Sachverhalt: Sachverhalt: A. Die 1955 geborene B._ war neben einer selbstständigen Erwerbstätigkeit als bildende Künstlerin teilzeitlich bei der Jugendmusikschule Q._ als Klavierlehrerin angestellt und in dieser Eigenschaft bei der "Winterthur" Schweizerische Versicherungsgesellschaft (nachfolgend: Winterthur) obligatorisch gegen die Folgen von Unfall und Berufskrankheit versichert. Nach einem am 11. Dezember 1998 erlittenen Auffahrunfall begab sie sich am 16. Dezember 1998 erstmals in Behandlung bei Dr. med. Z._, Allgemeine Medizin FMH, der eine HWS-Distorsion im Sinne eines Schleudertraumas diagnostizierte. Die Winterthur holte Angaben über den Unfallhergang ein und liess ein unfallmechanisches Gutachten des Dipl. Ing. S._ vom 5. Juli 1999 erstellen sowie eine biomechanische Beurteilung durch Prof. Dr. med. W._, Rechtsmedizin FMH, vom 27. August 1999 vornehmen. Zudem zog sie Verlaufsberichte des Dr. med. Z._ bei. Anschliessend stellte sie mit Verfügung vom 15. Oktober 1999 ihre Leistungen per 30. September 1999 ein mit der Begründung, die heutigen Beschwerden stünden in keinem adäquaten Kausalzusammenhang mit dem Unfallereignis. Nachdem die Versicherte dagegen Einsprache erhoben hatte, zog die Winterthur weitere Berichte des Dr. med. R._, Neurologie FMH, sowie der Chiropraktorin Dr. E._ bei und holte Stellungnahmen ihrer beratenden Ärzte Dr. med. H._, Chirurgie FMH, vom 11. Februar 2000 und 18. Juni 2002 sowie Dr. med. C._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 17. Juli 2002 ein. Die Versicherte hatte ihrerseits ein der Eidgenössischen Invalidenversicherung erstattetes Gutachten des Zentrums A._ vom 3. Juli 2001 einreichen lassen. Ausserdem vorgesehene Begutachtungen in der rheumatologischen Klinik X._ (im November 2000) und in der Klinik Y._ (im Juli 2002) fanden nach Interventionen des Vertreters der Versicherten nicht statt. Mit Entscheid vom 26. Juli 2002 wies die Winterthur die Einsprache ab. Sie hielt fest, die über den 30. September 1999 hinaus fortbestehenden Beschwerden stünden weder in natürlichem noch in adäquatem Kausalzusammenhang mit dem Unfallereignis. A. Die 1955 geborene B._ war neben einer selbstständigen Erwerbstätigkeit als bildende Künstlerin teilzeitlich bei der Jugendmusikschule Q._ als Klavierlehrerin angestellt und in dieser Eigenschaft bei der "Winterthur" Schweizerische Versicherungsgesellschaft (nachfolgend: Winterthur) obligatorisch gegen die Folgen von Unfall und Berufskrankheit versichert. Nach einem am 11. Dezember 1998 erlittenen Auffahrunfall begab sie sich am 16. Dezember 1998 erstmals in Behandlung bei Dr. med. Z._, Allgemeine Medizin FMH, der eine HWS-Distorsion im Sinne eines Schleudertraumas diagnostizierte. Die Winterthur holte Angaben über den Unfallhergang ein und liess ein unfallmechanisches Gutachten des Dipl. Ing. S._ vom 5. Juli 1999 erstellen sowie eine biomechanische Beurteilung durch Prof. Dr. med. W._, Rechtsmedizin FMH, vom 27. August 1999 vornehmen. Zudem zog sie Verlaufsberichte des Dr. med. Z._ bei. Anschliessend stellte sie mit Verfügung vom 15. Oktober 1999 ihre Leistungen per 30. September 1999 ein mit der Begründung, die heutigen Beschwerden stünden in keinem adäquaten Kausalzusammenhang mit dem Unfallereignis. Nachdem die Versicherte dagegen Einsprache erhoben hatte, zog die Winterthur weitere Berichte des Dr. med. R._, Neurologie FMH, sowie der Chiropraktorin Dr. E._ bei und holte Stellungnahmen ihrer beratenden Ärzte Dr. med. H._, Chirurgie FMH, vom 11. Februar 2000 und 18. Juni 2002 sowie Dr. med. C._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 17. Juli 2002 ein. Die Versicherte hatte ihrerseits ein der Eidgenössischen Invalidenversicherung erstattetes Gutachten des Zentrums A._ vom 3. Juli 2001 einreichen lassen. Ausserdem vorgesehene Begutachtungen in der rheumatologischen Klinik X._ (im November 2000) und in der Klinik Y._ (im Juli 2002) fanden nach Interventionen des Vertreters der Versicherten nicht statt. Mit Entscheid vom 26. Juli 2002 wies die Winterthur die Einsprache ab. Sie hielt fest, die über den 30. September 1999 hinaus fortbestehenden Beschwerden stünden weder in natürlichem noch in adäquatem Kausalzusammenhang mit dem Unfallereignis. B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern hiess die dagegen erhobene Beschwerde gut, hob den Einspracheentscheid auf und wies die Sache an die Winterthur zurück, damit diese über die gesetzlichen Ansprüche neu verfüge (Entscheid vom 11. Mai 2004). In seinen Erwägungen hielt das Gericht fest, ein Dahinfallen des natürlichen Kausalzusammenhangs sei namentlich in neuropsychologischer-neurologischer Hinsicht zu verneinen, und die Adäquanz des Kausalzusammenhangs bezüglich der über den 1. Oktober 1999 hinaus andauernden Beschwerden sei zu bejahen. Im Verlauf des Rechtsmittelverfahrens hatte das kantonale Gericht schriftliche Beweisauskünfte des Zentrums A._ vom 11. Oktober 2003 und des Dr. med. R._ vom 30. März 2004 eingeholt, zu welchen die Parteien jeweils Stellung nahmen. Die Winterthur hatte ausserdem Beurteilungen des Dr. med. H._ vom 11. und des Dr. med. C._ vom 12. November 2003 einreichen lassen. B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern hiess die dagegen erhobene Beschwerde gut, hob den Einspracheentscheid auf und wies die Sache an die Winterthur zurück, damit diese über die gesetzlichen Ansprüche neu verfüge (Entscheid vom 11. Mai 2004). In seinen Erwägungen hielt das Gericht fest, ein Dahinfallen des natürlichen Kausalzusammenhangs sei namentlich in neuropsychologischer-neurologischer Hinsicht zu verneinen, und die Adäquanz des Kausalzusammenhangs bezüglich der über den 1. Oktober 1999 hinaus andauernden Beschwerden sei zu bejahen. Im Verlauf des Rechtsmittelverfahrens hatte das kantonale Gericht schriftliche Beweisauskünfte des Zentrums A._ vom 11. Oktober 2003 und des Dr. med. R._ vom 30. März 2004 eingeholt, zu welchen die Parteien jeweils Stellung nahmen. Die Winterthur hatte ausserdem Beurteilungen des Dr. med. H._ vom 11. und des Dr. med. C._ vom 12. November 2003 einreichen lassen. C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt die Winterthur die Aufhebung des kantonalen Entscheids beantragen. B._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen, während das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung verzichtet. 