Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 25. Oktober 2011 trat die IV-Stelle Bern - nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren - auf das Gesuch von Ö._ (Jg. 1965) um berufliche Massnahmen und eine Rente (Neuanmeldung) mit der Begründung nicht ein, eine seit der ersten ablehnenden Verfügung vom 16. Juni 2009 eingetretene, für den Leistungsanspruch wesentliche Veränderung der tatsächlichen Verhältnisse sei nicht glaubhaft dargelegt worden. B. Beschwerdeweise liess Ö._ dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Aufhebung der Verfügung vom 25. Oktober 2011 und die Rückweisung der Sache an die IV-Stelle zur Gewährung des rechtlichen Gehörs beantragen; eventuell sei diese anzuweisen, auf sein Leistungsbegehren einzutreten. Zudem liess er darum ersuchen, ihm für das gerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege im Sinne der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung zu gewähren. Mit Verfügung vom 23. Mai 2012 wies das kantonale Gericht das letztgenannte Begehren zufolge Aussichtslosigkeit des erhobenen Rechtsmittels ab und forderte Ö._ auf, bis am 29. Juni 2012 einen Kostenvorschuss von Fr. 700.- zu bezahlen. C. Ö._ lässt gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege im kantonalen Verfahren Beschwerde ans Bundesgericht erheben und auch für das bundesgerichtliche Verfahren die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege beantragen; zudem sei der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen. Im Hinblick auf das ergriffene Rechtsmittel verfügt das kantonale Gericht am 22. Juni 2012 die Aussetzung der angesetzten Frist zur Leistung des mit der angefochtenen Verfügung vom 25. Oktober 2011 verlangten Kostenvorschusses bis auf weiteres. Dem Bundesgericht beantragt es gleichentags die Abweisung der Beschwerde. 