Sachverhalt: A. A.a. Die Y._, Inc. mit Sitz in den USA ist Herstellerin von urologischen, orthopädischen und veterinär-orthopädischen Geräten und Gerätekomponenten. Sie ist Gläubigerin der A._ AG, die im Jahre 2002 aus der 1996 gegründeten B._ AG hervorgegangen war. Seit 1996 war die B._ AG bzw. die A._ AG Hauptaktionärin der C._ AG. Am 12. Januar 2005 wurde über die C._ AG der Konkurs eröffnet und am 16. September 2005 über die A._ AG. X._ (mit Wohnsitz in Deutschland) war Gründungsmitglied und erster Verwaltungsratspräsident der B._ AG von 1996 bis 2001. Er ist der Vater von D._. D._ war Geschäftsführer der A._ AG und ab 2004 bis zu ihrem Konkurs deren einziger Verwaltungsrat. Am 30. Mai 2005 verkaufte D._ als Organ der A._ AG seinem Vater die US-Patentanmeldung Nr. xxx zum Preis von Fr. 25'000.--. Das US-Patentamt erteilt das Patent (Nr. yyy) am 6. Dezember 2005. A.b. Im Konkurs der A._ AG wurde die Y._, Inc. mit einer Forderung von Fr. 1'997'054.80 in der dritten Klasse zugelassen. Am 23. Februar 2007 ermächtigte das als Konkursverwaltung handelnde Konkursamt des Kantons Thurgau die Y._, Inc. gemäss Art. 260 SchKG zur Geltendmachung des Anspruchs gegen X._ auf paulianische Anfechtung des Kaufvertrags vom 30. Mai 2005 über das Patent. Bereits am 12. Februar 2007 hatte X._ das Patent der E._, LLC verkauft. B. Am 28. Januar 2008 erhob die Y._, Inc. am Bezirksgericht Kreuzlingen Klage gegen X._ und die E._, LLC. Am 16. September 2009 zog die Y._, Inc. die Klage gegen die E._, LLC zurück. Das Bezirksgericht wies mit Urteil vom 24. Februar / 19. August 2010 die Klage gegen X._ ab und schrieb sie hinsichtlich der E._, LLC als durch Klagerückzug erledigt ab. Demgegenüber kam das Obergericht des Kantons Thurgau mit Berufungsurteil vom 17. Mai 2011 zum Schluss, die Anfechtungstatbestände der Schenkungs- und der Deliktspauliana seien erfüllt, wenn der von X._ bezahlte Kaufpreis in einem objektiven Missverhältnis zum Wert des Patents stehe. Zur Durchführung eines Beweisverfahrens, primär durch Einholung eines Gutachtens über die Werthaltigkeit des Patents im Februar 2007, wies es die Sache an das Bezirksgericht zurück. Mit Entscheid vom 21. August / 25. Oktober 2013 schützte das Bezirksgericht die Klage im Umfang von Fr. 500'167.--. Es stellte dabei auf das eingeholte Gutachten ab, das den Patentwert per 12. Februar 2007 auf USD 401'000.-- beziffert hatte, womit die Voraussetzungen der Schenkungspauliana erfüllt seien. Dagegen erhob X._ am 27. November 2013 Berufung an das Obergericht. Er verlangte die Aufhebung des bezirksgerichtlichen Entscheids und die Abweisung der Klage, allenfalls die Rückweisung an die Vorinstanz. Mit Gesuch vom 6. Dezember 2013 beantragte die Y._, Inc. die Bewilligung der vorzeitigen Vollstreckbarkeit des bezirksgerichtlichen Entscheids. Zudem sei X._ Frist zur Leistung einer angemessenen Sicherheit für die allfällige Parteientschädigung anzusetzen. Mit Verfügung vom 25. Februar 2014 bewilligte das Obergericht die vorzeitige Vollstreckbarkeit des Entscheids des Bezirksgerichts und es verpflichtete X._, bis 20. März 2014 für die im Berufungsverfahren allfällig an die Y._, Inc. zu bezahlende Parteientschädigung eine Sicherheit von Fr. 15'000.-- zu leisten. C. Am 17. März 2014 hat X._ (Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er verlangt die Aufhebung der Verfügung vom 25. Februar 2014. Die Gesuche um vorzeitige Vollstreckbarerklärung und um Sicherstellung der Parteientschädigung seien abzuweisen. Zudem ersucht er um aufschiebende Wirkung. Nachdem das Obergericht auf Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet und sich die Y._, Inc. (Beschwerdegegnerin) dem Gesuch widersetzt hat, hat das Bundesgericht der Beschwerde mit Präsidialverfügung vom 1. April 2014 aufschiebende Wirkung zuerkannt. In der Sache hat das Obergericht auf Vernehmlassung verzichtet. Mit Beschwerdeantwort vom 9. Juli 2014 verlangt die Beschwerdegegnerin Abweisung der Beschwerde, soweit auf sie einzutreten sei. Dazu hat sich der Beschwerdeführer am 26. Juli 2014 nochmals vernehmen lassen. 