Sachverhalt: Sachverhalt: A. Das Kantonsgericht Schaffhausen sprach X._ am 21. Dezember 2000 der wiederholten Schändung sowie der versuchten Anstiftung zu Mord, Freiheitsberaubung und Entführung, begangen zum Nachteil von Y._, schuldig und verurteilte ihn zu zwölf Jahren Zuchthaus. X._ legte Berufung beim Obergericht des Kantons Schaffhausen ein. Das Obergericht bestätigte mit Urteil vom 21. Dezember 2001 den Schuldspruch der ersten Instanz; die Strafe legte es auf neun Jahre Zuchthaus fest. Gegen dieses Urteil erhob X._ beim Bundesgericht sowohl eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde als auch staatsrechtliche Beschwerde. Am 17. Dezember 2002 hiess das Bundesgericht die staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung des Anspruchs auf ein unbefangenes Gericht gut, hob das angefochtene Urteil auf und wies die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurück. Für die Wiederholung des Berufungsverfahrens wurde die urteilende Kammer des Obergerichts neu besetzt, und zwar mit A._, Präsident, B._, Oberrichter, C._, Ersatzrichter, und D._, Gerichtssekretärin. X._ stellte am 16. Mai 2003 gegen diese vier Gerichtspersonen ein Ausstandsbegehren wegen Befangenheit. Mit Entscheid vom 19. August 2003 wies das Obergericht, in der Besetzung mit drei durch den Kantonsrat des Kantons Schaffhausen gewählten ausserordentlichen Ersatzoberrichtern, das Ausstandsgesuch ab. Für die Wiederholung des Berufungsverfahrens wurde die urteilende Kammer des Obergerichts neu besetzt, und zwar mit A._, Präsident, B._, Oberrichter, C._, Ersatzrichter, und D._, Gerichtssekretärin. X._ stellte am 16. Mai 2003 gegen diese vier Gerichtspersonen ein Ausstandsbegehren wegen Befangenheit. Mit Entscheid vom 19. August 2003 wies das Obergericht, in der Besetzung mit drei durch den Kantonsrat des Kantons Schaffhausen gewählten ausserordentlichen Ersatzoberrichtern, das Ausstandsgesuch ab. B. X._ reichte gegen diesen Entscheid am 24. September 2003 beim Bundesgericht staatsrechtliche Beschwerde ein. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben. B. X._ reichte gegen diesen Entscheid am 24. September 2003 beim Bundesgericht staatsrechtliche Beschwerde ein. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben. C. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Schaffhausen stellt mit Eingabe vom 2. Oktober 2003 unter Verzicht auf Gegenbemerkungen den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen. Obergerichtspräsident A._ erklärt in seiner Stellungnahme vom 8. Oktober 2003, er fühle sich nach wie vor nicht befangen, in der Berufungssache des Beschwerdeführers als Richter mitzuwirken. Die anderen abgelehnten Gerichtspersonen liessen sich nicht vernehmen. Das Obergericht beantragt in seiner Vernehmlassung vom 21. Oktober 2003 die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Beschwerdegegnerin Y._ teilte dem Bundesgericht mit Schreiben vom 27. Oktober 2003 mit, sie verzichte auf eine Stellungnahme, zumal sie sich den Ausführungen im angefochtenen Entscheid voll und ganz anschliesse. 