Faits: A. A.a J.X._, né le 23 juillet 1967, est au bénéfice d'un contrat d'assurance conclu avec Z._ Caisse maladie SA (ci-après: Z._ ou l'assureur) qui porte sur l'assurance obligatoire des soins, ainsi que sur diverses assurances complémentaires, en particulier une assurance qui le couvre pour les frais d'hospitalisation en division demi-privée, sans franchise hospitalière. Dans le cadre de cette assurance des frais d'hospitalisation, le «Panorama des prestations » de l'assureur prévoit en cas d'hospitalisation, si l'assuré choisit de plein gré la division commune au lieu de la division privée ou demi-privée et s'il communique son choix par écrit à l'assureur avant l'entrée à l'hôpital, une bonification en espèces en faveur de l'assuré (prestation dite « payback »), qui se monte pour les assurés en demi-privé à 100 fr. par jour d'hospitalisation, mais au maximum à 1'000 fr. par année civile. L'assuré, qui souffre de troubles psychiques, a désigné sa mère, A.X._, comme représentante thérapeutique et mandataire dans ses rapports avec les médecins et les hôpitaux. L'assuré a été hospitalisé en division commune à la clinique psychiatrique de A._, à ... (GE), du 28 août 2007 au 15 septembre 2007 et du 4 juin 2008 au 18 juin 2008. Du 28 octobre 2008 au 4 novembre 2008, l'assuré a été hospitalisé en raison de troubles psychiques à la clinique de B._, à ... (VD). Le 9 novembre 2008, la mère de l'assuré a informé Z._ qu'elle avait dû l'amener en voiture à ladite clinique depuis Verbier (VS) où ils séjournaient alors tous deux; après s'être rendue quotidiennement durant l'hospitalisation de son fils de son domicile de P._ (GE) à la clinique, elle a expliqué avoir effectué le trajet aller-retour depuis son domicile pour aller le chercher dans cet établissement, avant de retourner depuis P._ sur leur lieu de séjour à Verbier. A.X._ a établi une note de frais et réclamé à l'assureur le remboursement de ses frais de transport, qu'elle a estimés à la somme de 300 fr. au total. La prénommée, agissant au nom de son fils, a également demandé à l'assureur le remboursement d'un médicament (Bioflorin). Z._ a refusé d'effectuer les deux remboursements demandés. A.b Du 20 avril 2009 au 28 avril 2009, l'assuré a été hospitalisé en division commune à la clinique de A._. Il a été retenu que cette clinique est un établissement public ne proposant que des chambres en division commune. Le 21 avril 2009, A.X._ a annoncé à l'assureur l'hospitalisation libre de son fils à cette clinique en division commune et requis, en invoquant les termes de l'assurance complémentaire de ce dernier, le paiement d'une indemnité « payback » atteignant le total de 900 fr. Z._ a répondu que les conditions pour obtenir cette prestation n'étaient pas satisfaites. A.c De nombreux courriers ont été échangés à propos de ces différends entre Z._ et A.X._, laquelle avait mandaté son assurance de protection juridique pour défendre les intérêts de son fils. Par décision formelle du 3 mars 2010, Z._ a refusé la prise en charge des frais de transport de l'assuré correspondant à la note de frais rédigée par la mère de celui-ci. L'assureur a confirmé sa position par décision sur opposition rendue le 14 juillet 2010. B. B.a Le 14 septembre 2010, l'assuré a saisi le Tribunal cantonal des assurances sociales de Genève (auquel a succédé la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice genevoise) d'un recours contre la décision sur opposition susmentionnée; cette cause a été enregistrée sous la cote A/3118/2010. Expliquant qu'il existait plusieurs litiges l'opposant à la Z._, relevant tant de l'assurance-maladie sociale que de l'assurance complémentaire, il a demandé la jonction de ces affaires devant l'autorité saisie et conclu à la condamnation de l'assureur au paiement du 50% des frais encourus pour son transport en voiture entre Verbier et la clinique de B._ et au renvoi de l'affaire à Z._ pour détermination sur les autres frais de déplacement supportés par sa mère. Z._ a conclu au rejet du recours et à la confirmation de la décision sur opposition. B.b Le 20 février 2011, l'assuré, représenté par sa mère, a déposé auprès de la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice une demande contre Z._ concernant ses assurances complémentaires; cette affaire a été enregistrée sous la cote A/490/2011. Il a conclu à ce que l'assureur couvre, dans le cadre des assurances complémentaires qu'il a souscrites, les frais de déplacement de sa mère entre le 28 octobre 2008 et le 4 novembre 2008, à ce qu'il lui rembourse le Bioflorin prescrit et à ce qu'il lui verse, au titre du « payback », un montant de 900 fr. Dans sa réponse du 21 mars 2011, Z._ a conclu au rejet entier de la demande. Lors d'une audience de comparution des mandataires des parties tenue le 23 mars 2011, Z._ a déclaré accepter de prendre en charge, au moyen d'une police d'assurance complémentaire, le 90% du coût du Bioflorin, ce qui a satisfait le demandeur. Le remboursement de ce médicament n'est ainsi désormais plus litigieux, ce que la cour cantonale a relevé. Un nouvel échange d'écritures a été ordonné, dans lequel chaque partie a maintenu sa position juridique. Par arrêt du 24 août 2011, la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice a entièrement rejeté la demande du 20 février 2011, sans frais, après avoir refusé de joindre cette cause (cotée A/490/2011), relevant du droit des assurances privées, à l'affaire A/3118/2010 qui concernait le droit des assurances sociales, à liquider par un arrêt séparé. Les motifs de l'arrêt du 24 août 2011 seront exposés ci-dessous dans la mesure utile. C. J.X._, représenté par sa mère, exerce un « recours de droit civil » au Tribunal fédéral contre l'arrêt précité. Il conclut à ce qu'il soit dit qu'il a droit au « payback », par 900 fr., pour son séjour à A._ du printemps 2009, au remboursement, par ses assurances complémentaires, de 50%, voire 100%, des frais de transport générés par son hospitalisation à la clinique de B._ en 2008 et à l'octroi d'une « indemnité pour ses frais et dépens ». L'assureur propose le rejet du recours. Les parties ont répliqué et dupliqué. 