Heronova formula
Heronova formula (tudi Heronova enačba ali Heronov obrazec) je v ravninski geometriji formula za računanje ploščine trikotnika s podanimi stranicami, brez uporabe velikosti kotov. Poimenovana je po Heronu Aleksandrijskemu.

Formulacija 
Heronova formula pravi, da je površina trikotnika s stranicami ,  in  enaka

 

kjer je  polovica obsega trikotnika; 

 

Heronovo formulo lahko zapišemo tudi kot

Zgled 
Naj bo  trikotnik s stranicami ,  in . Polovica obsega  tega trikotnika je

,

ploščina pa je

 

V tem zgledu so stranice in ploščina cela števila, zaradi česar dani trikotnik imenujemo Heronski trikotnik. Kljub temu Heronova formula deluje za poljuben trikotnik.

Zgodovina 
Formula je pripisana Heronu Aleksandrijskemu, njen dokaz najdemo v njegovi knjigi Metrica, napisani okoli leta 60. Domneva se, da je Arhimed formulo poznal že dve stoletji prej. Metrica je namreč zbirka matematičnega znanja iz antičnega sveta in zato je možno, da je da je bila formula odkrita že prej.

Formulo ekvivalentno Heronovi

 

so neodvisno od Grkov odkrili Kitajci. Objavljena je bila v Matimatičnem učbeniku v devetih poglavjih (Qin Jiushao, 1247).

Dokazi 
V originalnem dokazu je Heron uporabil tetivne štirikotnike.  Drugi dokazi se oslanjajo na trigonometrijo, trikotniku včrtano in očrtano krožnico, ali pa na De Guajev izrek (za poseben primer ostrokotnih trikotnikov).

Trigonometrični dokaz z uporabo kosinusnega izreka 
Sledeči sodoben algebraični dokaz se precej razlikuje od Heronovega (Metrica). Naj bodo ,  in  stranice trikotnika in , ,  pripadajoči koti. Z uporabo kosinusnega izreka dobimo

 .

S preoblikovanjem tega izraza dobimo

 

Višina trikotnika na stranico  ima dolžino , sledi:

 

Na dveh mestih je bilo v dokazu je uporabljeno pravilo za razcep razlike kvadratov: .

Algebaični dokaz z uporabo Pitagorovega izreka 

Naslednji dokaz je zelo podoben dokazu, ki ga je objavil Raifaizen. Po Pitagorovem izreku je  in  (glej skico na desni). Izraza odštejemo in dobimo . Ta enačba nam omogoča, da  izrazimo s stranicami trikotnika:

 

Za višino trikotnika velja  . Ko iz zgornje formule vstavimo  in uporabimo pravilo za razcep razlike kvadratov dobimo

 

Ta rezultat zdaj uporabimo v formuli, ki ploščino podaja kot polovico produkta med stranico in pripadajočo višino:

Trigonometrični dokaz s Kotangensnim zakonom 

Iz prvega dela kotangensnega zakona dobimo, da za ploščino trikotnika velja

 

ter . Ker je vsota polovičnih kotov enaka , velja . Iz prve enačbe zato sledi

 

Ko združimo obe enačbi, dobimo

Numerična stabilnost 
Heronova formula, kot je podana zgoraj, je numerično nestabilna za trikotnike z zelo majhnim kotom pri uporabi aritmetike s plavajočo vejico. Za stabilno alternativo uredimo stranice tako, da velja , in izračunamo

 

Oklepaji v zgornji formuli preprečujejo numerično nestabilnost pri računanju.

Druge formule za ploščino, ki spominjajo na Heronovo formulo 
Obstajajo tri druge formule za ploščino z enako strukturo kot Heronova formula, izražene z različnimi količinami. Težiščnice trikotnika s stranicami ,  in  po vrsti označimo s ,  in . Težiščnice seštejemo, in polovico vsote  označimo s . Velja:

 

Nato označimo višine na stranice kot ,  in . Označimo tudi polovico vsote nasprotnih vrednosti teh višin: . Dobimo

 

Na koncu polovično vsoto sinusov kotov označimo kot . Dobimo

 

kjer je  premer včrtane krožnice: .

Posplošitve 
Heronova formula je poseben primer Brahmaguptine formule, za računanje ploščin tetivnih štirikotnikov. Heronova formula in Brahmaguptina formula pa sta posebna primera Bretschneiderjeve formule za ploščino poljubnega štirikotnika. Heronovo formulo lahko dobimo iz Brahmaguptine formule ali Bretschneiderjeve formule tako, da eno od stranic štirikotnika nastavimo na nič.

Heronova formula je tudi poseben primer formule za ploščino trapeza, izračunano zgolj iz stranic. Heronovo formulo dobimo tako, da krajšo osnovnico nastavimo na nič.

Izražanje Heronove formule s Cayley-Mengerjevo determinanto kot kvadrati razdalj med tremi presečišči,

 

ponazarja njeno podobnost s Tartagliovo enačbo za prostornino tetraedra.

David P. Robbins je odkril še eno posplošitev Heronove formule na včrtane petkotnike in šestkotnike.

Heronska formula za prostornino tetraedra 
Če so , , , , ,  po vrsti robovi tetraedra (prvi trije tvorijo trikotnik ter  leži nasproti , in tako naprej), potem je

 

kjer so

Sklici in reference

Zunanje povezave (v angleščini) 

 A Proof of the Pythagorean Theorem From Heron's Formula at Cut-the-knot
 Interactive applet and area calculator using Heron's Formula
 J. H. Conway discussion on Heron's Formula
Heron's Formula and Brahmagupta's Generalization
 A Geometric Proof of Heron's Formula
 An alternative proof of Heron's Formula without words
 Factoring Heron

Trikotniki
Heronova formula ( tudi Heronova enačba ali Heronov obrazec ) je v ravninski geometriji formula za računanje ploščine trikotnika s podanimi stranicami , brez uporabe velikosti kotov . Poimenovana je po Heronu Aleksandrijskemu . Formulacija Heronova formula pravi , da je površina trikotnika s stranicami , in enaka kjer je polovica obsega trikotnika ; Heronovo formulo lahko zapišemo tudi kot Zgled Naj bo trikotnik s stranicami , in \ . Polovica obsega tega trikotnika je ploščina pa je V tem zgledu so stranice in ploščina cela števila , zaradi česar dani trikotnik imenujemo Heronski trikotnik . Kljub temu Heronova formula deluje za poljuben trikotnik . Zgodovina Formula je pripisana Heronu Aleksandrijskemu , njen dokaz najdemo v njegovi knjigi Metrica , napisani okoli leta Domneva se , da je Arhimed formulo poznal že dve stoletji prej . Metrica je namreč zbirka matematičnega znanja iz antičnega sveta in zato je možno , da je da je bila formula odkrita že prej . Formulo ekvivalentno Heronovi so neodvisno od Grkov odkrili Kitajci . Objavljena je bila v Matimatičnem učbeniku v devetih poglavjih ( Qin Jiushao , Dokazi V originalnem dokazu je Heron uporabil tetivne štirikotnike . Drugi dokazi se oslanjajo na trigonometrijo , trikotniku včrtano in očrtano krožnico , ali pa na De Guajev izrek ( za poseben primer ostrokotnih trikotnikov ) . Trigonometrični dokaz z uporabo kosinusnega izreka Sledeči sodoben algebraični dokaz se precej razlikuje od Heronovega ( Metrica ) . Naj bodo , in stranice trikotnika in , , pripadajoči koti . Z uporabo kosinusnega izreka dobimo \ . S preoblikovanjem tega izraza dobimo Višina trikotnika na stranico ima dolžino , sledi : Na dveh mestih je bilo v dokazu je uporabljeno pravilo za razcep razlike kvadratov : \ . Algebaični dokaz z uporabo Pitagorovega izreka Naslednji dokaz je zelo podoben dokazu , ki ga je objavil Raifaizen . Po Pitagorovem izreku je in ( glej skico na desni ) . Izraza odštejemo in dobimo \ . Ta enačba nam omogoča , da izrazimo s stranicami trikotnika : Za višino trikotnika velja \ . Ko iz zgornje formule vstavimo in uporabimo pravilo za razcep razlike kvadratov dobimo Ta rezultat zdaj uporabimo v formuli , ki ploščino podaja kot polovico produkta med stranico in pripadajočo višino : Trigonometrični dokaz s Kotangensnim zakonom Iz prvega dela kotangensnega zakona dobimo , da za ploščino trikotnika velja ter \ . Ker je vsota polovičnih kotov enaka , velja \ . Iz prve enačbe zato sledi Ko združimo obe enačbi , dobimo Numerična stabilnost Heronova formula , kot je podana zgoraj , je numerično nestabilna za trikotnike z zelo majhnim kotom pri uporabi aritmetike s plavajočo vejico . Za stabilno alternativo uredimo stranice tako , da velja , in izračunamo Oklepaji v zgornji formuli preprečujejo numerično nestabilnost pri računanju . Druge formule za ploščino , ki spominjajo na Heronovo formulo Obstajajo tri druge formule za ploščino z enako strukturo kot Heronova formula , izražene z različnimi količinami . Težiščnice trikotnika s stranicami , in po vrsti označimo s , in \ . Težiščnice seštejemo , in polovico vsote označimo s \ . Velja : Nato označimo višine na stranice kot , in \ . Označimo tudi polovico vsote nasprotnih vrednosti teh višin : \ . Dobimo Na koncu polovično vsoto sinusov kotov označimo kot \ . Dobimo kjer je premer včrtane krožnice : \ . Posplošitve Heronova formula je poseben primer Brahmaguptine formule , za računanje ploščin tetivnih štirikotnikov . Heronova formula in Brahmaguptina formula pa sta posebna primera Bretschneiderjeve formule za ploščino poljubnega štirikotnika . Heronovo formulo lahko dobimo iz Brahmaguptine formule ali Bretschneiderjeve formule tako , da eno od stranic štirikotnika nastavimo na nič . Heronova formula je tudi poseben primer formule za ploščino trapeza , izračunano zgolj iz stranic . Heronovo formulo dobimo tako , da krajšo osnovnico nastavimo na nič . Izražanje Heronove formule s Cayley - Mengerjevo determinanto kot kvadrati razdalj med tremi presečišči , ponazarja njeno podobnost s Tartagliovo enačbo za prostornino tetraedra . David P. Robbins je odkril še eno posplošitev Heronove formule na včrtane petkotnike in šestkotnike . Heronska formula za prostornino tetraedra Če so , , , , , po vrsti robovi tetraedra ( prvi trije tvorijo trikotnik ter leži nasproti , in tako naprej ) , potem je kjer so Sklici in reference Zunanje povezave ( v angleščini ) A Proof of the Pythagorean Theorem From Heron's Formula at Cut - the - knot Interactive applet and area calculator using Heron's Formula J. H. Conway discussion on Heron's Formula Heron's Formula and Brahmagupta's Generalization A Geometric Proof of Heron's Formula An alternative proof of Heron's Formula without words Factoring Heron Trikotniki