Faits: A. M. B.X._, né en 1965, de nationalité espagnole, et Mme A.X._, née en 1972, ressortissante russe, se sont mariés le 19 décembre 2007 à C._, où ils sont domiciliés, sans conclure de contrat de mariage. Aucun enfant n'est issu de cette union. Le mari est le père d'un fils né le 21 février 1998 d'un précédent mariage. Par jugement du 23 août 2011, il a été libéré, avec effet au 1er juin 2011, de la contribution d'entretien de 1'000 fr. par mois, allocations familiales non comprises, à laquelle il avait été astreint en faveur de l'enfant lors de son premier divorce, prononcé le 22 janvier 2001, faute de revenus après épuisement de son droit à la perception d'indemnités journalières de l'assurance maladie. Les conjoints vivent séparés depuis le 4 mars 2012, date à laquelle l'épouse a quitté le domicile conjugal. Elle admet une relation de concubinage «récente». Le 1er juin 2012, les concubins ont emménagé, en qualité de co-titulaires des baux, dans un appartement de deux pièces à C._, au loyer de 2'026 fr. par mois, charges incluses, puis, le 16 février 2013, dans un appartement de quatre pièces avec parking, situé aussi à C._, pour un loyer de 2'400 fr. par mois charges comprises. B. Le 30 avril 2012, le mari a requis des mesures protectrices de l'union conjugale, concluant notamment, sur mesures provisionnelles et au fond, à l'octroi d'une contribution d'entretien de 4'000 fr. par mois dès le 1er mars 2012. Par jugement du 11 décembre 2012, le Tribunal de première instance de Genève a, notamment, donné acte aux parties de ce qu'elles vivaient séparées (ch. 1), attribué au mari la jouissance exclusive du domicile conjugal (ch. 2) et débouté les parties de toutes autres conclusions (ch. 6). Le mari a appelé du chiffre 6 de ce jugement, persistant à demander une contribution d'entretien de 4'000 fr. par mois dès le 1er mars 2012. Par arrêt du 22 mars 2013, la Cour de justice du canton de Genève a annulé le chiffre 6 du jugement de première instance et, statuant à nouveau, a condamné l'épouse à verser au mari, du 1er mars 2012 au 31 mai 2012, 4'000 fr. par mois, du 1er juin 2012 au 15 février 2013 3'400 fr. par mois puis, dès le 16 février 2013, 3'200 fr. par mois, dit que ces sommes seraient réduites à due concurrence en cas d'allocation au mari d'une rente de l'assurance invalidité et/ou du deuxième pilier, et invité celui-ci à communiquer à l'épouse une copie de toute décision de l'assurance invalidité et/ou du deuxième pilier qui lui serait notifiée, l'y condamnant en tant que de besoin. Les parties ont été déboutées de toutes autres conclusions. C. Par acte du 24 avril 2013, l'épouse exerce un recours en matière civile contre l'arrêt du 22 mars 2013. Elle demande principalement que l'intimé soit débouté de toutes ses conclusions, le jugement de première instance étant confirmé. Subsidiairement, elle conclut au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Sur le fond, l'intimé propose le rejet du recours, dans la mesure où il est recevable. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire. L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt. D. Invité à se déterminer également sur la requête d'effet suspensif de la recourante, l'intimé a conclu à son rejet s'agissant des pensions à venir et s'en est remis à justice en ce qui concerne les arriérés de pensions. Par ordonnance du 13 mai 2013, le Président de la cour de céans a accordé l'effet suspensif pour les contributions dues jusqu'au 30 avril 2013, mais non pour les montants dus à partir du 1er mai 2013. 