Sachverhalt: A. Die 1960 geborene A._ unterhielt bei der Freizügigkeitsstiftung X._ ein Freizügigkeitskonto im Rahmen der 2. Säule. Anfang 2005 verstarb A._. In der Folge erhoben die gesetzlichen Erben M._, T._ sowie K._, B._ und E._ einerseits und die von der Verstorbenen als Alleinerbin eingesetzte R._ Anspruch auf das Guthaben auf dem Freizügigkeitskonto in der Höhe von Fr. 196'381.55 (Stand am 18. Januar 2005). Nach umfangreicher Korrespondenz teilte die Freizügigkeitsstiftung X._ den Prätendenten mit Schreiben vom 13. Oktober 2006 mit, ohne ein gerichtliches Urteil, eine verbindliche Vergleichsvereinbarung oder eine Verzichtserklärung sehe sie sich ausser Stande, das Freizügigkeitsguthaben der verstorbenen Vorsorgenehmerin auszuzahlen. B. Am 15. Januar 2007 reichten M._, T._ sowie K._, B._ und E._ beim Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt Klage gegen die Freizügigkeitsstiftung X._ ein mit dem Rechtsbegehren, die Beklagte sei zu verpflichten, das Guthaben auf dem auf den Namen ihrer verstorbenen Tochter und Schwester lautenden Freizügigkeitskonto an sie auszuzahlen. Die zum Verfahren beigeladene R._ beantragte, die Klage sei abzuweisen und die Beklagte sei zu verpflichten, das Freizügigkeitsguthaben an sie auszuzahlen. Im Rahmen eines zweiten Schriftenwechsels hielten die Kläger und die Beigeladene an ihren Begehren fest. Mit Entscheid vom 15. Oktober 2007 wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt die Klage ab. C. M._, T._ sowie K._, B._ und E._ lassen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 15. Oktober 2007 sei aufzuheben und die Klage gutzuheissen. R._ lässt die Abweisung der Beschwerde beantragen, soweit darauf einzutreten sei. Die Freizügigkeitsstiftung X._ und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) reichen eine Vernehmlassung ein, ohne einen Antrag zu stellen. Mit Verfügung vom 14. März 2008 ist der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt worden. 