Sachverhalt: A. A.a Die am 15. Oktober 1921 geborene Z._ heiratete am ... 1946. Die Ehe wurde am ... 1960 geschieden und die beiden Kinder unter ihre elterliche Gewalt gestellt. Seit Oktober 1962 wohnte Z._, welche nicht wieder heiratete, in A._, wo sie auch angemeldet war. Am ... 1977 verstarb ihr früherer Ehemann. A.b Ende August 1983 meldete sich Z._ zum Bezug einer Altersrente an. Auf dem Anmeldeformular gab sie als Zivilstand "geschieden" an. Mit Verfügung vom 28. November 1983 setzte die Ausgleichskasse Luzern die Altersrente auf Fr. 620.- im Monat fest. Im August 1985 ersuchte Z._ wiederum unter Angabe des Zivilstandes "geschieden" und Beilage des Scheidungsurteils um Ausrichtung einer Hinterlassenenrente bis zum Beginn der Altersrente am 1. November 1983. Mit Verfügung vom 27. Dezember 1985 sprach ihr die Ausgleichskasse für die Zeit vom 1. September 1980 bis 31. Oktober 1983 eine Hinterlassenenrente (Witwenrente an den geschiedenen Ehegatten) von monatlich Fr. 563.- resp. Fr. 635.- ab 1. Januar 1982 zu. Mit einer weiteren Verfügung vom selben Tag setzte sie die Altersleistungen ab 1. November 1983 neu auf Fr. 883.- im Monat fest. A.c Im Rahmen der 10. AHV-Revision (in Kraft getreten am 1. Januar 1997) wurde die Altersrente von Z._ mit Wirkung ab 1. Januar 2001 neu berechnet. Dabei wurde ihr unter der Annahme des Zivilstandes "verwitwet" der für solche Personen gesetzlich vorgesehene Zuschlag von 20 % zur Rente gewährt. Im Oktober 2007 stellte die AHV-Zweigstelle fest, dass der richtige Zivilstand "geschieden" war, was vom städtischen Zivilstandsamt bestätigt wurde. Mit Verfügung vom 14. Januar 2008 forderte die Ausgleichskasse Luzern von Z._ den zu Unrecht ausgerichteten Zuschlag für verwitwete Personen für die Zeit vom 1. Oktober 2002 bis 31. Dezember 2007 in der Höhe von insgesamt Fr. 15'240.- zurück durch Verrechnung mit den Rentenbetreffnissen ab März 2008 in sechzig monatlichen Raten à Fr. 254.-. Mit Einspracheentscheid vom 9. Mai 2008 bestätigte die Ausgleichskasse die Rückerstattungspflicht für die Zeit ab 1. Januar 2003, stellte die aufschiebende Wirkung wieder her und hob die Verrechnung auf. B. Die Beschwerde der Z._ wies das Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 8. Juli 2009 ab und überwies die Akten an die Ausgleichskasse, damit sie gegebenenfalls die Erlassvoraussetzungen prüfen könne. C. Z._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 8. Juli 2009 sei aufzuheben und die Rückforderung von zu viel bezogenen Altersrenten abzuweisen. Die Ausgleichskasse beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Gericht verzichtet auf eine Stellungnahme, während das Bundesamt für Sozialversicherungen sich nicht vernehmen lässt. D. Die Instruktionsrichterin hat bei der Ausgleichskasse die Akten edieren lassen. In weiteren Eingaben haben sich die Parteien zur Sache geäussert. 