Prímhézag
A matematika, azon belül a számelmélet területén a prímhézag (prime gap, jelölése a gap-ből gyakran g) két egymást követő prímszám közötti különbséget jelenti. Az n-edik prímhézag, jelölje gn vagy g(pn) az (n + 1)-edik és az n-edik prímszámok közötti különbség:

Így tehát g1 = 1, g2 = g3 = 2, g4 = 4 stb. A prímhézagok (gn) sorozatát átfogóan tanulmányozták, mégis számos nyitott kérdés és sejtés létezik velük kapcsolatban.

Az első 60 prímhézag:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, ... .

A gn sorozat definíciójából következik, hogy minden prímszám felírható a következő alakban:

Egyszerű megfigyelések
Az első, legkisebb, és egyetlen páratlan prímhézag (1) az egyetlen páros prímszám (2) és az első páratlan prímszám (3) között van. Az összes többi prímhézag páros. Egyetlen olyan prímhézag-páros van, ami maga is prímszámokból áll, a g2 és g3 a 3, 5 és 7 között.

Bármely P prímszám esetén P#-tel jelöljük P primoriálisát, tehát az összes prímszám szorzatát P-ig bezárólag, P-t is beleértve. Ha Q a P-t közvetlenül követő prímszám, akkor a következő sorozat:

 

Q − 2 egymást követő egész számot tartalmaz, tehát itt a prímhézag legalább Q − 1 hosszúságú. Ebből következik, hogy tetszőlegesen nagy prímhézagok léteznek, így tehát bármely P prímszámhoz tartozik olyan n egész szám, ahol gn ≥ P. (Belátható, ha n-et úgy választjuk meg, hogy pn a legnagyobb prímszám, ami kisebb P# + 2-nél.) A tetszőlegesen nagy prímhézagok létezése a prímszámtételből kiindulva is belátható, mi szerint a prímszámok sűrűsége közelít a nullához. A tétel szerint P# igen durva közelítésben exp(P) nagyságú, exp(P) környezetében pedig az egymást követő prímszámok közötti átlagos távolság P.

A gyakorlatban a P méretű prímrések a P#-nál jóval előbb jelentkeznek. Például a 71 egymást követő összetett számból álló szekvencia először 31398 és 31468 között jelentkezik, míg a 71# huszonhét számjegyből áll – tízes számrendszerben 557940830126698960967415390.

Bár a prímszámok közti átlagos hézag nagysága a számok természetes logaritmusa szerint növekszik, a maximális prímhézag és a benne foglalt egészek közötti arány szintén nő, ahogy egyre nagyobb számok és prímhézagok fordulnak elő.

Az ellenkező irányt tekintve, az ikerprímsejtés szerint  végtelen sok n helyen.

Numerikus eredmények
2017 márciusában az ismert legnagyobb prímhézag azonosítható valószínű prím végekkel  hosszúságú, a hozzá tartozó 216849 jegyű valószínű prímeket Robert W. Smith találta, ennek a jósága M=10,2203. A legnagyobb ismert prímhézag, aminek a szélein bizonyítottan prímszámok találhatók,  hosszúságú, a szélein lévő 18662 jegyű prímszámokat P. Cami, M. Jansen és J. K. Andersen találták meg.

Nevezzük gn-t maximális prímhézagnak, ha gm < gn minden m < n esetben.
2016 júniusában a legnagyobb ismert maximális prímhézag 1476 hosszúságú, Tomás Oliveira e Silva találta meg. Ez sorrendben a 75. maximális hézag, és az 1425172824437699411 prímszám után következik. További maximális prímhézag-rekordok találhatók itt: .

Egy prímhézag jóságán (merit) a gn / ln(pn) arány értendő. 1931-ben E. Westzynthius bebizonyította, hogy a prímhézagok logaritmikusnál gyorsabban nőnek. Tehát,

2016. novemberi adat szerint a legnagyobb ismert jósági érték 10716 / ln(7910896513·283#/30 −&nbsp6480) ≈ 36,858288 (283# 283 primoriálisát jelöli). A végpontok 127 jegyű prímek.

A Cramér–Shanks–Granville-arány a következő szám:

Az arány legnagyobb ismert értéke 0,9206386, ami az 1693182318746371 prímszámhoz tartozik. Megoszlanak a vélemények, hogy az arány eléri-e az egyet; további rekordértékek itt találhatók: .

További eredmények

Felső korlátok
Az 1852-ben bizonyított Bertrand-posztulátum kimondja, hogy k és 2k között mindig létezik prímszám, így tehát pn+1 < 2pn, amiből következik, hogy gn < pn.

Az 1896-ban bizonyított prímszámtétel szerint egy p prímszám és a rákövetkező prímszám közötti hézag átlagos nagysága ln(p). Egy konkrét hézag tényleges mérete persze ennél jóval nagyobb vagy kisebb is lehet. A prímszámtételből azonban következik egy felső korlát is: minden ε > 0-hoz létezik N szám, amire gn < εpn minden n > N esetben.

Kikövetkeztethető, hogy a prímhézagok a prímek nagyságához képest egyre kisebbek lesznek, tetszőlegesen kicsik: a hányados nullához tart:

Hoheisel (1930) mutatta meg elsőként, hogy létezik egy θ < 1 konstans, amire

így tehát:

elegendően nagy n-ekre.

Hoheisel a θ értékét 32999/33000-ra tette. Ezt Heilbronn 249/250-re javította, majd Chudakov θ = 3/4 + ε-re, bármilyen ε > 0-ra.

Ingham nevéhez fűződik egy nagyobb előrelépés, aki megmutatta, hogy ha

valamely pozitív c konstansra, ahol az O az O jelölésre utal, akkor

bármely θ > (1 + 4c)/(2 + 4c)-re. Itt a szokásos módon ζ a Riemann-féle zéta-függvény, π pedig a prímszámláló függvény. Tudva, hogy bármely c > 1/6 elfogadható, megállapítható, hogy θ bármely ⅝-nál nagyobb szám lehet.

Ingham eredményének közvetlen következménye, hogy n3 és (n + 1)3 között mindig van prímszám, ha n elegendően nagy. A Lindelöf-sejtés implikálná, hogy Ingham képlete bármilyen pozitív c számra igaz, de még ez sem lenne elég annak igazolására, hogy elegendően nagy n-re mindig van prímszám n2 és (n + 1)2 között (lásd Legendre-sejtés). Ennek igazolására erősebb eredményre, például a Cramér-sejtésre volna szükség.

Huxley 1972-ben megmutatta, hogy θ választható például θ = 7/12 = 0,58(3)-ra is.

Baker, Harman és Pintz 2001-es eredménye szerint θ levihető akár 0,525-ig.

2005-ben Daniel Goldston, Pintz János és Cem Yıldırım bebizonyították, hogy
,

majd két évvel később a következőre javították az eredményt:

2013-ban Yitang Zhang igazolta, hogy

ami azt jelenti, hogy végtelen sok 70 milliónál nem nagyobb prímhézag létezik. A Polymath Project keretében végzett együttműködés keretében sikerült Zhang korlátját optimalizálni, 2013. július 20-ára egészen 4680-ig vitték le. 2013 novemberében, James Maynard bemutatta a GPY-szita egy új finomítását, amivel a korlátot 600-ig vitte le, továbbá megmutatta, hogy bármely m-re létezik m prímszámot tartalmazó korlátos intervallum:

Maynard gondolatait továbbfejlesztve a Polymath project azóta feljavította a korlátot 246-ra. Továbbá, feltételezve az Elliott–Halberstam-sejtés és annak általánosított formájának igazságát, a Polymath project wiki állítása szerint N-et 12-re, illetve 6-ra sikerült lecsökkenteni.

Alsó korlátok
1938-ban Robert Rankin bebizonyította, hogy létezik olyan c > 0 konstans, amire a

egyenlőtlenség végtelen sok n értékre igaz lesz, továbbfejlesztve ezzel Erik Westzynthius és Erdős Pál eredményeit. Később megmutatta, hogy bármely c < eγ konstans jó lehet, ahol γ az Euler–Mascheroni-állandó. A c konstans értékét 1997-ben javították bármely 2eγ-nál kisebb értékre.

Erdős Pál  dollárt ajánlott annak bizonyításáért vagy cáfolatáért, hogy a fenti egyenlőtlenség c konstansát bármilyen nagyra lehet választani. Ezt 2014-ben sikerült igazolni a Ford–Green–Konyagin–Tao szerzőknek, és tőlük függetlenül James Maynardnak.

Az eredményt Ford–Green–Konyagin–Maynard–Tao tovább javította a következőre:

n végtelen sok értékére.

Prímhézagok láncolatára szintén sikerült alsó korlátokat megállapítani.

Prímhézagokkal kapcsolatos sejtések

Még jobb eredmények érhetők el, ha a Riemann-sejtést igaznak feltételezzük. Harald Cramér igazolta, hogy a Riemann-sejtésből következik, hogy a gn prímhézagra teljesül, hogy

a nagy O jelölést használva.
Későbbi feltételezése szerint a prímhézagok még kisebbek. A Cramér-sejtés durván azt fogalmazza meg, hogy

A Firoozbakht-sejtés kimondja, hogy  (ahol  az n-edik prím) n szerint szigorúan csökkenő függvény, tehát

Ha ez a sejtés igaz, akkor a  függvény teljesíti a  Következne belőle a Cramér-sejtés egy erős formája, de inkonzisztens lenne a Granville és Pintz által megfigyelt heurisztikákkal, melyek szerint  végtelen sokszor bármely -ra, ahol  az Euler–Mascheroni-állandót jelöli.

Oppermann sejtése gyengébb, mint a Cramér-sejtés. Az Oppermann-sejtéssel becsült prímhézag mérete nagyságrendileg:

Ha ez igaz, akkor létezik egy m>0 (valószínűleg m=30) természetes szám, amire minden n>m-re teljesül, hogy 

Az Andrica-sejtés, ami Oppermann sejtésének gyengébb változata, kimondja, hogy

Ez enyhén erősebb a Legendre-sejtésnél, ami szerint az egymást követő négyzetszámok között mindig található prímszám.

Számelméleti függvényként
Az n-edik és (n + 1)-edik prímszámok közötti gn prímhézag a számelméleti függvények egy példája. Ebben a kontextusban szokásosan dn-nel jelölik (magyar kontextusban ez a jelölés általában az osztószám-függvényt illeti), neve pedig prímkülönbség-függvény (prime difference function). A függvény se nem multiplikatív, se nem additív.

Kapcsolódó szócikkek 
 Bonse-egyenlőtlenség
 Ikerprímek

Fordítás

Jegyzetek

Irodalom

További információk
 Thomas R. Nicely, Some Results of Computational Research in Prime Numbers -- Computational Number Theory. This reference web site includes a list of all first known occurrence prime gaps.
 
 
 Armin Shams, Re-extending Chebyshev's theorem about Bertrand's conjecture, does not involve an 'arbitrarily big' constant as some other reported results.
 Chris Caldwell, Gaps Between Primes; an elementary introduction
 www.primegaps.com A study of the gaps between consecutive prime numbers
 Andrew Granville, Primes in Intervals of Bounded Length; overview of the results obtained so far up to and including James Maynard's work of November 2013.

Számelméleti függvények
Prímszámok
A matematika , azon belül a számelmélet területén a prímhézag ( prime gap , jelölése a gap-ből gyakran g ) két egymást követő prímszám közötti különbséget jelenti . Az n-edik prímhézag , jelölje gn vagy g( pn ) az ( n + 1)-edik és az n-edik prímszámok közötti különbség : Így tehát g1 = g2 = g3 = g4 =stb . A prímhézagok ( gn ) sorozatát átfogóan tanulmányozták , mégis számos nyitott kérdés és sejtés létezik velük kapcsolatban . Az elsőprímhézag : 1,\... \ . A gn sorozat definíciójából következik , hogy minden prímszám felírható a következő alakban : Egyszerű megfigyelések Az első , legkisebb , és egyetlen páratlan prímhézagaz egyetlen páros prímszámés az első páratlan prímszámközött van . Az összes többi prímhézag páros . Egyetlen olyan prímhézag-páros van , ami maga is prímszámokból áll , a g2 és g3 aésközött . Bármely P prímszám esetén P#-tel jelöljük P primoriálisát , tehát az összes prímszám szorzatát P-ig bezárólag , P-t is beleértve . Ha Q a P-t közvetlenül követő prímszám , akkor a következő sorozat : Q − 2 egymást követő egész számot tartalmaz , tehát itt a prímhézag legalább Q − 1 hosszúságú . Ebből következik , hogy tetszőlegesen nagy prímhézagok léteznek , így tehát bármely P prímszámhoz tartozik olyan n egész szám , ahol gn ≥ P. ( Belátható , ha n-et úgy választjuk meg , hogy pn a legnagyobb prímszám , ami kisebb P # + 2-nél . ) A tetszőlegesen nagy prímhézagok létezése a prímszámtételből kiindulva is belátható , mi szerint a prímszámok sűrűsége közelít a nullához . A tétel szerint P # igen durva közelítésben exp( P ) nagyságú , exp( P ) környezetében pedig az egymást követő prímszámok közötti átlagos távolság P. A gyakorlatban a P méretű prímrések a P#-nál jóval előbb jelentkeznek . Például aegymást követő összetett számból álló szekvencia előszörésközött jelentkezik , míg a huszonhét számjegyből áll – tízes számrendszerben Bár a prímszámok közti átlagos hézag nagysága a számok természetes logaritmusa szerint növekszik , a maximális prímhézag és a benne foglalt egészek közötti arány szintén nő , ahogy egyre nagyobb számok és prímhézagok fordulnak elő . Az ellenkező irányt tekintve , az ikerprímsejtés szerint végtelen sok n helyen . Numerikus eredmények 2017 márciusában az ismert legnagyobb prímhézag azonosítható valószínű prím végekkel hosszúságú , a hozzá tartozójegyű valószínű prímeket Robert W. Smith találta , ennek a jósága M=10,2203. A legnagyobb ismert prímhézag , aminek a szélein bizonyítottan prímszámok találhatók , hosszúságú , a szélein lévőjegyű prímszámokat P. Cami , M. Jansen és J. K. Andersen találták meg . Nevezzük gn-t maximális prímhézagnak , ha gm < gn minden m < n esetben . 2016 júniusában a legnagyobb ismert maximális prímhézaghosszúságú , Tomás Oliveira e Silva találta meg . Ez sorrendben a maximális hézag , és azprímszám után következik . További maximális prímhézag-rekordok találhatók itt : \ . Egy prímhézag jóságán ( merit ) a gn / ln( pn ) arány értendő. ben E. Westzynthius bebizonyította , hogy a prímhézagok logaritmikusnál gyorsabban nőnek . Tehát , 2016. novemberi adat szerint a legnagyobb ismert jósági érték / ln( 7910896513·283#/30 −&nbsp6480 ) ≈ 36,858288primoriálisát jelöli ) . A végpontokjegyű prímek . A Cramér–Shanks–Granville-arány a következő szám : Az arány legnagyobb ismert értéke9206386 , ami azprímszámhoz tartozik . Megoszlanak a vélemények , hogy az arány eléri-e az egyet ; további rekordértékek itt találhatók : \ . További eredmények Felső korlátok Azben bizonyított Bertrand-posztulátum kimondja , hogy k és között mindig létezik prímszám , így tehát pn+1 < 2pn , amiből következik , hogy gn < pn . Azban bizonyított prímszámtétel szerint egy p prímszám és a rákövetkező prímszám közötti hézag átlagos nagysága ln( p ) . Egy konkrét hézag tényleges mérete persze ennél jóval nagyobb vagy kisebb is lehet . A prímszámtételből azonban következik egy felső korlát is : minden ε >hoz létezik N szám , amire gn < εpn minden n > N esetben . Kikövetkeztethető , hogy a prímhézagok a prímek nagyságához képest egyre kisebbek lesznek , tetszőlegesen kicsik : a hányados nullához tart : Hoheiselmutatta meg elsőként , hogy létezik egy θ <konstans , amire így tehát : elegendően nagy n-ekre . Hoheisel a θ értékét33000-ra tette . Ezt Heilbronn250-re javította , majd Chudakov θ =4 + ε-re , bármilyen ε >ra . Ingham nevéhez fűződik egy nagyobb előrelépés , aki megmutatta , hogy ha valamely pozitív c konstansra , ahol az O az O jelölésre utal , akkor bármely θ >+) /( 2 +)-re . Itt a szokásos módon ζ a Riemann-féle zéta-függvény , π pedig a prímszámláló függvény . Tudva , hogy bármely c >6 elfogadható , megállapítható , hogy θ bármely ⅝-nál nagyobb szám lehet . Ingham eredményének közvetlen következménye , hogy n3 és ( n + között mindig van prímszám , ha n elegendően nagy . A Lindelöf-sejtés implikálná , hogy Ingham képlete bármilyen pozitív c számra igaz , de még ez sem lenne elég annak igazolására , hogy elegendően nagy n-re mindig van prímszám n2 és ( n + között ( lásd Legendre-sejtés ) . Ennek igazolására erősebb eredményre , például a Cramér-sejtésre volna szükség . Huxleyben megmutatta , hogy θ választható például θ =12 =58( 3)-ra is . Baker , Harman és Pintzes eredménye szerint θ levihető akár525-ig . 2005-ben Daniel Goldston , Pintz János és Cem Yıldırım bebizonyították , hogy majd két évvel később a következőre javították az eredményt : 2013-ban Yitang Zhang igazolta , hogy ami azt jelenti , hogy végtelen sokmilliónál nem nagyobb prímhézag létezik . A Polymath Project keretében végzett együttműködés keretében sikerült Zhang korlátját optimalizálni , júliusára egészenig vitték le.november ében , James Maynard bemutatta a GPY-szita egy új finomítását , amivel a korlátotig vitte le , továbbá megmutatta , hogy bármely m-re létezik m prímszámot tartalmazó korlátos intervallum : Maynard gondolatait továbbfejlesztve a Polymath project azóta feljavította a korlátotra . Továbbá , feltételezve az Elliott–Halberstam-sejtés és annak általánosított formájának igazságát , a Polymath project wiki állítása szerint N-etre , illetvera sikerült lecsökkenteni . Alsó korlátok 1938-ban Robert Rankin bebizonyította , hogy létezik olyan c > 0 konstans , amire a egyenlőtlenség végtelen sok n értékre igaz lesz , továbbfejlesztve ezzel Erik Westzynthius és Erdős Pál eredményeit . Később megmutatta , hogy bármely c < eγ konstans jó lehet , ahol γ az Euler–Mascheroni-állandó . A c konstans értékétben javították bármelyγ-nál kisebb értékre . Erdős Pál dollárt ajánlott annak bizonyításáért vagy cáfolatáért , hogy a fenti egyenlőtlenség c konstansát bármilyen nagyra lehet választani . Eztben sikerült igazolni a Ford–Green–Konyagin–Tao szerzőknek , és tőlük függetlenül James Maynardnak . Az eredményt Ford–Green–Konyagin–Maynard–Tao tovább javította a következőre : n végtelen sok értékére . Prímhézagok láncolatára szintén sikerült alsó korlátokat megállapítani . Prímhézagokkal kapcsolatos sejtések Még jobb eredmények érhetők el , ha a Riemann-sejtést igaznak feltételezzük . Harald Cramér igazolta , hogy a Riemann-sejtésből következik , hogy a gn prímhézagra teljesül , hogy a nagy O jelölést használva . Későbbi feltételezése szerint a prímhézagok még kisebbek . A Cramér-sejtés durván azt fogalmazza meg , hogy A Firoozbakht-sejtés kimondja , hogy ( ahol az n-edik prím ) n szerint szigorúan csökkenő függvény , tehát Ha ez a sejtés igaz , akkor a függvény teljesíti a Következne belőle a Cramér-sejtés egy erős formája , de inkonzisztens lenne a Granville és Pintz által megfigyelt heurisztikákkal , melyek szerint végtelen sokszor bármely -ra , ahol az Euler–Mascheroni-állandót jelöli . Oppermann sejtése gyengébb , mint a Cramér-sejtés . Az Oppermann-sejtéssel becsült prímhézag mérete nagyságrendileg : Ha ez igaz , akkor létezik egy m>0 ( valószínűleg m=30 ) természetes szám , amire minden n>m-re teljesül , hogy Az Andrica-sejtés , ami Oppermann sejtésének gyengébb változata , kimondja , hogy Ez enyhén erősebb a Legendre-sejtésnél , ami szerint az egymást követő négyzetszámok között mindig található prímszám . Számelméleti függvényként Az n-edik és ( n + 1)-edik prímszámok közötti gn prímhézag a számelméleti függvények egy példája . Ebben a kontextusban szokásosan dn-nel jelölik ( magyar kontextusban ez a jelölés általában az osztószám-függvényt illeti ) , neve pedig prímkülönbség-függvény ( prime difference function ) . A függvény se nem multiplikatív , se nem additív . Kapcsolódó szócikkek Bonse-egyenlőtlenség Ikerprímek Fordítás Jegyzetek Irodalom További információk Thomas R. Nicely , Some Results of Computational Research in Prime Numbers -- Computational Number Theory . This reference web site includes a list of all first known occurrence prime gaps . Armin Shams , Re-extending Chebyshev's theorem about Bertrand's conjecture , does not involve an 'arbitrarily big' constant as some other reported results . Chris Caldwell , Gaps Between Primes ; an elementary introduction www.primegaps.com A study of the gaps between consecutive prime numbers Andrew Granville , Primes in Intervals of Bounded Length ; overview of the results obtained so far up to and including James Maynard's work of November Számelméleti függvények Prímszámok