Wagstaff-prímek
A számelmélet területén egy Wagstaff-prím olyan p prímszám, ami felírható a következő alakban:

,

ahol q páratlan prímszám. A Wagstaff-prímek Samuel S. Wagstaff Jr. matematikus után kapták nevüket; a prime pages weboldal François Moraint tünteti fel, mint a kifejezés első használóját az Eurocrypt 1990 konferencián. A Wagstaff-prímek kapcsolódnak az új Mersenne-sejtéshez és szerepet kapnak a kriptológiában is.

Példák 
Az első három Wagstaff-prím a 3, 11 és a 43, mivel:

Ismert Wagstaff-prímek 
Az első néhány Wagstaff-prím:
3, 11, 43, 683, 2731, 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403, 768614336404564651, … 

2014 októberéig a következő prím kitevők ismertek, melyek Wagstaff-prímek vagy valószínű prímeket produkálnak:
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399, …, 13347311, 13372531 

2010 februárjában Tony Reix megtalálta a következő Wagstaff-valószínű prímet:
 
ami  jegyű, és eddig a 3. legnagyobb valószínű Wagstaff-prím.

2013 szeptemberében Ryan Propper bejelentette két új Wagstaff-valószínű prím megtalálását:
 
és
 
Mindkettő kb. négymillió számjegyből álló valószínű prím. Jelenleg nem ismert, hogy vannak-e olyan kitevők  és  között, amik Wagstaff-prímeket adnak.

Prímteszt 
A fenti sorozat számai q≤83339-ig bizonyítottan prímek. A q > 83339 számok valószínű prímek (2016. áprilisi adat). A q = 42737 prím voltának igazolását François Morain végezte el 2007-ben elosztott ECPP prímteszttel, ami 743 GHz-napot vett igénybe Opteron processzoron. Ez volt a harmadik legnagyobb ECPP-vel történő prímbizonyítás.

Jelenleg a leggyorsabb ismert algoritmus a Wagstaff-számok prímtesztjére az ECPP.

A Jean Penné által kifejlesztett LLR (Lucas–Lehmer–Riesel) eszköz Wagstaff-valószínű prímek keresésére alkalmas a Vrba-Reix teszt. Ez egy PRP- (probable prime) teszt, ami a Wagstaff-szám x2−2 modulo irányított gráfjában lévő kör tulajdonságain alapszik.

Általánosítások 
Természetesnek tűnik a következő általánosítás. Tekintsük a következő alakú számokat:
,
ahol az alap . Mivel páratlan  számokra adódik
,
amiket „-alapú Wagstaff-számoknak” hívnak és tekinthetők a negatív  számrendszerbeli repunit számoknak.

Egyes specifikus  értékekre minden  (kivéve esetleg kicsi -eket) összetett szám, a faktorizáció „algebrai” lehetőségei miatt. Például ha  páratlan kitevőjű teljes hatvány (mint 8, 27, 32, 64, 125, 128, 216, 243, 343, 512, 729, 1000 stb. ), akkor abból a tényből, hogy ,  páratlan esetre, osztható -gyel, automatikusan következik, hogy  is osztható -gyel. Másik speciális eset, ha , ahol k pozitív egész (mint 4, 64, 324, 1024, 2500, 5184 stb.. ), akkor Aurifeuille-féle felbontás lehetséges..

Azokra az esetekre azonban, amikor  nem engedi meg az algebrai felbontást, a sejtés szerint végtelen  értékre lesz  prímszám (ahol n páratlan prímszám).

A  értékre a prímszámok a következőek: 9091, 909091, 909090909090909091, 909090909090909090909090909091, … , a hozzájuk tartozó n-ek pedig: 5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207, ... .

A legkisebb p prím, amire  prímszám (n = 2-től kezdve, 0 ha nincs ilyen p szám):
3, 3, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 5, 5, 5, 3, 7, 3, 3, 7, 3, 17, 5, 3, 3, 11, 7, 3, 11, 0, 3, 7, 139, 109, 0, 5, 3, 11, 31, 5, 5, 3, 53, 17, 3, 5, 7, 103, 7, 5, 5, 7, 1153, 3, 7, 21943, 7, 3, 37, 53, 3, 17, 3, 7, 11, 3, 0, 19, 7, 3, 757, 11, 3, 5, 3, ... 

A legkisebb b alap, amire  prímszám (n = 2-től kezdve):
2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70, 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5, 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, ...

Jegyzetek

További információk 

Chris Caldwell, The Top Twenty: Wagstaff at The Prime Pages.
 Renaud Lifchitz, "An efficient probable prime test for numbers of the form (2p + 1)/3".
 Tony Reix, "Three conjectures about primality testing for Mersenne, Wagstaff and Fermat numbers based on cycles of the Digraph under x2 − 2 modulo a prime".
repunit in base -50 to 50

Prímszámok
A számelmélet területén egy Wagstaff-prím olyan p prímszám , ami felírható a következő alakban : ahol q páratlan prímszám . A Wagstaff-prímek Samuel S. Wagstaff Jr. matematikus után kapták nevüket ; a prime pages weboldal François Moraint tünteti fel , mint a kifejezés első használóját az Eurocryptkonferencián . A Wagstaff-prímek kapcsolódnak az új Mersenne-sejtéshez és szerepet kapnak a kriptológiában is . Példák Az első három Wagstaff-prím aés a mivel : Ismert Wagstaff-prímek Az első néhány Wagstaff-prím : 3 , … 2014 októberéig a következő prím kitevők ismertek , melyek Wagstaff-prímek vagy valószínű prímeket produkálnak : 3 , … , 2010 februárjában Tony Reix megtalálta a következő Wagstaff-valószínű prímet : ami jegyű , és eddig a legnagyobb valószínű Wagstaff-prím . 2013 szeptemberében Ryan Propper bejelentette két új Wagstaff-valószínű prím megtalálását : és Mindkettő kb. négymillió számjegyből álló valószínű prím . Jelenleg nem ismert , hogy vannak-e olyan kitevők és között , amik Wagstaff-prímeket adnak . Prímteszt A fenti sorozat számai q≤83339-ig bizonyítottan prímek . A q >számok valószínű prímek áprilisi adat ) . A q =prím voltának igazolását François Morain végezte elben elosztott ECPP prímteszttel , amiGHz-napot vett igénybe Opteron processzoron . Ez volt a harmadik legnagyobb ECPP-vel történő prímbizonyítás . Jelenleg a leggyorsabb ismert algoritmus a Wagstaff-számok prímtesztjére az ECPP . A Jean Penné által kifejlesztett LLR ( Lucas–Lehmer–Riesel ) eszköz Wagstaff-valószínű prímek keresésére alkalmas a Vrba-Reix teszt . Ez egy PRP- ( probable prime ) teszt , ami a Wagstaff-szám x2−2 modulo irányított gráfjában lévő kör tulajdonságain alapszik . Általánosítások Természetesnek tűnik a következő általánosítás . Tekintsük a következő alakú számokat : ahol az alap \ . Mivel páratlan számokra adódik amiket „ -alapú Wagstaff-számoknak” hívnak és tekinthetők a negatív számrendszerbeli repunit számoknak . Egyes specifikus értékekre minden ( kivéve esetleg kicsi -eket ) összetett szám , a faktorizáció „ algebrai” lehetőségei miatt . Például ha páratlan kitevőjű teljes hatvány ( mintstb . ) , akkor abból a tényből , hogy , páratlan esetre , osztható -gyel , automatikusan következik , hogy is osztható -gyel . Másik speciális eset , ha , ahol k pozitív egész ( mintstb . . ) , akkor Aurifeuille-féle felbontás lehetséges . . Azokra az esetekre azonban , amikor nem engedi meg az algebrai felbontást , a sejtés szerint végtelen értékre lesz prímszám ( ahol n páratlan prímszám ) . A értékre a prímszámok a következőek : … , a hozzájuk tartozó n-ek pedig : \... \ . A legkisebb p prím , amire prímszám ( n =től kezdve, ha nincs ilyen p szám ) : 3,\ . . . A legkisebb b alap , amire prímszám ( n =től kezdve ) : 2,\ ... Jegyzetek További információk Chris Caldwell , The Top Twenty : Wagstaff at The Prime Pages . Renaud Lifchitz , " An efficient probable prime test for numbers of the form + 1) /3 " . Tony Reix , " Three conjectures about primality testing for Mersenne , Wagstaff and Fermat numbers based on cycles of the Digraph under x2 − 2 modulo a prime " . repunit in baseto Prímszámok