Sachverhalt: A. Die X._ SA (Beschwerdeführerin) ist Eigentümerin eines vierstrahligen Geschäftsreiseflugzeugs vom Typ Lockhead L-1329-25 Jetstar II, Baujahr 1979, Werknummer 5233, welches das Schweizer Luftfahrzeugkennzeichen HB-JGK trägt. Dieses befindet sich zur Zeit auf dem Gelände des Flughafens Genf-Cointrin, wo es von der Y._ AG (Beschwerdegegnerin) gewartet und instand gestellt wurde. Die Beschwerdegegnerin forderte die Beschwerdeführerin mehrmals erfolglos auf, das fertig gestellte Flugzeug abholen zu lassen. B. Am 20. Februar 2009 ersuchte die Beschwerdegegnerin beim Zivilgericht Basel-Stadt um Bewilligung der öffentlichen Versteigerung des sich in Genf befindlichen Flugzeugs nach vorgängiger Androhung gegenüber der Beschwerdeführerin. Der Einzelrichter bewilligte am 3. Juni 2009 nach durchgeführter Verhandlung die öffentliche Versteigerung und setzte die Androhungsfrist auf sechs Wochen fest. Als Versteigerungsort bestimmte er Genf. Auf den weiteren Antrag auf Bestimmung des Hinterlegungsortes trat er nicht ein. Gegen diesen Entscheid erhob die Beschwerdeführerin Beschwerde an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Sie beantragte, auf das Gesuch sei mangels Zuständigkeit nicht einzutreten, eventualiter sei es abzuweisen, subeventualiter sei die Sache an die Erstinstanz zu neuer Entscheidung zurückzuweisen. Mit Urteil vom 14. September 2009 wies das Appellationsgericht, Ausschuss, die Beschwerde ab. C. Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, es sei auf das Gesuch der Beschwerdegegnerin, es sei ihr zu bewilligen, nach vorgängiger Androhung gegenüber der Beschwerdeführerin in Genf das Flugzeug mit dem Kennzeichen HB-JGK des Herstellers Lockhead Aircraft Corporation, Typ 1329-25 Jetstar II, Serie Nr. 5233, zu versteigern, nicht einzutreten. Eventualiter sei dieses Gesuch der Beschwerdegegnerin abzuweisen. Subeventualiter sei der Fall zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin beantragt, das Hauptbegehren abzuweisen und auf das Eventual- und das Subeventualbegehren mangels Rechtsschutzinteresse nicht einzutreten. Eventuell seien diese Begehren abzuweisen. Die Vorinstanz schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Mit Präsidialverfügung vom 29. Januar 2010 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt. 