Sachverhalt: A. X._ (geb. 1951) und Y._ (geb. 1946) heirateten im Jahr 1988. Ihre gemeinsame Tochter ist volljährig. B. B.a. Die Parteien lösten den gemeinsamen Haushalt am 1. April 2004 auf. Am 3. Juli 2007 leitete X._ beim Bezirksgericht Baden das Scheidungsverfahren ein. In Bezug auf den vorliegend strittigen nachehelichen Unterhalt beantragte er, es sei festzustellen, dass die Ehefrau keinen Anspruch auf Unterhalt habe. Y._ beantragte diesbezüglich mit Klageantwort vom 31. Januar 2008, der Ehemann sei zu verpflichten, ihr bis zu ihrem Eintritt ins ordentliche AHV-Alter (Ende August 2010) einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 3'183.-- und anschliessend unbefristet Fr. 1'733.-- zu bezahlen. An der Verhandlung des Bezirksgerichts vom 17. September 2009 präzisierte Y._ dies insofern, als ihr nach der Pensionierung Fr. 2'250.-- zuzusprechen seien. B.b. Mit Urteil des Bezirksgerichts Baden vom 14. April 2011 wurden die Parteien geschieden. Den von X._ geschuldeten nachehelichen Unterhalt setzte das Gericht wie folgt fest: Ab Rechtskraft des Scheidungsurteils bis und mit Dezember 2016 Fr. 3'340.-- pro Monat, ab 1. Januar 2017 Fr. 2'240.--. Sodann regelte es die übrigen Folgen der Scheidung (insb. Ausgleich berufliche Vorsorge, güterrechtliche Auseinandersetzung). C. C.a. Am 27. Mai 2011 erhob X._ in Bezug auf den Unterhaltspunkt Berufung an das Obergericht des Kantons Aargau. Er verlangte, es sei festzustellen, dass Y._ keinen Anspruch auf nachehelichen Unterhalt habe. Y._ schloss mit Berufungsantwort vom 10. August 2011 (Postaufgabe 22. August 2011) auf Abweisung der Berufung. C.b. Mit Eingabe vom 13. August 2011 reichte die nicht (mehr) anwaltlich vertretene Y._ eine Anschlussberufung ein, welche sie mit Schreiben vom 10. Oktober 2011 wieder zurückzog. Beide Parteien reichten weitere Stellungnahmen und Beweismittel ein. X._ beantragte eine mündliche Berufungsverhandlung. C.c. Mit Urteil vom 1. Mai 2013 hiess das Obergericht die Berufung (unter Abweisung des Antrags auf eine mündliche Verhandlung) teilweise gut und es verpflichtete X._, ab Rechtskraft des Scheidungsurteils Y._ monatlich einen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'500.-- zu bezahlen. Die Gerichtskosten auferlegte es den Parteien hälftig. Parteientschädigungen sprach es keine zu. D. X._ zieht dieses Urteil mit Beschwerde in Zivilsachen vom 13. Juni 2013 an das Bundesgericht weiter. Er beantragt, er sei lediglich dazu zu verpflichten, ab dem 1. Juni 2013 einen nachehelichen Unterhaltsbeitrag von monatlich Fr. 400.-- zu bezahlen. Eventuell sei das Verfahren zur Ergänzung des Beweisverfahrens und zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Kosten seien Y._ aufzuerlegen. Das Bundesgericht hat die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. 