Теорема Гарді
Теорема Гарді — твердження в аналізі про властивості голоморфних та субгармонічних функцій. Названа на честь англійського математика Ґодфрі Гарольда Гарді, який довів твердження для модулів голоморфних функцій у 1915 році. Теорема є відправною точкою для означення і дослідження просторів Гарді.

Твердження 
Нехай функція  є субгармонічною в крузі  (функцію можна інтерпретувати, як функцію двох дійсних змінних або комплексної змінної). Тоді функція 

 

не спадає при  і є опуклою, як функція .

Нехай функція  є голоморфною в крузі . Тоді для  функція 

не спадає при  і є опуклою, як функція . Крім того, якщо  не є константою, то  є строго зростаючою.

Доведення

Випадок субгармонічних функцій 
Доведення подано для випадку неперервних субгармонічних функцій.

Нехай  Позначимо  — розв'язок задачі Діріхле на  що задовольняє граничну умову  Цей розв'язок завжди існує і є єдиним, функція  є гармонічною у  З означення субгармонічних функцій випливає, що  

З властивостей гармонічних функцій 

 

Тому:

 

Для доведення опуклості нехай  і нехай  — розв'язок задачі Діріхле на  що задовольняє граничні умови  і  Цей розв'язок завжди існує і є єдиним, функція  є гармонічною у 

З властивостей субгармонічних функцій випливає, що  і тому 

 

Якщо тепер взяти похідну по r із правої сторони останньої нерівності, то:

У попередніх рівностях останній інтеграл є криволінійним інтегралом I роду,  — похідна у напрямку нормалі до кола, а  позначає коло радіуса r.

Для гармонічних функцій у кільці для всіх  вираз  є константою. Тому із попереднього  і до того ж у точках  виконується рівність. Тому  є опуклою функцією від

Випадок голоморфних функцій 
Для випадку  твердження для функції  випливає із принципу максимуму модуля і теореми Адамара про три кола.

Для голоморфної функції  функція  є субгармонічною функцією. Тому  є неспадною функцією. 

Якщо додатково  не є константою, то при тих же позначеннях, що і вище, якщо  — розв'язок задачі Діріхле на  що задовольняє граничну умову  то виконується строга нерівність  

Справді, якщо  то  бо інакше з принципу максимуму для гармонічних функцій  а тому і  всюди були б рівними нулю. Якщо  то існує круг  в усіх точках якого функція не є рівною нулю. Оскільки  є голоморфною в  і не є константою (що є наслідком теореми про рівність), то аргумент  не є константою. Нехай точки  такі значення аргумента в яких є різними. Тоді  для деякого 

Оскільки  є гармонічною і голоморфною функціями в околі  то за властивостями про середнє:

 
 

Тому : Тож для доведення  достатньо довести, що перша нерівність є строгою.

Для цього достатньо знайти підмножину  для якої  Для цього для вказаних вище точок  можна знайти околи  з однаковою площею  Тоді  і  де  комплексні числа які можна зробити як завгодно малими зменшивши  

Подібно  і  де  дійсні числа які можна зробити як завгодно малими зменшивши 

Тоді маємо 

 

Звідси випливає, що для достатньо малих околів  останній вираз прямує до  і тому для деяких околів є меншим одиниці.
Якщо позначити  то звідси випливає  і зрештою 

Тоді у доведенні, як у випадку субгармонічних функцій зважаючи на строгу нерівність також будемо мати  

Для довільного p нерівність між   і відповідною гармонічною функцією теж має місце. Для  доведення аналогічне попередньому в іншому випадку локально  є модулем однозначної голоморфної функції  і можна використати попереднє доведення. Далі аналогічно  

Опуклість прямо випливає із твердження для субгармонічних функцій.

Узагальнення 

 Функція насправді є навіть логарифмічно опуклою.
 Теорему для субгармонічних функцій можна узагальнити на випадок вищих розмірностей:
 Нехай функція  є субгармонічною в кулі .  Введемо функцію
  де і інтеграл береться по цій сфері, а  — площа поверхні цієї сфери. 
Тоді функція не спадає при  і є опуклою, як функція  для і як функція  для .

Примітки

Див. також 

 Гармонічна функція
 Голоморфна функція
 Принцип максимуму модуля
 Субгармонічна функція
 Теорема Адамара про три кола

Посилання 

 Hardy's theorem на PlanetMath.org.

Література 

 Πρивалов И. И., Субгармонические функции, М.—Л., 1937;
 

Гарді
Теорема Гарді — твердження в аналізі про властивості голоморфних та субгармонічних функцій . Названа на честь англійського математика Ґодфрі Гарольда Гарді , який довів твердження для модулів голоморфних функцій уроці . Теорема є відправною точкою для означення і дослідження просторів Гарді . Твердження Нехай функція є субгармонічною в крузі ( функцію можна інтерпретувати , як функцію двох дійсних змінних або комплексної змінної ) . Тоді функція не спадає при і є опуклою , як функція \ . Нехай функція є голоморфною в крузі \ . Тоді для функція не спадає при і є опуклою , як функція \ . Крім того , якщо не є константою , то є строго зростаючою . Доведення Випадок субгармонічних функцій Доведення подано для випадку неперервних субгармонічних функцій . Нехай Позначимо — розв'язок задачі Діріхле на що задовольняє граничну умову Цей розв'язок завжди існує і є єдиним , функція є гармонічною у З означення субгармонічних функцій випливає , що З властивостей гармонічних функцій Тому : Для доведення опуклості нехай і нехай — розв'язок задачі Діріхле на що задовольняє граничні умови і Цей розв'язок завжди існує і є єдиним , функція є гармонічною у З властивостей субгармонічних функцій випливає , що і тому Якщо тепер взяти похідну по r із правої сторони останньої нерівності , то : У попередніх рівностях останній інтеграл є криволінійним інтегралом I роду , — похідна у напрямку нормалі до кола , а позначає коло радіуса r . Для гармонічних функцій у кільці для всіх вираз є константою . Тому із попереднього і до того ж у точках виконується рівність . Тому є опуклою функцією від Випадок голоморфних функцій Для випадку твердження для функції випливає із принципу максимуму модуля і теореми Адамара про три кола . Для голоморфної функції функція є субгармонічною функцією . Тому є неспадною функцією . Якщо додатково не є константою , то при тих же позначеннях , що і вище , якщо — розв'язок задачі Діріхле на що задовольняє граничну умову то виконується строга нерівність Справді , якщо то бо інакше з принципу максимуму для гармонічних функцій а тому і всюди були б рівними нулю . Якщо то існує круг в усіх точках якого функція не є рівною нулю . Оскільки є голоморфною в і не є константою ( що є наслідком теореми про рівність ) , то аргумент не є константою . Нехай точки такі значення аргумента в яких є різними . Тоді для деякого Оскільки є гармонічною і голоморфною функціями в околі то за властивостями про середнє : Тому \ : Тож для доведення достатньо довести , що перша нерівність є строгою . Для цього достатньо знайти підмножину для якої Для цього для вказаних вище точок можна знайти околи з однаковою площею Тоді і де комплексні числа які можна зробити як завгодно малими зменшивши Подібно і де дійсні числа які можна зробити як завгодно малими зменшивши Тоді маємо Звідси випливає , що для достатньо малих околів останній вираз прямує до і тому для деяких околів є меншим одиниці . Якщо позначити то звідси випливає і зрештою Тоді у доведенні , як у випадку субгармонічних функцій зважаючи на строгу нерівність також будемо мати Для довільного p нерівність між і відповідною гармонічною функцією теж має місце . Для доведення аналогічне попередньому в іншому випадку локально є модулем однозначної голоморфної функції і можна використати попереднє доведення . Далі аналогічно Опуклість прямо випливає із твердження для субгармонічних функцій . Узагальнення Функція насправді є навіть логарифмічно опуклою . Теорему для субгармонічних функцій можна узагальнити на випадок вищих розмірностей : Нехай функція є субгармонічною в кулі \ . Введемо функцію де і інтеграл береться по цій сфері , а — площа поверхні цієї сфери . Тоді функція не спадає при і є опуклою , як функція для і як функція для \ . Примітки Див . також Гармонічна функція Голоморфна функція Принцип максимуму модуля Субгармонічна функція Теорема Адамара про три кола Посилання Hardy's theorem на PlanetMath.org . Література Πρивалов И . И . , Субгармонические функции , М . — Л . , Гарді