Faits: A. X._ (ci-après: l'assurée), physiothérapeute indépendante, a conclu avec Y._ SA (ci-après: l'assureur) un contrat d'assurance complémentaire à l'assurance-maladie sociale lui assurant le paiement d'indemnités journalières en cas d'incapacité de travail due à la maladie ou à un accident. Une nouvelle police d'assurance, remplaçant une police antérieure, valable du 1er janvier 2010 au 31 décembre 2014, prévoit une indemnité journalière de 80% du gain assuré, fixé à 100'000 fr., durant 750 jours, après un délai d'attente de 30 jours. Une radiographie effectuée le 2 mars 2010 a révélé que l'assurée présentait diverses atteintes de la colonne vertébrale, soit plus précisément une discopathie avec cervicarthrose en C5-C6 et C6-C7, une spondylarthrose dorsale moyenne, assez marquée, une discopathie sévère en L4-L5 et en L5-S1, avec des pincements intersomatiques importants et une importante sclérose des plateaux vertébraux. Par un formulaire daté du 15 avril 2010, l'assurée a annoncé à l'assureur qu'elle était en incapacité de travail de 50% dès le 12 avril 2010 pour cause de maladie. Différents médecins ont examiné l'assurée et ont confirmé l'existence des atteintes à la colonne vertébrale, les souffrances qui en résultent et qui empêchent l'assurée de rester assise et debout longtemps, ainsi qu'une incapacité de travail de 50% dans sa profession de physiothérapeute. L'assureur a sollicité une expertise rhumatologique confiée à la clinique A._. L'assurée a été examinée, le 6 juin 2011, par le Dr V._, rhumatologue, lequel a établi son rapport en date du 18 juillet 2011. Selon les constatations de la cour cantonale, le rapport repose sur le dossier médical de l'assurée, sur une anamnèse comportant un volet familial, personnel, socioprofessionnel et médical, sur les plaintes de l'assurée et un examen rhumatologique. L'expert pose des diagnostics précis, ses constatations sont claires et ses conclusions suffisamment motivées. Elles ne sont pas en contradiction avec d'autres éléments du dossier, les autres médecins ne s'étant pas prononcés sur la capacité de travail dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles. L'expert est parvenu à la conclusion que la capacité de travail de l'assurée était de 50% de manière définitive dans son activité habituelle. En effet, d'une part, les efforts déployés avec les membres supérieurs étaient susceptibles de se répercuter sur la colonne cervicale et ceux de traction ou de pression prolongée avec les membres supérieurs étaient à éviter; d'autre part, le travail de physiothérapeute comportait pratiquement toujours des positions en porte-à-faux lombaire, lesquelles étaient associées à des efforts plus ou moins importants des membres supérieurs. En revanche, l'expert a conclu que la capacité de travail de l'assurée, dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles, était de 100% dès le 6 juin 2011, date de l'examen. Par courrier du 21 juin 2011, l'assureur, rappelant à l'assurée son devoir de diminuer le dommage, l'a sommée de mettre en valeur sa capacité de travail en recherchant un emploi dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles. Il a précisé qu'il mettrait fin aux versements des indemnités journalières après le 30 septembre 2011. B. Par acte du 24 octobre 2011, l'assurée a ouvert une action en paiement contre l'assureur, réclamant le versement des indemnités journalières jusqu'au mois d'avril 2012 et concluant à ce que sa partie adverse soit condamnée à lui payer la somme de 23'331 fr. avec intérêts moratoires de 5% dès le 15 janvier 2012. Faisant valoir que l'assurée aurait déjà eu des douleurs dorsales à l'époque du dernier questionnaire d'assurance, l'assureur a soutenu que l'assurée aurait donné des indications inexactes et qu'elle aurait fait preuve de réticence, ce qui lui permettait de résilier le contrat et de réclamer le remboursement des prestations déjà servies. A titre reconventionnel, l'assureur a conclu à ce que sa partie adverse soit condamnée à lui payer la somme de 55'562 fr.10 avec intérêts à 5% dès le 7 décembre 2011. Statuant en instance cantonale unique par arrêt du 17 avril 2012, la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de Genève a rejeté la demande reconventionnelle. Comme l'assureur n'a pas recouru au Tribunal fédéral, cette question est définitivement liquidée et il n'y a pas lieu d'y revenir. Quant à la demande principale, la cour cantonale a admis, sur la base de l'art. 61 LCA, que l'on pouvait effectivement attendre de l'assurée qu'elle exerce une activité conforme à son état, l'expertise privée produite par l'assureur étant crédible et convaincante. Elle a considéré cependant, l'assurée ayant exercé pendant longtemps la profession de physiothérapeute, qu'il fallait lui accorder le délai maximum d'adaptation prévu par la jurisprudence, à savoir un délai de cinq mois. Elle a donc conclu que les indemnités journalières étaient dues jusqu'au 30 novembre 2011 et elle a condamné l'assureur à payer encore à la demanderesse la somme de 6'685 fr. avec intérêts à 5% dès le 28 octobre 2011. C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal du 17 avril 2012. Invoquant une violation de l'art. 61 LCA, elle conclut, sous suite de frais et dépens, à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que la somme qui lui a été allouée doit être remplacée par une condamnation de sa partie adverse à lui payer la somme de 23'331 fr. avec intérêts moratoires à 5% l'an dès le 15 janvier 2012. L'intimée a conclu, avec suite de dépens, à l'irrecevabilité et subsidiairement au rejet du recours. 