Faits: A. A.a Le 5 juin 2001, le Tribunal de première instance du canton de Genève, a dissous par le divorce le mariage contracté le 13 septembre 1996 entre X._, ressortissant italien, et dame X._, de nationalité suisse. Il a entre autres maintenu l'autorité parentale conjointe sur les enfants A._, née en 1994, et B._, née en 1996; attribué le droit de garde à la mère, réservé un droit de visite conventionnel en faveur du père; et donné acte à ce dernier de son engagement de verser, à la mère, à titre de contribution d'entretien de chacun des deux enfants, 500 fr. jusqu'à l'âge de 10 ans, 600 fr. jusqu'à l'âge de 15 ans et 700 fr. jusqu'à la majorité. A.b Par jugement du 16 janvier 2007, le Juge aux affaires familiales du Tribunal de Grande Instance de Thonon-les-Bains a ramené la contribution de X._ à 200 euros par mois et par enfant. A.c Par ordonnance du 16 septembre 2008, le Tribunal de Grande Instance de Thonon-les-Bains, entérinant l'accord des parents, a notamment constaté que l'autorité parentale sur A._ et B._ était exercée conjointement par les père et mère et que la résidence de B._ était au domicile maternel; fixé la résidence de A._ chez le père et le droit de visite et d'hébergement des parents; supprimé la contribution de X._ en faveur de A._ à compter du 1er août 2008; et dit qu'il n'y avait pas lieu à pension alimentaire chacun des parents ayant un enfant à charge. A.d Le 15 octobre 2009, le Tribunal tutélaire du canton de Genève, considérant les graves problèmes survenus entre A._ et son père, a nommé un curateur à celle-ci aux fins d'agir en modification de l'ordonnance du 16 septembre 2008. B. B.a Par assignation déposée le 12 novembre 2009, A._, représentée par son curateur, Me Alain de Mitri, a agi en modification de l'ordonnance précitée auprès du Tribunal de première instance du canton de Genève et conclu à ce que l'autorité parentale soit attribuée exclusivement à la mère, que la garde soit retirée au père et qu'une curatelle soit instaurée en faveur du Service de la protection des mineurs (SPMi) aux fins notamment de faire valoir sa créance alimentaire. Par jugement du 10 juin 2011, ledit tribunal a modifié l'ordonnance du 16 septembre 2008 du Tribunal de Grande Instance de Thonon-les-Bains notamment en ce sens qu'il a attribué l'autorité parentale et la garde de A._ à la mère, réservé un large droit de visite au père devant s'exercer d'entente avec sa fille mais au minimum un week-end sur deux le samedi ou le dimanche de 14h00 à 18h00 et condamné ce dernier à contribuer à l'entretien de sa fille par le versement, en mains de la mère, d'une pension mensuelle de 1'300 fr. jusqu'à la majorité voire au-delà mais jusqu'à 25 ans au plus en cas d'études sérieuses et régulières. B.b Statuant sur l'appel du père, la Cour de justice du canton de Genève l'a partiellement admis en ce sens qu'elle a ramené le montant de la contribution d'entretien mensuelle en faveur de A._ à 900 fr., par arrêt du 21 octobre 2011. C. Le 1er décembre 2011, X._ exerce un recours en matière civile contre cet arrêt auprès du Tribunal fédéral. Il conclut à sa réforme en ce sens qu'il soit dit qu'aucune contribution d'entretien n'est due à A._. Subsidiairement, il demande l'annulation de l'arrêt entrepris et le renvoi de la cause en instance cantonale. Son recours est doublé d'une requête d'assistance judiciaire. Il se plaint d'arbitraire dans l'établissement des faits. Des observations n'ont pas été requises. 