Sachverhalt: Sachverhalt: A. Die 1970 geborene W._ arbeitete seit 24. November 1998 teilzeitlich als Zeitungsverträgerin für die Firma Z._ AG. Daneben besorgte sie den (Fünf-Personen-)Haushalt. Am 17. Februar 2000 erlitt W._ als Beifahrerin eines Personenwagens einen Verkehrsunfall. Die erstbehandelnde Ärztin stellte die Diagnose einer HWS-Distorsion. In der Folge litt W._ u.a. an persistierenden Kopf- und Nackenschmerzen. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) kam für die Heilbehandlung auf und richtete Taggelder aus. Im Oktober 2000 meldete sich W._ bei der Invalidenversicherung zum Rentenbezug an. Nach Abklärungen (u.a. Edition der UV-Akten, Begutachtung durch die MEDAS) sprach ihr die IV-Stelle Luzern mit Verfügung vom 8. August 2003 ab 1. Februar 2001 eine halbe Rente samt Zusatzrente für den Ehemann sowie drei Kinderrenten zu. Der nach der gemischten Methode ermittelte Invaliditätsgrad betrug 61 %. Mit Verfügung vom 19. Februar 2004 setzte die Verwaltung ab 1. Januar 2004 die halbe Rente auf eine Dreiviertelsrente herauf (4. IV-Revision) und erhöhte die Zusatz- und Kinderren-ten entsprechend. Mit Einspracheentscheid vom 8. März 2004 bestätigte die IV-Stelle beide Verfügungen. Im Oktober 2000 meldete sich W._ bei der Invalidenversicherung zum Rentenbezug an. Nach Abklärungen (u.a. Edition der UV-Akten, Begutachtung durch die MEDAS) sprach ihr die IV-Stelle Luzern mit Verfügung vom 8. August 2003 ab 1. Februar 2001 eine halbe Rente samt Zusatzrente für den Ehemann sowie drei Kinderrenten zu. Der nach der gemischten Methode ermittelte Invaliditätsgrad betrug 61 %. Mit Verfügung vom 19. Februar 2004 setzte die Verwaltung ab 1. Januar 2004 die halbe Rente auf eine Dreiviertelsrente herauf (4. IV-Revision) und erhöhte die Zusatz- und Kinderren-ten entsprechend. Mit Einspracheentscheid vom 8. März 2004 bestätigte die IV-Stelle beide Verfügungen. B. W._ liess beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern Beschwerde einreichen und beantragen, es sei ihr eine ganze Invalidenrente zuzusprechen. Die IV-Stelle schloss auf Abweisung des Rechtsmittels. Im Rahmen des zweiten Schriftenwechsels liess W._ replikweise eine von ihr in Auftrag gegebene Expertise der Unabhängigen Medizinischen Gutachtenstelle (UMEG) vom 13. Mai 2004 einreichen. Sie ersuchte um Übernahme der Kosten des Gutachtens durch die IV-Stelle. Mit Entscheid vom 20. Juli 2005 hiess das kantonale Gericht die Beschwerde teilweise gut. Es änderte den Einspracheentscheid vom 8. März 2004 dahingehend ab, dass die IV-Stelle verpflichtet wurde, ab 1. Februar 2001 bis 30. April 2003 bei einem Invaliditätsgrad von 77 % eine ganze Invalidenrente samt Zusatzrente für den Ehemann und drei Kinderrenten auszurichten. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab. Mit Entscheid vom 20. Juli 2005 hiess das kantonale Gericht die Beschwerde teilweise gut. Es änderte den Einspracheentscheid vom 8. März 2004 dahingehend ab, dass die IV-Stelle verpflichtet wurde, ab 1. Februar 2001 bis 30. April 2003 bei einem Invaliditätsgrad von 77 % eine ganze Invalidenrente samt Zusatzrente für den Ehemann und drei Kinderrenten auszurichten. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab. C. Die IV-Stelle führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben. W._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen und die Zusprechung einer ganzen Rente über den 30. April 2003 hinaus beantragen. Das Bundesamt für Sozialversicherung verzichtet auf eine Vernehmlassung. 