Faits: Faits: A. A.a Y._, née en 1966, est arrivée en Suisse en 1988. Mariée et mère de trois enfants, elle a travaillé en qualité d'employée de ménage et d'aide-couturière jusqu'au 31 octobre 1999. Souffrant d'atteintes rhumatismales depuis 1992, elle s'est annoncée à l'assurance-invalidité le 1er mai 2000. Dans un rapport du 12 octobre 2000, le docteur M._, spécialiste en médecine interne et maladies respiratoires, médecin traitant, a posé le diagnostic de « fibromyalgie versus syndrome somatoforme douloureux » depuis le mois de novembre 1997 et attesté une incapacité totale de travail à compter du 19 avril 1999. A son rapport, il a annexé quatre autres avis médicaux relatifs à des examens spécialisés auxquels sa patiente s'était soumise. Il en ressort ce qui suit : Le docteur C._, du Département universitaire de X._, dans un rapport du 30 avril 1999, a relevé que l'assurée présentait un faciès dépressif, qu'elle se plaignait de diverses douleurs depuis trois ans et que de nombreux traitements avaient été tentés. Ce médecin indiquait qu'un traitement antidépresseur de type Saroten Retard serait bénéfique tant sur la thymie de l'assurée que sur ses douleurs. De son côté, le docteur L._, du Département Hospitalisation et Investigations de l'Hôpital X._, a rapporté le 25 mai 1999 que l'assurée souffrait depuis environ quatre ans de dorso-lombalgies chroniques sans facteur déclenchant, exacerbées à l'effort; il a précisé que l'examen de l'appareil locomoteur n'avait pas révélé de limitation fonctionnelle et qu'il n'y avait pas de syndrome inflammatoire. Le docteur L._ a relevé que la patiente avait eu un entretien avec la doctoresse Z._, du service de psychiatrie de liaison; cette dernière avait constaté des troubles thymiques, retenu le diagnostic de syndrome douloureux somatoforme chronique et proposé un traitement antidépresseur de type Saroten Retard, dès lors que de très nombreux antidépresseurs avaient déjà été essayés. Dans un rapport du 16 mars 1999, le docteur R._, spécialiste en médecine interne et maladies rhumatismales, a fait état d'un tableau de polyalgies; l'évolution était défavorable avec un état douloureux chronique touchant pratiquement toutes les parties du corps. La physiothérapie en piscine et les massages subaquatiques n'avaient pas entraîné de changement. Ce médecin a précisé qu'il n'avait pas trouvé de signes inflammatoires et qu'il n'y avait pas d'argument pour évoquer une maladie rhumatismale sous-jacente, les mobilités étant conservées. Il a noté que l'assurée avait l'air abattue pendant tout l'examen. Selon le docteur R._, on se trouvait en présence d'un trouble somatoforme douloureux chronique et l'administration d'un antidépresseur lui paraissait être le meilleur moyen pour aider sa patiente. Quant à la doctoresse B._, spécialiste en médecine interne et rhumatologie, elle avait diagnostiqué, le 25 mars 1997, des cervico-dorsalgies sur importante dysbalance musculaire et scoliose dorsale haute dextro-convexe. A.b Le 1er mai 2001, les docteurs V._ et P._, médecins à l'Hôpital A._, ont estimé qu'on pouvait exiger de l'assurée qu'elle se soumît à un traitement médical destiné à permettre une amélioration significative de sa capacité de travail. A leur avis, il n'y avait pas de comorbidité psychiatrique ou somatique au syndrome somatoforme douloureux, lequel découlait directement des problèmes d'adaptation de l'assurée en Suisse, de sorte que ce syndrome n'était pas invalidant. Après que l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) eut informé l'assurée qu'il envisageait de rejeter la demande (cf. projet de décision du 30 mai 2001), le docteur M._ a demandé à l'AI de reconsidérer sa position, car sa patiente était entièrement incapable de travailler depuis quatre ans et toutes les possibilités thérapeutiques avaient été épuisées. Par décision du 8 août 2001, l'office AI a rejeté la demande de prestations, au motif que l'assurée ne présentait pas d'atteinte à la santé invalidante au sens de la loi et qu'aucun élément objectif n'indiquait que sa capacité de gain fût limitée. Par décision du 8 août 2001, l'office AI a rejeté la demande de prestations, au motif que l'assurée ne présentait pas d'atteinte à la santé invalidante au sens de la loi et qu'aucun élément objectif n'indiquait que sa capacité de gain fût limitée. B. Y._ a recouru contre cette décision en concluant au versement d'une rente entière d'invalidité. Elle a requis, à titre préalable, la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique. Le 11 janvier 2002, le docteur M._ a transmis à l'office AI une écriture de l'association Appartenances. Dans ce document, daté du 18 décembre 2001, la doctoresse D._ et la psychologue S._ relevaient la présence d'un état dépressif sévère sans symptômes psychotiques. Par lettre du 23 janvier 2003, les prénommées ont précisé qu'elles suivaient l'assurée depuis le 30 novembre 2001. Le Tribunal des assurances du canton de Vaud a désigné le docteur K._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, en qualité d'expert. Celui-ci a déposé son rapport du 21 septembre 2004. Il ressort de l'anamnèse que l'assurée a séjourné entre-temps à l'Hôpital psychiatrique de E._, du 3 au 12 décembre 2003, en raison d'une exacerbation d'un épisode dépressif; à cette occasion, les psychiatres O._ et I._ avaient signalé que la patiente souffrait depuis plusieurs années d'un état dépressif avec syndrome somatique, avec péjoration dans le cadre d'événements familiaux stressants. Selon l'expert, l'assurée présente un épisode dépressif sévère sans symptômes psychotiques (F 32.2) ainsi qu'un syndrome douloureux somatoforme persistant (F 45.4); à son avis, sa capacité de travail est nulle dans son ancienne activité d'employée de maison comme dans toute autre activité, cela depuis le mois d'avril 1999. L'office AI a conclu au rejet du recours. Il s'est fondé sur une prise de position des docteurs P._, L._ et V._, médecins à l'Hôpital A._, du 16 décembre 2004, qui estimaient que l'assurée ne présentait pas de troubles thymiques entre 1999 et fin 2001. Par jugement du 17 février 2005, la juridiction cantonale a rejeté le recours. Par jugement du 17 février 2005, la juridiction cantonale a rejeté le recours. C. Y._ interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont elle demande l'annulation, avec suite de dépens, en concluant au versement d'une rente entière à compter du 1er avril 2000. L'intimé conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. 