Sachverhalt: A. X._ (Ehefrau) und Z._ (Ehemann) stehen seit dem 8. September 2011 in einem Eheschutzverfahren vor dem Bezirksgericht Zürich. Am 23. November 2011 stellte X._ ein Gesuch um vorsorgliche Massnahmen. Sie verlangte, Z._ zu verpflichten, ihr für sich und für die beiden Kinder (S._ und T._, beide geb. am xxxx 2002) für die Dauer des Eheschutzverfahrens ab 1. August 2011 monatliche, vorauszahlbare Unterhaltsbeiträge von Fr. 3'250.-- (je Fr. 1'125.-- für die Kinder und Fr. 1'000.-- für sie persönlich), zuzüglich Kinder- und Familienzulagen, zu zahlen (Ziff. 1). Zudem verlangte sie eine Regelung des Besuchsrechts von Z._ (Ziff. 2). Am 30. November 2011 beantragte X._, die verlangten Unterhaltszahlungen superprovisorisch anzuordnen. Mit Verfügung vom 2. Dezember 2011 trat das Bezirksgericht auf die Begehren um Erlass vorsorglicher und superprovisorischer Massnahmen in Bezug auf die Unterhaltsbeiträge nicht ein und wies das Begehren um vorsorgliche Massnahmen im Übrigen ab. B. Am 19. Dezember 2011 erhob X._ Berufung und verlangte, das Bezirksgericht sei anzuweisen, auf ihre Anträge um Erlass vorsorglicher und superprovisorischer Massnahmen hinsichtlich der Unterhaltsbeiträge einzutreten. Zudem ersuchte sie um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Berufungsverfahren. Mit Urteil vom 8. Februar 2012 trat das Obergericht des Kantons Zürich auf die Berufung nicht ein, soweit sie den Erlass superprovisorischer Massnahmen betraf, und wies sie im Übrigen ab (Dispositivziff. 1). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren wies es ab (Ziff. 2). Die zweitinstanzlichen Gerichtskosten wurden auf Fr. 500.-- festgesetzt (Ziff. 3) und X._ auferlegt (Ziff. 4). Zudem wurde sie verpflichtet, Z._ eine Parteientschädigung von Fr. 1'080.-- zu zahlen (Ziff. 5). C. Am 12. März 2012 hat X._ (Beschwerdeführerin) gegen das obergerichtliche Urteil Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie verlangt, ihren Antrag auf Erlass vorsorglicher Massnahmen auf Unterhaltszahlung gutzuheissen und das angefochtene Urteil insoweit aufzuheben. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Ausserdem beantragt sie Gutheissung ihres Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Berufungsverfahren. Ferner verlangt sie, die zweitinstanzlichen Gerichtskosten den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen und keiner Partei eine Parteientschädigung für das zweitinstanzliche Verfahren zuzusprechen. Im Hinblick auf die zweitinstanzliche Parteientschädigung verlangt sie die Gewährung aufschiebender Wirkung. Schliesslich ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Das Obergericht hat auf Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet und Z._ (Beschwerdegegner 1) hat um Abweisung ersucht. Mit Präsidialverfügung vom 28. März 2012 ist der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt worden. Am 29. Juni 2012 hat die Beschwerdeführerin auf Aufforderung hin Unterlagen zu ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege eingereicht. Zugleich verlangt sie im Sinne eines Eventualantrags einen Prozesskostenvorschuss (provisio ad litem) von Fr. 3'000.-- zuzüglich 8 % MwSt vom Beschwerdegegner 1. Das Obergericht ist eingeladen worden, sich zur Frage der unentgeltlichen Rechtspflege im Berufungsverfahren vernehmen zu lassen. Es hat darauf verzichtet. Im Übrigen hat das Bundesgericht keine Vernehmlassungen eingeholt. 