Théorème d'inconsistance de Kunen
En théorie des ensembles, une branche des mathématiques, le théorème d'inconsistance de Kunen, démontré par Kenneth Kunen (1971), montre que plusieurs axiomes plausibles faisant usage des grands cardinaux sont incompatibles avec l'axiome du choix. Leur ajout conduit à des contradictions.

Selon certaines conséquences du théorème de Kunen, il s'ensuit que :

 Il n'y a pas de plongement élémentaire non trivial de l'univers  dans lui-même. En d'autres termes, il n'y a pas de .
 Si  est un plongement élémentaire de l'univers  dans un modèle intérieur , et  est le plus petit point fixe de  au-dessus du point critique de , alors  ne contient pas l'ensemble  (l'image de  limitée à ).
 Il n'y a pas de .
 Il n'y a pas de plongement élémentaire non triviale de  dans lui-même.

On ne sait pas si le théorème de Kunen s'applique aussi dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel sans l'axiome du choix, bien que Suzuki (1999) a montré qu'il n'y a pas de plongement élémentaire définissable de  dans , c'est-à-dire qu'il n'y a pas de formule  dans le langage de la théorie des ensembles et des paramètres  telles que pour tous ensembles  on a . 

Kunen a utilisé la théorie des ensembles de Morse-Kelley dans sa preuve. Si la preuve est réécrite pour utiliser ZFC, alors il faut ajouter l'hypothèse que l'axiome de remplacement vaut également pour les formules impliquant . Sinon on ne pourrait même pas montrer que  existe en tant qu'ensemble. L'ensemble interdit  est crucial pour la preuve. La preuve montre d'abord qu'il ne peut pas être dans . Les autres parties du théorème suivent de ce développement.

Il est possible d'avoir des modèles de théorie des ensembles qui ont des plongements élémentaires en eux-mêmes, du moins si l'on suppose des axiomes de grand cardinaux. Par exemple, si  existe, alors il y a un plongement élémentaire de l'univers constructible  en lui-même. Cela ne contredit pas le théorème de Kunen car si  existe, alors  ne peut pas être l'univers entier des ensembles.

Notes et références 

Kanamori, Akihiro (2003), The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-88867-3, 
Kunen, Kenneth (1971), "Elementary embeddings and infinitary combinatorics", Journal of Symbolic Logic, 36 (3): 407–413, doi:10.2307/2269948, JSTOR 2269948, MR 0311478
Suzuki, Akira (1999), "No elementary embedding from V into V is definable from parameters", Journal of Symbolic Logic, 64 (4): 1591–1594, doi:10.2307/2586799, ISSN 0022-4812, MR 1780073
Zapletal, Jindřich (1996), "A new proof of Kunen's inconsistency", Proceedings of the American Mathematical Society, 124 (7): 2203–2204, doi:10.1090/S0002-9939-96-03281-9, ISSN 0002-9939, MR 1317054

Théorie des ensembles
Logique mathématique
En théorie de les ensembles , une branche de les mathématiques , le théorème d' inconsistance de Kunen , démontré par Kenneth Kunen montre que plusieurs axiomes plausibles faisant usage de les grands cardinaux sont incompatibles avec l' axiome de le choix . Leur ajout conduit à de les contradictions . Selon certaines conséquences de le théorème de Kunen , il s' ensuit que \ : Il n' y a pas de plongement élémentaire non trivial de l' univers dans lui-même . En d' autres termes , il n' y a pas de \ . Si est un plongement élémentaire de l' univers dans un modèle intérieur , et est le plus petit point fixe de au-dessus de le point critique de , alors ne contient pas l' ensemble ( l' image de limitée à ) . Il n' y a pas de \ . Il n' y a pas de plongement élémentaire non triviale de dans lui-même . On ne sait pas si le théorème de Kunen s' applique aussi dans la théorie de les ensembles de Zermelo-Fraenkel sans l' axiome de le choix , bien que Suzukia montré qu' il n' y a pas de plongement élémentaire définissable de dans , c'est-à-dire qu' il n' y a pas de formule dans le langage de la théorie de les ensembles et de les paramètres telles que pour tous ensembles on a \ . Kunen a utilisé la théorie de les ensembles de Morse-Kelley dans sa preuve . Si la preuve est réécrite pour utiliser ZFC , alors il faut ajouter l' hypothèse que l' axiome de remplacement vaut également pour les formules impliquant \ . Sinon on ne pourrait même pas montrer que existe en tant qu' ensemble . L' ensemble interdit est crucial pour la preuve . La preuve montre d' abord qu' il ne peut pas être dans \ . Les autres parties de le théorème suivent de ce développement . Il est possible d' avoir de les modèles de théorie de les ensembles qui ont de les plongements élémentaires en eux-mêmes , de le moins si l' on suppose de les axiomes de grand cardinaux . Par exemple , si existe , alors il y a un plongement élémentaire de l' univers constructible en lui-même . Cela ne contredit pas le théorème de Kunen car si existe , alors ne peut pas être l' univers entier de les ensembles . Notes et références Kanamori , Akihiro The Higher Infinite \ : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginningsd ed . ) , Berlin , New York : Springer-Verlag , doi:10.1007 /978-3-540-88867-3 , Kunen , Kenneth " Elementary embeddings and infinitary combinatorics " , Journal of Symbolic Logic , ( 3) :413 , doi:10.2307 /2269948 , JSTOR MR Suzuki , Akira " No elementary embedding from V into V is definable from parameters " , Journal of Symbolic Logic , ( 4 ) :1594 , doi:10.2307 / 2586799 , ISSN MR Zapletal , Jindřich " A new proof of Kunen's inconsistency " , Proceedings of the American Mathematical Society , ( 7 ) :2204 , doi:10.1090 / S0002-9939-96-03281-9 , ISSN MR Théorie de les ensembles Logique mathématique