Kroneckerjev produkt
Kroneckerjev produkt (oznaka ) je operacija, ki se izvaja na dveh matrikah poljubne velikosti, in daje bločno matriko. Kroneckerjevega produkta se ne sme zamenjevati z običajnim množenjem matrik. Kroneckerjev produkt daje matriko tenzorskega produkta.

Imenuje se po nemškem matematiku in logiku Leopoldu Kroneckerju (1823–1891), čeprav ni dokazov, da ga je prvi uporabljal.

Definicija 

Naj bo  matrika z razsežnostjo  in naj bo  z razsežnostjo , potem je Kroneckerjev produkt  bločna matrika z razsežnostjo :

 .

Bolj točno je to enako:

 .

Če sta  in  linearni transformaciji  in , potem je  tenzorski produkt dveh preslikav .

Zgledi 

 .

 

 .

Značilnosti 

Kroneckerjev produkt je posebni primer tenzorskega produkta:

 
 
 
 .
kjer je 
  matrika 
  matrika 
  matrika 
  skalar

Komutativnost 

Kroneckerjev produkt ni komutativen. To pomeni da sta matriki  in  različni. To se zapiše kot :. Sta pa obe matriki permutacijsko ekvivalentni. To pomeni, da obstajata dve matriki  in  tako, da je:

 .

Č e pa sta matriki  in  kvadratni, potem sta  ali pa  permutacijsko podobni, kar pomeni, da je .

Mešani produkt 

Če so matrike , ,   in   takšne, da se lahko določi  in , potem velja tudi:

 .

Transponiranje 

Transponiranje Kroneckerjevega produkta da:

 .

Druge značilnosti 

 konjugiranje komplesne matrike da:

 .

 adjungirana matrika je enaka:
 
 sled je za kvadratne matrike enaka:

 

 za rang velja:

 

 če ima matrika  razsežnost  in matrika  razsežnost , potem za determinanto velja:

 

 če so  lastne vrednosti matrike  in  lastne vrednosti matrike , potem so:

  lastne vrednosti matrike 

 kadar sta matriki  in  obrnljivi velja tudi:

 

 kadar imajo matrike  in  razsežnosti:
 
 
 
 
in sta matriki  in  definirani, potem velja

Sklici

Viri

Zunanje povezave 

 
 Kroneckerjev produkt na MathWorld 
 Kroneckerjev produkt 
 Kroneckerjev produkt na PlanethMath  

Teorija matrik
Linearna algebra
Matrike
Leopold Kronecker
Kroneckerjev produkt ( oznaka ) je operacija , ki se izvaja na dveh matrikah poljubne velikosti , in daje bločno matriko . Kroneckerjevega produkta se ne sme zamenjevati z običajnim množenjem matrik . Kroneckerjev produkt daje matriko tenzorskega produkta . Imenuje se po nemškem matematiku in logiku Leopoldu Kroneckerju1891 ) , čeprav ni dokazov , da ga je prvi uporabljal . Definicija Naj bo matrika z razsežnostjo in naj bo z razsežnostjo , potem je Kroneckerjev produkt bločna matrika z razsežnostjo \ : \ . Bolj točno je to enako : \ . Če sta in linearni transformaciji in , potem je tenzorski produkt dveh preslikav \ . Zgledi \ . \ . Značilnosti Kroneckerjev produkt je posebni primer tenzorskega produkta : \ . kjer je matrika matrika matrika skalar Komutativnost Kroneckerjev produkt ni komutativen . To pomeni da sta matriki in različni . To se zapiše kot \ : . Sta pa obe matriki permutacijsko ekvivalentni . To pomeni , da obstajata dve matriki in tako , da je : \ . Č e pa sta matriki in kvadratni , potem sta ali pa permutacijsko podobni , kar pomeni , da je \ . Mešani produkt Če so matrike , , in takšne , da se lahko določi in , potem velja tudi : \ . Transponiranje Transponiranje Kroneckerjevega produkta da : \ . Druge značilnosti konjugiranje komplesne matrike da : \ . adjungirana matrika je enaka : sled je za kvadratne matrike enaka : za rang velja : če ima matrika razsežnost in matrika razsežnost , potem za determinanto velja : če so lastne vrednosti matrike in lastne vrednosti matrike , potem so : lastne vrednosti matrike kadar sta matriki in obrnljivi velja tudi : kadar imajo matrike in razsežnosti : in sta matriki in definirani , potem velja Sklici Viri Zunanje povezave Kroneckerjev produkt na MathWorld Kroneckerjev produkt Kroneckerjev produkt na PlanethMath Teorija matrik Linearna algebra Matrike Leopold Kronecker