Grupo diedral
En matemáticas, un grupo diedral o grupo diédrico es el grupo de simetría de un polígono regular, incluyendo tanto rotaciones y reflexiones. Los grupos diedrales se encuentran entre los más simples ejemplos de grupos finitos, y juegan un rol importante en teoría de grupos, geometría, y química.

Notación 

Existen dos notaciones para el grupo diedral asociado a un polígono con n lados. En geometría el grupo se denota Dn, mientras que en álgebra el mismo grupo se denota D2n para indicar el número de elementos.

En este artículo, Dn se refiere a las simetrías de un polígono regular con n lados.

Definición

Elementos 

Un polígono regular con n lados tiene 2n simetrías diferentes: n simetrías rotacionales y n simetrías de reflexión. Las rotaciones y reflexiones asociadas forman el grupo diedral Dn. Si n es impar, cada eje de simetría conecta el punto medio de un lado al vértice opuesto. Si n es par, hay n/2 ejes de simetría conectando los puntos medios de lados opuestos y n/2 ejes de simetría conectando vértices opuestos. En cada caso, hay n ejes de simetría en conjunto y 2n elementos en el grupo de simetría. La reflexión en un eje de simetría seguida por la reflexión en otros ejes de simetría produce una rotación de dos veces el ángulo entre los ejes. La siguiente imagen muestra el efecto de los dieciséis elementos de D8 en una señal de alto:

La primera fila muestra el efecto de las ocho rotaciones, y la segunda fila muestra el efecto de las ocho reflexiones.

Estructura del grupo 
Como con cualquier objeto geométrico, la composición de dos simetrías de un polígono regular es nuevamente una simetría. Esta operación brinda a las simetrías de un polígono la estructura algebraica de un grupo finito.

La siguiente tabla de Cayley muestra el efecto de composición en el grupo D3 (las simetrías de un triángulo equilátero).  R0 denota la identidad; R1 y R2 denotan rotaciones en contra del sentido de las manecillas del reloj en 120 y 240 grados; y S0, S1, y S2 denotan reflexiones a través de las tres líneas mostradas en la imagen a la derecha.

Por ejemplo, S2S1 = R1 debido a que la reflexión S1 seguida por la reflexión S2 resulta en una rotación de 120 grados. (Éste es el orden normal hacia atrás para la composición.) Nótese que la operación de composición no es conmutativa.

En general, el grupo Dn tiene elementos R0,...,Rn−1 y S0,...,Sn−1, con composición dada por las siguientes fórmulas:

En todos los casos, la adición y sustracción de subíndices debería ser realizada utilizando aritmética modular con módulo n.

Representación matricial 

Si centramos un polígono regular en el origen de coordenadas, entonces los elementos del grupo diedral actúan como transformaciones lineales del plano. Esto nos permite representar elementos de Dn como matrices, siendo la composición una multiplicación de matrices.
Esto es un ejemplo de una representación de grupo bidimensional.

Por ejemplo, los elementos del grupo D4 pueden ser representados por las siguientes ocho matrices:

En general, las matrices para elementos de Dn tienen la forma siguiente:

Rk es una matriz de rotación, que expresa una rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj a través de un ángulo de  .  Sk es una reflexión a lo largo de una línea que forma un ángulo de  con el eje x.

Pequeños grupos diedrales 

Para n = 1  tenemos Dih1. Esta notación es raramente utilizada excepto en el marco de las series, porque es igual a Z2. Para n = 2 tenemos Dih2, el grupo de Klein. Ambos son excepcionales dentro de la serie:
 Son abelianos; para todos los otros valores de n, el grupo  Dihn es no abeliano.
 No son subgrupos del grupo simétrico Sn, correspondiente al hecho que 2n > n! para estos n.

Los grafos ciclos de grupos diedrales consisten en un ciclo de n-elementos y ciclos de n 2-elementos. El vértice oscuro en los grafos ciclos debajo de varios grupos diedrales permanece para el elemento identidad, y los otros vértices son los otros elementos del grupo. Un ciclo consiste de potencias sucesivas de cada uno de los elementos conectados al elemento identidad.

El grupo diedral como un grupo de simetría en 2D y grupo de rotación en 3D 
Un ejemplo de grupo abstracto Dihn, y una forma común para visualizarlo, es el grupo D<sub>n</sub> de isometría Euclídeas planas que mantienen fijo el origen. Estos grupos forman una de las dos series de grupos puntuales en dos dimensiones discretos. D<sub>n</sub> consiste de n rotaciones de múltiplos de 360°/n respecto al origen, y reflexiones a lo largo de n líneas a través del origen, formando ángulos de múltiplos de 180°/n entre sí. Ésta es la simetría de grupo de un polígono regular con n caras (para n ≥3, y también para el caso degenerado n = 2, donde tenemos un segmento de línea en el plano).

El grupo diedral Dn es generado por una rotación r de orden n y una reflexión s de orden 2 tal que:

(en términos geométricos: en el espejo una rotación luce como una rotación inversa).

En forma matricial, una rotación en sentido antihorario y una reflexión en el eje x están dadas por:

(en términos de números complejos: multiplicación por  y conjugación compleja).

Haciendo que

y definiendo  and  for  podemos escribir las reglas de producto para  Dn como:

El grupo diedral D2 es generado por la rotación r de 180 grados, y la reflexión s a través del eje x. Los elementos de D2 pueden entonces ser representados como {e, r, s, rs}, donde e es la identidad o transformación nula y rs es la reflexión a través del eje y.

D2 es isomorfo al grupo de Klein.

Si el orden de Dn es mayor que 4, las operaciones de rotación y reflexión en general no conmutan y Dn no es abeliano; por ejemplo, en D4, una rotación de 90 grados seguida por una reflexión dan un resultado diferente de una reflexión seguida por una rotación de 90 grados:

Así, más allá de su aplicación obvia a problemas de simetría en el plano, estos grupos están entre los ejemplos más simples de grupos no-abelianos, y como tal, surgen con frecuencia como contraejemplos sencillos a teoremas que están restringidos a grupos abelianos.

Los elementos 2n de Dn pueden ser escritos como e, r, r2, ..., rn−1, s, r s, r2 s, ..., rn−1 s. Los primeros elementos listados n son rotaciones y el resto de elementos n son reflexiones axiales (todas ellas tienen orden 2). El producto de dos rotaciones o dos reflexiones es una rotación; el producto de una rotación y una reflexión es una reflexión.

Hasta ahora, hemos considerado que Dn sea un subgrupo de O(2), por ejemplo el grupo de rotaciones (respecto al origen) y reflexiones (a lo largo de ejes a través del origen) del plano. Sin embargo, la notación Dn es usada también para un subgrupo de SO(3) que es también un grupo abstracto de tipo Dihn: el grupo de simetría apropiado para un polígono regular incrustado en en el espacio tridimensional (si n ≥ 3). Tal figura puede ser considerada como un sólido regular degenerado con su cara contada dos veces. Por tanto, es llamada también diedro (en griego: sólido con dos caras), que explica el nombre de grupo diedral o diédrico (en analogía con grupo tetraédrico, octaédrico e icosaédrico, refiriéndose a los grupos de simetría de un tetraedro, octaedro, e icosaedro regulares respectivamente).

Ejemplos de simetría diedral 2D

Definiciones equivalentes 
Existen definiciones adicionales equivalentes de Dihn, el cual puede ser:

 El grupo de automorfismo del grafo que consiste solamente en un ciclo con n vértices (si n ≥ 3).
 El grupo con presentación

o

(cualquier grupo no-abeliano simple y finito (de orden par) puede ser generado por dos elementos de orden 2.
 
De la segunda presentación se sigue que  pertenece a la clase de grupo de Coxeter.
 El producto semidirecto de grupos cíclicos Zn y Z2, con Z2 actuando sobre Zn por inversión (así,  siempre tiene un subgrupo normal isomorfo al grupo Zn

 es isomorfo a  si  es la identidad y  es la inversión.

Propiedades 

Si consideramos  (n ≥ 3) como el grupo de simetría de un polígono regular de n lados y vértices, vemos que es un subgrupo de la simetría de grupo Sn por medio de esta representación de permutación.

Las propiedades de los grupos diedrales  con n ≥ 3 dependen de si n es par o impar. Por ejemplo, el centro de  consiste solamente de la identidad si n es impar, pero si n es par, el centro tiene dos elementos, nominalmente la identidad y el elemento rn / 2 (con  como un subgrupo de O(2), esto es inversión; debido a que es una multiplicación escalar por −1, es claro que conmuta con cualquier transformación lineal).

Para n impar, el grupo abstracto  es isomorfo con el producto directo de  y Z2.

En el caso de isometrías 2D, esto corresponde a adicionar inversión, dando rotaciones y espejos en medio de los existentes.

Si m es divisor de n, entonces  tiene n / m subgrupos de tipo , y un subgrupo Zm. Por tanto, el número total de subgrupos de  (n ≥ 1), es igual a d(n) + σ(n), donde d(n) es el número de divisores positivos de n y σ(n) es la suma de los divisores positivos de n.

Clases de conjugación de las reflexiones 
Todas las reflexiones son conjugadas a cada una de ellas en el caso de n impar, pero caen en dos clases de conjugación si n es par. Si pensamos en las isometrías de un polígono regular de n lados: para n impar hay rotaciones en el grupo entre cada par de espejos, mientras que para n par solamente la mitad de los espejos pueden ser alcanzados desde alguna de estas rotaciones. Geométricamente, en un polígono impar cada eje de simetría pasa a través de un vértice y una cara, mientras que en un polígono par la mitad de los ejes pasan a través de dos vértices, y la mitad pasa a través de dos caras.

Algebráicamente, esto es un ejemplo del Teorema de Sylow conjugado (para n impar): para n impar, cada reflexión, junto con la identidad, forman un subgrupo de orden 2, que es un subgrupo de Sylow ( es la potencia máxima de 2 que divide a ), mientras que para n par, estos subgrupos de orden 2 no son subgrupos de Sylow debido a que 4 (una potencia más alta de 2) divide el orden del grupo.

Para n par existe en cambio un automorfismo externo que intercambia los dos tipos de reflexiones (propiamente, una clase de automorfismo externo, que están todos conjugados por un automorfismo interno).

Grupo de automorfismo 
El grupo de automorfismo de  es isomorfo al grupo afín Aff(Z/nZ)  y tiene orden  donde  es la función φ de Euler, el número de k en  es primo con n.

Puede ser entendido en términos de los generadores de una reflexión y una rotación elemental (rotación por , para k primo a n); cuyos automorfismos son internos y externos dependiendo de la paridad de n:
 Para n impar, el grupo diedral es descentrado, así que cualquier elemento define un automorfismo interno no trivial; para n par, la rotación por 180° (reflexión a través del origen) es el elemento no trivial del centro.
 Así, para n impar, el grupo de automorfismo interno tiene orden 2n, y para n par el grupo de automorfismo interno tiene orden n.
 Para n impar, todas las reflexiones son conjugadas; para n par, ellas caen dentro de dos clases (aquellas a través de dos vértices y aquellas a través de dos caras), relacionadas por un automorfismo externo, que puede ser representado por rotación por  (la mitad de la rotación mínima).
 Las rotaciones son un subgrupo normal; la conjugación por una reflexión cambia el signo (dirección) de la rotación, pero de otra forma permanece sin cambio. Así, los automorfismos que multiplican ángulos por k (primos a n) son externos a menos que

Ejemplos de grupos de automorfismo 
Dih9 tiene 18 automorfismos internos. como grupo de isometría 2D D9, el grupo tiene espejos a intervalos de 20°. Los 18 automorfismos internos proveen rotación a los espejos por múltiplos de 20°, y reflexiones. Como grupo isométrico, todos éstos son automorfismos. Como grupo abstracto hay, además a éstos, 36 automorfismos externos, por ejemplo multiplicando los ángulos de rotación por 2.

Dih10 tiene 10 automorfismos internos. Como grupo de isometría 2D D10, el grupo tiene espejos a intervalos de 18°. Los 10 automorfismos internos proveen rotación de los espejos por múltiplos de 36°, y reflexiones. Como grupo de isometría hay 10 automorfismos más; hay conjugados por isometrías fuera del grupo, rotando los espejos 18° con respecto a los automorfismos internos. Como grupo abstracto hay, además de estos 10 automorfismos internos y 10 automorfismos externos, otros 20 automorfismos externos adicionales, por ejemplo multiplicando las rotaciones por 3.

Comparando los valores 6 y 4 para la función φ de Euler, el grupo multiplicativo de enteros módulo n para n = 9 y 10, respectivamente, esto triplica y duplica el número de automorfismo comparado con los dos automorfismos como isometrías (manteniendo igual el orden de las rotaciones o invirtiendo el orden).

Generalizaciones 
Hay varias generalizaciones importantes de los grupos diedrales:
 El grupo diedral infinito es un grupo infinito con estructura algebraica similar a los grupos diedrales finitos. Esto puede ser visto como el grupo de simetrías de los enteros.
 El grupo ortogonal O(2), por ejemplo el grupo de simetría del círculo, también tiene propiedades similares a los grupos diedrales.
 La familia de grupos diedrales generalizados incluye ambos ejemplos anteriores, así como muchos otros grupos.
 Los grupos cuasidiedrales son familia de grupos finitos con propiedades similares a las de los grupos diedrales.

Referencias

Enlaces externos 
 Grupo diedral n de orden 2n por Shawn Dudzik, .

Simetría euclidiana
diedral
En matemáticas , un grupo diedral o grupo diédrico es el grupo de simetría de un polígono regular , incluyendo tanto rotaciones y reflexiones . Los grupos diedrales se encuentran entre los más simples ejemplos de grupos finitos , y juegan un rol importante en teoría de grupos , geometría , y química . Notación Existen dos notaciones para el grupo diedral asociado a un polígono con n lados . En geometría el grupo se denota Dn , mientras que en álgebra el mismo grupo se denota D2n para indicar el número de elementos . En este artículo , Dn se refiere a las simetrías de un polígono regular con n lados . Definición Elementos Un polígono regular con n lados tiene simetrías diferentes : n simetrías rotacionales y n simetrías de reflexión . Las rotaciones y reflexiones asociadas forman el grupo diedral Dn . Si n es impar , cada eje de simetría conecta el punto medio de un lado al vértice opuesto . Si n es par , hay n/2 ejes de simetría conectando los puntos medios de lados opuestos y n/2 ejes de simetría conectando vértices opuestos . En cada caso , hay n ejes de simetría en conjunto y elementos en el grupo de simetría . La reflexión en un eje de simetría seguida por la reflexión en otros ejes de simetría produce una rotación de dos veces el ángulo entre los ejes . La siguiente imagen muestra el efecto de los dieciséis elementos de D8 en una señal de alto : La primera fila muestra el efecto de las ocho rotaciones , y la segunda fila muestra el efecto de las ocho reflexiones . Estructura del grupo Como con cualquier objeto geométrico , la composición de dos simetrías de un polígono regular es nuevamente una simetría . Esta operación brinda a las simetrías de un polígono la estructura algebraica de un grupo finito . La siguiente tabla de Cayley muestra el efecto de composición en el grupo D3 ( las simetrías de un triángulo equilátero ) . R0 denota la identidad ; R1 y R2 denotan rotaciones en contra del sentido de las manecillas del reloj enygrados ; y S0 , S1 , y S2 denotan reflexiones a través de las tres líneas mostradas en la imagen a la derecha . Por ejemplo , S2S1 = R1 debido a que la reflexión S1 seguida por la reflexión S2 resulta en una rotación degrados . ( Éste es el orden normal hacia atrás para la composición . ) Nótese que la operación de composición no es conmutativa . En general , el grupo Dn tiene elementos R0 , ... ,Rn−1 y S0 , ... ,Sn−1 , con composición dada por las siguientes fórmulas : En todos los casos , la adición y sustracción de subíndices debería ser realizada utilizando aritmética modular con módulo n . Representación matricial Si centramos un polígono regular en el origen de coordenadas , entonces los elementos del grupo diedral actúan como transformaciones lineales del plano . Esto nos permite representar elementos de Dn como matrices , siendo la composición una multiplicación de matrices . Esto es un ejemplo de una representación de grupo bidimensional . Por ejemplo , los elementos del grupo D4 pueden ser representados por las siguientes ocho matrices : En general , las matrices para elementos de Dn tienen la forma siguiente : Rk es una matriz de rotación , que expresa una rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj a través de un ángulo de \ . Sk es una reflexión a lo largo de una línea que forma un ángulo de con el eje x . Pequeños grupos diedrales Para n = tenemos Dih1 . Esta notación es raramente utilizada excepto en el marco de las series , porque es igual a Z2 . Para n =tenemos Dih2 , el grupo de Klein . Ambos son excepcionales dentro de la serie : Son abelianos ; para todos los otros valores de n , el grupo Dihn es no abeliano . No son subgrupos del grupo simétrico Sn , correspondiente al hecho que > n ! para estos n . Los grafos ciclos de grupos diedrales consisten en un ciclo de n-elementos y ciclos de nelementos . El vértice oscuro en los grafos ciclos debajo de varios grupos diedrales permanece para el elemento identidad , y los otros vértices son los otros elementos del grupo . Un ciclo consiste de potencias sucesivas de cada uno de los elementos conectados al elemento identidad . El grupo diedral como un grupo de simetría en y grupo de rotación en Un ejemplo de grupo abstracto Dihn , y una forma común para visualizar lo , es el grupo D<sub>n</sub> de isometría Euclídeas planas que mantienen fijo el origen . Estos grupos forman una de las dos series de grupos puntuales en dos dimensiones discretos . D<sub>n</sub> consiste de n rotaciones de múltiplos de/n respecto al origen , y reflexiones a lo largo de n líneas a través del origen , formando ángulos de múltiplos de/n entre sí . Ésta es la simetría de grupo de un polígono regular con n caras ( para n ≥3 , y también para el caso degenerado n = 2 , donde tenemos un segmento de línea en el plano ) . El grupo diedral Dn es generado por una rotación r de orden n y una reflexión s de ordental que : ( en términos geométricos : en el espejo una rotación luce como una rotación inversa ) . En forma matricial , una rotación en sentido antihorario y una reflexión en el eje x están dadas por : ( en términos de números complejos : multiplicación por y conjugación compleja ) . Haciendo que y definiendo and for podemos escribir las reglas de producto para Dn como : El grupo diedral D2 es generado por la rotación r degrados , y la reflexión s a través del eje x . Los elementos de D2 pueden entonces ser representados como { e , r , s , rs } , donde e es la identidad o transformación nula y rs es la reflexión a través del eje y . D2 es isomorfo al grupo de Klein . Si el orden de Dn es mayor que 4 , las operaciones de rotación y reflexión en general no conmutan y Dn no es abeliano ; por ejemplo , en D4 , una rotación degrados seguida por una reflexión dan un resultado diferente de una reflexión seguida por una rotación degrados : Así , más allá de su aplicación obvia a problemas de simetría en el plano , estos grupos están entre los ejemplos más simples de grupos no-abelianos , y como tal , surgen con frecuencia como contraejemplos sencillos a teoremas que están restringidos a grupos abelianos . Los elementos de Dn pueden ser escritos como e , r , r2 , ... , rn−1 , s , r s , r2 s , ... , rn−1 s . Los primeros elementos listados n son rotaciones y el resto de elementos n son reflexiones axiales ( todas ellas tienen orden 2 ) . El producto de dos rotaciones o dos reflexiones es una rotación ; el producto de una rotación y una reflexión es una reflexión . Hasta ahora , hemos considerado que Dn sea un subgrupo de O( 2 ) , por ejemplo el grupo de rotaciones ( respecto al origen ) y reflexiones ( a lo largo de ejes a través del origen ) del plano . Sin embargo , la notación Dn es usada también para un subgrupo de SO ( 3 ) que es también un grupo abstracto de tipo Dihn : el grupo de simetría apropiado para un polígono regular incrustado en en el espacio tridimensional ( si n ≥ Tal figura puede ser considerada como un sólido regular degenerado con su cara contada dos veces . Por tanto , es llamada también diedro ( en griego : sólido con dos caras ) , que explica el nombre de grupo diedral o diédrico ( en analogía con grupo tetraédrico , octaédrico e icosaédrico , refiriendo se a los grupos de simetría de un tetraedro , octaedro , e icosaedro regulares respectivamente ) . Ejemplos de simetría diedral Definiciones equivalentes Existen definiciones adicionales equivalentes de Dihn , el cual puede ser : El grupo de automorfismo del grafo que consiste solamente en un ciclo con n vértices ( si n ≥ El grupo con presentación o ( cualquier grupo no-abeliano simple y finito ( de orden par ) puede ser generado por dos elementos de orden De la segunda presentación se sigue que pertenece a la clase de grupo de Coxeter . El producto semidirecto de grupos cíclicos Zn y Z2 , con Z2 actuando sobre Zn por inversión ( así , siempre tiene un subgrupo normal isomorfo al grupo Zn es isomorfo a si es la identidad y es la inversión . Propiedades Si consideramos ( n ≥ 3 ) como el grupo de simetría de un polígono regular de n lados y vértices , vemos que es un subgrupo de la simetría de grupo Sn por medio de esta representación de permutación . Las propiedades de los grupos diedrales con n ≥dependen de si n es par o impar . Por ejemplo , el centro de consiste solamente de la identidad si n es impar , pero si n es par , el centro tiene dos elementos , nominalmente la identidad y el elemento rn / 2 ( con como un subgrupo de O( 2 ) , esto es inversión ; debido a que es una multiplicación escalar por −1 , es claro que conmuta con cualquier transformación lineal ) . Para n impar , el grupo abstracto es isomorfo con el producto directo de y Z2 . En el caso de isometrías , esto corresponde a adicionar inversión , dando rotaciones y espejos en medio de los existentes . Si m es divisor de n , entonces tiene n / m subgrupos de tipo , y un subgrupo Zm . Por tanto , el número total de subgrupos de ( n ≥ 1 ) , es igual a d( n ) + σ ( n ) , donde d( n ) es el número de divisores positivos de n y σ( n ) es la suma de los divisores positivos de n . Clases de conjugación de las reflexiones Todas las reflexiones son conjugadas a cada una de ellas en el caso de n impar , pero caen en dos clases de conjugación si n es par . Si pensamos en las isometrías de un polígono regular de n lados : para n impar hay rotaciones en el grupo entre cada par de espejos , mientras que para n par solamente la mitad de los espejos pueden ser alcanzados desde alguna de estas rotaciones . Geométricamente , en un polígono impar cada eje de simetría pasa a través de un vértice y una cara , mientras que en un polígono par la mitad de los ejes pasan a través de dos vértices , y la mitad pasa a través de dos caras . Algebráicamente , esto es un ejemplo del Teorema de Sylow conjugado ( para n impar ) : para n impar , cada reflexión , junto con la identidad , forman un subgrupo de orden que es un subgrupo de Sylow ( es la potencia máxima deque divide a ) , mientras que para n par , estos subgrupos de ordenno son subgrupos de Sylow debido a que( una potencia más alta dedivide el orden del grupo . Para n par existe en cambio un automorfismo externo que intercambia los dos tipos de reflexiones ( propiamente , una clase de automorfismo externo , que están todos conjugados por un automorfismo interno ) . Grupo de automorfismo El grupo de automorfismo de es isomorfo al grupo afín Aff( Z/nZ ) y tiene orden donde es la función φ de Euler , el número de k en es primo con n . Puede ser entendido en términos de los generadores de una reflexión y una rotación elemental ( rotación por , para k primo a n ) ; cuyos automorfismos son internos y externos dependiendo de la paridad de n : Para n impar , el grupo diedral es descentrado , así que cualquier elemento define un automorfismo interno no trivial ; para n par , la rotación por ( reflexión a través del origen ) es el elemento no trivial del centro . Así , para n impar , el grupo de automorfismo interno tiene orden , y para n par el grupo de automorfismo interno tiene orden n . Para n impar , todas las reflexiones son conjugadas ; para n par , ellas caen dentro de dos clases ( aquellas a través de dos vértices y aquellas a través de dos caras ) , relacionadas por un automorfismo externo , que puede ser representado por rotación por ( la mitad de la rotación mínima ) . Las rotaciones son un subgrupo normal ; la conjugación por una reflexión cambia el signo ( dirección ) de la rotación , pero de otra forma permanece sin cambio . Así , los automorfismos que multiplican ángulos por k ( primos a n ) son externos a menos que Ejemplos de grupos de automorfismo Dih9 tieneautomorfismos internos . como grupo de isometría D9 , el grupo tiene espejos a intervalos de . Losautomorfismos internos proveen rotación a los espejos por múltiplos de , y reflexiones . Como grupo isométrico , todos éstos son automorfismos . Como grupo abstracto hay , además a éstos,automorfismos externos , por ejemplo multiplicando los ángulos de rotación por Dih10 tieneautomorfismos internos . Como grupo de isometría D10 , el grupo tiene espejos a intervalos de . Losautomorfismos internos proveen rotación de los espejos por múltiplos de , y reflexiones . Como grupo de isometría hayautomorfismos más ; hay conjugados por isometrías fuera del grupo , rotando los espejos con respecto a los automorfismos internos . Como grupo abstracto hay , además de estosautomorfismos internos yautomorfismos externos , otrosautomorfismos externos adicionales , por ejemplo multiplicando las rotaciones por Comparando los valoresypara la función φ de Euler , el grupo multiplicativo de enteros módulo n para n =y respectivamente , esto triplica y duplica el número de automorfismo comparado con los dos automorfismos como isometrías ( manteniendo igual el orden de las rotaciones o invirtiendo el orden ) . Generalizaciones Hay varias generalizaciones importantes de los grupos diedrales : El grupo diedral infinito es un grupo infinito con estructura algebraica similar a los grupos diedrales finitos . Esto puede ser visto como el grupo de simetrías de los enteros . El grupo ortogonal O ( 2 ) , por ejemplo el grupo de simetría del círculo , también tiene propiedades similares a los grupos diedrales . La familia de grupos diedrales generalizados incluye ambos ejemplos anteriores , así como muchos otros grupos . Los grupos cuasidiedrales son familia de grupos finitos con propiedades similares a las de los grupos diedrales . Referencias Enlaces externos Grupo diedral n de orden por Shawn Dudzik , \ . Simetría euclidiana diedral