Faits: A. D._, né le 27 novembre 1963, fils de E._ et A._, est décédé le 21 novembre 2007. Il avait donné, à intervalles réguliers, des procurations conférant à sa compagne, C._, tous les pouvoirs pour prendre des décisions le concernant, en particulier sur le plan médical et social, ainsi que pour régler toutes ses affaires administratives. Le 19 novembre 2007, il avait signé un document dans lequel il affirmait "vouloir être enterré et non pas incinéré, en cas de décès, et ceci dans le cimetière de Val d'Illiez, ce lieu qu'[il] a beaucoup aimé" et espérait que sa "famille comprendra [son choix] de rester près de [sa] compagne, C._, qui s'est bien occupée de [lui]". Le 26 novembre 2007, il a été inhumé dans le cimetière de Clarens, dans la concession de corps n° 1792. B. Le 1er septembre 2008, C._ a sollicité de la commune de Montreux l'autorisation de faire exhumer le cercueil contenant les restes mortels de feu D._ en vue de sa ré-inhumation dans le cimetière de Val d'Illiez, cette commune ayant donné son accord. Par décision du 16 septembre 2008, le Service de la santé publique du canton de Vaud (ci-après: le Service de la santé publique) a autorisé l'exhumation de la dépouille mortelle. Par lettre du 28 octobre 2008 - dont une copie a été adressée au responsable du cimetière de Clarens ainsi qu'aux Pompes Funèbres Générales SA -, A._ a informé C._ qu'elle s'opposait à l'exhumation des restes de son fils. En date du 29 décembre 2008, E._ a donné son accord à l'exhumation de la dépouille mortelle de son fils et au transfert de celle-ci dans le cimetière de Val d'Illiez. Le 30 janvier 2009, le Service de la santé publique a suspendu son autorisation d'exhumation compte tenu du litige opposant C._ à la mère du défunt. Par courrier du 9 mars 2009 adressé à la Préfecture du district Riviera-Pays-d'Enhaut (ci-après: la Préfecture), C._ a expliqué les raisons pour lesquelles elle avait tardé à faire appliquer la volonté de D._ d'être enterré à Val d'Illiez: "dans l'émotion du décès et devant prendre une décision rapide au téléphone, [elle avait] cédé aux pressions de la soeur de D._, B._, qui bien qu'ayant eu connaissance de la volonté écrite de son frère d'être enterré à Val d'Illiez, [avait] insisté pour que l'enterrement se fasse à Clarens; ce n'est que plus tard en tombant sur le document exprimant la volonté de [feu son compagnon] qu'[elle avait] pris conscience de son manquement et qu'[elle avait] voulu le rattraper". Le 10 mars 2009, la Préfecture a préavisé négativement la demande d'exhumation, au motif que C._ reconnaissait avoir donné son accord pour l'ensevelissement à Clarens, alors qu'elle avait déjà signalé à la soeur du défunt que celui-ci souhaitait être enseveli à Val d'Illiez, que la demande d'exhumation avait été faite uniquement "pour rattraper ce qu'elle appelle son manquement et pour respecter même tardivement les dernières volontés de son ami", et que l'émotion dégagée lors de l'entretien avec les parties concernées permettait d'être convaincu que la mère et la soeur n'agissaient pas par vengeance envers C._. Par décision du 23 mars 2009, le Service de la santé publique a dès lors annulé son autorisation d'exhumer les restes mortels de feu D._. Par lettres des 8 et 9 avril 2009, C._ a sollicité le réexamen de la décision du 23 mars 2009. Par nouvelle décision du 15 avril 2009, le Service de la santé publique a autorisé l'exhumation du corps de feu D._, afin qu'il puisse être inhumé dans le cimetière de Val d'Illiez. C. A._ et B._ ont recouru auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) contre cette décision en concluant à son annulation. Elles ont produit un courrier daté du 24 avril 2009 de E._, dans lequel celui-ci se rétracte et souhaite désormais que feu son fils repose au cimetière de Clarens. Par arrêt du 12 août 2009, le Tribunal cantonal a rejeté le recours et confirmé la décision du Service de la santé publique du 15 avril 2009. D. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ et B._ demandent principalement au Tribunal fédéral de réformer l'arrêt attaqué, en ce sens que la décision du Service de la santé publique du 15 avril 2009 est annulée. Elles concluent subsidiairement à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Invitée à se déterminer, C._ renonce à déposer une réponse, dans la mesure où elle adhère aux considérants de l'arrêt attaqué. Le Tribunal cantonal ne présente pas d'observations. Le Service de la santé publique conclut au rejet du recours. E. Par ordonnance du 12 octobre 2009, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif présentée par les recourantes. 