Fourierova vrsta
Fourierove vrste v matematiki omogočajo razstavljanje poljubne periodične funkcije ali periodičnega signala v vsoto (po možnosti končno) skupine periodičnih funkcij kot sta sinus in kosinus. Proučevanje Fourierovih vrst je veja Fourierove analize.
 
Tako se lahko na primer funkcijo  razvije v neskončno vrsto po sinusih:

 

Lahko pa se neko drugo funkcijo  razvije v neskončno vrsto po kosinusih:

 

Pri tem obe funkciji ohranita nekatere osnovne značilnosti, kot so periodičnost, lihost (ali sodost), vrednost pri  in .  

Imenujejo se po francoskem fiziku in matematiku Josephu Fourieru (1768–1830).

Definicija

Fourierov obrazec za periodične funkcije 

Naj je periodična funkcija  s periodo , ki je integrabilna na intervalu . Števila:

 

in:

 

se imenujejo Fourierovi koeficienti za funkcijo .  

Včasih se uporablja tudi Fourierove vrste za , ki se jih označuje z:

  

Delne vsote za  so trigonometrični polinomi. Pričakuje se, da funkcije  za  dajejo približek, ki se približuje vrednosti za , ko gre  proti neskončnosti. Neskončna vsota v obliki:

 

se imenuje Fourierova vrsta za .

Fourierova vrsta ne konvergira vedno, saj se včasih celo za neko vrednost  vsota vrste v tej točki razlikuje od vrednosti  te funkcije. Harmonična analiza je področje, ki se ukvarja s konvergenco Fourierovih vrst. Kadar je kvadrat funkcije integrabilen na intervalu , takrat Fourierova vrsta konvergira skoraj v vsaki točki. Predpostavi se lahko, da Fourierova vrsta konvergira v vsaki točki razen v točkah nezveznosti.

Zgled 

V zgledu se obravnava žagasti val in se ga razvije v Fourierovo vrsto. Žagasti val se opiše z naslednjo funkcijo:

 
 

V tem primeru se dobi za Fourierove koeficiente:

 

Lahko se dokaže, da Fourierova vrsta konvergira k vrednosti  v vsaki točki, kjer je funkcija  diferenciabilna. Torej se lahko zapiše:

Eksponentna Fourierova vrsta 

Uporabi se Eulerjev obrazec, ki ima obliko:

 

kjer je:
  – imaginarna enota

S tem se dobi bolj zgoščeno obliko za Fourierovo vrsto:

 

Fourierovi koeficienti pa so:

 
 
 
in:

 

Zelo primerno je uporabiti obliko za  tako, da se dobi obrazec v obliki:

 

V tehniki se pogosto uporablja naslednjo obliko:

 
kjer: 
  pomeni, da je uporabljena nezvezna domena frekvenc. Zelo pogosto v tehniki spremenljivka  predstavlja čas.

Fourierove vrste v splošnem intervalu 

Obravnava se splošni interval , kjer je s periodo  za vsa realna števila definirana funkcija  s kompleksnimi koeficienti . Lahko se zapiše:

 

Če je funkcija kvadratno integrabilna (velja: ), v intervalu , se jo lahko v tem intervalu prikaže z zgornjim obrazcem. To pa pomeni, da takrat, ko se dobi koeficiente za funkcijo  z:

 

potem je  povsod na intervalu  enak . Iz tega sledi, da ima  periodo enako  in, da naslednje
 sta  in  povsod enaka, razen na mestih nezveznosti
  se lahko poljubno izbere. Najpogosteje se izbere  in .

Fourierove vrste v kvadratu 

Definira se lahko tudi Fourierove vrste za dve spremenljivki x in y v kvadratu :

 

kjer je:

Hilbertov prostor 

Če se obravnava Hilbertove prostore, množica funkcij  tvori ortonormalno bazo prostora  za kvadratno integrabilne funkcije v . Ta prostor je Hilbertov prostor z notranjim produktom za poljubna dva elementa  in , ki je definiran kot:

 

Osnovne Fourierove vrste v Hilbertovih prostorih se lahko zapiše kot:

 

To pa je enakovredno s kompleksno eksponentno obliko (glej zgoraj). Oblika s sinusom in kosinusom tvori ortogonalno množico:

 
  
  

kjer je:

  – Kroneckerjeva delta.

Značilnosti 

Funkcija  pripada , če je  funkcija s periodo  nad  in, če je ta k-krat odvedljiva in je k-ti odvod zvezen. Označi se n-ti Fourierov koeficient z .
 
 če je  periodična liha funkcija, potem so   za vse 
 če je  periodična soda funkcija, potem so   za vse 
 če je  integrabilna funkcija velja  ter  in . To je Riemann-Lebesguov izrek
 dvojno neskončno zaporedje  v  je zaporedje Fourierovih koeficientov funkcije v , če in samo če je to konvolucija v 
 Parsevalov izrek: če je , potem je tudi   
 Plancherelov izrek: če so  koeficienti in velja , potem obstaja funkcija  tako, da velja  za vsak 
 prvi konvolucijski izrek pravi, da takrat, ko sta   in  v L1([−π, π]), potem velja tudi , kjer je ƒ ∗ g konvolucija s periodo  funkcij  in  
 drugi konvolucijski izrek pravi, da je .

Posplošitve 

Obstaja več vrst posplošitev Fourierovih vrst. Njihovo proučevanje se imenuje harmonična analiza.

Približki in konvergenca Fourierovih vrst 

Zelo pomembno vprašanje je povezano s konvergenco Fourierovih vrst. Pogosto je treba zamenjati neskončno vrsto  s končno: . Takšna vrsta se imenuje delna vsota. Želi se vedeti kako vrednost  konvergira k , ko gre  proti neskončnosti.

Divergenca Fourierovih vrst 

Fourierove vrste so izredno dobro konvergentne. Vrste, ki bi bile divergentne so zelo redke. V letu 1922 je ruski matematik Andrej Nikolajevič Kolmogorov (1903–1987) v enem svojih del podal primer integrabilne funkcije, katere Fourierova vrsta je skoraj povsod divergentna.

Glej tudi 

 Laurentova vrsta
 harmonična analiza
 spektralna teorija
 Fourierova transformacija
 Fejérov izrek
 Dichletovo jedro

Zunanje povezave 

 Fourierova vrsta  
 Fourierova vrsta na e-študij  
 
 Apleti za prikaz Fourierovih vrst 
 Fourierove vrste 
 Učbenik  
  Maths Online 
 Fourierove vrste in Fourierovi integrali 

Matematične vrste
Joseph Fourier
Fourierove vrste v matematiki omogočajo razstavljanje poljubne periodične funkcije ali periodičnega signala v vsoto ( po možnosti končno ) skupine periodičnih funkcij kot sta sinus in kosinus . Proučevanje Fourierovih vrst je veja Fourierove analize . Tako se lahko na primer funkcijo razvije v neskončno vrsto po sinusih : Lahko pa se neko drugo funkcijo razvije v neskončno vrsto po kosinusih : Pri tem obe funkciji ohranita nekatere osnovne značilnosti , kot so periodičnost , lihost ( ali sodost ) , vrednost pri in \ . Imenujejo se po francoskem fiziku in matematiku Josephu Fourieru1830 ) . Definicija Fourierov obrazec za periodične funkcije Naj je periodična funkcija s periodo , ki je integrabilna na intervalu \ . Števila : in : se imenujejo Fourierovi koeficienti za funkcijo \ . Včasih se uporablja tudi Fourierove vrste za , ki se jih označuje z: Delne vsote za so trigonometrični polinomi . Pričakuje se , da funkcije za dajejo približek , ki se približuje vrednosti za , ko gre proti neskončnosti . Neskončna vsota v obliki : se imenuje Fourierova vrsta za \ . Fourierova vrsta ne konvergira vedno , saj se včasih celo za neko vrednost vsota vrste v tej točki razlikuje od vrednosti te funkcije . Harmonična analiza je področje , ki se ukvarja s konvergenco Fourierovih vrst . Kadar je kvadrat funkcije integrabilen na intervalu , takrat Fourierova vrsta konvergira skoraj v vsaki točki . Predpostavi se lahko , da Fourierova vrsta konvergira v vsaki točki razen v točkah nezveznosti . Zgled V zgledu se obravnava žagasti val in se ga razvije v Fourierovo vrsto . Žagasti val se opiše z naslednjo funkcijo : V tem primeru se dobi za Fourierove koeficiente : Lahko se dokaže , da Fourierova vrsta konvergira k vrednosti v vsaki točki , kjer je funkcija diferenciabilna . Torej se lahko zapiše : Eksponentna Fourierova vrsta Uporabi se Eulerjev obrazec , ki ima obliko : kjer je : – imaginarna enota S tem se dobi bolj zgoščeno obliko za Fourierovo vrsto : Fourierovi koeficienti pa so : in : Zelo primerno je uporabiti obliko za tako , da se dobi obrazec v obliki : V tehniki se pogosto uporablja naslednjo obliko : kjer : pomeni , da je uporabljena nezvezna domena frekvenc . Zelo pogosto v tehniki spremenljivka predstavlja čas . Fourierove vrste v splošnem intervalu Obravnava se splošni interval , kjer je s periodo za vsa realna števila definirana funkcija s kompleksnimi koeficienti \ . Lahko se zapiše : Če je funkcija kvadratno integrabilna ( velja : ) , v intervalu , se jo lahko v tem intervalu prikaže z zgornjim obrazcem . To pa pomeni , da takrat , ko se dobi koeficiente za funkcijo z : potem je povsod na intervalu enak \ . Iz tega sledi , da ima periodo enako in , da naslednje sta in povsod enaka , razen na mestih nezveznosti se lahko poljubno izbere . Najpogosteje se izbere in \ . Fourierove vrste v kvadratu Definira se lahko tudi Fourierove vrste za dve spremenljivki x in y v kvadratu \ : kjer je : Hilbertov prostor Če se obravnava Hilbertove prostore , množica funkcij tvori ortonormalno bazo prostora za kvadratno integrabilne funkcije v \ . Ta prostor je Hilbertov prostor z notranjim produktom za poljubna dva elementa in , ki je definiran kot : Osnovne Fourierove vrste v Hilbertovih prostorih se lahko zapiše kot : To pa je enakovredno s kompleksno eksponentno obliko ( glej zgoraj ) . Oblika s sinusom in kosinusom tvori ortogonalno množico : kjer je : – Kroneckerjeva delta . Značilnosti Funkcija pripada , če je funkcija s periodo nad in , če je ta k - krat odvedljiva in je k - ti odvod zvezen. Označi se n - ti Fourierov koeficient z \ . če je periodična liha funkcija , potem so za vse če je periodična soda funkcija , potem so za vse če je integrabilna funkcija velja ter in \ . To je Riemann - Lebesguov izrek dvojno neskončno zaporedje v je zaporedje Fourierovih koeficientov funkcije v , če in samo če je to konvolucija v Parsevalov izrek : če je , potem je tudi Plancherelov izrek : če so koeficienti in velja , potem obstaja funkcija tako , da velja za vsak prvi konvolucijski izrek pravi , da takrat , ko sta in v L1( [ −π , π ] ) , potem velja tudi , kjer je ƒ ∗ g konvolucija s periodo funkcij in drugi konvolucijski izrek pravi , da je \ . Posplošitve Obstaja več vrst posplošitev Fourierovih vrst . Njihovo proučevanje se imenuje harmonična analiza . Približki in konvergenca Fourierovih vrst Zelo pomembno vprašanje je povezano s konvergenco Fourierovih vrst . Pogosto je treba zamenjati neskončno vrsto s končno : \ . Takšna vrsta se imenuje delna vsota . Želi se vedeti kako vrednost konvergira k , ko gre proti neskončnosti . Divergenca Fourierovih vrst Fourierove vrste so izredno dobro konvergentne . Vrste , ki bi bile divergentne so zelo redke . V letuje ruski matematik Andrej Nikolajevič Kolmogorov1987) v enem svojih del podal primer integrabilne funkcije , katere Fourierova vrsta je skoraj povsod divergentna . Glej tudi Laurentova vrsta harmonična analiza spektralna teorija Fourierova transformacija Fejérov izrek Dichletovo jedro Zunanje povezave Fourierova vrsta Fourierova vrsta na e - študij Apleti za prikaz Fourierovih vrst Fourierove vrste Učbenik Maths Online Fourierove vrste in Fourierovi integrali Matematične vrste Joseph Fourier