Suite de Recamán
La suite de Recamán, nommée d'après le mathématicien colombien , est une suite d'entiers naturels.

Définition 
La suite est définie par la récurrence suivante :
 
 pour tout entier 
 si  et si  n'apparaît pas déjà dans la suite, alors 
 sinon, .

Les premiers termes de la suite sont  ().

La suite complète commence par deux 0 au lieu d'un. En effet, par différence, on obtient 0, 1, 2, 3, -4, 5, ... . Mais, si c'est validé, cela demande de changer tout ce qui en découle, c'est-à-dire, aujourd'hui 15 mai 2023, 213 suites.

La suite qui résulte de A161680(n)  - (0, A005132(n)) = 0, 0, 0, 0, 0, 8, 8, 8, 8, 24, 24, ... = b(n) est multiple de 2.

On considère la suite (0, A005132) à laquelle on ajoute indéfiniment (0, A160356). On obtient le tableau carré

0,  0,  1,   3,    6,   2,   7, 13, ...

0,  1,  3,   6,    2,   7, 13, 20, ...

0,  2,  5,   9,   -2, 12, 19, 27, ...

0,  3,  7, 12,   -6, 17, 25, 34, ...

0,  4,  9, 15, -10, 22, 31, 41, ...

0,  5, 11, 18, -14, 27, 37, 48, ...

0,  6, 13, 21, -18, 32, 43, 55, ...

0,  7, 15, 24, -22, 37, 49, 62, ... 

...

La somme des termes antidiagonaux est 0, 0, 2, 8, 20, 24, 38, ... = (0, 2*A065056).

Inversement, on obtient

0,  0,   1,    3,   6,    2,    7,   13, ...

0, -1,  -1,   0, 10,   -3,    1,     6, ...

0, -2,  -3,  -3, 14,   -8,   -5,   -1, ...

0, -3,  -5,  -6, 18, -13,  -11,   -8, ...

0, -4,  -7,  -9,  22, -18, -17, -15, ...

0, -5,  -9, -12, 26, -23, -23, -22, ...

0, -7, -11, -15, 30, -28, -29, -29, ...

0, -8, -13, -18, 34, -33, -35, -36, ...

...

La somme des termes antidiagonaux est 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ... = A000004.

Précisément: 0, 0+0, 1-1, 3-3, 6-6, 12-12, 21-21, 32-32, 48-48, 66-66, 90-90, 120-120, ... . Les termes nuls ou positifs forment une suite inconnue.

Maintenant, on part de (0, -A005132). Les lignes suivantes s'obtiennent par addition de (0, 2*A160356).

0,  0,  -1,  -3,  -6,  -2, -7, -13, ...

0,  2,   3,   3, -14,   8,  5,    1, ...

0,  4,   7,   9, -22, 18, 17, 15, ...

0,  6,  11, 15, -30, 28, 29, 29, ...

0,  8,  15, 21, -38, 38, 41, 43, ...

0, 10, 19, 27, -46, 48, 53, 57, ...

0, 12, 23, 33, -54, 58, 65, 71, ...

0, 14, 27, 39, -62, 68, 77, 85, ...

...

La somme des termes antidiagonaux est (0, A065056).

Inversement

0,    0,  -1,   -3,   -6,   -2,   -7,  -13, ...

0,   -2,  -5,   -9,    2, -12, -19,  -27, ...

0,   -4,  -9, -15,  10, -22, -31,  -41, ...

0,   -6, -13, -21, 18, -32, -43,  -55, ...

0,   -8, -17, -27, 26, -42, -55,  -69, ...

0, -10, -21, -33, 34, -52, -67,  -83, ...

0, -12, -25, -39, 42, -62, -79 , -97, ...

0, -14, -29, -45, 50, -72, -91, -111, ...

...

La somme des termes antidiagonaux est (0, -3*A065056).

Calcul des termes successifs 
On « soustrait si l'on peut et on additionne si l'on doit ».
 
  car  ()
  car  ()
  car  ( figure déjà dans la suite)
  car  ( et  ne figure pas encore dans la suite)
  car  ()
 etc.
 Autosuite (en anglais autosequence) de première espèce correspondante:
 0,     0,    0,    1,   2,   6,  13, 29, 60, ...
 0,     0,    1,    1,   4,   7,  16, 31, 54, ...
 0,     1,    0,    3,   3,   9,  15, 23, 33, ...
 1,    -1,    3,    0,   6,   6,    8, 10, 19, ...
 -2,     4,   -3,    6,   0,   2,    2,   9, 16, ...
 6,    -7,    9,   -6,   2,   0,    7,   7, 20, ...
 -13,   16, -15,    8,  -2,   7,    0, 13, 13, ...
 29, -31,  23, -10,   9,  -7,  13,   0, 20, ...
 -60,   54, -33,  19,-16, 20, -13, 20,   0, ...
La diagonale principale est A000004. Les deux diagonales suivantes sont A005132.

La première colonne est la première ligne à signes alternés.

Surjectivité 
Neil Sloane déclare en 1991 suspecter que la suite est surjective, c'est-à-dire que tout nombre entier naturel y figure. En 2017, il indique en être moins sûr. Une recherche par ordinateur permet d'affirmer que le plus petit entier manquant dans les  premiers termes est .

La suite n'est pas injective, puisque certains nombres y figurent plusieurs fois. Le premier nombre à figurer deux fois est  en  et .

Notes et références

Bibliographie 
 .

Liens externes 
 

Recaman
Conjecture non résolue
La suite de Recamán , nommée d' après le mathématicien colombien , est une suite d' entiers naturels . Définition La suite est définie par la récurrence suivante \ : pour tout entier si et si n' apparaît pas déjà dans la suite , alors sinon , \ . Les premiers termes de la suite sont ( ) . La suite complète commence par deuxau lieu d' un . En effet , par différence , on obtient \ ... \ . Mais , si c' est validé , cela demande de changer tout ce qui en découle , c'est-à-dire , aujourd'huimaisuites . La suite qui résulte de A161680 ( n ) - A005132 ( n ) ) = \ ... = b( n ) est multiple de On considère la suite A005132 ) à laquelle on ajoute indéfiniment A160356 ) . On obtient le tableau carré 0 , \ ... 0 , \ ... 0 , \ ... 0 , \ ... 0 , \ ... 0 , \ ... 0 , \ ... 0 , \ ... ... La somme de les termes antidiagonaux est \ ... = A065056 ) . Inversement , on obtient 0 , \ ... 0 , \ ... 0 , \ ... 0 , \ ... 0 , \ ... 0 , \ ... 0 , \ ... 0 , \ ... ... La somme de les termes antidiagonaux est \ ... = A000004 . Précisément:0 , \ ... \ . Les termes nuls ou positifs forment une suite inconnue . Maintenant , on part de -A005132 ) . Les lignes suivantes s' obtiennent par addition deA160356 ) . 0 , \ ... 0 , \ ... 0 , \ ... 0 , \ ... 0 , \ ... 0 , \ ... 0 , \ ... 0 , \ ... ... La somme de les termes antidiagonaux est A065056 ) . Inversement 0 , \ ... 0 , \ ... 0 , \ ... 0 , \ ... 0 , \ ... 0 , \ ... 0 , , \ ... 0 , \ ... ... La somme de les termes antidiagonaux estA065056 ) . Calcul de les termes successifs On « soustrait si l' on peut et on additionne si l' on doit » . car ( ) car ( ) car ( figure déjà dans la suite ) car ( et ne figure pas encore dans la suite ) car ( ) etc. Autosuite ( en anglais autosequence ) de première espèce correspondante : \ ... \ ... \ ... \ ... \ ... \ ... \ ... \ ... - 16 , \ ... La diagonale principale est A000004 . Les deux diagonales suivantes sont A005132 . La première colonne est la première ligne à signes alternés . Surjectivité Neil Sloane déclare ensuspecter que la suite est surjective , c'est-à-dire que tout nombre entier naturel y figure . En il indique en être moins sûr . Une recherche par ordinateur permet d' affirmer que le plus petit entier manquant dans les premiers termes est \ . La suite n' est pas injective , puisque certains nombres y figurent plusieurs fois . Le premier nombre à figurer deux fois est en et \ . Notes et références Bibliographie \ . Liens externes Recaman Conjecture non résolue