Energía de Dirichlet
En matemáticas, la energía de Dirichlet es una medida numérica de cómo de variable es una función. Más abstractamente, es un funcional cuadrático sobre el espacio de Sóbolev . La energía de Dirichlet está íntimamente conectada con la ecuación de Laplace y su nombre se debe al matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Definición 

Dado un conjunto abierto  y una función  la energía de Dirichlet de la función  es el número real

donde  denota el gradiente del campo vectorial de la función .

Propiedades y aplicaciones 

Puesto que es la integral de una cantidad no negativa, la energía de Dirichlet no es una cantidad negativa,  i.e.  para cualquier función .

Resolver la ecuación de Laplace

(sujeta a las apropiadas condiciones de frontera) es equivalente a resolver el problema de variaciones de encontrar una función  que satisfaga las condiciones de contorno y tenga la mínima energía de Dirichlet.

Tal solución es llamada función armónica y esas soluciones son el tema de estudio de la teoría del potencial.

Véase también 
 Principio de Dirichlet (teoría del potencial)
 Variación total
 Oscilación media acotada

Referencias

Enlaces externos 
 

Cálculo de variaciones
Ecuaciones en derivadas parciales
Dirichlet, energía
En matemáticas , la energía de Dirichlet es una medida numérica de cómo de variable es una función . Más abstractamente , es un funcional cuadrático sobre el espacio de Sóbolev \ . La energía de Dirichlet está íntimamente conectada con la ecuación de Laplace y su nombre se debe al matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet . Definición Dado un conjunto abierto y una función la energía de Dirichlet de la función es el número real donde denota el gradiente del campo vectorial de la función \ . Propiedades y aplicaciones Puesto que es la integral de una cantidad no negativa , la energía de Dirichlet no es una cantidad negativa , i.e . para cualquier función \ . Resolver la ecuación de Laplace ( sujeta a las apropiadas condiciones de frontera ) es equivalente a resolver el problema de variaciones de encontrar una función que satisfaga las condiciones de contorno y tenga la mínima energía de Dirichlet . Tal solución es llamada función armónica y esas soluciones son el tema de estudio de la teoría del potencial . Vea se también Principio de Dirichlet ( teoría del potencial ) Variación total Oscilación media acotada Referencias Enlaces externos Cálculo de variaciones Ecuaciones en derivadas parciales Dirichlet , energía