Poissonova porazdelitev
Poissonova porazdelítev [poasónova ~] je diskretna porazdelitev (nezvezna), ki je podobna binomski porazdelitvi. V Poissonovi porazdelitvi opazujemo verjetnost, da se pojavi določeno število dogodkov v nekem časovnem obdobju, če se ti dogodki pojavljajo z znano pogostostjo in neodvisno od časa, ki je potekel od zadnjega dogodka (pri binomski porazdelitvi pa obravnavamo število uspehov v n ponovitvah poskusa). Lahko rečemo, da se dogodek zgodi zelo redko, ima pa veliko možnosti, da se zgodi.

Poissonova porazdelitev nam služi kot model za število redkih dogodkov, ki se pojavljajo v mnogih ponavljanjih. To pomeni, da je n zelo velik in p zelo majhen, produkt np pa ima neko sprejemljivo, oziroma razumno vrednost (zgled je promet, kjer je izredno veliko možnosti za nesrečo, nesreče pa so relativno redke). To obliko verjetnostne porazdelitve uporabljamo tudi za izračun verjetnosti pojavljanja dogodkov na določeni razdalji, površini ali prostornini (ne samo v časovnem intervalu).

Porazdelitev je uvedel francoski fizik, matematik in geometer Siméon-Denis Poisson (1781 – 1840).

Če je pričakovano število dogodkov v intervalu enako , potem je verjetnost, da se bo zgodilo točno k dogodkov (k =0, 1, 2,…), enaka:
 
kjer je:
  osnova naravnih logaritmov
  število pojavljanj dogodka
  funkcija fakulteta za število k
  pozitivno realno število, ki je enako pričakovanemu številu pojavljanj dogodka v danem intervalu

Kot funkcija spremenljivke k je to funkcija verjetnosti za Poissonovo porazdelitev. Poissonova porazdelitev se lahko dobi tudi iz binomske porazdelitve.

Značilnosti

Funkcija verjetnosti 

Funkcija verjetnosti za Poissonovo porazdelitev je:

Zbirna funkcija verjetnosti 

Zbirna funkcija verjetnosti Poissonove porazdelitve je:

  kadar je 
kjer je:
  funkcija gama.
  spodnji celi del števila k + 1
ali

Pričakovana vrednost 

Pričakovana vrednost je enaka:

Varianca 
Varianca je enaka:

Povezave z drugimi porazdelitvami

Binomska porazdelitev 

Poissonova porazdelitev se lahko kot mejni primer dobi iz binomske porazdelitve, če gre število poskusov preko vseh mej, in ostane število pričakovanih uspehov nespremenjeno. To pomeni, da je Poissonova porazdelitev aproksimacija binomske porazdelitve, če je n dovolj velik in verjetnost p dovolj majhna. 

Torej lahko za slučajno sprememnljivko X zapišemo:

 

Kadar pa je n zelo velik in p majhen (np pa ima neko sprejemljivo vrednost). V tem primeru lahko vzamemo, da je slučajna spremenljivka X porazdeljena po Poissonovi porazdelitvi:

 

Vsak izmed Bernoullijevih dogodkov se zgodi zelo redko. To včasih imenujemo tudi kot zakon redkih dogodkov. Izraz je malo zavajajoč, ker skupno število uspehov ni majhno (produkt np ni majhen, zgled: število nesreč v prometu ni majhno).

Skellamova porazdelitev 

Če je  in , potem se razlika  podreja Skellamovi porazdelitvi.

Normalna porazdelitev 

Za dovolj velike vrednosti λ (npr. λ > 1000) je normalna porazdelitev dober približek Poissonove porazdelitve.

Posplošitev 

Če velja:

 

kjer je:
 
  pomeni binomsko porazdelitev s parametroma  in 

Iz tega sledi, da je  in za  velja:

Glej tudi 

 verjetnostna porazdelitev
 seznam verjetnostnih porazdelitev

Zunanje povezave 

 Kalkulator za Poissonovo porazdelitev  
 Simulacija Poissonove porazdelitve  {{ikona de}
 Opis Poissonove porazdelitve  
 Simulacija Poissonove porazdelitve  

Nezvezne porazdelitve
Poissonova porazdelítev [ poasónova ~ ] je diskretna porazdelitev ( nezvezna ) , ki je podobna binomski porazdelitvi . V Poissonovi porazdelitvi opazujemo verjetnost , da se pojavi določeno število dogodkov v nekem časovnem obdobju , če se ti dogodki pojavljajo z znano pogostostjo in neodvisno od časa , ki je potekel od zadnjega dogodka ( pri binomski porazdelitvi pa obravnavamo število uspehov v n ponovitvah poskusa ) . Lahko rečemo , da se dogodek zgodi zelo redko , ima pa veliko možnosti , da se zgodi . Poissonova porazdelitev nam služi kot model za število redkih dogodkov , ki se pojavljajo v mnogih ponavljanjih . To pomeni , da je n zelo velik in p zelo majhen , produkt np pa ima neko sprejemljivo , oziroma razumno vrednost ( zgled je promet , kjer je izredno veliko možnosti za nesrečo , nesreče pa so relativno redke ) . To obliko verjetnostne porazdelitve uporabljamo tudi za izračun verjetnosti pojavljanja dogodkov na določeni razdalji , površini ali prostornini ( ne samo v časovnem intervalu ) . Porazdelitev je uvedel francoski fizik , matematik in geometer Siméon - Denis Poisson – Če je pričakovano število dogodkov v intervalu enako , potem je verjetnost , da se bo zgodilo točno k dogodkov ( k =0 , … ) , enaka : kjer je : osnova naravnih logaritmov število pojavljanj dogodka funkcija fakulteta za število k pozitivno realno število , ki je enako pričakovanemu številu pojavljanj dogodka v danem intervalu Kot funkcija spremenljivke k je to funkcija verjetnosti za Poissonovo porazdelitev . Poissonova porazdelitev se lahko dobi tudi iz binomske porazdelitve . Značilnosti Funkcija verjetnosti Funkcija verjetnosti za Poissonovo porazdelitev je : Zbirna funkcija verjetnosti Zbirna funkcija verjetnosti Poissonove porazdelitve je : kadar je kjer je : funkcija gama . spodnji celi del števila k + 1 ali Pričakovana vrednost Pričakovana vrednost je enaka : Varianca Varianca je enaka : Povezave z drugimi porazdelitvami Binomska porazdelitev Poissonova porazdelitev se lahko kot mejni primer dobi iz binomske porazdelitve , če gre število poskusov preko vseh mej , in ostane število pričakovanih uspehov nespremenjeno . To pomeni , da je Poissonova porazdelitev aproksimacija binomske porazdelitve , če je n dovolj velik in verjetnost p dovolj majhna . Torej lahko za slučajno sprememnljivko X zapišemo : Kadar pa je n zelo velik in p majhen ( np pa ima neko sprejemljivo vrednost ) . V tem primeru lahko vzamemo , da je slučajna spremenljivka X porazdeljena po Poissonovi porazdelitvi : Vsak izmed Bernoullijevih dogodkov se zgodi zelo redko . To včasih imenujemo tudi kot zakon redkih dogodkov . Izraz je malo zavajajoč , ker skupno število uspehov ni majhno ( produkt np ni majhen , zgled : število nesreč v prometu ni majhno ) . Skellamova porazdelitev Če je in , potem se razlika podreja Skellamovi porazdelitvi . Normalna porazdelitev Za dovolj velike vrednosti λ ( npr . λ >je normalna porazdelitev dober približek Poissonove porazdelitve . Posplošitev Če velja : kjer je : pomeni binomsko porazdelitev s parametroma in Iz tega sledi , da je in za velja : Glej tudi verjetnostna porazdelitev seznam verjetnostnih porazdelitev Zunanje povezave Kalkulator za Poissonovo porazdelitev Simulacija Poissonove porazdelitve { { ikona de } Opis Poissonove porazdelitve Simulacija Poissonove porazdelitve Nezvezne porazdelitve