Sachverhalt: A. Am 31. Oktober 2006 erhob die Schweizerische Metall-Union (SMU) Klage beim Bezirksgericht Dielsdorf gegen die X._ AG mit Sitz in A._. Darin beantragte sie, diese sei zu verpflichten, ihr den als Beitrag an den Berufsbildungsfonds geschuldeten Betrag von Fr. 1'552.-- nebst Zins zu 5% seit dem 2. Februar 2006, bis dannzumal aufgelaufenen Zins von Fr. 29.75 sowie die Kosten des Zahlungsbefehls von Fr. 70.-- zu bezahlen; überdies sei der Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. 11857 des Betreibungsamts A._ aufzuheben. Am 15. Januar 2007 trat der Einzelrichter am Bezirksgericht Dielsdorf mangels sachlicher Zuständigkeit auf die Klage nicht ein. Die III. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich hiess am 16. November 2007 eine dagegen von der Klägerin erhobene Nichtigkeitsbeschwerde gut, hob den Nichteintretensentscheid auf und wies die Sache zu neuem Entscheid an das Bezirksgericht zurück. Mit Urteil vom 3. Juli 2008 hiess der Einzelrichter am Bezirksgericht die Klage gut, sprach der Klägerin den eingeklagten Betrag samt Nebenposten zu und hob den Rechtsvorschlag auf. Am 1. Dezember 2008 wies die III. Zivilkammer des Obergerichts eine dagegen erhobene Nichtigkeitsbeschwerde der X._ AG ab. B. Mit Beschwerde in Zivilsachen, eventuell subsidiärer Verfassungsbeschwerde, an das Bundesgericht stellt die X._ AG das folgende Rechtsbegehren: "Der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 1. Dezember 2008 ... sei aufzuheben und die Klage der Beschwerdegegnerin vom 31. Oktober 2006 sei abzuweisen. Die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, die Betr. Nr. 11857 des Betreibungsamtes A._ löschen zu lassen." Zur Begründung wird im Wesentlichen ausgeführt, das Urteil des Obergerichts verstosse gegen die gesetzliche Regelung des Bundes über den Berufsbildungsfonds sowie gegen die verfassungsrechtlich gewährleistete Vereinigungs- und Koalitionsfreiheit (Art. 23 und 28 BV). C. Die Schweizerische Metall-Union (SMU) beantragt, auf die Beschwerde in Zivilsachen sei nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde sei vollumfänglich abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Bezirksgericht Dielsdorf und das Obergericht des Kantons Zürich haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Eidgenössische Volkswirtschaftsdepartement (EVD) schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Berufsbildung und Technologie (BBT) hat sich im Sinne des angefochtenen Urteils des Obergerichts vernehmen lassen, ohne einen ausdrücklichen Antrag zu stellen. 