Теорема Меньє
У диференційній геометрії теоремою Меньє називається твердження про властивості кривини на поверхні, яке було доведено у 1776 році (опубліковано 1785 році) французьким вченим Жаном Батістом Меньє.

Необхідні означення 
Нехай  — регулярна поверхня у тривимірному евклідовому просторі і  — регулярна крива, образ якої належить поверхні S і  Нехай крива параметризується своєю довжиною. Тоді  в усіх точках кривої. Якщо  то вектор  називається одиничною нормаллю, а  — кривиною кривої  у точці p. Також нехай N позначає одиничний нормальний вектор до площини S у точці p (тобто одиничний вектор, що є ортогональним до дотичної площини поверхні у даній точці із певним вибором напрямку). 

Нормальною кривиною  кривої  у точці  у цьому випадку називається довжина ортогональної проєкції  на пряму задану вектором N. Якщо кривина прямої у точці рівна нулю, то і її нормальна кривина рівна нулю. 

Якщо  — кут між векторами N і n то можна явно записати  або через скалярний добуток

Теорема Меньє 

Теорема Меньє стверджує, що нормальна кривина кривої  у точці  залежить лише від напрямку дотичного вектора  у цій точці. Тобто якщо дві регулярні криві (параметризовані своїми довжинами) мають однаковий дотичний вектор у точці p, то і їх нормальні криві у цій точці будуть однаковими.

Доведення 
Нехай N(t) — одиничні нормалі до поверхні S у точках  Згідно означення нормальні кривини у точках прямої тоді є рівними  За означеннями  і продиференціювавши цю рівність отримуємо  де  — диференціал у точці p нормального відображення із поверхні S на одиничну сферу, що кожній точці поверхні співставляє одиничну нормаль у цій точці. При означенні  дотичні поверхні до S і у відповідній точці сфери ототожнюються (загалом вони є паралельними). Таким чином нормальна кривина залежить тільки від

Наслідки 

 З теореми Меньє випливає, що поняття нормальної кривини має значення для одиничних векторів на дотичній площині  Кожен такий вектор x, разом із нормаллю N задає деяку площину перетин якої із S утворює регулярну криву  для якої (при параметризації довжиною) x є дотичним вектором і кривина якої у точці p є рівною нормальній кривині. Крива  називається нормальним перетином поверхні S із дотичним вектором x.

 З теореми Меньє також випливає те, що для регулярної кривої  із дотичним вектором x у точці p кривина залежить тільки від нормалі до прямої оскільки нормаль до поверхні і нормальна кривина у цьому випадку задані однозначно. Зокрема нормальну кривину можна однозначно визначити як звичайну кривину нормального перерізу.

 Для нормального перетину із дотичним вектором x центром стичного кола є точка  і його радіус очевидно є рівним Для довільної іншої кривої у S із дотичним вектором x у точці  p стичне коло у цій точці за означенням належить площині заданій векторами  x і n, центром стичного кола є точка і радіус кола є рівним 1/k. Згідно теореми Меньє кривина кривої визначається лише кутом між N і n і . Тому радіуси стичних кіл задовольняють співвідношення  Як наслідок всі такі стичні кола лежать на сфері із центром у точці і радіусом

Примітки

Див. також 

 Кривина
 Поверхня
Стичне коло

Література 

 
 

Диференціальна геометрія поверхонь
У диференційній геометрії теоремою Меньє називається твердження про властивості кривини на поверхні , яке було доведено уроці ( опублікованороці ) французьким вченим Жаном Батістом Меньє . Необхідні означення Нехай — регулярна поверхня у тривимірному евклідовому просторі і — регулярна крива , образ якої належить поверхні S і Нехай крива параметризується своєю довжиною . Тоді в усіх точках кривої . Якщо то вектор називається одиничною нормаллю , а — кривиною кривої у точці p . Також нехай N позначає одиничний нормальний вектор до площини S у точці p ( тобто одиничний вектор , що є ортогональним до дотичної площини поверхні у даній точці із певним вибором напрямку ) . Нормальною кривиною кривої у точці у цьому випадку називається довжина ортогональної проєкції на пряму задану вектором N . Якщо кривина прямої у точці рівна нулю , то і її нормальна кривина рівна нулю . Якщо — кут між векторами N і n то можна явно записати або через скалярний добуток Теорема Меньє Теорема Меньє стверджує , що нормальна кривина кривої у точці залежить лише від напрямку дотичного вектора у цій точці . Тобто якщо дві регулярні криві ( параметризовані своїми довжинами ) мають однаковий дотичний вектор у точці p , то і їх нормальні криві у цій точці будуть однаковими . Доведення Нехай N ( t ) — одиничні нормалі до поверхні S у точках Згідно означення нормальні кривини у точках прямої тоді є рівними За означеннями і продиференціювавши цю рівність отримуємо де — диференціал у точці p нормального відображення із поверхні S на одиничну сферу , що кожній точці поверхні співставляє одиничну нормаль у цій точці . При означенні дотичні поверхні до S і у відповідній точці сфери ототожнюються ( загалом вони є паралельними ) . Таким чином нормальна кривина залежить тільки від Наслідки З теореми Меньє випливає , що поняття нормальної кривини має значення для одиничних векторів на дотичній площині Кожен такий вектор x , разом із нормаллю N задає деяку площину перетин якої із S утворює регулярну криву для якої ( при параметризації довжиною ) x є дотичним вектором і кривина якої у точці p є рівною нормальній кривині . Крива називається нормальним перетином поверхні S із дотичним вектором x. З теореми Меньє також випливає те , що для регулярної кривої із дотичним вектором x у точці p кривина залежить тільки від нормалі до прямої оскільки нормаль до поверхні і нормальна кривина у цьому випадку задані однозначно . Зокрема нормальну кривину можна однозначно визначити як звичайну кривину нормального перерізу . Для нормального перетину із дотичним вектором x центром стичного кола є точка і його радіус очевидно є рівним Для довільної іншої кривої у S із дотичним вектором x у точці p стичне коло у цій точці за означенням належить площині заданій векторами x і n , центром стичного кола є точка і радіус кола є рівнимk . Згідно теореми Меньє кривина кривої визначається лише кутом між N і n і \ . Тому радіуси стичних кіл задовольняють співвідношення Як наслідок всі такі стичні кола лежать на сфері із центром у точці і радіусом Примітки Див . також Кривина Поверхня Стичне коло Література Диференціальна геометрія поверхонь