Sachverhalt: Sachverhalt: A. R._ (geb. 1952) wohnt in Basel und ist bei der Helsana Versicherungen AG (nachfolgend: Helsana) obligatorisch für Krankenpflege versichert. In der Zeit vom 7. bis zum 29. Dezember 1999 hielt sie sich in der Tessiner Rehabilitationsklinik X._ auf. Dorthin war sie durch den behandelnden Arzt Dr. med. K._, Spezialarzt für Neurologie FMH, eingewiesen worden. Sie war nach dessen Angaben im September 1999 das dritte Mal im selben Jahr an Grippe erkrankt und litt ab Juli 1999 während zwei Monaten an einem Zervikovertebralsyndrom. Für Dezember 1999 diagnostizierte er zudem ein Panvertebralsyndrom, eine Fibromyalgie sowie einen Erschöpfungszustand. Am 7. Dezember 1999 (Eingang bei der Versicherung am 13. Dezember 1999) ersuchte die Klinik die Helsana schriftlich um Erteilung der Kostengutsprache. Am 18. Februar 2000 lehnte die Helsana nach Rücksprache mit dem Vertrauensarzt Dr. med. S._ eine Übernahme der Kosten ab, weil keine Spitalbedürftigkeit bestanden habe. Die Klinik stellte R._ am 2. August 2000 den Gesamtbetrag von Fr. 7'475.-- (23 Tagespauschalen à Fr. 325.--) direkt in Rechnung. Mit Verfügung vom 9. August 2001 lehnte die Helsana die Übernahme von Kosten aus der obligatorischen Krankenpflegeversicherung ab. Sie begründete es damit, dass nach einem Infarkt eine stationäre Rehabilitation nicht zwingend notwendig sei. In Basel existiere ein geeignetes ambulantes kardiales Rehabilitationsprogramm. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 7. Mai 2002 fest. A. R._ (geb. 1952) wohnt in Basel und ist bei der Helsana Versicherungen AG (nachfolgend: Helsana) obligatorisch für Krankenpflege versichert. In der Zeit vom 7. bis zum 29. Dezember 1999 hielt sie sich in der Tessiner Rehabilitationsklinik X._ auf. Dorthin war sie durch den behandelnden Arzt Dr. med. K._, Spezialarzt für Neurologie FMH, eingewiesen worden. Sie war nach dessen Angaben im September 1999 das dritte Mal im selben Jahr an Grippe erkrankt und litt ab Juli 1999 während zwei Monaten an einem Zervikovertebralsyndrom. Für Dezember 1999 diagnostizierte er zudem ein Panvertebralsyndrom, eine Fibromyalgie sowie einen Erschöpfungszustand. Am 7. Dezember 1999 (Eingang bei der Versicherung am 13. Dezember 1999) ersuchte die Klinik die Helsana schriftlich um Erteilung der Kostengutsprache. Am 18. Februar 2000 lehnte die Helsana nach Rücksprache mit dem Vertrauensarzt Dr. med. S._ eine Übernahme der Kosten ab, weil keine Spitalbedürftigkeit bestanden habe. Die Klinik stellte R._ am 2. August 2000 den Gesamtbetrag von Fr. 7'475.-- (23 Tagespauschalen à Fr. 325.--) direkt in Rechnung. Mit Verfügung vom 9. August 2001 lehnte die Helsana die Übernahme von Kosten aus der obligatorischen Krankenpflegeversicherung ab. Sie begründete es damit, dass nach einem Infarkt eine stationäre Rehabilitation nicht zwingend notwendig sei. In Basel existiere ein geeignetes ambulantes kardiales Rehabilitationsprogramm. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 7. Mai 2002 fest. B. R._ liess gegen den Einspracheentscheid beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt Beschwerde erheben und beantragen, die Helsana sei zu verpflichten, ihr die von der Klinik für den Aufenthalt in Rechnung gestellten Kosten zu ersetzen. Mit Entscheid vom 10. Februar 2003 hiess das kantonale Gericht die Beschwerde teilweise gut. Es erwog, dass eine Spitalbedürftigkeit der Versicherten beim Klinikeintritt am 7. Dezember 1999 zwar nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit bestanden habe, die Helsana aber verpflichtet sei, die vom 18. Dezember 1999 bis 27. Dezember 1999 angefallenen Teilkosten zu übernehmen, weil sie sich durch Handlungen und Unterlassungen im Vorfeld und während des Klinikaufenthalts gegenüber der Versicherten treuwidrig verhalten habe und das Gesuch um Kostengutsprache bis spätestens am 18. Dezember 1999 hätte beantworten müssen. B. R._ liess gegen den Einspracheentscheid beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt Beschwerde erheben und beantragen, die Helsana sei zu verpflichten, ihr die von der Klinik für den Aufenthalt in Rechnung gestellten Kosten zu ersetzen. Mit Entscheid vom 10. Februar 2003 hiess das kantonale Gericht die Beschwerde teilweise gut. Es erwog, dass eine Spitalbedürftigkeit der Versicherten beim Klinikeintritt am 7. Dezember 1999 zwar nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit bestanden habe, die Helsana aber verpflichtet sei, die vom 18. Dezember 1999 bis 27. Dezember 1999 angefallenen Teilkosten zu übernehmen, weil sie sich durch Handlungen und Unterlassungen im Vorfeld und während des Klinikaufenthalts gegenüber der Versicherten treuwidrig verhalten habe und das Gesuch um Kostengutsprache bis spätestens am 18. Dezember 1999 hätte beantworten müssen. C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt die Helsana die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides und die Bestätigung ihres Einspracheentscheides. Während R._ auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen lässt, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherung auf eine Vernehmlassung. 