Faits: A. A.a Y._ SA (ci-après: Y._), à Genève, avait depuis novembre 2005 comme but statutaire notamment le commerce de devises, principalement par le biais d'internet, le courtage en devises et les transactions usuelles sur le marché des changes, avec ou pour le compte d'investisseurs privés ou institutionnels. A partir d'octobre 2006, Y._ a mis à disposition de X._, domicilié à ... (VD), une plateforme de négoce en ligne pour lui permettre d'effectuer lui-même des transactions sur devises, en spéculant sur l'évolution des taux de change, sans bénéficier de conseils ou d'une quelconque assistance de Y._ à cet égard. Il a été retenu qu'en cas d'évolution défavorable, il incombait à X._ d'apporter à Y._ des fonds supplémentaires pour couvrir la perte (virtuelle) et maintenir la position ouverte, à défaut de quoi Y._ clôturait la position en perte, non provisionnée. Les modalités d'appel de marge et d'apport de fonds supplémentaires pratiquées entre Y._ et X._ n'ont pas été établies. Comme Y._ ne pouvait plus continuer son activité au-delà du 1er avril 2008 sans solliciter une licence bancaire, elle a choisi de cesser d'opérer sur le marché des devises. Par lettre circulaire du 17 mars 2008 rédigée en anglais, Y._ a ainsi informé ses clients, dont X._, de cette décision, en leur indiquant qu'ils avaient la possibilité de continuer leurs transactions sur devises sur une plateforme internet exploitée par la société chypriote E._ Ltd (ci-après: E._), qu'elle présentait comme une « société soeur (sister company) ». Y._ promettait à chaque client désireux de recourir aux services de E._ qu'elle mettrait tout en oeuvre pour transférer à cette société, sans aucune interruption, les positions de change ouvertes sur leur compte auprès de Y._, avec le solde en liquidités; à la demande du client, Y._ se chargeait d'ouvrir pour lui un nouveau compte client auprès de E._ et de lui envoyer un nouveau login (nom de connexion) avec mot de passe. Pour recourir à ce service de transfert, le client devait retourner à Y._, après l'avoir signé, un formulaire ad hoc préparé par celle-ci, qui reprenait les engagements qu'elle avait explicités dans la lettre-circulaire susmentionnée, précisant que le client acceptait la fermeture de son compte de trading auprès de Y._ (art. 105 al. 2 LTF). Le 20 mars 2008, X._ a signé le formulaire préparé par Y._; il a convenu plus tard avec celle-ci, par téléphone, que le transfert serait opéré le week-end des 22 et 23 mars 2008 (week-end de Pâques en Suisse). Il a été retenu que les sociétés Y._ et E._ avaient un important actionnaire commun. Le transfert a été opéré le lundi de Pâques 24 mars 2008, jour qui n'est pas férié à Chypre; il portait sur un solde de liquidités de 34'216,71 EUR et sur trois positions de change encore ouvertes. Les liquidités ont été transférées par virement bancaire, alors que le transfert des positions s'est opéré par l'ouverture nouvelle des mêmes positions dans les livres de E._, après appel téléphonique de Y._ à la société chypriote. Y._ a enregistré ce jour-là à 15h.15 (heure suisse) la sortie des liquidités et des trois positions de change encore ouvertes. Pour sa part, E._ a enregistré le même jour à 15h. à Chypre (correspondant à 16h. en Suisse) l'arrivée desdites liquidités, par 34'216,71 EUR, puis les trois positions de change ouvertes, lesquelles totalisaient à ce moment une perte globale de 33'966,93 EUR, encore couverte par les liquidités transférées. Par courriel adressé le 25 mars 2008 à 13h.15 à X._, E._ lui a fourni son code de login (soit «1205») et le mot de passe nécessaires pour se connecter par internet sur son compte client auprès d'elle. E._ a encore averti le prénommé qu'il devait approvisionner son compte avant de pouvoir opérer des transactions, qu'il pouvait choisir à cette fin un transfert bancaire ou payer par carte de crédit s'il souhaitait initier des opérations de change immédiatement; E._ lui a enfin donné ses coordonnées (téléphone et fax) pour toute question éventuelle. Egalement le 25 mars 2008, à 17h.27, E._ a communiqué par courriel à X._ les détails du compte bancaire qu'elle avait ouvert auprès de la banque V._, à Chypre, sur lequel des liquidités pouvaient être versées. Par courriel envoyé toujours le 25 mars 2008, à 17 h.25, Y._ a confirmé à X._ la clôture de son compte client auprès d'elle, en raison du transfert à E._ des liquidités restantes et des positions de change ouvertes. A.b Le 26 mars 2008, entre 11h.19 et 12h.51 (heure chypriote), E._ a fermé successivement les trois positions de change de X._. Selon un organe de E._, ces positions ont été fermées « automatiquement par le système »; préalablement il y aurait eu trois appels de marge, car les fonds propres n'étaient pas suffisants pour maintenir ouvertes les positions. Il résulte d'un relevé informatique produit par E._ qu'une personne se serait connectée le 26 mars 2008 au compte client de X._ auprès de E._ avec le login «1205 », trois fois avant 09h.00 (heure chypriote) et une fois à 13h.14 (heure chypriote). Ultérieurement, des connexions ont été faites avec le login «1205 » à trois reprises le 27 mars 2008, une fois le 2 avril 2008, une fois le 1er mai 2008 et deux fois le 5 mai 2008. Après cette dernière date, il n'y a plus eu de connexion avec le login «1205 ». X._ a contesté avoir pu se connecter avec succès avec le login en question et avoir pu consulter son compte client chez E._. Il a prétendu que ses positions étaient toujours couvertes lors de leur clôture le 26 mars 2008, compte tenu des taux de change alors en vigueur. A.c Toujours le 26 mars 2008, en tout cas avant 12h.54, X._ a requis la banque W._ en Suisse, par voie électronique («e-banking »), de transférer à partir de son compte auprès de cette banque la somme de 50'000 EUR sur le compte bancaire de E._ à Chypre. Il a été retenu que la date d'exécution figurant sur l'ordre de transfert électronique était le 31 mars 2008. Par courriel envoyé aussi le 26 mars 2008 à 12h.54 (heure suisse) à Y._, X._ a informé celle-ci du transfert d'argent ordonné à Chypre, non sans insister auprès de Y._ sur le fait que, pour des « raisons techniques », le transfert de ladite somme ne pouvait avoir lieu que le 31 mars 2008. Par courriel du même jour de 13h.55 (heure suisse), un administrateur de Y._ a répondu à X._ qu'il allait transmettre son message à E._ à Chypre. Le 31 mars 2008, E._ a crédité le compte de X._ des fonds que ce dernier avait virés à partir de son compte à la banque W._. Le 29 avril 2008, E._ a enregistré l'arrivée d'un deuxième virement effectué par l'intéressé, d'un montant de 50'000 EUR. A.d Le 5 mai 2008, Y._ est entrée en liquidation. Par courriel du 13 juin 2008, X._ a écrit à un administrateur de Y._ en liquidation pour lui indiquer avoir rencontré des problèmes avec son ordinateur nécessitant peut-être de réinstaller la plateforme de négoce en ligne; le précité requérait qu'on lui communique son mot de passe ainsi que la façon d'accéder à son compte à Chypre. Ledit administrateur lui a répondu, le 18 juin 2008, qu'il avait transmis son message à Chypre pour que le nécessaire soit effectué. Le 15 août 2008 et le 8 septembre 2008, X._ s'est plaint auprès de Y._ en liquidation de la fermeture de toutes ses positions de change. Y._ en liquidation lui a fait savoir, le 19 septembre 2008, qu'elle n'avait pas accès à son compte chez E._, de sorte qu'il devait prendre langue directement avec cette société. Un échange de courriers n'a pas fait évoluer la situation. B. Après lui avoir fait notifier une poursuite, frappée d'opposition, X._ (le demandeur) a ouvert action devant les autorités genevoises contre Y._ en liquidation (la défenderesse), par demande déposée le 6 mars 2009, requérant paiement de 710'752 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 29 octobre 2008 et sollicitant la mainlevée définitive de l'opposition. La défenderesse a conclu à libération. Par jugement du 14 janvier 2010, le Tribunal de première instance a admis la légitimation passive de la défenderesse. Par jugement du 26 mai 2011, le Tribunal de première instance a débouté le demandeur de toutes ses conclusions. Statuant sur l'appel formé par le demandeur, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève, par arrêt du 10 février 2012, a confirmé le jugement du 26 mai 2011. En substance, la cour cantonale a retenu que les parties, en octobre 2006, avaient conclu un contrat innomé comportant des éléments de mandat. A partir du 22 mars 2008, le demandeur devait s'attendre à la fin de sa relation contractuelle avec la défenderesse, puisque le transfert de ses positions et liquidités à la société soeur de celle-ci avait été convenu pour le week-end des 22 et 23 mars 2008. C'est donc le demandeur qui, dès la date précitée, devait surveiller la couverture de ses positions auprès de la société chypriote, de sorte qu'il n'est pas en droit de reprocher à la défenderesse d'avoir violé une obligation d'information à propos de l'exécution effective du transfert et de son moment précis. Le demandeur ne peut pas davantage faire grief à la défenderesse de n'avoir pas transmis à la société chypriote le message qu'il a adressé à la première le 26 mars 2008, ni de n'avoir pas tout entrepris pour obtenir de la société soeur un crédit. Enfin le demandeur ne saurait imputer à la partie adverse la fermeture de ses positions et la perte financière qui en serait résulté. Tout au plus devait-il s'en prendre à cet égard à la société chypriote si cette dernière avait réellement clôturé ses positions en dépit de l'existence d'une couverture suffisante. C. Le demandeur exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal. Principalement, il reprend ses conclusions de première instance. Subsidiairement, il requiert l'annulation de l'arrêt attaqué et le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle instruction et nouveau jugement. L'intimée propose le rejet du recours. Le recourant a répliqué, alors que l'intimée a renoncé à dupliquer. 