Faits: A. P._ exerçait l'activité de maçon; il a été victime d'une chute survenue le 3 mars 2006 dans le cadre de son travail; il en est résulté une contusion à la hanche droite, dont les séquelles douloureuses et incapacitantes ont été assumées par la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA); le dossier constitué par cette dernière a été versé en cause. Les séquelles de l'accident ont également motivé la demande de prestations communiquée à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) le 28 avril 2008. L'office AI a recueilli l'avis des médecins traitants; ceux-ci ont diagnostiqué des lombo-pygialgies - dans le contexte d'un syndrome piriforme droit ayant justifié une opération (ténotomie du muscle pyramidal, neurolyse du nerf sciatique) - totalement incapacitantes; une reconversion était néanmoins possible (rapports des docteurs O._, spécialiste FMH en médecine interne générale, et E._, médecin associé auprès du Département de l'appareil locomoteur de la Clinique X._, des 13 mai et 20 juin 2008); le stage d'observation professionnelle réalisé par l'administration dans le cadre d'une mesure de réadaptation (communication du 21 août 2008) a établi qu'il était illusoire de vouloir mettre en valeur une capacité théorique de travail tant que l'assuré était focalisé sur les problèmes algiques (rapports du docteur D._, spécialiste FMH en médecine interne générale et médecin-conseil pour les Établissements publics pour l'intégration agissant comme Centre d'observation professionnelle de l'office AI [COPAI], ainsi que du COPAI des 27 septembre et 16 octobre 2008). L'administration a aussi mandaté son Service médical régional (SMR) afin qu'il mette en oeuvre un examen clinique rhumatologique et psychiatrique; les examinateurs ont considéré que seul le syndrome pyramidal droit retenu par le docteur E._ engendrait des limitations fonctionnelles qui n'entravaient cependant plus l'exercice d'une activité adaptée depuis le 15 mars 2008; les status post-opératoires, l'exagération des symptômes, la dysthymie et le syndrome algique observés également n'avaient pas d'incidence sur la capacité de travail (rapport du 10 novembre 2008). Se fondant sur le rapport du SMR, l'office AI a envisagé d'allouer à l'intéressé une rente entière limitée à la période allant du 1er avril 2007 au 30 juin 2008 (projet de décision du 24 décembre 2008). Il a néanmoins poursuivi l'instruction de la cause compte tenu des observations soulevées par P._ contre l'octroi temporaire de la rente et des nouveaux avis médicaux produits (rapports des docteurs I._, neurologue, S._, radiologue, et R._, Chef de clinique dans le Département de l'appareil locomoteur de X._, des 8 et 11 août 2009 ainsi que 5 janvier 2009); il a confié l'accomplissement d'une expertise au docteur U._, spécialiste FMH en neurologie; celui-ci a déduit de ses constatations et de son analyse du dossier radiologique en particulier que les lombalgies et douleurs des deux membres inférieurs n'avaient pas de substrat somatique clairement objectivable et n'entravaient en rien la reprise d'une activité adaptée, à plein temps et à plein rendement; il suggérait cependant l'exécution d'une expertise psychiatrique eu égard à une prévalence des éléments psychiques sur les éléments physiques (rapport du 25 janvier 2010); le SMR a écarté la suggestion de l'expert au motif que l'assuré avait subi un examen psychiatrique et qu'aucun élément ne permettait d'établir une détérioration sur ce plan (rapport du docteur M._ des 10 mai et 15 décembre 2010); l'administration a toutefois demandé une appréciation de la doctoresse G._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie traitant l'intéressé depuis le 29 septembre 2008; celle-ci a signalé la présence d'un épisode dépressif moyen mais ne s'est pas exprimée à propos de la capacité de travail de son patient dans une activité de substitution (rapport du 23 juin 2011); les éléments avancés par le praticien n'ont pas infléchi la position du SMR quant à l'inexistence de troubles psychiques invalidants (rapport du docteur M._ du 6 juillet 2011). Sur cette base, l'office AI a confirmé l'octroi d'une rente entière pour la période comprise entre les 1er avril 2007 et 30 juin 2008 (décision du 7 novembre 2011). B. P._ a recouru contre cette décision auprès du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales; il sollicitait l'exécution d'une expertise psychiatrique judiciaire et concluait au maintien d'une rente, dont le taux serait fonction du résultat de l'expertise, postérieurement au 30 juin 2008 ou au renvoi du dossier à l'administration pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision; il estimait en substance que l'office AI avait procédé à une appréciation arbitraire des preuves. L'administration a conclu au rejet du recours. Invitées à se déterminer une seconde fois, les parties ont maintenu leurs conclusions respectives; l'assurée se référait à une expertise privée réalisée à l'étranger (rapport de la doctoresse A._ du 7 mai 2011) qui n'a pas influencé l'opinion du SMR (rapport du docteur M._ du 10 juillet 2012). Le tribunal cantonal a débouté l'intéressé de ses conclusions, considérant à l'issue d'une appréciation du dossier médical que la décision administrative du 7 novembre 2011 n'était pas critiquable dans la mesure où elle retenait une capacité totale de travail dans une activité adaptée dès le 1er juillet 2008 (jugement du 11 septembre 2013). C. P._ recourt contre ce jugement; il en demande la réforme ou l'annulation et prend sous suite de frais et dépens les mêmes conclusions qu'en première instance; il sollicite aussi l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. 