Dirichletova funkcija beta
]

Dirichletova funkcija beta (tudi Catalanova funkcija beta; običajna označba ) je v matematiki in še posebej analitični teoriji števil specialna funkcija, tesno povezana z Riemannovo funkcijo ζ. Je posebni primer Dirichletove L-funkcije, L-funkcije z alternirajočim karakterjem periode 4. Imenuje se po nemškem matematiku Petru Gustavu Lejeuneu Dirichletu in včasih po belgijskem matematiku Eugèneu Charlesu Catalanu.

Definicija 

Dirichletova funkcija β je definirana kot alternirajoča vrsta:

 

ali enakovredno kot:

 

kjer je  funkcija Γ. V obeh primerih je .

S pomočjo Hurwitzeve funkcije ζ je Dirichletova funkcija β določena kot:

 

na celi kompleksni -ravnini.

Z Lerchevim transcendentom je določena kot:

 

ki spet velja za vse kompleksne vrednosti .

Vrsta za Dirichletovo funkcijo β se lahko tvori tudi s pomočjo funkcije poligama:

Funkcijska enačba  

Funkcijska enačba razširi Dirichletovo funkcijo β na levo stran kompleksne ravnine . Dana je z:

Značilnosti

Posebne vrednosti 

Nekatere najpogosteje rabljene vrednosti Dirichletove funkcije β so:

 

  ,

  Catalanova konstanta, , 

  , 

  ,

  ,

  ,

kjer je zgoraj  zgled funkcije poligama. 

Euler je pokazal, da je v splošnem za lihe ,  racionalni mnogokratnik , torej za poljubno pozitivno celo število :

 

kjer so  Eulerjeva števila. Za celo število  velja:

 

oziroma:

 

Funkcija je tako enaka nič za vse lihe negativne celoštevilske vrednosti argumenta:

 

Tanguy Rivoal in Vadim Zudilin sta dokazala, da je vsaj eno od sedmih števil: , , , , ,  ali  iracionalno.

Guillera in Sondow sta leta 2005 dokazala formulo z dvojnim integralom:

Odvajanje 

Odvod za vse  je dan z:

 

Nekatere posebne vrednosti odvodov:

 
  , 
 , .

Za pozitivna cela števila  velja še naprej:

Glej tudi 

 Hurwitzeva funkcija zeta

Sklici

Viri 

  Glej razdelek §23.2

Zunanje povezaave 

 

Specialne funkcije
Funkcije zeta in L-funkcije
] Dirichletova funkcija beta ( tudi Catalanova funkcija beta ; običajna označba ) je v matematiki in še posebej analitični teoriji števil specialna funkcija , tesno povezana z Riemannovo funkcijo ζ . Je posebni primer Dirichletove L - funkcije , L - funkcije z alternirajočim karakterjem periode Imenuje se po nemškem matematiku Petru Gustavu Lejeuneu Dirichletu in včasih po belgijskem matematiku Eugèneu Charlesu Catalanu . Definicija Dirichletova funkcija β je definirana kot alternirajoča vrsta : ali enakovredno kot : kjer je funkcija Γ. V obeh primerih je \ . S pomočjo Hurwitzeve funkcije ζ je Dirichletova funkcija β določena kot : na celi kompleksni - ravnini . Z Lerchevim transcendentom je določena kot : ki spet velja za vse kompleksne vrednosti \ . Vrsta za Dirichletovo funkcijo β se lahko tvori tudi s pomočjo funkcije poligama : Funkcijska enačba Funkcijska enačba razširi Dirichletovo funkcijo β na levo stran kompleksne ravnine \ . Dana je z: Značilnosti Posebne vrednosti Nekatere najpogosteje rabljene vrednosti Dirichletove funkcije β so : , Catalanova konstanta , , , , , , kjer je zgoraj zgled funkcije poligama . Euler je pokazal , da je v splošnem za lihe , racionalni mnogokratnik , torej za poljubno pozitivno celo število \ : kjer so Eulerjeva števila . Za celo število velja : oziroma : Funkcija je tako enaka nič za vse lihe negativne celoštevilske vrednosti argumenta : Tanguy Rivoal in Vadim Zudilin sta dokazala , da je vsaj eno od sedmih števil : , , , , , ali iracionalno . Guillera in Sondow sta letadokazala formulo z dvojnim integralom : Odvajanje Odvod za vse je dan z: Nekatere posebne vrednosti odvodov : , , \ . Za pozitivna cela števila velja še naprej : Glej tudi Hurwitzeva funkcija zeta Sklici Viri Glej razdelek §23 . 2 Zunanje povezaave Specialne funkcije Funkcije zeta in L - funkcije