Гомотопічні групи
Гомотопічні групи — інваріант топологічних просторів, одне з основних понять алгебричної топології.

Неформально кажучи, вони класифікують відображення з багатовимірних сфер в заданий топологічний простір з точністю до неперервної деформації. Незважаючи на простоту означення, гомотопічні групи дуже складні в обчисленні, навіть для сфер. Це відрізняє їх від груп гомологій, які простіше обчислюються але складніше означаються. Найпростішим окремим випадком гомотопічних груп є фундаментальна група.

Фундаментальна група була введена Анрі Пуанкаре, вищі гомотопічні групи — Вітольдом Гуревичем.
Незважаючи на простоту їх означення, обчислення конкретних груп (навіть для таких простих просторів, як багатовимірні сфери Sn) часто є дуже важким завданням, причому загальні методи були отримані тільки в середині XX століття з появою спектральних послідовностей.

Означення 
Нехай  — топологічний простір, ;  — одиничний куб, тобто , і  — границя цього куба, тобто множина точок куба, для яких  або 1 для деякого . Множина відносних гомотопічних класів  неперервних відображень , для яких  позначається  (причому  переходить в точку  при всіх відображеннях і гомотопіях). Еквівалентно означення можна дати, як множину класів гомотопії відображень  із n-сфери  із виділеною точкою  для яких  і всі гомотопії є відносними щодо 

На цій множині класів гомотопії можна визначити добуток елементів:

,

де

, якщо 

, якщо 

Оскільки на границі куба , то добуток є означеним коректно. 

Еквівалентно в означенні добутку можна взяти будь-яку координату замість першої. Також еквівалентним є означення добутку на множині класів відносної гомотопії відображень  для яких  яке є дане у статті H-простір  для асоціативних H'-просторів із оберненими елементами, тобто  Дійсно коло є асоціативним H'-простором із оберненими елементами тому таким є і сфера , оскільки редукована надбудова асоціативного H'-простору із оберненими елементами теж є таким простором, а  є гомеоморфною редукованій надбудові  Далі оскільки кожна гіперсфера  є гомеоморфною редукованій надбудові  , то за індукцією всі  є асоціативними H'-просторами із оберненими елементами і для них має зміст введене означення. Усі ці означення задають єдиний добуток на множині класів відносної гомотопії.

Легко перевірити, що  залежить тільки від класу гомотопії  і . Цей добуток задовольняє всім аксіомам групи. У випадку  одержується композиція замкнутих шляхів, отже,  є фундаментальною групою. При n > 1  називаються вищими гомотопічними групами.

Окрім того часто  позначається множина класів гомотопії відображень  тобто відображень із двохелементної множини у X. Множина  є рівною множині лінійних компонент зв'язності простору X. На ній загалом не існує змістовної групової структури, тому  не розглядається як гомотопічна група але вона має деякі спільні властивості із гомотопічними групами.

Неперервному відображенню просторів із виділеними точками  відповідає гомоморфізм , причому це відповідність є функторіальною, тобто композиції неперервних відображень відповідає добуток гомоморфізмів гомотопічних груп , а тотожному відображенню відповідає тотожний гомоморфізм .
Якщо відображення  є гомотопним , то .

Залежність від початкової точки 

На відміну від гомологічних груп , у визначенні гомотопічних груп  важливою є виділена точка . Нехай  і  є двома точками, що належать одній компоненті лінійної зв'язності простору  і  є шляхом між цими двома точками. Тоді цей шлях породжує гомоморфізми із такими властивостями:

 Якщо два шляхи  і  є гомотопними відносно 0 і 1, то як гомоморфізми 
 Якщо позначити  — тотожний шлях (тобто , ) тоді  є тотожним гомоморфізмом
 Якщо  є ще однією точкою у тій же компоненті зв'язності і  є шляхом від  до , а  позначає добуток шляхів (який є шляхом від  до ), то 
 Якщо  є неперервним відображенням просторів для якого ,  і  позначає породжені гомоморфізми гомотопічних груп у відповідних виділених точках, то   як гомоморфізми із  у 

Зокрема, якщо  то петлі із базовою точкою  породжують автоморфізми на групах , тобто  є групою автоморфізмів для всіх гомотопічних груп. Важливими є випадки коли всі такі автоморфізми для  є тотожними. Іноді простір для якого це виконується для всіх точок називається -простим. У такому просторі всі групи  незалежно від виділеної точки є ізоморфними. Для лінійно зв'язаного простору умову достатньо перевірити лише для однієї виділеної точки. Окрім того для лінійно зв'язаного -простого простору елементи групи  є у бієктивній відповідності із класами гомотопії (не відносно виділених точок) відображень .

Прикладами лінійно зв'язаних просторів, що є -простими є однозв'язні простори і лінійно зв'язані H-простори (не обов'язково асоціативні чи з оберненими елементами). Відповідно для таких просторів всі гомотопічні групи для різних виділених точок є ізоморфними.

Властивості 

 Тоді як фундаментальна група  в загальному випадку є неабелевою, для всіх  групи  є абелевими, тобто .
 Якщо  є проєкцією із накриття простору, то породжений гомоморфізм гомотопічних груп  є ізоморфізмом для всіх 
 Для  для тензорних добутків виконується рівність 
 Для  для букету просторів виконується рівність  де в останньому добутку є відносна гомотопічна група.
 Теорема Гуревича: Для будь-якого лінійно зв'язаного топологічного простору X і додатного числа  існує гомоморфізм груп  який для  у випадку, якщо   є ізоморфізмом.

Приклади 
 Для  гомотопічні групи , для  натомість  Для гомотопічних груп із  усі  є скінченними групами за винятком груп виду  які є прямими сумами  і скінченних груп. Також для кожного числа  існує  таке, що для всіх  групи  є ізоморфними.
 Для просторів X, які мають стягуване універсальне накриття  для  Наприклад для тора  (добутку n кіл) універсальним накриттям є  тож  для  Натомість фундаментальна група є вільною абелевою групою рангу .

Відносні гомотопічні групи

Означення 

Відносні гомотопічні групи визначаються для простору , його підпростору  і виділеної точки .
Нехай  — одиничний куб (),  — границя цього куба, a  — грань куба, яка визначається рівнянням .
Множина гомотопічних класів  неперервних відображень , для яких  і на інших гранях  позначається  (зокрема  переходить в , а  в точку  при всіх відображеннях і гомотопіях).

При  ця множина утворює групу — відносну гомотопічну групу порядку . Добуток, як і вище, задається як 

,

де

, якщо 

, якщо .

При усіх гомотопіях у цих означеннях, як і вище   переходить в , а  в точку . Еквівалентно можна дати означення із використанням усіх координат окрім

Властивості 

Можна дати еквівалентне означення відносних гомотопічних груп розглянувши відображення вкладення  і його простір шляхів відображення   Цей простір є підпростором добутку  де  якщо . Тут  позначає простір шляхів простору , тобто його елементами є неперервні відображення  для яких  (подібно до простору петель) із компактно-відкритою топологією. Виділеною точкою у  є , де  є тотожним відображенням із значенням . Тоді  тобто відносна гомотопічна група є ізоморфною звичайній гомотопічній групі відповідного простору шляхів відображення із порядком на одиницю меншим. Також можна розглянути множину  яка загалом не буде групою.

Неперервному відображенню пар просторів із виділеними точками  відповідає гомоморфізм , причому це відповідність є функторіальною, тобто композиції неперервних відображень відповідає добуток гомоморфізмів гомотопічних груп , а тотожному відображенню відповідає тотожний гомоморфізм .
Якщо відображення  є гомотопним до , як відображення пар із виділеними точками, то .

Якщо  то  є абелевою групою.

Точна гомотопічна послідовність 
Вкладення  індукує гомоморфізм , а вкладення  (тут  слід розуміти як ), індукує гомоморфізм .
Будь-який елемент  визначається відображенням , яке, зокрема, переводить  в , причому на  f тотожно дорівнює , визначаючи елемент з .
Таким чином ми отримуємо відображення , яке є гомоморфізмом.
Ми маємо таку послідовність груп і гомоморфізмів:

Ця послідовність є точною, тобто образ будь-якого гомоморфізму збігається з ядром наступного гомоморфізму.
Звідси в разі, коли  для всіх , граничний гомоморфізм  буде ізоморфізмом.

Див. також 

 Гомотопія
 Теорема Гуревича
 Фундаментальна група

Література 

 .  Section 3.C
 
 

Алгебрична топологія
Теорія гомотопій
Гомотопічні групи — інваріант топологічних просторів , одне з основних понять алгебричної топології . Неформально кажучи , вони класифікують відображення з багатовимірних сфер в заданий топологічний простір з точністю до неперервної деформації . Незважаючи на простоту означення , гомотопічні групи дуже складні в обчисленні , навіть для сфер . Це відрізняє їх від груп гомологій , які простіше обчислюються але складніше означаються . Найпростішим окремим випадком гомотопічних груп є фундаментальна група . Фундаментальна група була введена Анрі Пуанкаре , вищі гомотопічні групи — Вітольдом Гуревичем . Незважаючи на простоту їх означення , обчислення конкретних груп ( навіть для таких простих просторів , як багатовимірні сфери Sn ) часто є дуже важким завданням , причому загальні методи були отримані тільки в середині XX століття з появою спектральних послідовностей . Означення Нехай — топологічний простір , ; — одиничний куб , тобто , і — границя цього куба , тобто множина точок куба , для яких абодля деякого \ . Множина відносних гомотопічних класів неперервних відображень , для яких позначається ( причому переходить в точку при всіх відображеннях і гомотопіях ) . Еквівалентно означення можна дати , як множину класів гомотопії відображень із n - сфери із виділеною точкою для яких і всі гомотопії є відносними щодо На цій множині класів гомотопії можна визначити добуток елементів : де якщо якщо Оскільки на границі куба , то добуток є означеним коректно . Еквівалентно в означенні добутку можна взяти будь-яку координату замість першої . Також еквівалентним є означення добутку на множині класів відносної гомотопії відображень для яких яке є дане у статті H-простір для асоціативних H'-просторів із оберненими елементами , тобто Дійсно коло є асоціативним H'-простором із оберненими елементами тому таким є і сфера , оскільки редукована надбудова асоціативного H'-простору із оберненими елементами теж є таким простором , а є гомеоморфною редукованій надбудові Далі оскільки кожна гіперсфера є гомеоморфною редукованій надбудові , то за індукцією всі є асоціативними H'-просторами із оберненими елементами і для них має зміст введене означення . Усі ці означення задають єдиний добуток на множині класів відносної гомотопії . Легко перевірити , що залежить тільки від класу гомотопії і \ . Цей добуток задовольняє всім аксіомам групи . У випадку одержується композиція замкнутих шляхів , отже , є фундаментальною групою . При n > називаються вищими гомотопічними групами . Окрім того часто позначається множина класів гомотопії відображень тобто відображень із двохелементної множини у X . Множина є рівною множині лінійних компонент зв'язності простору X . На ній загалом не існує змістовної групової структури , тому не розглядається як гомотопічна група але вона має деякі спільні властивості із гомотопічними групами . Неперервному відображенню просторів із виділеними точками відповідає гомоморфізм , причому це відповідність є функторіальною , тобто композиції неперервних відображень відповідає добуток гомоморфізмів гомотопічних груп , а тотожному відображенню відповідає тотожний гомоморфізм \ . Якщо відображення є гомотопним , то \ . Залежність від початкової точки На відміну від гомологічних груп , у визначенні гомотопічних груп важливою є виділена точка \ . Нехай і є двома точками , що належать одній компоненті лінійної зв'язності простору і є шляхом між цими двома точками . Тоді цей шлях породжує гомоморфізми із такими властивостями : Якщо два шляхи і є гомотопними відносноі то як гомоморфізми Якщо позначити — тотожний шлях ( тобто , ) тоді є тотожним гомоморфізмом Якщо є ще однією точкою у тій же компоненті зв'язності і є шляхом від до , а позначає добуток шляхів ( який є шляхом від до ) , то Якщо є неперервним відображенням просторів для якого , і позначає породжені гомоморфізми гомотопічних груп у відповідних виділених точках , то як гомоморфізми із у Зокрема , якщо то петлі із базовою точкою породжують автоморфізми на групах , тобто є групою автоморфізмів для всіх гомотопічних груп . Важливими є випадки коли всі такі автоморфізми для є тотожними . Іноді простір для якого це виконується для всіх точок називається - простим . У такому просторі всі групи незалежно від виділеної точки є ізоморфними . Для лінійно зв'язаного простору умову достатньо перевірити лише для однієї виділеної точки . Окрім того для лінійно зв'язаного -простого простору елементи групи є у бієктивній відповідності із класами гомотопії ( не відносно виділених точок ) відображень \ . Прикладами лінійно зв'язаних просторів , що є - простими є однозв'язні простори і лінійно зв'язані H -простори ( не обов'язково асоціативні чи з оберненими елементами ) . Відповідно для таких просторів всі гомотопічні групи для різних виділених точок є ізоморфними . Властивості Тоді як фундаментальна група в загальному випадку є неабелевою , для всіх групи є абелевими , тобто \ . Якщо є проєкцією із накриття простору , то породжений гомоморфізм гомотопічних груп є ізоморфізмом для всіх Для для тензорних добутків виконується рівність Для для букету просторів виконується рівність де в останньому добутку є відносна гомотопічна група . Теорема Гуревича : Для будь-якого лінійно зв'язаного топологічного простору X і додатного числа існує гомоморфізм груп який для у випадку , якщо є ізоморфізмом . Приклади Для гомотопічні групи , для натомість Для гомотопічних груп із усі є скінченними групами за винятком груп виду які є прямими сумами і скінченних груп . Також для кожного числа існує таке , що для всіх групи є ізоморфними . Для просторів X , які мають стягуване універсальне накриття для Наприклад для тора ( добутку n кіл ) універсальним накриттям є тож для Натомість фундаментальна група є вільною абелевою групою рангу \ . Відносні гомотопічні групи Означення Відносні гомотопічні групи визначаються для простору , його підпростору і виділеної точки \ . Нехай — одиничний куб ( ) , — границя цього куба , a — грань куба , яка визначається рівнянням \ . Множина гомотопічних класів неперервних відображень , для яких і на інших гранях позначається ( зокрема переходить в , а в точку при всіх відображеннях і гомотопіях ) . При ця множина утворює групу — відносну гомотопічну групу порядку \ . Добуток , як і вище , задається як де якщо якщо \ . При усіх гомотопіях у цих означеннях , як і вище переходить в , а в точку \ . Еквівалентно можна дати означення із використанням усіх координат окрім Властивості Можна дати еквівалентне означення відносних гомотопічних груп розглянувши відображення вкладення і його простір шляхів відображення Цей простір є підпростором добутку де якщо \ . Тут позначає простір шляхів простору , тобто його елементами є неперервні відображення для яких ( подібно до простору петель ) із компактно - відкритою топологією . Виділеною точкою у є , де є тотожним відображенням із значенням \ . Тоді тобто відносна гомотопічна група є ізоморфною звичайній гомотопічній групі відповідного простору шляхів відображення із порядком на одиницю меншим . Також можна розглянути множину яка загалом не буде групою . Неперервному відображенню пар просторів із виділеними точками відповідає гомоморфізм , причому це відповідність є функторіальною , тобто композиції неперервних відображень відповідає добуток гомоморфізмів гомотопічних груп , а тотожному відображенню відповідає тотожний гомоморфізм \ . Якщо відображення є гомотопним до , як відображення пар із виділеними точками , то \ . Якщо то є абелевою групою . Точна гомотопічна послідовність Вкладення індукує гомоморфізм , а вкладення ( тут слід розуміти як ) , індукує гомоморфізм \ . Будь-який елемент визначається відображенням , яке , зокрема , переводить в , причому на f тотожно дорівнює , визначаючи елемент з \. Таким чином ми отримуємо відображення , яке є гомоморфізмом . Ми маємо таку послідовність груп і гомоморфізмів : Ця послідовність є точною , тобто образ будь-якого гомоморфізму збігається з ядром наступного гомоморфізму . Звідси в разі , коли для всіх , граничний гомоморфізм буде ізоморфізмом . Див . також Гомотопія Теорема Гуревича Фундаментальна група Література \ . SectionC Алгебрична топологія Теорія гомотопій