Faits: Faits: A. Le 22 janvier 2003, l'Office fédéral des réfugiés a refusé d'entrer en matière sur la demande d'asile présentée le 6 janvier 2003 par X._, prétendument originaire de Palestine, et a prononcé son renvoi immédiat de Suisse, sous commination de refoulement. Cette décision désigne le canton du Valais pour procéder à l'exécution du renvoi et retire l'effet suspensif à un éventuel recours. Sur le fond, l'Office fédéral des réfugiés a constaté que le requérant en était à sa troisième demande d'asile en Suisse (la première datant de 1993), qu'il s'était fait connaître auprès des autorités allemandes et françaises sous plusieurs identités et qu'une analyse Lingua (du 18 mai 1999) avait exclu qu'il puisse être d'origine palestinienne mais qu'il devait vraisemblablement être d'origine tunisienne. X._ n'a pas recouru contre la décision refusant d'entrer en matière sur sa demande d'asile, mais a contesté la décision incidente du même jour ordonnant l'attribution de son dossier au canton du Valais; le 7 mars 2003, il a déclaré retirer son recours. A la suite de ce retrait, le Département fédéral de justice et police a classé le recours et rayé l'affaire du rôle (décision du 20 mars 2003). X._ n'a pas recouru contre la décision refusant d'entrer en matière sur sa demande d'asile, mais a contesté la décision incidente du même jour ordonnant l'attribution de son dossier au canton du Valais; le 7 mars 2003, il a déclaré retirer son recours. A la suite de ce retrait, le Département fédéral de justice et police a classé le recours et rayé l'affaire du rôle (décision du 20 mars 2003). B. Le 2 avril 2003, X._ a été invité par le Service de l'Etat civil et des étrangers du canton du Valais (ci-après: le Service cantonal) à se présenter en ses bureaux le 11 avril 2003 en vue d'un entretien destiné à préparer son départ. Bien que son avocat n'ait pas réussi à obtenir l'annulation de cette convocation, il ne s'y est pas rendu. Le 16 mai 2003, il a été présenté à l'Ambassade de Tunisie qui a refusé de le reconnaître comme l'un de ses ressortissants, au motif que les expressions utilisées par l'intéressé ne correspondaient pas au "langage tunisien" (cf. telefax du même jour adressé au Service cantonal par le Département fédéral de justice et police); des recherches ont néanmoins été poursuivies en Tunisie en vue d'établir la nationalité de l'intéressé (cf. lettre du 7 août 2003 du Département fédéral de justice et police à l'avocat de X._). Le 6 novembre 2003, la police cantonale genevoise a arrêté X._ pour "travail et séjour à Genève sans autorisation", et l'a remis aux autorités valaisannes. Entendu le même jour par la police cantonale valaisanne, l'intéressé a déclaré qu'il ne se rappelait pas avoir été convoqué pour le 11 avril 2003 par le Service cantonal, qu'il avait vainement entrepris des démarches en vue de se procurer des documents de voyage auprès des ambassades de Tunisie et du Liban et auprès de la représentation palestinienne, et qu'il était d'accord de quitter la Suisse pour rentrer en Palestine. Toujours le même jour, le Service cantonal a ordonné sa mise en détention en vue du refoulement pour une durée de trois mois au plus, au motif qu'il existait de sérieux motifs laissant penser qu'il entendait se soustraire à son renvoi. Il a ensuite été informé qu'il serait prochainement soumis à un nouveau test Lingua (cf. lettre du Service cantonal du 28 novembre 2003). Par arrêt du 7 novembre 2003, le Juge unique de la Cour de droit public du Tribunal cantonal (ci-après: le Tribunal cantonal) a confirmé la décision précitée (du 6 novembre 2003) du Service cantonal après avoir entendu oralement X._ et un représentant de ce service; il a en outre expressément réservé au défenseur du prénommé, qui n'avait pas pu être convoqué à temps pour l'audience, la possibilité de déposer sans délai une demande de reconsidération de l'arrêt. Saisi d'une telle demande, le Tribunal cantonal l'a rejetée, ainsi que la requête d'assistance judiciaire l'accompagnant, dans un nouvel arrêt du 10 décembre 2003. Par arrêt du 7 novembre 2003, le Juge unique de la Cour de droit public du Tribunal cantonal (ci-après: le Tribunal cantonal) a confirmé la décision précitée (du 6 novembre 2003) du Service cantonal après avoir entendu oralement X._ et un représentant de ce service; il a en outre expressément réservé au défenseur du prénommé, qui n'avait pas pu être convoqué à temps pour l'audience, la possibilité de déposer sans délai une demande de reconsidération de l'arrêt. Saisi d'une telle demande, le Tribunal cantonal l'a rejetée, ainsi que la requête d'assistance judiciaire l'accompagnant, dans un nouvel arrêt du 10 décembre 2003. C. X._ forme séparément un recours de droit administratif contre chacun des deux arrêts précités du Tribunal cantonal, dont il requiert l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, à ce que le Tribunal fédéral ordonne sa libération immédiate. Il demande également le bénéfice de l'assistance judiciaire pour les instances cantonale et fédérale. Le Service cantonal conclut au rejet des recours, tandis que le Tribunal cantonal a renoncé à se déterminer. Par ordonnance du 17 décembre 2003, le Président de la IIe Cour de droit public a joint les causes. 