Fatti: A. A.a. B._ è stato alle dipendenze della società ticinese A._SA dal 16 agosto 1973 quale coordinatore delle importazioni verso la Svizzera. Alla fine del mese di novembre 2009 egli ha incassato in tale veste e per conto di una società italiana euro 7'228.82 e fr. 1'158.25. Ha però omesso, nonostante i solleciti ricevuti dalla società estera, di recapitarle tali importi e il 30 dicembre 2009 l'amministratore unico della A._SA, informato della situazione, ha provveduto ad indennizzare la cliente. B._ è stato assente dal lavoro dal 28 dicembre 2009 al 4 gennaio 2010. Al suo rientro, la A._SA gli ha chiesto di consegnarle i predetti importi entro il giorno seguente. Il dipendente non si è più recato al lavoro dal 5 gennaio 2010 e per il periodo dal 25 gennaio 2010 al 9 febbraio 2010 ha presentato dei certificati medici. Con scritto 29 gennaio 2010 la A._SA gli ha comunicato di ritenere concluso il rapporto di lavoro a partire dal 5 gennaio 2010. A.b. Con petizione 9 giugno 2010 B._ ha convenuto in giudizio innanzi al Pretore di Mendrisio sud la A._SA chiedendo che questa fosse condannata a pagargli fr. 78'561.05, pretesa poi ridotta a fr. 48'894.90. Il Giudice di primo grado ha accolto l'azione limitatamente a fr. 21'288.80 (fr. 15'328.80 al netto di deduzioni sociali per i salari da febbraio a aprile 2010 e fr. 5'960.-- a titolo di indennità per licenziamento ingiustificato). B. La II Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino ha, con sentenza 14 dicembre 2012, confermato la decisione pretorile. Il Tribunale cantonale supremo, dopo aver constatato la parziale irricevibilità dell'appello in seguito alla sua carente motivazione, ha negato che vi fosse un abbandono del lavoro nel senso dell'art. 337d CO comportante il termine del contratto di lavoro e che il licenziamento immediato per motivi gravi fosse tempestivo. C. Con ricorso in materia civile consegnato alla posta il 1° febbraio 2013 la A._SA postula la riforma della sentenza cantonale nel senso che il suo appello sia accolto e la petizione respinta. Afferma che il suo rimedio di diritto era sufficientemente motivato e assevera che il lavoratore si sarebbe reso irreperibile, assumendosi così il rischio che il suo comportamento venisse interpretato come un abbandono del posto di lavoro ai sensi dell'art. 337d CO. Sostiene poi che il licenziamento in tronco era tempestivo, perché il 29 gennaio 2010, in assenza di una restituzione dell'importo sottratto dal lavoratore, il termine di riflessione non avrebbe nemmeno ancora iniziato a decorrere. Con risposta 8 marzo 2013 B._ propone che il ricorso sia dichiarato inammissibile, rispettivamente che sia respinto. 