Sachverhalt: A. Der am 15. Januar 1946 geborene V._ ist kosovarischer Staatsangehöriger und wohnt in Kosovo. Mit Antrag vom 20. Februar 2012 (eingegangen am 29. März 2012) meldete er sich bei der Schweizerischen Ausgleichskasse (nachfolgend: SAK) zum Bezug einer "Altersrente für Personen mit Wohnsitz ausserhalb der Schweiz" an. Mit Verfügung vom 2. August 2012 teilte ihm die SAK mit, er hätte grundsätzlich einen Anspruch auf eine ordentlichen Altersrente als einmalige Abfindung in der Höhe von Fr. 14'299.-, da aber das zwischen der Schweiz und dem ehemaligen Jugoslawien abgeschlossene Sozialversicherungsabkommen ab 1. April 2010 im Verhältnis zu Kosovo nicht weiter angewendet werde, müsse sein Antrag dennoch abgewiesen werden. Mit Einsprache vom 2. Oktober 2012 liess V._ geltend machen, er sei kosovarisch-serbischer Doppelbürger, worauf ihm die SAK am 6. Februar 2013 Gelegenheit gab, bis 22. März 2013 Beweismittel für die serbische Staatsangehörigkeit beizubringen, dies unter Androhung, dass andernfalls auf Grund der Akten entschieden werde. Daraufhin meldete sich der Rechtsvertreter von V._ telefonisch bei der SAK und machte geltend, Nachweise für die serbische Staatsangehörigkeit zu verlangen, sei exzessiver Formalismus; sein Klient sei dazu auf Grund des Alters, der Geografie und ethnischer Zwistigkeiten nicht in der Lage. Zudem sähen die Verfassungen beider Länder eine "automatische Doppelbürgerschaft" vor. Mit Schreiben vom 12. Februar 2013 reichte V._ eine Kopie einer Pass-Doppelseite ein und führte aus, andere jugoslawische Dokumente habe er nicht. Mit Einspracheentscheid vom 21. Februar 2013 wies die SAK die Einsprache ab. B. Die hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Bundesverwaltungsgericht gut, hob den Einspracheentscheid vom 21. Februar 2013 auf und sprach V._ eine einmalige Abfindung in der Höhe von Fr. 14'299.- zu (Entscheid vom 14. Juni 2013). In der Begründung führte es aus, dass das zwischen der Schweiz und dem ehemaligen Jugoslawien abgeschlossene Sozialversicherungsabkommen auf kosovarische Staatsangehörige weiter anwendbar sei. C. Die SAK erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 14. Juni 2013 sei aufzuheben und ihr Einspracheentscheid vom 21. Februar 2013 zu bestätigen. V._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) beantragt deren Gutheissung. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. 