Sachverhalt: A. Vom 10. bis 29. Juni 2005 legte die Stadt Frauenfeld den Gestaltungsplan "Wohnüberbauung Walzmühle" öffentlich auf. Dieser Gestaltungsplan sieht für die 18'208 m2 grosse, der X._ gehörenden Parzelle Nr. 761 (genannt "Stammerau") drei Baubereiche für eine Überbauung mit insgesamt 81 Wohnungen vor. Das Baugrundstück grenzt an das ehemalige Fabrikareal Walzmühle der A._. Beim Kernbereich dieses Areals handelt es sich nach dem "Richtplan Natur- und Landschaft" vom 20. Dezember 1999 um erhaltenswerte Bauten oder Baugruppen. Gegen den Gestaltungsplan "Wohnüberbauung Walzmühle" erhoben die A._ sowie verschiedene Bewohner und Stockwerkeigentümer der Liegenschaften Walzmühlestrasse 55/57 Einsprache. Der Stadtrat Frauenfeld wies die Einsprache am 15. November 2005 ab. Dagegen gelangten die unterlegenen Einsprecher an das Departement für Bau und Umwelt des Kantons Thurgau. Dieses wies den Rekurs mit Entscheid vom 7. Juni 2007 ab. Eine gegen diesen Entscheid gerichtete Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kanton Thurgau mit Urteil vom 21. Mai 2008 ab, soweit es darauf eintreten konnte (kant. Verfahren V 93). B. Gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 21. Mai 2008 gelangten u.a. die A._ und die Stockwerkeigentümergemeinschaft B._ mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 15. September 2008 an das Bundesgericht. Sie beantragten, der Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 21. Mai 2008 sei aufzuheben und die Sache sei zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Allenfalls sei der Gestaltungsplan "Wohnüberbauung Walzmühle" nicht zu genehmigen. Das Bundesgericht zog im Beschwerdeverfahren den Entscheid des kantonalen Departements für Bau und Umwelt vom 22. Juni 2007 bei, mit welchem der umstrittene Gestaltungsplan genehmigt worden war. Mit Urteil 1C_422/2008 vom 23. Dezember 2008 trat das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht ein, weil die für die Verbindlichkeit eines Nutzungsplans erforderliche Genehmigung im Sinne von Art. 26 Abs. 3 RPG und §§ 32 f. PBG/TG nicht in das vorinstanzliche Verfahren einbezogen war. Damit lag noch kein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid über die Nutzungsplanung vor, welcher die Rechte und Pflichten der betroffenen Personen verbindlich geregelt hätte. Das Bundesgericht legte dar, dass es auf Beschwerden gegen Nutzungsplaninhalte grundsätzlich nur eintritt, wenn die erforderliche kantonale Genehmigung vorliegt und von der letzten kantonalen Instanz auch mitbeurteilt werden konnte. Es obliege den zuständigen kantonalen Instanzen, die erforderliche Koordination sicherzustellen (BGE 135 II 22 E. 2 S. 28 f.). C. Am 16. Dezember 2008 erhoben die A._ und die Stockwerkeigentümergemeinschaft B._ beim Verwaltungsgericht Beschwerde gegen den Genehmigungsentscheid des Departements für Bau und Umwelt vom 22. Juni 2007. Sie erklärten, dieser Genehmigungsentscheid sei ihnen erstmals im bundesgerichtlichen Verfahren 1C_422/2008 zur Kenntnis gebracht und eröffnet worden. D. Nach Vorliegen des Nichteintretensentscheids des Bundesgerichts 1C_422/2008 vom 23. Dezember 2008 (lit. B hiervor) führte das Verwaltungsgericht das kantonale Verfahren weiter. Mit Entscheid vom 21. Mai 2008 und 9. September 2009 (kant. Verfahrens-Nr. V 93 VG.2008.219/E) wies es die Beschwerde gegen den Rekursentscheid vom 7. Juni 2007 wiederum ab, soweit es darauf eintrat. Die Beschwerde gegen den Genehmigungsentscheid wies das Verwaltungsgericht im selben Urteil ab. E. Mit Eingabe an das Bundesgericht vom 19. Oktober 2009 führen die A._ und die Stockwerkeigentümergemeinschaft B._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Zur Hauptsache beantragen sie, die verwaltungsgerichtlichen Entscheide vom 21. Mai 2008 und 9. September 2009 seien aufzuheben, und die Sache sei zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Allenfalls sei der Gestaltungsplan "Wohnüberbauung Walzmühle" nicht zu genehmigen. Das Verwaltungsgericht und die X._ stellen den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Stadt Frauenfeld beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen. F. Mit Präsidialverfügung vom 23. November 2009 wurde ein Gesuch der Beschwerdeführerinnen um Gewährung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen. 