Hiperkompleksno število
Hiperkompleksno število je element algebre nad obsegom realnih ali kompleksnih števil. Med hiperkompleksna števila so včasih prištevali kvaternione, bikompleksna števila (tesarine), kokvaternione, bikvaternione in oktonione. Pojem hiperkompleksnega števila pokriva vse naštete vrste števil.

Definicija 

Hiperkompleksna števila so definirana kot končno razsežna algebra nad realnimi števili tako, da je algebra unitarna in distributivna (ni nujno, da je tudi asociativna). Elementi so zgrajeni z realnimi koeficienti  z bazo . Primerno je, da normaliziramo bazo tako, da velja . Osnovni primer uporabe hiperkompleksnih števil ima razsežnost  2 . Višje razsežnosti se dobijo kot Cliffordove ali algebraične vsote drugih algeber.

Dvorazsežne realne algebre 

Znane so samo tri dvorazsežne algebre nad realnimi števili: običajna kompleksna števila, hiperbolična kompleksna števila in dualna števila

Večrazsežne algebre 

Cliffordova algebra je unitarna in asociativna algebra nad vektorskim prostorom, ki vsebuje tudi kvadratno formo. To je enakovredno možnosti definiranja skalarnega produkta, ki lahko ortogonalizira kvadratno formo, da dobimo množico baznih vektorjev  tako, da velja 

Cliffordove algebre označujemo s , kjer p pomeni elemente baze z  ter q   je , oznaka R pomeni, da imamo Cliffordovo algebro nad realnimi števili.

Primeri:  
  pomeni običajna kompleksna števila
  pomeni hiperbolična kompleksna števila
  pomeni kvaternione
  Cliffordove bikvaternione
  kokvaternione (to je naravna algebra 2-razsežnega prostora)
  naravna algebra 3-razsežnega prostora 
  algebra prostor-časa

Tenzorski produkt 

Tenzorski produkt poljubnih algeber je druga algebra, s pomočjo katere lahko kreiramo še več sistemov hiperkompleksnih števil. 

Tenzorski produkt s kompleksnimi števili nam da 4-razsežne tesarine , 8-razsežne bikvaternione dobimo s tenzorskim produktom  
in 16-razsežne oktonione dobimo s tenzorskim produktom .

Ostali primeri 

 bikompleksna števila 4-razsežni vektorski prostor nad realnimi števili 
 multikomplesna števila 2(n-1)-razsežni vektorski prostor nad kompleksnimi števili
 trokompleksna števila 3-razsežni vektorski prostor nad realnimi števili.

Zgodovina 

Hiperkompleksna števila obsegajo vso zgoraj našteta števila. Poskušalo se je urediti sistem vseh teh števil že v letu 1872, ko je ameriški matematik Benjamin Peirce (1809 – 1880) objavil svoje delo Linear Associative Algebra. Nemška matematika Adolf Hurwitz (1859 – 1919) in Ferdinand Georg Frobenius (1849 – 1917) sta dokazala dva izreka (Hurwitzov izrek in Frobeniusov izrek), s katerima sta postavila omejitve hiperkompleksnosti.

V letu 1929 je o hiperkompleksnih številih pisala tudi nemška matematičarka Emmy Noether ( 1882 – 1935) na Kolidžu Bryn Mawr v Pensilvaniji (ZDA) v kraju Brin Mawr. Tudi v delu o moderni algebri je nizozemski matematik Bartel Leendert van der Waerden (1903 – 1996) posvetil hiperkompleksnim številom večje število strani v svoji knjigi Zgodovina algebre (History of Algebra).

Opombe in sklici

Zunanje povezave 

 Hiperkompleksna števila na MathWorld 
 Hiperkompleksno število v nLab-u 
 Zgodovina hiperkompleksnega števila 
 Hiperkompleksno število 
 Komutativna hiperkompleksna matematika 

Kompleksna števila
 
Števila
Hiperkompleksno število je element algebre nad obsegom realnih ali kompleksnih števil . Med hiperkompleksna števila so včasih prištevali kvaternione , bikompleksna števila ( tesarine ) , kokvaternione , bikvaternione in oktonione . Pojem hiperkompleksnega števila pokriva vse naštete vrste števil . Definicija Hiperkompleksna števila so definirana kot končno razsežna algebra nad realnimi števili tako , da je algebra unitarna in distributivna ( ni nujno , da je tudi asociativna ) . Elementi so zgrajeni z realnimi koeficienti z bazo \ . Primerno je , da normaliziramo bazo tako , da velja \ . Osnovni primer uporabe hiperkompleksnih števil ima razsežnost \ . Višje razsežnosti se dobijo kot Cliffordove ali algebraične vsote drugih algeber. Dvorazsežne realne algebre Znane so samo tri dvorazsežne algebre nad realnimi števili : običajna kompleksna števila , hiperbolična kompleksna števila in dualna števila Večrazsežne algebre Cliffordova algebra je unitarna in asociativna algebra nad vektorskim prostorom , ki vsebuje tudi kvadratno formo . To je enakovredno možnosti definiranja skalarnega produkta , ki lahko ortogonalizira kvadratno formo , da dobimo množico baznih vektorjev tako , da velja Cliffordove algebre označujemo s , kjer p pomeni elemente baze z ter q je , oznaka R pomeni , da imamo Cliffordovo algebro nad realnimi števili . Primeri : pomeni običajna kompleksna števila pomeni hiperbolična kompleksna števila pomeni kvaternione Cliffordove bikvaternione kokvaternione ( to je naravna algebrarazsežnega prostora ) naravna algebrarazsežnega prostora algebra prostor - časa Tenzorski produkt Tenzorski produkt poljubnih algeber je druga algebra , s pomočjo katere lahko kreiramo še več sistemov hiperkompleksnih števil . Tenzorski produkt s kompleksnimi števili nam darazsežne tesarine ,razsežne bikvaternione dobimo s tenzorskim produktom inrazsežne oktonione dobimo s tenzorskim produktom \ . Ostali primeri bikompleksna številarazsežni vektorski prostor nad realnimi števili multikomplesna številan - 1) - razsežni vektorski prostor nad kompleksnimi števili trokompleksna številarazsežni vektorski prostor nad realnimi števili . Zgodovina Hiperkompleksna števila obsegajo vso zgoraj našteta števila . Poskušalo se je urediti sistem vseh teh števil že v letu ko je ameriški matematik Benjamin Peirce –objavil svoje delo Linear Associative Algebra . Nemška matematika Adolf Hurwitz –in Ferdinand Georg Frobenius –sta dokazala dva izreka ( Hurwitzov izrek in Frobeniusov izrek ) , s katerima sta postavila omejitve hiperkompleksnosti . V letuje o hiperkompleksnih številih pisala tudi nemška matematičarka Emmy Noether ( –na Kolidžu Bryn Mawr v Pensilvaniji ( ZDA ) v kraju Brin Mawr. Tudi v delu o moderni algebri je nizozemski matematik Bartel Leendert van der Waerden –posvetil hiperkompleksnim številom večje število strani v svoji knjigi Zgodovina algebre ( History of Algebra ) . Opombe in sklici Zunanje povezave Hiperkompleksna števila na MathWorld Hiperkompleksno število v nLab - u Zgodovina hiperkompleksnega števila Hiperkompleksno število Komutativna hiperkompleksna matematika Kompleksna števila Števila