Sachverhalt: Sachverhalt: A. Der 1962 geborene T._ arbeitete seit 1996 als Gipser. Nach einem Arbeitsunfall vom 23. Februar 2001 leidet er an anhaltenden Rückenschmerzen (chronisches lumbovertebrales, intermittierend lumbospondylogenes Syndrom). Am 21. Februar 2002 meldete sich T._ zum Leistungsbezug bei der Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich klärte die medizinischen und erwerblichen Verhältnisse ab und sprach dem Versicherten eine auf den Zeitraum Februar 2002 bis April 2003 befristete ganze Invalidenrente zu (durch Einspracheentscheid vom 12. Mai 2005 bestätigte Verfügung vom 7. Januar 2005). Auf Beschwerde hin hob das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich diesen Verwaltungsakt auf und wies die Sache an die Verwaltung zurück, damit sie dem Versicherten das rechtliche Gehör gewähre (Entscheid vom 21. September 2005). In einem neuen Einspracheentscheid vom 6. Juli 2006 (ohne vorgängige Verfügung) verneinte die IV-Stelle den Rentenanspruch über Ende April 2003 hinaus wiederum. A. Der 1962 geborene T._ arbeitete seit 1996 als Gipser. Nach einem Arbeitsunfall vom 23. Februar 2001 leidet er an anhaltenden Rückenschmerzen (chronisches lumbovertebrales, intermittierend lumbospondylogenes Syndrom). Am 21. Februar 2002 meldete sich T._ zum Leistungsbezug bei der Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich klärte die medizinischen und erwerblichen Verhältnisse ab und sprach dem Versicherten eine auf den Zeitraum Februar 2002 bis April 2003 befristete ganze Invalidenrente zu (durch Einspracheentscheid vom 12. Mai 2005 bestätigte Verfügung vom 7. Januar 2005). Auf Beschwerde hin hob das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich diesen Verwaltungsakt auf und wies die Sache an die Verwaltung zurück, damit sie dem Versicherten das rechtliche Gehör gewähre (Entscheid vom 21. September 2005). In einem neuen Einspracheentscheid vom 6. Juli 2006 (ohne vorgängige Verfügung) verneinte die IV-Stelle den Rentenanspruch über Ende April 2003 hinaus wiederum. B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 30. April 2007). B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 30. April 2007). C. T._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, die IV-Stelle sei, nach Aufhebung des vorinstanzlichen und des Einspracheentscheids, zu verpflichten, ihm mit Wirkung ab Mai 2003 eine ganze Invalidenrente auszurichten. Eventuell sei die IV-Stelle anzuweisen, ein verwaltungsunabhängiges medizinisches Gutachten einzuholen. Der Beschwerdeführer ersucht ausserdem um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. IV-Stelle und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf Vernehmlassung. 