Méthode de Grad
À la fin du  on connaît l'équation de Boltzmann qui régit la dynamique du milieu gazeux à l'échelle microscopique et les équations d'Euler et de Navier-Stokes pour le niveau macroscopique. Le passage d'une échelle à l'autre constitue une partie du sixième problème de Hilbert. David Hilbert, auteur des énoncés des problèmes jugés majeurs à la fin du  pose les bases d'une méthode sous forme d'un développement qui porte son nom (1912). Il faudra attendre quelques années pour que Sydney Chapman et David Enskog proposent simultanément et indépendamment en 1916 et 1917 une solution à ce problème par une méthode de perturbation consistant à définir la solution sous forme de série de fonctions de distribution en fonction d'un « petit paramètre » assimilable au nombre de Knudsen.

Harold Grad en 1949 a proposé une approche alternative consistant à chercher la solution par la méthode des moments de la fonction de distribution. L'équation de Boltzmann est multipliée par  ( est la vitesse microscopique de l'équation de Boltzmann et  le produit tensoriel) et intégrée en vitesse. Dans ce type de méthode l'équation portant sur le n moment fait apparaître le (n+1). Il faut donc faire une hypothèse pour « fermer » le système. Grad suppose la solution exprimée par une série tronquée de polynômes d'Hermite tensoriels. David Levermore a plus récemment (1996) proposé une fermeture qui fait appel à une propriété générale : la solution maximise l'entropie du système de fermions que sont les particules du milieu.

Ces formulations de la mécanique des fluides n'ont pas eu de développement notable car n'apportant pas d'avantage par rapport aux équations de Navier-Stokes.

Équations d'évolution microscopique et macroscopique 
On se limite à un milieu comportant une seule espèce.

Niveau microscopique 
On note  la fonction de distribution statistique de la vitesse  à l'instant  au point  pour la particule (atome ou molécule) de masse . Le nombre probable de particules dans le volume , de vitesses  à cet instant est  . La distribution statistique  se mesure donc .

L'équation de Boltzmann s'écrit

où , l'opérateur (ou noyau) de collision, est un opérateur intégral quadratique décrit ci-dessous, donnant l'effet des collisions que l'on supposera élastiques pour simplifier le problème : pas d'échange entre degrés de liberté internes et translation. On exclut donc la viscosité volumique qui résulte de ce type d'échange et qui n'a d'intérêt que dans les problèmes de propagation du son.

La collision élastique 

Les vitesses avant interaction sont  et  dans un référentiel galiléen.  Ces vitesses valent  et  après interaction. On se place dans un système centré sur le barycentre qui a une vitesse constante du fait de la conservation de la quantité de mouvement. Dans ce système qui est donc galiléen la vitesse initiale de la particule  est la vitesse relative  . Par symétrie on peut affirmer que la trajectoire sera contenue dans le plan contenant l'origine et  . On choisit un repère tel que   (voir figure). Dans ce repère la déviation est  , fonction du paramètre d'impact , de la vitesse relative  et du potentiel d'interaction que l'on suppose ne dépendant que de la distance en les deux particules en interaction. Si cette hypothèse est rigoureuse pour l'interaction entre deux atomes, on peut la considérer utilisable pour deux molécules : le potentiel est alors un potentiel moyen statistique.

La direction de sortie d'interaction est définie par  . On peut calculer les vitesses finales à partir des considérations suivantes :
 la conservation de la quantité de mouvement dans l'interaction implique 

 la vitesse relative  a un module constant du fait de la conservation de l'énergie, donc  ou

Les vitesses après l'interaction sont donc

De plus la conservation du moment cinétique au cours de l'interaction conduit à .

Le système décrivant la collision est réversible. Le théorème de Liouville permet donc d'écrire

Le noyau de collision 
Le nombre probable de particules qui traversent l'aire    par unité de temps est  . Elles interagissent avec le nombre probable de particules dans le volume élémentaire  . Le nombre de particules qui disparaissent de la statistique par unité de temps est   avec

On compte de la même façon la quantité de particules qui apparaissent

Compte tenu des relations données ci-dessus pour la collision l'opérateur de collision s'écrit

Cette équation est nommée équation de Wang Chang et Uhlenbeck.

On peut donner une formulation équivalente en introduisant la section efficace différentielle  définie par

d'où

Niveau macroscopique

Les variables 
L'équation de Boltzmann décrit au niveau microscopique l'évolution de particules. Au niveau macroscopique on définit les quantités suivantes, fonctions de x et t

Les flux 
Le flux de la quantité  est par définition la quantité , fonction de x et t

En notant  le produit dyadique on définit les moments d'ordre 2 (tenseur de pression) et 3 (tenseur de flux d'énergie) ainsi que les restrictions habituelles : pression scalaire et flux de chaleur vectoriel 

En particulier on peut extraire les quantités habituelles

On définit la température à partir de l'équation d'état

Équations des moments de la fonction de distribution 
L'équation de Boltzmann est multipliée par  puis par    et intégrée en vitesse. On obtient le système suivant en se restreignant aux quantités  , soit 1 + 3 + 6 + 3 = 13 quantités indépendantes (« méthode des 13 moments »)

où les quantités    et    correspondent au noyau de collision

Comme dans tout système aux moments, celui-ci n'est pas fermé : il n'existe pas d'équation pour pijk. Il faut donc « fermer » le système par une hypothèse ad hoc.

Méthode de Grad 

Dans cette méthode on cherche la fonction de distribution sous forme d'un développement en série de polynômes d'Hermite tensoriels en négligeant une partie des termes du second ordre   .

où f(0) est la distribution maxwellienne

cette expression étant applicable à toutes les composantes

Les polynômes d'Hermite sont définis par

Ils sont orthogonaux avec le poids ω

le terme au second membre comportant toutes les permutations possibles sur j.

Les premiers polynômes sont

En reportant le développement dans les équations du système on obtient

On définit    qui est le déviateur du tenseur de pression (tenseur de cisaillement).

La fonction de distribution de Grad est

On peut alors calculer les moments d'ordre élevé (fermeture du système) à partir des relations de définition

À partir de cette solution on peut calculer les coefficients de transport : viscosité dynamique et conductivité à partir des intégrales de collision. Ces coefficients sont les mêmes que ceux issus de la méthode de Chapman-Enskog.

Notes et références

Notes

Références

Voir aussi

Articles connexes 
 Choc élastique
 Collision inélastique

Physique statistique
À la fin de le on connaît l' équation de Boltzmann qui régit la dynamique de le milieu gazeux à l' échelle microscopique et les équations d' Euler et de Navier-Stokes pour le niveau macroscopique . Le passage d' une échelle à l' autre constitue une partie de le sixième problème de Hilbert . David Hilbert , auteur de les énoncés de les problèmes jugés majeurs à la fin de le pose les bases d' une méthode sous forme d' un développement qui porte son nom Il faudra attendre quelques années pour que Sydney Chapman et David Enskog proposent simultanément et indépendamment enetune solution à ce problème par une méthode de perturbation consistant à définir la solution sous forme de série de fonctions de distribution en fonction d' un « petit paramètre » assimilable à le nombre de Knudsen . Harold Grad ena proposé une approche alternative consistant à chercher la solution par la méthode de les moments de la fonction de distribution . L' équation de Boltzmann est multipliée par ( est la vitesse microscopique de l' équation de Boltzmann et le produit tensoriel ) et intégrée en vitesse . Dans ce type de méthode l' équation portant sur le n moment fait apparaître le ( n+1 ) . Il faut donc faire une hypothèse pour « fermer » le système . Grad suppose la solution exprimée par une série tronquée de polynômes d' Hermite tensoriels . David Levermore a plus récemmentproposé une fermeture qui fait appel à une propriété générale \ : la solution maximise l' entropie de le système de fermions que sont les particules de le milieu . Ces formulations de la mécanique de les fluides n' ont pas eu de développement notable car n' apportant pas d' avantage par rapport à les équations de Navier-Stokes . Équations d' évolution microscopique et macroscopique On se limite à un milieu comportant une seule espèce . Niveau microscopique On note la fonction de distribution statistique de la vitesse à l' instant à le point pour la particule ( atome ou molécule ) de masse \ . Le nombre probable de particules dans le volume , de vitesses à cet instant est . La distribution statistique se mesure donc \ . L' équation de Boltzmann s' écrit où , l' opérateur ( ou noyau ) de collision , est un opérateur intégral quadratique décrit ci-dessous , donnant l' effet de les collisions que l' on supposera élastiques pour simplifier le problème \ : pas d' échange entre degrés de liberté internes et translation . On exclut donc la viscosité volumique qui résulte de ce type d' échange et qui n' a d' intérêt que dans les problèmes de propagation de le son . La collision élastique Les vitesses avant interaction sont et dans un référentiel galiléen . Ces vitesses valent et après interaction . On se place dans un système centré sur le barycentre qui a une vitesse constante de le fait de la conservation de la quantité de mouvement . Dans ce système qui est donc galiléen la vitesse initiale de la particule est la vitesse relative . Par symétrie on peut affirmer que la trajectoire sera contenue dans le plan contenant l' origine et . On choisit un repère tel que ( voir figure ) . Dans ce repère la déviation est , fonction de le paramètre d' impact , de la vitesse relative et de le potentiel d' interaction que l' on suppose ne dépendant que de la distance en les deux particules en interaction . Si cette hypothèse est rigoureuse pour l' interaction entre deux atomes , on peut la considérer utilisable pour deux molécules \ : le potentiel est alors un potentiel moyen statistique . La direction de sortie d' interaction est définie par . On peut calculer les vitesses finales à partir de les considérations suivantes \ : la conservation de la quantité de mouvement dans l' interaction implique la vitesse relative a un module constant de le fait de la conservation de l' énergie , donc ou Les vitesses après l' interaction sont donc De plus la conservation de le moment cinétique à le cours de l' interaction conduit à \ . Le système décrivant la collision est réversible . Le théorème de Liouville permet donc d' écrire Le noyau de collision Le nombre probable de particules qui traversent l' aire par unité de temps est . Elles interagissent avec le nombre probable de particules dans le volume élémentaire . Le nombre de particules qui disparaissent de la statistique par unité de temps est avec On compte de la même façon la quantité de particules qui apparaissent Compte tenu de les relations données ci-dessus pour la collision l' opérateur de collision s' écrit Cette équation est nommée équation de Wang Chang et Uhlenbeck . On peut donner une formulation équivalente en introduisant la section efficace différentielle définie par d' où Niveau macroscopique Les variables L' équation de Boltzmann décrit à le niveau microscopique l' évolution de particules . À le niveau macroscopique on définit les quantités suivantes , fonctions de x et t Les flux Le flux de la quantité est par définition la quantité , fonction de x et t En notant le produit dyadique on définit les moments d' ordre( tenseur de pression ) et( tenseur de flux d' énergie ) ainsi que les restrictions habituelles \ : pression scalaire et flux de chaleur vectoriel En particulier on peut extraire les quantités habituelles On définit la température à partir de l' équation d' état Équations de les moments de la fonction de distribution L' équation de Boltzmann est multipliée par puis par et intégrée en vitesse . On obtient le système suivant en se restreignant à les quantités , soit + + += quantités indépendantes ( « méthode desmoments » ) où les quantités et correspondent à le noyau de collision Comme dans tout système à les moments , celui-ci n' est pas fermé \ : il n' existe pas d' équation pour pijk . Il faut donc « fermer » le système par une hypothèse ad hoc . Méthode de Grad Dans cette méthode on cherche la fonction de distribution sous forme d' un développement en série de polynômes d' Hermite tensoriels en négligeant une partie de les termes de le second ordre . où f( 0 ) est la distribution maxwellienne cette expression étant applicable à toutes les composantes Les polynômes d' Hermite sont définis par Ils sont orthogonaux avec le poids ω le terme à le second membre comportant toutes les permutations possibles sur j . Les premiers polynômes sont En reportant le développement dans les équations de le système on obtient On définit qui est le déviateur de le tenseur de pression ( tenseur de cisaillement ) . La fonction de distribution de Grad est On peut alors calculer les moments d' ordre élevé ( fermeture de le système ) à partir de les relations de définition À partir de cette solution on peut calculer les coefficients de transport \ : viscosité dynamique et conductivité à partir de les intégrales de collision . Ces coefficients sont les mêmes que ceux issus de la méthode de Chapman-Enskog . Notes et références Notes Références Voir aussi Articles connexes Choc élastique Collision inélastique Physique statistique