Opérateur elliptique
En mathématiques, un opérateur elliptique est un opérateur différentiel qui généralise l'opérateur laplacien. Les opérateurs elliptiques sont définis via la condition que les coefficients devant les termes de dérivation de plus haut degré soient positifs, ce qui est équivalent au fait qu'il n'y a pas de caractéristique réelle.

Les opérateurs elliptiques jouent un rôle crucial en théorie du potentiel et apparaissent fréquemment en électrostatique et en mécanique des milieux continus. Les solutions stationnaires (c'est-à-dire indépendante du temps) d'équations paraboliques et d'équations hyperboliques sont souvent solutions d'équations elliptiques.

Une propriété importante des opérateurs elliptiques sont la régularité elliptique : leurs solutions ont tendance à être lisses (si les coefficients le sont).

Définitions 

Un opérateur différentiel L d'ordre m dans un domaine  de Rn défini par

(où  est multi-indice et ) est dit elliptique si pour tout x dans  et pour tout  dans Rn non nul, on a

où .

Dans beaucoup d'applications, cette condition n'est pas assez forte. À la place, une condition d'ellipticité uniforme doit être imposée pour les opérateurs de degré :

où C est une constante positive. À noter que la condition d'ellipticité ne dépend que des termes de plus haut degré.

Un opérateur non-linéaire

est dit elliptique si le premier terme de sa série de Taylor par rapport à u ainsi que toutes ses dérivées en tout point est un opérateur linéaire elliptique.

Exemple 1  L'opposé de l'opérateur laplacien dans Rd défini par

est un opérateur uniformément elliptique. Cet opérateur intervient souvent en électrostatique. Si ρ est une densité de charges dans une région Ω, le potentiel Φ est solution de 

Exemple 2  Étant donné une fonction A à valeurs matricielles telle que A(x) soit symétrique définie positive pour tout x, et qui a pour composantes aij, l'opérateur

est elliptique. C'est la forme la plus générale d'opérateurs linéaire sous forme divergence d'ordre 2 qui est elliptique. L'opérateur laplacien est un cas particulier correspondant à A = I. Ces opérateurs interviennent en électrostatique pour les milieux polarisés.

Exemple 3  Si p est un nombre positif ou nul, le p-Laplacien est un opérateur elliptique non-linéaire définie par

Un opérateur similaire intervient en dynamique des glaciers. D'après la loi de flux de Glen, il est donné par 

pour une certaine constante B. La vitesse du glacier est alors solution du système elliptique non-linéaire

où ρ est la densité de la glace, g le vecteur d'accélération de la gravité, p la pression et Q un terme source.

Théorème de régularité elliptique 

Soit L un opérateur elliptique d'ordre 2k dont les coefficients sont 2k continûment dérivables. Le problème de Dirichlet associé à L est, étant donné une fonction f et des conditions aux bords appropriées, de trouver une fonction u solution de Lu = f et qui vérifie ces conditions aux bords. L'existence d'une telle solution s'obtient grâce à l' et le théorème de Lax-Milgram, mais seulement au sens faible : u appartient à l'espace de Sobolev Hk.

Le théorème de régularité elliptique affirme que, si f est de carré intégrable, alors u va admettre 2k dérivées faibles de carré intégrable. En particulier, si f est une fonction lisse, alors u en est une également.

Tout opérateur différentiel ayant cette propriété est appelé opérateur hypoelliptique ; ainsi, tout opérateur elliptique est hypoelliptique. Cette propriété implique également que toute solution fondamentale d'un opérateur elliptique est infiniment dérivable sur tout voisinage ne contenant pas l'origine.

Comme illustration, supposons que f soit une fonction satisfaisant les équations de Cauchy-Riemann. Ces dernières formant un opérateur elliptique, cela implique que f est lisse.

Bibliographie

Notes et références 

Opérateur_différentiel
En mathématiques , un opérateur elliptique est un opérateur différentiel qui généralise l' opérateur laplacien . Les opérateurs elliptiques sont définis via la condition que les coefficients devant les termes de dérivation de plus haut degré soient positifs , ce qui est équivalent à le fait qu' il n' y a pas de caractéristique réelle . Les opérateurs elliptiques jouent un rôle crucial en théorie de le potentiel et apparaissent fréquemment en électrostatique et en mécanique de les milieux continus . Les solutions stationnaires ( c'est-à-dire indépendante de le temps ) d' équations paraboliques et d' équations hyperboliques sont souvent solutions d' équations elliptiques . Une propriété importante de les opérateurs elliptiques sont la régularité elliptique \ : leurs solutions ont tendance à être lisses ( si les coefficients le sont ) . Définitions Un opérateur différentiel L d' ordre m dans un domaine de Rn défini par ( où est multi-indice et ) est dit elliptique si pour tout x dans et pour tout dans Rn non nul , on a où \ . Dans beaucoup d' applications , cette condition n' est pas assez forte . À la place , une condition d' ellipticité uniforme doit être imposée pour les opérateurs de degré \ : où C est une constante positive . À noter que la condition d' ellipticité ne dépend que de les termes de plus haut degré . Un opérateur non-linéaire est dit elliptique si le premier terme de sa série de Taylor par rapport à u ainsi que toutes ses dérivées en tout point est un opérateur linéaire elliptique . Exemple L' opposé de l' opérateur laplacien dans Rd défini par est un opérateur uniformément elliptique . Cet opérateur intervient souvent en électrostatique . Si ρ est une densité de charges dans une région Ω , le potentiel Φ est solution de Exemple Étant donné une fonction A à valeurs matricielles telle que A( x ) soit symétrique définie positive pour tout x , et qui a pour composantes aij , l' opérateur est elliptique . C' est la forme la plus générale d' opérateurs linéaire sous forme divergence d' ordrequi est elliptique . L' opérateur laplacien est un cas particulier correspondant à A = I. Ces opérateurs interviennent en électrostatique pour les milieux polarisés . Exemple Si p est un nombre positif ou nul , le p-Laplacien est un opérateur elliptique non-linéaire définie par Un opérateur similaire intervient en dynamique de les glaciers . D' après la loi de flux de Glen , il est donné par pour une certaine constante B. La vitesse de le glacier est alors solution de le système elliptique non-linéaire où ρ est la densité de la glace , g le vecteur d' accélération de la gravité , p la pression et Q un terme source . Théorème de régularité elliptique Soit L un opérateur elliptique d' ordre dont les coefficients sont continûment dérivables . Le problème de Dirichlet associé à L est , étant donné une fonction f et de les conditions à les bords appropriées , de trouver une fonction u solution de Lu = f et qui vérifie ces conditions à les bords . L' existence d' une telle solution s' obtient grâce à l ' et le théorème de Lax-Milgram , mais seulement à le sens faible \ : u appartient à l' espace de Sobolev Hk . Le théorème de régularité elliptique affirme que , si f est de carré intégrable , alors u va admettre dérivées faibles de carré intégrable . En particulier , si f est une fonction lisse , alors u en est une également . Tout opérateur différentiel ayant cette propriété est appelé opérateur hypoelliptique ; ainsi , tout opérateur elliptique est hypoelliptique . Cette propriété implique également que toute solution fondamentale d' un opérateur elliptique est infiniment dérivable sur tout voisinage ne contenant pas l' origine . Comme illustration , supposons que f soit une fonction satisfaisant les équations de Cauchy-Riemann . Ces dernières formant un opérateur elliptique , cela implique que f est lisse . Bibliographie Notes et références Opérateur_différentiel