(Kostenauflage im Strafverfahren), hat sich ergeben: A.- S._ mietete ab dem 1. Januar 1994 von W._ das Wohn- und Geschäftshaus D._ 15 sowie das Hotel-Restaurant D._ 18 mit dem Nachtlokal "X._" in Chur. Nachdem S._ die vereinbarten Zinszahlungen nicht mehr leistete, kündigte W._ den Vertrag am 27. November 1996. Im Streit um die finanziellen Folgen der Vertragsauflösung erhob W._ am 10. Oktober 1997 beim Bezirksgericht Plessur Forderungsklage gegen S._. S._ erhob am 15. Dezember 1997 Widerklage, die er u.a. damit begründete, er habe an den beiden Liegenschaften Renovationsarbeiten ausführen lassen. Zum Beweis seiner Gegenforderung reichte S._ dabei unter anderem auch die Kopie einer Rechnung vom 20. Februar 1996 über 31'225 Franken des Teppichlegers K._ ein. Die verrechneten Leistungen hatte K._ weder erbracht noch in Rechnung gestellt, die Rechnung war vielmehr von einem Angestellten S._'s auf dessen Geheiss hin selber hergestellt worden, indem er den Inhalt einer Originalrechnung wegkopiert und das so erhaltene Blankoformular mit dem Schriftzug der Firma K._ selber ausgefüllt hatte. Weiter machte S._ geltend, er habe auf behördliche Anordnung hin den Kamin der Liegenschaft D._ 18 für 850 Franken sanieren müssen. Aus der Rechnung des Unternehmers O._ geht hervor, dass im Rechnungsbetrag die Demontage des Parabolspiegels, welche zu Lasten S._'s erfolgte, eingeschlossen war. Auf der Rechnungskopie, die er dem Gericht einreichte, kopierte S._ diese Passage weg und machte so geltend, der gesamte Betrag sei für die feuerpolizeilich verfügte Sanierung des Kamins aufgewendet worden. B.- Mit Anklageschrift vom 29. Februar 2000 klagte die Staatsanwaltschaft Graubünden S._ wegen vollendeten Betrugsversuchs und Urkundenfälschung beim Kreisgericht Chur an. Dieses sprach ihn am 8. Juni 2000 frei, auferlegte ihm jedoch die Verfahrenskosten. Die Staatsanwaltschaft und S._ erhoben gegen dieses Urteil Berufung, wobei erstere die Schuldigsprechung und Bestrafung S._'s verlangte, während letzterer sich gegen die Kostenauflage wandte und eine Parteientschädigung verlangte. Der Kantonsgerichtsausschuss wies am 21. Februar 2001 beide Berufungen ab, wobei es die Berufungskosten zu einem Fünftel S._ auferlegte. C.- Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 9. Juli 2001 wegen Verletzung von Art. 32 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 2 EMRK beantragt S._, den angefochtenen Entscheid aufzuheben. Er macht geltend, als Freigesprochenem hätten ihm keine Kosten auferlegt werden dürfen, und es hätte ihm eine Entschädigung zugesprochen werden müssen. Die Staatsanwaltschaft verzichtet auf Vernehmlassung, währenddem das Kantonsgericht unter Verweis auf sein Urteil beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. 