input: Sachverhalt: A. A._ (1973) und B._ (1974) heirateten im Jahr 2000. Sie sind die Eltern der Kinder C._ (geb. 2005) und D._ (geb. 2008). Seit Februar 2009 leben die Parteien getrennt. Die Mutter zog mit den Kindern aus der gemeinsamen Wohnung in U._ (ZH) aus und kehrte an ihren früheren Wohnort V._ (VS) zurück. Der Vater lebt in Zürich, wo er als Berufsmusiker im Opernorchester und im Zürcher Kammerorchester arbeitet. Im Rahmen des Eheschutzverfahrens, das mit einem Urteil des Kantonsgerichts Wallis vom 25. August 2011 seinen Abschluss fand, wurde die Obhut über die Kinder der Mutter zugeteilt. B. B.a. Seit Februar 2011 tragen die Parteien das Scheidungsverfahren aus. Mit Urteil vom 3. Dezember 2012 schied das Bezirksgericht Zürich die Ehe. Es stellte die Kinder unter die elterliche Sorge der Mutter und regelte die weiteren Nebenfolgen der Scheidung, unter Genehmigung einer Teilvereinbarung. Die Besuchsbeistandschaft, die das Tribunal de Martigny et St-Maurice am 16. September 2009 errichtet hatte, wurde beibehalten und gestützt auf Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB bezüglich der Abwicklung des Besuchsrechts ergänzt. B.b. A._ legte beim Obergericht des Kantons Zürich Berufung ein. Er verlangte, die Kinder unter seine alleinige elterliche Sorge zu stellen und der Mutter ein praxisübliches Besuchsrecht einzuräumen. Mit Urteil vom 23. September 2013 wies das Obergericht des Kantons Zürich die Berufung des Vaters ab, unter ausdrücklichem und begründetem Verzicht auf eine Anhörung der Kinder. A._ erhob Beschwerde beim Bundesgericht. Dieses hob das obergerichtliche Urteil auf und wies die Sache zur Anhörung der Kinder und neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurück (Urteil 5A_821/2013 vom 16. Juni 2014). B.c. Im Mai 2014 hörte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde W._ die Kinder und die Eltern ein weiteres Mal an. Mit Entscheid vom 28. Mai 2014 hob diese Behörde die Beistandschaft per 4. Juni 2014 auf, weil mit dem Beistand keine Lösung in der Besuchsproblematik habe gefunden werden können. B.d. Im Rückweisungsverfahren vor dem Obergericht des Kantons Zürich hörte eine Delegation die Kinder am 17. September 2014 gemeinsam an. Das Obergericht informierte die Parteien darüber, dass die Akten der Kindesschutzbehörde W._ beigezogen würden, und gab ihnen Gelegenheit, zum Ergebnis der Kinderanhörung Stellung zu nehmen. Hierauf stellte A._ u.a. den Antrag, die Kinder nochmals, und zwar getrennt anzuhören. Ausserdem wiederholte er seine Anträge, die Mutter psychiatrisch/psychologisch abzuklären, einen aktuellen Sozialbericht sowie Berichte von Schulen und Kindergarten einzuholen und einen Kindesvertreter zu bestellen. Mit Eingabe vom 2. Dezember 2014 machte der Vater Noven geltend und wies darauf hin, dass er sich am 20. Februar 2015 mit einer neuen Partnerin verheiraten werde. Neu stellte er in dieser Eingabe neben dem Antrag auf Erteilung des Sorgerechts an ihn auch ein Begehren auf Erteilung bzw. Beibehaltung des gemeinsamen Sorgerechts. Ein weiterer Schriftenwechsel dreht sich namentlich um die Bericht erstattende Kinderpsychologin. B.e. Am 31. März 2015 fällte das Obergericht sein neues Urteil. Den Antrag, die Kinder ein weiteres Mal in Einzelgesprächen anzuhören, wies es ab. In der Sache bestätigte es seinen früheren Entscheid, die elterliche Sorge der Mutter zu übertragen. Das Besuchs- und Ferienrecht des Vaters wurde neu geregelt und ab Mai 2015 auf stundenweise Besuche am Wohnort der Kinder beschränkt. Ab den Sommerschulferien 2017 soll der Vater die Kinder einmal pro Monat auch zu sich zu Besuch nehmen und zwei einzeln zu beziehende Ferienwochen mit ihnen verbringen dürfen. C. Mit Eingabe vom 12. Mai 2015 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, die Beschwerde gutzuheissen und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Ziff. 1). Eventualiter sei ihm die alleinige elterliche Sorge zuzuteilen; (sub-) eventualiter verlangt er ein gemeinsames Sorgerecht (Ziff. 2.1). Im Eventualbegehren Ziff. 2.2 verlangt er, ihm die Obhut über die Kinder zuzuteilen, unter Einräumung eines angemessenen Besuchsrechts zugunsten von B._ (Beschwerdegegnerin). Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. 