Kardinalnost
Kardinalnost (tudi moč množice ali števnost množice) množice je merilo za merjenje števila elementov v množici oziroma za velikost množice. Kardinalnost se izraža s  kardinalnim številom. 

K določanju kardinalnosti pristopamo na dva načina. Prvi način je s primerjanjem dveh množic z uporabo bijektivnosti in injektivnosti, drugi način pa je z uporabo kardinalnih števil.

Kardinalnost množice  se običajno označuje z , kar je tudi oznaka za absolutno vrednost, in je zaradi tega oznaka neprimerna. Razen te oznake se uporablja še  in # A.

Primerjava množic 

 . V tem primeru imata množici enako kardinalnost, če obstaja bijektivna preslikava (to pomeni injektivna in surjektivna funkcija iz  v ).
 Zgled: množica  nenegativnih sodih števil ima isto kardinalnost kot množica  naravnih števil, ker je funkcija  bijektivna preslikava iz  v .
 . V tem primeru ima množica  večjo ali enako kardinalnost kot , če obstaja injektivna funkcija za preslikavo iz  v .
 . V tem primeru je kardinalnost množice  večja od kardinalnosti množice . To se zgodi, če obstaja injektivna, ne pa tudi bijektivna funkcija za preslikavo
iz množice  v množico .

Kardinalno število 

Kadar imajo množice enako kardinalnost (moč množice), rečemo, da so ekvipolentne (tudi ekvipotentne). To je ekvivalenčna relacija nad razredom vseh množic.

Kardinalnosti neskončnih množic označujemo z

 

Za vsako ordinalno število   je 
najmanjše kardinalno število večje od  (oznaka  je hebrejska črka alef).

Kardinalnost množice naravnih števil se označuje z , (beri alef nič), kardinalnost realnih števil pa se označuje s  in se obravnava kot kardinalnost kontinuuma. Lahko se dokaže, da velja , kar velja tudi za kardinalnost vseh podmnožic naravnih števil. Domneva zveznosti pravi, da je . To pa pomeni,da je  najmanjše kardinalno število večje od . To pa tudi pomeni, da ne obstoja množica, ki bi imela kardinalnost med celimi in realnimi števili.

Kardinalnost kontinuuma 

Kardinalnost kontinuuma se označuje s . Cantor je ugotovil, da je kardinalnost kontinuuma večja od kardinalnosti naravnih števil (oznaka ). To pomeni, da je realnih števil več kot je naravnih števil. 

.

Domneva kontinuuma trdi, da ni kardinalnih števil med kardinalnostjo realnih in naravnih števil. To zapišemo na naslednji način:

 

kjer je:

  kardinalnost naravnih števil (alef nič)
  število bet

Opombe in sklici

Zunanje povezave 

 Kardinalno število 
 Kardinalnost na PlanethMath  
 Kardinalnost na MathWorld 
 Kardinalnost 

Kardinalna števila
Kardinalnost ( tudi moč množice ali števnost množice ) množice je merilo za merjenje števila elementov v množici oziroma za velikost množice . Kardinalnost se izraža s kardinalnim številom . K določanju kardinalnosti pristopamo na dva načina . Prvi način je s primerjanjem dveh množic z uporabo bijektivnosti in injektivnosti , drugi način pa je z uporabo kardinalnih števil . Kardinalnost množice se običajno označuje z , kar je tudi oznaka za absolutno vrednost , in je zaradi tega oznaka neprimerna . Razen te oznake se uporablja še in # A. Primerjava množic \ . V tem primeru imata množici enako kardinalnost , če obstaja bijektivna preslikava ( to pomeni injektivna in surjektivna funkcija iz v ) . Zgled : množica nenegativnih sodih števil ima isto kardinalnost kot množica naravnih števil , ker je funkcija bijektivna preslikava iz v \ . \ . V tem primeru ima množica večjo ali enako kardinalnost kot , če obstaja injektivna funkcija za preslikavo iz v \ . \ . V tem primeru je kardinalnost množice večja od kardinalnosti množice \ . To se zgodi , če obstaja injektivna , ne pa tudi bijektivna funkcija za preslikavo iz množice v množico \ . Kardinalno število Kadar imajo množice enako kardinalnost ( moč množice ) , rečemo , da so ekvipolentne ( tudi ekvipotentne ) . To je ekvivalenčna relacija nad razredom vseh množic . Kardinalnosti neskončnih množic označujemo z Za vsako ordinalno število je najmanjše kardinalno število večje od ( oznaka je hebrejska črka alef ) . Kardinalnost množice naravnih števil se označuje z , ( beri alef nič ) , kardinalnost realnih števil pa se označuje s in se obravnava kot kardinalnost kontinuuma . Lahko se dokaže , da velja , kar velja tudi za kardinalnost vseh podmnožic naravnih števil . Domneva zveznosti pravi , da je \ . To pa pomeni ,da je najmanjše kardinalno število večje od \ . To pa tudi pomeni , da ne obstoja množica , ki bi imela kardinalnost med celimi in realnimi števili . Kardinalnost kontinuuma Kardinalnost kontinuuma se označuje s \ . Cantor je ugotovil , da je kardinalnost kontinuuma večja od kardinalnosti naravnih števil ( oznaka ) . To pomeni , da je realnih števil več kot je naravnih števil . . Domneva kontinuuma trdi , da ni kardinalnih števil med kardinalnostjo realnih in naravnih števil . To zapišemo na naslednji način : kjer je : kardinalnost naravnih števil ( alef nič ) število bet Opombe in sklici Zunanje povezave Kardinalno število Kardinalnost na PlanethMath Kardinalnost na MathWorld Kardinalnost Kardinalna števila