Sachverhalt: A. A.a A._, Rechtsanwalt und Notar, ist Mitglied des Stiftungsrates der Stiftung "La Résidence", welche unter anderem in Unterems/VS das Alters- und Pflegeheim "Emserberg" betreibt. Zudem ist beziehungsweise war er Präsident des Vereins "insieme" (Oberwalliser Verein zur Förderung geistig Behinderter). Während vieler Jahre waren die Klosterfrauen der Gemeinschaft der "Schwestern von den sieben Schmerzen Mariä" vom Kloster "Unserer Lieben Frau" im Alters- und Pflegeheim "Emserberg" tätig. Diese Zusammenarbeit wurde im Sommer 2004 beendet. Der Stiftungsrat fasste am 8. Juni 2004 einstimmig den Beschluss, die Arbeitsverträge mit den beiden noch verbliebenen Klosterfrauen in Beachtung der vertraglichen Kündigungsfrist zu kündigen. A._ orientierte die Oberin der Schwesterngemeinschaft am 14. Juni 2004 mündlich über die beschlossene Kündigung, worauf die Oberin die beiden Schwestern darüber informierte. Mit Schreiben vom 21. Juni 2004, welches im Namen der Stiftung von A._ und vom Heimleiter unterzeichnet war, wurde den beiden Schwestern unter Bezugnahme auf die Besprechung mit der Oberin per 30. September 2004 gekündigt und ihnen mitgeteilt, dass sie mit Wirkung per 27. Juni 2004 von der Arbeitsleistung freigestellt seien. Bereits zu einem früheren Zeitpunkt, nämlich durch Vereinbarung vom 27. Februar 2004, war ein Arbeitsvertrag zwischen der Stiftung und einer Raumpflegerin aufgehoben und die Arbeitnehmerin ab sofort von der Pflicht der Arbeitsleistung freigestellt worden. Der Aufhebungsvertrag war seitens der Stiftung vom Heimleiter in Vertretung von A._ unterzeichnet worden. Im Jahr 2004 kam es auch beim Verein "insieme" zu Umstrukturierungen. A.A._, der mit A._ nicht verwandt ist, hatte als externer Berater zu diesem Zweck verschiedene Hearings durchgeführt. An einer Informationsveranstaltung vom 23. Juni 2004 orientierte er die Angestellten über die Ergebnisse. Er teilte mit, dass in den Hearings Äusserungen wie "Mobbing", "Übergriffe" und "Deckung von Betreuungsfehlern" gefallen seien. A._ nahm an dieser Informationsveranstaltung teil, sagte aber zum Thema "Übergriffe" etc. nichts. Verschiedene Abteilungs- und Zentrumsleiter wandten sich mit Schreiben vom 5. Juli 2004 an die Mitglieder des Vereinsvorstands und an A.A._. Sie wiesen die an der Informationsveranstaltung vom 23. Juni 2004 geäusserten Vorwürfe in aller Form zurück und forderten, dass die fraglichen Vorwürfe in einer Aussprache zu belegen oder aber in angemessener Weise zurückzuziehen seien. Eine Kopie dieses Schreibens liessen sie Staatsrat B._ zukommen. Unter Bezugnahme auf diesen Brief forderte Staatsrat B._ mit Schreiben vom 20. Juli 2004 A._ auf, zum Vorwurf "Übergriffe auf Betreute" Stellung zu nehmen und die Fragen zu beantworten, welcher Art diese Übergriffe auf Betreute gewesen seien, welche Massnahmen seitens des Vereins ergriffen worden seien und ob, falls es sich um strafrechtlich relevante Vorfälle gehandelt haben sollte, Anzeige erstattet worden sei. In einem von A._ namens des Vereinsvorstands unterzeichneten mehrseitigen Papier vom 23. Juli 2004 wurde unter anderem ausgeführt, dass niemand des "Mobbings" beschuldigt werde. An der Informationsveranstaltung vom 23. Juni 2004 sei es lediglich um Aussagen in den Hearings gegangen, die auf ein entsprechendes Klima hingewiesen hätten. Auch sei nicht von "Decken" von Betreuungsfehlern, sondern lediglich von "Verschweigen" von solchen Fehlern in der Betreuung die Rede gewesen, was etwas völlig anderes sei. Dieses Papier vom 23. Juli 2004 wurde laut Verteiler allen Mitarbeiterinnen, Vorstandsmitgliedern, Mitgliedern der Arbeitsgruppe sowie Staatsrat B._ zugestellt. Dieser forderte mit Schreiben vom 15. September 2004 A._ auf, die drei Fragen betreffend "Übergriffe auf Betreute" gemäss Schreiben vom 20. Juli 2004 innert 10 Tagen zu beantworten. Mit Schreiben vom 21. September 2004 kündigte der Verein "insieme" das Arbeitsverhältnis mit verschiedenen Angestellten der mittleren Hierarchie-Stufe in Beachtung der Kündigungsfrist von drei Monaten auf den 31. Dezember 2004 mit der Begründung, dass deren Funktion im Rahmen der laufenden Restrukturierung des Erwachsenenbereichs aufgehoben sei. Im Schreiben, das von A._ und vom Vereinskassier unterzeichnet war, wurden die Betroffenen auf die Möglichkeit hingewiesen, sich in der neuen Organisationsstruktur für eine andere Funktion zu bewerben. Die Betroffenen erhielten in der Folge eine vorformulierte "Absichtserklärung", durch deren Unterzeichnung sie gegenüber dem darauf vermerkten "A._, Vorstandspräsident" ihr Interesse an einer Neueinstellung in einer neuen Funktion zu anderen Bedingungen und unter Verpflichtung zur geforderten Loyalität zum Ausdruck bringen konnten. Am 30. September 2004 fand eine Sitzung statt, an welcher A._, A.A._, mehrere Zentrumsleiter sowie Staatsrat B._ teilnahmen. Die Zentrumsleiter stellten den Vorwurf betreffend "Übergriffe auf Betreute" zur Diskussion, welchen der externe Berater A.A._ an der Informationsveranstaltung vom 23. Juni 2004 zur Sprache gebracht hatte. A.A._ erklärte, dass er nicht ausschliessen könne, eine solche Äusserung getan zu haben, doch habe er das nie und nimmer so gemeint. Er zog die Äusserung zurück, falls er sie tatsächlich getan haben sollte. Nach der Einschätzung von B._ wurden an dieser Sitzung viele Kritikpunkte bereinigt und erschien danach die Situation nicht mehr ganz so dramatisch. Der noch von der ehemaligen Geschäftsleitung für die Erst-Zertifizierung beauftrage Sozialpädagoge C._ führte am 21. und 22. September 2004 einen Überwachungsaudit durch. In seinem gestützt darauf verfassten Auditbericht vom 24. September 2004 setzte er sich auch kritisch mit der Restrukturierung auseinander. Er hielt unter anderem fest, dass der Vereinspräsident Teile der operativen Führung übernommen habe und eine grosse Mehrheit des Personals mit dem Vorgehen des Vereinsvorstands nicht einverstanden sei. Es sei zu befürchten, dass die rigorosen personellen Veränderungen zum Verlust von viel Know-how führten, was die Betreuungsqualität nachhaltig beeinträchtigen könnte. Dieser vertrauliche Bericht gelangte an die Zeitschrift "Rote Anneliese". A.b In der Zeitschrift "Rote Anneliese" erschienen mehrere längere Kommentare und Berichte über die Entwicklung im Altersheim "Emserberg" einerseits und bei "insieme" andererseits, die alle von X._ verfasst worden waren. Auf Seite 1 wird mit dem Text "(A._) wütet weiter", "Klosterfrauen gefeuert" auf diese Beiträge hingewiesen. Ein Kommentar auf Seite 2 trägt die Überschrift "insieme-Chaos: Wer stoppt (A._)?". Der Bericht über die Entwicklung im Altersheim "Emserberg" auf Seite 3 trägt die Überschriften: "Machtkampf im Altersheim Emserberg in Unterems: (A._) schockt die Schwestern. Sofortige Freistellung zum 25-Jahr-Jubiläum. 'Massivste Diffamierung'". Auf den Seiten 10 und 11 wird über die Entwicklung bei "insieme" berichtet unter der Überschrift: "insieme-Vorstand zerstört funktionierende Struktur in Behindertenbetreuung, Experte warnt vor (A._s) Rosskur!". Zwei Kommentare tragen die Überschriften "(A._s) Methoden 1: Provozieren und zurückkrebsen!" sowie "(A._s) Methoden 2: Verdrehen und einschüchtern". A.c Mit Eingabe vom 8. Februar 2005, die am 25. Februar 2005 bei der Post aufgegeben wurde, reichte A._ beim Untersuchungsrichteramt Oberwallis gegen X._ Strafklage und Strafantrag wegen Verleumdung (Art. 174 StGB) beziehungsweise übler Nachrede (Art. 173 StGB) ein. Mit Zulassungsbeschluss des Untersuchungsrichteramts vom 3. Oktober 2006 wurde der Handel zur Hauptverhandlung an das Bezirksgericht weitergeleitet. B. Das Bezirksgericht Brig sprach X._ mit Urteil vom 30. April 2007 der üblen Nachrede im Sinne von Art. 173 Ziff. 1 StGB schuldig und bestrafte ihn mit einer bedingt vollziehbaren Geldstrafe von 10 Tagessätzen zu Fr. 100.--. Eine von X._ dagegen erhobene Berufung wies das Kantonsgericht des Kantons Wallis am 28. März 2008 ab. C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, das Urteil des Kantonsgerichts sei aufzuheben, und er sei von Schuld und Strafe freizusprechen; eventualiter sei die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. A._ stellt in seiner Vernehmlassung den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Kantonsgericht des Kantons Wallis hat sich nicht vernehmen lassen. 