Hipertökéletes számok
A matematika, azon belül a számelmélet területén egy k-hipertökéletes szám (hyperperfect number) olyan n természetes szám, amire fennáll az n = 1 + k(σ(n)  − n  − 1) egyenlőség – σ(n) az osztóösszeg-függvényt (azaz n összes pozitív osztóját) jelöli. Általánosságban egy szám akkor hipertökéletes, ha valamely pozitív egész k-ra k-hipertökéletes. A hipertökéletes számok a tökéletes számok általánosításai, melyek ebben a felírásban 1-hipertökéletesek.

A k-hipertökéletes számok sorozatának első néhány eleme: 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, 1333, 1909, 2041... , a hozzájuk tartozó k értékek pedig: 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, 18, 18, 12... . Az első néhány k-hipertökéletes, de nem tökéletes szám pedig: 21, 301, 325, 697, 1333, ... .

Hipertökéletes számok listája
A következő táblázat listázza az első néhány k-hipertökéletes számot néhány k értékre, az OEIS-sorozatszámukkal együtt:

Megmutatható, hogy ha k > 1 páratlan egész szám és p = (3k + 1) / 2, q = 3k + 4 prímszámok, akkor p²q egy k-hipertökéletes szám; Judson S. McCranie 2000-es sejtése szerint páratlan k > 1 számokra az összes k-hipertökéletes szám ilyen alakú, de ezt még nem sikerült igazolni. Belátható továbbá, hogy ha p ≠ q páratlan prímek és k olyan egész szám, amire k(p + q) = pq - 1, akkor pq k-hipertökéletes.

Megmutatható továbbá az is, hogy ha k > 0 és p = k + 1 prímszám, akkor minden i > 1-re, amire q = pi − p + 1 prímszám, az n = pi − 1q szám k-hipertökéletes. A következő táblázat listázza az ismert k és a hozzátartozó i értékeket, amire n k-hipertökéletes:

Hiperhiányosság 

A hipertökéletes számok kapcsán bevezethető új matematikai fogalom a hiperhiányosság (hyperdeficiency).

Definíció (Minoli 2010): Bármely pozitív egész n-re és egész k-ra, az n szám  k-hiperhiányossága (vagy egyszerűen hiperhiányossága):

    δk(n) = n(k+1) +(k-1) –kσ(n)

Egy n szám akkor k-hiperhiányos, ha δk(n) > 0.

Vegyük észre, hogy k=1-re δ1(n)= 2n–σ(n), ami éppen a hiányosság hagyományos definíciója.

Lemma: Egy n szám akkor és csak akkor  k-hipertökéletes (beleértve a k=1 esetet), ha n k-hiperhiányossága, azaz δk(n) = 0.
 
Lemma: Egy n szám akkor és csak akkor k-hipertökéletes (beleértve a k=1 esetet), ha valamely k-ra δk-j(n) = -δk+j(n) legalább egy j > 0 esetben.

Jegyzetek

Irodalom

Cikkek 

 .
 .
 .
 .
 .
 .
  .
 . 
 .

Könyvek 

 Daniel Minoli, Voice over MPLS, McGraw-Hill, New York, NY, 2002,  (p. 114-134)

További információk
 MathWorld: Hyperperfect number
 A long list of hyperperfect numbers under Data

Nevezetes számsorozatok
A matematika , azon belül a számelmélet területén egy k-hipertökéletes szám ( hyperperfect number ) olyan n természetes szám , amire fennáll az n =+ k( σ ( n ) − n −egyenlőség – σ ( n ) az osztóösszeg-függvényt ( azaz n összes pozitív osztóját ) jelöli . Általánosságban egy szám akkor hipertökéletes , ha valamely pozitív egész k-ra k-hipertökéletes . A hipertökéletes számok a tökéletes számok általánosításai , melyek ebben a felírásbanhipertökéletesek . A k-hipertökéletes számok sorozatának első néhány eleme:.. , a hozzájuk tartozó k értékek pedig:.. \ . Az első néhány k-hipertökéletes , de nem tökéletes szám pedig :\... \ . Hipertökéletes számok listája A következő táblázat listázza az első néhány k-hipertökéletes számot néhány k értékre , az OEIS-sorozatszámukkal együtt : Megmutatható , hogy ha k >páratlan egész szám és p = + / q = +prímszámok , akkor p²q egy k-hipertökéletes szám ; Judson S. McCraniees sejtése szerint páratlan k >számokra az összes k-hipertökéletes szám ilyen alakú , de ezt még nem sikerült igazolni . Belátható továbbá , hogy ha p ≠ q páratlan prímek és k olyan egész szám , amire k ( p + q ) = pq - akkor pq k-hipertökéletes . Megmutatható továbbá az is , hogy ha k >és p = k +prímszám , akkor minden i >re , amire q = pi − p +prímszám , az n = pi − szám k-hipertökéletes . A következő táblázat listázza az ismert k és a hozzátartozó i értékeket , amire n k-hipertökéletes : Hiperhiányosság A hipertökéletes számok kapcsán bevezethető új matematikai fogalom a hiperhiányosság ( hyperdeficiency ) . Definíció ( Minoli Bármely pozitív egész n-re és egész k-ra , az n szám k-hiperhiányossága ( vagy egyszerűen hiperhiányossága ) : δk ( n ) = n( k+1 ) +( k-1 ) –kσ ( n ) Egy n szám akkor k-hiperhiányos , ha δk ( n ) > Vegyük észre , hogy k=1-re δ1( n ) =–σ ( n ) , ami éppen a hiányosság hagyományos definíciója . Lemma : Egy n szám akkor és csak akkor k-hipertökéletes ( beleértve a k=1 esetet ) , ha n k-hiperhiányossága , azaz δk ( n ) = Lemma : Egy n szám akkor és csak akkor k-hipertökéletes ( beleértve a k=1 esetet ) , ha valamely k-ra δk-j( n ) = -δk+j( n ) legalább egy j >esetben . Jegyzetek Irodalom Cikkek \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . Könyvek Daniel Minoli , Voice over MPLS , McGraw-Hill , New York , NY , ( p. 114-134 ) További információk MathWorld : Hyperperfect number A long list of hyperperfect numbers under Data Nevezetes számsorozatok