Faits: A. X._, ressortissant ivoirien né en 1978, a été interpellé à Bâle le 24 janvier 2001, sans être en possession de documents d'identité. Le lendemain, il a déposé une demande d'asile en Suisse. Par décision du 31 juillet 2001, l'Office fédéral des réfugiés (devenu entre-temps l'Office fédéral des migrations [ci-après: l'Office fédéral]) a rejeté la demande d'asile du prénommé et prononcé son renvoi de Suisse. Le 15 novembre 2001, la Commission fédérale de recours en matière d'asile a confirmé ce prononcé. Le 20 novembre 2001, l'Office fédéral des réfugiés a imparti à X._ un délai de départ au 15 décembre 2001. Le 5 décembre 2001, le prénommé a été annoncé comme disparu. B. Le 4 janvier 2002, X._ a épousé à Z._ Y._, ressortissante suisse née en 1953. A la suite de cette union, il a obtenu une autorisation de séjour, qui a été régulièrement renouvelée. Statuant le 10 mars 2004 sur une requête de mesures protectrices de l'union conjugale, le Tribunal de première instance du canton de Genève a autorisé les époux X.Y._ à vivre séparés. Le 1er septembre 2004, X._ a quitté le domicile conjugal et emménagé dans son propre appartement. Le 9 décembre 2004, l'Office cantonal de la population du canton de Genève (ci-après: l'Office cantonal) s'est adressé à X._et Y._ afin de connaître leurs intentions. Le 1er janvier 2005, le prénommé a répondu qu'il aimait son épouse et souhaitait reprendre la vie commune. Pour sa part, son épouse a déclaré le 6 janvier 2005 que la séparation continuait, que la reprise de la vie commune n'était pas envisageable et que le divorce suivrait dès que possible. Le 3 février 2005, l'Office cantonal a informé X._ de son intention de ne pas renouveler son permis de séjour, au motif qu'il se prévalait de manière abusive de son mariage pour obtenir le renouvellement de l'autorisation en question. Le 23 mai 2005, l'Office cantonal a réitéré ses questions du 9 décembre 2004. Le 26 mai 2005, Y._ a réaffirmé qu'elle souhaitait tout mettre en oeuvre pour divorcer le plus tôt possible. Par courrier du 16 juin 2005, X._ a relevé qu'aucune procédure de divorce n'avait été engagée et qu'il espérait pouvoir se remettre en ménage avec son épouse. C. Par décision du 11 juillet 2005, l'Office cantonal a refusé de renouveler l'autorisation de séjour de X._ et lui a imparti un délai au 10 octobre 2005 pour quitter le territoire suisse. X._ a déféré cette décision à la Commission cantonale de recours de police des étrangers, qui a admis le recours par prononcé du 7 mars 2006. Cette autorité a estimé qu'il se justifiait de renouveler le titre de séjour de l'intéressé pour des motifs d'opportunité, au vu de de la durée de son séjour en Suisse, de son intégration et du fait que la rupture de la relation conjugale ne lui était nullement imputable, puisqu'aux dires de Y._ il s'était comporté en époux exemplaire. Le 2 mai 2006, l'Office cantonal a soumis le cas pour approbation à l'Office fédéral. Par décision du 31 juillet 2006, l'Office fédéral a refusé d'approuver la prolongation de l'autorisation de séjour de X._. A l'encontre de cette décision, X._ a recouru au Département fédéral de justice et police. L'instruction de la cause a été reprise par le Tribunal administratif fédéral, désormais compétent pour con- naître des recours contre les décisions de l'Office fédéral. Le 31 juillet 2008, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours. Il a considéré que, depuis leur séparation, les époux X.Y._ avaient vécu chacun de leur côté, sans manifester sérieusement et concrètement la volonté de reprendre la vie commune. Il a estimé que, par conséquent, le mariage n'existait plus que formellement et qu'il était abusif de la part de X._ de s'en prévaloir aux fins d'obtenir le renouvellement de son autorisation de séjour. En outre, il a considéré qu'en refusant de donner son approbation, l'Office fédéral n'avait pas outrepassé son pouvoir d'appréciation. En effet, s'il était vrai que l'intéressé était très apprécié de son employeur, qu'il n'avait pas recouru à l'assistance publique - hormis la période où il était demandeur d'asile - et qu'il s'acquittait régulièrement de sa contribution d'entretien à l'égard de son épouse, ces éléments n'avaient pas un poids suffisant pour justifier la poursuite de son séjour en Suisse. D. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 31 juillet 2008, de dire qu'il a droit à la prolongation de son autorisation de séjour et d'enjoindre l'Office fédéral de donner son consentement à ladite prolongation, le tout sous suite de frais et dépens. Il n'a pas été requis d'observations. 