Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 14. Februar 2005 lehnte die IV-Stelle des Kantons Aargau ein Gesuch des 1970 geborenen G._ um Leistungen der Invalidenversicherung mit der Begründung ab, es liege kein invalidenversicherungsrechtlich relevanter Gesundheitsschaden vor. Der behandelnde Dr. med. S._, Facharzt Allg. Med. FMH, hielt in einem Schreiben vom 21. Februar 2005 an die IV-Stelle unter anderem fest, "Mein oben genannter Patient hat von Ihnen vor Kurzem sowohl bezüglich beruflichen Massnahmen als auch bezüglich Rente einen abschlägigen Entscheid erhalten. Herr G._ hat sich gemeinsam mit seinen Angehörigen dazu entschlossen, Einsprache gegen diesen Entscheid zu erheben". Auf Nachfragen hin teilte die Verwaltung Dr. med. S._ mit, die Verfügung vom 14. Februar 2005 sei rechtskräftig geworden, weil sie nicht innerhalb der Rechtsmittelfrist mit einer rechtsgenüglichen Einsprache angefochten worden sei (Schreiben vom 30. Mai 2006). Auf eine Einsprache des nunmehr anwaltlich vertretenen Versicherten vom 8. Februar 2007 trat sie nicht ein (Einspracheentscheid vom 16. April 2007). B. Hiegegen liess G._ Beschwerde führen und beantragen, es sei "auf die am 21.2.2005 gegen die Verfügung vom 14.2.2005 erhobene Einsprache einzutreten" und die Sache sei "unter Berücksichtigung der Einspracheergänzung vom 8.2.2007 materiell zu beurteilen". Das damit gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau wegen Aussichtslosigkeit des eingelegten Rechtsmittels ab, verbunden mit der Androhung, dass das Verfahren nach unbenutztem Ablauf der angesetzten Frist von 10 Tagen zur Bezahlung eines Gerichtskostenvorschusses von Fr. 600.- eingestellt werde (Entscheid vom 5. Juni 2007). C. Mit bundesgerichtlicher Beschwerde lässt G._ beantragen, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die Sache zur Prüfung der weiteren Voraussetzungen für die Gewährung der mit der kantonalen Beschwerde beantragten unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung zurückzuweisen. Ferner ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Das kantonale Gericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. 