Faits: Faits: A. A.a Dame A._, née en 1928, qui exerçait la profession de chimiste avant de prendre sa retraite, a une grande passion pour les chats. Au début des années 1980, elle fit la connaissance de dame B._, avec laquelle elle sympathisa rapidement en raison de leur attachement commun pour la gent féline. Dame B._ avait créé l'association Y._ (ci-après: l'association), dont le but statutaire est de prendre soin des chats abandonnés; la prénommée, qui recueillait chez elle ou au domicile de son amie dame E._ en permanence environ 200 chats, présidait l'association, dont elle s'occupait seule de tous les aspects financiers. Dame B._ n'a jamais tenu aucune comptabilité pour l'association, dont le découvert dû à l'entretien des animaux se montait annuellement à environ 150 000 fr. En 1987, dame A._ entra au comité de l'association, acceptant parallèlement d'apporter son aide bénévole pour l'accueil des animaux. En 1989 ou 1990, un tiers légua un immeuble à l'association. Le bien-fonds fut vendu peu après à l'Etat de Genève, ce qui permit à l'association d'encaisser plus de 560 000 fr. Ces fonds, qui devaient servir à la construction d'un refuge, furent en grande partie utilisés par dame B._ pour régler des factures afférentes à l'hébergement des chats recueillis. Le comité de l'association ne fut pas informé de ces opérations. A.b Au printemps 1990, dame A._ ouvrit auprès de la banque Z._, devenue par la suite la Banque X._ (ci-après: X._ ou la banque), divers comptes de dépôts de titres et d'épargne, sur lesquels elle plaça l'essentiel de son patrimoine, soit environ 900 000 fr. représentant son capital de prévoyance professionnelle; dame F._, conseillère à la clientèle de X._, s'occupa des comptes précités, dont elle savait qu'ils constituaient les économies de la cliente. Dame A._, qui n'avait signé aucun mandat de gestion, passait voir dame F._ en moyenne une fois par mois, afin de vérifier les résultats obtenus et solliciter parfois des conseils à propos de nouveaux placements. Au début 1991, comme dame B._ avait évoqué avec dame A._ la nécessité pour l'association de disposer d'un compte bancaire, celle-ci lui présenta dame F._. Un compte au nom de l'association fut ainsi ouvert auprès de X._, dont une signature individuelle fut conférée à dame B._. Par la suite, dame F._, qui appréciait également les animaux de compagnie, adhéra à l'association. Dans le courant de 1991, l'Etat de Genève ayant mis à disposition de l'association un immeuble, le projet d'y aménager un refuge pour animaux prit corps. Un architecte fut mandaté, qui établit un projet de rénovation estimé à 500 000 fr. Dame B._ s'occupa seule du chantier au niveau financier. En mars 1992, dame B._ demanda à dame A._ de mettre ses avoirs en garantie d'un prêt de 300 000 fr., remboursable dans les six ou huit mois, qu'elle entendait solliciter de X._ en faveur de l'association, afin de couvrir un prétendu dépassement du coût des travaux d'aménagement du refuge; dame B._ indiqua notamment à son interlocutrice que l'association allait bénéficier prochainement de deux importantes donations consenties, d'une part, par la Loterie Romande, d'autre part par dame E._. Après avoir consulté dame F._, qui se déclara convaincue que le prêt serait rapidement remboursé, dame A._ signa le 12 mars 1992 au profit de X._ un acte de nantissement général portant sur ses comptes. La demande d'emprunt de l'association fut examinée par le chef de l'agence bancaire; celui-ci estima insensée l'idée d'investir autant d'argent pour des chats, mais considéra qu'il n'avait pas à intervenir. Par lettre du 10 avril 1992, contresignée par dame A._, X._ confirma à l'association l'octroi d'un prêt en compte courant de 300 000 fr., moyennant des intérêts débiteurs de 8,5 % l'an plus une commission trimestrielle de 0,25 %. A.c En avril 1992, dame B._ déclara à dame A._ qu'elle avait besoin d'argent pour les dépenses courantes de l'association entraînées par la nouvelle exploitation du refuge; la présidente de l'association fit savoir à son amie qu'elle avait l'intention de demander un nouveau crédit de 300 000 fr. à X._, prêt qui ne devait toutefois pas être entièrement utilisé. Dame A._ accepta de nantir ses avoirs en garantie de l'augmentation du prêt sur la foi notamment que l'association devait bientôt recevoir d'une fondation un don de 200 000 fr. à 300 000 fr. Dame A._ ne réclama aucun document comptable concernant le refuge. Dame F._, à qui dame A._ avait annoncé son intention d'intervenir pour l'association, se montra réservée et n'entreprit rien pour l'encourager dans son projet. Par courrier du 5 juin 1992, X._ confirma à l'association son accord de porter le crédit en compte courant à 600 000 fr. aux mêmes conditions que précédemment, moyennant le nantissement des avoirs de dame A._; cette dernière contresigna l'écriture pour accord. A.d Durant l'automne 1992, dame A._ apprit que la ligne de crédit accordée à l'association avait été entièrement épuisée, que les intérêts débiteurs demeuraient impayés et que les donations qui étaient espérées n'avaient pas eu lieu. Pour couvrir les intérêts échus et éviter la réalisation des valeurs gagées, le prêt fut porté par X._, avec l'assentiment de dame A._, à 650 000 fr. en janvier 1993, puis à 680 000 fr. en juin 1993. Au printemps 1994, alors que dame B._ était hospitalisée, dame A._ se rendit au domicile de dame E._ pour s'enquérir de la libéralité importante que cette dernière, au dire de la présidente de l'association, devait accorder à l'association. Dame E._ indiqua à dame A._ qu'elle attendait en fait le remboursement d'un montant de 600 000 fr. qu'elle avait prêté, pour les besoins du refuge, à dame B._. Les deux femmes comprirent alors que dame B._ les avait dupées et déposèrent à son encontre une plainte pénale. L'information pénale ouverte à Genève permit d'établir que tant les fonds retirés par dame B._ à X._ que ceux mis à la disposition de la première par dame E._ avaient entièrement disparu, alors que des factures pour les frais courants de l'association demeuraient en souffrance pour un total de 132 000 fr. Le 30 septembre 1995, X._ réalisa la majeure partie des avoirs de dame A._ et les affecta, à concurrence de 728 882 fr.45, au remboursement du crédit, en capital et intérêts, accordé à l'association. A l'automne 1998, dame B._ fut renvoyée, sous prévention d'escroqueries et de faux dans les titres, devant la Cour correctionnelle avec jury du canton de Genève. Cinq jours avant l'audience de jugement de ladite Cour, soit le 3 décembre 1999, les époux B._ et dame A._, chacun assisté d'un avocat, signèrent une convention à teneur de laquelle cette dernière acceptait le versement de 325 000 fr. en contrepartie du retrait de sa plainte et de sa constitution de partie civile. C'est sieur B._ qui fit l'effort financier nécessaire (art. 64 al. 2 OJ). L'art. 4 de l'accord précisait ce qui suit: "Moyennant bonne et fidèle exécution de la présente convention, Madame A._ reconnaît n'avoir plus aucune prétention civile ou pénale à l'encontre de Madame B._ à quelque titre que ce soit, et quelle que soit l'issue de la procédure pénale. Madame A._ reconnaît également n'avoir aucune prétention, à quelque titre que ce soit, envers Monsieur B._ et ses fils C._et D._". Par arrêt du 10 décembre 1999, la Cour correctionnelle condamna dame B._, pour escroqueries et faux dans les titres commis notamment au préjudice de dame A._, à quinze mois d'emprisonnement avec sursis. Par arrêt du 10 décembre 1999, la Cour correctionnelle condamna dame B._, pour escroqueries et faux dans les titres commis notamment au préjudice de dame A._, à quinze mois d'emprisonnement avec sursis. B. Le 20 août 2000, dame A._ a ouvert action devant le Tribunal de première instance de Genève contre X._. Elle a conclu au paiement de 403 882 fr. 45 - représentant ses avoirs affectés à la couverture du prêt consenti à l'association, par 728 882 fr.45, après déduction du montant obtenu des époux B._ le 3 décembre 1999, par 325 000 fr. - ainsi que de 166 996 fr.10, correspondant aux intérêts échus de la fin septembre 1995 au 31 août 2000. Elle a prétendu que la défenderesse, avec qui elle aurait passé un mandat de gestion de fortune, aurait violé ses obligations de diligence, de fidélité et d'information en ne vérifiant pas les promesses de remboursement avancées par dame B._ et en ne dissuadant pas la demanderesse de nantir son patrimoine en faveur de l'association. La défenderesse s'est opposée à la demande. Elle a fait principalement valoir que le préjudice était dû à la faute exclusive de la demanderesse. Subsidiairement, elle a objecté que la transaction pour solde de compte conclue le 3 décembre 1999 avec les époux B._ l'avait déchargée de toute responsabilité éventuelle, conformément à l'art. 147 al. 2 CO. Par jugement du 7 février 2002, le Tribunal de première instance a condamné la défenderesse à payer à la demanderesse 300 000 fr. en capital. Cette autorité a jugé que X._ n'avait pas agi comme gérant de fortune, qu'elle avait toutefois failli à son devoir précontractuel de mise en garde en mars et avril 1992, époque où dame A._ avait nanti ses avoirs pour garantir le premier prêt octroyé à l'association, et que l'art. 147 al. 2 CO ne pouvait s'appliquer à des rapports de solidarité imparfaite. Le Tribunal a en revanche exclu une responsabilité de la banque pour l'augmentation de crédit à concurrence de 600 000 fr., au motif que la demanderesse avait accepté que le supplément de 300 000 fr. serve à couvrir les frais d'exploitation du refuge. Saisie d'un appel de la défenderesse et d'un appel incident de la demanderesse, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève, par arrêt du 15 novembre 2002, a annulé ce jugement et, statuant à nouveau, a débouté la demanderesse de toutes ses conclusions, les dépens de première instance et d'appel étant compensés dans un souci d'équité. Saisie d'un appel de la défenderesse et d'un appel incident de la demanderesse, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève, par arrêt du 15 novembre 2002, a annulé ce jugement et, statuant à nouveau, a débouté la demanderesse de toutes ses conclusions, les dépens de première instance et d'appel étant compensés dans un souci d'équité. C. La demanderesse forme parallèlement un recours de droit public et un recours en réforme au Tribunal fédéral. Dans son recours en réforme, elle requiert que la défenderesse soit condamnée à lui payer les sommes de 403 882 fr. 45 plus intérêts à 5 % dès le 30 août 2000 et 166 996 fr.10. L'intimée propose le rejet du recours. 