Cayley-Dicksonova konstrukcija
Cayley-Dicksonova konstrukcija omogoča tvorbo zaporedja algeber nad obsegom realnih števil tako, da ima vsaka algebra dvakratno razsežnost predhodne.

Algebre, ki se jih tvori na ta način, se imenujejo Cayley-Dicksonove algebre, ker razširjajo kompleksna števila na hiperkompleksna števila. Vse te algebre vsebujejo involucijo.

Kompleksna števila kot urejeni pari 

Kompleksna števila se lahko zapiše kot urejeni par  realnih števil  in . Pri tem se izvaja seštevanje komponenta za komponento, množenje pa je določeno kot:
 
 

Vidi se, da je kompleksno število z ničelno drugo komponento enako realnemu številu, kar pomeni, da je  realno število.

Konjugirano število 

Konjugirano število . 
Za konjugirana števila velja značilnost:

 

To pa je nenegativno realno število. Tako konjugacija definira normo. Zaradi tega tvorijo kompleksna števila normirani vektorski prostor nad realnimi števili. 

Normo kompleksnega števila  se izračuna kot:
 
 

Obratna vrednost pa je:

Kvaternioni 

Kvaternione se dobi s pomočjo podobnega postopka.

Uporabi se urejeni par  kompleksnih števil  in . Množenje se definira kot :

  

Konjugirana vrednost para  je določena kot:
 
 

Produkt tega števila s svojo konjugirano vrednostjo je:

  To pa je nenegativno število. Pari teh števil tvorijo algebro, ki je podobna algebri realnih števil. Te vrste števila se imenujejo kvaternioni.

Oktonioni 

Postopek se lahko nadaljuje na podoben način. Urejeni par  dveh kvaternionov  in . Množenje in konjugiranje se definira enako kot za kvaternione. Urejeni par  kvaternionov  in .

 

Velja:
 
 

Pri tem je treba upoštevati, da kvaternioni niso komutativni. 

Algebro oktonionov je odkril irski pravnik in matematik John Thomas Graves (1806 – 1870). Oktonione imenujejo tudi Cayleyjeva števila.

Naslednje algebre 

Algebra, ki sledi algebri oktonionov je algebra sedenionov. V tej algebri velja potenčna asociativnost. To pa pomeni, da za sedenion  velja .

Cayley-Dicksonova konstrukcija se lahko nadaljuje do neskončnosti. Vsak naslednji korak da novo algebro, ki je potenčno asociativna, njena razsežnost pa je dvakrat večja od predhodne.

Zunanje povezave 

 Zgodovina hiperkompleksnih števil 
 Cayley-Dicksonova konstrukcija 
 Cayley-Dicksonova konstrukcija  na PlanethMath 

Hiperkompleksna števila
Cayley - Dicksonova konstrukcija omogoča tvorbo zaporedja algeber nad obsegom realnih števil tako , da ima vsaka algebra dvakratno razsežnost predhodne . Algebre , ki se jih tvori na ta način , se imenujejo Cayley - Dicksonove algebre , ker razširjajo kompleksna števila na hiperkompleksna števila . Vse te algebre vsebujejo involucijo . Kompleksna števila kot urejeni pari Kompleksna števila se lahko zapiše kot urejeni par realnih števil in \ . Pri tem se izvaja seštevanje komponenta za komponento , množenje pa je določeno kot : Vidi se , da je kompleksno število z ničelno drugo komponento enako realnemu številu , kar pomeni , da je realno število . Konjugirano število Konjugirano število \ . Za konjugirana števila velja značilnost : To pa je nenegativno realno število . Tako konjugacija definira normo . Zaradi tega tvorijo kompleksna števila normirani vektorski prostor nad realnimi števili . Normo kompleksnega števila se izračuna kot : Obratna vrednost pa je : Kvaternioni Kvaternione se dobi s pomočjo podobnega postopka . Uporabi se urejeni par kompleksnih števil in \ . Množenje se definira kot \ : Konjugirana vrednost para je določena kot : Produkt tega števila s svojo konjugirano vrednostjo je : To pa je nenegativno število . Pari teh števil tvorijo algebro , ki je podobna algebri realnih števil . Te vrste števila se imenujejo kvaternioni . Oktonioni Postopek se lahko nadaljuje na podoben način . Urejeni par dveh kvaternionov in \ . Množenje in konjugiranje se definira enako kot za kvaternione . Urejeni par kvaternionov in \ . Velja : Pri tem je treba upoštevati , da kvaternioni niso komutativni . Algebro oktonionov je odkril irski pravnik in matematik John Thomas Graves – Oktonione imenujejo tudi Cayleyjeva števila . Naslednje algebre Algebra , ki sledi algebri oktonionov je algebra sedenionov . V tej algebri velja potenčna asociativnost . To pa pomeni , da za sedenion velja \ . Cayley - Dicksonova konstrukcija se lahko nadaljuje do neskončnosti . Vsak naslednji korak da novo algebro , ki je potenčno asociativna , njena razsežnost pa je dvakrat večja od predhodne . Zunanje povezave Zgodovina hiperkompleksnih števil Cayley - Dicksonova konstrukcija Cayley - Dicksonova konstrukcija na PlanethMath Hiperkompleksna števila