Faits: A. A.a T._, marié, est rentier de l'AVS. Depuis plusieurs années, il perçoit une prestation complémentaire à l'AVS y compris un subside pour la prime à l'assurance-maladie. Par décisions du 23 novembre 2007, son épouse E._ a été mise au bénéfice d'une rente de l'AVS depuis le 1er décembre 2007, d'un montant mensuel de 1'240 fr. A cette occasion, la rente AVS de T._ a fait l'objet d'un nouveau calcul et cette prestation a été réduite de 1'075 fr. à 945 fr. par mois. Le 11 janvier 2008, E._ a informé le Service cantonal des prestations complémentaires (SPC) qu'elle bénéficiait désormais d'une rente de vieillesse de l'AVS et que la rente de son époux avait été légèrement réduite. Elle a rappelé au SPC que ces nouveaux éléments étaient susceptibles d'entraîner des changements; elle a exprimé le souhait que le subside pour l'assurance-maladie puisse être maintenu. Par décision du 8 février 2008, le SPC a repris le calcul de la prestation complémentaire de T._ à partir du 1er janvier 2008. Le SPC a fixé les dépenses reconnues à 33'882 fr. par an; quant au revenu déterminant, il l'a établi à 15'925 fr. par an, les rentes de l'AVS ascendant à 13'260 fr. La situation financière du couple justifiait dès lors une augmentation du montant de la prestation complémentaire, laquelle est passé mensuellement de 917 à 1'497 fr., à quoi s'ajoutait le subside à l'assurance-maladie à raison de 419 fr. pour chaque conjoint. Par décision du 15 décembre 2008, le SPC a recalculé le droit à la prestation complémentaire à compter du 1er décembre 2007. A cette occasion, il a rectifié le montant des rentes de l'AVS en le portant de 13'260 à 26'220 fr. par an, ce qui a abouti à une prestation complémentaire mensuelle de 416 fr. Dès lors que T._ aurait dû recevoir pour la période du 1er décembre 2007 au 31 décembre 2008 une somme totale de 4'992 fr. au lieu des 18'794 fr. effectivement perçus, le SPC lui a demandé de restituer le montant de 13'802 fr. La décision n'a pas été attaquée. A.b Le 12 février 2009, T._ a présenté au SPC une demande de remise de l'obligation de restituer la somme réclamée par la décision du 15 décembre 2008. Il se prévalait de sa bonne foi, dès lors que son épouse avait communiqué les revenus complémentaires du couple par lettre du 11 janvier 2008, ainsi que de la situation financière difficile que le remboursement engendrerait. Le SPC a rejeté la demande de remise, par décision du 19 mai 2009, confirmée sur opposition le 30 septembre 2009. B. T._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui : Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales), en concluant à son annulation et à la remise de son obligation de restituer la somme de 13'802 fr. Par jugement du 15 mars 2010, la juridiction cantonale a rejeté le recours. C. T._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, avec suite de frais et dépens, en concluant principalement à la remise de l'obligation de restituer la somme de 13'802 fr., subsidiairement au renvoi de la cause au tribunal cantonal pour examen de la condition de la situation difficile. Il sollicite une dispense du versement de l'avance de frais. Le SPC conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. 