Oktonion
Októnion (tudi Cayleyjevo število, Cayleyjev oktonion ali oktava) (oznaka množice oktonionov ) je neasociativna razširitev kvaternionov. Oktonioni tvorijo 8 razsežno algebro nad realnimi števili. Obstojajo štiri takšne algebre: to so algebra kvaternionov (), kompleksnih () in realnih števil ().

Zgodovina 

Oktonione je odkril leta 1843 irski matematik in pravnik John Thomas Graves (1806 – 1870).

Neodvisno jih je odkril tudi britanski matematik Arthur Cayley (1821 – 1895). Zaradi tega oktonione imenujejo tudi Cayleyjeva števila oziroma Cayleyjevi oktonioni.

Definicija 

Oktonione si lahko predstavljamo kot oktete realnih števil. Vsak oktonion je linearna kombinacija enotskih oktonionov  kjer je  skalar. To pomeni, da se vsak oktonion lahko zapiše kot:

 

kjer so:

  realni koeficienti

Oktonioni se seštevajo enako kot kompleksna števila.

Množenje oktonionov je dano z naslednjo tabelo za enotski oktonion.

Množenje Cayleyjevih oktonionov
 <small>Vrednosti so antisimetrične okoli diagonale z vrednostmi -1. </small>

Pogosto namesto številk uporabljamo črke:

Cayley-Dicksonova konstrukcija 

Uporablja se za definiranje oktonionov. Podobno kot se kvaternioni definirajo kot pari kompleksnih števil, se tudi oktonioni definirajo kot pari kvaternionov. Produkt dveh kvaternionov  in  je določen z:

 

kjer
  pomeni konjugirano vrednost kvaterniona z.
To je enakovredno, kot da osem enotskih oktonionov definiramo kot pare
(1,0), (i,0), (j,0), (k,0), (0,1), (0,i), (0,j), (0,k).

Konjugirani oktonion, norma in obratna vrednost 

Konjugirana vrednost oktoniona:

 

je enaka:

 

Norma oktoniona je:

 

Obstoj norme pogojuje obstoj obratnega elementa za vsak neničelen element. Obratni element za vsak x ≠ 0, je dan z:

 

Velja pa tudi x x−1 = x−1 x = 1.

Fanova ravnina 

S pomočjo diagrama na desni lahko na enostaven način določamo produkte enotskih oktonionov. Ravnina s sedmimi točkami in sedmimi povezavami se imenuje Fanova ravnina, ki se imenuje po italijanskem matematiku Ginu Fanu (1871 – 1952). Povezave so usmerjene. Ravnina ima 7 točk in 7 povezav. Na vsaki povezavi so tri točke. Krožnica preko točk 1, 2 in 3 je enakovredna ravni povezavi. S pomočjo tabele produktov si lahko sestavimo pravila za množenje enotskih oktonionov.

Značilnosti oktonionov 
 Oktonioni niso komutativni

 Oktonioni niso asociativni

 Oktonioni zadoščajo šibkejši obliki asociativnosti. Tvorijo tako imenovano alternativno algebro. To pomeni, da je vsaka podalgebra, zgrajena s poljubnima dvema elementoma asociativna.
 Oktonioni imajo pomembno lastnost, da zanje velja
. To pomeni, da oktonioni tvorijo normirano algebro z deljenjem.

Zunanje povezave 

 Oktonioni 
 Oktonioni na MathWorld 
 Oktonionske matrike  

Oktonioni
Števila
Hiperkompleksna števila
Októnion ( tudi Cayleyjevo število , Cayleyjev oktonion ali oktava ) ( oznaka množice oktonionov ) je neasociativna razširitev kvaternionov . Oktonioni tvorijorazsežno algebro nad realnimi števili . Obstojajo štiri takšne algebre : to so algebra kvaternionov ( ) , kompleksnih ( ) in realnih števil ( ) . Zgodovina Oktonione je odkril letairski matematik in pravnik John Thomas Graves – Neodvisno jih je odkril tudi britanski matematik Arthur Cayley – Zaradi tega oktonione imenujejo tudi Cayleyjeva števila oziroma Cayleyjevi oktonioni . Definicija Oktonione si lahko predstavljamo kot oktete realnih števil . Vsak oktonion je linearna kombinacija enotskih oktonionov kjer je skalar. To pomeni , da se vsak oktonion lahko zapiše kot : kjer so : realni koeficienti Oktonioni se seštevajo enako kot kompleksna števila . Množenje oktonionov je dano z naslednjo tabelo za enotski oktonion . Množenje Cayleyjevih oktonionov <small >Vrednosti so antisimetrične okoli diagonale z vrednostmi < /small> Pogosto namesto številk uporabljamo črke : Cayley - Dicksonova konstrukcija Uporablja se za definiranje oktonionov . Podobno kot se kvaternioni definirajo kot pari kompleksnih števil , se tudi oktonioni definirajo kot pari kvaternionov . Produkt dveh kvaternionov in je določen z : kjer pomeni konjugirano vrednost kvaterniona z. To je enakovredno , kot da osem enotskih oktonionov definiramo kot pare ( 1,0 ) , ( i ,0 ) , ( j ,0 ) , ( k ,0 ) , 1) ,i ) ,j ) ,k ) . Konjugirani oktonion , norma in obratna vrednost Konjugirana vrednost oktoniona : je enaka : Norma oktoniona je : Obstoj norme pogojuje obstoj obratnega elementa za vsak neničelen element . Obratni element za vsak x ≠ je dan z: Velja pa tudi x x−1 = x−1 x = Fanova ravnina S pomočjo diagrama na desni lahko na enostaven način določamo produkte enotskih oktonionov . Ravnina s sedmimi točkami in sedmimi povezavami se imenuje Fanova ravnina , ki se imenuje po italijanskem matematiku Ginu Fanu – Povezave so usmerjene . Ravnina imatočk inpovezav . Na vsaki povezavi so tri točke . Krožnica preko točkinje enakovredna ravni povezavi . S pomočjo tabele produktov si lahko sestavimo pravila za množenje enotskih oktonionov . Značilnosti oktonionov Oktonioni niso komutativni Oktonioni niso asociativni Oktonioni zadoščajo šibkejši obliki asociativnosti . Tvorijo tako imenovano alternativno algebro . To pomeni , da je vsaka podalgebra , zgrajena s poljubnima dvema elementoma asociativna . Oktonioni imajo pomembno lastnost , da zanje velja . To pomeni , da oktonioni tvorijo normirano algebro z deljenjem . Zunanje povezave Oktonioni Oktonioni na MathWorld Oktonionske matrike Oktonioni Števila Hiperkompleksna števila