Sachverhalt: Sachverhalt: A. Mit Urteil vom 30. August 2001 sprach das Bezirksgericht Zürich X._ der mehrfachen Urkundenfälschung schuldig und verurteilte ihn zu einer bedingten Gefängnisstrafe von sechs Monaten. Vom Vorwurf des mehrfachen Betrugsversuchs sprach ihn das Gericht frei. Auf Berufungen des Verurteilten und der Staatsanwaltschaft hin bestätigte das Obergericht des Kantons Zürich das erstinstanzliche Urteil am 12. April 2002. Eine dagegen gerichtete kantonale Nichtigkeitsbeschwerde von X._ wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 9. Mai 2003 ab, soweit es darauf eintrat. Auf Berufungen des Verurteilten und der Staatsanwaltschaft hin bestätigte das Obergericht des Kantons Zürich das erstinstanzliche Urteil am 12. April 2002. Eine dagegen gerichtete kantonale Nichtigkeitsbeschwerde von X._ wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 9. Mai 2003 ab, soweit es darauf eintrat. B. X._ führt staatsrechtliche Beschwerde mit den Anträgen, es sei der Beschluss des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 9. Mai 2003 aufzuheben, und er sei vollständig freizusprechen oder es sei die Sache "der Vorinstanz oder der Vorvorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen". Er beantragt ferner, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 12. April 2002 aufzuheben und ihn vollständig freizusprechen oder die Sache "der Vorvorinstanz" zur Neubeurteilung zurückzuweisen. 