A.- Mit Verfügung vom 4. November 1996 lehnte die Berner Allgemeine Versicherung (nachfolgend: Berner) als obligatorische Unfallversicherung ihre Leistungspflicht ab mit der Begründung, dass die heute geltend gemachten Beschwerden im rechten Knie nicht mehr als kausal zum Unfall vom Oktober 1993 bezeichnet werden können. Auf Einsprache des Versicherten hin hielt die Berner nach Beizug eines Gutachtens des Dr. med. K._, Spezialarzt für Chirurgie FMH (vom 17. Juni 1997) an ihrem ablehnenden Standpunkt fest (Entscheid vom 8. Juli 1997). Die Krankenkasse Helvetia hatte ihre Einsprache vorgängig zurückgezogen. B.- Gegen den Einspracheentscheid liess J._ Beschwerde erheben mit den Begehren, es seien die gesetzlichen Leistungen zu erbringen und die Vorinstanz zu verhalten, zusätzliche medizinische Abklärungen vorzunehmen. Im Weitern ersuchte er um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung. Mit (einzelrichterlichem) Entscheid vom 3. November 1997 lehnte das Verwaltungsgericht des Kantons Bern das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Verbeiständung zufolge Aussichtslosigkeit ab. Die dagegen erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde wies das Eidgenössische Versicherungsgericht mit Urteil vom 21. April 1998 als offensichtlich unbegründet ab. In der Folge wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die gegen den Einspracheentscheid vom 8. Juli 1997 erhobene Beschwerde ab unter Auferlegung der Verfahrenskosten im Betrag von Fr. 1000.- (Entscheid vom 20. August 1999). C.- J._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen u.a. mit den Rechtsbegehren, der Einspracheentscheid sei aufzuheben und die Berner zu verhalten, weitere ärztliche Abklärungen durchzuführen. Zudem sei die Vorinstanz zu verpflichten, dem Versicherten keine Gerichtskosten aufzuerlegen. Während die Berner auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen lässt, hat sich das Bundesamt für Sozialversicherung nicht vernehmen lassen. 