Sachverhalt: A. Der am 3. Mai 1947 geborene C._ ist kosovarischer Staatsangehöriger und wohnt in Kosovo. Mit Antrag vom 15. Juni 2012 (eingegangen am 31. Juli 2012) meldete er sich bei der Schweizerischen Ausgleichskasse (nachfolgend: SAK) zum Bezug einer "Altersrente für Personen mit Wohnsitz ausserhalb der Schweiz" an. Mit Verfügung vom 19. September 2012 teilte ihm die SAK mit, er hätte grundsätzlich die Wahl zwischen der Zahlung einer ordentlichen Altersrente von Fr. 180.- monatlich oder einer einmaligen Abfindung von Fr. 40'573.-, da aber das zwischen der Schweiz und dem ehemaligen Jugoslawien abgeschlossene Sozialversicherungsabkommen ab 1. April 2010 im Verhältnis zu Kosovo nicht weiter angewendet werde, müsse sein Antrag dennoch abgewiesen werden. Die am 23. Oktober 2012 bei der SAK eingegangene Erklärung, dass er die einmalige Abfindung wähle, nahm die SAK als Einsprache entgegen und hielt mit Einspracheentscheid vom 18. Februar 2013 an der Abweisung des Anspruchs auf eine monatliche Rente oder eine einmalige Abfindung fest. B. Die hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Bundesverwaltungsgericht gut, hob den Einspracheentscheid vom 18. Februar 2013 auf und wies die Sache an die SAK zurück, damit diese die Prüfung des Rentenbegehrens fortsetze und anschliessend unter Anwendung des noch in Kraft stehenden Sozialversicherungsabkommens in der Sache neu verfüge (Entscheid vom 5. Juni 2013). C. Die SAK erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 5. Juni 2013 sei aufzuheben und ihr Einspracheentscheid vom 18. Februar 2013 zu bestätigen. C._ schliesst sinngemäss auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) und das Bundesverwaltungsgericht verzichten auf eine Vernehmlassung. 