input: Faits : A. A._ s'est annoncée à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) le 29 mai 1998. Celui-ci lui a alloué un quart de rente depuis le mois de novembre 1997 ainsi qu'une demi-rente à partir du mois de février 1998 (décision du 22 mai 2000). Il a aussi mis en oeuvre deux procédures de révision à l'issue desquelles il a confirmé le droit de l'assurée à une demi-rente (décisions des 7 janvier 2003 et 12 avril 2006). En raison du déménagement de l'intéressée à B._, il a transféré le dossier à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg (ci-après l'office AI). Celui-ci a également diligenté deux procédures de révision. Le droit à une demi-rente a été maintenu à la fin de la première (décision du 1er septembre 2011). Il a été provisoirement augmenté à une rente entière pour la période allant du 1er février 2012 au 31 janvier 2014, puis rétabli à une demi-rente au terme de la seconde (décision du 24 juillet 2014). B. Saisie d'un recours interjeté par A._, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud, d'abord, l'a déclaré irrecevable, au motif qu'elle n'était pas compétente à raison du lieu, puis a transmis la cause à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Fribourg pour qu'elle statue sur le fond du litige (jugement du 16 septembre 2014). Celle-ci, ensuite, a très partiellement admis le recours et reconnu le droit de l'assurée à la rente entière pour la période limitée comprise entre les 1er janvier 2012 et 30 avril 2014 (jugement du 4 juillet 2016). C. L'administration a formé un recours en matière de droit public contre le jugement cantonal. Elle en demande la réforme en ce sens que le droit à la rente entière doit être reconnu seulement depuis le mois de février 2012, date pour laquelle la révision d'office avait été prévue. Elle requiert également l'attribution de l'effet suspensif à son recours et dépose un extrait du "journal des révisions" pour attester le moment auquel la dernière révision avait été programmée. L'intéressée a conclu au rejet du recours alors que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. 