Inverzna krivulja
Inverzna krivulja (tudi obratna krivulja) je v geometriji za dano krivuljo  rezultat uporabe operacije inverzije, ki jo izvedemo za krivuljo .

Opis 
Dano imamo fiksno krožnico s središčem v  in polmerom . Inverzno (obratno) točko  točke , ki leži  na daljici QO in zanjo velja . Geometrijsko mesto  točk , ko se giblje  po krivulji , se imenuje inverzna krivulja krivulje . Točka  se imenuje središče inverzije, krog imenujemo krog inverzije, vrednost  pa je polmer inverzije.

Če inverzijo uporabimo dvakrat, dobimo identično preslikavo.

Oblike 
Inverzna točka glede na enotski krog, ki ima koordinate središča  ima koordinate
 
ali, kar je enakovredno 
.

Tako za inverzno funkcijo, ki je določena z , glede na enotski krog, dobimo
.

Iz tega se vidi, da je za algebrsko funkcijo stopnje  zopet algebrska funkcija, ki ima najmanj stopnjo .

Recimo, da je funkcija dana v parametrični obliki kot 
. V tem primeru lahko pišemo inverzno obliko glede na enotski krog kot
.

To pomeni, da je inverzna krivulja racionalne krivulje zopet  racionalna krivulja.

Bolj splošno je inverzna krivulja dane krivulje, ki je določena z  glede na krožnico s središčem v (a, b) in polmerom k določena z enačbo

Inverzna krivulja, ki pa je dana parametrično z enačbama
,
je glede na neko krožnico, je dana kot

V polarnem koordinatnem sistemu so enačbe enostavnejše, če je  krožnica inverzije enotska krožnica. Inverzna točka  glede na enotsko krožnico  kjer je 
 
ali

Tako je enačba inverzne krivulje za dano krivuljo  določena kot   in inverzna krivulja krivulje  je enaka .

Zgledi 
Uporabimo zgornje transformacije na Bernoullijevi lemniskati z enačbo 
.
To nam da 

kar pa je enačba hiperbole.

Ker pa je hiperbola racionalna krivulja, iz tega sklepamo, da je tudi lemniskata racionalna krivulja, ki ima rod enak 0.

Zunanje povezave 
 Definicije povezanih krivulj 
 Inverzne krivulje 

Krivulje
Projektivna geometrija
Inverzna geometrija
Inverzna krivulja ( tudi obratna krivulja ) je v geometriji za dano krivuljo rezultat uporabe operacije inverzije , ki jo izvedemo za krivuljo \ . Opis Dano imamo fiksno krožnico s središčem v in polmerom \ . Inverzno ( obratno ) točko točke , ki leži na daljici QO in zanjo velja \ . Geometrijsko mesto točk , ko se giblje po krivulji , se imenuje inverzna krivulja krivulje \ . Točka se imenuje središče inverzije , krog imenujemo krog inverzije , vrednost pa je polmer inverzije . Če inverzijo uporabimo dvakrat , dobimo identično preslikavo . Oblike Inverzna točka glede na enotski krog , ki ima koordinate središča ima koordinate ali , kar je enakovredno . Tako za inverzno funkcijo , ki je določena z , glede na enotski krog , dobimo . Iz tega se vidi , da je za algebrsko funkcijo stopnje zopet algebrska funkcija , ki ima najmanj stopnjo \ . Recimo , da je funkcija dana v parametrični obliki kot . V tem primeru lahko pišemo inverzno obliko glede na enotski krog kot . To pomeni , da je inverzna krivulja racionalne krivulje zopet racionalna krivulja . Bolj splošno je inverzna krivulja dane krivulje , ki je določena z glede na krožnico s središčem v ( a , b ) in polmerom k določena z enačbo Inverzna krivulja , ki pa je dana parametrično z enačbama je glede na neko krožnico , je dana kot V polarnem koordinatnem sistemu so enačbe enostavnejše , če je krožnica inverzije enotska krožnica . Inverzna točka glede na enotsko krožnico kjer je ali Tako je enačba inverzne krivulje za dano krivuljo določena kot in inverzna krivulja krivulje je enaka \ . Zgledi Uporabimo zgornje transformacije na Bernoullijevi lemniskati z enačbo . To nam da kar pa je enačba hiperbole . Ker pa je hiperbola racionalna krivulja , iz tega sklepamo , da je tudi lemniskata racionalna krivulja , ki ima rod enak Zunanje povezave Definicije povezanih krivulj Inverzne krivulje Krivulje Projektivna geometrija Inverzna geometrija