobnost razmišljanja, logičkog i sustavnog pamćenja; neobične mašte; razvijeno di-
vergentno mišljenje – karakteristike su darovitog djeteta koje određuju njegove kogni-
tivne potrebe. Zbog ovih karakteristika, darovitim je učenicima rad u školi, u nastavi i
učenju, vrlo često dosadan, posebno ako im učitelji na vrijeme ne ponude bitne, didak-
tičko-metodičke i organizacijske novine, što dovodi do nedostatka motiviranosti i gublje-
nja motivacije. Sposobnost brzog učenja, preciznog pamćenja, bogatog vokabulara i ja-
ke volje za znanjem – teško je udovoljiti u klasičnoj, tradicionalnoj nastavi. Ovo je mo-
guće riješiti pomoću self-directed učenja.
Kognitivne potrebe darovitog učenike zahtijevaju njegov puni angažman i primje-
nu dobrih strategija učenja kako bi postigao dubinsku obradu što će dovesti do trajnijeg
znanja. To ovisi o sposobnosti, ali i o njegovoj motivaciji. Pritom se u učenikovoj svijesti
usporedno i neprestano odvijaju brojni misaoni procesi i učenik je svjestan kako proce-
sa učenja tako i misaonih aktivnosti tijekom učenja, što dovodi do zadovoljavanja nje-
govih kognitivnih potreba (Andrilović i Čudina-Obradović 1996).

4.5 Odgojno-obrazovne potrebe

Sposobnosti pojedinaca osnova su i jedna od glavnih determinanti odgojno-obra-
zovnih potreba svakog učenika, posebno darovitog. Stoga je u odgojno-obrazovnom
procesu, u skladu s realnim intelektualnim i drugim potencijalima pojedinca, obvezan
diferencirani pristup svakom učeniku, posebice prema pojedincu čiji su takvi potencijali
izrazito veliki.
Učitelji u radu s darovitim učenicima trebaju znati po čemu i u čemu njihov rad
treba biti drugačiji – trebaju znati specifične odgojno-obrazovne potrebe darovitih, u če-
mu je njihova razlika i po čemu su te potrebe veće od ostalih učenika. Učitelji, također,
moraju znati kakav mora biti sadržaj a kakve metode odgojno-obrazovnog rada kako bi
se zadovoljile potrebe njihovog posebnog razvoja.
Nastava mora svakog učenika angažirati s obzirom na njegove mogućnosti. Sto-
ga se usmjeravanje darovitih ne smije prepustiti empatiji za njihove individualne osobi-
ne. Treba definirati ciljeve i načela usmjeravanja, kojima bi se odgovorilo na specifične
potrebe darovitih. Pritom se u obzir moraju uzeti: (1) spoznaje o karakteristikama i po-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
72
trebama darovitih; (2) spoznaje o prirodi darovitosti, procesu razvoja darovitosti i o raz-
voju specifičnih komponenti darovitosti; (3) spoznaje o prikladnim i najoptimalnijim obli-
cima organiziranog rada s darovitima.
Analizirajući odgojno-obrazovne potrebe darovitih učenika u standardnom razred-
nom okruženju, Johnson i Ryser (1996; prema: Hadžimehmedović 2009) ukazuju na:
1. prilagođavanje sadržaja potrebama učenika,
2. davanje prednosti učenicima,
3. mjerenje tempa instrukcija,
4. kreiranje fleksibilnog okruženja u učionici, i
5. korištenje specifičnih instrukcijskih strategija.
Westberg i Archambault (1997; prema: Hadžimehmedović 2009) prikazujući od-
gojno-obrazovne potrebe darovitih, identificirajući pritom teme i opće pristupe učenju i
poučavanju, kao najčešće zahtjeve navode:
– utvrđivanje visokih standarda,
– modifikacija nastavnog programa,
– pronalazak mentora za učenika,
– ohrabrivanje nezavisnih istraga i projekata,
– kreiranje fleksibilnih instrukcijskih grupa.
Koje opće pristupe učenju i poučavanju, tj. koje strategije i koje metode su najpri-
hvatljivije za rad s darovitim učenicima, a koje i za sve ostale učenike, pitanje je na koje
još nije dan konačan odgovor. Mnoge od ovih strategija i metoda preporučene od struč-
njaka za rad s darovitim učenicima su slične ako ne i iste onim preporukama nacional-
nih standarda za matematiku i znanost. Pritom učitelji, kao što je i očekivano, ovdje ni-
su najpouzdaniji i najpozvaniji stručnjaci. Oni bi najprije trebali isprobati strategije i me-
tode rada na sebi samima i zatim svoju prosudbu koristiti u određivanju njihove koristi
za učenike (Westberg i Archambault 1997).
S razvojem pedagoške i psihološke teorije i prakse, razvija se i upotpunjuje spoz-
naja o odgojno-obrazovnim potrebama, o načinima osiguravanja optimalnog razvoja
darovitih i najsposobnijih učenika (Safier i Bruck 1981). Tako Čudina-Obradović (1996)
predlaže sljedeća obilježja nastavnog procesa pogodna za razvijanje darovitosti:
1. Fleksibilna nastava koja omogućuje (1) individualizaciju s obzirom na prije ste-
čena znanja i posebnom interesu učenika, (2) osnovana na višim misaonim procesima
(razumijevanje, zaključivanje umjesto mehaničkog učenja i reproduciranja), te (3) krea-
tivnost i usmjerena na razvoj kreativnosti.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
73
2. Nastava koja dopušta (1) različit tempo napredovanja kroz sadržaje rada, (2)
različite sadržaje područja u polučivanju istih pedagoških ciljeva, te (3) primjenu različi-
tih stilova učenja i poučavanja za različite učenike.
3. Nastava koja omogućuje (1) akceleraciju, svrstavanje i obogaćivanje s obzi-
rom na potrebu učenika, (2) razvoj samopoštovanja i samopouzdanja te osjećaj odgo-
vornosti za vlastite rezultate, (3) motivacijski angažman zasnovan na ovladavanju sadr-
žaja a ne na usporedbama s vršnjacima, izvanškolska, životna iskustva.
U praksi su do danas provjereni ili su još uvijek u provjeri raznovrsni oblici, strate-
gije i metode nastavnog rada za poticanje darovitosti i kreativnosti, kao što su homo-
geno grupiranje darovitih, školska akceleracija ili ubrzano napredovanje kroz obrazovni
sustav, obogaćivanje programa i sl.27

4.6 Pojam metakognicije

Metakognicija je "maglovit koncept" koji opisuje neke "misteriozne" procese ne-
jasnog statusa i složenog porijekla, koji se isprepliću sa kognicijom i imaju regulativnu
ulogu u odnosu na nju. Gordon (1996) metakogniciju definiraju kao znanje, svjesnost o
vlastitim kognitivnim osobinama i spoznajnim procesima i upravljanja njima.
Metakognitivna znanja i vještine strateška su polazišta koje omogućuju strateško
ponašanje u rješavanju problema. Strateško ponašanje je zapravo izbor i planiranje
strategije rješavanja problemske situacije (problema, zadatka), provjera njezina funk-
cioniranja, kontroliranja rezultata, promjena strategije, što omogućuje veći uspjeh u raz-
ličitim, posebno u novim i neuobičajenim zadacima.
Metakognicija je često opisivana kao višedimenzionalna i upotrebljavana kao op-
ći pojam o grupi različitih kognitivnih vještina više razine koje su međusobno povezane.
Kovač-Cerović (1998) i Gojkov (2009) navode da se pod metakognicijom najčešće ra-
zumijevaju sljedeće pojave:
– znanje o vlastitom, odnosno općenito o ljudskom kognitivnom funkcioniranju, o
njegovim karakteristikama, moćima i ograničenjima;
– strategije praćenja i upravljanja vlastitom kognicijom i ponašanjem (metakog-
nitivne odluke o tome na što valja obratiti pažnju, što treba još jednom provjeriti, u ko-
jem pravcu tražiti rješenje, itd.);
– subjektivne doživljaje, odnosno metakognitivna iskustva koja izviru iz nekih
promjena ili privremenih teškoća u kognitivnom funkcioniranju.

27 O tome više u 10. poglavlju Osnovni oblici odgojno-obrazovne podrške darovitim učeni-
cima
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
74
Uloga metakognicije u rješavanju problema, kao jednom od važnijih aspekata in-
telektualnog funkcioniranja od posebnog je značaja. Rješavanje problema je aktivan
proces pokušavanja transformacije početnog stanja problema u željeno stanje. Meta-
kognicija pomaže individui da (1) uoči problem kojeg valja riješiti; (2) shvati što je pri-
roda problema i (3) razumije kako ga valja riješiti (Davidson i sur. 1994).

4.7 Metakognicija i matematika

Metakognicija predstavlja korisno koncepcijsko i vrlo praktično sredstvo u velikom
broju teorijskih i primijenjenih područja psihologije, ali i mnogih drugim znanstvenim
disciplinama, pa tako i matematike. Tako je poznati matematičar Polya već 1957. godi-
ne, znatno prije Flavella (1979), kroz poučavanje kako riješiti matematički zadatak, u
područje matematike uveo pojam metakognicije, iako ga tako nije nazvao. Kroz postup-
ke razumijevanja (zadatka), planiranja (kako riješiti zadatak), izvršenja plana (samo rje-
šavanje zadatka) i osvrta (na učinjeno), on je zapravo istaknuo važnost metakognitiv-
nog obrazovanja u matematici.
Gotovo trideset godina kasnije Schoenfeld (1985) je videosnimkama pratio rad
studenata na rješavanju matematičkih zadataka. On je vježbao studente da nakon od-
ređenog vremena rješavanja matematičkih zadataka stanu i zapitaju se: Što sada ra-
dim? Zašto baš to radim? Zašto to radim na takav način? Kako mi to pomaže? itd. Stu-
denti koji su tako uvježbavali polučivali su bolje rezultate od studenata koji su matema-
tičke probleme rješavali klasičnim načinom. Razlog tome je u činjenici što su takvim
pristupom problemu i takvim radom ulazili dublje u bit problema, razumijevajući pritom
veze između poznatog i nepoznatog, eksplicitnog i implicitnog, zadanog i traženog.
Na osnovi Schoenfeldovih studija, Mevarech i Kramarski (1997) su izgradili meto-
du IMPROVE, u kojoj se koristi niz metakognitivnih pitanja koje učenici postavljaju sami
sebi. IMPROVE je akronim za sljedeće nastavne korake:
Introducing the new concepts
(Uvođenje novog koncepta/pojma)
Meta-cognitive questioning

(Meta-kognitivno propitivanje/ispitivanje)
Practing

(Vježbanje)
Reviewing

(Pregledavanje/Preispitivanje)
Obtaining mastery

(Stjecanje vještina)
Verification

(Verifikacija)
Enrichment and remedial.

(Obogaćivanje i dopunjavanje).
Rezultati ispitivanja u kojima je rabljena metoda IMPROVE, kazuju da su posti-
gnuća uvijek bila znatno veća onih koji su se koristili tim postupkom (eksperimentalna
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
75
grupa), od onih koji su sudjelovali u kontrolnoj grupi, kako na ispitivanju matematičkog
znanja, tako i na ispitivanju matematičkog rezoniranja (Mevarech i Kramarski 2006).
Unatoč tome što se matematika smatra jednim od ključnih predmeta koji se pou-
čavaju u primarnom obrazovanju, prisutne su značajne poteškoće u proučavanju
matematike. Ovo ukazuje na potrebu izrade učinkovitih nastavnih metoda koje imaju
potencijal da unaprijede matematičko znanje i mišljenje. National Council of Teachers
of Mathematics (NCTM) navodi da kvalitetnu matematičku nastavu treba proširiti iz-
gradnjom znanja rješavanjem problema, stvaranjem veza, razvojem matematičke ko-
munikacije i uporabom različitih vrsta prikazivanja matematičkog znanja. NCTM ukazu-
je na važnost razvoja metakognitivnih sposobnosti učenika kao načina za poboljšava-
nje njihovih sposobnosti za rješavanje matematičkih problema i rasuđivanja (Mrkonjić i
sur. 2011).

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
76

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
77
5 POJAM KREATIVNOSTI

Kreativnost je pojam koji se u znanstveno-tehničkoj i drugoj literaturi rabi na sli-
čan način kao što se rabi i u svakodnevnom jeziku i životu. Iskazuje se u svim područji-
ma čovjekova djelovanja u obliku kulturnih, obrazovnih, znanstvenih, tehničkih i drugih
duhovnih i materijalnih produkata. Njime se označavaju misaoni procesi kojima se do-
lazi do rješenja, ideja, izuma, umjetničkih oblika, teorija ili produkata koji su jedinstveni i
novi. Kreativnošću se zapravo dolazi do novih, originalnih rješenja koja mogu imati op-
ću društvenu vrijednost, kao što su znanstvena otkrića, tehnički izumi i pronalasci,
umjetnička djela. Pritom se to novo ne može pripisati imitaciji već postojećeg jer su od
njih bitno drugačiji. To novo, nastalo kreativnim procesom, treba bolje, uspješnije i raci-
onalnije udovoljavati individualnim i društvenim potrebama od ranije postojećih produ-
kata.
Pojam kreativnosti u svakodnevnom govoru, ali i u govoru znanstvenika, upotre-
bljava se u dva značenja: kreativnost kao stvaralaštvo i kreativnost kao osobina, koja
imaju korijen u dvama različitim pristupima izučavanju kreativnosti.
Prvi pristup polazi od stvaralačkog čina u kojem nalazi i neke neobjašnjive, tajan-
stvene procese, koji kao da su izvan svjesnog, namjernog nastojanja stvaraoca, pone-
kad su kao nametnuti, protiv njegove volje. Psihoanalitička teorija sve procese koji re-
zultiraju u stvaralaštvu propisuje zato podsvijesti, u kojem se krije osnovni izvor energi-
je za stvaralaštvo a i sam sadržaj stvaralačkog rezultata. Drugi pristup, suprotan psiho-
analitičkom, naglašava objektivnost, mogućnost mjerenja i predikcije stvaralačkog po-
našanja. On ne polazi od stvaralačkog čina već od procesa i osobina ličnosti koje će
zbog svoje prisutnosti i razvijenosti omogućiti njegov nastanak. Ovaj, nazvan psihome-
trijski pristup, nastoji pronaći osnovne dimenzije mišljenja i ličnosti koje bi se mogle
identificirati, mjeriti i razvijati posebnim programima kako bi se otkrili potencijalni stvara-
oci i kako bi ih se potaknulo na produktivno stvaralaštvo (Čudina-Obradović 1991).
Iz rečenog je sasvim jasno da postoji veći broj definicija kreativnosti, pri čemu
svaka od njih ima svojih prednosti ali i nedostataka. Za potrebe ovoga rada opredijelili
smo se za sljedeću definiciju:
Kreativnost (hr. stvaralaštvo) je mentalni proces koji uključuje stvaranje novih ide-
ja, produkata, pojmova i rješenja problema ili kombinira postojeće ideje, produkte, poj-
move na način koji je za njih nov. Sa znanstvenog gledišta, smatra se da proizvodi kre-
ativne misli, koje često nazivamo divergentnim mislima, sadrže originalnost i primjere-
nost.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
78
Međutim, navodimo još ove definicije kreativnosti. Miel (1968: 6) definira kreativ-
nost kao proces "povezivanja ranije nepovezanih stvari. To je zapravo promišljen pro-
ces stvaranja novih kombinacija ili modeliranih sadržaja, pokreta, riječi, simbola ili ide-
ja, i omogućavanje da produkt bude na neki način dostupan drugim". Torrance (1981:
70) pak navodi da je kreativnost "proces otkrivanja problema ili nepotpunih informacija,
formiranje ideja ili pretpostavki i saopćavanje ovih rezultata. To je uspješan korak uči-
njen u nepoznato, silazak s uobičajenog puta, razbijanje kalupa, otvorenost prema is-
kustvu i dopuštanje da nas jedna stvar vodi u drugu, svježe kombinacije ideja ili uopća-
vanje novih odnosa ideja".
Kreativnost je posebna sposobnost koja može biti izražena kao stil života (Mas-
low 1982), odnosno način mišljenja ili izrade nekog predmeta (Hallman 1974). Među-
tim, navedena se sposobnost najčešće oslikava u kreativnom procesu i kreativnom
produktu, pa se stoga kreativna sposobnost, proces i produkt smatra kao jedinstvena
pojava.
Svakodnevno mišljenje pojma kreativnosti je jednostavno – stvaranje nečega no-
voga. Pritom kreativnost nije slučajan poklon, darovan sretnim pojedincima, već je to
vještina koja se vježba i razvija kao i svaka druga.
Sam pojam kreativnosti obilježen je dvojbama u shvaćanju i definiranju. Ipak, kao
osobine kreativnosti uzimaju se dva elementa:
1. kreativni pojedinac uočava, vidi, doživljava, kombinira stvari i pojave na nov,
svjež, neobičan način;
2. kreativni pojedinac proizvodi nove, neuobičajene, drugačije ideje i djela (pro-
dukte), (Huzjak, 2006).
Iz rečenoga slijedi: neki smatraju da je kreativan samo onaj pojedinac koji proiz-
vodi, a ne samo uočava (kreativnost = stvaralaštvo), dok drugi misle da je sposobnost
uočavanja neobičnog barem znak kreativnosti (kreativnost = osobina), (Čudina-Obra-
dović 1991).
Winner je (2005), u pokušaju rasvjetljavanja pojam kreativnosti, učinila i podjelu
na kreativnost s "velikim K" i s "malim k". Pritom su "kreativni" (malo k) oni pojedinci ko-
ji, uz minimalno vodstvo odraslih, samostalno otkrivaju pravila i tehničke vještine u od-
ređenom području i koji izmišljaju neobične strategije za rješavanje problemskih zada-
taka, odnosno problemskih situacija. Kada se, međutim, govori o "Kreativnosti" (veliko
K), tada pod tim pojmom razumijevamo istezanje, mijenjanje ili čak transformiranje po-
dručja, što podrazumijeva veliku bazu znanja i iskustva. Pritom se smatra da djeca ne
mogu biti kreativni na ovaj način. Ovome je pokušao doskočiti Taylor modelom koji se
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
79
može interpretirati na sljedeći način: Povlači li dijete crte po papiru, ono nije stvorilo
društveno vrijedan produkt, ali je ipak nešto stvorilo.
Raspravljajući o stvaralaštvu, Taylor (1972) je kreativnost razvrstao u pet razina:
(1) kreativnost spontane aktivnosti, tj. izražajno-fundamentalna razina za koju je
od značaja sloboda i spontanost (dječja igra i druge izražajne djelatnosti djeteta), (od
prve do šeste godine djetetova života);
(2) kreativnost usmjerene aktivnosti, odnosno produktivna aktivnost uz koju se
navodi njegovanje spontanog izražavanja i usvajanja mnemo tehnike i znanja (od sed-
me do desete godine djetetova života);
(3) kreativnost invencije, tj. pronalazačka aktivnost za koju je od značaja opera-
tivna kombinatorika, stvaranje novih sklopova od poznatih elemenata, (od jedanaest do
petnaeste godine života djeteta);
(4) kreativnost inovacije, odnosno inovatorska aktivnost vezuje se uz znanost i
umjetnost gdje se rezultati mjere ne na osnovi osobnog iskustva, već na osnovi kultur-
nih vrijednosti (16-17 godina života);
(5) kreativnost stvaranja, tj. preobražavajuća emergentiva – izmjena slike svije-
ta, genijalnost (od osamnaeste godine dalje).
Prve četiri razine vezuju se za malo k, dok je zadnja, peta razina za veliko K, pri
čemu valja imati na umu da djeca nisu ni umjetnici ni znanstvenici.
Daroviti učenici koji nisu Kreativni (veliko K), u odrasloj dobi postaju stručnjaci, a
stručnost nije kreativnost. Stručnjaci, unutar svojega područja, ostvaruju visoke rezulta-
te, ali samo kreativne osobe mijenjaju to područje.
U posljednjih pedesetak godina provedena su mnoga pedagoška i psihološka is-
traživanja, tražeći odgovore na tri suštinska pitanja: (1) kakva je priroda kreativnosti, (2)
može li se i kako kreativnost mjeriti i (3) može li se i kako kreativnost poučavati, trenira-
ti, odgajati.
Za istraživanje kreativnosti najveće zasluge pripadaju američkom psihologu Guil-
fordu. On je, u potrazi za što preciznijim određenjem činitelja koji određuju sposobnost,
konstruirao model koji je organizirao postojeća znanja, ali i predviđao još neistražene
sposobnosti, ponudivši tako smjernice istraživačima. Njegov model intelektualnih spo-
sobnosti predočuje se kao kvadar dimenzija 4´5´6 ćelija, a čine ga sadržaji, operacije i
njihovi produkti. Sadržaja ima četiri (figuralni, simbolički, semantički i bihevioralni),
operacija ima pet (kognicija, memorija, divergentna produkcija, konvergentna produkci-
ja i evaluacija), dok produkata ima šest vrsta (jedinica, klase, relacije, sustavi, transfor-
macije i implikacije). Sveukupni umnožak ovih sposobnosti je 120, a to su činitelji inte-
lektualnih sposobnosti, od kojih je svaki od njih (svaka ćelija) određen trostrukom inter-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
80
akcijom (križanjem) sadržaja, operacija i produkata. Svaki od činitelja ima svoje tehnič-
ko ime, pri čemu je prvi znak uvijek operacija, drugi sadržaj, a treći produkt. Tako se,
na primjer, divergentne simboličke jedinice još nazivaju i fluentnost riječi (Guilford
1984).
Prikazat ćemo najznačajnije sposobnosti stvaralačkog mišljenja, prostorni isječak
kvadra pod nazivnom divergentna produkcija. Riječ je o operaciji za koju se smatra da
je najvažnija za kreativnost. Kao i svaka operacija u modelu, i ova se sastoji od dvade-
set i četiri ćelije: 4 (sadržaja) ´ 6 (tipova produkata) = 24 (ćelije). Guilford utvrđuje slje-
deće činitelje divergentnog mišljenja:
1. Fleksibilnost – sposobnost promjene usmjerenosti mišljenja tijekom rješavanje
problema, a da tu promjenu problemska situacije ne zahtjeva, sposobnost proizvodnje
mnogih relevantnih ideja, brzo pronalaženje što više rješenja nekog problema. Razliku-
jemo spontanu fleksibilnost (divergentna produkcija semantičkih klasa) i adaptivnu flek-
sibilnost (divergentna produkcija figuralnih transformacija, sposobnost rješavanja pro-
blema na različite načine u situacijama koje to izričito zahtijevaju).
2. Fluentnost – sposobnost obrade informacija i objekata na različite načine, mo-
gućnost simultanog sagledavanja različitih mogućnosti, što više kategorija. Razlikujemo
fluentnost riječi (divergentna produkcija simboličkih jedinica, sposobnost stvaranja no-
vih riječi, uobličavanje i razvijanje ideja riječima), asocijativna fluentnost (divergentna
produkcija semantičkih relacija, sposobnost proizvodnje mnogih istoznačnica i riječi od-
ređenog sličnog značenja), ekspresivna fluentnost (divergentna produkcija semantičkih
sustava) i fluentnost ideja (divergentna produkcija semantičkih jedinica, sposobnost da
se za određeno vrijeme proizvede što veći broj ideja koje ispunjavaju određene smisle-
ne zahtjeve).
3. Originalnost (divergentna produkcija semantičkih transformacija) – sposobnost
produkcije neobičnih, rijetkih, udaljenih i duhovitih odgovora ili posve novih ideja, koje
se razlikuju od ideja ostalih ljudi.
4. Elaboracija – sposobnost ukrašavanja ideja detalja, što više detalja u odgovo-
rima, sposobnost razvijanje originalnog rada u cjelini, a na osnovi otkrivenih novih ide-
ja. Razlikujemo figuralnu elaboraciju (divergentna produkcija figuralnih implikacija) i se-
mantička elaboracija (divergentna produkcija semantičkih implikacija).
Pored navedenih činitelja, za kreativnost su značajni i činitelji koje ne ubrajamo u
divergentne; to su
5. Osjetljivost na probleme (kognicija semantičkih implikacija) – sposobnost da
se uoče nedostaci ili potrebe za promjenama ili poboljšanjima u postojećim stvarima,
otkrivanje i formuliranje problema u nedoživljenim i problemskim situacijama.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
81
6. Redefinicija (kognicija semantičkih transformacija) – sposobnost napuštanja
starih načina tumačenja poznatih predmeta kako bi se koristili u nove svrhe, pronalaže-
nja novih funkcija objekata, tj. da se poznati predmeti upotrijebe na nov i neuobičajen
način, sposobnost pronalaženja novih funkcija objekata, tj. da se poznati predmeti upo-
trijebe na nov i neuobičajen način.
Vezano uz navedene komponente, Guilford (1984) navodi da su one čvrsto pove-
zane i da se međusobno dopunjuju. Kreativnost nije znanje već sposobnost, a među
sposobnostima nalazi se i mišljenje, koje je Guilford podijelio na konvergentno (logičko
zaključivanje, pronalaženje ispravnog rješenja) i divergentno (pronalaženje što većeg
broja ispravnih rješenja). To opet znači kako se kreativnost ne može naučiti već samo
uvježbavati. Međutim, promatrajući ovu tvrdnju obrnuto, uočava se – kako ističe Guil-
ford – poražavajuća činjenica: većina ljudi zapravo ne rješava probleme razmišljajući,
već naučenim znanjem koje im je na raspolaganju. Kako je nemoguće posjedovati zna-
nja za sve problemske situacije koje pojedinca očekuju u životu, naslućuje se nužnost
stereotipne uporabe znanja koje pojedinac ima na raspolaganju: uvijek ista rješenja za
različite problemske situacije. Mišljenje je vještina koja je dostupna samo onima koji ju
uvježbavaju (Guilford 1984).

5.1 Psihička uvjetovanost kreativnosti

Pojam kreativnosti Winnicott (1971) definira kao način pristupa neke osobe vanj-
skoj stvarnosti i kao kreativnu percepciju vanjskog svijeta koja pojedincu daje osjećaj
da je vrijedno živjeti. Suprotno tomu je način pristupa vanjskoj realnosti kao čista prila-
godba neke osobe toj realnosti, pri čemu se svijet i njegovi dijelovi percipiraju samo
ako se mogu iskoristiti ili ako se njima mogu prilagoditi. Takav pristup vanjskomu svije-
tu pojedincu može dati osjećaj nekorisnosti, tj. može mu dati predodžbu o ispraznosti i
bezvrijednosti života. Glede toga, kreativan život bio bi znak psihičkog zdravlja, a ne-
kreativnost bolest. Međutim, kreativan život ne možemo poistovjetiti s psihičkim zdrav-
ljem, ali se nekreativnost, odnosno smanjenu kreativnost, koja praktički osiromašuje ži-
vot neke osobe, može uvrstiti u psihičku patologiju (Beck-Dvoržak 1987).
Kreativnost je funkcija ega (ja), pa je stoga razvoj kreativnog pristupa u uskoj
svezi s razvojem psihičke strukture. Winnicott (1971) smatra da psihički život djeteta
počinje ranije nego što biološki razvoj omogući egu objektivne percepcije i doživljaje
svijeta što ga okružuje. U ranoj fazi razvoja djeteta, dijete živi u svijetu samo subjektiv-
nih predodžbi i, s obzirom na svoje potrebe, apsolutno je ovisno o majci. Majka primar-
no zaokupljena materinstvom identificira se s potrebama djeteta, pa svojom dovoljno
dobrom skrbi daje djetetu osjećaj života. Svojim materinstvom, majke krajnje osjetljiva
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
82
za potrebe djeteta, psihički ima iluziju da je dijete dio nje. Ta faza, faza međusobnih ilu-
zija traje nekoliko tjedana nakon poroda. Biološkim sazrijevanjem djetetova središta
živčanog sustava, dijete prelazi u sljedeću razvojnu fazu, u kojoj već može participirati
vanjski svijet. Zato što je dijete zrelije i što više ne zahtjeva tako veliku majčinu skrb,
majka mijenja svoje ponašanje spram njega, čime zapravo potiče razvoj djeteta. Pritom
dijete mora napustiti iluziju o jedinstvu s majkom, što za nj predstavlja veliku frustraciju.
Kako gubitak iluzije ne bi bio prenagao a frustracija prevelika, dijete nalazi neke lako
dostupne objekt i fenomene (pelene, rub pokrivača, vlastiti prst, …) i od njih kreira na-
domjestak za majku. Budući da ti objekti i fenomeni postaju simbol za majku, dijete se
njima služi uvijek kad nešto treba, kao na primjer kad je gladno, pospano i sl. Ti objekti
i fenomeni iz kojih dijete – u razdoblju od četvrtog do dvanaestog mjeseca života – krei-
ra simbole jedinstva s majkom prijelaznog su karaktera, jer se oni za dijete nalaze na
prijelazu sa njegova unutarnjeg psihičkog svijeta ka vanjskome svijetu.
Dijete, koje je već toliko napredovalo u razvoju i kojem stoga više ne treba takva i
tolika skrb majke, i sve duži vremenski razmaci u kojima majka može dijete ostaviti sa-
mo, stimuliraju ga na uporabu različitih objekata, simbola jedinstva s majkom. Ta aktiv-
nost razvija i jača djetetov ego, i ono od apsolutno ovisnog bića postepeno postaje sve
samostalnije (Beck-Dvoržak 1987).
Operiranje djeteta s prijelaznim objektima predstavljaju njegovu prvu igru i ona se
(igra) nalazi na prijelazu s unutarnjeg ka vanjskom svijetu djeteta. Igrajući se dijete ot-
kriva sve više novih objekata, koje kreativno uključuje u svoju igru, uživajući u njoj.
Svaki trenutak djetetova života u toj ranoj razvojnoj fazi primjer je kreativnog života.
"Na taj se način između područja unutarnjeg svijeta i područja vanjskoga svijeta stvara
treće područje – iskustveno područje, čiju osnovu čine prijelazni objekti i fenomeni, a
koje istovremeno povezuje i dijeli dijete i majku, u kasnijem životu pojedinca i društvo".
(Beck-Dvoržak 1987: 97). Stjecanjem novih iskustava to se područje širi i bogati, pri če-
mu je količina iskustava individualna – vrlo malena ili vrlo velika.
Gomilajuća iskustva mogu biti dobra i/ili loša, što uvelike ovisi o okolini; u najrani-
jem životu djeteta to ponajprije ovisi o majci, koja svojom neprekidnom i dovoljno do-
brom skrbi, ljubavlju i nježnošću razvija u djetetu osjećaj sigurnosti i povjerenja. Samo
uz osjećaj sigurnosti i povjerenja dijete ima povoljne uvjete za izgradnju svog iskustve-
nog područja. Samo s povjerenjem u majku, ono će s povjerenjem i kreativnošću pris-
tupiti objektima vanjskoga svijeta, prihvaćajući ih i pritom bogati svoje iskustveno po-
dručje, koje će se u kasnijem životu koristiti kulturnim tekovinama što će mu na raspo-
laganju biti.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
83
Beck-Dvoržak (1987: 97) navodi da se s tog stajališta može pretpostaviti "da ne-
povoljni uvjeti za razvoj ega u najranijoj dobi, u vrijeme kada dijete počinje zamjećivati
objekte vanjskoga svijeta i razlikovati ja od ne-ja, kad su mu potrebna dobra iskustva
da bi steklo osjećaj povjerenja i sigurnosti, mogu izazvati nedostatak kreativnog pristu-
pa životu." Ti nepovoljni uvjeti za razvoj ega mogu potjecati od samog djeteta koje
zbog nepovoljne osnove nije u stanju iskoristiti povoljne prilike iz svoje okoline, ili ako
zbog bolesti, vezane s bolovima i drugim neugodnostima, stekne previše loših iskusta-
va.
Djeca s lošom biološkom osnovom, kao i ona koja su u prvoj godini života, u vri-
jeme kada stječu osnovno povjerenje i sigurnost u majku, bila duže bolesna ili češće
pobolijevala, u svom kasnijem životu bila su nepovjerljiva, nesamostalna, s manje sa-
mopouzdanja i s manje kreativnog pristupa životu. Nepovoljni uvjeti za razvoj djetetova
ega mogu potjecati i od okoline, bilo zbog nepovoljnih osobina roditelja ili staratelja, ko-
je se brinu o djetetu, bilo zbog teških i složenih socijalnih prilika u kojima živi obitelj, a
dijete odrasta.
Kreativnost djece s lošom biološkom osnovom i ona koja su u najranijem djetinj-
stvu često pobolijevala, te ona koja su odrastali u neprimjerenim socijalnim uvjetima, i
kasnije odraslih osoba, smanjena je, i ona među ostalim simptomima, imaju i osjećaj
nekorisnosti i besmislenosti života. Učinak nepovoljnih uvjeta na razvoj ega u ranoj
dječjoj dobi, moguće je, uz vrlo povoljne uvjete u kasnijem životu, da određene mjere
popraviti. Međutim, razvoj nekih funkcija i osobina koje su promašene u određenoj dobi
djeteta, često se nikada neće moći nadoknaditi.
Tijekom odgoja i socijalizacije dijete gubi u većoj ili manjoj mjeri svoje sposobnos-
ti. Predškolsko je dijete kreativnije od školskog djeteta. Naime, školsko dijete je, pored
odgojnog pritiska u porodici, izloženo i intenzivnim pedagoškim utjecajima. Pored nave-
denog, psihoanalitičari daju još jedno obrazloženje veće kreativnosti predškolskog dje-
teta. Predškolska dob se, naime, poklapa s edipovskom fazom razvoja libida, u djeteta
te dobi aktualan je Edipov kompleks28 u kojemu je, između ostalog, izražena želja dje-
teta da se dopadne roditelju suprotnog spola, da se iskaže pred njime i da pritom potis-
ne svoje suparnike. Upravo to nastojanje pokreće dijete na kreativnost i ono svoje pro-
dukte, odnosno kreacije poklanja roditelju u nastojanju da nadmaši svoje suparnike i

28 Edipov kompleks ili Edipov konflikt, prema Freudu, predstavlja podsvjesnu želju sina za
majkom, praćena čuvstvima ljubomore i neprijateljstva prema ocu.
Edipov kompleks izaziva u djeteta čuvstva krivnje pa se dijete identificira s roditeljem is-
tog spola, tj. sin s ocem, kako bi preko njega ostvario svoju potisnutu želju. (Petz 1992).
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
84
stekne roditeljevu naklonost. Pritom valja ukazati na to da u odgoju predškolskog djete-
ta nalazimo posljednju priliku za poticanje i očuvanje njegove aktivnosti29.
Međutim, valja napomenuti da postoje oblici odgoja koji mogu u većoj mjeri spu-
tati spontanost a time i kreativnost djeteta. Na blokiranje spontanosti djeteta utječu, na
primjer, autoritativan odgoj, koji izaziva mnogo straha, zatim nekonzekventan odgoj,
koji dijete čini nesigurnim, te odgoj prisilno neurotičnog i fobičnog roditelja, koji u odgoj
nesvjesno unosi svoje opsesije i fobije. Pored navedenog, Klein (1975) navodi da i suz-
bijanje samozadovoljavanja, kao prirodne pojave djeteta, također može dovesti do
smanjivanja njegove kreativnosti.
Do blokiranja spontanosti djeteta može dovesti i vlastiti superego, vlastita svijest
ako je prestroga. Naime, u zdrava djeteta uvijek postoji određeni konflikt između na-
gonskih nastojanja i superega. Pritom taj konflikt izaziva strah i osjećaj krivnje, koji u
stvari znače signale za psihičku obranu. Kako će se netko braniti od tih konflikata, koje
će obrambene mehanizme rabiti, u mnogome ovisi o dotadašnjem razvoju djeteta kao
ličnosti i o trenutačnom psihičkom stanju. U povoljnim uvjetima među obrambenim me-
hanizmima prevladava sublimacija, kao oblik kompenzacije, tj. nagonske tendencije
sublimiraju se u kreacije, i tako se konflikt smanjuje ili uklanja. Drugi mehanizmi obrane
manje su povoljni, ali ostanu li u okvirima normalnoga, nikad bitno ne smetaju kreativ-
nosti.

5.2 Odgoj kreativnosti u nastavi

Među aktualnim problema pedagoške teorije i prakse pitanje odgoja kreativnog
pojedinca zauzima središnje mjesto. Štoviše, kreativno mišljenje, kao jedna od najvaž-
nijih intelektualnih funkcija, predmet je znanstvenog interesa koji prelazi psihologijsko-
pedagoške okvire i ima najšire društveno značenje.
Kreativnost je toliko kompleksan psihološko-pedagoški fenomen da se zbog te
složenosti i ne može precizno definirati. Kreativne osobe odlikuju se sljedećim osobina-
ma:
– originalnost se pokazuje na različite načine,
– osoba je u svojim sudovima nezavisna,
– nije impresionirana mišljenjem drugih,
– izražena je znatiželja za mnoga razna područja,
– razvijen je smisao za humor,
– pokazuje neuobičajenu osjetljivost za probleme,

29 Dokaz i više o tome, na primjer, u: Beck-Dvoržak, M. (1987); Somolanji I. i Bognar, L.
(2008)
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
85
– ima određen cilj i sposobnost da se potpuno usredotoči na izvršavanje zadata-
ka (Kvaščev 1975).
Kreativno promatranje stvari bogati i proširuje iskustvo učenika. Osposobljavanje
učenika da producira što veći broj ideja, usmjerava ih da obične stvari gledaju na nov
način, da traže i pronalaze nove funkcije stvari i pojava, da rješavanju problema pristu-
paju na različite načine, da spontano mijenjaju usmjerenost u mišljenju tijekom rješava-
nja problemskih situacija. Jedan od najznačajnijih subjektivnih uvjeta kreativnosti je ne-
komformizam, nepriklanjanje onome što je već ustaljeno u društvu, odstupanje od utvr-
đenih navika, stereotipa i šablona. Radoznalost je, u tom smislu, od izuzetnog značaja,
a ono je u djetinjstvu fascinirajuće. Međutim, tu nezasitnu radoznalost nastava i učenje
postepeno usporavaju i konačno ovaj proces zaustavljaju.
Kvaščev (1975: 31) navodi da „postoji relativno mali broj odraslih osoba koje su
bile dovoljno sretne da su zadržale nešto od dječje radoznalosti, od njegove sposob-
nosti za postavljanje pitanja i za radoznalo čuđenje (…) Prosječna odrasla osoba 'zna
sve odgovore' (…) Ona se prestala pitati i otkrivati. Upravo takav odrasli čovjek ne
odgovara na dječja pitanja, već upoznaje dijete sa konvencionalnim uzorima svoje
civilizacije, čime uspješno zatvara usta koja pitaju i oko koje se čudi“.
Uspjeh u školi nije pouzdana osnova za prognozu kreativnosti. U nastavi se više
cijeni točnost interpretacije od samostalnosti ocjenjivanja sadržaja, konkretnost iznoše-
nja od originalnog izlaganja. Ne nagrađuje se samostalnost i smjelost u uvjerenjima,
suviše se hvali pristojnost, točnost, disciplina, spremnost da se prihvati mišljenje auto-
riteta. Škola, onakva kakva jest, ne samo da ne razvija stvaralačke sposobnosti uče-
nika nego čak ometa one stvaralačke manifestacije koje u učenika već postoje. Njen,
međutim, temeljni zadatak nije usmjeravanje posebnih znanja i vještina, nego određe-
nog istraživačkog stila rada u nastavi koji će smanjivati i brisati razlike između znan-
stvenog i tzv. svakidašnjeg mišljenja. U tom smislu još je sporno pitanje u kojoj je mjeri
dopušteno da učenikovo mišljenje ide stranputicom i jesu li korisna lutanja i pogreške.
Pravo stvaralačko mišljenje, međutim, nije moguće razvijati bez mukotrpnog traganja
za najboljim putovima, a oni nisu odmah vidljivi i jasni (Kvaščev 1975).
Prava kreativna sposobnost relativno je nezavisna od onoga što se mjeri testovi-
ma inteligencije ili školskim ocjenama. U školama se obeshrabruje stvaranje kreativnih
pojedinaca koji bi mogli dati originalne doprinose umjetnosti, znanosti, tehnologiji.
Poznato je da testovi inteligencije obično daju prednost konvergentnom vidu miš-
ljenja a osobito logičnom zaključivanju. U njih je ispravan odgovor točno određen. Me-
đutim, za testove kreativnosti bitna je originalnost, nekonvencionalnost, napuštanje
„utrtih staza“. Stoga u njima nema iscrpnog pregleda točnih odgovora (Kvaščev 1975).
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
86
Prema tome, neopravdani su zaključci o negativnoj ili beznačajnoj vezi između
inteligencije i sposobnosti stvaralačkog mišljenja. Inteligencija je tijesno povezana sa
sposobnostima stvaralačkog mišljenja, ali isto tako da se kreativni učenici nalaze i me-
đu onima koji nisu intelektualno natprosječni. Ili, kako ističu Kirst i Diekmeyer (1973:
31), „svatko od nas je kreativan samo moramo postati toga svjesni“.
Pedagoški vid problema kreativnosti nije metrijskog karaktera, tj. momentalnog
statusa kreativnosti pojedinca, već se očituje u postupcima razvijanja njegovih stvara-
lačkih sposobnosti. Rezultati brojnih pokušaja znanstvenih istraživanja mogućnosti
vježbanja kreativnosti pokazuju da je u načelu moguće razvijati stvaralačke sposobnos-
ti učenika. Pritom je sustavnim i odgovarajućim vježbanjima moguće razviti i kritičko i
stvaralačko mišljenje učenika. Pomoću tih vježbi učenici su dovođeni u situacije da nji-
hovo učenje prelazi u stvaralaštvo, tj. da se proces učenja zasniva na različitim spo-
sobnostima stvaralačkog mišljenja.
Već od prvih školskih dana, kod darovite djece, moraju se razvijati osobine koje
su svojstvene kreativnim osobama općenito, pa tako i posebno u području matematike.
Prema darovitoj djeci treba se odnositi kao stvaraocima "u malom". Ono što odlikuje
stvaraoce jeste veliki i mukotrpan rad, stalno razmišljanje o problemu koji se rješava,
visoka darovitost za matematiku, bogatstvo ideja o mogućim putovima rješenja proble-
ma, iznenadni "bljesak" rješenja, poznavanje svega što je u vezi sa problemom itd. Naj-
važnije od svega jeste da stvaralac posjeduje razvijeno stvaralačko mišljenje (Dejić
2003).
Prema Guilford – istaknuli smo već – stvaralačko mišljenje predstavlja složenu in-
telektualnu aktivnost u kojoj do izražaja dolaze sljedeće aktivnosti: fleksibilnost, fluent-
nost, originalnost, elaboracija, osjetljivost za probleme i redefinicija. Sve ove kompo-
nente čvrsto su povezane i jedna drugu dopunjuju.
Na razvijanje iznijetih komponenti može se utjecati radom na odgovarajućim
(matematičkim) zadacima. Prikazat ćemo to jednim primjerom (Dejić 2003).
FLEKSIBILNOST ima svoju istoznačnicu u riječi elastičnost. Podrazumijeva mije-
njanje, prilagođavanje, odbacivanje starih metoda i prihvaćanje novih, mijenjanje direk-
cije (usmjerenosti) mišljenja pri rješavanju nekog problema. Najčešće se spominju
adaptivna, ideaciona, spontana i metodološka fleksibilnost. Adaptivna fleksibilnost pod-
razumijeva prilagođavanje postupaka svakoj konkretnoj situaciji. Obično dolazi do iz-
mjena kada se problem ne može riješiti na uobičajeni poznati način. Ideaciona flek-
sibilnost podrazumijeva dinamičnu primjenu ideja u novim situacijama, a spontana flek-
sibilnost se odnosi na sposobnost primjene neke ideje u vrlo širokom rasponu. Meto-
dološka fleksibilnost odnosi se na samostalno otkrivanje određenih uzročno-poslje-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
87
dičnih veza i odnosa kojim se dolazi do poželjnog rješenja (Stevanović 2001). Prema
tome fleksibilnost je sposobnost promjene usmjerenosti mišljenja, prilagođavanje iz-
mijenjenim uvjetima zadatka, kao i oslobađanje od šablone i stereotipnog načina miš-
ljenja.
Primjer: Od šest danih palidrvaca sačinite četiri trokuta.

R j e š e n j e . Učenici zadatke ovakvog oblika pokušavaju ri-
ješiti u ravnini, gdje problem nema rješenja. Kada napuste us-
mjerenost ka ravnini i svoja razmišljanje o rješavanju problema
usmjere ka prostoru, dolaze do rješenja.
FLUENTNOST označava mnoštvo produkata, odnosno neku proizvodnju. Naj-
češće govorimo o fluentnosti riječi, ideja, asocijacija i izražajnoj fluentnosti. Fluentnost
riječi je u stvari sposobnost stvaranja novih riječi. Fluentnost ideja je zapravo spo-
sobnost proizvođenja što većeg broja ideja koje imaju logički smisao. Asocijativna
fluentnost je sposobnost pronalaženja sinonima i riječi sličnog značenja kojim se mogu
razvijati naznačene ideje. Izražajna fluentnost – pokazuje sposobnost razvijanja ideje
riječima (Stevanović 2001). Dakle, fluentnost predstavlja sposobnost da se pri rješa-
vanju nekog problema pronađe što je moguće više rješenja.
Primjer: U prazne kvadratiće upišite znakove računskih operacija (+, –, ×, :) tako
da bude zadovoljena jednakost

R j e š e n j e . Zadatak ima više rješenja:
5 + 5 – 5 = 5;     5 – 5 + 5 = 5;     5 × 5 : 5 = 5;     5 : 5 × 5 = 5.
ORIGINALNOST kao pojam dolazi od latinske riječi origo u značenju početak,
začetak i podrijetlo. To je nešto novo, jedinstveno, samostalno načinjeno. U stvara-
laštvu se ovim pojmom označava sve ono što je izvorno, neponovljivo, novo, neobično i
slično. Obično se vidi u nekom djelu, procesu ili ponašanju pojedinca (Stevanović
2001). Valja napomenuti da učenici u primarnom obrazovanju još nisu u mogućnosti da
originalnost iskazuju na polju novoga i nepoznatoga. Njihova se originalnost iskazuje
tako što poznate sadržaje koriste na nov i neuobičajen način. Obično je to rješavanje
zadataka u kojima je iskazana dosjetljivost, duhovitost i neobičnost.
Primjer: U devetom poglavlju govorit ćemo o Gaussovoj dosjetki, a radi se za-
pravo o sljedećem: Gauss je, kao sedmogodišnje dijete, izračunao zbroj prvih sto pri-
5        5        = 5
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
88
Prva
x
x
x
Druga
x
rodnih brojeva. Dosjetka da zbroji prvi i posljednji broj u nizu (1 + 100 = 101), zatim
drugi i pretposljednji (2 + 99 = 101), dalje, treći i treći od kraja (3 + 98 = 101) itd. i uoči
da je zbroj uvijek 101, i da takvih parova (zbrojeva u nizu od 1 do 100) ima 50, uistinu
je originalna.
R j e š e n j e . 101 × 50 = 5 050.
Klasičan način rješavanja ovoga zadatka jeste da se brojevi od 1 do 100 zbrajaju
redom:
1 + 2 = 3;    3 + 3 = 6;    6 + 4 = 10;    10 + 5 = 15;    15 + 6 = 21; …
Gaussova dosjetka vodi do formuliranja zakona o zbroju prvih n članova aritme-
tičkog niza.
ELABORACIJA je sposobnost razrade jedne ideje do konačnog rješenja. Podra-
zumijeva smisleno integriranje čestica, traženje ispravnoga uzročno-posljedičnog slije-
da i njihovo uklapanje u strukturu znanja koje je ranije stečeno (Stevanović 2001). Ona
dakle predstavlja sposobnost da se problemska situacija riješi tako što će se podaci i
ideje u problemu dopuniti novim podacima i novim idejama.
Primjer: U dvije košare ukupno je 60 jabuka. Ako se iz prve košare prebaci u
drugu pet jabuka, u prvoj će košari biti tri puta više jabuka nego u drugoj. Koliko je ja-
buka bilo u svakoj košari prije prebacivanja?
R j e š e n j e . Neka je u drugoj košari nakon prebacivanja bilo x jabuka. Sa slike
se lako uočava da je 4x = 60, odakle slijedi x = 15. Poslije prebacivanja, u prvoj košari
je 15 × 3 = 45 jabuka, a u drugoj 15 jabuka. Prije prebacivanja u prvoj je košari bilo 45 +
5 = 50 jabuka, a u drugoj 15 – 5 = 10 jabuka.

OSJETLJIVOST ZA PROBLEME definira se kao sposobnost formuliranja i zapa-
žanja problema u novim situacijama (Stevanović 2001). Predstavlja sposobnost da se
uoči neobično u zadatku, da se uoče proturječnosti, suvišni i nepotpuni podaci, kao i da
se procjeni realnost dobivenog rješenja.
Primjer: U košari se nalaze tri jabuke. Majka ih je podijelila trojici sinova. Svako
je dijete dobilo po jednu jabuku i jedna je ostala u košari. Kako je to učinila?
R j e š e n j e . Činjenica da je svaki od sinova dobio po jednu jabuku i da je jedna
ostala u košari upućuje na zaključak da su u košari bile četiri, a ne tri jabuke. Očito je
da postoji proturječnost koju treba uočiti i razriješiti nastalu situaciju. Problem je ipak
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
89
moguće riješiti, ako se uoči da dvojica sinova mogu dobiti po jednu jabuku, a treći
košaru s jabukom.
Pod REDEFINIRANJEM razumijevamo otkrivanje novih funkcija predmeta i/ili
objekata i pronalaženje novih značenja i osobina danih podataka (Stevanović 2001).
Redefinicija, prema tome, predstavlja sposobnost da se odnosi i podaci u zadanoj
problemskoj situaciji uporabe na drugačiji, nov način, s ciljem da se lakše i učinkovitije
dođe do rješenja. Pritom se najčešće vrši preformulacija zadatka kako bi zadatak bio
bliži djeci.
Primjer: Marko, Nenad i Petar sudjelovali su u štafetnoj utrci. Marko je pretrčao
pola staze, Nenad 300 metara, dok je Petar pretrčao 100 metara. Kolika je duljina sta-
ze?
R j e š e n j e . Zadatak se lako rješava pomoću jednadžbe oblika
x
x
=
+
+
100
300
2
.
Međutim, za učenike primarnog obrazovanja ovakva jednadžba je veoma složena i
zahtjevna, i sigurno je neće moći riješiti. Ako zadatak redefiniramo, lakše će se riješiti.
Naime, kako je Marko pretrčao pola staze, slijedi podatak, koji u zadatku nije direktno
istaknut, a to je da su Nenad i Petar također pretrčali polovinu staze, što iznosi
300 + 100 = 400.
Ako je to polovina staze, slijedi da su Marko, Nenad i Petar zajedno pretrčali
400 × 2 = 800 m.

– o 0 o –

Djeca svoju originalnost iskazuju kroz različite aktivnosti. Šest univerzalnih pita-
nja tko, što, kada, gdje, kako i zašto jedna je od aktivnosti kojom možemo poticati uče-
nike na uočavanje problema, pronalaženje rješenja i općenito na iznošenje novih, neo-
bičnih ideja. Cevtković-Lay i Pečjak (2004) navode kako dječje mišljenje u velikoj mjeri
obilježava fluentnost. Tako se od učenikâ u aktivnosti sastavljanje brojevnih izraza mo-
že tražiti da neki broj, na primjer broj 24, prikažu na što više načina jednom istom zna-
menkom, pritom je dopušteno koristiti sve četiri elementarne računske operacije30.

30 Broj 24 može se jednom istom znamenkom prikazati na sljedeće načine:
4
4
4
3
4
4
4
2
1
1
24
24
1
...
1
1
1
a
pribrojnik
=
+
+
+
+
,
4
4
4
3
4
4
4
2
1
2
12
24
2
...
2
2
2
a
pribrojnik
=
+
+
+
+
,
4
4
4
3
4
4
4
2
1
3
8
24
3
...
3
3
3
a
pribrojnik
=
+
+
+
+
,
idt.
Broj 24 istom znamenkom moguće je napisati i ovako:
24
2
22
=
+
,
24
3
3
3
3
=
-
×
×
,
24
6
6
6
6
=
-
-
×
,
idt.

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
90
5.3 Modeli poticanja kreativnosti

U stručnoj i didaktičko-metodičkoj literaturi navode se mnogi modeli poticanja kre-
ativnosti. Tako, na primjer, Stevanović (2000) obrađuje deset takvih modela, a za po-
trebe ovoga rada prikazat ćemo pet modela za poticanje kreativnosti.
No, najprije valja istaknuti da ni jedna model poticanja kreativnosti nije odraz koji
je sam sebi dovoljan i da će radeći po njemu svako darovito dijete moći polučivati iste
rezultate. Tako će različiti daroviti pojedinci postizavati heterogene rezultate, bez obzira
što će imati zajedničke polazne paradigme kojima će se upućivati na mogući način di-
daktičko-metodičkog rada u nastavi.
Učinkovitost pojedinih modela poticanja kreativnosti, pored osobne jednadžbe
učitelja, pokazat će i specifičnost sadržaja, kreativna iskustva učenika i učitelja, dosa-
dašnji stvaralački rezultati i dr. Zatim, isti model poticanja kreativnosti u različitim će
vremenskim razdobljima – što se vezuje uz iskustvo učitelja i učenika – davati i različite
odgojno-obrazovne rezultata. Zato modele poticanja kreativnosti valja promatrati kao
otvorene i nikad usavršene i završene pretpostavke za djelotvoran stvaralački rad u
nastavi i učenju.
KREATIVNO-STVARALAČKI MODELI – Iako stvaralaštvo označava kreativnost
ovaj model nazvan je kreativno-stvaralački zato što pod prvim pojmom razumijevamo
kreativni stav za stvaralaštvo. To je, naime, bitna karakteristika ovoga modela, jer net-
ko može imati smisla za raznovrsne stvaralačke aktivnosti i sadržaje, ali nema čvrstog
kreativnog stava pa ih zato obavlja povremeno, bez jasne želje da se time bavi na du-
goročnoj osnovi. A bez jasnog stava, tj. jasne opredijeljenosti nema ni dugoročnog us-
pjeha. Jer, stvaralaštvo zapravo podrazumijeva stalan, dugotrajan i iscrpljujući rad, i ne
trpi nikakve improvizacije u smislu površnosti i neorganiziranog sadržaja aktivnosti
(Stevanović 2000).
Ovim modelom poticanja kreativnosti daroviti učenici kreativno i kritički pristupaju
sadržaju i njegovom proučavanju. Ovim postupkom znanstveno ulaze u tehnologiju
stvaralačkog procesa i afirmiraju svoju kreativnu ličnost.
Kreativno-stvaralački modeli poticanja kreativnosti na sustavan način upućuju da-
rovitog učenika u sadržaje, metode i tehnike stvaralačkog rada. Krajnji cilj je razvijanje
sposobnosti stvaralačkog mišljenja.
Kriterijske paradigme ovoga modela poticanja kreativnosti jesu:
– pronalaženje udaljenih rješenja i odgovora;
– konstrukcija novog sredstva rješenja, pronalaženje novog izraza;
– izvođenje novih korelativnih ideja;
– otkrivanje novih značenja pojmova i danih podataka;
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
91
– otvorenost i zatvorenost iskustva;
– fleksibilnost mišljenja; i
– činitelji fluentnosti.
Sadržaj ovog modela poticanja kreativnosti u osnovi sačinjavaju: (1) kreativno či-
tanje sadržaja, (2) kritičko čitanje sadržaja i (3) formuliranje naslova pročitanog tek-
sta/sadržaja.
PROBLEMSKO-ISTRAŽIVAČKI (OTKRIVAJUĆI) MODELI – Problemska nastava31
najprije se javlja u Sjedinjenim Američkim Državama, a zatim se širi i u ostalim zemlja-
ma svijeta. Nastala je s ciljem da se poveća učinkovitost i unesu racionalne promjene u
organizaciji sustava obrazovanja. Bit je takvoga nastavnog rada učenje rješavanjem
problema, pri čemu su najvažnija dva osnovna gledišta: logika znanstvenog istraživa-
nja i zakonitosti psihološkog mišljenja (Stevanović 2000).
U problemskoj nastavi postoje suprotnosti između zadanog i traženog, eksplicit-
nog i implicitnog, poznatog i nepoznatog, te starog i novog. Pritom rješavanje problema
podrazumijeva aktivnosti u sljedećoj trijadi:
(1) problemska situacija (podaci – znanje – motivacija; teškoće – prepreka – ne-
izvjesnost),
(2) aktivnost učenika (sposobnosti – metode – oblici – sredstva) i
(3) situacija cilja (rješenje problema – nova znanja – zaključci – generalizacije).
Sve ovdje rečeno o problemskoj nastavi, kao i ono rečeno u osmom poglavlju,
odnosi se i na problemsko-istraživačke modele poticanja kreativnosti. Pritom sadržaji
ovih modela čine istraživačko-misaoni postupci:
– formuliranje problema,
– dekomponiranje,
– formuliranje hipoteza,
– sačinjavanje plana istraživanja,
– zaključivanje na osnovi pročitanog teksta (sadržaja) i formuliranog problema,
te
– sastavljanje liste problema (Kadum 2005).
ALGORITAMSKO-MATEMATIČKI MODELI – Algoritam predstavlja skup simbola i
metoda računanja s njima po ustanovljenim pravilima. Definiramo ga, dakle, kao model
s uputama za samostalan rad i istraživanje. Učenicima se daje popis niza operacija i/ili
redoslijed, odnosno postupak njihove primjene.
Algoritam se naročiti rabi u matematici i pri njegovu sastavljanju osnovno je raš-
članiti misaoni proces na pojedine operacije koje dolaze do izražaja te klase zadataka i

31 O problemskoj nastavi više u osmom poglavlju.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
92
utvrditi sva svojstva određene situacije. Učenik treba pronaći podatke koji su posebno
bitni i koji će mu olakšati rješavanje problema (učenje), pa i trajnije pamćenje. I samo
otkrivanje algoritma je značajna aktivnost pri rješavanju problema, pa stoga ga valja što
češće provoditi.
Algoritme valja shvatiti kao početnu fazu učenja za stvaralaštvo i pritom će svaki
istraživač/daroviti učenik pronalaziti daljnje postupke, jer u kreativnosti nema recepata.
Algoritamsko-matematički modeli najveći doprinos poticanju kreativnosti daju procesi-
ma samostalnog otkrivanja algoritama i razvijanju procesa stvaralačkog mišljenja. Ovi
modeli omogućavaju brže i sigurnije stjecanje znanja i, naravno, razvijanje učenikove
kreativnosti (Stevanović 2000).
Navodimo primjer algoritamsko-matematičkog modela množenje troznamenkas-
tog broja (423, množenik) dvoznamenkastim (57, množitelj).

množenik

množitelj
4
2
3
·
57
2
1
1
5
0

2
9
6
1
2
4
1
1
1
umnožak

1. Prvo množenje. Množenje se počinje od desetice (5) množitelja, koja se množi
s jedinicom (3) množenika, a zatim s deseticom (2) i stoticom (4). Jedinice se zapisuju,
a desetice prenose u višu klasu; desetice se zapisuju a stotice prenose u višu klasu.
Dobivenom prvom parcijalnom umnošku (2115), kojeg smo potpisivali ispod crte, dopi-
suje se 0 (zato jer smo množenje započeli s deseticom).
2. Drugo množenje. Sada se jedinice (3), desetice (2) i stotice (4) množenika
množe s jedinicom (7) množitelja, i dobiveni (drugi) parcijalni umnožak potpisuje se is-
pod prvog parcijalnog umnoška s tim da se prva dobivena znamenka (1) potpiše ispod
0.
3. Sumiranje (zbrajanje). Poslije množenja, dobivene parcijalne umnoške sumira-
mo, zbrojimo vertikalno kako su potpisani. Rezultat množenja zove se umnožak ili pro-
dukt.
4. Algoritam (naputak). Na isti se način množe i svi drugi brojevi, tj. naznačeni
umnošci.
KOMPJUTORSKO-SIMULACIJSKI MODELI imaju veliki obrazovni i konativni značaj
za razvoj svakog učenika, posebno darovitog pojedinca. U načelu kod darovitog je uče-
nika osigurana interna, odnosno unutarnja orijentacija.
Daroviti učenik (ali i svi drugi učenici) sebe doživljava kao izvor kontrole vlastitih
postupaka i polučenih rezultata. Naime, uspjehe i neuspjehe učenici pronalaze u sebi,
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
93
a ne u vanjskim utjecajima. Takvi pojedinci imaju interno (unutarnje) mjesto kontrole.
Uzroke uspjeha, ali i neuspjeha daroviti ne traže izvan sebe, pa se eksterno (vanjsko)
mjesto kontrole svodi na minimum.
Prednosti kompjutorsko-simulacijskih modela poticanja kreativnosti su brojne i
raznovrsne, a ovdje navodimo sljedeće:
– otvorenost za nove pretrage na računalu (kompjutoru),
– upornost i lakše podnošenje stresnih situacija,
– različiti pristupi podacima,
– mogu simultano pratiti heterogena zbivanja u okruženju,
– pokazuju veći interes za komunikaciju.
Kompjutorsko-simulacijski modeli poticanja kreativnosti, u kojima se očituje odgo-
varajući pedagoško-psihološki i didaktičko-metodički zahtjevi, ili logika tih zahtjeva, na-
zivaju se nastavne strategijama. To su: rješavanje problema, uporaba računala kao
stroja za učenje i poučavanje, linearna strategija, intrinzična strategija, adaptivna stra-
tegija, Sokratov dijalog, Dean Brownova strategija, umjetnički dizajn i kompozicija, te
kao najvažnija računalna (kompjutorska) simulacija (Stevanović 2000).
STRUKTURALNO-GRAFIČKI MODELI – Strukturiranje sadržaja predstavlja važnu
komponentu mogućnosti osposobljavanja darovitih za učinkovitije samostalno učenje i
istraživanje. Ovi modeli poticanja kreativnosti omogućavaju dublje i svestranije ponira-
nje u tekst (problem), da se utvrde sigurnije veze među danim podacima (Stevanović
2000).
Važno je darovitim (ali i ostalim) učenicima omogućiti, da se pored verbalnog (ri-
ječima i tekstom) izražavanja, izražavaju i grafički.
Ono što karakterizira strukturalno-grafičke modele poticanja kreativnosti je:
– identificiranje osnovnog smisla teksta (problema);
– određivanje glavne teme i ideje;
– klasifikacija činjenica po važnosti;
– plan sadržaja;
– sastavljanje izvoda i pisanje teza;
– recepcija grafičko-ilustrativnog materijala;
– modificiranje podataka, razumijevanje odnosa, kritičke ocjene;
– stvaranje sadržaja na osnovu ključnih riječi;
– određivanje redoslijeda događaja;
– stvaralačko izražavanje tablicama, grafičkim prikazima i crtežima;
– različiti načini podcrtavanja u tekstu (problemu) s različitim sredstvima;
– stvaralačko učenje pomoću vizualnih oznaka u tekstu (problemu).
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
94

– o 0 o –

Prikazani modeli poticanja kreativnosti omogućuju razvijanje stvaralačkih sposob-
nosti učenika na poseban način. Učenici se osposobljavaju za kreativno mišljenje, kre-
ativne uratke i klasificiranje činjenica kao bitnih pretpostavki svakog učinkovitog rada.
Suvremene strategije učenja i poučavanja usmjerene su učenju učenja učenika kako
pronaći korisne informacije te ih potom koristiti u radu. Omogućimo li učenicima da svo-
jim prijedlozima i željama sudjeluju u kreiranju nastavnih tijekova, modeli poticanja kre-
ativnosti, kreativno mišljenje i kreativni potencijali darovitih mogu rezultirati originalnim
kreativnim uradcima.

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
95
6 OSOBINE UČITELJA ZA RAD S DAROVITIM UČENICIMA

Škola i učitelji najznačajniji su činitelji koji sudjeluju u procesu razvoja darovitosti i
darovitih te kreativnosti mladih. Pritom uloga učitelja je nezamjenjiva u prepoznavanju
područja u kojem će se darovitost iskazivati, u stjecanju osnovnih znanja i ovladavanju
odabranim poljem, u razvoju motivacije da se ustraje u radu, kao i izgrađivanju mnogih
drugih osobitosti kojima će biti pripisan i objašnjen nastanak kreativnog djela, ako i ka-
da do njega dođe (Maksić i Đurišić-Bojanović 2005). Dakle, pored škole najvažniji čini-
telj u izučavanju i zadržavanju učenikova interesa je učitelj, koji prije svega dobro poz-
naje i voli svoj predmet, poznaje fiziologiju i psihologiju svojih učenika i dobar je meto-
dičar.
Reformski procesi u obrazovanju koji se događaju u posljednja dva-tri desetljeća
okarakterizirana su kao demokratizacija, decentralizacija i profesionalizacija obrazov-
nog sustava i svih njegovih dijelova (Kovač-Cerović i Levkov 2002). Navedeni procesi
trebali bi omogućiti realizaciju jednake dostupnosti obrazovanju, unaprjeđivanju susta-
va upravljanja i rukovođenja procesom obrazovanja, podizanju učinkovitosti korištenja
svih resursa u sustavu obrazovanja i stimuliranju učitelja i učenika u podizanju kvalitete
nastave, učenja i stjecanja znanja. Reformski procesi insistiraju na uvažavanju uzras-
nih, razvojnih i individualnih osobitosti djece. Definirana su opredjeljenja da se nastavni
rad prilagođava individualnim mogućnostima, potrebama i interesima, kako bi se sva-
kom učeniku osiguralo razvijanje znanja i vještina definiranim ishodima obrazovanja.
Dakle, svi reformski procesi naglašavaju jednakost u obrazovanju, a što se u odnosu
na darovite učenike može odrediti kao istovremeno podržavanje jednakosti i izuzetnosti
(Maksić i Đurišić-Bojanović 2003).
Osobine učitelja za rad s darovitim (ali i s drugim) učenicima određuju se sa sta-
jališta otvaranja učiteljske profesije prema uvažavanju razvojnih potreba djeteta, inter-
disciplinarnosti posla, društvenoj situaciji i preuzimanju odgovornosti za vlastiti profesi-
onalni razvoj (Kovač-Cerović i dr. 2004). Kompetencije koje se od učitelja traže obu-
hvaćaju:
– uporaba i razvoj profesionalnih znanja i vrijednosti u funkciji stvaranja stimula-
tivnih situacija učenja;
– komunikacija i interakcija s učenicima, roditeljima, drugim učiteljima i lokalnom
zajednicom i društvom kao cjelinom;
– preuzimanje odgovornosti za planiranje, programiranje i upravljanje nastavom,
učenjem i poučavanjem;
– praćenje napredovanja učenika;
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
96
– planiranje i evaluacija vlastitog rada i permanentnog profesionalnog usavrša-
vanja.
Za razvijanje navedenih kompetencija potrebno je uspostavljanje cjelokupnog i
koordiniranog sustava profesionalnog razvoja učitelja, od njihovog inicijalnog obrazova-
nja tijekom studiranja, preko uvođenja u odgojno-obrazovni proces (priprema za i pola-
ganje stručnog ispita), ka i permanentnog usavršavanja tijekom rada.
Kako bi uspješno radio s darovitim učenicima, učitelj mora usvojiti određena zna-
nja o ovoj skupini učenika i razviti odgovarajuće vještine za rad s njima. Stoga je po-
trebno da se udovolji većem broju uvjeta, od kojih je prvi i najvažniji onaj da se zahtjevi
u vezi sa posebnom podrškom za darovite i za poticanje darovitosti i kreativnosti učeni-
ka pretoče u nastavne programe i sadržaje, a ovi uključe u pripremu i obuku učitelja.
Ovi programi i obuka trebaju zadovoljiti standardima za kvalitetu, ne da bi se taj rad
učinio ekskluzivnim već da bi se osigurala suradnja između zainteresiranih i kompeten-
tnih učesnika (Čebić i Dejić 2005).
Obrazovanje učitelja za rad s darovitim učenicima mora obuhvatiti (Jovanović
2004):
(1) upoznavanje fenomena darovitosti, osposobljavanje za identificiranje i peda-
goško-psihološki te didaktičko-metodički rad sa darovitima, ovladavanjem znanjima i
vještinama rada s darovitim učenicima u redovnoj nastavi i drugim oblicima odgojno-
obrazovnog rada u školi ali i van škole;
(2) razvoj pozitivnih stavova spram darovitih učenika, društvenom i osobnom
značenju razvoja darovitosti;
(3) uočavanje vlastite uloge u razvoju darovitih pojedinaca;
(4) razvoj kritičkog stava prema vlastitoj praksi u radu s darovitima i potrebe za
neprekidnim profesionalnim usavršavanjem u području ovoga fenomena.
Ovakvi se ciljevi mogu dostići kroz obrazovne programe, izučavanjem pedagoš-
kih i psiholoških disciplina kao i didaktike i odgovarajućih metodikâ nastave, preko iz-
bornih programa za usavršavanje učitelja koji imaju poseban interes za rad s darovitim,
koji su motivirani za višu razinu samostalnog i kreativnog rada i za one koji već polu-
čuju zapažene rezultate u odnosu na druge učitelje (Jovanović 2004).
Rezultati nekih istraživanja32 kazuju da su u radu s darovitim učenicima uspješniji
oni učitelji koji dozvoljavaju veće mogućnosti izbora svojim učenicima pri određivanju
tema koje će se obrađivati; učitelji koji zastupaju neortodoksne poglede; učitelji koji na-
građuju neformalno komuniciranje s učenicima izvan učionice. Učitelje koji potiču krea-

32 Bogunović, B. (2006); Đorđević, J. (2005); Ferbežer, I. (2002); Gojkov, G. (2008); Ju-
kić, S. (2006); Polovina, N. (2005); Valenčič Zuljan, M. i Vogrinc, J. (2006)
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
97
tivnost učenika odlikuje ostvarivanje pozitivnih odnosa s učenicima; ovi učitelji često i
kvalitetno verbalno komuniciraju s učenicima i motiviraju ih na rad; oni su fizički bliže
učenicima dok predaju u odnosu na manje uspješne učitelje; pokazuju recipročan smi-
sao za humor sa svojim učenicima; provode više vremena s učenicima kada to zadatak
zahtjeva, izražavajući tako fleksibilnost u pogledu korištenja svog vremena i rasporeda.
Ukratko: uspješni učitelji shvaćaju razvoj kreativnosti učenika kao krajnji cilj učenja i či-
ne sve da ga ostvare (Maksić 1995; Maksić i Đurišić-Bojanović 2005). Učitelji radeći s
darovitom djecom nastoje učenike osamostaliti, usmjeravajući ih u radu tako da im pru-
žaju što manje pomoći, kako bi se samostalno razvijali i postali nezavisan subjekt vlas-
titog razvoja. Uspije li se darovito dijete u njegovom obrazovnom procesu osposobiti za
sustavno i realno prosuđivanje te samokritiku ponašanja i rada, bit će svjesno vlastitih
nedostataka i sebe će usmjeravati sa većom odgovornošću (Ferbežer 2002).
Kako bi utjecali na razvoj kreativnog mišljenja i ponašanja učenika, učitelji moraju
poslužiti kao modeli koji kreativno misle i kreativno djeluju. Uspješni učitelji potiču uče-
nike da dovedu u sumnju pretpostavke od kojih polaze nastavni sadržaji; dozvoljavaju
pogreške u radu učenika; potiču učenike da preuzmu umjereni rizik; daju kreativne
upute i procjene učenicima (Sternberg 1996). U cilju poticanja kreativnosti učenika, uči-
telji moraju pružiti im priliku da sami definiraju probleme koje će proučavati i rješavati;
pohvaljuju ideje i produkte do kojih dođu u procesu spoznavanja; osiguravaju dovoljno
vremena za iskazivanje kreativnog mišljenja u nastavi; potiču učenike da toleriraju ne-
jasnoće. Poželjno je da učitelji podsjećaju učenike na činjenice da se kreativni mislioci
suočavaju s preprekama, a zajedno treba da dođu do toga kako kreativni mislioci imaju
potrebu da nađu poticajno okružje i da rade na stvaranju okružja u kojemu će moći biti
kreativni. Učitelji trebaju biti voljni razvijati se i napredovati u svojem području i onome
čemu pokušavaju naučiti svoje učenike, što uključuje kako poznavanje discipline tako i
razvoj nastavničkih vještina (Krnjajić 1996).
Analizirajući mnogobrojnu dostupnu literaturu i razgovarajući s nekim od stručnja-
ka koji se bave matematičkom darovitošću omogućava nam da pokušamo dati osobine
učitelja za rad s matematički darovitim učenicima. Pritom uvažavamo činjenicu da je
matematička sposobnost rješavanja problema dio kreativnog ponašanja. Idealan učitelj
za rad s matematički darovitim učenicima mora biti (Arslanagić 2005):
1. Emocionalno zdrava, realna i autentična osoba koja uvažava, ali je osjetljiva
kada su u pitanju drugi, uvažava druge i vjeruje im, poštena je i iskrena, te fleksibilna,
snalažljiva i dosjetljiva osoba.
2. Energična i vitalna osoba, s iskustvom i zrelošću, s jakim zaleđem u mate-
matici i profesionalnim znanjem matematičara.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
98
3. Čovjek koji ima kulturne i intelektualne interese kako unutar, tako i izvan po-
dručja matematike.
4. Osoba koja demonstrira entuzijazam za matematiku i podučavanje mladih,
sposobna da oživi predmet izučavanja te učinkovito komunicira s učenicima i voli da iz-
laže ideje.
5. Osoba usmjeren ka učeniku pokazujući pritom lični interes za učenike, njiho-
va uvjerenja i mogućnosti, vođa i motivator koji može slušati učenike i često učiti iz
onoga što oni kažu i rade.
6. Osoba koja posjeduje jak smisao za humor i sposobnost da učenje učini za-
bavnim.
7. Netko tko razumije socijalne, emocionalne i edukativne potrebe matematički
darovitih učenika te preferira podučavati ovu kategoriju učenika.
8. Čovjek koji razumije razmišljanja i način učenja matematički darovitih učeni-
ka, posebno onda kada se razmišljanja razlikuju, prihvaća nove i drugačije ideje te
tolerira ponekad prisutnu dvosmislenost i moguću nejasnoću.
9. Netko s izraženim entuzijazmom u pogledu traganja za novim spoznajama i
idejama, tko podučavanje mladih vidi kao vid unapređivanja vlastitog intelektualnog ra-
zvoja.
10. Čovjek dovoljno uvjeren u svoje sposobnosti, samouvjeren u tolikoj mjeri da
se ne može uplašiti rada s matematički darovitim učenicima, odupire se iskušenju da
se intelektualno natječe s učenicima, te umjesto toga potiče zajedničko traganje za no-
vim spoznajama, cijeni promjene, razvoj i samoaktualizaciju kako sebe tako i drugih.
11. Netko tko dobro poznaje povijest matematike i njen značaj u nastavi mate-
matike, netko tko je sposoban da učenicima pokaže kako je ponekad vrlo težak i mu-
čan bio put i koliko je mnogo umnog napora, kroz generacije, bilo potrebno da bi se
došlo do pojmova i metoda, koje mi danas smatramo kao sam po sebi razumljivi posjed
matematičke znanosti.
12. Taj učitelj mora biti i kreativan, a to znači da:

(1) se zalaže za samoinicijativno učenje, samoaktivnost, ohrabruje učenike
da se iskažu, da se upuste u eksperimentiranje, da stvaraju hipoteze;

(2) uspostavlja ne-autoritarnu okolinu za učenje, ohrabruje učenike da se
uistinu informiraju, utiscima i značenjima što djeluje kreativno tako da dopušta učenici-
ma da se odvoje od materijala a time sadržaje učinili plastičnim te ih promatra kao
predmet nove izgradnje;

(3) potiču kreativne procese mišljenja, potičući učenike da nađu nove veze
između podataka, da stvaraju asocijacije, da maštaju;
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
99

(4) odlaže ocjenu, ne blokira istraživačke napore tako što najavljuje rezulta-
te ili daje rješenja, umanjuje značaj pogreške stavljajući do znanja da su pogreške oče-
kivane, kao i neophodne;

(5) potiče intelektualnu fleksibilnost kod učenika, ohrabruje ih u promjeni
svoje pozicije promatranja i da izbjegnu da se učvrste na jednoj jedinoj liniji kada pristu-
pe rješavanju problema;

(6) ohrabruje samoprocjenjivanje individualnog napredovanja i postignutog;

(7) zna da koristi pitanje, svaki kreativan čin počinje pitanjima koja moraju
biti za učenike operacionalna i otvorena, da imaju smisla i da nemaju predodređene
odgovore, kao i da odgovori na njih ne zahtijevaju izlaganje činjenica napamet;

(8) stvara učenicima priliku da se zanimaju materijalima, idejama, pojmovi-
ma, alatima i strukturama, aktivno vladanje stvarima potiče ono stvaralaštvo jer to uče-
niku pomaže da shvati procese koji se odvijaju;

(9) pomaže učeniku da prevladaju frustracije i promašaje; i

(10) usmjerava učenike da promatraju probleme kao cjelinu, da prvenstveno
naglašavaju cjelokupne strukture, a ne pojedinačne elemente.
Pritom, Arslanagić (2005) navodi da je nerealno očekivati da se sve navedene
karakteristike idealnog učitelja matematike pronađu u jednoj osobi. Međutim, ono što
valja istaknuti je da učitelja koji ne može pomoći matematički darovitim učenicima, u
skladu s njihovim potrebama, i koji ih ne može motivirati na zadovoljavajući način, i pri-
tom pozitivno misle o sebi i svom radu – ne treba angažirati da radi s matematički daro-
vitim učenicima.
Polya (1981; prema: Dejić i sur. 2009: 138) navodi da učitelj matematike mora biti
„zainteresiran za svoj predmet“ i „posjedovati znanje o svom predmetu“. Posebno uka-
zuje na sljedeće: „Oboje, interes za predmet i poznavanje predmeta su neophodni za
učitelja. Interes stavljam na prvo mjesto stoga što istinski interes za predmet daje šan-
su za postizavanje potrebnog znanja, dok nešto znanja sa nedovoljno interesa može
vas učiniti još lošijim učiteljem“.
Dobar učitelj matematike mora biti sklon svim učenicima, posebno onima koji is-
kazuju darovitost i kreativnost, i uvijek spreman da im pomogne. Mora zračiti oduševlje-
njem za svoj predmet i da djeci pokazuje entuzijazam. Dejić sa suradnicima (2009) isti-
če da je razuman entuzijazam iza koga stoje suosjećajuća i prosvjećujuća komponenta
jedina stvarna garancija za uspješno podržavanje učenikova interesa (…) nadahnjujući
je zaista Sinen qua non33.

33 o nečemu (nešto) bez čega se ne može (Anić i Goldstein 2002)
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
100

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
101
7 ULOGA OBITELJI U RAZVOJU DAROVITIH UČENIKA

7.1 Uspostavljanje suradnje škole (učitelja) i obitelji (roditelja)

Suradnja škole s obitelji mijenjala se tijekom vremena u zavisnosti od pogleda na
odgojno-obrazovne ciljeve i zadaće, od pogleda na društvenu ulogu škole i od toga ka-
kav je bio položaj i uloga obitelji u društvu.
Suradnja škole (učitelja) i obitelji (roditelja) mora se temeljiti na njihovoj što većoj
međusobnoj uvjetovanosti i zajedničkim zadaćama. Uvjetovanost zajedničkog snošenja
odgovornosti i suradnje ne znači da pojedini odgojni činitelji, osim zajedničkih zadaća,
ne bi imali i specifične zadaće. Upravo što svjesnijim uvažavanjem i korištenjem tih
specifičnosti zadaća, odgoj djece odvijat će se uspješnije i učinkovitije, što – naravno –
u mnogome ovisi o međusobnoj uvjetovanosti škole i obitelji. Jer, ne transformirano
prenošenje zadaća, oblika i načina odgoja od jednog na drugog činitelja, sigurno će
dovesti, prije ili kasnije, do većih ili manjih teškoća.
Za razliku od obitelji, škola je i zakonski34 u obvezi surađivati s roditeljima. Ta je
suradnja utvrđena različitim formama i načinima djelovanja. U dosadašnjem radu ovak-
ve su se forme ali i načini djelovanja pokazali korisnim, nužnim i učinkovitim. Putem
njih roditelji su u prilici da, jednako kao i učitelji, predlažu sadržaje i oblike suradnje.
Ulaskom djeteta u školu, za djecu i roditelje nastaje cijeli niz subjektivnih ali i
objektivnih problema. Prirodno je da nismo nikada posve zadovoljni, da želimo uvijek
nešto bolje, nešto novo, nešto više. Odnosi se to i na suradničke odnose između rodi-
telja (obitelji) i učitelja (škole). Ti novi odnosi mogu se promatrati u nastojanju očovječe-
nja, humanizacije i veće učinkovitosti suradničkih odnosa. U tom su kontekstu društve-
na nastojanja za otvaranjem škole prema obitelji, potrebama roditelja i djeteta. Roditelji
i učitelji moraju uspostaviti suradničku komunikaciju, jer je ona imperativ učinkovitosti
rada u ostvarivanju zajedničkog cilja (Rosić i Zloković 2003).
Da bi se između obitelji (roditelja) i škole (učitelja) uspostavila dobra suradnja po-
trebno je mnogo individualnih kontakata, poznavanje njenog funkcioniranja, mnogo vre-
mena i strpljenja, kao i povezivanja sa stručnjacima različitih profila iz škole ali i izvan
nje. Roditelji se vrlo često osjećaju bespomoćni samo zato jer su neinformirani, jer ne
znaju tko bi im u određenim problematičnim situacijama mogao pomoći. Mnogi progra-
mi, koji su bili namijenjeni pružanju pomoći obiteljima u problematičnim situacijama, ni-
su uspjeli ponajprije zbog neuspostavljenih pozitivnih odnosa obitelj – škola.

34 Zakon o odgoju i obrazovanju u osnovnoj i srednjoj školi (Narodne novine, broj 34 od
16. 7. 1991.); Pravilnik o praćenju i ocjenjivanju odgojno-obrazovnih postignuća učenika u os-
novnoj i srednjoj školi (Narodne novine, broj 92 od 17. 11. 1995.)
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
102
Da bi suradnja škole (učitelja) i obitelji (roditelja) bila uspješnija, potrebno je inovi-
ranje metoda ali i sadržaja rada, te uvođenje promjena u njihovom međusobnom komu-
niciranju. Shematski prikaz osnovne strukture boljeg povezivanja škole i obitelji dan je
na slici 8.

Slika 8. Osnovna struktura povezivanja roditelja i škole

(Kadum-Bošnjak, 2012)

Uspostavljanje suradnje škole (učitelja) i obitelji (roditelja) najčešće se definira
povezivanjem tih dvaju činitelja selektivnim modelima koji podrazumijevaju specifične
oblike edukacije roditelja, savjetovališta i/ili razredno-odjelnih radionica, kao i drugih ak-
tivnosti. "Uspostavljanje suradnje s roditeljima prostran je kontinuum za primjenu razli-
čitih aktivnosti" (Rosić i Zloković 2002: 168).

7.2 Uloga obitelji u razvoju darovitih

Jedno od ključnih pitanja o kojem su vođene mnoge rasprave, najprije u filozofiji
a zatim u psihologiji, prema kojem su sve teorije psihičkog razvoja primorane da zauz-
mu stav je pitanje kako naslijeđe i okružje doprinose razvoju (Miller 1983). Anastasi
(1965) je, vezano uz to, skrenula pozornost na to da pravo pitanje nije što (naslijeđe ili
okružje) ili u kojoj mjeri su naslijeđe i okružje potrebni za ponašanje, već kako (na koji
način) su naslijeđe i okružje u interakciji. Božin (2005) navodi da se u razvojnoj
Posjet obitelji
Program edukacije
roditelja
Primjena različitih
oblika rada i aktivnosti
Pozitivna
komunikacija
Obitelj
Stručna služba u
školi i izvan nje
Učitelj
(Razrednik)
Škola
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
103
psihologiji često pogrešno suprotstavljaju naslijeđe (ili: biološkog u značenju 'naslije-
đem' ili 'genetski' uvjetovano) i sredina (u smislu 'naučeno', tj. činiteljima okružja
uvjetovano), pa stoga stvara pogrešan utisak da (1) genetski činitelji ne utječu na raz-
voj preko učenja i (2) da genetski činitelji ne utječu na učenje. To što je učenje uopće
moguće, određeno je genetski i postoje genetski uvjetovane razlike u spremnosti da se
nešto nauči. Nadalje, veoma često ono što se objašnjava sazrijevanjem u smislu ge-
netski determiniranog razvoja, zasniva se i na procesima učenja, odnosno ono što se
tijekom razvoja nauči može biti genetski predodređeno (Asendorpf 2002).
Po mišljenju Oertera (2002), jedan od najvažnijih nalaza tijekom posljednja dva i
pol desetljeća glede visokih postignuća je, svakako, onaj o važnosti dugotrajnog, svr-
hovitog intenzivnog uvježbavanja, u literaturi poznatog pod nazivom deliberate practi-
ce. Riječ je zapravo o "teorijskom okviru koji objašnjava ekspertno postignuće u termi-
nima stečenih karakteristika koji rezultiraju iz produženog svrhovitog intenzivnog uvjež-
bavanja (deliberate practice) i koji ograničava ulogu urođenih (naslijeđenih) karakteristi-
ka na opće razine aktivnosti i emocionalnosti" (Ericsson i sur. 1993: 363). Deliberate
practice primjer su "ekstremnih manipulacija uvjeta sredine" (Ericsson i sur. 1993: 400)
koje dovode do znatno drugačijih pokazatelja nasljednosti ljudskih karakteristika. Nai-
me, prilično visoki pokazatelji, koji se obično navode u genetici ponašanja, vrijede, kao
što je poznato, samo u uvjetima normalne uvježbanosti, tj. vještina i kompetencija ste-
čenih tijekom uobičajenog razvoja pojedinaca. Ovo, između ostalog, nameće potrebu
za preispitivanjem interakcije između naslijeđa i sredine, jer "roditelji i učitelji koji opa-
žaju talent kod svoje djece i učenika motivirani su da im osiguraju obuku i socijalnu po-
dršku" (Ericsson i sur. 1993: 400).
Roditelji koji opažaju darovitost kod svoje djece motivirani su da im osiguraju kva-
litetnu obuku i socijalnu podršku. Upravo su stoga obitelji darovitih bile predmet brojnih
istraživanja, a Winner (2005) je izvela šest poopćenja o tim obiteljima, koje ukratko pri-
kazujemo u nastavku. Međutim, valja napomenuti da ta poopćenja ne treba shvatiti kao
nešto više ili manje nezavisne dimenzije ili činitelje obitelji darovitih jer se one među-
sobno dopunjuju i isprepliću. Riječ je o sljedećih šest poopćenja koja karakteriziraju
obiteljske sredine darovite djece (Winner 2005):
1. DAROVITA DJECA IMAJU "POSEBNE POZICIJE" (special positions) U OBITE-
LJI – Jedan od vrlo čestih rezultata istraživanja darovite djece i istaknutih odraslih u
različitim područjima ljudske djelatnosti je da su oni u nerazmjerno velikom broju prvo-
rođena djeca ili jedino dijete u roditelja. Za prvorođenu i jedinu djecu bilo bi tipično to
da su tijekom prvih godina razvoja u većem stupnju stimulirana od strane odraslih, što
može značiti prednost u kognitivnom razvoju.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
104
2. OBOGAĆENA OKOLINA – Obiteljska okolina u kojoj se obično razvijaju darovi-
ta djeca može se okarakterizirati kao "obogaćena" (enriched). Takva su djeca od ranog
djetinjstva izložena znatno većem intelektualnom poticanju od ostale djece. Ona, nai-
me, žive u kućama s puno knjiga, veoma rano im se čita i počinju čitati, roditelji s njima
razgovaraju na vrlo poticajan način i vode ih u muzeje, kazališta, izložbe, koncerte i sl.
Može se zaključiti da obrazovaniji i/ili imućniji roditelji mogu osigurati svojoj djeci takve
uvjete – jer imaju veće mogućnosti i motiviraniji su da to čine – od ostalih roditelja. Me-
đutim, činjenica je da roditelji velikog broja darovite djece nisu ni obrazovani ni imućni.
Daroviti se mogu razvijati i uz roditelje slabijeg materijalnog stanja i/ili niže razine obra-
zovanosti ako ti roditelji visoke cijene obrazovanje i ako ono za njih ima prednost. Re-
zultati mnogih istraživanja to potvrđuju. Navest ćemo ovdje samo je jedan rezultat Blo-
omova istraživanja (Bloom 1985; prema: Winner 2005)35 – gotovi svi roditelji, iako su
bili veoma različite razine obrazovanja i materijalnog statusa, svom su darovitom djete-
tu kupovali materijal koji je bio potreban za bavljenje umjetnošću, odvajali su poseban
prostor za njihov rad, vodili ih u muzeje, izložbe itd. Dakle, stvarali su "obogaćenu" sre-
dinu neophodnu za razvoj talenta njihove djece. "Postoje siromašne i neobrazovane
obitelji koje cijene obrazovanje i postizanje uspjeha, kao što postoje i mnoge obitelji s
vrlo visokim prihodima koje ne ulažu mnogo u obrazovanje svoje djece, ne osiguravaju
obogaćenu okolinu i dopuštaju djeci da glavninu vremena provode pred televizijom ili u
trgovačkom centru." (Winner 2005: 148).
Opće uzevši, prihvatljivim se čini objašnjenje da roditelji koji daju prednost obra-
zovanju, nakon što su prepoznali visoke intelektualne sposobnosti i/ili talent svog djete-
ta stvaraju uvjete, obogaćuju okružje, koje podržavaju i potiču razvoj takvog djeteta.
Darovito dijete eventualno reagira tako što traži dodatnu stimulaciju, na što roditelji rea-
giraju daljnjim obogaćivanjem razvojnog okružja. Posljedica toga je sve stimulativnije,

35 (1) James Comer priča kako su on i njegova braća i sestre odrasli u siromašnoj obitelji
s roditeljima koji nisu imali veliko obrazovanje. Njihova je majka cijenila obrazovanje toliko da se
pobrinula da njena djeca čitaju i uče i postižu uspjehe u školi (Comer 1988).
(2) David Feldman i Lynn Goldsmith opisali su detaljno nastojanja roditelja jednog geni-
jalnog djeteta koji su nastojali svoje dijete okružiti stalnim i raznovrsnim stimulacijama, koje su
bile stalno praćene od jednog od roditelja. Kao dojenče, dijete su izlagali jarkim bojama, zanim-
ljivim oblicima, vizualno aktivnim prikazima, glazbenim i neglazbenim zvukovima te obilju među-
ljudske interakcije. Nakon dojenačke dobi stimulacije su postale drukčije. U odrasloj dobi rodite-
lji su s djetetom raspravljali o apstraktnim pojmovima te su postavljali zanimljiva pitanja i zah-
tjevne eksperiment koje je dijete s lakoćom rješavalo (Feldman i Goldsmith 1991).
(3) Obitelj Menuhin u svakoj je generaciji odabirala jedno dijete kao darovito i onda je
sva svoja sredstva usmjeravala na razvijanje talenata toga djeteta. Tako je, na primjer, jedno di-
jete postao poznati violinist Yehudi (Winner 2005).
(4) Tara Lipinski, genijalna mlada klizačica koja je s dvanaest godina bila najmlađa po-
bjednica na Olimpijskom sportskom festivalu. Život joj je bio potpuno organiziran tako da se s
petnaest godina natjecala na zimskim olimpijskim igrama 1988. godine (Winner 2005).
Ovakvih životnih priča ima još podosta!
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
105
za razvoj povoljnije okružje darovite djece takvih roditelja u odnosu na ostalu djecu,
uključujući i darovite čiji roditelji ne reagiraju na takav način.
Iako postoji niz istraživanja koja ukazuju da postojanje i značaj ove interakcije iz-
među darovitog djeteta i njegovog obiteljskog okruženja (Winner 1996), ono – očito je –
nije još dovoljno istraženo.
3. OBITELJ USMJERENA NA DIJETE (Child-Centered Families) – "Obitelji daro-
vite djece u našoj su kulturi izuzetno usmjerena na dijete. Dijete opaženo kao darovito
odabere se kao posebno i sva obiteljska energija se usmjerava na to dijete." (Winner
2005: 149).
Usmjerenost obitelji na darovito dijete manifestira se na jedan od sljedeća dva
načina koji, očigledno, pretpostavljaju znatna odricanja od strane roditelja:
(1) jedan od roditelja ili čak oba posvećuju takvom djetetu velik dio svog vreme-
na potičući ga ili podučavajući ga;
(2) često se, uz veoma velika odricanja, roditelji trude da svom djetetu osiguraju
što je moguće bolje edukatore (učitelje).
Prelazak roditelja na drugi posao ili, čak prestanak rada – najčešće u slučaju
majke – kako bi se posvetio djetetu, prihvaćanje dodatnog posla ili poslova, odnosno
zaduživanja da bi se osigurao novac za učitelja ili trenera, odvojen život da bi se bilo uz
dijete koje uči kod poznatog učitelja ili trenera daleko od mjesta boravka ili promjena
mjesta boravka, samo su neka od odricanja roditelja usmjerena na svoje darovito dije-
te. U posljednje vrijeme mnogi roditelji školski darovite djece smatraju da oni mogu bo-
lje odgajati i obrazovati svoju djecu od postojećih škola tako da sami odgajaju i obrazu-
ju svoju djecu. Riječ je zapravo o "školovanju kod kuće" (homo schooling) koje je sve
popularnije, posebno u Americi tako da je 90-ih godina prošlog stoljeća u toj zemlji tim
oblikom školovanja bilo obuhvaćeno oko milijun djece. Bilo da je riječ o obiteljima koje
su na svoje dijete usmjerena na prvi ili na drugi način, odnosno na oba načina, život u
takvim obiteljima se u potpunosti organizira u skladu s potrebama svog darovitog djete-
ta. Međutim, valja reći da stupanj usmjerenosti u velikoj mjeri zavisi i od područja daro-
vitosti, području u kojem se daroviti pripremaju za postizavanje visokih postignuća na
javnim natjecanjima, ta usmjerenost je tipično veća nego u obiteljima sa školski darovi-
tim djetetom ili djetetom talentiranim za vizualne umjetnosti.
4. PRUŽANJE PRIMJERA I POSTAVLJANE VISOKIH STANDARDA – Za ostvariva-
nje visokih postignuća u pravilu je potrebno da je barem jedan od roditelja uzor velikog
radnika i da usmjeri dijete na naporan rad. Roditelji djece koja će biti identificirana kao
darovita ne odobravaju gubljenje vremena, površno urađen posao i neodgovorno pona-
šanje, a sami pružaju model ponašanja i odnosa prema radu koji oni cijene. Svojim po-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
106
našanjem, kako na poslu tako i u slobodnom vremenu, roditelji poručuju svojoj djeci da
cijene naporan rad i da se naporan rad isplati. Stoga ne bi trebalo da čude rezultati
Bloomovog istraživanja da se roditelji darovitih aktivno odmaraju, tj. ne provode vrijeme
tražeći neku zanimljivu TV-emisiju već vrše popravke u kući, čitaju, sviraju ili slikaju.
Roditelji koji tjeraju svoju djecu da ostvaruju značajna postignuća ali sami nisu uzorni
radnici, manje su uspješni od onih koji postavljaju velike zahtjeve svojoj djeci ali i rade
veoma naporno i njihov rad daje rezultate. Roditelji darovite djece koja podbacuju u ra-
du, ne postavljaju visoke standarde svojoj djeci. Međutim, nije dovoljno da roditelji pos-
tižu visoke rezultate i eventualno postavljaju visoke standarde svojoj djeci – oni moraju
imati i vremena za svoju djecu. "Dobitnici Nobelove nagrade vjerojatno baš i nemaju
mnogo vremena za djecu, dok roditelji koji postižu manje – koji su uspješni, ali ne dosti-
žu vrhunce, mogu se dokazati kao najbolji roditelji. Slično tome, roditelji koji cijene dos-
tignuća, ali koji osobno nisu imali prilika za postizavanjem uspjeha, kao što je slučaj s
nekim imigrantskim skupinama, često svu svoju energiju usmjeravaju na ostvarivanje
ciljeva svoje djece i tako dobiju potomstvo koje postiže natprosječne rezultate." (Win-
ner 2005: 153-154). Ovdje se Winner dotaknula veoma značajnog pitanja odnosa iz-
među razine postignuća roditelja i postignuća njihove djece, odnosno optimalnog pos-
tignuća roditelja kao preduvjeta za postignuće njihove djece. Ovo, ovdje, ne bismo de-
taljnije i dublje analizirali, već ćemo se zadovoljili konstatacijom da se potreba za izdife-
renciranijim shvaćanjem između naslijeđa i sredine nameće i ovom prilikom.
Tjeranje da naporno rade i postavljanje visokih standarda postignuća darovitoj
djeci znači i znatan stupanj izravnosti od strane roditelja. Međutim, prethodna više-
godišnja aktivna uključenost i usmjeravanje od strane roditelja koja je bila učinkovita u
prethodnom periodu može dovesti do problema u vezi sa dopuštenjem veće slobode i
osamostaljivanjem darovitih u adolescenciji.
5. OMOGUĆAVANJE SAMOSTALNOSTI – Upravo naprijed spomenuti problemi u
adolescenciji se možda najučinkovitije mogu spriječiti ako roditelji na vrijeme, pored pri-
tiskanja da naporno rade, postavljanja visokih standarda i kontroliranja napredovanja
svog darovitog djeteta, istovremeno ga potiču da samostalno donosi odluke i da, even-
tualno, nešto i riskiraju. Zanimljivo je da roditelji, ako imaju dvoje ili više djece, nastoje
više poticati samostalan rad odabranog darovitog djeteta negoli ostalu svoju djecu. Dje-
ca koja polučuju visoke rezultate samo uslijed roditeljskog pritiska i postavljenih visokih
standarda, ali nisu poticana da postanu samostalna, najčešće prestaju ostvarivati za-
pažena postignuća čim se oslobode roditeljskog pritiska, jer se kod njih nije razvila
unutarnja motivacija za postignućem (Winner 2005).
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
107
6. STIMULACIJA I VISOKI STANDARDI, SKLAD I NJEGA (nurturance) – Ovdje se
zapravo radi o kombinaciji nekih karakteristika koje su navedene ranije (poticanje i vi-
soki standardi) sa harmonijom (relativno topli, skladni odnosno manje konfliktni odnosi
nego u obiteljima ostale djece) i odgojem jer je to, prema rezultatima longitudinalnog is-
traživanja Csikszentmihaly i suradnika (1993) "kritična kombinacija" ili "optimalni skup
okolnosti" na razvoj darovitih. Specifično, obitelji adolescenata talentiranih, na primjer
za matematiku, mogu se podijeliti prema stupnju stimulacije i emocionalne podrške ko-
je pružaju, u četiri skupine ili kategorije:
(1) diferencirana – znatna stimulacija / slaba emocionalna podrška;
(2) integrirana – slaba stimulacija / znatna emocionalna podrška;
(3) kompleksna – znatna stimulacija / znatna emocionalna podrška; i
(4) jednostavna – slaba stimulacija / slaba emocionalna podrška.
Navedene četiri distinktne skupine obitelji međusobno se ne razlikuju značajno
prema socioekonomskim statusu, broju članova, bračnom stanju, etničkoj pripadnosti i
religijskom porijeklu, odnosno darovita djeca iz tih skupina obitelji se ne razlikuju prema
spolu, području darovitosti i inteligenciji. Adolescenti iz kompleksnih obitelji bili su, u od-
nosu na svoje vršnjake iz ostale tri kategorije obitelji, u najpovoljnijoj poziciji s obzirom
na zadovoljstvo životom, raspoloženju, razini budnosti i usmjerenosti k određenom ci-
lju, učestalosti stanja toka, flow, dok rade nešto produktivno itd. Pored toga oni su, s
jednim izuzetkom, polučivali najvišu razinu postignuća u svom području. Međutim, to
nije tako u sportu, području na kom adolescenti iz diferenciranih, a ne iz kompleksnih
obitelji, postizavali najvišu razinu postignuća. "Možda je to stoga – kako navodi Winner
(2005: 159) – što energija potpirivanja ljutnjom pomaže u sportskim natjecanjima."
Ova poopćenja, kao što se može zaključiti iz ovoga prikaza, izvedena su na os-
novu istraživanja darovite djece i adolescenata, i odnose se na optimalne obiteljske
uvjete za razvoj darovitosti, tj. darovitih pojedinaca. Međutim, poznato je da svako da-
rovito dijete ne postaje odrasli kreativni stvaralac i stoga se samo po sebi nameće pita-
nje: u kojoj mjeri bi se ta poopćenja mogla primijeniti i na odrasle stvaraoce, odnosno u
kojoj mjeri se, na osnovu njih, mogu predvidjeti najviši oblici kreativnosti na raznim po-
dručjima ljudske djelatnosti. Naravno, odgovor na ovo pitanje ponajprije nam mogu dati
longitudinalna istraživanja u kojima bi se sustavno pratili činitelji razvoja darovitosti tije-
kom nekoliko desetljeća. Za sada se moramo zadovoljiti rezultatima retrospektivnih is-
traživanja obitelji odraslih stvaratelja koja nam pružaju bitno drugačiju sliku od one koja
proizlazi iz istraživanja Blooma i drugih.
Iz navedenih poopćenja može se vidjeti da je poticanje, postavljanje visokih stan-
darda postignuća jedan od značajnih uvjeta razvoja darovitosti i darovitih. Međutim, ka-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
108
ko primjećuje Winner (2005), iz dosadašnjih istraživanja se ne može vidjeti da li pretje-
rano poticanje, postavljanje visokih standarda – čemu su skloni preambiciozni roditelji –
na kraju dovodi do neuspjeha i psihičkih poremećaja. Ako roditelji ne brinu samo o pos-
tignuću svog djeteta već i o emocionalnim potrebama ovoga, ako je njihova ljubav
prema svom darovitom djetetu bezuvjetna, a ne uvjetovana njegovim uspjesima, a to
dijete osjeća da je upravo tako – onda je gotovo sigurno da visok stupanj poticanja ne-
će prerasti u pretjerano visok stupanj stimulacije, postavljanje visokih standarda postig-
nuća neće se izroditi u nepodnošljivo visoka mjerila uspješnosti.

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
109
8 PROBLEMSKA NASTAVA

Veoma dinamičko kretanje suvremenog svijeta, praćeno znanstveno-tehnološ-
kom revolucijom, današnjega čovjeka stavlja u različite i „brojne problemske situacije
kao svojevrsne proturječnosti koje mora znati, umjeti i htjeti uspješno rješavati" (Poljak
1985: 152). U svim područjima ljudske djelatnosti svakodnevno niču novi problemi, pa
se riječ problem vrlo često rabi u ljudskom komuniciranju, što nameće potrebu da se
mlade generacije tijekom školovanja osposobljavaju za rješavanje brojnih kako životnih
tako i radnih problema (Kadum 2005).
U nastavi se uvijek rješavaju znanstveni problemi kao određene spoznajne protu-
rječnosti – na primjer, matematički problemi. Ako učitelj rješava znanstveni problem i
istovremeno misaono vodi učenike tijekom svog rješavanja, tada je riječ o heurističkoj,
programiranoj, pa i – u prvom dijelu – egzemplarnoj nastavi. Međutim, ako učenici sami
rješavaju uočeni ili postavljeni problem, dakako, uz veću ili manju pomoć učitelja, tada
je to problemska nastava. Dakle, kod problemske nastave u prvom planu su učenici
kao subjekti rješavanja problema, dok je pomoć učitelja u drugom planu. Međutim, mo-
ra se istaknuti, da učenici rješavaju probleme koji su u znanosti i društvenoj praksi već
riješeni, ali je njemu kao pojedincu rješenje nepoznato, mada su za njih to spoznajni
problemi kao suprotnost između poznatog i nepoznatog. Riječ je zapravo o ponovnom
otkrivanju već otkrivenog i pritom – u tom otkrivanju – moguće su iskre znanstvene ino-
vacije. (Poljak 1985). Rješavanje problemskog zadatka je, u stvari, nalaženje, otkriva-
nje nepoznatoga (implicitnoga) na osnovi poznatoga (eksplicitnoga).
Možemo, prema tome, reći da je problemska nastava i u njoj rješavanje problema
stvaralačka aktivnost kojom se, u susretu s posebnim zahtjevima, traže putovi novih
rješenja, tj. otkrivaju nova rješenja. Pretpostavka za ovu aktivnost je učešće svih misa-
onih činitelja u različitim odnosima i kombinacijama.
Raspravljajući o procesu učenja Furlan (1969) navodi da se najviša razina aktiv-
nosti učenika javlja u problemskoj nastavi, tj. pri rješavanju problema pomoću novou-
svojena znanja. Dakle, najviša razina aktivnosti je rješavanje problema, jer mišljenje i
stupa u akciju tek onda kada se naiđe na zapreke i teškoće, kada postojeći inventar
znanja nije dostatan da se problem odnosno problemska situacija riješi.
Raspravljajući o učenju i aktivnosti, Furlan (1969) navodi da je učenje to uspješ-
nije što je učenik u učenju aktivniji, pri čemu učenikova aktivnost mora biti povezana s
predmetom učenja36. Aktivnosti u učenu mogu biti vrlo raznovrsne – neke zahtijevaju

36 Aktivnosti koje su u skladu s predmetom učenja nazivaju se relevantnima, za razliku od
irelevantnih. Pritom relevantne aktivnosti djeluju na učenje pozitivno, dok irelevantne negativno.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
110
manje, druge veće zalaganje učenika. Najniža razina aktivnosti u učenju je relativno
pasivno slušanje tuđeg izlaganja. Samostalno čitanje je aktivnost na nešto višoj razini,
jer je tijekom čitanja učenik u situaciji da može podcrtavati važnije dijelove teksta. Dalj-
nja razina aktivnosti je bilježenje vezano uz tekst što ga učenik čita ili s predavanja što
ga sluša. Samostalno prepričavanje, tj. reprodukcija teksta ili odslušanog predavanja
još je viša razina aktivnosti. Aktivnost učenika u učenju može biti još i veća. Takvu višu
razinu dobivamo kad o gradivu koje se uči diskutiramo, suprotstavljamo različita mišlje-
nja. Najviša razina aktivnosti je rješavanje problema pomoću novousvojenog znanja.
Razine aktivnosti u učenju, počevši od najniže do najviše, Furlan (1969) je prika-
zao grafički na način kako je to dano na slici 9.

Slika 9. Razine aktivnosti pri učenju i poučavanju

(Furlan 1969; prema: Kadum 2005)

I za Rubinštejna (1981: 27) rješavanje problema je najviši oblik ljudskog učenja,
problemsku situaciju karakterizira neka teškoća, sporost, praznina u misaonom tijeku ili
„nepopunjena mjesta“ koja treba popuniti. „To znači da u problemskoj situaciji uvijek
stoji nešto implicitno – kroz svoje odnose s onim što je dano – što se u nju uključuje,
što se njome pretpostavlja, ali što eksplicitno nije određeno.“
Kadum (2005) ukazuje na činjenicu da pedagoško značenje problema i problem-
ske nastave nalazimo već u reformnoj pedagogiji, posebno u tzv. projekt–metodi, čiji su
glavni protagonisti Dewey, Killpatrick i Collings.
Prema ovim autorima svaku ljudsku djelatnost pokreću nezadovoljene potrebe
koje pred ljude postavljaju probleme. Čovjek, u želji da se riješi napetosti i neravnoteže,
postavlja hipoteze, planira rad i izvodi ga da bi zatim rezultate toga rada verificirao.
Odavde i slijedi Deweyova globalna struktura odgojno-obrazovnog procesa koja se
odvija kroz sljedećih pet stupnjeva:
rješavanje problema
diskusija
samostalna reprodukcija
bilježenje
čitanje
slušanje
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
111
1. uočavanje problema,
2. definiranje problema,
3. hipoteza, tj. anticipiranje rješenja,
4. provjeravanje hipoteze i stjecanje iskustva, i
5. verifikacija dobivena rezultata, odnosno prihvaćanje ili odbacivanje hipoteze.
U ovako organiziranom odgojno-obrazovnom procesu posebna pozornost posve-
ćuje se izradi detaljnog plana rada i prikupljanju svih dostupnih izvora i sredstava rada.
U okviru svakog projekta odnosno problema ili zadatka, svaki pojedinac i/ili skupina do-
bivaju točno definirane zadaće koje tijekom nastavnog procesa moraju obaviti, a rezul-
tati do kojih su došli verificiraju se u zajedničkom radu.
"Problemska nastava u biti respektira sve pozitivne tekovine tradicionalne nasta-
ve obogaćujući ih kvalitetno novim didaktičkim mogućnostima koji rezultiraju iz suvre-
menih psiholoških istraživanja i neposrednih zadataka suvremene škole" (Mahmutov
1970: 52).
Problemska nastava osigurava da učenik bude subjekt u nastavnom procesu, što
se može postići na više različitih načina. Ovdje navodimo neke od njih, čime se – na-
ravno – oni ne iscrpljuju. Riječ je dakle o sljedećem:
(1) učenik sam određuje cilj svojega rada,
(2) sudjeluje u određivanju sadržaja učenja,
(3) omogućava mu se da samostalno bira postupke, oblike i metode usvajanja
nastavnih sadržaja, te
(4) aktivno, stvaralački i na prirodan način uključuje svoje intelektualne i psihičke
snage u procesu učenja.
Kako bi učenik bio subjekt u nastavnom procesu, Ramulj (1963: 41) navodi da pri
rješavanju problema učenik mora biti u aktivnom odnos sa nastavnim sadržajima, što
zahtjeva dovitljivost i snalažljivost. Uz to, nužna je i sugestija ali i neka opća didaktičko-
metodička pravila za rješavanje problema. Tako Ramulj navodi sljedeća pravila:
„1. Ne treba se žuriti s rješavanjem problema.
2. Pristupajući rješavanju problema treba, prije svega, pokušati razjasniti sve
uvjete bez kojih je nemoguće naći pravilno rješenje problema.
3. Prilikom rješavanja problema treba sačuvati gipkost ili 'elastičnost' mišljenja.
4. Treba izbjegavati nepravilno i neprikladno prenošenje načina rješavanja jed-
nog problema na drugi, po nekim osobinama različit problem.
5. Treba težiti savladavanju tzv. 'funkcionalne fiksiranosti'.
6. Nužno je imati u vidu da točno rješenje mnogih, naročito znanstvenih i tehnič-
kih problema zahtjeva postojanje za to neophodnih znanja.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
112
7. Ne treba u posebnim slučajevima ispuštati iz vida mogućnost manje ili više
slučajnog nalaženja točnoga rješenja problema.“
Rješavanjem problema, Kadum (2005) navodi da su u problemskoj nastavi zas-
tupljeni sljedeći stupnjevi procesa kreativnog mišljenja:
(a) stupanj preparacije – učenici se upoznaju s problemom i prvim preprekama i
teškoćama;
(b) stupanj inkubacije – prividno mirovanje u kojem je problem po strani, dolazi
do prekida rada na problemskom zadatku, rad kao da miruje;
(c) stupanj iluminacije – trenutak inspiracije, iznenadno viđenje rješenja proble-
ma; ovdje već imamo rješenje problemskoga zadatka,
(d) stupanj verifikacije – logički je nastavak prethodnih misaonih aktivnosti; pro-
vjerava se na analognim (sličnim) zadacima, ali i na problemima s novim zahtjevima.
U problemskoj nastavi učenicima se postavljaju zahtjevi i za one njihove snage i
sposobnosti koje su u nastajanju i koje će se razviti u traganju za odgovorima na te za-
datke (Kadum 2005). Tako Putkiewicz (1964) navodi da zahtjevi što se postavljaju uče-
nicima pri zadavanju problema mogu biti:
1. znatno niži od gornje granice učenikovih mogućnosti;
2. znatno viši od gornje granice učenikovih mogućnosti;
3. na istoj razini s granicom mogućnosti učenika;
4. nešto viši od gornje granice učenikovih mogućnosti (prema: Kadum 2005).
"Samo zahtjevi koji su nešto viši od gornje granice učenikovih mogućnosti bude
njihovu radoznalost, potiču ih na razmišljanje, traganje i istraživanje i vode razvitku nji-
hovih sposobnosti" (Duraković 1985: 43).
U problemskoj nastavi učitelj je, u naglašenoj mjeri, organizator misaone aktiv-
nosti učenika. Planirajući i pripremajući nastavni rad, učitelj mora sačiniti plan djelova-
nja, tj. mora projektirati svoj proces rada, ali i anticipirati misaonu aktivnost učenika na
svakoj od etapa nastavnoga sata. Pritom valja poći od kognitivne strukture pojmova,
pravila, definicija, načela, tvrdnji koje učenici na nastavnome satu moraju usvojiti, pri
čemu sve to mora biti količinski pravilno dozirano (Kadum 2005).
Osim spoznajnih, problemska nastava ima i znatne odgojne učinke. "Ona bitno
mijenja položaj učenika u nastavi, razvija kod njih interes, motivira ih na uspješan sa-
mostalan rad i savladavanje teškoća, razvija stvaralačko mišljenje" (Ničković 1984; pre-
ma: Miličević 1989: 49).
U problemskoj nastavi učitelj mora osigurati takve problemske situacije koje će za
učenike biti nove i nepoznate ili u kojima će učenicima biti poznati elementi, ali pre-
dočeni u novim odnosima. Opažanje učenika preduvjet je za uspjeh u procesu rješava-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
113
nja problema. Zato je važno kakvo je opažanje, što učenik opaža i način na koji opaža.
Ovo bi trebala biti garancija da će učenik biti usmjeren na analiziranje i uspoređivanje,
sintetiziranje i uopćavanje, rasuđivanje i zaključivanje, dokazivanje i provjeravanje pu-
tova uspješnog rješavanja problema. Stoga je u problemskoj nastavi potrebna učitelje-
va angažiranost i upornost u poticanju učenika na samostalan misaoni napor i intelek-
tualni razvoj indirektnim, suptilnim i nenametljivim rukovođenjem.
Sternberg (1999) navodi da je pri rješavanju problemskih situacija potrebno po-
duzeti šest koraka, koji čine ciklus, koji se razvija stoga što rješenje jednog problema
nerijetko postaje osnovom novog problema. Rješavanje problema je, prema Sternber-
gu, dakle ciklus a ne pravac.
Ovih šest koraka jesu:
1. Prepoznavanje problema – Kako bi se određeni problem mogao riješiti potreb-
no je najprije spoznati da pred sobom imamo problem. Taj je korak u određenom smis-
lu najvažniji, jer ako se ne spozna postojanje problema, neće se ništa ni učiniti kako bi
se problem riješio.
2. Definiranje problema – Nakon što se problem uoči, potrebno je definirati ga.
Ako problem nije prepoznat i ispravno definiran (opisan, određen) uzalud će se trošiti
puno vremena (kojeg nemamo baš previše na raspolaganju) da bi se riješio problem.
Što se više vremena uloži u točno određivanje problema, to će manje vremena trebati
kako bi se problem riješio.
3. Osmišljavanje strategije za rješavanje problema – Kada se jednom definira
problem, tada valja osmisliti strategiju za njegovo rješavanje. Strateško planiranje, tj.
osmišljavanje puta za rješavanje problema od posebnog je značaja i važnosti. U stra-
teško planiranje ulaže se dosta vremena, znanja i energije a rezultati toga vrlo su vid-
ljivi. Naime, dobro osmišljenom strategijom za rješavanje problema u stvari je problem
već pola riješen.
4. Prikazivanje informacija – Način na koji se, pri rješavanju problema, prikazuju
informacije znatno utječu na to hoće li rješavatelj biti u stanju riješiti problem. Naravno,
prikazivanje informacija znatno utječe i na krajnje rješenje (rezultat). Naime, informacije
do kojih se dolazi unaprijed, najčešće su nepotpune i/ili pogrešne, pa kao takve redo-
vito djeluju upravo tako.
5. Raspoređivanje snaga – Pri rješavanju problema potrebno je odrediti koje iz-
nose i snage želimo dodijeliti tome problemu. Riječ je zapravo o važnoj odluci, jer goto-
vo uvijek u raspoloživom vremenu ima se previše toga za obaviti. Raspodjela vremena
i snage određena je sposobnošću rješavatelja problema. Sposobnije osobe vrijeme
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
114
raspoređuju učinkovito, koristeći ga primjereno vrijednosti zadatka. Manje sposobni po-
jedinci vrijeme troše nasumice i tako uspijevaju učiniti manje.
6. Praćenje i ocjenjivanje – Pratiti jednostavno znači voditi računa o etapama na-
predovanja tijekom rješavanja problema; ocjena je naš sud o kakvoći toga postupka i
kakvoći rješenja do kojeg se došlo. Riječ je o konačnim, analitičkim koracima u rješa-
vanju problema.
Sternberg (1999: 183) navodi da se „ovih šest koraka u ciklusu rješavanja pro-
blema uvijek ne dovršava točno ovdje opisanim redom, premda je taj redoslijed vjero-
jatno najčešći. Nadalje, ljudi se katkada vraćaju koracima koje su već dovršili. No, rje-
šavajući određeni problem, u nekoj ćete fazi vjerojatno prijeći sve ove korake.“
Budući da je učenje u problemskoj nastavi specifična aktivnost i kako će se u em-
pirijskom dijelu prikazati rezultati istraživanja o darovitosti i darovitim učenicima u mate-
matici u primarnom obrazovanju, priklanjamo se onoj klasifikaciji etapa u rješavanju
problemskih zadataka koju je dao Polya (1984):
– razumijevanje zadatka,
– stvaranje plana,
– izvršenje plana, i
– osvrt na dobiveno rješenje.
Razrada ovog općeg pristupa rješavanju problema s nizom korisnih uputa, us-
mjeravajućih pitanja i logičkih rasuđivanja može se naći u knjizi Kako ću riješiti mate-
matički zadatak, autora Georga Polye. Ovdje, navedene etape, prikazujemo na sljedeći
način:
RAZUMIJEVANJE ZADATKA – Da bi učenik mogao riješiti postavljeni problem, po-
trebno je da ga razumije, što znači da mora jasno vidjeti što je zadano, a što valja naći.
Osim toga potrebno je da učenik pokazuje interes za postavljeni problem i želju da do-
đe do njegova rješenja. A da bi postavljenu problemsku situaciju učenik mogao riješiti,
potrebno je posjedovati i određena znanja. Naime, ako učenik ne razumije postavljeni
zadatak i/ili ne iskazuje interes za postavljeni problem, te ako nema potrebna predzna-
nja – sigurno je: postavljeni problem neće riješiti.
STVARANJE PLANA – Kada se učitelj uvjerio da učenik razumije zadani problem,
dopušta da postavi plan za rješavanje problemske situacije. Pritom moramo biti svjesni
da je mnogo lakše riješiti problem negoli postaviti sam plan rješavanja. Valja istaknuti
da se dobrim planom za rješavanje problema postavlja ideja rješenja i on je siguran put
i garancija da će se do rješenja doći. Stoga se učeniku ne bi smjelo dopustiti da pristupi
rješavanju problem bez postavljena plana, jer rješavanje bez plana može dovesti i do
netočna ili nepotpuna rješenja.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
115
"Put od razumijevanja zadatka do postavljenog plana može biti dug i krivudav. U
rješavanju zadataka svakako je glavno doći do ideje plana. Ta se ideja može pojavlji-
vati postepeno. No, ona može, nakon prividno bezuspješnih pokušaja i perioda krzma-
nja, i iznenada sinuti kao 'sjajna ideja'. Najbolje što učitelj može za svoje učenike učiniti
jest: nenametljivo im pomoći da do takve 'sjajne ideju' dođu. Pitanja i preporuke kojima
će se baviti nastoje izazvati takvu ideju" (Polya 1966: 7).
Pri stvaranju plana učenika valja, između ostaloga, upućivati na problemske situ-
acije koje je već rješavao, a imaju nešto zajedničkoga s problemskom situacijom koja
je pred njega postavljena.
IZVRŠAVANJE POSTAVLJENOGA PLANA – Kada je učenik, uz manju ili veću po-
moć učitelja, postavio plan rješavanja, sada taj plan valja realizirati. Realizaciji plana
mora se pristupati strpljivo, ispitujući i rješavajući detalj po detalj, dok se konačno ne
dođe do cilja, tj. rješenja. Od učenika se mora zahtijevati puna koncentracija i kontroli-
ranje svakog poduzetog koraka.
OSVRT NA DOBIVENO RJEŠENJE – Nakon rješenja problema, potrebno je da se
učenik, uz pomoć učitelja, osvrne na sam problem koji je upravo riješio. Osvrtom na
dobiveno rješenje, u kojem se razmatra postupaka te provjerava dobiveno rješenje i
put kojim smo do njega došli, učvrstit će učenikovo znanje te povećati njegove sposob-
nosti i sigurnost u rješavanju problema.
Pri rješavanju zadataka pogreške su uvijek moguće. Stoga je potrebna provjera
dobivenoga rješenja. Zato učitelj mora od učenika zahtijevati osvrt na dobiveno rješe-
nje. Najbolja provjera je da se problem riješiti još jednom, ali sada nekom drugom me-
todom, na neki drugačiji način.
Cotič (2009) etape rješavanja problemskih zadataka koje je postavio Polya
(1968) grafički prikazuje kako je to dano na slici 10. Vidljivo je da se etape nižu jedna
za drugom i kada učenik riješi postavljeni problem i osvrne se na dobiveno rješenje
vraća se na matematički problem s namjerom da ga još jednom riješi, ali sada nekom
drugom metodom, na neki drugačiji način ili da usvojeni algoritma primjeni na neki dru-
gi matematički problem ili na neku drugu problemsku situaciju.
Međutim, Kadum (2005) etape rješavanja problemskih zadataka kao i njihovu po-
vezanost grafički je prikazao na način kako je to učinjeno na slici 11. Jasno se uočava
bipolarnost pojedinih etapa, uz uvažavanje vrlo značajne činjenice da se učeniku ne
smije dopustiti rješavanje zadatka prije negoli definira (postavi) plan rješavanja zada-
nog problema, na što posebice ukazuje Cotič (2009).
"Učiti nekog kako se rješavaju zadaci znači odgajati mu volju. Rješavajući zadat-
ke (koji ne smiju biti prelagani) učenik uči da ustraje i usprkos neuspjehu uči cijeniti i
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
116
sitna napredovanja, uči čekati bitnu ideju i koncentrirati se na nju svim svojim snagama
kad se ona pojavi. Ako učenik u školi nije imao prilike da iskusi razne osjećaje u borbi
za rješenje, tada je njegov matematički odgoj promašio u onom pogledu koji je za život
najvažniji" (Polya 1966: 91).

Slika 10. Nizanje etapa rješavanja problemskih zadataka

(Cotič 2009)

SLIKA 11. Etape rješavanja problemskih zadataka i njihova povezanost

(Kadum 2005)

Primjenu Polyevih etapa u rješavanju matematičkih problema prikazat ćemo na
slijedećem primjeru:
PRIMJER. Odredite opseg i površinu pravokutnika kojemu su duljine stranica 6
cm i 4 cm.
Razumijevanje zadatka. Od učenika se zahtjeva da zadatak ponove, da odgo-
vore na pitanja što je zadano, što moramo izračunati, je li to moguće sa zadanim poda-
OSVRT NA DOBIVENO RJEŠENJE
IZVRŠENJE POSTAVLJENOG PLANA
STVARANJE PLANA
RAZUMIJEVANJE ZADATKA
MATEMATIČKI PROBLEM
Osvrt na dobiveno
rješenje
Razumijevanje
zadatka
Izvršenje
plana
Stvaranje
plana
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
117
cima, ima li u zadatku možda suvišnih podataka i druga pitanja. Kada se učitelj uvjerio
da su učenici razumjeli postavljeni zadatak, dozvoljava im da prijeđu na sljedeću etapu,
stvaranje plana.
Stvaranje plana. 1) Zadatak prikazati slikom i uvesti prikladne oznake. 2) Uvjeti
zadatka su o = 2a + 2b, odnosno o = 2(a + b) i P = a × b (a i b su duljine stranica
pravokutnika). 3) Zamjenom danih vrijednosti u uvjete i računanjem dolazimo do rješe-
nja zadatka.
Izvršenje plana.
o = 2 (a + b)

P = a × b

o = 2 (6 cm + 4 cm)
P = 6 cm × 4 cm

o = 2 × 10 cm

P = 24 cm2.

o = 20 cm

Osvrt na dobiveno rješenje. Nakon što je
učenik postavio plan rješavanja i realizirao ga, osta-
je da se osvrnemo na dobiveno rješenje (što se, na-
žalost, najčešće ne čini). Je li zadatak točno riješen,
najbolje je da se od učenika traži da zadatak riješe
na (neki) drugi način – u ovom je primjeru primjerena metoda kvadratne mreže. U tom
cilju učenik će u kvadratnoj mreži nacrtati pravokutnik dimenzija 6 cm i 4 cm, i pomoć-
ne koordinatne pravce čime će se nacrtani pravokutnik podijeliti na određeni broj kva-
drata. Prebrojavanjem tih kvadrata – ima ih 24 – dobit ćemo površinu pravokutnika, a
prebrojavanjem stranica rubnih kvadrata, tj. stranica koje leže na stranicama pravokut-
nika – ima ih 20 – dobiva se opseg pravokutnika.
Međutim, razmatrani zadatak kvalitetnije je formulirati u slijedećem obliku: Duljine
stranica pravokutnika su 6 cm i 4 cm. Što možeš uraditi sa zadanim podacima? Učini
to!
Zadatak zadan u takvom obliku neke će učenike potaknuti da pravokutnik nacrta-
ju, kod nekih drugih učenika da izračunaju opseg, a daroviti i kreativni učenici će naj-
vjerojatnije pravokutnik nacrtati, te izračunati njegov opseg i njegovu površinu.
Razmotrit ćemo još dva zadatka.
PRIMJER 1. Zadatak
Automobil je prvog dana prevalio 334 km, a drugog dana 18 km manje. Koliko je
kilometara automobil prevalio u oba dana?
mnogo je kvalitetniji ako je zadan na sljedeći način:
Automobil je prvog dana prešao 334 km, a drugog dana 18 km manje. Što možeš
izračunati? Izračunaj!
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
118
PRIMJER 2. Zadatak
Maja je kupila jednu knjigu i četiri bilježnice. Knjiga stoji 57 kuna, a svaka bilježni-
ca 9 kuna. Koliko kuna mora prodavačica vratiti Maji ako je Maja platila novčanicom od
100 kuna?
bolje je zadati u ovome obliku:
Maja je kupila jednu knjigu i četiri bilježnice. Knjiga stoji 57 kuna, a svaka biljež-
nica 9 kuna. Platila je novčanicom od 100 kuna. Što možeš izračunati? Izračunaj!
Cilj ovakvog pristupa matematičkim zadacima je da se učenicima pruži moguć-
nost da sami formiraju nove promjene koristeći generalizaciju, analogiju, reverzibilno
mišljenje, a zatim da te "nove" problemske zadatke rješavaju. Učenici mogu sačiniti no-
ve problemske zadatke mijenjajući zadane veličine, ali i ono što valja izračunati. Na os-
novi danog problema može se formulirati novi problem variranjem nekih od danih uvje-
ta.

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
119
9 KREATIVNE RADIONICE KAO OBLIK POTICANJA

DAROVITOSTI U MATEMATICI

Svakodnevni rad, u svim područjima ljudske djelatnosti, iziskuje sve više umnog
napora – analize složenih procesa, pravilnog rasuđivanja, logičkog zaključivanja i rješa-
vanje različitih problema. Raste potreba za stručnjacima različitog profila znanja i umi-
jećem primjene tih znanja. Stoga se pred školu postavljaju sve veći zahtjevi u pogledu
obrazovanja mladih ljudi. Da bi škola mogla na zadovoljavajući način odgovoriti postav-
ljenim zahtjevima, mijenjaju se i obogaćuju nastavni programi, usavršavaju se nastav-
ne metode i oblici rada, uvode nova nastavna sredstva i pomagala kao i nove tehnolo-
gije (Kurnik 2007).
Svjedoci smo vremena u kojemu jednom stečena znanja nisu dovoljna. Razvo-
jem društva neka od tih znanja brzo prestaju biti korisna i uporabljiva, dok se s druge
strane javlja potreba za novim znanjima. To znači da se i učitelji moraju neprekidno
usavršavati (cjeloživotno obrazovanje), kako bi mogli udovoljiti potrebama i zahtjevima
učenika za novim znanjima.
Pred suvremenom nastavom nameću se dva vrlo značajna problema; misli se ov-
dje na:
(1) problem razvoja stvaralačkog mišljenja i kreativnih sposobnosti učenika i
(2) problem odgovarajućeg osposobljavanja učitelja.
Suvremena metodika nastave pruža razne mogućnosti za rješavanje ovih dvaju
problema. Jedna od mogućnosti su metodičke radionice namijenjene učiteljima i koje
se organiziraju za njih, te kreativne radionice koje se organiziraju za učenike. Zadržat
ćemo se ovdje i prikazati samo kreativne radionice (za učenike) kao oblik poticanja
darovitosti (i darovitih pojedinaca) u matematici.
Metodika nastave vrlo jasno ukazuje da je za učenike najbolji oblik nastave kom-
binacija grupnog i individualnog rada. Međutim, taj oblik rada je u školskoj praksi prilič-
no zapostavljen, a da bi učitelj spoznao njegove vrijednosti i prikladnosti, kao najbolje
rješenje nudi se da i sam bude sudionikom jedne ili više takvih problemskih situacija,
da i sam radi na takav način.
Na osnovi rečenog može se zaključiti da je kreativna radionica oblik aktivnijeg su-
djelovanja učenika u stjecanju znanja i vještina, kao oblika poticanja darovitosti i
darovitih pojedinaca, s posebnim naglaskom na zakonitostima rada u manjim grupama.
U kreativnoj radionici učenici predano i s puno energije i entuzijazma rade na sa-
držajima koje im redovna nastava jednostavno ne može pružiti. S obzirom da kreativne
radionice vode učitelji s pozitivnim iskustvom, kvalitetnim znanjima i dobrim sposobnos-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
120
tima, poticanje darovitosti i darovitih pojedinaca je primjereno, u tim i takvim radionica-
ma događaju se "velika i mala čuda", i pritom se rad "ostvaruje tako da se promiče ko-
munikacijska kultura, slobodan stvaralački rad, korelacija područja i suradnja s učenici-
ma" (Šimeg 2011: 7), radost zajedničkog druženja i doživljavanje uspjeha.
U kreativnim radionicama stječu se navike neopterećenoga, slobodnoga, poštiva-
jućeg i duhovnog druženja i rada učenika međusobno te učenika i voditelja radionica,
odnosno mentora (Šimeg 2011).
Voditelji kreativnih radionica od osobite su važnosti za rad i uspjeh radionice. "...
njihova vrsnost, otvorenost, sposobnost prihvaćanja svakog učenika (...) i svake situa-
cije, spremnost da (...) bude na raspolaganju i izvan radioničkog rada" (Šimeg 2011: 7),
upravo su oni činitelji koji kreativnu radionicu čine privlačnom, zanimljivom, poželjnom i
poticajnom. "Svatko tko jednom osjeti taj stvaralački naboj (i poticaj, dopuna S.K.B.),
slobodu vlastitoga stvaralačkog čina i da je pritom prihvaćen i stručno vrednovan u ra-
dionici i pred zajednicom jednako sposobnih i darovitih, želi obnoviti i produžiti svoje
stvaralačko nadahnuće" (Šimeg 2011: 7), samostalan rad i rad s drugim sudionicima
radionice, želi "upiti duh" kreativne radionice.
U kreativnoj radionici kao obliku poticanja darovitosti i darovitih pojedinaca
ostvaruju se sljedeći ciljevi:
(1) iznošenje vlastitog iskustva;
(2) slušanje drugih učenika i upoznavanje njihovih iskustava;
(3) razgovor o idejama i problemskim pitanjima;
(4) razmjena ideja;
(5) zajedničko osmišljavanje problema i pitanja;
(6) osmišljavanje pristupa rješavanju problema;
(7) rasprava o dobivenim rezultatima samostalnog ali i zajedničkog rada;
(8) provjeravanje osobnih ideja i osobnog mišljenja;
(9) razvijanje sposobnosti prosuđivanja i zaključivanja; i
(10) razvijanje sposobnosti komuniciranja.
Rad u kreativnoj radionici, koji proizlazi iz prvog od dva navedena problema, tj.
razvoja stvaralačkog mišljenja i kreativnih sposobnosti učenika, i dalje poticanje darovi-
tosti i darovitih pojedinaca, moguće je raščlaniti na sljedećih pet ciljeva:
1. učenje vrednovanja sadržaja rada;
2. razvijanje i njegovanje sposobnosti;
3. razvijanje sposobnosti rješavanja problema;
4. učenje rasuđivanja; i
5. učenje komuniciranja.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
121
Uspoređivanjem ovih dviju skupina ciljeva, uočava se zapravo da su navedeni ci-
ljevi prilagođeni ostvarivanju suvremenih didaktičko-metodičkih dostignuća u nastavi
matematike, (Kurnik 2007).
Najčešća djelatnost učenika u kreativnim radionicama je rješavanje problema i
stvaranje novih problemskih situacija koje će rješavati zajedno s ostalim učenicima čla-
novima kreativne radionice.
Suvremena nastava matematike načelno pretpostavlja bitno drugačiju spoznajnu
djelatnost učenika od klasične, tradicionalne nastave. "Težište se postavlja na razvi-
janju učenikovog umijeća samostalnog i stvaralačkog proučavanja (...), (sadržaja rada,
dopuna S.K.B.), te na stvaranje preduvjeta za uspješnu primjenu stečenih (...) znanja i
umijeća." (Kurnik 2007: 32).
Samostalna spoznajna djelatnost učenika pri proučavanju sadržaja rada ostvaru-
je se dobrim dijelom primjerenim izborom problemskih zadataka i njihovim korištenjem.
Stoga su matematički zadaci važno sredstvo pri oblikovanju sustava znanja, umijeća i
navika učenika i doprinos su razvoju učenikovih matematičkih sposobnosti i stvaralač-
kog rasuđivanja, mišljenja i zaključivanja.
Problemske matematičke zadatke, s obzirom na složenost, zahtjevnost i težinu,
dijelimo na dvije velike skupine:
STANDARDNI ZADACI – Riječ je o zadacima u kojima nema nepoznatih sastavni-
ca, uvjeti su jasno i precizno postavljeni, cilj je očigledan, teorijska se osnova lako uo-
čava, način rješavanja je poznat i odvija se na prirodan i očekivani način. Ti zadaci ne
doprinose razvoju kreativnosti učenika, ali su od osobite važnosti za bolje razumijeva-
nje i brže i kvalitetnije usvajanje novih matematičkih sadržaja.
NESTANDARDNI ZADACI – To su zadaci u kojima je barem jedna sastavnica ne-
poznata. Ako su nepoznate dvije ili više sastavnica tada se takvi nestandardni zadaci
nazivaju problemi odnosno problemski zadaci. Rješavanje problemskih zadataka više-
struko je korisno: doprinosi razvijanju logičkog mišljenja i omogućuju provođenje manjih
samostalnih istraživanja. "Rješavajući nestandardne zadatke, učenik nauči cijeniti male
pomake i čekanje ideje (Poly kaže 'sjajne ideje', napomena S.K.B.) koja vodi do uspješ-
nog završetka." (Kurnik 2007: 34).
Sada dajemo neke određene prijedloge što se tiču sadržaja koji se mogu uspješ-
no koristiti u radu s darovitim učenicima. Pritom nismo željeli dati sadržaje koji se obič-
no koriste u pripremi učenika za razne razine natjecanja iz matematike, već smo paž-
nju usmjerili na sadržaje koji su, po nama, bitni za razvoj matematičkog mišljenja,
sposobnosti, kreativnosti i – naravno – matematičke pronicljivosti.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
122
Kako se u svakodnevnom životu ali i u svijetu matematike kao znanosti stalno su-
srećemo s problemima, potrebno je da učenici steknu iskustvo u njihovom rješavanju.
Rješavanjem problema koje ovdje navodimo učenici uvježbavaju određene strategije
rješavanja poput planiranja, pogađanja i provjere, korištenja različitih modela, grafičkih
prikaza, crteža, tablica, eliminacije, traganja za pravilnostima i zakonitostima.
Zadatak 1. Na jednom matematičkom natjecanju sudjelovalo je šest učenika. Pri-
je početka samog natjecanja svi su se rukovali jedan s drugim. Koliko je ukupno bilo ru-
kovanja?
Pri rješavanju ovog problema učenike valja podsjetiti da koriste različite načine
kojima će pratiti broj rukovanja. To mogu biti razni crteži, grafički prikazi, liste i sl.
R j e š e n j e .  Jedan način rješavanja ovoga problema je taj da se krene od
manjeg broja natjecatelja, na primjer, trojice, a zatim treba tražiti od učenika da pos-
tupno uvode po jednog natjecatelja i da pokušaju uočiti neku pravilnost. Od pomoći
mogu biti usmjeravajuća pitanja: Što ste uočili za broj rukovanja i broj natjecatelja koji
se rukuju? Kako ćete prikazati svoj rad da biste lakše uočili neku pravilnost? i druga.
Rukuje li se dvoje natjecatelja, tada imamo samo jedno rukovanje. Ako je troje
natjecatelja, tada je broj rukovanja tri (3). Kod četvero natjecatelja, bit će još tri rukova-
nja, tj. ukupno 3 + 3 = 6 rukovanja. Ako je pet natjecatelja, znači da ćemo imati još če-
tiri (4) rukovanje; prema tome ukupno 6 + 4 = 10 rukovanja. I naposljetku, za šestero
natjecanja imat ćemo još dodatnih pet (5) rukovanja, što ukupno daje 10 + 5 = 15 ru-
kovanja.
D r u g i  n a č i n  r j e š a v a n j a  ovog problemskog zadatka sastojao bi se u
sljedećem: Svaki natjecatelj će se rukovati sa svim ostalim natjecateljima. Kako imamo
šest natjecatelja to znači da će se svaka osoba pojedinačno rukovati sa pet preostalih
natjecatelja; dakle, (6 × 5). Međutim, kako pri rukovanju imamo uvijek dvoje natjecatelja,
ukupan broj rukovanja valja podijeliti s dva; prema tome imamo broj rukovanja
(6 × 5) : 2 = 30 : 2 = 15.
Proširenje problema. Problem možemo proširiti, na primjer, na sljedeći način:
Koliko bi rukovanja bilo ako znamo da su sve osobe došle u paru i da se partneri
međusobno nisu rukovali?
Zadatak 2. Ana i Bojan dogovorili su se da zarade džeparac pomažući ujku
Cvjetku tijekom školskog raspusta. Ujak im je rekao da će ih plaćati na sljedeći način:
Ana će za prvi dan na poslu dobiti 10 kuna, a za svaki sljedeći dan na poslu bit će pla-
ćena dvije kune više negoli prvog dana. Bojan će za prvi dan dobiti 1 kunu, a za svaki
naredni dan njegova plaća bit će udvostručena u odnosu na prethodni dan. Tko će više
zaraditi Ana ili Bojan?
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
123
Cilj rješavanja problema ovakvog sadržaja je da učenici uoče brzinu kojom se
uvećava zbroj kada dodajemo utvrđene brojeve u odnosu na brzinu uvećavanja zbroja
kada dodajemo udvostručene brojeve.
R j e š e n j e .  Očito je da ovaj problem nema točno određeno rješenje. Naime,
zadatkom nije precizirano vrijeme koje će Ana i Bojan raditi kod ujka Cvjetka. Ako rade
šest ili manje dana onda će Ana zaraditi više novaca. Rade li više od šest dana, tada
će zarada Bojana biti veća.
Proširenje problema. Problem možemo proširiti sljedećim pitanjem: Poslije koli-
ko će dana ujak ostati bez novaca i neće moći više plaćati Anu i Bojana?
I proširenje zadatka ne daje mogućnost preciznog odgovora. Naime, nije poznato
s koliko novaca raspolaže ujak Cvjetko. Učenici trebaju uočiti da se zbrajanjem udvo-
stručenih brojeva zbroj brže uvećava. Tako će poslije 20 dana ukupni zbroj prijeći mili-
jun kuna, što najvjerojatnije znači da Ani i Bojanu ujak Cvjetko to neće moći isplatiti.
Zadatak 3. Igra uzmi dva igra se na sljedeći način: Stavimo pet žetona u jednom
redu. Igra se odvija tako da najprije igra jedan od sudionika, a zatim drugi. Svaki put,
igrač ima pravo uzeti jedan ili dva žetona, naravno po osobnoj odluci. Pobjednik igre je
onaj sudionik koji uzme posljednji žeton odnosno žetone. Valja odgovoriti na sljedeća
pitanja: (1) Možemo li odrediti strategiju igre prvog igrača da bi uvijek pobjeđivao? Riječ
je dakle o pobjedničkoj strategiji! (2) Je li igra poštena (fer), tj. pruža li jednake moguć-
nosti (šanse) svakom igraču da pobjedi?
Riječ je, rekli smo već, o problemu otvorenog tipa. Učenicima se ne daje odgovor
na pitanje je li igra poštena. Ako je igra poštena onda nije bitno tko započinje igru, jer
svaki igrač ima podjednaku šansu da pobjedi. Ukoliko igra nije poštena, valja otkriti tko
će pobijediti, prvi ili drugi igrač.
Riječ je o otvorenom problemu koji spada u teže probleme, jer učenici prilikom
njihova rješavanja moraju izabrati pravac djelovanja, tj. kojim će se kretati. U nekim će
situacijama trebati da se igra odigra više puta kako bi se mogao izvesti zaključak, tj.
dati siguran odgovor. Stoga je preporučljivo da na ovakvim problemima učenici rade u
paru. Važno je učenicima napomenuti da nije cilj pobijediti protivnika, već da pokušaju
pronaći pobjedničku strategiju za igrača koji igru započinje prvi. Učenicima učitelj može
pomoći postavljanjem sljedećih pitanja: Što se uočili igrajući ovu igru? Ako si prvi igrač
koliko žetona moraš uzeti? Zašto? i druga, slična.
R j e š e n j e .  Ovaj je problem preporučljivo promatrati unazad, koristeći pritom
inverziju. Igrač koji pobjeđuje je onaj koji uzima posljednji žeton ili posljednja dva žeto-
na. Neka je to igrač A. Igrač B je drugi igrač i igra prije igrača A (počevši od unazad!).
On će ispred sebe imati 3 žetona, jer ako bi imao 2 žetona onda bi njihovim uzimanjem
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
124
igrač B bio pobjednik. Ukoliko bi ispred sebe imao 4 žetona, uzeo bi 1, ostala bi 3 žeto-
na, što znači da bi igrač B bio u pobjedničkoj poziciji. Dakle, 3 žetona za igrača B pred-
stavljaju gubitničku poziciju.
Slijedeća gubitnička pozicija za igrača B je 6 žetona. Razlog je tome što igrač B
može uzeti samo 1 ili 2 žetona, pa će preostati 5 ili 4 žeton. Sada igrač A uzima 2 ili je-
dan žeton i ostavlja 3 žetona što je gubitnička pozicija za igrača B.
Kako smo na početku imali 5 žetona, igrač A, kao prvi igrač, je jedini koji ima mo-
gućnost da uzimanjem žetona ostavi 3 žetona i na taj način drugi igrač, igrač B, je u
gubitničkoj poziciji. Stoga igra nije poštena, tj. nije fer.
Proširenje problema. Kako bi se odvijala igra sa 7 žetona? A kako se 8, 9, 10,
... žetona? Što se može zaključiti?
Zadatak 4. Umjesto zvjezdica stavi odgovarajuće znamenke, tako da zadano
zbrajanje bude točno:
3 * 7 * * + * 5 743 = * 21 * 91.
Da bi se ovaj problem (ili slični problemi) mogao riješiti učenici moraju znati
pojam mjesne vrijednosti i pozicijsko zapisivanje brojeva. U početku je dobro učenicima
dozvoliti pogađanje, da pretpostavljaju moguća rješenja, a zatim od učenika valja tražiti
da objasne razloge svojih pretpostavki. Potrebno je učenike ohrabrivati da svoja
razmišljanja zapisuju i da pokušaju pronaći način(e) dolaska do njih. Pritom učitelj
učenike potiče usmjeravajućim pitanjima.
R j e š e n j e .  Bez obzira što se do rješenja može doći i pogađanjem, od učeni-
ka treba tražiti i alternativne načine dolaska do rješenja.
U zbroju se na mjestu jedinica nalazi znamenka 1. Budući da se u drugom pri-
brojniku na mjestu jedinica nalazi znamenka 3, to u prvom pribrojnu na mjestu jedinica
mora biti znamenka 8, jer samo zbroj 8 + 3 = 11 na mjestu jedinica u zbroju daje zna-
menku 1. Pritom u stupac desetica prenosimo 1. Sada iz zbroja (drugi stupac, tj. stupac
desetica)
* + 4 + 1 = 9
slijedi da se na mjestu desetica u prvom pribrojniku nalazi znamenka 4.
Zbroj u trećem stupcu, tj. zbroj stotica je 7 + 7 = 14, pa na mjestu stotica u zbroju
dolazi znamenka 4. Pritom u viši stupac, tj. u stupac tisućica, prenosimo 1. Sada iz
zbroja (treći stupac, tj. stupac tisućica) * + 5 + 1 uočavamo da zbroj mora biti dvozna-
menkasti broj i pritom na mjestu jedinice mora biti znamenka 1. Pod navedenim uvje-
tom jedino je moguće
* + 5 + 1 = 11,
a odavde slijedi da na mjestu tisućica u prvom pribrojniku dolazi znamenka 5.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
125
Iz zbroja 3 + * + 1 (četvrti stupac, tj. stupac deset tisućica) slijedi da zbroj mora (i
može) biti jedino 12, pa iz
3 + * + 1 = 12
slijedi da na mjesto deset tisućica u drugom pribrojniku dolazi znamenka 8, a na mjestu
sto tisućica u zbroju dolazi znamenka 1.
Rekonstruirano zbrajanje je, dakle, ovog oblika:
35 748 + 85 743 = 121 491.
Zadatak 5. Veliki njemački matematičar Karl Friedrich Gauss (1777. – 1855.)
vrlo je rano pokazao svoju matematičku darovitost – brže je i lakše rješavao zadatke
negoli njegovi prijatelji i vršnjaci.
Jednom prilikom učitelj je zadao da se zbroje svi prirodni brojevi od 1 do 100. Na
veliko iznenađenje učitelja, Gauss je, imao je tada tek šest-sedam godina, odmah do-
nio rezultat: 5050. Kako je tako brzo došao do rezultata? Gauss nije zbrajao broj po
broj. On je, promatrajući niz
1,  2,  3,  4,  5, …,  98,  99,  100,
čije je članove trebalo zbrojiti, uočio sljedeću zakonitost: zbroj prvog i posljednjeg broja
u tom nizu je 101, zbroj drugog i pretposljednjeg broja je, također, 101, zbroj trećeg i
trećeg od kraja je, također, 101, itd. Takvih je parova točno 50 (zašto?), pa traženi
zbroj iznosi
101 × 50 = 5 050.
Interesantno, zar ne? Ovaj je postupak poznat pod nazivom Gaussova dosjetka.
Zadatak 6. U svaki od kvadratića (vidi sliku) valja upisati brojeve od 1 do 9 tako
da zbroj po redovima, stupcima i dijagonalama iznosi 15.

Najpoznatija i najjednostavnija je ona figura (kvadrat) koji ima devet polja, tj. koji
je oblika 3´3, upravo ona koja je prikazana na slici. Takve se figure nazivaju magič-
nima, pa je u ovom slučaju dakle riječ o magičnom kvadratu.
R j e š e n j e .  U nizu brojeva 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 broj 5 je točno u sredini, a
zbroj svaka dva parna ili svaka dva neparna broja jednako udaljenih od broja 5 je 10.
Koristeći se tom činjenicom, u srednje polje upisujemo broj 5, a u polja kod suprotnih
vrhova brojeve 2 i 8, odnosno 4 i 6. Preostale (neparne) brojeve lako upisujemo u pre-
ostala polja tako da zbroj u redovima i stupcima bude 15.
U tablici to izgleda ovako:
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
126
2
9
4
7
5
3
6
1
8

Možeš li brojeve drugačije rasporediti?
Zadatak 7. Broj jedan se piše brojkom (znamenkom) 1, i to je najjednostavnije.
Ali, napiši broj jedan s dvije bilo koje znamenke. Ili s tri, četiri, …
R j e š e n j e .  Možemo pisati, na primjer:
2 : 2 = 1,     3 : 3 = 1,     4 : 4 = 1,     itd.
(2 + 2) : 4 = 1,     (3 + 4) : 7 = 1,     itd.
(1 + 2 + 3) : 6 = 1,     itd.
Nastavi dalje sam!
Zadatak 8. Kako ćeš pomoću dvije posude, jedne od 4 a druge od 7 litara, sa
slavine donijeti 6 litara vode?
Ako je riječ o vodi onda je prolijevanje dozvoljeno. Međutim, radi li se o tekućina-
ma kao što su, na primjer, mlijeko, vino, sok i slične, tada izlijevanje nije dopušteno.
Naime, bila bi šteta, primjerice, proliti sok.
R j e š e n j e .  Zadatke ovakvog sadržaja prikladno je rješavati pomoću tablice
pretakanja. Tablica pretakanja za naš zadatak je ovog oblika:

Broj
pretakanja
Posuda
od
7 litara
Posuda
od
4 litre
1.
7
0
2.
3
4
3.
3
0
4.
0
3
5.
7
3
6.
6
1 + 3

Obrazloženje pretakanja: Napunimo veću posudu i iz nje ulijemo u manju posudu
4 litre, tj. toliko da se ova napuni. Zatim, vodu iz manje posude izlijemo. Nakon tog pre-
takanja u većoj posudi imamo 3 litre, dok nam je manja posuda prazna.
Sada iz veće posude prelijemo u manju posudu ove 3 litre, pa veću posudu (koja
je nakon tog pretakanja bila prazna) napunimo. Stanje u posudama je sada ovakvo: u
većoj posudi je 7 litara, a u manjoj su 3 litre.
Sada iz veće posude dopunimo manju posudu, tj. iz veće u manju posudu ulije-
mo jednu litru, pa će nam nakon toga u većoj posudi biti 6 litara vode.
Zadatak 9. Svi prirodni brojevi, počevši od 1, napisani su uzastopno u nizu jedan
iza drugoga
12345678910111213141516171819202122232425…
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
127
Koja je znamenka u tom zapisu na 150–om mjestu i u kojem se broju nalazi?
R j e š e n j e .  Prvih devet brojeva podudara se s devet znamenaka, pa oduzi-
manjem slijedi
150 – 9 = 141.
Sljedećih devet brojeva započinje s 1, ima ih deset ili ukupno 20 znamenki; zato
je
141 – 20 = 121.
Narednih deset brojeva započinje s 2, ima ih deset ili ukupno 20 znamenki, pa je
121 – 20 = 101.
Postupak nastavljamo i nakon oduzimanja (svaki put po 20) brojeva koji započi-
nju s 3, 4, 5, 6 i 7, ukupno se oduzelo 149 znamenki, što znači da ostaje još jedna zna-
menka.
Sljedeći broj je 80.
Dakle, u tom nizu na 150–om mjestu je znamenka 8 i nalazi se u broju 80.
Proširenje problema. Problem možemo proširiti na način da taj niz čine samo
neparni (ili samo parni) brojevi.
Zadatak 10. Zadana su četiri pravca od kojih se sijeku dva po dva i od kojih niko-
ja tri ne prolaze kroz istu točku. Koliko ukupno, tako zadani pravci, određuju dužina ko-
je pripadaju tim pravcima?
R j e š e n j e. Prikažimo zadatak slikom.

Na slici su prikazani pravci koji zadovoljavaju uvjet zadatka. Njihove točke sječe-
nja su: A, B, C, D, E, F.
Na pravcu t imamo ove dužine: AB, AC i BC;
na pravcu r:
BE, BF i EF;
na pravcu s:
CE, CD i ED;
na pravcu p:
AD, AF i DF.
Dakle, ukupno je određeno 12 dužina.
Proširenje problema. Zadan je peti pravac koji siječe sva četiri zadana pravca.

p
r
s
t
A
B
C
D
E
F
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
128
– o 0 o –

Radom u kreativnim radionicama, rješavanjem problemskih zadataka i njihovim
proširivanjem učenici uvježbavaju određene strategije učenja i rješavanja problema.
Jer, uspješnost rješavanja matematičkih zadataka, njihovo transformiranje i proširivanje
vezuje se naročito uz odabir puta kojim valja poći u rješavanju problemskih situacija.

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
129
10 OSNOVNI OBLICI ODGOJNO-OBRAZOVNE PODRŠKE

DAROVITIM UČENICIMA

U znanstvenim, političkim i drugim raspravama o darovitosti i darovitim pojedin-
cima izdvojena su tri osnovna razloga bavljenja tim didaktičko-metodičkim fenomenom
(Wottawa i Hossiep 1997):
1. Društvena potreba zasnovana je na spoznaji da je za optimalno funkcioniranje
društva neophodan doprinos pojedinaca koji se ističu velikim postignućem na području
politike, upravljanja, znanosti, tehnike i umjetnosti, te je stoga poticanje i podržavanje
pojedinaca sa predispozicijama za takvo postignuće potreba svakog društva koje želi
da održava i razvija blagostanje svojih građana.
2. Pravo na osobni razvoj često se ističe kao jedna od važnih stečevima suvre-
mene civilizacije na području odgoja i obrazovanja, i znači da društvo treba osigurati
uvjete koji će omogućiti optimalan razvoj sve djece što, između ostaloga, znači da
društvo treba pružiti posebnu podršku u razvoju kako djeci s određenim nedostacima ili
oštećenjima, tako i onima koji pokazuju pojačani interes, onima koji mogu i žele više,
jednostavno – darovitima (Horowitz i O'Brien 1989).
3. Otklanjanje poremećaja. Određeni broj darovitih, posebice oni izuzetno daro-
viti, manifestiraju neke poremećaje u emocionalnom i socijalnom razvoju, čije otklanja-
nje, ili barem ublažavanje, uslijed osobitosti darovitih, iskazuje sasvim drugačiji pristup
nego kod onih ometenih u razvoju, i u znatnoj mjeri nego kod ostale djece (Božin
2006).
No, razvojni psiholozi ističu još jedan razlog bavljenja darovitošću i darovitima:
značaj razumijevanja razvoja darovitosti za razumijevanje ljudskog razvoja uopće (Fel-
dman i Benjamin 1986; Winner 1996; Božin 2007). U tom smislu Feldman i Benjamin
(1986: 285) navode "da ako razumijemo razvoj, počet ćemo razumijevat i darovitost, i
obrnuto", dok Winner (1996: 12-13) ukazuje na "nekoliko neočekivanih rezultata" do
kojih je dovelo istraživanje darovitih: (1) neko dijete može biti darovito na jednom po-
dručju, ali na razini prosječne djece ili, čak, manifestirati teškoće u učenju na nekom
drugom području; (2) irelevantnost visokog kvocijenta inteligencije za postignuće na
području umjetnosti i glazbe; (3) atipičnost mozga darovitih; (4) neusporedivo veći zna-
čaj porodice nego škole u razvoju darovitosti; (4) "… darovitost može dovesti do nesre-
će i društvene izolacije"; i (5) karakteristike ličnosti su pouzdaniji predikatori toga što će
biti s darovitim djetetom kad odraste nego njegov stupanj darovitosti.
Kako bi se na što primjereniji način odgovorilo na zahtjeve koji proizlaze iz nave-
denih razloga bavljenja darovitošću i darovitima, nakon započinjanja postupka identifi-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
130
kacije darovitih, danas se poduzimaju neke opće obrazovne intervencije ili strategije
koje se različito grupiraju. I dok Winner (1996) smatra da se te strategije mogu klasifici-
rati na: a) grupiranje prema sposobnostima (ability grouping), b) akceleracija i c) druga,
tj. ostala rješenja (other solutions), Đorđević (1979: 83; 2004; 2005) navodi da se "svi
oblici obrazovanja i odgajanja darovitih" mogu grupirati na sljedeći način:
1. homogeno grupiranje prema općim ili specijalnim sposobnostima;
2. djelomično homogeno grupiranje;
3. redovna nastava s obogaćenim programom za darovite; i
4. školska akceleracija.
Olszewski-Kubilius (2003), pri klasificiranju strategija obrazovanja darovitih, opre-
djeljuje se za dvije široke grupe strategija: (1) grupiranje prema sposobnostima i (2) ak-
celeracija spram obogaćivanja programa (acceleration versus enrichment). Pritom su
akceleracija i obogaćivanje programa često bile međusobne suprotstavljene, što se
može vidjeti i iz samog izraza "akceleracija spram obogaćivanja", iako su granice izme-
đu tih strategija često nejasne: "osiguravanje dodatnog sadržaja obogaćivanjem često
rezultira time što učenik biva ispred ili akceleriran u odnosu na druge učenike u pogle-
du postignuća. Često se dodatni sadržaj koji se osigurava je sadržaj rezerviran za sta-
rije učenike" (Olszewski-Kubilius 2003: 501), odnosno za učenike viših razreda. Među-
tim, u tom tekstu naslovljenog "akceleracija spram obogaćivanja", te dvije strategije se
ipak se odvojeno razmatraju.
Navodimo i klasifikaciju općih obrazovnih strategija za koju se opredijelila Benito
(2003): (1) akceleracija; (2) grupiranje u posebna odjeljenja; (3) kurikularna adaptacija,
tj. diferencirani kurikulum; (4) ekstrakurikularna amplifikacija, tj. obogaćivanje i (5) dru-
ge (ostale) strategije.
U Nacionalnom okvirnom kurikulumu (Fuchs i sur. 2011: 275) navodi se da je
škola u obvezi osigurati "učenicima uključenost u odgojno-obrazovni program u skladu
s razinom i vrstom njihove darovitosti, dodatnu nastavu i druge oblike rada koji potiču
njihove sposobnosti i stvaralaštvo. Oblikovanje individualnog kurikuluma zahtjeva od-
govarajuću prilagodbu, (…) diferencijaciju sadržaja (…) i vrijeme savladavanja sadrža-
ja, te tijek poučavanja i oblika rada." Pritom se prilagodba odnosi na:
– sadržaj učenja: akceleracija, sažimanje, mijenjanje, reorganiziranje, prilagod-
ljiv tempo rada, korištenje suvremenijih i složenijih materijala, koncepcija i sl.;
– proces učenja: intelektualno zahtjevniji problemski zadaci, pitanja otvorenog ti-
pa koja pokreću višu misaonu razinu – istraživanje, otkrivanje novog, preispitivanje po-
znatoga, samostalno učenje, te upute koje potiču ostvarivanje viših razina mišljenja;
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
131
– proizvod učenja: plakat, seminarski rad, izlaganje (predavanje) drugim učenici-
ma, problemski zadaci za druge učenike, mentorstvo darovitih učenika drugim učenici-
ma; te
– okruženje učenja koje omogućuje slobodnu komunikaciju, potiče neovisnost,
stvaralaštvo, inovativnost i sl.
Kada je riječ o odgoju i obrazovanju darovitih učenika, Đorđević (2005: 138) na-
vodi da je izvjesno "da jedan oblik okupljanja darovitih nije dovoljan budući da je feno-
men darovitosti raznovrstan i manifestira se u različitim područjima života". Svaka od
naprijed navedenih strategija ima prednosti ali i nedostataka. Za koju će se strategiju
društvo opredijeliti, zavisi ne samo od njegovih materijalnih i drugih mogućnosti, već
prije svega od toga što to društvo želi i očekuje od darovitih. Želi li dobiti elitu koja od-
govara njegovim nastojanjima i razvojnim potrebama ili u okviru općih nastojanja želi
osigurati širu osnovu kao mogućnost pronalaženja, razvijanja i manifestiranja različitih
vrsta darovitosti što većeg broja pojedinaca. Na taj način, socijalni ciljevi određuju opći
pravac i opću obrazovnu politiku glede tretmana darovitih (Đorđević 2005).

10.1 Obogaćivanje nastavnih programa

Obogaćivanje nastavnih programa podrazumijeva dodatno angažiranje darovitih
učenika u redovnoj nastavi i izvan nje. U okviru redovne nastave, vrši se diferencijacija
nastavnih sadržaja i individualizacija učenja s ciljem osiguravanja širih i složenijih sadr-
žaja na odgovarajućoj razini. Izvan redovite nastave darovitim se učenicima najčešće
nude mogućnosti kao što su dodatni rad, rad u sekcijama, sudjelovanje na natjecanji-
ma, rad s mentorom, samostalan rad itd.
I dok obogaćivanje nastavnih programa označava horizontalnu prilagodljivost
unutar cijelog kurikuluma, proširivanje predstavlja vertikalnu prilagodljivost koja učeniku
omogućuje brže napredovanje kurikulumom.
Obogaćivanje programa označava vrstu učenja koje je izvan osnovnog programa
koji djeca uče, odnosno predstavlja dodatak općem kurikulumu, ali ga pritom ne mije-
nja. Može se ostvarivati sa skupinom učenika koji rade zajedno na kakvu dodatnom sa-
držaju unutar kurikuluma, pri čemu obogaćivanje ne mora biti namijenjeno samo daro-
vitim već i ostalim učenicima u razredu. Proširenje programa predstavlja obogaćivanje
sadržaja općeg kurikuluma tako da postanu složeniji, čime se učenika uvodi u dublje
upoznavanje pojedinih sadržaja, uz napredovanje njemu svojstvenom brzinom. Može
sadržavati akceleraciju (ubrzanje), kada učenici "preskaču" određene dijelove gradiva
kako bi se brže kretali prema cilju (Fuchs i sur. 2011).
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
132
Obogaćivanje programa za darovite u redovnoj nastavi bilo je rijetko u primjeni.
Međutim, rezultati novijih istraživanja ukazuju na porast interesa odgojno-obrazovnih
djelatnika, posebice u Sjedinjenim Američkim Državama, za takav vid rada i nastave s
darovitim učenicima. Darovitim se i kreativnim učenicima obogaćuje program u okviru
redovnih nastavnih programa. Glavni je cilj obogaćenog programa poticanje motivacije
za rad i omogućiti optimalni razvoj sposobnosti darovitih učenika.
Mogućnosti obogaćivanja nastavnih programa za darovite učenike su raznovr-
sne: pristup sadržaju je dublji, individualno vođen, često povezan s drugim područjima
(nastavnim predmetima), interaktivan, a može biti i pod vodstvom mentora izvan škole,
na primjer znanstvenika. Kod prakticiranja obogaćenog programa daroviti učenici se ne
izdvajaju iz razrednog okruženja, već individualno rade na zadacima ili projektima uz
stručno vođenje. Pritom je od osobitog značaja vođenje brige o individualnim potreba-
ma i sklonostima svakog darovitog učenika, a posebno o njihovoj motivaciji.
George (2005) navodi opće karakteristike obogaćivanja nastavnih programa:
– širenje i produbljivanje iskustva učenja;
– pružanje iskustva i aktivnosti izvan redovnog kurikuluma;
– razvijanje intelektualne darovitosti i talentiranosti najsposobnijih;
– naglašavanje kvalitativnog razvoja sposobnosti mišljenja, a ne kvantitativno
akumuliranje informacija i činjenica;
– naglašavanje procesa učenja, a ne sadržaja.
– Obogaćivanje nastavnih programa može biti horizontalno, pri čemu se istra-
žuju područja znanja koja se rijetko dotiču u zajedničkom osnovnom kurikulumu škole, i
vertikalno koje i razvija sposobnosti razumijevanja temeljnih načela i generalizacija.
– Daroviti učenici trebali bi općenito raditi manje, a naučiti više. Pritom valja uva-
žiti stav engleskog matematičara Sawyara koji ističe da je često korisnije riješiti jedan
zadatak na tri-četiri različita načina, nego tri-četiri različita zadatka na isti način (Kadum
2005).
Raspravljajući o razmatranom fenomenu, Drašković (1998) navodi opće ciljeve
obogaćivanja nastavnih programa: (1) proširenje osnove znanja; (2) produbljivanje ra-
zumijevanja; (3) povećanje stupnja vještine; (4) razvijanje ljubavi prema učenju; (5) ra-
zvijanje poželjne metode učenja i mišljenja; (6) poticanje inicijative; i (7) razvijanje krea-
tivnosti.
Stenley (1977; prema: Maksić 1998) izdvaja četiri vrste obogaćivanja nastavnih
programa i povezuje ih s ubrzanim napredovanjem (akceleracijom):
1. darovitim učenicima se u razredu zadaje više zadataka nego drugoj djeci, tako
da su oni stalno zauzeti;
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
133
2. irelevantno školsko postignuće, podrazumijeva da se učeniku, kada završi za-
datak iz područja u kojem je darovit, daju neki drugi zadaci, koji nisu povezani s po-
dručjem darovitosti, kako bi ispunio vrijeme;
3. kulturno obogaćivanje nudi učeniku druge aktivnosti kao u prethodnom sluča-
ju, ali su te aktivnosti od značaja za njegov opći razvoj i kulturu;
4. relevantno školsko obogaćivanje, učenik dobiva zadatke iz područja u kojem
je darovit, koji zahtijevaju korištenje viših procesa.
Neka istraživanja kazuju (Hadžimehmedović 2009) kako je obogaćen nastavni
program posebno pogodan za rad s darovitim učenicima u primarnom obrazovanju,
gdje se vodi računa i o odgovarajućoj individualizaciji nastave. Programi se obogaćuju
tako što se, između ostalog, uvažavaju i najznačajnije karakteristike učenika, koje su
utvrđene prije planiranja i obogaćivanja nastavnog programa za pojedine kategorije
učenika, kao što su:
– individualne razlike među učenicima u kakvoći i količini znanja, te brzini uče-
nja,
– vođenje brige o propustima u znanju i vrsti učinjenih pogrešaka tijekom ranijeg
učenja,
– odabir najpovoljnijih načina davanja uputa (instrukcija) koje najviše odgovaraju
sposobnostima i osobinama učenika ili pojedinih kategorija učenika.

10.1.1 Pojam i sadržaj obogaćenog kurikuluma

Temeljna karakteristika kurikuluma je "učeniku orijentirano učenje", precizno arti-
kulirano (algoritmizirano), pa se stoga svako planiranje i programiranje ne može zvati
kurikulumom, već samo ono koje zadovoljava metodologijske uvjete, kriterije i tehnolo-
giju izrade kurikuluma.
Knoll (1989; prema: http://free-zg.htnet.hr/zeljkoburcar/kurikulum1.htm) kurikulum
definira kao organizirani angažman procesa učenja i sadržaja, a obzirom na određene
svrhe i ciljeve, sa strukturiranim nizom željenih ishoda: znanja, vještina, sposobnosti i
ponašanja. Prema tome, kurikulum je sustav postupaka učenja i poučavanja zasnova-
nih na definiranim i operacionaliziranim ciljevima učenja.
U Nacionalnom okvirnom kurikulumu (Fuchs i sur. 2011: 8) navodi se da se pod
kurikulumom razumijeva "opsežno planiranje, ustrojstvo i provjeravanje procesa rada i
djelovanja s obzirom na odgovarajuće detaljne ciljeve, sadržajne elemente, ustrojstvo
te kontrolu postignuća prema globalno postavljenim ciljevima i prema pretpostavkama
za odvijanje procesa". Prema tome, kurikulum sadrži društveni aspekt, on predstavlja
artikulaciju društvenih zahtjeva koji se postavljaju pred odgojno-obrazovni proces. Indi-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
134
vidualni aspekt vezuje se uz interese i potrebe učenika, pa ga stoga može u svojim pla-
novima artikulirati učitelj u suradnji s učenicima. (Prema: http://ladislav-bognar.net/dru-
pal/node/75).
Osnovni elementi kurikuluma jesu:
1. Cilj(evi). Cilj je izražena namjera, iskaz očekivanja i djelotvornosti nastavnog
procesa. Odgovara na pitanje što želimo polučiti ostvarivanjem nastavnog sata, tj. nas-
tavne (problemske) situacije, pri čemu ostvarenje mora biti mjerljivo nekim od oblika,
postupka ili instrumentom vrednovanja. Vrednovanje se provodi na kraju nastavnog sa-
ta ili na kraju neke druge vremenske ili sadržajne jedinice (na primjer, na polugodištu).
Cilj se konkretizira s nizom zadataka koji pomažu u ostvarivanju didaktičko-metodičke
namjere. Pritom, zadaci predstavljaju razradu postupaka koji vode ka ostvarivanju pos-
tavljena cilja.
2. Nastavni sadržaji predstavljaju izbor iz ogromne količine generacijskog iskus-
tva, pri čemu se "generacijsko iskustvo mora za potrebe prenošenja obraditi tako da
postane prenosivo i usvojivo za one kojima je namijenjeno" (Švajcer 1987: 47-48). Radi
se zapravo o činjenicama, pojmovima, zakonima i teorijama pojedinih znanstvenih po-
dručja, općim i specifičnim postupcima, načinima rada, te etičkim vrijednostima i nor-
mama. Sadržaji su osnova za iskustva, doživljaje i aktivnosti koje valja organizirati da
bi se postavljeni nastavni ciljevi ostvarili.
3. Nastavne strategije su umijeća pripreme i vođenja, uporabe prikladno oda-
branih postupaka, načina rada, oblika interakcije, didaktičko-metodičkih medija i tehno-
logije kako bi se ostvarili postavljeni nastavni ciljevi. U odgojno-obrazovnom procesu
djeluje se iz dva temeljna sustava strategija: strategije odgoja (strategija egzistencije,
strategija socijalizacije i strategija individualizacije) i strategije obrazovanja (strategije
poučavanja i učenja istraživanjem i otkrivanjem, strategije doživljavanja i izražavanja,
strategije ponavljanja i vježbanja, te strategije stvaranja).
4. Nastavne situacije predstavljaju ostvarivanje planiranih sadržaja i aktivnosti,
čija primjena osigurava djelotvornu dinamiku odgojno-obrazovnog procesa. Pritom se
za odgovarajuću nastavnu (problemsku) situaciju planiraju etape nastavnog procesa,
oblici i načini rada, oblici interakcije (socijalni oblici) te odgojno-obrazovne strategije. U
planiranju nastavnih situacija mora se voditi računa o potrebama, interesima i očekiva-
njima učenika, nastavnoj ekologiji, raspoloživim didaktičko-metodičkim medijima i teh-
nologijom, te posebno o kompetencijama učitelja.
5. Vrednovanje je postupak kojim se utvrđuje stupanj i kakvoća ostvarenja pos-
tavljena cilja nastave. Razlikuju se sljedeći oblici vrednovanja: vanjsko (vrednovatelji ni-
su iz škole), unutarnje i samovrednovanje. Pritom, praćenje i ocjenjivanje može biti for-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
135
mativno (za praćenje usvojenosti tijekom procesa učenja), sumativno (za procjenu us-
pješnosti procesa učenja), te analitičko, sintetičko ili kombinirano (za procjenjivanje,
vrednovanje i ocjenjivanje odgojno-obrazovnih komponenti učenja), pri čemu ocjene
mogu biti brojčane (kao izraz uspješnosti) i opisne (s opisom dostignuća, napretka i/ili
poteškoća), (Kadum-Bošnjak 2010).
Danas se zagovara tzv. "otvoreni kurikulum" koji postojeće nastavne programe
shvaća kao ideju vodilju učitelju i učenicima, ali nikako ne nešto što bi sputavalo nji-
hovu inicijativu i kreativnost. Učitelji se zapravo ne bi trebali baviti realizacijom progra-
ma već realizacijom ljudskih mogućnosti svojih učenika. (Prema: http://ladislav-bognar.
net/drupal/node/75).
Na osnovi rezultata vlastitih istraživanja, Tassel-Baska (1994), navodi da postoji
nekoliko pokazatelja kvalitetnog, obogaćenog kurikuluma za darovite, pri čemu nave-
deni pokazatelji mogu poslužiti i kao vodič za provjeru učinkovitosti programa. Ovaj
program, program obogaćenog kurikuluma uključuje sljedeće:
1. formuliranu i konkretiziranu koncepciju, ciljeve i očekivane obrazovne ishode
učenikova učenja;
2. višestruke obrazovne opcije na razrednoj i školskoj (međurazrednoj) razini;
3. modificiran raspored i osposobljene učitelje za polučivanje konkretnih ciljeva;
4. kriterije za identifikaciju, odgovarajuću instrumentalizaciju i proces stalnog
prijema darovite djece;
5. uvid u rezultate svih godina školovanja;
6. artikuliranje kurikuluma tijekom školovanja;
7. odabir učitelja prema ključnim kompetencijama za rad s darovitima;
8. korištenje različitih i brojnih resursa, uključujući i društvo/zajednicu, kako bi se
ostvarili postavljeni ciljevi;
9. obrazovni modeli bi trebali odgovarati potrebama učenika u određenom soci-
jalnom okruženju;
10. nastavu temeljiti na rješavanju problema, višim razinama procesa mišljenja,
aktivnostima temeljenim na istraživanju i otkrivanju, te učenikovim dostignućima visoke
kakvoće;
11. suradnju s roditeljima i komponentu stalne brige o darovitima u školi i za-
jednici;
12. izradu kurikuluma u okviru timskog rada učitelja, uključenih u proces rada sa
darovitima;
13. evaluaciju realizacije rad uz potrebne korekcije u danom kontekstu.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
136
Daroviti su vitalni resurs kako za sebe, tako i za svoje porodice ali i društvo u cje-
lini. Zbog toga je neophodno stalno nastojanje da će prepoznati daroviti učenici dobiti
podjednake mogućnosti za kvalitetno obrazovanje: riječ je o angažiranosti i osobnoj
djelotvornosti koje bi svatko od nas trebao pokazati. Daroviti učenici su mladi s po-
sebnim potrebama za učenje i poučavanje, tako da bi svi odrasli morali biti direktno
uključeni u ostvarivanje njihovih potencijala i potreba (Knežević-Florić 2005).

10.2 Homogeno grupiranje prema sposobnostima

Grupiranje predstavlja okupljanje učenika sličnih sposobnosti i interesa na jed-
nom mjestu i u isto vrijeme. Radi se, dakle, o grupiranju darovitih učenika prema razini
njihovih sposobnosti, odnosno njihovom izdvajanju od ostalih učenika. Budući da se
daroviti učenici kao grupa u mnogim svojstvima i osobinama ličnosti razlikuju od ostalih
učenika, potrebno je omogućiti im poseban tretman s odgovarajućim programima. Na
taj način bolje se zadovoljavaju individualne potrebe za traganjem, otkrivanjem i istraži-
vanjem kod darovitih pojedinaca.
Grupiranje darovitih učenika može se organizirati u obliku posebnih razrednih
odjela, programa s uzimanjem učenika iz redovne nastave i kao grupiranje po aktivnos-
tima.
Kao prvi način rada s darovitima, u tridesetim godinama prošlog stoljeća, pojavilo
se upravo grupiranje, tj. izdvajanje darovitih učenika u posebne razredne odjele i škole
radi zadovoljavanja njihovih specifičnih obrazovnih potreba. Naime, daroviti se kao gru-
pa, u mnogočemu razlikuju od ostalih "običnih" učenika zbog čega je potrebna i odgo-
varajuća pažnja. Grupiranje darovitih u posebne razredne odjele ili škole, po tom shva-
ćanju, pruža adekvatniji i učinkovitiji načinu i tempo rada (Đorđević 2005). Međutim,
već tada se počelo ukazivati na neželjene učinke izdvajanja i neopravdanost ovakvog
oblika rada. (Ovakve se rasprave vode i danas.) Dobra strana izdvajanja darovitih ogle-
da se u tome što izdvojene grupe darovitih mogu obrađivati veće i zahtjevnije sadržaje,
uz brže prelaženje pojedinih područja. Daroviti učenici su poticani u svim predmetima i
stimulirani od strane drugih učenika istih intelektualnih sposobnosti. S druge strane, po-
sebnim odjelima se zamjera da potiču elitizam, da darovite ne pripremaju dovoljno za
stvaran život. Tu je i činjenica da grupe darovitih nisu tako homogene kao što se vje-
rovalo.
Zavisno od načina klasifikacije općih obrazovnih intervencija u razvoju darovitih,
različiti autori navode različit broj posebnih strategija grupiranja prema sposobnostima.
Tako, na primjer, Winner (1996) razlikuje pet posebnih strategija izdvajanja ili grupira-
nja darovitih. Radi se o sljedećim strategijama:
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
137
POSEBNI RAZREDNI ODJELI ZA DAROVITU DJECU. Rezultati istraživanja kazuju
da daroviti izdvojeni u takvim razrednim odjelima zaista pokazuju bolji uspjeh od daro-
vitih koji ostaju u heterogenim odjelima s učenicima različite intelektualne razine. Me-
đutim, pokazani bolji uspjeh bio je prilično skromnog obima i odnosio se prije svega na
one darovite učenike s visokim kvocijentom inteligencije. Pored toga, valja naglasiti da
nije adekvatno istraživano kako se to odražavalo na ostale učenike u odjelima iz kojih
su uzeti oni najinteligentniji.
SVEOBUHVATNO PRAĆENJE. Radi se o grupiranju učenika koje je 1919. godine
bilo uvedeno u Detroitu (Sjedinjene Američke Države). Učenici su, počevši već od pr-
vog razreda osnovne škole, podijeljeni u tri grupe prema njihovim kvocijentima inteli-
gencije. Zamišljeno je bilo da se smanjuju varijacije između učenika uslijed sposobnosti
i olakša rad učiteljima. Rezultati ispitivanja pokazali su da je prosječni obrazovni uzrast
djece iz gornje grupe za godinu dana veći nego kod onih iz grupe sa najnižim in-
telektualnim sposobnostima. Međutim, to se moglo i očekivati već na osnovu sljedeća
dva razloga: (1) u gornju grupu su uključeni najsposobniji učenici i (2) s njima se radilo
prema naprednijim programima nego s onima iz grupe s najnižim sposobnostima.
GRUPIRANJE UNUTAR JEDNOG RAZREDNOG ODJELA. Riječ je zapravo o podvr-
sti prethodnog grupiranja kod kojeg se učenici svrstavaju prema sposobnosti, ali svi os-
taju u istom razrednom odjelu. Njima se zatim pružaju izdiferencirani nastavni progra-
mi, a rezultati ispitivanja pokazali su da, uzevši općenito, ima male ali pozitivne učinke
na svim razlikovnim razinama sposobnosti, kako kod osnovaca tako i kod srednjoško-
laca (Winner 1996).
GRUPIRANJE UČENIKA IZ RAZLIČITIH RAZREDA. Ova strategija grupiranja uve-
dena je sredinom prošloga stoljeća. Kod ove strategije grupiranja jedan učitelj istovre-
meno podučava grupu sposobnije mlađe djece i grupu manje sposobne starije djece.
Riječ je o pokušaju da se preduhitri eventualnim zamjerkama da učitelji od djece sa
manjim sposobnostima manje i očekuje tako da to postaje proročanstvo koje samo se-
be ispunjuje, tj. djeca od koje se manje očekuje zaista i pokazuju slabiji uspjeh u uče-
nju. Međutim, ta zamjerka nije u potpunosti otklonjena primjenom ove strategije grupi-
ranja, jer učitelj zna uzrast i razinu sposobnosti svakog učenika. Navodimo i činjenicu
da rezultati ispitivanja kazuju da od ovog vida grupiranja najveću korist imaju učenici s
nižim razinama sposobnosti (Winner 1996).
Kritičari grupiranja prema sposobnostima ističu da se djeca svrstana u nižu grupu
osjećaju "glupim i manje vrijednim", da se gubitak školskog vodstva uslijed odlaska
onih s visokim razinama postignuća negativno odražava na njihovo postignuće, da se
njima dodjeljuju manje iskusni učitelji i da se od njih – kako je već istaknuto – manje
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
138
očekuje tako da oni i ostvaruju slabije rezultate u školskom učenju. Također se ističe
da se ova opća obrazovna strategija negativno odražava i na darovite, jer ovi postaju
arogantni i elitistički nastrojeni, podcjenjujući ostale i smatraju da su oni nešto posebno
itd. Oni koji se zalažu za ovo rješenje smatraju da su spomenute kritike neopravdane i
da eliminiranje grupiranja prema sposobnostima znači postavljanje standarda uspjeha
koji su ispod mogućnosti darovitih, koji onda, nedovoljno stimulirani, ne razvijaju u pot-
punosti svoju darovitost (Winner 1996; Benito 2003; Olstewski-Kubilius 2003; Božin
2006).
Međutim, posljednjih desetljeća prevladava mišljenje kako bi daroviti učenici tre-
bali ostati u redovnim razrednim odjelima, s tim da im se osigura dobivanje obogaće-
nog program. Podrške za ovakvo mišljenje dolazi od psihologa koji se bave razvojem
djeteta i koji smatraju da je nemoguće ostvariti homogeno grupiranje samo na osnovu
intelektualnih sposobnosti (Đorđević 2005).
Djelomično homogeno grupiranje različitih je formi okupljanja darovitih učenika.
Osnovno načelo ovakvih okupljanja je da daroviti učenici ostaju u redovnim razrednim
odjelima, a samo se u određeno vrijeme, ili u određene dane, okupljaju u homogene
grupe gdje rade prema posebno prilagođenom programu, diferenciranom kurikulumu.
Najčešću oblici djelomičnog homogenog grupiranja jesu:
– okupljanje darovitih učenika u posebne razredne odjele svakog dana po jedan
sat;
– pohađanje posebnog razrednog odjela dva puta tjedno;
– pohađanje posebnog razrednog odjela jedno poslije podne u tjednu;
– pohađanje određenog dana, najčešće subotom, posebnog središta (centra) za
darovite, organiziranog za šire područje sa kojeg dolaze učenici.

10.3 Školska akceleracija

Opsežna i sustavna istraživanja i proučavanja razvoja djece dala su obilje poda-
taka o njihovu nejednakom razvoju. Zbog utjecaja činitelja, kao što su na primjer naslje-
đe i okruženje u kojem žive, djeca se nejednako brzo razvijaju i pritom nejednak inte-
lektualni razvoja uvjetuje i nejednako napredovanje tijekom školovanja (Markovac
1966). Upravo iz činjenice da se učenici nejednako brzo razvijaju proizašla je ideja o
akceleraciji pojedinih učenika, čiji je smisao da se nekim učenicima omogući ubrzano
napredovanje. Učeniku koji pokaže da je usvojio nastavnim programom propisane nas-
tavne sadržaje za određeni razred dozvoljava mu se pohađanje narednog, višeg razre-
da. Cilj je takve akceleracije cjelovitije ostvarivanje načela individualizacije nastave i ra-
cionalnije korištenje učenikovih potencijala za rad i učenje.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
139
Prema tome, akceleracija je oblik nastave kojim se učeniku omogućava završa-
vanje osnovne škole u vremenu kraćem od propisanog. Odnosi se na one učenike koji
se ističu izvrsnim postignućima u dijelu ili u svim obrazovnim predmetima. Takvim se
učenicima pruža mogućnost savladavanja nastavnih programa iz dva razreda tijekom
jedne školske godine. Riječ je zapravo o rješenju koje je Pressy (1949), sredinom pro-
šloga stoljeća, odredio kao "napredak kroz neki obrazovni program većom brzinom ili
na mlađim uzrastima nego što je to uobičajeno" (Olszewski-Kubilius 2003: 500).
Dakle, akceleracija je jedna od značajnih mogućnosti za razvoj darovitosti. Ovaj
oblik odgoja i obrazovanja darovitih u velikoj mjeri smanjuje nedostatke koji se javljaju
u ostalim oblicima rada s njima. Program akceleracije treba biti zasnovan na osobitosti-
ma i nastojanjima svakog pojedinca, pri čemu je nemoguće postaviti neko univerzalno
pravilo o obimu akceleracije koja je poželjna. Za odlučivanje o ovom obliku odgoja i
obrazovanja darovitih, važni činitelji su socijalno iskustvo i sposobnost za društveno
prilagođavanje. Pritom valja istaknuti da je utvrđeno da brže napredovanje darovitih i ti-
me brže završavanje školovanja i ranije ulaženje u životne tijekove ne opterećuje daro-
vite ni intelektualno, ni socijalno, ni emocionalno. Nepovoljnosti bržeg napredovanja
uočene su samo kod učenika koji su pogrešno identificirani kao daroviti – dakle, nisu
bili daroviti. (Đorđević 2005).
Akceleracija može biti:
(1) djelomična – daroviti učenik provodi u višem razredu samo dio školskog da-
na, slušajući jedan ili više predmeta, ili
(2) potpuna – učenik u jednoj školskoj godini završava dva razreda.
Mada se pod akceleracijom najčešće ima u vidu "preskakanje" razreda, Vernon
je sa suradnicima (1977) razmotrio još pet, dok su Southern, Jones i Stanley (1993)
naveli čak sedamnaest oblika akceleracije. Naime, pored preskakanja razreda, akcele-
racija može značiti i raniji polazak u školu, sažimanje programa (grade telescoping – na
primjer, sažimanje programa predviđenog za tri u dva razreda), uvođenje u napredne
programe uključujući intenzivne ljetne i/ili zimske programe itd. Međutim, time granice
između grupiranja prema sposobnostima i akceleracije postaju manje određene, jer
učenici u navedenim programima akceleracije teže stvaraju grupu s onima koji su
sličnih sposobnosti kao i oni (Winner 1996).
Upoznavanje učenika te istraživanje i proučavanje individualnih razlika među nji-
ma pokazuje da u svakom razredu ima takvih koji se znatno brže intelektualno razvijaju
od ostalih učenika razreda. Riječ je o onim učenicima koji postižu rezultate znatno bolje
od ostalih učenika razreda. Mogućnosti ovih učenika u redovnoj nastavi nisu ni izdale-
ka dovoljno iskorištene. Zbog subjektivnih ali i objektivnih razloga, u osnovnoj se školi o
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
140
njima ne vodi dovoljno brige. Njihovo napredovanje u nastavnom procesu ne zadaje
učiteljima nikakvih teškoća pa se na osnovi toga zaključuje da nije ni potrebno dirati u
njihov status. To su učenici s kojima učitelji, što se učenja tiče, nemaju nikakvih proble-
ma – o njima se može reći da usvajaju nastavne sadržaje gotovo bez pomoći učitelja.
Učitelj prisutnost ovih učenika u nastavi osjeća najčešće samo onda kad odgovaraju na
pitanja na koja ne mogu odgovoriti ostali učenici. Često je to jedina prilika da za trenu-
tak angažiraju svoje izrazite sposobnosti. Nakon toga se intelektualne sposobnosti ta-
kvih učenika vraćaju u stanje nepotpune opterećenosti jer je nastava u kojoj sudjeluju
za njih prelagana. Posljedica je takvog stanja nepotpun razvoj u nastavi njihovih psiho-
fizičkih sposobnosti. A to znači da škola prema njima nije ispunila svoju obvezu.
Ozbiljno razmišljanje o položaju ovih učenika u redovnom nastavnom procesu
upućuje na traženje rješenja kako bi se poboljšao njihov položaj. Za školu je to istovre-
meno traženje načina da do kraja ispuni svoju pedagošku dužnost. Jedno od rješenja
problema ovih učenika je akceleracija, tj. ubrzano napredovanje prelaženje učenika iz
razreda u razred, tako da se neki razredi preskoče. Najčešće je slučaj preskakanje jed-
nog razreda, a u izuzetnim okolnostima učenik može preskočiti i dva razreda. Riječ je
tada o tzv. dvostrukoj akceleraciji.
Mišljenja pedagoga, psihologa, učitelja, roditelja ali i nekih drugih o praktičnoj vri-
jednosti akceleracije, odnosno ubrzanom napredovanju često su polarizirana. Dakle, o
akceleraciji postoje različita, često i suprotna mišljenja. Pobornici ove strategije stava
su da treba dozvoliti brže napredovanje učenicima koji imaju subjektivne uvjete da u
jednoj godini završe dva razreda, navodeći pritom samo njene pozitivne aspekte. In-
icijatori ovoga gledišta smatraju da bi ova mjera bila veoma korisna i za društvo i za
takve učenike. Nasuprot ovome stavu postoji stav da, u pravilu, ne treba dozvoliti brže
napredovanje u nastavi onim učenicima koji bi u jednoj godini mogli završiti dva razre-
da i pritom ističu samo njene potencijalno negativne aspekte. Njihov je stav da svi uče-
nici treba da prelaze iz razreda u razred jednakim tempom, a one koji su sposobni za
brže napredovanje valja upućivati na proširivanje i produbljivanje sadržaja postojećih
nastavnih predmeta. Na taj bi se način udovoljili njihovim iznadprosječnim mogućnos-
tima.
Općenito uzevši, u pozitivnom smislu akceleracija uključuje mogućnost: smanje-
nje nepotrebnog ponavljanja i vježbanja, odnosno dosade i apatije, boljeg usklađivanja
razina nastave i postignuća, pozitivnog stava prema školi, većeg stupnja motivacije, za-
dovoljstva i povjerenja u sebe, otkrivanja interesa i sposobnosti pojedinca, korištenja
uobičajenih obrazovnih resursa bez dodatnih materijalnih troškova i "povećane produk-
tivnosti u karijerama u kojima su važni rani doprinosi" (Olszewski-Kubilius 2003: 501).
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
141
U slabosti akceleracije spadaju, prije svega, strah od neprihvaćanja od strane starijih
učenika, smanjena mogućnost stjecanja socijalnih vještina preko interakcije s vršnja-
cima, teškoće u socijalnom prilagođavanju uslijed odvajanja manje vremena za aktiv-
nosti primjerene određenom uzrastu, provođenje suviše mnogo vremena u "učenju is-
pravnih odgovara" na uštrb kreativnih aktivnosti, "varljiva prerana zrelost uslijed (stjeca-
nja) znanja bez odgovarajućeg iskustva" (Olszewski-Kubilius 2003: 501), izloženost ve-
ćem pritisku i mogući emocionalni problemi u vezi s time, želja pojedinca da se izoliraju
od drugih uslijed suviše individualiziranih načina rada, razvojne disharmonije i dr. (Be-
nito 2003). Kao što navodi Benito (2003), sa spomenutim prednostima i nedostacima
akceleracije trebali bi biti upoznati roditelji, njihova djeca kao potencijalni kandidati i
učitelji prilikom provođenja takvih programa.
Polazeći od pojedinačnih negativnih iskustava s nekim oblicima akceleracije, prije
svega sa preskakanjem razreda, učitelji često imaju negativan stav prema ovoj
strategiji i stoga je rijetko primjenjuju. U vezi s time ističe se da kod akceleracije treba
prepoznati dvije komponente: (1) prethodnu razinu znanja i (2) sposobnost stjecanje
novih znanja. Prethodna razina znanja darovitih je znatno viša nego kod ostalih uče-
nika njihova uzrasta. Isto tako, daroviti su sposobni da bržim tempom usvoje nove sa-
držaje od ostalih učenika iste kronološke dobi. U praksi, problemi nastaju zato što se u
mnogim slučajevima vodi računa o prvoj, ali ne i drugoj komponenti – akceleracija se
svodi na nastavu koja uključuje sadržaje predviđene za stariji uzrast, polazeći od manje
ili više implicitne pretpostavke da takvi sadržaji odgovaraju mlađim darovitim učenici-
ma, što, naravno, ne mora biti točno (Olszewski-Kubilius 2003).
Olszewski-Kubilius je (2003: 501), analizirajući rezultate istraživanja vezane uz
akceleraciju, učinke akceleracije okarakterizirala kao "poražavajuće (overwhelmingly)
pozitivne", ograđujući se pritom da su ti rezultati, kada je riječ o nekim posebnim stra-
tegijama akceleracije kao što je prijevremeni (raniji) polazak u školu, nekonzistentni.
Naime, velik broj onih koji su ranije krenuli u školu pokazali su slab školski uspjeh, a
neki su i ponavljali razred, odnosno naknadno su uključeni u specijalne obrazovne pro-
grame. "Analize tih istraživanja ukazuju na znatne metodološke slabosti i stoga je istra-
živanje učinaka akceleracije i drugih strategija obrazovanja i dalje veoma dinamično
područje znanstvenog interesa."
Analiza istraživanja nadalje pokazuje da umjereno daroviti učenici imaju koristi od
"preskakanja" jednog ili dva razreda, ali je ta strategija – ubrzano napredovanje – od
male koristi za veoma darovite pojedince koji su za pet ili šest godina ispred svojih vr-
šnjaka. Pritom, još uvijek ne znamo mnogo o učincima "preskakanja" više od dva raz-
reda, jer je veoma mali broj takvih pojedinaca i još manji broj onih kod kojih je primi-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
142
jenjen takav oblik akceleracije. Vezano uz to, Winner (1996) navodi da rezultati nekih
istraživanja ubrzanog napredovanja u vidu ljetnih programa ukazuju na to da su koristi
od toga više u socijalnom nego u kognitivnom pogledu.

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
143
11 SUSTAVNO UREĐENJE DAROVITOSTI I RADA

S DAROVITIM UČENICIMA (U NASTAVI MATEMATIKE

PRIMARNOG OBRAZOVANJA)

Pogled na darovitost i darovite stalno se razvija i mijenja. Dugo vremena se na
darovitost gledalo kao na društvenu elitu, no danas se na darovitost gleda kao na druš-
tveno i nacionalno bogatstvo. Godine 1994. Europska komisija za obrazovanje objavila
je Preporuke za darovite u odgoju i obrazovanju u kojoj je ukazano na važnost pravo-
vremenog otkrivanja i identificiranja darovitih i njihovo poticanje (Bezič 2012).

11.1. Daroviti i hrvatsko školsko zakonodavstvo

U Republici Hrvatskoj darovitost i rad s darovitim učenicima sustavno je uređeno
Zakonom o odgoju i obrazovanju u osnovnoj i srednjoj školi (Narodne novine, broj 87
od 25. 7. 2008), Pravilnikom o osnovnoškolskom odgoju i obrazovanju darovitih učeni-
ka (Narodne novine, broj 34 od 16. 7. 1991), Nacionalnim okvirnim kurikulumom (www.
mzos.hr/nacionalni okvirni kurikulum), te Katalogom stručnih skupova i godišnjim pla-
nom i programom rada škole.
Zakonom o odgoju i obrazovanju u osnovnoj i srednjoj školi uređeno je da je ško-
la za učenike koji u određenom nastavnom području ostvaruju natprosječne rezultate ili
pokazuju poseban interes za određeni nastavni predmet dužna organizirati dodatnu
nastavu prema njihovim sklonostima, sposobnostima i interesima. U ovaj oblik rada da-
rovit pojedinac uključuje se temeljem vlastite odluke. Nadalje, škola je u obvezi pro-
voditi uočavanje, praćenje i poticanje darovitih učenika, pri čemu program za rad te na-
čin uočavanja, praćenja i poticanja darovitih propisuje ministar. Utvrđeno je također da
onaj učenik koji se ističe znanjem i sposobnostima ima pravo završiti školu u kraćem
vremenu od propisanog, tj. omogućava se da učenik tijekom jedne školske godine mo-
že završiti dva razreda. I u ovom slučaju uvjete i postupak propisuje ministar.
Pravilnikom o osnovnoškolskom odgoju i obrazovanju darovitih učenika pobliže
se razrađuju odredbe definirane Zakonom o odgoju i obrazovanju u osnovnoj i srednjoj
školi glede rada s darovitim učenicima u osnovnoj školi. Utvrđuje se obveza uočavanja
i utvrđivanja darovitih učenika, njihovo poticanje i praćenje, te akceleriranje, tj. završa-
vanje osnovne škole u kraćem vremenu.
U Nacionalnom okvirnom kurikulumu navodi se da su predškolske i školske usta-
nove dužne talentiranoj i darovitoj djeci i učenicima osigurati prepoznavanje i razvoj nji-
hovih mogućnosti. To znači da su vrtići i škole u obvezi otkrivati talentiranu i darovitu
djecu, osigurati razvoj njihovih sposobnosti, usmjeriti se na zadovoljavanje njihovih po-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
144
sebnih spoznajnih, socijalnih, emocionalnih i tjelesnih potreba, te stalno pratiti i vredno-
vati postignuća darovite djece.
U Nacionalnom okvirnom kurikulumu se, pored rečenoga, ukazuje i na obvezu
odgojno-obrazovnih ustanova, tj. vrtića i školâ, u sačinjavanju individualiziranih kuriku-
luma za svakog pojedinog darovitog učenika ili skupinu darovitih učenika, koji sadrža-
jem i količinom odgovara potrebama pojedinca ili skupine. Pritom individualizirani kuri-
kulum mora odražavati naprednu razinu mišljenja i rješavanja problema i problemskih
situacija, što i jest svojstvo ovih učenika, dubinu i složenost sadržaja koji im pružaju od-
govarajući izazov i težinu te priliku za stvaralačkim izražavanjem. Individualizirani kuri-
kulum darovitom učeniku omogućuje i uključuje oblike potpore kojima se otklanjaju ili
barem umanjuju prepreke za polučivanje postavljenih ciljeva.
U godišnjem planu i programu rada, kada je riječ o darovitim učenicima, svaka je
škola u obvezi da razradi sve rečeno, definirano u Zakonu, Pravilniku i Kurikulumu, tj.
uredi i prilagodi situaciji u školi i potrebama darovitog pojedinca odnosno skupini da-
rovitih učenika37.
Međutim, valja ukazati na činjenicu da se u navedenim dokumentima, tj. u Zako-
nu o odgoju i obrazovanju u osnovnoj i srednjoj školi, Pravilniku o osnovnoškolskom
odgoju i obrazovanju darovitih učenika i Nacionalnom okvirnom kurikulumu, u kojima je
definiran odnos spram darovitom pojedincu odnosno skupini darovitih učenika, ne daju
niti se razrađuju suvremene strategije aktivnog rada s darovitima. To znači da se ova
važna činjenica prepušta na volju i snalaženje odgojiteljima, odnosno učiteljima i njiho-
voj – većoj ili manjoj – kreativnosti i sposobnosti.

11.2 Daroviti i slovensko školsko zakonodavstvo

Preporuke Europske komisije za obrazovanje svoje mjesto našle su u Bijeloj knji-
zi o odgoju i obrazovanju u Republici Sloveniji38 (1995), a kasnije i u Zakonu o organi-
zaciji i financiraju odgoja i obrazovanja39 (1996) te zakonima u području školstva (Bezič
2012).
Briga za darovite u zakonima iz područja školstva iz 1996. godine definirana je
pojedinim člancima, u kojima je postavljen zahtjev za prilagođavanje odgojno-obrazov-
nog rada potrebama darovitih. Posebno se ukazuje na članak 2. Zakona o osnovnoj
školi40 (1996) u kojim je među ciljeve odgoja i obrazovanja data i obveza razvijanja da-
rovitosti. Bez obzira na niz izmjena i dopuna navedenog zakona, odredbe o razvijanju

37 (Odgovor na ovo dat će nam, barem vjerujemo, rezultati ovoga istraživanja.)
38 Izvorni naslov: Bela knjiga o vzgoji in izobraževanju v Republiki Sloveniji
39 Izvorni naslov: Zakon o organizaciji in financiranju vzgoja in izobraževanja
40 Izvorni naslov: Zakon o osnovni šoli
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
145
darovitosti ostala je do danas. U Bijeloj knjizi o odgoju i obrazovanju u Republici Slove-
niji otkrivanju i identifikaciji te radu s darovitim učenicima posvećeno je posebno po-
glavlje (Juriševič 2011).
U Zakonu o osnovnoj školi (1996), od 1996. pa do 2011. godine kada dolazi do
izmjena i dopuna citiranog zakona, o darovitim učenicima govori se kao o učenicima s
posebnim potrebama. Na podlozi zakonskih odrednica darovitim je učenicima utvrđeno
pravo osobne ili skupne pomoći pri učenju (član 12. i 81. Zakon o osnovnoj šoli). No,
valja ukazati na činjenicu da su pravo na uključivanje u dodatnu poduku i ubrzano na-
predovanje imali i prije. Učiteljska vijeća u osnovnim i srednjim školama postala su od-
govorna za individualizaciju i diferencijaciju nastave za darovite učenike (član 63. Za-
kon o organizaciji in financiranju vzgoja in izobraževanja), dok je savjetodavnim služba-
ma dano u obvezi sudjelovanje u planiranju, praćenju i vrednovanju individualnih pro-
grama (Bezič 2012).
Godine 1998. Nacionalni kurikularni savjet odnosno njegova Područna kurikular-
na komisija za osnovne škole sačinila je poseban koncept u području otkrivanja i identi-
fikacije darovitih učenika te rada s njima u devetogodišnjoj osnovnoj školi. Navedeni je
koncept priredila radna skupina na čijem je čelu bio dr. sc. Drago Žagar, profesor Filo-
zofskog fakulteta Sveučilišta u Ljubljani. Koncept otkrivanja i odgojno-obrazovnog rada
s darovitim učenicima u devetogodišnjoj osnovnoj školi prihvaćen je na Stručnom vije-
ću za obrazovanje u veljači 1999. godine. Godine 2007., navedeno Stručno vijeće, po-
tvrdilo je Koncept za odgojno-obrazovni rad s darovitima u srednjoj školi, što je u stvari
predstavljalo nadogradnju osnovnoškolskog koncepta (Bezič 2012).
Za kontinuirano praćenje obaju koncepata, planiranje i analizu razvojnih odgojno-
obrazovnih projekata, organizaciju savjetovanja, stručnih aktiva i seminara, razvoja me-
todologije i instrumenata za identifikaciju darovitih učenika i davanja preporuke za rad s
darovitima u nastavi, od 2002. godine brine se Ekspertna skupina za odgojno-obra-
zovni rad s darovitim. Ovu Ekspertnu skupinu imenuje ravnatelj (direktor) Zavoda Re-
publike Slovenije za školstvo.
Ova se Ekspertna skupina brine i odgovorna je za međunarodnu suradnju i u su-
radnji s Ministarstvom Republike Slovenije za školstvo i sport, organizira konferencije
odnosno stručno-znanstvene skupove41. Svake godine izdaje priručnike, organiziraju
seminare, tematske seminare, aktive i skupove, te pružaju savjetodavne usluge i pot-
pore za rad s darovitim učenicima, uz napomenu da je prije nekoliko godina kreirana

41 U 2007. godini organizirana je Treća konferencija regionalnih država na kojoj je sudje-
lovalo šest zemalja iz regije. Konferencija je bila posvećena edukaciji učitelja za rad s darovitim
učenicima i financiranju rada s darovitim.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
146
posebna web stranica42 na kojoj se objavljuju razni materijali i dokumenti za rad s da-
rovitim učenicima (Bezič 2012).
Može se zaključiti da je u Republici Sloveniji43 pitanje darovitosti i rada s darovi-
tim učenicima sustavno uređeno s dva temeljna zakona Zakonom o osnovnoj školi i
Zakonom o organizaciji i financiraju odgoja i obrazovanja, te s dva konceptna – Kon-
ceptom otkrivanja i odgojno-obrazovnog rada s darovitim učenicima u devetogodišnjoj
osnovnoj školi i Konceptom za odgojno-obrazovni rad s darovitima u srednjoj školi. Po-
red toga postoji cijeli niz materijala44 koji su pripremali i na web stranicu postavili djelat-
nici Zavoda Republike Slovenije za šolstvo, ali i drugi koji se bave fenomenom
darovitosti i rada s darovitima.

– o 0 o –

Za razliku od Republike Slovenije u kojoj je pitanje darovitosti sustavno uređeno
s dva zakona i dva koncepta te nizom materijala, popratnih radova i rezultata istraživa-
nja djelatnika Zavoda Republike Slovenije za šolstvo, ali i drugih zainteresiranih za pi-
tanje darovitosti i darovitih, dostupnih na web stranici, u Republici Hrvatskoj je fenomen
darovitosti i rada s darovitima sustavno uređeno Zakonom o odgoju i obrazovanju u os-
novnoj i srednjoj školi, Pravilnikom o osnovnoškolskom odgoju i obrazovanju darovitih
učenika, Nacionalnim okvirnim kurikulumom, Katalogom stručnih skupova te godišnjim
planom i programom rada škole.
Nadalje, u Zavodu Republike Slovenije za šolstvo postoji služba kojoj je opis rada
upravo pitanje darovitosti i rada s darovitim učenicima, dok u Hrvatskoj, tj. Agenciji za
odgoj i obrazovanje takve službe nema. I dok se u Sloveniji edukaciji učitelja za rad s
darovitim učenicima pridaje odgovarajuća pažnja, u Hrvatskoj se pitanju školovanja i
stručnog usavršavanja učitelja za rad s darovitim učenicima ne pridaje nikakva ili se
pridaje vrlo skromna pozornost. Naime, rezultati istraživanja vezanih uz izradu ovog
doktorskog rada kazuju da preko polovine sudionika istraživanja, učitelja primarnog ob-
razovanja i stručnih suradnika u osnovnim školama, želi saznati više o identifikaciji da-
rovitih i radu s darovitim učenicima. Ova zainteresiranost objašnjena je nedovoljnom
zastupljenošću traženih sadržaja tijekom studija i procjenom da nije određen optimalan

42 http://www.zrss.si/default.asp?rub=3159
43 Zahvaljujem se dr. Fani Nolimal i mag. Tanji Bezić, savjetnicama u Zavodu Republike
Slovenije za šolstvo, te dr. Matjažu Duhu, profesoru Pedagoške fakultete Univerze v Mariboru
na sugestijama i materijalima glede pitanja sustavnog uređenje darovitosti i rada s darovitim
učenicima u Republici Sloveniji.
44 Navodimo neke od materijala: 1.Ocjenjevalne lestvice nadarjenosti učenca – Izopolnje-
na oblika 2007 (OLNAD07); 2. Odkrivanje in delo z nadarjenimi učenci v devetletni osnovni šoli;
3. Normalizacija OLNAD07.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
147
način pristupa darovitim učenicima. Mogućnosti stručnog usavršavanja učitelja za rad s
darovitim učenicima u primarnom obrazovanju tražimo u ponudi stručnih skupova i akti-
va, odnosno seminara koje je Agencija za odgoj i obrazovanje Republike Hrvatske pla-
nirala. Pregledanjem Kataloga stručnih skupova za školsku godinu 2011./12. nalazimo
na 28 skupâ, aktiva odnosno seminara, s ukupno 53 teme. Utvrđeno je da je samo jed-
na tema – naslovljena Kreativnost i stvaralaštvo – direktno usmjerena na darovitost,
darovite i kreativnost, što čini ni 2% od ukupnog broja planiranih aktivnosti navedenih u
Katalogu (Katalog stručnih skupova za školsku godinu 2011./12.).

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
148

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
149
II. METODOLOGIJA ISTRAŽIVANJA

1 PREDMET ISTRAŽIVANJA

Darovita djeca vrlo rano pokazuju interese za određeno područje, što je lako uoč-
ljivo njihovom znatiželjom za određeni problem i njegovim rješavanjem, neiscrpnim i
velikim entuzijazmom u radu, iskazujući pritom veliku energiju. To nas upućuje na zak-
ljučak da su ta djeca, onim čime se bave, motivirana iznutra, intrinzično. Međutim, valja
istaknuti da sustavna identifikacija i rad s darovitom djecom još uvijek je samo dekla-
rirani cilj bez ikakve – ili vrlo male, neznatne – stvarne podrške državnih i stručnih insti-
tucija. Upravo zato je predmet ovoga istraživanja pitanje sustavnog uređenja darovi-
tosti u nastavi matematike primarnog obrazovanja.

2 CILJ I ZADACI ISTRAŽIVANJA

S obzirom na teorijska ishodišta i predmet istraživanja, temeljni cilj ovoga istraži-
vanja bio je da se, na slučajno odabranom uzorku, ispitaju stavovi učitelja primarnog
obrazovanja kao i stručnih suradnika45 uključenih u sustav osnovnoškolskog odgoja i
obrazovanja o darovitosti i darovitim učenicima, njihovoj edukaciji, kao i njihova mišlje-
nja o zastupljenosti darovitosti, vrstama darovitosti koje prevladavaju kod učenika, pos-
tupcima u radu s darovitima, potrebi škole za posebnim edukacijskim programima, o
značaju darovitih učenika za društvenu zajednicu kao cjelinu, te mogućeg poboljšanja
sadašnjeg stanja u radu s darovitim učenicima.
Iz tako postavljenog cilja proizašli su sljedeći zadaci istraživanja:
1. ispitati znaju li učitelji prepoznati učenike koji pokazuju pojačani interes za ma-
tematiku;
2. ispitati jesu li učitelji dovoljno i kvalitetno pripremljeni za rad s darovitim učeni-
cima;
3. provjeriti jesu li škole usvojile/donijele posebne edukacijske sadržaje namije-
njene darovitim učenicima i jesu li oni unijeti u godišnji plan i program rada škole;

45 Prema članku 100, stavak 4 Zakona o odgoju i obrazovanju u osnovnoj i srednjoj školi
(Narodne novine Republike Hrvatske broj 87/08, 86/09, 92/10, 105/10 i 90/11) "stručni suradnici
u školskoj ustanovi su: pedagog, psiholog, knjižničar, stručnjak edukacijsko-rehabilitacijskog
profila". I dalje (članak 101, stavak 6): "Stručni suradnici obavljaju neporedan odgojno-obrazovni
rad s učenicima te stručno-razvojne i koordinacijske poslove."
Za potrebe ovoga rada, pod stručnim suradnicima razumijevat ćemo pedagoga i psiholo-
ga, djelatnike u stručno-razvojnim službama u osnovnim školama.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
150
4. ispitati stavove učiteljâ glede njihova odnosa spram darovitim učenicima i na-
čina rada s njima;
5. ispitati koriste li se u radu s darovitim učenicima suvremeni postupci;
6. ispitati predstavljaju li daroviti učenici opterećenje učiteljima u radu;
7. ispitati jesu li daroviti učenici prihvaćeni od svojih vršnjaka;
8. utvrditi vode li se u osnovnim školama dosjei o darovitim učenicima;
9. utvrditi mogućnost poboljšanja sadašnjega stanja u radu s darovitim učenici-
ma.

3 ISTRAŽIVAČKE HIPOTEZE

Kako u Republici Hrvatskoj postoji sustavno uređenje darovitosti46, zanimale su
nas prednosti i slabosti prisutnog načina rada u nastavi matematike primarnog obrazo-
vanja, kao i možebitna poboljšanja postojećeg stanja. Stoga smo, na osnovi ovoga,
postavili sljedeće istraživačke hipoteze:
H1: Učitelji znaju prepoznati učenike koji pokazuju pojačani interes za matemati-
ku.
H2: Učitelji su dovoljno i kvalitetno pripremljeni za rad s darovitim učenicima.
H3: Škole nisu usvojile/donijele posebne edukacijske programe namijenjene da-
rovitim učenicima i samim time ti programski sadržaji nisu planirani godišnjim planom i
programom rada škole.
H4: Odnos učitelja spram darovitih učenika i način rada s njima temelji se na su-
vremenim dostignućima didaktike i metodike nastave, tj. odgojno-obrazovne teorije.
H5: U radu s darovitim učenicima koriste se suvremeni postupci.
H6: Daroviti učenici učiteljima predstavljaju opterećenje u radu.
H7: Daroviti učenici nisu prihvaćeni od svojih vršnjaka.
H8: U osnovnim školama se vode dosjei o daroviti učenicima.
H9: Sadašnje stanje u radu s darovitim učenicima moguće je poboljšati.

46 Pitanje darovitosti i darovitih učenika u Hrvatskoj je sustavno uređeno sljedećim
dokumentima: (1) Zakonom o odgoju i obrazovanju u osnovnoj i srednjoj školi; (2) Pravilnikom o
osnovnoškolskom odgoju i obrazovanju darovitih učenika; (3) Državnim pedagoškim standar-
dom osnovnoškolskog sustava odgoja i obrazovanja; te (4) Nacionalnim okvirnim kurikulumom
za predškolski odgoj i obrazovanje te opće obvezno i srednje obrazovanje.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
151
4 METODE, POSTUPCI, INSTRUMENTI

U empirijskom dijelu koristili smo dva upitnika, jedan za učitelje primarnog obra-
zovanja i drugi za stručne suradnike u osnovnim školama.
Upitnik za učitelje sadržavao je dvadeset i sedam pitanja kombiniranog tipa. Prva
tri pitanja uvodnog su karaktera i vezana su uz nezavisne varijable spol, stručna spre-
ma (struka) i godine radnog staža. Četiri su pitanja oblika višestrukog izbora, čime smo
sudionicima istraživanja dali mogućnost da se, od više ponuđenih odgovora, opredijele
za onaj koji im je najprihvatljiviji, dok je jedno pitanje otvorenog tipa. Kod ostalih devet-
naest pitanja uporabljena je skala Likertovog tipa, koja je prilagođena potrebama ovoga
istraživanja. Uz svaku je česticu, tvrdnju ponuđena skala odgovora, a sudionici istraži-
vanja odlučivali su se za jedan od ponuđenih odgovora.
Upitnik za stručne suradnike sadrži četrnaest pitanja kombiniranog tipa. Prva tri
pitanja odnose se na nezavisne varijable spol, struku (pedagog, psiholog itd.) i godine
radnog staža. Od ostalih jedanaest pitanja sedam je višestrukog izbora, dok su preos-
tala četiri otvorenog tipa.
Podatke za istraživačke hipoteze (H1) učitelji znaju prepoznati učenike koji poka-
zuju pojačani interes za matematiku, (H2) učitelji su dovoljno i kvalitetno pripremljeni za
rad s darovitim učenicima, (H4) odnos učitelja spram darovitih učenika i način rada s
njima temelji se na suvremenim dostignućima didaktike i metodike nastave, tj. odgojno-
obrazovne teorije, (H5) u radu s darovitim učenicima koriste se suvremeni postupci,
(H6) daroviti učenici učiteljima predstavljaju opterećenje u radu i (H7) daroviti učenici
nisu prihvaćeni od svojih vršnjaka prikupili smo anketnim upitnikom za učitelje primar-
nog obrazovanja. Dobivene podatke obradili smo statističkim programima SPSS 20 for
Windows i Excel for Windows, pomoću kojih smo izračunali postotne vrijednosti, arit-
metičke sredine, standardne devijacije, t-vrijednosti, Pearsonove korelacijske koefici-
jente, analizu varijance i hi-kvadrat test.
Podatke za istraživačku hipotezu (H3) škole nisu usvojile/donijele posebne edu-
kacijske programe namijenjene darovitim učenicima i samim time ti programski sadržaji
nisu planirani godišnjim planom i programom rada škole i (H8) u osnovnim školama se
vode dosjei o daroviti učenicima prikupili smo anketnim upitnikom namijenjenim struč-
nim suradnicima. I u ovom slučaju upotrijebili smo navedene računalne programe i izra-
čunali navedene statističke vrijednosti.
Za dobivanje podataka uz istraživačku hipotezu (H9) sadašnje stanje u radu s da-
rovitim učenicima moguće je poboljšati koristili smo oba prethodno navedena anketna
upitnika.

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
152
5 VARIJABLE ISTRAŽIVANJA

S obzirom na metodološki postupak za koji smo se opredijelili u ovome istraživa-
nju, darovitost i daroviti učenici predstavljali su zavisne varijable.
Pri izboru nezavisnih varijabli postojala je dvojba zbog često nepoznatih povrat-
nih veza između darovitosti i darovitih učenika i drugih činitelja koji na njih mogu utjeca-
ti. Stoga smo, između brojnih činitelja (varijabli), kao nezavisne varijable odabrali spol,
struku i godine radnog staža učitelja primarnog obrazovanja i stručnih suradnika.

6 POPULACIJA I UZORAK ISTRAŽIVANJA

Populacija, što se potencijalno u ovome istraživanju mogla ispitati, vrlo je široka i
obuhvaća sve učitelje primarnog obrazovanja i sve stručne suradnike u svim osnovnim
školama Republike Hrvatske.

Tablica 5. Radno iskustvo sudionika istraživanja
Radno
iskustvo
Učitelji primarnog obrazovanja
Stručni suradnici
s p o l
s p o l
muški
ženski
ukupno
muški
ženski
ukupno

f
%
f
%
f
%
f
%
f
%
f
%
manje od 8
godina
15
2.6
75
13.1
90
15.7
1
0.5
56
30.1
57
30.6
8 ili više, ali
manje od 16
godina
9
1.6
72
12.5
81
14.1
2
1.1
31
16.6
33
17.7
16 ili više, ali
manje od 24
godine
23
4.0
135
23.6
158
27.6
5
2.9
43
22.9
48
25.8
24 ili više, ali
manje od 32
godine
17
3.0
123
21.4
140
24.4
6
3.0
36
19.6
42
22.6
32 ili više
godina
11
1.9
93
16.3
104
18.2
4
2.2
2
1.1
6
3.2
Ukupno:
75
13.1
498
86.9
573
100
18
9.7
168
90.3
186
100

Uzorak je činilo 573 učitelja primarnog obrazovanja i 186 stručnih suradnika u
osnovnim školama (tablica 5).
Od 573 učitelja sudionika istraživanja ženskog je spola bilo 498 ili 86.9%, za raz-
liku od muškog spola kojih je u uzorku bilo 75 ili 13.1% (tablica 5). S obzirom na struč-
nu kvalifikaciju 198 (34.6%) ispitanika su nastavnici razredne nastave, 161 (28.1%) je
učitelj razredne nastave, zatim je diplomiranih učitelja 187 ili 32.6%, dok je najmanje
magistara primarne edukacije 27 ili 4.7% (tablica 6). Glede godina radnog staža u dje-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
153
latnosti osnovnoškolskog odgoja i obrazovanja (tablica 5) najveći broj sudionika istraži-
vanja je u intervalu "16 ili više, ali manje od 24 godine" kojih je 158 (27.6%), slijede 140
ili 24.4% onih u intervalu "24 ili više, ali manje od 32 godina", zatim je 104 (18.2%) ispi-
tanika u intervalu "32 ili više godina". Ispitanika s radnim iskustvom "manje od 8 godi-
na" je 90 ili 15.7%, dok je najmanji broj ispitanika u intervalu "8 ili više, ali manje od 16
godina" – njih 81 ili 14.1%.

Tablica 6. Stručna kvalifikacija sudionika istraživanja – učitelji primarnog obrazovanja
Stručna kvalifikacija
S p o l
muški
ženski
ukupno
f
%
f
%
f
%
nastavnik razredne nastave
(dvogodišnji studij)
15
2.6
183
32.0
198
34.6
učitelj razredne nastave
45
7.9
116
20.2
161
28.1
diplomirani učitelj
10
1.7
177
30.9
187
32.6
magistar primarnog obrazovanja
5
0.9
22
3.8
27
4.7
Ukupno:
75
13.1
498
86.9
573
100

Tablica 7. Stručna kvalifikacija sudionika istraživanja – stručni suradnici
Stručna kvalifikacija
S p o l
muški
ženski
ukupno
f
%
f
%
f
%
profesor pedagogije
12
6.5
93
49.9
105
56.4
profesor psihologije
5
2.7
40
21.5
45
24.2
ostali (socijalni pedagog, socijalni
psiholog, defektolog i sl.)
1
0.5
35
18.9
36
19.4
Ukupno:
18
9.7
168
90.3
186
100

U uzorku stručni suradnici 18 ili 9.7% su muškoga spola, dok je ženskog spola
168 ili 90.3% (tablica 5). Najviše je profesora pedagogije 105 (56.5%), zatim slijede
profesori psihologije njih 45 ili 24.2%; ostalih struka, kao na primjer, socijalni pedagog,
socijalni psiholog, defektolog i sl. je 36 ili 19.3% (tablica 7). Kada je riječ o godinama
radnog iskustva u djelatnosti osnovnoškolskog odgoja i obrazovanja najveći broj struč-
nih suradnika, sudionika istraživanja je u intervalu "manje od 8 godina" njih 57 ili
30.7%, slijedi njih 48 (25.8%) sa "16 ili više, ali manje od 24 godine", zatim onih iz in-
tervala "24 ili više, ali manje od 32 godine" 42 ili 22.6%. Sudionika istraživanja s radnim
iskustvom "8 ili više, ali manje od 16 godina" je 33 (17.7%), dok je najmanje onih ispita-
nika koji su u intervalu "32 ili više godina" njih 6 ili 3.2% (tablica 5).

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
154
7 STATISTIČKA OBRADA PODATAKA

Podatke dobivene uz istraživačke hipoteze testirali smo hi-kvadrat (c2) testom i t-
testom kojim smo utvrđivali statističku značajnost razlikâ aritmetičkih sredina.
Pri obradi podataka koristili smo i analizu varijance (F-test), kao i Pearsonov koe-
ficijent korelacije (r).

8 ORGANIZACIJA I TIJEK ISTRAŽIVANJA

Organizacija istraživanja odvijala se u skladu s postavljenim problemom, postav-
ljenim ciljem i iz cilja proizašlih zadataka, te formulacijom istraživačkih hipoteza.
Tijek istraživanja odvijao se kroz pet faza:
– U prvoj fazi proučena je literatura, domaćih i stranih autora, koja se odnosi na
fenomen darovitosti, darovite djece i darovitih učenika. Posebna pažnja posvećena je
proučavanju literature u kojoj se prikazuju rezultati istraživanja vezanih uz razmatrani
fenomen.
– U drugoj fazi, na osnovi spoznatih činjenica vezanih uz fenomen darovitosti i
darovitih, pristupilo se izradi mjernih instrumenata i njihovoj validaciji.
– U trećoj fazi snimili smo u kojim će se osnovnim školama u Republici Hrvat-
skoj provest anketiranje učitelja primarnog obrazovanja i stručnih suradnika. Opredijelili
smo se za one osnovne škole diljem Republike Hrvatske u kojima će studenti učiteljs-
kog studija Odjela za odgojne i obrazovne znanosti Sveučilišta Jurja Dobrile u Puli oba-
viti svoju stručnu praksu.
– U četvrtoj fazi provedeno je anketiranje učitelja primarnog obrazovanja i struč-
nih suradnika u osnovnim školama. Anketiranje sudionika istraživanja proveli su stu-
denti učiteljskog studija za vrijeme obavljanja stručne prakse.
– U petoj fazi dobiveni podaci su sređeni, unijeti u računalo, te je izvršena statis-
tička obrada podataka. Pritom su korišteni statistički programi SPSS 20 for Windows i
Excel for Winows.

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
155
III. REZULTATI ISTRAŽIVANJA I NJIHOVA INTERPRETACIJA

1 ANALIZA UPITNIKÂ O DAROVITOSTI I DAROVITIMA

Kako su oba upitnika koja su rabljena za prikupljanje podataka konstruirana upra-
vo za potrebe ovoga istraživanja i kako su skale čestica obuhvaćene upitnicima prvi put
primijenjene u istraživačkom kontekstu bilo je potrebno utvrditi njene osnovne metrijske
karakteristike. Pouzdanost pojedinih supskala izražena Cronbachovim alfa koeficijenti-
ma pokazala je da skale čestica u oba upitnika zadovoljavaju Nunnallyov i Bernsteinov
kriterij unutarnje konzistencije od .70. Dobiveni koeficijenti unutarnje konzistencije su
.80 (a = .7996) za prvi upitnik i .81 (a = .8072) za drugi upitnik. Jedino čestica koja se
odnosila na vođenje dosjea o darovitim učenicima iz upitnika za stručne suradnike u
osnovnim školama ima značajna faktorska opterećenja (.4295). Ovi podaci prikazani su
u tablici 8.

Tablica 8. Faktorska struktura skalâ darovitosti i darovitih: faktorska opterećenja i
Cronbachov alfa koeficijent pouzdanosti
Prvi upitnik: Upitnik za učitelje
a =
.7996

20. Učenici koji polučuju iznadprosječne rezultate u učenju

matematičkih sadržaja predstavljaju mi opterećenje pri radu.
.8871

03. Kod mojih učenika primjećujem sljedeći vid darovitosti ... (koji)
.8861

10. Učenike koji mogu i žele više u matematici u redovnoj nastavi ...

(uključujem u ...; radim individualno; upućujem u ...)
.8695

07. Daroviti učenici "gube vrijeme" u redovnim razrednim odjelima.
.8337

05. Kada bi se učenike koji pokazuju pojačani interes za matematiku

izdvojili u posebne razredne odjele, ostali učenici mogli bi se

osjećati podcijenjeno.
.8264

06. Najdarovitiji učenici koji ubrzano napreduju (akceleriraju) imaju

poteškoća u socijalnom prilagođavanju grupi starijih učenika
.8255

02. Pojačani interes za matematiku (darovitost za matematiku)

pokazuje onaj učenik koji ...
.8077

01. U nastavnom radu s učenicima koji pokazuju pojačani interes za

matematiku susrećem se ... (kako često)
.7968

08. Učenici koji pokazuju pojačani interes za matematiku omiljeni su u

razrednom odjelu i školi.
.7814

23. Mogućnost poboljšanja sadašnjeg stanja u radu s darovitim

učenicima.
.7898

09. Osobine darovitosti vrijedni su resursi za društvenu zajednicu.
.7732

21. Za rad s učenicima koji u matematici mogu i žele više, didaktički,

metodički i stručno dovoljno sam pripremljen/na.
.7722

15. Učenike koji pokazuju pojačani interes za matematiku uključujem u

natjecanja iz matematike.
.7602

12. Poučavanjem učenike matematičkim sadržajima nastojim kod njih

razvijati ljubav i interes za matematiku i rješavanje matematičkih

problemskih zadataka.
.7394

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
156
14. Učenike koji polučuju iznadprosječne rezultate u matematici,

dodatno angažiram da pomažu učenicima koji polučuju slabije

rezultate.
.7352

13. S učenicima koji mogu i žele više u matematici radim i nakon

nastave.
.7347

17. U svom radu iznalazim mogućnosti da zadovoljim radoznalost

učenika i njeno iskazivanje, posebno kod onih učenika koji mogu i

žele više u matematici.
.7319

22. U nastavnom radu volio/voljela bih raditi s učenicima koji pokazuju

darovitost za matematiku.
.7310

18. Učenicima koji iskazuju poseban interes za matematiku

omogućujem slobodu, ohrabrujem ih u samostalnom mišljenju i

postupcima.
.7305

19. Učenike koji u matematici mogu i žele više potičem na divergentno

mišljenje.
.7305

16. Prema svom radu odnosim se stvaralački, pronalazeći nove oblike i

načine rada, koristeći se zbirkama zadataka za učenike koji u

matematici mogu i žele više.
.7275

04. Darovitim učenicima za matematiku škole bi trebale ponuditi

posebne matematičke edukacijske programe.
.7269

11. Darovitim učenicima omogućujem pristup matematičkim izvorima

znanja, donoseći im ili upućujući ih na određene časopise, knjige,

zbirke zadataka ili drugu literaturu.
.7168

Drugi upitnik: Upitnik za stručne suradnike

a =
.8072
04. Učenici koji u matematici mogu i žele više sudjeluju na

natjecanjima iz matematike.

.9270
05. U natjecanjima iz matematike najveći broj učenika uključuje se iz ...

(kojeg razreda).

.8835
07. Mogućnost poboljšanja sadašnjeg stanja u radu s darovitim

učenicima.

.7967
01. U Godišnjem planu i programu rada škole planirane su aktivnosti

za rad s darovitim učenicima.

.7517
06. U školi se prakticira homogeno grupiranje učenika darovitih za

matematiku.

.7188
02. U školi se vode dosjei o darovitim učenicima.

.7015
03. Dosjee o darovitim učenicima vodi ... (tko)

.4295

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
157
2 PREPOZNAVANJE DAROVITIH UČENIKA

Prepoznavanje i identifikacija darovitih učenika standardizirani je i kontinuirani
proces, obuhvaća cijelu populaciju i svaki je učenik stalno potencijalni kandidat na svim
dobnim razinama tijekom svog cjelokupnog odgojno-obrazovnog razvoja. Takav je pris-
tup nužan zato što se različite vrste darovitosti u skali kronološke dobi manifestiraju u
različito vrijeme i posebno zbog činjenice što unutar iste vrste darovitosti postoje bitne
individualne razlike u vremenu njezina eventualnog pojavljivanja. Stoga je neophodno
da su učitelji upoznati s navedenim karakteristikama kako bi mogli prepoznati darovite
učenike.
U namjeri da saznamo jesu li učitelji dovoljno pripremljeni za prepoznavanje uče-
nika koji pokazuju pojačani interes za matematiku, u upitniku namijenjenom učiteljima
primarnog obrazovanja postavili smo tri čestice (tvrdnje/pitanja):
– prva, koja se odnosila na čestost susretanja s učenicima koji pokazuju poja-
čan interes za matematiku;
– druga, koja se odnosila na prepoznavanje učenika koji u matematici mogu i
žele više i
– treća, koja se odnosila na primjećivanje vida darovitosti.

Tablica 9. Čestost susretanja s učenicima koji pokazuju pojačani interes za matematiku
Čestost susreta
f
%
X
s
X
s

vrlo rijetko
24
4.2
3.17
.977
.041
rijetko
114
19.9
ni rijetko ni često
220
38.4
često
169
29.5
vrlo često
46
8.0
Ukupno:
573
100.0
X
aritmetička sredina
s
standardna devijacija
X
s
 standardna pogreška aritmetičke sredine

Podaci dobiveni po prvoj čestici prikazani su u tablici 9. Uočava se da 38.4% su-
dionika istraživanja izjavljuje da se s učenicima darovitim za matematiku susreću ni ri-
jetko ni često. Gotovo jedna četvrtina ispitanika se s učenicima koji pokazuju pojačani
interes za matematiku susreću vrlo rijetko (4.2%) ili rijetko (19.9%), dok se 37.5% su-
dionika istraživanja izjašnjava da učenike koji mogu i žele više u matematici susreću
često (29.5%) ili vrlo često (8.0%). Dobivena aritmetička sredina ( X  = 3.17) upućuje na
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
158
zaključak da se učitelji primarnog obrazovanja s matematički darovitim učenicima su-
sreću ni rijetko ni često.
Statističkom obradom podataka uz česticu čestost susretanja s učenicima koji u
matematici mogu i žele više, dobivena vrijednost hi-kvadrat (c2 = 235.456, df = 4) je go-
tovo osamnaest puta veća od granične vrijednosti (13.277) na razini značajnosti .01.
Stoga se zaključuje da razlike u odgovorima sudionika istraživanja nisu slučajne već su
statistički značajne.

Slika 12. Prepoznavanje učenika darovitih za matematiku

Uz drugu česticu koja se odnosila na prepoznavanje učenika darovitih za mate-
matiku ponudili smo nekoliko karakteristika kojima se manifestira darovitost (slika 12).
Gotovo polovica sudionika istraživanja (43.3%) je stava da pojačani interes za mate-
matiku iskazuju oni učenici koji brzo rješavaju (matematičke) problemske zadatke, dok
41.4% ispitanika smatra da je matematički darovit onaj učenik koji kritički razmišlja. Za
8.4% sudionika istraživanja darovit je za matematiku onaj učenik koji postiže iznadpro-
sječne rezultate u učenju; 2.4% ispitanika smatra da se darovitost za matematiku vezu-
je uz karakteristiku koji je kreativan, dok 4.5% sudionika istraživanja darovitost za ma-
tematiku vezuje uz koji je veoma aktivan. Za ponuđeni odgovor koji iskazuje nešto dru-
go nije se opredijelio niti jedan od sudionika istraživanja.
Statističkom obradom podataka uz ovu česticu dobivene su slijedeće vrijednosti:
aritmetička sredina X  = 3.31, standardna devijacija s = .927, standardna pogreška
aritmetičke sredine
X
s
 = .038, hi-kvadrat c2 = 481.529. Kako dobivena vrijednost hi-
kvadrata znatno premašuje graničnu vrijednost (15.086) uz pet stupnjeva slobode na
8,4
2,4
43,3
41,4
4,5
0
10
20
30
40
50
koji postiže iznadprosječne
rezultate u učenju
koji je kreativan
koji brzo rješava
(matematičke) problemske
zadatke
koji kritički razmišlja
koji je veoma aktivan
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
159
razini značajnosti .01, slijedi da su razlike u odgovorima sudionika istraživanja statis-
tički značajne.
Treća čestica odnosila se na primjećivanje vida darovitosti. Dobiveni podaci i iz-
računate statističke vrijednosti prikazane su u tablici 10.

Tablica 10. Primjećivanje vida darovitosti
Vid darovitost
f
%
X
s
X
s

opće intelektualne sposobnosti
272
47.6
2.79
1.840
.077
psihomotorne sposobnosti
22
3.8
socijalne i rukovodne sposobnosti
26
4.5
specifične školske sposobnosti
70
12.2
stvaralačko-kreativne sposobnosti
173
30.2
umjetničke sposobnosti
10
1.7
Ukupno:
573
100.0

c2 = 579.597; df = 5

Iz tablice 10 je zapravo vidljivo da je najveći broj odgovora sudionika istraživanja
usmjeren na dva vida darovitosti: opće intelektualne sposobnosti 47.6% i stvaralačko-
kreativne sposobnosti, njih 30.2%. Dobivene su sljedeće statističke vrijednosti: X  =
2.79, s = 1.840,
X
s
 = .077, c2 = 579.597. S obzirom da vrijednost hi-kvadrata znatno
premašuje graničnu vrijednost (15.086; df = 5) na razini značajnosti .01, razlike u odgo-
vorima sudionika istraživanja nisu slučajni već su statistički značajne.
Koeficijenti korelacije ovih triju čestica prikazani su u tablici 11. Uočava se da je
statistički značajan samo jedan Pearsonov koeficijent korelacije, onaj koji se odnosi na
česticu (3) primjećivanje vida darovitosti, i to na razini značajnosti od 5%.

Tablica 11. Matrica Pearsonovih koeficijenata korelacija
Č e s t i c e
(1)
(2)
(3)
(1) Čestost susretanja s učenicima koji

pokazuju pojačani interes za matematiku
1

(2) Prepoznavanje učenika koji u matematici

mogu i žele više
– .069
1

(3) Primjećivanje vida darovitosti
– .032
.1001
1
1 značajnost na razini .05

Na osnovu dobivenih vrijednosti hi-kvadrata – po prvoj čestici 235.46, za drugu
česticu 481.529 i treću 579.597 – hipoteza H1 učitelji znaju prepoznati učenike koji po-
kazuju pojačani interes za matematiku nije potvrđena, pa je stoga odbacujemo kao ne-
realnu osnovu za procjenjivanje prepoznavanja darovitih učenika.

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
160

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
161
3 PRIPREMLJENOST UČITELJA ZA RAD

S DAROVITIM UČENICIMA

U znanstvenoj i stručnoj literaturi47 susrećemo se s tvrdnjama da učitelji nisu do-
voljno osposobljeni, da nemaju znanja i iskustva za poučavanje darovitih učenika, onih
koji u matematici mogu i žele više. Stoga smo sudionicima istraživanja postavili česticu
kojom smo željeli ispitati jesu li učitelji primarnog obrazovanja dovoljno i kvalitetno prip-
remljeni za rad s darovitim učenicima. Dobiveni podaci uz ovu česticu prikazani su sli-
kom 13.

Slika 13. Pripremljenost učitelja za rad s darovitim učenicima

Iz slike 13 je zapravo vidljivo da je samo 7.0% sudionika istraživanja mišljenja da
nisu dovoljno pripremljeni za rad s darovitim učenicima. Više od polovice ispitanika
(53.6%) izjavljuje da su djelomično pripremljeni za rad s učenicima koji u matematici
mogu i žele više, dok 39.4% sudionika istraživanja smatra da su dovoljno pripremljeni
za rad s učenicima koji pokazuju pojačani interes za matematiku.
Statističkom obradom podataka uz ovu česticu dobivene su sljedeće vrijednosti:
X  = 2.32, s = .600 i
X
s
 = .025. Da bismo saznali jesu li stavovi sudionika istraživanja
statistički značajni ili nisu, izračunali smo hi-kvadrat i dobili c2 = 196.241. Kako dobive-
na vrijednost hi-kvadrata, uz dva stupnja slobode na razini značajnosti .01 znatno pre-
mašuje graničnu vrijednost, razlike u odgovorima ispitanika nisu slučajne već su statis-
tički značajne, što znači da istraživačka hipoteza H2 nije potvrđena pa se kao takva od-
bacuje kao nerealna postavka u ovome istraživanju. Na osnovu ovoga zaključuje se da

47 Butler, C. H. i Wren, L. (1987); Dejić, M. i sur. (2009); Đorđević, J. (2005); Jukić, S.
(2006); Lazarević, D. (2005); Polya, G. (1966); Valenčič Zuljan, M. i Vogrinc, J. (2006)
7
53,6
39,4
0
10
20
30
40
50
60
nisam dovoljno
pripremljen/na
djelomično sam
pripremljen/na
dovoljno sam
pripremljen/na
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
162
učitelji primarnog obrazovanja nisu dovoljno i kvalitetno pripremljeni za rad s učenicima
koji u matematici mogu i žele više.

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
163
4 POSEBNI EDUKACIJSKI PROGRAMI

ZA RAD S DAROVITIM UČENICIMA

Pitanje darovitosti i rada s darovitim učenicima u Republici Hrvatskoj sustavno je
uređeno zakonom i pratećim dokumentima48, u kojima su zacrtana postupanja glede
darovitosti i rada s darovitim učenicima. Tako je, između ostaloga, definirano da poseb-
ne edukacijske programe za rad s darovitim učenicima donosi ministar u Ministarstvu
znanosti, obrazovanja i sporta Republike Hrvatske. Međutim, koliko je poznato49 takvi
posebni edukacijski programi ni za kojeg darovitog učenika ili skupinu darovitih nikada
nisu donijeti. Upravo stoga smo učiteljima primarnog obrazovanja definirali česticu tre-
baju li škole darovitim učenicima ponuditi posebne matematičke edukacijske programe,
a stručne suradnike smo pitali jesu li u godišnjem programu rada škole planirane aktiv-
nosti za rad s darovitim učenicima. Dobiveni podaci prikazani su u tablici 12 i u tablici
13.

Tablica 12. Škole bi trebale darovitim učenicima ponuditi posebne matematičke
edukativne programe

f
%
X
s
X
s

uopće se ne slažem
6
1.0
4.36
.754
.032
uglavnom se ne
slažem
14
2.4
ne mogu se odlučiti
18
3.1
uglavnom se slažem
262
45.7
potpuno se slažem
273
47.8
Ukupno:
573
100.0

Iz tablice 12 je razvidno da je velika većina sudionika istraživanja (93.5%) stava
da bi škole učenicima koji u matematici mogu i žele više trebale ponuditi posebne ma-
tematičke edukacijske programe: s postavljenom česticom uglavnom se slaže 45.7%
ispitanika, dok se njih 47.8% s tvrdnjom potpuno slaže. Statističkom obradom podataka
uz ovu česticu dobivena je izrazito visoka vrijednost hi-kvadrata (681.180, df = 4), što
znači da su razlike u odgovorima sudionika istraživanja statistički značajne.

48 O tome više u poglavlju: Sustavno uređenje darovitosti i rada s darovitim učenicima (u
nastavi matematike primarnog obrazovanja)
49 Ova konstatacija slijedi iz činjenice da u "Narodnim novinama", službenom glasniku
Republike Hrvatske, nikada nije objavljen nikakav poseban edukacijski program za rad s daro-
vitim učenicima. Naime, svi dokumenti donijeti u određenom ministarstavu obavezno se objav-
ljuju u "Narodnim novinama".
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
164
Tablica 13. Godišnjim programom rada škole su planirale aktivnosti za rad s darovitim
učenicima

f
%
X
s
X
s

ne
21
11.3
2.50
.692
.051
djelomično
51
27.4
da
114
61.3
Ukupno:
186
100.0

Iz tablice 13 je zapravo vidljivo da je samo 11.3% sudionika istraživanja izjavilo
da u godišnjem programu rada škole nisu planirane aktivnosti za rad s darovitim učeni-
cima. Većina ispitanika (61.3%) je na postavljenu česticu potvrdno odgovorilo, dok je
nešto više od jedne četvrtine njih (27.4%) izjavilo da su godišnjim programom rada ško-
le samo djelomično planirane aktivnosti za učenike koji pokazuju pojačani interes za
matematiku. Statističkom obradom podataka uz ovu česticu dobivene vrijednosti prika-
zane su u tablici 13, dok vrijednost hi-kvadrata iznosi 72.677 uz dva stupnja slobode.
Kako je dobivena vrijednost hi-kvadrata veća od granične vrijednosti na razini značaj-
nosti od 1%, slijedi da razlike u odgovorima ispitanika nisu slučajne, već su statistički
značajne.
Budući da su razlike u odgovorima sudionika istraživanja – učitelji primarnog ob-
razovanja: c2 = 681.180, df = 4 i stručni suradnici: c2 = 72.677, df = 2 – statistički
značajne, hipoteza H3 nije potvrđena pa je odbacujemo kao nerealnu postavku ovoga
istraživanja. Prema tome, škole darovitim učenicima nude posebne matematičke edu-
kacijske programe i te aktivnosti planirane su godišnjim programom rada škole.
Stručnim suradnicima, u obliku otvorene čestice, dana je mogućnost da, glede
posebnih edukacijskih programa za rad s darovitim učenicima a koji su planirani godiš-
njim programom rada škole, navedu predviđene sadržaje rada i aktivnosti iz matemati-
ke. Tu mogućnost iskoristilo je 68.5% sudionika istraživanja, od 165 onih u čijim su
školama godišnjim programom rada planirane aktivnosti za rad s darovitim učenicima.
Analizom opisa planiranih aktivnosti utvrđeno je da se one uglavnom podudaraju sa
gradivom predviđenim za natjecanja iz matematike na pojedinoj razini natjecanja, a ko-
je je utvrdila Agencija za osnovno obrazovanje Republike Hrvatske. Ovi programski sa-
držaji prikazani su u tablici 14.

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
165
Tablica 14. Programski sadržaji rada iz matematike za rad s darovitim učenicima
Razred
R a z i n a   n a t j e c a n j a
Školsko/općinsko/gradsko
županijsko
državno
4.
gradivo prethodnih razreda

· brojevi do milijun
· kutovi
· pisano množenje
prije navedeno gradivo 4.
razreda

· pisano dijeljenje

jednoznamenkastim
brojem
· prepoznavanje trokuta,

pravokutnika i kvadrata
· logički zadaci

5.
gradivo prethodnih razreda

· prirodni brojevi
· djeljivost
prije navedeno gradivo 5.
razreda

· skupovi točaka u ravnini
· logički zadaci
· kombinatorni zadaci
prije navedeno gradivo 5.
razreda

· razlomci
· logički zadaci
· kombinatorni zadaci
· Dirichletovo načelo
6.
gradivo prethodnih razreda

· razlomci
· trokut
prije navedeno gradivo 6.
razreda

· cijeli brojevi
· logički zadaci
· kombinatorni zadaci
prije navedeno gradivo 6.
razreda

· racionalni brojevi
· logički zadaci
· kombinatorni zadaci
· Dirichletovo načelo
7.
gradivo prethodnih razreda

· koordinatni sustav
· proporcionalnost i obrnuta

proporcionalnost
· vjerojatnost
· sličnost i mnogokuti
prije navedeno gradivo 7.
razreda

· logički zadaci
· kombinatorni zadaci
· diofantske jednadžbe
· Dirichletovo načelo
prije navedeno gradivo 7.
razreda

· kružnica i krug
· logički zadaci
· kombinatorni zadaci
· diofantske jednadžbe
· Dirichletovo načelo
8.
gradivo prethodnih razreda

· kvadriranje i korjenovanje
· Pitagorin poučak
· realni brojevi
prije navedeno gradivo 8.
razreda

· preslikavanje ravnine
· logički zadaci
· kombinatorni zadaci
· diofantske jednadžbe
· Dirichletovo načelo
prije navedeno gradivo 8.
razreda

· geometrija prostora
· logički zadaci
· kombinatorni zadaci
· diofantske jednadžbe
· Dirichletovo načelo

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
166

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
167
5 ODNOS UČITELJA SPRAM DAROVITIH

I NAČIN RADA S DAROVITIMA

Da bi učitelj mogao uspješno raditi s učenicima koji pokazuju pojačan interes za
matematiku potrebno je da dobro poznaje sadržaje posebnih programa za rad s darovi-
tim učenicima, one programske sadržaje koji su prilagođeni za rad s darovitim učenici-
ma i da dobro poznaje načela razvoja darovitosti.
Radeći s učenicima koji u matematici mogu i žele više, učitelj mora osigurati slo-
bodan razvoj interesa i ne kočiti emotivno-kreativni sklop darovitog pojedinca. Individu-
aliziranim pristupom valja poticati razvoj njegova interesa i osigurati stjecanje kvalitet-
nog znanja usklađenog s vrstom i razvijenošću sposobnosti učenika. Potrebno je nada-
lje da poznaje procese razvijanja intrinzične motivacije i da ih vješto primjenjuje u radu.
Uloga učitelja je uspješno vođenje darovitog pojedinca u svladavanju sve složenijih i
zahtjevnijih vještina i usvajanju sve apstraktnijih matematičkih znanja.
Da bismo saznali potiče li se razvoj darovitosti i sudjeluju li daroviti učenici na na-
tjecanjima iz matematike, sudionicima istraživanja postavljen je set čestica (tvrdnji, pi-
tanja) o kojima su trebali iskazati svoj stav. Dobiveni podaci prikazani su u tablici 15.

Tablica 15. Poticanje darovitosti i sudjelovanje darovitih na natjecanjima iz matematike
Č e s t i c e
Statističke veličine
X
s
X
s

F
Sig.
(1) Darovitim učenicima omogućuje se pristup

dopunskim matematičkim izvorima znanja
4.20
.803
.034
281.58
p <
.01
(2) Kod darovitih učenika nastoji se razvijati

ljubav i trajan interes za matematiku i

rješavanje matematičkih problemskih

zadataka.
4.70
.592
.025
(3) S učenicima darovitim za matematiku radi se i

nakon (po završetku) redovne nastave
3.38
1.278
.053
(4) Matematički daroviti učenici angažiraju se za

rad s učenicima koji polučuju slabije rezultate.
3.99
.955
.040
(5) Učenici koji u matematici mogu i žele više

uključuju se u natjecanja iz matematike.
4.70
.655
.027

U namjeri da usporedimo aritmetičke sredine i utvrdimo jesu li razlike među njima
statistički značajne, primijenili smo analizu varijance koja je pokazala da se odgovori
sudionika istraživanja po ovih pet čestica statistički značajno razlikuju. Naime, dobive-
na F-vrijednost (281.58) znatno premašuje graničnu vrijednost (13.46) na razini značaj-
nosti .01 uz 4/568 stupnjeva slobode pa zaključujemo da je F značajan, tj. razlike izme-
đu aritmetičkih sredina su statistički značajne.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
168
Koeficijenti korelacije između ovih pet čestica prikazani su u tablici 16. Uočava se
da su svi koeficijenti korelacije osim jednog, onog između čestica (4) matematički daro-
viti učenici angažiraju se za rad s učenicima koji polučuju slabije rezultate i (5) učenici
koji u matematici mogu i žele više uključuju se u natjecanja iz matematike, statistički
značajni i to na razini značajnosti .01.

Tablica 16. Matrica Pearsonovih koeficijenata korelacije
Č e s t i c e
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(1) Darovitim učenicima omogućuje se pristup dopunskim

matematičkim izvorima znanja
1

(2) Kod darovitih učenika nastoji se razvijati ljubav i trajan

interes za matematiku i rješavanje matematičkih

problemskih zadataka.
.3062
1

(3) S učenicima darovitim za matematiku radi se i nakon

(po završetku) redovne nastave
.2442
.1342
1

(4) Matematički daroviti učenici angažiraju se za rad s

učenicima koji polučuju slabije rezultate.
.1762
.1002
.3342
1

(5) Učenici koji u matematici mogu i žele više uključuju se

u natjecanja iz matematike.
.2982
.3152
.1442
.073
1
2 značajnost na razini .01

Postoje li statistički značajne razlike u odgovorima sudionika istraživanja, onih
dobivenih od učitelja primarnog obrazovanja i onih dobivenih od stručnih suradnika,
glede sudjelovanja darovitih učenika na natjecanjima iz matematike, testirali smo arit-
metičke sredine i dobili vrijednost t-omjera: 4.88 (tablica 17). Kako granična vrijednost
u t distribuciji na razini .01 iznosi 2.60, a dobivena t-vrijednost u ovom slučaju je gotovo
dvaput veća od granične, zaključujemo da postoji statistički značajna razlika u odgovo-
rima učitelja primarnog obrazovanja i stručnih suradnika.

Tablica 17. Sudjelovanje darovitih učenika na natjecanjima iz matematike
Sudionici istraživanja
X
s
t
Sig.
učitelji primarnog obrazovanja
4.70
.655
4.88
p < .01
stručni suradnici
2.92
.327

Iz kojeg se razreda najveći broj učenika uključuje u natjecanja iz matematike bila
je sljedeća čestica koju smo definirali u upitniku za stručne suradnike. Čak 77.4% su-
dionika istraživanja navodi da najveći broj učenika koji se uključuju u natjecanja iz ma-
tematike dolaze iz četvrtog razreda. 12.9% ispitanika navodi da po brojnosti uključiva-
nja u natjecanja iz matematike slijede učenici petog razreda, a zatim iz osmog razreda
– navodi to 8.1% ispitanika. Sudionici istraživanja, njih 1.6%, kao sljedeće po brojnosti
uključivanja u natjecanja iz matematike navode učenike sedmog razreda. Interesantno
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
169
je da se, prema navodu sudionika istraživanja, iz šestog razreda u natjecanja iz mate-
matike ne uključuje niti jedan učenik!

Tablica 18. Učiteljev rad i odnos prema učenicima darovitim za matematiku
Č e s t i c e
Statističke veličine
X
s
X
s

c2
Sig.
(1) Učitelji se prema svom radu odnose

stvaralački, pronalaze nove oblike i metode

rada, koriste se zbirkama zadataka koje su

namijenjene učenicima koji u matematici

mogu i žele više.
4.46
.612
.026
474.937
.000
(2) U svom radu učitelji iznalaze mogućnosti da

zadovolje radoznalost darovitih učenika i

njeno iskazivanje.
4.39
.632
.026
461.506
.000
(3) Učenicima koji iskazuju pojačan interes za

matematiku učitelji omogućuju slobodu,

ohrabruju ih u samostalnom mišljenju i

postupcima.
4.54
.640
.027
539.552
.000
(4) Učenike darovite za matematiku učitelji potiču

na divergentno50 mišljenje.
4.44
.681
.028
432.131
.000

Učiteljima primarnog obrazovanja postavljen je set čestica kojima smo željeli ispi-
tati njihove stavove glede njihova odnosa u radu prema učenicima darovitim za mate-
matiku. Podaci dobiveni po ovom setu čestica prikazani su u tablici 18. Vidljivo je da su
aritmetičke sredine za sve četiri čestice vrlo visoke što znači da se s postavljenim tvrd-
njama ispitanici uglavnom slažu.
Kako su sve četiri vrijednosti hi-kvadrata vrlo visoke (tablica 18), znatno veće od
graničnih vrijednosti (11.341, df = 3), zaključuje se da su razlike u odgovorima sudioni-
ka istraživanja statistički značajne. Pritom je, u sva četiri slučaja, p < .01.
I za ove četiri čestice računali smo koeficijente korelacije, a dobivene vrijednosti
prikazali smo u tablici 19. Vidljivo je da su svi koeficijenti korelacije između navedenih
čestica statistički značajni i to na razini značajnosti od 1%.
Statističke vrijednosti dobivene uz čestice kojima smo ispitivali stavove učitelja
glede njihova odnosa spram darovitih učenika i načina rada s darovitima, kazuju da hi-
poteza H4 nije potvrđena. Stoga se hipoteza H4 odbacuje kao neosnovana postavka
ovoga istraživanja jer se dobiveni rezultati znatno razlikuju od onih koje smo očekivali.
To znači da se odnosi učitelja spram darovitih učenika i načinu rada s darovitim ne zas-

50 Kod divergentnog mišljenja, misli nisu usmjerene ka jednom, već na mnoga različita
rješenja. Umjesto pravim ide se krivudavim putem, uz dozvoljene skokove. Ograničenja, zabra-
ne, kruta kontrola, samokritika, u ovom procesu nisu dozvoljene. U njima sjajne ideje dolaze iz-
nenada, a rješenje problema se nametne kao bljesak koji iznenada sine. Radi se zapravo o
stvaralačkom mišljenju.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
170
nivaju na suvremenim dostignućima didaktike i metodike nastave, tj. odgojno-obrazov-
ne teorije, već na tradicionalnim, klasičnim postavkama.

Tablica 19. Matrica Pearsonovih koeficijenata korelacije
Č e s t i c e
(1)
(2)
(3)
(4)
(1) Učitelji se prema svom radu odnose stvaralački,

pronalaze nove oblike i metode rada, koriste se

zbirkama zadataka koje su namijenjene učenicima koji u

matematici mogu i žele više.
1

(2) U svom radu učitelji iznalaze mogućnosti da zadovolje

radoznalost darovitih učenika i njeno iskazivanje.
.4912
1

(3) Učenicima koji iskazuju pojačan interes za matematiku

učitelji omogućuju slobodu, ohrabruju ih u samostalnom

mišljenju i postupcima.
.3982
.3922
1

(4) Učenike darovite za matematiku učitelji potiču na

divergentno mišljenje
.4212
.4312
.6102
1
2 značajnost na razini .01

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
171
6 POSTUPCI U RADU S DAROVITIM UČENICIMA

U odgojno-obrazovnoj praksi najčešći postupci u radu s darovitim učenicima jesu:
– uključivanje u dodatnu nastavu,
– uključivanje u izborne programe,
– individualan rad s darovitima,
– homogeno grupiranje i
– izvanškolske (matematičke) aktivnosti51.
Pored ovih postupaka u radu s darovitim učenicima postoji još jedan osobit pos-
tupak – radi se o akceleraciji učenika, tj. ubrzanom napredovanju darovitih pojedinaca
kroz obrazovni sustav.
Stoga smo i učiteljima primarnog obrazovanja i stručnim suradnicima definirali
određene čestice i tražili izjašnjavanje o njima.
Od navedenih postupaka u radu s učenicima koji u matematici mogu i žele više,
čak 88.4% učitelja, sudionika istraživanja darovite učenike uključuje u dodatnu nastavu,
slijedi zatim 5.4% ispitanika koji iskazuju stav da s darovitima rade individualno. U iz-
vanškolske matematičke aktivnosti učenike uključuje 4.5% učitelja, a njih 1.4% učenike
koji pokazuju pojačani interes za matematiku uključuje u izborne programe. Najmanji
broj sudionika istraživanja (.3%) matematički darovite učenike homogeno grupiraju. Iz
ovih pokazatelja je zapravo vidljivo da učitelji ne koriste na podjednak način postupke u
radu s darovitim učenicima.
Statističkom obradom podataka uz ovu česticu dobivene su sljedeće vrijednosti:
X  = 1.31, s = .944,
X
s
 = .039, c2 = 1676.049. Kako je dobivena vrijednost hi-kvadrata
preko 126 puta veća od granične vrijednosti (13.277, df = 4) na razini značajnosti .01,
razlike u odgovorima sudionika istraživanja su statistički značajne.
Stručnim suradnicima definirana je čestica kojom smo željeli saznati prakticira li
se i koliko homogeno grupiranje učenika darovitih za matematiku. Gotovo jedna trećina
(30.6%) sudionika istraživanja izjavilo je da do homogenog grupiranja učenika dolazi
vrlo rijetko (11.2%) ili rijetko (19.4%), dok 11.3% ispitanika izjavljuje da se učenici daro-
viti za matematiku homogeno grupiraju ni rijetko ni često. Do homogenog grupiranja
učenika koji pokazuju pojačani interes za matematiku, prema stručnim suradnicima, su-
dionicima istraživanja, dolazi često: 37.1% ili vrlo često: 21.0%.

51 O tome u: Zakon o odgoju i obrazovanju u osnovnoj i srednjoj školi (Narodne novine,
broj 87 od 25. 7. 2008); ili u: Pravilnik o osnovnoškolskom odgoju i obrazovanju (Narodne
novine, broj 34 od 16. 7. 1991); ili u: Nacionalnom okvirnom kurikulumu (www.mzos.hr/nacio-
nalniobrazovnikurikulum); ili u: Dejić i sur. (2009); ili u: Đorđević (2005, 2004, 1995, 1979) i u
drugoj relevantnoj literaturi.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
172
Obradom podataka uz ovu česticu dobivene su sljedeće statističke vrijednosti: X
= 3.37, s = 1.314,
X
s
 = .096, c2 = 41.419 (df = 4, p < .01). Kako je dobiveni hi-kvadrat
tri puta veći od granične vrijednosti (13.277), zaključujemo da su razlike u odgovorima
sudionika istraživanja statistički značajne.
Daroviti učenici gube vrijeme u redovnim razrednim odjelima – slijedeća je česti-
ca o kojoj smo tražili izjašnjavanje učitelja primarnog obrazovanja. Polovica (50.6%)
sudionika istraživanja se s postavljenom česticom uopće ne slaže (14.8%) ili se uglav-
nom ne slaže (35.8%), dok se 17.9% ispitanika o postavljenoj čestici nije moglo odluči-
ti. Nešto manje od jedne trećine (31.5%) sudionika istraživanja se sa definiranom česti-
com uglavnom slaže (25.7%) ili se potpuno slaže (5.8%). Obradom podataka dobivene
su slijedeće statističke vrijednosti: X  = 2.79, s = 1.628,
X
s
 = .068, c2 = 287.597 (df =
4, p < .01). S obzirom da je dobiveni hi-kvadrat znatno veći od granične vrijednosti
(13.277) na razini značajnosti .01, razlike u odgovorima ispitanika nisu slučajne već su
statistički značajne.
Stručnim suradnicima definirana je otvorena čestica je li i kada posljednji put koji
od učenika vaše škole ubrzano napredovao, tj. bio školski akceleriran. Odgovor je po-
nudilo 63.4% sudionika istraživanja. Svi oni u odgovoru navode "nije mi poznato", "u
posljednjih 30-35 godina nitko" i sl. U jednom odgovoru nalazimo podatak da je "to bilo
prije 38 godina" (dakle, 1974. godine) kada je akcelerirano jedno darovito dijete. Iz ovih
je odgovora zapravo vidljivo da ubrzano napredovanje darovitih učenika, tj. akceleracija
u obrazovnom sustavu Republike Hrvatske već poduže vrijeme nije prisutna!
Učiteljima primarnog obrazovanja definirali smo i česticu: učenici koji akceleriraju
(ubrzano napreduju) imaju poteškoća u socijalnom prilagođavanju grupi starijih učeni-
ka. Čak 27.9% sudionika istraživanja nije se moglo odlučiti o postavljenoj čestici, što je
i shvatljivo s obzirom da se ubrzano napredovanje (akceleriranje) darovitih učenika
kroz obrazovni sustav ne prakticira. Ostali odgovori sudionika istraživanja distribuirani
su ovako: 37.2% ispitanika se s tvrdnjom uopće ne slaže (10.5%) ili se uglavnom ne
slaže (26.7%), dok se njih 34.9% s tvrdnjom uglavnom slaže (27.7%) ili se potpuno sla-
že (7.2%).
Dobivene statističke vrijednosti upućuju nas na zaključak da hipoteza H5 nije
potvrđena kao realna osnova ovoga istraživanja te se kao takva odbacuje.

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
173
7 DAROVITI UČENICI – OPTEREĆENJE UČITELJIMA

Učitelji u radu s darovitim učenicima trebaju znati po čemu i u čemu mora njihov
rad biti drugačiji od rada s ostalim učenicima. Trebaju nadalje znati specifične odgojno-
obrazovne potrebe darovitih, u čemu je njihova razlika i po čemu su te potrebe veće od
potreba ostalih učenika. Učitelji moraju, također, znati koji sadržaji i koje metode nas-
tavnog rada mogu zadovoljiti potrebe njihova posebnog razvoja.
U radu s učenicima koji u matematici mogu i žele više, učitelji moraju prilagođa-
vati sadržaje potrebama darovitih, dati prednost učenicima, moraju mjeriti tempo rada,
kreirati razredno i sudjelovati u kreiranju školskog ozračja, koristiti specifične strategije
poučavanja. Sve ovo od učitelja zahtjeva kvalitetno obrazovanje, pripremanje i angaži-
ranost. Zato smo u upitniku namijenjenom učiteljima primarnog obrazovanja definirali
dvije čestice: jednu, kojom smo željeli saznati predstavlja li učiteljima rad s darovitim
učenicima opterećenje, i drugom, kojom smo mjerili spremnost učitelja za rad s učenici-
ma koji za matematiku pokazuju poseban interes.
Gotovo dvije trećine (64.4%) sudionika istraživanja s česticom da im rad s učeni-
cima koji polučuju iznadprosječne rezultate u učenju matematičkih sadržaja ne pred-
stavlja opterećenje se uopće ne slaže, dok se 21.6% ispitanika s česticom ne slaže.
Prema tome, za čak 86.0% sudionika istraživanja čestica nije prihvatljiva. O postavlje-
noj čestici 3.5% ispitanika nije se moglo odlučiti, dok se 5.9% njih s česticom slaže ili
se potpuno slaže njih 4.5%.
Statističkom obradom podataka dobivene su sljedeće vrijednosti: X  = 4.35, s =
.183,
X
s
 = .008 i c2 = 768.789 (df = 4). Kako vrijednost hi-kvadrata znatno premašuje
graničnu vrijednost na razini .01, zaključuje se da su razlike u odgovorima sudionika is-
traživanja statistički značajne.
Čak 80.1% sudionika istraživanja radilo bi (50.6%) ili bi sigurno radilo (29.5%) s
učenicima koji u matematici mogu i žele više, dok je neodlučnih ispitanika po ovoj čes-
tici 15.1%. S matematički darovitim učenicima ne bi radilo 3.8%, dok uopće ne bi radilo
njih 1.0%. Obradom podataka uz ovu česticu dobivene su ove statističke vrijednosti: X
= 4.04, s = .832,
X
s
 = .034 i c2 = 479.155 (df = 4). Kako je hi-kvadrat znatno veći od
granične vrijednosti na razini od 1%, razlike u odgovorima sudionika istraživanja statis-
tički su značajne.
Kako su oba hi-kvadrata znatno veća od granične vrijednosti zaključujemo da hi-
poteza H6 nema realnu osnovu u ovome istraživanju, dakle nije potvrđena, pa se kao
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
174
takva odbacuje. To znači da razlike u odgovorima sudionika istraživanja nisu slučajne
već su statistički značajne.

Tablica 20. Daroviti učenici - opterećenje učiteljima
Čestice
X
s
t
Sig.
Učiteljima rad s učenicima darovitim za matematiku ne
predstavlja opterećenje.
4.35
.183
5.15
p <
.01
Volio/voljela bih raditi s učenicima koji u matematici
mogu i žele više
4.04
.832

Interesira nas postoji li statistički značajna razlika između aritmetičkih sredina po
ovim dvjema česticama. Iz tablice 20 je vidljivo da t-omjer iznosi 5.15. Kako je dobive-
na t vrijednost dvostruko veća od granične na razini .01, slijedi da je razlika između
ovih aritmetičkih sredina statistički značajna.

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
175
8 PRIHVAĆENOST DAROVITIH UČENIKA OD VRŠNJAKA

Na portalu www.nadarenost.net/recenzija_1.htm nalazi se procjena da čak 20-
25% darovite djece ima socijalne i emocionalne tegobe, što je dvostruko više negoli se
susreće u normalnoj populaciji školske djece. "Umjereno" darovita djeca, ona čiji je
kvocijent inteligencije od 125 do 155 imaju uglavnom uravnotežene emocije i manje
probleme u socijalnoj prilagodbi. Međutim, ona djeca kojih je kvocijent inteligencije veći
od 160 vrlo često pate od socijalne izolacije, a uzrok je tome što imaju inteligenciju od-
rasle osobe, a tijelo i emocije djeteta. Imajući na umu rečeno, željeli smo ispitati jesu li
darovita djeca uistinu socijalno izolirana odnosno jesu li prihvaćeni od vršnjaka. Stoga
smo učiteljima primarnog obrazovanja definirali dvije čestice:
– prva, kada bi darovite učenike, tj. one koji pokazuju pojačani interes za mate-
matiku izdvojili u posebne razredne odjele, ostali učenici mogli bi se osjećati
podcijenjeno i
– druga, učenici koji pokazuju pojačani interes za matematiku omiljeni su u raz-
rednom odjelu i školi.
Sudionici istraživanja po prvoj od ovih dviju čestica izjasnili su se na način kako je
to prikazano u tablici 21.

Tablica 21. Izdvajanjem darovitih u posebne razredne odjele, ostali učenici mogli bi se
osjećati podcijenjeno

Statističke veličine
f
%
X
s
X
s

c2 (df)
Sig.
uopće se ne slažem
43
7.5
3.38
1.201
.050
145.072 (4)
.000
uglavnom se ne
slažem
116
20.2
ne mogu se odlučiti
95
16.6
uglavnom se slažem
219
38.2
potpuno se slažem
100
17.5
Ukupno:
573
100.0

Iz tablice 21 se zapravo vidi da se 27.7% sudionika istraživanja s definiranom
česticom uopće ne slaže (7.5%) ili se uglavnom ne slaže (20.2%). Po postavljenoj čes-
tici nije se moglo izjasniti 16.6% ispitanika, dok se više od polovice njih (55.7%) s česti-
com uglavnom slaže (38.2%) ili se potpuno slaže (17.5%). Kako je dobivena vrijednosti
hi-kvadrata (145.072) znatno veća od granične vrijednosti (13.277, df = 4, p < .01), za-
ključujemo da su razlike u odgovorima sudionika istraživanja statistički značajne. Stoga
se tvrdnja kao takva ne može prihvatiti, što znači da izdvajanje darovitih u posebne raz-
redne odjele kod ostalih učenika ne bi izazvalo osjećaj podcijenjenosti.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
176
Podaci dobiveni po drugoj od ovih dviju čestica prikazani su na slici 14. Uočava
se da se 30.5% sudionika istraživanja s definiranom česticom uopće ne slaže (12.7%)
ili se uglavnom ne slaže (17.8%). Za razliku od jedne četvrtine (26.1%) ispitanika koji
se o čestici nije moglo odlučiti, 43.3% njih se s tvrdnjom uglavnom slaže (37.5%) ili se
potpuno slaže (5.9%). Kako je dobiveni hi-kvadrat (171.459, df = 4, p < .01) gotovo tri-
naest puta veći od granične vrijednosti na razini od 1%, razlike u odgovorima sudionika
istraživanja statistički su značajne. Pritom valja istaknuti kako Pearsonov koeficijent ko-
relacije (r = – .48, p = .255) kazuje da između ovih dviju čestica postoji umjerena (ne-
gativna) korelacija, što znači da među njima postoji bitna povezanost.

Slika 14. Učenici daroviti za matematiku omiljeni su u razrednom odjelu i školi

Dobivene statističke vrijednosti upućuju na zaključak da hipotezu H7 moramo
odbaciti, tj. ona nema realnih osnova u ovome istraživanju. To drugim riječima znači da
su daroviti učenici od svojih vršnjaka prihvaćeni.

12,7
17,8
26,1
37,5
5,9
0
10
20
30
40
uopće se ne slažem
uglavnom se ne
slažem
ne mogu se odlučiti
uglavnom se slažem
potpuno se slažem
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
177
9 DOSJEI O DAROVITIM UČENICIMA

Istraživanjem smo željeli utvrditi vode li se u osnovnim školama dosjei o darovitim
učenicima i, ako da, tko vodi te dosjee. Stoga smo stručnim suradnicima definirali česti-
ce kojima smo željeli saznati (1) vode li se u osnovnoj školi dosjei o darovitim učenici-
ma i ako se vode (2) tko vodi dosjee.
Dobivene podatke prikazali smo slikom 15 i tablicom 22.

Slika 15. Vođenje dosjea o darovitim učenicima

Sudionici istraživanja navode (slika 15) da se u osnovnoj školi dosjei o darovitim
učenicima ne vode (40.3%) ili se vode kako za kojeg učenika (43.5%), dok 16.2% ispi-
tanika ističe da se dosjei vode za sve darovite učenike. Obradom podataka dobiven je
hi-kvadrat (25.065, df = 2, p < .01) koji je gotovo tri puta veći od granične vrijednosti
(9.210, p = .01), što znači da su razlike u odgovorima sudionika istraživanja statistički
značajne. Ostale statističke vrijednosti su: X  = 1.76, s = .692,
X
s
 = .051.

Tablica 22. Dosjee o darovitim učenicima vodi...

f
%
razrednik
3
1.6
stručni suradnik (pedagog, psiholog, ...)
90
48.4
ravnatelj/ica
0
0.0
učitelj koji radi s darovitim djetetom
18
9.7
netko drugi
0
0.0
nitko, jer se dosjei ne vode
75
40.3
Ukupno:
186
100.0

Iz tablice 22 se zapravo vidi da sudionici istraživanja navode da dosjee o darovi-
tim učenicima uglavnom vode stručni suradnici – njih 48.4%, dok, navode dalje ispitani-
ci, da to čine razrednici (1.6%) ili učitelji koji rade s darovitim učenicima (9.7%).
40,3
43,5
16,2
0
10
20
30
40
50
ne
kako za kojeg
učenika
da, za sve učenike
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
178
I ovdje, kao i na slici 15, 40.3% sudionika istraživanja navode da dosjee o daro-
vitim učenicima ne vodi nitko, jer se dosjei ne vode.
Na osnovi statističkih vrijednosti uz ove dvije čestice, može se zaključiti da hipo-
teza H8 nije potvrđena; dakle, ona ne predstavlja realnu osnovu u našem istraživanju te
se kao takva odbacuje. Prema tome, u osnovnim se školama dosjei o darovitim učeni-
cima ne vode.

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
179
10 DAROVITI – VRIJEDAN RESURS

ZA DRUŠTVENU ZAJEDNICU

Analiziranjem literature domaćih i stranih autora52, onih koji raspravljaju o feno-
menu darovitosti i darovitih, nailazi se na stav da su daroviti pojedinci vrijedan resurs
za društvenu zajednicu. Stoga smo učiteljima primarnog obrazovanja definirali česticu
osobine darovitosti i darovitih vrijedan su resurs za društvenu zajednicu s namjerom da
potvrdimo ili eventualno opovrgnemo navedeni stav. Podaci dobiveni od sudionika is-
traživanja prikazani su u tablici 23.

Tablica 23. Daroviti – vrijedan su resurs za društvenu zajednicu

Statističke veličine
f
%
X
s
X
s

uopće se ne slažem
13
2.3
4.43
.857
.036
uglavnom se ne
slažem
14
2.4
ne mogu se odlučiti
20
3.5
uglavnom se slažem
192
33.5
potpuno se slažem
334
58.3
Ukupno:
573
100.0

Iz tablice 23 vidljivo je da je velika većina sudionika istraživanja (91.8%) stava da
su daroviti pojedinci vrijedan resurs za društvenu zajednicu: s tvrdnjom se uglavnom
slaže 33.5% ili se potpuno slaže 58.3%. Neznatan broj ispitanika (4.7%) se s definira-
nom česticom uopće ne slaže (2.3%) ili se uglavnom ne slaže (2.4%), dok se 3.5% su-
dionika istraživanja o čestici nije moglo odlučiti. Nadalje, vidljivo je da aritmetička sredi-
na iznosi 4.43, standardna devijacija .857, dok standardna pogreška aritmetičke sredi-
ne iznosi .036. Dobivena vrijednost hi-kvadrata je vrlo visoka (728.789, df = 4, p < .01),
gotovo 55 puta veća od granične vrijednosti koja iznosi 13.277, uz četiri stupnja slobo-
de, na razini značajnosti od 1%, što znači da razlike u odgovorima sudionika istraživa-
nja nisu slučajne već su statističko značajne.

52 Bedeković i sur. (2008); Bodrič, R. (2009); Đorđević, B. (2005); Grandić, R. i Letić, M.
(2009); Ferbežer, I. (2002, 2006); Marković, D. Ž. (2005)
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
180

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
181
11 MOGUĆNOST SUSTAVNOG UREĐENJA

PITANJA DAROVITOSTI I DAROVITIH

Je li moguće sadašnje stanje u radu s darovitim učenicima poboljšati i ako je, ka-
ko to ostvariti – bile su čestice koje smo definirali u oba rabljena upitnika: (1) onom na-
mijenjenom učiteljima primarnog obrazovanja kao i (2) onom namijenjenom stručnim
suradnicima. Čestica kako to ostvariti bila je otvorenog tipa i od sudionika istraživanja,
onih koji su stava da je moguće poboljšati sadašnje stanje u radu s darovitim učenici-
ma, tražilo se da navedu svoja gledanja kako sustavno urediti pitanje darovitosti u nas-
tavi matematike primarnog obrazovanja.
Podaci uz prvu od ovih dviju čestica kao i statističke vrijednosti koje su dobivene
obradom tih podataka prikazane su u tablici 24. Uočava se da je 30.0% sudionika istra-
živanja stava da sadašnje stanje glede rada s darovitim učenicima nije moguće pobolj-
šati, dok 32.7% ispitanika ne zna je li to moguće. Međutim, nešto više od jedne trećine
(37.3%) sudionika istraživanja navode da je moguće poboljšati sadašnje stanje u radu
s darovitim učenicima. Kako je izračunati hi-kvadrat (6.126) manji od granične vrijed-
nosti (9.21, df = 2) na razini .01, hipoteza H9 prihvaća se kao realna postavka našega
istraživanja, tj. hipoteza H9 je potvrđena. Prema tome, postoje realne mogućnosti po-
boljšanja sadašnjeg stanja u radu s darovitim učenicima.

Tablica 24. Mogućnost sustavnog uređenja pitanja darovitosti i darovitih učenika

Učitelji
primarnog
obrazovanja
Stručni
suradnici
fo
%
ft
t
2
t
o
)
(
f
f
f -

t
f
%
f
%
nije
moguće
195
34.0
33
17.7
228
30.0
253
2.470

ne znam
223
38.9
25
13.4
248
32.7
253
0.099
moguće je
155
27.1
128
68.9
283
37.3
253
3.557
Ukupno:
573
100
186
100
759
100
759
c2 = 6.126

X
1.93
2.51

3.09
s
.778
.778
X
s

.033
.185
fo opažene frekvencije
ft očekivane (teorijske) frekvencije

Odgovori sudionika istraživanja glede čestice je li moguće sadašnje stanje u radu
s darovitim učenicima poboljšati prikazani su na slici 16. Uočava se zapravo da gotovo
dvaput više učitelja primarnog obrazovanja (34.0%) u odnosu prema stručnim suradni-
cima smatra da sadašnje stanje glede rada s darovitim učenicima nije moguće pobolj-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
182
šati. Gotovo tri puta više (38.9%) učitelja primarnog obrazovanja u odnosu prema stru-
čnim suradnicima (13.4%) ne zna je li to poboljšanje moguće ostvariti. No, za razliku od
27.1% učitelja primarnog obrazovanja čak 68.9% stručnih suradnika smatra da je sa-
dašnji rad s darovitim učenicima moguće poboljšati. Iako postoje evidentne razlike u
odgovorima učitelja i stručnih suradnika, ta razlika u odgovorima ispitanika nije statistič-
ki značajna. Naime, testiranjem značajnosti razlika aritmetičkih sredina dobiven je t-
omjer 3.09, koji je manji od granične vrijednosti (4.30, df = 2) na razini od 5% (t = 3.09,
p > .05).

Slika 16. Mogućnost sustavnog uređenja pitanja darovitosti i darovitih učenika

Od sudionika istraživanja, onih koji su stava da je moguće sadašnje stanje u radu
s darovitim učenicima poboljšati, tražili smo da navedu kako to ostvariti. Ponuđena
obrazloženja – sređena i grupirana – uglavnom se odnose na sljedeće:
· "Daroviti učenici zahtijevaju posebnu pažnju i kontinuirani rad tijekom odgojno-
obrazovnog procesa. Međutim, iako postoje sve zakonske pretpostavke za kvalitetan
rad s njima, oni su vrlo često zanemarena kategorija školskog sustava. Što činiti? Jed-
nostavno – počnimo primjenjivati zakonsku regulativu glede darovitosti i rada s darovi-
tim učenicima!"
· "Radi poticanja darovitosti i darovitih učenika potrebno je da škole omoguće/
osiguraju kvalitetne izborne obrazovne programe, koji će pobuditi znatiželju darovitih."
· "Na papiru je sve lijepo, a u praksi? Kako je u praksi ne znam. Zar nije dovolj-
no provoditi zakonsku obvezu?"
· "Darovitim učenicima trebalo bi omogućiti raniji (prijevremeni) upis ili polaganje
dva razreda u jednoj godini. Imali tko kakva iskustva glede toga? Ima li primjera što je
bilo sa u osnovnoj školi akceleriranim djetetom tijekom srednjoškolskog obrazovanja?"
17,7
13,4
68,9
0
20
40
60
80
nije moguće
ne znam
moguće je
djelatnici u stručno-razvojnim službama
učitelji primarnog obrazovanja
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
183
· "Postoje dvije vrste posebnih programa, jedan za djecu s teškoćama u učenju
i razvoju i drugi za darovitu djecu. Čini mi se da onaj prvi imaju sve škole, a ovaj drugi
tek pokoja škola. Iskustva govore da se u praksi, nažalost, sve svodi na uprosjećivanje.
Zašto i dokle tako?"
· "U praksi se svi ili gotovo svi, nažalost, bave hendikepiranom i problematič-
nom djecom, i učitelj najviše energije gubi na njih, dok darovita djeca ostaju zakinuta.
Kada će se započeti provoditi propisano?"
· "Kada se kaže učenik s posebnim potrebama treba imati na umu da su i daro-
vita djeca djecâ s posebnim potrebama. Kada ćemo se početi njima baviti? Zar nije to
sustavno uređeno zakonom, pedagoškim standardom i pravilnicima? Kada će se početi
provoditi zapisano? Ispada da individualni obrazovni program, asistent u nastavi i
stručni suradnici rade kada je u pitanju hendikepirano dijete, ali kada se otkrije darovit
učenik i kada bi istome trebalo osigurati individualni obrazovni program, tada je to ne-
moguće! Zašto?"
· "Djeci s teškoćama u učenju i razvoju treba pružiti svaku pomoć! Ali, iz ovoga
kala (blata) u koje smo upali mogu nas izvući samo daroviti. Dajmo im šansu! Počnimo
s primjenom zakonske regulative glede darovitih!"
Iz ovih sređenih i grupiranih stavova i misli sudionika istraživanja vrlo se jasno
dade iščitati poruka kako poboljšati sadašnje stanje i rad s darovitim učenicima. Ne tre-
ba gotovo ništa mijenjati, već valja samo provoditi zakonsku regulativu kojom je uređe-
no pitanje darovitosti i darovitih.

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
184

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
185
12 DJELOVANJE I MEĐUSOBNI UTJECAJ ZAVISNIH

I NEZAVISNIH VARIJABLI

Interesira nas postoje li statistički značajne razlike između zavisnim i nezavisnim
varijablama, tj. njihovo djelovanje i međusobni utjecaj na same rezultate istraživanja.
Da bismo to saznali upotrijebili smo analizu varijance i dobivene rezultate prikazali u
tablici 25 i tablici 26.

Tablica 25. Djelovanje i međusobni utjecaj zavisnih i nezavisnih varijabli – učitelji
primarnog obrazovanja
Zavisne
varijable
X
s
Nezavisne varijable
Spol(a)
Struka(b)
Godine
radnog
staža(c)
F
Sig.
F
Sig.
F
Sig.
(1)
3.17
.977
5.2221
.023
1.671
.172 2.7171
.029
(2)
3.31
.927
.350
.554
7.3572
.000 4.7592
.001
(3)
2.79
1.840
.083
.773
.686
.561
1.731
.142
(4)
2.32
.600
8.9042
.003 11.6422
.000 3.8152
.005
(5)
4.36
.754
13.8072
.000
3.7061
.012 3.9072
.004
(6)
4.20
.803
.067
.795
6.5802
.000 4.1892
.002
(7)
4.70
.592
.532
.466
3.283
.021 2.8001
.025
(8)
3.38
1.278
2.351
.126
.942
.420
.493
.741
(9)
3.99
.955
17.9662
.000
.086
.967
1.171
.323
(10)
4.70
.655
.054
.817
6.2832
.000 5.9542
.000
(11)
4.46
.612
.480
.489
5.9122
.001
.990
.412
(12)
4.39
.632
.184
.668
.440
.724
1.912
.107
(13)
4.44
.681
35.9202
.000
2.877
.036
.758
.553
(14)
4.54
.640
4.9381
.027
6.3142
.000
2.353
.053
(15)
1.31
.944
10.4592
.001
3.0621
.028
2.125
.076
(16)
2.79
1.628
6.3501
.012
2.063
.104 7.0642
.000
(17)
2.94
1.117
.570
.451
2.8051
.039
2.083
.082
(18)
4.35
.183
52.8022
.000 10.3752
.000
2.065
.084
(19)
4.04
.832
20.2602
.000
7.9492
.000 3.6182
.006
(20)
3.38
1.201
.614
.434
.166
.919
1.154
.330
(21)
3.06
1.140
1.542
.215
2.381
.069
1.442
.219
(22)
4.43
.857
2.382
.123
1.282
.280
1.381
.239
(23)
1.93
.778
8.4052
.006
2.9341
.031
2.104
.078
2 značajnost na razini .01
1 značajnost na razini .05
(a)
df = 1/571
(b)
df = 3/569
(c)
df = 4/568
(1) Čestost susretanja učenika darovitih za matematiku
(2) Prepoznavanje učenika darovitih za matematiku
(3) Primjećivanje vida darovitosti
(4) Pripremljenost učitelja za rad s darovitim učenicima
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
186
(5) Nuđenje posebnih matematičkih edukacijskih programa
(6) Darovitim učenicima omogućuje se pristup dopunskim matematičkim
izvorima znanja
(7) Kod darovitih učenika nastoji se razvijati ljubav i trajan interes za

matematiku i rješavanje matematičkih problemskih zadataka
(8) S učenicima darovitim za matematiku radi se i nakon redovne nastave
(9) Učenici daroviti za matematiku angažiraju se za rad s učenicima koji

polučuju slabije rezultate
(10) Učenici koji u matematici mogu i žele više uključuju se u natjecanja iz

matematike
(11) Učitelji se prema svom radu odnose stvaralački, pronalaze nove oblike i

metode rada, koriste se zbirkama zadataka koje su namijenjene učenicima

koji u matematici mogu i žele više.
(12) U svom radu učitelji iznalaze mogućnosti da zadovolje radoznalost

darovitih učenika i njeno iskazivanje
(13) Učenike darovite za matematiku učitelji potiču na divergentno mišljenje
(14) Učenicima darovitim za matematiku učitelji omogućuju slobodu, ohrabruju

ih u samostalnom mišljenju i postupcima
(15) Oblici rada s darovitim učenicima
(16) Daroviti učenici gube vrijeme u redovnim razrednim odjelima
(17) Učenici koji akceleriraju imaju poteškoća u socijalnom prilagođavanju grupi

starijih učenika
(18) Daroviti učenici opterećenje su učiteljima
(19) Učitelji bi voljeli raditi s učenicima darovitim za matematiku
(20) Izdvajanjem darovitih u posebne razredne odjele, ostali učenici mogli bi se

osjećati podcijenjeno
(21) Daroviti učenici omiljeni su u razrednom odjelu i školi
(22) Darovitost i daroviti vrijedan su resurs za društvenu zajednicu
(23) Mogućnost sustavnog uređenja pitanja darovitosti i darovitih učenika

Iz tablice 25 u kojoj su prikazani rezultati djelovanja i međusobnog utjecaja zavis-
nih varijabli iz upitnika za učitelje primarnog obrazovanja i nezavisnih varijabli spol,
struka i godine radnog staža, vidljivo je zapravo da je, kada je u pitanju nezavisna vari-
jabla spol, analiza varijance pokazala da je dobiveni F-omjer u tri slučaja veći od gra-
nične vrijednosti (3.84) na razini značajnosti od 5% uz 1/571 stupnjeva slobode. Nada-
lje je vidljivo da je osam F-vrijednosti veće od granične vrijednosti (6.64) na razini zna-
čajnosti od 1% uz isti broj stupnjeva slobode. Ovi rezultati kazuju da je u tim segmen-
tima (česticama) djelovanje i međusobni utjecaj zavisnih varijabli darovitost i daroviti te
nezavisne varijable spol statistički značajno.
Za nezavisnu varijablu struka (stručna sprema) iz tablice 25, analiza varijance ka-
zuje da je F-vrijednost u četiri slučaja veća od granične vrijednosti (3.84) na razini zna-
čajnosti .05 uz 3/569 stupnjeva slobode i u osam je slučajeva veća od granične vrijed-
nosti (6.64) na razini značajnosti .01 uz isti broj stupnjeva slobode. Prema tome, za
ovih dvanaest čestica utvrđena je statistička značajnost u djelovanju i međusobnom
utjecaju nezavisne varijable struka i zavisnih varijabli darovitost i daroviti.
Analiza varijance je za nezavisnu varijablu godine radnog staža pokazala da je F-
vrijednost u dva slučaja veća od granične vrijednosti (3.84) na razini značajnosti .01 uz
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
187
4/568 stupnjeva slobode. Isto tako analiza varijance kazuje da je F-omjer u sedam slu-
čajeva veći od granične (6.64) na razini značajnosti od 1% uz isti broj stupnjeva slobo-
de. Ovi rezultati kazuju da je za ovih devet čestica utvrđena statistička značajnost dje-
lovanja i međusobnog utjecaja nezavisne varijable godine radnog staža i zavisnih vari-
jabli darovitost i daroviti.
U tablici 26 prikazani su rezultati djelovanja i međusobnog utjecaja zavisnih vari-
jabli iz upitnika za stručne suradnike i nezavisnih varijabli spol, struka i godine radnog
staža.

Tablica 26. Djelovanje i međusobni utjecaj zavisnih i nezavisnih varijabli – stručni
suradnici
Zavisne
varijable
X
s
Nezavisne varijable
Spol(a)
Struka(b)
Godine
radnog
staža(c)
F
Sig.
F
Sig.
F
Sig.
(1)
2.50
.692
20.4632
.000
1.547
.216
7.9352
.000
(2)
2.92
.327
1.381
.241
.054
.947
3.6331
.007
(3)
1.50
1.150
1.682
.196
.241
.786
2.9461
.022
(4)
3.37
1.314
3.379
.068
2.066
.130
2.483
.045
(5)
1.76
.692
.221
.639
2.657
.073
3.7771
.006
(6)
3.73
1.907
.411
.522
2.312
.102
3.6581
.007
(7)
2.51
.778
1.532
.219
.148
.867
3.2901
.014
2 značajnost na razini .01
1 značajnost na razini .05
(a) df = 1/184
(b) df = 2/182
(c)
df = 4/181
(1) Godišnjim programom rada škole planirane su aktivnosti za rad s

darovitim učenicima
(2) Sudjelovanje matematički darovitih učenika na natjecanjima
(3) Razred iz kojeg najveći broj učenika sudjeluje na natjecanjima iz

matematike
(4) Homogeno grupiranje učenika darovitih za matematiku
(5) Vođenje dosjea o darovitim učenicima
(6) Tko vodi dosjee o darovitim učenicima
(7) Mogućnost sustavnog uređenja pitanja darovitosti i darovitih

učenika

Za nezavisnu varijablu spol analiza varijance pokazala je da je samo jedna česti-
ca statistički značajna u djelovanju i međusobnom utjecaju nezavisne varijable spol i
zavisnih varijabli darovitost i daroviti. Naime, dobivena F-vrijednost znatno premašuje
graničnu vrijednost (6.76) na razini značajnosti od 1% uz 1/184 stupnja slobode, što
znači da je za ovu česticu utvrđena statistička značajnost djelovanja i međusobnog
utjecaja nezavisne varijable spol i zavisnih varijabli darovitost i daroviti.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
188
Analiza varijance je pokazala da djelovanje i međusobni utjecaj zavisnih varijabli
darovitost i daroviti i nezavisne varijable struka nije statistički značajna, tj. ni za jednu
česticu nije utvrđena statistička značajnost između zavisnih varijabli darovitosti i darovi-
ti i nezavisne varijable struka.
Za nezavisnu varijablu godine radnog staža iz tablice 26, analiza varijance je po-
kazala da je F-vrijednost u pet slučajeva veća od granične vrijednosti (2.41) na razini
značajnosti od 5% uz 4/181stupanjeva slobode i da je F-omjer u jednom slučaju veći
od granične vrijednosti (3.41) na razini značajnosti .01 uz isti broj stupnjeva slobode.
Dakle, za ovih šest čestica utvrđena je statistička značajnost u djelovanju i međusob-
nom utjecaju nezavisne varijable godine radnog staža i zavisnih varijabli darovitost i
daroviti.

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
189
IV. ZAKLJUČAK

Pojam darovitosti je veoma složen i vrlo kompleksan. Otuda i raznoliki pristupi
definiranju ovoga pojma. Danas je u uporabi oko 140 definicija darovitosti, međutim, u
najvećem broju njih darovitost se kao pojava ne određuje u cijelosti. Većina definicija
ograničava se na visoko razvijene sposobnosti, koje – iako od izuzetnog značaja u de-
finiranju pojma darovitosti – nisu jedine već se dopunjuju motivacijskim procesima, pro-
cesima socijalizacije, spojem naslijeđenoga i sociokulturnog, potencijalno manifestnog,
strategijom vođenja i odgojnim djelovanjem i dr.
Darovitost se najčešće definira kao svojevrstan sklop osobina koje omogućuju
pojedincu da na produktivan ili reproduktivan način polučuje stalno i izrazito natprosje-
čan uradak u jednom ili više područja ljudskog djelovanja, koji se – uradak – može pre-
poznati kao vrijedan i kreativan doprinos u tom/tim području/područjima.
Osamdesetih godina prošlog stoljeća provedena su mnoga istraživanja kojima je
podržan koncept višestrukih komponenti inteligencije. Vrijeme je to u kojem Renzulli
predstavlja svoju troprstenastu koncepciju darovitosti, a Sternberg izlaže svoju triarhič-
nu teoriju inteligencije sa kategorijama analitičke, kreativne i praktične inteligencije.
Gardner u svojoj teoriji višestruke inteligencije navodi jezičnu, glazbenu, logičko-mate-
matičku, spacijalnu (prostornu), kinestetičku, interpersonalnu i intrapersonalnu inteli-
genciju, i pritom na inteligenciju gleda kao na sposobnost rješavanja problemskih zada-
taka (situacija) ili stvaranja produkata vrijednih unutar jednog ili više područja ljudskog
djelovanja.
Darovitost je psihološki, pedagoški, ekonomski i sociološki problem. Psihološki
problem je u prepoznavanju i identifikaciji darovitih, pronalaženju stalnih osobitosti po
kojima se ta djeca razlikuju od ostale djece. Pedagoški problem ogleda se u radu s tom
djecom, dok se ekonomski i socijalni problem ogleda u ulaganjâ u darovite pojedince.
Darovitost je realnost u svim sredinama, ima svoju društvenu i svaku drugu vri-
jednost, dok se daroviti pojedinci u odgojno-obrazovnom procesu izdvajaju kao dio po-
pulacije. Za darovitost trebaju znati svi društveni činitelji koji se bave ili su u doticaju s
odgojem i obrazovanjem mladih, moraju razumjeti dimenzije i strukturu darovitosti, ka-
ko se darovitost ne bi svela samo na pojedina područja ljudskog djelovanja. Sve reče-
no je od posebne važnosti kako bi se pedagoški osmislile strategije i pravci usmjerava-
nja darovitih, kako bi se sustavno uredila darovitost u nastavi općenito, posebno u nas-
tavi matematike u primarnom obrazovanju.
Uz darovitost na području matematike vezuju se dva osnovna pitanja: (1) identifi-
kacija darovitih učenika i (2) nalaženje odgovarajućih oslonaca za matematički darovite
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
190
pojedince. Darovita djeca vrlo rano, već u predškolskoj dobi, prije ostale djece, počinju
čitati, postavljati pitanja o složenim činjenicama, pokazuju radoznalost za složene (pro-
blemske) situacije. Riječ je zapravo o djeci koja zasigurno mogu i žele više, koja u
odnosu prema svojim vršnjacima, mnogo toga čine prije, više, brže, uspješnije, bolje i
drugačije i koji u tome što čine imaju kontinuirano bolja i viša postignuća
Matematičku darovitost karakterizira visoka sposobnost matematičkog mišljenja,
rasuđivanja i zaključivanja, te razumijevanje matematičkih ideja. Učenik darovit za ma-
tematiku je onaj učenik koji posjeduje izuzetne, natprosječne sposobnosti i interes za
matematiku, kod kojeg je stalno prisutna želja za stjecanjem matematičkih znanja, koji
matematičke pojmove i koncepte usvajaju brže i bolje, čija su rješenja matematičkih
problema (zadataka) okarakterizirana kao veoma kreativna i originalna.
U procesu razvoja darovitosti i darovitih te kreativnosti mladih, najvažniji činitelji
su škola i učitelji. Pritom je uloga učitelja u prepoznavanju područja u kojemu se darovi-
tost iskazuje, u stjecanju znanja i ovladavanju područja darovitosti, kao i izgrađivanju
mnogih osobitosti koji će biti prisutni pri nastanku kreativnog djela, odnosno pri rješava-
nju problemskih situacija – nezamjenjiva. Osobine učitelja za rad s darovitim učenicima
određuju se sa stajališta otvaranja učiteljske profesije prema uvažavanju obrazovnih i
razvojnih potreba djeteta, interdisciplinarnosti profesije biti učitelj, društvenoj situaciji i
preuzimanju odgovornosti za vlastiti profesionalni razvoj.
U razvoju darovitosti i darovitih pojedinaca posebno mjesto pripada školi, koja
mora kreirati posebne edukacijske programe za darovite učenike. A da bi škola tome
mogla udovoljiti potrebno je stvarati pozitivno društveno ozračje, koje će školama pru-
žiti podršku i osigurati materijalne pretpostavke za realizaciju programa rada s daroviti-
ma, oplemenjivati nastavno-tehničku osnovu odgojno-obrazovnog procesa, osposoblja-
vati učitelje i njihovu motiviranost za rad s darovitim učenicima.
Naravno, u svemu tome neizbježna je uloga roditelja, koji bi trebali sudjelovati u
kreiranju i ostvarivanju edukacijskih programa za darovite učenike. Jer, roditelji i učitelji,
odnosno škola, koji opažaju darovitost kod svoje djece/učenika motivirani su da im osi-
guraju stjecanje posebnih znanja i socijalnu podršku.
U Republici Hrvatskoj darovitost je i rad s darovitim učenicima sustavno uređeno
Zakonom o odgoju i obrazovanju u osnovnoj i srednjoj školi, Pravilnikom o osnovno-
školskom odgoju i obrazovanju darovitih učenika te Nacionalnim okvirnim kurikulumom.
Upravo stoga smo se u ovom istraživanju bavili i pitanjem sustavnog uređenja darovi-
tosti i rada s darovitim učenicima (u nastavi matematike primarnog obrazovanja). Inte-
resiralo nas je, naime, je li sustavna identifikacija darovitih i rad s darovitom djecom
"prisutna" u osnovnim školama ili je još uvijek samo deklarativni cilj, bez ili s neznat-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
191
nom stvarnom podrškom društva i stručnih institucija. Temeljni cilj istraživanja bio je is-
pitati, utvrditi, analizirati i interpretirati stavove učitelja primarnog obrazovanja i stručnih
suradnika u osnovnim školama o darovitosti i darovitim učenicima, njihovoj edukaciji,
kao i njihova mišljenja o zastupljenosti darovitosti, vrstama darovitosti koje prevladava-
ju kod učenika, postupcima u radu s darovitima, potrebi škole za posebnim edukacij-
skim programima, o značaju darovitih učenika za društvenu zajednicu kao cjelinu, te
mogućeg poboljšanja sadašnjeg stanja u radu s darovitim učenicima.
Podaci su prikupljeni uporabom dvaju upitnika, konstruiranih upravo za potrebe
ovoga istraživanja. Kako su čestice obuhvaćene upitnicima prvi put primjenjivanje u is-
traživačkom kontekstu, provjerene su njihove metrijske karakteristike. Pouzdanost po-
jedinih supskala izražena Cronbachovim alfa koeficijentima pokazala je da skale česti-
ca u oba upitnika zadovoljavaju Nunnallyov i Bernsteinov kriterij unutarnje konzistencije
od .70: koeficijent unutarnje konzistencije za prvi upitnik iznosi a = .80, a za drugi a =
.81. Jedino čestica koja se odnosila na vođenje dosjea o darovitim učenicima ima zna-
čajna faktorska opterećenja (.4295).
Na osnovi provedenog istraživanja i dobivenih empirijskih podataka, mogu se iz-
vesti sljedeći zaključci:
1. Dobiveni rezultati kazuju da se gotovo jedna četvrtina (24.1%) ispitanika s
učenicima koji pokazuju pojačani interes za matematiku susreću vrlo rijetko (4.2%) ili
rijetko (19.9%), dok se 37.5% sudionika istraživanja izjašnjava da učenike koji mogu i
žele više u matematici susreću često (29.5%) ili vrlo često (8.0%). Dobiveni hi-kvadrat
(235.456, df = 4, p < .01) znatno je veći od granične vrijednosti (13.277), pa su razlike
u odgovorima sudionika istraživanja statistički značajne.
Gotovo polovica sudionika istraživanja (43.3%) je stava da pojačani interes za
matematiku iskazuju oni učenici koji brzo rješavaju matematičke zadatke, dok njih
41.4% smatra da je matematički darovit onaj učenik koji kritički razmišlja. Za 8.4% su-
dionika istraživanja matematički je darovit onaj učenik koji postiže iznadprosječne re-
zultate u učenju, 2.4% ispitanika darovitost za matematiku vezuje uz karakteristiku koji
je kreativan, dok 4.5% sudionika istraživanja darovitost za matematiku vezuje uz koji je
veoma aktivan. Kako hi-kvadrat (481.529, df = 5, p < .01) znatno premašuje graničnu
vrijednost (15.086), razlike u odgovorima sudionika istraživanja statistički su značajne.
Rezultati istraživanja dalje kazuju da su odgovori sudionika istraživanja uglavnom
usmjereni na dva vida darovitosti: opće intelektualne sposobnosti (47.6%) i stvaralač-
ko-kreativne sposobnosti (30.2%). Dobiveni hi-kvadrat (579.597, df = 5, p < .01) znatno
premašuje graničnu vrijednost (15.086) i kazuje da su razlike u odgovorima sudionika
istraživanja statistički značajne.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
192
S obzirom na dobivene hi-kvadrate (235.46, 481.529 i 579.597) istraživačka hipo-
teza H1 učitelji znaju prepoznati učenike koji pokazuju pojačani interes za matematiku
nije potvrđena, pa je stoga odbačena kao nerealna osnova za procjenjivanje pre-
poznavanja darovitih učenika.
2. Samo 7.0% sudionika istraživanja mišljenja je da nisu dovoljno pripremljeni za
rad s učenicima darovitim za matematiku, 53.6% ispitanika izjavljuje da su djelomično
pripremljeni, dok njih 39.4% smatra da su dovoljno pripremljeni za rad s učenicima koji
pokazuju pojačani interes za matematiku. Budući da hi-kvadrat (196.241, df = 2, p <
.01) znatno premašuje graničnu vrijednost, razlike u odgovorima ispitanika statistički su
značajne, istraživačka hipoteza H2 učitelji su dovoljno i kvalitetno pripremljeni za rad s
darovitim učenicima nije potvrđena i odbačena je kao nerealna postavka u ovome istra-
živanju.
3. Velika većina sudionika istraživanja (93.5%) navode da bi škole učenicima koji
u matematici mogu i žele više trebale ponuditi posebne edukacijske programe. Uz ovu
česticu dobiven je izrazito visok hi-kvadrat (681.180, df = 4, p < .01), što znači da su
razlike u odgovorima sudionika istraživanja statistički značajne.
Većina sudionika istraživanja (61.3%) navelo je da su škole u programu rada pla-
nirale aktivnosti za rad s darovitim učenicima, dok je 27.4% ispitanika izjavilo da su go-
dišnjim programom škole te aktivnosti samo djelomično planirane. Kako je hi-kvadrat
(72.677, df = 2, p < .01) veći od granične vrijednosti, razlike u odgovorima ispitanika ni-
su slučajne već su statistički značajne.
Kako su razlike u odgovorima sudionika istraživanja (učitelji primarnog obrazova-
nja: c2 = 681.180 i stručni suradnici: c2 = 72.677) statistički značajne, istraživačka hipo-
teza H3 škole nisu usvojile/donijele posebne edukacijske programe namijenjene darovi-
tim učenicima i samim time ti programi nisu planirani godišnjim planom i programom ra-
da škole nije potvrđena pa je odbačena kao nerealna postavka ovoga istraživanja
4. Rezultati istraživanja kazuju da su razlike između aritmetičkih sredina po česti-
cama (1) darovitim učenicima omogućuje se pristup dopunskim matematičkim izvorima
znanja, (2) kod darovitih učenika nastoji se razvijati ljubav i trajan interes za matemati-
ku i rješavanje matematičkih problemskih zadataka, (3) s učenicima darovitim za mate-
matiku radi se i nakon redovne nastave, (4) matematički daroviti učenici angažiraju se
za rad s učenicima koji polučuju slabije rezultate i (5) učenici koji u matematici mogu i
žele više uključuju se u natjecanja iz matematike statistički značajne. Naime, analizom
varijance izračunati F (281.58, df = 4/568, p < .01) znatno premašuje graničnu vrijed-
nost (13.46).
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
193
Utvrđeno je nadalje da postoje statistički značajne razlike u odgovorima sudioni-
ka istraživanja, onih dobivenih od učitelja primarnog obrazovanja i onih dobivenih od
stručnih suradnika, glede sudjelovanja darovitih učenika na natjecanjima iz matemati-
ke. To je potvrđeno testiranjem značajnosti razlika između aritmetičkih sredina: dobiven
t-omjer 4.88 (p < .01) veći je od granične vrijednosti u t distribuciji (2.60).
Statističke vrijednosti dobivene uz čestice kojima smo ispitivali stavove učitelja
glede njihova odnosa spram darovitih učenika i načina rada s darovitima, kazuju da is-
traživačka hipoteza H4 nije potvrđena, pa je odbačena kao nerealna postavka ovoga is-
traživanja. To znači da se odnosi učitelja spram darovitih učenika i načinu rada s daro-
vitim ne zasnivaju na suvremenim dostignućima odgojno-obrazovne teorije, već na tra-
dicionalnim, klasičnim postavkama.
5. Rezultati istraživanja kazuju da čak 88.4% sudionika istraživanja matematički
darovite učenike uključuje u dodatnu nastavu, slijedi zatim 5.4% ispitanika koji kažu da
s darovitima rade individualno. U izvanškolske matematičke aktivnosti učenike uključu-
je 4.5% učitelja, a njih 1.4% učenike koji u matematici mogu i žele više uključuje u iz-
borne programe. Najmanji broj ispitanika (.3%) matematički darovite učenike homoge-
no grupira. Iz ovih pokazatelja je zapravo vidljivo da učitelji ne koriste na podjednak na-
čin postupke u radu s darovitim učenicima. Dobiveni hi-kvadrat (1676.049, df = 4, p <
.01) je znatno veći od granične vrijednosti (13.277), pa razlike u odgovorima sudionika
istraživanja nisu slučajne već su statistički značajne.
Glede čestice prakticira li se i koliko homogeno grupiranje učenika darovitih za
matematiku gotovo jedna trećina (30.6%) sudionika istraživanja izjavilo je da do homo-
genog grupiranja učenika dolazi vrlo rijetko (11.2%) ili rijetko (19.4%). Do homogenog
grupiranja učenika koji pokazuju pojačani interes za matematiku, prema stručnim su-
radnicima, sudionicima istraživanja, dolazi često: 37.1% ili vrlo često: 21.0%. Dobiveni
hi-kvadrat (41.419, df = 4, p < .01) veći je od granične vrijednosti (13.277), stoga su
razlike u odgovorima sudionika istraživanja statistički značajne.
Polovica (50.6%) sudionika istraživanja se sa česticom daroviti učenici gube vrije-
me u redovnim razrednim odjelima uopće ne slaže (14.8%) ili se uglavnom ne slaže
(35.8%). Nešto manje od jedne trećine (31.5%) ispitanika se sa definiranom česticom
uglavnom slaže (25.7%) ili se potpuno slaže (5.8%). S obzirom da je hi-kvadrat
(287.597, df = 4, p < .01) znatno veći od granične vrijednosti (13.277), razlike u odgo-
vorima ispitanika su statistički značajne.
Uz česticu učenici koji akceleriraju imaju poteškoća u socijalnom prilagođavanju
grupi starijih učenika, čak 27.9% sudionika istraživanja nije se moglo odlučiti. Ostali od-
govori sudionika istraživanja distribuirani su ovako: 37.2% ispitanika se s tvrdnjom uop-
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
194
će ne slaže (10.5%) ili se uglavnom ne slaže (26.7%), dok se njih 34.9% s tvrdnjom
uglavnom slaže (27.7%) ili se potpuno slaže(7.2%).
Dobivene statističke vrijednosti kazuju da istraživačka hipoteza H5 u radu s daro-
vitim učenicima koriste se suvremeni postupci nije potvrđena kao realna osnova ovoga
istraživanja te je kao takva odbačena.
Rezultati istraživanja uz otvorenu česticu je li i kada posljednji put koji od učenika
vaše škole bio školski akceleriran kazuju da ubrzano napredovanje darovitih učenika u
obrazovnom sustavu Republike Hrvatske već poduže vrijeme nije prisutno!
6. Uz česticu rad s učenicima koji polučuju iznadprosječne rezultate u učenju
matematičkih sadržaja ne predstavlja mi opterećenje, dobiven hi-kvadrat (768.789, df =
4, p < .01) znatno premašuje graničnu vrijednost, što znači da su odgovori sudionika is-
traživanja statistički značajni. Velika većina ispitanika (80.1%) radilo bi (50.6%) ili bi si-
gurno radilo (29.5%) s učenicima koji u matematici mogu i žele više. S matematički da-
rovitim učenicima ne bi radilo 3.8%, dok uopće ne bi radilo njih 1.0%. Obradom podata-
ka uz ovu česticu dobiven hi-kvadrat (479.155, df = 4, p < .01) znatno je veći od gra-
nične vrijednosti, što znači da su razlike u odgovorima sudionika istraživanja statistički
značajne.
Kako su oba hi-kvadrata znatno veća od granične vrijednosti zaključeno je da is-
traživačka hipoteza H6 daroviti učenici učiteljima predstavljaju opterećenje u radu nema
realnu osnovu u ovome istraživanju, pa je kao takva odbačena.
7. Rezultati istraživanja dobivenih uz česticu izdvajanje darovitih u posebne raz-
redne odjele, ostali učenici mogli bi se osjećati podcijenjeno kazuju da se više od polo-
vice (55.7%) sudionika istraživanja s česticom uglavnom slaže (38.2%) ili se potpuno
slaže (17.5%), dok se nije se moglo izjasniti 16.6% ispitanika. Dobiveni hi-kvadrat
(145.072, df = 4, p < .01) znatno je veći od granične vrijednosti (13.277). Stoga je pos-
tavljena tvrdnja odbačena, što znači da izdvajanje darovitih u posebne razredne odjele
kod ostalih učenika ne bi izazvalo osjećaj podcijenjenosti.
Rezultati dobiveni uz česticu učenici daroviti za matematiku omiljeni su u razred-
nom odjelu i školi kazuju da se 30.5% sudionika istraživanja s definiranom česticom
uopće ne slaže (12.7%) ili se uglavnom ne slaže (17.8%). Za razliku od jedne četvrtine
(26.1%) ispitanika koji se o čestici nije moglo odlučiti, 43.3% njih se s tvrdnjom uglav-
nom slaže (37.5%) ili se potpuno slaže (5.9%). Kako je dobiveni hi-kvadrat (171.459, df
= 4, p < .01) znatno veći od granične vrijednosti, istraživačka hipoteza H7 daroviti uče-
nici nisu prihvaćeni od svojih vršnjaka nema realnih osnova u ovome istraživanju, pa je
kao takva odbačena.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
195
8. Rezultati istraživanja govore da se u osnovnoj školi dosjei o darovitim učenici-
ma ne vode (40.3%) ili se vode kako za kojeg učenika (43.5%), dok 16.2% ispitanika
navode da se dosjei vode za sve darovite učenike. Dobiveni hi-kvadrat (25.065, df = 2,
p < .01) je veći od granične vrijednosti (9.210), što znači da su razlike u odgovorima
sudionika istraživanja statistički značajne. Dosjee o darovitim učenicima uglavnom vo-
de stručni suradnici (njih 48.4%), dok to čine razrednici (1.6%) ili učitelji koji rade s da-
rovitim učenicima (9.7%). Na osnovi ovih statističkih pokazatelja istraživačka hipoteza
H8 u osnovnim školama se vode dosjei o darovitim učenicima nije potvrđena, ona ne
predstavlja realnu osnovu u našem istraživanju te je kao takva odbačena.
9. Velika većina sudionika istraživanja (91.8%) stava je da su daroviti pojedinci
vrijedan resurs za društvenu zajednicu. Neznatan broj ispitanika (4.7%) se s definira-
nom česticom uopće ne slaže (2.3%) ili se uglavnom ne slaže (2.4%), dok se 3.5% su-
dionika istraživanja o čestici nije moglo odlučiti.
10. Gotovo jedna trećina (30.0%) sudionika istraživanja je stava da sadašnje sta-
nje u radu s darovitim učenicima nije moguće poboljšati, 32.7% ispitanika ne zna je li to
moguće, dok nešto više od jedne trećine (37.3%) sudionika istraživanja navode da je
moguće poboljšati sadašnje stanje u radu s darovitim učenicima. Dobiveni hi-kvadrat
(6.126, df = 2, p < .01) je manji od granične vrijednosti (9.21), pa se istraživačka hipo-
teza H9 sadašnje stanje u radu s darovitim učenicima moguće je poboljšati prihvaća
kao realna postavka našega istraživanja.
U odnosu na stručne suradnike, gotovo dvaput više učitelja primarnog obrazova-
nja (34.0%) smatra da sadašnje stanje glede rada s darovitim učenicima nije moguće
poboljšati. Gotovo tri puta više (38.9%) učitelja primarnog obrazovanja u odnosu prema
stručnim suradnicima (13.4%) ne zna je li to poboljšanje moguće ostvariti. No, za razli-
ku od 27.1% učitelja primarnog obrazovanja čak 68.9% stručnih suradnika smatra da je
sadašnji rad s darovitim učenicima moguće poboljšati. Testiranjem značajnosti razlika
aritmetičkih sredina dobivena t-vrijednost (3.09, df = 2, p < .05) manja je od granične
vrijednosti (4.30), što znači da razlike u odgovorima učitelja primarnog obrazovanja i
stručnih suradnika statistički nisu značajne.

– o 0 o –

Namjera nam je bila ovim istraživanjem ispitati, utvrditi, analizirati i interpretirati
određena pitanja darovitosti i darovitih učenika, onih koji u matematici primarnog obra-
zovanja mogu i žele više. Razumljivo je da su neka od tih pitanja sadržajno dublje za-
hvaćena, druga površnije, a neka – koja su zasigurno prisutna i zahtijevaju detaljne
analize i, ako je moguće, empirijske provjere – nisu ni dotaknuta.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
196
Detaljnije bi analize vjerojatno riješile neka od tih pitanja, ali – sigurno – i otvorila
nova. Na taj se način potvrđuje sva složenost i kompleksnost fenomena darovitosti i
darovitih pojedinaca.
S obzirom na činjenicu da je zakonskim aktima i podaktima pitanje darovitosti i
rada s darovitim učenicima u Republici Hrvatskoj sustavno uređeno, na prosvjetnim je
vlastima da provođenje propisanog nadziru i financijski (materijalno) prate, a na djelat-
nicima u osnovnim školama je da isto provode. Jer, iako daroviti učenici zahtijevaju po-
sebnu pažnju i kontinuiran rad, oni su vrlo često zanemarena kategorija školskog sus-
tava. Stoga jednostavno – u interesu darovitih, njihovih roditelja i društvene zajednice –
valja primjenjivati zakonsku regulativu glede darovitosti i rada s darovitim učenicima. U
tom cilju predlaže se:
·
za darovitu djecu/učenike:
1.
sustavna identifikacija već u predškolskoj dobi, posebice u primarnom obra-
zovanju i njihovo praćenje;
2.
definirati darovitost djeteta kroz sljedećih pet odgojno-obrazovnih područja:
jezično, prirodoslovno-matematičko, društveno, umjetničko i sportsko;
3.
za svako identificirano darovito dijete voditi dosje i/ili dnevnik napredovanja;
4.
s prelaskom djeteta iz predškolske u osnovnoškolsku ustanovu upriličiti sus-
rete odgojitelja i učitelja/voditelja radi prijenosa informacija i iskustava, te davanja/ustu-
panja dosjea na daljnju uporabu;
5.
donošenje programa rada za rad s darovitim učenicima (za svako gore
definirano područje);
6.
osigurati suvremene pristupe radu (obogaćeni programi, homogeno grupira-
nje, uključivanje u izvannastavne i izvanškolske aktivnosti, uključivanje u natjecanja,
ubrzano napredovanje);
7.
upriličiti mjesečne susrete darovitih učenika iz pojedinih područja darovitosti
na razini grada i/ili županije s ciljem razmijene iskustva i novih spoznaja;
8.
nabava suvremene literature, te nastavnih sredstava i pomagala, u svrhu
osuvremenjivanja učenja i poučavanja;
9.
na kraju odgojno-obrazovnog ciklusa od učenika tražiti njihova razmišljanja,
zapažanja i sugestije za daljnji rad;
· za učitelje/voditelje:
1.
na razini škole odrediti voditelje za rad s darovitim učenicima u skladu s nji-
hovim interesima i afinitetima, za svako od gore navedenih područja;
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
197
2.
s prelaskom djeteta iz predškolske u osnovnoškolsku ustanovu upriličiti su-
srete odgojitelja-učitelja/voditelja radi prijenosa iskustava i informacija, te davanja/ustu-
panja dosjea na daljnju uporabu;
3.
za svako identificirano darovito dijete nastaviti voditi dosje i/ili dnevnik na-
predovanja;
4.
donošenje programa rada za rad s darovitim učenicima za svako od po-
dručja: jezično, prirodoslovno-matematičko, društveno, umjetničko i sportsko;
5.
omogućiti voditeljima koji rade s darovitim učenicima kvalitetno i permanent-
no usavršavanje i napredovanje u zvanju (učitelj-mentor, učitelj-savjetnik);
6.
voditeljima koji rade s darovitim učenicima umanjiti tjednu normu sati, za
barem 15%;
7.
voditeljima osigurati dodatna financijska primanja, od barem 10%;
8.
upriličiti mjesečne susrete učitelja/voditelja rada s darovitim učenicima iz sva-
kog pojedinog područja na razini grada i/ili županije s ciljem razmijene iskustva i novih
spoznaja;
9.
nabava suvremene literature, te nastavnih sredstava i pomagala, u svrhu
osuvremenjivanja učenja i poučavanja darovitih učenika;
10. na kraju odgojno-obrazovnog ciklusa učitelj/voditelj u pisanom obliku oba-
vještava ravnatelja, stručnog suradnika škole i roditelja darovitog djeteta o napredova-
nju djeteta i sugestijama za daljnji rad s učenikom.
Pored navedenih prijedloga koji se odnose na darovite učenike i učitelje koji rade
s darovitim pojedincima, predlaže se:
1.
da program rada za rad s darovitim učenicima donosi učiteljsko vijeće na pri-
jedlog učitelja/voditelja koje se zatim dostavlja nadležnom ministarstvu ili Agenciji za
odgoj i obrazovanje na potvrđivanje53;
2.
donošenje pravilnika o srednjoškolskom obrazovanju darovitih učenika.
Iz rečenog se zapravo može zaključiti da treba poduzeti niz konkretnih mjera gle-
de darovitosti i rada s darovitima učenicima. S obzirom na činjenicu da je to pitanje u
Republici Sloveniji kvalitetno riješeno, zasigurno bolje negoli u Hrvatskoj, smatramo ko-
risnim ukazati da bi, u najmanju ruku, valjalo preuzeti iskustva iz Slovenije, uz obvezno
prilagođavanje potrebama učenika i učitelja u Hrvatskoj. A te potrebe nisu male!

53 Zakonom je utvrđeno da program rad za rad s darovitim učenicima, te načinu uoča-
vanja, praćenja i poticanja darovitih, kao i uvjete i postupak ubrzanog napredovanja darovitih
propisuje ministar nadležnog ministarstva.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
198

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
199
VI. LITERATURA

Anastasi, A. (1965): Heredity, Environment and the Question "How"? Harcourt, Brace &

World, Inc., 65; 197-208.
Andrilović, V. i Čudina-Obradović, M. (1996): Psihologija učenja i nastave. Zagreb:

Školska knjiga.
Anić, V. i Goldstein, I. (2002): Rječnik stranih riječi. Zagreb: Novi Liber
Arendell, T. (1997): A Social Constructionist Approach to Parenting. Contemporary

Parenting, Terry Arendell (Ed.) Sage Publication.
Armstrong, T. (2006): Višestruke inteligencije u razredu. Zagreb: Educa.
Arlin, P. (1975): Cognitive development in adulthood: A gifth stage?. Developmental

Psychology, br. 11.
Arslanagić, Š. (2005): Matematika za nadarene. Sarajevo: Bosanska riječ.
Arslanagić, Š. (2001): Aspekti nastave matematike za nadarene učenike srednjo-

školskog uzrasta. Sarajevo: Udruženje matematičara Bosne i Hercegovine.
Asendorpf, J. B. (2002): Biologische Grundlagen der Entwicklung. Oerter, R. &

Montada, L. (Hrsg.): Entwicklungspsychologie, 5. volständig überarbeitete

Auflage. Weinheim: Beltz PVU; 54-71.
Avramović, Z. (2009): Društvene elite i daroviti učenici. Daroviti i društvena elita. Vršac:

Visoka škola strukovnih studija za obrazovanje vaspitača.
Baldwin, A. (1985): Programs for the gifted and talented: Issues concerning minority

populations. Horowitz, F. D. & O'Brien, M. (eds.): The gifted and talented:

Developmental pespective. Wachingtnon: American Psychological Association.
Bandura, A. (1997): Self-efficacy: The exercise of control. New York: Freeman.
Beck-Dvoržak, M. (1987): Psihička uvjetovanost kreativnosti. Kroflin, L. (ur.), Dijete i

kreativnost. Zagreb: Globus; 95-101.
Bedeković, V., Jurčić, M. i Kolak, A. (2008): Suradnja roditelja darovitih učenika i škole i

potpora lokalne zajednice. Vršac: Porodica kao faktor podsticanja daroviosti; 314-

332.
– – (1995): Bela knjiga ovzgoji in izobraževanju v Republiki Sloveniji. Ljubljana: Mi-
nistarstvo za šolstvo in šport.
Benbow, C. P. et Stenly, J. C. (1980): Intellectually talend students: Family profiles.

Gifted Child Quarterly, 24(3); 119-128.
Benito, Y. (2003): Copi i supradotaţi: Educaţie, dezvoltare emotională şi adaptare

socială. Iaşi: Polirom.
Bezič, T. (2012): Uresničevanje Koncepta odkrivanja nadarjenih učencev oz. dijakov in

vzgojno-izobraževalno delo z njimi. U: Matematika v šoli, XVIII, 3/4; 5-19.
Bezič, T., Boben, D., Juriševič, M., Nagy, M. Nolimal, F., Rostohar, G., Slivar, B. i

Zorko, S. (2009): Normalizacija OLNAD07 za učence 7. razredov OŠ. Ljubljana:

Zavod Republike Slovenije za šolstvo.
Bezič, T., Boben, D., Juriševič, M., Nagy, M. Nolimal, F., Rostohar, G., Slivar, B. i

Zorko, S. (2008): Ocenjevalne lestvice nadarjenosti učenca - Izpopolnjena oblika

2007. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
200
Bloom, B. S. (1985): Developing talent in young people. New York: Ballantine Books.
Bloom, B. S. (1982): The role of gifts and markers in the development of talent.

Exceptional Children 48/6.
Bloom, B. S. & Krathwohl, D. R. (1956): Taxonomy of educational objectives: The

klassivication of educational goals, by a committee of college and university

examiners. New York: Longmans.
Bodrič, R. (2009): Daroviti, nacionalni potencijal znanja – nacionalna briga. Daroviti i

društvena elita. 92-99.
Bogunović, B. (2006): Suradnja učenika i nastavnika u kontekstu individualne nastave

muzike. Darovitost, interakcija i individualizacija u nastavi. 307-319.
Božin, A. A. (2008): Praktični aspekti savremenih shvatanja darovitosti. Praktični

aspekti savremenih shvatanja darovitosti. 33-41.
Božin, A. A. (2007): Učenje i razvoj darovitosti: osobenosti i implikacije jednog kla-

sičnog istraživanja razvoja talenta. Inovacije u nastavi. 20/1. 20-34.
Božin, A. (2006): Opšte obrazovne intervencije u razvoju darovitih. Darovitost,

interakcija i individualizacija u nastavi. 124-135.
Božin, A. A. (2005): Uloga porodice u razvoju darovitih. Daroviti i odrasli. 427- 435.
Brown, S. W., Archambault, F. X. (Jr), Zhang, W. & Westberg, K. L. (1995): A follow-up

study of the inteaction effects on the classroom practices survey. Univrsity of

Connecticut: The National research Center on the Gifted and Talented

Newsletter. 6-9.
Burke Walsh, K. (2003): Stvaranje sredine za učenje usmerene na dete. Beograd:

Centar za interaktivnu pedagogiju.
Butler, C. H. i Wren, L. (1987): Nastava matematike u srednjoj školi. Beograd: Vuk

Karadžić.
Ceci, S. J. (1990): On intelligence more or less: A bio-ecological treatise on intellectual

development. New York: Prentice Hall.
Coleman, L. J. (1994): Being a teacher: Emotions and optimal experience white tea-

ching gifted children. Gifted Child Quarterly. 12(38)3. 146-152.
Csikszentmihaly, M., Rathunde, K. & Whalen, S. (1993): Talented teenagers'. The

roots of success and failure. New York: Cambridge University Press.
Cvetković-Laj, J. i Pečjak, V. (2004): Možeš i drukčije. Zagreb: Alinea.
Cvetković-Lay, J. (2002a): Darovito je, što ću sa sobom? – Priručnik za obitelj, vrtić i

školu. Zagreb: Alinea.
Cvetković-Lay, J. (2002b): Ja hoću i mogu više: Priručnik za odgoj darovite djece od 3

do 8 godina. Zagreb: Alinea.
Cvetković-Lay, J. (1999), Odgoj i obrazovanje darovite, talentirane i kreativne djece.

Zagreb: Učiteljska akademija.
Cviić, Z. (1980): Motivacija učenika u samoupravnoj školi. Rijeka: Otokar Krešovani.
Comer, J. (1988): Maggie's American dream: The life and times of a black family. New

York: New American Library.
Cotič, M. (2009): Priprava načrta za rešitev matematičnega problema. Cotič, M.,

Medved Udovič, V. i Cencič, M. (ur.): Pouk v družbi znanja; Pedagoška fakulteta

Koper. 271-275.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
201
Cotič, M. (2008): Matematički nadareni učenici i nastava matematike na početku ško-

lovanja. Porodica kao faktor podsticanja darovitosti. 71-82.
Čebić, S. i Dejić, M. (2005): Odlike nastavnika koji radi sa matematički nadarenom

decom. Daroviti i odrasli. 411-416.
Čehić, E. (1998): Psihološko-pedagoške pretpostavke odgoja i obrazovanja djece sa

posebnim potrebama. Porodica i dijete. XLV/3.
Čudina-Obradović, M. (1991): Nadarenost: razumijevanje, prepoznavanje, razvijanje.

Zagreb: Školska knjiga.
Ćaro, A. (2009): Stavovi nastavnika općine Tešanj o darovitim učenicima. Zenica:

Pedagoški fakultet Univerziteta u Zenici. 61-83.
Damjanović, R. (2010): Blumova taksonomija u nastavi matematike: vademecum.

Kragujevac: Atos.
Davidson, J. E., Deuser, R. i Sternberg, R. J. (1994): The role of metacognition in

problem solving. Metcalfe, J. i Shimamura, A. P. (Eds), Metacognition.

Cambridge (MA): Bradford Book.
Dejić, M., Čebić, S. i Mihajlović, A. (2009): Matematička darovitost i kreativnost.

Pančevo: Regionalni centar za talenta.
Drašković, B. (1998): Suvremeni metodi rada sa učenicima darovitim u matematici.

Vršac: Visoka škola za obrazovanje vaspitača.
–  – (2008): Državni pedagoški standard osnovnoškolskog sustava odgoja i obrazova-

nja. Narodne novine, 63/08.
Đorđević, B. (2005a): Darovitost i kreativnost dece i mladih. Vršac: Viša škola za

obrazovanje vaspitača.
Đorđević, B. (2005b): Daroviti učenici i (ne)uspjeh. Daroviti i odrasli. 97-111.
Đorđević, B. (2004): Strategije podsticanja darovitosti. Strategije podsticanja

darovitosti. 177-190.
Đorđević, B. (1995): Daroviti i odrasli (roditelji, nastavnici i drugi odrasli). Beograd:

Zajednica učiteljskih fakulteta.
Đorđević, B. (1979): Individualizacija vaspitanja darovitih: Sposobnosti i darovitost.

Beograd: Institut za pedagoška istraživanja.
Đorđević, J. (2008): Porodica kao faktor podsticanja darovitosti, Vršac: Visoka škola

strukovnih studija za obrazovanje vaspitača.
Đorđević, J. (2005): Metodološki postupci u proučavanju uloge nastavnika kao vas-

pitača i njegovih svojstava. Daroviti i odrasli. 269-278.
Đukić, M. (2006): Individualizacija nastave i školska akceleracija darovitih. Darovitost,

interakcija i individualizacija u nastavi. 198-210.
Duraković, M. (1985): Razvijanje stvaralačkih sposobnosti u problemsko-kreativnoj

nastavi. Pula: Istarska naklada.
– – (1963): Enciklopedijski rječnik pedagogije. Zagreb: Matica hrvatske.
Ericsson, K. A., Krampe, R.Th. i Tesch-Römer., C. (1993): The Role of Deliberate

Practice in the Acquisition of Expert Performance. Psychological Review 100.

363-406.
Feldman, D. H. i Goldsmith, L. T. (1991): Nature's gambit: Child prodigies and the

development of human potetial. New York: Teachers College Press.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
202
Feldman, D. H. (1987): Nature's gambit: Child prodi gies and the development of

human potential. New York: Basic Books.
Feldman, D. H. i Benjamin, A. C. (1986): Giftedness as a Developmentlist Sees It.

Sternberg, R. J. i Davidson, J. E. (eds). Conceptions of Giftedness. Cambridge:

Cambridg University Press. 285-305.
Ferbežer, I. (2006): Kurikulum v izobraževanju mlajših nadarjenih otrok v regiji Emilja v

Italiji. Darovitost, interakcija i individualizacija u nastavi. 331-348.
Ferbežer, I. (2002): Darovitost: Izabrani radovi prezentovani u svetu. Vršac: Viša škola

a obrazovanje vaspitača.
Filipović, M. (1990): Rječnik stranih riječi. Zagreb: Augusta Šenoe.
Flavell, J. H. (1979): Metacognition and cognitive monitoring: A new area of cognitive

developmental inquiry. Amercan Psychologist 34. 906-911.
Fox, L. H. F. i Washington, J. (1985): Programs for the gifted and telented: Past,

present and future. Washington: American Psyhological Association.
Fuchs, R., Vican, D. i Milanović Litre, I. (ur.) (2011): Nacionalni okvirni kurikulum za

predškolski odgoj i obrazovanje te opće obvezno i srednjoškolsko obrazovanje.

Zagreb: Ministarstvo znanosti, obrazovanja i sporta Republike Hrvatske.
Furlan, I. (1988): Integrativni pristup u identifikaciji i edukaciji darovitih. Pedagoški rad

3/1988. 339-343.
Furlan, I. i Kobola, A. (1971): Ubrzano napredovanje nadarenih učenika osnovne škole.

Zagreb: Školska knjiga.
Furlan, I. (1969): Osnove procesa učenja. Zagreb: Školska knjiga.
Gagné, F. (2004): Transforming gifts into talents: the DMGT as developmental theory.

High Ability Studies 15/2. 119-147.
Gagné, F. (1995): From giftedness to talent: a developmental model and its impact on

the language of the field. Roeper Review.
Gallagher, J. (1976): Teaching the Gifted Child. Boston: Allyn and Bacon.
Galton, F. (1869): Hereditary genius: Au inquiry into its laws and consewuences.

London: McMillan.
Gardner, H., Kornhaber, M. et. Wane, W. (1999): Inteligencija različitih gledišta.

Zagreb: Naklada Slap.
Gardner, H. (1993): Multiple Intelligence: The Theory and Practice. New York: Basic

Books.
Gardner, H. (1985): Frames of Mind the Teory of Multiple Intelligence Basic Book. New

York: Onc. Publishers.
Gardner, H. (1983): Frames of mind. New York: Basic Books.
George, D. (2005): Obrazovanje darovitih: kako identificirati i obrazovati darovite i

talentirane učenike. Zagreb: Educa.
Gojkov, G. (2009): Didaktika i metakognicija. Vršac: Visoka škola strukovnih studija za

obrazovanje vaspitača.
Gojkov, G. (2008): Metodološki problemi istraživanja darovitosti. Vršac: Visoka škola

strukovnih studija za obrazovanje vaspitača.
Gojkov, G. (2002): Rana identifikacija darovitosti. Vršac: Viša škola za obrazovanje

vaspitača.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
203
Gordon, J. (1996): Tracks for learning. Metacognition and learning technologies.

Australian Journal of Educational technology 12 /1. 46-55.
Gowan, J. C. (1980): The use of developmental stage theory in helping gifted children

besome creative. Gifted child quarterly 24/1.
Grandić, R. i Letić, M. (2009): Stanje, problemi i potrebe u području brige o darovitim

učenicima u našem obrazovnom sistemu. Daroviti i društvena elita. 232-243.
Greenes, B. (1996): Nove paradigme za stvaranje kvalitetnih škola. Zagreb: Alinea.
Gudjons, H. (1994a): Pedagogija, temeljna znanja. Zagreb: Educa.
Gudjons, H. (ur.) (1994b): Didaktičke teorije. Zagreb: Educa.
Guilford, J. P. (1984): The structure-of – intellecte – model. Corsini, J., (ed.),

Encyklopedia of Psychology. New York: John Wiley & Sons.
Guilford, J. (1967): The nature of human intelligenca. New York: McGraw-Hill.
Guilford, J. P. (1956): Nature of human intelligence. New York: MacGraw Hill.
Hadžimehmedović, S. (2009): Određenje i identifikacija nadarenih učenika na području

Tuzlanskog kantona, (neobjavljeni magistarski rad). Tuzla: Filozofski fakultet Uni-

verziteta u Tuzli.
Hallman, R. J. (1974): Human Relations and Kreativity. The Journal of Kreative

Behavior. 8/3. 157-165.
Heller, K. A., Monks, F. J., Sternberg, R. J. i Subotnik, R. F. (2000): International

handbook of gifteness and talent. Oxford: Elsevier Science Ltd.
Horowitz, F. D. i O'Brien, M. (1989): Nadarena i talentirana djeca: Razina znanja i

smjernice istraživanja. Kovačević, M. i Šoljan, N. N. (red.): Psihologijska znanost i

edukacija. Zagreb: Školske novine. 159-172.
Humphreys, L. G. (1985): A conceptualization of intellectual giftedness. Horowitz, F. D.

et Brien, M. (Eds.): The gifed and talented: Developmental perspective. Washing-

ton, American Psychological Association.
Huzjak, M. (2006): Darovitost, talent i kreativnost u odgojnom procesu. Odgojne

znanosti 8/1. 289-300.
Ivić, I. (1988): Identifikacija i obuhvat darovitih. Beograd: Republički zavod za una-

pređivanje vaspitanja i obrazovanja.
Jovanović, B. (2004): Školovanje i usavršavanje nastavnika za rad sa darovitim

učenicima. Strategije podsticanja darovitosti. 342-348.
Jukić, S. (2006): Uspešno obrazovanje budućih nastavnika značajna pretpostavka va-

ljane individualizacije nastavnog rada. Darovitost, interakcija i individualizacija u

nastavi. 188-197.
Juriševič, M. (2011): Nadarjeni učenci v osnovni in srednji šoli. Bela knjiga o vzgoji in

izobraževanju v Republiki Sloveniji

http://www.bela-knjiga2011.si (1. 11. 2012).
Kadum-Bošnjak, S. (2013): Dokimologija u primarnom obrazovanju (prihvaćeno za

objavljivanje kao sveučilišni udžbenik). Pula: Odjel za odgojne i obrazovne

znanosti Sveučilišta Jurja Dobrile.
Kadum-Bošnjak, S. (2010): Ocjenjivanje učenika u nižim razredima osnovne škole

(neobjavljeni magistarski rad). Rijeka: Filozofski fakultet Sveučilišta u Rijeci.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
204
Kadum-Bošnjak, S. i Volf, A. (2005): Motivacija u nastavi matematike u mlađim

razredima osnovne škole. Motivacija u nastavi matematike. Pula: Igsa i HMD,

Podružnica Istra. 8-15.
Kadum, V. (2009): Motivacija u nastavi matematike. Pouk v družbi znanja. Koper:

Pedagoška fakulteta. 254-261.
Kadum, V. (2005): Učenje rješavanjem problemskih zadataka u nastavi (matematike).

Pula: IGSA.
Kalin, J. (2006): Unutarnja učna diferencijacija i individualizacija kod omogućavanja

optimalnog razvoja pojedinca. Darovitost, interakcija i individualizacija u nastavi.

211-219.
Kalin, J. i Valenčič-Zuljan, M. (2004): Slovenački školski preustroj i nadareni učenici.

Strategije podsticanja darovitosti. 112-124.
– – (2011): Katalog stručnih skupova za školsku 2011./12. godinu. Zagreb: Agencija za

odgoj i obrazovanje Republike Hrvatske.
Kirst, W. i Diekmeyer, U. (1973): Come stimolare la capacita creativa. Milano: Aldo

Garzanti Editore.
Klein, M. (1975): The psychoanalysis of children. London: The Hogarth Press.
Knežević-Florić, O. (2005): Uloga odraslih u modelovanju i realizaciji kvalitetnog

programa za darovite. Daroviti i odrasli. 42-48.
– – (2007): Koncept vzgojno izobraževalnega dela z nadarjenimi dijaki v srednjem

izobraževanju. Ljubljana: Strukovni svet RS za splošno izobraževanje.

http://www. zrss.si/default.asp?rub=3159 (1. 11. 2012).
Koren, I. (1992): Kako ih prepoznati: nadareni-otkrivanje, praćenje, podrška. Školske

novine 42. 10.
Koren, I. (1989): Kako prepoznati i identificirati nadarenog učenika. Zagreb: Školska

knjiga.
Koren, I. (1987): Pogled na pojavu nadarenosti i ulogu nadarenih pojedinaca u su-

vremenom svijetu. Zagreb: Prosvjetni savjet Hrvatske.
Kovač-Cerović, T. (1998): Kako znati bolje – Razvoj metakognicije u svakodnevnom

odnosu majke i deteta. Beograd: Institut za psihologiju.
Kovač-Cerović, T. i Levkov, LJ. (ur.) (2004): Kvalitetno obrazovanje za sve: Izazovi

reforma obrazovanja u Srbiji. Beograd: Ministarstvo prosvete i sporta.
Kovač-Cerović, T. i Levkov, LJ. (ur.) (2002): Kvalitetno obrazovanje za sve – Put ka

razvijenom društvu. Beograd: Ministarstvo prosvete i sporta.
Krnjaić, Z. (1996): Stimulativni programi i procesna dijagnostika. Vršac: Viša škola za

obrazovanje vaspitača.
Krutsky, V. A. (1976): The psychology of mathematical abilities in schoolchildren.

Chicago: II. University of Chicago Press.
Kurnik, Z. (2007): 13 metodičkih radionica. Zagreb: Hrvatsko matematičko društvo.
Kvaščev, R. (1975): Podsticanje i sputavanje stvaralačkog ponašanja ličnosti.

Sarajevo: IP „Svjetlost“ – OOUR Zavod za udžbenike.
Kvaščev, R. (1974): Razvijanje kreativnog ponašanja ličnosti. Sarajevo: Svjetlost.
Lakoff, G. i Johnson, M. (1999): Philosophy In the Flesh: The Embodied Mind and Its

Challenge to Vestern Thought. New York: Basic Books.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
205
Lavrnja, I. (1998): Poglavlja iz didaktike. Rijeka: Pedagoški fakultet.
Lazarević, D. (2005): Nastavničke kompetencije kao činilac u obrazovanju darovitih

učenika. Darovit i odrasli. 330-336.
Lekić, Đ. (1980): Metodologija pedagoškog istraživanja i stvaralaštva. Beograd: Zavod

za udžbenike i nastavna sredstva.
Lerner, R. (1998): Theories of Human Development: Contemporary Perspectives.

Damon, W. (Editor in Chief) & Lerner, R. (Vol. Ed.): Handbook of Child

Psychology  Theoretical Models of Human Development. New York: John Wiley

& Sons, Inc. 1-24.
Lighthill, J., Sutherland, N. S., Needham, R. M., Longuet-Higgins, H. C. (1973): Artificial

Intelligence: A Paper Symposium. London: Science Research Council.
Ljubetić, M. (2007): Biti kompetentan roditelj. Zagreb: Mali profesor d.o.o.
Mahmutov, M. I. (1970): Nektorye osobenosti problemnogo obučenija. Sovjetskaja

pedagogika 9.
Maksić, S. (1998): Darovito dete u školi. Beograd: Institut za pedagoška istraživanja.
Maksić, S. (1996): Ganjeovo shvatanje o darovitosti, talenta i kreativnosti. Vršac: Viša

škola za obrazovanje vaspitača.
Maksić, S. (1995): Kreativnost kao cilj vaspitno-obrazovnog rada. Kranjajić, S. (ur.):

Saznavanje i nastava. Beograd: Institut za pedagoška istraživanja. 151-169.
Maksić, S. i Đurišić-Bojanović, M. (2005): Licenca za rad nastavnika sa darovitim

učenicima. Darovitost i odrasli. 313-322.
Maksić, S. i Đurišić-Bojanović, M. (2003): Obrazovna podrška za darovite učenike u

kontekstu demokratizacije obrazovanja. Mesto darovitih u kurikularnoj reformi.

86-96.
Markovac, J. (1966): Nastava i individualne razlike. Zagreb: Školska knjiga.
Marković, D. Ž. (2005): Elitologija i daroviti. Daroviti i odrasli. 86-91.
Maslow, H. A. (1982): Motivacija i ličnost. Beograd: Nolit.
Mastrorilli, A., Petitta, L., Borgogni, L. e Steca, P. (2005): L'abc del programma SPSS -

Come avviarsi alla pratica del pacchetto statistico. Milano: FrancoAngeli.
McKinnon, D. W. (1983): Creative architects. New York: Pergamon Press.
Mevarech, Z. R. & Kramarski, B. (2006): The effects of IMPROVE on mathematical

knowledge, mathematical reasoning and meta-cognition. Metacognition Learning.

85-
97.
Mevarech, Z. R. & Kramarski, B. (1997): IMPROVE: A multidimentional method for

teaching mathematics in heterogeneous classrooms. Amerikan Educational

Research Journal 34. 365-394.
Miel, A. (1968): Kreativnost u nastavi. Sarajevo: Svjetlost.
Miličević, B. (1989): Učenje pomoću rješavanja problema (Problemska nastava). Naša

škola. 1-2.
Miller, P. H. (1983): Theories of Developmental Psychology. San Francisco: W. H.

Freeman and Company.
Miščević, G. (2006): Daroviti i kooperativna nastava. Darovitost, interakcija i

individualizacija u nastavi. 283-290.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
206
Moreno, J. L. (1965): Psychotherapie de grupue et psychodrome. Paris: PUF.
Mrkonjić, I., Topolovec, V. i Marinović, M. (2011): Metakognicija i samoregulacija u

učenju i nastavi matematike.

http://www.bib.irb.hr (13. 7. 2012).
Muminović, H. (2003a): Dimenzije nadarenosti i identifikacija. Sarajevo: IP Svjetlost.
Muminović, H. (2003b): Određenje i identifikacija nadarenosti. Inkluzija u školstvu

Bosne i Hercegovine. 138-153.
Muratović, H. (2003): Daroviti učenici i njihov razvoj u školi. Inkluzija u školstvu Bosne i

Hercegovine. 169-180.
Mužić, V. (2004): Uvod u metodologija istraživačkog rada. Zagreb: Educa.
Mužić, V. (1999): Uvod u metodologiju istraživanja odgoja i obrazovanja. Zagreb:
Educa.
Mužić, V. (1979): Metodologija pedagoškog istraživanja. Sarajevo: Svjetlost.
Oerter, R. (2002): Hochleistungen in Musik und Sport. Oerter, R. & Montada, L. (Hrsg.),

Entwicklungspsychologie, 5. volständig überarbeitete Auflage. 787-799.
Olszewski-Kubilius, P. (2003): Gifted Education Programs and Procedures. I. B.

Weiner, W.M. Reynolds and G. E. Miller (ed): Handbook of Psychology. 7. 487-
510.
Petz, B. (1997): Osnovne statističke metode za nematematičare. Jastrebarsko:

Naklada Slap.
Petz, B. (ur.) (1992): Psihologijski rječnik. Zagreb: Prosvjeta.
Petz, B. (1983): Kratak prikaz dosadašnjeg rada akademika Zorana Bujasa. Primi-

jenjena psihologija. 1-4.
Piaget, J. (1950): The psychology of intelligence. London: Routleage & Kegen Paul.
Pintrich, P. (2000): The role of goal orentation in self-regulated learning. M. Boekaerts,

P. Pintrich & M. Zeidner (Eds.): Handbook of self-regulation. 452-501.
Platon (1995): Država. Ljubljana: Založba Mihelač.
Polovina, N. (2005): Sistemsko-konstruktivistička perspektiva psihosocijalnog razvoja

darovite dece. Daroviti i odrasli. 53-62.
Polya, G. (1984): Kako rešujemo matematične probleme. Ljubljana: DMFA.
Polya, G. (1966): Kako ću riješiti matematički zadatak. Zagreb: Školska knjiga.
Poljak, V. (1985): Didaktika. Zagreb: Školska knjiga.
– – (1991): Pravilnik o osnovnoškolskom odgoju i obrazovanju darovitih učenika.

Narodne novine 23/91.
Pressey, S. L. (1949): Educational acceleration: Appraisals and basic problems. Co-

lumbus: Ohio State Univerity Press.
Putkiewicz, Z. (1964): Aktywizacija procesa myslenia nezniow zakresie arytmetxki.

Warszawa: Panstwowe zaklady.
Rabinowitz, M. et Glaser, R. (1985): Cognitive Structure and Process in Highly

Competent Performance. F. D. Horowitz and M. O'Brien (Eds.): The gifted and

talend: Developmental perspectives. 75-98.
Ramulj, K. A. (1963): Psihologija mišljenja i problem vaspitanja mišljenja. Pedagoška

stvarnost. 1.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
207
Renzulli, J. S. (2002): Emerging conceptions og giftedness: Building a bridge to the

new century. Exceptionality. 2. 67-75.
Renzulli, J. S. i Reis, S. M. (1985): The scool wide eurichmient model. Creative Le-

arning Press, Inc., Mansfield Center.
Renzulli, J. S. (1984): The Triad/Revolving Door System: A Research-Based Approach

Identification and Programming for the Gifted and Talented. Gifted Child

Quarterly. 28.  163-169.
Režek, S. (2010): Psihološka istraživanja darovitosti. Školske novine. 37. 19.
Rosić, V. – Zloković, J. (2003): Modeli suradnje obitelji i škole. Đakovo: "Tempo" d.o.o.
Rosić, V. – Zloković, J. (2002): Prilozi obiteljskoj pedagogiji. Rijeka: Graftrade Rijeka i

Filozofski fakultet Sveučilišta u Rijeci.
Rubinštejn, S. L. (1981): O mišljenju i putevima njegovog istraživanja. Beograd: Zavod

za udžbenike i nastavna sredstva.
Safier, H. T. i Bruch, C. B. (1981): Use of DDG model for differentialguidancefor the

gifted. Gifted Child Quarterly. 24/4.
Scheerer, E. (1991): Ususret povijesti kognitivne znanosti. Šoljan, N. N. i Kovačević, M.

(ur.): Kognitivna znanost. Zagreb: Školske novine.
Schoenfeld, A. H. (1985): Mathematical problem solving. San Diego, CA: Academic

Press.
Schunk, D. (1996): Goal and self-evalutive in fluences during children's cognitive skill

learning. American Educational Research Journal. 33(2). 359-382.
Silverman, L. K. (1994): The moral sensitivity of gifted childrn and the evulution of

society. Roeper Review. 17(2). 110-116.
Simonton, D. K. (1999): Talent and its development: an emergenic and epigentic

model. Psychological Review. 106. 435-457.
Slatina, M. (2003): Briga o darovitoj djeci – strategijska borba za ekonomski pros-

peritet. Sarajevo: Mualim.
Somolanji, I. i Bognar. L. (2008): Kreativnost u osnovnoškolskim uvjetima. Život i škola.

19. 87-94.
Southern, W. T., Jones, E. D. & Stanley, J. C. (1993): Acceleration and enrichment:

The context and development of program options. K. A. Heller, F. J. Monks & A.

H. Passow (eds.), Interational handbook of research and development of gifte

dness and talent. 387-409.
Strpanek, J. (1999): The Inclusive Classroom: Meeting the Needs of Gifted Students:

Differentiating Mathematics and Science Instruction. Mathematics and Science

Education Center. Northwest Regional Educational Laboratory.
Sternberg, J. R. (1999): Uspješna inteligencija. Zagreb: Barka.
Sternberg, J. R. (1998): Successful intellignence: An expanded approach to under-

standing intelligence. Is a biological science of values possible. 1-21.
Sternberg, R. (1996): Investing in creativity: many happy returns. Educational

Leadership. 80-84.
Sternberg, R. J. i Zhang, L. F. (1995): What do we mean by giftedness? A pentagond

implicit theory. Gifted Child Quarterly. 39(2). 88-94.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
208
Sternberg, R. J. (1990): Metaphors of mindi Conceptions of the nature of intelligence.

Cambridge: Cambridge Univrsity Press.
Sternberg, J. R. (1985): Beyond IQ : A triachic theory of human intelligence. New York:

Cambridge University Press.
Sternberg, J. R. i Davidson, J. E. (1986): Conceptions of giltedness: A map of the

terrain. R. J. Sternberg & J.E. Davidson (Eds.): Conceptions of giltedness. New

York: Cambridge University Press.
Sternberg, J. R. i Davidson, J. E. (1985): Cognitive development in the gifted and

talented. Horowitz, F. D. i O'Brien, M. (eds.): The gifted and talented:

Developmental perspective. Washington: American Psychological Association.
Sternberg, J. R. (1982a): Lies we live by: Missapplication of tests in identifying the

gifted. Gifted Child Quarterly. 26/4.
Sternberg, J. R. (1982b): Nonentrenchment in the assessmeni of intellectual

giftedness. Gifted Child Quarterly. 26/2.
Sternberg, J. R. (1981): A componential theory of intellectual giftedness. Gifted Child

Quarterly. 25/2.
Stevanović, M. (2003a): Interaktivna stvaralačka edukacija. Zagreb: Andromeda.
Stevanović, M. (2003b): Kreatologija. Rijeka: Digital Point.
Stevanović, M. (2000): Modeli kreativne nastave. Tuzla: R&S.
Stojaković, P. (2006): Korišćenje taksonomije (kognitivno područje) u individualizaciji

nastave i razvoju sposobnosti učenja. Darovitost, interakcija i individualizacija u

nastavi. 17-41.
Stojaković, P. (2002): Pedagoška psihologija. Banja Luka: Filozofski fakultet.
Stojaković, P. (1998): Teorija multiple inteligencije i razvijanje darovitosti i kreativnosti.

Inovacije u nastavi. 2.
Suzić, N. (2005): Pedagogija za 21. stoljeće. Banja Luka: TT – Centar.
Szabos, J. (1989): Bright child, gifted learner. Challenge 34.
Šimeg, M. (2011): Darovita mladost u rasadniku kreativnosti. Školske novine. 20.
Švajcer, V. (1987): Organizacija nastave. Rijeka: Pedagoški fakultet Sveučilišta u

Rijeci.
Tannenbaum, A. J. (1983): Gifted children: Psychological and educational pers-

pectives. New York: McMillan.
Taylor, C. (1972): Climate for creativity. New York: McGraw Hill.
Terman, L. (1964): Discovery and Encouragement of Exceptional Talent, Educating the

Gifted. Stanford: Stanford University Press.
Terman, L. (1926): Genius studies of genius: Mental and physical tratis of a thousand

gifted children. Stanford: Stanford University Press.
Thurstone, L. (1947): Multiple factor analysis: A development and expansion of the

vectors of mind. Chicago: University of Chicago Press.
Torrance, E. P. (1981): Kreativnost. Beograd: Institut za pedagoška istraživanja.
Torrance, E. P. (1977): Your style of learning and thinking. Gifted Child Quarterly. 4.
Van Tassel-Baska, J. (1994): Comprehensive Curriculum for Gifted Learners. Creative

Learning. 2. 67-88.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
209
Valenčič Zuljan, M. i Vogrinc, J. (2006): Mentorova uloga kod postizanja

kompetentnosti učitelja početnika pri radu s nadarenim učenicima. Darovitost,

interakcija i individualizacija u nastavi. 221-232.
Vernon, P. E., Adamson, G. i Vernon, D. F. (1977): The Psyhology and Education of

Gifted Children. London: Methuen.
Vukasović, A. (1999): Obitelj vrelo i nositeljica života. Zagreb: Hrvatski katolički zbor

"MI".
Vujević, M. (2006): Uvođenje u znanstveni rad u području društvenih znanosti. Zagreb:

Školska knjiga.
Wallach, M. A. (1985): Creativity testing and giftedness. Horowitz, F. D. and O'Brien,

M. (eds.): The gifted and talented: Developmental perspective. American

Psychological Association Washington.
Westberg, K. L. & Archambault, F. X., Jr. (1997): A multi-site case study of successful

classroom practices for high ability students. Gifted Child Quarterly. 41(1). 42-51.
Winebrenner, S. (2000): Gifted Students Need an Education. Too: Educational Le-

adership.
Winebrenner, S. (1992): Teaching Gifted Kids int he regular Classrom. Minneapolis,

MN: Free Spirit Publishing Inc.
Winner, E. (2005): Darovita djeca: mitovi i stvarnost. Lekenik: Ostvarenje.
Winner, E. (1996): Gifted Children:Myths and Realities. New York: Basic Books.
Winnicott, D. W. (1971): Playing and reality. London: Tavisock publ. Ltd.
Witty, P. (1951): The gifted Child. Lexington, Mass: D. C. Health.
Wottawa, H. i Hossiep, R. (1997): Anwendungsfelder psychologischer Diagnostik.

Göttingen: Hogrefe.
– –  (2010): Zakon o odgoju i obrazovanju u osnovno i srednjoj školi. Narodne novine.

92/10.
– –  (2007): Zakon organizaciji in financiranju vzgoje in izobraževanja. Ur. l. RS

16/2007 (upb 5).

http://www. zakonodaja. gov. si/r05/predpis_ZAKO445.html. 1. 11. 2012.
– –  (1996): Zakon o osnovni šoli. Ur. l. RS 12/1996; 81/2006 (UPB3); 102/2007, 87/
2011.

http://www. zakonodaja. gov. si/r08/predpis_ZAKO448.html. 1. 11. 2012.
Zelenika, R. (1998): Metodologija i tehnologija izrade znanstvenog i stručnog rada.

Rijeka: Ekonomski fakultet Sveučilišta u Rijeci.
Zimermman, B. (2000): Attaining self-regulated learning: A social-cognitive perspective.

Boekaerts, M, Pintrich & Zeidner, M. (Eds.): Handbook of self-regulation. San

Diego CA: Academic Press. 13-39.
Zloković, J. (2005): Nadarena djeca u riziku. Daroviti i odrasli. 191-199.
Zloković, J. (1998): Školski neuspjeh – problemi učenika, roditelja i učitelja. Rijeka:

Filozofski fakultet Sveučilišta u Rijeci.
Zovko, G. (1999): Učenici s posebnim potrebama. Osnovi suvremene pedagogije.

Zagreb: HPKZ.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
210
Žagar, D., Artač, J., Bezič, T., Nagy, M. i Purgaj, S. (1999): Odkrivanje in delo z

nadarjenimi učenci v devetletni osnovni šoli. Ljubljana: Zavod Republike

Slovenije za šolstvo.
Žužul, J., Šimović, V. i Leinert-Novosel, S. (2008): Statistika u informacijskom društvu

(za nematematičare). Zagreb: Europski centar za napredna i sustavna

istraživanja ECNSI.

Literatura sa interneta

http://www.bib.irb.hr (27. 6. 2011).
http://www.nadarenost.net/recenzija_1.htm (13. 8. 2011).
http://www.is93.org/blooms_math.htm (14. 8. 2011).
http://www.free-zg.htnet.hr/zeljkoburcar/kurikulum1.htm (29. 8. 2011).
http://www.bertiekingore.com (17. 9. 2011).
http://www.gifted/talented (17. 9. 2011).
http://www.ladislav-bognar.net/drupal/node/75 (29. 9. 2011).
http://www.fordham.academia.edu (19. 9. 2012).
http://www.zrss.si/doc/SSD_Ocenjevalne%20lestvice%20nadarjenosti%20učenca-

OLNAD07navodila.dov (26. 10. 2012).
http://www.zrss.si/doc/SSD_Tanja_OLNAD07-%20posamezne%20lestvice-letorirano1.

doc (26. 10 2012).
http://www.
zrss.si/SSD_OLNAD07-%202009%20-%20normalizacija%20za%20tretio

%20triado.doc (26. 10. 2012).

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
211
V. IZVLEČEK

SISTEMSKA UREDITEV NADARJENOSTI PRI POUKU MATEMATIKE NA
RAZREDNI STOPNJI

Odrasli so bili od zmeraj fascinirani nad otroki, ki so nadarjeni, ki imajo določene
spretnosti, znanja in sposobnosti razvite bolj kot otrokovi vrstniki. Mnogi, ki se ukvarjajo
z izobraževanjem in delajo z otroki, so raziskovali in raziskujejo razvoj visoko
sposobnih otrok, tako da so poskušali razumeti pogoje, ki olajšujejo ali otežujejo njihov
razvoj v produktivne odrasle osebe.
Nadarjenosti se ne da zlahka definirati. Obstajajo številni in različni poskusi
definiranja nadarjenosti, ki pa so v mnogočem odvisni tudi od določenih družbeno-
zgodovinskih razmer. V različnih zgodovinskih trenutkih in v raznih kulturah so
nadarjenost različno pojmovali in definirali. To je bilo zaradi tega, ker so bile različne
sposobnosti pomembne tako za obstoj kot tudi za napredek neke družbe in kulture.
Nadarjenost so dolgo časa obravnavali kot splošno značilnost posameznika, v kateri
prevladujejo njegove sposobnosti izražanja in sklepanja. Problem določanja pojma
nadarjenosti je bolj kvalitativne kot kvantitativne narave. Pri tem navajajo, da ni možno
predvideti vseh možnosti in meje razvoja sposobnosti, ker razvoj vsakega
posameznika določajo pogoji, v katerih živi in dela, pri čemer sta vloga izobraževanja in
dolžina življenja še posebej pomembni.
Sistemsko in znanstveno so nadarjenost začeli preučevati v teku prejšnjega
stoletja. Prva, ki sta se s tem ukvarjala, sta bila Galton in Terman. Pomemben
prispevek k raziskovanju nadarjenosti so dali tudi: Renzulli, Sternberg, Gardner,
Winner in drugi, z območja nekdanje Jugoslavije pa so pomembni Koren, Furlan,
Čudina -Obradović, Ferbežer, Đorđević, Gojkov itd.
Že v zelo zgodnji zgodovini so spoznali, da so nadarjeni posamezniki največje
bogastvo vsake družbe. Tako je že Platon (1995) v svojem delu Republika54 cenil
intelektualno elito in delil ljudi na ljudi iz zlata, ljudi iz srebra in ljudi iz železa. Toda
dolgo časa nadarjenosti "niso obravnavali kot fenomena, glede na to, da so menili, češ
da ni demokratično ponuditi pomoč tistim, ki so tudi sami naravno nadarjeni ter se bodo
'sami zlahka znašli v življenju'" (Zloković 1998: 41).
Z razvojem družbe se spreminjajo tudi stališča do nadarjenih otrok, spoznavamo
njihovo vrednost in njihov potencial. V času, v katerem živimo, pogosto prihaja do
reformnih posegov na področju vzgoje in izobraževanja. S temi reformami se uvajajo

54 Platonovo delo Država prevajamo tudi kot Republika.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
212
različne spremembe, najbolj pa za otroke, ki imajo določene – večje ali manjše –
težave pri učenju, medtem ko se zelo malo pozornosti posveča nadarjenim učencem.
V času, v katerem živimo, se človeštvo sooča z vse globljo krizo in z vse večjimi
izzivi. Tako je razvoj najproduktivnejših človeških potencialov relevantno vprašanje. Še
vedno prevladujejo napačna dojemanja, da bodo nadarjeni navkljub vsemu uspeli, zato
se še naprej zanemarjajo njihove izobraževalne in razvojne potrebe. Nadarjeni so, ko
gre za izobraževanje, pravzaprav najbolj prikrajšana skupina učencev.
Osnovno vprašanje, ki se vsiljuje, je: V čem so potrebe nadarjenega otroka
drugačne in večje od izobraževalnih potreb preostalih otrok?, torej, kakšna mora biti
vsebina in metode pouka z nadarjenimi otroki, da bi zadovoljili potrebe njihovega
specifičnega razvoja. Ko pri tem mislimo na učence, se osnovno načelo prepoznavanja
in razvijanja matematične nadarjenosti (kot sicer tudi vsake druge nadarjenosti) ter
podpore matematično nadarjenih posameznikov in njihove edukacije in stalnega
spremljanja nanaša na zagotovitev širjenja in poglabljanja matematične baze znanja,
ob istočasni zagotovitvi prožne in ustvarjalne uporabe tega znanja, vendar v ozračju
varnosti, sprejetosti in občutka nenehnega osebnega napredka in razvoja.
Pojem nadarjenosti je zelo zapleten in zelo kompleksen. Nadarjenost je
psihološki, pedagoški, ekonomski in sociološki problem. Psihološki problem je ob
prepoznavanju in identifikaciji nadarjenih, najdenju stalnih značilnosti, po katerih se ti
otroci razlikujejo od preostalih otrok. Pedagoški problem se kaže pri delu s temi otroki,
medtem ko se ekonomski in socialni problem kaže pri vlaganju v nadarjene
posameznike. Od tod izhajajo tudi raznovrstni pristopi definiranja tega pojma. Danes je
v rabi okoli 140 definicij nadarjenosti, vendar se v večini primerov nadarjenost ne
določa celovito. Večina definicij se omejuje na visoko razvite sposobnosti, ki – četudi
izjemnega pomena pri definiranju pojma nadarjenosti – niso edine, ampak se
dopolnjujejo z motivacijskimi procesi, s procesi socializacije, z združitvijo prirojenega in
socio-kulturnega, potencialno manifestiranega, s strategijo vodenja in z vzgojnim
delovanjem itd.
Pojem nadarjenosti definiramo kot svojevrsten sklop značilnosti, ki omogočajo
posamezniku, da na produktiven ali reproduktiven način dosega stalno nadpovprečen
rezultat na enem ali več področjih človeškega delovanja, ki se ga dá prepoznati kot
dragocen in ustvarjalen prispevek na tem področju. Pri tem matematično nadarjenost
označuje visoka sposobnost matematičnega mišljenja, presojanja in sklepanja ter
razumevanja matematičnih idej. Za matematiko nadarjen učenec je tisti, ki ima izjemne
sposobnosti in interes za matematiko, pri katerem je nenehno prisotna želja po
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
213
pridobivanju matematičnih znanj, ki matematične pojme usvaja hitreje in bolje in za
njegove rešitve je značilno, da so zelo ustvarjalne in izvirne.
Nadarjenost na področju matematike je povezana z dvema osnovnima
vprašanjema: (1) identifikacijo nadarjenih učencev in (2) iskanjem ustreznih opor za
matematično nadarjene posameznike. Matematično nadarjeni otroci zelo zgodaj, že v
predšolskem obdobju, prej kot preostali otroci, začnejo brati, zastavljati vprašanja o
zapletenih dejavnikih, kažejo radovednost za zložene (problemske) situacije. Gre
pravzaprav za otroke, ki zagotovo zmorejo in želijo več, ki v primerjavi s svojimi vrstniki
marsikaj naredijo prej, več, hitreje, uspešneje, bolje in drugače in ki pri tem, kar delajo,
imajo kontinuirano boljše in višje dosežke.
Temeljni cilj raziskovanja je bil preučiti, ugotoviti, analizirati in interpretirati
stališča učiteljev razredne stopnje in strokovnih sodelavcev v osnovnih šolah do
nadarjenosti in nadarjenih učencev, njihove edukacije kot tudi njihova mnenja o
zastopanosti nadarjenosti, vrstah nadarjenosti, ki prevladujejo pri učencih, postopkih pri
delu z nadarjenimi, potrebi šole po posebnih edukacijskih programih, o pomenu
nadarjenih učencev za družbeno skupnost kot celoto ter možnem izboljšanju
sedanjega stanja pri delu z nadarjenimi učenci.
Vzorec je tvorilo 573 učiteljev in 186 strokovnih sodelavcev v osnovnih šolah.
Podatki so zbrani z uporabo dveh vprašalnikov, sestavljenih ravno za potrebe tega
raziskovanja. Ker so enote, ki jih zajemata vprašalnika, prvič uporabljane v
raziskovalnem kontekstu, so preverjene njihove merske značilnosti. Zanesljivost
posameznih podskal, izražena s Cronbachovimi koeficienti alfa, je pokazala, da skale
enot v obeh vprašalnikih zadovoljujejo Nunnallyjev in Bernsteinov kriterij notranje
konsistence v znesku .07: koeficient notranje konsistence za prvi vprašalnik znaša a =
.80, za drugi pa a = .81. Le enota, ki se je nanašala na vodenje evidence o nadarjenih
učencih, ima pomembne faktorske obremenitve (.4295).
Na podlagi izvedenega raziskovanja in pridobljenih empiričnih podatkov lahko
izpeljemo naslednje sklepe:
Hipoteza učitelji znajo prepoznati učence, ki kažejo povečan interes za
matematiko ni potrjena (pogostost srečevanja z učenci, nadarjenimi za matematiko: c2
= 235.456; prepoznavanje učencev, nadarjenih za matematiko: c2 = 481.529; opažanje
vidika nadarjenosti: c2 = 579.597). Niti hipoteza učitelji so dovolj in kvalitetno
pripravljeni za delo z nadarjenimi učenci (c2 = 196.241) ni potrjena.
Hipoteza šole niso usvojile posebnih edukacijskih programov, namenjenih
nadarjenim učencem, in tako ti programi niso načrtovani z letnim delovnim načrtom in
programom ni potrjena. Vrednosti hi-kvadrata (učitelji: 681.180; strokovni sodelavci:
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
214
72.677) so omogočile zavrnitev hipoteze. Ob hipotezi odnosa do nadarjenih učencev in
načina dela z nadarjenimi dobljene statistične vrednosti (F = 281.58; t = 4.88) kažejo,
da odnos in način dela z nadarjenimi nista zasnovana na sodobnih dosežkih vzgojno-
izobraževalne teorije in je hipoteza zavrnjena kot nerealna podlaga za to raziskovanje.
Hipoteze pri delu z nadarjenimi učenci se uporabljajo sodobni postopki
pridobljene statistične vrednosti (vključevanje v dodatni pouk: c2 = 1676.049;
homogene skupine: c2 = 41.419; ostajanje nadarjenih v rednih razrednih oddelkih: c2 =
287.597) ne potrjujejo. Tudi ob hipotezi nadarjeni učenci učiteljem predstavljajo
obremenitev pri delu dobljeni hi-kvadrat (768.789) omogoča njeno zavrnitev.
Hipoteza nadarjeni učenci niso sprejeti s strani svojih vrstnikov nima realne
podlage v tem raziskovanju in je zavrnjena (c2 = 171.459).
Dokler statistični kazalec (c2 = 25.065), povezan s hipotezo v osnovnih šolah se
vodijo evidence o nadarjenih učencih, ne potrjuje hipoteze, toliko časa dobljene
statistične vrednosti (c2 = 6.126; t = 3.09), povezane s hipotezo sedanje stanje pri delu
z nadarjenimi učenci je možno izboljšati, omogočajo njeno sprejemanje kot realne
predpostavke v tem raziskovanju.

– o 0 o –

Namen raziskovanje je bil preučiti, ugotoviti, analizirati in interpretirati določena
vprašanja nadarjenosti in nadarjenih učencev, tistih, ki pri matematiki na razredni
stopnji zmorejo in želijo več. Razumljivo je, da so nekatera od teh vprašanj vsebinsko
globlje zajeta, druga bolj površno, nekatera pa – ki so zagotovo prisotna in zahtevajo
natančne razčlembe, in če je mogoče, empirično preverjanje – niso obravnavana.
Natančnejše razčlembe bi verjetno razrešile nekatera od teh vprašanj, vendar
zagotovo tudi odprle nova. Tako se potrjuje vsa zapletenost in kompleksnost fenomena
nadarjenosti in nadarjenih posameznikov.
Glede na dejstvo, da je v Republiki Hrvaški nadarjenost in delo z nadarjenimi
učenci sistemsko urejeno z Zakonom o vzgoji in izobraževanju v osnovni in srednji šoli,
s Pravilnikom o osnovnošolski vzgoji in izobraževanju nadarjenih učencev in z
Nacionalnim okvirnim kurikulom, smo se v tem raziskovanju ukvarjali z vprašanjem
sistemske ureditve nadarjenosti in dela z nadarjenimi učenci (pri pouku matematike na
razredni stopnji). Zanimalo nas je namreč, ali je sistemska identifikacija nadarjenih in
delo z nadarjenimi otroki prisotno v osnovnih šolah ali je še vedno samo deklarativni cilj
z neznatno podporo družbe in strokovnih institucij ali celo brez tega.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
215
Četudi nadarjeni učenci zahtevajo posebno pozornost in kontinuirano delo, je
raziskovanje pokazalo, da so prav oni zelo pogosto zanemarjena kategorija šolskega
sistema. Tako je v interesu nadarjenih, njihovih staršev in družbene skupnosti treba
uporabljati zakonsko regulativo glede nadarjenosti in dela z nadarjenimi učenci. S tem
ciljem se zato predlaga:
· Sistemska identifikacija nadarjenih že v predšolskem obdobju, posebej v
osnovnošolskem obdobju, in njihovo spremljanje. Za vsakega identificiranega
nadarjenega otroka voditi evidenco in/ali dnevnik napredovanja.
· S prehodom otroka iz predšolske v osnovnošolsko ustanovo omogočiti srečanja
vzgojiteljev in učiteljev zaradi prenosa informacij in izkušenj ter izročitev evidence za
nadaljnjo uporabo.
·  Na ravni šole določiti učitelje/vodje za delo z nadarjenimi učenci v skladu z
njihovimi interesi in afinitetami. Omogočiti vodjem kakovostno in stalno izpopolnjevanje
in napredovanje v poklicu.
·  Priskrbeti program dela za delo z nadarjenimi učenci za vsako področje
nadarjenosti: jezikovno, naravoslovno-matematično, družboslovno, umetniško in
športno.
· Zagotoviti sodobne pristope pri delu (obogateni programi, homogene skupine,
vključevanje v dejavnosti izven pouka in šole, prijavljanje na tekmovanja, pospešeno
napredovanje). Nakup sodobne literature ter učnih sredstev in pripomočkov za namen
posodabljanja učenja in poučevanja nadarjenih učencev.
· Omogočiti mesečna srečanja nadarjenih učencev s posameznih področij
nadarjenosti na ravni mesta in/ali občine s ciljem izmenjave izkušenj in novih spoznanj.
· Omogočiti mesečna srečanja učiteljev/vodij dela z nadarjenimi učenci z
vsakega posameznega področja na ravni mesta in/ali občine s ciljem izmenjave
izkušenj in novih spoznanj.
·  Na koncu vzgojno-izobraževalnega cikla učence povprašati po njihovih
razmišljanjih, opažanjih in predlogih za nadaljnje delo.
· Na koncu vzgojno-izobraževalnega cikla učitelj/vodja v pisni obliki obvešča
ravnatelja, strokovnega sodelavca šole, starše nadarjenega otroka o napredovanju
otroka in predlogih za nadaljnje delo z učencem.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
216
Poleg navedenega se predlaga, da program dela za delo z nadarjenimi učenci
sprejema učiteljski zbor na predlog učitelja/vodje, ki ga nato predloži pristojnemu
ministrstvu ali Agenciji za vzgojo in izobraževanje v potrditev.55
Iz zgoraj navedenega je razvidno, da je potrebno sprejeti niz konkretnih ukrepov
glede nadarjenosti in dela z (matematično) nadarjenimi učenci.

Ključne besede: nadarjenost, nadarjen učenec, matematična nadarjenost,
strokovni sodelavec, sistemska ureditev, učitelj na razredni stopnji.

VSEBINA

UVOD   ............................................................................................................
1

I. TEORETIČNE OSNOVE   ...............................................................................
5

1 Osnovni pojmi   .........................................................................................
5

 1.1
Nadarjenost   .....................................................................................
5

1.1.1 Delež nadarjenih v populaciji    .................................................
17

1.1.2 Dimenzija nadarjenosti   ...........................................................
18

1.2
Talentiranost   ....................................................................................
23

1.3
Prepoznavanje in razvijanje nadarjenosti na področju matematike
24

2 Teorijske smeri o nadarjenosti in njihov vpliv na oblike spodbujanja

nadarjenih posameznikov   ......................................................................
41

2.1
Renzulli-Reisova triprstanasta definicija nadarjenosti   .....................
41

2.2
Sternbergova teorija intelektualnega funkcioniranja   ........................
43

2.3
Gardnerjeva teorija več inteligenc   ...................................................
48

3 Prikaz najbolj znanih raziskav  na področju nadarjenosti   ..................
55

4 Značilnosti nadarjenih posameznikov   ..................................................
63

4.1
Socialno in emocionalno funkcioniranje   ..........................................
63

4.2
Samoregulacijsko učenje   .................................................................
65

4.3
Motivacija   .........................................................................................
68

4.4
Kognitivne potrebe   ...........................................................................
70

4.5
Vzgojno-izobraževalne potrebe   .......................................................
71

4.5
Pojem metakognicije   .......................................................................
73

4.7
Metakognicija in matematika   ...........................................................
74

5 Pojem ustvarjalnosti   ...............................................................................
77

5.1
Psihična pogojenost ustvarjalnosti   ..................................................
81

5.2
Vzgoja ustvarjalnosti pri pouku   ........................................................
84

5.3
Modeli spodbujene ustvarjalnosti   ....................................................
89

6 Značilnosti učitelja za delo z nadarjenimi učenci   ...............................
95

7 Vloga družine pri razvoju nadarjenih učencev   ....................................
101

55 Z zakonom je določeno, da program dela za delo z nadarjenimi učenci ter način opažanja,
spremljanja in spodbujanja nadarjenih kot tudi pogoje in postopek pospešenega napredovanja nadarjenih
predpisuje minister pristojnega ministrstva.
Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
217

7.1
Vzpostavljanje sodelovanja šole (učiteljev) in družine (staršev)  ......
101

7.2
Vloga družine pri razvoju nadarjenih   ...............................................
102

8 Problemski pouk   .....................................................................................
109

9 Ustvarjalne delavnice kot oblika spodbujanja nadarjenosti pri

matematiki   ...............................................................................................
119

10 Osnovne oblike vzgojno-izobraževalne podpore nadarjenim

učencem   ..................................................................................................
129

10.1 Obogatitev učnih programov   ...........................................................
131

10.1.1 Pojem in vsebina obogatenega kurikula   ........................................
133

10.2 Homogene skupine glede na sposobnosti   ......................................
136

11.3 Šolsko pospešeno napredovanje   ....................................................
138

11 Sistemska ureditev nadarjenosti in dela z nadarjenimi učenci (pri

pouku matematike na razredni stopnji)   ................................................
143

11.1 Nadarjeni in hrvaška šolska zakonodaja   .........................................
143

11.2 Nadarjeni in slovenska šolska zakonodaja   ......................................
144

II.
METODOLOGIJA RAZISKOVANJA   .........................................................
149

1
Predmet raziskovanja   ........................................................................
149

2
Cilj in naloge raziskovanja   ................................................................
149

3
Raziskovalne hipoteze   ....................................................................... 150

4
Metode, postopki, inštrumentarij   ...................................................... 151

5
Variable raziskovanja   ......................................................................... 152

6
Populacija in vzorec raziskovanja   ....................................................
152

7
Statistična obdelava podatkov   .........................................................
154

8
Organizacija in potek raziskovanja   ..................................................
154

III. REZULTATI RAZISKOVANJA IN NJIHOVA INTERPRETACIJA   ...............
155

1
Analiza vprašalnikov o nadarjenosti in nadarjenih   ........................
155

2
Prepoznavanje nadarjenih učencev   ................................................. 157

3
Pripravljenost učiteljev za delo z nadarjenimi učenci   ....................
161

4
Posebni edukacijski programi za delo z nadarjenimi učenci   ........
163

5
Odnos učiteljev do nadarjenih in način dela z nadarjenimi   ........... 167

6
Postopki pri delu z nadarjenimi učenci   ...........................................
171

7
Nadarjeni učenci – obremenitev za učitelje   ..................................... 173

8
Sprejetost nadarjenih učencev s strani vrstnikov   ..........................
175

9
Evidence o nadarjenih učencih    .......................................................
177

10 Nadarjeni – dragocen vir za družbeno skupnost   ............................
179

11 Možnost sistemske ureditve vprašanja nadarjenosti in nadarjenih    181

12 Delovanje in medsebojni vpliv odvisnih in neodvisnih variabel   ...
185

IV. ZAKLJUČEK   ..............................................................................................
189

V.
LITERATURA   .............................................................................................
199

VI. IZVLEČEK   ..................................................................................................
211

VSEBINA   ....................................................................................................
216

VII. PRILOGE   .................................................................................................... 219

1
Vprašalnik za učitelje na razredni stopnji   ........................................ 219

2
Vprašalnik za strokovne sodelavce v osnovnih šolah   ...................
222

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
218

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
219
VII. PRILOZI

1 Upitnik za učitelje primarnog obrazovanja

U okviru istraživanja koje se provodi na Odjelu za obrazovanje učitelja i odgojitelja
Sveučilišta Jurja Dobrile u Puli, molimo Vas da na postavljena pitanja odgovorite iskreno, jer
jedino iskreni odgovori mogu pridonijeti uspjehu istraživanja.
Pažljivo pročitate svako pitanje i ponuđene odgovore, a tek onda se odlučite za odgovor
koji Vam najviše odgovara.
Upitnik je anoniman i nije ga potrebno potpisivati.
Zahvaljujemo na suradnji.

1. Spol

M
Ž
2. Struka

1. nastavnik razredne nastave

2. učitelj razredne nastave

3. diplomirani učitelj

4. magistar/ra primarne edukacije
3. Godine radnog staža

1. manje od 8 godina

2. 8 ili više ali manje od 16 godina

3. 16 ili više ali manje od 24 godine

4. 24 ili više ali manje od 32 godine

5. 32 ili više godina

Molimo da procijenite Vaše (ne)slaganje sa niže navedenom

tvrdnjom, stavljanjem ''×'' u odgovarajući „kvadratić“
vrlo rijetko
rijetko
ni često ni
rijetko
često
vrlo često
4. U nastavnom radu s učenicima koji pokazuju pojačani interes

za matematiku susrećem se…

5. Pojačani interes za matematiku (darovitost za matematiku) pokazuje po Vama onaj učenik

1. koji postiže iznadprosječne rezultate u učenju,

2. koji je kreativan,

3. koji brzo rješava (matematičke) problemske zadatke,

4. koji kritički razmišlja,

5. koji je veoma aktivan,

6. koji iskazuje nešto drugo. Što? ____________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

6. U nastavnom radu kod mojih učenika primjećujem sljedeći vid darovitosti (jedan odgovor – u desnom

stupcu stavite znak ''×'' uz odgovor koji Vam se čini najprihvatljivijim)

1. opće intelektualne sposobnost

2. psihomotorne sposobnosti

3. socijalne i rukovodne sposobnosti

4. specifične školske sposobnosti

5. stvaralačko-kreativne sposobnosti

6. umjetničke sposobnosti

Molimo da procijenite Vaše (ne)slaganje sa niže navedenim

tvrdnjama, stavljanjem ''×'' u odgovarajući „kvadratić“

T V R D N J E
uopće se ne
slažem
uglavnom se ne
slažem
ne mogu se
odlučiti
uglavnom
slažem se
potpuno se
slažem
1
2
3
4
5
7.
Škole bi trebale darovitim učenicima, tj. onima koji mogu i žele više

u matematici ponuditi posebne matematičke edukacijske

programe.

8.
Kada bi se darovite učenike, tj. one koji pokazuju pojačani interes

za matematiku stavilo u posebne razredne odjele, ostali učenici

mogli bi se osjećati podcijenjeno.

9.
Najdarovitiji učenici koji akceleriraju (ubrzano napreduju) imaju

poteškoća u socijalnom prilagođavanju grupi starijih učenika.

10. Daroviti učenici gube vrijeme u redovnim razrednim odjelima.

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
220
11. Oni učenici koji pokazuju pojačani interes za matematiku omiljeni

su u razrednom odjelu i školi.

12. Osobine darovitosti i darovitih vrijedni su resursi za društvenu

zajednicu.

13. Učenike koji mogu i žele više u matematici, koji postižu iznadprosječne rezultate u redovnoj nastavi

(zaokružite jedan od ponuđenih odgovora)

1. uključujem u dodatnu nastavu,

2. uključujem u izborne programe,

3. radim individualno s njima,

4. homogeno ih grupiram,

5. upućujem u izvanškolske matematičke aktivnosti.

Molimo da procijenite Vaše (ne)slaganje sa niže navedenim tvrdnjama,

stavljanjem ''×'' u odgovarajući „kvadratić“

T V R D N J E

nikad
rijetko
ne mogu
odgovoriti
ponekad
uvijek
1
2
3
4
5
14. U svom radu učenicima omogućujem pristup matematičkim izvorima

znanja, donoseći im ili upućujući ih na određene časopise, knjige, zbirke

zadataka, ...

15. Poučavanjem učenike matematičkim sadržajima nastojim kod njih

razvijati ljubav i trajni interes za matematiku i rješavanje matematičkih

problemskih zadataka.

16. S učenicima koji pokazuju pojačani interes za matematiku, tj. s onima

koji mogu i žele više u matematici radim i nakon nastave.

17. Učenike koji u matematici mogu i žele više, tj. koji polučuju

iznadprosječne rezultate, dodatno angažiram tako što ih upućujem da

pomažu učenicima koji polučuju slabije rezultate.

18. Učenike koji pokazuju pojačani interes za matematiku, tj. koji mogu i

žele više u matematici uključujem u natjecanja iz matematike.

Molimo da procijenite Vaše (ne)slaganje sa niže navedenim

tvrdnjama, stavljanjem ''×'' u odgovarajući „kvadratić“

T V R D N J E
uopće se ne
slažem
uglavnom se
ne slažem
ne mogu se
odlučiti
uglavnom
slažem se
potpuno se
slažem
1
2
3
4
5
19. Prema svom radu odnosim se stvaralački, pronalazeći nove oblike i

metode rada, koristeći se zbirkama zadataka za učenike koji u

matematici mogu i žele više.

20. U svom radu iznalazim mogućnosti da zadovoljim radoznalost učenika i

njeno iskazivanje, posebno kod onih učenika koji mogu i žele više u

matematici.

21. Učenicima koji iskazuju poseban interes za matematiku omogućujem

slobodu, ohrabrujem ih u samostalnom mišljenju i postupcima.

22. Učenike koji u matematici mogu i žele više potičem na divergentno

mišljenje (različite načine definiranja i interpretiranja matematičkih

problema, produkcija različitih odgovora/rješenja na jedno

pitanje/zadatak).

23. Učenici koji polučuju iznadprosječne rezultata u učenju matematičkih

sadržaja predstavljaju mi opterećenje pri radu.

24. Za rad s darovitim učenicima, tj. onima koji u matematici mogu i žele više, didaktički, metodički i stručno

(zaokružite jedan od ponuđenih odgovora):

1. nisam dovoljno pripremljen/na,

2. djelomično sam pripremljen/na,

3. dovoljno sam pripremljen/na.

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
221

Molimo da procijenite Vaše (ne)slaganje sa niže navedenom

tvrdnjom, stavljanjem ''×'' u odgovarajući „kvadratić“
uopće ne bih
ne bih
neodlučan/na
sam
bih
sigurno bih
25. U nastavnom radu volio/voljela bih raditi s učenicima koji u matematici

mogu i žele više, tj. s onima koji pokazuju darovitost za matematiku

26. Je li moguće sadašnje stanje u radu s darovitim učenicima poboljšati?

1. nije moguće

2. ne znam

3. moguće je

27. Ako ste u prethodnom pitanju odgovorili "moguće je", molimo Vas da navedete kako je to moguće!

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
222
2 Upitnik za stručne suradnike u osnovnim školama

U okviru istraživanja koje se provodi za izradu doktorske disertacije, molim Vas da na
postavljena pitanja odgovorite iskreno, jer jedino iskreni odgovori mogu pridonijeti uspjehu
istraživanja.
Pažljivo pročitajte svako pitanje i ponuđene odgovore, a tek onda se odlučite za odgovor
koji Vam najviše odgovara.
Upitnik je anoniman i ne morate se potpisati.
Zahvaljujemo Vam na suradnji.

1.
Spol
1.
M,
2.
Ž.
2.
Vaša struka
1.
prof. pedagogije,
2.
prof. psihologije,
3.
nešto drugo, što? ________________________________

3.
Godine radnog iskustva u djelatnosti osnovnoškolskog odgoja i obrazovanja:

1. manje od 8 godina

2. 8 ili više ali manje od 16 godina

3. 16 ili više ali manje od 24 godine

4. 24 ili više ali manje od 32 godine

5. 32 ili više godina

4.
Jesu li u Godišnjem programu rada Vaše škole planirane aktivnosti za rad s darovitim učenicima?
1.
ne,
2.
djelomično,
3.
da.

5.
O kojim je sadržajima riječ? Jesu li predviđeni sadržaji iz matematike?

6.
Vodi li se u školi u kojoj ste zaposleni dosjei o darovitim učenicima?
1.
ne,
2.
kako za kojega učenika,
3.
da, za sve učenike.

7.
Tko vodi dosjee o darovitim učenicima?
1.
razrednik,
2.
stručni suradnik (pedagog, psiholog, ...)
3.
ravnatelj/ica,
4.
učitelj koji radi s darovitim djetetom,
5.
netko drugi; tko? ___________________________________________________________________
6.
nitko, jer se dosjei kao takvi ne vode.

8.
Da li učenici Vaše škole, oni koji u matematici mogu i žele više, sudjeluju na natjecanjima iz

matematike?
1.
ne,
2.
ponekad,
3.
redovito.

9.
U natjecanja iz matematike najveći broj učenika uključuje se iz
1.
IV. razreda,
2.
V. razreda,
3.
VI. razreda,
4.
VII. razreda,
5.
VIII. razreda.

Kadum-Bošnjak, Sandra (2013). Sustavno uređenje darovitosti u nastavi matematike primarnog
obrazovanja. Doktorska disertacija. Koper: UP PEF.
223
10. Zašto se na natjecanja iz matematike upućuje najveći broj učenika baš iz navedenog razreda?

11. Prakticira li se u Vašoj školi homogeno grupiranje učenika darovitih za matematiku, tj. onih koji u

matematici mogu i žele više?

1. vrlo rijetko,

2. rijetko,

3. niti rijetko niti često,

4. često,

5. vrlo često.

12. Da li je i kada posljednji put koji od učenika Vaše škole ubrzano napredovao, tj. bio školski

akceleriran?

13. Je li moguće sadašnje stanje u radu s darovitim učenicima poboljšati?

1. nije moguće

2. ne znam

3. moguće je

14. Ako ste u prethodnom pitanju odgovorili "moguće je", molimo Vas da navedete kako je to moguće!