input: Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 6. Oktober 2014 verneinte die IV-Stelle des Kantons St. Gallen einen IV-Rentenanspruch der 1967 geborenen A._ mit der Begründung, der mittels der sog. gemischten Methode berechnete Invaliditätsgrad liege bei lediglich 34 %. B. A._ erhob hiegegen Beschwerde. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen wies das mit dieser gestellte Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege mangels prozessualer Bedürftigkeit ab. Mit Entscheid vom 31. Juli 2015 hiess es sodann die Beschwerde gut. Es ermittelte durch Einkommensvergleich einen Invaliditätsgrad von 50 % und sprach der Versicherten mit Wirkung ab 1. Juni 2011 eine halbe Invalidenrente zu. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, der Versicherten sei ab 1. Juni 2011 eine Viertelsrente anstelle einer halben Invalidenrente zuzusprechen. A._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Eventuell sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren zu gewähren. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Verfügung vom 27. Oktober 2015 hat das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. 