Faits: A. X._ SA, dont le conseil d'administration est présidé par A._, est propriétaire de la résidence médicalisée «V._», à .... Par contrat du 25 février 2000, cette société a engagé Y._ en qualité d'infirmière-cheffe, responsable de la direction des soins de la résidence. Par lettre du 3 octobre 2000, le Service de la santé publique du canton de Neuchâtel a fait observer à A._ qu'à la suite de l'engagement de Y._, il avait apparemment renoncé à assumer la direction de la résidence et à acquérir la formation de directeur d'un établissement médico-social (EMS) exigée par la loi; si tel était le cas, l'autorisation d'exploiter devrait être modifiée et établie au nom de la nouvelle directrice, qui assumerait alors l'entière responsabilité de la gestion de l'établissement. En conséquence, le Service de la santé publique exigeait une copie du contrat de travail et du cahier des charges de Y._. Il réitérera sa demande en janvier 2001, en vain. En réalité, aucun cahier des charges n'a jamais été établi et, dès le début, le partage des tâches entre A._ et Y._ a posé problème. Aucun accord n'a abouti malgré les interventions du Service de la santé publique. A partir de septembre 2001, Y._ a suivi la formation exigée pour diriger un EMS auprès du Centre d'étude et de formation continue, à Genève. Elle obtiendra son certificat en juillet 2004. Par décision du 5 février 2002, le Département neuchâtelois de la justice, de la santé et de la sécurité (ci-après: DJSS) a autorisé X._ SA à exploiter la résidence médicalisée «V._» jusqu'au 31 décembre 2006, en précisant que l'établissement était placé sous la direction de Y._ et qu'une prolongation de l'autorisation ne serait possible que si la directrice obtenait le certificat validé par la Conférence romande des affaires sanitaires et sociales. Le 11 août 2004, X._ SA, sous la plume de A._, a résilié le contrat de travail de Y._ en ces termes: «Faisant suite à notre entretien de ce jour, je vous confirme par la présente la résiliation de votre contrat de travail dans les délais légaux, soit pour le 31 octobre 2004. Comme vous avez quitté mon bureau de manière intempestive au cours de notre entretien, sans me donner la possibilité de vous exposer en détail les motifs qui sont à l'origine de cette décision, je reste à votre disposition pour vous les exposer au jour et à l'heure que nous aurons convenus.» La lettre de congé a été remise à Y._ sur son lieu de travail. Par la suite, A._ a indiqué que le motif principal de la résiliation était le fait que Y._ n'avait pas respecté l'horaire de travail prévu par le contrat, soit huit heures et demie par jour et un week-end sur deux. Du 3 au 7 septembre 2004, Y._ a été incapable de travailler pour cause de maladie. B. Par demande du 6 décembre 2004, Y._ a ouvert action contre X._ SA, concluant à la constatation du caractère abusif du licenciement et à la condamnation de la défenderesse à lui verser, d'une part, une indemnité de 45'000 fr. représentant six mois de salaire et, d'autre part, le salaire de novembre 2004 par 7'500 fr. Elle faisait valoir notamment que l'unique motif du licenciement résidait dans sa prétention, fondée sur l'accord conclu avec son employeur lors de l'engagement, les directives du Service de la santé publique et la réussite de sa formation, d'obtenir un contrat de travail de directrice et un cahier des charges clair et précis de sa fonction. X._ SA a conclu au rejet de la demande. Elle a exposé notamment les éléments suivants: comme aucun employé ne disposait du diplôme permettant d'être reconnu par le DJSS en qualité de directeur d'EMS, elle souhaitait engager une infirmière-cheffe qui soit titulaire de ce certificat ou qui suive la formation pour l'obtenir; cette personne était censée participer à la direction du home médicalisé en qualité de responsable des soins et de l'exploitation, l'autre directeur assumant la responsabilité de la gestion et de l'administration. Or, la demanderesse, confondant son activité de directrice au sens du droit public avec celle qui était la sienne sous l'angle du droit privé, n'a eu de cesse de s'immiscer dans la gestion administrative de l'établissement. Lors de la séance de direction du 11 août 2004, la demanderesse a quitté la salle de réunion en claquant la porte et la défenderesse a alors pris la décision de la licencier. Par jugement du 11 juillet 2008, la Ie Cour civile du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel a condamné X._ SA à payer à Y._ la somme de 30'000 fr., correspondant à quatre mois de salaire, à titre d'indemnité pour licenciement abusif et la somme de 7'500 fr., moins les déductions sociales à la charge de la travailleuse, à titre de salaire pour novembre 2004. Selon la cour cantonale, «un faisceau d'indices [l'a amenée] à retenir que la résiliation du 11 août 2004 a constitué un congé abusif en raison des revendications de la demanderesse quant à son rôle de directrice de l'établissement.» C. X._ SA forme un recours en matière civile. Elle conclut à l'annulation du jugement cantonal en tant qu'il la condamne à payer à l'intimée la somme de 30'000 fr. à titre d'indemnité pour licenciement abusif et qu'il met à sa charge la totalité des frais et dépens; puis, elle demande au Tribunal fédéral, principalement, de rejeter la conclusion tendant au versement d'une indemnité pour licenciement abusif et de modifier la répartition des frais et dépens de première instance ou, à titre subsidiaire, de renvoyer la cause à la cour cantonale pour nouveau jugement dans le sens des considérants du Tribunal fédéral. Dans sa réponse, Y._ propose implicitement le rejet du recours. Pour sa part, la cour cantonale se réfère aux considérants de son jugement. 