Faits: Faits: A. A._, né en 1968, de nationalité angolaise, père d'un enfant, est arrivé pour la première fois en Suisse en 1990. Au bénéfice d'un permis de réfugié, il a exercé une activité lucrative en qualité d'aide de cuisine du mois de juin 1991 au mois de septembre 1992, avant de retourner et d'effectuer un bref séjour dans son pays d'origine. Depuis le 31 juillet 1993, il réside en Suisse de façon permanente. Il a occupé divers emplois de courte durée avant de présenter, le 18 décembre 1998, une demande tendant à l'octroi d'une rente de l'assurance-invalidité. A l'appui de sa requête, il alléguait souffrir de schizophrénie et de paranoïa depuis 1996. Par décision définitive et exécutoire du 30 avril 1998, l'Office fédéral des réfugiés a prononcé le renvoi de A._, en lui impartissant à cet effet un délai échéant le 30 juin 1998. L'Office cantonal des requérants d'asile du canton de Vaud l'a toutefois autorisé à résider dans le canton jusqu'à nouvel avis. L'Office AI pour le canton de Vaud a requis le point de vue du docteur G._, médecin traitant et alors chef de Clinique chez X._, lequel a diagnostiqué une schizophrénie paranoïde et attesté une incapacité de travail entière depuis le 20 mars 1998 (rapport du 21 juin 1999). Le 3 avril 2000, le docteur C._, chef de clinique adjoint à l'Hôpital Y._, a communiqué à l'office AI les rapports relatifs à trois hospitalisations accomplies dans cet établissement durant les périodes des 19 au 27 mars, 18 au 30 mai et 17 juin au 1er juillet 1997. Ces rapports indiquaient les diagnostics de troubles mentaux et troubles du comportement liés à l'usage du cannabis, troubles psychotiques avec hallucinations au premier plan, ainsi que troubles mentaux et du comportement liés à l'utilisation de l'alcool. L'intéressé a séjourné en outre à diverses reprises (du 20 au 31 mars 1998, du 25 au 29 novembre 1999, du 15 au 21 août et du 23 au 27 novembre 2000, du 12 au 13 juin et du 17 au 19 juillet 2001, ainsi que du 9 au 13 août 2001) à l'hôpital Z._. L'office AI a confié une expertise au docteur S._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Dans un rapport du 10 juin 2001, ce médecin a posé le diagnostic suivant : Axe I Troubles mentaux et trouble du comportement liés à l'utilisation d'alcool, de cannabis (autres?) avec troubles psychotiques, hallucinations au 1er plan (DD : schizophrénie paranoïde peu probable) Abus et dépendance à l'alcool, actuellement en rémission partielle Abus et dépendance au haschisch Abus et dépendance à la cocaïne en rémission partielle Non ou mauvaise observance du traitement Axe II Personnalité immature à traits histrioniques Axe III Nihil Axe IV Difficultés économiques et administratives (Permis F) - renvoi pendant en Angola, situation affective "peu claire". L'expert a attesté une incapacité de travail de 100 % « éventuellement », par intermittence durant la période du mois de mars 1997 au mois de mars 1998, et une capacité entière après cette période. Se fondant sur les conclusions de l'expert, l'office AI a rendu une décision, le 16 octobre 2001, par laquelle il a rejeté la demande de prestations, motif pris que l'intéressé ne subissait pas d'atteinte invalidante de nature à diminuer sa capacité de travail dans son activité habituelle. Se fondant sur les conclusions de l'expert, l'office AI a rendu une décision, le 16 octobre 2001, par laquelle il a rejeté la demande de prestations, motif pris que l'intéressé ne subissait pas d'atteinte invalidante de nature à diminuer sa capacité de travail dans son activité habituelle. B. A._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud. Celui-ci a confié une expertise au docteur V._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Dans un rapport du 9 juillet 2003, l'expert a attesté une incapacité de travail entière depuis le mois d'avril 1999 dans toute activité, en raison d'une schizophrénie paranoïde et d'un syndrome de dépendance à des substances psycho-actives multiples (cannabis, cocaïne, alcool), avec utilisation épisodique. Par jugement du 7 janvier 2004, la juridiction cantonale a annulé la décision attaquée et renvoyé la cause à l'office AI pour qu'il statue sur le droit de A._ à une rente d'invalidité à partir du 1er avril 2000, en examinant si les conditions d'assurance (durée minimale de cotisation, domicile) étaient réalisées à cette date, compte tenu de la décision de renvoi dont l'intéressé était frappé. Par jugement du 7 janvier 2004, la juridiction cantonale a annulé la décision attaquée et renvoyé la cause à l'office AI pour qu'il statue sur le droit de A._ à une rente d'invalidité à partir du 1er avril 2000, en examinant si les conditions d'assurance (durée minimale de cotisation, domicile) étaient réalisées à cette date, compte tenu de la décision de renvoi dont l'intéressé était frappé. C. L'office AI interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont il demande l'annulation partielle, en demandant au Tribunal fédéral des assurances de constater que l'intéressé présentait déjà une atteinte à la santé invalidante avant son arrivée en Suisse. L'intimé conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer sur celui-ci. Par écriture du 13 septembre 2004, l'office AI s'est exprimé sur la réponse de l'intimé. 