Sachverhalt: A. Die Arbeitslosenkasse des Kantons Schaffhausen verneinte den Anspruch der 1959 geborenen J._ auf Arbeitslosenentschädigung ab 1. Dezember 2005 wegen ihrer Stellung als im Betrieb mitarbeitende Ehegattin einer arbeitgeberähnlichen Person (Verfügung vom 3. Januar 2006). Daran hielt die Kasse mit Einspracheentscheid vom 7. März 2006 fest. B. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Obergericht des Kantons Schaffhausen unter Aufhebung der Verfügung vom 3. Januar 2006 sowie des Einspracheentscheides vom 7. März 2006 gut und stellte fest, dass J._ - sofern die übrigen Anspruchsvoraussetzungen erfüllt sind - ab 1. Dezember 2005 Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung hat (Entscheid vom 15. Dezember 2006). C. Die Arbeitslosenkasse führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde und beantragt die Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides. J._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen. Das Staatssekretariat für Wirtschaft hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. 