Enotski vektor
Enôtski véktor (tudi enôtni véktor ali véktorska enôta) v normiranem vektorskem prostoru je v matematiki vektor (po navadi evklidski vektor) z dolžino (modulom) 1 (enoto dolžine):

 

Enotski vektor se velikokrat označuje z malo črko s strešico, na primer kot , in se izgovori »e strešica«.

Velikost produkta enotskega vektorja s skalarjem c je vedno pozitivna (oziroma nenegativna) in je enaka: 

 

Tu je  absolutna vrednost c. Posebej je seveda:

 

V evklidskem prostoru je skalarni produkt dveh enotskih vektorjev  in  kar kosinus kota med njima. To sledi iz enačbe za skalarni produkt, saj sta njuni dolžini enaki 1:

 

Posebej je skalarni produkt enotskega vektorja s samim seboj: 

 

dveh pravokotnih enotskih vektorjev:

 

ali ničelnega in enotskega vektorja:

 

Pri tem tudi kot  ni določen, saj ničelni vektor nima smeri, privzame pa se, da je pravokoten na enotski vektor, oziroma na vse vektorje, kakor tudi sam nase.

Normalizacija vektorja 

Vsak neničelni vektor  se lahko zapiše kot skalarni produkt njegove norme (dolžine) in enotskega vektorja z enako smerjo in smislom:

 

tako da je normalizírani véktor (versor ali enôtski véktor sméri véktorja)  neničelnega vektorja  enotski vektor z enako smerjo in smislom kot :

  

kjer je  norma (ali dolžina) vektorja ,  pa ničelni vektor. Izraz normalizirani vektor se včasih rabi kot sopomenka za enotski vektor.

Za enotske vektorje se običajno izberejo elementi baze. Vsak vektor v prostoru se lahko zapiše kot linearna kombinacija enotskih vektorjev. Kot baze se največkrat srečajo kartezične, polarne, valjne (cilindrične) in krogelne (sferne) koordinate. Vsaka od njih uporablja različne enotske vektorje glede na simetrijo koordinatnega sistema.

Ortogonalne koordinate

Kartezične koordinate 

V trirazsežnem kartezičnem koordinatnem sistemu se včasih enotski vektorji, katerih smer je enaka z osmi ,  in , oziroma, ki ležijo na oseh, imenujejo vektorji koordinatnega sistema. Njihove koordinate so:

 

ali zapisane v stolpcih:

 

Včasih veljajo za versorje koordinatnega sistema in tvorijo množico medsebojno ortogonalnih enotskih vektorjev, ki v linearni algebri predstavljajo zgled standardne baze.

Običajno se jih označuje z normalnim vektorskim zapisom (kot ,  ali ) in ne s strešicami (npr. ,  ali ). Večinoma je privzeto, da so ,  in  (ali  in ) versorji (vektorji) kartezičnega koordinatnega sistema. Odtod trojica recipročnih ortogonalnih enotskih vektorjev. Zapisi , ,  ali  z ali brez strešice se tudi uporablja, še posebej kadar označbe , ,  lahko vodijo do zamenjave z označbami drugih količin (na primer s simboli za indekse , ki označujejo elemente množice, polja ali zaporedja spremenljivk.

Ko je enotski vektor v prostoru izražen s kartezičnim zapisom kot linearna kombinacija vektorjev ,  in , so tri njegove skalarne komponente »smerni kosinusi«. Vrednost vsake komponente je enaka kosinusu kota, ki ga tvori enotski vektor s pripadajočim baznim vektorjem. Na ta način se lahko opiše usmerjenost (kotno lego) premice, daljico, usmerjeno os ali odsek usmerjene osi.

Valjne koordinate 

Enotski vektorji, primerni za valjno (cilindrično) simetrijo, so: 
  (označbi tudi  ali ), razdalja od osi simetrije,
  (označba tudi ), kot, merjen v smeri nasprotni urinim kazalcem od pozitivne osi , in 
 , smer osi simetrije. 
S kartezično bazo  so povezane z:

 

 

 

Treba je omeniti, da sta  in  funkciji  in po smeri nista konstantni. Pri odvajanju ali integriranju v valjnih koordinatah ju je treba prav tako vzeti v obzir. Za popolnejši opis glej Jacobijeva matrika in determinanta. Odvodi po  so, od tega dva neničelna:

Krogelne koordinate 

Enotski vektorji, primerni za krogelno (sferno) simetrijo, so:
 , radialna razdalja od izhodišča,
 , kot v ravnini x-y, merjen v nasprotni smeri od urinih kazalcev od pozitivne osi x, in 
 , kot od pozitivne osi z. 

Da je degeneracija čim manjša, je polarni kot običajno . Posebej je pomembno poudariti v kakšnem smislu se rabi poljubna urejena trojica v krogelnih koordinatah, saj sta vlogi  in  velikokrat zamenjani. Tukaj se rabi ameriški dogovor o poimenovanju. Tako je azimutni kot  enak kot v valjnih koordinatah. Povezave s kartezično bazo so:

 

 

 

Krogelni enotski vektorji so odvisni tako od  kot od , tako da obstaja 6 možnih odvodov, od tega 5 neničelnih:

Splošni enotski vektorji 

Običajne splošne teme o enotskih vektorjih se pojavljajo v fiziki in geometriji:

Krivočrtne koordinate 

V splošnem se lahko opiše koordinatni sistem s pomočjo linearno neodvisnih enotskih vektorjev , ki so enaki prostostni stopnji prostora. Za običajni trirazsežni prostor se jih lahko označi kot . Skoraj vedno je priporočljivo, da je sistem po definiciji ortonormalen in desnosučen:

 

 

pri čemer je  Kroneckerjeva delta in  Levi-Civitajev simbol.

Glej tudi 

 kartezični koordinatni sistem
 koordinatni sistem
 krivočrtne koordinate
 četverec hitrosti
 Jacobijeva matrika in determinanta
 polarni koordinatni sistem
 pravi versor
 enotski interval
 enotski kvadrat, enotska kocka, enotska krožnica, enotska sfera
 enotska diada

Sklici

Viri 

 
 
 
 
 
  ISBN 961-212-033-1
 
 
 
 

Linearna algebra
Enôtski véktor ( tudi enôtni véktor ali véktorska enôta ) v normiranem vektorskem prostoru je v matematiki vektor ( po navadi evklidski vektor ) z dolžino ( modulom ) ( enoto dolžine ) : Enotski vektor se velikokrat označuje z malo črko s strešico , na primer kot , in se izgovori » e strešica « . Velikost produkta enotskega vektorja s skalarjem c je vedno pozitivna ( oziroma nenegativna ) in je enaka : Tu je absolutna vrednost c. Posebej je seveda : V evklidskem prostoru je skalarni produkt dveh enotskih vektorjev in kar kosinus kota med njima . To sledi iz enačbe za skalarni produkt , saj sta njuni dolžini enaki Posebej je skalarni produkt enotskega vektorja s samim seboj : dveh pravokotnih enotskih vektorjev : ali ničelnega in enotskega vektorja : Pri tem tudi kot ni določen , saj ničelni vektor nima smeri , privzame pa se , da je pravokoten na enotski vektor , oziroma na vse vektorje , kakor tudi sam nase . Normalizacija vektorja Vsak neničelni vektor se lahko zapiše kot skalarni produkt njegove norme ( dolžine ) in enotskega vektorja z enako smerjo in smislom : tako da je normalizírani véktor ( versor ali enôtski véktor sméri véktorja ) neničelnega vektorja enotski vektor z enako smerjo in smislom kot \ : kjer je norma ( ali dolžina ) vektorja , pa ničelni vektor. Izraz normalizirani vektor se včasih rabi kot sopomenka za enotski vektor. Za enotske vektorje se običajno izberejo elementi baze . Vsak vektor v prostoru se lahko zapiše kot linearna kombinacija enotskih vektorjev . Kot baze se največkrat srečajo kartezične , polarne , valjne ( cilindrične ) in krogelne ( sferne ) koordinate . Vsaka od njih uporablja različne enotske vektorje glede na simetrijo koordinatnega sistema . Ortogonalne koordinate Kartezične koordinate V trirazsežnem kartezičnem koordinatnem sistemu se včasih enotski vektorji , katerih smer je enaka z osmi , in , oziroma , ki ležijo na oseh , imenujejo vektorji koordinatnega sistema . Njihove koordinate so : ali zapisane v stolpcih : Včasih veljajo za versorje koordinatnega sistema in tvorijo množico medsebojno ortogonalnih enotskih vektorjev , ki v linearni algebri predstavljajo zgled standardne baze . Običajno se jih označuje z normalnim vektorskim zapisom ( kot , ali ) in ne s strešicami ( npr . , ali ) . Večinoma je privzeto , da so , in ( ali in ) versorji ( vektorji ) kartezičnega koordinatnega sistema . Odtod trojica recipročnih ortogonalnih enotskih vektorjev . Zapisi , , ali z ali brez strešice se tudi uporablja , še posebej kadar označbe , , lahko vodijo do zamenjave z označbami drugih količin ( na primer s simboli za indekse , ki označujejo elemente množice , polja ali zaporedja spremenljivk . Ko je enotski vektor v prostoru izražen s kartezičnim zapisom kot linearna kombinacija vektorjev , in , so tri njegove skalarne komponente » smerni kosinusi « . Vrednost vsake komponente je enaka kosinusu kota , ki ga tvori enotski vektor s pripadajočim baznim vektorjem . Na ta način se lahko opiše usmerjenost ( kotno lego ) premice , daljico , usmerjeno os ali odsek usmerjene osi . Valjne koordinate Enotski vektorji , primerni za valjno ( cilindrično ) simetrijo , so : ( označbi tudi ali ) , razdalja od osi simetrije , ( označba tudi ) , kot , merjen v smeri nasprotni urinim kazalcem od pozitivne osi , in , smer osi simetrije . S kartezično bazo so povezane z: Treba je omeniti , da sta in funkciji in po smeri nista konstantni . Pri odvajanju ali integriranju v valjnih koordinatah ju je treba prav tako vzeti v obzir. Za popolnejši opis glej Jacobijeva matrika in determinanta . Odvodi po so , od tega dva neničelna : Krogelne koordinate Enotski vektorji , primerni za krogelno ( sferno ) simetrijo , so : , radialna razdalja od izhodišča , , kot v ravnini x - y , merjen v nasprotni smeri od urinih kazalcev od pozitivne osi x , in , kot od pozitivne osi z. Da je degeneracija čim manjša , je polarni kot običajno \ . Posebej je pomembno poudariti v kakšnem smislu se rabi poljubna urejena trojica v krogelnih koordinatah , saj sta vlogi in velikokrat zamenjani . Tukaj se rabi ameriški dogovor o poimenovanju . Tako je azimutni kot enak kot v valjnih koordinatah . Povezave s kartezično bazo so : Krogelni enotski vektorji so odvisni tako od kot od , tako da obstajamožnih odvodov , od teganeničelnih : Splošni enotski vektorji Običajne splošne teme o enotskih vektorjih se pojavljajo v fiziki in geometriji : Krivočrtne koordinate V splošnem se lahko opiše koordinatni sistem s pomočjo linearno neodvisnih enotskih vektorjev , ki so enaki prostostni stopnji prostora . Za običajni trirazsežni prostor se jih lahko označi kot \ . Skoraj vedno je priporočljivo , da je sistem po definiciji ortonormalen in desnosučen : pri čemer je Kroneckerjeva delta in Levi - Civitajev simbol . Glej tudi kartezični koordinatni sistem koordinatni sistem krivočrtne koordinate četverec hitrosti Jacobijeva matrika in determinanta polarni koordinatni sistem pravi versor enotski interval enotski kvadrat , enotska kocka , enotska krožnica , enotska sfera enotska diada Sklici Viri ISBN033 - 1 Linearna algebra