Голоморфно опукла оболонка
У математиці, зокрема у комплексному аналізі, голоморфно опуклою оболонкою даної компактної множини у n-вимірному комплексному просторі  є аналогом опуклої оболонки де замість лінійних функцій беруться голоморфні.

Означення 
Нехай   — область (відкрита і зв'язана множина) або  вимірний комплексний многовид. Нехай   позначає множину голоморфних функцій на  Для підмножини  , голоморфно опуклою оболонкою  є

 

Якщо замість  взяти деяку довільну сім'ю функцій , то подібним чином задана множина називається F-опуклою оболонкою. Зокрема для випадку лінійних функцій на  одержується стандартна опукла оболонка. Ще одним важливим прикладом є коли  є множиною поліноміальних функцій на G. Тоді ця оболонка називається поліноміально опуклою оболонкою. Поліноміально опукла оболонка містить голоморфно опуклу оболонку.

Область  називається голоморфно опуклою якщо для кожної компактної підмножини  замикання голоморфно опуклої оболонки  у  теж є компактною підмножиною у . Мотивацією для даного означення є випадок звичайних опуклих множин. У цьому випадку відкрита зв'язана підмножина  чи  є опуклою тоді і тільки тоді, коли замикання опуклої оболонки будь-якої її компактної підмножини теж є її компактною підмножиною.

Аналогічно вводиться поняття F-голоморфно опуклої області для деякої сім'ї функцій

Приклади  

 Кожна опукла область  є також голоморфно опуклою.

 Якщо  і  де  — опукла оболонка  у  то існує комплексна лінійна функція  для якої  Але лінійні функції є голоморфними на  а тому також  Тобто голоморфно опукла оболонка є підмножиною опуклої оболонки і тому якщо замикання  є компактною підмножиною  це тим більше є справедливим для замикання 

 Будь-яка область  є голоморфно опуклою.

 Нехай  — компактна підмножина. Вона є обмеженою і за вдастивостями голоморфно опуклої оболонки  теж є обмеженою. Позначимо її замикання у  як  Тоді  є компактною множиною і потрібно довести, що  Припустимо, що  Тоді  і функція  є голоморфною у  Існує послідовність  що прямує до  Із означення голоморфно опуклої оболонки  оскільки  — компактна підмножина. Але це неможливо оскільки очевидно  є необмеженою послідовністю.

Властивості 

 
  є замкнутою підмножиною у  (але не обов'язково у).
 
 Якщо  то 
 Якщо  є обмеженою множиною, то  теж є обмеженою.
 Область  є голоморфно опуклою якщо і тільки якщо для кожної нескінченної множини  що не має граничних точок у  існує функція  що є необмеженою на множині 
 Область  є голоморфно опуклою якщо і тільки якщо вона є областю голоморфності (теорема Картана — Тюллена).

Див. також 

 Голоморфна функція
 Опукла оболонка

Література 

 Lars Hörmander. An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland Publishing Company, New York, New York, 1973.
 Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.

Комплексний аналіз
У математиці , зокрема у комплексному аналізі , голоморфно опуклою оболонкою даної компактної множини у n-вимірному комплексному просторі є аналогом опуклої оболонки де замість лінійних функцій беруться голоморфні . Означення Нехай — область ( відкрита і зв'язана множина ) або вимірний комплексний многовид . Нехай позначає множину голоморфних функцій на Для підмножини , голоморфно опуклою оболонкою є Якщо замість взяти деяку довільну сім'ю функцій , то подібним чином задана множина називається F - опуклою оболонкою . Зокрема для випадку лінійних функцій на одержується стандартна опукла оболонка . Ще одним важливим прикладом є коли є множиною поліноміальних функцій на G . Тоді ця оболонка називається поліноміально опуклою оболонкою . Поліноміально опукла оболонка містить голоморфно опуклу оболонку . Область називається голоморфно опуклою якщо для кожної компактної підмножини замикання голоморфно опуклої оболонки у теж є компактною підмножиною у \. Мотивацією для даного означення є випадок звичайних опуклих множин . У цьому випадку відкрита зв'язана підмножина чи є опуклою тоді і тільки тоді , коли замикання опуклої оболонки будь-якої її компактної підмножини теж є її компактною підмножиною . Аналогічно вводиться поняття F - голоморфно опуклої області для деякої сім'ї функцій Приклади Кожна опукла область є також голоморфно опуклою . Якщо і де — опукла оболонка у то існує комплексна лінійна функція для якої Але лінійні функції є голоморфними на а тому також Тобто голоморфно опукла оболонка є підмножиною опуклої оболонки і тому якщо замикання є компактною підмножиною це тим більше є справедливим для замикання Будь-яка область є голоморфно опуклою . Нехай — компактна підмножина . Вона є обмеженою і за вдастивостями голоморфно опуклої оболонки теж є обмеженою . Позначимо її замикання у як Тоді є компактною множиною і потрібно довести , що Припустимо , що Тоді і функція є голоморфною у Існує послідовність що прямує до Із означення голоморфно опуклої оболонки оскільки — компактна підмножина . Але це неможливо оскільки очевидно є необмеженою послідовністю . Властивості є замкнутою підмножиною у ( але не обов'язково у ) . Якщо то Якщо є обмеженою множиною , то теж є обмеженою . Область є голоморфно опуклою якщо і тільки якщо для кожної нескінченної множини що не має граничних точок у існує функція що є необмеженою на множині Область є голоморфно опуклою якщо і тільки якщо вона є областю голоморфності ( теорема Картана — Тюллена ) . Див . також Голоморфна функція Опукла оболонка Література Lars Hörmander . An Introduction to Complex Analysis in Several Variables , North-Holland Publishing Company , New York , New York , Steven G . Krantz . Function Theory of Several Complex Variables , AMS Chelsea Publishing , Providence , Rhode Island , Комплексний аналіз