Sachverhalt: A. Die 1953 geborene R._ ist als Sigristin bei einer reformierten Kirchgemeinde tätig und dadurch bei der AXA Versicherungen AG (nachfolgend: AXA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 7. Januar 2009 rutschte sie auf einer Treppe aus und erlitt ein Distorsionstrauma am rechten Kniegelenk. Die AXA anerkannte ihre Leistungspflicht, gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Unter anderem übernahm sie die Kosten für einen am 11. Februar 2009 durch den orthopädischen Chirurgen Dr. med. K._ vorgenommenen Eingriff am Knie (gemäss Operationsbericht: diagnostische Arthroskopie und partielle Hinterhornresektion medial und Vorderhornresektion lateral sowie Shaving am medialen und lateralen Femurkondylus). Mit Verfügung vom 15. Juni 2010 eröffnete die AXA der Versicherten, die Leistungen würden rückwirkend per 18. August 2009 eingestellt, da in diesem Zeitpunkt der status quo sine erreicht gewesen sei. Der Versicherer verneinte dabei namentlich auch seine Leistungspflicht für eine zweite, von Dr. med. K._ am 2. September 2009 durchgeführte Operation (gemäss Operationsbericht: Totalprothese rechtes Kniegelenk mit Patella-Ersatz). Dieser Eingriff habe der Behandlung krankheitsbedingter, nicht unfallkausaler Gesundheitsschäden gedient. Die vom Krankenpflegeversicherer von R._ hiegegen vorsorglich erhobene Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache der Versicherten wies die AXA mit Entscheid vom 27. Juli 2010 ab. B. Die von R._ hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 16. Januar 2012 ab. C. R._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die AXA zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen auch nach dem 18. August 2009 zu erbringen. Die AXA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. 