Sachverhalt: A. Der 1957 geborene I._ war bis zu seinem gesundheitsbedingten Ausscheiden im Jahr 2003 bei der Firma A._ als Betriebsmitarbeiter/Oberflächenbearbeiter tätig. Die IV-Stelle des Kantons Aargau lehnte sein Gesuch um Leistungen der Invalidenversicherung ab (mit rechtskräftigem Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 22. Mai 2007 bestätigter Einspracheentscheid vom 27. Januar 2006). Am 1. Oktober 2007 meldete sich I._ erneut bei der Invalidenversicherung an. Die Medizinische Abklärungsstelle (MEDAS) erstattete der IV-Stelle am 8. Dezember 2008 ein interdisziplinäres Gutachten. Danach leidet der Versicherte an einem zerviko- und lumbospondylogenen Syndrom sowie an einem generalisierten myofaszialen Schmerzsyndrom. Die bisherige Tätigkeit sei nicht mehr zumutbar; dagegen seien medizinisch-theoretisch alle wechselbelastenden leichten und mittelschweren Tätigkeiten zeitlich uneingeschränkt zumutbar. Die Verwaltung kam zum Schluss, ein Rentenanspruch bestehe nicht (Vorbescheid vom 11. Januar 2010). Gleichentags stellte sie ein sechsmonatiges Arbeitstraining zur Angewöhnung an eine geeignete Tätigkeit in Aussicht. Mit Verfügung vom 8. Februar 2010 schrieb die IV-Stelle das Leistungsbegehren hinsichtlich der Integrationsmassnahme als erledigt ab. Zur Begründung verwies sie auf ein Schreiben des Versicherten, in welchem er mitteile, sich nicht im geforderten Ausmass arbeitsfähig zu fühlen; daraus sei zu schliessen, er nehme das "Angebot für die Finanzierung einer Angewöhnungszeit" nicht an. Mit Verfügung vom 4. März 2010 lehnte die Verwaltung ausserdem das Gesuch um eine Invalidenrente ab (Invaliditätsgrad: 23 Prozent). Diese Verfügung blieb unangefochten. Auf eine Eingabe des Versicherten vom 12. April 2010 hin hielt die IV-Stelle an der Ablehnung von beruflichen Massnahmen (Arbeitstraining) fest (Verfügung vom 19. Juli 2010). B. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau wies die gegen die Verfügung vom 19. Juli 2010 erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 13. September 2011). C. I._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die IV-Stelle anzuweisen, ihm Kostengutsprache für berufliche Massnahmen bzw. Arbeitstraining zu gewähren. Ausserdem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung). Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichtet auf eine Vernehmlassung. Der Beschwerdeführer lässt weitere Unterlagen über persönliche Arbeitsbemühungen und ärztliche Zeugnisse einreichen. 