Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft See/Oberland bewilligte dem Angeklagten X._ mit Verfügung vom 10. März 2008 den vorzeitigen Massnahmenantritt. Am 7. Mai 2008 verurteilte ihn das Bezirksgericht Horgen wegen Freiheitsberaubung, Drohung, mehrfacher Tätlichkeiten, mehrfachen Hausfriedensbruchs und mehrfachen geringfügigen Diebstahls zu 15 Monaten Freiheitsstrafe, einer Busse von Fr. 500.-- und zu einer stationären therapeutischen Massnahme im Sinne von Art. 59 StGB (Behandlung von psychischen Störungen). Der Vollzug der Freiheitsstrafe wurde zugunsten der stationären Massnahme aufgeschoben. Gleichentags verfügte das Bezirksgericht die Fortdauer der strafprozessualen Haft bis zur Rechtskraft des genannten Urteils. B. Mit Gesuch vom 22. Mai 2008 beantragte der Verurteilte die Bewilligung des vorzeitigen Strafantritts. Das Bezirksgericht Horgen (Vorsitzender der III. Abteilung als Einzelrichter) wies dieses Gesuch mit Verfügung vom 30. Mai 2008 ab. Eine dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht am 21. Juli 2008 ab, soweit es darauf eintrat (Verfahren 1B_173/2008). C. Mit Entscheid vom 22. Januar 2009 bestätigte das Obergericht des Kantons Zürich, I. Strafkammer, im Berufungsverfahren das erstinstanzliche Urteil. Am 16. März 2009 wies der Präsident der I. Strafkammer des Obergerichtes des Kantons Zürich ein Gesuch des Verurteilten vom 19. Februar 2009 um Entlassung aus der strafprozessualen Haft ab. Gleichzeitig verfügte der Strafkammerpräsident die Aufhebung des vorzeitigen Massnahmenvollzuges und die Versetzung des Verurteilten in Sicherheitshaft. D. Eine gegen die Präsidialverfügung vom 16. März 2009 erhobene Beschwerde hiess das Bundesgericht am 8. April 2009 teilweise gut. Es hob die Verfügung auf und wies die Haftsache zur neuen Prüfung an die Vorinstanz zurück (Verfahren 1B_85/2009). Mit neuer Verfügung vom 11. Mai 2009 wies der Präsident der I. Strafkammer des Obergerichtes des Kantons Zürich das Haftentlassungsgesuch vom 19. Februar 2009 ab. E. Gegen die Präsidialverfügung vom 11. Mai 2009 gelangte X._ mit Beschwerde vom 10. Juni 2009 erneut an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und seine Entlassung aus der Sicherheitshaft. Der kantonale Haftrichter hat auf eine Vernehmlassung ausdrücklich verzichtet, während von der Staatsanwaltschaft innert angesetzter Frist keine Stellungnahme eingegangen ist. 