Faits: A. X._, né en 1951, et dame X._, née en 1966, se sont mariés le 4 février 1994 à Genève, sans conclure de contrat de mariage. Aucun enfant n'est issu de leur union. X._ a une fille, aujourd'hui majeure, née d'une précédente union. Les conjoints se sont séparés en avril 2006. Le 16 juin 2006, l'épouse a ouvert action en divorce. Sur mesures provisoires, l'épouse a été condamnée à verser au mari une contribution d'entretien, arrêtée en dernier lieu à 2'550 fr. par mois dès le 1er mars 2007, ainsi qu'à payer la charge hypothécaire de l'ancien domicile conjugal, attribué au mari. En cours de procédure, les conjoints ont trouvé un accord portant sur la liquidation de leur régime matrimonial, le partage de leurs avoirs de prévoyance professionnelle et la répartition du mobilier de ménage. A teneur de cette convention, du 21 janvier 2008, l'épouse a versé au mari 345'573 fr.90 au titre de la liquidation du régime matrimonial et 175'881 fr. ensuite du partage de la prévoyance professionnelle. Compte tenu de ses propres avoirs, d'un montant de 129'782 fr., la fortune du mari s'élève ainsi à 475'355 fr.90, alors que l'épouse dispose d'une somme de 471'998 fr.40. Par jugement du 25 septembre 2008, le Tribunal de première instance de Genève a prononcé le divorce et, entre autres points, a condamné l'épouse à payer au mari une contribution d'entretien, indexée, d'un montant de 1'000 fr. par mois dès l'entrée en vigueur du jugement, sans limitation de durée. Tant le mari que l'épouse ont appelé de ce jugement en ce qui concerne la question de la contribution d'entretien. Le premier a conclu au versement en sa faveur d'un montant de 3'850 fr. par mois; la seconde a demandé, principalement, qu'il soit constaté qu'elle ne doit aucune contribution d'entretien et, subsidiairement, que le paiement de la rente mensuelle de 1'000 fr. fixée par le juge de première instance soit limité au 3 janvier 2016, date à laquelle le mari sera à la retraite. Par arrêt du 20 mars 2009, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a partiellement annulé le jugement de première instance et, statuant à nouveau, a limité le versement de la contribution d'entretien de 1'000 fr. par mois au 31 janvier 2015. B. Chacune des parties exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cet arrêt, dont elles demandent l'annulation. L'épouse conclut, principalement, à être libérée du paiement de toute contribution d'entretien. A titre subsidiaire, elle propose le versement d'une pension limitée à 284 fr.35 par mois jusqu'au 31 janvier 2015. Le mari requiert que la contribution mensuelle soit portée à 2'125 fr. pour une durée illimitée. Les époux proposent chacun le rejet du recours de l'autre partie. 