Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft Baden führt eine Strafuntersuchung gegen den türkischen Staatsangehörigen X._ wegen des Verdachts zahlreicher Straftaten. Am 26. August 2011 nahm ihn die Polizei fest. Darauf versetzte ihn das Zwangsmassnahmengericht des Kantons Aargau in Untersuchungshaft. Am 2. November 2011 ordnete das Bundesgericht die Haftentlassung an (Urteil 1B_570/2011). Am 27. März 2012 nahm ihn die Polizei erneut fest. In der Folge wurde er wiederum in Untersuchungshaft genommen. Diese wurde seither verlängert. Von X._ erhobene Beschwerden blieben erfolglos; auch jene an das Bundesgericht (Urteile 1B_254/2012 vom 24. Mai 2012; 1B_740/2012 vom 17. Dezember 2012; 1B_94/2013 vom 27. März 2013). Am 22. März 2013 ersuchte die Staatsanwaltschaft das Zwangsmassnahmengericht um Verlängerung der Haft bis zum 27. Juni 2013. Mit Verfügung vom 28. März 2013 gab dieses dem Gesuch statt. Die von X._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Aargau (Beschwerdekammer in Strafsachen) am 16. Mai 2013 ab. B. X._ führt mit von ihm selbst verfasster Eingabe vom 25. Mai 2013 Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, der Entscheid des Obergerichts sei aufzuheben; er sei unverzüglich aus der Haft zu entlassen. C. Die Staatsanwaltschaft und das Obergericht haben auf Vernehmlassung verzichtet. Mit Schreiben vom 31. Mai 2013 hat der amtliche Verteidiger das Bundesgericht darum ersucht, ihm die Beschwerde vom 25. Mai 2013 zur Stellungnahme zukommen zu lassen. Dem hat das Bundesgericht entsprochen. Mit Eingabe vom 13. Juni 2013 beantragt der amtliche Verteidiger, die Beschwerde sei gutzuheissen; X._ sei die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und es sei ihm der Unterzeichnende als unentgeltlicher Rechtsvertreter zu bestellen. 