Faits: Faits: A. A.a Par acte authentique du 26 mai 1981, la banque X._ (ci-après: X._ ou la banque) a octroyé à D._ un crédit en compte courant de 130'000 fr. garanti par un cautionnement solidaire de 156'000 fr. émanant de A._ domiciliée à W._, ainsi que par une hypothèque grevant en deuxième rang les parcelles en nature de vignes Nos ..., sises au lieu-dit Z._ sur le territoire de la Commune de Y._, lesquelles avaient été acquises le même jour par D._. A la suite de la vente de ces vignes à B._ le 25 février 1983 pour le prix de 310'793 fr., payé par reprise de dette auprès de X._, celle-ci a accordé, le 6 juillet 1983, à ce nouvel acquéreur un crédit en compte courant de 130'000 fr., mais à la condition que l'inscription hypothécaire garantissant le crédit subsiste sans changement. Le 14 décembre 1983, la banque, par l'intermédiaire de C._, a fait signer à B._ un nouvel acte de crédit présentant la même teneur, avec l'intervention supplémentaire de A._, qui a déclaré maintenir en faveur du compte repris par B._ l'engagement qu'elle avait contracté le 26 mai 1981 en tant que caution solidaire. Selon les conditions figurant dans l'acte de crédit, lors de chaque bouclement, un relevé des opérations était fourni au débiteur; à défaut d'observation dans la quinzaine suivant la date du bouclement, le compte était réputé admis. Le remboursement pouvait être exigé en tout temps dans le délai légal (art. 318 CO), la dénonciation pouvant être totale ou partielle. La caution reconnaissait comme dette garantie le montant que le débiteur principal devait ou pouvait devoir d'après l'état du compte courant. Si d'autres sûretés existaient en faveur de la banque, sans être expressément affectées à la dette cautionnée, les cautions reconnaissaient à la banque le droit de les réaliser en premier lieu pour le remboursement d'autres créances. Les cautions pouvaient être recherchées à l'échéance de la dette avant la réalisation des gages et des droits de préférence existants. A.b Dès l'octroi du crédit, le compte courant N° ... relatif à ce prêt a présenté un dépassement de 30'707 fr. 20. La caution en a été informée le 14 mars 1984. Par la suite, l'état du compte a varié fortement, atteignant le solde le plus faible le 12 janvier 1990, par 41'809 fr. 05, et le plus élevé le 30 septembre 1991, par 430'164 fr., pour une limite de crédit de 130'000 fr. Faute de l'avoir demandé, A._ n'a pas été avisée des variations du compte courant ni des importants dépassements. A.c Le 4 août 1992, X._ a fait savoir à B._ et à A._ qu'elle dénonçait le prêt et qu'elle demandait le remboursement intégral du crédit dans le délai légal de six semaines, réclamant ainsi pour le 15 septembre 1992 294'434 fr. avec intérêt conventionnel de 9,5%, plus une commission trimestrielle de 0,25% ainsi que les frais dès cette date. Cette dénonciation intervenait pour le motif que, malgré de nombreux rappels, l'excédent de crédit sur le compte courant n'avait pas été "régularisé". Néanmoins, après un versement de 217'000 fr. opéré à la fin de l'année 1992, la relation en compte courant a continué. La banque a avisé le 11 mai 1995 B._ et A._ d'un nouveau dépassement de 4643 fr.70 et a réclamé, d'ici le 24 mai 1995, le versement de cette somme, sous peine de voir le prêt dénoncé. Cette menace a été mise à exécution à l'échéance, X._ réclamant pour le 5 juillet 1995 le paiement de 137'591 fr. 90, plus les intérêts conventionnels au taux de 6,25%, la commission trimestrielle de 0,25% et les frais dès cette date. Au 30 juin 1995, après écritures de bouclement, le solde en faveur de la banque s'élevait à 137 157 fr.20. B._ n'a jamais contesté les relevés de compte courant qui lui étaient adressés. Par le ministère de son conseil, B._ a fait savoir à la banque, le 7 juillet 1995, qu'il ne s'opposerait pas à des poursuites en réalisation des gages grevant ses immeubles, tout en souhaitant que X._ renonce pour l'heure à poursuivre les cautions avant la liquidation de tous ses propres biens. Le 15 mars 1996, X._ a informé A._ que B._ ne s'était pas acquitté de l'excédent de crédit et qu'elle entamait le même jour une procédure de poursuite contre lui. Le 3 juillet 1996, A._, par l'intermédiaire d'un avocat, a fait savoir à la banque que celle-ci ayant tardé à agir contre le débiteur principal depuis la dénonciation du crédit pour le 24 mai 1995, elle était mise en demeure d'agir sans interruption notable. La banque a aussitôt contesté cette manière de voir, estimant ne pas avoir failli à son devoir de diligence envers la caution. A.d Il a été constaté que, le 30 mars 1996, X._ a introduit une poursuite en réalisation de gage contre B._. A la demande de ce dernier, la banque a consenti à la vente de gré à gré des parcelles Nos ... pour le prix de 85'954 fr.; ce montant a été entièrement absorbé par le remboursement d'un autre crédit de 131'990 fr. accordé par X._ au prénommé, prêt qui était garanti par une hypothèque en premier rang. La procédure de réalisation forcée des immeubles précités a été suspendue le 1er avril 1997; la poursuite y afférente a été annulée le 17 novembre 1998 sur intervention de la banque sollicitée par le poursuivi. Le 22 octobre 1997, X._ a annoncé à A._ qu'elle avait intenté une poursuite ordinaire contre B._ - à qui il était réclamé en capital 163'118 fr. 20 - et qu'il en était résulté une saisie de salaire de 500 fr. par mois dès le mois d'octobre 1998. Il était également mentionné sur cette communication que le débiteur possédait des immeubles largement grevés et que leur saisie était conditionnée à une avance de frais de 2'000 fr. Le 3 mars 1998, X._ a exigé de A._ le versement de la somme de 156'000 fr., correspondant à l'engagement qu'elle avait souscrit. La réalisation forcée des immeubles, fixée au 2 avril 1998, a abouti à un excédent de 61'266 fr. 90 versé le 8 mai 1998 au crédit du compte courant concernant B._. Ainsi, d'après X._, le solde dû au 30 juin 1998 s'élevait à 111'658 fr. 70 et à 113'773 fr. au 30 septembre 1998. En effet, après remboursement des créances hypothécaires, le solde disponible de 104'679 fr. 90 résultant de la vente aux enchères a été cédé à concurrence de 110'000 fr. par B._ à X._. Le 5 novembre 1998, X._ a confirmé à l'Office des poursuites de Martigny son accord au report à fin novembre 1998 de la saisie contre B._. Le 18 décembre 1998, il a été délivré à la banque un acte de défaut de biens après saisie pour la somme de 114'780 fr. 90. A.e Le 22 octobre 1998, X._ a fait notifier à A._ un commandement de payer portant sur la somme de 113'772 fr. 30 plus intérêts de 7,75% dès le 30 septembre 1998 (poursuite N° ... de l'Office des poursuites de Martigny). Le 22 février 1999, la mainlevée provisoire de l'opposition formée par A._ à cette poursuite a été prononcée par le Juge des districts de Martigny et St-Maurice à concurrence de 113'772 fr. 30 avec intérêts à 5% dès le 30 septembre 1998. Le 22 février 1999, la mainlevée provisoire de l'opposition formée par A._ à cette poursuite a été prononcée par le Juge des districts de Martigny et St-Maurice à concurrence de 113'772 fr. 30 avec intérêts à 5% dès le 30 septembre 1998. B. Le 18 mars 1999, A._ a intenté contre X._ une action en libération de dette. La banque a conclu au rejet de la demande. Le 18 mai 2001, la défenderesse a déposé en cause une déclaration, signée le 26 avril 2001, par A._, représentée par son avocat. Aux termes de ce document, la demanderesse renonçait purement et simplement, sans reconnaissance de responsabilité, à la prescription dans le cadre de la procédure l'opposant à la banque et relative à son engagement de caution en faveur de B._, cela pour le cas où cette prescription interviendrait en cours de procédure et ne serait donc pas déjà atteinte. Par jugement du 11 décembre 2001, la IIe Cour civile du Tribunal cantonal valaisan a admis l'action en libération de dette et a maintenu l'opposition formée au commandement de payer, considérant qu'en application de l'art. 509 al. 3 CO, le cautionnement était périmé. Par arrêt du 1er juillet 2002, le Tribunal fédéral a admis le recours en réforme interjeté contre ce jugement par X._, annulé le jugement précité et renvoyé la cause à l'autorité cantonale pour qu'elle en poursuive l'examen et qu'elle rende une nouvelle décision dans le cadre des moyens invoqués par A._ à l'appui de son action en libération de dette, moyens qui n'avaient pas été examinés en raison de l'admission à tort de l'objection de péremption. B.a Par jugement du 16 janvier 2003, la Cour civile II du Tribunal cantonal valaisan a très partiellement admis l'action en libération de dette selon le dispositif suivant: "1. A._ paiera à la banque X._ le montant de 137'157 fr. 20, avec intérêt au taux légal de 5% dès le 6 juillet 1995, sous déduction de 61'266 fr. 90, valeur 2 mai 1998. 2. La mainlevée dans la poursuite N° ... de l'Office des poursuites et faillites de Martigny est définitivement levée à concurrence du montant de 137'157 fr. 20, avec intérêt au taux légal de 5% dès le 6 juillet 1995, sous déduction de 61'266 fr. 90, valeur 2 mai 1998. 3. Les frais, par 7'565 fr., sont mis pour 9/10e à la charge de A._ et pour 1/10e à la charge de la banque X._. 4. A._ versera à la banque X._: - 3'243 fr. 50 à titre de remboursement d'avance; - 9'900 fr. à titre de dépens. 5. La banque X._ versera à A._ 1'100 fr. à titre de dépens". Examinant les moyens soulevés par la débitrice, l'autorité cantonale a considéré, en substance, que, contrairement à l'avis de celle-ci, les versements effectués postérieurement à la dénonciation au remboursement de 294 434 fr. pour le 24 août 1992 ne pouvaient être déduits de la dette, étant donné que la relation de compte courant avait continué. La Cour civile a admis que la banque, en dénonçant au remboursement le compte courant le 24 mai 1995 pour l'échéance du 5 juillet 1995, avait respecté le délai légal de six semaines. C'est le solde dû au 30 juin 1995, par 137'157 fr. 20, qui représentait le montant exigible du débiteur après la résiliation du contrat, ce dernier n'ayant jamais contesté les relevés de compte. Cette somme devait porter intérêts dès le lendemain de la résiliation du contrat de compte courant, à savoir le 6 juillet 1995, au taux légal de 5 % l'an, faute pour la défenderesse d'avoir établi la quotité d'un taux supérieur. Le montant de 61'266 fr. 90, valeur 2 mai 1998, devait être toutefois retranché du solde dû. Comme le contrat précisait expressément que les cautions pouvaient être recherchées avant la réalisation des gages et que les sûretés non affectées à la dette cautionnée étaient susceptibles d'être destinées au remboursement d'autres créances, la somme de 110'000 fr. cédée par B._ à X._ a pu servir au remboursement de n'importe quelle créance. Il suit de là qu'aucune imputation supplémentaire n'entrait en ligne de compte. En sa qualité de caution solidaire, a conclu l'autorité cantonale, la demanderesse est débitrice de X._ dans la même mesure que B._. En sa qualité de caution solidaire, a conclu l'autorité cantonale, la demanderesse est débitrice de X._ dans la même mesure que B._. C. A._ exerce un recours en réforme au Tribunal fédéral contre le jugement du 16 janvier 2003. Elle conclut à ce qu'elle n'est pas débitrice de la somme de 137'157 fr. 20 plus intérêts à 5% dès le 6 juillet 1995, sous déduction de 61'266 fr. 90, valeur au 2 mai 1998, l'opposition formée au commandement de payer, poursuite N° ..., devant être définitivement maintenue. L'intimée conclut au rejet du recours. 