Sachverhalt: A. Der am 15. September 1968 geborene X._ stammt aus Togo. Dort hat er einen Sohn, geboren am 22. August 1997, und eine Tochter, geboren am 31. Oktober 2003. Am 20. November 2002 heiratete X._ in seiner Heimat die 1947 geborene Schweizer Bürgerin Y._. Nach seiner Einreise in die Schweiz am 23. Juli 2003 erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Ehefrau, letztmals verlängert bis zum 22. Juli 2009. Im Sommer 2006 verliess X._ die eheliche Wohnung in Winterthur. Die Ehe wurde am 16. Juni 2009 geschieden. B. Am 19. August 2010 wies das Migrationsamt des Kantons Zürich (nachfolgend: Migrationsamt) X._s Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung bzw. Erteilung der Niederlassungsbewilligung ab. Den dagegen erhobenen Rekurs wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich (nachfolgend: Sicherheitsdirektion) am 26. Juli 2011 ab. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich bestätigte diesen Entscheid auf Beschwerde hin mit Urteil vom 23. November 2011. C. X._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und Verfassungsbeschwerde mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 23. November 2011 sei aufzuheben und ihm sei die Niederlassungsbewilligung zu erteilen; eventualiter sei ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern und subeventualiter sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung gemäss den Erwägungen des Bundesgerichts an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Bundesamt für Migration schliesst auf Abweisung der Beschwerde. D. Am 3. Januar 2012 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung erteilt. 