Sachverhalt: A. Die Stadtbauten Bern stellten am 16. Februar 2012 ein Baugesuch für eine Reihe baulicher Veränderungen am Schulhaus "Bitzius" in Bern (Parzelle Nr. 1855). Diese bestehen aus dem Abbruch der Einfachturnhalle, dem Neubau einer Doppelturnhalle mit einem Unterrichtsraum, der Ergänzung des Pausenplatzes mit einem Allwetterplatz mit Ballfang und einem Pavillon sowie dem Versetzen des bestehenden Traforaums. Gegen das Vorhaben erhoben A._, die B._ AG und die C._ AG, die alle drei Mitglieder der Stockwerkeigentümergemeinschaft Brechbühlerstrasse 8 (Parzelle Nr. 4413) sind, Einsprache. Mit Gesamtentscheid vom 8. Januar 2013 erteilte das Regierungsstatthalteramt Bern-Mittelland die Baubewilligung und wies die Einsprache ab. Dagegen legten die Mitglieder der Stockwerkeigentümergemeinschaft Brechbühlerstrasse 8 bei der Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion des Kantons Bern (BVE) Beschwerde ein. Mit Entscheid vom 20. September 2013 trat die BVE auf die Beschwerde nicht ein. Eine dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Urteil vom 25. Februar 2014 ab. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht vom 28. März 2014 beantragen die Mitglieder der Stockwerkeigentümergemeinschaft Brechbühlerstrasse 8, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und die Sache sei zum materiellen Entscheid an die Vorinstanz, eventuell an die BVE zurückzuweisen. Eventualiter sei das Baugesuch abzuweisen. Das Verwaltungsgericht und die BVE schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die Stadt Bern, die am 1. Januar 2014 als Gesamtrechtsnachfolgerin in die Stellung der Stadtbauten Bern eingetreten ist, beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Bauinspektorat der Stadt Bern hat auf eine Stellungnahme verzichtet. In ihrer Stellungnahme dazu halten die Beschwerdeführerinnen an ihren Anträgen und Rechtsauffassungen fest. Mit Präsidialverfügung vom 4. Juni 2014 hat das Bundesgericht das Gesuch der Beschwerdeführerinnen um aufschiebende Wirkung abgewiesen. 