Processus de naissance et de mort
Les processus de naissance et de mort sont des cas particuliers de processus de Markov en temps continu où les transitions d'état sont de deux types seulement : les «naissances» où l'état passe de n à n+1 et les morts où l'état passe de n à n-1. 

Ces processus ont de nombreuses applications en dynamique des populations et dans la théorie des files d'attente. Le processus est spécifié par les taux de naissance  et les taux de mortalité .

Le générateur  

On suppose que . Si  est la probabilité de trouver le système dans l'état  (avec ) à l'instant , alors 

Autrement dit, 

où  est le générateur défini par 

Si plus généralement on note  la probabilité d'être dans l'état  à l'instant  sachant que le système était dans l'état  à l'instant , alors
 
et  (la matrice identité).

Exemples 

Le processus de Yule correspond à  et .

Le processus linéaire de naissance et de mort correspond à  et .

La file M/M/1  correspond à  pour  et  pour .

Propriétés 

Supposons que  pour tout . Le processus de naissance et de mort a une durée de vie infinie si et seulement si

est infini. 

Par exemple, le processus de Yule a une durée de vie infinie car la série harmonique  diverge.

Formule de Karlin et McGregor 

On définit une suite de polynômes  telle que  et . Autrement dit,

et 

pour tout . Ces polynômes sont orthogonaux par rapport à une mesure de probabilité  sur l'intervalle  et

Cette formule est due à Karlin et McGregor.

Exemples 
 Si  et  pour tout  (file d'attente M/M/), alors  où les  sont les polynômes de Charlier. Les polynômes  sont orthogonaux par rapport à la distribution de Poisson qui attribue le poids  sur les entiers 

 Si  et  avec , alors il faut distinguer trois cas. 

1er cas : Si , alors

où les  sont les polynômes de Meixner. Ainsi, les polynômes  sont orthogonaux par rapport à la distribution de probabilités qui attribue le poids 

aux points  pour 

2e cas : Si , alors

Les polynômes  sont orthogonaux par rapport à la distribution de probabilités qui attribue le poids 

aux points  pour 

3e cas : Si , alors

où les  sont des polynômes de Laguerre généralisés. Les polynômes  sont orthogonaux par rapport à la distribution de probabilités sur  de densité donnée par la distribution Gamma  :

Processus absorbants 

Lorsque , l'état 0 est absorbant. Ce cas intervient souvent en dynamique des populations et correspond à l'extinction de la population. Notons  la probabilité que le système soit absorbé en 0 au bout d'un temps fini, si l'on part de l'état . Posons

Si , alors  pour tout .

Si , alors
 

Par exemple, pour le processus linéaire de naissance et de mort, on voit que . L'extinction est certaine lorsque .

Supposons . Notons  l'espérance du temps d'extinction lorsque le système part de l'état . Alors

et

pour .

Par exemple, pour le processus linéaire de naissance et de mort avec , on trouve que

Lorsque , on a

Méthode des fonctions génératrices 

Lorsque les taux de naissance et de mort sont des polynômes en , on peut faire le lien avec certaines équations aux dérivées partielles. Ainsi, pour le processus linéaire de naissance et de mort, posons 
 
On montre que

En utilisant la méthode des caractéristiques, on en déduit que 

si l'on part de l'état  à . On en déduit que l'espérance  de la population au temps  est

On en déduit aussi la probabilité  d'extinction au temps  : 

si . En particulier, si , on a  quand .

Quasi-processus de naissance et de mort 

Les quasi-processus de naissance et de mort sont les processus de Markov en temps continu sur un espace d'états discret dont le générateur est tridiagonal par blocs :

Articles connexes 
 Processus de quasi-naissance et de mort

Bibliographie 
 P. Désesquelles, Les processus de Markov en biologie, sociologie, géologie, chimie, physique et applications industrielles, Ellipses, 2016.
 W. Feller, Die Grundlagen der Volterraschen Theorie des Kampfes ums Dasein in Wahrscheinlichkeitstheoretischer Behandlung, Acta Biotheoretica , 1939, .
 A. Hillion, Les théories mathématiques des populations, PUF, 1986.
 S. Karlin, J.L. McGregor, The differential equations of birth-and-death processes, and the Stieltjes moment problem, Transactions of the American Mathematical Society, 1957.
 S. Méléard, Modèles aléatoires en écologie et évolution, Springer, 2016.
 Ph. Picard, Sur les modèles stochastiques logistiques en démographie, Ann. Inst. Henri Poincaré , 1965, 
 W. Scoutens, Stochastic Processes and Orthogonal Polynomials, Springer, 2000.
 B. Sericola, Chaînes de Markov - Théorie, algorithmes et applications, Lavoisier, 2013.

Naissance et mort
Les processus de naissance et de mort sont de les cas particuliers de processus de Markov en temps continu où les transitions d' état sont de deux types seulement \ : les « naissances » où l' état passe de n à n+1 et les morts où l' état passe de n à n- 1 . Ces processus ont de nombreuses applications en dynamique de les populations et dans la théorie de les files d' attente . Le processus est spécifié par les taux de naissance et les taux de mortalité \ . Le générateur On suppose que \ . Si est la probabilité de trouver le système dans l' état ( avec ) à l' instant , alors Autrement dit , où est le générateur défini par Si plus généralement on note la probabilité d' être dans l' état à l' instant sachant que le système était dans l' état à l' instant , alors et ( la matrice identité ) . Exemples Le processus de Yule correspond à et \ . Le processus linéaire de naissance et de mort correspond à et \ . La file M/M/ 1 correspond à pour et pour \ . Propriétés Supposons que pour tout \ . Le processus de naissance et de mort a une durée de vie infinie si et seulement si est infini . Par exemple , le processus de Yule a une durée de vie infinie car la série harmonique diverge . Formule de Karlin et McGregor On définit une suite de polynômes telle que et \ . Autrement dit , et pour tout \ . Ces polynômes sont orthogonaux par rapport à une mesure de probabilité sur l' intervalle et Cette formule est due à Karlin et McGregor . Exemples Si et pour tout ( file d' attente M/M / ) , alors où les sont les polynômes de Charlier . Les polynômes sont orthogonaux par rapport à la distribution de Poisson qui attribue le poids sur les entiers Si et avec , alors il faut distinguer trois cas . 1er cas \ : Si , alors où les sont les polynômes de Meixner . Ainsi , les polynômes sont orthogonaux par rapport à la distribution de probabilités qui attribue le poids à les points pour 2e cas \ : Si , alors Les polynômes sont orthogonaux par rapport à la distribution de probabilités qui attribue le poids à les points pour 3e cas \ : Si , alors où les sont de les polynômes de Laguerre généralisés . Les polynômes sont orthogonaux par rapport à la distribution de probabilités sur de densité donnée par la distribution Gamma \ : Processus absorbants Lorsque , l' étatest absorbant . Ce cas intervient souvent en dynamique de les populations et correspond à l' extinction de la population . Notons la probabilité que le système soit absorbé enau bout d' un temps fini , si l' on part de l' état \ . Posons Si , alors pour tout \ . Si , alors Par exemple , pour le processus linéaire de naissance et de mort , on voit que \ . L' extinction est certaine lorsque \ . Supposons \ . Notons l' espérance de le temps d' extinction lorsque le système part de l' état \ . Alors et pour \ . Par exemple , pour le processus linéaire de naissance et de mort avec , on trouve que Lorsque , on a Méthode de les fonctions génératrices Lorsque les taux de naissance et de mort sont de les polynômes en , on peut faire le lien avec certaines équations à les dérivées partielles . Ainsi , pour le processus linéaire de naissance et de mort , posons On montre que En utilisant la méthode de les caractéristiques , on en déduit que si l' on part de l' état à \ . On en déduit que l' espérance de la population à le temps est On en déduit aussi la probabilité d' extinction à le temps \ : si \ . En particulier , si , on a quand \ . Quasi-processus de naissance et de mort Les quasi-processus de naissance et de mort sont les processus de Markov en temps continu sur un espace d' états discret dont le générateur est tridiagonal par blocs \ : Articles connexes Processus de quasi-naissance et de mort Bibliographie P. Désesquelles , Les processus de Markov en biologie , sociologie , géologie , chimie , physique et applications industrielles , Ellipses , W. Feller , Die Grundlagen der Volterraschen Theorie de les Kampfes ums Dasein in Wahrscheinlichkeitstheoretischer Behandlung , Acta Biotheoretica , \ . A. Hillion , Les théories mathématiques de les populations , PUF , S. Karlin , J.L. McGregor , The differential equations of birth-and-death processes , and the Stieltjes moment problem , Transactions of the American Mathematical Society , S. Méléard , Modèles aléatoires en écologie et évolution , Springer , Ph. Picard , Sur les modèles stochastiques logistiques en démographie , Ann . Inst . Henri Poincaré , W. Scoutens , Stochastic Processes and Orthogonal Polynomials , Springer , B. Sericola , Chaînes de Markov - Théorie , algorithmes et applications , Lavoisier , Naissance et mort