Конструкція Proj
У алгебричній геометрії конструкція Proj є аналогом конструкції афінних схем як спектрів кілець. Одержані за допомогою її допомогою схеми мають властивості проєктивних просторів і проєктивних многовидів.

У цій статті всі кільця вважаються комутативними кільцями з одиницею.

Proj градуйованого кільця

Proj як множина 
Нехай  — градуйоване кільце, де

 

є розкладом у пряму суму, асоційованим з градуюванням.

Позначимо через  ідеал  Нехай множина Proj S є множиною всіх однорідних простих ідеалів, що не містять 

Надалі для стислості Proj S також позначається X.

Proj як топологічний простір 
На Proj S можна ввести топологію, що називається топологією Зариського, якщо визначити замкнутими множинами множини виду

 

де a — однорідний ідеал S. Як і у випадку афінних схем, легко перевіряється, що V(a) — замкнуті множині деякої топології на X.

Дійсно, якщо  — сім'я ідеалів, то
 і якщо множина I є скінченною, то
.

Еквівалентно, можна почати з відкритих множин і визначити

 

Стандартне скорочення полягає в тому, щоб позначати D(Sf) як D(f), де Sf — ідеал, породжений f. Для будь-якого a, D(a) і V(a) є доповнюючими множинами і наведене вище доведення показує, що D(a) утворюють топологію на Proj S. Перевага цього підходу в тому, що D(f), де f пробігає всі однорідні елементи S, утворюють базис цієї топології, що є необхідним інструментом для вивчення Proj S, аналогічно випадку спектрів кілець.

Proj як схема 
На Proj S можна ввести пучок, що називається структурним пучком і перетворює його в схему. Як і в випадку конструкції Spec існує кілька способів це зробити: найбільш прямий з яких нагадує конструкцію регулярних функцій на проєктивному многовиді в класичній алгебричній геометрії. Для будь-якої відкритої множини U в Proj S кільце  задається як множина всіх функцій

 

(Де  позначає підкільце локального кільця  точки , що складається з часток однорідних елементів однакового степеня) таких, що для кожного простого ідеалу p в U:

 F(p) є елементом ;
 Існує відкрита підмножина V множини U, що містить p, і однорідні елементи s, t кільця S однакового степеня, такі, що для кожного простого ідеалу q в V:
 t не належить q;
 F(q) = s/t.

З визначення негайно випливає, що  утворюють пучок кілець  на Proj S, і можна показати, що пара (Proj S, ) є схемою. А саме обмеження Proj S на відкриту підмножину D(f) є ізоморфним афінній схемі  де  позначає кільце елементів нульового степеня у локалізації  тобто кільце елементів виду 

Оскільки множини D(f) для однорідних f утворюють базу топології Зариського, то Proj S дійсно є схемою.

Пучок, асоційований з градуйованим модулем 
Істотною властивістю S в конструкції вище була можливість побудови локалізацій  для кожного простого ідеалу p в S. Цією властивістю також володіє будь-який градуйований модуль M над S, і, отже, конструкція з розділу вище із невеликими змінами дозволяє побудувати для такого M пучок -модулів на Proj S, що позначається . За побудовою цей пучок є квазікогерентним. Якщо S породжується скінченною кількістю елементів степеня 1 (тобто є кільцем многочленів або його фактором), всі квазікогерентні пучки на Proj S утворюються із градуйованих модулів за допомогою цієї конструкції.  Відповідний градуйований модуль не є єдиним.

скручуючий пучок Серра 
Окремим випадком пучка, асоційованого з градуйованим модулем є коли в якості M взяти саме S з іншим градуюванням: а саме, елементами степеня d модуля M є елементи степеня (d + 1) кільця S і M = S(1). Одержується квазікогерентний пучок  на Proj S, що позначається  або просто O (1) і називається скручуючим пучком Серра. Можна перевірити, що O(1) є оборотним пучком.

Одна з причин корисності O (1) полягає в тому, що він дозволяє відновити алгебричну інформацію про S, яка була втрачена в конструкції  при переході до часток степеня 0. У випадку Spec A для кільця A, глобальні перетини структурного пучка є самим A, тоді як в нашому випадку глобальні перетини пучка  складаються з елементів S ступеня 0. Якщо ми визначимо

 

то кожне O(n) містить інформацію степеня n про S. Аналогічно, для пучка -модулів N, асоційованого з S-модулем M можна визначити

 

і очікувати, що цей пучок містить втрачену інформацію про M. Це дозволяє припустити, хоча і неправильно, що S можна відновити з цих пучків; це насправді вірно, якщо S є кільцем многочленів.

n-вимірний проєктивний простір 
Якщо A — кільце, то n-вимірний проєктивний простір над A за означенням є схемою

 

Градуювання на кільці  вводиться вважаючи, що кожен  має степінь 1 і кожен елемент A має степінь 0 . Зіставляючи це з означенням O (1), даним вище, перетину O (1) - лінійні однорідні многочлени, породжені елементами .

Приклади 

 Якщо взяти як базове кільце , то  має канонічний проєктивний морфізм на афінну пряму , шари якого є еліптичними кривими, крім шарів над точками , над якими шари вироджуються в нодальні криві.
 Проєктивна гіперповерхня  є прикладом тривимірної квінтики Ферма, яка також є многовидом Калабі — Яу.
 Зважений проєктивний простір можна побудувати, використовуючи кільця многочленів з нестандартними степенями змінних. Наприклад, зважений проєктивний простір  відповідає  кільця  де  мають ступінь , тоді як  має ступінь 2.
 Біградуйоване кільце відповідає підсхемі добутку проєктивних просторів. Наприклад, біградуйована алгебра , де  мають степінь  і  мають степінь , відповідає .

Примітки

Література 

 Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean. «Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes» . Publications Mathématiques de l’IHÉS. 8, 1961.
 

Теорія схем
У алгебричній геометрії конструкція Proj є аналогом конструкції афінних схем як спектрів кілець . Одержані за допомогою її допомогою схеми мають властивості проєктивних просторів і проєктивних многовидів . У цій статті всі кільця вважаються комутативними кільцями з одиницею . Proj градуйованого кільця Proj як множина Нехай — градуйоване кільце , де є розкладом у пряму суму , асоційованим з градуюванням . Позначимо через ідеал Нехай множина Proj S є множиною всіх однорідних простих ідеалів , що не містять Надалі для стислості Proj S також позначається X . Proj як топологічний простір На Proj S можна ввести топологію , що називається топологією Зариського , якщо визначити замкнутими множинами множини виду де a — однорідний ідеал S . Як і у випадку афінних схем , легко перевіряється , що V ( a ) — замкнуті множині деякої топології на X . Дійсно , якщо — сім'я ідеалів , то і якщо множина I є скінченною , то . Еквівалентно , можна почати з відкритих множин і визначити Стандартне скорочення полягає в тому , щоб позначати D ( Sf ) як D ( f ) , де Sf — ідеал , породжений f . Для будь-якого a , D ( a ) і V ( a ) є доповнюючими множинами і наведене вище доведення показує , що D ( a ) утворюють топологію на Proj S . Перевага цього підходу в тому , що D ( f ) , де f пробігає всі однорідні елементи S , утворюють базис цієї топології , що є необхідним інструментом для вивчення Proj S , аналогічно випадку спектрів кілець . Proj як схема На Proj S можна ввести пучок , що називається структурним пучком і перетворює його в схему . Як і в випадку конструкції Spec існує кілька способів це зробити : найбільш прямий з яких нагадує конструкцію регулярних функцій на проєктивному многовиді в класичній алгебричній геометрії . Для будь-якої відкритої множини U в Proj S кільце задається як множина всіх функцій ( Де позначає підкільце локального кільця точки , що складається з часток однорідних елементів однакового степеня ) таких , що для кожного простого ідеалу p в U : F ( p ) є елементом ; Існує відкрита підмножина V множини U , що містить p , і однорідні елементи s , t кільця S однакового степеня , такі , що для кожного простого ідеалу q в V: t не належить q ; F ( q ) = s/t . З визначення негайно випливає , що утворюють пучок кілець на Proj S , і можна показати , що пара ( Proj S , ) є схемою . А саме обмеження Proj S на відкриту підмножину D ( f ) є ізоморфним афінній схемі де позначає кільце елементів нульового степеня у локалізації тобто кільце елементів виду Оскільки множини D ( f ) для однорідних f утворюють базу топології Зариського , то Proj S дійсно є схемою . Пучок , асоційований з градуйованим модулем Істотною властивістю S в конструкції вище була можливість побудови локалізацій для кожного простого ідеалу p в S . Цією властивістю також володіє будь-який градуйований модуль M над S , і , отже , конструкція з розділу вище із невеликими змінами дозволяє побудувати для такого M пучок -модулів на Proj S , що позначається \ . За побудовою цей пучок є квазікогерентним . Якщо S породжується скінченною кількістю елементів степеня ( тобто є кільцем многочленів або його фактором ) , всі квазікогерентні пучки на Proj S утворюються із градуйованих модулів за допомогою цієї конструкції . Відповідний градуйований модуль не є єдиним . скручуючий пучок Серра Окремим випадком пучка , асоційованого з градуйованим модулем є коли в якості M взяти саме S з іншим градуюванням : а саме , елементами степеня d модуля M є елементи степеня ( d + кільця S і M = S ( 1 ) . Одержується квазікогерентний пучок на Proj S , що позначається або просто Oі називається скручуючим пучком Серра . Можна перевірити , що O ( 1 ) є оборотним пучком . Одна з причин корисності Oполягає в тому , що він дозволяє відновити алгебричну інформацію про S , яка була втрачена в конструкції при переході до часток степеня У випадку Spec A для кільця A , глобальні перетини структурного пучка є самим A , тоді як в нашому випадку глобальні перетини пучка складаються з елементів S ступеня Якщо ми визначимо то кожне O ( n ) містить інформацію степеня n про S . Аналогічно , для пучка -модулів N , асоційованого з S -модулем M можна визначити і очікувати , що цей пучок містить втрачену інформацію про M . Це дозволяє припустити , хоча і неправильно , що S можна відновити з цих пучків ; це насправді вірно , якщо S є кільцем многочленів . n - вимірний проєктивний простір Якщо A — кільце , то n -вимірний проєктивний простір над A за означенням є схемою Градуювання на кільці вводиться вважаючи , що кожен має степіньі кожен елемент A має степінь . Зіставляючи це з означенням O даним вище , перетину O - лінійні однорідні многочлени , породжені елементами \ . Приклади Якщо взяти як базове кільце , то має канонічний проєктивний морфізм на афінну пряму , шари якого є еліптичними кривими , крім шарів над точками , над якими шари вироджуються в нодальні криві . Проєктивна гіперповерхня є прикладом тривимірної квінтики Ферма , яка також є многовидом Калабі — Яу . Зважений проєктивний простір можна побудувати , використовуючи кільця многочленів з нестандартними степенями змінних . Наприклад , зважений проєктивний простір відповідає кільця де мають ступінь , тоді як має ступінь Біградуйоване кільце відповідає підсхемі добутку проєктивних просторів . Наприклад , біградуйована алгебра , де мають степінь і мають степінь , відповідає \ . Примітки Література Grothendieck , Alexandre ; Dieudonné , Jean . « Éléments de géométrie algébrique : II . Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes » \ . Publications Mathématiques de l’IHÉS . Теорія схем