Fibonacci-prímek
A matematika, azon belül a számelmélet területén a Fibonacci-prímek olyan Fibonacci-számok, melyek egyben prímszámok is, így a számsorozatprímek közé tartoznak.

Az első néhány Fibonacci-prím:

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, ... .

Ismert Fibonacci-prímek
Nem ismert, hogy végtelen sok Fibonacci-prímszám létezik-e. Az első 33 n érték, amire Fn Fibonacci-prím :
3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 43, 47, 83, 131, 137, 359, 431, 433, 449, 509, 569, 571, 2971, 4723, 5387, 9311, 9677, 14431, 25561, 30757, 35999, 37511, 50833, 81839.

Ezeken a bizonyítottan prím Fibonacci-számokon kívül a következő sorszámokhoz tartoznak valószínű prímek:
n = 104911, 130021, 148091, 201107, 397379, 433781, 590041, 593689, 604711, 931517, 1049897, 1285607, 1636007, 1803059, 1968721, 2904353.

Az n = 4 eseten kívül minden Fibonacci-prím sorszáma is prím, mivel ha a osztója b-nek, akkor  is osztója -nek; ebből azonban nem következik, hogy a Fibonacci-sorozat minden prím indexe Fibonacci-prímet adna.

Az Fp az első 10 prímszám közül 8-ra prímet eredményez, az F2 = 1 és F19 = 4181 = 37 × 113 kivételével. A Fibonacci-prímek azonban az index növekedésével gyorsan ritkulni kezdenek: a  alatti 1229 darab prím közül mindössze 26 ad Fibonacci-prímet. A prím indexű Fibonacci-számok prímtényezőinek száma:
0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 1, 2, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 3, 4, 2, 4, 4, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 2, 5, 3, 4, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 2, 3, 4, 2, 4, 4, 4, 3, 2, 3, 5, 4, 2, 1, ... 

2015 szeptemberében a legnagyobb ismert Fibonacci-prím (tehát nemcsak valószínű prím) az F81839,  jeggyel. Prímségét David Broadhurst és Bouk de Water bizonyították 2001-ben. A legnagyobb ismert Fibonacci-valószínű prím az  F2904353. Ez  számjeggyel írható le, és Henri Lifchitz találta meg 2014-ben.
Nick MacKinnon megmutatta, hogy a Fibonacci-prímek közül kizárólag a következők ikerprímpár-tagok: 3, 5 és 13.

A Fibonacci-számok oszthatósága
Egy p≠5 prím akkor és csak akkor osztója Fp−1-nek, ha p kongruens ±1 (mod 5) és p akkor és csak akkor osztója Fp+1-nek, ha kongruens ±2 (mod 5). (A p=5 esetben F5=5, így 5 osztja F5-öt)

A p prím indexű Fibonacci-számoknak egyetlen közös osztójuk sincs a náluk kisebb Fibonacci-számokkal, a következő azonosság miatt:

LNKO(Fn, Fm) = FLNKO(n,m).

Ha n ≥ 3, Fn akkor és csak akkor osztója Fm-nek, ha n osztója m-nek.

Ha feltesszük, hogy m a fenti azonosságban szereplő p prímszám és n kisebb p-nél, akkor nyilvánvaló, hogy Fp-nek nem lehet közös osztója a megelőző Fibonacci-számokkal.

GCD(Fp, Fn) = FGCD(p,n) = F1 = 1
Ez azt jelenti, hogy Fp-nek mindig karakterisztikus prímtényezői lesznek, vagy maga is prím lesz.
Az egyes Fibonacci-számok különböző prímtényezőinek száma egyszerűen megfogalmazható.
1. „Fnk többszöröse Fk-nak bármely n és k pozitív egészekre.”
Kijelenthető, hogy Fnk legalább annyi különböző prímtényezővel fog rendelkezni, mint Fk.
Az Fp az Fk egyetlen prímtényezőjével sem fog rendelkezni, de a Carmichael-tétel alapján legalább egy karakterisztikus prímtényezővel igen.
2. A Carmichael-tétel minden Fibonacci-számra igaz, néhány speciális eset (1, 8 és 144) kivételével
„Ha megvizsgáljuk egy Fibonacci-szám prímtényezőit, legalább egy olyat fogunk találni, ami egyetlen kisebb Fibonacci-szám prímtényezői között sem szerepelt.”

Legyen πn az Fn különböző prímtényezőinek száma. 
Ha k | n, akkor πn >= πk+1. (kivétel: π6 = π3 = 1)
Ha k=1 és n páratlan prímszám, akkor 1 | p és πp >= π1+1, vagy egyszerűbben: πp>=1.

Ha az Fn karakterisztikus prímosztóját keressük, az első lépés azon korábbi Fk Fibonacci-számok prímosztóival való leosztás, melyekre k | n.

Így pontosan azok a tényezők maradnak meg, melyek még nem jelentek meg a sorozatban.

Ha p és q is prímszámok, akkor Fpq minden prímtényezője karakterisztikus, kivéve az Fp-ben vagy Fq-ban szereplőket.
LNKO(Fpq, Fq) = FLNKO(pq,q) = Fq
LNKO(Fpq, Fp) = FLNKO(pq,p) = Fp
πpq>=πq+πp+1 (kivétel:  πp2>=πp+1)

Például F247 π(19·13)>=(π13+π19)+1.

A prím indexű Fibonacci-számok különböző prímosztóinak száma :

Wall–Szun–Szun-prímek 

Egy p ≠ 2, 5 prímet Fibonacci–Wieferich-prímnek vagy Wall–Szun–Szun-prímnek nevezünk, ha p2 osztója az Fq Fibonacci-számnak, ahol q éppen p mínusz a  Legendre-szimbólum, aminek definíciója:

Egy p prímszámhoz tartozó legkisebb u > 0 index, melyre Fu osztható p-vel a megjelenés rendje (rank of apparition) vagy p Fibonacci-belépési pontja (Fibonacci entry point), jelölése a(p). Ismert, hogy minden p ≠ 2, 5 számra a(p) osztója -nek, tehát -nek vagy -nek.

A megjelenés rendje, a(p) minden p prímszámra definiált. A megjelenés rendje osztója a π(p) Pisano-periódusnak és segítségével meghatározható az összes, a p prímszámmal osztható Fibonacci-szám.

Egy adott prímszám hatványainak oszthatóságával kapcsolatban, ha :

pn | Fukpn-1

Továbbá, n=2 és k=1 esetén:
p2 | Fpu

Minden olyan p prímre, ami nem Wall–Szun–Szun-prím, a(p2) = a(p) · p, ahogy az alábbi táblázat is mutatja:

Fibonacci-számok primitív része

A Fibonacci-számok primitív része:
1, 1, 2, 3, 5, 1, 13, 7, 17, 11, 89, 1, 233, 29, 61, 47, 1597, 19, 4181, 41, 421, 199, 28657, 23, 3001, 521, 5777, 281, 514229, 31, 1346269, 2207, 19801, 3571, 141961, 107, 24157817, 9349, 135721, 2161, 165580141, 211, 433494437, 13201, 109441, 64079, 2971215073, 1103, 598364773, 15251, ... 

Az n természetes számok, melyekre az  primitív részre prím adódik:
3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 43, 45, 47, 48, 51, 52, 54, 56, 60, 62, 63, 65, 66, 72, 74, 75, 76, 82, 83, 93, 94, 98, 105, 106, 108, 111, 112, 119, 121, 122, 123, 124, 125, 131, 132, 135, 136, 137, 140, 142, 144, 145, ... 

 akkor és csak akkor Fibonacci-prím, ha a p prímszám szerepel ebben a sorozatban; továbbá  akkor és csak akkor Lucas-prím, ha 2p szerepel a sorozatban (ahol  a Lucas-sorozat);  pedig akkor és csak akkor Lucas-prím, ha 2n szerepel a sorozatban.

Az  primitív prímtényezőinek száma:
0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 3, 2, 4, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, ... 

Az  legkisebb primitív prímtényezői:
1, 1, 2, 3, 5, 1, 13, 7, 17, 11, 89, 1, 233, 29, 61, 47, 1597, 19, 37, 41, 421, 199, 28657, 23, 3001, 521, 53, 281, 514229, 31, 557, 2207, 19801, 3571, 141961, 107, 73, 9349, 135721, 2161, 2789, 211, 433494437, 43, 109441, 139, 2971215073, 1103, 97, 101, ...

Kapcsolódó szócikkek
 Lucas-számok

Jegyzetek

További információk
 
 R. Knott Fibonacci primes
 Caldwell, Chris. Fibonacci number, Fibonacci prime, and Record Fibonacci primes at the Prime Pages
 Factorization of the first 300 Fibonacci numbers
 Factorization of Fibonacci and Lucas numbers 
 Small parallel Haskell program to find probable Fibonacci primes at haskell.org

Prímszámok
Fibonacci-számok
A matematika , azon belül a számelmélet területén a Fibonacci-prímek olyan Fibonacci-számok , melyek egyben prímszámok is , így a számsorozatprímek közé tartoznak . Az első néhány Fibonacci-prím : 2,\... \ . Ismert Fibonacci-prímek Nem ismert , hogy végtelen sok Fibonacci-prímszám létezik-e . Az elsőn érték , amire Fn Fibonacci-prím \ : 3 , Ezeken a bizonyítottan prím Fibonacci-számokon kívül a következő sorszámokhoz tartoznak valószínű prímek : n = Az n =eseten kívül minden Fibonacci-prím sorszáma is prím , mivel ha a osztója b-nek , akkor is osztója -nek ; ebből azonban nem következik , hogy a Fibonacci-sorozat minden prím indexe Fibonacci-prímet adna . Az Fp az elsőprímszám közülra prímet eredményez , az F2 =és F19 ==×kivételével . A Fibonacci-prímek azonban az index növekedésével gyorsan ritkulni kezdenek : a alattidarab prím közül mindösszead Fibonacci-prímet . A prím indexű Fibonacci-számok prímtényezőinek száma : 0,\ ... 2015 szeptemberében a legnagyobb ismert Fibonacci-prím ( tehát nemcsak valószínű prím ) az F81839 , jeggyel . Prímségét David Broadhurst és Bouk de Water bizonyítottákben . A legnagyobb ismert Fibonacci-valószínű prím az F2904353. Ez számjeggyel írható le , és Henri Lifchitz találta megben . Nick MacKinnon megmutatta , hogy a Fibonacci-prímek közül kizárólag a következők ikerprímpár-tagok: és A Fibonacci-számok oszthatósága Egy p≠5 prím akkor és csak akkor osztója Fp−1-nek , ha p kongruens ±1 ( modés p akkor és csak akkor osztója Fp+1-nek , ha kongruens ±2 ( mod ( A p=5 esetben F5=5 , ígyosztja F5-öt ) A p prím indexű Fibonacci-számoknak egyetlen közös osztójuk sincs a náluk kisebb Fibonacci-számokkal , a következő azonosság miatt : LNKO( Fn , Fm ) = FLNKO( n,m ) . Ha n ≥ 3 , Fn akkor és csak akkor osztója Fm-nek , ha n osztója m-nek . Ha feltesszük , hogy m a fenti azonosságban szereplő p prímszám és n kisebb p-nél , akkor nyilvánvaló , hogy Fp-nek nem lehet közös osztója a megelőző Fibonacci-számokkal . GCD( Fp , Fn ) = FGCD( p,n ) = F1 = 1 Ez azt jelenti , hogy Fp-nek mindig karakterisztikus prímtényezői lesznek , vagy maga is prím lesz . Az egyes Fibonacci-számok különböző prímtényezőinek száma egyszerűen megfogalmazható . 1. „ Fnk többszöröse Fk-nak bármely n és k pozitív egészekre.” Kijelenthető , hogy Fnk legalább annyi különböző prímtényezővel fog rendelkezni , mint Fk . Az Fp az Fk egyetlen prímtényezőjével sem fog rendelkezni , de a Carmichael-tétel alapján legalább egy karakterisztikus prímtényezővel igen . 2. A Carmichael-tétel minden Fibonacci-számra igaz , néhány speciális esetéskivételével „ Ha megvizsgáljuk egy Fibonacci-szám prímtényezőit , legalább egy olyat fogunk találni , ami egyetlen kisebb Fibonacci-szám prímtényezői között sem szerepelt.” Legyen πn az Fn különböző prímtényezőinek száma . Ha k | n , akkor πn >= πk+1. ( kivétel : π6 = π3 = Ha k=1 és n páratlan prímszám , akkor| p és πp >= π1+1 , vagy egyszerűbben : πp>=1. Ha az Fn karakterisztikus prímosztóját keressük , az első lépés azon korábbi Fk Fibonacci-számok prímosztóival való leosztás , melyekre k | n . Így pontosan azok a tényezők maradnak meg , melyek még nem jelentek meg a sorozatban . Ha p és q is prímszámok , akkor Fpq minden prímtényezője karakterisztikus , kivéve az Fp-ben vagy Fq-ban szereplőket . LNKO( Fpq , Fq ) = FLNKO( pq,q ) = Fq LNKO( Fpq , Fp ) = FLNKO( pq,p ) = Fp πpq>=πq+πp+1 ( kivétel : πp2>=πp+1 ) Például F247 π( 19·13) >=( π13+π19) +1. A prím indexű Fibonacci-számok különböző prímosztóinak száma \ : Wall–Szun–Szun-prímek Egy p ≠prímet Fibonacci–Wieferich-prímnek vagy Wall–Szun–Szun-prímnek nevezünk , ha p2 osztója az Fq Fibonacci-számnak , ahol q éppen p mínusz a Legendre-szimbólum , aminek definíciója : Egy p prímszámhoz tartozó legkisebb u >index , melyre Fu osztható p-vel a megjelenés rendje ( rank of apparition ) vagy p Fibonacci-belépési pontja ( Fibonacci entry point ) , jelölése a( p ) . Ismert , hogy minden p ≠számra a ( p ) osztója -nek , tehát -nek vagy -nek . A megjelenés rendje , a ( p ) minden p prímszámra definiált . A megjelenés rendje osztója a π ( p ) Pisano-periódusnak és segítségével meghatározható az összes , a p prímszámmal osztható Fibonacci-szám . Egy adott prímszám hatványainak oszthatóságával kapcsolatban , ha \ : pn | Fukpn-1 Továbbá , n=2 és k=1 esetén : p2 | Fpu Minden olyan p prímre , ami nem Wall–Szun–Szun-prím , a( p2 ) = a ( p ) · p , ahogy az alábbi táblázat is mutatja : Fibonacci-számok primitív része A Fibonacci-számok primitív része : 1,\ ... Az n természetes számok , melyekre az primitív részre prím adódik : 3,\... akkor és csak akkor Fibonacci-prím , ha a p prímszám szerepel ebben a sorozatban ; továbbá akkor és csak akkor Lucas-prím , ha szerepel a sorozatban ( ahol a Lucas-sorozat ) ; pedig akkor és csak akkor Lucas-prím , ha szerepel a sorozatban . Az primitív prímtényezőinek száma : 0,\ ... Az legkisebb primitív prímtényezői : 1,\ .. . Kapcsolódó szócikkek Lucas-számok Jegyzetek További információk R. Knott Fibonacci primes Caldwell , Chris . Fibonacci number , Fibonacci prime , and Record Fibonacci primes at the Prime Pages Factorization of the firstFibonacci numbers Factorization of Fibonacci and Lucas numbers Small parallel Haskell program to find probable Fibonacci primes at haskell.org Prímszámok Fibonacci-számok