Лема Осґуда
У комплексному аналізі кількох змінних лемою Осґуда називається твердження про еквівалентність кількох означень голоморфної функції кількох змінних. Лема стверджує, що неперервна функція кількох комплексних змінних, що є голоморфною по кожній змінній окремо є голоморфною. Вимога неперервності у твердженні насправді не є необхідною, що є змістом сильнішої теореми Хартогса. Лема названа на честь американського математика Вільяма Фогга Осґуда, який довів її у 1899 році.

Твердження 
Якщо комплексна функція  є неперервною у відкритій множині і голоморфною по кожній змінній окремо, то вона є голоморфною в D.

Доведення  

Виберемо будь-яку точку  і замкнутий полікруг  Оскільки  є голоморфною по кожній змінній окремо, багаторазове застосування інтегральної формули Коші (для функцій однієї змінної) приводить до формули 

 

справедливої ​​при всіх  

Для будь-якої фіксованої точки z підінтегральний вираз у цій формулі є неперервною функцією на компактній області інтегрування, тому повторний інтеграл можна замінити одним кратним інтегралом

Для фіксованої точки  ряд

є абсолютно і рівномірно збіжним при для  з області інтегрування у кратному інтегралі. Отже, після підстановки цього розкладу в інтеграл і зміни порядку сумування і інтегрування одержується розклад функції  у степеневий ряд виду

з коефіцієнтами

Отже є голоморфною функцією.

Примітки

Див. також 

 Голоморфна функція
 Теорема Хартогса

Література 

 

Комплексний аналіз
У комплексному аналізі кількох змінних лемою Осґуда називається твердження про еквівалентність кількох означень голоморфної функції кількох змінних . Лема стверджує , що неперервна функція кількох комплексних змінних , що є голоморфною по кожній змінній окремо є голоморфною . Вимога неперервності у твердженні насправді не є необхідною , що є змістом сильнішої теореми Хартогса . Лема названа на честь американського математика Вільяма Фогга Осґуда , який довів її уроці . Твердження Якщо комплексна функція є неперервною у відкритій множині і голоморфною по кожній змінній окремо , то вона є голоморфною в D . Доведення Виберемо будь-яку точку і замкнутий полікруг Оскільки є голоморфною по кожній змінній окремо , багаторазове застосування інтегральної формули Коші ( для функцій однієї змінної ) приводить до формули справедливої ​​при всіх Для будь-якої фіксованої точки z підінтегральний вираз у цій формулі є неперервною функцією на компактній області інтегрування , тому повторний інтеграл можна замінити одним кратним інтегралом Для фіксованої точки ряд є абсолютно і рівномірно збіжним при для з області інтегрування у кратному інтегралі . Отже , після підстановки цього розкладу в інтеграл і зміни порядку сумування і інтегрування одержується розклад функції у степеневий ряд виду з коефіцієнтами Отже є голоморфною функцією . Примітки Див . також Голоморфна функція Теорема Хартогса Література Комплексний аналіз