Sachverhalt: A. Z._ und S._ bewarben sich um die Wiederwahl als Mitglieder der Verwaltungskommission der Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen (nachfolgend: VK SVA) für die Amtsdauer vom 1. Juni 2012 bis 31. Mai 2016. Im Amtsblatt Nr. 26 vom 25. Juni 2012 gab die Regierung des Kantons St. Gallen die von ihr gewählten Mitglieder bekannt. Z._ und S._ zählten nicht dazu. B. Z._ und S._ reichten beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen je Beschwerde ein. Sie beantragten, der publizierte Beschluss des Regierungsrates sei aufzuheben und es sei anzuordnen, dass Z._ und S._ für die Amtsdauer 2012-2016 als Mitglieder der VK SVA wiedergewählt würden; eventuell sei festzustellen, dass Z._ und S._ zu Unrecht nicht wiedergewählt worden seien; subeventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Regierung zurückzuweisen. Zur Begründung wurde geltend gemacht, der Anspruch von Z._ und S._ auf rechtliches Gehör sei verletzt worden und es fehle an zureichenden Gründen für die Nichtwiederwahl. Verfahrensrechtlich wurde die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung verlangt. Das Verwaltungsgericht vereinigte die beiden Verfahren und trat auf die Beschwerden nicht ein (Entscheid vom 12. März 2013). C. Z._ und S._ lassen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, evtl. subsidiäre Verfassungsbeschwerde, führen mit dem Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und die Sache sei zur weiteren Abklärung und zur materiellen Beurteilung an das kantonale Gericht zurückzuweisen; evtl. sei anzuordnen, dass Z._ und S._ für die Amtsdauer 2012-2016 als Mitglieder der VK SVA wiedergewählt würden; subeventuell sei festzustellen, dass Z._ und S._ zu Unrecht nicht wiedergewählt worden seien. Überdies wird beantragt, es sei eine öffentliche mündliche Verhandlung durchzuführen. Die Regierung des Kantons St. Gallen schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit auf diese einzutreten sei. 