Strafprozess (Hausdurchsuchung), hat sich ergeben: A.- Die amerikanischen Firmen W._/X. _, Inc. und B._ reichten am 9. Dezember 1998 gegen V._, M._ und T._ Strafanzeige ein wegen gewerbsmässiger Widerhandlung gegen das Urheberrechtsgesetz. V._ und M._ seien Geschäftsführer der Fa. N._, Basel, welche den Webserver www. lyrics. ch betreibe, über den die Liedtexte von über 100'000 Musikkompositionen widerrechtlich zum Herunterladen angeboten würden. T._ sei Geschäftsführer und alleiniger Verwaltungsrat der Internet-Providerfirma C._, Zürich(Fa. C._), welche die EDV-Infrastruktur für den Webauftritt und das Internetangebot des Servers www. lyrics. ch zur Verfügung gestellt habe. B.-Am 14. Januar 1999 erliess die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt einen Hausdurchsuchungs- und Beschlagnahmebefehl. Darin wurde angeordnet, in der Wohnung von T._ bzw. in den Geschäftsräumlichkeiten der Fa. C._ in Zürich "eine Durchsuchung vorzunehmen", Beweismittel, Deliktsgut, Bargeld und Wertgegenstände zu beschlagnahmen sowie "die/den Verdächtige/n gegebenenfalls festzunehmen". Gemäss Protokoll der durch die Kantonspolizei Zürich gleichentags durchgeführten Hausdurchsuchung wurden keine Dokumente formell beschlagnahmt und auch keine Festnahmen vollzogen, nachdem die verlangten Unterlagen betreffend den Server www. lyrics. ch von T._ "freiwillig in Kopie ausgehändigt" worden waren. C.-Eine von T._ und der Fa. C._ gegen den Hausdurchsuchungs- und Beschlagnahmebefehl erhobene Einsprache wies der Erste Staatsanwalt des Kantons Basel- Stadt mit Verfügung vom 25. Januar 1999 ab. Die von T._ und der Fa. C._ dagegen erhobenen Rekurse wies das Strafgericht Basel-Stadt (Rekurskammer) mit Entscheid vom 5. Oktober 1999 ab, soweit es darauf eintrat. D.-Gegen den Entscheid des Strafgerichtes gelangten T._ und die Firma C._ mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 18. November 1999 an das Bundesgericht. Sie rügen eine Verletzung des verfassungsmässigen Willkürverbotes sowie von Art. 5, Art. 6, Art. 8 und Art. 10 EMRK, und sie beantragen u.a. die Aufhebung des angefochtenen Entscheides. Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt beantragt mit Vernehmlassung vom 6. Dezember 1999 die Abweisung der Beschwerde, während das Strafgericht Basel-Stadt auf eine Stellungnahme ausdrücklich verzichtet hat. 