Nontóciens számok
A számelméletben azokat a pozitív egész számokat, amiket nem vesz fel az Euler-függvény (φ, totiens- vagy tóciens-függvény), tehát nem szerepelnek az Euler-függvény értékkészletében – a φ(x) = n egyenletnek nincs x-re megoldása – J. J. Sylvester 1879-es kifejezésének átvételével nem totiens, nontotiens vagy nontóciens számoknak is nevezhetjük. Más szavakkal, n nontóciens, ha nincs olyan x pozitív egész, amihez pontosan n nála kisebb, vele relatív prím szám létezik. Minden páratlan szám ilyen, kivéve az 1-et, amihez az x = 1 és x = 2 megoldás tartozik. Az első néhány páros nontóciens szám:

14, 26, 34, 38, 50, 62, 68, 74, 76, 86, 90, 94, 98, 114, 118, 122, 124, 134, 142, 146, 152, 154, 158, 170, 174, 182, 186, 188, 194, 202, 206, 214, 218, 230, 234, 236, 242, 244, 246, 248, 254, 258, 266, 274, 278, 284, 286, 290, 298, ... 

A legkisebb k, amire φ(k) = n (tehát a legkisebb hely, ahol az Euler-függvény fölvesz egy adott értéket):
0, 1, 3, 0, 5, 0, 7, 0, 15, 0, 11, 0, 13, 0, 0, 0, 17, 0, 19, 0, 25, 0, 23, 0, 35, 0, 0, 0, 29, 0, 31, 0, 51, 0, 0, 0, 37, 0, 0, 0, 41, 0, 43, 0, 69, 0, 47, 0, 65, 0, 0, 0, 53, 0, 81, 0, 87, 0, 59, 0, 61, 0, 0, 0, 85, 0, 67, 0, 0, 0, 71, 0, 73, ... 

A legnagyobb k, amire φ(k) = n (tehát a legnagyobb hely, ahol az Euler-függvény fölvesz egy adott értéket):
0, 2, 6, 0, 12, 0, 18, 0, 30, 0, 22, 0, 42, 0, 0, 0, 60, 0, 54, 0, 66, 0, 46, 0, 90, 0, 0, 0, 58, 0, 62, 0, 120, 0, 0, 0, 126, 0, 0, 0, 150, 0, 98, 0, 138, 0, 94, 0, 210, 0, 0, 0, 106, 0, 162, 0, 174, 0, 118, 0, 198, 0, 0, 0, 240, 0, 134, 0, 0, 0, 142, 0, 270, ... 

A k helyek száma, amire φ(k) = n: 
1, 2, 3, 0, 4, 0, 4, 0, 5, 0, 2, 0, 6, 0, 0, 0, 6, 0, 4, 0, 5, 0, 2, 0, 10, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 7, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 9, 0, 4, 0, 3, 0, 2, 0, 11, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 3, 0, 2, 0, 9, 0, 0, 0, 8, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 17, ... 
A Carmichael-sejtés szerint a fenti sorozat a nulladik elemén kívül nem tartalmaz 1-eseket.

A páros nontotiens számok lehetnek prímszám plusz egy, de sosem lehetnek prímszám mínusz egy alakúak. Ennek oka, hogy definíció szerint minden a prímszámnál kisebb szám relatív prím hozzá képest. Képlettel leírva, ha p prím, φ(p) = p − 1. Hasonlóan, ha n prímszám, az n(n − 1) alakban felírható számok biztosan nem nontotiensek, hiszen φ(p2) = p(p − 1).

Ha egy n természetes szám totiens, megmutatható, hogy n·2k minden k természetes számra totiens.

Végtelen sok nontotiens szám létezik; sőt végtelen sok olyan p prímszám létezik (például 78557 vagy 271129, lásd Sierpiński-számok) amire minden 2a·p nontotiens, valamint minden páratlan számnak létezik nontotiens többszöröse.

Fordítás

Jegyzetek

 
 L. Havelock, A Few Observations on Totient and Cototient Valence

Kapcsolódó szócikkek
 Euler-függvény
 Nonkotóciens számok
 Kotóciens számok

Nevezetes számsorozatok
A számelméletben azokat a pozitív egész számokat , amiket nem vesz fel az Euler-függvény ( φ , totiens- vagy tóciens-függvény ) , tehát nem szerepelnek az Euler-függvény értékkészletében – a φ ( x ) = n egyenletnek nincs x-re megoldása – J. J. Sylvesteres kifejezésének átvételével nem totiens , nontotiens vagy nontóciens számoknak is nevezhetjük . Más szavakkal , n nontóciens , ha nincs olyan x pozitív egész , amihez pontosan n nála kisebb , vele relatív prím szám létezik . Minden páratlan szám ilyen , kivéve azet , amihez az x =és x =megoldás tartozik . Az első néhány páros nontóciens szám : 14,\ ... A legkisebb k , amire φ ( k ) = n ( tehát a legkisebb hely , ahol az Euler-függvény fölvesz egy adott értéket ) : 0,\ ... A legnagyobb k , amire φ ( k ) = n ( tehát a legnagyobb hely , ahol az Euler-függvény fölvesz egy adott értéket ) : 0,\ ... A k helyek száma , amire φ ( k ) = n : 1,\ .. . A Carmichael-sejtés szerint a fenti sorozat a nulladik elemén kívül nem tartalmazeseket . A páros nontotiens számok lehetnek prímszám plusz egy , de sosem lehetnek prímszám mínusz egy alakúak . Ennek oka , hogy definíció szerint minden a prímszámnál kisebb szám relatív prím hozzá képest . Képlettel leírva , ha p prím , φ ( p ) = p − 1. Hasonlóan , ha n prímszám , az n( n − 1 ) alakban felírható számok biztosan nem nontotiensek , hiszen φ( p2 ) = p( p − 1) . Ha egy n természetes szám totiens , megmutatható , hogy n·2k minden k természetes számra totiens . Végtelen sok nontotiens szám létezik ; sőt végtelen sok olyan p prímszám létezik ( példáulvagy lásd Sierpiński-számok ) amire minden·p nontotiens , valamint minden páratlan számnak létezik nontotiens többszöröse . Fordítás Jegyzetek L. Havelock , A Few Observations on Totient and Cototient Valence Kapcsolódó szócikkek Euler-függvény Nonkotóciens számok Kotóciens számok Nevezetes számsorozatok