Định lý giá trị trung bình
Trong giải tích, định lý giá trị trung bình khẳng định rằng: cho một cung phẳng, trơn nối hai điểm phân biệt, khi đó tồn tại một điểm trên cung mà tiếp tuyến với cung tại điểm này song song với đường thẳng nối hai đầu cung.

Định lý này được sử dụng đề chứng minh các kết quả toàn cục về một hàm trên một khoảng xuất phát từ các giả thuyết địa phương về đạo hàm tại các điểm của khoảng đó.

Chính xác hơn, nếu một hàm số  liên tục trên khoảng đóng  với  và khả vi trên khoảng mở  thì tồn tại một điểm  sao cho

Một trường hợp đặc biệt của định lý này được mô tả lần đầu tiên bởi Parameshvara (1370-1460). Định lý giá trị trung bình ở dạng hiện đại của nó được phát biểu sau đó bởi Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Nó là một trong những kết quả quan trọng nhất của phép tính vi phân, cũng như một trong những định lý quan trọng nhất của giải tích toán học, và được sử dụng để chứng minh định lý cơ bản của giải tích. Định lý giá trị trung bình có thể được suy ra từ một trường hợp đặc biệt của nó là định lý Rolle, và có thể được sử dụng để chứng minh một kết quả tổng quát hơn là định lý Taylor (với phần dư dạng Lagrange).

Phát biểu chính thức 
Cho  là một hàm số liên tục trên khoảng đóng  và khả vi trên khoảng mở , với . Khi đó tồn tại  sao cho

Định lý giá trị trung bình là một tổng quát hóa của định lý Rolle, trong đó giả sử , khi đó vế phải của hệ thức bên trên bằng 0.

Định lý giá trị trung bình vẫn đúng với một giả thiết tổng quát hơn. Ta chỉ cần điều kiện  liên tục trên , và với mọi , giới hạn

tồn tại (hữu hạn hoặc bằng ). Nếu hữu hạn, giới hạn trên bằng . Một ví dụ mà phiên bản này của định lý được áp dụng là hàm số , với đạo hàm tiến đến vô cùng tại gốc tọa độ.

Chú ý rằng định lý này sai nếu ta áp dụng cho hàm phức khả vi thay vì hàm thực. Ví dụ, lấy  với mọi số thực . Khi đó

trong khi .

Chứng minh 

Biểu thức  cho chúng ta hệ số góc của đường thẳng nối hai điểm  và , trong khi  là hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong tại điểm . Do đó định lý giá trị trung bình phát biểu rằng: cho một cung bất kì của một đường cong phẳng, trơn, ta có thể tìm được một điểm nằm giữa hai đầu cung sao cho tiếp tuyến tại điểm đó của cung song song với dây cung. Cách chứng minh sau đây mô tả ý tưởng này.

Đặt , với  là một hằng số mà ta sẽ xác định sau. Vì  liên tục trên  và khả vi trên , điều tương tự cũng đúng với . Ta sẽ chọn  sao cho  thỏa mãn các điều kiện của định lý Rolle, tức là

Theo định lý Rolle, vì  liên tục và  nên tồn tại một điểm  thuộc  sao cho . Khi đó, từ đẳng thức , ta có

Đây chính là điều phải chứng minh.

Một ứng dụng đơn giản 
Giả sử rằng  là một hàm thực liên tục, xác định trên một khoảng  bất kì trên trục số thực. Nếu đạo hàm của  tại mọi điểm trong của  tồn tại và bằng 0, khi đó  là hàm hằng.

Chứng minh: Giả sử rằng đạo hàm của  tại mọi điểm trong của  tồn tại và bằng 0. Đặt  là một khoảng mở bất kì trong . Theo định lý giá trị trung bình, tồn tại một điểm  sao cho

Từ đó suy ra . Do đó  là hàm hằng trên mọi khoảng con của , và vì vậy, nó là hàm hằng trên  do tính liên tục.

Nhận xét:
 Tại các đầu của khoảng  chỉ yêu cầu tính liên tục chứ không cần tính khả vi. Tính liên tục của  không cần phải chỉ ra nếu như  là một khoảng mở, vì từ sự tồn tại của đạo hàm trên khoảng mở  suy ra tính liên tục của  trên khoảng đóng .

Định lý giá trị trung bình Cauchy 
Định lý giá trị trung bình Cauchy, còn được biết dưới tên định lý giá trị trung bình mở rộng, là một tổng quát hóa của định lý giá trị trung bình. Nó phát biểu rằng: Nếu các hàm số  và  cùng liên tục trên khoảng đóng  và khả vi trên khoảng mở , khi đó tồn tại một điểm  sao cho

Nếu  và , điều này tương đương với

Nói theo ngôn ngữ hình học, điều này có nghĩa là tồn tại một tiếp tuyến với đồ thị của đường cong

sao cho tiếp tuyến này song song với đường thẳng nối hai điểm . Tuy nhiên, định lý Cauchy không khẳng định sự tồn tại của một tiếp tuyến như thế trong mọi trường hợp  và  là các điểm phân biệt, bởi vì điều này được thỏa mãn chỉ khi tồn tại một giá trị  sao cho , nói cách khác, một giá trị mà tại đó đường cong dừng. Một ví dụ cho trường hợp này là đường cong được cho bởi

trên khoảng  đi từ điểm (-1,0) đến điểm (1,0), không có một tiếp tuyến nằm ngang. Tuy nhiên nó có một điểm dừng tại .

Định lý giá trị trung bình Cauchy có thể được dùng để chứng minh quy tắc l'Hôpital. Định lý giá trị trung bình là một trường hợp đặc biệt của định lý giá trị trung bình Cauchy khi  là hàm số đồng nhất: .

Chứng minh của định lý trung bình Cauchy 
Chứng minh của định lý trung bình Cauchy được dựa trên ý tưởng tương tự với chứng minh của định lý giá trị trung bình.

Đặt , với  là một hằng số ta sẽ xác định sau. Vì  là các hàm số liên tục trên  và khả vi trên , điều tương tự cũng đúng với . Ta sẽ chọn  sao cho  thỏa mãn các điều kiện của định lý Rolle, tức là

Theo định lý Rolle, tồn tại một điểm  sao cho , và từ đẳng thức , ta suy ra

Đây chính là điều cần chứng minh.

Tổng quát hóa cho định thức 
Giả sử rằng  và  là các hàm liên tục trên  và khả vi trên . Đặt

Khi đó tồn tại  sao cho .

Để ý rằng

và nếu ta lấy , ta thu được định lý giá trị trung bình Cauchy. Nếu ta thay  và , ta thu được định lý giá trị trung bình.

Chứng minh của tổng quát hóa này khá đơn giản: Ta có  và  là các định  thức có hai hàng bằng nhau, do đó . Từ định lý Rolle, ta suy ra tồn tại  sao cho .

Định lý giá trị trung bình với hàm nhiều biến 
Định lý giá trị trung bình với hàm một biến được tổng quát lên với hàm nhiều biến bằng cách sử dụng tham số. Đặt  là một tập con mở của , và đặt  là một hàm khả vi. Cố định các điểm  sao cho khoảng mở  nằm trong  và đặt . Vì  là hàm một biến khả vi, áp dụng định lý giá trị trung bình, ta có

với . Lại có  và , tính trực tiếp , ta có
,
trong đó  là vector gradient và  ký hiệu tích vô hướng. Chú ý rằng đây chính là phiên bản tương tự của định lý với hàm một biến. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, đẳng thức trên cho ta
.
Đặc biệt, khi các đạo hàm riêng của  bị chặn,  liên tục Lipschitz (và do đó hội tụ đều). Chú ý rằng  không được giả sử rằng khả vi liên tục cũng như liên tục trên bao đóng của . Tuy nhiên, ta đã sử dụng quy tắc xích, do đó sự tồn tại của  là không cần thiết.

Ta sẽ chứng minh rằng  là hàm hàng nếu  liên thông và mọi đạo hàm riêng của  đều bằng 0. Lấy  và đặt . Ta sẽ chỉ ra rằng  với mọi . Thật vậy, đặt . Khi đó  đóng và khác rỗng. Đồng thời  cũng là tập mở: với mọi , ta có

với mọi  trong một lân cận nào đó của . Vì  liên thông, ta suy ra .

Chú ý rằng tất cả các lập luận bên trên không phụ thuộc vào tọa độ, do đó, trên thực tế chúng ta đã tổng quát cho trường hợp  là tập con của một không gian Banach.

Định lý giá trị trung bình với hàm nhận giá trị vector 
Không có một sự tương tự chính xác của định lý giá trị trung bình cho hàm nhận giá trị vector. Trong bộ sách Foundations of Modern Analysis của mình, Jean Dieudonné đã bỏ qua định lý giá trị trung bình và thay thế nó bởi bất đẳng thức trung vì cách chứng minh không có tính xây dựng và chúng ta không thể tìm được giá trị trung bình. Serge Lang, trong quyển Analysis I đã sử dụng định lý giá trị trung bình dạng tích phân, nhưng cách này yêu cầu tính liên tục của đạo hàm. Nếu sử dụng tích phân Henstock-Kurzweil thì ta có thể có định lý giá trị trung bình dưới dạng tích phân mà không cần giả thiết thêm đạo hàm phải liên tục, có điều này là vì mọi đạo hàm đều khả tích Henstock-Kurzweil.

Bài toán có thể được phát biểu như sau: Nếu  là một hàm khả vi (với  là tập mở) và nếu  là một đoạn thẳng nằm trong , khi đó ta có thể áp dụng quá trình tham số hóa bên trên cho một hàm thành phần  của  (với ký hiệu như trên, đặt ). Như vậy, ta có thể tìm các điểm  trên đoạn thẳng sao cho
.
Tuy nhiên, với trường hợp tổng quát, không tồn tại một điểm duy nhất  trên đoạn thẳng sao cho

đồng thời với mọi . Để minh họa, ta có thể lấy  được xác định bởi các hàm thành phần . Khi đó . Tuy nhiên  và  không đồng thời bằng 0 với mọi .

Tuy nhiên, một cách tổng quát hóa của định lý giá trị trung bình với hàm nhận giá trị vector có thể nhận được như sau: Đặt  là một hàm thực khả vi liên tục được xác định trên một khoảng mở , và đặt  là các điểm của . Từ định lý giá trị trung bình với hàm một biến, ta suy ra tồn tại một điểm  sao cho
.
Mặt khác, theo định lý cơ bản của giải tích, ta có

Do đó, giá trị  tại điểm  được thay thế bởi giá trị trung bình
 
Công thức này có thể được tổng quát cho hàm nhận giá trị vector: Đặt  là tập mở,  khả vi liên tục, và  là các vector sao cho toàn bộ đoạn thẳng  nằm trong . Khi đó ta có

Với tích phân của ma trận được lấy theo từng thành phần. ( ký hiệu ma trận Jacobi của .)

Từ điều này, ta còn có thể suy ra rằng nếu  bị chặn với  bởi một hằng số  nào đó, khi đó

Chứng minh (*). Ký hiệu  cho các hàm thành phần của . Xác định  bởi . Khi đó ta có

Khẳng định được suy ra từ việc  là ma trận gồm các thành phần .

Chứng minh (**). Từ (*), ta có

Ở đây ta đã sử dụng bổ đề sau:
Bổ đề. Đặt  là hàm liên tục được xác định trên đoạn . Khi đó ta có

Chứng minh (***). Đặt  là giá trị của tích phân
 
Khi đó ta có

suy ra . (Ở đây ta đã sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.) Từ đây ta có (***) được chứng minh, và (**) cũng được chứng minh.

Định lý giá trị trung bình dạng tích phân

Định lý giá trị trung bình dạng tích phân thứ nhất 
Định lý giá trị trung bình dạng tích phân thứ nhất khẳng định rằng:
Giả sử  là một hàm liên tục và  là một hàm khả tích không đổi dấu trên khoảng , khi đó tồn tại  sao cho

Đặc biệt, nếu  với mọi , khi đó tồn tại  sao cho

Đẳng thức này thường được viết dưới dạng

Giá trị  được gọi là giá trị trung bình của  trên đoạn .

Chứng minh của định lý giá trị trung bình dạng tích phân thứ nhất 
Không mất tính tổng quát, giả sử  với mọi . Từ định lý cực trị, hàm liên tục  có các giá trị cực tiểu  và giá trị cực đại  hữu hạn trên đoạn . Từ tính đơn điệu của tích phân và bất đẳng thức , cùng với giả thiết  không âm, ta có

với 
ký hiệu tích phân của  trên . Do đó, nếu , ta có đẳng thức xảy ra với mọi . Vì vậy, ta có thể giả sử . Chia cả hai vế cho  và ta nhận được
.
Từ định lý giá trị trung gian, ta suy ra hàm liên tục  đạt được mọi giá trị trong đoạn , đặc biệt, tồn tại  sao cho

Từ đây ta có điều cần chứng minh.

Định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ hai 
Có nhiều định lý khác nhau đôi chút cùng được gọi là định lý giá trị trung bình thứ hai dạng tích phân. Một phiên bản thông dụng như sau:
Nếu  là một hàm dương, đơn điệu giảm và  là một hàm khả tích, khi đó tồn tại  sao cho

Ở đây  ký hiệu cho , từ các điều kiện đã cho có thể suy ra giới hạn này tồn tại. Chú ý rằng  có chứa điểm  là một điều kiện quan trọng. Một biến thể khác của định lý không có điều kiện này như sau:
Nếu  là một hàm đơn điệu (không nhất thiết phải giảm và dương) và  là một hàm khả tích, khi đó tồn tại  sao cho

Định lý này được chứng minh bởi Hiroshi Okamura vào năm 1947.

Công thức xác suất tương tự định lý giá trị trung bình 
Giả sử  là các biến ngẫu nhiên với  và  (tức là  nhỏ hơn  theo thứ tự ngẫu nhiên thông thường). Khi đó tồn tại một biến ngẫu nhiên không âm, liên tục tuyệt đối  có hàm mật độ xác suất

Đặt  là một hàm khả vi và đo được sao cho , và đạo hàm của nó đo được, khả tích Riemann trên đoạn  với mọi . Khi đó  hữu hạn và

Tổng quát hóa trong giải tích phức 
Như đã được đề cập bên trên, định lý này không đúng với hàm phức khả vi. Tuy nhiên, một tổng quát hóa của định lý được phát biểu như sau:

Đặt  là một hàm chỉnh hình trên một tập lồi mở , và đặt  là các điểm phân biệt của . Khi đó tồn tại các điểm  trên  (đoạn thẳng nối ) sao cho

Trong đó  là phần thực và  là phần ảo của hàm phức.

Tham khảo

Liên kết ngoài 
 PlanetMath: Mean-Value Theorem 
 
 
 "Mean Value Theorem: Intuition behind the Mean Value Theorem" at the Khan Academy

Augustin-Louis Cauchy
Định lý trong giải tích thực
Định lý trong tính toán
Trong giải tích , định lý giá trị trung bình khẳng định rằng : cho một cung phẳng , trơn nối hai điểm phân biệt , khi đó tồn tại một điểm trên cung mà tiếp tuyến với cung tại điểm này song song với đường thẳng nối hai đầu cung . Định lý này được sử dụng đề chứng minh các kết quả toàn cục về một hàm trên một khoảng xuất phát từ các giả thuyết địa phương về đạo hàm tại các điểm của khoảng đó . Chính xác hơn , nếu một hàm số liên tục trên khoảng đóng với và khả vi trên khoảng mở thì tồn tại một điểm sao cho Một trường hợp đặc biệt của định lý này được mô tả lần đầu tiên bởi Parameshvara Định lý giá trị trung bình ở dạng hiện đại của nó được phát biểu sau đó bởi Augustin Louis Cauchy Nó là một trong những kết quả quan trọng nhất của phép tính vi phân , cũng như một trong những định lý quan trọng nhất của giải tích toán học , và được sử dụng để chứng minh định lý cơ bản của giải tích . Định lý giá trị trung bình có thể được suy ra từ một trường hợp đặc biệt của nó là định lý Rolle , và có thể được sử dụng để chứng minh một kết quả tổng quát hơn là định lý Taylor (với phần dư dạng Lagrange) . Phát biểu chính thức Cho là một hàm số liên tục trên khoảng đóng và khả vi trên khoảng mở , với \. Khi đó tồn tại sao cho Định lý giá trị trung bình là một tổng quát hóa của định lý Rolle , trong đó giả sử , khi đó vế phải của hệ thức bên trên bằng Định lý giá trị trung bình vẫn đúng với một giả thiết tổng quát hơn . Ta chỉ cần điều kiện liên tục trên , và với mọi , giới hạn tồn tại (hữu hạn hoặc bằng ) . Nếu hữu hạn , giới hạn trên bằng \. Một ví dụ mà phiên bản này của định lý được áp dụng là hàm số , với đạo hàm tiến đến vô cùng tại gốc tọa độ . Chú ý rằng định lý này sai nếu ta áp dụng cho hàm phức khả vi thay vì hàm thực . Ví dụ , lấy với mọi số thực\. Khi đó trong khi \. Chứng minh Biểu thức cho chúng ta hệ số góc của đường thẳng nối hai điểm và , trong khi là hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong tại điểm \. Do đó định lý giá trị trung bình phát biểu rằng : cho một cung bất kì của một đường cong phẳng , trơn , ta có thể tìm được một điểm nằm giữa hai đầu cung sao cho tiếp tuyến tại điểm đó của cung song song với dây cung . Cách chứng minh sau đây mô tả ý tưởng này . Đặt , với là một hằng số mà ta sẽ xác định sau . Vì liên tục trên và khả vi trên , điều tương tự cũng đúng với \. Ta sẽ chọn sao cho thỏa mãn các điều kiện của định lý Rolle , tức là Theo định lý Rolle , vì liên tục và nên tồn tại một điểm thuộc sao cho \. Khi đó , từ đẳng thức , ta có Đây chính là điều phải chứng minh . Một ứng dụng đơn giản Giả sử rằng là một hàm thực liên tục , xác định trên một khoảng bất kì trên trục số thực . Nếu đạo hàm của tại mọi điểm trong của tồn tại và bằng khi đó là hàm hằng . Chứng minh : Giả sử rằng đạo hàm của tại mọi điểm trong của tồn tại và bằng Đặt là một khoảng mở bất kì trong \. Theo định lý giá trị trung bình , tồn tại một điểm sao cho Từ đó suy ra \. Do đó là hàm hằng trên mọi khoảng con của , và vì vậy , nó là hàm hằng trên do tính liên tục . Nhận xét : Tại các đầu của khoảng chỉ yêu cầu tính liên tục chứ không cần tính khả vi . Tính liên tục của không cần phải chỉ ra nếu như là một khoảng mở , vì từ sự tồn tại của đạo hàm trên khoảng mở suy ra tính liên tục của trên khoảng đóng \. Định lý giá trị trung bình Cauchy Định lý giá trị trung bình Cauchy , còn được biết dưới tên định lý giá trị trung bình mở rộng , là một tổng quát hóa của định lý giá trị trung bình . Nó phát biểu rằng : Nếu các hàm số và cùng liên tục trên khoảng đóng và khả vi trên khoảng mở , khi đó tồn tại một điểm sao cho Nếu và , điều này tương đương với Nói theo ngôn ngữ hình học , điều này có nghĩa là tồn tại một tiếp tuyến với đồ thị của đường cong sao cho tiếp tuyến này song song với đường thẳng nối hai điểm \. Tuy nhiên , định lý Cauchy không khẳng định sự tồn tại của một tiếp tuyến như thế trong mọi trường hợp và là các điểm phân biệt , bởi vì điều này được thỏa mãn chỉ khi tồn tại một giá trị sao cho , nói cách khác , một giá trị mà tại đó đường cong dừng . Một ví dụ cho trường hợp này là đường cong được cho bởi trên khoảng đi từ điểm0) đến điểm0) , không có một tiếp tuyến nằm ngang . Tuy nhiên nó có một điểm dừng tại \. Định lý giá trị trung bình Cauchy có thể được dùng để chứng minh quy tắc l 'Hôpital . Định lý giá trị trung bình là một trường hợp đặc biệt của định lý giá trị trung bình Cauchy khi là hàm số đồng nhất : \. Chứng minh của định lý trung bình Cauchy Chứng minh của định lý trung bình Cauchy được dựa trên ý tưởng tương tự với chứng minh của định lý giá trị trung bình . Đặt , với là một hằng số ta sẽ xác định sau . Vì là các hàm số liên tục trên và khả vi trên , điều tương tự cũng đúng với \. Ta sẽ chọn sao cho thỏa mãn các điều kiện của định lý Rolle , tức là Theo định lý Rolle , tồn tại một điểm sao cho , và từ đẳng thức , ta suy ra Đây chính là điều cần chứng minh . Tổng quát hóa cho định thức Giả sử rằng và là các hàm liên tục trên và khả vi trên \. Đặt Khi đó tồn tại sao cho \. Để ý rằng và nếu ta lấy , ta thu được định lý giá trị trung bình Cauchy . Nếu ta thay và , ta thu được định lý giá trị trung bình . Chứng minh của tổng quát hóa này khá đơn giản : Ta có và là các định thức có hai hàng bằng nhau , do đó \. Từ định lý Rolle , ta suy ra tồn tại sao cho \. Định lý giá trị trung bình với hàm nhiều biến Định lý giá trị trung bình với hàm một biến được tổng quát lên với hàm nhiều biến bằng cách sử dụng tham số . Đặt là một tập con mở của , và đặt là một hàm khả vi . Cố định các điểm sao cho khoảng mở nằm trong và đặt \. Vì là hàm một biến khả vi , áp dụng định lý giá trị trung bình , ta có với \. Lại có và , tính trực tiếp , ta có trong đó là vector gradient và ký hiệu tích vô hướng . Chú ý rằng đây chính là phiên bản tương tự của định lý với hàm một biến . Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz , đẳng thức trên cho ta . Đặc biệt , khi các đạo hàm riêng của bị chặn , liên tục Lipschitz (và do đó hội tụ đều) . Chú ý rằng không được giả sử rằng khả vi liên tục cũng như liên tục trên bao đóng của \. Tuy nhiên , ta đã sử dụng quy tắc xích , do đó sự tồn tại của là không cần thiết . Ta sẽ chứng minh rằng là hàm hàng nếu liên thông và mọi đạo hàm riêng của đều bằng Lấy và đặt \. Ta sẽ chỉ ra rằng với mọi \. Thật vậy , đặt \. Khi đó đóng và khác rỗng . Đồng thời cũng là tập mở : với mọi , ta có với mọi trong một lân cận nào đó của \. Vì liên thông , ta suy ra \. Chú ý rằng tất cả các lập luận bên trên không phụ thuộc vào tọa độ , do đó , trên thực tế chúng ta đã tổng quát cho trường hợp là tập con của một không gian Banach . Định lý giá trị trung bình với hàm nhận giá trị vector Không có một sự tương tự chính xác của định lý giá trị trung bình cho hàm nhận giá trị vector . Trong bộ sách Foundations of Modern Analysis của mình , Jean Dieudonné đã bỏ qua định lý giá trị trung bình và thay thế nó bởi bất đẳng thức trung vì cách chứng minh không có tính xây dựng và chúng ta không thể tìm được giá trị trung bình . Serge Lang , trong quyển Analysis I đã sử dụng định lý giá trị trung bình dạng tích phân , nhưng cách này yêu cầu tính liên tục của đạo hàm . Nếu sử dụng tích phân Henstock- Kurzweil thì ta có thể có định lý giá trị trung bình dưới dạng tích phân mà không cần giả thiết thêm đạo hàm phải liên tục , có điều này là vì mọi đạo hàm đều khả tích Henstock- Kurzweil . Bài toán có thể được phát biểu như sau : Nếu là một hàm khả vi (với là tập mở) và nếu là một đoạn thẳng nằm trong , khi đó ta có thể áp dụng quá trình tham số hóa bên trên cho một hàm thành phần của (với ký hiệu như trên , đặt ) . Như vậy , ta có thể tìm các điểm trên đoạn thẳng sao cho . Tuy nhiên , với trường hợp tổng quát , không tồn tại một điểm duy nhất trên đoạn thẳng sao cho đồng thời với mọi \. Để minh họa , ta có thể lấy được xác định bởi các hàm thành phần \. Khi đó \. Tuy nhiên và không đồng thời bằngvới mọi \. Tuy nhiên , một cách tổng quát hóa của định lý giá trị trung bình với hàm nhận giá trị vector có thể nhận được như sau : Đặt là một hàm thực khả vi liên tục được xác định trên một khoảng mở , và đặt là các điểm của \. Từ định lý giá trị trung bình với hàm một biến , ta suy ra tồn tại một điểm sao cho . Mặt khác , theo định lý cơ bản của giải tích , ta có Do đó , giá trị tại điểm được thay thế bởi giá trị trung bình Công thức này có thể được tổng quát cho hàm nhận giá trị vector : Đặt là tập mở , khả vi liên tục , và là các vector sao cho toàn bộ đoạn thẳng nằm trong \. Khi đó ta có Với tích phân của ma trận được lấy theo từng thành phần . ( ký hiệu ma trận Jacobi của \ .) Từ điều này , ta còn có thể suy ra rằng nếu bị chặn với bởi một hằng số nào đó , khi đó Chứng minh (*) . Ký hiệu cho các hàm thành phần của \. Xác định bởi \. Khi đó ta có Khẳng định được suy ra từ việc là ma trận gồm các thành phần \. Chứng minh ( **) . Từ ( *) , ta có Ở đây ta đã sử dụng bổ đề sau : Bổ đề . Đặt là hàm liên tục được xác định trên đoạn \. Khi đó ta có Chứng minh ( ***) . Đặt là giá trị của tích phân Khi đó ta có suy ra \. (Ở đây ta đã sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz .) Từ đây ta có ( ***) được chứng minh , và ( **) cũng được chứng minh . Định lý giá trị trung bình dạng tích phân Định lý giá trị trung bình dạng tích phân thứ nhất Định lý giá trị trung bình dạng tích phân thứ nhất khẳng định rằng : Giả sử là một hàm liên tục và là một hàm khả tích không đổi dấu trên khoảng , khi đó tồn tại sao cho Đặc biệt , nếu với mọi , khi đó tồn tại sao cho Đẳng thức này thường được viết dưới dạng Giá trị được gọi là giá trị trung bình của trên đoạn \. Chứng minh của định lý giá trị trung bình dạng tích phân thứ nhất Không mất tính tổng quát , giả sử với mọi \. Từ định lý cực trị , hàm liên tục có các giá trị cực tiểu và giá trị cực đại hữu hạn trên đoạn \. Từ tính đơn điệu của tích phân và bất đẳng thức , cùng với giả thiết không âm , ta có với ký hiệu tích phân của trên \. Do đó , nếu , ta có đẳng thức xảy ra với mọi \. Vì vậy , ta có thể giả sử \. Chia cả hai vế cho và ta nhận được . Từ định lý giá trị trung gian , ta suy ra hàm liên tục đạt được mọi giá trị trong đoạn , đặc biệt , tồn tại sao cho Từ đây ta có điều cần chứng minh . Định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ hai Có nhiều định lý khác nhau đôi chút cùng được gọi là định lý giá trị trung bình thứ hai dạng tích phân . Một phiên bản thông dụng như sau : Nếu là một hàm dương , đơn điệu giảm và là một hàm khả tích , khi đó tồn tại sao cho Ở đây ký hiệu cho , từ các điều kiện đã cho có thể suy ra giới hạn này tồn tại . Chú ý rằng có chứa điểm là một điều kiện quan trọng . Một biến thể khác của định lý không có điều kiện này như sau : Nếu là một hàm đơn điệu (không nhất thiết phải giảm và dương) và là một hàm khả tích , khi đó tồn tại sao cho Định lý này được chứng minh bởi Hiroshi Okamura vào năm Công thức xác suất tương tự định lý giá trị trung bình Giả sử là các biến ngẫu nhiên với và (tức là nhỏ hơn theo thứ tự ngẫu nhiên thông thường) . Khi đó tồn tại một biến ngẫu nhiên không âm , liên tục tuyệt đối có hàm mật độ xác suất Đặt là một hàm khả vi và đo được sao cho , và đạo hàm của nó đo được , khả tích Riemann trên đoạn với mọi \. Khi đó hữu hạn và Tổng quát hóa trong giải tích phức Như đã được đề cập bên trên , định lý này không đúng với hàm phức khả vi . Tuy nhiên , một tổng quát hóa của định lý được phát biểu như sau : Đặt là một hàm chỉnh hình trên một tập lồi mở , và đặt là các điểm phân biệt của \. Khi đó tồn tại các điểm trên (đoạn thẳng nối ) sao cho Trong đó là phần thực và là phần ảo của hàm phức . Tham khảo Liên kết ngoài PlanetMath : Mean-Value Theorem " Mean Value Theorem : Intuition behind the Mean Value Theorem " at the Khan Academy Augustin - Louis Cauchy Định lý trong giải tích thực Định lý trong tính toán