Sachverhalt: A. Wegen Schmerzen im rechten Handgelenk, welche während der Arbeit beim dort häufig erforderlichen Bewegen der Computermaus aufgetreten waren und ab 12. Juli bis zur Wiederaufnahme der Arbeit am 9. August 2010 eine vollständige Arbeitsunfähigkeit zur Folge gehabt hatten, erhielt K._ (Jg. 1960) Leistungen (Heilbehandlung und Taggelder) der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) zugesprochen. Auf eine Rückfallmeldung vom 17. Juli 2012 hin teilte die SUVA K._ am 9. August 2012 brieflich mit, dass die neu gemeldeten Beschwerden nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit auf das Ereignis vom 12. Juli 2010 zurückzuführen seien, weshalb keine Leistungen ausgerichtet werden könnten. Dies eröffnete sie auf Verlangen der SWICA Gesundheitsorganisation - der Krankenversicherung von K._ - am 17. September 2012 auch verfügungsweise. Auf Einsprachen von K._ und dessen Krankenversicherung hin hielt sie daran mit Einspracheentscheid vom 14. Februar 2013 fest. B. In Gutheissung der hiegegen erhobenen Beschwerde hob das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau als Versicherungsgericht diesen Entscheid am 28. August 2013 mit der Feststellung auf, dass die SUVA dem Versicherten für die Folgen der als Berufskrankheit zu qualifizierenden Beschwerden Leistungen zu erbringen habe. C. Beschwerdeweise beantragt die SUVA die Aufhebung des kantonalen Entscheids und die Bestätigung ihres Einspracheentscheids. K._ und die Vorinstanz schliessen je auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Stellungnahme. 