Faits: A. Le 8 décembre 2004, A._ SA, à Genève, a vendu à X._ une voiture de marque Mercedes-Benz, modèle CL 600, mise en circulation le 10 novembre 2003 et dont le compteur affichait un peu plus de 20'000 kilomètres. Le prix a été fixé à 191'300 fr. Le contrat excluait toute garantie de la part du vendeur. Un «carnet de maintenance avec MobiloLife Mercedes-Benz», délivré par DaimlerChrysler AG, à Stuttgart (Allemagne), accompagnait le véhicule d'occasion; le service «MobiloLife» offre notamment une assistance en cas de panne ou de problème de démarrage, le remorquage jusqu'à l'atelier Mercedes-Benz le plus proche et une voiture de remplacement pendant une durée de réparation de cinq jours au maximum. Par ailleurs, la voiture était garantie, sous l'appellation Mercedes-Swiss-Integral MSI, jusqu'à 100'000 kilomètres ou durant trois ans par DaimlerChrysler Schweiz AG, à Schlieren, importateur pour la Suisse des véhicules de marque Mercedes-Benz. Assez rapidement, X._ s'est plaint de défauts, en particulier de vibrations, auprès du concessionnaire Mercedes-Benz, à Genève. En juillet 2005, il s'est adressé au service après-vente de DaimlerChrysler Schweiz AG qui, après avoir testé la voiture, a contesté tout problème technique. B. Le 9 juin 2006, X._ a introduit devant le Tribunal de première instance du canton de Genève, lieu de son domicile, une action en garantie contre DaimlerChrysler Schweiz AG et contre DaimlerChrysler AG, ainsi qu'une action en paiement dirigée uniquement contre la première citée. D'une part, ses conclusions tendaient à ce que les défenderesses soient condamnées à réparer les défauts du véhicule, plus précisément le problème de vibration, le bruit d'air du côté conducteur et le défaut de la pompe de direction ou, pour le cas où les défauts ne seraient pas réparables, à ce qu'elles soient condamnées à lui livrer un véhicule de remplacement du même modèle ou, en cas d'impossibilité, d'un modèle équivalent. D'autre part, le demandeur concluait à ce que DaimlerChrysler Schweiz AG soit condamnée à lui verser les sommes de 736 fr. et de 6'548 fr. 25 à titre de dommages-intérêts, ainsi qu'à procéder à un nettoyage complet du véhicule et à réparer les jantes. DaimlerChrysler Schweiz AG et DaimlerChrysler AG ont soulevé une exception d'incompétence à raison du lieu. Par jugement du 21 décembre 2006, le tribunal a fait droit à l'exception et déclaré la demande irrecevable. Statuant le 14 septembre 2007 sur appel de X._, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a confirmé le jugement de première instance. C. X._ interjette un recours en matière civile. Il conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal et à ce que les tribunaux genevois soient déclarés «compétents pour recevoir la demande en paiement dirigée (...) contre DaimlerChrysler Schweiz AG et DaimlerChrysler AG.» Le 19 octobre 2007, DaimlerChrysler AG a changé sa raison sociale en Daimler AG. Le 21 décembre 2007, DaimlerChrysler Schweiz AG a changé la sienne en Mercedes-Benz Suisse SA. Mercedes-Benz Suisse SA (l'intimée 1) et Daimler AG (l'intimée 2) proposent le rejet du recours. 