Sachverhalt: A. A.a S._ wurde am 24. Januar 1997 im Kantonsspital Basel-Stadt bei der operativen Behebung eines Hydrozephalus verletzt und erlitt eine Schädigung des Gehirns. Sie bezieht bei einem Invaliditätsgrad von 100 % eine ganze Rente der Eidgenössischen Invalidenversicherung und der Beruflichen Vorsorge. A.b Mit Schreiben vom 29. April 1998 liess S._ ihre Arbeitgeberin bitten, der Unfallversicherung das Ereignis vom 24. Januar 1997 als Unfall zu melden. Das Schreiben lautet wie folgt: "Nach Prüfung der Rechtslage habe ich die Überzeugung gewonnen, dass es sich bei der Operation vom 24.1.1997 um einen Unfall im Rechtssinne handelt. Dürfte ich Sie höflich bitten, die entsprechende Anmeldung an die obligatorische Unfallversicherung vorzunehmen und mir davon eine Kopie zuzustellen. Sollte ihre Gesellschaft selbst die obligatorische Unfallversicherung sein, so bitte ich Sie höflich, mir allfällige Zusatzleistungen bekannt zu geben. Bezüglich der Begründung der Tatsache, dass es sich bei der Operation am 24.1.1997 um einen Unfall handelt, werde ich Sie näher informieren bzw. diesen Standpunkt begründen, wenn Ihre Gesellschaft selbst die Unfallversicherung sein sollte. Mit bestem Dank ...". Die Arbeitgeberin leitete das Schreiben an die Helsana Unfall AG (nachfolgend: Helsana) weiter, bei der es am 6. Mai 1998 einging. In der Folge kamen die Parteien darauf nicht mehr zurück. A.c In der Auseinandersetzung mit dem Kanton Basel-Stadt bestritt dieser mit Schreiben vom 29. Mai 1998 mangels Arztfehler beziehungsweise Widerrechtlichkeit seine Haftpflicht. Am 14. Oktober 1999 klagte daraufhin S._ direkt beim Bundesgericht gegen den Kanton Basel-Stadt auf Schadenersatz für Erwerbsausfall, Rentenschaden, Pflege- und Betreuungskosten, Haushaltschaden und vorprozessuale Anwaltskosten sowie Genugtuung. Das Verfahren wurde zunächst auf die Frage der grundsätzlichen Haftung des Beklagten beschränkt und diese mit Urteil 4C.378/1999 des Bundesgerichts vom 23. November 2004 bejaht. Am 5. Juli 2005 wurde das bundesgerichtliche Verfahren fortgesetzt. Mit Replik vom 30. August 2005 zum Quantitativen forderte S._ einen Betrag von insgesamt über Fr. 15'000'000.-. In der Folge kam es zu einem Vergleich, mit dem sich der Haftpflichtige verpflichtete, S._ über die bereits bezahlten Beträge hinaus einen Betrag von Fr. 3'000'000.- (Anwaltskosten eingeschlossen) zu bezahlen, und das Verfahren wurde mit Verfügung des Bundesgerichts vom 1. Juni 2006 abgeschrieben. A.d Mit undatiertem Schreiben, eingegangen bei der ehemaligen Arbeitgeberin am 18. Januar 2007, verwies S._ auf das Urteil des Bundesgerichts vom 23. November 2004, wonach ein Unfall vorliege, und beantragte Leistungen aus Unfall. Am 22. Januar 2007, eingegangen bei der Helsana am 30. Januar 2007, zeigte die ehemalige Arbeitgeberin das Schadenereignis an. Die Helsana verneinte einen Leistungsanspruch mit Verfügung vom 31. Juli 2008. Zur Begründung führte sie an, die Versicherte habe den Leistungsanspruch verwirkt und überdies durch den Vergleich mit dem Haftpflichtversicherer auch über die Regressforderung des Unfallversicherers gegenüber dem Unfallverursacher verfügt. Die dagegen gerichtete Einsprache der Versicherten vom 2. September 2008 wies die Helsana mit Entscheid vom 10. November 2008 ab. B. S._ erhob Beschwerde mit dem Hauptbegehren auf Aufhebung des Einspracheentscheids vom 10. November 2008 und Zusprechung der gesetzlichen Leistungen im Rahmen einer Invalidenrente bei einem Invaliditätsgrad von 100 %, einer maximalen Integritätsentschädigung, einer Hilflosenentschädigung für Hilflosigkeit schweren Grades und Heilungskosten, alles rückwirkend ab 24. Januar 1997 nebst 5 % Zins. Im Eventualbegehren beantragte sie Rückweisung zu weiterer Abklärung und Neubeurteilung. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde mit Entscheid vom 29. September 2010 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ unter Aufrechterhaltung ihrer vorinstanzlichen Begehren die Aufhebung dieses Entscheids beantragen. Die Helsana trägt auf Abweisung an und verlangt mit Eventualantrag, es sei ein Zeuge zu befragen und die vollständigen Akten des Haftpflichtprozesses seien zu edieren. D. Das Bundesgericht gewährt den Parteien das rechtliche Gehör zur Frage, ob die Leistungsansprüche durch die Zahlung des Haftpflichtigen bereits getilgt seien, resp. ob deren Geltendmachung gegenüber der Helsana rechtsmissbräuchlich ist. Davon haben beide Seiten mit Eingaben vom 20. Juli und 25. August 2011 Gebrauch gemacht. 