Karakteristični polinom (linearna algebra)
Karakteristični polinom je polinom (mnogočlenik), ki ga lahko povezujemo s kvadratnimi matrikami. Ta polinom določa mnoge pomembne značilnosti matrik (npr. lastne vrednosti, determinante in sledi matrike).

Karakteristični polinom grafa je karakteristični polinom matrike sosednosti.

Definicija 

Dano imamo kvadratno matriko  in zanjo želimo najti polinom, katerega rešitve so lastne vrednosti matrike .

Za matriko  velja 

To lahko napišemo kot 

kjer je
  lastni vektor
  enotska matrika
  je skalar

Matrika  je singularna (neobrnljiva), kar pomeni, da je njena determinanta enaka 0.

To tudi pomeni da so  lastne vrednosti matrike  oziroma, da je determinanta polinom za . 

Karakteristični polinom nad obsegom  za matriko  označimo s . Določen je kot 
 
kjer je 
   enotska matrika 
 determinanta se vzame v kolobarju , to je kolobar polinomov za t nad kolobarjem .

Zgled 

Določimo karakteristični polinom za matriko 

Najprej moramo določiti determinanto  matrike

Determinanta je enaka karakterističnemu polinomu, ki je v tem primeru
.

Karakteristična enačba 

Karakteristična enačba kvadratne matrike je enačba za spremenljivko 
.

Rešitve karakteristične enačbe so lastne vrednosti matrike.

Zgled:
Imamo matriko
.

Karakteristična enačba je 
.

Iz tega sledi, da sta lastni vrednosti enaki 20 in 25.

Karakteristični polinom zmnožka dveh matrik 

Če za matriki  (z razsežnostjo ) in  (z razsežnostjo ) velja, da je  in ima matrika  razsežnost  ter matrika  razsežnost , potem sta karakteristična polinoma obeh zmnožkov matrik enaka:
.

Cayley-Hamiltonov izrek 

Cayley-Hamiltonov izrek pravi, da vsaka kvadratna matrika nad komutativnim kolobarjem zadošča karakterističnemu polinomu. Torej, če je 

potem velja 
.
To pomeni, da takrat, ko v karakteristični polinom namesto  vstavimo matriko , dobimo ničelno matriko (pri tem seveda potenciramo matriko, kjer je potrebno). Vsaka matrika zadošča svojemu lastnemu karakterističnemu polinomu.

Nekatere značilnosti 

 polinom  ima vodilni koeficient enak 1, njegova stopnja pa je 
 dve podobni matriki imata enaka karakteristična polinoma. Obratno pa ne velja:če imata dve matriki enaka karakteristična polinoma, nista nujno tudi podobni.
 matrika  in njena transponirana matrika imata enak karakteristični polinom.

Zunanje povezave 

 Karakteristični polinom na MathWorld 
 Karakteristični polinom  
 Karakteristični polinom  na PlanethMath 

Polinomi
Linearna algebra
Tenzorji
Karakteristični polinom je polinom ( mnogočlenik ) , ki ga lahko povezujemo s kvadratnimi matrikami . Ta polinom določa mnoge pomembne značilnosti matrik ( npr. lastne vrednosti , determinante in sledi matrike ) . Karakteristični polinom grafa je karakteristični polinom matrike sosednosti . Definicija Dano imamo kvadratno matriko in zanjo želimo najti polinom , katerega rešitve so lastne vrednosti matrike \ . Za matriko velja To lahko napišemo kot kjer je lastni vektor enotska matrika je skalar Matrika je singularna ( neobrnljiva ) , kar pomeni , da je njena determinanta enaka To tudi pomeni da so lastne vrednosti matrike oziroma , da je determinanta polinom za \ . Karakteristični polinom nad obsegom za matriko označimo s \ . Določen je kot kjer je enotska matrika determinanta se vzame v kolobarju , to je kolobar polinomov za t nad kolobarjem \ . Zgled Določimo karakteristični polinom za matriko Najprej moramo določiti determinanto matrike Determinanta je enaka karakterističnemu polinomu , ki je v tem primeru . Karakteristična enačba Karakteristična enačba kvadratne matrike je enačba za spremenljivko . Rešitve karakteristične enačbe so lastne vrednosti matrike . Zgled : Imamo matriko . Karakteristična enačba je . Iz tega sledi , da sta lastni vrednosti enakiin Karakteristični polinom zmnožka dveh matrik Če za matriki ( z razsežnostjo ) in ( z razsežnostjo ) velja , da je in ima matrika razsežnost ter matrika razsežnost , potem sta karakteristična polinoma obeh zmnožkov matrik enaka : . Cayley - Hamiltonov izrek Cayley - Hamiltonov izrek pravi , da vsaka kvadratna matrika nad komutativnim kolobarjem zadošča karakterističnemu polinomu . Torej , če je potem velja . To pomeni , da takrat , ko v karakteristični polinom namesto vstavimo matriko , dobimo ničelno matriko ( pri tem seveda potenciramo matriko , kjer je potrebno ) . Vsaka matrika zadošča svojemu lastnemu karakterističnemu polinomu . Nekatere značilnosti polinom ima vodilni koeficient enak njegova stopnja pa je dve podobni matriki imata enaka karakteristična polinoma . Obratno pa ne velja :če imata dve matriki enaka karakteristična polinoma , nista nujno tudi podobni . matrika in njena transponirana matrika imata enak karakteristični polinom . Zunanje povezave Karakteristični polinom na MathWorld Karakteristični polinom Karakteristični polinom na PlanethMath Polinomi Linearna algebra Tenzorji