Groupe résiduellement fini
En mathématiques, et tout particulièrement en théorie combinatoire des groupes, un groupe résiduellement fini est un groupe qui peut en quelque sorte être « approché » par des groupes finis.  L'adjectif « résiduel » s'applique aussi à d'autres propriétés, comme être résiduellement nilpotent, résiduellement libre.

Définition 
Un groupe  est résiduellement fini s'il existe, pour tout élément  distinct de l'élément neutre, un sous-groupe distingué  d'indice fini
ne contenant pas . 

Des définitions équivalentes sont : un groupe  est résiduellement fini si

 pour tout élément  distinct de l'élément neutre, il existe un morphisme  dans un groupe fini  tel que  ;
 l'intersection de tous les sous-groupes d'indice fini (ou même de tous ses sous-groupes normaux) de  est réduite à l'élément neutre.
 le groupe  peut être plongé dans le produit direct d'une famille de groupes finis.

Exemples 
Un théorème de Anatoli Maltsev (Анато́лий Ива́нович Ма́льцев orthographié aussi Mal'cev ou Malcev ou Maltsev) dit que tout groupe linéaire, c'est-à-dire tout groupe isomorphe à un sous-groupe finiment engendré du groupe général linéaire  est résiduellement fini, pour tout anneau commutatif unifère .

Ce critère fournit de nombreux exemples de groupes résiduellement finis :
 Les groupes libres
 Les groupes fondamentaux d'espaces localement symétriques et notamment de variétés hyperboliques compactes.
 Les 
 Les groupes nilpotents finiment engendrés.
 Les groupes fondamentaux de 3-variétés ; on ne sait pas s'ils sont en général isomorphes à des sous-groupes de .

Propriétés de stabilité :
 Un sous-groupe d'un groupe finiment engendré résiduellement fini  et aussi résiduellement fini. 
 Le produit direct de groupes résiduellement finis est aussi résiduellement fini.
 Un groupe qui possède une sous-groupe résiduellement fini d'indice fini est lui-même résiduellement fini.

Les groupes de Baumslag-Solitar ne sont pas tous résiduellement finis. Par exemple, le groupe de Baumslag–Solitar BS(2,3) n'est pas hopfien, et donc pas résiduellement fini.

Il est ouvert si les  groupes hyperboliques sont tous résiduellement finis.

Il existe des groupes résiduellement finis qui ne sont pas des groupes linéaires. Un tel exemple a été donné par Drutu et Sapir :  Le groupe  est résiduellement fini et non linéaire.

Propriétés 

 Le problème du mot est soluble pour les groupes résiduellement finis qui sont de présentation finie.
 Un groupe résiduellement fini de type fini est un groupe hopfien : tout épimorphisme du groupe dans lui-même est un isomorphisme.

Les propriétés suivantes des groupes sont équivalentes :
 est résiduellement fini ;
 L'application canonique dans la complétion pour la topologie profinie  est injective.
La sous-groupe trivial est séparable.

Autres propriétés

Topologie 
Tout groupe  peut être doté d'une topologie qui en fait un groupe tolopogique en prenant comme base des voisinages ouverts de l'identité la collection de tous les sous-groupes normaux d'indice fini de .  La topologie obtenie est appelée la topologie profinie de .  Un groupe est résiduellement fini si et seulement si sa topologie profinie est un séparée.

Le groupe fondamental  d'un CW-complexe  est résiduellement fini si et seulement s'il existe, pour tout sous-ensemble compact  du revêtement  un recouvrement  telle que 

est un plongement.

Géométrie algébrique

Soit  un schéma de type fini sur . Le morphisme 

est injectif si et seulement si   est résiduellement fini.

Variétés 
Parmi les propriétés de variétés de groupes résiduellement finis, il y a :

 Une variété composée uniquement de groupes résiduellement finis est engendrée par un A-groupe, c'est-à-dire par un groupe fini dont tous les sous-groupes de Sylow sont abéliens.
 Une variété composée uniquement de groupes résiduellement finis  contient un groupe fini dont tous les éléments peuvent être plongés dans une produit direct de ce groupe fini.

Notes et références

Bibliographie  
 .

Liens externes 
Residual finiteness
Residual finiteness results
Berstein Seminar, « Residual finiteness and Hopfian groups », 

Théorie des groupes
En mathématiques , et tout particulièrement en théorie combinatoire de les groupes , un groupe résiduellement fini est un groupe qui peut en quelque sorte être « approché » par de les groupes finis . L' adjectif « résiduel » s' applique aussi à d' autres propriétés , comme être résiduellement nilpotent , résiduellement libre . Définition Un groupe est résiduellement fini s' il existe , pour tout élément distinct de l' élément neutre , un sous-groupe distingué d' indice fini ne contenant pas \ . De les définitions équivalentes sont \ : un groupe est résiduellement fini si pour tout élément distinct de l' élément neutre , il existe un morphisme dans un groupe fini tel que ; l' intersection de tous les sous-groupes d' indice fini ( ou même de tous ses sous-groupes normaux ) de est réduite à l' élément neutre . le groupe peut être plongé dans le produit direct d' une famille de groupes finis . Exemples Un théorème de Anatoli Maltsev ( Анато́лий Ива́нович Ма́льцев orthographié aussi Mal'cev ou Malcev ou Maltsev ) dit que tout groupe linéaire , c'est-à-dire tout groupe isomorphe à un sous-groupe finiment engendré de le groupe général linéaire est résiduellement fini , pour tout anneau commutatif unifère \ . Ce critère fournit de nombreux exemples de groupes résiduellement finis \ : Les groupes libres Les groupes fondamentaux d' espaces localement symétriques et notamment de variétés hyperboliques compactes . Les Les groupes nilpotents finiment engendrés . Les groupes fondamentaux devariétés ; on ne sait pas s' ils sont en général isomorphes à de les sous-groupes de \ . Propriétés de stabilité \ : Un sous-groupe d' un groupe finiment engendré résiduellement fini et aussi résiduellement fini . Le produit direct de groupes résiduellement finis est aussi résiduellement fini . Un groupe qui possède une sous-groupe résiduellement fini d' indice fini est lui-même résiduellement fini . Les groupes de Baumslag-Solitar ne sont pas tous résiduellement finis . Par exemple , le groupe de Baumslag–Solitar BS( 2,3 ) n' est pas hopfien , et donc pas résiduellement fini . Il est ouvert si les groupes hyperboliques sont tous résiduellement finis . Il existe de les groupes résiduellement finis qui ne sont pas de les groupes linéaires . Un tel exemple a été donné par Drutu et Sapir \ : Le groupe est résiduellement fini et non linéaire . Propriétés Le problème de le mot est soluble pour les groupes résiduellement finis qui sont de présentation finie . Un groupe résiduellement fini de type fini est un groupe hopfien \ : tout épimorphisme de le groupe dans lui-même est un isomorphisme . Les propriétés suivantes de les groupes sont équivalentes \ : est résiduellement fini ; L' application canonique dans la complétion pour la topologie profinie est injective . La sous-groupe trivial est séparable . Autres propriétés Topologie Tout groupe peut être doté d' une topologie qui en fait un groupe tolopogique en prenant comme base de les voisinages ouverts de l' identité la collection de tous les sous-groupes normaux d' indice fini de \ . La topologie obtenie est appelée la topologie profinie de \ . Un groupe est résiduellement fini si et seulement si sa topologie profinie est un séparée . Le groupe fondamental d' un CW-complexe est résiduellement fini si et seulement s' il existe , pour tout sous-ensemble compact de le revêtement un recouvrement telle que est un plongement . Géométrie algébrique Soit un schéma de type fini sur \ . Le morphisme est injectif si et seulement si est résiduellement fini . Variétés Parmi les propriétés de variétés de groupes résiduellement finis , il y a \ : Une variété composée uniquement de groupes résiduellement finis est engendrée par un A-groupe , c'est-à-dire par un groupe fini dont tous les sous-groupes de Sylow sont abéliens . Une variété composée uniquement de groupes résiduellement finis contient un groupe fini dont tous les éléments peuvent être plongés dans une produit direct de ce groupe fini . Notes et références Bibliographie \ . Liens externes Residual finiteness Residual finiteness results Berstein Seminar , « Residual finiteness and Hopfian groups » , Théorie de les groupes