Faits: A. B._, né en 1971, perçoit depuis le 1er janvier 2001 une rente entière de l'assurance-invalidité, assortie de rentes complémentaires pour son épouse et son enfant, ainsi que des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle versées par la Caisse de retraite X._ (ci-après : la caisse de retraite). B. En 2005, Z._ SA a été absorbée par la société A._ SA (aujourd'hui: C._ SA). A la suite de cette fusion, l'Autorité de surveillance des fondations et des institutions de prévoyance de la République et canton de Genève a, par décision du 6 août 2007, prononcé la liquidation de la caisse de retraite. Alors que les assurés actifs étaient transférés dans une nouvelle institution de prévoyance, les droits et obligations découlant du rapport d'assurance entre la caisse de retraite et B._ ont été repris, à compter du 1er janvier 2007, par la Fondation de prévoyance Y._ (ci-après : la fondation de prévoyance; convention de cession et de reprise des 18 décembre 2006 et 8 janvier 2007). C. Le 29 septembre 2008, B._ a ouvert action devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève contre la fondation de prévoyance, en concluant à ce qu'elle soit condamnée à lui verser, à compter du 1er janvier 2002, une rente complémentaire pour enfant de la prévoyance professionnelle. La fondation de prévoyance a appelé en cause la caisse de retraite. Par jugement du 3 novembre 2009, le Tribunal cantonal des assurances sociales a admis la demande. Il a condamné d'une part la caisse de retraite à verser à l'assuré la somme de 39'312 fr. (avec intérêts à 5 % dès le 1er octobre 2008) au titre des rentes complémentaires pour enfant dues pour la période courant du 1er janvier 2002 au 31 décembre 2006 (chiffre 3 du dispositif). Il a condamné d'autre part la fondation de prévoyance à verser à l'assuré (1) la somme de 14'607 fr. (avec intérêts à 5 % dès le 1er octobre 2008) au titre des rentes complémentaires pour enfant dues pour la période courant du 1er janvier 2007 au 30 septembre 2008, et (2) une rente mensuelle de 895 fr. à compter du 1er octobre 2008 (chiffres 4 et 5 du dispositif). La caisse de retraite et la fondation de prévoyance ont également été condamnées respectivement à verser une indemnité de dépens de 1'800 fr. à l'assuré (chiffres 6 et 7 du dispositif). D. La caisse de retraite interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Elle conclut, principalement, à l'annulation des chiffres 3 et 7 du dispositif du jugement attaqué et, subsidiairement, au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants. Elle assortit son recours d'une requête d'effet suspensif. B._ conclut au rejet du recours, tandis que la fondation de prévoyance en propose l'admission. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. 