Кристофелови симболи
Кристофелови симболи у диференцијалној геометрији представљају коефицијенте који описују паралелни транспорт у криволинијским координатним системима. Добили су име по немачком математичару Елвину Бруну Кристофелу. Кристофелови симболи прве врсте означавају се са  а симболи друге врсте са . У целом тексту користи се Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута.

Паралелни транспорт 

Када у криволинијском систему одузимамо два вектора поред уобичајене разлике два вектора у правоугаоном систему имамо и додатну разлику због паралелнога транспорта једнога вектора до другога. Нека у  вектор има вредност  а у некој тачки
 вредност  Ако вектор  транспортујемо до  он се због паралелнога транспорта у криволинијским координатама промени за  Укупна разлика два вектора постаје онда:

Паралелни транспорт зависан је од Кристофелових симбола:

Ту се користи Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута.

Пример у поларном систему 
Узмимо поларни координатни систем у коме се тачка налази на удаљености  и под углом  Нека вектор  има координате ,
односно налази се на удаљеност  од центра и из центра се види под углом .
Препоставимо да се велтор премешта из једне у другу тачку. Његове компоненте се не мјењају у правоугаоном координатном систему.
У поларном систему вектора  остаје исте величине јер величина вектора на једном месту је:

а на другом је:

па се добија:

Паралелан транспорт дуж лука 
Током транслације дуж лука мењају се обе координате, па са слике 2 видимо да је:
, ,
и  па је:

Осим тога пошто је , ,
и , онда је

Означимо ли:, ,  и  онда се из формуле, у којој је конвенција да се сумира по индексима који се појављаују два или више пута

могу добити Кристофелови симболи као:
, ,
а сви остали су нула.

Кристофелови симболи прве и друге врсте 
Кристофелови симболи прве и друге врсте повезани су следећом релацијом:

Кристофелови симболи повезани су са метричким тензором. Ако знамо метрички тензор за неки криволинијски систем тада се Кристофелови симболи друге врсте могу потпуно представити преко одговарајућега матричкога тензора:
 
а ту је  контраваријантни приказ метричкога тензора, а  представља коваријантан приказ метричкога тензора, а повезани су изразом .
Кристофелови симболи прве врсте даду се приказати као:

 

Кристофелови симболи су симетрични по доњим индексима;
 
С друге стране коваријантан извод метричкога тензора може се приказати преко Кристофелових симбола:

У неким системима 
За сферни координатни систем компоненте метричкога тензора су , , , , . па су Кристофелови симболи дани са:

За цилиндрични координатни систем симболи су:

Коваријантан извод 
Преко Кристофелових симбола приказује се коваријантан извод тензора:
Коваријантни извод тензорскога поља  је

тј.

За мешано тензорско поље имамо:

а за тензорско поље поље типа (0,2) коваријантан извод је:

Коваријантни извод за неки тензор типа (n, m) је:

Контракција 
Користи се Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута.
Контракцијом Кристофелових симбола односно сумацијом по индексу, који се понавља добија се:

и

Ту је |g| детерминанта од , односно коваријантнога приказа метричкога тензора. С друге стране  означава контраваријантни приказ метричкога тензора, а два приказа тензора повезана су изразом .

Трансформација 
При трансформацији једнога система  у други , вектори базе се коваријантно трансформишу:

 
па се добија формула трансформације Кристофелових симбола:

Литература 
 Кристофелов симбол
 -{Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi (1996 (New edition)). Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. Wiley Interscience. }-
 -{Sternberg, Shlomo (1964). Lectures on Differential Geometry. Prentice-Hall}-

Диференцијална геометрија
Математичка нотација
Математичка физика
Риманова геометрија
Кристофелови симболи у диференцијалној геометрији представљају коефицијенте који описују паралелни транспорт у криволинијским координатним системима . Добили су име по немачком математичару Елвину Бруну Кристофелу . Кристофелови симболи прве врсте означавају се са а симболи друге врсте са \ . У целом тексту користи се Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута . Паралелни транспорт Када у криволинијском систему одузимамо два вектора поред уобичајене разлике два вектора у правоугаоном систему имамо и додатну разлику због паралелнога транспорта једнога вектора до другога . Нека у вектор има вредност а у некој тачки вредност Ако вектор транспортујемо до он се због паралелнога транспорта у криволинијским координатама промени за Укупна разлика два вектора постаје онда : Паралелни транспорт зависан је од Кристофелових симбола : Ту се користи Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута . Пример у поларном систему Узмимо поларни координатни систем у коме се тачка налази на удаљености и под углом Нека вектор има координате , односно налази се на удаљеност од центра и из центра се види под углом \ . Препоставимо да се велтор премешта из једне у другу тачку . Његове компоненте се не мјењају у правоугаоном координатном систему . У поларном систему вектора остаје исте величине јер величина вектора на једном месту је : а на другом је : па се добија : Паралелан транспорт дуж лука Током транслације дуж лука мењају се обе координате , па са сликевидимо да је : , и па је : Осим тога пошто је , , и , онда је Означимо ли : , , и онда се из формуле , у којој је конвенција да се сумира по индексима који се појављаују два или више пута могу добити Кристофелови симболи као : , а сви остали су нула . Кристофелови симболи прве и друге врсте Кристофелови симболи прве и друге врсте повезани су следећом релацијом : Кристофелови симболи повезани су са метричким тензором . Ако знамо метрички тензор за неки криволинијски систем тада се Кристофелови симболи друге врсте могу потпуно представити преко одговарајућега матричкога тензора : а ту је контраваријантни приказ метричкога тензора , а представља коваријантан приказ метричкога тензора , а повезани су изразом \ . Кристофелови симболи прве врсте даду се приказати као : Кристофелови симболи су симетрични по доњим индексима ; С друге стране коваријантан извод метричкога тензора може се приказати преко Кристофелових симбола : У неким системима За сферни координатни систем компоненте метричкога тензора су , , , , \ . па су Кристофелови симболи дани са : За цилиндрични координатни систем симболи су : Коваријантан извод Преко Кристофелових симбола приказује се коваријантан извод тензора : Коваријантни извод тензорскога поља је тј . За мешано тензорско поље имамо : а за тензорско поље поље типа2 ) коваријантан извод је : Коваријантни извод за неки тензор типа ( n , m ) је : Контракција Користи се Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута . Контракцијом Кристофелових симбола односно сумацијом по индексу , који се понавља добија се : и Ту је |g| детерминанта од , односно коваријантнога приказа метричкога тензора . С друге стране означава контраваријантни приказ метричкога тензора , а два приказа тензора повезана су изразом \ . Трансформација При трансформацији једнога система у други , вектори базе се коваријантно трансформишу : па се добија формула трансформације Кристофелових симбола : Литература Кристофелов симбол -{ Kobayashi , Shoshichi and Nomizu , Katsumi ( New edition ) ) . Foundations of Differential Geometry , Vol. Wiley Interscience . }- -{ Sternberg , Shlomo Lectures on Differential Geometry . Prentice-Hall }- Диференцијална геометрија Математичка нотација Математичка физика Риманова геометрија