Permutacijska matrika
Permutacijska matrika (oznaka ) je kvadratna matrika, ki ima v vsaki vrstici samo en element enak 1, na ostalih mestih pa ima ničle. Prav tako ima tudi v vsakem stolpcu samo po en element enak 1, ostali pa so 0. Vsaka takšna matrika predstavlja določeno permutacijo  elementov. Vsaka permutacija ima svojo permutacijsko matriko. Če permutacijsko matriko pomnožimo z drugo matriko, dobimo permutacije v vrsticah v drugi matriki. Permutacijska matrika je nesigularna, kar pomeni, da njena determinanta ni nikoli enaka 0 (vedno je +1 ali -1). 

Permutacijska matrika se vedno dobi s permutacijami enotske matrike. Vsaka enotska matrika je tudi permutacijska matrika.

Definicija 
Permutacijo  elementov označimo s  

To lahko enakovredno zapišemo v posebni obliki, ki jo imenujemo ciklično označevanje permutacij 
 
kjer je
 v prvi vrstici so napisani vsi elementi, ki jih permutiramo
 v drugi vrstici so zapisane posamezne vrednosti permutiranih elementov
 pomeni permutirani element na prvem mestu
itd.

Permutacijska matrika  z razsežnostjo  ima povsod 0, razen v vrstici , kjer ima vrednost 1. To lahko zapišemo kot 

kjer je 
  enotski vrstični vektor z dolžino , ki ima enico na -tem mestu, na vseh ostalih mestih pa ima .

Zgled 
Ena izmed permutacij štirih elementov je :
 

Pripadajoča matrika pa je:
 .

Permutacijski matriki  (dva elementa, ki permutirata) sta

in 

Primer permutacijske matrike  (štirje elementi, ki permutirajo):

Značilnosti 

 za dve permutaciji  in  velja 
kjer je 
  kompozitum permutacij  in 
 permutacijske matrike so ortogonalne, zanje velja :
 permutacijska matrika spada med stohastične matrike
 množenje permutacijske matrike  s poljubno matriko  povzroči permutacijo vrstic v matriki  (to je )
 množenje poljubne matrike  s permutacijsko matriko  ima za posledico permutacijo stolpcev v matriki  (to je )
 obratna vrednost permutacijske matrike je enaka njeni transponirani  ali  ( je enotska matrika)

Posplošitev permutacijske matrike 
Vsota elementov v vsaki vrstici permutacijske matrike je 1. To lahko posplošimo tako, da dovolimo v vsaki vrstici poljubno vsoto. Takšne matrike so vsote permutacijskih matrik. 

Primer:
Naslednja matrika ima v vsaki vrstici vsoto elementov enako 5
.

Glej tudi 

 seznam vrst matrik

Zunanje povezave 

 
 Značilnosti permutacijske matrike 

Matrike
Permutacijska matrika ( oznaka ) je kvadratna matrika , ki ima v vsaki vrstici samo en element enak na ostalih mestih pa ima ničle . Prav tako ima tudi v vsakem stolpcu samo po en element enak ostali pa so Vsaka takšna matrika predstavlja določeno permutacijo elementov . Vsaka permutacija ima svojo permutacijsko matriko . Če permutacijsko matriko pomnožimo z drugo matriko , dobimo permutacije v vrsticah v drugi matriki . Permutacijska matrika je nesigularna , kar pomeni , da njena determinanta ni nikoli enaka ( vedno je +1 ali Permutacijska matrika se vedno dobi s permutacijami enotske matrike . Vsaka enotska matrika je tudi permutacijska matrika . Definicija Permutacijo elementov označimo s To lahko enakovredno zapišemo v posebni obliki , ki jo imenujemo ciklično označevanje permutacij kjer je v prvi vrstici so napisani vsi elementi , ki jih permutiramo v drugi vrstici so zapisane posamezne vrednosti permutiranih elementov pomeni permutirani element na prvem mestu itd . Permutacijska matrika z razsežnostjo ima povsod razen v vrstici , kjer ima vrednost To lahko zapišemo kot kjer je enotski vrstični vektor z dolžino , ki ima enico na - tem mestu , na vseh ostalih mestih pa ima \ . Zgled Ena izmed permutacij štirih elementov je \ : Pripadajoča matrika pa je : \ . Permutacijski matriki ( dva elementa , ki permutirata ) sta in Primer permutacijske matrike ( štirje elementi , ki permutirajo ) : Značilnosti za dve permutaciji in velja kjer je kompozitum permutacij in permutacijske matrike so ortogonalne , zanje velja \ : permutacijska matrika spada med stohastične matrike množenje permutacijske matrike s poljubno matriko povzroči permutacijo vrstic v matriki ( to je ) množenje poljubne matrike s permutacijsko matriko ima za posledico permutacijo stolpcev v matriki ( to je ) obratna vrednost permutacijske matrike je enaka njeni transponirani ali ( je enotska matrika ) Posplošitev permutacijske matrike Vsota elementov v vsaki vrstici permutacijske matrike je To lahko posplošimo tako , da dovolimo v vsaki vrstici poljubno vsoto . Takšne matrike so vsote permutacijskih matrik . Primer : Naslednja matrika ima v vsaki vrstici vsoto elementov enako 5 . Glej tudi seznam vrst matrik Zunanje povezave Značilnosti permutacijske matrike Matrike