aritmetička funkcija;multiplikativna funkcija;potpuno multiplikativna funkcija;Eulerova funkcija;Dirichletov produkt (kovolucija) aritmetičkih funkcija;racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1);arithmetic function;multiplicative function;completely multiplicative function,Euler's phi-function;Dirichlet  convolution;totient function;rational arithmetical function of degree (1,1);info:eu-repo/classification/udc/511.1(043.2)

UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

Oddelek za matematiko in računalništvo

MAGISTRSKO DELO

Nani Vasiljević

Maribor, 2019

UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

Oddelek za matematiko in računalništvo

Magistrsko delo

NEKAJ KARAKTERIZACIJ RACIONALNIH
ARITMETIČNIH FUNKCIJ STOPNJE (1, 1)

na študijskem programu 2. stopnje Matematika

Mentor:
Kandidatka:
doc. dr. Daniel Eremita
Nani Vasiljević

Maribor, 2019

UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

Oddelek za matematiko in računalništvo

Magistrsko delo

NEKE KARAKTERIZACIJE RACIONALNIH
ARITMETIČKIH FUNKCIJA STUPNJA (1, 1)

na študijskem programu 2. stopnje Matematika

Mentor:
Kandidatka:
doc. dr. Daniel Eremita
Nani Vasiljević

Maribor, 2019

ZAHVALA

 „Ljude ne možemo ničemu poučiti;
možemo im samo pomoći da to otkriju u sebi.“
( Galileo Galilei)

Zahvaljujem se svom mentoru doc. dr. Danielu Eremiti na velikoj pomoći pri pisanju rada,
vrijednim savjetima, preciznošću i strpljenju kojim mi je pokazao put samostalnog rada.
Također, zahvaljujem na značajnoj literaturi koja mi je olakšala pisanje.

Veliko hvala Referatu FNM za podršku i individualni pristup u svakom trenutku.

Nekaj karakterizacij racionalnih aritmetičnih funkcij stopnje
(1,1)
program magistrskeg dela

Aritmetični funkciji pravimo racionalna aritmetična funkcija stopnje (1,1), če jo lahko
zapišemo kot Dirichletov produkt popolnoma multiplikativne funkcije in inverza popolnoma
multiplikativne funkcije. Glavni cilj magistrskega dela je obravnava različnih karakterizacij
racionalnih aritmetičnih funkcij stopnje (1,1), ki so bile izpeljane v članku [2]. Posebej naj
bodo obravnane tudi različne karakterizacije popolnoma multiplikativnih funkcij. Uvodoma
naj bodo predstavljene osnovne teorije aritmetičnih funkcij.

Osnovni viri:

1. T. M. Apostol, Some properties of completely multiplicative arithmetical functions,
Amer. Math. Monthly 78 (1971), 266-271.
2. P. Haukkanen, Some characterizations of totiens, Internat. J. Math. Math. Sci. 19
(1996), no. 2, 209-217.
3. P. J. McCarthy, Introduction to Arithmetical Functions, Springer- Verlag, New York,
1986.
4. K. H. Rosen, Elementary number theory and its applications, 5th edition, Pearson /
Addison Wesley, Boston, 2005.

doc. dr. Daniel Eremita

VASILJEVIĆ, N. : Neke karakterizacije racionalnih aritmetičnih funkcija stupnja (1,1).
Magistrsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko,
Oddelek za matematiko in računalništvo, 2019.

SAŽETAK

Dirichletov produkt potpuno multiplikativne funkcije i inverza potpuno multiplikativne
funkcije definiramo kao racionalnu aritmetičku funkciju stupnja (1,1).
U ovom diplomskom radu, koji se sastoji od tri poglavlja,  u prvom dijelu donosimo osnovnu
teoriju aritmetičkih funkcija, točnije navodimo definicije i svojstva nekih multiplikativnih
funkcija.
U drugom dijelu prvo definiramo Dirichletov produkt (konvoluciju) aritmetičkih funkcija i
Dirichletov inverz aritmetičke funkcije, zatim slijede iskazi i dokazi nekih karakterizacija
potpuno multiplikativnih funkcija.
 Konačno, u trećem poglavlju definiramoracionalne aritmetičke funkcije stupnja (1,1). Jedan
od najpoznatijih primjera je Eulerova funkcija. U literaturi postoji veliki broj karakterizacija
potpuno multiplikativnih funkcija, dok karakterizacije racionalnih aritmetičkih funkcija
stupnja (1,1) nisu često proučavane, stoga iznosimo neke njihove karakterizacije koje su
dostupne u navedoj literaturi.

Ključne riječi: aritmetička funkcija, multiplikativna funkcija, potpuno multiplikativna
funkcija, Eulerova funkcija, Dirichletov produkt (kovolucija) aritmetičkih funkcija, racionalna
aritmetička funkcija stupnja (1,1)

Math. Subj. Class. (2010): 11A25

VASILJEVIĆ, N. : Some characterizations of rational arithmetic functions of degree
(1,1) .
Master thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Sciences and Mathematics,
Department of Mathematics and Computer Science, 2019.

ABSTRACT

The Dirichlet product (convolution) of a completely multiplicative function and the inverse of
a completely multiplicative function is defined as rational arithmetical function of degree
(1,1).
In the first part of this master thesis, which consists of three chapters, we provide basic theory
of arithmetic functions. Namely, we provide definitions and some properties of few
multiplicative functions.
In the second part, we provide definition and propertiesrelated to Dirichlet inverse of
arithmetic function and Dirichlet convolution of arithmetic functions.
Finally, in the last chapter we bring definition for rational arithmetical functions of degree
(1,1).  Euler's phi- function is a well known example. In the literature there is a large number
of characterizations of completely multiplicative functions, comparing to characterizations of
totients (rational arithmetical functions of degree (1,1)) , so here we present some further
characterizations.

Keywords:
arithmetic
function,
multiplicative
function,
completely
multiplicative
function,Euler's phi-function, Dirichlet  convolution, totient function, rational arithmetical
function of degree (1,1)

Math. Subj. Class. (2010): 11A25

RAZŠIRJEN POVZETAK V SLOVENSKEM JEZIKU

Prvo poglavlje magistrskega dela je namenjeno predstavitvi osnov teorije multiplika-
tivnih aritmetičnih funkcij. Neničelna aritmetična funkcija f  je multiplikativna, če je
)
(
)
(
)
(
n
f
m
f
mn
f
=

za sve pare tujih naravnih števil m in n. Če je pogoj
)
(
)
(
)
(
n
f
m
f
mn
f
=
izpolnjen za vsa
naravna števila m, n pravimo, da je neničelna aritmetična funkcija f  popolnoma multi-
plikativna. V tem poglavju izpeljemo osnovne lastnosti multiplikativnih funkcij. Predstavimo
tudi naslednje klasične primere multiplikativnih funkcij: Eulerjevo funkcijo 𝜙, funkciji 𝜏 in σ
ter Möbiousovo funkcijo μ.

Glavni cilj drugega poglavlja izpeljava različnih karakterizacij popolnoma multi-
plikativnih funkcij. Najprej definiramo Dirichletov produkt
g
f 
poljubnih aritmetičnih
funkcij f  in g. Gre za aritmetično funkcijo, ki je podana z naslednjim predpisom







=

n
d
d
n
g
d
f
n
g
f
)
(
)
)(
(

za svaki 
n
ℕ. Izkaže se, d množica vseh aritmetičnih funkcij skupaj z operacijo seštevanja
funkcij in Dirichletovim produktom tvori komutativen kolobar z enoto. Vpeljemo tudi pojem
Dirichletovega inverza
1
−
f
 aritmetične funkcije f i dokažemo, da ima vsaka aritmetična fu-
nkcija f  z lastnostjo
0
)
1
(

f
 enolično določen Dirichletov inverz. Pri tem opazimo, da je
Dirichletov inverz multiplikativne funkcije spet multiplikativna funkcija. Opazimo tudi, da je
Dirichletov produkt dveh multiplikativnih funkcij spet multiplikativna funkcija. V nada-
ljevanju izpeljemo številne lastnosti popolnoma multiplikativnih funkcij. Posebna pozornost
je namenjena potrebnim in zadostnim pogojem za popolno multiplikativnost multiplikativnih
funkcij. Tako dokažemo, da je multiplikativna funkcija f popolnoma multiplikativna natanko
tedaj, ko je
)
(
)
(
)
(
1
n
f
n
n
f

=
−

za vsa naravna števila n. Dokažemo tudi, da je ta pogoj izpolnjen natanko tedaj, ko je
0
)
(
1
=
−
a
p
f

za vsa praštevila p i vsa naravna števila a, ki so večja od 1. V tem poglavju poiščemo tudi
Dirichletove inverse zgoraj omenjenih klasičnih primerov multiplikativnih funkcij. Vpeljemo
tudi Liouvilleovo funkcijo λ in pokažemo, da je funkcija njen Dirichletov inverz.
V tretjem poglavju obravnavamo različne karakterizacije racionalnih aritmetičnih
funkcij stopnje (1,1), kar je glavni cilj magistrskega dela. Aritmetični funkciji f  pravimo
racionalna aritmetična funkcija stopnje (1,1) , če jo lahko zapišemo kot Dirichletov produkt
popolnoma multiplikativne funkcije in inverza popolnoma multiplikativne funkcije. To
pomeni, da je
1
−

=
v
t
f
f
f

za neki popolnoma multiplikativni funkciji
t
f  in
v
f . Zlahka opazimo, da je vsaka popolnoma

multiplikativna funkcija f  racionalna aritmetična funkcija stopnje (1,1). Znan primer raci-
onalne aritmetične funkcije stopnje (1,1) je Eulerjeva funkcija 𝜙, saj se izkaže, da velja
1
−

=

=
u
id
id


,
kjer je
n
n
u
=
)
(
za vsa naravna števila n. Vpeljemo tudi Jordanovo funkcijo
k
J in dokažemo ,
da je racionalna aritmetična funkcija stopnje (1,1). V nadaljevanju izpeljemo različne
karakterizacije racionalnih aritmetičnih funkcij stopnje (1,1). Tako se na primer izkaže, da je
aritmetična funkcija f  racionalna aritmetična funkcija stopnje (1,1) natanko tedaj, ko je f
multiplikativna in za vsako praštevilo p obstaja tako kompleksno število
)
( p
a
, da je
1
))
(
)(
(
)
(
−
=
e
e
p
a
p
f
p
f

za vsako naravno število e. Naslednja karakterizacija pravi, da je multiplikativna funkcija f
racionalna aritmetična funkcija stopnje (1,1) natanko tedaj, ko je
),...)
(
),
(
),
(
,
(
3
2
p
f
p
f
p
f
p

geometrijsko zaporedje za vsako praštevilo p . Izpeljemo tudi izrek, ki pove, da je aritmetična
funkcija f racionalna aritmetična funkcija stopnje (1,1) natanko tedaj, ko obstajata taki
popolnoma multiplikativni funkciji g in h, da velja

=
−
=
n
x
n
x
d
n
d
d
h
d
n
g
n
f
1
)
,
(
1
)
/
)(
(
)
/
(
)
(

za vsak nϵℕ. Še več, izkaže se, da je to ekvivalentno pogoju, da obstaja taka multiplikativna
funkcija h, da je

=
)
,
(
)
(
)
(
)
/
(
)
(
)
(
n
m
d
d
d
h
d
mn
f
n
f
m
f


za vse m, nϵℕ. Nadaljujemo z naslednjim izrekom, ki pove, da je aritmetična funkcija f ra-
cionalna aritmetična funkcija stopnje (1,1) natanko tedaj, ko obstaja taka popolnoma
mulitplikativna funkcija h, da velja

=
m
d
n
d
d
h
d
n
f
m
f
mn
f
)
(
)
(
)
/
(
)
(
)
(


za vse m, nϵℕ. Izkaže se, da je to ekvivalentno pogoju, da obstajata taki popolnoma
multiplikativni funkcij g in h, da velja


(
)
(
)
)
,
(
,
)
/
(
)
/
(
)
(
1
1
e
d
g
e
d
h
e
n
g
d
m
g
mn
f
m
d
n
e
−
−

=

za vse m, nϵℕ. v tem poglavju vpeljemu tudi Dedekindovo funkcijo 𝜓 in izpeljemo še nekaj
dodatnih lastnosti racionalnih aritmetičnih funkcij stopnje (1,1).

Sadržaj

Uvod
........................................................................................................................................... 1
1. Multiplikativne funkcije ...................................................................................................... 2
1.1 Multiplikativne funkcije
................................................................................................ 2
1.2 Eulerova funkcija .......................................................................................................... 6
1.3Suma i broj djelitelja
...................................................................................................... 9
1.4 Savršeni brojevi .......................................................................................................... 11
1.5 Möbiusova funkcija .................................................................................................... 13
2. Neke karakterizacije potpuno multiplikativnih funkcija ............................................... 18
2.1 Dirichletov produkt (konvolucija) .............................................................................. 18
2.2 Neke karakterizacije potpuno multiplikativnih funkcija
............................................. 22
2.3Liouvilleova funkcija ................................................................................................... 29
3. Neke karakterizacije racionalnih aritmetičkih funkcija stupnja (1, 1)
......................... 31
3.1 Racionalne aritmetičke funkcije stupnja (1, 1) ........................................................... 31
3.2 Jordanova totientna funkcija ....................................................................................... 32
3.3 Neke karakterizacije racionalnih aritmetičkih funkcija stupnja (1,1) ......................... 33
Literatura
................................................................................................................................ 43

1

Uvod

Jedna od najstarijih i najvažnijih grana matematike je aritmetika, koja se bavi
proučavanjem brojeva. Prvi aritmetički problemi u povijesti su zapisani u starom Egiptu i
Babilonu.Aritmetika se smatra kraljicom matematike, a jedan od najvećih matematičara
Johann Carl FriedrichGauss (1777.-1855.) rekao je "Matematika je kraljica znanosti, a teorija
brojeva je kraljicamatematike."
Teorija brojeva je grana matematike koja ponajprije proučava svojstva skupa
prirodnih brojeva te skupa cijelih i racionalnih brojeva. Teorija brojeva se često bavi i
nizovima realnih ili kompleksnih brojeva, koji se u teoriji brojeva nazivaju aritmetičke
funkcije.Artimetičke funkcije su realne ili kompleksne funkcije koje se definiraju na skupu
prirodnih brojeva. Aritmetičke funkcije imaju široku primjenu u svim granama matematike, a
jedna od najistaknutijih je u kriptografiji, gdje su baza raznih metoda šifriranja i dešifriranja
poruka.
U ovom diplomskom radu upoznat ćemo se s multiplikativnim  i potpuno
multiplikativnim aritmetičkim funkcijama te nekim njihovim karakterizacijama.  Upoznat
ćemo se s racionalnim aritmetičkim funkcijama stupnja (1,1) i nekim njihovim
karakterizacijama.
U prvom poglavlju rada predstavit ćemo osnovnu teoriju aritmetičkih funkcija.
Upoznat ćemo se s multiplikativnim funkcijama te ćemo predstaviti neke istaknute
multiplikativne funkcije kao što su Eulerova funkcija, broj i zbroj djelitelja, Möbiusova
funkcija.
U drugom poglavlju predstavit ćemo neke različite karakterizacije potpuno
multiplikativnih funkcija, a na početku ćemo definirati novu operaciju na skupu aritmetičkih
funkcija, Dirichletov produkt koji još nazivamo i Dirichletova konvolucija ili samo
konvolucija. Na samom kraju predstavit ćemo Liouvilleovu funkciju kao važan primjer
potpuno multiplikativne funkcije.
U trećem poglavlju ćemo upoznati neke karakterizacije racionalnih aritmetičkih
funkcija stupnja (1,1).Predstavit ćemoracionalne aritmetičke funkcije stupnja (1,1) te navesti
nužne i dovoljne uvjete da bi aritmetička funkcija bilaracionalna aritmetička funkcija stupnja
(1,1).

2

Poglavlje 1

Multiplikativne funkcije

Funkcije koje su definirane za sve prirodne brojeve n nazivaju se aritmetičke funkcije.
Aritmetičkoj funkcijif  domena je skup prirodnih brojeva, a kodomena podskup kompleksnih
brojeva ℂ.

1.1 Multiplikativne funkcije

Svojstvo multiplikativnosti funkcija važno je svojstvo  funkcija u teoriji brojeva te ga
primjenjujemo u gotovo svakom dokazu.
Definicija 1.1.1.  Aritmetička funkcija f je multiplikativna ako je različita od nul funkcije i ako
vrijedi

(1.1)

za sve parove relativno prostih brojeva m i n.
Funkcija f  je potpuno multiplikativna ako nije nul funkcija  i ako svojstvo  (1.1)  vrijedi za sve
prirodne brojeve n i m.
Znamo da svaki prirodan broj n > 1 se može zapisati u obliku
r
a
r
a
a
p
p
p
n



=
2
1
2
1

gdje su
r
p
p
p
,...,
,
2
1
uparovimarazličiti prosti brojevi , a
r
a
a
a
,...,
,
2
1
su prirodni brojevi.
Ovakav zapis broja n zovemo kanonski rastav broja n na proste faktore. Brojevi
j
i
a
j
a
i
p
p

i
 su
relativno prosti za
j
i 
. Vrijednost multiplikativne funkcije za broj n možemo zapisati u
obliku
)
(
)
(
)
(
1
1
r
a
r
a
p
f
p
f
n
f



=
.
U cijelom radu promatrat ćemo pozitivne djelitelje d prirodnog broja te za najvećeg
zajedničkog djelitelja dva broja m i n koristimo i oznaku (
).
,n
m

Napomena 1.1.1.Svaka potpuno multiplikativna funkcija f je multiplikativna funkcija.
Primjer 1.1.1. Funkcija
1
)
(
=
n
f
, za sve n je potpuno multiplikativna i dakle također
multiplikativna,  jer
1
)
(

,
1
)
(
=
=
m
f
mn
f
 i
,
1
)
(
=
n
f
 onda je
).
(
)
(
)
(
m
f
n
f
mn
f
=
 Slično,
funkcija
n
n
g
=
)
(
 je potpuno multiplikativna funkcija i dakle multiplikativna , jer je
).
(
)
(
)
(
n
g
m
g
mn
mn
g
=
=

)
(
)
(
)
(
n
f
m
f
mn
f
=
3

Teorem
1.1.1.(Karakterizacija
multiplikativnih
funkcija).Aritmetička
funkcija
f
je
multiplikativna ako i samo ako je
1
)
1
(
=
f
i

)
f(p
)
)f(p
f(p
)
p
f(p
r
2
1
r
1
a
r
a
2
a
1
a
r
a
1



=




(1.2)

za proizvoljne u parovima različite proste brojeve
r
p
p
p
,...,
,
2
1
 i proizvoljne prorodne brojeve
r
a
a
a
,...,
,
2
1
.
Aritmetička funkcija f je potpuno multiplikativna ako i samo ako je zadovoljen gornji uvjet i
ako je
m
m
p
f
p
f
)
(
)
(
=
za sve proste brojeve p i prirodne brojeve m.
Dokaz.  Najprije pretpostavimo da f  zadovoljava
1
)
1
(
=
f
 i da vrijedi (1.2) .
Neka su n1i n2 relativno prosti brojevi,
1
)
,
(
2
1
=
n
n
 i
2
,
2
1

n
n
.  Kada bismo napravili
kanonski rastav brojeva n1i n2 na proste faktore tada niti jedan prosti faktor od n1 nije prosti
faktor od n2 i obrnuto. Neka je
k
r
b
k
b
b
a
r
a
a
s
s
s
n
p
p
p
n



=



=
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1

gdje su
k
r
s
s
s
p
p
p
,...,
,

,
,...,
,
2
1
2
1
različiti prosti brojevi, a
k
r
b
b
b
a
a
a
,...,

,
,...,
,
2
,
1
2
1
prirodni
brojevi.  Prema (1.2) slijedi
).
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
k
r
k
r
b
k
b
b
a
r
a
a
b
k
b
b
a
r
a
a
s
f
s
f
s
f
p
f
p
f
p
f
n
n
f
s
f
s
f
s
f
n
f
p
f
p
f
p
f
n
f






=



=



=

Očito je
).
(
)
(
)
(
2
1
2
1
n
f
n
f
n
n
f

=
 Bez smanjenja općenitosti ako je
2

i

1
1
2

=
n
n
, tada  za
1
)
,
(
2
1
=
n
n
imamo sljedeće
( )
2
1
1
1
1
2
1
)
(
1
)
(
)
(
)
1
(
)
(
n
f
n
f
n
f
n
f
n
f
n
n
f
=

=
=

=
.
U svakom slučaju dobivamo da vrijedi definicijsko svojstvo (1.1), tj. f  je multiplikativna
funkcija. Obratno, pretpostavimo da je f  multiplikativna funkcija tada f nije nul funkcija pa
postoji 
n
ℕ tako da je
0
)
(

n
f
. Primjenom (1.1)  s
)
1
,
(
)
,
(
2
1
n
n
n
=
, dobivamo
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
n
f
f
n
f
n
f

=

=
 odakle slijedi
1
)
1
(
=
f
, nakon dijeljenja s
)
(n
f
.
Nadalje za
2

n
, imamo
=
=
k
i
a
p
n
1
1
1 . Brojevi
k
k
a
k
a
k
a
a
p
p
p
p

i

,...,
,
1
2
1
1
2
1
−
−
su relativno prosti i
primjenom (1.1) pa induktivnoimamo
),
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
k
k
k
k
k
a
k
a
a
k
a
k
a
a
k
a
k
a
p
f
p
f
p
f
p
p
f
p
p
p
f
n
f



=
=



=



=
−
−
−
−

dobivamo upravo svojstvo (1.2).

Ako je f  potpuno multiplikativna funkcija, onda za bilo koji prost broj pm imamo
( )
.
)
(
...
)
(
)
(
)
(
1
1
m
m
m
m
p
f
p
f
p
f
p
p
f
p
f
=
=
=

=
−
−

Obratno, ako je f  multiplikativna i zadovoljava
m
m
p
f
p
f
)
(
)
(
=
 za sve proste brojevep i sve
prirodne brojeve  monda se po (1.2) može zapisati kao
)
(
)
(
1
=
=
r
i
i
p
f
n
f
, gdje je
=
=
r
i
i
p
n
1
4

faktorizacija broja n na (ne nužno različite) proste brojeve pi.
Neka su n1i n2 bilo koja dva prirodna brojačije faktorizacije na proste faktore su
.
2
1
2
2
1
1
k
r
s
s
s
n
p
p
p
n



=



=

Tada je
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
2
1
n
f
n
f
s
f
s
f
s
f
p
f
p
f
p
f
n
n
f
k
r
=






=
i slijedi da svojstvo
( ) ( )
2
1
2
1
)
(
n
f
n
f
n
n
f
=
vrijedi za bilo koji par prirodnih brojeva
)
,
(
2
1 n
n
. Stoga je f potpuno
multiplikativna.
□

Teorem 1.1.2. (Produkt i količnik multipikativnih funkcija) Pretpostavimo da su f i g
multiplikativne funkcije. Slijedi:
(i) Produkt fg  definiran s
)
(
)
(
)
)(
(
n
g
n
f
n
fg
=
je multiplikativna funkcija.
(ii) Ako g nije nula, tada je količnik
g
f definiran s
)
(
)
(
)
)(
(
n
g
n
f
n
g
f
=
multiplikativna funkcija.
Dokaz.  Rezultat ovog teoremaslijedi neposredno iz definicije multiplikativnosti.
Dokazat ćemo prvu tvrdnju, a za drugu tvrdnju postupak je analogan.
Neka su fi gdvije multiplikativne funkcije.Neka su m i n relativno prosti brojevi tj. (
) 1
,
=
n
m
.
Iz multiplikativnost funkcijafi g slijedi
( )
).
(
)
(
)
(
)
(
)
(
n
g
m
g
mn
g
n
f
m
f
mn
f
=
=

Tada je
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
n
fg
m
fg
n
g
m
g
n
f
m
f
mn
g
mn
f
mn
fg

=
=
=

Dakle, fg je multiplikativna funkcija.
□

Definicija 1.1.2. Neka je f  aritmetička funkcija . Tada

=
n
d
d
f
n
F
)
(
)
(

predstavlja sumu vrijednosti funkcije f za sve pozitivne djelitelje od n.  Funkcija F se zove
sumativna funkcija od f.

Primjer 1.1.2. Ako je f  aritmetička funkcija sa sumativnom funkcijom F, slijedi


+
+
+
+
+
=
=
18
).
18
(
)
9
(
)
6
(
)
3
(
)
2
(
)
1
(
)
(
)
18
(
d
f
f
f
f
f
f
d
f
F

Npr.  Ako je
2
)
(
d
d
f
=
 i F je sumativna funkcija funkcije f ,  tada je
455
)
18
(
=
F
, jer
.
455
324
81
36
9
4
1
18
9
6
3
2
1
2
2
2
2
2
2
18
2
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=

d
d

5

Teorem 1.1.3. Ako je f multiplikativna funkcija, onda sumativna funkcija funkcije f,

=
n
d
d
f
n
F
)
(
)
(
,  je također multiplikativna.
Dokaz. Da bi pokazali da je F multiplikativna funkcija, moramo pokazati da ako su m i n
relativno prosti prirodni brojevi, onda
).
(
)
(
)
(
n
F
m
F
mn
F
=

Pretpostavimo da (
) 1
,
=
n
m
. Imamo

=
mn
d
d
f
mn
F
).
(
)
(

ako je d pozitivni djelitelj mn tj.
mn
d
i ako je
)
,
(
1
m
d
d =
i
(
)
n
d
d
,
2 =
 onda imamo jedinstven
zapis
1
)
,
(

 te
2
1
2
1
=
=
d
d
d
d
d
 te
n
d
m
d
2
1

i

.  Obratno ako su
2
1,d
d
 pozitivni djelitelji od m i n
, redom, tada je

2
1d
d
d =
djelitelj od mni
(
)
m
d
d
,
1 =
,
(
)
n
d
d
,
2 =
.  Dakle, možemo pisati

=
n
d
m
d
d
d
f
mn
F
2
1
).
(
)
(
2
1

Zato što je f  multiplikativna i
1
)
,
(
2
1
=
d
d
, vidimo da
( )
(
)
).
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
n
F
m
F
d
f
d
f
d
f
d
f
d
f
d
f
mn
F
n
d
m
d
m
d
n
d
m
d
n
d
=
















=
















=








=






□
Primjer 1.1.3.Neka jef multiplikativna funkcija i

=
n
d
d
f
n
F
)
(
)
(
.Pokazat ćemo da
).
7
(
)
4
(
)
28
(
F
F
F
=
 Svaki djelitelj od 28 može biti zapisan kao produkt djelitelja od 4 i
djelitelja od 7 na sljedeći način:
7
4
28

7,
2

14

7,
1
7

1,
4
4

1,
2
2

1,
1
1

=

=

=

=

=

=
 (u svakom
produktu, prvi faktor je djelitelj od 4, a drugi je djelitelj od 7).
Dakle,
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( ) ( )
7
4
7
1
4
2
1
7
4
7
2
7
1
1
4
1
2
1
1
)
7
4
(
)
7
2
(
)
7
1
(
1
4
1
2
)
1
1
(
)
28
(
)
14
(
)
7
(
)
4
(
)
2
(
)
1
(
)
28
(
F
F
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
F
=
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=

+

+

+

+

+

=
+
+
+
+
+
=

Sada ćemopredstaviti  neke istaknute multiplikativne funkcije kao što su Eulerova funkcija,
suma i broj djelitelja, Möbiusova funkcija , a reći ćemo nešto i o savršenim brojevima.

6

1.2 Eulerova funkcija

Eulerova funkcija je jedna od najvažnijih funkcija u teoriji brojeva. Ime je dobila po velikom
matematičaru Leonhardu Euleru (1707.- 1783.)  koji ju je istraživao i predstavio davne 1763.
godine kao funkciju koja „broji broj prirodnih brojeva koji nisu veći od prirodnog broja n i
nemaju zajedničkog djelitelja s n.“  Oznaka Eulerove funkcije je 𝜙 ,koju je uveo Gauss
u Disquisitiones Arithmeticae objavljenim 1801. godine.

Eulerova funkcija 𝜙 je funkcija koja priodnom broju n  pridružuje  broj prirodnih brojeva  koji
nisu veći od n koji su relativno prosti s n.
Navedimo sada preciznu definiciju.
Definicija 1.2.1Neka je n prirodan broj. Broj prirodnih brojeva u nizu 1,2,…n , koji su
relativno prosti s n označava se s
)
(n

. Ovime je definirana  funkcija
:
ℕ⟶ℕ koja se zove
Eulerova funkcija.
Primjer 1.2.1. Izračunajmo ( )
1

i

13

,
6

za

=
=
=
n
n
n
n

.
Rješenje:  Brojevi manji od 6 koji su relativno prosti s 6 su 1 i 5 pa je
2
)
6
(
=

. Broj 13 je
prost broj pa su svi brojevi manji od njega relativno prosti s njim i imamo
12
)
13
(
=

. Ovaj
zaključak za
13
=
n
 može se poopćiti za bilo koji prosti broj.  Konačno za
1.
(1)

je

1
=
=

n

Teorem 1.2.1.  Ako je p prost broj, onda je  ( )
1
−
= p
p

. Obratno, ako je p prirodan broj i
vrijedi ( )
1
−
= p
p

,onda je p prost broj.
Dokaz. Ako je p prost broj, tada svaki prirodan broj manji od p je relativno prost s p. Zbog
toga što postoji
1
−
p
 takvih brojeva, imamo da je ( )
1
−
= p
p

. Obratno, ako p nije prost broj,
onda je
1
=
p
 ili je p  složen broj. Ako je
1
=
p
, onda ( )
1
−
p
p

 jer je ( ) 1
1 =

. Ako je p
složen broj, onda p ima djelitelja di
p
d 

1
 i očito (
) 1
,

d
p
. Znamo da barem jedan od
1
−
p
 brojeva nije relativno prost s p, ( )
2
−
p
p

.  Stoga ako je ( )
1
−
= p
p

, onda p mora
biti prost broj.
□
Teorem 1.2.2. Neka je p prost broj iaϵℕ. Tada je (
)
1
−
−
=
a
a
a
p
p
p

.
Dokaz.  Neka je
1
1
−


a
p
k
. Ako p ne dijeli k, onda su k ipa  relativno prosti. Prema tome
jedini brojevi u nizu
a
p

...,

3,

2,

1,
 koji nisu relativno prosti s pa  su oblika kp. Takvih brojeva
ima
1
−
a
p
, pa je
1
−
−
a
a
p
p
 brojeva manjih od pa  koji su s njim relativno prosti te slijedi da je
(
)
1
−
−
=
a
a
a
p
p
p

.
□
Primjer 1.2.2. Koristeći teorem 1.2.2. nalazimo da je
7

( )
( )
42
7
7
7

,
18
3
3
3
2
2
2
3
3
=
−
=
=
−
=



Pokažimo svojstvo multiplikativnost Eulerove funkcije.
Teorem 1.2.3.  (Multiplikativnost Eulerovefunkcije  ) Neka su m i n relativno prosti prirodni
brojevi. Tada vrijedi (
)
( ) ( )
n
m
mn



=
.
Dokaz.   Na sljedeći način ćemo prikazati sve prirodne brojeve koji ne premašuju mn.

(
)
(
)
(
)
(
)
mn
m
m
m
r
m
n
r
m
r
m
r
m
n
m
m
m
n
m
m
m
n
m
m













3
2
1
2
3
1
3
2
3
3
2
1
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
+
−
+
+
+
−
+
+
+
−
+
+
+
−
+
+

 Želimo izračunati (
)
mn

, dakle trebamo prebrojati koliko elemenata ove tablice je relativno
prosto s (
)
mn

. Pretpostavimo da prirodan broj r ne premašuje m tj.
m
r 

1
 i pretpostavimo
da je (
)
1
,

= d
r
m
. Tada niti jedan broj iz r-tog retka nije relativno prost s mn, jer svaki
element iz ovog retka je oblika
r
km+
, gdje je
1
1
−


n
k
 i  vrijedi da
(
)
r
km
d
+
zato što
r
d
m
d

i

 .
Stoga, kako bismo našli one brojeve iz tablice koji su relativno prosti s mn , moramo
pogledati r-ti redak samo ako vrijedi (
) 1
,
=
r
m
 te moramo pogledati  u onim retcima za koje je
(
)
.
1
,
=
n
m
 Takvih redaka ima ( )
m

.  Neka vrijedi (
) 1
,
=
r
m
, tada svi brojevi u r-tom retku
daju različite ostatke pri dijeljenju s n.
Iz pretpostavke
(
)
n
r
m
k
r
m
k
mod
2
1
+

+
, slijedi
m
k
k
n
)
(
2
1 −
. Budući da su n i m relativno
prosti, a
n
k
k

2
1,
 zaključujemo da  je
2
1
k
k =
.
Neki broj je  relativno prost s n onda i samo onda ako je njegov ostatak pri dijeljenju s n
relativno post s n .  Znači, u r –tom retku ima točno ( )
n

 brojeva relativno prostih s n . Kako
je ( )
n

 brojeva također relativno prosto s m, oni su relativno prosti i s mn.
Zato što ima ( )
m

 redaka, od koji svaki sadrži ( )
n

 relativno prostih brojeva s mn,  možemo
zaključiti da vrijedi (
)
( ) ( )
n
m
mn



=
.
□
8

Kombiniranjem teorema 1.2.2. i teorema 1.2.3. dolazimo do novog teorema i formule za ( )
n

.
Teorem 1.2.4. Neka je nϵℕ,  n>1 dan kanonskim rastavom na proste faktore
.
2
1
2
1
r
a
r
a
a
p
p
p
n



=

Tadaje
( )







−










−







−
=
k
p
p
p
n
n
1
1
1
1
1
1
2
1

.
Dokaz. Kako je 𝜙 multiplikativna funkcija, teorem 1.1.1 nam kaže da vrijedi
( )
(
) (
)
(
)
.
2
1
2
1
k
a
k
a
a
p
p
p
n







=

Dodatno, po teoremu 1.2.2. znamo da vrijedi
(
)
.
,...,
2
,
1

za

1
1
1
k
j
p
p
p
p
p
j
a
j
a
j
a
j
a
j
j
j
j
j
=








−
=
−
=
−


Nadalje imamo,
( )
.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

1
1

1
1

1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1







−










−







−
=







−










−







−



=







−










−







−
=
k
k
a
k
a
a
k
a
k
a
a
p
p
p
n
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
n
k
k


□
Ilustrirajmo primjenu gore navedenog teorema u sljedećem primjeru.
Primjer 1.2.3.  Odredimo koliko je prirodnih brojeva manjih od 50 relativno prostih s 50.
(
)
(
)
20
5
1
1
2
1
1
50
5
2
50
2
=





−





−
=

=

.
Teorem 1.2.5. Ako je n prirodan broj tada vrijedi
( )

=
n
d
n
d

.
Dokaz.Rastavimoskup


n
S
,...,
2
,
1
=
 na disjunktne podskupove
(
)


d
n
m
S
m
Sd
=

=
,
;
.
Zapišemo li jedan element
d
S
m
, kao
d
m
m
dm
m
/
'

 tj.
'
=
=
, vidimo da je



1
)
/
,
/
(

,
/
'
1
;
'
=


=
d
n
d
m
d
n
m
dm
Sd
.
Stoga, broj brojeva u Sd je broj prirodnih brojeva koji ne premašuju n/d i koji su relativno
prosti s brojem n/d. Promatrajući vidimo da vrijedi
(
)
d
n
Sd
/

=
.
9

Zato što je

,


=
=
n
d
d
S
S
n
posljedično, vidimo da je
(
)
( )


=
=
n
d
n
d
d
d
n
n


/
.
Ovime smo dokazali teorem.
□
Primjer 1.2.4. Ilustrirat ćemo dokaz teorema 1.2.5. za
14
=
n
.
Skup


14

...,

2,

1,
=
S
ćemo podijeliti na disjunktne podskupove
d
S , gdje
14
d
tako da
d
S
sadrži one brojeve m sa svojstvom (
)
.
14
,
d
m
=
 Imamo






.
14
12

10,

8,

6,

4,

2,
7
13

11,

9,

5,

3,

1,
14
2
7
1
=
=
=
=
S
S
S
S

Vidimo da
d
S sadrži (
)
d
/
14

 brojeva, pa imamo redom ( )
( )
( )
( )
.
1
1

i

1
2
,
6
7
,
6
14
=
=
=
=





Primjećujemo da je
( )
( )
( )
( )
( )

=
+
+
+
=
14
1
2
7
14
14
d
d





.
Nakon Eulerove funkcije, možemo definirati funkcije djelitelja, broj i suma djelitelja.

1.3Suma i broj djelitelja

U ovom dijelu rada ćemo pokazati da su funkcije suma djelitelja i broj djelitelja
multiplikativne funkcije. Prvo definirajmo jednu i drugu funkciju.
Definicija 1.3.1. Neka je nϵℕ.Suma djelitelja je funkcija ,koja prirodnom broju n
pridružuje sumu (zbroj) svih pozitivnih djelitelja broja n tj. ( )
n

.
Primjer 1.3.1.  Izračunajmo ( )
n

 za
.
10
=
n

Svi pozitivni djelitelji broja 10 su brojevi
10

i

5

2,

1,
 pa imamo da je
( )
18
10
5
2
1
10
=
+
+
+
=

.
Definicija 1.3.2. Neka je nϵℕ. Broj djelitelja je funkcija , koja prirodnom broj n pridružuje
broj svih pozitivnih djelitelja broja n, ( )
n

,
Primjer 1.3.2.  Odredimo
( )
n

za
.
24
=
n
Svi pozitivni djelitelji broja 24 su brojevi
24

12,

8,

6,

4,

3,

2,

,
1
pa slijedi da je (
) 8
24 =

.
Primjetimo da ( )
( )
n
n



i

 možemo iskazati u sumativnoj notaciji
( ) 
=
n
d
d
n

;
i
( )
1

=
n
d
n

.
Svojstvo multiplikativnosti ovih funkcija iskazat ćemo u sljedećem korolaru, a pokazat ćemo
ga koristeći teorem 1.1.3.
Korolar 1.3.1.Suma djelitelja, funkcija  i broj djelitelja, funkcija su multiplikativne
funkcije.
Dokaz.  Neka je
n
n
f
=
)
(
 i
.
1
)
(
=
n
g
 Funkcije f  i g su mulitplikativne ( primjer 1.1.1.).
10

Po teoremu 1.1.3. vidimo da


=
=
n
d
n
d
d
g
n
d
f
n
)
(
)
(

i

)
(
)
(


su multiplikativne.
□

Lema 1.3.1.  Neka je p prost broj i a  prirodan broj. Tada
1
1
...
1
)
(
1
2
−
−
=
+
+
+
+
=
+
p
p
p
p
p
p
a
a
a


i
.
1
)
(
+
= a
pa


Dokaz. Svi pozitivni djelitelji od
a
p  su
a
a
p
p
p
p

,
...,

,

,

,
1
1
2
−
.Prema tome,
a
p  ima točno
1
+
a
djelitelja
pa
je
1
)
(
+
= a
pa

.
Također,
primjetimo
da
je
1
1
...
1
)
(
1
1
2
−
−
=
+
+
+
+
+
=
+
−
p
p
p
p
p
p
p
a
a
a
a

koristeći formulu za sumu članova geometrijskog
niza.
□

Primjer 1.3.3.  Kada upotrijebimo lemu 1.3.1 s
3

i

7
=
=
a
p
, nalazimo da je
400
1
7
1
7
7
7
7
1
)
7
(
4
3
2
3
=
−
−
=
+
+
+
=

 i
4
1
3
)
7
(
3
=
+
=

.Lema 1.3.1 i korolar 1.3.1 vode do
sljedećih formula.

Teorem 1.3.1. Neka je n prirodan broj koji ima kanonski rastav
r
a
r
a
a
p
p
p
n



=
2
1
2
1
.
Tada je

=
+
+
+
+
−
−
=
−
−





−
−

−
−
=
r
j
j
a
j
r
a
r
a
a
p
p
p
p
p
p
p
p
n
j
r
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1

1
1
1
1
)
(
2
1


i
(
)(
)
(
)
(
)

=
+
=
+



+
+
=
r
j
j
r
a
a
a
a
n
1
2
1
1
1
1
1
)
(

.
Dokaz. Zato što su  i  multiplikativne, vidimo da je
(
)
r
a
r
a
a
p
p
p
n



=
2
1
2
1
)
(



(
) (
)
(
)
r
a
r
a
a
p
p
p






=
2
1
2
1
i ( )
(
)
(
) (
)
(
)
r
r
a
r
a
a
a
r
a
a
p
p
p
p
p
p
n








=



=
2
1
2
1
2
1
2
1
. Uvrštavanjem
vrijednosti za

)
(

i

)
(
i
i
a
i
a
i
p
p


koje nalazimo u lemi 1.3.1., dobivamo željene formule.
□

U sljedećem primjeru ilustirat ćemo korištenje teorema 1.3.1.

Primjer 1.3.4.  Odredimo
)
(n

i
)
(n

 za
100
=
n
 i
120
=
n
.
Rješenje:  Koristimo teorem 1.3.1. i dobivamo prvo za
100
=
n
sljedeće
11

,
217
31
7
1
5
1
5
1
2
1
2
)
5
2
(
)
100
(
3
3
2
2
=

=
−
−

−
−
=

=


(
)(
)
9
1
2
1
2
)
5
2
(
)
100
(
2
2
=
+
+
=

=

.

Sada na isti način računamo za
120
=
n
 i imamo
,
360
6
4
15
1
5
1
5
1
3
1
3
1
2
1
2
)
5
3
2
(
)
120
(
2
2
4
3
=


=
−
−

−
−

−
−
=


=


(
)(
)(
) 16
1
1
1
1
1
3
)
5
3
2
(
)
120
(
3
=
+
+
+
=


=

.

1.4 Savršeni brojevi

Za  prosti  broj  p  vrijedi
p
p
p
2
1
)
(

+
=

. Prostih brojeva ima beskonačno mnogo pa
slijedi da postoji beskonačno mnogo brojeva n  za koje vrijedi
n
n
2
)
(


.
Isto tako postoji i beskonačno mnogo brojeva n  za koje vrijedi
n
n
2
)
(


. Na primjer, neka
je
5
2 
=
k
n
, slijedi
(
)
n
k
k
k
k
k
2
5
2
6
1
2
1
5
1
5
1
2
1
2
)
5
(
)
2
(
)
5
2
(
1
1
2
1
=



−
=
−
−

−
−
=
=

+
+
+



, ako
je
1
k 
.
Mi ne znamo postoji li beskonačno mnogo brojeva n  za koje vrijedi
n
n
2
)
(
=

. Brojevi koji
ispunjavaju navedenu jednakost su savršeni brojevi.

Definicija 1.4.1. Neka je n prirodan broj i vrijedi
n
n
2
)
(
=

, tada n zovemo savršeni broj.

Za prirodan broj kažemo da je savršen ako je jednak sumi svojih pravih djelitelja.
Primjer 1.4.1. Primjeri savršenih brojeva su brojevi 6 i 28.
Zato što je
6
2
12
6
3
2
1
)
6
(

=
=
+
+
+
=

, vidimo da je 6 savršen broj.
Također primjećujemo da
28
2
56
28
14
7
4
2
1
)
28
(

=
=
+
+
+
+
+
=

 pa je 28 još jedan
savršeni broj.

Naziv savršeni brojevi su dobili od Pitagorejaca, koji suim pridavali mistična svojstva.
Problem određivanja parnih savršenih brojeva datira od  starih Grka.Stari Grci su poznavali
samo četiri savršena broja: 6, 28, 496, 8128 koji su navedeni u Nikomahovoj
knjiziIntroductioArithmeticae.

Algoritam za pronalaženje parnih savršenih brojeva dao je Euklid oko 300.godine prije Krista.
Računamo parcijalne sume reda
...
8
4
2
1
+
+
+
+
 ako je zbroj prost, pomnožimo ga
posljednjim pribrojnikom  i imamo savršeni broj.
Primjer 1.4.2. Pokažimo kako na taj način dolazimo da navedena četiri savršena broja.
12

8128
64
127
,
127
64
32
16
8
4
2
1
496
16
31
,
31
16
8
4
2
1
28
4
7
,
7
4
2
1
6
2
3
,
3
2
1
=

=
+
+
+
+
+
+
=

=
+
+
+
+
=

=
+
+
=

=
+

Oko 2000 godina nakon Euklida, Euler je dopunio njegov rezultat.

Teorem 1.4.1.  Paran broj n je savršen ako i samo ako se može prikazati u obliku
)
1
2
(
2
1
−
=
−
k
k
n

pri čemu je
1
2 −
k
 prost broj.
Dokaz. Neka je
)
1
2
(
2
1
−
=
−
k
k
n
, gdje je
1
2 −
k
prost broj.  Direktno imamo da je
1
2
1
2
1
2
2
...
4
2
1
)
2
(
1
1
1
1
−
=
−
−
=
+
+
+
+
=
+
−
−
−
k
k
k
k

 te
k
k
k
2
1
2
1
)
1
2
(
=
−
+
=
−

. Zato što su
1
2 −
k
i
1
2 −
k
relativno prosti, multiplikativnost funkcije  povlači
)
1
2
(
)
2
(
)
(
1
−
=
−
k
k
n




n
k
k
2
2
)
1
2
(
=

−
=
 pa je n savršen broj.
Obratno, neka je n  sada savršen broj. Možemo ga napisati u obliku
m
n
k

=
−1
2
, pri čemu je
2

k
cijeli broj i m neparan broj.  Brojevi
1
2 −
k  i m su relativno prosti imultiplikativnost
funkcije  povlači
)
(
)
1
2
(
)
(
)
2
(
)
(
1
m
m
n
k
k




−
=
=
−
. S druge strane kako je n savršen,
vrijedi
n
n
2
)
(
=

 pa dobivamo
m
m
k
k

=
−
2
)
(
)
1
2
(

. Brojevi
1
2 −
k
i
k
2 su relativno prosti te
je ova jednakost moguća samo ako za neki  cijeli broj q vrijedi
q
m
k 
= 2
)
(

.
Tada mora biti ispunjeno  i
m
q
k
=
−)
1
2
(
, a sada slijedi
q
m
q
1
q
m
σ(m)
+
=








+
=
.
Iz prethodne relacije vidimo da je q djelitelj broja m, a odavde čitamo da je q jedini djelitelj
od m različit od m, pa morabiti
1.
q =
 Sada je
1
)
(
+
= m
m

pa je m prost. Dalje vidimo da je
on jednak
1
2 −
=
k
m
i time je tvrdnja dokazana.
□
Napomenimo da  su postavljani mnogi uvjeti koje treba zadovoljavati neparan savršen broj,
no još nije poznato postoji li ijedan neparan savršen broj.

Prema teoremu 1.4.1., važnu ulogu u određivanju pranih savršenih brojeva imaju prosti
brojevi oblika
1
2 −
k
. Upravo takvi brojevi su sadržani u Mersennovim brojevima, koji su
brojevi oblika
1
2 −
=
n
n
M
, pri čemu je n prirodan broj.  Ovi su brojevi nazvani po
francuskom redovniku i matematičaru Marinu Mersenneu koji je živio u drugoj polovici 16.
stoljeća i prvoj polovici 17. stoljeća.

13

1.5 Möbiusova funkcija

Möbiusova funkcija je vrlo bitna multiplikativna funkcija u teoriji brojeva i kombinatorici
koja je dobila ime po njemačkom matematičaru i astronomu Augustu Ferdinandu Möbiusu.
Definicija 1.5.1.  Möbiusova funkcija,
)
(n

, je definirana sa








=
=
−
=
n.

ostale

za
p
p
p
n

je

ako
1
n

je

ako
0;
;
1)
(
1;
μ(n)
r
2
1
r
,
gdje su
r
p
p
p
,...,
,
2
1
 u parovima različiti prosti brojevi.
Iz definicije vidimo da je
)
(n

 definirana za sve prirodne brojeve n i poprima vrijednosti iz
skupa 

1
,
0
,
1
−
.  Vrijedi da je
1
)
(
=
n

, ako je n kvadratno slobodan prirodan broj sa parnim
brojem prostih faktora,
1
)
(
−
=
n

, ako je n kvadratno slobodan prirodan broj s neparnim
brojem prostih faktora, a
0
)
(
=
n

 ako n nije kvadratno slobodan.  Napomenimo da  za
prirodan broj n kažemo da je kvadratno slobodan ako je 1 najveći kvadrat koji dijeli n.
Služeći se defincijom možemo napraviti sljedeću tablicu vrijednosti Möbiusove funkcije za
prvih deset prirodnih brojeva.

n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
)
(n


1
-1
-1
0
-1
1
-1
0
0
1
Tablica 1.5.1. Vrijednosti funkcije μ(n)

Sada ćemo iskazati i dokazati teorem o multiplikativnosti Möbiusove funkcije, što dolazi
direktno iz definicije.
Teorem 1.5.1.Möbiusova funkcija μ je multiplikativna funkcija.
Dokaz.  Neka su m i n relativno prosti brojevi. Kako bismo pokazali da je
)
(n


multiplikativna, trebamo pokazati da vrijedi
).
(
)
(
)
(
m
n
mn



=

Neka su
2
,

n
m
, koji imaju prikaze
r
k
b
r
b
b
a
k
a
a
s
s
s
n
p
p
p
m



=



=
2
1
2
1
2
1
2
1

pri čemu su
r
k
s
s
s
p
p
p

...,

,

,

,
...,

,

,
2
1
2
1
 različiti prosti brojevi i
r
k
b
b
b
a
a
a

...,

,

,

,
...,

,

,
2
1
2
1
prirodni
brojevi. Ako je neki od od eksponenata broja m strogo veći od 1, tada je
0
)
(
=
m

. Tada
imamo i u faktorizaciji broja mn eksponent strogo veći od 1, pa je
0
)
(
=
mn

 i vrijedi
).
(
)
(
0
)
(
m
n
mn



=
=
 Analogno, dobijemo ako je neki od eksponenata broja n strogoveći
od 1.U slučaju, ako su svi eksponetni jednaki 1,   tada je
r
k
r
k
mn
n
m
+
−
=
−
=
−
=
)
1
(
)
(
,
)
1
(
)
(
,
)
1
(
)
(



.
i vrijedi
).
(
)
(
)
(
m
n
mn



=

Kada je jedan od brojeva
1

ili

1
=
=
n
m
, lako se dokaže  multiplikativnost. Za

1
=
m
, vidimo
14

da vrijedi
)
(
)
(
)
(
)
(
n
m
n
mn




=
=
. Slično se pokaže i za
1
=
n
.
□

Teorem 1.5.2. Sumativna funkcija Möbiusove funkcije za sve nϵℕ,

=
n
d
d
n
F
)
(
)
(

,
zadovoljava





=
=
n
d
n
n
d
.
1
;
0
1
;
1
)
(


Dokaz. Prvo razmotrimo slučaj za
1
=
n
. Imamo

=
=
=
1
1
)
1
(
)
(
)
1
(
d
d
F


.
Pogledajmo sada za
1

n
. Po teoremu 1.1.3. kako je μ multiplikativna funkcija, slijedi da je i
sumativna funkcija

=
n
d
d
n
F
)
(
)
(

, također multiplikativna.
 Sada, pretpostavimo da je p prost broj i k prirodan broj. Vidimo da je
0
0
...
0
)
1
(
1
)
(
...
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
2
=
+
+
+
−
+
=
+
+
+
+
=
= 
k
p
d
k
p
p
p
d
p
F
k






jer je
0
)
(
=
i
p

 za svaki
2

i
.
Konačno, pretpostavimo da je n prirodan broj,
1

n
, koji ima kanonski prikaz
r
a
r
a
a
p
p
p
n



=
2
1
2
1
.
Kako je F multiplikativna funkcija slijedi
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
r
a
r
a
a
p
F
p
F
p
F
n
F



=
. Kako je svaki
faktor na desnoj strani ove jednadžbe 0, slijedi da je
0
)
(
=
n
F
.
□

Neka je f aritmetička funkcija i neka je F definirana s izrazom

=
n
d
d
f
n
F
)
(
)
(
, sumativna
funkcija funkcije f ,  čije su vrijednosti iskazane preko vrijednosti funkcije f.  Možemo li ovu
vezu zaokrenuti?  Postoji li način da vrijednosti funkcije f prikažemo preko vrijednost
funkcije F ?
Zapišimo funkcijske vrijednosti
)
(n
F
 za
7
...,

,
2

,
1
=
n
.
)
7
(
)
1
(
)
7
(
)
6
(
)
3
(
)
2
(
)
1
(
)
6
(
)
5
(
)
1
(
)
5
(
)
4
(
)
2
(
)
1
(
)
4
(
)
3
(
)
1
(
)
3
(
)
2
(
)
1
(
)
2
(
)
1
(
)
1
(
f
f
F
f
f
f
f
F
f
f
F
f
f
f
F
f
f
F
f
f
F
f
F
+
=
+
+
+
=
+
=
+
+
=
+
=
+
=
=

Sada izrazimo iz tih jednakosti, redom, vrijednosti funkcije
)
(n
f
 za
7
...,

,
2

,
1
=
n
.
15

)
1
(
)
7
(
)
7
(
)
1
(
)
2
(
)
3
(
)
6
(
)
6
(
)
1
(
)
5
(
)
5
(
)
2
(
)
4
(
)
4
(
)
1
(
)
3
(
)
3
(
)
1
(
)
2
(
)
2
(
)
1
(
)
1
(
F
F
f
F
F
F
F
f
F
F
f
F
F
f
F
F
f
F
F
f
F
f
−
=
+
−
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
=

Primjetimo da je
)
(n
f
 jednako sumi izraza, koji su oblika
)
/
(
d
n
F

, pri čemu
n
d
.
Multiplikativna svojstva mogu biti korisna pri dokazivanju identiteta između aritmetičkih
funkcija. Povezanost aritmetičkih funkcija vidimo u Möbiusovoj formuli inverzije koju
iskazujemo u sljedećem teoremu.

Teorem 1.5.3. ( Möbiusova formula inverzije) Neka je f aritmetička funkcija, te neka je F
sumativna funkcija funkcije f ,

=
n
d
d
f
n
F
)
(
)
(
. Tada je za sve prirodne brojeve n,

=
n
d
d
n
F
d
n
f
)
/
(
)
(
)
(

.
Dokaz. Dokaz ove formule uključuje manipulacije sa dvostrukim sumama. Započinjemo sa
sumom na desnoj strani formule, supstituirajući za
)
/
(
d
n
F
 izraz 
)
/
(
)
(
d
n
e
e
f
, što dolazi iz
definicije za funkciju F kao sumativnu funkciju funkcije f. Sada imamo
.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
/
(












=








=
n
d
d
n
e
n
d
n
d
d
n
e
e
f
d
e
f
d
d
n
F
d




Uočimo da ako
)
/
(
d
n
e
onda slijedi i da
n
e
. Za svaki djelitelj e od n,e dijeli n/dako i samo
ako
)
/
(
e
n
d
pa tada d dijeli i n. Dalje slijedi
.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
/
(
)
/
(
)
/
(












=








=








n
e
e
n
d
n
e
e
n
d
n
d
d
n
e
d
e
f
d
e
f
e
f
d




Sada po teoremu 1.5.2. vidimo da je 
=
)
/
(
0
)
(
e
n
d
d

, osim ako je
1
/ =
e
n
.
Kada je
1
/ =
e
n
, za
e
n =  ova je suma jednaka 1. Posljedično,
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
/
(
n
f
n
f
d
e
f
n
e
e
n
d
=

=










.
Ovim je dokaz završen.
16

□
Po teoremu 1.1.3. znamo da ako je f multiplikativna funkcija, tada je i sumativna funkcija,

=
n
d
d
f
n
F
)
(
)
(
.  Korisna posljedica Möbiusove formule inverzije je da vrijedi i obratna
tvrdnja.

Teorem 1.5.4. Neka je f aritmetička funkcija sa sumativnom funkcijom

=
n
d
d
f
n
F
)
(
)
(
.
 Ako je F multiplikativna funkcija, onda je f  također multiplikativna.

Dokaz. Pretpostavimo da su m i n relativno prosti prirodni brojevi. Želimo pokazati da vrijedi
)
(
)
(
)
(
n
f
m
f
mn
f
=
. Znamo da ako je d djelitelj od mn, onda postoji jedinstveni par djelitelja
takvih da je
2
1d
d
d =
, pri čemu
n
d
m
d
2
1

,
 i
.
1
)
,
(
2
1
=
d
d
 Koristeći Möbiusovu formulu
inverzije i činjenicu da su μ i F multiplikativne funkcije, vidimo da je










=






=
n
d
m,
d
2
1
2
1
mn
d
2
1
d
d
mn
)F
d
μ(d
d
mn
μ(d)F
f(mn)

□
Kao posljedicu teorema 1.5.3. imamo sljedeći korolar.
Korolar 1.5.1. Za proizvoljni prirodni broj n vrijedi

=
n
d
d
d
n
n
)
(
)
(


.
Na taj način smo povezali Eulerovu i Möbiusovu funkciju.
Primjer 1.5.1. Izračunajmo vrijednost Eulerove funkcije
)
72
(

koristeći vrijednosti
Möbiusovih funkcija.
Rješenje:  Djelitelji broja 72 su:
72

i

36

,
24

,
18

,
12

,
9

,
8

,
6

,
4

,
3

,
2

,
1
. Po formuli imamo
.
72
)
72
(
36
)
36
(
...
3
)
3
(
2
)
2
(
1
)
1
(
72
)
(
72
)
(
)
72
(
72






+
+
+
+
+
=
=
=
=










d
n
d
d
d
d
d
n

).
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
2
2
1
1
,
2
1
2
1
n
f
m
f
d
n
F
d
d
m
F
d
d
n
F
d
m
F
d
d
m
d
n
d
n
d
m
d
=

















=
















=







17

Potrebno je izračunati
1
)
6
(

,
1
(3)

,
1
)
2
(

,
1
)
1
(
=
−
=
−
=
=




. Ostale funkcijske vrijednost su
0
)
(
=
i

. Konačno, uvrštavanjem dobivenih vrijednosti imamo
24
6
1
3
1
2
1
1
1
72
)
72
(
=






+
−
−
=

.

Napomena 1.5.1.Möbiusova funkcija i Eulerova funkcijanisu potpuno multiplikativne
funkcije. Teoremom 1.2.3. smo dokazali da je Eulerova funkcija multiplikativna, međutim
nije potpuno multiplikativna jer na primjer
)
2
(
)
2
(
)
4
(





. Znamo da je
2
)
4
(
=

, ali
1
)
2
(
)
2
(
=


. Također, u teoremu 1.5.1. smo dokazali da je Möbiusova funkcija
multiplikativna,  ali kao i za funkciju  vidimo da
)
2
(
)
2
(
)
4
(





 , jer je
0
)
4
(
=

, a
1
)
2
(
)
2
(
=


.

18

Poglavlje 2

Neke karakterizacije potpuno
multiplikativnih funkcija

Postoji nekoliko korisnih binarnih operacija na skupu aritmetičkih funkcija. Neka su f i g
aritmetičke funkcije njihova suma
g
f +
i produkt fg  definirani su na uobičajen način:
)
(
)
(
)
)(
(
n
g
n
f
n
g
f
+
=
+
,  za sve n
i
)
(
)
(
)
)(
(
n
g
n
f
n
fg
=
, za sve n.
Konstantne funkcije
0
=
f
i
1
=
f
, redom, su neutralni elementi s obzirom na te binarne
operacije. Aditivni i multiplikativni inverzi funkcije f  su
f
f
1

,
−
 redom.
Sada ćemo definirati novu operaciju na skupu aritmetičkih funkcija Dirichletov produkt
(konvolucija).

2.1 Dirichletov produkt (konvolucija)

Definicija 2.1.1.  Dirichletov produkt
g
f 
 aritmetičkih funkcija f i g je aritmetička funkcija
definirana sa







=

n
d
d
n
g
d
f
n
g
f
)
(
)
)(
(

za svaki 
n
ℕ.

Dirichletov produkt ima lijepa algebarska svojstva koja su iskazana sljedećim teoremima.

Teorem 2.1.1. Neka su
h
g
f

i

,

,
 proizvoljne aritmetičke funkcije, tada vrijedi
(i)
f
g
g
f

=

( komutativnost),
(ii)
)
(
)
(
h
g
f
h
g
f


=


 (asocijativnost),
(iii)
h
f
g
f
h
g
f

+

=
+

)
(
 (distributivnost).

Dokaz.  U ovom dokazu koristit ćemo definiciju Dirichletovog produkta zapisanu u
simetričan oblik

=
=

n
ab
b
g
a
f
n
g
f
)
(
)
(
)
)(
(

(2.1)

Pri čemu se sumira po svim parovima prirodnih brojeva (a,b) s produktom n.
(i) Kako bismo dokazali komutativnost, koristimo simetrični zapis Dirichletova produkta
19

(2.1). Kako je produkt prirodnih brojeva komutativan pišemo


=
=

=
=
=

n
ba
n
ab
n
f
g
a
f
b
g
b
g
a
f
n
g
f
)
)(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
, pa je operacija komutativna.
(ii) Za dokazivanje asocijativnosti također koristimo (2.1) pa slijedi
(
)
(
)
).
(
)
(
)
)(
)(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
n
h
g
f
e
h
g
c
f
b
h
d
g
c
f
b
h
d
g
c
f
b
h
d
g
c
f
b
h
a
g
f
n
h
g
f
n
ce
n
cdb
n
ce
e
db
n
ab
n
ab
a
cd






=
=
=
=
=
=
=


=

=
=
=






=

=



Na ovaj način dokazali smo asocijativnost.
Preostaje još dokazati (iii). Koristimo također izraz (2.1) i računamo
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)(
)(
(
)
(
)
(
n
h
f
g
f
b
h
a
f
b
g
a
f
b
h
b
g
a
f
b
h
g
a
f
n
h
g
f
n
ab
n
ab
n
ab
n
ab

+

=
+
=
+
=
+
=
+





=
=
=
=

Te smo dokazali da je Dirichletov produkt distributivan.
□
Iz teorema 2.1.1. slijedi da je skup svih aritmetičkih funkcija, zajedno s binarnim operacijama
zbrajanja i Dirithletov produkt, Abelov prsten.
Definicija 2.1.1.  Aritmetička funkcija I  definirana s




=
=
1
n

0;
1
n

1;
I(n)

zove se identiteta.
Napomena 2.1.1. Očito je






= n
n
I
1
)
(
, gdje je






 oznaka za najveće cijelo.
Teorem 2.1.2.  Funkcija I je neutralni element za . Tada za sve aritmetičke funkcije f vrijedi
f
f
I
I
f
=

=

.

Dokaz. Neka je f aritmetička funkcija i n prirodan broj. Imamo
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
n
f
n
d
d
f
d
n
I
d
f
n
I
f
n
d
n
d
=






=






=




jer je
0
=






n
d
, ako je
n
d 
.
□
Definicija 2.1.2. Neka je f aritmetička funkcija. Aritmetička funkcija
1
−
f
za koju vrijedi
20

I
f
f
f
f
=

=

−
−
1
1

zove se  Dirichletov inverz funkcije f.
Teorem 2.1.3.  Ako je f aritmetička funkcija i
0
)
1
(

f
, tada postoji takva jedinstvena
aritmetička  funkcija g takva da vrijedi
,
I
g
f
=

 tj. postoji jedinstveni Dirichletov inverz
funkcije f.
Dokaz.  Neka jef  aritmetička funkcija za koju vrijedi
0
)
1
(

f
. Prema definiciji, funkcija g je
Dirichletov inverz funkcije f ako vrijedi
1
)
1
(
)
1
)(
(
=
=

I
g
f
 te za sve
1

n
0
)
(
)
)(
(
=
=

n
I
n
g
f
. Imamo sljedeći beskonačni sustav jednadžbi
)
(
1
A
1
)
1
(
)
1
(
=
g
f

)
(
n
A

)
(d
g
d
n
f
n
d







=0
Trebamo dokazati da sustav

=1
)
(
n
n
A
ima jedinstveno rješenje. To ćemo pokazati induktivno.
Za
1
=
n
, jednadžba
)
(
1
A daje
)
1
(
/
1
)
1
(
f
g
=
, što je definirano za
0
)
1
(

f
. Zaključujemo da je
)
1
(
g
 jedinstveno definiran.
Neka je sada
1

n
  te pretpostavimo da postoje jedinstvene vrijednosti  za
)
1
(

...,

),
2
(

),
1
(
−
n
g
g
g
 takve da jednadžbe
)
(
1
A  do
)
(
1
−
n
A
vrijede. Po teoremu je
0
)
1
(

f
te je
jednadžba
)
(
n
A
je ekvivalentna
)
(
)
1
(
1
)
(
,
d
g
d
n
f
f
n
g
n
d
n
d







−
=
.  Kako desna strana ovog
izraza uključuje samo vrijednosti od
)
(d
g
za koje je
n
d 
, tako se jedinstveno određuje
)
(n
g
. Definiranjem
)
(n
g
kao
)
(
)
1
(
1
)
(
,
d
g
d
n
f
f
n
g
n
d
n
d







−
=

vidimo da
)
(
n
A
vrijedi.
□
Iz teorema 2.1.3. vidimo da Dirichletov inverz aritmetičke funkcije f ( ako je
0
)
1
(

f
) mo-
žemo izraziti prema definiciji Dirichletovog inverza sljedećim načinom:
za
1
=
n

1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
)(
(
=
=
=

I
g
f
g
f
, pa je
)
1
(
/
1
)
1
(
f
g
=
.
Iz ovoga vidimo da aritmetička funkcija nemaDirichletovog inverza ako broju 1 pridružuje
broj 0.
za
2
=
n

f(1)
f(2)g(1)
g(2)
0,
I(2)
f(2)g(1)
f(1)g(2)
g)(2)
(f
−
=
=
=
+
=


i općenito za
1

n

21

)
(
)
1
(
1
)
(
,
d
g
d
n
f
f
n
g
n
d
n
d







−
=
.
Jedan od razloga uvođenja Dirichletovog produkta je da mnoge aritmetičke funkcije imaju
oblik Dirichletovog produkta te se brojni identiteti između aritmetičkih funkcija mogu zapisati
pomoću Dirichletovog produkta. Pogledajmo sljedeći primjer na multiplikativnim funkcijama
koje smo navodili u prethodnom poglavlju.
Primjer 2.1.1.
(i) Za funkciju vrijedi
u
u 
=

, pri čemu je u  funkcija koja svakom broju pridružuje 1.
Dokaz. Po definiciji  je

=
n
d
n
1
)
(

 i zapišimo je  kao







= 
d
n
u
(d)
u
τ(n)
n
d
. Vidimo da je 
konvolucija funkcijau  pa vrijedi
u
u 
=


□
(ii) Za Möbiusovu funkciju vrijedi
I
u =


.
Dokaz. (
)


=
=
=

n
d
n
d
I(n)
μ(d)
)
d
n
μ(d)u(
(n)
u
μ
, pri čemu zadnja jednakost vrijedi po
teoremu 1.5.2.
□
(iii)


=
id
.
Dokaz. U dokazu koristimo korolar 1.5.1.  i teorem 1.5.2.  pa slijedi
id)(n)
(μ
d
n
μ(d)
d
μ(d)
n
φ(n)
n
d
n
d

=
=
=



odakle slijedi tvrdnja.
□
Napomena 2.1.2.Budući da je
I
u =


, Möbiusova funkcija je Dirichletov inverz jedinične
funkcije.

U ovom potpoglavlju vidjeli smo da je definirani Dirichletov produkt komutativan i
asocijativan. Također, aritmetička funkcija I definirana definicijom 2.1.1. je jedinični element
Dirichletovog produkta.  U teoremu 2.1.3. vidjeli smo da ako je
0
)
1
(

f
, tada f  ima
jedinstveni inverz
1
−
f
tako da je
I
f
f
=

−1
 , zapravo
1
−
f
 može se izračunati rekurzivnim
formulama


−
−
−







−
=
=
1
d
n,
d
1
1
1
1
n

,
d
n
f(d)f
f(1)
1
(n)
f
,
f(1)
1
(1)
f
.

22

Prema tome, skup aritmetičkih funkcija s
0
)
1
(

f
 uz Dirichletov produkt je Abelova grupa.
Multiplikativne funkcije su podgrupa ove grupe. Međutim, potpuno multiplikativne funkcije
nisu podgrupa, jer Dirichletov produkt dvije potpuno multiplikativne funkcije ne mora biti
potpuno multiplikativna funkcija.

2.2 Neke karakterizacije potpuno multiplikativnih funkcija

Za aritmetičku funkciju f koja nije nul funkcija kažemo da je multiplikativna ako
)
(
)
(
)
(
n
f
m
f
mn
f
=
,  za sve
1
)
,
(
=
n
m
,
te kažemo da je potpuno multiplikativna ako
)
(
)
(
)
(
n
f
m
f
mn
f
=
, za sve prirodne brojeve m i n.
Također, u prvom poglavlju pokazali smo da ako je f multiplikativna funkcija onda je
1
)
1
(
=
f

i
)
(
)
(
)
(
1
1
1
1
r
r
a
r
a
a
r
a
p
f
p
f
p
p
f



=



, gdje su
i
p međusobno različiti prosti brojevi.
U nastavku ćemo izreći neka svojstva multiplikativnih i potpuno multiplikativnih funkcija.
Iskazat ćemo neke nužne i dovoljne uvjete da bi multiplikativna funkcija fbila potpuno
multiplikativna. Iz gore napisanog, vidimo da je jedan takav uvjet

f(m)f(n)
f(mn)
,
=
 za sve relativno proste prirodne brojeve m i n
(2.2)
sljedeći je
a
a
p
f
p
f
)
(
)
(
=
, za sve proste brojeve p i prirodne brojeve
1

a

(2.3)
i još jedan je
)
(
)
(
)
(
1
−
=
a
a
p
f
p
f
p
f
, za sve proste brojeve p i prirodne brojeve
1

a

(2.4)
Ostali nužni i dovoljni uvjeti mogu biti dani u terminima Dirichletovog produkta
kojeg smo definirali u prethodnom potpoglavlju.
Za početak pokažimo da je konvolucija dvije multiplikativne funkcije, takoder multiplikativna
funkcija.
Teorem 2.2.1. Ako su f i g multiplikativne funkcije, onda je njihov Dirichletov produkt
g
f 
multiplikativna funkcija.
Dokaz.  Neka su f i g multiplikativne funkcije i neka je
g
f
h

=
. Za relativno proste brojeve
m i n moramo pokazati da je
)
(
)
(
)
(
n
h
m
h
mn
h
=
. Znamo da svaki djelitelj d od mn, može biti
jedinstveno faktoriziran kao
2
1d
d
d =
, tako da
m
d1
i
n
d2 , gdje za bilo koji par (
)
2
1,d
d
 s
m
d1
i
n
d2 , produkt
2
1d
d
d =
zadovoljava
n
m
d
. Zbog toga imamo










=






=
m
d
n
d
mn
d
d
d
mn
g
d
d
f
d
mn
g
d
f
mn
h
1
2
2
1
2
1
)
(
)
(
)
(
.
Kako je
1
)
,
(
=
n
m
, svaki djelitelji
2
1
, d
d
( takvi da
m
d1
i
n
d2 ) zadovoljavaju(
) 1
,
2
1
=
d
d
 i
23

1
,
2
1
=








d
n
d
m
.  Primjenimo li u gornjoj sumi multiplikativnost funkcija f i g slijedi
(
)

(
)


).
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
1
1
n
h
m
h
n
g
f
m
g
f
d
n
g
d
f
d
m
g
d
f
d
n
g
d
f
d
m
g
d
f
mn
h
n
d
m
d
m
d
n
d
=


=
































=
















=





To je i trebalo dokazati.
□
Pokažimo sada je je inverz multiplikativne funkcije također multiplikativna funkcija.

Teorem 2.2.2. Ako je f multiplikativna funkcija onda je
1
−
f
multiplikativna funkcija.
Dokaz. Neka je f multiplikativna funkcija i
1
)
,
(
=
n
m
. Trebamo dokazati da za inverz
1
−
f
vrijedi
)
(
)
(
)
(
1
1
1
n
f
m
f
mn
f
−
−
−
=
. Ako je
1
=
= n
m
, onda
)
(
)
(
1
)
(
1
1
1
n
f
m
f
mn
f
−
−
−
=
=
.
Pretpostavimo da
1

mn
i  da
)
(
)
(
)
(
1
1
1
1
1
1
1
n
f
m
f
n
m
f
−
−
−
=
, za sve prirodne brojevem1 i n1pri
čemu je

1
)
,
(
1
1
=
n
m
i
mn
n
m

1
1
. Ako je bilo koji od brojeva m ili n jednak jedan tada sigurno
vrijedi
)
(
)
(
)
(
1
1
1
n
f
m
f
mn
f
−
−
−
=
. Pretpostavimo sa da su i m i n različiti od 1.
Iz dokaza teorema 2.1.3, imamo
.
d
mn
f(d)f
(mn)
f
1
d
,
mn
d
1
1


−
−






−
=

Kako je
1
)
,
(
=
n
m
, svaki djelitelji
2
1
, d
d
( takvi da
m
d1
i
n
d2 ) zadovoljavaju(
) 1
,
2
1
=
d
d
 i
1
,
2
1
=








d
n
d
m
.  Stoga slijedi


−
−








−
=
1
d
d
n
d
m,
d
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
d
d
mn
)f
d
f(d
(mn)
f
,
i kako je
mn
d
n
d
m

















2
1
 gornja jednakost je jednaka


−
−
−
















−
=
1
d
d
n
d
,
m
d
2
1
1
1
2
1
1
2
1
2
1
d
n
f
d
m
)f
)f(d
f(d
(mn)
f

 Želimo dokazati da je
)
(
)
(
)
(
1
1
1
n
f
m
f
mn
f
−
−
−
=
 tj možemo pisati
0
(n)
(m)f
f
(mn)
f
1
1
1
=
−
−
−
−
. Raspišemo li izraz slijedi da je lijeva strana izraza jednaka
24

0
=


















+


















+
=


















−


















−
=
−
+
















−
=
−
















−
=







−
−

−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−

−
−
1
d
,
m
d
2
1
2
1
1
d
,
m
d
1
1
1
1
n
dd
2
1
2
,
m
d
1
1
1
1
1
1
1
n
d
,
m
d
2
1
1
1
2
1
1
1
1
d
d
n
d
,
m
d
2
1
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
d
m
)f
f(d
(n)
f(1)f
d
m
)f
f(d
(m)
f(1)f
d
n
)f
f(d
d
m
)f
f(d
(n)
(m)f
f
(n)
(m)f
f
d
n
f
d
m
)f
)f(d
f(d
(n)
(m)f
f
d
n
f
d
m
)f
)f(d
f(d

Time je dokaz gotov.
□
Teorem 2.2.3. Neka je f multiplikativna funkcija. Tada je f potpuno multiplikativna ako i
samo ako
)
(
)
(
)
(
1
n
f
n
n
f

=
−
, za sve prirodne brojeve n.
Dokaz.  Neka je
)
(
)
(
)
(
n
f
n
n
g

=
. Ako je f potpuno multiplikativna funkcija, imamo







=

n
d
d
n
f
d
g
n
f
g
)
(
)
)(
(

).
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
n
I
n
f
d
n
f
n
f
d
d
n
f
d
f
d
n
d
n
d
n
d
=
=
=






=







Ako je
1
=
n
 , slijedi
1
)
1
(
)
1
(
=
I
f
, jer je
1
)
1
(
=
f
 i
1
)
1
(
=
I
.
Uzmemo li
1

n
, slijedi
0
)
(
)
(
=

n
I
n
f
, jer je
0
)
(
=
n
I
.
Stoga je
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
n
I
n
I
n
f
n
f
g
=

=

, za svaki prirodni broj n. I slijedi
1
−
= f
g
.
Obrnuto, pretpostavimo da je
)
(
)
(
)
(
1
n
f
n
n
f

=
−
, za sve

n
ℕ.Dokažimo da je f potpuno
multiplikativna.
Kako bismo dokazali potpunu multiplikativnost funkcije f dovoljno je pokazati da vrijedi
(2.3). Kako je
)
(
)
(
)
(
1
n
f
n
n
f

=
−
 imamo
(
)
0
(n)
f
f
d
n
μ(d)f(d)f
1
n
d
=

=






−

, za sve
1

n
.
25

Stoga uvrštavanjem
a
p
n =
 u  gornju jednakost dobivamo
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
1 =
+
−
a
a
p
f
p
f
p
p
f
f


.
Odakle slijedi,
)
(
)
(
)
(
1
−
=
a
a
p
f
p
f
p
f
.
Vidimo da je
a
a
p
f
p
f
)
(
)
(
=
 ( dokazano u teoremu 1.1.1), pa je f  potpuno multiplikativna
funkcija.
□
Teorem 2.2.4.  Neka je f multiplikativna funkcija. Tada za svaki kvadratno slobodan prirodan
broj n slijedi
(i)
)
(
)
(
)
(
1
n
f
n
n
f

=
−
.
Štoviše, ako je p proizvoljni prost broj slijedi
(ii)
)
(
)
(
)
(
2
1
2
2
p
f
p
f
p
f
−
=
−
.
Dokaz.  Ako je n =1, izraz (i) vrijedi trivijalno.  Pretpostavimo da je
1
n 
i n je kvadratno
slobodan tada n ima kanonski rastav
r
p
p
n
1



=
, pri čemu su
r
p
p
p
,...,
,
2
1
međusobno
različiti prosti brojevi.  Za svaki prosti broj puz
I
=

−1
f
f
 slijedi
0
(1)
f(p)f
(p)
f(1)f
1
1
=
+
−
−
 ili
f(p)
(p)
f
1
−
=
−
.
Stoga, obzirom da su  obe funkcije f  i
1
f −multiplikativne, imamo
)
p
f(p
1)
(
)
p
(p
f
r
1
r
r
1
1



−
=



−
.
Kako je po definiciji
r
r
1
1)
(
)
p
(p
−
=




, dokazali smo (i). Kako bismo dokazali da vrijedi
(ii) uzmimo
2
p
n =
i  uvrstimo u
I(n)
)(n)
f
(f
1
=

−
 slijedi
0
)f
f(p
(p)
f(p)f
)
(p
f(1)f
-1
2
1
2
1
=
+
+
−
−
)
1
(
.
Znamo da je
f(p)
(p)
f
1
−
=
−
 pa uvrštavanjem u gornji izraz dobivamo
2
2
2
1
f(p)
)
f(p
)
(p
f
−
=
−
.
Time je dokaz gotov.
□

Kao posljedicu ovog teorema i teorema 2.2.3., imamo sljedeći nužan i dovoljan uvjet da bi
multiplikativna funkcija bila potpuno multiplikativna.

Teorem 2.2.5. Neka je f multiplikativna funkcija. Onda je f potpuno multiplikativna funkcija
ako i samo ako
0
)
(
1
=
−
a
p
f
,
za sve proste brojeve p i sve prirodne brojeve
1

a
.
Dokaz.  Ako je f potpuno multiplikativna funkcija, teorem 2.2.3.  pokazuje da je
0
)
(
1
=
−
a
p
f
,
ako je
1

a
. Obratno, pretpostavimo da vrijedi
1
a

0,
)
(p
f
a
1


=
−
 i dokažimo da
26

,
0
)
(
1
=
−n
f

kadgod n ima kvadratni prosti faktor. Svaki takav n ima oblik
q
p
n
a
=
gdje je
1
)
,
(

i

2
=

p
q
a
. Budući da je
1
−
f
multiplikativna imamo
0
)
(
)
(
)
(
1
1
1
=
=
−
−
−
q
f
p
f
n
f
a
.
Znamo da ako je
)
(
)
(
)
(
1
n
f
n
n
f

=
−
 za svaki n po teoremu 2.2.4 ,aonda je po teoremu 2.2.3. f
potpuno  multiplikativna.
□
Idući teorem daje karakterizaciju multiplikativnih funkcija koristeći distributivnost
Dirichletovog produkta ,
)
(
)
(
)
(
h
f
g
f
h
g
f



=


,
gdje točka predstavlja standardno množenje funkcija.
Teorem 2.2.6.
(i) Ako je f potpuno multiplikativna funkcija onda
)
(
)
(
)
(
h
f
g
f
h
g
f



=


,
za sve aritmetičke funkcije g i h.
(ii)  Ako je f multiplikativna i ako
)
(
)
(
)
(
h
f
g
f
h
g
f



=


 vrijedi za

=
g
 i
1
−
= 
h
, onda
je f potpuno multiplikativna.

Dokaz. (i)Ako je f potpuno multiplikativna funkcija onda za bilo koji djeliteljd broja n imamo
)
/
(
)
(
)
(
d
n
f
d
f
n
f
=
. Stoga za sve n slijedi
(
) ).
(
)
(
)
(
)
/
(
)
/
(
)
(
)
(
)
/
(
)
(
)
(
)
))(
(
(
n
h
f
g
f
d
n
h
d
n
f
d
g
d
f
d
n
h
d
g
n
f
n
h
g
f
n
d
n
d



=
=
=





Čime je dokazano (i).
Dokažimo sada (ii).  Prvo naznačimo da je
)
(
)
(
)
(
n
I
n
I
n
f
=
 jer je
.
1
)
1
(
=
f
 Uvrstavajući

=
g
 i
1
−
= 
h
 u
)
(
)
(
)
(
h
f
g
f
h
g
f



=


 dobivamo

=
n
d
d
n
f
d
d
f
n
I
)
/
(
)
(
)
(
)
(

,
gdje je
)
(
)
(
)
(
1
n
f
n
n
f

=
−
. Dakle po teoremu 2.2.3.  f  potpuno multiplikativna funkcija.

Primjer 2.2.1. (Inverz Eulerove funkcije) Kako vrijedi
id

= 

 slijedi
1
1
1
−
−
−

=
id


.
Znamo da je
id
μ
d
1

=
−
i
, kako je id potpuno multiplikativna pa slijedi
id
μ
u
id
μ
μ
φ
1
1


=


=
−
−
.  Konačno je
)
(
)
(
1
d
d
n
n
d



=
−
, za svaki prirodan broj n.
27

Napomena 2.2.1. Kao posljedicu teorema 2.2.6. imamo:
Pretpostavimo da je f multiplikativna funkcija. Tada je f potpuno multiplikativna ako i samo
ako
)
(
)
(
)
(
h
f
g
f
h
g
f



=


za sve aritmetičke funkcije g i h.

Teorem 2.2.6. koristimo u dokazu sljedećeg teorema.

Teorem 2.2.7.
 (i)Ako je f potpuno multiplikativna, onda vrijedi
1
1
)
(
−
−

=

g
f
g
f
,
za svaku aritmetičku funkciju g, za koju je
0
)
1
(

g

(ii)Ako je f multiplikativna funkcija  i ako
1
1
)
(
−
−

=

g
f
g
f
vrijedi za
1
−
=
=

u
g
, onda je f
potpuno multiplikativna.
Dokaz. (i) Kako je f  potpuno multiplikativna funkcija, možemo uzeti
1
−
= g
h
 u teoremu
2.2.5. i dobivamo sljedeće
)
(
)
(
1
−



=

g
f
g
f
I
f
.
Kako je
I
I
f
=

, ovo dokazuje da je
1
1
)
(
−
−

=

g
f
g
f
.
(ii)  Uzmimo da je g jedinična funkcija u , uvrštavajući u izraz
1
1
)
(
−
−

=

g
f
g
f
slijedi
.
)
(
1
1



=

=

−
−
f
f
f
u
f

Po teoremu 2.2.3. dokazano je da je f  potpuno multiplikativna funkcija.
□
Napomena 2.2.2. Kao posljedicu teorema 2.2.7. imamo :
Pretpostavimo da je f multiplikativna funkcija. Tada je f potpuno multiplikativna ako i samo
ako
1
1
)
(
−
−

=

g
f
g
f
, za svaku aritmetičku funkciju za koju je
0
)
1
(

g
.

Teorem 2.2.8.  Neka je G proizvoljna aritmetička funkcija i neka
.
)
/
(
)
(
)
(

=
n
d
d
n
d
G
n
g


(2.5)
(i) Ako je f potpuno multiplikativna, onda za svaki G imamo

=
−
n
d
n
g
n
f
d
G
d
n
f
d
f
).
(
)
(
)
(
)
/
(
)
(
1

(2.6)
(ii) Pretpostavimo da je f multiplikativna. Ako (2.6)vrijedi za neku potpuno multiplikativnu
funkciju G takvu da je
1
)
(

p
G
 za sve proste brojeve p, onda je f potpuno multiplikativna.
Dokaz. (i) Izraz (2.6) možemo zapisati
g
f
f
G
f

=


−1
)
(
. Ako je f potpuno multiplikativna
onda vrijedi


=
−
f
f
1
.  Kako je


= G
g
 trebamo dokazati da je
(
) (
)
(
)




=



G
f
f
G
f
.
Ovo vrijedi direktno iz teorema 2.2.6. pod (i).
28

Dokažimo sada tvrdnju (ii). Dano nam je da je f multiplikativna te da vrijedi (2.6) za neku
potpuno multiplikativnu funkcijuG, pri čemu je
1
)
(

p
G
, za sve proste brojeve p. Trebamo
pokazati da je f  potpuno multiplikativna tako što ćemo dokazati
0
)
(
1
=
−
a
p
f
, za sve proste
brojeve p  i sve prirodne brojeve
2

a
.  Dokaz provodimo indukcijom po a .
Za slučaj
2
=
a
, uzmimo
2
p
n =
, uvrstimo u izraz (2.6) i dobivamo

).
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
1
2
1
p
g
p
f
p
f
p
G
p
f
p
f
p
G
p
f
=
+
+
−
−

(2.7)
Znamo da ako je f multiplikativna da za bilo koji prosti broj p, po teoremu 2.2.4. iz
)
(
)
(
)
(
1
n
f
n
n
f

=
−
imamo
)
(
)
(
1
p
f
p
f
−
=
−
.  Također iz izraza (2.5) uvrštavanjem dobivamo
)
(
)
(
)
(
2
2
p
G
p
G
p
g
−
=
, pa izraz (2.7) se može zapisati kao


)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
1
p
f
p
f
p
G
p
f
−
=
−
.
(2.8)
Kako za multiplikativnu funkciju f i bilo koji prost broj po teoremu 2.2.4. vrijedi
)
(
)
(
)
(
2
1
2
2
p
f
p
f
p
f
−
=
−
, izraz (2.8) uvrštavanjem postaje
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
p
f
p
G
p
f
−
−
=
.
S obzirom da je
1
)
(

p
G
ovo implicira
0
)
(
2
1
=
−
p
f
.
Uzmimo sada pretpostavku indukcije da
0
)
(
1
=
−
t
p
f
za svaki cijeli broj


1
,
2
−

a
t
, pri čemu
je
3

a
. Uzimajući
a
p
n =
i uvrštavanjem u (2.6) dobivamo
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
1
a
a
a
a
a
a
a
p
g
p
f
p
f
p
G
p
f
p
f
p
G
p
f
=
+
+
−
−
−
−
,
(2.9)
pri čemu su ostali izrazi u sumi jednaki nula. Koristeći ponovno relaciju
)
(
)
(
1
p
f
p
f
−
=
−
i
)
(
)
(
)
(
1
−
−
=
a
a
a
p
G
p
G
p
g
, možemo zapisati izraz (2.9) kao


)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
a
a
a
a
p
f
p
f
p
f
p
G
p
f
−
=
−
−
−
.
(2.10)
Ali kao uzmemo
a
p
n =
u izrazu

=
−
n
d
d
n
f
d
f
0
)
/
(
)
(
1

i ponovno koristimo pretpostavku indukcije, nalazimo
).
(
)
(
)
(
)
(
1
1
a
a
a
p
f
p
f
p
f
p
f
−
−
=
−

Iskoristimo dobiveno uvrštavanjem u izraz (2.10) dobivamo
)
(
)
(
)
(
1
1
1
a
a
a
p
f
p
G
p
f
−
−
−
=
što
implicira
0
)
(
1
=
−
a
p
f
, jer je
1
)
(

p
G
. Indukcijom, ovo dokazuje da je
0
)
(
1
=
−
a
p
f
, za sve
proste brojeve p  i sve prirodne brojeve
2

a
. Stoga po teoremu 2.2.4. znamo da je funkcija f
potpuno multiplikativna.
□
Navedimo još jedno svojstvo karakterizirano uvjetom sličnim kao u teoremu 2.2.4.
Teorem 2.2.9. Multiplikativna funkcija f je konvolucija dvije potpuno multiplikativne funkcije
ako i samo ako
0
)
(
1
=
−
a
p
f
za sve proste brojeve p i sve prirodne brojeve
3

a
.
Dokaz.  Pretpostavimo da je
h
g
f

=
, gdje su g i h potpuno multiplikativne funkcije. Ako je
29

p  prost broj i
3

a
, onda

=
−
−
−
−
−
−
=

=
a
i
i
a
i
a
a
p
h
p
g
p
h
g
p
f
0
1
1
1
1
1
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
.
S obzirom da je g potpuno multiplikativna slijedi
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
1
1
1
1
1
1
−
−
−
−
−
−
+
=
a
a
a
p
h
p
g
p
h
g
p
f
.
Kako je i h potpuno multiplikativna i
3

a
dobivamo
0
)
(
1
=
−
a
p
f
.
Obratno, neka je f multiplikativna funkcija za koju vrijedi dani uvjet. Neka je g potpuno
multiplikativna funkcija takva da za svaki prost broj p,
)
(p
g
je korijen kvadratne jednadžbe
0
)
(
)
(
2
1
1
2
=
+
+
−
−
p
f
X
p
f
X
.
Neka je
f
g
h

=
−1
. Tada je h multiplikativna funkcija i za sve proste brojeve p i sve
2

a
 je
(
)


.
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
1
2
2
2
1
2
1
1
1
1
=
+
+
=
+
+
=

=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
p
f
p
g
p
f
p
g
p
g
p
f
p
g
p
f
p
g
p
g
p
f
g
p
h
a
a
a
a
a
a

Prema tome, h je potpuno multiplikativna po teoremu 2.2.5. i vrijedi
h
g
f

=
.
□

2.3Liouvilleova funkcija

Važan primjer potpuno multiplikativne funkcije je Liouvilleova funkcija λ, koja je dobila ime
po francuskom matematičaru Josephu Liouvilleu.

Definicija 2.3.1. Liouvilleovu funkciju
)
(n

definiramo s
1
)
1
(
=

i za svaki prirodan broj n s
kanonskim rastavom
r
2
1
a
...
a
a
1)
(
λ(n)
+
+
+
−
=
.

Primjer 2.3.1.  Odredimo
)
(n

 za
12
=
n
.
Rješenje:  Zapišimo broj 12 u obliku
3
2
12
2 
=
. Vidimo da su
1

i

2
2
1
=
=
a
a
.
Slijedi
1
)
1
(
)
1
(
)
12
(
3
1
2
−
=
−
=
−
=
+

.

Idući teorem opisuje sumu djelitelja funkcije λ.
Teorem 2.3.1. Za svaki
1

n
vrijedi




=
n
d
n
n
d
kvadrat.

nije

ako

;
0

kvadrat

je

ako

;
1
)
(


Također
)
(
)
(
1
n
n


=
−
, za sve prirodne brojeve n.
Dokaz.  Neka je

=
n
d
d
n
g
)
(
)
(

. Tada je g multiplikativna funkcija, tako da bismo odredili
30

)
(n
g
trebamo samo izračunati
)
(
a
p
g
za proste brojeve.  Imamo



=
−
+
−
+
−
=
+
+
+
+
=
= 
broj.
paran

je

ako

1
broj,
neparan

je

ako

0

)
1
(
...
1
1
1
)
(
...
)
(
)
(
1
)
(
)
(
2
a
a
p
p
p
d
p
g
a
a
p
d
a
a





Dakle, ako je

=
=
r
i
a
i
i
p
n
1
, imamo

=
=
r
i
a
i
i
p
g
n
g
1
)
(
)
(
. Ako je bilo koji eksponent
i
a  neparan,
onda je
0
)
(
=
i
a
i
p
g
, stoga
0
)
(
=
n
g
. Ako su svi eksponenti od
i
a  parni, onda je
1
)
(
=
i
a
i
p
g
,
za sve i  i
1
)
(
=
n
g
. To pokazuje da je
1
)
(
=
n
g
 ako je n kvadrat, u suprotnom je
0
)
(
=
n
g
.
Također,
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
n
n
n
n
n





=
=
=
−
, za svaki prirodan broj n.
□
Napomena 2.3.1.  Naime, gornja jednakost
(
)
2
μ(n)
μ(n)λ(n) =
je očita za
1
n =
 i
0.
n =

Pogledajmo slučaj kada prirodan broj n ima kanonski rastav
r
p
p
n
1



=
, tada po definiciji
1.5.1.  slijedi
)
(
)
1
(
)
(
n
n
r


=
−
=
 po definiciji 2.3.1.

31

Poglavlje 3

Neke karakterizacije racionalnih
aritmetičkih funkcija stupnja (1, 1)

Funkcije koje su Dirichletov produkt potpuno multiplikativne funkcije i inverza potpuno
multiplikativne funkcije su aritmetičke funkcije stupnja (1,1) ili često nazivane u stranoj
literaturi totientne funkcije (naziv totientna funkcija koristi se u engleskoj literaturi, a prvi je
uveo engleski matematičar Sylvester 1879.). Najpoznatija takva funkcija, koju smo upoznali u
prvom poglavlju je Eulerova funkcija.

3.1 Racionalne aritmetičke funkcije stupnja (1, 1)

U dosadašnjem radu definirali smo multiplikativne funkcije i potpuno multiplikativne
funkcije te smo naveli kada su one u potpunosti određene.
Prisjetimo se da je multiplikativna funkcija f   u potpunosti određena vrijednostima
)
(
a
p
f
za
sve proste brojeve p i prirodne brojeve a.
Potpuno multiplikativna funkcija f je u potpunosti određena svojim vrijednostima
)
(p
f
za sve
proste brojeve p. U drugom poglavlju definirali smo Dirichletov produkt i Dirichletov inverz
te  bitna svojstva.
Sada ćemo razmotriti multiplikativne funkcije f  koje se mogu zapisati u formi
1
−

=
v
t
f
f
f
,
gdje su
t
f i
v
f  potpuno multiplikativne funkcije. Takve funkcije f se zovu racionalne
aritmetičke funkcije stupnja (1,1). Funkcije
t
f i
v
f su integralne i inverzne komponente
funkcije f , redom.
Napomena 3.1.1.Funkcije
t
f i
v
f  nisu uvijek jedinstvene. Naime, ako postoji prosti broj p
takav da je
)
(
a
p
f
, za sve prirodne brojeve a, tada je dovoljno da
)
(p
ft
 i
)
(p
fv
zadovoljavaju
)
(
)
(
p
f
p
f
v
t
=
.  U suprotnom,
)
(p
ft
 i
)
(p
fv
 su jednoznačno određene.
Definicija 3.1.1. Aritmetička funkcija f je racionalna funkcija stupnja
)
,
(
s
r
ako postoje
potpuno multiplikativne funkcije
r
g
g
g

...,

,

,
2
1
i
s
h
h
h

...,

,

,
2
1
takve da
1
1
2
1
1
2
1
...
...
−
−
−







=
s
r
h
h
h
g
g
g
f
.
Razmatrat ćemo racionalne aritmetičke funkcije stupnja (1, 1) .

Napomena 3.1.2.  Potpuno multiplikativne funkcije su racionalne aritmetičke funkcije stupnja
(1,0). Primjetimo da sve potpuno multiplikativne funkcije su racionalne aritmetičke funkcije
32

stupnja (1, 1) s
I
fv =
, gdje je I neutralni element Dirichletovog produkta ( definicija 2.1.1.).

3.2 Jordanova totientna funkcija

Eulerova  funkcija je najslavnija konkretna racionalna aritmetička funkcija stupnja (1, 1).
Znamo da je



= id
, gdje je
n
n
id
=
)
(
, za sve n.  Prema tome  je racionalna aritmetička
funkcija stupnja (1, 1) s
id
t =

i
u
v =

, gdje je
1

u
.  Postoji veliki broj generalizacija i
analoga Eulerove funkcije (racionalna aritmetička funkcija stupnja (1, 1)) kroz literaturu.
Mnoge te generalizacije posjeduju strukturu racionalnih  aritmetičkih funkcija stupnja (1, 1)
koju smo predstavili u prethodnom potpoglavlju. Jedan takav primjer je Jordanova funkcija
k
J .
Eulerovu funkciju kao i Jordanovu funkciju možemo evaluirati koristeći formulu uključivanja
–isključivanja  (FUI) .  Prije definranja Jordanove funkcije
k
J navedimo sljedeći teorem.
Teorem 3.2.1. ( Formula uključivanja-isključivanja)
Neka je S konačan skup, a
S
A
A
n 
...,

,
1
. Tada vrijedi
n
i
n
n
k
j
i
k
j
i
n
j
i
j
i
n
n
i
n
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A


−
+
−


+

−
=



−







=



...
)
1
(
...
...
1
1
1
1
2
1
.
Dokaz.  Formulu ćemo dokazati indukcijom po n.
Za
1
=
n
, formula je trivijalna, a za
2
=
n
imamo
)
(

−
+
=

B
A
B
A
B
A

Pretpostavimo da formula iz teorema vrijedi za n i dokažimo da vrijedi za
1
+
n
.
 Primijenimo
)
( za
i
n
i
A
A 
1
=
=
i
1
+
=
n
A
B
pa imamo
(
)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
=
=
+
+
=
+
=
+
=

−
+
=









−
+
=
n
i
n
i
i
n
i
n
n
i
n
i
n
n
i
i
n
i
A
A
A
A
A
A
A
A
A





.

Zbog jednostavnosti zapisa uvedimo oznaku za podskup indeksa I,


n
n
I
,...,
1
=

.
Primijenimo pretpostavku indukcije na posljednja dva člana uz oznake
1
'
+

=
n
i
i
A
A
A
 te
1
'
+

=
n
I
I
A
A
A
 , gdje je

I
i
i
I
A
A

=
 uz konvenciju
S
A =

0
.
Tada je




.
)
1
(
'
)
1
(
'
,
)
1
(
2
,
1
1
0
1
1
0
1
1




+


+



−
=



−
=
−
=
−
=
−
=
J
n
J
n
J
J
n
I
I
I
i
n
i
n
I
I
I
i
n
i
A
A
A
A
A



Sada uvrštavanjem dobivamo





.
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
0
1
2
,
1
1
1
0
1
1
1
1



+


−

+


+
−



−
+
+
=
−
=
−
+
−
+
=
n
K
K
K
J
n
J
n
J
J
n
I
I
I
n
i
n
i
A
A
A
A
A


33

□
Ilustrirajmo upotrebu formule za evaluaciju Jordanove funkcije.

Definicija 3.2.1. Ako je k prirodan broj Jordanova funkcija
k
J  je definirana sa
=
)
(n
Jk
broj uređenih k-torki prirodnih brojeva (
)
k
x
x

...,

,
1
takvih da
n
xi 

1
za
k
i

...,

,
1
=
i
(
) 1
,

...,

,
1
=
n
x
x
k
.
Tada je

=
1
J
. Neka je
t
a
t
a
p
p
n



=
1
1
kanonski rastav prirodnog broja n. Ako je S skup svih
uređenih k-torki prirodnih brojeva(
)
k
x
x

...,

,
1
takvih da je
n
xi 

1
za
k
i

...,

,
1
=
i ako
i
A je
skup takvih k-torki za koje
(
)
k
i
x
p

...,

,
x1
, onda
t
k
A
A
n
J


=
...
)
(
1
,   (  gdje je
i
A =S\Ai)
i
k
i
i
i
i
j
j
p
p
n
A
A











=


1
1
...
.
Prema tome,





=






=











−
+
=
=




n
d
k
k
n
d
t
j
t
i
i
i
k
i
i
j
k
k
d
n
d
d
d
n
p
p
n
n
n
J
j
j
).
/
(
)
(
)
1
(
)
(
1
...
1
2
1
1



Dakle,


=
k
k
id
J
, gdje je
k
k
n
n
id
=
)
(
, za sve n.
Ako je p prost broj i
1

a
,
.
1
1
)
(
)
1
(







−
=
−
=
−
k
ak
k
a
ak
a
k
p
p
p
p
p
J

Prema tome,

−
=
n
p
k
k
k
p
n
n
J
)
1
1
(
)
(
.
3.3 Neke karakterizacije racionalnih aritmetičkih funkcija stupnja (1,1)

Navest ćemo neke nužne i dovoljne uvjete kako bi aritmetička funkcija f  bila racionalna
aritmetička funkcija stupnja (1, 1). Karakterizacije ovih funkcija nisu puno proučavane u
literaturi za razliku od karakterizacija potpuno multiplikativnih funkcija. 1972. godine dana je
karakteritzacija da je multiplikativna funkcija  f  racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1)
ako i samo ako
...

),
(

),
(

),
(
3
2
p
f
p
f
p
f
 je geometrijski niz za svaki prost broj  p. Mnoge
karakterizacije koje ćemo ovdje navesti su izvedene iz poznatih svojstava nekih konkretnih
primjera racionalnih aritmetičkih funkcija stupnja (1, 1).
Napomenimo da u cijelom ovom potpoglavlju uzimamo da vrijedi
1
)
1
(
=
f
.
Teorem 3.3.1. Aritmetička funkcija f je racionalna aritmetička funkcija stupnja (1, 1) ako i
34

samo ako, f je multiplikativna i za svaki prosti broj postoji kompleksni broj a(p) takav da
,
))
(
)(
(
)
(
1
−
=
e
e
p
a
p
f
p
f

(3.1)
za sve
1

e
. U ovom slučaju je
)
(
)
(
p
a
p
ft
=
.
Teorem 3.3.1. slijedi neposredno iz definicije racionalne aritmetičke funkcije stupnja (1,1) i
svojstva potpuno multiplikativnih funkcija koja smo naveli u drugom poglavlju.
Dokaz. Neka je f je racionalna aritmetička funkcija stupnja (1, 1) dokažimo da je f
multiplikativna i da vrijedi (3.1).
Po definiciji racionalne aritmetičke funkcije stupnja (1,1) možemo pisati
(
)( )
e
v
t
e
p
f
f
p
f
1
)
(
−

=
.
Znamo da su
t
f i
v
f  potpuno multiplikativne funkcije pa su prema tome i multiplikativne.
Prema teoremu 2.2.2. kako je
v
f multiplikativna funkcija i njen inverz je multiplikativna
funkcija. Sada vidimo da je funkcija f  jednaka Dirichletovom produktu dvije multiplikativne
funkcije, a po teoremu 2.2.1. slijedi da je  onda f  multiplikativna.
Nadalje je
( ).
1
)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
1
1
1
1
1
1
1
−
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
=








= 
v
e
t
v
e
t
e
v
t
e
v
t
p
d
e
v
t
e
f
p
f
p
f
p
f
p
f
p
f
p
f
f
d
p
f
d
f
p
f
e

Upotrijebimo li teorem 2.2.4. pa potom (2.3) gornja jednakost se svodi na
(
)
.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
p
f
p
f
p
f
p
f
p
f
p
f
p
f
t
v
e
t
e
t
v
e
t
e
+
=
+
=
−
−
−

   Uz
)
(
)
(
p
a
p
ft
=
 slijedi
(
)
(
)
(
)
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
−
−
−
=

=
e
e
v
t
e
p
a
p
f
p
a
p
f
f
p
f

što smo i htjeli pokazati. Obratno dobijemo na sličan način.
□

Korolar 3.3.1.  Neka su f i g racionalne aritmetičke funkcije stupnja (1,1), tada fg je
racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1) sa (
)
t
t
t
g
f
fg
=
.
Dokaz.  Kako bismo dokazali ovu tvrdnju koristimo teorem 3.3.1.
Po teoremu 3.3.1  ako su  f i g racionalne aritmetičke funkcije stupnja (1,1) za svaki prosti
broj p  postoje  kompleksni brojevi
)
( p
a
 i
)
( p
b
 takvi da je
1
))
(
)(
(
)
(
−
=
e
e
p
a
p
f
p
f
 i
(
)
1
)
(
)
(
)
(
−
=
e
e
p
b
p
g
p
g
 , za sve
1

e
. U tom slučaju je
)
(
)
(
p
a
p
ft
=
i
)
(
)
(
p
b
p
gt
=
.
Sada je
35

(
)
(
)
(
)
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
))
(
)(
(
)
(
)
(
)
(
−
−
−


=

=
=
e
e
e
e
e
e
p
b
p
a
p
g
f
p
b
p
g
p
a
p
f
p
g
p
f
p
fg

Neka je
)
(
)
(
)
(
)
(
p
g
f
p
c
p
b
p
a
t
t
=
=

, pri čemu je
)
(p
c
kompleksan broj.
(
)
(
)
).
(
)
(
)
(
1
p
g
f
p
c
p
fg
e
e

=
−

Vidimo da je  po teoremu 3.3.1.
)
(
)
(
)
(
p
g
f
p
c
fg
t
t
t
=
=
  što je i trebalo pokazati.
□
Korolar 3.3.2. Multiplikativna funkcija f je racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1) ako
i samo ako za svaki prost broj p,
...

),
(

),
(

),
(
3
2
p
f
p
f
p
f
 je geometrijski niz.
Dokaz.   Dokažimo da ako je f je racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1)  onda za svaki
prost broj p,
...

),
(

),
(

),
(
3
2
p
f
p
f
p
f
 je geometrijski niz.
Korištenjem definicije racionalne aritmetičke funkcije stupnja (1,1)  i svojstav potpuno
multiplikativnih funkcija  slijedi redom
).
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
1
1
1
1
p
f
p
f
f
p
f
p
f
f
d
p
f
d
f
p
f
v
t
v
t
v
t
p
d
v
t
−
−
−
−
+
=
+
=






= 

(
).
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
p
f
p
f
p
f
p
f
p
f
p
f
f
p
f
p
f
p
f
p
f
f
d
p
f
d
f
p
f
v
t
t
t
v
t
v
t
v
t
v
t
p
d
v
t
−
−
−
−
−
−
+
=
+
=
+
+
=








= 

(
).
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
1
3
1
2
3
1
3
3
p
f
p
f
p
f
f
p
f
p
f
p
f
d
p
f
d
f
p
f
v
t
t
v
t
v
t
p
d
v
t
−
−
−
−
+
=
+
=








= 

Po definciji, niz je geometrijski ako mu je kvocijent uzastopnih članova stalan., što je vidljivo
iz gornjih izraza te je time tvrdnja dokazana.  Obrat, izostavljamo.
□
Napomena 3.3.1.Nekoliko daljnjih karakterizacija možemo izvesti iz teorema 3.3.1. koristeći
formulu
)
(
)
(
)
(
p
f
p
f
p
f
v
t
−
=
, za sve proste brojeve p.
Teorem 3.3.2. Aritmetička funkcija f je racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1) ako i
samo ako postoje potpuno multiplikativne funkcije g i h takve da

=
−
=
n
x
n
x
d
n
d
d
h
d
n
g
n
f
1
)
,
(
1
).
/
)(
(
)
/
(
)
(

(3.2)
36

U ovom slučaju
g
ft =
i
h
fv =
.
Dokaz.  Ako je f  racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1), onda
(
)
.
)
/
)(
(
)
/
(
1
)
/
)(
(
)
/
(
)
(
)
(
1
)
,
(
1
/
1
1
1



=
−
=
−
−
=
=

=
n
x
n
x
d
v
t
n
d
d
n
e
v
t
v
t
n
d
d
f
d
n
f
n
d
d
f
d
n
f
n
f
f
n
f

I tako smo dobili izraz (3.2). Obratno dobijemo na sličan način.
□
Napomena 3.3.2.Za Eulerovu funkciju , izraz (3.2) se svodi na

=
=
n
x
n
x
I
n
1
))
,
((
)
(

,
što je zapravo definicija Eulerove funkcije koja kaže da je definirana kao broj svih prirodnih
brojeva koji nisu veći od n i za koje je
1
)
,
(
=
n
x
.
Definicija 3.3.1.  Aritmetička funkcija f:ℕ2⟶ℂ dvije varijable je multiplikativna u
2
1
, n
n
ako
)
,
(
)
,
(
)

,
(
2
1
2
1
2
2
1
1
m
m
f
n
n
f
m
n
m
n
f
=
,
za sve

2
1,n
n
ℕ  i

2
1
, m
m
ℕ za koje je (
)
2
1
2
1

,
m
m
n
n
=1.
Sljedeći teorem daje nam nužan uvjet za racionalnu aritmetičku funkciju stupnja (1,1).
Teorem 3.3.3. Aritmetička funkcija f je racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1) ako i
samo ako postoji multiplikativna funkcija h takva da

=
)
,
(
)
(
)
(
)
/
(
)
(
)
(
n
m
d
d
d
h
d
mn
f
n
f
m
f

.
(3.3)
U ovom slučaju je
h
fv =
.
Dokaz.  Izraz (3.3) možemo dokazati pokazujući da su i lijeva i desna strana izraza
multiplikativne funkcije dvije varijable.
Obratno, pretpostavimo da vrijedi izraz (3.3) i dokažimo da je f racionalna aritmetička
funkcija stupnja (1,1). Uzmimo
1
)
,
(
=
n
m
i uvrštavanjem u (3.3) vidimo da je f  multi-
plikativna funkcija.  Stavimo li
1
−
=
e
p
m
,
p
n =
, pri čemu je
2

e
i uvrstimo u izraz (3.3)
dobivamo
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
−
−
+
=
e
e
e
p
f
p
h
p
f
p
f
p
f
.
Prema tome, po teoremu 3.3.1. funkcija f  je racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1).
□
Definicija 3.3.2. Definiramokao multikativnu funkciju takvu da
p
pa =
)
(

za sve proste
brojeve p.

Navodimo još jedan teorem koji daje nužan uvjet za racionalnu aritmetičku funkciju stupnja
(1,1).
Teorem 3.3.4. Aritmetička funkcija f je racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1) ako i
samo ako postoji potpuno multiplikativna funkcija h takva da
37


=
m
d
n
d
d
h
d
n
f
m
f
mn
f
)
(
)
(
)
/
(
)
(
)
(

.
(3.4)
U ovom slučaju
h
fv =
.
Teorem 3.3.5. Aritmetička funkcija f je racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1) ako i
samo ako postoje potpuno multiplikativne funkcije g i h tahve da


(
)
(
)
)
,
(
,
)
/
(
)
/
(
)
(
1
1
e
d
g
e
d
h
e
n
g
d
m
g
mn
f
m
d
n
e
−
−

=
.
(3.5)
U ovom slučaju
g
ft =
i
h
fv =
. Ovdje 

e
d,
predstavlja najmanji zajednički višekratnik
brojeva d i e.
Dokaz.  Izraz (3.5) se može dokazati tako što pokažemo da su i lijeva i desna strana izraza
multiplikativne funkcije dvije varijable, uz znanje prostih brojeva.
Obratno dobijemo uzimajući
1
=
n
 i uvrštavanjem u izraz (3.5).
□
Definicija 3.3.3. Za dijelitelj d prirodnog broja n kažemo da je unitarni djelitelj broja n ako
1
)
/
,
(
=
d
n
d
. Najveći zajednički unitarni djelitelj brojeva m i n označavamo
U
n
m
)
,
(
.
Primjer 3.3.1.   Broj 4 je unitarni djelitelj broja 28 jer je
1
)
7

,
4
(
)
4
/
28

,
4
(
=
=
.
Međutim broj 2 nije unitarni djelitelj broja 28 jer je
1
2
)
14

,
2
(
)
2
/
28

,
2
(

=
=
.
Teorem 3.3.6. Ako je f racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1), onda

=
)
,
(
)
(
)
(
)
/
(
)
/
(
)
(
n
m
d
v
t
d
f
d
f
d
n
f
d
m
f
mn
f
,
(3.6)
kadgod je
1
)
,
(
=
U
n
m
. Obratno, ako postoji multiplikativna funkcija F takva da

=
)
,
(
)
(
)
/
(
)
/
(
)
(
n
m
d
d
F
d
n
f
d
m
f
mn
f
,
(3.6’)
kadgod je
1
)
,
(
=
U
n
m
 i
0
)
(

),
(
)
(
)
(
2
2

+

p
f
p
F
p
f
p
f
za sve proste brojeve p, onda je f
racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1) i
)
(
)
(
)
(
2
p
F
p
f
p
ft
+
=
za sve proste brojeve
p.
Napomena 3.3.3.Identitet (3.6’) u literaturi je poznat kao Busche-Ramanujan identitet.
Također uz restrikciju
U
n
m
)
,
(
(3.6’) je restringirani Busche-Ramanujan identitet [8.10],
Obratno, nalazimo u [7].
Sljedeći teorem slijedi iz definicije racionalne aritmetičke funkcije stupnja (1,1) i svojstava
potpuno multiplikativnih funkcija.

Teorem 3.3.7.Ako je f racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1), onda
)
(
)
(
)
(
)
(
n
f
m
f
m
f
n
f
t
t
=
,
(3.7)
kadgod je
)
(
)
(
n
m


=
. Obratno, ako je f multiplikativna funkcija i ako postoji potpuno
multiplikativna funkcija g takva da je
0
)
(

p
g
 za sve proste brojeve p i
)
(
)
(
)
(
)
(
n
f
m
g
m
f
n
g
=
,
(3.7’)
kadgod je
)
(
)
(
n
m


=
, onda je f racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1) te
g
ft =
.
38

Napomena 3.3.4.Izraz (3.7) je poznat za Eulerovu funkciju .
Definicija 3.3.4. Kažemo da aritmetička funkcija f zadovoljava svojstvo O ako
0
)
(
=
p
f
za
sve proste brojeve p implicira
0
)
(
=
e
p
f
za sve
1

e
.

Primjer 3.3.2.  Dokažimo Eulerova totientna funkcija ima sljedeće svojstvo:
)
(
)
(
b
a
b
a



.
Dokaz. Prvo dokažimo da za Eulerovu funkciju vrijedi
(
)
)
(
/
)
(
)
(
)
(
d
d
n
m
mn




=
(*) gdje je
)
,
(
n
m
d =
 pa ćemo dedukcijom doći do traženog svojstva.  Zapišimo izraz iz teorema 1.2.4.
na sljedeći način








−
=
n
p
p
n
n
1
1
)
(

.
Primjetimo da je svaki prosti djelitelj od mn je ili prosti djelitelj od m ili od n, a oni prosti
brojevi koji dijele oba, također dijele
)
,
(
n
m
. Stoga,
d
d
n
n
m
m
p
p
p
p
mn
mn
mn
p
n
m
p
m
p
n
p
)
(
)
(
)
(
1
1
1
1
1
1
1
1
)
(
)
,
(




=







−







−







−
=







−
= 




i dobili smo (*). Sada dokažimo prvo svojstvo. Kako
b
a
, imamo
ac
b =
, gdje je
b
c 

1
.
Ako je
b
c =
 onda je
1
=
a
i svojstvo je trivijalno zadovoljeno.Zato, pretpostavimo
b
c 
. Iz
(*) imamo
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
d
c
a
d
d
d
c
a
ac
b








=
=
=
,
pri čemu je
)
,
(
c
a
d =
. Sada rezultat slijedi indukcijom po b. Ako pretpostavimo da je
1
=
b
,
svojstvo vrijedi trivijalno. Pretpostavimo stoga da ovo svojstvo vrijedi za sve cijele brojeve
manje od b.  Tada vrijedi za c pa
)
(
)
(
c
d 

jer
c
d
. Dakle, desni član gore napisanog izraza je
višekratnik od
)
(a

 što znači da
)
(
)
(
b
a 

 i time je dokazano svojstvo Eulerove funkcije.
□
Teorem 3.3.8. Aritmetička funkcija f je racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1) ako i
samo ako f zadovoljava svojstvo O i postoji potpuno multiplikativna funkcija g takva da
(
)
(
)
)
,
(
)
(
)
(
)
,
(
)
(
n
m
g
n
f
m
f
n
m
f
mn
f
=
.
(3.8)
U ovom slučaju je
g
ft =
.
Napomena 3.3.5. Vidimo da izraz (3.8) vrijedi za Eulerovu funkciju pa je
(
)
)
,
)(
(
)
(
)
,
(
)
(
n
m
n
m
n
m
mn




=

za sve prirodne brojeve m i n. Ako imamo
1
)
,
(
=
n
m
 gornji izraz se svodi na
)
(
)
(
)
(
n
m
mn



=
pa je  multiplikativna, što je poznato.
Dokaz.   Jedna i druga strana izraza su multiplikativne funkcije za m i n pa vrijedi (3.8) [3].
Obratno, uzmimo da je
1
)
,
(
=
n
m
 i neka je
)
2
(

,
1

=
=
−
e
p
n
p
m
e
 uvrstimo u izraz (3.8).
39

Imamo
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
1
1
g
p
f
p
f
f
p
p
f
e
e
−
−
=

 i primijenimo teorem 3.3.1. pa je f  racionalna
aritmetička funkcija stupnja (1,1).
□
Primjer 3.3.3.  Dedekindova funkcija  definirana s



= id
 je osim Eulerove funkcije
još jedan primjer s ovim svojstvom, jer je
1
−
= 

, gdje je
)
(
)
(
n
n


=
apsolutna vrijednost
Möbiusove funkcije i je Liouvillova funkcija koja je potpuno multiplikativna funkcija za
koju je
1
)
(
−
=
p

 za sve  proste brojeve p. Prema tome Dedekindova funkcija  zadovoljava
izraz
(
)
)
,
)(
(
)
(
)
,
(
)
(
n
m
n
m
n
m
mn




=

za sve prirodne brojeve m i n.
Napomena 3.3.6.Apostol i Zuckerman [3] su pokazali da aritmetička funkcija f s
1
)
1
(
=
f
zadovoljava (3.8) ako i samo ako je f  multiplikativna funkcija i
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
b
b
a
b
b
a
p
g
p
f
p
f
p
f
p
f
=
+

za sve proste brojeve p i prirodne brojeve
1

b
a
.

Korolar 3.3.3.  Ako je f cjelobrojna racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1), onda za sve
prirodne brojeve a i b vrijedi
)
(
)
(
b
f
a
f
b
a 
.
Dokaz. Kako
b
a
, imamo
ac
b =
. Ako je
b
c =
, onda je
1
=
a
i rezultat je
istinit.Pretpostavimo
.
b
c 
 Iz (3.8) imamo
(
)
(
)
(
)
)
,
(
)
(
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
(
c
a
f
c
f
a
f
c
a
f
ac
f
c
a
f
b
f
t
=
=
.
Sada imamo dva slučaja. Prvo, ako je
(
)
0
)
,
(
=
c
a
f
, onda  možemo zaključiti
0
)
(
=
b
f
 i
korolar vrijedi.  Pretpostavimo sada neka je (
)
0
)
,
(

c
a
f
. Tada
(
)
(
)
)
,
(
/
)
,
(
)
(
)
(
)
(
c
a
f
c
a
f
c
f
a
f
b
f
t
=
.
Induktivno dolazimo do rezultata.
□
Definicija 3.3.5.  Neka su m i n ( različiti od nula) cijeli brojevi i neka je k prirodan broj.
k
n
m
)
,
(
označava najveći prirodni broj oblika
k
a , koji istodobno dijeli m i n.
Teorem 3.3.9. Neka su f i g aritmetičke funkcije i neka je
0
)
(

n
f
 za sve n. Ako su f i g
racionalne aritmetičke funkcije stupnja (1,1) s
t
v
g
f =
, onda


=
−

=

1
)
,
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
k
k
d
m
n
d
d
d
f
d
g
f
g
f
n
f
n
g
f



,
(3.9)
gdje je
k
k
k
n
m
)
,
(
=

za sve prirodne brojeve m i n. Obratno, ako postoje potpuno multi-
plikativne funkcije


,
i takve da (
)
(
)
0
)
(
)
(
)
(
1
1


−

−
−
n
n
n





za sve nϵℕ i
40

(
)

=
−
−
−


=

1
)
,
(
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
k
k
d
m
n
d
d
d
f
d
f
n
f
n









,
(3.9’)
za sve nϵℕ i za neki
)
0
(

k
e
p
m
e


=
, onda je f racionalna aritmetička funkcija stupnja
(1,1), s

=
t
f
.
Dokaz.  Izraz (3.9) slijedi direktno iz teorema 9.  kojeg su u svom članku dokazali Haukkanen
i McCarthy.  Dokazat ćemo izraz (3.9’). Pretpostavimo da vrijedi (3.9’). Prvo ćemo dokazati
da je f  multiplikativna funkcija. Nastavljamo s indukcijom po ab kako bismo dokazali da je
)
(
)
(
)
(
b
f
a
f
ab
f
=
 za
1
)
,
(
=
b
a
.  Izraz vrijedi za
1
=
ab
. Pretpostavimo da
)
(
)
(
)
(
d
f
c
f
cd
f
=
kada je
ab
cd
d
c

=
,
1
)
,
(
.  Razlikujemo tri slučaja.
1. Neka je (
)
1
,
=
k
k
kb
a
m
. Tada po induktivnoj pretpostavci,
).
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
1
1
1
1
1
1
b
b
f
b
a
a
f
a
ab
ab
f
ab
b
f
b
a
f
a
ab
f
ab















−
−
−
−
−
−


−

+


=

Dakle,
)
(
)
(
)
(
b
f
a
f
ab
f
=
.
2. Neka je (
)
k
k
k
k
k
b
a
b
a
m
=
,
. Kako je
k
p
m =
 i
1
)
,
(
=
b
a
, slijedi da je
1
=
a
ili
1
=
b
. Stoga je
)
(
)
(
)
(
b
f
a
f
ab
f
=
.
3. Neka je
k
k
k
k
k
b
a
b
a
m


)
,
(
1
. Tada po induktivoj pretpostavci i (3.9’) slijedi
)
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
1
1
1
b
f
b
a
f
a
ab
f
ab
−
−
−


=







.
Dakle,
)
(
)
(
)
(
b
f
a
f
ab
f
=
.
Sada smo dokazali da je f multiplikativna funkcija. Nakon toga, trebamo dokazati da
)
(
)
(
)
(
1
p
f
p
p
f
a
a
−
=
 za sve proste brojeve
a
p . Razmatramo dva slučaja.
1. Neka
k
p ne dijeli m. Uzimajući
p
n =
i uvrštavanjem u (3.9’) dobivamo
)
(
)
(
)
(
p
p
p
f


−
=
. Zatim uzmimo
a
p
n =
 i uvrstimo u (3.9’)  te time dokazujemo da
)
(
)
(
)
(
1
p
f
p
p
f
a
a
−
=
−

.
2.  Neka
m
pk
. Kako je
)
0
(

k
e
p
m
e


=
, slijedi
k
e =
. Prema tome uzimajući
a
p
n =
 i
uvrštavanjem u (3.9’) dobivamo
)
(
)
(
)
(
1
p
f
p
p
f
a
a
−
= 
. Po teoremu 3.3.1. imamo rezultat.
□
Teorem 3.3.10. Neka su f i g aritmetičke funkcije takve da (
)
0
)
(


n
g
f
za sve nϵℕ. Ako su f
i g racionalne aritmetičke funkcije stupnja (1,1) s
t
v
g
f =
, onda

=


=

1
)
,
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
k
k
d
m
n
d
d
d
g
f
d
g
g
f
f
n
g
f
n
f



,
(3.10)
gdje
k
k
k
n
m
)
,
(
=

za sve m, nϵℕ. Obratno, ako postoje potpuno multiplikativne funkcije


,
i takve da (
)
0
)
(
1


−
n


za sve nϵℕ i takve da
41

(
)

=
−
−
−
−



=

1
)
,
(
1
1
1
1
)
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
)
(
k
k
d
m
n
d
d
d
d
f
n
n
f











,
(3.10’)
za sve nϵℕ i za neki
)
0
(

k
e
p
m
e


=
, onda je f racionalna aritmetička funkcija stupnja
(1,1) s

=
t
f
.
Teorem se može dokazati slično kao i teorem 3.3.9.
Napomena 3.3.7. Izraz (3.9) i (3.10) možemo shvatiti kao generalizirani Landau identitet.
Klasični Landau identitet je
)
(
)
(
)
(
2
n
n
d
d
n
d



=

.
gdje je  Eulerova funkcija,   Möbiusova funkcija.  Identitet je dokazao njemački mate-
matičar Edmund Landau 1900. godine.
Klasični Brauer- Rademacher identitetje identitet koji je postavio H.Rademacher, a dokazao
A. Brauer te glasi


=
=
=
1
)
,
(
)
,
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
(
d
m
n
d
n
m
d
d
n
d
n
d
n
d
d
n





.
Sumacija na lijevoj strani je preko djelitelja d od n, relativno prostihs m, a sumacija na desnoj
strani je po zajedničkim djeliteljima od m i n.
Generalizacije danih identiteta mogu se razmatrati kao karakterizacije racionalnih aritmetičkih
funkcija stupnja (1,1).

Teorem 3.3.11. Aritmetička funkcija f je racionalna aritmetička funkcija stupnja (1,1) ako i
samo ako je f multiplikativna i ako za sve proste brojeve p postoje kompleksni brojevi
)
( p
a
i
)
( p
b
 takvi da
x
p
a
x
p
b
x
f p
)
(
1
)
(
1
)
(
−
−
=
.
(3.11)
U ovom slučaju je
)
(
)
(
p
a
p
ft
=
i
)
(
)
(
p
b
p
fv
=
.
Dokaz. Neka je f  racionalna aritmetička funkcija stupnja (1, 1), tada
(
)
(
)
x
p
f
x
p
f
x
f
x
f
x
f
f
x
f
t
v
v
t
p
v
t
p
)
(
1
)
(
1
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
1
−
−
=
=

=
−
.
Obratno, neka su g i h potpuno multiplikativne funkcije definirane s
)
(
)
(
p
a
p
g
=
 i
)
(
)
(
p
b
p
h
=
 za sve proste brojeve p. Tada
(
) )
(
)
(
1 x
h
g
x
f p
−

=
za sve proste brojeve p, prema
tome
1
−

=
h
g
f
.
Funkcija f  je racionalna aritmetička funkcija stupnja (1, 1) i ovime je dokaz gotov.
□

Sada navedimo još jedan primjer racionalne aritmetičke funkcije stupnja (1, 1) s oznakom
42

.
)
(k


Definicija 3.3.6. Aritmetička funkcija
)
(n

 je definirana kao broj uređenih parova
)
,
(
b
a
takvih da je
1
)
,
(
=
b
a
 i
n
ab =
.
Napomena 3.3.8. Primjećujemo da je
)
(n

zadana s
)
(
2
)
(
n
n


=
 ,
gdje je
)
(n

broj međusobno različitih prostih faktora od n s
.
0
)
1
(
=


Također
)
(n

 je broj kvadratno slobodnih djelitelja broja n.
Primjer 3.3.4. Odredimo
)
1
(

i
)
12
(

.
Rješenje:  Znamo da je  po definiciji
0
)
1
(
=

pa slijedi
1
2
)
1
(
0 =
=

.
Kako bismo izračunali
)
12
(

, odredimo prvo
)
12
(

. Rastav broja 12 na proste faktore je
3
2
12
2 
=
. Slijedi da je
2
)
12
(
=

, stoga je
4
2
)
12
(
2 =
=

.
Zadnja napomena sugerira nam da pronađemo generalizaciju od
)
(n

 te dolazimo do funkcije
)
(
)
(
n
k

.
Definicija 3.3.7. Aritmetička funkcija
)
(
)
(
n
k

 je definirana kao broj uređenih k-torki
)

...,

,

,
(
2
1
k
a
a
a
takvih da su
i
a relativno prosti i
k
a
a
a
n



=
2
1
.
Napomena 3.3.8. Primjećujemo da je
)
(
)
(
n
k

 zadana s
)
(
)
(
)
(
n
k
k
n


=
,
gdje je
)
(n

broj međusobno različitih prostih faktora od n s
0
)
1
(
=

.

Ako definiramo funkciju
)
1
(
k
−

 zadanu s
(
)
)
(
)
1
(
1
)
(
n
k
k
n

−
−
=

, gdje je
)
(n

ukupan broj
prostih djelitelja od n, brojenih s obzirom na njihovu višestrukost, onda po teoremu 3.3.11.
imamo
)
)(
(
)
(
)
1
(
)
(
n
e
n
k
k
−

=


,
gdje je
1

u
. Funkcija
)
1
(
k
−

 je generalizirana Liouvilleova funkcija s


=
−)
1
(
, pri čemu je
 klasična Liouvilleova funkcija. Prema tome
2
1
)
2
(






=

=

=
=
−
e
e
e
.Nadalje,
)
1
(
k
−

 je potpuno multiplikativna funkcija, stoga
)
(
)
(
n
k

posjeduje strukturu racionalne
aritmetičke funkcije stupnja (1, 1).
Primjenimo li izraze (3.1) – (3.10) na
)
(k

dobivamo nove identitete.

43

Literatura

[1] T. M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer- Verlag, New York,
1976.
[2] T. M. Apostol, Some properties of completely multiplicative arithmetical functions,
Amer. Math. Monthly 78 (1971), 266-271.
[3] T. M. Apostol, H. S. Zuckerman,  On the functional equation
(
)
)
(
)
,
(
)
(
m
F
n
m
F
mn
F
=
(
)
)
,
(
)
(
n
m
f
n
F
, Pacific J. Math. 14 (1964), 377-384.
[4] A. Dujella, Uvod u teoriju brojeva, skripta, PMF- Matematički odjel, Sveučilište u
Zagrebu, 2009.
[5] P. Haukkanen, Some characterizations of totients, Internat. J. Math. Math. Sci. 19
(1996), no. 2, 209-217.
[6] P. Haukkanen, An arithmetical equation with respect to regular convolutions, Aequat.
Math. 91(2017), 527-536.
[7] P. Haukkanen, Classical arithmetical identities involving a generalization of
Ramanujan’s sum, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. I. Math. Diss. 68 (1988), 1-69.
[8]  P. Haukkanen, Extensions of the class of multiplicative functions, 14 (2012), no. 2,
101-113, (file:///D:/295-548-1-SM.pdf, datum dostupa 1.9.2019. )
[9] A. J. Hildebrand, Introduction to Analytic Number Theory, Department of Mathe-
matics, University of Illinois, 2013., (https://faculty.math.illinois.edu/~hildebr/ant/,
datum dostupa 11. 3. 2019. ).
[10] P. J. McCarthy, Introduction to Arithmetical Functions, Springer- Verlag, New York,
1986.
[11] K. H. Rosen, Elementary number theory and its applications, 5th edition, Pearson /
Addison Wesley, Boston, 2005.
[12] R. Vaidyanathaswamy, The theory of multiplicative arithmetic functions, Trans.
Amer. Math. Soc. 33 (1931), 579-662.
[13] D. Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika, Algoritam, Zagreb, 2001.
[14] J. Vukašinović, Aritmetičke funkcije teorije brojeva, diplomski rad, PMF- Matematički
odsjek, Sveučilište u Zagrebu, 2017.
[15] C.R.Wall, T. S. Hsu, A characterization of totients, Notices Amer. Math. Soc. 19
(1972), 567.