Sachverhalt: Sachverhalt: A. A.a Die Bank K._ (heute Bank B._) stellte am 7. April 1998 gestützt auf Art. 271 Abs. 1 Ziff. 5 SchKG gegen M._ ein Arrestbegehren zur Sicherstellung der Zwangsvollstreckung für eine Forderung von Fr. 1'883'959.55, für die M._ solidarisch haftete. Gegenstand des Arrestbegehrens waren sämtliche in einem auf den Namen von F._, Ehefrau von M._, bei der Bank K._ eingebuchten Wertschriften und Herausgabeansprüche bezüglich sonstiger Werte, die bei einer anderen Depotstelle im In- oder Ausland eingelegt waren. Der Gerichtspräsident von Solothurn-Lebern erliess am 8. April 1998 den Arrestbefehl. Die hiergegen erhobenen Einsprachen von M._ und F._ blieben erfolglos. Am 12. August 1998 erfolgte in der (Arrest)Betreibung Nr. ... des Betreibungsamtes Solothurn gegen M._ ein Pfändungsvollzug. Am 13. August 1998 teilte das Betreibungsamt der Bank K._ mit, die von der Pfändung bei M._ betroffenen, im Depot eingelagerten Wertpapiere würden von F._ zu Eigentum angesprochen; der Bank K._ wurde daher Frist zur Klage auf Aberkennung des Anspruchs gesetzt. A.b In Gutheissung der Klage der Bank B._ aberkannte der Gerichtspräsident von Solothurn-Lebern den Eigentumsanspruch von F._, womit die Wertpapiere in der Pfändung belassen wurden (Urteil vom 15. März 2000). Dagegen appellierte F._ an das Obergericht des Kantons Solothurn; das Appellationsverfahren wurde in der Folge suspendiert, da M._ beim Richteramt Solothurn-Lebern gegen die Bank B._ Klage nach Art. 85 SchKG (Aufhebung der Betreibung Nr. ... infolge Tilgung der Schuld) eingereicht hatte. Dieses Verfahren endete mit der Aufhebung der Betreibung (Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 12. November 2002). A.b In Gutheissung der Klage der Bank B._ aberkannte der Gerichtspräsident von Solothurn-Lebern den Eigentumsanspruch von F._, womit die Wertpapiere in der Pfändung belassen wurden (Urteil vom 15. März 2000). Dagegen appellierte F._ an das Obergericht des Kantons Solothurn; das Appellationsverfahren wurde in der Folge suspendiert, da M._ beim Richteramt Solothurn-Lebern gegen die Bank B._ Klage nach Art. 85 SchKG (Aufhebung der Betreibung Nr. ... infolge Tilgung der Schuld) eingereicht hatte. Dieses Verfahren endete mit der Aufhebung der Betreibung (Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 12. November 2002). B. Das Obergericht des Kantons Solothurn nahm in der Folge auf Ersuchen der Parteien im Widerspruchsprozess Kenntnis vom Ausgang des Verfahrens nach Art. 85 SchKG und schrieb mit Urteil vom 13. Februar 2003 das Verfahren betreffend Widerspruchsklage als gegenstandslos ab. Die Kosten beider Instanzen im Betrag von Fr. 9'140.-- übertrug es F._ (nachfolgend Beklagte oder Beschwerdeführerin). Ferner verpflichtete es sie, die Bank B._ (nachfolgend: Klägerin oder Beschwerdegegnerin) für beide Instanzen mit insgesamt Fr. 31'000.-- zu entschädigen (Ziff. 2 und 3 des Urteils). Das Obergericht gelangte in Würdigung der Umstände zum Schluss, keine Partei habe die Gegenstandslosigkeit des Widerspruchsprozesses verursacht. Dieser sei hingegen von der Beklagten verursacht worden, und die Gewinnaussichten der Klägerin in diesem Prozess seien als gross zu beurteilen. B. Das Obergericht des Kantons Solothurn nahm in der Folge auf Ersuchen der Parteien im Widerspruchsprozess Kenntnis vom Ausgang des Verfahrens nach Art. 85 SchKG und schrieb mit Urteil vom 13. Februar 2003 das Verfahren betreffend Widerspruchsklage als gegenstandslos ab. Die Kosten beider Instanzen im Betrag von Fr. 9'140.-- übertrug es F._ (nachfolgend Beklagte oder Beschwerdeführerin). Ferner verpflichtete es sie, die Bank B._ (nachfolgend: Klägerin oder Beschwerdegegnerin) für beide Instanzen mit insgesamt Fr. 31'000.-- zu entschädigen (Ziff. 2 und 3 des Urteils). Das Obergericht gelangte in Würdigung der Umstände zum Schluss, keine Partei habe die Gegenstandslosigkeit des Widerspruchsprozesses verursacht. Dieser sei hingegen von der Beklagten verursacht worden, und die Gewinnaussichten der Klägerin in diesem Prozess seien als gross zu beurteilen. C. Die Beklagte führt staatsrechtliche Beschwerde und beantragt, die Ziffern 2 und 3 des Urteils des Obergerichts vom 13. Februar 2003 seien aufzuheben. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. 