Sachverhalt: A. A.a. Die A._ AG mit Sitz in Burgdorf (BE) bezweckt den Betrieb eines Logistikunternehmens. Die Gesellschaft wurde per 15. Mai 2006 ins Register der Mehrwertsteuerpflichtigen eingetragen. Sie wird zu 100 % durch die B._ AG gehalten, deren Alleinaktionär X._ ist. Dieser hält zudem rund 70 % der Anteile der börsenkotierten C._ Holding AG, welche ihrerseits zu 100 % die C._ AG hält. Die C._-Gruppe ist Entwicklerin und Herstellerin von kundenspezifischen Injektions-Pens und Pen-Nadeln für Diabetes-, Wachstumshormon- und Infertilitätstherapien sowie für weitere Indikationen. A.b. Anlässlich einer Kontrolle am 28. Oktober 2009 betreffend die Steuerperioden vom 2. Quartal 2006 bis zum 2. Quartal 2009 stellte die Eidgenössische Steuerverwaltung (ESTV) fest, das Hauptaktivum in der Bilanz der A._ AG, ein Flugzeug mit dem Kennzeichen xxxx, sei mittels zinsloser Darlehen der B._ AG erworben und anschliessend der D._ AG ins Aircraft-Management übergeben worden. Die D._ AG habe neben Flugleistungen für Drittkunden (sog. gewerbsmässige Operationen) auch Flüge für die A._ AG (sog. private Operationen) erbracht. Für die Flüge von Drittkunden habe die D._ AG sämtliche operationellen Kosten getragen und der A._ AG eine nach Flugminuten ausgewiesene Mietentschädigung bezahlt; für ihre eigenen Flüge seien der A._ AG die Aufwendungen der D._ AG sowie angefallene Drittkosten (weiter-) verrechnet worden. Da das Flugzeug auch für "private Operationen" genutzt geworden sei, habe auf dem Umfang der entsprechenden Aufwendungen kein Anspruch auf Vorsteuerabzug bestanden. Infolge eines Nachlassverfahrens über die D._ AG habe die A._ AG den Aircraft-Management-Vertrag im Dezember 2008 aufgelöst, das Flugzeug von der D._ AG abgezogen und es dem Verein E._ ins Aircraft-Management übergeben. A.c. Mit Verfügung vom 31. Mai 2012 auferlegte die ESTV der A._ AG für die Steuerperioden vom 2. Quartal 2006 bis zum 4. Quartal 2009 (Zeitraum vom 1. April 2006 bis zum 31. Dezember 2009) Mehrwertsteuern im Betrag von Fr. 343'470.-- zuzüglich die gesetzlichen Verzugszinsen (Ziff. 1 des Verfügungsdispositivs). Die (unter Vorbehalt geleistete) Zahlung von Fr. 60'000.-- wurde an die Steuerschuld angerechnet (Ziff. 2 des Verfügungsdispositivs). Zur Begründung führte die ESTV an, es liege eine gemischte Verwendung des Flugzeugs vor, was zu einer Kürzung des Vorsteuerabzugs führen müsse. Die A._ AG habe nicht nachgewiesen, dass die Leistungsempfänger die Flüge für geschäftsmässig begründete Zwecke verwendet hätten; bei den privaten Operationen fehle es an einem Leistungsaustausch. Dies gelte insbesondere auch für die Flüge der C._ AG respektive die C._ Holding AG. B. Die A._ AG focht die Ziff. 1 und 2 der Verfügung der ESTV vom 31. Mai 2012 beim Bundesverwaltungsgericht an. Dieses hiess die Beschwerde mit Urteil vom 14. Juni 2013 "im Sinne der Erwägungen" gut und hob die Ziff. 1 und 2 der angefochtenen Verfügung auf. Das Bundesverwaltungsgericht erwog zunächst, die gewählte Rechtsgestaltung stelle keine Steuerumgehung dar. Das quantitative Verhältnis zwischen Umsätzen aus Flügen mit privatem Charakter und solchen mit geschäftlichem Charakter zeige, dass die A._ AG - entgegen den Vorbringen der ESTV - zur aktiven Teilnahme am Wirtschaftsleben gegründet worden sei bzw. geführt werde. Weder im Vertragsverhältnis mit der D._ AG noch in jenem mit dem Verein E._ habe der A._ AG ein ausschliessliches oder vorrangiges Benutzungsrecht des Flugzeugs zugestanden. Der Umstand, dass das Flugzeug auch durch den (indirekten) Alleinaktionär der A._ AG mitbenutzt worden sei, lasse nicht auf eine missbräuchliche Rechtsgestaltung schliessen. Demzufolge sei auch das Halten des Flugzeugs mit Bezug auf die Umsätze der A._ AG aus den Flügen für X._ und allenfalls ihm nahestehende Personen nicht als teilweise Steuerumgehung zu qualifizieren. Diese Umsätze seien grundsätzlich bei der A._ AG steuerbare (bzw. steuerbefreite), unbestrittenermassen gegen Entgelt erbrachte Leistungen, welche nicht zu einer Vorsteuerabzugskürzung führen würden. Eine separate Beurteilung der Umsätze aus Flügen privater Natur und solchen geschäftlicher Natur sei nur angezeigt, wenn eine Steuerumgehung vorliege; diesfalls wäre in Bezug auf die Umsätze aus Flügen privater Natur eine (teilweise) Steuerumgehung anzunehmen. Weiter erwog das Bundesverwaltungsgericht, die von der B._ AG gewährten Darlehen würden - entgegen der Ansicht der ESTV - keine Spenden im Sinn von Art. 38 Abs. 8 aMWSTG darstellen. Die Finanzierung einer Gesellschaft führe nicht zur verhältnismässigen Kürzung des Vorsteuerabzugs, sofern sie dazu diene, der Gesellschaft die Ausübung einer mehrwertgenerierenden Tätigkeit nach den Gesetzen des Marktes zu ermöglichen. Die A._ AG habe sich im relevanten Zeitraum von 2006 bis 2010 noch in der wirtschaftlichen Aufbauphase verbunden, während der Verluste nicht unüblich seien. Sie könne glaubhaft darlegen, dass sie zumindest bis zur Reorganisation des Aircraft-Managements im Jahr 2009 das Ziel verfolgte, mittels Durchführung von Drittflügen eine mehrwertgenerierende Tätigkeit auszuüben. Dafür spreche insbesondere der relativ hohe Anteil an Drittflügen und der in den Anfangsjahren erzielte positive Cash Flow. Auch die nunmehr geäusserte Absicht der A._ AG, ihr Flugzeug zu veräussern und sich aufzulösen, deute eher darauf hin, dass sie im Zeitpunkt der Gründung wirtschaftlich erfolgreich habe sein wollen. Demgemäss liege keine Spende im Sinn von Art. 38 Abs. 8 aMWSTG vor, so dass diesbezüglich keine Vorsteuerabzugskürzung vorgenommen werden dürfe. C. Die ESTV erhebt am 16. August 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit dem Antrag, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid über die Vorsteuerkürzungen und Nutzungsänderungen an das Bundesverwaltungsgericht, eventuell an sie selbst - die ESTV - zurückzuweisen. In der Beschwerdeschrift macht die ESTV geltend, das Bundesverwaltungsgericht habe die Beschwerde "im Sinne der Erwägungen" gutgeheissen, wodurch die Erwägungen des Urteils zum Streitgegenstand würden. Sie - die ESTV - akzeptiere zwar die Auffassung (nicht aber die Schlussfolgerungen) des Bundesverwaltungsgerichts, wonach die A._ AG nicht "in erster Linie" oder "hauptsächlich" dem wirtschaftlich Berechtigten zu rein privaten Zwecken dienen sollte und auch nicht gedient habe. Deswegen könne der vorliegende Fall wohl nicht grundsätzlich als Steuerumgehungsfall im Sinn der jüngsten bundesgerichtlichen Rechtsprechung in sog. Flugzeugfällen behandelt werden. Das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts werde insofern angefochten, als aufgrund der fehlenden Steuerumgehung die privaten Flüge des (indirekt) wirtschaftlich Berechtigten sowie die Flüge der ihm nahestehenden B._ AG nicht zu einer Kürzung des Vorsteuerabzugs führen würden, obwohl der Nachweis der Verwendung für geschäftliche Zwecke nicht erbracht worden sei. Zudem hätte eine Vorsteuerabzugskürzung infolge der spendenartigen Finanzierung der A._ AG gestützt auf Art. 38 Abs. 8 aMWSTG erfolgen müssen. Schliesslich könne der vorliegende Fall auch nicht als "Normalfall" im Sinn des Urteils 2C_487/2011 vom 13. Februar 2013 E. 2.9 bezeichnetet werden; das Bundesgericht habe diesen Begriff bisher noch nicht definieren müssen. D. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die A._ AG beantragt in ihrer Beschwerdeantwort vom 11. Oktober 2013 die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Eventuell sei festzustellen, dass die von der ESTV gewählte Methode zur Kürzung des Vorsteuerabzugs vorliegend nicht anwendbar sei, und die Sache an die ESTV zurückzuweisen, damit sie gestützt auf Weisungen des Bundesgerichts neue Berechnungen aufgrund einer sachgerechten Methode vornehme und eine neue Verfügung erlasse. Die ESTV hält mit Replik vom 11. November 2013 an ihren Anträgen fest. Die A._ AG hat am 25. November 2013 auf Schlussbemerkungen verzichtet. 