Matrice de Jacobi
Les matrices de Jacobi sont des matrices symétriques tridiagonales, éventuellement infinies. Leur  nom vient du mathématicien allemand Carl Gustav Jakob Jacobi.

Matrice de taille finie 

Les matrices de Jacobi de taille finie sont de la forme 

avec 

On montre que  est une valeur propre de la matrice  si et seulement si

Si l'on réduit la fraction continue en une fraction rationnelle, le numérateur sera le polynôme caractéristique  de la matrice .

Dimension infinie 

Considérons deux suites   et , toujours avec  et .  L'opérateur de Jacobi  associé est défini sur un espace de suites   par 

Les opérateurs de Jacobi sont liés à la théorie des polynômes orthogonaux. En effet, si l'on note  avec  la solution  de 
, 
alors  est un polynôme de degré . Ces polynômes vérifient la relation de récurrence d'ordre 2 : 

pour tout , si l'on pose  et . Ces polynômes sont orthogonaux par rapport à une certaine mesure.

Par exemple, avec  et , les polynômes  sont les polynômes de Laguerre.

Avec  et , les polynômes  sont les polynômes de Tchebychev de seconde espèce.

Notes et références

Voir aussi 

 

Jacobi
Les matrices de Jacobi sont de les matrices symétriques tridiagonales , éventuellement infinies . Leur nom vient de le mathématicien allemand Carl Gustav Jakob Jacobi . Matrice de taille finie Les matrices de Jacobi de taille finie sont de la forme avec On montre que est une valeur propre de la matrice si et seulement si Si l' on réduit la fraction continue en une fraction rationnelle , le numérateur sera le polynôme caractéristique de la matrice \ . Dimension infinie Considérons deux suites et , toujours avec et \ . L' opérateur de Jacobi associé est défini sur un espace de suites par Les opérateurs de Jacobi sont liés à la théorie de les polynômes orthogonaux . En effet , si l' on note avec la solution de alors est un polynôme de degré \ . Ces polynômes vérifient la relation de récurrence d' ordre : pour tout , si l' on pose et \ . Ces polynômes sont orthogonaux par rapport à une certaine mesure . Par exemple , avec et , les polynômes sont les polynômes de Laguerre . Avec et , les polynômes sont les polynômes de Tchebychev de seconde espèce . Notes et références Voir aussi Jacobi