Кошијева интегрална теорема
У математици, Кошијева саставна теорема (такође позната као Коши-Гоурсат теорема) у комплексној анализи, названа по Огистену Лују Кошију, је важна изјава о линијским интегралима за холоморфне функције у комплексној равни. У суштини, она каже да ако две различите путање повежу исте две тачке, а функција је холоморфние свуда "између" две путање, тада ће интеграли функције те бити исти.
Теорема се обично формулише за затворене стазе на следећи начин: Нека је У отворен подскуп од Ц, који се једноставно повезује, нека ф: У → Ц буде холоморфна функција, и нека \ \! \ гама буде отклоњиви пут у У чија је почетна тачка једнака њеној крајњој тачки. Тада : ∮ ⨍(z) dz=0 

Прецизна ( хомологна ) верзија може се констатовати помоћу кривудавих бројева . Број намотаја затворене криве око тачке на кривој је интеграл ф ( з ) / [ 2 иπ ] , где је ф ( з ) = 1 / ( з -) око криве . То је цео број . Укратко, стаза интеграла дуж Јордан криве функције холоморфне у унутрашњости криве је нула . Уместо једне затворене путање можемо размотрити линеарну комбинацију затворених путева, где су скалари цели бројеви. Таква комбинација се назива затворен ланац, а један дефинише интеграл дуж ланца, као линеарна комбинација интеграла преко појединачних стаза . Затворен ланац се назива циклус у региону ако је хомологна нули у региону, то јест, број намотаја, изражена интегралом од 1 / ( з -) над затвореним ланцом, је нула за сваку тачку која није у региону. То значи да затворени ланац не увија око тачке изван региона. У том случају Кошијева теорема се може изразити: интеграл једне холоморфне функције у отвореном скупу узет око једног циклуса у отвореном скупу је нула . Ова верзија је од кључног значаја за ригорозна извођења Лаурент серије и Кошијеве формуле остатка без укључивања било каквих физичких појмова као што су посекотине или попречне деформације. Верзија омогућава продужење Кошијеве теореме да се умножава - повезана аналитичким регионом.

Доказ 

Ако претпоставимо да су парцијални изводи једне холоморфне функције континуирахе, Кошијева интегрална теорема се може доказати као директна последица Гринове теореме и чињенице да стварни и имагинарни делови ⨍=u+iv мора да задовољит Коши-Риманове једначине у региону омећења \γ , и штавише у отвореном комшилуку U  овог региона. Коши изводи овај доказ, али је касније доказао Гоурсат без коришћења техника из вектора , односно континуитета парцијалних деривата. Можемо сломити интегранд ⨍ као и диференцијални dz у својим реалним и имагинарним компоненте: 
⨍=u+iv
dz=dx+idy
У овом случају имамо :
∲γ ⨍(z)dz= ∲γ (u+iv)(dx+idy)= ∲γ (udx-vdy) + i ∲γ (vdx+udy)

По гриновој теорији, онда можемо заменити интеграле близу затврене ￼ структуре са интегралном области у домену D који је условљен γ, следи: 
∲γ (u dx- v dy)= ∬D (-∂v/∂/x - ∂u/∂y) dxdy∲γ (u dx+ v dy)= ∬D (∂v/∂/x - ∂u/∂y) dxdyМеђутим, с обзиром да су реални и имагинарни део аналитичке функције у домену D, u и v морају задовољити Коши-Риеман једначину, следи : 
∂u/∂/x=∂v/∂y∂u/∂y=-∂v/∂/x 
Из овога закључујемо да су њихови интеграли једнаки нули : 
∬D (-∂v/∂/x - ∂u/∂y) dxdy= ∬D (∂u/∂/y - ∂u/∂y) dxdy=0
∬D (∂v/∂/x - ∂u/∂y) dxdy= ∬D (∂v/∂/x - ∂u/∂x) dxdy=0
А то нам даје жељени реултат : 
 ∮ ⨍(z) dz=0''

Референце

Спољашње везе 

 Cauchy's integral theorem, Encyclopedia of Mathematics
 Cauchy integral theorem, Weisstein Eric W, Math world}-

Комплексна анализа
У математици , Кошијева саставна теорема ( такође позната као Коши-Гоурсат теорема ) у комплексној анализи , названа по Огистену Лују Кошију , је важна изјава о линијским интегралима за холоморфне функције у комплексној равни . У суштини , она каже да ако две различите путање повежу исте две тачке , а функција је холоморфние свуда " између " две путање , тада ће интеграли функције те бити исти . Теорема се обично формулише за затворене стазе на следећи начин : Нека је У отворен подскуп од Ц , који се једноставно повезује , нека ф : У → Ц буде холоморфна функција , и нека \ \ ! \ гама буде отклоњиви пут у У чија је почетна тачка једнака њеној крајњој тачки . Тада \ : ∮ ⨍( z ) dz=0 Прецизна ( хомологна ) верзија може се констатовати помоћу кривудавих бројева \ . Број намотаја затворене криве око тачке на кривој је интеграл ф ( з ) / [ иπ ] , где је ф ( з ) = / ( з - ) око криве \ . То је цео број \ . Укратко , стаза интеграла дуж Јордан криве функције холоморфне у унутрашњости криве је нула \ . Уместо једне затворене путање можемо размотрити линеарну комбинацију затворених путева , где су скалари цели бројеви . Таква комбинација се назива затворен ланац , а један дефинише интеграл дуж ланца , као линеарна комбинација интеграла преко појединачних стаза \ . Затворен ланац се назива циклус у региону ако је хомологна нули у региону , то јест , број намотаја , изражена интегралом од / ( з - ) над затвореним ланцом , је нула за сваку тачку која није у региону . То значи да затворени ланац не увија око тачке изван региона . У том случају Кошијева теорема се може изразити : интеграл једне холоморфне функције у отвореном скупу узет око једног циклуса у отвореном скупу је нула \ . Ова верзија је од кључног значаја за ригорозна извођења Лаурент серије и Кошијеве формуле остатка без укључивања било каквих физичких појмова као што су посекотине или попречне деформације . Верзија омогућава продужење Кошијеве теореме да се умножава - повезана аналитичким регионом . Доказ Ако претпоставимо да су парцијални изводи једне холоморфне функције континуирахе , Кошијева интегрална теорема се може доказати као директна последица Гринове теореме и чињенице да стварни и имагинарни делови ⨍=u+iv мора да задовољит Коши-Риманове једначине у региону омећења \γ , и штавише у отвореном комшилуку U овог региона . Коши изводи овај доказ , али је касније доказао Гоурсат без коришћења техника из вектора , односно континуитета парцијалних деривата . Можемо сломити интегранд ⨍ као и диференцијални dz у својим реалним и имагинарним компоненте : ⨍=u+iv dz=dx+idy У овом случају имамо \ : ∲γ ⨍( z ) dz= ∲γ ( u+iv )( dx+idy )= ∲γ ( udx-vdy ) + i ∲γ ( vdx+udy ) По гриновој теорији , онда можемо заменити интеграле близу затврене ￼ структуре са интегралном области у домену D који је условљен γ , следи : ∲γ ( u dx- v dy )= ∬D ( -∂v /∂ /x - ∂u / ∂y ) dxdy∲γ ( u dx+ v dy )= ∬D ( ∂v /∂ /x - ∂u / ∂y ) dxdyМеђутим , с обзиром да су реални и имагинарни део аналитичке функције у домену D , u и v морају задовољити Коши-Риеман једначину , следи \ : ∂u /∂ / x=∂v / ∂y∂u / ∂y=-∂v /∂ /x Из овога закључујемо да су њихови интеграли једнаки нули \ : ∬D ( -∂v /∂ /x - ∂u / ∂y ) dxdy= ∬D ( ∂u /∂ /y - ∂u / ∂y ) dxdy=0 ∬D ( ∂v /∂ /x - ∂u / ∂y ) dxdy= ∬D ( ∂v /∂ /x - ∂u / ∂x ) dxdy=0 А то нам даје жељени реултат \ : ∮ ⨍( z ) dz=0 ' ' Референце Спољашње везе Cauchy's integral theorem , Encyclopedia of Mathematics Cauchy integral theorem , Weisstein Eric W , Math world }- Комплексна анализа