Faits: A. A.a B._, né en 1910, est décédé le 26 mai 2004. Le défunt laissait pour héritiers son fils Louis, né en 1938, qu'il avait eu avec sa première épouse, décédée en 1999, ainsi que sa seconde épouse, A._, une ressortissante française, née en 1942, avec qui il s'était marié le 4 octobre 1999, à l'âge de 89 ans, sous le régime de la communauté de biens, et qui était auparavant la compagne de son second fils, prénommé D._, décédé en 1997. Tant ce mariage que la succession de B._ ont donné lieu à des procédures, dont certaines n'ont pas encore été liquidées, qui opposent, en particulier, C._, formellement exhérédé par feu son père, à A._, sa belle-mère. A.b La société anonyme X._ est propriétaire d'un immeuble sis à Genève, à l'endroit indiqué dans sa raison sociale. C._ en est l'actionnaire majoritaire et l'administrateur unique. A._ prétend avoir acquis par donation de feu son mari la propriété de 24 des 50 actions de ladite société. Celle-ci lui dénie toutefois la qualité d'actionnaire. A une date indéterminée, X._ a remis à bail à A._ un appartement de six pièces situé au deuxième étage de l'immeuble en question. Le loyer mensuel, charges non comprises, a été fixé en dernier lieu à 2'300 fr. A.c Par avis du 13 juillet 2004, la Société privée de gérance, agissant pour le compte de la bailleresse, a imparti à la locataire un délai de 30 jours pour s'acquitter des loyers échus à cette date, en la menaçant de résilier le bail si elle ne s'exécutait pas dans ce délai. Dans deux courriers des 20 juillet et 11 août 2004 adressés à la représentante de la bailleresse, le conseil de la locataire a fait valoir le caractère abusif du congé en expliquant que le défaut de paiement du loyer était la conséquence du refus de la bailleresse de verser les dividendes à ses actionnaires. Par avis officiel du 24 août 2004, la représentante de la bailleresse a résilié le bail de A._ pour le 31 octobre 2004, les loyers échus n'ayant pas été payés dans le délai comminatoire. B. B.a Le 24 septembre 2004, la locataire (ci-après: la défenderesse) a saisi la Commission de conciliation d'une requête en contestation du congé. La tentative de conciliation n'a pas abouti et la cause a été portée, le lendemain, devant le Tribunal des baux et loyers. De son côté, la bailleresse (ci-après: la demanderesse) a déposé, le 26 novembre 2004, une requête en évacuation qu'elle a soumise ensuite au Tribunal des baux et loyers, après que la Commission eut tenté sans succès de concilier les parties. Les deux procédures ont été jointes. Par jugement du 7 avril 2005, le Tribunal des baux et loyers a déclaré valable le congé litigieux et ordonné à la défenderesse d'évacuer immédiatement l'appartement occupé par elle. B.b Saisie par la défenderesse, la Chambre d'appel en matière de baux et loyers a rendu, le 6 mars 2006, un arrêt au terme duquel elle a confirmé le jugement de première instance. Les juges d'appel ont estimé, en résumé, que les conditions d'application de l'art. 257d CO étaient réalisées en l'espèce. Selon eux, en effet, à supposer que la locataire ait à tout le moins rendu vraisemblable sa qualité d'actionnaire de la bailleresse - question qui a été laissée indécise -, elle n'avait pas invoqué de manière suffisamment claire la compensation dans le délai de grâce, se contentant d'opposer à la bailleresse le caractère abusif de la résiliation. De surcroît, la défenderesse n'avait pas chiffré sa créance compensante, constituée, selon elle, des dividendes non versés, ni démontré l'exigibilité de cette créance, supposé qu'elle en fût titulaire. La cour cantonale a encore relevé que la défenderesse n'avait pas démontré, ni même allégué, avoir agi contre la société bailleresse, et non contre C._, en vue d'obtenir une pièce, tel le rapport de gestion, qui lui eût permis de rendre vraisemblable son droit à un éventuel bénéfice, ni avoir entrepris une quelconque démarche pour toucher sa part de dividendes à laquelle elle prétend avoir droit. Ainsi, l'impossibilité de déterminer la créance invoquée en compensation résultait de l'inaction de la défenderesse. Sans doute, poursuit la cour cantonale, un congé donné pour défaut de paiement du loyer pourrait-il être jugé abusif si l'état de gêne du locataire avait pour origine un comportement fautif du bailleur. In casu, la défenderesse perd toutefois de vue, en soutenant que le congé lui a été donné à l'initiative de l'autre actionnaire de la demanderesse, qu'elle était en premier lieu liée à cette dernière par un contrat de bail, lequel lui imposait des obligations telles que le paiement du loyer. A cet égard, le fait qu'elle aurait pu disposer des moyens financiers nécessaires au paiement du loyer si le bénéfice de la demanderesse avait été distribué ne concerne pas cette relation contractuelle. En outre, comme la défenderesse le concède elle-même, ce n'est pas la bailleresse qui aurait éventuellement provoqué ses difficultés financières, mais un autre actionnaire. La demanderesse s'est contentée de résilier le contrat de bail parce que le loyer n'était plus versé, si bien qu'aucun comportement abusif ne peut lui être reproché. C. La défenderesse interjette un recours en réforme. Dans ses conclusions principales, elle invite le Tribunal fédéral à: " Principalement ... ... 3.- Annuler l'arrêt rendu le 6 mars 2006 par la Cour de justice de la République et canton de Genève. Annuler l'arrêt rendu le 6 mars 2006 par la Cour de justice de la République et canton de Genève. 4.- Dire que l'arriéré de loyer réclamé par la SI à A._ est compensé par la créance de dividendes de A._ envers la SI, moyennant quoi le congé prononcé par l'intimée doit être annulé. 5.- Dire que A._ est autorisée à faire valoir cette compensation pour les loyers à venir. Dire que A._ est autorisée à faire valoir cette compensation pour les loyers à venir. 6.- Si par impossible le Tribunal fédéral ne devait pas faire droit aux conclusions prises sous chiffres 4 et 5 ci-dessus, dire que la résiliation prononcée par avis du 24 août 2004 est abusive, qu'en conséquence cette résiliation est nulle, et que A._ est autorisée à demeurer dans l'appartement qu'elle occupe dans les locaux de la SI. que A._ est autorisée à demeurer dans l'appartement qu'elle occupe dans les locaux de la SI. ... Si mieux n'aime le Tribunal fédéral ... 10.- Retourner la cause à l'instance cantonale pour complément d'instruction, conformément à l'art. 274d CO, ceci afin d'établir, avec la collaboration de l'intimée: - la qualité d'actionnaire de A._ dans la SI ainsi que l'importance de sa participation, cas échéant par le biais de son droit à la succession non encore partagée de son défunt mari, B._; - la part revenant à A._, en sa qualité d'actionnaire de la SI, des bénéfices non encore distribués de celle-ci. 11.- Inviter l'instance cantonale, une fois l'instruction complétée, à se prononcer une nouvelle fois sur la validité du congé prononcé par l'intimée. ..." La défenderesse a requis, en outre, sa mise au bénéfice de l'assistance judiciaire. Par décision du 9 juin 2006, la Ire Cour civile a rejeté la requête et invité la défenderesse à verser une avance de frais de 4'000 fr. L'intéressée s'est exécutée en temps utile. La demanderesse n'a pas été invitée à déposer une réponse au recours. 