Sachverhalt: A. Die aus Serbien und Montenegro stammende X._ (geb. 6. August 1959) ist seit dem Jahr 2000 in der Schweiz vorläufig aufgenommen. Mit Verfügung vom 10. Oktober 2006 entsprach das Amt für Polizeiwesen und Zivilrecht des Kantons Graubünden dem von ihr eingereichten Gesuch um Erteilung einer Jahresaufenthaltsbewilligung aus humanitären Gründen. Dabei wurde die Bewilligung an die Bedingung geknüpft, dass innerhalb eines Jahres ein gültiges heimatliches Reisedokument vorliegen müsse, andernfalls die bestehende Bewilligung nicht verlängert werden könne. Diese Bedingung focht X._ am 1. November 2006 mit Verwaltungsbeschwerde beim Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit des Kantons Graubünden an. Während hängigem Beschwerdeverfahren reichte X._ am 30. Oktober 2007 beim Departement einen von der United Nations Interim Administration Mission in Kosovo (UNMIK) am 27. Juli 2007 ausgestellten Reisepass ein, worauf das Amt für Polizeiwesen und Zivilrecht, welches die Bedingung damit als erfüllt ansah, die Aufenthaltsbewilligung verlängerte. Mit Blick darauf schrieb das Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit mit Verfügung vom 7. November 2007 die bei ihm erhobene Beschwerde infolge Gegenstandslosigkeit ab. Dabei auferlegte es X._ reduzierte Verfahrenskosten in der Höhe von Fr. 750.-- (Dispositiv Ziff. 2); eine Parteientschädigung wurde X._, welche bereits im Verfahren vor dem Amt für Polizeiwesen und Zivilrecht anwaltlich vertreten war, nicht zugesprochen (Dispositiv Ziff. 3). B. Mit Urteil vom 9. Mai 2008 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 3. Kammer, die von X._ gegen die Abschreibungsverfügung im Kosten- und Entschädigungspunkt gerichtete Beschwerde ab. C. Mit Eingabe vom 24. September 2008 erhebt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, eventualiter subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Beantragt wird, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 9. Mai 2008 aufzuheben, die Angelegenheit zur erneuten Entscheidung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen, eventualiter die Sache selber zu entscheiden und die Ziffern 2 und 3 des Dispositivs der Verfügung des Departements für Justiz, Sicherheit und Gesundheit vom 7. November 2007 aufzuheben und die Kosten für das Verfahren vor dem Departement dem Kanton Graubünden aufzuerlegen. Sodann sei X._ für das Verfahren vor dem Verwaltungsgericht und für jenes vor dem Departement vollumfänglich ausseramtlich zu entschädigen, eventualiter die Sache an das Verwaltungsgericht zur Festsetzung der ausseramtlichen Entschädigung zurückzuweisen. D. Das Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit des Kantons Graubünden und das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde, das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden auf Abweisung, soweit darauf einzutreten ist. 