Sachverhalt: A. A._, geb. xx.xx.2012, ist die Tochter der nicht miteinander verheirateten Eltern X._ und Y._. Sie steht unter der elterlichen Sorge von Y._. Die Vormundschaftsbehörde B._ regelte mit Beschluss vom 25. Juni 2012 das Besuchsrecht dahin gehend, dass X._ seine Tochter wöchentlich drei Mal für jeweils drei Stunden bei Y._ besuchen könne. B. Am 5. Dezember 2012 meldete X._ der Vormundschaftsbehörde B._ eine Gefährdung seiner Tochter. Die unverzüglich eingeleiteten Vorabklärungen der Vormundschaftsbehörde ergaben keine Hinweise auf eine akute Gefährdung des Kindeswohls. Nach dem 1. Januar 2013 führte die neue Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Leimental ("KESB") das Verfahren weiter. Mit Schreiben vom 25. März 2013 beantragte X._ sinngemäss, dass den Eltern die gemeinsame elterliche Sorge zu übertragen und der persönliche Verkehr dergestalt neu zu regeln sei, dass er sein Kind an drei vollen Tagen die Woche betreuen dürfe. Im weiteren Verfahren erklärte er sich damit einverstanden, dass ein Beistand eingesetzt werde. Auch auf ein begleitetes Besuchsrecht werde er sich einlassen, wenn er seine Tochter vermehrt sehen könne. Mit Entscheid vom 4. April 2013 errichtete die KESB Leimental eine Erziehungsbeistandschaft für A._ und setzte C._ als Beiständin ein. X._s Gesuch um Erteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge wies sie ab. Mit gleichzeitig ergangenem Entscheid der Referentin der KESB wurde der persönliche Verkehr vorsorglich neu geregelt. C. Gegen den Entscheid der KESB gelangte X._ mit Beschwerde an das Kantonsgericht Basel-Landschaft. Er beantragte, es sei "A. Die akute Gefährdung von A._ durch die Aggressivität der Mutter Frau Y._ festzustellen und der Gefahr mit geeigneten Sofortmassnahmen abzuhelfen. B. Herrn X._s Besuchsrecht erheblich zu erweitern. C. Das Sorgerecht für die Tochter A._ zu mindestens 50% auf den Vater zu übertragen." Mit Urteil vom 17. Juli 2013 wies das Kantonsgericht Basel-Landschaft die Beschwerde ab, soweit darauf eingetreten werden konnte. D. Gegen das Urteil des Kantonsgerichts gelangt X._ (Beschwerdeführer) mit Eingabe vom 26. August 2013 (Datum der Postaufgabe) an das Bundesgericht. In der Sache hält er sinngemäss an dem fest, was er vor dem Kantonsgericht verlangt hatte (s. Bst. C). Ausserdem ersucht der Beschwerdeführer um Einsicht in "sämtliche vertrauliche Unterlagen", einschliesslich der Dokumente, welche die KESB am 9. Juli 2013 vorgelegt hatte, sowie um Zustellung des Protokolls der Sitzung des Kantonsgerichts vom 17. Juli 2013. Mit Eingaben vom 9. und 30. September 2013 sowie vom 11. und 22. Oktober 2013 ergänzte der Beschwerdeführer sein Rechtsmittel mit umfangreichen Unterlagen. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt. 