Sachverhalt: A. X._ überschritt am 30. August 2011, um 04.52 Uhr, mit seinem Personenwagen auf der Zilstrasse in St. Gallen die Höchstgeschwindigkeit von 30 km/h um 31 km/h (nach Abzug der Sicherheitsmarge von 3 km/h). Er war unterwegs in Richtung Klinik Stephanshorn, nachdem ihn diese angerufen hatte, sein Neugeborenes habe schwere Atemaussetzer und er solle im Hinblick auf nötige Entscheidungen für das Kind unverzüglich in die Klinik kommen. Das Neugeborene wurde später in Begleitung seines Vaters notfallmässig ins Kinderspital überführt. B. Mit Verfügung vom 24. Oktober 2011 nahm die Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen die Strafverfolgung wegen grober Verletzung der Verkehrsregeln gemäss Art. 90 Ziff. 2 SVG nicht an die Hand. Sie begründete ihren Entscheid damit, die Geschwindigkeitsüberschreitung sei durch Notstandshilfe gerechtfertigt gewesen. Am 24. November 2011 entzog das Strassenverkehrsamt des Kantons Thurgau X._ in Anwendung von Art. 16c Abs. 1 lit. a und Abs.2 lit. c SVG den Führerausweis für die Dauer von 12 Monaten. Am 20. Januar 2012 wies die Rekurskommission für Strassenverkehrssachen des Kantons Thurgau (nachfolgend: Rekurskommission) den von X._ dagegen erhobenen Rekurs ab. Sie kam zum Schluss, es liege kein rechtfertigender Notstand vor. Die von X._ dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau am 30. Mai 2012 gut. Es begründete sein Urteil damit, das Strassenverkehrsamt und die Rekurskommission seien an den Entscheid der Staatsanwaltschaft zur Notstandsfrage gebunden. C. Das Strassenverkehrsamt führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und X._ den Führerausweis für mindestens 12 Monate zu entziehen. X._ beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Das Verwaltungsgericht und das Bundesamt für Strassen schliessen ebenfalls auf deren Abweisung. Der Präsident der Rekurskommission beantragt deren Gutheissung. 