Faits: A. Par décision du 11 mai 2009, le Tribunale Nazionale Antidoping du Comitato Olimpico Nazionale Italiano (CONI) a interdit à Alejandro Valverde Belmonte, coureur cycliste professionnel de nationalité espagnole, reconnu coupable de violation des normes antidopage italiennes (les NSA), de participer, pour une durée de deux ans, à des compétitions organisées par le CONI ou d'autres fédérations sportives nationales sur le territoire italien. B. B.a Le 16 juin 2009, Alejandro Valverde Belmonte a saisi le Tribunal Arbitral du Sport (TAS) d'un appel dirigé contre cette décision. Par courrier du 30 juin 2009, le CONI a désigné Ulrich Haas, professeur de droit à Zurich, comme arbitre. Le Professeur Haas a accepté cette mission, par lettre du 9 juillet 2009, en formulant toutefois les remarques suivantes (sic): "En 2006/2007 j'ai été un membre de l''Équipe du Projet du Code (ci-après mentionnée comme "CPT") établi par l'AMA, la tâche de réviser le Code Mondial Anti-dopage nous avait été confiée. Cette tâche s'est achevée en novembre 2007 avec l'adoption (du nouveau) Code Anti-dopage (ci-après mentionné comme "le Code 2009") à la Conférence Mondiale Anti-dopage à Madrid. Le Code 2009 est le résultat de trois référendums avec les parties prenantes dans le monde entier. Ma position dans le CPT était celui d'un expert indépendant. Mon rôle consistait principalement à faire des expertises légales sur les propositions des diverses parties prenantes, à formuler des suggestions sur la façon d'intégrer ces propositions dans le texte du Code 2009, à trouver des compromis dans les situations de conflit entre les parties prenantes et à faire des rapports à certaines des parties prenantes sur leurs propositions et observations (par exemple au Gouvernement allemand, au Ministre des Sports européen, au Conseil de l'Europe, à l'équipe des sports, au CIO). Au total, j'ai assisté à environ 12 réunions (réunions CPT et réunions des parties prenantes) durant environ 20 mois." Aucune des parties n'ayant requis la récusation du Professeur Haas, une Formation arbitrale, composée de Me Romano Subiotto QC (président), avocat à Bruxelles et à Londres, de Me José Juan Pintó (arbitre désigné par l'appelant), avocat à Barcelone, et d'Ulrich Haas, a été constituée le 3 août 2009. L'arbitre Pintó a renoncé ultérieurement à sa fonction en raison de son indisponibilité; il a été remplacé par Me Ruggero Stincardini, avocat à Pérouse. B.b Le 4 septembre 2009, le CONI a déposé son mémoire de réponse, en y formulant une demande d'appel en cause de l'Union Cycliste Internationale (UCI) et de l'Agence Mondiale Antidopage (AMA). Par décision préliminaire du 12 octobre 2009, le TAS a invité ces deux personnes morales à participer à la procédure d'arbitrage en qualité de co-intimées. Dans un courrier du 16 octobre 2009, l'appelant a mis en cause l'indépendance du Professeur Haas en raison de l'admission de l'AMA comme nouvelle partie à la procédure pendante. De ce fait, chaque arbitre a été invité à compléter sa précédente déclaration d'indépendance. Ulrich Haas l'a fait en ces termes, en date du 23 octobre 2009 (sic): "J'ai dirigé en fonction comme expert juridique l'équipe des observateurs indépendants aux Jeux Olympiques d'Athènes en Juillet/Août 2004. Le groupe (9 personnes) comportait un représentant des athlètes, des spécialistes connaissant les aspects du processus de contrôle du dopage (collecte d'échantillons, analyses de laboratoire, gestion des résultats, etc.), un expert dans le domaine médical et un expert juridique. Les membres du groupe ont été choisis par l'AMA. Le rôle du groupe consistait à observer en toute indépendance tous les aspects du programme anti-dopage aux Jeux Olympiques et à fournir au public un rapport sur leur déroulement assorti d'éventuelles recommandations pour les futures manifestations sportives. Le rapport du groupe a été publié sans modifications par l'AMA en 2004. La tâche des Observateurs indépendants se fondait sur certains principes de base. Parmi ces principes figuraient notamment - l'interdiction totale d'intervenir à quelque étape ou dans quelque aspect que ce soit du processus de contrôle du dopage et - l'indépendance totale, y compris financière, de toutes les parties concernées envers le CIO et l'AMA. Dans aucun moment durant mon travail à Athènes ou en rédigeant le rapport j'étais soumis à des directives du CIO ou de l'AMA." Par lettre du 29 octobre 2009, l'appelant a déposé une demande de récusation visant le Professeur Haas. En sus des motifs déjà invoqués dans son courrier du 16 octobre 2009 (participation à la révision du Code Mondial Antidopage et au groupe d'experts indépendants aux Jeux Olympiques d'Athènes), il y faisait également valoir, documents à l'appui, la participation de cette personne à diverses réunions ou conférences en qualité de représentant de l'AMA. Après avoir donné à tous les intéressés l'occasion de prendre position sur la demande de récusation, le Bureau du Conseil International de l'Arbitrage en matière de Sport (CIAS) a rejeté cette demande par décision du 23 novembre 2009. A l'appui de cette décision, le Bureau du CIAS a constaté que le Professeur Haas n'avait jamais représenté l'une des parties, mais s'était uniquement vu confier deux missions en tant qu'expert neutre et indépendant, dont la seconde s'était achevée en novembre 2007. Fort de cette constatation, il a énoncé les motifs suivants sur le point controversé (sic): "36. Certes, il est possible qu'au vu de sa nomination par l'AMA à la fonction de Président des Observateurs Indépendants en 2004, de son obligation de rapporter ses observations à l'AMA, et de sa participation à la révision du Code établi sous l'égide de cette agence, le requérant ait pu avoir l'impression que le Professeur Ulrich Haas ne bénéficiait alors pas d'une indépendance absolue à l'égard de l'AMA et ce malgré la nature des missions qui lui étaient confiées. Le Bureau du CIAS estime toutefois qu'absolument aucun des motifs invoqués ne permet de douter de l'existence, aujourd'hui, d'un lien de subordination, économique ou encore affectif entre lui et cette partie susceptible d'entraver sa décision. 