Funkcija digama
Funkcija digama je v matematiki specialna funkcija določena kot logaritemski odvod funkcije Γ:

 

Označuje se z grškima črkama, veliko črko digama (Ϝ) in pogosteje z malo ali veliko črko psi (ψ, Ψ), ali pa tudi kot , oziroma . Je prva od funkcij poligama, ki so njeni n-ti odvodi.

Z veliko črko digama včasih označujejo funkcijo digama, definirano s fakulteto:

 

Obe tako definirani funkciji sta povezani z:

Povezava s harmoničnimi števili 

Funkcija ψ je povezana s harmoničnimi števili:

 

kjer je Hn n-to harmonično število, γ pa Euler-Mascheronijeva konstanta. Za polovične vrednosti se jo lahko izrazi kot:

Integralski izrazi 

Izrazi se jo lahko z integralom:

ki velja, če je realni del od  pozitiven. To se lahko zapiše kot:

 

kar sledi iz Eulerjeve integralske formule za harmonična števila.

Razvoji v vrsto v kompleksnem 

Za absolutni vrednost argumenta veljata razvoja v vrsti:

 

 

Funkcijo ψ se lahko izračuna v kompleksni ravnini razen za negativna cela števila s pomočjo vrste:

Taylorjeva vrsta 

Funkcija ψ ima racionalno vrsto zeta, ki je dana s Taylorjevo vrsto pri z=1:

 

Vrsta konvergira za |z|<1. Tukaj je  Riemannova funkcija ζ. Vrsto se lahko preprosto izpelje iz ustrezne Taylorjeve vrste za Hurwitzevo funkcijo ζ.

Newtonova vrsta 

Newtonova vrsta za funkcijo ψ sledi iz Eulerjeve integralske formule:

 

kjer je  binomski koeficient.

Refleksijska formula 

Za funkcijo ψ velja refleksijska formula, ki je podobna tisti za funkcijo Γ:

Rekurenčna enačba 

Za funkcijo ψ velja rekurenčna enačba:

 

Lahko se reče, da je »teleskop« za 1/x, saj velja:

 

kjer je Δ sprednji diferenčni operator. To odgovarja rekurenčni enačbi delnih vsot harmonične vrste, od koder sledi enačba:

 

V splošnem velja:

Gaussovska vsota 

Funkcija ψ ima gaussovsko vsoto oblike:

 

za cela števila . Tukaj sta ζ(s,q) Hurwitzeva funkcija ζ in  Bernoullijev polinom. Poseben primer multiplikacijskega izreka je:

 

posplošitev pa:

 

kjer je q naravno število, 1-qa pa ne.

Gaussov izrek za funkcijo ψ 

Za pozitivni celi števili m in k (m < k) se lahko funkcijo ψ izrazi s pomočjo elementarnih funkcij kot:

Računanje in približki 

Po algoritmu AS 103 v jeziku ISO Fortran J. M. Bernarda se lahko izračuna funkcijo ψ za realni x z:
 
 

ali:

 
 

Tu je n celo število,  pa n-to Bernoullijevo število,  pa Riemannova funkcija ζ.

Druge značilnosti 

 Razvoja v neskončno vrsto:
 
 
 kjer je  Riemannova funkcija ζ.

 Logaritemski razvoj:
 

 Dvakratni argument:

Posebne vrednosti 

Sledi nekaj posebnih vrednosti funkcije ψ.

Glej tudi 

 funkcija trigama

Sklici

Viri 

  Glej razdelek §6.4

Zunanje povezave 

 Cephes - Matematična knjižnica specialnih funkcij v jezikih C in C++ 
  - Statistični algoritem Psi (funkcija digama) v jeziku ISO Fortran J. M. Bernarda 

Specialne funkcije

km:អនុគមន៍ ឌីហ្គាំម៉ា
Funkcija digama je v matematiki specialna funkcija določena kot logaritemski odvod funkcije Γ: Označuje se z grškima črkama , veliko črko digama ( Ϝ ) in pogosteje z malo ali veliko črko psi ( ψ , Ψ ) , ali pa tudi kot , oziroma \ . Je prva od funkcij poligama , ki so njeni n - ti odvodi . Z veliko črko digama včasih označujejo funkcijo digama , definirano s fakulteto : Obe tako definirani funkciji sta povezani z: Povezava s harmoničnimi števili Funkcija ψ je povezana s harmoničnimi števili : kjer je Hn n - to harmonično število , γ pa Euler - Mascheronijeva konstanta . Za polovične vrednosti se jo lahko izrazi kot : Integralski izrazi Izrazi se jo lahko z integralom : ki velja , če je realni del od pozitiven . To se lahko zapiše kot : kar sledi iz Eulerjeve integralske formule za harmonična števila . Razvoji v vrsto v kompleksnem Za absolutni vrednost argumenta veljata razvoja v vrsti : Funkcijo ψ se lahko izračuna v kompleksni ravnini razen za negativna cela števila s pomočjo vrste : Taylorjeva vrsta Funkcija ψ ima racionalno vrsto zeta , ki je dana s Taylorjevo vrsto pri z=1: Vrsta konvergira za |z| <1. Tukaj je Riemannova funkcija ζ . Vrsto se lahko preprosto izpelje iz ustrezne Taylorjeve vrste za Hurwitzevo funkcijo ζ . Newtonova vrsta Newtonova vrsta za funkcijo ψ sledi iz Eulerjeve integralske formule : kjer je binomski koeficient . Refleksijska formula Za funkcijo ψ velja refleksijska formula , ki je podobna tisti za funkcijo Γ: Rekurenčna enačba Za funkcijo ψ velja rekurenčna enačba : Lahko se reče , da je » teleskop « zax , saj velja : kjer je Δ sprednji diferenčni operator. To odgovarja rekurenčni enačbi delnih vsot harmonične vrste , od koder sledi enačba : V splošnem velja : Gaussovska vsota Funkcija ψ ima gaussovsko vsoto oblike : za cela števila \ . Tukaj sta ζ( s ,q ) Hurwitzeva funkcija ζ in Bernoullijev polinom . Poseben primer multiplikacijskega izreka je : posplošitev pa : kjer je q naravno število ,qa pa ne . Gaussov izrek za funkcijo ψ Za pozitivni celi števili m in k ( m < k ) se lahko funkcijo ψ izrazi s pomočjo elementarnih funkcij kot : Računanje in približki Po algoritmu ASv jeziku ISO Fortran J. M. Bernarda se lahko izračuna funkcijo ψ za realni x z : ali : Tu je n celo število , pa n - to Bernoullijevo število , pa Riemannova funkcija ζ . Druge značilnosti Razvoja v neskončno vrsto : kjer je Riemannova funkcija ζ . Logaritemski razvoj : Dvakratni argument : Posebne vrednosti Sledi nekaj posebnih vrednosti funkcije ψ . Glej tudi funkcija trigama Sklici Viri Glej razdelek §6 .4 Zunanje povezave Cephes - Matematična knjižnica specialnih funkcij v jezikih C in C++ - Statistični algoritem Psi ( funkcija digama ) v jeziku ISO Fortran J. M. Bernarda Specialne funkcije km : អនុគមន ៍ ឌីហ្គាំម ៉ ា