Sachverhalt: A. A._ und C._ sind die geschiedenen Eltern von D._ (geb. 1997). Im Rahmen der Scheidung im Jahr 2008 wurde ihnen die elterliche Sorge entzogen und D._ wurde ein Vormund bestellt. Das Kind blieb in verschiedenen Institutionen untergebracht, bis der Vormund D._ vorübergehend beim Kindsvater platzierte. Die Vormundschaftsbehörde Rheinfelden nahm mit Verfügung vom 12. November 2012 hiervon Kenntnis. Zudem sollte D._ neu die in der Nähe gelegene Schule G._ besuchen. B. B.a. Die Kindsmutter führte hiergegen Beschwerde an das Bezirksamt Rheinfelden. Sie verlangte die Aufhebung der Verfügung vom 12. November 2012. Die Tochter sei sofort und ohne Anhörung des Kindsvaters oder der Vorinstanz in einer geeigneten Institution zu platzieren (z.B. Notfallplätze Kanton Aargau). Sodann sei die Vormundschaftsbehörde Rheinfelden anzuweisen, den bisherigen Vormund H._ von seinem Amt zu entheben und einen Vormund zu bestellen, welcher nicht bei derselben Behörde angestellt sei. Weiter sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. Der Tochter sei eine Kindesvertreterin zuzuweisen. B.b. Mit vorsorglicher Verfügung vom 12. Dezember 2012 wies das Bezirksamt den Antrag auf sofortige Notfallplatzierung ab. D._ bleibe vorläufig bis zum Abschluss des Beschwerdeverfahrens beim Kindsvater platziert mit Besuch der Schule G._. C. C.a. Mit dem Inkrafttreten des neuen Kindesschutzrechts per 1. Januar 2013 ging die Zuständigkeit für das Beschwerdeverfahren auf die Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz des Obergerichts des Kantons Aargau (nachfolgend Obergericht) über. C.b. Mit Präsidialverfügung vom 21. Januar 2013 gewährte das Obergericht A._ die unentgeltliche Rechtspflege. Fürsprecherin F._ bestellte es zur Kindesvertreterin von D._ in diesem Beschwerdeverfahren. C.c. Am 23. Januar 2013 ernannte das Familiengericht Rheinfelden (als ab dem 1. Januar 2013 zuständige Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde) E._ zur neuen Vormundin von D._. C.d. Mit Eingabe vom selben Tag änderte A._ ihre Rechtsbegehren wie folgt: Die Verfügung vom 12. November 2012 sei aufzuheben. Die Tochter sei sofort und ohne weitere Anhörung des Kindsvaters oder der Vorinstanz in einer geeigneten Institution zu platzieren (z.B. Notfallplätze Kanton Aargau). Im Sinne einer vorsorglichen Massnahme sei der Kontakt zwischen ihr und der Tochter, geplant und unterstützt durch die Beiständin, wieder aufzunehmen. C.e. Der Kindsvater verlangte mit Stellungnahme vom 24. Januar 2013 die Abweisung der Beschwerde. C.f. Die Kindesvertreterin beantragte, D._ sei vorläufig beim Vater zu belassen. Dieser sei anzuweisen, die ärztliche Therapie von D._ bei Frau Dr. I._ fortzuführen und der Vormundin regelmässig Bericht zu erstatten. Es sei festzuhalten, dass ihm bezüglich der medikamentösen Therapie von D._ keine Entscheidungsbefugnisse zukämen. Die behandelnde Ärztin sei entsprechend zu informieren. Im Übrigen sei die Beschwerde abzuweisen. C.g. Der Kindsvater teilte am 20. März 2013 mit, dass er die Anträge der Kindesvertreterin unterstütze, hielt aber an seinen Begehren fest. D. D.a. Das Obergericht holte mehrere Berichte über den Stand von D._ ein. Am 28. März 2013 erstattete die Vormundin des Kindes einen Zustandsbericht. Die Kindsmutter nahm am 2. April 2013 Stellung zum Bericht; sie hielt an ihren Anträgen fest. D.b. Am 21. Mai 2013 erstattete der Kinder- und Jugendpsychiatrische Dienst Basel-Land (KJP) einen Bericht über die Platzierung von D._ beim Vater mit Besuch der Schule G._ sowie über ihre Beziehung zur Mutter. Berichterstatterin Dr. med. K._ empfahl, dass D._ - ihrem Wunsch entsprechend - vorläufig beim Kindsvater wohnen bleiben und weiterhin die Schule G._ besuchen könne. D.c. Die Vormundin und die Kindesvertreterin schlossen sich mit Stellungnahmen vom 6. Juni resp. 13. Juni 2013 den Schlussfolgerungen im Bericht an. D.d. Mit Eingabe vom 21. Juni 2013 änderte die Kindsmutter ihre Rechtsbegehren erneut. Sie verlangte, die Verfügung vom 12. November 2012 sei aufzuheben. Als vorsorgliche Massnahme sei der Kontakt zwischen ihr und der Tochter, geplant und unterstützt durch die Vormundin, im Umfang von einem Gespräch pro Monat in den Räumen der Vormundin umgehend wieder aufzunehmen. Die Vormundschaftsbehörde Rheinfelden sei aufzufordern, einen neuen Vormund zu bestellen, welcher nicht bei der Amtsvormundschaft Rheinfelden angestellt sei; eventualiter sei dieser direkt durch die Beschwerdeinstanz einzusetzen. Der Staat habe die Verfahrenskosten zu tragen und ihr sei die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. D.e. Mit Entscheid vom 22. August 2013 schrieb das Obergericht den Antrag auf sofortige Umplatzierung des Kindes infolge Rückzugs ab (Ziff. 1). Sodann schrieb es infolge Gegenstandslosigkeit auch den Antrag auf Auswechslung des Vomundes H._ ab (Ziff. 2). Im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Ziff. 3.1 des Urteils). Ergänzend zum erstinstanzlichen Urteil verband es die vormundschaftliche Platzierung beim Kindsvater mit Besuch der Schule G._ mit der Auflage der Weiterführung der psychotherapeutischen Begleitung bei Dr. med. I._; das Obergericht wies den Vater darauf hin, dass ihm keine Elternrechte und somit auch keine Entscheidungskompetenz betreffend die medikamentösen Behandlungen von D._ zukämen (Ziff. 3.2). Die Kosten des Verfahrens (Entscheidgebühr, Kosten für den ärztlichen Bericht und die Vertretung des Kindes) auferlegte das Obergericht A._, nahm diese aufgrund der unentgeltlichen Rechtspflege indes vorerst auf die Gerichtskasse und wies A._ auf ihre Nachleistungspflicht hin. Die Entschädigung für die Kindesvertreterin wurde auf Fr. 1'000.-- festgesetzt (Ziff. 4.1 bis 4.3). Weiter setzte es das der unentgeltlichen Rechtsvertreterin für ihre Aufwendungen geschuldete Honorar auf Fr. 1'300.-- (inkl. Auslagen und MWSt) fest, welches ihr von der Obergerichtskasse zu bezahlen sei (Ziff. 5). Dem Kindsvater sprach das Obergericht keine Parteientschädigung zu (Ziff. 6). E. E.a. Gegen diesen Entscheid führt A._ (Beschwerdeführerin) Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Sie beantragt, der Entscheid vom 22. August 2013 sei bezüglich der Ziffern 3.1, 3.2, 4.1, 4.2, 4.3 und 5 aufzuheben. Ebenso sei die Verfügung vom 12. November 2012 des Gemeinderats Rheinfelden aufzuheben. Sie beantragt auch vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege. E.b. Das Bundesgericht hat die Akten, in der Hauptsache aber keine Vernehmlassungen eingeholt. Am 24. Oktober 2013 liess die Beschwerdeführerin eine aktuelle Verfügung der Sozialhilfe der Gemeinde Rheinfelden nachreichen. F. In derselben Rechtsschrift wie die Beschwerdeführerin ficht auch ihre Rechtsanwältin den obergerichtlichen Entscheid an in Bezug auf das ihr als unentgeltliche Rechtsvertreterin zugesprochene Honorar. Diese Angelegenheit ist getrennt zu beurteilen (vgl. separates Verfahren 5A_945/2013). Unabhängig davon erhob zudem die Kindesvertreterin gegen die ihr zugesprochene Entschädigung Beschwerde an das Bundesgericht (vgl. Verfahren 5A_701/2013). 