Faits : Faits : A. A.a S._, né en 1929, est tailleur de formation et exploite à Genève une petite entreprise de confection, dont la façon est essentiellement confiée à des sous-traitants. Il est assuré auprès de Elvia assurances pour la vie et contre les accidents S.A. (l'Elvia) pour le risque d'accidents au sens de la LAA, à titre facultatif. A.b Le 1er septembre 1994, il a glissé dans sa salle de bain et heurté avec la tête les catelles et le crochet de sa douche. Le docteur D._ a posé le diagnostic de plaie compacte de l'arcade sourcilière droite et de commotion cérébrale; il a suturé la plaie de 3 cm et prescrit du repos; le traitement s'est terminé chez ce praticien le 16 septembre 1994 (rapport du 12 octobre 1994 du Centre X._). Se plaignant d'une recrudescence de céphalées, de vertiges, de faiblesses, de troubles de la vue, de troubles du sommeil, ainsi que de difficultés mnésiques et de concentration (rapports des 4 août 1995 et 29 février 1996 du docteur B._, spécialiste en neurologie et neurochirurgie), S._ a été examiné par différents spécialistes et a fait l'objet de nombreux examens; ainsi, notamment, il s'est soumis à une IRM du cerveau qui n'a mis en évidence aucune lésion fraîche mais a permis de retenir une atrophie corticale et des signes de sinusites et de sphénoïdite (rapport du 28 septembre 1994 du docteur A._, spécialiste en radiologie); il a été observé à la clinique d'ophtalmologie de l'Hôpital Y._ du 19 au 21 octobre 1994, qui a retenu un déficit visuel central et périphérique pour lequel des verres correcteurs ont été prescrits (rapports des 4 novembre 1994 et 4 avril 1995 du professeur Roth); il a été hospitalisé du 21 au 24 décembre 1994 dans le service de neurologie de l'Hôpital Y._ pour un bilan qui a évoqué cliniquement des céphalées post-traumatiques s'installant dans le contexte de céphalées tensionnelles préexistantes, avec un CT-scan cérébral normal (rapport du 5 janvier 1995 des docteurs H._ et V._); au plan neuropsychologique, il a été conclu à l'existence de signes de dysfonctionnement cérébral modérés qui pouvaient constituer des séquelles neuropsychologiques de l'accident de 1994 (rapport du 20 juin 1996 de la psychologue M._). L'incapacité de travail a été totale de la date de l'accident jusqu'au 4 octobre 1994 où l'assuré a repris son activité à un taux de 20 %, puis à 30 % dès le 2 novembre 1994, excepté les périodes d'hospitalisation pour investigations. A.c Le 11 février 1995, S._ a chuté dans les escaliers de son immeuble; il est tombé sur son bras gauche et s'est cassé le coude. Le lendemain, le docteur U._, spécialiste en chirurgie orthopédique, a posé le diagnostic de fracture multifragmentaire de l'olécrane gauche et procédé à la réduction de la fracture par ostéosynthèse (rapports des 21 février et 4 mai 1995). L'incapacité de travail a été totale à partir de l'accident; une reprise d'activité dès le 6 juin 1995 a été limitée à 20 % en raison des douleurs au coude (rapport du 3 juillet 1995 du docteur U._). Après l'ablation du matériel d'ostéosynthèse, le 7 mars 1996, le docteur U._ n'a attesté d'une capacité de travail que de 20 % en raison de la persistance de douleurs (rapport du 6 septembre 1995). A.d L'Elvia a confié au docteur K._, spécialiste en chirurgie orthopédique et de la main, un mandat d'expertise. Au terme de son rapport du 3 décembre 1996, ce praticien a conclu que l'accident du 1er septembre 1994 avait provoqué une incapacité de travail totale jusqu'au 1er octobre 1994, le statu quo sine ayant été atteint à cette date; l'accident du 11 février 1995 avait entraîné - exception faite de la période où l'assuré avait pu exercer une activité à 20 % entre le 6 juin 1995 et le 7 mars 1996 - une incapacité de travail totale jusqu'au 7 juillet 1996, soit trois mois après l'ablation du matériel d'ostéosynthèse; les douleurs et les multiples troubles fonctionnels dont se plaignait l'assuré étaient très vraisemblablement sans relation avec les accidents évoqués. A.e L'instruction du cas a révélé que S._ avait été victime par le passé de multiples accidents, qu'il avait présenté et présentait de nombreux problèmes de santé et qu'il avait fait l'objet de plusieurs expertises médicales : ainsi, un traumatisme cranio-cérébral en 1958, une fracture de la clavicule gauche en 1963, une distorsion lombaire en 1968, une contusion crânienne et du nez en 1972, une fracture du genou droit en 1975 et des fractures costales droites en 1977; ces différents accidents avaient provoqué des douleurs généralisées, sous forme de céphalées, de lombalgies, de nucalgies, de troubles du sommeil et de fatigabilité et avaient entraîné une incapacité de travail de 50 % depuis le 1er octobre 1977 (rapport du 17 juillet 1979 du docteur B._). Une fracture du plateau tibial droit, avec plaies faciales, commotion cervicale et distorsion cervico-dorsale lors d'un accident de voiture avec choc frontal en 1980; un traumatisme au vertex, au genou gauche et ostéoligamentaire, suite à un nouvel accident de circulation en 1985; l'accident de 1980 avait laissé des séquelles au niveau du genou droit et avait provoqué des troubles post-commotionnels multiples, sous forme de fatigabilité, céphalées, vertiges, cervicalgies, algies diverses, troubles du sommeil, angoisse avec reconnaissance d'une incapacité de travail de 50 % et une invalidité anatomique de 54 % (expertise du 9 octobre 1981 du docteur L._, spécialiste en médecine interne; expertise des 21 avril/28 décembre 1987 du professeur R._); l'accident de 1985 avait entraîné une aggravation des céphalées et des cervicalgies avec reconnaissance d'une incapacité de travail supplémentaire de 20 % (expertise du professeur R._) . Une fracture du 5ème métacarpien du pied gauche le 8 mars 1993 qui entraînait encore en 1996 une incapacité de travail de 20 % mais qui pouvait être réduite par le port de bons supports plantaires (rapport du 23 juillet 1996 du docteur C._, spécialiste en orthopédie et chirurgie orthopédique). Après avoir retiré une première demande de prestations du 3 juillet 1979, S._ s'était annoncé à l'AI le 11 octobre 1983. L'assurance-invalidité fédérale a reconnu qu'il présentait une invalidité de 80 % à partir du 29 octobre 1981 et il a été mis au bénéfice d'une rente entière d'invalidité dès le 1er octobre 1982 jusqu'à l'âge de l'AVS. A.f Par une première décision du 13 janvier 1997, l'Elvia a mis fin à la prise en charge du sinistre du 1er septembre 1994, le statu quo sine ayant été atteint au 1er octobre 1994. Par une seconde décision du même jour, l'Elvia a mis fin à la prise en charge des suites de l'accident du 11 février 1995 au 31 octobre 1996, le traitement médical et les indemnités journalières ayant été payés jusqu'à cette date; demeuraient réservées, à long terme une évolution arthrosique post-traumatique du coude gauche et la question de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité sur laquelle elle se proposait de revenir. S._ a formé opposition contre ces deux décisions, contestant à titre principal les données médicales sur lesquelles l'assureur s'était basé. Le 2 juillet 1997, l'Elvia a rejeté ces oppositions et confirmé la fin du droit aux prestations au 31 octobre 1996, pour les suites des accidents dont elle avait à répondre, sous réserve d'une éventuelle évolution arthrosique du coude gauche. A.f Par une première décision du 13 janvier 1997, l'Elvia a mis fin à la prise en charge du sinistre du 1er septembre 1994, le statu quo sine ayant été atteint au 1er octobre 1994. Par une seconde décision du même jour, l'Elvia a mis fin à la prise en charge des suites de l'accident du 11 février 1995 au 31 octobre 1996, le traitement médical et les indemnités journalières ayant été payés jusqu'à cette date; demeuraient réservées, à long terme une évolution arthrosique post-traumatique du coude gauche et la question de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité sur laquelle elle se proposait de revenir. S._ a formé opposition contre ces deux décisions, contestant à titre principal les données médicales sur lesquelles l'assureur s'était basé. Le 2 juillet 1997, l'Elvia a rejeté ces oppositions et confirmé la fin du droit aux prestations au 31 octobre 1996, pour les suites des accidents dont elle avait à répondre, sous réserve d'une éventuelle évolution arthrosique du coude gauche. B. S._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal administratif de la République et canton de Genève et conclu à l'octroi des prestations légales au-delà du 31 octobre 1996. Le 1er décembre 1998, le tribunal a confié au docteur N._, médecin-adjoint responsable de l'unité de neuropsychologie auprès de l'Hôpital Y._, un mandat d'expertise. L'expert s'est adjoint le concours du docteur T._ pour l'aspect orthopédique et a déposé son rapport le 29 juillet 1999; suite à son audition par le tribunal et différentes questions des parties, il a déposé un complément d'expertise le 15 décembre 2000. Par jugement du 22 mai 2001, le tribunal a admis partiellement le recours, dit que le taux d'incapacité de travail dont devait répondre l'assureur était de 35 %, dit que le recourant avait droit aux soins médicaux au sens des considérants et renvoyé le dossier à l'assureur pour le calcul de la rente d'invalidité et examen du droit à une indemnité pour atteinte à l'intégrité. Par jugement du 22 mai 2001, le tribunal a admis partiellement le recours, dit que le taux d'incapacité de travail dont devait répondre l'assureur était de 35 %, dit que le recourant avait droit aux soins médicaux au sens des considérants et renvoyé le dossier à l'assureur pour le calcul de la rente d'invalidité et examen du droit à une indemnité pour atteinte à l'intégrité. C. Elvia interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont elle demande l'annulation. S._ conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens, tandis que le tiers intéressé Concordia, assurance suisse de maladie et accidents, et l'Office fédéral des assurances sociales renoncent à se déterminer. 