Sachverhalt: A. A.a X._ ist der Vater der am 4. Juli 2006 geborenen Z._. Die verbeiständete Tochter (Klägerin) klagte am 4. April 2007 beim Bezirksgericht Zürich gegen X._ (Beklagter) auf Zahlung von Unterhalt. Im Anschluss an die mündliche Hauptverhandlung vom 12. September 2007 setzte der Einzelrichter dem Beklagten Frist, um sich zu einem bestimmten Thema ergänzend zu äussern. Mit einer undatierten, beim Gericht am 10. Dezember 2007 eingegangenen Eingabe verlangte der Beklagte den Ausstand von Bezirksrichter W._. A.b Mit Verfügung und Urteil vom 18. April 2008 gab der abgelehnte Einzelrichter die gewissenhafte Erklärung im Sinn von § 100 Abs. 1 GVG/ZH ab, dass kein Ausstandsgrund vorliege, überwies die Akten des Verfahrens der Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich, gewährte der Klägerin die unentgeltliche Rechtspflege, wies das entsprechende Gesuch des Beklagten ab und verpflichtete diesen, an den Unterhalt der Klägerin nebst allfälligen gesetzlichen oder vertraglichen Kinderzulagen monatlich und zum voraus Fr. 1'200.-- zu entrichten, zahlbar ab Geburt der Klägerin an ihren gesetzlichen Vertreter, nach Erreichen der Mündigkeit an die Klägerin selbst. Das Urteil sah die Indexierung des Unterhaltsbeitrages vor. A.c Der Beklagte gelangte gegen dieses Urteil mit Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich mit den Begehren, die Klage abzuweisen, eventuell ein Beweisverfahren durchzuführen, subeventuell die Sache zur Durchführung des Beweisverfahrens an die erste Instanz zurückzuweisen. Ferner stellte er den Antrag, ihm die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren. A.d Die Verwaltungskommission trat am 4. Juni 2008 auf das Ablehnungsbegehren nicht ein und gab dieses an die mit der Berufung befasste II. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich weiter. A.e Mit Beschluss vom 22. August 2008 trat diese Kammer auf das Ausstandsbegehren gegen den Bezirksrichter nicht ein, gab dem Gesuch des Beklagten um unentgeltliche Prozessführung für das Rekursverfahren (betreffend die Ausstandsfrage) nicht statt, wies ferner den Rekurs des Beklagten gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Prozessführung und Vertretung ab und bestätigte den diesbezüglichen Entscheid des Einzelrichters. Sodann wurde das Gesuch des Beklagten um unentgeltliche Prozessführung für das Berufungsverfahren abgewiesen. In der Sache wurde der Beklagte verpflichtet, der Klägerin nebst den gesetzlichen oder vertraglichen Kinderzulagen bis zum Abschluss einer angemessenen Ausbildung, mindestens jedoch bis zu ihrer Mündigkeit, Fr. 1'200.-- pro Monat zu entrichten, zahlbar ab Geburt der Klägerin monatlich und im Voraus an ihren jeweiligen Vertreter, nach Erreichen der Mündigkeit an die Klägerin selbst. Ferner sah das Urteil eine Indexierung des Unterhaltsbeitrages vor. Die Regelung der Kosten und Entschädigungsfolgen für das erstinstanzliche Verfahren wurden bestätigt, die Kosten des Berufungsverfahrens dem Beklagten auferlegt. Für das Berufungsverfahren sprach das Obergericht keine Prozessentschädigung zu. B. Mit Zirkulationsbeschluss vom 24. August 2009 wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich die gegen den obergerichtlichen Beschluss erhobene Nichtigkeitsbeschwerde ab, soweit darauf einzutreten war, auferlegte die Kosten des Kassationsverfahrens dem Beklagten, wies dessen Gesuch um unentgeltliche Prozessführung für das Kassationsverfahren ab und sprach für das Kassationsverfahren keine Umtriebsentschädigungen zu. C. Der Beklagte hat in einer am 9. Oktober 2009 der Post übergebenen Eingabe beim Bundesgericht gegen den obergerichtlichen Beschluss und den kassationsgerichtlichen Zirkulationsbeschluss Beschwerde geführt. Er beantragt, es sei in öffentlicher Urteilsverkündung festzustellen, dass der erstinstanzliche Richter befangen sei; eventuell sei die Sache zur Durchführung des entsprechenden Verfahrens und der verlangten Feststellung an die Verwaltungskommission zurückzuweisen. Ferner wird beantragt, den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 24. August 2009 sowie den Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 22. August 2008 aufzuheben und die Klage abzuweisen. Für sämtliche kantonalen Verfahren sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen und ihm Rechtsanwalt U._ als unentgeltlichen Rechtsbeistand zu bestellen. Auch für das Verfahren vor Bundesgericht ersucht der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege. In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. Z._ hat sich am 23. Oktober 2009 zum Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung vernehmen lassen. Sie ersucht ebenso um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Das Obergericht hat auf Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet. D. Mit Verfügung vom 4. November 2009 ist der Beschwerde hinsichtlich der bis und mit September 2009 geschuldeten Unterhaltsbeiträge aufschiebende Wirkung zuerkannt worden. 