Praktikus számok
A számelmélet területén egy pozitív egész szám akkor tartozik a praktikus számok vagy pánaritmikus számok közé, ha egymástól különböző osztóinak összegével az összes nála kisebb pozitív egész szám kifejezhető. Például a 12 praktikus szám, mert 1-től 11-ig a számok kifejezhetők 12 osztóinak, tehát az 1, 2, 3, 4, 6 összegeként (beleértve magukat az osztókat): 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 és 11 = 6 + 3 + 2.

A praktikus számok sorozata  így kezdődik:
1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150....

A praktikus számok megjelentek Fibonacci 1202-ben íródott Liber Abaci-jében, racionális számok egyiptomi törtekkel való kifejezésével kapcsolatban. Fibonacci formálisan nem definiálta a praktikus számok fogalmát, de táblázatában megjelennek a praktikus nevezőjű törtek egyiptomi törtekkel való kifejezései.

Maga a „praktikus szám” kifejezés -nak köszönhető, aki először próbálta meg osztályozni ezeket a számokat, amit aztán  és  fejezett be. Karakterizációjuk alapján egyszerűen eldönthető egy szám praktikussága prímtényezős felbontásuk alapján. Minden páros tökéletes szám és minden kettőhatvány is praktikus szám.

A praktikus számok több jellemzőjük alapján analógiát mutatnak a prímszámokkal.

A praktikus számok karakterizációja
Ahogy  és  megmutatták, egy szám praktikus volta egyszerűen eldönthető prímfelbontása alapján.
Legyen  pozitív egész szám prímtényezős felbontása  (ahol a prímek sorba vannak rendezve, ); ebben az esetben  akkor és csak akkor praktikus szám, ha minden  prímtényezője kellően kicsi ahhoz, hogy  kifejezhető legyen a kisebb osztók összegeként. Ahhoz, hogy ez teljesüljön, az első  prímnek 2-nek kell lennie, és minden -re 2 és  között, minden további -nek teljesítenie kell a következő egyenlőtlenséget:

ahol  jelöli x osztóinak összegét. Például 2 × 3² × 29 × 823 = 429606 praktikus szám, mivel a fenti egyenlőtlenség igaz mindegyik prímtényezőjére: 3 ≤ σ(2)+1 = 4, 29 ≤ σ(2 × 3²)+1 = 40 és 823 ≤ σ(2 × 3² × 29)+1=1171. Ez a karakterizáció kiterjeszti  részleges klasszifikációját.

A fenti feltétel szükséges és elégséges feltétele annak, hogy egy szám praktikus legyen. Egyrészt, a feltétel szükséges ahhoz, hogy a  kifejezhető legyen n osztóinak összegeként, mivel ha az egyenlőtlenség nem teljesül, akkor az összes kisebb osztót összeadva sem érné el az összeg a -et. Másrészt, a feltétel elégséges is, ami indukcióval megmutatható.

Ennél jóval erősebb állítást fogunk bizonyítani: ha n prímtényezős felbontása kielégíti a fenti feltételeket, akkor bármely  kifejezhető n osztóinak összegeként, a következő lépésekben:
 Legyen  és legyen .
 Mivel  és  indukcióval igazolhatóan praktikus számok, ezért q kifejezhető  osztóösszegeként.
 Mivel , és mivel  indukcióval igazolhatóan praktikus, r felírható  osztóinak összegeként.
 Az r-et reprezentáló osztók, együtt -szor a q-t reprezentáló minden egyes osztóval együtt alkotják m reprezentációját mint n osztóinak összege.

Tulajdonságaik
Az egyetlen páratlan praktikus szám az 1, mivel ha n > 2 páratlan szám, akkor 2 nem fejezhető ki n osztóinak összegeként. Ennél erősebb  megfigyelése, miszerint 1 és 2 kivételével minden praktikus szám osztható 4-gyel és/vagy 6-tal.
Két praktikus szám szorzata is praktikus szám. Ennél erősebb kitétel, hogy bármely két praktikus szám legkisebb közös többszöröse is praktikus szám.
A praktikus számok halmaza szorzásra nézve zárt.
Stewart és Sierpiński fenti karakterizációjából látható az is, hogy ha n praktikus szám, aminek d az egyik osztója, akkor n·d is praktikus szám.
A praktikus számok közül megkülönböztethetjük a primitív praktikus számokat. A primitív praktikus számok olyan praktikus számok, melyek vagy négyzetmentes számok, vagy elosztva valamely 1-nél nagyobb kitevőjű prímosztójukkal a hányados már nem ad praktikus számot. A primitív praktikus számok sorozata  így kezdődik:
1, 2, 6, 20, 28, 30, 42, 66, 78, 88, 104, 140, 204, 210, 220, 228, 260, 272, 276, 304, 306, 308, 330, 340, 342, 348, 364, 368, 380, 390, 414, 460...

Kapcsolatuk más számcsoportokkal
Számos említésre méltó egész számhalmaz létezik, ami kizárólag praktikus számokból áll:
Abból, hogy ha n praktikus szám, aminek d az egyik osztója, akkor n·d is praktikus szám, következik, hogy 2 és 3 minden hatványának hatszorosa is praktikus szám.
Minden kettőhatvány praktikus szám. Kettő hatványai triviálisan kielégítik a prímfelbontási követelményeket: a prímtényezős felbontásukban egyedül szereplő p1 a feltételek szerint megegyezik kettővel.
Minden páros tökéletes szám is praktikus szám. Ez következik Leonhard Euler eredményéből, miszerint minden páros tökéletes szám felírható 2n − 1(2n − 1) alakban. A felbontás páratlan része megegyezik a páros rész osztóösszegével, így minden ilyen szám páratlan prímosztója legfeljebb a páros rész osztóösszege lehet. Ezért a szám kielégíti a praktikus számok követelményeit.
Minden primoriális (az első valahány prímszám szorzata) praktikus szám. Az első két primoriálisra, 2-re és 6-ra ez egyértelmű. A többi primoriálist úgy képezzük, hogy egy pi prímszámot összeszorzunk egy kisebb primoriálissal, ami osztható 2-vel és a következő legkisebb prímszámmal, pi − 1-gyel. A Bertrand-posztulátum alapján pi < 2pi − 1, tehát a primoriális minden rákövetkező prímtényezője kisebb az előző primoriális valamely osztójánál. Indukcióval belátható, hogy minden primoriális megfelel a praktikus számok karakterizációjának.
A primoriálisokat általánosítva, bármely szám, ami az első k prímszám nemnulla hatványának szorzatából áll elő, szintén praktikus szám. Ebbe beletartoznak a Rámánudzsan által definiált erősen összetett számok (számok, melyeknek több osztójuk van a náluk kisebb összes számnál) és a faktoriális számok is.

Praktikus számok és egyiptomi törtek
Ha n praktikus szám, akkor bármely m/n alakú racionális szám kifejezhető a ∑di/n összeggel, ahol minden di az n-nek különböző osztója. Az összeg minden tagja egységtörtté egyszerűsíthető, ezért az összeg megfelel m/n egyiptomi törtként való kifejezésének. Például:

Fibonacci 1202-es Liber Abaci-jében számos módszert ír le racionális számok egyiptomi törtként való felírására. Ezek közül az első annak vizsgálata, hogy a szám esetleg máris egységtört, de a másodikban megkísérli kifejezni a számlálót a nevező osztóinak összegeként; ez a módszer csak akkor ad garantáltan eredményt, ha a nevező praktikus szám. Fibonacci táblázatokat készített az olyan törtekhez, ahol a számláló a 6, 8, 12, 20, 24, 60 és 100 praktikus számok egyike.

 megmutatta, hogy minden x/y alakú szám kifejezhető legfeljebb  tagból álló egyiptomi tört alakban. A bizonyítás részeként praktikus számok ni sorozatát keressük azzal a tulajdonsággal, hogy minden ni-nél kisebb szám felírható az ni szám  különböző osztójának összegeként. Ekkor úgy választjuk meg i-t, hogy ni − 1 < y ≤ ni és xni-t y-nal elosztva q-t kapunk r maradékkal. Az előző választásainkból következik, hogy . A jobb oldal számlálóit kibontva ni osztóösszegeinek alakjába megkapjuk a kívánt egyiptomi tört-alakot.  hasonló technikát alkalmaz, de praktikus számok egy másik sorozatát használja annak megmutatására, hogy minden x/y alakú szám felírható egyiptomi tört alakban oly módon, hogy a legnagyobb nevező .

Szun Cse-vej 2015. szeptemberi sejtése szerint bármely pozitív racionális szám felírható véges számú praktikus szám reciprokösszegeként, tehát olyan egyiptomi törtkifejezésként, ahol minden nevező praktikus szám. A sejtés bizonyítása David Eppstein blogján olvasható.

Prímszámokkal való analógiák
A praktikus számok iránti érdeklődés egyik oka, hogy számos tulajdonságukban hasonlítanak a prímszámokra. Valóban, léteznek a Goldbach-sejtésnek és az ikerprím-sejtésnek analógiái praktikus számokra nézve: minden pozitív egész szám felírható két praktikus szám összegeként, illetve végtelen számú x − 2, x, x + 2 alakú praktikusszám-triplet létezik. Melfi megmutatta, hogy végtelen számú praktikus Fibonacci-szám létezik ; az analóg kérdés, hogy létezik-e végtelen számú Fibonacci-prím, még eldöntetlen.  megmutatta, hogy bármely pozitív valós x-re létezik praktikus szám az [x²,(x + 1)²] intervallumban, ami analóg a prímszámokra vonatkozó Legendre-sejtéssel.

Jelölje p(x) a legfeljebb x nagyságú praktikus számok számát.
 sejtése szerint p(x) aszimptotikusan egyenlő cx/log x-szel valamely c konstansra, ami a prímszámtételre emlékeztető képlet. A képlet megerősíti  sejtését, miszerint a praktikus számok zéró sűrűséggel helyezkednek el az egészek között.
 bizonyította, hogy megfelelő c1 és c2 konstansokra:

Végül  bizonyította Margenstern sejtését, megmutatva, hogy

ha  és a konstans .

Egyéb sejtések
Szun Cse-vej 2013-as sejtése szerint az  (n = 3, 4,...) sorozat szigorúan monoton csökkenő, határértéke 1.

Szun Cse-vej 2015-ös sejtése szerint bármely r pozitív racionális számhoz léteznek olyan, páronként különböző q(1)..q(k) praktikus számok, melyekre igaz, hogy  Például 2 = 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12, ahol 1, 2, 4, 6 és 12 praktikus számok, vagy 10/11 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/48 + 1/132 + 1/176, ahol 2, 4, 8, 48, 132 és 176 praktikus számok.

Jegyzetek

Irodalom
.
. As cited by .
.
. As cited by .
.
.
.
. As cited by  and .
.
.
.
.
.
.
.
.

További információk 
Tables of practical numbers  compiled by Giuseppe Melfi.

Nevezetes számsorozatok
Egyiptomi törtek
A számelmélet területén egy pozitív egész szám akkor tartozik a praktikus számok vagy pánaritmikus számok közé , ha egymástól különböző osztóinak összegével az összes nála kisebb pozitív egész szám kifejezhető . Például apraktikus szám , merttőlig a számok kifejezhetőkosztóinak , tehát azösszegeként ( beleértve magukat az osztókat ) : =+=+=+=+=++és=++ A praktikus számok sorozata így kezdődik : 1, ... A praktikus számok megjelentek Fibonacciben íródott Liber Abaci-jében , racionális számok egyiptomi törtekkel való kifejezésével kapcsolatban . Fibonacci formálisan nem definiálta a praktikus számok fogalmát , de táblázatában megjelennek a praktikus nevezőjű törtek egyiptomi törtekkel való kifejezései . Maga a „ praktikus szám” kifejezés -nak köszönhető , aki először próbálta meg osztályozni ezeket a számokat , amit aztán és fejezett be . Karakterizációjuk alapján egyszerűen eldönthető egy szám praktikussága prímtényezős felbontásuk alapján . Minden páros tökéletes szám és minden kettőhatvány is praktikus szám . A praktikus számok több jellemzőjük alapján analógiát mutatnak a prímszámokkal . A praktikus számok karakterizációja Ahogy és megmutatták , egy szám praktikus volta egyszerűen eldönthető prímfelbontása alapján . Legyen pozitív egész szám prímtényezős felbontása ( ahol a prímek sorba vannak rendezve , ) ; ebben az esetben akkor és csak akkor praktikus szám , ha minden prímtényezője kellően kicsi ahhoz , hogy kifejezhető legyen a kisebb osztók összegeként . Ahhoz , hogy ez teljesüljön , az első prímneknek kell lennie , és minden -reés között , minden további -nek teljesítenie kell a következő egyenlőtlenséget : ahol jelöli x osztóinak összegét . Például× ××=praktikus szám , mivel a fenti egyenlőtlenség igaz mindegyik prímtényezőjére:≤ σ( 2) +1 =≤ σ ( 2 ×) +1 =és≤ σ ( 2 × ×1=1171. Ez a karakterizáció kiterjeszti részleges klasszifikációját . A fenti feltétel szükséges és elégséges feltétele annak , hogy egy szám praktikus legyen . Egyrészt , a feltétel szükséges ahhoz , hogy a kifejezhető legyen n osztóinak összegeként , mivel ha az egyenlőtlenség nem teljesül , akkor az összes kisebb osztót összeadva sem érné el az összeg a -et . Másrészt , a feltétel elégséges is , ami indukcióval megmutatható . Ennél jóval erősebb állítást fogunk bizonyítani : ha n prímtényezős felbontása kielégíti a fenti feltételeket , akkor bármely kifejezhető n osztóinak összegeként , a következő lépésekben : Legyen és legyen \ . Mivel és indukcióval igazolhatóan praktikus számok , ezért q kifejezhető osztóösszegeként . Mivel , és mivel indukcióval igazolhatóan praktikus , r felírható osztóinak összegeként . Az r-et reprezentáló osztók , együtt -szor a q-t reprezentáló minden egyes osztóval együtt alkotják m reprezentációját mint n osztóinak összege . Tulajdonságaik Az egyetlen páratlan praktikus szám az mivel ha n >páratlan szám , akkornem fejezhető ki n osztóinak összegeként . Ennél erősebb megfigyelése , miszerintéskivételével minden praktikus szám oszthatógyel és /vagytal . Két praktikus szám szorzata is praktikus szám . Ennél erősebb kitétel , hogy bármely két praktikus szám legkisebb közös többszöröse is praktikus szám . A praktikus számok halmaza szorzásra nézve zárt . Stewart és Sierpiński fenti karakterizációjából látható az is , hogy ha n praktikus szám , aminek d az egyik osztója , akkor n·d is praktikus szám . A praktikus számok közül megkülönböztethetjük a primitív praktikus számokat . A primitív praktikus számok olyan praktikus számok , melyek vagy négyzetmentes számok , vagy elosztva valamelynél nagyobb kitevőjű prímosztójukkal a hányados már nem ad praktikus számot . A primitív praktikus számok sorozata így kezdődik : 1, . . Kapcsolatuk más számcsoportokkal Számos említésre méltó egész számhalmaz létezik , ami kizárólag praktikus számokból áll : Abból , hogy ha n praktikus szám , aminek d az egyik osztója , akkor n·d is praktikus szám , következik , hogyésminden hatványának hatszorosa is praktikus szám . Minden kettőhatvány praktikus szám . Kettő hatványai triviálisan kielégítik a prímfelbontási követelményeket : a prímtényezős felbontásukban egyedül szereplő p1 a feltételek szerint megegyezik kettővel . Minden páros tökéletes szám is praktikus szám . Ez következik Leonhard Euler eredményéből , miszerint minden páros tökéletes szám felírható − 1( 2n − 1 ) alakban . A felbontás páratlan része megegyezik a páros rész osztóösszegével , így minden ilyen szám páratlan prímosztója legfeljebb a páros rész osztóösszege lehet . Ezért a szám kielégíti a praktikus számok követelményeit . Minden primoriális ( az első valahány prímszám szorzata ) praktikus szám . Az első két primoriálisra, re ésra ez egyértelmű . A többi primoriálist úgy képezzük , hogy egy pi prímszámot összeszorzunk egy kisebb primoriálissal , ami oszthatóvel és a következő legkisebb prímszámmal , pi − 1-gyel . A Bertrand-posztulátum alapján pi < 2pi − 1 , tehát a primoriális minden rákövetkező prímtényezője kisebb az előző primoriális valamely osztójánál . Indukcióval belátható , hogy minden primoriális megfelel a praktikus számok karakterizációjának . A primoriálisokat általánosítva , bármely szám , ami az első k prímszám nemnulla hatványának szorzatából áll elő , szintén praktikus szám . Ebbe beletartoznak a Rámánudzsan által definiált erősen összetett számok ( számok , melyeknek több osztójuk van a náluk kisebb összes számnál ) és a faktoriális számok is . Praktikus számok és egyiptomi törtek Ha n praktikus szám , akkor bármely m/n alakú racionális szám kifejezhető a ∑di/n összeggel , ahol minden di az n-nek különböző osztója . Az összeg minden tagja egységtörtté egyszerűsíthető , ezért az összeg megfelel m/n egyiptomi törtként való kifejezésének . Például : Fibonaccies Liber Abaci-jében számos módszert ír le racionális számok egyiptomi törtként való felírására . Ezek közül az első annak vizsgálata , hogy a szám esetleg máris egységtört , de a másodikban megkísérli kifejezni a számlálót a nevező osztóinak összegeként ; ez a módszer csak akkor ad garantáltan eredményt , ha a nevező praktikus szám . Fibonacci táblázatokat készített az olyan törtekhez , ahol a számláló aéspraktikus számok egyike. megmutatta , hogy minden x/y alakú szám kifejezhető legfeljebb tagból álló egyiptomi tört alakban . A bizonyítás részeként praktikus számok ni sorozatát keressük azzal a tulajdonsággal , hogy minden ni-nél kisebb szám felírható az ni szám különböző osztójának összegeként . Ekkor úgy választjuk meg i-t , hogy ni − 1 < y ≤ ni és xni-t y-nal elosztva q-t kapunk r maradékkal . Az előző választásainkból következik , hogy \ . A jobb oldal számlálóit kibontva ni osztóösszegeinek alakjába megkapjuk a kívánt egyiptomi tört-alakot . hasonló technikát alkalmaz , de praktikus számok egy másik sorozatát használja annak megmutatására , hogy minden x/y alakú szám felírható egyiptomi tört alakban oly módon , hogy a legnagyobb nevező \ . Szun Cse-vej szeptemberi sejtése szerint bármely pozitív racionális szám felírható véges számú praktikus szám reciprokösszegeként , tehát olyan egyiptomi törtkifejezésként , ahol minden nevező praktikus szám . A sejtés bizonyítása David Eppstein blogján olvasható . Prímszámokkal való analógiák A praktikus számok iránti érdeklődés egyik oka , hogy számos tulajdonságukban hasonlítanak a prímszámokra . Valóban , léteznek a Goldbach-sejtésnek és az ikerprím-sejtésnek analógiái praktikus számokra nézve : minden pozitív egész szám felírható két praktikus szám összegeként , illetve végtelen számú x − 2 , x , x + 2 alakú praktikusszám-triplet létezik . Melfi megmutatta , hogy végtelen számú praktikus Fibonacci-szám létezik ; az analóg kérdés , hogy létezik-e végtelen számú Fibonacci-prím , még eldöntetlen. megmutatta , hogy bármely pozitív valós x-re létezik praktikus szám az [ x² , ( x + 1)² ] intervallumban , ami analóg a prímszámokra vonatkozó Legendre-sejtéssel . Jelölje p( x ) a legfeljebb x nagyságú praktikus számok számát. sejtése szerint p( x ) aszimptotikusan egyenlő cx/log x-szel valamely c konstansra , ami a prímszámtételre emlékeztető képlet . A képlet megerősíti sejtését , miszerint a praktikus számok zéró sűrűséggel helyezkednek el az egészek között. bizonyította , hogy megfelelő c1 és c2 konstansokra : Végül bizonyította Margenstern sejtését , megmutatva , hogy ha és a konstans \ . Egyéb sejtések Szun Cse-vejas sejtése szerint az ( n =... ) sorozat szigorúan monoton csökkenő , határértéke Szun Cse-vejös sejtése szerint bármely r pozitív racionális számhoz léteznek olyan , páronként különböző q( 1) ..q ( k ) praktikus számok , melyekre igaz , hogy Például=1 +2 +4 +6 +12 , aholéspraktikus számok , vagy11 =2 +4 +8 +48 +132 +176 , aholéspraktikus számok . Jegyzetek Irodalom . . As cited by \ . . . As cited by \ . . . . . As cited by and \ . . . . . . . . . További információk Tables of practical numbers compiled by Giuseppe Melfi . Nevezetes számsorozatok Egyiptomi törtek