Sachverhalt: A. Nach vorgängiger Mitteilung vom 2. August 2006 teilte die IV-Stelle des Kantons St. Gallen der 1986 geborenen S._ mit Verfügung vom 28. August 2006 mit, die seit 25. November 2005 (gestützt auf eine Verfügung vom 24. Oktober 2005) geleisteten Arbeitsvermittlungsbemühungen seien mangels gelungener Integration in den Arbeitsmarkt innert angemessener Zeit per 14. Juli 2006 abgeschlossen worden. Mit gleichentags verfasstem Schreiben (Posteingang IV-Stelle: 29. August 2006) setzte der Rechtsvertreter der Versicherten die Verwaltung darüber in Kenntnis, dass es S._ gelungen sei, ihre aktuelle Anstellung bei der Gemeinde X._ - bei welcher sie vereinbarungsgemäss von März bis August 2006 im Rahmen eines Beschäftigungsprogramms des Regionalen Arbeitsvermittlungszentrums der Arbeitslosenversicherung ein Berufspraktikum absolvierte - bis Ende April 2007 zu verlängern (befristeter Arbeitsvertrag; Anstellung als kaufmännische Mitarbeiterin; Arbeitspensum gesundheitsbedingt 65 %); eine allfällige Verlängerung über April 2007 hinaus sei zur Zeit ungewiss. Arbeitsbemühungen der IV-Stelle seien derzeit nicht mehr aktuell, jedoch spätestens anfangs Mai 2007 wieder aufzunehmen. Gemäss Protokolleintrag teilte die zuständige IV-Mitarbeiterin dem Rechtsvertreter am 19. September 2006 telefonisch mit, bezüglich erneuter Mithilfe bei der Stellensuche könne sich die Versicherte anfangs April 2007 wieder bei der IV-Stelle melden, sie werde alsdann gerne unterstützt. B. Am 19. September 2006 liess S._ gegen die Verfügung vom 28. August 2006 Beschwerde erheben. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern erkannte auf deren Gutheissung, hob den angefochtenen Verwaltungsakt auf und verpflichtete die IV-Stelle, der Versicherten weiterhin Arbeitsvermittlung zu gewähren (Entscheid vom 21. August 2007). C. Die IV-Stelle des Kantons Luzern führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben; eventualiter sei die Streitsache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Des Weitern wird beantragt, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen. S._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen beantragt deren Gutheissung. 