Faits: A. M._ a exercé divers emplois peu qualifiés entre 1977 et 2003. Souffrant de problèmes de dos, de troubles alimentaires et de dépression, elle a déposé le 8 octobre 2004 une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans le cadre de l'instruction du dossier, l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Jura (ci-après: l'office AI) a recueilli l'avis du docteur H._, médecin traitant (rapports des 20 octobre 2004, 2 juillet 2006, 31 janvier 2007 et 26 février 2008) ainsi que ceux de la psychiatre A._ et de la psychologue O._ (rapports des 28 février 2005, 3 mai 2006 et 15 mars 2007). De son côté, le Service médical régional de l'AI (SMR) a procédé à un examen clinique rhumato-psychiatrique. Il a retenu les diagnostics (avec répercussion sur la capacité de travail) de lombalgies communes, de périarthrite scapulo-humérale gauche avec conflit sous-acromial, de syndrome rotulien bilatéral, d'inguinalgies droites, d'obésité morbide (BMI 48) et de trouble panique avec agoraphobie; l'assurée présentait également une hypotension artérielle, un status variqueux des membres inférieurs, une dysthymie et un status post-épisode dépressif (2000-2001). Moyennant le respect de diverses limitations fonctionnelles, l'assurée présentait une capacité résiduelle de travail de 80 % dans une activité adaptée telle que celle d'employée de bureau (rapport du 1er mars 2006). L'office AI a également fait réaliser une enquête économique sur le ménage, qui a mis en évidence une entrave de 20,7 % dans l'accomplissement des travaux habituels (rapport du 27 avril 2005), et alloué une mesure d'orientation professionnelle dans le domaine de la petite mécanique (décision du 27 août 2007), mesure que l'assurée a interrompue de façon précoce. Se fondant principalement sur le rapport établi par le SMR, l'office AI a, par décision du 27 février 2008, rejeté la demande de prestations de l'assurée, motif pris que le degré d'invalidité, fixé à 4 % selon la méthode mixte d'évaluation, était insuffisant pour ouvrir le droit à une rente d'invalidité. B. Par jugement du 15 avril 2009, la Chambre des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura a rejeté le recours formé par l'assurée contre cette décision. C. M._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation. Elle conclut, à titre principal, au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour complément d'instruction et nouvelle décision et, subsidiairement, à l'octroi d'une rente entière d'invalidité. Elle assortit son recours d'une requête d'assistance judiciaire. L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. 