Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 25. Mai 2011 lehnte das Bundesamt für Migration ein Gesuch von X._ um erleichterte Einbürgerung ab. Die Gesuchstellerin gelangte gegen diese Verfügung am 22. Juli 2011 an das Bundesverwaltungsgericht, das mit Urteil vom 29. Juli 2011 auf die Beschwerde wegen verspäteter Einreichung nicht eintrat. B. Mit Beschwerde an das Bundesgericht vom 14. September 2011 beantragt X._ die Aufhebung des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts vom 29. Juli 2011. Zudem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege. Sie macht geltend, der angefochtene Entscheid verstosse gegen Treu und Glauben sowie das Willkürverbot (Art. 9 BV). Zudem beanstandet sie eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 1 BV). Das Bundesamt für Migration verzichtet auf eine Stellungnahme. Das Bundesverwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdeführerin hat auf die Stellungnahme des Bundesverwaltungsgerichts repliziert. 