Sachverhalt: A. X._ begann im Juni 2004 unter der Leitung von Y._ (Doktoratsleiter) sein Doktorat im Labor für Organische Chemie an der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich (ETHZ). Seit dem 1. Oktober 2004 war er im Labor zusätzlich als wissenschaftlicher Assistent angestellt. Die formelle Zulassung zum Doktorat erfolgte am 25. Oktober 2005. Die ursprünglich auf ein Jahr befristete Anstellung bei der ETHZ wurde erstmals am 7. September 2005 um ein Jahr und am 28. Dezember 2005 ein weiteres Mal bis zum 30. September 2007 verlängert. Wegen Meinungsverschiedenheiten zwischen X._ und Y._ wurden im Februar und März 2006 u.a. ein Schlichtungsgespräch mit der Departementsvorsteherin und Unterredungen mit dem Prorektor durchgeführt. Mit Schreiben vom 22. März 2006 teilte Y._ X._ mit, dass er einen Antrag auf Exmatrikulation gestellt habe, und forderte ihn auf, seinen Arbeitsplatz umgehend zu räumen und die Schlüssel abzugeben. Die ETHZ verfügte am 6. Juni 2006 die Exmatrikulation von X._ und sprach am 26. Juni 2006 die fristlose Entlassung aus. B. Die ETH-Beschwerdekommission wies die Beschwerde von X._ gegen die Exmatrikulationsverfügung mit Urteil vom 14. Dezember 2006 ab. Die Exmatrikulation sei rechtens, weil das Vertrauensverhältnis zwischen X._ und seinem Doktoratsleiter zutiefst gestört sei und dies weder der einen noch der anderen Partei angelastet werden könne. Die ETHZ habe zudem alle notwendigen Schritte zur Streitschlichtung unternommen. Im separat geführten Verfahren betreffend fristlose Entlassung hiess die Beschwerdekommission den Antrag der ETHZ auf Feststellung der Gültigkeit der fristlosen Kündigung des Arbeitsverhältnisses gut. Den Antrag von X._ auf Leistung einer Ferienabgeltung wies sie ab. Sie verpflichtete die ETHZ jedoch zur Zahlung einer Überstunden- bzw. Überzeitentgeltung in Höhe von 254 Arbeitsstunden und einer reduzierten Parteientschädigung, beides zugunsten von X._. Zur Begründung wurde angeführt, die fristlose Kündigung sei mit der Exmatrikulation und dem zerstörten Vertrauensverhältnis gerechtfertigt, so dass die Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses für die ETHZ unzumutbar sei. C. Das Bundesverwaltungsgericht behandelte die Beschwerde von X._ gegen die beiden Entscheide der Beschwerdekommission in vereinigtem Verfahren mit Urteil vom 20. August 2007. Es hiess die Beschwerde bezüglich der fristlosen Kündigung teilweise gut und wies sie im Übrigen ab, soweit darauf einzutreten war, namentlich bezüglich der Exmatrikulation. Das Gericht hob den Entscheid der Beschwerdekommission vom 14. Dezember 2006 bezüglich fristlose Entlassung auf und erklärte die fristlose Kündigung vom 26. Juni 2006 durch die ETHZ als nichtig. Es verpflichtete die ETHZ, X._ eine Lohnzahlung von Fr. 53'375.-- brutto für die Zeit vom 1. Juli 2006 bis zum 30. September 2007 zu bezahlen, unter Anrechnung des neuen Einkommens von X._ von monatlich Euro 1'323.-- seit 1. Oktober 2006. Ferner verurteilte es die ETHZ zu einer Entschädigungszahlung zugunsten von X._ in der Höhe eines Monatslohns (Fr. 3'538.35 netto). Zur Begründung führte das Gericht aus, eine Fortführung des Doktorats sei wegen des zerrütteten Vertrauensverhältnisses bzw. schwerwiegender Meinungsverschiedenheiten nicht denkbar, nachdem das Schlichtungsverfahren erfolglos verlaufen sei. Da X._ bis zur Exmatrikulation einen Wechsel des Doktoratsleiters konsequent abgelehnt habe, erweise sich die Exmatrikulation als verhältnismässig. Hingegen sei die fristlose Kündigung unbegründet. Die Immatrikulation als Doktorand sei keine Bedingung für die Anstellung als wissenschaftlicher Mitarbeiter an der ETHZ. Die Hochschule hätte X._ die Möglichkeit bieten müssen, seine Arbeitsleistung, allenfalls in einer anderen Abteilung, bis zum vereinbarten Vertragsende am 30. September 2007 zu erbringen. Mangels eines wichtigen Grundes sei die Kündigung nichtig, weshalb die ETHZ den Lohn bis Vertragsende zu bezahlen habe. Da X._ inzwischen in Deutschland angestellt worden sei, habe er sich anrechnen zu lassen, was er in der betreffenden Zeitperiode verdient habe. D. X._ führt mit Eingabe vom 20. September 2007 Beschwerde an das Bundesgericht. Er beantragt erstens, den Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts insoweit aufzuheben, als er verpflichtet wird, sich Euro 1'323.-- pro Monat seit Oktober 2006 an den Lohn anrechnen zu lassen. Eventualiter sei der Entscheid insoweit aufzuheben, als mit der Beschwerdeabweisung ebenso der Antrag auf Entschädigung von Überstunden und Überzeit abgewiesen worden ist, und es seien ihm 960 Überstunden bzw. Überzeit zuzüglich Zuschläge zu entschädigen. Zweitens sei X._ zu Lasten der ETHZ eine Parteientschädigung von mindestens einem Drittel der im Verfahren vor der Beschwerdekommission geltend gemachten Anwaltskosten, das heisst von mindestens Fr. 7'743.20, zuzusprechen. Eventualiter sei die Vorinstanz anzuweisen, über die Entschädigungsfolgen aus dem vorinstanzlichen Verfahren zu entscheiden. Drittens seien eventualiter, bei Obsiegen in diesem Verfahren, die von den Vorinstanzen festgesetzten Kosten- und Entschädigungsfolgen neu zu verlegen. E. Die ETHZ und das Bundesverwaltungsgericht beantragen in ihren Vernehmlassungen je die Abweisung der Beschwerde. X._ hält in der Replik vom 27. November 2007 an seinen Anträgen fest. Dazu hat sich die ETHZ mit Eingabe vom 20. Dezember 2007 geäussert. Das Bundesverwaltungsgericht hat auf weitere Stellungnahme verzichtet. Die genannten Eingaben sind den Parteien zugestellt worden. 