Faits: A. X._ est actuellement âgé de huitante-cinq ans. Le 31 janvier 2002, à l'Hôpital de la Providence à Vevey, et sous anesthésie péridurale, il a subi une opération du genou droit pour la mise en place d'une prothèse. Le 2 mai suivant, il fut admis à l'Hôpital de la Riviera à Montreux; il souffrait de graves douleurs et troubles sciatiques dans la fesse et la jambe gauche. Une radiculographie fut exécutée le 6 mai 2002, cet examen comportant une ponction dans les vertèbres lombaires. On posa le diagnostic d'un canal lombaire étroit et d'une protrusion d'un disque intervertébral, avec compression des racines nerveuses. Une opération était indiquée; dans l'intervalle, un traitement conservateur médicamenteux fut prescrit. Le patient dut être ré-hospitalisé d'urgence le 13 mai. Il souffrait de douleurs lombaires et de douleurs dans les membres inférieurs, avec baisse de l'état général. Il souffrait également d'un début de tétraparésie, soit de paralysie des quatre membres, qui s'est ensuite aggravée. En raison des douleurs qui ne cédaient pas aux analgésiques, on entreprit le 16 mai 2002 une laminectomie, soit une opération des vertèbres lombaires destinée à permettre la décompression du canal lombaire étroit. Le chirurgien découvrit alors un empyème péridural, soit une infection avec présence de pus et de staphylocoques dorés. Le chirurgien exécuta le drainage de cette infection, puis on mit en place un traitement antibiotique. Le 18 mai, le patient dut être transféré aux soins intensifs en raison de graves complications cardiaques, rénales et hépatiques. Il y demeura jusqu'au 5 juillet 2002. Le 27 mai, un arrêt cardiaque nécessita une trachéotomie, laquelle fut suivie d'une infection pulmonaire nosocomiale puis d'une colonisation ou infection fongique. L'hospitalisation se poursuivit dans divers établissements. Le 10 septembre 2002, les médecins posèrent le diagnostic d'une polyneuropathie des soins intensifs. Le pronostic de récupération de la mobilité, alors totalement perdue, était réservé. Le patient subit encore plusieurs opérations du genou droit, la dernière le 27 février 2003, consécutives à une infection par les staphylocoques dorés. Le patient n'a pas recouvré sa mobilité; il demeure au contraire paralysé des quatre membres et totalement dépendant de l'aide d'autrui. Il vit dans un établissement médico-social. B. Sur requête de X._, le juge compétent a fait établir une expertise hors procès puis une expertise complémentaire afin de déterminer les causes de la paralysie et les éventuelles erreurs et responsabilités dans les traitements médicaux. C. Le 15 décembre 2007, X._ a ouvert action contre la Fondation des Hôpitaux de la Riviera, laquelle exploite l'établissement de la Riviera et celui de la Providence, devant le Tribunal cantonal du canton de Vaud. La défenderesse devait être condamnée à payer diverses sommes au total de près d'un million de francs, avec intérêts, à titre de dommages-intérêts et de réparation morale. Le demandeur plaidait au bénéfice de l'assistance judiciaire. La défenderesse a conclu au rejet de l'action. Le juge instructeur a fait établir une expertise comptable, surtout destinée à élucider la perte de gain alléguée par le demandeur, et une nouvelle expertise médicale. La Cour civile du Tribunal cantonal s'est prononcée le 31 mai 2012; elle a rejeté l'action. Elle a communiqué le dispositif de son jugement le 12 juin 2012, puis l'expédition complète le 11 mars 2013. D. Le demandeur a interjeté appel et sollicité l'assistance judiciaire pour l'instance d'appel. La défenderesse a requis des sûretés en garantie des dépens. Par arrêt du 23 mai 2013, le juge délégué de la Cour d'appel civile a rejeté la requête d'assistance judiciaire au motif que l'appel paraît dépourvu de chances de succès. E. Agissant cumulativement par la voie du recours en matière civile et par celle du recours constitutionnel, le demandeur requiert le Tribunal fédéral de réformer cet arrêt en ce sens que l'assistance judiciaire lui soit accordée en appel. Le demandeur sollicite l'assistance judiciaire dans l'instance fédérale. La défenderesse conclut au rejet des recours. 