Faits: A. Par contrat du 4 décembre 2000, Banque X._ & Cie (ci-après: la bailleresse) a remis à bail à Z._ (ci-après: la locataire) un appartement de 3 pièces au 3ème étage de l'immeuble sis route ... à Carouge, pour un loyer fixé en dernier lieu à 560 fr. par mois, charges comprises. Le bail s'est renouvelé tacitement d'année en année depuis son échéance initiale fixée au 31 décembre 2001. La locataire a vécu dans ce logement avec A._ et leur enfant jusqu'à leur séparation en 2003, époque où elle est partie vivre au boulevard .... Depuis lors, A._ est le seul occupant de l'appartement et il s'acquitte du loyer au moyen de bulletins de versement envoyés par la bailleresse à la locataire à l'adresse des locaux loués. Le 15 juillet 2009, la bailleresse, par l'intermédiaire de sa régie, a écrit une lettre recommandée à la locataire, à l'adresse du boulevard ..., lui rappelant qu'elle désirait savoir si elle comptait réintégrer son logement de la route ... et, dans la négative, la priait de résilier son bail. Par courrier du 18 juillet 2009, la locataire a répondu qu'elle ne désirait pas résilier le bail de cet appartement. La bailleresse a réitéré sa requête par courrier des 24 juillet et 28 août 2009, fixant à la locataire un délai au 15 septembre pour la communication de sa réponse. Par avis officiel de résiliation du 30 septembre 2009, notifié à l'adresse du bail, la bailleresse a communiqué à la locataire son congé pour l'échéance contractuelle du 31 décembre 2010. Ce pli recommandé n'a pas été reçu par l'intéressée et est revenu à son expéditeur avec la mention " a déménagé, délai de réexpédition expiré ". La bailleresse a dès lors retourné à la locataire, par pli simple du 9 novembre 2009, toujours à l'adresse des locaux loués, une copie noir et blanc de l'avis de résiliation du bail, ainsi que des directives de la régie relative à l'état des lieux de sortie. Le courrier d'accompagnement, signé, l'informait de la tenue d'un état des lieux de sortie le 3 janvier 2011. Dans ce document, la recourante fait référence à sa lettre recommandée du 30 septembre 2009 (soit à l'avis de résiliation du bail) qui n'a pas été retirée à la poste (arrêt entrepris consid. 2.4 p. 8) précisant qu'elle en maintient les termes (" Il va de soi que ce fait ne modifie en rien les termes de ladite lettre ") et qu'elle la lui remet en annexe de son courrier (" nous vous remettons sous ce pli, ... ") (complètement d'office: art. 105 al. 2 LTF). La locataire admet avoir reçu ce pli simple et le congé du 30 septembre 2009 n'a pas été contesté dans le délai légal. Elle a refusé de libérer l'appartement. La locataire fait notamment valoir que le congé n'a pas été valablement notifié, l'avis officiel (original) du 30 septembre 2009 ne lui ayant pas été notifié et le pli simple du 9 novembre 2009 ne contenant qu'une photocopie de l'avis officiel. B. Par requêtes déposées le 27 avril 2011 au Tribunal des baux et loyers s'agissant de la locataire et au Tribunal de première instance s'agissant de A._, la bailleresse a requis, par la voie des cas clairs, leur évacuation de l'appartement. Ces requêtes ont été déclarées irrecevables par ces juridictions les 5 septembre et 3 octobre 2011. Il a été retenu que la situation juridique n'était pas claire, au regard de l'art. 257 CPC, compte tenu de l'argument tiré de la nullité de la notification du congé et donc de l'absence de résiliation valable du bail. Par requête déposée à la Commission de conciliation en matière de baux et loyers le 7 octobre 2011 et portée devant le Tribunal des baux et loyers le 22 mars 2012, la bailleresse a conclu à l'évacuation, avec exécution directe, de la locataire. Par ordonnance du 30 mars 2012, le Tribunal des baux et loyers a limité dans un premier temps la procédure aux conclusions en évacuation. Le Tribunal des baux et loyers, par jugement du 24 septembre 2012, a condamné la locataire à évacuer immédiatement l'appartement situé route ..., a réservé la suite de la procédure et a débouté les parties de toutes autres conclusions. Sur appel de la locataire, la Chambre des baux et loyers de la Cour de justice de Genève, par arrêt du 22 avril 2013, a annulé le jugement entrepris, constaté la nullité du congé donné par la bailleresse et débouté les parties de toutes autres conclusions. C. La bailleresse exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal du 22 avril 2013. Elle conclut, sous suite de dépens, à son annulation et, principalement, à la confirmation du jugement de première instance, subsidiairement, au renvoi de la cause à la cour cantonale. La recourante reproche à la cour précédente d'avoir transgressé l'art. 266l CO, l'art. 9 OBLF, l'art. 2 al. 2 CC et elle invoque l'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits. L'intimée conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. La recourante a répliqué. 