Sachverhalt: A. A.a. A._ und B._ heirateten im Juni 1989. Am 12. November 2004 stellten die Ehegatten beim Bezirksgericht Zürich ein gemeinsames Scheidungsbegehren und verlangten die gerichtliche Beurteilung der strittigen Scheidungsfolgen. A.b. A._ ersuchte um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Scheidungsverfahren. Mit Verfügungen vom 1. November 2006 (für die Zeit ab Eingang des Gesuchs bis Ende 2005) und 18. Mai 2009 (auch für die Zeit ab Januar 2006) wies das Bezirksgericht das Gesuch ab. Auch das Obergericht des Kantons Zürich wies mit Beschluss vom 24. Januar 2008 ein Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für ein Rekursverfahren (betreffend eine vom Bezirksgericht angeordnete vorsorgliche Massnahme während des Scheidungsverfahrens) ab. Gestützt auf ein neues Gesuch von A._ vom 25. Januar 2011 gewährte ihm das Bezirksgericht im Scheidungsverfahren mit Verfügung vom 24. Mai 2011 "einstweilen" die unentgeltliche Rechtspflege ab 26. Januar 2011. Auf Gesuch vom 9. Juni 2011 gewährte es ihm mit Verfügung vom 14. Juni 2011 sodann auch eine unentgeltliche Verbeiständung ab 10. Juni 2011 und beschränkt auf die noch strittigen Punkte der güterrechtlichen Auseinandersetzung. A.c. Mit Urteil vom 20. Dezember 2012 schied das Bezirksgericht die Parteien und urteilte über die Nebenfolgen der Scheidung. B. B.a. Gegen dieses Urteil erhob A._ am 7. Februar 2013Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich (beschränkt auf die güterrechtliche Auseinandersetzung, die Kosten- und Entschädigungsregelung sowie auf die auszugsweise Mitteilung des Urteils an die Steuerbehörden als Anzeige wegen Verdachts auf Steuerhinterziehung). B.b. Zudem ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Berufungsverfahren. Mit Beschluss vom 13. März 2013 wies das Obergericht dieses Gesuch ab und setzte A._ Frist zur Leistung des Kostenvorschusses. C. Dem Bundesgericht beantragt A._ (nachfolgend Beschwerdeführer) in seiner Beschwerde in Zivilsachen vom 12. April 2013 und deren Ergänzung vom 29. April 2013, der Beschluss vom 13. März 2013 sei aufzuheben, es sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Berufungsverfahren zu gewähren und demnach das Obergericht anzuweisen, von der Einforderung eines Kostenvorschusses abzusehen. Zudem ersucht er um aufschiebende Wirkung und verlangt die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet (Schreiben vom 17. April 2013). Das Bundesgericht hat der Beschwerde mit Verfügung vom 22. April 2013 die aufschiebende Wirkung zuerkannt. Das Bundesgericht hat die Vorakten, in der Sache jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt. 