Coxeter-Dinkinov diagram
Coxeter-Dinkinov diagram (tudi Coxeterjev diagram ali Coxeterjev graf) je graf, ki ima s številkami označene stranice (imenujejo se veje) s katerimi se prikaže prostorske odnose med zbirko zrcal oziroma odbojnih hiperravnin. Opisujejo kalejdoskopsko konstrukcijo: vsak vozel grafa predstavlja ogledalo (v domeni facete). Oznaka pri vsaki veji določa stopnjo diedrskega kota dveh ogledal (v domeni grebena). Neoznačene veje pomenijo red 3.

Vsak diagram predstavlja Coxeterjevo grupo in tudi Coxeterjeve grupe so razvrščene po pripadajočih diagramih.

Podobni so Dinkinovi diagrami. Ti se od Coxeterjevih diagramov razlikujejo samo v tem, da so v Dinkinovih diagramih veje, ki imajo oznako 4 ali več, usmerjene. Coxeterjevi diagrami so neusmerjeni. Razen tega morajo Dinkinovi diagrami zadoščati še dodatni kristalografski omejitvi, ki zahteva, da so dovoljene veje samo 2, 3, 4 in 6.

Opis diagramov 

Veje Coxeter-Dinkinovih diagramov so označene z racionalnimi števili , kar predstavlja diedrski kot v velikosti 180°/p. Če je p enako 2, je kot 90° in se lahko v diagramu veja izpusti. Kadar je veja neoznačena, to pomeni, da zanjo velja , kar pomeni kot 60º. Vzporedni zrcali imata oznako "∞"

Geometrijska ponazoritev 

Coxeter-Dinkinov diagram se lahko prikaže kot domena ogledal. Ogledalo v tem primeru predstavlja hiperravnino s pomočjo sfernega ali evklidskega ali hiperboličnega prostora z dano razsežnostjo.

Takšna ponazoritev kaže osnovne domene za dvo in trirazsežne evklidske grupe in dvorazsežne sferne grupe.

Uporaba v uniformnih politopih 

Coxeter-Dinkinovi diagrami lahko opišejo skoraj vse vrste uniformnih politopov in uniformnih teselacij

Cartanove matrike 

Vsakemu Coxeterjevemu diagramu pripada odgovarjajoča Cartanova matrika. Vse Cartanove matrike Coxeterjevih grup so simetrične. Elementi Cartanove matrike so ai,j = aj,i = -2*cos(π/p),
kjer je:
  red veje med pari zrcal.

Determinanta Cartanove matrike določa ali je grupa končna (pozitivna), afina (nič) ali hiperbolična (negativna). Hiperbolična grupa ja kompaktna, če so vse njene podgrupe končne.

Končne Coxeterjeve grupe

Afine Coxeterjeve grupe

Hiperbolične Coxeterjeve grupe

Kompaktne

Rang 3

Rangi od 4 do 5

Nekompaktni

rang 3

Rangi od 4 do 10 

Znanih je skupno 48 nekompaktnih hiperboličnih Coxeterjevih grup z rangom od 4 do 10. V naslednji preglednici je vseh 58 razvrščenih v pet skupin.

Zunanje povezave 

 

Coxeterjeve grupe
Coxeter - Dinkinov diagram ( tudi Coxeterjev diagram ali Coxeterjev graf ) je graf , ki ima s številkami označene stranice ( imenujejo se veje ) s katerimi se prikaže prostorske odnose med zbirko zrcal oziroma odbojnih hiperravnin . Opisujejo kalejdoskopsko konstrukcijo : vsak vozel grafa predstavlja ogledalo ( v domeni facete ) . Oznaka pri vsaki veji določa stopnjo diedrskega kota dveh ogledal ( v domeni grebena ) . Neoznačene veje pomenijo red Vsak diagram predstavlja Coxeterjevo grupo in tudi Coxeterjeve grupe so razvrščene po pripadajočih diagramih . Podobni so Dinkinovi diagrami . Ti se od Coxeterjevih diagramov razlikujejo samo v tem , da so v Dinkinovih diagramih veje , ki imajo oznakoali več , usmerjene . Coxeterjevi diagrami so neusmerjeni . Razen tega morajo Dinkinovi diagrami zadoščati še dodatni kristalografski omejitvi , ki zahteva , da so dovoljene veje samoin Opis diagramov Veje Coxeter - Dinkinovih diagramov so označene z racionalnimi števili , kar predstavlja diedrski kot v velikosti / p. Če je p enako je kot in se lahko v diagramu veja izpusti . Kadar je veja neoznačena , to pomeni , da zanjo velja , kar pomeni kot . Vzporedni zrcali imata oznako " ∞ " Geometrijska ponazoritev Coxeter - Dinkinov diagram se lahko prikaže kot domena ogledal . Ogledalo v tem primeru predstavlja hiperravnino s pomočjo sfernega ali evklidskega ali hiperboličnega prostora z dano razsežnostjo . Takšna ponazoritev kaže osnovne domene za dvo in trirazsežne evklidske grupe in dvorazsežne sferne grupe . Uporaba v uniformnih politopih Coxeter - Dinkinovi diagrami lahko opišejo skoraj vse vrste uniformnih politopov in uniformnih teselacij Cartanove matrike Vsakemu Coxeterjevemu diagramu pripada odgovarjajoča Cartanova matrika . Vse Cartanove matrike Coxeterjevih grup so simetrične . Elementi Cartanove matrike so ai ,j = aj ,i =cos( π /p ) , kjer je : red veje med pari zrcal . Determinanta Cartanove matrike določa ali je grupa končna ( pozitivna ) , afina ( nič ) ali hiperbolična ( negativna ) . Hiperbolična grupa ja kompaktna , če so vse njene podgrupe končne . Končne Coxeterjeve grupe Afine Coxeterjeve grupe Hiperbolične Coxeterjeve grupe Kompaktne Rang 3 Rangi oddo 5 Nekompaktni rang 3 Rangi oddo Znanih je skupnonekompaktnih hiperboličnih Coxeterjevih grup z rangom oddo V naslednji preglednici je vsehrazvrščenih v pet skupin . Zunanje povezave Coxeterjeve grupe