Sachverhalt: A. Die im Kanton Zürich wohnhafte D._ (geb. 1935) ist bei der Wincare Versicherungen obligatorisch krankenpflegeversichert. Nachdem sie am 14. Oktober 2005 an ihrem linken Knie im Spital A._ eine Hemiprothesen-Implantation hatte vornehmen lassen, wurde sie in der Klinik X._ (Kanton Aargau) zur intensiven stationären physikalischen Rehabilitation angemeldet. Dieses Spital mit privater Trägerschaft ist Bestandteil der Zürcher Spitalliste A (Institutionen mit Zulassung zur Versorgung von Patientinnen und Patienten in der Allgemeinen Abteilung zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung) mit dem Leistungsauftrag neurologische, orthopädische und rheumatologische Rehabilitation. Die Wincare leistete mit Schreiben vom 9. September 2005 Kostengutsprache im Rahmen eines Referenztarifs für eine solche Behandlung in der zürcherischen Klinik Y._ (Tagespauschale von Fr. 123.- und einmalige Fallpauschale von Fr. 1'100.-). Vom 25. Oktober bis 7. November 2005 hielt sich D._ zur stationären Rehabilitation in der Klinik X._ auf. In ihrem Namen gelangte die Klinik am 20. März 2006 an die Wincare und verlangte die volle Kostenübernahme für den stationären Aufenthalt gemäss dem Tarif für ausserkantonale Patientinnen und Patienten. Mit Verfügung vom 30. Juni 2006 bestätigte die Wincare die Übernahme der Kosten im Rahmen des Pauschaltarifs von Fr. 123.- pro Tag und der einmaligen Fallpauschale von Fr. 1'100.-. Daran hielt sie auf Einsprache der Versicherten hin fest (Entscheid vom 12. Januar 2007). B. Die von D._ erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 23. Mai 2008 gut, hob den Einspracheentscheid auf und verpflichtete die Wincare, für den Rehabilitationsaufenthalt in der Klinik X._ vom 25. Oktober bis 7. November 2005 die Kosten nach dem Standorttarif für ausserkantonale Patientinnen und Patienten zu übernehmen. C. Die Wincare erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben; sie habe für den streitigen Rehabilitationsaufenthalt nur die Kosten des Referenzspitals Klinik Y._ (Tagespauschale Fr. 123.- und einmalige Fallpauschale von Fr. 1'100.-) zu übernehmen. D._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. 