Sachverhalt: A. A.a Dr. med. dent. A._ (Versicherter) führte eine Zahnarztpraxis in Y._. Er schloss im Jahr 1996 bei der Z._ AG eine für die Mitglieder der Interessengemeinschaft medizinischer Berufe (IG med) angebotene Taggeld-Kollektivversicherung (Nr. 8.028.988) ab. Im Erneuerungsantrag vom 22. Juni 2004 bezüglich dieser Versicherung hat der Versicherte bestätigt, die Allgemeinen Versicherungsbedingungen (AVB) MC 04 und das "Merkblatt zum Rahmenvertrag Nr. 1180" erhalten zu haben. In der Police vom 3. September 2004 wurde ein Taggeld von 100 % des versicherten Lohnes in der Höhe von Fr. 87'600.--, zahlbar nach einer Wartefrist von 90 Tagen pro Fall vereinbart. Diese Police bezeichnet das "Merkblatt zum Rahmenvertrag Nr. 1180" zwischen der IG med und der "Z._ AG" als integrierenden Bestandteil. Das "Merkblatt für die Kollektive Krankentaggeldversicherung für die Mitglieder der Interessen-Gemeinschaft medizinischer Berufe" nahm in Ziff.1.1 auf den Rahmenvertrag Nr. 1180 Bezug und sah in Ziff. 2.2 mit der Überschrift "Leistungsanspruch/Leistungsdauer" in Abs. 3 Satz 1 folgende Regelung vor: "In Abänderung von AVB Artikel D4 reduzieren sich die versicherten Leistungen infolge psychischer Erkrankungen und deren Folgen nach 180 Tagen auf die Hälfte des versicherten Taggeldes." Des weiteren wurden in der Police vom 3. September 2004 die Allgemeinen Bedingungen MC 04 als anwendbar erklärt. Es handelt sich dabei um die "Allgemeinen Versicherungsbedingungen (AVB) Kollektive Lohnausfallversicherung MC 04" der Z._ AG, welche im Kapitel "Überentschädigung" in Art. D 10 4 unter der Überschrift "Anrechnung von Sozialversicherungsleistungen" wie folgt lauten: "Die 'Z._ AG' ergänzt den durch die Leistungen der Invalidenversicherung nicht ersetzten Teil bis zur Höhe des in der Police vereinbarten Taggeldes. Die 'Z._ AG' macht ihre Leistungszahlungen davon abhängig, dass der Fall der IV gemeldet worden ist und die Anmeldung nicht zurückgezogen wird. Bis zum Entscheid der IV erbringt die 'Z._ AG' ungekürzte Taggelder im Sinne von Vorschussleistungen, vorausgesetzt, die versicherte Person erklärt sich schriftlich damit einverstanden, dass die für denselben Zeitraum zur Ausrichtung gelangenden Nachzahlungen der IV direkt an die 'Z._ AG' ausgerichtet werden, soweit sich nach den vorliegenden Bestimmungen eine Überentschädigung ergeben sollte. Zusatzrenten für den Ehegatten (Art. 24 IVG) und Kinderrenten (Art. 35 IVG) werden für die Überentschädigungsberechnung voll angerechnet. Die 'Z._ AG' hat ein direktes Rückforderungsrecht gegenüber der IV, die nachträglich Leistungen erbringt. Die 'Z._ AG' kann von der IV verlangen, dass deren Leistungsnachzahlungen bis zur Höhe der Vorschussleistungen verrechnet und direkt an die 'Z._ AG' ausbezahlt werden. Bei Anspruch auf Umschulung ergänzt die 'Z._ AG' den durch die IV-Taggelder nicht ersetzten Teil bis zur Höhe des in der Police vereinbarten Taggeldes." Der Versicherte verfügte bei der Z._ AG unter der Nr. 8.022.867 über eine weitere Taggeld-Kollektivversicherung, welche ein versichertes Jahreseinkommen von Fr. 87'600.--, eine Leistungsdauer von 730 Tagen und eine Wartefrist von 60 Tagen vorsah. Per 1. Januar 2007 übernahm die X._ AG (Versicherung) die Taggeldversicherungen der Z._ AG und führte die Policen Nr. 8.028.988 und 8.022.867 des Versicherten mit den neuen Vertragsnummern 60029370 und 60032218 weiter. A.b Am 25. Januar 2007 teilte der Versicherte der Versicherung bezogen auf diese Taggeldversicherungen mit, er sei seit dem 17. November 2006 wegen Krankheit arbeitsunfähig. In seinem Bericht vom 26. Februar 2007 diagnostizierte der behandelnde Arzt eine mittel- bis schwergradige depressive Episode. Aufgrund der ärztlich attestierten Arbeitsunfähigkeit erbrachte die Versicherung nach Ablauf der sechzig- bzw. neunzigtägigen Wartefrist aus beiden Taggeldversicherungen die vereinbarten Leistungen. Mit Brief vom 7. Juni 2007 teilte die Versicherung dem Versicherten mit, gemäss einer Regelung für psychische Erkrankungen in einem Merkblatt für Mitglieder der IG med würden die Taggelder nach dem Vertrag Nr. 60029370 ab dem 16. Mai 2007 auf die Hälfte des versicherten Taggeldes reduziert. Im Dezember 2007 meldete sich der Versicherte bei der Invalidenversicherung an und erteilte der Versicherung die Zustimmung zur direkten Verrechnung einer allfälligen Rückforderung vorschussweise erbrachter Taggelder mit einer allfälligen Rentennachzahlung der Sozialversicherungsanstalt des Kantons Zürich (SAV), IV-Stelle. Vom 29. Dezember 2007 bis zum 18. Januar 2008 war der Versicherte in einer psychiatrischen Klinik hospitalisiert. Nach seinem Austritt wurde er zu 90 % arbeitsunfähig geschrieben. Am 6. Juni 2008 teilte er der Versicherung mit, er sei seit dem 18. Januar 2008 wegen einer Nervenlähmung am rechten Arm isoliert betrachtet zu 50 % arbeitsunfähig, die depressionsbedingte Arbeitsunfähigkeit betrage nach wie vor 90 %. Ab dem 26. Juni 2008 attestierte ihm sein behandelnder Arzt eine vollumfängliche Arbeitsunfähigkeit. Am 10. September 2008 schrieb ihm die Versicherung, sie könne für den neuen per 18. Januar 2008 gemeldeten Fall keine (weiteren) Leistungen erbringen, da er schon wegen seines psychischen Leidens zu 100 % arbeitsunfähig sei. Mit Schreiben vom 11. November 2008 erklärte sie ihm, sie werde die Taggelddeckung ab dem 15. November 2008 aufheben, nachdem die maximale Leistungsdauer von 730 Tagen erreicht worden sei. Der Versicherte wandte mit anwaltlichem Schreiben vom 17. November 2008 ein, er habe ab dem 16. November 2008 aufgrund der Nervenlähmung Anspruch auf weitere Taggelder auf der Basis einer Arbeitsunfähigkeit von 50 %. Die Versicherung stellte sich in ihrem Antwortschreiben auf den Standpunkt, dass für den "neuen Krankheitsfall ab 18. Januar 2008" in Bezug auf beide Taggeldversicherungen kein Anspruch auf Leistungen bestehe. Mit Schreiben vom 27. Februar 2009 kündete die Versicherung an, sie werde direkt bei der Ausgleichskasse eine Forderung von Fr. 37'974.15 wegen zu viel bezahlter Taggelder geltend machen. Dagegen erhob der Versicherte Einwendungen. Am 3. März 2009 sprach die IV-Stelle des Kantons Zürich dem Versicherten für die Zeit ab März 2009 eine ganze Rente zuzüglich einer Kinderrente für den Sohn zu. Sie verfügte am 25. Mai 2009, dass die Invaliden- und die Kinderrente mit Wirkung ab 1. November 2009 an den Versicherten ausbezahlt werden. Diese Verfügung hat die Versicherung nicht angefochten. Sie forderte mit Schreiben vom 3. Juni 2009 den Versicherten auf, ihr Rentennachzahlungen der IV-Stelle in der Höhe von Fr. 37'974.15 zu erstatten, was er ablehnte. B. Am 16. Juli 2009 klagte der Versicherte (Kläger) beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich gegen die Versicherung (Beklagte) mit den Begehren, diese zu verpflichten, ihm aus dem Vertrag 60029370 Fr. 22'344.-- nebst Zins zu 5 % ab dem 15. September 2007 und aus neuem Krankheitsfall für die Zeit vom 18. Januar 2008 bis zum 15. November 2008 Fr. 24'800.20 nebst Zins zu 5 % ab 17. Juni 2008 zu bezahlen. Sodann verlangte der Kläger ab dem 16. November 2008 aus den Policen Nr. 60029370 und Nr. 60032218 je ein Taggeld von Fr. 120.-- pro Tag zuzüglich Zins zu 5 % ab mittlerem Verfall. Die Beklagte schloss auf Abweisung der Klage und erhob Widerklage auf Zahlung von Fr. 37'974.15 für vom Kläger für die Zeit vom 1. November 2007 bis 15. November 2008 erhaltene IV-Renten. In der Replik und Widerklageantwort vom 7. Dezember 2009 beantragte der Kläger, auf die Widerklage sei nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen. Zudem stellte der Kläger folgende geänderte Klageanträge: "1. Die Beklagte habe dem Kläger aus dem Vertrag 60029370 Fr. 61'459.-- zu bezahlen, zuzüglich Zins zu 5 % pro Jahr ab mittlerem Verfall, dem 9. Dezember 2007 (Klagebegehren 1 und 2 der Teilklage vom 16. Juli 2009) 2. Die Beklagte hat dem Kläger ab dem 16.11.2008 aus den beiden Policen Nr. 60029370 und 60032218 ein Taggeld von insgesamt Fr. 240.-- pro Tag zu bezahlen, zuzüglich Zins zu 5 % ab mittlerem Verfall." Mit Urteil vom 30. November 2011 hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Klage im Umfang von Fr. 9'650.70 nebst Zins zu 5 % ab 16. Juli 2009 und die Widerklage vollumfänglich, d.h. im Betrag von Fr. 37'974.15, gut. C. Der Kläger (Beschwerdeführer) erhebt Beschwerde in Zivilsachen mit den Anträgen, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts vom 30. November 2011 aufzuheben, soweit es die Klage abwies und die Widerklage guthiess, und die Beklagte zu verpflichten, dem Kläger aus dem Vertrag 60029370 Fr. 61'459.-- zuzüglich Zins zu 5 % ab Klageeinreichung zu bezahlen. Auf die Widerklage sei nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen. Die Beklagte (Beschwerdegegnerin) schliesst unter Verweis auf ihre kantonalen Eingaben und das angefochtene Urteil auf Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz verzichtet auf Vernehmlassung. 