Grupo resoluble
En la teoría de grupos, un grupo resoluble (o soluble) es un grupo que se construye a partir de grupos abelianos usando extensiones de grupo. Equivalentemente, un grupo resoluble es un grupo cuya serie derivada se termina en el subgrupo trivial.

Definición 
Un grupo finito G se dice resoluble (o soluble) si existe una cadena finita de subgrupos  tal que:

donde para cada  se cumple que:

  es subgrupo normal en , notado usualmente como .

 El grupo cociente  es abeliano.

A la anterior cadena, cuando exista, se le suele denominar torre, según Serge Lang.

Otra forma de definir la solubilidad de un grupo es a partir de los subgrupos conmutadores. Definimos  y . Tendremos entonces una sucesión decreciente de subgrupos, a la que llamamos serie derivada:

 donde  para todo i.

El grupo es soluble si existe  tal que .

Las dos definiciones son equivalentes porque dados un grupo  y un subgrupo normal , se tiene que  es abeliano si y solo si .

Ejemplos 
 Todo grupo abeliano es resoluble, ya que  y , dado que  y además , por lo que es abeliano.

  es resoluble. Basta ver que  es una torre abeliana, con  el grupo alternado para .

  es resoluble. Basta ver que , es una torre abeliana de , donde .

  es resoluble. Se puede ver que  es una torre abeliana de .

  es un grupo no resoluble, ya que se conoce que  es simple, por lo que la única cadena posible es , pero  no es abeliano, dado que .

Propiedades
 Si  es un grupo soluble y  es un homomorfismo de grupos entonces  es soluble. Esto es equivalente, gracias al primer teorema de isomorfismos, a que si  y  es soluble entonces  es soluble.

 Si  es soluble y  entonces  es soluble.

 Si  verifican que tanto  como  son solubles entonces  es soluble.

 De las propiedades anteriores podemos deducir que el producto directo  es soluble si y solo si  y  lo son.

Importancia
Está ligado a la teoría de Galois y  a la resolución de ecuaciones algebraicas. Un teorema importante en ese sentido es: 

Un polinomio g sobre K (con característica 0) es resoluble por radicales si y solo si su grupo de Galois sobre K es soluble.

Referencias

Teoría de grupos
En la teoría de grupos , un grupo resoluble ( o soluble ) es un grupo que se construye a partir de grupos abelianos usando extensiones de grupo . Equivalentemente , un grupo resoluble es un grupo cuya serie derivada se termina en el subgrupo trivial . Definición Un grupo finito G se dice resoluble ( o soluble ) si existe una cadena finita de subgrupos tal que : donde para cada se cumple que : es subgrupo normal en , notado usualmente como \ . El grupo cociente es abeliano . A la anterior cadena , cuando exista , se le suele denominar torre , según Serge Lang . Otra forma de definir la solubilidad de un grupo es a partir de los subgrupos conmutadores . Definimos y \ . Tendremos entonces una sucesión decreciente de subgrupos , a la que llamamos serie derivada : donde para todo i . El grupo es soluble si existe tal que \ . Las dos definiciones son equivalentes porque dados un grupo y un subgrupo normal , se tiene que es abeliano si y solo si \ . Ejemplos Todo grupo abeliano es resoluble , ya que y , dado que y además , por lo que es abeliano . es resoluble . Basta ver que es una torre abeliana , con el grupo alternado para \ . es resoluble . Basta ver que , es una torre abeliana de , donde \ . es resoluble . Se puede ver que es una torre abeliana de \ . es un grupo no resoluble , ya que se conoce que es simple , por lo que la única cadena posible es , pero no es abeliano , dado que \ . Propiedades Si es un grupo soluble y es un homomorfismo de grupos entonces es soluble . Esto es equivalente , gracias al primer teorema de isomorfismos , a que si y es soluble entonces es soluble . Si es soluble y entonces es soluble . Si verifican que tanto como son solubles entonces es soluble . De las propiedades anteriores podemos deducir que el producto directo es soluble si y solo si y lo son . Importancia Está ligado a la teoría de Galois y a la resolución de ecuaciones algebraicas . Un teorema importante en ese sentido es : Un polinomio g sobre K ( con característicaes resoluble por radicales si y solo si su grupo de Galois sobre K es soluble . Referencias Teoría de grupos