Розшарований добуток
Розшарований добуток (також декартів квадрат) — теоретико-категорне поняття, яке можна задати як границю діаграми, що складається з двох морфізмів:  Розшарований добуток позначається 

Двоїстим поняттям є розшарований кодобуток.

Універсальна властивість 
Нехай в категорії  дана пара морфізмів  і  

Розшарованим добутком  і  над  називається об'єкт  разом з морфізмами  для яких діаграма нижче є комутативною:

 

Окрім того, розшарований добуток має бути універсальним об'єктом з такою властивістю: для будь-якого об'єкта  з парою морфізмів  які разом із  утворюють комутативний квадрат, існує єдиний морфізм  такий що наведена нижче діаграма є комутативною:

 

Внутрішній квадрат цієї діаграми, утворений морфізмами  називається також декартовим (або коуніверсальним) квадратом для пари морфізмів  і 

Як і інші об'єкти, задані за допомогою універсальних властивостей, розшарований добуток не обов'язково існує, але якщо існує, то є визначеним з точністю до ізоморфізму.

Приклади 

 В категорії множин розшарованим добутком множин  і  з відображеннями  і  називається множина

 

разом з природними проєкціями на компоненти.

Також Розшарований добуток у  можна описувати двома асиметричними способами:

 
 
 

 Аналогічним чином визначається розшарований добуток в категорії комутативних кілець з тою лише специфікою, що всі відображення у цьому випадку є гомоморфізмами кілець.

 Прообраз підмножини теж можна інтерпретувати як розшарований добуток. Нехай є деяке відображення  і підмножина . Нехай  позначає відображення включення . Тоді розшароване відображення  і  (у категорії ) можна інтерпретувати, як прообраз  разом із його включенням у 

і обмеженням відображення  на 

.

 Якщо A і B є підмножинами множини C, то розшарованим добутком відображень включення є перетин множин із відповідними відображеннями включення у A і B.

Властивості 

 У категорії із термінальним об'єктом , розшарований добуток  є звичайним добутком .
 Якщо   у наведених в означенні діаграмах є мономорфізмом то  теж є мономорфізмом. Також якщо  є мономорфізмом, то мономорфізмом є також і .
 Попереднє твердження є також справедливим і для ізоморфізмів, зокрема  для будь-якого морфізму  (де  є одиничним морфізмом).
 У абелевих категоріях розшарований добуток завжди існує і має властивість збереження ядра, а саме: якщо

 
 є відповідною комутативною діаграмою і  є ізоморфізмом, то ізоморфізмом є . Звідси можна отримати комутативну діаграму, де всі рядки і стовпці є точними:

 Існує натуральний ізоморфізм (A×CB)×B D ≅ A×CD. У явному вигляді: 
 якщо задано морфізми f : A → C, g : B → C і h : D → B і
 розшарований добуток f і g є заданий морфізмами r : P → A і s : P → B, і
 розшарований добуток s і h є заданий морфізмами  t : Q → P і u : Q → D ,
 тоді розшарований добуток f і gh є заданий морфізмами rt : Q → A і  u : Q → D.

 Графічно це можна подати так: з двох комутативних діаграм розшарованих добутків, що розташовані поруч і мають спільний морфізм, утворюється комутативна діаграма розшарованого добутку, якщо ігнорувати спільний морфізм. Приклад цього на комутативній діаграмі:

Примітки

Див. також 

 Добуток (теорія категорій)

Література 

 Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories  (4.2MB PDF). John Wiley & Sons. .
 

Теорія категорій
Розшарований добуток ( також декартів квадрат ) — теоретико - категорне поняття , яке можна задати як границю діаграми , що складається з двох морфізмів : Розшарований добуток позначається Двоїстим поняттям є розшарований кодобуток . Універсальна властивість Нехай в категорії дана пара морфізмів і Розшарованим добутком і над називається об'єкт разом з морфізмами для яких діаграма нижче є комутативною : Окрім того , розшарований добуток має бути універсальним об'єктом з такою властивістю : для будь-якого об'єкта з парою морфізмів які разом із утворюють комутативний квадрат , існує єдиний морфізм такий що наведена нижче діаграма є комутативною : Внутрішній квадрат цієї діаграми , утворений морфізмами називається також декартовим ( або коуніверсальним ) квадратом для пари морфізмів і Як і інші об'єкти , задані за допомогою універсальних властивостей , розшарований добуток не обов'язково існує , але якщо існує , то є визначеним з точністю до ізоморфізму . Приклади В категорії множин розшарованим добутком множин і з відображеннями і називається множина разом з природними проєкціями на компоненти . Також Розшарований добуток у можна описувати двома асиметричними способами : Аналогічним чином визначається розшарований добуток в категорії комутативних кілець з тою лише специфікою , що всі відображення у цьому випадку є гомоморфізмами кілець . Прообраз підмножини теж можна інтерпретувати як розшарований добуток . Нехай є деяке відображення і підмножина \ . Нехай позначає відображення включення \ . Тоді розшароване відображення і ( у категорії ) можна інтерпретувати , як прообраз разом із його включенням у і обмеженням відображення на . Якщо A і B є підмножинами множини C , то розшарованим добутком відображень включення є перетин множин із відповідними відображеннями включення у A і B . Властивості У категорії із термінальним об'єктом , розшарований добуток є звичайним добутком \ . Якщо у наведених в означенні діаграмах є мономорфізмом то теж є мономорфізмом . Також якщо є мономорфізмом , то мономорфізмом є також і \ . Попереднє твердження є також справедливим і для ізоморфізмів , зокрема для будь-якого морфізму ( де є одиничним морфізмом ) . У абелевих категоріях розшарований добуток завжди існує і має властивість збереження ядра , а саме : якщо є відповідною комутативною діаграмою і є ізоморфізмом , то ізоморфізмом є \ . Звідси можна отримати комутативну діаграму , де всі рядки і стовпці є точними : Існує натуральний ізоморфізм ( A × CB ) × B D ≅ A × CD . У явному вигляді : якщо задано морфізми f \ : A → C , g \ : B → C і h \ : D → B і розшарований добуток f і g є заданий морфізмами r \ : P → A і s \ : P → B , і розшарований добуток s і h є заданий морфізмами t \ : Q → P і u \ : Q → D , тоді розшарований добуток f і gh є заданий морфізмами rt \ : Q → A і u \ : Q → D . Графічно це можна подати так : з двох комутативних діаграм розшарованих добутків , що розташовані поруч і мають спільний морфізм , утворюється комутативна діаграма розшарованого добутку , якщо ігнорувати спільний морфізм . Приклад цього на комутативній діаграмі : Примітки Див . також Добуток ( теорія категорій ) Література Adámek , Jiří , Herrlich , Horst , & Strecker , George E . ; Abstract and Concrete Categories 2MB PDF ) . John Wiley & Sons . \ . Теорія категорій