Faits: A. Par jugement du 13 novembre 2012, le Tribunal criminel de la République et canton de Genève a acquitté A._ du chef de prévention de tentative d'assassinat. Sa libération immédiate a été ordonnée et il lui a été imparti un délai de trente jours pour faire valoir ses éventuelles prétentions en indemnisation pour la détention avant jugement subie pendant 421 jours. B. Le Ministère public et les parties plaignantes ont formé appel contre ce jugement. B.a. Lors de l'audience du 29 mai 2013 - à laquelle A._ a comparu -, la Présidente de la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice genevoise a d'entrée de cause décerné un mandat d'amener à l'encontre de celui-ci. B.b. La Chambre pénale d'appel, agissant par sa Présidente, a ensuite rendu le dispositif de son arrêt. Elle a annulé le jugement du 13 novembre 2012 et reconnu A._ coupable de tentative d'assassinat. La libération conditionnelle qui lui avait été accordée le 28 septembre 2010 a été révoquée et il a été condamné à une peine privative de liberté d'ensemble de six ans et six mois. B.c. Après une suspension d'audience d'une dizaine de minutes, la Présidente de la Chambre pénale, siégeant alors seule, a donné la parole aux parties afin qu'elles se déterminent sur la question de la détention pour des motifs de sûreté. Le Ministère public, puis la mandataire de A._ ont plaidé, puis répliqué, respectivement dupliqué. Quant à A._, il s'est encore exprimé personnellement au sujet de la détention. L'audience, suspendue vers 15h35, a repris à 16h30 et la direction de la procédure a ordonné le placement en détention pour des motifs de sûreté de A._, invoquant un risque de fuite très concret, un danger de réitération d'infractions impliquant de la violence envers autrui et l'absence de mesure de substitution pour pallier ces risques. C. Par mémoire du 23 juin 2013, A._ forme recours au Tribunal fédéral contre cette décision. Il conclut à l'annulation de l'ordonnance cantonale et à sa mise en liberté immédiate, cas échéant, au bénéfice de mesures de substitution qu'il plaira au Tribunal fédéral de fixer. Il requiert en outre l'octroi de l'assistance judiciaire. Invités à se déterminer, le Ministère public et la Présidente de la Chambre pénale d'appel ont conclu au rejet du recours. Le recourant a déposé des observations complémentaires le 11 juillet 2013, persistant dans ses conclusions. 