Faits: A. G._, née en 1960, est atteinte d'une paraplégie sensitivo-motrice complète depuis mars 1979 et vit dorénavant en fauteuil roulant. Elle réside en Suisse depuis mars 1995. Le 1 er décembre 2011, elle a présenté une demande de prestations pour les personnes impotentes, en répondant à un questionnaire où elle indiquait qu'elle avait besoin d'une aide importante et régulière pour se vêtir/se dévêtir, se lever/s'asseoir/se coucher, se laver et se baigner/se doucher, et se déplacer à l'extérieur. Dans un rapport du 11 janvier 2012, la doctoresse C._ (spécialiste en médecine physique et réadaptation) a fait état d'une pathologie dégénérescente musculo-tendineuse au niveau de l'épaule gauche, avec rupture du tendon sus-épineux et fissure du sous-épineux, et de l'apparition de troubles sensitifs au niveau du majeur et de l'index de la main droite, très probablement en relation avec un syndrome du canal carpien. Elle considérait que ces diverses pathologies augmentaient la spasticité sous-lésionnelle, rendant plus difficiles la mobilisation et les transferts, et que la patiente avait de plus en plus de difficultés à effectuer les actes de la vie quotidienne (soins personnels et soins du ménage). Le 24 avril 2012, elle a déposé sa réponse aux questions figurant dans une feuille annexe à la demande de prestations pour les personnes impotentes. Une enquête a été effectuée le 6 juin 2012 à domicile par une infirmière, qui, dans un rapport du 11 juin 2012, a noté que G._ avait perdu son autonomie depuis 2009 en raison d'une perte de force dans les membres supérieurs et a admis qu'elle avait besoin d'une aide régulière et importante d'autrui pour accomplir les trois actes de la vie quotidienne consistant à se vêtir, se lever/se coucher, et se déplacer à l'extérieur. Dans un préavis du 20 juin 2012, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) a informé l'intéressée qu'elle présentait une impotence légère, donnant droit à une allocation pour impotent de degré faible. Le 9 juillet 2012, G._ a fait part à l'office AI de ses observations, en affirmant qu'elle avait également besoin d'une aide régulière et importante pour aller aux toilettes et faire sa toilette. Par décision du 5 octobre 2012, l'office AI, rejetant l'argumentation de G._ au motif que l'acte de la vie quotidienne consistant à se baigner/se doucher avait été retenu sous les transferts et ne pouvait donc pas l'être deux fois, a confirmé qu'elle avait droit à une allocation pour impotent de degré faible à domicile à partir du 1 er janvier 2010, soit à l'issue du délai de carence d'une année. B. G._ a formé recours contre cette décision devant la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation et à l'octroi d'une allocation pour impotent de degré moyen à domicile avec effet rétroactif au 1 er janvier 2010, à titre éventuel au renvoi de la cause à l'office AI pour qu'il réexamine son droit à l'allocation pour impotent au sens des considérants. Par jugement du 20 juin 2013, la juridiction cantonale a admis le recours (ch. 2 du dispositif), annulé la décision du 5 octobre 2012 (ch. 3 du dispositif), dit que G._ avait droit à une allocation pour impotence moyenne à compter du 1 er janvier 2010 (ch. 4 du dispositif) et renvoyé la cause à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève pour calcul des prestations dues (ch. 5 du dispositif). C. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à son annulation et à la confirmation de la décision du 5 octobre 2012. G._ conclut, sous suite de frais et dépens, au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. 