Sachverhalt: A. A.a. X._ bezieht Invalidenrenten der staatlichen Invalidenversicherung und der beruflichen Vorsorge sowie Ergänzungsleistungen. Sie lebt mit ihrem Hund in einer Dreizimmerwohnung und hat zwei Söhne. Der eine ist 17, der andere 27 Jahre alt. A.b. Die Versicherung Y._ AG lässt X._ vom Betreibungsamt Z._ betreiben. Am 10. Juli 2012 vollzog das Amt in der Gruppe Nr. aaa (Betreibungen Nr. bbb und ccc) die Pfändung. Das Betreibungsamt bestimmte X._s monatliches Existenzminimum auf Fr. 3'022.50. Darin sind Wohnkosten von Fr. 1'550.-- enthalten. Auf den 1. März 2013 setzte das Betreibungsamt die Wohnkosten auf Fr. 1'000.-- herab. Die Pfändungsurkunde versandte es am 14. August 2012. B. B.a. Am 24. August 2012 reichte X._ beim Gerichtspräsidium Baden als unterer Aufsichtsbehörde über die Betreibungsämter im Bezirk Baden Betreibungsbeschwerde ein. Sie beantragte, die verfügte Herabsetzung der Wohnkosten aufzuheben. Das Gerichtspräsidium hiess die Beschwerde mit Entscheid vom 19. September 2012 teilweise gut. Es setzte die Wohnkosten ab 1. März 2013 auf Fr. 1'200.-- fest. B.b. Hierauf gelangte X._ ans Obergericht des Kantons Aargau als obere betreibungsrechtliche Aufsichtsbehörde. Sie stellte das Begehren, in ihrem Notbedarf die effektiven Wohnkosten im Betrag von Fr. 1'520.-- einzusetzen. Überdies ersuchte sie für das oberinstanzliche Beschwerdeverfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Obergericht wies sowohl die Beschwerde als auch das Armenrechtsgesuch ab (Ziffern 1 und 3 des Entscheids vom 13. August 2013). C. Mit Eingabe vom 12. September 2013 wendet sich X._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie stellt das Begehren, Ziffer 1 des obergerichtlichen Entscheids aufzuheben und in ihrem Existenzminimum Wohnkosten im Betrag von Fr. 1'520.-- einzusetzen; eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zur Vervollständigung der Beweislage und neuem Entscheid zurückzuweisen. Weiter verlangt die Beschwerdeführerin, auch Ziffer 3 des angefochtenen Entscheids aufzuheben und ihr für das Verfahren vor dem Obergericht die unentgeltliche Verbeiständung zu bewilligen. In prozessualer Hinsicht beantragt sie, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Diesen Antrag hiess das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung mit Verfügung vom 14. Oktober 2013 gut. Schliesslich ersucht die Beschwerdeführerin auch für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen und Vernehmlassungen eingeholt. Das Betreibungsamt hält an der Mietzinsreduktion im Pfändungsverfahren fest und beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Das Obergericht des Kantons Aargau hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Die Eingaben wurden der Beschwerdeführerin zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt. 