Sachverhalt: A. Mit Eingabe vom 15. Mai 2008 führte die 1955 geborene B._ beim Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt Beschwerde gegen einen Einspracheentscheid der Öffentlichen Arbeitslosenkasse Basel-Stadt vom 29. April 2008. Mit Verfügung vom 16. Mai 2008 setzte das kantonale Gericht B._ eine Frist zur Verbesserung der aus richterlicher Sicht ungenügenden Beschwerde, verbunden mit der Androhung, bei unterlassener Verbesserung innert Frist werde auf die Beschwerde nicht eingetreten. Nachdem B._ die Verfügung vom 16. Mai 2008 nicht innert der von der Post zur Abholung angesetzten Frist von sieben Tagen abgeholt hatte, erstreckte das Gericht die Frist mit Verfügung vom 2. Juni 2008 peremptorisch bis zum 23. Juni 2008. Mit Verfügung vom 27. Juni 2008 trat das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt auf die Beschwerde nicht ein, da diese trotz Androhung der Säumnisfolgen innert der angesetzten und erstreckten Frist nicht verbessert worden sei. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt B._ beantragen, in Aufhebung der vorinstanzlichen Verfügung vom 27. Juni 2008 sei die Angelegenheit zur materiellen Beurteilung an das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt zurückzuweisen. Die Kasse lässt singemäss auf Abschreibung des Verfahrens wegen Gegenstandslosigkeit schliessen. Die Vorinstanz beantragt Abweisung der Beschwerde. 