Eliptična krivulja
Eliptična krivulja je gladka, ravninska projektivna algebrska krivulja z rodom enakim 1. Na ravnini je določena posebna točka, ki se jo označuje z  in služi kot nevtralni element. Eliptična krivulja je Abelova varieteta. Eliptične krivulje so definirane nad obsegom. 

Ime eliptična krivulja ima zgodovinski izvor zaradi svoje povezave z eliptičnimi integrali, ker so prvotno služili za izračunavanje dolžine lokov elips. Pri tem pa elipsa sploh ni eliptična krivulja. 
 
Vsako eliptično krivuljo se lahko napiše v obliki:

 .

Krivulja je nesingularna, nima konic (nesingularnosti) ali samopresečišč. 

Kadar je karakteristika obsega koeficientov enaka 2 ali 3, zgornja enačba v splošnem ni dovolj, da bi vsebovala vse nesingularne krivulje tretje stopnje. 

Točka  je točka v neskončnosti v projektivni ravnini.

Če je , kjer je  mnogočlenik stopnje tri v spremenljivki  tako, da se ničle ne ponavljajo, potem se dobi nesingularno ravninsko krivuljo z rodom enakim 1. To pa je eliptična krivulja. Kadar ima mnogočlenik  stopnjo 4 in nima kvadratov, se prav tako dobi krivuljo z rodom enakim 1, vendar ni naravne izbire nevtralnega elementa. Če se govori splošno, je vsaka algebrska krivulja z rodom 1, ki na primer nastane s presekom dveh ploskev druge stopnje vloženih v trirazsežni projektivni prostor.

Eliptične krivulje nad realnimi števili 

Eliptično krivuljo se prišteva med ravninske krivulje, saj ima obliko:

 

kjer je:

  realno število
  realno število

Te vrste enačb se imenujejo Weierstrassove enačbe. Za eliptične krivulje se zahteva, da so nesigularne, to pomeni, da nimajo vrhov, se same ne sekajo in nimajo izoliranih točk. 

Krivulja je nesingularna, če je njena diskriminanta različna od nič. 

Diskriminanta eliptične krivulje je enaka:

 

Realni graf nesingularne krivulje ima dve komponenti, če je diskriminanta pozitivna in samo eno komponento, če je negativna. (Na sliki na desni strani ima desna krivulja pozitivno (64) diskriminanto, leva krivulja pa negativno (-368). Temu primerna je tudi oblika krivulj).

Zakon grupe 

Z dodajanjem točke v neskončnosti se dobi projektivna različica krivulje. Če sta  in  na krivulji, potem se lahko enolično določi tretjo točko, ki je na preseku krivulje s premico skozi  in . Kadar je premica tangenta na krivuljo v tej točki, takrat se to točko šteje dvakrat. Kadar pa je premica vzporedna z y-osjo, se vzame kot da je točka v neskončnosti. Eden izmed teh pogojev velja za poljubni par točk na eliptični krivulji.

Lahko se uvede grupno operacijo, ki se jo označi s "+", z naslednjimi značilnostmi: naj bo točka v neskončnosti, ki se jo označi z 0, to pa je nevtralni element grupe. Če premica seka krivuljo v točkah ,  in  se zahteva, da je  v grupi. Da se prepričati, da pri tem krivulja postane Abelova grupa in tudi Abelova varieteta. Lahko se tudi dokaže, da množica K-racionalnih točk tvori podgrupo te grupe. Če se krivuljo označi z , potem se podgrupo označi z .

Eliptične krivulje nad kompleksnimi števili 

Oblikovanje eliptičnih krivulj kot vložitve torusa v kompleksno projektivno ravnino je posledica znamenitih Weierstrassovih eliptičnih funkcij, ki se jih označuje z . Povezava med samo funkcijo in prvim odvodom te funkcije je:

 
kjer je:
  konstanta 
  konstanta 
  Weierstrassova eliptična funkcija 
  prvi odvod Weierstrassove eliptične funkcije

Razumljivo je, da je zgornji odnos v obliki eliptične krivulje nad kompleksnimi števili. 

Weierstrassove eliptične funkcije so dvojno periodične. Periodične so glede na osnovni par period , ki tvorijo mrežo v kompleksni ravnini. V bistvu so Weierstrassove eliptične funkcije definirane na torusu .

Ta torus pa je lahko potopljen v kompleksno projektivno ravnino s preslikavo:

 

Ta preslikava je grupni izomorfizem, ki nosi naravno grupno strukturo torusa v projektivno ravnino. Ta izomorfizem je lahko tudi izomorfizem Riemannovih ploskev in tako topološko dana eliptična krivulja izgleda kot torus.

Eliptične krivulje nad racionalnimi števili 

Eliptična krivulja  nad obsegom racionalnih števil je definirana tudi nad obsegom realnih števil. Zaradi tega se lahko zakon seštevanja za tangento in sekanto uporabi tudi za krivuljo . Obrazci kažejo, da ima vsota dveh točk z racionalnimi koordinatami spet racionalne koordinate. Na ta način se lahko pokaže, da množica racionalnih števil krivulje  tvori podgrupo grup realnih točk krivulje .

Eliptična krivulja nad splošnim obsegom 

Eliptične krivulje se lahko definira nad poljubnim obsegom . Formalna definicija eliptičnih krivulj opisuje samo nesingularno projektivno krivuljo nad obsegom  z rodom 1 v dani točki.

Če karakteristika obsega  ni niti 2 niti 3, potem se lahko vsako eliptično krivuljo nad  piše v obliki:

 

kjer je:

  element obsega , tako da desna stran mnogočlenika  nima dvojnih ničel 
  element obsega , tako da desna stran mnogočlenika  nima dvojnih ničel

Alternativni prikaz eliptičnih krivulj  

 Hessova krivulja
 Edwardova krivulja
 prepletena krivulja
 prepletena Hessova krivulja
 prepletena Edwardova krivulja
 dvojno-orientirana Doche-Icart-Kohelova krivulja
 trojno-orientirana Doche-Icart-Kohelova krivulja
 jakobianska krivulja
 Montgomeryjeva krivulja

Glej tudi 

 eliptične ploskve
 Riemann-Hurwitzeva formula
 Nagell-Lutzov izrek

Zunanje povezave 

 
 Eliptična krivulja  na PlanetMath 
 Eliptična krivulja  v Mathematical Atlas 
 Eliptična krivulja in kriptografija 

Krivulje
 
Teorija grup
Analitična teorija števil
Kriptografija
Eliptična krivulja je gladka , ravninska projektivna algebrska krivulja z rodom enakim Na ravnini je določena posebna točka , ki se jo označuje z in služi kot nevtralni element . Eliptična krivulja je Abelova varieteta . Eliptične krivulje so definirane nad obsegom . Ime eliptična krivulja ima zgodovinski izvor zaradi svoje povezave z eliptičnimi integrali , ker so prvotno služili za izračunavanje dolžine lokov elips . Pri tem pa elipsa sploh ni eliptična krivulja . Vsako eliptično krivuljo se lahko napiše v obliki : \ . Krivulja je nesingularna , nima konic ( nesingularnosti ) ali samopresečišč . Kadar je karakteristika obsega koeficientov enakaali zgornja enačba v splošnem ni dovolj , da bi vsebovala vse nesingularne krivulje tretje stopnje . Točka je točka v neskončnosti v projektivni ravnini . Če je , kjer je mnogočlenik stopnje tri v spremenljivki tako , da se ničle ne ponavljajo , potem se dobi nesingularno ravninsko krivuljo z rodom enakim To pa je eliptična krivulja . Kadar ima mnogočlenik stopnjoin nima kvadratov , se prav tako dobi krivuljo z rodom enakim vendar ni naravne izbire nevtralnega elementa . Če se govori splošno , je vsaka algebrska krivulja z rodom ki na primer nastane s presekom dveh ploskev druge stopnje vloženih v trirazsežni projektivni prostor. Eliptične krivulje nad realnimi števili Eliptično krivuljo se prišteva med ravninske krivulje , saj ima obliko : kjer je : realno število realno število Te vrste enačb se imenujejo Weierstrassove enačbe . Za eliptične krivulje se zahteva , da so nesigularne , to pomeni , da nimajo vrhov , se same ne sekajo in nimajo izoliranih točk . Krivulja je nesingularna , če je njena diskriminanta različna od nič . Diskriminanta eliptične krivulje je enaka : Realni graf nesingularne krivulje ima dve komponenti , če je diskriminanta pozitivna in samo eno komponento , če je negativna . ( Na sliki na desni strani ima desna krivulja pozitivnodiskriminanto , leva krivulja pa negativno Temu primerna je tudi oblika krivulj ) . Zakon grupe Z dodajanjem točke v neskončnosti se dobi projektivna različica krivulje . Če sta in na krivulji , potem se lahko enolično določi tretjo točko , ki je na preseku krivulje s premico skozi in \ . Kadar je premica tangenta na krivuljo v tej točki , takrat se to točko šteje dvakrat . Kadar pa je premica vzporedna z y - osjo , se vzame kot da je točka v neskončnosti . Eden izmed teh pogojev velja za poljubni par točk na eliptični krivulji . Lahko se uvede grupno operacijo , ki se jo označi s " + " , z naslednjimi značilnostmi : naj bo točka v neskončnosti , ki se jo označi z to pa je nevtralni element grupe . Če premica seka krivuljo v točkah , in se zahteva , da je v grupi . Da se prepričati , da pri tem krivulja postane Abelova grupa in tudi Abelova varieteta . Lahko se tudi dokaže , da množica K - racionalnih točk tvori podgrupo te grupe . Če se krivuljo označi z , potem se podgrupo označi z \ . Eliptične krivulje nad kompleksnimi števili Oblikovanje eliptičnih krivulj kot vložitve torusa v kompleksno projektivno ravnino je posledica znamenitih Weierstrassovih eliptičnih funkcij , ki se jih označuje z \ . Povezava med samo funkcijo in prvim odvodom te funkcije je : kjer je : konstanta konstanta Weierstrassova eliptična funkcija prvi odvod Weierstrassove eliptične funkcije Razumljivo je , da je zgornji odnos v obliki eliptične krivulje nad kompleksnimi števili . Weierstrassove eliptične funkcije so dvojno periodične . Periodične so glede na osnovni par period , ki tvorijo mrežo v kompleksni ravnini . V bistvu so Weierstrassove eliptične funkcije definirane na torusu \ . Ta torus pa je lahko potopljen v kompleksno projektivno ravnino s preslikavo : Ta preslikava je grupni izomorfizem , ki nosi naravno grupno strukturo torusa v projektivno ravnino . Ta izomorfizem je lahko tudi izomorfizem Riemannovih ploskev in tako topološko dana eliptična krivulja izgleda kot torus . Eliptične krivulje nad racionalnimi števili Eliptična krivulja nad obsegom racionalnih števil je definirana tudi nad obsegom realnih števil . Zaradi tega se lahko zakon seštevanja za tangento in sekanto uporabi tudi za krivuljo \ . Obrazci kažejo , da ima vsota dveh točk z racionalnimi koordinatami spet racionalne koordinate . Na ta način se lahko pokaže , da množica racionalnih števil krivulje tvori podgrupo grup realnih točk krivulje \ . Eliptična krivulja nad splošnim obsegom Eliptične krivulje se lahko definira nad poljubnim obsegom \ . Formalna definicija eliptičnih krivulj opisuje samo nesingularno projektivno krivuljo nad obsegom z rodomv dani točki . Če karakteristika obsega ni nitiniti potem se lahko vsako eliptično krivuljo nad piše v obliki : kjer je : element obsega , tako da desna stran mnogočlenika nima dvojnih ničel element obsega , tako da desna stran mnogočlenika nima dvojnih ničel Alternativni prikaz eliptičnih krivulj Hessova krivulja Edwardova krivulja prepletena krivulja prepletena Hessova krivulja prepletena Edwardova krivulja dvojno - orientirana Doche - Icart - Kohelova krivulja trojno - orientirana Doche - Icart - Kohelova krivulja jakobianska krivulja Montgomeryjeva krivulja Glej tudi eliptične ploskve Riemann - Hurwitzeva formula Nagell - Lutzov izrek Zunanje povezave Eliptična krivulja na PlanetMath Eliptična krivulja v Mathematical Atlas Eliptična krivulja in kriptografija Krivulje Teorija grup Analitična teorija števil Kriptografija