Канторов став о равномерној непрекидности
Канторов став даје општи критеријум за одређивање равномерне непрекидности функција.

Формулација 

Канторов став о равномерној непрекидности функција или Канторова теорема о равномерној непрекидности функција гласи:
Свака функција  која је непрекидна на интервалу , равномерно је непрекидна на њему.

Доказ 
Део 1:

Из дефиниције непрекидности имамо да ако је функција  непрекидна на интервалу  (дато као услов за теорему), онда за произвољну тачку  из тог сегмента постоји нека околина  и за све тачке  важи: .

Изаберимо 2 тачке, . Тада је:

Део 2:

Изаберимо сада околину дупло мањег полупречника, . Ако такву околину конструишемо за сваку тачку сегмента , добићемо скуп отворених интервала који очигледно прекрива цео сегмент , па скуп тих интервала чини покривач сегмента . Из Борел-Лебегове леме имамо да постоји коначан подпокривач тог интервала, тј. да постоје тачке  тако да њихове околине  образују подпокривач сегмента . Како тачака  има коначно много, може се међу њиховим околинама пронаћи најмање  и означимо га са .

Део 3:

Изаберимо сада неку тачку  из интервала  која припада неком од интервала , што записујемо: .

Изаберимо и тачку  из интервала  која се налази у -околини тачке , тј. . То можемо урадити по дефиницији, зато што је функција у целом сегменту непрекидна, а пошто је , онда је сигурно и .

Сада, из  и  имамо да је:

тј. обе тачке, и  и , припадају -околини тачке , односно, обе се налазе унутар неке околине ,
па из Дела 1: имамо да је онда
, што је и требало доказати.

Напомена 

Канторов став у наведеном облику се односи на реалну анализу. Аналогна теорема постоји и у општијем случају, у топологији код метричких простора.

Види још
 Равномерна непрекидност
 Непрекидност
 Борел-Лебегова лема

Литература 
 Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.

Математика
Математичка анализа
Канторов став даје општи критеријум за одређивање равномерне непрекидности функција . Формулација Канторов став о равномерној непрекидности функција или Канторова теорема о равномерној непрекидности функција гласи : Свака функција која је непрекидна на интервалу , равномерно је непрекидна на њему . Доказ Део Из дефиниције непрекидности имамо да ако је функција непрекидна на интервалу ( дато као услов за теорему ) , онда за произвољну тачку из тог сегмента постоји нека околина и за све тачке важи : \ . Изаберимотачке , \ . Тада је : Део Изаберимо сада околину дупло мањег полупречника , \ . Ако такву околину конструишемо за сваку тачку сегмента , добићемо скуп отворених интервала који очигледно прекрива цео сегмент , па скуп тих интервала чини покривач сегмента \ . Из Борел-Лебегове леме имамо да постоји коначан подпокривач тог интервала , тј. да постоје тачке тако да њихове околине образују подпокривач сегмента \ . Како тачака има коначно много , може се међу њиховим околинама пронаћи најмање и означимо га са \ . Део Изаберимо сада неку тачку из интервала која припада неком од интервала , што записујемо : \ . Изаберимо и тачку из интервала која се налази у -околини тачке , тј . \ . То можемо урадити по дефиницији , зато што је функција у целом сегменту непрекидна , а пошто је , онда је сигурно и \ . Сада , из и имамо да је : тј. обе тачке , и и , припадају -околини тачке , односно , обе се налазе унутар неке околине , па из Дела имамо да је онда што је и требало доказати . Напомена Канторов став у наведеном облику се односи на реалну анализу . Аналогна теорема постоји и у општијем случају , у топологији код метричких простора . Види још Равномерна непрекидност Непрекидност Борел-Лебегова лема Литература Душан Аднађевић , Зоран Каделбург : Математичка анализа Студентски трг , Београд , Математика Математичка анализа