Faits: A. Le 29 mars 2006, à Oujda (Maroc), X._, ressortissant marocain né en 1981, a contracté mariage avec A._, ressortissante suisse née en 1975. A la suite de ce mariage, il a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour en Suisse au titre du regroupement familial et il est entré en Suisse le 2 décembre 2006. Après une séparation temporaire d'une durée d'un peu plus d'un an de janvier 2007 à début 2008, les époux ont repris la vie commune. Le *** 2009, A._ a donné naissance à leur enfant commun B._. Par prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale du 21 juillet 2009, les époux X._ ont été autorisés à vivre séparés. B. Par requête du 10 novembre 2009, X._ a sollicité le renouvellement de son autorisation de séjour. Le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) a donné un préavis favorable à cette requête et transmis le dossier à l'Office fédéral des migrations (ci-après: l'Office fédéral) afin qu'il donne son approbation à la prolongation de l'autorisation de séjour de l'intéressé. Par décision du 17 mai 2010, l'Office fédéral a refusé son approbation à la prolongation de l'autorisation de séjour de X._ et a prononcé son renvoi de Suisse. X._ a recouru contre cette décision au Tribunal administratif fédéral. En date du 14 décembre 2012, les époux X._ ont signé une convention sur les effets accessoires du divorce, aux termes de laquelle X._ jouit d'un libre et large droit de visite d'un week-end sur deux et la moitié des vacances scolaires et en vertu de laquelle il est tenu de verser une contribution d'entretien en faveur de son fils d'un montant compris entre 450 et 500 fr. par mois suivant l'âge de l'enfant. Par arrêt du 28 mars 2013, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours. Il a considéré, en substance, que les époux ne faisaient plus ménage commun, que leur union conjugale avait duré moins de trois ans, et que le recourant ne pouvait se prévaloir de circonstances exceptionnelles pour obtenir la prolongation de son autorisation de séjour. Le Tribunal administratif fédéral a en particulier retenu que le recourant exerçait un droit de visite usuel sur son fils et que cela ne saurait suffire pour admettre l'existence d'une relation affective particulièrement étroite. C. Par acte du 11 avril 2013, X._ dépose un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Il conclut à la réforme de l'arrêt attaqué et à ce qu'une prolongation de son autorisation de séjour en Suisse lui soit accordée. Il requiert en outre l'octroi de l'effet suspensif à son recours ainsi que le bénéfice de l'assistance judiciaire. Le Tribunal administratif fédéral a renoncé à se déterminer sur le recours. Dans son préavis du 15 mai 2013, l'Office fédéral propose le rejet du recours. Par ordonnance présidentielle du 15 avril 2013, l'effet suspensif a été accordé au recours. Par ordonnance du 2 mai 2013, la IIe Cour de droit public a en revanche rejeté la demande d'assistance judiciaire au motif que le recourant disposait de moyens financiers suffisants pour assurer sa défense. 