Érinthetetlen számok
A számelmélet területén érinthetetlen szám (untouchable number, nonaliquot number) olyan pozitív egész szám, ami nem fejezhető ki egyetlen pozitív egész szám valódi osztóinak összegeként sem (beleértve az érinthetetlen számot magát is).

A 4 például nem érinthetetlen, mivel előáll a 9 valódi osztóinak összegeként: 1 + 3 = 4. Az 5 érinthetetlen, mivel egyetlen szám valódiosztó-összegeként sem szerepel: 5 = 1 + 4 az egyetlen mód, ahogy az 5-öt fel lehet írni különböző, de az 1-et is tartalmazó pozitív számok összegeként, de ha a 4 osztója egy számnak, akkor a 2 is, tehát 1 + 4 nem lehet az összege egyetlen szám valódi osztóinak sem.

Az első néhány érinthetetlen szám (500-ig):

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, ... 

Vélhetőleg az 5 az egyetlen páratlan érinthetetlen szám, de ez nem bizonyított: a Goldbach-sejtés egy kissé megerősített változatából következne, hiszen pq valódi osztóinak összege (ahol p és q különböző prímszámok) éppen 1+p+q. Tehát, ha egy n szám felírható két különböző prímszám összegeként, akkor n+1 nem lehet érinthetetlen szám. Valószínűnek tartjuk, hogy minden 6-nál nagyobb páros szám felírható két különböző prímszám összegeként, tehát valószínűnek tartjuk azt is, hogy egyetlen 7-nél nagyobb páratlan szám sem érinthetetlen, továbbá , , , tehát 5 lehet az egyetlen érinthetetlen szám. A fentiekből következően úgy tűnik, hogy a 2 és 5 számokon kívül az összes érinthetetlen szám összetett. Egyetlen tökéletes szám sem lehet érinthetetlen, hiszen legalábbis a saját valódi osztóinak összegeként kifejezhető. Hasonlóan, egyetlen barátságos szám és társas szám sem érinthetetlen.

Erdős Pál igazolta, hogy végtelen sok érinthetetlen szám létezik. Yong-gao Chen & Qing-Qing Zhao továbbá igazolta, hogy az érinthetetlen számok pozitív aszimptotikus sűrűséggel rendelkeznek, ami legalább d>0,06.

Egyetlen érinthetetlen szám sem lehet eggyel nagyobb egy prímszámnál, mivel ha p prím, akkor p2 valódi osztóinak összege éppen p + 1. Hasonló módon belátható, hogy az 5 kivételével egyetlen érinthetetlen szám sem lehet 3-mal nagyobb egy prímszámnál, mert ha p páratlan prímszám, akkor 2p valódi osztóinak összege éppen p + 3.

Kapcsolódó szócikkek
 Nontóciens számok

Fordítás

Jegyzetek

Források
 Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ; section B10.

További információk 
Sloane’s A070015: Least m such that sum of aliquot parts of m equals n or 0 if no such number exists

Nevezetes számsorozatok
A számelmélet területén érinthetetlen szám ( untouchable number , nonaliquot number ) olyan pozitív egész szám , ami nem fejezhető ki egyetlen pozitív egész szám valódi osztóinak összegeként sem ( beleértve az érinthetetlen számot magát is ) . Apéldául nem érinthetetlen , mivel előáll avalódi osztóinak összegeként :+ 3 = 4. Azérinthetetlen , mivel egyetlen szám valódiosztó-összegeként sem szerepel:= 1 + 4 az egyetlen mód , ahogy azöt fel lehet írni különböző , de azet is tartalmazó pozitív számok összegeként , de ha aosztója egy számnak , akkor ais , tehát+ 4 nem lehet az összege egyetlen szám valódi osztóinak sem . Az első néhány érinthetetlen számig ) : 2,\ ... Vélhetőleg azaz egyetlen páratlan érinthetetlen szám , de ez nem bizonyított : a Goldbach-sejtés egy kissé megerősített változatából következne , hiszen pq valódi osztóinak összege ( ahol p és q különböző prímszámok ) éppenp+q . Tehát , ha egy n szám felírható két különböző prímszám összegeként , akkor n+1 nem lehet érinthetetlen szám . Valószínűnek tartjuk , hogy mindennál nagyobb páros szám felírható két különböző prímszám összegeként , tehát valószínűnek tartjuk azt is , hogy egyetlennél nagyobb páratlan szám sem érinthetetlen , továbbá , , , tehátlehet az egyetlen érinthetetlen szám . A fentiekből következően úgy tűnik , hogy aésszámokon kívül az összes érinthetetlen szám összetett . Egyetlen tökéletes szám sem lehet érinthetetlen , hiszen legalábbis a saját valódi osztóinak összegeként kifejezhető . Hasonlóan , egyetlen barátságos szám és társas szám sem érinthetetlen . Erdős Pál igazolta , hogy végtelen sok érinthetetlen szám létezik. Yong-gao Chen & Qing-Qing Zhao továbbá igazolta , hogy az érinthetetlen számok pozitív aszimptotikus sűrűséggel rendelkeznek , ami legalább d>0,06 . Egyetlen érinthetetlen szám sem lehet eggyel nagyobb egy prímszámnál , mivel ha p prím , akkor p2 valódi osztóinak összege éppen p + 1. Hasonló módon belátható , hogy azkivételével egyetlen érinthetetlen szám sem lehetmal nagyobb egy prímszámnál , mert ha p páratlan prímszám , akkor valódi osztóinak összege éppen p + 3. Kapcsolódó szócikkek Nontóciens számok Fordítás Jegyzetek Források Richard K. Guy , Unsolved Problems in Number Theoryd ed ) , Springer Verlag , ; section B10. További információk Sloane’s A070015 : Least m such that sum of aliquot parts of m equals n orif no such number exists Nevezetes számsorozatok