Faits: A. Le 19 mars 2010, la commune de Randogne (VS) a publié un avis de pose de trois panneaux de signalisation "Interdiction générale de circuler" avec plaque complémentaire "sauf autorisation communale" sur la route de Plumachit. Cette route communale dessert notamment l'alpage de Plumachit, où A._ exploite un restaurant dont elle est propriétaire. Celle-ci a formé opposition contre cet avis de nouvelle signalisation. La commune de Randogne a levé cette opposition par décision du 31 mars 2010 et la Commission cantonale de signalisation routière a approuvé la pose des panneaux le 25 juin 2010. Saisi de recours de l'opposante contre ces deux décisions, le Conseil d'Etat les a confirmées le 23 janvier 2013. Par arrêt du 18 juillet 2013, la Cour de droit public du Tribunal cantonal du Valais a rejeté le recours formé par A._ contre la décision du Conseil d'Etat. La cour cantonale a en substance considéré qu'il était établi que le trafic sur le tronçon de route litigieux pouvait occasionnellement être dense, ce qui justifiait la restriction de circuler. Elle a également constaté que la recourante ne pouvait se prévaloir d'aucun droit acquis ni du principe de la confiance. Enfin, elle a jugé que l'éventuelle atteinte à sa liberté économique respectait les conditions de l'art. 36 Cst., en particulier le principe de proportionnalité, dès lors que, outre qu'il demeurait accessible à pieds par le chemin litigieux, le restaurant pouvait encore être atteint en véhicule automobile par une autre route, ainsi que, durant les mois de juillet et août, au moyen de bus navettes; les intérêts économiques de la recourante ne devaient ainsi être que marginalement touchés par la mesure litigieuse. B. A._ recourt contre l'arrêt cantonal auprès du Tribunal fédéral par une lettre non signée du 13 septembre 2013 postée le jour même, ainsi que par une lettre de sa fille (accompagnée d'un acte intitulé "recours", signé par la recourante, et d'une procuration) postée le 14 septembre 2013. Elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et des décisions des 31 mars et 25 juin 2010, ainsi que, dans sa première lettre, à l'allocation de dommages et intérêts en compensation de la perte de ses investissements et de son manque à gagner si la route devait être fermée. Elle requiert par ailleurs que l'effet suspensif soit octroyé à son recours. Le Tribunal cantonal renonce à se déterminer. Le Conseil d'Etat se réfère à la motivation de l'arrêt attaqué et conclut au rejet du recours. La commune de Randogne se détermine et conclut principalement à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. Agissant par l'intermédiaire de son conseil, A._ se détermine sur ces réponses et précise ses conclusions en ce sens que le dossier doit être renvoyé à la cour cantonale, subsidiairement au Conseil d'Etat, plus subsidiairement encore à la commune, pour nouvelle (s) décision (s) dans le sens des considérants. La commune de Randogne maintient ses conclusions et la recourante se détermine une nouvelle fois. Par ordonnance du 17 octobre 2013, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif déposée par la recourante. 