Sachverhalt: A. A.a Am 25. April 2007 ordnete die Einzelrichterin des Tribunale Ordinario von Lodi/Italien gestützt auf Art. 671 (Sequestro conservativo) und Art. 669sexies (Procedimento) des italienischen Codice di procedura civile (it.CPC) auf Begehren der Bank X._ S.p.A. die sofortige vorbeugende Verarrestierung der beweglichen und/oder unbeweglichen Gegenstände, die Y._ gehören, oder der Beträge und/oder Dinge, welche diesem geschuldet sind, unter Einschluss derjenigen, die in seinem Eigentum stehen und am 1. September 2005 in einen Vermögenskomplex überführt wurden, bis zum Betrag von 400 Mio. Euro an. Mit diesem Vorgehen bezweckt die Bank X._ zivilrechtliche Ansprüche gegen Y._ infolge wirtschaftskrimineller Handlungen zu sichern. A.b Mit Eingabe vom 1. November 2007 stellte die Bank X._ bei der Einzelrichterin im summarischen Verfahren des Bezirksgerichts Zürich das Begehren, es sei der Sequestro conservativo des Tribunale Ordinario von Lodi vom 25. April 2007 nach Art. 31 ff. LugÜ für vollstreckbar zu erklären. Weiter sei ihr (bei Vollstreckbarerklärung) als Sicherungsmassnahme gestützt auf Art. 39 Abs. 2 LugÜ für eine Forderung von Fr. 33'488'000.-- nebst Zins der Arrest zu bewilligen. Für den Fall, dass die Vollstreckbarkeit nicht erklärt werde, verlangte die Bank X._, gegen Y._ einen Arrestbefehl gestützt auf Art. 271 Abs. 1 Ziffern 1 und 4 SchKG (mangelnder fester Wohnsitz bzw. ausländischer Wohnsitz des Schuldners) zu erlassen. A.c Die Einzelrichterin wies das Begehren um Anerkennung des Sequestro conservativo mit Verfügung vom 9. November 2007 ab. Zur Begründung der fehlenden Vollstreckbarkeit nach Art. 31 LugÜ hielt die Einzelrichterin im Wesentlichen fest, dass der Sequestro conservativo vom 25. April 2007 nach italienischem Recht nicht mehr wirksam bzw. vollstreckbar sei, weil er nicht innert 30 Tagen nach Ausfällung zur Vollstreckung gebracht worden sei. Mangels Vollstreckbarerklärung wurde kein Arrest als Sicherungsmassnahme gestützt auf Art. 39 Abs. 2 LugÜ angeordnet. A.d Der Eventualantrag, einen Arrest gestützt auf Art. 271 Abs. 1 Ziffern 1 und 4 SchKG zu erlassen, wurde von der Einzelrichterin in ein separates Verfahren verwiesen. B. Gegen die Verfügung der Einzelrichterin vom 9. November 2007 erhob die Bank X._ Rekurs. Das Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, wies das Rechtsmittel und den Antrag auf Vollstreckbarerklärung mit Anordnung der anbegehrten Sicherungsmassnahme mit Beschluss vom 10. Juli 2008 ab. C. Mit Eingabe vom 13. August 2008 führt die Bank X._ Beschwerde in Zivilsachen gegen den Beschluss des Obergerichts vom 10. Juli 2008. Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht, den angefochtenen Beschluss aufzuheben und den Sequestro conservativo des Tribunale Ordinario von Lodi vom 25. April 2007 gestützt auf Art. 31 ff. LugÜ für vollstreckbar zu erklären. Eventualiter sei die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Y._ (Beschwerdegegner) beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. D. Das Kassationsgericht des Kantons Zürich trat auf die von der Bank X._ (ebenfalls) am 13. August 2008 erhobene Nichtigkeitsbeschwerde mit Beschluss vom 20. April 2009 nicht ein. 