Sachverhalt: A. A.a. X._ (Jahrgang 1971) und Y._ (Jahrgang 1968) heirateten im August 2009 und sind die Eltern der Kinder A._ (Jahrgang 2006) und B._ (Jahrgang 2008). Seit dem 22. Juni 2012 stehen die Parteien in Scheidung. A.b. Auf Begehren der Ehegattin auf Erlass vorsorglicher Massnahmen entschied das Bezirksgericht Zürich am 19. April 2013, dass die Kinder unter ihre Obhut gestellt werden, regelte es - soweit hier von Belang - das Besuchsrecht des Vaters und verpflichtete ihn zur Leistung gestaffelter Unterhaltsbeiträge an die Kinder und die Ehegattin; mit am gleichen Tag erlassener Verfügung wies das Bezirksgericht sodann das Gesuch des Ehegatten um unentgeltliche Rechtspflege ab. B. B.a. Der Ehegatte erhob mit Eingabe vom 2. Mai 2013 gegen das bezirksgerichtliche Urteil Berufung. Er erneuerte darin sein ursprüngliches Begehren um Zuteilung der Obhut über die Kinder an sich, mit entsprechender Regelung des Besuchsrechts der Mutter; für den Fall, dass seinem Hauptbegehren nicht stattgegeben würde, ersuchte er um Bestätigung seines Besuchsrechts gemäss erstinstanzlichem Entscheid und um Erlass eines Verbotes an die Ehegattin, die Schweiz während des Verfahrens zu verlassen. Mit dem Antrag Ziff. 6 seiner Berufungsschrift ersuchte der Ehegatte sodann das Obergericht, in Aufhebung der Dispositiv-Ziffern 5, 6 und 7 des erstinstanzlichen Urteils die Ehegattin zu verpflichten, den Kindern reduzierte und ebenfalls gestaffelte Unterhaltsbeiträge zu erbringen. Im Übrigen sei er zu verpflichten, der Ehegattin einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 198.-- zu erbringen und berechtigt zu erklären, die Unterhaltsbeiträge an die Ehegattin und die Kinder mit dem von ihm entrichteten Mietzins der ehelichen Wohnung zu verrechnen, solange die Begünstigten dort wohnen. Schliesslich verlangte er von der Ehegattin einen Kostenvorschuss; separat focht er die Abweisung seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege an. B.b. Mit dem hier angefochtenen Urteil vom 21. August 2013 hiess das Obergericht des Kantons Zürich die Berufung teilweise gut, verbot der Ehegattin, den Aufenthaltsort der Kinder ohne Zustimmung des Ehemannes ins Ausland zu verlegen und verpflichtete sie, dem Ehegatten einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 8'000.-- zu entrichten. Es nahm weiter Vormerk davon, dass der Ehegatte bereits Fr. 22'321.15 an den Unterhalt der Ehegattin und der Kinder bezahlt hat, verpflichtete die Ehegattin zur Leistung eines weiteren Prozesskostenvorschusses an den Ehegatten von Fr. 5'090.-- für das zweitinstanzliche Verfahren, wies im Übrigen die Berufung ab und auferlegte die zweitinstanzlichen Verfahrenskosten dem Ehegatten in Höhe von 6/7 und der Ehegattin in Höhe von 1/7, unter Wettschlagung der Parteientschädigungen. Das Begehren des Ehegatten um unentgeltliche Rechtspflege wies es mit in der gleichen Urkunde abgedrucktem Beschluss ab. C. Mit Eingabe vom 20. September 2013 erhebt der Ehegatte (fortan: Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen am Bundesgericht. In Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 1 Abs. 4 des angefochtenen Urteils ersucht er, die Dispositiv-Ziffern 5, 6 und 7 des bezirksgerichtlichen Urteils aufzuheben und stattdessen die Ehegattin (fortan: Beschwerdegegnerin) zu verpflichten, die bereits vor Obergericht genannten Beiträge an den Unterhalt der Kinder zu leisten; weiter sei er zu einem Unterhaltsbeitrag für die Beschwerdegegnerin persönlich in Höhe von Fr. 198.-- ab Juli 2013 und für die weitere Dauer des Verfahrens zu verpflichten. Eventualiter sei die Sache zur erneuten Entscheidung an das Obergericht zurückzuweisen. Des Weiteren seien die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens vollumfänglich der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen, eventualiter sei die Sache zur erneuten Entscheidung dieser Frage an die Vorinstanz zurückzuweisen. Mit Beschluss vom 21. Oktober 2013 hat der Präsident der urteilenden Abteilung der Beschwerde antragsgemäss für die vom 12. Juli 2012 bis und mit April 2013 geschuldeten Unterhaltsbeiträge aufschiebende Wirkung erteilt. In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. 