Faits: A. A.a X._ SA est une société holding espagnole ayant son siège à .... A la fin des années quatre-vingt, elle était l'actionnaire majoritaire de la société espagnole V._, qui avait acheté la société W._. Au printemps 1988, les dirigeants de X._ SA ont décidé de vendre W._ à un autre holding au prix de 72 millions d'euros. Pour ce faire, ils ont procédé d'abord à une cession intermédiaire des actions de W._ à une société contrôlée par eux, au prix de 25 millions d'euros, puis à la revente des titres par cette société à l'acquéreur final au prix sus-indiqué. Grâce à ce stratagème, ils ont réalisé un bénéfice de plus de 46 millions d'euros au détriment de V._. A la suite de cette opération, Y._ - homme d'affaires indépendant et citoyen britannique domicilié à Cologny, dans le canton de Genève - a touché un montant de 13 millions de dollars américains (ci-après: US$). A.b A raison, notamment, des faits relatés ci-dessus, une procédure pénale a été ouverte en Espagne contre plusieurs dirigeants de X._ SA, impliqués dans une vaste escroquerie commise au préjudice de cette société. Egalement recherché dans un premier temps sur le plan pénal, Y._ a été libéré par la suite des charges retenues contre lui. Par jugement du 16 mars 2004, l'Audiencia Nacional de Madrid a condamné le principal dirigeant de X._ SA et deux autres personnes à des peines de prison; elle les a, en outre, reconnus débiteurs solidaires de quelque 46,7 millions d'euros, intérêts en sus, à l'égard des personnes qui revêtaient la qualité d'actionnaires de V._ en juin 1988, soit au moment où cette société avait cédé les actions de W._ à vil prix. Tel était le cas de X._ SA. Cependant, cette dernière, quoique lésée, a également été déclarée responsable civile subsidiaire envers les actionnaires minoritaires de V._. Quant à Y._, il a été condamné, en tant que "participant à titre lucratif", à rembourser les 13 millions US$ au taux officiel de cette devise à la date du 9 juin 1988. Le jugement en question a fait l'objet de demandes de rectification et de recours. Une fois ces procédures liquidées, l'Audiencia Nacional a ordonné son exécution, en précisant que la somme due par Y._ devait être payée, non pas à V._, mais à X._ SA. A.c Le 11 juillet 2007, X._ SA, se fondant sur le jugement de l'Audiencia Nacional du 16 mars 2004, a fait notifier à Y._ un commandement de payer portant sur la somme de 18'665'400 fr., contre-valeur des 13 millions US$ au cours de 1.4358, avec intérêts à 5% dès le 16 mars 2004. Le poursuivi y a fait opposition. La créancière a, par ailleurs, obtenu le séquestre des biens de Y._, dont une villa sise à Cologny, pour un montant de 14'684'856 fr. avec intérêts à 5% dès le 16 mars 2004. La contestation relative au séquestre a été tranchée en dernier ressort par le Tribunal fédéral dans un arrêt du 12 août 2008 (cause 5A_364/2008). Le 23 juin 2008, X._ SA a saisi les tribunaux genevois d'une requête tendant à l'exequatur du jugement espagnol précité et au prononcé de la mainlevée définitive de l'opposition au commandement de payer susmentionné. Déboutée en première instance, elle a obtenu partiellement gain de cause en appel à concurrence de 7'874'019 fr. 80, c'est-à-dire pour la créance de 14'684'856 fr. (contre-valeur, en francs suisses, au jour du dépôt de la réquisition de poursuite, de l'équivalent, en euros, des 13 millions US$ d'abord convertis en pesetas au cours du 9 juin 1988) multipliée par le pourcentage représentant sa part au capital de V._ à la date du 8 juin 1988 (53,62). L'arrêt rendu le 29 janvier 2009 dans ce sens par la Cour de justice genevoise a fait l'objet d'un recours de Y._, que le Tribunal fédéral a rejeté en date du 15 mai 2009 (cause 5A_162/2009). A.d L'Audiencia Nacional, chargée d'exécuter son jugement du 16 mars 2004, a pris un certain nombre de décisions à cet effet. Dans une ordonnance du 3 mars 2009, elle a fixé l'indemnisation due aux lésés à 10,34 euros par action. Le 26 octobre 2009, elle a converti les 13 millions US$ en 8'893'560,76 euros, arrêté à 3'234'210,37 euros les intérêts moratoires dus sur ladite somme depuis le 16 mars 2004 jusqu'à cette date et admis que la dette totale de Y._ au 26 octobre 2009 se montait ainsi à 12'127'771,13 euros. Par jugement du 11 janvier 2010, l'Audiencia Nacional a confirmé son ordonnance du 26 octobre 2009, en précisant que les intérêts moratoires avaient commencé à courir depuis que le montant de l'indemnisation avait été fixé, le 16 mars 2004, conformément à l'art. 576 du Code de procédure civile espagnol. Le 17 décembre 2009, après avoir constaté que tous les actionnaires minoritaires de V._ qui s'étaient fait connaître avaient été désintéressés, elle a ordonné l'attribution des liquidités saisies à X._ SA, laquelle a ainsi reçu 5'901'938,92 euros et 3'012'019 US$. Le 10 (recte: 18) juin 2010, l'Audiencia Nacional a ordonné la libération des sûretés fournies par X._ SA, étant donné que les éventuelles prétentions des actionnaires minoritaires de V._ étaient garanties. A.e Afin d'empêcher la continuation de la procédure de réalisation forcée, Y._ s'est acquitté en mains de l'Office des poursuites, le 21 décembre 2009, du montant pour lequel la mainlevée définitive de l'opposition avait été prononcée. Le séquestre a été maintenu pour le surplus. B. B.a Le 1er septembre 2008, X._ SA a assigné Y._ devant les tribunaux genevois. Dans le dernier état des conclusions de sa demande, actualisées le 12 novembre 2009 en fonction des décisions antérieures précitées de l'Audiencia Nacional, elle a requis que le défendeur fût condamné à lui payer 6'810'836 fr. 20 (différence entre la somme de 14'684'856 fr., contre-valeur des 13 millions US$, et les 7'874'019 fr. 80 mentionnés par la Cour de justice dans son arrêt du 29 janvier 2009), 5'358'116 fr. 32 (contre-valeur des 3'234'210,37 euros d'intérêts moratoires de droit espagnol pour la période du 16 mars 2004 au 26 octobre 2009), ainsi que les intérêts moratoires de droit espagnol sur le montant de 14'684'856 fr. dès le 26 octobre 2009. La demanderesse a sollicité, en outre, la mainlevée définitive de l'opposition au commandement de payer, de même que la validation du séquestre, à concurrence des montants et intérêts dus par le défendeur. Ce dernier a conclu à l'irrecevabilité de la demande. Par jugement du 27 mai 2010, le Tribunal de première instance a déclaré irrecevable la conclusion en paiement de 6'810'836 fr. 20, au motif qu'elle se heurtait à l'autorité de la chose jugée du jugement espagnol du 16 mars 2004 déclaré exécutoire en Suisse. Il a, en revanche, fait droit aux conclusions en paiement des intérêts moratoires sur la somme de 7'874'019 fr. 80 pour la période allant du 17 mars 2004 au 21 décembre 2009. B.b Y._ a appelé de ce jugement, concluant à sa libération totale des fins de la demande. Il a fait valoir que la prétention tendant au paiement des intérêts moratoires avait déjà fait l'objet d'une décision en force et qu'elle était, de surcroît, prescrite. De son côté, X._ SA, contestant que l'exception de chose jugée pût être opposée à sa demande, a déposé un appel incident dans lequel elle a maintenu sa conclusion en paiement du solde de sa créance, soit 6'810'836 fr. 20. Le 20 septembre 2010, elle a produit un nouvel élément de preuve, à savoir une attestation du greffe de l'Audiencia Nacional, datée du 14 septembre 2010, ainsi qu'une traduction française de ce document rédigé en espagnol (pièces 134 et 134bis). Y._ a contesté l'admissibilité de cette production et l'incident y relatif a été plaidé en même temps que la cause au fond. Par arrêt du 18 février 2011, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève, après avoir écarté du dossier les pièces 134 et 134bis, a confirmé le jugement de première instance sur le fond. Elle a, en revanche, revu la répartition des dépens de cette instance et a condamné X._ SA au paiement des deux tiers des dépens au lieu de la moitié, appliquant la même clé de répartition pour les dépens d'appel. Les motifs sur lesquels repose l'arrêt cantonal seront énoncés, dans la mesure utile, à l'occasion de l'examen des griefs visant cette décision. C. Le 25 mars 2011, X._ SA (ci-après: la recourante, resp. l'intimée) a interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral (cause 4A_199/2011). Elle y reprend, en substance, les conclusions qu'elle avait soumises aux juridictions cantonales. A la même date, Y._ (ci-après: le recourant, resp. l'intimé) a saisi le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile en vue d'obtenir sa libération du paiement des intérêts moratoires alloués à X._ SA (cause 4A_201/2011). Chacune des parties conclut au rejet du recours formé par son adversaire. 