Sachverhalt: A. A.X._ und B.X._ stellten am 4. April 2012 bei der Staatsanwaltschaft des Kantons Graubünden gegen ihren Nachbarn Z._ und einen ihnen nicht bekannten Fahrer des Kleinlastwagens GR xx x Strafanzeige wegen Sachbeschädigung an ihrer Thujahecke. Am 27. April 2012 stellte A.X._ in der gleichen Angelegenheit bei der Kantonspolizei Graubünden einen Strafantrag gegen Z._ und erklärte ihre Beteiligung am Strafverfahren als Zivilklägerin. Am 3. Oktober 2012 wurde A.X._ betreffend ihre Strafanzeige vom 4. April 2012 bei der Staatsanwaltschaft Graubünden als Auskunftsperson einvernommen. Anlässlich dieser Einvernahme stellte A.X._ gegenüber dem Verfahrensleiter Y._ mündlich ein Ausstandsbegehren, das die Staatsanwaltschaft an das Kantonsgericht von Graubünden weiterleitete. Auf Aufforderung dieses Gerichts reichte A.X._ am 23. Oktober 2012 ein schriftliches Ausstandsgesuch gegen Staatsanwalt Y._ sowie gegen jede andere Person der Staatsanwaltschaft Graubünden ein, das sie im Wesentlichen damit begründete, dass sie bei dieser Staatsanwaltschaft nie Recht bekomme und Y._ bereits in anderen sie betreffenden Fällen involviert gewesen sei. Mit Entscheid vom 3. Januar 2013 wies das Kantonsgericht von Graubünden (II. Strafkammer) das Ausstandsbegehren ab, soweit es darauf eintrat und auferlegte die Kosten des Gesuchsverfahrens von Fr. 1'000.-- A.X._. B. A.X._ erhebt beim Bundesgericht Beschwerde, mit der sie dem Sinne nach die Anträge stellt, der Entscheid des Kantonsgerichts vom 3. Januar 2013 sei aufzuheben, ihr Ausstandsbegehren gegen Y._ bzw. die gesamte Staatsanwaltschaft Graubünden sei zu bewilligen und die Sache sei an eine neutrale Institution zurückzuweisen. Zudem sei die Vorinstanz anzuweisen, gemäss Schweizer Gesetz die gültigen, ihr Grundeigentum betreffenden Verträge von 1976 mit m 2 -Angaben zu benützen, statt sie weiterhin wie seit 1997 zu missachten. C. Staatsanwalt Y._ und das Kantonsgericht von Graubünden verzichteten auf eine Vernehmlassung. 