Faits: A. A._, né en 1952, a travaillé depuis le 1er octobre 2000 en qualité de responsable de la maintenance informatique pour l'entreprise X._. Il a été licencié avec effet au 31 juillet 2003, son dernier jour de travail remontant au 12 janvier 2003. La Winterthur Assurances, en sa qualité d'assureur perte de gain en cas de maladie, a versé des indemnités journalières après que le docteur M._, généraliste FMH, eut attesté une incapacité totale de travailler à partir du 13 janvier 2003. A la demande de cet assureur, le degré de la capacité de travail a fait l'objet d'une expertise psychiatrique réalisée par le docteur S._, psychiatre FMH, et C._, psychologue et psychothérapeute FSP, qui se sont exprimés dans un rapport du 1er avril 2004. Le 31 mars 2005, A._ a sollicité le versement d'une rente de l'assurance-invalidité, en indiquant qu'il souffrait d'une dépression profonde depuis décembre 2002. Par décision du 29 juin 2005, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (l'office AI) a rejeté la demande. Pour justifier son refus, l'office AI a retenu en particulier que « vous ne présentez toutefois aucune atteinte à la santé sur le plan psychiatrique franchement invalidante. Il découle en effet d'un rapport d'expertise psychiatrique circonstancié que, suite à une réaction anxio-dépressive consécutive à différents facteurs de stress, la symptomatologie a évolué positivement par le cours naturel des choses de sorte que vous présentiez, à l'échéance du délai de carence, un trouble de l'adaptation avec humeur anxio-dépressive de gravité légère, diagnostic qui n'est pas invalidant au sens de l'assurance-invalidité. » L'assuré s'est opposé à cette décision. Il a produit un rapport d'expertise privée du 19 décembre 2005 émanant du docteur O._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, qui a confirmé l'existence d'une incapacité totale de travail depuis le 13 janvier 2003. L'office AI a soumis le dossier au SMR Suisse romande; la doctoresse U._ s'est exprimée dans un avis du 26 avril 2006, après avoir analysé le cas avec le docteur B._, psychiatre au SMR. Par décision du 5 mai 2006, l'office AI a rejeté l'opposition. B. A._ a déféré cette décision au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel, qui l'a débouté par jugement du 2 décembre 2008. C. L'assuré interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, avec suite de frais et dépens, en concluant au renvoi de la cause à l'office AI pour instruction complémentaire et nouvelle décision. L'intimé et l'Office fédéral des assurances sociales n'ont pas été invités à se déterminer. 