Matrika vrtenja
Matrika vrtenja (tudi matrika rotacije ali rotacijska matrika) je v linearni algebri matrika, ki opisuje vrtenje (rotacijo) v Evklidskem prostoru. Enostaven primer je matrika, ki zavrti točke v xy ravnini Kartezičnega koordinatnega sistema v nasprotni smeri od gibanja urinih kazalcev za kot  okoli izhodišča koordinatnega sistema, ki jo lahko zapišemo v obliki
.

Rotacijske matrike so vedno kvadratne, njeni elementi pa so realna števila. Matrike vrtenja so ortogonalne matrike, ki imajo determinanto enako 1. Zanje torej velja 
.

Množica matrik vrtenja tvori grupo, ki jo poznamo kot rotacijsko grupo ali specialno ortogonalno grupo.

Matrike vrtenja označujemo z  (matrika rotacije).

Vrtenje v dvorazsežnem prostoru 

V dveh razsežnostih ima matrika vrtenja obliko
.
 
Ta matrika zavrti stolpični vektor v skladu z
.

Tako dobimo nove koordinate  za točko 
,
.

Smer vrtenja vektorja je mišljena v nasprotni smeri od gibanja urinih kazalcev, če je  pozitiven, in v smeri gibanja urinih kazalcev, če je  negativen.
.

Pogosta vrtenja 
Pogosto se uporabljajo vrtenja za 90° in 180°:
 (vrtenje za 90° v nasprotni smeri gibanja urinih kazalcev)
 (vrtenje za 180° v katerikoli smeri – polovični obrat)
 (vrtenje za 90° v smeri gibanja urinih kazalcev)

Vrtenje vektorja v nestandardnem sistemu koordinatnih osi (glej sliko) se uporablja v dvorazsežni računalniški grafiki, kjer je izhodišče koordinatnega sistema v zgornjem levem kotu zaslona, pri tem pa y-os poteka navzdol po zaslonu računalnika.

Vrtenje v trirazsežnem prostoru

Osnovna vrtenja 
Vrtenja okoli koordinatnih osi  v trirazsežnem desno orientiranem prostoru dajejo naslednje matrike
.

Posplošitev vrtenja 
Poljubno vrtenje dobimo s pomočjo množenja matrik

Lastnosti matrik vrtenja 
V trirazsežnem prostoru, kjer je  os vrtenja in   je kot vrtenja,   

  (i.e.,  je ortogonalna matrika
  
 
  
  lastne vrednosti  so
 
 sled matrike   je enaka  kar je enako vsoti njenih lastnih vrednosti.

kjer je 
  os vrtenja
  je determinanta
  enotska matrika ()
  je običajna imaginarna enota za katero velja

Zgledi 
Matrika

odgovarja vrtenju za 90° v ravnini 

Transponirana matrika matrike 2×2 

je sama sebi obratna, ker pa je njena determinanta −1, to ni matrika vrtenja, je pa matrika, ki daje zrcaljenje preko premice 

Rotacijska matrika 3×3 

odgovarja vrtenju za −30° okoli x osi</li>

Rotacijska matrika 3×3 

odgovarja vrtenju za okoli -74° okoli osi (−1⁄3,2⁄3,2⁄3) 

Permutacijska matrika 3×3 

je matrika vrtenja, kot je tudi vsaka soda permutacija 

Naslednja matrika 3×3

ima determinanto +1, toda njena transponirana ni sebi obrnjena, kar pomeni, da ni  matrika vrtenja 

Matrika 4×3

ni kvadratna in tako ne more biti matrika vrtenja 

Matrika 4×4 

predstavlja izoklinsko vrtenje, 

Matrika 5×5 

je matrika vrtenja, ker zavrti vektorje v ravnini prvih dveh koordinatnih osi za 90° in zavrti vektorje v ravnini drugih dveh osi za 180°, pri tem pa pusti zadnjo os nespremenjeno

Zunanje povezave 
 Matrika vrtenja na MathWorld 
 Matrika vrtenja (značilnosti) 
 Matrika vrtenja na Citizendium 
 Matrika vrtenja na MathPages 

Matrike
Rotacijska simetrija
Matrika vrtenja ( tudi matrika rotacije ali rotacijska matrika ) je v linearni algebri matrika , ki opisuje vrtenje ( rotacijo ) v Evklidskem prostoru . Enostaven primer je matrika , ki zavrti točke v xy ravnini Kartezičnega koordinatnega sistema v nasprotni smeri od gibanja urinih kazalcev za kot okoli izhodišča koordinatnega sistema , ki jo lahko zapišemo v obliki . Rotacijske matrike so vedno kvadratne , njeni elementi pa so realna števila . Matrike vrtenja so ortogonalne matrike , ki imajo determinanto enako Zanje torej velja . Množica matrik vrtenja tvori grupo , ki jo poznamo kot rotacijsko grupo ali specialno ortogonalno grupo . Matrike vrtenja označujemo z ( matrika rotacije ) . Vrtenje v dvorazsežnem prostoru V dveh razsežnostih ima matrika vrtenja obliko . Ta matrika zavrti stolpični vektor v skladu z . Tako dobimo nove koordinate za točko . Smer vrtenja vektorja je mišljena v nasprotni smeri od gibanja urinih kazalcev , če je pozitiven , in v smeri gibanja urinih kazalcev , če je negativen . . Pogosta vrtenja Pogosto se uporabljajo vrtenja za in : ( vrtenje za v nasprotni smeri gibanja urinih kazalcev ) ( vrtenje za v katerikoli smeri – polovični obrat ) ( vrtenje za v smeri gibanja urinih kazalcev ) Vrtenje vektorja v nestandardnem sistemu koordinatnih osi ( glej sliko ) se uporablja v dvorazsežni računalniški grafiki , kjer je izhodišče koordinatnega sistema v zgornjem levem kotu zaslona , pri tem pa y - os poteka navzdol po zaslonu računalnika . Vrtenje v trirazsežnem prostoru Osnovna vrtenja Vrtenja okoli koordinatnih osi v trirazsežnem desno orientiranem prostoru dajejo naslednje matrike . Posplošitev vrtenja Poljubno vrtenje dobimo s pomočjo množenja matrik Lastnosti matrik vrtenja V trirazsežnem prostoru , kjer je os vrtenja in je kot vrtenja , ( i . e . , je ortogonalna matrika lastne vrednosti so sled matrike je enaka kar je enako vsoti njenih lastnih vrednosti . kjer je os vrtenja je determinanta enotska matrika ( ) je običajna imaginarna enota za katero velja Zgledi Matrika odgovarja vrtenju za v ravnini Transponirana matrika matrike2 je sama sebi obratna , ker pa je njena determinanta −1 , to ni matrika vrtenja , je pa matrika , ki daje zrcaljenje preko premice Rotacijska matrika3 odgovarja vrtenju za −30° okoli x osi< /li > Rotacijska matrika3 odgovarja vrtenju za okoli okoli osi ( −1⁄3 , 2⁄3 , 2⁄3) Permutacijska matrika3 je matrika vrtenja , kot je tudi vsaka soda permutacija Naslednja matrika3 ima determinanto +1 , toda njena transponirana ni sebi obrnjena , kar pomeni , da ni matrika vrtenja Matrika3 ni kvadratna in tako ne more biti matrika vrtenja Matrika4 predstavlja izoklinsko vrtenje , Matrika5 je matrika vrtenja , ker zavrti vektorje v ravnini prvih dveh koordinatnih osi za in zavrti vektorje v ravnini drugih dveh osi za , pri tem pa pusti zadnjo os nespremenjeno Zunanje povezave Matrika vrtenja na MathWorld Matrika vrtenja ( značilnosti ) Matrika vrtenja na Citizendium Matrika vrtenja na MathPages Matrike Rotacijska simetrija