Sachverhalt: A. Y._ (Arbeitnehmer) war seit Oktober 2008 mit einem Arbeitspensum von 100 % als Telefonist bei der Z._ (Arbeitgeberin) in Genf angestellt. Zwischen ihr und der X._ (Versicherung) besteht seit dem 1. Januar 1996 ein Kollektiv-Krankenversicherungsvertrag. In der ab 1. Januar 2008 gültigen Fassung des Vertrages, der Allgemeine Bedingungen (AB) umfasst, ist für das Personal der Arbeitgeberin ein Krankentaggeld im Umfang von 90 % des versicherten Verdienstes ab einer Wartefrist von 7 Tagen für eine Dauer von 730 Tagen versichert. Am 1. Juni 2009 meldete die Arbeitgeberin der Versicherung die krankheitsbedingte Abwesenheit des Arbeitnehmers seit 26. November 2008. Die Versicherung erbrachte ab 3. Dezember 2008 ein Taggeld basierend auf einer Arbeitsunfähigkeit von 100 %, veranlasste jedoch eine Untersuchung des Arbeitnehmers bei Dr. med. W._ in Genf. Dieser untersuchte den Arbeitnehmer am 30. August 2009. In seinem Gutachten vom 21. September 2009 kam er bezüglich der bisherigen Arbeitstätigkeit zum Ergebnis, die Abhängigkeit von Beruhigungsmitteln sei das Haupthindernis für die Wiederaufnahme der Arbeit. Diese Abhängigkeit des Arbeitnehmers und die vorliegende depressive Episode mittleren Grades beschränke seine Arbeitsfähigkeit zu 50 %. Nach dem Absetzen der Beruhigungsmittel sollte der Arbeitnehmer im Idealfall nach drei Wochen einer gut geführten antidepressiven Behandlung seine volle Arbeitsfähigkeit wiedererlangen (S. 15 Ziff. 8 und 10). Mit vom 18. September 2009 datiertem Schreiben teilte die Versicherung dem Arbeitnehmer mit Bezug auf die ärztliche Untersuchung vom 31. August 2009 mit, gemäss dem Bericht, der im Besitz ihrer medizinischen Abteilung sei, könne er seine Berufstätigkeit ab dem Tag der Unterredung zu 50 % und drei Wochen später zu 100 % ausüben. Folglich werde ab 21. September 2009 ein Taggeld beruhend auf einer Arbeitsfähigkeit von 50 % ausgerichtet. Ab 19. Oktober 2009 sei von einer Arbeitsfähigkeit von 100 % auszugehen. Ab diesem Datum stellte die Versicherung ihre Taggeldzahlungen ein. Am 1. und 2. Oktober 2009 war der Arbeitnehmer in der Kantonalen Psychiatrischen Klinik, Liestal, hospitalisiert. Ab dem 21. Oktober 2009 war er bei Dr. med. V._, Allschwil, in psychiatrischer Behandlung. Dieser kritisierte in seiner Stellungnahme vom 17. November 2009 das Gutachten von Dr. med. W._. Zu dieser Kritik nahmen Dr. med. W._ und Dr. med. U._ im Auftrag der Versicherung mit Schreiben vom 14. Mai 2010 Stellung. Dazu hat sich Dr. med. V._ mit Schreiben vom 22. Juni 2010 geäussert. B. Am 11. November 2010 klagte der Arbeitnehmer (Kläger) beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt gegen die Versicherung (Beklagte) auf Zahlung von Fr. 50 ́633.15 zuzüglich Zins zu 5 % ab 24. April 2010. Zur Begründung führte der Kläger an, er sei gemäss Arztzeugnissen verschiedener ihn behandelnder Ärzte (Dr. med. T._, Dr. med. S._, Dr. R._ und Dr. med. V._) seit 26. November 2008 ganz und ab 1. Mai 2010 zu 75 % arbeitsunfähig, weshalb ihm nach Ablauf der Wartefrist von sieben Tagen, das heisst ab 3. Dezember 2008 bis 30. April 2010 ein Taggeld beruhend auf einer Arbeitsunfähigkeit von 100 % zustehe. Ab. 1. Mai 2010 bis 19. November 2010 sei ein Taggeld basierend auf einer Arbeitsunfähigkeit von 75 % geschuldet. Die Beklagte schloss auf Abweisung der Klage und wendete ein, sie habe dem Kläger für die Periode ab 3. Dezember 2008 bis 20. September 2009 ein um 50 % zu hohes Taggeld ausgerichtet, da er während dieser Zeit nicht 100 %, sondern lediglich 50 % arbeitsunfähig gewesen sei. Für die Zeit vom 21. September 2009 bis 15. November 2009 anerkenne sie eine Arbeitsunfähigkeit von 50 %. Danach hätte der Arbeitnehmer bei Wahrung seiner Schadenminderungspflicht zu 100 % arbeiten können. Mit Urteil vom 9. Dezember 2011 hiess das Sozialversicherungsgericht die Klage gut. C. Die Beklagte (Beschwerdeführerin) erhebt Beschwerde in Zivilsachen mit den Begehren, den Entscheid des Sozialversicherungsgerichts vom 9. Dezember 2011 aufzuheben und die Klage abzuweisen. Zudem stellte die Beschwerdeführerin ein Gesuch um aufschiebende Wirkung, das mit Präsidialverfügung vom 17. Februar 2012 gutgeheissen wurde. Der Kläger (Beschwerdegegner) schliesst auf Abweisung der Beschwerde, eventuell auf Rückweisung der Sache an die Vorinstanz. Die Beschwerdeführerin hat eine Replik und der Beschwerdegegner eine Duplik eingereicht. 