Bikvaternion
Bikvaternion  (tudi dvojni kvaternion) je v abstraktni algebri število z obliko , 
kjer so
   kompleksna števila
   elementi, ki se množijo kot v kvaternionski grupi.

Podobno kot imamo tri tipe kompleksnih števil, imamo tudi tri tipe bikvaternionov
 običajne kvaternione, ko so koeficienti navadna kompleksna števila
 hiperbolične kvaternione, ko so  hiperbolična števila 
 Studyjevi kvaternioni (dualni kvaternioni), če so  dualna števila.

Definicija 

Če je  baza kvaternionov in so  kompleksna števila, potem je bikvaternion  enak
  

Da bi ločila kvadratni koren iz -1 nad skalarnim obsegom  v kvaternionih sta irski matematik, fizik in astronom William Rowan Hamilton  (1805 - 1865) in irski matematik Arthur William Conway (1875 – 1950) prevzela dogovor, da je oznaka enaka , ker je  v kvaternionski grupi. To pomeni, da je 
 , , in  , ker je  skalar.

Značilnosti 

Algebra bikvaternionov je asociativna, ni pa komutativna. Lahko se obravnava kot tenzorski produkt  (nad realnimi števili), kjer je  obseg kompleksnih števil in  je algebra kvaternionov. Bikvaternioni so samo kompleksifikacija realnih kvaternionov. 

Bikvaternioni imajo dve konjugirani obliki 
 kvaternionska konjugacija  
 kompleksna konjugacija kvaternionskih koeficientov

kjer je 
  kadar je . 

Pri tem pa velja
 .

Vloga v teoriji kolobarjev

Linearna predstavitev 

Poglejmo zmnožek dveh matrik:
 = .

Vsak izmed treh skupin podatkov ima kvadrat, ki je enak negativni enotski matriki. Če zmnožek matrik prikažemo kot , potem se dobi podgrupa matričnih grup, ki je izmorfna kvaternionski grupi. To pomeni, da 
 
predstavlja kvaternion.

Podalgebre 

Če obravnavamo bikvaternionsko algebro nad skalarnim obsegom realnih števil , potem tvori bazo  tako, da ima algebra osem realnih razsežnosti. Pri tem pa je 
.

Podalgebra bikvaternionov je izomorfna ravnini  hiperboličnih števil, ki imajo algebraično strukturo zgrajeno okoli hiperbol. Elementa  in  tudi določata takšne podalgebre. Pri tem pa je  algebra, ki je izomorfna s tesarinami.

Tretjo podalgebro določata  in . Pri tem je treba upoštevati, da je  in, da je kvadrat tega elementa enak -1. Ti elementi generirajo dihedralno grupo kvadratov. Linearni podprostor z bazo  tvori kokvaternionsko algebro.

Opombe in sklici

Zunanje povezave 
 Bikvaternionska formulacija relativistične tenzorske dinamike 

Kvaternioni
Teorija kolobarjev
Števila
Bikvaternion ( tudi dvojni kvaternion ) je v abstraktni algebri število z obliko , kjer so kompleksna števila elementi , ki se množijo kot v kvaternionski grupi . Podobno kot imamo tri tipe kompleksnih števil , imamo tudi tri tipe bikvaternionov običajne kvaternione , ko so koeficienti navadna kompleksna števila hiperbolične kvaternione , ko so hiperbolična števila Studyjevi kvaternioni ( dualni kvaternioni ) , če so dualna števila . Definicija Če je baza kvaternionov in so kompleksna števila , potem je bikvaternion enak Da bi ločila kvadratni koren iznad skalarnim obsegom v kvaternionih sta irski matematik , fizik in astronom William Rowan Hamilton - in irski matematik Arthur William Conway –prevzela dogovor , da je oznaka enaka , ker je v kvaternionski grupi . To pomeni , da je , , in , ker je skalar . Značilnosti Algebra bikvaternionov je asociativna , ni pa komutativna . Lahko se obravnava kot tenzorski produkt ( nad realnimi števili ) , kjer je obseg kompleksnih števil in je algebra kvaternionov . Bikvaternioni so samo kompleksifikacija realnih kvaternionov . Bikvaternioni imajo dve konjugirani obliki kvaternionska konjugacija kompleksna konjugacija kvaternionskih koeficientov kjer je kadar je \ . Pri tem pa velja \ . Vloga v teoriji kolobarjev Linearna predstavitev Poglejmo zmnožek dveh matrik : = \ . Vsak izmed treh skupin podatkov ima kvadrat , ki je enak negativni enotski matriki . Če zmnožek matrik prikažemo kot , potem se dobi podgrupa matričnih grup , ki je izmorfna kvaternionski grupi . To pomeni , da predstavlja kvaternion . Podalgebre Če obravnavamo bikvaternionsko algebro nad skalarnim obsegom realnih števil , potem tvori bazo tako , da ima algebra osem realnih razsežnosti . Pri tem pa je . Podalgebra bikvaternionov je izomorfna ravnini hiperboličnih števil , ki imajo algebraično strukturo zgrajeno okoli hiperbol . Elementa in tudi določata takšne podalgebre . Pri tem pa je algebra , ki je izomorfna s tesarinami . Tretjo podalgebro določata in \ . Pri tem je treba upoštevati , da je in , da je kvadrat tega elementa enak Ti elementi generirajo dihedralno grupo kvadratov . Linearni podprostor z bazo tvori kokvaternionsko algebro . Opombe in sklici Zunanje povezave Bikvaternionska formulacija relativistične tenzorske dinamike Kvaternioni Teorija kolobarjev Števila