Négyzetteljes szám
A négyzetteljes szám, hatványteljes szám, 2-teljes szám (powerful number) olyan m pozitív egész, aminek minden p prímosztójára igaz, hogy p2 is osztója m-nek. Ezzel ekvivalens definíció, hogy prímtényezős felbontásában minden prímtényező legalább második hatványon van, illetve hogy egy teljes négyzet és egy teljes köb szorzata – felírható tehát m = a2b3 alakban, ahol a és b pozitív egészek.
Erdős Pál és Szekeres György tanulmányozta ezeket a számokat, amiknek Solomon W. Golomb adta a powerful nevet (ami angolul hatalmasat is jelent).

Az 1 és 1000 közötti négyzetteljes számok listája:
1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000, ... .

Az olyan hatványteljes számot, ami nem teljes hatvány, Achilles-számnak nevezik.

A két definíció egyenértékűsége 

Ha m = a2b3, akkor minden prím, ami az a prímtényezős felbontásában szerepel, legalább 2 kitevővel megjelenik m prímtényezős felbontásában is, és minden prím, ami a b prímtényezős felbontásában megjelenik, legalább 3 kitevővel megjelenik m prímtényezős felbontásában; ezért m négyzetteljes.

Megfordítva: tegyük fel, hogy m négyzetteljes, prímtényezős felbontása pedig

ahol mindegyik αi ≥ 2.  Legyen γi 3, ha αi páratlan, egyébként 0; legyen továbbá βi = αi - γi.  Ekkor βi minden esetben nemnegatív páratlan egész, γi pedig minden esetben 0 vagy 3, tehát

adja az m felbontását egy négyzetszám és egy köbszám szorzatára.

Kevésbé formálisan: tekintve m prímtényezős felbontását, legyen b az m szám páratlan kitevőjű prímtényezőinek a szorzata (ha nincs ilyen, legyen b = 1). Mivel m négyzetteljes szám, ezért minden páratlan kitevőjű prímtényezőjének legalább 3 a kitevője, így m/b3 egész szám lesz. Ráadásul, m/b3 minden prímtényezőjének páros lesz a kitevője, tehát m/b3 teljes négyzet, legyen tehát ez a2; ekkor m = a2b3. Egy konkrét példa:

Az m = a2b3 ilyen kiszámolásából következik az a tulajdonság, hogy b is négyzetmentes, és egyértelműen meghatározott.

Matematikai tulajdonságuk 

A négyzetteljes számok Dirichlet-generátorsorozata

,

így a négyzetteljes számok reciprokösszege konvergál

-hoz,

ahol p a prímeken fut végig, ζ(s) a Riemann-féle zéta-függvény, ζ(3) pedig az Apéry-konstans (Golomb, 1970).

Jelölje k(x) a négyzetteljes számok számát az [1,x] intervallumban. Ekkor k(x) arányos x négyzetgyökével. Precízebben:

 (Golomb, 1970).

A két legkisebb, egymást követő hatványteljes szám a 8 és a 9. Mivel az x2 − 8y2 = 1 Pell-egyenletnek végtelen sok egész megoldása van, végtelen sok egymást követő hatványteljes szám létezik (Golomb, 1970). 

Általánosabban, az egymást követő hatványteljes számok a hasonló x2 − ny2 = ±1 Pell-egyenlet bármely teljes köb n-re történő megoldásával találhatók meg. Azonban, a két hatványteljes szám egyikének négyzetszámnak kell lennie. Guy szerint Erdős feltette a kérdést, hogy vajon létezik-e végtelen sok olyan egymást követő hatványteljes számpáros (mint a 233, 2332132), melynek egyik tagja sem négyzetszám. Jaroslaw Wroblewski megmutatta, hogy valóban, végtelen sok ilyen páros létezik, hiszen a 33c2+1=73d2 egyenletnek végtelen sok megoldása van. Erdős, Mollin és Walsh sejtése szerint nem létezik három, egymást követő hatványteljes szám.

Négyzetteljes számok összegei és különbségei 
Minden páratlan szám felírható egymást követő négyzetszámok különbségeként: (k + 1)2 = k2 + 2k + 1, tehát (k + 1)2 − k2 = 2k + 1. Hasonlóan, 4 bármely többszöröse felírható kettő különbségű számok négyzeteinek különbségeként: (k + 2)2 − k2 = 4k + 4. Azonban egy egyszeresen páros szám (tehát ami 2-vel osztható, de 4-gyel nem), nem fejezhető ki négyzetszámok különbségeként. Ezután felmerül a kérdés, hogy az egyszeresen páros számok közül melyek fejezhetők ki négyzetteljes számok különbségeként. Golomb megvizsgált néhány ilyen felírást:

2 = 33 − 52
10 = 133 − 37
18 = 192 − 73 = 32(33 − 52).

Azt sejtették, hogy a 6 nem fejezhető ki ilyen módon, és Golomb azt a sejtést is tette, hogy végtelen sok olyan egész szám létezik, ami nem fejezhető ki négyzetteljes számok különbségeként. Narkiewicz azonban megmutatta, hogy a 6 is végtelen sok módon kifejezhető, pl.

6 = 5473 − 4632,

McDaniel pedig megmutatta, hogy minden egész számnak végtelen sok ilyen reprezentációja létezik (McDaniel, 1982).

Erdős sejtése szerint minden elegendően nagy egész szám kifejezhető legfeljebb három négyzetteljes szám összegeként; ezt Roger Heath-Brown 1987-ben igazolta.

Általánosítása 
Általánosabban, tekintsük azokat az egészeket, melyeknek az összes prímtényezője legalább k kitevővel szerepel. Az ilyen egész számokat nevezzük k-hatványteljes számnak vagy k-teljes számnak.

A következő számtani sorozat
(2k+1 − 1)k,  2k(2k+1 − 1)k,   (2k+1 − 1)k+1

k-teljes számokból áll. Továbbá, ha a1, a2, ..., as k-teljes számok d különbségű számtani sorozata, akkor

 a1(as + d)k,  
a2(as + d)k, ..., as(as + d)k, (as + d)k+1

s + 1 darab számtani sorozatot alkotó k-teljes szám lesz.

A k-teljes számokkal kapcsolatos a következő azonosság:

ak(al + ... + 1)k + ak + 1(al + ... + 1)k + ... + ak + l(al + ... + 1)k = ak(al + ... +1)k+1.

Ez végtelen sok olyan k-teljes számokból álló szám-l+1-est ad, melyek összege is k-teljes. Nitaj megmutatta, hogy az x+y=z egyenletnek végtelen sok megoldása létezik a relatív prím 3-teljes számok között (Nitaj, 1995). Cohn a következő módon konstruált végtelen megoldáscsaládot az x+y=z relatív prím 3-teljes számokra: a következő triplet

X = 9712247684771506604963490444281, Y = 32295800804958334401937923416351, Z = 27474621855216870941749052236511

megoldása a 32X3 + 49Y3 = 81Z3 egyenletnek. Konstruálhatunk egy másik megoldást, ha vesszük az X′ = X(49Y3 + 81Z3), Y′ = −Y(32X3 + 81Z3), Z′ = Z(32X3 − 49Y3) és elhagyjuk a közös osztót.

Kapcsolódó szócikkek 
Achilles-szám

Fordítás

Jegyzetek

További információk 
 
 The abc conjecture
 A060355 sorozat - Numbers n such that n and n+1 are a pair of consecutive powerful numbers

Nevezetes számsorozatok
A négyzetteljes szám , hatványteljes szám, teljes szám ( powerful number ) olyan m pozitív egész , aminek minden p prímosztójára igaz , hogy p2 is osztója m-nek . Ezzel ekvivalens definíció , hogy prímtényezős felbontásában minden prímtényező legalább második hatványon van , illetve hogy egy teljes négyzet és egy teljes köb szorzata – felírható tehát m = a2b3 alakban , ahol a és b pozitív egészek . Erdős Pál és Szekeres György tanulmányozta ezeket a számokat , amiknek Solomon W. Golomb adta a powerful nevet ( ami angolul hatalmasat is jelent ) . Azésközötti négyzetteljes számok listája : 1,\... \ . Az olyan hatványteljes számot , ami nem teljes hatvány , Achilles-számnak nevezik . A két definíció egyenértékűsége Ha m = a2b3 , akkor minden prím , ami az a prímtényezős felbontásában szerepel , legalábbkitevővel megjelenik m prímtényezős felbontásában is , és minden prím , ami a b prímtényezős felbontásában megjelenik , legalábbkitevővel megjelenik m prímtényezős felbontásában ; ezért m négyzetteljes . Megfordítva : tegyük fel , hogy m négyzetteljes , prímtényezős felbontása pedig ahol mindegyik αi ≥ Legyen γi ha αi páratlan , egyébként legyen továbbá βi = αi - γi . Ekkor βi minden esetben nemnegatív páratlan egész , γi pedig minden esetbenvagy tehát adja az m felbontását egy négyzetszám és egy köbszám szorzatára . Kevésbé formálisan : tekintve m prímtényezős felbontását , legyen b az m szám páratlan kitevőjű prímtényezőinek a szorzata ( ha nincs ilyen , legyen b = Mivel m négyzetteljes szám , ezért minden páratlan kitevőjű prímtényezőjének legalábba kitevője , így m/b3 egész szám lesz . Ráadásul , m/b3 minden prímtényezőjének páros lesz a kitevője , tehát m/b3 teljes négyzet , legyen tehát ez a2 ; ekkor m = a2b3. Egy konkrét példa : Az m = a2b3 ilyen kiszámolásából következik az a tulajdonság , hogy b is négyzetmentes , és egyértelműen meghatározott . Matematikai tulajdonságuk A négyzetteljes számok Dirichlet-generátorsorozata így a négyzetteljes számok reciprokösszege konvergál -hoz , ahol p a prímeken fut végig , ζ ( s ) a Riemann-féle zéta-függvény , ζ ( 3 ) pedig az Apéry-konstans ( Golomb , Jelölje k ( x ) a négyzetteljes számok számát az [ 1,x ] intervallumban . Ekkor k( x ) arányos x négyzetgyökével . Precízebben : ( Golomb , A két legkisebb , egymást követő hatványteljes szám aés a Mivel az x2 − 8y2 = 1 Pell-egyenletnek végtelen sok egész megoldása van , végtelen sok egymást követő hatványteljes szám létezik ( Golomb , Általánosabban , az egymást követő hatványteljes számok a hasonló x2 − ny2 = ±1 Pell-egyenlet bármely teljes köb n-re történő megoldásával találhatók meg . Azonban , a két hatványteljes szám egyikének négyzetszámnak kell lennie . Guy szerint Erdős feltette a kérdést , hogy vajon létezik-e végtelen sok olyan egymást követő hatványteljes számpáros ( mint a melynek egyik tagja sem négyzetszám . Jaroslaw Wroblewski megmutatta , hogy valóban , végtelen sok ilyen páros létezik , hiszen a2+1=73d2 egyenletnek végtelen sok megoldása van . Erdős , Mollin és Walsh sejtése szerint nem létezik három , egymást követő hatványteljes szám . Négyzetteljes számok összegei és különbségei Minden páratlan szám felírható egymást követő négyzetszámok különbségeként : ( k + = k2 + + tehát ( k + − k2 = + Hasonlóan, bármely többszöröse felírható kettő különbségű számok négyzeteinek különbségeként : ( k + − k2 = + Azonban egy egyszeresen páros szám ( tehát amivel osztható , degyel nem ) , nem fejezhető ki négyzetszámok különbségeként . Ezután felmerül a kérdés , hogy az egyszeresen páros számok közül melyek fejezhetők ki négyzetteljes számok különbségeként . Golomb megvizsgált néhány ilyen felírást : 2 =− 52 10 =− 37 18 =− 73 =33 − 52 ) . Azt sejtették , hogy anem fejezhető ki ilyen módon , és Golomb azt a sejtést is tette , hogy végtelen sok olyan egész szám létezik , ami nem fejezhető ki négyzetteljes számok különbségeként . Narkiewicz azonban megmutatta , hogy ais végtelen sok módon kifejezhető , pl. 6 =− 4632 , McDaniel pedig megmutatta , hogy minden egész számnak végtelen sok ilyen reprezentációja létezik ( McDaniel , Erdős sejtése szerint minden elegendően nagy egész szám kifejezhető legfeljebb három négyzetteljes szám összegeként ; ezt Roger Heath-Brownben igazolta . Általánosítása Általánosabban , tekintsük azokat az egészeket , melyeknek az összes prímtényezője legalább k kitevővel szerepel . Az ilyen egész számokat nevezzük k-hatványteljes számnak vagy k-teljes számnak . A következő számtani sorozat ( 2k+1 − 1) k , 2k( 2k+1 − 1) k , ( 2k+1 − 1) k+1 k-teljes számokból áll . Továbbá , ha a1 , a2,\... , as k-teljes számok d különbségű számtani sorozata , akkor a1( as + d) k , a2( as + d) k,\... , as( as + d) k , ( as + d) k+1 s +darab számtani sorozatot alkotó k-teljes szám lesz . A k-teljes számokkal kapcsolatos a következő azonosság : ak( al +\... + + ak +al +\... + +\... + ak + l( al +\... + = ak( al +\ ... +1) k+1. Ez végtelen sok olyan k-teljes számokból álló szám-l+1-est ad , melyek összege is k-teljes . Nitaj megmutatta , hogy az x+y=z egyenletnek végtelen sok megoldása létezik a relatív prímteljes számok között ( Nitaj , Cohn a következő módon konstruált végtelen megoldáscsaládot az x+y=z relatív prímteljes számokra : a következő triplet X = Y = Z = megoldása a3 +3 =3 egyenletnek . Konstruálhatunk egy másik megoldást , ha vesszük az X ′ = X( 49Y3 + 81Z3 ) , Y ′ = −Y( 32X3 + 81Z3 ) , Z ′ = Z( 32X3 − 49Y3 ) és elhagyjuk a közös osztót . Kapcsolódó szócikkek Achilles-szám Fordítás Jegyzetek További információk The abc conjecture A060355 sorozat - Numbers n such that n and n+1 are a pair of consecutive powerful numbers Nevezetes számsorozatok