Logaritemska spirala
Logaritemska spirala (tudi enakokotna spirala in spirala rasti) je vrsta spirale, ki se pogosto pojavlja v naravi.

Logaritemsko spiralo je prvi opisal francoski filozof, matematik, fizik, učenjak in častnik René Descartes (1596–1650), pozneje pa še švicarski matematik Jakob Bernoulli I. (1654–1705), ki jo je imenoval spira mirabilis (čudežna krivulja).

Logaritemska spirala v polarnih koordinatah 

V polarnem koordinatnem sistemu je:

 

ali:

 

kjer je:
  osnova naravnih logaritmov
  pozitivna realna konstanta
  pozitivna realna konstanta

Parametrična oblika 

Parametrična oblika enačbe logaritemske spirale je:

 
 

kjer sta  in  realni konstanti.

Značilnosti 

 kot  med tangento in premico v smeri polmera v točki  je konstanten.  
 od Arhimedove spirale se razlikuje v tem, da pri logaritemski spirali razdalje med posameznimi obrati tvorijo geometrijsko zaporedje, pri Arhimedovi spirali pa so konstantne. 
 logaritemska spirala je skladna sama s seboj pri vseh podobnostnih transformacijah. Skaliranje s faktorjem  da isti rezultat kot je original, samo brez vrtenja. Spirale so tudi skladne s svojimi evolventami, evolutami in nožiščnimi krivuljami. 
 če se nariše zlato spiralo (to je logaritemska spirala, ki raste navzven za faktorje enake zlatemu rezu za vsakih 90° vrtenja) ali kar je približno kot, da bi se uporabilo Fibonaccijeva števila.
 če se prične pot v neki točki  in se giblje proti notranjosti spirale oziroma proti izhodišču, se naredi poljubno število obratov, ne da bi se doseglo izhodišče, pa pri tem pa se naredi končno pot. Skupna pot, ki se pri tem naredi, je enaka , kjer je  razdalja točke  od izhodišča. To značilnost je odkril že italijanski fizik in matematik Evangelista Torricelli (1608 – 1647).

Splošna oblika logaritemske spirale   

Splošna oblika logaritemske spirale v polarnih koordinatah je:

 

kjer sta  in  realni števili. V tem obrazcu ni uporabljena osnova naravnih logaritmov , ampak poljubna osnova .

Logaritemska spirala v naravi 

V naravi je izredno veliko primerov, kjer se najde logaritemsko spiralo. Navedenih je le nekaj primerov:
 približevanje jastreba žrtvi.
 približevanje žuželk izvoru svetlobe
 rokavi spiralnih galaksij
 živci roženice
 rokavi tropskih ciklonov
 biološke strukture (lupine mehkužcev).

Glej tudi 

 spirala
 seznam krivulj

Sklici

Zunanje povezave 

 Zlati rez 
 Logaritemske spirala na 2dcurves.com 
 
 Logaritemska spirala  na PlanethMath 
 Logaritemska spirala v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquable 
 Spirale  na Spiralzoom 
 Logaritemska spirala na JSXGraph 

Spirale
Logaritmi
Logaritemska spirala ( tudi enakokotna spirala in spirala rasti ) je vrsta spirale , ki se pogosto pojavlja v naravi . Logaritemsko spiralo je prvi opisal francoski filozof , matematik , fizik , učenjak in častnik René Descartes1650 ) , pozneje pa še švicarski matematik Jakob Bernoulli I . 1705 ) , ki jo je imenoval spira mirabilis ( čudežna krivulja ) . Logaritemska spirala v polarnih koordinatah V polarnem koordinatnem sistemu je : ali : kjer je : osnova naravnih logaritmov pozitivna realna konstanta pozitivna realna konstanta Parametrična oblika Parametrična oblika enačbe logaritemske spirale je : kjer sta in realni konstanti . Značilnosti kot med tangento in premico v smeri polmera v točki je konstanten . od Arhimedove spirale se razlikuje v tem , da pri logaritemski spirali razdalje med posameznimi obrati tvorijo geometrijsko zaporedje , pri Arhimedovi spirali pa so konstantne . logaritemska spirala je skladna sama s seboj pri vseh podobnostnih transformacijah . Skaliranje s faktorjem da isti rezultat kot je original , samo brez vrtenja . Spirale so tudi skladne s svojimi evolventami , evolutami in nožiščnimi krivuljami . če se nariše zlato spiralo ( to je logaritemska spirala , ki raste navzven za faktorje enake zlatemu rezu za vsakih vrtenja ) ali kar je približno kot , da bi se uporabilo Fibonaccijeva števila . če se prične pot v neki točki in se giblje proti notranjosti spirale oziroma proti izhodišču , se naredi poljubno število obratov , ne da bi se doseglo izhodišče , pa pri tem pa se naredi končno pot . Skupna pot , ki se pri tem naredi , je enaka , kjer je razdalja točke od izhodišča . To značilnost je odkril že italijanski fizik in matematik Evangelista Torricelli – Splošna oblika logaritemske spirale Splošna oblika logaritemske spirale v polarnih koordinatah je : kjer sta in realni števili . V tem obrazcu ni uporabljena osnova naravnih logaritmov , ampak poljubna osnova \ . Logaritemska spirala v naravi V naravi je izredno veliko primerov , kjer se najde logaritemsko spiralo . Navedenih je le nekaj primerov : približevanje jastreba žrtvi . približevanje žuželk izvoru svetlobe rokavi spiralnih galaksij živci roženice rokavi tropskih ciklonov biološke strukture ( lupine mehkužcev ) . Glej tudi spirala seznam krivulj Sklici Zunanje povezave Zlati rez Logaritemske spirala nacurves.com Logaritemska spirala na PlanethMath Logaritemska spirala v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquable Spirale na Spiralzoom Logaritemska spirala na JSXGraph Spirale Logaritmi