Sachverhalt: A. A.a Y._ (geb. 1965) und Z._ (geb. 1967) sind die verheirateten Eltern von drei Kindern (geb. 1989, 1992 und 1997). X._ ist das älteste Kind. Mit Urteil vom 10. März 2009 schied das Bezirksgericht Zürich die Ehe. Die beiden jüngeren und damals noch minderjährigen Kinder stellte es unter die elterliche Sorge der Mutter und verpflichtete den Vater zur Leistung von Kinderunterhaltsbeiträgen von je Fr. 900.-- pro Monat bis zum Abschluss einer ordentlichen Ausbildung. Für die im Scheidungszeitpunkt bereits mündige X._ legte es keine Unterhaltsbeiträge fest. A.b Am 29. September 2009 klagte Z._ gegen Y._ auf Abänderung des Scheidungsurteils (betreffend nachehelichen Unterhalt und Kinderunterhalt). Das Verfahren ist erneut vor dem Bezirksgericht Zürich hängig, nachdem das Kassationsgericht des Kantons Zürich als letzte kantonale Instanz eine Nichtigkeitsbeschwerde von Z._ gutgeheissen hatte und in der Folge das Obergericht die Angelegenheit an das Bezirksgericht zurückwies. Sowohl Z._ als auch Y._ sind im Abänderungsverfahren anwaltlich vertreten. B. B.a Am 8. Februar 2012 (mit Nachtrag vom 5. März 2012) stellte X._ beim Präsidenten des Obergerichts des Kantons Zürich ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für ein (zum Zeitpunkt des Gesuchs noch nicht hängiges) Schlichtungsverfahren betreffend einer Klage auf Mündigenunterhalt gegen ihren Vater. Mit Beschluss vom 8. März 2012 gewährte der Obergerichtspräsident die unentgeltliche Rechtspflege für das Schlichtungsverfahren betreffend Unterhaltsklage. Hingegen wies er das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung für dieses Schlichtungsverfahren ab. B.b Bereits am 9. Februar 2012 hatte X._ beim Friedensrichteramt A._ das Schlichtungsgesuch eingereicht mit dem Begehren, ihr Vater sei rückwirkend ab 9. Februar 2011 bis zum Abschluss ihrer Erstausbildung zu angemessenen monatlichen Unterhaltsbeiträgen zu verpflichten. Am 22. März 2012 fand die Schlichtungsverhandlung statt, an der ihr der Friedensrichter mangels Einigung die Klagebewilligung erteilte. C. Gegen die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Verbeiständung erhob X._ am 23. März 2012 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich (I. Zivilkammer). Zugleich ersuchte sie um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Beschwerdeverfahren. Mit "Beschluss und Urteil" vom 17. April 2012 beschloss das Obergericht, das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Beschwerdeverfahren gutzuheissen. In der Sache ("Urteil") wies es die Beschwerde ab und auferlegte die Kosten des Beschwerdeverfahrens von Fr. 200.-- X._ (unter Vorbehalt des ihr gewährten Rechts auf unentgeltliche Rechtspflege). D. Dem Bundesgericht beantragt X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) in ihrer Beschwerde in Zivilsachen und eventualiter erhobenen subsidiären Verfassungsbeschwerde vom 23. Mai 2012, das "Urteil" des Obergerichts vom 17. April 2012 sei aufzuheben. Es sei ihr für das Schlichtungsverfahren vor dem Friedensrichteramt (ab Einreichung des Gesuchs) die unentgeltliche Verbeiständung zu bewilligen und ihr Rechtsanwalt Cao als unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen. Zudem seien die Kosten des Beschwerdeverfahrens von Fr. 200.-- dem Kanton Zürich aufzuerlegen und sei ihr insoweit eine angemessene Parteientschädigung von Fr. 1'800.-- zuzusprechen. Schliesslich sei in Abänderung der obergerichtlichen Rechtsmittelbelehrung der Streitwert auf Fr. 33'000.-- festzulegen. Das Obergericht (I. Zivilkammer) hat dem Bundesgericht die Vorakten zugesandt und mit Schreiben vom 12. Juni 2012 auf eine Vernehmlassung verzichtet. 