Sachverhalt: Sachverhalt: A. Die Bezirksanwaltschaft Zürich erhob am 31. Oktober 2002 gegen X._ Anklage wegen Drohung und Hausfriedensbruchs. Sie führte in der Anklageschrift aus, X._ habe am 10. April 2002, ca. 20.00 Uhr, im Treppenhaus der Liegenschaft Z._ in Zürich an der Wohnungstüre seiner Nachbarin Y._ geläutet, um sich über Lärmbelästigung durch Türeschlagen zu beschweren. Als Frau Y._ die Türe etwas geöffnet habe, habe der Angeklagte sofort versucht, in ihre Wohnung einzudringen, und er habe seinen Fuss zwischen Türe und Türschwelle in die Wohnung von Frau Y._ gesetzt. Diese habe indessen die Türe wieder zuschlagen können, und der Angeklagte habe seinen Fuss wieder zurücknehmen müssen. Er habe dann Y._ durch die unterdessen von ihr verschlossene Türe heftig angeschrieen, so dass sie durch das Vorgehen des Angeklagten (Versuch, in ihre Wohnung einzudringen, und anschliessendes heftiges Anschreien) stark geängstigt worden sei. Die Einzelrichterin in Strafsachen am Bezirksgericht Zürich sprach X._ am 28. Januar 2003 der Drohung und des Hausfriedensbruchs schuldig und bestrafte ihn mit zehn Tagen Gefängnis, unter Gewährung des bedingten Strafvollzuges. Der Angeklagte legte Berufung ein. Das Obergericht des Kantons Zürich trat mit Beschluss vom 25. April 2003 auf die Anklage betreffend Drohung nicht ein. Mit Urteil vom gleichen Datum sprach es X._ des Hausfriedensbruchs schuldig und bestrafte ihn mit einer Busse von Fr. 800.--. Gegen dieses Urteil erhob X._ eine kantonale Nichtigkeitsbeschwerde. Das Kassationsgericht des Kantons Zürich trat mit Zirkulationsbeschluss vom 27. November 2003 auf die Beschwerde nicht ein. A. Die Bezirksanwaltschaft Zürich erhob am 31. Oktober 2002 gegen X._ Anklage wegen Drohung und Hausfriedensbruchs. Sie führte in der Anklageschrift aus, X._ habe am 10. April 2002, ca. 20.00 Uhr, im Treppenhaus der Liegenschaft Z._ in Zürich an der Wohnungstüre seiner Nachbarin Y._ geläutet, um sich über Lärmbelästigung durch Türeschlagen zu beschweren. Als Frau Y._ die Türe etwas geöffnet habe, habe der Angeklagte sofort versucht, in ihre Wohnung einzudringen, und er habe seinen Fuss zwischen Türe und Türschwelle in die Wohnung von Frau Y._ gesetzt. Diese habe indessen die Türe wieder zuschlagen können, und der Angeklagte habe seinen Fuss wieder zurücknehmen müssen. Er habe dann Y._ durch die unterdessen von ihr verschlossene Türe heftig angeschrieen, so dass sie durch das Vorgehen des Angeklagten (Versuch, in ihre Wohnung einzudringen, und anschliessendes heftiges Anschreien) stark geängstigt worden sei. Die Einzelrichterin in Strafsachen am Bezirksgericht Zürich sprach X._ am 28. Januar 2003 der Drohung und des Hausfriedensbruchs schuldig und bestrafte ihn mit zehn Tagen Gefängnis, unter Gewährung des bedingten Strafvollzuges. Der Angeklagte legte Berufung ein. Das Obergericht des Kantons Zürich trat mit Beschluss vom 25. April 2003 auf die Anklage betreffend Drohung nicht ein. Mit Urteil vom gleichen Datum sprach es X._ des Hausfriedensbruchs schuldig und bestrafte ihn mit einer Busse von Fr. 800.--. Gegen dieses Urteil erhob X._ eine kantonale Nichtigkeitsbeschwerde. Das Kassationsgericht des Kantons Zürich trat mit Zirkulationsbeschluss vom 27. November 2003 auf die Beschwerde nicht ein. B. X._ reichte mit Eingabe vom 14. Januar 2004 beim Bundesgericht staatsrechtliche Beschwerde gegen das Urteil des Obergerichts und den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts ein. B. X._ reichte mit Eingabe vom 14. Januar 2004 beim Bundesgericht staatsrechtliche Beschwerde gegen das Urteil des Obergerichts und den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts ein. C. Das Obergericht und das Kassationsgericht des Kantons Zürich verzichteten auf eine Vernehmlassung. Die Beschwerdegegnerin Y._ äusserte sich in einer von ihr selber verfassten Eingabe vom 20. Januar 2004 zu bestimmten Behauptungen des Beschwerdeführers, ohne einen Antrag zu stellen. 