Sachverhalt: A. A._ (geb. 1957) war seit Juni 1996 als Leiterin des Hausdienstes in einem Altersheim tätig. Ab dem Jahr 2001 hielten ärztliche Berichte fest, sie sei wegen eines chronischen panvertebralen Schmerzsyndroms, Schmerzfehlverarbeitung "mit Symptomausweitung bei diversen sozialen Problemen" sowie multiplen weichteilrheumatischen Beschwerden hälftig arbeitsunfähig. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen erkannte A._ mit Wirkung ab November 2001 eine halbe Invalidenrente zu (Verfügung vom 14. August 2002). Nachdem A._ Ende 2004 geltend gemacht hatte, ihr Gesundheitszustand habe sich verschlechtert, holte die IV-Stelle ein Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS) ein. Diese hielt in der Expertise vom 6. Juli 2006 fest, es seien keine Diagnosen zu stellen, welche mit einer wesentlichen Einschränkung der Arbeitsfähigkeit verbunden wären. Die IV-Stelle lehnte das Gesuch um Rentenerhöhung ab (Verfügung vom 29. Mai 2007). Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen ab. Es hielt fest, die gutachtliche Beurteilung der Arbeitsunfähigkeit, welche im Vergleich zu ärztlichen Einschätzungen im Zeitpunkt der Rentenzusprechung 2002 deutlich abweiche, beruhe auf der unterschiedlichen Beurteilung eines im Wesentlichen gleich gebliebenen Sachverhalts (Entscheid vom 5. November 2008). In einem weiteren Revisionsgesuch beantragte A._ wiederum eine höhere Invalidenrente. Die MEDAS stellte in einem Verlaufsgutachten vom 19. August 2009 nach wie vor keine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit fest. Ohne Auswirkung auf das Leistungsvermögen blieben ein panvertebrales Schmerzsyndrom (mit leichter Fehlform bzw. -statik der Wirbelsäule sowie einer kleinen, nicht kompressiven Diskushernie C3/4), ein generalisiertes Weichteilsyndrom (klinisch: Fibromyalgie), eine chronische Schmerzstörung mit somatischen und psychischen Faktoren, rezidivierende depressive Episoden, eine verminderte mentale Leistungsfähigkeit multifaktorieller Genese, der Bluthochdruck und eine Adipositas. Ungeeignet seien lediglich Arbeiten, bei welchen ergonomisch ungünstige Körperhaltungen eingenommen werden müssten, die mit dem Heben und Tragen von über 15 Kilogramm schweren Gewichten verbunden oder in der Kälte zu verrichten seien. Die IV-Stelle stellte zunächst in Aussicht, den laufenden Anspruch auf eine halbe Rente bestätigen zu wollen (Vorbescheid vom 9. Dezember 2010). In einem weiteren Vorbescheid vom 2. August 2012 sah die IV-Stelle sodann die Wiedererwägung der Verfügung vom 14. August 2002 und die Aufhebung der Invalidenrente vor. Mit Verfügung vom 23. November 2012 hob die Verwaltung die Rente auf Ende des Jahres hin auf und entzog einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung. B. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hiess die dagegen gerichtete Beschwerde gut und hob die Verfügung vom 23. November 2012 auf (Entscheid vom 29. November 2013). C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, die Verfügung vom 23. November 2012 sei zu bestätigen. A._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Sie beantragt die unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung). Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme. 