Границя (теорія категорій)
Границя в теорії категорій — поняття, що узагальнює властивості таких конструкцій, як добуток, розшарований добуток і проективна границя. Двоїстим до границі є поняття кограниці, що узагальнює властивості таких конструкцій, як диз'юнктне об'єднання, кодобуток, розшарований кодобуток і індуктивна границя.

Означення 

Поняття границі і кограниці вводяться за допомогою діаграм. Діаграмою типу  в категорії  називається функтор:
.

Найбільший інтерес представляє випадок, коли  є малою або скінченною категорією. У цьому випадку діаграма  називається малою або скінченною. 

Категорію  можна сприймати як індексну, об'єкти якої індексують об'єкти категорії  подібно до того, як для послідовностей натуральні числа індексують елементи деякої множини. У випадку категорій проте у індексній категорії також задані деякі морфізми між об'єктами, які функтор переводить у морфізми між індексованими об'єктами.

Нехай  — діаграма типу  в категорії . Конусом у  називається об'єкт  в  разом з сім'єю морфізмів , індексованих об'єктами  діаграми , такий що для будь-якого морфізма  також .

Границею діаграми  називається конус  в  такий, що для будь-якого конуса  у  існує єдиний морфізм , такий що  для всіх  в .

Аналогічним чином дається означення поняття кограниці — потрібно лише обернути всі стрілки у комутативній діаграмі. Більш детально:

Коконус діаграми  — об'єкт  категорії  разом з сім'єю морфізмів:
 
для кожного  в , такий, що для будь-якого морфізма  виконується .

Кограницею діаграми  називається коконус  такий , що для будь-якого іншого коконуса  існує єдиний морфізм , такий, що  для всіх  в .

Як і будь-які універсальні об'єкти, границі і кограниці не завжди існують, але якщо існують, то визначені з точністю до ізоморфізму.

Приклади границь 
У прикладах розглядається границя  діаграми .
 Термінальні об'єкти. Якщо  — порожня діаграма, в  існує тільки одна діаграма типу  — порожня. Конус в порожню діаграму не може складатися більш ніж з одного елемента. Границею  є об'єкт, в який існує єдиний морфізм з будь-якого об'єкта, тобто термінальний об'єкт.
 Добутки. Тут  — дискретна категорія (без неодиничних морфізмів), діаграмою типу  є сім'я об'єктів  і границя — їх добуток разом з проєкціями на множники.
 Вирівнювач. Тут  — категорія з двох об'єктів і двох паралельних морфізмів, тоді діаграмою типу  є два паралельних морфізма у в  і границя  їх вирівнювач.
 Ядро — окремий випадок вирівнювача, де один з морфізмів є нульовим морфізмом.
 Розшарований добуток. Тут  складається з трьох об'єктів і морфізмів з першого і другого об'єктів у третій.
 Якщо  — категорія з одного елемента і тотожного морфізма, то границею є той об'єкт, в який відображається .
 Топологічні границі. Границі функцій — окремий випадок границь фільтрів, які є пов'язані з категорними границями. В заданому топологічному просторі  розглянемо  — множину фільтрів на , точку  — фільтр околів  — деякий конкретний фільтр і  — множину фільтрів, що є тоншими, ніж  і сходяться до . На фільтрах  можна задати структуру категорії, сказавши, що стрілка  існує тоді і тільки тоді, коли . Вкладення  стає функтором і виконується твердження:
  — топологічна границя  тоді і тільки тоді, коли  — категорна границя .

Властивості

Існування 
Категорія має границі типу , якщо будь-яка діаграма типу  має границю.

Категорія називається повною, якщо вона має границю для будь-якої малої діаграми (тобто діаграми, елементи якої утворюють множину). Аналогічно визначаються скінченно повні і коповні категорії.

Наприклад категорія множин Set є повною. Границею діаграми  є множина:

Згідно теореми про існування границь, якщо у категорії C існують усі вирівнювачі і всі добутки проіндексовані Ob(J) і Hom(J), тоді у C існують усі границі типу  J. Границя діаграми F : J → C може бути записана як вирівнювання двох морфізмів

заданих у компонентній формі як

Справедливою також є двоїста теорема про існування кограниць у термінах ковирівнювачів і кограниць.

Універсальна властивість 
Розглянемо категорію  з діаграмою . Категорію функторів  можна вважати категорією діаграм типу  в . Діагональний функтор  — функтор, що відображає елемент  категорії  в постійний функтор , що відображає все в .

Для даної діаграми  (що розглядається як об'єкт ), натуральне перетворення  (що розглядається як морфізм категорії ) — те ж саме, що конус з  в . Компоненти  — морфізми .
Означення границь і кограниць можна переписати як:
 границя  — універсальна стрілка з  в .
 кограниця  — універсальна стрілка з  в .

Функтори і границі
Функтор  індукує відображення з  в . 

 зберігає границі в , якщо  — границя , коли  — границя . Функтор  зберігає всі границі типу , якщо він зберігає границі всіх діаграм . Наприклад, можна говорити, що  зберігає добутки, вирівнювачі і т. д. 

Неперервний функтор — функтор, який зберігає всі малі границі. Аналогічні означення вводяться для кограниць.

Важливою властивістю спряжених функторів є те, що кожен правий спряжений функтор є неперервним і кожен лівий спряжений функтор є конеперервним.

Функтор  піднімає границі для діаграми  якщо з того, що  — границя  випливає, що існує границя  в , така що  . Функтор  піднімає границі типу , якщо він піднімає границі для всіх діаграм типу . Існують двоїсті означення для кограниць.

Примітки

Див. також 
 Добуток (теорія категорій)
 Індуктивна границя
 Проективна границя
 Розшарований добуток

Література 
 Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories  (4.2MB PDF). John Wiley & Sons. .

 

Теорія категорій
Границя в теорії категорій — поняття , що узагальнює властивості таких конструкцій , як добуток , розшарований добуток і проективна границя . Двоїстим до границі є поняття кограниці , що узагальнює властивості таких конструкцій , як диз'юнктне об'єднання , кодобуток , розшарований кодобуток і індуктивна границя . Означення Поняття границі і кограниці вводяться за допомогою діаграм . Діаграмою типу в категорії називається функтор : . Найбільший інтерес представляє випадок , коли є малою або скінченною категорією . У цьому випадку діаграма називається малою або скінченною . Категорію можна сприймати як індексну , об'єкти якої індексують об'єкти категорії подібно до того , як для послідовностей натуральні числа індексують елементи деякої множини . У випадку категорій проте у індексній категорії також задані деякі морфізми між об'єктами , які функтор переводить у морфізми між індексованими об'єктами . Нехай — діаграма типу в категорії \ . Конусом у називається об'єкт в разом з сім'єю морфізмів , індексованих об'єктами діаграми , такий що для будь-якого морфізма також \ . Границею діаграми називається конус в такий , що для будь-якого конуса у існує єдиний морфізм , такий що для всіх в \. Аналогічним чином дається означення поняття кограниці — потрібно лише обернути всі стрілки у комутативній діаграмі . Більш детально : Коконус діаграми — об'єкт категорії разом з сім'єю морфізмів : для кожного в , такий , що для будь-якого морфізма виконується \ . Кограницею діаграми називається коконус такий , що для будь-якого іншого коконуса існує єдиний морфізм , такий , що для всіх в \. Як і будь-які універсальні об'єкти , границі і кограниці не завжди існують , але якщо існують , то визначені з точністю до ізоморфізму . Приклади границь У прикладах розглядається границя діаграми \ . Термінальні об'єкти . Якщо — порожня діаграма , в існує тільки одна діаграма типу — порожня . Конус в порожню діаграму не може складатися більш ніж з одного елемента . Границею є об'єкт , в який існує єдиний морфізм з будь-якого об'єкта , тобто термінальний об'єкт . Добутки . Тут — дискретна категорія ( без неодиничних морфізмів ) , діаграмою типу є сім'я об'єктів і границя — їх добуток разом з проєкціями на множники . Вирівнювач . Тут — категорія з двох об'єктів і двох паралельних морфізмів , тоді діаграмою типу є два паралельних морфізма у в і границя їх вирівнювач . Ядро — окремий випадок вирівнювача , де один з морфізмів є нульовим морфізмом . Розшарований добуток . Тут складається з трьох об'єктів і морфізмів з першого і другого об'єктів у третій . Якщо — категорія з одного елемента і тотожного морфізма , то границею є той об'єкт , в який відображається \ . Топологічні границі . Границі функцій — окремий випадок границь фільтрів , які є пов'язані з категорними границями . В заданому топологічному просторі розглянемо — множину фільтрів на , точку — фільтр околів — деякий конкретний фільтр і — множину фільтрів , що є тоншими , ніж і сходяться до \ . На фільтрах можна задати структуру категорії , сказавши , що стрілка існує тоді і тільки тоді , коли \ . Вкладення стає функтором і виконується твердження : — топологічна границя тоді і тільки тоді , коли — категорна границя \ . Властивості Існування Категорія має границі типу , якщо будь-яка діаграма типу має границю . Категорія називається повною , якщо вона має границю для будь-якої малої діаграми ( тобто діаграми , елементи якої утворюють множину ) . Аналогічно визначаються скінченно повні і коповні категорії . Наприклад категорія множин Set є повною . Границею діаграми є множина : Згідно теореми про існування границь , якщо у категорії C існують усі вирівнювачі і всі добутки проіндексовані Ob ( J ) і Hom ( J ) , тоді у C існують усі границі типу J . Границя діаграми F \ : J → C може бути записана як вирівнювання двох морфізмів заданих у компонентній формі як Справедливою також є двоїста теорема про існування кограниць у термінах ковирівнювачів і кограниць . Універсальна властивість Розглянемо категорію з діаграмою \ . Категорію функторів можна вважати категорією діаграм типу в \. Діагональний функтор — функтор , що відображає елемент категорії в постійний функтор , що відображає все в \. Для даної діаграми ( що розглядається як об'єкт ) , натуральне перетворення ( що розглядається як морфізм категорії ) — те ж саме , що конус з в \. Компоненти — морфізми \ . Означення границь і кограниць можна переписати як : границя — універсальна стрілка з в \. кограниця — універсальна стрілка з в \. Функтори і границі Функтор індукує відображення з в \. зберігає границі в , якщо — границя , коли — границя \ . Функтор зберігає всі границі типу , якщо він зберігає границі всіх діаграм \ . Наприклад , можна говорити , що зберігає добутки , вирівнювачі і т . д . Неперервний функтор — функтор , який зберігає всі малі границі . Аналогічні означення вводяться для кограниць . Важливою властивістю спряжених функторів є те , що кожен правий спряжений функтор є неперервним і кожен лівий спряжений функтор є конеперервним . Функтор піднімає границі для діаграми якщо з того , що — границя випливає , що існує границя в , така що \ . Функтор піднімає границі типу , якщо він піднімає границі для всіх діаграм типу \ . Існують двоїсті означення для кограниць . Примітки Див . також Добуток ( теорія категорій ) Індуктивна границя Проективна границя Розшарований добуток Література Adámek , Jiří , Herrlich , Horst , & Strecker , George E . ; Abstract and Concrete Categories 2MB PDF ) . John Wiley & Sons . \ . Теорія категорій