Sachverhalt: A. Der 1961 geborene P._, Zimmermann mit Fähigkeitsausweis und unter anderem als Steinwerker/Marmorist tätig gewesen, leidet an einem zerviko-, thorako- und lumbospondylogenen Syndrom, an Schulterbeschwerden (Rotatorenproblematik), an einer chronischen asthmatischen Bronchitis (bei Steinstaubexposition) und an einem mittelschweren Schlafapnoesyndrom. Am 22. Juni 2001 meldete er sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an, wobei er Berufsberatung beantragte. Mit Verfügung vom 10. Juni 2002 lehnte es die IV-Stelle des Kantons Schwyz ab, P._ berufliche Massnahmen zu gewähren; die bisherige Tätigkeit sei weiterhin zumutbar, sofern er im Fall von Steinstaubexposition eine Feinstaubmaske trage. Nachdem er eine Stelle als Service-Monteur (Reparatur von Steinen und defekten Fugen etc.) bei der Firma X._, auf Ende März 2004 gekündigt hatte, meldete sich P._ am 27. September 2004 erneut zum Leistungsbezug an, wies auf gesundheitliche Beschwerden betreffend Lunge und Bewegungsapparat hin und beanspruchte Umschulung auf eine neue Tätigkeit. Mit Verfügung vom 6. Dezember 2004 sprach die IV-Stelle P._ "Berufsberatung und Abklärung der beruflichen Eingliederungsmöglichkeiten durch unsere Berufsberatung" zu. Im Frühjahr und Sommer 2005 arbeitete der Versicherte im Rahmen einer befristeten Anstellung als Wachmann und suchte zugleich eine Stelle als Chauffeur. In einem Zwischenbericht vom 20. Dezember 2005 hielt der Berufsberater der Invalidenversicherung fest, der Versicherte, der verschiedene Tätigkeiten und Ausbildungen im Blick habe, könne sich im Moment aus persönlichen Gründen (Scheidung, Betreuung der schulpflichtigen Tochter) nicht auf eine Umschulung einlassen und bitte um Unterstützung bei der Suche nach einem Arbeitsplatz. Der Berufsberater beantragte demgemäss Arbeitsvermittlung und schloss das Dossier ab. Mit Verfügung vom 27. Dezember 2005 gewährte die IV-Stelle P._ Beratung und Unterstützung bei der Stellensuche (Arbeitsvermittlung). Nachdem der Versicherte wegen Rückenproblemen vorübergehend arbeitsunfähig geschrieben worden war (Bericht des Zentrums A._ vom 26. Juli 2006), schloss der Arbeitsvermittler die entsprechenden Bemühungen ab (Verlaufsprotokoll vom 28. August 2006). Der behandelnde Arzt Dr. B._, Allgemeine Medizin FMH, berichtete am 1. September 2006, sein Patient sei von der Arbeitslosenversicherung ausgesteuert. Die Leistungsfähigkeit sei bezüglich des Tragens schwererer Lasten und von Arbeiten über Kopfhöhe eingeschränkt; ausserdem seien Arbeiten in Staubmilieus zu vermeiden. Uneingeschränkt einsatzfähig sei der Patient wohl als Securitaswächter mit Hund (ohne längeres Gehen) oder als Eingangskontrolleur. Die IV-Stelle stellte mit Verfügung vom 2. Februar 2007 fest, die Arbeitsvermittlung sei am 28. August 2006 erfolglos abgeschlossen worden. Aus diesem Grund erfolge die Prüfung des Rentenanspruchs. Die Verwaltung ermittelte - unter der Annahme, es bestehe für leichte Tätigkeiten in Wechselposition, ohne Überkopfarbeiten und mit guter Lufthygiene eine vollständige Arbeitsfähigkeit (Stellungnahme des Regionalen Ärztlichen Dienstes [RAD] der Invalidenversicherung vom 10. Oktober 2006) - einen Invaliditätsgrad von 34 Prozent und lehnte demgemäss den Anspruch auf eine Invalidenrente ab. B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz wies die gegen die Verfügung vom 2. Februar 2007 erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 22. August 2007). C. P._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei ihm, nach Aufhebung von strittiger Verfügung und angefochtenem Entscheid, eine Invalidenrente zuzusprechen. Eventuell sei die Sache zur ergänzenden Abklärung an die Verwaltung zurückzuweisen. Ausserdem ersucht er um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das kantonale Gericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die IV-Stelle beantragt Abweisung; das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf Vernehmlassung. 