Gaussov problem o krogu
Gaussov problem o krogu v je v matematiki nerešeni problem določitve števila mrežnih točk znotraj kroga s središčem v koordinatnem izhodišču in polmerom r. Prvi korak pri rešitvi je naredil Carl Friedrich Gauss in po njem se problem tudi imenuje.

Opredelitev problema 

Naj je krog v ravnini (R2) s središčem v koordinatnem izhodišču in polmerom r ≥ 0. Gaussov problem o krogu sprašuje koliko točk oblike (m,n) leži znotraj tega kroga, kjer sta m in n celi števili. Ker je enačba kroga dana v kartezičnih koordinatah z x2 + y2 = r2, je vprašanje enakovredno vprašanju koliko takšnih parov celih števil m in n obstaja, da velja:

 

Če se za dani r označi rešitev z N(r), je prvih deset vrednosti za N(r) za celi  r med 0 in 10 :

 1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317.

Meje rešitve in domneva 

Ploščina kroga s polmerom r je dana s πr2. Ker kvadrat s ploščino 1 v R2 vsebuje eno celo točko, bo pričakovana rešitev približno πr2. Dejansko bo malo višja, ker krogi bolj učinkovito zapolnjujejo prostor kot kvadrati. Lahko se pričakuje vrednost:

 

kjer E(r) določa napako. Iskanje pravilne zgornje meje za E(r) je tako vsebina problema.

Gauss je dokazal, da velja:

  

Hardy in neodvisno od njega Landau sta našla spodnjo mejo in pokazala, da velja:

 

kjer je o-zapis Landauov simbol. Domnevajo, da je pravilna spodnja meja enaka:

  

za vsak .

Če se piše:

 

sta trenutni meji za t:

 

kjer je spodnja meja Hardyjeva in Landauova iz leta 1915; zgornjo mejo pa je dokazal Huxley leta 2000.

Sylvain Cappell in Julius Shaneson sta leta 2007 v arXiv oddala članek, v katerem sta trdila, da sta dokazala mejo za O(r1/2+ε).

Točni izrazi 

Vrednost N(r) se lahko poda z več vrstami. S členi vsote funkcije celi del se jo lahko zapiše kot:

 

Preprostejšo vsoto se dobi, če se definira aritmetično funkcijo vsote kvadratov r2(n), kot število načinov zapisa števila n z vsotama dveh kvadratov vključno z ničlami. Tako je:

 

Prve vrednosti za r, za katere je , so :

 1, 2, 3, 5, 10, 15, 20, 35, 51, 52, 85, 100, 230, ...

Posplošitve 

Problem so posplošili tudi na stožnice, elipsoide in več razsežnosti. Dirichletov problem deliteljev je enakovredni problem za pravokotno hiperbolo.

Primitivni problem o krogu 

Druga posplošitev je določitev števila tujih celoštevilskih rešitev m, n enačbe:

 

Ta problem je znan kot primitivni problem o krogu, saj vsebuje iskanje primitivnih rešitev izvirnega problema o krogu. Če se označi število takšnih rešitev z V(r), so njihove vrednosti za celoštevilski r od 0 do 6:

0, 4, 8, 16, 32, 48, 72.

S pomočjo idej običajnega Gaussovega problema o krogu in dejstva, da je verjetnost, da sta dve celi števili tuji, enaka 6/π2, se lahko pokaže, da velja:

 

Kot pri običajnem problemu o krogu je problematičen del primitivnega problema o krogu zmanjšanje eksponenta za člen napake. Trenutno je najboljši znani eksponent enak 221/304 + ε, s privzetkom, da je Riemannova domneva pravilna. Na drugi strani niso dokazali nobenega drugega eksponenta manj od 1 brez omejitev.

Sklici

Viri

Zunanje povezave 

 

Aritmetične funkcije
Nerešeni matematični problemi
Carl Friedrich Gauss
Gaussov problem o krogu v je v matematiki nerešeni problem določitve števila mrežnih točk znotraj kroga s središčem v koordinatnem izhodišču in polmerom r. Prvi korak pri rešitvi je naredil Carl Friedrich Gauss in po njem se problem tudi imenuje . Opredelitev problema Naj je krog v ravnini ( R2) s središčem v koordinatnem izhodišču in polmerom r ≥ 0. Gaussov problem o krogu sprašuje koliko točk oblike ( m ,n ) leži znotraj tega kroga , kjer sta m in n celi števili . Ker je enačba kroga dana v kartezičnih koordinatah z x2 + y2 = r2 , je vprašanje enakovredno vprašanju koliko takšnih parov celih števil m in n obstaja , da velja : Če se za dani r označi rešitev z N( r ) , je prvih deset vrednosti za N( r ) za celi r medin : Meje rešitve in domneva Ploščina kroga s polmerom r je dana s πr2. Ker kvadrat s ploščinov R2 vsebuje eno celo točko , bo pričakovana rešitev približno πr2. Dejansko bo malo višja , ker krogi bolj učinkovito zapolnjujejo prostor kot kvadrati . Lahko se pričakuje vrednost : kjer E( r ) določa napako . Iskanje pravilne zgornje meje za E( r ) je tako vsebina problema . Gauss je dokazal , da velja : Hardy in neodvisno od njega Landau sta našla spodnjo mejo in pokazala , da velja : kjer je o - zapis Landauov simbol . Domnevajo , da je pravilna spodnja meja enaka : za vsak \ . Če se piše : sta trenutni meji za t : kjer je spodnja meja Hardyjeva in Landauova iz leta zgornjo mejo pa je dokazal Huxley leta Sylvain Cappell in Julius Shaneson sta letav arXiv oddala članek , v katerem sta trdila , da sta dokazala mejo za O( r1/ 2+ε ) . Točni izrazi Vrednost N( r ) se lahko poda z več vrstami . S členi vsote funkcije celi del se jo lahko zapiše kot : Preprostejšo vsoto se dobi , če se definira aritmetično funkcijo vsote kvadratov r2( n ) , kot število načinov zapisa števila n z vsotama dveh kvadratov vključno z ničlami . Tako je : Prve vrednosti za r , za katere je , so \ : \ . . . Posplošitve Problem so posplošili tudi na stožnice , elipsoide in več razsežnosti . Dirichletov problem deliteljev je enakovredni problem za pravokotno hiperbolo . Primitivni problem o krogu Druga posplošitev je določitev števila tujih celoštevilskih rešitev m , n enačbe : Ta problem je znan kot primitivni problem o krogu , saj vsebuje iskanje primitivnih rešitev izvirnega problema o krogu . Če se označi število takšnih rešitev z V( r ) , so njihove vrednosti za celoštevilski r oddo 0, S pomočjo idej običajnega Gaussovega problema o krogu in dejstva , da je verjetnost , da sta dve celi števili tuji , enakaπ2 , se lahko pokaže , da velja : Kot pri običajnem problemu o krogu je problematičen del primitivnega problema o krogu zmanjšanje eksponenta za člen napake . Trenutno je najboljši znani eksponent enak304 + ε , s privzetkom , da je Riemannova domneva pravilna . Na drugi strani niso dokazali nobenega drugega eksponenta manj odbrez omejitev . Sklici Viri Zunanje povezave Aritmetične funkcije Nerešeni matematični problemi Carl Friedrich Gauss