Sachverhalt: A. A.a Die 1966 geborene A.X._ (Klägerin) und der 1955 geborene B.X._ heirateten am 30. Juli 1994. Aus der Ehe gingen die Töchter C._ (geboren im Dezember 1994), D._ (Dezember 1996), und E._ (Januar 1998) hervor. Bei allen drei Geburten musste ein Kaiserschnitt vorgenommen werden. Die Eheleute X._ sind im Gastgewerbe tätig. Von Dezember 1994 bis November 1996 führten sie das Restaurant H._ in L._, von Dezember 1996 bis April 2003 das Restaurant I._ in M._ und seit Dezember 2003 das Restaurant K._ in M._. Der Ehemann der Klägerin führte das Geschäft und war als gelernter Koch für die Küche zuständig; die Klägerin betreute die Kinder und half nebenbei im Geschäft aus. Für ihre betriebliche Mitarbeit bezog die Klägerin bis Ende 1999 keinen Lohn. Per 1. Januar 2000 schloss sie - vorab um einen Anspruch auf Kinderzulagen zu begründen - mit ihrem Ehemann einen schriftlichen Arbeitsvertrag als Teilzeitangestellte. Vereinbart wurde ein wöchentliches Arbeitspensum von 18 Stunden und ein monatlicher Bruttolohn von Fr. 2'001.60. Während der zweiten Schwangerschaft machten sich die Eheleute X._ Gedanken über ihre Familienplanung. Sie kamen zum Schluss, dass sie kein weiteres Kind wollten. Bei diesem Entscheid standen wirtschaftliche Überlegungen im Vordergrund. Die finanziellen Verhältnisse der Familie X._ sind vor allem infolge der während der Führung des Restaurants H._ entstandenen Schulden angespannt, wobei die Mitarbeit der Klägerin im Restaurant K._ aufgrund der Betriebsstruktur erforderlich ist. Anlässlich einer Kontrolluntersuchung im Oktober/November 1996 liessen sich die Klägerin und ihr Ehemann deshalb von Dr. F._ im Spital Y._, Verein mit Sitz in N._ (Beklagter), über die Möglichkeit einer Sterilisation aufklären. Da für die bevorstehende Entbindung ein Kaiserschnitt erforderlich war, wurde vereinbart, dass gleichzeitig eine Eileiterunterbindung - die damals sicherste Unterbindungsmethode - durchgeführt werden sollte. Am 17. Dezember 1996 unterzeichneten die Klägerin und ihr Ehemann anlässlich eines weiteren Besuchs bei Dr. F._ im Spital des Beklagten die Operationsvollmacht und das Aufklärungsprotokoll. A.b Am 27. Dezember 1996 nahmen Dr. F._ als Operateur und seine Assistenzärztin, Dr. G._, den Kaiserschnitt im Spital Y._ vor, unterliessen jedoch die geplante Eileiterunterbindung. Nach Angaben von Dr. F._ war die schriftliche Vereinbarung umstandshalber untergegangen, d.h. die schriftliche Vollmacht war beim Erstellen des Operationsprogramms nicht vorgelegt worden. Diese Unterlassung blieb unbemerkt. In der Folge verkehrten die Eheleute X._ geschlechtlich ohne Verhütungsmittel. Wegen wiederholter Übelkeit suchte die Klägerin am 23. Juni 1997 Dr. F._ auf. Dieser stellte fest, dass sich die Klägerin in der 7. Schwangerschaftswoche befand und die Sterilisation unterlassen worden war. Die Klägerin hatte während dieser dritten Schwangerschaft etliche gesundheitliche Schwierigkeiten, so dass sie ab Anfang August 1997 bis Ende Januar 1998 arbeitsunfähig war. Im August 1997 musste sie wegen leichter Schmierblutungen für einige Tage hospitalisiert werden. Bei einer Kontrolle am 15. Dezember 1997 wurden sehr hohe Blutdruckwerte festgestellt, was eine Spitalaufnahme per 22. Dezember 1997 zur Folge hatte. Eine am 12. Januar 1998 erfolgte Kontrolle ergab wiederum erhöhte Blutdruckwerte. Am 28. Januar 1998 gebar die Klägerin ein gesundes Mädchen namens E._. Am 31. Januar 1998 wurden beide aus dem Spital entlassen. Die Sterilisation wurde nachgeholt. B. B.a Mit Eingabe vom 14. November 2000 gelangte die Klägerin an das Bezirksgericht Visp. Sie beantragte, es sei der Beklagte zur Zahlung von Fr. 231'000.-- samt Zins zu verurteilen. Zuvor hatte der Ehemann seine vertraglichen Ansprüche gegen den Beklagten der Klägerin abgetreten. Die eingeklagte Forderung setzte sich zusammen aus den Auslagen während und unmittelbar nach der Geburt (Fr. 3'000.--), Gewinn- bzw. Verdienstausfall (Fr. 100'000.--), Genugtuung (Fr. 8'000.--) und Unterhaltskosten (Fr. 120'000.--). Ihre Forderung begründete die Klägerin mit den Folgen der von den Ärzten des Beklagten vertragswidrig unterlassenen Sterilisation. Der Bezirksrichter entschied am 13. Februar 2003, er sei zur Beurteilung der Klage in erster Instanz nicht zuständig. Die Akten sandte er daraufhin zur Beurteilung an das Kantonsgericht des Kantons Wallis. Im kantonsgerichtlichen Verfahren stellte die Klägerin das Begehren, es sei der Beklagte zur Zahlung von insgesamt Fr. 201'287.-- (Fr. 8'000.-- als Genugtuung, Fr. 73'287.-- als Schadenersatz und Fr. 120'000.-- als Unterhaltsersatz) samt Zins zu verurteilen. Der Beklagte schloss auf Abweisung der Klage und wandte in verfahrensrechtlicher Hinsicht ein, die Haftung beurteile sich nach dem kantonalen Verantwortlichkeitsgesetz, weshalb die Angelegenheit an das Bezirksgericht zu überweisen sei. B.b Am 18. April 2005 verurteilte das Kantonsgericht den Beklagten zur Zahlung von Fr. 50'000.-- samt Zins als Schadenersatz (Dispositivziffer 1 lit. a), Fr. 85'000.-- als Unterhaltsersatz (Ziff. 1 lit. b) und Fr. 5'000.-- nebst Zins als Genugtuung (Ziff. 1 lit. c). Im Mehrbetrag wurde die Klage abgewiesen. Das Kantonsgericht erwog, der Rechtsstreit beurteile sich nicht nach dem (kantonalen) Gesetz über die Verantwortlichkeit der öffentlichen Gemeinwesen und ihrer Amtsträger (GVGA), sondern nach Bundesprivatrecht. Daher sei die sachliche Zuständigkeit des Kantonsgerichts gegeben. Das Gericht kam zum Schluss, die Haftpflicht des Beklagten für die ausgewiesenen, nicht anderweitig gedeckten Kosten und Auslagen der Klägerin im Rahmen der Schwangerschaft, der Geburt sowie des Unterhalts des Kindes sei zu bejahen. C. Mit eidgenössischer Berufung stellt der Beklagte folgende Rechtsbegehren: "[...] Primärbegehren Es wird festgestellt, dass die Vorinstanz im vorliegenden Verfahren anstelle des kantonalen Rechts im Sinne des Verantwortlichkeitsgesetzes fälschlicherweise Bundesprivatrecht angewendet hat, weshalb die Angelegenheit an die kantonal zuständigen Gerichtsbehörden zur Ausfällung des Urteils überwiesen wird. [...] Eventualbegehren Die Zusprechung von Schadenersatz für Unterhaltskosten durch das Urteil des Kantons Wallis in der Höhe von Fr. 85'000.00 an die Berufungsbeklagte wird aufgehoben und die Berufung in diesem Sinne gutgeheissen. [...] Subeventualbegehren Die Anwendung des Kapitalisierungszinsfusses in der Höhe von 2.5 % für die Berechnung der Unterhaltskosten wird aufgehoben und die Berufung in diesem Sinne subeventual gutgeheissen. [...]" Die Klägerin schliesst auf Abweisung der Berufung. 