Sachverhalt: A. Am 12. August 2013 ersuchte der irakische Staatsangehörige A._ (geb. 1988) um Ausrichtung einer Entschädigung von Fr. 15'000.-- und einer Genugtuung von Fr. 5'000.-- nach dem Opferhilfegesetz; überdies um einen Vorschuss von Fr. 10'000.--. Er führte aus, er sei im 13. Lebensjahr von einem inzwischen an Aids verstorbenen Mann mehrfach sexuell missbraucht worden. Mit Verfügung vom 2. September 2013 wies das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen (im Folgenden: Departement) das Gesuch ab. Den von A._ dagegen erhobenen Rekurs wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen (Abteilung I) am 23. Mai 2014 ab. Es befand in Übereinstimmung mit dem Departement, die opferhilferechtlichen Ansprüche seien verwirkt. B. A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit dem Antrag, der Entscheid des Versicherungsgerichts sei aufzuheben, und weiteren Anträgen. C. Das Departement beantragt unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid die Abweisung der Beschwerde. Das Versicherungsgericht und das Bundesamt für Justiz haben auf Vernehmlassung verzichtet. 