¿Cómo determinar si dos variables son directamente proporcionales?
Cuando dos variables son directamente proporcionales, cambian con la misma frecuencia. La frecuencia se indica mediante la constante 



k


{\displaystyle k}

 en la ecuación 



y
=
k
x


{\displaystyle y=kx}

. Las variables directamente proporcionales se indican de manera gráfica mediante una línea recta que pasa por el origen del plano de coordenadas. Una vez que comprendas estos conceptos básicos, te será fácil identificar variables directamente proporcionales al usar la ecuación de la recta y sus valores.
Método 1: Reescribir la ecuación de la recta

1. Comprende qué es proporción directa.
Dos variables están en proporción directa si cada una cambia con la misma frecuencia. En otras palabras, si 
x
{\displaystyle x}
 cambia mediante un determinado factor o constante (
k
{\displaystyle k}
), entonces 
y
{\displaystyle y}
 también cambiará mediante esa misma constante (
k
{\displaystyle k}
).

2. Anota la ecuación de la recta.
La ecuación tiene dos variables y una constante. Si no te dan la ecuación, no podrás utilizar este método.
Por ejemplo, te podrían dar la ecuación: 
y
x
=
3
2
{\displaystyle {\frac {y}{x}}={\frac {3}{2}}}

3. Vuelve a escribir la ecuación en forma de variación o proporción directa.
La ecuación es 
y
=
k
x
{\displaystyle y=kx}
, en donde 
y
{\displaystyle y}
 es igual a la coordenada Y de un punto de la recta, 
x
{\displaystyle x}
 es igual a la coordenada X de ese mismo punto y 
k
{\displaystyle k}
 es la constante o pendiente de la recta. Utiliza álgebra para reacomodar la ecuación en la forma de 
y
=
k
x
{\displaystyle y=kx}
. Si no puedes reescribir la ecuación de esta forma, entonces las variables no son directamente proporcionales. Caso contrario, te demostrará que sí lo son.
Por ejemplo, si multiplicas ambos lados de la ecuación 
y
x
=
3
2
{\displaystyle {\frac {y}{x}}={\frac {3}{2}}}
 por 
x
{\displaystyle x}
, la ecuación se convertirá en 
y
=
3
2
x
{\displaystyle y={\frac {3}{2}}x}
, de este modo estará en la forma de 
y
=
k
x
{\displaystyle y=kx}
 y 
3
2
{\displaystyle {\frac {3}{2}}}
 será la constante. Método 2: Utilizar un conjunto de puntos

1. Identifica las coordenadas X de los dos primeros puntos.
Te deben dar una lista de coordenadas o debes tener un gráfico a partir del cual podrás determinar las coordenadas de los puntos de la recta. Si no las tienes, no podrás utilizar este método.
Por ejemplo, te podrían dar el conjunto de puntos: 
x
y
2
1
4
2
6
3
{\displaystyle {\begin{matrix}x&y\\\hline \\2&1\\4&2\\6&3\end{matrix}}}
La coordenada X del primer punto es 2 y la del segundo punto es 4.

2. Determina el factor por el cual aumenta la variable 
x
{\displaystyle x}
.
Para hacerlo, determina por cuál factor o constante se multiplica a la primera coordenada X a fin de llegar a la segunda coordenada.
Por ejemplo, si la primera coordenada X es 2 y la segunda es 4, tendrás que determinar el valor por el cual multiplicaste a 2 para obtener 4, así:
2
k
=
4
{\displaystyle 2k=4}
2
k
2
=
4
2
{\displaystyle {\frac {2k}{2}}={\frac {4}{2}}}
k
=
2
{\displaystyle k=2}
 Por lo tanto, la variable 
x
{\displaystyle x}
 aumenta con la constante 2.

3. Determina el factor por el cual aumenta la variable 
y
{\displaystyle y}
.
Utiliza los mismos dos puntos que utilizaste para determinar el aumento de 
x
{\displaystyle x}
. Utiliza álgebra para determinar el factor por el cual varían las dos coordenadas.
Por ejemplo, si la primera coordenada Y es 1 y la segunda es 2, tendrás que determinar el valor por el cual multiplicaste a 1 para obtener 2, así:
1
k
=
2
{\displaystyle 1k=2}
1
k
1
=
2
1
{\displaystyle {\frac {1k}{1}}={\frac {2}{1}}}
k
=
2
{\displaystyle k=2}
 Por lo tanto, la variable 
y
{\displaystyle y}
 aumenta con la constante 2.

4. Compara las constantes de las dos variables.
Si 
x
{\displaystyle x}
 e 
y
{\displaystyle y}
 cambiaron con la misma frecuencia o factor, entonces son directamente proporcionales.
Por ejemplo, dado que las coordenadas X cambiaron con el factor 2 y las coordenadas Y también cambiaron con el mismo factor, entonces se afirma que las dos variables son directamente proporcionales. Método 3: Utilizar un gráfico

1. Fíjate si la línea es recta.
Si dos variables están en proporción, la línea que las representará será una recta. Esto significa que la pendiente de la recta será constante o que seguirá la ecuación 
y
=
k
x
{\displaystyle y=kx}
.

2. Determina la intersección Y.
La intersección Y es el punto en el que la recta cruza el eje Y. Si dos variables son directamente proporcionales, al hacer el gráfico la recta cruzará por el origen. Este será el punto 
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
; por lo tanto, la intersección Y de la recta será 
0
{\displaystyle 0}
. Si no es así, las variables no serán directamente proporcionales.
El eje Y es el eje vertical.

3. Encuentra las coordenadas de los dos puntos de la recta.
Compara las coordenadas entre sí y determina si cada coordenada cambió con el mismo factor. Es decir, determina si la constante (
k
{\displaystyle k}
) es la misma para ambos valores de 
x
{\displaystyle x}
 e 
y
{\displaystyle y}
.
Por ejemplo, si el primer punto es 
(
1
,
3
)
{\displaystyle (1,3)}
 y el segundo es 
(
2
,
6
)
{\displaystyle (2,6)}
, la coordenada X cambió por el factor 2 dado que 
1
(
2
)
=
2
{\displaystyle 1(2)=2}
, mientras que la coordenada Y también cambió por el factor 2 dado que 
3
(
2
)
=
6
{\displaystyle 3(2)=6}
. Por lo tanto, puedes confirmar que la recta representa dos variables que son directamente proporcionales. Método 4: Completar problemas de ejemplo

1. Mira la siguiente ecuación.
Determina si las dos variables son directamente proporcionales: 
x
y
=
6
{\displaystyle xy=6}
.
Recuerda que si las variables son directamente proporcionales, seguirán el patrón 
y
=
k
x
{\displaystyle y=kx}
.
Utiliza álgebra para reescribir la ecuación.
Aísla la variable 
y
{\displaystyle y}
 al dividir cada lado entre 
x
{\displaystyle x}
:
x
y
x
=
6
x
{\displaystyle {\frac {xy}{x}}={\frac {6}{x}}}
y
=
6
1
x
{\displaystyle y=6{\frac {1}{x}}}
Evalúa si la ecuación que reescribiste sigue el patrón 
y
=
k
x
{\displaystyle y=kx}
. En este caso, la ecuación no seguirá dicho patrón; por lo tanto, las variables no serán directamente proporcionales. De hecho, serán inversamente proporcionales.

2. Considera el siguiente conjunto de puntos.
¿Las variables son directamente proporcionales?
Dados:
x
y
1
3
3
9
9
27
{\displaystyle {\begin{matrix}x&y\\\hline \\1&3\\3&9\\9&27\end{matrix}}}
Determina el aumento de 
x
{\displaystyle x}
. Para hacerlo, encuentra el factor por el cual multiplicas a la coordenada X a fin de llegar a la segunda coordenada:
1
k
=
3
{\displaystyle 1k=3}
1
k
1
=
3
1
{\displaystyle {\frac {1k}{1}}={\frac {3}{1}}}
k
=
3
{\displaystyle k=3}
 Por lo tanto, la coordenada X aumenta con el factor 3.
Determina el aumento de 
y
{\displaystyle y}
:
3
k
=
9
{\displaystyle 3k=9}
3
k
3
=
9
3
{\displaystyle {\frac {3k}{3}}={\frac {9}{3}}}
k
=
3
{\displaystyle k=3}
 Por lo tanto, la coordenada Y aumenta con el factor 3.
Compara el factor o constante de las dos variables. Ambas aumentan con el factor 3. Por lo tanto, las variables son directamente proporcionales.

3. Considera un gráfico de la recta 
y
=
4
x
+
3
{\displaystyle y=4x+3}
.
¿El gráfico muestra proporción directa entre las variables?
Fíjate si la línea es recta. Dado que la ecuación de la recta estará en la forma pendiente intersección, esta tendrá una pendiente constante e indicará que la línea es recta. Por lo tanto, lo más probable es que las variables sean directamente proporcionales.
Determina la intersección Y. Si las variables son directamente proporcionales, la recta pasará por el punto 
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
. La intersección Y de esta recta será el punto 
(
0
,
3
)
{\displaystyle (0,3)}
. Por lo tanto, las variables no serán directamente proporcionales.
Método 1: Reescribir la ecuación de la recta
1. Comprende qué es proporción directa.
2. Anota la ecuación de la recta.
3. Vuelve a escribir la ecuación en forma de variación o proporción directa. Método 2: Utilizar un conjunto de puntos
1. Identifica las coordenadas X de los dos primeros puntos.
2. Determina el factor por el cual aumenta la variable 
3. Determina el factor por el cual aumenta la variable 
4. Compara las constantes de las dos variables. Método 3: Utilizar un gráfico
1. Fíjate si la línea es recta.
2. Determina la intersección Y.
3. Encuentra las coordenadas de los dos puntos de la recta. Método 4: Completar problemas de ejemplo
1. Mira la siguiente ecuación.
2. Considera el siguiente conjunto de puntos.
3. Considera un gráfico de la recta