Faits: A. Assurée auprès de Swica Assurance-maladie SA (ci-après: la caisse) pour l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie, H._ bénéficie, depuis le 3 mars 2008, de soins à domicile fournis par la société X._ SA. Le 6 février 2008 (puis le 22 janvier 2009), elle a cédé à X._ SA ses créances à l'encontre de son assureur-maladie, les factures de la société étant envoyées directement à celui-ci. Le 20 avril 2009, la caisse a rendu une décision "pour X._ SA", confirmée sur opposition le 25 novembre suivant, par laquelle elle a refusé de prendre en charge un montant de 82'784 fr. 06 réclamé par X._ SA pour des prestations effectuées en faveur de l'assurée du 3 mars au 31 août 2008. B. B.a Le 9 octobre 2009, X._ SA a saisi le Tribunal arbitral des assurances de la République et canton de Genève de sept demandes en paiement à l'encontre de la caisse concernant des prestations fournies à sept assurés, dont H._. Lors d'une audience de conciliation, les parties ont désigné la procédure portant sur la demande en paiement relative à la prénommée pour une somme de 197'912 fr. 83 (réduite à 141'986 fr. 68 en cours de procédure) comme cause-pilote. La caisse a par ailleurs soulevé l'exception d'incompétence ratione materiae du Tribunal saisi. B.b Le 11 janvier 2010, X._ SA a également déféré la décision sur opposition au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, en concluant à titre préliminaire à la suspension de l'instruction du recours jusqu'à droit connu sur la compétence du Tribunal arbitral des assurances dans la procédure concernant les soins et médicaments dispensés à H._. B.c Le Tribunal arbitral genevois des assurances a ordonné un échange d'écritures, au cours duquel la caisse a encore soulevé l'exception de litispendance en invoquant la procédure pendante devant une autre juridiction genevoise et conclu principalement à l'irrecevabilité de la demande, subsidiairement à son rejet. Statuant le 5 mars 2010 sur incident, le Tribunal arbitral a rejeté les exceptions d'incompétence et de litispendance et s'est déclaré compétent. C. La caisse interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande l'annulation. Elle conclut principalement à la constatation de l'incompétence du Tribunal arbitral genevois des assurances; à titre subsidiaire, elle conclut à l'admission de l'exception de litispendance et à la suspension de la procédure devant le Tribunal arbitral dans l'attente de l'issue de la procédure opposant les parties devant le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales. X._ SA conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer. 