A.- Par jugement du 15 novembre 2001, le Tribunal de première instance de Genève a condamné F._ à verser à sa fille O._, dès le 1er juin 2001, une contribution d'entretien d'un montant de 1'400 fr. par mois, allocations non comprises, pendant la durée de ses études. Le 21 décembre 2001, F._ a appelé de ce jugement auprès de la Cour de justice du canton de Genève. B.- Par lettre recommandée du 3 janvier 2002, cette juridiction a demandé à l'appelante de lui faire parvenir, d'ici au 28 janvier 2002, un émolument de mise au rôle de 1'500 fr., en application des art. 11 et 21 du règlement cantonal fixant le tarif des greffes en matière civile du 9 avril 1997 (E 3 05.10; ci-après: le règlement). Ce courrier mentionnait comme annexe un bulletin de versement et précisait ce qui suit: "Nous attirons votre attention sur le fait que, faute par vous de procéder comme indiqué ci-dessus et dans le délai imparti, votre appel sera déclaré irrecevable. " Constatant que l'appelante n'avait pas justifié du paiement de cet émolument dans le délai fixé, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a, par arrêt du 18 février 2002, déclaré l'appel irrecevable. C.- F._ forme un recours de droit public au Tribunal fédéral contre cet arrêt. Elle conclut à son annulation et au renvoi de la cause à la Cour de justice pour nouvelle décision. L'intimée propose le rejet tant de la requête d'effet suspensif que du recours et la confirmation de l'arrêt attaqué. Elle sollicite en outre l'octroi de l'assistance judiciaire. L'autorité cantonale n'a pas formulé d'observations et s'est référée aux considérants de son arrêt. D.- Par ordonnance du 19 avril 2002, le président de la cour de céans a admis la demande d'effet suspensif en ce qui concerne la contribution due à l'intimée jusqu'en février 2002; il l'a rejetée pour le surplus. 