A.- Les époux Z._ étaient propriétaires d'un immeuble à Corsier. Depuis 1984, ils avaient laissé l'usage de cet immeuble à leur petit-fils, X._. En échange, celui-ci avait mis un appartement à leur disposition, dont il assumait partiellement le paiement du loyer. En 1988, lesdits époux ont fait donation de l'immeuble précité à Y._, leur fille et belle-fille, mère de X._; celle-ci en a laissé l'usage à son fils sans lui réclamer de loyer. En 1999, à la suite du divorce de X._ et du départ de ses enfants de la maison de Corsier, Y._ a, dans un premier temps, demandé à son fils de lui payer un loyer, puis elle l'a enjoint de quitter les lieux. X._ a opposé une fin de non-recevoir à sa mère. Le 16 mai 2000, Y._ a ouvert action en revendication contre X._. B.- Par jugement du 14 décembre 2000, le Tribunal de première instance du canton de Genève a, préalablement, déclaré irrecevables les conclusions en paiement d'une indemnité pour occupation illicite de l'immeuble formulées par Y._. Au fond, il a condamné X._ à évacuer immédiatement de sa personne et de ses biens l'immeuble sis à Corsier. Statuant le 15 juin 2001 sur l'appel de X._, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a confirmé le jugement de première instance. C.- a) Agissant par la voie du recours en réforme au Tribunal fédéral, X._ conclut principalement à l'annulation de l'arrêt du 15 juin 2001 et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour qu'elle complète les faits avant de statuer à nouveau, l'intimée étant déboutée de toutes autres, plus amples ou contraires conclusions. Subsidiairement, au cas où il serait condamné à restituer le bien immobilier considéré à la demanderesse, il demande au Tribunal fédéral de dire qu'il est fondé à en refuser la délivrance tant et aussi longtemps qu'elle ne lui aura pas remboursé les impenses qu'il a faites. L'intimée, alors représentée par un avocat, a déposé une réponse dans laquelle elle conclut à ce qu'il lui soit donné acte qu'elle ne s'oppose pas à un renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour compléter les constatations de fait, et à ce qu'il soit dit que chacune des parties supportera elle-même ses propres frais. b) Le recourant a également formé un recours de droit public contre le même arrêt. 