Faits: A. Le 17 novembre 2008, Y._ a ouvert action contre les époux H.Z._ et F.Z._ devant le Tribunal de prud'hommes du canton de Genève. Les défendeurs devaient être condamnés à payer près de 93'000 fr. en capital, à titre d'arriérés de salaire. Ils ont conclu au rejet de l'action. A l'audience du 12 février 2009 qui était présidée par la juge salariée M._, la demanderesse était assistée de A._, collaboratrice de l'association Syndicat X._. Elle a déposé un mémoire intitulé « amplification de la demande en justice » dépourvu de signature autre que celle de A._. Le 6 du même mois, la demanderesse avait souscrit une procuration par laquelle elle chargeait le Syndicat X._, « représenté par son président B._ et assisté de A._ », de la représenter dans le procès, « avec pouvoir de substitution ». Le 27 avril 2009, sous la signature de son président B._, le Syndicat X._ a produit deux pièces pour les faire verser au dossier. Les défendeurs ont ensuite contesté que B._ ou A._ fussent en droit de représenter leur adverse partie à titre de mandataires professionnellement qualifiés. Ce point fut débattu à l'audience du 6 mai 2009 qui était présidée par le juge employeur N._. Le Syndicat X._ fut requis de produire une documentation propre à établir sa qualité de mandataire professionnellement qualifié, telle que ses statuts et procès-verbaux d'assemblée générale, la preuve d'une affiliation à une organisation faîtière, et les diplômes des personnes physiques habilitées à le représenter. Le Syndicat a produit de nombreuses pièces, y compris des copies de diplômes relatifs au parcours académique de A._. Dans une lettre d'accompagnement, B._ critiquait l'exception soulevée par les défendeurs, auxquels il imputait un « caprice », et il déniait les compétences juridiques de leur avocat. Par un jugement sur incident du 7 octobre 2009, le Tribunal de prud'hommes, derechef présidé par le juge N._, a prononcé que le Syndicat X._, B._ et A._ ne sont pas des mandataires professionnellement qualifiés et qu'ils ne sont donc pas habilités à représenter ou assister des plaideurs dans les causes prud'homales. Le tribunal a déclaré irrecevables les écritures signées par eux au nom de la demanderesse, et il a ordonné diverses mesures d'instruction en vue de poursuivre l'instance sans la participation du Syndicat X._ ni de ses représentants. B. La demanderesse, le Syndicat X._, B._ et A._ ont appelé de ce jugement. Les défendeurs ont conclu au rejet de l'appel. Le 13 janvier 2010, B._ s'est désisté de l'appel en indiquant qu'il ne revendiquait pas personnellement la qualité de mandataire professionnellement qualifié. Le juge O._ a statué le 31 mars 2010 par un arrêt sur partie, en qualité de Président de la Cour d'appel. Il a confirmé que le Syndicat X._ n'a pas qualité de mandataire professionnellement qualifié et qu'il n'est pas habilité à représenter ou assister des plaideurs dans les causes prud'homales. Pour le surplus, il a requis A._, dans un délai qui lui était assigné, de compléter la justification de son parcours académique à l'étranger, en particulier par le dépôt de documents originaux et de traductions certifiées. C. Agissant par la voie du recours en matière civile, le Syndicat X._ requiert le Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 31 mars 2010, de lui reconnaître la qualité de mandataire professionnellement qualifié et de déclarer recevable, devant le Tribunal de prud'hommes, l'écriture signée le 12 février 2009 par A._. Des conclusions subsidiaires tendent à l'annulation de l'arrêt et au renvoi de la cause, pour nouvelle décision, à un tribunal de prud'hommes qui sera présidé par un juge salarié. Invités à prendre position, la demanderesse conclut à l'admission du recours; les défendeurs concluent principalement à son irrecevabilité et subsidiairement à son rejet. Le juge O._, Président de la Cour d'appel, présente ses observations et propose le rejet du recours. Le Syndicat X._ a annoncé que A._ demandera la récusation du juge O._ dans la suite de l'instance concernant sa propre qualité de mandataire professionnellement qualifié; il a par ailleurs répliqué aux observations de ce magistrat. Les défendeurs ont pris position sur cette dernière écriture; ils déclarent persister dans leurs conclusions. Ils font état d'une plainte pénale que H.Z._ a déposée contre B._, pour calomnie. La demande de récusation introduite par A._, contre le juge O._, a été communiquée au Tribunal fédéral par le greffe de la Cour d'appel. 