Sachverhalt: A. Der 1973 geborene B._ war zuletzt von Mai 2001 bis Ende November 2002 bei der Firma H._ AG als Hilfsarbeiter Montage erwerbstätig. Am 1. Oktober 2002 hatte er sich unter Hinweis auf ein seit August 2001 bestehendes Rückenleiden bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet. Am 1. März 2004 sprach die IV-Stelle Appenzell Ausserrhoden B._ mit Wirkung ab März 2003 eine Viertelsrente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 40 Prozent zu. Am 3. August 2004 zog sie eine Verfügung vom 1. Juli 2003, mit welcher sie berufliche Eingliederungsmassnahmen abgelehnt hatte, in Wiedererwägung und bejahte den Anspruch auf Beratung und Unterstützung bei der Stellensuche. Mit Verfügung vom 4. August 2004 entzog ihm die Verwaltung den Rentenanspruch mit Wirkung ab Oktober 2004; der Invaliditätsgrad betrage tatsächlich bloss 27 Prozent. Auf den 19. August 2004 schloss sie zudem die Arbeitsvermittlung ab, weil die Versuche der Integration in den Arbeitsmarkt fehlgeschlagen seien (Verfügung vom 5. Oktober 2004). Die gegen die Verfügung vom 4. August 2004 erhobene Einsprache hiess die IV-Stelle teilweise gut, indem sie den Anspruch auf eine Viertelsrente bis Ende 2006 verlängerte und gestützt auf eine interdisziplinäre Expertise des ärztlichen Begutachtungsinstituts X._ vom 2. Januar 2007 zugleich feststellte, mit Wirkung ab Januar 2007 sei - mangels Diagnosen mit Krankheitswert - kein Anspruch auf eine Invalidenrente mehr gegeben (Entscheid vom 4. April 2007). B. Das Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserrhoden wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 16. Januar 2008). C. B._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, es sei ihm, nach Aufhebung des angefochtenen und des Einspracheentscheids, mit Wirkung ab März 2003 mindestens eine halbe Invalidenrente zuzusprechen; eventuell sie die Sache an die Verwaltung zurückzuweisen. Mit nachträglichem Schreiben ersucht er um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung). Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf Vernehmlassung. 