Sachverhalt: A. Die 1974 geborene deutsche Staatsangehörige S._ war seit Juni 2002 als Pflegefachfrau im Spital X._ tätig und somit bei der AXA Versicherungen AG obligatorisch gegen Unfall versichert. Am 30. Juni 2003 verdrehte sie sich bei einem Sturz auf der Treppe das rechte Knie, wobei sie sich am Innenmeniskus und am Vorderband verletzte. Aufgrund einer unglücklichen Bewegung in der Physiotherapie erlitt sie im Oktober 2003 eine mediale Meniskushinterhornläsion am linken Knie, welche am 26. November 2003 arthroskopisch behandelt wurde. Am 13. Juli 2004 erfolgte ein weiterer operativer Eingriff am linken Knie. Nachdem die AXA Versicherungen AG mit Verfügung vom 8. Oktober 2004 zunächst die Übernahme weiterer Leistungen ab August 2004 abgelehnt hatte, da keine Unfallfolgen mehr vorlägen, anerkannte sie mit Einspracheentscheid vom 17. März 2006 den Meniskusriss am linken Knie als Unfallfolge. Auf das Gesuch der Versicherten vom 25. September 2006 hin sprach sie dieser mit Verfügung vom 7. Mai 2007 Taggelder im Rahmen einer 20-prozentigen Arbeitsunfähigkeit zu, welche sie auf den Zeitraum vom 1. August 2004 bis zum Beginn der Umschulung zum "Eurokaufmann" in Deutschland und somit auf den 22. Februar 2006 befristete. Die dagegen erhobene Einsprache wies der Unfallversicherer mit Einspracheentscheid vom 10. Dezember 2007 ab. B. Das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt hiess die von S._ eingereichte Beschwerde mit Entscheid vom 25. März 2009 gut, soweit es darauf eintrat, hob den Einspracheentscheid vom 10. Dezember 2007 auf und wies die Sache zur weiteren Abklärung im Sinne der Erwägungen an die AXA Versicherungen AG zurück. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt die AXA Versicherungen AG beantragen, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben, soweit das kantonale Gericht auf die Beschwerde eingetreten sei, und es sei die vorinstanzliche Beschwerde abzuweisen; eventuell sei die Sache zur neuen Beurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem ersucht sie um Erteilung der aufschiebenden Wirkung. S._ schliesst auf Nichteintreten, eventuell auf Abweisung der Beschwerde und beantragt zudem unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das vom Bundesgericht zur Vernehmlassung aufgeforderte Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV), Geschäftsfeld internationale Angelegenheiten, nimmt in abweisendem Sinne Stellung. 