Faits: A. P._ et C._ se sont mariés en 1986. Par jugement du 18 mars 2010, devenu exécutoire le 11 juin 2010, la 6ème Chambre du Tribunal de première instance de la République et canton de Genève a prononcé le divorce des époux. Sous chiffres 7 et 8 du dispositif, elle a condamné C._ à verser à P._ une indemnité équitable au sens de l'art. 124 CC et transmis la cause au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales) pour fixation du montant et du mode de règlement de celle-ci. B. B.a Par jugement du 8 juillet 2010, le Tribunal cantonal des assurances sociales (1) s'est déclaré incompétent, (2) a refusé d'entrer en matière, (3) a invité P._ et C._ à mieux agir devant le juge du divorce et (4) rayé la cause du rôle. B.b Par courrier du 23 août 2010, P._ a demandé au Tribunal cantonal des assurances sociales de revoir son jugement en ce sens que la cause devait être transmise d'office au juge du divorce. Le 25 août 2010, ce tribunal lui a répondu que les règles de procédure cantonale ne lui permettaient que de l'inviter à mieux agir auprès du juge du divorce. C. P._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle requiert l'annulation des chiffres 3 et 4 du dispositif. Elle conclut au renvoi de la cause à la 6ème Chambre du Tribunal de première instance afin qu'elle complète le jugement de divorce. Elle assortit son recours d'une demande d'assistance judiciaire. C._ a renoncé à se prononcer. De son côté, l'Office fédéral des assurances sociales (ci-après : l'OFAS) propose l'admission du recours. 