Faits: A. T._, née en 1963, a travaillé en qualité de cheffe de rayon au service de la société X._. A ce titre, elle était assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Le 2 février 2004, elle a glissé sur une plaque de verglas alors qu'elle se rendait à pied sur son lieu de travail et s'est cogné la tête contre le sol. Consultée le lendemain, la doctoresse M._, a diagnostiqué une contusion pariéto-occipitale et un syndrome subjectif post-traumatique. Elle a fait état d'une incapacité de travail de 100 % du 3 février au 24 mars 2004 et de 50 % du 25 mars suivant à la fin du mois d'avril (rapport du 24 avril 2004). La CNA a pris en charge le cas. L'assurée a repris son travail à 70 % du 3 mai au 12 juillet 2004, date à partir de laquelle elle a été entièrement incapable de travailler en raison de vertiges, de troubles de la mémoire et de maux de tête. Elle a consulté le docteur F._, médecin-directeur du Département de neurologie de l'Institution L._, lequel a indiqué que ces troubles pouvaient découler de la commotion cérébrale mais aussi être aggravés par un état d'anxiété chronique (rapport du 17 novembre 2004). L'assurée a séjourné à la Clinique Z._ du 23 février au 19 avril 2005. Dans un rapport du 23 mai 2005, les médecins de cet établissement ont constaté une diminution des vertiges et des troubles de la concentration, lesquels restaient toutefois trop importants pour permettre la reprise de l'activité de cheffe de rayon. La CNA a confié une expertise au professeur C._, médecin-chef de la division autonome de neuropsychologie du Centre hospitalier Y._ (rapport du 28 novembre 2006) et requis l'avis de son médecin d'arrondissement, le docteur X._ (rapport du 9 février 2007). Se fondant sur l'avis de ce médecin, elle a rendu une décision le 13 février 2007, confirmée sur opposition le 1er mai suivant, par laquelle elle a supprimé le droit de l'assurée à des prestations d'assurance avec effet au 19 février 2007, motif pris que les troubles dont souffrait encore l'intéressée après cette date n'étaient pas en relation de causalité avec la chute survenue le 2 février 2004. B. L'assurée a recouru contre la décision sur opposition devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud (depuis le 1er janvier 2009 : la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud) en concluant à l'octroi des prestations prévues par la LAA. A l'appui de ses conclusions, elle a produit notamment un rapport d'expertise du docteur A._, en France, spécialiste en neurologie (du 18 septembre 2007), les résultats d'une IRM cérébrale mise en oeuvre au Centre hospitalier S._ ainsi qu'un rapport du professeur R._, médecin-consultant au Département d'imagerie morphologique et fonctionnelle de cet établissement (du 7 juillet 2008). De son côté, la CNA a requis l'avis du docteur B._, spécialiste en neurologie et médecin de sa division de médecine des assurances (rapports des 20 mai et 1er septembre 2008). La juridiction cantonale a rejeté le recours par jugement du 18 décembre 2008. C. T._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'octroi des prestations prévues par la LAA, subsidiairement au renvoi de la cause à la CNA pour nouvelle décision. Par ailleurs, elle demande à bénéficier de l'assistance judiciaire en procédure fédérale. La CNA conclut au rejet du recours, ce que propose aussi implicitement le tribunal cantonal. De son côté, l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations. 