Sachverhalt: A. A.a Die 1966 geborene A._ arbeitet seit 18. Juni 1988 als Service-Angestellte im Gasthaus X._ und ist damit bei der Helsana Unfall AG (nachfolgend: Helsana) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. A.b Am 24. Februar 2000 stürzte sie beim Skifahren auf einer eisigen Stelle. Am 9. März 2000 suchte sie die Hausärztin, Dr. med. S._ auf und gab an, dass nach einer Latenzzeit von 12 Stunden heftige Nackenschmerzen und linksseitige Parästhesien aufgetreten seien (Arztzeugnis UVG vom 4. Juni 2000). Nach diversen medizinischen Behandlungen und Abklärungen stellte die Helsana mit Verfügung vom 30. September 2002 die Heilungskosten und Taggelder per 15. August 2002 ein. Mit Einspracheentscheid vom 19. Mai 2003 hiess die Helsana die dagegen erhobene Einsprache gut und wies die Angelegenheit zu neuerlicher Begutachtung zurück. Nach Einholung eines polydisziplinären Gutachtens beim Zentrum Y._ vom 23. September 2004 sprach die Helsana der Versicherten mit Verfügung vom 2. Juni 2005 (Verfahren (8C_244/2010) ab 1. August 2004 eine Invalidenrente bei einem unfallbedingten Invaliditätsgrad von 50 % zu. A.c Die Versicherte erlitt am 23. Januar 2006 erneut einen Unfall, als sie ein Pony an der Leine führte, welches erschrak und davon rannte. Dabei stürzte sie und zog sich linksseitige Kniebeschwerden (Rissquetschwunde und Schwellung am linken Knie), sowie Kopf- und Nackenbeschwerden zu. Hinzu kam eine Thrombose, welche sie sich im Rahmen der unfallbedingten Spitalbehandlung im linken Bein zuzog und die vom 8. bis 17. Februar 2006 zu einer Hospitalisation im Spital Z._ führte. Mit Verfügung vom 13. Februar 2007 (Verfahren 8C_252/2010) teilte die Helsana der Versicherten mit, die leistungsbegründenden Voraussetzungen für den Unfall vom 23. Januar 2006 seien nicht mehr erfüllt, womit die Versicherungsleistungen (Taggeld/ Heilungskosten) per 31. Dezember 2006 eingestellt würden. Gleichzeitig verneinte sie den Anspruch auf Ausrichtung einer diesbezüglichen Invalidenrente und einer Integritätsentschädigung. Aus medizinischer Sicht hinterlasse das Unfallereignis vom 23. Januar 2006 keine Folgen, welche die Erwerbsfähigkeit messbar beeinträchtigen könnten. Die dagegen am 10. März 2007 erhobene Einsprache wies die Helsana - nachdem das Verfahren aufgrund einer polydisziplinären Begutachtung beim Institut B._ sistiert worden war - mit Einspracheentscheid vom 27. Juli 2009 ab. A.d Am 3. Dezember 2007 ereignete sich ein weiterer Unfall, als die Versicherte an ihrem Arbeitsplatz (Gasthaus X._) von einem Gast attackiert wurde und einen Faustschlag ins Gesicht erhielt, worauf sie mit Kopf- und Nackenschmerzen sowie einer Erinnerungslücke ins Spital Z._ gebracht wurde (mit anschliessender commotio-Ueberwachung). A.e Im parallel laufenden IV-Verfahren gab die IV-Stelle des Kantons Schwyz zur Klärung der gesundheitlichen Situation der Versicherten ein polydisziplinäres Gutachten beim Institut B._ in Auftrag, welches am 22. September 2008 erstattet wurde. Im Rahmen dieses Gutachtens wurden auch Zusatzfragen der Helsana als Unfallversicherer beantwortet, wozu der Rechtsvertreter der Versicherten Stellung nehmen konnte. Gestützt auf dieses Gutachten hob die Helsana mit Verfügung vom 27. Februar 2009 ihre Verfügung vom 2. Juni 2005 betreffend das Ereignis vom 24. Februar 2000 revisionsweise auf und stellte ihre Versicherungsleistungen (Rente, Heilungskosten) per 31. Januar 2009 ein unter gleichzeitiger Verneinung des Anspruchs auf Ausrichtung einer Integritätsentschädigung. Die dagegen erhobene Einsprache wies die Helsana mit Einspracheentscheid vom 20. August 2009 ab. B. B.a Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz wies die von A._ gegen den Einspracheentscheid vom 27. Juli 2009 erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 5. Februar 2010 (Verfahren 8C_252/2010) ab, soweit es darauf eintrat. B.b Die von der Versicherten gegen den Einspracheentscheid vom 20. August 2009 erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz mit Entscheid vom 5. Februar 2010 (Verfahren 8C_244/2010) gut, soweit es darauf eintrat und hob die Verfügung vom 27. Februar 2009 sowie den Einspracheentscheid vom 20. August 2009 auf. C. C.a A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheids vom 5. Februar 2010 (Verfahren 8C_252/2010) sei aufgrund des Unfalls vom 23. Januar 2006 eine Invalidenrente nach UVG auszurichten. Bis zum Beginn dieser Rente seien ihr rückwirkend ab 1. Januar 2007 noch die geschuldeten Taggelder zu zahlen. Zudem seien die auf diesem Unfall beruhenden Heilungskosten zu übernehmen. Weiter sei eine Integritätsentschädigung auszurichten. Eventualiter seien über den Gesundheitszustand der Versicherten, zur Unfallkausalität ihrer Beschwerden und zu ihrer unfallbedingten Arbeits- und Erwerbsunfähigkeit zunächst noch ein neues, umfassendes und korrektes interdisziplinäres Gutachten von unabhängigen Sachverständigen und eine neue Abklärung der Arbeits- und Erwerbsfähigkeit einzuholen. Eventuell sei die Angelegenheit zu weiteren Abklärungen und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz oder den Unfallversicherer zurückzuweisen. Während die Vorinstanz und das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung verzichten, schliesst die Helsana auf Abweisung der Beschwerde. C.b Gegen den Entscheid des kantonalen Gerichts vom 5. Februar 2010 (Verfahren 8C_244/2010) führt die Helsana Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, dieser sei aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 20. August 2009 sei zu bestätigen. Eventualiter sei die ursprüngliche Rentenverfügung vom 2. Juni 2005 wegen zweifelloser Unrichtigkeit vom Gericht aufzuheben und die Revisionsverfügung vom 17. Februar 2009 respektive der Einspracheentscheid vom 20. August 2009 mit der substituierten Begründung der Wiedererwägung zu schützen. Subeventualiter sei die Angelegenheit zur Neuberechnung der Invalidenrente an die Helsana zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht wird um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ersucht. A._ lässt vollumfängliche Abweisung der Beschwerde beantragen, soweit auf die darin gestellten Anträge überhaupt eingetreten werden könne. Eventualiter sei über den Gesundheitszustand der Versicherten, zur Unfallkausalität ihrer Beschwerden und zu ihrer unfallbedingten Arbeits- und Erwerbsunfähigkeit zunächst noch ein neues, umfassendes und korrektes interdisziplinäres Gutachten von unabhängigen Sachverständigen und eine neue Abklärung der Arbeits- und Erwerbsfähigkeit einzuholen. Die Vorinstanz und das Bundesamt für Gesundheit verzichten auf eine Vernehmlassung. D. Mit Verfügung vom 7. Mai 2010 hat das Bundesgericht der Beschwerde der Helsana die aufschiebende Wirkung zuerkannt. 