Sachverhalt: A. A.a. A.A._ (geb. 1978) ist nigerianischer Staatsbürger. Er reiste am 28. Juni 1999 illegal in die Schweiz ein und stellte ein Asylgesuch, auf welches das damalige Bundesamt für Flüchtlinge nicht eintrat. Ab dem 26. April 2000 galt er als verschwunden. Am 16. August 2000 heiratete er die in der Schweiz niedergelassene kroatische Staatsbürgerin B.A._ (geb. 1978). Gestützt auf die Ehe wurde ihm nach erfolgreicher Beschwerde beim Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Thurgau eine Aufenthaltsbewilligung erteilt (zuletzt verlängert bis zum 5. April 2012). Aus der Ehe gingen drei Kinder hervor: C.A._ (geb. am 13. Oktober 2000) und die Zwillinge D.A._ und E.A._ (geb. am 8. September 2010). A.b. Am 26. April 2002 verurteilte die Bezirksstaatsanwaltschaft Zürich A.A._ wegen Vergehens gegen das Betäubungsmittelgesetz (Anbieten und Verkaufen von Kokain) und Übertretung des Betäubungsmittelgesetzes (Besitz von Kokain zum Eigenkonsum), begangen am 25. April 2002, zu einer bedingten Gefängnisstrafe von 14 Tagen. Aufgrund dieser Straftat wurde A.A._ am 20. Juni 2002 erstmals ausländerrechtlich verwarnt. In der Folge wurde A.A._ erneut straffällig: - Strafverfügung des Polizeirichteramts der Stadt Zürich vom 22. Mai 2003: Busse von Fr. 100.-- wegen Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz (Konsum von Marihuana), begangen am 2. Mai 2003; - Strafverfügung des Polizeirichteramts der Stadt Zürich vom 10. Juni 2003: Busse von Fr. 200.-- wegen Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz (Konsum von Marihuana), begangen am 14. Mai 2003; - Strafverfügung des Stadtrichteramts Zürich vom 27. August 2003: Busse von Fr. 250.-- wegen Missachtens des Rotlichts eines Lichtsignals, begangen am 27. Mai 2003; - Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 8. Juni 2004: unbedingte Gefängnisstrafe von 5 Monaten wegen pflichtwidrigen Verhaltens bei Unfall, Fahrens eines Motorfahrzeuges in angetrunkenem Zustand, versuchter Vereitelung einer Blutprobe, fahrlässiger Körperverletzung und Führens eines nicht betriebssicheren Fahrzeugs, begangen am 2. März 2003; gleichzeitig wurde der mit Strafbefehl der Bezirksanwaltschaft Zürich vom 26. April 2002 gewährte bedingte Vollzug von 14 Tagen Gefängnis widerrufen; - Strafverfügung des Stadtrichteramts Zürich vom 26. August 2004: Busse von Fr. 200.-- wegen Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz (Besitz von Marihuana), begangen am 11. August 2004. Am 18. Oktober 2004 wurde gegen A.A._ eine zweite ausländerrechtliche Verwarnung ausgesprochen, wobei ihm die Nichtverlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung sowie die Wegweisung angedroht wurde, sollte er erneut gerichtlich verurteilt werden. Es folgten weitere Straftaten: - Bussenverfügung des Polizeirichteramts Winterthur vom 29. November 2004: Busse von Fr. 80.-- wegen Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz (Erwerb und Konsum von Marihuana), begangen am 16. November 2004; - Strafverfügung des Bezirksamts Kreuzlingen vom 21. April 2006: Busse von Fr. 350.-- wegen Missbrauchs von Ausweisen und Schildern durch Nichtabgabe entzogener Kontrollschilder trotz behördlicher Aufforderung sowie Fahrens ohne Haftpflichtversicherung, begangen am 12. Dezember 2005; - Bussenverfügung des Polizeirichteramts Winterthur vom 9. Oktober 2006: Busse von Fr. 120.-- wegen Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz (Erwerb und Konsum von Marihuana), begangen am 7. September 2006; - Bussenverfügung des Polizeirichteramts Winterthur vom 11. Dezember 2006: Busse von Fr. 450.-- wegen Widerhandlung gegen das Strassenverkehrsgesetz, begangen am 4. Mai 2006; - Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland vom 23. Juni 2011: unbedingte Geldstrafe von 40 Tagessätzen zu je Fr. 40.-- wegen Fahrens eines Motorfahrzeuges in fahrunfähigem Zustand (unter Cannabis-Einfluss), begangen am 14. Januar 2011. Am 28. Juni 2012/22. November 2012 verurteilte das Obergericht des Kantons Thurgau A.A._ zu einer Freiheitsstrafe von 16 Monaten, davon 6 Monate unbedingt, wegen Fahrens in qualifiziert fahrunfähigem Zustand, grober Verletzung von Verkehrsregeln und Geldwäscherei, begangen 2008 bzw. 2009 (Zusatzstrafe zum Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland vom 23. Juni 2011). Zudem wurde er in solidarischer Haftung mit seiner Ehefrau zur Zahlung einer Ersatzforderung von Fr. 5'000.-- verurteilt. B. Das Migrationsamt des Kantons Thurgau lehnte es mit Verfügung vom 22. März 2013 ab, die Aufenthaltsbewilligung von A.A._ zu verlängern und wies ihn aus der Schweiz weg. Den dagegen erhobenen Rekurs wies das kantonale Justiz- und Sicherheitsdepartement am 8. Juli 2013 ab. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau bestätigte mit seinem Urteil vom 6. November 2013 den Departementsentscheid. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 27. Januar 2014 beantragt A.A._ die Aufhebung des angefochtenen Urteils. Es sei ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Eventualiter sei er unter Androhung des Widerrufs der Aufenthaltsbewilligung letztmals zu verwarnen. Zudem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Das kantonale Migrationsamt, das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau, das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie das Bundesamt für Migration beantragen die Abweisung der Beschwerde. Dem Gesuch um aufschiebende Wirkung wurde mit Präsidialverfügung vom 3. Februar 2014 entsprochen. 