Відображення Гауса
Відображення Гауса (сферичне відображення, нормальне відображення) — відображення з гладкої орієнтовної поверхні в тривимірному евклідовому просторі в одиничну сферу, при якому точка поверхні відображається у вектор одиничної нормалі в цій точці. Більш загально подібне відображення можна ввести для гіперповерхонь у евклідових просторах довільної розмірності. 

Диференціал відображення Гауса називається відображенням Вейнгартена. Оскільки дотичні площини до поверхні в деякій точці p і до одиничної сфери в образі точки p відображення Гауса є паралельними, відображення Вейнгартена можна інтерпретувати як лінійне відображення на дотичній площині до точки p.

Для підмноговидів евклідового простору довільної розмірності і корозмірності природним аналогом відображення Гауса є відображення, що зіставляє точці підмноговидів точку грассманіана, відповідну дотичному простору в цій точці.

Означення 
Нехай S — регулярна диференційовна орієнтовна поверхня. В кожній точці p цієї поверхні існує два одиничні вектори, що є ортогональними до дотичної поверхні у точці p. Вибір одного з цих векторів задає орієнтацію. Оскільки поверхня є орієнтовною, то можна однозначно зробити вибір одиничних нормалей у кожній точці так, що в результаті одержується неперервне нормальне векторне поле.
Якщо для точки  позначити відповідний нормальний вектор як N(p), то відображення:

називається відображенням Гауса. 

Відображення Гауса є диференційовним і його диференціал  у деякій точці p називається відображенням Вейнгартена. 

Для відображення Вейнгартена дотична площина  є паралельною до дотичної площини  Це легко можна побачити у локальних координатах  у деякому околі точки p. Із цього запису отримується параметричний запис образу при відображенні Гауса N(u,v). Продиференціювавши рівність (N(u,v),N(u,v)) = 1 по u і v, отримаємо  тобто вектори  і  а отже і дотична площина є ортогональними до N. Це ж справедливо за означенням і на площині S. Оскільки площини  і  є ортогональними до одного вектора, то вони є паралельними.

Таким чином вектори на цих двох площинах можна ототожнити і вважати відображення Вейнгартена лінійним відображенням на .

Для орієнтовної гіперповерхні у (або, більш загально, орієнтовного підмноговида корозмірності 1 у диференційовному многовиді) теж можна ввести нормальне одиничне диференційовне векторне поле (таких варіантів знову ж буде 2). Тоді відображення, що кожній точці ставить у відповідність нормаль у точці називається відображенням Гауса. Воно є диференційовним і його диференціал називається відображенням Вейнгартена.

Властивості 

 У локальних координатах  позначаючи  відображення Гауса можна задати як  Звідси очевидною є диференційовність відображення. Даний запис можна подати для довільної регулярної поверхні тому для кожної такої поверхні відображення Гауса існує локально. Але глобально його можна ввести лише для орієнтовних поверхонь.
 Для відображення Вейнгартена 
 Диференціал  (якщо його, як вище, розглядати як лінійне відображення на ) є самоспряженим на  щодо скалярного добутку успадкованого із .

 Згідно попередньої властивості достатньо довести, що  Для цього слід продиференціювати рівності  і  по v і u відповідно. Тоді  і тому 

 За допомогою відображення Вейнгартена вводиться друга фундаментальна квадратична форма  Згідно теореми Меньє значення другої фундаментальної форми на одиничному дотичному векторі X є рівним кривині нормального перетину поверхні S визначеному як перетин S і площини заданої векторами N(p) і X.
 Матриця відображення Вейнгартена у базисі  одержується транспонуванням матриці дериваційних формул Вейнгартена . А саме якщо  то  
У попередніх формулах а також  і всі скалярні добутки розглядаються на дотичній площині у точці p.
 Якобіан відображення Гауса дорівнює гаусовій кривині поверхні в даній точці.
Більш абстрактно можна дати означення відображення Вейнгартена через коваріантні похідні (афінні зв'язності). Дані означення мають зміст для евклідового простору будь-якої розмірності і є основою для подальших узагальнень зокрема у рімановій геометрії.  У евклідовому просторі  коваріантна похідна для диференційовних векторних полів X, Y в околі точки p задається як  де у стандартному базисі друге векторне поле через координати записується як   а  позначає дію векторного поля X як диференціального оператора на функції  Значення  в деякій точці  p залежить лише від значення векторного поля X у цій точці, а також значення векторного поля Y на деякій прямій, що проходить через точку  p і дотичний вектор якої в цій точці рівний  X(p). Якщо  — така крива  то позначивши  отримаємо  Звідси при тих же позначеннях для гіперповерхні у евклідовому просторі і нормального поля також випливає, що 
Таким чином для доведення властивостей відображення Вейнгартена також можна використовувати властивості коваріантних похідних. Для цього у випадку гіперповерхонь важливим є той факт, що нормальні і дотичні векторні поля N, X на околі точки  p на гіперповерхні можна продовжити до векторних полів  в околі цієї точки у евклідовому просторі.
Зокрема для доведення самоспряженості

Приклади 

 Для площини заданої рівнянням відображення Гауса є константою рівною  Відповідно відображення Вейнгартена є нульовим лінійним відображенням.
 Для одиничної сфери  у точці  одиничними нормальними векторами є  і  Зазвичай обирається обернений нормальний вектор, тоді  Для відображення Вейнгартена  для будь-якої кривої  і на одиничній сфері. Тоді 
Для циліндра  у довільній точці дотична площина задається векторами v паралельним осі z і w, що є дотичним до кола , що проходить через цю точку. Подібно до попереднього прикладу  і для введених базисних векторів дотичної площини

Див. також 

 Дериваційні формули Вейнгартена
 Друга квадратична форма
 Поверхня
 Теорема Меньє

Література 

 
 
 

Диференціальна геометрія поверхонь
Відображення Гауса ( сферичне відображення , нормальне відображення ) — відображення з гладкої орієнтовної поверхні в тривимірному евклідовому просторі в одиничну сферу , при якому точка поверхні відображається у вектор одиничної нормалі в цій точці . Більш загально подібне відображення можна ввести для гіперповерхонь у евклідових просторах довільної розмірності . Диференціал відображення Гауса називається відображенням Вейнгартена . Оскільки дотичні площини до поверхні в деякій точці p і до одиничної сфери в образі точки p відображення Гауса є паралельними , відображення Вейнгартена можна інтерпретувати як лінійне відображення на дотичній площині до точки p . Для підмноговидів евклідового простору довільної розмірності і корозмірності природним аналогом відображення Гауса є відображення , що зіставляє точці підмноговидів точку грассманіана , відповідну дотичному простору в цій точці . Означення Нехай S — регулярна диференційовна орієнтовна поверхня . В кожній точці p цієї поверхні існує два одиничні вектори , що є ортогональними до дотичної поверхні у точці p . Вибір одного з цих векторів задає орієнтацію . Оскільки поверхня є орієнтовною , то можна однозначно зробити вибір одиничних нормалей у кожній точці так , що в результаті одержується неперервне нормальне векторне поле . Якщо для точки позначити відповідний нормальний вектор як N ( p ) , то відображення : називається відображенням Гауса . Відображення Гауса є диференційовним і його диференціал у деякій точці p називається відображенням Вейнгартена . Для відображення Вейнгартена дотична площина є паралельною до дотичної площини Це легко можна побачити у локальних координатах у деякому околі точки p . Із цього запису отримується параметричний запис образу при відображенні Гауса N ( u , v ) . Продиференціювавши рівність ( N ( u , v ) , N ( u ,v ) ) = по u і v , отримаємо тобто вектори і а отже і дотична площина є ортогональними до N . Це ж справедливо за означенням і на площині S . Оскільки площини і є ортогональними до одного вектора , то вони є паралельними . Таким чином вектори на цих двох площинах можна ототожнити і вважати відображення Вейнгартена лінійним відображенням на \ . Для орієнтовної гіперповерхні у ( або , більш загально , орієнтовного підмноговида корозмірностіу диференційовному многовиді ) теж можна ввести нормальне одиничне диференційовне векторне поле ( таких варіантів знову ж буде Тоді відображення , що кожній точці ставить у відповідність нормаль у точці називається відображенням Гауса . Воно є диференційовним і його диференціал називається відображенням Вейнгартена . Властивості У локальних координатах позначаючи відображення Гауса можна задати як Звідси очевидною є диференційовність відображення . Даний запис можна подати для довільної регулярної поверхні тому для кожної такої поверхні відображення Гауса існує локально . Але глобально його можна ввести лише для орієнтовних поверхонь . Для відображення Вейнгартена Диференціал ( якщо його , як вище , розглядати як лінійне відображення на ) є самоспряженим на щодо скалярного добутку успадкованого із \. Згідно попередньої властивості достатньо довести , що Для цього слід продиференціювати рівності і по v і u відповідно . Тоді і тому За допомогою відображення Вейнгартена вводиться друга фундаментальна квадратична форма Згідно теореми Меньє значення другої фундаментальної форми на одиничному дотичному векторі X є рівним кривині нормального перетину поверхні S визначеному як перетин S і площини заданої векторами N ( p ) і X . Матриця відображення Вейнгартена у базисі одержується транспонуванням матриці дериваційних формул Вейнгартена \ . А саме якщо то У попередніх формулах а також і всі скалярні добутки розглядаються на дотичній площині у точці p . Якобіан відображення Гауса дорівнює гаусовій кривині поверхні в даній точці . Більш абстрактно можна дати означення відображення Вейнгартена через коваріантні похідні ( афінні зв'язності ) . Дані означення мають зміст для евклідового простору будь-якої розмірності і є основою для подальших узагальнень зокрема у рімановій геометрії . У евклідовому просторі коваріантна похідна для диференційовних векторних полів X , Y в околі точки p задається як де у стандартному базисі друге векторне поле через координати записується як а позначає дію векторного поля X як диференціального оператора на функції Значення в деякій точці p залежить лише від значення векторного поля X у цій точці , а також значення векторного поля Y на деякій прямій , що проходить через точку p і дотичний вектор якої в цій точці рівний X ( p ) . Якщо — така крива то позначивши отримаємо Звідси при тих же позначеннях для гіперповерхні у евклідовому просторі і нормального поля також випливає , що Таким чином для доведення властивостей відображення Вейнгартена також можна використовувати властивості коваріантних похідних . Для цього у випадку гіперповерхонь важливим є той факт , що нормальні і дотичні векторні поля N , X на околі точки p на гіперповерхні можна продовжити до векторних полів в околі цієї точки у евклідовому просторі . Зокрема для доведення самоспряженості Приклади Для площини заданої рівнянням відображення Гауса є константою рівною Відповідно відображення Вейнгартена є нульовим лінійним відображенням . Для одиничної сфери у точці одиничними нормальними векторами є і Зазвичай обирається обернений нормальний вектор , тоді Для відображення Вейнгартена для будь-якої кривої і на одиничній сфері . Тоді Для циліндра у довільній точці дотична площина задається векторами v паралельним осі z і w , що є дотичним до кола , що проходить через цю точку . Подібно до попереднього прикладу і для введених базисних векторів дотичної площини Див . також Дериваційні формули Вейнгартена Друга квадратична форма Поверхня Теорема Меньє Література Диференціальна геометрія поверхонь