Повні і унівалентні функтори
В теорії категорій унівалентним функтором (відповідно Повним функтором) називається функтор, який є ін'ективним (відповідно сюр'єктивним) на кожній множині морфізмів із фіксованими образом і прообразом.

Більш точно, нехай C і D — локально малі категорії  і нехай F: C → D — функтор з C у D. Цей функтор індукує функцію

 

для кожної пари об'єктів X і Y з C. Функтор F називається

 Унівалентним (або строгим), якщо функція F  X, Y  є ін'єктивною
 Повним, якщо F  X, Y   є  сюр'єктивною
 Цілком унівалентним (або повним і унівалентним), якщо F X, Y  є бієктивною

для кожних X і Y в C.

Властивості 

 Унівалентний функтор не обов'язково є ін'єктивним на об'єктах категорії C, тому образ цілком унівалентного функтора може не бути категорією, ізоморфною C. Аналогічно, повний функтор не обов'язково є сюр'єктивним на об'єктах. Однак цілком унівалентний функтор є ін'єктивним на об'єктах з точністю до ізоморфізму, тобто якщо F: C → D є цілком унівалентним і , то  (в цьому випадку говорять, що функтор F відображає ізоморфізми).
 Для будь-якого унівалентного функтора , якщо  є епіморфізмом (мономорфізмом), то  теж є епіморфізмом (мономорфізмом).

 Дійсно якщо  — морфізми для яких , то з означення функтора випливає, що  Оскільки  є епіморфізмом то . Оскільки  є унівалентним, то  Твердження для мономорфізмів доводиться аналогічно.

Приклади 

 Функтор U: Grp → Set, що переводить кожну групу у відповідну множину без групової структури є унівалентним, оскільки гомоморфізм груп однозначно визначається функцією на множинах-носіях. Категорія з унівалентним функтором у Set називається конкретною категорією.
 Функтор, який вкладає Ab в Grp є цілком унівалентим.

Див. Також 

 Повна категорія

Література 

 
 

Теорія категорій
В теорії категорій унівалентним функтором ( відповідно Повним функтором ) називається функтор , який є ін' ективним ( відповідно сюр'єктивним ) на кожній множині морфізмів із фіксованими образом і прообразом . Більш точно , нехай C і D — локально малі категорії і нехай F : C → D — функтор з C у D . Цей функтор індукує функцію для кожної пари об'єктів X і Y з C . Функтор F називається Унівалентним ( або строгим ) , якщо функція F X , Y є ін'єктивною Повним , якщо F X , Y є сюр'єктивною Цілком унівалентним ( або повним і унівалентним ) , якщо F X , Y є бієктивною для кожних X і Y в C . Властивості Унівалентний функтор не обов'язково є ін'єктивним на об'єктах категорії C , тому образ цілком унівалентного функтора може не бути категорією , ізоморфною C . Аналогічно , повний функтор не обов'язково є сюр'єктивним на об'єктах . Однак цілком унівалентний функтор є ін'єктивним на об'єктах з точністю до ізоморфізму , тобто якщо F : C → D є цілком унівалентним і , то ( в цьому випадку говорять , що функтор F відображає ізоморфізми ) . Для будь-якого унівалентного функтора , якщо є епіморфізмом ( мономорфізмом ) , то теж є епіморфізмом ( мономорфізмом ) . Дійсно якщо — морфізми для яких , то з означення функтора випливає , що Оскільки є епіморфізмом то \ . Оскільки є унівалентним , то Твердження для мономорфізмів доводиться аналогічно . Приклади Функтор U : Grp → Set , що переводить кожну групу у відповідну множину без групової структури є унівалентним , оскільки гомоморфізм груп однозначно визначається функцією на множинах - носіях . Категорія з унівалентним функтором у Set називається конкретною категорією . Функтор , який вкладає Ab в Grp є цілком унівалентим . Див . Також Повна категорія Література Теорія категорій