Faits : A. Le 2 janvier 2000, B._, alors âgée de 24 ans, a accouché de son troisième enfant, prénommé A.B._. Dans le cadre de cette grossesse, la prénommée avait consulté dès le 26 mai 1999 la doctoresse A._, gynécologue indépendante depuis 1993. Le document de sortie établi le 18 janvier 2000 par le Centre Hospitalier Universitaire Vaudois (CHUV) concernant A.B._ indique notamment un diagnostic de malformation d'Arnold-Chiari type II, comprenant une myéloméningocèle avec dysraphisme de L4 à S1-2. La myéloméningocèle est une pathologie d'une gravité extrême résultant d'un défaut de fermeture du tube neural. Lorsque le tube neural ne se ferme pas complètement, des malformations surviennent dans le système nerveux central et l'enfant vient au monde avec une moelle épinière à nu (spina bifida) et est plus ou moins handicapé physiquement en fonction des lésions de la moelle épinière, cela pouvant aller d'une difficulté à marcher jusqu'à une paralysie totale. En 1999, même si le spina bifida était détecté avant la naissance de l'enfant, il n'était alors pas possible d'intervenir médicalement ou chirurgicalement sur le foetus. A la requête du mari de B._, une expertise extrajudiciaire a été confiée par la Fédération des médecins suisses (FMH) à la doctoresse C._, spécialiste FMH en gynécologie-obstétrique, à propos de la prise en charge de la grossesse de la première et de la naissance du fils de celle-ci. Dans son rapport du 18 février 2002, cette praticienne a déclaré que A.B._, alors âgé de deux ans, souffre d'une paralysie au niveau des membres inférieurs, avec atteinte des fonctions sphinctériennes anale et urinaire, son développement intellectuel étant normal. Dans ses conclusions, elle a exposé que la doctoresse A._ a été faussement rassurée par le test de dépistage de l'alpha-foetoprotéine (AFP) qui s'est révélé négatif, que les photographies du crâne prises lors de la grossesse (à 14 et à 20 semaines) « sont fortement suggestives des anomalies crâniennes qui accompagnent les spina bifida » (déformation des os frontaux en forme de citron ou "lemon sign ") et que la doctoresse A._, ne tenant pas compte de ce signe d'appel, n'a pas procédé à des examens complémentaires (i. e. mesure du cervelet et des ventricules latéraux) à la recherche d'un défaut de fermeture du tube neural. Pour la doctoresse C._, une faute médicale peut être retenue à l'encontre de A._. Appelé à se déterminer sur cette expertise extrajudiciaire, le docteur D._, spécialiste FMH en gynécologie et obstétrique, a affirmé, dans un courrier du 31 mai 2002, qu'en examinant les clichés échographiques pris par la doctoresse A._ à 20 semaines de grossesse, il n'a observé tout au plus qu'un discret « aplatissement » des frontaux du foetus. Il manquait certes dans le dossier médical la mesure transverse du cervelet. Ce praticien ne s'est pas prononcé sur le point de savoir si cette mesure et son analyse auraient été un « signe d'appel de malformation de spina bifida ». Sur la base du dossier médical et des clichés fournis par la précitée, le docteur D._ a déclaré qu'il ne retenait pas qu'une faute médicale pût être reprochée à A._. Le 30 janvier 2003, le docteur E._, gynécologue-obstétricien, a écrit que lorsque le docteur D._ est venu lui présenter la photographie du crâne foetal prise lors de l'examen du 22 juillet 1999, il avait affirmé que ce cliché lui faisait penser à un « lemon sign », mais que ce cas particulier n'en avait pas toutes les caractéristiques classiques. Du moment que la doctoresse A._ n'a pas eu l'attention attirée par un " lemon sign" », le docteur E._ en a inféré qu'il n'y a pas eu de négligence ou de faute grave et qu'il n'est pas possible d'être absolument certain qu'un examen plus soigneux de la fosse postérieure aurait permis de mettre en évidence des anomalies. L'état de santé de A.B._ a évolué au fil des ans, les principales affections qu'il présente désormais se situant au niveau urologique et au niveau rachidien. Depuis 2010, son état de santé s'est péjoré, nécessitant de nombreuses hospitalisations et des moyens auxiliaires supplémentaires, dont notamment depuis août 2010 une machine pour l'aider à respirer. Sur le plan scolaire, il s'est bien développé et a pu suivre une scolarité dans le circuit ordinaire. Par décision du 5 novembre 2007, l'assurance-invalidité (AI) a accordé à A.B._ jusqu'au 31 janvier 2018 une allocation pour une impotence de degré grave, ce dernier ayant droit, en cas de séjour à la maison, à un supplément pour soins intenses en raison d'un surcroît de soins de plus de 8 heures par jour. B. B.a. Par demande du 9 décembre 2011, B._ (demanderesse) a ouvert action contre A._ (défenderesse) devant la Chambre patrimoniale du canton de Vaud, lui réclamant paiement de 4'016'257 fr., sous déduction d'un « recours total » de 758'693 fr. et d'un acompte de 70'000 fr. versé par la défenderesse, soit d'un montant total de 3'187'564 fr., intérêts compensatoires compris, à titre de dommages-intérêts pour le préjudice d'assistance occasionné par la mauvaise exécution du contrat de mandat liant les parties, ainsi que de la somme de 160'000 fr. à titre d'honoraires pour les frais d'intervention de ses conseils respectifs. La défenderesse a conclu à sa libération. B.b. Au cours d'une audience de premières plaidoiries tenue le 7 septembre 2012 en présence des parties et de leurs conseils, la Juge déléguée de la Chambre patrimoniale a informé celles-ci de son intention de limiter la procédure à la « question de la responsabilité de la défenderesse »; elle a également fait savoir aux parties que l'ordonnance de preuves ainsi que « le prononcé relatif à la limitation de la procédure à intervenir » leur seraient communiqués conformément à la loi. Par ordonnance de preuves (art. 154 CPC) du 24 septembre 2012, notifiée le même jour aux plaideurs, la Juge déléguée de la Chambre patrimoniale cantonale a ordonné l'audition comme témoins-experts notamment des docteurs C._, D._ et E._; elle a matériellement aussi décidé de limiter la procédure à la question de la responsabilité de la défenderesse dans un premier temps. Par deux citations à comparaître du 15 octobre 2012 envoyées à chacun des conseils des parties, la Juge déléguée a fixé aux 23 et 24 janvier 2013 l'audience pour les plaidoiries finales et le jugement « dans la cause en réclamation pécuniaire B._ c/ A._ ». Par pli du 14 janvier 2013 adressé à la Juge déléguée de la Chambre patrimoniale, le conseil de la demanderesse, se référant à l'ordonnance de preuves précitée, a demandé à cette magistrate lors de quelle « phase de la procédure » la question de la causalité allait être tranchée; il a précisé que si cette question devait être tranchée lors de la prochaine audience, « il conviendra (ait) de faire entendre plusieurs autres témoins amenés afin de démontrer la causalité » et a remercié ladite magistrate de lui faire connaître la « position de l'autorité de céans ». Le conseil de la demanderesse a envoyé copie de ce courrier à l'avocat de la défenderesse. Par une écriture du 18 janvier 2013, la Juge déléguée a répondu ce qui suit au conseil de la demanderesse: « Maître, En réponse à votre courrier du 14 janvier 2013, je vous précise que l'audience des 23 et 24 janvier 2013 a pour objet de trancher la question de l'éventuelle responsabilité de la défenderesse. Il est clair que si la Chambre patrimoniale parvient à la conclusion qu'une erreur médicale peut être reprochée à la défenderesse, le procès se poursuivra pour l'examen du dommage et du lien de causalité. A l'inverse, ces questions n'auront pas à être examinées si la responsabilité de la Doctoresse A._ est exclue. Cas échéant, le procès sera repris à la phase de l'audience de premières plaidoiries et vous aurez dès lors l'occasion de solliciter l'audition d'autres témoins si vous le souhaitez. (...) Veuillez agréer, Maître, l'assurance de ma considération distinguée ». Le courrier précité de la Jugé déléguée a été adressé en copie au conseil de la défenderesse. L'audience de plaidoiries s'est tenue les 23 et 24 janvier 2013. La Chambre patrimoniale y a entendu comme témoins-experts (art. 175 CPC) les docteurs C._, D._ et E._. La doctoresse C._ a déclaré que l'image au dossier montrait des os frontaux en aplatissement, ce qui, selon les recommandations de la Société suisse d'échographie, était déjà évocateur de spina bifida. Cette image correspondait en plus à l'image de référence publiée dans un ouvrage de base. L'examen échographique doit nécessairement compléter le test AFP. Le reproche qui peut être fait à la défenderesse est de n'avoir pas procédé aux examens recommandés, lesquels auraient pu conduire au bon diagnostic. Le docteur D._ a exposé que les clichés échographiques des quatorzième et vingtième semaines montraient un aplatissement discret des lobes frontaux, ne correspondant pas totalement au « lemon sign ». Il n'a trouvé dans le dossier médical aucune mesure du cervelet et de la fosse postérieure, mesures pourtant recommandées et pratiquées systématiquement, ni aucune appréciation relative aux ventricules latéraux, examen pour lequel il n'est pas nécessaire de prendre des photos. Si le « lemon sign » avait été détecté, les mesures complémentaires auraient été indispensables. Le témoin a trouvé regrettable que ces mesures ne figurent pas au dossier, que lui-même effectue du reste toujours. Le docteur E._ a indiqué que les photographies du 22 juillet 1999 ne correspondaient pas à l'image classique du « lemon sign ». S'il s'agissait de clichés de la quatorzième semaine, ils sont moins précis que ceux de la vingtième semaine de grossesse. Pour le témoin, la mesure du cervelet et des ventricules latéraux font partie des recommandations à vingt semaines. B.c. Par jugement rendu le 30 janvier 2013, la Chambre patrimoniale a admis le principe de la responsabilité de la défenderesse. Pour cette autorité, la défenderesse n'a pas procédé à la mesure du diamètre transverse du cervelet lors de l'examen morphologique de la vingtième semaine de grossesse, a omis de prendre une image des ventricules cérébraux et n'a pas perçu le signal d'appel dit "lemon sign". Ces manquements constituent une violation des règles de l'art et sont présumés fautifs. La Chambre patrimoniale, au considérant III de son jugement, a ensuite passé à l'examen des « deux dernières conditions de la responsabilité du médecin, le dommage et le lien de causalité entre le manquement reproché et le dommage ». Au sujet de l'exigence du préjudice, elle a considéré que le devoir d'entretien de la demanderesse envers son fils handicapé constitue une dette qu'elle assume malgré elle; la diminution de patrimoine qui en résulte est un dommage ouvrant la voie à indemnisation. S'agissant de l'exigence d'un rapport de causalité, la Chambre patrimoniale a retenu la causalité naturelle, au motif que la défenderesse serait parvenue au diagnostic de myéloméningocèle si elle avait procédé aux examens adéquats et que la demanderesse aurait alors opté pour une interruption médicale de grossesse si elle avait eu connaissance de ce diagnostic; sous l'angle de la causalité adéquate, elle a retenu que la violation des règles de l'art imputable à la défenderesse était propre, d'après le cours ordinaire des choses, à produire un effet du genre de celui qui s'est produit, soit « manquer un diagnostic prénatal et entraîner ainsi la naissance d'un enfant lourdement handicapé atteint de spina bifida, que les futurs parents auraient eu la possibilité d'éviter ». B.d. Saisie d'un appel de la défenderesse, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois, par arrêt du 12 mars 2014, l'a rejeté, le jugement attaqué étant confirmé. A propos du grief adressé aux premiers juges d'avoir outrepassé l'instruction limitée définie par l'ordonnance de preuves du 24 septembre 2012, dès l'instant où ils ont retenu des faits portant sur les conditions du dommage et du lien de causalité et ont tranché ces questions dans leurs considérants de droit, la cour cantonale a nié que ces magistrats aient dépassé le cadre de l'ordonnance de preuves ou préjugé (cf. consid. 3a de l'arrêt cantonal). Passant à la problématique du respect des règles de l'art, l'autorité cantonale a exposé que les déclarations des docteurs D._ et E._ (qui ont tous deux travaillé avec la défenderesse) devaient être examinées avec retenue. En revanche, l'expertise extrajudiciaire confiée à la doctoresse C._ a un caractère contradictoire, ce qui lui confère une valeur probatoire élevée, en l'absence d'expertise judiciaire. La cour cantonale a jugé dans ce cadre que la défenderesse, lors de l'examen morphologique, n'a pas pris des mesures du cervelet et de la fosse postérieure ni indiqué dans son rapport son appréciation relative aux ventricules latéraux. L'omission d'avoir procédé auxdits examens a été qualifiée par les juges cantonaux d'indéfendable dans l'état de la science et de contraire à l'art médical considéré objectivement. De plus, sur les clichés pris à la quatorzième et à la vingtième semaine, on discernait une malformation cérébrale pouvant être révélatrice d'un spina bifida et qui nécessitait ainsi des investigations supplémentaires. La cour cantonale en a inféré que la défenderesse a transgressé les règles de l'art du suivi de la grossesse. La Cour d'appel a enfin confirmé, par adoption de motifs, les considérations de la Chambre patrimoniale sur les questions du dommage et du lien de causalité, ajoutant que le lien de causalité a été établi entre la violation des règles de l'art médical et la perte pour la demanderesse du choix de mettre au monde ou non un enfant handicapé, événement qui a conduit à ce que cette dernière doive assumer des frais d'entretien pour celui-ci. C. A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 12 mars 2014. Elle conclut principalement à la réforme de cette décision en ce sens qu'il est prononcé que le jugement de première instance est annulé et que l'action de la demanderesse est rejetée; subsidiairement, elle requiert l'annulation de l'arrêt cantonal et le renvoi de la cause aux premiers juges pour nouveau jugement dans le sens des considérants. L'intimée propose le rejet du recours en tant qu'il est recevable. 