Sachverhalt: A. Der 1955 geborene T._ war - in bereits gekündigtem Arbeitsverhältnis - als Linienbus-Chauffeur in der Firma X._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 27. Januar 2005 wollte er kontrollieren, ob die Bustüre geschlossen sei, knickte dabei mit dem linken Fuss um und erlitt eine Distorsion am oberen Sprunggelenk (OSG). Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht, gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 19. März 2007 eröffnete sie dem Versicherten, die Leistungen würden auf den 9. Dezember 2005 eingestellt, da die ab diesem Zeitpunkt noch geklagten Beschwerden nicht unfallkausal seien. Die vom Krankenpflegeversicherer des T._ vorsorglich erhobene Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache des Versicherten wies die SUVA ab (Einspracheentscheid vom 10. Mai 2007). B. Die von T._ hiegegen erhobene Beschwerde und das zugleich gestellte Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 27. Januar 2009 ab. Es verneinte dabei jeglichen Leistungsanspruch aus dem Unfall vom 27. Januar 2005 ab 9. Dezember 2005. C. T._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es seien die vollen Versicherungsleistungen zuzusprechen; eventuell sei die Sache zu weiteren Abklärungen zurückzuweisen. Zudem wird um unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht. Die kantonalen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt. Mit Eingabe vom 7. April 2009 äussert sich der Versicherte unaufgefordert nochmals. 