Faits: A. A.a En août 1986, X._, né le 6 octobre 1952, a été engagé par la compagnie aérienne V._ en qualité de convoyeur/chauffeur poids lourds à l'aéroport de Genève-Cointrin, tout d'abord comme auxiliaire, puis dès le 1er décembre 1986 avec le statut d'employé fixe. Y._), dont le siège est à ... et qui possède une succursale à ..., a pour but social notamment la production de repas, boissons et prestations de services dans le domaine de la gastronomie aérienne. La compagnie V._ ayant transféré à Y._ ses activités de « catering », celle-ci a repris le 16 septembre 1992 le contrat de travail de X._, avec les avantages liés à son ancienneté. X._ avait essentiellement pour tâches de convoyer dans la zone aéroportuaire, et notamment sur le tarmac, un camion chargé de marchandises vers ou à partir des avions; accessoirement, il travaillait comme préparateur, effectuant le chargement ou le déchargement des camions, mais pouvait également être affecté à d'autres activités. Le dernier salaire mensuel brut du prénommé s'est élevé à 5'795 fr.35 pour 42 heures de travail par semaine. Le 1er janvier 2005 est entré en vigueur un nouveau règlement d'entreprise applicable au personnel de Y._. Selon l'art. 2 de ce règlement, la consommation de boissons alcoolisées est strictement interdite avant le début du travail et pendant les heures de travail, le taux d'alcoolémie autorisé sur le tarmac étant de 0o/oo. Le 23 octobre 2006, X._ a signé une note interne, par laquelle il confirmait avoir pris connaissance et accepter l'Ordre de service n° 18 de l'Aéroport International de Genève (AIG) relatif à l'admission des véhicules et des conducteurs, ainsi qu'aux règles de circulation dans l'enceinte de l'aéroport; cet ordre de service prévoit notamment que tous les conducteurs doivent présenter un taux d'alcoolémie de 0o/oo. A.b Il a été retenu que jusqu'au 29 décembre 2007, X._ a donné toute satisfaction à son employeur. Le jour en question, il a été demandé au travailleur, en plus de ses tâches de préparateur, de remplacer momentanément le chef de sortie, qui est la personne ayant pour fonction de contrôler tous les mouvements sur le tarmac et de centraliser les départs et les arrivées des véhicules. Une erreur a alors été commise dans le chargement du « catering » sur un vol de la compagnie W._ à destination de Moscou et retour; un document de contrôle n'a pas été rempli correctement, en sorte que l'avion a décollé sans emporter de trolleys de vente ni de caisses à bar. X._ a expliqué qu'en ayant dû suppléer le chef de sortie, il avait délégué ses fonctions de préparateur à des collègues, auxquels il avait fait confiance. Il a été constaté que le cumul des tâches de chef de sortie et de préparateur « pose problème ». Le 30 décembre 2007, un avertissement a été prononcé à l'encontre de X._ en raison des événements de la veille. A.c En janvier 2008 se sont déroulées des négociations entre un syndicat et Y._ à propos du renouvellement d'une convention collective de travail. Le 23 janvier 2008, à la suite du refus d'une proposition de l'assemblée générale du personnel par la direction de Y._, le syndicat a annoncé que les employés se mettaient immédiatement en grève. Celle-ci a toutefois été interrompue le jour même, car Y._ avait saisi l'autorité compétente d'une requête en conciliation. X._ a participé activement à la grève précitée, faisant partie des derniers employés à cesser le mouvement le soir du 23 janvier à 20 heures. A.d Le 25 janvier 2008, la Police de sécurité internationale (PSI) a organisé un contrôle d'alcoolémie sur le tarmac de l'aéroport. Vers 16 h. 45, X._ a été contrôlé positif avec un taux de 0.47 à 0.50o/oo. La PSI lui a notifié aussitôt une interdiction immédiate de circuler sur le tarmac. C'était la première fois que le travailleur subissait un test d'alcoolémie positif. X._ a été appelé peu après par la direction de Y._, laquelle l'a licencié oralement avec effet immédiat pour faute grave. Des collègues du prénommé ont déclaré que son licenciement était à mettre en relation avec sa participation à la grève deux jours auparavant, même si aucun autre gréviste n'a été licencié. X._ a été en incapacité de travail pour cause de maladie du 28 janvier au 2 mars 2008. Invoquant la fin des rapports de travail intervenue le 25 janvier 2008, Y._ lui a refusé tout versement d'indemnités perte de gain. Par courrier du 31 janvier 2008, Y._ a confirmé au salarié son licenciement immédiat avec effet au 25 janvier 2008, motivé par le contrôle positif qu'il avait subi ce jour-là. Par décision du 26 février 2008, non contestée, l'AIG a constaté la caducité de l'autorisation de conduire sur le tarmac délivrée à Y._, compte tenu du congé immédiat survenu le 25 janvier 2008. B. B.a Par demande du 19 mai 2008 déposée devant la juridiction prud'homale genevoise, X._ a ouvert action contre Y._, lui réclamant 34'772 fr.10 à titre de salaire pendant les quatre mois du délai de congé conventionnel, échéance repoussée au 31 juillet 2008 du fait de l'incapacité de travail, 3'471 fr.90 pour 13 jours de vacances non prises, et 34'772 fr.10 à titre d'indemnité de six mois de salaire pour congé immédiat injustifié, respectivement abusif. La défenderesse a conclu à sa libération. La Caisse de chômage A._ est intervenue dans la procédure, se déclarant subrogée dans les droits du demandeur à concurrence de 12'863 fr.05 en capital. L'instruction a établi qu'un autre convoyeur de Y._, contrôlé en mars 2009 avec un taux d'alcoolémie de 0.6 à 0.7 o/oo, a été licencié de manière ordinaire et qu'il a pu, après une interdiction de conduire de 24 heures, exercer ses fonctions de convoyeur durant le délai de congé d'un mois. Par jugement du 1er avril 2009, la juridiction des prud'hommes du canton de Genève a débouté le demandeur de toutes ses conclusions, faisant subir le même sort aux conclusions de l'intervenante. B.b Le demandeur a appelé de ce jugement. Il a repris ses conclusions de première instance, en concluant en plus à l'octroi d'un intérêt moratoire de 5% l'an dès le 25 janvier 2008. Après l'expiration du délai d'appel, il a encore amplifié ses conclusions, requérant le versement de 36'564 fr.60 à titre de salaire durant le délai de congé, 3'650 fr.85 à titre d'indemnités de vacances non prises et 36'564 fr.60 pour indemniser le congé abrupt non justifié. L'intervenante n'a pas pris de conclusions en appel. Par arrêt du 21 janvier 2010, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes de Genève a rejeté l'appel et confirmé le jugement attaqué. La cour cantonale a considéré préalablement que le demandeur n'était pas autorisé à augmenter ses conclusions après le dépôt de l'acte d'appel. Passant à l'examen du fond, elle a retenu que le travailleur, qui a conduit son véhicule sur le tarmac avec un taux d'alcoolémie de 0.47 à 0.50o/oo, a contrevenu à une règle de sécurité essentielle sur laquelle son attention avait été spécifiquement attirée. Comme cette faute avait été commise par un convoyeur d'âge mûr et expérimenté, qui devait donner l'exemple à ses collègues plus jeunes, elle devait être qualifiée de grave et propre à détruire à elle seule le lien de confiance. Un renvoi immédiat était ainsi justifié, même en l'absence d'un avertissement préalable signifié pour une faute similaire. La Cour d'appel a encore souligné que le demandeur ne pouvait tirer argument de manquements dus à l'alcool commis par d'autres convoyeurs de la défenderesse, étant donné les circonstances différentes dans lesquelles ils ont eu lieu. Enfin, l'autorité cantonale a jugé qu'aucun élément du dossier ne permettait de retenir l'hypothèse d'un congé de représailles abusif. C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt précité. Il requiert que cette décision soit annulée et que la défenderesse soit condamnée à lui verser le montant brut de 36'546 fr.60 à titre de salaire afférent au délai de congé, plus intérêts à 5% l'an dès le 25 janvier 2008, ainsi que la somme de 3'650 fr.85 à titre d'indemnités de vacances correspondant aux 13 jours de vacances dus pendant le délai de congé, avec les mêmes intérêts. L'intimée propose le rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. 