Hauteur (géométrie algébrique)
En géométrie algébrique et en théorie des nombres, la notion de hauteur désigne une mesure de la « complexité algébrique » d'un objet, généralement d'une solution d'une équation diophantienne. Leur intérêt vient entre autres de l'observation que des faits géométriques exprimés en termes de diviseurs se traduisent souvent en faits arithmétiques exprimés en termes de hauteurs.

Hauteur naïve

Définition 
Une première définition de la hauteur peut être donnée pour un nombre rationnel : si  est une fraction irréductible, alors on définit la hauteur de ce nombre par

Cette définition se généralise immédiatement à un point de l'espace projectif  en posant

De même on étend la définition à tout corps de nombres. Soit , et soit l'ensemble des places de , on pose pour tout 

Dans ce contexte, on introduit également la « hauteur logarithmique absolue » définie par :

Propriétés de finitude 
Puisque la hauteur sur les nombres rationnels est définie à partir de leur écriture en fraction irréductible, il n'existe qu'un nombre fini de rationnels ayant une hauteur inférieure à une borne donnée. Ce fait s'étend aux définitions plus générales ci-dessus : c'est le théorème de Northcott.

Une estimation du nombre de rationnels de hauteur inférieure à une borne  est donnée par la formule suivante :

Le théorème de Schanuel donne une formule analogue pour les points de , qui fait intervenir de nombreux invariants arithmétiques de  faisant écho à la formule du nombre de classes, dont la fonction zêta de Dedekind, le régulateur, et les degrés de plongement réels et complexes de .

Si on notre  le degré du corps minimal dans lequel un nombre est défini, alors la conjecture de Lehmer prédit qu'il est impossible d'obtenir des nombres algébriques de hauteur arbitrairement petite, spécifiquement qu'il existe une constante positive  telle que pour tout  qui n'est pas racine de l'unité, on a :

La valeur exacte de est inconnue mais serait approximativement

Hauteur sur une variété projective 
Si est une variété projective, et que  est un plongement projectif alors on peut définir la hauteur d'un point de  par . 

Une manière a priori plus intrinsèque de définir la hauteur est de s'appuyer sur l'observation suivante : un plongement projectif correspond au choix d'un diviseur très ample  ainsi qu'à un choix de sections génératrices de l'espace de Riemann-Roch . On associe ainsi, à un diviseur très ample, le plongement correspondant et la hauteur . Cette définition possède des propriétés remarquables :

 Choisir un autre diviseur n'affecte la hauteur que par l'ajout d'une fonction bornée : 
 Si  sont deux diviseurs linéairement équivalents, alors 
 Si  et  sont tous deux très amples, alors 

En fait Weil a montré qu'il existe un unique homomorphisme du groupe de Picard dans les fonctions (modulo les fonctions bornées) satisfaisant les trois propriétés ci-dessus.

Sur une variété abélienne, dotée d'une application « multiplication par », notée , le théorème du cube montre que 

autrement dit, la hauteur croît très rapidement avec les applications successives de cette multiplication. 

Il est possible d'introduire d'autres hauteurs, comme l'avait initié Weil dans sa thèse, et comme l'a fait Faltings pour sa démonstration de la conjecture de Mordell-Weil.

Hauteur canonique sur une variété abélienne 
Sur une variété abélienne, les fonctions bornées intervenant dans les relations entre hauteurs peut être éliminée. Pour cela, il faut modifier légèrement la définition et considérer la hauteur canonique, ou hauteur de Néron-Tate :

Cette hauteur possède les propriétés remarquables suivantes :

 
 
 

Lorsque est ample, alors si et seulement si est un point de torsion ; de plus, la hauteur permet de définir l'accouplement de Néron-Tate :

Propriétés de finitude 
Néron a montré que la hauteur canonique satisfait une propriété de finitude analogue à la hauteur naïve. Plus précisément, si est une variété abélienne, alors

où est le rang de et est le régulateur, c'est-à-dire le déterminant de la matrice où les forment une base de .

La question de la minoration de la hauteur de Néron-Tate se pose également sur les variétés abéliennes.

Références 

Géométrie algébrique
Théorie des nombres
Équation diophantienne
En géométrie algébrique et en théorie de les nombres , la notion de hauteur désigne une mesure de la « complexité algébrique » d' un objet , généralement d' une solution d' une équation diophantienne . Leur intérêt vient entre autres de l' observation que de les faits géométriques exprimés en termes de diviseurs se traduisent souvent en faits arithmétiques exprimés en termes de hauteurs . Hauteur naïve Définition Une première définition de la hauteur peut être donnée pour un nombre rationnel \ : si est une fraction irréductible , alors on définit la hauteur de ce nombre par Cette définition se généralise immédiatement à un point de l' espace projectif en posant De même on étend la définition à tout corps de nombres . Soit , et soit l' ensemble de les places de , on pose pour tout Dans ce contexte , on introduit également la « hauteur logarithmique absolue » définie par \ : Propriétés de finitude Puisque la hauteur sur les nombres rationnels est définie à partir de leur écriture en fraction irréductible , il n' existe qu' un nombre fini de rationnels ayant une hauteur inférieure à une borne donnée . Ce fait s' étend à les définitions plus générales ci-dessus \ : c' est le théorème de Northcott . Une estimation de le nombre de rationnels de hauteur inférieure à une borne est donnée par la formule suivante \ : Le théorème de Schanuel donne une formule analogue pour les points de , qui fait intervenir de nombreux invariants arithmétiques de faisant écho à la formule de le nombre de classes , dont la fonction zêta de Dedekind , le régulateur , et les degrés de plongement réels et complexes de \ . Si on notre le degré de le corps minimal dans lequel un nombre est défini , alors la conjecture de Lehmer prédit qu' il est impossible d' obtenir de les nombres algébriques de hauteur arbitrairement petite , spécifiquement qu' il existe une constante positive telle que pour tout qui n' est pas racine de l' unité , on a \ : La valeur exacte de est inconnue mais serait approximativement Hauteur sur une variété projective Si est une variété projective , et que est un plongement projectif alors on peut définir la hauteur d' un point de par \ . Une manière a priori plus intrinsèque de définir la hauteur est de s' appuyer sur l' observation suivante \ : un plongement projectif correspond à le choix d' un diviseur très ample ainsi qu' à un choix de sections génératrices de l' espace de Riemann-Roch \ . On associe ainsi , à un diviseur très ample , le plongement correspondant et la hauteur \ . Cette définition possède de les propriétés remarquables \ : Choisir un autre diviseur n' affecte la hauteur que par l' ajout d' une fonction bornée \ : Si sont deux diviseurs linéairement équivalents , alors Si et sont tous deux très amples , alors En fait Weil a montré qu' il existe un unique homomorphisme de le groupe de Picard dans les fonctions ( modulo les fonctions bornées ) satisfaisant les trois propriétés ci-dessus . Sur une variété abélienne , dotée d' une application « multiplication par » , notée , le théorème de le cube montre que autrement dit , la hauteur croît très rapidement avec les applications successives de cette multiplication . Il est possible d' introduire d' autres hauteurs , comme l' avait initié Weil dans sa thèse , et comme l' a fait Faltings pour sa démonstration de la conjecture de Mordell-Weil . Hauteur canonique sur une variété abélienne Sur une variété abélienne , les fonctions bornées intervenant dans les relations entre hauteurs peut être éliminée . Pour cela , il faut modifier légèrement la définition et considérer la hauteur canonique , ou hauteur de Néron-Tate \ : Cette hauteur possède les propriétés remarquables suivantes \ : Lorsque est ample , alors si et seulement si est un point de torsion ; de plus , la hauteur permet de définir l' accouplement de Néron-Tate \ : Propriétés de finitude Néron a montré que la hauteur canonique satisfait une propriété de finitude analogue à la hauteur naïve . Plus précisément , si est une variété abélienne , alors où est le rang de et est le régulateur , c'est-à-dire le déterminant de la matrice où les forment une base de \ . La question de la minoration de la hauteur de Néron-Tate se pose également sur les variétés abéliennes . Références Géométrie algébrique Théorie de les nombres Équation diophantienne