Sachverhalt: A. Im Rahmen ihres Scheidungsverfahrens ersuchte A.X._ das Bezirksgericht Arlesheim mit Eingabe vom 19. Februar 2008 ein erstes Mal um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung. Der Präsident des Bezirksgerichts wies dieses Gesuch mit Verfügung vom 29. Juni 2009 ab. Zur Begründung führte er aus, die Ehegatten würden über freies Kapital in der Höhe von über Fr. 83'000.-- in einer Liegenschaft verfügen. Aus diesem Grund sei die Voraussetzung der Bedürftigkeit nicht erfüllt. A.X._ wehrte sich ohne Erfolg gegen die Verfügung des Bezirksgerichtspräsidenten. Das Kantonsgericht Basel-Landschaft wies eine entsprechende Beschwerde ab (Beschluss vom 20. Oktober 2009). B. Im Dezember 2009 ersuchte A.X._ das Bezirksgericht Arlesheim im hängigen Ehescheidungsverfahren erneut um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung. Sie machte geltend, ihre Lebensumstände und ihre Vermögenssituation hätten sich im letzten halben Jahr geändert. Überdies würden die Annahmen, aufgrund derer ihre finanziellen Situation im ersten Gesuchsverfahren beurteilt und ihre Prozessarmut verneint worden war, nicht zutreffen.Mit Verfügung vom 5. Januar 2010 wies der Präsident des Bezirksgerichts Arlesheim auch das zweite Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung mangels Bedürftigkeit ab und trat auf das Gesuch um Bestellung eines Beistandes nicht ein. In der gleichen Verfügung lud er A.X._ und B.X._ auf den 23. März 2010 zur Hauptverhandlung im Scheidungsverfahren vor. Mit Urteil vom 23. März 2010 hat das Bezirksgericht Arlesheim die Ehe geschieden. Am 12. Januar 2010 legte A.X._ beim Kantonsgericht Basel-Landschaft gegen die Verfügung des Bezirksgerichtspräsidenten Beschwerde ein. Darin ersuchte sie das Kantonsgericht, ihren Antrag auf Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung für das Ehescheidungsverfahren erneut zu prüfen. Zugleich stellte sie auch für das Beschwerdeverfahren einen Antrag auf Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung. Mit Beschluss vom 6. April 2010 wies das Kantonsgericht diese Anträge ab. C. Mit Eingabe vom 23. April 2010 gelangt A.X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt sinngemäss, der Beschluss des Kantonsgerichts sei aufzuheben und es sei ihr für das Ehescheidungsverfahren die unentgeltliche Prozessführung zu bewilligen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht die Beschwerdeführerin mit Eingabe vom 5. Mai 2010 ebenfalls um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Es wurden die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. 