Kobordizmus
A kobordizmus a matematikában egy alapvető ekvivalenciareláció az azonos dimenziójú kompakt sokaságokon, ami a sokaságok határára utal. Két azonos dimenziójú kompakt sokaság kobordáns, ha van olyan eggyel magasabb dimenziójú sokaság, amit diszjunkt uniójuk határol.

Egy (n + 1) dimenziós W sokaság határa ∂W egy n dimenziós sokaság, ami zárt, vagyis határa az üres halmaz. Megfordítva azonban egy zárt sokaság nem szükségképpen határol egy magasabb dimenziós sokaságot. A kobordizmus elmélete azt is tanulmányozza, hogy milyen további feltételek jellemzik a határoló sokaságokat. Az elmélet eredetileg a sima sokaságokkal foglalkozott, de később kiterjedt a szakaszonként lineáris és a topologikus sokaságokra is.

Ha M és N kobordáns sokaságok, akkor kobordizmusuk egy W sokaság, aminek határa M és N diszjunkt uniója, azaz .

A kobordizmusokat úgy is tanulmányozzák, mint relációkat, és úgy is, mint sokaságokat. A kobordizmus durvábban osztályoz, mint a diffeomorfia és a homeomorfia; könnyebb vele számolni és bizonyításokat végezni. Legalább négy dimenzióban nem lehet osztályozni a sokaságokat homeomorfia és diffeomorfia szerint, ami a csoportelméleti szóprobléma megoldhatatlanságára vezethető vissza. Ez azonban nem jelent akadályt a kobordizmus számára, így kobordizmus erejéig ezekben a dimenziókban is osztályozhatók maradnak a sokaságok.
A kobordizmusok központi objektumok a geometriai és az algebrai topológiában. A geometriai topológiában közvetlenül kapcsolódnak a Morse-elmélethez, és a h-kobordizmus alapvető a magasabb dimenziós sokaságok tanulmányozásában (lásd operációelmélet). Az algebrai topológiában a kobordizmus alapvető a rendkívüli kohomológiaelméletek között, és a kobordizmusok kategóriáit a topológiai kvantummező-elméletek tanulmányozzák.

Definíció

Sokaságok
Ha M egy n dimenziós sokaság, akkor lokálisan homeomorf az n dimenziós valós tér ( ) egy darabjával. A határos sokaság egyes pontjaira megengedett, hogy olyan környezetük legyen, ami homeomorf az
 féltérrel.
Ezek a pontok a sokaság határpontjai.

Kobordizmusok
Egy (n + 1) dimenziós kobordizmus egy (W; M, N, i, j) ötös, ahol W egy (n + 1) dimenziós kompakt differenciálható határos sokaság, M, N zárt n-sokaságok, és i : M ⊂ ∂W, j : N ⊂ ∂W beágyazások. Ezeknek a beágyazásoknak a képei diszjunktak,

Ezt általában rövidítve használják, formája (W; M, N). M és N kobordánsak, ha van ilyen kobordizmus. Egy adott M-mel kobordáns sokaságok M kobordizmusosztályát alkotják.

Minden zárt M sokaság határa a nem kompakt M × [0, 1) sokaságnak. Ezért megkövetelik, hogy a fenti W kobordizmus kompakt sokaság legyen. Jegyezzük meg azonban, hogy az összefüggőség nem követelmény; emiatt, ha M = ∂W1 és N = ∂W2, akkor M és N kobordánsak.

Példák

A legegyszerűbb példa az I = [0, 1] egységintervallum. Ez egy dimenziós kobordizmus a {0}, {1} 0 dimenziós sokaságok között. Általában, minden zárt sokaságra M, (M × I; {0}, {1}) kobordizmus M × {0} és M × {1} között.

Ha M egy körből, N pedig két körből áll, akkor egy nadrág kobordizmus M és N között. Egy egyszerűbb kobordizmus három diszjunkt zárt körlemez.

A nadrág egy általánosabb elvet illusztrál: bármely M n dimenziós sokaságra az  diszjunkt unió kobordáns az  összefüggő összeggel. Ebből a fenti példa azzal kapható, hogy az  összefüggő összeg izomorf -gyel. Az  összefüggő összeg az  diszjunkt unióból kapható operációval az  beágyazásán -be. A kobordizmus az operáció nyoma.

Terminológia
Egy n-sokaság nullkobordáns, ha kobordáns az üres halmazzal, más szóval, ha egy n+1-sokaság határa. Például a kör nullkobordáns, mivel körlemezt határol, és hasonlóan, a magasabb dimenziós gömbfelületek is nullkobordánsak. Minden irányítható felület nullkobordáns, mert több összeragasztott tóruszból álló test határoló felülete. Viszont a 2n dimenziós  valós projektív tér, habár kompakt és zárt, nem nullkobordáns, mert nem határol sokaságot.

Az általános kobordizmusprobléma a különféle feltételeknek eleget tevő sokaságok kobordizmusosztályainak megállapítását tűzi ki.

A nullkobordizmusok a kitöltő struktúrával együtt kitöltést alkotnak. Vannak szerzők, akik a bordizmust a kobordizmussal felcserélhetőnek tartják, míg mások megkülönböztetik őket. Ha valaki meg akarja különböztetni a sokaságot a relációtól, akkor a sokaság a kobordizmus, a reláció a bordizmus.

A kobordizmus szó a francia bord szóból ered, ami határt jelent. A ko- előtaggal együtt közösen határolót jelent, így M és N kobordáns, ha közösen határolnak egy sokaságot. Továbbá a kobordizmuscsoportok rendkívüli kohomológiaelméletet alkotnak, ami egy további kapcsolódási pont a ko- előtaghoz.

Változatok
A fenti definíció a legalapvetőbb változat, amire irányítatlan bordizmusként is utalnak. A sokaságok lehetnek irányítottak, vagy hordozhatnak további struktúrát is, például G-struktúrát. Eszerint értelmezhető az irányított kobordizmus és a G-struktúrák kobordizmusa. Megfelelő feltételek teljesülése esetén ezek gyűrűt alkotnak, az  kobordizmusgyűrűt, ahol az összeadás a diszjunkt unió és a szorzás a Descartes-szorzat. Az  kobordizmuscsoportok az általánosított homológiaelmélet együtthatócsoportjai.

Ha további struktúra is van, akkor azt a jelölésnek is tartalmaznia kell; W struktúrája M és N struktúrájának bővítése. A G = O irányítatlan kobordizmusra, G = SO irányított kobordizmusra, és G = U komplex kobordizmusra utal, ami stabil komplex sokaságokat használ. További részletekért lásd Stong könyvét.

Hasonlóan, az operációelméletben a normál leképezések operációja egy standard eszköz. Ezzel a normális leképezésből egy másik, ugyanahhoz a kobordizmusosztályhoz tartozó normális leképezést kapunk.

A vizsgált sokaságok típusa alapján is lehet különbséget tenni, így a differenciálható sokaságokon kívül vizsgálhatók szakaszonként lineáris vagy topologikus sokaságok is. Ezekből adódnak a  kobordizmuscsoportok, amiket nehezebb számítani, mint a differenciálható sokaságokat.

Konstrukciók operációval
Emlékeztetőül jegyezzük meg, hogy ha X, Y határolt sokaság, akkor a szorzat sokaság határa ∂(X × Y) = (∂X × Y) ∪ (X × ∂Y).

Ha most adva van egy n = p + q dimenziós M sokaság, és a  beágyazás, akkor definiáljuk az N n dimenziós sokaságot a következőképpen:

ami operációkkal: kivágjuk  belsejét, és összeragasztjuk az  -nek a határuk mentén

Az operáció nyoma

egy elemi (W; M, N) kobordizmust definiál. Jegyezzük meg, hogy M az N-ből a  sokaságon végzett operációval kapható. Ezt az operáció megfordításának nevezzük.

Minden kobordizmus elemi kobordizmusok uniója, ahogy azt Morse, Thom és Milnor megmutatta.

Példák az operációra

A fenti definíció alapján egy körön végzett operáció az  egy másolatának kivágásából és a  sokaságba való ragasztásból áll. Ahogy az 1. ábra mutatja, vagy egy , vagy két  az eredmény.

A 2-gömbön végzett operációra több lehetőség is adódik, mivel kivághatunk egy  sokaságot vagy egy  sokaságot.

(a) : A henger eltávolításával a gömbből két körlemez marad vissza. Ezeket odaragasztjuk -hez, aminek az eredménye két diszjunkt gömb. (2a. ábra)

(b): A két  körlemez kivágásával az  hengerbe ragasztunk vissza. A ragasztó leképezés irányától függően két eredmény lehetséges. Ha a leképezés iránya megegyezik a határkörök irányításával, akkor egy  tóruszt kapunk. Ha különbözik, akkor az eredmény egy Klein-palack (2c. ábra).

Morse-függvények
Tegyük fel, hogy f Morse-függvény egy (n + 1) dimenziós sokaságon, és hogy c kritikus érték, aminek ősképe egy elemű. Ha ennek a pontnak az indexe p + 1, akkor az N := f−1(c + ε) szinthalmaz megkapható az M := f−1(c − ε) sokaságból p-operációval. A W := f−1([c − ε, c + ε]) inverz kép egy (W; M, N) kobordizmust definiál, ami azonosítható az operáció nyomával.

Adott (W; M, N) kobordizmushoz van egy f : W → [0, 1] sima függvény úgy, hogy f−1(0) = M, f−1(1) = N. Általános helyzetben feltehető, hogy f Morse, így minden kritikus pontja W belsejébe esik. Ekkor f a kobordizmus Morse-függvénye. A (W; M, N) kobordizmus az M-en végzett operációsorozatok nyomainak uniója, és f minden egyes kritikus pontjához tartozik egy. A W sokaság M × [0, 1]-ből kapható, ha annyi fület (handle) teszünk rá, ahány kritikus pontja van f-nek.

A Morse/Smale-tétel szerint egy kobordizmus f Morse-függvényének folyamvonalai a (W; M, N) fülfelbontását adják. Megfordítva, ha ismert egy kobordizmus fülfelbontása, akkor az egy alkalmas Morse-függvényből származtatható. Megfelelően normalizált körülmények között ez egy-egyértelmű megfeleltetést ad a kobordizmus Morse-függvényei és fülfelbontásai között.

Kategóriaelméleti aspektusok
A kobordizmusok saját jogukon tanulmányozható objektumok, eltekintve a kobordizmusosztályoktól. A kobordizmusok kategóriát alkotnak, aminek objektumai a zárt sokaságok és morfizmusai a kobordizmusok. A kompozíció a bordizmusok összeragasztása határuknál; az (W; M, N) és (W′; N, P) összeragasztása azonosítja az első bordizmus jobb határát a második bordizmus bal határával. A kobordizmus a kospan egy fajtája: M → W ← N, de a kobordizmusok kategóriája nem a kospan kategória, csak annak egy alkategóriája. Az viszont igaz, hogy tőrkompakt kategória.

Egy topológiai kvantummező-elmélet monoideális funktor a kobordizmusok kategóriájából a vektorterek kategóriájába. Azaz ez egy funktor, aminek értéke sokaságok diszjunkt unióján ekvivalens a tagokon felvett értékeinek tenzorszorzatával.

Alacsony dimenzióban a bordizmus kérdése triviálisan megválaszolható, de a kobordizmusok kategóriája továbbra is érdekes. Például a körvonalhoz ragasztott körlap megfelel egy nulláris műveletnek, míg a henger egy unáris műveletnek, a nadrág pedig egy bináris műveletnek feleltethető meg.

Irányítatlan kobordizmus
Az n dimenziós irányítatlan és zárt sokaságok kobordizmusainak halmazát  jelöli. A diszjunkt unióval ellátva Abel-csoportot alkot. Speciálisan, ha [M] és [N] rendre az M és N kobordizmusosztályait jelöli, akkor . Ez egy jóldefiniált művelet. Az egységelem, illetve additív jelölés miatt nullelem az  osztály, ami azokat a sokaságokat tartalmazza, amelyek önmagukban egy sokaságot határolnak. Továbbá minden M sokaságra teljesül, hogy , mivel . Ezzel  vektortér az  két elemű test fölött. A sokaságok Descartes-szorzata egy  szorzást definiál, így

fokozatos algebra, ahol a fokozatok a dimenziók.

Az  kobordizmusosztályt meghatározza az n dimenziós M sokaság Stiefel–Whitney-féle karakterisztikus száma, ami az érintő bundle stabil izomorfizmusosztályaitól függ. Ezért, ha M-nek van stabil triviális érintő bundle-ja, akkor . 1954-ben René Thom bizonyította, hogy

az  generátoros polinomalgebra minden  dimenzióban. Emiatt két n dimenziós sokaság, N és M kobordáns,  akkor és csak akkor, ha az  egészek minden  k-asára, ahol  a

Stiefel-Whitney-számok, ahol  az i-edik Stiefel-Whitney-osztály, és  az -együttható fundamentális osztály.

Páros i esetén választhatjuk, hogy , ami az i dimenziós projektív tér osztálya.

Az alacsony dimenziós irányítatlan kobordizmuscsoportok:

Ez mutatja, hogy például az irányítatlan három dimenziós zárt sokaságok határolt négy dimenziós sokaságot határolnak.

Az M irányítatlan sokaság  Euler-karakterisztikája irányítatlan kobordizmusinvariáns. Ez következik az alábbi egyenletből:

minden kompakt sokaságra, aminek határa .

Innen  jóldefiniált csoporthomomorfizmus. Például minden -ra:

Például a valós topologikus terek szorzata nem nullkobordáns. A mod 2 Euler-karakterisztika leképezés  minden -re, és csoportizomorfizmus, ha 

Továbbá, mivel , ezek a csoporthomomorfiák együtt kiadják fokozatos algebrák homomorfiáját:

További szerkezettel ellátott sokaságok kobordizmusa
A kobordizmus azokra a sokaságokra is definiálható, amelyek további szerkezettel is bírnak, például irányítottak. Ezt formálisan X-szerkezettel, más néven G-szerkezettel definiálják.
Röviden, az M egy immerziójának egy ν normális bundle-ja egy elég nagy dimenziójú  euklidészi térbe leképezést ad M-ről a Grassmannianba, ami az ortogonális csoport klasszifikáló terének altere: ν: M → Gr(n, n + k) → BO(k).
Terek és leképezések Xk → Xk+1 leképezésekkel adott halmaza,
ha kompatibilis az Xk → BO(k) az BO(k) → BO(k+1) inklúziókkal, :akkor egy X-struktúra a ν felemelése egy  leképezéssé.
Csak az adott X-struktúrájú sokaságokat és kobordizmusokat tekintve a kobordizmus egy általánosabb jelentéséhez jutunk. Például Xk lehet BG(k), ahol G(k) → O(k) egy csoporthomomorfizmus. Erre G-struktúraként hivatkoznak. Egy további példa az G = O, ahol O az ortogonális csoport, ami az irányítatlan kobordizmust adja vissza. Az SO(k) csoport, ami az irányított sokaságokat jellemzi. Lehet az U(k) unitér csoport, a spincsoport, vagy a triviális csoport, ami a keretes kobordizmust eredményezi.

Magát a kobordizmust az irányítatlan esethez hasonlóan definiálják, és jelölésük .

Irányított kobordizmus
Az irányított kobordizmus az irányított sokaságokra vonatkozik, ami a sokaságok esetén SO-struktúrát jelent. A (W, M, N) kobordizmus határa , ahol a - előjel az irányítás megfordítását jelenti. Például, az M × I henger határa ; a két határvonal irányítása ellentétes. Ez megfelel a rendkívüli kohomológiaelmélet definíciójának is.

Ellentétben az irányítatlan esettel, 2M általában nem irányított sokaság, így 2[M] ≠ 0 az  eleme.

Az irányítatlan kobordizmuscsoportot modulo torzió megadja a következő:

az irányított kobordizmusosztályok által generált polinomalgebra

a komplex projektív tereket jellemzi. (Thom, 1952) Az  irányított kobordizmuscsoportot a Stiefel–Whitney és Pontrjagin karakterisztikus számok határozzák meg. (Wall, 1960) Két irányított sokaság akkor és csak akkor irányított kobordáns, ha Stiefel–Whitney és Pontrjagin-számaik is egyenlőek.

Az alacsony dimenziós irányított kobordizmuscsoportok:

Egy irányított 4i dimenziós M sokaság szignatúrája definiálható, mint a  alakú metszet szignatúrája, és  jelöli. Ez egy irányított kobordizmusinvariáns, ami kifejezhető a Pontrjagin-számokkal Hirzebruch szignatúratétele szerint.

Például, minden i1, ..., ik ≥ 1 indexre

A  szignatúraleképezés i ≥ 1 esetén a teljes kiindulási halmazott értelmezett beleképezés, ami i = 1 esetén izomorfizmus.

A kobordizmus mint rendkívüli kohomológiaelmélet
Minden vektorbundleelméletnek (valós, komplex, …) van rendkívüli kohomológiaelmélete, amit K-elméletnek hívnak. Hasonlóan, minden ΩG kobordizmusnak van rendkívüli kohomológiaelmélete, aminek homológiacsoportja az  bordizmusok, és kohomológiacsoportjai az  csoportok minden X térre. Az  általánosított kohomológiacsoportok kovariánsak X-ben, és az  általánosított kohomológiacsoportok kontravariánsak X-ben. Eszerint a nézőpont szerint a fent definiált bordizmuscsoportok egy pont homológiacsoportjai: . Ekkor  az (M, f) bordizmusosztályainak csoportja, ahol M zárt n dimenziós sokaság G-struktúrával, és f : M → X egy leképezés. Az (M, f), (N, g) párok bordánsak, ha van (W; M, N) G-kobordizmus, hogy van h : W → X leképezés, aminek leszűkítése M-re f, és N-re g.

Ha M egy n dimenziós sokaság, akkor fundamentális homológiaosztálya [M] ∈ Hn(M), aminek együtthatói általános esetben  elemei, és  elemei az irányított esetben. Ez definiálja a természetes

transzformációt, ami általában izomorfizmus.

Egy tér bordizmus- és kobordizmuselméletei eleget tesznek az Eilenberg–Steenrod-axiómáknak, kivéve a dimenzióaxiómát. Ez nem jelenti azt, hogy a  csoportok hatékonyan kiszámíthatók, ha ismerjük egy pont kobordizmuselméletét és az X tér homológiáját, habár az [Atiyah–Hirzebruch-spektrálsorozat kiindulási pontot ad a számításokhoz. A számolás csak akkor egyszerű, ha a szóban forgó kobordizmuselmélet közönséges homológiaelméletek szorzata. Ekkor a bordizmuscsoportok éppen az

közönséges homológiacsoportok. Ez azonban csak az irányítatlan kobordizmusokra igaz; a többi eset általában nem redukálható közönséges homológiára ezen a módon, így a keretes kobordizmus, az irányított és a komplex kobordizmus sem. A komplex kobordizmus az algebrai topológia hasznos számítási eszköze, például gömbök homotópiacsoportjai.

A kobordizmuselméletet a Thom-spektrális MG reprezentálja: adott G csoport esetén a Thom-spektrum a BGn klasszifikáló terek fölötti standard vektorbundle-k MGn Thom-tereiből áll. Meg kell jegyeznünk, hogy a Thom-spektrumok hasonló csoportok esetén is nagyon különböznek; MSO és MO nagyon különböznek, tükrözve az irányított és az irányítatlan kobordizmus különbségét.

A spektrumok szempontjából az irányítatlan kobordizmus az Eilenberg–MacLane-spektrumok szorzata: MO = H(π∗(MO)), míg az irányított kobordizmus az Eilenberg–MacLane-spektrumok szorzata racionálisan és a kettőnél, de nem a páratlan prímeknél. Az irányított MSO spektrum jóval összetettebb, mint a nem irányított MO spektrum.

Jegyzetek

Fordítás 

Topológia
A kobordizmus a matematikában egy alapvető ekvivalenciareláció az azonos dimenziójú kompakt sokaságokon , ami a sokaságok határára utal . Két azonos dimenziójú kompakt sokaság kobordáns , ha van olyan eggyel magasabb dimenziójú sokaság , amit diszjunkt uniójuk határol . Egy ( n + 1 ) dimenziós W sokaság határa ∂W egy n dimenziós sokaság , ami zárt , vagyis határa az üres halmaz . Megfordítva azonban egy zárt sokaság nem szükségképpen határol egy magasabb dimenziós sokaságot . A kobordizmus elmélete azt is tanulmányozza , hogy milyen további feltételek jellemzik a határoló sokaságokat . Az elmélet eredetileg a sima sokaságokkal foglalkozott , de később kiterjedt a szakaszonként lineáris és a topologikus sokaságokra is . Ha M és N kobordáns sokaságok , akkor kobordizmusuk egy W sokaság , aminek határa M és N diszjunkt uniója , azaz \ . A kobordizmusokat úgy is tanulmányozzák , mint relációkat , és úgy is , mint sokaságokat . A kobordizmus durvábban osztályoz , mint a diffeomorfia és a homeomorfia ; könnyebb vele számolni és bizonyításokat végezni . Legalább négy dimenzióban nem lehet osztályozni a sokaságokat homeomorfia és diffeomorfia szerint , ami a csoportelméleti szóprobléma megoldhatatlanságára vezethető vissza . Ez azonban nem jelent akadályt a kobordizmus számára , így kobordizmus erejéig ezekben a dimenziókban is osztályozhatók maradnak a sokaságok . A kobordizmusok központi objektumok a geometriai és az algebrai topológiában . A geometriai topológiában közvetlenül kapcsolódnak a Morse-elmélethez , és a h-kobordizmus alapvető a magasabb dimenziós sokaságok tanulmányozásában ( lásd operációelmélet ) . Az algebrai topológiában a kobordizmus alapvető a rendkívüli kohomológiaelméletek között , és a kobordizmusok kategóriáit a topológiai kvantummező-elméletek tanulmányozzák . Definíció Sokaságok Ha M egy n dimenziós sokaság , akkor lokálisan homeomorf az n dimenziós valós tér ( ) egy darabjával . A határos sokaság egyes pontjaira megengedett , hogy olyan környezetük legyen , ami homeomorf az féltérrel . Ezek a pontok a sokaság határpontjai . Kobordizmusok Egy ( n + 1 ) dimenziós kobordizmus egy ( W ; M , N , i , j ) ötös , ahol W egy ( n + 1 ) dimenziós kompakt differenciálható határos sokaság , M , N zárt n-sokaságok , és i \ : M ⊂ ∂W , j \ : N ⊂ ∂W beágyazások . Ezeknek a beágyazásoknak a képei diszjunktak , Ezt általában rövidítve használják , formája ( W ; M , N) . M és N kobordánsak , ha van ilyen kobordizmus . Egy adott M-mel kobordáns sokaságok M kobordizmusosztályát alkotják . Minden zárt M sokaság határa a nem kompakt M × [ 0 , 1 ) sokaságnak . Ezért megkövetelik , hogy a fenti W kobordizmus kompakt sokaság legyen . Jegyezzük meg azonban , hogy az összefüggőség nem követelmény ; emiatt , ha M = ∂W1 és N = ∂W2 , akkor M és N kobordánsak . Példák A legegyszerűbb példa az I = [ 0 , egységintervallum . Ez egy dimenziós kobordizmus a { 0 } , { 1} dimenziós sokaságok között . Általában , minden zárt sokaságra M , ( M × I ; { 0 } , { 1 } ) kobordizmus M × { 0 } és M × { 1 } között . Ha M egy körből , N pedig két körből áll , akkor egy nadrág kobordizmus M és N között . Egy egyszerűbb kobordizmus három diszjunkt zárt körlemez . A nadrág egy általánosabb elvet illusztrál : bármely M n dimenziós sokaságra az diszjunkt unió kobordáns az összefüggő összeggel . Ebből a fenti példa azzal kapható , hogy az összefüggő összeg izomorf -gyel . Az összefüggő összeg az diszjunkt unióból kapható operációval az beágyazásán -be . A kobordizmus az operáció nyoma . Terminológia Egy n-sokaság nullkobordáns , ha kobordáns az üres halmazzal , más szóval , ha egy n+1-sokaság határa . Például a kör nullkobordáns , mivel körlemezt határol , és hasonlóan , a magasabb dimenziós gömbfelületek is nullkobordánsak . Minden irányítható felület nullkobordáns , mert több összeragasztott tóruszból álló test határoló felülete . Viszont a dimenziós valós projektív tér , habár kompakt és zárt , nem nullkobordáns , mert nem határol sokaságot . Az általános kobordizmusprobléma a különféle feltételeknek eleget tevő sokaságok kobordizmusosztályainak megállapítását tűzi ki . A nullkobordizmusok a kitöltő struktúrával együtt kitöltést alkotnak . Vannak szerzők , akik a bordizmust a kobordizmussal felcserélhetőnek tartják , míg mások megkülönböztetik őket . Ha valaki meg akarja különböztetni a sokaságot a relációtól , akkor a sokaság a kobordizmus , a reláció a bordizmus . A kobordizmus szó a francia bord szóból ered , ami határt jelent . A ko- előtaggal együtt közösen határolót jelent , így M és N kobordáns , ha közösen határolnak egy sokaságot . Továbbá a kobordizmuscsoportok rendkívüli kohomológiaelméletet alkotnak , ami egy további kapcsolódási pont a ko- előtaghoz . Változatok A fenti definíció a legalapvetőbb változat , amire irányítatlan bordizmusként is utalnak . A sokaságok lehetnek irányítottak , vagy hordozhatnak további struktúrát is , például G-struktúrát . Eszerint értelmezhető az irányított kobordizmus és a G-struktúrák kobordizmusa . Megfelelő feltételek teljesülése esetén ezek gyűrűt alkotnak , az kobordizmusgyűrűt , ahol az összeadás a diszjunkt unió és a szorzás a Descartes-szorzat . Az kobordizmuscsoportok az általánosított homológiaelmélet együtthatócsoportjai . Ha további struktúra is van , akkor azt a jelölésnek is tartalmaznia kell ; W struktúrája M és N struktúrájának bővítése . A G = O irányítatlan kobordizmusra , G = SO irányított kobordizmusra , és G = U komplex kobordizmusra utal , ami stabil komplex sokaságokat használ . További részletekért lásd Stong könyvét . Hasonlóan , az operációelméletben a normál leképezések operációja egy standard eszköz . Ezzel a normális leképezésből egy másik , ugyanahhoz a kobordizmusosztályhoz tartozó normális leképezést kapunk . A vizsgált sokaságok típusa alapján is lehet különbséget tenni , így a differenciálható sokaságokon kívül vizsgálhatók szakaszonként lineáris vagy topologikus sokaságok is . Ezekből adódnak a kobordizmuscsoportok , amiket nehezebb számítani , mint a differenciálható sokaságokat . Konstrukciók operációval Emlékeztetőül jegyezzük meg , hogy ha X , Y határolt sokaság , akkor a szorzat sokaság határa ∂ ( X × Y ) = ( ∂X × Y ) ∪ ( X × ∂Y ) . Ha most adva van egy n = p + q dimenziós M sokaság , és a beágyazás , akkor definiáljuk az N n dimenziós sokaságot a következőképpen : ami operációkkal : kivágjuk belsejét , és összeragasztjuk az -nek a határuk mentén Az operáció nyoma egy elemi ( W ; M , N ) kobordizmust definiál . Jegyezzük meg , hogy M az N-ből a sokaságon végzett operációval kapható . Ezt az operáció megfordításának nevezzük . Minden kobordizmus elemi kobordizmusok uniója , ahogy azt Morse , Thom és Milnor megmutatta . Példák az operációra A fenti definíció alapján egy körön végzett operáció az egy másolatának kivágásából és a sokaságba való ragasztásból áll . Ahogy az ábra mutatja , vagy egy , vagy két az eredmény . Agömbön végzett operációra több lehetőség is adódik , mivel kivághatunk egy sokaságot vagy egy sokaságot . ( a ) \ : A henger eltávolításával a gömbből két körlemez marad vissza . Ezeket odaragasztjuk -hez , aminek az eredménye két diszjunkt gömb.. ábra ) ( b ) : A két körlemez kivágásával az hengerbe ragasztunk vissza . A ragasztó leképezés irányától függően két eredmény lehetséges . Ha a leképezés iránya megegyezik a határkörök irányításával , akkor egy tóruszt kapunk . Ha különbözik , akkor az eredmény egy Klein-palack. ábra ) . Morse-függvények Tegyük fel , hogy f Morse-függvény egy ( n + 1 ) dimenziós sokaságon , és hogy c kritikus érték , aminek ősképe egy elemű . Ha ennek a pontnak az indexe p + 1 , akkor az N\:= f−1( c + ε ) szinthalmaz megkapható az M\:= f−1( c − ε ) sokaságból p-operációval . A W\:= f−1( [ c − ε , c + ε ] ) inverz kép egy ( W ; M , N ) kobordizmust definiál , ami azonosítható az operáció nyomával . Adott ( W ; M , N ) kobordizmushoz van egy f \ : W → [ 0 , sima függvény úgy , hogy f−1( 0 ) = M , f−1( 1 ) = N. Általános helyzetben feltehető , hogy f Morse , így minden kritikus pontja W belsejébe esik . Ekkor f a kobordizmus Morse-függvénye . A ( W ; M , N ) kobordizmus az M-en végzett operációsorozatok nyomainak uniója , és f minden egyes kritikus pontjához tartozik egy . A W sokaság M × [ 0,-ből kapható , ha annyi fület ( handle ) teszünk rá , ahány kritikus pontja van f-nek . A Morse/Smale-tétel szerint egy kobordizmus f Morse-függvényének folyamvonalai a ( W ; M , N ) fülfelbontását adják . Megfordítva , ha ismert egy kobordizmus fülfelbontása , akkor az egy alkalmas Morse-függvényből származtatható . Megfelelően normalizált körülmények között ez egy-egyértelmű megfeleltetést ad a kobordizmus Morse-függvényei és fülfelbontásai között . Kategóriaelméleti aspektusok A kobordizmusok saját jogukon tanulmányozható objektumok , eltekintve a kobordizmusosztályoktól . A kobordizmusok kategóriát alkotnak , aminek objektumai a zárt sokaságok és morfizmusai a kobordizmusok . A kompozíció a bordizmusok összeragasztása határuknál ; az ( W ; M , N ) és ( W ′ ; N , P ) összeragasztása azonosítja az első bordizmus jobb határát a második bordizmus bal határával . A kobordizmus a kospan egy fajtája : M → W ← N , de a kobordizmusok kategóriája nem a kospan kategória , csak annak egy alkategóriája . Az viszont igaz , hogy tőrkompakt kategória . Egy topológiai kvantummező-elmélet monoideális funktor a kobordizmusok kategóriájából a vektorterek kategóriájába . Azaz ez egy funktor , aminek értéke sokaságok diszjunkt unióján ekvivalens a tagokon felvett értékeinek tenzorszorzatával . Alacsony dimenzióban a bordizmus kérdése triviálisan megválaszolható , de a kobordizmusok kategóriája továbbra is érdekes . Például a körvonalhoz ragasztott körlap megfelel egy nulláris műveletnek , míg a henger egy unáris műveletnek , a nadrág pedig egy bináris műveletnek feleltethető meg . Irányítatlan kobordizmus Az n dimenziós irányítatlan és zárt sokaságok kobordizmusainak halmazát jelöli . A diszjunkt unióval ellátva Abel-csoportot alkot . Speciálisan , ha [ M ] és [ N ] rendre az M és N kobordizmusosztályait jelöli , akkor \ . Ez egy jóldefiniált művelet . Az egységelem , illetve additív jelölés miatt nullelem az osztály , ami azokat a sokaságokat tartalmazza , amelyek önmagukban egy sokaságot határolnak . Továbbá minden M sokaságra teljesül , hogy , mivel \ . Ezzel vektortér az két elemű test fölött . A sokaságok Descartes-szorzata egy szorzást definiál , így fokozatos algebra , ahol a fokozatok a dimenziók . Az kobordizmusosztályt meghatározza az n dimenziós M sokaság Stiefel–Whitney-féle karakterisztikus száma , ami az érintő bundle stabil izomorfizmusosztályaitól függ . Ezért , ha M-nek van stabil triviális érintő bundle-ja , akkor\.ben René Thom bizonyította , hogy az generátoros polinomalgebra minden dimenzióban . Emiatt két n dimenziós sokaság , N és M kobordáns , akkor és csak akkor , ha az egészek minden k-asára , ahol a Stiefel-Whitney-számok , ahol az i-edik Stiefel-Whitney-osztály , és az -együttható fundamentális osztály . Páros i esetén választhatjuk , hogy , ami az i dimenziós projektív tér osztálya . Az alacsony dimenziós irányítatlan kobordizmuscsoportok : Ez mutatja , hogy például az irányítatlan három dimenziós zárt sokaságok határolt négy dimenziós sokaságot határolnak . Az M irányítatlan sokaság Euler-karakterisztikája irányítatlan kobordizmusinvariáns . Ez következik az alábbi egyenletből : minden kompakt sokaságra , aminek határa \ . Innen jóldefiniált csoporthomomorfizmus . Például minden -ra : Például a valós topologikus terek szorzata nem nullkobordáns . A modEuler-karakterisztika leképezés minden -re , és csoportizomorfizmus , ha Továbbá , mivel , ezek a csoporthomomorfiák együtt kiadják fokozatos algebrák homomorfiáját : További szerkezettel ellátott sokaságok kobordizmusa A kobordizmus azokra a sokaságokra is definiálható , amelyek további szerkezettel is bírnak , például irányítottak . Ezt formálisan X-szerkezettel , más néven G-szerkezettel definiálják . Röviden , az M egy immerziójának egy ν normális bundle-ja egy elég nagy dimenziójú euklidészi térbe leképezést ad M-ről a Grassmannianba , ami az ortogonális csoport klasszifikáló terének altere : ν : M → Gr( n , n + k ) → BO( k ) . Terek és leképezések Xk → Xk+1 leképezésekkel adott halmaza , ha kompatibilis az Xk → BO( k ) az BO( k ) → BO( k+1 ) inklúziókkal , \ : akkor egy X-struktúra a ν felemelése egy leképezéssé . Csak az adott X-struktúrájú sokaságokat és kobordizmusokat tekintve a kobordizmus egy általánosabb jelentéséhez jutunk . Például Xk lehet BG( k ) , ahol G( k ) → O( k ) egy csoporthomomorfizmus . Erre G-struktúraként hivatkoznak . Egy további példa az G = O , ahol O az ortogonális csoport , ami az irányítatlan kobordizmust adja vissza . Az SO( k ) csoport , ami az irányított sokaságokat jellemzi . Lehet az U( k ) unitér csoport , a spincsoport , vagy a triviális csoport , ami a keretes kobordizmust eredményezi . Magát a kobordizmust az irányítatlan esethez hasonlóan definiálják , és jelölésük \ . Irányított kobordizmus Az irányított kobordizmus az irányított sokaságokra vonatkozik , ami a sokaságok esetén SO-struktúrát jelent . A ( W , M , N ) kobordizmus határa , ahol a - előjel az irányítás megfordítását jelenti . Például , az M × I henger határa ; a két határvonal irányítása ellentétes . Ez megfelel a rendkívüli kohomológiaelmélet definíciójának is . Ellentétben az irányítatlan esettel , általában nem irányított sokaság , ígyM ] ≠az eleme . Az irányítatlan kobordizmuscsoportot modulo torzió megadja a következő : az irányított kobordizmusosztályok által generált polinomalgebra a komplex projektív tereket jellemzi . ( Thom,Az irányított kobordizmuscsoportot a Stiefel–Whitney és Pontrjagin karakterisztikus számok határozzák meg . ( Wall,Két irányított sokaság akkor és csak akkor irányított kobordáns , ha Stiefel–Whitney és Pontrjagin-számaik is egyenlőek . Az alacsony dimenziós irányított kobordizmuscsoportok : Egy irányított dimenziós M sokaság szignatúrája definiálható , mint a alakú metszet szignatúrája , és jelöli . Ez egy irányított kobordizmusinvariáns , ami kifejezhető a Pontrjagin-számokkal Hirzebruch szignatúratétele szerint . Például , minden i1,\... , ik ≥indexre A szignatúraleképezés i ≥esetén a teljes kiindulási halmazott értelmezett beleképezés , ami i =esetén izomorfizmus . A kobordizmus mint rendkívüli kohomológiaelmélet Minden vektorbundleelméletnek ( valós , komplex , … ) van rendkívüli kohomológiaelmélete , amit K-elméletnek hívnak . Hasonlóan , minden ΩG kobordizmusnak van rendkívüli kohomológiaelmélete , aminek homológiacsoportja az bordizmusok , és kohomológiacsoportjai az csoportok minden X térre . Az általánosított kohomológiacsoportok kovariánsak X-ben , és az általánosított kohomológiacsoportok kontravariánsak X-ben . Eszerint a nézőpont szerint a fent definiált bordizmuscsoportok egy pont homológiacsoportjai : \ . Ekkor az ( M , f ) bordizmusosztályainak csoportja , ahol M zárt n dimenziós sokaság G-struktúrával , és f \ : M → X egy leképezés . Az ( M , f ) , ( N , g ) párok bordánsak , ha van ( W ; M , N ) G-kobordizmus , hogy van h \ : W → X leképezés , aminek leszűkítése M-re f , és N-re g . Ha M egy n dimenziós sokaság , akkor fundamentális homológiaosztálya [ M ] ∈ Hn ( M ) , aminek együtthatói általános esetben elemei , és elemei az irányított esetben . Ez definiálja a természetes transzformációt , ami általában izomorfizmus . Egy tér bordizmus- és kobordizmuselméletei eleget tesznek az Eilenberg–Steenrod-axiómáknak , kivéve a dimenzióaxiómát . Ez nem jelenti azt , hogy a csoportok hatékonyan kiszámíthatók , ha ismerjük egy pont kobordizmuselméletét és az X tér homológiáját , habár az [ Atiyah–Hirzebruch-spektrálsorozat kiindulási pontot ad a számításokhoz . A számolás csak akkor egyszerű , ha a szóban forgó kobordizmuselmélet közönséges homológiaelméletek szorzata . Ekkor a bordizmuscsoportok éppen az közönséges homológiacsoportok . Ez azonban csak az irányítatlan kobordizmusokra igaz ; a többi eset általában nem redukálható közönséges homológiára ezen a módon , így a keretes kobordizmus , az irányított és a komplex kobordizmus sem . A komplex kobordizmus az algebrai topológia hasznos számítási eszköze , például gömbök homotópiacsoportjai . A kobordizmuselméletet a Thom-spektrális MG reprezentálja : adott G csoport esetén a Thom-spektrum a BGn klasszifikáló terek fölötti standard vektorbundle-k MGn Thom-tereiből áll . Meg kell jegyeznünk , hogy a Thom-spektrumok hasonló csoportok esetén is nagyon különböznek ; MSO és MO nagyon különböznek , tükrözve az irányított és az irányítatlan kobordizmus különbségét . A spektrumok szempontjából az irányítatlan kobordizmus az Eilenberg–MacLane-spektrumok szorzata : MO = H( π∗( MO ) ) , míg az irányított kobordizmus az Eilenberg–MacLane-spektrumok szorzata racionálisan és a kettőnél , de nem a páratlan prímeknél . Az irányított MSO spektrum jóval összetettebb , mint a nem irányított MO spektrum . Jegyzetek Fordítás Topológia