Örökifjú tulajdonság
Az örökifjú tulajdonság egy valószínűségszámításban használt fogalom.

A X valószínűségi változó örökifjú tulajdonságú (vagy röviden örökifjú), ha minden  és  számra teljesül, hogy

 vagy . (A kettő megkülönböztetésének folytonos valószínűségi változóknál nincs jelentősége.)

Szemléletesen, ha például a valószínűségi változó egy eszköz élettartama, akkor az örökifjú tulajdonság azt jelenti, hogy a valamilyen életkorú eszköz ugyanakkora eséllyel nem romlik el még t ideig, amekkora eséllyel nem romolna el t ideig, ha új lenne.

Példák

Folytonos valószínűségi változó 
Az exponenciális eloszlású valószínűségi változó örökifjú tulajdonságú.

Bizonyítás:

Mivel  minden  számra, ezért  minden  számra, és így
 .

Megmutatható, hogy csak az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonságú a folytonos eloszlások közül, vagyis ha egy folytonos valószínűségi változó örökifjú tulajdonságú, akkor exponenciális eloszlást követ.

Diszkrét valószínűségi változó 
A geometriai eloszlás is örökifjú tulajdonságú.

Ha , abban az esetben , ugyanis
.
Ezért
.

Ha pedig , abban az esetben , a fentihez hasonlóan. Ebből következően
.

A diszkrét eloszlások közül a geometriai az egyetlen örökifjú tulajdonságú.

Források

http://math.bme.hu/~morap/Gyakorlat7.pdf
http://www.renyi.hu/~major/szeged/szeged1/eloadas8.pdf
http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/PDFs/GeometricF.pdf
Valószínűségszámítás
Az örökifjú tulajdonság egy valószínűségszámításban használt fogalom . A X valószínűségi változó örökifjú tulajdonságú ( vagy röviden örökifjú ) , ha minden és számra teljesül , hogy vagy \ . ( A kettő megkülönböztetésének folytonos valószínűségi változóknál nincs jelentősége . ) Szemléletesen , ha például a valószínűségi változó egy eszköz élettartama , akkor az örökifjú tulajdonság azt jelenti , hogy a valamilyen életkorú eszköz ugyanakkora eséllyel nem romlik el még t ideig , amekkora eséllyel nem romolna el t ideig , ha új lenne . Példák Folytonos valószínűségi változó Az exponenciális eloszlású valószínűségi változó örökifjú tulajdonságú . Bizonyítás : Mivel minden számra , ezért minden számra , és így \ . Megmutatható , hogy csak az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonságú a folytonos eloszlások közül , vagyis ha egy folytonos valószínűségi változó örökifjú tulajdonságú , akkor exponenciális eloszlást követ . Diszkrét valószínűségi változó A geometriai eloszlás is örökifjú tulajdonságú . Ha , abban az esetben , ugyanis . Ezért . Ha pedig , abban az esetben , a fentihez hasonlóan . Ebből következően . A diszkrét eloszlások közül a geometriai az egyetlen örökifjú tulajdonságú . Források http://math.bme.hu/ ~morap/Gyakorlat7.pdf http://www.renyi.hu/ ~major/ szeged/ szeged1/ eloadas8.pdf http://www.math.wm.edu/ ~leemis/ chart /UDR/PDFs/GeometricF.pdf Valószínűségszámítás