Sachverhalt: A. X._ ist im Jahre 2008 zur Welt gekommen. Aufgrund einer Corpus-callosum-Agenesie leidet das Mädchen seit seiner Geburt an einer globalen Entwicklungsstörung. Seine Eltern sind Y._ (geb. 1966) und Z._ (geb. 1959). Der Vater ist von einer anderen Frau geschieden. Aus dieser Verbindung stammen die Halbgeschwister von X._ A._ (geb. 1995) und B._ (geb. 1997). B. B.a Am 18. August 2008 verklagte X._ ihren Vater vor dem Bezirksgericht Bremgarten auf Bezahlung angemessener Kinderalimente. Z._ erklärte sich in seiner Klageantwort damit einverstanden, an den Unterhalt von X._ bis Ende Dezember 2009 maximal Fr. 500.-- und ab 1. Januar 2010 Fr. 800.-- zu bezahlen, und beantragte weiter, das Besuchsrecht zu regeln. Mit Entscheid vom 18. Dezember 2008 genehmigte das Bezirksgericht einen von der Beiständin von X._ und Z._ unterzeichneten Vergleich. Diesen Entscheid hob das Obergericht des Kantons Aargau auf Appellation der Kindsmutter hin wegen Verletzung deren rechtlichen Gehörs auf und wies das Verfahren zur weiteren Fortsetzung an das Bezirksgericht zurück (Urteil vom 23. Juni 2009). B.b In ihrer Stellungnahme vom 17. Februar 2010 beantragte Y._, die monatlichen Unterhaltsbeiträge wie folgt festzulegen: bis zum 31. Dezember 2009 Fr. 1'390.--, bis zum 31. Dezember 2011 Fr. 1'690.-- und bis zum vollendetem 6., 13., 16. bzw. 18. Altersjahr von X._ Fr. 1'800.--, Fr. 1'900.--, Fr. 1'400.-- bzw. Fr. 1'600.--, je zuzüglich Kinderzulagen; seit 16. April 2008 ausgewiesene Unterhaltszahlungen seien anzurechnen. Weiter ersuchte die Mutter darum, den persönlichen Verkehr zum Vater zu regeln und die im Jahre 2008 angeordnete Beistandschaft weiterzuführen. Z._ beantragte dem Bezirksgericht, er sei zu Unterhaltszahlungen von Fr. 650.-- (bis 31. Dezember 2009), Fr. 800.-- (bis zum 12. Altersjahr von X._) bzw. Fr. 1'000.-- (bis zur Mündigkeit von X._) zu verpflichten; im Übrigen hielt er an den bisher gestellten Anträgen fest. B.c Das Bezirksgericht Bremgarten verurteilte Z._ am 2. Dezember 2010, Y._ an den Unterhalt von X._ bis zur Vollendung des 6. Altersjahrs Fr. 800.-- und ab dem 7. Altersjahr bis zur Mündigkeit Fr. 1'100.-- zu bezahlen. Es erklärte den Vater zur Verrechnung mit bereits geleisteten Unterhaltsbeiträgen berechtigt und verpflichtete die Mutter zur Berichterstattung über die Entwicklung von X._. C. C.a X._ appellierte gegen das erstinstanzliche Urteil. Vor dem Obergericht des Kantons Aargau wehrte sie sich gegen die Höhe und die fehlende Indexierung der Unterhaltsbeiträge sowie gegen die vorinstanzliche Kostenverteilung. Sie beantragte, Z._ wie folgt zur Bezahlung von Unterhalt zu verpflichten: Fr. 1'500.-- vom 1. Januar 2010 bis 31. Dezember 2011, Fr. 1'960.-- vom 1. Januar 2012 bis 31. Juli 2012, Fr. 1'640.-- vom 1. August 2012 bis 30. April 2014, Fr. 1'870.-- vom 1. Mai 2014 bis 30. April 2020, Fr. 1'590.-- vom 1. Mai 2020 bis 30. April 2024 und Fr. 1'780.-- vom 1. Mai 2024 bis 30. April 2026. Überdies verlangte sie, die seit ihrer Geburt bereits geleisteten Unterhaltsbeiträge konkret anzurechnen. In seiner Anschlussappellation beharrte Z._ bezüglich der Alimente auf den vor erster Instanz gestellten Anträgen. C.b Soweit vor Bundesgericht noch relevant, sprach das Obergericht des Kantons Aargau dem Kind X._ indexierte Unterhaltsbeiträge von Fr. 800.-- (1. September 2011 bis 31. Dezember 2020) bzw. Fr. 1'000.-- (1. Januar 2021 bis 31. Dezember 2026) zu, je zuzüglich Kinderzulagen. Weiter verpflichtete es X._, sich allfällige, für die Zeit ab 16. April 2008 ausgerichtete Geldleistungen der Invalidenversicherung an die Unterhaltsbeiträge anrechnen zu lassen und sich gegenüber Z._ über die vereinnahmten Nettozahlungen auszuweisen. Im Übrigen wies das Obergericht die Appellation und die Anschlussappellation ab. D. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 3. November 2011 wendet sich X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Bezüglich der eingeklagten Unterhaltsbeiträge stellt sie die gleichen Begehren wie vor Obergericht (Bst. C.a), abgesehen von folgender Abweichung: Für die letzte Phase verlangt sie, Z._ (nachfolgend Beschwerdegegner) habe den Unterhalt von Fr. 1'780.-- nicht bis zum 30. April 2026, sondern bis zum 31. Dezember 2026 zu bezahlen. Im Übrigen stellt sie den Eventualantrag, die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren ersucht die Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bundesgericht hat die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. 