A.- B._, né le 24 mars 1946, et A._, née le 18 février 1941, se sont mariés à Genève le 14 décembre 1967. Ils ont eu une fille, actuellement majeure. Le 12 décembre 1991, à la demande de l'épouse, le Tribunal de première instance de Genève a prononcé la séparation de corps des parties pour une durée indéterminée, ordonné la liquidation du régime matrimonial et condamné le mari à verser à son épouse une contribution mensuelle d'entretien de 1'520 fr. qui, en appel, a été portée à 2'000 fr. B.- A la demande du mari, le tribunal de première instance a, par jugement du 7 octobre 1999, prononcé le divorce des époux en application de l'art. 148 al. 2 aCC et astreint le mari à payer à sa femme, sur la base de l'art. 151 aCC, une contribution alimentaire de 2'200 fr. par mois, non limitée dans le temps. Sur appel de l'épouse et appel incident du mari, la Cour de justice du canton de Genève a, par arrêt du 14 avril 2000, constaté que le principe du divorce était acquis et renvoyé la cause au tribunal de première instance pour qu'il statue sur les prétentions de l'épouse en matière de prévoyance professionnelle et d'entretien, compte tenu de l'entrée en vigueur du nouveau droit du divorce le 1er janvier 2000. Par jugement du 22 février 2001, le tribunal de première instance a ordonné le transfert de la moitié de la prestation de sortie LPP du mari à l'épouse, soit fr. 149'675 fr. 75, et alloué à celle-ci une contribution d'entretien de 1'800 fr. par mois jusqu'à fin février 2003, date à laquelle elle obtiendrait une rente AVS. Il a retenu que le mariage avait duré 30 ans et la vie commune plus de 25 ans, que l'épouse, sans formation professionnelle, avait exercé une activité lucrative réduite, impossible à augmenter en raison de son état de santé, de son âge et de l'absence de possibilité concrète de réaliser un gain supérieur. Le tribunal a établi la situation financière mensuelle des parties comme il suit: le mari avait 7'155 fr. 90 de revenu et 3'426 fr. 20 de charges; après couverture de son minimum vital augmenté de 20% (4'111 fr. 45), il disposait d'un solde de 3'044 fr. 45; l'épouse, avec 1'722 fr. 75 de revenu et 3'032 fr. 15 de charges, avait un découvert de 1'309 fr. 40. Le tribunal a estimé que le solde disponible n'avait pas à être partagé par moitié, car le nouveau droit du divorce privilégiait l'indépendance des parties après le divorce. La contribution mensuelle de 1'800 fr., supérieure de 500 fr. au minimum vital de l'épouse, devait permettre à celle-ci d'avoir un niveau de vie convenable. Sur appel de l'épouse, qui concluait à l'allocation d'une contribution d'entretien de 2'550 fr. par mois, la Cour de justice a confirmé le jugement de première instance, par arrêt du 23 novembre 2001, communiqué aux parties le 26 du même mois. C.- Agissant le 10 janvier 2002 par la voie du recours en réforme, l'épouse requiert le Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt de la Cour de justice, de lui allouer une contribution d'entretien de 2'520 fr. par mois, jusqu'à la fin du mois de février 2004, et de confirmer l'arrêt attaqué pour le surplus, avec suite de frais et dépens. La recourante sollicite en outre l'octroi de l'assistance judiciaire. L'intimé déclare ne pas s'opposer à ce que la contribution fixée par les instances cantonales soit due jusqu'au 18 février 2004. Pour le surplus, il conclut au rejet du recours avec suite de dépens. 