Sachverhalt: A. Die 1980 geborene B._ war Sachbearbeiterin bei der Stadt X._ und damit bei der AXA Versicherungen AG (nachfolgend AXA) obligatorisch unfallversichert. Am 26. Mai 2009 meldeten sie der AXA, die Versicherte sei am 10. Mai 2009 in einem Wald von einer Zecke gebissen worden, ohne dass sie dies bemerkt habe; vom 17. bis 19. Mai 2009 habe sie die Arbeit ausgesetzt. Mit Verfügung vom 7. Januar 2010 verneinte die AXA ihre Leistungspflicht. Dagegen erhoben die Versicherte und ihr Krankenversicherer Einsprache. Letzterer zog sie später zurück. Die Einsprache der Versicherten wies die AXA mit Entscheid vom 29. März 2010 mangels eines natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen ihren Beschwerden und einem Zeckenbiss am 10. Mai 2009 ab. B. In Gutheissung der Beschwerde der Versicherten hob das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich den Einspracheentscheid auf und stellte fest, sie habe im Zusammenhang mit dem Zeckenbiss vom 10. Mai 2009 Anspruch auf Leistungen aus der obligatorischen Unfallversicherung (Entscheid vom 24. Oktober 2011). C. Mit Beschwerde beantragt die AXA die Aufhebung des kantonalen Entscheides; der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Im Rahmen der Beschwerdebegründung verlangt sie die Rückweisung an sie zwecks Einholung eines externen unabhängigen Aktengutachtens, falls die Sache anhand der vorliegenden Akten nicht abschliessend beurteilt werden könne. Die Versicherte schliesst auf Abweisung der Beschwerde; es seien ihr die entstandenen Heilungskosten gemäss UVG zuzüglich 5 % Zins und die Abklärungskosten von Euro 606 zu bezahlen. Der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung nicht zu gewähren. 