Sachverhalt: A. X._ ist bei der A._ Krankenversicherung AG nach KVG (SR 832.10) und VVG (SR 221.229.1) versichert. Am 2. Februar 2011 erstattete sie bei der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt Strafanzeige gegen die A._ Krankenversicherung AG wegen des Verdachts auf Betrug i.S.v. Art. 146 StGB. Sie wirft der A._ Krankenversicherung AG vor, den Versicherten - so auch ihr selbst - vor und bis zum Vertragsabschluss zu verschweigen, dass sie in der Zusatzversicherung "B._" einen Selbstbehalt von Fr. 600.-- pro Jahr zu tragen haben. Weder auf der Internetseite der A._ Krankenversicherung AG noch in der Offerte fände sich ein entsprechender Hinweis. Lediglich in den Allgemeinen Versicherungsbedingungen (AVB) und in der Versicherungspolice, die die Kundin bzw. der Kunde nach dem Vertragsabschluss erhalte, werde der Selbstbehalt erwähnt. Es bestehe damit zumindest ein Anfangsverdacht, dass die A._ Krankenversicherung AG den Straftatbestand des Betrugs erfülle. In der Folge wurde im Rahmen eines polizeilichen Vorermittlungsverfahrens eine Stellungnahme der A._ Krankenversicherung AG eingeholt. Am 11. April 2011 verfügte die Staatsanwaltschaft die Nichtanhandnahme der Angelegenheit mit der Begründung, das angezeigte Verhalten erfülle den Tatbestand des Betrugs eindeutig nicht. Diese Verfügung focht X._ am 26. April 2011 beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt an. Mit Entscheid vom 5. Juli 2012 wies der Appellationsgerichtspräsident die Beschwerde ab. B. Mit Beschwerde in Strafsachen vom 24. August 2012 beantragt X._, der Entscheid des Appellationsgerichtspräsidenten vom 5. Juli 2012 und die Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft vom 11. April 2011 seien aufzuheben, und die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, eine Strafuntersuchung zu eröffnen. Eventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Staatsanwaltschaft und der Appellationsgerichtspräsident stellen Antrag auf Beschwerdeabweisung. Die Beschwerdegegnerin beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei diese abzuweisen. In ihrer abschliessenden Stellungnahme vom 31. Oktober 2012 hält die Beschwerdeführerin an ihrem Standpunkt fest. 