input: Faits : A. A.a. C._, spécialiste FMH en gynécologie et obstétrique depuis 1994, exerce sa fonction de médecin à la Clinique D._, à X._ (VS), établissement où elle ne dispose que d'une salle de consultation. Depuis août 2001, A.A._, née le 15 novembre 1967, qui vit en concubinage à Y._ (VS) avec B._, était sa patiente. Soupçonnant une grossesse, A.A._ a requis de ce médecin une consultation en urgence, qui a eu lieu le 14 août 2002; le test urinaire pratiqué a confirmé la grossesse, dont ledit médecin a accepté de se charger du suivi. Sept consultations ont été programmées, soit les 23 septembre 2002, 17 octobre 2002, 20 novembre 2002, 19 décembre 2002, 15 janvier 2003, 17 février 2003 et 18 février 2003, des échographies devant été pratiquées lors des première, troisième, sixième et septième consultations. Une amniocentèse a eu lieu le 22 octobre 2002 au Centre hospitalier universitaire vaudois (CHUV), à Lausanne. Le 30 janvier 2003, A.A._ et B._ ont consulté en urgence la doctoresse C._, car l'employeur de la première lui avait refusé une réduction de son temps de travail, ce qui avait causé chez elle un état de grande inquiétude et de nervosité. Lors de cette consultation, aucun examen clinique n'a été réalisé pour confirmer un état normal de la patiente ainsi qu'une bonne croissance utérine. Jusqu'au 17 février 2003, les différents paramètres de grossesse ont été décrits comme parfaitement normaux par la doctoresse C._. A cette date, un retard de croissance intra-utérin est suspecté cliniquement, mais l'échographie effectuée n'a pas été concluante. Le 18 février 2003, A.A._ s'est présentée à 14 h.15, heure prévue pour l'échographie, au cabinet de la doctoresse. L'échographie a révélé l'absence de liquide amniotique et un retard de croissance intra-utérin avec un poids foetal estimé à 950 g. correspondant au poids d'un foetus de 27 semaines. Ledit médecin a effectué durant 30 minutes un monitoring foetal, au cours duquel des décélérations du rythme cardiaque foetal sont apparues. Expliquant la situation à la patiente, elle l'a enjointe de se rendre en urgence à l'Hôpital de X._ afin de procéder à l'extraction de l'enfant à naître. A 15 h. 40, la doctoresse a requis l'admission de A.A._ à l'Hôpital de X._ pour une éventuelle prise en charge d'une grossesse pathologique présentant un oligo-amnios (insuffisance de la quantité du liquide amniotique) et un retard de croissance intra-utérin. A.A._ a été prise en charge à 16 h. au bloc obstétrical de l'Hôpital de X._. Des analyses par ultrasons ont révélé, outre la disparition du liquide amniotique et le retard de croissance du foetus, une pathologie cérébrale et la présence sur celui-ci d'une tumeur kystique d'environ deux centimètres. Le transfert au CHUV de la parturiente a été envisagé, avant qu'il n'y soit renoncé, la fréquence cardiaque du foetus s'étant montrée gravement pathologique, taxée de " pré-agonique ". Le docteur E._, médecin-chef, a pratiqué en extrême urgence une césarienne transverse basse, avec la présence active de pédiatres; l'intervention s'est produite au cours de la 34 1/7e semaine de gestation. C'est dans ces circonstances qu'a vu le jour prématurément, le 18 février 2003 à 19 h.36, un garçon, qui sera prénommé B.A._, pesant 1030 g. - poids correspondant à celui d'un nouveau-né à 27 semaines de grossesse - et mesurant 35 centimètres. Des lésions cérébrales ont été découvertes immédiatement à sa naissance au moyen d'échographies postnatales. Une IRM cérébrale effectuée au deuxième jour de vie du nourrisson a révélé une hémorragie intracérébrale (hémorragie intraventiculaire de degré IV). Après cinq heures de vie, en raison d'une extrêmement mauvaise adaptation néonatale ayant requis une ventilation au masque et un massage cardiaque avec intubation, B.A._ a été transféré en urgence à la division de néonatologie de l'Hôpital de l'enfance à Lausanne, qui dépend du CHUV. Dans sa lettre de sortie envoyée au CHUV, le docteur F._, pédiatre FMH et médecin-chef à l'Hôpital de X._, a posé le diagnostic, à la suite de l'asphyxie survenue dans les premières minutes de vie du nouveau-né, de " syndrome de détresse respiratoire avec asphyxie néonatale ". B.A._ est resté à l'Hôpital de l'enfance jusqu'au 11 avril 2003, date de son transfert à l'Hôpital de X._; il n'a regagné le domicile de ses parents qu'à l'âge de deux mois. Dans leur rapport dressé le 2 mai 2003 à l'attention du docteur F._, les docteurs G._, H._ et I._, respectivement médecin adjoint, cheffe de clinique et médecin assistant auprès de la division de néonatologie de l'Hôpital de l'enfance, ont retenu les diagnostics suivants en période néonatale: prématurité, retard de croissance intra-utérin, hémorragie intracérébrale d'origine prénatale, asphyxie néonatale et syndrome de détresse respiratoire aiguë sur " Wet-Lung ". A.b. B.A._ est gravement atteint dans sa santé. A dire d'experts qui l'ont examiné en janvier 2013, il est atteint de paralysie cérébrale de type hémiparésie spastique droite avec prédominance au membre supérieur, de retard mental sévère avec traits autistiques, de microcéphalie, d'épilepsie multifocale partiellement contrôlée, de malvoyance centrale, de troubles du sommeil sévères et de constipation chronique. Il a le fonctionnement cognitif global d'un enfant d'âge préscolaire. Il conservera à vie l'ensemble de ces troubles. Une scolarisation dans le circuit ordinaire étant impossible, l'enfant devra bénéficier d'une structure spécialisée avec une pédagogie adaptée et individualisée; à défaut de toute perspective professionnelle, il devra être pris en charge, à la fin de la scolarité obligatoire, dans une institution spécialisée pour adultes. Il sera limité au point de vue de son autonomie dans toutes les activités du quotidien. S'agissant des soins requis, B.A._ devra continuer à suivre un traitement anti-épileptique, un traitement évacuateur pour sa constipation, de la physiothérapie en rapport avec son hémiplégie et de l'ergothérapie en tout cas jusqu'à l'âge adulte. Il nécessite également des soins du corps, étant complètement dépendant à cet égard (hygiène, assistance pour aller aux toilettes). Ses activités diurnes nécessiteront une supervision constante. Le 11 mars 2003, les parents de B.A._ ont formé auprès de l'Office cantonal AI du Valais une demande de prestations AI pour assurés de moins de 20 ans révolus. B.A._ a été mis notamment au bénéfice de l'infirmité congénitale du chiffre 497 selon l'annexe à l'Ordonnance concernant les infirmités congénitales du 9 décembre 1985 (OIC; RS 831.232.21), laquelle est décrite ainsi au chiffre XX de ladite annexe: sévères troubles respiratoires d'adaptation (par exemple: asphyxie, syndrome de détresse respiratoire, apnée), lorsqu'ils sont manifestes au cours des 72 premières heures de la vie et qu'un traitement intensif est nécessaire. Par la suite, l'office cantonal AI l'a reconnu invalide au sens des chiffres 313 OIC (malformations congénitales du coeur et des vaisseaux), 381 OIC (malformations du système nerveux et de ses enveloppes) et 390 OIC (paralysies cérébrales congénitales). Les coûts d'éducation précoce dispensée par le service éducatif itinérant ont été pris en charge par l'AI, qui lui a octroyé en outre une allocation d'impotence pour mineurs de degré grave. Divers moyens auxiliaires lui ont été remis. La salle de bains du logement familial a été adaptée aux besoins d'un enfant handicapé. A.c. Sur demande de A.A._, agissant pour elle-même et pour B.A._, ainsi que de B._, le Bureau d'expertises extrajudiciaires de la Fédération des médecins suisses (FMH) a confié une expertise à la professeure J._, médecin cheffe du service du développement et de la croissance auprès des Hôpitaux universitaires de Genève (HUG) -Hôpital des enfants, et à la doctoresse K._, spécialiste FMH en gynécologie et obstétrique à Z._. Ces expertes devaient déterminer les éventuelles violations du devoir de diligence commises par la doctoresse C._ et leur incidence sur l'état de santé de B.A._. Dans leur rapport du 27 février 2006, les expertes ont estimé que la doctoresse C._ devait se voir reprocher trois manquements: datation erronée de la grossesse lors de l'échographie réalisée par voie endovaginale le 23 septembre 2002 (la grossesse était en réalité plus avancée d'une semaine); absence de diagnostic d'une hauteur utérine basse au cours de la consultation du 15 janvier 2003, qui dénotait un net ralentissement de la croissance utérine (la hauteur utérine mesurée était alors de 24 cm, ce qui est 5 cm au-dessous de la hauteur attendue à 29 semaines de grossesse); absence d'examen clinique lors de la consultation en urgence du 30 janvier 2003 pour confirmer un état normal chez la patiente ainsi qu'une bonne croissance utérine. D'après les expertes, si le retard de croissance avait été posé plus précocement (lors de la consultation du 15 janvier 2003 - soit à la 29e semaine de gestation - ou pendant celle du 30 janvier 2003), le suivi de la grossesse de A.A._ aurait totalement changé. Celle-ci aurait eu une surveillance échographique et Doppler rapprochée, voire aurait été hospitalisée pour surveillance, et il est vraisemblable qu'une césarienne aurait eu lieu avant le 18 février 2003. Toutefois, les expertes ont été dans l'impossibilité de dire depuis quand l'insuffisance placentaire était présente et quand étaient survenues les lésions cérébrales. Elles n'ont pas été à même de préciser le moment où B.A._ aurait dû naître idéalement pour ne pas subir de lésions cérébrales et si une surveillance optimale aurait pu lui éviter de développer ses handicaps. A propos du lien de causalité, les expertes ont déclaré que les lésions subies par B.A._ étaient vraisemblablement en relation avec son retard de croissance lié à son insuffisance placentaire sévère, mais que de telles lésions peuvent également survenir en cas d'infection intra-utérine et que, dans de très rares cas, des lésions cérébrales intra-utérines par ischémie ou par hémorragie surviennent chez des foetus par ailleurs sains et sans retard de croissance. Selon les expertes, on ne peut pas affirmer que les lésions ischémo-hémorragiques cérébrales auraient pu être évitées si l'accouchement avait été plus précoce, car de telles lésions peuvent également survenir dans la période post-natale, le risque étant plus prononcé si l'enfant est né tôt. B. B.a. Par demande du 22 janvier 2010, complétée le 15 février 2010, A.A._, agissant pour elle-même et pour son fils mineur B.A._, ainsi que B._ ont ouvert action contre C._ devant le Tribunal des districts de Martigny et St-Maurice. Les demandeurs ont conclu à ce que la défenderesse, à titre de réparation morale, doive paiement d'une indemnité de 225'000 fr. à B.A._ (par A.A._), de 150'000 fr. à A.A._ et de 100'000 fr. à B._, sommes portant intérêts à 5% à dire de justice, toutes autres et plus amples conclusions auxquelles les demandeurs peuvent prétendre à l'égard de la défenderesse demeurant expressément réservées. La défenderesse a conclu à sa libération, excipant préalablement de la prescription en tant que l'action en responsabilité délictuelle émanait de B.A._ et de B._. Par exploit du 25 mai 2010, la défenderesse a dénoncé l'instance à son assureur responsabilité civile, en vain. La mise en oeuvre d'une expertise judiciaire a été ordonnée le 12 octobre 2012, laquelle a été confiée au docteur L._, médecin-adjoint à l'Unité de neuropédiatrie et neuroréhabilitation pédiatrique du CHUV. Dans son rapport du 23 janvier 2013, l'expert judiciaire, sur la base des ultrasons post-nataux et de l'IRM cérébrale effectuée au deuxième jour de la vie de B.A._, a daté la survenance de l'hémorragie intracérébrale, diagnostiquée en période néonatale, entre deux jours et deux semaines avant la réalisation de l'imagerie, soit dans la période prénatale. Cette lésion, qui touche la voie cortico-spinale gauche (celle du contrôle moteur) ainsi qu'une partie des noyaux gris centraux gauches ne permet pas d'expliquer l'ensemble du tableau neurologique actuel. D'après l'expert judiciaire, il y a certainement eu une atteinte cérébrale plus importante, marquée par la microcéphalie et l'épilepsie de B.A._, lesquelles démontrent l'existence d'une souffrance cérébrale plus diffuse. L'expert a écrit, à la page 8 de son rapport, que " l'hypothèse la plus probable est que celles-ci (microcéphalie et épilepsie) sont les conséquences de la souffrance cérébrale pré-natale ainsi que de l'asphyxie néotale sévère". Au terme de son rapport, l'expert, à la page 9, a conclu que l'historique pré- et périnatal ainsi que les éléments cliniques en sa possession lui permettaient de se prononcer sur la haute probabilité d'une souffrance cérébrale pré- et périnatale sévère comme origine de l'ensemble des troubles du développement de B.A._. La période périnatale est celle qui s'étend du 154e jour de la gestation au 7e jour après la naissance. B.b. Par jugement du 12 novembre 2013, le Juge du district de St-Maurice a rejeté l'action partielle en paiement d'une somme d'argent à titre de réparation morale intentée par les codemandeurs et déclaré irrecevable la conclusion de ces derniers tendant à ce que toutes autres et plus amples prétentions qu'ils pourraient faire valoir à l'encontre de la défenderesse soient expressément réservées. Ce magistrat a retenu tout d'abord que la créance satisfactoire invoquée par B._, père de B.A._, avait pour fondement la responsabilité aquilienne de la défenderesse et que cette action délictuelle était prescrite au regard de l'art. 60 al. 1 CO, alors que l'art. 60 al. 2 CO ne trouvait pas application, car, ainsi qu'il sera démontré, le lien de causalité hypothétique entre le comportement reproché à la doctoresse et les lésions corporelles subies par l'enfant B.A._ (élément constitutif objectif de la seule infraction pénale pouvant entrer en ligne de compte, soit celle de lésions corporelles graves par négligence prévue à l'art. 125 CP) n'a pas été établi à satisfaction de droit. Les codemandeurs A.A._ et B.A._ ont pour leur part fondé leur action en réparation du tort moral sur la violation du contrat de mandat noué avec la défenderesse, lequel avait pour objet de suivre la grossesse de la mère, de prendre les mesures thérapeutiques adéquates, de sauvegarder la santé de la mère et de l'enfant à naître et d'empêcher la survenance d'événements préjudiciables à leur santé. Le juge de district a admis que la défenderesse a enfreint à trois égards les règles de l'art médical dans le suivi de la grossesse de la mère (interprétation erronée de l'échographie pratiquée le 23 septembre 2002 quant au jour du début de la grossesse, défaut de diagnostic d'une hauteur utérine basse le 15 janvier 2003, défaut d'examen clinique lors de la consultation en urgence du 30 janvier 2003) et que ces omissions fautives sont constitutives d'une violation du devoir de diligence du mandataire. Il a cependant considéré que les codemandeurs ont échoué à démontrer, au degré de la vraisemblance prépondérante, qu'une prise en charge médicale adéquate par la défenderesse durant la grossesse de la mère aurait empêché les lésions cérébrales et les troubles du développement affectant B.A._, voire les souffrances psychiques encourues par la mère. L'absence de lien de causalité naturelle, respectivement hypothétique, scellait le sort de l'action des codemandeurs. Enfin, la conclusion des demandeurs tendant à ce que soient réservées leurs prétentions en réparation de tout autre dommage, en particulier le préjudice économique, a été déclarée irrecevable, faute d'intérêt digne de protection suffisant. B.c. Saisie d'un appel des trois demandeurs, la Cour civile I du Tribunal cantonal valaisan, par jugement du 29 avril 2015, l'a admis très partiellement. La cour cantonale a confirmé que l'action partielle des demandeurs en paiement d'une somme d'argent à titre de réparation morale devait être rejetée (I), mais a prononcé que d'autres prétentions de ces derniers contre la défenderesse devaient être réservées (II). C. A.A._, B.A._, au nom de qui agit la précitée, et B._ exercent un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre le jugement du 29 avril 2015. A titre principal, ils requièrent l'annulation de ce jugement, sous réserve du chiffre II de son dispositif, et reprennent leurs conclusions de première instance. Subsidiairement, ils sollicitent le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouveau jugement dans le sens des considérants. L'intimée propose le rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. 