Sachverhalt: A. A.a X._ und Z._ heirateten am 16. April 2003; sie sind die Eltern der beiden Söhne S._ (geb. xxxx 2004) und T._ (geb. xxxx 2006). In der Zeit von März 2002 bis September 2005 lebten die Eheleute in der Schweiz, wo X._ aufgewachsen war und ihre Eltern und Geschwister leben. Im September 2005 kehrte Z._ nach Grossbritannien zurück, worauf ihm X._ im Mai 2006 zusammen mit S._ nachfolgte. A.b Die Ehe wurde am 4. Juni 2009 durch den North Shields County Court geschieden. Das Scheidungsurteil enthält keine Regelung bezüglich der Kinderbelange. Nach der Scheidung standen die Kinder unter der Obhut von X._, bei der sie sich während der Woche grösstenteils aufhielten. Am Wochenende und an zwei Abenden unter der Woche waren sie bei Z._ untergebracht. A.c Im Juli 2009 reiste X._ im Einverständnis von Z._ mit beiden Söhnen zum Besuch der Verwandten in die Schweiz. Während dieses Ferienaufenthaltes suchte die ausgebildete Kindergärtnerin nach Arbeit. Nach Erhalt eines Angebotes der Schule R._ in A._ teilte sie Z._ mit E-Mail vom 7. August 2009, 13:25 Uhr, ihre Absicht mit, das betreffende Angebot anzunehmen und mit den Kindern in der Schweiz zu bleiben. Als Antwort auf diese E-Mail soll Z._ einem Verbleib der Kinder in der Schweiz vorbehaltlos zugestimmt haben. Die Parteien standen erwiesenermassen in der Folge in telefonischem Kontakt zueinander. Am 19. August 2009 unterschrieb X._ den Arbeitsvertrag. Z._ besuchte die Kinder weiterhin in der Schweiz, insbesondere auch im Jahr 2009. Überdies unterhielt er telefonischen Kontakt zu ihnen. B. B.a Am 24. September 2009 stellte Z._ bei der englischen Zentralbehörde einen Antrag auf Rückführung seiner beiden Söhne nach England. Am 15. März 2010 ersuchte er bei der II. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich um deren unverzügliche Rückführung. In diesem Verfahren wurde Rechtsanwältin Maya Stutzer als Prozessbeiständin der Kinder bestellt. B.b Mit Beschluss vom 1. Juli 2010 befahl das Obergericht X._ unter Androhung der Strafen nach Art. 292 StGB, die beiden Söhne innert 30 Tagen seit Zustellung des Beschlusses nach England zurückzuführen oder zurückführen zu lassen, und regelte die Modalitäten der Rückführung (Ziffer 1-10). C. Gegen diesen Beschluss hat X._ am 15. Juli 2010 Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie beantragt, die Ziffern 1-10 des obergerichtlichen Beschlusses seien aufzuheben und das Rückführungsbegehren bezüglich der beiden Söhne abzuweisen. Ferner seien ihr ihre persönlichen Reisedokumente sowie jene der Kinder herauszuheben; eventuell sei die Sache zu weiteren Sachverhaltsabklärungen an die Vorinstanz zurückzuweisen; der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege. Das Obergericht hat auf Vernehmlassung verzichtet. Mit Eingabe vom 26. Juli 2010 beantragt der Beschwerdegegner, das Gesuch um aufschiebende Wirkung und die Beschwerde in der Sache abzuweisen. Auch er ersucht für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. D. Die Rechtsbeiständin der Kinder hat mit Eingabe vom 16. August 2010 zur Beschwerde Stellung genommen und hat deren Abweisung beantragt. Sie verlangt überdies, die Rückführung habe innert 90 Tagen seit Zustellung des bundesgerichtlichen Urteils zu erfolgen und sei an die Bedingung zu knüpfen, dass der Beschwerdegegner schriftlich auf die Einleitung rechtlicher Schritte verzichte, welche die Verhaftung der Beschwerdeführerin zur Folge haben. Sodann ersucht sie darum, das Gesuch um aufschiebende Wirkung abzuweisen. Die Beschwerdeführerin hat sich am 24. August 2010 zu dieser Eingabe geäussert. Sie verlangt darin insbesondere, die Rückführung von einer Garantie der britischen Behörden abhängig zu machen, dass ihr nach erfolgter Rückführung keine Verhaftung oder sonstige Nachteile, beispielsweise im Zusammenhang mit einem allfälligen Sorgerechtsprozess, erwachsen werden. 