Sachverhalt: A. A.a Die 1968 geborene G._ war seit 1. April 2006 im Restaurant L._ als Köchin tätig. Am 6. April 2009 meldete sie sich wegen Astma bronchiale bei Atopie sowie einem Lumbovertebralsyndrom bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Gestützt auf die medizinischen und beruflichen Abklärungen verneinte die IV-Stelle des Kantons Zürich mit Verfügung vom 7. Dezember 2009 einen Rentenanspruch. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 7. April 2010 gut und wies die Sache zur ergänzenden Abklärung und neuen Verfügung an die Verwaltung zurück. A.b In der Folge holte die IV-Stelle weitere medizinische Unterlagen ein, worunter das Gutachten des Instituts X._ vom 18. April 2011. Mit Verfügung vom 27. September 2011 wies sie das Rentenbegehren der Versicherten erneut ab. B. Die dagegen erhobene Beschwerde der G._ wies das Sozialversicherungsgericht mit Entscheid vom 3. April 2012 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt G._ beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die IV-Stelle zu verpflichten, ihr eine Invalidenrente auszurichten. Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. 