Sachverhalt: A. Die Stiftung X._ (Beschwerdeführerin) hat ihren Sitz am Y._weg in Z._. Sie bezweckt, bei der Finanzierung von Aufgaben, die den Weitererhalt des Tierheims X._ betreffen, Mithilfe zu leisten. Die Stiftung kann auch Liegenschaften an- und weiterverkaufen, die diesem Zweck dienen. Präsident des Stiftungsrates war B._ bis zu seinem Tode am 4. März 2008. Hernach übernahm C._ das Präsidium. Als Einzelunternehmerin betreibt sie ausserdem das Tier- und Pflegeheim Q._, ebenfalls am Y._weg in Z._. A._ (Beschwerdegegnerin) ist die Witwe von B._ und dessen Universalerbin. Nach dessen Tod fand sie in einem Tresor eine auf Briefpapier des Tier- und Pflegeheims Q._ ausgestellte Quittung vom 9. Februar 2008, mit welcher C._ bestätigt, von B._ den Betrag von Fr. 50'000.-- "für den Schuldbrief Grundbuch Starrkirch-Wil Nr. vvv._ vom 16. August 1984 erhalten zu haben". Dieser Inhaberschuldbrief befand sich ebenfalls im Tresor. Darin anerkennt die Eigentümerin des Grundstücks, die Stiftung R._, dem Inhaber des Schuldbriefs Fr. 50'000.-- zu schulden. B. Die Beschwerdegegnerin klagte am 25. Februar 2009 vor dem Richteramt Olten-Gösgen gegen die Beschwerdeführerin auf Zahlung von Fr. 50'000.-- nebst 5 % Zins seit 1. Dezember 2008. Die Beschwerdeführerin ihrerseits erhob Widerklage mit dem Begehren, die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, ihr den auf der Liegenschaft GB Starrkirch-Wil Nr. vvv._ lastenden Inhaberschuldbrief per nominell CHF 50'000.-- vom 16. August 1984 unbelehnt herauszugeben. Mit Urteil vom 14. September 2010 verpflichtete das Richteramt Olten-Gösgen die Beschwerdeführerin, der Beschwerdegegnerin Fr. 50'000.-- nebst 5 % Zins seit 14. April 2009, Zug um Zug gegen Herausgabe des auf der Liegenschaft GB Starrkirch-Wil Nr. vvv._ lastenden Inhaberschuldbriefs über Fr. 50'000.-- vom 16. August 1984 zu bezahlen. Die Widerklage wies es ab. Auf Appellation der Beschwerdeführerin wies das Obergericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 10. Mai 2011 sowohl die Klage als auch die Widerklage ab. C. Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Obergerichts vom 10. Mai 2011 betreffend die Widerklage aufzuheben und diese gutzuheissen. Eventuell sei die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Die Vorinstanz beantragt unter Hinweis auf die Akten und die Motive seines Urteils, die Beschwerde abzuweisen. Die Beschwerdeführerin hat in einer weiteren Eingabe einen Schreibfehler richtig gestellt. 