Sachverhalt: A. A.a Am 27. Juni 2006 reichte X._ beim Amtsstatthalteramt A._ gegen Z._, der gegen ihn Geldansprüche aus einem Arbeitsverhältnis erhebt, Anzeige wegen Drohung und allfälliger weiterer Delikte ein. Z._ wurde in Untersuchungshaft genommen und erklärte anlässlich seiner polizeilichen Befragung vom 29. Juni 2006 unter anderem, X._ habe ihm für den Fall, dass er dessen Bruder töte, Fr. 70'000.-- angeboten. Durch Strafverfügung vom 19. Oktober 2006 verurteilte ihn das Amtsstatthalteramt A._ wegen Drohung und versuchter Nötigung zu einer Busse von Fr. 400.--. Aufgrund der Aussagen von Z._ wurde durch das Amtsstatthalteramt B._ gegen X._ ein Strafverfahren wegen Verdachts der Anstiftung zu einer strafbaren Handlung gegen Leib und Leben eröffnet. Dieses Verfahren wurde mit Entscheid vom 3. April 2007 eingestellt. Ausserdem stellte das Amtsstatthalteramt A._ mit Entscheid vom 11. Oktober 2007 seinerseits das gegen Z._ wegen falscher Anschuldigung und Irreführung der Rechtspflege angehobene Verfahren ein. A.b Z._ hatte eine Reihe von an X._ gerichteten, zum Teil auch bei den Strafverfolgungsbehörden erhobenen Vorwürfen in einem vom 7. Februar 2006 datierten Brief zusammengefasst, den er X._ in der Folge an dessen Arbeitsort gesandt hatte. Das Schreiben trägt den Eingangsstempel "26. Feb. 2007". B. Mit Eingabe vom 3. Juli 2007 reichte X._ beim Amtsgericht A._ gestützt auf die Art. 28 ff. ZGB gegen Z._ Klage ein und verlangte, es sei diesem, mit Ausnahme von Äusserungen gegenüber Gerichten oder Strafuntersuchungsbehörden, zu verbieten, wörtlich oder sinngemäss zu behaupten, dass er, X._, ihm oder einer anderen Person eine Geldsumme bzw. Fr. 70'000.-- angeboten habe, damit er oder eine andere Person seinen, X.'_, Bruder oder einen Mann im Tessin umbringe, wörtlich oder sinngemäss zu behaupten, dass er, X._, einen Spion oder Spitzel auf seinen, X.'_, Bruder angesetzt habe, wörtlich oder sinngemäss zu behaupten, dass er, X._, von Z.'_ Arzt verlangt habe, jenen wieder arbeitsfähig zu schreiben und jenem falsche Medikamente zu verschreiben, wörtlich oder sinngemäss zu behaupten, dass er, X._, zur Polizei gegangen sei, um Aussagen von Z._ zu verhindern und bestimmte (wörtlich wiedergegebene) Passagen aus dem Brief vom 7. Februar 2006, ausserhalb von Zivil- oder Strafverfahren, Dritten zugänglich zu machen. Einem Gesuch um Erlass eines vorsorglichen Verbots im Sinne der Art. 28c ff. ZGB, das X._ bezüglich eines Teils der vorstehend angeführten Behauptungen und Äusserungen gestellt hatte, wurde mit Entscheid des Amtsgerichtspräsidenten I von A._ vom 12. April 2007 stattgegeben. Das Amtsgericht A._ (I. Abteilung) und das Obergericht (I. Kammer) des Kantons Luzern wiesen die Klage vom 3. Juli 2007 mit Urteil vom 8. Mai 2008 bzw. mit Appellationsurteil vom 17. Februar 2009 ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 1. April 2009 verlangt X._, den obergerichtlichen Entscheid aufzuheben und seine Klagebegehren gutzuheissen. Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden. 