Sachverhalt: A. Am 19. Januar 2009 und 16. Februar 2009 reichte A._, Redaktor einer Zürcher B._zeitung, gegen X._ Ehrverletzungsklage ein. Anlass waren verschiedene von X._ verfasste und im Internet publizierte Texte. Darin wurde A._ in Zusammenhang mit dem Dritten Reich gestellt. X._ wird vorgeworfen, sich dadurch über A._ ehrverletzend geäussert zu haben. B. Das Bezirksgericht Zürich sprach X._ mit Entscheid vom 22. Juni 2009 der mehrfachen üblen Nachrede schuldig. Es bestrafte ihn mit einer bedingten Geldstrafe von 120 Tagessätzen zu Fr. 100.-- bei einer Probezeit von 2 Jahren. Zudem verpflichtete es ihn, die im Internet publizierten Äusserungen zu löschen und das Urteilsdispositiv auf derselben Internetplattform zu veröffentlichen. Die von X._ dagegen erhobene Berufung wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 25. Februar 2010 ab. C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich sei aufzuheben, und es sei auf die Anklage nicht einzutreten. Eventualiter sei er vom Vorwurf der mehrfachen üblen Nachrede freizusprechen. Subeventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. D. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt. 