Determinanta
Determinanta je preslikava, ki kvadratni matriki priredi število. Vsaki determinanti pripada število(ki ga lahko izračunamo iz elementov), matriki pa ne moremo pripisati nekega števila. Posameznim vrednostim (lahko so realne ali kompleksne) v determinanti pravimo elementi determinante. V matriki in v determinanti so posamezni elementi razporejeni v vrstice (vodoravno) in stolpce (navpično). 

Determinanto označujemo z dvema navpičnima črtama med kateri podobno kot pri matriki vpišemo elemente v vrstice in stolpce.

Vsaki determinanti lahko pripišemo tudi red, ki je enak razsežnosti pripadajoče matrike. Tako matriki reda 2 lahko pripišemo determinanto reda 2 (običajno to zapišemo kot ) in tako naprej (primer za splošno obliko uporabimo ). 

Determinanto matrike  označujemo kot  ali poenostavljeno tudi . 
Kadar pa hočemo vpisati vse elemente determinante, lahko označimo determinanto z dvema navpičnima črtama, pripadajočo matriko pa označujemo z oglatima oklepajema.

Tako determinanta tretjega reda
 

pripada matriki (tretjega reda) 

Splošno obliko determinante  pa zapišemo kot 
 
kjer je z  označen element v vrstici x in stolpcu y.

Zgodovina 

Determinante so se pojavile v 16. stoletju, kar je precej pred pojavom matrik v 19. soletju. Prva uporaba determinant je povezana s sistemom linearnih enečb. Vpeljal jih je italijanski matematik, astronom, zdravnik, filozof, fizik, astrolog in kockar Gerolamo Cardano (1501 – 1576) v letu 1545. Uporabljal je determinante drugega reda za določanje rešitev sistema dveh linearnih enačb z dvema neznankama. Približno ob istem času sta jih pričela uporablajti tudi japonski matematik Takakazu Šinsuke Seki (znan tudi kot Kova Seki) in nemški filozof, matematik, fizik, pravnik, zgodovinar, jezikoslovec, knjižničar in diplomat Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716). Izraz determinanta je prvi uporabil francoski matematik Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857).

Določanje vrednosti determinant

Determinanta 2 x 2 
Matriki  

pripada determinanta
.

Površina paralelograma 
Matrika 2x2 

ima determinanto
.

Determinanto  lahko gledamo kot paralelogram z vrhovi na točkah , ,  in .

Determinanta 3 x 3 
Matrika 

ima determinanto, ki se izračuna kot 
 
Vrednost determinante  lahko določimo s pomočjo Sarrusovega pravila.

Lastnosti determinant 
 Determinanta trikotne matrike  je

To je zmnožek vseh elementov v diagonali matrike.

 Kadar je matrika  nastala iz matrike  z zamenjavo dveh vrstic ali stolpcev, velja
 

 Kadar je matrika  nastala iz matrike  tako, da smo pomnožili vse elemente v vrstici ali vse elemente v stolpcu s konstanto  velja
 
Kadar pa je matrika pomnožena s skalarjem

 Kadar je matrika  nastala iz matrike  tako, da smo dodali s konstanto pomnoženo vrstico ali stolpec drugi vrstici ali stolpcu je:
 

 Determinanta reda 1 vsebuje samo en element. Takšna determinanta ima vrednost
 

 Determinanta  (reda 2) se izračuna kot
 

 Determinanta višjih redov (npr. reda ) pa običajno določamo z uporabo Laplaceovega obrazca z razvojem po vrstici ali razvojem po stolpcu (glej Določanje vrednosti splošne determinante spodaj).

Določanje vrednosti splošne determinante 
Za izračunavanje vrednosti determinante uporabljamo Laplaceov obrazec, ki je primeren za računanje vrednosti determinant višjih redov.
Determinanto lahko razvijemo po poljubni vrstici ali poljubnem stolpcu.

Razvoj determinante po j-ti vrstici
  (za vse j od 1 do n)
Razvoj po i-tem stolpcu
 (za vse i od 1 do n)
kjer je
  podteterminanta elementa 
  podteterminanta elementa 
Poddeterminanto (tudi minor) (), ki pripada elementu  dobimo tako, da v matriki izbrišemo i-to vrstico in j-ti stolpec. Zmnožek  se imenuje tudi kofaktor elementa . Razvoj determinanteje skalarni produkt elementov vrstice ali stolpca s pripadajočimi kofaktorji.

Ostale lastnosti 
 Determinanta

Ima vrednost 1 tudi, ko je n= 0 in celo, če je matrika prazna
 
 Determinanta zmnožka dveh kvadratnih matrik je enaka zmnožku determinant posameznih matrik

 Kadar vrednost determinante, ki pripada matriki  ni enaka 0, velja tudi

 Če sta matriki A in B podobni matriki in če obstoja takšna obratna matrika (nesingularna) matrika  za katero velja 
 potem je

 Matrika in njena transponirana matrika imata enako vrednost pripadajoče determinante:

Determinanta in matrike 
Kadar so , ,  matrike, ki imajo po vrsti razsežnosti , ,  in , potem je:

Kadar obstoja obratna matrika matrike 
velja tudi 

Kadar pa obstoja obratna matrika matrike , pa velja
 
Velja tudi naslednje:

Kadar matriki  in  komutirata (to je ), je 
 

Kadar matriki  in  komutirata (to je , je tudi
 

Kadar matriki  in  komutirata (to je , je tudi
 .

Odnos do sledi 
Sled je vsota elementov matrike na diagonali. S tem je sled enaka tudi lastnim vrednostim 

kjer je 
  potenca matrike 

Iz tega sledi, da se za različne matrike z razsežnostjo  dobi determinante

Odvod 
Za določanje odvoda se uporablja Jacobijev obrazec:

kjer je 
  adjungirana matrika matrike 
  sled matrike
Če je matrika  obrnljiva, dobimo 

Če izrazimo odvod z elementi matrike , velja tudi
 

Če matriko  zapišemo kot  kjer so  vektorji, potem je gradient po enem izmed teh vektorjev enak vektorskemu produktu drugih dveh:

 .

Opombe in sklici

Zunanje povezave 
 Determinanta 
 Kalkulator 
 Linearna algebra 
 Izračunavanje vrednosti determinant  
 determinanta na PlanethMath 

Matrike
Linearna algebra
Algebra
Determinanta je preslikava , ki kvadratni matriki priredi število . Vsaki determinanti pripada število ( ki ga lahko izračunamo iz elementov ) , matriki pa ne moremo pripisati nekega števila . Posameznim vrednostim ( lahko so realne ali kompleksne ) v determinanti pravimo elementi determinante . V matriki in v determinanti so posamezni elementi razporejeni v vrstice ( vodoravno ) in stolpce ( navpično ) . Determinanto označujemo z dvema navpičnima črtama med kateri podobno kot pri matriki vpišemo elemente v vrstice in stolpce . Vsaki determinanti lahko pripišemo tudi red , ki je enak razsežnosti pripadajoče matrike . Tako matriki redalahko pripišemo determinanto reda ( običajno to zapišemo kot ) in tako naprej ( primer za splošno obliko uporabimo ) . Determinanto matrike označujemo kot ali poenostavljeno tudi \ . Kadar pa hočemo vpisati vse elemente determinante , lahko označimo determinanto z dvema navpičnima črtama , pripadajočo matriko pa označujemo z oglatima oklepajema . Tako determinanta tretjega reda pripada matriki ( tretjega reda ) Splošno obliko determinante pa zapišemo kot kjer je z označen element v vrstici x in stolpcu y . Zgodovina Determinante so se pojavile v stoletju , kar je precej pred pojavom matrik v soletju . Prva uporaba determinant je povezana s sistemom linearnih enečb . Vpeljal jih je italijanski matematik , astronom , zdravnik , filozof , fizik , astrolog in kockar Gerolamo Cardano –v letu Uporabljal je determinante drugega reda za določanje rešitev sistema dveh linearnih enačb z dvema neznankama . Približno ob istem času sta jih pričela uporablajti tudi japonski matematik Takakazu Šinsuke Seki ( znan tudi kot Kova Seki ) in nemški filozof , matematik , fizik , pravnik , zgodovinar , jezikoslovec , knjižničar in diplomat Gottfried Wilhelm Leibniz – Izraz determinanta je prvi uporabil francoski matematik Augustin Louis Cauchy – Določanje vrednosti determinant Determinantax Matriki pripada determinanta . Površina paralelograma Matrika2 ima determinanto . Determinanto lahko gledamo kot paralelogram z vrhovi na točkah , , in \ . Determinantax Matrika ima determinanto , ki se izračuna kot Vrednost determinante lahko določimo s pomočjo Sarrusovega pravila . Lastnosti determinant Determinanta trikotne matrike je To je zmnožek vseh elementov v diagonali matrike . Kadar je matrika nastala iz matrike z zamenjavo dveh vrstic ali stolpcev , velja Kadar je matrika nastala iz matrike tako , da smo pomnožili vse elemente v vrstici ali vse elemente v stolpcu s konstanto velja Kadar pa je matrika pomnožena s skalarjem Kadar je matrika nastala iz matrike tako , da smo dodali s konstanto pomnoženo vrstico ali stolpec drugi vrstici ali stolpcu je : Determinanta redavsebuje samo en element . Takšna determinanta ima vrednost Determinanta ( redase izračuna kot Determinanta višjih redov ( npr. reda ) pa običajno določamo z uporabo Laplaceovega obrazca z razvojem po vrstici ali razvojem po stolpcu ( glej Določanje vrednosti splošne determinante spodaj ) . Določanje vrednosti splošne determinante Za izračunavanje vrednosti determinante uporabljamo Laplaceov obrazec , ki je primeren za računanje vrednosti determinant višjih redov . Determinanto lahko razvijemo po poljubni vrstici ali poljubnem stolpcu . Razvoj determinante po j - ti vrstici ( za vse j oddo n ) Razvoj po i - tem stolpcu ( za vse i oddo n ) kjer je podteterminanta elementa podteterminanta elementa Poddeterminanto ( tudi minor ) ( ) , ki pripada elementu dobimo tako , da v matriki izbrišemo i - to vrstico in j - ti stolpec . Zmnožek se imenuje tudi kofaktor elementa \ . Razvoj determinanteje skalarni produkt elementov vrstice ali stolpca s pripadajočimi kofaktorji . Ostale lastnosti Determinanta Ima vrednosttudi , ko je n=in celo , če je matrika prazna Determinanta zmnožka dveh kvadratnih matrik je enaka zmnožku determinant posameznih matrik Kadar vrednost determinante , ki pripada matriki ni enaka velja tudi Če sta matriki A in B podobni matriki in če obstoja takšna obratna matrika ( nesingularna ) matrika za katero velja potem je Matrika in njena transponirana matrika imata enako vrednost pripadajoče determinante : Determinanta in matrike Kadar so , , matrike , ki imajo po vrsti razsežnosti , , in , potem je : Kadar obstoja obratna matrika matrike velja tudi Kadar pa obstoja obratna matrika matrike , pa velja Velja tudi naslednje : Kadar matriki in komutirata ( to je ) , je Kadar matriki in komutirata ( to je , je tudi Kadar matriki in komutirata ( to je , je tudi \ . Odnos do sledi Sled je vsota elementov matrike na diagonali . S tem je sled enaka tudi lastnim vrednostim kjer je potenca matrike Iz tega sledi , da se za različne matrike z razsežnostjo dobi determinante Odvod Za določanje odvoda se uporablja Jacobijev obrazec : kjer je adjungirana matrika matrike sled matrike Če je matrika obrnljiva , dobimo Če izrazimo odvod z elementi matrike , velja tudi Če matriko zapišemo kot kjer so vektorji , potem je gradient po enem izmed teh vektorjev enak vektorskemu produktu drugih dveh : \ . Opombe in sklici Zunanje povezave Determinanta Kalkulator Linearna algebra Izračunavanje vrednosti determinant determinanta na PlanethMath Matrike Linearna algebra Algebra