text:
Әдебиеттер тізімі
1. Крутецкий В.А. Основы педагогической психологии. М., 1972, 169-бет).
2. Щукина Г.И. Активизация познавательной деятельности учащихся в учебном
процессе.- М.:Просвещение – 1986- 160 с
3.Пидкасистый П.И. Самостоятельная деятельность учащихся.
М.:Педагогика,1981–184 с.
4.Лернер И.Я. Дидактиктические основы методов обучения.-М.:Педагогика, 1991 – 186с
УДК 532.529
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СОЦИАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
Утепкалиев С.У.,Сидешева Г.К.
Атырауский инженерно-гуманитарный институт
Sidesheva@inbox.ru
При изучении социальных процессов одной из самых интересных проблем является проблема
предсказания будущего того или иного общества.
Математическая модель этноса описывается системой дифференциальных уравнений, которая построена
профессором А.К.Гуцом. На основе этих уравнений проводилось компьютерное моделирование на предмет
согласования выводов, сделанных в рамках данной математической модели и утверждений самого Л.Н.Гумилева
о ходе этногенеза.
На третьем социальном уровне мы имеем дело с обществом в самом распространенном смысле этого
слова. В данной работе предложена математическая модель данного уровня, построенная на основе теории
общества американского социолога Т.Парсонса.
Система социальных действий анализируется Т.Парсонсом в терминах следующих функциональных
характеристик составляющих ее четырех подсистем (см. схему 1):
1)
поведенческий организм
служит для адаптации к окружающей физической природной среде;
2)
этническая система
предназначена для формирования главных, "руководящих" или контролирующих
этнических образцов;
3)
система личности
служит ориентации на достижение цели;
4)
социальная система
направлена на достижение внутренней интегрированности (солидарности).
Главное для людей - это решение проблемы порядка в обществе
.
Математическая модель социогенеза
В основе предлагаемой модели социогенеза лежит схема описания общества, принадлежащая Т.Парсонсу.
Парсонс выделяет составляющие ее подсистемы: социетальное сообщество, систему поддержания
институциальных этнических образцов, экономическую и политическую систему, которые были подробно
описаны во втором разделе. Им сопоставим соответственно уровни: интеграции - органической солидарности
K, интеграции - механической солидарности D, адаптации к окружающей природной среде E и обеспечения
достижения общих целей G. Динамику изменения данных уровней опишем дифференциальными
уравнениями.
Переход от формального описания подсистем общества к некоторым, казалось бы, абстрактным
математическим функциям (и к динамике этих функций) вполне согласуется с теорией Т.Парсонса, т.к. "понятие
функция
используется в структурном функционализме Парсонса в его математическом значении: этим
73
понятием обозначаются формы такой зависимости между величинами, при которой изменение одних
(аргументов) сопровождается изменением других величин (переменных)"
[20]
.
Если изучается динамика величины X, в левой части уравнения пишется вначале ее скорость
изменения во времени в момент t, а затем знак равенства, т.е.
В правой части по очереди выписываются потоки непосредственно связанные с составляющими системы,
причем перед потоком ставится знак "+", если поток содействует развитию X, и со знаком "-", если
сдерживает развитие. Также мы постараемся учесть периодичность в историческом процессе. Для этого мы
применим теоремы, показывающие, что система имеет периодическое решение.
В ходе построения модели были получены несколько систем (учитывались разные факторы и разные
определения управляющего параметра), но почти во всех решениях не было периода. В качестве управляющего
параметра
(он
нужен
для
исследования
цикличности)
возьмем
уровень
Пассионарного
напряжения
(характеристику этноса), так как социальная система контролируется только этническими
факторами.
По определению Л.Н.Гумилева
Пассионарное напряжение
- пассионарность, приходящаяся на одного члена
общества. "Качественные характеристики
пассионарного напряжения
следует рассматривать как некую
усредненную оценку представителей этноса".
Построим систему так, что бы при достижении какого-то уровня
Пассионарного напряжения
P
система, потеряв устойчивость стационарного равновесия, обретала новое циклическое состояние (примерно
через 70-100 лет после начала отсчета).
Политическую,
экономическую
систему,
социальное
сообщество
и
систему
поддержения
институциональных этнических образцов будем описывать функциями G(t), E(t), K(t) и D(t) соответственно,
возрастание которых означает усиление интегрирующих общественных сил, а их убывание - ослабление.
Развитие политической системы опишем уравнением:
,
где:
- степень реакции властей на отклонение отобщественного строя;
вклад правительства в строительство основ государственности;учет инерционности в развитии,
- усилия людей по укреплению политического режима за счетэкономики .
Степень этих усилий определяется условиями жизни, т.е. уровнемразвитости экономики.
- поддержка политической системы обществом, легитимация власти (при
достаточном уровне
Пассионарного напряжения
(P>P
1
)).
Динамика экономики описывается следующим дифференциальным уравнением:
,
где:
- усилия людей по развитию экономики (чем больше Пассионарного
напряжение P, тем более действенны эти меры, причем на начальном этапе эти меры сказываются
отрицательно, так как
<0, а далеепозитивно
>0),
- ограничения на экономику,
- ограничения на экономику (при P>P
2
накладываемые традицией и
нормативным порядком, и некоторый толчок (поддержка) в начале развития (при P>P
2
).
Динамику социального сообщества опишем следующим уравнением:
,
где:
- контроль за соблюдением нормативного порядка, борьбагосударства с
преступлениями против порядка, реститутивные санкции, кооперативное право (чем сильнее государство и
чем больше адаптация к окружающей среде (экономика), тем сильнее контроль),
- потери при действиях направленных на поддержкуавторитета традиции,
легитимации устанавливаемого нормативного порядка (при достаточно высоком уровне K затраты
незначительны),
- нормативный порядок требует соотнесенности с этническимиобразцами; сопротивление
традиции; фундаментализм.
Развитие системы поддержания институциальных этнических образцов опишем уравнением:
74
,
где:
- контроль за образцами поведения (Политическая система решаетзадачи по
"эффективному контролю за ... индивидуальной мотивацией членов общества"
[20]
, борьба государства с
уголовными преступлениями, репрессивные санкции, уголовноеправо.
-
затраты
на
поддержание
авторитета
традиции,
легитимации
устанавливаемого нравственного порядка (при достаточно высоком уровне D эти затраты минимальны),
- соотнесенность с нормативным порядком.
Таким образом, мы получили систему:
Исследование системы. Проверка на наличие бифуркации
Для исследования полученной системы воспользуемся алгоритмом исследования системы обыкновенных
дифференциальных уравнений (на наличие бифуркаций и анализа устойчивости) приведенным в книге
Б.Хэссарда.
Исследуем систему (1) при помощи теоремы Андронова-Хопфа:
Теорема. Пусть
· = ( , )
-мерная система дифференциальных уравнений
(
),
зависящая
от действительного параметра , которая допускает аналитическое семейство х 0 состояний равновесия,
т.е.
(0, ) = 0
. При
= 0
матрица
(0, )
имеет два чисто мнимых собственных значения ±iω
0.
Пусть α( )+iω( ) является продолжением по параметру собственного значения iω
0
(т.е. α( )=0, ω(
0)
=
ω
0
>0) и α´( ) 0. Остальные (n-2) собственных чисел имеют строго отрицательные вещественные части.
Тогда существует периодические решения х(t,
) периода Т( ).
В
качестве
параметра
у
нас
выступает
Пассионарное
напряжение
P.
Пусть k
GG
=K
EE
. Тогда в положении равновесия при P=0 матрица Якоби имеет следущие собственные числа:
.
Проверим выполнение условий теоремы Андронова-Хопфа.
1) Собственные числа
комплексно
сопряжены, при
. Выберем
так (предполагается, что
уже задана), чтобы бифуркация
рождения цикла была при определенном уровне параметра
(обозначим его через
). Тогда
.
Значит все условия теоремы Андронова-Хопфа выполнены, P
0
- точка бифуркации рождения цикла.
Другими словами, при P>P
0
система теряет устойчивость прежнего стационарного равновесия, и появляется
цикл в развитии общества. Закритичность бифуркации (т.е. появление цикла при P>P
0
) следует из исследования
устойчивости решения (см. далее). Заметим, что меняя коэффициенты, мы можем устанавливать определенную
величину периода.
Исследование устойчивости системы
Устойчивость периодического решения определяется следующими условиями на коэффициенты:
Таким образом, мы получили условия ((3),(4) и (5)) на коэффициенты исследуемых уравнений при
которых решение будет устойчиво.
Компьютерное моделирование
75
При проведении численного исследования параметр P (см. рис. 1) берем из модели этногенеза.
Рис.1.
В качестве P
0
берем такое значение
Пассионарного напряжения
этноса так, чтобы со временем
параметр не становился меньше P
0
.
В результате мы получили график решения системы (1).
Условия (3)-(5) выполнены.
Устойчивость социальной системы
Предсказание эволюции общества - это лишь предсказание состояния, в котором
может
пребывать
общество. В нашем случае мы предсказываем, решая систему дифференциальных уравнений. В какой мере
можно утверждать, что социальная система поведет себя именно так, а не иначе? Строя и исследуя модель, мы
изолировались от внешних воздействий и фиксировали некоторое начальное состояние, которое, в принципе,
нельзя точно получить. Здесь изначально закладываются неточности и погрешности. Значит необходимо
установить насколько близки к одному предсказанию эволюционной траектории другие возможные
эволюционные траектории, которые получаются либо при закладывании несколько иных, но близких, начальных
данных, либо при учете внешних воздействий на социальную систему. Также необходимо выяснить возможность
изменения коэффициентов при исследовании модели, то есть надо посмотреть устойчива система или нет.
"Саму эволюционную траекторию можно рассматривать как
равновесие
. Переход от одной эволюционной
траектории к другой - это смена равновесий. Непредсказуемая смена равновесий - это бифуркация или
катастрофа. Интуитивно ясно, что социальная система, если уж и подвергнется бифуркации, то, "побродив"
исторически короткий отрезок времени, рано или поздно окажется в устойчивом равновесии".
Необходимо отметить, что вопросу о стабильности (устойчивости) общества уделяется большое внимание
в социологии. Так, например, Парсонс пишет, что "термин <стабильность> эквивалентен более специфическому
понятию стабильного равновесия, которое в другом отнесении может быть как статичным, так и подвижным.
Система стабильна или находится в относительном равновесии, если отношение между ее структурой и
процессами, протекающими внутри нее, и между ней и окружением таково, что свойства и отношения ...
оказываются неизменными". Также Т.Парсонс говорит о требовании наивысшей степени автономности общества
среди других социальных систем, которые могут реализовывать различные социальные образования в разные
исторические периоды.
При исследовании системы (1) мы установили , что появляется цикл в развитии общества и что новое
циклическое состояние общественного равновесия устойчиво (при определенных условиях на коэффициенты).
Для проверки устойчивости с помощью компьютерного моделирования будем изменять коэффициенты и
начальные данные и посмотрим как изменится вид графика решения. На рис 2. изображено решение системы (1)
в уменьшенном масштабе.
Рис.2.
Сначала
"пошевелим"
начальные
данныена
небольшую
величину
(
). Видно, что общий вид решения практически не
изменился (рис.3). Следовательно можно сделать вывод, что мы можем менять начальные условия достаточно
свободно.
76
Рис.3.
Рис.4.
Изменив коэффициенты правой части системы (1) мы получили график, изображенный на рис.4. Решение
ведет себя точно так же, как и решение исходной системы. Это результат говорит, что решение устойчиво
относительно возмущений правой части. Это дает возможность достаточно произвольно выбирать коэффициенты
и при это получать разные модели социальных систем.
В работе исследована теория общества американского социолога Т.Парсонса. Исходя из нее, построена
система из 4-х дифференциальных уравнений, описывающих социальную систему. Система исследована на
наличие бифуркации и устойчивости. Выяснено, что система имеет периодическое решение при определенных
значениях параметра (пассионарного напряжения этноса), которое устойчиво при некоторых условиях на
коэффициенты. Компьютерное моделирование показало, что решение периодическое и устойчивое. Полученные
результаты согласуются с социологической теорией.
При построении математической модели социогенеза и проведении ее компьютерного моделирования
мы исходили из теории Т.Парсонса и теории циклического развития экономической и политической систем
общества, сделанных Н.Кондратьевым
[13]
, Ю.Яковцом и др. Для доказательства работоспособности предложенной
математической модели социогенеза исследовали характер полученных кривых K(t), D(t),G(t), E(t). Но с чем
их сравнить? В случае этногенеза А.К.Гуца сравнивал с "экспериментальными кривыми". В нашем случае
таких кривых нет.
В результате построения получилась простейшая модель социальных процессов с устойчивым
периодическим решением. Считаем, что данный подход на современном уровне исследований имеет право
на существование.
Список литературы
1.Гумилев
Л.Н.
География
этноса
в
исторический
период.//
Звезда,
1990,
N2.
2.Гуц
А.К.
Глобальная
этносоциология:
Учебное
пособие.
-
Омск,
ОмГУ,
1997.
3.Гуц А.К., Лаптев А.А. Рождение циклов в развитии политической экономической систем вследствие
ослабления режимов власти. // Циклы природы и общества. -- Ставрополь, 1996.
4.Гуц А.К., Коробицын В.В. Компьютерное моделирование этногенетических процессов. // Ученый совет мат.
фак. ОмГУ. - Деп. в ВИНИТИ 24.09.97, N2903 -
B97. - 23 c.
5. Крапивин В.Ф., Свирижев Ю.М., Тарко А.М. Математическое моделирование
глобальных биосферных процессов. - М.: Наука, 1982.
6.Лаптев А.А. Математическое моделирование этносоциальных процессов. //
Ученый совет мат. фак. ОмГУ. - Деп. в ВИНИТИ 24.09.97, N2904 - B97. - 26 c.
7.Посконин В.В. Социально-политическая теория Т.Парсонса: методологический аспект. - Ижевск: Изд-во
Удмурт. ун-та, 1994.
8. Терехин М.Т. Бифуркация систем дифференциальных уравнений: Учебное пособие к спецкурсу. - М., 1989.
9. Яковец Ю.В. История цивилизаций. - М.: ВлаДар, 1995.
77
УДК 518.6+519.95
ИНТЕРВАЛЬНО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Юлдашев З.Х., Калханов П.Ж.
Национальный Университет Узбекистана, Ташкент,
Нукусский Государственный педагогический институт, Нукус
ziyaut@mail.ru
,
kalkhanov@inbox.uz
1. Постановка задачи
Проблема недетерминированных данных встречается при решении ряда теоретических и практических
проблем. Особенно эта проблема выпукло возникает при моделировании ряда эколого-экономических задач,
поскольку в реальности многие показатели процессов определяются либо на основе трудно проверяемых
статистических данных, либо являются недетерминированными по смыслу самой задачи. Как правило,
неопределённые или недетерминированные по смыслу экономические параметры существуют изначально или
априори, либо возникают в процессе рассмотрения процесса в рамках выбранной математической модели.
Например, такой важный показатель как цена товара, во многих случаях рассматривается с оговоркой “средняя
рыночная стоимость”, об инвестициях приходится говорить с оговоркой об их нижнем и верхнем пределах.
Нередко в своих прогнозах экономисты говорят о показателях, что они могут быть достигнуты с той или иной
вероятностью. В последнее время при решении задач с недетерминированными данными всё чаще применяются
методы интервального анализа. Эти методы позволяют естественным образом отделить детерминированные
параметры от недетерминированных уже на этапе синтеза математической модели и оперировать
недетерминированными величинами, а именно, интервальными величинами без какой либо аппроксимации в
рамках определённой структуры и на основе подходящего исчисления. Как следствие сами результаты
получаются в виде интервалов, что в экономических и экологических задачах, как правило, имеет довольно
содержательные интерпретации. Например, интервальность прогнозируемого экономического показателя цена,
означает какую нижнюю и верхнюю границы, которые следует ожидать по цене на данный товар в указываемое
время либо о том в каких пределах будет колебаться такой важный показатель как прибыль. Аналогично
важными и интересными для теории и практики являются экологические задачи, где необходимо учитывать
недетерминированные данные и исследовать процессы в допущении принадлежности параметров определённым
промежуткам. В этой связи весьма
актуальной является проблема синтеза математических моделей для эколого-
экономических задач, которые ниже названы сложными системами, с логически обоснованной интервальностью
конкретной величины, разработка и обоснование соответствующих интервальных алгоритмов и разработка
соответствующего программного обеспечения
, поскольку модель следует разрешать в рамках подходящего
исчисления интервалов. Именно решению указанных проблем для некоторых задач экономического характера и
задач экологии посвящена настоящая работа.
Проблема неопределенности исходных данных и необходимость единовременного учёта различных
источников погрешностей обусловила развитие математических исследований, методов и алгоритмов, которые
являются частью интервального анализа.
При синтезе интервальных моделей сложных систем мы придерживаемся
принципа рациональной
интервализации недетерминированных параметров
. Здесь предлагается все параметры, имеющие тип
натуральный, указывающие порядковые номера объектов, предполагать детерминированными, а характеристики,
имеющие точно измеримые вещественные значения также считать не интервальными, во избежание “эффекта
раскрутки”[1].
Таким
образом,
принцип
рациональной
интервализации
параметров
можно
сформулировать следующим образом:
при синтезе математических моделей реальных процессов, интервальными
считаются только параметры с ограниченной амплитудой колебания, которые возникают как неустранимые
погрешности.
Всюду ниже мы будем придерживаться системы обозначений принятых в [2].
2. Интервальные межотраслевые балансные модели
Леонтьева и Неймана
Основной вопрос, возникающий в планировании производства[3] на период
0
,
T T
, формулируется
следующим образом
: при заданном векторе конечного потребления
c
требуется определить вектор валового
продукта
x
.
Для описания интервального варианта модели Леонтьева сделаем следующие предположения.
Пусть сложившаяся технология производства неизменна в течение некоторого промежутка времени
0
,
T T
, где
0
T
T
. В зависимости от постановки задачи промежуток
0
,
T T
может быть равен одному
календарному периоду (скажем, году) или нескольким.
Второе предположение состоит в постулировании свойства линейности существующей технологии.
Именно, будем считать, что для осуществления объема
i
x
валового выпуска продукции отрасли
i
необходимо и
достаточно произвести затраты в объемах
,
1,2,...,
i
ij
j
n
x a
, продукции всех
n
отраслей.
78
С учётом предположения об интервальном задания части или всех величин
ij
a
- задающих объём
продукции
i
-й отрасли, требующийся для производства единицы продукта отрасли с номером
j
, задача
решения системы (1) может быть сведена к поиску множества
1
2
( ,
,...,
) |
{
,
}
n
x
x x
x
X
x
Ax
c A
c
A,
c
.
(1)
Задачу поиска совокупности векторов
X
в соответствии (1) назовём
интервальным вариантом модели
Леонтьева.
Другими словами, требуется решить систему уравнений
x
Ax
c
,
(2)
при заданном векторе
c
и матрице межотраслевых связей
A
.
Уравнение (2) вместе с изложенной интерпретацией матрицы
A
, векторов
x
и
c
называется
интервальной моделью Леонтьева.
Система (2) решалась в рамках пакета интевальных алгоритмов, описанных в
работе[4], что позволило дать для полученных интервальных решений дать ряд содержательных
интерпретаций.
В отличие от модели Леонтьева межотраслевая балансная модель Неймана характеризует динамику
изменения сырьевых или финансовых потоков между рассматриваемыми отраслями.
Для описания интервального варианта динамической модели Неймана вводятся необходимые
определения[3].
Достарыңызбен бөлісу: |


title: Определение  1 - Сборник материалов IV международной научно-практической конференции «Роль физико-математических...

text:
Определение 1.Траектория интенсивностей
t
z
называется стационарной, если существует такое
число
0
, что
1
t
t
z
z
, или, что то же самое
0
,
1, 2,...
t
t
z
z
t
.
Определение 2. Траектория цен
t
p
называется стационарной, если существует такое число
0
, что
1
t
t
p
p
, или
1
0
,
t
t
p
p
p
p
.
Показывается что, последовательность
1
1
t
t
p
p
будет траекторией цен тогда и только тогда,
когда
Ap
Bp
.
(3)
Определение 3. Говорят, что модель Неймана находится в состоянии динамического равновесия,
описываемого параметрами
, , ,
v z
p
, где
,v
- положительные числа,
,
z p
- неотрицательные
ненулевые векторы, если выполнены следующие условия:
,
,
,
,
,
0,
,
0,
vzA
zB
zA
zB
pzA
pzB
vpzA
pzB
v
p z
(4)
где величина
zBp
представляет собой общую стоимость выпуска в состоянии равновесия модели Неймана,
составляющими которой являются векторы
z
и
p
. Поэтому реальным условием является требование
0
zBp
.
(5)
Определение 4. Состояние равновесия
, , ,
v z
p
модели Неймана называется невырожденным,
если
0
zBp
.
Интервальный вариант модели Неймана может быть построен следующим образом.
79
Вводя обозначения
,
ij
ij
A
a
B
b
, получим, что технология нашей модели задается парой
неотрицательных интервальных матриц
,
A B
. Матрица
A
называется интервальной матрицей затрат,
B
-
интервальной матрицей выпуска.
Определим неотрицательную линейную комбинацию базисных процессов
1
2
,
,...,
m
Q Q
Q
,как новый
процесс, в котором затраты и выпуск являются линейной комбинацией векторов затрат
i
a
и выпуска
1,2,...,
i
i
n
b
базисных процессов:
1
1
2
2
1
1
...
,
,
m
m
m
m
i
i
i
i
i
i
z Q
z Q
z Q
z a
z b
zA zB
,
(6)
где
1
2
0,
1, 2,..., ,
,
,...,
i
m
i
m
z
z
z z
z
.
Вектор
1
2
,
,...,
m
z
z z
z
будем называть
интервальным вектором интенсивностей
и говорить, что в
процессе
,
zA zB
участвует базисный процесс
i
Q
с интенсивностью
i
z
.
Поскольку в случае применения балансных уравнений одним из основных является вопрос об их
продуктивности, то ниже рассмотрен вопрос продуктивности приведённых интервальных балансных моделей, а
именно доказана следующая
Теорема 1. Интервальная модель Неймана, задаваемая соотношениями (3) и (6), будет продуктивной
если,
max
1
À
À
. (7)
3. Интервальные модели в задачах экологии
1. Рассмотрим интервальную логико-динамическую модель:
2
0
d
k
dt
V
x
x
y
q x
,
(8)
0
0
x
x
,
(9)
1
\
,
,
n
q
j
i
i
j
i
j
i
i
i
j S L
j L
L
L
t
L
t
L t
q
q
p
p
,
(10)
0
( ),
( ) ,
min
Ò
j
i
j L
Q
t
L
t
t dt
u x
p
.
(11)
которая позволяет управлять объём усреднённого экотоксиканта
х
в консервативной среде V.
Для решения задачи (8)-(11) применим интервальный вариант полуявных формул Рунге-Кутта:
1
1
1
1
1
.
(
, )
( ,
[0, ]
( ,
)) / (
1)
s
s
j
i
i
j
j
j
j
j
i
h
p
t
h
t
h
t
s
r
x
x
f
x
f
x
(12)
В этой формуле
(
t
,
x
) – интервальное расширение функции невязки соответствующего вещественного
метода,
1
1
11
1
1
2
1
21
1
1
22
1
2
1
1
1
1
1
.
. .
,
(
, )
(
, )
(
, )
(
, ) . . .
(
, )
j
j
j
j
j
s
ss
s
j
s
j
j
h
t
h
t
t
h
t
t
r
r
r
r
r
r
r
r
x
f
x
f
f
x
f
f
(13)
[ , ]
a b
x
–область определения
f
по
x
, а
,
i
ij
p
– параметры полуявного вещественного метода
Рунге-Кутта
s
–го порядка.
Для этого метода доказана следующая
Т е о р е м а 2 .
Для интервалов, вычисленных по формулам (12)–(13) и решения уравнения (8),
полученного при любом фиксированном
0
x t
из интервала
0
x
на
0
,
t
t c
,
справедливы включения
80
( )
j
j
x t x
,
0
j
t
t
jh
,
0
h
c t
n
,
1,
j
n
,
(14)
и оценка на ширину интервалов
j
x
:
0
s
j
a
bh
x
x
,
(15)
где константы
,
a
b
не зависят от шага интегрирования h.
2.Пусть каждое предприятие в единицу времени выпускает продукцию
i
p
в количествах
,
1,...,
i
i
i
i
n
p
f z
,
(16)
где
i
f
- производственная функция.
Предприятия производят не только полезный продукт, но и вредный. Обозначим через
i
q
поток
загрязняющих веществ:
,
i
i
i
i
q
p v
,
(17)
где
i
v
- затраты предприятий на совершенствование технологий или очистку воды в условиях самих
предприятий.
Далее выводится уравнение
*
,
1
i
i
i
i
c
c
x
z
x
,
(18)
решение которого служит после определения на основе прдварительных измерений по уровню загрязнения и
принятия этого уровня за начальное условие в соответствующей задаче Коши является критерием для
назначения неким надзорным органом при назначении штрафа за загрязнение окружающей среды.
Чтобы не нарушать равновесие надзорный орган прибегает к дополнительным критериям. Например,
можно потребовать, чтобы
0
i
d
dt
z
,
(19)
или
max
i
d
dt
z
.
(20)
Критерий (20) мы можем переписать в следующем виде:
*
,
1
min
i
i
i
c
c
z
x
,
(21)
или, для нашего частного случая,
1
1
min
i i
i
i
I c
l s
c
c
z
x
.
(22)
Преобразуем теперь критерий (17). Используя уравнение (18) мы можем написать
*
,
,
max
i
i
i
i
i
i
i
i
d
c
c
c
k
dt
z
f z
z
z
z
.
(23)
Для рассматриваемого частного случая (17) будет таким:
2
2
max
i i
i i
i
i
I c
s
l s
a
z
z
,
(24)
где
i
i
i
s
s
k
.
Итак, мы пришли к двухкритериальной задаче:
1
2
min,
max
I c
I
c
.
81
В рамках пакета, описанного в [4], эта задача решена интервальным оптимизационным методом,
предложенном в [2].
Список литературы
1. Moore R.E. Interval Analysis.–Englewood Cliffs. N.J.: Prentice–Hall, 1966.
2. Базаров М.Б., Ибрагимов А.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Математическое моделирование интервальными
методами. –Ташкент: Фан, 2013.–160с.
3. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. –Москва: Наука, 1984. –294с.
4. Z.KH.Yuldashev, A.A.Ibragimov, P.J.Kalkhanov Program complex for mathematical modeling in conditions of
nondetermined parameters. Collection of thesis of the V-th World Congress of Ingenering and Technology─WCET-2012
«Science and Technology: Step to Future», 1-2 June, 2012, Almaty, p.302-303.
ӘОЖ 512.1
ЖАЛПЫЛАНҒАН МИНКОВСКИЙ КЕҢІСТІГІНДЕГІ
БИКВАТЕРНИОНДАРДЫҢ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ АЛГЕБРАСЫ
Ибрашова Д.Х.
Х.Досмұхамедов атындағы Атырау мемлекеттік университеті, Атырау
Нақты сандар өрісінің алгебралық кеңейтілуі туралы Фробениус теоремасы бойынша жаңадан алынатын
алгебралардың өлшемдері 2, 4, 8 болатындығы белгілі. Төрт өлшемді кеңістікті физикалық мағынасына
байланысты Минковский кеңістігі деп атайды. Мақалада қарастырылатын кеңістіктің өлшемі сегізге тең
болатындықтан, оны жалпыланған Минковский кеңістігі деп атадық. Бұл кеңістікте Лоренцтің түрлендірулерін
құруда бикватерниондар алгебрасын пайдалану ыңғайлы болатындығын көрсетелік.
Минковскийдің
М = {( , ): ∈
, ∈
}
кеңістігінде комплекс-түйіндес бикватерниондарды енгізелік:
= τ +
,
= τ −
,
∈
,
∈
,
‖ ‖ = ‖ ‖ =
+ ‖ ‖
,
〈 〉 = 〈 〉 =
− ‖ ‖
(12)
Бұдан бұлардың өзтүйіндес бикватерниондар болатындығы шығады:
=
∗
,
=
∗
және
Z
= /〈 〉
,
= /〈 〉
.
Демек жарықтық конуста
х
және бикватерниондары үшін кері бикватернион табылмайды.
Енді өзара бикватерниондарды енгіземіз:
(θ, e) =
∗
= ℎ +
ℎ ,
= (
)
∗
=
= ℎ −
ℎ
,
∈
,
‖ ‖ = 1
,
мұндағы - нақты сан және оған гиперболалық синус пен косинус қолданылады. Бұлардан олардың унитарлы
болатындығы шығады, яғни
°
= 1
.
Тікелей есептеу арқылы келесі ұйғарымдардың орындалатындығын көрсетуге болады.
Ұйғарым 2.1. Лоренцтің классикалық түрлендіруі
:
→
мына түрде болады:
= ° °
,
=
° °
.
Егер мына белгілеулерді енгізсек:
сℎ2 = (1 −
)
,
ℎ2 = (1 −
)
,
| | < 1
,
онда
және бикватерниондарыныңскалярлы жәневекторлы бөліктері сәйкесінше мына формулалар түрінде
жазылады:
=
( , )
√
,
=
− ( , ) +
( , )
√
,
82
=
( , )
√
,
=
− ( ,
) +
( ,
)
√
.
Бұның өзі
Х ,
, … ,
координаталар жүйесінің
өлшемсіз жылдамдықпен е векторының бағытымен
қозғалысына сәйкес келеді. Ассоциативті және унитарлық қасиеттері орындалатындықтан, псевдонорма
сақталады:
〈 〉 = ° ° °
° °
= 〈 〉
(13)
Ұйғарым 2.2. Мына түйіндес кватерниондар:
( , ) =
+
,
∗
=
=
−
,
‖ ‖ = 1
,
М кеңістігінде Z бикватернионының векторлық бөлігіне, яғни мыналарға
=
° °
∗
, =
∗
° °
ортогонал болатын түрлендіру тобын анықтайды, мұндағы
– нақты сан.
Бұл түрлендіру
R
кеңістігінің
e
векторынан 2
шамасына айналдыру болады.
Дәлелдеу. Есептеу арқылы керек мына шамаларды аламыз:
= ,
= ( , ) +
− ( , )
2 + [ , ]
2
.
‖ ‖ = ‖
∗
‖ = 1,
°
∗
=
∗
°
=
болғандықтан, мына теңдік орындалады:
‖ ‖ = ‖ ‖
.
Ескерту.
(θ, e) =
(− θ, e)
теңдігі орындалатындықтан, осы түрлендірулердің композициясынан Лоренцтің
түрлендіруінің жалпы түрі алынады.
Анықтама.
Минковскийдің М кеңістігінде Лоренцтің түрлендіруі мына
〈 〉 = 〈 〉
псевдонорманы сақтайтын
сызықты түрлендіру ретінде анықталады:
= ° °
∗
,
=
° °
∗
=
° = Cos(φ + θ) + eSin(φ + θ)
∗
= Cos(φ − θ) − eSin(φ − θ)
°
=
∗
°
∗
= 1
теңдігі орындалатындықтан псевдонорма сақталады және жарықтық конуста нөлге тең
болады.
Салдар. Лоренцтің түрлендіруінде жарықтық конус жарықтық конусқа көшеді.
Минковский кеңістігіндегі бикватерниондардың функционалды кеңістігін қарастырайық:
( ) = { = f( , ) + ( , )}
мұндағы
f
- комплекс мәнді функция, ал
F
- комплексті компонеті
j
F
3
,
2
,
1
j
болатын үшөлшемді вектор
– функция. Әрі қарай
f
және
F
М кеңістігінде локалды интегралданатын (дәйекті) және
дифференциалданатын функциялар деп қарастырамыз.
айнымалысы немесе
j
x
бойынша бикватенионның
дербес туындысын былайша белгілейміз:
=
+
,
=
+
.
(τ, x)
полинимиалды
n
- ші дәрежелі бикватерннион деп атаймыз, егер оның компоненттері
3
2
1
,
,
,
x
x
x
алынған полином болып, жоғарғы дәрежесі
n
мынаған тең болса:
= (τ, ) + ( , )
.
Осы ұғымдарды пайдаланып
(М)
кеңістігінде полиномда сәйкесінше аттас туынды координатасын сәйкесінше
дәрежеге алмастырып сызықты дифференциалды операторды енгізуге болады:
(∂ ,
) = (∂ ,
) + (∂ ,
)
.
Бұдан бикватернионды сызықты дифференциалды теңдеуді қарастыруға болады:
83
(∂ ,
)° = ( , )
(4)
(мұндағы
°
операторды енгізу үшінформалды бикватернионды көбейту амалы, әрі қарай бұл белгілеуді алып
тастаймыз).
Бұл теңдеу төмендегідей төрт теңдеуден тұратын жүйеге эквивалентті:
(∂ ,
) − ( (∂ ,
), ) = (τ, )
(∂ ,
) + (∂ ,
) + [ (∂ ,
), ] = (τ, )
,
мұнда нақты және комплексті бөліктерге бөліп қарастырсақ сегіз теңдеуден тұратын жүйеге эквивалентті
болады.
Әдебиеттер тізімі
1. Абиров А.Қ., Ибрашова Д.Х. / Бикватерниондардың дифференциалдық алгебрасының құрылымы / «Бектаев
оқулары –1: Ақпараттандыру – қоғам дамуының болашағы» атты халықаралық ғылыми – тәжірибелік
конференция материалдары, Шымкент-2014.
2. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра.:М.Наука, 1976. 648 б.
3. Элиович А.А. О норме бикватернионов и иных алгебр с центральным сопряжением. Гиперкомплексные числа в
геометрии и физике, №2, том 1, 2004, ст. 24-50
ӘОК 372.851
КҮРДЕЛІ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ
Ғ.Ж.Тұржігітова
Х.Досмұхамедов атындағы Атырау мемлекеттік университеті
gaitur@mail.ru
Көптеген күрделі тригонометриялық теңдеулер жаңа айнымалы енгізу арқылы шығарылады. Бұл
мақалада күрделі тригонометриялық теңдеулердің шешу жолдары үш мысал арқылы көрсетіледі.
1-мысал. Теңдеуді шешіңдер
9cos2x + 9cos6x = 36cosxcos3x + 140√3sinxsin2x − 162
Шешуі: Теңдеудің сол жағындағы cos2x және cos6x өрнектерін қос бұрыштың косинусының
формуласынпайдаланып,cos2x=2cos
2
x-1, cos6x=2cos
2
3x-1 өрнектерімен, алтеңдеудіңоң жағындағы екі синустың
көбейтіндісін
2 = (
−
3 )өрнегімен алмастырамыз.Сонда берілген теңдеу мына түрге келеді:
9(2cos x − 1) + 9(2cos 3x − 1) = 36cosxcos3x + 70√3(cosx − cos3x) − 162
Теңдеуде cosx пен cos3x қайталанып тұрғандықтан, y=cosx, z=cos3x жаңа айнымалылар енгіземіз:
18y + 18z − 18 = 36yz + 70√3(y − z) − 162 ↔
9(y − z) − 35√3(y − z) + 72 = 0.
Соңғы теңдеу a = y – z –ке қарағанда квадрат теңдеу:
9a − 35√3a + 72 = 0.
Теңдеудің дискриминанты D=1083=3∙19
2
,алтүбірлері a
1
=3√3, a
2
=
√
Ендеше, есеп cosx- cos3x=3√3 және cosx - cos3x=
√
түріндегі екі теңдеуді шешуге келтірілді.
Бірінші теңдеу бағалау әдісімен оңай шешіледі: теңдіктің сол жағында 2-ден аспайтын сан тұр, ал оң
жағындағы сан 3√3 > 2 болғандықтан, 1-ші теңдеудің шешімі жоқ.
Екінші теңдеуді шешу үшін cos3x-ты 4сos
3
x-3cosx өрнегімен алмастырып және cosx=k жаңа айнымалысын
енгізіп,
9k − 9k + 2√3 = 0
кубтеңдеуін аламыз.
Иррационал коэффициенттен құтылу үшін n= √3жаңа айнымалы енгіземіз.
n
3
-3n+2=0
теңдеуін көбейткіштерге жіктейміз:
(n-1)
2
(n+2)=0,
бұдан n=1 және n= -2 мәндері табылады.
Енді негізгі белгісіз х-ке көшсек, cosx=
−
√
және cosx=
√
екі теңдеу аламыз.
−
√
< −1 болғандықтан, бірінші теңдеудің шешімі жоқ.
Екінші теңдеудің шешімі
x = ±arccos
√
+ 2πn, n ∈ Z.
Жауабы:
±arccos
√
+ 2πn, n ∈ Z.
84
2-мысал. Теңдеуді шешіңдер
+
tg
− 2x = 0.
Шешуі: Берілген теңдеуді тек 2x аргументінің функциялары арқылы жазайық:
2cos 2x
2sin 2x
+ ctg2x = 0,
немесе,
2 +
2 = 0.
a=ctg2x жаңа айнымалы енгізіп, √a = −√aиррационал теңдеуін аламыз. Бұдан ары қарай
a = a
−a ≥ 0
⇔
a = 0, a = −1, a = 1
a ≤ 0
⇔ a = 0, a = −1.
Ендеше, берілгентеңдеу ctg2x=0 және ctg2x=-1 екі теңдеуді шешуге келтірілді. Бұдан
ctg2x=0
↨
ctg2x=-1
↨
2x =
+ πn, n ∈ Z,
↨
2x = -
+
,
∈ ,
↨
x =
+
,
∈ .
x = -
+
, m
∈ .
Жауабы:
+
,
∈ ; - +
, m
∈ .
Келесі логарифмдік теңдеу тригонометриялық теңдеуге келтіріледі, ал ол күрделі ауыстыру жасау арқылы
шығарылады.
3-мысал. Теңдеуді шешіңдер
log (3|sinx| − |cosx|) + log |cosx| = 0.
Шешуі: Логарифмдердің қосындысын көбейтіндінің логарифмі түрінде жазсақ, берілген теңдеуге мәндес
log (3|sinx||cosx| − cos x) = 0
теңдеуін аламыз. Бұдан
3|sinx||cosx| − cos x = 1.
Теңдеудің екі жағын да
cos x = |cosx| -қа бөлсек, y =
|
|
|
|
= |tgx| жаңа айнымалысына байланысты
квадрат теңдеу аламыз:
y
2
- 3y + 2 = 0.
Бұл теңдеудің екі түбірі бар: y=1 және y=2. Олай болса, берілген теңдеу |
tgx| = 1 және |tgx| = 2 екі
теңдеуден тұратын жиынтыққа мәндес болады. Ол теңдеулердің шешімдері:
x = ± + πn, n ∈ Z және x =
±arctg2 + πm, m ∈ Z.
Жауабы:
± + πn, n ∈ Z; ±arctg2 + πm, m ∈ Z.
Келесі мысалда параметрі бар тригонометриялық теңдеуді шешеміз.
4-мысал. a –ның барлық мәндері үшін теңдеуді шешіңдер:
sin
8
x+cos
8
x=a.
Шешуі: Теңдеудің сол жағындағы өрнекке дәрежені төмендететін формуланы екі рет қолданып,
cos
2
4x + 14 cos4x + 17 - 32a = 0
теңдеуін аламыз. cos4x=t жаңа айнымалы енгізу арқылы одан
t
2
+14t+17- 32a = 0 (2)
квадрат теңдеуі шығады. Оның дискриминанты D=128(1+a).
1) егер a < -1 болса, онда (2) теңдеудің түбірлері жоқ. Ендеше, берілген теңдеудің де түбірлері жоқ
болады.
2) егер a = -1 болса, (2) теңдеудің жалғыз түбірі табылады: t = -7. Онда берілген теңдеу cos4x= -7
теңдеуімен мәндес болады, яғни теңдеудің түбірі жоқ.
3) егер a > -1 болса, (2) теңдеудің екі түбірі табылады: t
1
= -7- 4
2(1 + a), t
2
= -7+4
2(1 + a). Ары қарай
есеп екі тригонометриялық теңдеуді шешуге келтіріледі:
cosx = -7- 4
2(1 + a) және cosx = -7+4 2(1 + a).
t
1
санының -7-ден кем екендігі көрініп тұр, сондықтан бірінші теңдеудің түбірлері жоқ. Екінші теңдеудің
түбірлері бар болуы үшін
−1 ≤ -7+4 2(1 + a) ≤ 1
шарттары орындалуы қажетті және жеткілікті. Бұдан
≤ a ≤ 1 шартын алдық.
a-ның осы мәндері үшін теңдеудің түбірлері
= ±
1
4
arccos −7 + 4 2(1 + ) +
2
,
∈ .
Жауабы: егер а
∉ , 1 ,
ондатеңдеудің түбірі жоқ;
егер а
∈
, 1
болса, ондаx
= ± arccos −7 + 4 2(1 + ) +
,
∈ .
Достарыңызбен бөлісу: |


title: Сборник материалов IV международной научно-практической конференции «Роль физико-математических наук в современном образовательном пространстве» - бет 14

text:
85
Әдебиеттер тізімі
1. Қаңлыбаев Қ. Тригонометриялықфункциялар және олардың теңдеулері мен теңсіздіктері: Оқу құралы /
Қанлыбаев Қ., Әбдімәжитов К., Бекбаулиева Ш. - Алматы : Респ.баспа кабинеті, 1995. - 132 б.
2. Фалин Г.И. Тригонометрия на вступительных экзаменах по математике / -М. :БИНОМ. -2007.- 327c.
3. Рустюмова И.П., Кузнецова Т.А., Рустюмова С.Т. Пособие для подготовки к единому национальному
тестированию (ЕНТ) по математике(учебно- методическое пособие). -Алматы. :Ғылым.- 2005
УДК 519.6
О РЕШЕНИИ ОДНОМЕРНЫХ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
С КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ ПО ФОРМУЛЕ ВУДСА
Н.Т.Данаев, Ф.С.Аменова
Казахский национальный университет им. аль-Фараби
nargozy.danaev@mail.ru
Восточно-Казахстанский государственный технический университет им. Д.Серикбаева
Одно из направлений численного исследования двумерных течений несжимаемой жидкости
основывается на решении уравнений Навье-Стокса, записанные в переменных «функция тока, вихрь скорости» с
применением различных способов задания граничных условий для вихря скорости [1-6]. Для определения вихря
скорости на границе наиболее популярными аппроксимативными формулами являются формулы Тома и Вудса,
имеющие первый и второй порядок точности соответственно.В мировой литературе встречаются ограниченное
количество теоретических работ по обоснованию использования формулы Тома. Теоретические результаты по
исследованию применения формулы Вудса фактически отсутствуют. В данной работе на примере одномерной
линейной задачи несжимаемой жидкости методом априорных оценок исследуются устойчивость и сходимость
разностной схемы с использованием формулы Вудса. Приводятся результаты исследования итерационных
алгоритмов.
Постановка задачи.В области
}
1
0
{
x
D
рассмотрим систему стационарных уравнений для
несжимаемой жидкости следующего вида
,
x
f
xx
(1)
xx
,
1
0
x
,
(2)
с краевыми условиями
,
0
x
при
1
,
0
x
.
(3)
Для аппроксимации уравнений (1),(2) в сеточной области
N
k
kh
x
D
k
h
,
0
,
рассмотрим
одномерную разностную задачу для несжимаемой жидкости следующего вида
,
,
k
k
x
x
f
(4)
k
k
x
x
,
,
1
,
1
N
k
(5)
,
0
0
N
с краевыми условиями для вихря скорости по формуле Вудса, который имеет второй порядок точности
,
3
2
1
0
,
1
0
x
h
N
x
N
N
h
,
1
3
2
1
.
(6)
Будем использовать следующее известное неравенство [7]
),
(
,
4
0
2
2
2
1
2
0
h
h
x
D
u
u
h
u
u
где
)
(
0
h
h
D
- пространство одномерных сеточных функций, имеющие нулевые значения на граничных
точках разностной сетки
h
D
,
2
0
)
/
)
2
/
(sin(
4
h
h
.
Устойчивость и сходимость разностной задачи.Соотношение (4) умножим на
k
просуммируем по
внутренним узлам сетки. В результате имеем тождество
,
2
,
0
,
0
f
x
x
N
x
N
x
.
Учитывая краевые условия (6)и после несложных преобразований получим
86
,
12
12
11
4
2
1
2
0
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
0
f
h
h
h
h
N
N
N
k
k
N
N
.
Отсюда, можно получить следующую оценку устойчивости
h
D
L
x
x
f
c
2
0
.
Далее, исследуем вопрос о сходимости решения разностной задачи к решению дифференциальной
задачи (1)-(3).
Введем обозначения
k
k
z
,
k
k
. Здесь
k
k
,
- решения разностной задачи (4)-(6),
,
- решения дифференциальной задачи (1)-(3), вычисленные в узлах сетки
h
D
.
Тогда уравнения для погрешностей итерации имеют вид
k
k
x
x
R
z
,
,
(7)
k
k
k
x
x
G
z
,
,
1
,
1
N
k
,
(8)
,
0
0
N
,
2
2
1
0
0
,
1
0
r
h
z
z
x
,
2
2
1
,
1
N
N
x
N
N
r
h
z
z
(9)
где
k
k
G
R ,
,
1
,
1
N
k
- погрешности уравнений соответственно (4) и (5),
N
r
r ,
0
- погрешности
краевых условий (6), которые имеют порядок
2
h
О
.
Соотношение (7) умножая на
и просуммируяпо узлам сетки, получим
,
,
,
0
,
0
k
N
x
N
x
x
x
k
R
z
z
z
.
Учитывая условия (6) и произведя несложные преобразования получим следующее неравенство:
2
2
2
1
2
2
0
2
1
2
1
2
2
1
4
1
4
1
6
6
5
k
k
N
N
x
x
G
R
r
r
G
G
h
,
где
2
1
,
подберем так, чтобы
0
6
5
2
1
.
Отсюда имеем, что
2
0
h
c
x
x
, т.е. задача имеет второй порядок сходимости.
Для численного решения (4)-(6) рассмотрим явный итерационный алгоритм вида
,
,
1
k
n
k
x
x
n
k
n
k
f
(10)
,
1
1
,
n
k
n
k
x
x
1
,
1
N
k
,
(11)
,
0
1
1
0
n
N
n
),
(
0
0
kh
k
,
,
0 N
k
(12)
,
3
2
1
1
0
,
1
1
1
0
n
x
n
n
h
1
,
1
1
1
3
2
1
n
N
x
n
N
n
N
h
.
(13)
Введем обозначения
k
n
k
n
k
z
,
k
n
k
n
k
. Здесь
n
k
n
k
,
- решения итерационной схемы
(10)-(13),
k
k
,
- решения разностной задачи (4)-(6).
Тогда для погрешности итерации имеем следующие соотношения
,
,
1
n
k
x
x
n
k
n
k
z
z
z
(14)
,
1
1
,
n
k
n
k
x
x
z
,
1
,
1
N
k
(15)
,
0
1
1
0
n
N
n
(16)
,
3
2
1
1
0
,
1
1
1
0
n
x
n
n
h
z
z
1
,
1
1
1
3
2
1
n
N
x
n
N
n
N
h
z
z
.
(17)
Соотношение (14) умножим на
1
2
n
и просуммируем по узлам сетки
h
D
. В результате можно
получить следующее энергетическое тождество:
87
0
,
2
2
1
1
,
1
0
,
0
2
1
2
2
1
n
x
x
n
x
x
n
N
x
n
N
n
x
n
n
x
n
x
n
x
n
x
z
z
.
Учитывая краевые условия (16), (17) , применяя известные неравенства получим
h
h
n
N
x
n
N
x
n
x
n
x
n
x
n
x
2
,
1
,
2
0
,
1
0
,
2
2
2
1
6
1
0
6
5
4
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
h
z
z
h
h
h
N
k
n
x
x
n
N
n
n
x
x
N
k
n
x
n
x
.
Следовательно, при выполнении условия
0
6
1
2
h
(18)
имеем
0
6
5
2
2
1
0
2
2
1
n
x
n
x
n
x
n
x
,
0
2
2
1
n
x
n
x
q
,
где
1
1
1
q
,
1
6
5
0
.
(19)
То есть
n
q
q
x
n
n
x
n
x
,
0
)
1
(
0
)
1
(
1
)
1
(
,
при выполнении условия (18) итерации алгоритма ((10)-(13)) сходится к решению (4)-(6) со скоростью
геометрической прогрессии и
1
ln
1
)
(
2
0
h
o
n
.
Далее, для разностной задачи (4)-(6) рассмотрим итерационный алгоритм следующеговида
,
1
,
1
k
n
k
x
x
n
k
n
k
f
(20)
,
1
1
,
n
k
n
k
x
x
1
,
1
N
k
,
(21)
,
0
1
1
0
n
N
n
),
(
0
0
kh
k
,
,
0 N
k
(22)
,
3
2
1
0
,
1
1
1
0
n
x
n
n
h
n
N
x
n
N
n
N
h
,
1
1
1
3
2
1
.
(23)
Для погрешности итерации имеем следующие соотношения
,
1
,
1
n
k
x
x
n
k
n
k
z
z
z
(24)
,
1
1
,
n
k
n
k
x
x
z
,
1
,
1
N
k
(25)
,
0
1
1
0
n
N
n
,
3
2
1
0
,
1
1
1
0
n
x
n
n
h
z
z
n
N
x
n
N
n
N
h
z
z
,
1
1
1
3
2
1
. (26)
Соотношение (24) скалярно умножим на
1
2
n
и просуммируем по узлам сетки. Используя формулы
суммирования и формулы Грина, получим энергетическое тождество
0
2
2
1
1
,
1
1
0
,
1
0
2
1
2
2
1
n
x
x
n
N
x
n
N
n
x
n
n
x
n
x
n
x
n
x
z
z
.
Отсюда, можно получить следующее неравенство
1
2
2
1
2
,
1
,
2
0
,
1
0
,
2
2
2
1
2
1
N
k
n
x
n
x
n
N
x
n
N
x
n
x
n
x
n
x
n
x
h
h
h
0
6
2
2
1
1
2
1
1
2
1
n
N
n
n
x
x
z
z
h
.
При выполнении условия
0
2
1
2
h
,
(27)
88
имеем
0
6
11
2
1
0
2
2
1
n
x
n
x
n
x
,
2
2
1
n
x
n
x
q
,
где
1
6
11
1
1
0
q
,
(28)
т.е. при выполнении условия (27) итерации алгоритма (20)-(23) сходится к решению (4)-(6) со скоростью
геометрической прогрессии и
1
ln
1
)
(
2
0
h
o
n
.
Достарыңызбен бөлісу: |


url: http://emirsaba.org/sbornik-materialov-iv-mejdunarodnoj-nauchno-prakticheskoj-konf.html?page=14#УДК_519.6_О_РЕШЕНИИ_ОДНОМЕРНЫХ_СЕТОЧНЫХ_УРАВНЕНИЙ_НЕСЖИМАЕМОЙ_ЖИДКОСТИ_С_КРАЕВЫМИ_УСЛОВИЯМИ_ПО_ФОРМУЛЕ_ВУДСА__Н.Т.Данаев,_Ф.С.Аменова


title: Список литературы - Сборник материалов IV международной научно-практической конференции «Роль физико-математических...

text:
Список литературы
1. Роуч П., Вычислительная гидродинамика, Мир, М., 1980, 616 с.
2. Данаев Н.Т., Смагулов Ш., «Об одной методике численного решения
3. уравнений Навье-Стокса в переменных
( , )
», Моделирование в механике, 5(22):4, (1991), 38-47
4. Тарунин Е.Л., Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции, Изд.Иркут.ун-та, Иркутск, 1990,
228 с.
5. Воеводин А.Ф., «Об устойчивости разностных граничных условий для функции вихря на твердой стенке», Ж.
вычисл. матем. и матем. физ., 38:5, (1998), 855-859
6. Воеводин А.Ф., «Устойчивость и реализация неявных схем для уравнений Стокса», Ж. вычисл. матем. и матем.
физ., 33:1, (1993), 119-130
7. Danaev N., Amenova F., «About one Method to Solve Navier-Stokes in Variables
)
,
(
», Advances in
Mathematical and Computational Methods, 3:2, (2013), 72-78
8. Самарский А.А., Теория разностных схем, Наука, М., 1977
ӘОЖ 512.1
СТАНДАРТТЫ ЕМЕС ЕСЕПТЕРДІ ШЫҒАРУДЫҢ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ
В.С.Хамзина
Д. Байбосынов атындағы №13 ұлттық мектеп-гимназиясы, Атырау қ.
v_khamzina@mail.ru
Стандартты емес есептер – бұл шешудің нақты бағдарламасын анықтайтын жалпы ережелері мен
жағдайлары жоқ есептер.
Алайда, «стандартты емес» ұғымы салыстырмалы ұғым екенін ескеру керек. Стандартты емес есептер
әртүрлі болуы мүмкін. Кейбірі сырттай қарапайым емес болғандықтан, алғашқыда оларға қай жағынан қарау да
түсініксіз болады [2].
Стандартты емес есептерді шығару мектеп оқушылары арасында олимпиада резервтерін дайындауға
бағытталған.
Белгілі бір формулаға негізделмеген есептерді шығаруды үйрету арқылы оқушының ұшқыр ойлай білу
қабілетін дамыту. Есепті шығарудың алгоритмін құруға үйретуге негізделген.
Егер есеп күрделі есеп болса, онда қарапайым сәйкес (туыстас) есепті тауып, шешуге тырысу керек. Бұл
берілген есептің нәтижесін табуға жие жол ашады.
Есептер шығару барысында келесі ұйғарымдарды қолдануға болады:
жеке (қарапайым) жағдайды қарастыру керек, содан кейін есепті шығару идеясын жалпылау керек;
есепті ішкі есептерге бөлу керек (мысалы: қажеттілік және жеткіліктілік);
есепті жалпылау (мысалы: нақты санды айнымалымен алмастыру);
есепті қарапайым түрге келтіру.
Күтілетін нәтиже:
оқушыларды шығармашылыққа баулу;
олимпиада есептерін шығара білуге үйрету;
олимпиадада жоғары көрсеткіштерге ие болу.
Қандайда бір есепті шығарғанда, оны талдау барысында бұл есепті шығару тәсілдерінің бізге таныс емес
екендігін байқаймыз, содан соң оны бұрын шығарылған есептерге келтіру жолын іздейміз. Бұл жол өте қарапайым
болып көрінгенімен, оны іш жүзінде қолдана білу оңай емес. Себебі шығарылатын есептерді бұрын шығарылған
есептерге келтірудің нақты ережесі жоқ. Дегенмен, тиянақты түрде, есептің талдауын жасап, ойланып шығарсақ,
шығару барысында бұрынғы шығарылған есептердің шешімін табу жолдарын, әдіс-тәсілдерін ескерсек есеп
шығару білігі біртіндеп қалыптасады [1].
89
Төмендегі бірнеше мысал арқылы стандартты емес есептерді шығарудың жолдарын қарастырайық:
1) Егер
125
= m , 25
= m болса, онда =? (немесе ізделіндіні өздеріңіздің қалауларыңыз бойынша
a ∙ b
=?, b ∙ a
=?,
=? өзгертуге болады. Ал, ізделіндіге байланысты есептің жауаптары өзгеретіні белгілі).
a)
b)
c)
d)
e)
Шешуі:
125
= m , 25
= m , 5
= m, 5
= mболады.
5
= 5 , 2a = 3bшығады.
Демек,
= шешімі болады.
2)
Егер
x = 2001 болса, онда
=?
a)
(2001
)
b)
2002 − 2001
c)
2001 − 2002
d)
2
e)
2
Бұл есепті ойлау қабілеті жоғары оқушы бірден есептейді де, ойлау қабілеті төмен оқушылар х пен у – тің
мәндерін қойып, микрокалькулятормен есептейміз деп, уақытын өткізіп отыра беретіні рас.
Шешуі:
= −
= −1 яғни, жауабы: С.
Оқушылардың ойлау қабілетін дамыту бізге байланысты екені рас, ақиқат. Демек, мұғалімдерге ең
қажетті нәрсе белгілі тақырыпты өткенде, тек жаңа оқулықпен шектеліп қана қоймай, сол тақырып төңірегінде
кеңейтіп беру керек.
Математиканы жақсы меңгерген мұғалімге қысқарған алгоритмді ойша-ақ жіктеп ашу ешқандай қиындық
келтірмейді. Бірақ оқушы (әсіресе әлсіз, керекті деңгейде оқытылмаған) қысқартылған алгоритмді қадамдар
жіктелген бағдарламаға ойша ашу қиын.
Қысқартылған алгоритмдер математика курсында әртүрлі берілуі мүмкін: ауызша ережелер, формулалар,
теоремалар және т.б. Осындай әрбір қысқартылған алгоритмді оқушыларды қадамдап жіктелген бағдарламаға,
алдымен әрине әр қадамның тұжырымына, содан соң осы әрекетті меңгергені бойынша ойша ашу керек.
Қысқартылған алгоритмдерді қадамдап жіктеу бағдарламасын қалай ашуға болатынын көрсететінін
мысал келтірейік:
1)
Ауызша ереже. Осындай ереженің мысалы ретінде туынды дәрежесіне көтеру ережесі бола алады:
туындының дәрежелерінің қосындысына тең.
Осы ереже негізінде осындай алынған алгоритмді құруға болады.
1 қадам – туындының барлық көбейткіштерін анықтау.
2 қадам – әр көбейткіштің берілген дәрежесін табу.
3 қадам – 2-ші қадам нәтижесін көбейту.
2)
Формула. Мектепте төменде көрсетілген түрде берілетін квадрат теңдеу түбірінің формуласы осындай
формуланың мысалы бола алады.
ax + bx + c = 0 теңдеуінің түбірлерін (егер a ≠ 0 және D ≥ 0, мұндағы D = b − 4ac)
x =
∓√
формуласы арқылы табуға болады.
Бұл формуланы (қарастырылған алгоритм) осындай қадамдап жіктеу бағдарламасына ашу керек:
1 қадам –
a ≠ 0 шартын тексереміз. Егер ол орындалса, онда келесі қадамға көшеміз, егер ол орындалмаса, онда
берілген теңдеу квадратты емес және берілген формула қолданылмайды.
2 қадам –
D = b − 4ac
3 қадам –
D ≥ 0 шартын тексереміз, егер ол орындалса, онда келесі қадамға көшеміз, егер ол орындалмаса, онда
берілген теңдеу квадратты емес және берілген формула қолданылмайды.
4 қадам – түбір мәнін
x =
∓√
формуласы арқылы табамыз.
2 және 4 – қадамдар күрделі және оларды қарапайым қадамдарға бөлуге болатынын байқаймыз.
3)
Тепе-теңдік. Мысал ретінде (
a + b) = a + 2ab + b теңдігін алайық.
1 қадам – екі мүшеліктің алғашқы мүшесін табу
(a).
2 қадам – екі мүшеліктің екінші мүшесін табу
(b).
3 қадам – екі мүшеліктің алғашқы мүшесін квадратқа шығару (
a )
4 қадам – екі мүшеліктің екінші мүшесін квадратқа шығару (
b )
5 қадам – екі мүшеліктің бірінші, екінші мүшелерінің туындысын табу (
ab)
6 қадам – бесінші қадамның нәтижесін екі еселеу (
2ab)
7 қадам – үшінші, төртінші және алтыншы қадам нәтижелерігн қосу.
90
Оқушыларға екі мүшеліктің айырмасы үшін тепе-теңдік беру қажет емес екенін байқаңыз. Бірелген тепе-
теңдік екі мүшеліктің кез келген белгілері үшін қолданылады.
Мысал келтірейік:
(2mn − 3m n) = (2mn ) + 2(2mn )(−3m n) + (−3m n) =
= 4m n − 12m n + 9m n
Әдебиеттер тізімі
1. Қарабаев А.Қ. Оқушылардың ой-өрісін дамытуға ықпал жасайтын стандартты емес кейбір есептер. Жезқазған,
1998, 61 б.
2. Қарабаев А.Қ. Жоғары сынып оқушыларын есептерді стандартты емес тәсілдермен шығаруға балау. Алматы,
1999, 143 б.
ӘОЖ 517.91
КВАТЕРНИОНДЫҚ ЕКІНШІ РЕТТІ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ
ТЕҢДЕУІНІҢ ШЕШІМІНІҢ ҚҰРЫЛЫМЫ
Каракенова С.Г., Тайшиева А.Ғ.
Х.Досмұхамедов атындағы Атырау мемлекеттік университеті, Атырау, Қазақстан
Кватерниондық айнымалылы диференциалдық теңдеулерді алғаш рет кватерниондар теориясының
құрушы В.Р.Гамильтон қарастырған болатын. Кватерниондық дифференциалдық теңдеулер кеңістік ориентациясы
есебін шешуде ыңғайлы құрал болып табылады. [3] еңбекте ассоциативті, бірақ коммутативті емес
алгебралардағы гиперкомплексті бірінші ретті дифференциалдық теңдеулерді шешудің әдістері қарастырылған.
Қазіргі кездегі гиперкомплексті дифференциалдық теңдеулерді шешуге аса зор мән беріліп отырылғандықтан,
бұл мәселенің өзекті екендігін байқатады.
Баяндамада ассоциативті, бірақ коммутативті емес гиперкомплекс сандардың негізгі мысал болып
табылатын кватерниондар алгебрасында екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеудің шешімдерінің
құрылымы зерттеледі.
Кватерниондар алгебрасы және оның геометриялық қолданулары [1] әдебиетте, ал жалпы түрі
кватерниондарға ұқсас бірақ көбейту операциясы коммутативті болатын сандар жүйесі және оның математикалық
талдауы [2] әдебиетте көрсетілген.
Кватерниондық айнымалының тұрақты коэффициентті бірінші ретті біртекті емес сызықты
дифференциалдық теңдеу деп
t
f
рх
х
(1)
түріндегі теңдеуді айтамыз, мұндағы
р
– кватернион, ал
f(t
) – кватерниондық функция. Бұл теңдеудің
жалпы шешімі біртекті
0
рх
х
(2)
теңдеуінің жалпы шешімі мен (1) теңдеудің қандайма бір дербес шешуінің қосындысы болатындығын
көрсетелік. (1) теңдеудің дербес шешімі
t
и
, ал (2) теңдеудің кез келген шешімі
t
v
болсын. Сонда
)
(t
f
pu
u
және
0
pv
v
теңдіктерін қосып,
t
v
t
и
функциясы үшін
t
f
pv
pu
v
и
теңдігінің орындалатындығын аламыз. Бұл
t
v
t
и
қосындысының біртекті емес теңдеудің шешімі
болатындығын көрсетеді. Біртекті емес сызықты (1) теңдеудің оң жағы кватерниондық айнымалының функциясы,
яғни мына түрде болады немесе осындай түрге келтіріледі:
n
i
i
e
t
i
f
t
f
1
)
(
)
(
,
(3)
Кватерниондық функцияның компоненттері тәуелсіз айнымалының көпмүшелігі болған жағдайда (1)
теңдеу
n
нақты айнымалының теңдеулер жүйесін шешуге келтіріледі. Бұл дифференциалдық теңдеулер
теориясының қалыптасқан әдістерімен жүзеге асырылады.
Кватерниондық
3
2
1
0
kx
jx
ix
x
х
айнымалысының екінші ретті сызықтық дифференциалдық
0
qx
х
р
х
(4)
теңдеуін қарастыралық, мұндағы
t
х
– мәндері кватерниондар болатын
t –
материалды айнымалыға
байланысты белгілі функция;
p, q
– берілген тұрақты кватерниондар.
(4) теңдеудің шешімін табу үшін Эйлердің классикалық әдісін қолданып, дербес шешімдерді
t
e
t
х
түрінде іздейміз [1]. Мұнда ізделініп отырылған шешім
91
...
!
1
...
1
n
t
t
n
t
e
қатарымен анықталады және оның қарапайым қасиеттері экспонентаның қасиеттерімен бірдей болады:
.
,
,
0
2
2
2
t
t
t
t
t
e
dt
e
d
e
dt
de
e
t
e
t
х
функциясын (4) теңдеуге қойғанда кватерниондық айнымалының сипаттамалық теңдеуі
шығады:
0
2
q
р
(5)
1 – ұйғарым
. (5) теңдеудің шешімі бар және әртүрлі шешімдер саны екеуден аспайды.
Мұны дәлелдеу (5) теңдеумен мәндес төрт скалярлы сызықты емес теңдеулер жүйесінің шешімін
зерттеуге келеді. Жалпы жағдайда (5) теңдеудің шешімін табу үшінші дәрежелі скалярлы теңдеудің жалғыз оң
түбірін табуға сәйкес келеді.
2 – ұйғарым
. Егер (5) теңдеудің әртүрлі екі
1
және
2
шешімдері болса, онда (4) теңдеудің жалпы
шешімі
2
1
2
1
c
e
c
e
t
х
(6)
формуласымен табылады, мұндағы
,
-
дербес кватерниондар.
Егер
(5) сипаттамалық теңдеудің жалғыз шешімі болса, онда жалпы шешім мына формуламен
анықталады:
t
p
t
t
c
d
e
e
c
e
t
х
0
2
1
(7)
Бұл шешімдегі интеграл ашық түрде есептеліп,
,
sin t
e
t
,
cos t
e
t
t
t
e
t
sin
және
t
t
e
t
cos
функцияларының сызықты комбинациясы болады, мұндағы
,
– нақты сандар және олар
p
және
q
кватерниондарының координаталары арқылы өрнектеледі.
Кватерниондарды көбейту амалы коммутативті емес болғандықтан (7) формуладағы интеграл
астындағы өрнектегі дәрежелерді қосуға болмайды [1].
Әдебиеттер тізімі
1. Кантор И. Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа.-М.: Наука, 1973 – 144С
2. Б.Мәукеев. Дифференциалдық теңдеулерді шешу. –Мектеп баспасы,1989-232бет
3. Erlebacher
G.,Sobczyk
E. First Order Linear ordinary differential Equations in associative Algebras // Electronic J.
Differential Equations. - 2004. — Vol. 2004, N 1. — Р. 1–18.
УДК.593.3
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ТЕПЛООБМЕНА НА НАПРЯЖЕННО-
ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ЧАСТИЧНО ТЕПЛОИЗОЛИРОВАННОГО СТЕРЖНЯ,
ЖЕСТКО ЗАЩЕМЛЕННОГО ДВУМЯ КОНЦАМИ
Тулеуова Р.У.
Атырауский государственный университет им. Х.Досмухамедова, г.Атырау,
e-mail: Tuleuova_79@mail.ru
Рассмотрим стержень ограниченной длины и постоянного поперечного сечения, оба конца которого
жестко защемлены (рис.-1). Длину стержня обозначим через -
, а площадь поперечного сечения -
F
,
коэффициент теплопроводности стержня -
xx
k
, теплового расширения -
. На площади поперечного сечения
обеих защемленных концов стержня подведен тепловой поток одинаковой интенсивности -
q
. Боковая
поверхность стержня частично теплоизолировано. Например часть боковой поверхности
3
0
x
и
x
3
2
теплоизолировано, а по боковой поверхности ограниченной точками
3
2
3
x
имеет место
теплообмен. Коэффициент теплообмена
h
, а температура окружающей среды
OC
T
.
92
Рис.-1. Расчетная схема.
Требуется
определить
влияние
значение
h
на
напряженно
деформированное
состояние
рассматриваемого стержня при фиксированных значениях
.
,
,
,
,
,
F
k
T
q
xx
OC
Данная задача является статически неопределимой. Решение этой задачи состоит из двух этапов:
I-этап. Определяется поле распределения температур
)
( x
T
T
по длине стержня. Эта задача решается
методом минимизации функционала, характеризующей законы сохранения и изменения тепловой энергии в
сочетании метода конечных элементов. В качестве конечного элемента берется одномерный элемент с тремя
узлами, т.е. в пределах каждого элемента закон распределения поля температур представляется кривой второго
порядка. Рассматриваемый стержень дискретизирует
n
- квадратичными конечными элементами одинаковой
длины. При этом первый
3
n
и последний
3
n
конечные элементы, т.е.
x
и
x
3
2
)
0
(
теплоизолированы. По боковой поверхности
3
n
конечных элементов находящихся в интервале
3
2
3
x
имеет место теплообмен с окружающей средой. Для первого и последнего конечного элемента, на поперечные
сечения которых подведен тепловой поток интенсивностью
q
, выражение функционала характеризующее
полный тепловой энергий имеет следующий вид [1]
)
(
)
1
(
)
1
(
2
1
2
n
ППС
V
V
S
xx
n
qTdS
dV
x
T
k
J
J
(1)
ППС
S
– площадь поперечного сечения.
Для элементов теплоизолированной части стержня
3
0
x
и
x
3
2
выражение
аналогичного функционала имеет следующий вид
dT
x
T
k
J
i
V
xx
i
2
)
(
2
(2)
где
1
3
2
3
2
n
n
и
n
i
Для конечных элементов находящихся в интервале
3
2
3
x
имеет место теплообмен по боковой
поверхности. По этому для этих элементов выражение функционала имеет следующий вид.
)
(
)
(
2
2
2
2
i
бп
i
S
oc
V
xx
i
dS
T
T
n
dV
x
T
k
J
(3)
где
3
2
1
3
n
n
i
,
ППС
S
- площадь боковой поверхности.
Тогда выражение общего функционала для всего стержня имеет следующий вид
n
i
i
J
J
1
(4)
где
n
i
1
Далее минимизируя
J
по узловым значениям температуры построим следующую систему алгебраической
уравнений для определения
T
i
.
q
q
h, T
oc
93
0
i
T
J
(5)
Решая систему (5) находим поле распределения температур
)
( x
T
T
по длине стержня. Тогда
температурное составляющее напряжение будет [2].
)
(
)
(
x
ET
x
T
(6)
II-этап
Построим функционал потенциальной энергии для каждого конечного элемента.
)
(
)
(
2
i
i
V
x
V
x
x
i
dV
ET
dV
П
П
(7)
где
;
;
x
x
x
E
x
u
(8)
)
( x
u
u
перемещение точек стержня Подставим (8) в (7) и минимизируя
П
i
; по узловым значениям
перемещения
;
i
u
построим систему линейных алгебраических уравнении для определения перемещения узлов
элементов.
0
i
u
П
(9)
Решая систему (9) находим поле перемещения
)
( x
u
u
. Далее пользуясь (8) находим упругое
составляющее напряжение
σ
x
. Тогда истинное напряжение
в любом сечении стержня будет.
ET
E
T
x
(10)
Тогда сжимающее усилие
R
в стержне находим по [3].
F
R
(11)
Теперь переходим, пользуясь вышеизложенным вычислительным алгоритмом численно исследовать
влияние значения
h
(окружающей оголенной части стержня среды) на значение
и
R
. Для этого примем, что
;
90 см
);
/(
72
С
см
Вт
k
xx
;
1
10
125
0
7
C
;
10
2
2
6
см
КГ
E
);
/(
200
2
С
см
Вт
q
;
30 C
T
OC
;
20
2
см
F
);
/(
10
;
8
;
6
;
4
;
2
2
С
см
Вт
h
Численные эксперименты показывают, что при принятых исходных данных с увеличением значения
коэффициента теплообмена
h
от 2до 10с шагом 2уменьшается значение напряжения и сжимающего усилия. Эти
закономерности показано в таблице-1.
Таблица-1.
h
(
С
см
Вт
2
/(
)
et
E
x
(кг/см
2
)
R
(кг)
2
-1833,9
-
36678
4
-1700,9
-
34018
6
-1648,1
-
32962
8
-1618
-
32360
10
-1598
-
31960
Из этой таблицы видно, что увеличение значения коэффициента теплообмена в 5 раз приводит к
уменьшению значения сжимающего напряжения и усилия на 12,86%. Эти результаты показывают, что с
94
увеличением значения коэффициента теплообмена в интервале
3
2
3
l
x
l
можно сохранить от разрушения
рассматриваемый стержень.
Естественно, что наибольшее значение температуры получается в точках
l
x
и
x
0
, так как в эти
поверхности поперечных сечений подведен тепловой поток интенсивности
...
200
q
Например
при
C
l
x
T
x
T
h
0
5
,
132
)
(
)
0
(
;
2
при
C
l
x
T
x
T
h
0
6
,
126
)
(
)
0
(
;
4
при
C
l
x
T
x
T
h
0
15
,
124
)
(
)
0
(
;
6
при
C
l
x
T
x
T
h
0
7
,
122
)
(
)
0
(
;
8
при
C
l
x
T
x
T
h
0
7
,
121
)
(
)
0
(
;
10
Таким образом при увеличении значения
h
от 2 до 10 значение температуры в точках
l
x
и
x
0
уменьшается до 8,5%.
Значение наибольших и наименьших перемещений и соответствующие координаты этих точек
приводится в таблице-2.
Таблица-2.
h
(
С
см
Вт
2
/(
)
max
U
(см)
min
U
(см)
2
007869
,
0
)
3
,
21
(
см
x
U
007869
,
0
)
7
,
68
(
см
x
U
4
007722
,
0
)
1
,
21
(
см
x
U
007722
,
0
)
9
,
68
(
см
x
U
6
007628
,
0
)
21
(
см
x
U
007628
,
0
)
69
(
см
x
U
8
007
,
0
)
(
см
x
U
007
,
0
)
(
см
x
U
10
007
,
0
)
(
см
x
U
007
,
0
)
(
см
x
U
Из этой таблицы видно, что с увеличением значения теплообмена, амплитуда перемещений
уменьшается. Например, при увеличении значения
h
от 2 до 10, амплитуда перемещения уменьшается на
4,524%. При этом с увеличением значения
h
, максимальное значение перемещения сдвигается влево, а
минимальное значение вправо.
Достарыңызбен бөлісу: |


text:
Список литературы
1. Сегерлинд Л., Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, 1979.
2. И.А.Биргер, Я.Г.Пановко. Прочность.Устойчивость. Колебания. Том1. М.: Машиностроение, 1968. 114-115 стр.
3. Писаренко Г.С. и др., Сопротивление материалов, “Вища Школа”, Киев, 1973, 672с.
УДК 519.4
ШЕШІЛІМДІ ЛИ АЛГЕБРАСЫНЫҢ ДЕФОРМАЦИЯСЫ ТУРАЛЫ
Утеулиева К.Н.
Х.Досмұхамедов атындағы Атырау мемлекеттік университеті
Kamka_n@mail.ru
Айталық, - өрісіндегі шекті өлшемді векторлық кеңістік болсын. кеңістігінде Ли алгебрасының
екі құрылымы,
= ( , [ , ]) және
= ( , { , }) берілген деп жорамалдайық. Егер кез-келген ,
∈ үшін
{ , } = [ , ] + ( ) ( ) − ( ) ( )
теңдігі орындалатындай,
∈
∗
және
∈
( , ) табылатын болса, онда
құрылымы
құрылымының
элементар деформациясы болады деп айтамыз.
Егер Ли алгебрасы алгебрасынан шекті сан элементар деформациялар жасау арқылы алынған, Ли
алгебрасына изоморфты болса, онда Ли алгебрасын алгебрасының деформациясы деп атаймыз (
~ деп
белгіленеді). кеңістігіндегі Ли алгебрасының құрылымдар жиынында
~ қатынасы эквивалентті (мәндес)
қатынас болып табылады.
Деформацияның кейбір қасиеттерін қарастырайық.
95
1) Егер
~ және ~ болса, онда
⊕
~
⊕
орындалады.
Дәлелдемесін бір ғана элементар деформация үшін жүргізсе жеткілікті, ал бұл жағдайда
және
түрлендірулерін екінші қосылғышқа нольдік бейнемен жалғастырса жеткілікті.
2) Айталық Ли алгебрасында
dim
=
− 1
болатындай,
идеалы бар болсын.
идеалындағы Ли алгебрасының құрылымы абельдік құрылымға
эквивалентті (мәндес) болса, онда бұл тұжырым барлық алгебрасы үшін де дұрыс болады.
Дәлелдемесі: Айталық, идеалы
= 〈 ,
, … ,
〉
болатындай алгебраның базисі {
,
, … ,
} болсын.
операторын арқылы белгілейік. Айталық,
(
) = 1 және
=
орындалатындай,
∈
∗
-сызықтық функция болсын.
-
кеңістігіндегі
абельдік құрылым болсын. 1) қасиетке сүйенсек,
⊕ 〈
〉 ~
⊕ 〈
〉.
[ , ] арқылы
⊕ 〈 〉 Ли алгебрасындағы, ал { , } арқылы алгебрасындағы көбейтуді белгілейік. Кез-келген
,
∈ үшін
{ , } = [ , ] + ( ) ( ) − ( ) ( )
орындалатындығы айқын.
Соңғы қасиеттің салдары ретінде мына теореманы алуға болады.
Теорема.
Кез-келген шекті өлшемді шешілімді Ли алгебрасы абельдік құрылымның деформациясы болады.
Дәлелдемесі, шешілімді алгебрада ішкі алгебралардың
=
⊃
⊃ ⋯ ⊃
⊃
= {
0}
қатарлары табылатындығы туралы дерекке сүйенеді, барлық
= 0,1, … , үшін
= және ішкі
алгебрасы
( = 0,1, … , − 1) құрылымында идеал болады [2].
Әдебиеттер тізімі
1. А. С. Джумадильдаев, “Деформации алгебр Ли
Wn
(m)”,
Матем. сб.
, 180:2 (1989), 168–186 с.
2. Н.Джекобсон. Алгебры Ли. – Мир, М.1964
УДК 373
МАТЕМАТИКА ПӘНІН ОҚЫТУДА ЖАҢА ТЕХНОЛОГИЯ ТҮРІН ҚОЛДАНУ АРҚЫЛЫ
ОҚУШЫЛАРДЫҢ ҚҰЗЫРЕТТІЛІГІН ДАМЫТУ
Ұзақова Б.З.
Ы.Алтынсарин атындағы Арқалық мемлекеттік педагогикалық институты, Арқалық қ.
Uzakova.B @ mail.ru
Жаңа заман ағымына сай білім саласында жаңа технологиялар қолданудың маңызы зор .
Қазақстан Республикасының білім беру жүйесін 2015 жылға дейін дамыту тұжырымдамасында орта білім
берудің мақсаты - жылдам өзгеріп отыратын дүние жағдайында алынған терең білімнің, кәсіби дағдылардың
негізінде еркін бағдарлай білуге, өзін-өзі дамытуға және өз бетінше дұрыс, адамгершілік тұлғасынан жауапты
шешімдер қабылдауға қабілетті жеке тұлғаны қалыптастыру деп нақты көрсетілген.
Бүгінгі күні мектептегі оқу пәндерінің ішіндегі ең күрделісі әрі қиындығы мол деп саналатын пәндердің
бірі – математика.
12 жылдық білім беру тұжырымдамасында орта білім берудің басты мақсаты: Қазақстан Республикасының
әлеуметтік, экономикалық және саяси өміріне белсене қатысуға дайын бәсекеге қабілетті тұлға дайындау деп
атап көрсетілген, сондықтан оқу тәрбие үрдісінің алдынды тұрған негізгі міндет табысты және тиімді әрекетке
дайын өзінің пікірін білдіруге және өзінің іс - әрекетін өмір сүріп отырған қоғам үшін жауапкершілігін түсінуге
қабілетті отбасындағы, қоғамдағы, ұжымдағы әлеуметтік ролін сезінетін құзырлы тұлғаны қалыптастыру.
Оқушылардың бойында шығармашылық іс-әрекетті, іздемпаздықты қалыптастыру, жүйелі қортынды жасай
білу, дәлелді пікір айту іскерлігін арттыру, оқу материалдарын сараптау, талдап салыстыру іскерліктерін үйрету
қажеттілігі туындайды.[1].
Заман талабына сай білім беру - бұл оқушыларды адамгершілік, интеллектуалдық, мәдени дамудың
жоғарғы деңгейі мен білімін қамтамассыз етуге бағытталған тәрбие беру мен оқытудың үздіксіз үрдісі десек, оның
тиімділігі мен сапасын арттыру мұғалімнен оқу процесінің ғылыми теорияға негізделген және оқушының
қабілетімен бейіміне негізделген оқытудың таңдамалы, белсенді, қарқынды әдістеріне көшуді талап етеді.
Ондағы негізгі мақсат оқушының барлығын және әр біреуін жақсы оқыту болып табылады.
Білім беру жүйесінің негізгі бөлшегі - оқушы, оқушылар тобы, сынып, мектеп болса білім сапасы
баспалдақтардың әр бір буынына байланысты біз білім беру сапасын жақсартудың жолдарын анықтауға
тырысамыз.
96
Оқушыларға математикалық жүйелі білім беру, олардың өздерінің алған білімдерін өмірде қолдана білуге
және арнайы дамытуға тәрбиелейтін - мұғалім. Мұғалімнің бүкіл өмір жолы жақсылық пен адамгершілікке, өнегелі
рухани борышқа толы.
Мұғалімдердің мақсаты - оқытудың барлық компоненттерін пайдалана отырып, оқушыға жалпы орта
білім деңгейінде терең білім беру.
Әрбір оқушыны жан-жақты білімді етіп тәрбиелеу - әр мұғалімнің негізгі міндеті. Математика - ерекше
құдіретті ғылым.
Қазіргі заман - математика ғылымының өте жан-жақты тараған кезеңі. Математиканы оқытудың
мазмұнын жүзеге асыру үшін жаңа технологиялар ауадай қажет. Қазіргі ақпараттық технологияның озық
жетістіктерін математика сабағында қолдану арқылы танымдылық іс - әрекеттерін ұйымдастыра отырып
оқушылардың құзіреттілігін дамытуға болады.
Жаңа технологиялар мұғалімнің жүйелі жұмыс істеуіне мүмкіндік береді. Ақпаратты оқыту
технологиясының бүгінгі күні интрактивті тақта ерекше орын алып отыр. Оқушы интерактивті тақтамен жаңа
материалдарды арнаулы программамен мүмкіндігінше пайдалана алады. Ондағы мақсат - оқушының өзінше ойлау
қабілетін арттыру және қәзіргі заманғы интерактивті тақтамен жұмыс істеуге үйрету. Жаңа технологиялар
оқушының шығармашылық белсенділігімен өзіндік танымдық қызметін ұйымдастырушы болады.
Математиканы оқытудағы негізгі талап - оқушыға есептер шығара білу жолдары мен тәсілдерін үйрету.
Интерактивті тақтамен сабақ берген кезде мұғалім, шәкірт және интерактивті тақтамен қарым-қатынас
жүргізіледі. Мұнда компьютер ойына үрдістер арқылы қозғау салып, шәкірттердің құзіретілігін дамытуға әсер
етеді. Ең алдымен оқушының ойлау қабілеті мен білімін арттыруға үйретемін. Сонан соң оқушы кейінгі және
бүгінгі өмірді салыстырмалы түрде тани білуге тырысады.[2].
Математика сабағында оқушылар өз бетінше жұмыс жасай дағыдыларын дамыту, баға жетпес
құндылықтардың бірі. Жаттығуларды өз бетінше тексеріп, қорытынды жасай білітін тұлға қалыптастыру
мақсатында жаңа технологиялар әдістерін кеңінен қолдану қажет деп білемін.
Математика сабағында сыни тұрғыдан әр түрлі стратегияларды, жаңа ақпараттық технологияларды,
(интерактивті тақтаны) қолдана отырып, өз бетінше жұмыс істеу факторы - есептерді шығара білу, шапшаңдылық,
шеберлік дағыларын ұйымдастыра отырып, оқушылардың құзыреттілігін арттыру арқылы шығармашылықтарын
дамыту.
Математика сабағымда сыни тұрғыда әр түрлі стратегияларды, интерактивті тақтаны қолдау арқылы
сабақ өткізу болды. Математика сабағынан алған теориялық білімдерін оқушыларға интерактивті тақта
мүмкіндігін пайдалана отырып бекіту ұсынылды. Сабақты бұлайша түрлендіру үшін оқушының алдымен
информатика сабағынан алған мүмкіндіктерін қолдана білу дағыдыларын қалыптастыру және берілген есептерді
интерактивті тақтада жазып, сауатты орындай білуі керек.
Бұл кезде оқушылардың ойлау қабілеті іске қосылып, танымдылық іс - әрекеті жинақталып құзіреттілігі
дамиды. Оқушыны біліммен, білім алу тәсімен қаруландырып, оның өмір салтымен, мінез-құлқын сауықтандыра
отырып, өзін үнемі дамитын оқушыны тәрбиелей отырып, саналы білім алуын жүзеге асыру. Егер математика
пәні бойынша жүйелі жан-жақты терең білім берілсе жаңа ақпаратты технология арқылы оқыушылардың
шығармашылығы қалыптасса, онда логикалық ойлары теңеліп, өздігінен білім алу, сол білімді нәтижелі түрде
пайдалану деңгейлері уақыт талабына сай, бәсекеге қабілетті және құзыретті тұлға болып қалыптасады.[3].
Сабақты 3 кезеңге бөлуге болады.
1-кезең
-
бұл кезде оқушылар өз бетімен өткен тақырыпты еске түсіреді
-
оны жаңа сабақпен байланыстырады
-
пәнге деген қызығушылығын арттырады
2-кезең
- оқушы интерактивті тақта арқылы жаңа ақпаратпен танысып, тақырып бойынша жұмыс істейді
- өз пікірін оймен бере алады
3-кезең
- оқушылар үйренгенін саралап ой-елегінен өткізеді
- компьютер үдістері арқылы бір жобаға салады.
Осы кезкңнен кейін оқушылардың танымдылық іс-әрекетінің дамуының деңгейін анықтау кестесін
қолданамын. Оқушылардыің есеп шығару барысында қабілет дәрежесі біркелкі болмайтынын ескереріліп
қиындығы артүрлі есептер берген жөн.
Оқушылардың
тапсырмаларының
негізі
болып
оқушылардың
ақыл-ойымен
іс-әрекеттерін
шығармашылықпен дамитынын көрсетеді.
Оқушылардың шығармашылық қабілетінің аттыру мақсатында әр-түрлі есептер дайындап келулерін
ұсыну керек.
Оқушылар тапсырманы орындауға теориялық дайындықпен келулері тиіс. Оқушылар жұмысты
аяқтағанан кейін тексеру парағын таратылды.
Оқушы шығарған есептерін мұқият тексеріп өзіне-өзі баға береді. Өзін-өзі бағалау оқушыны
шығармашылыққа тәрбиелеуге баулиды.
Мұғалімнің және оқушының шығармашылық жұмыстарының ғылыми деңгейін қалыптастыруда, жаңа
құндылықтар, ізденістер жасау. Ұстаз үшін нәтижеге жету шәкіртінің білімді болуы ғана емес, білімді өздігінен
алуы және алған білімдерін қажетіне қолдану болып табылады. Бүгінгі бала – ертенгі жаңа әлем.
97
Оқушының дамуына әсер етуші әлеуметік фактор негізінде оқушы, мұғалім, ата-ана басқа пән мұғалімдері
ынтымақтасуы керек. [4].
Заман талабына сай жаңа технология әдістерін үйрету, бағат-бағдар беруші – мұғалімдерміз.
Оқушылардың жаңа тұрмысқа, жаңа оқуға, жаңа қатынастарға бейімделуі тиіс. Осы үрдіспен бәсекеге сай
дамыған елдердің қатарына ену ұстаздар қауымына зор міндеттер жүктелетінін ұмытпауымыз керек.
Әдебиеттер тізімі
1. 12 жылдық білім беру
2. Құзыреттілікті қалыптастыру жолдары. Г Құдайбергенова
3. Мұғалімнің кәсібилігін анықтау И Д. Бағаева
4. ҚР-да білім беру дамытудың 2005-2010 жылдарға арналған мемлекеттік бағдарламасы.
ӘӨЖ 519. 62
ГРАФТАР ТЕОРИЯСЫНДАҒЫ ЕСЕПТЕРДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛДАУ
Шамишева А. С., Шаждекеева Н. К.
Х. Досмұхамедов атындағы Атырау мемлекеттік университеті, Атырау қаласы
Araigul79_shs@mail.run. Shazhdekeeva@mail.ru
Аталған жұмыста графтар теориясының негізгі ұғымы, графтың туындысының,
k - ретті
туындысыныңжәне
аралас
туындысының
анықтамалары
және
графтарды
дифференциалдау
түсінігі
қарастырылады.
Графтар теориясы 30-шы жылдардың ортасында математиканың өз алдына бір саласы ретінде басталып,
осы уақытқа дейін қарқынды дамып келе жатыр.
Графтар теориясының табиғаты жағынан әр-түрлі күрделі жүйелерді: транспорттық желілерді, электр
тізбектерін, электронды схемалар, механикалық жүйелер, әр түрлі салалардағы экономикалық жағдайларды,
химиялық реакцияларды, басқару жүйелерін т.б. талдау және жобалау жұмыстарындағы кең түрде қолданулары
оның қарқынды түрде дамуына жол ашып отыр.
Жалпы,
граф
деп берілген нүктелерді бір-бірімен қосатын сызықтар тобы аталады. Берілген нүктелер
графтың төбелері болып есептеледі де, ал төбелерді қосатын сызықтарды графтың қабырғалары деп атайды.
Қабырға қыры түзу немесе қисық сызық болуы мүмкін.
1
–
мысал.
Графтың мысалы реттінде Батыс Қазақстан облысының Атырау, Ақтау, Ақтөбе, Орал
қалаларын алайық (1 сурет).
Оларды қысқаша
1
V ,
2
V ,
3
V ,
4
V әріптерімен белгілейік. Сонда Атырау – Ақтау жолы
2
1
V
V
, Ақтау –
Ақтөбе жолы
3
2
V
V
, Ақтөбе – Орал жолы
4
3
V
V
т.с.с. болады (темір жол, қара жол, су жолы, әуе жолы бәрі-
бір). Бұл жолдардың сызбасы графты құрастырады. Сызбадағы
1
V ,
2
V ,
3
V ,
4
V нүктелері графтың төбелері, ал
2
1
V
V
,
3
2
V
V
,
4
3
V
V
сызықтары графтың қырларының рөлін атқарады. Мұндай графтың төбелері үшінші дәрежелі
болады.
1
V
2
V
4
V
3
V
1 сурет
Төбелері сызықтар арқылы қосылмаған толымсыз графтар да кездеседі. Олардың жетпей тұрған
қырларын сызу арқылы, толықтыруға болады.
Төбелері бір жазықтықта жататын графтар жазық графтар болып табылады, төбелері бір жазықтықта
жатпайтын графтар кеңістік графтары болып есептеледі.
Графтардың алдын-ала берілген шарттарды қанағаттандыратын арнайы түрлері де бар. Мысалы,
бағытталған графтарда қырлардың бағыттары – төбелерден өту реті айтылады, қырларының «салмағы» бар
графтарда тиісті қырдың ұзындығы, өткізу қабілеті т.с.с. көрсетіледі. Кейбір қырлары бірнеше рет есептелетін
98
(«еселі қырлар»), кейбір төбелері айрықша рөл атқаратын графтар да қарастырылады, оларды «полюстер» деп
атайды.
Графтар теориясы объектілерді реттеудің үлгісінін құрып, есептерін шешу барысында қарапайым, тиімді
және қуатты құрал бола алады.
Математикалық талдауда туындының ұғымы аргументтің кішігірім өзгерісіндегі функцияның өзгерісінің
дәрежесін сипаттайды. Осы туындының ұғымы негізінде шектін ұғымы алынған. Ал дискреттік математикада
шектін ұғымы болмайды, сол себепті туындының ұғымын үзіліссіз математикадан дискретті математикаға алып
келу мүмкін емес болып есептеледі. Дискретті математикадағы оңтайландыру есептерінің шешімін табу үшін
негіздеген туындының ұғымын, кейбір
үлгісінің сөздеріндегі әріптер жиілігінің ұғымын пайдалана отырып
енгізейік.
Туындының формалды анықтамасын бермей отырып келесі мысалды қарастырайық.
2
–
мысал.
2а суретінде бейнеленген
G
графы берілсін және аталған
G
графтың қаңқаларының пайда
болуындағы қабырғаларының жиілігін табу қажет болып отыр. Қарастырылып жатырған
G
графы 8 қаңқадан
тұрады (2б суреті) және ізделінді жиілікті графтың кез-келген қабырғаларының қаңқаларғаену санымен
сипаттауға болады. Мысалы,
а
қабырғасы
G
графтың қаңқалары пайда болуында 5 рет қатысады, ал
с
қабырғасы – 4 рет т.б.
2 сурет
Қабырғаларының жиілігін толығырақ сипаттауға болады, егер жоғарыда көрсетілген сандармен қатар екі
бекітілген қабырғадан тұратын, әр қайсысықаңқалардың жалпысанына тең болатын сандарды есептейік. Мысалы,
а
және
в
қабырғалары екі қаңқаның құрамында кездеседі.Ізделінді
i
p
,
j
p
қабырғалар қосының жиілігі,
i
p
немесе
j
p
қабырғаларынан тұратын, бірақ бір уақытта колданылмайтын қаңқаларсанының,
i
p
және
j
p
қабырғаларынан құралған қаңқаларсанына қатынасымен бұрынғыға қарағанда толығырақ анықтауға болады.
Бұл қатынас
G
графтың қаңқаларынқұруындағы қабырғалар қосыларының бірқалыптылық емес қатысу
дәрежесін көрсетеді.
Алдағы уақытта, анықталған шарттар орындалатын кезде ғана табылатын
S
оқиғасы деп, зерттелінді
процесті
атаймыз.
Қарастырылып
отырған
мысалда
S
оқиғасы
ретінде
G
графтың
қаңқасынқұруындағықабырғалар жиыны, ал графтың қабырғаларының аталған жиынға енуі шарты болып
есептеледі.
S
оқиғасы өзіне сәйкес келетін
)
(S
P
предикатімен де анықталуы мүмкін.
Қарастырылған мысалда заттық облыс ретінде
e
d
c
b
а
,
,
,
,
қабырғаларынан тұратын жиын есептеледі.
Қаңқа сигнатурасының қуаты 3-ке тең
3
1
4
1
V
, сондықтан
)
(S
P
предикатінің ауданы 3-ке тең: яғни
)
(
3 S
P
. Аталған
)
(
3 S
P
предикатін анықтайтын кесте 10 жатық және 6 тік (баған) жолдарынан түрады:
a
b
c
d
e
)
(
3 S
P
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
Әрбір оқиға кейбір екі өлшемді екілік
n
m
ij
q
Q
матрицасын анықтайды. Мұнда, әрбір бағанға немесе
тік жолға қарастырылған оқиғаға жататын өзара бірмәнді шарт сәйкес келеді, жатық жолға – оқиға орын алып
99
жатырған (
3
)
(
3
S
P
және
1
ij
q
, егер
j
шарты,
S
оқиғасы ақиқат болатындай,
i
шарттар жиынына
енетінболса,
0
ij
q
, қарсы жағдайда) шарттар жиыны қойылады. Алайда әрбір оқиға,
n
m
ij
q
Q
матрицасы инциденттік матрица болатындай, үлгі (модель) анықтайды. Яғни, оқиғаға тиесілі шартар аталған
үлгінін әріптері болып табылады, ал оның сөздері реттінде шарттар жиыны қабылданады.
Шарттың (әріптердің) қатысуының қарқындылығы оқиғаларда(сөздерде) енужиілігі арқылы сипатталады.
Осы үшін
моделін сипаттайтын, инциденттік матрица ретінде
n
m
ij
q
Q
)
(
матрицасы болатын,
қатынастардың жиіліктік
n
n
ij
f
F
матрицасын енгізейік.
2 – анықтама.
Қатынастардың жиіліктік матрицасы деп
n
n
ij
f
F
матрицасы аталады, егер осы
матрицаның әрбір жатық жолына немесе тік жолына өзара бірмәнді әріп сәйкес келіп,
j
i
жағдайда матрицаның
ij
f
элементі
i
,
j
әріптерінен құралған сөздер санына тең болса, ал керсінше жағдайда, яғни
j
i
болғанда,
ij
f
элементі
i
әріпінен құралған сөздер санына тең деп есепеледі. Мүнда,
i
f
элементі
әріптіңмешікті жиілігі деп,егер
j
i
болса, ал
j
i
болмаған жағдайда
ij
f
элементі
i
және
j
әріптерінің өзара жиілігі деп аталады.
Жоғарыда берілген анықтама бойынша
n
n
ij
f
F
қатынастардың жиіліктік матрицасы негізгі
диагоналға қарағанда симметриялы болады, яғни
ji
f
ij
f
және де кез-келген әріптіңмешіктіжиілігі, басқа
әріптерге қарағанда осы әріптіңөзара жиілігінен кем емес:
ij
f
i
f
.
Енді,
G
графта алдынала берілген
S
оқиғасындағы
G
граф компоненттерінің қатысу дәрежесін
анықтау қажет, алайда берілген
S
оқиғасына салыстырмалы болатын біртектілік емес дәреже. Аталған
S
оқиғаның біртектілік еместіктігін
S
G
G
граф туындысы деп сипаттаймыз.
3 – анықтама.
Егер бағытталмай ілінген
)
,
(
,
P
U
V
графтың тасығышы осы оқиға арқылы анықталатын
үлгі тасығышы мен дәл келіп жатыр деп есептелінсе, және
j
v
i
v ,
төбелер қосы олардың бірлескен емес
қатысуының
ij
f
i
f
ij
f
i
f
жиелігінің
S
оқиғаның бірлескен қатысуының
ij
f
жиелігіне
ij
f
j
f
ij
f
i
f
j
v
i
v
S
G
2
,
(1)
қатынасымен ілінетін болса, онда бағытталмай ілінген
)
,
(
,
P
U
V
графының
S
оқиғасы бойынша
G
граф туындысы деп аталып,
S
G
арқылы белгіленеді. Сонда:
U
j
v
i
v
,
, егер де
j
v
i
v
S
G
,
;
U
j
v
i
v
,
, егер де
0
,
j
v
i
v
S
G
–
шекті шама;
j
v
i
v
, егер де
0
,
j
v
i
v
S
G
.
Бұл жағдайда (1) өрнектің мәні
j
v
i
v ,
қабырғадағы
туындының мәні
деп аталады.
2
–
мысал.
G
графы (2(а) сурет) және
S
оқиғасы (графтың қабырғаларынан құралған
G
графының
қаңқасы) берілсін.
G
графының қаңқасының құрамындағы қабырғалардың қарқынды қатысуын сипаттайтын
S
оқиғасы бойынша
G
граф туындысын табайық.
Берілген оқиға, инциденттік матрицасы келесі түрде болатын үлгіні анықтайды:
100
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
Q
e
d
c
b
a
.
Бұл матрицада әрбір тік жолына өзара бірмәнді
G
графтың қабырғасы сәйкес келеді, жатық жолдарына
– графтын қаңқаларынқұрайтын қабырғалар жиынтығы (2(б) сурет).
Q
матрицасына сәйкес келетін
F
қатынастардың жиеліктік матрицасы мына түрде болады:
e
d
c
b
a
Q
Q
F
e
d
c
b
a
T
5
2
2
3
3
2
5
2
3
3
2
2
4
2
2
3
3
2
5
2
3
3
2
2
5
.
Осы матрицаның элементтері тасушысы –
e
d
c
b
a
,
,
,
,
болатын
S
G
туындысын анықтайды және екі төбесі
сыбайлас болады, егерде осы төбелерімен құралған доға туындысының мәні
0
мен
- тен өзгеше болса.
G
графтың қабырғаларындағы
S
G
туындысының мәндерін анықтатай отырып:
3
2
5
2
2
5
2
,
ab
f
b
f
ab
f
a
f
b
a
S
G
,
5
,
2
2
4
2
2
5
2
,
ac
f
c
f
ac
f
a
f
c
a
S
G
,
3
2
5
2
2
5
2
,
de
f
e
f
de
f
d
f
e
d
S
G
,
S
G
графын табамыз.
3
–
мысал.
S
оқиғасымен (графтың қабырғаларымен құралатын
G
қаңқасының (3(б) сурет) қатысты
базистік цикл арқылы) берілген
G
графты (3(а) сурет) қарастырайық және
S
оқиғасы бойынша
G
графының
туындысын есептейіқ.
G
графтың
G
цикломатикалық саны3-ке тең:
3
1
5
7
k
n
m
G
, яғни граф 3 базистік
циклдан тұрады.
S
оқиғасы мына түрде болатын үлгіні анықтайды:
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
Q
h
g
e
d
c
b
a
.
Бұл үлгіге қатынастардың келесі жиеліктік матрицасы сәйкес келеді:
h
g
e
d
c
b
a
Q
Q
F
h
g
e
d
c
b
a
T
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
2
2
2
1
1
1
1
2
3
3
1
1
1
1
2
3
3
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
.
101
Туындының мәнін есептей отырып,
S
G
графын табамыз (3(в) сурет).
3 сурет
S
G
графын талдай отырып, берілген оқиғада
c
және
d
қабырғалары бірдей қарқынды
қатысатындығы көреміз.
Сонымен,
S
оқиғасы бойынша
G
графының
S
G
туындысын анықтау үшін мыналар қажетті болады:
а) берілген оқиғамен анықталатын үлгіні құру;
ә) аталған үлгіге сәйкес келетін қатынастардың жиіліктік матрицасын табу;
б)
S
G
граф қабырғаларындағы туындының мәндерін, жиіліктік матрица арқылы есептей отырып,
берілген
S
оқиғасындағы
G
графының элементтерінің қарқынды қатысуын сипаттайтын, ізделінді
S
G
графын
құру.
4 – анықтама.
S
оқиғасы бойынша
G
графының
k
- ретті
k
S
G
k
туындысы
деп,осы оқиға бойынша
табылған
1
k
ретті туындының туындысын атаймыз:
1
1
k
S
G
k
S
k
S
G
k
.
5 – анықтама.
a
S
және
b
S
оқиғалары бойынша
аралас туындысы
деп,
b
S
оқиғасы бойынша
табылған туындының,
a
S
оқиғасы бойынша табылған туындысын атамыз:
b
S
G
a
S
b
S
a
S
G
2
.
Ал
n
S
S
S
S
,...,
3
,
2
,
1
оқиғалары бойынша
G
графтың аралас туындылары жоғарыда көрсетілгенге ұқсас
түрде анықталады.
Байқағанымыздай,
G
графтың элементтерінің қосының туындыларын есптеген кезде 1-ші, 2-ші ретті
жиеліктер қолданылды.
Достарыңызбен бөлісу: |


title: Әдебиеттер тізімі - Сборник материалов IV международной научно-практической конференции «Роль физико-математических...

text:
Әдебиеттер тізімі
1. О. Оре. Графы и их применения. М., Мир.1965.
2. В.А. Горбатов. Фундаментальные основы математки. М., Наука. 2000.
3. К. Берж. Теория графов и ее применение. М., ИЛ. 1962.
4. Шамишева А.С., Шаждекеева Н.Қ. Дифференциалдық теңдеулердің графтар арқылы кескіні//БІЛІМ-ҒЫЛЫМ-
ҚОҒАМ:
ӨЗАРАЫҚПАЛДАСТЫҚ
МӘСЕЛЕЛЕРІ
МЕН
ПЕРСПЕКТИВАЛАРЫ атты Халықаралық ғылыми-практикалық
конференциясының материалдары. 1-бөлім. 2013 ж. 531-534 б.
5.Шамишева
А.С.,
Шаждекеева
Н.Қ.
ГРАФТАРДЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛДАУ//
«БЕКТАЕВ
ОҚУЛАРЫ-1:
АҚПАРАТТАНДЫРУ-ҚОҒАМ ДАМУЫНЫҢ БОЛАШАҒЫ» атты Халықаралық ғылыми-тәжірибелік конференциясының
материалдары. 2-бөлім. 2014 ж. 335-340 б.
102
ЖОК 517.9868.78.
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕНДЕУЛЕРДІҢ СЫЗЫҚТЫҚ ЕМЕСЖҮЙЕСІНІҢ
ДЕРЛІК КӨППЕРИОДТЫ ШЕШІМІНҚЫСҚАРТУ ӘДІСІНІҢ КӨМЕГІМЕН ҚҰРУ
Ысмагул Р.С.
А.Байтұрсынов атындағы Қостанай мемлекеттік университеті, Қостанай қ.,
IsmagulR@mail.ru
Бұл жұмыста тәуелсіз айнымалылары санаулы жиыннан тұратын 1-ретті дербес туындылы
интегродифференциалдық теңдеулер жүйесінің дерлік көп периодты шешімін табу және оның жалғыздығын
дәлелдеу үшін тәуелсіз айнымалыларды қысқарту әдісін қолдану қарастырылған [1, 2].
Бізге
R
R
облысында анықталған және үзіліссіз болатын n- өлшемді
,
,......,
,
,
1
t
x
t
x
t
x
n
вектор
-
функциясы
берілсін.
Бұндағы
;
R
t
;
:
R
;
-
ал - саналымды вектор ,оның нормасы
k
sup
болады.
R
R
,
,
....
,
2
1
саналымды векторын
,
t
x
функциясының вектор -дерлік периоды
деп атаймыз,егер
,
,
t
x
t
x
шарты орындалса.
l
t
t
0
,
l
0
,
R
R
t
0
0
,
,
шартын қанағаттандыратын
R
R
t
,
нүктелер жиынын центрі
0
0
,
t
нүктесінде, радиусы
0
l
болатын
R
R
-де берілген шартты шар деп атаймыз және оны
l
t
S
,
,
0
0
арқылы белгілейміз.
1
1
1
1
)
(
)
,
(
,
,
,
)
,
,
,
(
)
,
(
dt
t
t
t
x
t
t
M
x
t
Q
x
t
P
Dx
(1)
дербес туындылы интегродифференциалдық теңдеулер жүйесін қарастырайық.
Мұндағы
k
k
x
t
a
t
D
,
,
,
-
дифференциалдық оператор, х,Q,M - n-өлшемді вектор–бағаналар,
n
n
t
P
,
-өлшемді матрица, μ>0 - кіші
параметр, ал
,
),
,
(
,
0
,
,
R
R
t
R
х
x
R
n
болсын.
W
m
,V
m
операторлары
...
,....
,
2
1
m
векторына төмендегідей сәйкестік орнатады:
,...
0
...
....
1
m
m
W
,
...
,
0
,...,
0
2
1
m
m
m
V
Сонда
m
m
V
W
- тепе-тең оператор болатыны белгілі.
n-өлшемді
,
t
z
вектор – функциясы
- класында жатады, егер ол:
1) t, айнымалылары бойынша үзіліссіз,
2) норма бойынша шектелген, яғни
p
t
z
,
, бұндағы
p>0 - тұрақты шама ,
3) бойынша Липшицтің күшейтілген шартын:
m
m
m
m
m
m
V
d
V
W
t
z
V
W
t
z
,
,
,
бұндағы
0
m
d
;
m
қанағаттандырса,
4) бойынша шектелген және бірқалыпты үзіліссіз 1-ретті дербес туындылары бар болса.
Бұндай функциялардың класын
m
d
p,
арқылы белгілеп,
m
d
p
t
z
,
,
түрінде жазамыз.
Бізге
,
t
бойынша дерлік көппериодты,
103
m
m
V
t
f ,
шартын қанағаттандыратын үзіліссіз n-
өлшемді
- функциялар класы
m
n
H
,
берілсін, бұндағы
0
m
,
m
.
x
t
P
x
D
f
,
(2)
сызықталған теңдеуінің матрицантын
,
,
0
t
t
X
f
арқылы белгілейтін болсақ, онда
0
0
0
0
0
,
,
,
,
,
,
{
,
,
t
t
t
t
X
t
t
t
t
X
t
t
X
f
f
f
түрінде бола алады, бұндағы
f
X
,
f
X
матрицанттары (2) жүйенің матрица түріндегі
дербес шешімдері .
0
,
1
- тұрақты шамалар табылса, онда
0
,
,
0
t
t
f
e
t
t
X
, (3)
әрі
E
t
t
X
t
t
X
f
f
,
,
0
,
,
0
0
0
.
Бұндай жағдайда
,
,
0
t
t
X
f
- Грин түріндегі матрица болады.
m
n
H
,
класын
анықтау
үшін
m
m
m
m
x
,
,
sup
тізбегі
алынады.
Енді
,
,
)
(
)
,
(
,
,
,
,
,
,
)
,
(
t
d
t
t
t
x
t
t
M
x
t
Q
x
t
Dx
(4)
түрінде берілген интегродифференциалды теңдеулер жүйесін қарастырайық,
бұндағы
,
,
)
(
)
,
(
,
,
,
,
,
,
1
k
k
k
t
d
t
t
t
x
t
t
N
x
t
a
t
D
- дифференциалдық оператор, ал x, Q, M, n - вектор-бағаналар.
Белгілеулер енгіземіз:
,
1
:
)
(
)
,
(
,
,
,
)
(
1
q
R
u
u
R
t
d
t
t
t
x
t
t
N
x
U
,
2
:
)
(
)
,
(
,
,
,
)
(
0
2
n
R
R
t
d
t
t
t
x
t
t
M
x
V
Сонда (4) жүйе мына түрге келеді:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
1
x
t
Q
x
t
P
x
u
x
t
a
t
x
Dx
k
k
k
(4) жүйенің дерлік көппериодты жалғыз шешімінің бар болуын дәлелдеу үшін (
1
), (
2
), (
3
) шарттарының
орындалуын қарастырамыз[3,4].
Енді (1) жүйеден алынған бойынша қысқартылған мына жүйені қарастырайық:
,
)
(
,
,
,
)
,
,
,
(
)
,
(
t
d
t
t
y
W
t
t
M
y
W
t
Q
y
W
t
y
D
m
m
m
m
(5)
Теорема. Кез келген
т
үшін сынықты болмайтын
104
y
W
t
P
y
D
m
f
m
)
,
(
қысқартылған жүйе берілсін және
а
, Р, Q, M шамалары үшін (
4
П
), (
2
П
)[1] шарттары орындалсын. Сонда
,
1
0
l
0
болған жағдайда (1), (5) жүйелердің әрқайсысының жалғыз дерлік көппериодты шешімі
бар болады, әрі көпперподты
)
,
(
*
t
x
шешімі бойынша қысқарту әдісі арқылы табылуы мүмкін, яғни
)
,
(
*
)
,
(
*
lim
t
x
W
t
y
m
m
өрнегі норма бойынша жинақталады, бұндағы
)
,
(
*
m
W
t
y
- (5) жүйенің дерлік көппериодты шешімі.
Әдебиеттер тізімі
1. Умбетжанов Д.У. Почти периодические решения эволюционных уравнений. Алма-ата, Наука, 1990, 188 с.
2. Умбетжанов Д.У., Исмагулова Р.С. Построение почти многопериодического решения одной системы интегро-
дифференциальных уравнений методом укорочения //Изв. АН КазССР, Сер.физ.-матем. 1987. №1. С.54-59
3. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.,
Физматгиз. 1984. -121 с.
4. Исмагулова Р.С. О применении метода укорочения к построению почти многопериодического решения одной
системы интегродифференциальных уравнений частных производных // Алма-Ата, 1987, 25 с. Деп. в ВИНИТИ
3.07.87.№5474-В.87 Деп.
ӘОЖ 519
ТІЗБЕКТЕРДІҢ ҚАРАПАЙЫМ ТУЫНДАТҚЫШ ФУНКЦИЯЛАРЫ
Мырзашева А.Н.
Х.Досмұхамедов атындағы Атырау мемлекеттік университеті, Атырау қаласы
Анықталатын туындатқыш функция ұғымы рекурренттік қатынастар және комбинаторикалық есептерді
шешудің негізгі тиімді тәсілдерінің бірі болып табылады.
Анықтама.
п
п
х
а
х
а
х
а
х
а
х
а
а
4
4
3
3
2
2
1
0
(1)
өрнегі
,
,
,
,
3
2
1
0
а
а
а
а
тізбегінің туындатқыш функциясы деп аталады.[1,2,3]
яғни,
туындатқыш
функция
,
,
,
,
3
2
1
0
а
а
а
а
тізбегін
шығаратын
(туындататын)
0
3
3
2
2
1
1
0
0
...
n
n
n
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
G
формальды дәрежелік қатар.
Мысалы,
2
3
4
5
6
( ) 1
2
3
5
8
13
...
A x
x
x
x
x
x
x
өрнегі - Фибоначчи сандары тізбегінің
туындатқыш функциясы болып табылады.
Туындатқыш функциялар әдісін 1750 жылдары Эйлер жасақтаған.
Туындатқыш функция
- Тізбектер туралы ақпаратты жинақты жазу;
- Рекурренттік қатынастармен берілген
п
а
тізбегінің
п
а
п
, яғни
п
-ге тәуелділігін анықтау;
- Тізбек үшін рекуррентік қатынасты табу - туындатқыш функцияның түрі формуланы табуға
көмектеседі;
- Тізбектің асимптотикалық қасиеттерін зерттеу;
- Тізбектер арқылы берілген тепе-теңдіктерді дәлелдеу;
- Комбинаторикада объектілерді санау есептерін шығару немесе теоремаларды дәлелдеу;
- Шексіз қосындыларды есептеу - мақсаттарында қолданылады.
Қарапайым туындатқыш функция үшін
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
5
4
3
2
х
х
х
х
х
4
4
3
3
2
2
1
0
4
3
2
1
0
,
,
,
,
,
х
а
х
а
х
а
х
а
а
а
а
а
а
а
және
,
,
0
,
0
,
0
,
0
,
,
,
,
,
,
,
4
4
3
3
2
2
1
,
0
4
3
2
1
0
п
п
п
х
а
х
а
х
а
х
а
х
а
а
а
а
а
а
а
а
ал, экспоненциал туындатқыш функция үшін тізбек былай жазылады
105
.
!
6
!
5
!
4
!
3
!
2
!
1
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
6
5
4
3
2
х
х
х
х
х
х
Сонда
!
4
!
3
!
2
!
1
,
,
,
,
,
4
4
3
3
2
2
1
0
4
3
2
1
0
х
а
х
а
х
а
х
а
а
а
а
а
а
а
және
!
!
4
!
3
!
2
!
1
,
0
,
0
,
0
,
0
,
,
,
,
,
,
,
4
4
3
3
2
2
1
0
4
3
2
1
0
п
х
а
х
а
х
а
х
а
х
а
а
а
а
а
а
а
а
п
п
п
болады.
Комбинаторлық талдауда әр түрлі комбинаторлық конфигурацияларға сәйкес келетін сандық тізбектерге
амалдар қолдану есебі жиі кездеседі. Мысалы, мына қосындылар тәрізді
n
k
k
n
C
0
,
n
k
k
n
kC
0
әр түрлі индекстегі
биномдық коэффициенттердің қосындысын табу есебі, осы коэффициенттерден құралған қатарлар көбейтіндісін
табу есебі, сол сияқты комбинаторлық құрылымдар қасиеттерін дәлелдеу есебі т.с.с. Мұндай есептерді шығару,
дәлелдеу әдетте күрделі болып келеді. Сондықтан бұл жағдайда
k
a
комбинаторлық тізбегіне формалды қатар
арқылы анықталатын
n
k
k
k
x
a
x
f
0
(2)
функциясы сәйкестікке қойылса, жоғарыда айтылған есептердің тиімді әдістермен шығарылу жағдайлары,
нәтижені алу процесі жеңілдетілген болар еді. Мұндай
x
f
функциясы
k
a
тізбегінің туындатқыш
функциясы болып табылады.[1,2,3]
Егер (2) қатардағы барлық
k
a
, қандай да бір
k
-дан бастап нольге тең болса, онда қосынды шекті тізбек
арқылы орындалады, мұндай жағдайда тұрғызылған туындатқыш функция полиномды деп аталады.
1. Кез келген
n
k
k
k
a
x
a
x
f
0
және
n
k
k
k
b
x
b
x
f
0
туындатқыш функциялары үшін қосу амалы
орындалады:
n
k
k
k
k
b
a
x
b
a
x
f
x
f
0
. (1.3)
2. Қандай да бір нольге тең емес
санына көбейту амалы орындалады:
n
k
k
k
x
a
x
f
0
. (1.4)
3. Коши көбейтіндісі орындалады:
n
k
k
k
b
a
x
c
x
f
x
f
0
, мұндағы
k
i
k
i
k
b
a
c
0
1 . (1.5)
Туындатқыш функциялар кестесі.Барлық жағдайда туындатқыш функцияларды қатар түрінде жазу тиімсіз,
сондықтан жиі кездесетін туындатқыш функцияларды қысқартып жазу қолданылады. Бұл кестеде (1 кесте) әдетте
типтік есептерді шығаруда қолданылатын қарапайым туындатқыш функциялар келтірілген. Барлық ∑ қосындысы
басқа ескертулер берілмеген жағдайда
п
айнымалысының 0-ден ∞-ке дейінгі мәндері үшін орындалады. Тізбектер
элементтері 0-ден бастап номерленеді.
Келтіріліп отырған туындатқыш функциялар тізбегі туындатқыш функциялар теориясының «көбейту кестесі»
тәрізді. Бұл туындатқыш функцияларды есептер шығару барысында пайдалану күрделі өрнектермен жұмыс
жасауға, көптеген ауызша есептеулерді тез орындауға мүмкіндік береді.[4,5]
1 кесте – Туындатқыш функциялар кестесі
№
Тізбек
Туындатқыш функциялар
Қатар түрінде
Формула түрінде
1
...
,
0
,
0
,
0
,
1
1
1
106
2
...
,
0
,
0
,
0
,
1
,
0
...,
,
0
,
0
ноль
т
m
z
m
z
3
...
,
1
,
1
,
1
,
1
n
z
z
1
1
4
...
,
1
,
1
,
1
,
1
n
n
z
1
z
1
1
5
...
,
0
,
0
,
1
...
,
0
,
0
,
0
,
1
н
са
т
тn
z
т
z
1
1
6
...
,
4
,
3
,
2
,
1
n
z
п 1
2
1
1
z
7
...
,
16
,
8
,
4
,
2
,
1
n
n
z
2
z
2
1
1
8
...
,
,
,
,
1
3
2
r
r
r
n
n
z
r
rz
1
1
9
...
,
,
,
3
1
0
m
m
m
C
C
C
n
n
m
z
C
n
z
1
10
...
,
,
,
,
1
3
2
2
1
1
m
m
m
C
C
C
n
n
n
m
z
C
1
m
z
1
1
11
...
,
,
,
,
1
3
2
1
m
m
m
m
m
m
C
C
C
n
m
n
m
z
C
1
1
1
m
z
12
...
,
3
1
,
2
1
,
1
,
0
1
1
n
n
z
n
z
1
1
ln
13
...
4
1
,
3
1
,
2
1
,
1
,
0
1
1
1
n
n
n
z
n
z
1
ln
14
...
24
1
,
6
1
,
2
1
,
1
,
1
n
z
n!
1
z
e
Бірінші және екінші (№1,2) туындатқыш функциялар туындатқыш функциялардың анықтамасынан
шығады. Үшінші (№3) тізбектің дұрыстығын бірнеше тәсілдермен көрсетуге болады. Олардың бірі үздіксіз кемімелі
геометриялық прогрессия мүшелерінің
қосындысы
1
z
формуласы көмегімен былайша жазылады
...
1
1
1
3
2
z
z
z
z
.
Келесі №4 туындатқыш функция осы формуладағы z-ті −z-пен алмастыру арқылы алынады.
Ал, №5, №7 және №8 туындатқыш функциялар №3 тізбектегі z-ті сәйкесінше
zm
,
2z
және
rz
-термен
алмастырудан алынады. Аналогиялық түрде
№10,11 туындатқыш функциялар алынады:
0
1
m
1
1
1
n
n
n
n
m
m
z
C
z
z
,
бұл алынған өрнек №10, енді осы өрнектегі
т-
ді
т
+1-мен алмастырып және терудің
s
k
k
s
k
С
С
қасиетін
пайдаланып №11 тізбекті шығарып алуға болады:
107
0
0
0
0
1
1
1
1
m
1
1
1
n
n
m
n
m
n
n
n
n
m
n
m
n
n
n
n
m
n
n
n
n
m
m
z
C
z
C
z
C
z
C
z
z
.
№6 тізбектің туындатқыш функциясы №3 функцияны дифференциалдаудан алынса, №12 тізбектің туындатқыш
функциясы №3 функцияны интегралдау арқылы алынады. №13 тізбек осы өрнектегі z-ті −z-пен алмастырудан
шығады. №14 тізбек математикалық талдау курсындағы экспоненциал функцияны қатарға жіктеу (Тейлор
формуласы) көмегімен алынады.
Достарыңызбен бөлісу: |