Sachverhalt: A. Der nach eigenen Angaben aus Guinea stammende, angeblich 1984 geborene X._ (alias Y._, geb. 1975, Guinea; alias Z._, geb. 1983, Burkina Faso; alias X._, geb. 1984, Sierra Leone) reiste im Juli 2001 in die Schweiz ein und stellte ein Asylgesuch, das am 10. Juli 2002 abgelehnt wurde. In der Folge tauchte er unter. Am 19. August 2003 heiratete X._ die somalische Staatsangehörige A._ (geb. 1984), die im November 2003 eingebürgert wurde, und erhielt in der Folge eine Aufenthaltsbewilligung. Die beiden gemeinsamen Kinder B._ (geb. 2005) und C._ (geb. 2006) verfügen über das Schweizer Bürgerrecht. Seit dem 25. November 2008 verfügt X._ über eine Niederlassungsbewilligung. Die Ehe mit A._ wurde am 18. August 2011 geschieden und die elterliche Sorge über die gemeinsamen Kinder der Mutter übertragen. B. Das Obergericht des Kantons Bern verurteilte X._ am 17. Februar 2011 u.a. wegen mehrfacher qualifizierter Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz zu einer Freiheitsstrafe von 36 Monaten. Mit Verfügung vom 12. September 2011 widerrief die Einwohnergemeinde Bern, Einwohnerdienste, Migration und Fremdenpolizei, die Niederlassungsbewilligung von X._ und wies diesen aus der Schweiz weg. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel wurden von der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern (Entscheid vom 10. August 2012) sowie vom Verwaltungsgericht des Kantons Bern (Urteil vom 22. Mai 2013) abgewiesen. C. Mit Eingabe vom 24. Juni 2013 erhebt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (betr. Widerruf der Niederlassungsbewilligung) bzw. subsidiäre Verfassungsbeschwerde (betr. Wegweisung) an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 22. Mai 2013 sei aufzuheben; insbesondere sei der Widerruf der Niederlassungsbewilligung aufzuheben und festzustellen, dass er über einen entsprechenden Anspruch verfüge. Eventualiter sie die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Einwohnergemeinde Bern, die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern, das Verwaltungsgericht des Kantons Bern sowie das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Mit Replik hält der Beschwerdeführer an seinen Ausführungen fest. Mit Verfügung vom 1. Juli 2013 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt. 