Sachverhalt: Die IV-Stelle des Kantons Zürich sprach dem 1963 geborenen A._ unter anderem gestützt auf ein interdisziplinäres Gutachten des medizinischen Zentrums X._ vom 14. April 2008 eine befristete ganze Rente für den Zeitraum Juni 2005 bis April 2008 zu (Verfügungen vom 23. März 2009). Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde ab, mit welcher der Versicherte (unter anderem mit Hinweis auf einen Bericht der Psychiatrischen Poliklinik am Spital Y._ vom 31. Juli 2008) verlangt hatte, es sei ihm über den 30. April 2008 hinaus eine ganze Invalidenrente zuzusprechen (Entscheid vom 23. November 2010). A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Ausserdem sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung) zu bewilligen. Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme. 