Tavtohrona krivulja
Tavtohrona krivulja (tudi izohrona krivulja) iz  starogrške besede : tavto, kar pomeni isti in  besede : chrono, kar pomeni čas oziroma iz besede iso, kar pomeni enak) je krivulja po kateri bi se moralo gibati telo (ki se ga je brez začetne hitrosti spustilo), da bi brez trenja v enakomerni težnosti prišlo v najnižjo točko neodvisno od začetne točke. Krivulja, ki zadošča tem zahtevam, je cikloida.

Problem tavtohronosti 

Problem tavtohronosti išče obliko krivulje po kateri bi se moralo gibati telo, da bi prišlo do najnižje točke v skladu z definicijo tavtohrone krivulje.
 
Problem je prvi rešil nizozemski astronom, fizik in matematik Christiaan Huygens (1629 – 1695) v letu 1650. Ugotovil je, da je oblika krivulje enaka cikloidi (samo eni veji). 

Problem tavtohronosti so pričeli intenzivneje proučevati, ko so ugotovili, da nihalo, ki niha po krožni poti, ni izohrono. To pomeni, da bo ura na nihalo kazala različne čase v odvisnosti od tega kako daleč nihalo zaniha.

Pozneje sta matematika Joseph-Louis de Lagrange (1736 – 1813) in Leonhard Euler (1707 – 1783) podala analitično rešitev problema.

Lagrangeeva rešitev 

Če bi se parametriziralo lego delca z dolžino loka  od najnižje točke, je kinetična energija sorazmerna . Potencialna energija pa je sorazmerna z . Da bi se dobilo izohrono krivuljo, mora biti lagranžijan enak lagranžijanu za preprosti harmonični oscilator. Višina krivulje mora biti enaka kvadratu dolžine loka. To se lahko zapiše kot:

 

Sorazmernostno konstanto se lahko postavi na 1, če se prilagodi enoto za dolžino. Diferencialna oblika je:
 

Če se eliminira , se dobi diferencialno enačbo:

 .

Da se dobi rešitev, je treba integrirati, kar da:

      

kjer se je označilo .

To se lahko piše kot:
 
 
 

Lahko se dokaže, da je to na nenavaden način parametrizirana oblika enačbe cikloide.

Glej tudi 

 brahistrokrona

Sklici

Viri

Zunanje povezave 

 
 Tavtohrona krivulja v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables 

Krivulje
1650 v znanosti
Tavtohrona krivulja ( tudi izohrona krivulja ) iz starogrške besede \ : tavto , kar pomeni isti in besede \ : chrono , kar pomeni čas oziroma iz besede iso , kar pomeni enak ) je krivulja po kateri bi se moralo gibati telo ( ki se ga je brez začetne hitrosti spustilo ) , da bi brez trenja v enakomerni težnosti prišlo v najnižjo točko neodvisno od začetne točke . Krivulja , ki zadošča tem zahtevam , je cikloida . Problem tavtohronosti Problem tavtohronosti išče obliko krivulje po kateri bi se moralo gibati telo , da bi prišlo do najnižje točke v skladu z definicijo tavtohrone krivulje . Problem je prvi rešil nizozemski astronom , fizik in matematik Christiaan Huygens –v letu Ugotovil je , da je oblika krivulje enaka cikloidi ( samo eni veji ) . Problem tavtohronosti so pričeli intenzivneje proučevati , ko so ugotovili , da nihalo , ki niha po krožni poti , ni izohrono . To pomeni , da bo ura na nihalo kazala različne čase v odvisnosti od tega kako daleč nihalo zaniha . Pozneje sta matematika Joseph - Louis de Lagrange –in Leonhard Euler –podala analitično rešitev problema . Lagrangeeva rešitev Če bi se parametriziralo lego delca z dolžino loka od najnižje točke , je kinetična energija sorazmerna \ . Potencialna energija pa je sorazmerna z \ . Da bi se dobilo izohrono krivuljo , mora biti lagranžijan enak lagranžijanu za preprosti harmonični oscilator . Višina krivulje mora biti enaka kvadratu dolžine loka . To se lahko zapiše kot : Sorazmernostno konstanto se lahko postavi na če se prilagodi enoto za dolžino . Diferencialna oblika je : Če se eliminira , se dobi diferencialno enačbo : \ . Da se dobi rešitev , je treba integrirati , kar da : kjer se je označilo \ . To se lahko piše kot : Lahko se dokaže , da je to na nenavaden način parametrizirana oblika enačbe cikloide . Glej tudi brahistrokrona Sklici Viri Zunanje povezave Tavtohrona krivulja v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables Krivulje 1650 v znanosti