Faits: A. Le 22 novembre 2012, A.X._, ressortissant irakien né en 1er juillet 1968, a été placé en détention administrative en vue de son renvoi par le Service de la population et des migrations du canton du Valais (ci-après: le Service cantonal) pour une durée de trois mois. Cette mise en détention a été approuvée par le Juge unique de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Juge unique) le 26 novembre 2012. Le recours au Tribunal fédéral formé par A.X._ à l'encontre de cette décision a été déclaré manifestement irrecevable par arrêt du 21 décembre 2012 (cause 2C_1260/2012). Le 20 décembre 2012, A.X._ a refusé de monter dans un avion qui devait le rapatrier. Le 21 février 2013, le Juge unique, sur requête du Service cantonal, a prolongé la détention de A.X._ jusqu'au 22 mai 2013. Statuant sur recours de l'intéressé, le Tribunal fédéral, par arrêt du 23 avril 2013, a rejeté celui-ci dans la mesure de sa recevabilité et a refusé d'octroyer à A.X._ le bénéfice de l'assistance judiciaire, le recours étant dépourvu de chances de succès (cause 2C_285/2013). B. Par arrêt du 21 mai 2013, le Juge unique a donné suite à la requête du Service cantonal et prolongé une deuxième fois la détention de A.X._ jusqu'au 22 août 2013 et a rejeté la demande de libération formée par l'intéressé. C. Contre l'arrêt du 21 mai 2013, A.X._, représenté devant le Tribunal fédéral par B._, licenciée en droit et employée d'Amnesty International, forme un recours en matière de droit public. Il conclut à l'annulation de l'arrêt du Tribunal cantonal du 11 février 2013 dans la cause A2 13/27 (recte: arrêt du 21 mai 2013, cause A2 13/89), à ce que le Tribunal fédéral demande au Service cantonal de le libérer immédiatement et, même en cas de libération, à ce qu'il statue sur la proportionnalité de la détention et sur sa compatibilité avec l'art. 7 Cst. et qu'il lui attribue, le cas échéant, une indemnité pour les atteintes commises. A.X._ requiert par ailleurs l'octroi de l'assistance judiciaire. Ni le Service cantonal, ni l'Office fédéral des migrations (ci-après: l'Office fédéral), pas plus que le Tribunal cantonal n'ont présenté d'observations. Dans sa détermination du 10 juillet 2013, A.X._ s'est nouvellement plaint des conditions de détention administrative dans le canton du Valais. 