Sachverhalt: A. Der aus der Türkei stammende, 1968 geborene A._ reiste im September 1990 in die Schweiz ein und stellte hier ein Asylgesuch, das letztinstanzlich am 6. Juli 1994 abgewiesen wurde. Am 29. Juli 1994 heiratete A._ die im Jahre 1955 geborene Schweizerin X._, woraufhin er die Aufenthaltsbewilligung und im August 1999 die Niederlassungsbewilligung erhielt. B. Am 30. Mai 1997 ersuchte A._ um erleichterte Einbürgerung. Dabei unterzeichnete er zusammen mit seiner Ehefrau am 31. März 2000 eine Erklärung, wonach sie in einer tatsächlichen, ungetrennten ehelichen Gemeinschaft an derselben Adresse leben würden und zur Kenntnis nähmen, dass die erleichterte Einbürgerung ausgeschlossen sei, wenn vor oder während des Einbürgerungsverfahrens einer der Ehegatten die Trennung oder Scheidung beantragt habe oder keine tatsächliche eheliche Gemeinschaft mehr bestehe. Am 11. April 2000 wurde A._ das Schweizerbürgerrecht erteilt. Am 28. August 2000 reichten die Ehegatten A._ und B._ beim zuständigen Gericht eine Scheidungsklage mit einer gemeinsam unterzeichneten Scheidungskonvention ein. Die Ehe, die kinderlos geblieben war, wurde am 7. März 2001 geschieden. Mit Verfügung vom 21. Juni 2004 erklärte das Bundesamt für Zuwanderung, Integration und Auswanderung (IMES; heute: Bundesamt für Migration) die erleichterte Einbürgerung nichtig. Am 13. März 2006 wies das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement eine dagegen erhobene Beschwerde ab. Mit Urteil vom 26. Juni 2006 bestätigte das Bundesgericht diesen Entscheid (Urteil 5A.11/2006). C. Im August 2001 gelangte die im Jahre 1980 geborene türkische Staatsangehörige B._ in die Schweiz, wo sie am 3. September 2001 A._ heiratete und in der Folge die Aufenthaltsbewilligung erhielt. Aus der Ehe gingen zwei Kinder hervor, die Tochter C._, geb. im August 2004, sowie der Sohn D._, geb. im Juni 2006. Mit Verfügung vom 8. Oktober 2007 lehnte das Amt für Bevölkerung und Migration des Kantons Freiburg ein Gesuch von A._ und der beiden Kinder um Erteilung und ein solches von B._ um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und setzte der Familie eine Frist zum Verlassen des Kantons. Zur Begründung wurde im Wesentlichen ausgeführt, dass kein Anspruch auf Aufenthalt oder Niederlassung bestehe und es der Familie zuzumuten sei, in ihre Heimat zurückzukehren. Am 3. April 2008 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Freiburg, I. Verwaltungsgerichtshof, eine dagegen gerichtete Verwaltungsgerichtsbeschwerde ab. D. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 22. April 2008 an das Bundesgericht stellen die Ehegatten A._ und B._ sowie ihre Kinder C._ und D._ die folgenden Anträge in der Sache: "1. Das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 3. April 2008 sei aufzuheben und die Beschwerdesache sei zur Gewährung des rechtlichen Gehörs und zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. 2. Eventuell: Das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 3. April 2008 sei aufzuheben. Dem Beschwerdeführer sei die Niederlassungsbewilligung zu belassen, und dessen Kinder C._ und D._ sei die Niederlassungsbewilligung zu erteilen. Subeventuell: Es sei dem Beschwerdeführer und seinen beiden Kindern C._ und D._ die Jahresaufenthaltsbewilligung zu erteilen. 3. Der Beschwerdeführerin sei eine Jahresaufenthaltsbewilligung zum Verbleib beim Ehemann zu erteilen." Zur Begründung wird im Wesentlichen ausgeführt, das Verwaltungsgericht habe eine Gehörsverweigerung begangen und sein Urteil verstosse auch in der Sache gegen Bundesrecht. E. Das Amt für Bevölkerung und Migration des Kantons Freiburg schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Kantonsgericht des Kantons Freiburg und das Bundesamt für Migration beantragen Abweisung der Beschwerde. F. Mit Verfügung vom 25. April 2008 erteilte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung. 