Midyjev izrek
Midyjev izrek v matematiki obravnava desetiški razvoj ulomkov oblike a/p, kjer je p praštevilo, ulomek a/p pa je okrajšani neskončni desetiški ulomek s sodo periodo. Imenuje se po francoskem matematiku E. Midyju. Če je perioda desetiškega razvoja ulomka a/p v intervalu (0,1) enaka 2n, velja  in:

 

števke v drugi polovici ponavljajoče desetiške periode pa so komplementarne glede na 9 z odgovarjajočimi števkami v prvi polovici, oziroma:

 
 

Ta značilnost se imenuje tudi Midyjeva značilnost ali značilnost devetic. Vodilne ničle v nizih zanemarjamo.

Na primer:

 
 
 
 

Prva najmanjša praštevila za katera velja Midyjev izrek so :

 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 73, 89, 97, 101, 103, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 157, 167, 179, 181, 193, 197, 211, ...

Midyjev izrek za nekatera sestavljena števila 

Midyjev izrek velja tudi za nekatere potence praštevil in za sestavljena števila m, deljiva z . Na primer:

 

 

Na primer  imajo poleg praštevil 7, 11 in 13 Midyjevo značilnost tudi njihovi produkti 77, 91, 143 in 1001:

 
 
 

Midyjev izrek velja tudi za nekatera sestavljena števila, ki so mnogokratniki praštevil s sodimi dolžinami period:

 14, 22, 26, 28, 34, 35, 38, 44, 46, 52, 55, 56, 58, 65, 68, 70, 76, 85, 88, 92, 94, 95, 98, ...

ne velja pa za mnogokokratnike, kot so:

 21, 33, 39, 42, 51, 57, 63, 66, 69, 78, 84, 87, 99, 102, ...

Prva najmanjša števila za katera velja Midyjev izrek so tako :

 7, 11, 13, 14, 17, 19, 22, 23, 26, 28, 29, 34, 35, 38, 44, 46, 47, 49, 52, 55, 56, 58, 59, 61, 65, 68, 70, 73, 76, 77, 85, 88, 89, 91, 92, 94, 95, 97, 98, ...

Razširjeni Midyjev izrek 

Če je k delitelj dolžine sode periode ulomka a/p (p praštevilo), razširjeni Midyjev izrek pravi, da je vsota nizov po k števk enaka mnogokratniku . Poleg tega velja tudi, če je k enak 2 ali 3, je vsota nizov točno enaka .

Na primer:

 

Če razdelimo niz periode na dele z 2 ali 1 števko, dobimo:

 
 

 

Če razdelimo niz periode (dolžina periode je 17-1=16) na dele s 4, 2 ali 1 števko, dobimo

 
 
 

 

kjer je dolžina periode enaka 19-1=18. Če razdelimo niz periode na dele s 6, 3, 2 ali 1 števko, dobimo:

Midyjev izrek za druge osnove 

Midyjev izrek in njegova razširitev nista odvisna od posebnih značilnosti desetiškega razvoja, tako da veljata v poljubni osnovi b, kjer  10k − 1 nadomesti bk − 1, seštevanje pa poteka v osnovi b. Na primer osmiško:

Dokaz Midyjevega izreka 

Midyjev izrek se lahko dokaže s prijemi teorije grup, pa tudi z elementarno algebro in modularno aritmetiko.

Naj je p praštevilo, a/p pa ulomek med 0 in 1. Predpostavimo, da ima perioda v razvoju ulomka a/p v osnovi b dolžino ℓ, kar da:

 

kjer je N celo število, katerega razvoj v osnovi b je niz a1a2...aℓ.

b ℓ − 1 je mnogokratnik p, ker je(b ℓ − 1)a/p celo število. Poleg tega bn−1 ni mnogokratnik p za katerokoli vrednost n manjšo od ℓ, saj bi bila potem dolžina ponavljajoče se periode ulomka a/p v osnovi b manjša od ℓ.

Naj je sedaj ℓ = hk. Potem je b ℓ − 1 mnogokratnik bk − 1. Naj je b ℓ − 1 = m(bk − 1), tako, da velja:

 

b ℓ − 1 je mnogokratnik p; bk − 1 ni mnogokratnik p (ker je k manj kot ℓ ); p pa je praštevilo, zato mora biti m mnogokratnik p,

 

pa je celo število. Tako je:

 

Sedaj razdelimo niz a1a2...aℓ na h enakih delov dolžine k, in ti naj predstavljajo cela števila N0...Nh − 1 v osnovi b, tako, da je:

 

Za dokaz razširjenega Midyjevega izreka v osnovi b moramo pokazati, da je vsota h celih števil Ni mnogokratnik bk − 1.

Ker je bk kongruentno 1 modulo bk − 1, bo tudi vsaka potenca bk kongruentna 1 modulo bk − 1. Zato:

 
 
 

kar dokazuje razširjeni Midyjev izrek v osnovi b.

Za dokaz izvirnega Midyjevega izreka vzamemo posebni primer, kjer je h = 2. N0 in N1 sta oba predstavljena z nizoma s k števkami v osnovi b, tako da za oba velja:

 

N0 in N1 ne moreta bita oba enaka 0 (saj bi bilo a/p = 0), in ne moreta biti oba enaka bk − 1 (ker bi bilo a/p = 1), tako da je:

 

in, ker je N0 + N1 mnogokratnik od bk − 1, sledi, da je:

Opombe in sklici

Viri 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Matematični izreki
Ulomki
Številski sistemi
1836 v znanosti
Midyjev izrek v matematiki obravnava desetiški razvoj ulomkov oblike a /p , kjer je p praštevilo , ulomek a /p pa je okrajšani neskončni desetiški ulomek s sodo periodo . Imenuje se po francoskem matematiku E. Midyju . Če je perioda desetiškega razvoja ulomka a /p v intervalu1) enaka , velja in : števke v drugi polovici ponavljajoče desetiške periode pa so komplementarne glede naz odgovarjajočimi števkami v prvi polovici , oziroma : Ta značilnost se imenuje tudi Midyjeva značilnost ali značilnost devetic . Vodilne ničle v nizih zanemarjamo . Na primer : Prva najmanjša praštevila za katera velja Midyjev izrek so \ : \ . . . Midyjev izrek za nekatera sestavljena števila Midyjev izrek velja tudi za nekatere potence praštevil in za sestavljena števila m , deljiva z \ . Na primer : Na primer imajo poleg praštevilinMidyjevo značilnost tudi njihovi produktiin Midyjev izrek velja tudi za nekatera sestavljena števila , ki so mnogokratniki praštevil s sodimi dolžinami period : \ . . . ne velja pa za mnogokokratnike , kot so : \ . . . Prva najmanjša števila za katera velja Midyjev izrek so tako \ : \ . . . Razširjeni Midyjev izrek Če je k delitelj dolžine sode periode ulomka a /p ( p praštevilo ) , razširjeni Midyjev izrek pravi , da je vsota nizov po k števk enaka mnogokratniku \ . Poleg tega velja tudi , če je k enakali je vsota nizov točno enaka \ . Na primer : Če razdelimo niz periode na dele zalištevko , dobimo : Če razdelimo niz periode ( dolžina periode je16 ) na dele salištevko , dobimo kjer je dolžina periode enaka18. Če razdelimo niz periode na dele salištevko , dobimo : Midyjev izrek za druge osnove Midyjev izrek in njegova razširitev nista odvisna od posebnih značilnosti desetiškega razvoja , tako da veljata v poljubni osnovi b , kjer − 1 nadomesti bk − 1, seštevanje pa poteka v osnovi b. Na primer osmiško : Dokaz Midyjevega izreka Midyjev izrek se lahko dokaže s prijemi teorije grup , pa tudi z elementarno algebro in modularno aritmetiko . Naj je p praštevilo , a /p pa ulomek medin Predpostavimo , da ima perioda v razvoju ulomka a /p v osnovi b dolžino ℓ , kar da : kjer je N celo število , katerega razvoj v osnovi b je niz a1a2 . . . aℓ . b ℓ − 1 je mnogokratnik p , ker je( b ℓ − 1)a /p celo število . Poleg tega bn−1 ni mnogokratnik p za katerokoli vrednost n manjšo od ℓ , saj bi bila potem dolžina ponavljajoče se periode ulomka a /p v osnovi b manjša od ℓ. Naj je sedaj ℓ = hk . Potem je b ℓ − 1 mnogokratnik bk − 1. Naj je b ℓ − 1 = m( bk − 1 ) , tako , da velja : b ℓ − 1 je mnogokratnik p ; bk − 1 ni mnogokratnik p ( ker je k manj kot ℓ ) ; p pa je praštevilo , zato mora biti m mnogokratnik p , pa je celo število . Tako je : Sedaj razdelimo niz a1a2 . . . aℓ na h enakih delov dolžine k , in ti naj predstavljajo cela števila N0 . . . Nh − 1 v osnovi b , tako , da je : Za dokaz razširjenega Midyjevega izreka v osnovi b moramo pokazati , da je vsota h celih števil Ni mnogokratnik bk − 1. Ker je bk kongruentnomodulo bk − 1, bo tudi vsaka potenca bk kongruentnamodulo bk − 1. Zato : kar dokazuje razširjeni Midyjev izrek v osnovi b. Za dokaz izvirnega Midyjevega izreka vzamemo posebni primer , kjer je h = N0 in N1 sta oba predstavljena z nizoma s k števkami v osnovi b , tako da za oba velja : N0 in N1 ne moreta bita oba enaka ( saj bi bilo a /p = in ne moreta biti oba enaka bk − 1 ( ker bi bilo a /p = tako da je : in , ker je N0 + N1 mnogokratnik od bk − 1, sledi , da je : Opombe in sklici Viri Matematični izreki Ulomki Številski sistemi 1836 v znanosti