Krivulja tretje stopnje
Krivulja tretje stopnje (tudi kubična krivulja) je ravninska algebrska krivulja, ki jo določa enačba tretje stopnje:
F(x,y,z) = 0
kjer so
  homogene koordinate za projektivno ravnino.

Funkcija  je lahko neničelna linearna kombinacija naslednjih monomov tretje stopnje
x3, y3, z3, x2y, x2z, y2x, y2z, z2x, z2y, xyz.

Znanih je 10 polinomov te vrste, kar pomeni, da tvorijo krivulje tretje stopnje projektivni prostor, ki ima 9 razsežnosti nad poljubnim obsegom .

Kubične krivulje v ravnini trikotnika 
Predpostavimo, da ima trikotnik ABC dolžine stranic enake ,  in . Veliko krivulj tretje stopnje poteka skozi znane točke trikotnika. Med najbolj znanimi so primeri, ko za krivulje uporabljamo dve vrsti homogenih koordinat: trilinearne in težiščne.

Če hočemo pretvoriti kubično enačbo iz trilinearne oblike v težiščno obliko, moramo opraviti naslednje zamenjave
x → bcx, y → cay, z → abz;.
Kadar pa želimo pretvorbo kubične enačbe iz težiščne v trilinearno obliko, uporabimo naslednje zamenjave
x → ax, y → by, z → cz.
   
Mnoge enačbe tretje stopnje lahko pišemo v obliki
f(a,b,c,x,y,z) + f(b,c,a,y,z,x) + f(c,a,b,z,x,y) = 0.

V spodnjih primerih enačb tretje stopnje bomo uporabili notacijo ciklične vsote, ki ima obliko
[ciklična vsota f(x,y,z,a,b,c)] = 0.

Neubergova enačba tretje stopnje 
Trilinearna oblika enačbe: [ciklična vsota (cos A - 2 cos B cos C)x(y2 - z2)] = 0

Težiščna oblika enačbe: [ciklična vsota (a2(b2 - c2) - (b2 - c2 - 2a4)2)x(c2y2 - b2z2)] = 0.

Grafično obliko glej na Neubergova enačba tretje stopnje.

 Thomsonova enačba tretje stopnje 
Trilinearna oblika enačbe: [ciklična vsota bcx(y2 - z2)] = 0Težiščna oblika enačbe: [ciklična vsota x(c2y2 - b2z2)] = 0Grafično obliko glej na Thomsonova enačba tretje stopnje.

 Darbouxova enačba tretje stopnje 
Trilinearna oblika enačbe: [ciklična vsota (cos A - cos B cos C)x(y2 - z2)] = 0Težiščna oblika enačbe: [ciklična vsota (2a2(b2 + c2) + (b2 - c2)2 - 3a4)x(c2y2 - b2z2)] = 0Grafično obliko glej na Darbouxova enačba tretje stopnje

 Napoleon-Feuerbachova enačba tretje stopnje 
Trilinearna oblika enačbe: [ciklična vsota (B - C)x(y2 - z2)] = 0Težiščna oblika enačbe: [ciklična vsota (a2(b2 - c2) - (b2 - c2)2)x(c2y2 - b2z2)] = 0Grafično obliko glej na Napoleon-Feuerbachova enačba tretje stopnje

 Lucasova enačba tretje stopnje 
Trilinearna oblika enačbe: [ciklična vsota (cos A)x(b2y2 - c2z2)] = 0Težiščna oblika enačbe: [ciklična vsota (b2 + c2 - a2)x(y2 - z2)] = 0Grafično obliko glej na Lucasova enačba tretje stopnje

 Prva Brocardova enačba tretje stopnje 
Trilinearna oblika enačbe: [ciklična vsota bc(a4 - b2c2)x(y2 + z2] = 0Težiščna oblika enačbe: [ciklična vsota (a4 - b2c2)x(c2y2 + b2z2] = 0Grafično obliko glej na Prva Brocardova enačba tretje stopnje

 Druga Brocardova enačba tretje stopnje 
Trilinearna oblika enačbe: [ciklična vsota bc(b2 - c2)x(y2 + z2] = 0Težiščna oblika enačbe: [ciklična vsota (b2 - c2)x(c2y2 + b2z2] = 0Grafično obliko glej na Druga Brocardova enačba tretje stopnje

 Prva enačba enakih ploskev enačbe tretje stopnje 
Trilinearna oblika enačbe: [ciklična vsota a(b2 - c2)x(y2 - z2] = 0Težiščna oblika enačbe: [ciklična vsota a2(b2 - c2)x(c2y2 - b2z2] = 0Grafično obliko glej na Prva enačba enakih ploskev enačbe tretje stopnje

 Druga enačba enakih ploskev enačbe tretje stopnje 
Trilinearna oblika enačbe: [ciklična vsota (bz+cx)(cx+ay)(ay+bz) = (bx+cy)(cy+ax)(az+bx)Težiščna oblika enačbe: [ciklična vsota a(a2 - bc)x(c3y2 - b3z2)] = 0''

Grafično obliko glej na Druga enačba enakih ploskev enačbe tretje stopnje

Glej tudi 
 seznam krivulj

Zunanje povezave 

 Galerija ravninskih krivulj tretje stopnje  

Algebrske krivulje
Krivulja tretje stopnje ( tudi kubična krivulja ) je ravninska algebrska krivulja , ki jo določa enačba tretje stopnje : F( x ,y ,z ) = 0 kjer so homogene koordinate za projektivno ravnino . Funkcija je lahko neničelna linearna kombinacija naslednjih monomov tretje stopnje x3 , y3 , z3 , x2y , x2z , y2x , y2z , z2x , z2y , xyz . Znanih jepolinomov te vrste , kar pomeni , da tvorijo krivulje tretje stopnje projektivni prostor , ki imarazsežnosti nad poljubnim obsegom \ . Kubične krivulje v ravnini trikotnika Predpostavimo , da ima trikotnik ABC dolžine stranic enake , in \ . Veliko krivulj tretje stopnje poteka skozi znane točke trikotnika . Med najbolj znanimi so primeri , ko za krivulje uporabljamo dve vrsti homogenih koordinat : trilinearne in težiščne . Če hočemo pretvoriti kubično enačbo iz trilinearne oblike v težiščno obliko , moramo opraviti naslednje zamenjave x → bcx , y → cay , z → abz ; . Kadar pa želimo pretvorbo kubične enačbe iz težiščne v trilinearno obliko , uporabimo naslednje zamenjave x → ax , y → by , z → cz . Mnoge enačbe tretje stopnje lahko pišemo v obliki f( a ,b ,c ,x ,y ,z ) + f( b ,c ,a ,y ,z ,x ) + f( c ,a ,b ,z ,x ,y ) = V spodnjih primerih enačb tretje stopnje bomo uporabili notacijo ciklične vsote , ki ima obliko [ ciklična vsota f( x ,y ,z ,a ,b ,c ) ] = Neubergova enačba tretje stopnje Trilinearna oblika enačbe : [ ciklična vsota ( cos A - cos B cos C) x( y2 - z2 ) ] = 0 Težiščna oblika enačbe : [ ciklična vsota ( a2( b2 - c2 ) - ( b2 - c2 - 4 )2 ) x( c2y2 - b2z2 ) ] = Grafično obliko glej na Neubergova enačba tretje stopnje . Thomsonova enačba tretje stopnje Trilinearna oblika enačbe : [ ciklična vsota bcx( y2 - z2 ) ] =ežiščna oblika enačbe : [ ciklična vsota x( c2y2 - b2z2 ) ] =rafično obliko glej na Thomsonova enačba tretje stopnje . Darbouxova enačba tretje stopnje Trilinearna oblika enačbe : [ ciklična vsota ( cos A - cos B cos C ) x( y2 - z2 ) ] =ežiščna oblika enačbe : [ ciklična vsota2( b2 + c2 ) + ( b2 - c2)2 - 4 ) x( c2y2 - b2z2 ) ] =rafično obliko glej na Darbouxova enačba tretje stopnje Napoleon - Feuerbachova enačba tretje stopnje Trilinearna oblika enačbe : [ ciklična vsota ( B - C ) x( y2 - z2 ) ] =ežiščna oblika enačbe : [ ciklična vsota ( a2( b2 - c2 ) - ( b2 - c2 )2 ) x( c2y2 - b2z2 ) ] =rafično obliko glej na Napoleon - Feuerbachova enačba tretje stopnje Lucasova enačba tretje stopnje Trilinearna oblika enačbe : [ ciklična vsota ( cos A ) x( b2y2 - c2z2 ) ] =ežiščna oblika enačbe : [ ciklična vsota ( b2 + c2 - a2) x( y2 - z2 ) ] =rafično obliko glej na Lucasova enačba tretje stopnje Prva Brocardova enačba tretje stopnje Trilinearna oblika enačbe : [ ciklična vsota bc( a4 - b2c2 ) x( y2 + z2] =ežiščna oblika enačbe : [ ciklična vsota ( a4 - b2c2 ) x( c2y2 + b2z2] =rafično obliko glej na Prva Brocardova enačba tretje stopnje Druga Brocardova enačba tretje stopnje Trilinearna oblika enačbe : [ ciklična vsota bc( b2 - c2) x( y2 + z2] =ežiščna oblika enačbe : [ ciklična vsota ( b2 - c2 ) x( c2y2 + b2z2] =rafično obliko glej na Druga Brocardova enačba tretje stopnje Prva enačba enakih ploskev enačbe tretje stopnje Trilinearna oblika enačbe : [ ciklična vsota a( b2 - c2) x( y2 - z2] =ežiščna oblika enačbe : [ ciklična vsota a2( b2 - c2 ) x( c2y2 - b2z2] =rafično obliko glej na Prva enačba enakih ploskev enačbe tretje stopnje Druga enačba enakih ploskev enačbe tretje stopnje Trilinearna oblika enačbe : [ ciklična vsota ( bz+cx ) ( cx+ay ) ( ay +bz ) = ( bx+cy ) ( cy +ax ) ( az +bx ) Težiščna oblika enačbe : [ ciklična vsota a( a2 - bc ) x( c3y2 - b3z2 ) ] =' Grafično obliko glej na Druga enačba enakih ploskev enačbe tretje stopnje Glej tudi seznam krivulj Zunanje povezave Galerija ravninskih krivulj tretje stopnje Algebrske krivulje