Sachverhalt: A. A._ (geb. 1977) und B._ (geb. 1982) sind seit dem Jahr 2002 verheiratet. Sie sind Eltern von C._ (geb. 2001) und D._ (geb. 2006). B. B.a. Am 18. November 2012 leitete B._ ein Eheschutzverfahren beim Kantonsgericht Glarus ein. B.b. Mit superprovisorischer Verfügung vom 30. Januar 2013 stellte das Kantonsgericht die Kinder für die Dauer vom 30. Januar 2013 bis 4. Februar 2013 unter die Obhut von A._. Mit Zwischenentscheid vom 31. Januar 2013 übertrug es sodann die Obhut ab 4. Februar 2013 B._, dies unter Einräumung eines Besuchsrechts zwischen Vater und Kindern. Am 1. Februar 2013 errichtete das Kantonsgericht für die Kinder eine Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 3 ZGB und erliess begleitende Weisungen. B.c. Mit Eheschutzentscheid vom 8. März 2013 beliess das Kantonsgericht die Kinder unter der Obhut von B._. Das Besuchsrecht von A._ legte es auf Dienstag, 18.00 Uhr, bis Mittwoch, Schulbeginn, und in geraden Wochen zusätzlich von Freitag, 19.00 Uhr, bis Sonntag, 19.00 Uhr, fest. Weiter sah es ein Ferienrecht von drei Wochen pro Jahr vor (jeweils maximal zwei Wochen aneinander und innert der Schulferien zu beziehen). Die eheliche Wohnung wies es A._ zur alleinigen Nutzung zu. Den von A._ für jedes Kind geschuldeten Unterhaltsbeitrag setzte es auf Fr. 230.-- vom 1. Dezember 2012 bis 28. Februar 2013 sowie auf je Fr. 850.-- ab 1. März 2013 fest, zuzüglich allfälliger Kinder- und Ausbildungszulagen. Der Ehegattenunterhalt zugunsten von B._ sollte ab 1. März 2013 Fr. 200.-- betragen. C. C.a. Gegen dieses Urteil erhob A._ Berufung beim Obergericht des Kantons Glarus. Er verlangte unter Kosten- und Entschädigungsfolgen eine Ausdehnung des Ferienrechts auf jährlich fünf Wochen, wovon maximal drei Wochen aneinander. Zudem sei der Kinderunterhalt ab 1. März 2013 auf maximal Fr. 550.-- zuzüglich allfälliger Zulagen festzusetzen; auf einen Ehegattenunterhalt sei zu verzichten. B._ beantragte die Abweisung der Berufung. C.b. Mit Urteil vom 17. Mai 2013 wies das Obergericht die Berufung ab, soweit es darauf eintrat. Die Gerichtskosten auferlegte es A._ und es verpflichtete ihn zur Bezahlung einer Parteientschädigung an B._. D. Hiergegen gelangt A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er hält an den bereits vor der Vorinstanz gestellten Rechtsbegehren fest. Das Bundesgericht hat die Akten, in der Sache selbst aber keine Vernehmlassungen eingeholt. 