Sachverhalt: A. Der 1964 geborene S._ war zuletzt vom 1. November 2007 bis 30. April 2008 als Assistenzarzt bei der Integrierten Psychiatrie X._ angestellt. Am 9. Oktober 2008 meldete er sich unter Hinweis auf psychische Beschwerden in Folge eines schweren Unfalls seiner Ehefrau am 11. September 2007 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Luzern klärte die beruflichen Eingliederungsmöglichkeiten ab. Gestützt auf die Ergebnisse einer vorgängigen beruflichen Abklärung (vom 26. August bis 25. November 2009) gewährte sie dem Versicherten Kostengutsprache für ein Arbeitstraining im Center Y._ (vom 26. November 2009 bis 31. Dezember 2010). Der Psychiater Dr. med. K._, berichtete verschiedentlich über den Gesundheitszustand von S._. Auf der Grundlage einer Stellungnahme des M._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, vom Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD), vom 4. Mai 2012 lehnte die IV-Stelle den Anspruch auf eine Invalidenrente am 14. Mai 2012 verfügungsweise ab, weil beim Versicherten kein Gesundheitsschaden vorliege, der einen Rentenanspruch begründet. B. S._ liess Beschwerde führen mit dem Antrag, unter Aufhebung der angefochtenen Verfügung seien medizinische Abklärungen zu veranlassen und gestützt auf deren Ergebnisse seien ihm die gesetzlichen Leistungen, mindestens eine halbe Invalidenrente, zuzusprechen. Mit Entscheid vom 15. Mai 2013 liess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern (heute: Kantonsgericht Luzern) die Beschwerde ab. C. Der Versicherte lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und es sei ihm eine halbe Invalidenrente zu gewähren; eventuell seien ihm gestützt auf weitere medizinische Abklärungen die gesetzlichen Leistungen, insbesondere mindestens eine halbe Invalidenrente, zuzusprechen. 