A.- a) S._, née le 24 décembre 1951, a présenté le 6 septembre 1989 une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un prononcé présidentiel du 27 juin 1990, la Commission de l'assurance-invalidité du canton de Vaud, se référant à un projet de prononcé du 12 juin 1990, a constaté que l'assurée n'avait pas subi d'incapacité moyenne de travail de 40 % au moins durant une année sans interruption. Pour cette raison, la Caisse cantonale vaudoise de compensation, par décision datée des 2 et 10 juillet 1990, a rejeté la demande. b) Le 17 juillet 1998, S._ a présenté une nouvelle demande de prestations de l'assurance-invalidité. Elle a produit une attestation du 19 août 1998 de son médecin traitant, le docteur M._, spécialiste FMH en médecine interne et rhumatologie à L._, qui faisait état d'une aggravation de la situation médicale. Dans un rapport du 28 août 1998, ce praticien a posé le diagnostic de lombosciatalgies sur troubles statiques et dégénératifs rachidiens (status après opérations d'une hernie discale L5 en 1981, L4 en 1989). Il concluait à une incapacité de travail de 75 % depuis le 10 juillet 1998. Selon un questionnaire complémentaire, du 31 août 1998, S._, si elle était en bonne santé, travaillerait à l'extérieur en plus de la tenue du ménage en tant que concierge des écoles, activité qui avait été la sienne jusque-là et qu'elle exercerait à 50 %. La Commune d'E. _, dans un questionnaire pour l'employeur du 3 septembre 1998, a indiqué que la prénommée avait oeuvré en cette qualité dès le 1er août 1976 cinq jours par semaine à raison de quatre heures et quart par jour, ce qui correspondait à un horaire réduit de moitié par rapport à l'horaire de travail normal de huit heures et demie. L'office AI a procédé le 17 mai 1999 à une enquête économique sur le ménage. Le rapport d'enquête du 18 mai 1999 se fonde sur une pondération du champ d'activité de 4 % pour la conduite du ménage, de 45 % pour l'alimentation, de 17 % pour l'entretien du logement, de 7 % pour les emplettes et courses diverses, de 17 % pour la lessive et l'entretien des vêtements, et de 10 % en ce qui concerne les divers autres travaux (entretien des plantes et du jardin/garde des animaux domestiques). Il n'y a pas d'empêchement dans la conduite du ménage. L'enquêteuse a retenu un empêchement de 20 % dans l'alimentation, de 30 % dans l'entretien du logement, de 10 % dans les emplettes et courses diverses, de 10 % dans la lessive et l'entretien des vêtements et de 30 % dans les divers autres travaux. Calculée par rapport aux champs d'activité, cela donne une incapacité dans les tâches ménagères de 19.5 %. Par décision du 14 février 2000, l'office AI a alloué à S._ dès le 1er juin 1999 un quart de rente d'invalidité, assorti d'un quart de rente en faveur de son conjoint et d'un quart de rente pour enfant. L'office fixait le taux de son invalidité à 47 %, soit 37.5 % pour l'activité lucrative (50 % de l'incapacité de travail de 75 % attestée par son médecin traitant) et 9.75 % pour les tâches ménagères (50 % de 19.5 %). B.- S._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'allocation d'une rente entière d'invalidité dès le 1er juin 1999. Elle déposait un certificat du docteur M._ du 28 février 2000, attestant une incapacité totale de travail depuis le 10 juin 1998. Par lettre du 5 juin 2000, S._ a requis l'audition de sa mère, H._, et de C._, amie d'enfance de l'assurée. Elle produisait un questionnaire rempli par le docteur M._, du 29 mai 2000, qui retient le diagnostic de rachialgies et sciatalgies sur arthrose, de troubles posturaux et d'état séquellaire après deux cures chirurgicales de hernie discale L4 et L5. Selon son médecin traitant, l'incapacité de travail dans tout travail extérieur (y compris la conciergerie) est de 100 %. Dans le cadre d'une activité de ménagère, l'incapacité de travail globale pourrait être estimée à 50 % (la patiente n'arrive pas à effectuer de nombreux travaux "lourds"). Le 12 juillet 2000, l'office AI a informé la juridiction cantonale qu'il n'avait aucune remarque particulière à formuler à propos de la réplique de S._ du 5 juin 2000. Lors d'une audience du 21 décembre 2000, le tribunal a interrogé H._ et C._. L'instruction étant close, il est passé aux débats. Conformément au procès-verbal de la séance, le greffe du tribunal a adressé à l'office AI une copie du (rapport) questionnaire rempli par le docteur M._, du 29 mai 2000. Dans des déterminations du 12 février 2001, l'office AI a déclaré que les renseignements ainsi obtenus ne sont pas suffisamment probants pour qu'il puisse modifier sa position sur cette base. Seule une expertise médicale pourrait lui permettre de se prononcer en toute connaissance de cause, raison pour laquelle il proposait au tribunal de confier le mandat d'expertise à un spécialiste avec les questions d'usage. Par jugement daté du 21 décembre 2000, expédié le 14 mars 2001, la juridiction cantonale a admis le recours, annulé la décision attaquée et retourné le dossier à l'office AI pour qu'il procède selon les considérants. Se fondant sur le questionnaire rempli le 29 mai 2000 par le docteur M._, elle a considéré que S._ présente un taux d'invalidité de 50 % dans une activité lucrative exercée à mi-temps, "soit 100 % pris à 50 %". Examinant les empêchements retenus par l'enquêteuse dans son rapport du 18 mai 1999, elle a considéré que dans le cadre des tâches de lessive et d'entretien des vêtements, l'empêchement de 10 % pouvait être augmenté à 20 % dans la mesure où l'intéressée peut faire l'essentiel des travaux mais ne peut ni descendre le linge ni repasser de grandes quantités. En conséquence, l'incapacité ménagère serait de 21.2 % et l'invalidité qu'elle implique avoisine 10.6 % pour cette part d'activité. Les taux d'invalidité afférents à chacun des champs d'activités considérés à parts égales atteignant ainsi 50 % et 10.6 %, l'invalidité globale présentée par l'assurée s'élève dès lors à 60.6 %, ce qui lui ouvre le droit à une demi-rente d'invalidité dès le 1er juin 1999. C.- L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud interjette recours de droit administratif contre ce jugement, en concluant à l'annulation de celui-ci, la cause étant renvoyée à l'office afin qu'il puisse compléter les informations et rendre une nouvelle décision telle que de droit. S._ conclut, sous suite de frais et dépens, au rejet du recours. Elle demande que le jugement attaqué soit réformé en ce sens qu'elle est mise au bénéfice d'une rente entière d'invalidité dès le 1er juin 1999. De son côté, l'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) ne s'est pas déterminé sur le recours. 