Подільна група
Подільна група — група , така що для будь-яких  і  рівняння

 

має розв'язок. Часто група вважається абелевою, а умова записується в адитивній нотації як .

Група  називається -подільною ( — просте число), якщо для будь-якого   рівняння має розв'язок в .

Приклади 

 Група  всіх раціональних чисел і всі її факторгрупи, зокрема 
 Будь-які циклічні і загалом скінченнопороджені абелеві групи не є подільними.
 Стандартні групи  є подільними.
 -примарна квазіциклічна група , тобто група, породжена зліченним набором елементів , які задовольняють умову

  Еквівалентно цю групу можна описати як 

 Мультиплікативна група комплексних чисел 
 Прикладами некомутативних подільних груп є унітарні групи U(n). Кожна матриця із такої групи є діагоналізовною за допомогою унітарної матриці. Тоді якщо в усіх діагональних елементах взяти корінь довільного цілого степеня одержується унітарна матриця, що є коренем відповідного рівняння. Подібним чином подільними також є спеціальні унітарні групи SU(n) оскільки корені на діагоналі можна завжди обрати так щоб їх добуток був рівним 1.
 Мультиплікативна група кватерніонів   теж є некомутативною подільною групою. Зокрема одиничні кватерніони ізоморфні групі:

 
 Ізоморфізм здійснюється за допомогою:
 
 Тому результат для кватерніонів є частковим випадком попереднього прикладу.

Властивості подільних груп 

 Гомоморфні образи і факторгрупи подільної групи є подільними групами.

 Якщо  є гомоморфізмом груп то для елемента  елемент  є розв'язком рівняння  де b є розв'язком рівняння  (він існує, оскільки G є подільною).

 Абелева група G є подільною тоді і тільки тоді, коли вона є ін'єктивним об'єктом у категорії абелевих груп, тобто ін'єктивним - модулем. З означення ін'єктивного модуля в термінах теорії груп це означає, що G є подільною тоді і тільки тоді, якщо для довільних абелевих груп  і гомоморфізму  існує гомоморфізм  такий що 

 Якщо G не є подільною то існують  що рівняння  не має розв'язку. Нехай тепер  Якщо задати гомоморфізм з U в G, для якого образом n є g, то для будь-якого продовження цього гомоморфізму на H образом 1 має бути елемент, що є розв'язком рівняння  Оскільки такого елемента не існує, то і не існує відповідного продовження гомоморфізму і G не є ін'єктивним об'єктом.
 Нехай тепер G є подільною. Розглянемо множину  всіх підгруп у H, що містять U і для яких існує гомоморфізм що продовжує гомоморфізм  Ця множина непуста оскільки їй належить U. Будь-яка лінійно впорядкована підмножина e  має верхню межу, що рівна об'єднанню підгруп. Тоді згідно леми Цорна у  існує максимальний елемент H' із гомоморфізмом  що продовжує . Припустимо, що H' є власною підгрупою у H і   Якщо  то  можна продовжити на Якщо  взявши довільний образ для h. Якщо ж  містить елемент nh де n — найменше з таких додатних чисел, то за образ h можна взяти розв'язок рівняння  В обох випадках існує продовження на більшу підгрупу, що суперечить максимальності. Отже H = H і продовження існує на всю групу H. Тобто G є ін'єктивним об'єктом.
 Зауваження. Умова комутативності в даному випадку є важливою. Єдиним ін'єктивним об'єктом категорії груп є одинична група.

 Абелева група є подільною тоді і тільки тоді, коли вона є -подільною при кожному простому .
 Будь-яка пряма сума подільних абелевих груп є подільною групою.
 Кожна подільна підгрупа є прямим доданком групи.
 Кожна абелева група є ізоморфною підгрупі подільної абелевої групи.

 Група  є підгрупою подільної групи  а тому пряма сума  є підгрупою  що є подільною групою, як пряма сума подільних груп. Оскільки будь-яка абелева група є факторгрупою деякої  то вона є підгрупою деякої факторгрупи  що є подільною, як факторгрупа подільної групи.

 Для кожної абелевої групи G існує єдина з точністю до ізоморфізму подільна група вкладення G в яку є істотним мономорфізмом. Ця група називається ін'єктивною оболонкою групи G. Ін'єктивна оболонка є мінімальним елементом за включенням серед подільних груп у які існує вкладення групи G.
 Будь-яка абелева група  розкладається в пряму суму , де  - подільна група (вона називається подільною частиною групи ), а  - редукована група, тобто група, яка не містить ненульових подільних підгруп.
 Якщо  є кільцем і  подільною групою, то  є ін'єктивним -модулем.

 Будова подільних груп 

Нехай G — подільна група. Тоді підгрупа кручення Tor(G) G є подільною. Оскільки подільна група є ін'єктивним модулем, Tor(G) є прямим доданком G. Тому

 

Як факторгрупа подільної групи G/Tor(G) є подільною. Також вона є групою без кручень і тому є векторним простором над Q. Тож існує множина I, для якої

 

Структура підгрупи кручення є складнішою. Для всіх простих чисел p існує множина , для якої

 

де  є p-примарна компонента Tor(G).

Якщо множину простих чисел позначити P, то:

 

Потужності множин I і Ip для p∈P''' є однозначно визначеними G.

 Див. також 

 Вільна абелева група
 Ін'єктивний модуль
 Ін'єктивний об'єкт

 Примітки 

 Джерела 
 
 И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов.'' — М.: Мир, 1972.
 
 
 
 

Теорія абелевих груп
Властивості груп
Подільна група — група , така що для будь-яких і рівняння має розв'язок . Часто група вважається абелевою , а умова записується в адитивній нотації як \ . Група називається - подільною ( — просте число ) , якщо для будь-якого рівняння має розв'язок в \. Приклади Група всіх раціональних чисел і всі її факторгрупи , зокрема Будь-які циклічні і загалом скінченнопороджені абелеві групи не є подільними . Стандартні групи є подільними . - примарна квазіциклічна група , тобто група , породжена зліченним набором елементів , які задовольняють умову Еквівалентно цю групу можна описати як Мультиплікативна група комплексних чисел Прикладами некомутативних подільних груп є унітарні групи U ( n ) . Кожна матриця із такої групи є діагоналізовною за допомогою унітарної матриці . Тоді якщо в усіх діагональних елементах взяти корінь довільного цілого степеня одержується унітарна матриця , що є коренем відповідного рівняння . Подібним чином подільними також є спеціальні унітарні групи SU ( n ) оскільки корені на діагоналі можна завжди обрати так щоб їх добуток був рівним Мультиплікативна група кватерніонів теж є некомутативною подільною групою . Зокрема одиничні кватерніони ізоморфні групі : Ізоморфізм здійснюється за допомогою : Тому результат для кватерніонів є частковим випадком попереднього прикладу . Властивості подільних груп Гомоморфні образи і факторгрупи подільної групи є подільними групами . Якщо є гомоморфізмом груп то для елемента елемент є розв'язком рівняння де b є розв'язком рівняння ( він існує , оскільки G є подільною ) . Абелева група G є подільною тоді і тільки тоді , коли вона є ін'єктивним об'єктом у категорії абелевих груп , тобто ін'єктивним - модулем . З означення ін'єктивного модуля в термінах теорії груп це означає , що G є подільною тоді і тільки тоді , якщо для довільних абелевих груп і гомоморфізму існує гомоморфізм такий що Якщо G не є подільною то існують що рівняння не має розв'язку . Нехай тепер Якщо задати гомоморфізм з U в G , для якого образом n є g , то для будь-якого продовження цього гомоморфізму на H образоммає бути елемент , що є розв'язком рівняння Оскільки такого елемента не існує , то і не існує відповідного продовження гомоморфізму і G не є ін'єктивним об'єктом . Нехай тепер G є подільною . Розглянемо множину всіх підгруп у H , що містять U і для яких існує гомоморфізм що продовжує гомоморфізм Ця множина непуста оскільки їй належить U . Будь-яка лінійно впорядкована підмножина e має верхню межу , що рівна об'єднанню підгруп . Тоді згідно леми Цорна у існує максимальний елемент H' із гомоморфізмом що продовжує \ . Припустимо , що H' є власною підгрупою у H і Якщо то можна продовжити на Якщо взявши довільний образ для h . Якщо ж містить елемент nh де n — найменше з таких додатних чисел , то за образ h можна взяти розв'язок рівняння В обох випадках існує продовження на більшу підгрупу , що суперечить максимальності . Отже H = H і продовження існує на всю групу H . Тобто G є ін'єктивним об'єктом . Зауваження . Умова комутативності в даному випадку є важливою . Єдиним ін'єктивним об'єктом категорії груп є одинична група . Абелева група є подільною тоді і тільки тоді , коли вона є - подільною при кожному простому \ . Будь-яка пряма сума подільних абелевих груп є подільною групою . Кожна подільна підгрупа є прямим доданком групи . Кожна абелева група є ізоморфною підгрупі подільної абелевої групи . Група є підгрупою подільної групи а тому пряма сума є підгрупою що є подільною групою , як пряма сума подільних груп . Оскільки будь-яка абелева група є факторгрупою деякої то вона є підгрупою деякої факторгрупи що є подільною , як факторгрупа подільної групи . Для кожної абелевої групи G існує єдина з точністю до ізоморфізму подільна група вкладення G в яку є істотним мономорфізмом . Ця група називається ін'єктивною оболонкою групи G . Ін'єктивна оболонка є мінімальним елементом за включенням серед подільних груп у які існує вкладення групи G . Будь-яка абелева група розкладається в пряму суму , де - подільна група ( вона називається подільною частиною групи ) , а - редукована група , тобто група , яка не містить ненульових подільних підгруп . Якщо є кільцем і подільною групою , то є ін'єктивним - модулем . Будова подільних груп Нехай G — подільна група . Тоді підгрупа кручення Tor ( G ) G є подільною . Оскільки подільна група є ін'єктивним модулем , Tor ( G ) є прямим доданком G . Тому Як факторгрупа подільної групи G / Tor ( G ) є подільною . Також вона є групою без кручень і тому є векторним простором над Q . Тож існує множина I , для якої Структура підгрупи кручення є складнішою . Для всіх простих чисел p існує множина , для якої де є p - примарна компонента Tor ( G ) . Якщо множину простих чисел позначити P , то : Потужності множин I і Ip для p ∈ P''' є однозначно визначеними G . Див . також Вільна абелева група Ін'єктивний модуль Ін'єктивний об'єкт Примітки Джерела И . Букур , А . Деляну Введение в теорию категорий и функторов . ' ' — М . : Мир , Теорія абелевих груп Властивості груп