Fatti: A. Il 5 maggio 2010, alle 15.15, a Verscio, in condizioni di forte pioggia, C._, intenzionata a recarsi al lavoro, è uscita di casa ed è salita a bordo della propria autovettura parcheggiata sul piazzale di fronte all'abitazione. Dopo avere guardato negli specchietti retrovisori laterali e centrale, nonché attraverso il lunotto, ha iniziato una manovra di retromarcia per uscire dal posteggio. Quando stava eseguendo la retromarcia ha investito D._, nato nel 2009, che è finito sotto il veicolo. In seguito alle gravi lesioni riportate nell'incidente, il bambino è deceduto alcune ore dopo all'ospedale. B. Il Procuratore pubblico del Cantone Ticino (PP) ha aperto nei confronti di C._ un procedimento penale per i reati di omicidio colposo e di infrazione alle norme della circolazione stradale. Terminata l'istruzione, con decisione del 28 aprile 2011, il PP ha decretato l'abbandono del procedimento, siccome non erano adempiuti gli elementi costitutivi dei reati. Ha essenzialmente ritenuto che alla conducente non poteva essere imputata una violazione dei suoi doveri di prudenza e che la presenza del bambino sul piazzale costituiva, in quella situazione, una circostanza imprevedibile che ha reso inevitabile l'investimento. C. Contro il decreto di abbandono, i genitori della vittima hanno presentato un reclamo alla Corte dei reclami penali del Tribunale d'appello (CRP), lamentando in particolare la mancata assunzione di una perizia volta a determinare se la vittima fosse visibile dalla conducente al momento in cui si apprestava ad effettuare la manovra di retromarcia. Con sentenza del 18 luglio 2011 la CRP ha respinto il gravame. D. I reclamanti impugnano questo giudizio con un ricorso in materia penale al Tribunale federale, chiedendo di annullarlo e di rinviare la causa alla Corte cantonale per una nuova decisione. Fanno essenzialmente valere una violazione del loro diritto di essere sentiti per il rifiuto delle autorità cantonali di eseguire la perizia richiesta. I ricorrenti postulano inoltre di essere ammessi al beneficio dell'assistenza giudiziaria e del gratuito patrocinio. E. La Corte cantonale si rimette al giudizio del Tribunale federale, mentre il PP e l'opponente chiedono di respingere il gravame. 