Uniformni polieder
Uniformni polieder je polieder, ki ima za stranske ploskve pravilne mnogokotnike, ki so prehodni na svojih ogliščih (to pomeni, da obstaja togi premik (izometrija) za preslikavo poljubnega oglišča v drugega). To pomeni tudi, da so vsa oglišča skladna. Poliedri imajo visoko stopnjo zrcalne in rotacijske simetrije. 

Uniformni poliedri so lahko:
 pravilni, če so stranske ploskve in robovi prehodni
 kvazipravilni, če so robovi prehodni, niso pa prehodne stranske ploskve
 polpravilni pa so, če robovi niso prehodni, niti stranske ploskve niso prehodne.

Poznamo konveksne:
 5 platonskih teles, ki so pravilni poliedri
 13 arhimedskih teles od kateri sta 2 kvazipravilna in 11 polpravilnih 

in zvezdne poliedre od katerih so:
 4 Kepler-Poinsotov polieder, ki so pravilni nekonveksni poliedri
 53 uniformni zvezdni polieder od katerih je 5 kvazipravilnih in 48 polpravilnih
 1 zvezdni polieder, ki ga je našel ameriški gradbenik in arhitekt John Skilling (1921–1998).  

Znanih je tudi neskončno število uniformnih prizmatičnih in antiprizmatičnih oblik med katerimi so konveksne in zvezdne oblike.

Dualni poliedri uniformnih poliedrov imajo prehodne stranske ploskve ali lahko rečemo tudi, da so izoedrski. Imajo tudi pravilne slike oglišč ter jih tako razvrstimo skupaj z dualnimi uniformnimi poliedri. Dualno telo pravilnega poliedra je tudi pravilen. Dualna telesa arhimedskih teles pa pravimo, da so Catalanova telesa.

Razvoj 

Platonska telesa so poznali že v Antični Grčiji. Proučevali so jih že Platon (427 pr. n. št–437 pr. n. št., Teetet (417 pr. n. št.–369 pr. n. št.) in Evklid (okoli 365 pr. n. št.–275 pr. n. št.). 
 Johannes Kepler (1571–1630) je bil prvi, ki je objavil popoln seznam arhimedskih teles kmalu za tem, ko je bilo prvotno delo Arhimeda izgubljeno.

Pravilni zvezdni poliedri:
 Kepler je odkril še dva pravilna Kepler-Poinsotova poliedra. 
Pozneje (v letu 1809) je Louis Poinsot (1777–1859) odkril še dva.

Ostalih 53 nepravilnih zvezdnih poliedrov
 Od ostalih 53 jih je v letu 1881 Albert Badoureau odkril še 36, Edmund Hess (1843–1903) je odkril še dva in Pitch (1930–1932) jih je neodvisno  v letu 1881 odkril še 18, vendar odkritja ni objavil, od teh jih je bilo 15 že prej odkritih.
 Geometer H.S.M. Coxeter (1907–2003)  je odkril še preostalih dvanajst v sodelovanju z J. C. P. Millerjem (1930–1932), kar pa ni bilo objavljeno. M. S. in H. C. Lonquet-Higgins sta  jih neodvisno odkrila še 11. 
 Coxeter, Lonquet-Higgins in Miller so v letu 1954 objavili seznam uniformnih poliedrov
 Sopov je dokazal. Da je njihov seznam popoln.
 Leta 1970 je v knjigi Polyhedron models (Modeli poliedrov), ki prikazuje vseh 75 neprizmatičnih uniformnih poliedrov, od katerih jih mnogo prej še ni bilo objavljenih. Imena pa jim je dal Norman Johnson (rojen 1930).
 Skilling (1921–1998)  je v letu 1975 preveril to trditev in pokazal, da takrat, ko se sprosti definicijo toliko, da se omogoči tudi hkratnost robov in se s tem dobi še eno možnost za telo.  
 V letu 1993 je Zvi Har'El pripravil popolno kalejdoskopsko konstrukcijo za uniformne poliedre in njihove duale s pomočjo računalniškega programa, ki se je imenoval Kaleido. Vse je združil v dokumentu Uniform Solution  for Uniform Polyhedra, kjer je  oštevilčil oblike s številkami od 1 do 80.       
 Prav tako je v letu 1993 R. Mäder prenesel to Kaleido rešitev v program Mathematica z drugačnim načinom številčenja. 
 V letu 2002 je Peter W. Messer odkril najmanjšo množico zaprtih oblik izrazov, ki določajo glavne in metrične količine za vsak uniformni polieder, dane s samo Wythoffovim simbolom .

Uniformni zvezdni poliedri 

57 neprizmatičnih nekonveksnih oblik se dobi s pomočjo Wythoffove konstrukcije in s pomočjo Schwarzevih trikotnikov

Konveksne oblike po Wythoffovi konstrukciji 

Konveksne uniformne poliedre lahko imenujemo po operacijah Wythoffove konstrukcije.

Podrobnejši načini Wythoffove konstrukcije so podani spodaj za vsako simetrijsko grupo posebej. 

Z Wythoffovo konstrukcijo se dobijo ponovitve, ki nastanejo zaradi oblike z najnižjo simetrijo. Kocka in kvadratna prizma sta pravilna poliedra. Oktaeder in tristrana antiprizma sta tudi pravilna poliedra. Oktaeder je rektificirani tetraeder. Mnogi poliedri so ponovitve začetnih različnih konstrukcij in se jih različno obarva. 

Wythoffova konstrukcija se lahko uporabi za uniformne poliedre in uniformno tlakovanje na sferi. Zaradi tega so prikazane slike obeh možnosti. Sferno tlakovanje vključuje hozoedre in diedre, ki pa so degenerirani poliedri. 

Te simetrijske grupe nastajajo iz zrcalnih točkovnih grup v treh razsežnostih. Vsako lahko prikažemo z osnovnim trikotnikom (p q r), kjer je p>1, q>1, r>1 in 1/p+1/q+1/r<1.
 tetraedrska simetrija (3 3 2) red 24    
 oktaedrska simetrija (4 3 2) red 48
 ikozaedrska simetrija (5 3 2) red 120
 diedrska simetrija (n 2 2) za vse n = 3,4,5.... red 4n

Ostale nezrcalne oblike se lahko konstruira s pomočjo operacije alternacije, ki jo uporabimo za poliedre s parnim številom stranic.

Razen vseh prizem z diedrsko simetrijo nam lahko postopek Wythoffove konstrukcije doda še dva pravilna razreda, ki pa postaneta izrojena kot poliedra. To sta dieder in hozoeder. Prvi ima samo dve stranski ploskvi, drugo pa samo dve oglišči. Prisekanje hozoedra nam da prizmo.

V spodnjem pregledu imajo uniformni poliedri oznake (indekse) od 1 do 18 za neprizmatične oblike, ker so predstavljeni v pregledih s simetrijsko obliko. Ponovljene oblike so v oklepajih.

Neskončna množica prizmatičnih oblik je označena s štirimi družinami:
 hozoedri H2... samo kot sferno tlakovanje 
 diedri D2... samo kot sferno tlakovanje
 prizme P2...
 antiprizme A3...

Skupna preglednica 

in primeri diedrskih simetrij:

Operatorji za Wythoffovo konstrukcijo

(3 3 2) Td tetraedrska simetrija 

Tetraedrska simetrija sfere generira 5 uniformnih poliedrov in  šesto obliko s pomočjo operacije  prirezovanja. 

Tetraedrsko simetrijo lahko prikažemo s pomočjo osnovnega trikotnika z enim ogliščem s tremi zcali, ki jih prikažemo  s simbolom (3 3 2). Lahko jih tudi prikažemo s Coxeterjevo grupo A2 or [3,3] in seveda s Coxeter-Dinkinovim diagramom: .

Obstaja 24 trikotnikov, ki jih vidimo na stranskih ploskvah tetrakisnega heksaedra  in izmenoma pobarvanih trikotnikih na sferi:

(4 3 2) Oh oktaedrska simetrija 

Oktaedrska simetrija sfere generira 7 uniformnih poliedrov in še tri z alternacijo. Štirje od teh oblik so ponovitve tetraedrske simetrije iz preglednice zgoraj.

Oktaedrsko simetrijo se lahko prikaže s pomočjo osnovnega trikotnika (4 3 2) tako, da se upošteva zrcala na vsakem oglišču. Lahko se jih prikaže tudi kot Coxeterjevo grupo B2 ali [4,3] in kot Coxeter-Dinkinov diagram: .

Obstaja 48 trokotnikv, ki se jih vidi na stranskih ploskvah disdiakisnega dodekaedra in izmenoma pobarvanih trikotnikov na sferi:

(5 3 2) Ih ikozaedrska simetrija 

Ikozaedrska simetrija sfere generira 7 uniformnih poliedrov in še enega več z alternacijo. Samo eden se ponavlja v preglednici s tetraedrsko in oktaedrsko simetrijo v preglednici zgoraj.

Ikozaedrsko simetrijo lahko prikažemo z osnovnim trikotnikom (5 3 2), pri tem pa štejemo zrcala  na vsakem oglišču. Lahko ga prikažemo tudi s pomočjo Coxeterjeve grupe G2 ali [5,3] s pomočjo Coxeter-Dinkinovega diagrama: .

Obstaja 120 trikotnikov, ki jih vidimo na stranskih ploskvah disdiakisni triakontaeder in na izmenoma pobarvanih trikotnikih na sferi:

(p 2 2) Prizmatična družina [p,2], I2(p)  (Dph diedrska simetrija) 

Diedrska simetrija sfere generira dve neskončni množici uniformnih poliedrov, prizem in antiprizem, prav tako pa tudi neskončno množico izrojenih mnogokotnikov, hozoedrov in diedrov, ki obstajajo kot tlakovanja sfere. Diedrska simetrija se lahko prikaže kot onovni trikotnik (p 2 2) s  tem, da  upoštevamo zrcala na vsakem oglišču. Lahko se prikaže tudi kot Coxeterjeva grupa I2(p) or [n,2], in tudi kot prizmatični Coxeter-Dinkinov diagram: .

Spodaj je prvih pet diedrskih simetrij: D2 ... D6. Diedrska simetrija Dp ima red 4n, ki se kaže na stranskih ploskvah bipiramide in na sferi kot ekvatorska črta na longitudi in n enakomerno razmaknjenih črt longitude.

(2 2 2) diedrska simetrija 

Obstaja 8 osnovnih trikotnikov, ki se vidijo na stranskih ploskvah kvadratne bipiramide (oktaeder), ki ima imenoma obarvane trikotnike na sferi:

(3 2 2) D3hdiedrska simetrija  
 

Obstaja 12 osnovnih trikotnikov, ki se vidijo na stranskih ploskvah šeststrane bipiramide  ter izmenoma pobarvanih trikotnikih na sferi:

(4 2 2) D4hdiedrska simetrija  

Obstaja 16 osnovnih trikotnikov, ki se vidijo na stranskih ploskvah osemstrane bipiramide ter izmenoma pobarvani trikotniki na sferi:

(5 2 2) D5h diedrska simetrija  

Obstaja 20 osnovnih trikotnikov, ki so vidni na stranskih ploskvah desetstrane bipiramide  ter izmenoma obarvani trikotniki na sferi:

(6 2 2) D6hdiedrska simetrija  

Obstaja 24 osnovnih trikotnikov , ki se vidijo na stranskih ploskvah dvanajststrane bipiramide  in na izmenoma pobarvanimi trikotniki na sferi.

Sklici

Glej tudi 

 polieder
 pravilni polieder
 kvazipravilni polieder
 polpravilni polieder
 seznam uniformnih poliedrov
 seznam modelov Wenningerjevih poliedrov

Zunanje povezave 

 
 Nekonveksni uniformni poliedri v  Encyclopedia of Science  
 Uniformni poliedri
Uniformni polieder je polieder , ki ima za stranske ploskve pravilne mnogokotnike , ki so prehodni na svojih ogliščih ( to pomeni , da obstaja togi premik ( izometrija ) za preslikavo poljubnega oglišča v drugega ) . To pomeni tudi , da so vsa oglišča skladna . Poliedri imajo visoko stopnjo zrcalne in rotacijske simetrije . Uniformni poliedri so lahko : pravilni , če so stranske ploskve in robovi prehodni kvazipravilni , če so robovi prehodni , niso pa prehodne stranske ploskve polpravilni pa so , če robovi niso prehodni , niti stranske ploskve niso prehodne . Poznamo konveksne : platonskih teles , ki so pravilni poliedri arhimedskih teles od kateri stakvazipravilna inpolpravilnih in zvezdne poliedre od katerih so : Kepler - Poinsotov polieder , ki so pravilni nekonveksni poliedri uniformni zvezdni polieder od katerih jekvazipravilnih inpolpravilnih zvezdni polieder , ki ga je našel ameriški gradbenik in arhitekt John Skilling1998 ) . Znanih je tudi neskončno število uniformnih prizmatičnih in antiprizmatičnih oblik med katerimi so konveksne in zvezdne oblike . Dualni poliedri uniformnih poliedrov imajo prehodne stranske ploskve ali lahko rečemo tudi , da so izoedrski . Imajo tudi pravilne slike oglišč ter jih tako razvrstimo skupaj z dualnimi uniformnimi poliedri . Dualno telo pravilnega poliedra je tudi pravilen . Dualna telesa arhimedskih teles pa pravimo , da so Catalanova telesa . Razvoj Platonska telesa so poznali že v Antični Grčiji . Proučevali so jih že Platonpr. n. št –437 pr. n. št . , Teetetpr. n. št. –369 pr. n. št . ) in Evklid ( okolipr . n. št. –275 pr. n. št . ) . Johannes Kepler1630 ) je bil prvi , ki je objavil popoln seznam arhimedskih teles kmalu za tem , ko je bilo prvotno delo Arhimeda izgubljeno . Pravilni zvezdni poliedri : Kepler je odkril še dva pravilna Kepler - Poinsotova poliedra . Pozneje ( v letuje Louis Poinsot1859) odkril še dva . Ostalihnepravilnih zvezdnih poliedrov Od ostalihjih je v letuAlbert Badoureau odkril še Edmund Hess1903 ) je odkril še dva in Pitch1932) jih je neodvisno v letuodkril še vendar odkritja ni objavil , od teh jih je bilože prej odkritih . Geometer H. S . M. Coxeter2003 ) je odkril še preostalih dvanajst v sodelovanju z J. C. P. Millerjem1932 ) , kar pa ni bilo objavljeno . M. S. in H. C. Lonquet - Higgins sta jih neodvisno odkrila še Coxeter , Lonquet - Higgins in Miller so v letuobjavili seznam uniformnih poliedrov Sopov je dokazal . Da je njihov seznam popoln . Letaje v knjigi Polyhedron models ( Modeli poliedrov ) , ki prikazuje vsehneprizmatičnih uniformnih poliedrov , od katerih jih mnogo prej še ni bilo objavljenih . Imena pa jim je dal Norman Johnson ( rojen Skilling1998) je v letupreveril to trditev in pokazal , da takrat , ko se sprosti definicijo toliko , da se omogoči tudi hkratnost robov in se s tem dobi še eno možnost za telo . V letuje Zvi Har'El pripravil popolno kalejdoskopsko konstrukcijo za uniformne poliedre in njihove duale s pomočjo računalniškega programa , ki se je imenoval Kaleido . Vse je združil v dokumentu Uniform Solution for Uniform Polyhedra , kjer je oštevilčil oblike s številkami oddo Prav tako je v letuR. Mäder prenesel to Kaleido rešitev v program Mathematica z drugačnim načinom številčenja . V letuje Peter W. Messer odkril najmanjšo množico zaprtih oblik izrazov , ki določajo glavne in metrične količine za vsak uniformni polieder , dane s samo Wythoffovim simbolom \ . Uniformni zvezdni poliedri 57 neprizmatičnih nekonveksnih oblik se dobi s pomočjo Wythoffove konstrukcije in s pomočjo Schwarzevih trikotnikov Konveksne oblike po Wythoffovi konstrukciji Konveksne uniformne poliedre lahko imenujemo po operacijah Wythoffove konstrukcije . Podrobnejši načini Wythoffove konstrukcije so podani spodaj za vsako simetrijsko grupo posebej . Z Wythoffovo konstrukcijo se dobijo ponovitve , ki nastanejo zaradi oblike z najnižjo simetrijo . Kocka in kvadratna prizma sta pravilna poliedra . Oktaeder in tristrana antiprizma sta tudi pravilna poliedra . Oktaeder je rektificirani tetraeder. Mnogi poliedri so ponovitve začetnih različnih konstrukcij in se jih različno obarva . Wythoffova konstrukcija se lahko uporabi za uniformne poliedre in uniformno tlakovanje na sferi . Zaradi tega so prikazane slike obeh možnosti . Sferno tlakovanje vključuje hozoedre in diedre , ki pa so degenerirani poliedri . Te simetrijske grupe nastajajo iz zrcalnih točkovnih grup v treh razsežnostih . Vsako lahko prikažemo z osnovnim trikotnikom ( p q r ) , kjer je p>1 , q>1 , r>1 inp+1/ q+1/r<1. tetraedrska simetrija3red oktaedrska simetrija3red ikozaedrska simetrija3red diedrska simetrija ( n2 ) za vse n =4,5 . . . . red Ostale nezrcalne oblike se lahko konstruira s pomočjo operacije alternacije , ki jo uporabimo za poliedre s parnim številom stranic . Razen vseh prizem z diedrsko simetrijo nam lahko postopek Wythoffove konstrukcije doda še dva pravilna razreda , ki pa postaneta izrojena kot poliedra . To sta dieder in hozoeder . Prvi ima samo dve stranski ploskvi , drugo pa samo dve oglišči . Prisekanje hozoedra nam da prizmo . V spodnjem pregledu imajo uniformni poliedri oznake ( indekse ) oddoza neprizmatične oblike , ker so predstavljeni v pregledih s simetrijsko obliko . Ponovljene oblike so v oklepajih . Neskončna množica prizmatičnih oblik je označena s štirimi družinami : hozoedri H2. . . samo kot sferno tlakovanje diedri D2. . . samo kot sferno tlakovanje prizme P2. . . antiprizme A3 . . . Skupna preglednica in primeri diedrskih simetrij : Operatorji za Wythoffovo konstrukcijo ( 32) Td tetraedrska simetrija Tetraedrska simetrija sfere generirauniformnih poliedrov in šesto obliko s pomočjo operacije prirezovanja . Tetraedrsko simetrijo lahko prikažemo s pomočjo osnovnega trikotnika z enim ogliščem s tremi zcali , ki jih prikažemo s simbolom3 Lahko jih tudi prikažemo s Coxeterjevo grupo A2 or [ 3 ,3 ] in seveda s Coxeter - Dinkinovim diagramom : \ . Obstajatrikotnikov , ki jih vidimo na stranskih ploskvah tetrakisnega heksaedra in izmenoma pobarvanih trikotnikih na sferi : ( 42) Oh oktaedrska simetrija Oktaedrska simetrija sfere generirauniformnih poliedrov in še tri z alternacijo . Štirje od teh oblik so ponovitve tetraedrske simetrije iz preglednice zgoraj . Oktaedrsko simetrijo se lahko prikaže s pomočjo osnovnega trikotnika3tako , da se upošteva zrcala na vsakem oglišču . Lahko se jih prikaže tudi kot Coxeterjevo grupo B2 ali [ 4,3 ] in kot Coxeter - Dinkinov diagram : \ . Obstajatrokotnikv , ki se jih vidi na stranskih ploskvah disdiakisnega dodekaedra in izmenoma pobarvanih trikotnikov na sferi : ( 52) Ih ikozaedrska simetrija Ikozaedrska simetrija sfere generirauniformnih poliedrov in še enega več z alternacijo . Samo eden se ponavlja v preglednici s tetraedrsko in oktaedrsko simetrijo v preglednici zgoraj . Ikozaedrsko simetrijo lahko prikažemo z osnovnim trikotnikom3 pri tem pa štejemo zrcala na vsakem oglišču . Lahko ga prikažemo tudi s pomočjo Coxeterjeve grupe G2 ali [ 5 ,3 ] s pomočjo Coxeter - Dinkinovega diagrama : \ . Obstajatrikotnikov , ki jih vidimo na stranskih ploskvah disdiakisni triakontaeder in na izmenoma pobarvanih trikotnikih na sferi : ( p2) Prizmatična družina [ p ,2 ] , I2( p ) ( Dph diedrska simetrija ) Diedrska simetrija sfere generira dve neskončni množici uniformnih poliedrov , prizem in antiprizem , prav tako pa tudi neskončno množico izrojenih mnogokotnikov , hozoedrov in diedrov , ki obstajajo kot tlakovanja sfere . Diedrska simetrija se lahko prikaže kot onovni trikotnik ( p2 ) s tem , da upoštevamo zrcala na vsakem oglišču . Lahko se prikaže tudi kot Coxeterjeva grupa I2( p ) or [ n ,2 ] , in tudi kot prizmatični Coxeter - Dinkinov diagram : \ . Spodaj je prvih pet diedrskih simetrij : D2\ . . . D6. Diedrska simetrija Dp ima red , ki se kaže na stranskih ploskvah bipiramide in na sferi kot ekvatorska črta na longitudi in n enakomerno razmaknjenih črt longitude . ( 22 ) diedrska simetrija Obstajaosnovnih trikotnikov , ki se vidijo na stranskih ploskvah kvadratne bipiramide ( oktaeder ) , ki ima imenoma obarvane trikotnike na sferi : ( 32) D3hdiedrska simetrija Obstajaosnovnih trikotnikov , ki se vidijo na stranskih ploskvah šeststrane bipiramide ter izmenoma pobarvanih trikotnikih na sferi : ( 42) D4hdiedrska simetrija Obstajaosnovnih trikotnikov , ki se vidijo na stranskih ploskvah osemstrane bipiramide ter izmenoma pobarvani trikotniki na sferi : ( 52) D5h diedrska simetrija Obstajaosnovnih trikotnikov , ki so vidni na stranskih ploskvah desetstrane bipiramide ter izmenoma obarvani trikotniki na sferi : ( 62) D6hdiedrska simetrija Obstajaosnovnih trikotnikov , ki se vidijo na stranskih ploskvah dvanajststrane bipiramide in na izmenoma pobarvanimi trikotniki na sferi . Sklici Glej tudi polieder pravilni polieder kvazipravilni polieder polpravilni polieder seznam uniformnih poliedrov seznam modelov Wenningerjevih poliedrov Zunanje povezave Nekonveksni uniformni poliedri v Encyclopedia of Science Uniformni poliedri