Sachverhalt: A. Der 1958 geborene S._ war bis Ende September 2005 als Service-Mitarbeiter angestellt und deshalb bei der GastroSocial Pensionskasse (nachfolgend: Pensionskasse) für die berufliche Vorsorge versichert. Im September 2005 meldete er sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach ihm die IV-Stelle des Kantons Zürich mit Verfügungen vom 8. Dezember 2010 eine Dreiviertelsrente ab 1. Januar 2006 und eine ganze Invalidenrente ab 1. Dezember 2007 zu. Die Verfügungen stellte sie auch der Pensionskasse zu. Diese anerkannte vorerst einen Anspruch auf eine Dreiviertelsrente ab 21. Januar 2007 und verneinte eine weitergehende Leistungspflicht aus beruflicher Vorsorge. B. Am 4. Mai 2012 liess S._ Klage gegen die Pensionskasse erheben mit dem Rechtsbegehren, diese sei zu verpflichten, ihm ab 1. Dezember 2007 eine volle Invalidenrente auszurichten. Die Pensionskasse liess auf "vollumfängliche" Klageabweisung schliessen. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die Klage mit Entscheid vom 23. August 2013 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ beantragen, der Entscheid vom 23. August 2013 sei aufzuheben und es sei ihm eine ganze BVG-Invalidenrente, eventualiter eine Dreiviertelsrente, zuzusprechen; subeventualiter sei die Sache zwecks Einholung einer neuen ärztlichen Beurteilung an das kantonale Gericht zurückzuweisen. 