Schwarzev trikotnik
Schwarzev trikotnik je sferni trikotnik s pomočjo katerega se lahko tlakuje sfero.

Imenuje se po nemškem matematiku Hermanu Amandusu Schwarzu (1843–1921). 

Schwarzev trikotnik se predstavi s tremi racionalnimi števili v obliki (p q r) kjer vsako število predstavlja kot v oglišču. Vrednost n/d pomeni, da je kot v oglišču n/d-ti del polovice kroga. Vrednost 2 pomeni pravi kot. Kadar števila niso ulomki, se trikotnik imenuje Möbiusov trikotnik, ki odgovarja neprikrivajočemu tlakovanju. Simetrijska grupa se imenuje trikotniška grupa.

Prostor rešitev 

Osnovna domena trikotnika (p q r) lahko obstaja v različnih prostorih, kar je odvisno od omejitev:

  : sferni
  : evklidska ravnina
  : hiperbolična ravnina

Grafični prikaz 

Schwarzev trikotnik se lahko prikaže s trikotniškim grafom. Vsak vozel predstavlja rob Schwarzevega trikotnika. Vsak rob je označen z racionalnim številom, ki odgovarja zaporedju zrcaljenja, je enak π/kot ob oglišču

   
Robovi reda 2 predstavljajo pravokotna zrcala, ki se jih lahko izpusti na tej sliki. 
Coxeter-Dinkinov diagram prikazuje trikotniški graf z robovi reda 2, ki so prikriti. 

Za Coxeterjevo grupo se lahko uporabi enostavnejši zapis kot je (p q r) za ciklični graf in (p q 2)=[p, q] (za prave kote) ter (p 2 2) = [p] x [].

Seznam Schwarzevih trikotnikov

Möbiusovi trikotniki na sferi

Schwarzevi trikotniki za sfero po gostoti 

V nadaljevanju so našteti Schwarzevi trikotniki razvrščeni po gostoti (politopski gostoti):

Trikotniki za evklidsko ravnino 

Gostota 1:
(3 3 3) – 60-60-60 (enakostranični trikotnik)
(4 4 2) – 45-45-90 (enakokraki pravokotni trikotnik)
(6 3 2) – 30-60-90

Trikotniki po gostotah:
 gostota 0: (4 4/3 ∞), (3 3/2 ∞), (6 6/5 ∞)
 gostota 1: (4/3 4/3 2), (4/3 4 2), (6 3/2 2)
 gostota 2: (6/5 3 2), (6 6 3/2), (6 6/5 3)

Trikotniki za hiperbolično ravnino 

Gostota 1:
 (2 3 7), (2 3 8), (2 3 9) ... (2 3 ∞)
 (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7) ... (2 4 ∞)
 (2 5 5), (2 5 6), (2 5 7) ... (2 5 ∞)
 (2 6 6), (2 6 7), (2 6 8) ... (2 6 ∞)
 (3 3 4), (3 3 5), (3 3 6) ... (3 3 ∞)
 (3 4 4), (3 4 5), (3 4 6) ... (3 4 ∞)
 (3 5 5), (3 5 6), (3 5 7) ... (3 5 ∞)
 (3 6 6), (3 6 7), (3 6 8) ... (3 6 ∞)
 ...
 (∞ ∞ ∞)

Trikotnik (2 3 7) je najmanjši hiperbolični Schwarzev trikotnik. 

Trikotnik (2 3 8) lahko tlakuje Bolzovo ploskev, ki je visoko simetrična ploskev z rodom enakim 2.

Glej tudi 

 Wythoffov simbol
 Wythoffova konstrukcija
 uniformni polieder
 gostota politopa
 Goursatov tetraeder
 pravilno hiperbolično tlakovanje
 uniformno tlakovanje v hiperbolični ravnini

Zunanje povezave 

 
 Schwarzev trikotnik na WolframAlpha 

Sferna trigonometrija
Poliedri
Schwarzev trikotnik je sferni trikotnik s pomočjo katerega se lahko tlakuje sfero . Imenuje se po nemškem matematiku Hermanu Amandusu Schwarzu1921 ) . Schwarzev trikotnik se predstavi s tremi racionalnimi števili v obliki ( p q r ) kjer vsako število predstavlja kot v oglišču . Vrednost n /d pomeni , da je kot v oglišču n /d - ti del polovice kroga . Vrednostpomeni pravi kot . Kadar števila niso ulomki , se trikotnik imenuje Möbiusov trikotnik , ki odgovarja neprikrivajočemu tlakovanju . Simetrijska grupa se imenuje trikotniška grupa . Prostor rešitev Osnovna domena trikotnika ( p q r ) lahko obstaja v različnih prostorih , kar je odvisno od omejitev : \ : sferni \ : evklidska ravnina \ : hiperbolična ravnina Grafični prikaz Schwarzev trikotnik se lahko prikaže s trikotniškim grafom . Vsak vozel predstavlja rob Schwarzevega trikotnika . Vsak rob je označen z racionalnim številom , ki odgovarja zaporedju zrcaljenja , je enak π /kot ob oglišču Robovi redapredstavljajo pravokotna zrcala , ki se jih lahko izpusti na tej sliki . Coxeter - Dinkinov diagram prikazuje trikotniški graf z robovi reda ki so prikriti . Za Coxeterjevo grupo se lahko uporabi enostavnejši zapis kot je ( p q r ) za ciklični graf in ( p q[ p , q ] ( za prave kote ) ter ( p2 ) = [ p ] x [ ] . Seznam Schwarzevih trikotnikov Möbiusovi trikotniki na sferi Schwarzevi trikotniki za sfero po gostoti V nadaljevanju so našteti Schwarzevi trikotniki razvrščeni po gostoti ( politopski gostoti ) : Trikotniki za evklidsko ravnino Gostota ( 33 ) –60 ( enakostranični trikotnik ) ( 42 ) –90 ( enakokraki pravokotni trikotnik ) ( 62 ) –90 Trikotniki po gostotah : gostota4/3 ∞ ) ,3 /2 ∞ ) ,6 /5 ∞ ) gostota3332 ) ,3 /2 gostota52) ,62 ) ,6 /5 Trikotniki za hiperbolično ravnino Gostota 333 . . . 3 ∞ ) 444 . . . 4 ∞ ) 555 . . . 5 ∞ ) 666 . . . 6 ∞ ) 333 . . . 3 ∞ ) 444 . . . 4 ∞ ) 555 . . . 5 ∞ ) 666 . . . 6 ∞ ) \ . . . ( ∞ ∞ ∞ ) Trikotnik3je najmanjši hiperbolični Schwarzev trikotnik . Trikotnik3lahko tlakuje Bolzovo ploskev , ki je visoko simetrična ploskev z rodom enakim Glej tudi Wythoffov simbol Wythoffova konstrukcija uniformni polieder gostota politopa Goursatov tetraeder pravilno hiperbolično tlakovanje uniformno tlakovanje v hiperbolični ravnini Zunanje povezave Schwarzev trikotnik na WolframAlpha Sferna trigonometrija Poliedri