Nash oreka
Nashen oreka jokaldi edo estrategien konbinaketa bat da, non, oreka bat osatzen den baldin eta jokalari bakoitzaren emaitza, gainerako jokalarien jokaldiak konstante mantenduz, edozein beste estrategia bat jokaturik lortuko lukeen emaitza baino hobea edo berdina den.

Oreka egoera batean, bi baldintza bete behar dira kontuan:

 Jokalariak, bere lehiakideek jokatuko duten estrategiei buruz, eginiko aurreikuspenak zuzenak izan behar dira.
 Jokalariak ez du inolako pizgarririk izan behar bere estrategia aldatzeko, beste jokalarien estrategiak jakinik. Egoera honek, arrazionaltasun indibiduala eskatzen du, hau da, besteek egiten dutena kontuan izanik, ahalik eta hobekien jokatzea.

Nashen oreka izateko beharrezko baldintza edo gutxiengo betekizun bat da dago, joko baten edozein soluzio proposamen jokalarien portaeraren aurreikuspen arrazional bat izan dadin. Hala ere, ez da baldintza nahikoa, hau da, estrategien konbinaketa bat Nashen oreka izatea ez da nahikoa joko baten soluzioaren gure aurreikuspena izan dadin.

Nash oreka nola kalkulatu 
Nashen oreka kalkulatzeko modu erraz bat honako hau da: beste jokalarien estrategien (edo estrategia konbinaketen) aurrean, jokalari bakoitzaren erantzunik onenen multzoa eraiki eta elkarrekiko erantzunik onenak diren estrategien konbinaketak bilatu.

(b, h) estrategien konbinaketak osatzen du joko honetako Nashen oreka bakarra.

Historia 
Nashen oreka kontzeptua Antoine Augustin Cournotekin eta oligopolioei buruzko lanarekin hasi zen garatzen (1838). Bertan, ondasun beraren merkatuan lehiatzen diren hainbat enpresaren eredua planteatzen da. Enpresa horiek zenbat ekoitzi erabaki dezakete, bere irabazia beste enpresen ekoizpenaren arabera maximizatzen saiatzeko. Egoera horretan, Cournoten oreka ezartzen da enpresa bakoitzaren ekoizpenak bere mozkinak maximizatzen dituenean, beste enpresen ekoizpenarekiko eta hori estrategia hutseko egoera bat da Nashen orekan.

Estrategia hutsetako Nashen orekak mugatuak dira alderdi askotan, eta jokoen teoria modernoaren garapenarekin sortzen dira estrategia mistoetako orekak (jokalariek ausaz hainbat estrategiaren artean aukera dezaketenak). Halako estrategietarako oreka kontzeptua John von Neumannek eta Oskar Morgensternek sartu zuten Theory of Games and Economic Behavior (1944) liburuan, nahiz eta zero batuketako jokoen kasu berezirako orekak baino ez zituzten landu.

John Forbes Nash izan zen bere doktorego tesian (1951) gaur egun bere izena daramaten orekak definitzen dituena, estrategia mistoak modu orokorrean jorratuz eta estrategia kopuru mugatu bat duen edozein jokok estrategia mistoetan gutxienez Nashen oreka duela frogatuz. Ondoren, Nashek Nobel sari bat irabazi zuen kontzeptu honek zientzietako hainbat adarretan izan zuen aplikazio eta eragin ugarirengatik.

Azkenik, kasu batzuk aurkitu ziren, non Nashen orekek ez zuten jokalarien portaeretarako guztiz egokiak ziren iragarpenik egiten, Nashen oreka gisa aurkitu ezin ziren portaera egonkorrak ematen ziren, oreka berriak (askotan Nashen oreken finketa bezala) eta joko baten soluzio kontzeptuak bilatzen eta garatzen hasi zirenak.

Nash orekaren terminoak 
Joko bat definitzeko orduan baldintza batzuk bete eta idatzi behar dira modu formal batean, non:

i jokalari kopurua da, hau da, i = 1,…, n doala esaten da ez badugu jokalari kopurua definitua (n jokalari kopuru definitu gabea).

Estrategia multzoari, hau da, jokalarien estrategia multzoa Si izango den.

Mozkinen funtzio edo irabazien funtzio bat dago, Pi(si,s-i) non si ÎSi eta s-i ÎS-i den. Jokalari bakoitzak bere mozkinen funtzioa maximizatzen saiatzen da (baliagarritasuna edo irabaziak) estrategia egokiak aukeratuz, gainerako jokalarien eremu estrategikoak eta mozkin funtzioak ezaguturik, baina lehiakideek erabilitako estrategia zehatzak ezagutu gabe. Beraz, jokalari bakoitzak aurreikusi behar du lehiakideek erabilitako edo erabiliko duten estrategia.

Nashen orekaren arazoak eta fintasunak

Eraginkortasun ezaren aukera 
Ohikoa da Nashen oreka Paretoren zentzuan optimoa (eraginkorra) ez deneko jokoak aurkitzea. Egoera hau azaltzeko, mundu mailan ezagunena den adibidean pasatzen den egoera da: presoaren dileman, hain zuzen ere.

Gatibuaren dilemak estrategia garbietan Nashen oreka bat du: bi jokalariek aitortzen dutenean gertatzen dena. Hala eta guztiz ere, "Biek aitortzen dute", "biek elkarlanean" baino okerragoa den egoera bat da, hau da, bete behar duten kartzela-denbora handiagoa delako. Hala ere, "Biak elkarlanean" estrategia ezegonkorra da, jokalari batek bere emaitza hobetu dezakeelako aurkariak lankidetza estrategiari eusten badio. Horrela, "Biek laguntzen dute" ez da Nashen oreka bat, baina bai Pareto zentzuan optimoa den emaitza. Emaitza horretara iristeko modu bat kolusio akordio bat egitea da, eta jokalari bakoitzak akordioa hausten badu bestea "zigortzeko" aukera izango du. Nashen orekatik kanpoko irtenbide batera ere irits liteke jokoa hamaika aldiz errepikatuko balitz, "Begiz begi" estrategia lortzen denean.

Nashen orekaren existentzia eza 
Joko honetan, estrategia garbietan ez da Nashen orekarik existitzen. Hala ere, estrategia mistoen (jokalari baten estrategia garbien eremuaren gaineko probabilitatearen banaketa) erabilera onartuz, “estrategia mistoetan (joko finituetan) Nashen oreka beti existitzen da” delakoaren emaitza lortzen da.

Nashen oreken ugaritasuna 
Bi egoera bereiziko ditugu eta adibide ezberdinen bidez azalduko dugu:

1. Fintzeko edo aukeratzeko aukerarik gabe

Bikote batek zinemara edo antzokira joan aukeratu behar du. Mutil lagunak zinemara nahiago du antzokia baino, baina nahiago du antzokira konpainian joan zinemara bakarrik joan baino. Berdina (baina alderantziz) gertatzen da neska lagunarekin.

Joko honetan Nashen bi oreka daude, koordinazio garbiaren arazoa existitzen da.

2. Fintzeko edo aukeratzeko aukerarekin

a) Eraginkortasunaren irizpidea Jokalariei ordainketarik handienak emango dizkien Nashen oreka aukeratu. Orokorrean ez da aukeraketa irizpide egokia.

b) Menperatze ahularen irizpidea Ahulki menperaturiko estrategietan oinarrituriko Nashen orekak ezabatzean datza irizpide hau. Nahiz eta soluzio kontzeptu moduan ez izan ona, Nashen oreken artean aukeratzen laguntzen digu.

c) Atzeraeraginezko indukzioaren eta azpiataletan oreka perfektuaren irizpidea.

Bibliografia 
 H.S. Bierman, L. Fernández, "Game Theory with Economic Applications", Addison-Wesley, 1993.
 K. Binmore, "Teoría de Juegos", McGraw-Hill, 1994.
 R. Gibbons, "Un Primer Curso de Teoría de Juegos", Antoni Bosch, 1996.
 Oskar Morgenstern eta John von Neumann, "Theory of Games and Economic Behavior" Princeton University Press, 1947.
 Zapata L. Paloma, "Economía, Política y Otros Juegos: Una Introducción a los Juegos No Cooperativos", las prensas de ciencias, 2007.

Kanpo estekak 

Joko-teoria
Puntu finkoko teoremak
1951ko lanak
Nashen oreka jokaldi edo estrategien konbinaketa bat da , non , oreka bat osatzen den baldin eta jokalari bakoitzaren emaitza , gainerako jokalarien jokaldiak konstante mantenduz , edozein beste estrategia bat jokaturik lortuko lukeen emaitza baino hobea edo berdina den . Oreka egoera batean , bi baldintza bete behar dira kontuan : Jokalariak , bere lehiakideek jokatuko duten estrategiei buruz , eginiko aurreikuspenak zuzenak izan behar dira . Jokalariak ez du inolako pizgarririk izan behar bere estrategia aldatzeko , beste jokalarien estrategiak jakinik . Egoera honek , arrazionaltasun indibiduala eskatzen du , hau da , besteek egiten dutena kontuan izanik , ahalik eta hobekien jokatzea . Nashen oreka izateko beharrezko baldintza edo gutxiengo betekizun bat da dago , joko baten edozein soluzio proposamen jokalarien portaeraren aurreikuspen arrazional bat izan dadin . Hala ere , ez da baldintza nahikoa , hau da , estrategien konbinaketa bat Nashen oreka izatea ez da nahikoa joko baten soluzioaren gure aurreikuspena izan dadin . Nash oreka nola kalkulatu Nashen oreka kalkulatzeko modu erraz bat honako hau da : beste jokalarien estrategien ( edo estrategia konbinaketen ) aurrean , jokalari bakoitzaren erantzunik onenen multzoa eraiki eta elkarrekiko erantzunik onenak diren estrategien konbinaketak bilatu . ( b , h ) estrategien konbinaketak osatzen du joko honetako Nashen oreka bakarra . Historia Nashen oreka kontzeptua Antoine Augustin Cournotekin eta oligopolioei buruzko lanarekin hasi zen garatzen Bertan , ondasun beraren merkatuan lehiatzen diren hainbat enpresaren eredua planteatzen da . Enpresa horiek zenbat ekoitzi erabaki dezakete , bere irabazia beste enpresen ekoizpenaren arabera maximizatzen saiatzeko . Egoera horretan , Cournoten oreka ezartzen da enpresa bakoitzaren ekoizpenak bere mozkinak maximizatzen dituenean , beste enpresen ekoizpenarekiko eta hori estrategia hutseko egoera bat da Nashen orekan . Estrategia hutsetako Nashen orekak mugatuak dira alderdi askotan , eta jokoen teoria modernoaren garapenarekin sortzen dira estrategia mistoetako orekak ( jokalariek ausaz hainbat estrategiaren artean aukera dezaketenak ) . Halako estrategietarako oreka kontzeptua John von Neumannek eta Oskar Morgensternek sartu zuten Theory of Games and Economic Behaviorliburuan , nahiz eta zero batuketako jokoen kasu berezirako orekak baino ez zituzten landu . John Forbes Nash izan zen bere doktorego tesiangaur egun bere izena daramaten orekak definitzen dituena , estrategia mistoak modu orokorrean jorratuz eta estrategia kopuru mugatu bat duen edozein jokok estrategia mistoetan gutxienez Nashen oreka duela frogatuz . Ondoren , Nashek Nobel sari bat irabazi zuen kontzeptu honek zientzietako hainbat adarretan izan zuen aplikazio eta eragin ugarirengatik . Azkenik , kasu batzuk aurkitu ziren , non Nashen orekek ez zuten jokalarien portaeretarako guztiz egokiak ziren iragarpenik egiten , Nashen oreka gisa aurkitu ezin ziren portaera egonkorrak ematen ziren , oreka berriak ( askotan Nashen oreken finketa bezala ) eta joko baten soluzio kontzeptuak bilatzen eta garatzen hasi zirenak . Nash orekaren terminoak Joko bat definitzeko orduan baldintza batzuk bete eta idatzi behar dira modu formal batean , non : i jokalari kopurua da , hau da , i =… , n doala esaten da ez badugu jokalari kopurua definitua ( n jokalari kopuru definitu gabea ) . Estrategia multzoari , hau da , jokalarien estrategia multzoa Si izango den . Mozkinen funtzio edo irabazien funtzio bat dago , Pi( si,s-i ) non si ÎSi eta s-i ÎS-i den . Jokalari bakoitzak bere mozkinen funtzioa maximizatzen saiatzen da ( baliagarritasuna edo irabaziak ) estrategia egokiak aukeratuz , gainerako jokalarien eremu estrategikoak eta mozkin funtzioak ezaguturik , baina lehiakideek erabilitako estrategia zehatzak ezagutu gabe . Beraz , jokalari bakoitzak aurreikusi behar du lehiakideek erabilitako edo erabiliko duten estrategia . Nashen orekaren arazoak eta fintasunak Eraginkortasun ezaren aukera Ohikoa da Nashen oreka Paretoren zentzuan optimoa ( eraginkorra ) ez deneko jokoak aurkitzea . Egoera hau azaltzeko , mundu mailan ezagunena den adibidean pasatzen den egoera da : presoaren dileman , hain zuzen ere . Gatibuaren dilemak estrategia garbietan Nashen oreka bat du : bi jokalariek aitortzen dutenean gertatzen dena . Hala eta guztiz ere , " Biek aitortzen dute " , " biek elkarlanean " baino okerragoa den egoera bat da , hau da , bete behar duten kartzela-denbora handiagoa delako . Hala ere , " Biak elkarlanean " estrategia ezegonkorra da , jokalari batek bere emaitza hobetu dezakeelako aurkariak lankidetza estrategiari eusten badio . Horrela , " Biek laguntzen dute " ez da Nashen oreka bat , baina bai Pareto zentzuan optimoa den emaitza . Emaitza horretara iristeko modu bat kolusio akordio bat egitea da , eta jokalari bakoitzak akordioa hausten badu bestea " zigortzeko " aukera izango du . Nashen orekatik kanpoko irtenbide batera ere irits liteke jokoa hamaika aldiz errepikatuko balitz , " Begiz begi " estrategia lortzen denean . Nashen orekaren existentzia eza Joko honetan , estrategia garbietan ez da Nashen orekarik existitzen . Hala ere , estrategia mistoen ( jokalari baten estrategia garbien eremuaren gaineko probabilitatearen banaketa ) erabilera onartuz , “ estrategia mistoetan ( joko finituetan ) Nashen oreka beti existitzen da ” delakoaren emaitza lortzen da . Nashen oreken ugaritasuna Bi egoera bereiziko ditugu eta adibide ezberdinen bidez azalduko dugu : 1. Fintzeko edo aukeratzeko aukerarik gabe Bikote batek zinemara edo antzokira joan aukeratu behar du . Mutil lagunak zinemara nahiago du antzokia baino , baina nahiago du antzokira konpainian joan zinemara bakarrik joan baino . Berdina ( baina alderantziz ) gertatzen da neska lagunarekin . Joko honetan Nashen bi oreka daude , koordinazio garbiaren arazoa existitzen da . 2. Fintzeko edo aukeratzeko aukerarekin a ) Eraginkortasunaren irizpidea Jokalariei ordainketarik handienak emango dizkien Nashen oreka aukeratu . Orokorrean ez da aukeraketa irizpide egokia . b ) Menperatze ahularen irizpidea Ahulki menperaturiko estrategietan oinarrituriko Nashen orekak ezabatzean datza irizpide hau . Nahiz eta soluzio kontzeptu moduan ez izan ona , Nashen oreken artean aukeratzen laguntzen digu . c ) Atzeraeraginezko indukzioaren eta azpiataletan oreka perfektuaren irizpidea . Bibliografia H.S . Bierman , L. Fernández , " Game Theory with Economic Applications " , Addison-Wesley , K. Binmore , " Teoría de Juegos " , McGraw-Hill , R . Gibbons , " Un Primer Curso de Teoría de Juegos " , Antoni Bosch , Oskar Morgenstern eta John von Neumann , " Theory of Games and Economic Behavior " Princeton University Press , Zapata L. Paloma , " Economía , Política y Otros Juegos : Una Introducción a los Juegos No Cooperativos " , las prensas de ciencias , Kanpo estekak Joko-teoria Puntu finkoko teoremak 1951ko lanak