Dualna krivulja
Dualna krivulja je v projektivni geometriji za dano krivuljo  krivulja v dualni projektivni ravnini, ki jo sestavlja množica tangentnih premic na . Obstoja preslikava iz krivulje v njeno dualno obliko .

Parametrična oblika dualne krivulje 
Za parametrično določeno krivuljo je dualna krivulja definirana s parametričnima enačbama

Dualna točka prevoja nam da točko obrata. Dve točki, ki imata skupno tangento, bosta dali točko, kjer dualna krivulja seka samo sebe.

Lastnosti

Gladke krivulje 
 Če je  gladka algebrska krivulja s stopnjo , potem je dualna krivulja (običajno singularna) ravninska krivulja s stopnjo .

 Če je , potem je  in je  in dualna krivulja mora biti singularna.

 Če je , je tudi stopnja dualne krivulje tudi 2. Dualna krivulja stožnice je tudi stožnica.

 Dualna krivulja premice je točka.

Singularne krivulje 
 za poljubno ravninsko algebrsko krivuljo  s stopnjo  je njena dualna krivulja ravninska s stopnjo , kjer je  število singularnosti na krivulji . Pri tem se vse singularnosti ne upoštevajo enako. Vsak vozel se množi z 2, vsaka točka obrata s 3.

Posplošitve 
Podobno je pri posplošitvah na več razsežnosti. Pri tem dobimo hiperploskve, ker v vsaki točki tangentnega prostora dobimo družino hiperploskev. Te definirajo dualno hiperploskev v dualnem prostoru. 

Za poljubno zaprto podvarieteto  v projektivnem prostoru tvori množica hiperravnin, ki so tangentne v neki točki , zaprto podvarieteto dualno projektivni ravnini.

Glej tudi 
 dualni mnogokotnik
 Plückerjev obrazec
 Houghova transformacija
 Gaussova preslikava

Zunanje povezave 
 Dualna krivulja 

Krivulje
Projektivna geometrija
Diferencialna geometrija
Dualna krivulja je v projektivni geometriji za dano krivuljo krivulja v dualni projektivni ravnini , ki jo sestavlja množica tangentnih premic na \ . Obstoja preslikava iz krivulje v njeno dualno obliko \ . Parametrična oblika dualne krivulje Za parametrično določeno krivuljo je dualna krivulja definirana s parametričnima enačbama Dualna točka prevoja nam da točko obrata . Dve točki , ki imata skupno tangento , bosta dali točko , kjer dualna krivulja seka samo sebe . Lastnosti Gladke krivulje Če je gladka algebrska krivulja s stopnjo , potem je dualna krivulja ( običajno singularna ) ravninska krivulja s stopnjo \ . Če je , potem je in je in dualna krivulja mora biti singularna . Če je , je tudi stopnja dualne krivulje tudi Dualna krivulja stožnice je tudi stožnica . Dualna krivulja premice je točka . Singularne krivulje za poljubno ravninsko algebrsko krivuljo s stopnjo je njena dualna krivulja ravninska s stopnjo , kjer je število singularnosti na krivulji \ . Pri tem se vse singularnosti ne upoštevajo enako . Vsak vozel se množi z vsaka točka obrata s Posplošitve Podobno je pri posplošitvah na več razsežnosti . Pri tem dobimo hiperploskve , ker v vsaki točki tangentnega prostora dobimo družino hiperploskev . Te definirajo dualno hiperploskev v dualnem prostoru . Za poljubno zaprto podvarieteto v projektivnem prostoru tvori množica hiperravnin , ki so tangentne v neki točki , zaprto podvarieteto dualno projektivni ravnini . Glej tudi dualni mnogokotnik Plückerjev obrazec Houghova transformacija Gaussova preslikava Zunanje povezave Dualna krivulja Krivulje Projektivna geometrija Diferencialna geometrija