Sachverhalt: A. Y._ reichte im November 2008 bzw. März 2009 ein Baugesuch betreffend die Erstellung einer privaten Zufahrt zu ihrem Wohnhaus auf Grundstück Nr. 1589, GB Weggis, ein. Die geplante Zufahrt führt über das benachbarte Grundstück Nr. 1588, das im Eigentum von X._ steht. Die Berechtigung zur Vornahme von Bauarbeiten auf dem Grundstück Nr. 1588 wird von Y._ aus einem Fuss- und Fahrwegrecht zugunsten ihrer eigenen Liegenschaft abgeleitet. Über den Umfang dieser Dienstbarkeit hat das Bundesgericht mit Urteil vom 22. August 2008 entschieden (Verfahren 5A_253/2008). B. X._ erhob gegen das Bauprojekt innert Auflagefrist Einsprache. Nachdem anlässlich einer Einspracheverhandlung keine Einigung hatte erzielt werden können, bewilligte der Gemeinderat Weggis am 25. November 2009 die Erstellung der privaten Hauszufahrt auf den Parzellen Nrn. 1588 und 1589, dies unter verschiedenen Bedingungen und Auflagen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern hiess eine von X._ gegen die Bewilligung erhobene Beschwerde am 30. August 2010 im Sinne der Erwägungen teilweise gut, hob den Entscheid vom 25. November 2009 auf und wies die Sache zurück an den Gemeinderat, damit dieser nach Aktenergänzung über die Baubewilligung neu befinde. C. In der Folge holte der Gemeinderat von der Gebäudeversicherung des Kantons Luzern eine Stellungnahme aus feuerpolizeilicher Sicht ein. Mit Schreiben vom 22. Oktober 2010 stimmte die Gebäudeversicherung dem Strassenbauvorhaben zu. Mit Ergänzungsentscheid vom 17. November 2010 erteilte der Gemeinderat Weggis der Gesuchstellerin die Baubewilligung erneut, wiederum unter Bedingungen und Auflagen. Die von X._ erhobene öffentlich-rechtliche Einsprache wies er dabei ab, soweit sie nicht gegenstandslos geworden war und soweit er im Übrigen darauf eintrat. Sodann wurde auch auf die privatrechtlichen Einwendungen nicht eingetreten, dies unter Hinweis auf das erwähnte bundesgerichtliche Urteil vom 22. August 2008. Am 9. Dezember 2010 erhob X._ gegen die Baubewilligung erneut Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Mit Urteil vom 25. Mai 2011 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab. D. Am 24. Juni 2011 gelangt X._ mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht. Er beantragt, die Urteile des Verwaltungsgerichts vom 30. August 2010 und 25. Mai 2011 sowie die Entscheide des Gemeinderats Weggis vom 25. November 2009 und 17. November 2010 seien aufzuheben. Eventuell sei das Verfahren an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese die Entscheide des Gemeinderats vom 25. November 2009 und vom 17. November 2010 aufhebe. E. Mit Verfügung vom 21. Juli 2011 hat das Bundesgericht das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen. F. Die Beschwerdegegnerin, die Vorinstanz und (sinngemäss) der Gemeinderat Weggis beantragen die Abweisung der Beschwerde. Mit Stellungnahme vom 20. September 2011 hält der Beschwerdeführer an seiner Beschwerde fest. 