Szitaelmélet
A szitaelmélet vagy szitamódszer a számelmélet területén alkalmazott olyan általános technikák összessége, melyek célja megszámolni – vagy realisztikusabban: megbecsülni – egész számok „szűrt halmazainak” elemszámát. A szűrt halmazokra a legelső példát a valamely X számnál kisebb prímszámok halmaza adja. Ehhez kapcsolódóan a legelső sziták közé Eratoszthenész szitája, vagy az általánosabb Legendre-szita tartozik. A prímszámok ellen ilyen módszerekkel történő közvetlen támadások igen korán leküzdhetetlen akadályokba ütköznek, melyet a hibatagok felgyűlése jelent. A huszadik századi számelméleti kutatások jelentős része éppen az ilyen naiv szitálással történő frontális támadások nehézségeinek megkerülését szolgálta.

Az egyik sikeres megközelítésnek az bizonyult, hogy egy specifikus szűrt halmazt (például a prímszámok halmazát) megpróbálunk megközelíteni egy másik, egyszerűbb halmazzal (például a majdnem prím számokkal), ami általában nagyobb az eredeti halmaznál, de könnyebben megadja magát az analízisnek. A kifinomultabb sziták ráadásul nem közvetlenül halmazokkal működnek, ehelyett jól megválasztott súlyfüggvények szerint számlálják meg ezeket a halmazokat (egyes elemek nagyobb súlyt kapnak mint mások). Továbbá, egyes modern alkalmazási területeken a szitákat nem arra használják, hogy egy szűrt halmaz méretét megbecsüljék, hanem hogy olyan függvényt állítsanak elő, ami többnyire nagy a halmaz elemein és többnyire kicsi azon kívül, miközben könnyebben analizálható, mint a halmaz karakterisztikus függvénye.

A szitálás fajtái 
A modern sziták közé tartozik a Brun-szita, a Selberg-szita, a Turán-szita, a nagy szita és a nagyobb szita. A szitaelmélet eredeti célkitűzései közé tartozott az olyan számelméleti sejtések igazolása, mint az ikerprímsejtés. Noha a szitaelmélet eredeti, nagyívű céljainak többségét még nem sikerült elérni, néhány fontos részeredmény megszületett, jellemzően más számelméleti eszközökkel kombinált munka eredményeképpen. A fontosabbak:

 Brun-tétel, ami kimondja, hogy az ikerprímek reciprokainak összege konvergál (míg maguknak a prímszámoknak a reciprokösszege divergál);
 Chen-tétel, ami szerint végtelen sok olyan p prím létezik, melyre p + 2 prím vagy félprím (két prímszám szorzata); Chen Jingrun egy szorosan idetartozó másik tétele szerint minden elegendően nagy páros szám felírható egy prímszám és egy prímszám vagy félprím összegeként. Ez a két tétel felfogható az ikerprímsejtés és a Goldbach-sejtés esetében a céltábla közepéhez közel járó lövésekként.
 A szitaelmélet alaplemmája (fundamental lemma of sieve theory), ami (nagyon nagy vonalakban) azt mondja ki, hogy számok egy N halmazának szűrésekor pontosan megbecsülhető a szitában maradt elemek száma  iteráció után, feltéve ha  elegendően kicsi (itt tipikusan törtek szerepelnek, pl. 1/10). A lemma általában túl gyenge a prímek kiszűréséhez (ami általában kb.  iterációt igényel), de elegendő lehet a majdnem prímekkel kapcsolatos eredmények eléréséhez.
 A Friedlander–Iwaniec-tétel, ami kimondja, hogy végtelen sok  alakban felírható prímszám létezik.
 A Zhang-tétel  szerint végtelen sok adott véges távolságra lévő prímszámpáros létezik. A Maynard–Tao-tétel  Zhang tételét általánosítja prímszámok tetszőlegesen hosszú sorozataira.

Szitaelméleti technikák 
A szitaelméletben használt technikák nagyon hatékonyak tudnak lenni, de jelenleg úgy tűnik, hogy hasznosságukat csökkenti az úgynevezett paritási probléma vagy paritási korlát: a Selberg által adott megfogalmazás szerint a szitamódszerek nem alkalmasak olyan számok előállítására, amelyeknek adott számú prímosztója van, vagy akárcsak olyan számokéra, ahol a prímosztók számának paritása előre meghatározott. A paritási korlát jelensége még nem kellően tisztázott.

A számelmélet más módszereivel összehasonlítva a szitaelmélet viszonylag „elemi”, abban az értelemben, hogy művelése nem feltétlenül követeli meg az algebrai számelmélet vagy az analitikus számelmélet kifinomult fogalmainak ismeretét. Mindazonáltal a fejlettebb sziták működése nagyon bonyolult és kényes folyamat (különösen a számelmélet többi mély technikájával együtt alkalmazva őket), és a számelmélet ennek az egyetlen szakterületének egész könyveket szenteltek; a műfaj egyik klasszikusa a , egy újabb szakkönyv például az .

A szócikkben említett szitamódszerek nem állnak szoros kapcsolatban az egészek prímfelbontásánál használt szitamódszerekkel, amilyen a kvadratikus szita és az általános számtest-szita (GNFS). Azok a faktorizációs módszerek Eratoszthenész szitájának elvét annak meghatározására használják, hogy számok egy halmazának melyik elemeit lehetséges kis prímszámok szorzatára felbontani.

Források

További információk
 Bredikhin, B.M. (2001), "Sieve method", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer,
A szitaelmélet vagy szitamódszer a számelmélet területén alkalmazott olyan általános technikák összessége , melyek célja megszámolni – vagy realisztikusabban : megbecsülni – egész számok „ szűrt halmazainak” elemszámát . A szűrt halmazokra a legelső példát a valamely X számnál kisebb prímszámok halmaza adja . Ehhez kapcsolódóan a legelső sziták közé Eratoszthenész szitája , vagy az általánosabb Legendre-szita tartozik . A prímszámok ellen ilyen módszerekkel történő közvetlen támadások igen korán leküzdhetetlen akadályokba ütköznek , melyet a hibatagok felgyűlése jelent . A huszadik századi számelméleti kutatások jelentős része éppen az ilyen naiv szitálással történő frontális támadások nehézségeinek megkerülését szolgálta . Az egyik sikeres megközelítésnek az bizonyult , hogy egy specifikus szűrt halmazt ( például a prímszámok halmazát ) megpróbálunk megközelíteni egy másik , egyszerűbb halmazzal ( például a majdnem prím számokkal ) , ami általában nagyobb az eredeti halmaznál , de könnyebben megadja magát az analízisnek . A kifinomultabb sziták ráadásul nem közvetlenül halmazokkal működnek , ehelyett jól megválasztott súlyfüggvények szerint számlálják meg ezeket a halmazokat ( egyes elemek nagyobb súlyt kapnak mint mások ) . Továbbá , egyes modern alkalmazási területeken a szitákat nem arra használják , hogy egy szűrt halmaz méretét megbecsüljék , hanem hogy olyan függvényt állítsanak elő , ami többnyire nagy a halmaz elemein és többnyire kicsi azon kívül , miközben könnyebben analizálható , mint a halmaz karakterisztikus függvénye . A szitálás fajtái A modern sziták közé tartozik a Brun-szita , a Selberg-szita , a Turán-szita , a nagy szita és a nagyobb szita . A szitaelmélet eredeti célkitűzései közé tartozott az olyan számelméleti sejtések igazolása , mint az ikerprímsejtés . Noha a szitaelmélet eredeti , nagyívű céljainak többségét még nem sikerült elérni , néhány fontos részeredmény megszületett , jellemzően más számelméleti eszközökkel kombinált munka eredményeképpen . A fontosabbak : Brun-tétel , ami kimondja , hogy az ikerprímek reciprokainak összege konvergál ( míg maguknak a prímszámoknak a reciprokösszege divergál ) ; Chen-tétel , ami szerint végtelen sok olyan p prím létezik , melyre p +prím vagy félprím ( két prímszám szorzata ) ; Chen Jingrun egy szorosan idetartozó másik tétele szerint minden elegendően nagy páros szám felírható egy prímszám és egy prímszám vagy félprím összegeként . Ez a két tétel felfogható az ikerprímsejtés és a Goldbach-sejtés esetében a céltábla közepéhez közel járó lövésekként . A szitaelmélet alaplemmája ( fundamental lemma of sieve theory ) , ami ( nagyon nagy vonalakban ) azt mondja ki , hogy számok egy N halmazának szűrésekor pontosan megbecsülhető a szitában maradt elemek száma iteráció után , feltéve ha elegendően kicsi ( itt tipikusan törtek szerepelnek , pl.10 ) . A lemma általában túl gyenge a prímek kiszűréséhez ( ami általában kb. iterációt igényel ) , de elegendő lehet a majdnem prímekkel kapcsolatos eredmények eléréséhez . A Friedlander–Iwaniec-tétel , ami kimondja , hogy végtelen sok alakban felírható prímszám létezik . A Zhang-tétel szerint végtelen sok adott véges távolságra lévő prímszámpáros létezik . A Maynard–Tao-tétel Zhang tételét általánosítja prímszámok tetszőlegesen hosszú sorozataira . Szitaelméleti technikák A szitaelméletben használt technikák nagyon hatékonyak tudnak lenni , de jelenleg úgy tűnik , hogy hasznosságukat csökkenti az úgynevezett paritási probléma vagy paritási korlát : a Selberg által adott megfogalmazás szerint a szitamódszerek nem alkalmasak olyan számok előállítására , amelyeknek adott számú prímosztója van , vagy akárcsak olyan számokéra , ahol a prímosztók számának paritása előre meghatározott . A paritási korlát jelensége még nem kellően tisztázott . A számelmélet más módszereivel összehasonlítva a szitaelmélet viszonylag „ elemi” , abban az értelemben , hogy művelése nem feltétlenül követeli meg az algebrai számelmélet vagy az analitikus számelmélet kifinomult fogalmainak ismeretét . Mindazonáltal a fejlettebb sziták működése nagyon bonyolult és kényes folyamat ( különösen a számelmélet többi mély technikájával együtt alkalmazva őket ) , és a számelmélet ennek az egyetlen szakterületének egész könyveket szenteltek ; a műfaj egyik klasszikusa a , egy újabb szakkönyv például az \ . A szócikkben említett szitamódszerek nem állnak szoros kapcsolatban az egészek prímfelbontásánál használt szitamódszerekkel , amilyen a kvadratikus szita és az általános számtest-szita ( GNFS ) . Azok a faktorizációs módszerek Eratoszthenész szitájának elvét annak meghatározására használják , hogy számok egy halmazának melyik elemeit lehetséges kis prímszámok szorzatára felbontani . Források További információk Bredikhin , B.M. " Sieve method " , in Hazewinkel , Michiel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,