Sachverhalt: A. A._ (geb. 1963) und B._ (geb. 1960) heirateten am 28. August 1992. Aus ihrer Ehe gingen die Tochter C._ (geb. 1992) und der Sohn D._ (geb. 1995) hervor. Mit Urteil des Tribunal de Première Instance Genève vom 30. April 2003 wurden die Parteien geschieden. In Bezug auf den Kindesunterhalt legte der Entscheid fest: 4. Donne acte aux parties de ce qu'elles s'engagent à subvenir chacune à l'entretien courant des enfants pendant leur période de prise en charge et à se partager les frais nécessaires ainsi que ceux qui ont été décidé d'un commun accord. 5. Donne acte à B._ de ce qu'il s'engage à prendre seul en charge les frais d'écolage de l'institut fréquenté actuellement par les enfants à l'étranger. Die Kinder besuchten zu dieser Zeit ein Internat in Indien. Die elterliche Sorge wurde den Eltern gemeinsam übertragen. B. Am 3. Oktober 2010 leitete B._ ein Abänderungsverfahren ein. Er beantragte die alleinige elterliche Sorge für beide Kinder. Weiter sei die Mutter zu verpflichten, Kindesunterhalt zu bezahlen. Der zuständige Richter teilte B._ am 28. Oktober 2010 mit, dass bezüglich der volljährigen Tochter im Abänderungsverfahren keine Anordnungen mehr getroffen werden könnten, worauf dieser seine Anträge auf den Sohn beschränkte. A._ schloss auf Abweisung. Der Einzelrichter hörte den Sohn D._ am 16. Juni 2011 persönlich an und befragte im Anschluss die Eltern. B._ zog dabei den Antrag auf Zuteilung der alleinigen elterlichen Sorge zurück, machte dies indes schriftlich rückgängig. Mit Urteil vom 3. Oktober 2011 wies der Einzelrichter des Bezirks Höfe den Antrag auf Zuteilung der alleinigen elterlichen Sorge ab. Er verpflichtete A._ in Abänderung des Scheidungsurteils, B._ für die Ausbildungskosten des Sohnes rückwirkend ab 1. August 2010 bis zur Mündigkeit monatlich Fr. 575.-- zu bezahlen, unter Vorbehalt von Art. 277 Abs. 2 ZGB. C. A._ erhob am 4. November 2011 Berufung gegen dieses Urteil und verlangte dessen Aufhebung. Eventualiter sei das Scheidungsurteil dahingehend abzuändern, dass sie ab dem 4. Monat seit Rechtskraft des Urteils des Bezirksgerichts Höfe Fr. 100.-- und ab dem 7. Monat Fr. 250.-- pro Monat bezahle. Mit Anschlussberufung vom 15. Dezember 2011 beantragte B._ erneut die Zuteilung der alleinigen elterlichen Sorge für den Sohn sowie eine Neuberechnung des Anteils, welchen A._ an den Bedarfskosten des Sohnes von mindestens Fr. 2'410.-- übernehmen müsse. A._ schloss auf Abweisung der Anschlussberufung. Das Kantonsgericht Schwyz wies Berufung und Anschlussberufung mit Urteil vom 12. Juni 2012 ab und bestätigte das Urteil des Einzelrichters des Bezirks Höfe vom 3. Oktober 2011. D. Mit Eingabe vom 14. September 2012 hat A._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Sie beantragt, das Urteil des Kantonsgerichts Schwyz sei bezüglich Unterhaltspflicht (Ziff. 1) aufzuheben oder eventualiter zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Die vom Kantonsgericht getroffene Kostenregelung (Ziff. 2 und 3) sei ebenfalls aufzuheben und vom Bundesgericht neu festzusetzen, eventualiter zur Neufestsetzung an die Vorinstanz zurückzuweisen; alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten von B._ (nachfolgend Beschwerdegegner). Die Vorinstanz schloss in ihrer Stellungnahme vom 12. März 2013 unter Verweis auf die Erwägungen im angefochtenen Entscheid auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. In seiner Vernehmlassung vom 29. April 2013 beantragt der nicht anwaltlich vertretene Beschwerdegegner, die Beschwerde sei abzuweisen. Zudem sei, wenn möglich, der Unterhaltsbeitrag rückwirkend ab 1. April 2010 zuzusprechen (anstatt erst ab 1. August 2010), der Betrag zu erhöhen und das Verfahren auf die mündige Tochter auszudehnen. Die Beschwerdeführerin gelangte mit Stellungnahme vom 24. Mai 2013 (Postaufgabe) persönlich an das Bundesgericht, bleibt offensichtlich aber anwaltlich vertreten. Sie reicht ein Schreiben ihrer Ärztin vom 24. Mai 2013 sowie Mails der beiden Kinder ein. 