Sachverhalt: A. X._ (geb. 1971) und Y._ (geb. 1972) heirateten am 12. März 1998. Sie sind die Eltern des A._ (geb. 1998) und der B._ (geb. 2000). Seit 2002 leben die Eltern getrennt. Am 18. Mai 2004 klagte Y._ auf Scheidung. Mit Urteil des Einzelrichters des Bezirkes Winterthur vom 11. Dezember 2007 wurde die Ehe unter Regelung der Nebenfolgen geschieden. Der erstinstanzliche Richter hat die Kinder unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt, das Besuchsrecht des Vaters geregelt, die Höhe des an die Pflege und Erziehung der Kinder zu leistenden Unterhaltsbeitrages festgelegt, und davon Vormerk genommen, dass die Ehefrau auf persönliche Unterhaltsbeiträge verzichte und die Ehegatten in güter- und scheidungsrechtlicher Hinsicht auseinandergesetzt seien. B. Die von X._ beim Obergericht des Kantons Zürich ergriffene Berufung, mit welcher er die Zuteilung der elterlichen Sorge über die Kinder an ihn anstrebte, blieb erfolglos, während Y._ mit ihrer Anschlussappellation teilweise durchdrang (Urteil vom 18. August 2009). Daraufhin gelangte X._ an das Kassationsgericht des Kantons Zürich, das auf dessen Beschwerde mit Urteil vom 8. März 2010 nicht eintrat. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 16. April 2010 wendet sich X._ (fortan Beschwerdeführer) an das Bundesgericht und beantragt im Wesentlichen die Zuteilung der elterlichen Sorge über die beiden Kinder an ihn sowie die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Verfahren vor dem Obergericht. Schliesslich ersucht er auch für das bundesgerichtliche Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege Mit Verfügung vom 21. April 2010 wurden die Begehren um Erlass vorsorglicher Massnahmen im Sinne von Art. 315a und Art. 315b ZGB abgewiesen. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. 