Sachverhalt: A. Die damals 19-jährige A._ (Beschwerdeführerin) erlitt als Motorradfahrerin am 3. Juni 1990 einen schweren Verkehrsunfall. Der vortrittsbelastete B._ missachtete ihr Vortrittsrecht, worauf es zu einem heftigen Zusammenstoss kam. Dieser Unfall verursachte bei der Beschwerdeführerin schwere Kopf- und Hirnverletzungen, die bleibende Schäden hinterliessen. In der Folge verlangte die Beschwerdeführerin von der X._ Versicherung (nachfolgend Beschwerdegegnerin) - der Haftpflichtversicherung des fehlbaren Automobilisten - den Ersatz des unfallbedingten Schadens, der ihr nach Durchführung verschiedener Prozessverfahren von der Beschwerdegegnerin vergütet wurde. Im Einzelnen wurde der Beschwerdeführerin vom Handelsgericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 12. Juni 2001 a) für den bisherigen Pflege- und Betreuungsschaden und den bisherigen und künftigen Haushaltschaden ein Betrag von insgesamt Fr. 699'677.--, b) für den Monat Juni 2001 eine Pflege- und Betreuungsschadensrente von Fr. 3'087.--, c) ab dem 1. Juli 2001 bis 31. August 2017 eine indexierte monatliche Pflege- und Betreuungsschadensrente von Fr. 5'145.--, d) und ab dem 1. September 2017 bis an ihr Lebensende jeweils eine indexierte monatliche Pflege- und Betreuungsschadensrente von Fr. 5'928.-- B. zugesprochen. Dieses Urteil wurde vom Bundesgericht bestätigt (Urteil 4C.276/2001 vom 26. März 2002, publiziert in Pra 2002 Nr. 212 S. 1127). Ferner vereinbarten die Parteien am 3. September 2003, dass die Beschwerdegegnerin der Beschwerdeführerin zusätzlich eine Gesamtsumme von Fr. 300'000.-- bezahle und die Parteien damit per Saldo aller Ansprüche für die Forderungen aus dem Verkehrsunfall vom 3. Juni 1990 mit Ausnahme der Genugtuung auseinandergesetzt sind. C. Umstritten blieben damit nur noch die Genugtuungsansprüche. Bereits am 26. September 2001 liess die Beschwerdegegnerin der Beschwerdeführerin eine Integritätsentschädigung von Fr. 81'600.-- zukommen. Zusätzlich zu diesem Betrag überwies sie der Beschwerdeführerin am 9. Dezember 2003 unter Einbezug des Zinsenlaufes seit dem Unfallereignis am 3. Juni 1990 eine Genugtuung von Fr. 150'000.--. Nach den Feststellungen des Obergerichts des Kantons Zug setzt sich die effektiv ausbezahlte Summe von Fr. 231'600.-- zusammen aus einer Genugtuungssumme von Fr. 140'000.-- (dieser Betrag umfasst auch die vorab bezahlte Integritätsentschädigung) und einer Verzinsung von 5 % für 13 Jahre seit dem Unfallereignis. Am 11. April 2005 beantragte die Beschwerdeführerin dem Kantonsgericht Zug, die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, eine Genugtuungssumme sowie eine monatliche Genugtuungsrente nach richterlichem Ermessen zu bezahlen. In der Folge konkretisierte sie diesen Antrag in dem Sinne, dass die Beschwerdegegnerin zu verpflichten sei, der Beschwerdeführerin eine Genugtuung von Fr. 100.-- pro Tag ab dem 3. Juni 1990 zu bezahlen, zahlbar in einer Kapitalsumme für die Genugtuung vom 3. Juni 1990 bis zum Urteilsdatum zuzüglich 5 % Zins seit mittlerem Verfall und in einer lebenslänglichen Rente von Fr. 3'000.-- pro Monat, zahlbar je auf den 1. eines Monats, erstmals auf den dem Datum des Urteils folgenden Monat. Die Beschwerdegegnerin beantragte die Abweisung der Klage. D. Mit Urteil vom 24. Juli 2006 wies das Kantonsgericht Zug die Klage ab. Dagegen erhob die Beschwerdeführerin beim Obergericht des Kantons Zug Berufung mit dem gleichen Rechtsbegehren wie im erstinstanzlichen Verfahren. Mit Urteil vom 3. Juli 2007 wies das Kantonsgericht Zug die Berufung ab und bestätigte das Urteil des Kantonsgerichts vom 24. Juli 2006. E. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 14. September 2007 gelangte die Beschwerdeführerin mit folgendem Antrag ans Bundesgericht: "1. Das angefochtene Urteil sei aufzuheben. 1. Es sei der [...] Beschwerdeführerin eine Genugtuung in gerichtlich zu bestimmender Höhe von mindestens Fr. 50.-- bis maximal Fr. 100.-- pro Tag ab dem 3. Juni 1990 zu bezahlen, zahlbar: in einer Kapitalsumme (im Verhältnis Kapital - Rente von 1/3 zu 2/3) zuzüglich Zins von 5 % seit mittlerem Verfall, abzüglich der von der [Beschwerdegegnerin] bereits geleisteten Kapitalsumme von Fr. 140'000.-- und der bereits geleisteten Zinszahlung von Fr. 91'000.-- sowie in einer lebenslänglichen Genugtuungsrente (im Verhältnis Kapital - Rente von 1/3 zu 2/3) in gerichtlich zu bestimmenden Monatsraten, zahlbar je auf den 1. eines Monats, erstmals auf den dem Datum des Urteils folgenden Monat, eventualiter sei der [Beschwerdeführerin] eine Genugtuung in gerichtlich zu bestimmender Höhe, mindestens aber in der Höhe von Fr. 310'000.-- zuzüglich Zins von 5 % seit dem Unfalltag, abzüglich der bereits geleisteten Kapitalsumme von Fr. 140'000.-- und der bereits geleisteten Zinszahlung von Fr. 91'000.-- zu bezahlen, unter Kosten und Entschädigungsfolge." E. Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Kantonsgericht hat unter Hinweis auf die Erwägungen im angefochtenen Urteil auf Gegenbemerkungen verzichtet. 