Faits: A. Par arrêt du 4 novembre 2009, la Cour correctionnelle sans jury du canton de Genève a condamné X._, pour escroquerie par métier, faux dans les titres et faux dans les certificats étrangers, à 6 ans de privation de liberté. Saisie d'un pourvoi du condamné, la Cour de cassation genevoise l'a rejeté dans la mesure de sa recevabilité par arrêt du 1er juin 2010. B. Les faits à la base de cette condamnation ont été exposés sous lettres C à E de l'arrêt attaqué, auxquelles il convient de se référer dans la mesure où ceux-ci ne sont pas contestés. Pour le surplus, cet arrêt retient, en résumé, ce qui suit. B.a X._ a été arrêté le 16 octobre 2007. Entre cette date et le 5 avril 2009, il a bénéficié des services de quatre avocats de choix, qui, les uns après les autres, ont renoncé à assumer sa défense. Le 5 avril 2009, un avocat d'office lui a été désigné en la personne de Me Y._. Le 12 juin 2009, X._ a été cité à comparaître le 2 novembre 2009 devant la Cour correctionnelle. Le 7 octobre 2009, il a informé cette dernière qu'il avait récusé son avocat d'office et serait donc sans conseil à l'audience du 2 novembre 2009, dont il demandait le report jusqu'en février ou mars 2010. Le 16 octobre 2009, Me Y._ a été relevé de sa défense d'office et l'assistance juridique accordée à X._ a été révoquée, après que ce dernier eut fait savoir qu'il entendait choisir lui-même son défenseur, qui serait rémunéré par ses soins. B.b A l'ouverture des débats, le 2 novembre 2009, X._ a sollicité derechef le report de l'audience. Il a expliqué avoir récusé son défenseur d'office, parce que la vision et la ligne de défense de ce dernier ne correspondaient pas à la réalité. Il a indiqué avoir contacté deux avocats de la place environ quinze jours auparavant et être en attente de réponses de leur part, précisant que son avocat français ne pouvait l'assister, faute d'être disponible avant 2010. Par décision incidente, la Cour correctionnelle a rejeté la requête de renvoi des débats, considérant, en bref, que l'accusé avait renoncé de son propre chef aux garanties procédurales dont il bénéficiait et que sa motivation relevait sans doute de manoeuvres dilatoires. Lors des débats proprement dits, X._ a refusé de répondre au sujet des charges retenues contre lui et de sa situation personnelle. B.c Il a été constaté qu'antérieurement aux faits qui lui étaient reprochés, X._ avait fait l'objet en France, du 10 juillet 1975 au 29 mai 2007, de 12 condamnations, pour des infractions similaires. Il avait notamment été condamné à trois reprises par défaut: le 8 novembre 2004, à 6 ans d'emprisonnement pour des escroqueries perpétrées en 2000, 2001 et 2002; le 8 décembre 2006, à 3 ans d'emprisonnement pour escroquerie, usage de faux en écriture, faux et altération frauduleuse de la vérité, commis en 2000 et 2001; le 29 mai 2007, à 1 an d'emprisonnement pour abus de confiance remontant à l'année 2000. Le 28 décembre 2007, les autorités françaises avaient délivré contre lui un mandat d'arrêt aux fins d'extradition, qui avait été accordée le 26 septembre 2008 par l'Office fédéral de la justice. B.d La Cour de cassation a notamment écarté les griefs par lesquels le recourant se plaignait d'avoir été jugé sans l'assistance d'un avocat en première instance et d'une motivation insuffisante du refus des premiers juges de renvoyer les débats. Elle a également écarté ses griefs de violation des art. 146 et 251 CP ainsi que des art. 49 et 47 CP. C. X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral. Invoquant diverses atteintes à ses droits constitutionnels ainsi qu'une violation de l'art. 49 al. 1 et 2 CP, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision, en sollicitant l'assistance judiciaire. Des déterminations n'ont pas été requises. 