Sachverhalt: A. Der 1954 geborene K._ erlitt am 29. Januar 2001 und am 27. Januar 2002 je einen Verkehrsunfall. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) anerkannte die Leistungspflicht. Mit Verfügung vom 23. Januar 2003 stellte die SUVA die Leistungen ab 29. Oktober 2002 (Heilbehandlung) und 18. November 2002 (Taggeld) ein. Mit einer weiteren Verfügung vom 1. April 2003 sprach die Anstalt K._ für die Folgen des Unfalles vom 29. Januar 2001 eine Invalidenrente auf der Grundlage einer Erwerbsunfähigkeit von 20 % sowie eine Integritätsentschädigung von 10 % zu. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 23. Dezember 2003 fest. B. K._ liess durch Rechtsanwalt W._ beim Versicherungsgericht des Kantons Solothurn Beschwerde einreichen und beantragen, der Einspracheentscheid vom 23. Dezember 2003 sei aufzuheben und es seien ihm die gesetzlichen Leistungen auszurichten; im Weitern sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Nach Vernehmlassung der SUVA erliess der Präsident des Versicherungsgerichts am 3. August 2004 eine Verfügung, mit welcher er u.a. das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege in Form der Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes im gegenwärtigen Zeitpunkt zufolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde ablehnte (Dispositiv-Ziffer 2). C. K._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 2 der Verfügung vom 3. August 2004 sei ihm für das Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht die unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung zu gewähren. Im Weitern ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht. Das kantonale Versicherungsgericht beantragt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. D. Auf Ersuchen des Instruktionsrichters hat das kantonale Versicherungsgericht u.a. dazu Stellung genommen, dass die Verfügung vom 3. August 2004 einzig vom Gerichtsschreiber unterzeichnet ist. 