Sachverhalt: A. Anlässlich der Gemeindeversammlung der Gemeinde Mutten vom 7. Oktober 2005 war der Gemeindevorstand neu zu wählen. Zur Wiederwahl stellte sich u.a. Rolf Gosswiler, der seit 18 Jahren dem Gemeindevorstand angehört. Im Laufe der Diskussion gab Werner Wyss zu bedenken, dass Rolf Gosswiler seinen Lebensmittelpunkt nicht mehr in der Gemeinde Mutten habe, er daher nicht als in Mutten wohnhaft betrachtet und demnach nicht in den Gemeindevorstand gewählt werden könne. Beim Wahlgang erhielt Rolf Gosswiler 30 Stimmen, der Gegenkandidat Enrico Battaglia 15 Stimmen. Damit war Rolf Gosswiler in den Gemeindevorstand gewählt. B. Werner Wyss und weitere Stimmberechtigte fochten die Wahl von Rolf Gosswiler beim Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden mit der Rüge an, Rolf Gosswiler hätte mangels Wohnsitz in Mutten nicht in den Gemeindevorstand gewählt werden dürfen. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde am 9. Mai 2006 ab (Verfahren V 05 07). Die dagegen von Werner Wyss und weitern Stimmberechtigten beim Bundesgericht erhobene staatsrechtliche Beschwerde wurde am 12. Dezember 2006 unter Aufhebung des verwaltungsgerichtlichen Urteils gutgeheissen (Verfahren 1P.511/2006). Das Bundesgericht bejahte eine Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV, weil das Verwaltungsgericht erheblichen Beweisanträgen keine Folge gegeben und den Sachverhalt unvollständig abgeklärt hatte und auf die Vorbringen der damaligen Beschwerdeführer unzureichend eingegangen war. Mit Entscheid vom 4. September 2007 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde erneut ab (Verfahren V 05 7A) . Nach Erhebung von Beweisen und Durchführung eines Augenscheins in Mutten kam das Verwaltungsgericht zum Schluss, dass Rolf Gosswiler zu Sils i.D. keine näheren Beziehungen unterhalte, seine Beziehungen zu Mutten stets aufrechterhalten habe und daher den für die Wahl in den Gemeindevorstand erforderlichen Wohnsitz in Mutten habe. C. Gegen diesen Entscheid des Verwaltungsgerichts gelangten Werner Wyss und die weitern im Rubrum genannten Personen erneut ans Bundesgericht und beantragen mit ihrer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und die Wahl von Rolf Gosswiler für ungültig zu erklären; eventualiter sei die Sache an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Sie machen im Wesentlichen geltend, das Verwaltungsgericht habe die erhobenen Sachverhaltselemente im Hinblick auf die nach Art. 23 ZGB zu beurteilende Frage des Wohnsitzes fehlerhaft gewürdigt und damit den Wohnsitz von Rolf Gosswiler in der Gemeinde Mutten zu Unrecht bejaht. Weiter rügen sie eine willkürliche Feststellung des Sachverhalts und beanstanden schliesslich, dass sie für das erste verwaltungsgerichtliche Verfahren nicht entschädigt worden sind. Die Gemeinde Mutten beantragt mit ihrer Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Verwaltungsgericht beantragt unter Verzicht auf eine Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. Rolf Gosswiler hat sich nicht vernehmen lassen. D. Mit Schreiben vom 6. Mai 2008 wies die Gemeinde Mutten unter Beilage des entsprechenden Protokolls darauf hin, dass Rolf Gosswiler anlässlich der Gemeindeversammlung vom 2. November 2007 wiederum als Mitglied des Gemeindevorstandes gewählt worden sei, ohne dass dagegen Widerstand oder gar eine neue Beschwerde erhoben worden wäre. Die Beschwerdeführer nahmen dazu am 26. Juni 2008 Stellung. 