Зірка Годжа
Зірка Годжа — важливий лінійний оператор з простору q-векторів в простір (n—q)-форм. Метричний тензор задає канонічний ізоморфізм між просторами q-форм і q-векторів, тому зазвичай зіркою Годжа називають оператор з простору диференціальних форм розмірності q в простір форм розмірності n-q.
 

Цей оператор був введений Вільямом Годжем.

Означення 
Оператор дуальності - оператор на многовиді  розмірності  у присутності метрики  який визначається рівністю

де  компонента  відмінна від нуля, якщо серед індексів  немає повторюваних і тоді  якщо  та -1, якщо  Оператор дуальності задає ізоморфізм простору кососиметричних тензорів типу  на простір кососиметричних тензорів типу  Іноді оператор дуальності називається оператором Ходжа або *-оператором. 

Нехай  - дійсний векторний простір. Метрика на  індукує метрику на його тензорних просторах  Це задає невироджений скалярний добуток на диференціальних формах на римановому многовиді:

Інша невироджена форма задається формулою   (зпарювання Пуанкаре). 

Нехай  - римановий n-вимірний многовид. Оператор Ходжа  визначається формулою

У ортонормальному базисі  його можна задати на мономах

де  - додатковий набір ковекторів, а  - сигнатура перестановки 

Зауваження:

Допоміжні означення 
Означимо форму об'єму
 
 
де  — невід'ємний скаляр на многовиді , а  — символ Леві-Чивіти. .
Навіть за відсутності метрики, якщо , можна визначити контраваріантні компоненти форми об'єму.
 
 

тут антисиметричний символ  збігається .

У присутності метрики  з піднятими індексами може відрізнятися від  на знак: . Тут і далі 

Уведемо операцію антисиметризації:
 . Підсумовування ведеться за всіма перестановками  індексів, укладених в квадратні дужки, з урахуванням їх парності . Аналогічно визначається антисимметризація верхніх індексів; антисимметризувати можна тільки за групою індексів одного типу. Приклади: ; .

Джерела 
 David Bleecker (1981) Gauge Theory and Variational Principles. Addison-Wesley Publishing. . Chpt. 0 contains a condensed review of non-Riemannian differential geometry.
 Jurgen Jost (2002) Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer-Verlag. . A detailed exposition starting from basic principles; does not treat the pseudo-Riemannian case.
 Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler (1970) Gravitation. W.H. Freeman. . A basic review of differential geometry in the special case of four-dimensional spacetime.
 Steven Rosenberg (1997) The Laplacian on a Riemannian manifold. Cambridge University Press. . An introduction to the heat equation and the Atiyah-Singer theorem.
 Tevian Dray (1999) The Hodge Dual Operator . A thorough overview of the definition and properties of the Hodge star operator.

Тензорне числення
Теорії двоїстості
Зірка Годжа — важливий лінійний оператор з простору q-векторів в простір ( n —q )-форм . Метричний тензор задає канонічний ізоморфізм між просторами q - форм і q -векторів , тому зазвичай зіркою Годжа називають оператор з простору диференціальних форм розмірності q в простір форм розмірності n-q . Цей оператор був введений Вільямом Годжем . Означення Оператор дуальності - оператор на многовиді розмірності у присутності метрики який визначається рівністю де компонента відмінна від нуля , якщо серед індексів немає повторюваних і тоді якщо та якщо Оператор дуальності задає ізоморфізм простору кососиметричних тензорів типу на простір кососиметричних тензорів типу Іноді оператор дуальності називається оператором Ходжа або * - оператором . Нехай - дійсний векторний простір . Метрика на індукує метрику на його тензорних просторах Це задає невироджений скалярний добуток на диференціальних формах на римановому многовиді : Інша невироджена форма задається формулою ( зпарювання Пуанкаре ) . Нехай - римановий n - вимірний многовид . Оператор Ходжа визначається формулою У ортонормальному базисі його можна задати на мономах де - додатковий набір ковекторів , а - сигнатура перестановки Зауваження : Допоміжні означення Означимо форму об'єму де — невід'ємний скаляр на многовиді , а — символ Леві - Чивіти . \. Навіть за відсутності метрики , якщо , можна визначити контраваріантні компоненти форми об'єму . тут антисиметричний символ збігається \ . У присутності метрики з піднятими індексами може відрізнятися від на знак : \. Тут і далі Уведемо операцію антисиметризації : \ . Підсумовування ведеться за всіма перестановками індексів , укладених в квадратні дужки , з урахуванням їх парності \ . Аналогічно визначається антисимметризація верхніх індексів ; антисимметризувати можна тільки за групою індексів одного типу . Приклади : ; \. Джерела David BleeckerGauge Theory and Variational Principles . Addison-Wesley Publishing . \ . Chpt.contains a condensed review of non - Riemannian differential geometry . Jurgen JostRiemannian Geometry and Geometric Analysis . Springer - Verlag . \. A detailed exposition starting from basic principles ; does not treat the pseudo- Riemannian case . Charles W . Misner , Kip S . Thorne , John Archibald WheelerGravitation . W . H . Freeman . \ . A basic review of differential geometry in the special case of four-dimensional spacetime . Steven RosenbergThe Laplacian on a Riemannian manifold . Cambridge University Press . \ . An introduction to the heat equation and the Atiyah-Singer theorem . Tevian DrayThe Hodge Dual Operator \ . A thorough overview of the definition and properties of the Hodge star operator . Тензорне числення Теорії двоїстості