Kovariantnost in kontravariantnost
Kovariantnost in kontravariantnost sta v multilinearni algebri in tenzorski analizi pojma, ki opisujeta kako se geometrijske in fizikalne količine spreminjajo ob spremembi baze koordinatnega sistema. Način spreminjanja se prikaže tako, da vrsto spreminjanja pišemo v obliki zgornjih ali spodnjih indeksov. Pojem je natančno definiran v tenzorski analizi, uporablja pa se tudi za vektorje. 

 Kontravariantnost je značilnost tistih količin (vektorjev), ki se spreminjajo obratno (inverzna transformacija) kot se spreminja baza koordinatnega sistema (od tod tudi ime kontra-variantnost). Količine, ki se spreminjajo na ta način, se imenujejo kontravariantne količine, njihovo velikost opišemo s kontravariantnimi komponentami. Primeri: Lega objekta glede na opazovalca.in vse količine, ki vsebujejo odvode lege (položaja) v času. Takšne količine so hitrost, pospešek in sprememba pospeška v času (trzaj). Če uporabimo Einsteinov zapis se kovariantne komponente pišejo z zgornjimi indeksi.
  
kjer je 
  vektor
   kontravariantna komponenta
  enotski vektor.
 
 Kovariantnost se pojavlja pri tistih količinah, ki so invariante koordinatnega sistema. Takšne količine so dualni vektorji, kot je na primer gradient. Komponente se spreminjajo podobno kot baza koordinatnega sistema.  Njihove komponente se spreminjajo z istimi transformacijami kot baza sistema. Dualni vektorji so v nasprotju z običajnimi vektorji, kovariantni vektorji. Primeri: Kovariantne vektorje dobimo takrat, ko iščemo gradient funkcije. Če uporabimo Einsteinovo notacijo se kovariantne komponente pišejo s spodnjimi indeksi.

Ostale oznake so podobne kot zgoraj.

Definicija 
Kovarianca in kontravarianca se nanašata na način spremembe koordinatnih vektorjev pri spremembi baze. Naj bo  vektorski prostor z razsežnostjo  nad obsegom skalarjev . Pri tem pa naj bosta  in  bazi vektorskega prostora , potem je sprememba baze iz  v  dana z 
 
kjer je 
  matrika 
  element matrike .

Pri tem pa je vsak vektor  baze  linearna kombinacija vektorjev  iz baze  tako, da je
 .

Kovariantne in kontravariantne komponente vektorja 

V evklidskem prostoru je razlika med kovariantnimi in kontravariantnimi vektorji nepomembna, ker skalarni produkt dovoljuje, da lahko kovektor definiramo z vektorji. To pomeni, da vektor  enolično določa kovektor  

Isti vektor lahko zapišemo kot kombinacijo kovariantnih ali kot kombinacijo kontravariantnih komponent. Pretvorba iz ene v drugo obliko se izvede s pomočjo množenja z metričnim tenzorjem
 
 
V obeh primerih je potrebno upoštevati Einsteinov način zapisa.

Glej tudi 
 krivočrtni koordinatni sistem

Zunanje povezave 
 Abstraktna matematika  
 Kovariantnost in kontravariantnost 
 Razlika med kovariantnostjo in kontravariantnostjo  
 Kovariantnost in kontravariantnost na PlanethPhysics 

Tenzorji
Vektorji
Diferencialna geometrija
Kovariantnost in kontravariantnost sta v multilinearni algebri in tenzorski analizi pojma , ki opisujeta kako se geometrijske in fizikalne količine spreminjajo ob spremembi baze koordinatnega sistema . Način spreminjanja se prikaže tako , da vrsto spreminjanja pišemo v obliki zgornjih ali spodnjih indeksov . Pojem je natančno definiran v tenzorski analizi , uporablja pa se tudi za vektorje . Kontravariantnost je značilnost tistih količin ( vektorjev ) , ki se spreminjajo obratno ( inverzna transformacija ) kot se spreminja baza koordinatnega sistema ( od tod tudi ime kontra - variantnost ) . Količine , ki se spreminjajo na ta način , se imenujejo kontravariantne količine , njihovo velikost opišemo s kontravariantnimi komponentami . Primeri : Lega objekta glede na opazovalca.in vse količine , ki vsebujejo odvode lege ( položaja ) v času . Takšne količine so hitrost , pospešek in sprememba pospeška v času ( trzaj ) . Če uporabimo Einsteinov zapis se kovariantne komponente pišejo z zgornjimi indeksi . kjer je vektor kontravariantna komponenta enotski vektor. Kovariantnost se pojavlja pri tistih količinah , ki so invariante koordinatnega sistema . Takšne količine so dualni vektorji , kot je na primer gradient . Komponente se spreminjajo podobno kot baza koordinatnega sistema . Njihove komponente se spreminjajo z istimi transformacijami kot baza sistema . Dualni vektorji so v nasprotju z običajnimi vektorji , kovariantni vektorji . Primeri : Kovariantne vektorje dobimo takrat , ko iščemo gradient funkcije . Če uporabimo Einsteinovo notacijo se kovariantne komponente pišejo s spodnjimi indeksi . Ostale oznake so podobne kot zgoraj . Definicija Kovarianca in kontravarianca se nanašata na način spremembe koordinatnih vektorjev pri spremembi baze . Naj bo vektorski prostor z razsežnostjo nad obsegom skalarjev \ . Pri tem pa naj bosta in bazi vektorskega prostora , potem je sprememba baze iz v dana z kjer je matrika element matrike \ . Pri tem pa je vsak vektor baze linearna kombinacija vektorjev iz baze tako , da je \ . Kovariantne in kontravariantne komponente vektorja V evklidskem prostoru je razlika med kovariantnimi in kontravariantnimi vektorji nepomembna , ker skalarni produkt dovoljuje , da lahko kovektor definiramo z vektorji . To pomeni , da vektor enolično določa kovektor Isti vektor lahko zapišemo kot kombinacijo kovariantnih ali kot kombinacijo kontravariantnih komponent . Pretvorba iz ene v drugo obliko se izvede s pomočjo množenja z metričnim tenzorjem V obeh primerih je potrebno upoštevati Einsteinov način zapisa . Glej tudi krivočrtni koordinatni sistem Zunanje povezave Abstraktna matematika Kovariantnost in kontravariantnost Razlika med kovariantnostjo in kontravariantnostjo Kovariantnost in kontravariantnost na PlanethPhysics Tenzorji Vektorji Diferencialna geometrija