Обернений образ пучка
Обернений образ пучка — коваріантна конструкція у теорії пучків, що в певному значенні є оберненою до побудови прямого образа пучка.

Означення 
Нехай дано пучок  на  і потрібно перенести  на , використовуючи неперервне відображення  подібно до того, як будується прямий образ пучка.

Якщо спробувати імітувати визначення прямого образу взявши

 

для кожної відкритої множини  в , то відразу виникає проблема:  не обов'язково є відкритою множиною. Найкраще, що можна зробити — наблизити його відкритими множинами, і навіть в цьому випадку одержується передпучок, а не пучок. За означенням  є пучком асоційованим із передпучком

 

Тут  — відкрита підмножина  і індуктивна границя береться по всіх відкритих підмножини  простору , що містять .

Наприклад, якщо  — вкладення точки  в , то  — росток  в цій точці.

Існування відображень обмеження, як і функторіальність оберненого образа, випливають із універсальної властивості індуктивних границь.

Альтернативна побудова 
Еквівалентно, обернений образ можна побудувати за допомогою етальних (пучкових) просторів пучків. В тих же позначеннях, що і вище, нехай LG позначає етальний простір пучка G, тобто диз'юнктне об'єднання  ростків із топологією для якої базою є підмножини виду  де — відкрита підмножина у Тоді проєкція  є локальним гомеоморфізмом.  

Нехай тепер із топологією індукованою топологією прямого добутку. Тоді проєкція  є локальним гомеоморфізмом і E є етальним простором для X. Асоційований із ним пучок і є оберненим образом  

Більш конкретно перетинами на відкритій підмножині є неперервні відображення  для яких Еквівалентно, це такі відображення для яких

Обернений образ пучків модулів 

Коли розглядаються морфізм локально окільцьованих просторів , наприклад схем в алгебричній геометрії , часто працюють з пучками -модулів, де  — структурний пучок . Тоді функтор  введений вище не підходить, оскільки результат його застосування, взагалі кажучи, не є пучком -модулів. Щоб виправити це, в цій ситуації для пучка -модулів  його обернений образ задається як

 .

Властивості 

 Для точки  , маємо .
  — точний функтор.
 , взагалі кажучи, тільки точний справа. Якщо  точний, f називається плоским.
  є спряженим зліва до функтора прямого образа , тобто існує натуральний ізоморфізм

 .
 Проте морфізми  і   майже ніколи не є ізоморфізмами. Наприклад, якщо  позначає вкладення замкнутої підмножини, росток пучка  в точці  є ізоморфним до  якщо  належить  і є рівним  в іншому випадку.

 Подібне до попереднього пункту твердження є справедливим для пучків модулів, якщо замінити  на .

Див. також 

 Індуктивна границя
 Прямий образ пучка
 Пучок (математика)

Література 

 Iversen, Birger, Cohomology of sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1986, ISBN 978-3-540-16389-3.
 

Алгебраїчна геометрія
Теорія пучків
Обернений образ пучка — коваріантна конструкція у теорії пучків , що в певному значенні є оберненою до побудови прямого образа пучка . Означення Нехай дано пучок на і потрібно перенести на , використовуючи неперервне відображення подібно до того , як будується прямий образ пучка . Якщо спробувати імітувати визначення прямого образу взявши для кожної відкритої множини в , то відразу виникає проблема : не обов'язково є відкритою множиною . Найкраще , що можна зробити — наблизити його відкритими множинами , і навіть в цьому випадку одержується передпучок , а не пучок . За означенням є пучком асоційованим із передпучком Тут — відкрита підмножина і індуктивна границя береться по всіх відкритих підмножини простору , що містять \ . Наприклад , якщо — вкладення точки в , то — росток в цій точці . Існування відображень обмеження , як і функторіальність оберненого образа , випливають із універсальної властивості індуктивних границь . Альтернативна побудова Еквівалентно , обернений образ можна побудувати за допомогою етальних ( пучкових ) просторів пучків . В тих же позначеннях , що і вище , нехай LG позначає етальний простір пучка G , тобто диз'юнктне об'єднання ростків із топологією для якої базою є підмножини виду де — відкрита підмножина у Тоді проєкція є локальним гомеоморфізмом . Нехай тепер із топологією індукованою топологією прямого добутку . Тоді проєкція є локальним гомеоморфізмом і E є етальним простором для X . Асоційований із ним пучок і є оберненим образом Більш конкретно перетинами на відкритій підмножині є неперервні відображення для яких Еквівалентно , це такі відображення для яких Обернений образ пучків модулів Коли розглядаються морфізм локально окільцьованих просторів , наприклад схем в алгебричній геометрії , часто працюють з пучками -модулів , де — структурний пучок \ . Тоді функтор введений вище не підходить , оскільки результат його застосування , взагалі кажучи , не є пучком -модулів . Щоб виправити це , в цій ситуації для пучка -модулів його обернений образ задається як \ . Властивості Для точки , маємо \ . — точний функтор . , взагалі кажучи , тільки точний справа . Якщо точний , f називається плоским . є спряженим зліва до функтора прямого образа , тобто існує натуральний ізоморфізм \ . Проте морфізми і майже ніколи не є ізоморфізмами . Наприклад , якщо позначає вкладення замкнутої підмножини , росток пучка в точці є ізоморфним до якщо належить і є рівним в іншому випадку . Подібне до попереднього пункту твердження є справедливим для пучків модулів , якщо замінити на \ . Див . також Індуктивна границя Прямий образ пучка Пучок ( математика ) Література Iversen , Birger , Cohomology of sheaves , Universitext , Berlin , New York : Springer - Verlag , ISBN540 - 16389 - 3 . Алгебраїчна геометрія Теорія пучків