A.- X._ dirige une agence pratiquant le courtage en matière d'assurances. En avril 1995, il a engagé Y._ en qualité d'agent d'assurance, rémunéré presque exclusivement à la commission, sous réserve du paiement de 2000 fr. par mois d'avance sur commissions et de 500 fr. de frais. En raison de l'activité déployée, Y._ a gagné en moyenne 6803 fr.10 par mois. Au début novembre 1996, Y._ a indiqué à son employeur qu'il désirait résilier le contrat de travail pour la fin de l'année; X._ ayant trouvé le délai trop long, les parties sont convenues d'en fixer l'échéance au 30 novembre 1996. Dès le 1er janvier 1997, Y._ est entré au service de l'assurance Z._, où il travaille encore actuellement. B.- Le 23 mars 1999, X._ a ouvert action devant la juridiction des prud'hommes de Genève contre Y._, en concluant à la condamnation de son ex-employé à lui payer en capital les montants de 45 420 fr.45 et de 10 000 fr. X._ a réclamé cette dernière somme à titre de réparation du dommage causé par l'inactivité fautive de son ancien employé pendant le mois de novembre 1996; le demandeur a ramené cette prétention à 8000 fr. après enquêtes. Par jugement du 14 novembre 2000, le Tribunal des prud'hommes a condamné le défendeur à payer à son ex-employeur la somme de 8000 fr. de dommages-intérêts. Le tribunal a fixé ce montant sur la base de l'art. 42 al. 2 CO, à partir du salaire mensuel moyen perçu par Y._ durant son activité pour le demandeur, auquel était ajouté le "dommage supplémentaire" subi par X._ du fait que le défendeur travaillait déjà en novembre 1996 pour Z._. Saisie d'un appel du défendeur et d'un appel incident du demandeur, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève, par arrêt du 1er octobre 2001, a annulé le jugement du 14 novembre 2000 et débouté l'employeur de toutes ses conclusions. Elle a retenu que l'ex-employé avait violé ses obligations de fidélité et de travail en novembre 1996, fautivement, en causant à son ancien employeur un dommage, dont ce dernier n'avait toutefois pas rapporté la preuve. Comme l'art. 42 al. 1 CO (sic) ne permettait pas de pallier cette carence, il n'y avait pas lieu de condamner le défendeur à payer au demandeur la somme de 8000 fr. C.- X._ interjette au Tribunal fédéral, parallèlement, un recours de droit public et un recours en réforme. Dans le recours de droit public, il conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal, l'intimé devant être débouté de toutes ses conclusions. Invoquant une appréciation insoutenable des faits établis et une application arbitraire du droit cantonal régissant la procédure prud'homale, il fait grief à la cour cantonale, si elle avait des doutes quant à l'étendue du dommage, de ne pas l'avoir interpellé et amené à fournir les documents nécessaires. L'intimé conclut au rejet du recours. La Cour d'appel se réfère aux considérants de son arrêt. 