Sachverhalt: A. X._ (Beschwerdeführerin) stürzte am 25. Februar 1996 bei einem Skiunfall auf die rechte Schulter. Wegen anhaltender Schmerzen wurde sie von einem ihrer damaligen behandelnden Ärzte an Dr. Y._ (Beschwerdegegner) zur weiteren Behandlung überwiesen. Dieser behandelte X._ in der Zeit vom 20. Juni 1997 bis Februar 2000. Im September 2003 wurde X._ auf Veranlassung der Unfallversicherung rheumatologisch begutachtet. Auf Empfehlung des Gutachters wurde in der Folge eine schulterorthopädische Beurteilung bei Dr. A._ eingeholt. Schliesslich führten Dr. A._ und Dr. B._ am 2. Dezember 2003 eine Arthroskopie des rechten Schultergelenks von X._ durch. Am 18. Juli 2007 erfolgte eine weitere Operation der rechten Schulter. Nach Angaben von X._ sind ihre Beschwerden trotz der Eingriffe nicht ganz beseitigt, da das Gewebe infolge jahrelanger Fehldiagnose und -therapie derart geschädigt sei, dass es sich nie mehr ganz erholt habe. Aufgrund dessen leide sie auch heute noch an den Folgen der Fehlbehandlung. B. B.a. Mit Gesuch vom 3. Februar 2012 beantragte X._ dem Bezirksgericht Arlesheim, es sei im Rahmen einer vorsorglichen Beweisführung durch einen gerichtlich zu bestimmenden medizinischen Sachverständigen eine Expertise über die in Gesuchsbeilage 49 (recte: 50) aufgeführten Fragen erstellen zu lassen. Mit Entscheid vom 2. Juli 2012 wies das Bezirksgericht Arlesheim das Gesuch ab. B.b. Das Kantonsgericht Basel-Landschaft hiess mit Entscheid vom 2. Juli 2012 die von X._ gegen den bezirksgerichtlichen Entscheid erhobene Berufung teilweise gut und wies die Sache zu neuer Entscheidung an das Bezirksgericht zurück. B.c. Mit Entscheid vom 15. April 2013 wies das Bezirksgericht das Gesuch erneut ab, auferlegte X._ eine Gerichtsgebühr von Fr. 3'000.-- und verurteilte sie zur Zahlung einer Parteientschädigung von Fr. 16'923.60 an den Gesuchsgegner. B.d. Mit Entscheid vom 10. Juli 2013 wies das Kantonsgericht Basel-Landschaft die Berufung gegen den bezirksgerichtlichen Entscheid ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen bzw. subsidiärer Verfassungsbeschwerde stellt X._ dem Bundesgericht folgende Anträge: "1. Die Beschwerde sei gutzuheissen und die Ziff. 1 und Ziff. 2 des angefochtenen Urteils des Kantonsgerichts Basel-Landschaft, Abteilung Zivilrecht, vom 10. Juli 2013 seien aufzuheben. 2. Das Gesuch um vorsorgliche Beweisabnahme vom 3.2.12 in Form eines gerichtlich in Auftrag zu gebenden medizinischen Gutachtens sei gutzuheissen. 3. Die Kosten des obergerichtlichen Verfahrens seien dem Beschwerdegegner aufzuerlegen und dieser zu verpflichten, der Beschwerdeführerin eine angemessene Parteientschädigung für das obergerichtliche Verfahren zu bezahlen. 4. Im Uebrigen sei die Sache an die Erstinstanz zurückzuweisen, damit diese einen medizinischen Sachverständigen zum Gutachter ernennt, auf der Grundlage der Fragenkataloge der Parteien einen Fragenkatalog erstellt, das Gutachten in Auftrag gibt und die Kosten- und Entschädigungsfolgen des erstinstanzlichen Verfahrens nach den verbindlichen Erwägungen des Bundesgerichts neu regelt. 5. Die Gerichtskosten seien dem Beschwerdegegner aufzuerlegen. 6. Der Beschwerdegegner sei zu verurteilen, der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine gerichtlich festzusetzende Parteientschädigung auszurichten." Y._ stellt in seiner Vernehmlassung die folgenden Anträge: "1. Es sei die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten wird. 2. Eventualiter sei die Sache an das Bezirksgericht ArIesheim zurückzuweisen zur Prüfung der noch nicht beurteilten Einwände des Beschwerdegegners gegen das Gesuch der Beschwerdeführerin. 3. Subventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen zur Prüfung der noch nicht beurteilten Einwände des Beschwerdegegners gegen das Gesuch der Beschwerdeführerin. 4. Subsubeventualiter, im Falle der Anordnung eines Gutachtens, 3.1 sei das Gutachten auf die Frage einer allfälligen Sorgfaltspflichtsverletzung des Beschwerdegegners und der Kausalität zu beschränken, 3.2 sei die Beschwerdeführerin zu verpflichten, sämtliche sie betreffenden medizinischen Unterlagen, insbesondere sämtliche Untersuchungs-, Behandlungs- und Operationsberichte (von Ärzten, Physiotherapeuten, Chiropraktikern und allfälligen anderen Heilbehandlern) für den Zeitraum von 1993 bis zum heutigen Tag zu edieren, 3.3 sei dem Beschwerdegegner danach Frist anzusetzen für die Formulierung von Gutachterfragen, 3.4 seien dem Gutachter vom Gericht nur konkret bezeichnete medizinische Akten auszuhändigen, 3.5 sei dem Gutachter nicht zu erlauben, die behandelnden Ärzte zu befragen, 3.6 sei als Gutachter ein vom Gericht zu bestimmender Rheumatologe zu ernennen, eventualiter ein vom Gericht zu bestimmender Rechtsmediziner, subeventualiter ein polydisziplinäres Gutachten von einem vom Gericht zu bestimmenden Rheumatologen in Zusammenarbeit mit einem vom Gericht zu bestimmenden Orthopäden anzuordnen. 5. Es seien die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen und es sei dem Beschwerdegegner eine angemessene Parteientschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren zu Lasten der Beschwerdeführerin zuzusprechen." Die Vorinstanz beantragt Abweisung der Beschwerde. 