Գծային համակարգ


Գծային համակարգերի շարժման ըստ կարևորության ղեկավարելիության մասին 

Դիտարկենք հետևյալ դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգը՝

(1.1)

Սահմանենք (1.1) համակարգի լրիվ ղեկավարելիությունը։

 Սահմանում  [1]։ (1.1) համակարգը կանվանենք լրիվ ղեկավարելի  ժամանակահատվածի վրա, եթե  ղեկավարումների համախմբությունից կարելի է գտնել այնպիսի ղեկավարումներ, որոնց ազդեցությամբ (1.1) համակարգը կամայական  սկզբնական դիրքից կարելի է տեղափոխել կամայական  վերջնական դիրք։

(1.1) համակարգի ղեկավարելիության ուսումնասիրության համար նպատակահարմար է կատարել հետևյալ նշանակումները [1]

(1.2)

Այստեղ  մատրիցը ունի  չափողականություն, որտեղ  պարամեարերի համախմբությունը, իսկ U վեկտոր-սյան չափողականությունը հավասար է r։

Հաշվի առնելով (1.2) նշանակումները (1.1) համակարգը կարելի է գրել հետևյալ տեսքով

(1.3)

Ենթադրենք  և  մատրիցների էլեմենտները համապատասխանաբար ունեն ընդհուպ մինչև –րդ և –րդ կարգի անընդհատ ածանցյալներ ըստ t-ի,  հատվածի գոնե ինչ-որ  կետի շրջակայքում։ Այդ  կետի շրջակայքում ներմուծենք  մատրիցները հետևյալ ռեկուրենտ (անդրադարձ) առնչություններով՝

(1.4)

Հետևաբար, համաձայն [2], (1.3) ոչ ստացիոնար համակարգի համար տեղի ունի հետևյալ թեորեմը (լրիվ ղեկավարելիության բավարար պայմանը) [1]

 Թեորեմ 1:  Դիցուք  հատվածում գոյություն ունի  կետ, որում

(1.5)

մատրիցի ռանգը հավասար է n-ի։ Այդ դեպքում (1.3) համակարգը լրիվ ղեկավարելի է հատվածի վրա։

Եթե (1.3) համակարգը ստացիոնար է, այսինքն՝

(1.6)

ապա  մատրիցը, համաձայն (1.4)-ի կընդունի հետևյալ պարզ տեսքը

(1.7)

(1.5)-ը և (1.7)-ը Կալմանի մատրիցներն են համապատասխանաբար ոչ ստացիոնար՝ (1.3) և ստացիոնար՝ (1.6) համակարգերի համար։

 Թեորեմ 2:  Որպեսզի (1.6) ստացիոնար համակարգը լինի լրիվ ղեկավարելի կամայական  հատվածի վրա, անհրաժեշտ է և բավարար, որ ղեկավարելիության  (1.7) մատրիցի ռանգը հավասար լինի n-ի։

Այս թեորեմների ապացույցը կատարվում է [2]-ում բերված համանման թեորեմների ապացույցների ձևով։

Հարկ է նշել, որ մի քանի  ղեկավարող ազդեցություններով համակարգի ղեկավարման հնարավորության դեպքում, լրիվ ղեկավարելիության հատկությունը ընդունում է առանձնահատուկ տեսք։

Որպես օրինակ դիտարկենք հետևյալ համակարգը

(1.8)

Կազմենք այս համակարգի համար Կալմանի մատրիցները (երբ  և միաժամանակ  դեպքերում)։

Ղեկավարելիության մատրիցների տեսքերից երևում է, որ (1.8) համակարգը առանձին-առանձին ըստ  ղեկավարման կամ  ղեկավարման լրիվ ղեկավարելի չէ, քանի որ  և  մատրիցների ռանգերը հավասար չեն 2-ի։ Իսկ  և  ղեկավարումների միաժամանակ առկայության դեպքում  մատրիցի ռանգը 2 է, այսինքն՝ (1.8) համակարգը  և  ղեկավարումների համախմբությամբ լրիվ ղեկավարելի է։

Արտաքին հղումներ 
 Ֆեյնմանի դասախոսությունը գծային համակարգերի մասին

Համակարգերի տեսություն
Գծային համակարգերի շարժման ըստ կարևորության ղեկավարելիության մասին Դիտարկենք հետևյալ դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգը ՝ ( 1.1 ) Սահմանենք1 ) համակարգի լրիվ ղեկավարելիությունը ։ Սահմանում [ 1 ] ։1 ) համակարգը կանվանենք լրիվ ղեկավարելի ժամանակահատվածի վրա , եթե ղեկավարումների համախմբությունից կարելի է գտնել այնպիսի ղեկավարումներ , որոնց ազդեցությամբ1 ) համակարգը կամայական սկզբնական դիրքից կարելի է տեղափոխել կամայական վերջնական դիրք ։ ( 1.1 ) համակարգի ղեկավարելիության ուսումնասիրության համար նպատակահարմար է կատարել հետևյալ նշանակումները [ 1 ] ( 1.2 ) Այստեղ մատրիցը ունի չափողականություն , որտեղ պարամեարերի համախմբությունը , իսկ U վեկտոր - սյան չափողականությունը հավասար է r ։ Հաշվի առնելով2 ) նշանակումները1 ) համակարգը կարելի է գրել հետևյալ տեսքով ( 1.3 ) Ենթադրենք և մատրիցների էլեմենտները համապատասխանաբար ունեն ընդհուպ մինչև –րդ և –րդ կարգի անընդհատ ածանցյալներ ըստ t -ի , հատվածի գոնե ինչ - որ կետի շրջակայքում ։ Այդ կետի շրջակայքում ներմուծենք մատրիցները հետևյալ ռեկուրենտ ( անդրադարձ ) առնչություններով ՝ ( 1.4 ) Հետևաբար , համաձայն [ 2 ] ,3 ) ոչ ստացիոնար համակարգի համար տեղի ունի հետևյալ թեորեմը ( լրիվ ղեկավարելիության բավարար պայմանը ) [ 1 ] Թեորեմ Դիցուք հատվածում գոյություն ունի կետ , որում ( 1.5 ) մատրիցի ռանգը հավասար է n -ի ։ Այդ դեպքում3 ) համակարգը լրիվ ղեկավարելի է հատվածի վրա ։ Եթե3 ) համակարգը ստացիոնար է , այսինքն ՝ ( 1.6 ) ապա մատրիցը , համաձայն4 ) - ի կընդունի հետևյալ պարզ տեսքը ( 1.7 ) ( 1.5 ) - ը և7 ) - ը Կալմանի մատրիցներն են համապատասխանաբար ոչ ստացիոնար ՝3 ) և ստացիոնար ՝6 ) համակարգերի համար ։ Թեորեմ Որպեսզի6 ) ստացիոնար համակարգը լինի լրիվ ղեկավարելի կամայական հատվածի վրա , անհրաժեշտ է և բավարար , որ ղեկավարելիության 7 ) մատրիցի ռանգը հավասար լինի n -ի ։ Այս թեորեմների ապացույցը կատարվում է [ 2 ] - ում բերված համանման թեորեմների ապացույցների ձևով ։ Հարկ է նշել , որ մի քանի ղեկավարող ազդեցություններով համակարգի ղեկավարման հնարավորության դեպքում , լրիվ ղեկավարելիության հատկությունը ընդունում է առանձնահատուկ տեսք ։ Որպես օրինակ դիտարկենք հետևյալ համակարգը ( 1.8 ) Կազմենք այս համակարգի համար Կալմանի մատրիցները ( երբ և միաժամանակ դեպքերում ) ։ Ղեկավարելիության մատրիցների տեսքերից երևում է , որ8 ) համակարգը առանձին - առանձին ըստ ղեկավարման կամ ղեկավարման լրիվ ղեկավարելի չէ , քանի որ և մատրիցների ռանգերը հավասար չենի ։ Իսկ և ղեկավարումների միաժամանակ առկայության դեպքում մատրիցի ռանգըէ , այսինքն ՝8 ) համակարգը և ղեկավարումների համախմբությամբ լրիվ ղեկավարելի է ։ Արտաքին հղումներ Ֆեյնմանի դասախոսությունը գծային համակարգերի մասին Համակարգերի տեսություն