Faits: Faits: A. A.a C._, née le 26 octobre 1946, a travaillé en qualité d'aide-soignante au service de la Résidence X._, établissement médical pour personnes âgées. A ce titre, elle était assurée auprès de la Bernoise Assurances pour les accidents professionnels et non professionnels. Le 23 décembre 1996, C._ a ressenti un craquement à l'épaule en retenant avec le bras droit un pensionnaire qui résidait dans le home médicalisé ci-dessus, lequel avait eu un malaise et allait tomber. Victime d'une rupture du biceps droit, elle a présenté une incapacité totale de travail. Le docteur H._, médecin-chef du Service de chirurgie orthopédique du Département de chirurgie de Y._, a posé le diagnostic de rupture de la coiffe des rotateurs de l'épaule droite. Le 14 mars 1997, la patiente a subi une acromioplastie et suture de la coiffe des rotateurs à droite. Le 20 mai 1998, les médecins de l'Hôpital Z._ ont procédé à une réinsertion du muscle sus-épineux. La Bernoise Assurances a pris en charge le cas de C._. A.b Le 15 avril 1998, C._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un rapport du 8 juillet 1998, le docteur B._, spécialiste FMH en médecine interne et rhumatologie, a constaté que l'évolution se révélait défavorable, avec des douleurs importantes, contrastant avec un status objectif conforme après une intervention telle que la réinsertion du muscle sus-épineux. Il proposait que soit mise en oeuvre une expertise médicale. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel a confié une expertise au professeur G._, médecin-chef du Service de rhumatologie, médecine physique et réhabilitation du Centre hospitalier W._. Dans un rapport du 15 janvier 1999, l'expert a posé les diagnostics de brachialgies droites d'origine fonctionnelle et de status après rupture du long chef du biceps et lésion de la coiffe des rotateurs. Il indiquait que pour les activités lucratives comme aide-soignante, employée de maison, la capacité de travail de l'assurée pouvait être considérée comme étant égale à 75 %. Le 31 mars 1999, l'office AI a communiqué à C._ un prononcé l'avisant qu'elle présentait une capacité de travail de 75 % dans son activité professionnelle habituelle et qu'il en résultait une diminution de 25 % de sa capacité de gain correspondante, taux qui ne donnait pas droit à une rente d'invalidité. C._ a contesté le prononcé de l'office AI. Elle produisait copie d'une expertise du 12 mai 1999 de la doctoresse F._, spécialiste FMH en médecine interne au sein du Département de médecine psychosomatique de l'Hôpital V._, effectuée pour le compte de la Bernoise Assurances, dans laquelle ce médecin indiquait que la patiente n'était actuellement pas capable de travailler. L'assurée produisait également copie d'un rapport du 21 mai 1999 du docteur E._, spécialiste FMH en rhumatologie, qui avait été adressé par ce médecin à la Bernoise Assurances et dans lequel celui-ci partageait l'avis de la doctoresse F._. Par décision du 5 juillet 1999, l'office AI a rejeté la demande. Sur recours de C._ contre cette décision, le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, par jugement du 23 mai 2000, a annulé celle-ci et renvoyé la cause à l'office AI pour complément d'instruction et nouvelle décision selon les considérants. Il a considéré qu'une expertise médicale était nécessaire pour déterminer si et dans quelle mesure le trouble psychique présenté par l'assurée avait valeur de maladie, en d'autres termes si l'on pouvait raisonnablement exiger de sa part qu'elle surmonte son handicap et reprenne le travail, dans son activité antérieure ou une autre activité adaptée. A la suite du jugement du Tribunal administratif du 23 mai 2000, l'office AI a repris l'instruction de la demande de prestations du 15 avril 1998. Il a chargé le docteur N._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie et médecin-adjoint du Centre psycho-social T._, de procéder à une expertise psychiatrique. Dans un rapport du 6 novembre 2000, l'expert a retenu un trouble somatoforme. Il indiquait que l'atteinte à la santé de l'assurée semblait correspondre à une incapacité de travail à 50 %. Dans un projet de décision du 8 décembre 2000, l'office AI a informé C._ qu'elle présentait un trouble somatoforme, à l'exclusion de toute autre affection psychique ou psychiatrique, et que ce diagnostic ne permettait pas de retenir une incapacité de travail significative au sens de la loi. Par décision du 29 décembre 2000, il a rejeté la demande. A.c Le 21 mai 2001, C._ a présenté une nouvelle demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un projet de décision du 1er février 2002, l'office AI a avisé C._ qu'il n'entrerait pas en matière sur sa nouvelle demande. Par lettre du 12 mars 2002, le docteur R._, spécialiste FMH en médecine interne et médecin traitant de l'assurée, a invité l'office AI à reconsidérer sa position, compte tenu d'une aggravation de l'état de santé de la patiente depuis l'automne 2001. Il déposait copie d'un rapport du 30 janvier 2002 du docteur L._, spécialiste FMH en anesthésiologie et médecin-chef du Service d'anesthésiologie-antalgie de la Consultation de la douleur de l'hôpital U._, et d'un rapport du 21 février 2002 du docteur D._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique, qui concluait à une incapacité totale de travail. Par décision du 28 mars 2002, l'office AI a refusé d'entrer en matière sur la demande du 21 mai 2001. Par décision du 28 mars 2002, l'office AI a refusé d'entrer en matière sur la demande du 21 mai 2001. B. C._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de celle-ci et au renvoi de la cause à l'office AI pour qu'il procède à une instruction complémentaire en mettant en oeuvre une expertise médicale par un spécialiste de l'épaule et qu'il statue à nouveau en lui allouant une rente d'invalidité. Par jugement du 16 juin 2004, le Tribunal administratif a rejeté le recours, dans la mesure où il était recevable. Par jugement du 16 juin 2004, le Tribunal administratif a rejeté le recours, dans la mesure où il était recevable. C. C._ interjette un recours de droit administratif contre ce jugement, en concluant, sous suite de dépens, à l'annulation de celui-ci et de la décision administrative litigieuse du 28 mars 2002 et au renvoi de la cause à l'office AI pour instruction complémentaire et nouvelle décision. Elle demande à bénéficier de l'assistance judiciaire gratuite. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales n'a pas déposé d'observations. 