Faits: A. A.a C._, né en 1952, a travaillé en qualité de chef de fabrication au service de l'entreprise X._ SA. Dès octobre 1998, il a été à diverses reprises absent du travail pour des raisons de santé. Les rapports de travail avec son employeur ont pris fin le 31 décembre 1999. Le 23 novembre 1999, C._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Le docteur R._, spécialiste FMH en médecine interne et médecin traitant de l'assuré, a déposé ses conclusions dans un rapport du 13 décembre 1999. Les docteurs W._ (spécialiste FMH en médecine interne et maladies rhumatismales) et F._ (médecin associé du Service d'orthopédie et de traumatologie de l'Hôpital Y._) en ont fait de même, le premier dans un rapport du 21 mars 2000 et le second dans un rapport du 15 mai 2000. Les docteurs P._ et A._, médecins du Centre Z._, ont procédé le 13 janvier 2003 à un examen clinique bidisciplinaire et indiqué dans un rapport du 17 janvier 2003 que la capacité de travail exigible dans une activité adaptée était - dans une optique bio-mécanique rigoureuse - de 100 % et qu'il en allait de même sur le plan psychiatrique. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud, se fondant sur les conclusions des médecins du Centre Z._, a rejeté la demande par décision du 22 mai 2003, qu'il a confirmée sur opposition le 12 janvier 2004. Le Tribunal des assurances du canton de Vaud, par jugement du 27 novembre 2006, a rejeté le recours formé par l'assuré contre la décision sur opposition. Sur recours de C._ contre ce jugement, le Tribunal fédéral, par arrêt du 18 février 2008, a annulé le jugement entrepris et la décision sur opposition du 12 janvier 2004, la cause étant renvoyée à l'office AI pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision. A.b Sur requête du docteur R._, le docteur S._, médecin adjoint (chirurgie du rachis) du Service d'orthopédie et de traumatologie de l'Hôpital Y._, a vu C._ en consultation le 3 juillet 2008. Il a consigné ses conclusions dans un rapport daté du même jour. Le 18 avril 2008, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a confié une expertise pluridisciplinaire au Centre d'Expertise V._. Celle-ci a été effectuée par la doctoresse U._ (spécialiste FMH en rhumatologie), le docteur L._ (spécialiste FMH en psychiatrie-psychothérapie) et le docteur E._ (spécialiste FMH en médecine interne). Les médecins du Centre V._ ont procédé à l'examen de l'assuré les 27, 28 mai et 26 juin 2008. Dans un rapport du 25 septembre 2008, les docteurs U._, L._ et E._ ont posé les diagnostics ayant une répercussion sur la capacité de travail de cardiopathie ischémique et maladie bitronculaire (status après angioplastie de la coronaire droite en 1989 et de l'artère interventriculaire antérieure proximale avec implantation d'un stent actif en 2006, dysfonction ventriculaire gauche dès 2006), d'artériopathie oblitérante des membres inférieurs (status après pontage ilio-fémoral gauche en 1996 et ilio-fémoral droit en 2006, status après stenting d'une sténose iliaque commune gauche moyenne en 2007), de polyneuropathie sensitive des membres inférieurs, de lombosciatalgies L5 droites chroniques et de canal lombaire étroit L4-L5 sévère. Considérant que le syndrome somatoforme douloureux persistant ([CIM-10] F45.4) présent depuis 1999 et les troubles mentaux et du comportement liés à l'utilisation d'alcool, utilisation épisodique (F10.26) probable étaient sans répercussion sur la capacité de travail, ils ont retenu que l'assuré ne présentait aucune limitation fonctionnelle sur le plan psychique et mental, alors que sur le plan physique - compte tenu de l'ensemble des troubles somatiques (cardiovasculaires, neurologiques et ostéo-articulaires) - seules des activités légères pouvaient être effectuées et uniquement de manière sédentaire ou semi-sédentaire, en raison des difficultés aux déplacements en terrain accidenté et de l'impossibilité d'effectuer des travaux sur des échelles ou des échafaudages, l'assuré ne pouvant pas rester longtemps assis ou surtout debout, avec périmètre de marche limité à 50m en terrain régulier, ni porter des charges ou effectuer des travaux lourds. Ils indiquaient que dans une activité légère respectant les limitations fonctionnelles mentionnées ci-dessus, la capacité de travail ne dépassait pas 30 %. A la question de savoir depuis quand du point de vue médical il y avait une incapacité de travail de 20 % au moins, ils ont répondu de la manière suivante: «L'incapacité (recte: la capacité) de travail a diminué probablement progressivement depuis 1998. Entre 1998 et 2006, il existait également une insuffisance artérielle concomitante et les symptômes étaient intriqués. Mais les lombosciatalgies persistent après le pontage ilio-fémoral droit du 13.02.2006 avec une diminution progressive de son périmètre de marche alors que les artères sont bien perméables. On peut donc estimer que du point de vue rhumatologique, sa capacité de travail est réduite depuis au moins début 2006 et même probablement avant». Les experts du Centre V._ relevaient également que l'incapacité de travail du point de vue cardiovasculaire était surtout marquante depuis 2006 et qu'il n'y avait pas d'incapacité de travail sur le plan psychique. Le professeur B._, médecin-chef du Service d'anesthésiologie et antalgie de l'Hôpital O._, auquel le docteur R._ avait adressé le patient, a déposé ses conclusions dans un rapport du 19 février 2009. Dans leur rapport du 25 septembre 2008, les experts du Centre V._, à la question de savoir si d'autres activités étaient exigibles de la part de l'assuré, avaient répondu que sur les plans vasculaire et neurologique, seule une activité sédentaire ou semi-sédentaire serait possible et qu'elle pourrait être exercée à 100 %, avec une diminution de rendement de 50 %. Interpellés à ce propos par le docteur N._, médecin-chef adjoint du Centre Z._ (lettre du 23 décembre 2008), ils ont précisé dans un rapport complémentaire du 6 janvier 2009 que ceci était subordonné à une possible amélioration, à réévaluer, qui serait obtenue à la suite d'une intervention décompressive lombaire et qu'en l'état, sans intervention, l'exigibilité restait de 30 %. Dans un avis du 5 mars 2009, le docteur N._, se fondant sur les conclusions des médecins du Centre V._, a considéré que depuis début 2006 l'assuré présentait une capacité de travail nulle dans l'activité habituelle et une capacité de travail exigible de 30 % dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles. Dans un préavis du 25 mars 2009, l'office AI a informé C._ qu'il présentait une invalidité de 80,73 % depuis le 1er janvier 2007, date à partir de laquelle il avait droit à une rente entière d'invalidité. Le 6 avril 2009, l'assuré a fait part à l'office AI de ses observations, en affirmant que son droit à la rente remontait au 23 (recte: 22) mai 2003 au plus tard (date de la décision de refus de rente), voire au 23 novembre 1999 (dépôt de la demande). Le docteur N._ a pris position dans un avis du 11 mai 2009. Par décision du 17 novembre 2009, l'office AI, tout en s'exprimant sur les observations de C._, a confirmé que la naissance de son droit à une rente entière d'invalidité remontait au 1er janvier 2007, date de la survenance de son invalidité. B. Dans un courrier du 7 décembre 2009, C._ a formé recours contre cette décision devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud, en concluant, sous suite de frais et dépens, à ce que la juridiction cantonale dise que son droit à une rente entière d'invalidité était effectif depuis le 1er décembre 2000 et que les prestations dues de ce chef seraient versées à compter de cette date. Par arrêt du 18 janvier 2011, la juridiction cantonale a rejeté le recours. C. C._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à la réforme de la décision entreprise en ce sens qu'une rente complète, subsidiairement partielle, lui est allouée à compter du 1er décembre 2000 et que le décompte des prestations dues doit être revu et corrigé. A titre subsidiaire, il conclut à l'annulation de la décision entreprise, la cause étant renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle instruction et nouvelle décision. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud déclare que les arguments développés par C._ ne sont pas de nature à remettre en cause l'arrêt entrepris. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. 