Faits: A. X._, né en 1976, et Y._, en 1976, se sont mariés le 14 février 2003. Deux enfants sont issus de cette union: A._, né en 2003, et B._, née en 2007. Les époux vivent séparés depuis le 11 juin 2011. B. Le 29 juillet 2011, l'épouse a saisi le Président du Tribunal civil de la Sarine (ci-après: le Président) d'une requête de mesures protectrices de l'union conjugale. B.a Par décision du 12 décembre 2011, le Président, après avoir entendu les parties lors d'une audience du 18 octobre 2011, a homologué la convention des époux tendant à la garde alternée des enfants, à raison d'une semaine sur deux chez chaque parent, décidé que chaque partie assumait les frais des enfants lorsqu'ils sont chez elle, la mère payant les primes d'assurance-maladie des enfants et conservant les allocations patronales perçues pour eux, le père s'acquittant des frais de garde et conservant les allocations familiales, et condamné le père à verser à la mère des montants de 60 fr. et 45 fr. par mois pour l'entretien respectivement de A._ et B._, les frais extraordinaires (orthodontie, opticien) étant supportés par moitié par chaque parent, sous réserve des prestations obtenues des assurances-maladie ou sociales, et les frais de garde correspondant à un placement auprès d'un tiers - hors accueil extra-scolaire et de garderie, assumés par le père - étant payés par le parent ayant la garde des enfants durant le placement. La mère a interjeté appel à l'encontre de cette décision le 23 décembre 2011, concluant à ce que le père verse des montants mensuels pour l'entretien des deux enfants de 877 fr. et 786 fr., pour la période du 11 juin au 31 décembre 2011, et de 856 fr. et 767 fr., dès le 1er janvier 2012, allocations familiales en sus. B.b Statuant le 16 avril 2012, la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal du canton de Fribourg (ci-après: la Cour d'appel) a partiellement admis l'appel et réformé la décision du Président du 12 décembre 2011 en ce sens que chaque parent assume le coût d'entretien courant des enfants lorsqu'il en a la garde, la mère s'acquitte des dépenses ordinaires des enfants, le père contribue à l'entretien des enfants par le versement de 300 fr. et 350 fr. respectivement pour A._ et B._, du 11 juin au 29 février 2012, de 200 fr. et 250 fr., pour la période du 1er mars au 31 juillet 2012 et de 100 et 150 fr., dès lors, allocations familiales en sus pour toute la durée de la séparation. C. Par acte du 18 mai 2012, le père interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et à sa réforme en ce sens qu'il contribue à l'entretien des enfants par le versement de 160 fr. et 100 fr. respectivement pour A._ et B._, du 11 juin au 29 février 2012, de 40 fr. pour A._ et aucune pension pour B._ pour la période du 1er mars au 31 juillet 2012 et à la libération de toute contribution d'entretien dès lors, les allocations familiales étant attribuées à la mère pour toute la durée de la séparation. Il sollicite au préalable l'octroi de l'assistance judiciaire. Des déterminations n'ont pas été requises. 