Distribution quasi-stationnaire
Une distribution quasi-stationnaire est une distribution mathématique qui décrit le comportement d'une chaîne de Markov absorbante avant que l'absorption n'ait lieu.

Définition et propriétés en temps discret 

Soit  une chaîne de Markov sur l'ensemble des entiers naturels . Supposons que l'état 0 soit  et la chaîne soit absorbée en 0 presque sûrement. Soit  le temps d'absorption en 0. On dit qu'une probabilité  sur  est une distribution quasi-stationnaire si pour tout  et pour tout , 

On dit qu'une probabilité  sur  est une limite de Yaglom si pour tout  et tout , 

Une limite de Yaglom est une distribution quasi-stationnaire. Si elle existe, la limite de Yaglom est unique. En revanche, il peut y avoir plusieurs distributions quasi-stationnaires.

Si  est une distribution quasi-stationnaire, alors il existe un nombre réel  tel que 
.
Soit . Alors pour tout 

Le nombre  ne dépend pas de . C'est le taux de survie du processus. S'il existe une distribution quasi-stationnaire, alors .

Soit  la matrice de transition de la chaîne de Markov et .  Si  est une distribution quasi-stationnaire, alors . Donc  est un vecteur propre à gauche avec une valeur propre dans l'intervalle .

Définition et propriétés en temps continu 

Soit un processus de Markov  à valeurs dans  . Supposons qu'il y ait un ensemble mesurable  d'états  absorbants et posons . Notons  le temps d'atteinte de  . Supposons que  soit atteint presque sûrement : .

Une  probabilité  sur  est une distribution quasi-stationnaire si pour tout ensemble mesurable   dans ,

Si  est une distribution quasi-stationnaire, alors il existe un nombre réel  tel que .

Exemple 

Soit  une chaîne de Markov en temps continu sur un espace d'états fini , de générateur . Soit  un sous-ensemble absorbant de . Notons  et . Supposons que  soit une matrice irréductible. Supposons aussi qu'il existe  tel que , où  est le vecteur (1,...,1). D'après le théorème de Perron-Frobenius, il existe une unique valeur propre  de la matrice  avec un vecteur propre à gauche  dont toutes les composantes sont  et normalisé de sorte que . Alors  est l'unique distribution quasi-stationnaire. De plus, pour tout ,

Historique 

Les travaux de Wright sur la fréquence des gènes en 1931 et de Yaglom en 1947 sur les processus de ramification contenaient déjà l'idée des distributions quasi-stationnaires. Le terme de quasi-stationnarité appliqué aux systèmes biologiques a ensuite été utilisé par Donald Barlett en 1957, qui a ensuite forgé le terme « distribution quasi-stationnaire ».

Les distributions quasi-stationnaires faisaient également partie de la classification des processus tués donnée par Vere-Jones en 1962. La définition pour les chaînes de Markov à espace d'états fini a été donnée en 1965 par Darroch et Seneta.

Bibliographie en français 
 Denis Villemonais, Distributions quasi-stationnaires et méthodes particulaires pour l'approximation de processus conditionnés, thèse, École polytechnique, 2011.
 Sylvie Méléard, Modèles aléatoires en écologie et évolution, Springer, 2016.

Bibliographie en anglais et en russe 
 S. Wright, Evolution in Mendelian populations, Genetics, 1931, vol. 16, , pp. 97–159.
 A.M. Yaglom, Certains théorèmes limites dans la théorie des processus stochastiques de branchement (en russe), Dokl. Akad. Nauk. SSSR , 1947, .
 .
 M.S. Bartlett, Stochastic population models in ecology and epidemiology, 1960.
 D. Vere-Jones, Geometric ergodicity in denumerable Markov chains, Quarterly Journal of Mathematics , 1962, . doi:10.1093/qmath/13.1.7
 J.N. Darroch, E. Seneta, On Quasi-Stationary Distributions in Absorbing Discrete-Time Finite Markov Chains, Journal of Applied Probability , 1965, . doi:10.2307/3211876

Processus stochastique
Une distribution quasi-stationnaire est une distribution mathématique qui décrit le comportement d' une chaîne de Markov absorbante avant que l' absorption n' ait lieu . Définition et propriétés en temps discret Soit une chaîne de Markov sur l' ensemble de les entiers naturels \ . Supposons que l' étatsoit et la chaîne soit absorbée enpresque sûrement . Soit le temps d' absorption en On dit qu' une probabilité sur est une distribution quasi-stationnaire si pour tout et pour tout , On dit qu' une probabilité sur est une limite de Yaglom si pour tout et tout , Une limite de Yaglom est une distribution quasi-stationnaire . Si elle existe , la limite de Yaglom est unique . En revanche , il peut y avoir plusieurs distributions quasi-stationnaires . Si est une distribution quasi-stationnaire , alors il existe un nombre réel tel que . Soit \ . Alors pour tout Le nombre ne dépend pas de \ . C' est le taux de survie de le processus . S' il existe une distribution quasi-stationnaire , alors \ . Soit la matrice de transition de la chaîne de Markov et \ . Si est une distribution quasi-stationnaire , alors \ . Donc est un vecteur propre à gauche avec une valeur propre dans l' intervalle \ . Définition et propriétés en temps continu Soit un processus de Markov à valeurs dans \ . Supposons qu' il y ait un ensemble mesurable d' états absorbants et posons \ . Notons le temps d' atteinte de \ . Supposons que soit atteint presque sûrement \ :\ . Une probabilité sur est une distribution quasi-stationnaire si pour tout ensemble mesurable dans , Si est une distribution quasi-stationnaire , alors il existe un nombre réel tel que \ . Exemple Soit une chaîne de Markov en temps continu sur un espace d' états fini , de générateur \ . Soit un sous-ensemble absorbant de \ . Notons et \ . Supposons que soit une matrice irréductible . Supposons aussi qu' il existe tel que , où est le vecteur ...,1 ) . D' après le théorème de Perron-Frobenius , il existe une unique valeur propre de la matrice avec un vecteur propre à gauche dont toutes les composantes sont et normalisé de sorte que \ . Alors est l' unique distribution quasi-stationnaire . De plus , pour tout , Historique Les travaux de Wright sur la fréquence de les gènes enet de Yaglom ensur les processus de ramification contenaient déjà l' idée de les distributions quasi-stationnaires . Le terme de quasi-stationnarité appliqué à les systèmes biologiques a ensuite été utilisé par Donald Barlett en qui a ensuite forgé le terme « distribution quasi-stationnaire » . Les distributions quasi-stationnaires faisaient également partie de la classification de les processus tués donnée par Vere-Jones en La définition pour les chaînes de Markov à espace d' états fini a été donnée enpar Darroch et Seneta . Bibliographie en français Denis Villemonais , Distributions quasi-stationnaires et méthodes particulaires pour l' approximation de processus conditionnés , thèse , École polytechnique , Sylvie Méléard , Modèles aléatoires en écologie et évolution , Springer , Bibliographie en anglais et en russe S. Wright , Evolution in Mendelian populations , Genetics , vol. , pp.159 . A.M. Yaglom , Certains théorèmes limites dans la théorie de les processus stochastiques de branchement ( en russe ) , Dokl . Akad . Nauk . SSSR , \ . \ . M.S . Bartlett , Stochastic population models in ecology and epidemiology , D. Vere-Jones , Geometric ergodicity in denumerable Markov chains , Quarterly Journal of Mathematics , \ . doi:10.1093 / qmath/13.1.7 J.N. Darroch , E. Seneta , On Quasi-Stationary Distributions in Absorbing Discrete-Time Finite Markov Chains , Journal of Applied Probability , \ . doi:10.2307 / 3211876 Processus stochastique