Faits: A. M._ a travaillé en qualité de cheffe de cuisine dans un restaurant. A ce titre, elle était assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de Swica Assurances SA (ci-après: Swica). Le 1er novembre 2002, elle a subi une entorse à la cheville droite ensuite d'une chute. Le 6 novembre suivant, elle a été victime d'un second accident alors qu'elle était passagère d'un bus qui a brusquement freiné. Sa chute sur le côté gauche a entraîné une entorse cervicale bénigne, ainsi que des douleurs à l'épaule et au poignet gauches. L'assurée a été entièrement incapable de travailler jusqu'au 11 novembre 2002, puis du 3 janvier au 30 avril 2003, date à laquelle l'incapacité de travail a été de 50 %. Swica a pris en charge le cas. Elle a confié une expertise au docteur G._, spécialiste en chirurgie. Dans un rapport du 16 février 2004, l'expert a indiqué qu'il n'y avait plus de séquelles des entorses à la cheville droite et à la colonne cervicale, ni de la contusion au poignet gauche. En revanche, l'évolution n'était pas aussi favorable en ce qui concerne l'épaule gauche, les examens pratiqués (échographie et IRM) ayant permis d'objectiver une probable tendinopathie chronique de l'extrémité du tendon du sus-épineux avec suspicion d'un discret conflit sous-acromial. Selon l'expert, cette affection entraînait une incapacité de travail de 50 % depuis le 1er mai 2003 mais ne devait pas empêcher la reprise d'une activité adaptée, nécessitant moins d'efforts et de manipulations d'objets lourds que l'emploi exercé précédemment. Par ailleurs, le docteur G._ a indiqué un taux d'atteinte à l'intégrité de 10 %. Du 13 mars au 17 mai 2004, l'assurée a accompli un stage dans le Service de rééducation de l'Hôpital X._ afin d'évaluer sa capacité de travail. Dans un rapport du 29 juillet 2004, le technicien responsable du stage a indiqué que l'atteinte à l'épaule gauche ne permettait pas à l'intéressée de reprendre son ancienne activité; en revanche, un emploi plus sédentaire ne comportant pas de contraintes excessives pour l'épaule et le bras gauches était envisageable. L'assurée ayant requis des prestations de l'assurance-invalidité, l'Office cantonal de l'assurance-invalidité du canton de Genève a confié une expertise au Service médical régional de l'assurance-invalidité (SMR), laquelle a été réalisée par le docteur H._ (rapport du 8 septembre 2004). Du 20 février au 9 avril 2006, l'intéressée a suivi un stage d'observation professionnelle mis en oeuvre par l'assurance-invalidité (rapport du 29 mai 2006). Par des décisions du 24 novembre 2006, l'Office AI lui a alloué une demi-rente pour la période du 1er novembre 2003 au 30 juin 2004 et une rente entière à partir du 1er juillet suivant. Cette dernière prestation était fondée sur une incapacité de gain de 75 %. Après avoir recueilli divers rapports du docteur A._, chef de clinique au Service de rééducation de l'Hôpital X._ et médecin traitant de l'assurée, Swica a confié une nouvelle expertise au docteur I. _, spécialiste en chirurgie orthopédique (rapport du 15 janvier 2007). Se fondant sur les conclusions de cet expert, Swica a rendu une décision, le 29 janvier 2007, par laquelle elle a supprimé le droit de l'assurée à toute prestation à partir du 1er février 2007, motif pris que l'affection à l'épaule gauche n'était plus en relation de causalité avec l'accident du 6 novembre 2002, celui-ci n'ayant qu'aggravé momentanément une affection préexistante. Saisi d'une opposition, l'assureur-accidents l'a rejetée par décision du 24 mai 2007, après avoir requis derechef l'avis du docteur I._ (rapport du 11 mai 2007). B. L'assurée a recouru contre la décision sur opposition devant le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève, en concluant à l'octroi, dès le 1er février 2007, d'une rente d'invalidité fondée sur une incapacité de gain de 75 %, ainsi que d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 20 %. Lors d'une audience d'enquêtes tenue le 7 février 2008, la juridiction cantonale a entendu en qualité de témoins le docteur A._ et D._, technicien responsable du stage effectué en 2004 dans le Service de rééducation de l'Hôpital X._. Statuant le 19 juin 2008, elle a annulé la décision sur opposition entreprise et reconnu le droit de l'assurée à une rente d'invalidité fondée sur une incapacité de gain de 23 % dès le 1er février 2007 et à une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 10 %. C. Swica interjette un recours en matière de droit public en concluant à l'annulation du jugement entrepris. M._ forme également un recours en matière de droit public contre le jugement cantonal dont elle demande l'annulation en tant qu'il reconnaît son droit à une rente fondée sur une invalidité de 23 %, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'octroi d'une rente fondée sur un taux d'incapacité de gain de 75 %. Swica et l'assurée concluent au rejet du recours formé par la partie adverse, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations. 