Dérangement partiel
En combinatoire, le nombre de rencontres d'une permutation d'un ensemble fini de n objets est le nombre de points fixes de cette permutation. Ce nombre intervient dans le problème des rencontres.

On notera  le nombre de permutations de  présentant exactement  rencontres ; ces permutations, qui ont donc un support de cardinal , sont appelées des dérangements partiels d'ordre .

Exemples 

 La permutation  présente 2 rencontres ; c'est un dérangement partiel d'ordre 4.

 Si sept cadeaux sont donnés à sept personnes, il y a  manières que deux personnes reçoivent le cadeau qui leur était destiné.

 Un autre exemple classique est celui d'une école de danse avec sept couples. Après une pause, les participants doivent sélectionner au hasard un partenaire pour la suite du cours : il y a à nouveau  possibilités pour que deux des couples précédant la pause soient reconstitués par le hasard.

Valeurs numériques 
Voici le début du tableau triangulaire de la suite double ,  :

Formules 
Les nombres dans la colonne correspondant à  sont les nombres de dérangements, définis par récurrence double par :

 
 
 

Il s'avère que (voir le problème des rencontres)

 ,

où  désigne la fonction entier le plus proche (le rapport est arrondi à la valeur supérieure si  est pair et à la valeur inférieure si  est impair).

Plus généralement, pour tout , on a :

 

En effet, les nombres de dérangements partiels s'obtiennent facilement à partir des nombres de dérangements : choisir les  points fixes parmi les  éléments, puis déranger (sans aucun point fixe donc) les  éléments restants. Il y a  façons de choisir les points fixes, et  façon de déranger les points non fixes.

On en déduit la formule explicite pour les nombres de dérangements partiels d'ordre  :

 

Pour   fixé et  tendant vers l'infini, on a donc :

Distribution de probabilité 
La somme des cases de chaque ligne de la table de la section «valeurs numériques» est le nombre total de permutations de l'ensemble  : . En divisant donc ces valeurs par , on obtient la loi de probabilité du nombre  de points fixes pour une permutation aléatoire uniforme sur . La probabilité d'avoir  points fixes pour une permutation de  éléments vaut donc :

 

Pour , l'espérance du nombre de points fixes est égale à 1, tout comme pour la loi de Poisson de paramètre 1. Plus généralement, pour , le ème moment de cette loi de probabilité est égal au ème moment de la loi de Poisson de paramètre 1 ; il s'agit aussi du ème nombre de Bell, i.e. le nombre de partitions d'un ensemble à  éléments :  .

D'une façon générale, , où  est un nombre de Stirling de seconde espèce, alors que .

Pour , le ème moment de cette loi de probabilité est donc plus petit que celui de la loi de Poisson.

Distribution de probabilité limite 
On a :

 

Il s'agit de la probabilité qu'une variable aléatoire de Poisson de paramètre 1 soit égale à . Ainsi le nombre de points fixes converge en loi vers une loi de Poisson de paramètre 1. On constate la vitesse de cette convergence avec la colonne  du tableau précédent :  0,367879.

Références 

 John Riordan, An Introduction to Combinatorial Analysis, New York, Wiley, 1958, pages 57, 58, and 65.

Voir aussi 
 Problème des Rencontres

Triangle de nombres
Combinatoire
Loi de probabilité
En combinatoire , le nombre de rencontres d' une permutation d' un ensemble fini de n objets est le nombre de points fixes de cette permutation . Ce nombre intervient dans le problème de les rencontres . On notera le nombre de permutations de présentant exactement rencontres ; ces permutations , qui ont donc un support de cardinal , sont appelées de les dérangements partiels d' ordre \ . Exemples La permutation présenterencontres ; c' est un dérangement partiel d' ordre Si sept cadeaux sont donnés à sept personnes , il y a manières que deux personnes reçoivent le cadeau qui leur était destiné . Un autre exemple classique est celui d' une école de danse avec sept couples . Après une pause , les participants doivent sélectionner à le hasard un partenaire pour la suite de le cours \ : il y a à nouveau possibilités pour que deux de les couples précédant la pause soient reconstitués par le hasard . Valeurs numériques Voici le début de le tableau triangulaire de la suite double , \ : Formules Les nombres dans la colonne correspondant à sont les nombres de dérangements , définis par récurrence double par \ : Il s' avère que ( voir le problème de les rencontres ) , où désigne la fonction entier le plus proche ( le rapport est arrondi à la valeur supérieure si est pair et à la valeur inférieure si est impair ) . Plus généralement , pour tout , on a \ : En effet , les nombres de dérangements partiels s' obtiennent facilement à partir de les nombres de dérangements \ : choisir les points fixes parmi les éléments , puis déranger ( sans aucun point fixe donc ) les éléments restants . Il y a façons de choisir les points fixes , et façon de déranger les points non fixes . On en déduit la formule explicite pour les nombres de dérangements partiels d' ordre \ : Pour fixé et tendant vers l' infini , on a donc \ : Distribution de probabilité La somme de les cases de chaque ligne de la table de la section « valeurs numériques » est le nombre total de permutations de l' ensemble \ :\ . En divisant donc ces valeurs par , on obtient la loi de probabilité de le nombre de points fixes pour une permutation aléatoire uniforme sur \ . La probabilité d' avoir points fixes pour une permutation de éléments vaut donc \ : Pour , l' espérance de le nombre de points fixes est égale à tout comme pour la loi de Poisson de paramètre Plus généralement , pour , le ème moment de cette loi de probabilité est égal à le ème moment de la loi de Poisson de paramètre ; il s' agit aussi de le ème nombre de Bell , i.e . le nombre de partitions d' un ensemble à éléments \ : \ . D' une façon générale , , où est un nombre de Stirling de seconde espèce , alors que \ . Pour , le ème moment de cette loi de probabilité est donc plus petit que celui de la loi de Poisson . Distribution de probabilité limite On a \ : Il s' agit de la probabilité qu' une variable aléatoire de Poisson de paramètresoit égale à \ . Ainsi le nombre de points fixes converge en loi vers une loi de Poisson de paramètre On constate la vitesse de cette convergence avec la colonne de le tableau précédent \ : 367879 . Références John Riordan , An Introduction to Combinatorial Analysis , New York , Wiley , pages and 65 . Voir aussi Problème de les Rencontres Triangle de nombres Combinatoire Loi de probabilité