Sachverhalt: A. Am 30. August 2010 leitete Rechtsanwalt X._ im eigenen Namen und als Bevollmächtigter der Z._ AG beim Amtsgerichtspräsidenten III von Luzern-Stadt für Fr. 293'074.90 nebst Zins zu fünf Prozent seit 14. Februar 2006 gegen den Kanton Luzern die Betreibung ein. Der Amtsgerichtspräsident setzte X._ mit Verfügung vom 1. September 2010 eine Frist, um seine Vertretungsberechtigung mittels einer aktuellen schriftlichen Vollmacht nachzuweisen; andernfalls gehe er davon aus, es bestehe keine Vertretungsbefugnis, und führe auf dem Zahlungsbefehl nur X._ als Gläubiger auf. B. In eigenem Namen und im Namen der Z._ AG erhob X._ darauf Beschwerde beim Obergericht des Kantons Luzern. Er beantragte, die Verfügung des Amtsgerichtspräsidenten vom 1. September 2010 betreffend Nachreichung der Vollmacht aufzuheben und den Zahlungsbefehl gemäss Betreibungsbegehren zuzustellen. Weiter wies er darauf hin, er habe die Beschwerde auch dem Amtsgerichtspräsidenten III von Luzern-Stadt zugestellt, und bat das Obergericht um einen Vorentscheid betreffend die sachliche Zuständigkeit. In prozessualer Hinsicht verlangte X._ unter anderem, die Namen der am Beschwerdeentscheid mitwirkenden Richter seien ihm mitzuteilen (Eingabe vom 13. September 2010). Am 4. Oktober 2010 teilte Oberrichter Y._ X._ mit, die Beschwerde werde von der Schuldbetreibungs- und Konkurskommission des Obergerichts als oberer Beschwerdeinstanz beurteilt werden, und gab ihm die Zusammensetzung des Spruchkörpers bekannt. X._ erhielt Gelegenheit zur Stellungnahme. Er liess sich aber nicht vernehmen. Der Amtsgerichtspräsident III von Luzern-Stadt erklärte die bei ihm in gleicher Sache hängige Beschwerde am 20. Oktober 2010 als erledigt. Die Schuldbetreibungs- und Konkurskommission des Obergerichts wies die Beschwerde von X._mit Entscheid vom 23. November 2010 ab. C. C.a Hierauf gelangte X._ - diesmal ausschliesslich in eigenem Namen - mit Beschwerde an das Bundesgericht (Eingabe vom 12. Januar 2011). In Ziff. 1 seiner Anträge stellte er das Begehren, den Entscheid des Obergerichts vom 23. September 2010, dessen Verfügung vom 4. Oktober 2010 sowie die Verfügung des Amtsgerichtspräsidenten III von Luzern-Stadt vom 1. September 2010 aufzuheben; eventuell sei zusätzlich die Nichtigkeit dieser drei Verfügungen festzustellen. In neun weiteren Ziffern stellte X._ eine Reihe zusätzlicher Anträge. Diese betrafen zum einen verschiedene Modalitäten des Verfahrens, die das Bundesgericht seiner Ansicht nach einzuhalten hatte. Zum andern bezogen sie sich auf den Inhalt des Entscheides, den das Bundesgericht in Gutheissung seiner Beschwerde fällen sollte. C.b Das Bundesgericht trat auf die Beschwerde von X._ nicht ein. Es erwog, beim angefochtenen Entscheid des Obergerichts betreffend die Nachreichung einer Vollmacht handle es sich um einen Zwischenentscheid über eine formelle Voraussetzung im Verfahren der Ausstellung des Zahlungsbefehls für die Z._ AG. Das Bundesgericht kam zum Schluss, X._ habe nicht dargetan, dass dieser selbständig eröffnete Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 Abs. 1 BGG anfechtbar wäre. Entsprechend dem Verfahrensausgang auferlegte es X._ die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- (Urteil 5A_28/2011 vom 21. März 2011). D. D.a Mit als "Gesuch um Revision und Kostenbefreiung" bezeichneter Eingabe vom 29. April 2011 beantragt X._ (fortan "Gesuchsteller"), das bundesgerichtliche Urteil vom 21. März 2011 aufzuheben und das Revisionsgesuch gutzuheissen (Begehren Ziff. 1); von einer zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts sei ein neues Urteil zu fällen, das sämtliche Anträge der Beschwerde vom 12. Januar 2011 behandelt (Begehren Ziff. 2). In prozessualer Hinsicht stellt der Gesuchsteller folgende Anträge: Erstens sei aufgrund der besonderen Umstände im Sinne von Art. 66 Abs. 1 BGG auf die Erhebung von Kosten sowohl für das vorliegende Revisionsverfahren als auch für das Beschwerdeverfahren 5A_28/2011 zu verzichten (Begehren Ziff. 3). Weiter sei dem Revisionsgesuch die aufschiebende Wirkung zu erteilen, das heisst im Sinne einer vorsorglichen Massnahme gemäss Art. 126 BGG sei die Bundesgerichtskasse anzuweisen, das Inkasso der im Beschwerdeentscheid verfügten Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- einstweilen auszusetzen. Ferner sei das neu seit 1. Januar 2011 gemäss § 5 des luzernischen Einführungsgesetzes zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs vom 22. Oktober 1996 (SRL 290; EG SchKG/LU) zuständige Konkursamt Luzern anzuweisen, den Zahlungsbefehl an den betriebenen Schuldner Kanton Luzern zuzustellen oder die Zustellung einstweilen auszusetzen, analog der bundesgerichtlichen vorsorglichen Massnahme vom 1. Februar 2011 im Verfahren 5A_28/2011 (Begehren Ziff. 4). Der Gesuchsteller beantragt überdies, diejenigen Bundesrichter bekanntzugeben, die das Revisionsgesuch behandeln, und einen andern Instruktionsrichter einzusetzen (Begehren Ziff. 5). Schliesslich habe das Bundesgericht das Revisionsgesuch und die Beschwerde gemäss Art. 102 BGG den anderen Verfahrensbeteiligten sowie dem Bundesamt für Justiz zuzustellen, damit der Bund so die Einhaltung des Bundesrechts überwachen könne (Begehren Ziff. 6). D.b Mit Verfügung vom 2. Mai 2011 wies die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung das Gesuch um Kostenerlass (Begehren Ziff. 3) ab und setzte dem Gesuchsteller eine Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 2'000.--. Ebenso wies sie das Gesuch um aufschiebende Wirkung (Begehren Ziff. 4) ab. Was die Zusammensetzung der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts anbelangt (Begehren Ziff. 5), verwies die Präsidentin den Gesuchsteller auf den Staatskalender. D.c Mit Schreiben vom 11. Mai 2011 ersuchte der Gesuchsteller das Bundesgericht darum, auch über die in Begehren Ziff. 4 beantragte vorsorgliche Massnahme zu befinden, wonach vorläufig keinerlei Amtshandlungen vorzunehmen seien. D.d Mit Verfügung vom 13. Mai 2011 wies das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen ab. 