Faits: A. A._, son épouse, et leurs trois enfants nés en 1991, respectivement 1992 et 2007, ont le statut de réfugiés. Ils sont assistés financièrement par l'Association Caritas Genève (ci-après: Caritas). Les conjoints sont affiliés à l'AVS en qualité de personnes sans activité lucrative depuis le 1er juin 2008 en ce qui concerne le mari et le 1er mars 2009 pour l'épouse. Saisie d'une demande tendant à l'octroi d'allocations familiales pour les trois enfants, la Caisse d'allocations familiales pour personnes sans activité lucrative (ci-après: la CAFNA) a reconnu le droit des époux à des allocations familiales depuis le 1er septembre 2008, date de l'arrivée des enfants en Suisse. Toutefois, comme les intéressés devaient encore à la Caisse cantonale genevoise de compensation (ci-après: la caisse de compensation) un montant de 1'272 fr. au titre de cotisations AVS non payées, la CAFNA a compensé cette dette avec les allocations échues et elle a versé le solde, soit 16'488 fr., à Caritas (décision du 29 juillet 2010). A._, représenté par Caritas, a fait opposition à cette décision en tant qu'elle concernait la compensation, en alléguant que sa famille dépendait de l'aide sociale et qu'il avait présenté une demande de remise des cotisations AVS. Le 21 juillet 2010, la caisse de compensation a admis la demande de remise des cotisations AVS pour les mois de juin à décembre 2008, ainsi que janvier et février 2009. Statuant sur l'opposition formée par A._ contre la décision de compensation du 29 juillet 2010, la CAFNA l'a rejetée par décision du 30 septembre 2010. B. L'intéressé a recouru contre cette décision sur opposition devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales). Par jugement du 20 janvier 2011, la juridiction cantonale a admis le recours et annulé les décisions de la CAFNA des 29 juillet et 30 septembre 2010. C. L'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) interjette un recours en matière de droit public en concluant à l'annulation de ce jugement. La CAFNA forme également un recours en matière de droit public contre le jugement cantonal dont elle requiert l'annulation en concluant à la confirmation de sa décision sur opposition du 30 septembre 2010. A._ conclut au rejet des recours dans la mesure où ils sont recevables. La CAFNA conclut à l'admission du recours de l'OFAS, tandis que celui-ci a renoncé à présenter des déterminations sur le recours de la CAFNA. 