Sachverhalt: A. Die Generalstaatsanwaltschaft der Russischen Föderation führt ein Strafverfahren gegen X._ wegen Betrugs und Vertrauensmissbrauchs zum Nachteil der Firma A._ und wegen Geldwäscherei. Mit Meldung vom 13. September 2006 ersuchte Interpol Moskau gestützt auf einen Haftbefehl des Gerichts Basmanny vom 3. Mai 2006 um Verhaftung von X._ zwecks Auslieferung. Am 22. Dezember 2006 wurde X._ in der Schweiz verhaftet und in provisorische Auslieferungshaft versetzt. Nachdem er sich mit seiner vereinfachten Auslieferung an die Russische Föderation nicht einverstanden erklärt hatte, erliess das Bundesamt für Justiz am 28. Dezember 2006 einen Auslieferungshaftbefehl. Die von X._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesstrafgericht (I. Beschwerdekammer) am 25. Januar 2007 ab. Hiergegen führte X._ Beschwerde beim Bundesgericht. Dieses wies die Beschwerde am 30. März 2007 ab (1A.37/2007). B. Mit Note vom 4. Januar 2007 übermittelte die Botschaft der Russischen Föderation dem Bundesamt das Auslieferungsersuchen der russischen Generalstaatsanwaltschaft vom 25. Dezember 2006. Dem Ersuchen liegt folgender Sachverhalt zugrunde: Die hauptsächliche Geschäftstätigkeit der Firma A._ sei der Gütertransport auf dem Meer sowie der Bau von Schiffen und deren Vermietung. Eigentümerin aller Aktien der Firma A._ sei die Russische Föderation. Der Firma A._ gehörten 35 Tanker und Transportschiffe, zehn Massengutfrachter und zwei Passagierschiffe. Der Gesamtwert der Schiffe betrage 2 Milliarden US-Dollar. Die Firma A._ sei eine Anlagegesellschaft. Sie kontrolliere Tochtergesellschaften mit Sitz in Liberia, Grossbritannien, der Schweiz und Zypern. Die hauptsächlichen Tochtergesellschaften seien die B._ S.A. in Genf, die sich mit der Verfrachtung der Tankertonnage beschäftige; die C._ Ltd. in London, die sich mit der Befrachtung der Massengutflotte sowie dem Kauf und Verkauf von Schiffen beschäftige; die Firma D._ in Liberia, welche die Aufträge für den Schiffsbau erteile und Bankkredite garantiere; sowie die E._ Ltd. in Zypern, die sich mit dem Management und den Schiffsbesatzungen beschäftige. Der Generaldirektor der Firma A._ werde vom Regierungspräsidenten der Russischen Föderation ernannt; die Leiter der im Ausland ansässigen Tochtergesellschaften vom Generaldirektor der Firma A._. Bis zum 7. Februar 2004 sei Y._ Generaldirektor der Firma A._ gewesen. An dessen Stelle sei W._ ernannt worden. X._ sei von 1997 bis zum 10. Januar 2005 Generaldirektor der C._ Ltd. gewesen. Er habe zwischen 2000 und 2004 durch Betrug und Vertrauensmissbrauch mit Off-Shore-Gesellschaften, die auf den britischen Jungferninseln eingetragen seien, wissentlich für die Firma A._ und die C._ Ltd. nachteilige Geschäfte geschlossen. Diese hätten bei der Firma A._ und der C._ Ltd. zu einem Schaden von 150 Millionen US-Dollar geführt. Bei den auf den Jungferninseln eingetragenen Gesellschaften handle es sich um die Firma F._, die Firma G._, die H._ Ltd. und die Firma I._. Diese Gesellschaften habe der russische Staatsbürger Z._ gegründet, der sie auch leite und kontrolliere. Der von der Firma A._ und ihren Tochtergesellschaften erlittene Schaden entspreche dem Gewinn der von Z._ kontrollierten Gesellschaften. Beim Wechsel der Leitung der Firma A._ Ende 2004/Anfang 2005 sei die Tätigkeit der ehemaligen Geschäftsleitung überprüft worden. Dabei seien widerrechtliche Handlungen von X._ festgestellt worden. Im Einzelnen habe sich Folgendes ergeben: Im Jahre 2002 hätten Tochtergesellschaften der Firma A._, welche Eigentümer von acht Schiffen gewesen seien, und die Firma F._ "Sale and lease-back Verträge" über diese Schiffe geschlossen. Damit hätten die Tochtergesellschaften die Schiffe der Firma F._ verkauft und gleichzeitig im Bareboat Charter (Schiffsbefrachtung ohne Mannschaft) für eine bestimmte Zeitdauer zurückgeleast. Den Tochtergesellschaften sei auf den Zeitpunkt des Ablaufs der Leasingdauer ein Rückkaufsrecht zu einem im Voraus bestimmten Preis eingeräumt worden. Der Kaufpreis habe sich auf 130 Millionen US-Dollar belaufen. Davon habe die Firma F._ ca. 82 Millionen US-Dollar fremdfinanziert. In der Folge hätten die Tochtergesellschaften gegenüber der Firma F._ gegen eine Prämie von 20 Millionen US-Dollar auf die Fortsetzung der Rückcharterung und das Rückkaufsrecht verzichtet. Damit habe die Firma F._ die acht Schiffe im Juli 2004 für über 170 Millionen US-Dollar an die griechische Firma K._ verkaufen können. Das Einverständnis zu diesem für die Firma A._ höchst nachteiligen Geschäft habe auf Vorschlag von Z._ und unter Teilnahme von X._ der Generaldirektor der Firma A._, Y._, erteilt. Die Firma F._ habe mit diesem Geschäft einen Gewinn von rund 60 Millionen US-Dollar erzielt. Entsprechend habe die Firma A._ diesen Gewinn nicht selbst realisieren können, was bei Ausübung des Rückkaufsrecht und Weiterverkauf bzw. bei weiterer Eigenbewirtschaftung möglich gewesen wäre. Am 27. Januar 2003 habe die Firma A._ mit der südkoreanischen Werft L._ einen Vorvertrag geschlossen zur Auftragserteilung für den Bau von vier Tankschiffen des Typs "M._" zu Vorzugsbedingungen; dies unter Einräumung einer Option zum Ankauf zweier weiterer Schiffe desselben Typs zum gleichen Preis, nämlich für 45 Millionen US-Dollar pro Schiff. In diesem Zusammenhang habe X._ seitens der Firma A._ als bevollmächtigter Vertreter namens der Firma D._ einen Vertrag mit der Firma F._ geschlossen, wonach das Geschäft betreffend den Bau der vier Tankschiffe mitsamt Option über die Firma F._ abgewickelt werde. Vertraglich sei vorgesehen gewesen, den Auftrag der Firma A._ mit Aufträgen der Firma F._ an die Werft L._ zusammenzulegen, um so einen günstigeren Preis zu erzielen. Zusätzliche Aufträge seitens der Firma F._ seien jedoch nicht erfolgt. Am 3. März 2003 hätten Y._ für die Firma A._ bzw. X._ für die Firma D._ ohne sachlichen Grund auf die Option für den Bau der beiden zusätzlichen Tankschiffe "M._" zugunsten der Firma F._ verzichtet. Damit sei in jenem Zeitpunkt auf einen Gewinn von 6 Millionen US-Dollar pro Schiff (Differenz zwischen dem Marktwert und dem Ankaufspreis bei der Werft) verzichtet worden. Der Gewinnausfall belaufe sich (bis zum Datum des Berichts des Oberuntersuchungsführers vom 20. September 2005) auf 45 Millionen US-Dollar pro Schiff. Mit auf den 14. August 2003 datiertem Vertrag zwischen der Firma A._, handelnd durch den bevollmächtigten X._, und der Firma F._ sei vereinbart worden, dass die Firma A._ gegen eine Prämie von 2 Millionen US-Dollar pro Schiff zugunsten der Firma F._ auf den Bau von zwei der vier bestellten Tankschiffe verzichte. Am 14. August 2003 habe der Marktwert pro Schiff 47 Millionen US-Dollar betragen. Am 6. Januar 2004, als die Firma A._ im Rahmen der Geschäftsrealisierung je Schiff 11 Millionen US-Dollar, inklusiv die 2 Millionen US-Dollar Prämie, als Rückzahlung der Anzahlung erhalten habe, habe der Marktwert eines Schiffes bereits 52 Millionen US-Dollar betragen. Aufgrund des Verzichts auf die Fortsetzung des Baus zweier Schiffe zugunsten der Firma F._ habe die Firma A._ lediglich 5 Millionen US-Dollar pro Schiff erhalten; der entgangene Gewinn betrage 47 Millionen US-Dollar. Da in dieser Phase die Schiffspreise gestiegen seien, habe die Firma F._ im November bzw. Dezember 2004 die beiden Schiffe an eine deutsche Gesellschaft für je 82 Millionen US-Dollar verkauft. Der Verzicht der Firma A._ auf den weiteren Bau der Schiffe lasse sich aus wirtschaftlicher Sicht nicht erklären. Der fragliche Vertrag sei im Dezember 2003 oder Januar 2004 aufgestellt und unterschrieben, jedoch auf den 14. August 2003 rückdatiert worden. Im Dezember 2002 und Mai 2003 hätten Tochtergesellschaften der Firma A._, vertreten durch den dazu bevollmächtigten X._, die Tankschiffe "N._" und "O._" im Time-Charter für je 19'000 US-Dollar pro Tag an die H._ Ltd. übergeben; dies, obwohl der Marktpreis damals 25'000 US-Dollar betragen habe. Als Garantin sei die Firma G._ aufgetreten. Anschliessend seien die beiden Tankschiffe zu Ansätzen von 32'500 bzw. 41'500 US-Dollar pro Tag weiterverchartert worden. Daraus habe sich für die Firma A._ ein entgangener Gewinn von 13'500 bzw. 22'500 US-Dollar pro Tag ergeben. Nach dem gleichen Schema hätten Tochtergesellschaften der Firma A._ der Firma I._ im Jahr 2003 drei weitere Tankschiffe für die Dauer von drei Jahren verchartert. Der gesamte der Firma A._ dadurch entgangene Gewinn belaufe sich auf über 50 Millionen US-Dollar. Diese Operationen seien auf Anweisung von Y._ und unter aktiver Teilnahme von X._ erfolgt. Mit praktisch allen Verträgen sei überdies die Option auf Verlängerung der für die Firma A._ wirtschaftlich ungünstigen Verträge verbunden, was Z._ ermögliche, die Schiffe eine lange Zeit weiter zu bewirtschaften. Auch diese Entscheide seien von Y._ und X._ für die Tochtergesellschaften der Firma A._ getroffen worden; dies entgegen dem Widerspruch des Direktors der B._ S.A., P._. Entsprechend sei am 26. März 2001 von der Firma G._ der Vertrag für 12 Monate zu 18'000.-- US-Dollar pro Tag mit Option auf ein weiteres Jahr verlängert worden. Im Februar 2002 sei im Zusammenhang mit Senkungen von Tarifen im Frachtmarkt der Tagessatz auf 13'250 US-Dollar herabgesetzt worden, obschon die Firma A._ auf dem bisherigen Betrag hätte beharren können. Seit dem 18. August 2003 gelte der Tarif von 14'500 US-Dollar, obgleich der Marktpreis auf bis zu 25'000 US-Dollar pro Tag zugenommen habe. Für einzelne Schiffe würden diese Bedingungen bis zum Jahr 2008 gelten. Die Belastung der Schiffe mit langfristigen Verträgen vermindere ihren Marktwert, was bei der Firma A._ zu einem Schaden führe. Zurzeit seien etwa zehn Prozent der Schiffe der Firma A._ durch Optionen belastet. Die dadurch verursachte Verringerung des Marktwerts der Schiffe betrage mehr als 27 Millionen US-Dollar. In der untersuchten Zeitperiode hätten Gesellschaften der Gruppe der Firma A._ etwa fünfzig Schiffe verkauft und bestellt. Alle diese Operationen seien mit der Auszahlung einer Kommissionsgebühr an den Broker verbunden gewesen, deren Höhe deutlich über dem Marktniveau gelegen habe. Die Höhe der Eigenkommission des Brokers, der Gesellschaft Q._, habe in mehreren Fällen unter einem Prozent gelegen, während die von den Gesellschaften der Firma A._ ausbezahlten Kommissionen 3 bis 5 Prozent des Geschäftsvolumens betragen hätten. X._ und Z._ hätten eine organisierte Gruppe geleitet, die darauf abgezielt habe, der Firma A._ mittels Täuschung und Vertrauensmissbrauch Schaden zuzufügen sowie das so erlangte Geld zu waschen und für eigennützige Zwecke zu verwenden. Mit ihren strafbaren Handlungen hätten Z._ und X._ der Firma A._ in den Jahren 2001 bis 2005 ein Vermögensschaden von mindestens 400 Millionen US-Dollar zugefügt. Es habe festgestellt werden können, dass X._ bedeutende Geldsummen erhalten habe, welche keine Vergütung für seine Arbeit bei der Firma A._ dargestellt hätten. So seien auf sein Privatkonto grosse Geldsummen überwiesen worden, die er für den Kauf einer Liegenschaft in einem Prestigequartier in London verwendet habe. Z._ seinerseits habe in der englischen Grafschaft R._ eine Liegenschaft gekauft, die mehr als 9,5 Millionen Pfund Sterling wert sei. Der deliktisch erlangte Gewinn sei auf Konten von Firmen, welche unter der Kontrolle von Z._ und X._ stünden, bei Schweizer Banken überwiesen worden. Ein Teil dieser Gelder sei auf Konten anderer Firmen, die ebenfalls von Z._ und X._ kontrolliert würden, bei den gleichen Banken verschoben worden. In der Folge hätten Z._ und X._ die deliktisch erlangten Mittel in der Russischen Föderation investiert, unter anderem in St. Petersburg in der Bau- und Ölwirtschaft. Die Investitionen seien direkt sowie in Form von Anleihen und Beteiligungen erfolgt. Die Firmen, in welche investiert worden sei, seien ebenfalls mit Z._ verbunden. Insgesamt seien auf diese Weise rund 200 Millionen US-Dollar gewaschen worden. Alle für die Firma A._ ungünstigen Verträge hätten die Beteiligten ausserhalb Russlands geschlossen. C. Am 9. März 2007 bewilligte das Bundesamt für Justiz die Auslieferung von X._ an Russland für die dem Auslieferungsersuchen vom 25. Dezember 2006 zugrunde liegenden Straftaten; dies unter der Bedingung, dass die zuständigen russischen Behörden folgende Garantie abgeben: "Die Haftbedingungen dürfen nicht unmenschlich oder erniedrigend im Sinne von Art. 3 EMRK sein; die physische und psychische Integrität der ausgelieferten Person muss gewahrt sein (vgl. auch Art. 7, 10 und 17 des UNO-Pakts II). Die Gesundheit des Häftlings muss in angemessener Weise sichergestellt werden, insbesondere mittels Zugang zu genügender medizinischer Versorgung. Die diplomatische Vertretung der Schweiz ist berechtigt, die ausgelieferte Person ohne jegliche Überwachungsmassnahmen zu besuchen. Die ausgelieferte Person hat jederzeit das Recht, sich an diese zu wenden." D. Die von X._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesstrafgericht (II. Beschwerdekammer) am 5. Juli 2007 im Sinne der Erwägungen ab. Es ergänzte den Auslieferungsentscheid des Bundesamtes wie folgt: "Es wird keine Auslieferung für den Sachverhaltsteil 'Vordatierung des Vertrages vom 14. August 2003' und für den Sachverhalt 'Kommissionsdifferenz beim Verkauf von ca. 50 Schiffen' gewährt. Die Auslieferung beim Sachverhaltskomplex 'Time-Charter über fünf Tanker' wird nicht gewährt für eine Strafverfolgung wegen Teil 1 § 285 und Teil 1 § 286 des russischen StGB." Überdies wies das Bundesstrafgericht das Bundesamt an, den zuständigen russischen Behörden nach Erhalt des bundesstrafgerichtlichen Entscheids umgehend eine Frist von maximal 30 Tagen für die Abgabe der förmlichen Garantieerklärung gemäss dem Auslieferungsentscheid vom 9. März 2007 anzusetzen. E. Mit Eingabe vom 16. Juli 2007 erhob X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, der vorliegende Fall sei als besonders bedeutend im Sinne von Art. 84 des Bundesgesetzes vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (BGG; SR 173.110) einzustufen; dem Beschwerdeführer sei eine angemessen Frist zur Ergänzung der Beschwerdeschrift gemäss Art. 43 BGG einzuräumen; der Entscheid des Bundesstrafgerichtes in Bezug auf die Zulässigkeit der Auslieferung sowie der Auslieferungsentscheid des Bundesamtes seien aufzuheben; die Auslieferung sei abzulehnen; der Beschwerdeführer sei freizulassen und es sei ihm die freie Ausreise zu gestatten. F. Das Bundesstrafgericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet. Das Bundesamt hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, der vorliegende Fall sei nicht als besonders bedeutend im Sinne von Art. 84 BGG einzustufen. G. X._ hat zur Vernehmlassung des Bundesamtes eine Stellungnahme eingereicht. Darin beantragt er neu eventualiter, dass die Schweiz das strafrechtliche Verfahren gegen ihn durchführe (stellvertretende Strafverfolgung). H. Am 15. August 2007 teilte das Bundesgericht den Parteien mit, dass kein Nichteintretensentscheid im Sinne von Art. 109 Abs. 1 BGG ergehe und der Fall deshalb im ordentlichen Verfahren gemäss Art. 20 BGG behandelt werde. Gleichentags gewährte das Bundesgericht X._ in Anwendung von Art. 43 BGG eine nicht erstreckbare Nachfrist bis zum 5. September 2007 für die Einreichung einer ergänzenden Beschwerdeschrift. I. Am 23. August 2007 ersuchte X._ darum, der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sei aufschiebende Wirkung zu gewähren. Er führte aus, in der Beschwerdeschrift vom 16. Juli 2007 habe er die aufschiebende Wirkung nicht beantragt, da diese seines Erachtens von Gesetzes wegen gegeben sei. In einem Schreiben vom 21. August 2007 an das Bundesstrafgericht vertrete das Bundesamt nun die Auffassung, das Verfahren vor Bundesgericht habe keine aufschiebende Wirkung, da diese vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen angeordnet und auch nicht beantragt worden sei; nach Ansicht des Bundesamtes habe das Verfahren vor Bundesgericht gemäss Art. 103 Abs. 2 lit. c BGG "keine automatische aufschiebende Wirkung". Da, soweit ersichtlich, noch keine gefestigte Rechtsprechung zu Art. 103 BGG bestehe und der Beschwerdeführer keinen Nachteil riskieren wolle, stelle er das Gesuch um aufschiebende Wirkung. Mit Verfügung vom 6. September 2007 stellte der bundesgerichtliche Instruktionsrichter fest, dass der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 16. Juli 2007 von Gesetzes wegen aufschiebende Wirkung zukommt. Zur Begründung verwies der Instruktionsrichter zunächst auf Art. 103 BGG. Danach hat die Beschwerde in der Regel keine aufschiebende Wirkung (Abs. 1). Die Beschwerde hat im Umfang der Begehren aufschiebende Wirkung (...) in Verfahren auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen, wenn sie sich gegen eine Schlussverfügung oder gegen jede andere Verfügung richtet, welche die Übermittlung von Auskünften aus dem Geheimbereich oder die Herausgabe von Gegenständen oder Vermögenswerten bewilligt (Abs. 2 lit. c). Der Instruktionsrichter kann über die aufschiebende Wirkung von Amtes wegen oder auf Antrag einer Partei eine andere Anordnung treffen (Abs. 3). Der Instruktionsrichter erwog, einzuräumen sei, dass Art. 103 Abs. 2 lit. c BGG die Auslieferung nicht erwähne. Art. 21 Abs. 4 lit. a des Bundesgesetzes vom 20. März 1981 über internationale Rechtshilfe in Strafsachen (IRSG; SR 351.1) in der Fassung gemäss Bundesgesetz vom 4. Oktober 1996, in Kraft seit 1. Februar 1997, enthalte dazu jedoch eine Sonderbestimmung. Danach komme einer Beschwerde gegen einen Entscheid, der die Auslieferung bewilligt, aufschiebende Wirkung zu. Diese Bestimmung sei mit dem Erlass des Bundesgerichtsgesetzes nicht aufgehoben worden. Bei dieser Sachlage sei nicht davon auszugehen, dass der Gesetzgeber mit Art. 103 Abs. 2 lit. c BGG an der aufschiebenden Wirkung von Beschwerden gegen Entscheide, die eine Auslieferung bewilligen, etwas habe ändern wollen. Dafür enthielten die Materialien auch keine Anhaltspunkte. Wie das Bundesstrafgericht in der Vernehmlassung zum Gesuch zutreffend darlege, entstünde ein gesetzlicher Wertungswiderspruch, wenn lediglich die Beschwerde gegen eine Verfügung aufschiebende Wirkung hätte, welche die Übermittlung von Auskünften aus dem Geheimbereich oder die Herausgabe von Gegenständen oder Vermögenswerten bewilligt, nicht aber die Beschwerde gegen einen Entscheid, der die Auslieferung bewilligt. Die Auslieferung stelle den schwereren Eingriff dar. Daher müsse hier die aufschiebende Wirkung von Gesetzes wegen erst recht gegeben sein. Nach dem Sinn und Zweck von Art. 103 Abs. 2 lit. c BGG sollen Auskünfte aus dem Geheimbereich sowie Gegenstände und Vermögenswerte erst dann an den ersuchenden Staat herausgegeben werden, wenn endgültig feststehe, dass Rechtshilfe gewährt werde. Bei Personen könne nichts anderes gelten. J. Am 5. September 2007 reichte X._ dem Bundesgericht die ergänzende Beschwerdeschrift ein. K. Das Bundesstrafgericht hat auf Gegenbemerkungen dazu verzichtet. Das Bundesamt hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. X._ hat zur Vernehmlassung des Bundesamtes eine Replik eingereicht. Das Bundesamt hat auf eine Duplik verzichtet. 