Sachverhalt: A. A.a Die X._ AG (Beschwerdegegnerin) ist u.a. im Bereich der Schulung und Ausbildung von Hotel- und Tourismus-Management-Fachleuten tätig. A._ (Beschwerdeführerin) nahm im Jahr 2004 ein Studium bei der Beschwerdegegnerin auf. In den Jahren 2004 und 2005 besuchte sie den "Certificate"- und den "Diploma"-Kurs. Daneben absolvierte sie die entsprechenden Praktika. Im Januar 2007 vereinbarten die Parteien, dass die Beschwerdeführerin im ersten Semester 2007 den zweijährigen "Higher Diploma"-Kurs antreten könne. Dafür zahlte die Beschwerdeführerin Semestergebühren von Fr. 21'500.-- an die Beschwerdegegnerin, womit nebst dem Unterricht auch die von der Beschwerdegegnerin zur Verfügung gestellte Kost und Logis abgegolten waren. Für den Fall einer einseitigen Vertragsbeendigung durch den Studierenden nach Kursbeginn sahen die allgemeinen Vertragsbedingungen des "Higher Diploma"-Kurses vor, dass die bezahlten Semestergebühren nicht zurückerstattet werden. Die Beschwerdeführerin trat den "Higher Diploma"-Kurs in der Folge nicht an und nahm ab Januar 2007 keine Leistungen der Beschwerdegegnerin mehr in Anspruch. Spätestens per Ende Mai 2007, d.h. nach dem vereinbarten Kursbeginn im Januar 2007, kündigte sie den Vertrag mit der Beschwerdegegnerin. B. B.a Am 27. November 2008 reichte die Beschwerdeführerin beim Amtsgericht Entlebuch Klage ein, mit der sie von der Beschwerdegegnerin die im Jahr 2007 bezahlten Semestergebühren im Betrag von Fr. 21'500.-- nebst Zins von 5% seit dem 15. Januar 2007 zurückforderte. Mit Urteil vom 3. Dezember 2009 hiess das Amtsgericht die Klage gut und verurteilte die Beschwerdegegnerin zur Zahlung von Fr. 21'500.-- nebst Zins zu 5% seit dem 27. November 2008 an die Beschwerdeführerin. Das Amtsgericht kam zum Schluss, dass die Beschwerdeführerin den Vertrag mit der Beschwerdegegnerin gestützt auf Art. 404 Abs. 1 OR wirksam gekündigt hatte. Ob die Kündigung i.S. von Art. 404 Abs. 2 OR zur Unzeit erfolgte, prüfte das Amtsgericht nicht, da die Beschwerdegegnerin keinen konkreten Schaden behauptet habe. Die Einrede der Verjährung verwarf das Amtsgericht mit dem Hinweis auf die zehnjährige Verjährungsfrist gemäss Art. 127 OR. B.b Gegen das Urteil des Amtsgerichts legte die Beschwerdegegnerin Appellation beim Obergericht des Kantons Luzern ein, mit welcher sie die Abweisung der Klage beantragte. Mit Urteil vom 10. Dezember 2010 hiess das Obergericht die Appellation gut und wies die Klage ab. Das Obergericht kam zum Schluss, dass die Regelung von Art. 404 Abs. 1 OR bei Auftragsverhältnissen, bei denen die Parteien wie im vorliegenden Fall nicht in einem absoluten Vertrauensverhältnis stünden ("atypische" Aufträge), entgegen der bundesgerichtlichen Rechtsprechung keinen zwingenden Charakter habe. Ein jederzeitiges Auflösungsrecht widerspreche den Vertragsvorstellungen der Parteien und sei auch aus wirtschaftlicher Sicht fragwürdig. Zwar möge die ursprüngliche römischrechtliche Konzeption des unentgeltlichen Mandats eine weitgehende beidseitige Vertragsbeendigungsfreiheit der Parteien rechtfertigen. Beim entgeltlichen Auftrag gelte es aber die Kontinuitätsinteressen der Parteien zu berücksichtigen. Eine ausländische Studentin könne und müsse objektiv betrachtet nicht das Risiko auf sich nehmen, mitten in der Ausbildung von der Schule ohne Angabe von Gründen auf die Strasse gestellt zu werden. Ebensowenig sei es für die Schule sinnvoll, wenn eine Studentin den Vertrag während der Ausbildung jederzeit und für die Schule folgenlos beenden könnte. Beide Seiten hätten sich mit dem Vertragsabschluss auf eine bestimmte Dauer eingerichtet, was auf jeden Fall dem zwingenden Charakter des Art. 404 Abs. 1 OR entgegen stehe. Damit sei die von den Parteien getroffene Abrede, wonach das bezahlte Schulgeld bei einseitiger Vertragsbeendigung durch den Schüler nach Kursbeginn nicht zurückerstattet werde, wirksam. Da die Beschwerdeführerin den Vertrag nach Kursbeginn beendet habe, könne sie die bezahlten Semestergebühren somit nicht mehr zurückfordern. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen bzw. subsidiärer Verfassungsbeschwerde beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, es sei das Urteil des Obergerichts vom 10. Dezember 2010 aufzuheben und die Klage der Beschwerdeführerin vom 27. November 2008 gutzuheissen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin und die Vorinstanz beantragen die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. 