Faits: A. A._, né en 1951, d'origine irakienne et naturalisé suisse depuis 1998, a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 10 octobre 2002. Après avoir requis l'avis du médecin traitant, l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) a chargé son Service médical régional (SMR) d'examiner l'assuré. Selon les docteurs P._ et V._, qui ont examiné l'intéressé le 26 octobre 2004, celui-ci ne souffrait d'aucune atteinte psychique, mais présentait des lombalgies chroniques et persistantes, des cervicalgies chroniques dans le cadre de troubles dégénératifs étagés et une fibromyalgie; sa capacité de travail dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles décrites était entière. Après avoir refusé toute prestation à l'assuré (décision sur opposition du 5 décembre 2006), l'office AI est revenu sur sa décision et a repris l'instruction du dossier. Dans ce cadre, il a recueilli l'avis du docteur G._, psychiatre, qui a diagnostiqué un trouble dépressif, épisode actuel moyen, combiné à un trouble de la personnalité, un syndrome post-traumatique et un trouble de l'adaptation (rapport du 24 janvier 2006). L'assuré a été soumis à un nouvel examen au SMR, où la doctoresse Y._ est arrivée à la conclusion que la capacité de travail exigible était toujours entière du point de vue psychiatrique, quelle que soit l'activité envisagée (rapport du 12 juin 2006). Par décision sur opposition du 21 juillet 2006, l'office AI a derechef refusé à l'intéressé tout droit à une rente d'invalidité, au motif qu'il disposait d'une capacité de travail entière dans son activité habituelle, ce qui excluait toute perte de gain et, partant, le droit à la prestation sollicitée. B. B.a Saisi d'un recours de l'assuré contre cette décision (sur opposition), le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève a chargé le docteur B._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, d'une expertise. Selon les conclusions de l'expert, rendues le 3 septembre 2007, A._ présentait une incapacité totale de travail depuis 2002. Le 20 novembre 2007, le tribunal cantonal a rendu un jugement par lequel il a admis le recours (ch. 2 du dispositif). En substance, il a considéré que les troubles psychiques de l'assuré se manifestaient avec une telle sévérité qu'ils excluaient toute mise en valeur de sa capacité de travail. B.b A réception du jugement cantonal expédié le 27 novembre 2007, l'office AI a requis du Tribunal cantonal genevois des assurances sociales de préciser à partir de quelle date l'assuré avait droit à une rente d'invalidité (courrier du 21 décembre 2007). Après avoir informé les parties qu'il allait rendre un arrêt en révision, le tribunal cantonal a, par jugement du 15 janvier 2008, annulé le dispositif de son prononcé du 20 novembre 2007, admis le recours et dit que l'assuré avait droit à une rente entière d'invalidité depuis septembre 2003. C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre le jugement du 15 janvier 2008, en concluant à son annulation et à la confirmation de sa décision sur opposition du 21 juillet 2006. Le tribunal cantonal et l'Office fédéral des assurances sociales renoncent à se déterminer, tandis que A._ conclut au rejet du recours. Par ordonnance du Juge instructeur du 25 avril 2008, l'effet suspensif sollicité par l'office AI a été accordé. 