Sachverhalt: A. Die 1996 geborene S._ leidet an einer Bewegungsstörung im Sinne einer ataktischen Cerebralparese und einer geistigen Behinderung. Die IV-Stelle des Kantons Aargau gewährte medizinische Massnahmen zur Behandlung des Geburtsgebrechens Ziff. 390 GgV Anhang, Sonderschulmassnahmen, Physiotherapie als medizinische Massnahme und Hilfsmittel (Schalenfussorthesen; Änderung an Konfektionsschuhen bzw. orthopädische Spezialschuhe; Rumpforthesen). Im Weitern wurde der Versicherten am 19. Juni 2007 eine Hilflosenentschädigung für Hilflosigkeit leichten Grades mit Wirkung ab 1. November 2005 zugesprochen. Diese Verfügung erwuchs unangefochten in Rechtskraft. Im Rahmen eines von Amtes wegen durchgeführten Revisionsverfahrens führte die IV-Stelle am 4. Mai 2010 eine Abklärung an Ort und Stelle durch (Bericht vom 11. Mai 2010). Sie teilte der Versicherten bzw. ihren Eltern mit, es bestehe unverändert Anspruch auf eine Hilflosenentschädigung für Hilflosigkeit leichten Grades (Mitteilung vom 20. Mai 2010). Da die Eltern der Versicherten damit nicht einverstanden waren, erliess die IV-Stelle am 9. Juni 2010 eine den Anspruch auf Hilflosenentschädigung für Hilflosigkeit leichten Grades bestätigende Verfügung. B. Beschwerdeweise liess S._ das Rechtsbegehren stellen, es seien ihr die gesetzlich geschuldeten Leistungen, insbesondere eine Hilflosenentschädigung für Hilflosigkeit mittleren Grades zuzusprechen. Bezüglich Intensivpflegezuschlag sei die Sache an die IV-Stelle zur weiteren Sachverhaltsabklärung und Neubeurteilung zurückzuweisen. Es wurde geltend gemacht, dass schon seit Jahren eine Hilflosigkeit mittelschweren Grades bestehe; es sei deshalb nicht nur die Verfügung vom 9. Juni 2010 aufzuheben, sondern auch die rechtskräftige Verfügung vom 19. Juni 2007 in Wiedererwägung zu ziehen. Mit Entscheid vom 24. Mai 2011 hiess das Versicherungsgericht des Kantons Aargau die Beschwerde teilweise gut, hob die Verfügung vom 9. Juni 2010 auf und wies die Sache zur Durchführung eines ordentlichen Abklärungsverfahrens sowie zur Festsetzung der Hilflosenentschädigung und eines allfälligen Intensivpflegezuschlags im Sinne der Erwägungen an die IV-Stelle zurück. Auf den Antrag der Versicherten, die rechtskräftige Verfügung vom 19. Juni 2007 sei in Wiedererwägung zu ziehen, trat das kantonale Versicherungsgericht nicht ein. C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und die Verfügung vom 9. Juni 2010 zu bestätigen. Der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu erteilen. D. Mit Verfügung vom 20. September 2011 hat die Instruktionsrichterin das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen. E. S._ lässt Nichteintreten, eventualiter Abweisung der Beschwerde beantragen. Das kantonale Versicherungsgericht äussert sich (ausserhalb der eingeräumten Frist), ohne formell einen Antrag zu stellen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. 