Faits: A. C._, née en 1956, a travaillé dès le 1er septembre 1994 dans la vente de textiles. En arrêt de travail, elle a présenté le 19 décembre 2008 une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un rapport du 9 mars 2009, la doctoresse P._ (spécialiste FMH en médecine interne et spécialiste en maladies rhumatismales), se fondant sur des examens radiologiques de la colonne lombaire et du bassin du 6 novembre 2008 et sur une IRM lombaire du 25 novembre 2008, a posé les diagnostics avec effet sur la capacité de travail de coxarthrose bilatérale à prédominance droite et de douleurs lombo-fessières chroniques irradiant dans le membre inférieur gauche sur importants troubles dégénératifs (discopathies à tous les niveaux, arthrose interfacettaire postérieure bilatérale de L3 à S1, sténose canalaire discrète de L1-L2 à L5-S1). Se référant à une lettre du 24 novembre 2008 adressée au docteur G._ (spécialiste FMH en médecine générale et médecin traitant de l'assurée), elle retenait que l'assurée présentait sur le plan physique des limitations fonctionnelles (pas de position debout prolongée ni de position assise prolongée ou de marche prolongée, flexion en avant et flexion accroupie difficiles, port de charges moyennes et lourdes impossible) et évaluait à 50 % son incapacité de travail dans l'activité habituelle. De son côté, le docteur G._ a produit un rapport du 23 mars 2009, où il indiquait que la patiente souffrait notamment d'un état anxio-dépressif et que son incapacité de travail avait été de 50 % à 100 % selon les périodes d'arrêt de travail et proposait qu'une expertise rhumatologique et psychiatrique soit mise en oeuvre. Dans un rapport du 5 juin 2009, le docteur B._ a posé les diagnostics sans effet sur la capacité de travail de trouble de l'adaptation, réaction mixte anxieuse et dépressive ([CIM-10] F43.22), en indiquant que ces troubles étaient en rémission et que la patiente n'avait plus suivi de traitement sur le plan psychiatrique depuis le 26 mai 2009. Le 30 juin 2009, le docteur S._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique et médecin chef du Service d'orthopédie de l'Hôpital X._, a procédé à la pose d'une prothèse totale de la hanche droite. Dans un rapport du 16 septembre 2009 adressé à l'assureur perte de gain de C._, la doctoresse P._ a retenu que les douleurs avaient très nettement diminué en ce qui concerne la coxarthrose, mais qu'il n'en allait pas de même des douleurs lombaires qui étaient très importantes dans un contexte de troubles dégénératifs diffus avec rétrécissement canalaire étagé. Sur proposition des médecins du SMR, le docteur Z._, spécialiste FMH en médecine interne et rhumatologie et médecin SMR, a procédé le 24 février 2010 à un examen clinique rhumatologique. Dans un rapport du 8 mars 2010, il a posé les diagnostics avec répercussion durable sur la capacité de travail de rachialgies diffuses avec sciatalgie droite dans le cadre de troubles statiques et dégénératifs du rachis avec canal lombaire étroit, petite hernie discale L1-L2 gauche et anomalie transitionnelle lombo-sacrée, de coxarthrose gauche et de status après pose d'une prothèse totale de hanche droite pour coxarthrose. Au vu de ces diagnostics, il retenait des limitations fonctionnelles (rachis: nécessité de pouvoir alterner deux fois par heure la position assise et la position debout; pas de soulèvement régulier de charges d'un poids excédant 5 kg; pas de port régulier de charges d'un poids excédant 8 kg; pas de travail en porte-à-faux statique prolongé du tronc; pas d'exposition à des vibrations) qui n'étaient pas respectées dans l'activité habituelle, où la capacité de travail était nulle. En revanche, dans une activité strictement adaptée aux limitations fonctionnelles requises par la pathologie ostéoarticulaire, la capacité de travail exigible était de 100 % depuis le 26 juin 2008. Dans un rapport du 19 mars 2010, le docteur O._ (médecin SMR), reprenant les conclusions du docteur Z._ en ce qui concerne la capacité de travail exigible de l'assurée, a fixé au 26 juin 2008 le début de l'incapacité de travail durable. Dans un préavis du 11 mai 2010, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a informé C._ qu'elle présentait une capacité de travail exigible de 100 % dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles et que son invalidité était de 14.72 % (compte tenu d'un revenu sans invalidité de 48'191 fr. et d'un revenu d'invalide de 41'094 fr. 15 [après abattement de 20 %] par année), taux ne donnant aucun droit à une rente. Par décision du 21 juin 2010, l'office AI, rejetant la demande, a nié tout droit de l'assurée à une rente d'invalidité. B. Le 23 août 2010, C._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, en concluant, sous suite de frais et dépens, à sa réforme en ce sens qu'une rente entière d'invalidité lui était octroyée avec effet au 27 novembre 2008, le dossier étant renvoyé à l'office AI pour qu'il procède au calcul de la rente. Demandant qu'une expertise soit ordonnée dans le but de déterminer de façon précise sa capacité résiduelle de travail, elle concluait à titre subsidiaire à l'annulation de la décision entreprise, la cause étant renvoyée à l'office AI pour instruction complémentaire dans le sens des considérants et nouvelle décision. Elle produisait une attestation médicale de la doctoresse P._ du 5 juillet 2010 et une lettre de ce médecin du 18 août 2010. Dans un courrier du 15 juin 2011, C._ a produit une lettre du 30 mai 2011 de la doctoresse F._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie) qui suivait la patiente à sa consultation depuis le 11 novembre 2010, dans laquelle ce médecin a posé des diagnostics psychiatriques et indiqué que les troubles psychiques retenus étaient étroitement liés aux troubles somatiques. Dans l'hypothèse où ce document n'aurait pas pleine valeur probante, l'assurée a réitéré sa requête d'expertise en sollicitant la mise en oeuvre d'une expertise rhumatologique et psychiatrique. Elle a produit également une lettre du 21 juin 2011 de la doctoresse P._ indiquant que la coxarthrose et la gonarthrose gauches s'étaient aggravées et que selon un avis du docteur S._ du 23 mai 2011, une prothèse totale de la hanche gauche était à programmer. Par arrêt du 22 septembre 2011, la juridiction cantonale a rejeté le recours. C. C._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de celui-ci et de la décision administrative litigieuse du 21 juin 2010, la cause étant renvoyée à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud pour qu'il procède conformément aux considérants et rende une nouvelle décision sur le droit aux prestations. Elle sollicite l'octroi de l'assistance judiciaire gratuite pour ses frais judiciaires et les honoraires de son conseil, dont elle requiert la désignation comme avocat d'office. 