Faits: A. Le 17 avril 2006, X._ et l'Association Y._ (ci-après: l'Association) ont conclu un contrat en vertu duquel le prénommé, agissant comme représentant de A._ Sport, entité sans personnalité juridique entièrement contrôlée par lui, s'est vu confier par l'Association l'organisation de cinq matches amicaux, lesquels devaient opposer l'équipe nationale ... à d'autres équipes nationales, en Allemagne, quelques jours avant le début de la Coupe du monde de football 2006 qui s'est déroulée dans ce pays. X._ s'est engagé à prendre en charge tous les frais liés à l'organisation des matches (voyage, déplacements, séjour, etc.) et à verser à l'Association la somme de 250'000 US$, payable en trois tranches, ainsi que des montants forfaitaires supplémentaires si le nombre de spectateurs dépassait les seuils fixés dans le contrat. En contrepartie, l'Association lui a cédé, notamment, les droits de diffusion télévisée des matches en question pour le monde entier, à l'exception de .... Le contrat était régi par les règles de la Fédération Internationale de Football Association (FIFA) et celles de l'Union des Associations Européennes de Football (UEFA). Selon l'art. 12 du contrat, les contestations résultant du non-respect de celui-ci devaient être liquidées par voie d'arbitrage et soumises à la FIFA ou, si elle déclinait sa compétence, au Tribunal Arbitral du Sport (TAS). Les cinq matches formant l'objet du contrat ont été disputés aux dates prévues à cet effet. Déçu par le résultat économique de ces rencontres, X._ s'en est plaint dans une lettre adressée le 9 juin 2006 à l'Association. Il y déplorait, en particulier, le fait que quatre des cinq matches avaient été retransmis en direct dans le pays même où ils se déroulaient, en violation du contrat, si bien que le nombre de spectateurs ayant assisté à ces matches s'était révélé bien inférieur aux prévisions. Selon lui, le préjudice subi, y compris l'atteinte portée à sa réputation d'organisateur, estimée à 200'000 euros, pouvait être chiffré à 1'122'000 euros. Dans sa réponse du 6 juillet 2006, l'Association a informé X._ qu'elle avait transmis ses doléances aux compagnies ayant procédé sans droit aux retransmissions des matches et qu'elle s'attendait à ce que ces dernières prennent contact avec lui pour résoudre le différend à l'amiable. A cette réponse était jointe une lettre que l'Association avait adressée la veille à la société B._ Limited, avec qui elle avait conclu, le 4 janvier 2006, un contrat de cession des droits de diffusion télévisée de certains matches de l'équipe nationale ..., lettre dans laquelle elle indiquait à cette société que seuls les matches amicaux disputés en ... étaient couverts par ledit contrat. Les parties n'ayant pas réussi à s'entendre, le litige a été soumis à l'UEFA, puis à la FIFA, qui se sont toutes deux déclarées incompétentes pour en connaître. B.a Le 16 mars 2007, X._ a déposé une requête d'arbitrage auprès du TAS et désigné Me R._ en qualité d'arbitre. Il a conclu à ce que l'Association soit condamnée à lui verser 1'122'000 euros, intérêts en sus. L'Association a indiqué au TAS, par lettre du 29 mars 2007, qu'elle avait choisi Me S._, comme arbitre. Le 12 avril 2007, C._, associé et gérant de la société à responsabilité limitée D._, a informé le TAS qu'il représentait désormais l'Association. Au nom de celle-ci, il a conclu au rejet intégral de la demande et, reconventionnellement, au paiement par X._ de 200'000 US$ - somme correspondant aux deux dernières tranches dues selon le contrat -, de 35'750 euros - montant des frais occasionnés par le voyage de retour de la délégation ... depuis l'Allemagne - et de 100'000 euros - montant d'une facture adressée par l'Association Allemande de Football à l'Association pour l'organisation des matches et acquittée par cette dernière -, le tout avec intérêts. Par lettre du 23 avril 2007, le TAS a porté à la connaissance de Me T._, que les deux arbitres désignés par les parties l'avaient choisi comme Président de la Formation. Les trois arbitres ont signé la formule confirmant l'acceptation de leur mandat et attestant leur indépendance à l'égard des parties. Le 21 mai 2007, le TAS a indiqué aux parties la composition de la Formation appelée à statuer sur leurs conclusions respectives. Il a annexé à sa lettre une copie des formules signées par les arbitres ainsi qu'une pièce, intitulée "Notice of formation of a panel", sur laquelle figurent les noms de ceux-ci de même que les noms des parties et de leurs mandataires. Après un nouvel échange d'écritures, les parties ont été entendues par la Formation lors d'une audience qui s'est tenue à Lausanne le 11 septembre 2007. Aucune objection particulière n'a été soulevée par elles au cours de cette audience en ce qui concerne la composition de la Formation. B.b Le TAS a rendu sa sentence le 30 octobre 2007. Il a rejeté la demande principale et admis les conclusions reconventionnelles prises par l'Association. Se fondant sur les art. R45 du Code de l'arbitrage en matière de sport (ci-après: le Code), 9.ix du contrat en cause et 60 al. 2 des Statuts de la FIFA, les arbitres ont estimé que la contestation devait être jugée conformément aux règles topiques de la FIFA et de l'UEFA ainsi que selon le droit suisse appliqué à titre supplétif. Après avoir constaté l'accord des parties sur l'existence des comportements dommageables et le fait que ceux-ci portaient atteinte aux droits conférés au demandeur par le contrat en cause, le TAS a examiné si cette atteinte dommageable pouvait être imputée à faute à la défenderesse. Sur le vu des pièces produites, il a considéré que tel n'était pas le cas. En effet, les accords passés par la défenderesse avec d'autres sociétés, telle B._ Limited, n'étaient pas incompatibles avec ledit contrat, car le champ d'application territorial des droits qui en découlaient et celui des droits concédés au demandeur ne se recouvraient pas. La défenderesse n'avait, au demeurant, rien entrepris qui fût de nature à mettre en péril ces droits-ci. Elle n'avait du reste appris l'existence des comportements dommageables de tiers qu'une fois terminée la série de matches organisée par le demandeur. Enfin, on ne pouvait pas attendre de sa part qu'elle surveillât la manière dont les tiers respectaient ou non les droits concédés à son cocontractant. Ainsi, de l'avis des arbitres, la responsabilité de la défenderesse n'était pas engagée, raison pour laquelle les conclusions du demandeur ne pouvaient qu'être rejetées, sans préjudice du droit de l'intéressé d'invoquer, le cas échéant, la responsabilité extracontractuelle de tierces parties. S'agissant de la demande reconventionnelle, le TAS a constaté que les sommes réclamées par la défenderesse n'étaient pas contestées en tant que telles par le demandeur. Celui-ci avait certes fait valoir une contre-créance pour des frais additionnels qu'il ne lui appartenait pas de supporter à son avis. Les arbitres ont toutefois estimé que les conditions fixées par l'art. 120 al. 1 du Code suisse des obligations (CO) pour la compensation de créances n'étaient pas remplies relativement à la prétention élevée par le demandeur envers la défenderesse. Ils ont, dès lors, admis le bien-fondé des conclusions formulées par cette dernière et fixé le montant de l'intérêt moratoire conformément aux art. 102 et 104 CO. C. Le 29 novembre 2007, X._ a déposé un recours en matière civile au Tribunal fédéral aux fins d'obtenir l'annulation de la sentence précitée. Le recourant a conclu, en outre, à ce qu'ordre soit donné au TAS de récuser T._ et S._ de la composition arbitrale selon la procédure applicable et de les remplacer par deux arbitres dont l'impartialité et l'indépendance seraient garanties. L'Association intimée conclut à l'irrecevabilité du recours, voire à son rejet. Le TAS propose, quant à lui, le rejet du recours. Par ordonnance présidentielle du 10 janvier 2008, l'effet suspensif a été accordé au recours. Constatant que la réponse portait la signature de C._ et que cette personne ne semblait pas remplir les conditions fixées par l'art. 40 al. 1 LTF pour agir comme mandataire devant le Tribunal fédéral, celui-ci a imparti à l'intéressé un délai pour prendre position à ce sujet et remédier à l'éventuelle irrégularité. Dans ce délai, l'intimée a déposé un nouvel exemplaire de sa réponse, mais en le faisant signer, cette fois-ci, par le Secrétaire général de l'Association. 