Sachverhalt: A. Der 1954 geborene S._ arbeitete vom 1. Februar 1996 bis 30. Juni 2004 als kaufmännischer Angestellter bei der Bank Y._ und war in dieser Eigenschaft bei der Stiftung X._ obligatorisch berufsvorsorgeversichert. Am 31. März 2005 meldete er sich zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung an. Nach erwerblichen und medizinischen Abklärungen bejahte die IV-Stelle Basel-Stadt mit Verfügungen vom 3. Januar 2008 ab 1. Januar 2005 den Anspruch auf eine ganze Rente der Invalidenversicherung. Am 2. Juni 2008 teilte die Stiftung X._ (nachfolgend auch Stiftung genannt) S._ mit, für die Einschränkung in der Erwerbsfähigkeit werde eine Leistungspflicht aus beruflicher Vorsorge wegen vorbestehender Arbeitsunfähigkeit abgelehnt. Daran hielt sie in der Mitteilung vom 3. Juli 2008 fest. B. Am 26. September 2008 reichte S._ Klage gegen die Stiftung X._ beim Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt ein und beantragte, die Beklagte sei zu verpflichten, mit Wirkung ab 1. Januar 2005 eine ganze Invalidenrente aus beruflicher Vorsorge, zuzüglich Verzugszinsen, auszurichten, und er sei von der Beitragspflicht zu befreien. Das Gericht hiess die Klage mit Entscheid vom 17. Dezember 2009 vollumfänglich gut. C. Die Stiftung X._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, es sei das vorinstanzliche Urteil aufzuheben und die Klage abzuweisen; eventualiter sei der Entscheid vom 17. Dezember 2009 aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zu neuer Beurteilung zurückzuweisen. S._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde, währenddem sich das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) der Stellungnahme enthält. 