Ortogonalnost
Ortogonálnost je v matematiki drugo ime za pravokotnost. Pogosto se izraza ortogonalnost ne more samo zamenjati z izrazom pravokotnost. Ortogonalnost je posplošitev pojma pravokotnosti. Ortogonalnost se lahko uporabi tudi v mnogorazsežnih prostorih.

Beseda izhaja iz dveh starogrških besed  (ortos - pravilen) in  (goni - pravokoten). Včasih se za isti pojem uporablja tudi izraz normalnost (iz latinske besede norma (normal), ki pomeni merilo oziroma pravi kot. Pogosto se izraz normalnost povezuje z enotskimi vektorji. Izraz pravokotnost izhaja iz uporabe svinčnice s pomočjo katere so včasih določali pravokotnost na površino Zemlje. 

Pojem ortogonalnost se uporablja na mnogih področjih matematike. V nadaljevanju je naštetih nekaj primerov:
 ortogonalna grupa
 ortogonalni sistem in ortonormirani sistem
 ortogonalna matrika
 ortogonalna projekcija
 ortogonalna preslikava
 ortogonalne koordinate
 ortogonalni polinomi
 ortogonalna baza
Iz naštetih primerov se vidi, da se izraz ortogonalnost ne more vedno zamenjati z izrazom pravokotnost.

V linearni algebri je ortogonalnost povezana s skalarnim produktom.

Definicije

 Dva vektorja sta v prehilbertovem prostoru ortogonalna, če je njun notranji produkt  enak 0. To se označuje z .

 Dva linearna podprostora  in  v prehilbertovem prostoru , sta ortogonalna podprostora, če je vsak vektor v  pravokoten na vsak vektor v 

 Linearna transformacija  se imenuje ortogonalna linearna transformacija, če ohranja skalarni produkt. To pomeni, da transformacija  ohranja kot med  in .

Ortogonalne funkcije 

Za notranji produkt dveh funkcij:

kjer je:

  notranji produkt
  utežna funkcija

Ti dve funkciji sta ortogonalni, če je njun notranji produkt enak 0:

 

Normo se lahko glede na notranji produkt in utežno funkcijo zapiše kot:

 

Člani zaporedja  so:
 ortogonalni na intervalu , če velja:

 

 ortonormalni na intervalu , če velja:

kjer je:

  Kroneckerjeva delta.

Ortogonalni polinomi 

Nekatera zaporedja polinomov tvorijo zaporedje ortogonalnih polinomov.
Takšni polinomi so:
 Hermitovi polinomi, ki so ortogonalni glede na normalno porazdelitev, ki ima pričakovano vrednost 0.
 Legendrovi polinomi, ki so ortogonalni glede na zvezno enakomerno porazdelitev na intervalu od -1 do +1.
 Laquerrovi polinomi, ki so ortogonalni glede na eksponentno porazdelitev. Bolj splošni Laquerrovi polinomi pa so ortogonalni glede na porazdelitev gama
 polinomi Čebišova prve vrste so ortogonalni glede na mero 
  polinomi Čebiševa druge vrste so ortogonalni glede na Wignerjevo polkrožno porazdelitev

Glej tudi 

 ortonormiranost

Zunanje povezave 

 Priročnik za ortogonalnost  
 Kompaktnost in ortogonalnost  

Abstraktna algebra
Linearna algebra
Ortogonálnost je v matematiki drugo ime za pravokotnost . Pogosto se izraza ortogonalnost ne more samo zamenjati z izrazom pravokotnost . Ortogonalnost je posplošitev pojma pravokotnosti . Ortogonalnost se lahko uporabi tudi v mnogorazsežnih prostorih . Beseda izhaja iz dveh starogrških besed ( ortos - pravilen ) in ( goni - pravokoten ) . Včasih se za isti pojem uporablja tudi izraz normalnost ( iz latinske besede norma ( normal ) , ki pomeni merilo oziroma pravi kot . Pogosto se izraz normalnost povezuje z enotskimi vektorji . Izraz pravokotnost izhaja iz uporabe svinčnice s pomočjo katere so včasih določali pravokotnost na površino Zemlje . Pojem ortogonalnost se uporablja na mnogih področjih matematike . V nadaljevanju je naštetih nekaj primerov : ortogonalna grupa ortogonalni sistem in ortonormirani sistem ortogonalna matrika ortogonalna projekcija ortogonalna preslikava ortogonalne koordinate ortogonalni polinomi ortogonalna baza Iz naštetih primerov se vidi , da se izraz ortogonalnost ne more vedno zamenjati z izrazom pravokotnost . V linearni algebri je ortogonalnost povezana s skalarnim produktom . Definicije Dva vektorja sta v prehilbertovem prostoru ortogonalna , če je njun notranji produkt enak To se označuje z \ . Dva linearna podprostora in v prehilbertovem prostoru , sta ortogonalna podprostora , če je vsak vektor v pravokoten na vsak vektor v Linearna transformacija se imenuje ortogonalna linearna transformacija , če ohranja skalarni produkt . To pomeni , da transformacija ohranja kot med in \ . Ortogonalne funkcije Za notranji produkt dveh funkcij : kjer je : notranji produkt utežna funkcija Ti dve funkciji sta ortogonalni , če je njun notranji produkt enak Normo se lahko glede na notranji produkt in utežno funkcijo zapiše kot : Člani zaporedja so : ortogonalni na intervalu , če velja : ortonormalni na intervalu , če velja : kjer je : Kroneckerjeva delta . Ortogonalni polinomi Nekatera zaporedja polinomov tvorijo zaporedje ortogonalnih polinomov . Takšni polinomi so : Hermitovi polinomi , ki so ortogonalni glede na normalno porazdelitev , ki ima pričakovano vrednost Legendrovi polinomi , ki so ortogonalni glede na zvezno enakomerno porazdelitev na intervalu oddo +1. Laquerrovi polinomi , ki so ortogonalni glede na eksponentno porazdelitev . Bolj splošni Laquerrovi polinomi pa so ortogonalni glede na porazdelitev gama polinomi Čebišova prve vrste so ortogonalni glede na mero polinomi Čebiševa druge vrste so ortogonalni glede na Wignerjevo polkrožno porazdelitev Glej tudi ortonormiranost Zunanje povezave Priročnik za ortogonalnost Kompaktnost in ortogonalnost Abstraktna algebra Linearna algebra