Sachverhalt: A. X._, türkischer Staatsangehöriger, geboren 1960, erhielt 1991 im Kanton Aargau eine Aufenthaltsbewilligung, die am 21. Februar 2001 in eine Niederlassungsbewilligung umgewandelt wurde. In der Folge zog er seine Ehefrau und die drei gemeinsamen Kinder in die Schweiz nach. Am 1. März 2005 trennte er sich von seiner Ehefrau und kehrte per 31. Juli 2005 in die Türkei zurück, worauf die Niederlassungsbewilligung erlosch. Am 2. Mai 2008 reiste X._ erneut in die Schweiz ein, nachdem das Migrationsamt des Kantons Aargau ein Gesuch der Ehefrau um Nachzug ihres Ehemannes bewilligt und diesem eine bis zum 31. Mai 2009 gültige Aufenthaltsbewilligung erteilt hatte. Wegen Wegfalls der bei der Bewilligungserteilung verlangten finanziellen Sicherheit verfügte das Migrationsamt des Kantons Aargau am 14. Juli 2009 die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung und ordnete die Wegweisung X._s an. Diese Verfügung erwuchs in Rechtskraft. B. Am 24. Juni/26. Juli 2010 reichte X._ ein Asylgesuch ein. Mit Verfügung vom 28. Februar 2011 trat das Bundesamt für Migration auf dieses Gesuch nicht ein, wies X._ aus der Schweiz weg, setzte ihm Ausreisefrist bis zum 30. März 2011 und verpflichtete den Kanton Aargau, die Wegweisungsverfügung zu vollziehen. Auf Beschwerde hin hob das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 1. April 2011 die Verfügung des Bundesamts für Migration vom 28. Februar 2011 auf. Es erwog, mit der Eingabe vom 24. Juni 2010 habe X._ kein Asylgesuch gestellt, sondern einzig um Feststellung der Unzulässigkeit oder Unzumutbarkeit des Wegweisungsvollzugs ersucht. Darüber sei aber bereits mit der Verfügung vom 14. Juli 2009 rechtskräftig entschieden worden, weshalb kein schutzwürdiges Interesse an der Feststellung der Unzumutbarkeit oder Unzulässigkeit des Wegweisungsvollzugs bestehe. C. Am 6. Mai 2011 ersuchte X._ das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau um wiedererwägungsweise Prüfung der Zumutbarkeit und Zulässigkeit des Wegweisungsvollzugs. Darauf trat das Migrationsamt mit Schreiben vom 13. Mai 2011 nicht ein. Die dagegen erhobene Einsprache wies es mit Entscheid vom 11. Juli 2011 ab. Dagegen erhob X._ Beschwerde an das Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau mit dem Antrag, das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau sei anzuweisen, ein Verfahren zur Prüfung der Unzulässigkeit oder Unzumutbarkeit der Wegweisung einzuleiten und dem Bundesamt für Migration einen Antrag um vorläufige Aufnahme zu stellen. Das Rekursgericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 22. März 2012 ab. D. X._ (hienach: der Beschwerdeführer) erhebt subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit dem Antrag, das Urteil des Rekursgerichts im Ausländerrecht des Kantons Aargau sei aufzuheben und das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau sei anzuweisen, die Verfügung vom 14. Juli 2009 in Revision oder Wiedererwägung zu ziehen. Zugleich ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Von der Bundesgerichtskanzlei aufgefordert, einen Kostenvorschuss zu bezahlen, überwies er diesen, ersuchte aber um Rückerstattung, sofern die Mittellosigkeit als glaubhaft erachtet werde. Das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau sowie das Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau beantragen die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer verzichtet auf weitere Bemerkungen, obwohl er in seiner subsidiären Verfassungsbeschwerde darum ersucht hatte, es sei ihm ein "Replikrecht zu allfälligen Stellungnahmen des Beschwerdegegners" einzuräumen. Mit Verfügung des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 14. Mai 2012 wurde der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt. 