Sachverhalt: A. Als das Bezirksgericht A._ mit Urteil vom 3. September 2001 die Ehe von Y._ (Ehemann) und X._ (Ehefrau) schied, vertraute es den 1997 geborenen Sohn Z._ den Eltern zur gemeinsamen Sorge an. Es stellte aufgrund der von ihm genehmigten Vereinbarung vom 11./20. Juni 2001 fest, dass zur Zeit die Mutter während vier Tagen und der Vater während drei Tagen in der Woche die Betreuung des Sohnes übernehme und dass jeder Elternteil nach rechtzeitiger Absprache mindestens drei Wochen jährlich Ferien mit ihm verbringen werde. Ausserdem wurde Y._ unter anderem verpflichtet, an den Unterhalt von Z._ Beiträge von monatlich Fr. 450.-- bis zum vollendeten 12. Altersjahr, von monatlich Fr. 500.-- bis zum vollendeten 16. Altersjahr und von monatlich Fr. 550.-- bis zur Aufnahme einer Erwerbstätigkeit, längstens aber bis zur Mündigkeit, zu zahlen. B. Mit Eingabe vom 6. Juni 2003 reichte Y._ beim Bezirksgericht A._ Klage auf Abänderung des Scheidungsurteils ein und verlangte eine Herabsetzung der für Z._ zu zahlenden Unterhaltsbeiträge. X._ erhob Widerklage mit dem Begehren, die elterliche Sorge über Z._ ausschliesslich ihr zu übertragen und die im Scheidungsurteil festgesetzten Unterhaltsbeiträge zu bestätigen. Mit Gegenwiderklage verlangte Y._ hierauf seinerseits, es sei ihm die alleinige elterliche Sorge zuzusprechen. Das Bezirksgericht erkannte am 8. Juni 2006, dass in Abänderung des Scheidungsurteils die elterliche Sorge über Z._ X._ übertragen werde. Gleichzeitig regelte es das Y._ zustehende Besuchs- und Ferienrecht und errichtete es für Z._ eine Erziehungsbeistandschaft im Sinne von Art. 308 ZGB. Y._ appellierte an das Kantonsgericht des Kantons Basel-Landschaft mit den Begehren, die Z._ geschuldeten Unterhaltsbeiträge herabzusetzen, ihm die alleinige Sorge über Z._ zuzuweisen, X._ ein Besuchs- und Ferienrecht einzuräumen und diese zu verpflichten, an den Unterhalt von Z._ Beiträge von monatlich Fr. 600.-- zu leisten. Mit Urteil vom 28. September 2007 hat das Kantonsgericht (Abteilung Zivil- und Strafrecht) die Appellation teilweise gutgeheissen und erkannt, dass Z._ weiterhin beiden Eltern zur gemeinsamen Sorge anvertraut bleibe. C. X._ führt mit Eingabe vom 1. November 2007 Beschwerde in Zivilsachen und beantragt, es sei in Aufhebung des kantonsgerichtlichen Entscheids und in Bestätigung des erstinstanzlichen Urteils die gemeinsame elterliche Sorge aufzuheben und ihr die alleinige elterliche Sorge über Z._ zu übertragen; allenfalls sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der Beschwerdegegner und das Kantonsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. 