Faits: A. A.a M._, sans formation professionnelle, a exercé divers emplois en qualité de serveuse ou de sommelière, en dernier lieu en tant que vendeuse remplaçante dans une cafétéria pendant la période du 19 mars au 5 mai 2001, activité qu'elle a cessé d'exercer en raison d'une première grossesse. Le 18 juin 2003, elle a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité, en sollicitant une orientation professionnelle et l'octroi éventuel d'une rente d'invalidité. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a procédé à une enquête économique sur le ménage, dont il résultait qu'en bonne santé, elle n'aurait pas travaillé à plus de 50 % à l'extérieur, pour pouvoir se consacrer à son enfant (rapport du 4 octobre 2004). Les médecins traitants de l'assurée ont déposé leurs conclusions, le docteur S._ (spécialiste FMH en neurologie) dans un rapport du 23 octobre 2003, la doctoresse D._ (chef de clinique du Service de neurologie de X._) dans un rapport du 7 avril 2005 et le docteur F._ (spécialiste FMH en chirurgie orthopédique et médecin-adjoint de l'Hôpital Y._) dans des rapports des 4 mai et 26 octobre 2005, dont il résultait que la patiente était atteinte d'une myopathie facio-scapulo-humérale et qu'elle avait subi en septembre 2004 une arthrodèse scapulo-thoracique gauche. Dans un rapport d'examen du 5 juillet 2005, le docteur C._, médecin du SMR, a admis que la capacité de travail exigible était de 50 % dès septembre 2005 dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles (flexion et abduction du bras gauche limitées à 90°, pas de port de charges de plus de trois kg avec le membre supérieur gauche, possibilité d'alterner les positions). Par décision du 14 février 2006, l'office AI a informé M._ qu'elle présentait en tant que personne active (50 % de son temps) une invalidité de 5 % et en tant que ménagère (50 % de son temps) une invalidité de 23.27 %, soit un taux de 28.27 % ne donnant pas droit à une rente et qu'elle n'avait pas droit non plus à un reclassement, de sorte que sa demande était rejetée. Le 13 mars 2006, l'assurée a formé opposition contre cette décision. Par décision du 29 octobre 2007, l'office AI a rejeté l'opposition. Le 30 novembre 2007, M._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud. Elle a produit une lettre du 26 mai 2008 du professeur K._, responsable unité nerf-muscle du Service de neurologie de X._, et de la doctoresse D._. Par jugement du 27 juin 2008, la juridiction cantonale a annulé la décision sur opposition du 29 octobre 2007, la cause étant renvoyée à l'office AI pour qu'il complète l'instruction conformément aux considérants et rende une nouvelle décision. Relevant que l'assurée présentait un déficit musculaire lié à la myopathie, handicap qui paraissait avoir une composante irréductible dans ses effets, pour toute activité, elle a considéré qu'à part le défaut de mobilité, l'incidence sur l'exercice d'une activité lucrative de la faiblesse générale due à l'affection nécessitait une instruction complémentaire sous la forme d'un stage d'observation dans un COPAI, mesure qui était de nature à apporter les éléments déterminants pour évaluer les possibilités concrètes d'exercer une activité à mi-temps. A.b Du 19 février au 20 mars 2009, M._ a effectué un stage d'observation professionnelle au COPAI de Z._. Dans un rapport du 23 mars 2009, le docteur A._, médecin-conseil, a indiqué que le groupe d'observation était d'avis que l'assurée présentait une capacité résiduelle de travail de 50 % dans une activité adaptée. Le Centre W._, dans un rapport final du 6 avril 2009, a conclu qu'elle était en mesure d'être active à la demi-journée avec des rendements proches de la norme dans une activité légère adaptée aux limitations fonctionnelles (contrôle de la qualité de petites pièces, conditionnement léger, montage léger à l'établi, activités de bureau et de commerce). Dans un préavis du 22 avril 2009, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a nié tout droit de M._ à une rente d'invalidité, au motif qu'elle présentait une invalidité de 28.27 %. Le 13 mai 2009, l'assurée a fait part à l'office AI de ses observations. Par décision du 14 juillet 2009, l'office AI, rejetant la demande, a refusé de lui allouer la prestation requise. B. Le 14 septembre 2009, M._ a formé recours contre cette décision devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud, en concluant, sous suite de frais et dépens, à sa réforme en ce sens qu'elle avait droit à une rente entière d'invalidité "à compter d'une date qui sera précisée en cours d'instance, à défaut fixée à dire de justice", à titre subsidiaire à son annulation, la cause étant renvoyée à l'office AI pour nouvelle instruction et décision dans le sens des considérants. Produisant une lettre du professeur K._ et de la doctoresse D._ du 3 août 2009, elle requérait la mise en oeuvre d'une expertise médicale, d'un stage d'observation sur une période d'une année au moins et d'une enquête économique sur le ménage. Par arrêt du 18 mai 2010, la juridiction cantonale a rejeté le recours. C. M._ interjette un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à sa réforme en ce sens qu'elle a droit à une rente entière d'invalidité à compter du 1er juin 2003, à titre subsidiaire à son annulation, la cause étant renvoyée à l'instance cantonale pour nouvelle instruction et décision dans le sens des considérants. Elle sollicite l'octroi de l'assistance judiciaire gratuite. 