Faits: A. A.a. Le 28 février 2013, la situation des époux A._ (1929) et B._ (1933) a été signalée au Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant du canton de Genève par une assistante sociale de l'Unité de gériatrie des Hôpitaux universitaires de Genève. Celle-ci demandait qu'une mesure de curatelle de portée générale soit instituée. Elle expliquait que l'époux n'était plus en mesure de trier et de régler spontanément ses factures, et qu'il reconnaissait ne plus pouvoir assumer la gestion de ses affaires administratives et financières compte tenu de sa santé fragile. Or, le couple dispose d'une grande fortune, dont une partie ne serait pas déclarée. Il ressort du signalement que l'intéressé souhaite intégrer un établissement médico-social (EMS) avec son épouse et qu'il n'a pas proposé de personne de son entourage susceptible d'être désignée comme curateur. Selon un certificat médical établi le 13 février 2013 par le Dr C._, A._ est incapable de gérer ses affaires administratives et financières. Il peut valablement être entendu et choisir un mandataire, mais ne semble pas en mesure d'en contrôler l'activité, en raison d'un trouble cognitif débutant. A.b. Par décision du 7 mars 2013, le Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant de Genève (ci-après: le Tribunal) a désigné Me D._ en qualité de curatrice de A._, en application de l'art. 449a CC, afin qu'elle le représente dans le cadre de cette procédure. Lors de l'audience du 25 mars 2013, A._ a déclaré qu'il souhaitait pouvoir bénéficier de l'aide d'un curateur dans la gestion de ses affaires, notamment pour ses factures médicales. Il a ajouté qu'il souhaitait intégrer un EMS avec son épouse et qu'il était titulaire d'un compte bancaire non déclaré sur lequel se trouvait une somme de 1'300'000 fr. Interrogé lors de cette audience, le Dr C._ a confirmé la teneur de son certificat médical, précisant que A._ avait gardé une " bonne curiosité du monde qui l'entourait ", mais qu'il était très fatigué par les soins quotidiens qu'il devait apporter à son épouse. Il a ajouté que, " s'il est capable de se déterminer quant à son propre état de santé (...), il n'est pas capable de se déterminer pour autrui, par exemple pour son épouse ". En outre, il n'était pas exclu qu'il puisse être influencé par des tiers. B. B.a. Par ordonnance du 11 avril 2013, le Tribunal a instauré une " curatelle de représentation avec gestion " en faveur de A._ (1), désigné Me E._, avocat, en qualité de curateur (2), dit que le curateur aura pour tâches de le représenter dans ses rapports juridiques envers les tiers en matière administrative, notamment dans les procédures fiscales et pour son admission dans un EMS, et de veiller à la gestion de ses revenus et de sa fortune, d'administrer ses biens avec diligence et d'accomplir les actes juridiques liés à la gestion (3), privé A._ de la faculté d'accéder aux comptes bancaires ou postaux ouverts à son nom, ou dont il est l'ayant droit économique (4), et autorisé le curateur à prendre connaissance de sa correspondance et à pénétrer, en cas de nécessité, dans son appartement (5). B.b. Par acte déposé le 15 mai 2013, A._ a recouru contre cette décision, concluant à l'annulation des chiffres 2, 4 et 5 de son dispositif; il a également conclu à la désignation de Me D._ en qualité de curatrice, celle-ci étant autorisée à prendre connaissance de sa correspondance et à pénétrer, en cas de nécessité, dans son appartement. Par courrier du 24 mai 2013, Me D._ a demandé à Me E._ de cesser toute activité dans l'attente de la décision sur recours, A._ ne souhaitant pas qu'il continue à gérer ses affaires. Dans ses déterminations du 3 juin 2013, le Tribunal s'est référé à son ordonnance du 11 avril 2013, estimant qu'il n'y avait pas lieu de désigner un autre curateur, et précisant que Me E._ avait également été désigné en qualité de curateur de l'épouse de l'intéressé, celle-ci n'ayant par ailleurs pas recouru contre cette désignation. Par courrier du 10 juin 2013 adressé à la Chambre de surveillance, Me D._ a indiqué que A._ sollicitait son audition. C. Statuant le 14 juin 2013, la Chambre de surveillance de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Chambre de surveillance) a rejeté le recours ainsi que la requête d'audition. D. Par acte du 17 juillet 2013, A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cette décision. Il conclut principalement à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour qu'elle procède à son audition et rende une nouvelle décision. Subsidiairement, il conclut à la réforme de l'arrêt entrepris, en ce sens qu'une " curatelle de représentation avec gestion " est instaurée en sa faveur (1), que Me D._ lui est désignée comme curatrice (2), que le curateur est autorisé à prendre connaissance de sa correspondance et à pénétrer, en cas de nécessité, dans son appartement (3), et qu'il a pour tâches de le représenter dans ses rapports juridiques avec les tiers "en matière administrative, notamment dans les procédures fiscales ", et de veiller à la gestion de ses revenus et de sa fortune (4). Il conclut enfin à ce qu'il conserve la libre disposition de ses comptes bancaires ou postaux, qu'il en soit le titulaire ou l'ayant droit économique (5). Plus subsidiairement, il reprend ses conclusions 1 et 3 à 5 et demande qu'un curateur " autre que Me E._ " soit désigné (2). Invités à se déterminer, le Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant a conclu au rejet du recours, sans formuler de plus amples observations, alors que la Chambre de surveillance s'est référée aux considérants de son arrêt. E. Par ordonnance présidentielle du 14 août 2013, la requête d'effet suspensif a été rejetée. 