Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 27. Februar 2004 sprach die IV-Stelle Uri der 1958 geborenen R._ rückwirkend ab 1. Februar 2003 bei einem Invaliditätsgrad von 59 % eine halbe Invalidenrente (nebst Zusatzrente für den Ehegatten und einer Kinderrente) der Invalidenversicherung zu. Den Invaliditätsgrad bestimmte die Verwaltung aufgrund der Annahme, die Versicherte wäre im Gesundheitsfall teils erwerblich und teils im Aufgabenbereich Haushalt tätig, nach der gemischten Methode der Invaliditätsbemessung. Im Juni 2007 gab die Versicherte an, ihr Gesundheitszustand habe sich verschlechtert. Die IV-Stelle traf hierauf Abklärungen erwerblicher und medizinischer Art (u.a. Einholung eines psychiatrischen Gutachtens vom 1. Juli 2008) sowie im Haushalt (Abklärungsbericht vom 13. Oktober 2008). Sie gelangte zum Ergebnis, bei unveränderten Anteilen der hypothetischen Tätigkeitsbereiche im Gesundheitsfall habe sich der Gesundheitszustand nicht verschlechtert, sondern vielmehr in rentenrelevanter Weise verbessert, und hob die Invalidenrente mit Verfügung vom 27. März 2009 revisionsweise per Ende April 2009 auf. B. R._ erhob hiegegen Beschwerde. Das Obergericht des Kantons Uri hiess diese teilweise gut. Es ermittelte nach der gemischten Methode einen Invaliditätsgrad von nunmehr 41 % und sprach der Versicherten mit Wirkung ab 1. Mai 2009 eine Viertelsrente zu (Entscheid vom 21. Mai 2010). C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Verfügung vom 27. März 2009 zu bestätigen; eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie über die Kostenverlegung und die Höhe der zugesprochenen Parteientschädigung neu entscheide. R._ lässt beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen; eventuell: "Die Einschränkung im Aufgabenbereich Haushalt sei zu Gunsten der Beschwerdegegnerin zu korrigieren und entsprechend anzuheben. Der leidensbedingte Abzug sei auf 25 % festzulegen". Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) ersucht darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen, und schliesst auf Gutheissung des Rechtsmittels. 