Faits: A. X._, originaire du Congo-Brazzaville où il est né en 1959, a acquis la citoyenneté britannique avant 2003. Depuis cette année-là, il vit à Genève avec son épouse, employée auprès de l'ONU. Tous deux bénéficient de cartes de légitimation de fonctionnaires internationaux délivrées par le Département fédéral des affaires étrangères. A l'occasion de la 60ème session de la Commission des Droits de l'Homme organisée à Genève sous les auspices de l'ONU, la République du Congo-Brazzaville s'est vu confier la tâche de coordonner les travaux pour l'Afrique dans ce domaine. Dans ce cadre-là, l'Ambassadeur et Représentant permanent de cet État auprès de l'ONU a engagé, le 5 avril 2004, X._ en qualité de «Secrétaire bureautique bilingue» avec le statut «d'agent du personnel local de l'Ambassade et de la Mission permanente». Dans une note du 7 avril 2004 adressée au Ministre des Affaires étrangères, l'Ambassadeur a expliqué avoir dû s'adjoindre les services de X._, «citoyen britannique d'origine congolaise en qualité d'expert-juriste bilingue pour renforcer la Mission dans l'énorme et délicate tâche de la coordination des droits de l'homme pour l'Afrique». Le 13 janvier 2005, X._ et l'Ambassadeur ont signé un second contrat de travail attestant l'engagement du premier en qualité de «Secrétaire bureautique bilingue» pendant trois ans pour un salaire mensuel de 5'000 fr. En date du 16 mars 2005, le Ministère des Affaires étrangères de la République du Congo-Brazzaville a promulgué un arrêté confirmant l'engagement de X._ au poste de «secrétaire bilingue». La décision se référait à la réglementation nationale qui fixait les effectifs du personnel administratif, technique et de service des représentations diplomatiques et consulaires; en vertu de celle-ci, la Mission de Genève se voyait attribuer trois Secrétaires bureautiques recrutés localement, mais ne disposait d'aucun personnel administratif délégué par le Ministère des Affaires étrangères. X._ a assumé sa mission d'expert juriste bilingue au sein de la Commission des Droits de l'Homme pour le compte de la République du Congo-Brazzaville, en tenant compte des instructions que l'Ambassadeur lui faisait communiquer au besoin. Dans le cadre de ses fonctions, il est arrivé à X._ d'utiliser la mention de «Senior Human Rights Lawyer/Expert», laquelle figurait également sur sa carte de visite. A une reprise et après avoir appelé l'Ambassadeur, il a représenté la République du Congo-Brazzaville au sein de la Commission lors d'un vote, au cours duquel il s'est abstenu. Dès juin 2005, X._ a attiré l'attention de l'Ambassadeur sur le fait qu'il n'avait reçu qu'une partie de la rémunération convenue; d'autres rappels ont suivi. Le 28 juillet 2005, l'Ambassadeur a signifié à X._ une «note de cessation de service» selon laquelle il était mis fin «aux fonctions de Monsieur X._, membre du Personnel local engagé en qualité de secrétaire bilingue». Le conseil de ce dernier a dénoncé le caractère abusif de la résiliation. B. Par mémoire du 20 mars 2006 adressé au Tribunal des prud'hommes du canton de Genève, X._ a ouvert action contre la République du Congo-Brazzaville en paiement de 212'704 fr., à titre de salaires dus et d'indemnité pour congé-représailles. La République du Congo-Brazzaville a soulevé l'exception d'immunité de juridiction. Par jugement du 9 juillet 2007, le Tribunal des prud'hommes a déclaré la demande irrecevable. Il a jugé que l'activité de X._ ne relevait pas d'un emploi subalterne, mais était liée à l'exercice de la puissance publique, de sorte que l'État défendeur était fondé à opposer au demandeur son immunité de juridiction. Statuant le 4 avril 2008 sur appel de X._, le Président de la Cour d'appel des prud'hommes du canton de Genève a annulé le jugement de première instance, débouté la République du Congo-Brazzaville de son exception d'immunité, déclaré la demande recevable et renvoyé la cause au Tribunal des prud'hommes pour compléter au besoin l'instruction et statuer sur le fond. Il a retenu que X._ occupait un poste subalterne, essentiellement au motif qu'il n'avait pas le statut de diplomate, devait régulièrement rendre compte à l'Ambassadeur et recevait des instructions de ce dernier. C. La République du Congo-Brazzaville interjette un recours en matière civile. Elle conclut à ce qu'il soit constaté que la juridiction des prud'hommes est incompétente pour connaître du litige et à ce que X._ soit débouté de toutes ses conclusions. Par ordonnance du 6 juin 2008, le Président de la cour de céans a accordé l'effet suspensif requis par la recourante. Dans le délai qui lui avait été imparti, l'intimé a déposé tout d'abord une réponse, dans laquelle il conclut au rejet du recours et à la confirmation de l'arrêt attaqué, puis un «additif» à sa réponse. 