Sachverhalt: A. X._ (Ehefrau; geb. 1944) und Y._ (Ehemann; geb. 1929) hatten im November 1968 geheiratet. Sie sind die Eltern zweier Kinder (geb. 1969 und 1974); Y._ hat zudem aus erster Ehe eine Tochter (geb. 1958). Er ist seit 1. Oktober 1994 pensioniert, X._ seit 1. Mai 2008. Sie schenkte im Jahr 2004 jedem ihrer beiden Kinder Fr. 25'000.--. Ende September 2004 trennten sich die Parteien. B. Am 20. Oktober 2008 leitete Y._ beim Bezirksgericht Brig eine Scheidungsklage ein. Mit Urteil vom 15. Februar 2011 schied das Bezirksgericht die Ehe und regelte die Nebenfolgen. Es wies die gemeinsame Liegenschaft in A._ X._ zu Alleineigentum zu und verpflichtete sie, Y._ güterrechtlich mit Fr. 302'990.75 zu entschädigen. Y._ wurde verurteilt, X._ unter dem Titel des Vorsorgeausgleichs den Betrag von Fr. 107'008.20 zu bezahlen und ihr eine unbefristete Rente nach Art. 125 ZGB in der Höhe von Fr. 1'600.- monatlich auszurichten. Auf Berufung beider Parteien hin bestimmte das Kantonsgericht Wallis mit Urteil vom 31. Januar 2013 die Unterhaltsrente neu auf monatlich Fr. 939.--. Im Übrigen bestätigte es den erstinstanzlichen Entscheid. C. Mit Eingabe vom 20. März 2013 wendet sich X._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie stellt das Begehren, Y._ (Beschwerdegegner) zur Bezahlung eines monatlich vorauszahlbaren, indexierten und unbefristeten Unterhaltsbeitrags von Fr. 1'345.-- zu verurteilen. Weiter sei die Sache zur Neuverlegung der Kosten des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der Beschwerdegegner beantragt in seiner Vernehmlassung vom 16. September 2013, auf die Beschwerde nicht einzutreten; eventualiter sei sie abzuweisen. Das Kantonsgericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Die Eingaben wurden der Beschwerdeführerin zur Kenntnis zugestellt. 