Faits: A. A._ se trouve en détention provisoire depuis le 24 avril 2013, sous la prévention de blanchiment d'argent par métier et de faux dans les titres. Il lui est notamment reproché de s'être livré, le cas échéant sous de fausses identités, à vingt-et-une reprises à des transferts télégraphiques à l'étranger d'espèces dont il savait ou pouvait présumer qu'elles étaient issues d'un trafic de stupéfiants. Le 12 novembre 2013, l'intéressé a sollicité l'ouverture d'une procédure simplifiée, y déclarant reconnaître les faits relatifs aux faux dans les titres et se rallier "par la force des choses à reconnaître le blanchiment d'argent". Par ordonnance du 25 juin 2013, le Tribunal des mesures de contrainte (Tmc) a rejeté la requête de mise en liberté formée par le prévenu. Cette autorité a prolongé le 16 juillet 2013 la détention provisoire, puis a rejeté le 9 septembre suivant, une nouvelle demande de libération. Le 14 octobre 2013, le Tmc a prolongé cette mesure jusqu'au 14 décembre 2013. Le Tmc a rejeté le 12 suivant la nouvelle demande de libération de A._ et ordonné la prolongation de la détention jusqu'au 12 janvier 2014, retenant l'existence des risques de collusion, de fuite et de réitération. B. Le 30 décembre 2013, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève a rejeté le recours intenté par le prévenu contre cette décision. Cette autorité a retenu l'existence d'un risque de réitération, sans aborder ceux de fuite et de collusion. L'instance précédente a ensuite considéré que le principe de proportionnalité était respecté au vu de la peine encourue pour les infractions reprochées et elle a estimé qu'au regard du nombre d'actes délictueux commis sur une période "ramassée", il n'était pas d'emblée évident qu'une peine avec sursis serait proposée par le Ministère public genevois, respectivement approuvée par le juge du fond. C. Par acte du 9 janvier 2014, A._ forme un recours en matière pénale contre ce jugement, concluant à son annulation et à sa libération. Il sollicite aussi l'octroi de l'assistance judiciaire. La cour cantonale a renoncé à présenter des observations. Quant au Procureur, il a conclu au rejet du recours et, à titre subsidiaire, au renvoi de la cause à l'autorité précédente afin qu'elle examine les risques de fuite et de collusion; il a notamment relevé que la prolongation demandée (un mois) équivalait au minimum indispensable pour formaliser ou rejeter une procédure simplifiée. Le recourant a déposé des déterminations complémentaires le 23 janvier 2014, indiquant en particulier que depuis la décision de prolongation attaquée, la détention avait été encore prolongée de quinze jours et qu'une nouvelle demande dans ce sens avait été déposée devant le Tmc. 