Sachverhalt: A. Das Bezirksstrafgericht Sense verurteilte X._ am 18. März 2008 wegen Vergewaltigung, sexueller Nötigung und versuchter Vergewaltigung, begangen am 16. Juli 2005 zum Nachteil von A._; mehrfachen sexuellen Handlungen mit zwei Kindern, begangen zwischen Dezember 2005 und November 2006; sexueller Nötigung, begangen im April/Mai 2006; Förderung der Prostitution, begangen im Herbst 2006 sowie mehrfachen Fahrens in fahrunfähigem Zustand, begangen am 9. März 2007 und 3. Juni 2007, zu einer Freiheitsstrafe von 3 1⁄2 Jahren, im Sinne einer Zusatzstrafe zum Urteil des Untersuchungsrichteramtes III Bern-Mittelland vom 20. Oktober 2005. Zudem verpflichtete es X._, verschiedene Genugtuungszahlungen zu leisten. X._ erhob gegen das Urteil des Bezirksstrafgerichts Sense Berufung beim Strafappellationshof des Kantons Freiburg. Dieser wies am 17. September 2009 die Berufung ab und bestätigte das angefochtene Urteil. B. X._ führt gegen das Urteil des Strafappellationshofs des Kantons Freiburg Beschwerde in Strafsachen beim Bundesgericht. Er beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben, und er sei vom Vorwurf der Vergewaltigung, der versuchten Vergewaltigung sowie sexueller Nötigung, begangen am 16. Juli 2005 zum Nachteil von A._, freizusprechen. Für die übrigen Anklagepunkte sei er zu verurteilen. Die Strafe sei auf eine Freiheitsstrafe von 16 Monaten festzulegen, unter Gewährung des bedingten Strafvollzugs bei einer Probezeit von zwei Jahren als teilweise Zusatzstrafe zum Urteil des Untersuchungsrichteramtes III Bern-Mittelland vom 20. Oktober 2005. X._ verlangt ferner die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege sowie die Verbeiständung durch Tarkan Göksu als amtlichen Verteidiger im bundesgerichtlichen Verfahren. C. Die Vorinstanz verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Freiburg beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. A._ beantragt die kostenfällige Abweisung der Beschwerde. 