Sachverhalt: A. B._ war seit 1. April 2006 bei der A._ AG als Geschäftsführer des Hotels/Restaurants Z._ in N._ angestellt. Am 22. November 2006 wurde er fristlos entlassen. Er stellte sich auf den Standpunkt, die fristlose Entlassung sei ungerechtfertigterweise erfolgt. B. Am 5. Oktober 2007 erhob B._ beim Bezirksgericht Hinwil Klage gegen die A._ AG, mit der er unter anderem beantragte, diese sei zu verpflichten, ihm Fr. 85'042.50 nebst Zins zu bezahlen als Lohn bis zum Ablauf der ordentlichen Kündigungsfrist am 30. September 2007 und anteilsmässigen 13. Monatslohn. Ferner verlangte er unter anderem die Zusprechung einer gerichtlich festzulegenden Entschädigung im Sinne von Art. 337c Abs. 3 OR in der Höhe von vier Monatslöhnen. Das Bezirksgericht hiess die Klage mit Urteil vom 15. Dezember 2010 teilweise gut und verpflichtete die A._ AG, B._ Fr. 78'163.25 netto nebst Zins zu 5 % seit 7. Dezember 2006 zu bezahlen und die auf das Bruttogehalt entfallenden Sozialabzüge mit den entsprechenden Sozialversicherungseinrichtungen abzurechnen. Ferner verpflichtete es sie zur Ausrichtung einer Entschädigung im Sinne von Art. 337c Abs. 3 OR von Fr. 24'000.--. Dagegen erhob die A._ AG erfolglos Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich, welches das Urteil des Bezirksgerichts mit Entscheid vom 22. Mai 2013 bestätigte. C. Die A._ AG (Beschwerdeführerin) beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben. Die Sache sei zur Neubeurteilung an die kantonalen Instanzen zurückzuweisen, zwecks weiterer Beweisabnahmen und Durchführung einer öffentlichen Urteilsberatung, eventuell mit Vergleichsverhandlung. Eventuell sei im Sinne der von der Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren gestellten Anträge zu entscheiden bzw. die Klage abzuweisen. B._ (Beschwerdegegner) schloss mit Vernehmlassung vom 9. November (recte: Dezember) 2013 auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Stellungnahme zur Beschwerde. Die Parteien reichten Replik und Duplik ein. Mit Verfügung vom 4. Oktober 2013 wurde ein Gesuch der Beschwerdeführerin, es sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen, abgewiesen. Am 31. Oktober 2013 wurde dem Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt und ein unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben. 