Faits: A. H._ a travaillé en qualité de vendeuse, tout en effectuant des nettoyages à l'extérieur de son ménage. Le 3 mai 2008, elle a donné naissance à un quatrième enfant. Du 15 au 26 septembre 2008, elle a séjourné à l'Hôpital X._, où les médecins ont posé les diagnostics de lombalgie commune dans un contexte psycho-social difficile, d'état dépressif post-partum (depuis 4 mois) et de migraine connue. Les docteurs J._ (spécialiste FMH en médecine interne et rhumatologie) et M._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie), médecins du CEMed de Z._, procédant pour le compte de l'assureur-perte de gain à une évaluation médicale, ont conclu dans un rapport du 6 février 2009 que le trouble somatoforme douloureux présenté par l'assurée n'entraînait pas d'incapacité de travail. L'activité de vendeuse a pris fin le 31 janvier 2009. Le 13 mars 2009, H._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Le docteur A._ (spécialiste FMH en médecine interne générale et en allergologie et immunologie clinique) a déposé un rapport du 29 mai 2009, où il concluait à une incapacité de travail de 100 % "du 5 août 2008 en cours" (soit dès la fin du congé-maternité). La doctoresse P._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie), dans un rapport daté des 29 mai et 1 er juin 2009, a indiqué que l'incapacité de travail était de 100 % dès février 2008 (congé-maternité du 3 mai au 3 août 2008). L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI), se fondant sur les conclusions mentionnées ci-dessus des médecins du CEMed, a rendu le 8 janvier 2010 un préavis de refus de rente d'invalidité. H._, contestant ce préavis, a produit une expertise privée dans laquelle le docteur S._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie) évaluait l'incapacité de travail à 100 % entre le 6 février 2009 et juin 2010 et à 50 % entre le 1 er juillet et le 31 décembre 2010. L'office AI a confié au docteur N._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie) la réalisation d'une expertise psychiatrique. Considérant que le rapport du 23 août 2010 où ce médecin concluait à une incapacité totale de travail n'avait pas valeur probante, il a donné au docteur C._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie) le mandat de réaliser une nouvelle expertise. Dans un rapport du 24 août 2011, ce médecin a posé les diagnostics ayant une répercussion sur la capacité de travail de trouble dépressif majeur (état actuel sévère, sans caractéristiques psychotiques selon DSM-IV-TR) - soit d'épisode dépressif sévère sans symptômes psychotiques selon CIM-10 (F32.2) - et de trouble état de stress post-traumatique (F43.1), en retenant que ces troubles s'étaient progressivement imposés depuis 2008. Il fixait l'incapacité de travail à 50 % depuis le 1 er mai 2009 et à 100 % depuis le 1 er janvier 2010. Dans un préavis du 6 octobre 2011, l'office AI a informé H._ qu'elle avait présenté une incapacité de travail ininterrompue depuis le 1 er mai 2009 et qu'elle avait droit à une rente entière d'invalidité dès le 1 er mai 2010. L'assurée a fait part à l'office AI de ses observations en ce qui concerne le début de son incapacité de travail, dont elle affirmait qu'il remontait au 3 mai 2008, date de son accouchement. Dans un rapport complémentaire du 6 décembre 2011, le docteur C._ a conclu que l'atteinte à la santé était devenue suffisamment sévère pour qu'on doive retenir une incapacité de travail psychiatrique de 50 % depuis le 1 er mai 2009 et de 100 % à partir du 1 er janvier 2010. Par décision du 4 avril 2012, l'office AI, tout en se référant au rapport complémentaire du docteur C._, a alloué à H._ une rente entière d'invalidité dès le 1 er mai 2010. B. H._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation en tant qu'elle fixait le début du droit à la rente d'invalidité au 1 er mai 2010 et au renvoi de la cause à l'office AI pour qu'il respecte son droit d'être entendue, au motif que la décision de rente avait été rendue sans qu'elle puisse s'exprimer au préalable sur le rapport complémentaire du docteur C._ du 6 décembre 2011. A titre subsidiaire, elle invitait la juridiction cantonale à dire que l'incapacité de travail à prendre en considération remontait au mois de mai 2008 et à ordonner à l'office AI qu'il lui octroie une rente entière d'invalidité à partir du 1 er septembre 2009. Elle produisait deux courriels de la doctoresse P._ des 7 et 8 mai 2012. Par arrêt du 8 février 2013, la juridiction cantonale a rejeté le recours. C. H._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation et à celle de la décision de rente du 4 avril 2012, la cause étant renvoyée à la juridiction cantonale pour qu'elle la renvoie à l'office AI afin qu'il respecte son droit d'être entendue. A titre subsidiaire, elle invite le Tribunal fédéral à dire que l'incapacité de travail à prendre en considération remonte au mois de mai 2008 et à ordonner à l'office AI qu'il lui octroie une rente entière d'invalidité à partir du 1 er septembre 2009. 