Dirac-mérték
A Dirac-mérték egy matematikai fogalom, ami nagyságot rendel egy halmaz részhalmazaihoz, annak függvényében, hogy egy meghatározott érték eleme-e vagy sem. Ennek révén lehet formalizálni a Dirac-delta függvényt, aminek fontos alkalmazásai vannak a modern fizikában és különféle mérnöki-technikai területeken.

Definíció 

Legyen  mérhető tér, és legyen . Ekkor Dirac-mértéknek nevezzük a következő függvényt:

A Dirac-mérték egy valószínűségi mérték, az  mintatéren a majdnem biztosan bekövetkező  eseményt jellemzi. Úgy is tekinthetnénk, hogy egyetlen atom -ben, azonban a Dirac-mérték atomi mértékként kezelése helytelen, mivel a Dirac-mérték egy delta-sorozat határértéke. Sokkal inkább kezelhető az  feletti valószínűségi mértékek konvex halmazának határpontjaként.

Maga a név a Dirac-féle δ-függvényre vezethető vissza. A Dirac mérték egyfajta Schwartz-eloszlásnak is tekinthető, például a valós számegyenesen. Ebben az esetben
,
vagy más formában
.
Ilyen formában a δ-disztribúció definíciójaként is szolgál a Lebesgue-integrálelméletben.

A Dirac-mérték tulajdonságai 

 Legyen  mérhető tér, és  egy ehhez tartozó Dirac-mérték. Ekkor  valószínűségi mérték  felett, és mint ilyen, véges.
 Legyen  topológiai tér, és  legalább olyan finomságú, mint a  feletti Borel-féle σ-algebra. Ekkor
 szigorúan pozitív mérték, ha  eleme minden nem üres halmaznak -ben. Ez fordítva is igaz.
 Lokálisan véges mérték, ez következik abból, hogy valószínűségi mérték is.
 Ha  Hausdorff-tér a Borel-féle σ-algebrával, akkor  kielégíti a reguláris belső mérték feltételeit, mivel minden egyelemű halmaz kompakt.
 A fenti esetben  Radon-mérték is.
 Ha  elég finom ahhoz, hogy  zárt legyen, akkor  tartója is  lesz. Mi több,  az egyetlen -tartójú valószínűségi mérték. Minden egyéb esetben  a lezárása lesz -nak.
 Ha  euklideszi tér a szokásos σ-algebrával és az -dimenziós Lebesgue-mértékkel, akkor erre nézve  szinguláris mérték. Ezt egyszerű belátni: legyen  és , ekkor .

Általánosítás 

A diszkrét mérték hasonlít a Dirac-mértékhez, azonban egyetlen helyett megszámlálhatóan sok pontra van értelmezve. Általánosabban minden mérték diszkrét a valós számegyenesen, ha a tartója legalább megszámlálható halmaz.

Jegyzetek

Fordítás 

Mértékelmélet
A Dirac-mérték egy matematikai fogalom , ami nagyságot rendel egy halmaz részhalmazaihoz , annak függvényében , hogy egy meghatározott érték eleme-e vagy sem . Ennek révén lehet formalizálni a Dirac-delta függvényt , aminek fontos alkalmazásai vannak a modern fizikában és különféle mérnöki-technikai területeken . Definíció Legyen mérhető tér , és legyen \ . Ekkor Dirac-mértéknek nevezzük a következő függvényt : A Dirac-mérték egy valószínűségi mérték , az mintatéren a majdnem biztosan bekövetkező eseményt jellemzi . Úgy is tekinthetnénk , hogy egyetlen atom -ben , azonban a Dirac-mérték atomi mértékként kezelése helytelen , mivel a Dirac-mérték egy delta-sorozat határértéke . Sokkal inkább kezelhető az feletti valószínűségi mértékek konvex halmazának határpontjaként . Maga a név a Dirac-féle δ-függvényre vezethető vissza . A Dirac mérték egyfajta Schwartz-eloszlásnak is tekinthető , például a valós számegyenesen . Ebben az esetben vagy más formában . Ilyen formában a δ-disztribúció definíciójaként is szolgál a Lebesgue-integrálelméletben . A Dirac-mérték tulajdonságai Legyen mérhető tér , és egy ehhez tartozó Dirac-mérték . Ekkor valószínűségi mérték felett , és mint ilyen , véges . Legyen topológiai tér , és legalább olyan finomságú , mint a feletti Borel-féle σ-algebra . Ekkor szigorúan pozitív mérték , ha eleme minden nem üres halmaznak -ben . Ez fordítva is igaz . Lokálisan véges mérték , ez következik abból , hogy valószínűségi mérték is . Ha Hausdorff-tér a Borel-féle σ-algebrával , akkor kielégíti a reguláris belső mérték feltételeit , mivel minden egyelemű halmaz kompakt . A fenti esetben Radon-mérték is . Ha elég finom ahhoz , hogy zárt legyen , akkor tartója is lesz . Mi több , az egyetlen -tartójú valószínűségi mérték . Minden egyéb esetben a lezárása lesz -nak . Ha euklideszi tér a szokásos σ-algebrával és az -dimenziós Lebesgue-mértékkel , akkor erre nézve szinguláris mérték . Ezt egyszerű belátni : legyen és , ekkor \ . Általánosítás A diszkrét mérték hasonlít a Dirac-mértékhez , azonban egyetlen helyett megszámlálhatóan sok pontra van értelmezve . Általánosabban minden mérték diszkrét a valós számegyenesen , ha a tartója legalább megszámlálható halmaz . Jegyzetek Fordítás Mértékelmélet