Szuperbővelkedő számok
A számelméletben a szuperbővelkedő szám (superabundant number, SA) speciális tulajdonságú természetes szám. Az erősen bővelkedő számoknál szigorúbb feltételt megszabva, egy n természetes szám akkor szuperbővelkedő, ha minden m < n-re igaz, hogy
,

ahol σ az osztóösszeg-függvényt jelöli. Az első néhány szuperbővelkedő szám az 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, ... .
A szuperbővelkedő számokat Alaoglu és Erdős definiálta, akik nem voltak tudatában a Rámánudzsan 1915-ös, "Highly Composite Numbers" című értekezéséből kihagyott oldalaknak, ahol Rámánudzsan az erősen összetett számok általánosításaként lényegében a szuperbővelkedő számokat is definiálta. A kihagyott oldalak végül 1997-ben, a Ramanujan Journal 1 (1997), 119–153 oldalán jelentek meg.

Tulajdonságok 
Alaoglu és Erdős 1944-ben bizonyították, hogy ha n szuperbővelkedő, akkor léteznek olyan k illetve ai, a2, ..., ak egész számok, melyekre

ahol pi az i-edik prímszám és

Más szavakkal, ha n szuperbővelkedő, akkor prímtényezős felbontásában nem növekedhetnek a kitevők (a nagyobb prímekhez tartozó kitevők sohasem nagyobbak, mint a kisebb prímekhez tartozók) és -ig az összes prímszám osztója n-nek. Természetesen ebből az is következik, hogy (az első kivételével) minden szuperbővelkedő szám páros, és a k-adik prímoriális  többszöröse. Ahogy az erősen összetett számoknál is igaz volt, az utolsó ak kitevő 1-gyel egyenlő, a 4 és a 36 kivételével.

A szuperbővelkedő számok és az erősen összetett számok között vannak átfedések, főleg a kisebb számoknál – ugyanakkor nem minden szuperbővelkedő szám erősen összetett. Valójában a végtelen sok szuperbővelkedő és erősen összetett szám között csak 449 egyezés található. Például a (legkisebb ilyen tulajdonságú) 7560 erősen összetett, de nem szuperbővelkedő; a (legkisebb ilyen tulajdonságú)  szuperbővelkedő, de nem erősen összetett.

Minden szuperbővelkedő szám egyben erősen bővelkedő szám is.

Nem minden szuperbővelkedő szám Harshad-szám. Az első kivétel a 105. szuperbővelkedő szám, a . A számjegyek összege 81, ami nem osztója ennek a számnak.

A szuperbővelkedő számok a Riemann-hipotézissel is összekapcsolódnak, továbbá a Robin-tétellel, ami szerint a Riemann-sejtés egyenértékű a

állítással minden n-re, ami nagyobb a szuperbővelkedő 5040-nél. Ha az egyenlőtlenségnek létezik egy nagyobb ellenpéldája, ami megcáfolja a Riemann-sejtést, annak is szuperbővelkedő számnak kell lennie.

Jegyzetek

Fordítás

További információk 
 MathWorld: Superabundant number

Nevezetes számsorozatok
A számelméletben a szuperbővelkedő szám ( superabundant number , SA ) speciális tulajdonságú természetes szám . Az erősen bővelkedő számoknál szigorúbb feltételt megszabva , egy n természetes szám akkor szuperbővelkedő , ha minden m < n-re igaz , hogy ahol σ az osztóösszeg-függvényt jelöli . Az első néhány szuperbővelkedő szám az\... \ . A szuperbővelkedő számokat Alaoglu és Erdős definiálta , akik nem voltak tudatában a Rámánudzsanös , " Highly Composite Numbers " című értekezéséből kihagyott oldalaknak , ahol Rámánudzsan az erősen összetett számok általánosításaként lényegében a szuperbővelkedő számokat is definiálta . A kihagyott oldalak végülben , a Ramanujan Journal( 1997),153 oldalán jelentek meg . Tulajdonságok Alaoglu és Erdősben bizonyították , hogy ha n szuperbővelkedő , akkor léteznek olyan k illetve ai , a2,\... , ak egész számok , melyekre ahol pi az i-edik prímszám és Más szavakkal , ha n szuperbővelkedő , akkor prímtényezős felbontásában nem növekedhetnek a kitevők ( a nagyobb prímekhez tartozó kitevők sohasem nagyobbak , mint a kisebb prímekhez tartozók ) és -ig az összes prímszám osztója n-nek . Természetesen ebből az is következik , hogy ( az első kivételével ) minden szuperbővelkedő szám páros , és a k-adik prímoriális többszöröse . Ahogy az erősen összetett számoknál is igaz volt , az utolsó ak kitevőgyel egyenlő , aés akivételével . A szuperbővelkedő számok és az erősen összetett számok között vannak átfedések , főleg a kisebb számoknál – ugyanakkor nem minden szuperbővelkedő szám erősen összetett . Valójában a végtelen sok szuperbővelkedő és erősen összetett szám között csakegyezés található . Például a ( legkisebb ilyen tulajdonságú) erősen összetett , de nem szuperbővelkedő ; a ( legkisebb ilyen tulajdonságú ) szuperbővelkedő , de nem erősen összetett . Minden szuperbővelkedő szám egyben erősen bővelkedő szám is . Nem minden szuperbővelkedő szám Harshad-szám . Az első kivétel a szuperbővelkedő szám , a \ . A számjegyek összege ami nem osztója ennek a számnak . A szuperbővelkedő számok a Riemann-hipotézissel is összekapcsolódnak , továbbá a Robin-tétellel , ami szerint a Riemann-sejtés egyenértékű a állítással minden n-re , ami nagyobb a szuperbővelkedőnél . Ha az egyenlőtlenségnek létezik egy nagyobb ellenpéldája , ami megcáfolja a Riemann-sejtést , annak is szuperbővelkedő számnak kell lennie . Jegyzetek Fordítás További információk MathWorld : Superabundant number Nevezetes számsorozatok