نظام متغير الكتلة
النظام متغير الكتلة في الميكانيكا هو المادة التي تتغير كتلتها بمرور الزمن. إنه من الخطأ محاولة تطبيق قانون نيوتن الثاني للحركة على مثل هذه الأنظمة. يمكن حساب الكتلة والتي تعتمد على الزمن عن طريق إعادة ترتيب قانون نيوتن الثاني بإضافة جزأ على المعادلة يقوم بحساب زخم الحركة المتسبب بواسطة الكتلة التي تخرج أو تدخل للنظام. 

 
حيث:

Fext هي محصلة القوى الخارجية على الجسم.

vrel هي السرعة النسبية للكتلة الداخلة أو الخارجة بالنسبة لمركز ثقل الجسم. 

v هي سرعة الجسم.

في الميكانيكا المدراية التي تتعامل مع ميكانيكا الصواريخ، فإن vrel يشير إلى سرعة الخروج الفعلية ويرمز لها ve.

استنتاج 
هناك استنتاجات عديدة لمعادلة الحركة للأنظمة متغيرة الكتلة والتي تعتمد على ما إذا كانت الكتلة داخلة أو خارجة للنظام ( هل تزداد كتلة الجسم أو تقل؟). ولتبسيط الحسابات يمكن افتراض أن جميع الأجسام عبارة عن جسيمات. نفرض أيضا أن هذه الكتلة لا ينتج عنها قوة خارجية تؤثر على الجسم.

ازدياد الكتلة 

الاستنتاج القادم هو لنظام تزداد كتلته. نفرض ان هناك جسم له كتلة متغيرة m تتحرك بسرعة v عند زمن ابتدائي t. عند هذه اللحظة نفرض ان هناك جسيم كتلته dm يتحرك بسرعة u. كمية الحركة الابتدائية يمكن التعبير عنها بالصورة التاليه:

 
والآن عند زمن يساوى t+dt، نفرض ان الجسم الرئيسي والجسيم الملتحم به يتحركون بسرعة v+dv. لذلك معادلة كمية الحركة الجديدة ستكون:

 
بما أن dmdv هو حاصل ضرب قيمتين صغيرتين، فيمكننا إهماله. لذلك خلال فترة زمنية dt فإن كمية الحركة للنظام تكون:

 
ومن ثم، من قانون نيوتن الثاني:
 
لاحظ ان u-v هي سرعة dm بالنسبة إلى m ويمكن التعبير عنها بـ vrel. يمكن كتابة المعادلة كالآتي:

إزالة الكتلة أو طردها 
في الأنظمة التي تخرج من الكتلة أو يتم إزالتها فإن الإستنتاج يكون مختلف قليلا. عند زمن t، نفرض ان هناك كتلة m تتحرك بسرعة v ولذلك فإن كمية الحركة الابتدائية للنظام تكون:
 
وبما أن النظام يفقد كتلة مقدارها dm فإنها تكون سالبة بمعنى أنه بعد زمن t+dt تكون كمية الحركة:
 
حيث u هي سرعة الكتلة المطرودة. لذلك كمية الحركة ستكون:

 
وهذه هي نفس معادلة dp في حالة إضافة كتلة.

نماذج 

من تعريف العجلة a = dv/dt لذلك معادلة الحركة للأنظمة متغيرة الكتلة يمكن كتابتها:
 
في الأجسام التي لا يمكن معاملتها على أنها جسيمات، يجب أن نغير a بـ acm وتعني تسارع مركز ثقل الجسم:
 
لذلك فإن القوة الناتجة عن الدفع تعرف بـ:

  وبذلك:
 
هذه المعادلة تبين أن الجسم يمكن أن يكون له تسارع نتيجة الدفع حتى لو لم تؤثر عليه قوة خارجية. لو أن محصلة القوى Fnet تساوى مجموع Fext و Fthrust لذلك فإن المعادلة تكون:

معادلة الصاروخ المثالي 

يمكن استخدام معادلة الصاروخ المثالي للمركبات التي لها نفس سلوكه (تحرك نفسها ع طريق تخليها عن جزأ من كتلتها، مادة دافعة وبسرعة عالية). يمكن اشتقاقها من معادلة الحركة للأنظمة متغيرة السرعة كما يلي: عندما لا تؤثر قوة خارجية (Fext = 0) على الجسم فإن معادلة الحركة تكون:
 
إذا كانت سرعة المادة الدافعة vrel تتحرك في اتجاه عكسي لحركة الصاروخ dv/dt فإن الكمية القياسية لهذه المعادلة تكون:
 

 
يتم التكامل عن طريق فصل المتغيرات:
 

 
بإعادة ترتيب المعادلة  Δv = v1 - v0  فإننا نصل للمعادلة النهائية للصاروخ:
 
حيث: 

m0 هي الكتلة الابتدائية الكلية وتشمل المادة الدافعة.

m1 هي الكتلة الكلية النهائية.

vrel هي سرعة الخروج الفعالة.

Δv هو التغير الأقصى لسرعة المركبة عندما لا تؤثر قوة خارجية عليها.

مراجع 

ميكانيكا
ميكانيكا كلاسيكية
النظام متغير الكتلة في الميكانيكا هو المادة التي تتغير كتلت ها بمرور الزمن . إن ه من الخطأ محاولة تطبيق قانون نيوتن الثاني ل الحركة على مثل هذه الأنظمة . يمكن حساب الكتلة و التي تعتمد على الزمن عن طريق إعادة ترتيب قانون نيوتن الثاني ب إضافة جزأ على المعادلة يقوم ب حساب زخم الحركة المتسبب ب واسطة الكتلة التي تخرج أو تدخل ل النظام . حيث : Fext هي محصلة القوى الخارجية على الجسم . vrel هي السرعة النسبية للكتلة الداخلة أو الخارجة ب النسبة ل مركز ثقل الجسم . v هي سرعة الجسم . في الميكانيكا المدراية التي تتعامل مع ميكانيكا الصواريخ ، ف إن vrel يشير إلى سرعة الخروج الفعلية ويرمز ل ها ve . استنتاج هناك استنتاجات عديدة لمعادلة الحركة للأنظمة متغيرة الكتلة و التي تعتمد على ما إذا كانت الكتلة داخلة أو خارجة ل النظام ( هل تزداد كتلة الجسم أو تقل ؟ ) . ول تبسيط الحسابات يمكن افتراض أن جميع الأجسام عبارة عن جسيمات . نفرض أيضا أن هذه الكتلة لا ينتج عن ها قوة خارجية تؤثر على الجسم . ازدياد الكتلة الاستنتاج القادم هو ل نظام تزداد كتلة ه . نفرض ان هناك جسم ل ه كتلة متغيرة m تتحرك ب سرعة v عند زمن ابتداء ي t . عند هذه اللحظة نفرض ان هناك جسيم كتلة ه dm يتحرك ب سرعة u . كمية الحركة الابتدائية يمكن التعبير عن ها ب الصورة التالي ه : والآن عند زمن يساوى t + dt ، نفرض ان الجسم الرئيسي والجسيم الملتحم ب ه يتحركون ب سرعة v + dv . ل ذٰلك معادلة كمية الحركة الجديدة س تكون : ب ما أن dmdv هو حاصل ضرب قيمتين صغيرتين ، ف يمكن نا إهمال ه . ل ذٰلك خلال فترة زمنية dt ف إن كمية الحركة ل النظام تكون : و من ثم ، من قانون نيوتن الثاني : لاحظ ان u - v هي سرعة dm ب النسبة إلى m و يمكن التعبير عن ها بـ vrel . يمكن كتابة المعادلة ك الآتي : إزالة الكتلة أو طرد ها في الأنظمة التي تخرج من الكتلة أو يتم إزالة ها ف إن الإستنتاج يكون مختلف قليلا . عند زمن t ، نفرض ان هناك كتلة m تتحرك ب سرعة v و لذٰلك ف إن كمية الحركة الابتدائية ل النظام تكون : و ب ما أن النظام يفقد كتلة مقدار ها dm ف إن ها تكون سالبة ب معنى أن ه بعد زمن t + dt تكون كمية الحركة : حيث u هي سرعة الكتلة المطرودة . ل ذٰلك كمية الحركة س تكون : و هٰذه هي نفس معادلة dp في حالة إضافة كتلة . نماذج من تعريف العجلة a = dv / dt ل ذٰلك معادلة الحركة للأنظمة متغيرة الكتلة يمكن كتابة ها : في الأجسام التي لا يمكن معاملة ها على أن ها جسيمات ، يجب أن نغير a بـ acm وتعني ت سارع مركز ثقل الجسم : ل ذٰلك ف إن القوة الناتجة عن الدفع تعرف بـ : و ب ذٰلك : هذه المعادلة تبين أن الجسم يمكن أن يكون ل ه ت سارع نتيجة الدفع حتى لو لم تؤثر علي ه قوة خارجية . لو أن محصلة القوى Fnet تساوى مجموع Fext و Fthrust ل ذٰلك ف إن المعادلة تكون : معادلة الصاروخ المثالي يمكن استخدام معادلة الصاروخ المثالي للمركبات التي ل ها نفس سلوكه ( تحرك نفس ها ع طريق تخلي ها عن جزأ من كتلت ها ، مادة دافعة وبسرعة عالية ) . يمكن اشتقاق ها من معادلة الحركة للأنظمة متغيرة السرعة كما يلي : عندما لا تؤثر قوة خارجية ( Fext = على الجسم ف إن معادلة الحركة تكون : إذا كانت سرعة المادة الدافعة vrel تتحرك في اتجاه عكسي ل حركة الصاروخ dv / dt ف إن الكمية القياسية ل هٰذه المعادلة تكون : يتم التكامل عن طريق فصل المتغيرات : ب إعادة ترتيب المعادلة Δv = v1 - v0 فإن نا نصل للمعادلة النهائية للصاروخ : حيث : m 0 هي الكتلة الابتدائية ال كلية و تشمل المادة الدافعة . m 1 هي الكتلة ال كلية النهائية . vrel هي سرعة الخروج الفعالة . Δv هو التغير الأقصى ل سرعة المركبة عندما لا تؤثر قوة خارجية علي ها . مراجع ميكانيكا ميكانيكا كلاسيكية