Sachverhalt: A. Der 1968 geborene A._ war ab April 1990 bei den Schweizerischen Bundesbahnen (SBB) öffentlich-rechtlich angestellt und übte verschiedene Funktionen aus. Nachdem die SBB seine Stelle im Rahmen einer Reorganisation aufgehoben hatten, wurde A._ ab 1. April 2009 von der SBB-internen Organisationseinheit "Neuorientierung und Arbeit" (NOA) begleitet. Einen Übertritt lehnte die NOA aber ab. Die Führungsverantwortung lag weiterhin bei der Division Personenverkehr, Operating. Mit Verfügung vom 24. August 2009 sprachen die SBB, Division Personenverkehr, Operating, die fristlose Auflösung des Anstellungsverhältnisses per 26. August 2009 aus. Begründet wurde dies namentlich damit, dass A._ Lohn nicht deklariert habe und der Arbeit unentschuldigt ferngeblieben sei. Die von A._ hiegegen erhobene Einsprache und interne Beschwerde wiesen die SBB, Konzernrecht, mit Entscheid vom 26. November 2009 ab. B. A._ führte Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht hiess diese gut, soweit es darauf eintrat (Dispositiv-Ziff. 1). Es entschied, das Arbeitsverhältnis werde per 31. Dezember 2009 aufgelöst (Dispositiv-Ziff. 2), und wies die SBB an, A._ den Lohn bis dahin (Dispositiv-Ziff. 3) sowie eine Entschädigung in Höhe von zwei Monatslöhnen (Dispositiv-Ziff. 4) auszurichten (Entscheid vom 23. August 2010). C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, in Aufhebung der Ziffern 2 und 3 des vorinstanzlichen Entscheides sei festzustellen, dass das Anstellungsverhältnis mit den SBB nach dem 31. Dezember 2009 weiter bestehe, und es seien die SBB anzuweisen, ihm "die bis heute ausstehenden Lohnzahlungen - unter Anrechnung seines Zwischenverdienstes - rückwirkend auszurichten" sowie eine zumutbare Arbeit zuzuweisen. SBB und Vorinstanz schliessen je auf Abweisung der Beschwerde. D. Das Bundesgericht hat am 28. Juni 2011 eine öffentliche Urteilsberatung durchgeführt. 