Ukrivljenost
Ukrívljenost (oznaka ) v matematiki pove koliko geometrijski objekt odstopa od ravnosti, kot se jo pozna pri premici. V ravnini je ukrivljenost skalarna količina, v treh ali več razsežnostih je ukrivljenost določena z vektorjem ukrivljenosti, ki upošteva razen smeri še ostrino ukrivljenosti. Pri kompleksnejših objektih se določa ukrivljenost z zapletenimi pojmi iz linearne algebre, kot je na primer Riemannov tenzor ukrivljenosti. Ločiti pa je treba med notranjo in zunanjo ukrivljenostjo. Zunanja ukrivljenost je definirana za objekte, ki so potopljeni v druge prostore (običajno v evklidski prostor) tako, da je ukrivljenost povezana s polmerom krožnice, ki je pritisnjena h krivulji. Notranja ukrivljenost pa je definirana v vsaki točki Riemannove mnogoterosti. V nadaljevanju je opisana zunanja ukrivljenost.

Ukrivljenost ravninskih krivulj 

Uporabljata se vsaj dva načina za opis ukrivljenosti. Prvi način je geometrijski, drugi pa fizikalni.

Naj bo  ravninska krivulja. Ukrivljenost te krivulje v določeni točki je merilo občutljivosti tangente pri premiku od te do naslednje točke. 

Po geometrijskem načinu je ukrivljenost premice enaka nič. Ukrivljenost krožnice je velika, če je polmer krožnice  majhen in obratno. Torej se lahko zapiše:
 
 .

Za dano krivuljo  in točko  na njej obstaja krožnica, ki se najbolj prilega krivulji v okolici točke . Ta krožnica se imenuje pritisnjena krožnica v točki . Ukrivljenost v točki  je definirana s to krožnico. 
 
Po fizikalnem načinu razumevanja pojma se najprej predpostavi, da se telo giblje vzdolž krivulje z enotsko hitrostjo. Če se vzame čas kot parameter krivulje , to nudi naravno parametrizacijo krivulje. Enotski tangentni vektor naj bo označen s  in je odvisen tudi od časa. Ukrivljenost je v tem primeru stopnja spreminjanja vektorja  ali:

 

Ta izraz pomeni velikost pospeška telesa (delca). Geometrijsko to pomeni hitrost vrtenja tangentnega vektorja. Kadar se smer krivulje ne spreminja veliko, ostane enotski tangentni vektor enak in krivulja ima majhno ukrivljenost.

Točnejša definicija 

Naj bo  zvezno odvedljiva ravninska krivulja za katero velja, da je zanjo znana parametrična enačba kot par funkcij , ki imata zvezni prvi in drugi odvod, da je po celotni domeni:

 

Za takšno ravninsko krivuljo obstoja parametrizacija z ločno dolžino tako, da velja:

 

Vektor hitrosti T(s) je enotski tangentni vektor. 

Enotski normalni (pravokotni) vektor je dan z:

  

Ukrivljenost  se izračuna kot:

 

kjer je:
  usmerjena ali orientirana ukrivljenost s predznakom.

Polmer ukrivljenosti  pa se izračuna po obrazcu:
 
 
 
Za ravninsko krivuljo, ki je dana parametrično v kartezičnem koordinatnem sistemu kot , je ukrivljenost enaka:

  (s črtico so označeni odvodi po parametru ). Iz tega se dobi predznačeno ukrivljenost  kot:

 

To se lahko izrazi na način, ki je neodvisen od koordinatnega sistema:

Zgled 

Za zgled naj bo parabola z enačbo . Enačbo se lahko parametrizira z . Odvodi so:

  

Iz tega se dobi:

Ukrivljenost prostorskih krivulj 

Naj bo  prostorska krivulja v vsaj treh razsežnostih. Ukrivljenost je pospešek telesa, ki se giblje z enotsko hitrostjo vzdolž krivulje. Če se z  označi parametrizacijo krivulje , potem je enotski tangentni vektor  dan z:

 

Ukrivljenost pa je velikost pospeška telesa (delca), ki se z enotsko hitrostjo giblje vzdolž krivulje. Če se z dolžino loka  parametrizira krivuljo , potem je enotski tangentni vektor  podan z:

 

Ukrivljenost pa je podana z velikostjo pospeška:

 

Smer pospeška je enotski normalni vektor , ki je določen z:

 

Ravnina, ki vsebuje dva vektorja  in , se imenuje oskulacijska ali pritisnjena ravnina na krivuljo v točki . Ukrivljenost se lahko geometrijsko pojasni na naslednji način: Obstoja krožnica v pritisnjeni ravnini tangente v  za katero se Taylorjeva vrsta do drugega reda ujema z . To pa je oskulacijska krožnica pritisnjena ob krivuljo. Polmer krožnice  se imenuje polmer ukrivljenosti in ukrivljenost je obratna vrednost polmera ukrivljenosti, kar je enako:

 

Tangenta , ukrivljenost in normalni vektor opisujejo obnašanje krivulje v bližini dane točke. V treh razsežnostih se obnašanje krivulje lahko opiše s pojmom torzija (glej vzvoj), ki meri kakšna je torzijska ukrivljenost ali zvitost. Krivulja je ravninska, če je njena torzijska ukrivljenost oziroma zvitost enaka 0. Torzija in ukrivljenost sta povezani z Frenet-Serretovimi obrazci in posplošitvami na višje razsežnosti. Torzijska ukrivljenost meri odstopanje krivulje od tega, da bi bila ravninska.

Ukrivljenost prostora in višje razsežnosti 

Tudi tri in mnogorazsežni prostor je lahko ukrivljen (glej ukrivljenost Riemannovih mnogoterosti).

Po odkritju notranje ukrivljenosti, ki je močno povezana z neevklidsko geometrijo so se mnogi matematiki in znanstveniki spraševali, če je fizični prostor ukrivljen. Mnogi so trdili, da bi morala biti ukrivljenost astronomsko velika. V splošni teoriji relativnosti se je to posplošilo z ukrivljenostjo prostor-časa. V relativnostni teoriji je prostor-čas psevdo-Riemannnova mnogoterost. Ko je enkrat časovna koordinata določena, je trirazsežni prostor v tem trenutku ukrivljena Riemannova mnogoterost. 

Čeprav je ukrivljen prostor zelo težko opisati, je ukrivljenost prostora krajevno izotropna in homogena, ki se jo lahko opiše z eno Gaussovo krivuljo kot za ploskev. To je zelo strog pogoj, toda odgovarja resnični fizikalni predpostavki, da se točke v različnih smereh med seboj ne razlikujejo.

Pozitivna ukrivljenost pripada obratni vrednosti kvadrata polmera ukrivljenosti. Primer je sfera oziroma hipersfera. Primer negativno ukrivljenega prostora je hiperbolična geometrija. Prostor ali prostor-čas, ki ima ukrivljenost enako 0, je raven. Primer ravnega prostora je evklidski prostor, primer ravnega prostor-časa pa je prostor Minkowskega (imenuje se po nemškem matematiku Hermannu Minkowskem (1864 – 1909).).

Posplošitev 

Pojem ukrivljenosti se lahko definira tudi v splošnejšem okolju Mnoge od teh posplošitev poudarjajo različne poglede na ukrivljenost, ki so običajne v nižjih razsežnostih. 

Ena izmed takšnih posplošitev je kinematska. Ukrivljenost se v njej obravnava kot kinematska količina, ki jo predstavlja sila, ki jo čuti opazovalec, ki se giblje vzdolž krivulje. Lahko se reče, da se na ukrivljenost lahko gleda kot vrsto plimske sile. 

Druga vrsta posplošitve je vzporednega prenosa po ploskvi. To se opiše na naslednji način: če se premika vektor po zaprti zanki na površini sfere tako, da vektor ostane vzporeden, potem končna lega vektorja ni enaka kot začetna. Ta pojav se imenuje holonomija. Različne posplošitve prevzemajo v abstraktni obliki ta način razmišljanja kot merilo za določanje holonomije. Precej podoben pojem ukrivljenosti izhaja iz umeritvene teorije v fiziki, kjer ukrivljenost predstavlja obseg. Vektorski potencial je za obseg količina, ki je odvisna od poti. Lahko se spremeni, če se opazovalec giblje naokoli po zanki. 

Znani sta še dve posplošitvi pojma ukrivljenosti. Prva je skalarna ukrivljenost, druga pa je Riccijeva ukrivljenost (imenovana po italijanskem matematiku Gregoriu Ricci-Curbastru (1853 – 1925)). Na ukrivljeni ploskvi, kot je sfera, se ploščina kroga razlikuje od ploščine kroga v ravnem prostoru. Ta razlika se meri s skalarno ukrivljenostjo. Razlika v ploščini krožnega izseka pa se meri z Riccijevo ukrivljenostjo. Skalarno in Riccijevo ukrivljenost se lahko definira na podoben način v treh ali več razsežnostih. Obe sta pomembni v teoriji relativnosti, kjer obe nastopata v Einsteinovih enačbah polja. Te enačbe opisujejo geometrijo prostor-časa. Te posplošitve tvorijo osnovo za predstavo, da je ukrivljenost značilnost mere.

Glej tudi 

 krivulja
 diferencialna geometrija krivulj
 stopnja ukrivljenosti
 dioptrija

Sklici

Zunanje povezave 

 
 Ukrivljenost ravninske krivulje  na PlanetMath 
 Ukrivljenost prostorske krivulje  na PlanetMath 
 Ukrivljenost  na Applet-Magic. com  
 Dolžina loka in ukrivljenost prostorskih krivulj 
 Ukrivljenost  

Diferencialna geometrija
Riemannova geometrija
Krivulje
Ukrívljenost ( oznaka ) v matematiki pove koliko geometrijski objekt odstopa od ravnosti , kot se jo pozna pri premici . V ravnini je ukrivljenost skalarna količina , v treh ali več razsežnostih je ukrivljenost določena z vektorjem ukrivljenosti , ki upošteva razen smeri še ostrino ukrivljenosti . Pri kompleksnejših objektih se določa ukrivljenost z zapletenimi pojmi iz linearne algebre , kot je na primer Riemannov tenzor ukrivljenosti . Ločiti pa je treba med notranjo in zunanjo ukrivljenostjo . Zunanja ukrivljenost je definirana za objekte , ki so potopljeni v druge prostore ( običajno v evklidski prostor ) tako , da je ukrivljenost povezana s polmerom krožnice , ki je pritisnjena h krivulji . Notranja ukrivljenost pa je definirana v vsaki točki Riemannove mnogoterosti . V nadaljevanju je opisana zunanja ukrivljenost . Ukrivljenost ravninskih krivulj Uporabljata se vsaj dva načina za opis ukrivljenosti . Prvi način je geometrijski , drugi pa fizikalni . Naj bo ravninska krivulja . Ukrivljenost te krivulje v določeni točki je merilo občutljivosti tangente pri premiku od te do naslednje točke . Po geometrijskem načinu je ukrivljenost premice enaka nič . Ukrivljenost krožnice je velika , če je polmer krožnice majhen in obratno . Torej se lahko zapiše : \ . Za dano krivuljo in točko na njej obstaja krožnica , ki se najbolj prilega krivulji v okolici točke \ . Ta krožnica se imenuje pritisnjena krožnica v točki \ . Ukrivljenost v točki je definirana s to krožnico . Po fizikalnem načinu razumevanja pojma se najprej predpostavi , da se telo giblje vzdolž krivulje z enotsko hitrostjo . Če se vzame čas kot parameter krivulje , to nudi naravno parametrizacijo krivulje . Enotski tangentni vektor naj bo označen s in je odvisen tudi od časa . Ukrivljenost je v tem primeru stopnja spreminjanja vektorja ali : Ta izraz pomeni velikost pospeška telesa ( delca ) . Geometrijsko to pomeni hitrost vrtenja tangentnega vektorja . Kadar se smer krivulje ne spreminja veliko , ostane enotski tangentni vektor enak in krivulja ima majhno ukrivljenost . Točnejša definicija Naj bo zvezno odvedljiva ravninska krivulja za katero velja , da je zanjo znana parametrična enačba kot par funkcij , ki imata zvezni prvi in drugi odvod , da je po celotni domeni : Za takšno ravninsko krivuljo obstoja parametrizacija z ločno dolžino tako , da velja : Vektor hitrosti T( s ) je enotski tangentni vektor. Enotski normalni ( pravokotni ) vektor je dan z : Ukrivljenost se izračuna kot : kjer je : usmerjena ali orientirana ukrivljenost s predznakom . Polmer ukrivljenosti pa se izračuna po obrazcu : Za ravninsko krivuljo , ki je dana parametrično v kartezičnem koordinatnem sistemu kot , je ukrivljenost enaka : ( s črtico so označeni odvodi po parametru ) . Iz tega se dobi predznačeno ukrivljenost kot : To se lahko izrazi na način , ki je neodvisen od koordinatnega sistema : Zgled Za zgled naj bo parabola z enačbo \ . Enačbo se lahko parametrizira z \ . Odvodi so : Iz tega se dobi : Ukrivljenost prostorskih krivulj Naj bo prostorska krivulja v vsaj treh razsežnostih . Ukrivljenost je pospešek telesa , ki se giblje z enotsko hitrostjo vzdolž krivulje . Če se z označi parametrizacijo krivulje , potem je enotski tangentni vektor dan z : Ukrivljenost pa je velikost pospeška telesa ( delca ) , ki se z enotsko hitrostjo giblje vzdolž krivulje . Če se z dolžino loka parametrizira krivuljo , potem je enotski tangentni vektor podan z : Ukrivljenost pa je podana z velikostjo pospeška : Smer pospeška je enotski normalni vektor , ki je določen z : Ravnina , ki vsebuje dva vektorja in , se imenuje oskulacijska ali pritisnjena ravnina na krivuljo v točki \ . Ukrivljenost se lahko geometrijsko pojasni na naslednji način : Obstoja krožnica v pritisnjeni ravnini tangente v za katero se Taylorjeva vrsta do drugega reda ujema z \ . To pa je oskulacijska krožnica pritisnjena ob krivuljo . Polmer krožnice se imenuje polmer ukrivljenosti in ukrivljenost je obratna vrednost polmera ukrivljenosti , kar je enako : Tangenta , ukrivljenost in normalni vektor opisujejo obnašanje krivulje v bližini dane točke . V treh razsežnostih se obnašanje krivulje lahko opiše s pojmom torzija ( glej vzvoj ) , ki meri kakšna je torzijska ukrivljenost ali zvitost . Krivulja je ravninska , če je njena torzijska ukrivljenost oziroma zvitost enaka Torzija in ukrivljenost sta povezani z Frenet - Serretovimi obrazci in posplošitvami na višje razsežnosti . Torzijska ukrivljenost meri odstopanje krivulje od tega , da bi bila ravninska . Ukrivljenost prostora in višje razsežnosti Tudi tri in mnogorazsežni prostor je lahko ukrivljen ( glej ukrivljenost Riemannovih mnogoterosti ) . Po odkritju notranje ukrivljenosti , ki je močno povezana z neevklidsko geometrijo so se mnogi matematiki in znanstveniki spraševali , če je fizični prostor ukrivljen . Mnogi so trdili , da bi morala biti ukrivljenost astronomsko velika . V splošni teoriji relativnosti se je to posplošilo z ukrivljenostjo prostor - časa . V relativnostni teoriji je prostor - čas psevdo - Riemannnova mnogoterost . Ko je enkrat časovna koordinata določena , je trirazsežni prostor v tem trenutku ukrivljena Riemannova mnogoterost . Čeprav je ukrivljen prostor zelo težko opisati , je ukrivljenost prostora krajevno izotropna in homogena , ki se jo lahko opiše z eno Gaussovo krivuljo kot za ploskev . To je zelo strog pogoj , toda odgovarja resnični fizikalni predpostavki , da se točke v različnih smereh med seboj ne razlikujejo . Pozitivna ukrivljenost pripada obratni vrednosti kvadrata polmera ukrivljenosti . Primer je sfera oziroma hipersfera . Primer negativno ukrivljenega prostora je hiperbolična geometrija . Prostor ali prostor - čas , ki ima ukrivljenost enako je raven . Primer ravnega prostora je evklidski prostor , primer ravnega prostor - časa pa je prostor Minkowskega ( imenuje se po nemškem matematiku Hermannu Minkowskem – ) . Posplošitev Pojem ukrivljenosti se lahko definira tudi v splošnejšem okolju Mnoge od teh posplošitev poudarjajo različne poglede na ukrivljenost , ki so običajne v nižjih razsežnostih . Ena izmed takšnih posplošitev je kinematska . Ukrivljenost se v njej obravnava kot kinematska količina , ki jo predstavlja sila , ki jo čuti opazovalec , ki se giblje vzdolž krivulje . Lahko se reče , da se na ukrivljenost lahko gleda kot vrsto plimske sile . Druga vrsta posplošitve je vzporednega prenosa po ploskvi . To se opiše na naslednji način : če se premika vektor po zaprti zanki na površini sfere tako , da vektor ostane vzporeden , potem končna lega vektorja ni enaka kot začetna . Ta pojav se imenuje holonomija . Različne posplošitve prevzemajo v abstraktni obliki ta način razmišljanja kot merilo za določanje holonomije . Precej podoben pojem ukrivljenosti izhaja iz umeritvene teorije v fiziki , kjer ukrivljenost predstavlja obseg. Vektorski potencial je za obseg količina , ki je odvisna od poti . Lahko se spremeni , če se opazovalec giblje naokoli po zanki . Znani sta še dve posplošitvi pojma ukrivljenosti . Prva je skalarna ukrivljenost , druga pa je Riccijeva ukrivljenost ( imenovana po italijanskem matematiku Gregoriu Ricci - Curbastru – . Na ukrivljeni ploskvi , kot je sfera , se ploščina kroga razlikuje od ploščine kroga v ravnem prostoru . Ta razlika se meri s skalarno ukrivljenostjo . Razlika v ploščini krožnega izseka pa se meri z Riccijevo ukrivljenostjo . Skalarno in Riccijevo ukrivljenost se lahko definira na podoben način v treh ali več razsežnostih . Obe sta pomembni v teoriji relativnosti , kjer obe nastopata v Einsteinovih enačbah polja . Te enačbe opisujejo geometrijo prostor - časa . Te posplošitve tvorijo osnovo za predstavo , da je ukrivljenost značilnost mere . Glej tudi krivulja diferencialna geometrija krivulj stopnja ukrivljenosti dioptrija Sklici Zunanje povezave Ukrivljenost ravninske krivulje na PlanetMath Ukrivljenost prostorske krivulje na PlanetMath Ukrivljenost na Applet - Magic . com Dolžina loka in ukrivljenost prostorskih krivulj Ukrivljenost Diferencialna geometrija Riemannova geometrija Krivulje