Faits: A. Par jugement du 24 septembre 2009, le Tribunal de police de l'arrondissement de La Côte a condamné A.X._, pour gestion déloyale, à la peine de 40 jours-amende, d'un montant unitaire de 20 fr., avec sursis pendant 2 ans. Saisie d'un recours du condamné, la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal vaudois l'a rejeté par arrêt du 6 novembre 2009. B. Cet arrêt, en le résumant, déclare faire sien dans son intégralité l'état de fait du jugement de première instance. Il en résulte en substance ce qui suit. B.a A.X._, né en 1951, est marié et père de 3 enfants, dont l'aîné, B.X._, seul majeur, est né en 1982. Alors qu'il était serrurier à son compte, il a connu des difficultés financières, avant de tomber en faillite, les actes de défaut de biens délivrés contre lui totalisant plus de 100'000 fr. Il a ensuite été ouvrier serrurier. Il est actuellement en recyclage AI, en raison d'un handicap qui l'empêche de porter des charges. Sa situation financière est serrée. Il perçoit environ 5000 fr. d'indemnité de la SUVA et une aide pour payer les primes d'assurance maladie. Il paye un loyer de 2100 fr., la famille n'ayant pu trouver de logement moins cher. B.b En raison de problèmes de développement, B.X._ a fait l'objet de divers placements en institution. Rentier AI, il a été placé sous la tutelle de son père en mai 2004, par décision de la Justice de paix du cercle de Cossonay. B.c En sa qualité de tuteur, A.X._ a encaissé les rentes AI versées à son fils B.X._, cela à hauteur de 48'806,20 fr. de juin 2004 à avril 2005. Au lieu de distinguer les comptes respectifs de la famille et de son fils, il a "tout laissé ensemble". Il est établi que des sommes de 8016 fr. et de 15'714,40 fr. ont été versées par lui en faveur de son fils pour couvrir les frais de séjour de ce dernier dans un foyer pour handicapés. Selon le décompte de l'institution, les frais de séjour se seraient toutefois élevés à 29'465 fr. durant la même période. Le solde des rentes perçues, soit 25'075,80 fr., a dès lors été tenu pour utilisé à d'autres fins, notamment au profit du tuteur. B.d Par de multiples décisions, la justice de paix, notamment du fait qu'il manquait des justificatifs, a refusé la décharge des comptes. Elle a finalement relevé A.X._ de sa mission en février 2005 et a désigné un nouveau tuteur à B.X._. Elle a dénoncé le cas au juge d'instruction le 20 octobre 2006. B.e Le Tribunal de police a exclu l'abus de confiance, faute de dessein d'enrichissement. Il a admis que l'accusé "n'aurait jamais dû être désigné comme tuteur" et qu'il n'avait "fait que tenter de se battre sur trop de fronts à la fois, sans en avoir ni les compétences ni les moyens". Il a toutefois estimé que celui-ci, pour avoir mal géré les affaires de son fils et pupille, en ce sens qu'il avait tout mélangé, avait prétérité les intérêts de ce dernier et devait dès lors être reconnu coupable de gestion déloyale, ajoutant que la dénonciation de la justice de paix devait être considérée comme équivalant à une plainte. Au stade de la fixation de la peine, il a indiqué qu'il tenait largement compte de la difficulté de l'exercice pour un père de famille désemparé et dépassé par la tâche. B.f La cour cantonale a, notamment, écarté le grief par lequel l'accusé se plaignait d'une violation de l'art. 158 ch. 3 CP à raison d'une absence de plainte. Subséquemment, elle a considéré qu'il n'y avait pas lieu d'examiner si, comme il le plaidait à titre subsidiaire, la dénonciation de la justice de paix était tardive. C. A.X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral, pour violation des art. 158 ch. 3, 30 al. 2 et 31 CP. Il conclut à sa libération de l'infraction de gestion déloyale, subsidiairement à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Il sollicite l'assistance judiciaire. L'intimé conclut au rejet du recours. Le Ministère public n'a pas déposé de réponse. L'autorité cantonale a renoncé à formuler des observations. 