Erősen bővelkedő számok
A számelméletben egy erősen bővelkedő szám olyan pozitív egész szám, aminek osztóinak összege nagyobb, mint bármely nála kisebb pozitív egész szám osztóinak összege.

Az erősen bővelkedő számokkal (és a természetes számok több hasonló csoportjával) elsőként S.S. Pillai foglalkozott 1943-ban. Alaoglu és Erdős összegyűjtötték 104-ig az erősen bővelkedő számokat, és megmutatták, hogy az N számnál kisebb erősen bővelkedő számok száma log2 N körül van.

Formális definíció és példák 
Formálisan, n természetes szám akkor és csak akkor erősen bővelkedő, ha minden természetes szám m < n-re,

ahol σ az osztóösszeg-függvényt jelöli. Az első néhány erősen bővelkedő szám a következő:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 42, 48, 60, ... .

Az 5 például nem erősen bővelkedő szám, mivel σ(5) = 5+1 = 6 kisebb, mint a σ(4) = 4 + 2 + 1 = 7, ellenben 8 erősen bővelkedő szám, mivel σ(8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15, ami nagyobb az összes kisebb természetes számhoz tartozó σ értéknél.

Az erősen bővelkedő számok közül kizárólag az 1 és a 3 páratlan.

Más számhalmazokkal való kapcsolata 

Bár az első nyolc faktoriális erősen bővelkedő, ez nem minden faktoriálisra igaz. Például
σ(9!) = σ(362880) = 1481040,
de létezik nála kisebb szám nagyobb osztóösszeggel,
σ(360360) = 1572480,
ezért 9! nem erősen bővelkedő szám.

Alaoglu és Erdős megfigyelte, hogy valamennyi szuperbővelkedő szám egyben erősen bővelkedő is, és feltették a kérdést, hogy vajon létezik-e végtelen sok erősen bővelkedő szám, ami nem szuperbővelkedő is egyben. A kérdést 1969-ben pozitívan döntötte el Jean-Louis Nicolas.

A megtévesztő név ellenére az erősen bővelkedő számok nem feltétlenül bővelkedő számok. Az első hét erősen bővelkedő szám közül egyik se bővelkedő.

7200 a legnagyobb hatványteljes szám, ami erősen bővelkedő is; a nála nagyobb erősen bővelkedő számok mind rendelkeznek olyan prímtényezővel, ami csak egyszer osztja őket. Ezért a 7200 egyben a legnagyobb erősen bővelkedő szám, aminek páratlan az osztóösszege.

Jegyzetek

Fordítás

Kapcsolódó szócikkek
 Erősen összetett számok

Nevezetes számsorozatok
A számelméletben egy erősen bővelkedő szám olyan pozitív egész szám , aminek osztóinak összege nagyobb , mint bármely nála kisebb pozitív egész szám osztóinak összege . Az erősen bővelkedő számokkal ( és a természetes számok több hasonló csoportjával ) elsőként S.S. Pillai foglalkozottban . Alaoglu és Erdős összegyűjtöttékig az erősen bővelkedő számokat , és megmutatták , hogy az N számnál kisebb erősen bővelkedő számok száma log2 N körül van . Formális definíció és példák Formálisan , n természetes szám akkor és csak akkor erősen bővelkedő , ha minden természetes szám m < n-re , ahol σ az osztóösszeg-függvényt jelöli . Az első néhány erősen bővelkedő szám a következő : 1,\... \ . Azpéldául nem erősen bővelkedő szám , mivel σ ( 5 ) =1 =kisebb , mint a σ( 4 ) =++= ellenbenerősen bővelkedő szám , mivel σ( 8 ) =+++= ami nagyobb az összes kisebb természetes számhoz tartozó σ értéknél . Az erősen bővelkedő számok közül kizárólag azés apáratlan . Más számhalmazokkal való kapcsolata Bár az első nyolc faktoriális erősen bővelkedő , ez nem minden faktoriálisra igaz . Például σ ( 9 ! ) = σ ( 362880 ) = de létezik nála kisebb szám nagyobb osztóösszeggel , σ ( 360360 ) = ezért nem erősen bővelkedő szám . Alaoglu és Erdős megfigyelte , hogy valamennyi szuperbővelkedő szám egyben erősen bővelkedő is , és feltették a kérdést , hogy vajon létezik-e végtelen sok erősen bővelkedő szám , ami nem szuperbővelkedő is egyben . A kérdéstben pozitívan döntötte el Jean-Louis Nicolas . A megtévesztő név ellenére az erősen bővelkedő számok nem feltétlenül bővelkedő számok . Az első hét erősen bővelkedő szám közül egyik se bővelkedő . 7200 a legnagyobb hatványteljes szám , ami erősen bővelkedő is ; a nála nagyobb erősen bővelkedő számok mind rendelkeznek olyan prímtényezővel , ami csak egyszer osztja őket . Ezért aegyben a legnagyobb erősen bővelkedő szám , aminek páratlan az osztóösszege . Jegyzetek Fordítás Kapcsolódó szócikkek Erősen összetett számok Nevezetes számsorozatok