Sachverhalt: A. A.a Im Rahmen des zwischen X._ (Mutter) und Z._ (Vater) hängigen Eheschutzverfahrens räumte der Einzelrichter im summarischen Verfahren des Bezirks Meilen mit Verfügung vom 15. Juni 2007 dem Vater das Recht ein, seinen Sohn Y._ (geb. xxxx 2002) an jedem Samstag oder Sonntag sowie einmal unter der Woche nach Arbeitsschluss in Anwesenheit einer Vertrauensperson der Mutter zu besuchen, wobei die Parteien die genauen Besuchstage und Besuchszeiten miteinander abzusprechen hatten. Diese Verfügung erwuchs in Rechtskraft. Das Besuchsrecht wurde bis Frühjahr 2008 regelmässig ausgeübt. Danach verweigerte die Mutter dessen Ausübung. A.b Zwischen den Parteien ist nunmehr ein Scheidungsverfahren vor dem Bezirksgericht Zürich hängig. Vor diesem Gericht kam es am 5. Oktober 2009 zu einer vorsorglichen Neuregelung des Besuchsrechts. Diese Verfügung ist indes noch nicht in Rechtskraft erwachsen. A.c Bereits am 6. Oktober 2008 ersuchte der Vater beim Einzelrichter im summarischen Verfahren des Bezirks Zürich um Vollstreckung des Besuchsrechts gemäss Verfügung des Einzelrichters vom 15. Juni 2007. Der Einzelrichter befahl mit Verfügung vom 4. Februar 2009 der Mutter unter Androhung der Ungehorsamsstrafe, dem Vater das Besuchsrecht an jedem Samstag oder Sonntag sowie einmal unter der Woche nach Arbeitsschluss jeweils in Anwesenheit einer Vertrauensperson der Mutter zu gewähren, wobei sie für eine Absprache der genauen Besuchstage und Besuchszeiten Hand zu bieten habe. B. Gegen diesen Befehl gelangte die Mutter an das Obergericht des Kantons Zürich, das ihren Rekurs mit Beschluss vom 28. Mai 2009 abwies. Mit Zirkulationsbeschluss vom 7. Dezember 2009 wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich die von der Mutter gegen den obergerichtlichen Beschluss erhobene Nichtigkeitsbeschwerde ab, soweit darauf einzutreten war. C. Die Mutter (nachfolgend Beschwerdeführerin) hat mit einer am 22. Januar 2010 der Post übergebenen Eingabe beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsache erhoben. Sie beantragt, den Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 28. Mai 2009 und den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 7. Dezember 2009 aufzuheben und die "Vollstreckungsklage vom 6. Oktober 2008 formell wegen Verletzung des Gehörsanspruchs des Kindes abzuweisen". Eventuell sei die Sache zur Sachverhaltsfeststellung und Anhörung des Kindes an die Vorinstanz zurückzuweisen. In der Sache ist keine Vernehmlassung eingeholt worden. D. Mit Verfügung vom 1. Februar 2010 hat die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts entgegen dem Antrag des Vaters (fortan Beschwerdegegner) der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt. 