Ін'єктивний об'єкт
Ін'єктивний об'єкт — теоретико-категорне узагальнення поняття ін'єктивних модулів. Двоїстим є поняття проєктивного об'єкта.

Означення 

Об'єкт  категорії  називається ін'єктивним, якщо для будь-якого морфізма  і будь-якого мономорфізма  існує (не обов'язково єдиний) морфізм для якого .

У локально малих категоріях, об'єкт  є ін'єктивним тоді і тільки тоді коли контраваріантний функтор Hom  переводить мономорфізми у  у сюр'єктивні відображення множин.

Досить багато ін'єктивних об'єктів 
Кажуть, що в категорії  досить багато ін'єктивних об'єктів, якщо для будь-якого об'єкта  категорії  існує мономорфізм  в ін'єктивний об'єкт .

Ін'єктивна оболонка 

Мономорфізм  категорії  називається істотним, якщо для будь-якого морфізма  композиція  є мономорфізмом, тільки якщо  є мономорфізмом.

Якщо  — істотний мономорфізм і об'єкт  є ін'єктивним, то  називається ін'єктивною оболонкою . Ін'єктивна оболонка є єдиною з точністю до неканонічного ізоморфізму.

Випадок абелевих категорій 
Якщо  — (локально мала) абелева категорія, то її об'єкт  називається ін'єктивним тоді і тільки тоді, коли функтор Hom  є точним.

Ще одним еквівалентним еквівалентним означенням є: об'єкт  є ін'єктивним якщо і тільки якщо кожна послідовність виду
 
є точною у  тоді і тільки тоді коли вона розщеплюється, тобто  є ізоморфним прямій сумі .

 Загалом контраваріантний функтор Hom є точним зліва, тобто для короткої точної послідовності  точною є лише послідовність  Для того щоб цей функтор був точним необхідно і достатньо щоб відображення  було сюр'єктивним, тобто для кожного морфізма  існував морфізм  для якого  де  — морфізм із початкової точної послідовності. Оскільки в абелевій категорії мономорфізм  завжди можна продовжити до короткої точної послідовності (взявши за C коядро h) то звідси одержується еквівалентність загального означення із означенням через точність функтора Hom.

 Якщо  є ін'єктивним об'єктом і  — одиничний морфізм, то з означення ін'єктивності випливає, що для мономорфізма  існує морфізм  такий що  Але існування такого морфізма є еквівалентним розщепленню точної послідовності 

 Навпаки, нехай довільна така коротка точна послідовність розщеплюється,  — мономорфізм і  — довільний морфізм. В абелевій категорії існують всі розшаровані кодобутки і існування морфізму  для якого  є еквівалентним існуванню морфізма  для якого  У абелевій категорії розшаровані кодобутки зберігають мономорфізми, тому  теж є мономорфізмом і тому частиною точної послідовності : Оскільки згідно умови ця послідовність розщеплюється то необхідний морфізм  існує.

Як і кожен контраваріантний адитивний функтор  є точним справа тоді і тільки тоді, коли переводить ядра у коядра. Ця умова є ще одною еквівалентною умовою ін'єктивності об'єкта

Властивості 
 Нехай  — добуток деякої сім'ї об'єктів. Тоді  є ін'єктивним тоді і тільки тоді, коли всі  є ін'єктивними.
 Будь-який ін'єктивний підоб'єкт  об'єкта  є його прямим доданком.
 Якщо  — абелеві категорії і  — функтор спряжений до точного функтора  то G переводить ін'єктивні об'єкти категорії  у ін'єктивні об'єкти категорії 
 Нехай  — абелеві категорії і  — функтор спряжений справа до функтора  Якщо G переводить ін'єктивні об'єкти категорії  у ін'єктивні об'єкти категорії  і у  є досить багато ін'єктивних об'єктів, то F є точним функтором.
 Якщо  є ін'єктивними оболонками об'єктів  відповідно, то  є ін'єктивною оболонкою 
 Якщо  є ін'єктивними оболонками об'єкта  то вони є ізоморфними.

Приклади 
 У категорії абелевих груп ін'єктивними об'єктами є подільні групи.
 Адитивна група раціональних чисел є ін'єктивною оболонкою адитивної групи цілих чисел у категорії абелевих груп.
 Нехай p — просте число. Нехай  — мультиплікативна підгрупа комплексних чисел, що задовольняють хоча б одному рівнянню виду  Тоді у категорії абелевих груп  є ін'єктивною оболонкою для всіх груп  — коренів з одиниці степеня 
 У категорії модулів  ін'єктивними об'єктами є ін'єктивні модулі. У  існують ін'єктивні оболонки, і, як наслідок, досить багато ін'єктивних об'єктів.
 В категорії метричних просторів і коротких відображень ін'єктивними об'єктами є ін'єктивні метричні простори.
 Розглядають також ін'єктивні об'єкти в більш загальних категоріях, наприклад в категоріях функторів або в категоріях пучків модулів.

Узагальнення 

Нехай  є категорією і  — клас морфізмів у .

Об'єкт  категорії  називається -ін'єктивним якщо для будь-якого морфізма  і кожного морфізма  з класу  існує морфізм  для якого .

Якщо  є класом мономорфізмів то одержується означення ін'єктивних модулів.

Категорія  має досить багато -ін'єктивних об'єктів якщо для кожного об'єкта X категорії , існує -морфізм із X у -ін'єктивний об'єкт.

-морфізм g у  називається -істотним якщо для будь-якого морфізма f, композиція fg належить класу  лише якщо f належить класу .

Якщо g є -істотним морфізмом із X у -ін'єктивний об'єкт G, то G називається H-ін'єктивною оболонкою об'єкта X.

Див. також 
 Ін'єктивний модуль
 Проєктивний об'єкт

Література 
 И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
 

Теорія категорій
Ін'єктивний об'єкт — теоретико - категорне узагальнення поняття ін'єктивних модулів . Двоїстим є поняття проєктивного об'єкта . Означення Об'єкт категорії називається ін' єктивним , якщо для будь-якого морфізма і будь-якого мономорфізма існує ( не обов'язково єдиний ) морфізм для якого \ . У локально малих категоріях , об'єкт є ін'єктивним тоді і тільки тоді коли контраваріантний функтор Hom переводить мономорфізми у у сюр'єктивні відображення множин . Досить багато ін'єктивних об'єктів Кажуть , що в категорії досить багато ін'єктивних об'єктів , якщо для будь-якого об'єкта категорії існує мономорфізм в ін'єктивний об'єкт \ . Ін'єктивна оболонка Мономорфізм категорії називається істотним , якщо для будь-якого морфізма композиція є мономорфізмом , тільки якщо є мономорфізмом . Якщо — істотний мономорфізм і об'єкт є ін' єктивним , то називається ін'єктивною оболонкою \ . Ін'єктивна оболонка є єдиною з точністю до неканонічного ізоморфізму . Випадок абелевих категорій Якщо — ( локально мала ) абелева категорія , то її об'єкт називається ін'єктивним тоді і тільки тоді , коли функтор Hom є точним . Ще одним еквівалентним еквівалентним означенням є : об'єкт є ін'єктивним якщо і тільки якщо кожна послідовність виду є точною у тоді і тільки тоді коли вона розщеплюється , тобто є ізоморфним прямій сумі \ . Загалом контраваріантний функтор Hom є точним зліва , тобто для короткої точної послідовності точною є лише послідовність Для того щоб цей функтор був точним необхідно і достатньо щоб відображення було сюр'єктивним , тобто для кожного морфізма існував морфізм для якого де — морфізм із початкової точної послідовності . Оскільки в абелевій категорії мономорфізм завжди можна продовжити до короткої точної послідовності ( взявши за C коядро h ) то звідси одержується еквівалентність загального означення із означенням через точність функтора Hom . Якщо є ін'єктивним об'єктом і — одиничний морфізм , то з означення ін'єктивності випливає , що для мономорфізма існує морфізм такий що Але існування такого морфізма є еквівалентним розщепленню точної послідовності Навпаки , нехай довільна така коротка точна послідовність розщеплюється , — мономорфізм і — довільний морфізм . В абелевій категорії існують всі розшаровані кодобутки і існування морфізму для якого є еквівалентним існуванню морфізма для якого У абелевій категорії розшаровані кодобутки зберігають мономорфізми , тому теж є мономорфізмом і тому частиною точної послідовності \ : Оскільки згідно умови ця послідовність розщеплюється то необхідний морфізм існує . Як і кожен контраваріантний адитивний функтор є точним справа тоді і тільки тоді , коли переводить ядра у коядра . Ця умова є ще одною еквівалентною умовою ін'єктивності об'єкта Властивості Нехай — добуток деякої сім'ї об'єктів . Тоді є ін'єктивним тоді і тільки тоді , коли всі є ін'єктивними . Будь-який ін'єктивний підоб'єкт об'єкта є його прямим доданком . Якщо — абелеві категорії і — функтор спряжений до точного функтора то G переводить ін'єктивні об'єкти категорії у ін'єктивні об'єкти категорії Нехай — абелеві категорії і — функтор спряжений справа до функтора Якщо G переводить ін'єктивні об'єкти категорії у ін'єктивні об'єкти категорії і у є досить багато ін'єктивних об'єктів , то F є точним функтором . Якщо є ін'єктивними оболонками об'єктів відповідно , то є ін'єктивною оболонкою Якщо є ін'єктивними оболонками об'єкта то вони є ізоморфними . Приклади У категорії абелевих груп ін'єктивними об'єктами є подільні групи . Адитивна група раціональних чисел є ін'єктивною оболонкою адитивної групи цілих чисел у категорії абелевих груп . Нехай p — просте число . Нехай — мультиплікативна підгрупа комплексних чисел , що задовольняють хоча б одному рівнянню виду Тоді у категорії абелевих груп є ін'єктивною оболонкою для всіх груп — коренів з одиниці степеня У категорії модулів ін'єктивними об'єктами є ін'єктивні модулі . У існують ін'єктивні оболонки , і , як наслідок , досить багато ін'єктивних об'єктів . В категорії метричних просторів і коротких відображень ін'єктивними об'єктами є ін'єктивні метричні простори . Розглядають також ін'єктивні об'єкти в більш загальних категоріях , наприклад в категоріях функторів або в категоріях пучків модулів . Узагальнення Нехай є категорією і — клас морфізмів у \ . Об'єкт категорії називається - ін'єктивним якщо для будь-якого морфізма і кожного морфізма з класу існує морфізм для якого \ . Якщо є класом мономорфізмів то одержується означення ін'єктивних модулів . Категорія має досить багато - ін'єктивних об'єктів якщо для кожного об'єкта X категорії , існує - морфізм із X у -ін'єктивний об'єкт . - морфізм g у називається - істотним якщо для будь-якого морфізма f , композиція fg належить класу лише якщо f належить класу \ . Якщо g є - істотним морфізмом із X у -ін'єктивний об'єкт G , то G називається H-ін'єктивною оболонкою об'єкта X . Див . також Ін'єктивний модуль Проєктивний об'єкт Література И . Букур , А . Деляну Введение в теорию категорий и функторов . — М . : Мир , Теорія категорій