Sachverhalt: A. Die A._ GmbH (Klägerin) mit Sitz in U._ bezweckt den Betrieb eines Zentrums für Diagnostik, speziell die Vornahme medizinischer Abklärungen und Begutachtungen für Gerichte, Sozialversicherungen und Privatversicherungen. Ihre Geschäftsführer und medizinischen Leiter sind Dr. B._ (Kläger) und dessen Ehefrau. Im Herbst 2006 berichtete die Sendung "Kassensturz" in drei Beiträgen über die Kläger. Verantwortlich dafür zeichnet die Schweizerische Radio- und Fernsehgesellschaft (Beklagte), ein Verein in Bern, dessen Zweigniederlassung in Zürich, das Unternehmen SRF Schweizer Radio und Fernsehen, die Sendung "Kassensturz" herstellt und ausstrahlt. Die drei Beiträge über die Kläger hatten im Wesentlichen folgenden Inhalt: A.a. Der erste Beitrag mit dem Titel "... " wurde am xx.xx.2006 ausgestrahlt. Der "Kassensturz" machte gestützt auf Angaben dreier, einst bei der Klägerin beschäftigter Neurologen und anhand von zwei Beispielfällen auf Missstände bei der Erstellung von polydisziplinären medizinischen Gutachten aufmerksam. Danach haben die Klägerin und namentlich der Kläger den Grad der Arbeitsfähigkeit der Exploranden, wie er von Fachärzten in Teilgutachten ermittelt wurde, im Schlussgutachten ohne Rücksprache mit den Fachärzten erhöht und damit zulasten der Exploranden abgeändert. Unter Umständen seien dadurch zahlreiche Patienten um Versicherungsgelder in Millionenhöhe geprellt worden. Gegen den Kläger laufe ein Strafverfahren. In der Sendung konnte der Kläger für sich selbst und für die Klägerin zu den Vorwürfen in einem Live-Interview Stellung nehmen. A.b. Am yy.yy.2006 wurde der zweite Beitrag mit dem Titel "..." gesendet. Der "Kassensturz" berichtete, die vorgeworfenen Änderungen hätten System, was an einem weiteren Beispielfall veranschaulicht wurde. Der Beitrag umfasste unter anderem ein Interview mit Rechtsanwältin C._, die behauptete, wie das jüngste Beispiel der Klägerin zeige, schickten die Versicherungen die Betroffenen vor allem zu Gutachterstellen, die versicherungsfreundlich entschieden. Die Qualität sei kein Thema. Es gebe keine Qualitätskontrolle, weder von den Gutachterstellen noch von den Gutachten. Der "Kassensturz" schloss mit der Bemerkung "Ein happiger Vorwurf" und fügte an, Gutachterfirmen seien finanziell von den Versicherungen abhängig, denn diese bezahlten die Gutachten. Eine unabhängige Überprüfung der Gutachten gebe es nicht. Er wies sodann auf die eingeblendete schriftliche Stellungnahme der Klägerin hin, wonach die Klägerin einzig der medizinisch-objektiven Wahrheit verpflichtet sei und in keiner Weise Gefälligkeitsgutachten erstelle. A.c. Ein dritter Beitrag vom zz.zz.2006 wurde mit den Worten anmoderiert, der "Kassensturz" habe kürzlich darüber berichtet, wie die Klägerin "Expertisen über Patienten reihenweise abgeändert hat - eigenmächtig, ohne mit den Ärzten Rücksprache zu nehmen, und immer zum Nachteil der Patienten". Darauf folgte der Hinweis, dass im Nationalrat eine Interpellation zur Qualitätskontrolle bei ärztlichen Gutachten im Bereich der Invalidenversicherung eingereicht worden sei. B. Durch die drei Beiträge in den Sendungen "Kassensturz" sahen sich die Kläger in ihren Geschäftsverhältnissen herabgesetzt und widerrechtlich in ihrer Persönlichkeit verletzt. Sie klagten am 17. September 2007 gegen die Beklagte mit den Begehren auf Feststellung der Widerrechtlichkeit der Verletzungen, auf Löschung der Beiträge im Internet, auf Ausstrahlung einer Berichtigung und auf Zahlung eines Geldbetrags. Das Zivilgericht Basel-Stadt hiess die Klage teilweise gut und stellte fest, dass die Beiträge in den Sendungen "Kassensturz" vom yy.yy.2006 und vom zz.zz.2006 die Kläger in ihrer Persönlichkeit widerrechtlich verletzt haben und gegenüber der Klägerin unlauter waren. Es verpflichtete die Beklagte, den Beitrag vom yy.yy.2006 von ihren Websites zu löschen und die Löschung des Beitrags aus dem Cache der Internet-Suchmaschinen "Google" und "Yahoo!" zu veranlassen. Alle weiteren Begehren wurden abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden konnte (Entscheid vom 30. Mai 2013). Die Beklagte legte dagegen eine Berufung ein, die das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt abwies (Entscheid vom 14. Mai 2014). C. Mit Eingabe vom 26. Juni 2014 beantragt die Beklagte dem Bundesgericht, die Klage vollumfänglich abzuweisen. Ihrem Gesuch um aufschiebende Wirkung, gegen deren Erteilung weder die Kläger noch das Appellationsgericht etwas einzuwenden hatten, entsprach der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts (Verfügung vom 10. Juli 2014). Es wurden die kantonalen Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt. 