Sachverhalt: Sachverhalt: A. Die 1967 geborene E._ erlitt am 25. Februar 1997 einen Verkehrsunfall. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) als obligatorischer Unfallversicherer richtete Taggelder aus und kam für die Kosten der Heilbehandlung auf. Die Abklärungen zogen sich in der Folge unter anderem auf Grund eines Rechtsmittelverfahrens, welches mit Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts vom 8. April 2002 (U 173/01) seinen Abschluss fand, in die Länge. Am 21. Februar 2005 entschied die SUVA auf ausdrücklichen Wunsch der Versicherten in Form einer Verfügung über deren Antrag auf Herausgabe bestimmter Akten. Auf die dagegen erhobene Beschwerde trat das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 18. Oktober 2005 nicht ein, weil die Verfügung, sofern es sich überhaupt um eine solche handle, nicht geeignet sei, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zu bewirken. Das Gericht erwog, die laufenden Abklärungen der SUVA würden in eine Verfügung über deren Leistungspflicht münden. Falls die SUVA Leistungen auf Grund vertraulicher Informationen verweigern wolle, werde sie gehalten sein, diese in dem Masse offenzulegen, dass das rechtliche Gehör der Beschwerdeführerin sichergestellt sei. Mit Schreiben vom 9. November 2005 teilte der Vertreter der Versicherten der SUVA mit, er werde den Gerichtsentscheid nicht weiterziehen und "erwarte nun innert den nächsten Tagen die Verfügung über die Leistungspflicht". Am 26. Januar 2006 wandte er sich erneut an die Anstalt und erklärte, er erwarte bis spätestens Ende Februar 2006 die Verfügung über die Leistungspflicht. Anschliessend werde sich das Gericht einmal mehr mit einer Rechtsverzögerungsbeschwerde befassen müssen, sofern die Anstalt ihm nicht plausibel darlege, warum sie nicht verfügen wolle. Die SUVA reagierte auf dieses Schreiben zunächst nicht. Mit Schreiben vom 9. November 2005 teilte der Vertreter der Versicherten der SUVA mit, er werde den Gerichtsentscheid nicht weiterziehen und "erwarte nun innert den nächsten Tagen die Verfügung über die Leistungspflicht". Am 26. Januar 2006 wandte er sich erneut an die Anstalt und erklärte, er erwarte bis spätestens Ende Februar 2006 die Verfügung über die Leistungspflicht. Anschliessend werde sich das Gericht einmal mehr mit einer Rechtsverzögerungsbeschwerde befassen müssen, sofern die Anstalt ihm nicht plausibel darlege, warum sie nicht verfügen wolle. Die SUVA reagierte auf dieses Schreiben zunächst nicht. B. Am 2. März 2006 liess die Versicherte beim Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt Beschwerde betreffend Rechtsverweigerung erheben. Sie stellte den Antrag, die SUVA sei "zu verpflichten, innert 30 Tagen nach Eintritt der Rechtskraft des vorliegenden Entscheides verfügungsweise über die Leistungen der Beschwerdeführerin zufolge des Unfallereignisses vom 25. Februar 1997 zu befinden". Eventuell sei die Anstalt "zu verpflichten, innert 30 Tagen seit Eintritt der Rechtskraft des Entscheides im vorliegenden Verfahren bekannt zu geben, welche allenfalls notwendigen weiteren Abklärungsmassnahmen aus Anstaltssicht angezeigt sind." In ihrer Beschwerdeantwort vom 7. April 2006 wies die SUVA darauf hin, dass sie am Vortag die verlangte Verfügung erlassen habe. Mit Verfügung vom 3. Juli 2006 schrieb das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt das Verfahren zufolge Gegenstandslosigkeit der Rechtsverweigerungsbeschwerde ab (Dispositiv-Ziffer 1). Es erhob keine Verfahrenskosten und verpflichtete die SUVA, der Versicherten eine Parteientschädigung von Fr. 2800.- (inkl. Auslagen) zuzüglich Mehrwertsteuer von Fr. 212.80 zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 3). Mit Verfügung vom 3. Juli 2006 schrieb das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt das Verfahren zufolge Gegenstandslosigkeit der Rechtsverweigerungsbeschwerde ab (Dispositiv-Ziffer 1). Es erhob keine Verfahrenskosten und verpflichtete die SUVA, der Versicherten eine Parteientschädigung von Fr. 2800.- (inkl. Auslagen) zuzüglich Mehrwertsteuer von Fr. 212.80 zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 3). C. Die SUVA führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, Dispositiv-Ziffer 3 der vorinstanzlichen Verfügung vom 3. Juli 2006 sei aufzuheben, es sei festzustellen, dass die Rechtsverweigerungsbeschwerde vom 2. März 2006 materiell unbegründet sei und die Vorinstanz sei anzuweisen, der Beschwerdegegnerin Verfahrenskosten aufzuerlegen. Das kantonale Gericht schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, während E._ deren Abweisung beantragt, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. Im Rahmen eines zweiten Schriftenwechsels halten die Parteien an ihrem jeweiligen Standpunkt fest. 