Faits: A. Le 30 mars 2000, A._ SA a obtenu, de l'Institut Fédéral de la Propriété Intellectuelle (IPI), l'enregistrement de la marque suisse no bbb, pour des soins médicaux et des services d'une permanence médico-chirurgicale (classe 42 selon la classification internationale des produits et des services aux fins de l'enregistrement des marques, dite Classification de Nice [RS 0.232.112.8]). Cette marque se présente de la manière suivante: Le signe enregistré comporte, en haut à droite, la mention " a._ s.a ". Il résulte de la marque déposée auprès de l'IPI que A._ SA a effectué, dans sa demande d'enregistrement, une revendication partielle de couleur. Pour l'élément figuratif principal (au centre), ainsi que les deux signes plus petits situés à sa verticale (en haut et en bas), elle a revendiqué la couleur rouge vermillon. La couleur beige a été revendiquée pour le signe situé en bas à gauche, et la couleur noire pour celui situé à son opposé (décision entreprise p. 6 et complètement d'office selon l'art. 105 al. 2 LTF). Depuis cette inscription, A._ SA utilise l'élément figuratif " " et la marque dans le cadre de son activité commerciale, en particulier en tant que signe distinctif sur ses façades ayant pignon sur rue à Genève ainsi que sur ses documents commerciaux (notamment papier à entête et site internet). Au cours de l'année 2008, la Croix-Rouge suisse (Verein Schweizerisches Rotes Kreuzes) a été rendue attentive, par le CICR, à l'usage effectué par A._ SA. A plusieurs reprises, elle a invité celle-ci à renoncer à l'utilisation sous toute forme de l'emblème de la Croix-Rouge dans son activité commerciale et à requérir la radiation de la marque no bbb. Malgré plusieurs tentatives extrajudiciaires ainsi qu'une procédure de conciliation, les parties n'ont pas réussi à trouver un terrain d'entente. Le 6 septembre 2010, A._ SA a obtenu la prolongation de son enregistrement pour dix ans à partir du 30 mars 2010, soit jusqu'au 30 mars 2020. B. Le 3 juillet 2012, la Croix-Rouge suisse, agissant par ses organes, a déposé un mémoire de demande auprès du Tribunal de commerce du canton de Berne à l'encontre de A._ SA. Elle a pris les conclusions suivantes: " 1. Es sei der Beklagten zu verbieten, das nachfolgende rote Kreuz " " in Alleinstellung oder als Bestandteil einer Marke, einer Enseigne oder eines sonstigen Kennzeichens im Geschäftsverkehr - insbesondere als Hinweis auf ihre Geschäftslokalitäten, auf ihrer Homepage und auf eigenen Geschäftsdrucksachen - zu gebrauchen. 2. Es seien sämtliche sich im Besitze der Beklagten befindlichen Geschäftsunterlagen - insbesondere Geschäftsdrucksachen - sowie Hinweistafeln auf die Geschäftslokalitäten, die das nachfolgende rote Kreuz " " aufweisen, zu entfernen, einzuziehen und zu vernichten. 3. Das Verbot gemäss Ziffer 1 sei für den Fall der Wiederhandlung mit der Androhung der Bestrafung der Beklagten bzw. deren verantwortlichen Organen gemäss Art. 292 StGB zu verbinden. 4. Es sei festzustellen, dass die Schweizer Marke Nr. bbb (...) für alle registrierten Dienstleistungen nichtig ist. 5. Dem Institut für Geistiges Eigentum sei die Nichtigkeitserklärung der Schweizer Marke Nr. bbb (...) zwecks Löschung im Schweizer Markenregister mitzuteilen. 6. Unter Kosten- und Entschädigungsfolge zu Lasten der Beklagten." Dans sa réponse datée du 10 septembre 2012, la défenderesse a conclu à ce que sa partie adverse soit déboutée de toutes ses conclusions et qu'elle soit condamnée au paiement des frais et dépens de la cause. Le Tribunal de commerce, dans son jugement du 17 octobre 2013, a rendu le dispositif suivant: " 1. constate la nullité de la marque no CH bbb (...) pour l'ensemble des services annoncés; 2. ordonne la communication du présent jugement à l'Institut de la Propriété Intellectuelle en vue d'effectuer la radiation de la marque no CH bbb (...); 3. fait interdiction à A._ SA (...) d'utiliser après un délai de trois mois dès l'entrée en force du présent jugement l'élément figuratif suivant " " de manière isolée ou comme partie d'une marque, d'une enseigne, d'une autre désignation en matière commerciale, en particulier pour désigner ses locaux, sa page internet et ses papiers d'affaires; 4. condamne A._ SA (...) à retirer et à détruire l'ensemble du matériel, en particulier les papiers d'affaires et les enseignes de ses locaux, qui contiennent l'élément figuratif suivant " " dans un délai de trois mois dès l'entrée en force du présent jugement; 5. précise qu'en cas de violation du point 3 de la présente décision par les organes de A._ SA (...), ceux-ci s'exposent à une poursuite basée sur l'art. 292 du Code pénal (...) ". La cour cantonale (ch. 6 à 8 du dispositif) a fixé les frais judiciaires à 20'000 fr. (18'000 fr. à charge de A._ SA et 2'000 fr. à charge de la Croix-Rouge suisse) et les dépens à 32'000 fr. (à charge de A._ SA). C. A._ SA exerce un recours en matière civile contre la décision cantonale du 17 octobre 2013. Elle conclut à son annulation et à ce que la Croix-Rouge suisse soit déboutée de toutes ses conclusions, sous suite de frais et dépens. S'agissant de la procédure cantonale, elle sollicite une nouvelle répartition des frais et dépens et que ceux-ci soient arrêtés à 7'000 fr., respectivement à 12'000 fr. L'intimée conclut au rejet total du recours, sous suite de frais et dépens. L'effet suspensif sollicité par la recourante lui a été octroyé par ordonnance présidentielle du 18 février 2014. 