Faits: A. A.a. M. A.X._, né en 1963, et Mme B.X._, née en 1967, se sont mariés en 1988. De cette union sont issus deux enfants, C._, né en 1995, et D._, né en 2004. A.b. Les époux sont copropriétaires depuis 1999 d'une villa à Collonge-Bellerive, où ils ont habité durant leur vie commune. Mme B.X._ a quitté le logement conjugal en février 2013 et s'est installée provisoirement chez une amie en France voisine. Les enfants sont restés avec leur père dans la villa. A.c. Il ressort du jugement de première instance que, ayant cessé son activité professionnelle d'informaticien en 2003, M. A.X._ se consacre depuis lors à des projets musicaux ainsi qu'à l'éducation de ses enfants. Il dispense notamment des cours de musique à son domicile. Mme B.X._ est médecin. Elle a travaillé à plein temps jusqu'en 1999, à 80% jusqu'en janvier 2010, puis à 65% depuis lors. B. B.a. Statuant par jugement du 21 mars 2013 sur requête de mesures protectrices de l'union conjugale déposée par Mme B.X._ le 5 juin 2012, le Tribunal de première instance de Genève a notamment attribué à Mme B.X._ la garde des enfants (ch. 2), réservé à M. A.X._ un droit de visite sur les enfants (ch. 3), ordonné une mesure de curatelle d'organisation et de surveillance des relations personnelles (ch. 4), attribué à Mme B.X._ la jouissance du domicile conjugal (ch. 5), imparti à M. A.X._ un délai au 30 avril 2013 pour évacuer le domicile conjugal de sa personne et de ses biens (ch. 6), et condamné Mme B.X._ à verser à M. A.X._, par mois et d'avance, à partir du moment où il aura quitté le domicile conjugal, un montant de 780 fr. à titre de contribution à son entretien (ch. 7). Sur ordonnance du tribunal, le Service de la protection des mineurs a rendu en décembre 2012 un rapport d'évaluation sociale, dans lequel il relève que la situation ne donne pas lieu à préoccupation et que les capacités éducatives des parents sont équivalentes, le père étant toutefois plus permissif et la mère plus stricte avec les enfants. B.b. B.b.a. Chacune des parties a formé appel auprès de la Cour de justice du canton de Genève contre cet arrêt, en requérant l'effet suspensif. En substance, M. A.X._ requiert la garde des enfants, sous réserve du droit de visite de Mme B.X._, la jouissance exclusive du domicile conjugal, la condamnation de Mme B.X._ à quitter ce domicile dans les 30 jours, et une contribution mensuelle à l'entretien de la famille de 7'000 fr., allocations familiales en sus, dès le 5 juin 2012. En substance, Mme B.X._ requiert principalement l'annulation de la contribution d'entretien due à M. A.X._ et subsidiairement la limitation de cette contribution à une période de 6 mois. B.b.b. Par arrêt du 23 mai 2013, la Présidente de la Chambre civile de la Cour de justice a suspendu l'effet exécutoire attaché au chiffre 7 du dispositif du jugement attaqué et a rejeté les requêtes d'effet suspensif pour le surplus. C. Par acte déposé le 25 juin 2013, M. A.X._ interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cet arrêt, avec requête de mesures superprovisoires et provisoires. Il conclut principalement à sa réforme, en ce sens qu'est ordonnée la suspension de l'effet exécutoire du jugement du Tribunal de première instance du 21 mars 2013 jusqu'à droit jugé au fond sur l'appel formé par lui, et subsidiairement à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants. En substance, il se plaint de la violation de l'art. 9 Cst. Il a également requis d'être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire. Invitées à déposer leurs observations, l'intimée s'est référée à ses déterminations sur la requête de mesures provisoires déposée par le recourant, alors que l'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt. D. Par ordonnance du 26 juin 2013, l'effet suspensif a été superprovisoirement accordé à l'appel du recourant contre le jugement du Tribunal de première instance du 21 mars 2013 quant à l'attribution de la garde des enfants et de la jouissance de la villa familiale à la mère. Par ordonnance du 9 juillet 2013, ces mesures ont été confirmées à titre de mesures provisionnelles. 