Faits: A. Le 1er mai 2001, X._ est entré au service de C._ SA, à Genève, en qualité de directeur (chief operating officer) membre de la direction générale. En contrepartie de son activité, le contrat prévoyait un salaire de base, une indemnité pour frais de représentation, un bonus et un bonus complémentaire. Ce contrat fut modifié par avenant du 18 décembre 2001, avec effet rétroactif au jour de l'entrée en service. Le salaire annuel était désormais fixé à 1'500'000 fr., y compris une indemnité pour frais de représentation; aucun bonus n'était plus prévu. Un contrat de partenariat était alors en préparation et serait proposé au directeur; ce contrat aurait également effet rétroactif. Le contrat de travail fut encore modifié par avenant du 30 juin 2003, avec effet dès le lendemain. Deux tiers de la rémunération antérieure, soit 1'000'000 de francs, demeureraient acquis au directeur; un bonus maximum de 500'000 fr. lui serait versé « en tout ou partie, d'année en année, en fonction du niveau d'atteinte des objectifs fixés pour son secteur de responsabilité, dans le budget annuel de la banque pour la période considérée ». Par lettre du 25 mars 2004, C._ SA informa le directeur qu'elle lui accordait un bonus de 225'000 fr. « pour l'associer aux résultats atteints en 2003 » grâce à son « engagement personnel et à la performance de [sa] PME/Unité ». Ce bonus était, selon l'employeuse, dépourvu de tout « caractère obligatoire et répétitif », et il était octroyé « à bien plaire ». Le directeur reçut simultanément un « bonus complémentaire » de 25'000 francs. Le contrat de travail fut résilié par C._ SA le 10 septembre 2004, avec effet au 30 septembre 2005. Dès le 1er octobre 2004, le directeur fut libéré de son obligation de travailler. B. A._ SA est l'actionnaire principal de B._ SA, laquelle détient tout le capital-actions de C._ SA. Un plan d'intéressement fut élaboré par A._ SA et proposé au directeur en mars 2003, puis, dans une version nouvelle, en juin de la même année. Le directeur adhéra par écrit à ce plan, en même temps qu'il accepta, le 30 juin 2003, le deuxième avenant à son contrat de travail. Il acquit ainsi cent dix mille actions de B._ SA au prix de 54 fr.18 l'unité, au moyen d'un prêt de C._ SA dont le remboursement serait garanti par ces mêmes titres. Ceux-ci demeureraient de toute manière bloqués durant six ans, soit jusqu'au 30 juin 2009. Si les rapports de travail prenaient fin, pour une cause quelconque, avant l'expiration du blocage, le directeur et A._ SA pourraient, l'un ou l'autre, exiger le rachat de toutes les actions par cette dernière. Deux prix étaient définis pour ce rachat: le prix de base et le prix d'exercice. Le prix de base correspondrait au prix d'acquisition, diminué des dividendes reçus par le directeur et augmenté des intérêts payés par lui sur le capital emprunté; en conséquence, il ne subirait aucune perte et il ne réaliserait non plus aucun bénéfice. Le prix d'exercice correspondrait à la valeur intrinsèque des actions à l'époque du rachat, déterminée d'après les comptes les plus récents de B._ SA. Le plus bas de ces deux prix serait applicable à toutes les actions si, par suite de la fin des rapports de travail, le rachat était exigé avant le 1er juillet 2005. Le plus bas des deux prix serait appliqué à la moitié des actions, et le prix d'exercice à l'autre moitié, si le rachat était exigé après le 30 juin 2005 mais avant le 1er juillet 2006. Le plus bas des deux prix serait appliqué au quart des actions, et le prix d'exercice aux trois autres quarts, si le rachat était exigé après le 30 juin 2006 mais avant le 1er juillet 2007. Le prix d'exercice serait appliqué à toutes les actions si le rachat était exigé après le 30 juin 2007. Pendant la durée du blocage, le dividende attribué aux actions était affecté au paiement des intérêts et au remboursement du prêt. Le 17 octobre 2005, A._ SA fit savoir qu'en raison de la fin des rapports de travail, elle rachetait la moitié des cent dix mille actions au prix de base de 29 fr.61, et l'autre moitié au prix d'exercice de 70 fr.19. Le prix de rachat total s'élevait à 5'488'851 fr.52; sur ce montant, C._ SA préleva 4'373'460 fr. pour remboursement du solde qui lui était encore dû. C. Le 3 juillet 2006, X._ a ouvert action contre C._ SA devant le Tribunal de prud'hommes du canton de Genève. La défenderesse devait être condamnée à lui payer 3'107'048 fr.50, soit 500'000 fr. à titre de bonus pour l'année 2004, 375'000 fr. à titre de bonus pour l'année 2005, et 2'232'048 fr.50 à titre de participation au plan d'intéressement. Ces trois montants devaient porter intérêts au taux de 5% par an, respectivement dès le 31 décembre 2004, le 30 septembre 2005 et le 28 octobre 2005. La défenderesse a conclu au rejet de l'action. Le tribunal s'est prononcé le 29 juin 2007; il a rejeté l'action. La Cour d'appel a statué le 2 octobre 2008 sur l'appel du demandeur; elle a confirmé le jugement. D. Agissant par la voie du recours en matière civile, le demandeur saisit le Tribunal fédéral de conclusions semblables à celles déjà prises devant le Tribunal de prud'hommes et la Cour d'appel. La défenderesse conclut au rejet du recours. 