Fatti: A. La C._Sagl ha ricevuto in subappalto dalla A._Sagl l'esecuzione di diverse opere di impresario costruttore in uno stabile a Rovio. Ha emesso dodici richieste di acconto, o fatture intermedie, in funzione dell'avanzamento dei lavori, per un totale di fr. 384'719.75. La A._Sagl ha pagato solo fr. 309'643.--, lasciando quindi scoperti fr. 75'076.75 relativi alle ultime tre fatture. La C._Sagl si è rivolta alla Pretura di Mendrisio-Nord, con petizione del 17 aprile 2008, chiedendo che la A._Sagl fosse condannata a pagarle fr. 72'467.45 (dal predetto importo scoperto ha dedotto per compensazione un debito suo di fr. 2'609.30). La convenuta ha chiesto che l'azione fosse respinta, asserendo che la pretesa riguarda opere mai eseguite, non commissionate e inutili. Nel corso della procedura B._SA è subentrata all'attrice quale cessionaria secondo l'art. 260 LEF. Il Pretore ha accolto la petizione con sentenza del 14 marzo 2012 condannando l'appaltante a pagare fr. 72'467.45 con interessi al 5 % dal 29 gennaio 2008. La II Camera civile del Tribunale di appello ticinese ha respinto il successivo appello della convenuta il 24 settembre 2013, nella misura in cui lo ha ritenuto ricevibile. B. La A._Sagl insorge davanti al Tribunale federale con ricorso in materia civile del 25 ottobre 2013. Chiede l'annullamento della sentenza cantonale e la reiezione integrale della petizione. B._SA propone di respingere il ricorso con osservazioni del 6 novembre 2013. L'autorità cantonale non si è pronunciata. La domanda di concessione dell'effetto sospensivo presentata dalla ricorrente contestualmente all'atto di ricorso è stata respinta con decreto presidenziale del 14 novembre 2013. 