Sachverhalt: A. Die am 10. Juli 2006 geborene J._ ist mit den Geburtsgebrechen Nr. 313 (angeborene Herz- und Gefässmissbildungen), Nr. 462 (angeborene Störungen der hypothalamohypophysären Funktion, u.a. Prader-Willi-Syndrom) und Nr. 497 (schwere respiratorische Adaptationsstörungen) zur Welt gekommen. Mit Gesuch vom 2. August 2006 meldete sie ihr Vater zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle des Kantons Aarau zog Berichte des Kinderspitals X._ (vom 13. Oktober 2006) und der Kinderklinik des Spitals Y._ (vom 5. September sowie 21. und 29. November 2006) bei. Mit Mitteilungen vom 5. und 6. Juni 2007 sprach sie J._ die Behandlung der Geburtsgebrechen Nr. 313 und Nr. 497 (hier beschränkt auf die Zeit vom 10. bis 22. Juli 2006) zu. Am 7. Juni 2007 verfügte sie die Übernahme der Physiotherapie zur Behandlung des Geburtsgebrechens Nr. 462 (für die Dauer vom 10. Juli 2006 bis 31. Juli 2008); bei dieser Gelegenheit hielt sie fest, die Wachstumshormonbehandlung gehe nicht zu ihren Lasten. Der behandelnde Arzt PD und später Prof. Dr. med. E._, Facharzt für Kinder- und Jugendmedizin, speziell Wachstum, Hormonstörungen und Diabetes (nachfolgend: Prof. E._), intervenierte mit Schreiben vom 3. Juli 2007 bei der Invalidenversicherung und ersuchte darum, bei J._ im Rahmen des Geburtsgebrechens Nr. 462 nicht nur ein Prader-Willi-Syndrom anzuerkennen, sondern auch einen davon unabhängig bestehenden Wachstumshormonmangel. Mit Vorbescheid vom 3. September 2007 und Verfügung vom 9. Mai 2008 verneinte die IV-Stelle die Pflicht zur Behandlung mit Wachstumshormonen, da der Nachweis eines Mangels nicht lege artis erfolgt sei. B. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 3. März 2009 aus der Begründung heraus gut, der Nachweis eines Wachstumshormonmangels sei von Prof. E._ als einem Facharzt für pädiatrische Endokrinologie gestellt worden, der das gesamte Krankheitsbild zuverlässig beurteilt habe. C. Die IV-Stelle des Kantons Aargau erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt Aufhebung des kantonalen Entscheides; eventualiter sei die Sache zu weiteren Abklärungen über den Nachweis eines Hormonmangels an sie zurückzuweisen. J._ beantragt Nichteintreten auf die Beschwerde, eventualiter deren Abweisung und subeventualiter die Anordnung eines medizinischen Gerichtsgutachtens; zudem sei die IV-Stelle zu verhalten, die Kosten einer im Hinblick auf das letztinstanzliche Verfahren abgefassten Stellungnahme des Prof. E._ vom 13. Juli 2009 zu vergüten. Die Vorinstanz beantragt Abweisung, das Bundesamt für Sozialversicherungen Gutheissung der Beschwerde. 