Faits: A. A.a A._, ressortissant du Zimbabwe né en 1961 à Rusape (Zimbabwe), détenteur d'un passeport britannique, et dame A._, ressortissante du Royaume-Uni, originaire du Pakistan, née en 1969 à Leeds (Royaume-Uni), se sont mariés le 3 décembre 2007 à Genève. De cette union est issu un enfant, B._, né le 3 mars 2008. Les conjoints se sont séparés le 11 août 2008. Le 19 janvier 2009, l'épouse a saisi le Tribunal de première instance du canton de Genève d'une requête de mesures protectrices de l'union conjugale, assortie de conclusions préprovisoires. Dans son ordonnance sur mesures préprovisoires du 2 février 2009, le Président du Tribunal de première instance a ratifié l'accord des parties qui confiait la garde de l'enfant à la mère, moyennant un droit de visite du père les samedis et les dimanches pendant la journée, de 11h00 à 17h00, ainsi que chaque mardi soir de 18h30 à 20h30. En ce qui concerne l'entretien de la famille, le Tribunal a considéré qu'une contribution pécuniaire de 2'000 fr. par mois apparaissait adéquate, dès lors que le mari assumait déjà le loyer de l'appartement occupé par l'épouse et les primes d'assurance maladie de la famille. La comparution personnelle des parties a eu lieu le 1er avril 2009 et un rapport d'évaluation sociale a été établi par le Service de protection des mineurs (SPMi) le 30 juillet 2009. A.b Par jugement sur mesures protectrices de l'union conjugale du 8 octobre 2009, le Tribunal de première instance a, notamment, autorisé les époux à vivre séparés (ch. 1); attribué la garde de l'enfant à la mère (2); fait interdiction à celle-ci de quitter le territoire suisse avec l'enfant sans l'autorisation écrite préalable du père (ch. 3); réglé le droit de visite de ce dernier de manière progressive en fonction de l'âge de l'enfant (ch. 4); fait interdiction au père de quitter le territoire suisse avec l'enfant sans l'autorisation écrite préalable de la mère (ch. 5); ordonné une curatelle de surveillance des relations personnelles (ch. 6); transmis le jugement au Tribunal tutélaire pour la nomination du curateur (ch. 7); condamné les parties à remettre à celui-ci, sous la menace des peines prévues par l'art. 292 CP, le passeport de l'enfant, à charge pour ledit curateur de ne remettre ce document à l'un des conjoints qu'avec l'accord écrit préalable de l'autre (ch. 8); enfin, condamné le mari à verser à l'épouse une contribution à l'entretien de la famille d'un montant de 6'300 fr. par mois (ch. 9), allocations familiales en sus (ch. 10), ainsi qu'une provision ad litem de 2'500 fr. (ch. 11). Ces mesures ont été prononcées pour une durée indéterminée (ch. 12) et les dépens compensés (ch. 13). B. Chaque partie a formé appel contre ce jugement. Par arrêt du 21 mai 2010, la Cour de justice du canton de Genève a annulé les chiffres 3, 8 et 9 du dispositif du jugement de première instance. Statuant à nouveau sur ce dernier chiffre uniquement, elle a condamné le mari à verser à l'épouse à titre de contribution à l'entretien de la famille, par mois et d'avance, allocations familiales non comprises, les sommes suivantes: du 8 septembre 2008 au 31 janvier 2009: 6'500 fr. sous déduction de 2'921 fr. déjà versés chaque mois; du 1er février au 31 octobre 2009: 6'500 fr. sous déduction de 4'921 fr. déjà versés chaque mois; à compter du 1er novembre 2009: 5'000 fr. sous déduction de 4'921 fr. déjà versés chaque mois jusqu'au 30 avril 2010. L'autorité cantonale a confirmé le jugement de première instance pour le surplus, compensé les dépens d'appel et débouté les parties de toutes autres conclusions. C. Chacune des parties exerce un recours en matière civile contre l'arrêt du 21 mai 2010. Par acte du 24 juin 2010, l'épouse conclut, principalement, à ce que l'autorité parentale sur l'enfant lui soit attribuée ou, à défaut, à ce qu'elle soit autorisée à s'installer en Angleterre avec celui-ci. Subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à la Cour de justice pour qu'elle se prononce sur son chef de conclusions tendant à ce qu'elle soit autorisée à s'installer en Angleterre avec l'enfant. Elle sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire. Le mari, par mémoire du 25 juin 2010, conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de l'affaire à la Cour de justice pour qu'elle complète sa décision, le cas échéant pour qu'elle prenne une nouvelle décision. L'épouse propose, en la forme, l'irrecevabilité et, au fond, le rejet du recours du mari; elle sollicite en outre que soit écartée du dossier la pièce nouvelle n° 2 (à savoir un décompte de chômage du mois de novembre 2009 daté du 1er décembre 2009) produite par celui-ci. Le mari conclut derechef à l'annulation de l'arrêt de la Cour de justice ainsi qu'au renvoi de la cause à cette autorité pour qu'elle complète sa décision et, le cas échéant, prenne une nouvelle décision; il demande en outre le rejet des conclusions prises par l'épouse tant dans son recours que dans sa réponse. L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt. D. Par ordonnance du 13 juillet 2010, la Présidente de la cour de céans a confirmé l'effet suspensif accordé superprovisoirement quant à l'annulation des chiffres 3 et 8 du dispositif du jugement de première instance et a accordé l'effet suspensif s'agissant des aliments dus jusqu'en mai 2010, celui-ci étant refusé pour les aliments dus dès le 1er juin 2010. 