Неодређени интеграл
У математичкој анализи неодређени интеграл неке функције  јесте диференцијабилна функција  чији је извод једнак оригиналној функцији . Процес проналажења решења неогређеног интеграла назива се интеграција, и она је супротна од операције диференцирања, која је процес налажења извода неке функције.

Теоријски увод 

Нека је  произвољна примитивна функција функције  на интервалу , неодређени интеграл дефинише се као:За примитивну функцију 𝐹(𝑥) функције 𝑓(𝑥) на интервалу 𝐼 важи:

Дефиниција 

За функцију  се каже да је примитивна (првобитна) функција функције  дефинисане на истом интервалу, ако важе следећи услови:
 Функција  је непрекидна на интервалу 
 Функција  у свакој унутрашњој тачки интервала  има извод, и при том је: .
Скуп свих примитивних функција функције  на интервалу  назива се неодређени интеграл функције  на интервалу  и обележава са , где је  подинтегрална функција, а  подинтегрални израз.

 Теорема 1
Ако је  примитивна функција функције  на интервалу , онда је и свака функција
 , где је c∈  произвољна константа, примитивна функција за  на интервалу .
Доказ.

Ако функција  има примитивну функцију на интервалу , онда на том интервалу има бесконачно много примитивних функција. Фамилија функција  представља скуп свих примитивних функција за функцију  на интервалу , где је  једна њена примитивна функција на интервалу .

 Теорема 2
Нека су  и  примитивне функције за  на интервалу , онда постоји реална константа с таква да важи , x∈ 

Доказ.
Дефинишимо функцију  −  за x∈ . Функције  и  су непрекидне на интервалу  ⇒ функција  је непрекидна (као разлика непрекидних функција)
  и 
су диференцијабилне у  ⇒ функција  је диференцијабилна у  (као разлика диференцијабилних функција), и при том важи:
  −   −  −.
Како је извод функције  једнак 0 у свакој тачки интервала  ⇒  је константна функција на , односно:
  ⇒  − ,
те је , c∈ , x∈ .

 Теорема 3
Нека је функција  непрекидна на интервалу  и диференцијабилна у . Тада је :  c∈ , x∈ .

Доказ.
 c∈ , x∈ 

 Теорема 4
Нека функција  има примитивну функцију на интервалу . Тада у унутрашњим тачкама интервала  важи:.

Доказ.
.

 Теорема 5
Нека функције  и  имају примитивне функције  и , редом, на интервалу . Тада функција  има примитивну функцију  на , и важи:

Доказ
 и  примитивне функције за  и  на интервалу  ⇒  и  су непрекидне на  и диференцијаблине на  ⇒ Функција  је непрекидна на интервалу  и диференцијабилна на . При том, важи: 
⇒ функција  има примитивну функцију  на .
  и , 
⇒ ,.
Једнакост из поставке теореме ће важити ако важи скуповна једнакост:
  = , а она очигледно важи јер .

 Теорема 6
Нека функција  има примитивну функцију  на интервалу  и нека је . Тада функција  има примитивну функцију на , и још ако је k≠0, важи: .

Доказ.
  је примитивна функција функције  на интервалу , што значи да је непрекидна на , диференцијабилна на унутрашњости интервала  и важи: . Дакле, следи да је и функција  непрекидна и важи: , . ⇒  је примитивна фукнција функције  на интервалу .
Нека је k≠0. Тада: , ,
 , .
Једнакост из поставке теореме ће важити ако важи скуповна једнакост:
  = 
Заиста, 
  ⊆  јер је 
  ⊆  јер је , k≠0.
Ако је k=0: 
, ,
, .
⇒ нису једнаки за k=0.

 Теорема 7.
Нека функција  има примитивну фукнцију  на интервалу . Тада је функција  примитивна функција фукције  на , , и важи: , .

Доказ.
  је примитивна функција функције  на интервалу  ⇒  , 
⇒ 
⇒  је примитивна функција функције  на посматраном интервалу.

Ово тврђење је корисно, јер олакшава решавање многих интеграла.
Примери:

 Методи интеграције 
Налажење неодређених интеграла елементарних функција је често много теже него налажење извода тих функицја.

Зато постоје многе методе и начини за проналажење интеграла, као што су:

 Линеарност интеграла
 Смена променљиве
 Метод парцијалне интеграције
 Свођење квадратног тринома на канонски облик
 Метода неодређених коефицијената
 Интеграција помоћу рекурентних формула
 Итеграција рационалних функција
 Интеграција тригонометријских функција

 Референце 

 Литература 

 М. Рашајски, Б. Малешевић, Т. Лутовац, Б. Михаиловић, Н. Цакић: Линеарна алгебра, Универзитет у Београду - Електротехнички факултет и Академска мисао, Београд. ISBN: 978-86-7466-680-7
 Милан Меркле, Математичка анализа -теорија и хиљаду задатака-за студенте технике, треће измењено и допуњено издање, Академска мисао 2015.
 Цветковић Д., Лацковић И., Меркле М., Радосављевић З., Симић С., Васић П., Математика 1 – Алгебра, IX издање, Академска мисао, Београд, 2006.
 Introduction to Classical Real Analysis'', by Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (see also)
 Historical Essay On Continuity Of Derivatives by Dave L. Renfro

Спољашње везе 

 Wolfram Integrator — Free online symbolic integration with Mathematica
 Mathematical Assistant on Web  — symbolic computations online. Allows users to integrate in small steps (with hints for next step (integration by parts, substitution, partial fractions, application of formulas and others), powered by Maxima
 Function Calculator from WIMS
 Integral at HyperPhysics
 Antiderivatives and indefinite integrals at the Khan Academy
 Integral calculator at Symbolab
 The Antiderivative at MIT
 Introduction to Integrals at SparkNotes
 Antiderivatives at Harvy Mudd College

Математика
Реална анализа
Функције и пресликавања
Математичке релације
Интеграли
У математичкој анализи неодређени интеграл неке функције јесте диференцијабилна функција чији је извод једнак оригиналној функцији \ . Процес проналажења решења неогређеног интеграла назива се интеграција , и она је супротна од операције диференцирања , која је процес налажења извода неке функције . Теоријски увод Нека је произвољна примитивна функција функције на интервалу , неодређени интеграл дефинише се као:За примитивну функцију 𝐹( 𝑥 ) функције 𝑓( 𝑥 ) на интервалу 𝐼 важи : Дефиниција За функцију се каже да је примитивна ( првобитна ) функција функције дефинисане на истом интервалу , ако важе следећи услови : Функција је непрекидна на интервалу Функција у свакој унутрашњој тачки интервала има извод , и при том је : \ . Скуп свих примитивних функција функције на интервалу назива се неодређени интеграл функције на интервалу и обележава са , где је подинтегрална функција , а подинтегрални израз . Теорема 1 Ако је примитивна функција функције на интервалу , онда је и свака функција , где је c∈ произвољна константа , примитивна функција за на интервалу \ . Доказ . Ако функција има примитивну функцију на интервалу , онда на том интервалу има бесконачно много примитивних функција . Фамилија функција представља скуп свих примитивних функција за функцију на интервалу , где је једна њена примитивна функција на интервалу \ . Теорема 2 Нека су и примитивне функције за на интервалу , онда постоји реална константа с таква да важи , x∈ Доказ . Дефинишимо функцију − за x∈ \ . Функције и су непрекидне на интервалу ⇒ функција је непрекидна ( као разлика непрекидних функција ) и су диференцијабилне у ⇒ функција је диференцијабилна у ( као разлика диференцијабилних функција ) , и при том важи : − − − . Како је извод функције једнаку свакој тачки интервала ⇒ је константна функција на , односно : ⇒ − , те је , c∈ , x∈ \ . Теорема 3 Нека је функција непрекидна на интервалу и диференцијабилна у \ . Тада је \ : c∈ , x∈ \ . Доказ. c∈ , x∈ Теорема 4 Нека функција има примитивну функцију на интервалу \ . Тада у унутрашњим тачкама интервала важи : . Доказ . . Теорема 5 Нека функције и имају примитивне функције и , редом , на интервалу \ . Тада функција има примитивну функцију на , и важи : Доказ и примитивне функције за и на интервалу ⇒ и су непрекидне на и диференцијаблине на ⇒ Функција је непрекидна на интервалу и диференцијабилна на \ . При том , важи : ⇒ функција има примитивну функцију на \. и , ⇒ , . Једнакост из поставке теореме ће важити ако важи скуповна једнакост : = , а она очигледно важи јер \ . Теорема 6 Нека функција има примитивну функцију на интервалу и нека је \ . Тада функција има примитивну функцију на , и још ако је k≠0 , важи : \ . Доказ. је примитивна функција функције на интервалу , што значи да је непрекидна на , диференцијабилна на унутрашњости интервала и важи : \ . Дакле , следи да је и функција непрекидна и важи : , \ . ⇒ је примитивна фукнција функције на интервалу \ . Нека је k≠0. Тада : , , , \ . Једнакост из поставке теореме ће важити ако важи скуповна једнакост : = Заиста , ⊆ јер је ⊆ јер је , k≠0. Ако је k=0 : , \ . ⇒ нису једнаки за k=0. Теорема Нека функција има примитивну фукнцију на интервалу \ . Тада је функција примитивна функција фукције на , , и важи : , \ . Доказ. је примитивна функција функције на интервалу ⇒ , ⇒ ⇒ је примитивна функција функције на посматраном интервалу . Ово тврђење је корисно , јер олакшава решавање многих интеграла . Примери : Методи интеграције Налажење неодређених интеграла елементарних функција је често много теже него налажење извода тих функицја . Зато постоје многе методе и начини за проналажење интеграла , као што су : Линеарност интеграла Смена променљиве Метод парцијалне интеграције Свођење квадратног тринома на канонски облик Метода неодређених коефицијената Интеграција помоћу рекурентних формула Итеграција рационалних функција Интеграција тригонометријских функција Референце Литература М. Рашајски , Б. Малешевић , Т . Лутовац , Б. Михаиловић , Н . Цакић : Линеарна алгебра , Универзитет у Београду - Електротехнички факултет и Академска мисао , Београд . ISBN:7466-680-7 Милан Меркле , Математичка анализа -теорија и хиљаду задатака-за студенте технике , треће измењено и допуњено издање , Академска мисао Цветковић Д . , Лацковић И . , Меркле М . , Радосављевић З . , Симић С . , Васић П . , Математика– Алгебра , IX издање , Академска мисао , Београд , Introduction to Classical Real Analysis ' ' , by Karl R . Stromberg ; Wadsworth,( see also ) Historical Essay On Continuity Of Derivatives by Dave L . Renfro Спољашње везе Wolfram Integrator — Free online symbolic integration with Mathematica Mathematical Assistant on Web — symbolic computations online . Allows users to integrate in small steps ( with hints for next step ( integration by parts , substitution , partial fractions , application of formulas and others ) , powered by Maxima Function Calculator from WIMS Integral at HyperPhysics Antiderivatives and indefinite integrals at the Khan Academy Integral calculator at Symbolab The Antiderivative at MIT Introduction to Integrals at SparkNotes Antiderivatives at Harvy Mudd College Математика Реална анализа Функције и пресликавања Математичке релације Интеграли