Poliomina
Poliomína (tudi polinomína) je ravninski lik, ki ga sestavlja eden ali več skladnih neprekrivajočih se enotskih kvadratov ortogonalno povezanih po stranicah. Je vrsta poliforme, katere celica je kvadrat. Lahko se jo šteje za končno podmožico pravilnega kvadratnega pokritja s povezano notranjostjo. Naslednji liki:

          

na primer niso poliomine, saj so vsaj enkrat povezani le z ogliščema. Takšni liki, imenovani nepoliomine, skupaj s prostimi poliominami tvorijo množico likov, imenovanih (prosti) polipleti ali polikralji, kjer je zadnje poimenovanje povezano s šahovskimi figurami, kralji. Polipleti se pojavljajo v igri življenja Johna Hortona Conwayja.

Poliomine se razvrstijo po tem koliko enotskih celic imajo, kar se imenuje red poliomine:

Poliomine se pojavljajo v priljubljenih ugankah vsaj že od leta 1907, štetje pentomin pa izvira še iz antike. Mnogo rezultatov z liki iz enega do šest kvadratov je bilo prvič objavljeno v reviji Fairy Chess Review med letoma 1937 in 1957, pod imenom »razčlenitveni problemi« (), niso pa bili opaženi, ker so bili večinoma objavljeni v nepregledni kodirani obliki. Ime poliomina je skoval ameriški matematik in inženir Solomon Wolf Golomb leta 1953, o njih pa je nato veliko pisal Martin Gardner v svoji rubriki Matematične igre v reviji Scientific American. Beseda poliomina izhaja iz starogrške besede : poly - veliko, iz polýs - mnog, in domina. Beseda domina verjetno izhaja iz pegaste široke maškaradne obleke domino, iz latinskega dominus - gospodar.

S poliominami so povezani poliamanti, ki jih sestavljajo enakostranični trikotniki; poliheksi, ki jih tvorijo pravilni šestkotniki, in druge ravninske poliforme. Poliomine so posplošili na višje razsežnosti s spajanjem kock v polikocke, teseraktov v politeserakte ali hiperkock v polihiperkocke.

Kot pri mnogih ugankah v razvedrilni matematiki je s poliominami povezanih veliko kombinatoričnih problemov, še posebej s področja geometrične kombinatorike. Najosnovnejši je štetje poliomin za dano velikost. Za štetje ne obstaja noben splošni obrazec, razen za posebne razrede poliomin. Znanih je več ocen, obstajajo pa tudi algoritmi za njihovo računanje.

Poliomine z luknjami za nekatere primere niso primerne, na primer za probleme pokrivanja ravnine. Včasih se takšne poliomine izključijo in so dovoljene le enostavno povezane.

Štetje poliomin

Proste, enostranske in negibne poliomine 

Pri štetju obstajajo trije običajni načini razlikovanja poliomin:

 proste poliomine so različni liki, če noben ni transformacija (vzporedni premik, vrtenje, zrcaljenje ali drsno zrcaljenje) drugega (figure, ki se jih lahko vzame v roke in se jih obrne).
 enostranske poliomine se razlikujejo, kadar nobena ni vzporedno premaknjena ali zavrtena (figure, ki se jih ne da obrniti).
 negibne poliomine se razlikujejo, kadar nobena ni vzporedno premaknjena (figure, ki se jih ne da obrniti ali zasukati).

Naslednja razpredelnica prikazuje število poliomin različnih vrst z n celicami, ter poliplete. Naj  označuje število negibnih poliomin z n celicami (od katerih imajo lahko nekatere luknje).

Jensen je preštel negibne poliomine do n = 56:  je približno 6,915. Proste poliomine do n = 28 je preštel Tomás Oliveira e Silva. V splošnem pa je problem štetja poliomin nerešen.

Simetrije poliomin 

Diedrska grupa  je grupa simetrij (simetrijska grupa) kvadrata. Ta grupa vsebuje štiri zasuke in štiri zrcaljenja. Tvori se jo z izmeničnim zrcaljenjem prek osi x in prek diagonale. Ena prosta poliomina odgovarja največ 8. negibnim poliominam, ki so njene podobe pod simetrijo . Te podobe pa niso nujno različne: več ima prosta poliomina simetrije, manj ima različnih negibnih dvojnic. Zaradi tega lahko prosta poliomina, ki je invarianta pri nekaterih ali vseh netrivialnih simetrijah , odgovarja le 4., 2. ali 1. negibni poliomini. Matematično gledano so proste poliomine ekvivalenčni razredi negibnih poliomin pod grupo .

Za poliomine lahko obstajajo naslednje simetrije. Za vsako simetrijo je dano najmanjše število celic v poliomini:

 8 negibnih poliomin za vsako prosto peoliomino:
 brez simetrije (4)
 4 negibne poliomine za vsako prosto poliomino:
 osna simetrija glede na smeri mrežnih črt (90°) (4)
 osna simetrija glede na diagonale (45°) (3)
 rotacijska simetrija reda 2:  (4)
 2 negibni poliomini za vsako prosto poliomino:
 simetrija glede na smeri obeh mrežnih črt, dve osi osne simetrije:  (90°) (2)
 simetrija glede na smeri obeh diagonal, dve osi osne simetrije:  (45°) (7)
 rotacijska simetrija reda 4:  (8)
 1 negibna poliomina za vsako prosto poliomino:
 vse simetrije kvadrata:  (1).

Naslednja razpredelnica prikazuje število poliomin z n celicami, glede na simetrijske grupe, in z enojnimi luknjami.

Algoritmi za štetje negibnih poliomin

Induktivni algoritmi 

Vsako poliomino reda n + 1 se lahko dobi z dodajanjem celice k poliomini reda n. Od tod izhajajo induktivni algoritmi za tvorjenje poliomin.

Najbolj preprosto se lahko v seznam poliomin reda n dodajajo kvadrati k vsaki poliomini na vsako možno mesto. Poliomina reda n + 1, ki pri tem nastane, ni dvojnica tiste, ki se jo je že našlo. Izboljšave pri urejevanju štetja in označevanje sosednjih kvadratov, ki se jih ne bi smelo upoštevati, zmanjšajo število potrebnih primerov za preverjanje dvojnikov. Ta metoda se lahko uporablja za preštevanje tako prostih kot tudi negibnih poliomin.

Boljšo metodo, ki jo je opisal Redelmeier, je več avtorjev uporabilo kot način ne samo štetja poliomin (brez zahteve, da se vse poliomine reda n ohranjajo pri štetju tistih reda n + 1), ter tudi dokazalo zgornje meje za njihovo število. Osnovna zamisel je, da se začne z enim samim kvadratom, in se od tod rekurzivno dodaja kvadrate. Odvisno od podrobnosti se lahko šteje vsako n-omino n-krat, enkrat od začetka vsakega njenega n-tega kvadrata, ali pa se jih šteje vsako enkrat.

Pri najenostavnejšemu izvajanju se dodaja samo en kvadrat na enkrat. Začne se z enim kvadratom, oštevilči se sosednje kvadrate v smeri urinega kazalca od zgoraj, 1, 2, 3 in 4. Sedaj se izbere število med 1 in 4, in se na tem mestu doda kvadrat. Potem se oštevilči neoštevilčene sosednje kvadrate in se začne s 5. Potem se izbere številko večjo od prej izbrane številke in se doda ta kvadrat. Nadaljuje se z izbiranjem številke večje od števila trenutnega kvadrata, se doda ta kvadrat, ter se nato številči nove sosednje kvadrate. Ko se tvori n kvadratov, se tvori n-omino. Ta metoda zagotavlja, da se vsako negibno poliomino šteje točno n-krat, enkrat od vsakega začetnega kvadrata. Lahko se jo optimira, da se šteje vsako poliomino samo enkrat, in ne n-krat. Začne se z začetnim kvadratom, se ga označi kot levo najnižje ležečega v poliomini. Ne številči se drugih kvadratov, ki so v spodnji vrstici, ali levo od kvadrata v isti vrstici. To različico je opisal Redelmeier.

Pri štetju prostih poliomin je treba po tvorjenju vsake n-omine preveriti simetrije. Vendar je hitreje tvoriti simetrične poliomine ločeno (z različico te metode) in določiti število prostih poliomin z Burnsideovo lemo.

Metoda s prenosno matriko 

Najsodobnejši algoritem za štetje negibnih poliomin je odkril Iwan Jensen. Izboljšava metode Andrewa Conwayja je eksponentno hitrejša od predhodnih metod, čeprav je čas njenega izvajanja še vedno eksponeneten v n.

Conwayjeva in Jensenova različica metode s prenosno matriko obsega štetje števila poliomin z določeno širino. Računanje števila za vse širine da skupno število poliomin. Osnovna zamisel za metodo je, da se obravnavajo možne začetne vrstice, nato pa se določi najmanjše število kvadratov potrebnih za tvorjenje poliomine z dano širino. Skupaj z rabo rodovnih funkcij je s tem postopkom možno prešteti več poliomin na enkrat, zaradi česar je tudi veliko hitrejši od drugih metod, kjer so mora tvoriti vsaka poliomina.

Čeprav ima izvrsten čas izvajanja, algoritem uporablja eksponentno količino pomnilnika (za n nad 50 je potrebnih več GB pomnilnika), je težji za programiranje od drugih metod, trenutno pa ni primeren tudi za štetje prostih polionim.

Asimptotična rast števila poliomin

Negibne poliomine 

Teoretični argumenti in numerični računi podpirajo oceno:

 

kjer sta  in . Vendar ta rezultat ni dokazan, tako da sta vrednosti  in c le oceni. Znani teoretični rezultati niso niti približno tako določeni kot ta ocena. Dokazano je, da obstaja limita:

 

Vrednost  raste eksponentno in je približno enaka:

 

Najboljša znana spodnja meja za  je 3,980137. Najboljša znana zgornja meja, neizboljšana še od 1970-ih, je .  se imenuje Klarnerjeva konstanta.

Za določevanje spodnje meje je preprosta, vendar zelo učinkovita metoda povezovanja poliomin. Naj je zgornji-desni kvadrat najbolj desni kvadrat v najvišji vrstici poliomine. Podobno je definiran spodnji-levi kvadrat. Potem se lahko zgornji-desni kvadrat poljubne poliomine velikosti n zveže s spodnjim-levim kvadratom poljubne poliomine velikosti m, s čimer se dobi edina (n+m)-omina. To dokazuje . S pomočje te enačbe se lahko pokaže, da velja  za vse n. Ta prečiščen postopek skupaj s podatki za  da zgornjo spodnjo mejo.

Zgornja meja se dobi s posplošitvijo induktivne metode za štetje poliomin. Namesto, da se dodaja po en kvadrat na enkrat, se dodaja skupino kvadratov. To pogosto opišejo kot »dodajanje rogovil«. Z dokazom, da je vsaka n-omina zaporedje rogovil, in limitami kombinacij možnih rogovil, se dobi zgornja meja števila n-omin. V zgornjih nakazanih algoritmih je treba na primer v vsakem koraku izbrati večje število, doda pa se največ tri nova števila, ker so največ trije neoštevilčeni kvadrati sosednji poljubnemu oštevilčenemu kvadratu. Na ta način se dobi zgornja meja 6,75. Z 2,8 milijonoma rogovilami sta Klarner in Rivest dobila vrednost za zgornjo mejo 4,65.

Proste poliomine 

Približka za število negibnih in prostih poliomin sta povezana na preprost način. Prosta poliomina brez simetrij (zasuka ali zrcaljenja) odgovarja osmim negibnim poliominam, in za velike n je večina n-omin brez simetrij. Zaradi tega je število negibnih n-omin približno enako 8-kratnemu številu prostih n-omin. Ko se n veča, je ta približek eksponentno točnejši.

Posebni razredi poliomin 

Za štetje posebnih razredov poliomin obstajajo točni obrazci, na primer za konveksne ali usmerjene poliomine.

Konveksnost in usmerjenost 

Definicija konveksne poliomine se razlikuje od običajne definicije konveksnosti. Poliomina je stolpčno konveksna, če je presečišče z vsako navpično črto konveksno, oziroma, če noben stolpec ne vsebuje luknje. Podobno je poliomina vrstno konveksna, če je presečišče z vsako vodoravno črto konveksno. Poliomina je konveksna, če je stolpčno in vrstno konveksna..

Poliomina je usmerjena, če vsebuje kvadrat, imenovan koren, tako da se vsak drug kvadrat lahko doseže z gibanjem navzgor ali desno za en kvadrat, brez da bi se zapustilo poliomino.

Usmerjene, stolpčne (ali vrstično) konveksne in konveksne poliomine so učinkovito prešteli glede na površino n, ter glede na druge parametre, kot sta npr. obseg (polobseg) ali minimalni omejitveni pravokotnik, s pomočjo rodovnih funkcij.

Pri konveksnih poliominah je polobseg enak vsoti njihovih stolpcev in vrstic. Število konveksnih poliomin  s polobsegom  sta določila Delest in Viennot:

 

Prve vrednosti za n ≥ 0 so :

 1, 2, 7, 28, 120, 528, 2344, 10416, 46160, 203680, 894312, 3907056, ... .

Število usmerjenih konveksnih poliomin  s polobsegom  je enako n-temu središčnemu binomskemu koeficientu:

 

Prve vrednosti za n ≥ 0 so :

 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, 184756, 705432, ... .

Youngovi diagrami (tudi Ferrersovi diagrami) so konveksne poliomine pri katerih so vrstice poravnane levo in dolžine vrstic šibko naraščajo (vsaka vrstica ima enako ali manjšo dolžino kot predhodnja). Število enostranskih Youngovih diagramov je enako številu particij pozitivnega celega števila. Prve vrednosti za n ≥ 0 so : 

 1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, ... .

Po dogovoru je p(0) = 1 in p(n) = 0 za negativne n.

Posebna podmnožica usmerjenih konveksnih poliomin so paralelogramske poliomine. Definirane so z dvema potema na mreži z enotskimi koraki gor (sever) (0,1) in korak desno (vzhod) (1,0), ki se sekata le v svojima izhodiščema in krajiščima. Število paralelogramskih poliomin  s polobsegom  je enako n-temu Catalanovemu številu:

 

Prve vrednosti za n ≥ 0 so :

 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, ... .

Enakoličnost 

Poliomina je enakolična, če je njena površina enaka njenemu obsegu. Enakolično poliomino mora sestavljati sodo število kvadratov. Možno je vsako sodo število večje od 15. 16-omina v obliki kvadrata 4 × 4 in 18-omina v obliki pravokotnika 3 × 6 sta na primer obe enakolični. Za poliomine z manj kot 15-imi kvadrati je obseg vedno večji od površine.

Rabe poliomin 

Poliomine so pospešile raziskave v računalništvu in razvedrilni matematiki. Problemi se velikokrat nanašajo na pokritje (tlakovanje) določenega območja ali celotne ravnine s poliominami ali pregibanje poliomin za tvorjenje drugih oblik. Gardner je predlagal več preprostih iger z množico prostih pentomin in šahovnico. Nekatere različice sestavljanke sudoku imajo območja v obliki poliomin na mreži. Računalniška igra Tetris temelji na sedmih enostranskih tetrominah. V igri so imenovane »tetrimine«. Igra na deski Blokus uporablja vseh 21 prostih poliomin vse do pentomin.

Pokritje območij z množico poliomin 

V sestavljankah je običajno treba pokriti dano območje z dano množico poliomin, kot na primer 12 prostih pentomin. Golombova in Gardnerjeva knjiga imata veliko zgledov. Tipična sestavljanka je pokritje pravokotnika 6 × 10 z 12-imi prostimi pentominami. Vseh 2339 rešitev sta leta 1960 prva našla. Colin in Jenifer Haselgrove.

Če so dovoljene mnogokratne kopije poliomin v množici, je Golomb definiral hierarhijo različnih območij, ki jih lahko množica pokrije, kot na primer pravokotniki, trakovi in celotna ravnina. Pokazal je, da je problem pokritja ravnine s poliominami iz dane množice neodločljiv s preslikavnimi množicami Wangovih tlakovcev v množice poliomin.

Pokritje območij s kopijami ene poliomine 

V drugem razredu problemov je vprašanje ali kopije dane poliomine pokrijejo pravokotnik, in če, katere pravokotnike lahko. Takšne probleme so še posebej obsežno raziskovali za določene poliomine. Na voljo so razpredelnice rezultatov za posamezne poliomine. Klarner in Göbel sta pokazala, da za vsako poliomino obstaja končna množica takšnih prvotnih pravokotnikov, ki jih pokrije, da se lahko vsi drugi pravokotniki, ki jih pokrije, pokrijejo s temi prvotnimi pravokotniki.

Poleg pravokotnikov je Golomb podal svojo hierarhijo za posamezne poliomine: poliomina lahko pokrije pravokotnik, poltrak, ukrivljeni trak, povečano lastno kopijo, kvadrant, trak, polravnino, celotno ravnino, določene kombinacije ali nič od tega. Med njimi sta določeni posledici, obe očitni. Če na primer poliomina pokrije polravnino, pokrije tudi celotno ravnino. In, če poliomina pokrije povečano lastno kopijo, potem pokrije kvadrant. Poliomine do reda vse do 6 so karakterizirane v tej hierarhiji s statusom ene heksamine, za katero se je kasneje izkazalo, da pokrije pravokotnik, kar je bilo do tedaj nerešeno.

Leta 2001 sta Cristopher Moore in John Michael Robson pokazala, da je problem pokritja ene poliomine s kopijami druge NP-poln.

Pokritje ravnine s kopijami ene poliomine 

Veliko so obravnavali tudi pokritje ravnine s kopijami ene poliomine. Leta 1965 so oznanili, da vse poliomine do heksomin in vse razen štirih heptomin pokrijejo ravnino. Nato je David Bird ugotovil, da vse razen 26 oktomin pokrijejo ravnino. Rawsthorne je odkril, da vse nonomine razen 235-ih pokrijejo ravnino. Takšne rezultate so razširili na višje rede Rhoads (do reda 14) in drugi. Poliomine, ki pokrivajo ravnino, so klasificirali po simetrijah njihovih pokritij in po številu aspektov (orientacij) v katerih se tlakovci pojavljajo v njih.

Raziskovanje katere poliomine lahko pokrijejo ravnino je olajšala raba Conwayjevega kriterija. Razen dveh nonomin vse pokrivajoče poliomine do reda 9 tvorijo zaplato, za katero velja vsaj en tlakovec, pri čemer so izjeme pri višjih redovih pogostejše.

Več poliomin lahko pokrije več lastnih kopij in ponavljanje tega procesa rekurzivno da pokritje ravnine z delilnimi ploščicami (rep-tile). Za vsako pozitivno celo število n se na primer lahko skombinira n2 kopij L-tromine, L-tetromine ali P-pentomine v en večji lik podoben manjši poliomini iz katere je bil oblikovan.

Pokritje skupnega lika z različnimi poliominami 

Problem združljivosti išče lik, ki ga lahko pokrijeta dve ali več poliomin. Poliominsko združljivost so veliko raziskovali od 1990-ih. Jorge Luis Mireles in Giovanni Resta sta objavila spletni strani s sistematičnimi rezultati. Livio Zucca prikazuje rezultate za nekatere zapletene primere, kot so na primer tri različne pentomine. Splošni problem je lahko težek. Prvi združljivostni lik za pentomini L in X je bil objavljen leta 2005 in ima  80 poliomin obeh vrst. Za veliko parov poliomin so pokazali nezdružljivost s sistematičnim izčrpavanjem. Ni znan noben algoritem za odločanje ali so poljubne poliomine združljive.

Mreže teles 

Od poliomin lahko edino heksomine predstavljajo mrežo telesa in sicer kocke. Od 35 prostih heksomin jih lahko 11 predstavlja mrežo kocke.

Glej tudi 

 teorija perkolacije
 Youngov diagram
 Blokus
 kvadratni graf
 permutomina

Opombe

Sklici

Viri

Zunanje povezave 

 
 Aplikacija za interaktivno pokrivanje s poliominami 
 Pokrivanje končnega pravokotnika Karla Dahlkeja 
 Uporaba in opis Jensenove metode 
 Članek z opisi sodobnih ocen (PS) 
 MathPages – opombe na štetje poliomin z različnimi simetrijami 
 Seznam razčlenitvenih problemov v Fairy Chess Review 
 Schere, Karl, Tetrads Wolfram Demonstrations Project 

Poliforme
Razvedrilna matematika in uganke
Nerešeni matematični problemi
Poliomína ( tudi polinomína ) je ravninski lik , ki ga sestavlja eden ali več skladnih neprekrivajočih se enotskih kvadratov ortogonalno povezanih po stranicah . Je vrsta poliforme , katere celica je kvadrat . Lahko se jo šteje za končno podmožico pravilnega kvadratnega pokritja s povezano notranjostjo . Naslednji liki : na primer niso poliomine , saj so vsaj enkrat povezani le z ogliščema . Takšni liki , imenovani nepoliomine , skupaj s prostimi poliominami tvorijo množico likov , imenovanih ( prosti ) polipleti ali polikralji , kjer je zadnje poimenovanje povezano s šahovskimi figurami , kralji . Polipleti se pojavljajo v igri življenja Johna Hortona Conwayja . Poliomine se razvrstijo po tem koliko enotskih celic imajo , kar se imenuje red poliomine : Poliomine se pojavljajo v priljubljenih ugankah vsaj že od leta štetje pentomin pa izvira še iz antike . Mnogo rezultatov z liki iz enega do šest kvadratov je bilo prvič objavljeno v reviji Fairy Chess Review med letomain pod imenom » razčlenitveni problemi « ( ) , niso pa bili opaženi , ker so bili večinoma objavljeni v nepregledni kodirani obliki . Ime poliomina je skoval ameriški matematik in inženir Solomon Wolf Golomb leta o njih pa je nato veliko pisal Martin Gardner v svoji rubriki Matematične igre v reviji Scientific American . Beseda poliomina izhaja iz starogrške besede \ : poly - veliko , iz polýs - mnog , in domina . Beseda domina verjetno izhaja iz pegaste široke maškaradne obleke domino , iz latinskega dominus - gospodar . S poliominami so povezani poliamanti , ki jih sestavljajo enakostranični trikotniki ; poliheksi , ki jih tvorijo pravilni šestkotniki , in druge ravninske poliforme . Poliomine so posplošili na višje razsežnosti s spajanjem kock v polikocke , teseraktov v politeserakte ali hiperkock v polihiperkocke . Kot pri mnogih ugankah v razvedrilni matematiki je s poliominami povezanih veliko kombinatoričnih problemov , še posebej s področja geometrične kombinatorike . Najosnovnejši je štetje poliomin za dano velikost . Za štetje ne obstaja noben splošni obrazec , razen za posebne razrede poliomin . Znanih je več ocen , obstajajo pa tudi algoritmi za njihovo računanje . Poliomine z luknjami za nekatere primere niso primerne , na primer za probleme pokrivanja ravnine . Včasih se takšne poliomine izključijo in so dovoljene le enostavno povezane . Štetje poliomin Proste , enostranske in negibne poliomine Pri štetju obstajajo trije običajni načini razlikovanja poliomin : proste poliomine so različni liki , če noben ni transformacija ( vzporedni premik , vrtenje , zrcaljenje ali drsno zrcaljenje ) drugega ( figure , ki se jih lahko vzame v roke in se jih obrne ) . enostranske poliomine se razlikujejo , kadar nobena ni vzporedno premaknjena ali zavrtena ( figure , ki se jih ne da obrniti ) . negibne poliomine se razlikujejo , kadar nobena ni vzporedno premaknjena ( figure , ki se jih ne da obrniti ali zasukati ) . Naslednja razpredelnica prikazuje število poliomin različnih vrst z n celicami , ter poliplete . Naj označuje število negibnih poliomin z n celicami ( od katerih imajo lahko nekatere luknje ) . Jensen je preštel negibne poliomine do n = je približno915. Proste poliomine do n =je preštel Tomás Oliveira e Silva . V splošnem pa je problem štetja poliomin nerešen . Simetrije poliomin Diedrska grupa je grupa simetrij ( simetrijska grupa ) kvadrata . Ta grupa vsebuje štiri zasuke in štiri zrcaljenja . Tvori se jo z izmeničnim zrcaljenjem prek osi x in prek diagonale . Ena prosta poliomina odgovarja največ negibnim poliominam , ki so njene podobe pod simetrijo \ . Te podobe pa niso nujno različne : več ima prosta poliomina simetrije , manj ima različnih negibnih dvojnic . Zaradi tega lahko prosta poliomina , ki je invarianta pri nekaterih ali vseh netrivialnih simetrijah , odgovarja le , ali negibni poliomini . Matematično gledano so proste poliomine ekvivalenčni razredi negibnih poliomin pod grupo \ . Za poliomine lahko obstajajo naslednje simetrije . Za vsako simetrijo je dano najmanjše število celic v poliomini : negibnih poliomin za vsako prosto peoliomino : brez simetrije negibne poliomine za vsako prosto poliomino : osna simetrija glede na smeri mrežnih črt ) osna simetrija glede na diagonale ) rotacijska simetrija reda negibni poliomini za vsako prosto poliomino : simetrija glede na smeri obeh mrežnih črt , dve osi osne simetrije : ( 90° ) simetrija glede na smeri obeh diagonal , dve osi osne simetrije : ( 45° ) rotacijska simetrija reda negibna poliomina za vsako prosto poliomino : vse simetrije kvadrata : Naslednja razpredelnica prikazuje število poliomin z n celicami , glede na simetrijske grupe , in z enojnimi luknjami . Algoritmi za štetje negibnih poliomin Induktivni algoritmi Vsako poliomino reda n +se lahko dobi z dodajanjem celice k poliomini reda n. Od tod izhajajo induktivni algoritmi za tvorjenje poliomin . Najbolj preprosto se lahko v seznam poliomin reda n dodajajo kvadrati k vsaki poliomini na vsako možno mesto . Poliomina reda n + ki pri tem nastane , ni dvojnica tiste , ki se jo je že našlo . Izboljšave pri urejevanju štetja in označevanje sosednjih kvadratov , ki se jih ne bi smelo upoštevati , zmanjšajo število potrebnih primerov za preverjanje dvojnikov . Ta metoda se lahko uporablja za preštevanje tako prostih kot tudi negibnih poliomin . Boljšo metodo , ki jo je opisal Redelmeier , je več avtorjev uporabilo kot način ne samo štetja poliomin ( brez zahteve , da se vse poliomine reda n ohranjajo pri štetju tistih reda n + ter tudi dokazalo zgornje meje za njihovo število . Osnovna zamisel je , da se začne z enim samim kvadratom , in se od tod rekurzivno dodaja kvadrate . Odvisno od podrobnosti se lahko šteje vsako n - omino n - krat , enkrat od začetka vsakega njenega n - tega kvadrata , ali pa se jih šteje vsako enkrat . Pri najenostavnejšemu izvajanju se dodaja samo en kvadrat na enkrat . Začne se z enim kvadratom , oštevilči se sosednje kvadrate v smeri urinega kazalca od zgoraj ,in Sedaj se izbere število medin in se na tem mestu doda kvadrat . Potem se oštevilči neoštevilčene sosednje kvadrate in se začne s Potem se izbere številko večjo od prej izbrane številke in se doda ta kvadrat . Nadaljuje se z izbiranjem številke večje od števila trenutnega kvadrata , se doda ta kvadrat , ter se nato številči nove sosednje kvadrate . Ko se tvori n kvadratov , se tvori n - omino . Ta metoda zagotavlja , da se vsako negibno poliomino šteje točno n - krat , enkrat od vsakega začetnega kvadrata . Lahko se jo optimira , da se šteje vsako poliomino samo enkrat , in ne n - krat . Začne se z začetnim kvadratom , se ga označi kot levo najnižje ležečega v poliomini . Ne številči se drugih kvadratov , ki so v spodnji vrstici , ali levo od kvadrata v isti vrstici . To različico je opisal Redelmeier . Pri štetju prostih poliomin je treba po tvorjenju vsake n - omine preveriti simetrije . Vendar je hitreje tvoriti simetrične poliomine ločeno ( z različico te metode ) in določiti število prostih poliomin z Burnsideovo lemo . Metoda s prenosno matriko Najsodobnejši algoritem za štetje negibnih poliomin je odkril Iwan Jensen . Izboljšava metode Andrewa Conwayja je eksponentno hitrejša od predhodnih metod , čeprav je čas njenega izvajanja še vedno eksponeneten v n. Conwayjeva in Jensenova različica metode s prenosno matriko obsega štetje števila poliomin z določeno širino . Računanje števila za vse širine da skupno število poliomin . Osnovna zamisel za metodo je , da se obravnavajo možne začetne vrstice , nato pa se določi najmanjše število kvadratov potrebnih za tvorjenje poliomine z dano širino . Skupaj z rabo rodovnih funkcij je s tem postopkom možno prešteti več poliomin na enkrat , zaradi česar je tudi veliko hitrejši od drugih metod , kjer so mora tvoriti vsaka poliomina . Čeprav ima izvrsten čas izvajanja , algoritem uporablja eksponentno količino pomnilnika ( za n nadje potrebnih več GB pomnilnika ) , je težji za programiranje od drugih metod , trenutno pa ni primeren tudi za štetje prostih polionim . Asimptotična rast števila poliomin Negibne poliomine Teoretični argumenti in numerični računi podpirajo oceno : kjer sta in \ . Vendar ta rezultat ni dokazan , tako da sta vrednosti in c le oceni . Znani teoretični rezultati niso niti približno tako določeni kot ta ocena . Dokazano je , da obstaja limita : Vrednost raste eksponentno in je približno enaka : Najboljša znana spodnja meja za je980137. Najboljša znana zgornja meja , neizboljšana še odih , je \ . se imenuje Klarnerjeva konstanta . Za določevanje spodnje meje je preprosta , vendar zelo učinkovita metoda povezovanja poliomin . Naj je zgornji - desni kvadrat najbolj desni kvadrat v najvišji vrstici poliomine . Podobno je definiran spodnji - levi kvadrat . Potem se lahko zgornji - desni kvadrat poljubne poliomine velikosti n zveže s spodnjim - levim kvadratom poljubne poliomine velikosti m , s čimer se dobi edina ( n+m ) - omina . To dokazuje \ . S pomočje te enačbe se lahko pokaže , da velja za vse n. Ta prečiščen postopek skupaj s podatki za da zgornjo spodnjo mejo . Zgornja meja se dobi s posplošitvijo induktivne metode za štetje poliomin . Namesto , da se dodaja po en kvadrat na enkrat , se dodaja skupino kvadratov . To pogosto opišejo kot » dodajanje rogovil « . Z dokazom , da je vsaka n - omina zaporedje rogovil , in limitami kombinacij možnih rogovil , se dobi zgornja meja števila n - omin . V zgornjih nakazanih algoritmih je treba na primer v vsakem koraku izbrati večje število , doda pa se največ tri nova števila , ker so največ trije neoštevilčeni kvadrati sosednji poljubnemu oštevilčenemu kvadratu . Na ta način se dobi zgornja meja75. Z8 milijonoma rogovilami sta Klarner in Rivest dobila vrednost za zgornjo mejo65. Proste poliomine Približka za število negibnih in prostih poliomin sta povezana na preprost način . Prosta poliomina brez simetrij ( zasuka ali zrcaljenja ) odgovarja osmim negibnim poliominam , in za velike n je večina n - omin brez simetrij . Zaradi tega je število negibnih n - omin približno enakokratnemu številu prostih n - omin . Ko se n veča , je ta približek eksponentno točnejši . Posebni razredi poliomin Za štetje posebnih razredov poliomin obstajajo točni obrazci , na primer za konveksne ali usmerjene poliomine . Konveksnost in usmerjenost Definicija konveksne poliomine se razlikuje od običajne definicije konveksnosti . Poliomina je stolpčno konveksna , če je presečišče z vsako navpično črto konveksno , oziroma , če noben stolpec ne vsebuje luknje . Podobno je poliomina vrstno konveksna , če je presečišče z vsako vodoravno črto konveksno . Poliomina je konveksna , če je stolpčno in vrstno konveksna . . Poliomina je usmerjena , če vsebuje kvadrat , imenovan koren , tako da se vsak drug kvadrat lahko doseže z gibanjem navzgor ali desno za en kvadrat , brez da bi se zapustilo poliomino . Usmerjene , stolpčne ( ali vrstično ) konveksne in konveksne poliomine so učinkovito prešteli glede na površino n , ter glede na druge parametre , kot sta npr. obseg ( polobseg ) ali minimalni omejitveni pravokotnik , s pomočjo rodovnih funkcij . Pri konveksnih poliominah je polobseg enak vsoti njihovih stolpcev in vrstic . Število konveksnih poliomin s polobsegom sta določila Delest in Viennot : Prve vrednosti za n ≥so \ : \ . . . \ . Število usmerjenih konveksnih poliomin s polobsegom je enako n - temu središčnemu binomskemu koeficientu : Prve vrednosti za n ≥so \ : \ . . . \ . Youngovi diagrami ( tudi Ferrersovi diagrami ) so konveksne poliomine pri katerih so vrstice poravnane levo in dolžine vrstic šibko naraščajo ( vsaka vrstica ima enako ali manjšo dolžino kot predhodnja ) . Število enostranskih Youngovih diagramov je enako številu particij pozitivnega celega števila . Prve vrednosti za n ≥so \ : \ . . . \ . Po dogovoru je p( 0 ) =in p( n ) =za negativne n. Posebna podmnožica usmerjenih konveksnih poliomin so paralelogramske poliomine . Definirane so z dvema potema na mreži z enotskimi koraki gor ( sever ) 1) in korak desno ( vzhod )0 ) , ki se sekata le v svojima izhodiščema in krajiščima . Število paralelogramskih poliomin s polobsegom je enako n - temu Catalanovemu številu : Prve vrednosti za n ≥so \ : \ . . . \ . Enakoličnost Poliomina je enakolična , če je njena površina enaka njenemu obsegu . Enakolično poliomino mora sestavljati sodo število kvadratov . Možno je vsako sodo število večje odomina v obliki kvadrata ×inomina v obliki pravokotnika ×sta na primer obe enakolični . Za poliomine z manj kotimi kvadrati je obseg vedno večji od površine . Rabe poliomin Poliomine so pospešile raziskave v računalništvu in razvedrilni matematiki . Problemi se velikokrat nanašajo na pokritje ( tlakovanje ) določenega območja ali celotne ravnine s poliominami ali pregibanje poliomin za tvorjenje drugih oblik . Gardner je predlagal več preprostih iger z množico prostih pentomin in šahovnico . Nekatere različice sestavljanke sudoku imajo območja v obliki poliomin na mreži . Računalniška igra Tetris temelji na sedmih enostranskih tetrominah . V igri so imenovane » tetrimine « . Igra na deski Blokus uporablja vsehprostih poliomin vse do pentomin . Pokritje območij z množico poliomin V sestavljankah je običajno treba pokriti dano območje z dano množico poliomin , kot na primerprostih pentomin . Golombova in Gardnerjeva knjiga imata veliko zgledov . Tipična sestavljanka je pokritje pravokotnika ×zimi prostimi pentominami . Vsehrešitev sta letaprva našla . Colin in Jenifer Haselgrove . Če so dovoljene mnogokratne kopije poliomin v množici , je Golomb definiral hierarhijo različnih območij , ki jih lahko množica pokrije , kot na primer pravokotniki , trakovi in celotna ravnina . Pokazal je , da je problem pokritja ravnine s poliominami iz dane množice neodločljiv s preslikavnimi množicami Wangovih tlakovcev v množice poliomin . Pokritje območij s kopijami ene poliomine V drugem razredu problemov je vprašanje ali kopije dane poliomine pokrijejo pravokotnik , in če , katere pravokotnike lahko . Takšne probleme so še posebej obsežno raziskovali za določene poliomine . Na voljo so razpredelnice rezultatov za posamezne poliomine . Klarner in Göbel sta pokazala , da za vsako poliomino obstaja končna množica takšnih prvotnih pravokotnikov , ki jih pokrije , da se lahko vsi drugi pravokotniki , ki jih pokrije , pokrijejo s temi prvotnimi pravokotniki . Poleg pravokotnikov je Golomb podal svojo hierarhijo za posamezne poliomine : poliomina lahko pokrije pravokotnik , poltrak , ukrivljeni trak , povečano lastno kopijo , kvadrant , trak , polravnino , celotno ravnino , določene kombinacije ali nič od tega . Med njimi sta določeni posledici , obe očitni . Če na primer poliomina pokrije polravnino , pokrije tudi celotno ravnino . In , če poliomina pokrije povečano lastno kopijo , potem pokrije kvadrant . Poliomine do reda vse doso karakterizirane v tej hierarhiji s statusom ene heksamine , za katero se je kasneje izkazalo , da pokrije pravokotnik , kar je bilo do tedaj nerešeno . Letasta Cristopher Moore in John Michael Robson pokazala , da je problem pokritja ene poliomine s kopijami druge NP - poln . Pokritje ravnine s kopijami ene poliomine Veliko so obravnavali tudi pokritje ravnine s kopijami ene poliomine . Letaso oznanili , da vse poliomine do heksomin in vse razen štirih heptomin pokrijejo ravnino . Nato je David Bird ugotovil , da vse razenoktomin pokrijejo ravnino . Rawsthorne je odkril , da vse nonomine razenih pokrijejo ravnino . Takšne rezultate so razširili na višje rede Rhoads ( do redain drugi . Poliomine , ki pokrivajo ravnino , so klasificirali po simetrijah njihovih pokritij in po številu aspektov ( orientacij ) v katerih se tlakovci pojavljajo v njih . Raziskovanje katere poliomine lahko pokrijejo ravnino je olajšala raba Conwayjevega kriterija . Razen dveh nonomin vse pokrivajoče poliomine do redatvorijo zaplato , za katero velja vsaj en tlakovec , pri čemer so izjeme pri višjih redovih pogostejše . Več poliomin lahko pokrije več lastnih kopij in ponavljanje tega procesa rekurzivno da pokritje ravnine z delilnimi ploščicami ( rep - tile ) . Za vsako pozitivno celo število n se na primer lahko skombinira n2 kopij L - tromine , L - tetromine ali P - pentomine v en večji lik podoben manjši poliomini iz katere je bil oblikovan . Pokritje skupnega lika z različnimi poliominami Problem združljivosti išče lik , ki ga lahko pokrijeta dve ali več poliomin . Poliominsko združljivost so veliko raziskovali odih . Jorge Luis Mireles in Giovanni Resta sta objavila spletni strani s sistematičnimi rezultati . Livio Zucca prikazuje rezultate za nekatere zapletene primere , kot so na primer tri različne pentomine . Splošni problem je lahko težek . Prvi združljivostni lik za pentomini L in X je bil objavljen letain ima poliomin obeh vrst . Za veliko parov poliomin so pokazali nezdružljivost s sistematičnim izčrpavanjem . Ni znan noben algoritem za odločanje ali so poljubne poliomine združljive . Mreže teles Od poliomin lahko edino heksomine predstavljajo mrežo telesa in sicer kocke . Odprostih heksomin jih lahkopredstavlja mrežo kocke . Glej tudi teorija perkolacije Youngov diagram Blokus kvadratni graf permutomina Opombe Sklici Viri Zunanje povezave Aplikacija za interaktivno pokrivanje s poliominami Pokrivanje končnega pravokotnika Karla Dahlkeja Uporaba in opis Jensenove metode Članek z opisi sodobnih ocen ( PS ) MathPages – opombe na štetje poliomin z različnimi simetrijami Seznam razčlenitvenih problemov v Fairy Chess Review Schere , Karl , Tetrads Wolfram Demonstrations Project Poliforme Razvedrilna matematika in uganke Nerešeni matematični problemi