Faits: A. S._ a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 28 juin 2006. Elle est représentée par Me Agier, selon procuration du 17 septembre 2008. Le 4 mars 2010, Me Agier a invité l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud à lui faire parvenir une copie des pièces ajoutées au dossier postérieurement au 22 août 2008. L'office AI y a donné suite le 9 mars suivant. Par lettre du 18 mars 2010, Me Agier a accusé réception des copies que l'office AI lui avait transmises, ajoutant ce qui suit : J'ai eu la surprise de trouver dans ces pièces une décision de votre assurance datée du 3 juillet 2009, décision qui ne m'a jamais été communiquée, alors que votre assurance me sait depuis le 18 septembre 2008, être le mandataire de Madame S._. Dès lors, je vous demanderais de bien vouloir procéder maintenant pour ce qui est de la décision que j'ai trouvée dans les pièces envoyées par vous le 9 mars 2010, à une notification correcte. Par écritures des 27 avril, 25 juin et 30 juillet 2010, Me Agier a renouvelé sa requête de notification régulière de la décision du 3 juillet 2009, à défaut de quoi il saisirait le tribunal cantonal des assurances d'un recours pour déni de justice. Par lettres des 1er juillet et 25 août 2010, l'office AI a fait savoir à Me Agier qu'il refusait de procéder à une nouvelle notification de cette décision. Pour justifier ce refus, l'office a indiqué, notamment, que le destinataire régulier de la décision du 3 juillet 2009 en avait pris connaissance à réception de son envoi du 9 mars 2010, si bien que la notification initiale imparfaite avait atteint son but malgré l'irrégularité et que dès lors la décision était passée en force à défaut de recours déposé dans les trente jours. B. Le 15 septembre 2010, S._ a saisi le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, d'un recours pour déni de justice contre le refus de l'office AI de donner suite à sa demande de notification correcte du 18 mars 2010, en concluant à ce que l'office AI fût enjoint de procéder à cette notification. Par jugement du 31 mai 2011, dont la rédaction a été approuvée le 26 juillet 2011, la juridiction cantonale a déclaré le recours irrecevable. C. S._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation. Avec suite de frais et dépens, elle conclut principalement à ce que le jugement cantonal soit réformé en ce sens que son recours pour déni de justice soit admis et la cause renvoyée à l'office AI afin qu'il notifie sa décision du 3 juillet 2009; à titre subsidiaire, elle conclut au renvoi de la cause au tribunal cantonal, afin qu'il dise s'il y eu ou non notification de la décision rendue le 3 juillet 2009. Elle sollicite d'être dispensée de verser une avance de frais pour la procédure fédérale, invoquant son indigence. L'office intimé, le tribunal cantonal et l'Office fédéral des assurances sociales n'ont pas été invités à se déterminer. 