Sachverhalt: A. Die 1970 geborene A._, Mutter von zwei Kindern (geboren 2002 und 2005), meldete sich im Dezember 2004 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen traf Abklärungen, wobei sie die Versicherte u.a. an mehreren Tagen zwischen dem 28. Oktober 2008 und dem 8. Januar 2009 observieren liess. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens stellte sie eine gesundheitliche Beeinträchtigung in Abrede und verneinte folglich mit Verfügung vom 9. März 2009 einen Rentenanspruch. B. In teilweiser Gutheissung der dagegen geführten Beschwerde hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen - nach Einholung eines psychiatrischen Gutachtens - mit Entscheid vom 2. Juli 2013 die Verfügung vom 9. März 2009 auf und sprach der Versicherten eine ganze Invalidenrente ab 1. März 2005 zu. C. Die IV-Stelle beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, der Entscheid vom 2. Juli 2013 sei aufzuheben und die Verfügung vom 9. März 2009 zu bestätigen. Ferner ersucht sie um aufschiebende Wirkung der Beschwerde. A._ und das kantonale Gericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die Versicherte ersucht zudem um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesamt für Sozialversicherungen beantragt die Gutheissung des Rechtsmittels. 