Discrétisation
En mathématiques appliquées, la discrétisation est la transposition d'un état  (fonction, modèle, variable, équation) en un équivalent . Ce procédé constitue en général une étape préliminaire à la résolution numérique d'un problème ou sa programmation sur machine. Un cas particulier est la dichotomisation où le nombre de classes discrètes est 2, où on peut approcher une variable continue en une variable binaire. 

La discrétisation est aussi reliée aux mathématiques discrètes, et compte parmi les composantes importantes de la programmation granulaire. Dans le contexte, la discrétisation peut renvoyer à la modification de la granularité, quand plusieurs variables discrètes sont réunies ou des catégories discrètes fusionnées.

Discrétiser des données continues engendre systématiquement une . Un des objectifs est donc de concevoir un modèle discret qui minimise au mieux cette erreur.

 Il ne faut pas confondre discrétisation et quantification.

On compte également la  et le bloqueur d'ordre 0 parmi les méthodes de discrétisation.

Discrétisation de modèles d'état linéaires 
La discrétisation apparait dans la transformation d'équations différentielles continues en équations aux différence discrètes.

On considère le modèle d'état en espace, continu en temps :

où  et  sont des sources de bruit blanc avec une densité spectrale de puissance

peuvent être discrétisées, en supposant que le signal  est un bloqueur d'ordre 0 et une intégration continue pour le bruit , donnant

avec des covariances

où

, si  est régulière

et  est le temps d'échantillonnage, et  est la transposée de .

Une astuce pour calculer  et  en une étape consiste à utiliser la propriété

et donc

Discrétisation de bruits 
L'évaluation numérique de  est rendue plus délicate avec l'intégrale d'une exponentielle de matrice. On peut la calculer en deux temps, d'abord la construction de la matrice, puis le calcul de son exponentielle

Le bruit discrétisé est ensuite évalué en multipliant la transposée du bloc en bas à droite de  avec celui en haut à droite :

Dérivation 
En partant du modèle continu

on sait que l'exponentielle de matrice est

et en multipliant à gauche le modèle :

on reconnait

L'intégration donne ainsi

ce qui est une solution analytique du modèle continu.

On veut désormais discrétiser cette expression. On suppose  constante sur chaque pas de temps.

On reconnait l'expression entre crochets dans le premier terme comme , et le second terme peut être simplifié en faisant la substitution , ce qui permet . On suppose aussi que  est constante dans l'intégrale, ce qui donne :

qui est une solution exacte du problème de discrétisation.

Approximations 
Une discrétisation exacte peut parfois être impossible à cause d'une exponentielle de matrice lourde et des étapes d'intégrations. Il devient alors plus simple de calculer un modèle discret approché, basé sur de petits pas de temps de sorte qu'on ait . La solution approchée devient alors :

D'autres approximations possibles sont  et .
Chacun a des propriétés de stabilité différentes. On peut également mentionner la transformation bilinéaire, ou transformation de Tustin, qui préserve les propriétés de stabilité du système continu en temps.

Discrétisation d'équations différentielles 

La résolution numérique d'une équation différentielle (ordinaire ou aux dérivées partielles) nécessite une discrétisation du domaine de définition de la solution (espace ou temps, voire les deux). Ainsi, d'une fonction  définie sur un domaine  et un intervalle de temps , on ne calculera que des valeurs , où les  sont des points de  et  des instants de . Pour cela, les opérateurs différentiels sont également approchés par des versions discrètes, comme la dérivée seconde discrète :
 

La méthode de résolution (différences finies, éléments finis ou volumes finis, pour citer les plus courantes) permet de construire un problème discret dont la solution est une approximation de la solution du problème continu. L'erreur commise a deux sources : 
 l'erreur de projection : en passant d'un espace continu à un espace discret, l'espace dans lequel la solution existante est changée ;
 l'erreur d'interpolation : le choix du schéma numérique et la définition de la grille espace-temps choisie pour la résolution va influer sur la qualité de l'approximation.

Discrétisation de caractéristiques continues 
En statistique et apprentissage machine, la discrétisation renvoie à la conversion de variables ou caractéristiques continues en variables ou caractéristiques discrètes nominales. Ce procédé est utile pour créer des fonctions de densité de probabilités.

Références

Voir aussi

Articles connexes
 Espace discret
 Algèbre temporelle
 Simulation à événements discrets
 Simulation stochastique
 Méthode des volumes finis pour des flux instables
 Temps discret et temps continu

Liens externes 
 
 
 
 

Analyse numérique
Analyse fonctionnelle
Analyse numérique matricielle

hr:Diskretizacija
it:Discretizzazione
En mathématiques appliquées , la discrétisation est la transposition d' un état ( fonction , modèle , variable , équation ) en un équivalent \ . Ce procédé constitue en général une étape préliminaire à la résolution numérique d' un problème ou sa programmation sur machine . Un cas particulier est la dichotomisation où le nombre de classes discrètes est où on peut approcher une variable continue en une variable binaire . La discrétisation est aussi reliée à les mathématiques discrètes , et compte parmi les composantes importantes de la programmation granulaire . Dans le contexte , la discrétisation peut renvoyer à la modification de la granularité , quand plusieurs variables discrètes sont réunies ou de les catégories discrètes fusionnées . Discrétiser de les données continues engendre systématiquement une \ . Un de les objectifs est donc de concevoir un modèle discret qui minimise à le mieux cette erreur . Il ne faut pas confondre discrétisation et quantification . On compte également la et le bloqueur d' ordreparmi les méthodes de discrétisation . Discrétisation de modèles d' état linéaires La discrétisation apparait dans la transformation d' équations différentielles continues en équations à les différence discrètes . On considère le modèle d' état en espace , continu en temps \ : où et sont de les sources de bruit blanc avec une densité spectrale de puissance peuvent être discrétisées , en supposant que le signal est un bloqueur d' ordreet une intégration continue pour le bruit , donnant avec de les covariances où si est régulière et est le temps d' échantillonnage , et est la transposée de \ . Une astuce pour calculer et en une étape consiste à utiliser la propriété et donc Discrétisation de bruits L' évaluation numérique de est rendue plus délicate avec l' intégrale d' une exponentielle de matrice . On peut la calculer en deux temps , d' abord la construction de la matrice , puis le calcul de son exponentielle Le bruit discrétisé est ensuite évalué en multipliant la transposée de le bloc en bas à droite de avec celui en haut à droite \ : Dérivation En partant de le modèle continu on sait que l' exponentielle de matrice est et en multipliant à gauche le modèle \ : on reconnait L' intégration donne ainsi ce qui est une solution analytique de le modèle continu . On veut désormais discrétiser cette expression . On suppose constante sur chaque pas de temps . On reconnait l' expression entre crochets dans le premier terme comme , et le second terme peut être simplifié en faisant la substitution , ce qui permet \ . On suppose aussi que est constante dans l' intégrale , ce qui donne \ : qui est une solution exacte de le problème de discrétisation . Approximations Une discrétisation exacte peut parfois être impossible à cause d' une exponentielle de matrice lourde et de les étapes d' intégrations . Il devient alors plus simple de calculer un modèle discret approché , basé sur de petits pas de temps de sorte qu' on ait \ . La solution approchée devient alors \ : D' autres approximations possibles sont et \ . Chacun a de les propriétés de stabilité différentes . On peut également mentionner la transformation bilinéaire , ou transformation de Tustin , qui préserve les propriétés de stabilité de le système continu en temps . Discrétisation d' équations différentielles La résolution numérique d' une équation différentielle ( ordinaire ou à les dérivées partielles ) nécessite une discrétisation de le domaine de définition de la solution ( espace ou temps , voire les deux ) . Ainsi , d' une fonction définie sur un domaine et un intervalle de temps , on ne calculera que de les valeurs , où les sont de les points de et de les instants de \ . Pour cela , les opérateurs différentiels sont également approchés par de les versions discrètes , comme la dérivée seconde discrète \ : La méthode de résolution ( différences finies , éléments finis ou volumes finis , pour citer les plus courantes ) permet de construire un problème discret dont la solution est une approximation de la solution de le problème continu . L' erreur commise a deux sources \ : l' erreur de projection \ : en passant d' un espace continu à un espace discret , l' espace dans lequel la solution existante est changée ; l' erreur d' interpolation \ : le choix de le schéma numérique et la définition de la grille espace-temps choisie pour la résolution va influer sur la qualité de l' approximation . Discrétisation de caractéristiques continues En statistique et apprentissage machine , la discrétisation renvoie à la conversion de variables ou caractéristiques continues en variables ou caractéristiques discrètes nominales . Ce procédé est utile pour créer de les fonctions de densité de probabilités . Références Voir aussi Articles connexes Espace discret Algèbre temporelle Simulation à événements discrets Simulation stochastique Méthode de les volumes finis pour de les flux instables Temps discret et temps continu Liens externes Analyse numérique Analyse fonctionnelle Analyse numérique matricielle hr:Diskretizacija it:Discretizzazione