Mann–Whitney-próba
A statisztikában a Mann–Whitney-próba (más néven: Mann–Whitney–Wilcoxon- vagy Wilcoxon-féle rangösszegteszt) a kétmintás t-próba nem parametrikus megfelelője, amelyet nem normál eloszlás, valamint ordinális változók esetén használunk. Tehát ezzel a teszttel is azt a nullhipotézist vizsgáljuk, miszerint a két minta ugyanabból a populációból származik.

Történeti áttekintés 
A Mann–Whitney-teszt statisztikai háttere először 1914-ben jelent meg egy cikkben, amely a német Gustav Deuchler nevéhez köthető. Frank Wilcoxon 1945-ben már említést tett a kétmintás próbáról egyenlő elemszámok mellett, valamint már publikált egy szignifikanciatesztet a nullhipotézis alátámasztására egy alternatív hipotézissel szemben.

A statisztikai módszer alapos analízise, amelyben kidolgozták a rangsorolás eljárását: a két mintát együtt rangsoroljuk (azaz, csoporttól függetlenül határozzuk meg a rangszámokat), majd összeadjuk külön az egyik és külön a másik csoport rangszámait, 1947-ben jelent meg Henry Mann és tanítványa, Donald Ransom Whitney cikkében.

A cikk tartalmazta az egyenlő számok (döntetlen) lehetőségét tetszőleges nagyságú elemszám esetén is, valamint azokat a táblázatokat, amelyben a nyolc vagy annál kisebb elemszámú elemzésekhez tartozó kritikus értékek találhatóak.

A teszt használatának feltételei  
A Mann–Whitney-tesztet a t-teszt használati feltételeinek sérülése esetén használjuk, például, ha az adatok nem normál eloszlásúak vagy a két minta varianciája szignifikánsan eltérő.

A teszt használatának feltételei:
 Az összes minta független egymástól.
 Az adatok legalább ordinálisak (azaz ha nem is számszerűek, de legalábbis sorrendbe állíthatók).

Nullhipotézis: a két minta azonos eloszlásból származik.

Számítási módok

A próba végrehajtása 
A két mintát együtt rangsoroljuk (azaz, csoporttól függetlenül határozzuk meg a rangszámokat 1-gyel kezdve). Majd összeadjuk külön az egyik és külön a másik csoport rangszámait, az egyenlő értékek esetében 0,5-ös értékeket használva (pl.: a 3, 5, 5, 9 számsor alapján a rangszámok 1, 2,5, 2,5, 4 lesz).
Ha igaz a nullhipotézis, hogy a minták ugyanabból az eloszlásból származnak, akkor ennek a két rangszám összegnek közel egyenlőnek kell lennie. Minél jobban eltér az egyik összeg a másiktól, annál több okunk van feltételezni, hogy a két minta különböző eloszlású populációból származik.
A próba értéke általában a kisebb elemszámú csoport rangösszege (de lehet a nagyobb elemszámú csoporté is).
 
Kitekintés: Az egyik csoport rangszámai nagy valószínűséggel magasabb értéket mutatnak, mint a másik csoporté, ezt azonban akkor tudjuk pontosan meghatározni, ha ismerjük a csoportok nagyságait. Például: a 2-es nem nagy rang érték egy 5 elemből álló csoportba, de egy 50 elemből álló mintába lehet. Vegyünk például egy versenyt, ahol ha 5 versenyzőből másodikként érsz be nem annyira nagy eredmény mintha 50-ből lennél második.

A Mann–Whitney-próbához tartozó táblázatból a csoport elemszámainak segítségével tudjuk meghatározni azt az intervallumot, amelybe ha a vizsgált rangösszeg beleesik, akkor nem szignifikáns a különbség, ha kívül esik, akkor elvetjük a nullhipotézist.

Normál eloszláshoz való közelítés 
A táblázat azonban csak kis elemszámok esetén használható. Nagy elemszám esetén normál eloszláshoz való közelítést kell alkalmazni.
A normál eloszláshoz való közelítés egyenletének használatához az alábbi adatokra lesz szükség:
 nagyobb elemszámú csoport elemeinek száma = nn
 kisebb elemszámú csoport elemeinek száma = nk
 kisebb elemszámú csoport rangösszege = Rk

A képlet általánosságban:

Majd az előbb felsorolt adatokra nézve:

A z érték kiszámítása után standard normál eloszlás és 0,05-ös szignifikanciaszint mellett a kritikus érték 1,96, ha ennél a │z│ nagyobb, akkor a két minta közti különbség szignifikáns 5%-os szinten.

Mann–Whitney U statisztika 
A Mann–Whitney U statisztikának az alapja a két csoport elemeinek a párba állítása. Tehát, az egyik csoport minden elemét (Ai) párba állítjuk a másik csoport minden elemével (Bi). Az így keletkezett párok száma n1n2.
Ezek után megvizsgáljuk, hogy hány olyan párosítás van, ahol az első szám nagyobb, mint a másik (Ai>Bi). Ezeknek a pároknak a száma tulajdonképpen a Mann–Whitney U statisztika.
Ha a két csoport nem különbözik, akkor körülbelül ugyanannyi olyan pár lesz, ahol Ai<Bi, mint amennyiben Ai>Bi. Ha az egyik típusú pár aránya nagyban eltér a másiktól, valószínűleg különbség van a két populációban a számok eloszlásában.

A számolást a próba végrehajtása alfejezet alapján kezdjük.
Ezek után az U érték kiszámítható:

ahol az n1 az első minta elemszáma és R1 pedig az első minta rangösszege.

Ugyanezzel a képlettel számolhatjuk ki a második mintára vonatkozó U értéket:

A fentiek alapján a meglévő adatok segítségével több összefüggést is ki tudunk még számítani: pl. az összes rang összegét az alábbi képlettel számolhatjuk ki:

Mivel azt már tudjuk, hogy R1 + R2= N(N+1)/2 és N=n1+n2 , így egyszerűsítéseket végezve a képleten ezt kapjuk:

A kisebb elemszámú csoport U értékének meghatározása után, a Mann–Whitney-próbához tartozó U-érték-táblázat segítségével az elemszámoknak megfelelő cellában találjuk azt az intervallumot, amelyen ha az adott U érték kívül esik, 0,05-os szinten a különbség szignifikáns.

Ezek alapján a normál eloszláshoz való közelítés képlete megfogalmazható más módon is:

ahol mu és ϭu az U értékhez (lásd később) tartozó átlag és szórás értéke:

A legtöbb modern statisztikai programcsomag már tartalmaz U-tesztet, azonban kis elemszám esetén kézzel is könnyen kiszámítható.

Számítási módok egy példán levezetve

A próba végrehajtása 

Vegyünk egy egyszerű példát. Tegyük fel, hogy azt szeretnénk megnézni, hogy azok a gyermekek, akik jártak bölcsődébe, jobban teljesítenek-e iskolában a matekfelmérőn, mint azok a gyerekek, akik nem jártak bölcsődébe.

A nullhipotézis: nincs különbség a két csoport között, tehát a bölcsődébe járó gyerekek később nem fognak szignifikánsan jobban teljesíteni a matekfelmérőn, mint a bölcsődébe nem járók.

Szignifikanciaszint: 0,05

A kérdésfeltevés: kétoldali, mivel nem tudjuk, hogy melyikről feltételezzük, hogy „jobb” a másiknál.

Mivel általában a kisebb elemszámú csoport rangösszegét használjuk, így RB értékét figyeljük.
A Mann–Whitney-táblázatban a két elemszám segítségével kideríthető, hogy a kritikus intervallum a 34–64 közötti rész. Tehát azt látjuk, hogy RB értéke kívül esik a kritikus intervallumon, tehát szignifikánsan különbözik a két csoport 0,05-ös szignifikanciaszint mellett.

Mann–Whitney U-statisztika 

Az előbbi példát nézve:

A fentiek alapján az összes rang összegét az alábbi képlettel számolhatjuk ki:

A kisebb UB értéket figyelembe véve a Mann–Whitney-táblázatban a két elemszám segítségével láthatjuk, hogy a kritikus intervallum a 34-64 közötti rész. Tehát azt látjuk, hogy U értéke kívül esik a kritikus intervallumon, tehát szignifikánsan különbözik a két csoport 0,05-ös szignifikanciaszint mellett.

Normál eloszláshoz való közelítés 

Tegyük fel, hogy a nagy érdeklődésre való tekintettel a vizsgálatokat országos szinten megismételték. A résztvevők száma azonban így már meghaladta a 60-at is.

Ebben az esetben a statisztikai csapat ezekkel az adatokkal dolgozott:

A Mann–Whitney-érték táblázatban nincs 64 elem, így normál eloszláshoz való közelítést alkalmazunk.

Standard normál eloszlás esetén 0,05-ös szignifikanciaszint mellett a kritikus érték 1,96.
Ebben az esetben a z abszolút értéke kisebb, mint 1,96, tehát nincs szignifikáns különbség a két csoport között.

A Mann–Whitney-próba t-teszttel való összehasonlítsa

Ordinális adatok 
Ordinális adatok esetén a Mann–Whitney-tesztet kell választani.

Robusztusság 
A Mann–Whitney-teszt sokkal robusztusabb, mivel a t-teszthez képest a Mann–Whitney-próba kevésbé hajlamos hamis szignifikáns eredményt mutatni az outlierek miatt. Ez azért lehetséges, mivel ha a mintánk tartalmaz egy olyan adatpontot, ami messze van az átlagtól (két szórásnyira), akkor az ronthatja a t-próba eredményeit. Azonban, ha az adatokat ordinálissá teszem, sorba állítom őket, nem lesz egy igazán félreeső adatom se, mindenki egyenlő távolságra lesz a másiktól (kivéve az egyenlő értékeket).

Hatékonyság 
Abban az esetben, ha az eloszlások nagy mértékben eltérnek a normáltól, és elég nagy a minta, az U-teszt sokkal hatékonyabb, mint a t-teszt.

Alternatív megoldások 
Abban az esetben, ha a két minta eloszlása nagyon különböző, az U-teszt hamisan adhat szignifikáns eredményt, ezért ekkor a kétmintás t-próba nem egyenlő variánciákra vonatkozó tesztjét alkalmazhatjuk.

Több kutató az U-teszt alternatív megoldásaként ajánlja, hogy transzformáljuk az adatokat rangszámokká (ha eddig nem ezekkel dolgoztunk volna), és a rangszámokon futassunk le egy t-tesztet. Az, hogy melyik típusú t-tesztet használjuk, függ attól, hogy az adatok varianciája egyenlő vagy sem.

Publikálás 
A Mann–Whitney-teszt esetében az alábbi eredményeket szükséges publikálni:
 a minták valamely középértéke (átlag, medián – mióta a Mann–Whitney ordinális teszt, azóta a medián ajánlott)
 U értéke
 a minták nagysága
 a szignifikanciaszint

A tudományos világban ezeknek az adatoknak a publikálása kielégítőnek számít.

Egy tipikus publikáció így nézne ki:
„… nem parametrikus vizsgálatot Mann–Whitney-teszttel végeztem. Az eredmények az alábbiak lettek: Wisconsin Kártyaszortírozó Teszt U=682,5 z=-.411 p=.681…”

Abban az esetben, amennyiben a cikk célja egy statisztikai próba vizsgálata, vagy valamilyen statisztikai téma a fő irányvonal, abban az esetben a publikáció sokkal részletesebb és pontosabb.

Kivitelezés 
Sok programcsomag tartalmazza ma már a Mann–Whitney-tesztet, amelynek segítségével gyorsan elvégezhetjük a szükséges tesztet.
 MATLAB 
 COIN
 SAS 
 Python (programozási nyelv)
 SigmaStat (SPSS Inc., Chicago, IL)
 SYSTAT (SPSS Inc., Chicago, IL)
 JMP (SAS Institute Inc., Cary, NC)
 S-Plus (MathSoft, Inc., Seattle, WA)
 STATISTICA (StatSoft, Inc., Tulsa, OK)
 UNISTAT (Unistat Ltd, London)
 SPSS (SPSS Inc, Chicago)
 Arcus Quickstat (Research Solutions, Cambridge, UK)
 Stata (Stata Corporation, College Station, TX)
 StatXact (Cytel Software Corporation, Cambridge, MA)
 PSPP
 Ropstat
R

Hivatkozások 
 Vargha András (2002): Független minták összehasonlítása új rangsorolási eljárásokkal. Statisztikai Szemle, 80. évfolyam, 4. szám
 Fidy Judit dr., Makara Gábor dr. (2005): Biostatisztika. InforMed 2002 Kft.
 Sándor János, Ádány Róza (2011): Biostatisztika. Medicina Könyvkiadó
 http://psycho.unideb.hu/munkatarsak/hidegkuti_istvan/targyak/Kiraly_Zoltan_Statisztika_2_jegyzet_2.pdf
 https://en.wikipedia.org/wiki/Mann%E2%80%93Whitney_U_test
 http://ramet.elte.hu/~ramet/oktatas/Biometria/biometria_eloadas_12.pdf 

Statisztika
A statisztikában a Mann–Whitney-próba ( más néven : Mann–Whitney–Wilcoxon- vagy Wilcoxon-féle rangösszegteszt ) a kétmintás t-próba nem parametrikus megfelelője , amelyet nem normál eloszlás , valamint ordinális változók esetén használunk . Tehát ezzel a teszttel is azt a nullhipotézist vizsgáljuk , miszerint a két minta ugyanabból a populációból származik . Történeti áttekintés A Mann–Whitney-teszt statisztikai háttere előszörben jelent meg egy cikkben , amely a német Gustav Deuchler nevéhez köthető . Frank Wilcoxonben már említést tett a kétmintás próbáról egyenlő elemszámok mellett , valamint már publikált egy szignifikanciatesztet a nullhipotézis alátámasztására egy alternatív hipotézissel szemben . A statisztikai módszer alapos analízise , amelyben kidolgozták a rangsorolás eljárását : a két mintát együtt rangsoroljuk ( azaz , csoporttól függetlenül határozzuk meg a rangszámokat ) , majd összeadjuk külön az egyik és külön a másik csoport rangszámait, ben jelent meg Henry Mann és tanítványa , Donald Ransom Whitney cikkében . A cikk tartalmazta az egyenlő számok ( döntetlen ) lehetőségét tetszőleges nagyságú elemszám esetén is , valamint azokat a táblázatokat , amelyben a nyolc vagy annál kisebb elemszámú elemzésekhez tartozó kritikus értékek találhatóak . A teszt használatának feltételei A Mann–Whitney-tesztet a t-teszt használati feltételeinek sérülése esetén használjuk , például , ha az adatok nem normál eloszlásúak vagy a két minta varianciája szignifikánsan eltérő . A teszt használatának feltételei : Az összes minta független egymástól . Az adatok legalább ordinálisak ( azaz ha nem is számszerűek , de legalábbis sorrendbe állíthatók ) . Nullhipotézis : a két minta azonos eloszlásból származik . Számítási módok A próba végrehajtása A két mintát együtt rangsoroljuk ( azaz , csoporttól függetlenül határozzuk meg a rangszámokatgyel kezdve ) . Majd összeadjuk külön az egyik és külön a másik csoport rangszámait , az egyenlő értékek esetében5-ös értékeket használva ( pl . : aszámsor alapján a rangszámok5,5,lesz ) . Ha igaz a nullhipotézis , hogy a minták ugyanabból az eloszlásból származnak , akkor ennek a két rangszám összegnek közel egyenlőnek kell lennie . Minél jobban eltér az egyik összeg a másiktól , annál több okunk van feltételezni , hogy a két minta különböző eloszlású populációból származik . A próba értéke általában a kisebb elemszámú csoport rangösszege ( de lehet a nagyobb elemszámú csoporté is ) . Kitekintés : Az egyik csoport rangszámai nagy valószínűséggel magasabb értéket mutatnak , mint a másik csoporté , ezt azonban akkor tudjuk pontosan meghatározni , ha ismerjük a csoportok nagyságait . Például : aes nem nagy rang érték egyelemből álló csoportba , de egyelemből álló mintába lehet . Vegyünk például egy versenyt , ahol haversenyzőből másodikként érsz be nem annyira nagy eredmény minthaből lennél második . A Mann–Whitney-próbához tartozó táblázatból a csoport elemszámainak segítségével tudjuk meghatározni azt az intervallumot , amelybe ha a vizsgált rangösszeg beleesik , akkor nem szignifikáns a különbség , ha kívül esik , akkor elvetjük a nullhipotézist . Normál eloszláshoz való közelítés A táblázat azonban csak kis elemszámok esetén használható . Nagy elemszám esetén normál eloszláshoz való közelítést kell alkalmazni . A normál eloszláshoz való közelítés egyenletének használatához az alábbi adatokra lesz szükség : nagyobb elemszámú csoport elemeinek száma = nn kisebb elemszámú csoport elemeinek száma = nk kisebb elemszámú csoport rangösszege = Rk A képlet általánosságban : Majd az előbb felsorolt adatokra nézve : A z érték kiszámítása után standard normál eloszlás és05-ös szignifikanciaszint mellett a kritikus érték96 , ha ennél a │z│ nagyobb , akkor a két minta közti különbség szignifikáns-os szinten . Mann–Whitney U statisztika A Mann–Whitney U statisztikának az alapja a két csoport elemeinek a párba állítása . Tehát , az egyik csoport minden elemét ( Ai ) párba állítjuk a másik csoport minden elemével ( Bi ) . Az így keletkezett párok száma n1n2. Ezek után megvizsgáljuk , hogy hány olyan párosítás van , ahol az első szám nagyobb , mint a másik ( Ai>Bi ) . Ezeknek a pároknak a száma tulajdonképpen a Mann–Whitney U statisztika . Ha a két csoport nem különbözik , akkor körülbelül ugyanannyi olyan pár lesz , ahol Ai<Bi , mint amennyiben Ai>Bi . Ha az egyik típusú pár aránya nagyban eltér a másiktól , valószínűleg különbség van a két populációban a számok eloszlásában . A számolást a próba végrehajtása alfejezet alapján kezdjük . Ezek után az U érték kiszámítható : ahol az n1 az első minta elemszáma és R1 pedig az első minta rangösszege . Ugyanezzel a képlettel számolhatjuk ki a második mintára vonatkozó U értéket : A fentiek alapján a meglévő adatok segítségével több összefüggést is ki tudunk még számítani : pl . az összes rang összegét az alábbi képlettel számolhatjuk ki : Mivel azt már tudjuk , hogy R1 + R2= N( N+1) /2 és N=n1+n2 , így egyszerűsítéseket végezve a képleten ezt kapjuk : A kisebb elemszámú csoport U értékének meghatározása után , a Mann–Whitney-próbához tartozó U-érték-táblázat segítségével az elemszámoknak megfelelő cellában találjuk azt az intervallumot , amelyen ha az adott U érték kívül esik,05-os szinten a különbség szignifikáns . Ezek alapján a normál eloszláshoz való közelítés képlete megfogalmazható más módon is : ahol mu és ϭu az U értékhez ( lásd később ) tartozó átlag és szórás értéke : A legtöbb modern statisztikai programcsomag már tartalmaz U-tesztet , azonban kis elemszám esetén kézzel is könnyen kiszámítható . Számítási módok egy példán levezetve A próba végrehajtása Vegyünk egy egyszerű példát . Tegyük fel , hogy azt szeretnénk megnézni , hogy azok a gyermekek , akik jártak bölcsődébe , jobban teljesítenek-e iskolában a matekfelmérőn , mint azok a gyerekek , akik nem jártak bölcsődébe . A nullhipotézis : nincs különbség a két csoport között , tehát a bölcsődébe járó gyerekek később nem fognak szignifikánsan jobban teljesíteni a matekfelmérőn , mint a bölcsődébe nem járók . Szignifikanciaszint :05 A kérdésfeltevés : kétoldali , mivel nem tudjuk , hogy melyikről feltételezzük , hogy „ jobb” a másiknál . Mivel általában a kisebb elemszámú csoport rangösszegét használjuk , így RB értékét figyeljük . A Mann–Whitney-táblázatban a két elemszám segítségével kideríthető , hogy a kritikus intervallum a64 közötti rész . Tehát azt látjuk , hogy RB értéke kívül esik a kritikus intervallumon , tehát szignifikánsan különbözik a két csoport05-ös szignifikanciaszint mellett . Mann–Whitney U-statisztika Az előbbi példát nézve : A fentiek alapján az összes rang összegét az alábbi képlettel számolhatjuk ki : A kisebb UB értéket figyelembe véve a Mann–Whitney-táblázatban a két elemszám segítségével láthatjuk , hogy a kritikus intervallum aközötti rész . Tehát azt látjuk , hogy U értéke kívül esik a kritikus intervallumon , tehát szignifikánsan különbözik a két csoport05-ös szignifikanciaszint mellett . Normál eloszláshoz való közelítés Tegyük fel , hogy a nagy érdeklődésre való tekintettel a vizsgálatokat országos szinten megismételték . A résztvevők száma azonban így már meghaladta aat is . Ebben az esetben a statisztikai csapat ezekkel az adatokkal dolgozott : A Mann–Whitney-érték táblázatban nincselem , így normál eloszláshoz való közelítést alkalmazunk . Standard normál eloszlás esetén05-ös szignifikanciaszint mellett a kritikus érték96 . Ebben az esetben a z abszolút értéke kisebb , mint96 , tehát nincs szignifikáns különbség a két csoport között . A Mann–Whitney-próba t-teszttel való összehasonlítsa Ordinális adatok Ordinális adatok esetén a Mann–Whitney-tesztet kell választani . Robusztusság A Mann–Whitney-teszt sokkal robusztusabb , mivel a t-teszthez képest a Mann–Whitney-próba kevésbé hajlamos hamis szignifikáns eredményt mutatni az outlierek miatt . Ez azért lehetséges , mivel ha a mintánk tartalmaz egy olyan adatpontot , ami messze van az átlagtól ( két szórásnyira ) , akkor az ronthatja a t-próba eredményeit . Azonban , ha az adatokat ordinálissá teszem , sorba állítom őket , nem lesz egy igazán félreeső adatom se , mindenki egyenlő távolságra lesz a másiktól ( kivéve az egyenlő értékeket ) . Hatékonyság Abban az esetben , ha az eloszlások nagy mértékben eltérnek a normáltól , és elég nagy a minta , az U-teszt sokkal hatékonyabb , mint a t-teszt . Alternatív megoldások Abban az esetben , ha a két minta eloszlása nagyon különböző , az U-teszt hamisan adhat szignifikáns eredményt , ezért ekkor a kétmintás t-próba nem egyenlő variánciákra vonatkozó tesztjét alkalmazhatjuk . Több kutató az U-teszt alternatív megoldásaként ajánlja , hogy transzformáljuk az adatokat rangszámokká ( ha eddig nem ezekkel dolgoztunk volna ) , és a rangszámokon futassunk le egy t-tesztet . Az , hogy melyik típusú t-tesztet használjuk , függ attól , hogy az adatok varianciája egyenlő vagy sem . Publikálás A Mann–Whitney-teszt esetében az alábbi eredményeket szükséges publikálni : a minták valamely középértéke ( átlag , medián – mióta a Mann–Whitney ordinális teszt , azóta a medián ajánlott ) U értéke a minták nagysága a szignifikanciaszint A tudományos világban ezeknek az adatoknak a publikálása kielégítőnek számít . Egy tipikus publikáció így nézne ki : „ … nem parametrikus vizsgálatot Mann–Whitney-teszttel végeztem . Az eredmények az alábbiak lettek : Wisconsin Kártyaszortírozó Teszt U=682,5 z=-.411 p=.681…” Abban az esetben , amennyiben a cikk célja egy statisztikai próba vizsgálata , vagy valamilyen statisztikai téma a fő irányvonal , abban az esetben a publikáció sokkal részletesebb és pontosabb . Kivitelezés Sok programcsomag tartalmazza ma már a Mann–Whitney-tesztet , amelynek segítségével gyorsan elvégezhetjük a szükséges tesztet . MATLAB COIN SAS Python ( programozási nyelv ) SigmaStat ( SPSS Inc . , Chicago , IL ) SYSTAT ( SPSS Inc . , Chicago , IL ) JMP ( SAS Institute Inc . , Cary , NC ) S-Plus ( MathSoft , Inc . , Seattle , WA ) STATISTICA ( StatSoft , Inc . , Tulsa , OK ) UNISTAT ( Unistat Ltd , London ) SPSS ( SPSS Inc , Chicago ) Arcus Quickstat ( Research Solutions , Cambridge , UK ) Stata ( Stata Corporation , College Station , TX ) StatXact ( Cytel Software Corporation , Cambridge , MA ) PSPP Ropstat R Hivatkozások Vargha András Független minták összehasonlítása új rangsorolási eljárásokkal . Statisztikai Szemle , évfolyam , szám Fidy Judit dr. , Makara Gábor dr. Biostatisztika . InforMedKft . Sándor János , Ádány Róza Biostatisztika . Medicina Könyvkiadó http://psycho.unideb.hu/munkatarsak/hidegkuti_istvan/targyak/Kiraly_Zoltan_Statisztika_2_jegyzet_2.pdf https://en.wikipedia.org/wiki/Mann%E2%80%93Whitney_U_test http://ramet.elte.hu/ ~ramet/oktatas / Biometria/ biometria_eloadas_12.pdf Statisztika