Teorema Green
Dalam matematika, teorema Green memberikan hubungan antara sebuah integral garis pada kurva tertutup sederhana C dan integral ganda pada bidang D yang dibatasi oleh C. Teorema ini mendapatkan namanya dari George Green <ref>George Green, An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism (Nottingham, England: T. Wheelhouse, 1828). Green sebenarnya tidak menurunkan bentuk Teorema Green yang muncul pada artikel ini; dia menurunkan bentuk "teorema divergensi" yang muncul pada halaman 10-12 dari karyanya (Essay')'.

Pada tahun 1846, bentuk "Teorema Green" yang muncul pada artikel ini pertama kali dipublikasikan, tanpa bukti, dalam sebuah artikel oleh Augustin Cauchy: A. Cauchy (1846) "Sur les intégrales qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée" (Tentang integral yang meliputi semua titik di dalam sebuah kurva tertutup), Comptes rendus, 23: 251-255. (Persamaannya muncul di bagian bawah halaman 254, di mana (S) melambangkan integral garis fungsi k sepanjang kurva s yang membatasi daerah S)

Bukti dari teorema ini akhirnya diberikan pada tahun 1851 oleh Bernhard Riemann dalam disertasi perdananya: Bernard Riemann (1851) Grundlagen für einen allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse (Basis untuk sebuah teori umum tentang fungsi kuantitas peubah kompleks) (Göttingen, (Jerman): Adalbert Rente, 1867); lihat halaman 8 - 9.</ref> dan merupakan kasus khusus dua-dimensi dari teorema Stokes yang lebih umum.

 Teorema 
Misalkan  adalah sebuah kurva tertutup sederhana di sebuah bidang, bersifat mulus bagian-demi-bagian (piecewise), dan berorientasi positif, dan misalkan  adalah daerah yang dibatasi oleh . Jika  dan  adalah fungsi terhadap  yang terdefinisi pada daerah terbuka yang mencakup  dan memiliki turunan parsial yang kontinu disana, makadengan arah integrasi sepanjang  bersifat berlawanan jarum jam.

Dalam fisika, teorema Green diterapkan dalam banyak hal. Salah satunya dalam menyelesaikan integral aliran dua-dimensi, yang menyatakan bahwa jumlah aliran fluida yang keluar dari sebuah volume sama dengan jumlah aliran yang terjadi pada permukaan volume tersebut. Sedangkan dalam survey wilayah, teorema Green dapat digunakan untuk menentukan luas dan titik pusat bidang hanya dengan mengintegrasikan kelilingnya.

 Bukti ketika D adalah daerah sederhana 
Berikut ini adalah bukti dari setengah teorema untuk daerah  yang disederhanakan, sebuah daerah tipe I dimana  dan  adalah kurva-kurva yang dihubungkan oleh garis-garis vertikal (panjangnya bisa saja nol). Bukti yang sama juga dapat diperoleh untuk separuh teorema yang lain ketika  adalah daerah tipe II di mana  dan  adalah kurva-kurva yang dihubungkan oleh garis-garis horisontal (lagi-lagi, panjangnya bisa saja nol). Dengan menyatukan kedua bagian ini, teorema ini terbukti untuk daerah tipe III (didefinisikan sebagai daerah yang merupakan gabungan tipe I dan tipe II). Kasus umum kemudian dapat disimpulkan dari kasus khusus ini dengan menguraikan D menjadi sekumpulan daerah tipe III.

Jika dapat ditunjukkan bahwa hubungandanbersifat benar, maka teorema Green berlaku untuk daerah . Bukti persamaan () dapat diperoleh untuk daerah bertipe I, dan bukti persamaan () untuk daerah bertipe II. Teorema Green selanjutnya dapat diperoleh dengan mudah untuk daerah bertipe III.

Misalkan  adalah daerah bertipe I dan dapat dinyatakan, seperti gambar disamping kanan, olehdengan  dan  adalah fungsi kontinu pada . Dengan menghitung integral ganda pada persamaan ():Selanjutnya akan dihitung integral garis pada persamaan (). Kurva  dapat ditulis ulang sebagai gabungan empat kurva: , , , dan .

Pada , persamaan parametrik  untuk  dapat digunakan untuk menyatakan . SelanjutnyaPada , persamaan parametrik  untuk  dapat digunakan untuk menyatakan kurva ini. Selanjutnya,Integral atas  bernilai negatif karena bergerak berlawanan arah dari  menuju , sama dengan arah orientasi  yang positif (berlawanan arah jarum jam). Pada  dan , nilai  tidak berubah, mengartikanAkibatnya,Menggabungkan hasil pada persamaan () dengan persamaan (), didapatkan bukti persamaan () untuk daerah bertipe I. Gaya pembuktian yang mirip dapat dibuat untuk menghasilkan () pada daerah bertipe II. Menggabungkan kedua hasil ini, akan didapatkan untuk daerah bertipe III.

 Wilayah yang terhubung banyak 
Teorema. Misalkan  berorientasi positif pada kurva Jordan yang dapat diperbaiki  yang memenuhi

 

dengan  adalah daerah bagian dalam dari . Misalkan pula  sebagai  dan  dan  adalah fungsi kontinu yang batasannya (restriction'') di  adalah terdiferensialkan-Fréchet. Jika fungsi

 

terintegralkan Riemann atas , maka berlaku hubungan:

Lihat pula 
 Teorema Divergensi
 Teorema Stokes

Catatan 

Kalkulus
Dalam matematika , teorema Green memberikan hubungan antara sebuah integral garis pada kurva tertutup sederhana C dan integral ganda pada bidang D yang dibatasi oleh C . Teorema ini mendapatkan namanya dari George Green <ref>George Green , An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism ( Nottingham , England : T . Wheelhouse , Green sebenarnya tidak menurunkan bentuk Teorema Green yang muncul pada artikel ini ; dia menurunkan bentuk " teorema divergensi " yang muncul pada halamandari karyanya ( Essay ' ) ' . Pada tahun bentuk " Teorema Green " yang muncul pada artikel ini pertama kali dipublikasikan , tanpa bukti , dalam sebuah artikel oleh Augustin Cauchy : A . Cauchy" Sur les intégrales qui s' étendent à tous les points d' une courbe fermée " ( Tentang integral yang meliputi semua titik di dalam sebuah kurva tertutup ) , Comptes rendus , ( Persamaannya muncul di bagian bawah halaman di mana ( S ) melambangkan integral garis fungsi k sepanjang kurva s yang membatasi daerah S ) Bukti dari teorema ini akhirnya diberikan pada tahunoleh Bernhard Riemann dalam disertasi perdananya : Bernard RiemannGrundlagen für einen allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse ( Basis untuk sebuah teori umum tentang fungsi kuantitas peubah kompleks ) ( Göttingen , ( Jerman ) : Adalbert Rente , lihat halaman-</ref > dan merupakan kasus khusus dua-dimensi dari teorema Stokes yang lebih umum . Teorema Misalkan adalah sebuah kurva tertutup sederhana di sebuah bidang , bersifat mulus bagian-demi-bagian ( piecewise ) , dan berorientasi positif , dan misalkan adalah daerah yang dibatasi oleh\ . Jika dan adalah fungsi terhadap yang terdefinisi pada daerah terbuka yang mencakup dan memiliki turunan parsial yang kontinu disana , makadengan arah integrasi sepanjang bersifat berlawanan jarum jam . Dalam fisika , teorema Green diterapkan dalam banyak hal . Salah satunya dalam menyelesaikan integral aliran dua-dimensi , yang menyatakan bahwa jumlah aliran fluida yang keluar dari sebuah volume sama dengan jumlah aliran yang terjadi pada permukaan volume tersebut . Sedangkan dalam survey wilayah , teorema Green dapat digunakan untuk menentukan luas dan titik pusat bidang hanya dengan mengintegrasikan kelilingnya . Bukti ketika D adalah daerah sederhana Berikut ini adalah bukti dari setengah teorema untuk daerah yang disederhanakan , sebuah daerah tipe I dimana dan adalah kurva-kurva yang dihubungkan oleh garis-garis vertikal ( panjangnya bisa saja nol ) . Bukti yang sama juga dapat diperoleh untuk separuh teorema yang lain ketika adalah daerah tipe II di mana dan adalah kurva-kurva yang dihubungkan oleh garis-garis horisontal ( lagi-lagi , panjangnya bisa saja nol ) . Dengan menyatukan kedua bagian ini , teorema ini terbukti untuk daerah tipe III ( didefinisikan sebagai daerah yang merupakan gabungan tipe I dan tipe II ) . Kasus umum kemudian dapat disimpulkan dari kasus khusus ini dengan menguraikan D menjadi sekumpulan daerah tipe III . Jika dapat ditunjukkan bahwa hubungandanbersifat benar , maka teorema Green berlaku untuk daerah\ . Bukti persamaan ( ) dapat diperoleh untuk daerah bertipe I , dan bukti persamaan ( ) untuk daerah bertipe II . Teorema Green selanjutnya dapat diperoleh dengan mudah untuk daerah bertipe III . Misalkan adalah daerah bertipe I dan dapat dinyatakan , seperti gambar disamping kanan , olehdengan dan adalah fungsi kontinu pada\ . Dengan menghitung integral ganda pada persamaan ( ) : Selanjutnya akan dihitung integral garis pada persamaan ( ) . Kurva dapat ditulis ulang sebagai gabungan empat kurva : , , , dan\ . Pada , persamaan parametrik untuk dapat digunakan untuk menyatakan\ . SelanjutnyaPada , persamaan parametrik untuk dapat digunakan untuk menyatakan kurva ini . Selanjutnya, Integral atas bernilai negatif karena bergerak berlawanan arah dari menuju , sama dengan arah orientasi yang positif ( berlawanan arah jarum jam ) . Pada dan , nilai tidak berubah , mengartikanAkibatnya, Menggabungkan hasil pada persamaan ( ) dengan persamaan ( ) , didapatkan bukti persamaan ( ) untuk daerah bertipe I . Gaya pembuktian yang mirip dapat dibuat untuk menghasilkan ( ) pada daerah bertipe II . Menggabungkan kedua hasil ini , akan didapatkan untuk daerah bertipe III . Wilayah yang terhubung banyak Teorema . Misalkan berorientasi positif pada kurva Jordan yang dapat diperbaiki yang memenuhi dengan adalah daerah bagian dalam dari\ . Misalkan pula sebagai dan dan adalah fungsi kontinu yang batasannya ( restriction '' ) di adalah terdiferensialkan-Fréchet . Jika fungsi terintegralkan Riemann atas , maka berlaku hubungan : Lihat pula Teorema Divergensi Teorema Stokes Catatan Kalkulus