Sachverhalt: A. Der 1949 geborene G._ war gemäss Arbeitsvertrag vom 28. Februar 2004 ab 1. März 2004 als Chief Financial Officer (CFO) in der Firma X._ AG tätig. Mit Schreiben vom 25. Februar 2005 teilte ihm die Arbeitgeberin mit, sie sei überschuldet und müsse aufgelöst werden. Daher werde das Arbeitsverhältnis mit sofortiger Wirkung und ohne Lohnfortzahlung beendet. Am 10. Oktober 2005 stellte G._ Antrag auf Insolvenzentschädigung. Mit Verfügung vom 19. Mai 2006 verneinte die Arbeitslosenkasse des Kantons Zürich einen solchen Leistungsanspruch. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 22. August 2007 fest. Zur Begründung wurde u.a. ausgeführt, es liege keiner der im Gesetz genannten Insolvenztatbestände vor. B. Die von G._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 28. September 2009 ab. C. G._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei ihm eine Insolvenzentschädigung nebst Verzugszins zuzusprechen; eventuell sei die Sache zur Feststellung des Sachverhalts an die Arbeitslosenkasse zurückzuweisen. Die Arbeitslosenkasse schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Staatssekretariat für Wirtschaft verzichtet auf eine Stellungnahme. Mit Eingabe vom 27. Januar 2010 lässt sich G._ nochmals vernehmen. 