Faits: A. Depuis le 5 juillet 2012, le Ministère public de la Confédération (MPC) instruit une enquête pour blanchiment d'argent et faux dans les titres à l'encontre de quatre ressortissants ouzbeks, dont C._, "finance manager" de la société A._, et B._. Ces deux personnes ont été placées en détention provisoire le 30 juillet 2012. Le 10 août 2012, une perquisition de différents coffres a eu lieu auprès de la banque X._, à Genève, notamment le "safe" xxx, rattaché au compte bancaire n o yyy de A._, et des documents ont été saisis. Le 14 août 2012, le MPC a procédé, en présence de C._ et de ses deux mandataires, à l'ouverture des pièces mises en sûreté à la suite de la perquisition. Au cours de cet examen, le MPC a mis sous scellés des documents - sous le n o _81 - qui pouvaient appartenir et/ou concerner D._, fille du Président de la République d'Ouzbékistan et alors représentante de la mission permanente de ce pays auprès de l'Organisation des Nations Unies (ONU). Une seconde perquisition, qui a en particulier concerné les coffres n o vvv et uuu liés au compte bancaire n o ttt de la société E._ et pour lesquels B._ bénéficiait d'une procuration individuelle, a eu lieu le 23 août 2012 auprès de la banque susmentionnée. L'avocat de B._, alors présent, a requis ce même jour la mise sous scellés des documents trouvés dans le coffre vvv (n o _60), invoquant des motifs identiques à ceux indiqués ci-dessus. Quant aux pièces découvertes dans le "safe" ttt, elles n'ont été ouvertes par le MPC, devant B._ et son mandataire, que le 27 août 2012 et placées lors de cette séance sous scellés par le Procureur en raison de leurs possibles liens avec D._ (n o _62, n o _61, n o _162, n o _63, n o _64 et n o _65). Par requêtes du 3, du 12 et du 17 septembre 2012, le MPC a déposé devant le Tribunal des mesures de contrainte du canton de Berne (Tmc) des demandes de levée des scellés et les parties - A._ et B._ - ont pu se déterminer à plusieurs reprises. La qualité de partie lui ayant été refusée dans ces procédures, la République d'Ouzbékistan a recouru au Tribunal fédéral, qui - après avoir suspendu les procédures devant le Tmc - a admis cette requête par arrêt du 10 janvier 2013 (cause 1B_588/2012). Dès le 25 janvier 2013, l'autorité précédente a donc ordonné de nouveaux échanges d'écritures entre les parties. La République d'Ouzbékistan, A._ et B._ ont notamment été invités le 29 juillet 2013 à se déterminer jusqu'au 9 août 2013 sur les informations - reçues par le MPC du Département fédéral des affaires étrangères (DFAE) - relatives à la fin de l'activité diplomatique de D._ le 9 juillet 2013 (cf. le courrier du DFAE du 10 juillet 2013), ainsi que sur celles adressées directement au premier juge (cf. le courrier du DFAE du 23 juillet 2013). Après prolongation du délai, les parties ont déposé leurs déterminations le 16 août 2013. Par ordonnances du 21 août 2013, le Tmc a admis les trois requêtes de levée des scellés. B. Par actes du 23 septembre 2013, la République d'Ouzbékistan forme trois recours en matière pénale contre ces décisions, concluant à l'annulation de celles-ci, au rejet des demandes de levée de scellés des 3, 12 et 17 septembre 2012, ainsi qu'à la restitution des documents sous scellés n o _81 (cause 1B_332/2013), n o _60 (cause 1B_333/2013), n o _61, n o _161, n o _63 et n o _64 (cause 1B_334/2013). Elle sollicite également l'octroi de l'effet suspensif aux recours. Invités à se déterminer, le MPC n'a pas formulé d'observations et le Tmc a conclu au rejet du recours. Quant à A._ (cause 1B_332/2013) et B._ (cause 1B_333/2013 et 1B_334/2013), ils ont appuyé les recours. Le 31 octobre 2013, la recourante a persisté dans ses conclusions. Par ordonnances du 10 et du 15 octobre 2013, l'effet suspensif a été accordé dans les trois procédures. 