Sachverhalt: A. A.a. Das Gerichtspräsidium Baden verurteilte X._ am 22. Januar 2010 wegen Rechtsüberholens durch Ausschwenken und Wiedereinbiegen (Art. 35 Abs. 1 SVG in Verbindung mit Art. 8 Abs. 3 der Verkehrsregelnverordnung vom 13. November 1962 [SR 741.11; VRV]) zu einer bedingten Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu je Fr. 780.- und Fr. 5'000.- Busse. Das Obergericht des Kantons Aargau erkannte am 21. März 2011 auf Rechtsüberholen auf der Autobahn (Art. 35 Abs. 1 SVG und Art. 36 Abs. 5 VRV [unerlaubtes Rechtsvorbeifahren]), bestätigte die Geldstrafe und setzte die Busse auf Fr. 3'900.- fest. Das Bundesgericht wies die dagegen erhobene Beschwerde in Strafsachen ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 6B_315/ 2011 vom 24. Oktober 2011). A.b. Mit Verfügung vom 29. Dezember 2011 entzog das Strassenverkehrsamt des Kantons Zürich X._ den Führerausweis in Anwendung von Art. 16c Abs. 1 lit. a und Abs. 2 lit. a SVG für die Dauer von drei Monaten mit Wirkung ab 24. Dezember 2011 bis 23. März 2012. Zur Begründung führte es an, er sei am 20. April 2008 als Lenker eines Personenwagens auf dem zweiten Überholstreifen der Autobahn A1, Fahrtrichtung Zürich, auf ein vor ihm fahrendes Auto aufgeschlossen, sei danach mit seinem Personenwagen nach rechts auf die erste Überholspur ausgeschwenkt, habe das erwähnte und ein weiteres Fahrzeug rechts überholt und habe anschliessend in der Überdachung Neuenhof zurück auf den zweiten Überholstreifen gewechselt. Dadurch habe er für die Insassen dieser zwei Fahrzeuge eine erhöhte Gefahr geschaffen und eine schwere Widerhandlung gegen das Strassenverkehrsgesetz im Sinne von Art. 16c SVG begangen, weshalb ihm der Führerausweis für eine angemessene Dauer zu entziehen sei. In Berücksichtigung aller massgeblichen Zumessungskriterien (Verschulden, Gefährdung der Verkehrssicherheit, langjähriger unbelasteter fahrerischer Leumund) sei eine Entzugsdauer von drei Monaten (gesetzliche Mindestentzugsdauer) angemessen. Die Sicherheitsdirektion Kanton Zürich, Rekursabteilung, trat auf den hiergegen geführten Rekurs nicht ein (Entscheid vom 6. Dezember 2012). B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich wies die gegen den Rekursentscheid vom 6. Dezember 2012 erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 8. April 2013). C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt X._, das Urteil des kantonalen Gerichts sei aufzuheben und es sei ihm eine angemessene Entschädigung zuzusprechen. Das Verwaltungsgericht stellt das Rechtsbegehren, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Sicherheitsdirektion und das Bundesamt für Strassen (ASTRA) schliessen auf Abweisung der Beschwerde. 