Faits: A. U._, né en 1953, a travaillé, à raison de 37.55 heures par semaine, au service de X._. A ce titre, il était assuré contre le risque d'accidents par SWICA. En parallèle, il a exercé une activité de nettoyeur pour le compte des sociétés Y._ SA (7.95 heures par semaine) et Z._ SA (10 heures par semaine). Le 2 juillet 2003, U._ a été victime d'un accident sur son lieu de travail principal. Le 9 juillet 2003, X._ a indiqué dans une déclaration d'accidents LAA que le prénommé avait « loupé » la marche de son tracteur et était tombé; cet événement avait occasionné des contusions au dos et au genou droit. Cet accident a également été annoncé à la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA) par Y._ SA et Z._ SA. Y._ SA a mentionné des blessures à la main droite (entorse) ainsi qu'aux épaules, au dos et à la nuque tandis que Z._ SA a fait état d'un violent choc à l'épaule droite et dans le dos. Dès le 7 juillet 2003, U._ a consulté son médecin traitant, le docteur R._, lequel a attesté une incapacité de travail de 100 % du 3 juillet au 7 septembre 2003, puis de 50 % par la suite. Dans un rapport du 6 novembre 2003, ce médecin a indiqué que le premier diagnostic posé avait été celui d'entorse acromio-claviculaire droite de stade 2 avec contractures musculaires cervico-dorso-lombaires et contusion du genou droit. L'évolution de son patient était très lentement favorable en raison de problèmes relationnels avec son chef, lequel aurait pratiqué un véritable mobbing depuis que l'assuré a été accidenté. Le pronostic était tout de même bon: la reprise du travail était envisagée au plus tard pour le début de 2004. Le 27 novembre 2003, un bilan radiographique des colonnes cervicale et dorsale a révélé des troubles statiques et des troubles dégénératifs étagés, sans fracture, tassement ou cunéiformation significative d'un corps vertébral ainsi qu'une possible ostéopénie. Le docteur V._, spécialiste en radiologie, a précisé que les troubles dégénératifs, marqués pour l'âge du patient, de C3 à C7, étaient prédominants en C4-C5 et C6-C7; ils étaient visibles sous la forme d'une discarthrose avec becs ostéophytaires marginaux et uncarthrose (rapport du 28 novembre 2003). Le 7 janvier 2004, une IRM cervicale pratiquée par le docteur S._, médecin à la Clinique W._, a mis en évidence des modifications dégénératives cervicales inférieures de moyenne importance, prédominant en C6-C7 (franche protrusion discale) où le canal rachidien est rétréci/étroit, sans signe de compression médullaire. Il n'y avait pas de lésion osseuse suspecte (rapport du 8 janvier 2004). A la demande de SWICA, un inspecteur de la société I._ SA a relaté comme suit les déclarations de l'assuré: « En descendant en arrière (comme en descendant d'une échelle) du tracteur Renault qui sert à tracter les caddies, il a raté une des deux marches; dans un effort désespéré, il a tenté de s'accrocher au levier de vitesse avec la main gauche. Finalement et pour ne pas se cogner la tête et se casser les dents, il s'est poussé en arrière et est retombé sur le sol. C'est le côté droit qui a absorbé la totalité du choc. Sur le moment, la paume de sa main droite, qu'il a posée pour amortir la chute, était douloureuse . C'est immédiatement qu'il a ressenti une vive douleur dans l'épaule droite comme si on lui enfonçait une aiguille. Sa nuque était toute coincée en raison d'un faux mouvement qu'il a fait lors de sa chute » (LAA-rapport d'investigations du 8 janvier 2004). SWICA a pris le cas en charge. Dans un rapport du 15 avril 2004, le docteur R._ a fait état, notamment, d'une articulation acromio-claviculaire électivement douloureuse, de contractures musculaires importantes au niveau lombaire et cervical et d'une mobilité réduite du genou droit. La physiothérapie n'apportait pas de bénéfices à long terme sur les contractures musculaires cervicales et lombaires. Selon le médecin traitant, la dégradation des conditions de travail et les tensions vécues expliquaient la persistance des douleurs. La capacité de travail maximale était de 50 %. Le cumul de deux activités était actuellement impossible. U._ a été licencié avec effet au 30 avril 2004 par X._. Devant la persistance des douleurs, SWICA a confié une expertise aux docteurs B._, spécialiste en rhumatologie, et O._, spécialiste en psychiatrie-psychothérapie, au Centre P._. Selon les conclusions de ces médecins, sous l'angle somatique et plus précisément d'un point de vue rhumatologique, il n'y a aucune séquelle de l'accident de 2003, l'assuré peut reprendre un travail à 100 % dans sa profession. Sous l'angle psychique, aucune psychopathologie particulière n'a été mise en évidence; l'assuré a relativement peu de plaintes; il peut tout au plus être retenu un diagnostic de dysthymie sans répercussion sur la capacité de travail. En conclusion, les atteintes présentées par l'assuré n'étaient plus liées à l'accident au-delà du 30 juin 2004. Par ailleurs, il n'y avait pas d'atteinte à l'intégrité (expertise du 29 juin 2004). Par décision du 26 juillet 2004, SWICA a mis un terme à toutes ses prestations avec effet au 30 juin 2004. U._ s'est opposé à cette décision. Dans le cadre de l'instruction de l'opposition, à la demande de son médecin traitant, il a été examiné par le professeur E._, spécialiste en anesthésiologie. Ce médecin a rendu deux rapports, l'un le 20 février 2005, l'autre le 23 mai 2005. Par ailleurs, le professeur E._ a adressé l'assuré au professeur M._, spécialiste en chirurgie rachidienne, pour avis chirurgical. Ce médecin a rendu ses conclusions dans un rapport (non daté) fondé sur une consultation du 22 juin 2005. Appelés à se prononcer sur les appréciations des professeurs E._ et M._, les médecins du Centre P._ ont confirmé leur expertise du 29 juin 2004, dans un avis du 5 janvier 2006. Par décision sur opposition du 21 février 2006, SWICA a confirmé sa décision du 26 juillet 2004. B. U._ a déféré cette décision au Tribunal des assurances du canton de Vaud qui l'a débouté par jugement du 5 mars 2007. C. U._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. A titre principal, il demande la réformation de la décision entreprise en ce sens que SWICA continue à lui servir les pleines prestations de l'assurance-accidents. A titre subsidiaire, il requiert l'annulation de la décision entreprise et le renvoi de la cause à SWICA, pour nouvelle instruction et nouvelle décision, le tout sous suite de frais et dépens. SWICA n'a pas répondu au recours. Quant à l'Office fédéral de la santé publique, il ne s'est pas déterminé. 