Rasch-modell
A Rasch-modell egy pszichometriában használt matematikai modell, mely Georg Raschról, megalkotójáról kapta nevét. A valószínűségi tesztelméletek (Item Response Theory, IRT) vagy „modern tesztelmélet” egyik legismertebb modellje. Az alábbi három változóval dolgozik:
 egy egyénnek egy dichotóm tételre (helyes/helytelen; egyetért vagy sem; igaz/hamis stb.) adott válasza (melyre az egyszerűség kedvéért jelen szócikkben a „helyes” és „helytelen” fogalmakat használjuk.)
 a válaszadó személyre jellemző képesség, attitűd, vélemény stb., mely alapján válaszolt. (Ezt a tesztelméleti szakirodalomban egységesen „képességnek” nevezzük, akkor is, ha attitűdöt, véleményt stb. mérünk.)
 az itemet vagy tételt jellemző nehézségparaméter.
A modell szerint az egyén helyes vagy helytelen válaszának valószínűsége a nehézség- és képességparamétertől függ.

A Rasch-modell viszonya az IRT modellekhez 
A Rasch-modell egy tagját képezi a gyűjtőfogalomként használt valószínűségi tesztelméleteknek (IRT). Az IRT modellekben közös, hogy nem determinisztikusak, hanem valószínűségi alapon közelítik a személyek helyes válaszadását az egyes itemeken (ismert item- és személyparaméterek esetén). [Molnár, 2006] Innen származik a magyar szakirodalomban használt valószínűségi tesztelmélet elnevezés.

Az egyes IRT modellek két fő tulajdonság mentén különböztethetőek meg egymástól: (1) milyen matematikai modellt használnak, vagyis „milyen típusú összefüggést feltételeznek a személy képességparamétere és a helyes válasz valószínűsége között”, illetve (2) hány paraméter mentén ragadják meg a jellemezni kívánt tételeket (itemeket).

A Rasch-modell matematikai alapját logisztikus függvény adja (szemben a normális eloszlásfüggvénnyel operáló többi IRT modellel); illetve a Rasch modell az itemnehézséget, mint egyetlen, legfőbb paramétert használja a tételek jellemzésére (vagyis unidimenzionális), mely paraméter kizárólag bináris / dichotóm változó lehet. Mindezek alapján a Rasch-modell tekinthető a legegyszerűbb IRT modellnek.

Az eredeti munkából kiindulva mára több eltérő matematikai modell létezik a modellcsaládban, melyek paraméterei csak részben egyeznek meg a leggyakrabban Rasch-modellként emlegetett, a szerző által 1960-ban publikált dichotóm modellel. (A modellt még maga Rasch kiterjesztette nem dichotóm adatokra is.) A továbbiakban e dichotóm modell kerül részletesebb kifejtésre, illetve a „Rasch-modell” név is erre a konkrét modellre utal. A modellcsalád más tagjairól lásd részletesen például Fischer és Molenaar (2012) vagy Rost (2001) munkáját.

A modell alapkoncepciója 

E matematikai modell kapcsolatot teremt a tételek nehézségét és a személyek képességét jellemző változók között. Ennek hátterében a következő feltételezések állnak:
 a könnyebb tételeket mindenki nagyobb valószínűséggel oldja meg helyesen, mint a nehezebbeket;
 "a magasabb képességszintű emberek nagyobb valószínűséggel oldják meg jól a feladatokat, mint az alacsonyabb képességszintűek"; illetve
 azokat a tételeket tekinti a modell nehezebbnek, melyeket kevesebben oldottak meg, és azokat könnyűnek, melyeket többen.

A modell a tétel nehézségét és a személy képességét egymáshoz viszonyítva definiálja, így a skálának nincs abszolút nulla pontja.

A Rasch-modell matematikája 
A Rasch-modell tehát egy valószínűségi alapú matematikai modell, mely logaritmikus transzformáció segítségével átalakítja az ordinális adatokat intervallumskálájúvá (így az értékek közötti különbségek mértéke is informatívvá válik). Egy lehetséges megfogalmazás szerint a Rasch-modell megadja, milyen valószínűséggel válaszol helyesen egy ismert képességszinttel rendelkező személy egy ismert nehézségű tételre. A nehézség- (θ) és képességparaméterek (δ) értékeit általában sztenderdizált formában használjuk, így átlaguk 0, szórásuk 1. A két változót egy közös logit-skálán mérjük.

A Rasch-modell leggyakoribb matematikai megfogalmazása a következő:

 (1)

Az egyenlet bal oldala kifejezi tehát, hogy  képességparaméterrel rendelkező i személy helyes válaszadásának valószínűségét (vagyis p(x=1)) keressük adott  nehézséggel jellemezhető j tételen. A modell szerint e valószínűséget az a hányados adja (lásd az egyenlet jobb oldalát), melynek számlálója az Euler-féle számnak (e) a képesség- és nehézségparaméter különbségére emelt hatványa, nevezője pedig az ennél +1-gyel nagyobb érték. (Rasch ehhez az  függvényből indult ki munkája során, mint „az általam ismert legegyszerűbb olyan függvény, amely 0-tól 1-ig nő, ha x zérótól végtelenig növekszik”)

Az (1) egyenletből következően ha egy személy képességparamétere és egy item nehézségértéke megegyezik, akkor annak valószínűsége, hogy a személy helyesen oldja meg az adott tételt: p(x=1) = 0,5. A modell tehát egy tétel nehézségét az alapján definiálja, milyen képességszintű személy válaszol rá helyesen 0,5-es valószínűséggel.

Az (1) exponenciális összefüggést átrendezve logaritmikus formába a következő egyenletet kapjuk:

 (2)

Mint látjuk, a képesség- és nehézségparaméter értékének különbsége (az egyenlet jobb oldala) megegyezik annak a törtnek a természetes alapú logaritmusával, melynek számlálója i személy j itemre vonatkozó helyes válaszadásának valószínűsége (pi,j), nevezője pedig ugyanezen helyzetben érkező helytelen válasz valószínűsége (1-pi,j). E törtet a válaszadás odds-ának nevezzük, logaritmusát pedig logitnak.

Tehát ha például i személy képessége meghaladja azt, amit j feladat elvár (θi > δj), akkor helyes válaszadásának valószínűsége a 0,5-ről elmozdul 1 felé. A (2) egyenlet ezt számszerűsíti: amennyiben ismerjük a személy képessége és a tételnehézség közötti különbség értékét, akkor a képlet megadja azt a valószínűséget, mellyel a személy helyesen oldja meg a tételt. Például: ha i személy képességszintje 2 logitegység, j tétel nehézsége pedig 1 logitegység, akkor i helyes válaszadásának valószínűsége p(x=1) ≈ 0,731. Azt is láthatjuk, hogy a két paraméter egymáshoz viszonyított, relatív helyzetével dolgozik a modell, nem pedig a képesség- és nehézségszint abszolút értékeivel. Így ha egy személy képessége átlagos (vagyis θ=0), akkor a -1 logitegység nehézségű feladatot szintén 0,731-es valószínűséggel oldja meg helyesen a modell értelmében.

Képesség- és nehézségparaméterek meghatározása 

Az eddig áttekintettekben ismert képességszintekkel és adott nehézségi értékű tételekkel dolgoztunk. Ezek kiszámítása egy meglévő adatmátrixból két-két lépésben történik:
 Első lépésben kiszámítjuk a helyes válaszok arányát:
 Személyenként, minden i válaszadó személyre: a helyesen megválaszolt tételek számát elosztjuk az összes item számával.
 Hasonlóan járunk el minden j tétel esetében is: az adott tételre helyesen válaszolók számát elosztjuk az összes válaszoló számával.
 A második lépésben a modellből levezetett, alábbi összefüggések segítségével meghatározzuk a keresett paraméterértékeket:
 A képességparaméter meghatározása (ahol θi jelöli i személy képességparaméterét, Pi pedig i személy helyes válaszainak és összes válaszának hányadosát, vagyis helyes válaszainak arányát):  (3)
 A nehézségparaméter meghatározása (ahol δj jelöli j item nehézségparaméterét, Pj pedig a j itemen adott helyes válaszok arányát, vagyis a tételt helyesen megválaszolók számának és az összes válaszadó számának hányadosát):  (4)

Rasch-modell alkalmazása

A paraméterek meghatározása a gyakorlatban 
Az itt leírt műveleteket a pszichometriai gyakorlatban ma már statisztikai szoftverek végzik. A leggyakrabban használt programok a WINSTEP, RuMM2020 vagy a ConQuest. Ezeken kívül is igen sok, akár ingyenesen elérhető szoftver áll rendelkezésünkre a Rasch-modellel (vagy más IRT modellekkel) való munkához. Ezekről bővebben angol nyelven a Psychometric software szócikkben vagy például az alábbi összefoglalóban tájékozódhatunk: Rasch Measurement Analysis Software Directory.

Milyen helyzetekben alkalmazzák a Rasch-modellt? 
A Rasch-modellt számos különböző területen használják, például orvostudományokban, marketing kutatásokban, neveléstudományban. A pszichometriában a tesztfejlesztés különböző fázisaiban alkalmazhatjuk: új mérőeszköz tételeinek kialakításakor, már létező teszt pszichometriai jellemzőinek ellenőrzésekor vagy akár számítógépes adaptív teszteléshez (Computer Adaptive Testing, CAT) szükséges tételcsomag összeállításakor. A Rasch-modell alkalmazása tulajdonképpen bármilyen olyan esetben indokolt lehet, ahol összetartozó ordinális szintű adatok értékei közötti különbséget szeretnék számszerűsíteni (és az adatok eleget tesztnek a modell feltételeinek, illetve a modell illeszkedik az adatokhoz). Ilyen helyzet lehet például, ha összetartozó itemeket úgy veszik fel, hogy a skála/teszt nem minden tételét oldja meg minden kitöltő, de vannak olyan "horgony itemek", melyekhez minden résztvevőtől van adat, és kíváncsiak  a tételek, illetve kitöltő paramétereire.

Hivatkozások

További információk 
Molnár Gy. (2013). A Rasch-modell alkalmazási lehetőségei az empirikus kutatások gyakorlatában. Budapest:Gondolat Kiadó.

Horváth Gy. (1997). A modern tesztmodellek alkalmazása. Budapest: Akadémia Kiadó.

Rasch Measurement Analysis Software Directory

Kapcsolódó szócikkek 

Klasszikus tesztelmélet

Maximum likelihood módszer

Pszichológiai statisztika

Statisztika

Georg Rasch

Item Response Theory

Logit

Odds

Psychometric software

Matematikai statisztika
Pszichometria
A Rasch-modell egy pszichometriában használt matematikai modell , mely Georg Raschról , megalkotójáról kapta nevét . A valószínűségi tesztelméletek ( Item Response Theory , IRT ) vagy „ modern tesztelmélet” egyik legismertebb modellje . Az alábbi három változóval dolgozik : egy egyénnek egy dichotóm tételre ( helyes / helytelen ; egyetért vagy sem ; igaz / hamis stb. ) adott válasza ( melyre az egyszerűség kedvéért jelen szócikkben a „ helyes” és „ helytelen” fogalmakat használjuk . ) a válaszadó személyre jellemző képesség , attitűd , vélemény stb. , mely alapján válaszolt . ( Ezt a tesztelméleti szakirodalomban egységesen „ képességnek” nevezzük , akkor is , ha attitűdöt , véleményt stb. mérünk . ) az itemet vagy tételt jellemző nehézségparaméter . A modell szerint az egyén helyes vagy helytelen válaszának valószínűsége a nehézség- és képességparamétertől függ . A Rasch-modell viszonya az IRT modellekhez A Rasch-modell egy tagját képezi a gyűjtőfogalomként használt valószínűségi tesztelméleteknek ( IRT ) . Az IRT modellekben közös , hogy nem determinisztikusak , hanem valószínűségi alapon közelítik a személyek helyes válaszadását az egyes itemeken ( ismert item- és személyparaméterek esetén ) . [ Molnár , Innen származik a magyar szakirodalomban használt valószínűségi tesztelmélet elnevezés . Az egyes IRT modellek két fő tulajdonság mentén különböztethetőek meg egymástól: milyen matematikai modellt használnak , vagyis „ milyen típusú összefüggést feltételeznek a személy képességparamétere és a helyes válasz valószínűsége között” , illetvehány paraméter mentén ragadják meg a jellemezni kívánt tételeket ( itemeket ) . A Rasch-modell matematikai alapját logisztikus függvény adja ( szemben a normális eloszlásfüggvénnyel operáló többi IRT modellel ) ; illetve a Rasch modell az itemnehézséget , mint egyetlen , legfőbb paramétert használja a tételek jellemzésére ( vagyis unidimenzionális ) , mely paraméter kizárólag bináris / dichotóm változó lehet . Mindezek alapján a Rasch-modell tekinthető a legegyszerűbb IRT modellnek . Az eredeti munkából kiindulva mára több eltérő matematikai modell létezik a modellcsaládban , melyek paraméterei csak részben egyeznek meg a leggyakrabban Rasch-modellként emlegetett , a szerző általban publikált dichotóm modellel . ( A modellt még maga Rasch kiterjesztette nem dichotóm adatokra is . ) A továbbiakban e dichotóm modell kerül részletesebb kifejtésre , illetve a „ Rasch-modell” név is erre a konkrét modellre utal . A modellcsalád más tagjairól lásd részletesen például Fischer és Molenaarvagy Rostmunkáját . A modell alapkoncepciója E matematikai modell kapcsolatot teremt a tételek nehézségét és a személyek képességét jellemző változók között . Ennek hátterében a következő feltételezések állnak : a könnyebb tételeket mindenki nagyobb valószínűséggel oldja meg helyesen , mint a nehezebbeket ; " a magasabb képességszintű emberek nagyobb valószínűséggel oldják meg jól a feladatokat , mint az alacsonyabb képességszintűek " ; illetve azokat a tételeket tekinti a modell nehezebbnek , melyeket kevesebben oldottak meg , és azokat könnyűnek , melyeket többen . A modell a tétel nehézségét és a személy képességét egymáshoz viszonyítva definiálja , így a skálának nincs abszolút nulla pontja . A Rasch-modell matematikája A Rasch-modell tehát egy valószínűségi alapú matematikai modell , mely logaritmikus transzformáció segítségével átalakítja az ordinális adatokat intervallumskálájúvá ( így az értékek közötti különbségek mértéke is informatívvá válik ) . Egy lehetséges megfogalmazás szerint a Rasch-modell megadja , milyen valószínűséggel válaszol helyesen egy ismert képességszinttel rendelkező személy egy ismert nehézségű tételre . A nehézség- ( θ ) és képességparaméterek ( δ ) értékeit általában sztenderdizált formában használjuk , így átlaguk szórásuk A két változót egy közös logit-skálán mérjük . A Rasch-modell leggyakoribb matematikai megfogalmazása a következő : Az egyenlet bal oldala kifejezi tehát , hogy képességparaméterrel rendelkező i személy helyes válaszadásának valószínűségét ( vagyis p( x=1 ) ) keressük adott nehézséggel jellemezhető j tételen . A modell szerint e valószínűséget az a hányados adja ( lásd az egyenlet jobb oldalát ) , melynek számlálója az Euler-féle számnak ( e ) a képesség- és nehézségparaméter különbségére emelt hatványa , nevezője pedig az ennél +1-gyel nagyobb érték . ( Rasch ehhez az függvényből indult ki munkája során , mint „ az általam ismert legegyszerűbb olyan függvény , amelytólig nő , ha x zérótól végtelenig növekszik” ) Azegyenletből következően ha egy személy képességparamétere és egy item nehézségértéke megegyezik , akkor annak valószínűsége , hogy a személy helyesen oldja meg az adott tételt : p( x=1 ) =5. A modell tehát egy tétel nehézségét az alapján definiálja , milyen képességszintű személy válaszol rá helyesen5-es valószínűséggel . Azexponenciális összefüggést átrendezve logaritmikus formába a következő egyenletet kapjuk : Mint látjuk , a képesség- és nehézségparaméter értékének különbsége ( az egyenlet jobb oldala ) megegyezik annak a törtnek a természetes alapú logaritmusával , melynek számlálója i személy j itemre vonatkozó helyes válaszadásának valószínűsége ( pi,j ) , nevezője pedig ugyanezen helyzetben érkező helytelen válasz valószínűségepi,j ) . E törtet a válaszadás odds-ának nevezzük , logaritmusát pedig logitnak . Tehát ha például i személy képessége meghaladja azt , amit j feladat elvár ( θi > δj ) , akkor helyes válaszadásának valószínűsége a5-ről elmozdulfelé . Aegyenlet ezt számszerűsíti : amennyiben ismerjük a személy képessége és a tételnehézség közötti különbség értékét , akkor a képlet megadja azt a valószínűséget , mellyel a személy helyesen oldja meg a tételt . Például : ha i személy képességszintjelogitegység , j tétel nehézsége pediglogitegység , akkor i helyes válaszadásának valószínűsége p( x=1 ) ≈731. Azt is láthatjuk , hogy a két paraméter egymáshoz viszonyított , relatív helyzetével dolgozik a modell , nem pedig a képesség- és nehézségszint abszolút értékeivel . Így ha egy személy képessége átlagos ( vagyis θ=0 ) , akkor alogitegység nehézségű feladatot szintén731-es valószínűséggel oldja meg helyesen a modell értelmében . Képesség- és nehézségparaméterek meghatározása Az eddig áttekintettekben ismert képességszintekkel és adott nehézségi értékű tételekkel dolgoztunk . Ezek kiszámítása egy meglévő adatmátrixból két-két lépésben történik : Első lépésben kiszámítjuk a helyes válaszok arányát : Személyenként , minden i válaszadó személyre : a helyesen megválaszolt tételek számát elosztjuk az összes item számával . Hasonlóan járunk el minden j tétel esetében is : az adott tételre helyesen válaszolók számát elosztjuk az összes válaszoló számával . A második lépésben a modellből levezetett , alábbi összefüggések segítségével meghatározzuk a keresett paraméterértékeket : A képességparaméter meghatározása ( ahol θi jelöli i személy képességparaméterét , Pi pedig i személy helyes válaszainak és összes válaszának hányadosát , vagyis helyes válaszainak arányát ) : A nehézségparaméter meghatározása ( ahol δj jelöli j item nehézségparaméterét , Pj pedig a j itemen adott helyes válaszok arányát , vagyis a tételt helyesen megválaszolók számának és az összes válaszadó számának hányadosát ) : Rasch-modell alkalmazása A paraméterek meghatározása a gyakorlatban Az itt leírt műveleteket a pszichometriai gyakorlatban ma már statisztikai szoftverek végzik . A leggyakrabban használt programok a WINSTEP , RuMM2020 vagy a ConQuest . Ezeken kívül is igen sok , akár ingyenesen elérhető szoftver áll rendelkezésünkre a Rasch-modellel ( vagy más IRT modellekkel ) való munkához . Ezekről bővebben angol nyelven a Psychometric software szócikkben vagy például az alábbi összefoglalóban tájékozódhatunk : Rasch Measurement Analysis Software Directory . Milyen helyzetekben alkalmazzák a Rasch-modellt ? A Rasch-modellt számos különböző területen használják , például orvostudományokban , marketing kutatásokban , neveléstudományban . A pszichometriában a tesztfejlesztés különböző fázisaiban alkalmazhatjuk : új mérőeszköz tételeinek kialakításakor , már létező teszt pszichometriai jellemzőinek ellenőrzésekor vagy akár számítógépes adaptív teszteléshez ( Computer Adaptive Testing , CAT ) szükséges tételcsomag összeállításakor . A Rasch-modell alkalmazása tulajdonképpen bármilyen olyan esetben indokolt lehet , ahol összetartozó ordinális szintű adatok értékei közötti különbséget szeretnék számszerűsíteni ( és az adatok eleget tesztnek a modell feltételeinek , illetve a modell illeszkedik az adatokhoz ) . Ilyen helyzet lehet például , ha összetartozó itemeket úgy veszik fel , hogy a skála/ teszt nem minden tételét oldja meg minden kitöltő , de vannak olyan " horgony itemek " , melyekhez minden résztvevőtől van adat , és kíváncsiak a tételek , illetve kitöltő paramétereire . Hivatkozások További információk Molnár Gy . A Rasch-modell alkalmazási lehetőségei az empirikus kutatások gyakorlatában . Budapest : Gondolat Kiadó . Horváth Gy . A modern tesztmodellek alkalmazása . Budapest : Akadémia Kiadó . Rasch Measurement Analysis Software Directory Kapcsolódó szócikkek Klasszikus tesztelmélet Maximum likelihood módszer Pszichológiai statisztika Statisztika Georg Rasch Item Response Theory Logit Odds Psychometric software Matematikai statisztika Pszichometria