Almássy-féle ikozaéder
Az Almássy-féle ikozaéder valójában egy szerkezet, egy 3D gráf. A jövőben szerepet kaphat a biológiában (vírusok), a részecskefizikában és a nanofizikában is.

Torzított ikozaéderekből épül. Torzított ikozaéder úgy keletkezik, hogy a kiválasztott ikozaéder csúcsokat a csúcsot és az ikozaéder közepét összekötő szakaszon az ikozaéder közepe felé csúsztatjuk. Az ikozaéder csúcs és a csúcs új helyének az ikozaéder középpontjától mért távolságainak hányadosa éppen az arany szám (1,61803…). A torzított ikozaéderek élei kétféle hosszúságúak. A rövidebb és a hosszabb él hányadosa egyenlő a sin 60° = 0,866 értékkel.

Az Almássy-féle ikozaéder torzított ikozaéderekből épített azonos állású, egyre nagyobb ikozaéder alakú testek sorozata. Az első kivételével üreges testek. Eltekintve a lapjain látható szabályos háromszög alapú tetraéder alakú üregektől, külső és belső felülete is szabályos ikozaéder alakú. Három különböző torzított ikozaéderből épül. Más a csúcs, az él és a lap teste. Felépítve az elsőtől a kiválasztott sorszámú elemig, a testek tömör ikozaédert alkotnak együtt. A tetraéder alakú üregek halmazát tekinthetjük egy tetraéderes térszerkezetnek is. A teljes szerkezet azonos állású, egybevágó, élilleszkedésű dodekaéderekkel is megépíthető.

A sík vagy a tér lefedése [2][3] egybevágó alakzatokkal gyakori feladat a hétköznapokban és a geometriában is. A különböző nagyságú Almássy-féle ikozaéder testek egymásba illeszthetők. Rétegeket alkotnak. Alakját megtartó testként velük a tér a végtelenségig beépíthető. A tér lefedése után a torzított ikozaéderek között csak egyforma, szabályos háromszög alapú tetraéder alakú üregeket találunk. Az egymáshoz kapcsolódó testek réteges szerkezetének egyetlen középpontja van.

A megépített szerkezet ötfogásos forgási szimmetriával[4][5] rendelkezik. A középpontra illeszkedő hat tengely bármelyike körüli 72 fokos vagy többszöröseivel történő elforgatással a szerkezet önmagával fedésbe kerül. A tengelyek az ikozaéderek átellenes csúcsaira illeszkednek.

A torzított ikozaéder hálók rombusz alakú lapjai két szomszédos ikozaéder háromszög közös síkra illeszkedésével alakulnak ki. A torzított ikozaéder hosszabb élének és a rombusz rövidebb átlójának aránya szintén az arany szám.

A középső ikozaéder csak 12 csúcs-testből épül. Az ezt övező második ikozaéder minden lapjának közepén egy lap-testet találunk. A további ikozaédereknél a lap-testek háromszögeket alkotnak. A háromszögek egy élén páratlan számú lap-testet találunk. A háromszögek élhosszúsága az 1,3,5 , … sorozat szerint növekszik. Minden ikozaéder csúcsban csúcs-testet találunk. Az ikozaéderek élein található él-testek száma a páros számok 0, 2, 4, … sorozatát alkotja. Az n-edik ikozaéder réteg torzított ikozaédereinek összes számát a 12, 92, 252, ...,
 sorozat elemei adják, ahol n a nullától különböző természetes szám.

Az Almássy-féle ikozaéderes szerkezet egybevágó, egyforma állású, élilleszkedésű dodekaéderekből is megépíthető. Minden ikozaéder csúcsban és minden az ikozaéder felszínére illeszkedő tetraéder csúcsban egyforma dodekaéderes szerkezetek középpontjait találjuk. Ezek a dodekaéderes szerkezetek is ikozaédereket alkotnak.

A torzított ikozaéderek többi csúcsában is dodekaéderekből épült ikozaédereket találunk másféle kapcsolódásokkal. Egy lap-test nem felszíni csúcsai térbeli hatszögeket alkotnak ().

A dodekaéderes szerkezet felépítése 

Néhány fogalom:

3D gráf 
A 3D gráf fogalmát szinte minden nap használjuk. Amikor egy molekula szerkezetét, vagy egy kristályrácsot mutatunk be, elemei közé vonalakat húzunk. Gráfot készítünk. Napjainkban nagy divatja van a 3D-s megjelenítésnek is. Itt a 3D gráf valóságos, térben elhelyezkedő szerkezet. A 3D gráfnál a kristályrácshoz hasonlóan a gráf csúcsainak helye a térben helyhez kötött. Azonban míg ott a csúcsokhoz rendelt objektumok valóságosak, itt a csúcsokat összekötő fizikai objektumok is létezhetnek. (Például építészeti szerkezetekben vagy a modellekben itt.) Az élek és csúcsok alakjától eltekintünk, a csúcsokat pontokkal, az éleket egy szakasszal, mint a két szomszédos csúcs közötti legrövidebb alakzattal helyettesítjük. A gráf csúcsainak tekintsük a kristálytanban szokásos általánosítást, tehát a csúcs testének tömegközéppontját.

Élilleszkedés 
A két testet egy egyenes és egyenlő hosszú élükkel illesztjük össze. A közös él mindkét testnek az egyik éle.

Csillag 
Itt csillagnak nevezzük a legkisebb ikozaéder csúcsaiba helyezett egyforma testek halmazát. Sokszor a középpontjába is valamilyen test helyezhető, vagy valójában ott is található. (12 vagy 13 testből áll.) A középső és a többi test középpontjait összekötve gráfja egy csillagot formáz. Innen származik a neve. Egyforma testeik azonos állásúak.

Gömb 
Itt gömbnek nevezzük egy adott felületet borító, vagy egy felületet megvalósító testek halmazát. Ez a felület legtöbbször egy szabályos vagy Arkhimédészi test felülete. Ezt a felületet alkothatják a testek középpontjainak halmaza (mint csúcsok) és a testek belső felületei is. A gömböknek belső szerkezete is lehet.

Nagygömb 
Dodekaéder alakú gömb.

Dodekaéder csillag 
Más néven dodeka-ikozaéder. Élilleszkedésű dodekaéderekből épült ikozaéder. Középső teste ikozidodekaéder. Dodekaéderei azonos állásúak.

Ikozi-ikozaéder 
Ikozidodekaéderekből épült ikozaéder. Ez is csillag. Középső teste nincs. Egy ikozaéder minden csúcsába azonos helyzetű egyforma ikozidodekaédereket illesztünk középpontjaikkal. A név ezt jelöli. Az ikozidodekaédereket az ötszögeikre illesztett dodekaéderekkel kapcsoljuk össze. A dodekaéderek is azonos helyzetűek lesznek. A testek középpontjait összekötve egy rombikus (rombuszlapos) triakontaédert kapunk.

A szomszédos ikozidodekaédereket összekapcsoló dodekaéderek élilleszkedésűek. Ha egy ikozidodekaéder minden ötszögére dodekaédert illesztünk – ez a dodekaéder csillag-, akkor minden szomszédjához minden dodekaéder élilleszkedéssel kapcsolódik. A csillag középső test nélkül is létezik. Ezért az ikozidodekaédereket el is hagyhatjuk

Lesznek ütköző dodekaéderek, mint azt az ábrán láthatjuk. Ezek egyikét vagy mindkettőt elhagyjuk. A belső dodekaéderek középpontjai egy nagyobb dodekaéder csúcsaiban helyezkednek el. Ebből két ötszöget láthatunk az ábrán.

Gömbök ikozi-ikozaéderekből 

Az ikozi-ikozaédereket az ikozidodekaédereik külső ötszögeire illesztett közös dodekaéderekkel összekapcsolhatjuk.

A fenti testet közös dodekaéder kapcsolja a lenti testekhez. A lenti kettőt két élilleszkedésű dodekaéderpár kapcsolja össze. Ezek a dodekaéderek az ikozi-ikozaéderek ikozidodekaédereinek a külső ötszögeire vannak illesztve. A láthatóság miatt nincs ott a többi dodekaéder. Ha a felső ikozi-ikozaéder minden ötszögéhez újabbat kapcsolunk, az ikozi-ikozaéderek középpontjai újabb ikozaédert alkotnak. Ennek az ikozaédernek középső teste is van. Ha a középső test középpontját összekötjük a szélső testek középpontjaival, ezt az elrendezést a látvány alapján csillagnak is nevezhetjük. Ez az ikozi-ikozaéderek csillaga.

Az ikozi-ikozaéderekből dodekaédert és újabb ikozidodekaédert is építhetünk.

A szerkezet 
Ha az Almássy-féle ikozaéderes szerkezetet dodekaéderekből megépítjük, az ikozi-ikozaéder csillagok középpontjai a szerkezet torzított ikozaédereinek a csúcsaira illeszkednek. A szomszédos csillagok középpontjaik távolságától függően három módon kapcsolódhatnak (négyzetes, romboéderes kapcsolódással vagy közös ikozi-ikozaéderekkel a rombuszok rövidebb átlóin).

A szerkezet másik leírása a két utóbbi alakzattal történhet. A szerkezet közepén egy ikozidodekaéder gömb helyezkedik el. Ennek ötszögeire nagygömbök illeszkednek. A nagygömbökhöz a szerkezet tengelyein újabb ikozidodekaéder gömbök illeszkednek, majd ismét nagygömbök következnek. A nagygömb belseje üres. A nagygömb szomszédos csillagainak legtöbbször két közös ikozi-ikozaédere van. Az ikozidodekaéder gömb belsejébe egy ikozi-ikozaéder csillag illeszkedik. A többi ikozi-ikozaéder csillag középső teste a gömbökön kívül helyezkednek el. A nagygömböt és az ikozidodekaéder gömböt is a csillagok szélső testei alkotják. A nagygömbnél az ötszög közepén, míg az ikozidodekaéder gömbnél a háromszög közepén rajzolt tengelyre illeszkednek középpontjaikkal.
Minden torzított ikozaéder belsejében egy nagygömb helyezkedik el.

A dodekaéderekkel épített ikozaéderes szerkezet bővebb leírását az [1] forrás Az ikozaéderes növekedés modellje című fejezetében találjuk meg.

Jegyzetek

Források 
 Almássy Zoltán: Dodekaéderek világa
 Reimann István: Parketták a geometria szemszögéből (Matematikai mozaik) Typotex  
 A sík lefedése egy új ötszöggel
 Darvas György: Szimmetria a tudományban és a művészetben, Magyar Tudomány, A Magyar Tudományos Akadémia lapja 1999. március
 A nagy csempéző (Roger Penrose), Természet Világa,	128. évf. 12. sz. 1997. december, 534-538. o.
 Pelle Béla: Geometria, Tankönyvkiadó, Bp. 1974.

Poliéderek
Gráfelmélet
Kristálytan
Az Almássy-féle ikozaéder valójában egy szerkezet , egy gráf . A jövőben szerepet kaphat a biológiában ( vírusok ) , a részecskefizikában és a nanofizikában is . Torzított ikozaéderekből épül . Torzított ikozaéder úgy keletkezik , hogy a kiválasztott ikozaéder csúcsokat a csúcsot és az ikozaéder közepét összekötő szakaszon az ikozaéder közepe felé csúsztatjuk . Az ikozaéder csúcs és a csúcs új helyének az ikozaéder középpontjától mért távolságainak hányadosa éppen az arany szám61803… ) . A torzított ikozaéderek élei kétféle hosszúságúak . A rövidebb és a hosszabb él hányadosa egyenlő a sin =866 értékkel . Az Almássy-féle ikozaéder torzított ikozaéderekből épített azonos állású , egyre nagyobb ikozaéder alakú testek sorozata . Az első kivételével üreges testek . Eltekintve a lapjain látható szabályos háromszög alapú tetraéder alakú üregektől , külső és belső felülete is szabályos ikozaéder alakú . Három különböző torzított ikozaéderből épül . Más a csúcs , az él és a lap teste . Felépítve az elsőtől a kiválasztott sorszámú elemig , a testek tömör ikozaédert alkotnak együtt . A tetraéder alakú üregek halmazát tekinthetjük egy tetraéderes térszerkezetnek is . A teljes szerkezet azonos állású , egybevágó , élilleszkedésű dodekaéderekkel is megépíthető . A sík vagy a tér lefedése [ 2] [ 3 ] egybevágó alakzatokkal gyakori feladat a hétköznapokban és a geometriában is . A különböző nagyságú Almássy-féle ikozaéder testek egymásba illeszthetők . Rétegeket alkotnak . Alakját megtartó testként velük a tér a végtelenségig beépíthető . A tér lefedése után a torzított ikozaéderek között csak egyforma , szabályos háromszög alapú tetraéder alakú üregeket találunk . Az egymáshoz kapcsolódó testek réteges szerkezetének egyetlen középpontja van . A megépített szerkezet ötfogásos forgási szimmetriával [ 4 ] [ 5 ] rendelkezik . A középpontra illeszkedő hat tengely bármelyike körülifokos vagy többszöröseivel történő elforgatással a szerkezet önmagával fedésbe kerül . A tengelyek az ikozaéderek átellenes csúcsaira illeszkednek . A torzított ikozaéder hálók rombusz alakú lapjai két szomszédos ikozaéder háromszög közös síkra illeszkedésével alakulnak ki . A torzított ikozaéder hosszabb élének és a rombusz rövidebb átlójának aránya szintén az arany szám . A középső ikozaéder csakcsúcs-testből épül . Az ezt övező második ikozaéder minden lapjának közepén egy lap-testet találunk . A további ikozaédereknél a lap-testek háromszögeket alkotnak . A háromszögek egy élén páratlan számú lap-testet találunk . A háromszögek élhosszúsága az3,5 , … sorozat szerint növekszik . Minden ikozaéder csúcsban csúcs-testet találunk . Az ikozaéderek élein található él-testek száma a páros számok … sorozatát alkotja . Az n-edik ikozaéder réteg torzított ikozaédereinek összes számát a\... , sorozat elemei adják , ahol n a nullától különböző természetes szám . Az Almássy-féle ikozaéderes szerkezet egybevágó , egyforma állású , élilleszkedésű dodekaéderekből is megépíthető . Minden ikozaéder csúcsban és minden az ikozaéder felszínére illeszkedő tetraéder csúcsban egyforma dodekaéderes szerkezetek középpontjait találjuk . Ezek a dodekaéderes szerkezetek is ikozaédereket alkotnak . A torzított ikozaéderek többi csúcsában is dodekaéderekből épült ikozaédereket találunk másféle kapcsolódásokkal . Egy lap-test nem felszíni csúcsai térbeli hatszögeket alkotnak ( ) . A dodekaéderes szerkezet felépítése Néhány fogalom : 3D gráf A gráf fogalmát szinte minden nap használjuk . Amikor egy molekula szerkezetét , vagy egy kristályrácsot mutatunk be , elemei közé vonalakat húzunk . Gráfot készítünk . Napjainkban nagy divatja van a-s megjelenítésnek is . Itt a gráf valóságos , térben elhelyezkedő szerkezet . A gráfnál a kristályrácshoz hasonlóan a gráf csúcsainak helye a térben helyhez kötött . Azonban míg ott a csúcsokhoz rendelt objektumok valóságosak , itt a csúcsokat összekötő fizikai objektumok is létezhetnek . ( Például építészeti szerkezetekben vagy a modellekben itt . ) Az élek és csúcsok alakjától eltekintünk , a csúcsokat pontokkal , az éleket egy szakasszal , mint a két szomszédos csúcs közötti legrövidebb alakzattal helyettesítjük . A gráf csúcsainak tekintsük a kristálytanban szokásos általánosítást , tehát a csúcs testének tömegközéppontját . Élilleszkedés A két testet egy egyenes és egyenlő hosszú élükkel illesztjük össze . A közös él mindkét testnek az egyik éle . Csillag Itt csillagnak nevezzük a legkisebb ikozaéder csúcsaiba helyezett egyforma testek halmazát . Sokszor a középpontjába is valamilyen test helyezhető , vagy valójában ott is található.vagytestből áll . ) A középső és a többi test középpontjait összekötve gráfja egy csillagot formáz . Innen származik a neve . Egyforma testeik azonos állásúak . Gömb Itt gömbnek nevezzük egy adott felületet borító , vagy egy felületet megvalósító testek halmazát . Ez a felület legtöbbször egy szabályos vagy Arkhimédészi test felülete . Ezt a felületet alkothatják a testek középpontjainak halmaza ( mint csúcsok ) és a testek belső felületei is . A gömböknek belső szerkezete is lehet . Nagygömb Dodekaéder alakú gömb . Dodekaéder csillag Más néven dodeka-ikozaéder . Élilleszkedésű dodekaéderekből épült ikozaéder . Középső teste ikozidodekaéder . Dodekaéderei azonos állásúak . Ikozi-ikozaéder Ikozidodekaéderekből épült ikozaéder . Ez is csillag . Középső teste nincs . Egy ikozaéder minden csúcsába azonos helyzetű egyforma ikozidodekaédereket illesztünk középpontjaikkal . A név ezt jelöli . Az ikozidodekaédereket az ötszögeikre illesztett dodekaéderekkel kapcsoljuk össze . A dodekaéderek is azonos helyzetűek lesznek . A testek középpontjait összekötve egy rombikus ( rombuszlapos ) triakontaédert kapunk . A szomszédos ikozidodekaédereket összekapcsoló dodekaéderek élilleszkedésűek . Ha egy ikozidodekaéder minden ötszögére dodekaédert illesztünk – ez a dodekaéder csillag- , akkor minden szomszédjához minden dodekaéder élilleszkedéssel kapcsolódik . A csillag középső test nélkül is létezik . Ezért az ikozidodekaédereket el is hagyhatjuk Lesznek ütköző dodekaéderek , mint azt az ábrán láthatjuk . Ezek egyikét vagy mindkettőt elhagyjuk . A belső dodekaéderek középpontjai egy nagyobb dodekaéder csúcsaiban helyezkednek el . Ebből két ötszöget láthatunk az ábrán . Gömbök ikozi-ikozaéderekből Az ikozi-ikozaédereket az ikozidodekaédereik külső ötszögeire illesztett közös dodekaéderekkel összekapcsolhatjuk . A fenti testet közös dodekaéder kapcsolja a lenti testekhez . A lenti kettőt két élilleszkedésű dodekaéderpár kapcsolja össze . Ezek a dodekaéderek az ikozi-ikozaéderek ikozidodekaédereinek a külső ötszögeire vannak illesztve . A láthatóság miatt nincs ott a többi dodekaéder . Ha a felső ikozi-ikozaéder minden ötszögéhez újabbat kapcsolunk , az ikozi-ikozaéderek középpontjai újabb ikozaédert alkotnak . Ennek az ikozaédernek középső teste is van . Ha a középső test középpontját összekötjük a szélső testek középpontjaival , ezt az elrendezést a látvány alapján csillagnak is nevezhetjük . Ez az ikozi-ikozaéderek csillaga . Az ikozi-ikozaéderekből dodekaédert és újabb ikozidodekaédert is építhetünk . A szerkezet Ha az Almássy-féle ikozaéderes szerkezetet dodekaéderekből megépítjük , az ikozi-ikozaéder csillagok középpontjai a szerkezet torzított ikozaédereinek a csúcsaira illeszkednek . A szomszédos csillagok középpontjaik távolságától függően három módon kapcsolódhatnak ( négyzetes , romboéderes kapcsolódással vagy közös ikozi-ikozaéderekkel a rombuszok rövidebb átlóin ) . A szerkezet másik leírása a két utóbbi alakzattal történhet . A szerkezet közepén egy ikozidodekaéder gömb helyezkedik el . Ennek ötszögeire nagygömbök illeszkednek . A nagygömbökhöz a szerkezet tengelyein újabb ikozidodekaéder gömbök illeszkednek , majd ismét nagygömbök következnek . A nagygömb belseje üres . A nagygömb szomszédos csillagainak legtöbbször két közös ikozi-ikozaédere van . Az ikozidodekaéder gömb belsejébe egy ikozi-ikozaéder csillag illeszkedik . A többi ikozi-ikozaéder csillag középső teste a gömbökön kívül helyezkednek el . A nagygömböt és az ikozidodekaéder gömböt is a csillagok szélső testei alkotják . A nagygömbnél az ötszög közepén , míg az ikozidodekaéder gömbnél a háromszög közepén rajzolt tengelyre illeszkednek középpontjaikkal . Minden torzított ikozaéder belsejében egy nagygömb helyezkedik el . A dodekaéderekkel épített ikozaéderes szerkezet bővebb leírását az [ 1 ] forrás Az ikozaéderes növekedés modellje című fejezetében találjuk meg . Jegyzetek Források Almássy Zoltán : Dodekaéderek világa Reimann István : Parketták a geometria szemszögéből ( Matematikai mozaik ) Typotex A sík lefedése egy új ötszöggel Darvas György : Szimmetria a tudományban és a művészetben , Magyar Tudomány , A Magyar Tudományos Akadémia lapja március A nagy csempéző ( Roger Penrose ) , Természet Világa , 128. évf. sz. december , o . Pelle Béla : Geometria , Tankönyvkiadó , Bp. Poliéderek Gráfelmélet Kristálytan