Sachverhalt: A. Die X._ AG ist mit Wirkung ab 1. April 1999 im Register der mehrwertsteuerpflichtigen Personen bei der Steuerverwaltung des Fürstentums Liechtenstein eingetragen. Gemäss den Angaben auf dem Fragebogen zur Mehrwertsteuerpflicht bezweckt sie den Erwerb, die Verwaltung und die Veräusserung von kommerziellen Flugzeugen sowie sämtliche Aktivitäten auf dem Gebiet der Aeronautik und des Lufttransports. Mit Vertrag vom 15. Januar 2000 erwarb sie von der S._ SA in M._ als Eigentümerin und Halterin des in der Schweiz immatrikulierten Flugzeugs Pilatus PC 12/45, HB-xxx, das ausschliessliche Nutzungsrecht an dieser Maschine. Die von der X._ AG an die S._ SA zu leistende Entschädigung belief sich auf jährlich Fr. _ zuzüglich Wartungskosten und Mehrwertsteuern. Das Flugzeug wurde fast ausschliesslich durch den in der Schweiz wohnhaften B._ geflogen. Die X._ AG ist zudem Eigentümerin eines Flugzeugs Piper Dakota mit der schweizerischen Immatrikulation HB-yyy. Dieses wurde per 31. Dezember 2002 mit Fr. 63'963.50 bilanziert. Es weist nur wenige Flugstunden auf und wurde gemäss den Angaben der X._ AG nur eingesetzt, wenn das Flugzeug Pilatus PC 12/45 z.B. wegen Wartungsarbeiten nicht zur Verfügung stand. B. Mit Verfügung vom 15. Juli 2008 strich die Steuerverwaltung des Fürstentums Liechtenstein die X._ AG rückwirkend aus dem Register der Mehrwertsteuerpflichtigen und ordnete die Rückerstattung der gesamten geltend gemachten Vorsteuern an. Die von der X._ AG auf Lieferungen und Dienstleistungen in Rechnung gestellten Mehrwertsteuern blieben demgegenüber geschuldet. Mit Einspracheentscheid vom 25. Februar 2009 bestätigte die Steuerverwaltung die Löschung im Register rückwirkend ab 1. Januar 2001 und stellte fest, dass die X._ AG der Steuerverwaltung aus der Rückerstattung der Vorsteuern noch Fr. 191'093.95 schulde. Die Steuerforderungen des Jahres 2000 seien verjährt. Die Steuerverwaltung befand, die X._ AG vermiete das Flugzeug Pilatus PC 12/45 ausschliesslich an B._ sowie an die von ihm wirtschaftlich beherrschten Gesellschaften T._ SA, N._/RO, U._ SA, O._/VD, und U._ International AG, P._/FL. Mit den eingereichten Unterlagen könne der Nachweis nicht erbracht werden, dass die Aufwendungen der X._ AG in einem geschäftlichen Zusammenhang mit diesen Gesellschaften stünden. Etliche Vermerke in den Fluglisten liessen zudem erkennen, dass die Aufwendungen für den wirtschaftlich Berechtigten persönlich erfolgten. Als private Flüge seien namentlich die Teilnahme von B._ an Flugrallyes und dessen Flüge zu Feriendestinationen zu werten. Für die restlichen Flüge (ausmachend rund 40 %) werde der Nachweis der geschäftlichen Verwendung nicht erbracht. Es sei davon auszugehen, dass keine Leistungsaustausche zwischen der X._ AG und den weiteren Gesellschaften stattfänden. Es stelle sich auch die Frage der Steuerumgehung. C. Die Steuerpflichtige führte Beschwerde bei der Landessteuerkommission des Fürstentums Liechtenstein. Diese wies mit Entscheidung vom 20. August 2009 die Beschwerde ab. Sie liess die Frage der Steuerumgehung offen, da sich die rückwirkende Streichung aus dem Mehrwertsteuerregister bereits aus den fehlenden Leistungsaustauschen (Innenumsätzen) ergäbe. Der in der Folge angerufene Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein wies mit Urteil vom 8. April 2010 die Beschwerde ebenfalls ab, wobei er davon ausging, dass eine Steuerumgehung vorliege. D. Mit Beschwerde vom 31. Mai 2010 beantragt die X._ AG dem Bundesgericht, der Entscheid des Verwaltungsgerichtshofs des Fürstentums Liechtenstein vom 8. April 2010 und der Entscheid über die rückwirkende Löschung der Gesellschaft im Mehrwertsteuerregister per 1. Januar 2001 sei aufzuheben; es sei festzustellen, dass die Beschwerdeführerin nicht verpflichtet sei, die für die Perioden vom 1. Januar 2001 bis 31. Dezember 2004 deklarierten Vorsteuern zurückzuzahlen. Eventualiter seien die geltend gemachten Vorsteuern um den Privatanteil von 9 % zu kürzen. Subeventualiter sei der Beschwerdeführerin zu gestatten, für die Rückerstattung der auf den steuerbefreiten Flügen irrtümlich in Rechnung gestellten Mehrwertsteuern Gutschriftsanzeigen vorzulegen. Die liechtensteinische Steuerverwaltung verweist auf ihre Ausführungen im Einspracheentscheid. Der Verwaltungsgerichtshof hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Die zur Vernehmlassung ebenfalls eingeladene Eidgenössische Steuerverwaltung beantragt Abweisung der Beschwerde. Das Bundesgericht hat über die Beschwerde am 19. März 2012 öffentlich beraten. 