Faits: Faits: A. A.a Le 19 octobre 1990, le motocycliste A._, qui circulait sur une route du canton de Genève, a été renversé par une voiture et grièvement blessé. Il souffre, depuis lors, d'une paraplégie complète et définitive. Le véhicule était conduit par M._; son détenteur, le père de la conductrice, était assuré en responsabilité civile par l'assurance X._ (ci-après: X._), laquelle a admis la pleine et entière responsabilité de son assuré. A.b Assisté d'un avocat, A._ a fait valoir diverses prétentions auprès de X._. Une convention d'indemnisation pour solde de tout compte a été conclue le 19 juillet 2002. Elle réservait le règlement des frais médicaux futurs ainsi que la participation aux honoraires de l'avocat du lésé. Les parties ne sont pas parvenues à s'entendre, lors de leurs discussions ultérieures, au sujet des sommes réclamées par l'intéressé pour ces deux postes du dommage. A la demande du conseil de A._, la Commission genevoise de taxation des honoraires d'avocat, par décision du 14 juin 2004, a taxé la note d'honoraires de cet avocat à 152'297 fr. pour l'activité déployée du 4 décembre 1990 au 28 août 2002. A._ a tenté, sans succès, d'obtenir le paiement de cette somme par X._. A la demande du conseil de A._, la Commission genevoise de taxation des honoraires d'avocat, par décision du 14 juin 2004, a taxé la note d'honoraires de cet avocat à 152'297 fr. pour l'activité déployée du 4 décembre 1990 au 28 août 2002. A._ a tenté, sans succès, d'obtenir le paiement de cette somme par X._. B. Le 9 mai 2005, A._ a ouvert action contre X._ en vue d'obtenir le paiement de ces 152'297 fr., augmentés des intérêts à 5% à compter du 1er janvier 1997. Il a encore réclamé, intérêts en sus, le paiement de 7'795 fr. 60, au titre des honoraires d'avocat pour la période postérieure à la conclusion de la convention d'indemnisation, ainsi que 26'097 fr. 50 pour les frais médicaux futurs non couverts par les assurances sociales. Soulevant l'exception de prescription, la défenderesse a conclu au rejet de la demande. Par jugement du 2 mars 2006, restreint à cette question, le Tribunal de première instance du canton de Genève a écarté l'exception de prescription. Saisie par la défenderesse, la Chambre civile de la Cour de justice, statuant le 17 novembre 2006, a annulé le jugement de première instance, constaté la prescription de la prétention du demandeur relative à ses honoraires d'avocat pour la période du 4 décembre 1990 au 28 août 2002 et rejeté l'exception de prescription pour le surplus. Saisie par la défenderesse, la Chambre civile de la Cour de justice, statuant le 17 novembre 2006, a annulé le jugement de première instance, constaté la prescription de la prétention du demandeur relative à ses honoraires d'avocat pour la période du 4 décembre 1990 au 28 août 2002 et rejeté l'exception de prescription pour le surplus. C. Le demandeur recourt en réforme au Tribunal fédéral. Il conclut, en substance, à ce qu'il soit constaté que la créance jugée prescrite par la cour cantonale ne l'est pas. La défenderesse propose le rejet du recours. 