FWER
A statisztikában a FWER (Family-wise error rate) annak a valószínűsége, hogy egy vagy több hamis megállapítást teszünk, illetve az elsődfajú hiba valószínűsége többszörös hipotézisvizsgálatnál.

Története 
A szakkifejezést John Tukey alkotta, jelentése: hibaráta, kísérletenkénti hibaráta. Célja az volt, hogy kimutassa azt a hibahatárt, amivel a kutatások dolgozhatnak. A kutatásokban ez a többszörös hipotézisvizsgálat egyféle kontroll-szintjeként működik.

Háttere 
A „család” kifejezésnek különböző statisztikai definíciói vannak:
 Hochberg és Tamhane 1987-ben olyan következtetések gyűjteményeként definiálta, amelyeket a hibamérésnél érdemes számba venni.
 Cox 1982-ben az alábbiakat állapította meg a „családra” vonatkozóan:
 Az adatbányászat miatt számításba kell venni a szelekciós hatást.
 Ahhoz, hogy helyes döntést lehessen hozni, a következmények egy csoportjának biztosítani kell az egyidejű bekövetkeztét.
A család leginkább a lehetséges szelekciós következmények, következtetések figyelembe vételeként definiálható.

A család az analízis legkisebb item-gyűjteménye. Jelentésük bizonyos esetekben felcserélhető, attól függően, hogy az aktuális mérések eredményei mely jelentés kiemelését teszik lehetővé.

Az összetett hipotézisvizsgálat osztályozása 
A lenti táblázat összefoglalja a nullhipotézisek összetett vizsgálatának lehetséges kimeneteleit. Feltesszük, hogy m darab nullhipotézissel rendelkezünk, amiket H1, H2, ..., Hm-mel jelölünk.

A statisztikai próba során elvetjük a nullhipotézist, ha a próba szignifikánsnak bizonyul. Ha a teszt nem mutat szignifikáns eredményt, a nullhipotézist megtartjuk. Az összes fajta kimenetel összegzésével a következő valószínűségi változókat kapjuk:

 H0: nullhipotézis
 HA: ellenhipotézis
 m: az összes tesztelt hipotézis száma
 m0: az igaz nullhipotézisek száma, ismeretlen paraméter
 m - m0: az igaz ellenhipotézisek száma
 V: tévesen elfogadott ellenhipotézisek száma (elsőfajú hiba)
 S: megfelelően elfogadott ellenhipotézisek száma
 T: tévesen elvetett nullhipotézisek száma (másodfajú hiba)
 U: megfelelően elvetett nullhipotézisek száma
 R = V + S: elvetett nullhipotézisek száma
Az m darab hipotézisvizsgálatnál, ahol m0 az igaz nullhipotézisek számát jelöli, az R egy megfigyelhető random változó, az S, T, U és V változók pedig nem megfigyelhető random változók.

Definíció 
A FWER annak a valószínűsége, hogy legalább egy elsőfajú hibát vétünk a családban.

 ami ekvivalens azzal, hogy

Ily módon, a  állítás szerint, annak a valószínűségét, hogy egy vagy több elsőfajú hibát vétünk, -szinttel szokás kontrollálni.

Az  gyenge kontrollnak minősül, ha a kontroll csak a globális nullhipotézis teljesülése mellett garantált.

A FWER erősen van kontrollálva, ha az -szint bármely null- és ellenhipotézis konfigurációjának teljesülését garantálja (akár igaz, akár hamis a globális nullhipotézis).

Kontrolláló eljárások 
Az alábbi kontrolláló eljárások közül néhány klasszikus eljárás, melyek a FWER erős -kontrollját biztosítják, illetve találunk néhány újabb eljárást is.

Ezen eljárások célja, hogy legalább egy hamis eredmény valószínűségét limitálják.

A Bonferroni-eljárás

AŠidák-eljárás

Tukey eljárása

Holm csökkenő eljárása (1979)

Hochberg növekvő eljárása (1988)

Dunnett-korrekció

Schaffé-metódus

Megismételt mintavételi eljárások

Alternatív megközelítések 
A FWER-kontroll szigorúbb módon kezeli a tévkövetkeztetéseket (false discovery), mint az FDR (false discovery rate) eljárások. A FWER kontroll csak annak valószínűségére korlátozódik, hogy legalább egy hibás döntést hozunk, míg a FDR tágabb értelemben, a tévkövetkeztetések várt arányára korlátozódik. Ily módon a FDR eljárásoknak nagyobb ára is van: esetükben megnő az elsőfajú hiba aránya, azaz nagyobb arányban vetünk el valós nullhipotéziseket.

A másik oldalról pedig a FWER kevésbé szigorú, mint a családra vonatkozó hibaarány-kontroll (per-family error rate control), ugyanis ebben az esetben a várt hibák száma a családra vonatkozóan van limitálva. Míg a FWER-kontrollt legalább egy hibás következtetés esetén használjuk, addig a családra vonatkozó hibaarány-kontrollal esetén más a helyzet. Utóbbi nem kezeli az egyidejű többszörös tévkövetkeztetéseket súlyosabb esetként, mint az egy tévkövetkeztetést.

A Bonferroni-korrekciónál gyakran úgy tartják, hogy pusztán csak a FWER-t kontrollálja, ám valójában a családra vonatkozó hibaarányra vonatkozóan is alkalmazható.

Források 

Statisztika
A statisztikában a FWER ( Family-wise error rate ) annak a valószínűsége , hogy egy vagy több hamis megállapítást teszünk , illetve az elsődfajú hiba valószínűsége többszörös hipotézisvizsgálatnál . Története A szakkifejezést John Tukey alkotta , jelentése : hibaráta , kísérletenkénti hibaráta . Célja az volt , hogy kimutassa azt a hibahatárt , amivel a kutatások dolgozhatnak . A kutatásokban ez a többszörös hipotézisvizsgálat egyféle kontroll-szintjeként működik . Háttere A „ család” kifejezésnek különböző statisztikai definíciói vannak : Hochberg és Tamhaneben olyan következtetések gyűjteményeként definiálta , amelyeket a hibamérésnél érdemes számba venni . Coxben az alábbiakat állapította meg a „ családra” vonatkozóan : Az adatbányászat miatt számításba kell venni a szelekciós hatást . Ahhoz , hogy helyes döntést lehessen hozni , a következmények egy csoportjának biztosítani kell az egyidejű bekövetkeztét . A család leginkább a lehetséges szelekciós következmények , következtetések figyelembe vételeként definiálható . A család az analízis legkisebb item-gyűjteménye . Jelentésük bizonyos esetekben felcserélhető , attól függően , hogy az aktuális mérések eredményei mely jelentés kiemelését teszik lehetővé . Az összetett hipotézisvizsgálat osztályozása A lenti táblázat összefoglalja a nullhipotézisek összetett vizsgálatának lehetséges kimeneteleit . Feltesszük , hogy m darab nullhipotézissel rendelkezünk , amiket H1 , H2,\... , Hm-mel jelölünk . A statisztikai próba során elvetjük a nullhipotézist , ha a próba szignifikánsnak bizonyul . Ha a teszt nem mutat szignifikáns eredményt , a nullhipotézist megtartjuk . Az összes fajta kimenetel összegzésével a következő valószínűségi változókat kapjuk : H0 : nullhipotézis HA : ellenhipotézis m : az összes tesztelt hipotézis száma m0 : az igaz nullhipotézisek száma , ismeretlen paraméter m - m0 : az igaz ellenhipotézisek száma V : tévesen elfogadott ellenhipotézisek száma ( elsőfajú hiba ) S : megfelelően elfogadott ellenhipotézisek száma T : tévesen elvetett nullhipotézisek száma ( másodfajú hiba ) U : megfelelően elvetett nullhipotézisek száma R = V + S : elvetett nullhipotézisek száma Az m darab hipotézisvizsgálatnál , ahol m0 az igaz nullhipotézisek számát jelöli , az R egy megfigyelhető random változó , az S , T , U és V változók pedig nem megfigyelhető random változók . Definíció A FWER annak a valószínűsége , hogy legalább egy elsőfajú hibát vétünk a családban. ami ekvivalens azzal , hogy Ily módon , a állítás szerint , annak a valószínűségét , hogy egy vagy több elsőfajú hibát vétünk , -szinttel szokás kontrollálni . Az gyenge kontrollnak minősül , ha a kontroll csak a globális nullhipotézis teljesülése mellett garantált . A FWER erősen van kontrollálva , ha az -szint bármely null- és ellenhipotézis konfigurációjának teljesülését garantálja ( akár igaz , akár hamis a globális nullhipotézis ) . Kontrolláló eljárások Az alábbi kontrolláló eljárások közül néhány klasszikus eljárás , melyek a FWER erős -kontrollját biztosítják , illetve találunk néhány újabb eljárást is . Ezen eljárások célja , hogy legalább egy hamis eredmény valószínűségét limitálják . A Bonferroni-eljárás AŠidák-eljárás Tukey eljárása Holm csökkenő eljárása Hochberg növekvő eljárása Dunnett-korrekció Schaffé-metódus Megismételt mintavételi eljárások Alternatív megközelítések A FWER-kontroll szigorúbb módon kezeli a tévkövetkeztetéseket ( false discovery ) , mint az FDR ( false discovery rate ) eljárások . A FWER kontroll csak annak valószínűségére korlátozódik , hogy legalább egy hibás döntést hozunk , míg a FDR tágabb értelemben , a tévkövetkeztetések várt arányára korlátozódik . Ily módon a FDR eljárásoknak nagyobb ára is van : esetükben megnő az elsőfajú hiba aránya , azaz nagyobb arányban vetünk el valós nullhipotéziseket . A másik oldalról pedig a FWER kevésbé szigorú , mint a családra vonatkozó hibaarány-kontroll ( per-family error rate control ) , ugyanis ebben az esetben a várt hibák száma a családra vonatkozóan van limitálva . Míg a FWER-kontrollt legalább egy hibás következtetés esetén használjuk , addig a családra vonatkozó hibaarány-kontrollal esetén más a helyzet . Utóbbi nem kezeli az egyidejű többszörös tévkövetkeztetéseket súlyosabb esetként , mint az egy tévkövetkeztetést . A Bonferroni-korrekciónál gyakran úgy tartják , hogy pusztán csak a FWER-t kontrollálja , ám valójában a családra vonatkozó hibaarányra vonatkozóan is alkalmazható . Források Statisztika