Faits: A. A._ et B._ exploitent un dancing à l'enseigne du "C._", à Genève, à la faveur d'une autorisation de construire délivrée par l'Office cantonal de l'inspection et des relations du travail le 9 octobre 1998. A la suite de plaintes d'habitants de l'immeuble abritant le "C._", le Service cantonal de protection contre le bruit et les rayonnements non ionisants a procédé au mois de février 2011 à des mesures de bruit dans l'un des appartements du premier étage. Selon le rapport acoustique établi le 30 mars 2011, la musique en provenance du dancing engendrait alors un dépassement des valeurs limites légales allant jusqu'à 26 dB(A). Par décision du 7 février 2012, le Service cantonal de l'environnement des entreprises a ordonné au "C._" d'installer un limiteur-enregistreur contrôlant tous les systèmes de diffusion sonore de l'établissement et garantissant que le niveau d'émission ne dépassera en aucun cas la valeur moyenne de 93 dB(A). Il lui a imparti un délai au 16 mars 2012 pour fournir une attestation d'installation du limiteur et un délai au 30 avril 2012 pour produire les relevés des niveaux sonores enregistrés. Le Tribunal administratif de première instance de la République et canton de Genève a rejeté le recours interjeté contre cette décision par les exploitants du "C._" au terme d'un jugement rendu le 11 octobre 2012. Statuant par arrêt du 18 décembre 2012, la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève a déclaré irrecevable l'acte interjeté le 21 novembre 2012 par A._ et B._ contre ce jugement au motif qu'il n'était pas signé. B. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ et B._ demandent au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de renvoyer la cause à l'instance cantonale afin qu'elle entre en matière sur leur recours du 21 novembre 2012. La Cour de justice s'en rapporte à justice quant à la recevabilité du recours et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. Le Département de l'intérieur, de la mobilité et de l'environnement, dont dépend le Service de l'environnement des entreprises, conclut au rejet du recours et à la confirmation de l'arrêt attaqué. Les recourants ont répliqué. Par ordonnance présidentielle du 12 février 2013, l'effet suspensif a été accordé au recours. 