Motzkin-számok
A matematika területén egy adott n természetes számhoz tartozó Motzkin-szám azt határozza meg,  hogy egy körön elhelyezkedő n pont között hányféleképpen lehet egymást nem metsző húrokat rajzolni (nem feltétlenül minden pontba húrt rajzolva). A Motzkin-féle számokat Theodore Motzkin 20. századi matematikusról nevezték el, és a matematika nagyon távol eső területein alkalmazzák őket, köztük a geometriában, a kombinatorikában és a számelméletben.

A Motzkin-számok  -re a következő sorozatot alkotják:

 1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113634, 310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284, 50852019, 142547559, 400763223, 1129760415, 3192727797, 9043402501, 25669818476, 73007772802, 208023278209, 593742784829, ...

Példák 

A következő ábrán látható a körön lévő 4 pont összesen 9 összekötési módja.

A következő ábrán látható a körön lévő 5 pont összesen 21 metszésmentes összekötési módja.

Tulajdonságai 

A Motzkin-számok megfelelnek a következő rekurzív relációnak:

A Motzkin-számok kifejezhetők binomiális együtthatók és Catalan-számok segítségével:

A Motzkin-prím olyan Motzkin-szám, ami egyben prímszám. 2013 októberében négy ilyen prímszám volt ismeretes:

 2, 127, 15511, 953467954114363

Kombinatorikai értelmezései 

Az n-hez tartozó Motzkin-szám azoknak az n−1 hosszúságú, pozitív egészekből álló sorozatoknak a száma, melyeknél a legelső és legutolsó elem 1 vagy 2, és a két egymást követő elem közötti különbség −1, 0 vagy 1.

Egy négyzetrács jobb felső kvadránsában az n-hez tartozó Motzkin-szám megadja a (0, 0) és (n, 0) koordináták közötti n lépéshosszúságú útvonalaknak a számát, ha minden lépésben jobbra kell haladni (egyenesen, srégen felfelé vagy lefelé), de nem szabad az y = 0 tengely alá lemenni.

A következő ábra megmutatja a (0, 0) és a (4, 0) koordináták között vezető 9 érvényes Motzkin-útvonalat:

A matematika különböző területein a Motzkin-számoknak legalább 14 különböző megjelenési formájuk van, amint azt Donaghey és Shapiro 1977-es felmérésükben megállapították. in their survey of Motzkin numbers.
Guibert, Pergola és Pinzani 2001-ben megmutatták, hogy a zászlószerű involúciók számát is a Motzkin-számok határozzák meg.

Kapcsolódó szócikkek
Delannoy-szám
Narayana-szám
Schröder-szám

Jegyzetek

Fordítás

További információk

Nevezetes számsorozatok
A matematika területén egy adott n természetes számhoz tartozó Motzkin-szám azt határozza meg , hogy egy körön elhelyezkedő n pont között hányféleképpen lehet egymást nem metsző húrokat rajzolni ( nem feltétlenül minden pontba húrt rajzolva ) . A Motzkin-féle számokat Theodore Motzkin századi matematikusról nevezték el , és a matematika nagyon távol eső területein alkalmazzák őket , köztük a geometriában , a kombinatorikában és a számelméletben . A Motzkin-számok -re a következő sorozatot alkotják : \ ... Példák A következő ábrán látható a körön lévőpont összesenösszekötési módja . A következő ábrán látható a körön lévőpont összesenmetszésmentes összekötési módja . Tulajdonságai A Motzkin-számok megfelelnek a következő rekurzív relációnak : A Motzkin-számok kifejezhetők binomiális együtthatók és Catalan-számok segítségével : A Motzkin-prím olyan Motzkin-szám , ami egyben prímszám.októberében négy ilyen prímszám volt ismeretes : Kombinatorikai értelmezései Az n-hez tartozó Motzkin-szám azoknak az n−1 hosszúságú , pozitív egészekből álló sorozatoknak a száma , melyeknél a legelső és legutolsó elemvagy és a két egymást követő elem közötti különbség −1,vagy Egy négyzetrács jobb felső kvadránsában az n-hez tartozó Motzkin-szám megadja aés ( n,koordináták közötti n lépéshosszúságú útvonalaknak a számát , ha minden lépésben jobbra kell haladni ( egyenesen , srégen felfelé vagy lefelé ) , de nem szabad az y =tengely alá lemenni . A következő ábra megmutatja aés akoordináták között vezetőérvényes Motzkin-útvonalat : A matematika különböző területein a Motzkin-számoknak legalábbkülönböző megjelenési formájuk van , amint azt Donaghey és Shapiroes felmérésükben megállapították. in their survey of Motzkin numbers . Guibert , Pergola és Pinzaniben megmutatták , hogy a zászlószerű involúciók számát is a Motzkin-számok határozzák meg . Kapcsolódó szócikkek Delannoy-szám Narayana-szám Schröder-szám Jegyzetek Fordítás További információk Nevezetes számsorozatok