Entero cuadrático
Los enteros cuadráticos, en los predios de la  teoría de números, son una generalización de los enteros racionales a los cuerpos cuadráticos. Entre  ejemplos importantes,  se mencionan los enteros gaussianos y los enteros de Eisenstein.  Aunque han sido estudiados, en un lapso mayor de cien años, muchos problemas continúan  en ayunos de  solución.

Definición 

Los enteros cuadráticos son soluciones de la forma:

para enteros  y . Tales soluciones tienen la forma , donde ,  son enteros, y donde  está definido mediante:

( es un entero libre de cuadrados).

Esta caracterización fue dada por primera vez por Richard Dedekind en 1871. Fijando un entero libre de cuadrados , el anillo de enteros cuadráticos } es un subanillo del cuerpo cuadrático √. Por otra parte,  es la clausura integral de  en √. En otras palabras, es el anillo de enteros  de √ y por lo tanto un dominio de Dedekind.

Ejemplos 

 Un ejemplo clásico es √, los enteros gaussianos, que fueron introducidos por Carl Friedrich Gauss alrededor de 1800 para el establecimiento de su ley de reciprocidad bicuadrática.
 Los elementos en  son llamados enteros de Eisentein.
 En cambio, √ no es un dominio de Dedekind.

Número de clase 

Equipados con la norma
√,
 es un dominio euclídeo (y a fortiori, un DFU) donde . Por otro lado, resulta que √ no es un DFU porque, por ejemplo, 6 tiene dos factorizaciones distintas en elementos irreducibles:
√√
(De hecho, √ tiene número de clase 2.) El fallo de la factorización única permitió a Ernst Kummer y Dedekind desarrollar una teoría que podría ampliar el conjunto de los "números primos"; el resultado fue la noción de ideales y la descomposición de ideales mediante ideales primos.

Siendo un dominio de Dedekind, un anillo de enteros cuadráticos es un DFU si y sólo si éste es un dominio de ideal principal ( i.e., si su número de clase es uno.) Sin embargo, hay anillos de enteros cuadráticos que son dominios de ideales principales y no son dominios euclídeos. Por ejemplo, √ tiene número de clase 1 pero su anillo de enteros no es euclídeo. Existen métodos efectivos para calcular grupos de clases ideales de anillos de enteros cuadráticos, pero muchas preguntas teóricas sobre sus estructuras todavía siguen abiertas después de cien años.

Véase también 

 Último teorema de Fermat
 Ecuación de Pell

Notas

Referencias 
 . Traducido del original en francés por John Meldrum.
 . Retrieved 5. August 2009
 Dummit, D. S., and Foote, R. M., 2004. Abstract Algebra, 3rd ed.
 J.S. Milne. Algebraic Number Theory, Version 3.01, September 28, 2008. Notas de lectura en línea (en inglés).

Teoría de números algebraicos
Los enteros cuadráticos , en los predios de la teoría de números , son una generalización de los enteros racionales a los cuerpos cuadráticos . Entre ejemplos importantes , se mencionan los enteros gaussianos y los enteros de Eisenstein . Aunque han sido estudiados , en un lapso mayor de cien años , muchos problemas continúan en ayunos de solución . Definición Los enteros cuadráticos son soluciones de la forma : para enteros y \ . Tales soluciones tienen la forma , donde , son enteros , y donde está definido mediante : ( es un entero libre de cuadrados ) . Esta caracterización fue dada por primera vez por Richard Dedekind en Fijando un entero libre de cuadrados , el anillo de enteros cuadráticos } es un subanillo del cuerpo cuadrático √ . Por otra parte , es la clausura integral de en √ . En otras palabras , es el anillo de enteros de √ y por lo tanto un dominio de Dedekind . Ejemplos Un ejemplo clásico es √ , los enteros gaussianos , que fueron introducidos por Carl Friedrich Gauss alrededor depara el establecimiento de su ley de reciprocidad bicuadrática . Los elementos en son llamados enteros de Eisentein . En cambio , √ no es un dominio de Dedekind . Número de clase Equipados con la norma √ , es un dominio euclídeo ( y a fortiori , un DFU ) donde \ . Por otro lado , resulta que √ no es un DFU porque , por ejemplo,tiene dos factorizaciones distintas en elementos irreducibles : √√ ( De hecho , √ tiene número de clase ) El fallo de la factorización única permitió a Ernst Kummer y Dedekind desarrollar una teoría que podría ampliar el conjunto de los " números primos " ; el resultado fue la noción de ideales y la descomposición de ideales mediante ideales primos . Siendo un dominio de Dedekind , un anillo de enteros cuadráticos es un DFU si y sólo si éste es un dominio de ideal principal ( i.e. , si su número de clase es uno . ) Sin embargo , hay anillos de enteros cuadráticos que son dominios de ideales principales y no son dominios euclídeos . Por ejemplo , √ tiene número de clasepero su anillo de enteros no es euclídeo . Existen métodos efectivos para calcular grupos de clases ideales de anillos de enteros cuadráticos , pero muchas preguntas teóricas sobre sus estructuras todavía siguen abiertas después de cien años . Vea se también Último teorema de Fermat Ecuación de Pell Notas Referencias \ . Traducido del original en francés por John Meldrum . \ . Retrieved August Dummit , D. S. , and Foote , R. M. , Abstract Algebra,d ed . J.S. Milne . Algebraic Number Theory , Version01 , September Notas de lectura en línea ( en inglés ) . Teoría de números algebraicos