Sachverhalt: A. A.a Die 1934 geborene G._ führt seit Jahren eine Praxis als Naturheilärztin in X._. Sie ist bei der Allianz Suisse Versicherungen (nachfolgend: Allianz oder Beschwerdegegnerin) gegen die Folgen von Unfällen im Rahmen des Bundesgesetzes über die Unfallversicherung freiwillig versichert. Am 29. März 1999 verletzte sie sich bei einem Sturz an beiden Schultern (Humeruskopffraktur beidseits). Die Allianz erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Mit Verfügung vom 14. Mai 2002, bestätigt durch Einspracheentscheid vom 16. Dezember 2002, stellte sie sämtliche Leistungen per 1. November 2001 ein und schloss den Fall auf diesen Zeitpunkt hin folgenlos ab. Hiegegen liess G._ beschwerdeweise beantragen: "1. Der Einspracheentscheid vom 16. Dezember 2002 sei aufzuheben. 2. Der Beschwerdeführerin seien die ihr seit der Einstellung der Versicherungsleistungen per 1. November 2001 zustehenden UVG-Ansprüche aus- bzw. nachzuzahlen. 3. Eventualiter sei die Vorinstanz anzuweisen, ein interdisziplinäres Gutachten einzuholen und anschliessend, nach erfolgter Stellungnahme der Beschwerdeführerin, neu zu entscheiden. 4. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten der Beschwerdegegnerin." In Gutheissung der Beschwerde von G._ hob das Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserrhoden mit Entscheid vom 19. November 2003 den Einspracheentscheid auf und wies die Allianz an, weiterhin die gesetzlichen Leistungen zu erbringen. Diesen Entscheid hob das Eidgenössische Versicherungsgericht (heute: Bundesgericht) auf Beschwerde der Allianz hin auf (Urteil U 44/04 vom 26. November 2004) und wies die Sache an das kantonale Gericht zurück, damit dieses zur abschliessenden Beantwortung der Frage nach der natürlichen Kausalität nochmals eine orthopädische, neurologische und allenfalls psychiatrische Begutachtung durchführen lasse. A.b Nach Abschluss eines weiteren Gerichtsverfahrens zur Klärung der Zuständigkeitsfrage hinsichtlich der vom Bundesgericht angeordneten Sachverhaltsabklärung (Urteil U 192/05 vom 28. September 2005) holte das kantonale Gericht beim Institut Y._ das Gutachten vom 24. November 2006 ein. Gestützt darauf hiess es die Beschwerde der G._ mit unangefochten in Rechtskraft erwachsenem Entscheid vom 20. Juni 2007 im Hauptpunkt mit folgendem Dispositiv (Ziffer 1) gut: "Die Beschwerde der G._ wird gutgeheissen. Der Einspracheentscheid der Allianz Suisse Versicherungen vom 16. Dezember 2002 wird aufgehoben. Die Beschwerdegegnerin wird angewiesen, über die per 1. November 2001 zustehenden UVG-Ansprüche neu zu verfügen. Dabei ist gemäss dem Gutachten von Dr. med. A. M. S._ vom 24. November 2006 davon auszugehen, dass die Arbeitsfähigkeit ab dem 31. Juli 2000 50 % betragen hat, dass der medizinische Endzustand am 14. Dezember 2002 erreicht wurde und die unfallbedingte Arbeitsunfähigkeit in der angestammten Tätigkeit 25 % beträgt. Der unfallbedingte Integritätsschaden beträgt 10 %." Mit Verfügung vom 30. April 2008, bestätigt durch Einspracheentscheid vom 14. Oktober 2008, sprach die Allianz der Versicherten Taggeldleistungen bei einer Arbeitsunfähigkeit von 50 % vom 31. Juli bis 30. September 2000 sowie bei 25 % Arbeitsunfähigkeit vom 1. Oktober 2000 bis 14. Dezember 2002 zu; Heilbehandlung und Taggeld stellte die Allianz per 14. Dezember 2002 ein, setzte die Integritätsentschädigung auf der Basis einer dauerhaft verbleibenden Beeinträchtigung der gesundheitlichen Unversehrtheit von 10 % fest und verneinte einen Anspruch auf eine Invalidenrente. B. Die hiegegen erhobene Beschwerde der G._ wies das Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserrhoden mit Entscheid vom 19. August 2009 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt G._ unter Aufhebung des angefochtenen Gerichtsentscheids beantragen, die Allianz sei anzuweisen, der Versicherten in Vollzug des Entscheides vom 20. Juni 2007 des Verwaltungsgerichts von Appenzell Ausserrhoden eine Invalidenrente von 25 % ab 14. Dezember 2002 (zuzüglich Verzugszinsen) auszubezahlen. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Während die Allianz auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit (BAG) auf eine Vernehmlassung. 