Лема Йонеди
В теорії категорій, лема Йонеди — абстрактний результат про властивості функтора Hom. Вона є узагальненням теореми Келі в теорії груп (якщо розглядати групу як категорію з одним об'єктом). Лема дозволяє розглянути вкладення довільної категорії в категорію функторів з неї в Set. Лема Йонеди — важливий інструмент, який дозволив отримати багато важливих результатів в алгебраїчній геометрії і теорії представлень.

Загальний випадок леми 
У довільній (локально малій) категорії для даного об'єкта A можна розглянути коваріантний функтор Hom, що позначається
 

 переводить об'єкт  у множину морфізмів  а морфізм  у морфізм  (композицію із  зліва) що переводить  із  у морфізм  у . Тобто, 
 .

Нехай F — довільний функтор з C в Set. Лема Йонеди стверджує, що:

для будь-якого об'єкта A категорії C, натуральні перетворення з hA в F знаходяться у взаємно-однозначній відповідності з елементами F(A):
 

Для даного натурального перетворення Φ з hA в F відповідний елемент F(A) це , тобто натуральне перетворення однозначно визначається образом тотожного морфізма.

Окрім того ізоморфізм у твердженні леми є натуральним щодо об'єктів категорії і функторів з C в Set. А саме для довільного морфізму  виконується рівність (де  — натуральне перетворення із у F, для якого для визначається ) і для довільного морфізму функторів із C в Set  виконується рівність  

Контраваріантна версія леми Йонеди розглядає контраваріантний функтор
 
що відправляє X у множину Hom(X, A). Для довільного контраваріантного функтора G з C в Set

Доведення 
Доведення леми Йонеди подано на комутативній діаграмі:

Діаграма показує, що натуральне перетворення Φ повністю визначається , оскільки для будь-якого морфізма f: A → X
 

Більш того, ця формула задає натуральне перетворення для будь-якого u ∈ F(A). Справді нехай f: A → X і g: X → Y — деякі морфізми. Тоді  переводить у і , а також . Тому і введене перетворення є справді натуральним.

Натуральність для об'єктів категорії випливає із рівностей згідно з означенням натурального перетворення  і заданням Φ через . Рівність випливає з того, що є морфізмами функторної категорії SetC  і тому для них виконується правило композицій.

Доведення контраваріантного випадку є аналогічним.

Вкладення Йонеди 
Окремий випадок леми Йонеди — коли функтор F також є функтором Hom. В цьому випадку коваріантна версія леми Йонеди стверджує, що
 

Відображення кожного об'єкта A категорії C в відповідний hom-функтор hA = Hom(A,-) і кожен морфізм f: B → A у відповідне натуральне перетворення Hom(f,-) задає контраваріантний функтор h- з C в SetC (тобто категорію коваріантних функторів із C в Set), або коваріантний функтор

 

У цій ситуації лема Йонеди стверджує, що h- — цілком унівалентний функтор, тобто задає вкладення Cop в категорію функторів в Set. У цих термінах можна також краще зрозуміти значення леми Йонеди. Нехай F — довільний функтор з C в Set, тобто F є об'єктом SetC. Тоді можна ввести  F для якого Аналогічно можна ввести F'' і т. д. Лема Йонеди стверджує, що всі ці морфізми є ізоморфними і їх можна вважати одним об'єктом SetC.

У контраваріантному випадку по лемі Йонеди
 
Отже, h- задає цілком унівалентний коваріантний функтор (вкладення Йонеди)

Зображувані функтори 
Функтор F із деякої (локально малої) категорії C в Set називається зображуваним, якщо існує об'єкт A категорії і деякий натуральний ізоморфізм між  F і функтором . За означенням зображенням функтора називається вибір деякого об'єкта  A і натурального ізоморфізму. 

Важливим наслідком леми Йонеди є той факт, що зображення однозначно задається вибором об'єкта A категорії, а також елемента  для якого виконується умова: для довільного об'єкта B категорії C і будь-якого елемента  існує єдиний морфізм f: A → B для якого Справді з означення зображення функтора випливає однозначний вибір деякого об'єкта A, а згідно леми Йонеди відповідне натуральне перетворення однозначно визначає деякий елемент  і тоді для морфізма f: A → B  виконується рівність Залишається лише довести, що натуральне перетворення буде ізоморфізмом тоді і тільки тоді, коли виконується додаткова умова. Перетворення буде ізоморфізмом тоді і тільки тоді, коли відображення буде бієкцією для всіх об'єктів B. Але  тому таке відображення буде бієкцією тоді і тільки тоді, коли для будь-якого елемента  існує єдиний морфізм f: A → B для якого  що і треба було довести.

Література 
 
 .
 

Теорія категорій
Йонеди
В теорії категорій , лема Йонеди — абстрактний результат про властивості функтора Hom . Вона є узагальненням теореми Келі в теорії груп ( якщо розглядати групу як категорію з одним об'єктом ) . Лема дозволяє розглянути вкладення довільної категорії в категорію функторів з неї в Set . Лема Йонеди — важливий інструмент , який дозволив отримати багато важливих результатів в алгебраїчній геометрії і теорії представлень . Загальний випадок леми У довільній ( локально малій ) категорії для даного об'єкта A можна розглянути коваріантний функтор Hom , що позначається переводить об'єкт у множину морфізмів а морфізм у морфізм ( композицію із зліва ) що переводить із у морфізм у \ . Тобто , \ . Нехай F — довільний функтор з C в Set . Лема Йонеди стверджує , що : для будь-якого об'єкта A категорії C , натуральні перетворення з hA в F знаходяться у взаємно - однозначній відповідності з елементами F ( A ) : Для даного натурального перетворення Φ з hA в F відповідний елемент F ( A ) це , тобто натуральне перетворення однозначно визначається образом тотожного морфізма . Окрім того ізоморфізм у твердженні леми є натуральним щодо об'єктів категорії і функторів з C в Set . А саме для довільного морфізму виконується рівність ( де — натуральне перетворення із у F , для якого для визначається ) і для довільного морфізму функторів із C в Set виконується рівність Контраваріантна версія леми Йонеди розглядає контраваріантний функтор що відправляє X у множину Hom ( X , A ) . Для довільного контраваріантного функтора G з C в Set Доведення Доведення леми Йонеди подано на комутативній діаграмі : Діаграма показує , що натуральне перетворення Φ повністю визначається , оскільки для будь-якого морфізма f : A → X Більш того , ця формула задає натуральне перетворення для будь-якого u ∈ F ( A ) . Справді нехай f : A → X і g : X → Y — деякі морфізми . Тоді переводить у і , а також \ . Тому і введене перетворення є справді натуральним . Натуральність для об'єктів категорії випливає із рівностей згідно з означенням натурального перетворення і заданням Φ через \ . Рівність випливає з того , що є морфізмами функторної категорії SetC і тому для них виконується правило композицій . Доведення контраваріантного випадку є аналогічним . Вкладення Йонеди Окремий випадок леми Йонеди — коли функтор F також є функтором Hom . В цьому випадку коваріантна версія леми Йонеди стверджує , що Відображення кожного об'єкта A категорії C в відповідний hom -функтор hA = Hom ( A , - ) і кожен морфізм f : B → A у відповідне натуральне перетворення Hom ( f , - ) задає контраваріантний функтор h - з C в SetC ( тобто категорію коваріантних функторів із C в Set ) , або коваріантний функтор У цій ситуації лема Йонеди стверджує , що h - — цілком унівалентний функтор , тобто задає вкладення Cop в категорію функторів в Set . У цих термінах можна також краще зрозуміти значення леми Йонеди . Нехай F — довільний функтор з C в Set , тобто F є об'єктом SetC . Тоді можна ввести F для якого Аналогічно можна ввести F'' і т . д . Лема Йонеди стверджує , що всі ці морфізми є ізоморфними і їх можна вважати одним об'єктом SetC . У контраваріантному випадку по лемі Йонеди Отже , h - задає цілком унівалентний коваріантний функтор ( вкладення Йонеди ) Зображувані функтори Функтор F із деякої ( локально малої ) категорії C в Set називається зображуваним , якщо існує об'єкт A категорії і деякий натуральний ізоморфізм між F і функтором \ . За означенням зображенням функтора називається вибір деякого об'єкта A і натурального ізоморфізму . Важливим наслідком леми Йонеди є той факт , що зображення однозначно задається вибором об'єкта A категорії , а також елемента для якого виконується умова : для довільного об'єкта B категорії C і будь-якого елемента існує єдиний морфізм f : A → B для якого Справді з означення зображення функтора випливає однозначний вибір деякого об'єкта A , а згідно леми Йонеди відповідне натуральне перетворення однозначно визначає деякий елемент і тоді для морфізма f : A → B виконується рівність Залишається лише довести , що натуральне перетворення буде ізоморфізмом тоді і тільки тоді , коли виконується додаткова умова . Перетворення буде ізоморфізмом тоді і тільки тоді , коли відображення буде бієкцією для всіх об'єктів B . Але тому таке відображення буде бієкцією тоді і тільки тоді , коли для будь-якого елемента існує єдиний морфізм f : A → B для якого що і треба було довести . Література \ . Теорія категорій Йонеди