Faits: A. A.a A._, né en 1954, de nationalité allemande, et dame A._, née en 1965, ressortissante péruvienne, se sont mariés le 17 septembre 1993 à Genève, sans conclure de contrat de mariage. Une fille est issue de cette union, B._, née le 31 décembre 1993 à Genève. Statuant sur mesures protectrices de l'union conjugale, d'entente entre les époux, le Tribunal de première instance du canton de Genève a, par jugement du 12 septembre 2000, autorisé les conjoints à vivre séparés, confié la garde de l'enfant à la mère, sous réserve d'un droit de visite usuel en faveur du père, attribué la jouissance exclusive du domicile conjugal à l'épouse, et donné acte au mari de son engagement de verser la somme de 1'200 fr. par mois à titre de contribution à l'entretien de la famille. Dans le courant de l'année 2005, l'épouse qui, selon le mari, souffrait de troubles psychiques depuis plusieurs années déjà, a subi une importante crise qui a nécessité une brève hospitalisation psychiatrique. Le mari a demandé au Tribunal tutélaire que la garde de l'enfant par sa mère soit suspendue et lui soit attribuée, le temps que l'intéressée se rétablisse. Par ordonnance du 15 mars 2006, le Tribunal tutélaire a retiré la garde à la mère, avec l'accord de celle-ci, et a placé l'enfant auprès de son père, précisant que la mère pourrait entretenir des relations personnelles avec sa fille d'entente avec elle et en présence du père ou d'un tiers agréé par les deux parents. Depuis lors, l'état de l'épouse s'est stabilisé grâce à une médication adéquate et elle voit régulièrement sa fille. A.b Le 19 juin 2009, le mari a formé une demande unilatérale en divorce. Il a notamment conclu à ce que l'autorité parentale conjointe soit maintenue, à ce que la garde de sa fille lui soit attribuée, sous réserve d'un droit de visite usuel en faveur de la mère, et à ce que celle-ci soit condamnée au paiement d'une contribution d'entretien pour l'enfant. L'épouse ne s'est opposée ni au principe du divorce, ni aux conclusions prises au sujet de l'enfant. Par jugement sur mesures provisoires du 16 octobre 2009, le Tribunal de première instance, statuant d'entente entre les parties, a réduit la contribution d'entretien allouée en mesures protectrices de 1'200 fr. à 600 fr. par mois dès le 1er novembre 2009. B. Par jugement du 21 janvier 2010, le Tribunal de première instance a, entre autres points, prononcé le divorce, laissé aux deux parents l'autorité parentale conjointe sur leur fille, attribué la garde de celle-ci à son père, réservé à la mère un droit de visite à raison d'un week-end sur deux et durant la moitié des vacances scolaires, et condamné l'épouse à verser une contribution de 200 fr. par mois pour l'entretien de l'enfant, aucune pension ne lui étant allouée pour elle-même. L'épouse a appelé de ce jugement, concluant à ce que le mari soit condamné à lui verser une contribution à son entretien, indexée, d'un montant de 600 fr. par mois, ledit jugement étant confirmé pour le surplus. Par arrêt du 17 septembre 2010, la Cour de justice du canton de Genève a, notamment, annulé le jugement du 21 janvier 2010 s'agissant de la contribution à l'entretien de l'enfant de 200 fr. par mois supportée par l'épouse et a condamné le mari à verser mensuellement à celle-ci la somme de 600 fr. par mois, indexation en sus, à titre de pension après divorce. C. Par acte du 1er novembre 2010, le mari exerce un recours en matière civile contre l'arrêt du 17 septembre 2010. Il conclut, principalement, à ce qu'aucune contribution pour l'épouse ne soit mise à sa charge et à ce que celle-ci soit condamnée à contribuer à l'entretien de l'enfant par le versement, allocations familiales en sus, d'un montant de 200 fr. par mois jusqu'à la majorité ou jusqu'à 25 ans en cas d'études sérieuses suivies régulièrement, ladite contribution étant, dans ce cas, versée directement à l'enfant dès sa majorité. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle instruction et nouveau jugement dans le sens des considérants. L'intimée propose le rejet du recours. Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire. L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt. 