Faits: A. A._, citoyen hollandais domicilié à Monaco et propriétaire d'un immeuble à Gstaad, est le père de deux filles nées respectivement en 1994 et en 1996. Elles sont issues d'une liaison avec une ressortissante espagnole, née à Genève et domiciliée à Z._ (Espagne). Le 21 août 1998, la mère des enfants a déposé plainte auprès de la police de son quartier en dénonçant le fait que leur père les avait enlevés, ce qui a donné lieu à une procédure pénale confiée à la Juge d'instruction B._, en fonction à Z._. Le 2 mai 2000, cette dernière a émis un mandat d'arrêt international à l'encontre de A._. Le 21 septembre 2000, celui-ci a été arrêté à la frontière de Bardonnex, Genève, et placé en détention extraditionnelle jusqu'au 8 décembre 2000, date de sa libération par la Chambre d'accusation du Tribunal fédéral, moyennant le dépôt d'une caution de 1 million de francs et un contrôle de présence. A._ a néanmoins quitté la Suisse et s'est rendu à Monaco, où ses deux filles sont scolarisées. A._ a recouru contre l'ordonnance d'écrou du Juge d'instruction de Z._, du 25 septembre 2000, devant la Cour d'appel de Malaga, qui a rejeté le recours le 20 avril 2001. Par arrêt du 2 avril 2001, le Tribunal fédéral a écarté un recours de droit administratif contre la décision d'extradition de A._ à l'Espagne, prise le 10 janvier 2001 par l'Office fédéral de la justice. Le 26 juin 2001, A._ a requis du Conseil général du pouvoir judiciaire espagnol une procédure disciplinaire contre deux juges du Tribunal de Z._, dont B._. Le 18 décembre 2001, la procédure a été classée sans suite, décision communiquée à B._ le 5 mars 2002. B. Le 9 juillet 2001, A._ a ouvert action devant le Tribunal de première instance de Genève contre B._ en paiement de 15'800 fr. à titre d'indemnité pour les 79 jours de détention extraditionnelle subis, à raison de 200 fr. par jour. Il a reproché, en substance, à la juge espagnole d'avoir décerné contre lui un mandat d'arrêt international en violation de la loi. B._ a contesté sa légitimation passive et soulevé des exceptions d'incompétence ratione loci et materiae. Elle a invoqué le bénéfice de l'immunité de juridiction. Par jugement du 7 novembre 2002, le tribunal s'est déclaré compétent, à raison de la matière, pour connaître de l'action susmentionnée. Saisie d'un appel de B._, la Cour de justice a annulé le jugement entrepris et déclaré irrecevable l'action introduite par A._, par arrêt du 16 mai 2003. Elle a retenu principalement que la Convention de Lugano du 16 septembre 1988 concernant la compétence judiciaire et l'exécution des décisions en matière civile et commerciale (CL; RS 0.275.11) ne s'appliquait pas aux actions en responsabilité ouvertes contre un magistrat ou un fonctionnaire, qui relèvent du droit public, ce qui est le cas à Genève. Il en allait de même en Espagne, selon les art. 411 et 412 de la loi espagnole d'organisation judiciaire. Le droit public obéissant avant tout au principe de la territorialité, les tribunaux genevois ne sauraient se prononcer sur d'éventuels manquements imputables au juge d'instruction de Z._. La règle de renvoi de l'art. 133 de la loi fédérale du 18 décembre 1987 sur le droit international privé (LDIP; RS 291) à la loi du pays où s'est produit de manière prévisible le dommage causé par l'acte illicite (Suisse, Genève) n'entrait pas en ligne de compte au profit du droit espagnol, à teneur de l'art. 413 ch. 1 de la loi d'organisation judiciaire de ce pays. Enfin, comme la procédure pénale était encore pendante, l'action en responsabilité était de toute manière prématurée. C. Parallèlement à un recours de droit public, que le Tribunal de céans a déclaré irrecevable par arrêt séparé de ce jour, A._ dépose un recours en réforme. Il conclut à l'annulation de l'arrêt de la Cour de justice et au renvoi du dossier à cette autorité pour nouvelle décision. Invoquant les art. 129 al. 2 LDIP et 5 ch. 3 CL, il conteste le déclinatoire de compétence locale en raison du caractère civil de la demande introduite contre la défenderesse. Pareillement, l'incompétence matérielle était infondée, parce que la défenderesse était recherchée en raison de sa responsabilité civile au sens de l'art. 41 CO et non pas pour sa responsabilité disciplinaire ou de droit public. Enfin la cour cantonale ne pouvait pas retenir que l'action du demandeur était prématurée, puisqu'elle n'avait pas examiné le fond, et que l'art. 60 al. 1 CO l'obligeait à respecter un délai annal, dès le 8 décembre 2000. La défenderesse conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet, avec suite de frais et dépens. 