Sachverhalt: A. Am 12. Januar 2010 reichten verschiedene Krankenversicherer, u.a. die CSS Kranken-Versicherung AG, beim Schiedsgericht in Sozialversicherungsstreitigkeiten des Kantons Bern Klage gegen Dr. med. X._, Facharzt für Allgemeine Innere Medizin FMH, ein mit dem Rechtsbegehren, der Beklagte sei zu verurteilen, den Klägern vom Jahresumsatz 2007 einen gerichtlich zu bestimmenden Betrag zurückzuerstatten. Mit Entscheid vom 9. Dezember 2011 wies das kantonale Schiedsgericht die Klage ab. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erneuern die Krankenversicherer das im vorangegangenen Verfahren gestellte Rechtsbegehren; eventualiter sei der Entscheid vom 9. Dezember 2011 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Dr. med. X._ beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Das kantonale Schiedsgericht verzichtet auf eine Stellungnahme. Das Bundesamt für Gesundheit hat sich nicht vernehmen lassen. C. Die Parteien haben sich in weiteren Eingaben zur Sache geäussert. 