Faits: A. P._, née en 1999, a été hospitalisée du 6 au 10 avril 2006 dans le service de pédiatrie de l'Hôpital X._, en raison d'une pyélonéphrite gauche. Entre le 16 et le 19 mai 2006, elle a subi des examens uro-radiologiques. Dans un rapport du 28 juin 2006, le docteur B._, spécialiste FMH en chirurgie pédiatrique, a posé le diagnostic de reflux vésico-urétéral de stade III gauche avec pyélonéphrite gauche, en indiquant que le diagnostic avait été établi pour la première fois le 23 mai 2006. Le père de P._ ayant présenté le 6 juin 2006 une demande de prestations de l'assurance-invalidité tendant à la prise en charge de mesures médicales dans le cas d'un reflux vésico-urétéral congénital (ch. 346 de l'annexe à l'OIC), l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg, dans un préavis du 28 septembre 2006, l'a informé qu'il prendrait en charge les coûts du traitement de l'infirmité congénitale ainsi que des appareils médicalement prescrits, du 23 mai 2006 au 31 août 2011. Le 15 novembre 2006, SWICA Assurance-maladie, auprès de laquelle P._ est assurée pour l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie, a contesté la prise de position de l'office AI, au motif que l'assurée avait droit aux mesures médicales nécessitées par l'infirmité congénitale depuis le début du traitement déjà, soit le 6 avril 2006. Par décision du 16 août 2007, l'office AI a confirmé que les mesures médicales relatives au traitement de l'infirmité congénitale figurant sous ch. 346 de l'annexe à l'OIC n'étaient à la charge de l'assurance-invalidité qu'à compter de la date du diagnostic, soit le 23 mai 2006. Il relevait que les divers examens effectués à partir de l'hospitalisation du 6 au 10 avril 2006 ne poursuivaient qu'un but investigatoire et ne sauraient par conséquent être assimilés à des mesures médicales thérapeutiques. B. Par arrêt du 10 juillet 2009, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Fribourg a rejeté le recours formé contre cette décision par l'assureur-maladie. C. SWICA Assurance-maladie SA interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg étant condamné à prendre en charge les coûts du traitement de l'infirmité congénitale figurant sous ch. 346 de l'annexe à l'OIC également à partir du 6 avril 2006. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg conclut au rejet du recours. P._ et l'Office fédéral des assurances sociales ont renoncé à se déterminer. 