Équation d'Ornstein-Zernike
Dans un milieu à N particules l'équation d'Ornstein-Zernike, due à Leonard Ornstein et Frederik Zernike permet de prendre en compte la corrélation reliant les diverses paires dans le milieu, pour calculer l'influence moyenne sur une particule. La description de ce milieu au-delà de l'interaction simple entre deux particules permet d'accéder à des phénomènes liés aux fluctuations statistiques comme l'opalescence critique, phénomène à l'origine de ces travaux, mais également à de nombreuses relations comme l'équation d'état.

Équation d'Ornstein-Zernike

Obtention 

Dans un milieu de densité particulaire  soit  la fonction de distribution radiale pour la paire de particules  et  distantes de , c'est-à-dire la densité de probabilité de la présence d'une ou plusieurs particules à une distance donnée. Elle est donnée par

où  est le potentiel d'interaction moyen à la distance , résultant de l'ensemble des interactions.

On a    et on définit  

Dans ce milieu :
 la particule 2 est influencée par la particule 1 par la quantité ,  étant la fonction de corrélation directe,
 la particule 3 est également influencée par la particule 1 par la quantité ,
 cette modification de 3 retentira sur 2 par  
.
La particule 3 étant quelconque son influence est donnée par une équation intégrale de Fredholm

En répétant le raisonnement sur toutes les particules on obtient

On reconnait le produit de convolution

Transformation de Fourier 

Une transformation de Fourier permet d'écrire une équation sur la transformée de h

La solution est

À ce stade,  n'est pas précisé : il est donc impossible d'effectuer la transformation de Fourier inverse.

Résolution approchée de l'équation 

Par la suite on suppose que les potentiels possèdent une symétrie sphérique et que le milieu est isotrope. On peut écrire une solution formelle à l'aide de la théorie de la fonctionnelle de la densité

où  est le potentiel pour deux particules isolées,  et  sont des fonctions 
dont le calcul fait intervenir des diagrammes et la théorie des graphes en considérant toutes les influences de particules les unes sur les autres. Notons que la valeur de  s'interprète comme la valeur moyenne du potentiel effectif s'ajoutant
à l'interaction directe.

Les autres quantités se déduisent

Approximation Hypernetted-chain 

Cette méthode est obtenue en négligeant 
, ce qui correspond à supposer que les
chaînes d'interactions qui ne se concentrent pas sur une particule
intermédiaire unique (un nœud) sont faibles en comparaison des autres.

Méthode de Percus-Yevick 

Cette méthode est due à Jerome Percus et George Yevick (1958). La solution recherchée correspond à négliger  et à développer  en une série de Taylor à l'ordre deux 

Cette équation possède une solution analytique dans le cas d'un potentiel de type sphères dures.

D'une façon générale elle donne de bons résultats pour un milieu non chargé. Les potentiels à longue distance sont mal représentés par cette approximation.

Notes et références

Notes

Références

Voir aussi 
 Problème à N corps
 Hiérarchie BBGKY

Liens externes 
 

Équation d'état
Physique statistique
Dans un milieu à N particules l' équation d' Ornstein-Zernike , due à Leonard Ornstein et Frederik Zernike permet de prendre en compte la corrélation reliant les diverses paires dans le milieu , pour calculer l' influence moyenne sur une particule . La description de ce milieu au-delà de l' interaction simple entre deux particules permet d' accéder à de les phénomènes liés à les fluctuations statistiques comme l' opalescence critique , phénomène à l' origine de ces travaux , mais également à de nombreuses relations comme l' équation d' état . Équation d' Ornstein-Zernike Obtention Dans un milieu de densité particulaire soit la fonction de distribution radiale pour la paire de particules et distantes de , c'est-à-dire la densité de probabilité de la présence d' une ou plusieurs particules à une distance donnée . Elle est donnée par où est le potentiel d' interaction moyen à la distance , résultant de l' ensemble de les interactions . On a et on définit Dans ce milieu \ : la particuleest influencée par la particulepar la quantité , étant la fonction de corrélation directe , la particuleest également influencée par la particulepar la quantité , cette modification deretentira surpar . La particuleétant quelconque son influence est donnée par une équation intégrale de Fredholm En répétant le raisonnement sur toutes les particules on obtient On reconnait le produit de convolution Transformation de Fourier Une transformation de Fourier permet d' écrire une équation sur la transformée de h La solution est À ce stade , n' est pas précisé \ : il est donc impossible d' effectuer la transformation de Fourier inverse . Résolution approchée de l' équation Par la suite on suppose que les potentiels possèdent une symétrie sphérique et que le milieu est isotrope . On peut écrire une solution formelle à l' aide de la théorie de la fonctionnelle de la densité où est le potentiel pour deux particules isolées , et sont de les fonctions dont le calcul fait intervenir de les diagrammes et la théorie de les graphes en considérant toutes les influences de particules les unes sur les autres . Notons que la valeur de s' interprète comme la valeur moyenne de le potentiel effectif s' ajoutant à l' interaction directe . Les autres quantités se déduisent Approximation Hypernetted-chain Cette méthode est obtenue en négligeant ce qui correspond à supposer que les chaînes d' interactions qui ne se concentrent pas sur une particule intermédiaire unique ( un nœud ) sont faibles en comparaison de les autres . Méthode de Percus-Yevick Cette méthode est due à Jerome Percus et George Yevick La solution recherchée correspond à négliger et à développer en une série de Taylor à l' ordre deux Cette équation possède une solution analytique dans le cas d' un potentiel de type sphères dures . D' une façon générale elle donne de bons résultats pour un milieu non chargé . Les potentiels à longue distance sont mal représentés par cette approximation . Notes et références Notes Références Voir aussi Problème à N corps Hiérarchie BBGKY Liens externes Équation d' état Physique statistique