Sachverhalt: Sachverhalt: A. S._, geboren 1945, war seit 1982 als Organistin bei der reformierten Kirchgemeinde D._ und als Musikschullehrerin bei der Musikschule D._ angestellt und über diese Arbeitgeber bei der "Winterthur" Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Winterthur oder Beschwerdeführerin) obligatorisch gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen versichert. Am 24. Oktober 2001 erlitt sie als Lenkerin ihres Personenwagens in D._ beim Rechtsabbiegen einen Auffahrunfall. Ein nachfolgender Personenwagen konnte nicht rechtzeitig abbremsen bzw. ausweichen und stiess in die hintere linke Ecke des Fahrzeugs der Versicherten. Eine halbe Stunde nach dem Unfall verspürte sie plötzlich starke, über beide Schultern ausstrahlende Schmerzen sowie leichte Übelkeit ohne Erbrechen. Gleichentags liess sie sich im Spital T._ behandeln, wo eine sehr starke Bewegungseinschränkung von Kopf, Rücken und Armen sowie eine leichte Sensibilitätsminderung am rechten Arm festgestellt und ein Schleudertrauma bzw. eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) diagnostiziert wurde. Die bildgebenden Abklärungen ergaben keine ligamentären Läsionen und keine Fraktur, hingegen vorbestehende schwere degenerative Veränderungen der gesamten HWS. Die Ärzte des Spitals T._ attestierten der Versicherten eine Arbeitsunfähigkeit von 100 % bis auf Weiteres und veranlassten eine stationäre Therapie im Zentrum M._ vom 3. November bis 8. Dezember 2001. Dort wurden die progredienten, bis gegen die mittleren Oberarme und gegen die Brustwirbelsäule (BWS) ausstrahlenden Beschwerden im Bereich der HWS mit physikalischen Therapien angegangen. Im Zeitpunkt der Entlassung war die Versicherte beschwerdearm bei weiterhin nicht stabiler Situation und verminderter Belastungstoleranz. Es wurde ambulante physikalische Therapie aktiv und passiv verordnet und eine Arbeitsunfähigkeit bis 31. Januar 2002 attestiert (Bericht des Zentrums M._ vom 18. Dezember 2001). Während des stationären Aufenthalts im Zentrum M._ wurde zudem eine psychotherapeutische Behandlung durch lic. phil. K._, Psychologin, aufgenommen, die eine posttraumatische Belastungsstörung und eine Schmerzstörung in Verbindung mit einem medizinischen Krankheitsfaktor diagnostizierte (Bericht vom 28. Januar 2002). Wegen persistierenden Beschwerden (Nackenschmerzen, Müdigkeit, Schwindel, Schweissausbrüche sowie Schmerzen in beiden Kiefergelenken) erfolgte am 2. April 2002 eine neurologische Abklärung durch Dr. med. C._, Spezialarzt für Neurologie. Er veranlasste eine weitere MRI-Untersuchung, welche am 24. April 2002 degenerative Veränderungen der HWS im Sinne einer Chondrose in den Segmenten C4/C5, C5/C6 und C6/C7 zeigte. Dr. med. C._ stellte im Bericht vom 30. Mai 2002 die Diagnose eines Distorsionstraumas der HWS mit ausgeprägtem Zervikalsyndrom (massive Dysfunktion der HWS vor allem für die Kopfrotation nach beiden Seiten) mit einer posttraumatischen Belastungsstörung und einer ausgeprägten vegetativen Symptomatik (Hyperhydrose) und nahm an, die Dysfunktion der HWS für die Rotation sei mit grösster Wahrscheinlichkeit traumatischer Genese. Bezüglich der Beschwerden in den Kiefergelenken empfahl er ein kieferorthopädisches Konsilium. Der beratende Zahnarzt der Winterthur, Dr. med. dent. A._, erachtete in der Folge den natürlichen Kausalzusammenhang zwischen Unfall und Kiefergelenksbeschwerden höchstens als möglich (Besprechungsnotiz vom 1. Oktober 2002). Im Weiteren holte die Winterthur ein unfallanalytisches Gutachten vom 4. März 2002 und eine biomechanische Beurteilung vom 15. Juli 2002 ein. Die Versicherte war für die Tätigkeiten als Organistin und Musikschullehrerin bis 14. Mai 2002 zu 100 % und anschliessend bis 17. Juli 2002 zu 70 % arbeitsunfähig. Ab 18. Juli 2002 war sie als Musikschullehrerin wieder voll arbeitsfähig, während sie als Organistin weiterhin zu 40 % arbeitsunfähig blieb. Dr. med. N._ rechnete gemäss Bericht vom 19. November 2002 angesichts der erzielten Fortschritte mit einer weiteren Besserung. Mit Verfügung vom 20. Februar 2003 stellte die Winterthur die Versicherungsleistungen auf 31. Dezember 2002 ein, weil der adäquate Kausalzusammenhang nicht mehr gegeben sei. Dagegen erhoben die Versicherte und die Helsana Versicherungen AG als zuständiger Krankenversicherer Einsprache. Nach Einholung von Stellungnahmen des beratenden Arztes Dr. med. H._ vom 30. September 2003 und des beratenden Psychiaters Dr. med. R._ vom 1. Oktober 2003 hielt die Winterthur am Fallabschluss per 31. Dezember 2002 fest (Einspracheentscheid vom 10. Oktober 2003). A. S._, geboren 1945, war seit 1982 als Organistin bei der reformierten Kirchgemeinde D._ und als Musikschullehrerin bei der Musikschule D._ angestellt und über diese Arbeitgeber bei der "Winterthur" Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Winterthur oder Beschwerdeführerin) obligatorisch gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen versichert. Am 24. Oktober 2001 erlitt sie als Lenkerin ihres Personenwagens in D._ beim Rechtsabbiegen einen Auffahrunfall. Ein nachfolgender Personenwagen konnte nicht rechtzeitig abbremsen bzw. ausweichen und stiess in die hintere linke Ecke des Fahrzeugs der Versicherten. Eine halbe Stunde nach dem Unfall verspürte sie plötzlich starke, über beide Schultern ausstrahlende Schmerzen sowie leichte Übelkeit ohne Erbrechen. Gleichentags liess sie sich im Spital T._ behandeln, wo eine sehr starke Bewegungseinschränkung von Kopf, Rücken und Armen sowie eine leichte Sensibilitätsminderung am rechten Arm festgestellt und ein Schleudertrauma bzw. eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) diagnostiziert wurde. Die bildgebenden Abklärungen ergaben keine ligamentären Läsionen und keine Fraktur, hingegen vorbestehende schwere degenerative Veränderungen der gesamten HWS. Die Ärzte des Spitals T._ attestierten der Versicherten eine Arbeitsunfähigkeit von 100 % bis auf Weiteres und veranlassten eine stationäre Therapie im Zentrum M._ vom 3. November bis 8. Dezember 2001. Dort wurden die progredienten, bis gegen die mittleren Oberarme und gegen die Brustwirbelsäule (BWS) ausstrahlenden Beschwerden im Bereich der HWS mit physikalischen Therapien angegangen. Im Zeitpunkt der Entlassung war die Versicherte beschwerdearm bei weiterhin nicht stabiler Situation und verminderter Belastungstoleranz. Es wurde ambulante physikalische Therapie aktiv und passiv verordnet und eine Arbeitsunfähigkeit bis 31. Januar 2002 attestiert (Bericht des Zentrums M._ vom 18. Dezember 2001). Während des stationären Aufenthalts im Zentrum M._ wurde zudem eine psychotherapeutische Behandlung durch lic. phil. K._, Psychologin, aufgenommen, die eine posttraumatische Belastungsstörung und eine Schmerzstörung in Verbindung mit einem medizinischen Krankheitsfaktor diagnostizierte (Bericht vom 28. Januar 2002). Wegen persistierenden Beschwerden (Nackenschmerzen, Müdigkeit, Schwindel, Schweissausbrüche sowie Schmerzen in beiden Kiefergelenken) erfolgte am 2. April 2002 eine neurologische Abklärung durch Dr. med. C._, Spezialarzt für Neurologie. Er veranlasste eine weitere MRI-Untersuchung, welche am 24. April 2002 degenerative Veränderungen der HWS im Sinne einer Chondrose in den Segmenten C4/C5, C5/C6 und C6/C7 zeigte. Dr. med. C._ stellte im Bericht vom 30. Mai 2002 die Diagnose eines Distorsionstraumas der HWS mit ausgeprägtem Zervikalsyndrom (massive Dysfunktion der HWS vor allem für die Kopfrotation nach beiden Seiten) mit einer posttraumatischen Belastungsstörung und einer ausgeprägten vegetativen Symptomatik (Hyperhydrose) und nahm an, die Dysfunktion der HWS für die Rotation sei mit grösster Wahrscheinlichkeit traumatischer Genese. Bezüglich der Beschwerden in den Kiefergelenken empfahl er ein kieferorthopädisches Konsilium. Der beratende Zahnarzt der Winterthur, Dr. med. dent. A._, erachtete in der Folge den natürlichen Kausalzusammenhang zwischen Unfall und Kiefergelenksbeschwerden höchstens als möglich (Besprechungsnotiz vom 1. Oktober 2002). Im Weiteren holte die Winterthur ein unfallanalytisches Gutachten vom 4. März 2002 und eine biomechanische Beurteilung vom 15. Juli 2002 ein. Die Versicherte war für die Tätigkeiten als Organistin und Musikschullehrerin bis 14. Mai 2002 zu 100 % und anschliessend bis 17. Juli 2002 zu 70 % arbeitsunfähig. Ab 18. Juli 2002 war sie als Musikschullehrerin wieder voll arbeitsfähig, während sie als Organistin weiterhin zu 40 % arbeitsunfähig blieb. Dr. med. N._ rechnete gemäss Bericht vom 19. November 2002 angesichts der erzielten Fortschritte mit einer weiteren Besserung. Mit Verfügung vom 20. Februar 2003 stellte die Winterthur die Versicherungsleistungen auf 31. Dezember 2002 ein, weil der adäquate Kausalzusammenhang nicht mehr gegeben sei. Dagegen erhoben die Versicherte und die Helsana Versicherungen AG als zuständiger Krankenversicherer Einsprache. Nach Einholung von Stellungnahmen des beratenden Arztes Dr. med. H._ vom 30. September 2003 und des beratenden Psychiaters Dr. med. R._ vom 1. Oktober 2003 hielt die Winterthur am Fallabschluss per 31. Dezember 2002 fest (Einspracheentscheid vom 10. Oktober 2003). B. Die hiegegen erhobene Beschwerde der S._ hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 14. September 2004 gut, hob den Einspracheentscheid auf und wies die Sache an die Winterthur zurück, damit sie über die gesetzlichen Ansprüche verfüge. Das kantonale Gericht vertrat die Auffassung, der adäquate Kausalzusammenhang zwischen den über den 31. Dezember 2002 hinaus anhaltend geklagten Beschwerden und dem Unfall vom 24. Oktober 2001 sei - ausser in Bezug auf die Kieferbeschwerden - zu bejahen. B. Die hiegegen erhobene Beschwerde der S._ hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 14. September 2004 gut, hob den Einspracheentscheid auf und wies die Sache an die Winterthur zurück, damit sie über die gesetzlichen Ansprüche verfüge. Das kantonale Gericht vertrat die Auffassung, der adäquate Kausalzusammenhang zwischen den über den 31. Dezember 2002 hinaus anhaltend geklagten Beschwerden und dem Unfall vom 24. Oktober 2001 sei - ausser in Bezug auf die Kieferbeschwerden - zu bejahen. C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt die Winterthur die Aufhebung des kantonalen Entscheids. Während S._ auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit (BAG) auf eine Vernehmlassung. 