A.- G._, qui travaillait comme laborantin au service de la société coopérative X._, était assuré contre le risque d'accident auprès de la Compagnie d'assurances Y._. Par décision du 31 janvier 1995, confirmée sur opposition de l'assuré le 4 janvier 1996, la Compagnie d'assurances Y._ a refusé de prendre en charge des lésions dorsales présentées par celui-ci, motif pris de l'absence d'accident au sens légal du terme. G._ a recouru contre cette dernière décision devant le Tribunal administratif du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, en concluant à la reconnaissance du caractère accidentel de ses lésions et à la prise en charge de leur suite par la Compagnie d'assurances Y._. Par jugement du 20 août 1998, le tribunal a partiellement admis le recours, en ce sens qu'il a renvoyé la cause à la Compagnie d'assurances Y._ pour qu'elle mette en oeuvre un complément d'instruction visant à déterminer si, et le cas échéant dans quelle mesure, l'assuré souffrait de lésions d'origine accidentelle. B.- Ayant repris les droits et obligations de la Compagnie d'assurances Y._ depuis le 1er janvier 1996, Winterthur, Société Suisse d'Assurances (ci-après : Winterthur Assurances) a recouru contre ce jugement, en concluant principalement à son annulation. Le Tribunal fédéral des assurances a clôturé l'échange d'écritures ordinaire le 28 décembre 1998. Par arrêt du 1er juin 1999, il a admis la conclusion principale du recours. C.- Par écriture du 10 septembre 1999, G._ demande la révision de cet arrêt, en concluant, sous suite de dépens, à son annulation et au rejet du recours que Winterthur Assurances avait formé contre le jugement rendu le 20 août 1998 par le Tribunal administratif du canton de Fribourg. A l'appui de sa demande, il produit un rapport d'expertise établi le 19 avril 1999 à l'intention de l'assurance-invalidité par le docteur F._, médecin associé au Service d'orthopédie et de traumatologie de l'appareil moteur du Centre Hospitalier Z._. Winterthur Assurances conclut au rejet de la demande de révision, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales ne s'est pas déterminé. 