Faits: A. A.a X._, née le 25 mars 1986, a été engagée comme apprentie par la société Y._ SA, de siège à Genève. Le contrat d'apprentissage d'employée de commerce a été conclu pour la période allant du 25 août 2003 au 24 août 2006, puis prolongé jusqu'au 30 juin 2007, après l'échec de l'apprentie aux examens finaux de juin 2006. La prolongation du contrat, qui a fait l'objet d'un avenant signé le 7 juillet 2006, était soumise à la condition, discutée oralement, que l'employée s'engage à faire preuve de plus d'assiduité à l'école et au travail. A.b X._ a été absente pour maladie du 13 octobre 2006 au 1er janvier 2007. Trois certificats médicaux attestant de son incapacité totale de travailler et un certificat de reprise de travail ont été délivrés par le Dr A._ les 13 et 19 octobre 2006, 1er novembre 2006 et 19 janvier 2007. A.c Le 16 octobre 2006, l'employeur a adressé à l'apprentie un courrier, qui contenait des griefs à son encontre, notamment quant à ses absences, tant aux cours qu'au travail, et à la qualité de son travail. Il était expressément précisé que ce courrier constituait un avertissement. Après une rencontre infructueuse organisée le 23 novembre 2006 par l'Office pour l'orientation, la formation professionnelle et continue (OFPC) entre le commissaire d'apprentissage, un médecin et une infirmière du Service de santé jeunesse, un conseiller en formation, un représentant de l'employeur et X._, celle-ci a, le 4 décembre 2006, été licenciée immédiatement pour justes motifs, avec effet dès le 31 décembre 2006. Pour l'employeur, l'apprentie n'a pas respecté les conditions posées lors de la prolongation du contrat d'apprentissage. Parmi les motifs avancés à l'appui du licenciement figuraient la dégradation de la qualité du travail de l'apprentie, son comportement au bureau, une absence injustifiée au travail le 6 octobre 2006, des erreurs de classement, des frais non reportés à la facturation, un envoi de documents non conforme à un client, des arrivées tardives presque quotidiennes et, enfin, un comportement inadéquat envers un cadre de la société le 12 octobre 2006. B. B.a Le 12 avril 2007, X._ a assigné Y._ SA en paiement de 18'195 fr., plus intérêts moratoires à 5% l'an dès le 1er janvier 2007, soit 9'000 fr. bruts à titre de salaire jusqu'à la fin de la formation, 897 fr. bruts à titre d'indemnité pour vacances non prises en nature, 750 fr. bruts à titre de treizième salaire, 1'548 fr. nets à titre de participation aux frais d'assurance maladie et 6'000 fr. nets à titre d'indemnité pour licenciement immédiat injustifié. La Caisse Z._ est intervenue au procès pour faire valoir la subrogation à concurrence des indemnités versées par elle à la demanderesse de janvier à juin 2007, représentant la somme de 6'192 fr.70, avec intérêts à 5% l'an dès le 1er juillet 2007. Le 13 novembre 2007, le Tribunal des prud'hommes a débouté la demanderesse de toutes ses conclusions et débouté les parties de toute autre conclusion. B.b Par arrêt du 24 avril 2008, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes a, à la forme, déclaré recevable l'appel interjeté par la demanderesse. Au fond, le jugement entrepris a été confirmé et les parties ont été déboutées de toute autre conclusion. L'autorité cantonale a retenu que les conditions expresses posées à la prolongation exceptionnelle du contrat d'apprentissage n'ont pas été réalisées, compte tenu de la perte de motivation constatée chez l'apprentie antérieurement à l'arrêt de travail du 13 octobre 2006. Pour conclure à une telle perte de motivation, les juges ont pris appui sur la baisse de qualité du travail de l'employée et sur les lacunes apparues dans son comportement, référence faite aux pièces de la procédure. La juridiction cantonale a ensuite observé que la confiance de l'employeur quant à la motivation de l'apprentie a été définitivement ébranlée par le second avis médical obtenu du médecin du Service de santé jeunesse et par le fait que les certificats médicaux de durée indéterminée ont été transmis sans autre précision. Selon la cour cantonale, l'annonce de l'absence de l'employée pour cause de maladie n'est pas le principal motif de résiliation des rapports de travail, mais l'élément supplémentaire qui a définitivement détruit la confiance que l'employeur pouvait encore conserver en son apprentie. Le défaut de réaction positive de l'employée après l'envoi de l'avertissement du 16 octobre 2006 a été mise en exergue par les juges genevois, qui ont en outre relevé que ni la courte durée du contrat qui restait en jeu ni l'âge de l'apprentie ne plaidaient en faveur d'un licenciement abusif. C. Contre ce prononcé, la demanderesse exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle demande, à la forme, de déclarer recevable le recours. Quant au fond, elle requiert l'annulation de l'arrêt entrepris, la condamnation de la défenderesse à lui verser les montants de 10'647 fr. bruts et de 7'548 fr. nets, avec intérêts à 5% l'an dès le 1er janvier 2007, sous suite de frais et dépens, et le déboutement de la défenderesse de toutes autres ou contraires conclusions. La défenderesse conclut au rejet du recours, dans la mesure de sa recevabilité, à la confirmation de l'arrêt entrepris, au déboutement de la demanderesse de toute autre conclusion et à la condamnation de celle-ci au paiement des frais et dépens de la procédure. A titre subsidiaire, elle demande de limiter sa condamnation au paiement du salaire brut jusqu'à l'échéance fixée au 30 juin 2007, soit à 9'000 fr. (1'500 x 6), de débouter la demanderesse de toute autre prétention et d'obtenir l'allocation d'une indemnité à titre de dépens. L'intervenante n'a pas d'observation complémentaire à apporter. La Cour d'appel se réfère, quant à elle, à son arrêt du 24 avril 2008, dans les termes duquel elle persiste. 