¿Cómo hallar la longitud de la hipotenusa?
Los triángulos rectángulos tienen un ángulo recto (90 grados), y el lado opuesto a este ángulo se conoce como la hipotenusa, o el lado más largo del triángulo rectángulo. Asimismo, es muy fácil encontrar la hipotenusa mediante un par de métodos diferentes. En este artículo, aprenderás a encontrar la longitud de la hipotenusa empleando el teorema de Pitágoras si conoces la longitud de los otros lados del triángulo. Luego, aprenderás a reconocer la hipotenusa de algunos triángulos rectángulos especiales que suelen figurar en los exámenes y, por último, aprenderás a encontrar la longitud de la hipotenusa mediante la ley de los senos si es que únicamente tienes la longitud de uno de los lados y la medida de un ángulo adicional.
Método 1: Emplear el teorema de Pitágoras

1. Aprende el teorema de Pitágoras.
Este teorema describe la relación entre los lados de un triángulo rectángulo. Según este teorema, en cualquier triángulo rectángulo cuyos lados midan a y b y cuya hipotenusa mida c, .

2. Ten cuidado de que el triángulo sea un triángulo rectángulo.
El teorema de Pitágoras solo funcionará para los triángulos rectángulos y, por definición, solo estos triángulos pueden tener una hipotenusa. En caso de que haya un ángulo de exactamente 90 grados en el triángulo, este será un triángulo rectángulo y podrás proceder.
En los libros de texto y los exámenes, los ángulos rectos suelen denotarse mediante un cuadrado pequeño en la esquina del ángulo. Esta es una marca especial que quiere decir "90 grados".

3. Asigna las variables a, b y c a los lados del triángulo.
Siempre se le debe asignar la variable c a la hipotenusa, o el lado más largo. Luego, asígnale la variable a a uno de los otros lados y la variable b al otro (no importa cuál sea cuál, ya que los cálculos darán el mismo resultado). Luego, reemplaza las longitudes de a y b en la fórmula según el siguiente ejemplo:
En caso de que los lados del triángulo midan 3 y 4 y, según las variables que les hayas asignado, esto sea a = 3 y b = 4, debes escribir la ecuación como sigue: .

4. Encuentra cuánto es a y b al cuadrado.
Para elevar un número al cuadrado, tan solo debes multiplicarlo por sí mismo. Por tanto, . Debes elevar tanto a como b al cuadrado y reemplazarlos en la fórmula.
Si es que a = 3, a = 3 x 3, o 9. Si es que b = 4, entonces b = 4 x 4, o 16.
Al reemplazar estos valores en la ecuación, esta ahora debería verse así: .

5. Suma los valores de a y b.
Reemplázalos en la ecuación y te dará el valor de c. Ahora, solo te queda un paso para poder encontrar la hipotenusa.
Siguiendo con el ejemplo, , por lo que debes anotar .

6. Encuentra la raíz cuadrada de c.
Mediante la función de raíz cuadrada de tu calculadora (o haciendo memoria de las tablas de multiplicación), encuentra la raíz cuadrada de c. El resultado será la longitud de la hipotenusa.
Siguiendo con el ejemplo, . La raíz cuadrada de 25 es 5 (, por lo que ). Por tanto, la longitud de la hipotenusa es . Método 2: Encontrar la hipotenusa de triángulos rectángulos especiales

1. Aprende a reconocer los triángulos con triples pitagóricos.
Las longitudes de los lados de los triples pitagóricos son números enteros que encajan en el teorema de Pitágoras. Estos son triángulos especiales que suelen aparecer en los libros de texto de geometría y los exámenes estandarizados. Particularmente si te memorizas los dos primeros triples pitagóricos, podrás ahorrar una gran cantidad de tiempo en estos exámenes, ya que de inmediato podrás saber cuál es la hipotenusa de uno de estos triángulos con tan solo observar la longitud de los lados.
El primer triple pitagórico es  (3 + 4 = 5, 9 + 16 = 25). Si observas un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 y 4, podrás tener la certeza instantánea de que la hipotenusa medirá 5 sin tener que realizar ningún cálculo.
La proporción de un triple pitagórico aplica incluso para cuando los lados se multiplican por otro número. Por ejemplo, si los catetos de un triángulo rectángulo miden  y , su hipotenusa medirá  (6 + 8 = 10, 36 + 64 = 100). Lo mismo aplica para  e incluso para . Haz el cálculo para verlo tú mismo.
El segundo triple pitagórico que suele aparecer en los exámenes es  (5 + 12 = 13, 25 + 144 = 169).  Asimismo, debes prestar atención a sus múltiplos, como  y .

2. Memoriza las proporciones de los lados de un triángulo rectángulo de 45-45-90.
Un triángulo rectángulo de 45-45-90 tiene ángulos que miden 45, 45 y 90 grados. También se le conoce como un triángulo rectángulo isósceles, y suele aparecer en los exámenes estandarizados, además de que es muy fácil resolverlo. Los lados de este triángulo tienen una proporción de , lo que significa que los catetos tienen la misma longitud, mientras que la longitud de la hipotenusa es simplemente la longitud del cateto multiplicada por la raíz cuadrada de 2.
Puedes calcular la hipotenusa de este triángulo empleando la longitud de uno de los catetos. Para ello, tan solo multiplica la longitud del cateto por Sqrt(2).
Te será de particular utilidad conocer esta proporción cuando una pregunta en un examen o una tarea te proporcione la longitud de los lados en función de variables en lugar de como números enteros.

3. Aprende las proporciones de los lados de un triángulo rectángulo de 30-60-90.
Los ángulos de un triángulo de este tipo miden 30, 60 y 90 grados. Este triángulo es lo que obtienes cuando cortas por la mitad un triángulo equilátero. La proporción de los lados de un triángulo rectángulo de 30-60-90 siempre será de  o . En caso de que se te haya dado la longitud de uno de los catetos de un triángulo rectángulo de este tipo, podrás encontrar la hipotenusa con mucha facilidad si se te pide hacerlo:
Si la longitud que se te dio es la del cateto más corto (el cateto opuesto al ángulo de 30 grados), tan solo debes multiplicar por 2 la longitud del cateto y te dará la de la hipotenusa. Por ejemplo, si es que el cateto más corto tiene una longitud de , sabrás que la hipotenusa debe tener una longitud de .
Si la longitud  que se te dio es la del cateto más largo (el cateto opuesto al ángulo de 60 grados), debes multiplicarla por  y te dará la longitud de la hipotenusa. Por ejemplo, si es que el cateto más largo tiene una longitud de , sabrás que la hipotenusa debe tener una longitud de . Método 3: Encontrar la hipotenusa mediante la ley de los senos

1. Comprende qué significa "seno".
Los términos "seno", "coseno" y "tangente" se refieren a las diversas proporciones entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo. En los triángulos de este tipo, el  de un ángulo constituye  dividida entre . En las ecuaciones y las calculadoras, la abreviatura de "seno" es .

2. Aprende a calcular el seno.
Podrás encontrar una función de seno incluso en una calculadora científica básica. Debes buscar la tecla que esté etiquetada como . Por lo general, debes presionar la tecla  y luego ingresar la medida del ángulo en grados para que te dé el seno. Sin embargo, en el caso de algunas calculadoras, es necesario que ingreses primero la medida del ángulo y luego presiones la tecla . Deberás experimentar con tu calculadora o bien revisar el manual para así determinar qué es lo que debes hacer.
Si quieres encontrar el seno de un ángulo de 80 grados, deberás teclear  y después presionar el símbolo de igual o la tecla "entrar", o bien teclear . (La respuesta es -0,9939).
Asimismo, es posible buscar en línea "calculadora de senos" y encontrarás diversas calculadoras fáciles de usar de forma que no tengas que hacer conjeturas.

3. Aprende la ley de los senos.
Esta constituye una herramienta útil para resolver triángulos y puede ser de particular utilidad para encontrar la hipotenusa de un triángulo rectángulo si es que sabes la longitud de uno de los lados y cuánto mide uno de los otros ángulos (aparte del ángulo recto). En el caso de cualquier triángulo cuyos lados midan ,  y  y cuyos ángulos midan ,  y , según la ley de los senos,  =  = .
De hecho, puedes emplear la ley de los senos para resolver cualquier triángulo, pero los únicos que tendrán una hipotenusa serán los rectángulos.

4. Asigna las variables a, b y c a los lados del triángulo.
Es necesario que c sea la hipotenusa (el lado más largo). Para hacerlo más simple, puedes asignar la variable a al lado cuya longitud conozcas y la variable b al otro lado. Luego, asigna las variables A, B y C a los ángulos. C debe ser el ángulo recto opuesto a la hipotenusa. El ángulo A será el opuesto al lado a y el ángulo B será el opuesto al lado b.

5. Calcula cuánto mide el tercer ángulo.
De por sí sabrás que  debido a que es un ángulo recto, y también sabrás cuánto mide el ángulo ya sea  o . Las medidas interiores de los ángulos de un triángulo siempre deben ser iguales a 180 grados en total, por lo que te será fácil calcular cuánto mide el tercer ángulo mediante la siguiente fórmula: . Asimismo, puedes invertir la ecuación de forma que .
Por ejemplo, si sabes que , . Ahora, simplifícalo a  y podrás determinar con rapidez que .

6. Examina el triángulo.
Para este punto, debes saber cuánto miden los tres ángulos y la longitud del lado a. Ahora, debes reemplazar esta información en la ecuación de la ley de los senos para así poder determinar cuánto miden los otros dos lados.
Siguiendo con el ejemplo, imagina que el lado a mide 10, el ángulo C = 90 grados, el ángulo A = 40 grados y el ángulo B = 50 grados.

7. Aplica la ley de los senos al triángulo.
Tan solo debes reemplazar los números y resolver la siguiente ecuación para determinar cuánto mide la hipotenusa c: . Si bien esto aún podría parecerte un poco intimidante, el seno de 90 grados es una constante y siempre equivale a 1, por lo que puedes simplificar la ecuación a , o simplemente .

8. Halla la longitud de la hipotenusa dividiendo la longitud del lado a entre el seno del ángulo A.
Para ello, puedes emplear dos pasos separados. Primero, puedes calcular sin A, anotarlo y dividirlo entre a, o bien teclear todo en la calculadora al mismo tiempo. En caso de que optes por esto último, no olvides incluir paréntesis después del signo de división. Por ejemplo, puedes teclear ya sea  o , según tu calculadora.
Siguiendo con el ejemplo, encontrarás que sin 40 = 0,64278761. Puedes encontrar el valor de c tan solo con dividir la longitud de a entre este número y te dará ; es decir, la longitud de la hipotenusa.
Método 1: Emplear el teorema de Pitágoras
1. Aprende el teorema de Pitágoras.
2. Ten cuidado de que el triángulo sea un triángulo rectángulo.
3. Asigna las variables a, b y c a los lados del triángulo.
4. Encuentra cuánto es a y b al cuadrado.
5. Suma los valores de a y b.
6. Encuentra la raíz cuadrada de c. Método 2: Encontrar la hipotenusa de triángulos rectángulos especiales
1. Aprende a reconocer los triángulos con triples pitagóricos.
2. Memoriza las proporciones de los lados de un triángulo rectángulo de 45-45-90.
3. Aprende las proporciones de los lados de un triángulo rectángulo de 30-60-90. Método 3: Encontrar la hipotenusa mediante la ley de los senos
1. Comprende qué significa "seno".
2. Aprende a calcular el seno.
3. Aprende la ley de los senos.
4. Asigna las variables a, b y c a los lados del triángulo.
5. Calcula cuánto mide el tercer ángulo.
6. Examina el triángulo.
7. Aplica la ley de los senos al triángulo.
8. Halla la longitud de la hipotenusa dividiendo la longitud del lado a entre el seno del ángulo A.