Arbeitsvertrag; Kündigung, hat sich ergeben: A.- X._ war seit 1976 als Jurist bei der Y._-Versicherung angestellt. Per 1. Januar 1986 wurde er zum Vizedirektor ernannt, womit er der Geschäftsleitung angehörte. Am 7. Juli 1998 kündigte sein Vorgesetzter Z._ das Arbeitsverhältnis auf den 30. Juni 1999 unter gleichzeitiger Freistellung des Arbeitnehmers. Auf dessen Verlangen begründete die Arbeitgeberin die Kündigung am 14. Juli 1998 und stellte ihm anfangs August 1998 ein geändertes Arbeitszeugnis zu. Der Arbeitnehmer bemängelte in einem weiteren Schreiben vom 14. August 1998 einige Textpassagen des Arbeitszeugnisses und die ungenügende Begründung der Kündigung. Er warf die Frage des Rechtsmissbrauchs auf und behielt sich eine Prüfung der Kündigung vor. In einem an den Verwaltungsrat der Y._-Versicherung gerichteten Schreiben vom 25. April 1999 wies X._ darauf hin, dass der Verwaltungsrat und nicht die Geschäftsleitung für seine Entlassung zuständig und ausserdem Z._ nicht einzelzeichnungsberechtigt sei; überdies ergebe sich aus der Begründung der Kündigung deren Rechtsmissbräuchlichkeit. Mit Briefen vom 18. und 31 Mai 1999 hielt die Arbeitgeberin an der Gültigkeit und Rechtmässigkeit der Kündigung fest. B.- Am 22. Dezember 1999 reichte X._ beim Arbeitsgericht Zürich Klage gegen die Y._-Versicherung ein. Er stellte die Begehren, es sei festzustellen, dass die Kündigung ungültig und die Beklagte verpflichtet sei, dem Kläger den Lohn von Fr. 171'000.-- pro Jahr bzw. Fr. 14'500.-- pro Monat sowie die Arbeitgeberbeiträge für die Vorsorgeeinrichtung auch nach dem 30. Juni 1999 so lange zu bezahlen, als das Arbeitsverhältnis weiter bestehe. Er verlangte zudem die Verpflichtung der Beklagten zur Zahlung weiterer Geldleistungen aus dem Arbeitsverhältnis. Eventuell beantragte er die Feststellung, dass die Kündigung rechtsmissbräuchlich sei, und die Verpflichtung der Beklagten zur Zahlung einer Entschädigung von sechs Monatslöhnen nebst Zins; schliesslich forderte er die Veröffentlichung eines den Eventualantrag gutheissenden Urteils und beantragte, es sei Vormerk zu nehmen, dass weitere Schadenersatzansprüche für die wirtschaftlichen Folgen der missbräuchlichen Kündigung vorbehalten seien. Mit Urteil vom 14. Dezember 2000 wies das Arbeitsgericht die Klage ab. Der Kläger gelangte mit Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich, welches das Rechtsmittel und die Klage mit Urteil vom 28. Mai 2001 abwies. C.- Der Kläger hat das Urteil des Obergerichts mit Berufung beim Bundesgericht angefochten. Er stellt die Anträge, dieses Urteil aufzuheben und festzustellen, dass die Kündigung des Arbeitsvertrags ungültig und die Beklagte verpflichtet sei, dem Kläger auch nach dem 30. Juni 1999 pro Jahr Fr. 245'000.-- für Lohn, Incentiv, Mitarbeiter-Aktien, Beiträge an die Lebensversicherung, Prämienrabatte und Prämienersatz so lange zu bezahlen, bis der Arbeitsvertrag rechtsgültig gekündigt sei; sodann sei davon Vormerk zu nehmen, dass der Kläger sich an den geschuldeten Betrag für den Zeitraum vom 30. Juli 1999 bis 31. Dezember 2000 total Fr. 154'610.-- und für das Jahr 2001 Fr. 100'000.-- an Anwaltshonoraren anrechnen lasse. Eventualiter sei festzustellen, dass die Kündigung rechtsmissbräuchlich sei, und die Beklagte sei zu verpflichten, dem Kläger eine Entschädigung von Fr. 85'500.-- nebst 5 % Zins seit 1. Juli 1999 zu zahlen; schliesslich sei davon Vormerk zu nehmen, dass sich der Kläger weitere Schadenersatzansprüche für die wirtschaftlichen Folgen der missbräuchlichen Kündigung ausdrücklich vorbehalte. Die Beklagte schliesst auf Abweisung der Berufung. 