Sachverhalt: A. A.a Im Rahmen eines Beratungsgesprächs vom 23. März 2010 mit einem Versicherungsvermittler unterzeichneten W._ und seine Ehefrau E._ je für sich und für ihre Kinder S._ und V._ verschiedene Formulare der Groupe Mutuel, u.a. eine "Beitrittserklärung" für die Krankenpflegeversicherung gemäss KVG auf den 1. Januar 2011. Am 7. April 2010 bestätigte die Groupe Mutuel durch die ihr angehörende SKBH Schweizerische Krankenkasse für das Bau- und Holzgewerbe gegenüber der Concordia Schweizerische Kranken- und Unfallversicherung AG, bei welcher die Familie W._ (noch) obligatorisch krankenpflegeversichert war, dass ab 1. Januar 2011 die vom KVG vorgeschriebenen Leistungen bei ihr versichert seien. Mit Schreiben vom 9. April 2010 hiess sie W._ und seine Familie im Versichertenkreis willkommen, unter Angabe der Versicherungszweige und Monatsprämien. Am 12. April 2010 führte W._ mit dem Vermittler ein Telefongespräch. Am 1. Juni 2010 unterzeichneten W._, seine Ehefrau E._ und ihr Sohn V._ je einen Neuantrag der Vivao Sympany AG für die obligatorische Krankenpflegeversicherung und gewisse Zusatzversicherungen ab dem 1. Januar 2011. A.b Am 22. Oktober 2010 erhielt W._ von der Groupe Mutuel die Policen zugestellt. Diese sandte er drei Tage später zurück mit der Begründung, der damalige Vermittler habe mehrmals erklärt, es handle sich lediglich um "Offertanfragen" und nicht um eine Unterschrift auf den Anträgen. Er und seine Ehefrau seien nicht bereit, auf Versicherungsverträge einzugehen, die sie nie gewollt hätten und auch nicht wollten. Die innerhalb der Groupe Mutuel verantwortliche Avenir Krankenversicherung AG weigerte sich indessen, die Versicherungsverträge aufzulösen. A.c Am .... und .... 2011 (Ausstellungsdatum der Zahlungsbefehle) setzte die Avenir Krankenversicherung AG gegen W._ die Prämien für das erste Halbjahr und für das dritte Quartal in Betreibung. Mit Verfügungen vom 9. November und 23. Dezember 2011 hob sie den dagegen jeweils erhobenen Rechtsvorschlag auf. Die Einsprachen wies sie mit Entscheid vom 1. Februar 2012 ab. B. In Gutheissung der Beschwerde von W._ hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen den Einspracheentscheid vom 1. Februar 2012 sowie die Betreibungen Nr. ..... für die Summe von Fr. 2'211.10 nebst Zins zu 5 % auf dem Betrag von Fr. 1'898.10 ab dem 2. September 2011 und Nr. ..... des Betreibungsamtes X._ auf, wobei es feststellte, dass mit der Avenir Krankenversicherung AG kein Versicherungsverhältnis für die obligatorische Krankenpflegeversicherung zustande gekommen sei (Entscheid vom 11. Dezember 2012). C. Die Avenir Krankenversicherung AG führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 11. Dezember 2012 sei aufzuheben, und es sei festzustellen, dass W._ und Familie ab 1. Januar 2011 bei ihr krankenversichert seien; eventualiter sei die Sache zur weiteren Abklärung an das kantonale Versicherungsgericht zurückzuweisen. W._ beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Versicherungsgericht, das Bundesamt für Gesundheit und auch die Vivao Sympany AG haben keine Vernehmlassung eingereicht. 