Projektor mátrix
A projektor mátrix vagy idempotens mátrix egy olyan négyzetes mátrix, amelynek minden sajátértéke 0 vagy 1. Minden n×n-es projektor mátrixnak van n darab lineárisan független sajátvektora. Ha egy n×n-es projektor mátrix rangja n, akkor az az egységmátrix. Négyzetre (és ebből következően bármilyen hatványra) emelve önmagát eredményezi.

Példák
2×2-es idempotens mátrixok: 
 

 

Egy 3×3-as idempotens mátrix:

A 2×2-es eset 
Ha az  mátrix idempotens, akkor . Ebből következik, hogy
 ,
 , azaz , tehát  vagy ,
 , azaz , tehát  vagy , és
 .

Egy 2×2-es mátrix tehát akkor idempotens, ha vagy diagonális mátrix, vagy pedig nyoma 1.
Megjegyzendő, hogy az idempotens diagonális mátrix esetében az a és a d értéke 1 vagy 0.

Speciálisan 
Ha b = c, akkor az  mátrix idempotens lesz, feltéve ha , vagyis az (a, b) számpár kielégíti a következő másodfokú egyenletet:
, vagy ,

ami egy olyan kör egyenlete, amely középpontjának a koordinátái (, 0) és a sugara . Az (a, b) koordinátájú pontok e kör pontjai. 
A θ szög mint paraméter függvényében kifejezve

 ,
 , és az

 mátrix idempotens.

A b = c nem egy feltétel,

bármelyik  mátrix, ahol  fennáll, idempotens, így például a fentebb említett  is az.

Tulajdonságok 
Az egységmátrix kivételével az idempotens mátrixok nem invertálható (szinguláris) mátrixok. Valóban, ha  invertálható idempotens mátrix, akkor , ahonnan mindkét oldalt balról -zel szorozva  adódik. Nem-triviális idempotens mátrixokban tehát a független sorok (és oszlopok) száma kisebb mint a sorok (és oszlopok) száma.

Ha az idempotens mátrixot kivonjuk az egységmátrixból, az eredmény egy szintén idempotens mátrix lesz, a következők szerint: [I − M][I − M] = I − M − M + M2 = I − M − M + M = I − M.

Az  mátrix idempotens akkor és csak is akkor, ha bármilyen pozitív n számnál . Az „akkor” feltétel következik abból ha . A „csak is akkor” feltételt matematikai indukcióval lehet bizonyítani. Az  esetében világos, hogy . Feltételezve hogy , akkor  megfelel a követelménynek. Az indukciót alkalmazva az eredmény nyilvánvaló.

Egy idempotens mátrix mindig átlósítható és a sajátértékei 0 vagy 1. Egy idempotens mátrix nyoma (főátlójában lévő elemek összege) egyenlő a mátrix rangjával és az mindig egész szám. Ez egyszerűvé teszi egy olyan mátrix rangjának illetve a nyomának megállapítását aminek az elemei nem ismertek, ami a nagy segítséget nyújt különböző ökonometriai és valószínűség (Variancia) számításoknál.

Alkalmazások
Az idempotens mátrixok gyakran előfordulnak a regressziószámításban és az ökonometriában. Például a legkisebb négyzeteknél (OLS), a regressziós probléma egy olyan  vektor választása ami minimálisra csökkenti a négyzetösszeg maradékokat (félrebecsléseket), ei.

Mátrix formában:
 

ahol y a függő változó vektora és az X egy mátrix amelyiknek minden oszlopa egy független változó vektora.

A kapott együttható:

 

ahol a T egy transzponált mátrixot jelez és a maradék vektor

Itt, úgy az M mint az  (projekciós) mátrix idenpotens és szimmetrikus, ami lehetővé teszi az egyszerűsítést a négyzetösszeg maradékok számításánál

Az M idempotenssége szerepet játszik más számításokban is, pl. egy együttható varianciájának a megállapításánál, .

Jegyzetek

Fordítás

Források 
 Mátrixaritmetika 

Vektor-, mátrix- és tenzoranalízis
Mátrixok
A projektor mátrix vagy idempotens mátrix egy olyan négyzetes mátrix , amelynek minden sajátértékevagy Minden n×n-es projektor mátrixnak van n darab lineárisan független sajátvektora . Ha egy n×n-es projektor mátrix rangja n , akkor az az egységmátrix . Négyzetre ( és ebből következően bármilyen hatványra ) emelve önmagát eredményezi . Példák 2×2-es idempotens mátrixok : Egy3-as idempotens mátrix : A2-es eset Ha az mátrix idempotens , akkor \ . Ebből következik , hogy , , azaz , tehát vagy , , azaz , tehát vagy , és \ . Egy2-es mátrix tehát akkor idempotens , ha vagy diagonális mátrix , vagy pedig nyoma Megjegyzendő , hogy az idempotens diagonális mátrix esetében az a és a d értékevagy Speciálisan Ha b = c , akkor az mátrix idempotens lesz , feltéve ha , vagyis az ( a , b ) számpár kielégíti a következő másodfokú egyenletet : vagy , ami egy olyan kör egyenlete , amely középpontjának a koordinátái ( ,és a sugara \ . Az ( a , b ) koordinátájú pontok e kör pontjai . A θ szög mint paraméter függvényében kifejezve , , és az mátrix idempotens . A b = c nem egy feltétel , bármelyik mátrix , ahol fennáll , idempotens , így például a fentebb említett is az . Tulajdonságok Az egységmátrix kivételével az idempotens mátrixok nem invertálható ( szinguláris ) mátrixok . Valóban , ha invertálható idempotens mátrix , akkor , ahonnan mindkét oldalt balról -zel szorozva adódik . Nem-triviális idempotens mátrixokban tehát a független sorok ( és oszlopok ) száma kisebb mint a sorok ( és oszlopok ) száma . Ha az idempotens mátrixot kivonjuk az egységmátrixból , az eredmény egy szintén idempotens mátrix lesz , a következők szerint : [ I − M] [ I − M ] = I − M − M + M2 = I − M − M + M = I − M. Az mátrix idempotens akkor és csak is akkor , ha bármilyen pozitív n számnál \ . Az „ akkor” feltétel következik abból ha \ . A „ csak is akkor” feltételt matematikai indukcióval lehet bizonyítani . Az esetében világos , hogy \ . Feltételezve hogy , akkor megfelel a követelménynek . Az indukciót alkalmazva az eredmény nyilvánvaló . Egy idempotens mátrix mindig átlósítható és a sajátértékeivagy Egy idempotens mátrix nyoma ( főátlójában lévő elemek összege ) egyenlő a mátrix rangjával és az mindig egész szám . Ez egyszerűvé teszi egy olyan mátrix rangjának illetve a nyomának megállapítását aminek az elemei nem ismertek , ami a nagy segítséget nyújt különböző ökonometriai és valószínűség ( Variancia ) számításoknál . Alkalmazások Az idempotens mátrixok gyakran előfordulnak a regressziószámításban és az ökonometriában . Például a legkisebb négyzeteknél ( OLS ) , a regressziós probléma egy olyan vektor választása ami minimálisra csökkenti a négyzetösszeg maradékokat ( félrebecsléseket ) , ei . Mátrix formában : ahol y a függő változó vektora és az X egy mátrix amelyiknek minden oszlopa egy független változó vektora . A kapott együttható : ahol a T egy transzponált mátrixot jelez és a maradék vektor Itt , úgy az M mint az ( projekciós ) mátrix idenpotens és szimmetrikus , ami lehetővé teszi az egyszerűsítést a négyzetösszeg maradékok számításánál Az M idempotenssége szerepet játszik más számításokban is , pl. egy együttható varianciájának a megállapításánál , \ . Jegyzetek Fordítás Források Mátrixaritmetika Vektor- , mátrix- és tenzoranalízis Mátrixok