Sachverhalt: A. Der aus Kenia stammende X._ (geb. 1976) reiste 2003 zur Ehevorbereitung in die Schweiz ein, heiratete am 9. Januar 2004 die Schweizer Bürgerin Y._ (geb. 1967, geschieden, Mutter zweier Kinder) und erhielt gestützt auf diese Eheschliessung eine Aufenthaltsbewilligung, welche mehrfach verlängert wurde. Das Paar hat den gemeinsamen Sohn Z._ (geb. 21. August 2004). Dieser besitzt wie seine Mutter das Schweizer Bürgerrecht. B. Am 17. März 2010 überwiesen die Einwohnerdienste der Stadt D._ den Antrag von X._ auf eine weitere Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung an das Bundesamt für Migration (im Folgenden: BFM) zur Zustimmung. Dabei wiesen die Einwohnerdienste darauf hin, dass die Eheleute seit Mitte Mai 2009 gerichtlich getrennt leben. Mit Verfügung vom 5. Juli 2010 verweigerte das BFM die Zustimmung zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ und wies diesen aus der Schweiz weg. Zur Begründung führte das BFM im Wesentlichen aus, zwar bestehe nach Auflösung der Ehe der Anspruch des Ehegatten auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung weiter, wenn die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre gedauert habe und eine erfolgreiche Integration bestehe. Diese fehle aber im vorliegenden Fall. Wichtige Gründe, die einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen würden, lägen nicht vor. Zum Kind bestehe bloss ein eingeschränktes Besuchsrecht; sodann gebe es einen Strafregistereintrag und eine aktuelle Verurteilung wegen Hausfriedensbruchs. C. Die von X._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht - nachdem die Ehe X._/Y._ im Laufe des Verfahrens (am 25. August 2011) geschieden worden war - mit Urteil vom 5. März 2013 ab. D. Mit Eingabe vom 15. April 2013 führt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das letztgenannte Urteil vom 5. März 2013 sowie die diesem vorangegangene Verfügung vom 5. Juli 2010 aufzuheben und ihm - dem Beschwerdeführer - die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung zu gewähren; eventuell sei die Sache zur weiteren Abklärung und Neubeurteilung an die zuständige Vorinstanz zurückzuweisen. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Das BFM schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf Vernehmlassung. E. Mit Verfügung vom 23. April 2013 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt. F. Mit Eingabe vom 24. Juni 2013 hielt X._ an seinen Anträgen fest. 