عدد مثلثي تربيعي
العدد المثلثي التربيعي (أو العدد التربيعي المثلثي) Square triangular number هو عدد عدد مثلثي ومربع كامل.
هنالك أعداد لانهائية مثلثية تربيعية، الأولى منها هي 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 .

الصيغ الصريحة 

بكتابة Nk للعدد المثلثي التربيعي kوبكتابة sk وtk لأطراف التربيع والتكعيب المقابلة بالصورة

عرف الجذر المثلثي للعدد المثلثي  على أنه . من التعريف ومن الصيغة التربيعية لذلك،  يكون مثلثي إذا وإذا كان فقط  تربيعيا. بناء عليه،  يكون تربيعيا ومثلثيا إذا وإذا كان فقط  تربيعيا، بعبارة أخرى، توجد أعداد  و بحيث . هذه صورة من معادلة بيل مع . جميع معادلات بيل لها حلول بديهية لأي قيمة n، يدعى هذا الحل بالصفري ويفهرس . إذا كان يرمز إلى الحل اللابديهي k لأي معادلة بيل لقيمة محدد n، فيمكن تبيان أن  و. بالتالي هناك لانهاية من الحلول لأي معادلة بيل بحيث لها حل لابديهي محقق كلما كانت n غير مربعة. الحل اللابديهي الأول عندما n=8 سهل الإيجاد: إنه (3,1). الحل  لمعادلة بيل عندما n=8 ينتج عدد مثلثي تربيعي وجذورة التربيعية والمثلثية:  و بالتالي، العدد المثلثي التربيعية الأول، مشتق من (3,1), is 1، والثاني مشتق من (17,6) (=6×(3,1)-(1,0)), هو 36.

في 1778 استطاع ليونارد أويلر إيجاد الصيغة الصريحة 

من الصيغ الأخرى المكافئة (نحصل عليها من نشر هذه الصيغة) التي قد تكون مناسبة
 
الصيغ الصريحة المقابلة لـ sk وtk هي 

و

معادلة بيل 
تنخفض مسألة الأعداد التربيعية المثلثية إلى معادلة بيل بالطريقة التالية.
كل عدد مثلثي هو بالصورة t(t + 1)/2. لذلك نبحث عن أعداد صحيحة t، s بحيث

بتحليل جبري بسيط تصبح

ثم بجعل x = 2t + 1 وy = 2s، نحصل على معادلة ديفونتية

وهي صورة من معادلة بيل. هذه المعادلة بالذات تحل عن طريق عدد بيلs Pk بصورة 

ولذلك فإن جميع الحلول تعطى بالعلاقة

هناك العديد من المتطابقات حول عدد بيل، وهذه تترجم إلى متطابقات حول العدد التربيعي المثلثي.

علاقات المعاودة أو التكرار 

هناك صيغ تكرارية للأعداد التربيعية المثلثية، وكذلك للمربعات والمثلثيات ذات العلاقة. لدينا

لدينا

بيانات عددية 

مع كبر قيمة  ، تصبح النسبة  قريبة من  ونسبة الأعداد التربيعية المثلية تقترب من . الجدول التالي يعطي قيما من  between 0 and 11، والتي توضح كل الأعداد التربيعية المثلثية حتى .

طالع أيضا 
 عدد مثلثي مربع

وصلات خارجية 
 مثلثية تربيعية على cut-the-knot
 
 حل مايكل دميت

المصادر 

أعداد شكلية
سلاسل عددية
العدد المثلثي التربيعي ( أو العدد التربيعي المثلثي ) Square triangular number هو عدد عدد مثلثي ومربع كامل . هنالك أعداد لانهائية مثلثية تربيعية ، الأولى من ها هي . الصيغ ال صريحة ب كتابة Nk للعدد المثلثي التربيعي kوبكتابة sk وtk لأطراف التربيع والتكعيب المقابلة ب الصورة عرف الجذر المثلثي للعدد المثلثي على أن ه \ . من التعريف و من الصيغة التربيعية ل ذٰلك ، يكون مثلثي إذا و إذا كان فقط تربيعيا . بناء علي ه ، يكون تربيعيا ومثلثيا إذا و إذا كان فقط تربيعيا ، بعبارة أخرى ، توجد أعداد و ب حيث \ . هذه صورة من معادلة بيل مع \ . جميع معادلات بيل ل ها حلول بديهية ل أي قيمة n ، يدعى هذا الحل بالصفري ويفهرس \ . إذا كان يرمز إلى الحل اللابديهي k ل أي معادلة بيل لقيمة محدد n ، ف يمكن تبيان أن و . ب التالي هناك لانهاية من الحلول ل أي معادلة بيل ب حيث ل ها حل لابديهي محقق كلما كانت n غير مربعة . الحل اللابديهي الأول عندما n = 8 سهل ال إيجاد : إن ه 1 ) . الحل لمعادلة بيل عندما n = 8 ينتج عدد مثلثي تربيعي وجذورة التربيعية والمثلثية : و ب التالي ، العدد المثلثي التربيعية الأول ، مشتق من 1 ) , is و الثاني مشتق من 6 ) ( = 6 × ( 3,1 ) - ( 1,0 ) ) , هو فياستطاع ليونارد أويلر إيجاد الصيغة ال صريحة من الصيغ الأخرى المكافئة ( نحصل علي ها من نشر هذه الصيغة ) التي قد تكون مناسبة الصيغ ال صريحة المقابلة لـ sk وtk هي و معادلة بيل تنخفض مسألة الأعداد التربيعية المثلثية إلى معادلة بيل ب الطريقة التالية . كل عدد مثلثي هو ب الصورة t ( t + 2 . ل ذٰلك نبحث عن أعداد صحيحة t ، s ب حيث ب تحليل جبري بسيط تصبح ثم بجعل x = + وy = ، نحصل على معادلة ديفونتية و هي صورة من معادلة بيل . هذه المعادلة ب الذات تحل عن طريق عدد بيل s Pk ب صورة و لذٰلك ف إن جميع الحلول تعطى ب العلاقة هناك العديد من المتطابقات حول عدد بيل ، و هٰذه تترجم إلى متطابقات حول العدد التربيعي المثلثي . علاقات ال معاودة أو ال تكرار هناك صيغ تكرارية للأعداد التربيعية المثلثية ، و كذٰلك للمربعات والمثلثيات ذات العلاقة . لدي نا لدي نا بيانات عددية مع كبر قيمة ، تصبح النسبة قريبة من و نسبة الأعداد التربيعية المثلية تقترب من\ . الجدول التالي يعطي قيما من betweenand و التي توضح كل الأعداد التربيعية المثلثية حتى \ . طالع أيضا عدد مثلثي مربع وصلات خارجية مثلثية تربيعية على cut - the - knot حل مايكل دميت المصادر أعداد ش كلية سلاسل عددية