Sachverhalt: A. A.a Mit Verfügung vom 26. März 2003 und Einspracheentscheid vom 11. März 2004 sprach die Winterthur Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Winterthur) dem 1954 geborenen, bei ihr obligatorisch gegen Unfälle versicherten I._ für die verbleibenden Folgen eines am 29. Juni 1997 erlittenen Unfalls rückwirkend ab 1. Dezember 2002 eine Invalidenrente (als Komplementärrente zu einer Rente der Invalidenversicherung) entsprechend einem Invaliditätsgrad von 100 % sowie eine Integritätsentschädigung zu. Im Dezember 2005 leitete die Winterthur ein Rentenrevisionsverfahren ein. Die von ihr beabsichtigte medizinische Abklärung mittels psychiatrischer Begutachtung kam nicht zustande, was sie dem Versicherten anlastete. Mit Verfügung vom 14. Dezember 2006 und Einspracheentscheid vom 1. April 2008 stellte die Winterthur resp. deren Rechtsnachfolgerin AXA Versicherungen AG (nachfolgend: AXA) mit Wirkung per 28. Februar 2006 sämtliche Versicherungsleistungen ein. Zur Begründung wurde ausgeführt, zufolge Verletzung der Mitwirkungspflicht des Versicherten bei den vorgesehenen medizinischen Abklärungen sei aufgrund der vorhandenen Akten zu entscheiden. Gemäss den Ergebnissen einer zwischen Januar 2005 und Frühjahr 2006 durchgeführten Observation und deren Beurteilung durch die beratenden Ärzte des Unfallversicherers habe I._ spätestens ab dem 1. März 2006 nicht mehr an unfallbedingten somatischen und/oder psychischen Beeinträchtigungen der Arbeits- und Erwerbsfähigkeit gelitten. Damit sei eine Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen eingetreten, welche Anlass zu einer revisionsweisen Prüfung des Rentenanspruchs gebe und im Ergebnis zur Aufhebung der Invalidenrente führe. Die vom Versicherten hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Zug mit Entscheid vom 26. Februar 2009 gut. Das Bundesgericht hob diesen Entscheid und den Einspracheentscheid vom 1. April 2008 auf Beschwerde der AXA hin mit Urteil 8C_397/2009 vom 16. Oktober 2009 auf. Es wies die Sache zur ergänzenden medizinischen Abklärung und neuen Verfügung über die Frage der Rentenrevision an den Unfallversicherer zurück. A.b Die AXA holte ärztliche Stellungnahmen ein. Sie forderte I._ sodann auf, sich einer psychiatrischen/neuropsychologischen Begutachtung zu unterziehen. Der Versicherte widersetzte sich mit der Begründung, die Begutachtungsanordnung sei nicht rechtmässig. Mit Verfügung vom 20. Januar 2011 und Einspracheentscheid vom 1. Juli 2011 hielt der Unfallversicherer an der Einstellung der Leistungen per 28. Februar 2006 fest. Der Versicherte sei erneut seiner Mitwirkungspflicht nicht nachgekommen, weshalb gestützt auf die Akten zu entscheiden sei. Die Observationsergebnisse und die Beurteilung, welche der beratende Psychiater hiezu und zu den eingeholten ärztlichen Stellungnahmen abgegeben habe, rechtfertigten den Schluss, dass keine unfallbedingte psychische Einschränkung mehr bestehe. B. I._ erhob hiegegen Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zug hiess diese gut, hob die Verfügung vom 20. Januar 2011 und den Einspracheentscheid vom 1. Juli 2011 auf, stellte fest, dass ab 1. März 2006 weiterhin Anspruch auf eine volle Rente bestehe, und verpflichtete die AXA, dem Versicherten die entsprechenden Rentenbeträge samt Verzugszins nachzuzahlen, soweit die Leistungen nicht bereits im Laufe dieses Revisionsverfahrens erbracht worden seien (Entscheid vom 25. Juli 2012). C. Die AXA führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides, soweit auf Zusprechung von Leistungen, Verzugszins und Parteientschädigung lautend, sei die am 20. Januar 2011 verfügte und mit Einspracheentscheid vom 1. Juli 2011 bestätigte Einstellung der UVG-Rente per 28. Februar 2006 samt Verzugszins zu bestätigen. Weiter wird darum ersucht, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. I._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. Mit Eingabe vom 12. November 2012 lässt sich die AXA nochmals vernehmen. 