Wieferich-pár
A matematikában Wieferich-párnak nevezik olyan  p és q prímszámpárosokat, melyekre igaz, hogy:

pq − 1 ≡ 1 (mod q2) és qp − 1 ≡ 1 (mod p2)

A Wieferich-párokat Arthur Wieferich német matematikusról nevezték el. Fontos szerepet játszottak Preda Mihăilescu 2002-es Catalan-sejtés-bizonyításában (azóta Mihăilescu-tétel).

Ismert Wieferich-párok 
Mindössze 7 Wieferich-pár ismert:
(2, 1093), (3, 1006003), (5, 1645333507), (5, 188748146801), (83, 4871), (911, 318917) és (2903, 18787). (sorozatok: ,  and  in OEIS)

Wieferich-triplett 
Egy Wieferich-triplett olyan p, q, r prímhármas, melyekre igaz, hogy:

pq − 1 ≡ 1 (mod q2), qr − 1 ≡ 1 (mod r2) és rp − 1 ≡ 1 (mod p2).

12 Wieferich-triplett ismeretes:
(2, 1093, 5), (2, 3511, 73), (3, 11, 71), (5, 20771, 18043), (5, 53471161, 193), (5, 6692367337, 1601), (5, 6692367337, 1699), (5, 188748146801, 8807), (13, 863, 23), (17, 478225523351, 2311), (83, 13691, 821) és (1657, 2281, 1667). (sorozatok: ,  és  in OEIS)

Wieferich-sorozat 
Egy k>1 természetes számhoz tartozó Wieferich-sorozat a következőképpen definiálható. A sorozat első eleme, a1=k, an = a legkisebb p prím, amire an−1p−1 nem ≡ 1 (mod p), de an−1 ≠ ±1 (mod p). A sejtés szerint bármilyen természetes számmal kezdődjön a sorozat, az végül periodikussá válik. Például legyen a1 = 2:

2, 1093, 5, 20771, 18043, 5, 20771, 18043, 5, ..., amivel egy hármas ciklusba került a sorozat: {5, 20771, 18043}. (egy Wieferich-triplet)

Legyen a1 = 83:

83, 4871, 83, 4871, 83, 4871, 83, ..., Szintén körbeért: {83, 4871}. (egy Wieferich-pár)

Legyen a1 = 59 (egy hosszabb sorozat):

59, 2777, 133287067, 13, 863, 7, 5, 20771, 18043, 5, ... az első példához hasonlóan eljutott 5-höz.

Több olyan érték van, aminek nem ismert a státusa, például legyen a1 = 3:

3, 11, 71, 47, ? (Nem ismert 47-es alapú Wieferich-prím).

Legyen a1 = 14:

14, 29, ? (Nem ismert 29-es alapú Wieferich-prím a 2 kivételével, de 22 = 4, ami osztója a 29 − 1 = 28-nak)

Legyen a1 = 39 (hosszabb sorozat):
39, 8039, 617, 101, 1050139, 29, ? (Elér a sorozat 29-hez)

Nem ismert, hogy léteznek-e olyan a1 > 1 értékek, amikre a sorozat nem válik periodikussá (tehát korlátok nélkül növekszik).

A sorozatok második elemei, ha a1=k (k = 2-től): 1093, 11, 1093, 20771, 66161, 5, 1093, 11, 487, 71, 2693, 863, 29, 29131, 1093, 46021, 5, 7, 281, ?, 13, 13, 25633, 20771, 71, 11, 19, ?, 7, 7, 5, 233, 46145917691, 1613, 66161, 77867, 17, 8039, 11, 29, 23, 5, 229, 1283, 829, ?, 257, 491531, ?, ... (láthatóan k = 21, 29, 47, 50 esetre már a második érték is ismeretlen)

Kapcsolódó szócikkek 
 Wieferich-prímek
 Fermat-hányados

Jegyzetek

Irodalom
 
 
 

Prímszámok
Nevezetes számsorozatok
A matematikában Wieferich-párnak nevezik olyan p és q prímszámpárosokat , melyekre igaz , hogy : pq −≡( mod q2 ) és qp −≡( mod p2 ) A Wieferich-párokat Arthur Wieferich német matematikusról nevezték el . Fontos szerepet játszottak Preda Mihăilescues Catalan-sejtés-bizonyításában ( azóta Mihăilescu-tétel ) . Ismert Wieferich-párok MindösszeWieferich-pár ismert : ( 2,és ( sorozatok : , and in OEIS ) Wieferich-triplett Egy Wieferich-triplett olyan p , q , r prímhármas , melyekre igaz , hogy : pq −≡( mod q2 ) , qr −≡( mod r2 ) és rp −≡( mod p2) . 12 Wieferich-triplett ismeretes : ( 2,és ( sorozatok : , és in OEIS ) Wieferich-sorozat Egy k>1 természetes számhoz tartozó Wieferich-sorozat a következőképpen definiálható . A sorozat első eleme , a1=k , an = a legkisebb p prím , amire an−1p−1 nem ≡( mod p ) , de an−1 ≠ ±1 ( mod p ) . A sejtés szerint bármilyen természetes számmal kezdődjön a sorozat , az végül periodikussá válik . Például legyen a1 = 2,\... , amivel egy hármas ciklusba került a sorozat : { 5,. ( egy Wieferich-triplet ) Legyen a1 = 83,\... , Szintén körbeért : { 83,. ( egy Wieferich-pár ) Legyen a1 =( egy hosszabb sorozat ) : 59,\... az első példához hasonlóan eljutotthöz . Több olyan érték van , aminek nem ismert a státusa , például legyen a1 = 3 , ? ( Nem ismertes alapú Wieferich-prím ) . Legyen a1 = 14 , ? ( Nem ismertes alapú Wieferich-prím akivételével , de= ami osztója a−=nak ) Legyen a1 =( hosszabb sorozat ) : 39 , ? ( Elér a sorozathez ) Nem ismert , hogy léteznek-e olyan a1 >értékek , amikre a sorozat nem válik periodikussá ( tehát korlátok nélkül növekszik ) . A sorozatok második elemei , ha a1=k ( k =től ) : ? , ? , ? , ?,\... ( láthatóan k =esetre már a második érték is ismeretlen ) Kapcsolódó szócikkek Wieferich-prímek Fermat-hányados Jegyzetek Irodalom Prímszámok Nevezetes számsorozatok