Sachverhalt: A. Der 1959 geborene S._ war im Polizeidienst tätig und dadurch bei der Helvetia Unfall Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Helvetia) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er am 22. April 1986 einen Unfall erlitt. Er sass auf dem Beifahrersitz und seine Verlobte auf dem Rücksitz eines Personenwagens. Aufgrund eines Bedienungsfehlers der Lernfahrerin, welche den Wagen lenkte, geriet dieser über den Strassenrand und fiel in einen Fluss. Die Lernfahrerin blieb unverletzt. Die Verlobte ertrank. S._ konnte sich aus dem Fahrzeug befreien, wobei er schwere Verletzungen am linken Unterschenkel erlitt. Die Helvetia gewährte ihm Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 12. Oktober 1988 sprach sie S._ für die verbleibende Schädigung am Bein eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage einer Integritätseinbusse von 13.3 % zu. Mit Verfügung vom 11. September 1990 schloss die Elvia Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Elvia) als Rechtsnachfolgerin der Helvetia den Fall ab, wobei sie dem Versicherten für die Zeit vom 1. Oktober 1989 bis 30. September 1994 eine befristete Invalidenrente auf der Grundlage eines Invaliditätsgrades von anfänglich 30 %, ab 1. Oktober 1992 von 15 %, zusprach. S._ war in der Folge für verschiedene Arbeitgeber tätig. Im März 2002 meldete er Schmerzen im linken Unterschenkel als Rückfall zum Unfall vom 22. April 1986. Die Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Allianz) als Rechtsnachfolgerin der Elvia erbrachte zunächst erneut die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung; Taggeld) und traf medizinische Abklärungen (u.a. Einholung des Gutachtens des PD Dr. med. A._, Spezialarzt für Chirurgie FMH, vom 18. Dezember 2003 mit mehreren Ergänzungen). Mit Verfügung vom 22. März 2004 stellte sie die Leistungen (bis auf die Zusicherung der Übernahme von Stützstrümpfen) auf den 1. März 2004 ein und lehnte es ab, eine Invalidenrente auszurichten und die Integritätsentschädigung zu erhöhen. Daran hielt die Allianz auf die vom Versicherten erhobene Einsprache hin fest (Einspracheentscheid vom 6. Dezember 2004). B. Beschwerdeweise beantragte S._, der Einspracheentscheid vom 6. Dezember 2004 sei aufzuheben, soweit nur Stützstrümpfe übernommen würden. Es sei, nötigenfalls nach ergänzenden medizinischen Abklärungen, eine (Rest-)Erwerbsfähigkeit von 50 % anzuerkennen und festzustellen, dass der Integritätsschaden, welcher der Integritätsentschädigung zugrunde zu legen sei, gesamthaft 40 % betrage. Das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn sistierte das Verfahren mehrfach, zuletzt bis zum Vorliegen eines am 13. Juni 2008 gefällten Entscheides des Kantonsgerichtes Basel-Landschaft. Darin wurde festgestellt, dass S._ Anspruch auf eine halbe Rente der Invalidenversicherung (bei noch zu bestimmendem und in der Folge auf den 1. Februar 2003 festgelegtem Zeitpunkt des Rentenbeginns) habe. Das Versicherungsgericht zog sodann die IV-Akten (worunter das polydisziplinäre medizinische Gutachten des Instituts X._ vom 3. November 2006 und die psychiatrische Expertise des Dr. med. B._ vom 3. April 2005) bei. Mit Entscheid vom 3. Juni 2009 hob es die Verfügung vom 22. März 2004 und den Einspracheentscheid der Allianz vom 6. Dezember 2004 auf. Es wies die Sache mit verschiedenen Vorgaben zur neuen Verfügung über den Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Erhöhung der Integritätsentschädigung an den Unfallversicherer zurück. C. Die Allianz führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei der kantonale Entscheid aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 6. Dezember 2004 zu bestätigen. S._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Für den Fall, dass anders entschieden werde, beantragt er die unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. 