Coxeterjeva grupa
Coxeterjeva grupa je v matematiki abstraktna grupa, ki omogoča formalni opis grupe v okviru zrcalnih simetrij. Coxeterjeve grupe so končne evklidske zrcalne grupe. Kot zgled služijo simetrijske grupe pravilnih poliedrov. Coxeterjeve grupe so končne in ne morejo biti opisane s simetrijo in evklidskim zrcaljenjem.

Coxeterjeve grupe se veliko uporabljajo. Zgledi končnih Coxeterjevih grup vključujejo grupe simetrije pravilnih politopov in Weylovih grup enostavnih Liejevih algeber. Zgled neskončne Coxeterjeve grupe so tudi trikotniške grupe, ki odgovarjajo pravilni teselaciji evklidske in hiperbolične ravnine.

Grupe se imenujejo po angleško-kanadskem matematiku in geometru H. S. MacDonaldu Coxeterju (1907–2003).

Definicija 

Coxeterjevo grupo se lahko definira kot grupo s predstavitvijo grupe kot:

 
kjer je:
 
  za 

Pogoj  pomeni, da se odnosa v obliki  ne da prikazati.

Končne Coxeterjeve grupe

Razvrščanje 

Končne Coxeterjeve grupe so razvrstili na osnovi Coxeter-Dinkinovih diagramov. Vse pa so predstavljene z zrcalnimi grupami končnorazsežnih evklidskih prostorov.

Končne Coxeterjeve grupe so sestavljene iz treh enoparameterskih družin z rastočim rangom , eno enoparametersko družino z razsežnostjo dva () in šestimi posebnimi grupami
 in .

Weylove grupe   
 

Mnoge Coxeterjeve grupe, vendar ne vse, so Weylove grupe, vsaka Weylova grupa pa se lahko prikaže kot Coxeterjeva grupa. Weylove grupe sta družini  in  ter

Značilnosti 

Nekatere značilnosti končnih Coxeterjevih grup so podane v naslednji preglednici:

Simetrijske grupe pravilnih politopov 

Vse simetrijske grupe pravilnih politopov so končne Coxeterjeve grupe.

Znane so tri skupine pravilnih politopov v vseh mogočih razsežnostih. Simetrijska grupa pravilnega n-simpleksa je simetrijska grupa Sn+1, ki je znana tudi kot Coxeterjeva grupa tipa An. Simetrijska grupa n-kocke in njene dualne oblike n-ortopleksa je BCn, ki pa je znana kot hiperoktaederska grupa.

Posebni pravilni politopi v dveh, treh in štirih razsežnostih odgovarjajo drugim Coxeterjevim grupam. V dveh razsežnostih diedrske grupe, ki je grupa simetrije pravilnih mnogokotnikov, tvorijo skupino I2(p). V treh razsežnostih je simetrijska grupa pravilnih dodekaedrov in njihove dualne oblike ikozaedra je H3, ki je znana kot polna ikozaederska grupa. V štirih razsežnostih so znani trije posebni pravilni politopi. To so 24-celica, 120-celica in 600-celica.

Coxeterjeve grupe tipa Dn, E6, E7 in E8    
so polpravilni politopi.

</noinclude>
<noinclude>
Opomba:Oznake: An, Bn, Cn, Dn, Hn, E6, E7, E8, F4 in G2 
so Coxeterjeva števila za posamezne Coxeterjeve grupe

Afine Coxeterjeve grupe 

Afine Coxeterjeve grupe so druga pomembna skupina Coxeterjevih grup.
To so tudi končne grupe, toda vsaka vsebuje normalno Abelovo podgrupo tako, da je faktorska grupa končna. Vsekakor pa je faktorska grupa Coxeterjeva grupa. Coxeterjev graf se dobi iz  Coxeterjevega grafa Coxeterjeve grupe z dodajanjem novega vozlišča in dveh dodatnih  povezav. V nadaljevanju so prikazane afine Coxeterjeve grupe.

Zunanje povezave 

 
 Coxeterjeve grupe
Coxeterjeva grupa je v matematiki abstraktna grupa , ki omogoča formalni opis grupe v okviru zrcalnih simetrij . Coxeterjeve grupe so končne evklidske zrcalne grupe . Kot zgled služijo simetrijske grupe pravilnih poliedrov . Coxeterjeve grupe so končne in ne morejo biti opisane s simetrijo in evklidskim zrcaljenjem . Coxeterjeve grupe se veliko uporabljajo . Zgledi končnih Coxeterjevih grup vključujejo grupe simetrije pravilnih politopov in Weylovih grup enostavnih Liejevih algeber . Zgled neskončne Coxeterjeve grupe so tudi trikotniške grupe , ki odgovarjajo pravilni teselaciji evklidske in hiperbolične ravnine . Grupe se imenujejo po angleško - kanadskem matematiku in geometru H. S. MacDonaldu Coxeterju2003 ) . Definicija Coxeterjevo grupo se lahko definira kot grupo s predstavitvijo grupe kot : kjer je : za Pogoj pomeni , da se odnosa v obliki ne da prikazati . Končne Coxeterjeve grupe Razvrščanje Končne Coxeterjeve grupe so razvrstili na osnovi Coxeter - Dinkinovih diagramov . Vse pa so predstavljene z zrcalnimi grupami končnorazsežnih evklidskih prostorov . Končne Coxeterjeve grupe so sestavljene iz treh enoparameterskih družin z rastočim rangom , eno enoparametersko družino z razsežnostjo dva ( ) in šestimi posebnimi grupami in \ . Weylove grupe Mnoge Coxeterjeve grupe , vendar ne vse , so Weylove grupe , vsaka Weylova grupa pa se lahko prikaže kot Coxeterjeva grupa . Weylove grupe sta družini in ter Značilnosti Nekatere značilnosti končnih Coxeterjevih grup so podane v naslednji preglednici : Simetrijske grupe pravilnih politopov Vse simetrijske grupe pravilnih politopov so končne Coxeterjeve grupe . Znane so tri skupine pravilnih politopov v vseh mogočih razsežnostih . Simetrijska grupa pravilnega n - simpleksa je simetrijska grupa Sn+1 , ki je znana tudi kot Coxeterjeva grupa tipa An. Simetrijska grupa n - kocke in njene dualne oblike n - ortopleksa je BCn , ki pa je znana kot hiperoktaederska grupa . Posebni pravilni politopi v dveh , treh in štirih razsežnostih odgovarjajo drugim Coxeterjevim grupam . V dveh razsežnostih diedrske grupe , ki je grupa simetrije pravilnih mnogokotnikov , tvorijo skupino I2( p ) . V treh razsežnostih je simetrijska grupa pravilnih dodekaedrov in njihove dualne oblike ikozaedra je H3 , ki je znana kot polna ikozaederska grupa . V štirih razsežnostih so znani trije posebni pravilni politopi . To socelica ,celica incelica . Coxeterjeve grupe tipa Dn , E6 , E7 in E8 so polpravilni politopi . < /noinclude> <noinclude > Opomba : Oznake : An , Bn , Cn , Dn , Hn , E6 , E7 , E8 , F4 in G2 so Coxeterjeva števila za posamezne Coxeterjeve grupe Afine Coxeterjeve grupe Afine Coxeterjeve grupe so druga pomembna skupina Coxeterjevih grup. To so tudi končne grupe , toda vsaka vsebuje normalno Abelovo podgrupo tako , da je faktorska grupa končna . Vsekakor pa je faktorska grupa Coxeterjeva grupa . Coxeterjev graf se dobi iz Coxeterjevega grafa Coxeterjeve grupe z dodajanjem novega vozlišča in dveh dodatnih povezav . V nadaljevanju so prikazane afine Coxeterjeve grupe . Zunanje povezave Coxeterjeve grupe