Faits: A. W._ a travaillé en qualité de secrétaire à raison de 60 % d'un horaire complet au service de la société X._ SA jusqu'au 30 septembre 2007, date à laquelle elle a été licenciée par son employeur. Elle a requis l'octroi d'une indemnité de chômage dès le 29 octobre 2007 et bénéficié de prestations jusqu'à la fin du mois de mai 2008. Par courrier du 1er juillet 2008, l'Office régional de placement de Lausanne (ORP) a informé la Caisse cantonale de chômage du canton de Vaud (ci-après: la caisse) que l'assurée était inscrite au registre du commerce, depuis le mois de juillet 2000, en qualité d'administratrice de la société X._ SA, avec droit de signature individuelle. Invitée à se déterminer, l'intéressée a indiqué qu'elle n'avait jamais eu une fonction dirigeante dans la société et que son inscription au registre du commerce avait seulement pour but de lui permettre de signer certains documents en l'absence de sa supérieure hiérarchique S._, administratrice avec droit de signature individuelle. Par ailleurs, elle n'avait pas indiqué l'existence de cette inscription dans sa demande d'indemnité de chômage car son ex-employeur lui avait promis de requérir la radiation au registre du commerce. Par deux décisions du 12 août 2008, confirmées sur opposition le 17 novembre suivant, la caisse a nié le droit de l'assurée à une indemnité de chômage à partir du 29 octobre 2007 et lui a réclamé la restitution d'un montant de 16'723 fr. 10 représentant les prestations indûment perçues du 29 octobre 2007 au 31 mai 2008. Elle a considéré, en résumé, que l'intéressée, inscrite au registre du commerce en qualité d'administratrice de la société, avait conservé le pouvoir d'influencer les décisions de son ancien employeur. En revanche, elle était disposée à réexaminer la situation à partir du 24 octobre 2008, date à laquelle l'inscription au registre du commerce avait été radiée. B. W._ a recouru contre la décision sur opposition devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud. Par jugement du 1er décembre 2009, la juridiction cantonale a partiellement admis le recours. Elle a annulé la décision sur opposition attaquée en tant qu'elle nie le droit de l'assurée à l'indemnité de chômage à partir du 9 octobre 2008, date à laquelle elle a démissionné du conseil d'administration de la société, et elle a renvoyé la cause à la caisse pour qu'elle statue sur le droit de l'intéressée à l'indemnité de chômage dès cette date, la décision entreprise étant confirmée pour le surplus. C. W._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande la réforme en ce sens qu'elle a droit à l'indemnité de chômage dès le 1er octobre 2007 et que la décision de restitution des prestations perçues est annulée. Subsidiairement, elle conclut à l'annulation du jugement et au renvoi de la cause au tribunal cantonal ou à la caisse pour nouvelle décision au sens des considérants, le tout sous suite de dépens. En outre, elle demande l'effet suspensif au recours et sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire, ainsi que la désignation de Me Heim en qualité d'avocat d'office. La caisse intimée s'en remet à justice en ce qui concerne tant les conclusions du recours que l'octroi de l'effet suspensif. La juridiction cantonale se réfère purement et simplement à son jugement, tandis que le Secrétariat d'Etat à l'économie a renoncé à présenter des déterminations. D. Par ordonnance du 2 juin 2010, le juge instructeur a admis la requête d'effet suspensif. 