Faits: A. B._ a travaillé pour X._. Elle a été affiliée à la CIA Caisse de prévoyance du personnel enseignant de l'instruction publique et des fonctionnaires de l'administration du canton de Genève (la Caisse de prévoyance de l'État de Genève depuis le 1er janvier 2014). Elle a présenté une incapacité totale de travail à partir du 28 mars 2008. Elle a démissionné de son poste pour le 31 août suivant. Elle a requis des prestations de l'assurance-invalidité le 9 janvier 2009. Son droit à une rente entière d'invalidité depuis le 1er juillet 2009 a été reconnu par décision de l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité le 6 juillet 2011. La caisse de prévoyance a informé l'assurée le 16 avril 2012 qu'elle lui reconnaissait le droit à une rente d'invalidité LPP d'un taux égal à celui admis par les organes de l'assurance-invalidité. Elle lui en a communiqué le montant le 30 juillet 2012. Dans la mesure où les prestations allouées semblaient limitées à celles découlant de la prévoyance professionnelle obligatoire, l'intéressée a demandé à la CIA de lui verser des prestations statutaires. La caisse de prévoyance a refusé dès lors que, selon ses statuts, seul un salarié invalide avait droit à une pension statutaire de sorte que, l'invalidité étant en l'occurrence survenue après la fin des rapports de service, B._ n'en remplissait pas les conditions d'octroi. L'assurée a contesté cette interprétation et persisté à réclamer le versement de prestations statutaires d'invalidité. B. L'intéressée a déposé une demande en paiement contre la CIA devant la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève le 21 novembre 2012. Elle considérait que les statuts de la caisse de prévoyance se contentaient de définir de façon autonome la notion d'invalidité et ne concernaient nullement la définition de l'événement assuré de sorte que le paiement de prestations statutaires ne pouvait être subordonné à la survenance d'une invalidité pendant la période d'assurance. Elle concluait à la condamnation de la CIA à lui octroyer une rente statutaire d'invalidité dès le 1er juillet 2009. La caisse de prévoyance a conclu au rejet de la demande. Elle prétendait que seule une invalidité constatée au moment où l'assuré durablement atteint dans sa santé durant l'exercice de ses fonctions était toujours salarié donnait droit à des prestations statutaires. Les parties ont développé leurs interprétations de la notion statutaire d'invalidité et ont maintenu leurs conclusions lors d'un second échange d'écritures. Le tribunal cantonal a débouté B._ (jugement du 10 octobre 2013). Il a estimé que le libellé parfaitement clair des statuts exigeait que la qualité de salarié soit remplie à la naissance de l'invalidité et a écarté toute autre interprétation. C. L'assurée recourt contre ce jugement. Elle demande son annulation et, sous suite de dépens, conclut à la condamnation de la CIA à lui verser une rente statutaire d'invalidité dès le 1er juillet 2009 ou au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour instruction complémentaire. La caisse de prévoyance conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. 