Diskriminanta
Diskriminanta (oznaka ) je v algebri pojem, ki se uporablja v povezavi z mnogočleniki. Diskriminanta je izraz, ki daje podatke o vrstah ničel (korenov) mnogočlenika oziroma enačbe, če izenačimo mnogočlenik z 0.

Izraz izhaja iz latinske besede discriminar, kar pomeni razlikovati. Izraz je vpeljal angleški matematik James Joseph Sylvester (1814 – 1897). 
 
Najenostavneša in najbolj znana je diskriminanta kvadratnega mnogočlenika z obliko

Diskriminanta kvadratnega mnogočlenika se izračuna z obrazcem

V tem primeru ima kvadratni mnogočlenik takrat, ko je  dve realni ničli (korena) mnogočlenika. Kadar pa je  ima mnogočlenik samo eno realno ničlo, kadar pa je  mnogočlenik nima realnih ničel. 

Diskriminanta mnogočlenika tretje stopnje (kubični mnogočlenik) z obliko 

je enaka 
.
 
Diskriminante mnogočlenikov višjih stopenj imajo še več členov: tako ima diskriminanta mnogočlenika, ki pripada enačbi četrte stopnje (kvartna funkcija) 16 členov  
, diskriminanta mnogočlenika, ki pripada enačbi pete stopnje (kvintna funkcija) pa 59 členov .  

Če pa iščemo diskriminanto mnogočlenika, ki pripada enačbi šeste stopnje pa ima že 246 členov .
  
Mnogočleniki imajo večkratne ničle (lahko tudi med komplesnimi števili), če in samo, če je njihova diskriminanta enaka 0.

To velja tudi, če imajo mnogočleniki koeficiente v obsegu, ki ne vsebuje kompleksnih števil.

Definicija 
Če izrazimo diskriminanto z ničlami mnogočlenika, jo lahko zapišemo kot 

kjer so
  vodeči koeficienti
  ničle mnogočlenika  

Diskriminanta je simetrična funkcija glede na ničle, ker so koeficienti osnovni simetrični mnogočleniki ničel.

Posplošitev 
Pojem diskriminante lahko posplošimo še na druge algebrske strukture. Med njimi so stožnice, kvadratne forme in algebrski številčni obsegi.

Diskriminanta mnogočlenika 
Da bi našli obrazec za izračun diskriminante mnogočlenika v odvisnosti od njegovih koeficientov je najenostavneje, če uvedemo pojem rezultante (rezultanta dveh moničnih mnogočlenikov (vodeči koeficient ima enak 1) je definirana kot produkt razlik ničel teh dveh mnogočlenikov). Tako kot je diskriminanta za samo  mnogočlenik produkt kvadratov razlik med kvadrati posameznih ničel mnogočlenika, je tudi rezultanta dveh mnogočlenikov produkt razlik med njihovimi ničlami (koreni) in podobno kot diskriminanta dobi vrednost nič, če ima mnogočlenik večkratne ničle, tako tudi rezultanta dobi vrednost nič, če in samo, če imajo mnogočleniki skupno ničlo.  

Ker ima mnogočlenik  večkratne ničle, če in samo, če ima skupne ničle z odvodom , imata diskriminanta  in rezultanta  lastnost, da postaneta enaki  0, če in samo, če ima  večkratne ničle in imata isto stopnjo in da sta enaka do faktorja stopnje 1.

Korist od rezultante je v tem, da se lahko izračuna kot determinanta oziroma kot determinanta Sylvestrove matrike, ki pa ima razsežnost .

Rezultanta  splošnega mnogočlenika
 je enaka determinanti Sylvestrove matrike z razsežnostjo 

Diskriminanta  mnogočlenika  je dana z

Zgled 
Poglejmo primer z  za katerega je zgornja determinanta enaka 

Diskriminanto mnogočlenika četrte stopnje se dobi z deljenjem te determinante z . 
Če izrazimo diskriminanto s koreni je ta enaka 

kjer so
  kompleksne ničle (večkratnost je všteta) mnogočlenika 

Diskriminanto lahko definiramo za mnogočlenike nad poljubnim obsegom na podoben način.

Lastnosti ničel 
Diskriminanta nudi dodatne podatke o vrsti in lastnostih ničel. Daje podatek o tem ali so ničle realne  ali kompleksne ter racionalne ali so iracionalne. Dobimo tudi podatek o tem, če so ničle v obsegu nad katerim je mnogočlenik definiran ali so tudi nad razširjenim obsegom. To najlažje vidimo na kvadratnih in kubičnih mnogočlenikih.

Kvadratni mnogočleniki 
Kvadratni mnogočleniki z realnimi koeficienti veljajo naslednja pravila za vrste ničel:
  mnogočlenik ima dve različni ničli nad realnimi števili
  mnogočlenik ima dve (konjugirano kompleksni) ničli
   mnogočlenik ima dvojno realno ničlo

Kubični mnogočlenik 

Pri kubičnem mnogočleniku pa veljajo naslednja pravila o vrsti ničel:
  mnogočlenik ima tri različne realne ničle
  mnogočlenik ima 1 realno in 2 konjugirano kompleksni ničli
  mnogočlenik ima 3 realne ničle, od njih sta najmanj dve enaki. 

Lahko se zgodi, da ima mnogočlenik dvojno realno in še eno različno realno ničlo, v nasprotnem primeru so vse tri ničle enake.

Diskriminanta stožnic 
Stožnice so definirane v ravninski geometriji z enačbo

Diskriminanta pa je enaka 

 kadar je diskriminanta manjša od 0, enačba pomeni elipso ali krožnico
 če je diskriminanta enaka 0, enačba pomeni parabolo
 če je diskriminanta večja od 0, enačba pomeni hiperbolo

Opombe in sklici

Zunanje povezave 
 Diskriminanta kvadratne funkcije  
 Diskriminanta na PlanethMath  
 Diskriminanta mnogočlenika na MathWorld 
 Diskriminantna funkcijska analiza  
 Matrike in determinante na Final Answers 

Polinomi
Stožnice
Kvadratne forme
Determinante
Algebrska teorija števil
Diskriminanta ( oznaka ) je v algebri pojem , ki se uporablja v povezavi z mnogočleniki . Diskriminanta je izraz , ki daje podatke o vrstah ničel ( korenov ) mnogočlenika oziroma enačbe , če izenačimo mnogočlenik z Izraz izhaja iz latinske besede discriminar , kar pomeni razlikovati . Izraz je vpeljal angleški matematik James Joseph Sylvester – Najenostavneša in najbolj znana je diskriminanta kvadratnega mnogočlenika z obliko Diskriminanta kvadratnega mnogočlenika se izračuna z obrazcem V tem primeru ima kvadratni mnogočlenik takrat , ko je dve realni ničli ( korena ) mnogočlenika . Kadar pa je ima mnogočlenik samo eno realno ničlo , kadar pa je mnogočlenik nima realnih ničel . Diskriminanta mnogočlenika tretje stopnje ( kubični mnogočlenik ) z obliko je enaka . Diskriminante mnogočlenikov višjih stopenj imajo še več členov : tako ima diskriminanta mnogočlenika , ki pripada enačbi četrte stopnje ( kvartna funkcija ) členov diskriminanta mnogočlenika , ki pripada enačbi pete stopnje ( kvintna funkcija ) pačlenov \ . Če pa iščemo diskriminanto mnogočlenika , ki pripada enačbi šeste stopnje pa ima žečlenov \ . Mnogočleniki imajo večkratne ničle ( lahko tudi med komplesnimi števili ) , če in samo , če je njihova diskriminanta enaka To velja tudi , če imajo mnogočleniki koeficiente v obsegu , ki ne vsebuje kompleksnih števil . Definicija Če izrazimo diskriminanto z ničlami mnogočlenika , jo lahko zapišemo kot kjer so vodeči koeficienti ničle mnogočlenika Diskriminanta je simetrična funkcija glede na ničle , ker so koeficienti osnovni simetrični mnogočleniki ničel . Posplošitev Pojem diskriminante lahko posplošimo še na druge algebrske strukture . Med njimi so stožnice , kvadratne forme in algebrski številčni obsegi . Diskriminanta mnogočlenika Da bi našli obrazec za izračun diskriminante mnogočlenika v odvisnosti od njegovih koeficientov je najenostavneje , če uvedemo pojem rezultante ( rezultanta dveh moničnih mnogočlenikov ( vodeči koeficient ima enakje definirana kot produkt razlik ničel teh dveh mnogočlenikov ) . Tako kot je diskriminanta za samo mnogočlenik produkt kvadratov razlik med kvadrati posameznih ničel mnogočlenika , je tudi rezultanta dveh mnogočlenikov produkt razlik med njihovimi ničlami ( koreni ) in podobno kot diskriminanta dobi vrednost nič , če ima mnogočlenik večkratne ničle , tako tudi rezultanta dobi vrednost nič , če in samo , če imajo mnogočleniki skupno ničlo . Ker ima mnogočlenik večkratne ničle , če in samo , če ima skupne ničle z odvodom , imata diskriminanta in rezultanta lastnost , da postaneta enaki če in samo , če ima večkratne ničle in imata isto stopnjo in da sta enaka do faktorja stopnje Korist od rezultante je v tem , da se lahko izračuna kot determinanta oziroma kot determinanta Sylvestrove matrike , ki pa ima razsežnost \ . Rezultanta splošnega mnogočlenika je enaka determinanti Sylvestrove matrike z razsežnostjo Diskriminanta mnogočlenika je dana z Zgled Poglejmo primer z za katerega je zgornja determinanta enaka Diskriminanto mnogočlenika četrte stopnje se dobi z deljenjem te determinante z \ . Če izrazimo diskriminanto s koreni je ta enaka kjer so kompleksne ničle ( večkratnost je všteta ) mnogočlenika Diskriminanto lahko definiramo za mnogočlenike nad poljubnim obsegom na podoben način . Lastnosti ničel Diskriminanta nudi dodatne podatke o vrsti in lastnostih ničel . Daje podatek o tem ali so ničle realne ali kompleksne ter racionalne ali so iracionalne . Dobimo tudi podatek o tem , če so ničle v obsegu nad katerim je mnogočlenik definiran ali so tudi nad razširjenim obsegom . To najlažje vidimo na kvadratnih in kubičnih mnogočlenikih . Kvadratni mnogočleniki Kvadratni mnogočleniki z realnimi koeficienti veljajo naslednja pravila za vrste ničel : mnogočlenik ima dve različni ničli nad realnimi števili mnogočlenik ima dve ( konjugirano kompleksni ) ničli mnogočlenik ima dvojno realno ničlo Kubični mnogočlenik Pri kubičnem mnogočleniku pa veljajo naslednja pravila o vrsti ničel : mnogočlenik ima tri različne realne ničle mnogočlenik imarealno inkonjugirano kompleksni ničli mnogočlenik imarealne ničle , od njih sta najmanj dve enaki . Lahko se zgodi , da ima mnogočlenik dvojno realno in še eno različno realno ničlo , v nasprotnem primeru so vse tri ničle enake . Diskriminanta stožnic Stožnice so definirane v ravninski geometriji z enačbo Diskriminanta pa je enaka kadar je diskriminanta manjša od enačba pomeni elipso ali krožnico če je diskriminanta enaka enačba pomeni parabolo če je diskriminanta večja od enačba pomeni hiperbolo Opombe in sklici Zunanje povezave Diskriminanta kvadratne funkcije Diskriminanta na PlanethMath Diskriminanta mnogočlenika na MathWorld Diskriminantna funkcijska analiza Matrike in determinante na Final Answers Polinomi Stožnice Kvadratne forme Determinante Algebrska teorija števil