Faits: Faits: A. A._ a travaillé depuis le 1er mars 2003 en qualité de secrétaire-comptable et d'assistante d'administration au service de la société X._ SA (ci-après: la société). Celle-ci a été inscrite au registre du commerce le 6 mars 2003. Son conseil d'administration était formé de B._, président et titulaire de la signature individuelle, de C._, secrétaire, et de A._, toutes deux titulaires de la signature collective à deux. La faillite de la société a été prononcée le 9 novembre 2004. Le 28 juillet 2004, la société a décidé de résilier avec effet au 30 septembre suivant tous les contrats de travail la liant au personnel. Toutefois, A._ a continué de travailler au service de la société jusqu'au prononcé de la faillite. Le 17 septembre 2004, elle a démissionné du conseil d'administration avec effet immédiat. Son inscription au registre du commerce a été radiée le 10 février 2005. Le 15 septembre 2004, A._ a présenté une demande d'indemnité de chômage à partir du 1er octobre suivant. Le 6 décembre 2004, elle a requis l'octroi d'une indemnité en cas d'insolvabilité pour des prétentions de salaire relatives à la période du 1er septembre au 9 novembre 2004, y compris des indemnités pour sept jours de vacances. Par décision du 6 décembre 2004, confirmée sur opposition le 1er mars 2005, la Caisse cantonale de chômage du canton de Vaud (ci-après: la caisse) a rejeté la demande d'indemnité en cas d'insolvabilité, motif pris qu'en qualité de membre du conseil d'administration inscrit au registre du commerce, l'assurée avait continué d'occuper une position dirigeante dans la société jusqu'au prononcé de la faillite. Par une autre décision, du 10 décembre 2004, la caisse a nié le droit de l'assurée à une indemnité de chômage pour la période du 1er octobre au 9 novembre 2004, motif pris que le gain qu'elle percevait alors en continuant de travailler au service de la société était supérieur à l'indemnité de chômage à laquelle elle aurait droit. Cette décision a été annulée et remplacée par une décision du 17 mars 2005, confirmée le 12 mai suivant, aux termes de laquelle le droit à une indemnité de chômage pour la période en cause a été nié au motif que l'intéressée occupait une position dirigeante dans la société. Par une autre décision, du 10 décembre 2004, la caisse a nié le droit de l'assurée à une indemnité de chômage pour la période du 1er octobre au 9 novembre 2004, motif pris que le gain qu'elle percevait alors en continuant de travailler au service de la société était supérieur à l'indemnité de chômage à laquelle elle aurait droit. Cette décision a été annulée et remplacée par une décision du 17 mars 2005, confirmée le 12 mai suivant, aux termes de laquelle le droit à une indemnité de chômage pour la période en cause a été nié au motif que l'intéressée occupait une position dirigeante dans la société. B. A._ a recouru devant le Tribunal administratif du canton de Vaud contre la décision sur opposition du 1er mars 2005, en concluant à l'octroi d'une indemnité en cas d'insolvabilité pour ses prétentions de salaire relatives à la période du 1er septembre au 9 novembre 2004. Elle a également recouru contre la décision sur opposition du 12 mai 2005, en concluant à sa réformation, en ce sens qu'elle a droit à une indemnité de chômage pour la période du 1er octobre au 9 novembre 2004. La juridiction cantonale a joint les causes. Par jugement du 15 août 2006, elle a admis les recours dont elle était saisie. Elle a annulé les décisions sur opposition des 1er mars et 12 mai 2005, et renvoyé les dossiers à la caisse pour nouvelles décisions au sens des considérants. Elle a considéré, en résumé, que l'assurée n'occupait pas une position dirigeante dans la société, que ce soit en relation avec une indemnité en cas d'insolvabilité pour la période du 1er septembre au 9 novembre 2004 ou au regard d'une indemnité de chômage pour la période du 1er octobre au 9 novembre 2004. Par jugement du 15 août 2006, elle a admis les recours dont elle était saisie. Elle a annulé les décisions sur opposition des 1er mars et 12 mai 2005, et renvoyé les dossiers à la caisse pour nouvelles décisions au sens des considérants. Elle a considéré, en résumé, que l'assurée n'occupait pas une position dirigeante dans la société, que ce soit en relation avec une indemnité en cas d'insolvabilité pour la période du 1er septembre au 9 novembre 2004 ou au regard d'une indemnité de chômage pour la période du 1er octobre au 9 novembre 2004. C. Le Secrétariat d'Etat à l'économie (seco) interjette recours de droit administratif contre ce jugement, dont il demande l'annulation, en concluant à ce que soient niés les droits de l'assurée à l'indemnité en cas d'insolvabilité et à l'indemnité de chômage pour les périodes considérées. L'intimée conclut au rejet du recours, sous suite de dépens. De son côté, la caisse s'en remet à justice. 