Sachverhalt: A. Die 1958 geborene H._ erlitt am 5. September 2003 als Beifahrerin eines Personenwagens einen Verkehrsunfall. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) erbrachte die gesetzlichen Leistungen, u.a. Taggelder. Mit unangefochten in Rechtskraft erwachsenem Entscheid vom 30. Mai 2007 bestätigte das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau die vom obligatorischen Unfallversicherer mit Einspracheentscheid vom 5. Oktober 2006 verfügte Leistungseinstellung ab 9. Mai 2006. Im November 2004 hatte sich H._ bei der Invalidenversicherung angemeldet und eine Rente beantragt. Nach Abklärungen (u.a. Beizug der UV-Akten und Einholung eines rheumatologischen Gutachtens) und nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens lehnte die IV-Stelle des Kantons Thurgau mit Verfügung vom 10. Oktober 2007 das Leistungsbegehren ab. B. Die Beschwerde der H._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau als Versicherungsgericht mit Entscheid vom 27. Februar 2008 ab. C. H._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, der Entscheid vom 27. Februar 2008 sei aufzuheben und ihr mit Wirkung ab 5. September 2004 eine ganze Invalidenrente zuzusprechen, eventualiter die Sache zur ergänzenden Sachverhaltsermittlung (Einholung eines polydisziplinären Gutachtens) an das kantonale Gericht oder an die IV-Stelle zurückzuweisen. Die IV-Stelle äussert sich nicht materiell und stellt keinen Antrag zur Beschwerde. Kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung. 