Ortogonalni polinomi
Ortogonálni polinómi v matematiki pomenijo neskončno zaporedje realnih ortogonalnih polinomov samo ene spremenljivke . Pri tem ima vsak  stopnjo . Vsaka dva polinoma v zaporedju sta si med seboj ortogonalna v svoji različici L2 notranjega produkta.

Z ortogonalnimi polinomi so se pričeli ukvarjati že v 19. stoletju. Med znanstveniki, ki so jih proučevali, so bili ruski matematik in mehanik Pafnuti Lvovič Čebišov (1821–1894) in ruski matematik Andrej Andrejevič Markov starejši (1856–1922), ter nizozemski matematik Thomas Joannes Stieltjes (1856–1894). V 20. stoletju so se največ ukvarjali z ortogonalnimi polinomi madžarsko-britanski matematik Arthur Erdélyi (1908–1977), madžarski matematik Gábor Szegő (1895–1985), ter ameriški matematik Richard Allen Askey (rojen 1933).

Definicija 

Najugodneje je, da se za definicijo ortogonalnih polinomov uporabi oznako za notranji produkt za katerega velja, da je za dva ortogonalna polinoma enak nič:

 

kjer sta:
  ortogonalna polinoma.

Zaporedje ortogonalnih polinomov je zaporedje:

 

Pri tem imajo  stopnjo  in vsi različni členi zaporedja so ortogonalni drug na drugega. Značilnosti polinomov so odvisne od značilnosti operatorja  .

Diferencialne enačbe, ki vodijo do ortogonalnih polinomov 

Pomembni razred ortogonalnih polinomov izhaja iz diferencialne enačbe z obliko:

 

kjer je:
  največ kvadratni polinom 
  linearni polinom
  funkcija, ki jo je potrebno najti
  konstanta, ki jo je potrebno najti.

Enačba pripada Sturm-Liouvilleovemu tipu enačb. Te vrste enačb imajo singularnosti v svojih rešitvah za , nimajo jih pa za določene vrednosti konstante . Obstaja vrsta števil , ki vodijo do vrste rešitev s polinomi , če velja ena izmed naslednjih trditev: 
  je resnični kvadratni polinom,  pa linearni, potem ima  dva različna realna korena 
  ni resnični kvadratni polinom , koren polinoma  leži točno med korenoma polinoma  in vodeči člen polinomov  in  ima isti predznak. 
  je neničelna konstanta,  je linearni polinom in vodeči člen polinoma  ima nasprotni predznak kot polinom .

Klasična definicija

Naj bo  interval na realni premici, tako da velja  in , kar se imenuje interval ortogonalnosti. Naj bo pozitivna funkcija znotraj intervala:

 

 mora zadoščati zahtevi, da mora biti za polinom  integral:

 

končen. Funkcija  se imenuje utežna funkcija.

Za dani vrednosti  in  se lahko za dana polinoma  in  definira:

 

Ta operacija je notranji produkt nad vektorskim prostorom. S tem je določena ortogonalnost dveh polinomov. Torej sta dva polinoma ortogonalna, če je njun notranji (skalarni) produkt enak nič.

Standardizacija 

Izbrani notranji produkt določa normo polinoma na običajen način:

 

Ko se pripravlja ortogonalno bazo, se poskuša pripraviti ortonormalno bazo v kateri bodo vsi bazni elementi imeli normo enako 1. Za polinome to pogosto pomeni preproste kvadratne korene koeficientov. Namesto tega se polinome skalira tako, da so koeficienti enostavnejši. To se imenuje standardizacija. Klasične polinome se pogosto standardizira s tem, da se postavi vodeče koeficiente na neko vrednost ali pa se postavi določeno vrednost. Standardizacija na ta način je samo dogovor, nima pa matematičnega pomena. Standardizacija vključuje tudi skaliranje utežne funkcije.

Kvadrat norme polinoma  se označi s :

 

Vrednosti za  so za klasične polinome standardizirane (glej tabelo spodaj). To se lahko zapiše tudi kot:

 

kjer je:

  Kroneckerjeva delta.

Rekurzivna zveza 

Vsako zaporedje ortogonalnih polinomov ima svoj rekurzivni obrazec v obliki:

 

Koeficienti ,  in  so odvisni od .

Vrednosti ,  in  se lahko neposredno določi. Naj bodo  in  prvi in drugi koeficient polinoma :

 

in naj bo  notranji produkt polinoma  samega s seboj:

 

Iz tega se dobi:

Rodriquesov obrazec 

Posamezni členi  so sorazmerni z . Ta obrazec se imenuje Rodriguesov obrazec. Imenuje se po francoskem bankirju, matematiku in družbenem prenovitelju Benjaminu Olindeju Rodriguesu (1795 – 185).

Pogosto se ga piše v obliki:

 

kjer je:
  odvisen od standardizacije.

Števila λn 

Iz vsega sledi, da je:

 

Ker pa sta  kvadratni in  linearna polinoma sta,  in  konstanti (glej preglednico spodaj).

Klasični ortogonalni polinomi 

Med klasične ortogonalne polinome spadajo:

 Jacobijevi polinomi
 Gegenbauerjevi polinomi
 Legendrovi polinomi
 polinomi Čebišova (dva tipa)
 Laquerrovi polinomi
 posplošeni Laquerrovi polinomi
 Hermitovi polinomi

Ortogonalni polinomi so rešitve diferencialne enačbe, ki ima obliko:

Jacobijevi polinomi 

Jacobijevi polinomi so rešitve Jacobijeve enačbe:

 

Polinomi, ki so jim podobni, imajo interval ortogonalnosti premaknjen in skaliran tako, da interval še vedno obsega  in je potrebno določiti dva parametra (glej tudi Gegenbauerjevi polinomi).

Legendrovi polinomi 

Legendrovi polinomi so rešitev diferencialne enačbe:

 

Enačba se imenuje Legendrova enačba.

Druga oblika diferencialne enačbe je:

 

Rekurzivni obrazec za Legendrove polinome je:

 

Najenostavnejši ortogonalni polinomi so Legendrovi polinomi. Njihov interval ortogonalnosti je [-1, 1], utežna funkcija pa je kar 1. 

Nekaj prvih Legendrovih polinomov je:

 
 
 
 

.

Polinomi so ortogonalni v intervalu [-1, 1], če je le , saj velja:

 

Legendrovi polinomi so standardizirani tako, da je  za vse .

Posplošeni Legendrovi polinomi 
Posplošene Legendrove polinome se označi z:

 

kjer je:

  celo število
  celo število tako, da je .

Polinomi so definirani kot:

 

Opomba: parameter  je zapisan v oklepaju, da ne izgleda kot potenca. 

Rekurzivni obrazec za določanje teh polinomov je:

 

Za stalni  je zaporedje  ortogonalno v intervalu  z utežno funkcijo enako 1.

Za dani  so polinomi rešitev diferencialne enačbe:

 .

Gegenbauerjevi polinomi 

Kadar je ena skupina parametrov  in  med seboj enaka, se dobi Gegenbauerjeve polinome. Zapiše se jih kot . Definirani pa so kot:

 

Pri tem je  in . Mora pa biti  večji od -1/2.

Polinomi Čebišova 

Diferencialna enačba, katere rešitve so polinomi Čebišova, je:

 

Imenuje se enačba Čebišova. 

Rekurzivni obrazec za polinome Čebišova je:

 

Rodriquesov obrazec je:

 

Znani so tudi polinomi Čebišova druge vrste, ki se jih označuje z .

Laquerrovi polinomi 

Najsplošnejši Laquerrovi polinomi se imenujejo posplošeni Laquerrovi polinomi in se jih označuje z . Parameter  mora biti večji od -1.

Diferencialna enačba, s katero so določeni Laquerrovi polinomi, je:

 

Druga oblika diferencialne enačbe pa je:

 

Rekurzivni obrazec je:

 

Rodriquesov obrazec je:

Hermitovi polinomi 

Diferencialna enačba, ki določa Hermitove polinome, je:

 

Imenuje se Hermitova enačba.

Druga oblika diferencialne enačbe je:

 

Znana je še tretja oblika:

 

Rekurzivni obrazec je:

 

Rodriquesov obrazec je:

 

Nekaj prvih Hermitovih polinomov je:

Tabela klasičnih ortogonalnih polinomov

Zunanje povezave 

 
  Ortogonalni polinomi 
 Polinomi Laquerra na MathWorld 

Ortogonalni polinomi
Polinomi
Ortogonálni polinómi v matematiki pomenijo neskončno zaporedje realnih ortogonalnih polinomov samo ene spremenljivke \ . Pri tem ima vsak stopnjo \ . Vsaka dva polinoma v zaporedju sta si med seboj ortogonalna v svoji različici L2 notranjega produkta . Z ortogonalnimi polinomi so se pričeli ukvarjati že v stoletju . Med znanstveniki , ki so jih proučevali , so bili ruski matematik in mehanik Pafnuti Lvovič Čebišov1894 ) in ruski matematik Andrej Andrejevič Markov starejši1922 ) , ter nizozemski matematik Thomas Joannes Stieltjes1894 ) . V stoletju so se največ ukvarjali z ortogonalnimi polinomi madžarsko - britanski matematik Arthur Erdélyi1977 ) , madžarski matematik Gábor Szegő1985 ) , ter ameriški matematik Richard Allen Askey ( rojen Definicija Najugodneje je , da se za definicijo ortogonalnih polinomov uporabi oznako za notranji produkt za katerega velja , da je za dva ortogonalna polinoma enak nič : kjer sta : ortogonalna polinoma . Zaporedje ortogonalnih polinomov je zaporedje : Pri tem imajo stopnjo in vsi različni členi zaporedja so ortogonalni drug na drugega . Značilnosti polinomov so odvisne od značilnosti operatorja \ . Diferencialne enačbe , ki vodijo do ortogonalnih polinomov Pomembni razred ortogonalnih polinomov izhaja iz diferencialne enačbe z obliko : kjer je : največ kvadratni polinom linearni polinom funkcija , ki jo je potrebno najti konstanta , ki jo je potrebno najti . Enačba pripada Sturm - Liouvilleovemu tipu enačb . Te vrste enačb imajo singularnosti v svojih rešitvah za , nimajo jih pa za določene vrednosti konstante \ . Obstaja vrsta števil , ki vodijo do vrste rešitev s polinomi , če velja ena izmed naslednjih trditev : je resnični kvadratni polinom , pa linearni , potem ima dva različna realna korena ni resnični kvadratni polinom , koren polinoma leži točno med korenoma polinoma in vodeči člen polinomov in ima isti predznak . je neničelna konstanta , je linearni polinom in vodeči člen polinoma ima nasprotni predznak kot polinom \ . Klasična definicija Naj bo interval na realni premici , tako da velja in , kar se imenuje interval ortogonalnosti . Naj bo pozitivna funkcija znotraj intervala : mora zadoščati zahtevi , da mora biti za polinom integral : končen . Funkcija se imenuje utežna funkcija . Za dani vrednosti in se lahko za dana polinoma in definira : Ta operacija je notranji produkt nad vektorskim prostorom . S tem je določena ortogonalnost dveh polinomov . Torej sta dva polinoma ortogonalna , če je njun notranji ( skalarni ) produkt enak nič . Standardizacija Izbrani notranji produkt določa normo polinoma na običajen način : Ko se pripravlja ortogonalno bazo , se poskuša pripraviti ortonormalno bazo v kateri bodo vsi bazni elementi imeli normo enako Za polinome to pogosto pomeni preproste kvadratne korene koeficientov . Namesto tega se polinome skalira tako , da so koeficienti enostavnejši . To se imenuje standardizacija . Klasične polinome se pogosto standardizira s tem , da se postavi vodeče koeficiente na neko vrednost ali pa se postavi določeno vrednost . Standardizacija na ta način je samo dogovor , nima pa matematičnega pomena . Standardizacija vključuje tudi skaliranje utežne funkcije . Kvadrat norme polinoma se označi s \ : Vrednosti za so za klasične polinome standardizirane ( glej tabelo spodaj ) . To se lahko zapiše tudi kot : kjer je : Kroneckerjeva delta . Rekurzivna zveza Vsako zaporedje ortogonalnih polinomov ima svoj rekurzivni obrazec v obliki : Koeficienti , in so odvisni od \ . Vrednosti , in se lahko neposredno določi . Naj bodo in prvi in drugi koeficient polinoma \ : in naj bo notranji produkt polinoma samega s seboj : Iz tega se dobi : Rodriquesov obrazec Posamezni členi so sorazmerni z \ . Ta obrazec se imenuje Rodriguesov obrazec . Imenuje se po francoskem bankirju , matematiku in družbenem prenovitelju Benjaminu Olindeju Rodriguesu – Pogosto se ga piše v obliki : kjer je : odvisen od standardizacije . Števila λn Iz vsega sledi , da je : Ker pa sta kvadratni in linearna polinoma sta , in konstanti ( glej preglednico spodaj ) . Klasični ortogonalni polinomi Med klasične ortogonalne polinome spadajo : Jacobijevi polinomi Gegenbauerjevi polinomi Legendrovi polinomi polinomi Čebišova ( dva tipa ) Laquerrovi polinomi posplošeni Laquerrovi polinomi Hermitovi polinomi Ortogonalni polinomi so rešitve diferencialne enačbe , ki ima obliko : Jacobijevi polinomi Jacobijevi polinomi so rešitve Jacobijeve enačbe : Polinomi , ki so jim podobni , imajo interval ortogonalnosti premaknjen in skaliran tako , da interval še vedno obsega in je potrebno določiti dva parametra ( glej tudi Gegenbauerjevi polinomi ) . Legendrovi polinomi Legendrovi polinomi so rešitev diferencialne enačbe : Enačba se imenuje Legendrova enačba . Druga oblika diferencialne enačbe je : Rekurzivni obrazec za Legendrove polinome je : Najenostavnejši ortogonalni polinomi so Legendrovi polinomi . Njihov interval ortogonalnosti je [ - 1 , , utežna funkcija pa je kar Nekaj prvih Legendrovih polinomov je : . Polinomi so ortogonalni v intervalu [ - 1 , , če je le , saj velja : Legendrovi polinomi so standardizirani tako , da je za vse \ . Posplošeni Legendrovi polinomi Posplošene Legendrove polinome se označi z : kjer je : celo število celo število tako , da je \ . Polinomi so definirani kot : Opomba : parameter je zapisan v oklepaju , da ne izgleda kot potenca . Rekurzivni obrazec za določanje teh polinomov je : Za stalni je zaporedje ortogonalno v intervalu z utežno funkcijo enako Za dani so polinomi rešitev diferencialne enačbe : \ . Gegenbauerjevi polinomi Kadar je ena skupina parametrov in med seboj enaka , se dobi Gegenbauerjeve polinome . Zapiše se jih kot \ . Definirani pa so kot : Pri tem je in \ . Mora pa biti večji od2. Polinomi Čebišova Diferencialna enačba , katere rešitve so polinomi Čebišova , je : Imenuje se enačba Čebišova . Rekurzivni obrazec za polinome Čebišova je : Rodriquesov obrazec je : Znani so tudi polinomi Čebišova druge vrste , ki se jih označuje z \ . Laquerrovi polinomi Najsplošnejši Laquerrovi polinomi se imenujejo posplošeni Laquerrovi polinomi in se jih označuje z \ . Parameter mora biti večji od Diferencialna enačba , s katero so določeni Laquerrovi polinomi , je : Druga oblika diferencialne enačbe pa je : Rekurzivni obrazec je : Rodriquesov obrazec je : Hermitovi polinomi Diferencialna enačba , ki določa Hermitove polinome , je : Imenuje se Hermitova enačba . Druga oblika diferencialne enačbe je : Znana je še tretja oblika : Rekurzivni obrazec je : Rodriquesov obrazec je : Nekaj prvih Hermitovih polinomov je : Tabela klasičnih ortogonalnih polinomov Zunanje povezave Ortogonalni polinomi Polinomi Laquerra na MathWorld Ortogonalni polinomi Polinomi