Sachverhalt: A. Der 1955 geborene G._ war als Chauffeur in der Firma X._ tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 5. Februar 2003 erlitt er bei der Arbeit einen Unfall. Er glitt beim Ausladen aus und kam zu Fall. Dabei verletzte er sich namentlich an der rechten Schulter. Es fanden nebst weiteren Therapien mehrere operative Eingriffe an der Schulter statt. Zudem hielt sich G._ vom 30. August bis 11. Oktober 2005 zur Rehabilitation in der Klinik Y._ auf. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Mit Verfügung vom 14. März 2007 sprach sie dem Versicherten für die verbleibenden Folgen der unfallbedingten Schulterverletzung eine Invalidenrente entsprechend einer Invalidität von 27 % und eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage einer Integritätseinbusse von 20 % zu. Daran hielt die SUVA auf Einsprache des Versicherten hin fest. Sie verneinte dabei auch ihre Leistungspflicht in Bezug auf die geltend gemachte psychische Problematik, da diese nicht adäquat unfallkausal sei (Einspracheentscheid vom 13. Juni 2007). B. Die von G._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 18. Dezember 2008 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt G._ beantragen, in Aufhebung von vorinstanzlichem und Einspracheentscheid sei die Sache zur Neubeurteilung an das kantonale Gericht, evtl. an den Unfallversicherer zurückzuweisen, wobei dieser anzuweisen sei, ein interdisziplinäres (psychiatrisch/ orthopädisch/neurologisch) Gutachten einzuholen. Eventuell sei nach Einholung eines interdisziplinären Gutachtens durch das Bundesgericht eine Invalidenrente nach Ergebnis des Beweisverfahrens, mindestens jedoch entsprechend einer Invalidität von 64 %, sowie eine Integritätsentschädigung, welche nebst der somatisch bedingten Integritätseinbusse von 20 % auch die psychischen Beschwerden abdecke, zuzusprechen. Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. Mit Eingabe vom 24. April 2009 lässt G._ ein psychiatrisch-psychotherapeutisches Gutachten vom 12. Februar 2009 einreichen und beantragen, das Verfahren sei bis zum Vorliegen des interdisziplinären medizinischen Gutachtens, dessen Einholung er im Verfahren der Invalidenversicherung beantragt habe, zu sistieren. 