Sachverhalt: A. A.a Die B._ AG, führte in den Jahren 1998 und 1999 Kapitalherabsetzungen durch Rückkauf eigener Aktien durch. Am 10. Februar 2000 liess die B._ AG durch den C._ als Kommissionär 20'000 eigene Inhaberaktien zum Preis von Fr. 2'050.-- an der Börse verkaufen. Am gleichen Datum kaufte die Bank A._ AG, von der C. D._ die gleiche Anzahl Inhaberaktien der B._ AG ausserbörslich zum gleichen Preis. Am 11. Mai 1999 hatte die Bank A._ AG erstmals Call Warrants auf Inhaberaktien der B._ AG (sog. "B._") angekündigt. 50 dieser Call Warrants "B._" berechtigten während der rund einjährigen Ausübungsfrist, eine Inhaberaktie der B._ AG à nominal Fr. 50.-- zu einem bestimmten Preis zu erwerben. Anfang 2000 hielt die Bank A._ AG zur Absicherung der ausstehenden Call Warrants "B._" insgesamt 23'050 Inhaberaktien der B._ AG. Am 10. Februar 2000, am Tag des Verkaufs der Inhaberaktien, kaufte die B._ AG von der Bank A._ AG 1 Mio. Call Warrants "B._" für je Fr. 10.80. Diese Optionen berechtigten zum Erwerb von 20'000 Inhaberaktien der B._ AG. Am 28. Februar 2000 verkaufte die B._ AG der Bank A._ AG einerseits die 1 Mio. Call Warrants "B._" zum Preis von je Fr. 10.40 wieder (statt die Optionen auszuüben) und kaufte anderseits von der Bank A._ AG im Hinblick auf eine neuerliche Kapitalherabsetzung 20'000 eigene Inhaberaktien zum Preis von Fr. 2'070.-- pro Aktie. Vom Kaufpreis brachte sie die Verrechnungssteuer von 35 % (ausmachend Fr. 14'140'000.--) in Abzug und überwälzte sie dadurch auf die Verkäuferin, die Bank A._ AG. A.b Die Bank A._ AG stellte am 15. März 2001 bei der Eidgenössischen Steuerverwaltung ein Gesuch um Rückerstattung der im Geschäftsjahr 2000 an der Quelle erhobenen Verrechnungssteuer von Fr. 14'140'000.--. Dem Gesuch wurde am 14. Mai 2001 stattgegeben. A.c Nach einem Domizilbesuch bei der Bank A._ AG teilte die Eidgenössische Steuerverwaltung dieser am 27. März 2003 mit, dass sie die Transaktionen im Zusammenhang mit den Inhaberaktien der B._ AG als Steuerumgehung betrachte und die rückerstattete Verrechnungssteuer zurückfordere. In der Folge erliess sie am 6. Juni 2003 einen anfechtbaren Entscheid. Sie verfügte, die Bank A._ AG habe "den Betrag von Fr. 14'140'000.-- für die zu Unrecht erfolgte Rückerstattung der Verrechnungssteuer auf dem im Jahre 2000 fällig gewordenen Teilliquidationsteil (Fr. 40'400'000.--) betreffend die Kapitalreduktion von 20'000 Inhaberaktien der B._ AG innerhalb von 30 Tagen zurückzubezahlen". Zur Begründung wiederholte sie, die von den Beteiligten gewählte Rechtsgestaltung erfülle den Tatbestand der Steuerumgehung. Hiergegen erhob die Bank A._ AG am 7. Juli 2003 Einsprache, worauf die Eidgenössische Steuerverwaltung der Einsprecherin anzeigte, dass sie im Sinn einer reformatio in peius einen Verzugszins von 5 % festsetzen werde. Mit Entscheid vom 10. Mai 2005 wies die Eidgenössische Steuerverwaltung die Einsprache ab und erkannte, die Bank A._ AG habe umgehend die zu Unrecht erlangte Rückerstattung der Verrechnungssteuer von Fr. 14'140'000.-- wieder einzubezahlen. Überdies habe sie einen Zins von Fr. 1'321'697.-- sowie einen Zins von 5 % auf Fr. 14'140'000.-- zu leisten, berechnet vom 21. Mai 2003 bis zum Tag der effektiven Steuerentrichtung. Zur Begründung führte sie an, die Bank A._ AG habe wirtschaftlich betrachtet kein Recht zur Nutzung an den vorliegend zur Diskussion stehenden 20'000 Inhaberaktien der B._ AG gehabt. Im Übrigen sei das Vorgehen als Steuerumgehung zu qualifizieren. Die Bank A._ AG habe sich zur Verfügung gestellt, Inhaberaktien der B._ AG, welche diese bereits in ihrem Besitz gehabt habe, im Hinblick auf die bevorstehende Kapitalherabsetzung "nochmals in Umlauf zu bringen". Dadurch habe die B._ AG die auf dem Liquidationsüberschuss der eigenen Aktien angefallene Verrechnungssteuer auf die Bank A._ AG überwälzen können; hätte sie für die Kapitalherabsetzung Aktien aus dem Eigenbestand verwendet, so wäre eine Überwälzung nicht mehr möglich gewesen, und es hätte deshalb "ins Hundert" aufgerechnet werden müssen (Steuersatz 53,8 % statt 35 %), wobei diese Verrechnungssteuer die B._ AG definitiv belastet hätte. B. Die Eidgenössische Steuerrekurskommission hiess eine Beschwerde der Bank A._ AG gegen den Einspracheentscheid am 3. Oktober 2006 gut und hob diesen auf. Sie erwog, im Zusammenhang mit dem fraglichen Verkauf der Aktien von der Bank A._ AG an die B._ AG seien Verrechnungssteuern geschuldet gewesen, denn entgegen der Auffassung der Verkäuferin sei aufgrund der tatsächlichen Vorgänge ein "notwendiger effektiver Zusammenhang zwischen Halten, Erwerb der Aktien und Kapitalherabsetzung" erstellt. Die Verkäuferin, die Bank A._ AG, habe entgegen der Ansicht der Eidgenössischen Steuerverwaltung sehr wohl das Recht zur Nutzung an den fraglichen Inhaberaktien der B._ AG besessen und somit grundsätzlich Anspruch auf Rückerstattung der erhobenen Verrechnungssteuer gehabt. Zwar spreche einiges dafür, dass eine Steuerumgehung auf Stufe der Steuererhebung (B._ AG) anzunehmen sei, der Bank A._ AG könne aber nicht nachgewiesen werden, dass sie an der von der B._ AG gewählten Rechtsgestaltung mitgewirkt habe; ihr könne deshalb die Rückerstattung der Verrechnungssteuer nicht verweigert werden. C. Die Eidgenössische Steuerverwaltung hat am 1. November 2006 Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Bundesgericht erhoben. Sie beantragt, der Entscheid der Eidgenössischen Steuerrekurskommission vom 3. Oktober 2006 sei aufzuheben. Nach Auffassung der Beschwerdeführerin hat die Vorinstanz insofern Bundesrecht verletzt, als sie zum einen der Bank A._ AG das Recht zur Nutzung an den fraglichen Beteiligungsrechten zugesprochen und zum andern deren Mitwirkung an einer Steuerumgehung verneint hat. D. Die Bank A._ AG beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Die Eidgenössische Steuerrekurskommission hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. 