Faits: A. A.a Le 24 novembre 2000, alors qu'elles traversaient l'avenue de l'Ain à la hauteur du viaduc de l'Ecu, à Vernier, X._ et V._ ont été renversées par un véhicule automobile dont le conducteur et détenteur était W._, assuré en responsabilité civile auprès de Y._, Compagnie d'assurances (ci-après: Y._). Selon un rapport médical du 24 janvier 2001, l'accident a causé à X._ des fractures du plateau tibial externe du genou gauche et de la cheville droite, ainsi qu'un état dépressif réactionnel. A l'époque de l'accident, X._ travaillait comme femme de chambre dans un hôtel genevois. En date des 27 mars et 19 juin 2001, le Dr A._, chirurgien orthopédiste, a établi des certificats médicaux à l'attention de l'assureur accidents. Selon ces documents, X._ était en incapacité de travail à 100% dès le 24 novembre 2000; les lésions subies étaient dues uniquement à l'accident et aucune affection antérieure n'influait sur la capacité de travail de la patiente. Le traitement n'était alors pas terminé. A.b A la demande de l'assureur accidents, le Dr B._ a examiné X._. Selon son rapport du 5 août 2002, l'état de santé de la victime s'était stabilisé de façon définitive, sans que l'on puisse exclure une atteinte ultérieure de type arthrosique; en particulier, la dépression dont X._ souffrait était un facteur étranger à l'accident; la reprise de l'activité professionnelle précédemment exercée pouvait être raisonnablement exigée. Par décision du 25 septembre 2002, l'assureur accidents a mis fin au service des indemnités journalières avec effet au 31 mai 2002, considérant que l'affection psychique dont X._ souffrait était étrangère à l'accident et que l'assurée était en mesure de reprendre son activité professionnelle; il a en outre alloué à X._ une indemnité pour atteinte à l'intégrité de 5'340 fr. correspondant à un taux de 5%. A.c Précédemment, soit le 30 novembre 2001, X._ avait déposé une demande de rente d'invalidité auprès de l'Office cantonal de l'assurance-invalidité (OCAI). Elle a suivi un stage d'observation professionnelle du 16 septembre au 10 novembre 2002 auprès du Centre d'intégration professionnelle de l'AI, à Genève (COPAI). Selon le rapport du 3 décembre 2002 du COPAI, X._ pouvait être réadaptée professionnellement dans un emploi léger, sans port de charges, ni longs déplacements, essentiellement en position assise; sa capacité résiduelle de travail serait ainsi de 70% après une période de réadaptation. Il n'est pas établi que les conclusions de ce rapport aient été alors communiquées à X._. Le Dr C._, médecin traitant de X._, a établi un certificat médical à l'attention de l'OCAI en date du 28 mars 2003. Elle suivait la patiente pour des problèmes physiques et psychiques depuis 1993; à ce moment-là, l'état dépressif de X._ était déjà sévère; les séquelles des fractures subies avaient des répercussions sur la capacité de travail de la patiente; l'accident avait entraîné une détérioration de l'état psychique qu'il était difficile de quantifier; n'étant pas psychiatre, le médecin préconisait une expertise psychiatrique sur ce point. A la demande de l'OCAI, le Dr D._, médecin-psychiatre, s'est entretenu avec X._ les 16 juin et 16 août 2003. Elle a rendu son rapport le 26 novembre 2003. L'expert a diagnostiqué un état dépressif moyen avec un syndrome somatique et un état de stress post-traumatique moyen, qui avaient des répercussions sur la capacité de travail; ces affections existaient déjà lors de l'arrivée en Suisse de X._, en 1993; l'état de l'expertisée s'était aggravé à la suite de l'accident de novembre 2000; il était difficile de définir la part de l'état dépressif préexistant qui influait sur la capacité de travail, par rapport aux conséquences de l'accident; la reprise de l'activité professionnelle exercée précédemment n'était pas envisageable; l'état physique permettait une capacité de travail de 70%, mais l'état psychologique limitait l'activité quotidienne à trois heures, dans le cadre d'un emploi simple et répétitif, avec une possibilité d'augmenter progressivement le temps de travail. X._ n'a pas reçu copie du rapport du 26 novembre 2003. A.d Quelques mois plus tôt, répondant au conseil de X._, le Dr A._ avait indiqué, par courrier du 4 mars 2003, qu'outre les fractures, l'accident du 24 novembre 2000 avait provoqué une aggravation de l'état dépressif de la patiente, sans qu'il puisse en déterminer la proportion; malgré plusieurs tentatives de reprise du travail, l'incapacité de travail définitive de X._ était de 100%, sous réserve des possibilités pour la patiente de se recycler professionnellement. Par courrier du 22 mai 2003 adressé au mandataire de W._, le conseil de X._ a fait valoir une perte de gain de 20'109 fr., fondée sur une incapacité de travail de 100%, et a réservé les prétentions de sa mandante concernant notamment l'atteinte à l'avenir économique. Par lettre du 4 septembre 2003, le conseil de W._ a accepté de renoncer à se prévaloir de la prescription pour autant qu'elle ne soit pas acquise et, pour le surplus, a contesté les prétentions de X._. En 2005, le Dr A._ a envisagé une opération chirurgicale du genou de X._, puis y a renoncé après avoir consulté le Département de chirurgie des HUG (Hôpitaux Universitaires de Genève). A.e Selon le rapport médical établi le 24 juillet 2006 à l'attention de l'OCAI par le Dr C._, les douleurs rhumatismales dont souffrait X._ dans le genou gauche persistaient malgré les nombreuses séances de physiothérapie et la prise d'anti-inflammatoires en continu. Le 19 septembre 2006, le Dr A._ a également transmis un rapport à l'OCAI. Selon ce document, les fractures du genou et de la cheville entraînaient des répercussions sur la capacité de travail de sa patiente, laquelle était nulle depuis le 21 (recte: 24) novembre 2000; l'état de santé de X._ était stationnaire; il n'était pas possible d'améliorer sa capacité de travail; une reprise de l'activité exercée précédemment était exclue, mais une autre activité était envisageable. Le 21 juin 2007, l'OCAI a transmis au conseil de X._ les pièces médicales en sa possession. Par décision du 6 août 2007, cet office a alloué à X._ une rente entière d'invalidité du 24 novembre 2001 au 10 novembre 2002, puis une demi-rente à compter du 1er novembre 2003 et un trois-quarts de rente dès le 1er janvier 2004. Il a retenu que l'assurée avait été en incapacité de travail totale jusqu'au 10 novembre 2002, correspondant au terme de son stage d'observation professionnelle; à cette date, elle disposait d'un état de santé compatible avec une activité adaptée à 100% avec un rendement de 70%, ce qui représentait un degré d'invalidité de 29%; enfin, selon l'expertise psychiatrique du 26 novembre 2003, la capacité de travail de X._ n'excédait pas trois heures par jour, ce qui entraînait un degré d'invalidité de 66%. B. Par acte déposé le 21 mai 2008, X._ a assigné Y._ en paiement de la somme totale de 670'543 fr.35, plus intérêts, à titre de réparation du préjudice causé par l'accident du 24 novembre 2000, en particulier du dommage futur résultant d'une incapacité de travail totale. Y._ a soulevé l'exception de prescription. Par jugement du 11 février 2010, le Tribunal de première instance du canton de Genève a constaté que la demande était prescrite. Statuant le 22 octobre 2010 sur appel de X._, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a confirmé le jugement de première instance. C. X._ interjette un recours en matière civile. Elle demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt attaqué, de dire que la demande n'est pas prescrite et d'inviter la cour cantonale à retourner la cause au Tribunal de première instance afin qu'il statue sur le fond. Par ordonnance du 27 janvier 2011, la cour de céans a admis la demande d'assistance judiciaire présentée par la recourante et a désigné à celle-ci Me Jacques Emery comme avocat d'office. Dans sa réponse, Y._ propose le rejet du recours. 