Sachverhalt: A. Im Juni 1998 reiste der irakische Staatsangehörige X._ (geb. 1966) illegal in die Schweiz ein und ersuchte um Asyl. Dieses Gesuch wurde am 24. Juli 2001 abgewiesen und X._ aufgefordert, die Schweiz zu verlassen. Die Schweizerische Asylrekurskommission bestätigte diesen Entscheid am 30. April 2002, worauf X._ eine neue Ausreisefrist angesetzt wurde. Die Behörden konnten die Wegweisung in den Irak nicht vollziehen. Im Juli 2001 hatte sich X._ von seiner in der Heimat verbliebenen Ehefrau, mit der er einen ebenfalls im Irak lebenden Sohn hat, scheiden lassen. Im Juni 2004 heiratete er die türkische Staatsangehörige Y._ (geb. 1978), welche über eine Niederlassungsbewilligung im Kanton Thurgau verfügt. Die in der Folge für X._ beantragte Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung lehnte das kantonale Migrationsamt am 9. September 2004 wegen fortgesetzter und erheblicher Fürsorgeabhängigkeit ab; gleichzeitig forderte es ihn auf, bis zum 9. Oktober 2004 auszureisen. Dieser Entscheid ist in Rechtskraft erwachsen. Dennoch blieb X._ in der Schweiz. Mit Verfügung vom 24. Februar 2005 stellte das Bundesamt für Migration fest, dass in Abweichung von der Feststellung im Asylentscheid vom 24. Juli 2001 ein Vollzug der Wegweisung in den Irak wieder möglich sei. Es forderte X._ erneut vergeblich zur Ausreise innert Frist auf. Auf ein von ihm im April 2007 gestelltes Wiedererwägungsgesuch betreffend Asyl trat das Bundesamt mit Entscheid vom 17. Juli 2007 nicht ein. Dieser Entscheid blieb unangefochten. B. Am 31. Oktober 2007 ersuchte X._ um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Ehefrau und den inzwischen geborenen Kindern A._ (geb. 2005) und B._ (geb. 2007). Das Migrationsamt des Kantons Thurgau lehnte das Gesuch am 29. April 2009 ab. Das kantonale Departement für Justiz und Sicherheit sowie anschliessend das Verwaltungsgericht wiesen die dagegen erhobenen Rechtsmittel am 22. Dezember 2009 bzw. 16. Juni 2010 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 30. August 2010 beantragt X._ dem Bundesgericht, das in dieser Sache im Kanton zuletzt ergangene Urteil des Verwaltungsgerichts vom 16. Juni 2010 aufzuheben und ihm eine Aufenthaltsbewilligung "im Rahmen der Bestimmungen über den Familiennachzug" zu erteilen. Eventualiter sei die Angelegenheit zu weiteren Abklärungen an die Vorinstanzen zurückzuweisen. Das Migrationsamt, das Departement für Justiz und Sicherheit sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau stellen ebenso wie das Bundesamt für Migration den Antrag, die Beschwerde abzuweisen. 