En una clase de matemáticas, el profesor decidió dividir a los estudiantes en grupos para resolver un problema complejo. Si había 15 estudiantes y cada grupo debía tener al menos 3 pero no más de 4 miembros, ¿cuántos diferentes grupos se podrían formar?
 Para encontrar el número total de posibles grupos que pueden ser formados con los 15 estudiantes bajo estas condiciones, podemos emplear la teoría de combinaciones.

Dado que cada grupo debe tener entre 3 y 4 miembros, debemos considerar las posibilidades para grupos de tamaño 3 y tamaños de grupo de 4. La contabilización se hace de dos maneras: primero considerando los grupos de 3 (C(15,3)), luego los grupos de 4 (C(15,4)), pero hay que tener en cuenta que al finalizar todos los estudiantes han sido incluidos en un grupo y no quedan más estudiantes sin agruparse.

Primero, encontramos el número de formaciones posibles para grupos de tamaño 3:

\[ C(15,3) = \frac{15!}{3!(15-3)!} \]

Calculamos la factorial y simplificamos:

\[ C(15,3) = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} \]

\ranza resultante es:

\[ C(15,3) = 455 \]

Ahora calculamos el número de formaciones posibles para grupos de tamaño 4:

\[ C(15,4) = \frac{15!}{4!(15-4)!} \]

Calculamos la factorial y simplificamos:

\[ C(15,4) = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

La contabilización resulta en:

\[ C(15,4) = 1365 \]

Finalmente, sumamos ambas posibilidades para obtener el número total de grupos distintos que se pueden formar:

\[ Total = C(15,3) + C(15,4) \]

\[ Total = 455 + 1365 \]

\[ Total = 1820 \]

Por lo tanto, se podrían formar un total de 1820 diferentes grupos con los 15 estudiantes bajo las condiciones establecidas.