input: Sachverhalt: A. Die 1953 geborene A._ arbeitete seit dem Jahre 1982 für die B._ AG ab 1. Juni 2011 als Gerantin in einem Teilzeitpensum zu einem Bruttolohn von Fr. 5'000.--. Nachdem ab September 2011 der Lohn zunächst gar nicht und später nur noch teilweise und in kleinen Raten ausbezahlt wurde, liess A._ sich den Betrag der ausstehenden Zahlungen von der Arbeitgeberin regelmässig unterschriftlich bestätigen. Am 27. Mai 2013 teilte die Arbeitgeberin ihren Angestellten mit, dass sie Insolvenz angemeldet habe und das Arbeitsverhältnis aufgelöst werde. Der Konkurs über die B._ AG wurde am 24. Juni 2013 eröffnet und am 25. Juli 2013 mangels Aktiven wieder eingestellt. Am 25. Juni 2013 stellte A._ Antrag auf Insolvenzentschädigung in der Höhe von Fr. 43'649.-- für unbezahlt gebliebenen Lohn und Ferienentschädigung. Mit Verfügung vom 24. Juli 2013 lehnte die öffentliche Arbeitslosenkasse des Kantons Basel-Stadt eine Leistungspflicht mit der Begründung ab, die Versicherte sei ihrer Schadenminderungspflicht nicht in genügendem Masse nachgekommen. Daran hielt sie auf Einsprache hin fest (Entscheid vom 10. Oktober 2013). B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt hiess die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 13. Mai 2014 teilweise gut. Es verpflichtete die Arbeitslosenkasse, eine Entschädigung auszurichten, die der Höhe von vier im Jahre 2012 durchschnittlich ausbezahlten Löhnen entspricht und wies die Sache zur genauen Berechnung des Anspruchs an die Kasse zurück. C. Das Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Basel-Stadt (AWA) führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, es sei der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts vom 13. Mai 2014 aufzuheben und festzustellen, die Versicherte habe keinen Anspruch auf Insolvenzentschädigung. A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) verzichtet auf eine Vernehmlassung. 