input: Faits : A. A._, ressortissante russe née en 1979, est arrivée en Suisse en 2005 avec sa fille, B._, ressortissante russe née en 2002. Le 15 décembre 2005, elle a épousé C._, ressortissant français titulaire d'une autorisation d'établissement. En 2008, C._ a annoncé son départ pour Hong Kong avec sa famille, en raison de son transfert professionnel prévu pour la période allant du mois de septembre 2008 au mois de septembre 2010. Le Service cantonal de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) a accédé à sa demande de maintien de son autorisation d'établissement. En janvier 2009, l'épouse est rentrée de Hong Kong en Suisse avec sa fille au motif notamment qu'elle était enceinte et que sa fille ne parlait que le français. C._ a informé les autorités vaudoises que, d'un commun accord, il poursuivrait son activité professionnelle jusqu'à la fin de la période de deux ans prévue. En septembre 2009, A._ a donné naissance à un deuxième enfant, D._, de nationalité française. Le Service cantonal a accordé à l'intéressée et à ses deux enfants des autorisations de séjour de courte durée (permis L), valables du 16 décembre 2009 au 14 décembre 2010. Par jugement du 22 décembre 2011, le divorce des époux a été prononcé à Hong Kong. La garde des enfants a été confiée à la mère. Le père a été condamné à verser une pension alimentaire de 1'500 fr. par mois pour les deux enfants. Le 5 avril 2012, le Service cantonal a informé l'intéressée qu'il était disposé à délivrer à son fils de nationalité française une autorisation de séjour fondée sur l'art. 24 Annexe I de I'Accord du 21 juin 1999 entre la Confédération suisse d'une part, et la Communauté européenne et ses Etats membres d'autre part, sur la libre circulation des personnes (ALCP; RS 0.142.112.681), ainsi que des autorisations de séjour à elle-même et à sa fille. B. Par décision du 13 août 2012, l'Office fédéral des migrations (depuis le 1er janvier 2015: le Secrétariat d'Etat aux migrations; ci-après: le SEM) a refusé d'approuver l'octroi des autorisations de séjour en faveur de A._ et de ses deux enfants. Par arrêt du 11 août 2015, le Tribunal administratif fédéral a admis le recours de A._ et ses enfants contre la décision du SEM susmentionnée. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, le Département fédéral de justice et police (ci-après: le Département fédéral) demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais, d'annuler l'arrêt rendu le 11 août 2015 par le Tribunal administratif fédéral. Les intimés concluent au rejet du recours, sous suite de frais et dépens. Le Tribunal administratif fédéral a produit le dossier de la cause et renoncé à prendre position. 