Faits: A. A.a M._, né en 1944, travaillait en qualité d'infirmier instrumentiste au service de l'Hôpital X._. Il était assuré contre les accidents par La Bâloise, Compagnie d'Assurances (ci-après : la Bâloise). Les 23 novembre et 24 décembre 2001, M._ a été victime de deux accidents. Le premier lui a occasionné un important traumatisme par écrasement du gros orteil droit, une entorse bénigne du genou droit et un lumbago aigu post-effort. Le second s'est déroulé lors d'un séjour à l'étranger : alors qu'il sortait du domicile d'un ami, l'assuré a glissé sur des escaliers verglacés et a chuté; sa tête a heurté le sol, ce qui a entraîné une perte de connaissance de plusieurs heures. Les médecins du Centre médical Y._, où l'assuré a immédiatement été hospitalisé, ont mis en évidence une lésion hyperextensionnelle de la colonne cervicale et de la moelle épinière, une tétraparésie, une spondylarthrose cervicale et une discarthrose C5-C6. Rapatrié le 9 janvier 2002 en Suisse, l'intéressé a séjourné à l'Hôpital Z._ jusqu'au 25 janvier suivant, date de son retour à domicile. Selon le rapport de sortie de l'hôpital (du 29 janvier 2002), il souffrait d'un status post-traumatisme cranio-cérébral avec parésie résiduelle du membre supérieur droit faiblement régressive, d'un état dépressif réactionnel et d'une cervicarthrose pluriétagée à prédominance C5-C6 avec status post-contusion cervicale. En raison d'une thymie à caractère dépressif, il a été adressé au docteur S._, psychiatre et psychothérapeute, qui a diagnostiqué un épisode dépressif sévère sans symptôme psychotique (rapport du 21 mai 2002). Dans un rapport du 13 septembre 2002, le docteur H._, spécialiste en neurologie mandaté comme expert par la Bâloise, a diagnostiqué un status après chute ayant entraîné probablement un traumatisme cranio-cérébral et une contusion médullaire s'étant traduits par un coma et une tétraparésie transitoires, des cervico-brachialgies, des troubles sensitivomoteurs hémicorporels droits persistants sans substrat organique démontrable, ainsi qu'une surcharge psychogène dans le cadre d'un état anxio-dépressif. Selon l'expert, il n'existait plus aucune lésion organique objectivable en relation de causalité naturelle avec l'accident du 24 décembre 2001; le tableau présenté par l'assuré était essentiellement de nature psychogène, même si une « épine organique » sous-jacente ne pouvait être totalement exclue. La Bâloise a ensuite confié à la doctoresse U._, médecin à l'Hôpital V._, la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique. Selon le rapport du 2 septembre 2003 établi par ce médecin, l'assuré présentait une personnalité narcissique avec des défenses obsessionnelles ainsi que des traits hystériques et démonstratifs. La symptomatologie présentée n'était plus en relation de causalité avec les événements traumatiques vécus par l'assuré, mais était exclusivement d'origine maladive. Par décision du 14 octobre 2003, la Bâloise a constaté que les plaintes de M._ n'étaient plus en relation de causalité naturelle avec les accidents des 23 novembre et 24 décembre 2001; elle a mis fin aux prestations de l'assurance-accidents avec effet dès le 31 octobre 2003. La Bâloise a maintenu son refus d'allouer des prestations au-delà du 31 octobre 2003 par décision sur opposition du 15 janvier 2004. B. B.a Par jugement du 17 février 2005, le Tribunal administratif du canton de Fribourg a rejeté le recours formé par l'assuré contre cette décision sur opposition. M._, qui a encore séjourné du 25 mai au 29 juin 2005 à la Clinique R._, a déféré la cause au Tribunal fédéral des assurances. Ce dernier a annulé le jugement du 17 février 2005 et renvoyé la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle complète l'instruction par une nouvelle expertise et statue à nouveau (arrêt du 21 octobre 2005). B.b Du 2 avril au 28 avril 2007, M._ a suivi une nouvelle cure à la Clinique R._. Auparavant, le Tribunal administratif du canton de Fribourg avait confié au docteur C._ le soin de réaliser une expertise psychiatrique. Celui-ci a rendu son rapport le 19 juillet 2007. Il a posé les diagnostics de syndrome dépressif anxieux d'intensité moyenne (F32.1 selon l'ICD-10), de trouble moteur dissociatif du bras droit (F44.4), de trouble douloureux somatoforme persistant (F45.4) et de discret syndrome psycho-organique post-commotionnel (F07.2). Ces troubles avaient une composante à la fois psycho-organique et psychiatrique; ils n'étaient pas présents avant l'accident du 24 décembre 2001. L'expert a proposé d'admettre un lien de causalité naturelle avec cet accident. Chacune des parties s'est ensuite déterminée, la Bâloise produisant notamment une prise de position du 25 septembre 2007 de son médecin-conseil, le docteur K._, à L._. Puis le Tribunal cantonal fribourgeois a statué en rejetant le recours de l'assuré, par jugement du 12 juin 2008. Il a tenu pour établi un rapport de causalité naturelle entre l'accident du 24 septembre 2001 et les affections constatées par le docteur C._, mais a nié l'existence d'un rapport de causalité adéquate. C. M._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation. En substance, il conclut à la condamnation de l'intimée au paiement d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité, ainsi qu'au maintien du paiement d'indemnités journalières ou à l'octroi d'une rente pour la période postérieure au 31 octobre 2003. A l'appui de son recours, il a produit un rapport établi par le docteur F._, médecin consultant à l'Hôpital T._, à P._, faisant état de diverses atteintes cérébrales (rapport du 4 août 2008). L'intimée a produit une prise de position du docteur G._ relative au rapport du docteur F._ et a conclu au rejet du recours, sous suite de frais. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer. 