Faits: A. A._ a été engagé par la Municipalité de la Commune de Cugy (ci-après: la municipalité) comme employé communal polyvalent à partir du 1er septembre 1988 sur la base d'un contrat de droit privé, conformément à ce que prévoyait un règlement communal alors en vigueur. A compter du 1er mai 2000, il a été soumis à un nouveau statut du personnel communal adopté par le Conseil communal de la Commune de Cugy le 27 mai 1999 et approuvé ensuite par le Conseil d'Etat du canton de Vaud. Ce statut s'applique à tous les collaborateurs salariés de la commune (art. 1.1). Il prévoit la compétence de la municipalité pour le licenciement (art. 8), pour le renvoi pour justes motifs (art. 9) ainsi que pour un cas spécial de licenciement, intitulé "suppression de fonction" et réglé à l'art. 10 dans les termes suivants: "L'employé communal peut être licencié avec six mois de préavis, pour la fin d'un mois, lorsque sa fonction est supprimée et qu'il n'est pas possible de lui trouver, dans l'administration communale, une autre situation correspondant à ses capacités." B. Par une décision du 21 décembre 2006, la municipalité a signifié à A._, qui avait été promu entre-temps chef d'équipe de la voirie, son renvoi pour justes motifs, conformément à l'art. 9 du statut du personnel. Elle a mis fin immédiatement aux rapports de travail, retenant à l'encontre de l'intéressé qu'il avait réalisé, sur les heures de travail, une activité de sciage de bois de feu à la demande de plusieurs habitants de la commune, en encaissant directement et en conservant la rémunération pour le travail fourni. Il lui était également reproché de n'avoir jamais exposé cette manière de faire à la municipalité. A._ a recouru contre cette décision auprès du Tribunal administratif du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal administratif). Ce tribunal, par un arrêt rendu le 19 juillet 2007, a admis le recours et annulé la décision de la municipalité. En substance, il a considéré que les motifs invoqués par l'employeur étaient assurément sérieux mais pas d'une importance telle qu'ils eussent pu justifier un licenciement avec effet immédiat, sans aucun avertissement. En outre, selon cet arrêt, la municipalité, qui avait eu connaissance des faits litigieux avant le mois de novembre 2006, avait tardé à prononcer le licenciement immédiat. Le 13 septembre 2007, la Commune de Cugy a formé contre cet arrêt un recours constitutionnel subsidiaire, que le Tribunal fédéral a rejeté par un arrêt rendu le 15 mai 2008 (arrêt 1D_13/2007). C. Le 1er octobre 2007 (soit après l'arrêt du Tribunal administratif mais avant l'arrêt du Tribunal fédéral), la municipalité a pris la décision de réorganiser le Service technique communal et de supprimer le poste de chef de voirie. Le 25 octobre 2007, A._ a recouru auprès du Tribunal administratif contre cette décision, en tant qu'elle supprimait la fonction de chef de voirie (affaire GE.2007.0205). Par décision du 22 octobre 2007, la municipalité a prononcé le licenciement de A._ pour le 30 avril 2008, à la suite de la suppression de la fonction de chef de voirie. Le 12 novembre 2007, A._ a recouru contre cette décision au Tribunal administratif en dénonçant principalement un congé abusif (affaire GE.2007.0221). Les causes GE.2007.0205 et GE.2007.0221 ont été jointes et, dès le 1er janvier 2008, elles ont été traitées par la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud qui a succédé au Tribunal administratif. Par un arrêt rendu le 25 août 2008, cette juridiction a déclaré irrecevable le recours formé contre la décision municipale du 1er octobre 2007 et a rejeté le recours formé contre la décision municipale du 22 octobre 2007, en confirmant cette décision. Elle a considéré en substance que la mesure de réorganisation de l'administration communale ne portait pas encore en elle-même atteinte à la situation juridique du recourant - donc qu'un recours dirigé contre cette mesure était irrecevable - mais que cette réorganisation, invoquée comme motif de licenciement, pouvait être examinée indirectement dans le cadre du recours déposé contre la décision municipale du 22 octobre 2007. A ce propos, elle a retenu que les conditions de l'art. 10 du statut du personnel communal étaient remplies. D. Agissant par la voie du recours en matière de droit public et par celle du recours constitutionnel subsidiaire, A._ demande au Tribunal fédéral de réformer l'arrêt du Tribunal cantonal en ce sens que la fonction de chef de voirie auprès de la commune de Cugy est maintenue, qu'il continue à être employé communal en qualité de chef de l'équipe communale de la voirie, et donc qu'il n'est pas licencié. A titre subsidiaire, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de l'affaire au Tribunal cantonal pour nouvelle décision. La Commune de Cugy conclut à l'irrecevabilité du recours constitutionnel et au rejet du recours en matière de droit public, dans la mesure où il est recevable. La Cour de droit administratif et public se réfère à son arrêt. 