Faits: A. Le 13 juin 2012, la Commission d'examens des avocats du canton de Genève (ci-après: la Commission d'examens) a signifié à X._ son échec à la session d'examens des avocats de mai 2012, ayant obtenu un total de 17, 75 points au lieu des 20 requis, soit 4,75 de moyenne aux examens intermédiaires, 3,25 (coefficient 2) pour l'épreuve écrite, 2,5 et 4 pour les épreuves orales. Cet échec étant le troisième, il était définitif. Le 21 juin 2012, X._ a assisté à la séance de correction collective au cours de laquelle le correcteur de l'examen écrit du 19 mai 2012 a énoncé les réponses attendues, évaluées sur 9 points. A la demande de la candidate, ce dernier a, le 10 juillet 2012, adressé à X._ un courriel énumérant les principales lacunes de son épreuve écrite. B. X._ a recouru contre la décision lui signifiant son échec définitif aux examens d'avocats auprès de la Cour de justice du canton de Genève, Chambre administrative, en se plaignant essentiellement de l'appréciation arbitraire de son épreuve écrite, pour laquelle elle estimait mériter une note comprise entre 4,5 et 4,75. Par arrêt du 5 mars 2013, la Cour de justice a rejeté le recours, avec suite de frais à la charge de la recourante. C. X._ forme auprès du Tribunal fédéral un recours constitutionnel subsidiaire et conclut, sous suite de frais, à l'annulation de l'arrêt de la Cour de justice du 5 mars 2013. Elle demande au Tribunal fédéral de lui attribuer la note de 4,5 à l'examen écrit du 19 mai 2012, la décision de la Commission d'examens du 13 juin 2012 étant modifiée en conséquence. A titre subsidiaire, elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué, la cause étant renvoyée à la Cour de justice, ou directement à la Commission d'examens, pour nouvelle décision dans le sens des considérants. La recourante a également présenté une demande d'assistance judiciaire limitée aux frais. La Cour de justice se réfère à son arrêt. La Commission d'examens a présenté des observations au terme desquelles elle conclut au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité, sous suite de frais. Invitée à se déterminer dans le délai au 16 août 2013, la recourante a déclaré persister dans les termes de son recours. 