Faits: A. A.a. A.X._, née le 22 janvier 1944, est la fille de C.X._, décédé en 1973, et de D.X._, née le 12 juillet 1920 et décédée le 21 mars 2007. Elle avait une soeur, E.X._, née le 23 mai 1951 et décédée en 1996. A.b. A une date indéterminée, au milieu des années 90, A.X._ a requis des mesures tutélaires en faveur de sa mère auprès de la Justice de Paix. Après diverses expertises et auditions, un conseil légal a été désigné à D.X._. A.c. B._ est entrée au service de D.X._ en 1997 et y est restée jusqu'au décès de celle-ci. En qualité d'employée de maison, de gouvernante et d'aide-soignante, elle aidait D.X._ dans les actes de la vie quotidienne, s'occupait du ménage et effectuait ses paiements. En 2000, D.X._ s'est cassé le col du fémur. Cet accident a réduit sa mobilité. Elle a alors octroyé à B._ un bail portant sur un appartement de deux pièces dans le même immeuble qu'elle, dont elle était usufruitière à raison des 3/4 et propriétaire à raison de 1/4, pour un loyer mensuel de 400 fr., inférieur à celui qu'elle aurait pu en retirer en le louant à un tiers. A la même époque, H._, administrateur de la société gérant des immeubles sur lesquels D.X._ bénéficiait d'un usufruit, s'est occupé de l'administration et de la gestion des affaires de celle-ci. Les dépenses quotidiennes étaient toutefois réglées par le biais du disponible de 8'000 fr., laissé mensuellement à D.X._. A.d. Le 20 février 2002, D.X._ a rédigé le testament olographe suivant: " (...) La soussignée, D.X._, ..., à Y._ déclare disposer comme il suit de mes biens après mon décès: 1. Je lègue la totalité de mes biens à Madame B._, ..., à Y._ 2. Je renvoie à sa réserve ma fille A.X._, à Z._. Je révoque toutes dispositions successorales antérieures au présent acte, et notamment mon testament du 9 novembre 2000. (...) " A.e. Au mois de mars 2002, D.X._ s'est à nouveau cassé le col du fémur. Elle a alors eu besoin de plus de soins suite à la péjoration de son état physique et de la diminution de sa mobilité. Pour cette raison, B._ a presque essentiellement habité dans l'appartement de D.X._, tout en continuant toutefois à s'acquitter du loyer de son logement. A.f. Les 18 et 20 septembre 2002, D.X._ et sa fille ont signé une convention, dont il ressort notamment ce qui suit: " (...) - En avril 2000, A.X._ a saisi la Justice de paix de Lausanne d'une demande de mise sous tutelle de D.X._. - Par jugement du 23 septembre 1992, le Président du Tribunal de district de Lausanne a condamné D.X._ à contribuer à l'entretien de A.X._ par une pension alimentaire de 1'200 fr. par mois (...). Après indexation à l'ISPC, la pension alimentaire est actuellement de 1'330 francs. *** Cela exposé, il est convenu ce qui suit: 1. En échange de la renonciation par A.X._ à la pension alimentaire avec effet au 30 septembre 2002, D.X._ abandonne, également avec effet au 30 septembre 2002 son usufruit, sur les trois-quarts de l'immeuble ... à F._. (...) 8. Les parties se donnent réciproquement et définitivement quittance pour solde de tout compte et de toute prétention en relation avec les impôts liés à la succession de E.X._ et D.X._ retire immédiatement la poursuite n° xxxx de l'Office des poursuites de Lavaux. 9. A.X._ retire immédiatement sa requête déposée en avril 2000 devant la Justice de paix de Lausanne et s'engage à ne pas entreprendre dans le futur toute démarche contraignante visant à mettre sous tutelle D.X._. (...) " A.g. Le 27 mars 2007, le Juge de paix du district de Lausanne a homologué le testament de D.X._. B. B.a. Par demande du 24 mai 2007 déposée devant la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois, A.X._ a conclu, principalement, à ce que le testament signé par D.X._ et daté du 20 février 2002 soit de nul effet et, subsidiairement, à ce que ce testament soit annulé. Par ordonnance du 17 mars 2009, le juge instructeur de la cour a refusé les offres de preuves (expertise et audition de témoin) de la demanderesse tendant à établir l'utilisation des prélèvements effectués par la défenderesse sur les comptes de la défunte et les dépenses de celle-ci durant les dernières années de sa vie. En revanche, par ordonnance du 28 août 2009, il a ordonné une expertise portant sur la santé mentale de la de cujus à l'époque où celle-ci a rédigé son testament, qu'il a confiée au Professeur I._ du Département des Neurosciences cliniques des Hôpitaux Universitaires de Genève. L'expert, avec la Doctoresse J._, a déposé son rapport le 27 janvier 2010. Suite à l'ordonnance du juge instructeur du 15 juillet 2010, il a encore déposé un complément d'expertise le 6 avril 2011, cette fois en collaboration avec le Docteur K._. Le contenu de ces expertises sera discuté ci-après en tant que de besoin. Par jugement du 2 mai 2012, dont les considérants ont été communiqués aux parties le 21 décembre 2012, la Cour civile a rejeté les conclusions de A.X._. B.b. Par acte du 29 janvier 2013, A.X._ a formé un appel contre ce jugement devant la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois. Elle a conclu, principalement, à sa réforme en ce sens que le testament signé par D.X._ est de nul effet, subsidiairement, à sa réforme en ce sens que ce testament est annulé, et, encore plus subsidiairement, à l'annulation de ce jugement. Par arrêt du 19 avril 2013, la cour a rejeté l'appel. C. Par acte posté le 4 juillet 2013, A.X._ interjette un recours en matière civile devant le Tribunal fédéral contre cet arrêt. Elle conclut, principalement, à sa réforme, en ce sens que le testament du 20 février 2002 soit de nul effet, subsidiairement, à sa réforme, en ce sens que le testament du 20 février 2002 soit annulé, et, encore plus subsidiairement, à son annulation. En substance, elle se plaint de la violation des art. 9 Cst. dans l'établissement des faits et dans l'application de l'ancien droit cantonal de procédure, 29 al. 2 Cst., 16 aCC, 8, 467 et 519 CC. Invitées à déposer leurs observations, l'intimée a conclut au rejet du recours alors que l'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt. D. Par ordonnance du 25 juillet 2013, la requête d'effet suspensif de la recourante a été admise, afin de maintenir les choses en l'état durant la procédure fédérale. 