Groupe de Baumslag-Solitar
En mathématiques et notamment en théorie des groupes, les groupes de Baumslag-Solitar sont des exemples de groupes à deux générateurs et un relateur qui jouent un rôle important dans la théorie combinatoire des groupes et en théorie géométrique des groupes comme exemples ou contre-exemples.

Définition 

Les groupes de Baumslag-Solitar  sont définis, pour toute paire  d'entiers relatifs, par la présentation

.

où la notation signifie que le groupe est le quotient du groupe libre engendré par les générateurs a et b par le sous-groupe distingué engendré par . 

Divers groupes  sont bien connus. Ainsi  est le groupe abélien libre sur deux generateurs, et  est le groupe fondamental de la bouteille de Klein.

Les groupes ont été définis par Gilbert Baumslag et Donald Solitar en 1962 en vue de fournir des exemples de groupes non hopfiens.  Ils comprennent des groupes résiduellement finis, des groupes hopfiens qui ne sont pas résiduellement finis, et des groupes non hopfiens.

Propriétés 

  est résiduellement fini si et seulement si  ou  ou .

  est  hopfien si et seulement s’il est résiduellement fini ou si  et  ont même ensemble de diviseurs  premiers. Il est relativement simple de prouver qu’un groupe finiment engendré et résiduellement fini est hopfien.

Le plus connu des groupes est . Il n'est pas hopfien ; l’application est en effet un épimorphisme qui n’est pas un isomorphisme. Il est en effet facile de vérifier que est dans le noyau du morphisme puisque son image est  .

Les groupes de Baumslag-Solitar se répartissent en trois familles : ceux qui sont résiduellement finis, ceux qui sont hopfiens sans être résiduellement finis et ceux qui ne sont pas hopfiens. La différence est plus marquée en fonction des paramètres : ceux pour lesquels  ou  d'une part, et ceux pour lesquels  d'autre part.

Le cas  

Pour un groupe 

il y a un homomorphisme évident sur le groupe cyclique infini en posant , et on peut montrer que son noyau est isomorphe au groupe additif des nombres rationnels -adiques. Ainsi, ces groupes sont métabéliens et ont des propriétés de structure fortes ; en particulier, ils n’ont pas de sous-groupe libre de rang 2. De plus, les éléments de ces groupes possèdent des formes normales particulièrement simples : tout élément est représenté de manière unique sous la forme ,  avec  et si de plus , alors  n’est pas divisible par .
Quand , il existe toujours une forme normale parce que les groupes de Baumslag-Solitar sont des exemples, et de fait les exemples les plus simples, d’extensions HNN. Il en résulte la propriété suivante : 
 Soit  un mot librement réduit de  qui représente l’élément unité. Alors  a un facteur de la forme  avec , ou  avec .

Ceci démontre que, dans  , le mot 
  
ne représente pas l’unité, et peut aussi servir à montrer que, lorsque , alors  contient un sous-groupe libre de rang deux.

Notes et références

Bibliographie 
  
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Articles liés 
 Représentation de groupe
 Groupe super-résoluble
 Groupe hyperbolique
 Groupe hopfien

Théorie des groupes
En mathématiques et notamment en théorie de les groupes , les groupes de Baumslag-Solitar sont de les exemples de groupes à deux générateurs et un relateur qui jouent un rôle important dans la théorie combinatoire de les groupes et en théorie géométrique de les groupes comme exemples ou contre-exemples . Définition Les groupes de Baumslag-Solitar sont définis , pour toute paire d' entiers relatifs , par la présentation . où la notation signifie que le groupe est le quotient de le groupe libre engendré par les générateurs a et b par le sous-groupe distingué engendré par \ . Divers groupes sont bien connus . Ainsi est le groupe abélien libre sur deux generateurs , et est le groupe fondamental de la bouteille de Klein . Les groupes ont été définis par Gilbert Baumslag et Donald Solitar enen vue de fournir de les exemples de groupes non hopfiens . Ils comprennent de les groupes résiduellement finis , de les groupes hopfiens qui ne sont pas résiduellement finis , et de les groupes non hopfiens . Propriétés est résiduellement fini si et seulement si ou ou \ . est hopfien si et seulement s’ il est résiduellement fini ou si et ont même ensemble de diviseurs premiers . Il est relativement simple de prouver qu’ un groupe finiment engendré et résiduellement fini est hopfien . Le plus connu de les groupes est \ . Il n' est pas hopfien ; l’ application est en effet un épimorphisme qui n’ est pas un isomorphisme . Il est en effet facile de vérifier que est dans le noyau de le morphisme puisque son image est \ . Les groupes de Baumslag-Solitar se répartissent en trois familles \ : ceux qui sont résiduellement finis , ceux qui sont hopfiens sans être résiduellement finis et ceux qui ne sont pas hopfiens . La différence est plus marquée en fonction de les paramètres \ : ceux pour lesquels ou d' une part , et ceux pour lesquels d' autre part . Le cas Pour un groupe il y a un homomorphisme évident sur le groupe cyclique infini en posant , et on peut montrer que son noyau est isomorphe à le groupe additif de les nombres rationnels -adiques . Ainsi , ces groupes sont métabéliens et ont de les propriétés de structure fortes ; en particulier , ils n’ ont pas de sous-groupe libre de rang De plus , les éléments de ces groupes possèdent de les formes normales particulièrement simples \ : tout élément est représenté de manière unique sous la forme , avec et si de plus , alors n’ est pas divisible par \ . Quand , il existe toujours une forme normale parce que les groupes de Baumslag-Solitar sont de les exemples , et de fait les exemples les plus simples , d’ extensions HNN . Il en résulte la propriété suivante \ : Soit un mot librement réduit de qui représente l’ élément unité . Alors a un facteur de la forme avec , ou avec \ . Ceci démontre que , dans , le mot ne représente pas l’ unité , et peut aussi servir à montrer que , lorsque , alors contient un sous-groupe libre de rang deux . Notes et références Bibliographie \ . Articles liés Représentation de groupe Groupe super-résoluble Groupe hyperbolique Groupe hopfien Théorie de les groupes