Равномерна непрекидност


Дефиниција 

Функцију , где је , а функција је непрекидна на скупу , називамо равномерно (униформно) непрекидном на том скупу, ако се за свако , може наћи позитивно , тако да за сваке две тачке њеног домена које се налазе на растојању мањем од , важи .

Односно, услов равномерне непрекидности функције  на скупу  се може записати као: 

 .

Дискусија дефиниције 

Оправданост ове дефиниције, поред дефиниције саме непрекидности функције потиче од тога - да би функција била непрекидна у свакој тачки свог домена , потребно је наћи најмање  од свих околина сваке тачке домена, за које би онда важило:
 

Ако је скуп  коначан, то је могуће урадити. Међутим, када  није коначан, не постоји гаранција да ће такво најмање  уопште постојати. Тиме је оправдана постојаност наведене дефиниције равномерне непрекидности.

Критеријум за одређивање равномерне непрекидности 

Општи критеријум за одређивање равномерне непрекидности функција даје Канторов став о равномерној непрекидности.
Теорема се може доказати коришћењем Борел-Лебегове леме о покривачима и потпокривачима.

Теорема 

Ако је функција  непрекидна на интервалу , она је и равномерно непрекидна на њему.

Доказ 

Из дефиниције непрекидности имамо да ако је функција  непрекидна на интервалу  (дато као услов за теорему), онда за произвољну тачку  из тог сегмента постоји нека околина  и за све тачке  важи: .

Изаберимо 2 тачке, . Тада је:

Изаберимо сада околину дупло мањег полупречника, . Ако такву околину конструишемо за сваку тачку сегмента , добићемо скуп отворених интервала који очигледно прекрива цео сегмент , па скуп тих интервала чини покривач сегмента . Из Борел-Лебегове леме имамо да постоји коначан потпокривач тог интервала, тј. да постоје тачке  тако да њихове околине  образују подпокривач сегмента . Како тачака  има коначно много, може се међу њиховим околинама пронаћи најмање  и означимо га са .

Изаберимо сада неку тачку  из интервала  која припада неком од интервала , што записујемо: .

Изаберимо и тачку  из интервала  која се налази у -околини тачке , тј. . То можемо урадити по дефиницији, зато што је функција у целом сегменту непрекидна, а пошто је , онда је сигурно и .

Сада, из  и  имамо да је:

тј. обе тачке, и  и , припадају -околини тачке , односно, обе се налазе унутар неке околине ,
па имамо да је онда
, што је и требало доказати.

Види још 
 Непрекидна функција
 Борел-Лебегова лема
 Канторов став о равномерној непрекидности

Литература 
 Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.

Математика
Математичка анализа
Калкулус
Дефиниција Функцију , где је , а функција је непрекидна на скупу , називамо равномерно ( униформно ) непрекидном на том скупу , ако се за свако , може наћи позитивно , тако да за сваке две тачке њеног домена које се налазе на растојању мањем од , важи \ . Односно , услов равномерне непрекидности функције на скупу се може записати као : \ . Дискусија дефиниције Оправданост ове дефиниције , поред дефиниције саме непрекидности функције потиче од тога - да би функција била непрекидна у свакој тачки свог домена , потребно је наћи најмање од свих околина сваке тачке домена , за које би онда важило : Ако је скуп коначан , то је могуће урадити . Међутим , када није коначан , не постоји гаранција да ће такво најмање уопште постојати . Тиме је оправдана постојаност наведене дефиниције равномерне непрекидности . Критеријум за одређивање равномерне непрекидности Општи критеријум за одређивање равномерне непрекидности функција даје Канторов став о равномерној непрекидности . Теорема се може доказати коришћењем Борел-Лебегове леме о покривачима и потпокривачима . Теорема Ако је функција непрекидна на интервалу , она је и равномерно непрекидна на њему . Доказ Из дефиниције непрекидности имамо да ако је функција непрекидна на интервалу ( дато као услов за теорему ) , онда за произвољну тачку из тог сегмента постоји нека околина и за све тачке важи : \ . Изаберимотачке , \ . Тада је : Изаберимо сада околину дупло мањег полупречника , \ . Ако такву околину конструишемо за сваку тачку сегмента , добићемо скуп отворених интервала који очигледно прекрива цео сегмент , па скуп тих интервала чини покривач сегмента \ . Из Борел-Лебегове леме имамо да постоји коначан потпокривач тог интервала , тј. да постоје тачке тако да њихове околине образују подпокривач сегмента \ . Како тачака има коначно много , може се међу њиховим околинама пронаћи најмање и означимо га са \ . Изаберимо сада неку тачку из интервала која припада неком од интервала , што записујемо : \ . Изаберимо и тачку из интервала која се налази у -околини тачке , тј . \ . То можемо урадити по дефиницији , зато што је функција у целом сегменту непрекидна , а пошто је , онда је сигурно и \ . Сада , из и имамо да је : тј. обе тачке , и и , припадају -околини тачке , односно , обе се налазе унутар неке околине , па имамо да је онда што је и требало доказати . Види још Непрекидна функција Борел-Лебегова лема Канторов став о равномерној непрекидности Литература Душан Аднађевић , Зоран Каделбург : Математичка анализа Студентски трг , Београд , Математика Математичка анализа Калкулус