Vegyes alapú számrendszer
A vegyes alapú számrendszerek olyan, nem hagyományos helyi értékes számrendszerek, ahol a számrendszer alapszáma helyi értékről helyi értékre változik. Az ilyen számábrázolásnak például akkor lehet szerepe, ha egy mennyiséget mértékegységek olyan sorozataként fejezünk ki, ahol a sorozat minden tagja az előző valahányszorosa, de nem mindig ugyanannyiszorosa. Például az időmérésnél: egy 32 hét, 5 nap, 7 óra, 45 perc, 15 másodperc és 500 ms hosszúságú időtartam vegyes alapú számábrázolásban így is kifejezhető:

 ... 32, 5,  7, 45; 15,  500
 ...  ∞, 7, 24, 60; 60, 1000

vagy

32∞577244560,15605001000

A tabulált formátumban a számjegyek az alapszám fölé vannak írva, pontosvessző jelzi a tizedesvesszőt. A numerikus formátumban minden számjegy mellé jobb alsó indexben oda van írva a hozzá tartozó alapszám, a tizedesvessző a hagyományos módon van jelezve. Minden számjegy alapszáma azt a számot jelzi, amennyire szükség van adott mértékegységből, hogy kiadja a következő nagyobb mértékegységet. Emiatt nincs alapszáma az első (legértékesebb) számjegynek (∞-nel jelölve), mivel nincs következő legnagyobb egység (vegyük észre, hogy a hónap vagy az év nem lenne megfelelő nagyobb egységnek, mivel ezek nem egész számú többszörösei a hétnek).

Példák
A legismerősebb példa a vegyes alapú számrendszerekre az időszámítás és a naptárak területén található. A nyugaton használt időszámítás tízes számrendszerbeli évszázadokkal, évtizedekkel és évekkel számol, tizenkettes számrendszerű hónapokkal, harmincas és harmincegyes számrendszerű napokkal, átlapolva ezt az 52-es alapú hetekkel és a hetes számrendszerbeli napokkal. Egy variáns 13-as alapszámú hónapokat, 4-es alapszámú heteket és 7-es alapszámú napokat tartalmaz. Az idő tovább bontható 24-es alapszámú órákra, 60-as alapszámú percekre és másodpercekre, majd decimális tört másodpercekre.

Egy vegyes alapú számrendszer megértését gyakran segíti a tabulált összegzés. A hét 604800 másodperce hétfő éjféltől kezdve így folytatódik:

Ebben a számrendszerben a vegyes alapú 371251251605760 úgy értelmezhető, mint 5:51:57 du csütörtök és 070201202602460 pedig hétfő 12:02:24 de lenne. A vegyes alapú számrendszereket gyakran ad hoc módon jelölik.

A maja naptár több, egymást átfedő, különböző alapszámú ciklusból áll. A rövidebb tzolkin 13-szor 20 napos hónapokkal operál. A haab 18-szor 20 napos hónapból állt, kiegészítve 5 nappal. A kettő kombinációja adja az 52 év hosszúságú nagy kört. Ráadásul a „hosszú számítás” során a 20-as szorzószámú katun, baktun stb. jelöli az akár 64 millió évnyi hosszúságú időtartamokat.

A vegyes alapú számrendszerekre másik elterjedt példa a pénz használatában van; különböző vert vagy nyomtatott címletek segítségével kell reprezentálni minden lehetséges pénzmennyiséget. Amikor eldöntik, hogy milyen címleteket nyomtassanak (tehát milyen alapszámokat keverjenek), általában két szempontot vesznek figyelembe: minél kevesebb különböző címletre legyen szükség, és minél kevesebb pénzérmével vagy bankjeggyel ki lehessen fizetni egy tipikus összeget. Például az Egyesült Királyságban £50, £20, £10 és £5-os bankjegyeket, illetve £2, £1, 50p, 20p, 10p, 5p, 2p és 1p-s érméket készítenek – ezek az előnyös számok 1–2–5-sorozatát követik.

Kezelésük
A vegyes alapú számok manipulációját a manuális aritmetikai algoritmusok általánosított verzióival lehet elvégezni. Az APL és a J tartalmaz a vegyes alapú számrendszerbeli számok konvertálásához szükséges operátorokat.

Faktoriális számrendszer 

Egy másik vegyes alapú számrendszer az úgynevezett faktoriális számrendszer:

Például a legnagyobb, 6 számjeggyel kifejezhető érték az 543210, ami tízes számrendszerben 719: 5×5! + 4×4! + 3×3! + 2×2! + 1×1! Első ránézésre nem könnyen látható, de a faktoriális számrendszer egyértelmű és teljes. Minden számot pontosan egy módon lehet kifejezni, mivel a megfelelő faktoriálisok az indexükkel szorozva és összegezve mindig a következő faktoriális mínusz egyet adják ki:

 

Létezik egy természetes, kölcsönös megfeleltetés a 0, ..., n! − 1 egészek és n elem permutációinak száma között, ami az egészek faktoriális reprezentációját használja a Lehmer-kód alapján.

A fenti egyenlet egy speciális esete annak az általános szabálynak, ami minden számrendszer-alapszámra (legyen az fix vagy vegyes) vonatkozik, és kifejezi, hogy a számrendszerrel kifejezett számoknak egyértelműeknek és teljesnek kell lennie. Minden számot pontosan egy módon lehet kifejezni, mivel a megfelelő súlyok az indexszel szorozva a következő súly mínusz egyet adják:

 , ahol ,
ami könnyen igazolható indukció segítségével.

Prímoriális számrendszer 
Egy másik felvetés az egymás után következő prímszámok alapszámként való használata, ahol a helyi értékek a prímoriális számok:

 , ahol  és pj = j-edik prímszám, p0# = p0 = 1.

Fordítás

Irodalom
 Donald E. Knuth: A számítógép-programozás művészete (ford. Fiala T., Freud R., Gerlits J., Hanák G., Nemetz T.), 2. kötet, Szeminumerikus algoritmusok, 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1994, . 202‑203. old.
 Georg Cantor. Über einfache Zahlensysteme, Zeitschrift für Math. und Physik 14(1869), 121–128.

Számrendszerek
A vegyes alapú számrendszerek olyan , nem hagyományos helyi értékes számrendszerek , ahol a számrendszer alapszáma helyi értékről helyi értékre változik . Az ilyen számábrázolásnak például akkor lehet szerepe , ha egy mennyiséget mértékegységek olyan sorozataként fejezünk ki , ahol a sorozat minden tagja az előző valahányszorosa , de nem mindig ugyanannyiszorosa . Például az időmérésnél : egyhét, nap,óra,perc, másodperc ésms hosszúságú időtartam vegyes alapú számábrázolásban így is kifejezhető : \ . . . \ ... ∞ , vagy 32∞577244560,15605001000 A tabulált formátumban a számjegyek az alapszám fölé vannak írva , pontosvessző jelzi a tizedesvesszőt . A numerikus formátumban minden számjegy mellé jobb alsó indexben oda van írva a hozzá tartozó alapszám , a tizedesvessző a hagyományos módon van jelezve . Minden számjegy alapszáma azt a számot jelzi , amennyire szükség van adott mértékegységből , hogy kiadja a következő nagyobb mértékegységet . Emiatt nincs alapszáma az első ( legértékesebb ) számjegynek ( ∞-nel jelölve ) , mivel nincs következő legnagyobb egység ( vegyük észre , hogy a hónap vagy az év nem lenne megfelelő nagyobb egységnek , mivel ezek nem egész számú többszörösei a hétnek ) . Példák A legismerősebb példa a vegyes alapú számrendszerekre az időszámítás és a naptárak területén található . A nyugaton használt időszámítás tízes számrendszerbeli évszázadokkal , évtizedekkel és évekkel számol , tizenkettes számrendszerű hónapokkal , harmincas és harmincegyes számrendszerű napokkal , átlapolva ezt azes alapú hetekkel és a hetes számrendszerbeli napokkal . Egy variánsas alapszámú hónapokat, es alapszámú heteket éses alapszámú napokat tartalmaz . Az idő tovább bonthatóes alapszámú órákra , as alapszámú percekre és másodpercekre , majd decimális tört másodpercekre . Egy vegyes alapú számrendszer megértését gyakran segíti a tabulált összegzés . A hétmásodperce hétfő éjféltől kezdve így folytatódik : Ebben a számrendszerben a vegyes alapúúgy értelmezhető , mint51:57 du csütörtök éspedig hétfő02:24 de lenne . A vegyes alapú számrendszereket gyakran ad hoc módon jelölik . A maja naptár több , egymást átfedő , különböző alapszámú ciklusból áll . A rövidebb tzolkinszornapos hónapokkal operál . A haabszornapos hónapból állt , kiegészítvenappal . A kettő kombinációja adja azév hosszúságú nagy kört . Ráadásul a „ hosszú számítás” során aas szorzószámú katun , baktun stb. jelöli az akármillió évnyi hosszúságú időtartamokat . A vegyes alapú számrendszerekre másik elterjedt példa a pénz használatában van ; különböző vert vagy nyomtatott címletek segítségével kell reprezentálni minden lehetséges pénzmennyiséget . Amikor eldöntik , hogy milyen címleteket nyomtassanak ( tehát milyen alapszámokat keverjenek ) , általában két szempontot vesznek figyelembe : minél kevesebb különböző címletre legyen szükség , és minél kevesebb pénzérmével vagy bankjeggyel ki lehessen fizetni egy tipikus összeget . Például az Egyesült Királyságban £50 , £20 , £10 és £5-os bankjegyeket , illetve £2 , £1 , , , , , és-s érméket készítenek – ezek az előnyös számok2–5-sorozatát követik . Kezelésük A vegyes alapú számok manipulációját a manuális aritmetikai algoritmusok általánosított verzióival lehet elvégezni . Az APL és a J tartalmaz a vegyes alapú számrendszerbeli számok konvertálásához szükséges operátorokat . Faktoriális számrendszer Egy másik vegyes alapú számrendszer az úgynevezett faktoriális számrendszer : Például a legnagyobb,számjeggyel kifejezhető érték az ami tízes számrendszerben5 ! +4 ! +3 ! +2 ! +1 ! Első ránézésre nem könnyen látható , de a faktoriális számrendszer egyértelmű és teljes . Minden számot pontosan egy módon lehet kifejezni , mivel a megfelelő faktoriálisok az indexükkel szorozva és összegezve mindig a következő faktoriális mínusz egyet adják ki : Létezik egy természetes , kölcsönös megfeleltetés a\... , n ! − 1 egészek és n elem permutációinak száma között , ami az egészek faktoriális reprezentációját használja a Lehmer-kód alapján . A fenti egyenlet egy speciális esete annak az általános szabálynak , ami minden számrendszer-alapszámra ( legyen az fix vagy vegyes ) vonatkozik , és kifejezi , hogy a számrendszerrel kifejezett számoknak egyértelműeknek és teljesnek kell lennie . Minden számot pontosan egy módon lehet kifejezni , mivel a megfelelő súlyok az indexszel szorozva a következő súly mínusz egyet adják : , ahol , ami könnyen igazolható indukció segítségével . Prímoriális számrendszer Egy másik felvetés az egymás után következő prímszámok alapszámként való használata , ahol a helyi értékek a prímoriális számok : , ahol és pj = j-edik prímszám , p0 # = p0 = Fordítás Irodalom Donald E. Knuth : A számítógép-programozás művészete ( ford . Fiala T. , Freud R. , Gerlits J. , Hanák G. , Nemetz T. ) , kötet , Szeminumerikus algoritmusok , kiadás , Műszaki Könyvkiadó , Budapest , \.203. old . Georg Cantor . Über einfache Zahlensysteme , Zeitschrift für Math. und Physik1869),128. Számrendszerek