Sachverhalt: A. Im sog. Kulturgüterstreit ersuchte die St. Galler Kantonsregierung den Kanton Zürich im Jahr 1996 um Verhandlungen über die Rückgabe von Gegenständen; diese waren 1712, im Verlaufe des zweiten Villmergerkriegs, aus der Stiftsbibliothek St. Gallen nach Zürich verbracht worden. Die an der Universität St. Gallen tätigen Professoren X._, A._ und B._ erstellten im Jahr 2002 ein Rechtsgutachten zu dieser Thematik. Das Gutachten war von der Regierung und dem katholischen Kollegium des Kantons St. Gallen in Auftrag gegeben worden; es bildete eine Grundlage ihrer Rechtsposition. Ab November 2003 fanden unter der Leitung des Vorstehers des Eidgenössischen Departements des Innern (EDI) Verständigungsverhandlungen zwischen den beiden Kantonen statt. Auf der st. gallischen Seite wurde für die Vor- und Nachbereitung der Vermittlungsverhandlungen ein "Back Office" institutionalisiert. Zu den Sitzungen dieses Gremiums wurde jeweils auch Prof. Dr. X._ eingeladen; er war indessen nicht Mitglied der Verhandlungsdelegation. Am 5. März 2004 unterzeichnete Prof. Dr. X._ ein "Commitment" mit folgendem Inhalt: Es wurde festgeschrieben, dass Prof. Dr. X._ als Konsulent des Back Office beigezogen werde und er dafür einschlägige Dokumente zur vertraulichen und persönlichen Benützung erhalte. Sodann erklärte er ausdrücklich, bei direkten Kontakten zu Verhandlungsteilnehmenden des Kantons Zürich, zu Verantwortlichen des Bundes, zu aussenstehenden Dritten oder zu Medien in der Sache selbst nicht zu intervenieren oder Aussagen dazu zu machen. Vorbehalten wurden Ermächtigungen des Back Office im Einzelfall. Schliesslich wurde festgehalten, dass Prof. Dr. X._ für die Mitwirkung in diesem Rahmen keine Entschädigung ausgerichtet werde. B. Auf den 18./19. März 2005 war eine weitere Verhandlungsrunde im Vermittlungsverfahren angesetzt. Anfangs März 2005 stellte das Departement des Innern des Kantons St. Gallen Prof. Dr. X._ die Vereinbarung über die Erstellung eines Ergänzungsgutachtens zu. Das Gutachten betraf offenbar völkerrechtliche Gesichtspunkte im Zusammenhang mit der Praxis der Organisation der Vereinten Nationen für Erziehung, Wissenschaft und Kultur (UNESCO) betreffend Welterbestätten. Hintergrund dieser Abklärungen bildete der Umstand, dass der Stiftsbezirk St. Gallen auf der Liste des Weltkulturerbes aufgeführt ist, die im Rahmen dieser internationalen Organisation geführt wird. Das Zusatzgutachten wurde am 15. März 2005 erstattet. Bereits am 14. Februar 2005 hatte ein damaliger Universitätsassistent von Prof. Dr. X._ in dessen Auftrag eine Mail-Anfrage an das UNESCO World Heritage Committee (WHC; zu deutsch "Komitee für das Erbe der Welt") in Paris gerichtet. Dieser erkundigte sich im Wesentlichen, inwiefern ein Kanton bei einer Auseinandersetzung mit einem anderen Kanton, die einen Bezug zu einer Stätte des Welterbes aufweist, direkt an das WHC gelangen könne. Der Assistent gab zu erkennen, dass er an der Universität St. Gallen tätig war, und lieferte zusätzliche Angaben zum Hintergrund seiner Anfrage; er nannte aber insbesondere den Namen von Prof. Dr. X._ nicht. Eine Mitarbeiterin des UNESCO World Heritage Centre beantwortete die Anfrage am 1. März 2005; dabei machte sie darauf aufmerksam, dass die Angelegenheit der ständigen Delegation der Schweiz bei der UNESCO zur Information mitgeteilt werde. Der Assistent bat sie daraufhin am 4. März 2005 per Mail darum, die Weiterleitung möge unterbleiben. Damit konnte er jedoch nicht verhindern, dass die Schweizer Behörden informiert wurden. An der Verhandlungsrunde vom 18./19. März 2005 erfuhren die Kantone über die Verhandlungsleitung vom Mailverkehr zwischen dem Universitätsassistenten und der internationalen Stelle. C. Die St. Galler Kantonsregierung beriet an ihrer Sitzung vom 19. April 2005 über das Vorgefallene. Sie beschloss unter anderem, es solle dem Vorsteher des EDI im Namen der Regierung ein vorbereitetes Schreiben zugestellt werden. Parallel dazu wurde die Vorsteherin des kantonalen Departements des Innern eingeladen, Prof. Dr. X._ ein weiteres, vorbereitetes Schreiben zuzusenden. Das Schreiben der Regierung an den Vorsteher des EDI wurde mit Datum vom 2. Mai 2005 verschickt; die Behördenmitglieder bzw. leitende Vertreter der Verhandlungspartner auf der Gegenseite erhielten Kopien. In diesem Schreiben distanzierte sich die Kantonsregierung in aller Form von der Vorgehensweise und vom Inhalt der Anfrage des Assistenten von Prof. Dr. X._. Sie brachte zum Ausdruck, keine Zweifel an der korrekten Verhandlungsführung der Vermittlungsdelegation zu hegen. Ausserdem teilte die Kantonsregierung mit, dass sie Prof. Dr. X._ im Wiederholungsfall den Vorbehalt rechtlicher Schritte aus dem Auftragsverhältnis sowie nötigenfalls die Beantragung der Einleitung eines Disziplinarverfahrens angedroht habe. Prof. Dr. X._ erhielt erst später, im Rahmen der Akteneinsicht, Kenntnis vom Wortlaut des Schreibens. Am 3. Mai 2005 stellte das kantonale Departement des Innern Prof. Dr. X._ den vorgenannten, separaten Brief zu. Damit wurde er über die eingegangene Meldung und die daraus gezogenen Konsequenzen orientiert. Diese Konsequenzen bestanden zur Hauptsache darin, dass mit sofortiger Wirkung auf eine beratende Mitwirkung von Prof. Dr. X._ in der Angelegenheit verzichtet wurde. Zudem wurde er aufgefordert, alles zu unterlassen, was das Vermittlungsverfahren beeinträchtigen könne. Für den Wiederholungsfall wurden rechtliche Schritte aus dem Auftragsverhältnis und nötigenfalls die Einleitung eines Disziplinarverfahrens vorbehalten. Anzumerken ist an dieser Stelle, dass die Verhandlungsdelegationen am 27. April 2006 eine Vereinbarung über die fraglichen Kulturgüter abschlossen. D. Prof. Dr. X._ stellte mit Eingabe vom 20. Februar 2006 den Antrag, die Kantonsregierung habe förmlich festzustellen, dass die Schreiben vom 2. und 3. Mai 2005 in verschiedener Hinsicht rechtsverletzend gewesen seien. Insbesondere behauptete er dabei, das Schreiben der Regierung vom 2. Mai 2005 habe seine Persönlichkeitsrechte verletzt. Mit Entscheid vom 23. Januar 2007 trat die Kantonsregierung im Wesentlichen auf die Rechtsbegehren von Prof. Dr. X._ nicht ein. Statt dessen verwies sie ihn auf den Weg der öffentlich-rechtlichen Klage an das Verwaltungsgericht. Diesen Weg beschritt Prof. Dr. X._ in der Folge. Wie im Verfahren vor der Kantonsregierung behielt er sich ausdrücklich Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche in der Angelegenheit vor. Mit Urteil vom 19. September 2007 wies das Verwaltungsgericht die öffentlich-rechtliche Klage ab, soweit es darauf eintrat. Diesen Entscheid zog Prof. Dr. X._ an das Bundesgericht weiter. In Gutheissung seiner Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten hob das Bundesgericht mit Urteil vom 24. April 2008 die Dispositiv-Ziffern 3 und 5-7 des Urteils des Verwaltungsgerichts auf und wies die Sache insoweit zu neuer Beurteilung an das Verwaltungsgericht zurück (BGE 134 I 229). E. Daraufhin nahm das Verwaltungsgericht das Verfahren wieder auf. Nach durchgeführter öffentlicher Verhandlung fällte es am 19. August 2008 sein Urteil; damit wies es die öffentlich-rechtliche Klage ab. Gegen das zweite verwaltungsgerichtliche Urteil führt Prof. Dr. X._ beim Bundesgericht wiederum Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt im Wesentlichen die Gutheissung seiner Rechtsbegehren, die er im kantonalen Klageverfahren gestellt hatte. In diesem Sinne verlangt er die Aufhebung des angefochtenen Entscheids; eventuell sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Kantonsregierung und das Verwaltungsgericht ersuchen um Abweisung der Beschwerde. In der Replik hält der Beschwerdeführer an seinen Anträgen fest. 