Sachverhalt: A. Die 1982 geborene P._ arbeitete vom 1. März 2006 bis 10. Juli 2009 als Mitarbeiterin für die C._ AG. Am 15. Juli 2009 meldete sie sich zur Arbeitsvermittlung an und erhob gleichentags Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung ab diesem Datum. Das Regionale Arbeitsvermittlungszentrum X._ (RAV) wies P._ am 22. Dezember 2009 an, vom 4. Januar bis 3. Juli 2010 an einem Programm zur vorübergehenden Beschäftigung (PvB) bei der Y._ teilzunehmen. Diese arbeitsmarktliche Massnahme brach P._ am ersten Morgen wieder ab, da sie keine geeignete Einrichtung vorgefunden habe, um ihr Kind stillen zu können. Trotz Zusicherung, dass bis 19. Januar 2009 ein ihren Wünschen entsprechender Stillraum eingerichtet werde und trotz Ermahnung der Y._ sowie Aufforderung des RAV erschien P._ nicht mehr zur Arbeit. Mit Verfügung vom 25. Februar 2010 stellte sie das RAV wegen Nichtbefolgens einer Weisung zur Teilnahme am PvB bei der Y._ ab 20. Januar 2010 für 20 Tage in der Anspruchsberechtigung ein. Dagegen erhob P._ Einsprache. Am 1. März 2010 verfügte das RAV erneut die Teilnahme am PvB bei der Y._ ab 8. März bis 7. September 2010. Da P._ das Programm nicht antrat, veranlasste das RAV die Überprüfung der Vermittlungsfähigkeit und sistierte das hängige Einspracheverfahren hinsichtlich der Einstellung in der Anspruchsberechtigung. Mit Verfügung vom 29. Juli 2010 verneinte die Dienststelle Wirtschaft und Arbeit (wira) die Vermittlungsfähigkeit von P._ ab 15. Juli 2009. An ihrem Standpunkt hielt die wira mit Einspracheentscheid vom 23. Dezember 2010 fest. B. Die dagegen erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 9. November 2011 teilweise gut und änderte den Einspracheentscheid vom 23. Dezember 2010 insofern ab, als es feststellte, dass die Vermittlungsfähigkeit von P._ ab 15. Juli 2009 zu bejahen sei. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die wira die teilweise Aufhebung des Entscheids vom 9. November 2011 und die Verneinung der Vermittlungsfähigkeit von P._ ab 19. Januar 2010. P._ lässt auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne, schliessen und um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ersuchen. Das Staatssekretariat für Wirtschaft verzichtet auf eine Vernehmlassung. 