Tenzorski produkt
Tenzorski produkt (oznaka ) se uporablja na zelo različnih področjih povezanih z vektorji, matrikami, tenzorji, algebrami in topološkimi vektorskimi prostori. V vseh primerih pa pomeni bilinearno operacijo. Tenzorski produkt ni komutativen.

Tenzorji 

Tenzorji so definirani tako, da jim lahko pripišemo določeno število indeksov. Indeksi so lahko kovariantni (pišemo jih spodaj) ali kontravariantni (pišemo jih zgoraj). Skupno število kovariantnih in kontravariantnih indeksov se imenuje red tenzorja (rang tenzorja), ki pa ni odvisen od števila razsežnosti prostora v katerem opazujemo tenzor. Tenzorji z redom 0 so skalarji, tisti, ki imajo red 1, so vektorji. Vse količine, ki imajo red večji ali enak 2, pa na splošno imenujemo kar tenzorji.

Tenzorski produkt vektorskih prostorov 

Tenzorski produkt  dveh vektorskih prostorov  in  nad obsegom  se lahko definira z metodo generatorjev in relacij. S tenzorskim produktom dveh vektorskih prostorov dobimo nov vektorski prostor, ki ima razsežnost enako zmnožku razsežnosti posameznih vektorskih prostorov. Podobno dobimo z množenjem celih števil novo celo število.

Tenzorski produkt dveh tenzorjev reda 1 (vektorji) 

Tenzorskemu produktu dveh tenzorjev reda 1, ki jih imenujemo vektorji, se določijo posamezne komponente na naslednji način
 .
Za vrednosti  je to enako 

.

Tenzorski produkt dveh tenzorjev reda 2 (matrike) 

Tenzorskemu produktu dveh tenzorjev reda 2, ki so matrike, se določijo posamezne komponente takole
 

Tenzorski produkt pa lahko zapišemo kot

kjer je
  Kroneckerjeva delta

Tenzorski produkt dveh tenzorjev 

Če sta  in  dva kovariantna tenzorja potem je njun tenzorski produkt enak 
. 

To pa pomeni, da je tenzorski produkt enak običajnemu zmnožku posameznih komponent vsakega tenzorja.

Zgled:
Naj bo  tenzor tipa (1,1) s komponentami  in  naj bo tenzor tipa (1, 0) s komponentami . Potem je 
  in
.
Tenzorski produkt ohrani vse indeksi tako, kot jih imajo posamezni faktorji.

Kroneckerjev produkt 

Tenzorski produkt dveh matrik se imenujemo tudi Kroneckerjev produkt. 

Primer:
 

Tenzorski produkt dveh matrik  pa je: 
.

Tenzorski produkt multilinearne preslikave 

Če imamo dve multilinearni preslikavi  in  je njun tenzorski produkt multilinearna funkcija 
 .

Glej tudi 

 tenzorski produkt grafov

Zunanje povezave 

 
 Tenzorski produkt na PlanethMath  
 Tenzorski produkt vektorskih prostorov  
 Površine tenzorskega produkta  
 Tenzorske operacije 
 
Abstraktna algebra
Binarne operacije
Multilinearna algebra
Tenzorji
Tenzorski produkt ( oznaka ) se uporablja na zelo različnih področjih povezanih z vektorji , matrikami , tenzorji , algebrami in topološkimi vektorskimi prostori . V vseh primerih pa pomeni bilinearno operacijo . Tenzorski produkt ni komutativen . Tenzorji Tenzorji so definirani tako , da jim lahko pripišemo določeno število indeksov . Indeksi so lahko kovariantni ( pišemo jih spodaj ) ali kontravariantni ( pišemo jih zgoraj ) . Skupno število kovariantnih in kontravariantnih indeksov se imenuje red tenzorja ( rang tenzorja ) , ki pa ni odvisen od števila razsežnosti prostora v katerem opazujemo tenzor . Tenzorji z redomso skalarji , tisti , ki imajo red so vektorji . Vse količine , ki imajo red večji ali enak pa na splošno imenujemo kar tenzorji . Tenzorski produkt vektorskih prostorov Tenzorski produkt dveh vektorskih prostorov in nad obsegom se lahko definira z metodo generatorjev in relacij . S tenzorskim produktom dveh vektorskih prostorov dobimo nov vektorski prostor , ki ima razsežnost enako zmnožku razsežnosti posameznih vektorskih prostorov . Podobno dobimo z množenjem celih števil novo celo število . Tenzorski produkt dveh tenzorjev reda ( vektorji ) Tenzorskemu produktu dveh tenzorjev reda ki jih imenujemo vektorji , se določijo posamezne komponente na naslednji način \ . Za vrednosti je to enako . Tenzorski produkt dveh tenzorjev reda ( matrike ) Tenzorskemu produktu dveh tenzorjev reda ki so matrike , se določijo posamezne komponente takole Tenzorski produkt pa lahko zapišemo kot kjer je Kroneckerjeva delta Tenzorski produkt dveh tenzorjev Če sta in dva kovariantna tenzorja potem je njun tenzorski produkt enak . To pa pomeni , da je tenzorski produkt enak običajnemu zmnožku posameznih komponent vsakega tenzorja . Zgled : Naj bo tenzor tipa1) s komponentami in naj bo tenzor tipas komponentami \ . Potem je in . Tenzorski produkt ohrani vse indeksi tako , kot jih imajo posamezni faktorji . Kroneckerjev produkt Tenzorski produkt dveh matrik se imenujemo tudi Kroneckerjev produkt . Primer : Tenzorski produkt dveh matrik pa je : . Tenzorski produkt multilinearne preslikave Če imamo dve multilinearni preslikavi in je njun tenzorski produkt multilinearna funkcija \ . Glej tudi tenzorski produkt grafov Zunanje povezave Tenzorski produkt na PlanethMath Tenzorski produkt vektorskih prostorov Površine tenzorskega produkta Tenzorske operacije Abstraktna algebra Binarne operacije Multilinearna algebra Tenzorji