Sachverhalt: A. Dr. med. R._, Spezialarzt FMH für Physikalische Medizin und Rheumaerkrankungen, führt seit 1981 eine Praxis für Physikalische Medizin. Am 23. Mai 2005 erhob die santésuisse Zürich-Schaffhausen im Namen der bei ihr zu diesem Zeitpunkt angeschlossenen rubrizierten Krankenversicherer Klage mit dem Rechtsbegehren, Dr. med. R._ sei zu verpflichten, den Klägerinnen 1-35 aus den von ihm im Jahr 2003 verursachten direkten Arztkosten sowie den Klägerinnen 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 13-16, 19, 22, 23, 24 und 26-34 aus den von ihm im Jahre 2003 veranlassten Physiotherapiekosten gemäss Rechnungssteller-Statistik (Datenpool santésuisse) einen gerichtlich zu bestimmenden Betrag zurückzuerstatten. Das leitende Mitglied des Schiedsgerichts sistierte den Prozess, wie in der Klage beantragt, bis zur Durchführung des Verfahrens vor der Kantonalen Paritätischen Kommission (KPK). Nachdem der Einigungsversuch vor der KPK gescheitert war, hob es die Verfahrenseinstellung auf und gab Dr. med. R._ Gelegenheit zur Beantwortung der Klage (Verfügung vom 30. März 2006). Dem von Dr. med. R._ gestellten Gesuch um Durchführung einer Sühneverhandlung gab es nicht statt (Verfügung vom 9. Mai 2006). Nach Eingang der Klageantwort schloss es den Schriftenwechsel (Verfügung vom 17. August 2006). Ein Gesuch des Dr. med. R._ um wiedererwägungsweise Aufhebung der Verfügung vom 17. August 2006 und Anordnung eines zweiten Schriftenwechsels wies es ab (Verfügung vom 5. September 2006). Dr. med. R._ reichte dem Schiedsgericht weitere Eingaben mit zusätzlichen Unterlagen ein. Mit Verfügung vom 29. Januar 2007 wurde den Parteien Gelegenheit gegeben, aus der ihnen gleichzeitig zugestellten Liste der Schiedsrichterinnen und Schiedsrichter der Gruppen "Ärzte" und "Krankenkassen" je eine Schiedsrichterin oder einen Schiedsrichter vorzuschlagen. Als sie davon keinen Gebrauch machten, nahm das leitende Mitglied die Schiedsrichterin P._ aus der Gruppe "Krankenkassen" und den Schiedsrichter H._ aus der Gruppe "Ärzte" in Aussicht (Verfügung vom 12. Februar 2007). Erneut gelangte Dr. med. R._ mit zusätzlichen Eingaben und weiteren Unterlagen an das Schiedsgericht. Am 5. Februar 2008 teilte das leitende Mitglied den Parteien mit, es sei für den inzwischen nicht mehr amtierenden Schiedsrichter H._ aus der Gruppe "Ärztliche Leistungen" ein Schiedsrichter oder eine Schiedsrichterin zu bestimmen; dem Beklagten wurde Gelegenheit gegeben, einen Vorschlag zu machen. Nachdem Dr. med. R._ hierauf verzichtet hatte, nahm das leitende Mitglied die Schiedsrichterin Z._ in Aussicht und gab den Parteien Gelegenheit, allfällige Ablehnungsgründe vorzubringen (Verfügung vom 6. März 2008). Diese liessen die hiefür angesetzte Frist unbenützt verstreichen. Mit Entscheid vom 9. Juni 2008 hiess das Schiedsgericht in Sozialversicherungsstreitigkeiten des Kantons Zürich die Klage gut und verpflichtete Dr. med. R._, den Klägern oder deren Rechtsnachfolgern gemeinsam über die Zahlstelle santésuisse Fr. 232'224.- zu bezahlen. B. Dr. med. R._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren: Es sei festzustellen, dass das Schiedsgericht in Sozialversicherungsstreitigkeiten des Kantons Zürich kein verfassungsmässiges Gericht ist. Der angefochtene Entscheid sei aufzuheben. Die Klage sei abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden könne. Eventualiter sei die Sache an eine zu schaffende kantonale Behörde/Ersatzbehörde als Gericht von verfassungsmässig ausreichender Struktur und Organisation zur Durchführung eines verfassungsmässig genügenden Gerichtsverfahrens zurückzuweisen und der Kanton Zürich zur angemessenen Entschädigung des Beschwerdeführers zu verpflichten. Die Krankenversicherer schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten des Beschwerdeführers. Dr. med. R._ hat dem Gericht am 13. Oktober 2008 eine weitere Eingabe samt Beilage und am 21. November 2008 eine Replik eingereicht. Dabei ergänzte er das in der Beschwerde gestellte Hauptbegehren dahingehend, dass der angefochtene Entscheid wegen Nichtigkeit bzw. Rechtswidrigkeit aufzuheben sei, und das Eventualbegehren dahingehend, dass dem Kanton Zürich die Prozesskosten aufzuerlegen seien. Das Schiedsgericht verzichtete auf eine Vernehmlassung und nahm zur Erwähnung von Richter H._ im Rubrum des angefochtenen Entscheides Stellung (zu welchem Zweck es auch den Urteilsantrag und das Zirkulationsblatt nachreichte). Das Bundesamt für Gesundheit liess sich nicht vernehmen. 