Faits: A. R._ a été engagée dès février 1993 en qualité d'ouvrière par l'entreprise X._ SA, auprès de laquelle elle est devenue responsable d'un atelier de décalque. A l'arrêt de travail à partir du 23 février 2004 pour des raisons de santé, elle a perdu son emploi qui a pris fin le 30 novembre 2004 à la suite de la fermeture de ce secteur d'activité par son employeur. Le 3 mars 2005, R._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un rapport du 9 mai 2005, la doctoresse U._, chef de clinique du Centre Y._, a posé les diagnostics ayant des répercussions sur la capacité de travail de trouble dépressif récurrent, épisode actuel sévère avec symptômes somatiques ([CIM-10] F33) et de dysthymie (F34.1). Elle relevait que la patiente présentait depuis le 9 mars 2004 une incapacité de travail totale pour toute activité professionnelle. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel a confié une expertise psychiatrique au docteur E._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie. Dans un rapport du 10 avril 2006, l'expert a posé les diagnostics ayant une répercussion sur la capacité de travail de trouble dépressif récurrent, épisode actuel moyen, avec syndrome somatique ([CIM-10] F31.11), et de personnalité dépressive ou dysthymie (F34.1), en indiquant que ces troubles semblaient représenter une incapacité de travail d'un degré de 40 %. La doctoresse B._ a conclu que l'assurée avait souffert d'un épisode dépressif sévère justifiant une incapacité totale de travail du 25 février 2004 au 31 mars 2006, qu'il y avait eu amélioration de l'état de santé et que la capacité de travail exigible dans l'activité habituelle était de 60 % depuis le 1er avril 2006 (rapport d'examen SMR du 2 juin 2006). Interpellé par l'office AI, le docteur E._, dans un rapport complémentaire du 16 août 2006, a répondu que l'on pouvait retenir l'incapacité de travail à 100 % depuis le 9 mars 2004, comme l'avait fait la doctoresse U._, et qu'ensuite, grâce au traitement médicamenteux, l'état dépressif avait évolué d'une manière favorable à tel point que l'on pouvait considérer l'assurée incapable de travailler à 40 % depuis le 1er janvier 2006. Dans un préavis du 19 janvier 2007, l'office AI a informé R._ qu'elle avait droit à partir du 1er mars 2005 à une rente entière d'invalidité, réduite à un quart de rente dès le 1er janvier 2006, attendu qu'elle avait présenté une incapacité totale de travail et de gain dans toute profession depuis le 9 mars 2004 et qu'elle aurait été en mesure de reprendre son activité précédente à 60 %, sans diminution de rendement, à partir du 1er janvier 2006. Le 23 février 2007, l'assurée a fait part à l'office AI de ses observations, en relevant qu'elle n'était plus à même d'assumer le poste à responsabilité exercé avant l'atteinte à la santé et qu'il y avait lieu de se fonder sur un revenu annuel d'invalide de 26'709 fr. calculé pour une activité simple et sans exigence particulière, de sorte que la comparaison des revenus donnait une invalidité de 63 % (compte tenu d'un revenu sans invalidité de 72'849 fr. en 2003). Par décision du 18 avril 2007, l'office AI, réfutant les arguments de R._ au motif qu'elle présentait une capacité de travail exigible de 60 % dans sa profession habituelle et qu'il n'y avait pas lieu de procéder à une comparaison des revenus, lui a alloué à partir du 1er mars 2005 une rente entière d'invalidité, réduite à un quart de rente dès le 1er janvier 2006. B. Le 16 mai 2007, R._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de celle-ci et à l'octroi d'une rente entière d'invalidité de mars à décembre 2005 et de trois-quarts de rente à partir du 1er janvier 2006. Par arrêt du 25 mars 2009, le Tribunal administratif a rejeté le recours. C. R._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation, le Tribunal fédéral étant invité à dire et juger qu'elle a droit à trois-quarts de rente à partir de janvier 2006. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel n'a pas d'observations à formuler sur le recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. 