Sachverhalt: A. Die 1962 geborene K._ war als Hausangestellte am Universitätsspital Zürich tätig und dadurch bei der Winterthur-Versicherungen (nachfolgend: Winterthur) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 24. Januar 2000 verletzte sie sich bei einem Sturz auf Glatteis am linken Ellbogen. Nachdem sie am 18. März 2001 am linken Arm gezogen worden war, traten verstärkte Ellbogenschmerzen auf. Die Winterthur erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Mit Verfügung vom 3. Oktober 2005 und Einspracheentscheid vom 20. Februar 2007 stellte der Versicherer die Taggeldleistungen auf den 31. Dezember 2003 ein, und er verneinte einen Anspruch auf eine Invalidenrente. Zur Begründung wurde ausgeführt, es bestehe keine anspruchsbegründende Arbeits- resp. Erwerbsunfähigkeit. B. Die von K._ gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde mit dem Antrag auf Zusprechung einer behinderungsangepassten Rente wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 16. Juli 2008 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt K._ beantragen, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei die AXA Versicherungen AG (als Rechtsnachfolgerin der Winterthur) zu verpflichten, eine behinderungsangepasste Rente auszurichten; evtl. sei die Sache zu weiteren Abklärungen zurückzuweisen. Weiter wird sinngemäss die Zusprechung einer Integritätsentschädigung verlangt und um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht. Die kantonalen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt. Am 13. Oktober 2008 wies das Bundesgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab. 