Sachverhalt: Sachverhalt: A. Zwischen X._ und zwei im Schmuck- und Diamantenhandel tätigen Gesellschaften ist seit dem 6. November 1998 ein Zivilprozess rechtshängig. Streitig ist die Herausgabe von sechzehn mit Diamanten versehenen Schmuckstücken im Wert von rund 3.5 Mio. Franken. Das Bezirksgericht Zürich trat auf die Klage der A._ nicht ein, hiess hingegen die Klage der B._ gut und verurteilte X._ zur Zahlung von US$ 2'329'627.50 - entsprechend rund Fr. 3'447'769.70 - nebst Zins (Urteil vom 29. Juni 2004). X._ reichte dagegen kantonale Berufung ein. A. Zwischen X._ und zwei im Schmuck- und Diamantenhandel tätigen Gesellschaften ist seit dem 6. November 1998 ein Zivilprozess rechtshängig. Streitig ist die Herausgabe von sechzehn mit Diamanten versehenen Schmuckstücken im Wert von rund 3.5 Mio. Franken. Das Bezirksgericht Zürich trat auf die Klage der A._ nicht ein, hiess hingegen die Klage der B._ gut und verurteilte X._ zur Zahlung von US$ 2'329'627.50 - entsprechend rund Fr. 3'447'769.70 - nebst Zins (Urteil vom 29. Juni 2004). X._ reichte dagegen kantonale Berufung ein. B. Da X._ dem Staat aus abgeschlossenen Verfahren noch Kosten schuldete, forderte das Obergericht (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich ihn auf, für das Berufungsverfahren eine Prozesskaution von Fr. 89'000.-- zu leisten. X._ stellte darauf ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und um Befreiung von der Pflicht zur Kautionsleistung. Das Obergericht zog die Akten aus einem gleichzeitig hängigen Berufungsverfahren bei, in dem X._ ebenfalls ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt hatte und bereits zu seinen wirtschaftlichen Verhältnissen befragt sowie aufgefordert worden war, näher bezeichnete Unterlagen zur Beurteilung seiner Mittellosigkeit einzureichen. Es gab X._ Gelegenheit, seine dort gemachten Ausführungen zu ergänzen und weitere Unterlagen einzureichen. Nach unbenutztem Ablauf der dazu angesetzten Frist wies das Obergericht das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung im Berufungsverfahren ab mit der Begründung, zwar bestünden gewisse Indizien für die Mittellosigkeit des Gesuchstellers, doch könne wegen dessen ungenügender Auskunfterteilung auch nicht ausgeschlossen werden, dass der Gesuchsteller dennoch in der Lage sei, die ihm auferlegte Kaution oder wenigstens einen Teil davon zu leisten (Beschluss vom 20. April 2005). X._ erhob dagegen Nichtigkeitsbeschwerde. Das Kassationsgericht des Kantons Zürich entsprach dem Gesuch um aufschiebende Wirkung (Präsidialverfügung vom 26. Mai 2005), wies dann aber die Beschwerde ab, soweit darauf eingetreten werden konnte (Dispositiv-Ziff. 1). Es setzte eine neue Frist zur Leistung der Prozesskaution unter Androhung der Säumnisfolgen an (Dispositiv-Ziff. 2 des Zirkulationsbeschlusses vom 21. April 2006). B. Da X._ dem Staat aus abgeschlossenen Verfahren noch Kosten schuldete, forderte das Obergericht (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich ihn auf, für das Berufungsverfahren eine Prozesskaution von Fr. 89'000.-- zu leisten. X._ stellte darauf ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und um Befreiung von der Pflicht zur Kautionsleistung. Das Obergericht zog die Akten aus einem gleichzeitig hängigen Berufungsverfahren bei, in dem X._ ebenfalls ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt hatte und bereits zu seinen wirtschaftlichen Verhältnissen befragt sowie aufgefordert worden war, näher bezeichnete Unterlagen zur Beurteilung seiner Mittellosigkeit einzureichen. Es gab X._ Gelegenheit, seine dort gemachten Ausführungen zu ergänzen und weitere Unterlagen einzureichen. Nach unbenutztem Ablauf der dazu angesetzten Frist wies das Obergericht das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung im Berufungsverfahren ab mit der Begründung, zwar bestünden gewisse Indizien für die Mittellosigkeit des Gesuchstellers, doch könne wegen dessen ungenügender Auskunfterteilung auch nicht ausgeschlossen werden, dass der Gesuchsteller dennoch in der Lage sei, die ihm auferlegte Kaution oder wenigstens einen Teil davon zu leisten (Beschluss vom 20. April 2005). X._ erhob dagegen Nichtigkeitsbeschwerde. Das Kassationsgericht des Kantons Zürich entsprach dem Gesuch um aufschiebende Wirkung (Präsidialverfügung vom 26. Mai 2005), wies dann aber die Beschwerde ab, soweit darauf eingetreten werden konnte (Dispositiv-Ziff. 1). Es setzte eine neue Frist zur Leistung der Prozesskaution unter Androhung der Säumnisfolgen an (Dispositiv-Ziff. 2 des Zirkulationsbeschlusses vom 21. April 2006). C. Mit staatsrechtlicher Beschwerde beantragt X._ dem Bundesgericht, den Beschluss des Kassationsgerichts aufzuheben und die Sache zu neuer Entscheidung an das Kassationsgericht zurückzuweisen, eventuell ihm im Berufungsverfahren vor Obergericht die unentgeltliche Prozessführung zu bewilligen. Er ersucht um aufschiebende Wirkung und um unentgeltliche Rechtspflege beschränkt auf den Kostenvorschuss. Das Kassationsgericht hat auf Vernehmlassungen zum Gesuch um aufschiebende Wirkung und in der Sache verzichtet. Der staatsrechtlichen Beschwerde ist die aufschiebende Wirkung zuerkannt und dem Beschwerdeführer die Frist zur Kautionsleistung bis zum bundesgerichtlichen Beschwerdeentscheid abgenommen worden (Präsidialverfügungen vom 9. und vom 23. Juni 2006). 