input: Faits : A. A.a. A._ SA (ci-après: A._ ou la société), qui appartenait au groupe A.A._ Inc (ci-après: la société-mère), était active dans la distribution de matériel électronique en Suisse. Elle comptait 17 organes de fait ou de droit, dont Z._ (nommé administrateur entre février 1995 et février 2000), B._ (administratrice entre février et novembre 1995), et C._ (administrateur entre novembre 1995 et mars 1997). La société a été déclarée en faillite par jugement du 22 mai 2000. A.b. Sur plainte de la masse en faillite de la société (ci-après: la masse en faillite), le Ministère public genevois a ouvert, en juin 2000, une instruction pénale contre deux (ex-) organes de fait, puis contre Z._ (gestion fautive et faux dans les titres), B._ et C._. Par ordonnance du 30 octobre 2012 (entrée en force), le Ministère public, sur la base notamment d'une expertise judiciaire financière du 13 janvier 2006, a classé la procédure pénale en tant qu'elle était dirigée contre Z._, au motif que sa participation aux actes de gestion fautive et de faux dans les titres commis au détriment de la société A._ n'était pas établie et, en tout état, qu'elle n'aurait pas pu être intentionnelle. A.c. L'activité d'administrateur exercée par Z._ (ci-après: l'assuré ou l'administrateur) entre 1995 et 2000, ainsi que celle de trois autres administrateurs (dont B._ et C._), était couverte par une assurance responsabilité civile professionnelle - souscrite par l'intermédiaire de D._ SA (preneur d'assurance) - auprès de X._ SA (à l'époque : V._) (ci-après: la compagnie d'assurances ou l'assureur), à hauteur d'un montant maximal de 5'000'000 fr. par événement. Une clause des conditions générales d'assurance (art. 7 let. c CGA) et des conditions complémentaires d'assurance (art. 113 let. g CCA 1990) prévoyait l'exclusion de toute couverture en cas de préjudice causé par la commission intentionnelle d'un crime ou d'un délit ou par la violation intentionnelle de la loi ou des prescriptions des autorités par l'assuré. Une autre clause (art. 23 CGA) prévoyait la représentation de l'assuré par l'assureur à l'égard des tiers réclamants, notamment dans le cadre de pourparlers, et l'interdiction pour l'assuré de payer des indemnités, de conclure une transaction ou de reconnaître tout ou partie des prétentions des tiers sans l'accord de l'assureur. Enfin, l'art. 24 des CGA formulait la perte du droit aux prestations d'assurance en cas d'agissement de l'assuré contrevenant " aux dispositions concernant l'avis de sinistre " ou " contraire[...] aux règles de la bonne foi " dans le cadre du traitement du sinistre, à moins qu'il ne prouve avoir agi sans faute ou que son attitude n'ait modifié ni sa situation juridique, ni celle de l'assureur et n'ait par conséquent exercé aucune influence sur le règlement du sinistre. Z._ a communiqué l'avis de sinistre à son assureur le 13 juillet 2001. B. B.a. Le 9 septembre 2008, la masse en faillite a formé une action en responsabilité à l'encontre des 17 organes (dont Z._), concluant à leur condamnation solidaire au paiement d'une indemnité de 164'525'547 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 22 mai 2000. B.b. Le 17 octobre 2008, Z._ a demandé à la compagnie d'assurances de couvrir ses frais de défense et il l'a invitée à se déterminer sur les démarches à entreprendre dans la procédure. La compagnie d'assurances l'ayant préalablement autorisé à déposer sa demande d'appel en cause contre elle, Z._, par acte d'appel en cause du 15 décembre 2008, a conclu à la condamnation de la compagnie d'assurances à lui rembourser ses frais de défense et toute indemnité qu'il pourrait être condamné à payer à la masse en faillite à l'issue du procès principal, à hauteur de 5'000'000 fr. au maximum. Le 26 mars 2009, le Tribunal de première instance a déclaré recevable l'appel en cause et ordonné sa jonction avec la procédure principale intentée par la masse en faillite. B.c. Le 4 novembre 2009, la compagnie d'assurances a versé à la masse en faillite les sommes de 1'100'000 fr., pour le compte de C._, et de 300'000 fr., pour le compte de B._, ensuite de transactions conclues par ces assurés avec la masse en faillite. La masse en faillite a retiré sa demande avec désistement d'action à l'égard de ces deux administrateurs. La compagnie d'assurances a par la suite encore payé une indemnité de 20'000 fr. au conseil de B._ et de 35'215 fr.75 à l'avocat de C._. B.d. Le 15 juin 2011, Z._ a informé la compagnie d'assurances que des discussions transactionnelles étaient en cours entre la masse en faillite et d'autres défendeurs et il lui a demandé l'autorisation d'y participer et, le cas échéant, de conclure une transaction. Le 28 juin 2011, la compagnie d'assurances l'a autorisé à négocier mais elle lui a interdit de conclure une transaction sans son accord, tout en considérant qu'en l'état, la couverture d'assurance n'était pas donnée. En avril 2012, Z._ et la masse en faillite ont établi un projet de transaction extrajudiciaire prévoyant, sans reconnaissance de responsabilité de la part du premier, le paiement de 5'000'000 fr. " pour solde de tous comptes et de toutes prétentions " de la seconde, contre le retrait avec désistement d'action de la demande en paiement de la masse en faillite en tant qu'elle était dirigée contre Z._. Le 20 avril 2012, l'administrateur a transmis le projet de transaction à l'assureur et a sollicité l'autorisation d'y apposer sa signature. Le 24 avril 2012, la compagnie d'assurances, tout en rappelant à Z._ que " la couverture d'assurance n'[était] pas donnée ", lui a interdit de signer la transaction qu'elle ne ratifiait " ni sur le principe, ni sur la quotité ", et elle l'a informé que la conclusion de l'accord enfreindrait ses obligations d'assuré " avec les conséquences qui en découl[ai]ent ". Passant outre l'opposition de la compagnie d'assurances, Z._ a conclu la transaction avec la masse en faillite le 27 avril 2012 et il a payé à celle-ci le montant de 5'000'000 fr. Le 30 avril 2012, la masse en faillite a déclaré au Tribunal de première instance qu'elle retirait sa demande et se désistait de son action en tant qu'elle était dirigée contre Z._. B.e. Par jugement du 13 septembre 2012, le Tribunal a donné acte à la masse en faillite du retrait de sa demande en paiement avec désistement de son action à l'encontre de Z._. Par ordonnance du même jour, il a ordonné l'apport de la procédure pénale (cf. supra let. A.b). Les échanges d'écritures (entre Z._ et la compagnie d'assurances) ont alors principalement porté sur la validité de l'appel en cause (compte tenu du retrait de la demande principale dirigée contre l'appelant en cause), sur la réalisation des conditions de la responsabilité contractuelle de Z._, ainsi que sur divers motifs excluant ou restreignant la couverture d'assurance. Par jugement du 16 avril 2015, le Tribunal de première instance a débouté Z._ de toutes ses conclusions, dans la mesure où elles n'étaient pas sans objet ou irrecevables, et l'a condamné aux dépens de l'appel en cause, comprenant une indemnité de 60'000 fr. valant participation aux honoraires du conseil de la compagnie d'assurances. En substance, il a considéré que la prétention récursoire de l'appelant en cause dirigée contre la compagnie d'assurances était devenue sans objet (ensuite du retrait définitif de la demande en paiement formée par la masse en faillite), qu'au demeurant cette prétention était mal fondée, l'appelant en cause n'ayant jamais allégué, moins encore établi, l'existence d'une violation de ses obligations d'ex-administrateur, d'un préjudice subi par la société et d'un lien de causalité entre la prétendue violation et le préjudice; partant, la condition préalable à l'obligation d'indemnisation de l'assureur n'était, selon les premiers juges, pas réalisée. B.f. Par arrêt du 13 novembre 2015, la cour cantonale, sur appel de Z._, a annulé le jugement entrepris et, statuant à nouveau, condamné la compagnie d'assurances à payer à l'administrateur le montant de 4'944'784 fr.25 plus intérêts à 5% l'an dès le 27 avril 2012. Elle a mis à la charge de la compagnie d'assurances les dépens de l'appel en cause, lesquels comprennent une indemnité de 60'000 fr. valant participation aux honoraires d'avocat de Z._. Enfin, elle a fait supporter à la compagnie d'assurances les frais d'appel, arrêtés à 25'000 fr., et condamné celle-ci à verser à Z._ 21'000 fr. à titre de dépens d'appel. En substance, la cour cantonale a considéré que la transaction extrajudiciaire conclue entre les parties à la demande principale et le retrait de cette dernière n'ont pas mis fin à la procédure d'appel en cause (cette question n'est plus litigieuse devant la Cour de céans). Elle a ensuite indiqué que, tous les actes reprochés à l'administrateur étant déjà allégués dans la demande en paiement (du 9 septembre 2008), on ne pouvait exiger de l'appelant en cause qu'il reproduise tous ces éléments factuels dans son mémoire (dans le cadre de l'appel en cause), mais qu'il suffisait qu'il s'y réfère; contrairement au Tribunal de première instance, la cour cantonale a ainsi considéré que l'appelant en cause avait valablement allégué les faits permettant de juger de sa responsabilité (cette question n'est plus litigieuse). Sur le fond, la cour cantonale a jugé que les conditions de la responsabilité de l'administrateur étaient réalisées, que celui-ci avait ainsi établi la survenance d'un sinistre couvert par le contrat d'assurance et qu'aucun motif d'exclusion (ou de réduction) de la couverture n'entrait en ligne de compte. Enfin, la cour cantonale a jugé que seuls les honoraires payés pour la défense de B._ et de C._ (d'un montant total de 55'215 fr.75) pouvaient être déduits de la somme assurée de 5'000'000 fr. C. La compagnie d'assurances exerce un recours en matière civile contre l'arrêt cantonal du 13 novembre 2015. Elle conclut à son annulation et à ce que Z._ soit débouté de toutes ses conclusions. La recourante invoque l'arbitraire dans l'établissement des faits et l'appréciation des preuves (art. 9 Cst.), une violation des art. 14 al. 2, 33, 39, 45 al. 1 et 69 LCA, des art. 4 et 8 CC, de l'art. 18 CO, ainsi que de diverses dispositions des conditions générales d'assurance (CGA) et des conditions complémentaires d'assurance (CCA 1990). Z._ (l'intimé) conclut au déboutement de la recourante de toutes ses conclusions et à la confirmation de l'arrêt entrepris. La requête visant l'octroi de l'effet suspensif déposée par la compagnie d'assurances a été rejetée par ordonnance présidentielle du 15 mars 2016. 