A.- Par courrier du 28 avril 1998, la Société Y._ S.A. (ci-après: Y._), qui a la régie des annonces pour le journal Z._, a envoyé des propositions concernant la parution d'encarts publicitaires à l'adresse suivante: "SOS Serrurier X._ S.A. à l'att. de M. U._". Un plan provisoire de parution, qui détaillait des prestations et qui était joint à la lettre, a été retourné à Y._, après avoir été signé par U._ sous la mention "Bon pour accord variante N° 1, Genève 05.04.1998". Les publicités ainsi commandées ont paru dans le journal. Elles ont fait l'objet de quinze factures, du 13 mai au 21 octobre 1998, toutes adressées à X._ S.A., SOS Serrurier. Les trois premières factures, datées des 13, 20 et 27 mai 1998, se montant à 1597 fr.05 puis à 1139 fr. pour les deux suivantes, ont été payées par X._ S.A. Selon le relevé de compte de Y._, le règlement de ces trois sommes est intervenu par chèques. Y._ a produit la copie des deux derniers chèques, datés des 7 et 8 juillet 1998, chacun au montant de 1139 fr. Ils portent l'indication "X._ S.A. Rub. SOS Serrurier". Les douze autres factures sont restées impayées. Elles s'élèvent au total à 21 560 fr.20. B.- En vue du recouvrement de cette somme, Y._ a fait notifier un commandement de payer à X._ S.A., auquel il a été fait opposition. La mainlevée provisoire ayant été prononcée, X._ S.A. a introduit, le 1er avril 1999, une action en libération de dette devant le Tribunal de première instance du canton de Genève. X._ S.A. a contesté être liée par la commande signée par U._. Il a été établi que X._ S.A. était une société anonyme; son administrateur unique était A._ et elle avait un fondé de procuration en la personne de B._. Quant à U._, il était inscrit en tant qu'entreprise individuelle, s'occupant de travaux de serrurerie et de dépannage. L'administrateur de X._ S.A. a déclaré que l'un des actionnaires de la société avait souhaité venir en aide à U._. Il a été démontré que la société avait pris elle-même en leasing des camionnettes qui étaient utilisées par U._; par ailleurs, la société s'est occupée des factures de U._; il en est résulté une certaine confusion, qui explique que la société ait été mise en cause dans une procédure de concurrence déloyale qui ne concernait que U._. Par jugement du 10 mai 2000, le Tribunal de première instance a admis l'action en libération de dette. Saisie d'un appel formé par Y._, la Chambre civile de la Cour de justice, par arrêt du 27 avril 2001, a annulé ce jugement et débouté X._ S.A. de toutes ses conclusions libératoires. C.- X._ S.A. recourt en réforme au Tribunal fédéral. Invoquant une violation des art. 32 al. 2, 33 al. 3, 38 et 1 CO, elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et à sa libération de toute dette résultant de la poursuite. L'intimée invite le Tribunal fédéral à rejeter le recours et à confirmer l'arrêt attaqué. D.- Par arrêt de ce jour, le Tribunal fédéral a rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, un recours de droit public formé parallèlement par X._ S.A. 