Avtomorfizem
Avtomorfizem (iz grške besede : autos - sam in : morfe - oblika) je izomorfizem iz matematičnega objekta v samega sebe. Na neki način je to simetrija objekta in način preslikave objekta v samega sebe tako, da pri tem ohrani vse značilnosti svoje strukture. Množica vseh avtomorfizmov nekega objekta tvori grupo, ki ima  avtomorfizem grupe.

Avtomorfizem grupe 

Kadar avtomorfizmi nekega objekta  tvorijo množico, potem tvorijo grupo za kompozitum morfizmov. Rečemo, da ima takšna grupa avtomorfizem grupe za objekte .

Avtomorfizem grupe objekta  iz kategorije  označujemo z  ali poenostavljeno .

Zgledi in značilnosti 

 V teoriji množic je avtomorfizem množice  poljubna permutacija elementov iz množice . Grupa izomorfizmov množice  se imenuje tudi simetrična grupa elementov .
 V elementarni aritmetiki se množica celih števil (označujemo jo z ) obravnava kot grupa s seštevanjem, ki ima netrivialni avtomorfizem, ki ga imenujemo negacija. Če pa obravnavamo kolobar ima ta samo trivialni avtomorfizem. V splošnem je negacija avtomorfizem vsake Abelove grupe, ne pa kolobarja ali obsega.
 Avtomorfizem grupe  je izomorfizem grupe iz grupe v samega sebe. To je permutacija elementov grupe tako, da ostane struktura nespremenjena.  
 V linearni algebri je endomorfizem vektorskega prostora  linearna preslikava . Avtomorfizem je obrnljivi linearni operator nad .
 Avtomorfizem obsega je bijektivni homomorfizem kolobarja iz obsega v samega sebe.  V primeru racionalnih števil (Q) in [[realno število|realnih števil] (R) ni netrivialnih avtomorfizmov obsegov. Nekaj podobsegov iz R ima netrivialni izomorfizem obsega, ki pa se ne velja za vse elemente R. Pri kompleksnih številih C je enolični netrivialni avtomorfizem, ki vsakemu
R pripiše element v R. To je kompleksna konjugacija.  
 V teoriji grafov je avtomorfizem grafa permutacija točk, ki ohranja povezave in nepovezave. 
 V topologiji se morfizem  med topološkimi prostori imenuje zvezna preslikava. Avtomorfizem  topološkega prostora  je homoemorfizem prostora v sebe.          
 V Riemannovi geometriji je avtomorfizem sebi izometrija. Grupa avtomorfizmov se imenuje izometrijska grupa  
 V kategoriji Riemannovih ploskev je avtomorfizem bijektivna biholomorfna preslikava iz ploskve na sebe.

Notranji in zunanji avtomorfizem 

V nekaterih kategorijah kot so grupa, kolobarji in Liejeve algebre lahko ločimo avtomorfizme na "notranje" in "zunanje" avtomorfizme. 

V primeru grup je notranji avtomorfizem konjugacija elementov grupe. Za vsak element  grupe  je konjugacija po  je operacija , ki je dana z . Lahko se dokaže, da je konjugacija po  grupni avtomorfizem. Notranji avtomorfizem tvori  normalno podgrupo , ki jo označujemo z .  

Vsi ostali avtomorfizmi se imenujejo zunanji avtomorfizmi. Grupa kvocientov (faktorska grupa)  se pogosto označuje kot .

Glej tudi 

 morfizem
 kolobar endomorfizmov 
 Frobeniusov avtomorfizem

Zunanje povezave 

 
 Avtomorfizem  na PlanetMath 
 Grupa avtomorfizmov  
 Grupa avtomorfizmov na MathWorld 
 Grupa avtomorfizmov  na PlanetMath 

Morfizmi
Algebra
Simetrija
Avtomorfizem ( iz grške besede \ : autos - sam in \ : morfe - oblika ) je izomorfizem iz matematičnega objekta v samega sebe . Na neki način je to simetrija objekta in način preslikave objekta v samega sebe tako , da pri tem ohrani vse značilnosti svoje strukture . Množica vseh avtomorfizmov nekega objekta tvori grupo , ki ima avtomorfizem grupe . Avtomorfizem grupe Kadar avtomorfizmi nekega objekta tvorijo množico , potem tvorijo grupo za kompozitum morfizmov . Rečemo , da ima takšna grupa avtomorfizem grupe za objekte \ . Avtomorfizem grupe objekta iz kategorije označujemo z ali poenostavljeno \ . Zgledi in značilnosti V teoriji množic je avtomorfizem množice poljubna permutacija elementov iz množice \ . Grupa izomorfizmov množice se imenuje tudi simetrična grupa elementov \ . V elementarni aritmetiki se množica celih števil ( označujemo jo z ) obravnava kot grupa s seštevanjem , ki ima netrivialni avtomorfizem , ki ga imenujemo negacija . Če pa obravnavamo kolobar ima ta samo trivialni avtomorfizem . V splošnem je negacija avtomorfizem vsake Abelove grupe , ne pa kolobarja ali obsega . Avtomorfizem grupe je izomorfizem grupe iz grupe v samega sebe . To je permutacija elementov grupe tako , da ostane struktura nespremenjena . V linearni algebri je endomorfizem vektorskega prostora linearna preslikava \ . Avtomorfizem je obrnljivi linearni operator nad \ . Avtomorfizem obsega je bijektivni homomorfizem kolobarja iz obsega v samega sebe . V primeru racionalnih števil ( Q ) in [ [ realno število |realnih števil ] ( R ) ni netrivialnih avtomorfizmov obsegov . Nekaj podobsegov iz R ima netrivialni izomorfizem obsega , ki pa se ne velja za vse elemente R. Pri kompleksnih številih C je enolični netrivialni avtomorfizem , ki vsakemu R pripiše element v R. To je kompleksna konjugacija . V teoriji grafov je avtomorfizem grafa permutacija točk , ki ohranja povezave in nepovezave . V topologiji se morfizem med topološkimi prostori imenuje zvezna preslikava . Avtomorfizem topološkega prostora je homoemorfizem prostora v sebe . V Riemannovi geometriji je avtomorfizem sebi izometrija . Grupa avtomorfizmov se imenuje izometrijska grupa V kategoriji Riemannovih ploskev je avtomorfizem bijektivna biholomorfna preslikava iz ploskve na sebe . Notranji in zunanji avtomorfizem V nekaterih kategorijah kot so grupa , kolobarji in Liejeve algebre lahko ločimo avtomorfizme na " notranje " in " zunanje " avtomorfizme . V primeru grup je notranji avtomorfizem konjugacija elementov grupe . Za vsak element grupe je konjugacija po je operacija , ki je dana z \ . Lahko se dokaže , da je konjugacija po grupni avtomorfizem . Notranji avtomorfizem tvori normalno podgrupo , ki jo označujemo z \ . Vsi ostali avtomorfizmi se imenujejo zunanji avtomorfizmi . Grupa kvocientov ( faktorska grupa ) se pogosto označuje kot \ . Glej tudi morfizem kolobar endomorfizmov Frobeniusov avtomorfizem Zunanje povezave Avtomorfizem na PlanetMath Grupa avtomorfizmov Grupa avtomorfizmov na MathWorld Grupa avtomorfizmov na PlanetMath Morfizmi Algebra Simetrija