A.- Der 1962 geborene R._ war seit Mai 1992 als Sanierungsmonteur für Brandschadensanierungen bei der Q._ AG tätig und damit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfälle versichert. Am 13. März 1997 wurde er bei Montagearbeiten von einem herabfallenden Rohr am Kopf getroffen und stürzte aus etwa zwei Metern Höhe auf den Boden. Dabei zog er sich eine Commotio cerebri, eine Querfortsatzfraktur bei LWK-1 sowie einen Bruch der linken Hand zu. Nach medizinischer Behandlung im Spital A._ sowie im Spital B._ wurde er am 20. März 1997 nach Hause entlassen. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Ab dem 25. März 1997 war R._ wegen Kopf-, Rücken-, Rippen- und Thoraxschmerzen, Gedächtnisstörungen, Schwindel, Unsicherheit beim Gehen und Sensibilitätsstörungen an der Stirn, über dem rechten Auge sowie Seh- und Schlafstörungen und Vergesslichkeit bei seinem Hausarzt, Dr. med. Z._ in Behandlung. Dieser ersuchte die SUVA um weitere Abklärungen und Durchführung von medizinischen Massnahmen in der Rehaklinik K._, wo R._ in der Folge mehrmals stationär behandelt wurde. Nach Untersuchungen in dieser Klinik sowie durch den Kreisarzt Dr. med. Y._ eröffnete ihm die SUVA mit Verfügung vom 4. Januar 1999, dass keine erheblichen organischen Unfallfolgen mehr vorlägen und bezüglich der psychischen Beschwerden der adäquate Kausalzusammenhang mit dem Unfallereignis zu verneinen sei. Das Taggeld werde daher nur noch bis und mit 17. Januar 1999 ausbezahlt; ab diesem Datum stelle sie sämtliche Leistungen ein. Die dagegen erhobene Einsprache wies die SUVA mit Entscheid vom 28. Juli 1999 ab. B.- Beschwerdeweise liess R._ beantragen, es sei der Einspracheentscheid aufzuheben, ein Obergutachten anzuordnen und nach Bejahung des Kausalzusammenhangs die Sache an die SUVA zurückzuweisen, damit diese alle gesetzlichen Leistungen inklusive Psychotherapie erbringe. Zudem liess er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege nachsuchen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, zog die IV-Akten bei, aus denen ersichtlich war, dass die IV-Stelle Dr. med. X._ mit einem psychiatrischen Gutachten beauftragt hatte (vgl. Expertise vom 6. Juli 2001). Es unterbreitete diesem verschiedene Zusatzfragen, auf welche der Facharzt am 9. Juli 2001 einging. Am 18. Dezember 2001 hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerde in dem Sinne gut, als es den adäquaten Kausalzusammenhang der psychischen Unfallfolgen bejahte, den Einspracheentscheid diesbezüglich aufhob und die Sache an die SUVA zur Festsetzung der gesetzlichen Leistungen zurückwies. C.- Hiegegen erhebt die SUVA Verwaltungsgerichtsbeschwerde und beantragt die Aufhebung des kantonalen Entscheids. R._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen und gleichzeitig beantragen, die SUVA sei zu verpflichten, die Kosten eines Aufenthalts in der Rehaklinik J._ zu übernehmen; überdies sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Die beigeladenen Versicherungen, CSS Versicherung, Luzern, sowie Zürich Versicherungen, Zürich, verzichten auf eine Vernehmlassung. Auch das Bundesamt für Sozialversicherung lässt sich nicht vernehmen. D.- Mit Verfügung vom 7. Mai 2002 wies der Instruktionsrichter die Eingabe von R._ vom 15. April 2002 wegen Ausführungen ungebührlichen Inhalts an dessen Rechtsvertreter zur Umänderung zurück. Am 18. Juni 2002 liess R._ eine verbesserte Rechtsschrift einreichen. 