Sachverhalt: A. Der 1968 geborene G._ arbeitete als Servicetechniker bei der X._ AG. Ende Juli 2007 liess er sich gegen Hepatitis A und B impfen, worauf gesundheitliche Beeinträchtigungen auftraten, die eine Wiederaufnahme der Erwerbstätigkeit verunmöglichten. Nachdem ihm seit 20. August 2007 volle Arbeitsunfähigkeit bescheinigt worden war, meldete sich G._ am 27. Februar 2008 unter Hinweis auf Veränderungen der Motorik, Atembeschwerden, Konzentrationsstörungen, Schwindel und Kurzzeit-Gedächtnisstörungen bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Gestützt auf die Akten der Taggeldversicherung, der Krankenkasse und der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) sowie das Gutachten der Neurologischen Klinik des Universitätsspitals A._ vom 23. November 2009, eine fachärztliche Abklärung in der Integrierten Psychiatrie B._ (Gutachten vom 9. März 2010) und die Beurteilung des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) ermittelte die IV-Stelle Luzern einen Invaliditätsgrad von 67 %. Mit Verfügung vom 4. Oktober 2010 sprach sie G._ rückwirkend ab 1. Juli 2008 eine Dreiviertelsrente der Invalidenversicherung zu. B. Die AXA Stiftung Berufliche Vorsorge (im Folgenden: AXA) führte Beschwerde mit dem Rechtsbegehren, unter Aufhebung der Verfügung sei festzustellen, dass G._ keinen Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung hat. Mit Entscheid vom 28. Oktober 2011 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die Beschwerde ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt die AXA den vorinstanzlich gestellten Antrag erneuern. Während die IV-Stelle auf Abweisung der Beschwerde schliesst, G._ zur Hauptsache ebenfalls die Abweisung der Beschwerde beantragt und ferner um die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Stellungnahme. 