Floer-homológia
A Floer-homológia a matematikában egy eszköz az alacsony dimenziós topológia és a szimplektikus geometria tanulmányozására. A Floer-homológia egy invariáns, ami a véges dimenziós Morse-homológia végtelen dimenziós analógjaként adódik. Az első verziót Andreas Floer vezette be az Arnold-sejtés bizonyításához a szimplektikus geometriában. Ezt ma Hamilton-féle Floer-homológiának nevezzük. Floer emellett a szimplektikus sokaságok Lagrange-részsokaságaira is kifejlesztett egy kapcsolódó elméletet. Floer harmadik konstrukciója a homológiacsoportokat zárt három dimenziós sokaságokkal kapcsolja össze a  Yang–Mills-funkcionál segítségével. Ezek és a belőlük levezethető konstrukciók alapvetőek a 21. század elejének topológiájában a szimplektikus, a kontakt, a három és a négy dimenziós sokaságok vizsgálatához.

A Floer-homológiát rendszerint úgy definiálják, hogy a vizsgált objektumot asszociálják egy végtelen dimenziós sokasággal, és egy rajta értelmezett valós értékű függvénnyel. A szimplektikus változatban ez a szimplektikus sokaság szabad huroktere a szimplektikus hatás függvénnyel. A három dimenziós sokaságoknál (instanton verzió) ez a sokaság SU(2)-kapcsolatainak tere  a Chern–Simons-funkcionállal. Informálisan, a Floer-homológia a végtelen dimenziós sokaságon értelmezett függvény Morse-homológiája. A Floer-lánckomplexust a függvény kritikus pontjai által kifeszített Abel-csoport alkotja, vagy a kritikus pontok egy halmaza. A lánckomplexus differenciálja a függvény gradiensének bizonyos kritikus pontokat összekötő folyamvonalainak száma.  A Floer-homológia ennek a lánckomplexusnak a homológiája.

Floer ötletei alkalmazhatók a gradiens folyamvonal-egyenleteknél. Ennek rendszerint valamilyen geometriai jelentése van, és analitikusan kezelhető. Szimplektikus esetben a huroktér egy útvonalának gradiens folyamegyenletének köze van egy henger leképezéséhez a vizsgált sokaságra, mégpedig annak a leképezésnek Cauchy–Riemann-egyenletének perturbáltja. A megoldásokat pszeudoholomorf görbéknek nevezik. A  Gromov-perturbációtétellel megmutatják, hogy a differenciál jóldefiniált és négyzete nulla, így a Floer-homológia alkalmazható. Instanton esetben a gradiens folyamegyenletek megegyeznek a valós egyenessel keresztezett sokaság Yang-Mills-egyenleteivel.

Szimplektikus Floer-homológia
A szimplektikus Floer-homológia (SFH) a szimplektikus sokaságokhoz és a rajtuk definiált nem degeneratív szimplektomorfizmusokhoz kapcsolódó homológiaelmélet. Ha a szimplektomorfizmus Hamilton, akkor a homológia a szimplektikus sokaság szabad hurokterének univerzális fedésén definiált szimplektikus hatásfunkcionáljából adódik.

Itt a nem degeneratív azt jelenti, hogy az 1 nem sajátértéke egyik fixpont szimplektomorfizmusának deriváltjának sem. Ebből a feltételből következik, hogy a fixpontok izoláltak. Az SFH  azokkal a lánckomplexusokkal foglalkozik, amiket egy ilyen szimplektomorfizmus fixpontjai  generálnak, ahol a differenciál bizonyos pszeudoholomorf görbéket számol meg a valós egyenes és a szimplektomorfizmus leképezéstóruszának szorzatán. Ez szintén egy szimplektikus sokaság, de dimenziója kettővel több, mint az eredetié. A megfelelő majdnem komplex struktúra megválasztása érdekében a benne futó véges energiájú pontozott holomorf görbék henger alakban végződnek, és aszimptotikusak a lerképezéstórusz hurkaival, és megfelelnek a szimplektomorfizmus fixpontjainak. Relatív index definiálható a fixpontpárok között, és a differenciál azokat a holomorf hengereket számolja, amiknek relatív indexe 1.

Egy kompakt sokaság Hamilton-szimplektomorfizmusának szimplektikus Floer-homológiája izomorf a vizsgált sokaság szinguláris homológiájával. Így az adott sokaság Betti-számainak összege azt az alsó korlátot adja, amit az Arnold-sejtés egy változata megjósol egy nem degenerált szimplektomorfizmus fixpontjainak számára. Egy Hamilton-szimplektomorfizmus SFH-jának van egy szorzata, ami nadrágszerű; ez egy deformált cup szorzata, ami ekvivalens a kvantum kohomológiával.

Egy M sokaság kotangensbundléja esetén a Floer-homológia attól függ, hogy melyik hamiltonit választjuk, és attól, hogy a sokaság nem kompakt. A végtelenben kvadratikus hamiltoniakra a Floer-homológia az M szabad hurokterének szinguláris homológiája. Ezt már több alkalommal is bebizonyították, így Viterbo, Salamon–Weber, Abbondandolo–Schwarz, és Cohen. Vannak további műveletek a kontangensbundle Floer-homológiáján, amelyek megfelelnek a string topológia műveleteinek a vizsgált sokaság hurokterének homológiáján.

A homologikus tükörszimmetria-sejtés képletében is megjelenik a Floer-homológia, bár ezt elég gyötrelmes megmutatni.

PSS izomorfizmus
1996-ban  S. Piunikhin, D. Salamon és M. Schwarz összefoglalta azt, amit akkor a Floer-homológia és a kvantumkohomológia kapcsolatáról tudtak:
Egy (M,ω) félpozitív szimplektikus sokaság hurokterének Floer-kohomológiacsoportjai természetesen izomorfak M közönséges kohomológia és egy alkalmas  Novikov-gyűrű tenzorszorzatával, ahol a  Novikov-gyűrű a fedő transzformációkkal áll kapcsolatban.
Az izomorfizmus intertwines az M kohomológiájának kvantum cup szorzatát a Floer-homológia nadrágszorzatával.

A félpozitív és a kompakt tulajdonságoknak azért kell teljesülniük az M sokaságra, hogy legyen Novikov-gyűrű, és hogy egyaránt lehessen definiálni Floer-homológiát és kvantumkohomológiát. A félpozitív tulajdonsághoz a következőknek kell teljesülniük:
 minden A ∈ π2(M), ahol λ≥0 (M monoton)
 minden A ∈ π2(M).
A minimális N ≥ 0 Chern-szám, amit   definiál, legalább  n − 2.

A szimplektikus M sokaság kvantumkohomológia-csoportja definiálható, mint M közönséges kohomológiájának tenzori szorzata a Λ Novikov-gyűrűvel, vagyis

Ez a konstrukció magyarázza, hogy M majdnem komplex struktúrája és a Floer-homológiába vivő izomorfizmus függetlenül választható. Ez utóbbi ötlete a  Morse-elméletből és a pszeudoholomorf görbékből származik, aminek hátterében felismerhető a  Poincaré-dualitás a homológia és a kohomológia között.

A három-sokaságok Floer-homológiája
A zárt három-sokaságokhoz több Floer-homológia is tartozik, amelyek a sejtések szerint ekvivalensek. Mindegyik három fajta homológiacsoportot ad, amelyek egy egzakt háromszögbe illeszkednek. Egy csomó egy három-sokaságban egy szűrést vezet be minden elmélet lánckomplexusán, amelyik lánchomológiájának típusa csomóinvariáns. Homológiáik hasonló formális tulajdonságoknak tesznek eleget, mint a kombinatorikusan definiált  Khovanov-homológia.

Ezek a homológiák kapcsolatban állnak a négy dimenziós sokaságok Donaldson- és Seiberg-invariánsaival, továbbá a szimplektikus négy-sokaságok Taubes-Gromov-invariánsaival. Az ezekben az elméletekben tanulmányozott megfelelő három-sokaságok homológiáinak differenciáljait abból a szempontból is vizsgálják, hogy mik a megoldásai a vonatkozó differenciálegyenleteknek  (Yang–Mills, Seiberg–Witten, és Cauchy–Riemann) a három-sokaság kereszt  R-en. A három-sokaságok Floer-homológiája célja lehet a határolt négy-sokaságok relatív invariánsainak, a zárt négy-sokaság invariánsainak ragasztási konstrukcióihoz; amely négy-sokaságok úgy keletkeztek, hogy határolt három-sokaságokat ragasztottak össze a határuknál. EZ már közel áll a topológiai kvantummező-elmélethez. A Heegaard-Floer-homológia szempontjából először a három-sokaságot definiálják, majd a négy-sokaság invariánsát ez alapján fejezik ki.

A három-sokaságok homológiái többféleképpen is kiterjeszthetők határos három-sokaságok homológiáivá: az egyik a sutured homológia, a másik a határos Floer-homológia. Ezek kapcsolatban állnak a három-sokaságok bizonyos ivariánsaival; a kapcsolatot két határos sokaság összeragasztásával keletkező három-sokaságok ragasztó képletei hozzák létre a Floer-homológia számára.

A kontakt struktúrával ellátott három-sokaságok Floer-homológiái a homológia egy kiemelt elemével is el vannak látva. Ezt Kronheimer és Mrowka ismerte fel a Seiberg–Witten esetben. A beágyazott kontakt homológia definiálásához szükséges megadni egy konkrét kontakt struktúrát, egyébként nem. A beágyazott kontakt homológiához lásd Hutchings.

Mindegyik elmélet egy saját a priori relatív fokrendszerrel van ellátva; ezek felemelhetők abszolút fokrendszerré., amelyek irányított két-sokaságok homotópiaosztályai. Ezt tudjuk a következő szerzőktől: Kronheimer és Mrowka (SWF), Gripp és Huang (for HF), és Hutchings (for ECH). Cristofaro-Gardiner megmutatta, hogy Taubes izomorfizmusa ECH és a Seiberg-Witten Floer-kohomológia között megőrzi az abszolút fokrendszert.

Instanton Floer-homológia
Egy egy invariáns a három-sokaságok számára, ami a Donaldson-elmélethez kapcsolódik, és személyesen Floer vezette be. Megkapható, ha alkalmazzuk a Chern–Simons-funkcionált egy principális SU(2)-bundle kapcsolatterére. Kritikus pontjai lapos kapcsolatok, és folyamvonalai instantonok, azaz anti-önduális kapcsolatok a három-sokaság és a valós számegyenes keresztezésén. Az instanton Floer-homológia tekinthető a Casson-invariéns általánosításának, mivel a Floer-homológia Euler-invariánsa megegyezik a Casson-invariánssal.

Nem sokkal a Floer-homológia bevezetése után Donaldson észrevette, hogy a kobordizmusok leképezéseket indukálnak. Ez volt az első struktúra, ami később beilleszkedett a topologikus kvantummező-elméletbe.

Seiberg–Witten–Floer-homológia
A Seiberg–Witten–Floer-homológia, avagy monopólus Floer-homológia egy homológiaelmélet sima három-sokaságokra, amelyek spinc strukturával vannak ellátva. Tekinthetjük a sokaságon levő U(1) kapcsolatain értelmezett Chern-Simons-Dirac-funkcionál Morse-homológiájának. Az asszociált gradiens folyamegyenlet megfelel a három-sokaság és a valós egyenes keresztezésén értelmezett  Seiberg-Witten-egyenletnek.  Ekvivalensen, a lánckomplexusok generátorai eltolásinvariáns megoldásai (monopólusai) ezeknek az egyenleteknek. A differenciál azokat a megoldást számolja, amelyek aszimptotikusak a végtelenben és a mínusz végtelenben invariáns megoldásokkal.

A  Seiberg-Witten-Floer-homológiát precízen  Peter Kronheimer és Tomasz Mrowka vezette be a  Monopoles and Three-manifolds című monográfiájában. Innen monopólus Floer-homológiaként is ismert. Taubes megmutatta, hogy izomorf a beágyazott kontakt homológiával. A három-gömbök racionális homológiájának alternatív SWF konstrukciója  Manolescu (2003) és Frøyshov (2010) konstrukciója, ami független a monopólusos konstrukciótól.

Heegaard-Floer-homológia
A Heegaard-Floer-homológia Ozsváth Péter és Szabó Zoltán szerint egy spinc-vel ellátott zárt három-sokaság invariánsa. A Lagrange-Floer homológiához hasonló konstrukcióval számítható a tér Heegaard-diagramja alapján.  bizonyítása alapján a  Heegaard-Floer-homológia izomorf a  Seiberg-Witten-Floer homológiával.  bizonyította, hogy a Heegaard-Floer-homológia plusz verziója az irányítás megfordításával izomorf a beágyazott kontakt homológiával.

Egy három-sokaságban levő csomó egy szűrést indukál a Heegaard-Floer-homológiacsoportokon, és a szűréssel nyert homológiatípus egy sok mindenre használható csomóinvariáns, ami még az Alexander-polinomokat is kategorizálja. A csomók Floer-homológiáját egyrészt , másrészt tőlük függetlenül   definiálta. Erről tudjuk, hogy detektálja a csomó génuszát. A Heegaard-hasítás hálózati diagramjával a csomók Floer-homológiájára konstrukciót adott .

Az S^3  dupla fedésének egy csomó fölötti Heegaard Floer-homológiája kapcsolódik a Khovanov-homolóügia spektrális sorozatához.

A Heegaard-Floer-homológia kalap verzióját   írta le kombinatorikusan. A plusz és a mínusz verziókat, továbbá a négy-sokaságok kapcsolódó Ozsváth-Szabó-invariánsait  írta le kombinatorikusan.

Beágyazott kontakt Floer-homológia
A beágyazott kontakt Floer-homológia Michael Hutchings szerint a megkülönböztető másodlagos homológiával ellátott három-sokaságok egy invariánsa.  Clifford Taubes munkássága alapján izomorf a Seiberg–Witten-Floer-kohomológiával. Ebből következik, hogy a fordított irányítású Heegaard-Floer-homológiával is izomorf, ahogy   és  megmutatta. 
Tekinthető a Taubes-Gromov-invariáns kiterjesztésének, amiről ismert, hogy ekvivalens a Seiberg–Witten-invariánssal. Ez az invariáns zárt négy-sokaságokat bizonyos nem kompakt szimplektikus négy-sokaságokra képez. Konstrukciója analóg a szimplektikus mezőelmélettel, amiben bizonyos zárt Reeb-orbitok halmaza generálja. Differenciálja bizonyos holomorf görbéket számol, amik bizonyos zárt Reeb-orbitok halmazában végződnek. Technikailag különbözik az SFT-től, mivel Reeb-orbitok egy másik halmaza generálja, és nem számol meg minden holomorf görbét, aminek Fredholm-indexe 1, és végei adottak. A számolás topológiai feltételét az ECH-index adja; ebbőlé következően a görbék beágyazottnak tekinthetők.

A  Weinstein-sejtést Taubes bizonyította. EZ azt állítja, hogy minden kontakt három-sokaságnak van Reeb-orbitja, ha ECH-ja nem triviális. Taubes módszerei az ECH-n alapultak; a bizonyítás kiterjesztése izomorfizmust adott az ECH és az SWF között. Az ECH több konstrukciója is ezen alapul, így például a jóldefiniáltság is belátható.

Az ECH kontakt eleme egy kör, ami a Reeb-orbitok üres halmazával áll kapcsolatban.

A beágyazott kontakt homológia egy analógja definiálható egy felszín szimplektomorfizmusainak tóruszainak leképezéseire. Ezt periodikus Floer-homológiának nevezik, ami a szimplektikus Floer-homológiát terjeszti ki felszín szimplektomorfizmusokká. Általánosítva definiálható bármely stabil Hamilton-struktúrára a három-sokaságon; ahogy a kontakt struktúrák, a stabil Hamilton-struktúrák egy nem eltűnő vektormezőt definiálnak; ez a Reeb-vektormező. Hutchings és Taubes bizonyította rájuk a Weinstein-sejtést, azaz hogy mindig vannak zárt orbitjaik, kivéve ha lapos tóruszok tóruszait képezik le.

Lagrange-Floer-homológia
A Lagrange-Floer-homológia a szimplektikus sokaságok Lagrange-részsokaságainak metszetének homológiája. A két részsokaság metszéspontjai által generált lánckomplexus homológiája. Differenciálja a Whitney-körlemezeket számolja.

Ha  L0, L1 és L2 egy szimplektikus sokaság részsokaságai, alkkor a Lagrange-Floer-homológia szorzat alakú:

ami a holomorf háromszögek megszámlálásával határozható meg. Azaz veszünk egy háromszöget, aminek csúcsai és élei a megfelelő metszéspontokra és Lagrange-részsokaságokra képeződnek.

Erről a témáról szólnak Fukaya, Oh, Ono, és Ohta cikkei; Lalonde és Cornea cikke a klaszterhomológiáról egy másik megközelítést ad. Két Lagrange-részsokaság Floer-homológiája nem mindig létezik; ha mégis, akkor megakadályozza, hogy egy Hamilton-izotópia a Lagrange-részsokaságot elszakítsa egymástól.

A Floer-homológia több esetben is a Lagrange-Floer-homológia speciális esete. Az M sokaság szimplektomorfizmusának  szimplektikus Floer-homológiája felfogható úgy, hogy a befoglaló sokaság M kereszt M, és a részsokaságok a szimplektomorfizmus átlója és grafikonja. A Heegaard-Floer-homológia konstrukciója szintén a Lagrange-Floer-homológia egy változatán alapul, ahol a homológiát teljesen valós részsokaságokra alkalmazzuk, és ezeket egy három-sokaság Heegaard-vágásával nyerjük.  Seidel-Smith és Manolescu egy láncinvariánst konstruált a Lagrange-Floer-homológia speciális esetére, ami a sejtések szerint megegyezik a kombinatokikusan definiált Khovanov-homológiával.

Atiyah–Floer-sejtés
Az Atiyah–Floer-sejtés összekapcsolja az instanton és a Lagrange-Floer-homológiát. 
Legyen Y egy három-sokaság  Heegaard-hasítással a  felület mentén. Ekkor  lapos kapcsolatai modulo gauge ekvivalencia egy 6g-6 dimenziós szimplektikus sokaság, ahol g a  nemszáma. A Heegard-hasításban  két három-sokasághoz tartozik. A lapos kapcsolatok tere modulo gauge ekvivalencia minden határos három-sokaságon  Lagrange-részsokasága  kapcsolatterének. Vehetjük e kettő Lagrange-Floer-homológiáját. Másként, vegyük az Y instanton Floer-homológiáját. Az Atiyah–Floer-sejtés azt állítja, hogy ez a két invariáns izomorf.  egy számítógépes programmal próbálja bizonyítani a sejtést.

Kapcsolat a tükörszimmetriával
Maxim Kontsevich  homologikus tükörszimmetria-sejtése egyenlőséget feltételez a  Calabi–Yau-sokaság Lagrange-részsokaságainak Lagrange-Floer-homológiája és a Calabi–Yau-sokaságon koherens nyalábok Ext csoportja között. Ebben a helyzetben érdemes a Floer-homológia helyett a Floer-lánccsoportokat venni. A nadrágszorzathoz hasonlóan pszeudoholomorf n-szögekből multikompozíciók építhetők. Ezek a kompozíciók eleget tesznek az -relációknak, és alkotják a Fukaya kategóriát, ami az  kategóriájú szimplektikus sokaságok Lagrange-részsokaságának kategóriája.

Még pontosabban, a Lagragnge-részsokaságokat ellátjuk fokokkal és spin szerkezettel. Ezzel a fizikai szóhasználattal bránokat kapunk. A homologikus tükörszimmetria-sejtés szerint van egy származtatott  Morita-ekvivalencia a Calabi–Yau X Fukaya-kategóriája és a  dg kategória között, ami hsatárolt származtatott kategóriája a koherens tükörnyaláboknak, és ez fordítva is igaz.

Szimplektikus mezőelmélet
Ez a kontakt sokaságok és a közöttük levő szimplektikus kobordizmusok invariánsa, amit először  Yakov Eliashberg, Alexander Givental és Helmut Hofer vizsgált. A szimplektikus mezőelmélet, és szuibkomplex, racionális szimplektikus mezőelmélet és a kontakt homológia differenciálalgebrák homológiájaként van definiálva, amiket a választott kontakt forma Reeb-vektormezőjének zárt orbitjai generálnak. A differenciál bizonyos holomorf görbéket számol a kontakt sokaság fölötti hengerben, ahol a triviális példák a zárt Reeb-orbitok fölötti hengerek elágazó fedései.

Ide tartozik a lineáris homológiaelmélet, amit hengeres vagy linearizált kontakt homológiának is neveznek, és amit néha kontakt homológiának rövidítenek, ha nem áll fenn az összetévesztés veszélye. Ennek lánccsoportjai vektorterek, amiket a zárt orbitok generálnak, és aminek differenciálja csak a holomorf hengereket számolja. Azonban mindez nem definiálható; akadályt jelentenek a holomorf körlemezek, és a reguláris és transzverszális eredmények hiánya. Ha a hengeres kontakt homológiának van értelme, akkor látható, hogy a szabad huroktéren a hatásfunkcionál (némileg módosított) Morse-homológiájának tekinthető, ami a hurok fölötti kontakt alfa forma integráljába küldi a hurkokat. A Reeb-orbitok ennek a funkcionálnak a kritikus pontjai.

Az SFT  egy kontakt sokaság Lagrange-részsokaságához annak egy további relatív invariánsát is hozzárendeli, amit relatív kontakt homológiaként ismernek. Generátorai Reeb-húrok, amelyek a Reeb-vektormezőnek a Lagrange-sokaságban kezdődő és végződő trajektóriái, és differenciálja bizonyos holomorf szalagokat számol a kontakt sokaság szimplektifikáltjában, amelyek végei aszimptotikusak a Reeb-húrokkal

Az SFT-ben a kontakt sokaságok helyettesíthetők szimplektomorfizmussal ellátott szimplektikus sokaságok leképezéstóruszaival. Míg a hengeres kontakt homológia jóldefiniált, és a szimplektikus sokaságok szimplektomorfizmusára alapul, a (racionális) szimplektikus mezőelmélet és kontakt homológia a szimplektikus Floer-homológia általánosításának tekinthető. Abban az esetben, amikor a szimplektomorfizmus egy időtől függő Hamilton-sokaság pillanatfelvétele, megmutatható, hogy a magasabb invariénsok nem hordoznak további információt.

Floer-homotópia
A Floer-homológia konstrukciójának egyik módja az, hogy konstruálunk objektumokat, amelynek rendes homológiája a kívánt Floer-homológia. Más homológiaelméletek egy ilyen spektrumra további érdekes invariánsokat adnak. Ezt a stratégiát javasolta Ralph Cohen, John Jones, és Graeme Segal, és a Seiberg–Witten–Floer-homológia bizonyos eseteire  és a Cohen-kotangensbundle  szimplektikus Floer-homológiájára. Ez volt az alapja Manolescu 2013-as konstrukciója Pin (2)-ekvivariáns Seiberg-Witten-Floer-homológiájának, amivel sikerült a háromszögsejtést elvetni öt és magasabb dimenziókra.

Analitikus megalapozás
A Floer-homológiák legtöbbjét nem konstruálták meg teljesen és matematikailag elvárható pontossággal. Technikai nehézségek adódnak, ha elkezdik analitikusan vizsgálni ezeket, különösen a pszeudoholomorf görbék kompaktifikált modulustereinek konstruálása közben. Azonban Hofer, Kris Wysocki és Eduard Zehnder a polifoldelméletük és az általános Fredholm-elmélet felhasználásával új analitikus alapokat teremtett. A polifoldelmélet még nem teljes, emiatt a gyakrabban használt esetekre egyszerűbb módszereket találtak ki. A két konstrukció között kapcsolatokat mutattak ki.

Számítása
A Floer-homológia többnyire nem számítható egyszerűen. Például a szimplektikus homológia összes felület szimplektomorfizmusára csak 2007-ben sikerült eljárást találni. A Heegaard-Floer-homológia sikertörténetnek tekinthető; az algebrai szerkezet segítségével három-sokaságok különféle osztályaira számítható, továbbá kombinatorikus algoritmusokat is találtak. Kapcsolódik az ismert invariánsokhoz, szerkezetekhez, és a három-sokaságok topológiájába is jobban be lehetett tekinteni.

Fordítás

Források

Könyvek

Cikkek

 Project Euclid

Topológia
A Floer-homológia a matematikában egy eszköz az alacsony dimenziós topológia és a szimplektikus geometria tanulmányozására . A Floer-homológia egy invariáns , ami a véges dimenziós Morse-homológia végtelen dimenziós analógjaként adódik . Az első verziót Andreas Floer vezette be az Arnold-sejtés bizonyításához a szimplektikus geometriában . Ezt ma Hamilton-féle Floer-homológiának nevezzük . Floer emellett a szimplektikus sokaságok Lagrange-részsokaságaira is kifejlesztett egy kapcsolódó elméletet . Floer harmadik konstrukciója a homológiacsoportokat zárt három dimenziós sokaságokkal kapcsolja össze a Yang–Mills-funkcionál segítségével . Ezek és a belőlük levezethető konstrukciók alapvetőek a század elejének topológiájában a szimplektikus , a kontakt , a három és a négy dimenziós sokaságok vizsgálatához . A Floer-homológiát rendszerint úgy definiálják , hogy a vizsgált objektumot asszociálják egy végtelen dimenziós sokasággal , és egy rajta értelmezett valós értékű függvénnyel . A szimplektikus változatban ez a szimplektikus sokaság szabad huroktere a szimplektikus hatás függvénnyel . A három dimenziós sokaságoknál ( instanton verzió ) ez a sokaság SU( 2)-kapcsolatainak tere a Chern–Simons-funkcionállal . Informálisan , a Floer-homológia a végtelen dimenziós sokaságon értelmezett függvény Morse-homológiája . A Floer-lánckomplexust a függvény kritikus pontjai által kifeszített Abel-csoport alkotja , vagy a kritikus pontok egy halmaza . A lánckomplexus differenciálja a függvény gradiensének bizonyos kritikus pontokat összekötő folyamvonalainak száma . A Floer-homológia ennek a lánckomplexusnak a homológiája . Floer ötletei alkalmazhatók a gradiens folyamvonal-egyenleteknél . Ennek rendszerint valamilyen geometriai jelentése van , és analitikusan kezelhető . Szimplektikus esetben a huroktér egy útvonalának gradiens folyamegyenletének köze van egy henger leképezéséhez a vizsgált sokaságra , mégpedig annak a leképezésnek Cauchy–Riemann-egyenletének perturbáltja . A megoldásokat pszeudoholomorf görbéknek nevezik . A Gromov-perturbációtétellel megmutatják , hogy a differenciál jóldefiniált és négyzete nulla , így a Floer-homológia alkalmazható . Instanton esetben a gradiens folyamegyenletek megegyeznek a valós egyenessel keresztezett sokaság Yang-Mills-egyenleteivel . Szimplektikus Floer-homológia A szimplektikus Floer-homológia ( SFH ) a szimplektikus sokaságokhoz és a rajtuk definiált nem degeneratív szimplektomorfizmusokhoz kapcsolódó homológiaelmélet . Ha a szimplektomorfizmus Hamilton , akkor a homológia a szimplektikus sokaság szabad hurokterének univerzális fedésén definiált szimplektikus hatásfunkcionáljából adódik . Itt a nem degeneratív azt jelenti , hogy aznem sajátértéke egyik fixpont szimplektomorfizmusának deriváltjának sem . Ebből a feltételből következik , hogy a fixpontok izoláltak . Az SFH azokkal a lánckomplexusokkal foglalkozik , amiket egy ilyen szimplektomorfizmus fixpontjai generálnak , ahol a differenciál bizonyos pszeudoholomorf görbéket számol meg a valós egyenes és a szimplektomorfizmus leképezéstóruszának szorzatán . Ez szintén egy szimplektikus sokaság , de dimenziója kettővel több , mint az eredetié . A megfelelő majdnem komplex struktúra megválasztása érdekében a benne futó véges energiájú pontozott holomorf görbék henger alakban végződnek , és aszimptotikusak a lerképezéstórusz hurkaival , és megfelelnek a szimplektomorfizmus fixpontjainak . Relatív index definiálható a fixpontpárok között , és a differenciál azokat a holomorf hengereket számolja , amiknek relatív indexe Egy kompakt sokaság Hamilton-szimplektomorfizmusának szimplektikus Floer-homológiája izomorf a vizsgált sokaság szinguláris homológiájával . Így az adott sokaság Betti-számainak összege azt az alsó korlátot adja , amit az Arnold-sejtés egy változata megjósol egy nem degenerált szimplektomorfizmus fixpontjainak számára . Egy Hamilton-szimplektomorfizmus SFH-jának van egy szorzata , ami nadrágszerű ; ez egy deformált cup szorzata , ami ekvivalens a kvantum kohomológiával . Egy M sokaság kotangensbundléja esetén a Floer-homológia attól függ , hogy melyik hamiltonit választjuk , és attól , hogy a sokaság nem kompakt . A végtelenben kvadratikus hamiltoniakra a Floer-homológia az M szabad hurokterének szinguláris homológiája . Ezt már több alkalommal is bebizonyították , így Viterbo , Salamon–Weber , Abbondandolo–Schwarz , és Cohen . Vannak további műveletek a kontangensbundle Floer-homológiáján , amelyek megfelelnek a string topológia műveleteinek a vizsgált sokaság hurokterének homológiáján . A homologikus tükörszimmetria-sejtés képletében is megjelenik a Floer-homológia , bár ezt elég gyötrelmes megmutatni . PSS izomorfizmus 1996-ban S. Piunikhin , D. Salamon és M. Schwarz összefoglalta azt , amit akkor a Floer-homológia és a kvantumkohomológia kapcsolatáról tudtak : Egy ( M,ω ) félpozitív szimplektikus sokaság hurokterének Floer-kohomológiacsoportjai természetesen izomorfak M közönséges kohomológia és egy alkalmas Novikov-gyűrű tenzorszorzatával , ahol a Novikov-gyűrű a fedő transzformációkkal áll kapcsolatban . Az izomorfizmus intertwines az M kohomológiájának kvantum cup szorzatát a Floer-homológia nadrágszorzatával . A félpozitív és a kompakt tulajdonságoknak azért kell teljesülniük az M sokaságra , hogy legyen Novikov-gyűrű , és hogy egyaránt lehessen definiálni Floer-homológiát és kvantumkohomológiát . A félpozitív tulajdonsághoz a következőknek kell teljesülniük : minden A ∈ π2( M ) , ahol λ≥0 ( M monoton ) minden A ∈ π2( M ) . A minimális N ≥ 0 Chern-szám , amit definiál , legalább n − 2. A szimplektikus M sokaság kvantumkohomológia-csoportja definiálható , mint M közönséges kohomológiájának tenzori szorzata a Λ Novikov-gyűrűvel , vagyis Ez a konstrukció magyarázza , hogy M majdnem komplex struktúrája és a Floer-homológiába vivő izomorfizmus függetlenül választható . Ez utóbbi ötlete a Morse-elméletből és a pszeudoholomorf görbékből származik , aminek hátterében felismerhető a Poincaré-dualitás a homológia és a kohomológia között . A három-sokaságok Floer-homológiája A zárt három-sokaságokhoz több Floer-homológia is tartozik , amelyek a sejtések szerint ekvivalensek . Mindegyik három fajta homológiacsoportot ad , amelyek egy egzakt háromszögbe illeszkednek . Egy csomó egy három-sokaságban egy szűrést vezet be minden elmélet lánckomplexusán , amelyik lánchomológiájának típusa csomóinvariáns . Homológiáik hasonló formális tulajdonságoknak tesznek eleget , mint a kombinatorikusan definiált Khovanov-homológia . Ezek a homológiák kapcsolatban állnak a négy dimenziós sokaságok Donaldson- és Seiberg-invariánsaival , továbbá a szimplektikus négy-sokaságok Taubes-Gromov-invariánsaival . Az ezekben az elméletekben tanulmányozott megfelelő három-sokaságok homológiáinak differenciáljait abból a szempontból is vizsgálják , hogy mik a megoldásai a vonatkozó differenciálegyenleteknek ( Yang–Mills , Seiberg–Witten , és Cauchy–Riemann ) a három-sokaság kereszt R-en . A három-sokaságok Floer-homológiája célja lehet a határolt négy-sokaságok relatív invariánsainak , a zárt négy-sokaság invariánsainak ragasztási konstrukcióihoz ; amely négy-sokaságok úgy keletkeztek , hogy határolt három-sokaságokat ragasztottak össze a határuknál . EZ már közel áll a topológiai kvantummező-elmélethez . A Heegaard-Floer-homológia szempontjából először a három-sokaságot definiálják , majd a négy-sokaság invariánsát ez alapján fejezik ki . A három-sokaságok homológiái többféleképpen is kiterjeszthetők határos három-sokaságok homológiáivá : az egyik a sutured homológia , a másik a határos Floer-homológia . Ezek kapcsolatban állnak a három-sokaságok bizonyos ivariánsaival ; a kapcsolatot két határos sokaság összeragasztásával keletkező három-sokaságok ragasztó képletei hozzák létre a Floer-homológia számára . A kontakt struktúrával ellátott három-sokaságok Floer-homológiái a homológia egy kiemelt elemével is el vannak látva . Ezt Kronheimer és Mrowka ismerte fel a Seiberg–Witten esetben . A beágyazott kontakt homológia definiálásához szükséges megadni egy konkrét kontakt struktúrát , egyébként nem . A beágyazott kontakt homológiához lásd Hutchings . Mindegyik elmélet egy saját a priori relatív fokrendszerrel van ellátva ; ezek felemelhetők abszolút fokrendszerré . , amelyek irányított két-sokaságok homotópiaosztályai . Ezt tudjuk a következő szerzőktől : Kronheimer és Mrowka ( SWF ) , Gripp és Huang ( for HF ) , és Hutchings ( for ECH ) . Cristofaro-Gardiner megmutatta , hogy Taubes izomorfizmusa ECH és a Seiberg-Witten Floer-kohomológia között megőrzi az abszolút fokrendszert . Instanton Floer-homológia Egy egy invariáns a három-sokaságok számára , ami a Donaldson-elmélethez kapcsolódik , és személyesen Floer vezette be . Megkapható , ha alkalmazzuk a Chern–Simons-funkcionált egy principális SU( 2)-bundle kapcsolatterére . Kritikus pontjai lapos kapcsolatok , és folyamvonalai instantonok , azaz anti-önduális kapcsolatok a három-sokaság és a valós számegyenes keresztezésén . Az instanton Floer-homológia tekinthető a Casson-invariéns általánosításának , mivel a Floer-homológia Euler-invariánsa megegyezik a Casson-invariánssal . Nem sokkal a Floer-homológia bevezetése után Donaldson észrevette , hogy a kobordizmusok leképezéseket indukálnak . Ez volt az első struktúra , ami később beilleszkedett a topologikus kvantummező-elméletbe . Seiberg–Witten–Floer-homológia A Seiberg–Witten–Floer-homológia , avagy monopólus Floer-homológia egy homológiaelmélet sima három-sokaságokra , amelyek spinc strukturával vannak ellátva . Tekinthetjük a sokaságon levő U( 1 ) kapcsolatain értelmezett Chern-Simons-Dirac-funkcionál Morse-homológiájának . Az asszociált gradiens folyamegyenlet megfelel a három-sokaság és a valós egyenes keresztezésén értelmezett Seiberg-Witten-egyenletnek . Ekvivalensen , a lánckomplexusok generátorai eltolásinvariáns megoldásai ( monopólusai ) ezeknek az egyenleteknek . A differenciál azokat a megoldást számolja , amelyek aszimptotikusak a végtelenben és a mínusz végtelenben invariáns megoldásokkal . A Seiberg-Witten-Floer-homológiát precízen Peter Kronheimer és Tomasz Mrowka vezette be a Monopoles and Three-manifolds című monográfiájában . Innen monopólus Floer-homológiaként is ismert . Taubes megmutatta , hogy izomorf a beágyazott kontakt homológiával . A három-gömbök racionális homológiájának alternatív SWF konstrukciója Manolescués Frøyshovkonstrukciója , ami független a monopólusos konstrukciótól . Heegaard-Floer-homológia A Heegaard-Floer-homológia Ozsváth Péter és Szabó Zoltán szerint egy spinc-vel ellátott zárt három-sokaság invariánsa . A Lagrange-Floer homológiához hasonló konstrukcióval számítható a tér Heegaard-diagramja alapján. bizonyítása alapján a Heegaard-Floer-homológia izomorf a Seiberg-Witten-Floer homológiával. bizonyította , hogy a Heegaard-Floer-homológia plusz verziója az irányítás megfordításával izomorf a beágyazott kontakt homológiával . Egy három-sokaságban levő csomó egy szűrést indukál a Heegaard-Floer-homológiacsoportokon , és a szűréssel nyert homológiatípus egy sok mindenre használható csomóinvariáns , ami még az Alexander-polinomokat is kategorizálja . A csomók Floer-homológiáját egyrészt , másrészt tőlük függetlenül definiálta . Erről tudjuk , hogy detektálja a csomó génuszát . A Heegaard-hasítás hálózati diagramjával a csomók Floer-homológiájára konstrukciót adott \ . Az S^3 dupla fedésének egy csomó fölötti Heegaard Floer-homológiája kapcsolódik a Khovanov-homolóügia spektrális sorozatához . A Heegaard-Floer-homológia kalap verzióját írta le kombinatorikusan . A plusz és a mínusz verziókat , továbbá a négy-sokaságok kapcsolódó Ozsváth-Szabó-invariánsait írta le kombinatorikusan . Beágyazott kontakt Floer-homológia A beágyazott kontakt Floer-homológia Michael Hutchings szerint a megkülönböztető másodlagos homológiával ellátott három-sokaságok egy invariánsa . Clifford Taubes munkássága alapján izomorf a Seiberg–Witten-Floer-kohomológiával . Ebből következik , hogy a fordított irányítású Heegaard-Floer-homológiával is izomorf , ahogy és megmutatta . Tekinthető a Taubes-Gromov-invariáns kiterjesztésének , amiről ismert , hogy ekvivalens a Seiberg–Witten-invariánssal . Ez az invariáns zárt négy-sokaságokat bizonyos nem kompakt szimplektikus négy-sokaságokra képez . Konstrukciója analóg a szimplektikus mezőelmélettel , amiben bizonyos zárt Reeb-orbitok halmaza generálja . Differenciálja bizonyos holomorf görbéket számol , amik bizonyos zárt Reeb-orbitok halmazában végződnek . Technikailag különbözik az SFT-től , mivel Reeb-orbitok egy másik halmaza generálja , és nem számol meg minden holomorf görbét , aminek Fredholm-indexe és végei adottak . A számolás topológiai feltételét az ECH-index adja ; ebbőlé következően a görbék beágyazottnak tekinthetők . A Weinstein-sejtést Taubes bizonyította . EZ azt állítja , hogy minden kontakt három-sokaságnak van Reeb-orbitja , ha ECH-ja nem triviális . Taubes módszerei az ECH-n alapultak ; a bizonyítás kiterjesztése izomorfizmust adott az ECH és az SWF között . Az ECH több konstrukciója is ezen alapul , így például a jóldefiniáltság is belátható . Az ECH kontakt eleme egy kör , ami a Reeb-orbitok üres halmazával áll kapcsolatban . A beágyazott kontakt homológia egy analógja definiálható egy felszín szimplektomorfizmusainak tóruszainak leképezéseire . Ezt periodikus Floer-homológiának nevezik , ami a szimplektikus Floer-homológiát terjeszti ki felszín szimplektomorfizmusokká . Általánosítva definiálható bármely stabil Hamilton-struktúrára a három-sokaságon ; ahogy a kontakt struktúrák , a stabil Hamilton-struktúrák egy nem eltűnő vektormezőt definiálnak ; ez a Reeb-vektormező . Hutchings és Taubes bizonyította rájuk a Weinstein-sejtést , azaz hogy mindig vannak zárt orbitjaik , kivéve ha lapos tóruszok tóruszait képezik le . Lagrange-Floer-homológia A Lagrange-Floer-homológia a szimplektikus sokaságok Lagrange-részsokaságainak metszetének homológiája . A két részsokaság metszéspontjai által generált lánckomplexus homológiája . Differenciálja a Whitney-körlemezeket számolja . Ha L0 , L1 és L2 egy szimplektikus sokaság részsokaságai , alkkor a Lagrange-Floer-homológia szorzat alakú : ami a holomorf háromszögek megszámlálásával határozható meg . Azaz veszünk egy háromszöget , aminek csúcsai és élei a megfelelő metszéspontokra és Lagrange-részsokaságokra képeződnek . Erről a témáról szólnak Fukaya , Oh , Ono , és Ohta cikkei ; Lalonde és Cornea cikke a klaszterhomológiáról egy másik megközelítést ad . Két Lagrange-részsokaság Floer-homológiája nem mindig létezik ; ha mégis , akkor megakadályozza , hogy egy Hamilton-izotópia a Lagrange-részsokaságot elszakítsa egymástól . A Floer-homológia több esetben is a Lagrange-Floer-homológia speciális esete . Az M sokaság szimplektomorfizmusának szimplektikus Floer-homológiája felfogható úgy , hogy a befoglaló sokaság M kereszt M , és a részsokaságok a szimplektomorfizmus átlója és grafikonja . A Heegaard-Floer-homológia konstrukciója szintén a Lagrange-Floer-homológia egy változatán alapul , ahol a homológiát teljesen valós részsokaságokra alkalmazzuk , és ezeket egy három-sokaság Heegaard-vágásával nyerjük . Seidel-Smith és Manolescu egy láncinvariánst konstruált a Lagrange-Floer-homológia speciális esetére , ami a sejtések szerint megegyezik a kombinatokikusan definiált Khovanov-homológiával . Atiyah–Floer-sejtés Az Atiyah–Floer-sejtés összekapcsolja az instanton és a Lagrange-Floer-homológiát . Legyen Y egy három-sokaság Heegaard-hasítással a felület mentén . Ekkor lapos kapcsolatai modulo gauge ekvivalencia egy-6 dimenziós szimplektikus sokaság , ahol g a nemszáma . A Heegard-hasításban két három-sokasághoz tartozik . A lapos kapcsolatok tere modulo gauge ekvivalencia minden határos három-sokaságon Lagrange-részsokasága kapcsolatterének . Vehetjük e kettő Lagrange-Floer-homológiáját . Másként , vegyük az Y instanton Floer-homológiáját . Az Atiyah–Floer-sejtés azt állítja , hogy ez a két invariáns izomorf. egy számítógépes programmal próbálja bizonyítani a sejtést . Kapcsolat a tükörszimmetriával Maxim Kontsevich homologikus tükörszimmetria-sejtése egyenlőséget feltételez a Calabi–Yau-sokaság Lagrange-részsokaságainak Lagrange-Floer-homológiája és a Calabi–Yau-sokaságon koherens nyalábok Ext csoportja között . Ebben a helyzetben érdemes a Floer-homológia helyett a Floer-lánccsoportokat venni . A nadrágszorzathoz hasonlóan pszeudoholomorf n-szögekből multikompozíciók építhetők . Ezek a kompozíciók eleget tesznek az -relációknak , és alkotják a Fukaya kategóriát , ami az kategóriájú szimplektikus sokaságok Lagrange-részsokaságának kategóriája . Még pontosabban , a Lagragnge-részsokaságokat ellátjuk fokokkal és spin szerkezettel . Ezzel a fizikai szóhasználattal bránokat kapunk . A homologikus tükörszimmetria-sejtés szerint van egy származtatott Morita-ekvivalencia a Calabi–Yau X Fukaya-kategóriája és a dg kategória között , ami hsatárolt származtatott kategóriája a koherens tükörnyaláboknak , és ez fordítva is igaz . Szimplektikus mezőelmélet Ez a kontakt sokaságok és a közöttük levő szimplektikus kobordizmusok invariánsa , amit először Yakov Eliashberg , Alexander Givental és Helmut Hofer vizsgált . A szimplektikus mezőelmélet , és szuibkomplex , racionális szimplektikus mezőelmélet és a kontakt homológia differenciálalgebrák homológiájaként van definiálva , amiket a választott kontakt forma Reeb-vektormezőjének zárt orbitjai generálnak . A differenciál bizonyos holomorf görbéket számol a kontakt sokaság fölötti hengerben , ahol a triviális példák a zárt Reeb-orbitok fölötti hengerek elágazó fedései . Ide tartozik a lineáris homológiaelmélet , amit hengeres vagy linearizált kontakt homológiának is neveznek , és amit néha kontakt homológiának rövidítenek , ha nem áll fenn az összetévesztés veszélye . Ennek lánccsoportjai vektorterek , amiket a zárt orbitok generálnak , és aminek differenciálja csak a holomorf hengereket számolja . Azonban mindez nem definiálható ; akadályt jelentenek a holomorf körlemezek , és a reguláris és transzverszális eredmények hiánya . Ha a hengeres kontakt homológiának van értelme , akkor látható , hogy a szabad huroktéren a hatásfunkcionál ( némileg módosított ) Morse-homológiájának tekinthető , ami a hurok fölötti kontakt alfa forma integráljába küldi a hurkokat . A Reeb-orbitok ennek a funkcionálnak a kritikus pontjai . Az SFT egy kontakt sokaság Lagrange-részsokaságához annak egy további relatív invariánsát is hozzárendeli , amit relatív kontakt homológiaként ismernek . Generátorai Reeb-húrok , amelyek a Reeb-vektormezőnek a Lagrange-sokaságban kezdődő és végződő trajektóriái , és differenciálja bizonyos holomorf szalagokat számol a kontakt sokaság szimplektifikáltjában , amelyek végei aszimptotikusak a Reeb-húrokkal Az SFT-ben a kontakt sokaságok helyettesíthetők szimplektomorfizmussal ellátott szimplektikus sokaságok leképezéstóruszaival . Míg a hengeres kontakt homológia jóldefiniált , és a szimplektikus sokaságok szimplektomorfizmusára alapul , a ( racionális ) szimplektikus mezőelmélet és kontakt homológia a szimplektikus Floer-homológia általánosításának tekinthető . Abban az esetben , amikor a szimplektomorfizmus egy időtől függő Hamilton-sokaság pillanatfelvétele , megmutatható , hogy a magasabb invariénsok nem hordoznak további információt . Floer-homotópia A Floer-homológia konstrukciójának egyik módja az , hogy konstruálunk objektumokat , amelynek rendes homológiája a kívánt Floer-homológia . Más homológiaelméletek egy ilyen spektrumra további érdekes invariánsokat adnak . Ezt a stratégiát javasolta Ralph Cohen , John Jones , és Graeme Segal , és a Seiberg–Witten–Floer-homológia bizonyos eseteire és a Cohen-kotangensbundle szimplektikus Floer-homológiájára . Ez volt az alapja Manolescuas konstrukciója Pinekvivariáns Seiberg-Witten-Floer-homológiájának , amivel sikerült a háromszögsejtést elvetni öt és magasabb dimenziókra . Analitikus megalapozás A Floer-homológiák legtöbbjét nem konstruálták meg teljesen és matematikailag elvárható pontossággal . Technikai nehézségek adódnak , ha elkezdik analitikusan vizsgálni ezeket , különösen a pszeudoholomorf görbék kompaktifikált modulustereinek konstruálása közben . Azonban Hofer , Kris Wysocki és Eduard Zehnder a polifoldelméletük és az általános Fredholm-elmélet felhasználásával új analitikus alapokat teremtett . A polifoldelmélet még nem teljes , emiatt a gyakrabban használt esetekre egyszerűbb módszereket találtak ki . A két konstrukció között kapcsolatokat mutattak ki . Számítása A Floer-homológia többnyire nem számítható egyszerűen . Például a szimplektikus homológia összes felület szimplektomorfizmusára csakben sikerült eljárást találni . A Heegaard-Floer-homológia sikertörténetnek tekinthető ; az algebrai szerkezet segítségével három-sokaságok különféle osztályaira számítható , továbbá kombinatorikus algoritmusokat is találtak . Kapcsolódik az ismert invariánsokhoz , szerkezetekhez , és a három-sokaságok topológiájába is jobban be lehetett tekinteni . Fordítás Források Könyvek Cikkek Project Euclid Topológia