Sachverhalt: A. A.a. Die 1973 geborene F._ meldete sich am 30. April 1998 zum Leistungsbezug bei der Invalidenversicherung an. Das Office de l'Assurance-Invalidité du Canton du Jura (im Folgenden: IV-Stelle des Kantons Jura) gewährte berufliche Massnahmen und klärte den medizinischen Sachverhalt ab (u.a. Gutachten der Policlinique Médicale Universitaire, vom 13. Juni 2002). Mit Einspracheentscheid vom 29. September 2003 verneinte es mangels leistungsbegründenden Invaliditätsgrades einen Rentenanspruch. Auf Beschwerde der Versicherten hin holte es die Expertise der Medizinischen Begutachtungsstelle, Zentrum X._, vom 11. Februar 2005 ein. Mit rechtskräftig gewordenem Entscheid vom 12. April 2006 wies das Tribunal Cantonal de la République et du Canton du Jura (im Folgenden: Kantonsgericht Jura) das eingelegte Rechtsmittel ab. A.b. Am 18. Oktober 2004 meldete sich die Versicherte bei der IV-Stelle des Kantons Jura zum Bezug einer Hilflosenentschädigung und am 28. Juni 2007 bei der IV-Stelle des Kantons Zürich zum Bezug einer Invalidenrente an. Letztere liess die persönlichen Verhältnisse an Ort und Stelle abklären (Abklärungsbericht für Hilflosenentschädigung für Erwachsene vom 11. September 2007) und verneinte - nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren - einen Anspruch auf Hilflosenentschädigung (Verfügung vom 22. Januar 2008). Nach Beizug weiterer Arztberichte (worunter des Dr. med. K._, Facharzt FMH für Psychiatrie & Psychotherapie, vom 20. Juni 2008 sowie der Klinik Y._, Zentrum für Fusschirurgie, vom 30. Juni 2008) holte die Verwaltung das Gutachten der medizinische Abklärungsstelle Z._, vom 13. Juni 2009 ein. Im Vorbescheidverfahren liess die Versicherte u.a. den Bericht des Dr. med. P._, Innere Medizin/Rheumatologie FMH, vom 23. August 2009 auflegen. Mit Verfügung vom 13. November 2009 sprach die IV-Stelle des Kantons Zürich der Versicherten ab 1. Juni 2009 eine Viertelsrente der Invalidenversicherung zu. B. F._ liess gegen die Verfügungen vom 22. Januar 2008 sowie vom 13. November 2009 Beschwerden erheben und u.a. das Gutachten des Dr. med. S._, Facharzt FMH Psychiatrie und Psychotherapie, vom 7. Dezember 2009 einreichen. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich vereinigte die Verfahren und wies die Beschwerde gegen die Verfügung vom 22. Januar 2008 ab, diejenige gegen die Verfügung vom 13. November 2009 hiess es insoweit teilweise gut, als die Versicherte bereits ab 1. Juni 2008 Anspruch auf eine Viertelsrente hat (Entscheid vom 29. Mai 2012). C. Mit Beschwerde lässt F._ beantragen, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids seien ihr eine Rente "auf der Basis von 100 %" sowie eine Hilflosenentschädigung zuzusprechen; eventualiter sei die Angelegenheit an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit es weitere Abklärungen "zu den Umständen im Sinne von BGE 130 V 352" vornehme. Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf Vernehmlassungen. 