Sachverhalt: A. A._ (Mieterin, Beschwerdeführerin) bewohnt seit dem 1. Januar 1995 eine 1,5-Zimmerwohnung an der Strasse U._ in Zürich, die sie von B._ (Vermieter, Beschwerdegegner) mietet. Seit April 2012 beläuft sich der monatliche Mietzins auf Fr. 838.-- brutto, nachdem er ursprünglich Fr. 816.-- betragen hatte. Der Mietvertrag sieht eine dreimonatige Kündigungsfrist auf jeweils Ende März und Ende September vor. Am 9. September 2009 konnte ein zwischen der Mieterin und dem Vermieter während längerer Zeit bestehender Streit wegen Mietzinserhöhungen und Mängelansprüchen durch einen vor dem Mietgericht Zürich abgeschlossenen Vergleich beigelegt werden. Mit Schreiben vom 9. Februar 2012 mahnte der Vermieter die Mieterin für offene Mietzinsforderungen in der Höhe von Fr. 1'971.75 und setzte ihr eine dreissigtägige Frist an, um die Ausstände zu begleichen, mit der Androhung, dass bei unbenütztem Ablauf der Frist das Mietverhältnis ausserordentlich gekündigt werde. Am 4. März 2012 wandte sich die Mieterin in einem als "Verrechnungseinsprache" bezeichneten Schreiben an den Vermieter. Mit amtlichem Formular vom 21. März 2012 kündigte der Vermieter den Mietvertrag auf den 30. April 2012. B. Nach erfolglos durchlaufenem Schlichtungsverfahren vor der Schlichtungsbehörde Zürich reichte die Mieterin am 10. Juni 2012 beim Mietgericht Zürich Klage betreffend "Kündigung + Nichtvollzug Mängelbehebung" gegen den Vermieter ein. Am 1. November 2012 wies das Mietgericht das in der Klage gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab und setzte der Mieterin Frist zur Leistung eines Prozesskostenvorschusses an, worauf das Obergericht des Kantons Zürich der Mieterin auf deren kantonale Beschwerde hin mit Urteil vom 21. Dezember 2012 für das erstinstanzliche Verfahren sowohl die unentgeltliche Prozessführung als auch die unentgeltliche Rechtsverbeiständung gewährte. Am 25. Februar 2014 erklärte das Mietgericht in Abweisung der Klage "die Kündigung vom 21. März 2012 auf den 30. April 2012 für wirksam und gültig". Dieses Urteil focht die Mieterin mit Berufung beim Obergericht an. Letzteres entschied mittels Beschluss und Urteil vom 23. Mai 2014 über die Anträge der Mieterin. Dabei bewilligte es der Mieterin für das Berufungsverfahren die unentgeltliche Rechtspflege (Beschluss Dispositiv-Ziffer 1). Auf das Gesuch der Mieterin um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes trat es nicht ein (Beschluss Dispositiv-Ziffer 2). Die Berufung selber wies das Obergericht in Bestätigung des angefochtenen Urteils ab, soweit es darauf eintrat (Urteil Dispositiv-Ziffer 1). C. Die Mieterin begehrt mit Beschwerde in Zivilsachen, der Beschluss des Obergerichts, Dispositiv-Ziffer 2, sei aufzuheben. Das Obergericht sei anzuweisen, ihr für das Berufungsverfahren einen Rechtsbeistand zu bestellen. Weiter beantragt die Mieterin, "[d]as Urteil sei aufzuheben". Es sei festzustellen, dass ihr "die Vorinstanz" das rechtliche Gehör verweigert habe; die Sache sei zur Beurteilung "an die Vorinstanz" zurückzuweisen (Antrag Ziffer 2a). "Das angefochtene Urteil sei insoweit aufzuheben, als auf die Berufung nicht eingetreten wurde. Die Sache sei zur Beurteilung an das Obergericht zurückzuweisen" (Antrag Ziffer 2b). Ausserdem ersucht die Mieterin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Es wurden keine Vernehmlassungen zur Beschwerde eingeholt. D. Mit Präsidialverfügung vom 18. August 2014 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt. 