Faits: A. A._ est propriétaire de la parcelle n° 5'342 du cadastre de la commune de Lausanne classée en zone mixte de forte densité selon le règlement communal sur le plan général d'affectation approuvé par le département compétent le 4 mai 2006 (ci-après: RPGA). Cette parcelle de 1'591 m 2 accueille un bâtiment de 1'122 m 2 d'une longueur d'à peu près 60 mètres, sis à environ trois mètres de la limite de propriété avec la parcelle n° 5'343 appartenant à la Fondation B._ (ci-après: la Fondation). Les parcelles n° 5'342 et 5'343 sont grevées par une servitude instituant un droit de passage à pied et pour tous véhicules sur les deux parcelles et en faveur des deux fonds. La société C._, dont A._ est le directeur général, exploite dans ces locaux un atelier de réparation de voitures. Ayant constaté que des travaux avaient été entrepris dans le bâtiment sis sur la parcelle n° 5'342, notamment l'agrandissement d'une porte de service, la Fondation a interpellé la Direction des travaux de la commune de Lausanne (ci-après: la Direction des travaux) par lettre du 13 novembre 2009; la Fondation exprimait entre autres son inquiétude face à un projet impliquant selon elle la mise en activité d'un nouvel atelier de réparation avec un accès principal donnant sur sa parcelle alors que jusqu'à présent un seul atelier était exploité avec un accès de l'autre côté, par la rue des Fontenailles. C._ a indiqué avoir entamé des travaux d'agrandissement de l'atelier dont l'accès se faisait par une porte latérale en très mauvais état qui devait être remplacée et élargie. Le 18 mars 2010, A._ a déposé une demande de permis de construire aux fins de remplacer et agrandir cette porte du bâtiment. Selon les plans produits, il était prévu d'élargir d'un mètre la porte située au centre de la façade sud-ouest du bâtiment actuellement d'une largeur de 2.50 mètres et d'une hauteur de 2.90 mètres. La centrale des autorisations CAMAC a établi sa synthèse le 8 avril 2010. Le 16 juin 2010, la Municipalité a délivré une autorisation de construire à A._, avec dispense d'enquête publique comme le préconisait la Direction des travaux dans sa note du 10 juin 2010 adressée à ladite autorité. B. La Fondation a recouru contre cette décision auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal (ci-après: le Tribunal cantonal ou la cour cantonale). Dans le cadre de l'instruction, le Tribunal cantonal a tenu audience le 15 mars 2011 et a procédé à une inspection locale en présence des parties; la cause a été suspendue à la demande des parties afin qu'elles puissent trouver un accord. A la demande des parties, la cause a été reprise en avril 2013 et la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal a, par arrêt du 17 juin 2013, admis le recours de la Fondation et annulé la décision de la Municipalité de Lausanne du 16 juin 2010. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de renvoyer la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle décision dans le sens des considérants de l'arrêt à intervenir. Il invoque la composition incorrecte de l'autorité judiciaire et se plaint d'une application arbitraire de l'art. 80 al. 2 de la loi vaudoise du 4 décembre 1985 sur l'aménagement du territoire et les constructions (LATC, RSV 700.11). L'instance précédente s'est déterminée. Aux termes de leurs observations, la Fondation a conclu au rejet du recours et la Municipalité à son admission en tant qu'il portait sur l'application de l'art. 80 LATC. La Fondation, le recourant et la Municipalité ont présenté d'ultimes observations. 