Sachverhalt: Sachverhalt: A. A.a Die Kantone Obwalden und Nidwalden schlossen am 16. Dezember 1996 ein Abkommen betreffend die Behandlung von Engelberger Patientinnen und Patienten auf der Allgemeinen Abteilung im (in Stans liegenden) Kantonsspital Nidwalden, welches mit Nachtrag vom 3. Februar 2004 in "Spitalabkommen über die Behandlung von Engelberger Patientinnen und Patienten im Kantonsspital Nidwalden" umbenannt wurde (nachfolgend: Spitalabkommen). Dieses regelt die Aufnahme, die Kosten und die Rechnungsstellung für die stationäre Behandlung von Patientinnen und Patienten mit zivilrechtlichem Wohnsitz in Engelberg auf der Allgemeinen Abteilung des Kantonsspitals Nidwalden (Art. 1 Abs. 1 Spitalabkommen). Es gilt nur für Patientinnen und Patienten, die lediglich gemäss der obligatorischen Krankenpflegeversicherung nach KVG versichert sind (Art. 1 Abs. 2 Spitalabkommen). Für die Aufnahme von Patientinnen und Patienten aus Engelberg muss beim Gesundheitsdepartement des Kantons Obwalden keine Kostengutsprache eingeholt werden (Art. 2 Abs. 1 Spitalabkommen); die Patientinnen und Patienten aus Engelberg werden bezüglich der Aufnahmepriorität den Nidwaldner Patientinnen und Patienten gleichgestellt (Art. 2 Abs. 2 Spitalabkommen). Die Tagespauschale betrug anfänglich Fr. 670.- und beläuft sich heute auf 56 % der jeweils geltenden Tagestaxe für ausserkantonale Patientinnen und Patienten (Art. 4 Abs. 2 Spitalabkommen). Die Rechnungen werden vom Kantonsspital direkt an die Garanten gemäss KVG gerichtet (vgl. Art. 6 Spitalabkommen). In der Obwaldner Spitalliste wird das Kantonsspital Nidwalden als Grundversorgung für Engelberger Patientinnen und Patienten aufgeführt. A.b Anfänglich wendete das Kantonsspital Nidwalden das Spitalabkommen auf alle Engelberger Patienten an, auch auf diejenigen, die über eine Zusatzversicherung für den ausserkantonalen Spitalaufenthalt verfügten. Mit anderen Worten brachte es auch für diese die günstigere Tagespauschale gemäss Spitalabkommen zur Anwendung. Zudem vergütete der Kanton Obwalden die Differenz zum Obwaldner Spitaltarif. A.c Im Januar 2003 überprüfte das Kantonsspital Nidwalden diese Praxis und wendete fortan das Spitalabkommen sowie die darin vorgesehene günstigere Pauschale nur noch auf die über keine Zusatzversicherung verfügenden Engelberger Patienten an. Bei den zusatzversicherten Patienten wurde nun der höhere Tarif für ausserkantonale Patienten in Rechnung gestellt und es erfolgte keine Differenzzahlung seitens des Kantons Obwalden mehr. Dementsprechend stellte das Kantonspital den Krankenversicherern (Zusatzversicherungen) nachträglich Rechnung für die Jahre 2001 und 2002. A.d Nachdem sich die Krankenkasse CONCORDIA geweigert hatte, diese Nachzahlung zu leisten, verfügte das Kantonsspital am 12. Mai 2003 entsprechende Nachzahlungen im Betrag von insgesamt Fr. 385'535.65. Einen von der CONCORDIA erhobenen Rekurs wies der Spitalrat des Kantonsspitals am 22. September 2003 ab. Auf die von der CONCORDIA hiegegen eingereichte Beschwerde trat das Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden als Versicherungsgericht nicht ein und verwies die Parteien auf das Verfahren nach Art. 89 KVG; zudem stellte es von Amtes wegen fest, dass die Verfügungen des Kantonsspitals vom 12. Mai 2003 sowie der Rekursentscheid des Spitalrats vom 22. September 2003 nichtig seien (Entscheid vom 4. Oktober 2004). Zur Begründung wurde ausgeführt, es gehe um eine Streitigkeit zwischen Versicherer und Leistungserbringer, die sich auf das KVG stütze, da das Spitalabkommen, dessen Anwendung umstritten sei, eine Spezifizierung von Art. 41 KVG darstelle und somit den obligatorischen Teil der ausserkantonalen Hospitalisation betreffe. Auch eine Leistungspflicht der CONCORDIA für zusatzversicherte Engelberger Patienten richte sich nicht ausschliesslich nach den entsprechenden Zusatzversicherungen, sondern es sei dafür das Spitalabkommen einzubeziehen und zu prüfen, ob in Anwendung dieses Abkommens eine Leistungspflicht der CONCORDIA im Sinne eines obligatorischen Teils der ausserkantonalen Hospitalisation auch für die über eine Spitalzusatzversicherung verfügenden Patienten entfalle. A.d Nachdem sich die Krankenkasse CONCORDIA geweigert hatte, diese Nachzahlung zu leisten, verfügte das Kantonsspital am 12. Mai 2003 entsprechende Nachzahlungen im Betrag von insgesamt Fr. 385'535.65. Einen von der CONCORDIA erhobenen Rekurs wies der Spitalrat des Kantonsspitals am 22. September 2003 ab. Auf die von der CONCORDIA hiegegen eingereichte Beschwerde trat das Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden als Versicherungsgericht nicht ein und verwies die Parteien auf das Verfahren nach Art. 89 KVG; zudem stellte es von Amtes wegen fest, dass die Verfügungen des Kantonsspitals vom 12. Mai 2003 sowie der Rekursentscheid des Spitalrats vom 22. September 2003 nichtig seien (Entscheid vom 4. Oktober 2004). Zur Begründung wurde ausgeführt, es gehe um eine Streitigkeit zwischen Versicherer und Leistungserbringer, die sich auf das KVG stütze, da das Spitalabkommen, dessen Anwendung umstritten sei, eine Spezifizierung von Art. 41 KVG darstelle und somit den obligatorischen Teil der ausserkantonalen Hospitalisation betreffe. Auch eine Leistungspflicht der CONCORDIA für zusatzversicherte Engelberger Patienten richte sich nicht ausschliesslich nach den entsprechenden Zusatzversicherungen, sondern es sei dafür das Spitalabkommen einzubeziehen und zu prüfen, ob in Anwendung dieses Abkommens eine Leistungspflicht der CONCORDIA im Sinne eines obligatorischen Teils der ausserkantonalen Hospitalisation auch für die über eine Spitalzusatzversicherung verfügenden Patienten entfalle. B. Am 9. Dezember 2005 erhob das Kantonsspital Nidwalden beim Schiedsgericht nach Art. 89 KVG des Kantons Nidwalden Klage gegen die CONCORDIA mit dem Rechtsbegehren, die Anwendung des Spitalabkommens ausschliesslich für lediglich grundversicherte Patientinnen und Patienten mit Wohnsitz in Engelberg sei zu bestätigen und die CONCORDIA sei zu verpflichten, alle seit 2001 offenen Rechnungen zuzüglich Zins von 5 % zu bezahlen. Mit Entscheid vom 24. Januar 2007 hiess das Schiedsgericht die Klage, soweit es darauf eintrat, teilweise gut und stellte fest, dass das Spitalabkommen lediglich für grundversicherte Patientinnen und Patienten mit Wohnsitz in Engelberg Anwendung finde. Mit Entscheid vom 24. Januar 2007 hiess das Schiedsgericht die Klage, soweit es darauf eintrat, teilweise gut und stellte fest, dass das Spitalabkommen lediglich für grundversicherte Patientinnen und Patienten mit Wohnsitz in Engelberg Anwendung finde. C. Die CONCORDIA erhebt Verwaltungsgerichtsbeschwerde (recte: Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten) mit dem Rechtsbegehren, es sei der Entscheid des Schiedsgerichts aufzuheben und die Klage des Kantonsspitals Nidwalden abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Kantonsspital Nidwalden beantragt sinngemäss die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. 