Теорема про рівність голоморфних функцій
В комплексному аналізі, теорема про рівність для голоморфних функцій стверджує, що для функцій f і g, що є голоморфними в області D (відкритій, зв'язаній підмножині), якщо f = g на деякій підмножині , що має граничну точку в в області, то f = g в усій області D.

Таким чином, голоморфна функція повністю визначається її значеннями на (можливо, досить малому) околі в D. Ця властивість суттєво відрізняє голоморфні функції від дійсних диференційовних. 

Поняття зв'язності на області D є необхідним. Наприклад, якщо D складається з двох відкритих множин із пустим перетином то  може бути  на одній відкритій множині і  на іншій, тоді як  може бути  на одній і  на іншій.

Доведення

Лема 

Якщо дві голоморфні функції f і g в області D є рівними на множині T, яка має граничну точку c у D, то f = g на деякому крузі в  з центром у точці .

Доведення леми 
Щоб довести це, досить показати, що  для всіх .

Якщо це не так, нехай m буде найменшим невід'ємним цілим числом з . Зважаючи на голоморфність в деякому відкритому крузі U з центром у точці c:

 

Враховуючи неперервність, h не є рівною нулю у деякому відкритому крузі B з центром у точці c. Але тоді f − g ≠ 0 на проколотому крузі B − {c}. Це суперечить припущенню, що c є граничною точкою множини {f = g}.

Ця лема показує, що для комплексного числа a прообраз f−1(a) є дискретною (і, отже, зліченною) множиною, за винятком якщо f = a.

Доведення теореми 

Введемо множину, на якій  та  мають однаковий розклад у ряд Тейлора:

 

Достатньо показати, що множина  є непорожньою, відкритою та замкнутою. Тоді через зв'язність ,  має бути рівною , що означає  на .

За лемою  в деякому крузі з центром , розташованому в  , тому вони мають той же ряд Тейлора в , звідки  і  є непорожньою.

Оскільки  і  є голоморфними на , , ряди Тейлора для  і  в околі   мають ненульові радіуси збіжності. Тому на деякому відкритому крузі  ці функції рівні, а тому рівні і їх розклади у ряд Тейлора в усіх цих точках, тож усі точки у  також належать S. Тому S є відкритою множиною.

Із голоморфності  і  випливає, що вони мають голоморфні похідні, тому всі  є неперервними. Це означає, що  є замкнутою для всіх . Оскільки  є перетином замкнутих множин, то вона теж є замкнутою множиною.

Випадок функцій багатьох змінних 
Для функцій кількох комплексних змінних еквівалентне твердження є невірним. Наприклад функції  і  є рівними на множині  або , проте вони не є рівними на .

Твердження теореми у цьому випадку є таким: якщо для функцій f і g, що є голоморфними у області D,  f = g на деякій відкритій підмножині , то f = g в усій області D.

Доведення у цьому випадку буде фактично аналогічним до попереднього. Можна ввести множину  точок, в яких всі часткові похідні функцій є рівними (і відповідно розклади в ряд Тейлора є однаковими). За умовою ця множина є непуста, оскільки . Також, якщо дві голоморфні функції мають однаковий розклад у ряд Тейлора в деякій точці, то вони є рівними в деякому околі цієї точки. Тож разом із кожною точкою множині  належить і деякий її окіл, тож  є відкритою множиною.

Еквівалентно до попереднього також  є перетином замкнутих множин, на яких часткові похідні є рівними. Отже  є також замкнутою множиною. Оскільки D є зв'язною, то f = g в усій області D.

Література 

 

Комплексний аналіз
В комплексному аналізі , теорема про рівність для голоморфних функцій стверджує , що для функцій f і g , що є голоморфними в області D ( відкритій , зв'язаній підмножині ) , якщо f = g на деякій підмножині , що має граничну точку в в області , то f = g в усій області D . Таким чином , голоморфна функція повністю визначається її значеннями на ( можливо , досить малому ) околі в D . Ця властивість суттєво відрізняє голоморфні функції від дійсних диференційовних . Поняття зв'язності на області D є необхідним . Наприклад , якщо D складається з двох відкритих множин із пустим перетином то може бути на одній відкритій множині і на іншій , тоді як може бути на одній і на іншій . Доведення Лема Якщо дві голоморфні функції f і g в області D є рівними на множині T , яка має граничну точку c у D , то f = g на деякому крузі в з центром у точці \ . Доведення леми Щоб довести це , досить показати , що для всіх \ . Якщо це не так , нехай m буде найменшим невід'ємним цілим числом з \. Зважаючи на голоморфність в деякому відкритому крузі U з центром у точці c : Враховуючи неперервність , h не є рівною нулю у деякому відкритому крузі B з центром у точці c . Але тоді f − g ≠ 0 на проколотому крузі B − { c } . Це суперечить припущенню , що c є граничною точкою множини { f = g } . Ця лема показує , що для комплексного числа a прообраз f − 1 ( a ) є дискретною ( і , отже , зліченною ) множиною , за винятком якщо f = a . Доведення теореми Введемо множину , на якій та мають однаковий розклад у ряд Тейлора : Достатньо показати , що множина є непорожньою , відкритою та замкнутою . Тоді через зв'язність , має бути рівною , що означає на \ . За лемою в деякому крузі з центром , розташованому в , тому вони мають той же ряд Тейлора в , звідки і є непорожньою . Оскільки і є голоморфними на , , ряди Тейлора для і в околі мають ненульові радіуси збіжності . Тому на деякому відкритому крузі ці функції рівні , а тому рівні і їх розклади у ряд Тейлора в усіх цих точках , тож усі точки у також належать S . Тому S є відкритою множиною . Із голоморфності і випливає , що вони мають голоморфні похідні , тому всі є неперервними . Це означає , що є замкнутою для всіх \ . Оскільки є перетином замкнутих множин , то вона теж є замкнутою множиною . Випадок функцій багатьох змінних Для функцій кількох комплексних змінних еквівалентне твердження є невірним . Наприклад функції і є рівними на множині або , проте вони не є рівними на \ . Твердження теореми у цьому випадку є таким : якщо для функцій f і g , що є голоморфними у області D , f = g на деякій відкритій підмножині , то f = g в усій області D . Доведення у цьому випадку буде фактично аналогічним до попереднього . Можна ввести множину точок , в яких всі часткові похідні функцій є рівними ( і відповідно розклади в ряд Тейлора є однаковими ) . За умовою ця множина є непуста , оскільки \ . Також , якщо дві голоморфні функції мають однаковий розклад у ряд Тейлора в деякій точці , то вони є рівними в деякому околі цієї точки . Тож разом із кожною точкою множині належить і деякий її окіл , тож є відкритою множиною . Еквівалентно до попереднього також є перетином замкнутих множин , на яких часткові похідні є рівними . Отже є також замкнутою множиною . Оскільки D є зв'язною , то f = g в усій області D . Література Комплексний аналіз