Sachverhalt: A. Die deutsche Staatsangehörige E._, geboren 1959, war als Grenzgängerin vom 1. September 2001 bis 28. Februar 2010 an der Heilpädagogischen Sonderschule Q._ als Logopädin angestellt. Bereits am 26. Mai 2008 hatte sie sich bei der Schweizerischen Invalidenversicherung unter Hinweis auf eine seit Ende Februar 2008 bestehende Teilarbeitsunfähigkeit wegen Fibromyalgie zur Früherfassung angemeldet. Nach einem Erstgespräch vom 23. Juni 2008 teilte die IV-Stelle des Kantons Aargau E._ am 30. Juni 2008 mit, sie sei am bisherigen Arbeitsplatz optimal eingegliedert. Am 29. Oktober 2008 meldete sich E._ wegen chronischer Schmerzen zum Leistungsbezug (berufliche Integration/ Rente) bei der IV-Stelle an, welche erwerbliche und medizinische Abklärungen durchführte. Insbesondere holte sie einen Bericht des Dr. med. R._, Arzt für Allgemeinmedizin, Deutschland, vom 12. Dezember 2008, ein. Zwischen 14. April und 9. Mai 2009 unterzog sich E._ einer klinisch-stationären Akutbehandlung im interdisziplinären Schmerzzentrum der Fachklinik X._/DE. Am 18. Mai 2009 stellte sie einen Rentenantrag bei der Deutschen Rentenversicherung Bund und am 9. Juli 2009 unterzog sie sich einem operativen Eingriff an der linken Schulter (Bericht des Krankenhauses Y._/DE, vom 14. Juli 2009). Mit Verfügung vom 30. Juli 2009 schloss die IV-Stelle die beruflichen Massnahmen ab. Sie liess E._ einen Fragebogen betreffend Erwerbstätigkeit/ Haushalt vom 10./13. August 2009 ausfüllen und holte weitere Akten ein, insbesondere Unterlagen der Deutschen Rentenversicherung Bund, bei denen sich ein "neurologisch-psychiatrisches Gebietsgutachten" des Dr. med. B._, Facharzt für Neurologie und Psychiatrie, Deutschland, vom 23. Juni 2009 befand. Ebenfalls zog die IV-Stelle Berichte der Krankenversicherung bei. In der Folge beauftragte sie das ärztliche Abklärungsinstitut A._ mit einem Gutachten vom 2. Dezember 2010 und liess am 6. Juni 2011 eine Abklärung im Haushalt durchführen. Nachdem der Regionale Ärztliche Dienst (Dr. med. G._) am 20. Juni 2011 Stellung genommen hatte, stellte sie mit Vorbescheid vom 21. Juli 2011 die Ablehnung des Leistungsbegehrens in Aussicht. E._ erhob hiegegen Einwände. Die RAD-Ärztin nahm am 12. September 2011 erneut Stellung. Mit Verfügung vom 29. September 2011 lehnte die IV-Stelle für Versicherte im Ausland gestützt auf die Feststellungen der IV-Stelle des Kantons Aargau das Leistungsbegehren ab. B. Die hiegegen von E._ erhobene Beschwerde hiess das Bundesverwaltungsgericht mit Entscheid vom 20. Februar 2013 gut, hob die angefochtene Verfügung auf und wies die Sache an die IV-Stelle für Versicherte im Ausland zurück, damit sie den Invaliditätsgrad nach der gemischten Methode berechne und anschliessend über den Rentenanspruch neu verfüge. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt die IV-Stelle für Versicherte im Ausland beantragen, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts sei aufzuheben und die Verfügung vom 29. September 2011 sei zu bestätigen. Vorinstanz und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung. E._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. In prozessualer Hinsicht ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. 