Sachverhalt: A. Der türkische Staatsangehörige X._, geb. 1958 in A._, wurde ab 1980 wegen politischer Aktivitäten in seinem Heimatland polizeilich gesucht. Ende 1992 löste Interpol Ankara gegen ihn ferner eine internationale Fahndung aus wegen drei Tötungsdelikten, an denen er zwischen 1978 und 1981 beteiligt gewesen sei. Im Jahre 1996 wurde X._ auch in der Schweiz im automatisierten Fahndungssystem RIPOL zur Verhaftung ausgeschrieben. Im August 1998 konnte X._ nach Italien flüchten, wo er politisches Asyl erhielt. Die türkischen Behörden stellten in der Folge zwei Auslieferungsbegehren, die mit Urteilen des Corte di Appello di Reggio Calabria vom 26. Februar 1999 und 14. Dezember 1999 abgewiesen wurden. Dem zweiten Urteil ist zu entnehmen, dass das italienische Gericht die Auslieferung ablehnte, weil es die Beteiligung von X._ an den Straftaten als ungenügend nachgewiesen erachtete, politische und ideologische Hintergründe der Delikte vermutete und nicht für ausgeschlossen hielt, dass die Straftaten mit der Todesstrafe geahndet würden. Die heutige Ehefrau von X._, Y._, floh im Jahre 2000 mit der gemeinsamen Tochter Z._ in die Schweiz; beide erhielten hier Asyl. Am 18. Dezember 2001 wurde die Ausschreibung von X._ im RIPOL auf Anordnung des Bundesamtes für Justiz (BJ) gelöscht, weil die angeblich begangenen Straftaten als nach schweizerischem Recht mittlerweile verjährt erachtet wurden. B. Am 20. Dezember 2003 gelangte X._ ebenfalls in die Schweiz und ersuchte am 18. Februar 2004 um Asyl. Das damalige Bundesamt für Flüchtlinge (BFF; heute Bundesamt für Migration [BFM]) meldete dies dem Bundesamt für Justiz, welches seinerseits am 20. Februar 2004 Interpol Ankara mitteilte, X._ halte sich in der Schweiz auf; es erachte allerdings die ihm zur Last gelegten Straftaten als verjährt. Interpol Ankara antwortete gleichentags, die Fahndung werde aufrecht erhalten und die Straftaten verjährten erst am 22. Januar 2008, weshalb darum ersucht werde, X._ in Auslieferungshaft zu nehmen. Mit Schreiben vom 15. Juli 2004 hielt Interpol Ankara an seiner Sichtweise und am Haftbegehren fest und übermittelte Dokumente des türkischen Justizministeriums, in denen die Tatbeteiligung von X._ an den Tötungsdelikten in der Form von Aktenauszügen beschrieben wurde. Am 13. August 2004 erneuerte Interpol Ankara das Ersuchen ohne Erfolg; das Bundesamt für Justiz hielt am 17. August 2004 definitiv an seiner Auffassung fest, wonach zufolge Verjährung keine Auslieferungshandlungen in Frage kämen. Am 18. August 2004 informierte es das Bundesamt für Flüchtlinge über seine Aktivitäten und regte im Falle eines positiven Asylentscheids an, X._ generell-abstrakt über die Gefährdungslage zu informieren, ohne aber auf das konkrete türkische Ersuchen Bezug zu nehmen. Mit Entscheid vom 25. Oktober 2004 gewährte das Bundesamt für Flüchtlinge X._ in der Schweiz Asyl. Der Entscheid enthielt insbesondere den folgenden Passus: "Wir weisen Sie jedoch ausdrücklich darauf hin, dass die Anerkennung als Flüchtling lediglich für die Schweiz gilt. Unser Land verfügt nur über sehr beschränkte Einwirkungsmöglichkeiten, sollten Sie im Ausland im Rahmen eines Straf- bzw. Auslieferungsverfahrens behördlichen Massnahmen ausgesetzt sein". Am 29. Dezember 2004 erhielt X._ im Weiteren ein Reisedokument für ausländische Personen. C. Am 27. Mai 2006 wurde X._ beim Grenzübertritt nach Lörrach/Bundesrepublik Deutschland von den deutschen Behörden festgenommen und in Auslieferungshaft gesetzt. Auf ein darauf folgendes türkisches Auslieferungsbegehren erklärte das Oberlandesgericht Karlsruhe die Auslieferung von X._ wegen eingetretener Strafverfolgungsverjährung bzw. fehlendem hinreichendem Tatverdacht mit Beschluss vom 12. Februar 2007 für unzulässig und hob die Auslieferungshaft auf. X._ erhielt für die 261 Hafttage keine Entschädigung. D. Mit Eingabe vom 23. Mai 2007 stellten X._, Y._ und Z._ beim Eidgenössischen Finanzdepartement (EFD; nachfolgend Finanzdepartement) ein Begehren um Schadenersatz und Genugtuung. Zur Begründung machten sie im Wesentlichen geltend, die schweizerischen Behörden wären verpflichtet gewesen, X._ über das türkische Auslieferungsbegehren und dessen Ablehnung durch das Bundesamt für Justiz zu informieren. X._ hätte sich nicht ins Ausland begeben, wenn er Kenntnis vom internationalen Festnahme- und Auslieferungsbegehren der Türkei gehabt hätte. Mit Verfügung vom 28. Januar 2008 wies das Finanzdepartement das Begehren um Leistung von Schadenersatz und Genugtuung ab. Es hielt fest, dass ein Kausalzusammenhang zwischen der behaupteten Amtspflichtverletzung und dem geltend gemachten Schaden fehle. X._ habe auch ohne Warnung durch die Schweizer Behörden Grund zur Annahme gehabt, dass im Ausland weiterhin nach ihm gefahndet werde (Auslieferungsverfahren in Italien, Hinweis im Asylentscheid) und bei Auslandreisen das Risiko der Verhaftung bestehe. E. Hiergegen führten X._, Y._ und Z._ beim Bundesverwaltungsgericht Beschwerde mit den Begehren, für erlittene Auslieferungshaft eine Entschädigung von Fr. 104'400.-- (261 Tage à Fr. 400.--) zu bezahlen, für Anwaltskosten Fr. 6'501.--, für Reiseauslagen Fr. 2'400.-- und für Telefonkosten Fr. 960.-- zu vergüten und Genugtuungsbeträge von Fr. 20'000.-- (an X._) bzw. je Fr. 10'000.-- (an Y._ und Z._) auszurichten. Mit Urteil vom 13. November 2009 hiess das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde gut, hob die angefochtene Verfügung auf und wies die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an das Finanzdepartement zurück. Es hielt sowohl die natürliche Kausalität als auch die Adäquanz für gegeben und verneinte ein (konkurrierendes) Selbstverschulden von X._. Die Schweizer Behörden hätten zudem widerrechtlich gehandelt, denn das Unterlassen der Orientierung von X._ über das türkische Haft- und Auslieferungsbegehren stelle eine Amtspflichtverletzung dar. F. Das Finanzdepartement führt mit Eingabe vom 15. Dezember 2009 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Es beantragt, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts aufzuheben und das Begehren um Schadenersatz und Genugtuung kostenfällig abzuweisen. Zur Begründung führt das Finanzdepartement aus, das Bundesverwaltungsgericht habe den Sachverhalt offensichtlich falsch festgestellt, indem es das behördliche Verhalten zu Unrecht als kausal für den Schaden erachtet habe. Im Weitern habe es auch Bundesrecht verletzt, weil es den Behörden ein widerrechtliches Verhalten und eine Amtspflichtverletzung vorgeworfen habe. G. Die Beschwerdegegner beantragen, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Sie stellen zudem das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege unter Beiordnung des beigezogenen Rechtsanwalts. Das Bundesverwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. 