Csillagtestszámok
A számelméletben a csillagoktaéder-számok vagy csillagtestszámok olyan poliéderszámok, illetve figurális számok, melyek a sűrűn pakolt gömbökből összeálló csillagtestekben (Stella octangula) részt vevő gömbök számát reprezentálják. Az n-edik csillagtestszám  a következő képlettel állítható elő:

Az első néhány csillagtestszám: 
1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, 2651, 3444, 4381, 5474, 6735, 8176, 9809, 11646, 13699, 15980, 18501, 21274, 24311, 27624, 31225, 35126, 39339, 43876, 48749, 53970, 59551, 65504, 71841, 78574, 85715, 93276, 101269, 109706, 118599, 127960…

Kapcsolat más figurális számokkal
Ha  az n-edik oktaéderszám és  az n-edik tetraéderszám, akkor

Tulajdonságai, alkalmazásai
A csillagtestszámok generátorfüggvénye:

Ljunggren egyenlete
Csak két olyan pozitív csillagtestszám létezik, ami egyben négyzetszám is, ezek az  és a , amik az  és  esetnek felelnek meg. A négyzetes csillagtestszámokat leíró elliptikus görbét,

a vele ekvivalens Weierstrass-alakba helyezve:

a következő változócseréket hajtjuk végre: , . Mivel az  két tényezője,  és  relatív prímek, ezért külön-külön is négyzetszámoknak kell lenniük, a változók egy második cseréjével,  és  pedig a következő Ljunggren-egyenlethez jutunk:

Siegel egy tétele kimondja, hogy minden elliptikus görbének csak véges számú egész megoldása lehet,  pedig talált egy bonyolult bizonyítást arra, hogy az előbbi egyenlet egész gyökei éppen  és , amik a két négyzetes csillagtestszámnak felelnek meg. Louis J. Mordell megsejtette, hogy a bizonyítás leegyszerűsíthető, és valóban, később több szerző is sikeresen leegyszerűsítette azt.

További információk

Jegyzetek

 

Figurális számok
A számelméletben a csillagoktaéder-számok vagy csillagtestszámok olyan poliéderszámok , illetve figurális számok , melyek a sűrűn pakolt gömbökből összeálló csillagtestekben ( Stella octangula ) részt vevő gömbök számát reprezentálják . Az n-edik csillagtestszám a következő képlettel állítható elő : Az első néhány csillagtestszám : 1 , Kapcsolat más figurális számokkal Ha az n-edik oktaéderszám és az n-edik tetraéderszám , akkor Tulajdonságai , alkalmazásai A csillagtestszámok generátorfüggvénye : Ljunggren egyenlete Csak két olyan pozitív csillagtestszám létezik , ami egyben négyzetszám is , ezek az és a , amik az és esetnek felelnek meg . A négyzetes csillagtestszámokat leíró elliptikus görbét , a vele ekvivalens Weierstrass-alakba helyezve : a következő változócseréket hajtjuk végre : , \ . Mivel az két tényezője , és relatív prímek , ezért külön-külön is négyzetszámoknak kell lenniük , a változók egy második cseréjével , és pedig a következő Ljunggren-egyenlethez jutunk : Siegel egy tétele kimondja , hogy minden elliptikus görbének csak véges számú egész megoldása lehet , pedig talált egy bonyolult bizonyítást arra , hogy az előbbi egyenlet egész gyökei éppen és , amik a két négyzetes csillagtestszámnak felelnek meg . Louis J. Mordell megsejtette , hogy a bizonyítás leegyszerűsíthető , és valóban , később több szerző is sikeresen leegyszerűsítette azt . További információk Jegyzetek Figurális számok