Seznam pravilnih politopov
Pregled pravilnih politopov vsebuje pravilne politope v evklidskih, sfernih in hiperboličnih prostorih.

Osnovni pregled pravilnih politopov 

V naslednjem pregledu pravilnih politopov je podanih nekaj osnovnih lastnosti pravilnih politopov v odvisnosti od razsežnosti.

Teselacije 

Pri konveksnih politopih se lahko obravnava teselacijo in tlakovanje sfernega prostora.

Obravnava se lahko tudi teselacijo evklidskega in hiperboličnega prostora. Paziti je treba na to, da se z n-razsežnimi politopi lahko opravi teselacijo prostora, ki ima razsežnost za ena manjšo. Zgled: trirazsežna platonska telesa omogočajo teselacijo dvorazsežne ploskve na sferi.

Pravilni politopi v eni razsežnosti 

V eni razsežnosti je samo en politop, katerega meje sta dva konca daljice. Označuje se ga s praznim Schläflijevim simbolom {}

Pravilni politopi v dveh razsežnostih 

Politopi v dveh razsežnostih se imenujejo mnogokotniki. Pravilni mnogokotniki so enakostranični mnogokotniki. P-kotni pravilni mnogokotnik se zapiše s Schläflijevim simbolom v obliki {p}.

Konveksni pravilni politopi v dveh razsežnostih 

Schläflijev simbol v obliki {p} predstavlja pravilni p-kotnik.

Degenerirani pravilni politopi (sferni) v dveh razsežnostih 
                    
Pravilni enokotnik in dvokotnik se lahko obravnava kot degenerirani poligon.

Nekonveksni pravilni politopi v dveh razsežnostih

Teselacija 

Znana je samo ena teselacija premice. To je dvorazsežni apeirogon, ki ima neskončno veliko oglišč in robov. Njegov Schläflijev simbol je {∞} in Coxeterjev diagram je .

Pravilni politopi v treh razsežnostih 

V treh razsežnostih se politopi imenujejo poliedri. Schläflijev simbol ima obliko {p, q}. To pomeni, da ima pravilne stranske ploskve tipa {p} ter pravilno sliko oglišč {q}.

Konveksni pravilni politopi v treh razsežnostih 

Konveksni pravilni poliedri se imenujejo tudi platonska telesa.

Degenerirani pravilni politopi (sferni) v treh razsežnostih 

V sferni geometriji se hozoeder {2, n} in dieder {n, 2} obravnavata kot pravilna mnogokotnika.

Nekonveksni pravilni politopi v treh razsežnostih 

Pravilni zvezdni poliedri se imenujejo Kepler-Poinsotovi poliedri. Poznani so samo štirje, ki se jih lahko uredi po ogliščih kot sta dodekaeder {5, 3} in ikozaeder {3, 5}.

Teselacije

Evklidsko tlakovanje 

Znane so tri pravilne teselacije ravnine, ki imajo Eulerjevo karakteristiko z vrednostjo 0.

Evklidsko zvezdno tlakovanje 

Ne obstaja pravilno tlakovanje zvezdnih mnogokotnikov

Hiperbolična tlakovanja  

Teselacije hiperboličnega dvorazsežnega prostora se imenujejo hiperbolična tlakovanja. Obstaja neskončno veliko pravilnih tlakovanj v H2. Vsak par pozitivnih števil {p, q} ki zadošča pogoju 1/p + 1/q <1/2, da hiperbolično tlakovanje.

Vzorec:

Štirirazsežni pravilni politopi 

Pravilni 4-politopi s Schläflijevim simbolom v obliki {p, q, r} imajo celice tipa {p, q}, stranske ploskve tipa {p}, slike robov {r} in slike oglišč {q, r}.

 slika oglišč štirirazsežnega politopa je polieder. Za pravilne štirirazsežne politope je to pravilni polieder.
 slika robov je mnogokotnik v katerem se vidi razporeditev stranskih ploskev okrog roba. Politopi v štirih razsežnostih je slika robov vedno pravilni mnogokotnik.
  
Eulerjeva karakteristika štirirazsežnih politopov je , ki pa je enaka 0 za vse oblike.

Konveksni  pravilni politopi v štirih razsežnostih 

V naslednji tabeli je prikazanih 6 konveksnih poliedrov. Vsi imajo Eulerjevo karakteristiko enako 0.

Degenerirani pravilni politopi (sferni) v štirih razsežnostih 

Ditopi in hozotopi obstajajo kot pravilna teselacija 3 sfere.

Pravilni ditopi (imajo po dve faceti) so {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3,5,2}, {p,2,2}.

Nekoveksni pravilni politopi v štirih razsežnostih 

Obstaja deset pravilnih štirirazsežnih zvezdnih politopov, ki se jih lahko imenuje Schläfli-Hessovi politopi. Njihova oglišča so osnovana na konveksnih 120-celicah ({5, 3, 3}) in 600-celicah ({3, 3, 5})

Teselacija evklidskega trirazsežnega prostora 

Obstaja samo ena pravilna teselacija v trirazsežnem prostoru.

Teselacija hiperboličnega trirazsežnega prostora 

Teselacija hiperboličnega trirazsežnega prostora se imenuje hiperbolično satovje. Znana so štiri pravilna satovje v H3.

Prikazanih je nekaj projekcij: Prva prikazuje pogled iz središča v Beltrami-Kleinovem modelu. Druga in tretja slika kažejo pogled od zunaj z uporabo Poincarèjevega modela žoge.

Pravilni politopi v petih in višjih razsežnostih 

V nadaljevanju so opisani pet in višjerazsežni politopi. V petih razsežnostih se lahko pravilni politop prikaže s Schläflijevim simbolom v obliki {p, q, r, s}, kjer so {p, q, r,} hipercelice (teroni), stranske ploskve imajo tip {p}, slika stranskih ploskev je {s}, slika robov je {r, s}, slika oglišč pa je {q, r, s}.

5-politop se imenuje tudi politeron, če pa je neskončen, se imenuje satovje.

 slika oglišč 5-politopa je polihoron, ki ga vidimo  kot razporeditev oglišč okoli vsakega oglišča posebej.
 slika robov 5-politopa je polieder kot se vidi razporeditev oglišč okoli vsakega oglišča
 slika stranskih ploskev 5-politopa je mnogokotnik kot se vidi razporeditev celic okoli vsake stranske ploskve.

Konveksni pravilni politopi v petih razsežnostih 

V petih in višjih razsežnostih so samo tri vrste konveksnih pravilnih politopov.
poskus

pravilni politopi v 5 razsežnostih

pravilni politopi v 6 razsežnostih

pravilni politopi v 7 razsežnostih

pravilni politopi v 8 razsežnostih

pravilni politopi v 9 razsežnostih

pravilni politopi v 10 razsežnostih

Nekonveksni pravilni politopi 

V petih ali višjih razsežnostih ne obstajajo nekonveksni pravilni politopi.

Teselacija evklidskega štirirazsežnega prostora 

Znane so tri neskončne pravilne teselacije (satovje), ki zapolnijo štirirazsežni prostor

Hiperkockino satovje je ena izmed oblik pravilnega satovja, ki lahko zapolni vsako razsežnost (peto ali višjo)  z obliko hiperkockinih facet, ki so štiri okrog vsakega grebena.

Teselacija hiperboličnega štirirazsežnega prostora 

Znanih je pet vrst konveksnih pravilnih satovij in štiri vrste zvezdastih satovij v prostoru H4 
 
Pet konveksnih pravilnih satovij v H4 je:

Znana so štiri pravilna zvezdasta satovja v prostoru H4:

V H4 sta znani tudi 2 vrsti satovja z neskončnima facetama ali sliko oglišč {3, 4, 3, 4} in {4, 3, 4, 3}.

Apeirotopi 

Apeirotopi so podobno kot ostali politopi nepovezane hiperploskve. Razlika je samo v tem, da se hiperploskve obrnejo nazaj in se zaprejo okoli končne prostornine hiperprostora. Apeirotopi se ne zasučejo nazaj v samega sebe.

Dve razsežnosti 

Apeirogon je pravilna  neskončno dolga premica,   razdeljena na enake dele, ki jih povezujejo vozlišča.

Tri razsežnosti 

Apeiroeder je neskončna poliederska ploskev. Podobno kot apeirogon je lahko ploščat ali nagnjen. Ploščati apeiroeder samo tlakuje (pokrije) ravnino. Nagnjeni polieder je satovju podobna struktura, ki deli prostor na dve področji.

Znanih je 30 pravilnih apeiroedrov v evklidskem prostoru. Vključujejo teselacije tipa  in  in navzgor ter v ravnini tudi politope tipa ,  in . V trirazsežnem prostoru pa njihovo mešanico.

Glej tudi 

 mnogokotnik
 pravilni mnogokotnik
 zvezdasti mnogokotnik
 polieder
 pravilni polieder (5 pravilnih platonskih teles in 4 Kepler-Poinsotovi poliedri)
 uniformni polieder
 polihoron
 konveksni pravilni 4-politop (6 pravilnih polihoronov)
 uniformni polihoron
 Schläfli-Hessov polihoron (10 pravilnih zvezdastih polihoronov)
 teselacija
 tlakovanje s pravilnimi mnogokotniki
 pravilni politopi
 uniformni politopi

Sklici

Zunanje povezave 

  Pravilni politopi v treh razsežnostih  [http://paulbourke.net/geometry/platonic/
 Pravilni politopi v štirih razsežnostih  
 Pravilni politopi  
 Projekt pravilnih politopov 

Politopi
Matematični seznami
Pregled pravilnih politopov vsebuje pravilne politope v evklidskih , sfernih in hiperboličnih prostorih . Osnovni pregled pravilnih politopov V naslednjem pregledu pravilnih politopov je podanih nekaj osnovnih lastnosti pravilnih politopov v odvisnosti od razsežnosti . Teselacije Pri konveksnih politopih se lahko obravnava teselacijo in tlakovanje sfernega prostora . Obravnava se lahko tudi teselacijo evklidskega in hiperboličnega prostora . Paziti je treba na to , da se z n - razsežnimi politopi lahko opravi teselacijo prostora , ki ima razsežnost za ena manjšo . Zgled : trirazsežna platonska telesa omogočajo teselacijo dvorazsežne ploskve na sferi . Pravilni politopi v eni razsežnosti V eni razsežnosti je samo en politop , katerega meje sta dva konca daljice . Označuje se ga s praznim Schläflijevim simbolom { } Pravilni politopi v dveh razsežnostih Politopi v dveh razsežnostih se imenujejo mnogokotniki . Pravilni mnogokotniki so enakostranični mnogokotniki . P - kotni pravilni mnogokotnik se zapiše s Schläflijevim simbolom v obliki { p } . Konveksni pravilni politopi v dveh razsežnostih Schläflijev simbol v obliki { p } predstavlja pravilni p - kotnik . Degenerirani pravilni politopi ( sferni ) v dveh razsežnostih Pravilni enokotnik in dvokotnik se lahko obravnava kot degenerirani poligon . Nekonveksni pravilni politopi v dveh razsežnostih Teselacija Znana je samo ena teselacija premice . To je dvorazsežni apeirogon , ki ima neskončno veliko oglišč in robov . Njegov Schläflijev simbol je { ∞ } in Coxeterjev diagram je \ . Pravilni politopi v treh razsežnostih V treh razsežnostih se politopi imenujejo poliedri . Schläflijev simbol ima obliko { p , q } . To pomeni , da ima pravilne stranske ploskve tipa { p } ter pravilno sliko oglišč { q } . Konveksni pravilni politopi v treh razsežnostih Konveksni pravilni poliedri se imenujejo tudi platonska telesa . Degenerirani pravilni politopi ( sferni ) v treh razsežnostih V sferni geometriji se hozoeder { 2 , n } in dieder { n , obravnavata kot pravilna mnogokotnika . Nekonveksni pravilni politopi v treh razsežnostih Pravilni zvezdni poliedri se imenujejo Kepler - Poinsotovi poliedri . Poznani so samo štirje , ki se jih lahko uredi po ogliščih kot sta dodekaeder { 5 , in ikozaeder { 3 , . Teselacije Evklidsko tlakovanje Znane so tri pravilne teselacije ravnine , ki imajo Eulerjevo karakteristiko z vrednostjo Evklidsko zvezdno tlakovanje Ne obstaja pravilno tlakovanje zvezdnih mnogokotnikov Hiperbolična tlakovanja Teselacije hiperboličnega dvorazsežnega prostora se imenujejo hiperbolična tlakovanja . Obstaja neskončno veliko pravilnih tlakovanj v H2. Vsak par pozitivnih števil { p , q } ki zadošča pogojup +q <1/2 , da hiperbolično tlakovanje . Vzorec : Štirirazsežni pravilni politopi Pravilnipolitopi s Schläflijevim simbolom v obliki { p , q , r } imajo celice tipa { p , q } , stranske ploskve tipa { p } , slike robov { r } in slike oglišč { q , r } . slika oglišč štirirazsežnega politopa je polieder. Za pravilne štirirazsežne politope je to pravilni polieder. slika robov je mnogokotnik v katerem se vidi razporeditev stranskih ploskev okrog roba . Politopi v štirih razsežnostih je slika robov vedno pravilni mnogokotnik . Eulerjeva karakteristika štirirazsežnih politopov je , ki pa je enakaza vse oblike . Konveksni pravilni politopi v štirih razsežnostih V naslednji tabeli je prikazanihkonveksnih poliedrov . Vsi imajo Eulerjevo karakteristiko enako Degenerirani pravilni politopi ( sferni ) v štirih razsežnostih Ditopi in hozotopi obstajajo kot pravilna teselacijasfere . Pravilni ditopi ( imajo po dve faceti ) so { 3 ,3,2 } , { 3 ,4,2 } , { 4,3,2 } , { 5 ,3,2 } , { 3 ,5,2 } , { p ,2,2 } . Nekoveksni pravilni politopi v štirih razsežnostih Obstaja deset pravilnih štirirazsežnih zvezdnih politopov , ki se jih lahko imenuje Schläfli - Hessovi politopi . Njihova oglišča so osnovana na konveksnihcelicah ( { 5 , ) incelicah ( { 3 , ) Teselacija evklidskega trirazsežnega prostora Obstaja samo ena pravilna teselacija v trirazsežnem prostoru . Teselacija hiperboličnega trirazsežnega prostora Teselacija hiperboličnega trirazsežnega prostora se imenuje hiperbolično satovje . Znana so štiri pravilna satovje v H3. Prikazanih je nekaj projekcij : Prva prikazuje pogled iz središča v Beltrami - Kleinovem modelu . Druga in tretja slika kažejo pogled od zunaj z uporabo Poincarèjevega modela žoge . Pravilni politopi v petih in višjih razsežnostih V nadaljevanju so opisani pet in višjerazsežni politopi . V petih razsežnostih se lahko pravilni politop prikaže s Schläflijevim simbolom v obliki { p , q , r , s } , kjer so { p , q , r , } hipercelice ( teroni ) , stranske ploskve imajo tip { p } , slika stranskih ploskev je { s } , slika robov je { r , s } , slika oglišč pa je { q , r , s } . 5 - politop se imenuje tudi politeron , če pa je neskončen , se imenuje satovje . slika ogliščpolitopa je polihoron , ki ga vidimo kot razporeditev oglišč okoli vsakega oglišča posebej . slika robovpolitopa je polieder kot se vidi razporeditev oglišč okoli vsakega oglišča slika stranskih ploskevpolitopa je mnogokotnik kot se vidi razporeditev celic okoli vsake stranske ploskve . Konveksni pravilni politopi v petih razsežnostih V petih in višjih razsežnostih so samo tri vrste konveksnih pravilnih politopov . poskus pravilni politopi vrazsežnostih pravilni politopi vrazsežnostih pravilni politopi vrazsežnostih pravilni politopi vrazsežnostih pravilni politopi vrazsežnostih pravilni politopi vrazsežnostih Nekonveksni pravilni politopi V petih ali višjih razsežnostih ne obstajajo nekonveksni pravilni politopi . Teselacija evklidskega štirirazsežnega prostora Znane so tri neskončne pravilne teselacije ( satovje ) , ki zapolnijo štirirazsežni prostor Hiperkockino satovje je ena izmed oblik pravilnega satovja , ki lahko zapolni vsako razsežnost ( peto ali višjo ) z obliko hiperkockinih facet , ki so štiri okrog vsakega grebena . Teselacija hiperboličnega štirirazsežnega prostora Znanih je pet vrst konveksnih pravilnih satovij in štiri vrste zvezdastih satovij v prostoru H4 Pet konveksnih pravilnih satovij v H4 je : Znana so štiri pravilna zvezdasta satovja v prostoru H4: V H4 sta znani tudivrsti satovja z neskončnima facetama ali sliko oglišč { 3 , in { 4 , . Apeirotopi Apeirotopi so podobno kot ostali politopi nepovezane hiperploskve . Razlika je samo v tem , da se hiperploskve obrnejo nazaj in se zaprejo okoli končne prostornine hiperprostora . Apeirotopi se ne zasučejo nazaj v samega sebe . Dve razsežnosti Apeirogon je pravilna neskončno dolga premica , razdeljena na enake dele , ki jih povezujejo vozlišča . Tri razsežnosti Apeiroeder je neskončna poliederska ploskev . Podobno kot apeirogon je lahko ploščat ali nagnjen . Ploščati apeiroeder samo tlakuje ( pokrije ) ravnino . Nagnjeni polieder je satovju podobna struktura , ki deli prostor na dve področji . Znanih jepravilnih apeiroedrov v evklidskem prostoru . Vključujejo teselacije tipa in in navzgor ter v ravnini tudi politope tipa , in \ . V trirazsežnem prostoru pa njihovo mešanico . Glej tudi mnogokotnik pravilni mnogokotnik zvezdasti mnogokotnik polieder pravilni poliederpravilnih platonskih teles inKepler - Poinsotovi poliedri ) uniformni polieder polihoron konveksni pravilnipolitoppravilnih polihoronov ) uniformni polihoron Schläfli - Hessov polihoronpravilnih zvezdastih polihoronov ) teselacija tlakovanje s pravilnimi mnogokotniki pravilni politopi uniformni politopi Sklici Zunanje povezave Pravilni politopi v treh razsežnostih [ http://paulbourke.net/geometry/platonic/ Pravilni politopi v štirih razsežnostih Pravilni politopi Projekt pravilnih politopov Politopi Matematični seznami