Polynôme de Touchard
Les polynômes de Touchard, étudié par Jacques Touchard, aussi appelés  polynômes exponentiels ou polynômes de Bell, constituent une suite de polynômes de type polynomial définie par

,

où est le nombre de Stirling de seconde espèce qui compte le nombre de partitions d'un ensemble de  éléments en  sous-ensembles non vides disjoints.

Propriétés 

La valeur en 1 du -ième polynôme de Touchard est le -ième nombre de Bell, c'est-à-dire le nombre de partitions d'un ensemble de taille  :
.

Les polynômes de Touchard vérifient
.

La suite de polynômes est de type binomial, et satisfait les identités 
.

Les polynômes de Touchard sont la seule suite polynomiale de type binomial dont le coefficient du terme de degré 1 est égal à 1 dans chaque polynôme. 

Les polynômes de Touchard vérifient une formule de Rodrigues :

Les polynômes de Touchard vérifient les relations de récurrence :
 et .
Pour , elle se réduit à la formule de récurrence pour les nombres de Bell.

Avec la notation  empruntée au calcul ombral, ces formules deviennent :
 et 

La série génératrice des polynômes de Touchard est :
,
ce qui correspond à la série génératrice des nombres de Stirling de seconde espèce.

Les polynômes de Touchard admettent une représentation par intégrale de contour :
.

Zéros 

Les zéros des polynômes de Touchard sont réels négatifs. Le plus petit zéro est minoré, en valeur absolue, par : 

et il est conjecturé que le plus petit zéro croît linéairement avec l'index n.

On peut encadrer la mesure de Mahler  des polynômes de Touchard comme suit :

où  et  sont les plus petits indices k qui maximisent respectivement  et .

Généralisations 
 Les polynômes de Bell complets  peuvent être vus comme une généralisation multivariée des polynômes de Touchard , puisque 
.
 Les polynômes de Touchard (et par conséquent aussi les nombres de Bell) peuvent être généralisés à des indices fractionnaires en utilisant la partie réelle de l’intégrale donnée plus haut :
.

Références

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Les polynômes de Touchard , étudié par Jacques Touchard , aussi appelés polynômes exponentiels ou polynômes de Bell , constituent une suite de polynômes de type polynomial définie par où est le nombre de Stirling de seconde espèce qui compte le nombre de partitions d' un ensemble de éléments en sous-ensembles non vides disjoints . Propriétés La valeur endu - ième polynôme de Touchard est le - ième nombre de Bell , c'est-à-dire le nombre de partitions d' un ensemble de taille \ : . Les polynômes de Touchard vérifient . La suite de polynômes est de type binomial , et satisfait les identités . Les polynômes de Touchard sont la seule suite polynomiale de type binomial dont le coefficient de le terme de degréest égal àdans chaque polynôme . Les polynômes de Touchard vérifient une formule de Rodrigues \ : Les polynômes de Touchard vérifient les relations de récurrence \ : et \ . Pour , elle se réduit à la formule de récurrence pour les nombres de Bell . Avec la notation empruntée à le calcul ombral , ces formules deviennent \ : et La série génératrice de les polynômes de Touchard est \ : ce qui correspond à la série génératrice de les nombres de Stirling de seconde espèce . Les polynômes de Touchard admettent une représentation par intégrale de contour \ : . Zéros Les zéros de les polynômes de Touchard sont réels négatifs . Le plus petit zéro est minoré , en valeur absolue , par \ : et il est conjecturé que le plus petit zéro croît linéairement avec l' index n . On peut encadrer la mesure de Mahler de les polynômes de Touchard comme suit \ : où et sont les plus petits indices k qui maximisent respectivement et \ . Généralisations Les polynômes de Bell complets peuvent être vus comme une généralisation multivariée de les polynômes de Touchard , puisque . Les polynômes de Touchard ( et par conséquent aussi les nombres de Bell ) peuvent être généralisés à de les indices fractionnaires en utilisant la partie réelle de l’ intégrale donnée plus haut \ : . Références Articles liés Polynôme de Bell mesure de Mahler Formule de Rodrigues Polynôme Combinatoire Polynôme remarquable