Pitagoraszi prímek
A pitagoraszi prímek 4n + 1 alakban felírható prímszámok. Ezek pontosan azok a páratlan prímek, melyek felírhatók két négyzetszám összegeként.

Ezzel ekvivalens megfogalmazás, hogy a Pitagorasz-tétel alapján olyan p prímszámokról van szó, melyekre  egész befogójú derékszögű háromszög átfogójának hossza, valamint olyan p prímszámok, melyeknél p maga is pitagoraszi háromszög átfogója. Például az 5 pitagoraszi prím,  az 1 és 2 befogójú derékszögű háromszög átfogója, 5 pedig a 3 és 4 befogójúé.

Értékek és sűrűség
Az első néhány pitagoraszi prímszám:
5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, ... .
A számtani sorozatokra vonatkozó Dirichlet-tétel alapján ez a sorozat végtelen sok elemet tartalmaz. Ennél erősebb állítás, hogy bármely n természetes számra a pitagoraszi és nem pitagoraszi prímek száma nagyjából megegyezik. A tapasztalatok alapján azonban a pitagoraszi prímek száma általában valamivel kisebb a nem pitagorasziaknál, ezt a jelenséget Csebisev-torzításnak  nevezik.
Például a -nél kisebb n értékek közül csak -re és -re igaz, hogy több nála kisebb páratlan pitagoraszi prím létezik, mint nem pitagoraszi.

Kifejezhetőség két négyzetszám összegeként
Egy páratlan és egy páros szám négyzetének összege mindig kongruens 1 mod 4, de léteznek olyan összetett számok – ilyen például a 21 –, melyek ≡1 mod 4 és mégsem fejezhetők ki két négyzetszám összegeként.
A kétnégyzetszám-tétel kimondja, hogy a két négyzetszám összegeként kifejezhető prímszámok egész pontosan a 2 és azok a páratlan prímek, melyek ≡1 mod 4. Az ilyen számok négyzetszámösszegként való kifejezése egyedi, a két négyzetszám sorba rendezésének erejéig.

A Pitagorasz-tétel segítségével ez a felírás geometriailag is értelmezhető: a pitagoraszi prímek éppen azok a páratlan p prímszámok, melyekhez létezik egész oldalú befogókkal rendelkező derékszögű háromszög, melynek átfogója . Ezek éppen azok a p prímszámok, melyekhez létezik egész oldalhosszúságú derékszögű háromszög, melynek átfogója p hosszúságú. Hiszen ha az x és y a befogó,  az átfogó (feltehetjük, hogy x > y), akkor az x2 − y2 és 2xy befogókkal rendelkező derékszögű háromszög átfogója éppen p.

A négyzetösszeg szemléletes megértésének másik módja a Gauss-egészeket hívja segítségül; ezek olyan komplex számok, melyek valós és imaginárius része is egész szám.
Az x + yi Gauss-egész normája x2 + y2.
Így a pitagoraszi prímek (és a 2) Gauss-egészek normáiként jelentkeznek, míg a többi prím nem. A Gauss-egészek körében a pitagoraszi prímek nem prímszámok, mivel felbonthatók:
p = (x + yi)(x − yi).
Hasonló módon a négyzetük is felbontható, a prímtényezős felbontástól eltérő módon:
p2 = (x + yi)2(x − yi)2 = (x2 − y2 + 2xyi)(x2 − y2 − 2xyi).
A felbontásban szereplő tényezők valós és imaginárius részei az adott derékszögű háromszögek befogói hosszának felelnek meg.

Kvadratikus maradékok
A kvadratikus reciprocitás tétele alapján ha p és q különböző páratlan prímek, melyek közül legalább az egyik pitagoraszi, akkor p akkor és csak akkor kvadratikus maradék mod q, ha q kvadratikus maradék mod p; megfordítva, ha sem p, sem q nem pitagoraszi prím, akkor p akkor és csak akkor kvadratikus maradék mod q, ha q nem kvadratikus maradék mod p.

A Z/p véges test felett, ahol p pitagoraszi prím, az x2 = −1 egyenletnek két megoldása van. Ez úgy is megfogalmazható, hogy a −1 kvadratikus maradék mod p. Megfordítva, az egyenletnek nincs megoldása a Z/p véges test felett, ha p páratlan prím ugyan, de nem pitagoraszi.

Minden p pitagoraszi prímhez hozzárendelhető egy p csúcsú Paley-gráf, ami a modulo p számokat jelképezi; a gráfban két szám akkor és csak akkor szomszédos, ha különbségük kvadratikus maradék. Ez a definíció ugyanazt a szomszédsági relációt eredményezi a kivonandó számok sorrendjétől függetlenül, a pitagoraszi prímek azon tulajdonsága miatt, hogy a −1 kvadratikus maradék.

Jegyzetek

További információk
 
 Sloane’s A007350: Where prime race 4n-1 vs. 4n+1 changes leader

Prímszámok
A pitagoraszi prímek + 1 alakban felírható prímszámok . Ezek pontosan azok a páratlan prímek , melyek felírhatók két négyzetszám összegeként . Ezzel ekvivalens megfogalmazás , hogy a Pitagorasz-tétel alapján olyan p prímszámokról van szó , melyekre egész befogójú derékszögű háromszög átfogójának hossza , valamint olyan p prímszámok , melyeknél p maga is pitagoraszi háromszög átfogója . Például azpitagoraszi prím , azésbefogójú derékszögű háromszög átfogója,pedig aésbefogójúé . Értékek és sűrűség Az első néhány pitagoraszi prímszám : 5,\... \ . A számtani sorozatokra vonatkozó Dirichlet-tétel alapján ez a sorozat végtelen sok elemet tartalmaz . Ennél erősebb állítás , hogy bármely n természetes számra a pitagoraszi és nem pitagoraszi prímek száma nagyjából megegyezik . A tapasztalatok alapján azonban a pitagoraszi prímek száma általában valamivel kisebb a nem pitagorasziaknál , ezt a jelenséget Csebisev-torzításnak nevezik . Például a -nél kisebb n értékek közül csak -re és -re igaz , hogy több nála kisebb páratlan pitagoraszi prím létezik , mint nem pitagoraszi . Kifejezhetőség két négyzetszám összegeként Egy páratlan és egy páros szám négyzetének összege mindig kongruensmod 4 , de léteznek olyan összetett számok – ilyen például a– , melyek ≡1 mod 4 és mégsem fejezhetők ki két négyzetszám összegeként . A kétnégyzetszám-tétel kimondja , hogy a két négyzetszám összegeként kifejezhető prímszámok egész pontosan aés azok a páratlan prímek , melyek ≡1 mod 4. Az ilyen számok négyzetszámösszegként való kifejezése egyedi , a két négyzetszám sorba rendezésének erejéig . A Pitagorasz-tétel segítségével ez a felírás geometriailag is értelmezhető : a pitagoraszi prímek éppen azok a páratlan p prímszámok , melyekhez létezik egész oldalú befogókkal rendelkező derékszögű háromszög , melynek átfogója \ . Ezek éppen azok a p prímszámok , melyekhez létezik egész oldalhosszúságú derékszögű háromszög , melynek átfogója p hosszúságú . Hiszen ha az x és y a befogó , az átfogó ( feltehetjük , hogy x > y ) , akkor az x2 − y2 ésy befogókkal rendelkező derékszögű háromszög átfogója éppen p. A négyzetösszeg szemléletes megértésének másik módja a Gauss-egészeket hívja segítségül ; ezek olyan komplex számok , melyek valós és imaginárius része is egész szám . Az x + yi Gauss-egész normája x2 + y2. Így a pitagoraszi prímek ( és aGauss-egészek normáiként jelentkeznek , míg a többi prím nem . A Gauss-egészek körében a pitagoraszi prímek nem prímszámok , mivel felbonthatók : p = ( x + yi ) ( x − yi ) . Hasonló módon a négyzetük is felbontható , a prímtényezős felbontástól eltérő módon : p2 = ( x + yi)2( x − yi) 2 = ( x2 − y2 + 2xyi) ( x2 − y2 − 2xyi ) . A felbontásban szereplő tényezők valós és imaginárius részei az adott derékszögű háromszögek befogói hosszának felelnek meg . Kvadratikus maradékok A kvadratikus reciprocitás tétele alapján ha p és q különböző páratlan prímek , melyek közül legalább az egyik pitagoraszi , akkor p akkor és csak akkor kvadratikus maradék mod q , ha q kvadratikus maradék mod p ; megfordítva , ha sem p , sem q nem pitagoraszi prím , akkor p akkor és csak akkor kvadratikus maradék mod q , ha q nem kvadratikus maradék mod p. A Z/p véges test felett , ahol p pitagoraszi prím , az x2 = −1 egyenletnek két megoldása van . Ez úgy is megfogalmazható , hogy a −1 kvadratikus maradék mod p. Megfordítva , az egyenletnek nincs megoldása a Z/p véges test felett , ha p páratlan prím ugyan , de nem pitagoraszi . Minden p pitagoraszi prímhez hozzárendelhető egy p csúcsú Paley-gráf , ami a modulo p számokat jelképezi ; a gráfban két szám akkor és csak akkor szomszédos , ha különbségük kvadratikus maradék . Ez a definíció ugyanazt a szomszédsági relációt eredményezi a kivonandó számok sorrendjétől függetlenül , a pitagoraszi prímek azon tulajdonsága miatt , hogy a −1 kvadratikus maradék . Jegyzetek További információk Sloane’s A007350 : Where prime race-1 vs.+1 changes leader Prímszámok