Système différentiel
Un système différentiel est un ensemble d'équations différentielles couplées, c'est-à-dire d'équations différentielles qui ne peuvent pas être résolues séparément.

Il s'agit en général d'équations différentielles ordinaires, mais un ensemble d'équations aux dérivées partielles peut aussi être qualifié de système différentiel.

Exemples

Équations différentielles couplées 
Système de Lorenz :

Ce système à seulement trois degrés de liberté est une simplification des équations de Navier-Stokes (voir ci-dessous), applicable à la convection de Rayleigh-Bénard pour des nombres de Rayleigh supérieurs à la valeur critique (). C'est un des systèmes différentiels les plus simples conduisant à un comportement chaotique (ainsi qu'à des trajectoires périodiques).

Équations aux dérivées partielles couplées 
Équations de Navier-Stokes :

où les grandeurs  et  sont reliées à  par des relations non différentielles.

Les équations de Navier-Stokes décrivent le mouvement des fluides newtoniens, et constituent le cœur de la dynamique des fluides.

Système différentiel vs équation différentielle unique 
La résolution d'un système d'équations différentielles peut être ramenée à celle d'une unique équation différentielle, d'ordre supérieur. Dans le système de Lorenz par exemple (cf. ci-dessus), on peut utiliser la  équation pour exprimer  en fonction de  et , et reporter le résultat dans les deux autres équations. On peut ensuite extraire  de la  équation pour l'exprimer en fonction de ,  et , et reporter le résultat dans la  et dernière équation. On obtient ainsi une unique relation entre , ,  et , c'est-à-dire une équation différentielle d'ordre 3.

Réciproquement, on peut transformer une équation différentielle d'ordre n en un système différentiel d'ordre 1 et de dimension n (c'est-à-dire un ensemble de n équations différentielles couplées, chacune d'ordre 1).

Cas particuliers

Systèmes différentiels linéaires 
Un système différentiel linéaire est constitué d'équations différentielles linéaires (la linéarité porte sur les fonctions inconnues et sur leurs dérivées).

Un système différentiel d'ordre 1 et de dimension  est équivalent à une unique équation différentielle d'ordre , et réciproquement. Plus généralement, tout système (de dimension quelconque) d'équations différentielles linéaires (d'ordre quelconque) peut s'écrire comme un système différentiel linéaire d'ordre 1, qu'on peut mettre sous la forme canonique :

où  est un vecteur colonne rassemblant les  fonctions inconnues  et  une matrice carrée dont les éléments sont des fonctions connues de la variable . Le système a une solution unique si on lui adjoint  conditions supplémentaires, en général sous la forme de conditions initiales :

où  est un certain instant (« initial ») et  une colonne de  constantes.

Comme tout système d'ordre 1 muni de conditions initiales, le système ci-dessus a une solution unique. On peut l'expliciter quand , la matrice des coefficients, commute avec sa dérivée  :

où  désigne l'opérateur d'exponentiation matricielle. Dans le cas général on ne sait exprimer la solution que sous la forme d'un développement en série.

Systèmes différentiels autonomes 
Quand on parle de systèmes autonomes la variable est en général le temps t. Un système différentiel est dit autonome si ses équations ne comportent aucune fonction de t autre que les fonctions inconnues et leurs dérivées (équations différentielles autonomes).

C'est notamment le cas du système de Lorenz ci-dessus, ainsi que des équations de Navier-Stokes si les paramètres (, ) et les conditions aux limites ne dépendent pas explicitement du temps.

La particularité d'un système autonome est que par tout point de l'espace des solutions il passe une trajectoire et une seule. Dans le cas du système de Lorenz par exemple, par tout point A (de coordonnées ) il passe une unique trajectoire  (au choix près de l'origine des temps).

Réciproque 
Il est possible, dans une certaine mesure, de remonter des séries temporelles observées au système autonome qui les a engendrées, s'il est polynomial et suffisamment concis (jusqu'à ). La procédure, testée sur  théoriques impliquant jusqu'à , est relativement robuste au bruit.

Notes et références

Notes

Références 

Équation différentielle
Un système différentiel est un ensemble d' équations différentielles couplées , c'est-à-dire d' équations différentielles qui ne peuvent pas être résolues séparément . Il s' agit en général d' équations différentielles ordinaires , mais un ensemble d' équations à les dérivées partielles peut aussi être qualifié de système différentiel . Exemples Équations différentielles couplées Système de Lorenz \ : Ce système à seulement trois degrés de liberté est une simplification de les équations de Navier-Stokes ( voir ci-dessous ) , applicable à la convection de Rayleigh-Bénard pour de les nombres de Rayleigh supérieurs à la valeur critique ( ) . C' est un de les systèmes différentiels les plus simples conduisant à un comportement chaotique ( ainsi qu' à de les trajectoires périodiques ) . Équations à les dérivées partielles couplées Équations de Navier-Stokes \ : où les grandeurs et sont reliées à par de les relations non différentielles . Les équations de Navier-Stokes décrivent le mouvement de les fluides newtoniens , et constituent le cœur de la dynamique de les fluides . Système différentiel vs équation différentielle unique La résolution d' un système d' équations différentielles peut être ramenée à celle d' une unique équation différentielle , d' ordre supérieur . Dans le système de Lorenz par exemple ( cf. ci-dessus ) , on peut utiliser la équation pour exprimer en fonction de et , et reporter le résultat dans les deux autres équations . On peut ensuite extraire de la équation pour l' exprimer en fonction de , et , et reporter le résultat dans la et dernière équation . On obtient ainsi une unique relation entre , , et , c'est-à-dire une équation différentielle d' ordre Réciproquement , on peut transformer une équation différentielle d' ordre n en un système différentiel d' ordreet de dimension n ( c'est-à-dire un ensemble de n équations différentielles couplées , chacune d' ordre Cas particuliers Systèmes différentiels linéaires Un système différentiel linéaire est constitué d' équations différentielles linéaires ( la linéarité porte sur les fonctions inconnues et sur leurs dérivées ) . Un système différentiel d' ordreet de dimension est équivalent à une unique équation différentielle d' ordre , et réciproquement . Plus généralement , tout système ( de dimension quelconque ) d' équations différentielles linéaires ( d' ordre quelconque ) peut s' écrire comme un système différentiel linéaire d' ordre qu' on peut mettre sous la forme canonique \ : où est un vecteur colonne rassemblant les fonctions inconnues et une matrice carrée dont les éléments sont de les fonctions connues de la variable \ . Le système a une solution unique si on lui adjoint conditions supplémentaires , en général sous la forme de conditions initiales \ : où est un certain instant ( « initial » ) et une colonne de constantes . Comme tout système d' ordremuni de conditions initiales , le système ci-dessus a une solution unique . On peut l' expliciter quand , la matrice de les coefficients , commute avec sa dérivée \ : où désigne l' opérateur d' exponentiation matricielle . Dans le cas général on ne sait exprimer la solution que sous la forme d' un développement en série . Systèmes différentiels autonomes Quand on parle de systèmes autonomes la variable est en général le temps t . Un système différentiel est dit autonome si ses équations ne comportent aucune fonction de t autre que les fonctions inconnues et leurs dérivées ( équations différentielles autonomes ) . C' est notamment le cas de le système de Lorenz ci-dessus , ainsi que de les équations de Navier-Stokes si les paramètres ( , ) et les conditions à les limites ne dépendent pas explicitement de le temps . La particularité d' un système autonome est que par tout point de l' espace de les solutions il passe une trajectoire et une seule . Dans le cas de le système de Lorenz par exemple , par tout point A ( de coordonnées ) il passe une unique trajectoire ( à le choix près de l' origine de les temps ) . Réciproque Il est possible , dans une certaine mesure , de remonter de les séries temporelles observées à le système autonome qui les a engendrées , s' il est polynomial et suffisamment concis ( jusqu' à ) . La procédure , testée sur théoriques impliquant jusqu' à , est relativement robuste à le bruit . Notes et références Notes Références Équation différentielle