Sachverhalt: A. Die 1948 geborene M._ war ab Juni 1991 als Pflegemitarbeiterin/Nachtwach-Hilfe im Alters- und Pflegeheim X._ angestellt und dadurch bei der Berner Allgemeine Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Berner) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 24. Oktober 2000 verlor M._, als sie im Wald auf einem liegenden Baumstamm stand, um Efeu von einem stehenden Baum zu schneiden, das Gleichgewicht und stürzte mehrere Meter eine Böschung hinunter in ein Bachbett, wo sie, nach einer Bewusstlosigkeit unbekannter Dauer, wieder zu sich kam. Im notfallmässig aufgesuchten Kantonsspital Y._ wurden eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) und eine commotio cerebri diagnostiziert, und es wurde eine volle Arbeitsunfähigkeit bestätigt. M._ war vom 24. bis 26. Oktober und erneut vom 29. Oktober bis 13. Dezember 2000 im Kantonsspital Y._ hospitalisiert. Anschliessend hielt sie sich bis 20. Januar 2001 in der Rehaklinik Z._ auf. Die Berner gewährte Heilbehandlung und richtete ein Taggeld aus. Mit Verfügung vom 20. Oktober 2003 setzte die Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Allianz) als Rechtsnachfolgerin der Berner den Taggeldanspruch ab 24. Juli 2002 auf 60 % herab, da die Arbeitsunfähigkeit, so argumentierte sie, ab diesem Zeitpunkt höchstens noch in diesem Umfang der Unfallversicherung anzulasten und im Übrigen mit vorbestandenen Krankheiten zu erklären sei; die unfallbedingte Heilbehandlung werde weiter übernommen. Hiegegen erhob M._ Einsprache. Mit Verfügung vom 3. Dezember 2004 verneinte die Allianz rückwirkend ab 24. Juli 2002 nunmehr jeglichen weiteren Leistungsanspruch, da die darüber hinaus bestandenen Gesundheitsbeschwerden nicht in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfall vom 24. Oktober 2000 stünden. Sie erklärte zudem, auf eine Rückforderung der über den 24. Juli 2002 hinaus bereits erbrachten Leistungen zu verzichten. Mit Schreiben vom gleichen Tag eröffnete sie M._ überdies, dass aufgrund der verfügten rückwirkenden Leistungseinstellung die den Taggeldanspruch betreffende Verfügung vom 20. Oktober 2003 und die dagegen geführte Einsprache gegenstandslos geworden seien, weshalb das Einspracheverfahren als erledigt abgeschrieben werde. Gegen die Verfügung vom 3. Dezember 2004 erhoben M._ und die Assura Kranken- und Unfallversicherung (nachfolgend: Assura) als ihr obligatorischer Krankenpflegeversicherer je Einsprache. Die Allianz hielt an der Verfügung fest (Einspracheentscheid vom 9. September 2005). B. M._ und die Assura erhoben je Beschwerde mit dem übereinstimmenden Rechtsbegehren, der Einspracheentscheid vom 9. September 2005 sei aufzuheben und die Allianz sei zu verpflichten, auch nach dem 24. Juli 2002 die gesetzlichen Leistungen zu gewähren. M._ beantragte überdies, die unfallbedingte Arbeitsunfähigkeit sei auf 100 % festzusetzen. Das Kantonsgericht Basel-Landschaft vereinigte die Verfahren. Mit Entscheid vom 7. April 2006 hob es in Gutheissung der Beschwerden den Einspracheentscheid vom 9. September 2005 auf und verhielt die Allianz dazu, die gesetzlichen Leistungen über den 24. Juli 2002 hinaus zu erbringen. Zur Begründung wurde ausgeführt, der Unfallversicherer habe die Adäquanz zu früh geprüft. C. Die Allianz führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben. M._ und die Assura beantragen je die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. Mit Eingabe vom 25. Januar 2007 nimmt die Allianz nochmals Stellung. 