Sachverhalt: A. Der aus der Türkei stammende, 1956 geborene X._ gelangte Ende Dezember 1993 in die Schweiz. Sein Asylgesuch wurde vom damaligen Bundesamt für Flüchtlinge und danach von der Asylrekurskommission abgewiesen, und er wurde zur Ausreise aus der Schweiz bis zum 15. April 1995 verpflichtet. Am 26. Mai 1995 heiratete er eine Schweizer Bürgerin und erhielt in der Folge eine Aufenthaltsbewilligung im Kanton Zürich. Auf sein Gesuch um erleichterte Einbürgerung gemäss Art. 27 Bürgerrechtsgesetz (BüG, SR 141.0) hin wurde ihm am 12. April 2000 das Schweizer Bürgerrecht verliehen. Nachdem die Ehe mit der Schweizerin am 28. September 2000 in der Türkei geschieden wurde, verheiratete X._ sich am 18. Dezember 2000, ebenfalls in der Türkei, mit seiner früheren türkischen Ehefrau. Er hat mit ihr aus erster Ehe einen gemeinsamen Sohn (geb. 1988). B. Mit Schreiben vom 22. August 2003 teilte das Bundesamt für Migration X._ mit, es erwäge, die erleichterte Einbürgerung nichtig zu erklären. Im Verfahren konnte er Stellung nehmen, es wurde seine frühere Schweizer Ehefrau einvernommen und die Zustimmung des Heimatkantons zur Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung eingeholt. Mit Verfügung vom 16. Februar 2005 erklärte das Bundesamt für Migration die erleichterte Einbürgerung für nichtig. C. X._ focht diese Verfügung an. Mit Urteil vom 4. April 2008 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde ab. D. X._ führt mit Eingabe vom 9. Mai 2008 Beschwerde an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts aufzuheben, und ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Das Bundesamt für Migration beantragt in der Vernehmlassung Beschwerdeabweisung. Das Bundesverwaltungsgericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Mit Präsidialverfügung vom 26. Mai 2008 hat das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. 