Singularna točka krivulje
Singularna točka krivulje je na krivulji točka, kjer ji parameter ne daje gladkosti. Natančna definicija singularne točke
je odvisna od vrste krivulje.

Algebrske krivulje 
Algebrske krivulje v ravnini lahko definiramo kot množico točk , ki zadoščajo enačbi z obliko  , kjer je f polinomska funkcija .  Funkcijo f razvijmo kot 
.

Kadar je koordinatno izhodišče na krivulji, velja
. Če pa je , nam izrek o implicitni funkciji potrjuje, da obstoja gladka funkcija h tako, da ima krivulja v bližini izhodišča obliko . Podobno lahko zapišemo, če je , potem obstoja gladka funkcija k, tako, da ima krivulja v bližini izhodišča obliko . V obeh primerih obstoja gladka preslikava iz R na ravnino, ki določa krivuljo v bližini izhodišča. V izhodišču velja 
.

Krivulja je nesingularna v izhodišču, če je vsaj eden od parcialnih odvodov različen od 0. To pa pomeni, da so singularne točke tiste točke na krivulji, kjer sta oba parcialna odvoda enaka nič:
.

Regularne točke 
Predpostavimo, da teče krivulja skozi izhodišče in, da lahko pišemo .
V tem primeru lahko funkcijo f zapišemo kot 

Kadar vrednost izraza  ni enaka 0 takrat ima enačba  eno rešitev v . Izhodišče je v tem primeru točka edinega stika s premico . Če pa je , potem ima enačba vsaj dvojno rešitev in premica  ali  je tangenta na krivuljo.

Dvojne točke 

Kadar sta  in  enaka 0 in je vsaj eden od  ni enak 0, potem se izhodišče imenuje dvojna točka.  Če je , lahko zapišemo 
.
Dvojne točke lahko razvrstimo v skupine glede na rešitve enačbe 
c0+mc1+m2c2=0.

Dvojne točke 
Kadar je  dobimo dve realni rešitvi. Če pa je  se izhodišče imenuje dvojna točka. Krivulja seka samo sebe v izhodišču ter ima dve različni tangenti, ki pripadata dvema rešitvama enačbe . Funkcija f ima sedlasto točko v izhodišču.

Izolirane točke 
Kadar enačba  nima realnih rešitev, se izhodišče imenuje izolirana točka. V realni ravnini je izhodišče izolirana točka množice na krivulji.

Točke obrata 
Če  nima  realnih rešitev in je , potem se izhodišče imenuje izolirana točka. Krivulja v tem primeru v izhodišču spremeni smer in tvori konico. Krivulja ima samo eno tangento v izhodišču, ki jo lahko obravnavamo kot dve enaki tangenti.

Glej tudi 
 teorija singularnosti

Zunanje povezave 
 Singularne točke (poglavje II) 

Krivulje
Algebrske krivulje
Teorija singularnosti
Singularna točka krivulje je na krivulji točka , kjer ji parameter ne daje gladkosti . Natančna definicija singularne točke je odvisna od vrste krivulje . Algebrske krivulje Algebrske krivulje v ravnini lahko definiramo kot množico točk , ki zadoščajo enačbi z obliko , kjer je f polinomska funkcija \ . Funkcijo f razvijmo kot . Kadar je koordinatno izhodišče na krivulji , velja . Če pa je , nam izrek o implicitni funkciji potrjuje , da obstoja gladka funkcija h tako , da ima krivulja v bližini izhodišča obliko \ . Podobno lahko zapišemo , če je , potem obstoja gladka funkcija k , tako , da ima krivulja v bližini izhodišča obliko \ . V obeh primerih obstoja gladka preslikava iz R na ravnino , ki določa krivuljo v bližini izhodišča . V izhodišču velja . Krivulja je nesingularna v izhodišču , če je vsaj eden od parcialnih odvodov različen od To pa pomeni , da so singularne točke tiste točke na krivulji , kjer sta oba parcialna odvoda enaka nič : . Regularne točke Predpostavimo , da teče krivulja skozi izhodišče in , da lahko pišemo \ . V tem primeru lahko funkcijo f zapišemo kot Kadar vrednost izraza ni enakatakrat ima enačba eno rešitev v \ . Izhodišče je v tem primeru točka edinega stika s premico \ . Če pa je , potem ima enačba vsaj dvojno rešitev in premica ali je tangenta na krivuljo . Dvojne točke Kadar sta in enakain je vsaj eden od ni enak potem se izhodišče imenuje dvojna točka . Če je , lahko zapišemo . Dvojne točke lahko razvrstimo v skupine glede na rešitve enačbe c0+mc1+m2c2=0. Dvojne točke Kadar je dobimo dve realni rešitvi . Če pa je se izhodišče imenuje dvojna točka . Krivulja seka samo sebe v izhodišču ter ima dve različni tangenti , ki pripadata dvema rešitvama enačbe \ . Funkcija f ima sedlasto točko v izhodišču . Izolirane točke Kadar enačba nima realnih rešitev , se izhodišče imenuje izolirana točka . V realni ravnini je izhodišče izolirana točka množice na krivulji . Točke obrata Če nima realnih rešitev in je , potem se izhodišče imenuje izolirana točka . Krivulja v tem primeru v izhodišču spremeni smer in tvori konico . Krivulja ima samo eno tangento v izhodišču , ki jo lahko obravnavamo kot dve enaki tangenti . Glej tudi teorija singularnosti Zunanje povezave Singularne točke ( poglavje II ) Krivulje Algebrske krivulje Teorija singularnosti