Sachverhalt: A. X._ und Y._ schlossen am 13./22. Juni 2001 eine als "Vergleich im Eheschutzverfahren" bezeichnete Vereinbarung, mit der sie den gemeinsamen Haushalt aufhoben und die Folgen des Getrenntlebens regelten: Unter anderem verpflichtete sich Y._ zur grundsätzlichen Leistung von Unterhaltsbeiträgen an die Ehefrau und wurde mit Wirkung ab 1. Januar 2001 der Übergang zum Güterstand der Gütertrennung festgelegt, wobei der Vollzug später vorzunehmen sei. Mit Vereinbarung vom 18./21. August 2001 verpflichtete sich Y._, X._ ab September 2001 einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 9'000.-- zu bezahlen. Die Gerichtspräsidentin 3 des Gerichtskreises L._ genehmigte die beiden Vereinbarungen mit Verfügung vom 27. August 2001. B. Am 3. Juni 2002 klagte X._ (im Folgenden: Klägerin) beim Gerichtskreis L._ gegen Y._ (im Folgenden: Beklagten) auf Durchführung der güterrechtlichen Auseinandersetzung. Mit Verfügung des Gerichtspräsidenten 1 vom 14. Oktober 2002 wurde dem Beklagten vorläufig verboten, ohne Zustimmung der Klägerin bis zu einem Betrag von Fr. 1'914'561.-- über den Erlös aus dem Verkauf der Aktien der S._ AG zu verfügen. Gleichzeitig wurde vom Guthaben des Beklagten bei der Anstalt V._ superprovisorisch ein gleich hoher Betrag gesperrt und die genannte Anstalt angewiesen, ohne Zustimmung der Klägerin keine Auszahlungen vom gesperrten Betrag zu tätigen. Diese Anordnungen wurden durch Beschluss des Gerichtspräsidenten 1 vom 4. Dezember 2002 bestätigt. Im Rahmen des Hauptverfahrens schlossen die Parteien am 15./21. Juli 2003 eine Teilvereinbarung ab, worin sie sich mit Ausnahme der Aufteilung des Verkaufserlöses der Aktien der S._ AG über die güterrechtliche Auseinandersetzung einigten. Mit Urteil vom 13. November 2003 sprach der Gerichtspräsident 1 des Gerichtskreises L._ der Klägerin aus Güterrecht den Betrag von Fr. 1'018'447.90 zu. Er ermächtigte den Beklagten, die Zahlung von seinem Konto bei der Anstalt V._ zu tätigen und erklärte die Kontosperre als anschliessend aufgehoben. C. Gegen dieses Urteil erhob der Beklagte Appellation und die Klägerin in der Folge Anschlussappellation. Am 5. März 2004 erkannte das Obergericht des Kantons Bern (I. Zivilkammer des Appellationshofes), dass die Klage abgewiesen und die Sperre des beklagtischen Kontos bei der Anstalt V._ mit Eintritt der Rechtskraft des Urteils aufgehoben werde. D. Mit Berufung vom 18. März 2004 beantragt die Klägerin dem Bundesgericht, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und den Beklagten zu verpflichten, ihr aus Güterrecht Fr. 1'018'447.90 zu zahlen, wobei der Beklagte zu ermächtigen sei, die Zahlung zu Lasten des gesperrten Kontos bei der Anstalt V._ vorzunehmen; anschliessend sei die Sperre aufzuheben. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der Beklagte, der auf Abweisung der Berufung schliesst, hat Anschlussberufung erhoben mit dem Antrag, die Gerichts- und Parteikosten des gesamten kantonalen Verfahrens der Klägerin aufzuerlegen. Eine Anschlussberufungsantwort ist nicht eingeholt worden. Das Obergericht hat sich zur Berufung nicht geäussert. E. Auf Ersuchen des Gerichtspräsidenten 7 des Gerichtskreises L._ vom 11. Juni 2004 wurden die kantonalen Akten für ein hängiges Verfahren vorübergehend jener Instanz überlassen. Sie wurden der erkennenden Abteilung am 7. September 2004 zurückgegeben. 