Sachverhalt: A. Mit Urteil vom 22. Mai 2003 schied die delegierte Richterin des Amtsgerichtspräsidenten II von Luzern-Land die Ehe von X._ (geb. 1960) und Y._ (geb. 1961). Gemäss Ziff. 2.4 des Dispositivs wurde Y._ dazu verurteilt, seiner geschiedenen Ehefrau für den Unterhalt der drei gemeinsamen Kinder A._ (geb. 1989), B._ (geb. 1992) und C._ (geb. 1993) monatliche und indexierte Unterhaltsbeiträge von je Fr. 180.-- bis Ende Juli 2003 und danach je Fr. 200.-- zu bezahlen, jeweils zuzüglich Kinder- und Ausbildungszulagen. Nach der Scheidung heiratete Y._ erneut. Aus der Ehe mit D._ gingen die Kinder E._ (geb. 2006) und F._ (geb. 3. Juni 2008) hervor. B. Am 15. Februar 2007 leitete Y._ beim Amtsgericht Hochdorf ein Verfahren auf Abänderung des Scheidungsurteils vom 22. Mai 2003 ein. Er stellte den Antrag, er sei von der Unterhaltspflicht gegenüber seinen drei Kindern aus erster Ehe zu befreien und lediglich zu verpflichten, X._ die Kinder- und Ausbildungszulagen zu überweisen. Zur Begründung seiner Klage führt Y._ aus, seine wirtschaftlichen Verhältnisse hätten sich seit der Scheidung von X._ dauerhaft und wesentlich verändert. Erstens habe er inzwischen wieder geheiratet und eine neue Familie gegründet. Zweitens habe sich sein Einkommen im Vergleich zum Zeitpunkt des Scheidungsurteils vermindert. Mit Eingabe vom 10. September 2007 beantragte X._ die Abweisung der Klage. Widerklageweise stellte sie das Begehren, die Unterhaltsbeiträge für die Kinder B._ und C._ seien ab 1. Januar 2008 auf Fr. 400.-- pro Monat zu erhöhen; ausserdem sei Y._ zu verpflichten, ihr Fr. 1'000.-- an die Kosten für einen Sprachaufenthalt der Tochter A._ zu bezahlen. Das Amtsgericht Hochdorf hiess die Klage mit Urteil vom 10. November 2009 gut. Es verurteilte Y._ lediglich dazu, X._ ab 15. Februar 2007 die Kinder- bzw. Ausbildungszulagen für die drei gemeinsamen Kinder zu überweisen; im Übrigen befreite es Y._ von der Pflicht zur Leistung von Unterhaltsbeiträgen. Die Begehren von X._ wies das Amtsgericht Hochdorf ab. C. Am 3. Dezember 2009 appellierte X._ beim Obergericht des Kantons Luzern gegen das erstinstanzliche Urteil. Sie verlangte, Y._ sei zu verpflichten, ihr für die Kinder B._ und C._ ab 1. Januar 2008 monatliche Unterhaltsbeiträge von je Fr. 300.-- zuzüglich Kinder- bzw. Ausbildungszulagen zu bezahlen. Y._ beantragte die Abweisung der Appellation. Mit Urteil vom 2. März 2010 wies das Luzerner Obergericht die Appellation ab. D. Mit Beschwerde vom 12. April 2010 wendet sich X._ (nachfolgend: Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und Y._ (nachfolgend: Beschwerdegegner) sei zur Bezahlung der bereits vor Obergericht geforderten Unterhaltsbeiträge zuzüglich Kinder- und Ausbildungszulagen zu verurteilen; im Übrigen sei die Urteilsabänderungsklage abzuweisen. Die Beschwerdeführerin stellt weiter das Eventualbegehren, die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Schliesslich verlangt sie, es sei ihr für das Verfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. Auf Einladung hin, sich zur Beschwerde vom 12. April 2010 vernehmen zu lassen, hat der Beschwerdegegner mit Eingabe vom 7. Juli 2010 in der Hauptsache den Antrag gestellt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventualiter sei die Beschwerde abzuweisen. Weiter ersucht der Beschwerdegegner das Bundesgericht um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Das Obergericht des Kantons Luzern hat sich nicht vernehmen lassen. 