Sachverhalt: A. Der aus Bangladesh stammende X._ (geb. 1975) reiste am 24. Juni 2002 in die Schweiz ein und stellte ein Asylgesuch. Am 2. Juni 2003 heiratete er die in Bern wohnhafte Schweizer Bürgerin Y._ (geb. 1964), erhielt eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei ihr und zog in der Folge sein Asylgesuch zurück. Bis im Mai 2004 wohnten die Eheleute offiziell gemeinsam am Domizil der Ehefrau an der E._-Strasse in Bern, doch hielt sich X._ zur Ausübung seiner Erwerbstätigkeit (Küchengehilfe im Restaurant R._) bereits damals vorwiegend in Zürich auf. Dort verblieb er auch, nachdem seine Frau polizeilich aus ihrer Wohnung ausgewiesen worden war und später ein anderes Domizil am F._-Weg in Bern bezog. B. Mit Verfügung vom 19. September 2005 genehmigte der Gerichtspräsident 5 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen die am 25. Mai 2004/16. September 2005 abgeschlossene Trennungsvereinbarung, wonach die Eheleute u.a. feststellen, dass ihr gemeinsamer Haushalt seit Ende Mai 2004 aufgehoben sei. Die Eheleute gaben in diesem Zusammenhang an (nachfolgende Zitate aus den Vorakten), "schwierige soziale, gesundheitliche und finanzielle Umstände" hätten sie "zu diesem Schritt gezwungen". So machte die Ehefrau geltend, "wenn wir jetzt zusammenwohnen würden, verlöre ich die in Aussicht gestellten Ergänzungsleistungen". Ab 1. Juli 2006 mietete der Ehemann ein möbliertes Zimmer in einer Drei-Zimmerwohnung am G._-Weg in Bern. Dort muss er sich jeweils telefonisch bei der Vermieterin anmelden, weil er keinen Wohnungsschlüssel besitzt. In Zürich wohnt er in einem Personalhaus. Seine gesundheitlich angeschlagene Ehefrau, welche eine Teilrente der Invalidenversicherung bezieht und gemäss eigenen Angaben ein "ehemaliges Drogenproblem" hat, besucht er nach eigenen Angaben in Bern "vielleicht so einmal pro Woche, einmal alle zwei Wochen". Übernachten kann er am F._-Weg nur heimlich, weil dies "wegen der Vermieterin (...) nicht so gerne gesehen" wird. Bei ihren Treffen in Bern oder auch im Personalhaus in Zürich kochen und essen die beiden zusammen bzw. hören Musik. C. Mit Verfügung vom 1. Juni 2005 wiesen die Einwohnerdienste der Stadt Bern (Migration und Fremdenpolizei) das von X._ am 15. November 2004 gestellte Gesuch um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung ab, im Wesentlichen mit der Begründung, die Ehegatten hätten nur sehr kurze Zeit ein gemeinsames Domizil gehabt, lebten seit längerem ohne nennenswerten Kontakt getrennt und unternähmen keine erkennbaren aktiven Schritte zu einer Wiedervereinigung, so dass an der inhaltslosen Ehe bloss aus aufenthaltsrechtlichen Zwecken festgehalten werde. Die Aufenthaltsbewilligung sei aus diesem Grund nicht mehr zu verlängern. Eine gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde bei der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern blieb erfolglos, und am 21. September 2007 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die gegen den Direktionsentscheid vom 29. Januar 2007 gerichtete Beschwerde ebenfalls ab. Die Ausreisefrist wurde dabei auf den 15. November 2007 angesetzt (Ziff. 2 des Urteilsdispositivs). D. Mit Eingabe vom 25. Oktober 2007 führt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 21. September 2007 aufzuheben und die Einwohnergemeinde Bern anzuweisen, ihm - dem Beschwerdeführer - die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung sowie um vorsorgliche Massnahmen (Gewährung der aufschiebenden Wirkung) ersucht. Die Einwohnerdienste der Stadt Bern beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Denselben Antrag stellen das Verwaltungsgericht des Kantons Bern und das Bundesamt für Migration. 