Sachverhalt: A. A.a Der 1967 geborene D._ war seit 1992 bei der E._ AG als Automechaniker angestellt und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen versichert. Am 8. Januar 1997 wurde beim Schliessen des Sicherungsbügels eines Sesselliftsitzplatzes das rechte Handgelenk des Versicherten zwischen Sitzfläche und Bügelstütze eingeklemmt. Er erlitt einen dorsalen Kantenabriss, weswegen er ärztlicher Versorgung bedurfte und temporär arbeitsunfähig war. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung; Taggeld). Auf eine Rückfallmeldung hin bestellte sie unter anderem das Gutachten des Spitals X._, Abteilung für Handchirurgie vom 19. Februar 2001 (mit Ergänzung vom 16. März 2001) und sprach dem Versicherten mit Verfügung vom 18. September 2001 unter Verneinung eines Anspruchs auf Integritätsentschädigung rückwirkend ab 1. Februar 2000 eine Invalidenrente auf Basis eines Invaliditätsgrades von 15 % zu. Eine Einsprache lehnte sie ab (Einspracheentscheid vom 21. November 2001). Anlässlich einer Besprechung mit einem Aussendienstmitarbeiter der SUVA vom 19. Oktober 2006 machte der Versicherte eine deutliche Verschlechterung des Zustands am rechten Handgelenk geltend. Die SUVA klärte den medizinischen Sachverhalt erneut ab und kam unter anderem gestützt auf die Stellungnahmen des Prof. Dr. med. F._, Facharzt für Orthopädie und Handchirurgie FMH, Spital Y._ vom 10. Juli 2007 und 28. Mai 2008 sowie derjenigen des Dr. med. G._, FMH für Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, Kreisarzt der SUVA vom 2. Juli 2008 zum Schluss, dass keine erhebliche Änderung des unfallbedingten Gesundheitsschadens vorliege, die eine Revision rechtfertigte (Verfügung vom 8. Juli 2008). Mit hiegegen erhobener Einsprache liess der Versicherte das Gutachten des Dr. med. B._, Chirurgie FMH, Spez. Handchirurgie, vom 31. Oktober 2008 auflegen. A.b Am 23. Oktober 2002 fiel anlässlich von Reparaturarbeiten an einem Fahrzeug dessen Querlenker auf den Versicherten, wobei er sich eine Zerrung an der linken Schulter zuzog. Die SUVA erbrachte zunächst auch für diesen Unfall die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung; Taggeld). Mit Verfügung vom 30. Mai 2008 verneinte sie einen überwiegend wahrscheinlichen Kausalzusammenhang des Unfalls vom 23. Oktober 2002 mit den weiterbestehenden Schulterbeschwerden. Hiegegen liess der Versicherte unter Auflage eines Auszugs aus der Krankengeschichte des Hausarztes (Bericht des Dr. med. W._, Arzt für Allgemeine Medizin FMH, vom 25. Juni 2008) Einsprache erheben. A.c Mit Entscheid vom 12. März 2009 wies die SUVA beide Einsprachen ab. Sie erwog zum einen, aus den ärztlichen Unterlagen sei eine Verschlimmerung des Zustands am rechten Handgelenk nicht ersichtlich, zum anderen könne für die geltend gemachten linksseitigen Schulterbeschwerden kein traumatisch bedingtes organisches Substrat festgestellt werden. B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde, mit welcher beantragt wurde, die Sache sei zu neuer Entscheidung an die Verwaltung zurückzuweisen und diese sei zu verpflichten, die Kosten des Gutachtens des Dr. med. B._ im Betrage von Fr. 4'930.- zu erstatten, wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern ab (Entscheid vom 11. März 2010). C. Mit Beschwerde lässt D._ die vorinstanzlich gestellten Rechtsbegehren wiederholen. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. 