Sachverhalt: A. X._ ist als Taxifahrer bei der A._ AG angestellt. Gegen ihn läuft vor dem Betreibungsamt Z._ die Betreibung Nr. xxx der Versicherung Y._ AG. Die Betreibungsforderung betrifft Krankenkassenprämien. Sie beläuft sich auf Fr. 1'002.75. Gemäss Betreibungsprotokoll hat X._ eine Teilzahlung von Fr. 457.40 geleistet. B. Am 15. Februar 2013 vollzog das Betreibungsamt in Anwesenheit von X._ im Amtslokal die Einkommenspfändung. Es pfändete "pro Monat mit sofortiger Wirkung bzw. im Anschluss an die vorgehenden Pfändungen" die das Existenzminimum von Fr. 1'916.30 übersteigenden Einkünfte. Nachdem X._ zusätzliche Unterlagen beibrachte, passte das Betreibungsamt die Pfändung an. Am 19. Februar 2013 erhöhte es das Existenzminimum auf Fr. 2'126.35 und am 3. April 2013 bestimmte es den Notbedarf auf Fr. 2'326.35. Das Betreibungsamt zeigte die Anpassungen X._s Arbeitgeberin an und stellte ihm die Pfändungsurkunde am 23. Mai 2013 zu. C. X._ focht die Pfändungsurkunde an. Er gelangte zuerst an das Bezirksgericht Winterthur als untere kantonale Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen und dann an das Obergericht des Kantons Zürich als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs. Sein Rechtsbegehren, die Lohnpfändung aufzuheben, wurde vom Bezirksgericht am 4. September 2013 und vom Obergericht am 27. September 2013 abgewiesen. D. Mit Beschwerde vom 11. Oktober 2013 wendet sich X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, die eingeleitete Lohnpfändung als nichtig aufzuheben, und ersucht für das bundesgerichtliche Verfahren um Gewährung des Armenrechts. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt. 