Faits: A. Par décision du 24 novembre 2005, confirmée sur opposition le 1er septembre 2006, l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) a rejeté la demande de prestations présentée en mai 2003 par J._ (née en 1962). A la suite de l'annulation de cette décision, le 10 mai 2007, par le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales), l'office AI a recueilli l'avis du docteur K._, psychiatre qui suivait l'assurée depuis novembre 2005, puis confié une expertise au docteur B._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie. Diagnostiquant notamment un épisode dépressif sévère sans symptômes psychotiques (F32.2), l'expert a conclu à une incapacité de travail de 50 % depuis le début de l'année 2005 (rapport du 22 mai 2008). Une enquête économique sur le ménage a par ailleurs été effectuée le 13 août 2008, au cours de laquelle l'assurée a déclaré qu'elle aurait travaillé à 50 % si elle avait été en bonne santé, car elle devait s'occuper - seule ensuite de son divorce - de trois de ses six enfants qui habitaient encore avec elle. Après avoir annulé une première décision par laquelle il niait le droit à une rente d'invalidité, l'office AI a demandé l'avis de son Service médical régional (SMR) sur un nouveau rapport du docteur K._ (avis du docteur C._ du 7 octobre 2008). Par décision du 19 novembre 2008, l'office AI a derechef rejeté la demande de prestations, au motif que le taux d'invalidité de 11,48 % (0 % dans l'activité professionnelle; 22,95 % [pris en compte pour 50 %] dans les travaux habituels) était insuffisant pour ouvrir le droit à celles-ci. B. J._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal genevois des assurances sociales. Après avoir notamment entendu les docteurs K._ et B._, ainsi que l'enquêtrice de l'office AI, le Tribunal a partiellement admis le recours. Annulant la décision du 19 novembre 2008, il a reconnu le droit de l'assurée à un quart de rente de l'assurance-invalidité dès le 1er janvier 2005 (jugement du 6 mai 2010). C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation, en concluant à la confirmation de sa décision du 18 septembre (recte 19 novembre 2008). Il a également conclu à l'octroi de l'effet suspensif à son recours, ce qui lui a été accordé par ordonnance du 8 septembre 2010. J._ conclut au rejet du recours et sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire. De son côté, l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. 