Sachverhalt: A. Der 1939 geborene X._ war von 1959 bis 1963 als Produktionsmitarbeiter der Firma Y._ bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Berufskrankheiten versichert. Im Januar 2004 suchte der Versicherte wegen Atembeschwerden das Spital M._, Italien, auf, wo eine "Pleurite basale sinistra" festgestellt wurde. Am 20. April 2004 wurde im Spital V._, Italien, ein malinges Pleuromesotheliom diagnostiziert. Daraufhin beantragte der Versicherte am 13. Oktober 2004 bei der SUVA die Anerkennung seines Leidens als Berufskrankheit. Am 31. März 2005 verstarb X._. Die SUVA sprach mit Verfügung vom 9. Oktober 2007 der Witwe des Versicherten, A._, eine Hinterlassenenrente ab 1. April 2005 zu. Demgegenüber verneinte die Anstalt mit Verfügung vom 7. November 2007 und Einspracheentscheid vom 17. Januar 2008 einen Anspruch des Versicherten (resp. seiner Erben) auf eine Integritätsentschädigung. B. Die von A._, B._, C._, D._ und E._ als Erben des X._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Glarus mit Entscheid vom 24. Juni 2009 ab. C. Mit Beschwerde beantragen die Erben des X._, die Sache sei unter Aufhebung des Einsprache- und des kantonalen Gerichtsentscheides an die SUVA zur Festsetzung einer Integritätsentschädigung zurückzuweisen. Während die SUVA auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung. 