Sachverhalt: A. Der 1953 geborene K._ verrichtete für die O._ AG von Juli 1979 bis August 2006 Maurer- und Kernbohrarbeiten. Ab 1. September 2006 war er als Maurer für die A._ AG tätig. Die Arbeitgeberin löste den Anstellungsvertrag durch schriftliche Kündigung vom 27. November 2006 per Ende November 2006 auf, wobei sich das Arbeitsverhältnis infolge der während der Kündigungsfrist aufgetretenen Krankheit des K._ bis Ende Dezember 2006 verlängerte. K._ bezog im Anschluss daran bis zum 28. November 2008 unter anderem direkt Krankentaggelder aus der Kollektivtaggeldversicherung der letzten Arbeitgeberin. Am 2. Dezember 2006 stellte K._ erstmals Antrag auf Arbeitslosenentschädigung für die Zeit ab 1. Dezember 2006. Das Amt für Wirtschaft und Arbeit (AWA) des Kantons Aargau verfügte am 20. Juni 2007, die generelle Vermittlungsfähigkeit könne ab 1. Dezember 2006 im Ausmass einer Vollzeitstelle als ausgewiesen betrachtet werden, und stellte fest, die ab 30. November 2006 bestehende 100%ige Arbeitsunfähigkeit weise keinen dauerhaften Charakter auf. Das Regionale Arbeitsvermittlungszentrum (RAV) meldete K._ am 20. November 2007 auf den 31. Oktober 2007 unter Hinweis auf eine längere Krankheit von der Arbeitsvermittlung ab. K._ beantragte am 6. Oktober 2008 (mit Ergänzung vom 24. November 2008) erneut die Ausrichtung von Arbeitslosentaggeldern, dieses Mal für die Zeit ab 1. Dezember 2008, mit der Bemerkung, er sei bereit und in der Lage, im Ausmass von 30 % einer Vollzeitbeschäftigung erwerbstätig zu sein. Das AWA lud die Öffentliche Arbeitslosenkasse des Kantons Aargau daraufhin ein, die Auszahlungen ab 1. Dezember 2008 "im Sinne einer Vorleistung gemäss Art. 15 AVIV in Verbindung mit Art. 70 ATSG vorzunehmen" (Verwaltungsakt vom 14. Januar 2009). Mit Verfügung vom 16. März 2009 verneinte die Arbeitslosenkasse einen Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung ab 1. Januar 2009 mit der Begründung, K._ habe weder die Beitragszeit erfüllt, noch liege ein Befreiungsgrund vor. Daran hielt sie auf Einsprache hin fest (Einspracheentscheid vom 7. Juli 2009). B. In teilweiser Gutheissung der dagegen erhobenen Beschwerde verpflichtete das Versicherungsgericht des Kantons Aargau die Kasse, K._ für die Zeit vom 1. bis 31. Dezember 2008 Arbeitslosentaggelder, "basierend auf einer 30%igen Arbeitslosigkeit", zu entrichten; im darüber hinausgehenden Umfang (Anspruch ab 1. Januar 2009) wies es die Beschwerde ab (Entscheid vom 27. April 2010). C. K._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und das Rechtsbegehren stellen, der kantonale Gerichtsentscheid sei insoweit aufzuheben, als festzustellen sei, dass ab 1. Januar 2009 die Anspruchsvoraussetzungen für den Bezug von Arbeitslosenentschädigung erfüllt seien. Die Arbeitslosenkasse schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Staatssekretariat für Wirtschaft verzichtet auf eine Vernehmlassung. 