Sachverhalt: A. Der 1946 geborene N._ war als Metzger in der Firma X._ AG tätig und dadurch bei der Metzger-Versicherungen (heute: Branchen Versicherung) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 3. März 2004 verletzte er sich bei einem Unfall am Arbeitsplatz an der rechten Schulter. Es wurden eine Schulterdistorsion/ Kontusion sowie eine Supraspinatusläsion diagnostiziert und eine Arbeitsunfähigkeit bestätigt. Der Unfallversicherer erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Nach medizinischen Abklärungen (insbesondere Einholung des polydisziplinären Gutachtens des Begutachtungsinstituts Y._ vom 4. Mai 2006) eröffnete er dem Versicherten mit Verfügung vom 9. Mai 2006, die Leistungen würden rückwirkend auf den 31. Oktober 2004 eingestellt, da die darüber hinaus geklagten Beschwerden nicht in einem rechtsrelevanten Zusammenhang zum versicherten Ereignis stünden; auf eine Rückerstattung der seither erbrachten Leistungen durch den Versicherten werde verzichtet. Die vom Krankenpflegeversicherer des N._ vorsorglich eingereichte Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache des Versicherten wurde abgewiesen (Einspracheentscheid vom 5. Juli 2006). B. Die von N._ hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern teilweise gut, indem es den Unfallversicherer verpflichtete, die gesetzlichen Leistungen bis 31. Mai 2006 zu erbringen; im Übrigen wies es die Beschwerde ab (Entscheid vom 10. Dezember 2007). C. Die Branchen Versicherung lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei, soweit den Zeitpunkt der Leistungseinstellung betreffend, aufzuheben. N._ begnügt sich vernehmlassungsweise mit dem Hinweis, der kantonale Entscheid sei rechtens. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Stellungnahme. 