Rezultáns
A matematikában a rezultáns a kommutatív algebra eszköze, ami segít megtalálni két polinom közös gyökeit. Többváltozós egyenletrendszerek esetén segít sorra kiküszöbölni az ismeretleneket. A rezultánst és más eszközöket a 19. században kezdték el tanulmányozni. Elsőként szimmetrikus rendszerekre használták, L Kronecker alkalmazta elsőként általános esetre. A modern komputeralgebrai rendszerekben rezultánsokat és magasabb dimenziós analógjaikat használják, hogy egy adott Gröbner-bázisból következtessenek az egyenletrendszer megoldásaira.

A számelméletben széles körben használják, akár közvetlenül, akár közvetve, a diszkriminánson keresztül, ami definíció szerint a polinom és deriváltja rezultánsa. A racionális vagy polinomiális együtthatós polinomok rezultánsa hatékonyan számítható. A komputeralgebra alapvető eszköze, és a legtöbb komputeralgebra rendszer beépített függvénye. Használják többek között a cilinderes algebrai dekompozícióhoz, racionális függvények integrálásához és a két változós polinomiális egyenletek által megadott görbék megrajzolásához.

Definíció
Legyenek f és g polinomok az  polinomgyűrű elemei; jelölje f fokát m, g fokát n! Az R gyűrűről feltesszük, hogy kommutatív és egységelemes. 
 és .

Ekkor a két polinom rezultánsa a Sylvester-mátrix determinánsa.

A mátrix m sorban tartalmazza f együtthatóit, és n sorban g együtthatóit, a többi koordinátája nulla. Tehát a Sylvester-mátrix négyzetes,  sorral és oszloppal.

Egy másik definíció szerint, ha f és g egy K test fölötti polinomok, akkor a rezultáns

ahol a gyökök K algberai lezártjának elemei. Többszörös gyökök esetén a gyökök multiplicitásukkal szerepelnek. Következik, hogy a tényezők száma megegyezik f és g fokának szorzatával. Ha f és g főegyütthatója nem egy, akkor meg kell szorozni a pdegfqdegg tényezővel, ahol p az f, q a g együtthatója. Testek fölött a két definíció ekvivalens.

A rezultáns egy harmadik definíciója egy racionális kifejezésről beszél (ez testet feltételez), ami megfelel a következőknek:
Ha a polinomoknak közös gyökük van, akkor értéke nulla.
Ha értéke nulla, és legalább az egyik polinom főegyütthatója nem nulla, akkor a polinomoknak közös gyökük van.

Kiszámítása
Mivel a rezultáns a gyökök polinomfüggvénye, és invariáns permutációjukra, a rezultáns kiszámítható az elemi szimmetrikus polinomok segítségével.

A rezultáns, mint determináns kiszámítható ezzel a képlettel:

tehát minden rögzített f-re polinomosan függ g együtthatóitól. Szimmetria miatt minden rögzített g-re polinomosan függ f együtthatóitól. Következik, hogy a rezultáns f és g együtthatóinak polinomja.

A rezultáns változatlan marad, ha a g polinomot  helyettesíti. Ezután a módszer az így kapott h és f szerepének cseréjével folytatható. Mivel azonban h gyökei különbözhetnek g gyökeitől, ezért újra fel kell írni a determinánst, ahol h együtthatóit vezető nullákkal egészítjük ki. Iteratív kifejtéssel res(f,g)=qdegf-degh res(h,g), ahol q a g főegyütthatója. Az eljárás folytatásával az euklideszi algoritmus egy változatához jutunk.

Az eljárás annyi számtani műveletet igényel, aminek nagyságrendje megegyezik a polinomok fokainak szorzatával. Azonban minden egyes alkalommal ki kell számítani bizonyos együtthatók legnagyobb közös osztóját, amitől az algoritmus túl lassúvá válik.

A szubrezultáns pszeudo-maradék sorozatok segítenek elkerülni ezeket a költséges műveleteket. Egy még hatékonyabb algoritmus kihasználja a rezultáns jól viselkedik a gyűrűhomomorfizmusokra; az egész együtthatós polinomok esetén különböző prím modulusokra számítják ki, és a végén a kínai maradéktétellel rekonstruálják az eredményt.

Tulajdonságai
A Sylvester-mátrix transzponáltja az  egyenlet rendszer mátrixa, ahol ez lineáris egyenletrendszerként van értelmezve a 
 és 
kofaktor polinomokra.

Ha az f és a g polinomoknak van közös gyöke, akkor a rezultáns nullává válik. A másik irány bizonyításához az kell, hogy az R gyűrű egyértelmű faktorizációs gyűrű és integritási tartomány legyen; azaz az eddigi kikötések mellett nullosztómentes legyen, és nem null elemei egyértelműen prímelemekre bonthatók legyenek.
Ez teljesül például, ha R test, az egész számok gyűrűje vagy polinomgyűrű. Ha ezek teljesülnek, és , akkor f-nek és g-nek van pozitív fokú közös tényezője. Ha egy homomorfia megőrzi f és g fokát, akkor a rezultánsnak f és g képének rezultánsát felelteti meg. 

Ha a polinomok együtthatói egy algebrailag zárt testből valók, például komplex számok, akkor az f és g polinomok lineáris tényezőkre bomlanak:
 und .
Ekkor a rezultáns kifejezhető a gyökökkel:
.

A Cramer-szabállyal megmutatható, hogy mindig vannak olyan R-beli együtthatós A és B polinomok, hogy 
.
Ezek az A és B polinomok adják a Sylvester-mátrix komplemensének utolsó oszlopát.

Teljesülnek a következők, ha f és g együtthatói egy test elemei:
 res(f,g) = (-1)degfdeggres(g,f)
 res(hf,g)=res(f,g)res(h,g)
 Ha  és , akkor .
 Ha X, Y, f, g foka megegyezik és X=a00f+a01g, Y=a10f+a11g,
akkor

Alkalmazásai
Ha x és y algebrai számok, és  , akkor  x-ben gyöke az  és  rezultánsának. Továbbá  gyöke  és  rezultánsának. Hozzávéve azt, hogy  az  gyöke, kapjuk, hogy az algebrai számok testet alkotnak.
Egy polinom diszkriminánsa a polinom és deriváltjának rezultánsa.
Az algebrai geometriában görbék metszéspontjának kiszámítására is használják. például definiáljanak

és

algebrai görbéket -ban. Ha f-et és g-t polinomoknak tekintjük x-ben k[y]-beli együtthatókkal, akkor f és g rezultánsa polinom y-ban, aminek nullhelyei a metszéspontok y koordinátái, vagy az x tengellyel párhuzamos közös aszimptotái.
A komputeralgebrában a legnagyobb közös osztó egész együtthatós moduláris képeinek elemzésének eszköze. Ez azt jelenti, hogy az együtthatókat modulo p tekintik, ahol p egy prímszám. A rezultánst gyakran a Lazard–Rioboo–Trager-módszerrel számítják, hogy megkapják két polinom hányadosának integrálját.
A waveletek elméletében a rezultáns kapcsolatban áll a finomítható függvények átviteli mátrixának determinánsával.

Kapcsolat az euklideszi algoritmussal
Hasonló képletet kaphatunk a kibővített euklideszi algoritmussal. Ebből egy hatékony kiszámítási eljárást lehet levezetni, a szubrezultáns-eljárást.

Többváltozós polinomok rezultánsa
A két változós homogén polinomok rezultánsa nullává válik, ha a két polinomnak közös nem nulla megoldása van, vagy ekvivalensen, közös zérójuk van a projektív egyenesen. Általánosabban, a multipolinomiális rezultáns, multivariáns rezultáns vagy  Macaulay-rezultáns n darab n változós homogén polinomra értelmezett polinom, ami nullává válik, ha van egy közös nem nulla megoldás, vagy ekvivalensen, ha az n projektív hiperfelületeknek közös zérója van az n-1 dimenziós projektív térben. A Gröbner-bázisokkal együtt ez a hatékony kiküszöbölési elmélet egyik fő eszköze.

Jegyzetek

Források 
 Siegfried Bosch: Algebra. 7., überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2009, , .

Fordítás 

Polinomok
A matematikában a rezultáns a kommutatív algebra eszköze , ami segít megtalálni két polinom közös gyökeit . Többváltozós egyenletrendszerek esetén segít sorra kiküszöbölni az ismeretleneket . A rezultánst és más eszközöket a században kezdték el tanulmányozni . Elsőként szimmetrikus rendszerekre használták , L Kronecker alkalmazta elsőként általános esetre . A modern komputeralgebrai rendszerekben rezultánsokat és magasabb dimenziós analógjaikat használják , hogy egy adott Gröbner-bázisból következtessenek az egyenletrendszer megoldásaira . A számelméletben széles körben használják , akár közvetlenül , akár közvetve , a diszkriminánson keresztül , ami definíció szerint a polinom és deriváltja rezultánsa . A racionális vagy polinomiális együtthatós polinomok rezultánsa hatékonyan számítható . A komputeralgebra alapvető eszköze , és a legtöbb komputeralgebra rendszer beépített függvénye . Használják többek között a cilinderes algebrai dekompozícióhoz , racionális függvények integrálásához és a két változós polinomiális egyenletek által megadott görbék megrajzolásához . Definíció Legyenek f és g polinomok az polinomgyűrű elemei ; jelölje f fokát m , g fokát n ! Az R gyűrűről feltesszük , hogy kommutatív és egységelemes. és \ . Ekkor a két polinom rezultánsa a Sylvester-mátrix determinánsa . A mátrix m sorban tartalmazza f együtthatóit , és n sorban g együtthatóit , a többi koordinátája nulla . Tehát a Sylvester-mátrix négyzetes , sorral és oszloppal . Egy másik definíció szerint , ha f és g egy K test fölötti polinomok , akkor a rezultáns ahol a gyökök K algberai lezártjának elemei . Többszörös gyökök esetén a gyökök multiplicitásukkal szerepelnek . Következik , hogy a tényezők száma megegyezik f és g fokának szorzatával . Ha f és g főegyütthatója nem egy , akkor meg kell szorozni a pdegfqdegg tényezővel , ahol p az f , q a g együtthatója . Testek fölött a két definíció ekvivalens . A rezultáns egy harmadik definíciója egy racionális kifejezésről beszél ( ez testet feltételez ) , ami megfelel a következőknek : Ha a polinomoknak közös gyökük van , akkor értéke nulla . Ha értéke nulla , és legalább az egyik polinom főegyütthatója nem nulla , akkor a polinomoknak közös gyökük van . Kiszámítása Mivel a rezultáns a gyökök polinomfüggvénye , és invariáns permutációjukra , a rezultáns kiszámítható az elemi szimmetrikus polinomok segítségével . A rezultáns , mint determináns kiszámítható ezzel a képlettel : tehát minden rögzített f-re polinomosan függ g együtthatóitól . Szimmetria miatt minden rögzített g-re polinomosan függ f együtthatóitól . Következik , hogy a rezultáns f és g együtthatóinak polinomja . A rezultáns változatlan marad , ha a g polinomot helyettesíti . Ezután a módszer az így kapott h és f szerepének cseréjével folytatható . Mivel azonban h gyökei különbözhetnek g gyökeitől , ezért újra fel kell írni a determinánst , ahol h együtthatóit vezető nullákkal egészítjük ki . Iteratív kifejtéssel res( f,g ) =qdegf-degh res( h,g ) , ahol q a g főegyütthatója . Az eljárás folytatásával az euklideszi algoritmus egy változatához jutunk . Az eljárás annyi számtani műveletet igényel , aminek nagyságrendje megegyezik a polinomok fokainak szorzatával . Azonban minden egyes alkalommal ki kell számítani bizonyos együtthatók legnagyobb közös osztóját , amitől az algoritmus túl lassúvá válik . A szubrezultáns pszeudo-maradék sorozatok segítenek elkerülni ezeket a költséges műveleteket . Egy még hatékonyabb algoritmus kihasználja a rezultáns jól viselkedik a gyűrűhomomorfizmusokra ; az egész együtthatós polinomok esetén különböző prím modulusokra számítják ki , és a végén a kínai maradéktétellel rekonstruálják az eredményt . Tulajdonságai A Sylvester-mátrix transzponáltja az egyenlet rendszer mátrixa , ahol ez lineáris egyenletrendszerként van értelmezve a és kofaktor polinomokra . Ha az f és a g polinomoknak van közös gyöke , akkor a rezultáns nullává válik . A másik irány bizonyításához az kell , hogy az R gyűrű egyértelmű faktorizációs gyűrű és integritási tartomány legyen ; azaz az eddigi kikötések mellett nullosztómentes legyen , és nem null elemei egyértelműen prímelemekre bonthatók legyenek . Ez teljesül például , ha R test , az egész számok gyűrűje vagy polinomgyűrű . Ha ezek teljesülnek , és , akkor f-nek és g-nek van pozitív fokú közös tényezője . Ha egy homomorfia megőrzi f és g fokát , akkor a rezultánsnak f és g képének rezultánsát felelteti meg . Ha a polinomok együtthatói egy algebrailag zárt testből valók , például komplex számok , akkor az f és g polinomok lineáris tényezőkre bomlanak : und \ . Ekkor a rezultáns kifejezhető a gyökökkel : . A Cramer-szabállyal megmutatható , hogy mindig vannak olyan R-beli együtthatós A és B polinomok , hogy . Ezek az A és B polinomok adják a Sylvester-mátrix komplemensének utolsó oszlopát . Teljesülnek a következők , ha f és g együtthatói egy test elemei : res( f,g ) =egfdeggres( g,f ) res( hf,g ) =res( f,g) res( h,g ) Ha és , akkor \ . Ha X , Y , f , g foka megegyezik és X=a00f+a01g , Y=a10f+a11g , akkor Alkalmazásai Ha x és y algebrai számok , és , akkor x-ben gyöke az és rezultánsának . Továbbá gyöke és rezultánsának . Hozzávéve azt , hogy az gyöke , kapjuk , hogy az algebrai számok testet alkotnak . Egy polinom diszkriminánsa a polinom és deriváltjának rezultánsa . Az algebrai geometriában görbék metszéspontjának kiszámítására is használják . például definiáljanak és algebrai görbéket -ban . Ha f-et és g-t polinomoknak tekintjük x-ben k[ y]-beli együtthatókkal , akkor f és g rezultánsa polinom y-ban , aminek nullhelyei a metszéspontok y koordinátái , vagy az x tengellyel párhuzamos közös aszimptotái . A komputeralgebrában a legnagyobb közös osztó egész együtthatós moduláris képeinek elemzésének eszköze . Ez azt jelenti , hogy az együtthatókat modulo p tekintik , ahol p egy prímszám . A rezultánst gyakran a Lazard–Rioboo–Trager-módszerrel számítják , hogy megkapják két polinom hányadosának integrálját . A waveletek elméletében a rezultáns kapcsolatban áll a finomítható függvények átviteli mátrixának determinánsával . Kapcsolat az euklideszi algoritmussal Hasonló képletet kaphatunk a kibővített euklideszi algoritmussal . Ebből egy hatékony kiszámítási eljárást lehet levezetni , a szubrezultáns-eljárást . Többváltozós polinomok rezultánsa A két változós homogén polinomok rezultánsa nullává válik , ha a két polinomnak közös nem nulla megoldása van , vagy ekvivalensen , közös zérójuk van a projektív egyenesen . Általánosabban , a multipolinomiális rezultáns , multivariáns rezultáns vagy Macaulay-rezultáns n darab n változós homogén polinomra értelmezett polinom , ami nullává válik , ha van egy közös nem nulla megoldás , vagy ekvivalensen , ha az n projektív hiperfelületeknek közös zérója van az n-1 dimenziós projektív térben . A Gröbner-bázisokkal együtt ez a hatékony kiküszöbölési elmélet egyik fő eszköze . Jegyzetek Források Siegfried Bosch : Algebra . , überarbeitete Auflage . Springer , Berlin u . a.,\ . Fordítás Polinomok