Sachverhalt: A. Y._ (geb. 1963) und X._ (geb. 1972) sind die unverheirateten, getrennt lebenden Eltern von A._ (geb. 2005). Über die bei der Mutter wohnende Tochter wurde am 20. März 2006 eine Erziehungsbeistandschaft errichtet. Im Haushalt von X._ leben auch noch ihre 1998 geborenen, seit 2002 unter Beistandschaft stehenden Zwillingssöhne. Die Obhut über ihren ältesten Sohn (geb. 1994) wurde der Mutter 2003 entzogen; er ist seither bei Pflegeeltern untergebracht. Mit Beschluss vom 25. Juni 2008 übernahm die Vormundschaftsbehörde B._ die zuvor von der Vormundschaftsbehörde C._ geführte Beistandschaft für A._, ernannte eine Beiständin, übertrug dieser die Befugnis, mit den Eltern eine Besuchsrechtsregelung zu erstellen, den Kontakt der Eltern mit der Tochter zu überwachen, den Eltern überhaupt mit Rat und Tat zur Seite zu stehen sowie den Unterhaltsanspruch von A._ zu wahren. In einem separaten Beschluss des gleichen Tages wies die Vormundschaftsbehörde B._ die Gesuche des Vaters um Errichtung der gemeinsamen elterlichen Sorge und um Zuteilung der Obhut an ihn ab. B. Y._ focht den Entscheid betreffend die gemeinsame elterliche Sorge und Obhutszuteilung am 7. Juli 2008 beim Bezirksrat D._ an. Mit Beschluss vom 28. August 2008 wies dieser die Beschwerde ab. C. Gegen diesen Beschluss rekurrierte Y._ beim Obergericht des Kantons Zürich. Dieses hiess den Rekurs mit Beschluss vom 3. März 2010 teilweise gut, entzog der Mutter die Obhut über die Tochter A._ (Dispositiv-Ziff. 1), übertrug die Obhut über die Tochter an Y._ (Dispositiv-Ziff. 2), beschloss die Weiterführung der bereits errichteten Beistandschaft und übertrug sie der Vormundschaftsbehörde C._ (Dispositiv-Ziff. 3), lud diese ein, eine Person als Beistand für A._ zu ernennen (Dispositiv-Ziff. 4) und ersuchte die Vormundschaftsbehörde, den persönlichen Kontakt zur Mutter zu regeln (Dispositiv-Ziff. 5). Soweit weitergehend wies das Obergericht den Rekurs ab. D. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 7. April 2010 wendet sich X._ (fortan Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht und beantragt, den Beschluss des Obergerichts vom 3. März 2010 aufzuheben, die Beschlüsse der Vormundschaftsbehörde B._ vom 25. Juni 2008 und des Bezirksrates D._ vom 28. August 2008 zu bestätigen und ihr die Obhut über A._ zu belassen. Für den Fall, dass ihr die Obhut über A._ entzogen werde, beantragt sie, die Vormundschaftsbehörde B._ oder eine andere geeignete Stelle zu beauftragen, eine angemessene Unterbringung von A._ abzuklären und darüber zu entscheiden. Schliesslich ersucht die Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen (Verfügung vom 29. April 2010). Zur Hauptsache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. Die Beschwerdeführerin hat mit Post vom 7. Mai 2010 weitere Unterlagen eingereicht. 