Sachverhalt: A. Der 1962 geborene B._, als Station Manager in der Firma X._ tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, erlitt am 11. März 2004 einen Verkehrsunfall. Er hatte den von ihm gelenkten VW Golf Variant hinter einem vor einem Rotlicht stehenden Hyundai Accent angehalten. Ein nachfolgender Mercedes A-Klasse fuhr auf den VW auf, der dadurch gegen das Heck des Hyundai geschoben wurde. Wegen Beschwerden im Nacken- und Kopfbereich suchte B._ gleichentags das Spital Y._ auf, wo ein Distorsionstrauma der Halswirbelsäule (HWS) resp. Schleudertrauma diagnostiziert und eine Arbeitsunfähigkeit bestätigt wurde (Bericht des Spitals vom 11. März 2004). Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Nach verschiedenen Sachverhaltsabklärungen eröffnete sie dem Versicherten mit Verfügung vom 16. März 2006, die Leistungen würden auf den 30. April 2006 eingestellt. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch geklagten Beschwerden stünden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang zum Unfall vom 11. März 2004. Daran hielt die SUVA auf Einsprache des Versicherten fest (Einspracheentscheid vom 6. Juni 2006). B. Die von B._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 28. September 2007 ab. C. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Entscheids sei der Unfallversicherer zu verpflichten, ab 1. Mai 2006 weiterhin Heilbehandlung zu gewähren und Taggeld auszurichten. Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Eingaben vom 25. März resp. 10. April 2008 ergänzen die Parteien ihre Vorbringen im Hinblick auf das Urteil BGE 134 V 109. 