Kleinova steklenica
Kleinova steklenica  (tudi Kleinova ploskev) je neorientabilna površina (dvorazsežna mnogoterost). Druga prav tako neorientabilna objekta sta Möbiusov trak in realna projektivna ravnina.  Möbiusov trak je površina z mejami, Kleinova steklenica pa nima mej.

Prvi je Kleinovo steklenico opisal v letu 1882 nemški matematik Felix Christian Klein (1849 – 1925). Prvotno so Kleinovo steklenico imenovali Kleinova površina

Nastanek 
Kleinova steklenica nastane na naslednji način:
Pričnemo s kvadratom, ki ga sestavljajo štiri puščice (dve modri in dve rdeči) (korak 1). Zalepimo rdeče in modre puščice in dobimo valj (korak 2). Nato potegnemo konec valja tako, da ga vključimo v začetni valj iz 2. koraka (pri tem seveda nastane presečni krog) (korak 3, 4 in 5). Zaključek valja potegnemo skozi začetni valj (korak 6) in na koncu zavihamo proti začetnemu valju in površino zalepimo z njim.  Če bi dodali četrto razsežnost ne bi nastal presečni krog. 

Kvadrat imenujemo (je) fundamentalni mnogokotnik za Kleinovo steklenico.

Kleinove steklenice ne moremo realizirati v trirazsežnem prostoru, lahko jo pa v 4-razsežnem. Kleinova steklenica je dvorazsežna mnogoterost, ki obstoja samo v štirih razsežnostih.

Značilnosti 
 Podobno kot Möbiusov trak je tudi Kleinova steklenica dvorazsežna neorientabilna mnogoterost 
 V nasprotju z Möbiusovim trakom je Kleinova steklenica zaprta mnogoterost, kar pomeni, da je kompaktna mnogoterost brez mej 
 Kleinova steklenica se lahko dobi z lepljenjem dveh Möbiusovih trakov
 kromatično število je enako 6
 neničelna Bettijeva števila so  
 Kleinova steklenica ne more biti vložena v trirazsežen evklidski prostor, lahko je vanj potopljena   
 Eulerjeva karakteristika Kleinove steklenice je enaka 0
 Kleinove steklenice ne moremo narediti v trirazsežnem prostoru brez sekanja površine, lahko pa jo realiziramo v štirirazsežnem prostoru
 prava Kleinova steklenica ne seka svoje površine
 Kleinova steklenica nima notranjosti in ima samo eno površino
 Kleinove steklenice ne moremo vložiti v trirazsežni prostor, lahko ga pa vanj potopimo 
 Kleinova steklenica ima takšno površino, da se lahko po njej gibljemo iz zunanjosti v notranjost

Parametrizacija 

.

V parametrični obliki je to

kjer je

za 0 ≤ u < 2π in 0 ≤ v < 2π.

V tej parametrizaciji pomeni u pomeni dolžino telesa steklenice, v pa določa njen obseg.

Razčlenitev 
Če razdelimo Kleinovo steklenico vzdolž njene ravnine simetrije dobimo dva zrcalna Möbiusova trakova od katerih je eden nastal tako, kot da bi trak zavrteli v levo, drugi pa v desno.
  
Kleinovo steklenico lahko naredimo tudi tako, da vzamemo dva Möbiusova trakova in ju zlepimo vzdolž njunih mej. Tako dobimo  Kleinovo steklenico v obliki osmice (dobimo jo tudi tako, da zavrtimo osmico okoli osi in jo pri tem pri tem še zavrtimo). To  je imerzija (potopitev) Kleinove steklenice. Lahko se dokaže, da je oblika osmice tudi Kleinova steklenica (imenujemo jo tudi podoba 8 Kleinove steklenice). To je samo drugačen model Kleinove steklenice.

Glej tudi 
 algebrska topologija
 Boyjeva ploskev
 Sferikon
 topologija

Opombe in sklici

Zunanje povezave 
 Kleinova steklenica na MathWorld 
 Kleinova steklenica na PlanethMath  
 Kleinova steklenica in projektivna ravnina 

Ploskve
Geometrijska topologija
1882 v znanosti
Kleinova steklenica ( tudi Kleinova ploskev ) je neorientabilna površina ( dvorazsežna mnogoterost ) . Druga prav tako neorientabilna objekta sta Möbiusov trak in realna projektivna ravnina . Möbiusov trak je površina z mejami , Kleinova steklenica pa nima mej . Prvi je Kleinovo steklenico opisal v letunemški matematik Felix Christian Klein – Prvotno so Kleinovo steklenico imenovali Kleinova površina Nastanek Kleinova steklenica nastane na naslednji način : Pričnemo s kvadratom , ki ga sestavljajo štiri puščice ( dve modri in dve rdeči ) ( korak Zalepimo rdeče in modre puščice in dobimo valj ( korak Nato potegnemo konec valja tako , da ga vključimo v začetni valj iz koraka ( pri tem seveda nastane presečni krog ) ( korakin Zaključek valja potegnemo skozi začetni valj ( korakin na koncu zavihamo proti začetnemu valju in površino zalepimo z njim . Če bi dodali četrto razsežnost ne bi nastal presečni krog. Kvadrat imenujemo ( je ) fundamentalni mnogokotnik za Kleinovo steklenico . Kleinove steklenice ne moremo realizirati v trirazsežnem prostoru , lahko jo pa vrazsežnem . Kleinova steklenica je dvorazsežna mnogoterost , ki obstoja samo v štirih razsežnostih . Značilnosti Podobno kot Möbiusov trak je tudi Kleinova steklenica dvorazsežna neorientabilna mnogoterost V nasprotju z Möbiusovim trakom je Kleinova steklenica zaprta mnogoterost , kar pomeni , da je kompaktna mnogoterost brez mej Kleinova steklenica se lahko dobi z lepljenjem dveh Möbiusovih trakov kromatično število je enako 6 neničelna Bettijeva števila so Kleinova steklenica ne more biti vložena v trirazsežen evklidski prostor , lahko je vanj potopljena Eulerjeva karakteristika Kleinove steklenice je enaka 0 Kleinove steklenice ne moremo narediti v trirazsežnem prostoru brez sekanja površine , lahko pa jo realiziramo v štirirazsežnem prostoru prava Kleinova steklenica ne seka svoje površine Kleinova steklenica nima notranjosti in ima samo eno površino Kleinove steklenice ne moremo vložiti v trirazsežni prostor , lahko ga pa vanj potopimo Kleinova steklenica ima takšno površino , da se lahko po njej gibljemo iz zunanjosti v notranjost Parametrizacija . V parametrični obliki je to kjer je za ≤ u < in≤ v < . V tej parametrizaciji pomeni u pomeni dolžino telesa steklenice , v pa določa njen obseg. Razčlenitev Če razdelimo Kleinovo steklenico vzdolž njene ravnine simetrije dobimo dva zrcalna Möbiusova trakova od katerih je eden nastal tako , kot da bi trak zavrteli v levo , drugi pa v desno . Kleinovo steklenico lahko naredimo tudi tako , da vzamemo dva Möbiusova trakova in ju zlepimo vzdolž njunih mej . Tako dobimo Kleinovo steklenico v obliki osmice ( dobimo jo tudi tako , da zavrtimo osmico okoli osi in jo pri tem pri tem še zavrtimo ) . To je imerzija ( potopitev ) Kleinove steklenice . Lahko se dokaže , da je oblika osmice tudi Kleinova steklenica ( imenujemo jo tudi podobaKleinove steklenice ) . To je samo drugačen model Kleinove steklenice . Glej tudi algebrska topologija Boyjeva ploskev Sferikon topologija Opombe in sklici Zunanje povezave Kleinova steklenica na MathWorld Kleinova steklenica na PlanethMath Kleinova steklenica in projektivna ravnina Ploskve Geometrijska topologija 1882 v znanosti