Erdős–Szemerédi-tétel
Az Erdős–Szemerédi-tétel a matematika, azon belül a számelmélet, kombinatorika, az ergodelmélet és a harmonikus analízis határterületén elhelyezkedő aritmetikus kombinatorika fontos eredménye, amit Erdős Pál és Szemerédi Endre 1983-ban bizonyítottak be. A tétel azt állítja, hogy a valós számok bármely véges halmazából képezett páronkénti összegek, illetve páronkénti szorzatok halmazai közül legalább az egyik lényegesen nagyobb elemszámú halmaz az eredetinél. Precízebben, állítja olyan c és  pozitív konstansok létezését, melyekre igaz, hogy

ahol A valós számok véges elemszámú, nem üres halmaza, számossága |A|, továbbá  megegyezik A önmagán értelmezett összeghalmazával és .

Általában az A + A összeghalmaz akkor összemérhető A-val, ha A számtani sorozat, A · A pedig akkor összemérhető A-val, ha A mértani sorozat. Az Erdős–Szemerédi-tétel felfogható tehát annak a kimondásának, hogy bármekkora is legyen egy véges halmaz, nem képes egyszerre úgy viselkedni, mint egy számtani sorozat és egy mértani sorozat. Más megközelítésben annak a kimondása, hogy a valós számegyenesnek nincs olyan részhalmaza, ami egy véges részgyűrűre vagy résztestre emlékeztet. Az Erdős–Szemerédi-tétel az első példa az összeg-szorzat jelenségre (sum-product phenomenon), amiről ma már ismert, hogy a gyűrűk és testek (köztük a véges testek) jelentős részén fellép.

Erdős és Szemerédi sejtése szerint  1-hez tetszőlegesen közel vihető. Ebben a tekintetben a legjobb 2009-2016 között Solymosi József eredménye volt, aki bizonyította, hogy  tetszőlegesen közel vihető 1/3-hoz. Ezt 2016-ban Misha Rudnev, Ilya Shkredov és Sophie Stevens javították -re, majd 2018-ban George Shakan -ra.

Jegyzetek

További információk 
 How a Strange Grid Reveals Hidden Connections Between Simple Numbers - Quanta Magazine article about the sum-product phenomenon.

Kombinatorika
Összeghalmazok
Diszkrét matematikai tételek
Számelméleti tételek
Erdős Pál
Az Erdős–Szemerédi-tétel a matematika , azon belül a számelmélet , kombinatorika , az ergodelmélet és a harmonikus analízis határterületén elhelyezkedő aritmetikus kombinatorika fontos eredménye , amit Erdős Pál és Szemerédi Endreban bizonyítottak be . A tétel azt állítja , hogy a valós számok bármely véges halmazából képezett páronkénti összegek , illetve páronkénti szorzatok halmazai közül legalább az egyik lényegesen nagyobb elemszámú halmaz az eredetinél . Precízebben , állítja olyan c és pozitív konstansok létezését , melyekre igaz , hogy ahol A valós számok véges elemszámú , nem üres halmaza , számossága |A| , továbbá megegyezik A önmagán értelmezett összeghalmazával és \ . Általában az A + A összeghalmaz akkor összemérhető A-val , ha A számtani sorozat , A · A pedig akkor összemérhető A-val , ha A mértani sorozat . Az Erdős–Szemerédi-tétel felfogható tehát annak a kimondásának , hogy bármekkora is legyen egy véges halmaz , nem képes egyszerre úgy viselkedni , mint egy számtani sorozat és egy mértani sorozat . Más megközelítésben annak a kimondása , hogy a valós számegyenesnek nincs olyan részhalmaza , ami egy véges részgyűrűre vagy résztestre emlékeztet . Az Erdős–Szemerédi-tétel az első példa az összeg-szorzat jelenségre ( sum-product phenomenon ) , amiről ma már ismert , hogy a gyűrűk és testek ( köztük a véges testek ) jelentős részén fellép. Erdős és Szemerédi sejtése szerint hez tetszőlegesen közel vihető . Ebben a tekintetben a legjobbközött Solymosi József eredménye volt , aki bizonyította , hogy tetszőlegesen közel vihető3-hoz . Eztban Misha Rudnev , Ilya Shkredov és Sophie Stevens javították -re , majdban George Shakan -ra . Jegyzetek További információk How a Strange Grid Reveals Hidden Connections Between Simple Numbers - Quanta Magazine article about the sum-product phenomenon . Kombinatorika Összeghalmazok Diszkrét matematikai tételek Számelméleti tételek Erdős Pál