Болцано-Вајерштрасова теорема


Болцано-Вајерштрасова теорема за скупове

Дефиниција 
 Сваки бесконачан и ограничен скуп у  има бар једну тачку нагомилавања у 

 Сваки бесконачан скуп у  има бар једну тачку нагомилавања у

Доказ 
 Нека је скуп  бесконачан и ограничен. Пошто је ограничен, значи да  за неки одсечак  Поделимо дати одсечак на два дела, тачком  Пошто је скуп  бесконачан, у бар једном од одсечака  и  ће се наћи бесконачно много чланова скупа . Означимо тај одсечак са  Понављајући тај поступак, добијамо одсечке , , ..., тј. бесконачни низ уметнутих одсечака  од којих сваки од ових одсечака садржи бесконачно много елемената скупа 

Из Канторовог принципа уметнутих одсечака, бесконачан низ уметнутих одсечака има непразан пресек, а тај пресек је нека тачка која ће припадати свим одсечцима.

Означимо са  тачку која ће припадати свим одсечцима 

Како Важи:
 (из аксиоме непрекидности према Архимедовом својству)
што значи да ће за свако произвољно одабрано  постојати довољно велико  тако да ће се сви одсечци почев од  налазити у околини тачке  а како сваки од тих одсечака има бесконачно много чланова, то се према дефиницији тачке нагомилавања скупа, закључује да је тачка  тачка нагомилавања скупа , што је и требало показати.

 Ако је скуп  ограничен, доказ о постојању његове тачке нагомилавања је управо изведен.

Ако је скуп  неограничен, то се из дефиниције тачака  и  закључује да је онда једна од њих тачка нагомилавања скупа  Тиме је доказ завршен.

Види још 
 Тачка нагомилавања скупа
 Канторов принцип уметнутих одсечака

Литература 
 Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.

Математика
Реална анализа
Теореме
Болцано-Вајерштрасова теорема за скупове Дефиниција Сваки бесконачан и ограничен скуп у има бар једну тачку нагомилавања у Сваки бесконачан скуп у има бар једну тачку нагомилавања у Доказ Нека је скуп бесконачан и ограничен . Пошто је ограничен , значи да за неки одсечак Поделимо дати одсечак на два дела , тачком Пошто је скуп бесконачан , у бар једном од одсечака и ће се наћи бесконачно много чланова скупа \ . Означимо тај одсечак са Понављајући тај поступак , добијамо одсечке , , \ . . . , тј. бесконачни низ уметнутих одсечака од којих сваки од ових одсечака садржи бесконачно много елемената скупа Из Канторовог принципа уметнутих одсечака , бесконачан низ уметнутих одсечака има непразан пресек , а тај пресек је нека тачка која ће припадати свим одсечцима . Означимо са тачку која ће припадати свим одсечцима Како Важи : ( из аксиоме непрекидности према Архимедовом својству ) што значи да ће за свако произвољно одабрано постојати довољно велико тако да ће се сви одсечци почев од налазити у околини тачке а како сваки од тих одсечака има бесконачно много чланова , то се према дефиницији тачке нагомилавања скупа , закључује да је тачка тачка нагомилавања скупа , што је и требало показати . Ако је скуп ограничен , доказ о постојању његове тачке нагомилавања је управо изведен . Ако је скуп неограничен , то се из дефиниције тачака и закључује да је онда једна од њих тачка нагомилавања скупа Тиме је доказ завршен . Види још Тачка нагомилавања скупа Канторов принцип уметнутих одсечака Литература Душан Аднађевић , Зоран Каделбург : Математичка анализа Студентски трг , Београд , Математика Реална анализа Теореме