Sachverhalt: A. A.a Mit Verfügungen vom 21. September 2005 sprach die Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Allianz) als zuständiger obligatorischer Unfallversicherer der 1955 geborenen R._ für die Folgen eines Unfalls vom 19. März 1996 eine Invalidenrente von 50% für die Zeit vom 1. März 1998 bis 31. Oktober 2019 und von 33% ab 1. November 2019 sowie eine Integritätsentschädigung von 15% zu. A.b Die Allianz erbrachte auch Leistungen im Zusammenhang mit einem Auffahrunfall vom 7. Oktober 2001. Mit einer separaten, ebenfalls am 21. September 2005 erlassenen Verfügung stellte sie diese Leistungen rückwirkend per 31. Mai 2003 ein. Gleichzeitig verzichtete die Allianz auf eine Rückforderung der bis 31. Mai 2004 erbrachten Taggeldleistungen. A.c Am 1. Juli 1999 liess R._ der Zürich Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Zürich) als insoweit zuständigem obligatorischem Unfallversicherer melden, sie habe am 27. Juni 1999 einen Unfall erlitten. Die Zürich traf medizinische und erwerbliche Abklärungen. Namentlich holte sie ein Gutachten der Klinik X._ vom 10. Oktober 2000 ein. Anschliessend verneinte sie mit Verfügung vom 10. November 2000 ihre Leistungspflicht für den Vorfall vom 27. Juni 1999. Daran hielt der Versicherer - nach zwischenzeitlicher Sistierung des Verfahrens - mit Einspracheentscheid vom 30. Oktober 2006 fest. Zuvor hatte er unter anderem ein Gutachten des Dr. med. J._, Chefarzt-Stellvertreter an der Orthopädischen Universitätsklinik des Spitals Y._, vom 22. Mai 2003, mit ergänzenden Angaben vom 19. August 2004, zu den Akten genommen. B. Die von der Versicherten gegen den Einspracheentscheid der Zürich vom 30. Oktober 2006 erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen ab (Entscheid vom 28. Februar 2008). Im Verlauf des Rechtsmittelverfahrens liess die Versicherte unter anderem Berichte des Dr. med. M._, Otorhinolaryngologie FMH, vom 11. April 2001 und 27. Februar 2007, des Dr. med. L._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 9. Juli 2004, des Dr. med. F._, Allgemeine Medizin FMH, St. Gallen, vom 6. September 2007 und des Dr. med. S._, Facharzt für Anästhesie, St. Gallen, vom 4. September 2007 einreichen. C. R._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es seien der kantonale Entscheid und der Einspracheentscheid aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung an die Zürich zurückzuweisen. Mit der Beschwerde werden weitere Dokumente eingereicht. Die Zürich schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 hat das Bundesgericht die sog. Schleudertrauma-Praxis bei organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden präzisiert. Die Parteien hielten im Rahmen des ihnen zu dieser Präzisierung gewährten rechtlichen Gehörs an ihren Rechtsbegehren fest. 