Faits: A. R._ n'a plus exercé d'activité lucrative depuis la fin de l'année 1986. Invoquant souffrir d'un trouble dépressif, il a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 24 mars 2005. Entre autres mesures d'instruction, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: office AI) a chargé le docteur N._, psychiatre et psychothérapeute, d'une expertise (rapport du 15 mai 2007). Après avoir demandé l'avis de son Service médical régional Suisse romande (SMR), l'office AI a rendu une décision, le 21 juillet 2008, par laquelle il a refusé toute prestation à l'intéressé, au motif que l'incapacité de gain qu'il présentait était due avant tout à une toxicodépendance, qui n'était pas invalidante au sens de la loi. B. Saisi d'un recours formé par R._ contre cette décision, le Tribunal des assurances sociales de la République et canton de Genève a entendu le docteur T._, psychiatre traitant, puis confié une expertise au docteur S._, spécialiste en psychiatrie-psychothérapie et neurologie. Dans son rapport du 24 octobre 2009, l'experte a diagnostiqué un trouble mixte de la personnalité, un état de stress post-traumatique et un trouble de l'humeur persistant entraînant une incapacité de travail de 100 %, ainsi que des troubles mentaux et du comportement liés à l'utilisation de plusieurs substances et à celle de l'alcool sans limitation de la capacité de travail de l'assuré, qui était abstinent depuis trois mois. Fort de ces conclusions, le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales a admis le recours et annulé la décision du 21 juillet 2008; il a mis le recourant au bénéfice d'une rente entière d'invalidité dès le 1er mars 2004 et invité l'office AI à rendre une nouvelle décision au sens des considérants, en mettant à sa charge un émolument de 1'000 fr., en plus d'une indemnité de dépens en faveur du recourant (jugement du 9 mars 2009 [recte 2010]). C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Il en requiert l'annulation, ainsi que la confirmation de sa décision du 21 juillet 2008; à titre subsidiaire, il demande que la cause lui soit renvoyée pour instruction complémentaire et nouvelle décision. Il a également conclu à l'octroi de l'effet suspensif à son recours, ce qui lui a été accordé par ordonnance du 28 juillet 2010. Abdullah Rebai conclut au rejet du recours et sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire. De son côté, l'Office fédéral des assurances sociales s'en remet à l'appréciation du Tribunal fédéral, tout en soutenant que le montant de l'émolument à la charge de l'office AI serait contraire au droit fédéral. 