Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 8. April 1997 sprach die IV-Stelle Schwyz der 1962 geborenen K._ eine ganze Rente ab 1. März 1996 zu. In der Folge wurde der Rentenanspruch dreimal bestätigt, letztmals mit Mitteilung vom 7. April 2006. Im Rahmen eines weiteren 2009 eingeleiteten Revisionsverfahrens wurde K._ medizinisch abgeklärt (MEDAS-Gutachten vom 22. Juli 2010). Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren hob die IV-Stelle die Verfügung vom 8. April 1997 wiedererwägungsweise auf und stellte u.a. fest, es bestehe ab 1. März 2011 aufgrund eines Invaliditätsgrades von 50 % Anspruch auf eine halbe Rente. Gemäss Übergangsbestimmungen habe die Versicherte trotzdem Anspruch auf eine ganze Rente (Verfügung vom 27. Januar 2011). B. Auf die Beschwerde der K._ mit dem Antrag, die IV-Stelle sei anzuweisen, ihr eine Rente basierend auf einem Invaliditätsgrad von mindestens 70 % auszurichten, trat das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz nicht ein (Entscheid vom 27. September 2011). C. K._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, das Erkenntnis vom 27. September 2011 sei aufzuheben und die Vorinstanz anzuweisen, auf die Beschwerde gegen die Verfügung vom 27. Januar 2011 einzutreten und sowohl einen materiellen Entscheid zu erlassen als auch das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung zu behandeln. Das kantonale Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. IV-Stelle und Bundesamt für Sozialversicherungen haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. 