Sachverhalt: A. Der 1959 geborene Y._ meldete sich im Juni 2008 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte die IV-Stelle Luzern mit Verfügung vom 29. Juli 2009 einen Leistungsanspruch. In Gutheissung der dagegen erhobenen Beschwerde hob das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die Verfügung vom 29. Juli 2009 auf und wies die Sache an die Verwaltung zurück, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre und neu verfüge (Entscheid vom 22. Oktober 2010). Am 10. Dezember 2010 ersuchte der Versicherte um unentgeltliche Verbeiständung durch seinen Rechtsvertreter. Die IV-Stelle wies dieses Begehren mit Verfügung vom 16. Dezember 2010 ab. B. Mit Entscheid vom 4. Februar 2011 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die Beschwerde des Y._ gut, hob die Verfügung vom 16. Dezember 2010 auf und verpflichtete die IV-Stelle, ihm "nach positiver Prüfung der Bedürftigkeit" den anbegehrten unentgeltlichen Rechtsbeistand für das Verwaltungsverfahren zu bestellen. C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, den Entscheid vom 4. Februar 2011 aufzuheben und die Richtigkeit der Verfügung vom 16. Dezember 2010 festzustellen. Ferner ersucht sie darum, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen. Y._ beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen; ausserdem sei ihm unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen. Das kantonale Gericht schliesst auf Abweisung des Rechtsmittels. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. 