Sachverhalt: A. Die 1962 geborene, zuletzt als Produktionsmitarbeiterin bei der X._ AG tätig gewesene U._ meldete sich im Mai 2008 unter Hinweis auf verschiedene gesundheitliche Beschwerden bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Luzern holte Berichte der behandelnden Ärzte sowie ein polydisziplinäres medizinisches Gutachten des Instituts Y._ vom 16. Juli 2009 ein und zog die medizinischen Akten des involvierten Krankentaggeldversicherers, worunter zwei von diesem veranlasste psychiatrische Gutachten des Dr. med. B._ vom 30. Juli 2008 und des Dr. med. F._ vom 10. Dezember 2008, bei. Die Versicherte legte ein von ihr eingeholtes psychiatrisches Gutachten des Dr. med. H._ vom 31. Dezember 2009 auf. Mit Verfügung vom 28. April 2010 verneinte die IV-Stelle einen Anspruch auf eine Invalidenrente mit der Begründung, es liege keine gesundheitsbedingte Einschränkung der Arbeits- und Erwerbsfähigkeit vor. B. Hiegegen erhob U._ Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern führte eine öffentliche Verhandlung durch, an welcher es die Versicherte einvernahm. Mit Entscheid vom 15. März 2012 hiess das Gericht die Beschwerde teilweise gut, hob die Verwaltungsverfügung vom 28. April 2010 auf und verpflichtete die IV-Stelle, U._ aufgrund einer invalidisierenden somatoformen Schmerzstörung ab November 2008 eine ganze Invalidenrente nebst 5 % Verzugszins ab 1. November 2010 auszurichten. C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Richtigkeit der Verfügung vom 28. April 2010 festzustellen; eventuell sei die Sache zur weiteren Abklärung an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Weiter wird darum ersucht, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Während U._ auf Abweisung der Beschwerde schliessen lässt, beantragt das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) deren Gutheissung. Hiezu hat sich U._ nochmals vernehmen lassen. D. Mit Verfügung vom 20. November 2012 hat das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. 