Sachverhalt: A. Am 17. Februar 2012 erstatteten X._, Y._, Z.a._ und Z.b._, alle vertreten durch Rechtsanwalt Julian Burkhalter, als Privatkläger Strafanzeige gegen W.a._ und W.b._, V.a._, V.b._ und V.c._, U.a._, U.b._, U.c._ und U.d._ sowie die Abteilung Kindes- und Jugendschutz des Kantons Basel-Stadt (AKJS/BS) wegen Datendiebstahls, Kindesentführung respektive Entziehens von Unmündigen, Verleumdung respektive übler Nachrede und Beschimpfung, unbefugten Aufnehmens von Gesprächen und wegen Hausfriedensbruchs. Mit Schreiben vom 14. März 2012 forderte Rechtsanwalt Julian Burkhalter die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt auf, ihm bis am 23. März 2012 Bericht über ihre bisherigen Anstrengungen in dieser Angelegenheit zu erstatten. Mit Verfügung vom 15. März 2012 bestätigte die Staatsanwaltschaft den Eingang der Strafanzeige und teilte Rechtsanwalt Julian Burkhalter mit, die StPO sehe nicht vor, dass einer Partei ein "Zwischenbericht" über die Ermittlungen zu erstatten sei, schon gar nicht lediglich drei Wochen nach der Einreichung der Anzeige. Weiter stellte sie in Aussicht, dass die Akten gemäss Art. 101 StPO nach den ersten Einvernahmen der beschuldigten Personen und nach der Erhebung der übrigen wichtigsten Beweise eingesehen werden könnten; der zuständige Sachbearbeiter werde sich zur gegebenen Zeit melden. Mit Schreiben vom 26. März 2012 erhoben die Strafanzeigesteller beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt Rechtsverweigerungs- und Rechtsverzögerungsbeschwerde. Mit Entscheid vom 9. August 2012 wies der Appellationsgerichtspräsident die Beschwerde ab. Die Kosten des Beschwerdeverfahrens mit Einschluss einer Urteilsgebühr von Fr. 500.-- auferlegte er den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung. B. Mit Eingabe vom 19. September 2012 führen X._, Y._ und Z.a._ Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht mit den Anträgen, der Entscheid des Appellationsgerichts vom 9. August 2012 sei aufzuheben, und die Staatsanwaltschaft sei zu verpflichten, die in dieser Angelegenheit notwendigen Beweiserhebungen zur Ermittlung von Tat und Täterschaft durchzuführen; eventualiter sei die Untersuchung an eine ausserkantonale Staatsanwaltschaft abzutreten. Des Weiteren sei festzustellen, dass die Staatsanwaltschaft in dieser Sache bis anhin keine Ermittlungshandlungen vorgenommen habe, und dass es somit zu einer Rechtsverweigerung und Rechtsverzögerung gekommen sei. Die Staatsanwaltschaft beantragt in ihrer Vernehmlassung, die Beschwerde sei abzuweisen. Den gleichen Antrag stellt das Appellationsgericht. Die Beschwerdeführerinnen halten in ihrer Stellungnahme vom 6. November 2012 an ihrem Standpunkt fest. 