Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 28. April 2006 und Einspracheentscheid vom 6. Oktober 2006 verneinte die IV-Stelle Schaffhausen einen Anspruch des K._ auf eine Invalidenrente mangels eines anspruchsbegründenden Invaliditätsgrades. Mit Verfügung vom 6. Oktober 2006 lehnte die IV-Stelle die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Einspracheverfahren ab. B. Der durch Rechtsanwalt Gerold Meier vertretene K._ liess mit Eingabe vom 9. November 2006 beim Obergericht des Kantons Schaffhausen - als kantonales Versicherungsgericht - gegen den Einspracheentscheid Beschwerde erheben und die Zusprechung einer Invalidenrente beantragen. Er liess dabei das Obergericht darum ersuchen, die Akten der IV-Stelle beizuziehen und ihm dann die Gelegenheit zu geben, zu diesen Stellung zu nehmen. Mit Verfügung vom 16. November 2006 teilte das Obergericht dem Anwalt mit, er habe die Akten selber einzuholen. Zudem setzte es ihm Frist bis 18. Dezember 2006, um die Beschwerde zu ergänzen. Bei unbenütztem Fristablauf werde Verzicht auf die Ergänzung des Rechtsmittels angenommen und auf dieses nicht eingetreten. Das Obergericht erstreckte die gesetzte Frist zweimal, zuletzt bis 28. Februar 2007. Mit Entscheid vom 9. März 2007 trat das Obergericht auf die Beschwerde nicht ein, da diese trotz Androhung der Säumnisfolge innert der angesetzten und erstreckten Frist nicht ergänzt worden sei. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt K._ beantragen, der Entscheid vom 9. März 2007 sei aufzuheben und das Obergericht sei anzuweisen, das Beschwerdeverfahren durchzuführen. Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung. 