Število bet
Število bet se uporablja na podoben način kot število alef. Ime izhaja iz druge črke hebrejske abecede (prva črka se imenuje alef in jo zapišemo kot ). S števili bet označujemo kardinalnost števnih končnih množic. Podobno kot za število alef, označujemo tudi števila bet z indeksi, čeprav ne uporabljamo vseh indeksov, ki so v uporabi za .

Definicija 

Najprej definirajmo kardinalnost neskončne števne množice, oziroma množico naravnih števil, ki jo označujemo z  :

 

Označimo s  potenčno množico (partitivno množico), to je množico vseh podmnožic množice . Potem velja:

 

To pa je kardinalnost potenčne množice , če je   kardinalnost množice .

Po tej definiciji so:

 

kardinalnosti naslednjih množic:

 

To pomeni, da je drugo število bet  enako kardinalnosti kontinuuma (oznaka ). Tretje število bet  je kardinalnost potenčne množice kontinuuma.

Odnos s števili alef 

V skladu z aksiomom izbire so kardinalnosti, ki pripadajo neskončnim množicam, linearno urejene. Dveh kardinalnosti ne moremo primerjati. Ker ni neskončne kardinalnosti med  in  sledi, da je:

 .

To pomeni, da za vsako ordinalno število  velja:

 
 
Domneva kontinuuma nam da:

 

Posplošena domneva kontinuuma pa trdi, da števila bet tvorijo za vsako ordinalno število enako zaporedje kot števila alef:

Nekatera kardinalna števila bet

Bet nič 

Naslednjim množicam pripada kardinalnost :

 naravna števila 
 racionalna števila 
 algebrska števila 
 končna množica celih števil

Bet ena 

Naslednjim množicam pripada kardinalnost :

 transcendentna števila
 iracionalna števila
 realna števila 
 kompleksna števila 
 evklidski prostor 
 potenčna množica naravnih števil
 množica zaporedij celih števil  
 množica zaporedij realnih števil 
 množica zveznih funkcij iz  v 
 množica končnih podmnožic realnih števil

Bet dva 

Naslednjim množicam pripada kardinalnost :

 potenčna množica množice realnih števil
 potenčna množica množice potenc iz množice naravnih števil
 množica funkcij iz  v  ()
 množica funkcij iz  v 
 potenčna množica množice vseh funkcij iz množice naravnih števil v samo sebe
 Stone-Čechova kompaktifikacija za ,  in

Glej tudi 

 kardinalnost
 število alef

Zunanje povezave 

 Število bet  na WordiQ 

Kardinalna števila
Neskončnost
Število bet se uporablja na podoben način kot število alef. Ime izhaja iz druge črke hebrejske abecede ( prva črka se imenuje alef in jo zapišemo kot ) . S števili bet označujemo kardinalnost števnih končnih množic . Podobno kot za število alef , označujemo tudi števila bet z indeksi , čeprav ne uporabljamo vseh indeksov , ki so v uporabi za \ . Definicija Najprej definirajmo kardinalnost neskončne števne množice , oziroma množico naravnih števil , ki jo označujemo z \ : Označimo s potenčno množico ( partitivno množico ) , to je množico vseh podmnožic množice \ . Potem velja : To pa je kardinalnost potenčne množice , če je kardinalnost množice \ . Po tej definiciji so : kardinalnosti naslednjih množic : To pomeni , da je drugo število bet enako kardinalnosti kontinuuma ( oznaka ) . Tretje število bet je kardinalnost potenčne množice kontinuuma . Odnos s števili alef V skladu z aksiomom izbire so kardinalnosti , ki pripadajo neskončnim množicam , linearno urejene . Dveh kardinalnosti ne moremo primerjati . Ker ni neskončne kardinalnosti med in sledi , da je : \ . To pomeni , da za vsako ordinalno število velja : Domneva kontinuuma nam da : Posplošena domneva kontinuuma pa trdi , da števila bet tvorijo za vsako ordinalno število enako zaporedje kot števila alef: Nekatera kardinalna števila bet Bet nič Naslednjim množicam pripada kardinalnost \ : naravna števila racionalna števila algebrska števila končna množica celih števil Bet ena Naslednjim množicam pripada kardinalnost \ : transcendentna števila iracionalna števila realna števila kompleksna števila evklidski prostor potenčna množica naravnih števil množica zaporedij celih števil množica zaporedij realnih števil množica zveznih funkcij iz v množica končnih podmnožic realnih števil Bet dva Naslednjim množicam pripada kardinalnost \ : potenčna množica množice realnih števil potenčna množica množice potenc iz množice naravnih števil množica funkcij iz v ( ) množica funkcij iz v potenčna množica množice vseh funkcij iz množice naravnih števil v samo sebe Stone - Čechova kompaktifikacija za , in Glej tudi kardinalnost število alef Zunanje povezave Število bet na WordiQ Kardinalna števila Neskončnost