Sachverhalt: Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 22. Mai 2002 lehnte die Ausgleichskasse des Kantons Zürich das Gesuch der 1919 geborenen B._ um Ausrichtung einer Hilflosenentschädigung der Alters- und Hinterlassenenversicherung ab mit der Begründung, die Versicherte sei einzig für die Fortbewegung ausserhalb des Hauses auf Dritthilfe angewiesen. A. Mit Verfügung vom 22. Mai 2002 lehnte die Ausgleichskasse des Kantons Zürich das Gesuch der 1919 geborenen B._ um Ausrichtung einer Hilflosenentschädigung der Alters- und Hinterlassenenversicherung ab mit der Begründung, die Versicherte sei einzig für die Fortbewegung ausserhalb des Hauses auf Dritthilfe angewiesen. B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die hiegegen eingereichte Beschwerde ab. Dabei ging es, nachdem die Verwaltung neu auch hinsichtlich des An- und Auskleidens und der Körperpflege eine Hilflosigkeit bejaht hatte, von einer Notwendigkeit der Dritthilfe für die drei Lebensverrichtungen "Ankleiden/Auskleiden", "Aufstehen/Absitzen/Abliegen" und "Fortbewegung/Kontaktaufnahme" aus, wohingegen es eine Hilfsbedürftigkeit beim Essen, bei der Körperpflege und bei der Verrichtung der Notdurft verneinte (Entscheid vom 5. März 2003). B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die hiegegen eingereichte Beschwerde ab. Dabei ging es, nachdem die Verwaltung neu auch hinsichtlich des An- und Auskleidens und der Körperpflege eine Hilflosigkeit bejaht hatte, von einer Notwendigkeit der Dritthilfe für die drei Lebensverrichtungen "Ankleiden/Auskleiden", "Aufstehen/Absitzen/Abliegen" und "Fortbewegung/Kontaktaufnahme" aus, wohingegen es eine Hilfsbedürftigkeit beim Essen, bei der Körperpflege und bei der Verrichtung der Notdurft verneinte (Entscheid vom 5. März 2003). C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt B._, die vorbringt, sie sei zusätzlich zu den von der Vorinstanz anerkannten Einschränkungen auch beim Essen, bei der Körperpflege und bei der Notdurftverrichtung hilflos, beantragen, der kantonale Gerichtsentscheid und die Verwaltungsverfügung seien aufzuheben und es sei ihr eine Hilflosenentschädigung der Alters- und Hinterlassenenversicherung zuzusprechen; eventuell sei die Sache zur Festlegung des Zeitpunktes des Anspruchsbeginns an die Ausgleichskasse zurückzuweisen. Die IV-Stelle, die auf die Ausführungen im vorinstanzlichen Entscheid verweist, und das Bundesamt für Sozialversicherung verzichten auf eine Vernehmlassung. 