Sachverhalt: Sachverhalt: A. Am 9. Februar 2003 fand im Kanton Uri die Volkswahl des Landgerichts Uri für die Amtsdauer 2003 - 2007 statt. Dabei wurden die Kandidaten für die acht Richtersitze im ersten Wahlgang gewählt. Die Kandidatin für das Vizepräsidium, Agnes Planzer Stüssi, erreichte das absolute Mehr ebenfalls und wurde damit als Vizepräsidentin des Landgerichts Uri gewählt. Der einzige Kandidat für das Präsidium, der bisherige Amtsinhaber Bruno Aschwanden, verfehlte hingegen das absolute Mehr und wurde damit nicht gewählt. Im zweiten Wahlgang vom 18. Mai 2003 kandidierte neben Bruno Aschwanden neu auch Agnes Planzer Stüssi für das Präsidium. Sie erhielt mit 3'862 Stimmen 1'124 Stimmen mehr als ihr Gegenkandidat und wurde damit als Präsidentin des Landgerichts Uri gewählt. Im zweiten Wahlgang vom 18. Mai 2003 kandidierte neben Bruno Aschwanden neu auch Agnes Planzer Stüssi für das Präsidium. Sie erhielt mit 3'862 Stimmen 1'124 Stimmen mehr als ihr Gegenkandidat und wurde damit als Präsidentin des Landgerichts Uri gewählt. B. Mit Beschwerde vom 26. Mai 2003 beantragte der im Kanton Uri stimmberechtigte Walter Stöckli, die bei der Nachwahl vom 18. Mai 2003 für Agnes Planzer Stüssi abgegebenen Stimmen seien ungültig zu erklären. Ausserdem verlangte er den Ausstand des Justizdirektors, der "übrigen Justizdirektion" sowie "evtl. deren Sachbearbeiter" und ersuchte, seiner Beschwerde aufschiebende Wirkung zukommen zu lassen. Er machte im Wesentlichen geltend, Agnes Planzer Stüssi sei rechtsgültig als Vizepräsidentin gewählt worden. Sie habe die Wahl nicht abgelehnt und auch keinen Rücktritt erklärt. Sie unterliege damit dem Amtszwang und mache sich der Amtsverweigerung schuldig, wenn sie ihr Amt als Vizepräsidentin nicht antrete. Da sie im ersten Wahlgang in eine Kollegialbehörde gewählt worden sei, könne sie daher im zweiten Wahlgang nicht nochmals kandidieren. Am 4. Juni 2003 erkannte der Regierungsrat des Kantons Uri, in Ausstand von Frau Landamman Gabi Huber und des Justizdirektors Martin Furrer, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu. Am 16. Juni 2003 wies der Regierungsrat des Kantons Uri die Wahlbeschwerde ab, soweit er darauf eintrat, und erwahrte das Ergebnis der Nachwahl des Landgerichtspräsidiums Uri für die Amtsdauer 2003- 2007 vom 18. Mai 2003. Am 16. Juni 2003 wies der Regierungsrat des Kantons Uri die Wahlbeschwerde ab, soweit er darauf eintrat, und erwahrte das Ergebnis der Nachwahl des Landgerichtspräsidiums Uri für die Amtsdauer 2003- 2007 vom 18. Mai 2003. C. Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 18. August 2003 beantragt Walter Stöckli, den Beschluss des Regierungsrates vom 16. Juni 2003 aufzuheben. Die Justizdirektion-Stellvertretung des Kantons Uri beantragt in ihrer Vernehmlassung, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Ausserdem ersucht sie um eine beförderliche Behandlung der Beschwerde, da das Landgericht Uri unter einer grossen Pendenzenlast leide und bis zur Neubesetzung des Landgerichtsvizepräsidiums in seiner Funktionsfähigkeit erheblich eingeschränkt sei. Agnes Stüssi Planzer stellt denselben Antrag; auch sie weist auf die Dringlichkeit hin, das Landgericht wieder vollständig besetzen zu können. 