Sachverhalt: A. Mit Urteil vom 28. August 2006 sprach das Kantonsgericht von Appenzell Ausserrhoden Xa._ von den Vorwürfen der Anstiftung zur vorsätzlichen Tötung und der Anstiftung zur versuchten Körperverletzung frei. Hingegen befand es ihn der Drohung, der Tätlichkeit und der mehrfachen Widerhandlung gegen das BetmG schuldig und verurteilte ihn zu einer Gefängnisstrafe von sechs Wochen, unter Gewährung des bedingten Strafvollzugs bei einer Probezeit von fünf Jahren. Gegen dieses Urteil erklärte die Staatsanwaltschaft des Kantons Appenzell Ausserrhoden die Appellation. Mit Urteil vom 10. Juli 2007 nahm das Obergericht von Appenzell Ausserrhoden davon Vermerk, dass das erstinstanzliche Urteil des Kantonsgerichts von Appenzell Ausserrhoden insoweit in Rechtskraft erwachsen ist, als Xa._ wegen Drohung, Tätlichkeit und mehrfacher Widerhandlungen gegen das BetmG schuldig gesprochen wurde (Dispositiv-Ziffer 1). Von der Anklage der Anstiftung zur vorsätzlichen Tötung sprach es Xa._ frei (Dispositiv-Ziffer 2). Dagegen befand es ihn der Anstiftung zur versuchten Körperverletzung schuldig (Dispositiv-Ziffer 3) und verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von 13 Monaten, einer Geldstrafe von 30 Tagessätzen à Fr. 80.-- und einer Busse von Fr. 400.-- (Dispositiv-Ziffer 4). Den Vollzug der Freiheits- sowie der Geldstrafe schob es bedingt auf, unter Ansetzung einer Probezeit von fünf Jahren (Dispositiv-Ziffer 5). Des Weiteren auferlegte es Xa._ zwei Fünftel der Verfahrenskosten, ausmachend Fr. 10'540.-- (Dispositiv-Ziffer 8), und sprach ihm und seinem amtlichen Verteidiger Entschädigungen zu (Dispositiv-Ziffer 9 und 10). B. Xa._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, die Dispositiv-Ziffern 3, 4, 5, 8, 9 und 10 des Urteils des Obergerichts von Appenzell Ausserrhoden vom 10. Juli 2007 seien aufzuheben, und er sei vom Vorwurf der Anstiftung zur versuchten Körperverletzung freizusprechen. Er sei zu einer Gefängnisstrafe von sechs Wochen zu verurteilen, wobei der Vollzug der Strafe bedingt aufzuschieben sei, unter Ansetzung einer Probezeit von fünf Jahren. Im Falle der Bestätigung des Schuldspruchs bezüglich des Vorwurfs der Anstiftung zur versuchten Körperverletzung sei die ausgesprochene Strafe angemessen zu reduzieren, eventualiter sei die Angelegenheit zu neuer Strafzumessung an die Vorinstanz zurückzuweisen. C. Das Obergericht und die Angehörigen des Opfers haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Staatsanwaltschaft beantragt die Abweisung der Beschwerde. 