Groupe hopfien
En mathématiques, un groupe hopfien ou groupe de Hopf est un groupe  pour lequel tout épimorphisme  est un isomorphisme. Le groupe des nombres rationnels est hopfien, le groupe des nombres réels ne l’est pas. Les groupes de Hopf sont nommés d'après le mathématicien Heinz Hopf.

Formulations équivalentes 
Un groupe est hopfien si et seulement s'il n'est pas isomorphe à l'un de ses sous-groupes quotients propres. Par ailleurs, un groupe  est dit  si tout monomorphisme  est un isomorphisme.

Exemples de groupes hopfiens 
 Tout groupe fini , par un argument de comptage simple.
 Plus généralement, un «  », c'est-à-dire un groupe qui a un sous-groupe polycyclique d'indice fini.
 Tout groupe libre finiment engendré.
 Le groupe  des nombres rationnels.
 Tout groupe finiment engendré qui soit résiduellement fini.
 Tout groupe hyperbolique.
 Le groupe de Cremona.

Exemples de groupes non hopfiens 
 Les groupes de Prüfer.
 Le groupe  des nombres réels
 Le groupe de Baumslag-Solitar B(2,3).

Indécidabilité 

En 1969, Donald J. Collins a démontré qu'il est indécidable si un groupe, donné par une présentation finie, est hopfien. Contrairement à l'indécidabilité de beaucoup d'autres propriétés des groupes, ceci n’est pas une conséquence du ; en effet, la propriété d'être hopfien n'est pas une propriété de Markov, comme démontré par Miller et Paul Schupp

Notes et références 
Notes

Références
 
 
 
 Christophe Moioli, Graphes de groupes et groupes co-hopfiens, Théorie des groupes, Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2013.

Liens externes 
 page sur PlanetMath 
 page sur l'Encyclopédie des Mathématiques
 Groupe isomorphe à un sous-groupe sur Les mathématiques.net

Théorie des groupes
Heinz Hopf
En mathématiques , un groupe hopfien ou groupe de Hopf est un groupe pour lequel tout épimorphisme est un isomorphisme . Le groupe de les nombres rationnels est hopfien , le groupe de les nombres réels ne l’ est pas . Les groupes de Hopf sont nommés d' après le mathématicien Heinz Hopf . Formulations équivalentes Un groupe est hopfien si et seulement s' il n' est pas isomorphe à l' un de ses sous-groupes quotients propres . Par ailleurs , un groupe est dit si tout monomorphisme est un isomorphisme . Exemples de groupes hopfiens Tout groupe fini , par un argument de comptage simple . Plus généralement , un « » , c'est-à-dire un groupe qui a un sous-groupe polycyclique d' indice fini . Tout groupe libre finiment engendré . Le groupe de les nombres rationnels . Tout groupe finiment engendré qui soit résiduellement fini . Tout groupe hyperbolique . Le groupe de Cremona . Exemples de groupes non hopfiens Les groupes de Prüfer . Le groupe de les nombres réels Le groupe de Baumslag-Solitar B( 2,3 ) . Indécidabilité En Donald J. Collins a démontré qu' il est indécidable si un groupe , donné par une présentation finie , est hopfien . Contrairement à l' indécidabilité de beaucoup d' autres propriétés de les groupes , ceci n’ est pas une conséquence de le ; en effet , la propriété d' être hopfien n' est pas une propriété de Markov , comme démontré par Miller et Paul Schupp Notes et références Notes Références Christophe Moioli , Graphes de groupes et groupes co-hopfiens , Théorie de les groupes , Université Paul Sabatier - Toulouse III , Liens externes page sur PlanetMath page sur l' Encyclopédie de les Mathématiques Groupe isomorphe à un sous-groupe sur Les mathématiques.net Théorie de les groupes Heinz Hopf