Zsigmondy-tétel
A matematika, azon belül a számelmélet területén a Karl Zsigmondyról vagy Zsigmondy Károlyról elnevezett Zsigmondy-tétel azt állítja, hogy ha  relatív prím egész számok, akkor bármely n ≥ 1 számhoz tartozik olyan p prímszám (itt: primitív prímosztó), ami osztója az  számnak, de nem osztója az -nek egyetlen pozitív egész  értékre sem, a következő kivételektől eltekintve:

, ; ekkor  = 1, aminek nincsenek prímosztói.
,  kettőhatvány; ilyenkor bármilyen páratlan prímtényező, ami szerepel  = -ben szükségképpen az -ben szerepel, ami szintén páros
, , ; ebben az esetben  = 63 = 3²7 = 

Ez az eredmény Bang tételének általánosítása, mi szerint ha  és n nem egyenlő 6-tal, akkor  rendelkezik olyan prímosztóval, ami nem osztója -t egyetlen  számra sem.

Hasonlóan, -nek legalább egy primitív prímosztója van az  eset kivételével.

Zsigmondy tétele gyakran jól jön, különösen a csoportelméletben, ahol annak bizonyítására használják, hogy különböző csoportoknak eltér a rendjük, kivéve amikor ismert róluk, hogy megegyezik.

Története
A tételt Zsigmondy ismerte fel, mialatt Bécsben tartózkodott 1894 és 1925 között.

Általánosításai 
Legyen  pozitív egész számokból álló sorozat.
A sorozathoz tartozó Zsigmondy-halmaz a következő:

tehát azon  indexek halmaza, melyekre bármely -t osztó prímszám valamely -nek is osztója, ahol . A Zsigmondy-tételből tehát következik, hogy , a Carmichael-tétel szerint a Fibonacci-sorozat Zsigmondy-halmaza  , míg a Pell-sorozaté . 2001-ben Bilu, Hanrot és
Voutier
bebizonyították, hogy általánosságban, ha  egy Lucas-sorozat vagy Lehmer-sorozat, akkor .
A Lucas- és Lehmer-sorozatok az oszthatósági sorozatok speciális esetei.

Szintén ismert, hogy ha  egy elliptikus oszthatósági sorozat, akkor a hozzá tartozó  Zsigmondy-halmaz véges. Ez az eredmény nem túl hatásos abban az értelemben, hogy a bizonyítás nem ad felső korlátot  legnagyobb elemére nézve, lehetséges viszont hatásos felső korlátot adni  elemszámára.

Kapcsolódó szócikkek
 Carmichael-tétel

Jegyzetek

További információk 

Számelméleti tételek
A matematika , azon belül a számelmélet területén a Karl Zsigmondyról vagy Zsigmondy Károlyról elnevezett Zsigmondy-tétel azt állítja , hogy ha relatív prím egész számok , akkor bármely n ≥számhoz tartozik olyan p prímszám ( itt : primitív prímosztó ) , ami osztója az számnak , de nem osztója az -nek egyetlen pozitív egész értékre sem , a következő kivételektől eltekintve : ; ekkor = aminek nincsenek prímosztói. kettőhatvány ; ilyenkor bármilyen páratlan prímtényező , ami szerepel = -ben szükségképpen az -ben szerepel , ami szintén páros , ; ebben az esetben ==7 = Ez az eredmény Bang tételének általánosítása , mi szerint ha és n nem egyenlőtal , akkor rendelkezik olyan prímosztóval , ami nem osztója -t egyetlen számra sem . Hasonlóan , -nek legalább egy primitív prímosztója van az eset kivételével . Zsigmondy tétele gyakran jól jön , különösen a csoportelméletben , ahol annak bizonyítására használják , hogy különböző csoportoknak eltér a rendjük , kivéve amikor ismert róluk , hogy megegyezik . Története A tételt Zsigmondy ismerte fel , mialatt Bécsben tartózkodottésközött . Általánosításai Legyen pozitív egész számokból álló sorozat . A sorozathoz tartozó Zsigmondy-halmaz a következő : tehát azon indexek halmaza , melyekre bármely -t osztó prímszám valamely -nek is osztója , ahol \ . A Zsigmondy-tételből tehát következik , hogy , a Carmichael-tétel szerint a Fibonacci-sorozat Zsigmondy-halmaza , míg a Pell-sorozaté\.ben Bilu , Hanrot és Voutier bebizonyították , hogy általánosságban , ha egy Lucas-sorozat vagy Lehmer-sorozat , akkor \ . A Lucas- és Lehmer-sorozatok az oszthatósági sorozatok speciális esetei . Szintén ismert , hogy ha egy elliptikus oszthatósági sorozat , akkor a hozzá tartozó Zsigmondy-halmaz véges . Ez az eredmény nem túl hatásos abban az értelemben , hogy a bizonyítás nem ad felső korlátot legnagyobb elemére nézve , lehetséges viszont hatásos felső korlátot adni elemszámára . Kapcsolódó szócikkek Carmichael-tétel Jegyzetek További információk Számelméleti tételek