Sachverhalt: A. Am 12. Dezember 2012 fand die ordentliche Kirchgemeindeversammlung der Reformierten Kirchgemeinde Solothurn statt. Ein Traktandum bildete die Totalrevision der Gemeindeordnung. In der revidierten Gemeindeordnung ist insbesondere vorgesehen, dass die Pfarrpersonen neu vom Kirchgemeinderat statt wie bis anhin vom Volk gewählt werden. A._, zum damaligen Zeitpunkt Gemeindepfarrer, beantragte, auf das Geschäft sei nicht einzutreten. Nachdem sich der vom Kirchgemeinderat beauftragte externe Experte zu Wort gemeldet und sich gegen ein Nichteintreten ausgesprochen hatte, stimmte die Versammlung über den Nichteintretensantrag ab und verwarf diesen mit grossem Mehr. In der Detailberatung wurde ein Antrag, die Urnenwahl der Pfarrpersonen beizubehalten, abgelehnt. In der Schlussabstimmung wurde die neue Gemeindeordnung angenommen. Mit Beschwerde vom 18. Dezember 2012 an den Regierungsrat des Kantons Solothurn beantragte A._, die Beschlüsse der Kirchgemeindeversammlung vom 12. Dezember 2012 betreffend Eintreten auf die Vorlage "Totalrevision der Gemeindeordnung" und betreffend Annahme dieser Vorlage seien aufzuheben. Mit Beschluss vom 25. Februar 2013 wies der Regierungsrat die Beschwerde ab. A._ focht diesen Beschluss entsprechend der ihm erteilten Rechtsmittelbelehrung am 26. März 2013 mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht an. Das Bundesgericht trat mit Urteil vom 26. September 2013 auf die Beschwerde mangels Letztinstanzlichkeit des angefochtenen Entscheids nicht ein und überwies die Eingabe vom 26. März 2013 dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn zur Behandlung (Urteil 1C_331/2013 vom 26. September 2013). Mit Urteil vom 10. Februar 2014 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 17. März 2014 beantragt A._ in der Hauptsache die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts vom 10. Februar 2014 sowie der unterinstanzlichen Beschlüsse. Die Reformierte Kirchgemeinde Solothurn und das Verwaltungsgericht beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Der Regierungsrat stellt Antrag auf Beschwerdeabweisung. Der Beschwerdeführer hält in weiteren Eingaben an seinem Standpunkt und an seinen Anträgen fest. 