Faits: A. X._, né en 1970, et Y._, née en 1973, ont fait ménage commun de 1994 à mai 2006. Un enfant est issu de leur union: A._, née le 26 avril 2006 à Genève. La mère exerce l'autorité parentale et la garde de l'enfant. Par convention du 30 janvier 2007, le père s'est engagé à verser mensuellement en faveur de sa fille, allocations familiales non comprises, la somme de 2'700 fr. du 1er janvier 2007 jusqu'aux 18 ans révolus de l'enfant et au-delà en cas d'études sérieuses et suivies. Les parents ont, par convention du 18 juillet 2008 [recte: 2007], réduit le montant de la contribution d'entretien à 1'700 fr. par mois du 1er août 2007 jusqu'aux 18 ans révolus de l'enfant et au-delà en cas d'études sérieuses et suivies. Il était précisé que ladite contribution pourrait être revue si la situation d'une des parties devait se modifier de façon durable et importante. Cette seconde convention a été approuvée par le Tribunal tutélaire du canton de Genève le 8 août 2007. Dans leur courrier commun du 19 juillet 2007 soumettant ledit accord à approbation, les père et mère ont indiqué que même si le montant convenu était «certainement légèrement supérieur à la norme», il correspondait aux besoins de leur fille. Sur requête du père, le droit de visite a été fixé par ordonnance du Tribunal tutélaire du 30 juin 2008 puis, l'intéressé ayant recouru, par décision de l'Autorité de surveillance des tutelles du 17 novembre 2008. B. Le 30 décembre 2008, le père a requis - en dirigeant son action exclusivement contre Y._ - la modification de la contribution alimentaire, proposant de verser mensuellement en faveur de sa fille, dès le 1er janvier 2009, une contribution d'entretien de 1'000 fr. jusqu'à l'âge de 5 ans, 1'100 fr. jusqu'à l'âge de 10 ans, 1'200 fr. jusqu'à l'âge de 15 ans et 1'300 fr. jusqu'à la majorité, voire au-delà en cas d'études. Le Tribunal de première instance de Genève l'a débouté de ses conclusions le 14 mai 2009. Ce jugement a été confirmé le 24 septembre suivant par la Cour de justice du canton de Genève, qui a cependant rectifié la dénomination des parties en ce sens que la défenderesse est l'enfant, A._, représentée par sa mère, Y._. C. Par acte du 26 octobre 2009, le père exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt de la Cour de justice du 24 septembre 2009, en reprenant ses conclusions de première instance. Dans sa détermination du 29 janvier 2010, A._ propose le rejet du recours. A titre liminaire, elle rappelle que le Tribunal de première instance a été requis de se prononcer sur la question de la légitimation passive, dès lors que la demande a été déposée contre sa mère, Y._, alors qu'elle-même est créancière de la contribution d'entretien et, partant, titulaire des droits dont le demandeur souhaite la modification. La Cour de justice s'est référée aux considérants de son arrêt. 