Metoda navadne iteracije
Metóda navádne iterácije (navádna iterácijska metóda in redkeje metóda negíbne tóčke) je v matematiki preprosta in učinkovita numerična metoda za določanje negibnih točk funkcije. Negibna (fiksna) točka funkcije g je točka, v kateri je vrednost funkcije enaka podatku, torej:

Potek postopka 

Enačbo oblike x = g(x) rešimo po metodi navadne iteracije z naslednjim postopkom:

 Najprej si izberemo začetni približek .
 Ta približek vstavimo v funkcijo in dobimo naslednji približek .
 Na enak način izračunamo še nadaljnje približke: .
 Postopek končamo, ko smo zadovoljni z natančnostjo dobljenega približka.

Tako dobljeno zaporedje približkov konvergira k fiksni točki, če je v neki okolici fiksne točke odvod funkcije g po absolutni vrednosti manjši od 1 in če začetni približek leži v tej okolici.

Zgled 

Rešimo enačbo  (kjer je x kot v radianih). Ker odvod funkcije po absolutni vrednosti nikoli ni večji od 1, je izbira začetnega približka precej poljubna. Izberimo npr. začetni približek 1. Po večkratnem izvajanju funkcije kosinus dobimo naslednje približke:

 
 
 
 
 
 

Vidimo, da se razlika med zaporednima približkoma manjša, kar je znak, da zaporedje konvergira. Po večjem številu korakov dobimo približek:

 
 

Iz tega sklepamo, da so prve tri decimalke pravilne rešitve enake . Če želimo izračunati rešitev na več decimalk natančno, postopek nadaljujemo.

Drugi načini uporabe

Iskanje ničel funkcije 

Metodo navadne iteracije lahko uporabimo za iskanje ničel poljubne funkcije f, če enačbo f(x) = 0 najprej preoblikujemo v obliko x = g(x). To je po navadi možno na več načinov, vendar pa vsa preoblikovanja niso enako uspešna.

Zgled: Poiščimo ničle polinoma .
Polinom lahko preoblikujemo po naslednejm postopku:

 
 
 

V dobljeno iteracijsko funkcijo  vstavljamo različne začetne približke in opazimo, da dobljeno zaporedje nikoli ne konvergira.
Isti polinom lahko preoblikujemo tudi drugače:

 
 
 

Tako dobljena iteracijska funkcija : je uspešnejša. Pri različnih izbirah začetneg približka dobimo že po nekaj korakih ničlo na več decimalk natančno:

Reševanje enačbe oblike h(x) = k(x) 

Splošno enačbo oblike h(x) = k(x) lahko preoblikujemo z uporabo inverza funkcije h ali k (če obstajata). Tako dobimo dve obliki:

 
 

Praviloma vsaj ena od teh dveh metod (ob izbiri primernega začetnega približka) vodi k rešitvi.

Glej tudi 

 metoda pospešene iteracije (Newtonova ali tangentna metoda)

Viri 

 

Numerična analiza
Metóda navádne iterácije ( navádna iterácijska metóda in redkeje metóda negíbne tóčke ) je v matematiki preprosta in učinkovita numerična metoda za določanje negibnih točk funkcije . Negibna ( fiksna ) točka funkcije g je točka , v kateri je vrednost funkcije enaka podatku , torej : Potek postopka Enačbo oblike x = g( x ) rešimo po metodi navadne iteracije z naslednjim postopkom : Najprej si izberemo začetni približek \ . Ta približek vstavimo v funkcijo in dobimo naslednji približek \ . Na enak način izračunamo še nadaljnje približke : \ . Postopek končamo , ko smo zadovoljni z natančnostjo dobljenega približka . Tako dobljeno zaporedje približkov konvergira k fiksni točki , če je v neki okolici fiksne točke odvod funkcije g po absolutni vrednosti manjši odin če začetni približek leži v tej okolici . Zgled Rešimo enačbo ( kjer je x kot v radianih ) . Ker odvod funkcije po absolutni vrednosti nikoli ni večji od je izbira začetnega približka precej poljubna . Izberimo npr. začetni približek Po večkratnem izvajanju funkcije kosinus dobimo naslednje približke : Vidimo , da se razlika med zaporednima približkoma manjša , kar je znak , da zaporedje konvergira . Po večjem številu korakov dobimo približek : Iz tega sklepamo , da so prve tri decimalke pravilne rešitve enake \ . Če želimo izračunati rešitev na več decimalk natančno , postopek nadaljujemo . Drugi načini uporabe Iskanje ničel funkcije Metodo navadne iteracije lahko uporabimo za iskanje ničel poljubne funkcije f , če enačbo f( x ) = 0 najprej preoblikujemo v obliko x = g( x ) . To je po navadi možno na več načinov , vendar pa vsa preoblikovanja niso enako uspešna . Zgled : Poiščimo ničle polinoma \ . Polinom lahko preoblikujemo po naslednejm postopku : V dobljeno iteracijsko funkcijo vstavljamo različne začetne približke in opazimo , da dobljeno zaporedje nikoli ne konvergira . Isti polinom lahko preoblikujemo tudi drugače : Tako dobljena iteracijska funkcija \ : je uspešnejša . Pri različnih izbirah začetneg približka dobimo že po nekaj korakih ničlo na več decimalk natančno : Reševanje enačbe oblike h ( x ) = k( x ) Splošno enačbo oblike h ( x ) = k( x ) lahko preoblikujemo z uporabo inverza funkcije h ali k ( če obstajata ) . Tako dobimo dve obliki : Praviloma vsaj ena od teh dveh metod ( ob izbiri primernega začetnega približka ) vodi k rešitvi . Glej tudi metoda pospešene iteracije ( Newtonova ali tangentna metoda ) Viri Numerična analiza