Sachverhalt: A. A.a Y._ (im Folgenden: Beschwerdegegnerin) verlangte am 4. September 2006 in der gegen X._ (im Folgenden: Beschwerdeführer) eingeleiteten Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes A._ beim Richteramt B._ die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung für Fr. 297'921.90 nebst Zins. Mit Urteil vom 19. Dezember 2006 schützte der Gerichtspräsident das Rechtsöffnungsgesuch im beantragten Umfang. A.b Am 23. Februar 2007 hiess das Obergericht des Kantons Solothurn den vom Beschwerdeführer dagegen eingereichten Rekurs insofern gut, als dem Beschwerdeführer Gelegenheit zu geben sei, sich in einer Duplik zur Replik zu äussern. Nachdem dem Beschwerdeführer das rechtliche Gehör gewährt worden war, erteilte der Gerichtspräsident mit Urteil vom 4. September 2007 erneut die definitive Rechtsöffnung im anbegehrten Umfang. A.c Der vom Beschwerdeführer dagegen beim Obergericht erhobene Rekurs hatte keinen Erfolg. Das Rechtsmittel wurde am 6. Februar 2008 abgewiesen. B. Mit Eingabe vom 7. März 2008 hat der Beschwerdeführer die Sache an das Bundesgericht weitergezogen. Er beantragt, das angefochtene Urteil und der Rechtsöffnungsentscheid vom 4. September 2007 seien vollumfänglich aufzuheben. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt. 