Sachverhalt: A. Das Untersuchungsrichteramt des Kantons Luzern, Abteilung Wirtschaftskriminalität (URA), führt seit 2004 eine Strafuntersuchung gegen diverse Angeschuldigte, darunter Rechtsanwalt X._, wegen Widerhandlung gegen das Bundesgesetz über den unlauteren Wettbewerb und weiteren mutmasslichen Delikten. Am 25. Mai 2009 ordnete das URA Hausdurchsuchungen und Beschlagnahmen in der Privatwohnung und in der Anwaltskanzlei von X._ an. Am 3. Juni 2009 beschlagnahmte das URA elektronische Dateien an beiden durchsuchten Lokalitäten sowie Schriftunterlagen in der betroffenen Anwaltskanzlei. Auf Verlangen von X._ wurden die auf ein Speichermedium kopierten und beschlagnahmten Dateien sowie die sichergestellten Dokumente versiegelt. B. Gegen die genannten Hausdurchsuchungen und Beschlagnahmen rekurrierte X._. Mit Entscheid vom 31. August 2009 hiess das Obergericht des Kantons Luzern, Kriminal- und Anklagekommission, den Rekurs gut. Es hob die Beschlagnahmen auf und verfügte die Rückgabe der fraglichen elektronischen Dateien und Schriftstücke in versiegeltem Zustand an den Rekurrenten. C. Mit Beschwerde vom 16. Oktober 2009 ficht die Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern den Entscheid des Obergerichtes vom 31. August 2009 mit Beschwerde beim Bundesgericht an. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Rückweisung der Streitsache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz. X._ und das Obergericht beantragen mit Stellungnahmen vom 3. bzw. 16. November 2009 je die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. 