Функтор Hom
В теорії категорій множини Hom (тобто множини морфізмів між двома об'єктами локально малої категорії) дозволяють визначити важливі функтори в категорію множин. Ці функтори називаються функторами Hom і мають численні застосування в теорії категорій та інших галузях математики.

Означення 
Нехай C — локально мала категорія. Тоді для будь-яких її об'єктів A, B визначено такі два функтора:

Функтор Hom(-,B) також називають функтором точок об'єкта B.

Функтори Hom(A,–) і Hom(–,B) пов'язані між собою у натуральний спосіб. Для будь-якої пари морфізмів f : B → B′ і h : A′ → A діаграма нижче комутує:

В обох випадках g : A → B переводиться у f ∘ g ∘ h.

Також можна визначити біфунктор Hom(-, -) з C×C в Set, контраваріантний по першому аргументу і коваріантний по другому або, еквівалентно, функтор

 Hom (-, -): Cop × C → Set

де Cop — двоїста категорія до C.

Внутрішній функтор Hom 
У деяких категоріях можна ввести функтор, який схожий з функтором Hom, але значення якого лежать в самій категорії. Такий функтор називають внутрішнім функтором Hom і позначають

 

Категорії, що допускають внутрішній Hom-функтор, називаються замкнутими категоріями. Функтор  в таких категоріях переводить внутрішній функтор Hom у зовнішній. Точніше,

 

де  позначає натуральний ізоморфізм, натуральний за обома «аргументами». Оскільки в замкнутій категорії  (тут I — одиниця замкнутої категорії), це можна переписати як

 

У випадку замкнутої моноїдальної категорії це означення можна розширити до так званого каррінгу, тобто ізоморфізму

 

де  це .

Пов'язані означення 

 Функтор виду Hom (-, C): Cop → Set є передпучком; відповідно, Hom(C, -) можна називати копередпучком.
 Функтор F: C → Set, який є натурально ізоморфним Hom (X, -) для деякого об'єкта C називається зображуваним функтором.
 Hom (-, -): Cop×C → Set є профунктором, а саме тотожним профунктором .
 Внутрішній функтор hom зберігає границі; а саме,  переводить границі в границі, а  — границі в кограниці. У певному сенсі, це можна вважати визначенням границі або кограниці.
 Функтор Hom — приклад точного зліва функтора.

Див. також 

 Лема Йонеди

Література 

 Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. Москва: Мир, 1972. 259 с.
 Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — Москва: Наука, 1974.
 

Теорія категорій
В теорії категорій множини Hom ( тобто множини морфізмів між двома об'єктами локально малої категорії ) дозволяють визначити важливі функтори в категорію множин . Ці функтори називаються функторами Hom і мають численні застосування в теорії категорій та інших галузях математики . Означення Нехай C — локально мала категорія . Тоді для будь-яких її об'єктів A , B визначено такі два функтора : Функтор Hom ( - , B ) також називають функтором точок об'єкта B . Функтори Hom ( A , – ) і Hom ( – , B ) пов'язані між собою у натуральний спосіб . Для будь-якої пари морфізмів f \ : B → B ′ і h \ : A ′ → A діаграма нижче комутує : В обох випадках g \ : A → B переводиться у f ∘ g ∘ h . Також можна визначити біфунктор Hom ( - , - ) з C × C в Set , контраваріантний по першому аргументу і коваріантний по другому або , еквівалентно , функтор Hom ( - , -) : Cop × C → Set де Cop — двоїста категорія до C . Внутрішній функтор Hom У деяких категоріях можна ввести функтор , який схожий з функтором Hom , але значення якого лежать в самій категорії . Такий функтор називають внутрішнім функтором Hom і позначають Категорії , що допускають внутрішній Hom -функтор , називаються замкнутими категоріями . Функтор в таких категоріях переводить внутрішній функтор Hom у зовнішній . Точніше , де позначає натуральний ізоморфізм , натуральний за обома « аргументами » . Оскільки в замкнутій категорії ( тут I — одиниця замкнутої категорії ) , це можна переписати як У випадку замкнутої моноїдальної категорії це означення можна розширити до так званого каррінгу , тобто ізоморфізму де це \ . Пов'язані означення Функтор виду Hom ( - , C) : Cop → Set є передпучком ; відповідно , Hom ( C , - ) можна називати копередпучком . Функтор F : C → Set , який є натурально ізоморфним Hom ( X , - ) для деякого об'єкта C називається зображуваним функтором . Hom ( - , -) : Cop × C → Set є профунктором , а саме тотожним профунктором \ . Внутрішній функтор hom зберігає границі ; а саме , переводить границі в границі , а — границі в кограниці . У певному сенсі , це можна вважати визначенням границі або кограниці . Функтор Hom — приклад точного зліва функтора . Див . також Лема Йонеди Література Букур И . , Деляну А . Введение в теорию категорий и функторов . Москва : Мир , с . Цаленко М . С . , Шульгейфер Е . Г . Основы теории категорий . — Москва : Наука , Теорія категорій