Faits: A. AX._ et BX._ se sont mariés le 24 juillet 1992. AX._ a travaillé, dès le 1er mai 1993, en qualité d'ingénieur-électronicien au service de la société R._ SA pour un salaire mensuel net qui s'élevait en 2004 à 11'294 fr.15 et il a cotisé au fonds de prévoyance professionnelle T._. BX._, pour sa part, s'est consacrée pendant le mariage à l'éducation des enfants et elle n'a pas cotisé à un fonds de prévoyance professionnelle. Le 1er décembre 2004, AX._ a déposé une demande en divorce. Il était assisté, dans la procédure, par Me Y._, avocat au Barreau de Genève. Dans la demande rédigée par ce dernier, AX._ sollicitait du juge du divorce qu'il procède au partage par moitié des prestations de sortie résultant de la prévoyance professionnelle. Il était joint un certificat de T._, dont il ressortait que la prestation de libre passage accumulée par AX._, pour un début d'assurance au 1er mai 1993, s'élevait au 1er juillet 2004, à 450'769 fr.30. Dans le cadre de la procédure de divorce, AX._ a été invité à actualiser cette attestation. Il a demandé à T._ un nouveau certificat, faisant état au 1er janvier 2005, d'une prestation de libre passage accumulée de 468'201 fr.25. AX._ a transmis ce document à l'avocat Y._, lequel l'a versé à la procédure. Par jugement du 6 octobre 2005, le Tribunal de première instance de Genève a prononcé le divorce des époux X._ et il a notamment ordonné à T._ de transférer du compte de AX._ la somme de 234'100 fr.65 (correspondant à la moitié de 468'201 fr.25) sur le compte de libre passage de BX._. AX._ a appelé de ce jugement, mais sans remettre en cause le point du dispositif rappelé ci-dessus. Le transfert de cette somme étant ainsi acquis, T._, à l'invitation du Tribunal, a versé, le 14 mars 2006, le montant de 234'100 fr.65 sur le compte de libre passage de BX._, par le débit du compte de AX._. Par la suite, AX._ s'est rendu compte que le chiffre indiqué par T._ englobait les avoirs qu'il avait accumulés auprès de la Caisse fédérale d'assurance, à laquelle il avait été affilié jusqu'au 30 avril 1993 et dont la prestation de libre passage en 79'320 fr. avait été transférée le 1er mai 1993 à T._. Agissant par l'entremise de l'avocat Y._, AX._ a saisi le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève. Par arrêt du 2 août 2006, celui-ci a déclaré la demande irrecevable, constatant que la question du partage des prestations de sortie et du transfert du montant dû avait été entièrement réglée par un jugement civil entré en force de chose jugée. Saisie d'une demande de rectification formée par AX._, représenté par Me Y._, la Cour de justice, par arrêt du 15 décembre 2006, l'a également déclarée irrecevable, constatant que ce n'était pas elle qui s'était prononcée sur cette question, puisque l'appel ne portait pas sur ce point. Dans un ultime décompte du 6 juillet 2007, T._ a indiqué que les avoirs de AX._, accumulés durant le mariage, s'élevaient à 372'168 fr.55. B. Par acte déposé au greffe du Tribunal de première instance du canton de Genève le 26 mars 2009, AX._ a formé une demande en paiement dirigée contre Y._, lui réclamant le montant de 48'016 fr.35 avec intérêts à 5% dès le 7 avril 2006. AX._ a soutenu que l'avocat avait mal exécuté son mandat et lui avait causé un dommage équivalant à la différence entre le montant qui a été transféré, qu'il a chiffré à 234'100 fr.60 (en lieu et place des 234'100 fr.65), et celui qui aurait dû l'être (372'168 fr.55 : 2 = 186'084 fr.25), s'élevant au total à 48'016 fr.35. L'avocat a contesté la demande en totalité. Par jugement du 14 janvier 2010, le Tribunal de première instance a débouté le demandeur, statuant par ailleurs sur les frais et dépens. Par arrêt du 18 juin 2010, la Chambre civile de la Cour de justice de Genève a confirmé ce jugement avec suite de dépens. En résumé, elle a considéré que l'avocat ne pouvait pas détecter l'imprécision du document remis par son client. Elle a donc admis qu'il n'y avait pas eu de violation du devoir de diligence durant la procédure de divorce. Quant aux démarches vaines qui ont été entreprises ultérieurement auprès du Tribunal cantonal des assurances sociales et auprès de la Cour de justice, elles sont postérieures à la réalisation du dommage et ne sont donc pas en relation de causalité avec le préjudice invoqué. Sur le point de savoir si l'on pouvait reprocher à l'avocat d'avoir omis une demande en rectification ou en révision devant le Tribunal de première instance, la cour cantonale a retenu que l'appelant n'avait pas précisé quelle disposition de droit fédéral ou de droit cantonal lui aurait permis d'aboutir au résultat escompté en entreprenant une telle démarche. C. Ayant reçu cet arrêt le 24 juin 2010, AX._ a déposé dans un bureau de poste suisse, le 25 août 2010, un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Invoquant l'arbitraire dans les constatations de fait (art. 9 Cst.) et une violation des dispositions du droit fédéral sur la responsabilité du mandataire (art. 398 et 321e CO), il conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de la décision attaquée et à ce que sa partie adverse soit condamnée à lui payer la somme de 48'016 fr.35 avec intérêts à 5% dès le 7 avril 2006; subsidiairement, il sollicite le renvoi de la cause à la cour cantonale. L'intimé a conclu au rejet du recours avec suite de frais et dépens. 