Sachverhalt: A. X._ (im Folgenden: Kläger) war als Schmuck- und Edelsteinhändler selbstständig erwerbstätig. Nach seinen Angaben gab er diese Tätigkeit im Jahre 1995 auf und befasste sich danach mit der Liquidation des vorhandenen Lagers an Schmuck und Edelsteinen. Am 19. August 1996 erneuerte er seine Schadenversicherung bei der Versicherung Y._ (nachstehend: Beklagte). Insbesondere gegen Einbruchdiebstahl und Beraubung waren versichert Schmuck, Edelsteine und Geldwerte im Tresor "BAUER PE 1600" für die Summe von 1.05 Millionen Franken. Am 6. September 1997 meldete der Kläger der Beklagten einen bewaffneten Raubüberfall, der sich am Vortag ereignet haben soll. Die Beklagte verweigerte ihre Leistungen. Ende 1998 leitete der Kläger den Forderungsprozess ein und begehrte, die Beklagte zur Zahlung von 1.05 Millionen Franken nebst Zins zu verpflichten. Wie zuvor schon das Bezirksgericht Zürich (4. Abteilung) wies das Obergericht (I. Zivilkammer) des Kantons Zürich die Klage ab, und zwar aus zwei Gründen: Einerseits gehören die angeblich gestohlenen Wertsachen zum Privatvermögen des Klägers und sind durch die Versicherung nicht gedeckt, zumal der Versicherungsschutz nur die dem Geschäftsbetrieb zuzuordnenden Werte erfasst (E. 3 S. 4 ff.), und andererseits hat der Kläger nach Auffassung des Obergerichts den ihm obliegenden Nachweis nicht erbracht, dass der Tresor ausgeraubt wurde (E. 4 S. 7 ff. des Urteils vom 26. Juni 2003). B. Mit eidgenössischer Berufung erneuert der Kläger sein Begehren, die Beklagte habe ihm 1.05 Millionen Franken nebst Zins zu bezahlen. Eventualiter sei die Sache zur Beweisabnahme an das Obergericht zurückzuweisen. Das Obergericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet. Eine Berufungsantwort ist nicht eingeholt worden. C. Gegen das obergerichtliche Urteil hat der Kläger staatsrechtliche Beschwerde und kantonale Nichtigkeitsbeschwerde erhoben. Die II. Zivilabteilung des Bundesgerichts und das Kassationsgericht des Kantons Zürich traten auf die jeweilige Beschwerde am 26. September 2003 (5P.311/2003) und am 5. November 2003 nicht ein. 