Sachverhalt: A. A.a X._ (Beschwerdeführerin), eine juristische Person mit Sitz in Istanbul, ist ein türkischer Fussballclub. Die Beschwerdeführerin ist Mitglied des türkischen Fussballverbands, der wiederum der Fédération Internationale de Football Association (FIFA; Verfahrensbeteiligte) mit Sitz in Zürich angehört. A._ (Beschwerdegegner), ist ein professioneller Fussballspieler aus Y._. Er spielt derzeit beim italienischen Fussballclub FC Z._. A.b Seit der Saison 2003/2004 spielte der Beschwerdegegner für den italienischen Fussballclub Q._. Im Juli 2005 stimmte der Q._ gegen Erhalt einer Entschädigung von EUR 8 Mio. einem Transfer des Beschwerdegegners zur Beschwerdeführerin zu. Im Zusammenhang mit diesem Transfer musste die Beschwerdeführerin zudem Solidaritätsbeiträge an Dritte im Betrag von EUR 390'000.-- erbringen. Zudem zahlte sie dem Spielervermittler des Beschwerdegegners EUR 200'000.--. Am 19. Juli 2005 schloss der Beschwerdegegner mit der Beschwerdeführerin einen Arbeitsvertrag mit einer festen Dauer vom 1. Juli 2005 bis 30. Juni 2009 ab. Der Vertrag sah neben einem sofort zahlbaren Handgeld ("signing fee") von EUR 250'000.-- für die vereinbarten vier Dienstjahre ein Jahressalär von EUR 1.85 Mio. (1. Jahr), EUR 1.9 Mio. (2. Jahr), EUR 1.95 Mio. (3. Jahr) bzw. EUR 2 Mio. (4. Jahr) vor. Im Weiteren verpflichtete sich die Beschwerdeführerin, dem Beschwerdegegner einen Audi A4, eine möblierte Wohnung sowie jährlich fünf Flugscheine Istanbul - Y._ - Istanbul zur Verfügung zu stellen. Der Beschwerdeführerin wurde schliesslich das Recht eingeräumt, das Arbeitsverhältnis einseitig um ein Jahr, d.h. für die Spielsaison 2009/2010, zu verlängern. In der Folge unterzeichneten die Parteien einen weiteren, undatierten Arbeitsvertrag, der die Bedingungen der Vereinbarung vom 19. Juli 2005 bestätigte und einzelne Punkte ergänzte. So wurde unter anderem der Betrag für die dem Beschwerdegegner zur Verfügung zu stellende möblierte Wohnung auf USD 3'000.-- beschränkt und eine erfolgsabhängige Prämie auf Grundlage des "incentive scheme" der Beschwerdeführerin vereinbart, die dem Spieler zusätzlich zu seinem Salär zustehen soll. Der Beschwerdegegner verpflichtete sich zudem ausdrücklich, die Reglemente der Beschwerdeführerin zu beachten, ihre Weisungen zu befolgen, seiner Gesundheit Sorge zu tragen und an den offiziellen Spielen, Freundschaftsspielen, Trainings und Trainingslagern der Beschwerdeführerin teilzunehmen. Am 22. Juli 2005 unterzeichneten die Parteien einen dritten Vertrag, der dem Formularvertrag des türkischen Fussballverbands entspricht. Darin wiederholten sie im Wesentlichen die Bedingungen der beiden vorangehenden Vereinbarungen, mit Ausnahme der Vertragsdauer, die um einen Monat (d.h. bis zum 31. Mai 2009) verkürzt wurde, sowie der Bestimmung, dass der versprochene Lohn ohne Abzug von Steuern ("free of taxes of the Player") zu entrichten sei. A.c Im Januar 2007 verletzte sich der Beschwerdegegner anlässlich eines Freundschaftsspiels in Ankara am linken Knie. Nachdem die Verletzung im März 2007 noch nicht verheilt war, veranlasste die Beschwerdeführerin eine medizinische Untersuchung im R._ Spital in Instanbul. Dabei wurde eine Schädigung des Knorpels festgestellt, die einen operativen Eingriff erforderlich machte. Der Beschwerdegegner spielte jedoch noch bis zum Ende der Saison 2006/2007 weiter, in der die Beschwerdeführerin den türkischen Meistertitel gewann. Am 24. Mai 2007 unterzog sich der Beschwerdegegner einer Operation. Dabei wurde in Anwendung eines besonderen Transplantationsverfahrens ("mosaicplasty") der beschädigte durch einen gesunden Knorpel ersetzt. Während der Erholungsphase nach durchgeführter Operation führten der Beschwerdegegner und seine Berater Gespräche mit anderen Fussballclubs. Am 11. Juli 2007 bestätigte der FC S._ gegenüber der Beschwerdeführerin sein Interesse an einer Übernahme des Spielers gegen eine Entschädigung von EUR 4 Mio. Obwohl die Beschwerdeführerin dieses Angebot ablehnte, drängten die Berater weiter auf einen Transfer, worauf die Beschwerdeführerin der FIFA beantragte, Sanktionen gegen die Berater des Beschwerdegegners und den deutschen Fussballclub zu verhängen. Am 5. September 2007 wurde der Beschwerdegegner, nachdem er sich über Ermüdungs- und Atemnoterscheinungen sowie Husten beklagt hatte, wiederum in das R._ Spital überwiesen. Ein Lungenspezialist diagnostizierte daraufhin eine Asthmaerkrankung und verschrieb die Einnahme von Medikamenten. Am 10. Oktober 2007 wurde der Beschwerdegegner wegen Atembeschwerden erneut in das gleiche Spital eingewiesen. Im Oktober 2007 nahm der Beschwerdegegner seine offizielle Wettkampftätigkeit wieder auf. Er spielte im November 2007 anlässlich eines Vierländerturniers für die Nationalmannschaft Y._ und absolvierte am 1. Dezember 2007 sein letztes Wettkampfspiel für die Beschwerdeführerin. Im Dezember 2007 wurde der Beschwerdegegner abermals in das R._ Spital eingewiesen, da sich sein Gesundheitszustand nicht gebessert hatte. Diesmal stellten die Ärzte eine akute Thrombose im linken Oberschenkel sowie eine Lungenembolie fest. Diese Diagnose wurde sodann auch von den italienischen Ärzten bestätigt, die der Beschwerdegegner im Dezember 2007 bzw. Januar 2008 mit Zustimmung der Beschwerdeführerin konsultierte. Am 12. Januar 2008 fand in Italien ein Treffen statt, an dem neben dem Beschwerdegegner sowie verschiedenen Vertretern der Beschwerdeführerin auch ein Arzt des R._ Spitals und die vom Beschwerdegegner beauftragten Ärzte teilnahmen. Anlässlich dieses Treffens wurde der Beschwerdegegner erneut untersucht, wobei die italienischen Ärzte diverse Blutgefässerkrankungen im operierten linken Bein des Spielers sowie eine Lungenembolie feststellten. Noch während des Treffens kam es zwischen den medizinischen Experten der Parteien zu Meinungsverschiedenheiten hinsichtlich der Diagnose, der erforderlichen Behandlung sowie der Frage, ab wann der Spieler wieder in der Lage sein sollte, zu trainieren und wettkampfmässig zu spielen. Angesichts der verletzungsbedingten Spielunfähigkeit bat die Beschwerdeführerin den Beschwerdegegner um Aussetzung seiner Spielberechtigung bis zum letzten Spiel der Saison 2007/2008, das auf den 11. Mai 2008 angesetzt war, was der Beschwerdeführerin nach den anwendbaren Regeln des türkischen Fussballverbands erlaubt hätte, einen anderen ausländischen Spieler anstelle des Beschwerdegegners einzusetzen. Am 14. Januar 2008 bestätigte die Beschwerdeführerin gegenüber dem Beschwerdegegner, dass er trotz Aussetzung seiner Spielberechtigung weiterhin seinen Lohn sowie andere vertragliche Leistungen erhalten und sein Arbeitsvertrag aufrechterhalten würde. Der Beschwerdegegner verweigerte seine Zustimmung, da ihm die möglichen Folgen einer solchen Aussetzung seiner Spielberechtigung unklar waren. Am 16. Januar 2008 bat die Beschwerdeführerin den Beschwerdegegner, der sich noch immer in Italien aufhielt, sich bis spätestens 19. Januar 2008 zurück zur Mannschaft nach Istanbul zu begeben, um seine medizinische Behandlung und Rehabilitation unter der Aufsicht ihres Medizinalpersonals weiterzuführen. Dabei drohte sie ihm an, seinen Fall der FIFA zu melden, sollte er diese Anweisungen nicht befolgen. Der Beschwerdegegner erschien am 19. Januar 2008 nicht in Instanbul, sondern reiste nach Y._, um zwischen 20. Januar und 10. März 2008 dem Afrika Cup als Berater ("special adivsor") beizuwohnen. Am 22. Januar 2008 erklärte die Beschwerdeführerin, ihr vertragliches Recht zur Verlängerung des Arbeitsverhältnisses um ein Jahr ausüben zu wollen. Im Weiteren forderte sie den Beschwerdegegner auf, unverzüglich nach Istanbul zurückzukehren. Am 25. Januar 2008 hielt die Beschwerdeführerin den Beschwerdegegner vergeblich dazu an, sich auf ihre Kosten für eine am 29. Januar 2008 vorgesehene Untersuchung in die T._ Klinik, Arizona (USA), zu begeben. A.d Am 28. Januar 2008 verhängte die interne Disziplinarkommission der Beschwerdeführerin eine Busse im Betrag von USD 73'500.-- gegen den Beschwerdegegner wegen Zuwiderhandlung gegen verschiedene Bestimmungen der internen Reglemente. A.e Mit Schreiben vom 31. Januar und 4. Februar 2008 beschwerte sich die Beschwerdeführerin bei der FIFA und beantragte ihr unter anderem, es seien der Beschwerdegegner und seine Berater zu verwarnen, es sei der Beschwerdegegner zur Rückkehr nach Istanbul aufzufordern und es seien sportliche Sanktionen zu verhängen. Es folgte ein Austausch verschiedener Eingaben. Am 21. April 2008 leitete die Beschwerdeführerin bei der Kammer zur Beilegung von Streitigkeiten der FIFA ("Dispute Resolution Chamber") ein Verfahren ein und beantragte, der Beschwerdegegner sei zur Zahlung einer Entschädigung im Betrag von EUR 12 Mio. zu verpflichten und zudem während sechs Monaten für die Teilnahme an offiziellen Wettkämpfen zu sperren. Mit Entscheid vom 9. Januar 2009 sprach die Kammer zur Beilegung von Streitigkeiten der Beschwerdeführerin eine Entschädigung von EUR 2'281'915.-- zu; die Widerklage des Beschwerdegegners wies sie ab. Im November 2009 unterzeichnete der Beschwerdegegner einen Einjahresvertrag mit dem Fussballclub FC Z._ für ein Jahressalär von ungefähr EUR 200'000.-- netto. Bislang wurde er allerdings bei keinem offiziellen Spiel eingesetzt. B. Am 25. Mai 2009 appellierte die Beschwerdeführerin beim Tribunal Arbitral du Sport (TAS) gegen den Entscheid der Kammer zur Beilegung von Streitigkeiten der FIFA vom 9. Januar 2009 mit dem Antrag, es sei der angefochten Entscheid teilweise aufzuheben und der Beschwerdegegner zur Zahlung von EUR 12'131'178.-- sowie EUR 701'190.--, jeweils zuzüglich Zins, zu verpflichten. Ebenfalls am 25. Mai 2009 erhob der Beschwerdegegner beim TAS Berufung gegen den Entscheid der Kammer zur Beilegung von Streitigkeiten der FIFA vom 9. Januar 2009. Er beantragte, es sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und festzustellen, dass er gegenüber der Beschwerdeführerin nicht haftbar sei, weil er sein Arbeitsverhältnis aus wichtigem Grund beendet habe, eventualiter weil der geschuldete Schadenersatz Null betrage. Zudem sei die Beschwerdeführerin widerklageweise wegen Vertragsverletzung und unerlaubter Handlung zu einer vom Schiedsgericht festzusetzenden Schadenersatzzahlung zu verurteilen. Mit Schiedsspruch vom 7. Juni 2010 hiess das TAS die Berufung des Beschwerdegegners insoweit gut, als es den Entscheid der Kammer zur Beilegung von Streitigkeiten der FIFA vom 9. Januar 2009 teilweise aufhob, das Klagebegehren der Beschwerdeführerin abwies und feststellte, dass der Beschwerdegegner keine Entschädigung schulde. Das TAS erwog gestützt auf die Reglemente der FIFA sowie das subsidiär anwendbare schweizerische Recht, dass dem Beschwerdegegner eine Vertragsverletzung vorzuwerfen sei. Hinsichtlich der Vertragsdauer hielt es dafür, dass die Beschwerdeführerin aufgrund ihrer Lohnzahlungen sowie ihres sonstigen Verhaltens zu Beginn des Jahres 2008 anerkannt habe, dass das bis Ende Mai 2009 befristete Arbeitsverhältnis mit dem Beschwerdegegner zunächst bis Ende April 2008 aufrechterhalten wurde und zu diesem Zeitpunkt vorzeitig endete. Die von der Beschwerdeführerin geltend gemachte einseitige Vertragsverlängerung erachtete das TAS für ungültig. Es stellte fest, dass der Beschwerdegegner ab Anfang 2008 und mindestens bis zum vereinbarten Vertragsende aus gesundheitlichen Gründen nicht in der Lage war, Spiele auszutragen, ohne sich der Gefahr ernsthafter Gesundheitsschäden auszusetzen. In Bezug auf den Vermögensschaden erwog das TAS in Anwendung von Art. 17 des FIFA-Reglements bezüglich Status und Transfer von Spielern, Ausgabe 2005, ("Regulations for the Status and Transfer of Players"; nachfolgend: FIFA-Transferreglement), dass die Beschwerdeführerin mit der vorzeitigen Beendigung des Arbeitsverhältnisses EUR 2'633'020.65 eingespart habe, indem sie dem Beschwerdegegner von Anfang Mai 2008 bis Ende Mai 2009 weder einen Lohn noch andere vertragliche Leistungen habe erbringen müssen. Der ihr aufgrund der ungerechtfertigten vorzeitigen Vertragsauflösung zustehende Ersatz entspreche demgegenüber lediglich der Summe von EUR 2'445'106.35 für nicht amortisierten Transferaufwand sowie dem zusätzlichen Schadenersatz ("supplementary damages") von EUR 51'172.50 (entsprechend der verhängten Disziplinarstrafe im Betrag von USD 73'500.--). Unter Berücksichtigung der "Besonderheit des Sports" ("specificity of sport") nach Art. 17 Abs. 1 des FIFA-Transferreglements stehe der Beschwerdeführerin, die durch die vorzeitige Vertragsauflösung EUR 136'741.80 mehr eingespart als verloren habe, kein Schadenersatz zu. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 7. Juli 2010 beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, es sei der Schiedsentscheid des TAS vom 7. Juni 2010 aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung an das Schiedsgericht zurückzuweisen. Der Beschwerdegegner beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit überhaupt darauf eingetreten werden könne. Das TAS beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die FIFA hat auf eine aktive Beteiligung am Verfahren verzichtet. Die Akten des Schiedsverfahrens wurden beigezogen. Mit einer weiteren Eingabe vom 7. Dezember 2010 nahm die Beschwerdeführerin Stellung zur Beschwerdeantwort sowie zur Vernehmlassung des TAS. 