Sachverhalt: A. Am 8. September 1999 ereignete sich in Lenzburg ein Verkehrsunfall mit Beteiligung zweier Motorfahrzeuge. Für dessen Verursachung wurde B._ mit Strafbefehl vom 17. Dezember 1999 wegen fahrlässiger Körperverletzung i.S.v. Art. 125 Abs. 1 StGB verurteilt. A._ machte Ansprüche betreffend Erwerbsausfall sowie Genugtuung gegen B._ und die Versicherung X._ (nachfolgend: Versicherer) geltend. B. Am 8. Mai 2009 erhob A._ beim Bezirksgericht Lenzburg Klage gegen B._ und den Versicherer mit dem Antrag, es sei festzustellen, dass eine allfällige Forderung des Klägers gegen die Beklagten aus unerlaubter Handlung (Art. 58 SVG, Art. 41 OR) nicht verjährt sei. Weiter sei die Haftung der Beklagten aus unerlaubter Handlung für den vom Kläger erlittenen Schaden grundsätzlich festzustellen. Die Beklagten seien sodann solidarisch zu verpflichten, dem Kläger "als Teilschaden" an den Erwerbsausfall Fr. 30'000.-- samt Zins von 5 % seit 8. September 1999 zu bezahlen, Nachklagerecht vorbehalten, und es sei dem Kläger eine Genugtuung nach richterlichem Ermessen gemäss Art. 49 OR zuzusprechen. Weiter stellte A._ ein Begehren um definitive Rechtsöffnung in der gegen den Versicherer eingeleiteten Betreibung. Auf Gesuch von B._ und des Versicherers beschränkte das Gerichtspräsidium Lenzburg das weitere Verfahren mit Verfügung vom 9. September 2009 auf die Frage der Verjährung. Am 4. November 2010 wies das Bezirksgericht die Klage "aufgrund der eingetretenen Verjährung" ab. Am 14. Juni 2011 hob das Obergericht des Kantons Aargau das Urteil des Bezirksgerichts in teilweiser Gutheissung der Berufung von A._ auf und wies die Streitsache "zum weiteren Vorgehen im Sinne der Erwägungen und zum neuen Entscheid" an das Bezirksgericht zurück. Mit Urteil vom 15. Dezember 2011 wies das Bezirksgericht die Klage ab, auferlegte die Gerichtskosten in der Höhe von insgesamt Fr. 4'460.-- A._ und verpflichtete diesen, B._ und dem Versicherer die richterlich auf Fr. 8'918.30 festgesetzten Parteikosten zu bezahlen. Die Kosten des obergerichtlichen Verfahrens sowie die Kosten der Verhandlung vom 15. Dezember 2011 nahm es auf die Staatskasse. Die von A._ dagegen erhobene Berufung wies das Obergericht mit Entscheid vom 25. September 2012 ab, soweit es darauf eintrat. C. A._ (Beschwerdeführer) verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, der Entscheid des Obergerichts vom 25. September 2012 sei aufzuheben, und die Sache sei zur Neubeurteilung ("zwecks Nachholung des rechtlichen Gehörs und der Begründung") "an eine Vorinstanz" zurückzuweisen. Eventuell habe das Bundesgericht selbst die Nichtverjährung der Forderungen des Beschwerdeführers festzustellen und danach die Sache "an eine Vorinstanz" zur weiteren Behandlung zurückzuweisen, subeventuell die Klage selber gutzuheissen. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt. D. Mit Präsidialverfügung vom 3. Januar 2013 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt. Mit Verfügung vom 25. März 2013 wies das Bundesgericht das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ab. In der Folge stellte der Beschwerdeführer mit Eingabe vom 22. April 2013 ein Ausstandsbegehren sowie Gesuche um Wiedererwägung der Verfügung vom 25. März 2013, um Verzicht auf Erhebung eines Kostenvorschusses gemäss Art. 62 BGG, eventualiter um Bewilligung der Ratenzahlung sowie um Sistierung des Entscheids. Diese wurden mit Verfügung vom 29. April 2013 allesamt abgewiesen, soweit das Bundesgericht darauf eintrat. Daraufhin leistete der Beschwerdeführer innerhalb der ihm neu angesetzten Frist den verlangten Kostenvorschuss. 