Faits: A. X._ est un ressortissant turc né le 20 février 1953. Divorcé, il est père de cinq enfants nés entre 1973 et 1992 et vivant en Turquie. Le 3 juillet 2001, lors d'un contrôle effectué à La Chaux-de-Fonds par un inspecteur de la Commission paritaire neuchâteloise des métiers de la construction, X._ n'a pas été en mesure de prouver son identité. Il a donc été conduit dans les locaux de la Police cantonale neuchâteloise qui a établi qu'il avait contrevenu aux art. 3 et 23 de la loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE; RS 142.20) puis il a été relâché, après avoir versé un montant de 50 fr., un délai de vingt-quatre heures lui ayant été imparti pour quitter le territoire suisse. X._ a rejoint le Collectif des sans-papiers du canton de Neuchâtel et a été entendu le 20 septembre 2001 par le Service des étrangers du canton de Neuchâtel (ci-après: le Service cantonal). Il ressort des déclarations que X._ a alors faites qu'il aurait effectué plusieurs séjours en Suisse et y aurait travaillé sans autorisation de séjour ni de travail. Il y serait arrivé pour la première fois en 1975 et aurait travaillé dans différents cantons ainsi qu'au Liechtenstein jusqu'en 1982. Revenu en Suisse en 1983, il aurait déposé en 1986 une demande d'asile qui aurait été rejetée. Il serait alors retourné dans sa patrie pour revenir en Suisse de 1987 à 1995, de 1998 à 1999 et à partir du mois de septembre 2000 - voire de février 2000, selon des déclarations qu'il a faites ultérieurement. B. Le 3 mars 1987, le Procureur du canton du Tessin a condamné X._ à neuf jours d'emprisonnement avec sursis pour infraction à l'art. 23 LSEE: il avait facilité l'entrée illégale en Suisse d'un de ses compatriotes. Le 26 mars 1987, l'Office fédéral des étrangers, actuellement l'Office fédéral de l'immigration, de l'intégration et de l'émigration, (ci-après: l'Office fédéral) a prononcé à l'encontre de X._ une interdiction d'entrée en Suisse valable jusqu'au 25 mars 1990, en raison de son activité de passeur ("Schleppertätigkeit"). Le 23 novembre 1995, l'Office fédéral a pris à l'encontre de X._ une nouvelle décision d'interdiction d'entrée en Suisse valable du 25 novembre 1995 au 24 novembre 1998 essentiellement pour violations graves des prescriptions de police des étrangers. Le 24 novembre 1995, le "Bezirksamt Oberrheintal" à Altstätten (SG) a condamné X._ à quatre semaines d'emprisonnement avec sursis pendant deux ans pour infraction à la loi fédérale sur le séjour et l'établissement des étrangers (entrée, séjour et travail sans autorisation; emploi d'une fausse pièce d'identité). C. Le 4 juillet 2002, le Service cantonal a soumis le dossier de X._ à l'Office fédéral afin qu'il se prononce sur l'exemption de l'intéressé des mesures de limitation du nombre des étrangers selon l'art. 13 let. f de l'ordonnance du 6 octobre 1986 limitant le nombre des étrangers (OLE; RS 823.21). Le 27 novembre 2002, l'Office fédéral a refusé d'excepter X._ des mesures de limitation au sens de l'art. 13 let. f OLE. Il a notamment relevé que, par ses infractions aux prescriptions de police des étrangers, l'intéressé avait démontré qu'il ne voulait ou ne pouvait pas s'adapter à l'ordre établi en Suisse. X._ avait également eu maille à partir avec les autorités de sa patrie. L'intéressé ne pouvait donc pas se prévaloir d'un comportement irréprochable. Il ne pouvait pas non plus invoquer de motifs d'ordre personnel ou familial pertinents. Quant aux arguments d'ordre professionnel et économique, ils ne pouvaient pas être pris en considération dans une procédure de ce genre. Par ailleurs, l'intégration socio-professionnelle de X._ en Suisse n'était pas exceptionnelle. En outre, les séjours en Suisse de l'intéressé avaient été interrompus par des voyages en Turquie, pays avec lequel X._ avait conservé ses attaches culturelles et sociales les plus importantes. D. Le 17 juillet 2003, le Département fédéral de justice et police (ci-après: le Département fédéral) a rejeté le recours de X._ contre la décision de l'Office fédéral du 27 novembre 2002 et confirmé l'assujettissement de l'intéressé aux mesures de limitation. Il a repris, en la développant, l'argumentation de l'Office fédéral. Comme X._ alléguait avoir séjourné quelque vingt et un ans en Suisse, le Département fédéral a rappelé que les séjours illégaux en Suisse n'étaient pas pris en compte dans l'examen d'un cas de rigueur. 