Faits: A. A.a. A._ SA (ci-après: la Société), dont l'administrateur unique est B._ et le directeur C._, est une société anonyme avec siège à F._, active dans le domaine de la construction et de la rénovation. A.b. Le 28 octobre 2008, la Société a été condamnée pour avoir employé trois travailleurs étrangers qui n'étaient pas en possession des autorisations requises par la loi. La Société a été sommée de respecter les procédures applicables en cas d'engagement de main-d'oeuvre étrangère, sous menace de rejet de ses futures demandes d'admission de travailleurs étrangers pour une durée allant de un à douze mois. Le 16 juin 2011, la Société a été à nouveau sanctionnée pour avoir employé un travailleur étranger sans autorisation de travail. Elle a fait l'objet d'une décision d'interdiction d'engager des travailleurs étrangers pour une durée de trois mois. La Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours formé par l'intéressée contre cette décision, par arrêt du 27 juin 2012. A.c. Par contrat de travail du 12 février 2013, la Société a engagé D._ en qualité de plâtrier pour une durée indéterminée à compter du 1 er mars 2013. Le salaire mensuel brut, payable douze fois l'an, a été fixé à 4'100 fr. Le même jour, la Société a sollicité la délivrance d'un permis de séjour avec activité lucrative en faveur du prénommé. Dans le formulaire, la Société a indiqué que D._ était de nationalité kosovare. Par décision du 28 mars 2013, le Service de l'emploi du canton de Vaud (ci-après: le Service de l'emploi) a refusé de délivrer l'autorisation de séjour sollicitée. A.d. Parallèlement, le 6 mars 2013, un contrôle de chantier sur lequel oeuvrait la Société a montré que D._, originaire du Kosovo, travaillait pour le compte de celle-ci sans être au bénéfice d'une autorisation de travail. Par courrier du 25 mars 2013, le Service de l'emploi a interpellé la Société afin qu'elle se détermine sur les faits qui lui étaient reprochés. La Société n'a pas répondu dans le délai imparti. Par courrier électronique du 9 avril 2013, le Bureau des étrangers de la Ville de Lausanne (ci-après: le Bureau des étrangers), sous la plume de E._, a informé le Service de l'emploi que "le document d'identité 'italien', remis par D._ à son employeur, se présent[ait] comme une carte d'identité italienne courante avec une mention au dos" et que "même [...] le Bureau des étrangers, qui av[ait] l'habitude de tenir des pièces d'identité entre [ses] mains, dev[ait] être particulièrement attentif[...], entre autres, avec les documents italiens". Le Bureau des étrangers a précisé que, au vu des circonstances, l'employeur lui paraissait de bonne foi. Il a ajouté avoir informé la Société de la "nationalité réelle" de son employé par courrier du 6 mars 2013 et que, à la suite de cette annonce, D._ avait été immédiatement licencié. B. Le 24 avril 2013, le Service de l'emploi a rendu la décision suivante à l'encontre de la Société: "1. A._ SA doit respecter les procédures applicables en cas d'engagement de main-d'oeuvre étrangère. Par ailleurs, et si ce n'était pas encore fait, vous voudrez bien immédiatement rétablir l'ordre légal et cesser d'occuper le personnel concerné; 2. toute demande d'admission de travailleurs étrangers formulée par A._ SA, à compter de ce jour et pour une durée de 6 mois, sera rejetée (non-entrée en matière); 3. un émolument administratif de 500 fr. lié à la présente décision de non-entrée en matière est mis à la charge de A._ SA". Par une autre décision du même jour, le Service de l'emploi a condamné la Société à prendre en charge les frais occasionnés par le contrôle du 6 mars 2013. Par courrier du 7 mai 2013, la Société a demandé des explications au Service de l'emploi au sujet des décisions du 24 avril 2013. Le Service de l'emploi a transmis ce courrier au Tribunal cantonal, pour valoir recours contre les deux décisions. Dans l'intervalle, le 29 avril 2013, D._ a été condamné à une peine de dix jours amende avec sursis pendant deux ans pour exercice d'une activité lucrative sans autorisation. Par arrêt du 2 octobre 2013, le Tribunal cantonal a rejeté le recours contre les décisions rendues le 24 avril 2013 par le Service de l'emploi. La Société avait violé son devoir de diligence en omettant de s'assurer que D._ disposait d'une autorisation de travail avant de l'occuper sur un chantier. L'intéressée, qui avait récidivé, pouvait être sanctionnée par une décision refusant pendant six mois l'entrée en matière sur toute demande d'admission de travailleurs étrangers de sa part. Cette sanction respectait le principe de proportionnalité. La décision de mettre à charge de l'intéressée les frais de contrôle était en outre conforme au droit. C. A l'encontre de cet arrêt, A._ SA forme un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Elle conclut, sous suite de frais et dépens, à ce que le jugement cantonal soit réformé en ce sens que la décision du 24 avril 2013 est annulée; subsidiairement, que la sanction infligée par décision du 24 avril 2013 soit réduite dans une mesure ne dépassant pas trois mois; très subsidiairement, que la décision du 24 avril 2013 soit renvoyée au Service de l'emploi pour nouvelle décision. Plus subsidiairement encore, la Société demande l'annulation de l'arrêt attaqué et le renvoi de la cause à l'autorité précédente. Le Service de l'emploi conclut au rejet du recours et le Service de la population du canton de Vaud renonce à se déterminer. Le Tribunal cantonal se réfère à son arrêt. La Société a indiqué n'avoir pas d'observations complémentaires à formuler. 