Sachverhalt: A. X._ (geb. 1994) ist die Tochter von Y._ und Z._. Die Ehe der Eltern wurde am 15. März 2012 vor dem Regionalgericht Bern-Mittelland geschieden. Im Rahmen des Erlasses vorsorglicher Massnahmen während des Scheidungsprozesses hatten Vater, Mutter und Tochter vor dem Regionalgericht vereinbart, dass Y._ zu Handen von Z._ für die Tochter pro Monat, rückwirkend per 1. Januar 2011, Fr. 1'700.-- (inkl. Kinderzulagen und Krankenkassenprämien) leistet. Die Vereinbarung vom 30. August 2011 war gleichentags von der zuständigen Gerichtspräsidentin gerichtlich genehmigt worden. B. Am 2. September 2011 überwies Y._ der Mutter einen Betrag von Fr. 1'285.-- und gab als Zahlungsgrund "Unterhalt X._ für Sept. 2011 (Differenzbetrag) " an. Eine weitere Überweisung in der Höhe von Fr. 7'202.80 erfolgte am 23. September 2011 an den Rechtsvertreter von Z._ mit dem Vermerk "Unterhalt X._, Restzahlung 1.1.11-31.8.11". C. Mit Schreiben vom 26. Oktober 2012 forderte X._ ihren Vater vergeblich auf, ihr innerhalb von zehn Tagen für die in der Zeit vom 1. Januar bis Ende September 2011 rückwirkend geschuldeten Unterhaltsbeiträge die Summe von Fr. 5'514.20 nachzuzahlen. Ende Januar 2013 setzte sie für den erwähnten Betrag zuzüglich Zins zu 5 % seit 26. Oktober 2012 die Zwangsvollstreckung in Gang (Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts Bern-Mittelland). Der Vater erhob am 4. Februar 2013 Rechtsvorschlag. D. Tags darauf liess X._ beim Regionalgericht Bern-Mittelland das Begehren stellen, ihr in der erwähnten Betreibung (s. Bst. C) einschliesslich der Betreibungs- und Rechtsöffnungskosten die definitive Rechtsöffnung zu erteilen. Mit Entscheid vom 23. April 2013 entsprach die Gerichtspräsidentin dem Gesuch und hielt fest, für die Betreibungskosten sei die Rechtsöffnung nicht nötig. Y._ legte Beschwerde beim Obergericht des Kantons Bern ein. Dieses hiess das Rechtsmittel gut, hob den erstinstanzlichen Entscheid auf und wies das Rechtsöffnungsgesuch vom 5. Februar 2013 ab (Entscheid vom 19. September 2013). E. Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 30. Oktober 2013 wendet sich X._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie lässt das Begehren stellen, die Beschwerde gutzuheissen, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und die Beschwerde von Y._ (Beschwerdegegner) gegen den Rechtsöffnungsentscheid des Regionalgerichts vom 23. April 2013 (s. Bst. D) abzuweisen. Mit Eingabe vom gleichen Tag ersucht die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren um Gewährung des Armenrechts. In seiner Beschwerdeantwort vom 12. März 2014 stellt der Beschwerdegegner das Begehren, auf die Beschwerde nicht einzutreten; eventualiter sei sie abzuweisen. Das Obergericht hat unter Hinweis auf die amtlichen Akten auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Eingaben wurden der Beschwerdeführerin zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt. 