Bertrandov izrek
Bertrandov izrék [bertránov ~] v klasični mehaniki pravi, da le za dva tipa potencialov obstajajo stabilni sklenjeni tiri (orbite), za obratno kvadratno centralno silo, kot sta gravitacijski ali elektrostatski potencial:

 

in za preprost potencial radialnega harmoničnega oscilatorja:

 

Izrek se imenuje po Josephu Louisu Françoisu Bertrandu, ki ga je leta 1873 objavil.

Splošna priprava 

Vse privlačne centralne sile lahko povzročajo krožne tire, ki so seveda sklenjene. Edina zahteva je, da je centralna sila točno enaka centripetalni sili, ki določa ustrezno kotno hitrost za dani krožni polmer. Necentralne sile – tiste, ki so odvisne od kotnih spremenljivk, in tudi od polmera – se tukaj ne upoštevajo, ker v splošnem ne povzročajo krožnih tirov.

Enačba gibanja na polmeru  za delec z maso , ki se giblje v centralnem potencialu , je dana z Euler-Lagrangeevimi enačbami: 

 

Pri tem se  in vrtilna količina  ohranjata. Prvi člen na levi strani je za krožne tire enak 0, sila , ki deluje navzven, je enaka centripetalni sili , kot se pričakuje.

Definicija vrtilne količine omogoča spremembo odvisne spremenljivke iz  v :

 

kar da novo gibalno enačbo neodvisno od časa:

 

Ta enačba postane kvazilinearna pri zamenjavi spremenljivk  in množenju obeh strani z  (glej tudi Binetova enačba):

Bertrandov izrek 

Kot je omenjeno zgoraj, lahko centralne sile za dano začetno hitrost povzročajo krožne tire. Vendar pri določeni radialni hitrosti ti tiri niso nujno stabilni ali sklenjeni. Stabilne in strogo sklenjene tire lahko povzročajo le obratne kvadratne sile in potencial radialnega harmoničnega oscilatorja (pokazana sta potreben in zadosten pogoj).

V enačbo za  se zaradi zgoščenega zapisa uvede funkcijo :

 

kjer  predstavlja radialno silo. Po kriteriju za popolno krožno gibanje pri polmeru  mora biti prvi člen na levi strani enak 0:

 

kjer je .

V naslednjem koraku se obravnava enačbo za  pri majhnih motnjah  iz popolnoma krožnih tirov. Na desni strani se lahko funkcijo  razvije v standardno Taylorjevo vrsto:

 

Če se vstavi ta razvoj v enačbo za  in odšteje konstantne člene, se dobi:

 

kar se lahko zapiše kot:

 

kjer je  konstanta.  mora biti nenegativna, drugače se bo polmer tira spreminjal eksponentno od vrednosti začetnega polmera. (Rešitev  odgovarja popolnoma krožnemu tiru.) Če se lahko zanemari desno stran (npr. pri zelo malih motnjah), so rešitve:

 

kjer je  integracijska konstanta. Da so tiri sklenjeni, mora biti  racionalno število. Mora biti tudi enako racionalno število za vse polmere, saj se  ne more vseskozi spreminjati; racionalna števila so med seboj popolnoma nepovezana. Ker morajo enačbe iz definicije:

 

veljati za poljubno vrednost , se lahko zapiše:

 

od koder sledi, da mora za silo veljati potenčni zakon:

 

Zaradi tega mora  imeti splošno obliko:

 

Za bolj splošne razlike od krožnosti, (če se npr. v razvoju  v Taylorjevo vrsto ne da zanemariti člene višjih redov), se lahko  razvije v Fourierovo vrsto, na primer:

 

Če se to rešitev vstavi v obe strani enačbe za  in izenači koeficiente, ki pripadajo isti frekvenci, se dobi sistem enačb:

 

 

 

in, kar je najpomembnejše: 

 

Zadnja enačba skupaj z enačbo za , izražena z , vodi do glavnega rezultata Bertrandovega izreka:

 

Tako so edini potenciali, ki lahko povzročajo stabilne, sklenjene, nekrožne tire, obratni kvadratni zakon sile () in potencial radialnega harmoničnega oscilatorja (). Rešitev  odgovarja popolnoma krožnim tirom, kar je omenjeno zgoraj; negativni rešitvi  pa nimata fizikalnega pomena.

Obratna kvadratna sila (Keplerjev problem) 

Za obratni kvadratni zakon sile, kot sta gravitacijski ali elekstrostatični potencial, se lahko zapiše potencial kot:

 
 
Tir  se lahko izpelje iz splošne enačbe:

 

katere rešitev je konstanta  s preprosto sinusoido:

 

Tu sta  (izsrednost) in  (fazni premik) integracijski konstanti.

To je splošna enačba za stožnico z goriščem v izhodišču;  odgovarja krožnici,  elipsi,  paraboli,   pa hiperboli. Izsrednost  je povezana s skupno energijo  (glej na primer Laplace-Runge-Lenzov vektor):

 

Primerjava teh enačb kaže, da  odgovarja elipsi,  paraboli,  pa hiperboli. Posebni primer, ko je:

 

odgovarja popolnoma krožnim tirom.

Radialni harmonični oscilator 

Računanje tira v potencialu radialnega harmoničnega oscilatorja je lažje z vektorskimi komponentami . Potencialno energijo se lahko zapiše kot:

   

Enačba gibanja za telo z maso  je dana s tremi neodvisnimi Euler-Lagrangeevimi enačbami: 

 

 

 

kjer mora biti konstanta  pozitivna, oziroma , da so tiri omejeni in sklenjeni. Drugače bi telo odneslo v neskončnost. Rešitve tega preprostega harmoničnega oscilatorja so si podobne:

 

 

 

Tu pozitivne konstante ,  in  predstavljajo amplitude nihanj, koti ,  in  pa njihove faze. Tir  je sklenjen, ker se ponovi ravno po periodi:

 

Sistem je tudi stabilen, ker majhna odstopanja amplitud in faz povzročajo odgovarjajoče majhne spremembe na celotnem tiru.

Sklici

Viri 

 
 

Klasična mehanika
Fizikalni izreki
Joseph Louis Francois Bertrand
1873 v znanosti
Bertrandov izrék [ bertránov ~ ] v klasični mehaniki pravi , da le za dva tipa potencialov obstajajo stabilni sklenjeni tiri ( orbite ) , za obratno kvadratno centralno silo , kot sta gravitacijski ali elektrostatski potencial : in za preprost potencial radialnega harmoničnega oscilatorja : Izrek se imenuje po Josephu Louisu Françoisu Bertrandu , ki ga je letaobjavil . Splošna priprava Vse privlačne centralne sile lahko povzročajo krožne tire , ki so seveda sklenjene . Edina zahteva je , da je centralna sila točno enaka centripetalni sili , ki določa ustrezno kotno hitrost za dani krožni polmer. Necentralne sile – tiste , ki so odvisne od kotnih spremenljivk , in tudi od polmera – se tukaj ne upoštevajo , ker v splošnem ne povzročajo krožnih tirov . Enačba gibanja na polmeru za delec z maso , ki se giblje v centralnem potencialu , je dana z Euler - Lagrangeevimi enačbami : Pri tem se in vrtilna količina ohranjata . Prvi člen na levi strani je za krožne tire enak sila , ki deluje navzven , je enaka centripetalni sili , kot se pričakuje . Definicija vrtilne količine omogoča spremembo odvisne spremenljivke iz v \ : kar da novo gibalno enačbo neodvisno od časa : Ta enačba postane kvazilinearna pri zamenjavi spremenljivk in množenju obeh strani z ( glej tudi Binetova enačba ) : Bertrandov izrek Kot je omenjeno zgoraj , lahko centralne sile za dano začetno hitrost povzročajo krožne tire . Vendar pri določeni radialni hitrosti ti tiri niso nujno stabilni ali sklenjeni . Stabilne in strogo sklenjene tire lahko povzročajo le obratne kvadratne sile in potencial radialnega harmoničnega oscilatorja ( pokazana sta potreben in zadosten pogoj ) . V enačbo za se zaradi zgoščenega zapisa uvede funkcijo \ : kjer predstavlja radialno silo . Po kriteriju za popolno krožno gibanje pri polmeru mora biti prvi člen na levi strani enak kjer je \ . V naslednjem koraku se obravnava enačbo za pri majhnih motnjah iz popolnoma krožnih tirov . Na desni strani se lahko funkcijo razvije v standardno Taylorjevo vrsto : Če se vstavi ta razvoj v enačbo za in odšteje konstantne člene , se dobi : kar se lahko zapiše kot : kjer je konstanta . mora biti nenegativna , drugače se bo polmer tira spreminjal eksponentno od vrednosti začetnega polmera . ( Rešitev odgovarja popolnoma krožnemu tiru . ) Če se lahko zanemari desno stran ( npr. pri zelo malih motnjah ) , so rešitve : kjer je integracijska konstanta . Da so tiri sklenjeni , mora biti racionalno število . Mora biti tudi enako racionalno število za vse polmere , saj se ne more vseskozi spreminjati ; racionalna števila so med seboj popolnoma nepovezana . Ker morajo enačbe iz definicije : veljati za poljubno vrednost , se lahko zapiše : od koder sledi , da mora za silo veljati potenčni zakon : Zaradi tega mora imeti splošno obliko : Za bolj splošne razlike od krožnosti , ( če se npr. v razvoju v Taylorjevo vrsto ne da zanemariti člene višjih redov ) , se lahko razvije v Fourierovo vrsto , na primer : Če se to rešitev vstavi v obe strani enačbe za in izenači koeficiente , ki pripadajo isti frekvenci , se dobi sistem enačb : in , kar je najpomembnejše : Zadnja enačba skupaj z enačbo za , izražena z , vodi do glavnega rezultata Bertrandovega izreka : Tako so edini potenciali , ki lahko povzročajo stabilne , sklenjene , nekrožne tire , obratni kvadratni zakon sile ( ) in potencial radialnega harmoničnega oscilatorja ( ) . Rešitev odgovarja popolnoma krožnim tirom , kar je omenjeno zgoraj ; negativni rešitvi pa nimata fizikalnega pomena . Obratna kvadratna sila ( Keplerjev problem ) Za obratni kvadratni zakon sile , kot sta gravitacijski ali elekstrostatični potencial , se lahko zapiše potencial kot : Tir se lahko izpelje iz splošne enačbe : katere rešitev je konstanta s preprosto sinusoido : Tu sta ( izsrednost ) in ( fazni premik ) integracijski konstanti . To je splošna enačba za stožnico z goriščem v izhodišču ; odgovarja krožnici , elipsi , paraboli , pa hiperboli . Izsrednost je povezana s skupno energijo ( glej na primer Laplace - Runge - Lenzov vektor ) : Primerjava teh enačb kaže , da odgovarja elipsi , paraboli , pa hiperboli . Posebni primer , ko je : odgovarja popolnoma krožnim tirom . Radialni harmonični oscilator Računanje tira v potencialu radialnega harmoničnega oscilatorja je lažje z vektorskimi komponentami \ . Potencialno energijo se lahko zapiše kot : Enačba gibanja za telo z maso je dana s tremi neodvisnimi Euler - Lagrangeevimi enačbami : kjer mora biti konstanta pozitivna , oziroma , da so tiri omejeni in sklenjeni . Drugače bi telo odneslo v neskončnost . Rešitve tega preprostega harmoničnega oscilatorja so si podobne : Tu pozitivne konstante , in predstavljajo amplitude nihanj , koti , in pa njihove faze . Tir je sklenjen , ker se ponovi ravno po periodi : Sistem je tudi stabilen , ker majhna odstopanja amplitud in faz povzročajo odgovarjajoče majhne spremembe na celotnem tiru . Sklici Viri Klasična mehanika Fizikalni izreki Joseph Louis Francois Bertrand 1873 v znanosti