Faits: A. L._, ressortissante française, domiciliée en France, ayant travaillé en Suisse (en dernier lieu comme aide infirmière), a requis des prestations de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) le 18 novembre 2003. Outre le dossier de l'assureur-accidents qui contenait une expertise du docteur R._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, attestant la présence d'un status post-distorsion cervicale avec cervicalgies (séquelles d'un accident survenu le 11 décembre 2002) et troubles statiques et dégénératifs de la colonne cervicale sans impact sur la capacité de travail au moment de la réalisation de son examen le 30 juin 2003 ainsi que l'existence d'un état dépressif péjorant vraisemblablement la symptomatologie douloureuse (rapport du 30 juillet 2003), l'office AI a requis l'avis des médecins traitants qui de diagnostics foncièrement identiques (traumatisme cervical avec raideurs et douleurs séquellaires, cervicalgies post-traumatiques, syndrome anxio-dépressif) inféraient l'incapacité totale de leur patiente à travailler (rapports des docteurs M._, spécialisé en médecine physique et de réadaptation fonctionnelle, et A._, spécialisée en médecine générale, des 15 et 22 décembre 2003). Suivant ensuite les recommandations de son Service médical régional (SMR), qui préconisait un complément d'instruction sous forme d'expertise psychiatrique (avis de la doctoresse U._ du 18 juin 2004), l'administration a délégué l'accomplissement de cette tâche aux docteurs O._, D._ et H._ de l'Institut de médecine légale de l'Hôpital X._. Les experts ont estimé que le syndrome douloureux somatoforme persistant, le trouble dépressif récurrent épisode actuel modéré et le trouble panique observés empêchaient la reprise d'une activité (rapport du 21 février 2005). Sur la base d'une appréciation du dossier par le SMR, qui contestait la conclusion des experts quant à la capacité résiduelle de travail dans la mesure où l'épisode dépressif moyen ne saurait légalement être considéré comme une comorbidité psychiatrique grave conférant au syndrome douloureux un caractère invalidant (avis du docteur C._ du 18 avril 2005), l'office de l'assurance-invalidité pour les assurés résidant à l'étranger (ci-après: également l'office AI) a rejeté la demande de prestations (décision du 4 mai 2005). Secondée par ses médecins traitants qui persistaient à attester une incapacité totale de travail (rapports des docteurs A._ et B._, spécialisé en psychiatrie et en psychanalyse, des 16 et 18 mai 2005), l'assurée s'est vainement opposée à la décision (décision sur opposition du 14 août 2006) malgré la production au cours de la procédure d'un avis du docteur E._, expert psychiatre, pour qui «le champ d'action de l'expertisée était totalement réduit» en raison de troubles invalidants de la personnalité associant pathologie borderline, névrose anxio-phobique et hystérique, troubles somatoformes et syndrome dépressif majeur (rapport du 22 juillet 2005). L'intéressée a recouru contre la décision du 14 août 2006 auprès de la Commission fédérale de recours en matière d'AVS/AI pour les personnes résidant à l'étranger (actuellement le Tribunal administratif fédéral, Cour III) et, se référant aux opinions substantiellement inchangées de ses médecins (notamment rapports des docteurs B._ et A._ des 4 et 6 septembre 2006) et du docteur E._, a conclu à l'octroi de prestations de l'assurance-invalidité. Se fondant sur l'analyse par le SMR des éléments produits (avis du docteur C._ des 5 décembre 2006 et 29 août 2007), l'administration a requis le rejet du recours. Le tribunal administratif a partiellement accédé aux conclusions de L._ en annulant la décision et en renvoyant le dossier à l'office AI (jugement du 6 mars 2008). Invitée à compléter l'instruction, l'administration a sollicité les docteurs T._, spécialisé en médecine générale, et S._, service médical de l'assurance maladie française, qui pour l'essentiel rejoignaient l'avis du docteur E._ (rapports des 13 juin et 21 août 2008), puis enjoint le Centre d'expertise médicale (CEMED) de mettre en oeuvre une expertise. Un trouble mixte de la personnalité, un trouble dépressif récurrent, épisode actuel léger à modéré avec syndrome somatique, une dysthymie, un trouble panique ainsi qu'une somatisation entravant totalement l'exercice de l'activité habituelle mais autorisant la pratique à plein temps, avec baisse de rendement de 25 %, d'une activité adaptée ont été révélés par le docteur I._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 20 mars 2009). Son service médical ayant entériné les conclusions du docteur I._ (avis du docteur N._ des 8 avril et 30 juin 2009), l'office AI a informé l'assurée qu'il envisageait de rejeter sa demande de prestations (projet de décision du 9 juillet 2009) puis, ayant écarté un nouveau rapport du docteur E._, qui constatait une péjoration de la pathologie psychiatrique (troubles sexuels [aversion], personnalité borderline, trouble dépressif récurrent, trouble dépressif majeur, trouble des habilités motrices, trouble panique et troubles somatoformes de conversion) totalement et définitivement incapacitante (rapport du 22 février 2010), ainsi que les objections présentées contre son projet (avis du docteur N._ du 18 mai 2010 et lettre du 12 juillet suivant), a confirmé son refus de prester (décision du 12 juillet 2010). B. Soutenue par ses médecins traitants qui continuaient à certifier une incapacité totale de travail à cause des affections connues (rapports des docteurs B._ et T._ des 15 et 23 août 2010), l'intéressée a à nouveau saisi le tribunal administratif d'un recours concluant à l'allocation d'une rente entière ou au renvoi du dossier à l'administration pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision. Elle soutenait en substance que l'office AI avait à tort favorisé les conclusions de l'expertise CEMED, qui reposait sur de nombreuses erreurs et incohérences en réduisant considérablement la valeur probante, au détriment des nombreux autres rapports médicaux contradictoires, dont celui de l'expert E._ qui établissait de surcroît la présence d'une péjoration de la situation depuis la réalisation de l'expertise en question. Estimant par l'entremise du docteur N._ (avis du 10 décembre 2010) que les pièces produites n'apportaient aucun élément nouveau, l'administration a conclu au rejet du recours. L._ a été déboutée de ses conclusions (jugement du 27 juin 2011). Le tribunal de première instance a substantiellement considéré qu'il n'y avait pas lieu de se distancier de l'appréciation, probante, du docteur I._ malgré les avis contradictoires existants, notamment celui du docteur E._ qui reposait essentiellement sur les plaintes non objectivables de l'assurée. C. L'intéressée recourt contre ce jugement. Elle en requiert l'annulation et conclut, sous suite de frais et dépens, au renvoi du dossier au Tribunal administratif fédéral pour complément d'instruction au sens des considérants et nouveau jugement. L'administration conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. 