Теорема Бельтрамі — Еннепера
Теорема Бельтрамі — Еннепера — теорема про властивості асимптотичних ліній регулярних поверхонь.

Теорема доведена незалежно один від одного Еудженіо Бельтрамі у 1866 році у і Альфредом Еннепером у 1870 році.

Твердження теореми 
Якщо кривина асимптотичної лінії в заданій точці не є рівною нулю то квадрат скруту цієї лінії дорівнює кривині поверхні у цій точці зі знаком мінус.

Для асимптотичної кривої, якщо визначена дотична площина, то вона збігається з дотичною площиною до поверхні. Тому замість квадрата скруту потрібно взяти квадрат швидкості обертання дотичної площини в цій точці при зміщенні по асимптотичній кривій. Це переформулювання є корисним коли кривина асимптотичної лінії в точці дорівнює нулю і отже дотична площина є невизначеною.

Доведення  
Нехай  — асимптотична крива на регулярній поверхні S. Оскільки за означенням нормальна кривина у напрямку  є рівною нулю і  є ненульовим вектором (оскільки кривина є ненульовою), то з означень нормальної кривини і теореми Меньє випливає, що вектор  є ортогональним до N (нормалі до поверхні). Тоді також  де  позначає бінормаль у точках кривої. Тоді за означенням 

Останній вираз можна переписати через відображення Вейнгартена як  де  — третя фундаментальна форма і використана самоспряженість оператора Вейнгартена.

Три фундаментальні форми задовольняють рівність  З означення асимптотичної кривої  також  оскільки крива задана натуральною параметризацією.

Об'єднуючи всі рівності, маємо

Див. також 
 Асимптотична крива
 Відображення Гауса
 Теорема Меньє

Література 
 

Диференціальна геометрія поверхонь
Теорема Бельтрамі — Еннепера — теорема про властивості асимптотичних ліній регулярних поверхонь . Теорема доведена незалежно один від одного Еудженіо Бельтрамі уроці у і Альфредом Еннепером уроці . Твердження теореми Якщо кривина асимптотичної лінії в заданій точці не є рівною нулю то квадрат скруту цієї лінії дорівнює кривині поверхні у цій точці зі знаком мінус . Для асимптотичної кривої , якщо визначена дотична площина , то вона збігається з дотичною площиною до поверхні . Тому замість квадрата скруту потрібно взяти квадрат швидкості обертання дотичної площини в цій точці при зміщенні по асимптотичній кривій . Це переформулювання є корисним коли кривина асимптотичної лінії в точці дорівнює нулю і отже дотична площина є невизначеною . Доведення Нехай — асимптотична крива на регулярній поверхні S . Оскільки за означенням нормальна кривина у напрямку є рівною нулю і є ненульовим вектором ( оскільки кривина є ненульовою ) , то з означень нормальної кривини і теореми Меньє випливає , що вектор є ортогональним до N ( нормалі до поверхні ) . Тоді також де позначає бінормаль у точках кривої . Тоді за означенням Останній вираз можна переписати через відображення Вейнгартена як де — третя фундаментальна форма і використана самоспряженість оператора Вейнгартена . Три фундаментальні форми задовольняють рівність З означення асимптотичної кривої також оскільки крива задана натуральною параметризацією . Об'єднуючи всі рівності , маємо Див . також Асимптотична крива Відображення Гауса Теорема Меньє Література Диференціальна геометрія поверхонь