Faits: A. X._, ressortissant belge né en 1960, est entré le 3 juin 2008 en Suisse, où il a déposé une demande d'autorisation de séjour sans activité lucrative. Comme moyens de preuve de ses revenus et fortune, il a produit une copie d'un relevé bancaire de la Société Générale ainsi que d'un contrat de travail. Il a également indiqué qu'il possédait une villa en Espagne, qui lui rapportait 2'500 euros par mois à titre de loyer. Le 8 août 2008, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le SPOP) l'a informé qu'il lui manquait des documents attestant de manière chiffrée le montant exact des revenus dont le prénommé disposait pour assurer les frais de son séjour en Suisse. En outre, il lui appartenait de définir avec exactitude le but réel de ce séjour et d'indiquer une adresse de domicile fixe dans la commune de son choix. Une adresse postale telle Y._, à Lausanne, ne suffisait pas. X._ s'est déterminé le 7 septembre 2008, en indiquant qu'il conservait son adresse à Y._ à Lausanne et que le centre de ses intérêts se situait dans différents hôtels de la Riviera vaudoise. Il a également affirmé disposer d'un certain nombre de comptes bancaires ainsi que de portefeuilles d'investissement et a produit un contrat de bail du 10 février 2008 concernant la villa située en Espagne dont le loyer se monterait à 2500 euros par mois. B. Le 27 novembre 2008, le SPOP a informé X._ qu'en l'absence de pièces attestant de manière chiffrée le montant de ses revenus et à défaut de domicile fixe dans le canton de Vaud, il avait l'intention de refuser sa demande d'autorisation de séjour sans activité lucrative. Un délai au 5 janvier 2009 lui a été imparti pour faire valoir ses objections. Le prénommé y a répondu par courriel non documenté du 28 novembre 2008, en estimant qu'il avait établi disposer de moyens financiers suffisants. Le 19 janvier 2009, la Caisse cantonale de chômage du canton de Vaud a informé le SPOP que X._ avait revendiqué des prestations de chômage depuis le 3 juin 2008. C. Par décision du 13 mars 2009, le SPOP a refusé de délivrer l'autorisation de séjour CE/AELE sans activité lucrative à X._, au motif que ce dernier n'avait pas été en mesure de produire des justificatifs de moyens financiers suffisants, au sens de l'art. 24 de l'annexe 1 de l'accord du 21 juin 1999 entre la Confédération suisse, d'une part, et la Communauté européenne et ses Etats membres, d'autre part, sur la libre circulation des personnes (ALCP; RS 0.142.112.681). En outre, il ne disposait pas d'un domicile fixe dans le canton de Vaud. D. Contre ce prononcé, X._ a recouru le 21 avril 2009 auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal ou l'autorité précédente). Il a ultérieurement déposé différentes déterminations, sur lesquelles le SPOP a également eu l'occasion de se prononcer. Ce dernier a maintenu sa position. Le Tribunal cantonal a requis la production des relevés bancaires de la période allant du 1er janvier au 31 juillet 2009 ainsi que des titres immobiliers établissant la propriété du recourant sur la villa sise en Espagne. Le 31 août 2009, X._ a produit une copie d'un registre de propriété, datant du 25 avril 2008, ainsi que divers extraits de comptes bancaires espagnols. Par arrêt du 28 septembre 2009, le Tribunal cantonal a rejeté le recours de X._ et mis les frais de justice à sa charge. E. Par recours daté du 10 octobre 2009 mais reçu le 22 octobre 2009, X._ a saisi le Tribunal fédéral. Il a déclaré s'opposer au jugement du Tribunal cantonal du 28 septembre 2009, en concluant à son annulation et à l'octroi d'une "attestation d'inscription (autorisation de séjour) depuis le 3 juin 2008". 