Einstein-modell
A szilárdtestfizikában és statisztikus fizikában alkalmazott Einstein-modell segítségével a szilárdtestek fajhőjének klasszikus leírásából adódó ellentmondások oldhatók fel. A kvantummechanikán alapuló modell az alábbi két főbb feltevésen alapul:
 a rács minden atomja független, háromdimenziós harmonikus oszcillátorként viselkedik, és
 minden oszcillátor azonos frekvenciával rezeg.
Bár a modell nem veszi figyelembe a hosszúhullámú rezgések hatását (melyek a rácsban terjedő hanghullámoknak illetve hosszúhullámú fononoknak felelnek meg), viszont kellőképpen pontos közelítést ad a szilárdtestek fajhőjére magasabb hőmérsékleten. A kísérletek azt mutatják, hogy a szilárdtestek fajhője a hőmérséklet csökkenésével csökken, 0 K hőmérsékleten pedig eltűnik. A klasszikus modell ezt nem képes megmagyarázni, míg az Einstein-modell egyes esetekben pontos leírást ad a fajhő hőmérsékletfüggésére.

Kapcsolat a klasszikus modellel 
Ma klasszikus fizikaként emlegetett, a zömében 20. század előtti fizikai felfogásokból álló világkép egyik komoly ellentmondása volt, hogy a szilárdtestek fajhője nem követi a Dulong–Petit-szabályt. Utóbbi a kinetikus elméletből az ekvipartíció tételének felhasználásával a teljes energiára az alábbi kifejezést vezeti le:

.

Ebből a hőkapacitás a definíció alapján:

.

Ebből az egyatomos szilárd test moláris hőkapacitása , ahol  az egyetemes gázállandó. A kifejezés tehát láthatóan nem hőmérsékletfüggő végeredményt ad.

Albert Einstein 1907-ben azt javasolta, hogy a rácsrezgéseket a Planck-féle kvantum-hipotézisnek megfelelően szintén kvantált mennyiségnek képzeljük ez, azaz hogy a rácsrezgések frekvenciája csak diszkrét kvantumokban változhat. Így a rácsrezgés energiája is kvantált: , ahol  egész szám,  a Planck-állandó,  pedig a frekvencia. A statisztikus fizikából ismert  állapotösszeggel és a szokásos  jelöléssel egy adott módus energiaátlaga . A rácspontokban harmonikus oszcillátorokat képzelt el, melyekre ez az energiaátlag:

.

Einstein továbbá feltette, hogy minden atom egymástól független oszcillátor, melynek rezgése egységesen , azaz a diszperziós relációban a frekvencia hullámszámtól való függetlenségét látjuk. A rácsban  darab atom van, melyek egyesével 3 független irányban képesek rezgésre, így a rács teljes belső energiája . Einstein a fajhőt ebből származtatta:

,

ahol  az Einstein-függvény.

Bár az Einstein-modell eredményei pontosabban egyeznek a kísérletekkel, mint a klasszikus számítás, viszont érvénye csak a magasabb hőmérsékletű rácsokra terjed ki. Újabb, alacsony hőmérsékletű mérések rámutattak, hogy a modell azon feltevése, hogy a rács atomjai független és azonos frekvenciájú oszcillátorok, nem vezet helyes eredményre a fajhővel kapcsolatban, ugyanis figyelmen kívül hagyja a hosszúhullámú, akusztikus módusoknak megfelelő, könnyen gerjeszthető rácsrezgéseket.

Jegyzetek

Források 
 
 

Szilárdtestfizika
Statisztikus fizika
A szilárdtestfizikában és statisztikus fizikában alkalmazott Einstein-modell segítségével a szilárdtestek fajhőjének klasszikus leírásából adódó ellentmondások oldhatók fel . A kvantummechanikán alapuló modell az alábbi két főbb feltevésen alapul : a rács minden atomja független , háromdimenziós harmonikus oszcillátorként viselkedik , és minden oszcillátor azonos frekvenciával rezeg . Bár a modell nem veszi figyelembe a hosszúhullámú rezgések hatását ( melyek a rácsban terjedő hanghullámoknak illetve hosszúhullámú fononoknak felelnek meg ) , viszont kellőképpen pontos közelítést ad a szilárdtestek fajhőjére magasabb hőmérsékleten . A kísérletek azt mutatják , hogy a szilárdtestek fajhője a hőmérséklet csökkenésével csökken,K hőmérsékleten pedig eltűnik . A klasszikus modell ezt nem képes megmagyarázni , míg az Einstein-modell egyes esetekben pontos leírást ad a fajhő hőmérsékletfüggésére . Kapcsolat a klasszikus modellel Ma klasszikus fizikaként emlegetett , a zömében század előtti fizikai felfogásokból álló világkép egyik komoly ellentmondása volt , hogy a szilárdtestek fajhője nem követi a Dulong–Petit-szabályt . Utóbbi a kinetikus elméletből az ekvipartíció tételének felhasználásával a teljes energiára az alábbi kifejezést vezeti le : . Ebből a hőkapacitás a definíció alapján : . Ebből az egyatomos szilárd test moláris hőkapacitása , ahol az egyetemes gázállandó . A kifejezés tehát láthatóan nem hőmérsékletfüggő végeredményt ad . Albert Einsteinben azt javasolta , hogy a rácsrezgéseket a Planck-féle kvantum-hipotézisnek megfelelően szintén kvantált mennyiségnek képzeljük ez , azaz hogy a rácsrezgések frekvenciája csak diszkrét kvantumokban változhat . Így a rácsrezgés energiája is kvantált : , ahol egész szám , a Planck-állandó , pedig a frekvencia . A statisztikus fizikából ismert állapotösszeggel és a szokásos jelöléssel egy adott módus energiaátlaga \ . A rácspontokban harmonikus oszcillátorokat képzelt el , melyekre ez az energiaátlag : . Einstein továbbá feltette , hogy minden atom egymástól független oszcillátor , melynek rezgése egységesen , azaz a diszperziós relációban a frekvencia hullámszámtól való függetlenségét látjuk . A rácsban darab atom van , melyek egyesévelfüggetlen irányban képesek rezgésre , így a rács teljes belső energiája \ . Einstein a fajhőt ebből származtatta : ahol az Einstein-függvény . Bár az Einstein-modell eredményei pontosabban egyeznek a kísérletekkel , mint a klasszikus számítás , viszont érvénye csak a magasabb hőmérsékletű rácsokra terjed ki . Újabb , alacsony hőmérsékletű mérések rámutattak , hogy a modell azon feltevése , hogy a rács atomjai független és azonos frekvenciájú oszcillátorok , nem vezet helyes eredményre a fajhővel kapcsolatban , ugyanis figyelmen kívül hagyja a hosszúhullámú , akusztikus módusoknak megfelelő , könnyen gerjeszthető rácsrezgéseket . Jegyzetek Források Szilárdtestfizika Statisztikus fizika