Sachverhalt: A. A.a. Die 1963 geborene G._ leidet an Rückenschmerzen (chronisches lumbo-spondylogenes Syndrom mit residueller sensibler radikulärer Symptomatik S1 nach einer Diskektomie L5/S1 von 2006) sowie an einer Dysthymie. Sie bezog für die Zeit von Juli 1998 bis April 2001 eine halbe und seit Mai 2001 eine ganze Invalidenrente (Verfügung der IV-Stelle Luzern vom 21. Januar 2002). Nach einer revisionsweise Überprüfung des Leistungsanspruchs bestätigte die IV-Stelle den Rentenanspruch mit Verfügung vom 20. März 2003. Unter anderem gestützt auf ein interdisziplinäres (psychiatrisches, neuropsychologisches und neurochirurgisches) Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS) vom 22. August 2009 hob die Verwaltung die Invalidenrente im Rahmen eines weiteren Revisionsverfahrens per Ende Januar 2010 auf (Verfügung vom 8. Dezember 2009). Auf Beschwerde der Versicherten hin wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern (heute: Kantonsgericht) die Sache zur Einholung eines rheumatologischen Gutachtens und zur neuen Verfügung an die IV-Stelle zurück (Entscheid vom 2. Dezember 2010). A.b. Im Auftrag der IV-Stelle erstattete der Rheumatologe Dr. M._ am 18. August 2011 ein Gutachten. Die Verwaltung ging wiederum davon aus, es bestehe kein rentenbegründender Invaliditätsgrad mehr, und hob die laufende Invalidenrente mit Wirkung per Ende Dezember 2011 hin auf (Verfügung vom 28. November 2011). B. Das Kantonsgericht Luzern wies die hiegegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 4. September 2013). C. G._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass ihr die bisherige Rente weiterhin zustehe. Ausserdem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Rechtsvertretung). Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherung verzichten auf eine Stellungnahme. 