Liouville–von Neumann-ekvationen
Liouville–von Neumann-ekvationen, eller enbart von Neumann-ekvationen, är en ekvation inom kvantmekaniken som beskriver tidsutvecklingen för ett slutet system, det vill säga ett system som kan beskrivas med en Hamiltonoperator. Ekvationen baserar sig på täthetsmatrisformalismen och är uppkallad efter Joseph Liouville och John von Neumann. Ekvationen är kvantmekanikens motsvarighet till Liouville-ekvationen i klassisk fysik.

Givet en Hamiltonoperator  i Schrödingerbilden ges tidsutvecklingen för täthetsmatrisen  av von Neumann-ekvationen:

I växelverkansbilden, med en Hamiltonoperator  och täthetsmatris , ges ekvationen istället av

Egenskaper 
Tidsutveckling som beskrivs av Liouville–von Neumann-ekvationen är den enklast möjliga. Eftersom ekvationen motsvar en unitär transformation kommer von Neumann-entropin, som ges av , att vara konstant.

Liouville–von Neumann-ekvationen avbildar fysikaliska tillstånd på fysikaliska tillstånd. Den bevarar spåret hos täthetsmatriserna och även deras positivitet. Mer allmänt är Liouville–von Neumann-ekvationen fullständigt positiv och det enklaste exemplet på en kvantoperation.

Formell lösning 
Lösningen till Liouville–von Neumann-ekvationen kan formellt skrivas som

där  är tidsutvecklingsoperatorn.

Härledning 
Liouville–von Neumann-ekvationen kan härledas direkt ur Schrödingerekvationen . Givet att  erhålls

Öppna system 

För ett öppet kvantsystem  gäller inte Liouville–von Neumann-ekvationen. I allmänhet är tidsutvecklingen för ett sådant system inte unitär. Per definition gäller dock att omgivningen  tillsammans med systemet utgör ett slutet system. Ekvationen kan därför användas för att beskriva tidsutvecklingen för . Om täthetsmatrisen  beskriver tillståndet för det kombinerade tillståndet, ges tillståndet för systemet  av den reducerade täthetsmatrisen . Eftersom  är ett slutet system gäller att

vars formella lösning ges av

Från detta samband fås att

Under antagandet att tillståndet är ett produkttillstånd vid starttiden , , ger detta upphov till en kvantoperation:

En sådan kvantoperation är fullständigt positiv och kan därför alltid representeras med Krausoperatorer.

Referenser 
 

Kvantfysik
Liouville–von Neumann-ekvationen , eller enbart von Neumann-ekvationen , är en ekvation inom kvantmekaniken som beskriver tidsutvecklingen för ett slutet system , det vill säga ett system som kan beskrivas med en Hamiltonoperator . Ekvationen baserar sig på täthetsmatrisformalismen och är uppkallad efter Joseph Liouville och John von Neumann . Ekvationen är kvantmekanikens motsvarighet till Liouville-ekvationen i klassisk fysik . Givet en Hamiltonoperator i Schrödingerbilden ges tidsutvecklingen för täthetsmatrisen av von Neumann-ekvationen : I växelverkansbilden , med en Hamiltonoperator och täthetsmatris , ges ekvationen istället av Egenskaper Tidsutveckling som beskrivs av Liouville–von Neumann-ekvationen är den enklast möjliga . Eftersom ekvationen motsvar en unitär transformation kommer von Neumann-entropin , som ges av , att vara konstant . Liouville–von Neumann-ekvationen avbildar fysikaliska tillstånd på fysikaliska tillstånd . Den bevarar spåret hos täthetsmatriserna och även deras positivitet . Mer allmänt är Liouville–von Neumann-ekvationen fullständigt positiv och det enklaste exemplet på en kvantoperation . Formell lösning Lösningen till Liouville–von Neumann-ekvationen kan formellt skrivas som där är tidsutvecklingsoperatorn . Härledning Liouville–von Neumann-ekvationen kan härledas direkt ur Schrödingerekvationen \ . Givet att erhålls Öppna system För ett öppet kvantsystem gäller inte Liouville–von Neumann-ekvationen . I allmänhet är tidsutvecklingen för ett sådant system inte unitär . Per definition gäller dock att omgivningen tillsammans med systemet utgör ett slutet system . Ekvationen kan därför användas för att beskriva tidsutvecklingen för \. Om täthetsmatrisen beskriver tillståndet för det kombinerade tillståndet , ges tillståndet för systemet av den reducerade täthetsmatrisen \ . Eftersom är ett slutet system gäller att vars formella lösning ges av Från detta samband fås att Under antagandet att tillståndet är ett produkttillstånd vid starttiden , , ger detta upphov till en kvantoperation : En sådan kvantoperation är fullständigt positiv och kan därför alltid representeras med Krausoperatorer . Referenser Kvantfysik