Eukleidész–Mullin-sorozat
Az Eukleidész–Mullin-sorozat egy prímszámokból álló, ismétlődést nem tartalmazó sorozat, melynek minden eleme a korábbi elemek szorzatánál eggyel nagyobb szám legkisebb prímtényezője. Nevét a végtelen sok prímszám létezését igazoló ókori görög matematikusról, Eukleidészről, valamint a sorozat ötletét 1963-ban felvető kanadai matematikusról, Albert A. Mullinról kapta.

A sorozat első 51 eleme a következő:

2, 3, 7, 43, 13, 53, 5, 6221671, 38709183810571, 139, 2801, 11, 17, 5471, 52662739, 23003, 30693651606209, 37, 1741, 1313797957, 887, 71, 7127, 109, 23, 97, 159227, 643679794963466223081509857, 103, 1079990819, 9539, 3143065813, 29, 3847, 89, 19, 577, 223, 139703, 457, 9649, 61, 4357, 87991098722552272708281251793312351581099392851768893748012603709343, 107, 127, 3313, 227432689108589532754984915075774848386671439568260420754414940780761245893, 59, 31, 211... 

Ezek a sorozat ismert elemei (2016. november). A következő elem megtalálásához egy 335-jegyű összetett szám legkisebb prímtényezőjét kellene megtalálni.

Definíció
Jelölje an a sorozat n-edik elemét, ekkor an a következő szám legkisebb prímtényezője:

Az első elem tehát az üres szorzat plusz 1 legkisebb prímtényezője, azaz 2. A sorozat 13-as értékű tagja így kapható meg: 2 × 3 × 7 × 43 + 1 = 1806 + 1 = 1807 = 13 × 139.

Tulajdonságai
A sorozat végtelen, és nem tartalmazza kétszer ugyanazt az elemet. Ez igazolható Eukleidész végtelen sok prímszám létezését igazoló bizonyítása segítségével. A bizonyítás konstruktív és a sorozat épp a konstrukció egy változata.

Sejtés
 tette fel a kérdést, hogy vajon minden prímszám szerepel-e az Eukleidész–Mullin-sorozatban, és ha nem, vajon adott prímszámról kiszámítható-e, hogy tagja-e a sorozatnak; ezek a kérdések máig nyitottak. A legkisebb prímszám, amiről nem ismert, hogy tagja-e a sorozatnak, a 41.

A 100-nál kisebb prímszámok pozíciói a sorozatban:
 2:1, 3:2, 5:7, 7:3, 11:12, 13:5, 17:13, 19:36, 23:25, 29:33, 31:50, 37:18, 41:?, 43:4, 47:?, 53:6, 59:49, 61:42, 67:?, 71:22, 73:?, 79:?, 83:?, 89:35, 97:26 , ahol a ? arra utal, hogy az adott prímszám sorozatbeli pozíciója, illetve hogy egyáltalán tagja-e a sorozatnak, jelenleg nem ismert.

Kapcsolódó sorozatok
A második Eukleidész–Mullin-sorozatnak hívott sorozat tagjait úgy határozzuk meg, hogy az előző elemek szorzata plusz 1-nek nem a legkisebb, hanem a legnagyobb prímtényezőjét vesszük. Az előző sorozatnál gyorsabban növekszik, de szintén nem monoton, továbbá ismert róla, hogy nem tartalmazza az összes prímszámot. A sorozat első néhány eleme:
2, 3, 7, 43, 139, 50207, 340999, 2365347734339, 4680225641471129, 1368845206580129, 889340324577880670089824574922371, … .

Egy másik változtatással, ha nem végezzük el a prímtényezőkre bontást, hanem minden elem az összes előző elem szorzata plusz 1, akkor a Sylvester-sorozatot kapjuk. Az a sorozat pedig, amikor a korábbi számok szorzata plusz 1 összes prímtényezőjét vesszük sorban, a Sylvester-sorozat prímtényezőit adja ki. Az Eukleidész–Mullin-sorozathoz hasonlóan prímek nem monoton sorozatát kapjuk, de erről ismert, hogy nem tartalmazza az összes prímszámot.

Kapcsolódó szócikkek
Eukleidész-féle szám

Jegyzetek

További információk

A. R. Booker, S. A. Irvine: The Euclid-Mullin graph
Factoring 43rd Term of Euclid–Mullin sequence, factorizations of the numbers for which the sequence elements is the smallest prime factor

Nevezetes számsorozatok
Az Eukleidész–Mullin-sorozat egy prímszámokból álló , ismétlődést nem tartalmazó sorozat , melynek minden eleme a korábbi elemek szorzatánál eggyel nagyobb szám legkisebb prímtényezője . Nevét a végtelen sok prímszám létezését igazoló ókori görög matematikusról , Eukleidészről , valamint a sorozat ötletétban felvető kanadai matematikusról , Albert A . Mullinról kapta . A sorozat elsőeleme a következő : 2, .. Ezek a sorozat ismert elemei november ) . A következő elem megtalálásához egyjegyű összetett szám legkisebb prímtényezőjét kellene megtalálni . Definíció Jelölje an a sorozat n-edik elemét , ekkor an a következő szám legkisebb prímtényezője : Az első elem tehát az üres szorzat pluszlegkisebb prímtényezője , azaz A sorozatas értékű tagja így kapható meg:× 3 × 7 × 43 + 1 = 1806 + 1 = 1807 = 13 × 139. Tulajdonságai A sorozat végtelen , és nem tartalmazza kétszer ugyanazt az elemet . Ez igazolható Eukleidész végtelen sok prímszám létezését igazoló bizonyítása segítségével . A bizonyítás konstruktív és a sorozat épp a konstrukció egy változata . Sejtés tette fel a kérdést , hogy vajon minden prímszám szerepel-e az Eukleidész–Mullin-sorozatban , és ha nem , vajon adott prímszámról kiszámítható-e , hogy tagja-e a sorozatnak ; ezek a kérdések máig nyitottak . A legkisebb prímszám , amiről nem ismert , hogy tagja-e a sorozatnak , a Anál kisebb prímszámok pozíciói a sorozatban : 1,2,7,3,12,5,13,36,25,33,50,18 , ?,4 , ?,6,49,42 , ?,22 , ? , ?, ?,35,26 , ahol a ? arra utal , hogy az adott prímszám sorozatbeli pozíciója , illetve hogy egyáltalán tagja-e a sorozatnak , jelenleg nem ismert . Kapcsolódó sorozatok A második Eukleidész–Mullin-sorozatnak hívott sorozat tagjait úgy határozzuk meg , hogy az előző elemek szorzata plusznek nem a legkisebb , hanem a legnagyobb prímtényezőjét vesszük . Az előző sorozatnál gyorsabban növekszik , de szintén nem monoton , továbbá ismert róla , hogy nem tartalmazza az összes prímszámot . A sorozat első néhány eleme : 2 , … \ . Egy másik változtatással , ha nem végezzük el a prímtényezőkre bontást , hanem minden elem az összes előző elem szorzata plusz akkor a Sylvester-sorozatot kapjuk . Az a sorozat pedig , amikor a korábbi számok szorzata pluszösszes prímtényezőjét vesszük sorban , a Sylvester-sorozat prímtényezőit adja ki . Az Eukleidész–Mullin-sorozathoz hasonlóan prímek nem monoton sorozatát kapjuk , de erről ismert , hogy nem tartalmazza az összes prímszámot . Kapcsolódó szócikkek Eukleidész-féle szám Jegyzetek További információk A . R. Booker , S. A . Irvine : The Euclid-Mullin graph Factoringd Term of Euclid–Mullin sequence , factorizations of the numbers for which the sequence elements is the smallest prime factor Nevezetes számsorozatok