Sachverhalt: A. Der 1950 geborene C._ war bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) unfall- sowie bei der Pensionskasse X._ berufsvorsorgeversichert, als er am 2. April 2001 einen Unfall erlitt. In der Folge wurde ihm durch die IV-Stelle für Versicherte im Ausland mit Wirkung ab 1. April 2002 eine ganze Rente (Invaliditätsgrad 83 %) zuerkannt (Verfügung vom 25. Februar 2005). Die SUVA sprach dem Versicherten mit Verfügung vom 29. August 2005 eine Invalidenrente auf Grund eines Invaliditätsgrades von 24 % (ab 1. Januar 2005) sowie eine Integritätsentschädigung von 15 % zu. Die dagegen vom Versicherten und von der Pensionskasse X._ erhobenen Einsprachen wies die Anstalt mit Entscheid vom 24. November 2005 ab. B. Die Pensionskasse X._ focht den Einspracheentscheid mit Beschwerde beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich an. Sie stellte das Rechtsbegehren, die dem Versicherten durch die obligatorische Unfallversicherung auszurichtende Rente sei auf 83 % zu erhöhen. Nachdem die SUVA beantragt hatte, es sei nicht auf das Rechtsmittel einzutreten, beschränkte das Gericht das Verfahren auf diese Frage. Mit Beschluss vom 10. Januar 2007 trat es auf die Beschwerde ein. C. Die SUVA führt Beschwerde mit dem Rechtsbegehren, "der Beschluss vom 10. Januar 2007 sei aufzuheben und die fehlende Legitimation der Beschwerdegegnerin zur Einsprache und Beschwerde zu bestätigen". Die Pensionskasse X._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. 