Faits: A. X._, né en 1946, et dame X._, née en 1970, se sont mariés le 30 novembre 2001 à Carouge (GE). Deux enfants sont issus de cette union: A._, née en 2002, et B._, né en 2003. B. Le 17 mai 2006, l'épouse a déposé devant le Tribunal de première instance de Genève une requête de mesures protectrices de l'union conjugale. Par jugement du 20 juillet 2007, le Tribunal de première instance a autorisé les époux à vivre séparés, attribué à l'épouse la jouissance exclusive du domicile conjugal en ordonnant au mari de le quitter dans le délai d'un mois dès le prononcé du jugement. Il a accordé la garde des enfants à la mère et réglé le droit de visite du père à raison d'un week-end sur deux, du samedi 12 heures au dimanche 18 heures, les mercredis après-midi et la moitié des vacances scolaires. Le mari a été condamné à verser des contributions mensuelles de 1'700 fr. pour l'entretien de son épouse et de 800 fr. pour l'entretien de chacun des enfants. Sur appel de X._, la Chambre civile de la Cour de Justice a partiellement réformé le jugement de première instance en prolongeant au 30 juin 2008 le délai pour quitter le domicile conjugal. En ce qui concerne les contributions d'entretien, elle a reformulé le dispositif en ce sens qu'elle a condamné l'époux à verser un montant de 3'300 fr. pour l'entretien de la famille. C. Le mari exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral en concluant à l'annulation de cet arrêt. Il demande l'attribution du domicile conjugal et que le droit de visite soit fixé à un week-end sur deux, du vendredi soir au lundi matin, chaque semaine du mardi soir au jeudi matin et la moitié des vacances scolaires. En ce qui concerne l'entretien de la famille, il donne acte de son engagement à verser 800 fr. par mois pour chacun des enfants mais demande à être libéré de toute contribution en faveur de l'épouse. D. Le recourant demande l'effet suspensif en ce qui concerne son obligation de quitter le domicile conjugal. Par ordonnance du 12 juin 2008, le président de la cour de céans a admis la requête. L'intimée a requis l'octroi de l'assistance judiciaire. Des déterminations sur le fond n'ont pas été requises. 