Sachverhalt: A. X._ war bis zum 31. Januar 2009 als Betriebsleiter Logistik bei der Schweizerischen Post im Briefzentrum A._ angestellt. Infolge Neukonzeption der Briefzentren kam es zu personellen Umstrukturierungen, von denen auch X._ betroffen war. Um die Folge dieser Umstrukturierungen sozialverträglich zu gestalten, einigten sich die betroffenen Gewerkschaften mit der Post auf die Erstellung eines Sozialplans. In diesem sind unter anderem auch Entschädigungen für die Mitarbeitenden vorgesehen. Die Parteien haben am 14. Oktober 2008 bzw. 4. November 2008 eine Vereinbarung betreffend die Auflösung des Arbeitsverhältnisses im Rahmen des Sozialplans unterzeichnet. Unbestrittenermassen hat die Post X._ unter dem Titel Abgangsentschädigung einen Betrag von Fr. 19'754.-- überwiesen. Dieser forderte von der Post indes eine restanzliche Abgangsentschädigung von Fr. 2'572.-- sowie eine Durchhalteprämie von Fr. 15'947.--. In der Folge hat X._ den Betrag von Fr. 18'519.-- in Betreibung gesetzt. Mit Entscheid vom 3. August 2009 erteilte der Gerichtspräsident 4 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen X._ für den Betrag von Fr. 2'571.95 die provisorische Rechtsöffnung und wies das Gesuch soweit weitergehend ab. B. X._ appellierte gegen dieses Urteil und beantragte, es sei ihm für den betriebenen Betrag die definitive Rechtsöffnung zu erteilen. Der Appellationshof des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, sprach ihm die Beschwerdelegitimation im Umfang der erstinstanzlich erteilten Rechtsöffnung ab, nahm den Antrag als Gesuch um provisorische Rechtsöffnung für einen Betrag von Fr. 15'946.95 entgegen (E. I/2), und wies dieses kostenfällig ab (Entscheid vom 23. September 2009). C. Mit Eingabe vom 19. Oktober 2009 gelangte X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) an das Bundesgericht mit der Anfrage, ob ihm für ein beabsichtigtes Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt werden könne. Diese Anfrage wurde als Verfassungsbeschwerde entgegengenommen (Mitteilungen vom 21. und 22. Oktober 2009). Am 23. Oktober 2009 reichte der Beschwerdeführer ein weiteres Schriftstück ein und beantragte nunmehr ausdrücklich, in der Betreibung ... sei ihm für den Betrag von Fr. 15'947.-- Rechtsöffnung zu erteilen, alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen. Zudem ersuchte er erneut um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Letzteres wurde unter Hinweis auf die ungenügende Begründung seines Gesuches verweigert (Verfügung vom 29. Oktober 2009), worauf der Beschwerdeführer den geforderten Kostenvorschuss leistete. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt. 