Téglalapszámok
A számelméletben a téglalapszámok olyan figurális számok, melyek felírhatók két, egymást követő nemnegatív egész szám szorzataként, tehát  alakban. Már Arisztotelész is tanulmányozta őket. A téglalapszámok általánosíthatók az  alakú számokra.

Az első néhány téglalapszám:

0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462 … .

Figurális számokként
Arisztotelész metafizikájában a téglalapszámokat más figurális számokkal, a háromszögszámokkal és négyzetszámokkal együtt tanulmányozták, felfedezésük még korábbra, a püthagoreusokhoz köthető.
A sokszögszámok mintájára:

{| style="text-align: center"
|- valign="bottom"
|style="padding: 0 1em"| 
|style="padding: 0 1em"|    
|style="padding: 0 1em"|         
|style="padding: 0 1em"|                
|-
|1×2||2×3||3×4||4×5
|}

Az -edik téglalapszám épp kétszerese az -edik háromszögszámnak és -nel haladja meg az -edik négyzetszámot, ami az alternatív  képletükből is világos. Az -edik téglalapszám éppen a páratlan négyzetszám  és az -edik középpontos hatszögszám közötti különbség.

Első  téglalapszám összege 

A téglalapszámok figurális mivoltuk miatt a legegyszerűbben téglalapokként ábrázolhatóak, ahogyan az ábrán látható. Az első  téglalapszám összegét meghatározhatjuk, ha a nagy téglalap területéből kivonjuk a nem kellő területeket.

A nagy téglalap területe .

Megfigyelhető, hogy a felesleges részek területei soronként az első 1, 2, ..., n-1 pozitív szám összegei, azaz .

Továbbá látható, hogy a felesleges részek pontosan az első  téglalapszám összegének a fele.

Ekkor ha  az első  téglalapszám összegét adja meg, akkor .

Felhasználva, hogy  és az algebra szabályait segítségül hívva:

Azaz

Reciprokösszegek 

Az első  pozitív téglalapszám reciprokösszege a következőképpen alakul:

Ebből kifolyólag a pozitív téglalapszámok reciprokösszege 1:

Általánosítás 

A téglalapszámok általánosíthatóak  alakúra, ahol . Ebben az esetben az első  pozitív téglalapszám reciprokösszege a következő:

ahol a  az első  pozitív egész szám reciprokainak összegét, azaz az -dik harmonikus számot adja meg.

Ezen összeg  esetben:

Következtetésképpen megállapíthatjuk, hogy a  különbségű pozitív téglalapszámok reciprokainak összege , ahol  a k-dik harmonikus szám.

További tulajdonságaik 
Az -edik téglalapszám megegyezik az első  páros egész szám összegével.
Ebből következik az is, hogy az összes téglalapszám páros, és közülük egyedül a 2 prímszám. Szintén a 2 az egyetlen Fibonacci-téglalapszám és az egyetlen téglalap Lucas-szám.

A négyzetes mátrix átlón kívüli elemeinek száma mindig téglalapszám.

A tény, hogy az egymást követő egészek mindig relatív prímek, a téglalapszámok pedig két egymást követő egész szorzatai, néhány új tulajdonsághoz vezetnek. A téglalapszám minden prímtényezője az őt alkotó tényezők közül pontosan az egyikben fordul elő. Tehát egy téglalapszám csakkor négyzetmentes, ha  és  is négyzetmentesek. A téglalapszámok különböző prímtényezőinek száma megegyezik az  és  különböző prímtényezői számának összegével.

További tulajdonsága a téglalapszámoknak, hogy az n-nél 0,5-del nagyobb szám négyzete pont az n-edik téglalapszámnál 0,25-dal nagyobb. Például: 7,52 = 56,25. Ezért az 5-re végződő egész négyzetszámok négyzete 25-re végződik úgy, hogy az azt megelőző számjegyek téglalapszámot alkotnak.

Még egy másik tulajdonságuk, hogy bármelyik n alapú számrendszerben az n-edik, vagyis a számrendszer alapszámával megegyező sorszámú téglalapszám 110 alakban írható fel. Például a nyolcas számrendszerben az 1108 szám 72-t jelent, amely pont a 8. téglalapszám. A tízes számrendszerben épp a tizedik téglalapszám írható fel 110 (száztíz) alakban. Ennek oka ugyanaz, ami miatt a  is az egyik kiszámítási képlet alternatívája, vagyis az n-edik téglalapszám az n szám (számrendszer alapszáma) első két hatványának összege.

További információk
 Tuzson Zoltán: A figurális számokról (II)

Fordítás

Jegyzetek

Figurális számok
Nevezetes számsorozatok
A számelméletben a téglalapszámok olyan figurális számok , melyek felírhatók két , egymást követő nemnegatív egész szám szorzataként , tehát alakban . Már Arisztotelész is tanulmányozta őket . A téglalapszámok általánosíthatók az alakú számokra . Az első néhány téglalapszám : 0,… \ . Figurális számokként Arisztotelész metafizikájában a téglalapszámokat más figurális számokkal , a háromszögszámokkal és négyzetszámokkal együtt tanulmányozták , felfedezésük még korábbra , a püthagoreusokhoz köthető . A sokszögszámok mintájára : { | style=" text-align : center " |- valign=" bottom " |style=" padding : 1em " | |style=" padding : 1em " | |style=" padding : 1em " | |style=" padding : 1em " | |- |1×2||2×3||3×4||4×5 | } Az -edik téglalapszám épp kétszerese az -edik háromszögszámnak és -nel haladja meg az -edik négyzetszámot , ami az alternatív képletükből is világos . Az -edik téglalapszám éppen a páratlan négyzetszám és az -edik középpontos hatszögszám közötti különbség . Első téglalapszám összege A téglalapszámok figurális mivoltuk miatt a legegyszerűbben téglalapokként ábrázolhatóak , ahogyan az ábrán látható . Az első téglalapszám összegét meghatározhatjuk , ha a nagy téglalap területéből kivonjuk a nem kellő területeket . A nagy téglalap területe \ . Megfigyelhető , hogy a felesleges részek területei soronként az első\... , n-1 pozitív szám összegei , azaz \ . Továbbá látható , hogy a felesleges részek pontosan az első téglalapszám összegének a fele . Ekkor ha az első téglalapszám összegét adja meg , akkor \ . Felhasználva , hogy és az algebra szabályait segítségül hívva : Azaz Reciprokösszegek Az első pozitív téglalapszám reciprokösszege a következőképpen alakul : Ebből kifolyólag a pozitív téglalapszámok reciprokösszege Általánosítás A téglalapszámok általánosíthatóak alakúra , ahol \ . Ebben az esetben az első pozitív téglalapszám reciprokösszege a következő : ahol a az első pozitív egész szám reciprokainak összegét , azaz az -dik harmonikus számot adja meg . Ezen összeg esetben : Következtetésképpen megállapíthatjuk , hogy a különbségű pozitív téglalapszámok reciprokainak összege , ahol a k-dik harmonikus szám . További tulajdonságaik Az -edik téglalapszám megegyezik az első páros egész szám összegével . Ebből következik az is , hogy az összes téglalapszám páros , és közülük egyedül aprímszám . Szintén aaz egyetlen Fibonacci-téglalapszám és az egyetlen téglalap Lucas-szám . A négyzetes mátrix átlón kívüli elemeinek száma mindig téglalapszám . A tény , hogy az egymást követő egészek mindig relatív prímek , a téglalapszámok pedig két egymást követő egész szorzatai , néhány új tulajdonsághoz vezetnek . A téglalapszám minden prímtényezője az őt alkotó tényezők közül pontosan az egyikben fordul elő . Tehát egy téglalapszám csakkor négyzetmentes , ha és is négyzetmentesek . A téglalapszámok különböző prímtényezőinek száma megegyezik az és különböző prímtényezői számának összegével . További tulajdonsága a téglalapszámoknak , hogy az n-nél5-del nagyobb szám négyzete pont az n-edik téglalapszámnál25-dal nagyobb . Például:52 =25. Ezért azre végződő egész négyzetszámok négyzetere végződik úgy , hogy az azt megelőző számjegyek téglalapszámot alkotnak . Még egy másik tulajdonságuk , hogy bármelyik n alapú számrendszerben az n-edik , vagyis a számrendszer alapszámával megegyező sorszámú téglalapszámalakban írható fel . Például a nyolcas számrendszerben azszámt jelent , amely pont a téglalapszám . A tízes számrendszerben épp a tizedik téglalapszám írható fel( száztíz ) alakban . Ennek oka ugyanaz , ami miatt a is az egyik kiszámítási képlet alternatívája , vagyis az n-edik téglalapszám az n szám ( számrendszer alapszáma ) első két hatványának összege . További információk Tuzson Zoltán : A figurális számokról ( II ) Fordítás Jegyzetek Figurális számok Nevezetes számsorozatok