Obratna matrika
Obratna matrika (oznaka  za matriko ) (tudi inverzna matrika ali nesingularna matrika ali nedegenerirana) neke kvadratne matrike  je takšna matrika, ki pri množenju z matriko  daje enotsko matriko:

 

kjer je:
  enotska matrika reda n (razsežnosti )
  obratna matrika matrike .

Velja tudi:

 

Matrike, ki imajo obratno matriko, so obrnljive. Matrika je obrnljiva samo, če je nesingularna. Nekvadratne matrike nimajo obratne matrike (). V nekaterih primerih se lahko določi levo in desno obratno matriko. Kadar ima matrika  razsežnost  in je njen rang enak , potem ima matrika  levo obratno matriko, tako da velja , in ima matrika  razsežnost . Kadar pa ima matrika  rang enak , potem ima desno obratno matriko  z , tako da je .

Značilnosti obratne matrike 

  

 kjer je:
  determinanta matrike 

  za poljubni dve obrnljivi matriki  in 

  

 kjer je: 
  transponirana matrika

  za poljubni koeficient  

 

  za poljubni od nič različni skalar 

 

 za obrnljivi matriki  in  z  velja:

 . Bolj splošno se lahko tudi napiše, če so  obrnljive  matrike, potem je

Določanje obratne matrike

Cramerjevo pravilo 

Za določitev obratne matrike se najprej napiše matriko kofaktorjev (adjungirana matrika):

 

kjer je:
  determinanta matrike 
  elementi matrike kofaktorjev
  transponirana matrika

Gauss-Jordanova eliminacija 

Gauss-Jordanova eliminacija omogoča ugotoviti, če je neka matrika obrnljiva in določiti tudi obratno matriko. Uporablja se samo za kvadratne matrike. V postopku se najprej dano matriko poveča z enotsko matriko istega reda (dobi se obliko ). Nato se z enostavnimi matričnimi operacijami matriko privede v obliko  (na levi strani je enotska matrika, na desni pa obratna matrika prvotne). Obratno matriko se prebere na desni strani nastale matrike. Podobna metoda se uporablja tudi za reševanje sistema linearnih enačb (Gaussova eliminacijska metoda).

Obratna matrika matrike  

Obratno matriko matrike z razsežnostjo se lahko dobi na naslednji način:

Obratna matrika matrike  

Obratno matriko v primeru, da se obravnava matriko z razsežnostjo  pa se dobi iz:

 

kjer je: 
  determinanta dane matrike

Če je  različen od 0, je matrika obrnljiva in ima naslednje elemente (glej zgoraj):

Zunanje povezave 

 

Matrike
Obratna matrika ( oznaka za matriko ) ( tudi inverzna matrika ali nesingularna matrika ali nedegenerirana ) neke kvadratne matrike je takšna matrika , ki pri množenju z matriko daje enotsko matriko : kjer je : enotska matrika reda n ( razsežnosti ) obratna matrika matrike \ . Velja tudi : Matrike , ki imajo obratno matriko , so obrnljive . Matrika je obrnljiva samo , če je nesingularna . Nekvadratne matrike nimajo obratne matrike ( ) . V nekaterih primerih se lahko določi levo in desno obratno matriko . Kadar ima matrika razsežnost in je njen rang enak , potem ima matrika levo obratno matriko , tako da velja , in ima matrika razsežnost \ . Kadar pa ima matrika rang enak , potem ima desno obratno matriko z , tako da je \ . Značilnosti obratne matrike kjer je : determinanta matrike za poljubni dve obrnljivi matriki in kjer je : transponirana matrika za poljubni koeficient za poljubni od nič različni skalar za obrnljivi matriki in z velja : \ . Bolj splošno se lahko tudi napiše , če so obrnljive matrike , potem je Določanje obratne matrike Cramerjevo pravilo Za določitev obratne matrike se najprej napiše matriko kofaktorjev ( adjungirana matrika ) : kjer je : determinanta matrike elementi matrike kofaktorjev transponirana matrika Gauss - Jordanova eliminacija Gauss - Jordanova eliminacija omogoča ugotoviti , če je neka matrika obrnljiva in določiti tudi obratno matriko . Uporablja se samo za kvadratne matrike . V postopku se najprej dano matriko poveča z enotsko matriko istega reda ( dobi se obliko ) . Nato se z enostavnimi matričnimi operacijami matriko privede v obliko ( na levi strani je enotska matrika , na desni pa obratna matrika prvotne ) . Obratno matriko se prebere na desni strani nastale matrike . Podobna metoda se uporablja tudi za reševanje sistema linearnih enačb ( Gaussova eliminacijska metoda ) . Obratna matrika matrike Obratno matriko matrike z razsežnostjo se lahko dobi na naslednji način : Obratna matrika matrike Obratno matriko v primeru , da se obravnava matriko z razsežnostjo pa se dobi iz : kjer je : determinanta dane matrike Če je različen od je matrika obrnljiva in ima naslednje elemente ( glej zgoraj ) : Zunanje povezave Matrike