Faits : Faits : A. A.a Y._ a travaillé comme employée de cafétéria auprès de la société SGIPA à Genève. A ce titre, elle était assurée par son employeur en matière d'indemnités journalières en cas de maladie auprès de X._ Assurances, dans le cadre d'une assurance-maladie collective conclue selon la loi fédérale sur le contrat d'assurance du 2 avril 1908 (LCA; RS 221.229.1). Y._ a été en incapacité de travail à compter du 14 décembre 2001. Après avoir versé durant un certain temps des indemnités journalières, X._ a interrompu ses versements à partir du 1er janvier 2003, estimant que son assurée était totalement apte à reprendre le travail. A.b Le 27 août 2003, Y._ a déposé une demande en paiement contre X._ auprès du Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève. Arguant de l'incompétence de ce tribunal à raison de la matière, X._ a conclu à l'irrecevabilité de la demande. Par arrêt du 24 août 2004, le Tribunal cantonal des assurances sociales s'est déclaré compétent, a admis la recevabilité de la demande et a réservé le fond de la cause. A.c En date du 30 septembre 2004, X._ a interjeté un recours de droit public au Tribunal fédéral contre cet arrêt, au motif que le litige ne devait pas être porté devant le Tribunal cantonal des assurances sociales mais devant le Tribunal de première instance de Genève. Par arrêt du 15 décembre 2004, la cour de céans a déclaré le recours irrecevable, X._ n'ayant pas respecté la règle de l'épuisement préalable des instances cantonales (art. 86 al. 1 OJ), le Tribunal des conflits du canton de Genève étant chargé de trancher les questions de compétence entre une juridiction administrative d'une part et une juridiction civile ou pénale d'autre part. Par arrêt du 15 décembre 2004, la cour de céans a déclaré le recours irrecevable, X._ n'ayant pas respecté la règle de l'épuisement préalable des instances cantonales (art. 86 al. 1 OJ), le Tribunal des conflits du canton de Genève étant chargé de trancher les questions de compétence entre une juridiction administrative d'une part et une juridiction civile ou pénale d'autre part. B. B.a Le 21 janvier 2005, X._ a saisi le Tribunal des conflits de son recours déposé le 30 septembre 2004 auprès du Tribunal fédéral à l'encontre de l'arrêt du Tribunal cantonal des assurances sociales. B.b Par arrêt du 13 juin 2006, le Tribunal des conflits a rejeté le recours de X._, estimant que le litige, certes soumis à la LCA, est de la compétence du Tribunal cantonal des assurances sociales, en vertu de l'art. 56V al. 1 let. c de la loi genevoise d'organisation judiciaire du 22 novembre 1941 (LOJ/GE; RSG E 2 05). B.b Par arrêt du 13 juin 2006, le Tribunal des conflits a rejeté le recours de X._, estimant que le litige, certes soumis à la LCA, est de la compétence du Tribunal cantonal des assurances sociales, en vertu de l'art. 56V al. 1 let. c de la loi genevoise d'organisation judiciaire du 22 novembre 1941 (LOJ/GE; RSG E 2 05). C. Contre cet arrêt, X._ interjette un recours de droit public au Tribunal fédéral, sollicitant, à titre préalable, l'octroi de l'effet suspensif. Elle conclut principalement à l'annulation de la décision attaquée, au déboutement du Tribunal des conflits, du Tribunal cantonal des assurances sociales, de Y._, ainsi que de tout autre opposant ou intervenant, de leurs conclusions contraires. Subsidiairement, elle conclut à ce que le Tribunal fédéral lui permette de prouver, par toutes voies de droit, les faits allégués dans son recours. Elle invoque la violation des art. 30 al. 1 Cst. et 14 § 1 du Pacte international relatif aux droits civils et politiques du 16 décembre 1966 (Pacte ONU II; RS 0.103.2), ainsi que de l'art. 9 Cst. Y._ a renoncé à se déterminer sur la requête d'effet suspensif et à déposer une réponse. Le Tribunal des conflits s'en est remis à justice quant au sort de la requête d'effet suspensif et n'a pas formulé d'observations au sujet du recours de droit public. Par ordonnance du 27 septembre 2006, le Président de la IIe Cour de droit civil a attribué l'effet suspensif au recours. 