Primoriális
A számelmélet területén a primoriális (primorial) olyan természetes számokon értelmezett függvény, ami nagyon hasonlóan működik a faktoriálishoz, de ahelyett, hogy a pozitív egész számokat szorozná össze sorban, csak a prímszámokon fut végig.

A primoriálisnak két, egymásnak ellentmondó definíciója létezik:

 az első a függvény argumentumát a prímszámok sorozatának indexeként értelmezi (így a függvény szigorúan monoton növekvő),
 a második az argumentumot az összeszorzandó prímszámok felső határaként értelmezi (tehát bármely n összetett számhoz tartozó függvényérték ugyanakkora, mint az n−1-hez tartozó).

A Harvey Dubnernek tulajdonított primoriális elnevezés a prímszámokra utal, hasonlóan ahhoz, ahogy a faktoriális a faktorokra.

Definíció prímszámokra 
Ha az n-edik prímszámot pn-nel jelöljük, akkor a  pn# primoriálist az első n prímszám szorzataként határozzuk meg:

ahol pk a k-adik prímszám.

Például p5# az első 5 prímszám szorzatát jelzi:

.

Az első hat pn# primoriális:

1, 2, 6, 30, 210, 2310 .

A sorozat tartalmazza üres szorzatként a p0# = 1 értéket is.

Aszimptotikusan a pn# primoriálisok a

 képlet szerint nőnek,

ahol  a kis ordó jelölés.

Definíció természetes számokra 
Általánosságban, pozitív n egészekre is definiálható az n# primoriális, méghozzá az n-nél nem nagyobb prímek produktumaként:

ahol  a prímszámláló függvény , ami az n-nél nem nagyobb prímek számát adja meg.

Ami ekvivalens a következővel:

Például a 12# a 12-nél nem nagyobb prímszámok szorzatát jelképezi:

Mivel , ez a következőképp is számítható:

Tekintsük az első 12 n# primoriálist:

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Vegyük észre, hogy összetett n-ekre az n# egyszerűen megismétli a megelőző értéket (n − 1)#, a definíció szerint. A fenti példában 12# = p5# = 11#, mivel 12 összetett szám.

Az első Csebisev-függvény –  vagy , ami az n# természetes alapú logaritmusát határozza meg, nagy n értékekre a lineáris n függvényt közelíti.

Tehát:

Az elgondolás, hogy minden ismert prímszámot egymással össze kell szorozni felmerül a prímszámok végtelenségére vonatkozó több bizonyításban is, ahol ennek segítségével látják be egy másik prímszám szükségképpeni létezését.

Alkalmazásai és tulajdonságai
A primoriálisok fontos szerepet töltenek be az egymástól ugyanakkora távolságra lévő prímszámok keresésében. Például a 2236133941 + 23# egy olyan prímszámot ad, ami egy 13, egymástól 23#-ra lévő prímszámból áll és 5136341251-ra végződik. A 15 és 16 tagú számtani prímsorozatok között is gyakran 23# a differencia.

Minden erősen összetett szám primoriálisok szorzatával áll elő (pl. 360 = 2·6·30).

A primoriálisok négyzetmentesek, mindegyikük több egyedi prímtényezővel rendelkezik a nála kisebb számoknál. Minden n primoriálisra a  tört kisebb, mint bármely nála kisebb egész esetében, ahol  az Euler-függvényt jelenti.

Bármely teljesen multiplikatív függvényt meghatároznak a primoriálisoknál felvett értékei, hiszen a prímeken felvett értékei meghatározzák a függvényt, ami pedig a szomszédos primoriálisok értékeinek elosztásával megkapható.

A primoriális szám-alapú számrendszerek (nem összetévesztendő a primoriális számrendszerrel jellemzője, hogy az ismétlődő szakaszos törtek ritkábban fordulnak elő, mint az alacsonyabb alapszámú számrendszerekben.

Minden primoriális ritkán tóciens szám.

Minden primoriális praktikus szám.

Megjelenése 
A Riemann-féle zéta-függvény 1-nél nagyobb pozitív egészenek kifejezhető a primoriálisok és a  Jordan-függvény segítségével:

Primoriálisok táblázata

Kapcsolódó szócikkek 
 Bonse-egyenlőtlenség
 Primoriálisprím
 Faktoriális számrendszer

Fordítás

Jegyzetek 

 

Nevezetes számsorozatok
Prímszámok
A számelmélet területén a primoriális ( primorial ) olyan természetes számokon értelmezett függvény , ami nagyon hasonlóan működik a faktoriálishoz , de ahelyett , hogy a pozitív egész számokat szorozná össze sorban , csak a prímszámokon fut végig . A primoriálisnak két , egymásnak ellentmondó definíciója létezik : az első a függvény argumentumát a prímszámok sorozatának indexeként értelmezi ( így a függvény szigorúan monoton növekvő ) , a második az argumentumot az összeszorzandó prímszámok felső határaként értelmezi ( tehát bármely n összetett számhoz tartozó függvényérték ugyanakkora , mint az n−1-hez tartozó ) . A Harvey Dubnernek tulajdonított primoriális elnevezés a prímszámokra utal , hasonlóan ahhoz , ahogy a faktoriális a faktorokra . Definíció prímszámokra Ha az n-edik prímszámot pn-nel jelöljük , akkor a pn # primoriálist az első n prímszám szorzataként határozzuk meg : ahol pk a k-adik prímszám . Például p5 # az elsőprímszám szorzatát jelzi : . Az első hat pn # primoriális : 1 , . A sorozat tartalmazza üres szorzatként a p0 # =értéket is . Aszimptotikusan a pn # primoriálisok a képlet szerint nőnek , ahol a kis ordó jelölés . Definíció természetes számokra Általánosságban , pozitív n egészekre is definiálható az n # primoriális , méghozzá az n-nél nem nagyobb prímek produktumaként : ahol a prímszámláló függvény , ami az n-nél nem nagyobb prímek számát adja meg . Ami ekvivalens a következővel : Például a anél nem nagyobb prímszámok szorzatát jelképezi : Mivel , ez a következőképp is számítható : Tekintsük az elsőn # primoriálist : 1 , Vegyük észre , hogy összetett n-ekre az n # egyszerűen megismétli a megelőző értéket ( n − 1 ) # , a definíció szerint . A fenti példában = p5 # = 11 # , mivelösszetett szám . Az első Csebisev-függvény – vagy , ami az n # természetes alapú logaritmusát határozza meg , nagy n értékekre a lineáris n függvényt közelíti . Tehát : Az elgondolás , hogy minden ismert prímszámot egymással össze kell szorozni felmerül a prímszámok végtelenségére vonatkozó több bizonyításban is , ahol ennek segítségével látják be egy másik prímszám szükségképpeni létezését . Alkalmazásai és tulajdonságai A primoriálisok fontos szerepet töltenek be az egymástól ugyanakkora távolságra lévő prímszámok keresésében . Például a+ egy olyan prímszámot ad , ami egy egymástól-ra lévő prímszámból áll ésra végződik . Aéstagú számtani prímsorozatok között is gyakran a differencia . Minden erősen összetett szám primoriálisok szorzatával áll elő ( pl .=6·30 ) . A primoriálisok négyzetmentesek , mindegyikük több egyedi prímtényezővel rendelkezik a nála kisebb számoknál . Minden n primoriálisra a tört kisebb , mint bármely nála kisebb egész esetében , ahol az Euler-függvényt jelenti . Bármely teljesen multiplikatív függvényt meghatároznak a primoriálisoknál felvett értékei , hiszen a prímeken felvett értékei meghatározzák a függvényt , ami pedig a szomszédos primoriálisok értékeinek elosztásával megkapható . A primoriális szám-alapú számrendszerek ( nem összetévesztendő a primoriális számrendszerrel jellemzője , hogy az ismétlődő szakaszos törtek ritkábban fordulnak elő , mint az alacsonyabb alapszámú számrendszerekben . Minden primoriális ritkán tóciens szám . Minden primoriális praktikus szám . Megjelenése A Riemann-féle zéta-függvénynél nagyobb pozitív egészenek kifejezhető a primoriálisok és a Jordan-függvény segítségével : Primoriálisok táblázata Kapcsolódó szócikkek Bonse-egyenlőtlenség Primoriálisprím Faktoriális számrendszer Fordítás Jegyzetek Nevezetes számsorozatok Prímszámok