Відокремлюваний морфізм схем
У алгебричній геометрії поняття відокремлюваних схем є певною мірою аналогом гаусдорфових просторів у загальній топології. Зокрема топологічний простір  є гаусдорфовим тоді і тільки тоді коли діагональ  є замкнутою у . Стандартне означення гаусдорфових просторів не має особливого змісту для схем. Зокрема для афінної схеми  із топологією Зариського, якщо нільрадикал кільця R є простим ідеалом, то перетин довільних двох відкритих множин є непустим.

Натомість перенесення означення за допомогою діагоналі приводить до змістовних понять відокремлюваних схем і морфізмів.

Означення 

Нехай  морфізм схем і  проєкції розшарованого добутку  з собою на компоненти. Згідно з універсальною властивістю розшарованого добутку існує єдиний морфізм -схема  для якого . Цей морфізм називається діагональним морфізмом для  над . Образ цього морфізму називається діагоналлю .

Морфізм схем  називається відокремлюваним морфізмом якщо діагональ  є замкнутою множиною.

-схема  називається відокремлюваною якщо структурний морфізм  є відокремлюваним.

Схема  називається відокремлюваною схемою якщо канонічний морфізм  є відокремлюваним.

Приклади 

 Усі афінні схеми є відокремлюваними. Більш загально будь-який морфізм афінних схем   є відокремлюваним.

 Будь-який морфізм афінних схем породжується гомоморфізмом кілець  Розглядаючи кільце A як B-алгебру через це відображення можна записати  Діагональний морфізм:
 
 відповідає гомоморфізму 
 
 Оскільки  є очевидно сюр'єктивним гомоморфізмом то  є замкнутою іммерсією і морфізм є відокремлюваним. Якщо взяти  то одержується твердження для афінних схем.

 Дві копії  і  афінної при ідентифікації відкритих множин  і  утворюють невідокремлювану схему над . Дана схема називається афінною прямою із подвоєним початком координат.

 Дійсно позначаючи цю схему Z одержуємо, що  можна отримати із чотирьох афінних площин  в яких усі точки окрім початку координат ідентифікуються. Таким чином у початку координат є чотири точки. Замикання у  діагоналі афінної площини без початку координат міститьусі чотири точки в початку координат 
 Натомість діагональний морфізм   одержується склеюванням діагональних морфізмів  і  Образом  при цьому є діагональ без початку координат і дві точки у початку координат. Цей образ не є замкнутою множиною.

Властивості 

 Замкнуті і відкриті іммерсії є відокремлюваними морфізмами.
 Якщо  є відокремлюваним морфізмом, то для всіх  морфізм (забіна бази)  є відокремлюваним.
 Розшарований добуток  відокремлюваних -схем є відокремлюваною -схемою.
 Композиція відокремлюваних морфізмів є відокремлюваним морфізмом.
 Твердження нижче є еквівалентними:

  є відокремлюваною схемою;
 існує відокремлюваний морфізм   у деяку афінну схему;
 кожен морфізм  є відокремлюваним.

 Якщо  є морфізмами із редукованої схеми  у відокремлювану схему  і існує щільна відкрита множина  для якої , то .
 Нехай  є морфізмом -схем і  є відокремлюваною над . Тоді граф морфізма  є замкнутою множиною у . Графом морфізма  за означенням є образ морфізма .
 Алгебричні групи є завжди відокремлюваними.

Література 

 

Алгебрична геометрія
У алгебричній геометрії поняття відокремлюваних схем є певною мірою аналогом гаусдорфових просторів у загальній топології . Зокрема топологічний простір є гаусдорфовим тоді і тільки тоді коли діагональ є замкнутою у \. Стандартне означення гаусдорфових просторів не має особливого змісту для схем . Зокрема для афінної схеми із топологією Зариського , якщо нільрадикал кільця R є простим ідеалом , то перетин довільних двох відкритих множин є непустим . Натомість перенесення означення за допомогою діагоналі приводить до змістовних понять відокремлюваних схем і морфізмів . Означення Нехай морфізм схем і проєкції розшарованого добутку з собою на компоненти . Згідно з універсальною властивістю розшарованого добутку існує єдиний морфізм -схема для якого \ . Цей морфізм називається діагональним морфізмом для над \ . Образ цього морфізму називається діагоналлю \ . Морфізм схем називається відокремлюваним морфізмом якщо діагональ є замкнутою множиною . -схема називається відокремлюваною якщо структурний морфізм є відокремлюваним . Схема називається відокремлюваною схемою якщо канонічний морфізм є відокремлюваним . Приклади Усі афінні схеми є відокремлюваними . Більш загально будь-який морфізм афінних схем є відокремлюваним . Будь-який морфізм афінних схем породжується гомоморфізмом кілець Розглядаючи кільце A як B - алгебру через це відображення можна записати Діагональний морфізм : відповідає гомоморфізму Оскільки є очевидно сюр'єктивним гомоморфізмом то є замкнутою іммерсією і морфізм є відокремлюваним . Якщо взяти то одержується твердження для афінних схем . Дві копії і афінної при ідентифікації відкритих множин і утворюють невідокремлювану схему над \ . Дана схема називається афінною прямою із подвоєним початком координат . Дійсно позначаючи цю схему Z одержуємо , що можна отримати із чотирьох афінних площин в яких усі точки окрім початку координат ідентифікуються . Таким чином у початку координат є чотири точки . Замикання у діагоналі афінної площини без початку координат міститьусі чотири точки в початку координат Натомість діагональний морфізм одержується склеюванням діагональних морфізмів і Образом при цьому є діагональ без початку координат і дві точки у початку координат . Цей образ не є замкнутою множиною . Властивості Замкнуті і відкриті іммерсії є відокремлюваними морфізмами . Якщо є відокремлюваним морфізмом , то для всіх морфізм ( забіна бази ) є відокремлюваним . Розшарований добуток відокремлюваних -схем є відокремлюваною - схемою . Композиція відокремлюваних морфізмів є відокремлюваним морфізмом . Твердження нижче є еквівалентними : є відокремлюваною схемою ; існує відокремлюваний морфізм у деяку афінну схему ; кожен морфізм є відокремлюваним . Якщо є морфізмами із редукованої схеми у відокремлювану схему і існує щільна відкрита множина для якої , то \ . Нехай є морфізмом -схем і є відокремлюваною над \ . Тоді граф морфізма є замкнутою множиною у \. Графом морфізма за означенням є образ морфізма \ . Алгебричні групи є завжди відокремлюваними . Література Алгебрична геометрія