Sachverhalt: Am 16. April 2004 reichte Y._ zwei Baugesuche für den Umbau der Mehrfamilienhaus-Liegenschaft Hegibachstrasse 51, Streulistrasse 66 und Wotanstrasse 18 in Zürich-Hirslanden ein. Das eine Gesuch betraf im Wesentlichen die Erstellung von Dacheinschnitten, hofseitigen Wintergarten- und Balkonanlagen sowie - strassenseitig - eines wintergartenähnlichen Erkers. Das andere Gesuch hatte den Bau von Parkplätzen im Hof zum Gegenstand. Die Baugesuche wurden vom 14. März bis 3. Juni 2004 öffentlich aufgelegt. Mit Beschluss vom 21. Juli 2004 bewilligte die Bausektion der Stadt Zürich die Umbauten am Wohnhaus unter verschiedenen Auflagen. Als Auflage verfügte sie unter anderem, dass dem Amt für Baubewilligung ein Umgebungsplan sowie abgeänderte Pläne für den strassenseitigen Erker zur Bewilligung einzureichen seien. Das Amt für Baubewilligung genehmigte mit Beschluss vom 4. Oktober 2004 die nachgereichten Pläne. Gegen die Baubewilligungen vom 21. Juli 2004 und 4. Oktober 2004 reichte X._ als Eigentümer einer benachbarten Liegenschaft bei der Baurekurskommission I Rekurs ein. Während der Dauer des Rekursverfahrens zog die Bauherrschaft das Baugesuch für die Parkplätze zurück. Mit Entscheid vom 1. Juli 2005 wies die Baurekurskommission I die Rekurse ab, soweit sie nicht gegenstandslos geworden waren. Gegen den Entscheid der Baurekurskommission I erhob X._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Dieses wies die Beschwerde mit Urteil vom 25. Januar 2006 ab. X._ führt gegen den Entscheid des Zürcher Verwaltungsgerichtes staatsrechtliche Beschwerde wegen Willkür und Verletzung des rechtlichen Gehörs. Y._, die Bausektion der Stadt Zürich und das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich beantragen die Abweisung der Beschwerde, soweit auf diese einzutreten sei. Die Baurekurskommission I hat sich nicht vernehmen lassen. Am 11. Juni 2006 hat X._ unaufgefordert eine Replik eingereicht. 