Cliffordova algebra
Cliffordova algebra oziroma Cliffordove algebre so vrsta asociativnih algeber. Lahko jih obravnavamo kot posplošitev kompleksnih števil in kvaternionov. Cliffordova algebra ni samo ena, ampak jih je veliko, kar je odvisno od izbire števila razsežnosti prostora algebre. Za prostor algebre, ki ima razsežnost  moramo imeti  neodvisnih najpogosteje ortogonalnih  enotskih baznih vektorjev. Realna števila, kompleksna števila in kvaternioni tvorijo podalgebre Cliffordove algebre. 

Imenuje se po angleškem matematiku in filozofu Williamu Klingdonu Cliffordu (1845 – 1879), ki je prvi opisal te vrste algebre v letu 1876. Hotel je posplošiti kvaternione višjih razsežnosti. 

Realna števila so podalgebra Cliffordove algebre, prav tako  tudi vektorska algebra,  kompleksna števila in kvaternioni  tvorijo podalgebro Cliffordove algebre .
Cliffordova algebra je pomembna v teoriji kvadratnih form in ortogonalnih transformacij. Pomembna je tudi v fiziki.

Osnova Cliffordovi algebri je produkt dveh vektorjev, ki je sestavljen iz dveh delov: skalarnega in bivektorskega dela. Skalarni del je

Značilnosti 

Naj bo  vektorski prostor nad obsegom  in naj bo  kvadratna forma nad . V večini primerov je obseg  enak   ali  ali končni obseg.

Cliffordova algebra Cℓ(V,Q) je unitarna asociativna algebra nad K skupaj z linearno preslikavo i : V → Cℓ(V,Q), ki zadošča 
i(v)2 za vse v ∈ V določenimi z univerzalno lastnostjo: 
za dano asociativno algebro A nad obsegom K in vsako linearno preslikavo j : V → A velja
j(v)2 = Q(v)1A za vse v ∈ V,
kjer 
 1A pomeni multiplikativni nevtralni element za A 

Oznaka  pomeni Cliffordovo algebro nad realnimi števili, kjer p pomeni število elementov baze z  (število baznih vektorjev, ki imajo pozitivne kvadrate) ter q  (število baznih vektorjev, ki imajo negativne kvadrate), oznaka R pomeni, da imamo Cliffordovo algebro nad realnimi števili. Cliffordovo algebro
Cℓ(V,Q) lahko potem definiramo kot algebro kvocientov
Cℓ(V,Q) = T(V)/IQ.
Produkt kolobarjev, ki je značilnost tega kvocienta, se imenuje Cliffordov produkt in ga na ta način razlikujemo od skalarnega in vektorskega produkta.

Zgledi:
  pomeni običajna kompleksna števila
  pomeni hiperbolična števila
  pomeni kvaternione
  Cliffordove bikvaternione
  kokvaternione (to je naravna algebra 2-razsežnega prostora)
  naravna algebra 3-razsežnega prostora 
  algebra prostor-časa

Cliffordova algebra, kot smo jo opisali, vedno obstoja. Lahko jo kreiramo na naslednji način: Najprej določimo splošno algebro, ki vsebuje V, to se pravi  tenzorsko algebro, ki jo označimo s T(V). Potem še uveljavimo osnovno identiteto s prevzemom primernega kvocienta. V našem primeru uporabimo dvostranski ideal IQ.

Baza in razsežnost 

Kadar je razsežnost prostora V enaka n in je  {e1, ....,en} baza prostora V, potem je množica 

baza Cℓ(V,Q)
prazen produkt (k = 0) je definiran kot multiplikateven nevtralni element. Za vsako vrednost k lahko izberemo n baznih elementov tako, da je razsežnost Cliffordove algebre enaka 

kjer dim pomeni razsežnost (glej razsežnost).
Ker pa V vsebuje tudi kvadratno formo, obstojaja posebna baza za V. Ta je ortogonalna. Za ortogonalno bazo pa velja, da je 
.
kjer je  ⟨·,·⟩ simetrična bilinearna forma povezana s Q. Iz osnovne Cliffordove identitete sledi, da za ortogonalno bazo velja  
.
To pa, da je delo z vektorji ortogonalne baze precej enostavno.

Zgledi: realna in kompleksna Cliffordova algebra 

Najpomembnejše Cliffordove algebre so tiste nad realnimi in kompleksnimi vektorskimi prostori, ki vsebujejo tudi nedegenerirane kvadratne forme.

Iz tega sledi, da je vsaka algebra Cℓp,q(R) in Cℓn(C) izomorfna z A ali z A⊕A, kjer je A kolobar matrik z elementi iz R ali C ali H.
Oznaka ⊕ pomeni direktno vsoto.

Realna števila 

Vsaka nedegenerirana kvadratna forma nad končno razsežnim vektorskim prostorom je ekvivalentna z običajno diagonalno formo

kjer je    razsežnost vektorskega prostora. Par celih števil (p, q) se imenuje signatura kvadratne forme. Realni  vektorski prostor s kvadratnimi formami pogosto označujemo z Rp,q. Cliffordovo algebro nad  prostorom Rp,q označujemo s 
Cℓp,q(R) 
Oznaka
Cℓn(R)
lahko pomeni
Cℓn,0(R) 
ali pa 
Cℓ0,n(R).

Standardno ortonormalno bazo {ei} za Rp, q sestavlja n = p + q medsebojno pravokotnih vektorjev. Med njimi je p takšnih, ki imajo normo enako +1, q pa je takšnih, ki imajo normo enako -1. 

Cliffordova algebra z oznako Cℓ0, 0(R) je izomorfna z R. V njej ni neničelnih vektorjev.  Algebra Cℓ0, 1(R) je dvorazsežna algebra, ki jo generira samo eden vektor e1, ki ima kvadrat enak -1 in je tako izomorfen s C. Naslednja je algebra Cℓ0, 3(R), ki je 8-razsežna algebra,  izomorfna z direktno vsoto H ⊕ H, kar imenujemo razcepljeni bikvaternioni.

Kompleksna števila  

Cliffordovo algebro lahko proučujemo tudi v kompleksnih vektorskih prostorih.
Vsaka nedegenerirana kvadratna forma kompleksnih vektorskih prostorih je enakovredna standardni diagonalni formi

kjer je n = dim V. Tako je samo ena nedegenerirana Cliffordova algebra za vsako razsežnost n. Cliffordovo algebro nad  Cn označujemo s Cℓn(C). 

Nekaj osnovnih zgledov je:
Cℓ0(C) ≅ C, kompleksna števila
Cℓ1(C) ≅ C ⊕ C imenujemo bikompleksna števila
Cℓ2(C) ≅ M2(C)
kjer  
  Mn(C) pomeni algebro  n×n matrik nad C.
 oznaka  pomeni skladnost
 oznaka ⊕ pa pomeni direktno vsoto

Kontrukcija kvaternionov 

Kvaternione lahko konstruiramo kot parno podalgebro Cliffordove algebre Cℓ0,3(R).

Naj bo vektorski prostor V realni trirazsežni prostor R3. Kvadratno formo Q lahko dobimo iz običajne Evklidske metrike. Za v, w v R3 imamo kvadratno formo ali skalarni produkt kot 
 . 
Če vpeljemo Cliffordov produkt vektorjev vin w, dobimo 
.

Povezava s kvaternioni se z lahkoto pokaže.

Označimo množico ortogonalnih vektorjev v R3 kot   e1 e2 in e3. Cliffordov produkt nam na ta način da

in
.

Splošni element Cliffordove algebre Cℓ0,3(R) je dan z

Bazni vektorji so enakovredni kvaternionskim enotam  i, j in k z naslednjimi zvezami

To pa tudi kaže, da je parna podalgebra Cℓ0,3(R) realna kvaternionska algebra. To se vidi iz 

in

in tudi

Konstrukcija  dualnih kvaternionov 
Dualne kvaternione konstruiramo kot parno Cliffordovo algebro v realnem štirirazsežnem prostoru z degenerirano kvadratno formo . 
Naj bo vektorski prostor realni štiri razsežni prostor R4 in naj bo kvadratna forma Q degenerirana forma iz Evklidske metrike nad R3. Za v in w v R4 vpeljimo degenerirano bilinearno formo
 .   
Ta degenerirani skalarni produkt projicira razdalje iz R4 na hiperravnino R3.
Cliffordov produkt vektorjev v in w je dan z 
.
Negativni predznak je dodan samo zaradi skladnosti s kvaternioni.

Označimo skupino ortogonalnih enotskih vektorjev v R4 z 'R4 kot e1, e2,  e3 in e4 potem Cliffordov produkt dobi zvezo

in
. 

Splošni element Cliffordove algebre Cℓ(R4, d) ima 16 komponent.
Linearna kombinacija elementov s parnim rangom definirajo parno podalgebro s splošnim elementom
.   

Elemente baze lahko enačimo s kvaternionskimi enotskimi vektorji i, j in k ter dualno enoto ε z
.
To omogoča povezavo med Cℓ00,3,1(R) z algebro dualnih kvaternionov.

Iz tega sledi, da je 

in
.

Cliffordova in geometrijska algebra 

Med najpomembnejšimi Cliffordovimi algebrami so tiste nad realnimi in kompleksnimi vektorskimi prostori na osnovi nedegeneriranih kvadratnih form. Geometrijska razlaga neizrojenih (nedegeneriranih) realnih Cliffordovih algeber se imenuje geometrijska algebra.

Opombe in sklici

Glej tudi 

 algebra fizičnih prostorov
 razvrstitev Cliffordovih algeber
 gama matrika
 zunanja algebra
 geometrijska algebra
 grupa spin
 paravektor
 Cliffordova analiza
 spinska struktura
 kvaternion
 oktonion
 hiperkompleksno število

Zunanje povezave 

 Cliffordova algebra in roboti 
 Cliffordova algebra na MathWorld 
 Cliffordova algebra 
 Cliffordova algebra  na PlanetMath 
 Kaj je Cliffordova algebra  
 Cliffordove algebre, Cliffordove grupe in posplošitev kvaternionov 
 Cliffordova in geometrijska algebra 
 Cliffordova algebra v nLab 

Cliffordove algebre
Teorija kolobarjev
Kvadratne forme
Cliffordova algebra oziroma Cliffordove algebre so vrsta asociativnih algeber. Lahko jih obravnavamo kot posplošitev kompleksnih števil in kvaternionov . Cliffordova algebra ni samo ena , ampak jih je veliko , kar je odvisno od izbire števila razsežnosti prostora algebre . Za prostor algebre , ki ima razsežnost moramo imeti neodvisnih najpogosteje ortogonalnih enotskih baznih vektorjev . Realna števila , kompleksna števila in kvaternioni tvorijo podalgebre Cliffordove algebre . Imenuje se po angleškem matematiku in filozofu Williamu Klingdonu Cliffordu – ki je prvi opisal te vrste algebre v letu Hotel je posplošiti kvaternione višjih razsežnosti . Realna števila so podalgebra Cliffordove algebre , prav tako tudi vektorska algebra , kompleksna števila in kvaternioni tvorijo podalgebro Cliffordove algebre \ . Cliffordova algebra je pomembna v teoriji kvadratnih form in ortogonalnih transformacij . Pomembna je tudi v fiziki . Osnova Cliffordovi algebri je produkt dveh vektorjev , ki je sestavljen iz dveh delov : skalarnega in bivektorskega dela . Skalarni del je Značilnosti Naj bo vektorski prostor nad obsegom in naj bo kvadratna forma nad \ . V večini primerov je obseg enak ali ali končni obseg. Cliffordova algebra Cℓ( V ,Q ) je unitarna asociativna algebra nad K skupaj z linearno preslikavo i \ : V → Cℓ( V ,Q ) , ki zadošča i( v )2 za vse v ∈ V določenimi z univerzalno lastnostjo : za dano asociativno algebro A nad obsegom K in vsako linearno preslikavo j \ : V → A velja j( v )2 = Q( v ) 1A za vse v ∈ V , kjer pomeni multiplikativni nevtralni element za A Oznaka pomeni Cliffordovo algebro nad realnimi števili , kjer p pomeni število elementov baze z ( število baznih vektorjev , ki imajo pozitivne kvadrate ) ter q ( število baznih vektorjev , ki imajo negativne kvadrate ) , oznaka R pomeni , da imamo Cliffordovo algebro nad realnimi števili . Cliffordovo algebro Cℓ( V ,Q ) lahko potem definiramo kot algebro kvocientov Cℓ( V ,Q ) = T( V ) / IQ. Produkt kolobarjev , ki je značilnost tega kvocienta , se imenuje Cliffordov produkt in ga na ta način razlikujemo od skalarnega in vektorskega produkta . Zgledi : pomeni običajna kompleksna števila pomeni hiperbolična števila pomeni kvaternione Cliffordove bikvaternione kokvaternione ( to je naravna algebrarazsežnega prostora ) naravna algebrarazsežnega prostora algebra prostor - časa Cliffordova algebra , kot smo jo opisali , vedno obstoja . Lahko jo kreiramo na naslednji način : Najprej določimo splošno algebro , ki vsebuje V , to se pravi tenzorsko algebro , ki jo označimo s T( V ) . Potem še uveljavimo osnovno identiteto s prevzemom primernega kvocienta . V našem primeru uporabimo dvostranski ideal IQ. Baza in razsežnost Kadar je razsežnost prostora V enaka n in je { e1, \ . . . . ,en } baza prostora V , potem je množica baza Cℓ( V ,Q ) prazen produkt ( k =je definiran kot multiplikateven nevtralni element . Za vsako vrednost k lahko izberemo n baznih elementov tako , da je razsežnost Cliffordove algebre enaka kjer dim pomeni razsežnost ( glej razsežnost ) . Ker pa V vsebuje tudi kvadratno formo , obstojaja posebna baza za V. Ta je ortogonalna . Za ortogonalno bazo pa velja , da je . kjer je ⟨ · , · ⟩ simetrična bilinearna forma povezana s Q. Iz osnovne Cliffordove identitete sledi , da za ortogonalno bazo velja . To pa , da je delo z vektorji ortogonalne baze precej enostavno . Zgledi : realna in kompleksna Cliffordova algebra Najpomembnejše Cliffordove algebre so tiste nad realnimi in kompleksnimi vektorskimi prostori , ki vsebujejo tudi nedegenerirane kvadratne forme . Iz tega sledi , da je vsaka algebra Cℓp,q ( R ) in Cℓn( C ) izomorfna z A ali z A⊕A , kjer je A kolobar matrik z elementi iz R ali C ali H. Oznaka ⊕ pomeni direktno vsoto . Realna števila Vsaka nedegenerirana kvadratna forma nad končno razsežnim vektorskim prostorom je ekvivalentna z običajno diagonalno formo kjer je razsežnost vektorskega prostora . Par celih števil ( p , q ) se imenuje signatura kvadratne forme . Realni vektorski prostor s kvadratnimi formami pogosto označujemo z Rp ,q . Cliffordovo algebro nad prostorom Rp ,q označujemo s Cℓp,q ( R ) Oznaka Cℓn( R ) lahko pomeni Cℓn ,0( R ) ali pa Cℓ0,n( R ) . Standardno ortonormalno bazo { ei } za Rp , q sestavlja n = p + q medsebojno pravokotnih vektorjev . Med njimi je p takšnih , ki imajo normo enako +1, q pa je takšnih , ki imajo normo enako Cliffordova algebra z oznako Cℓ0, R ) je izomorfna z R. V njej ni neničelnih vektorjev . Algebra Cℓ0, R ) je dvorazsežna algebra , ki jo generira samo eden vektor e1 , ki ima kvadrat enakin je tako izomorfen s C. Naslednja je algebra Cℓ0,R ) , ki jerazsežna algebra , izomorfna z direktno vsoto H ⊕ H , kar imenujemo razcepljeni bikvaternioni . Kompleksna števila Cliffordovo algebro lahko proučujemo tudi v kompleksnih vektorskih prostorih . Vsaka nedegenerirana kvadratna forma kompleksnih vektorskih prostorih je enakovredna standardni diagonalni formi kjer je n = dim V. Tako je samo ena nedegenerirana Cliffordova algebra za vsako razsežnost n. Cliffordovo algebro nad Cn označujemo s Cℓn( C ) . Nekaj osnovnih zgledov je : Cℓ0( C ) ≅ C , kompleksna števila Cℓ1( C ) ≅ C ⊕ C imenujemo bikompleksna števila Cℓ2( C ) ≅ M2( C ) kjer Mn( C ) pomeni algebro n×n matrik nad C. oznaka pomeni skladnost oznaka ⊕ pa pomeni direktno vsoto Kontrukcija kvaternionov Kvaternione lahko konstruiramo kot parno podalgebro Cliffordove algebre Cℓ0,3( R ) . Naj bo vektorski prostor V realni trirazsežni prostor R3. Kvadratno formo Q lahko dobimo iz običajne Evklidske metrike . Za v , w v R3 imamo kvadratno formo ali skalarni produkt kot \ . Če vpeljemo Cliffordov produkt vektorjev vin w , dobimo . Povezava s kvaternioni se z lahkoto pokaže . Označimo množico ortogonalnih vektorjev v R3 kot e1 e2 in e3. Cliffordov produkt nam na ta način da in . Splošni element Cliffordove algebre Cℓ0,3( R ) je dan z Bazni vektorji so enakovredni kvaternionskim enotam i , j in k z naslednjimi zvezami To pa tudi kaže , da je parna podalgebra Cℓ0,3( R ) realna kvaternionska algebra . To se vidi iz in in tudi Konstrukcija dualnih kvaternionov Dualne kvaternione konstruiramo kot parno Cliffordovo algebro v realnem štirirazsežnem prostoru z degenerirano kvadratno formo \ . Naj bo vektorski prostor realni štiri razsežni prostor R4 in naj bo kvadratna forma Q degenerirana forma iz Evklidske metrike nad R3. Za v in w v R4 vpeljimo degenerirano bilinearno formo \ . Ta degenerirani skalarni produkt projicira razdalje iz R4 na hiperravnino R3. Cliffordov produkt vektorjev v in w je dan z . Negativni predznak je dodan samo zaradi skladnosti s kvaternioni . Označimo skupino ortogonalnih enotskih vektorjev v R4 z 'R4 kot e1 , e2 , e3 in e4 potem Cliffordov produkt dobi zvezo in . Splošni element Cliffordove algebre Cℓ( R4 , d ) imakomponent . Linearna kombinacija elementov s parnim rangom definirajo parno podalgebro s splošnim elementom . Elemente baze lahko enačimo s kvaternionskimi enotskimi vektorji i , j in k ter dualno enoto ε z . To omogoča povezavo med Cℓ00,3, 1( R ) z algebro dualnih kvaternionov . Iz tega sledi , da je in . Cliffordova in geometrijska algebra Med najpomembnejšimi Cliffordovimi algebrami so tiste nad realnimi in kompleksnimi vektorskimi prostori na osnovi nedegeneriranih kvadratnih form . Geometrijska razlaga neizrojenih ( nedegeneriranih ) realnih Cliffordovih algeber se imenuje geometrijska algebra . Opombe in sklici Glej tudi algebra fizičnih prostorov razvrstitev Cliffordovih algeber gama matrika zunanja algebra geometrijska algebra grupa spin paravektor Cliffordova analiza spinska struktura kvaternion oktonion hiperkompleksno število Zunanje povezave Cliffordova algebra in roboti Cliffordova algebra na MathWorld Cliffordova algebra Cliffordova algebra na PlanetMath Kaj je Cliffordova algebra Cliffordove algebre , Cliffordove grupe in posplošitev kvaternionov Cliffordova in geometrijska algebra Cliffordova algebra v nLab Cliffordove algebre Teorija kolobarjev Kvadratne forme