Sachverhalt: A. Die bosnische Staatsangehörige B.Y._ (geb. 1976) reiste im Alter von 16 Jahren im Rahmen des Familiennachzugs in die Schweiz ein und verfügt seit dem 23. November 1995 über eine Niederlassungsbewilligung. Im Jahre 2004 heiratete sie im Heimatland den Landsmann A.X._ (geb. 1975). Diesem wurde nach seiner Einreise am 4. März 2005 eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Ehefrau erteilt (letztmals verlängert bis zum 2. Mai 2011). Das Ehepaar hat einen gemeinsamen Sohn, C.X._ (geb. 2006), der in die Niederlassungsbewilligung der Mutter miteinbezogen wurde. Mit Schreiben vom 2. Mai 2007 verwarnte das Amt für Migration des Kantons Luzern die Ehegatten X.-Y._ aufgrund ihrer Schulden sowie aufgrund strafrechtlicher Vorkommnisse und stellte ihnen schwerwiegende ausländerrechtliche Massnahmen in Aussicht, sollten sie sich inskünftig nicht klaglos verhalten. Nachdem die Schulden der Ehegatten X.-Y._ weiter angestiegen waren und es zu weiteren strafrechtlichen Verurteilungen gekommen war, verwarnte das Migrationsamt die Ehegatten am 20. Juli 2010 erneut unter Androhung ausländerrechtlicher Massnahmen, falls sich die Situation nicht bessern sollte. B. Mit Verfügung vom 24. August 2011 widerrief das Amt für Migration die Niederlassungsbewilligung von B.Y._ und des Sohnes C.X._. Gleichzeitig lehnte es die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A.X._ ab und wies die Familie unter Ansetzung einer Ausreisefrist bis zum 31. Oktober 2011 aus der Schweiz weg. Die Betroffenen erhoben gegen diese Verfügung Beschwerde beim Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern. Mit Entscheid vom 20. Juni 2012 bestätigte dieses den Widerruf der Niederlassungsbewilligung von B.Y._ sowie die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A.X._, hob jedoch die angefochtene Verfügung betreffend den Widerruf der Niederlassungsbewilligung des Sohnes auf. Die dagegen beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern eingereichte Beschwerde blieb ohne Erfolg. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 7. Januar 2013 beantragen A.X._ (Beschwerdeführer 1) und B.Y._ (Beschwerdeführerin 2), das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 13. November 2012 aufzuheben, die Niederlassungsbewilligung von B.Y._ nicht zu widerrufen und die Aufenthaltsbewilligung von A.X._ zu verlängern. Zudem stellen sie das Gesuch, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern und das Bundesamt für Migration beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement sowie das Amt für Migration des Kantons Luzern liessen sich nicht vernehmen. D. Mit Verfügung vom 11. Januar 2013 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde hinsichtlich der mit dem angefochtenen Urteil verbundenen Ausreiseverpflichtung die aufschiebende Wirkung erteilt. 