Sachverhalt: A. Der 1960 geborene S._ war als Lagermitarbeiter in der Firma X._ tätig und dadurch bei der "Generali Allgemeine Versicherungen" (nachfolgend: Generali) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 31. Oktober 2000 wurde er nachts als Fussgänger von einem Fahrrad angefahren und stürzte zu Boden. Dabei zog er sich verschiedene Verletzungen zu. Die Generali gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Schreiben vom 20. September 2004 teilte sie dem Versicherten mit, die Taggeldleistungen würden auf den 31. August 2004 eingestellt. Nachdem S._ hiegegen opponiert hatte, verfügte die Generali am 27. Februar 2006, das Taggeld werde auf den 31. Oktober 2004 eingestellt. Sie verneinte überdies einen Anspruch auf eine Invalidenrente und sprach dem Versicherten eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage eines Integritätsschadens von 17,5 % zu. S._ erhob Einsprache. Er akzeptierte die zugesprochene Integritätsentschädigung, beantragte aber, es sei überdies eine Invalidenrente nach Massgabe eines Invaliditätsgrades von 40 % auszurichten; eventuell seien weitere Abklärungen vorzunehmen und währenddessen Taggelder auszurichten. Die Generali hielt mit Einspracheentscheid vom 30. November 2007 an ihrer Verfügung fest. B. Die von S._ gegen den Einspracheentscheid der Generali erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 15. Oktober 2009 ab, soweit es darauf eintrat. Eine öffentliche Verhandlung wurde nicht durchgeführt. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ nebst der Zusprechung weiterer resp. höherer Leistungen, eventuell der Rückweisung der Sache zu weiterer medizinischer Abklärung und zum neuen Entscheid an die Vorinstanz resp. den Unfallversicherer, beantragen, "es sei eine öffentliche Gerichtsverhandlung nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK mit Publikums- und Presseanwesenheit einzuberufen und durchzuführen". Die General schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. 