Faits: A. A.a C._, né en 1951, a été engagé par Y._ en qualité de représentant avec effet au 1er février 2001, date à partir de laquelle il a été affilié à la Caisse de retraite Y._, et a travaillé en tant que chef de vente auprès de cette entreprise. Le 14 février 2005, il a signé un contrat de travail pour le 1er juin 2005 avec la société Z._ SA. Le 20 février 2005, il a informé Y._ qu'une opportunité qu'il ne pouvait refuser s'était offerte à lui, raison pour laquelle il résiliait les rapports de travail pour le 31 mai 2005. Le 23 mai 2005, C._ a été victime d'un accident en conduisant un petit tracteur («tracasset»; cf. la déclaration de sinistre LAA du 30 mai 2005, où il est indiqué que le tracteur s'était renversé et l'avait blessé aux mains gauche et droite, aux jambes et au dos). Le 25 mai 2005, il a consulté le docteur H._, spécialiste FMH en médecine interne et médecin traitant du patient depuis le 24 août 2004, qui a posé un diagnostic traumatologique et attesté dans un certificat médical une incapacité de travail à partir du 25 mai 2005, d'une durée probable de trois jours. A.b Le 1er juin 2005, C._ a commencé son nouvel emploi auprès de la société Z._ SA. Le même jour, il a rempli une demande d'affiliation en tant que chef d'exploitation auprès du Fonds d'assurance-retraite X._ en apposant une croix dans la case "oui" au regard des questions relatives à la déclaration de santé, confirmant par sa réponse qu'il jouissait actuellement de sa pleine capacité de travail, qu'il n'avait pas subi une incapacité de travail, partielle ou totale, supérieure à trois semaines, pour cause de maladie ou d'accident, au cours des 12 derniers mois, et qu'il ne souffrait, à sa connaissance, bien que jouissant de sa pleine capacité de travail, ni d'une infirmité, ni d'une maladie, ni des suites d'un accident. Sur cette base, le Fonds d'assurance-retraite X._ lui a confirmé son admission avec effet au 1er juin 2005. Dès le 10 juin 2005, C._ a été admis d'office à l'Hôpital psychiatrique W._, où il a séjourné jusqu'au 22 juin 2005 pour un épisode maniaque. Le 23 juin 2005, il a été licencié par la société Z._ SA, qui a annoncé au Fonds d'assurance-retraite X._ le départ de son employé au 31 juillet 2005 (avis de mutation du 5 août 2005). Du 12 juillet au 13 octobre 2005, il a séjourné à nouveau à l'Hôpital psychiatrique W._. A.c Le 12 septembre 2006, C._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité, en requérant l'octroi d'une rente d'invalidité. Dans un rapport du 24 octobre 2006, le docteur A._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie et chef de clinique de l'Hôpital W._, a posé les diagnostics de trouble affectif bipolaire, épisode "actuel" maniaque, avec symptômes psychotiques ([CIM-10] F31.2) existant depuis le 10 juin 2005 et de syndrome de dépendance à l'alcool existant au moins depuis novembre 1994, "actuellement" abstinent mais dans un environnement protégé (F10.21). Dans un rapport du 31 octobre 2006, le docteur H._ a posé les diagnostics ayant des répercussions sur la capacité de travail de troubles affectifs bipolaires et de syndrome de dépendance à l'alcool. A la question de savoir à partir de quand le patient présentait une incapacité de travail de 20 % au moins, il a répondu que celui-ci avait été en arrêt de travail à 100 % du 25 mai 2005 jusqu'à "actuellement". De son côté, la doctoresse L._, médecin associée de psychiatrie à la Clinique V._, qui a établi les arrêts de travail de C._ depuis le 1er avril 2007, a posé dans un rapport du 5 juin 2007 les diagnostics ayant des répercussions sur la capacité de travail de trouble bipolaire, épisode "actuel" de dépression moyenne avec syndrome somatique (F31.31) depuis janvier 2005 et de syndrome de dépendance à l'alcool (F10.2) depuis une dizaine d'années. Dans un rapport d'examen du 4 octobre 2007, la doctoresse M._, médecin SMR, a noté que l'assuré souffrait d'un trouble bipolaire "actuellement" marqué par un épisode dépressif d'intensité moyenne, associé à un syndrome de dépendance à l'alcool. Après discussion avec le docteur N._, médecin psychiatre au SMR, compte tenu de l'évolution peu favorable de la maladie depuis mai 2005 malgré un traitement bien conduit, et compte tenu de la sévérité des limitations fonctionnelles et de l'important risque de rechutes, elle a conclu que l'exercice d'une activité lucrative n'était pas envisageable. Niant toute capacité de travail exigible dans l'activité habituelle et dans une activité adaptée, elle a fixé le début de l'incapacité de travail durable au 25 mai 2005. Dans un préavis du 20 novembre 2007, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a informé C._ que sa capacité de travail était considérablement restreinte depuis le 25 mai 2005 et qu'il présentait une invalidité de 100 % depuis le 25 mai 2006, de sorte qu'il avait droit à une rente entière dès le 1er mai 2006. Par décision du 20 mars 2008, il lui a alloué une rente entière d'invalidité à partir du 1er mai 2006, assortie dans une deuxième décision datée du même jour d'une rente pour enfant pendant la période du 1er mai 2006 au 31 janvier 2007. A.d Le 26 février 2008, le Fonds d'assurance-retraite X._ - aujourd'hui: le Fonds de prévoyance X._ (ci-après: le Fonds de prévoyance) -- a avisé C._ qu'il n'avait pas droit à des prestations d'invalidité du Fonds de prévoyance, ni pour la part obligatoire selon la LPP, ni pour la part surobligatoire dépassant celle-ci. Relevant que ses problèmes de santé dataient de plusieurs années et qu'il avait notamment subi une hospitalisation en novembre 2004, il lui reprochait d'avoir commis une réticence en ne répondant pas de façon exacte à la déclaration de santé. Se référant à l'art. 2 du règlement du Fonds de prévoyance, il informait C._ que s'il avait eu connaissance de cet élément lors de l'affiliation, il aurait admis celui-ci avec une réserve pour la couverture des risques de décès ou d'invalidité liée à cette pathologie se déclarant dans les cinq ans. Par conséquent, il excluait la partie surobligatoire des prestations d'invalidité ou de décès du Fonds de prévoyance et les limitaient à celles découlant de l'assurance obligatoire selon la LPP. Le Fonds de prévoyance n'était toutefois pas tenu à prestation, puisque l'incapacité de travail de 100 % dès le 25 mai 2005 dont le docteur H._ avait fait état dans son rapport du 31 octobre 2006 était à l'origine de son invalidité et qu'elle était antérieure à son affiliation à partir du 1er juin 2005. Le 27 mars 2008, le Service de psychiatrie de liaison de V._, tout en relevant que le diagnostic psychiatrique posé lors de la première hospitalisation était postérieur au 1er juin 2005 et que de ce fait la bonne foi du patient dans sa déclaration de santé ne saurait être mise en doute, a communiqué au Fonds de prévoyance une prise de position de C._ datée également du 27 mars 2008 niant toute réticence de sa part. Il produisait également une lettre du docteur H._ du 13 mars 2008, où ce médecin relevait que le diagnostic des troubles affectifs bipolaires avait été posé après le 1er juin 2005 et que sur le vu de ses notes et de son dossier, le patient ne pouvait être au courant du diagnostic lorsqu'il avait signé la demande d'affiliation au Fonds de prévoyance. Il relevait aussi qu'à l'époque du 1er juin 2005 et ceci depuis 2004, le patient présentait effectivement des problèmes d'alcool avec un syndrome de dépendance qui avait justifié d'ailleurs l'hospitalisation en 2004. Pour autant, le docteur H._ était très loin d'être sûr qu'à l'époque où C._ avait signé la demande d'affiliation, il était conscient de ce diagnostic et ceci très certainement en raison de la comorbidité psychiatrique dont le diagnostic n'avait été posé qu'après juin 2005. Le 17 juillet 2008, le Fonds de prévoyance a communiqué une copie des décisions de rentes de l'office AI du 20 mars 2008 à la Caisse de retraite Y._, en l'invitant à se déterminer par rapport aux prétentions de C._ à des prestations d'invalidité. Le 5 août 2008, l'office AI a remis le dossier de l'assuré à la Caisse de retraite Y._. Après étude du dossier, celle-ci a informé le Fonds de prévoyance le 1er octobre 2008 qu'elle ne pouvait entrer en matière pour une quelconque rente d'invalidité, attendu que l'incapacité de travail consécutive à l'accident du 23 mai 2005 avait pris fin le 27 mai 2005 et que la cause accidentelle de cette incapacité de travail n'était donc pas à l'origine de l'invalidité de C._. Par lettre du 27 octobre 2008, le Fonds de prévoyance a informé C._ qu'il maintenait sa position. Le 21 octobre 2008, la Caisse de retraite Y._ a invité l'office AI à réexaminer le cas de C._, en fixant le début de l'incapacité de travail durable au 10 juin 2005. Le 27 novembre 2008, l'office AI a refusé d'entrer en matière sur sa requête, au motif que le courrier du 21 octobre 2008 considéré comme un recours était tardif et que les conditions d'une reconsidération des décisions de rentes du 20 mars 2008 n'étaient pas réalisées. Le 19 décembre 2008, la Caisse de retraite Y._ a saisi la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud de deux recours contre les décisions de rentes du 20 mars 2008 et le refus de l'office AI du 27 novembre 2008 d'entrer en matière sur sa requête, ce dont elle a informé C._ par lettre du 19 janvier 2009. B. Le 3 février 2009, C._ a saisi la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud d'une demande contre la Caisse de retraite Y._ et le Fonds de prévoyance X._, en prenant, sous suite de frais et dépens, des conclusions alternatives à leur encontre en ce sens que soit la Caisse de retraite Y._ était débitrice à son égard dès le 1er mai 2006 d'une rente entière d'invalidité d'un montant que justice dira, avec intérêts moratoires de 5 % l'an dès l'ouverture de l'action, soit le Fonds de prévoyance X._ était débiteur à son égard dès le 1er juin 2006 d'une rente entière d'invalidité d'un montant que justice dira, avec intérêts moratoires de 5 % l'an dès l'ouverture de l'action. Dans sa réponse du 13 mars 2009, la Caisse de retraite Y._ a conclu, sous suite de frais et dépens, au rejet de la demande, la juridiction cantonale étant invitée à fixer le début de l'incapacité de travail au 10 juin 2005. Dans sa réponse du 6 avril 2009, le Fonds de prévoyance X._, concluant au rejet de la demande, a relevé qu'il n'était pas tenu à prestation puisque le début de l'incapacité de travail fixé par l'office AI était antérieur à son affiliation dès le 1er juin 2005. Le 10 juillet 2009, il a confirmé sa prise de position, tout en indiquant, pour répondre à la requête de C._ du 13 mai 2009, que la rente d'invalidité à laquelle celui-ci aurait droit si le Fonds de prévoyance devait prendre en charge son invalidité s'élevait à 2'178 fr. par mois (30 % du salaire annuel assuré de 87'100 fr.). Sur requête du juge instructeur, la Caisse de retraite Y._, par lettre du 27 août 2009, a communiqué au Tribunal à titre indicatif le montant de la rente d'invalidité réglementaire maximale à laquelle C._ aurait droit si elle devait prendre en charge le cas, lequel s'élevait à 34'140 fr. par année (valeur 2005) et correspondait à 60 % du salaire annuel assuré de 56'900 fr., compte tenu de la déduction de coordination de 17'200 fr. Par jugement du 27 juillet 2010, la juridiction cantonale a prononcé que le Fonds de prévoyance X._ devait verser à C._ une rente d'invalidité de 2'178 fr. (deux mille cent septante-huit francs) par mois dès le 1er juin 2006, plus intérêt moratoire sur les arrérages échus au taux de 5 % l'an dès le 12 février 2009 (ch. I du dispositif), que la demande formée par C._ contre la Caisse de retraite Y._ était rejetée (ch. II du dispositif), qu'il n'était pas perçu de frais de justice (ch. III du dispositif) et qu'une indemnité de 1'500 fr. (mille cinq cents francs), à verser à C._ à titre de dépens, était mise à la charge du Fonds de prévoyance X._ (ch. IV du dispositif). C. Le Fonds de prévoyance X._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation, la Caisse de retraite Y._ étant condamnée à verser à C._ une rente d'invalidité réglementaire incluant la rente d'invalidité minimale LPP dès le 1er juin 2006, plus intérêt moratoire sur les arrérages échus au titre de 5 % l'an dès le 12 février 2009. A titre subsidiaire, il demande que la cause soit renvoyée à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud pour nouvelle décision dans le sens des considérants en ce qui concerne le début de l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité de C._, la réticence qu'il lui reproche d'avoir commise et les intérêts moratoires. Par lettre du 13 octobre 2010, il a demandé que l'effet suspensif soit attribué au recours. Dans sa réponse du 18 novembre 2010, C._ conclut, sous suite de frais et dépens, à l'admission du recours en ce sens que le jugement entrepris est annulé et la cause renvoyée à la juridiction cantonale pour instruction complémentaire sur le début de l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de son invalidité. Dans sa réponse du 19 novembre 2010, la Caisse de retraite Y._, qui s'est déterminée les 15 octobre et 4 novembre 2010 sur la requête d'effet suspensif présentée par le Fonds de prévoyance X._, conclut, sous suite de frais et dépens, au rejet du recours. Par ordonnance du 23 novembre 2010, le Juge instructeur a admis la requête d'effet suspensif. 