Faits: A. A.a. En 1995, X._ est devenu locataire de locaux commerciaux à Genève, destinés à l'exploitation d'un café-restaurant. Un nouveau contrat de bail a été conclu le 11 avril 2005. Selon un contrat daté du 21 juillet 1991, X._ était déjà locataire, dans le même immeuble, d'un appartement de 3,5 pièces, destiné à l'habitation privée de l'un de ses employés. En 2000, le locataire a conclu avec la société U._ Sàrl en formation un contrat de gérance libre portant sur les locaux commerciaux, entièrement équipés, et l'appartement. Le café-restaurant dont la gérance a été confiée à U._ Sàrl s'appelle "xxx". Par la suite, la société gérante a changé sa raison sociale en V._ Sàrl. Par avis officiel du 24 août 2009, A.Z._, devenu bailleur à une date indéterminée, a résilié le bail lié aux locaux commerciaux pour le 30 septembre 2010, au motif que X._ n'exploitait pas personnellement le café-restaurant depuis de nombreuses années. Le même jour et pour le même motif, le bailleur a résilié le bail relatif à l'appartement pour le 31 août 2010. A.b. X._ a saisi la Commission de conciliation en matière de baux et loyers du canton de Genève d'une requête en contestation des congés. Au terme de l'audience de conciliation du 3 mars 2010, les parties ont convenu ce qui suit: " Les congés sont acceptés pour le 31 août 2010. Une unique prolongation est accordée au 31 décembre 2012 étant précisé que les congés seront retirés si et pour autant que Monsieur X._ et son épouse exploitent personnellement "xxx", ceci au plus tard le 1 er janvier 2013. De nouveaux baux seront conclus dès cette date entre les parties, autant pour l'établissement public que pour l'appartement de 3,5 pièces. " Par avis officiel du 30 juin 2010, X._ a résilié le contrat de gérance libre pour le 31 décembre 2012. La société V._ Sàrl n'a pas contesté cette résiliation. A.Z._ est décédé le 27 août 2012. Sa fille, Z._, a acquis par succession la propriété des locaux litigieux. A.c. Par courrier du 20 septembre 2012, le conseil de X._ a informé W._ SA, chargée de la gérance des objets loués (ci-après: la régie), que l'exploitante du café-restaurant n'avait pas contesté la résiliation du contrat de gérance libre et qu'elle était apparemment prête à quitter les lieux pour le 31 décembre 2012; il ajoutait que son client était désireux de reprendre l'exploitation du "xxx" et priait la régie d'examiner l'opportunité de lui communiquer un projet de bail. Le 10 décembre 2012, le conseil de X._ a averti la régie que son mandant avait convoqué l'exploitante du "xxx" à un état des lieux de sortie le 31 décembre 2012 et qu'il sollicitait derechef l'établissement d'un nouveau contrat au 1 er janvier 2013. La faillite sans poursuite préalable de la société V._ Sàrl a été prononcée en date du 13 décembre 2012. Par courrier du 19 décembre 2012, le conseil de X._ a informé l'Office des faillites que son client était prêt à reprendre l'exploitation du café-restaurant dès le 1 er janvier 2013. Il le priait de fermer l'établissement et de poser les scellés afin d'éviter que du matériel ou de l'ameublement, propriété de X._, ne disparaisse; il demandait également que les clés lui soient remises immédiatement. Le lendemain, X._ a confirmé à la régie qu'il remplissait les conditions pour exploiter personnellement "xxx" au 1 er janvier 2013. Il sollicitait un nouveau bail, pour l'établissement public et l'appartement, conformément au procès-verbal de conciliation du 3 mars 2010. Par pli du 4 janvier 2013, la régie a répondu que X._ et son épouse ne respectaient pas les termes de l'accord conclu le 3 mars 2010 puisqu'ils n'exploitaient pas personnellement les locaux en cause et qu'ils ne disposaient pas des clés pour le faire; les congés notifiés ne seraient dès lors pas retirés et aucun nouveau bail ne serait conclu avec X._. Dans l'échange de correspondance qui a suivi, chaque partie a campé sur ses positions. Le 4 février 2013, l'Office des faillites a annoncé qu'il restituerait les clés à la régie, représentant la propriétaire, après établissement de l'inventaire. La plainte que X._ a déposée contre cette décision a été rejetée par la Cour de justice du canton de Genève le 4 avril 2013. B. B.a. Par requêtes déposées le 27 mars 2013 devant le Tribunal des baux et loyers du canton de Genève, Z._ a demandé l'évacuation de X._ des locaux commerciaux et de l'appartement, ainsi que l'exécution directe de l'évacuation (causes C/8065/2013 et C/8084/2013). Statuant par voie de procédure sommaire pour les cas clairs, le Tribunal des baux et loyers a fait droit aux requêtes dans deux jugements, dont l'un est daté du 29 juillet 2013 (cause C/8065/2013) et l'autre du 2 septembre 2013 (cause C/8084/2013). X._ a formé appel de ces jugements. Par arrêts du 16 décembre 2013, la Chambre des baux et loyers de la Cour de justice du canton de Genève a confirmé les deux décisions de première instance. B.b. Après l'introduction de la procédure en évacuation, X._ a déposé, le 19 avril 2013, une requête tendant à la constatation de sa titularité des baux signés les 21 juillet 1991 et 11 avril 2005 concernant les locaux commerciaux et l'appartement litigieux (causes C/8804/2013 et C/8806/2013). La conciliation a échoué et la Commission de conciliation en matière de baux et loyers a délivré à X._ l'autorisation de procéder en date du 4 juillet 2013. L'affaire est actuellement pendante devant le Tribunal des baux et loyers. Dans le cadre de cette procédure, X._ a requis des mesures provisionnelles, tendant à ce qu'il soit fait interdiction à la bailleresse de mettre en location, en gérance ou, sous toute autre forme, de mettre à disposition d'un tiers les locaux commerciaux et l'appartement loués jusqu'à droit jugé sur l'action en constatation. Le Tribunal des baux et loyers a rejeté cette requête. Par arrêt du 4 juillet 2013, la Cour de justice a confirmé l'ordonnance refusant les mesures provisionnelles. Dans un arrêt du 23 octobre 2013, le Tribunal fédéral a déclaré irrecevable le recours interjeté contre cette décision par X._ (cause 4A_353/2013). C. X._ interjette un recours en matière civile contre les arrêts rendus le 16 décembre 2013 dans les causes C/8065/2013 et C/8084/2013. Il demande au Tribunal fédéral de débouter Z._ des fins de ses requêtes d'expulsion. Le recourant requiert des mesures provisionnelles tendant, d'une part, à la jonction des deux causes et, d'autre part, à la suspension de la procédure devant le Tribunal fédéral jusqu'à droit connu sur l'action en constatation dans les causes C/8804/2013 et C/8806/2013. Il sollicite par ailleurs l'octroi de l'effet suspensif à son recours. Z._ conclut au rejet de la requête en suspension de la procédure et de la demande d'effet suspensif. Sur le fond, elle propose le rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. Le recourant a déposé une réplique, suivie d'ultimes observations de l'intimée. Pour sa part, la Cour de justice se réfère aux considérants de ses décisions. 