Faits: A. Dans le cadre d'une procédure matrimoniale opposant les conjoints A.X._ et B.X._, parents de trois enfants mineurs, le Tribunal civil de l'arrondissement de la Sarine a chargé le Dr Y._, médecin psychiatre à Fribourg, d'expertiser l'épouse. Ce dernier a rendu son rapport le 7 novembre 2011. B. Le 16 mai 2012, A.X._ a saisi la Commission de surveillance des professions de la santé et des droits des patients et patientes de l'Etat de Fribourg (ci-après: la Commission de surveillance) d'une plainte dirigée contre le Dr Y._, reprochant en substance à ce dernier de ne pas avoir respecté les règles de l'art ni fait preuve de la diligence requise dans l'établissement de son rapport d'expertise, ce qui l'aurait conduit à fournir des réponses erronées, et cela notamment au péril du développement des relations que A.X._ souhaitait entretenir avec ses enfants dont il n'avait pas la garde. Par décision du 29 mai 2012, la Commission de surveillance a retenu que A.X._ n'avait pas la qualité de partie dans le contexte d'une procédure de dénonciation au sens de la législation cantonale sur la santé, au motif qu'il n'était pas le patient du professionnel de la santé mis en cause, et l'a informé qu'aucune suite ne serait donnée à sa dénonciation; dans une décision séparée adressée au psychiatre, elle a exposé les raisons pour lesquelles elle n'entrait pas en matière sur la dénonciation. Le 23 juillet 2012, A.X._ s'est à nouveau adressé à la Commission de surveillance, qui, traitant son écriture comme un recours contre sa décision du 29 mai 2012, l'a transmise à la III e Cour administrative du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg (ci-après: le Tribunal cantonal). Par arrêt du 3 mai 2013, le Tribunal cantonal a rejeté le recours formé par A.X._ et confirmé la décision du 29 mai 2012. C. A.X._ conteste l'arrêt du 3 mai 2013 devant le Tribunal fédéral. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à son annulation, à ce que lui-même soit considéré comme patient du Dr Y._ et acquière la qualité de partie dans la procédure engagée contre cet expert, et à ce que la question de l'applicabilité de la loi cantonale sur la protection des données soit tranchée sur le fond par le Tribunal fédéral. Le Tribunal cantonal et la Commission de surveillance n'ont pas formulé d'observations. A.X._ a maintenu ses conclusions dans un mémoire du 16 août 2013, dans lequel il a en outre requis la récusation de différents membres des autorités cantonales concernées. 