Faits: A. A.a. Par décision du 28 mars 2011, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) a refusé d'allouer une allocation pour impotent à S._. A.b. Par jugement du 20 juin 2012, la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales (ci-après: la Cour de justice), a admis le recours formé contre la décision du 28 mars 2011, annulé ladite décision, dit que S._ avait droit à une allocation pour impotent de degré moyen dès le 1 er septembre 2008, condamné l'office AI à payer à l'assurée une indemnité de 2'500 fr. à titre de participation à ses frais et dépens et mis un émolument de 1'000 fr. à la charge de l'office AI. A.c. Par arrêt du 8 janvier 2013 (cause 9C_633/2012), le Tribunal fédéral a partiellement admis le recours formé par l'office AI et réformé le jugement du 20 juin 2012 de la Cour de justice, en ce sens que S._ avait droit à une allocation pour impotent de degré faible dès le 1 er septembre 2008. La cause a été renvoyée à la Cour de justice pour qu'elle rende une nouvelle décision sur les frais et les dépens de la procédure cantonale. B. Par jugement du 13 février 2013, la Cour de justice de la République et canton de Genève a condamné l'office AI à verser à S._ une indemnité de 2'500 fr. à titre de participation à ses frais et dépens et mis un émolument de 1'000 fr. à la charge de l'office AI. C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il conclut à l'annulation. S._ conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. 