Sachverhalt: A. X._ (geb. 1992) ist die volljährige Tochter von Y._. Sie leitete am 24. November 2010 beim Zivilgericht Basel-Stadt eine Unterhaltsklage gegen den Vater ein und beantragte, dieser sei rückwirkend ab August 2010 zur Bezahlung angemessener Unterhaltsbeiträge zu verurteilen. Zusätzlich machte sie gegen den Vater eine Forderung von Fr. 4'698.50 geltend. Das Gericht wies das Unterhaltsbegehren mit Urteil vom 27. September 2012 kostenpflichtig ab; in Bezug auf die Forderung wurde die Klage gutgeheissen. B. B.a. Am 29. April 2013 reichte X._ gegen die Verweigerung eines Unterhaltsbeitrags Berufung beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt ein. Sie beantragte, Y._ sei rückwirkend ab August 2010 zur Leistung eines Unterhaltsbeitrags von monatlich Fr. 2'000.-- zu verpflichten. Letzterer verlangte die kostenfällige Abweisung der Berufung. B.b. Das Appellationsgericht forderte X._ zur Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 4'000.-- auf. Die Frist hierzu verlängerte das Gericht auf Ersuchen von X._ mit Verfügung vom 23. August 2013 bis zum 30. September 2013 (Na chfrist gemäss Art. 101 Abs. 3 ZPO). B.c. Mit unaufgeforderter Eingabe vom 29. August 2013 opponierte Y._ gegen die Fristverlängerung, da er ohne Sicherstellung der Kosten zur Klageantwort aufgefordert worden sei und ihm damit bereits Auslagen entstanden seien. Er beantragte die Wiedererwägung der Verfügung vom 23. August 2013 und Abweisung des Fristverlängerungsgesuchs; eventualiter sei eine peremptorische Frist von maximal 10 Tagen für die Leistung des Kostenvorschusses anzusetzen. Er behalte sich die Beantragung einer Kaution vor. Am 5. September 2013 teilte das Appellationsgericht mit, die Verfügung werde nicht in Wiedererwägung gezogen. Bei der ersten Frist sei zu berücksichtigen gewesen, dass ohnehin ein Fristenstillstand bis zum 15. August 2013 bestanden habe. B.d. Mit Schreiben vom 1. Oktober 2013 (Eigendatierung; Postaufgabe 2. Oktober 2013) informierte die grundsätzlich anwaltlich vertretene X._ das Appellationsgericht persönlich darüber, dass sie den Zahlungsauftrag am 27. September 2013 ausgelöst habe. Am 1. Oktober 2013 habe sie jedoch feststellen müssen, dass der Auftrag zwar ausgeführt, die Zahlung aber auf ihr Konto retourniert worden sei wegen ungenauen Begünstigtenangaben. Sie legte Unterlagen bei, woraus zu erkennen sei, dass der Auftrag fristgerecht erfolgt und nun mit Ausführungsdatum vom 2. Oktober 2013 wieder pendent sei. C. C.a. Mit Verfügung vom 8. Oktober 2013 nahm das Appellationsgericht das Schreiben vom 1. Oktober 2013 als Wiederherstellungsgesuch im Sinne von Art. 148 ZPO entgegen und forderte Y._ zur Stellungnahme auf. Dieser schloss mit Eingabe vom 17. Oktober 2013 auf kostenfällige Abweisung. C.b. Mit Entscheid vom 28. November 2013 wies das Appellationsgericht das Wiederherstellungsgesuch ab und trat auf die Berufung mangels Leistung des Prozesskostenvorschusses nicht ein. Es auferlegte X._ Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- und eine Parteientschädigung für Y._ von Fr. 4'766.50. D. Hiergegen gelangt X._ (Beschwerdeführerin) mit Beschwerde vom 23. Januar 2014 an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids unter Kostenfolge; die Sache sei zur materiellen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Mit Vernehmlassung vom 28. Februar 2014 (Postaufgabe 3. März 2014) beantragt das Appellationsgericht die Abweisung der Beschwerde. Y._ (Beschwerdegegner) verlangt mit Beschwerdeantwort vom 28. Februar 2014, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventualiter sei die Beschwerde abzuweisen. 