Faits: A. A.a Du 26 mai 2000 au 20 février 2001, X._ s'est rendu coupable en plusieurs occasions de vol, tentative de vol, crime manqué de vol, dommages à la propriété, utilisation frauduleuse d'un ordinateur, menaces, violation de domicile et contravention à la loi fédérale sur les stupéfiants. Cette activité délictueuse est en rapport avec un trouble mental. À l'époque, les experts psychiatres ont diagnostiqué une schizophrénie paranoïde continue ainsi qu'une dépendance à des substances psycho-actives. Par jugement du 14 août 2003, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de Lausanne a condamné X._ à quatorze mois d'emprisonnement ferme, sous déduction de 385 jours de détention préventive, révoqué les sursis dont étaient assorties diverses peines, d'un total de neuf mois et trois jours d'emprisonnement après déduction de vingt-sept jours de détention préventive, prononcées antérieurement contre X._ pour des infractions de même nature et suspendu l'exécution de l'ensemble de ces peines au profit d'un internement au sens de l'art. 43 ch. 1 al. 2 aCP. A.b Dans un premier temps, X._ a reçu ses soins psychiatriques en milieu pénitentiaire. Dans un rapport établi en 2007, la Commission interdisciplinaire concernant les délinquants nécessitant une prise en charge psychiatrique (ci-après: CIC) a noté qu'il évoluait favorablement et préconisé son placement dans un établissement médico-social (ci-après: EMS). Le 20 novembre 2007, X._ a été placé à l'EMS Sylvabelle, où il réside toujours actuellement. A.c Le 26 novembre 2007, procédant à l'examen prescrit à l'art. VI ch. 2 al. 2 de la loi fédérale du 13 décembre 2002 modifiant la partie générale du code pénal (RO 2006 3459 3535), telle que modifiée par la loi fédérale du 24 mars 2006 (RO 2006 3539 3544), le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de Lausanne a ordonné le placement institutionnel de X._, en application de l'art. 59 CP, en lieu et place de l'internement au sens de l'art. 43 ch. 1 al. 2 aCP. A.d Le 1er décembre 2008, l'Office d'exécution des peines a requis le Juge d'application des peines du canton de Vaud de statuer sur une éventuelle libération conditionnelle de X._, en recommandant un refus. Le ministère public a préavisé dans le même sens. Par jugement du 12 juin 2009, le juge d'application des peines a refusé la libération conditionnelle à X._. B. Par arrêt du 3 juillet 2009, la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud a confirmé ce refus. C. Par mémoire personnel du 27 août 2009, X._ recourt au Tribunal fédéral contre cet arrêt, en concluant à sa réforme en ce sens qu'il soit d'une manière ou d'une autre remis en liberté. Il fait notamment valoir qu'il est privé de liberté depuis plus de sept ans. Il craint que son placement en institution ne se transforme en "internement à vie". À titre préalable, il demande à être pourvu d'un avocat d'office. Le Ministère public du canton de Vaud conclut au rejet du recours. La cour cantonale se réfère aux motifs de son arrêt. 