The expression 'meate ga aru' is used to mean that you have an end or intention because fixing your sights gives rise to the expectation of hitting the target or prey, and the state of expectation is called "meate ga aru" or "ate ga aru'" and such uses are thought to have spread.
「目当てがある」は、心積もりがあるという意味で用いられ、照準を合わせることで的に当たる期待、獲物に当たる期待が生じることから、期待できる状態を（目当てがある）（あてがある）と称する使われ方にひろがったと思われる。