Sachverhalt: A. X._ und Y._, die beide in ihrem Heimatstaat Brasilien leben, sind Töchter des im September 1999 verstorbenen Z._ und der im Mai 2000 verstorbenen V._. Auch die Eltern waren brasilianische Staatsangehörige, und sie hatten ihren letzten Wohnsitz in ihrem Heimatstaat. Z._ und V._ waren Inhaber des gemeinsamen - am 30. November 1999 saldierten - Kontos/Depots "compte joint 1 H._" bei der Banque T._ in A._, die heute die Firma "Banque R._" trägt. Im November 1999, d.h. nach dem Tod von Z._, eröffneten V._ und Y._ bei der genannten Bank das gemeinsame Konto/Depot "compte joint 2 I._", das im März 2000 saldiert wurde. Von beiden Konten bzw. Depots waren namhafte Beträge unter anderem auf ein Konto von Y._ bei der gleichen Bank und ferner vom Konto 1 H._ auch auf das Konto 2 I._ bzw. von diesem auf ein weiteres Konto überwiesen worden. B. Mit Eingabe vom 4. März 2004 erhob X._ beim Bezirksgericht Zürich Klage gegen Y._ (Beklagte Nr. 1) und die Banque R._ (Beklagte Nr. 2). Sie beantragte hauptsächlich, die Beklagten anzuweisen, ihr zu den Konten 1 H._ und 2 I._ und weiteren Konten bzw. Depotbeziehungen und zu Offshore-Gesellschaften, zu einer Reihe von diese Beziehungen betreffenden Transaktionen und zu allem, was in Zusammenhang mit dem in der Schweiz gelegenen wie auch mit dem ab Todestag ins Ausland transferierten Vermögen und mit derartigen Vermögensansprüchen von Z._ und V._ stehe bzw. stehen könnte und geeignet sei, die Erbteilungen zu beeinflussen, sämtliche Unterlagen herauszugeben und sämtliche Informationen, einschliesslich Angaben zu den jeweils wirtschaftlich Berechtigten, zu erteilen. Ferner sei unter anderem festzustellen, dass die Beklagten ihr einen allfälligen Schaden wegen unterlassener Auskunftserteilung zu ersetzen hätten. Die Beklagte Nr. 1 erhob die Einrede der örtlichen Unzuständigkeit des angerufenen Gerichts und verlangte ausserdem, das Verfahren gegen sie sei von demjenigen gegen die Beklagte Nr. 2 abzutrennen. Die Beklagte Nr. 2 erhob Widerklage mit dem Rechtsbegehren, es sei festzustellen, dass die von der Klägerin gegen sie in Betreibung gesetzte Forderung nicht bestehe. Mit Zirkulationsbeschluss vom 21. Februar 2006 wies das Bezirksgericht Zürich (2. Abteilung) die Unzuständigkeitseinrede der Beklagten Nr. 1 (Dispositiv-Ziffer 1) wie auch deren Antrag auf Abtrennung der Verfahren (Dispositiv-Ziffer 2) ab. Den von der Beklagten Nr. 1 gegen die Abweisung der Unzuständigkeitseinrede erhobenen Rekurs hiess das Obergericht (I. Zivilkammer) des Kantons Zürich am 17. August 2006 gut und fasste Dispositiv-Ziffer 1 des erstinstanzlichen Entscheids dahin neu, dass auf die Klage gegen die Beklagte Nr. 1 nicht eingetreten werde. C. Mit Eingabe vom 13. November 2006 hat die Klägerin eidgenössische Berufung erhoben. Sie beantragt, den obergerichtlichen Beschluss aufzuheben und die Unzuständigkeitseinrede der Beklagten Nr. 1 abzuweisen. Die Beklagte Nr. 1 schliesst auf Abweisung der Berufung, und die Beklagte Nr. 2 hat auf eine Berufungsantwort verzichtet. Durch Präsidialverfügung vom 8. April 2008 wurde das Sicherstellungsgesuch der Beklagten Nr. 1 gutgeheissen und die Klägerin aufgefordert, den Betrag von Fr. ... zu hinterlegen. Die Klägerin ist dieser Aufforderung nachgekommen. Mit Schreiben vom 9. Mai 2008 hat der Rechtsvertreter von W._, der im kantonalen Verfahren als Nebenintervenient aufgetreten war, unter Hinweis auf den Tod seines Klienten erklärt, dieser nehme am Prozess nicht mehr teil. D. Das Kassationsgericht des Kantons Zürich hatte am 2. Oktober 2007 beschlossen, dass auf die kantonale Nichtigkeitsbeschwerde, die die Klägerin gegen den obergerichtlichen Beschluss ebenfalls eingereicht hatte, abgewiesen werde, soweit darauf einzutreten sei. 