Pozitivno definitna matrika
Pozitivno definitna matrika je matrika, ki je v mnogih podrobnostih analogna pozitivnim realnim številom.

Definicija 

Realna simetrična matrika  razsežnosti  je pozitivno definitna, če za vse neničelne vektorje  z realnimi elementi () velja . 

Kompleksna matrika  z razsežnostjo  je pozitivno definitna, če je  ℜ(z*Mz) > 0 za vse neničelne kompleksne vektorje , kjer z* pomeni konjugirano transponirani vektor  in ℜ(c) je realni del števila .   

Kompleksna hermitska matrika  z razsežnostjo  je pozitivno definitna, če je  za vse neničelne kompleksne vektorje . Pri tem je vrednost  vedno realna. 

V literaturi se uporablja enolična definicija pozitivne definitnosti za hermitske matrike. Večji problem so nehermitske matrike, ker ni splošnega dogovora o definiciji pozitivne definitnosti zanje. 

 Zgledi 

Matrika 
 je pozitivno definitna. 

Za vektor  velja . Če sta  ali , realna ali je vsaj eden od njiju različen od nič, potem je vrednost pozitivna.

Nasprotno pa matrika
  
ni pozitivno definitna, ker za vektor 
  
velja 
 .

To pa pomeni, da matrika ni pozitivno definitna.

 Značilnosti 

 hermitska matrika je negativno definitna, če so vse njene lastne vrednosti negativne. Podobno velja tudi za p.
 lastne vrednosti  matrike , ki je pozitivno definitna, so pozitivne.
 naslednje matrike , ki je pozitivno definitna, imajo pozitivne determinante (glej Sylvestrov kriterij)
 zgornji levi kot matrike  z razsežnostjo   
 zgornji levi kot matrike  z razsežnostjo 
 zgornji levi kot matrike  z razsežnostjo 
 ….
 sama matrika 
 vedno obstoja takšna spodnje trikotna matrika , ki vsebuje strogo pozitivne elemente, da lahko zapišemo 
 
kjer je
    konjugirano transponirana matrika matrike . 
 vsaka pozitivno definitna matrika je tudi obrnljiva. Njena obratna matrika je tudi pozitivno definitna.
 če je matrika  pozitivno definitna in je  realno število, potem je tudi pozitivno definitna matrika

Vse zgornje značilnosti veljajo za realne in kompleksne matrike. Pri tem je treba samo zamenjati  z  in konjugirano transponiranje z izrazom transponiranje.
 
 Negativno definitna, semidefinitna in nedefinitna matrika 

Hermitska matrika razsežnosti  z oznako  je negativno definitna, če zanjo velja:

 

za vse  (za realne matrike pa )

Kadar pa velja:

 

za vse  (oziroma  za realne matrike) je matrika pozitivno semidefinitna (tudi nenegativno definitna).

Matrika je negativno semidefinitna, če je:

 

Hermitska matrika, ki ni pozitivno niti negativno definitna, je nedefinitna''.

Glej tudi 

 pozitivno definitna funkcija
 seznam vrst matrik

Zunanje povezave 

 
 Pozitivna definitnost na PlanethMath  
 Lastnosti pozitivno definitne matrike 

Matrike

de:Definitheit#Definitheit von Matrizen
Pozitivno definitna matrika je matrika , ki je v mnogih podrobnostih analogna pozitivnim realnim številom . Definicija Realna simetrična matrika razsežnosti je pozitivno definitna , če za vse neničelne vektorje z realnimi elementi ( ) velja \ . Kompleksna matrika z razsežnostjo je pozitivno definitna , če je ℜ( z*Mz ) >za vse neničelne kompleksne vektorje , kjer z* pomeni konjugirano transponirani vektor in ℜ( c ) je realni del števila \ . Kompleksna hermitska matrika z razsežnostjo je pozitivno definitna , če je za vse neničelne kompleksne vektorje \ . Pri tem je vrednost vedno realna . V literaturi se uporablja enolična definicija pozitivne definitnosti za hermitske matrike . Večji problem so nehermitske matrike , ker ni splošnega dogovora o definiciji pozitivne definitnosti zanje . Zgledi Matrika je pozitivno definitna . Za vektor velja \ . Če sta ali , realna ali je vsaj eden od njiju različen od nič , potem je vrednost pozitivna . Nasprotno pa matrika ni pozitivno definitna , ker za vektor velja \ . To pa pomeni , da matrika ni pozitivno definitna . Značilnosti hermitska matrika je negativno definitna , če so vse njene lastne vrednosti negativne . Podobno velja tudi za p. lastne vrednosti matrike , ki je pozitivno definitna , so pozitivne . naslednje matrike , ki je pozitivno definitna , imajo pozitivne determinante ( glej Sylvestrov kriterij ) zgornji levi kot matrike z razsežnostjo zgornji levi kot matrike z razsežnostjo zgornji levi kot matrike z razsežnostjo …. sama matrika vedno obstoja takšna spodnje trikotna matrika , ki vsebuje strogo pozitivne elemente , da lahko zapišemo kjer je konjugirano transponirana matrika matrike \ . vsaka pozitivno definitna matrika je tudi obrnljiva . Njena obratna matrika je tudi pozitivno definitna . če je matrika pozitivno definitna in je realno število , potem je tudi pozitivno definitna matrika Vse zgornje značilnosti veljajo za realne in kompleksne matrike . Pri tem je treba samo zamenjati z in konjugirano transponiranje z izrazom transponiranje . Negativno definitna , semidefinitna in nedefinitna matrika Hermitska matrika razsežnosti z oznako je negativno definitna , če zanjo velja : za vse ( za realne matrike pa ) Kadar pa velja : za vse ( oziroma za realne matrike ) je matrika pozitivno semidefinitna ( tudi nenegativno definitna ) . Matrika je negativno semidefinitna , če je : Hermitska matrika , ki ni pozitivno niti negativno definitna , je nedefinitna'' . Glej tudi pozitivno definitna funkcija seznam vrst matrik Zunanje povezave Pozitivna definitnost na PlanethMath Lastnosti pozitivno definitne matrike Matrike de : Definitheit # Definitheit von Matrizen