Sachverhalt: A. Der 1964 geborene V._ arbeitete ab 1. Juni 2004 als Sanitärmonteur bei der Firma S._. Nach mehreren Arbeitsabsenzen seit März 2006 war er ab 31. März 2007 dauernd zu 100 % arbeitsunfähig geschrieben. In der Folge löste die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis auf Ende August 2007 auf. Im Mai 2007 hatte sich V._ bei der Invalidenversicherung angemeldet und u.a. Umschulung und eine Rente beantragt. Nach Abklärungen und durchgeführtem Vorbescheidverfahren verneinte die IV-Stelle Luzern den Anspruch auf eine Invalidenrente (Verfügung vom 17. März 2009). B. Die Beschwerde des V._ hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern insoweit gut, als es die Sache an die IV-Stelle zurückwies, damit diese die Umschulung prüfe und danach neu verfüge. Im Übrigen wies es das Rechtsmittel ab (Entscheid vom 16. September 2010). C. V._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 16. September 2010 sei aufzuheben und die Sache zur neuen medizinischen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen, eventualiter ihm mindestens eine Viertelsrente auszurichten, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die IV-Stelle und das kantonale Verwaltungsgericht beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. 