Sachverhalt: A. Der 1931 geborene M._ war von 1962 bis 1975 als Produktionsmitarbeiter der E._ AG bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Berufskrankheiten versichert. Mit Schreiben vom 14. März 2005 meldete er sich über das italienische Istituto Nazionale per l'Assicurazione contro gli Infortuni sul Lavoro (INAIL; Ankunft des Schreibens bei der INAIL: 7. April 2005) bei der SUVA unter Hinweis auf das im November 2004 diagnostizierte "Mesotelioma pleurico destro in paziente affetto da BCOP di grado severo" zum Leistungsbezug an. Am 4. April 2005 verstarb M._ . Die SUVA anerkannte, dass ein durch eine berufsbedingte Exposition mit Asbeststaub verursachtes Pleuramesotheliom zum Tod des Versicherten geführt hatte, und sprach seiner Witwe, B._, mit Verfügung vom 31. Mai 2007 eine Witwenrente zu. Demgegenüber verneinte die Anstalt mit Verfügung vom 14. November 2007 und Einspracheentscheid vom 17. Januar 2008 einen Anspruch des Versicherten (resp. seiner Erben) auf eine rückwirkende Ausrichtung einer Invalidenrente, einer Abfindung oder einer Integritätsentschädigung, da die chronisch-obstruktive Bronchitis (COPD) nicht berufsbedingt sei und der Versicherte nach der Diagnose des Pleuromesothelioms weniger als fünf Monate überlebt habe. Betreffend der allfälligen Ausrichtung einer rückwirkenden Hilflosenentschädigung wurde auf einen zukünftigen Entscheid verwiesen. Mit Urteil 8C_940/2009 vom 8. März 2010 hob das Bundesgericht letztinstanzlich den Einspracheentscheid vom 17. Januar 2008 teilweise auf und wies die Sache an die SUVA zurück, damit diese ein versicherungsexternes Gutachten zur Frage einhole, ob die COPD des Versicherten vorwiegend durch die Asbeststaub-Exposition verursacht worden war. In Nachachtung dieses Urteils ordnete die SUVA mit Verfügung vom 4. März 2011 das Einholen eines Gutachtens bei Prof. Dr. med. R._, Klinik X._, an. Dieser erstattete sein Gutachten am 16. September 2011. Daraufhin verneinte die Anstalt mit Verfügung vom 23. November 2011 und Einspracheentscheid vom 15. März 2012 erneut ihre Leistungspflicht für die Folgen der COPD. B. Die von B._ und S._ als Erben des M._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Glarus mit Entscheid vom 12. Dezember 2012 ab. C. Mit Beschwerde beantragten die Erben des M._ , die SUVA sei unter Aufhebung des Einsprache- und des kantonalen Gerichtsentscheides zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen zu erbringen. 