Algebrska struktura
Algébrska struktúra (zastarelo algebrajska ali algebra(j)ična struktura) je v matematiki ime za množico skupaj z (vsaj eno) računsko operacijo, ki je definirana za elemente te množice. Algebrske strukture preučuje abstraktna algebra.

Temelj algebrske strukture se skriva v nekaterih osnovnih značilnostih, ki veljajo za določeno računsko operacijo. Te značilnosti se imenujejo tudi aksiomi algebrske strukture. Algebra v nadaljevanju preučuje značilnosti, ki so posledice aksiomov. Bistvo takega dela je splošnost: če se ugotovi, da ima neka struktura določene značilnosti, se lahko sklepa, da te značilnosti veljajo v splošnem za vsako množico, ki ima takšno strukturo.

Najpomembnejše algebrske strukture

Grupa 

Najosnovnejša algebrska struktura je grupa. To je množica M, v kateri se lahko brez omejitev izvaja neko računsko operacijo (tj: za poljubna dva elementa iz M je tudi rezultat operacije vedno element množice M). Operacijo se v splošnem piše z znakom *. Za to operacijo morajo veljati naslednji aksiomi (za vsak a, b, c iz M):
 operacija je asociativna: a * (b * c) = (a * b) * c
 v množici obstaja nevtralni element e, tako da velja: a * e = e * a = a
 vsak element a ima svoj inverzni element a−1, tako da velja: a * a−1 = a−1 * a = e

Posebej zanimiv zgled grupe je Abelova grupa. To je grupa v kateri poleg naštetih treh velja še četrti aksiom:
 operacija je komutativna: a * b = b * a

Obstaja veliko konkretnih množic, ki imajo strukturo grupe:
 množica vseh celih števil z operacijo seštevanje je Abelova grupa
 množica vseh realnih števil z operacijo seštevanje je Abelova grupa
 množica vseh od 0 različnih realnih števil z operacijo množenje je Abelova grupa
 množica vseh funkcij z operacijo kompozitum je grupa, ni pa Abelova grupa.

Kolobar in obseg 

Za abstraktno algebro so še bolj zanimive množice, v katerih sta definirani dve računski operaciji. Ena od operacij se po navadi imenuje seštevanje in se jo označi z znakom +, druga pa se imenuje množenje in se jo označi z znakom · (ali zaradi splošnosti tudi *).

Táka množica K se imenuje kolobar, če je K za operacijo + Abelova grupa, poleg tega pa za množenje veljata asociativnostni in distributivnostni zakon.

Kolobar, ki vsebuje tudi nevtralni element za množenje, se imenuje kolobar z enoto. Če ima poleg tega vsak element kolobarja (razen elementa 0) svoj inverzni element za množenje, se taka množica imenuje obseg. Obseg, v katerem je množenje komutativno, se imenuje komutativni obseg ali polje.

Znani komutativni obsegi so:

 obseg racionalnih števil
 obseg realnih števil
 obseg kompleksnih števil

Vektorski prostor 

Nekoliko drugačna struktura z dvema računskima operacijama je vektorski prostor. Gre za posplošitev množice elementarnih trirazsežnih vektorjev). 

Vektorski prostor je množica V, ki je za seštevanje Abelova grupa, druga računska operacija pa ni definirana v tej množici, pač pa povezuje elemente množice V z elementi nekega komutativnega obsega F. Ta operacija se imenuje množenje vektorja s skalárjem in mora imeti podobne značilnosti kot ustrezna operacija v množici običajnih vektorjev v ravnini ali v trirazsežnem prostoru.

Zanimive zglede vektorskih prostorov se najde v množici funkcij.

Glej tudi 

 matematična struktura
 teorija kategorij
 polje

Viri
Algébrska struktúra ( zastarelo algebrajska ali algebra( j ) ična struktura ) je v matematiki ime za množico skupaj z ( vsaj eno ) računsko operacijo , ki je definirana za elemente te množice . Algebrske strukture preučuje abstraktna algebra . Temelj algebrske strukture se skriva v nekaterih osnovnih značilnostih , ki veljajo za določeno računsko operacijo . Te značilnosti se imenujejo tudi aksiomi algebrske strukture . Algebra v nadaljevanju preučuje značilnosti , ki so posledice aksiomov . Bistvo takega dela je splošnost : če se ugotovi , da ima neka struktura določene značilnosti , se lahko sklepa , da te značilnosti veljajo v splošnem za vsako množico , ki ima takšno strukturo . Najpomembnejše algebrske strukture Grupa Najosnovnejša algebrska struktura je grupa . To je množica M , v kateri se lahko brez omejitev izvaja neko računsko operacijo ( tj : za poljubna dva elementa iz M je tudi rezultat operacije vedno element množice M ) . Operacijo se v splošnem piše z znakom *. Za to operacijo morajo veljati naslednji aksiomi ( za vsak a , b , c iz M ) : operacija je asociativna : a * ( b * c ) = ( a * b ) * c v množici obstaja nevtralni element e , tako da velja : a * e = e * a = a vsak element a ima svoj inverzni element a−1 , tako da velja : a * a−1 = a−1 * a = e Posebej zanimiv zgled grupe je Abelova grupa . To je grupa v kateri poleg naštetih treh velja še četrti aksiom : operacija je komutativna : a * b = b * a Obstaja veliko konkretnih množic , ki imajo strukturo grupe : množica vseh celih števil z operacijo seštevanje je Abelova grupa množica vseh realnih števil z operacijo seštevanje je Abelova grupa množica vseh odrazličnih realnih števil z operacijo množenje je Abelova grupa množica vseh funkcij z operacijo kompozitum je grupa , ni pa Abelova grupa . Kolobar in obseg Za abstraktno algebro so še bolj zanimive množice , v katerih sta definirani dve računski operaciji . Ena od operacij se po navadi imenuje seštevanje in se jo označi z znakom + , druga pa se imenuje množenje in se jo označi z znakom · ( ali zaradi splošnosti tudi * ) . Táka množica K se imenuje kolobar , če je K za operacijo + Abelova grupa , poleg tega pa za množenje veljata asociativnostni in distributivnostni zakon . Kolobar , ki vsebuje tudi nevtralni element za množenje , se imenuje kolobar z enoto . Če ima poleg tega vsak element kolobarja ( razen elementasvoj inverzni element za množenje , se taka množica imenuje obseg. Obseg , v katerem je množenje komutativno , se imenuje komutativni obseg ali polje . Znani komutativni obsegi so : obseg racionalnih števil obseg realnih števil obseg kompleksnih števil Vektorski prostor Nekoliko drugačna struktura z dvema računskima operacijama je vektorski prostor. Gre za posplošitev množice elementarnih trirazsežnih vektorjev ) . Vektorski prostor je množica V , ki je za seštevanje Abelova grupa , druga računska operacija pa ni definirana v tej množici , pač pa povezuje elemente množice V z elementi nekega komutativnega obsega F. Ta operacija se imenuje množenje vektorja s skalárjem in mora imeti podobne značilnosti kot ustrezna operacija v množici običajnih vektorjev v ravnini ali v trirazsežnem prostoru . Zanimive zglede vektorskih prostorov se najde v množici funkcij . Glej tudi matematična struktura teorija kategorij polje Viri