Faits: Faits: A. À la requête de C._, à Aarau, D._, qui exploite depuis octobre 2003 en raison individuelle un restaurant à la Chaux-de-Fonds, s'est vu notifier le 10 août 2005 une commination de faillite portant sur la somme de 3'741 fr., plus intérêts et frais, par l'Office des poursuites des Montagnes et du Val-de-Ruz. Faute de paiement, la poursuivante a requis la faillite de D._ le 6 octobre 2005. Les parties ont été citées à comparaître à l'audience du 12 décembre 2005 de la Présidente du Tribunal civil de la Chaux-de-Fonds. Personne n'a comparu à l'audience, de sorte que, par jugement du même jour, cette magistrate a prononcé la faillite de D._. A. À la requête de C._, à Aarau, D._, qui exploite depuis octobre 2003 en raison individuelle un restaurant à la Chaux-de-Fonds, s'est vu notifier le 10 août 2005 une commination de faillite portant sur la somme de 3'741 fr., plus intérêts et frais, par l'Office des poursuites des Montagnes et du Val-de-Ruz. Faute de paiement, la poursuivante a requis la faillite de D._ le 6 octobre 2005. Les parties ont été citées à comparaître à l'audience du 12 décembre 2005 de la Présidente du Tribunal civil de la Chaux-de-Fonds. Personne n'a comparu à l'audience, de sorte que, par jugement du même jour, cette magistrate a prononcé la faillite de D._. B. D._ a recouru contre ce jugement de faillite auprès de la Ire Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel, en sollicitant son annulation. Il a fait valoir en bref qu'il avait trouvé un arrangement de paiement avec C._ peu avant l'audience du 12 décembre 2005, à laquelle il ne s'était pas présenté parce qu'il croyait que la créancière suspendrait ses démarches et en avertirait directement le tribunal. Il a en outre allégué que d'une manière générale, l'ensemble de ses fournisseurs et des salaires de son personnel avaient jusqu'à présent été payés, et qu'il disposait des liquidités lui permettant de faire face à ses engagements, si bien que sa solvabilité paraissait établie. Le recourant a requis et obtenu de l'autorité cantonale supérieure la suspension de l'exécution du jugement de faillite. À la requête du juge instructeur, il a déposé le 6 février 2006, soit dans le délai prolongé à cet effet, ses observations sur l'extrait du registre des poursuites (art. 8 LP) qui avait été requis d'office. Ultérieurement, il a produit la photocopie d'un avis de débit attestant du paiement de quatre autres poursuites par 11'508 fr. 55. Le recourant a requis et obtenu de l'autorité cantonale supérieure la suspension de l'exécution du jugement de faillite. À la requête du juge instructeur, il a déposé le 6 février 2006, soit dans le délai prolongé à cet effet, ses observations sur l'extrait du registre des poursuites (art. 8 LP) qui avait été requis d'office. Ultérieurement, il a produit la photocopie d'un avis de débit attestant du paiement de quatre autres poursuites par 11'508 fr. 55. C. Statuant par arrêt du 21 mars 2006, l'autorité cantonale a rejeté le recours et a dit que la faillite de D._ prendrait effet le 22 mars 2006 à 14 heures. La motivation de cet arrêt est en substance la suivante : C.a Selon l'art. 174 al. 2 LP, l'autorité judiciaire supérieure peut annuler le jugement de faillite lorsque le débiteur, en déposant son recours, rend vraisemblable sa solvabilité et qu'il établit par titre que depuis lors la dette, intérêts et frais compris, a été payée, que la totalité du montant à rembourser a été déposée auprès de l'autorité judiciaire supérieure à l'intention du créancier ou que le créancier a retiré sa réquisition de faillite. En l'espèce, le recourant a établi par titre que la créance déduite en poursuite avait été payée et que C._ avait retiré sa réquisition de faillite, ce que confirme le nouvel extrait du registre des poursuites, du 3 février 2006. L'art. 174 al. 2 LP exige toutefois encore, pour l'annulation d'un jugement de faillite, que le débiteur rende vraisemblable sa solvabilité. Cette exigence ne doit pas être soumise à des conditions trop sévères; il suffit que la solvabilité soit plus probable que l'insolvabilité. C.b L'examen du dossier montre les efforts consentis par le recourant pour redresser sa situation. Au 27 décembre 2005, l'extrait du registre des poursuites faisait état de 32 poursuites pour un montant total de 101'911 fr. 15, sans aucun acte de défaut de biens ouvert. Le 3 février 2006, un nouvel extrait du registre des poursuites n'indique plus que 23 poursuites pour un montant total de 85'338 fr. 15 [réd.: dont 4 poursuites payées (art. 8a LP) pour un montant total de 9'779 fr. 60]. L'ensemble du découvert envers C._ faisait au 3 février 2006 l'objet de neuf saisies de salaire, un avis de saisie et trois commandements de payer. Les autres créanciers du recourant, au nombre de quatre, sont l'Administration fédérale des contributions (créances de 9'549 fr. 85, 8'029 fr. 90 et 11'351 fr. 10 qui font l'objet de saisies de salaire), le Service communal d'action sociale (commandement de payer de 2'000 fr.), Assura SA (créance de 460 fr. 20 au stade de l'avis de participation à la série) et la caisse maladie Mutuelle Assurances (commandement de payer de 2'853 fr. 05). C.c Dans ses observations du 6 février 2006, le recourant explique qu'il a réduit ses frais généraux, en particulier l'effectif de son personnel, ainsi que ses stocks, que depuis quelques mois l'évolution des affaires s'est améliorée et que grâce à un chiffre d'affaires d'environ 60'000 fr. en janvier 2006, il est en mesure d'effectuer ces prochains jours de nouveaux paiement par 10'000 fr. (qui ont été effectués par la suite; cf. lettre B in fine supra). Il n'en demeure pas moins que le recourant ne sera pas en mesure à moyen terme de payer totalement les cinq créanciers qui l'ont mis aux poursuites, puisqu'il ne peut assurer que des acomptes mensuels d'un peu plus de 10'000 fr. Dans ces circonstances, le recours doit être rejeté. C.c Dans ses observations du 6 février 2006, le recourant explique qu'il a réduit ses frais généraux, en particulier l'effectif de son personnel, ainsi que ses stocks, que depuis quelques mois l'évolution des affaires s'est améliorée et que grâce à un chiffre d'affaires d'environ 60'000 fr. en janvier 2006, il est en mesure d'effectuer ces prochains jours de nouveaux paiement par 10'000 fr. (qui ont été effectués par la suite; cf. lettre B in fine supra). Il n'en demeure pas moins que le recourant ne sera pas en mesure à moyen terme de payer totalement les cinq créanciers qui l'ont mis aux poursuites, puisqu'il ne peut assurer que des acomptes mensuels d'un peu plus de 10'000 fr. Dans ces circonstances, le recours doit être rejeté. D. Agissant par la voie du recours de droit public au Tribunal fédéral, D._ conclut avec suite de frais et dépens à l'annulation de cet arrêt. Il a en outre présenté une demande d'effet suspensif, que le Président de la Cour de céans, après avoir recueilli les déterminations de C._ et de l'autorité cantonale, a admise par ordonnance du 21 avril 2006. Invitée à présenter sa réponse éventueIle au recours, l'autorité cantonale a déclaré n'avoir pas d'observations à présenter et s'est référée à son jugement. C._ n'a pas fait usage de la faculté qui lui a été donnée de répondre au recours, étant précisé que dans ses déterminations sur la requête d'effet suspensif, elle avait indiqué que suite à un arrangement de paiement convenu avec le débiteur, elle avait retiré la réquisition de faillite et souhaitait éviter que la faillite définitive soit prononcée. 