Sachverhalt: Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich erhob am 21. Juni 1999 gegen G.X._ Anklage wegen Mordes sowie wegen vollendeten und versuchten Betrugs. Zum Vorwurf des Mordes wurde in der Anklageschrift ausgeführt, G.X._ habe in der Nacht des 29./30. April 1996 seine Ehefrau und Mutter seiner beiden unmündigen Kinder, H.X._, die sich am 22. April 1996 von ihm getrennt und - zur Scheidung entschlossen - in Emmetten niedergelassen habe, daselbst oder an einem anderen, unbekannten Ort nach einer erfolglosen Unterredung kaltblütig umgebracht; er habe mit seiner Pistole oder einer anderen mitgeführten Waffe vier Nahschüsse auf den Kopf seiner Ehefrau abgegeben; die Schüsse hätten das Schädeldach durchschlagen und zum sofortigen Tod von H.X._ geführt. Eventuell habe der Angeklagte seine Frau vorsätzlich auf andere, nicht mehr feststellbare Weise getötet und die Kopfschüsse erst nachher ausgeführt. Der Angeklagte habe daraufhin die Leiche seiner Frau an einem unbekannten Ort versteckt bzw. zum Verschwinden gebracht und sei anschliessend mit seinen Kindern - welche ferienhalber bei ihrer Mutter geweilt und zur Tatzeit geschlafen hätten - nach Dübendorf zurückgekehrt. Er habe in der Folge vorgegeben, seine Gattin habe ihn verlassen und sich ins Ausland abgesetzt. Das habe nicht verfangen, weshalb er im Februar oder März 1997 den abgetrennten Schädel seiner Ehefrau aus dem Versteck geholt und diesen im Ettenhuserwald neben der Bahnlinie Hinwil-Bäretswil deponiert habe, "um nach dessen Entdeckung geltend zu machen, seine Frau sei diesfalls offensichtlich von Elementen der russischen Geheimdienst- bzw. Mafia-Szene, zu welcher sie Kontakt gepflegt habe, umgebracht worden". Im anderen Anklagepunkt wurde G.X._ (gemäss der ergänzten Fassung der Anklageschrift vom 23. Dezember 1999) im Zusammenhang mit einem angeblich erfolgten Einbruch in seine Liegenschaft in Dübendorf versuchter (Versicherungs-)Betrug zur Last gelegt. Im anderen Anklagepunkt wurde G.X._ (gemäss der ergänzten Fassung der Anklageschrift vom 23. Dezember 1999) im Zusammenhang mit einem angeblich erfolgten Einbruch in seine Liegenschaft in Dübendorf versuchter (Versicherungs-)Betrug zur Last gelegt. B. Das Geschworenengericht des Kantons Zürich sprach den Angeklagten mit Urteil vom 16. Dezember 1999 der vorsätzlichen Tötung schuldig. Am 3. Februar 2000 erklärte es ihn zudem des versuchten Betrugs schuldig und bestrafte ihn gesamthaft mit 14 Jahren Zuchthaus, wovon 1'253 Tage Untersuchungs- und Sicherheitshaft angerechnet wurden. Gegen das Urteil des Geschworenengerichts meldete der Angeklagte kantonale und eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde an. Das letztgenannte Rechtsmittel wurde in der Folge nicht begründet. Die kantonale Nichtigkeitsbeschwerde wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 17. Dezember 2001 ab. Gegen das Urteil des Geschworenengerichts meldete der Angeklagte kantonale und eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde an. Das letztgenannte Rechtsmittel wurde in der Folge nicht begründet. Die kantonale Nichtigkeitsbeschwerde wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 17. Dezember 2001 ab. C. G.X._ focht diesen Entscheid am 15. Februar 2002 mit einer staatsrechtlichen Beschwerde beim Bundesgericht an. Er beantragt, der Beschluss des Kassationsgerichts sei aufzuheben und die Sache sei zur Neubeurteilung an die kantonale Instanz zurückzuweisen. Eventualiter verlangt er, es sei "zusätzlich das Urteil des Geschworenengerichts vom 16. Dezember 1999 (Schuldinterlokut) und 3. Februar 2000 aufzuheben". Ferner ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. C. G.X._ focht diesen Entscheid am 15. Februar 2002 mit einer staatsrechtlichen Beschwerde beim Bundesgericht an. Er beantragt, der Beschluss des Kassationsgerichts sei aufzuheben und die Sache sei zur Neubeurteilung an die kantonale Instanz zurückzuweisen. Eventualiter verlangt er, es sei "zusätzlich das Urteil des Geschworenengerichts vom 16. Dezember 1999 (Schuldinterlokut) und 3. Februar 2000 aufzuheben". Ferner ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. D. Die Beschwerdegegner N.X._ und M.X._, die Staatsanwaltschaft, das Geschworenengericht und das Kassationsgericht des Kantons Zürich verzichteten auf eine Vernehmlassung. 