Sachverhalt: A. M._ war als Gesellschafter und Geschäftsführer der Firma U._ GmbH im Handelsregister eingetragen. Über die Gesellschaft wurde am ..... November 2011 der Konkurs eröffnet. Das Konkursverfahren wurde am ..... November 2011 mangels Aktiven eingestellt. Mit Verfügung vom 23. Juli 2012 und Einspracheentscheid vom 21. November 2012 verpflichtete die Ausgleichskasse des Kantons St. Gallen, welcher die Konkursitin als beitragspflichtige Arbeitgeberin angeschlossen gewesen war, M._ zur Bezahlung von Schadenersatz in Höhe von Fr. 75'880.15 für entgangene Sozialversicherungsbeiträge (einschliesslich Verwaltungs- und Betreibungskosten, Mahngebühren und Verzugszinsen). B. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen wies die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 5. Juli 2013). C. M._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben, und es sei festzustellen, dass er keinen Schadenersatz schulde. Eventuell sei die Schadenersatzforderung angemessen zu reduzieren. Mit nachträglicher Eingabe ersucht M._ ausserdem um unentgeltliche Rechtspflege. 