Індикатриса Дюпена
Індикатриса Дюпена або індикатриса кривини — плоска крива на дотичній площині до поверхні, яка дає наочне уявлення про викривлення поверхні в даній її точці. Індикатриса Дюпена названа на честь французького математика Шарля Дюпена, що вперше застосував її до дослідження поверхонь у 1813 році.

Означення і властивості 

Індикатриса Дюпена лежить у площині, дотичній до поверхні  в точці , і є сукупністю кінців відрізків, відкладених від точки  в напрямку  в дотичній площині, що мають довжину, рівну , де  — абсолютна величина нормальної кривини поверхні  в точці  в напрямку . 

Рівняння індикатриси Дюпена має вигляд

де  — вектор дотичної площини,   — друга фундаментальна форма поверхні , в точці  а  — відображення Вейнгартена.

Позначивши  — головні напрямки кривини, тобто власні вектори відображення Вейнгартена (вони є ортогональними і утворюють базис дотичної площини), якщо  рівняння індикатриси можна записати як:

тобто індикатриса Дюпена є об'єднанням конік.

Індикатриса Дюпена є граничним випадком перетину поверхні із площинами паралельними дотичній площині у точці, що наближаються до даної площини при певній нормалізації. А саме введемо систему координат початок якої є у даній точці і x, y відкладено по головних напрямках дотичної площини, а z у напрямку додатної нормалі до точки. Тоді в деякому околі точки поверхня задається як  для деякої диференційовної функції h. Із формули Тейлора і властивостей головних кривин для такої системи координат можна отримати, що  де 
Розглянувши перетин поверхні у таких координатах із площиною  для достатньо малого  отримаємо рівняння кривої  Використавши заміну змінних  це рівняння перепишеться  до того ж  прямуватиме до нуля при прямуванні  до нуля тобто крива у відповідних координатах наближатиметься до індикатриси Дюпена.

Вигляд індикатриси для різних типів точок 

Вигляд індикатриси Дюпена залежить від типу точки. Також вона дозволяє визначити асимптотичні напрямки у точці поверхні і спряжені напрямки (тобто напрямки задані векторами  для яких :

 Якщо  — еліптична точка поверхні, тобто гаусова кривина є додатною то головні кривини мають однаковий знак і індикатриса Дюпена є еліпсом, напрямок головної і малої осі якого задаються головними напрямками в точці поверхні.

 Зокрема якщо  є непланарною точкою округлення то індикатриса Дюпена є колом.
 Для довільної точки індикатриси Дюпена напрямок визначений вектором від початку координат до даної точки є спряжений до напрямку заданому дотичною прямою до індикатриси у цій точці. Усі спряжені пари напрямків можна одержати у такий спосіб.

 Якщо  — гіперболічна точка поверхні, тобто гаусова кривина є від'ємною, то індикатриса Дюпена є парою пов'язаних гіпербол із спільною парою асимптотичних ліній. Ці лінії задають асимптотичні напрямки у точці поверхні.

 Для довільної точки індикатриси Дюпена напрямок визначений вектором від початку координат до даної точки є спряжений до напрямку заданому дотичною прямою до індикатриси у цій точці. Усі спряжені пари напрямків можна одержати у такий спосіб за винятком двох асимптотичних напрямків, кожен із яких є спряженим сам із собою.

 Якщо  — параболічна точка поверхні, тобто гаусова кривина дорівнює нулю, але середня кривина не дорівнює нулю, то індикатриса Дюпена є парою паралельних прямих, спільний напрямок яких є асимптотичним напрямком у точці поверхні.

Див. також 

 Гіпербола
 Друга квадратична форма
 Еліпс
 Кривина (математика)

Література 

 Борисенко, О. А., Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. — Харків: Основа, 1995 . — с. 41-46
 Пришляк О., Диференціальна геометрія: Курс лекцій.   — К.: Київський університет, 2004. — 68 с.
 
 

Диференціальна геометрія поверхонь
Індикатриса Дюпена або індикатриса кривини — плоска крива на дотичній площині до поверхні , яка дає наочне уявлення про викривлення поверхні в даній її точці . Індикатриса Дюпена названа на честь французького математика Шарля Дюпена , що вперше застосував її до дослідження поверхонь уроці . Означення і властивості Індикатриса Дюпена лежить у площині , дотичній до поверхні в точці , і є сукупністю кінців відрізків , відкладених від точки в напрямку в дотичній площині , що мають довжину , рівну , де — абсолютна величина нормальної кривини поверхні в точці в напрямку \ . Рівняння індикатриси Дюпена має вигляд де — вектор дотичної площини , — друга фундаментальна форма поверхні , в точці а — відображення Вейнгартена . Позначивши — головні напрямки кривини , тобто власні вектори відображення Вейнгартена ( вони є ортогональними і утворюють базис дотичної площини ) , якщо рівняння індикатриси можна записати як : тобто індикатриса Дюпена є об'єднанням конік . Індикатриса Дюпена є граничним випадком перетину поверхні із площинами паралельними дотичній площині у точці , що наближаються до даної площини при певній нормалізації . А саме введемо систему координат початок якої є у даній точці і x , y відкладено по головних напрямках дотичної площини , а z у напрямку додатної нормалі до точки . Тоді в деякому околі точки поверхня задається як для деякої диференційовної функції h . Із формули Тейлора і властивостей головних кривин для такої системи координат можна отримати , що де Розглянувши перетин поверхні у таких координатах із площиною для достатньо малого отримаємо рівняння кривої Використавши заміну змінних це рівняння перепишеться до того ж прямуватиме до нуля при прямуванні до нуля тобто крива у відповідних координатах наближатиметься до індикатриси Дюпена . Вигляд індикатриси для різних типів точок Вигляд індикатриси Дюпена залежить від типу точки . Також вона дозволяє визначити асимптотичні напрямки у точці поверхні і спряжені напрямки ( тобто напрямки задані векторами для яких \ : Якщо — еліптична точка поверхні , тобто гаусова кривина є додатною то головні кривини мають однаковий знак і індикатриса Дюпена є еліпсом , напрямок головної і малої осі якого задаються головними напрямками в точці поверхні . Зокрема якщо є непланарною точкою округлення то індикатриса Дюпена є колом . Для довільної точки індикатриси Дюпена напрямок визначений вектором від початку координат до даної точки є спряжений до напрямку заданому дотичною прямою до індикатриси у цій точці . Усі спряжені пари напрямків можна одержати у такий спосіб . Якщо — гіперболічна точка поверхні , тобто гаусова кривина є від'ємною , то індикатриса Дюпена є парою пов'язаних гіпербол із спільною парою асимптотичних ліній . Ці лінії задають асимптотичні напрямки у точці поверхні . Для довільної точки індикатриси Дюпена напрямок визначений вектором від початку координат до даної точки є спряжений до напрямку заданому дотичною прямою до індикатриси у цій точці . Усі спряжені пари напрямків можна одержати у такий спосіб за винятком двох асимптотичних напрямків , кожен із яких є спряженим сам із собою . Якщо — параболічна точка поверхні , тобто гаусова кривина дорівнює нулю , але середня кривина не дорівнює нулю , то індикатриса Дюпена є парою паралельних прямих , спільний напрямок яких є асимптотичним напрямком у точці поверхні . Див . також Гіпербола Друга квадратична форма Еліпс Кривина ( математика ) Література Борисенко , О . А . , Диференціальна геометрія і топологія : Навч . посібник для студ . — Харків : Основа , . — с . Пришляк О . , Диференціальна геометрія : Курс лекцій . — К . : Київський університет , — с . Диференціальна геометрія поверхонь