Geometrijska algebra
Geometrijska algebra (kratica  GA) je multilinearna algebra, ki izhaja iz Cliffordove in Grassmannove algebre. 

Značilnost geometrijske algebre je, da se njeni produkti obravnavajo na geometrijski način.

Definicija 

V geometrijski algebri so za n-razsežni realni vektorski prostor določeni trije produkti dveh vektorjev  in :
 skalarni produkt ali notranji produkt, ki nam da skalar (0-vektor), za katerega velja 
 
oziroma 
 
Ta je enak Evklidskemu notranjemu produktu, če sta oba vektorja pozitivna.

 zunanji produkt
, ki pa je bivektor (2-vektor)
 z združitvijo obeh zgornjih enačb, dobimo geometrijski produkt (Cliffordov produkt) (oznaka )
 , ki je multivektor (je vsota k-vektorjev različnih stopenj, v tem primeru 0-vektorja in 2-vektorja). Za geometrijski produkt velja tudi 
  in 
 . 

Zakaj lahko v geometrijskem produktu seštejemo skalar in bivektor? To je podoben primer kot pri kompleksnih številih. Tudi kompleksna števila so sestavljena iz realnega in imaginarnega dela. Podobno je pri geometrijskem produktu, ki je  sestavljen iz skalarnega in bivektorskega dela. Takšne kombinacije imenujemo multivektorje. V  bo takšen multivektor vseboval skalarni del, vektorski del in bivektorski del. V  potrebujemo 4 (22) realnih števil, da določimo celoten multivektor. V  potrebujemo 8 (23) realnih števil za določitev multivektorja. 
 
Zunanji produkt lahko posplošimo na poljubno število vektorjev 
, 
kjer se  
 imenuje stopnja .

Zunanji produkt n vektorjev nam da psevdoskalar

Primerjava geometrijske algebre z vektorsko algebro 

V vektorski algebri so osnovni matematični objekti skalarji in vektorji in med njimi operaciji kot sta skalarni in vektorski produkt.

V geometrijski algebri so osnovni objekti multivektorji (0-vektorji so skalarji, 1-vektorji so običajni vektorji), kot operacije pa se uporabljajo skalarni in vektorski ter geometrijski produkt, ki pa je vsota notranjega in zunanjega produkta.  

Vektorska algebra uporablja vektorski produkt, geometrijska algebra pa uporablja zunanji produkt. V Evklidskem 3-razsežnem prostoru geometrijska algebra loči 0-vektorje, 1-vektorje, 2-vektorje ter 3-vektorje. Vektorska algebra pa pozna 1-vektorje in 2-vektorje kot vektorje in 0-vektorje ter 3-vektorje kot skalarje. Vsi ti objekti so znani tudi kot skalarji, vektorji, psevdovektorji in psevdoskalarji. 

Vektorski in zunanji produkt sta antisimetrična:

Sta tudi linearna v prvem operandu

in v drugem operandu

Vektorski produkt ni asociativen, zunanji produkt pa je

kjer je
  pravokoten na ravnino, ki vsebuje  in .
  orientirani  prikaz iste ravnine.

Vektorski in zunanji produkt dveh enakih vektorjev je nič

Baze in bivektorji 

Za skupino ortonormiranih vektorjev  lahko zapišemo
 
kjer je 
  Kroneckerjeva delta.

Velja tudi
 
in
 .
Enotski bivektor  za ravnino, ki vsebuje  in , je določen s produktom 
 .

Pri tem velja pomembna zveza , kar pomeni, da je  geometrijska oblika vrednosti .

Zgodovina 

Povezava med geometrijo in algebro sega nazaj v Evklidovo delo Elementi. Geometrijska algebra se ni razvijala vse do leta 1844, ko se je pričelo sistematično opisovati geometrijske značilnosti in transformacije prostora. V tem letu je nemški polihistor Hermann Günther Grassmann (1809–1877) vpeljal geometrijsko algebro. Grassmannov sistem se je lahko uporabil za različne vrste prostorov. V letu 1878 je angleški matematik in filozof William Kingdon Clifford uporabil Grassmannovo algebro skupaj s kvaternioni, ki jih je odkril irski matematik, fizik in astronom William Rowan Hamilton (1805–1865). Clifford je opisoval kvaternione kot posebno obliko transformacij (imenoval jih je rotorje). Grassmannova algebra pa je opisovala določene značilnosti, kot so dolžina, površina in prostornina. Clifford je definiral nov produkt, ki se imenuje geometrijski produkt. 

Naslednji velik razvojni korak je v 19. stoletju popolnoma zasenčil geometrijsko analizo: to je bila vektorska analiza, ki so jo razvili ameriški fizik, kemik in matematik Josiah Willard Gibbs (1839–1903) ter angleški matematik in fizik Oliver Heaviside (1850–1925).

V 20. stoletju se je nadaljeval napredek v proučevanju geometrijske algebre z delom nemškega matematika Hermana Weyla (1889–1955) in francoskega matematika Clauda Chevaleya (1909–1984). Danes je najmočnejši zagovornik geometrijske algebre ameriški fizik David Hestenes (rojen 1933).

Sklici

Zunanje povezave 

 Geometrijska algebra na PlanethMath  
 Geometrijska algebra za začetnike  
 Geometrijska algebra in njena uporaba v matematični fiziki 
 Einsteinove enačbe in Cliffordova algebra 
 Uvod v geometrijsko algebro 
 Geometrijska algebra za fizike  

Cliffordove algebre
Teorija kolobarjev
Geometrijska algebra ( kratica GA ) je multilinearna algebra , ki izhaja iz Cliffordove in Grassmannove algebre . Značilnost geometrijske algebre je , da se njeni produkti obravnavajo na geometrijski način . Definicija V geometrijski algebri so za n - razsežni realni vektorski prostor določeni trije produkti dveh vektorjev in \ : skalarni produkt ali notranji produkt , ki nam da skalarvektor ) , za katerega velja oziroma Ta je enak Evklidskemu notranjemu produktu , če sta oba vektorja pozitivna . zunanji produkt ki pa je bivektorvektor ) z združitvijo obeh zgornjih enačb , dobimo geometrijski produkt ( Cliffordov produkt ) ( oznaka ) , ki je multivektor ( je vsota k - vektorjev različnih stopenj , v tem primeruvektorja invektorja ) . Za geometrijski produkt velja tudi in \ . Zakaj lahko v geometrijskem produktu seštejemo skalar in bivektor? To je podoben primer kot pri kompleksnih številih . Tudi kompleksna števila so sestavljena iz realnega in imaginarnega dela . Podobno je pri geometrijskem produktu , ki je sestavljen iz skalarnega in bivektorskega dela . Takšne kombinacije imenujemo multivektorje . V bo takšen multivektor vseboval skalarni del , vektorski del in bivektorski del . V potrebujemo ( 22 ) realnih števil , da določimo celoten multivektor . V potrebujemo ( 23 ) realnih števil za določitev multivektorja . Zunanji produkt lahko posplošimo na poljubno število vektorjev kjer se imenuje stopnja \ . Zunanji produkt n vektorjev nam da psevdoskalar Primerjava geometrijske algebre z vektorsko algebro V vektorski algebri so osnovni matematični objekti skalarji in vektorji in med njimi operaciji kot sta skalarni in vektorski produkt . V geometrijski algebri so osnovni objekti multivektorjivektorji so skalarji ,vektorji so običajni vektorji ) , kot operacije pa se uporabljajo skalarni in vektorski ter geometrijski produkt , ki pa je vsota notranjega in zunanjega produkta . Vektorska algebra uporablja vektorski produkt , geometrijska algebra pa uporablja zunanji produkt . V Evklidskemrazsežnem prostoru geometrijska algebra ločivektorje ,vektorje ,vektorje tervektorje . Vektorska algebra pa poznavektorje invektorje kot vektorje invektorje tervektorje kot skalarje . Vsi ti objekti so znani tudi kot skalarji , vektorji , psevdovektorji in psevdoskalarji . Vektorski in zunanji produkt sta antisimetrična : Sta tudi linearna v prvem operandu in v drugem operandu Vektorski produkt ni asociativen , zunanji produkt pa je kjer je pravokoten na ravnino , ki vsebuje in \ . orientirani prikaz iste ravnine . Vektorski in zunanji produkt dveh enakih vektorjev je nič Baze in bivektorji Za skupino ortonormiranih vektorjev lahko zapišemo kjer je Kroneckerjeva delta . Velja tudi in \ . Enotski bivektor za ravnino , ki vsebuje in , je določen s produktom \ . Pri tem velja pomembna zveza , kar pomeni , da je geometrijska oblika vrednosti \ . Zgodovina Povezava med geometrijo in algebro sega nazaj v Evklidovo delo Elementi . Geometrijska algebra se ni razvijala vse do leta ko se je pričelo sistematično opisovati geometrijske značilnosti in transformacije prostora . V tem letu je nemški polihistor Hermann Günther Grassmann1877 ) vpeljal geometrijsko algebro . Grassmannov sistem se je lahko uporabil za različne vrste prostorov . V letuje angleški matematik in filozof William Kingdon Clifford uporabil Grassmannovo algebro skupaj s kvaternioni , ki jih je odkril irski matematik , fizik in astronom William Rowan Hamilton1865 ) . Clifford je opisoval kvaternione kot posebno obliko transformacij ( imenoval jih je rotorje ) . Grassmannova algebra pa je opisovala določene značilnosti , kot so dolžina , površina in prostornina . Clifford je definiral nov produkt , ki se imenuje geometrijski produkt . Naslednji velik razvojni korak je v stoletju popolnoma zasenčil geometrijsko analizo : to je bila vektorska analiza , ki so jo razvili ameriški fizik , kemik in matematik Josiah Willard Gibbs1903 ) ter angleški matematik in fizik Oliver Heaviside1925 ) . V stoletju se je nadaljeval napredek v proučevanju geometrijske algebre z delom nemškega matematika Hermana Weyla1955 ) in francoskega matematika Clauda Chevaleya1984 ) . Danes je najmočnejši zagovornik geometrijske algebre ameriški fizik David Hestenes ( rojen Sklici Zunanje povezave Geometrijska algebra na PlanethMath Geometrijska algebra za začetnike Geometrijska algebra in njena uporaba v matematični fiziki Einsteinove enačbe in Cliffordova algebra Uvod v geometrijsko algebro Geometrijska algebra za fizike Cliffordove algebre Teorija kolobarjev