A.- Fondée en 1884, Audi AG est une société anonyme de droit allemand, qui exerce ses activités dans le domaine de l'industrie automobile depuis 1910 en tout cas, sous diverses raisons sociales, dans lesquelles il a été retenu que la désignation "Audi" était toujours apparue. Ce signe est aussi utilisé comme marque en Suisse depuis 1965, date à laquelle les véhicules fabriqués par cette société ont commencé à être commercialisés dans le pays. Audi AG n'est pas inscrite au Registre du commerce suisse et n'y possède pas de filiale ou d'autre établissement. Dès 1969, c'est la société Amag AG qui a été chargée de commercialiser ses véhicules en Suisse. De 1965 à 1981, Audi AG a vendu en Suisse 115'000 voitures. Audi AG est titulaire de diverses marques suisses et internationales, protégées en Suisse, avec priorité remontant à 1971. En 1989, Audi AG a lancé la marque verbale "Audi" dans la classe internationale 36 (assurances; affaires financières; affaires monétaires; affaires immobilières) pour les services suivants: "consultations concernant le crédit; courtage et crédit-bail". La protection de cette marque internationale, enregistrée dans divers pays, ne s'est pas étendue à la Suisse. Le 31 octobre 1990, elle a fait enregistrer en Allemagne la raison de commerce "Audi Bank, succursale de la banque Vag GmbH". Cette banque offre un système de cartes de crédit lié à Eurocard et Visa, utilisé aussi bien en Allemagne qu'en Suisse, ainsi que des services financiers comprenant aussi des prestations en matière d'assurances. Le 5 juillet 1994, Audi AG a déposé auprès de l'Institut fédéral de la propriété intellectuelle (anciennement Office fédéral de la propriété intellectuelle) les marques de service "Audi" (no 622. 241) et "Audi-Bank" (no 622. 242) dans la classe internationale 36. B.- Banque Audi (Suisse) S.A. (ci-après: la Banque) a été inscrite au Registre du commerce en Suisse le 17 décembre 1963 sous la dénomination NBC Bank AG. Elle a modifié sa raison sociale, dans sa teneur actuelle, le 14 juillet 1981, date à laquelle elle a utilisé pour la première fois le nom de famille d'origine libanaise "Audi", patronyme de différents administrateurs, dirigeants et actionnaires. Le but de cette société réside, selon le Registre du commerce, dans l'exploitation d'une banque dont les activités sont orientées principalement dans le domaine de la banque privée et de la gestion de fortune. Le 26 avril 1993, la Banque a déposé trois marques suisses dans la classe internationale 36, à savoir "Audi" (no 406. 133), "Banque Audi" (no 406. 132), et "Banaudi" (no 406. 131), revendiquant une priorité d'usage au 1er janvier 1978. Audi AG, qui prétend avoir appris l'existence de la Banque le 6 mai 1991, lui a alors proposé de résoudre à l'amiable le conflit portant sur leurs marques respectives. Des négociations ont eu lieu de 1991 à 1993, sans résultat. C.- Le 22 décembre 1994, Audi AG a introduit une action à Genève, tendant à interdire à la Banque, sous menace des peines prévues à l'art. 292 CP, de faire usage de sa raison sociale en français et en allemand, ainsi que de ses marques de service "Audi" (no 406. 133) et "Banque Audi" (no 406. 132), dont la constatation de la nullité était requise. La Banque a conclu au déboutement d'Audi AG. Elle a, par ailleurs, formé une demande reconventionnelle tendant en particulier à faire constater la nullité des marques de service "Audi" (no 622. 241) et "Audi-Bank" (no 622. 242). Audi AG a finalement conclu à l'irrecevabilité de la demande reconventionnelle. D.- Par arrêt du 29 mars 1996, la Cour de justice genevoise a rejeté la demande principale, au motif que les droits d'Audi AG étaient périmés, tout en reconnaissant que cette société était titulaire d'une marque de haute renommée. Pour cette raison, elle a également rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, la demande reconventionnelle formée par la Banque. Contre cet arrêt, Audi AG et la Banque ont toutes les deux déposé à la fois un recours de droit public et un recours en réforme au Tribunal fédéral. Le 13 novembre 1998, la Ie Cour civile du Tribunal fédéral a rejeté, dans la mesure de leur recevabilité, les recours de droit public interjetés par les deux parties. En revanche, elle a partiellement admis leurs recours en réforme respectifs, annulé l'arrêt du 29 mars 1996 et renvoyé la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. La Cour de céans a considéré en substance que c'était à juste titre que les juges cantonaux avaient admis la péremption des droits d'Audi AG dans la désignation de la raison sociale de la Banque. En revanche, on ne pouvait conclure que les droits d'Audi AG concernant la nullité des marques de service "Audi" et "Banque Audi" de la défenderesse étaient périmés. L'admission des conclusions d'Audi AG concernant ces marques supposait toutefois que le caractère de haute renommée de la marque "Audi", propriété de la firme automobile, soit reconnu. Cette question était également déterminante pour statuer sur les conclusions reconventionnelles de la Banque. Or, le Tribunal fédéral a relevé que la cour cantonale ne pouvait, sur la base des faits retenus, admettre le caractère de haute renommée de la marque "Audi". E.- Dans son mémoire de reprise d'instance du 9 avril 1999 sur le plan cantonal, la Banque a précisé ses conclusions reconventionnelles, tout en formant une demande reconventionnelle additionnelle tendant, pour l'essentiel, à faire constater la nullité d'une marque de service "Audi" (no 425. 973) déposée le 17 février 1995 par Audi AG. Audi AG a conclu à l'irrecevabilité de la demande reconventionnelle additionnelle et au rejet des conclusions sur demande reconventionnelle de la Banque. Elle a en outre enjoint à la Cour de justice de dire que ses propres marques nos 622. 241 et 622. 242 étaient des marques de haute renommée et de constater la nullité des marques "Audi" (no 406. 133) et "Banque Audi" (no 406. 132) de la défenderesse. Par arrêt du 27 avril 2001, la Chambre civile de la Cour de justice genevoise, statuant sur la demande principale, a débouté Audi AG de l'ensemble de ses conclusions; elle a également débouté la Banque de l'ensemble de ses conclusions reconventionnelles et déclaré irrecevable sa demande reconventionnelle additionnelle du 9 avril 1999. F.- Contre l'arrêt du 27 avril 2001, tant Audi AG (la demanderesse) que la Banque (la défenderesse) ont interjeté un recours en réforme au Tribunal fédéral. Audi AG conclut à la réforme et à l'annulation de l'arrêt entrepris dans la mesure où il rejette la demande principale; elle demande au Tribunal fédéral, statuant à nouveau, de dire que ses marques Audi (622. 241 et 622. 242) sont des marques de haute renommée, de constater la nullité des marques suisses nos 406. 133 Audi et 406. 132 Banque Audi et de communiquer le dispositif du jugement à l'Institut fédéral de la Propriété intellectuelle en vue de la radiation des deux marques précitées, sous suite de frais et dépens. Pour sa part, la Banque conclut à l'annulation de l'arrêt du 27 avril 2001 en tant qu'il rejette sa demande reconventionnelle. Elle requiert la constatation de la nullité des marques de service 622. 241 Audi et 622. 242 Audi-Bank, la communication du dispositif du jugement à l'Institut fédéral de la Propriété intellectuelle en vue de la radiation des marques précitées et l'interdiction, pour Audi AG, sous la menace des peines prévues à l'art. 292 CP, "d'utiliser le signe Audi pour offrir ou fournir en Suisse des services financiers, bancaires, immobiliers ou en matière d'assurances, en particulier en le faisant figurer sur des cartes de crédit, ainsi que d'en faire tout autre usage en relation avec l'une ou l'autre des prestations de service visées par la classe 36 de l'Arrangement de Nice, si ce n'est éventuellement en lui adjoignant des éléments distinctifs par lesquels tout risque de confusion avec les marques ou les activités de la Banque pourra être éliminé". Enfin, elle prie le Tribunal fédéral d'ordonner la publication du jugement à intervenir à trois reprises dans trois quotidiens suisses de son choix, sous suite de frais et dépens, également s'agissant des frais de l'instance cantonale. La Banque propose de déclarer irrecevable le recours interjeté par Audi AG, subsidiairement de le rejeter dans la mesure de sa recevabilité, alors que, dans sa réponse, Audi AG demande la confirmation du jugement entrepris dans la mesure où il rejette la demande reconventionnelle formée par la Banque et le déboutement de celle-ci de toutes les conclusions de son recours en réforme. Statuant le 6 novembre 2001, la Cour de céans a rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, le recours de droit public déposé parallèlement par Audi AG. 