Inégalité de Shapiro
En mathématiques, l'inégalité de Shapiro est une inégalité proposée par Harold Shapiro en 1954.

Énoncé de l'inégalité 
Soit  un entier naturel et soient  des réels positifs ; on suppose que

  est pair et inférieur ou égal à , ou
  est impair et inférieur ou égal à .

L'inégalité de Shapiro énonce que

 

où .

Pour de plus grandes valeurs de  l'inégalité n'a pas lieu et la limite inférieure stricte est  avec . On trouve une valeur approchée plus précise dans l'OEIS.

Les preuves initiales de l'inégalité dans les cas   par Godunova et Levin en 1976  et  par Troesch en 1989 reposent sur des calculs numériques. En 2002, P. J. Bushell et J. B. McLeod publient une démonstration analytique pour .

La valeur de  a été déterminée en 1971 par Vladimir Drinfeld, lauréat de la médaille Fields en 1990. Plus précisément, Drinfeld montre que la limite inférieure stricte de  est donnée par , où  est l'enveloppe convexe de  et .

Contre-exemples pour de grands  
Le premier contre-exemple a été trouvé par  M. J. Lighthill en 1956, pour :

  où  est près de 0.

Ainsi, le membre de gauche vaut , donc inférieur à 10 quand  est assez petit.

Le contre-exemple suivant pour  est de Troesch :

 .

Références 

 . Les auteurs donnent une démonstration analytique de la formule pour un entier pair , d'où le résultat suit pour tout . Ils présentent le cas  comme un problème ouvert.

Liens externes 
 

Shapiro
En mathématiques , l' inégalité de Shapiro est une inégalité proposée par Harold Shapiro en Énoncé de l' inégalité Soit un entier naturel et soient de les réels positifs ; on suppose que est pair et inférieur ou égal à , ou est impair et inférieur ou égal à \ . L' inégalité de Shapiro énonce que où \ . Pour de plus grandes valeurs de l' inégalité n' a pas lieu et la limite inférieure stricte est avec \ . On trouve une valeur approchée plus précise dans l' OEIS . Les preuves initiales de l' inégalité dans les cas par Godunova et Levin en et par Troesch enreposent sur de les calculs numériques . En P. J. Bushell et J. B. McLeod publient une démonstration analytique pour \ . La valeur de a été déterminée enpar Vladimir Drinfeld , lauréat de la médaille Fields en Plus précisément , Drinfeld montre que la limite inférieure stricte de est donnée par , où est l' enveloppe convexe de et \ . Contre-exemples pour de grands Le premier contre-exemple a été trouvé par M. J. Lighthill en pour \ : où est près de Ainsi , le membre de gauche vaut , donc inférieur àquand est assez petit . Le contre-exemple suivant pour est de Troesch \ : \ . Références \ . Les auteurs donnent une démonstration analytique de la formule pour un entier pair , d' où le résultat suit pour tout \ . Ils présentent le cas comme un problème ouvert . Liens externes Shapiro