Sachverhalt: A. Die 1952 geborene P._ meldete sich im September 2005 bei der Invalidenversicherung zum Bezug einer Rente an, dies unter Hinweis auf seit Dezember 2004 bestehende Nacken-, Kopf- und Armschmerzen. Die IV-Stelle des Kantons Zürich verneinte einen Leistungsanspruch (Verfügung vom 7. März 2006; Einspracheentscheid vom 2. November 2006). Auf Beschwerde der P._ hin hob das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich den Einspracheentscheid auf und wies die Sache an die Verwaltung zurück, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre und über den Rentenanspruch neu befinde (Entscheid vom 30. April 2008). Nach weiteren medizinischen Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach die IV-Stelle der Versicherten mit Wirkung ab 1. Dezember 2005 eine halbe Rente zu (Verfügung vom 14. Januar 2009). Im Rahmen einer im Jahr 2011 eingeleiteten amtlichen Revision machte die Versicherte eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes (Zunahme der Schmerzen in den Händen und im Rücken) geltend. Des Weitern gab sie an, beim A._ und - neu - bei der Y._ als Unselbstständigerwerbende beschäftigt zu sein. Die IV-Stelle klärte die medizinischen und erwerblichen Verhältnisse ab. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens hob sie die halbe Rente rückwirkend per 1. Januar 2008 auf und stellte die Rückforderung der seither zu Unrecht bezogenen Leistungen mit separater Verfügung in Aussicht (Verfügung vom 3. Mai 2012). Am 8. Mai 2012 verfügte sie die Rückzahlung der in der Zeit vom 1. Januar 2008 bis 31. Mai 2012 bezogenen Leistungen in der Höhe von Fr. 53'594.-. Am 31. Mai 2012 ersuchte P._ die IV-Stelle um Erlass der Rückerstattung sowie Sistierung des Erlassverfahrens bis zur rechtskräftigen Erledigung des gegen die Verfügung vom 3. Mai 2012 eingeleiteten Beschwerdeverfahrens. B. Die Versicherte erhob gegen die Verfügungen Beschwerde. Sie beantragte, es sei ihr die halbe Rente weiterhin auszurichten und von einer Rückforderung abzusehen. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich vereinigte die beiden Verfahren. In teilweiser Gutheissung der Beschwerden änderte es die Verfügungen vom 3. und 8. Mai 2012 insoweit ab, als es feststellte, dass die Versicherte vom 1. Januar bis 31. Dezember 2008 Anspruch auf Ausrichtung einer Viertelsrente und die IV-Stelle für diesen Zeitraum in der Höhe des Rentenbetreffnisses der Viertelsrente keinen Rückforderungsanspruch hat. Im Übrigen wies es die Beschwerden ab (Dispositiv-Ziffer 1). Es überband die Gerichtskosten der Versicherten zu 3⁄4 und der IV-Stelle zu 1⁄4 (Dispositiv-Ziffer 2). Des Weitern verpflichtete es die IV-Stelle, der Versicherten eine Parteientschädigung von Fr. 600.- zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 3; Entscheid vom 27. Juni 2013). C. P._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei Dispositiv-Ziffer 1 des kantonalen Entscheides dahingehend abzuändern, dass die IV-Stelle anzuweisen sei, von einer Rückforderung abzusehen. Soweit eine Rückforderung vom 1. Januar bis 31. Dezember 2008 untersagt werde, sei der Entscheid zu bestätigen. Dispositiv-Ziffer 2 sei aufzuheben und die Vorinstanz zu verpflichten, von einer Erhebung von Gerichtskosten abzusehen. Dispositiv-Ziffer 3 sei dahingehend aufzuheben, dass die IV-Stelle verpflichtet werde, sämtliche Parteikosten des unterzeichnenden Rechtsanwaltes zu übernehmen. Eventualiter sei Dispositiv-Ziffer 1 aufzuheben und die Angelegenheit an die Vorinstanz zur weiteren Abklärung zurückzusenden. In verfahrensrechtlicher Hinsicht beantragt sie die Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels. 