Теорема Гауса — Люка
Теорема Гауса — Люка описує геометричну залежність між коренями многочлена p(z) і коренями його похідної на комплексній площині Теорема стверджує, що корені похідної многочлена лежать в опуклій оболонці коренів самого многочлена. Оскільки ненульовий многочлен має скінченну кількість коренів, то опукла оболонка цих коренів є найменшим опуклим многокутником на комплексній площині, що містить ці корені.

Деякою мірою це твердження є аналогом теореми Ролля для функцій функцій однієї дійсної змінної, яка стверджує, що між двома нулями диференційовної функції знаходиться нуль її похідної.

Твердження 
Якщо є многочленом із комплексними коефіцієнтами і не є рівним константі, то всі корені многочлена  належать опуклій оболонці коренів многочлена

Доведення 
Згідно основної теореми алгебри можна записати

 

де  є коренями многочлена (які можуть повторюватися),  — коефіцієнт біля .
Для такого запису многочлена похідну можна обчислити як:

 

Поділивши  на  одержується рівність

 

Нехай  позначає довільний корінь похідної: . Якщо , то він очевидно належить опуклій оболонці цих чисел. Якщо , то з попередньої рівності:

 

Використавши елементарну рівність  одержуємо.

 

або після комплексного спряження

 

Попередню рівність можна переписати як:

 

Якщо позначити

 

то очевидно       тобто

 

Отже  є опуклою комбінацією  що завершує доведення.

Література 

 Félix Lucas, Sur une application de la Mécanique rationnelle à la théorie des équations, C.R. Hebd. Séances Acad. Sci. LXXXIX (1879),с. 224–226
 
 
 

Многочлени
Опуклий аналіз
Теорема Гауса — Люка описує геометричну залежність між коренями многочлена p ( z ) і коренями його похідної на комплексній площині Теорема стверджує , що корені похідної многочлена лежать в опуклій оболонці коренів самого многочлена . Оскільки ненульовий многочлен має скінченну кількість коренів , то опукла оболонка цих коренів є найменшим опуклим многокутником на комплексній площині , що містить ці корені . Деякою мірою це твердження є аналогом теореми Ролля для функцій функцій однієї дійсної змінної , яка стверджує , що між двома нулями диференційовної функції знаходиться нуль її похідної . Твердження Якщо є многочленом із комплексними коефіцієнтами і не є рівним константі , то всі корені многочлена належать опуклій оболонці коренів многочлена Доведення Згідно основної теореми алгебри можна записати де є коренями многочлена ( які можуть повторюватися ) , — коефіцієнт біля \ . Для такого запису многочлена похідну можна обчислити як : Поділивши на одержується рівність Нехай позначає довільний корінь похідної : \. Якщо , то він очевидно належить опуклій оболонці цих чисел . Якщо , то з попередньої рівності : Використавши елементарну рівність одержуємо . або після комплексного спряження Попередню рівність можна переписати як : Якщо позначити то очевидно тобто Отже є опуклою комбінацією що завершує доведення . Література Félix Lucas , Sur une application de la Mécanique rationnelle à la théorie des équations , C . R . Hebd . Séances Acad . Sci . LXXXIXс . 226 Многочлени Опуклий аналіз