Faits: A. Lors d'un cours de répétition accompli en octobre 1988, P._ a contracté une trachéo-bronchite, avec toux spastique. Depuis cette époque, il souffre d'un asthme bronchique, ainsi que d'une pathologie oto-rhino-laryngologique et respiratoire devenue chronique. Son cas a été pris en charge par l'assurance militaire. Le 25 février 1999, il a subi une conchotomie (cautérisation) des deux cornets nasaux moyen et inférieur avec méatotomie bilatérale visant à élargir le méat du sinus maxillaire des deux côtés. Le lendemain de cette opération, il s'est plaint d'importantes douleurs au niveau des maxillaires supérieures. En raison de la persistance de cette symptomatologie, il a été adressé à trois spécialistes en oto-rhino-laryngologie (ORL), les docteurs M._, W._ et A._. Se fondant notamment sur les avis de ces médecins, l'Office fédéral de l'assurance-militaire (ci-après: l'OFAM) a avisé P._ que le syndrome douloureux n'était pas en relation avec l'affection ORL et qu'il serait mis fin au versement des indemnités journalières le 30 juin 2000. Après que l'assuré s'est opposé à ce refus, l'OFAM a confié deux expertises, l'une au docteur H._ (spécialiste ORL à l'Hôpital X._) et l'autre au docteur T._ (spécialiste en neurologie à la clinique neurologique de l'Hôpital X._). P._ s'étant plaint dans l'intervalle d'un déni de justice pour obtenir la reprise du versement des indemnités journalières, l'OFAM s'est vu enjoindre de statuer jusqu'au 31 janvier 2002 sur la demande de l'intéressé. Par décision du 30 janvier 2002, l'OFAM a refusé derechef toute prestation, dès le 1er juillet 2000, au motif que le syndrome douloureux présenté par l'intéressé n'était pas en relation avec l'opération assurée. Le 22 février 2002, P._ a fait opposition à la décision précitée. Entre-temps, les docteurs T._ et H._ ont rendu leur expertise, respectivement les 31 janvier et 16 avril 2002. Par décision du 8 mai 2003, l'OFAM a rejeté l'opposition. B. Par jugement du 25 mai 2004, le Tribunal administratif du canton de Neuchâtel (aujourd'hui: Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public) a rejeté le recours formé par l'assuré contre la décision de l'OFAM. Saisi d'un recours de droit administratif, le Tribunal fédéral des assurances l'a rejeté (arrêt du 31 octobre 2005; cause M 3/04). C. Par requête du 7 novembre 2011, P._ demande la révision de l'arrêt du 31 octobre 2005 (M 3/04), en concluant à son annulation, subsidiairement au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants. Il sollicite également d'être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire. Aucun échange d'écritures n'a été ordonné. D. Par ordonnance du 6 décembre 2011, la Ire Cour de droit social du Tribunal fédéral a rejeté la demande d'assistance judiciaire, au motif que la demande de révision apparaissait vouée à l'échec. 