Faits: A. F._ de nationalité portugaise, est entrée en Suisse en 1987. Dès le 1er juillet 2000, elle a travaillé en qualité d'aide à domicile. Elle a oeuvré également à partir du 1er avril 2007 en qualité d'employée à l'entretien des locaux et au service de restauration, avant d'être en arrêt de travail dès le 21 octobre 2009. Du 27 janvier au 16 février 2010, elle a séjourné à la Clinique X._, dont les médecins ont posé le diagnostic principal de trouble dépressif récurrent, épisode actuel modéré avec somatisations ([CIM-10] F33.11), et retenu un trouble somatoforme douloureux (F45.4) comme comorbidité (rapport du 2 mars 2010). Le 26 mai 2010, le docteur W._, spécialiste en psychiatrie au sein de la Clinique C._, a examiné F._ et consigné ses conclusions dans un rapport daté du même jour. L'institution de prévoyance professionnelle de F._ a annoncé à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève une incapacité de travail de 100 % depuis le 12 novembre 2009, pour une détection précoce. Un entretien s'est tenu le 16 juin 2010, à la suite duquel F._ a présenté le 24 juin 2010 une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un rapport produit le 22 juillet 2010, le docteur L._, spécialiste en médecine générale, a posé les diagnostics avec effet sur la capacité de travail de trouble dépressif récurrent et de trouble somatoforme douloureux, en indiquant que l'incapacité de travail était de 100 % depuis octobre 2009, d'une durée indéterminée, et que l'activité exercée jusque-là n'était plus exigible. Dans un rapport du 28 juillet 2010, le docteur D._, spécialiste FMH en psychiatrie-psychothérapie, a retenu les diagnostics avec effet sur la capacité de travail de trouble dépressif récurrent épisode actuel modéré (F33.1) et de troubles somatoformes douloureux (F45.4), ainsi que d'obésité stade 1 (E66.9) et d'asthme sans signe d'activité (J45.9), et conclu à une incapacité de travail de 100 % en ce qui concerne l'état de santé "actuel" de la patiente, dont les troubles de l'humeur ne permettaient pas d'exercer une activité professionnelle (questionnaire du 28 juillet 2010; rapport du 18 août 2010). Le 15 novembre 2010, les docteurs G._ (spécialiste FMH en médecine interne et rhumatologie) et E._ (spécialiste FMH en psychiatrie-psychothérapie), médecins SMR, ont procédé à un examen clinique rhumatologique et psychiatrique. Dans un rapport du 20 décembre 2010, ils ont noté de discrets troubles statiques du rachis, lesquels étaient trop discrets pour définir des limitations fonctionnelles ainsi qu'une incapacité de travail, et conclu à une capacité de travail complète d'un point de vue rhumatologique dans toute activité professionnelle. Relevant que l'examen ne permettait pas de mettre en évidence les signes cliniques d'un trouble dépressif selon la CIM-10, ils ont considéré que les troubles de l'humeur de l'assurée étaient caractéristiques de la dysthymie ([CIM-10] F34.1), alors que ses plaintes douloureuses correspondaient aux critères diagnostiques du syndrome somatoforme douloureux persistant (F45.4), lequel était sans répercussion sur la capacité de travail vu qu'il n'était pas accompagné d'une comorbidité psychiatrique manifeste, la dysthymie n'étant pas considérée comme invalidante. Dans un rapport du 6 janvier 2011, le docteur A._, médecin SMR, a conclu à une capacité de travail exigible de 100 % dans l'activité habituelle (théoriquement depuis toujours) et dans une activité adaptée (théoriquement depuis toujours; à traduire en termes de métier par un spécialiste de la réadaptation professionnelle). L'office AI, dans un préavis du 14 janvier 2011, a informé F._ des conclusions des médecins du SMR niant toute incapacité de travail durable et du rejet de sa demande. Par décision du 23 février 2011, l'office AI a nié tout droit de F._ à des prestations de l'assurance-invalidité. B. Le 30 mars 2011, F._ a formé recours contre cette décision devant la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, en concluant à son annulation, la juridiction cantonale étant invitée à dire et prononcer qu'elle avait droit à une rente entière pour une invalidité de 100 % à compter du 1er juin 2010, à titre subsidiaire à une demi-rente pour une invalidité de 50 % au moins à compter du 1er juin 2010, et à titre plus subsidiaire à des mesures d'observation professionnelle. A titre préalable, elle demandait que soit ordonnée une nouvelle expertise bidisciplinaire (rhumatologique et psychiatrique) et requérait l'audition des docteurs D._ et L._. Dans sa réponse du 18 avril 2011, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève a conclu au rejet du recours. Interpellé par la juridiction cantonale, le docteur D._ a déposé ses conclusions dans un rapport du 23 mai 2011 et un rapport complémentaire du 6 juin 2011. Le docteur B._, médecin-chef de la Clinique X._, en a fait de même dans un rapport du 23 août 2011. La juridiction cantonale a confié une expertise médicale au docteur N._, spécialiste FMH en psychiatrie-psychothérapie. Dans un rapport du 11 janvier 2012, ce médecin a posé le diagnostic de trouble dépressif récurrent, épisode actuel atypique ([CIM-10] F33.8). Répondant aux questions posées par le tribunal, l'expert a considéré qu'un emploi représentant une capacité de travail globale de 50 %, dans une profession équivalente à la dernière profession exercée, représentait un effort exigible de la part de F._, qui du point de vue médico-théorique pourrait exercer une activité lucrative correspondant à une capacité de travail de 50 %, soit à un taux de 100 % avec un rendement de 50 %, ou à un taux plus faible avec un rendement meilleur, activité qui pourrait être exigible dès "à présent". Dans un rapport complémentaire du 8 mars 2012, le docteur N._ a déclaré qu'il n'était pas possible de son point de vue "actuel" de préciser les fluctuations de la capacité de travail entre 2009 et 2012; il se prononçait donc pour une capacité de travail de 50 % à la date de son expertise du 11 janvier 2012. Par arrêt du 14 mai 2012, la juridiction cantonale, admettant partiellement le recours, a annulé la décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève du 23 février 2011 et dit que F._ avait droit à un quart de rente d'invalidité depuis le 1er novembre 2010. C. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il conclut à l'annulation. Il demande que la décision de refus de prestations du 23 février 2011 soit confirmée. Il sollicite l'octroi de l'effet suspensif au recours, ce qui lui a été accordé par ordonnance du 30 août 2012. F._ conclut, sous suite de frais et dépens, au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. 