Háromszögű négyzetszámok
A matematika, közelebbről a számelmélet területén a háromszögű négyzetszámok olyan természetes számok, amik egyszerre háromszögszámok és négyzetszámok.
Végtelen sok ilyen szám létezik, az első néhány: 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 .

Explicit képletek
Jelölje  a -adik háromszögű négyzetszámot,  és  pedig a hozzá tartozó négyzet és háromszög oldalait, így adódik:

 .

Legyen egy  háromszögszám háromszöggyöke . A definícióból és a kvadratikus formulából adódóan . Ezért  akkor és csak akkor háromszögszám, ha  négyzetszám, és természetesen  akkor és csak akkor négyzetszám és háromszögszám egyben, ha  négyzetszám, tehát ha léteznek olyan  és  egész számok, melyekre . Ez a Pell-egyenlet egyik példája, ahol . Minden Pell-egyenletnek van egy triviális megoldása (1,0), ezt a nulladik megoldásnak nevezik, és indexe . Ha  jelöli adott -re nézve bármely Pell-egyenlet k-adik nemtriviális megoldását, akkor a végtelen leszállás módszerével megmutatható, hogy  és . Ezért bármely Pell-egyenletnek, aminek létezik nem triviális megoldása (ha n nem négyzetszám), végtelen sok megoldása létezik. Az első nem triviális megoldás -ra könnyen megtalálható: (3,1). Az  megoldás az  Pell-egyenletre a következő módon ad meg egy háromszögű négyzetszámot annak négyzet- és háromszöggyökével:  és .  Így tehát az első háromszögű négyzetszám, ami a (3,1)-ből adódik az 1, a következő, ami a (17,6) (=6×(3,1)-(1,0))-ból adódik, a 36.

Az Nk, sk és tk sorozatok az OEIS-ben itt találhatók: , , illetve .

1778-ban Leonhard Euler meghatározta az explicit képletet:

 .

A fentiből következő, de esetenként kényelmesebben használható képletek még:

 .

A megfelelő explicit képletek -ra és -ra nézve:

 

és
 .

Pell-egyenlet
A háromszögű négyzetszámok keresése a következő módon redukálható a Pell-egyenlet megoldására. Minden háromszögszám felírható t(t + 1)/2 alakban. Ezért olyan t és s egész számokat keresünk, melyekre

 .

Némi átalakítással:

 

majd helyettesítve  és -et, a következő diofantoszi egyenlethez jutunk:

 

ami a Pell-egyenlet egy példánya. Ezt a konkrét darabot a  Pell-számok a következőképpen oldják meg:

 ;

ezért az összes megoldás kiolvasható a következőből:

 .

Sok azonosság létezik a Pell-számokkal kapcsolatban, ezek a háromszögű négyzetszámokkal kapcsolatos identitásokká alakíthatók.

Rekurrencia-relációk

A háromszögű négyzetszámok definiálhatók rekurzív sorozatként, ahogy a hozzájuk kapcsolódó négyzetek és háromszögek oldalai is. Ezek

 , ahol ;

 , ahol .

Továbbá

 , ahol ;

 , ahol .

Más karakterizációk
Minden háromszögű négyzetszám felírható  alakban, ahol  konvergál négyzetgyök 2 lánctört-alakjához.

A. V. Sylwester rövid bizonyítása arra nézve, hogy végtelen sok háromszögű négyzetszám létezik:

Ha az  háromszögszám négyzetszám, akkor a nagyobb

  háromszögszám is négyzetszám.

Azért tudjuk ezt, mert három négyzetszám szorzataként áll elő:  (a kitevő alapján),  (az -edik háromszögszám, a kiindulási feltétel alapján) és  (a kitevő alapján). Négyzetszámok szorzata minden esetben négyzetszám lesz. Ez onnan is tudható, hogy a teljes négyzetnek levés szükséges és elégséges feltétele, hogy páros hatványon szerepeljenek a prímtényezők a prímtényezős felbontásban, és ez a tulajdonság két négyzetszám összeszorzásánál megmarad.

A  háromszöggyökök váltakozva eggyel kisebbek egy négyzetszámnál és kétszeresei egy négyzetszámnak (páros k értékekre), illetve négyzetszámok és eggyel kisebbek egy négyzetszám kétszeresénél (páratlan k értékekre). Tehát,  és . Mindegyik esetben a két négyzetgyök összeszorzása a következőt adja:  és .

 és . Más szavakkal, két egymást követő háromszögű négyzetszám különbsége egy harmadik háromszögű négyzetszám négyzetgyökével egyezik meg.

A háromszögű négyzetszámokat előállítő függvény:

 .

Numerikus adatok

Ahogy  értéke egyre nő, a  arány egyre jobban megközelíti a -t,  az egymást követő háromszögű négyzetszámok aránya pedig -t. Az alábbi táblázat bemutatja  értékeit 0 és 7 között.

Jegyzetek

További információk
 Triangular numbers that are also square at cut-the-knot
 
 Michael Dummett's solution

Figurális számok
Nevezetes számsorozatok
A matematika , közelebbről a számelmélet területén a háromszögű négyzetszámok olyan természetes számok , amik egyszerre háromszögszámok és négyzetszámok . Végtelen sok ilyen szám létezik , az első néhány : . Explicit képletek Jelölje a -adik háromszögű négyzetszámot , és pedig a hozzá tartozó négyzet és háromszög oldalait , így adódik : \ . Legyen egy háromszögszám háromszöggyöke \ . A definícióból és a kvadratikus formulából adódóan \ . Ezért akkor és csak akkor háromszögszám , ha négyzetszám , és természetesen akkor és csak akkor négyzetszám és háromszögszám egyben , ha négyzetszám , tehát ha léteznek olyan és egész számok , melyekre \ . Ez a Pell-egyenlet egyik példája , ahol \ . Minden Pell-egyenletnek van egy triviális megoldása0 ) , ezt a nulladik megoldásnak nevezik , és indexe \ . Ha jelöli adott -re nézve bármely Pell-egyenlet k-adik nemtriviális megoldását , akkor a végtelen leszállás módszerével megmutatható , hogy és \ . Ezért bármely Pell-egyenletnek , aminek létezik nem triviális megoldása ( ha n nem négyzetszám ) , végtelen sok megoldása létezik . Az első nem triviális megoldás -ra könnyen megtalálható:1 ) . Az megoldás az Pell-egyenletre a következő módon ad meg egy háromszögű négyzetszámot annak négyzet- és háromszöggyökével : és \ . Így tehát az első háromszögű négyzetszám , ami a1)-ből adódik az a következő , ami a6 ) ( =6×( 3,1)-( 1,0))-ból adódik , a Az Nk , sk és tk sorozatok az OEIS-ben itt találhatók : , , illetve \ . 1778-ban Leonhard Euler meghatározta az explicit képletet : \ . A fentiből következő , de esetenként kényelmesebben használható képletek még : \ . A megfelelő explicit képletek -ra és -ra nézve : és \ . Pell-egyenlet A háromszögű négyzetszámok keresése a következő módon redukálható a Pell-egyenlet megoldására . Minden háromszögszám felírható t( t +2 alakban . Ezért olyan t és s egész számokat keresünk , melyekre \ . Némi átalakítással : majd helyettesítve és -et , a következő diofantoszi egyenlethez jutunk : ami a Pell-egyenlet egy példánya . Ezt a konkrét darabot a Pell-számok a következőképpen oldják meg : ; ezért az összes megoldás kiolvasható a következőből : \ . Sok azonosság létezik a Pell-számokkal kapcsolatban , ezek a háromszögű négyzetszámokkal kapcsolatos identitásokká alakíthatók . Rekurrencia-relációk A háromszögű négyzetszámok definiálhatók rekurzív sorozatként , ahogy a hozzájuk kapcsolódó négyzetek és háromszögek oldalai is . Ezek , ahol ; , ahol \ . Továbbá , ahol ; , ahol \ . Más karakterizációk Minden háromszögű négyzetszám felírható alakban , ahol konvergál négyzetgyöklánctört-alakjához . A. V . Sylwester rövid bizonyítása arra nézve , hogy végtelen sok háromszögű négyzetszám létezik : Ha az háromszögszám négyzetszám , akkor a nagyobb háromszögszám is négyzetszám . Azért tudjuk ezt , mert három négyzetszám szorzataként áll elő : ( a kitevő alapján ) , ( az -edik háromszögszám , a kiindulási feltétel alapján ) és ( a kitevő alapján ) . Négyzetszámok szorzata minden esetben négyzetszám lesz . Ez onnan is tudható , hogy a teljes négyzetnek levés szükséges és elégséges feltétele , hogy páros hatványon szerepeljenek a prímtényezők a prímtényezős felbontásban , és ez a tulajdonság két négyzetszám összeszorzásánál megmarad . A háromszöggyökök váltakozva eggyel kisebbek egy négyzetszámnál és kétszeresei egy négyzetszámnak ( páros k értékekre ) , illetve négyzetszámok és eggyel kisebbek egy négyzetszám kétszeresénél ( páratlan k értékekre ) . Tehát , és \ . Mindegyik esetben a két négyzetgyök összeszorzása a következőt adja : és\. és \ . Más szavakkal , két egymást követő háromszögű négyzetszám különbsége egy harmadik háromszögű négyzetszám négyzetgyökével egyezik meg . A háromszögű négyzetszámokat előállítő függvény : \ . Numerikus adatok Ahogy értéke egyre nő , a arány egyre jobban megközelíti a -t , az egymást követő háromszögű négyzetszámok aránya pedig -t . Az alábbi táblázat bemutatja értékeitésközött . Jegyzetek További információk Triangular numbers that are also square at cut-the-knot Michael Dummett's solution Figurális számok Nevezetes számsorozatok