Fatti: Fatti: A. P._, nata nel 1975, attiva quale ballerina in locali notturni, è rimasta vittima di un incidente stradale in data 16 agosto 1995, riportando una frattura diafisaria trasversa dell'omero destro, una frattura ilio-ischiopubica sinistra con dissociazione sacro-iliaca sinistra, la rottura del diaframma a sinistra, la lesione del plesso ascellare destro e la frattura malleolare composta della caviglia destra. Con decisione del 6 giugno 1997 l'interessata è stata posta al beneficio, da parte della SWICA Assicurazioni SA (in seguito SWICA), di un'indennità per menomazione dell'integrità del 65%, mentre con un provvedimento formale del 3 novembre 1998 l'assicuratore infortuni ha dichiarato estinto il diritto dell'infortunata all'erogazione di indennità giornaliere con effetto dal 1° luglio 1997, negando l'assegnazione di una rendita di invalidità, per carenza di perdita economica. In seguito all'opposizione presentata dall'assicurata tramite l'avvocato Timbal, la SWICA ha confermato il proprio provvedimento in data 22 gennaio 1999. In seguito all'opposizione presentata dall'assicurata tramite l'avvocato Timbal, la SWICA ha confermato il proprio provvedimento in data 22 gennaio 1999. B. Contro la decisione su opposizione è insorta P._ con gravame presso il Tribunale delle assicurazioni del Canton Ticino. Sempre patrocinata dall'avvocato Timbal l'insorgente ha postulato l'assegnazione di una rendita di invalidità del 100%, il riconoscimento di una riformazione professionale e l'assunzione di diversi costi, tra cui quelli necessari alla cura dei disturbi digestivi e per sottoporsi ad una psicoterapia. Con giudizio del 27 agosto 2001 la Corte cantonale ha parzialmente accolto il gravame, annullato la decisione su opposizione del 22 gennaio 1999, condannato la SWICA ad assumere i costi della psicoterapia di cui necessitava l'insorgente e retrocesso gli atti all'assicuratore infortuni affinché ricalcolasse il grado d'invalidità di P._. Il Tribunale cantonale ha invece respinto la richiesta tendente all'assunzione dei costi per la cura dei disturbi gastrici, non essendo provato il nesso di causalità naturale con l'infortunio. Con giudizio del 27 agosto 2001 la Corte cantonale ha parzialmente accolto il gravame, annullato la decisione su opposizione del 22 gennaio 1999, condannato la SWICA ad assumere i costi della psicoterapia di cui necessitava l'insorgente e retrocesso gli atti all'assicuratore infortuni affinché ricalcolasse il grado d'invalidità di P._. Il Tribunale cantonale ha invece respinto la richiesta tendente all'assunzione dei costi per la cura dei disturbi gastrici, non essendo provato il nesso di causalità naturale con l'infortunio. C. Contro la pronunzia cantonale sono insorti con ricorso di diritto amministrativo al Tribunale federale delle assicurazioni sia la SWICA che l'assicurata. P._ postula in via principale la condanna dell'assicuratore infortuni al versamento di una rendita di invalidità del 100% calcolata su un guadagno assicurato di fr. 37'440.- dal 1° luglio 1997, oltre a interessi del 5%, in via subordinata una rendita del 76,88%, in via più subordinata del 59,55% ed in via del tutto subordinata pari al 49,43%. Inoltre la ricorrente chiede l'assunzione dei costi relativi agli accertamenti e alla cura dei disturbi digestivi, così come il riconoscimento dei costi necessari per sottoporsi a psicoterapia. Delle motivazioni ricorsuali si dirà in seguito, se necessario. Dal canto suo la SWICA chiede a questa Corte di accertare che l'assicurata non è portatrice di un'invalidità indennizzabile e di conseguenza di annullare parzialmente il giudizio impugnato e confermare in parte la decisione su opposizione del 22 gennaio 1999. L'assicuratore infortuni riconosce invece l'assunzione dei costi necessari per l'esecuzione di una psicoterapia. Dei motivi addotti nel ricorso si dirà, se necessario, in seguito. Chiamati a pronunciarsi sui rispettivi gravami sia la SWICA che l'assicurata hanno proposto di respingerli. L'Ufficio federale delle assicurazioni sociali non si è invece espresso. 