Sachverhalt: A. A.a. Die SUISA Genossenschaft der Urheber und Verleger von Musik, Zürich, (SUISA, Klägerin, Beschwerdegegnerin) ist die schweizerische Verwertungsgesellschaft für die Aufführungsrechte an nicht theatralischen Werken der Musik und übt ihre Tätigkeit mit Bewilligung des Eidgenössischen Instituts für Geistiges Eigentum (IGE) aus. Die Basel Tattoo Productions GmbH, Basel, (Beklagte, Beschwerdeführerin) produziert in Basel seit einigen Jahren die Veranstaltung "Basel Tattoo", die jeweils im Sommer auf dem Areal der ehemaligen Kaserne von Basel stattfindet. A.b. Die Parteien schlossen am 23. September 2005 einen Vertrag über die Zahlung von Gebühren für die im Rahmen des Basel Tattoo gespielte urheberrechtlich geschützte Musik ab. Gemäss diesem Vertrag erfolgt die Abrechnung nach dem von der Eidgenössischen Schiedskommission für die Verwertung von Urheberrechten und verwandten Schutzrechten (Schiedskommission) am 27. November 2006 bzw. 1. Dezember 2008 genehmigten Gemeinsamen Tarif K bzw. Ka betreffend Grosskonzerte und konzertähnliche Darbietungen; Letzterer ist seit dem Jahre 2009 anwendbar. Ziffern 14 f. von Tarif K (gültig bis Ende 2008 und somit auf die Veranstaltung des Basel Tattoo 2007 anwendbar) sehen Folgendes vor: "14 Der Prozentsatz [von 10 % der Einnahmen] wird reduziert im Verhältnis Dauer der geschützten Musik : Dauer des Konzertes ohne Pausen, wenn der Kunde rechtzeitig ein Verzeichnis der aufgeführten Musik ein- reicht. 15 Bei konzertäh nlichen Darbietungen wird der Prozentsatz halbiert, wenn die Musik nur untergeordnete oder begleitende Funktion hat, wie zum Beispiel bei revueartigen, choreographischen Darbietungen oder Auf- führungen theatralischer Werke mit Begleitmusik." Ziffern 14 f. von Tarif Ka (gültig sei dem 1. Januar 2009 und damit für das Basel Tattoo 2009 massgebend) lauten wie folgt: " 14 Er [der Prozentsatz von 10 % der Einnahmen] wird reduziert 14.1 bei Konzerten im Verhältnis Dauer der geschützten Musik : Gesamtdauer der aufgeführten Musik, wenn der Kunde rechtzeitig ein Verzeichnis der aufgeführten Musik einreicht. 14.2 bei konzertäh nlichen Darbietungen im Verhältnis Dauer der geschützten Musik : Dauer der Veranstaltung ohne Pausen wenn der Kunde rechtzeitig ein Verzeichnis der aufgeführten Musik [...] sowie eine Aufstellung aller Darbietungen während der Veranstaltungen unter Angabe der jeweiligen Dauer einreicht. 15 Bei konzertähnlichen Darbietungen wird der Prozentsatz halbiert, wenn die Musik gleichzeitig mit anderen urheberrechtlich geschützten Werken oder Werkteilen aufgeführ t wird und wenn die Musik nur untergeordnete oder begleitende Funktion hat, wie zum Beispiel bei revueartigen, cho- reographischen Darbietungen oder Aufführungen theatralischer Werke mit Begleitmusik." Für das Basel Tattoo 2006 stellte die SUISA am 15. Dezember 2006 Rechnung; diese wurde - nach Bereinigung einer Differenz bezüglich nicht urheberrechtlich geschützter Musik - am 28. Februar 2007 im Betrag von Fr. 69'042.10 beglichen. Für das Basel Tattoo 2007 stellte die SUISA am 19. Dezember 2007 Rechnung, die am 9. April 2008 auf den Betrag von Fr. 190'331.60 abgeändert wurde. Diese Rechnung wurde am 17. April 2008 bezahlt, wobei die Basel Tattoo Productions GmbH der SUISA mitteilte, die Bezahlung erfolge unter Vorbehalt. In Bezug auf die Rechnung für das Basel Tattoo 2008 bestanden zwischen den Parteien keine Differenzen. Für das Basel Tattoo 2009 stellte die SUISA am 25. Februar 2010 eine Rechnung von Fr. 196'715.30; die Basel Tattoo Productions GmbH bestritt ihre Zahlungspflicht. B. B.a. Mit Klage vom 27. Oktober 2010 beantragte die SUISA dem Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt, es sei die Basel Tattoo Productions GmbH zur Zahlung von Fr. 196'715.30 nebst Zins sowie von Fr. 34'714.45 nebst Zins zu verurteilen. Der zweitgenannte Betrag betraf eine Ermässigung, die in der Rechnung berücksichtigt worden war; die SUISA vertrat die Auffassung, der Anspruch auf diese Ermässigung sei zufolge nicht fristgemässer Bezahlung verwirkt. Am 11. Februar 2011 bezahlte die Beklagte die Rechnung für das Jahr 2009. Die SUISA änderte daraufhin ihre Rechtsbegehren: Sie verlangte, die Klage sei im Umfang der bezahlten Rechnung infolge Klageanerkennung abzuschreiben und die Beklagte sei zur Zahlung von Fr. 34'714.45 nebst Zins (Betrag der nach Ansicht der Klägerin verwirkten Ermässigung) zu verurteilen. Eventualiter sei gemäss den ursprünglichen Rechtsbegehren zu entscheiden. Die Beklagte widersetzte sich diesem Änderungsantrag und wies darauf hin, dass die Zahlung der Rechnung unter Vorbehalt erfolgt sei. Mit Entscheid vom 27. Juni 2012 schützte das Zivilgericht die eingeklagte Forderung für das Jahr 2009 zur Hälfte (d.h. im Betrag von Fr. 98'357.65), liess jedoch gleichzeitig die Einrede der Verrechnung der Beklagten für zu viel geleistete Zahlungen per 2007 im Betrag von Fr. 95'165.80 zu und verpflichtete die Beklagte zur Bezahlung von Zins zu 5 % seit dem 27. Oktober 2010 auf dem Differenzbetrag. Die Mehrforderungen der Klägerin wies das Zivilgericht ab und liess auch die Einrede der Verrechnung der Beklagten für zu viel geleistete Zahlungen per 2006 nicht zu. B.b. Gegen das Urteil des Zivilgerichts vom 27. Juni 2012 erhob die SUISA Berufung an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt und beantragte, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Klage sei im Umfang von Fr. 196'715.30 infolge Klageanerkennung (Zahlung vom 11. Februar 2011) abzuschreiben; weiter sei die Beklagte zur Zahlung der verwirkten Ermässigung von Fr. 34'714.45, zuzüglich Zins zu 5 % seit 15. Mai 2010 zu verpflichten. Mit Entscheid vom 20. Juni 2013 hob das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt das Urteil des Zivilgerichts vom 27. Juni 2012 in Gutheissung der Berufung der Klägerin auf und verurteilte die Beklagte zur Zahlung von Fr. 196'715.30, zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 27. Oktober 2010. Gleichzeitig rechnete das Appellationsgericht die Zahlung vom 11. Februar 2011 von Fr. 196'715.30 an die Urteilssumme an, so dass die Beklagte nur noch verpflichtet war, Zins zu 5 % auf Fr. 196'715.30 für die Zeit seit dem 27. Oktober 2010 bis zum 11. Februar 2011 zu bezahlen. Die weitergehenden Klagebegehren wies es ab. Das Appellationsgericht erachtete insbesondere das Argument der Beklagten, die Basel Tattoos 2007 und 2009 seien je gesamthaft als urheberrechtlich geschütztes Bühnenwerk anzusehen, das die geschützte Musik in den Hintergrund dränge, für unzutreffend. Die doppelte Voraussetzung für eine Tarifreduktion nach Ziffer 15, dass nämlich die Musik gleichzeitig mit anderen urheberrechtlich geschützten Werken oder Werkteilen aufgeführt wird und der Musik nur untergeordnete oder begleitende Funktion zukommt, sah es nur bei wenigen Einzeldarbietungen als erfüllt an; es verzichtete allerdings darauf, die ausgestellten Rechnungen von sich aus zu korrigieren, nachdem sich nicht aus den Rechtsschriften ergab, wie eine solche Korrektur im Einzelnen vorzunehmen gewesen wäre. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beklagte dem Bundesgericht, es sei der angefochtene Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 20. Juni 2013 aufzuheben und der Entscheid des Zivilgerichts Basel-Stadt vom 27. Juni 2012 zu bestätigen. Eventualiter sei der angefochtene Entscheid vom 20. Juni 2013 aufzuheben und der Fall zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Beschwerdeführerin reichte dem Bundesgericht am 12. Dezember 2013 eine Replik ein. Die Beschwerdegegnerin teilte dem Bundesgericht mit Eingabe vom 18. Dezember 2013 mit, auf Bemerkungen zur Replik zu verzichten. 