input: Faits : A. Par jugement du 26 septembre 2012, le Tribunal de police du canton de Genève a condamné X._ pour abus de confiance à une peine pécuniaire de 90 jours-amende à 100 fr. le jour, avec sursis durant trois ans (peine complémentaire à celles prononcées les 2 juin et 18 octobre 2010 par le Ministère public genevois). En outre, il a déclaré X._ débiteur de B.A._ et A.A._ des sommes de 60'555 fr. à titre de dommage matériel (avec intérêt à 5 % l'an dès le 12 février 2009) et de 8'000 fr. à titre de participation aux honoraires de leur conseil. B. B.a. Par arrêt du 5 août 2013, la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice genevoise a rejeté l'appel de X._ et confirmé le jugement de première instance. B.b. Par arrêt du 4 juillet 2014 (6B_1043/2013), la Cour de droit pénal du Tribunal fédéral a admis le recours de X._, annulé l'arrêt précité et renvoyé la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Elle a considéré que l'opération avait toutes les caractéristiques d'un prêt commercial à court terme destiné au financement de l'activité courante d'une entreprise. Il ne ressortait ni des déclarations de A.A._ et B.A._, ni des documents signés par les parties, que la somme prêtée devait être affectée à un projet précis. Or, dans la mesure où la société C._ SA pouvait disposer librement du prêt consenti par les A._, celui-ci ne constituait pas une valeur patrimoniale confiée selon l'art. 138 ch. 1 al. 2 CP et toute condamnation pour abus de confiance était exclue. B.c. Par nouvel arrêt du 10 mars 2015, la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice genevoise a admis l'appel formé par X._. Statuant à nouveau, elle a acquitté X._ de l'infraction d'abus de confiance, le condamnant en lieu et place pour gestion déloyale aggravée. Elle lui a infligé une peine pécuniaire de 90 jours-amende à 40 fr. le jour et a renvoyé B.A._ et A.A._ à agir par la voie civile pour la réparation de leur dommage. C. Contre ce dernier arrêt cantonal, X._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Il conclut, principalement, à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens qu'il est acquitté du chef de gestion déloyale aggravée. A titre subsidiaire, il requiert l'annulation de l'arrêt attaqué et le renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision. En outre, il sollicite l'assistance judiciaire. Invités à se déterminer, la cour cantonale y a renoncé, alors que le Ministère public genevois a déposé des observations, sur lesquelles le recourant s'est déterminé. 