Faits: A. A._, ressortissant nigérien né en 1968, est entré en Suisse le 11 mai 1999 et y a déposé une demande d'asile, qui a été rejetée 17 juillet 2000. Une nouvelle demande d'asile, déposée le 3 avril 2001, a fait l'objet d'une décision de non-entrée en matière le 18 décembre 2001. Le 15 mai 2002, le recours interjeté contre cette décision a été déclaré irrecevable. Le 6 juin suivant, A._ a épousé B._, ressortissante suisse née en 1970. Il s'est ainsi vu déliver une autorisation de séjour. Le 3 août 2006, A._ a déposé une demande de naturalisation facilitée fondée sur son mariage. Dans le cadre de l'instruction de cette demande, les époux ont contresigné, le 25 juin 2008, une déclaration écrite aux termes de laquelle ils confirmaient vivre en communauté conjugale effective et stable, résider à la même adresse et n'envisager ni séparation, ni divorce. Leur attention a été attirée sur le fait que la naturalisation facilitée ne pouvait pas être octroyée lorsque, avant ou pendant la procédure de naturalisation, l'un des époux demandait le divorce ou la séparation, ou lorsque la communauté conjugale effective n'existait plus. La déclaration signée précisait en outre que si cet état de fait était dissimulé, la naturalisation facilitée pouvait être ultérieurement annulée. Par décision du 22 août 2008, l'Office fédéral des migrations (ci-après: l'Office) a accordé la naturalisation facilitée à A._. B. Par prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale du 29 juillet 2009, le Tribunal de première instance du canton de Genève a autorisé les époux A._ et B._ à vivre séparés. Le 14 septembre 2011, B._ a déposé une demande unilatérale de divorce. Par jugement du 12 décembre 2011, le tribunal compétent a prononcé la dissolution du mariage des prénommés. C. Le 3 juillet 2012, l'Office a informé A._ qu'il allait examiner la possibilité d'ouvrir une procédure en annulation de sa naturalisation facilitée et l'a invité à se déterminer. Dans un courrier du 16 juillet 2012, l'intéressé a indiqué notamment qu'il "était toujours" avec son épouse au moment de la signature de la déclaration commune et que des "problèmes d'incompatibilité" avaient surgi au sein du couple. En bref, il contestait avoir fait des déclarations mensongères en vue d'obtenir la nationalité suisse. Auditionnée le 17 septembre 2012, B._ a indiqué en particulier que des divergences culturelles étaient apparues au sein du couple au printemps 2009, précisant qu'elle avait consulté une avocate en mai 2009. Par courrier du 18 octobre 2012, A._ s'est déterminé sur les déclarations de don épouse. D. Par décision du 14 décembre 2012, l'Office a prononcé, avec l'assentiment des autorités cantonales genevoises, l'annulation de la naturalisation facilitée accordée à A._. En substance, il a retenu que la naturalisation facilitée avait été octroyée sur la base de déclarations mensongères, voire de dissimulation de faits essentiels. Le Tribunal administratif fédéral a confirmé cette décision dans un arrêt rendu le 3 septembre 2013. Il a considéré en particulier que l'enchaînement rapide des événements fondait la présomption que la communauté conjugale des intéressés n'était plus stable au moment de la signature de la déclaration commune, les éléments avancés par A._ n'étant pas suffisants pour renverser cette présomption. E. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande principalement au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du Tribunal administratif fédéral et de confirmer l'octroi de la naturalisation facilitée. Il conclut subsidiairement au renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Invités à se déterminer, le Tribunal administratif fédéral a renoncé à prendre position, alors que l'Office a observé que le recours ne contenait aucun élément propre à remettre en cause l'appréciation des juges précédents. 