Prímhatvány
A matematikában, közelebbről a számelmélet és algebra területén a prímhatványok valamely prímszám pozitív egész hatványai.
Például: ,  és  prímhatványok, míg
,  és  egyike sem prímhatvány. Az egyet nem tekintjük prímhatványnak. A prímhatványok sorozata így kezdődik:

2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, ... .

Az 1-nél nagyobb kitevőjű prímhatványok (tehát a prímhatványok a prímszámok nélkül):
4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 49, 64, 81, ... .

A prím k-adik hatványok pedig:

A prímhatványok olyan pozitív egész számok, melyek pontosan egy prímszámmal oszthatók; a prímhatványokat általánosabb algebrai értelemben, kommutatív gyűrűben prímideálnak tekinthetjük; lásd prímideál-felbontás.

Tulajdonságaik

Az algebra területén
A prímhatványok prímszámok teljes hatványai. Minden prímhatványnak (2 hatványai kivételével) létezik primitív gyöke modulo n; tehát a modulo pn egészek multiplikatív csoportja (vagy ekvivalensen a Z/pnZ gyűrű egységelemeinek csoportja) ciklikus csoportot alkot.

Véges test elemeinek száma mindig prímhatvány, és megfordítva, minden prímhatvány előáll valamely véges test elemeinek számaként (a véges testre ez a szám izomorfizmusig jellemző).

A kombinatorika területén 
Az analitikus számelméletben gyakran felhasználják a prímhatványok azon tulajdonságát, hogy a nem prímszám prímhatványok halmaza kis halmaz – abban az értelemben, hogy reciprokainak végtelen sora konvergens – pedig a prímek maguk nagy halmazt alkotnak.

Az oszthatóság területén 
Az Euler-függvény (φ), valamint a σ0 és σ1 osztóösszeg-függvények prímhatványok esetében a következően számíthatók:

Minden prímhatvány hiányos szám. A pn prímhatvány egy n-majdnem prím. Nem ismert, hogy egy pn prímhatvány lehet-e barátságos szám. Ha van ilyen közöttük, akkor pn-nek nagyobbnak kell lennie 101500-nál, n-nek pedig 1400-nál.

Művészetben
Az 1997-es A kocka című filmben a prímhatványok fontos szerepet játszanak, halálos veszélyeket jelölnek a labirintusszerű kockában.

Kapcsolódó szócikkek
 Teljes hatvány
 Majdnem prím
 Félprím

Jegyzetek

Elementary Number Theory. Jones, Gareth A. and Jones, J. Mary. Springer-Verlag London Limited. 1998.

Prímszámok
Nevezetes számsorozatok
A matematikában , közelebbről a számelmélet és algebra területén a prímhatványok valamely prímszám pozitív egész hatványai . Például : , és prímhatványok , míg és egyike sem prímhatvány . Az egyet nem tekintjük prímhatványnak . A prímhatványok sorozata így kezdődik : 2,\... \ . Aznél nagyobb kitevőjű prímhatványok ( tehát a prímhatványok a prímszámok nélkül ) : 4,\... \ . A prím k-adik hatványok pedig : A prímhatványok olyan pozitív egész számok , melyek pontosan egy prímszámmal oszthatók ; a prímhatványokat általánosabb algebrai értelemben , kommutatív gyűrűben prímideálnak tekinthetjük ; lásd prímideál-felbontás . Tulajdonságaik Az algebra területén A prímhatványok prímszámok teljes hatványai . Minden prímhatványnakhatványai kivételével ) létezik primitív gyöke modulo n ; tehát a modulo pn egészek multiplikatív csoportja ( vagy ekvivalensen a Z/pnZ gyűrű egységelemeinek csoportja ) ciklikus csoportot alkot . Véges test elemeinek száma mindig prímhatvány , és megfordítva , minden prímhatvány előáll valamely véges test elemeinek számaként ( a véges testre ez a szám izomorfizmusig jellemző ) . A kombinatorika területén Az analitikus számelméletben gyakran felhasználják a prímhatványok azon tulajdonságát , hogy a nem prímszám prímhatványok halmaza kis halmaz – abban az értelemben , hogy reciprokainak végtelen sora konvergens – pedig a prímek maguk nagy halmazt alkotnak . Az oszthatóság területén Az Euler-függvény ( φ ) , valamint a σ0 és σ1 osztóösszeg-függvények prímhatványok esetében a következően számíthatók : Minden prímhatvány hiányos szám . A pn prímhatvány egy n-majdnem prím . Nem ismert , hogy egy pn prímhatvány lehet-e barátságos szám . Ha van ilyen közöttük , akkor pn-nek nagyobbnak kell lennienál , n-nek pedignál . Művészetben Azes A kocka című filmben a prímhatványok fontos szerepet játszanak , halálos veszélyeket jelölnek a labirintusszerű kockában . Kapcsolódó szócikkek Teljes hatvány Majdnem prím Félprím Jegyzetek Elementary Number Theory . Jones , Gareth A. and Jones , J. Mary . Springer-Verlag London Limited . Prímszámok Nevezetes számsorozatok