Faits : A. A.a A._ (ci-après: l'assurée), née le 19 janvier 1945, bénéficie depuis 1997 auprès de X._ Assurances (ci-après: l'assureur), dans le cadre de son emploi auprès de la société Institut de tests isotopiques V._ SA, d'une assurance-accidents obligatoire selon la loi fédérale sur l'assurance-accidents (LAA; RS 832.20) ainsi que d'une assurance-accidents complémentaire à la LAA, prévoyant le versement d'indemnités journalières en cas d'accident. Elle est en outre au bénéfice, auprès du même assureur, d'une « assurance collective d'une indemnité journalière en cas de maladie », soumise à la loi fédérale sur le contrat d'assurance (LCA; RS 221.229.1), qui prévoit le droit à des indemnités journalières correspondant à 80% du salaire assuré (150'000 fr. par an) pendant 730 jours, moins le délai d'attente de 30 jours. A.b À la suite d'un accident survenu le 5 novembre 2002, l'assureur a versé à l'assurée des indemnités journalières sur la base de l'assurance-accidents obligatoire et complémentaire. Dès le 18 septembre 2003, il a considéré que les troubles persistants relevaient de la maladie et a versé à l'assurée des indemnités journalières sur la base de l'assurance perte de gain maladie. A.c Le 7 janvier 2005, l'assureur a invité son assurée à déposer une demande de prestations d'invalidité et à le lui confirmer avant le 31 janvier 2005. Le 23 février 2005, il a informé son assurée que son droit aux indemnités journalières en cas de maladie serait épuisé le 1er septembre 2005; il a par ailleurs réitéré sa demande d'annoncer le cas à l'assurance-invalidité, tout en précisant qu'à défaut, il imputerait une « pseudo-rente d'invalidité » sur les prestations dues. L'assurée, par son conseil, a contesté l'obligation de former une demande de prestations d'invalidité et a exposé que, s'agissant d'une assurance privée conclue par un employeur en faveur de son personnel, l'assureur était tenu de verser des prestations indépendamment de celles qui pourraient être dues par une assurance sociale. L'assureur a maintenu sa position et a calculé les prestations encore dues compte tenu de la déduction d'une rente d'invalidité hypothétique de 1'500 fr. dès le 1er novembre 2003. A.d Le 20 juin 2005, l'assurée a été victime d'un nouvel accident, pour lequel l'assureur a accordé des indemnités journalières sur la base de l'assurance-accidents obligatoire et complémentaire jusqu'au 30 septembre 2005, en déduisant toutefois de ces prestations une rente d'invalidité hypothétique de 1'479 fr. 30. Par lettre du 23 décembre 2005, l'assurée a exposé que les conditions générales d'assurance permettaient à l'assureur de déduire uniquement les prestations effectivement servies par les assurances sociales et n'imposaient pas à l'assurée de faire appel aux prestations de l'assurance-invalidité. Elle a relevé qu'un assuré pouvait d'ailleurs avoir des motifs légitimes à ne pas faire appel à ces prestations, le fait d'être mis au bénéfice d'une rente de l'assurance-invalidité empêchant par exemple l'assuré d'obtenir le versement de son capital de prévoyance professionnelle. B. B.a Le 20 juillet 2006, l'assurée a actionné l'assureur, devant le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève, en paiement de la somme de 49'239 fr., avec intérêts à 5% l'an dès le 31 décembre 2005, à titre d'indemnités journalières de l'assurance-accidents complémentaire et de l'assurance perte de gain maladie pour la période du 18 septembre 2003 au 18 avril 2006. Dans sa réplique du 19 octobre 2006, elle a encore conclu notamment au paiement d'une somme de 15'558 fr. 30 avec intérêts à 5% l'an dès le 31 mars 2003. La défenderesse a conclu à libération. B.b Par arrêt du 4 avril 2007, le Tribunal cantonal des assurances sociales a partiellement admis la demande et a condamné la défenderesse à payer à la demanderesse la somme de 3'772 fr. 05, avec intérêts à 5% l'an dès le 1er janvier 2004 sur 1'931 fr. et dès le 1er juillet 2005 sur 1'841 fr. 05. C. Agissant par la voie du recours en matière civile au Tribunal fédéral, la demanderesse conclut avec suite de frais et dépens principalement à la réforme de cet arrêt, en ce sens que la défenderesse soit condamnée à lui verser les sommes de 49'239 fr. et de 15'558 fr. 30 plus intérêts; à titre subsidiaire, elle conclut à l'annulation de l'arrêt entrepris, la cause étant renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. La défenderesse conclut avec suite de frais et dépens au rejet du recours, dans la mesure où il est recevable. 