Faits: A. X._, né le 19 octobre 1960, travaille depuis le 3 septembre 2007 en qualité de responsable de chantier auprès de la société V._ SA, à Genève. A ce titre, il est couvert contre le risque d'une perte de gain résultant de la maladie ou d'un accident par une assurance collective soumise à la LCA conclue par son employeur et qui lui assure le paiement d'une indemnité journalière de 80% du salaire avec délai d'attente de deux jours. Initialement conclu avec la compagnie d'assurance Z._, ce contrat a été repris par Y._ SA (l'assureur). Par déclaration du 12 juin 2010, l'employeur du prénommé a informé l'assureur que son employé était en état d'incapacité de travail dès le 4 juin 2010. X._ a consulté dans un premier temps le Dr A._, de la Permanence de S._, qui a attesté une incapacité de travail totale dès le 4 juin 2010 en raison d'une épaule douloureuse. Un rapport d'échographie de l'épaule droite, réalisé le 14 juin 2010 par le Dr B._, spécialiste FMH en radiologie, a évoqué le diagnostic de tendinose vraisemblablement calcifiante, sans hyperhémie focalisée. Dans un rapport du 7 septembre 2010, la Dresse C._, médecin généraliste, a diagnostiqué une tendinite de l'épaule droite, un syndrome de l'angulaire de l'omoplate droite, des cervico-brachialgies droites, un état anxieux important, une déchirure musculaire probable du bras droit, une HTA (i. e. hypertension artérielle) ainsi qu'une hémochromatose, admettant un arrêt de travail de 100% depuis le 17 juin 2010. L'assureur a mandaté le Dr E._, rhumatologue, de la Clinique R._, pour procéder à un examen médical de l'assuré. Dans son rapport du 7 octobre 2010, ce médecin a conclu que la capacité de travail de X._ était nulle dans l'activité de maçon; en revanche, une activité respectant ses limitations fonctionnelles (pas de port de charges de plus de 15 kg ni de mouvements au-dessus des épaules) permettrait de ramener sa capacité de travail à 100%. Par pli recommandé du 27 octobre 2010, l'assureur a sommé X._ de reprendre le travail dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles, en lui fixant un délai au 31 janvier 2011. L'assureur a ensuite prolongé le versement des indemnités journalières d'abord jusqu'au 28 février 2011, puis jusqu'au 30 avril 2011, au motif que l'assuré avait subi une intervention chirurgicale et que le professeur D._, médecin-chef de service du département de chirurgie de l'hôpital de T._, avait attesté d'un arrêt de travail de 100% du 18 mars 2011 au 1er mai 2011 inclus. Le 23 mai 2011, l'assureur a mandaté la Dresse M._, spécialiste de rhumatologie et d'ostéodensitométrie, de la Clinique R._, aux fins d'examiner l'assuré. Dans son rapport du 17 juin 2011, cette praticienne a constaté que X._, sur une période de trois mois suivant l'évaluation, devait s'abstenir de tout port de charges de plus de 5 kg ainsi que de tout mouvement d'abduction, de rétropulsion ou d'antépulsion au-delà de 50°. Elle en a conclu que l'activité professionnelle de chef de chantier avec travaux de manutention n'était pas exigible. Cependant, sur le plan médico-théorique, une capacité de travail à 100% pouvait être envisagée dès le jour de l'évaluation (soit le 17 juin 2011), dans une activité adaptée, du type surveillance de chantier, exempte de tout mouvement de manutention. Par courrier du 22 juillet 2011, l'assureur a accepté de verser les indemnités journalières jusqu'au 20 juin 2011. Selon un rapport du Dr F._, chef de clinique du département de chirurgie de l'hôpital de T._, l'incapacité de travail de l'assuré devait être admise jusqu'au début du mois d'octobre 2011 B. Le 10 novembre 2011, X._ a demandé à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de Genève notamment de condamner l'assureur à continuer de lui payer l'indemnité journalière de 77 fr.55 tant qu'il n'a pas retrouvé une pleine capacité de travail dans son activité antérieure ou dans une activité adaptée, jusqu'à l'épuisement des droits résultant du contrat d'assurance collective. En cours de procédure, X._ a produit un certificat émis par la Dresse C._ attestant d'une incapacité de travail de 100% dès le 2 mai 2011, avec une reprise partielle à 50% dès le 5 septembre 2011. Dans son arrêt du 31 juillet 2012, la Chambre des assurances sociales a adopté la position de la Dresse M._ et admis que X._ était capable de travailler à 100% dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles. Elle a toutefois considéré que le délai d'adaptation pour changer d'activité était trop court et condamné l'assureur à payer les indemnités journalières jusqu'au 30 septembre 2011. C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Invoquant une violation des art. 9 et 29 Cst., 6 CEDH, 8 CC, 44 CO et 61 LCA, il conclut principalement à ce que sa partie adverse soit condamnée à lui verser, pour la période du 5 septembre au 11 novembre 2011, la somme de 5'273 fr.40 avec intérêts à 5% l'an dès le 3 octobre 2011 et, dès le 12 novembre 2011, une indemnité journalière de 77 fr.55 jusqu'à épuisement des droits résultant du contrat d'assurance. L'intimée propose le rejet du recours et la confirmation de l'arrêt critiqué. Les parties ont répliqué et dupliqué. Par ordonnance du 17 octobre 2012, la Ire Cour de droit civil a admis la requête d'assistance judiciaire présentée par le recourant, son conseil étant désigné comme avocat d'office. 