Sachverhalt: A. A.a Auf Begehren der NML Capital Ltd., mit Sitz in George Town/ Cayman Islands, erliess der Arrestrichter Basel-Stadt am 5. November 2009 gestützt auf Art. 271 Abs. 1 Ziff. 4 SchKG ("Schuldner im Ausland") einen Arrestbefehl gegenüber der Republik Argentinien für die Forderungssumme von Fr. 290'564'577.-- nebst Zinsen (Arrestbefehl Nr. 2009/217). Am gleichen Tag erliess der Arrestrichter auf Begehren der EM Limited, ebenfalls mit Sitz in Cayman Islands, einen weiteren Arrestbefehl gegenüber der Republik Argentinien für die Forderungssumme von Fr. 741'079'460.-- nebst Zinsen (Arrestbefehl Nr. 2009/218). Als Grund der Forderung werden die Urteile Nr. 03 Civ. 8854 bzw. Nr. 03 Civ. 2507 des United States District Court, Southern District of New York, genannt. Als Arrestgegenstände werden in beiden Arrestbefehlen die bei der Bank für Internationalen Zahlungsausgleich (BIZ) in Basel auf den Namen der Republik Argentinien oder der Zentralbank der Republik Argentinien lautenden Guthaben in in- oder ausländischer Währung, Forderungen, Wertschriften (Aktien, Obligationen, Schuldbriefe) sowie Barmittel aufgeführt. A.b Mit Anzeigen vom 5. November 2009 teilte das mit dem Arrestvollzug beauftragte Betreibungsamt des Kantons Basel-Stadt der BIZ die Zahlungs- und Verfügungssperren (gemäss Art. 98 und Art. 99 SchKG) mit. B. B.a Mit Eingaben vom 6. und 13. November 2009 wies die BIZ das Betreibungsamt und die Aufsichtsbehörde über das Betreibungs- und Konkursamt Basel-Stadt darauf hin, dass sie eine internationale Organisation mit Sitz in Basel sei. Gestützt auf das Sitzabkommen aus dem Jahre 1987 sei sie von jeglicher Massnahme der Vollstreckung in der Schweiz befreit. Diese Befreiung erstrecke sich insbesondere auf die der BIZ anvertrauten Werte. Beim Arrestrichter erhob die BIZ keine Einsprache. B.b Das Eidgenössische Departement für auswärtige Angelegenheiten (EDA), Direktion für Völkerrecht, gelangte mit Schreiben vom 26. November/24. Dezember 2009 an die Aufsichtbehörde und bestätigte, dass die BIZ in der Schweiz Immunität für die eigenen und die ihr anvertrauten Vermögenswerte geniesse. Eine Meinungsverschiedenheit über die Immunität der BIZ sei gemäss Sitzabkommen durch Verhandlungen zwischen der Schweiz und der BIZ, allenfalls durch ein Schiedsgericht, jedoch nicht durch die Betreibungsbehörden zu entscheiden. B.c Die NML Capital Ltd. und die EM Limited antworteten mit Eingaben vom 30. November 2009/1. Februar 2010 der Aufsichtsbehörde, dass die Berufung auf die Immunität zweckwidrig bzw. missbräuchlich sei. Es sei bekannt, dass die Republik Argentinien nach der Einstellung ihrer Zahlungen über die von der Regierung abhängige Zentralbank Gelder in Milliardenhöhe bei der BIZ deponiert habe, um das Staatsvermögen dem Zugriff von Gläubigern aus Staatsanleihen zu entziehen. Sie hätten zudem Anspruch auf Zugang zu einem Gericht, welches über die Immunität entscheide. C. Mit Urteil vom 23. April 2010 stellte die kantonale Aufsichtsbehörde die Nichtigkeit der beiden Arrestbefehle (Nr. 2009/217 und Nr. 2009/218) vom 5. November 2009 fest. D. Die NML Capital Ltd. und die EM Limited führen mit Eingabe vom 10. Mai 2010 Beschwerde in Zivilsachen. Die Beschwerdeführerinnen beantragen dem Bundesgericht, das Urteil der kantonalen Aufsichtsbehörde aufzuheben und festzustellen, dass die beiden Arrestbefehle des Arrestrichters Basel-Stadt sowie die Anzeigen des Betreibungsamtes Basel-Stadt gültig seien. Eventualiter sei die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen, ferner seien lediglich die Anzeigen des Betreibungsamtes für nichtig zu erklären. Weiter verlangen die Beschwerdeführerinnen aufschiebende Wirkung sowie die Suspendierung des bundesgerichtlichen Verfahrens, damit sie bei der BIZ erneut einen Verzicht der Immunität bzw. beim EDA ein entsprechendes Vorgehen erwirken könne. Mit Präsidialverfügung vom 12. Mai 2010 wurde der Beschwerde superprovisorisch im Sinne der Erwägungen sowohl die aufschiebende Wirkung gewährt als auch das bundesgerichtliche Verfahren bis auf Weiteres sistiert. Das Betreibungsamt widersetzt sich gemäss Mitteilung vom 8. Juni 2010 den beiden Verfahrensanträgen nicht. Die BIZ als Beschwerdegegnerin beantragt mit Eingabe vom 14. Juni 2010 die Abweisung der Gesuche um aufschiebende Wirkung und Suspendierung des bundesgerichtlichen Verfahrens. Im Übermittlungsschreiben vom 15. Juni 2010 schliesst sich das EDA diesen Anträgen an. In der Sache sind keine weiteren Vernehmlassungen eingeholt worden. 