Faits: A. A.a En mai 2004, une enquête pénale a été ouverte en Espagne pour faits de dopage ("Opération Puerto"). Elle a abouti, deux ans plus tard, à l'arrestation du Dr Fuentes et d'autres personnes. Il leur était reproché d'avoir violé la législation espagnole sur la santé publique. Le 29 août 2007, l'Union Cycliste Internationale (UCI), qui s'était portée partie civile dans la procédure pénale aux côtés de l'Agence Mondiale Antidopage (AMA), a demandé à la Fédération espagnole de cyclisme, la Real Federación Española de Ciclismo (RFEC), de mettre en oeuvre une procédure disciplinaire contre Alejandro Valverde Belmonte, coureur cycliste professionnel de nationalité espagnole. Elle se fondait, pour justifier sa requête, sur le fait que, dans le cadre de l'Opération Puerto, les enquêteurs avaient saisi, le 6 mai 2006, dans le laboratoire du Dr Fuentes, une poche contenant du sang supposé appartenir à ce coureur cycliste (ci-après: la poche n° 18). Le 7 septembre 2007, le Comité Nacional de Competición y Disciplina Deportiva (CNCDD), autorité compétente pour les affaires de dopage au sein de la RFEC, a décidé de ne pas ouvrir de procédure disciplinaire à l'encontre d'Alejandro Valverde Belmonte. Le même jour, le président de la RFEC a pris une décision identique à celle du CNCDD. A.b A la même époque, les autorités italiennes menaient, elles aussi, des opérations antidopage. Le 21 juillet 2008, lors du passage du Tour de France en Italie, Alejandro Valverde Belmonte a fourni un échantillon sanguin à l'occasion d'un contrôle effectué sur plusieurs coureurs cyclistes par le Comitato Olimpico Nazionale Italiano (CONI). Le 30 janvier 2009, des membres de la police judiciaire italienne, dûment autorisés par le juge d'instruction espagnol, ont prélevé des échantillons de la poche n° 18 dans un laboratoire de Barcelone. L'analyse a permis d'établir une correspondance entre ces échantillons et celui qui avait été prélevé le 21 juillet 2008 sur le coureur cycliste espagnol. Par décision du 11 mai 2009, le Tribunale Nazionale Antidoping du CONI a interdit à Alejandro Valverde Belmonte, reconnu coupable de violation des normes antidopage italiennes (NSA), de participer, pour une durée de deux ans, à des compétitions organisées par le CONI ou d'autres fédérations sportives nationales sur le territoire italien. Statuant par sentence du 16 mars 2010, sur appel du coureur cycliste, le Tribunal Arbitral du Sport (TAS) a confirmé la décision de suspension. Par arrêt du 29 octobre 2010, le Tribunal fédéral a rejeté, dans la mesure où il était recevable, le recours en matière civile formé par Alejandro Valverde Belmonte contre cette sentence arbitrale (cause 4A_234/2010). B. En octobre 2007, l'AMA et l'UCI ont chacune déposé un appel auprès du TAS contre les décisions prises le 7 septembre 2007 par le CNCDD et le président de la RFEC. Sur le fond, elles ont toutes deux conclu, en dernier lieu, à ce qu'Alejandro Valverde Belmonte soit suspendu pour une durée de deux ans et à ce que tous les résultats obtenus par lui depuis le 4 mai 2004 soient annulés. Le coureur cycliste a conclu à l'irrecevabilité des appels et la RFEC à leur rejet. Une Formation arbitrale, composée de Me Otto L.O. de Witt Wijnen (président), avocat à Bergambacht (Pay-Bas), du Prof. Richard H. McLaren (arbitre désigné par les appelants), avocat à London (Canada), et du Dr Miguel Angel Fernández Ballesteros (arbitre désigné par les intimés), Professeur à Madrid (Espagne), a été constituée le 28 janvier 2008 (ci-après: la Formation). Le 10 juillet 2008, la Formation a rendu une sentence préliminaire (preliminary award) dans laquelle elle a notamment admis la compétence du TAS et la recevabilité des deux appels. Après avoir instruit la cause au fond, la Formation a rendu, le 31 mai 2010, à la majorité de ses membres, une sentence arbitrale par laquelle, admettant partiellement les appels, elle a reconnu Alejandro Valverde Belmonte coupable de violation de l'art. 15.2 du règlement antidopage de l'UCI (version 2004) et l'a suspendu pour une période de deux ans à compter du 1er janvier 2010. Elle a, en outre, rejeté les requêtes de l'UCI et de l'AMA tendant à l'annulation des résultats obtenus en compétition par le coureur cycliste espagnol avant le 1er janvier 2010. Les motifs énoncés au soutien de cette sentence arbitrale seront indiqués plus loin dans la mesure utile à l'examen des griefs formulés à l'encontre de celle-ci. C. Le 29 juin 2010, Alejandro Valverde Belmonte a interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral en vue d'obtenir l'annulation de la sentence du 31 mai 2010 et de faire constater que le TAS n'était pas compétent pour statuer sur le fond. Dans leurs réponses respectives des 18 et 21 octobre 2010, l'AMA, l'UCI et le TAS ont tous conclu au rejet du recours. La RFEC n'a pas déposé de réponse dans le délai qui lui avait été imparti à cette fin. Par lettre du 22 novembre 2010, le recourant a renouvelé la requête procédurale, formulée dans son mémoire de recours, tendant à ce que le Tribunal fédéral ordonne au TAS de produire toute la correspondance écrite ou électronique échangée avec l'arbitre Fernández Ballesteros. D. Le 29 juin 2010, le recourant a déposé auprès du TAS une requête d'interprétation ou de correction de la sentence du 31 mai 2010. Par décision du 9 juillet 2010, le Président suppléant de la Chambre d'appel du TAS a refusé d'entrer en matière sur cette demande. Le recourant a également interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre ladite décision en date du 28 juillet 2010 (cause 4A_420/2010). Il a requis la jonction de cette cause avec la cause 4A_386/2010. Cette requête a été rejetée par ordonnance présidentielle du 4 octobre 2010, à l'instar de la requête du TAS des 17 et 20 septembre 2010 tendant à ce que la cause 4A_420/2010 soit suspendue jusqu'à droit connu dans la procédure 4A_386/2010. 