Sachverhalt: A. Der 1955 geborene, an Multipler Sklerose leidende S._ meldete sich im September 2004 bei der Gemeindezweigstelle Y._ der Sozialversicherungsanstalt des Kantons Aargau, Ausgleichskasse, zum Bezug von Ergänzungsleistungen (EL) zur Invalidenrente an. Verfügungsweise hielt die Sozialversicherungsanstalt am 15. Oktober 2004 fest, "die Anmeldung zum Bezug einer Ergänzungsleistung (müsse) im Kanton Zürich vorgenommen werden". Mit seinem Heimeintritt in der Stadt X._ habe der Versicherte in dieser (zürcherischen) Gemeinde zivilrechtlichen Wohnsitz genommen und den bisherigen, in Y._ gelegenen aufgegeben. Folglich sei nicht der Kanton Aargau für die Festsetzung und Auszahlung der Ergänzungsleistungen zuständig. Die von der Stadt X._ hiegegen erhobene Einsprache wies die Sozialversicherungsanstalt mit Entscheid vom 4. Mai 2005 ab. B. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau trat auf die von der Stadt X._ gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde mangels Aktivlegitimation dieser Gemeinde nicht ein (Dispositiv-Ziffer 3 des Entscheids vom 16. August 2005). Zur Begründung seines Nichteintretensentscheids führte das kantonale Gericht aus, die Sozialversicherungsanstalt hätte, da sie sich als örtlich unzuständig erachtete, auf das EL-Gesuch von S._ nicht eintreten dürfen. Aus diesem Grunde nahm das Gericht von Amtes wegen eine Berichtigung des Dispositivs der Verwaltungsverfügung vom 15. Oktober 2004 vor, welches neu wie folgt laute: "'Auf die Anmeldung zum Bezug einer Ergänzungsleistung zur IV-Rente wird nicht eingetreten'" (Dispositiv-Ziffer 1 des vorinstanzlichen Entscheids vom 16. August 2005). Im Falle dieser richtigen Formulierung als Nichteintretensverfügung wäre die Verwaltungsverfügung vom 15. Oktober 2004 einzig an S._ gerichtet gewesen, womit ein "Berührtsein" und demzufolge die Aktivlegitimation der Stadt X._ zur Einsprache entfalle. Richtigerweise hätte daher die Sozialversicherungsanstalt auf die Einsprache nicht eintreten dürfen. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau nahm deshalb von Amtes wegen auch eine entsprechende Berichtigung des Dispositivs des Einspracheentscheids vom 4. Mai 2005 vor, welches neu wie folgt laute: "'Auf die Einsprache wird nicht eingetreten'" (Dispositiv-Ziffer 2 des Entscheids vom 16. August 2005). "Aus dem soeben ausgeführten Grund" müsse auch die Berechtigung der Stadt X._ zur Erhebung einer Beschwerde gegen den Einspracheentscheid verneint werden. S._ stehe es frei, "eine Anmeldung zum Bezug von Ergänzungsleistungen in X._ einzureichen" und einen "allfällig negative(n) Entscheid (...) mittels Rechtsmittel einer gerichtlichen Prüfung zuzuführen". C. Die Stadt X._ führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag auf Rückweisung der Sache an das kantonale Gericht zur materiellen Behandlung ihrer vorinstanzlich eingereichten Beschwerde; überdies sei die Sozialversicherungsanstalt des Kantons Aargau für die "per 1. August 2004" rückwirkende Festsetzung und Auszahlung der Ergänzungsleistungen als zuständig zu erklären. Während die Sozialversicherungsanstalt auf Abweisung und S._ auf Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherung (BSV) auf eine Vernehmlassung. 