Sachverhalt: A. Die X._ AG mit Sitz in A._/ZH beweckt im Wesentlichen die Entwicklung und Fabrikation sowie den Handel mit Produkten aller Art. Sie wird seit dem 2. Januar 2006 durch die Y._ Ltd. mit Sitz in Irland gehalten. An der Generalversammlung vom 25. Juni 2007 beschloss die X._ AG, für das Geschäftsjahr vom 1. April 2006 bis 31. März 2007 eine Dividende in der Höhe von Fr. 14 Mio. per 25. September 2007 auszurichten. B. Mit Schreiben vom 18. September 2007 reichte die X._ AG bei der Eidgenössischen Steuerverwaltung (im Folgenden: ESTV) das Formular 823B "Gesuch um Bewilligung zur ermässigten Versteuerung von schweizerischen Dividenden aus wesentlicher Beteiligung einer ausländischen Kapitalgesellschaft" ein. Mit Schreiben vom 5. Februar 2008 teilte die ESTV der X._ AG mit, das Gesuch werde abgelehnt und Dividenden an die Y._ Ltd. unterlägen weiterhin der Verrechnungssteuer zum Satz von 35 %. Am 8. April 2008 beantragte die X._ AG, es sei ihr für die Dividendenzahlungen an die Y._ Ltd. das Meldeverfahren für die Dauer von drei Jahren rückwirkend ab dem 2. Januar 2008 zu bewilligen. In Ergänzung zum Gesuch reichte die X._ AG am 21. November 2008 die folgenden Formulare ein: 823C "Grundgesuch um Meldung statt Entrichtung der Verrechnungssteuer auf Dividendenzahlungen an eine ausländische Kapitalgesellschaft, welche eine wesentliche Beteiligung hält", 103 "Verrechnungssteuer auf dem Ertrag inländischer Aktien, Partizipations- und Genussscheinen" sowie 108 "Meldung statt Entrichtung der schweizerischen Verrechnungssteuer auf Dividenden aus wesentlicher Beteiligung einer ausländischen Kapitalgesellschaft". Mit anfechtbarem Entscheid vom 20. August 2009 erkannte die ESTV insbesondere, dass die X._ AG eine Verrechnungssteuer von Fr. 4,9 Mio. schulde und die Verrechnungssteuerpflicht nicht im Meldeverfahren erfüllt werden könne. Mit Einspracheentscheid vom 15. Dezember 2009 wies die ESTV die dagegen erhobene Einsprache ab, soweit sie darauf eintrat. Der Einsprachenentscheid wurde der X._ AG, nicht aber der Y._ Ltd. eröffnet. Die ESTV führte aus, die in Frage stehende Dividende sei am 25. September 2007 fällig geworden. Die X._ AG habe das diese Dividende betreffende Formular 108 nicht innerhalb der vorgeschriebenen 30-tägigen Frist eingereicht, weshalb das Meldeverfahren nicht mehr zur Anwendung kommen könne. Im Weiteren bilde ein allfälliger Anspruch der Y._ Ltd. auf Rückerstattung nicht Gegenstand des Verfahrens. Das Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, trat mit Urteil vom 25. August 2010 auf die am 1. Februar 2010 dagegen erhobene Beschwerde der Y._ Ltd. nicht ein und wies die Beschwerde der X._ AG ab. C. Mit Eingabe vom 29. September 2010 erheben die X._ AG und die Y._ Ltd. Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Sie beantragen, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts sei aufzuheben (Ziff. 1) und der Beschwerdeführerin 1 sei zu erlauben, ihrer Verrechnungssteuerpflicht im Umfang von 35 % auf der Dividende vom 25. September 2007 (Fr. 14 Mio.) wie folgt nachzukommen: im Umfang von 25 % (Fr. 3,5 Mio.) sei das Gesuch um Meldung statt Entrichtung der Verrechnungssteuer rückwirkend per 18. September 2007 zu bewilligen bzw. im Umfang von 10 % (Fr. 1,4 Mio.) sei die Verrechnungssteuer zu entrichten (Sockelsteuer gemäss DBA-IRL) und der Beschwerdeführerin 2 unter Berücksichtigung des Zinsbesteuerungsabkommens umgehend zurückzuerstatten (Ziff. 2). Zudem sei der Verzugszins auf der geschuldeten Sockelsteuer von 10% ab dem 25. Oktober 2007 bis zum 3. Januar 2008 zu berechnen (Ziff. 3). Weiter sei der Beschwerdeführerin 2 die Verrechnungssteuer auf die Dividende vom 25. September 2007 im Umfang von 10 % (Fr. 1,4 Mio.) zurückzuerstatten (Ziff. 4). Eventualiter sei die Sache zur Beurteilung im Sinne der Anträge gemäss Ziff. 2 bis 4 an die Vorinstanz zurückzuweisen (Ziff. 5). D. Die Eidgenössische Steuerverwaltung beantragt die Abweisung der Beschwerde (Beschwerdeführerin 1) bzw. Nichteintreten auf die Beschwerde (Beschwerdeführerin 2). Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. E. Mit Verfügung vom 2. November 2010 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt. 