فيزياء الكرة النطاطة
تتعلق فيزياء الكرة النطاطة بالسلوك الجسدي للكرات النطاطة بشكل عام حيث تهتم بدراسة حركة الجسم قبل السقوط وأثناءه وبعد اصطدامه بالأرض لذلك فهي تعتبر مادة دراسية جيدة لشرح مقدمة عن علم الميكانيكا في المرحلتي الثانوية والجامعية لكن يحتاج من يتعمق فيها تطبيق مبادئ الهندسة والميكانيكا على الألعاب الرياضية.

توصف حركة الكرة بشكل كبير حركة القذيفة حيث بتأثر كلاهما بكل من الجاذبية، مقاومة الموائع، تأثير ماغنوس وقانون الطفو لكنها تتميز بتأثرها بمعامل الاستعادة (الذي يمكن أن يتأثر بطبيعة الكرة، طبيعة السطح المؤثر، سرعة التصادم، الدوران، والظروف المحلية مثل درجة الحرارة والضغط). لذلك تضع هيئة إدارة الرياضة الكرة النطاطة (الصورة المحدثة للعبة كرة أمريكا الوسطى) العديد من القيود على تلك المؤثرات لمنع العبث بخصائص الكرات لضمان اللعب النظيف.

القوة المؤثرة أثناء الرحلة وتأثيرها على الحركة 

تتشابه حركة الكرة المرتدة مع حركة القذيفة فهي تتعرض للعديد من القوى مثل:
 قوى الجاذبية (FG) تؤثر من مركز الجسم إلى أسفل.
 مقاومة المائع (FD) الناتجة من مقاومة الهواء.
 قوة ماغنوس (FM) الناتجة عن دوران الكرة،
 قوة الطفو (FB)
لتحليل حركة الكرة يتم استخدام قانون نيوتن الثاني:

حيث:
 m: كتلة الكرة.
 a: التسارع
 v: سرعة الكرة
 t: الزمن

الجاذبية 

تؤثر قوة الجاذبية على مركز الكرة إلى أسفل طبقا للمعادلة التالية:

حيث
 m: كتلة الكرة
 g: عجلة الجاذبية والتي تتراوح ما بين 9.764 متر/ ثانية تربيع و 9.834 متر/ ثانية تربيع.
يتم اهمال باقي تأثيرات القوى كالسحب وقوى ماغنوس لصغر قيمتهم وبذلك تصبح الكرة معرضه لقوى الجاذبية فقط وهي ما تعرف بالحالة المثالية وتكون معادلة الحركة بالشكل التالي:

حيث
 a: تسارع الكرة
 v: سرعة الكرة
 r: موقع الكرة
 V0: السرعة الابتدائية
 r0: الموقع الابتدائي
وبشكل أكثر تحديدا، إذا ارتدت الكرة بزاوية θ مع الأرض، فإن الحركة في المحورين x و y والتي تمثل الحركة الأفقية والعمودية على التوالي توصف بالمعادلة التالية:

عند الأخذ في الاعتبار، كلا من:
 H: أقصى ارتفاع
 R: المدى
 T: زمن الرحلة
تكون المعادلة بالشكل التالي:

عند التعمق في حركة الكرة يتم الأخذ في الاعتبار قيمة مقاومة الهواء (والتأثيرات ذات الصلة مثل قوى مقاومة الموائع وقوى الرياح) وتأثير ماغنوس وقوى الطفو.

مقاومة الموائع 
يمكن أن يكون تدفق الهواء حول الكرة إما صفائحيًا أو مضطربًا استنادًا على عدد رينولدز (Re)، المعرّف على النحو التالي:

حيث:
 ρ: كثافة الهواء
 μ: اللزوجة الديناميكية للهواء
 D: قطر الكرة
 v: سرعة الكرة
كل هذه القيم عند 20 درجة مئوية، ρ = 1.2 kg/m3، ولزوجة 1.8×10−5 باسكال ثانية.

إذا كان رقم رينولدز منخفضًا جدًا أقل من 1، يتم وصف قوى السحب المؤثرة على الكرة من قانون ستوكس:

حيث:
 r: نصف قطر الكرة
 اتجاه الكرة هي اتجاه القوى،
تتراوح قيمه عدد رينولدز لمعظم الكرات الرياضية ما بين 104 و 105 وبذلك لا يتم تطبيق قانون ستوكس وإنما يتم تطبيق المعادلة التالية:

حيث:
 Cd: معامل السحب
 A: مساحة المقطع العرضي للكرة
تتسبب قوى السحب في فقدان الكرة للطاقة الميكانيكية أثناء رحلتها والتي تؤدي إلى تقليل نطاق وارتفاع الكرة، في حين تعمل الرياح المتعامدة عن تحولها من مسارها الأصلي. يأخذ لاعبي الألعاب الرياضية مثل الجولف تأثير كلا القوتين.

تأثير ماغنوس 

يؤثر دوران الكرة على مسارها من خلال تأثير ماغنوس، وفقا لنظرية كوتا - جوكويسكي التي تصف مجال الغزل مع تدفق الهواء غير المرئي فإن قوة ماغنوس تساوي:

حيث:
 r: نصف قطر الكرة.
 ω: السرعة الزاوية (معدل دوران الكرة).
 ρ: كثافة الهواء.
 v: سرعة الكرة بالنسبة إلى الهواء.

يتم توجيه هذه القوة بشكل عمودي على الحركة وعمودي على محور الدوران. يتم توجيه القوة لأعلى أو لأسفل عن طريق تحديد مركز الدوران. في الواقع لا يتم إهمال قيمة التدفق لتكون المعادلة بالشكل التالي:

حيث:
 ρ: كثافة الهواء.
 CL: معامل الرفع.
 A: مساحة المقطع العرضي للكرة.
 v: سرعة الكرة بالنسبة للهواء.
يعتبر معامل الرفع عامل معقدا يعتمد على العديد من البيانات مثل نسبه rω/v، وعدد رينولدز، وخشونة السطح. في بعض الحالات، يمكن أن يكون معامل الرفع سالبا مما يعني تغير اتجاه قوة ماغنوس أي أن التأثير في الاتجاه المعاكس لما تم افتراضه قبل إجراء الحسابات.

في الألعاب الرياضية مثل التنس أو الكرة الطائرة، يمكن للاعب استخدام تأثير ماغنوس للتحكم في مسار الكرة أثناء الرحلة. في لعبة الجولف أيضا، يمكن أن يكون التأثير مسؤولاً عن التقطيع والتركيب التي عادة ما تكون ضارة بالجولف، ولكنها تساعد أيضًا في زيادة مدى القيادة. أما في لعبة البيسبول، يستخدم الرماة التأثير لرمي كرات منحنية.

غالبًا ما يكون التلاعب بالكرة غير قانوني، وغالبًا ما يتسبب في حدوث خلافات خصوصا في لعبة الكريكيت مثل الخلاف بين إنجلترا وباكستان في أغسطس 2006. في لعبة البيسبول، يشير المصطلح «تفل الكرة» إلى الطلاء غير القانوني للكرة باستخدام البصق أو مواد أخرى لتغيير الديناميكا الهوائية للكرة.

قوى الطفو 
أي جسم مغمور في مائع سواء كان هذا المائع سائل أو غاز يتعرض لقوى الطفو، وفقا لمبدأ أرخميدس، فإن هذه القوة تساوي وزن السائل النازح بواسطة الجسم. في حالة الكرة، تكون قوة الطفو تساوي:

عادة ما تكون قوة الطفو صغيرة مقارنة بقوتي السحب وتأثير ماغنوس، لذلك يتم إهمال قيمتها في أغلب الأحيان. لكن في حالة كرة السلة والحالات المماثلة لها، يمكن أن تصل قوى الطفو إلى حوالي 1.5% من وزن الكرة- نظرا لأنه تأثير الطفو إلى أعلى- مما يؤدي إلى زيادة مدى الكرة وارتفاعها.

الإصطدام 

عند اصطدام الكرة بسطح ما يتكون حرارة وصوت، الناتجة من فقدان الكرة جزءا من طاقتها الحركية كما تتحول جزءا من تلك الطاقة إلى طاقة حركة دورانية. أما الجزء المفقود من تلك الطاقة فتعتمد على قيمة الرد ويتم التعبير عنه وفقا للمعادلة التالية:

حيث:
 vf: السرعة النهائية للكرة
 vi: السرعة الابتدائية للكرة
 uf: السرعة النهائية المؤثرة على السطح
 ui: السرعة الابتدائية المؤثرة على السطح
إذا وقعت كرة على سطح متحرك، يتم تعريف معامل الرد وفقا للمعادلة التالية:

حيث:
 r: نصف القطر
 ω: السرعة الزاوية
 R: نصف قطر الجسم المؤثر (مثل مضرب البيسبول)
 Ω: السرعة الزاوية للجسم المؤثر
 rω: السرعة العرضية لسطح الكرة
 RΩ: السرعة العرضية للسطح المؤثر

تكون تلك المعادلات ذات أهمية عندما تؤثر الكرة على السطح بزاوية مائلة أو عندما يتعلق الأمر بالدوران.

أما في حالة السقوط المستقيم على الأرض بدون دوران، مع تأثير قوة الجاذبية فقط على الكرة، تكون المعادلة بالشكل التالي:

حيث:
 K: الطاقة الحركية
 U: طاقة الوضع
 H: أقصى ارتفاع للكرة
 T: زمن رحلة الكرة
يشير الحرفان i و f إلى الحالة الأولية (قبل التصادم) والنهائي (بعد الإرتطام) للكرة. وبالمثل، يمكن ربط فقدان الطاقة بالمعامل الرد بواسطة المعادلة التالية:

يمكن أن يتأثر معامل الرد الخاص بالكرة بعدة أشياء، حيث يتأثر بشكل أساسي:
 طبيعة السطح المؤثر (مثل العشب والخرسانة والشبكات السلكية).
 مادة الكرة (مثل الجلود والمطاط والبلاستيك).
 الضغط داخل الكرة (إذا جوفاء).
 مقدار الدوران الناجم عن الكرة عند الاصطدام.
 سرعة التأثير.

يمكن للظروف الخارجية مثل درجة الحرارة تغيير خصائص السطح المؤثر أو الكرة، مما يجعلها إما أكثر مرونة أو أكثر صلابة. وهذا بدوره سيؤثر على معامل الرد. بشكل عام، سوف تتشوه الكرة بشكل أكبر عند السرعات العالية التأثير وبالتالي ستفقد المزيد من طاقتها مما يقلل من معامل الرد.

الدوران وزاوية التأثير 

عند اصطدام جسم الكرة بالأرض، يتحول جزء من الطاقة الحركية للجسم إلى طاقة حركة دورانية تحدد قيمتها واتجاه دورانها وفقا لزاوية سقوط الكرة وسرعتها الزاوية. في حالة تحرك الكرة أفقيا عند الإصطدام، فسوف تتعرض لقوى احتكاك تؤثر في الاتجاه المعاكس لحركة الكرة. في الشكل المقابل، تتحرك الكرة في اتجاه اليمين وبالتالي يكون اتجاه تأثير قوى الاحتكاك في اليسار. أما في حالة دوران الكرة عند الاصطدام، فسيكون للاحتكاك رد فعل دوراني في الاتجاه المعاكس لدوران الكرة. يظهر في الشكل المقابل، دوران الكرة في اتجاه عقارب الساعة وتتحرك النقطة التي اصطدمت بالأرض نحو اليسار بينما تؤثى القوى الدورانية المعاكسة في اتجاه اليمين. على عكس القوة العمودية وقوة الجاذبية، تؤثر القوى الاحتكاكية على عزم دوران على الكرة وتغيير سرعتها الزاوية (ω).
عند سقوط الكرة يمكن أن تنشأ ثلاث حالات وهم:
 إذا دفعت الكرة للأمام مع دوران سفلي، فإن الاحتكاك السطحي والدوراني يعمل في نفس الاتجاهات. تقل السرعة الزاوية للكرة بعد الاصطدام وكذلك سرعتها الأفقية ويتم دفع الكرة لأعلى وربما تتجاوز ارتفاعها الأصلي بل من الممكن أيضا أن تبدأ الكرة في الدوران في الاتجاه المعاكس أو ترتد حتى إلى الخلف.
 إذا دفعت الكرة للأمام مع دوران علوي، فإن كلا من قوى الاحتكاك السطحي وقوى الدوران سيعملان في اتجاهين متعاكسين. يعتمد ما سيحدث على أين من القوتين ستهيمن.
 إذا كانت الكرة تدور بسرعة أكبر بكثير مما كانت تتحرك، فإن قوى الدوران ستهيمن. تهبط قيمة السرعة الزاوية للكرة بعد الاصطدام، لكن تزداد قيمة السرعة الأفقية. سيتم دفع الكرة للأمام ولكنها لن تتجاوز ارتفاعها الأصلي، وستظل تدور في نفس الاتجاه.
 إذا كانت الكرة تتحرك بسرعة أكبر بكثير مما كانت تدور به، فإن قوى الاحتكاك ستهيمن. يتم زيادة السرعة الزاوية للكرة بعد التصادم، لكن تنخفض سرعتها الأفقية. لن تتجاوز الكرة ارتفاعها الأصلي وستظل تدور في نفس الاتجاه.
إذا كان السطح يميل بمقدار معين θ، فسيتم تدوير المخطط بأكمله بقيمة θ، لكن مع بقاء تأثير قوة الجاذبية إلى أسفل (تشكل زاوية θ مع السطح). عندها يكون للجاذبية عنصر موازٍ للسطح، مما يساهم في الاحتكاك، وبالتالي يساهم في الدوران.
في رياضات المضرب مثل تنس الطاولة أو كرة المضرب، يستخدم اللاعبون الماهرون الدوران (بما في ذلك الدوران الجانبي) في تغيير اتجاه الكرة فجأة عند اصطدامها بسطح ما سواء كان ذلك السطح أرض أو مضرب الخصم.

كرات غير كروية 

لا يمكن أن يتم التنبؤ بارتداد الكرة ذات الشكل البيضاوي (مثل تلك المستخدمة في كرة القدم الأمريكية أو كرة الرجبي) بنفس القابلية التي يمكن أن نتنبأ بها من ارتداد الكرة الكروية. اعتمادا على محاذاة الكرة عند الاصطدام، يمكن للقوة العمودية أن تتحرك للأمام أو خلف مركز كتلة الكرة، بينما تعتمد قوى الاحتكاك على محاذاة الكرة وكذلك دورانها وسرعة الاصطدام.

كرات مكدسة متعددة 

توجد بعض النظريات الشعبية التي تذكر الكرات متعددة التكديس. على سبيل المثال، إذا تم وضع كرة تنس أعلى كرة سلة وتم اسقاطهم في نفس الوقت، فإن كرة التنس سترتد أعلى بكثير إذا كانت وقعت بمفردها. كانت النتيجة مفاجئة للبعض لرؤيتهم أنها تخترق قانون حفظ الطاقة. لكن بعد الفحص الدقيق نرى أن كرة السلة لا ترتد عالية بنفس الارتفاع عند وضع كرة التنس فوقها وبذلك نرى أن بعض من طاقتها قد انتقلت إلى كرة التنس.

يتضمن التفسير المعتاد دراسة تأثيرين منفصلين: كرة السلة عند اصطدامها بالأرض ثم كرة السلة واصطدامها مع كرة التنس. عند افتراض حدوث تصادم مرن تماما، فإن كرة السلة التي تصطدم بالأرض بسرعة 1 م/ ثانية سترتد بسرعة 1 م/ ثانية. بينما تصطدم كرة التنس بسرعة 1 م/ ثانية وترتد بسرعة 2 م/ ثانية بالنسبة لكرة السلة أو 3 م/ ثانية بالنسبة للأرض. هذا يعني أن الكرة سترتد تقريبا إلى 9 أضعاف ارتفاعها الأصلي. في الحياة الواقعية، في التصادمات غير المرنة، ستزيد كرة التنس من سرعتها وتردد بمعامل ارتداد أصغر لكنها ترتد بشكل اسرع وأعلى مما كانت عليه بمفردها.

في حين أن افتراضات التأثيرات المنفصلة غير صالحة في الواقع (تظل الكرات على اتصال وثيق مع بعضها البعض خلال معظم التأثير) إلا أنه غالبا ما يستخدم لفهم الظواهر الأكثر تعقيدًا مثل الانهيار الجوهري للنجوم الفائقة، أو مناورات مقلاع الجاذبية.

اللوائح الرياضية 
تنظم العديد من هيئات إدارة الألعاب الرياضية قواعد استخدام فيزياء الكرة النطاطة بطرق مختلفة، بعضها مباشر وبعضها غير مباشر. من بين تلك الهيئات:
 دوري كرة القدم الأسترالية: والتي تنص على ضغط كرة القدم يجب أن يتراوح ما بين 62 كيلو باسكال و 76 كيلو باسكال.
 الاتحاد الدولي لكرة السلة: والتي تنص على أن يكون الضغط كافي لأن ترتد كرة السلة مسافة ما بين 1200 و 1400 مم (من قمة الكرة) إذا سقطت من مسافة 1800 مم (من قاع الكرة). وبذلك تتراوح قيمة الضغط ما بين 0.727 إلى 0.806.
 الاتحاد الدولي لكرة القدم: والتي تنص على أن تتراوح قيمة الضغط ما بين 0.6 إلى 1.1 درجة غلاف جوي على مستوى سطح البحر (أي ما بين 61- 111 كيلو باسكال).
 الاتحاد الدولي للكرة الطائرة: والتي تنص على أن تتراوح قيمة ضغط الكرة الطائرة ما بين 0.3- 0.325 كيلو غرام ثقلي/ سم2 (29.4 إلى 31.9 كيلو باسكال) للكرة الطائرة في الصالات وما بين 0.175 كيلو غرام ثقلي/ سم 2 إلى 0.225 كيلو غرام ثقلي/ سم 2 (17.2 إلى 22.1 كيلو باسكال) للكرة الطائرة الشاطئية.
 الاتحاد الدولي لكرة المضرب: والتي تنظم ارتفاع كرة التنس عندما تسقط على مختلف أنواع الأسطح سواء كانت ناعمة مستوية أو صلبة ذات كتلة عالية. تسمح المنظمة باستخدام العديد من الكرات لمختلف الأسطح. يسمح بأنواع مختلفة من الكرة لأنواع مختلفة من الأسطح. عندما يتم الإسقاط من ارتفاع 100 بوصة (254 سم)، يجب أن يكون الارتداد من 54 إلى 60 بوصة (137–152 سم) للكرات من النوع 1، من 53 إلى 58 في (135–147 سم) للكرات من النوع 2 والنوع 3، و 48–53 بوصة (122–135 سم) لكرات صاحبة الارتداد الأعلى. يتوافق هذا تقريبًا مع قيمة معامل الرد من 0.735-0.775 (كرة من النوع 1)، من 0.728 إلى 0.762 (من النوع 2 و 3 كرات)، ومن 0.693 إلى 0.728 (من كرات الارتفاع العالي) عندما يتم إسقاطها على سطح الاختبار.
 الاتحاد الدولي لتنس الطاولة: تنظم سطح الطاولة بحيث ترتد الطرة حوالي 23 سم عند سقوطها من ارتفاع 30 سم. وهذا يتوافق تقريبا مع قيمة معامل الرد والتي تصل إلى حوالي 0.876 ضد سطح اللعب.
 الرابطة الوطنية لكرة السلة (إن بي أي): ينظم ضغط قياس كرة السلة ليكون بين 7.5 و 8.5 رطل (51.7 إلى 58.6 كيلو باسكال).
 الدوري الوطني لكرة القدم الأمريكية: ينظم قياس ضغط كرة القدم الأمريكية بين 12.5 و 13.5 رطل لكل بوصة مربعة (86 إلى 93 كيلو باسكال).
 أر أند إيه: والذي ينص على أن لا يتجاوز ضغط كرة الغولف 0.83.

انظر أيضا 
 كرة نطاطة
 مدفع جاليليو

ملاحظات

المصادر

لمزيد من القراءة 
 بريغز عام 1945، «طرق قياس معامل الاسترجاع وتدوير الكرة»- مجلة أبحاث المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا.
 كروس أر عام 2011، فيزياء البيسبول والكرة اللينة. ردمك: 978-1-4419-8112-7.
 كروس أر يونيو 2014، «فيزياء الارتداد»- جامعة سيدني.
 كروس أر عام 2015، سلوك الكرة النطاطة- تعليم الفيزياء.
 سترونج عام 2004، تأثير الميكانيكا على الألعاب الرياضية- مطبعة جامعة كامبريدج.

وصلات خارجية 
 فيزياء الكرة النطاطة- مشاكل في العالم الحقيقي للفيزياء.
 فيزياء الكرات المرنة ومفهوم المرونة.
 دراسة حركة كرتين نطاطتين.
 فيزياء الكرة النطاطة- على اليوتيوب.

ألعاب خفة
أنظمة حركية
حركة
خواص المواد
علم الحركة المجردة
قواعد وأنظمة رياضية
كرات (ألعاب)
مرونة
ميكانيكا كلاسيكية
تتعلق فيزياء الكرة النطاطة بالسلوك الجسدي للكرات النطاطة ب شكل عام حيث تهتم ب دراسة حركة الجسم قبل ا السقوط وأثناء ه و بعد اصطدام ه ب الأرض ل ذٰلك ف هي تعتبر مادة دراسية جيدة ل شرح مقدمة عن علم الميكانيكا في المرحلة ي الثانوية والجامعية لكن يحتاج من يتعمق في ها تطبيق مبادئ الهندسة والميكانيكا على الألعاب الرياضية . توصف حركة الكرة ب شكل كبير حركة القذيفة حيث بتأثر كلى هما ب كل من الجاذبية ، مقاومة الموائع ، تأثير ماغنوس و قانون الطفو لٰكن ها تتميز بتأثر ها بمعامل ال استعادة ( الذي يمكن أن يتأثر ب طبيعة الكرة ، طبيعة السطح المؤثر ، سرعة التصادم ، ال دوران ، و الظروف المحلية مثل درجة الحرارة والضغط ) . ل ذٰلك تضع هيئة إدارة الرياضة الكرة النطاطة ( الصورة المحدثة ل اللعبة كرة أمريكا الوسطى ) العديد من القيود على تلك المؤثرات ل منع العبث بخصائص الكرات ل ضمان اللعب النظيف . القوة المؤثرة أثناء الرحلة و تأثير ها على الحركة ت تشابه حركة الكرة المرتدة مع حركة القذيفة ف هي تتعرض ل العديد من القوى مثل : قوى الجاذبية ( FG ) تؤثر من مركز الجسم إلى أسفل . مقاومة المائع ( FD ) الناتجة من مقاومة الهواء . قوة ماغنوس ( FM ) الناتجة عن دوران الكرة ، قوة الطفو ( FB ) ل تحليل حركة الكرة يتم استخدام قانون نيوتن الثاني : حيث : m : كتلة الكرة . a : الت سارع v : سرعة الكرة t : الزمن الجاذبية تؤثر قوة الجاذبية على مركز الكرة إلى أسفل طبقا للمعادلة التالية : حيث m : كتلة الكرة g : عجلة الجاذبية و التي تتراوح ما بين 764 متر / ثانية تربيع و 834 متر / ثانية تربيع . يتم اهمال باقي تأثيرات القوى كالسحب وقوى ماغنوس لصغر قيمتهم و ب ذٰلك تصبح الكرة م عرض ه ل قوى الجاذبية فقط و هي ما تعرف بالحالة المثالية و تكون معادلة الحركة ب الشكل التالي : حيث a : ت سارع الكرة v : سرعة الكرة r : موقع الكرة V0 : السرعة الابتدائية r0 : الموقع الابتداء ي و ب شكل أكثر تحديدا ، إذا ارتدت الكرة بزاوية θ مع الأرض ، ف إن الحركة في المحورين x و y و التي تمثل الحركة الأفقية والعمودية على التوالي توصف بالمعادلة التالية : عند الأخذ في الاعتبار ، كلا من : H : أقصى ارتفاع R : المدى T : زمن الرحلة تكون المعادلة ب الشكل التالي : عند التعمق في حركة الكرة يتم الأخذ في الاعتبار قيمة مقاومة الهواء ( و التأثيرات ذات الصلة مثل قوى مقاومة الموائع وقوى الرياح ) وتأثير ماغنوس وقوى الطفو . مقاومة الموائع يمكن أن يكون تدفق الهواء حول الكرة إما صفائحيًا أو مضطربًا استنادًا على عدد رينولدز ( Re ) ، المعرّف على النحو التالي : حيث : ρ : كثافة الهواء μ : اللزوجة الديناميكية للهواء D : قطر الكرة v : سرعة الكرة كل هذه القيم عنددرجة مئوية ، ρ = 2 kg / m 3 ، ولزوجة 8 × 10 − 5 باسكال ثانية . إذا كان رقم رينولدز منخفضًا جدًا أقل من يتم وصف قوى السحب المؤثرة على الكرة من قانون ستوكس : حيث : r : نصف قطر الكرة اتجاه الكرة هي اتجاه القوى ، تتراوح قيم ه عدد رينولدز ل معظم الكرات الرياضية ما بينوو ب ذٰلك لا يتم تطبيق قانون ستوكس و إنما يتم تطبيق المعادلة التالية : حيث : Cd : معامل السحب A : مساحة المقطع العرضي للكرة تتسبب قوى السحب في فقدان الكرة ل الطاقة الميكانيكية أثناء رحلة ها و التي تؤدي إلى تقليل نطاق و ارتفاع الكرة ، في حين تعمل الرياح المتعامدة عن تحول ها من مسار ها الأصلي . يأخذ لاعبي الألعاب الرياضية مثل الجولف تأثير كلا القوتين . تأثير ماغنوس يؤثر دوران الكرة على مسار ها من خلال تأثير ماغنوس ، وفقا ل نظرية كوتا - جوكويسكي التي تصف مجال الغزل مع تدفق الهواء غير المرئي ف إن قوة ماغنوس تساوي : حيث : r : نصف قطر الكرة . ω : السرعة الزاوية ( معدل دوران الكرة ) . ρ : كثافة الهواء . v : سرعة الكرة ب النسبة إلى الهواء . يتم توجيه هذه القوة ب شكل عمودي على الحركة وعمودي على محور ال دوران . يتم توجيه القوة لأعلى أو لأسفل عن طريق تحديد مركز ال دوران . في الواقع لا يتم إهمال قيمة التدفق ل تكون المعادلة ب الشكل التالي : حيث : ρ : كثافة الهواء . CL : معامل الرفع . A : مساحة المقطع العرضي للكرة . v : سرعة الكرة ب النسبة للهواء . يعتبر معامل الرفع عامل معقدا يعتمد على العديد من البيانات مثل نسبه rω / v ، و عدد رينولدز ، وخشونة السطح . في بعض الحالات ، يمكن أن يكون معامل الرفع سالبا مما يعني تغير اتجاه قوة ماغنوس أي أن التأثير في الاتجاه المعاكس ل ما تم افتراضه قبل إجراء الحسابات . في الألعاب الرياضية مثل التنس أو الكرة الطائرة ، يمكن للاعب استخدام تأثير ماغنوس ل التحكم في مسار الكرة أثناء الرحلة . في لعبة الجولف أيضا ، يمكن أن يكون التأثير مسؤولاً عن ال تقطيع والتركيب التي عادة ما تكون ضارة بالجولف ، و لٰكن ها تساعد أيضًا في زيادة مدى القيادة . أما في لعبة البيسبول ، يستخدم الرماة التأثير لرمي كرات منحنية . غالبًا ما يكون التلاعب ب الكرة غير قانوني ، وغالبًا ما يتسبب في حدوث خلافات خصوصا في لعبة الكريكيت مثل الخلاف بين إنجلترا و باكستان في أغسطس في لعبة البيسبول ، يشير المصطلح « تفل الكرة » إلى الطلاء غير القانوني للكرة ب استخدام البصق أو مواد أخرى ل تغيير الديناميكا الهوائية للكرة . قوى الطفو أي جسم مغمور في مائع سواء كان هذا المائع سائل أو غاز يتعرض ل قوى الطفو ، وفقا ل مبدإ أرخميدس ، ف إن هذه القوة تساوي وزن السائل النازح ب واسطة الجسم . في حالة الكرة ، تكون قوة الطفو تساوي : عادة ما تكون قوة الطفو صغيرة مقارنة بقوتي السحب وتأثير ماغنوس ، ل ذٰلك يتم إهمال قيمة ها في أغلب الأحيان . لكن في حالة كرة السلة والحالات المماثلة ل ها ، يمكن أن تصل قوى الطفو إلى حوالي 5 % من وزن الكرة - نظرا لأن ه تأثير الطفو إلى أعلى - مما يؤدي إلى زيادة مدى الكرة وارتفاع ها . الإصطدام عند اصطدام الكرة بسطح ما يتكون حرارة و صوت ، الناتجة من فقدان الكرة جزءا من طاقة ها الحركية كما تتحول جزءا من تلك الطاقة إلى طاقة حركة دورانية . أما الجزء المفقود من تلك الطاقة ف تعتمد على قيمة الرد و يتم التعبير عن ه وفقا للمعادلة التالية : حيث : vf : السرعة النهائية للكرة vi : السرعة الابتدائية للكرة uf : السرعة النهائية المؤثرة على السطح ui : السرعة الابتدائية المؤثرة على السطح إذا وقعت كرة على سطح متحرك ، يتم تعريف معامل الرد وفقا للمعادلة التالية : حيث : r : نصف ال قطر ω : السرعة الزاوية R : نصف قطر الجسم المؤثر ( مثل مضرب البيسبول ) Ω : السرعة الزاوية للجسم المؤثر rω : السرعة العرضية لسطح الكرة RΩ : السرعة العرضية للسطح المؤثر تكون تلك المعادلات ذات أهمية عندما تؤثر الكرة على السطح بزاوية مائلة أو عندما يتعلق الأمر ب الدوران . أما في حالة ا السقوط المس تقيم على الأرض ب دون دوران ، مع تأثير قوة الجاذبية فقط على الكرة ، تكون المعادلة ب الشكل التالي : حيث : K : الطاقة الحركية U : طاقة الوضع H : أقصى ارتفاع للكرة T : زمن رحلة الكرة يشير الحرفان i و f إلى الحالة الأولية ( قبل التصادم ) والنهائي ( بعد الإرتطام ) للكرة . وب المثل ، يمكن ربط فقدان الطاقة بالمعامل الرد ب واسطة المعادلة التالية : يمكن أن يتأثر معامل الرد الخاص ب الكرة ب عدة أشياء ، حيث يتأثر ب شكل أساسي : طبيعة السطح المؤثر ( مثل العشب والخرسانة وال شبكات السلكية ) . مادة الكرة ( مثل الجلود والمطاط والبلاستيك ) . الضغط داخل الكرة ( إذا جوفاء ) . مقدار ال دوران الناجم عن الكرة عند الاصطدام . سرعة التأثير . يمكن للظروف الخارجية مثل درجة الحرارة تغيير خصائص السطح المؤثر أو الكرة ، مما يجعل ها إما أكثر مرونة أو أكثر صلابة . و هٰذا ب دور ه س يؤثر على معامل الرد . ب شكل عام ، سوف تتشوه الكرة ب شكل أكبر عند السرعات العالية التأثير و ب التالي س تفقد المزيد من طاقة ها مما يقلل من معامل الرد . ال دوران وزاوية التأثير عند اصطدام جسم الكرة ب الأرض ، يتحول جزء من الطاقة الحركية للجسم إلى طاقة حركة دورانية تحدد قيمة ها واتجاه دوران ها وفقا لزاوية سقوط الكرة وسرعة ها الزاوية . في حالة تحرك الكرة أفقيا عند الإصطدام ، ف سوف تتعرض ل قوى احتكاك تؤثر في الاتجاه المعاكس ل حركة الكرة . في الشكل المقابل ، تتحرك الكرة في اتجاه اليمين و ب التالي يكون اتجاه تأثير قوى الاحتكاك في اليسار . أما في حالة دوران الكرة عند الاصطدام ، ف س يكون للاحتكاك رد فعل دوراني في الاتجاه المعاكس ل دوران الكرة . يظهر في الشكل المقابل ، دوران الكرة في اتجاه عقارب الساعة وتتحرك النقطة التي اصطدمت ب الأرض نحو اليسار بينما تؤثى القوى الدورانية المعاكسة في اتجاه اليمين . على عكس القوة العمودية و قوة الجاذبية ، تؤثر القوى الاحتكاكية على عزم دوران على الكرة و تغيير سرعة ها الزاوية ( ω ) . عند سقوط الكرة يمكن أن تنشأ ثلاث حالات و هم : إذا دفعت الكرة للأمام مع دوران سفلي ، ف إن الاحتكاك السطحي والدوراني يعمل في نفس ال اتجاهات . تقل السرعة الزاوية للكرة بعد الاصطدام و كذٰلك سرعة ها الأفقية و يتم دفع الكرة لأعلى و ربما تتجاوز ارتفاع ها الأصلي بل من الممكن أيضا أن تبدأ الكرة في ال دوران في الاتجاه المعاكس أو ترتد حتى إلى الخلف . إذا دفعت الكرة للأمام مع دوران علوي ، ف إن كلا من قوى الاحتكاك السطحي وقوى ال دوران سيعملان في اتجاهين متعاكسين . يعتمد ما س يحدث على أين من القوتين ستهيمن . إذا كانت الكرة تدور ب سرعة أكبر ب كثير مما كانت تتحرك ، ف إن قوى ال دوران ستهيمن . تهبط قيمة السرعة الزاوية للكرة بعد الاصطدام ، لكن تزداد قيمة السرعة الأفقية . س يتم دفع الكرة للأمام و لٰكن ها لن تتجاوز ارتفاع ها الأصلي ، و س تظل تدور في نفس الاتجاه . إذا كانت الكرة تتحرك ب سرعة أكبر ب كثير مما كانت تدور ب ه ، ف إن قوى الاحتكاك ستهيمن . يتم زيادة السرعة الزاوية للكرة بعد التصادم ، لكن تنخفض سرعة ها الأفقية . لن تتجاوز الكرة ارتفاع ها الأصلي و س تظل تدور في نفس الاتجاه . إذا كان السطح يميل ب مقدار معين θ ، ف س يتم تدوير المخطط بأكمل ه ب قيمة θ ، لكن مع بقاء تأثير قوة الجاذبية إلى أسفل ( تشكل زاوية θ مع السطح ) . عند ها يكون للجاذبية عنصر موازٍ للسطح ، مما يساهم في الاحتكاك ، و ب التالي يساهم في ال دوران . في رياضات المضرب مثل تنس الطاولة أو كرة المضرب ، يستخدم اللاعبون الماهرون ال دوران ( ب ما في ذلك ال دوران الجانبي ) في تغيير اتجاه الكرة فجأة عند اصطدام ها بسطح ما سواء كان ذلك السطح أرض أو مضرب الخصم . كرات غير كروية لا يمكن أن يتم التنبؤ بارتداد الكرة ذات الشكل البيضاوي ( مثل تلك المستخدمة في كرة القدم الأمريكية أو كرة الرجبي ) ب نفس القابلية التي يمكن أن نتنبأ ب ها من ارتداد الكرة الكروية . اعتمادا على محاذاة الكرة عند الاصطدام ، يمكن ل القوة العمودية أن تتحرك للأمام أو خلف مركز كتلة الكرة ، بينما تعتمد قوى الاحتكاك على محاذاة الكرة و كذٰلك دوران ها و سرعة الاصطدام . كرات مكدسة متعددة توجد بعض النظريات الشعبية التي تذكر الكرات متعددة التكديس . على سبيل المثال ، إذا تم وضع كرة تنس أعلى كرة سلة و تم اسقاط هم في نفس الوقت ، ف إن كرة التنس سترتد أعلى ب كثير إذا كانت وقعت ب مفرد ها . كانت النتيجة مفاجئة للبعض ل رؤية هم أن ها تخترق قانون حفظ الطاقة . لكن بعد الفحص الدقيق نرى أن كرة السلة لا ترتد عالية ب نفس الارتفاع عند وضع كرة التنس فوق ها و ب ذٰلك نرى أن بعض من طاقة ها قد انتقلت إلى كرة التنس . يتضمن التفسير المعتاد دراسة تأثيرين منفصلين : كرة السلة عند اصطدام ها ب الأرض ثم كرة السلة واصطدام ها مع كرة التنس . عند افتراض حدوث تصادم مرن تماما ، ف إن كرة السلة التي تصطدم ب الأرض بسرعةم / ثانية سترتد بسرعةم / ثانية . بينما تصطدم كرة التنس بسرعةم / ثانية وترتد بسرعةم / ثانية ب النسبة ل كرة السلة أوم / ثانية ب النسبة ل الأرض . هذا يعني أن الكرة سترتد تقريبا إلىأضعاف ارتفاع ها الأصلي . في الحياة الواقعية ، في التصادمات غير المرنة ، س تزيد كرة التنس من سرعة ها و تردد بمعامل ارتداد أصغر لٰكن ها ترتد ب شكل اسرع وأعلى مما كانت علي ه ب مفرد ها . في حين أن افتراضات التأثيرات المنفصلة غير صالحة في الواقع ( تظل الكرات على اتصال وثيق مع بعض ها البعض خلال معظم التأثير ) إلا أن ه غالبا ما يستخدم لفهم الظواهر الأكثر تعقيدًا مثل الانهيار الجوهري للنجوم الفائقة ، أو مناورات مقلاع الجاذبية . اللوائح الرياضية تنظم العديد من هيئات إدارة الألعاب الرياضية قواعد استخدام فيزياء الكرة النطاطة ب طرق مختلفة ، بعض ها مباشر و بعض ها غير مباشر . من بين تلك الهيئات : دوري كرة القدم الأسترالية : و التي تنص على ضغط كرة القدم يجب أن يتراوح ما بينكيلو باسكال وكيلو باسكال . الاتحاد الدولي ل كرة السلة : و التي تنص على أن يكون الضغط كافي لأن ترتد كرة السلة مسافة ما بينومم ( من قمة الكرة ) إذا سقطت من مسافةمم ( من قاع الكرة ) . و ب ذٰلك تتراوح قيمة الضغط ما بين 727 إلى 806 . الاتحاد الدولي ل كرة القدم : و التي تنص على أن تتراوح قيمة الضغط ما بين 6 إلى 1 درجة غلاف جوي على مستوى سطح البحر ( أي ما بينكيلو باسكال ) . الاتحاد الدولي للكرة الطائرة : و التي تنص على أن تتراوح قيمة ضغط الكرة الطائرة ما بين 3 - 325 كيلو غرام ثقلي / سم 24 إلى 9 كيلو باسكال ) للكرة الطائرة في الصالات و ما بين 175 كيلو غرام ثقلي / سم إلى 225 كيلو غرام ثقلي / سم ( 17.2 إلى 1 كيلو باسكال ) للكرة الطائرة الشاطئية . الاتحاد الدولي ل كرة المضرب : و التي تنظم ارتفاع كرة التنس عندما تسقط على مختلف أنواع الأسطح سواء كانت ناعمة مستوية أو صلبة ذات كتلة عالية . تسمح المنظمة ب استخدام العديد من الكرات لمختلف الأسطح . يسمح بأنواع مختلفة من الكرة لأنواع مختلفة من الأسطح . عندما يتم ال إسقاط من ارتفاعبوصةسم ) ، يجب أن يكون الارتداد منإلىبوصة 152 سم ) للكرات من النوع منإلىفي 147 سم ) للكرات من النوعو النوع و 53 بوصة 135 سم ) لكرات صاحبة الارتداد الأعلى . يتوافق هذا تقريبًا مع قيمة معامل الرد من 735 - 0.775 ( كرة من النوع من 728 إلى 762 ( من النوعوكرات ) ، و من 693 إلى 728 ( من كرات الارتفاع العالي ) عندما يتم إسقاط ها على سطح ال اختبار . الاتحاد الدولي لتنس الطاولة : تنظم سطح الطاولة ب حيث ترتد الطرة حواليسم عند سقوط ها من ارتفاعسم . و هٰذا يتوافق تقريبا مع قيمة معامل الرد و التي تصل إلى حوالي 876 ضد سطح اللعب . ال رابطة الوطنية ل كرة السلة ( إن بي أي ) : ينظم ضغط قياس كرة السلة ل يكون بين 5 و 5 رطل 7 إلى 6 كيلو باسكال ) . الدوري الوطني ل كرة القدم الأمريكية : ينظم قياس ضغط كرة القدم الأمريكية بين 5 و 5 رطل ل كل بوصة مربعةإلىكيلو باسكال ) . أر أند إيه : و الذي ينص على أن لا يتجاوز ضغط كرة الغولف 83 . انظر أيضا كرة نطاطة مدفع جاليليو ملاحظات المصادر ل مزيد من القراءة بريغز عام « طرق قياس معامل الاسترجاع وتدوير الكرة » - مجلة أبحاث المعهد الوطني للمعايير و التكنولوجيا . كروس أر عام فيزياء البيسبول و الكرة اللينة . ردم ك : 4419 - 8112 - 7 . كروس أر يونيو « فيزياء الارتداد » - جامعة سيدني . كروس أر عام سلوك الكرة النطاطة - تعليم الفيزياء . سترونج عام تأثير الميكانيكا على الألعاب الرياضية - مطبعة جامعة كامبريدج . وصلات خارجية فيزياء الكرة النطاطة - مشاكل في العالم الحقيقي للفيزياء . فيزياء الكرات المرنة ومفهوم المرونة . دراسة حركة كرتين نطاطتين . فيزياء الكرة النطاطة - على اليوتيوب . ألعاب خفة أنظمة حركية حركة خواص المواد علم الحركة المجردة قواعد وأنظمة رياضية كرات ( ألعاب ) مرونة ميكانيكا كلاسيكية