Редуковане кільце
У абстрактній алгебрі редукованим називається кільце в якому немає ненульових нільпотентних елементів. Дане поняття є важливим у алгебричній геометрії де на його основі також вводиться поняття редукованої схеми.

Означення 

Нехай  — кільце. Воно називається редукованим якщо для кожного 

 
 Для комутативних кілець еквівалентно можна сказати, що кільце є редукованим, якщо його нільрадикал є нульовим ідеалом:
 

 Еквівалентно, кільце є редукованим якщо для всіх :

Приклади 

 Кільце цілих чисел  і кільце многочленів над будь-яким полем є редукованими.
 Більш загально будь-яка область цілісносні є редукованим кільцем.
 Для будь-якого комутативного кільця R, кільце  є редукованим. Більш загально кільце  є редукованим тоді і тільки тоді, коли ідеал I є радикальним, тобто .
 Кільце  містить ненульовий нільпотентний елемент  і тому не є редукованим. Натомість кільце  є редукованим і є прикладом редукованого комутативного кільце, що не є областю цілісності. В загальному випадку  є редукованим тоді і тільки тоді, коли n = 0 або n є натуральним числом вільним від квадратів.
 Кільце  не є редукованим, оскільки ненульовий елемент  є нільпотентним.
 Кільця матриць над будь-яким кільцем не є редукованими. Наприклад для матриць порядку 2 над будь-яким кільцем з одиницею 
 Комутативне кільце R характеристики p є редукованим тоді і тільки тоді, коли його ендоморфізм Фробеніуса є ін'єктивним.

Властивості 

 Будь-яке редуковане кільце є напівпростим (тобто з того, що Jk = {0} для деякого ідеалу J випливає, що J = {0}). Для комутативних кілець поняття редукованості і напівпростоти є еквівалентними. Натомість існують некомутативні кільця що є напівпростими але не редукованими.
 Зокрема, як описано в прикладах, кільце квадратних матриць над будь яким кільцем не є редукованим. Натомість двосторонні ідеали кільця  мають вид  де I — двосторонній ідеал кільця R, а тому якщо  то і II = 0. У випадку напівпростого кільця звідси I = 0 і тому  Тобто кільця квадратних матриць над напівпростими кільцями є напівпростими але не редукованими.
 Підкільця, добутки, локалізації (у комутативному випадку) редукованих кілець є редукованими кільцями.

 У випадку локалізації за мультиплікативною множиною S ненульовий елемент r/s де  буде нільпотентним тоді і тільки тоді коли  для деяких  Але тоді tr є нільпотентним елементом у R. До того ж tr не є нульовим оскільки тоді б r/s був нульовим елементом у локалізації.
 Якщо всі локалізації за максимальними ідеалами комутативного кільця R є редукованими, то R теж є редукованим.
 Припустимо x є ненульовим елементом в R і xn=0. Анігілятор ann(x) міститься в деякому максимальному ідеалі . Образ елемента x є ненульовим в локалізації кільця R за ідеалом  оскільки в іншому випадку  для деякого  і  належить анігілятору x, всупереч означенню . Тому локалізація R за  не є редукованим кільцем.

 Множина D дільників нуля у комутативному редукованому кільці є рівною об'єднанню мінімальних простих ідеалів.

 Нехай  — множина (можливо порожня) мінімальних простих ідеалів.
  Нехай x є дільником нуля тобто xy = 0 для деякого ненульового y. Оскільки R є редукованим, то (0) є перетином усіх  і тому y не належить деякому . Оскільки натомість xy належить усім  то x є елементом .
  Нехай . S є мультиплікативною множиною і тому можна розглянути локалізацію . Позначимо  прообраз максимального ідеалу. Тоді  є підмножиною D і  і з мінімальності .

 Для загального (не обов'язково комутативного) редукованого кільця R будь-який мінімальний простий ідеал I є сильно простим, тобто R/I є цілісним кільцем.
 Кільце R є редукованим, тоді і тільки тоді, коли воно є підпрямим добутком кілець цілісності, тобто воно є ізоморфним деякому підкільцю прямого добутку кілець  для якого усі проєкції на  є сюр'єктивними.

Редукована схема 
Схема  називається редукованою, якщо для кожної відкритої множини  кільце  є редукованим. Еквівалентно якщо для кожної точки  локальне кільце

 

є редукованим.

Якщо всі локальні кільця X є редукованими і для елемента   виконується рівність  то образ  у  є рівним нулю для всіх  і тому  теж є рівним нулю у всіх цих кільцях. З означення схеми звідси випливає, що  

Навпаки, якщо  є редукованим для всіх відкритих підмножин  і ненульового  то для будь-якого представника  елемента  з означення локального кільця, елемент  є ненульовим і тому не є нільпотентним. Звідси   теж не є нільпотентним у  Звідси випливає еквівалентність двох означень редуковності схем.

Зокрема афінна схема  є редукованою тоді і тільки тоді коли кільце R є редукованим.

Примітки

Див. також 

 Нільрадикал
 Нормальне кільце
 Область цілісності

Література 

 
 
 

Теорія кілець
У абстрактній алгебрі редукованим називається кільце в якому немає ненульових нільпотентних елементів . Дане поняття є важливим у алгебричній геометрії де на його основі також вводиться поняття редукованої схеми . Означення Нехай — кільце . Воно називається редукованим якщо для кожного Для комутативних кілець еквівалентно можна сказати , що кільце є редукованим , якщо його нільрадикал є нульовим ідеалом : Еквівалентно , кільце є редукованим якщо для всіх \ : Приклади Кільце цілих чисел і кільце многочленів над будь-яким полем є редукованими . Більш загально будь-яка область цілісносні є редукованим кільцем . Для будь-якого комутативного кільця R , кільце є редукованим . Більш загально кільце є редукованим тоді і тільки тоді , коли ідеал I є радикальним , тобто \ . Кільце містить ненульовий нільпотентний елемент і тому не є редукованим . Натомість кільце є редукованим і є прикладом редукованого комутативного кільце , що не є областю цілісності . В загальному випадку є редукованим тоді і тільки тоді , коли n = або n є натуральним числом вільним від квадратів . Кільце не є редукованим , оскільки ненульовий елемент є нільпотентним . Кільця матриць над будь-яким кільцем не є редукованими . Наприклад для матриць порядкунад будь-яким кільцем з одиницею Комутативне кільце R характеристики p є редукованим тоді і тільки тоді , коли його ендоморфізм Фробеніуса є ін'єктивним . Властивості Будь-яке редуковане кільце є напівпростим ( тобто з того , що Jk = { 0 } для деякого ідеалу J випливає , що J = { 0 }) . Для комутативних кілець поняття редукованості і напівпростоти є еквівалентними . Натомість існують некомутативні кільця що є напівпростими але не редукованими . Зокрема , як описано в прикладах , кільце квадратних матриць над будь яким кільцем не є редукованим . Натомість двосторонні ідеали кільця мають вид де I — двосторонній ідеал кільця R , а тому якщо то і II = У випадку напівпростого кільця звідси I =і тому Тобто кільця квадратних матриць над напівпростими кільцями є напівпростими але не редукованими . Підкільця , добутки , локалізації ( у комутативному випадку ) редукованих кілець є редукованими кільцями . У випадку локалізації за мультиплікативною множиною S ненульовий елемент r/s де буде нільпотентним тоді і тільки тоді коли для деяких Але тоді tr є нільпотентним елементом у R . До того ж tr не є нульовим оскільки тоді б r/s був нульовим елементом у локалізації . Якщо всі локалізації за максимальними ідеалами комутативного кільця R є редукованими , то R теж є редукованим . Припустимо x є ненульовим елементом в R і xn = 0 . Анігілятор ann (x ) міститься в деякому максимальному ідеалі \ . Образ елемента x є ненульовим в локалізації кільця R за ідеалом оскільки в іншому випадку для деякого і належить анігілятору x , всупереч означенню \ . Тому локалізація R за не є редукованим кільцем . Множина D дільників нуля у комутативному редукованому кільці є рівною об'єднанню мінімальних простих ідеалів . Нехай — множина ( можливо порожня ) мінімальних простих ідеалів . Нехай x є дільником нуля тобто xy = для деякого ненульового y . Оскільки R є редукованим , тоє перетином усіх і тому y не належить деякому \ . Оскільки натомість xy належить усім то x є елементом \ . Нехай \ . S є мультиплікативною множиною і тому можна розглянути локалізацію \ . Позначимо прообраз максимального ідеалу . Тоді є підмножиною D і і з мінімальності \ . Для загального ( не обов'язково комутативного ) редукованого кільця R будь-який мінімальний простий ідеал I є сильно простим , тобто R/I є цілісним кільцем . Кільце R є редукованим , тоді і тільки тоді , коли воно є підпрямим добутком кілець цілісності , тобто воно є ізоморфним деякому підкільцю прямого добутку кілець для якого усі проєкції на є сюр'єктивними . Редукована схема Схема називається редукованою , якщо для кожної відкритої множини кільце є редукованим . Еквівалентно якщо для кожної точки локальне кільце є редукованим . Якщо всі локальні кільця X є редукованими і для елемента виконується рівність то образ у є рівним нулю для всіх і тому теж є рівним нулю у всіх цих кільцях . З означення схеми звідси випливає , що Навпаки , якщо є редукованим для всіх відкритих підмножин і ненульового то для будь-якого представника елемента з означення локального кільця , елемент є ненульовим і тому не є нільпотентним . Звідси теж не є нільпотентним у Звідси випливає еквівалентність двох означень редуковності схем . Зокрема афінна схема є редукованою тоді і тільки тоді коли кільце R є редукованим . Примітки Див . також Нільрадикал Нормальне кільце Область цілісності Література Теорія кілець