Sachverhalt: Sachverhalt: A. A.a Am 25. Februar 2004 wurde über das Vermögen von X._ aufgrund dessen Insolvenzerklärung der Konkurs eröffnet. Bereits vorgängig beschloss die Aufsichtsbehörde des Kantons Schaffhausen über das Schuldbetreibungs- und Konkurswesen auf Gesuch des Konkursamts Schaffhausen, die Y._ mit der Unterstützung des Konkursamts bei der Durchführung des allfälligen Konkurses über das Vermögen von X._ zu beauftragen. Gleichzeitig setzte die Aufsichtsbehörde den Tarif für das Entgelt der Y._ AG fest (Beschluss vom 23. Februar 2004). Nach Konkurseröffnung beauftragte die Aufsichtsbehörde - wiederum auf Gesuch des Konkursamts - die Y._ AG mit der Unterstützung des Konkursamts bei der Durchführung des gesamten Konkursverfahrens und bestätigte hierfür den bereits festgesetzten Tarif (Beschluss vom 2. Juli 2004). A.b Mit Schreiben vom 29. Dezember 2004 unterbreitete die Y._ AG der Aufsichtsbehörde ihre Honorarrechnungen vom 1. März bis 31. Mai 2004, vom 1. Juli bis 31. August 2004 und vom 1. September bis 30. November 2004 zur Genehmigung. Nach Rücksprache mit dem Konkursamt bezahlte das Obergericht des Kantons Schaffhausen, das seit 1. Januar 2005 als Aufsichtsbehörde über das Schuldbetreibungs- und Konkurswesen handelt, diese Rechnungen unter Belastung eines Kontos des Betreibungs- und Konkursamts A._. Am 29. Juli 2005 bezahlte das Obergericht die Honorarrechnung vom 1. Dezember 2004 bis 30. April 2005. A.b Mit Schreiben vom 29. Dezember 2004 unterbreitete die Y._ AG der Aufsichtsbehörde ihre Honorarrechnungen vom 1. März bis 31. Mai 2004, vom 1. Juli bis 31. August 2004 und vom 1. September bis 30. November 2004 zur Genehmigung. Nach Rücksprache mit dem Konkursamt bezahlte das Obergericht des Kantons Schaffhausen, das seit 1. Januar 2005 als Aufsichtsbehörde über das Schuldbetreibungs- und Konkurswesen handelt, diese Rechnungen unter Belastung eines Kontos des Betreibungs- und Konkursamts A._. Am 29. Juli 2005 bezahlte das Obergericht die Honorarrechnung vom 1. Dezember 2004 bis 30. April 2005. B. B.a Mit Schreiben vom 17. November 2005 verlangte das Konkursamt von X._ für die Deckung der in der Zwischenzeit im Konkursverfahren aufgelaufenen Kosten den Betrag von Fr. 90'000.--. Im Säumnisfall stellte es in Aussicht, beim Konkursrichter die Einstellung des Konkursverfahrens zu beantragen. Mit Eingabe vom 6. Februar 2006 gelangte X._ an das Obergericht mit dem Begehren: - Es sei das Konkursamt anzuweisen, die durch die beauftragte Y._ AG gestellten Rechnungen vom 20./21. und 23. Dezember 2004 sowie 19. Juli 2005 sowie noch weitere allenfalls angefallene oder noch anfallende Rechnungen lediglich in einem Teilbetrag (ca. Fr. 20'000.--) dem Konkursiten zu belasten und dementsprechend die Auflage des Konkursamts an den Konkursiten für die Leistung eines Vorschusses auf diesen Teilbetrag zu beschränken." Mit Entscheid vom 28. April 2006 trat die Aufsichtsbehörde auf die betreibungsrechtliche Beschwerde nicht ein (Ziffer 1). Der Anzeige wurde keine weitere Folge gegeben (Ziffer 2). Mit Entscheid vom 28. April 2006 trat die Aufsichtsbehörde auf die betreibungsrechtliche Beschwerde nicht ein (Ziffer 1). Der Anzeige wurde keine weitere Folge gegeben (Ziffer 2). C. Mit Eingabe vom 12. Mai 2006 hat X._ die Sache an die Schuldbetreibungs- und Konkurskammer des Bundesgerichts weitergezogen. Er beantragt: - Es sei in Aufhebung des Entscheids des Obergerichts des Kantons Schaffhausen als Aufsichtsbehörde über das Schuldbetreibungs- und Konkurswesen vom 28. April 2006, wonach auf die betreibungsrechtliche Beschwerde nicht eingetreten werde (Ziffer 1), das Konkursamt anzuweisen, bevor es dem zuständigen Konkursrichter Antrag auf Einstellung des Konkursverfahrens über den Beschwerdeführer mangels Aktiven stellt, dem Beschwerdeführer mittels formeller Verfügung zur Vorschussleistung aufzufordern, unter der Androhung der Einstellung des Verfahrens bei Nichtleistung des Vorschusses; - Eventuell sei der Entscheid des Obergerichts, wonach der Anzeige des Beschwerdeführers keine weitere Folge gegeben wird (Ziffer 2), aufzuheben und das Konkursamt anzuweisen zu prüfen, ob die von der beauftragten Y._ AG gestellten Rechnungen für die Feststellung der Konkursaktiven notwendige Arbeiten beinhalteten, und die Rechnungsbeträge nur insoweit dem Beschwerdeführer zu belasten, als es diese Notwendigkeit feststellt; unter Kosten- und Entschädigungsfolge zu Lasten des Konkursamtes." Die Aufsichtsbehörde hat anlässlich der Übersendung der kantonalen Akten auf eine Stellungnahme verzichtet (Art. 80 OG). Das Konkursamt A._ hat am 1. Juni 2006 ebenfalls auf Vernehmlassung verzichtet. 