Fatti: A. A.a S._, nata nel 1971, all'epoca dei fatti alle dipendenze della X._ in qualità di apprendista impiegata di commercio e come tale assicurata d'obbligo contro gli infortuni presso la Vaudoise Compagnia di Assicurazioni, in data 6 dicembre 2006, giocando a squash, si è procurata una contusione della spalla destra. Il caso è stato assunto dall'assicuratore infortuni, il quale ha corrisposto le prestazioni di legge. In occasione della sua audizione da parte di un ispettore della Vaudoise, l'interessata ha segnalato un precedente leggero infortunio al braccio destro occorsole nell'ottobre 2006. Il 16 novembre 2007 l'interessata è stata sottoposta ad artroscopia della spalla destra. Mediante decisione del 20 novembre 2009, sostanzialmente confermata il 1° giugno 2010 anche in seguito all'opposizione interposta dall'assicurata, la Vaudoise ha dichiarato estinto, a partire dal mese di marzo 2007, il nesso di causalità naturale fra i disturbi lamentati e gli infortuni subiti, rinunciando peraltro a pretendere la restituzione delle prestazioni versate nel frattempo. Adito su ricorso dell'assicurata, il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha annullato il provvedimento e disposto il rinvio degli atti alla Vaudoise per complemento istruttorio e nuova decisione (pronuncia del 18 ottobre 2010). A.b Dando seguito alla pronuncia di rinvio, la Vaudoise ha affidato l'incarico di compiere i necessari accertamenti al dott. M._, specialista FMH in chirurgia ortopedica. Preso atto delle conclusioni peritali, l'assicuratore infortuni ha negato un suo obbligo prestativo a partire dal 7 giugno 2007, ritenendo i disturbi ancora accusati dall'assicurata dopo tale data non essere (più) in nesso di causalità naturale con gli eventi dell'ottobre e del dicembre 2006. Per il resto, ha rinunciato a pretendere la restituzione delle prestazioni corrisposte fino al 31 ottobre 2009 (decisione del 5 maggio 2011 e decisione su opposizione del 2 settembre 2011). B. Patrocinata dall'avv. Roberto Rulli, S._ si è nuovamente aggravata al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, il quale, statuendo per giudice unico, ha respinto il ricorso e confermato l'operato dell'assicuratore infortuni. Per il resto, la Corte cantonale ha accolto la domanda di assistenza giudiziaria gratuita dell'assicurata (pronuncia del 7 marzo 2012). C. Sempre patrocinata dall'avv. Rulli, l'assicurata ha presentato ricorso in materia di diritto pubblico con il quale, protestate spese e ripetibili, chiede al Tribunale federale di annullare il giudizio di prima istanza come pure la decisione amministrativa e di condannare la Vaudoise a versarle le prestazioni legali (spese mediche e farmaceutiche, indennità giornaliere per perdita di salario del 100%) con effetto retroattivo al 1° ottobre 2008. Domanda inoltre di essere posta al beneficio dell'assistenza giudiziaria gratuita e del gratuito patrocinio anche per la sede federale. Non sono state chieste osservazioni al gravame. 