Fatti: A. La B._ SA ha dato in locazione a C.C._ diversi locali di uno stabile situato in via X._ a Y._ per l'attività della A._ Sagl. Il 16 novembre 2011, in vista della ristrutturazione dello stabile, la proprietaria ha sottoscritto con C.C._ e D.C._, soci e gerenti della A._ Sagl, un accordo che prevedeva la cessazione del rapporto di locazione il 31 dicembre 2011 e la consegna dei locali entro il 29 febbraio 2012. B. B.a. Il 12 marzo 2012, dopo avere sollecitato invano la consegna, la B._ SA ha convenuto la A._ Sagl davanti alla Pretura di Lugano, con procedura sommaria di tutela giurisdizionale per casi manifesti (art. 257 CPC), chiedendo che fosse ordinata l'espulsione. La convenuta ha eccepito che la liberazione dei locali era stata concordata solo provvisoriamente, per permettere l'esecuzione dei lavori, e che la disdetta non era stata notificata con il formulario ufficiale. Il Pretore ha dichiarato l'istanza irricevibile con giudizio del 14 febbraio 2013, non ritenendo adempiuti i requisiti dell'art. 257 cpv. 1 CPC. B.b. Il successivo appello della B._ SA, che indicava come convenuti la A._ Sagl nonché E.C._ e C.C._, è stato accolto parzialmente dalla II Camera civile del Tribunale di appello ticinese, la quale, con sentenza dell'8 maggio 2013, ha condannato la A._ Sagl "a lasciare l'intero immobile in Via X._ a Y._ ed a restituirne le chiavi entro 10 giorni dal passaggio in giudicato della decisione, ritenuto che in caso contrario l'istante è autorizzata a far sgomberare i vani con l'ausilio della polizia e a distruggere le strutture e le insegne non sgomberate". L'appello è stato dichiarato inammissibile nella misura in cui era rivolto contro E.C._ e C.C._, che non erano stati parti nella procedura davanti al Pretore. C. Con atto del 17 giugno 2013 intitolato "Ricorso di diritto civile (con eccezione di incostituzionalità) " la A._ Sagl insorge davanti al Tribunale federale chiedendo che la sentenza d'appello sia annullata e che l'istanza d'espulsione sia respinta, subordinatamente che gli atti siano ritornati all'autorità cantonale per riesame dei fatti alla luce di due testimonianze. La B._ SA ha risposto di respingere il ricorso. Le parti hanno confermato le rispettive posizioni con replica e duplica spontanee. La A._ Sagl non ha chiesto la concessione dell'effetto sospensivo, sebbene per svista sia stata chiesta all'istante una presa di posizione a tale proposito. 