Klotoida
Klotoída (tudi Cornujeva spirala in Eulerjeva spirala) je transcendentna krivulja, katere ukrivljenost se spreminja linearno vzdolž njene dolžine. Spada med spirale.

Krivuljo je proučeval švicarski matematik, fizik in astronom Leonhard Euler (1707 – 1783), pozneje pa francoski fizik Marie Alfred Cornu (1841 – 1902).

Uporaba 

Krivulja se uporablja pri načrtovanju cest in železnic oziroma pri določanju njihovih lokov in krivin. Na naslednji sliki je prikazan prehod med dvema krivuljama z uporabo klotoide. Ravni del je prikazan z modro barvo, z zeleno barvo je prikazana krožnica, v katero mora preiti ravni del cestišča ali železnice. Z rdečo barvo je prikazana klotoida, ki v tem primeru predstavlja prehod med ravnim delom in krožnico. Takšna oblika krivulje se uporablja pri gradnji cest. To omogoča linearno naraščanje radialnega pospeška pri gibanju po cestišču, ki ima takšne ukrivljenosti. S tem se prepreči nenadne spremembe radialnega pospeška. Na podoben način se krivulja uporablja tudi pri navpičnih nagibih cestišč in železniških prog.

Polarna oblika enačbe klotoide 

Po definiciji klotoide velja:

 

to pa je:

 
 

V polarnem koordinatnem sistemu sta enačbi klotoide:

 

in:

 .

Pri tem je:

 

in:

 

V vseh zgornjih primerih je:
  polmer ukrivljenosti
  polmer krožnice na koncu spirale
  kot med začetkom spirale in določeno točko na spirali
  dolžina, merjena vzdolž spirale od njene začetne točke
  dolžina spirale

Dolžina spirale 

Dolžina spirale, merjena od izhodišča, je enaka:

 

Iz tega se vidi, da je dolžina spirale neskončna.

Ukrivljenost 

Ukrivljenost se označuje s :

 

Stopnja spreminjanja ukrivljenosti v odvisnosti od dolžine krivulje je:

 

Ukrivljenost klotoide je v vsaki točki sorazmerna z razdaljo od izhodišča. Zaradi tega je tudi zelo primerna za uporabo krivulje prehoda pri gradnji avtocest in železniških prog.

Fresnelov integral 

Kadar je , se reče, da je klotoida normalizirana. Kartezične koordinate so v tem primeru podane s Fresnelovima integraloma  in , ki sta definirana kot:

 
 

Če se istočasno nariše v parametrični obliki  in , se dobi klotoido.

Z uporabo potenčnih vrst za:

 

in:

 

se za  dobi vrednost:

 

in za  vrednost:

Zunanje povezave 

 
 Klotoida (Eulerjeva spirala) na 2dcurves.com 
 Klotoida (Cornujeva spirala) na HyperPhysics 
 Uporaba klotoide 

Spirale
Geodezija
Leonhard Euler
Klotoída ( tudi Cornujeva spirala in Eulerjeva spirala ) je transcendentna krivulja , katere ukrivljenost se spreminja linearno vzdolž njene dolžine . Spada med spirale . Krivuljo je proučeval švicarski matematik , fizik in astronom Leonhard Euler – pozneje pa francoski fizik Marie Alfred Cornu – Uporaba Krivulja se uporablja pri načrtovanju cest in železnic oziroma pri določanju njihovih lokov in krivin . Na naslednji sliki je prikazan prehod med dvema krivuljama z uporabo klotoide . Ravni del je prikazan z modro barvo , z zeleno barvo je prikazana krožnica , v katero mora preiti ravni del cestišča ali železnice . Z rdečo barvo je prikazana klotoida , ki v tem primeru predstavlja prehod med ravnim delom in krožnico . Takšna oblika krivulje se uporablja pri gradnji cest . To omogoča linearno naraščanje radialnega pospeška pri gibanju po cestišču , ki ima takšne ukrivljenosti . S tem se prepreči nenadne spremembe radialnega pospeška . Na podoben način se krivulja uporablja tudi pri navpičnih nagibih cestišč in železniških prog. Polarna oblika enačbe klotoide Po definiciji klotoide velja : to pa je : V polarnem koordinatnem sistemu sta enačbi klotoide : in : \ . Pri tem je : in : V vseh zgornjih primerih je : polmer ukrivljenosti polmer krožnice na koncu spirale kot med začetkom spirale in določeno točko na spirali dolžina , merjena vzdolž spirale od njene začetne točke dolžina spirale Dolžina spirale Dolžina spirale , merjena od izhodišča , je enaka : Iz tega se vidi , da je dolžina spirale neskončna . Ukrivljenost Ukrivljenost se označuje s \ : Stopnja spreminjanja ukrivljenosti v odvisnosti od dolžine krivulje je : Ukrivljenost klotoide je v vsaki točki sorazmerna z razdaljo od izhodišča . Zaradi tega je tudi zelo primerna za uporabo krivulje prehoda pri gradnji avtocest in železniških prog. Fresnelov integral Kadar je , se reče , da je klotoida normalizirana . Kartezične koordinate so v tem primeru podane s Fresnelovima integraloma in , ki sta definirana kot : Če se istočasno nariše v parametrični obliki in , se dobi klotoido . Z uporabo potenčnih vrst za : in : se za dobi vrednost : in za vrednost : Zunanje povezave Klotoida ( Eulerjeva spirala ) nacurves.com Klotoida ( Cornujeva spirala ) na HyperPhysics Uporaba klotoide Spirale Geodezija Leonhard Euler