Faits: A. Par contrat du 14 juillet 2005, la société Y._ SA, qui a son siège à ... (précédemment: à ...) et qui est active dans le domaine de la création, la fabrication et la commercialisation de montres et d'articles de bijouterie de luxe, a engagé, en qualité de président, X._, qui est domicilié dans le canton de Genève. Il était prévu un salaire de 300'000 euros par an, auquel s'ajoutait un bonus de 40 %, pour autant que les objectifs budgétaires annuels aient été atteints. Le salaire devait être réduit du montant des dépenses effectuées par la société pour l'employé et/ou les frais de scolarité de ses enfants. Il a été convenu que chacune des parties pouvait mettre fin au contrat, moyennant un préavis de six mois. Par ailleurs, la société s'est engagée à verser à son employé six mois de salaire si elle le licenciait sans cause, en précisant qu'il fallait entendre sans que l'employé n'ait commis une faute lourde. X._ a pris ses fonctions au sein de Y._ SA le 1er novembre 2005. Les salaires perçus ont varié, sans que l'employé n'ait jamais prétendu que cela ne correspondait pas à la volonté des parties. Le 17 mai 2006, A._, administrateur de Y._ SA, a envoyé un courriel à X._, relevant que les avantages en nature, singulièrement les frais d'écolage, que celui-ci recevait, pouvaient avoir des conséquences fiscales négatives et qu'il convenait d'envisager que ces versements s'effectuent "overseas". A partir de l'année 2007, le libellé des certificats de salaire que l'employeuse devait remplir pour l'administration fiscale a changé et les frais d'écolage et de véhicule étaient désormais déclarés comme un élément du salaire et taxés comme tels. En janvier 2007, X._ a demandé à A._ une compensation pour ce surcoût d'impôt. Ce dernier a accepté d'en discuter, mais il n'a pas été établi que la société aurait accepté de verser une compensation pour cette péjoration dans la situation fiscale. Le 2 juin 2008, le réviseur de Y._ SA a signalé que la société était en état de surendettement. A._ confirma à X._, par des courriels des 18 et 23 juin 2008, qu'il ne recevrait aucun bonus pour l'exercice 2007/2008. Le 8 juillet 2008, B._, collaborateur du groupe V._ Ltd à Hong Kong - qui était, par une société interposée, le propriétaire économique de Y._ SA -, a signé un chèque d'une valeur de 120'000 fr. suisses tiré sur la banque de V._ Ltd à Hong Kong en faveur du compte que X._ avait ouvert à Hong Kong auprès de la Banque W._ peu auparavant. Par un courriel du 18 juillet 2008, B._ a informé X._ que sa demande de compensation pour un supplément d'impôt n'était pas acceptée; quant au virement de 120'000 fr., il avait pour objet les frais d'écolage et comme il apparaissait que ceux-ci avaient déjà été payés par la société, la somme devait être immédiatement restituée. X._ a refusé en considérant que cette somme lui avait été versée à titre de compensation pour la péjoration de sa situation fiscale. Le 30 octobre 2008, X._ a reçu en mains propres un courrier portant la signature de A._ par lequel Y._ SA déclarait le licencier avec effet immédiat pour avoir gravement violé ses obligations envers la société. B. Le 28 novembre 2008, X._ a déposé devant le Tribunal des prud'hommes de Genève une demande en paiement dirigée contre Y._ SA, concluant à ce que celle-ci soit condamnée à lui verser plus d'un million de francs suisses en capital. Y._ SA, qui conteste la demande, a pris des conclusions reconventionnelles, portant notamment sur la restitution des 120'000 francs. La Caisse Z._ est intervenue dans la procédure, faisant valoir qu'elle est subrogée dans les droits de l'employé à concurrence des prestations de chômage qu'elle lui a versées, soit au total 46'760 fr. 70. Au cours de la procédure, il n'a pas été prouvé de faits qui puissent constituer un juste motif pour un licenciement immédiat. Le Tribunal des prud'hommes a rendu son jugement le 18 août 2009. Saisie d'un appel et d'un appel incident, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes, par arrêt du 30 juin 2010, a annulé le jugement attaqué et statué à nouveau. La cour cantonale a retenu que les 120'000 fr. avaient été versés pour couvrir les frais d'écolage des enfants de X._ et, dès lors qu'il a été constaté qu'ils avaient déjà été payés par la société, il y a lieu à répétition de l'indu. La thèse de l'employé selon laquelle cette somme était versée à titre de compensation pour une péjoration fiscale a été écartée. Dès lors que le licenciement était intervenu sans juste motif, la cour cantonale a alloué à l'employé le salaire qu'il aurait gagné pendant le délai de résiliation fixé contractuellement à six mois, soit 181'623 fr. 30 avec intérêts à 5 % l'an dès le 1er février 2009. Elle lui a également alloué une indemnité fixée, selon la clause contractuelle, à six mois de salaire, soit 181'623 fr. 30 avec intérêts à 5 % l'an dès le 1er novembre 2008. Elle a considéré que l'indemnité contractuelle ne pouvait pas être cumulée avec celle prévue par l'art. 337c al. 3 CO. Elle a imputé les montants réclamés par la Caisse Z._, soit 46'760 fr. 70, et elle a condamné la société Y._ SA à verser cette somme à la Caisse. Elle a constaté que les parties étaient autorisées à compenser leurs créances réciproques. Elle a statué par ailleurs sur les frais de la procédure. C. Ayant reçu cet arrêt le 2 juillet 2010, X._ a déposé dans un bureau de poste suisse, le 1er septembre 2010, un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Invoquant une constatation arbitraire des faits, une violation des art. 337c al. 3, 62, 63 et 120 CO, il conclut, sous suite de frais et dépens, à ce que sa partie adverse soit condamnée à lui verser, à titre de salaire pendant la période de congé, 221'442 fr. avec intérêts à 5 % l'an dès le 1er décembre 2008, sous déduction de 46'760 fr. 70 avec intérêts à 5 % l'an dès le 1er mars 2009 dus à la Caisse Z._; à titre d'indemnité contractuelle de licenciement, il demande que sa partie adverse soit condamnée à lui payer la somme brute de 221'442 fr. avec intérêts à 5 % l'an dès le 1er décembre 2008. A titre d'indemnité selon l'art. 337c al. 3 CO, il conclut au paiement de 221'442 fr. avec intérêts à 5 % l'an dès le 1er décembre 2008 (ou toute autre indemnité que le Tribunal fédéral fixera). Il conclut enfin à ce que sa partie adverse soit condamnée à payer à la Caisse Z._ la somme de 46'760 fr. 70 avec intérêts à 5 % l'an dès le 1er mars 2009 et à ce qu'elle soit condamnée à lui délivrer un certificat de travail. L'intimée a conclu au rejet du recours avec suite de dépens. 