Landau-problémák
Az 1912-es Nemzetközi Matematikai Kongresszuson Edmund Landau négy egyszerű, prímszámokkal kapcsolatos problémát vázolt föl. Beszédében ezeket a problémákat úgy jellemezte, mint amelyekkel az akkori tudomány nem képes mit kezdeni („unattackable at the present state of science”) és attól kezdve Landau-féle problémák néven ismeretesek. A Landau-problémák a következők:
 Goldbach-sejtés: Felírható-e minden 2-nél nagyobb egész szám két prímszám összegeként?
 Ikerprím-sejtés: Létezik-e végtelen sok p prím, melyre p + 2 is prímszám?
 Legendre-sejtés: Található-e mindig legalább egy prímszám két egymást követő négyzetszám között?
 Létezik-e végtelen sok p prímszám, melyre p − 1 négyzetszám? Másként fogalmazva: létezik-e végtelen sok n2 + 1 alakú prímszám? .

Jelenleg (2016) mind a négy probléma megoldatlan.

A megoldás felé vezető lépések

Goldbach-sejtés
A Vinogradov-tétel igazolja a gyenge Goldbach-sejtést kellően nagy n-ekre. 2013-ban Harald Helfgott bizonyította a gyenge sejtést minden 5-nél nagyobb páratlan számra.

A Chen-tétel kimondja, hogy kellően nagy n-re , ahol p prím, q pedig prím vagy félprím. Montgomery és Vaughan megmutatták, hogy a kivételhalmaz (két prímszám összegével nem kifejezhető páros számok) természetes sűrűsége zéró.

Tomohiro Yamada igazolta a Chen-tétel egy explicit változatát, mely szerint minden  páros szám felírható egy prím és egy prím vagy félprím összegeként.

Ikerprím-sejtés
Yitang Zhang megmutatta, hogy végtelen sok, egymástól legfeljebb 70 millió távolságra lévő prímpáros létezik, ezt az eredményt matematikusok összehangolt munkájával sikerült 246-os prímhézagra javítani. Ha az általánosított Elliott–Halberstam-sejtés igaz, a prímhézagot 6-ra sikerült javítani, kiterjesztve Maynard, valamint Goldston, Pintz & Yıldırım korábbi munkáit.

Chen megmutatta, hogy végtelen sok olyan p prím (későbbi nevükön Chen-prímek) létezik, melyekre p+2 prím vagy félprím.

Legendre-sejtés
Elegendő azt vizsgálni, hogy a p-vel kezdődő prímszámhézag kisebb-e, mint . A maximális prímhézagok táblázata alapján a sejtés biztosan igaz 4 · 1018-ig. Egy 1018 körüli ellenpéldának a szokásos prímszámhézag 50 milliószorosát kellene teljesíteni. Matomäki eredménye szerint legfeljebb  olyan kivételes prím létezik, melyeket -nál nagyobb hézag követ; formálisan:

Ingham igazolta, hogy kellően nagy n-ekre biztosan létezik prímszám  és  között.

Csaknem négyzetszám prímek
Az 1997-ben igazolt Friedlander–Iwaniec-tétel szerint végtelen sok . alakú prímszám létezik. Iwaniec megmutatta, hogy végtelen sok  alakú szám létezik legfeljebb két prímtényezővel (tehát prímek vagy félprímek).

Az ellenkező irányt tekintve, a Brun-szita megmutatja, hogy  ilyen prímszám létezik x-ig.

Jegyzetek

További információk

Prímszámokkal kapcsolatos sejtések
Matematikatörténet
Azes Nemzetközi Matematikai Kongresszuson Edmund Landau négy egyszerű , prímszámokkal kapcsolatos problémát vázolt föl . Beszédében ezeket a problémákat úgy jellemezte , mint amelyekkel az akkori tudomány nem képes mit kezdeni ( „ unattackable at the present state of science” ) és attól kezdve Landau-féle problémák néven ismeretesek . A Landau-problémák a következők : Goldbach-sejtés : Felírható-e mindennél nagyobb egész szám két prímszám összegeként ? Ikerprím-sejtés : Létezik-e végtelen sok p prím , melyre p +is prímszám ? Legendre-sejtés : Található-e mindig legalább egy prímszám két egymást követő négyzetszám között ? Létezik-e végtelen sok p prímszám , melyre p −négyzetszám ? Másként fogalmazva : létezik-e végtelen sok n2 +alakú prímszám ? \ . Jelenlegmind a négy probléma megoldatlan . A megoldás felé vezető lépések Goldbach-sejtés A Vinogradov-tétel igazolja a gyenge Goldbach-sejtést kellően nagy n-ekre.ban Harald Helfgott bizonyította a gyenge sejtést mindennél nagyobb páratlan számra . A Chen-tétel kimondja , hogy kellően nagy n-re , ahol p prím , q pedig prím vagy félprím . Montgomery és Vaughan megmutatták , hogy a kivételhalmaz ( két prímszám összegével nem kifejezhető páros számok ) természetes sűrűsége zéró . Tomohiro Yamada igazolta a Chen-tétel egy explicit változatát , mely szerint minden páros szám felírható egy prím és egy prím vagy félprím összegeként . Ikerprím-sejtés Yitang Zhang megmutatta , hogy végtelen sok , egymástól legfeljebbmillió távolságra lévő prímpáros létezik , ezt az eredményt matematikusok összehangolt munkájával sikerültos prímhézagra javítani . Ha az általánosított Elliott–Halberstam-sejtés igaz , a prímhézagotra sikerült javítani , kiterjesztve Maynard , valamint Goldston , Pintz & Yıldırım korábbi munkáit . Chen megmutatta , hogy végtelen sok olyan p prím ( későbbi nevükön Chen-prímek ) létezik , melyekre p+2 prím vagy félprím . Legendre-sejtés Elegendő azt vizsgálni , hogy a p-vel kezdődő prímszámhézag kisebb-e , mint \ . A maximális prímhézagok táblázata alapján a sejtés biztosan igaz · 1018-ig . Egykörüli ellenpéldának a szokásos prímszámhézagmilliószorosát kellene teljesíteni . Matomäki eredménye szerint legfeljebb olyan kivételes prím létezik , melyeket -nál nagyobb hézag követ ; formálisan : Ingham igazolta , hogy kellően nagy n-ekre biztosan létezik prímszám és között . Csaknem négyzetszám prímek Azben igazolt Friedlander–Iwaniec-tétel szerint végtelen sok\. alakú prímszám létezik . Iwaniec megmutatta , hogy végtelen sok alakú szám létezik legfeljebb két prímtényezővel ( tehát prímek vagy félprímek ) . Az ellenkező irányt tekintve , a Brun-szita megmutatja , hogy ilyen prímszám létezik x-ig . Jegyzetek További információk Prímszámokkal kapcsolatos sejtések Matematikatörténet