Fougère de Barnsley
La fougère de Barnsley est une fractale nommée d'après le mathématicien Michael Barnsley qui l'a décrite pour la première fois dans son livre Fractals Everywhere.

Construction 
La fougère de Barnsley est l'attracteur d'une famille de quatre applications affines. La formule pour une application affine est la suivante : 

Dans le tableau, les colonnes "a" à "f" sont les coefficients de l'équation et "p" représente le facteur de probabilité.

Celles-ci correspondent aux transformations suivantes :

Programmation de la fonction 
Le premier point tracé est à l'origine (x0 = 0, y0 = 0) 
puis les nouveaux points sont calculés de manière itérative en appliquant de manière aléatoire l'une des quatre transformations de coordonnées suivantes :

ƒ1
xn + 1 = 0
yn + 1 = 0.16 yn.
Cette transformation de coordonnées est choisie 1% du temps et correspond à un point du premier segment de ligne situé à la base de la tige. Cette partie de la figure est la première à être complétée au cours des itérations

ƒ2
xn + 1 = 0.85 xn + 0.04 yn
yn + 1 = −0.04 xn + 0.85 yn + 1.6.
Cette transformation de coordonnées est choisie 85% du temps et correspond à un point à l'intérieur d'un pavillon.

ƒ3
xn + 1 = 0.2 xn − 0.26 yn
yn + 1 = 0.23 xn + 0.22 yn + 1.6.
Cette transformation de coordonnées est choisie 7% du temps et correspond à un point à l'intérieur d'un pavillon (avec inversion).

ƒ4
xn + 1 = −0.15 xn + 0.28 yn
yn + 1 = 0.26 xn + 0.24 yn + 0.44.
Cette transformation de coordonnées est choisie 7% du temps et correspond à point à l'intérieur d'un pavillon (sans inversion).

Variétés mutantes 
En variant les coefficients, on peut créer des variétés mutantes de fougère, que Barnsley qualifie de superfractales. 

Un générateur de fougères de Barnsley a pu reproduire les fougères de type Cyclosorus (dans la famille des Thelypteridaceae) ainsi que Polypodiidae.

Les coefficients pour reproduire la fougère Cyclosorus sont dans le tableau suivant.

Notes et références

Articles connexes 
 Système de fonctions itérées
 Théorème du collage
 Compression fractale

Géométrie affine
Fractale
La fougère de Barnsley est une fractale nommée d' après le mathématicien Michael Barnsley qui l' a décrite pour la première fois dans son livre Fractals Everywhere . Construction La fougère de Barnsley est l' attracteur d' une famille de quatre applications affines . La formule pour une application affine est la suivante \ : Dans le tableau , les colonnes " a " à " f " sont les coefficients de l' équation et " p " représente le facteur de probabilité . Celles-ci correspondent à les transformations suivantes \ : Programmation de la fonction Le premier point tracé est à l' origine ( x0 = y0 = puis les nouveaux points sont calculés de manière itérative en appliquant de manière aléatoire l' une de les quatre transformations de coordonnées suivantes \ : ƒ1 xn += 0 yn += 16 yn . Cette transformation de coordonnées est choisie de le temps et correspond à un point de le premier segment de ligne situé à la base de la tige . Cette partie de la figure est la première à être complétée à le cours de les itérations ƒ2 xn +=85 xn +04 yn yn += −0.04 xn +85 yn +6 . Cette transformation de coordonnées est choisie de le temps et correspond à un point à l' intérieur d' un pavillon . ƒ3 xn += 2 xn − 0.26 yn yn += 23 xn + 0.22 yn + 1.6 . Cette transformation de coordonnées est choisie de le temps et correspond à un point à l' intérieur d' un pavillon ( avec inversion ) . ƒ4 xn += −0.15 xn +28 yn yn += 26 xn +24 yn +44 . Cette transformation de coordonnées est choisie de le temps et correspond à point à l' intérieur d' un pavillon ( sans inversion ) . Variétés mutantes En variant les coefficients , on peut créer de les variétés mutantes de fougère , que Barnsley qualifie de superfractales . Un générateur de fougères de Barnsley a pu reproduire les fougères de type Cyclosorus ( dans la famille de les Thelypteridaceae ) ainsi que Polypodiidae . Les coefficients pour reproduire la fougère Cyclosorus sont dans le tableau suivant . Notes et références Articles connexes Système de fonctions itérées Théorème de le collage Compression fractale Géométrie affine Fractale