Sachverhalt: A. X._ wurde im Juni 1958 geboren. Er arbeitete als Schüler in den Frühlings- und Herbstferien der Jahre 1972 und 1973 während insgesamt fünf Wochen bei der Eternit AG in Niederurnen. Dabei musste er unter anderem mit einem Schleifband die Kanten von Platten mit Weichasbest brechen, was Staub entwickelte. Im November 2004 wurde bei ihm ein bösartiges Mesotheliom (Brustfellkrebs) festgestellt. Am 26. September 2006 ersuchte er das Kantonale Sozialamt Glarus um Schadenersatz- und Genugtuungsleistungen nach dem Opferhilfegesetz. Zur Begründung machte er geltend, das Mesotheliom sei auf die Asbestexposition bei der Eternit AG zurückzuführen. Er verstarb am 23. Februar 2007. Darauf traten seine Ehefrau A._ sowie seine Kinder B._, C._ und D._ in das Opferhilfeverfahren ein. Am 18. Mai 2010 wies das Departement für Volkswirtschaft und Inneres des Kantons Glarus (im Folgenden: Departement) das Opferhilfegesuch ab. Die von A._, B._, C._ und D._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Glarus am 19. Dezember 2012 ab. Es befand, der Tod sei weder vorhersehbar noch vermeidbar gewesen, weshalb sich niemand der fahrlässigen Tötung schuldig gemacht habe. Fehle es an einer Straftat, gelte das ebenso für die Opferstellung, weshalb keine Ansprüche auf Entschädigung und Genugtuung nach dem Opferhilfegesetz bestünden. B. A._, B._, C._ und D._ führen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, der Entscheid des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und das Departement zu verpflichten, ihnen im Einzelnen bezifferte Beträge zu zahlen. Eventualiter sei der Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Angelegenheit unter Feststellung der grundsätzlichen Leistungspflicht des Departements zugunsten der Beschwerdeführer an die Vorinstanz zur Vornahme weiterer Abklärungen zurückzuweisen. C. Das Verwaltungsgericht beantragt unter Hinweis auf die Erwägungen seines Entscheids die Abweisung der Beschwerde. Das Departement und die Eternit (Schweiz) AG haben sich je vernehmen lassen mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Justiz hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Die Beschwerdeführer haben eine Replik eingereicht. Das Verwaltungsgericht, das Departement, die Eternit (Schweiz) AG und das Bundesamt für Justiz haben in der Sache auf weitere Bemerkungen verzichtet. 