Elegendően nagy
A matematika, különösen a számelmélet és analízis területén egy (an) sorozat végül, hosszú távon, elegendően nagy, elég nagy vagy kellően nagy n-re rendelkezik egy tulajdonsággal, ha a sorozat valamely (véges) pontjától kezdve az összes elem rendelkezik a tulajdonsággal. Ez a megfogalmazás kiterjeszthető a P tulajdonságok bármely osztályára, ami egy rendezett halmaz elemein operál (az R sorozatai és részhalmazai például ilyenek).

Motiváció és definíció
Végtelen sorozatok vizsgálatakor gyakran előfordul, hogy nem annyira érdekes a sorozat kezdeti viselkedése. Inkább az tart érdeklődésre számot, hogy mi történik hosszú távon a sorozattal. A „kellően nagy n-re” kifejezés ezt a szemléletet fogja meg szigorúbb értelemben.

Vegyünk például egy valós számokon értelmezett (an) sorozatot, ami egy a határértékhez konvergál: bármely ε > 0-hoz létezik N > 0 úgy hogy minden n > N, |an − a| < ε. A végül kifejezés annak a rövid megfelelője, hogy „létezik N > 0 úgy, hogy minden n > N...” Tehát a konvergencia definíciója így is megfogalmazható: minden ε > 0, végül (kellően nagy n-re) |an − a| < ε. Ebben a kontextusban szinonim kifejezés a következő is: „véges számú tag kivételével az összesre igaz” – ami nem tévesztendő össze a „csaknem minden tagra igaz” kifejezéssel, ami általában végtelen sok kivételt megenged.

Egy sorozat elgondolható úgy is, mint olyan függvény, melynek értelmezési tartománya a természetes számok. Az „elegendően nagy” elképzelés alkalmazható általánosabb halmazokon értelmezett függvényekre is, méghozzá azokra, melyeken definiált egy rendezés, és nincs legnagyobb elem a halmazban. Általában véve, ha S ilyen halmaz és létezik olyan s elem S-ben, hogy az f függvény értelmezett minden s-nél nagyobb elemre, akkor f rendelkezik „végül” valamilyen tulajdonsággal, ha létezik olyan x0 elem, hogy f rendelkezik a tulajdonsággal minden x > x0 esetben. Ezt a jelölést használják például a Hardy-testek vizsgálatakor; ezek olyan valós függvények alkotta testek, melyek mind valamilyen tulajdonsággal rendelkeznek „végül”.

Ha egy sorozat vagy függvény rendelkezik egy tulajdonsággal kellően nagy n-re, annak hasznos következményei lehetnek, amikor a sorozattal kapcsolatban próbálunk bizonyítani valamit. Például egyes függvények aszimptotikus viselkedésének vizsgálatakor hasznos lehet annak ismerete, hogy a függvény elég nagy x-ekre másként fog viselkedni, mint azokon a részeken, ahol könnyen kiszámítható a működése. Számos matematikai definícióba is be van építve az „elég nagy” fogalma, például a határérték egyes fajtáiba (olyan korlát, ami végül érvényessé válik) és az aszimptotikus viselkedést leíró O jelölésbe.

Jelölés
A végül (vagy elegendően nagy) kifejezés a következő kontextusban használatos:
A  végül igaz -re / : igaz elegendően nagy -re a következő rövid formája:
 úgy, hogy  igaz 
vagy kissé formálisabban:

A fenti nem jelenti azt szükségszerűen, hogy -nak bármely értéke ismert, csak annyit, hogy ilyen  érték létezik. Az „elegendően nagy” kifejezés nem tévesztendő össze a „tetszőlegesen nagy”, illetve a „végtelen nagy” kifejezésekkel.

Példák
Minden 2-nél nagyobb prímszám páratlan, ezt úgy is meg lehet fogalmazni, hogy minden kellően nagy prímszám páratlan.

Hosszú távon minden prímszám kongruens ±1 mod 6.

Kapcsolódó szócikkek
Tetszőlegesen nagy
Matematikai zsargon
O jelölés

Jegyzetek

Számelmélet
Matematikai terminológia
A matematika , különösen a számelmélet és analízis területén egy ( an ) sorozat végül , hosszú távon , elegendően nagy , elég nagy vagy kellően nagy n-re rendelkezik egy tulajdonsággal , ha a sorozat valamely ( véges ) pontjától kezdve az összes elem rendelkezik a tulajdonsággal . Ez a megfogalmazás kiterjeszthető a P tulajdonságok bármely osztályára , ami egy rendezett halmaz elemein operál ( az R sorozatai és részhalmazai például ilyenek ) . Motiváció és definíció Végtelen sorozatok vizsgálatakor gyakran előfordul , hogy nem annyira érdekes a sorozat kezdeti viselkedése . Inkább az tart érdeklődésre számot , hogy mi történik hosszú távon a sorozattal . A „ kellően nagy n-re” kifejezés ezt a szemléletet fogja meg szigorúbb értelemben . Vegyünk például egy valós számokon értelmezett ( an ) sorozatot , ami egy a határértékhez konvergál : bármely ε > 0-hoz létezik N > 0 úgy hogy minden n > N , |an − a| < ε . A végül kifejezés annak a rövid megfelelője , hogy „ létezik N > 0 úgy , hogy minden n > N...” Tehát a konvergencia definíciója így is megfogalmazható : minden ε > 0 , végül ( kellően nagy n-re ) |an − a| < ε . Ebben a kontextusban szinonim kifejezés a következő is : „ véges számú tag kivételével az összesre igaz” – ami nem tévesztendő össze a „ csaknem minden tagra igaz” kifejezéssel , ami általában végtelen sok kivételt megenged . Egy sorozat elgondolható úgy is , mint olyan függvény , melynek értelmezési tartománya a természetes számok . Az „ elegendően nagy” elképzelés alkalmazható általánosabb halmazokon értelmezett függvényekre is , méghozzá azokra , melyeken definiált egy rendezés , és nincs legnagyobb elem a halmazban . Általában véve , ha S ilyen halmaz és létezik olyan s elem S-ben , hogy az f függvény értelmezett minden s-nél nagyobb elemre , akkor f rendelkezik „ végül” valamilyen tulajdonsággal , ha létezik olyan x0 elem , hogy f rendelkezik a tulajdonsággal minden x > x0 esetben . Ezt a jelölést használják például a Hardy-testek vizsgálatakor ; ezek olyan valós függvények alkotta testek , melyek mind valamilyen tulajdonsággal rendelkeznek „ végül” . Ha egy sorozat vagy függvény rendelkezik egy tulajdonsággal kellően nagy n-re , annak hasznos következményei lehetnek , amikor a sorozattal kapcsolatban próbálunk bizonyítani valamit . Például egyes függvények aszimptotikus viselkedésének vizsgálatakor hasznos lehet annak ismerete , hogy a függvény elég nagy x-ekre másként fog viselkedni , mint azokon a részeken , ahol könnyen kiszámítható a működése . Számos matematikai definícióba is be van építve az „ elég nagy” fogalma , például a határérték egyes fajtáiba ( olyan korlát , ami végül érvényessé válik ) és az aszimptotikus viselkedést leíró O jelölésbe . Jelölés A végül ( vagy elegendően nagy ) kifejezés a következő kontextusban használatos : A végül igaz -re / \ : igaz elegendően nagy -re a következő rövid formája : úgy , hogy igaz vagy kissé formálisabban : A fenti nem jelenti azt szükségszerűen , hogy -nak bármely értéke ismert , csak annyit , hogy ilyen érték létezik . Az „ elegendően nagy” kifejezés nem tévesztendő össze a „ tetszőlegesen nagy” , illetve a „ végtelen nagy” kifejezésekkel . Példák Mindennél nagyobb prímszám páratlan , ezt úgy is meg lehet fogalmazni , hogy minden kellően nagy prímszám páratlan . Hosszú távon minden prímszám kongruens ±1 mod Kapcsolódó szócikkek Tetszőlegesen nagy Matematikai zsargon O jelölés Jegyzetek Számelmélet Matematikai terminológia