Schläflijev simbol
Schläflijev simbol je v geometriji oznaka, ki ima obliko {p,q,r,...} in definira pravilne politope in teselacije.

Imenuje se po matematiku Ludwigu Schläfliju (1818–1895).

Opis 

Schläflijev simbol se lahko opiše rekurzivno tako, da se prične s p-kotnim mnogokotnikom. To pomeni, da oznaka {3} pomeni enakostranični trikotnik, oznaka {4} pomeni kvadrat in tako naprej. Pravilni polieder, ki ima q pravilnih stranskih ploskev iz p-kotnikov, ki se stikajo v oglišču ima oznako {p, q}. Primer:  kocka ima tri kvadrate, ki se stikajo v vsakem od  oglišč in zato označujemo kvadrat z {4, 3}. To pa pomeni da se v vsakem oglišču stikajo trije kvadrati.

Pravilni 4- politop z r{p, q} pravilnimi poliedrskimi celicami okoli vsakega roba se označuje z {p, q, r}. To seveda lahko nadaljujemo.

Pravilni politopi lahko imajo elemente zvezdnih mnogokotnikov kot je pentagram s simbolom {5/2}.

Faceta pravilnega politopa {p, q, r,...., y, z} je {p, q, r,...., y}.

Pravilni politop ima pravilno sliko oglišč. Slika oglišč pravilnega politopa {p, q, r,...} je {q, r,...}.

Pravilni politop ima tudi svoj dualni politop, ki ga prikažemo s Schläflijevimi simboli v obratnem vrstnem redu. Sebi dualni pravilni politop ima simetrični Schläflijev simbol.

Grupe simetrije 

Schläflijev simbol je v zvezi s simetrijskimi grupami refleksije, ki se imenujejo Coxeterjeve grupe. Za njihovo označevanje pa uporabljamo oglate oklepaje. Primer: [p, q, r]. Te grupe pogosto imenujemo kar s politopi, ki jih generirajo. Primeri: oznaka [3, 3] pomeni tetraedrsko simetrijo, oznaka [3, 4] pomeni oktaedrsko simetrijo, oznaka [3, 5] pa pomeni ikozaedersko simetrijo.

Pravilni poligoni v ravnini 
    
Schläflijev simbol za pravilni mnogokotnik z n robovi je {n},
Zgleda: pravilni petkotnik se označi z {5}
Pentagram ima oznako {5/2}

Pravilni poliedri v trirazsežnem prostoru 

Schläflijev simbol za pravilne poliedre je {p, q}, če so vse stranske ploskve p-kotniki in vsakemu oglišču pripada q stranskih ploskev. To pa pomeni, da je oblika oglišča q- kotnik.

Pravilni polihoroni v štirirazsežnem prostoru 

Schläflijev simbol za pravilne polihorone ima obliko {p, q, r}. Če so dvorazsežne stranske ploskve pravilni p-kotniki, potem so celice pravilni poliedri tipa {p, q}. Slike oglišč pa so pravilni poliedri tipa {q, r}, slike robov so pravilni r-kotniki, ki imajo tip {r}

Višje razsežnosti 

Za višje razsežnosti za politope definiramo Schläflijev simbol kot  {p1, p2, ..., pn − 1}, če imajo facete Schläflijev simbol enak  in imajo slike oglišč ta simbol v obliki {p2,p3, ..., pn − 1}.

Razširitev Schläflijevega simbola 

Coxeter (1907 – 2003) je razširil uporabo Schläflijevega simbola še na kvazipravilne poliedre z dodajanjem vertikalne razsežnosti v simbol. To je bila začetna točka v razvoju splošnejših Coxeter-Dinkinovih diagramov

Za rektificirane 4-politope pa velja

Zunanje povezave 

 
  Schläflijev simbol v Encyclopedia of Science  
 Imena poliedrov 
 Withoffov simbol 
 

Politopi
Matematična notacija
Schläflijev simbol je v geometriji oznaka , ki ima obliko { p ,q ,r , . . . } in definira pravilne politope in teselacije . Imenuje se po matematiku Ludwigu Schläfliju1895 ) . Opis Schläflijev simbol se lahko opiše rekurzivno tako , da se prične s p - kotnim mnogokotnikom . To pomeni , da oznaka { 3 } pomeni enakostranični trikotnik , oznaka { 4 } pomeni kvadrat in tako naprej . Pravilni polieder , ki ima q pravilnih stranskih ploskev iz p - kotnikov , ki se stikajo v oglišču ima oznako { p , q } . Primer : kocka ima tri kvadrate , ki se stikajo v vsakem od oglišč in zato označujemo kvadrat z { 4 , . To pa pomeni da se v vsakem oglišču stikajo trije kvadrati . Pravilni politop z r{ p , q } pravilnimi poliedrskimi celicami okoli vsakega roba se označuje z { p , q , r } . To seveda lahko nadaljujemo . Pravilni politopi lahko imajo elemente zvezdnih mnogokotnikov kot je pentagram s simbolom { 5 /2 } . Faceta pravilnega politopa { p , q , r , . . . . , y , z } je { p , q , r , . . . . , y } . Pravilni politop ima pravilno sliko oglišč . Slika oglišč pravilnega politopa { p , q , r , . . . } je { q , r, . . . } . Pravilni politop ima tudi svoj dualni politop , ki ga prikažemo s Schläflijevimi simboli v obratnem vrstnem redu . Sebi dualni pravilni politop ima simetrični Schläflijev simbol . Grupe simetrije Schläflijev simbol je v zvezi s simetrijskimi grupami refleksije , ki se imenujejo Coxeterjeve grupe . Za njihovo označevanje pa uporabljamo oglate oklepaje . Primer : [ p , q , r ] . Te grupe pogosto imenujemo kar s politopi , ki jih generirajo . Primeri : oznaka [ 3 , pomeni tetraedrsko simetrijo , oznaka [ 3 , pomeni oktaedrsko simetrijo , oznaka [ 3 , pa pomeni ikozaedersko simetrijo . Pravilni poligoni v ravnini Schläflijev simbol za pravilni mnogokotnik z n robovi je { n } , Zgleda : pravilni petkotnik se označi z { 5 } Pentagram ima oznako { 5 / 2} Pravilni poliedri v trirazsežnem prostoru Schläflijev simbol za pravilne poliedre je { p , q } , če so vse stranske ploskve p - kotniki in vsakemu oglišču pripada q stranskih ploskev . To pa pomeni , da je oblika oglišča q - kotnik . Pravilni polihoroni v štirirazsežnem prostoru Schläflijev simbol za pravilne polihorone ima obliko { p , q , r } . Če so dvorazsežne stranske ploskve pravilni p - kotniki , potem so celice pravilni poliedri tipa { p , q } . Slike oglišč pa so pravilni poliedri tipa { q , r } , slike robov so pravilni r - kotniki , ki imajo tip { r } Višje razsežnosti Za višje razsežnosti za politope definiramo Schläflijev simbol kot { p1 , p2 , \ . . . , pn − 1 } , če imajo facete Schläflijev simbol enak in imajo slike oglišč ta simbol v obliki { p2 ,p3 , \ . . . , pn − 1 } . Razširitev Schläflijevega simbola Coxeter –je razširil uporabo Schläflijevega simbola še na kvazipravilne poliedre z dodajanjem vertikalne razsežnosti v simbol . To je bila začetna točka v razvoju splošnejših Coxeter - Dinkinovih diagramov Za rektificiranepolitope pa velja Zunanje povezave Schläflijev simbol v Encyclopedia of Science Imena poliedrov Withoffov simbol Politopi Matematična notacija