Sachverhalt: A. A.a Am 28. Januar 2009 machte das Konkursamt Bern-Mittelland, Dienststelle Bern, öffentlich bekannt, dass über X._ (bereits) am 27. Januar 2004 der Konkurs eröffnet worden sei und der Konkurs im summarischen Verfahren durchgeführt werde (SHAB Nr. 18 vom 28. Januar 2009). In der Folge meldete sich am 27. Februar 2009 die Bank A._ AG, mit Sitz in B._, beim Konkursamt mit der Mitteilung, dass X._ ein erhebliches Guthaben bei ihr besitze. A.b Mit Verfügung vom 10. Juni 2009 stellte das Konkursamt gegenüber der Bank fest, dass vier (bestimmte) Konti Bestandteil der Konkursmasse seien, und forderte die Bank auf, die genannten Konti zu saldieren und den Saldo an das Konkursamt zu überweisen. Am 25. Juni 2009 überwies die Bank den Betrag von Fr. 753'218.15 an das Konkursamt. X._ verlangte daraufhin vom Konkursamt in verschiedenen Schreiben, dass der von der Bank überwiesene Betrag freizugeben sei. Mit Verfügung vom 22. September 2009 wies das Konkursamt sein Begehren um Aufhebung der Bankkonto-Sperre und der (an die Bank gerichteten) Verfügung vom 10. Juni 2009 ab. B. X._ erhob gegen die Verfügung des Konkursamtes vom 22. September 2009 Beschwerde, auf welche das Obergericht des Kantons Bern, Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen, vom 16. Dezember 2009 nicht eintrat. Gleichzeitig verzichtete die kantonale Aufsichtsbehörde auf die Einleitung eines Disziplinarverfahrens. C. Mit als "öffentlichrechtlicher Beschwerde" bezeichneter Eingabe vom 11. Januar 2010 ist X._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt im Wesentlichen, den Entscheid der kantonalen Aufsichtsbehörde vom 16. Dezember 2009 aufzuheben und das Konkursamt anzuweisen, den von der Bank erhaltenen Betrag wieder an diese zurückzuüberweisen. Weiter ersucht er um aufschiebende Wirkung und unentgeltliche Rechtspflege. Mit Präsidialverfügung vom 21. Januar 2010 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung im Sinne der Erwägungen zuerkannt. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. 