Sachverhalt: A. Die Firma "X._" ist eine Anstalt nach liechtensteinischem Recht mit Sitz in A._ (im Folgenden auch als Gesellschaft bezeichnet). Sie ist seit dem 3. Mai 2000 im Öffentlichkeitsregister des Fürstentums Liechtenstein eingetragen. Die Gesellschaft bezweckt laut Registerauszug die Ausübung von Handels-, Finanz- und Rechtsgeschäften aller Art, den Betrieb von Flugzeugen sowie die Vermögensverwaltung, die Beteiligung an anderen Unternehmungen, die Übernahme von Vertretungen, den Erwerb, Verkauf und die Verwertung von Immobilien, Patenten, Lizenzen und anderen Schutzrechten sowie alle damit im Zusammenhang stehenden Geschäfte. Die Gesellschaft wurde mit Wirkung ab 1. August 2001 in das liechtensteinische Mehrwertsteuer-Register eingetragen (MWST-Nr. 5_). Mit Verfügung vom 6. Juni 2005 löschte die Liechtensteinische Steuerverwaltung die Firma "X._" rückwirkend auf den 1. August 2001 wieder aus dem Mehrwertsteuer-Register. Die Steuerverwaltung setzte die steuerbaren Entgelte und die Vorsteuern für die Steuerperioden des 3. Quartals 2001 bis zum 4. Quartal 2004 mit Fr. 0.-- fest und erkannte, dass das Konto der Gesellschaft per 6. Juni 2005 einen Saldo von Fr. 0.-- aufweise, somit ausgeglichen sei. Die Steuerverwaltung ging davon aus, dass die Gesellschaft die massgebende Umsatzgrenze nicht erreiche und dass überdies ein Fall von Steuerumgehung vorliege, weil die Tätigkeit der Firma primär von den privaten Interessen des an ihr wirtschaftlich Berechtigten beeinflusst werde. Zudem handle es sich teilweise um Auslandumsätze, welche ohnehin keine Mehrwertsteuerpflicht auszulösen vermöchten. Eine gegen diese Verfügung erhobene Einsprache beziehungsweise Beschwerde vom 5. Juli 2005 wurde mit Einspracheentscheidung vom 11. August 2006 abgewiesen. B. Gegen die Einspracheentscheidung reichte die Firma X._ am 13. September 2006 zunächst Beschwerde bei der Landessteuerkommission des Fürstentums Liechtenstein ein. Nachdem diese nicht binnen drei Monaten über die Beschwerde entschieden hatte, erhob die Firma X._ am 16. Januar 2007 Säumnisbeschwerde beim Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein. Der Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein wies mit Urteil vom 29. März 2007 die Säumnisbeschwerde ab und bestätigte die Einspracheentscheidung der Liechtensteinischen Steuerverwaltung vom 11. August 2006. Zur Begründung wurde im Wesentlichen ausgeführt, in den Kalenderjahren 2001 und 2002 habe die Firma X._ keine steuerbaren Umsätze erzielt. Für das Kalenderjahr 2003 habe sie ebenfalls keinen steuerbaren Umsatz nachgewiesen: Bei der zur Verrechnung gebrachten offenen Forderung gegenüber der Firma "Y._" handle es sich um eine Leistung an nahestehende Personen, die mangels eines effektiven Leistungsaustausches als reine Innenleistung zu qualifizieren sei. Im Kalenderjahr 2004 habe sie wohl einen Umsatz nachgewiesen (Fr. 47'982.--), jedoch werde die massgebliche Umsatzschwelle (Fr. 75'000.--) nicht erreicht. Die Streichung aus dem Register für Mehrwertsteuerpflichtige sei deshalb zu Recht erfolgt und verstosse auch nicht gegen Treu und Glauben. Da die Beschwerde bereits aus diesen Gründen abzuweisen sei, müsse nicht weiter geprüft werden, ob allenfalls der Tatbestand der Steuerumgehung erfüllt wäre. C. Die Firma X._ hat am 3. Mai 2007 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Schweizerischen Bundesgericht eingereicht. Sie verlangt im Hauptantrag sinngemäss, das Urteil des Verwaltungsgerichtshofs des Fürstentums Liechtenstein vom 29. März 2007 sei aufzuheben, mit der Folge, dass die angefochtene Verfügung der Liechtensteinischen Steuerverwaltung mit Bezug auf die steuerbaren Entgelte und die massgebenden Vorsteuern in dem in der Beschwerdeschrift im Detail beantragten Umfang abgeändert werde. Eventualiter sei "die Rechtssache unter Anbindung an die Rechtsansicht des Schweizerischen Bundesgerichtes zur neuerlichen Entscheidung an den Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein 'in subeventu' an die Liechtensteinische Steuerverwaltung zurückzuverweisen". Die Beschwerdeführerin macht in verschiedener Hinsicht eine Verletzung des anwendbaren Mehrwertsteuerrechts sowie einen Verstoss gegen Treu und Glauben geltend. D. Der Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein und die Liechtensteinische Steuerverwaltung haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die ebenfalls zur Vernehmlassung eingeladene Eidgenössische Steuerverwaltung beantragt in ihrer Stellungnahme vom 16. August 2007, die Beschwerde abzuweisen und den Einspracheentscheid der Liechtensteinischen Steuerverwaltung vom 11. August 2006 zu bestätigen. Die Beschwerdeführerin verlangt in ihrer unaufgefordert eingereichten, als "Replik" bezeichneten Eingabe vom 9. Oktober 2007, Anträge und Stellungnahme der Eidgenössischen Steuerverwaltung seien aus dem Recht zu weisen, weil diese am Verfahren nie beteiligt gewesen sei. 