Sachverhalt: A. Mit Urteil vom 27. Juni 2012 verpflichtete der Amtsgerichtspräsident des Richteramts Bucheggberg-Wasseramt B.A._ (geb. 1964), seiner Ehefrau A.A._ (geb. 1967) einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 678.-- zu bezahlen. Gleichzeitig stellte er die Tochter C.A._ (geb. 1999) unter die Obhut des Vaters und die Tochter D.A._ (geb. 1998) unter die Obhut der Mutter. Der Unterhaltsbeitrag für D.A._ betrug Fr. 1'468.--, zuzüglich Kinderzulage. Eine gegen dieses Urteil erhobene Berufung von B.A._ wies das Obergericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 26. Oktober 2012 ab. B. B.a. Mit Eingabe vom 4. September 2012 ersuchte B.A._ den Amtsgerichtspräsidenten des Richteramts Bucheggberg-Wasseramt um Abänderung des Urteils vom 27. Juni 2012, weil in der Zwischenzeit auch die Tochter D.A._ bei ihm lebte. Der Amtsgerichtspräsident bestätigte mit Urteil vom 13. Juni 2013 die neuen Obhutsverhältnisse und regelte den persönlichen Verkehr zur Mutter. Die vom Vater geschuldeten Kinderalimente für D.A._ fielen weg und es wurde festgestellt, dass A.A._ mangels Leistungsfähigkeit keinen Unterhaltsbeitrag für die Kinder zu bezahlen hat. Den monatlichen Unterhaltsbeitrag für A.A._ setzte der Amtsgerichtspräsident neu wie folgt fest: Fr. 1'589.40 (pro rata) vom 4. September 2012 bis 30. September 2012, Fr. 1'600.-- vom 1. Oktober 2012 bis 31. März 2013, Fr. 1'170.-- vom 1. April 2013 bis 30. April 2013, Fr. 560.-- vom 1. Mai 2013 bis 31. Mai 2013 und Fr. 1'740.-- ab 1. Juni 2013. B.b. B.A._ focht auch dieses Urteil beim Obergericht des Kantons Solothurn an. In teilweiser Gutheissung der Berufung setzte das Obergericht mit Urteil vom 13. Januar 2014 den Unterhaltsbeitrag für A.A._ neu wie folgt fest: Fr. 1'000.-- ab 4. September 2012 bis 31. März 2013 und Fr. 678.-- ab 1. April 2013. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 14. Februar 2014 gelangt A.A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie verlangt, das Urteil des Obergerichts vollumfänglich aufzuheben und B.A._ (Beschwerdegegner) zu den gleichen Unterhaltsleistungen zu verpflichten, wie sie der erstinstanzliche Richter festgesetzt hat (s. Bst. B.a ). Ferner verlangt die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren das Recht zur unentgeltlichen Rechtspflege sowohl für die Gerichts- als auch für die Anwaltskosten, unter Beiordnung von Marion Jakob als amtliche Anwältin, rückwirkend ab dem Zeitpunkt der Mandatierung. Schliesslich sei der Ehemann dazu zu verpflichten, sämtliche Gerichtskosten zu bezahlen. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. 