Faits: A. Le 24 septembre 2003, Y._, qui présentait une hémorragie digestive, s'est rendu chez le Dr A._, coresponsable du service des urgences de X._ SA. Le médecin a ordonné une gastroscopie en urgence. Le Dr B._ a procédé à cet examen le même jour, dans les locaux de X._ SA. Une biopsie a été réalisée au moyen d'une pince jetable. Le saignement du patient provenait d'un ulcère duodénal. Avant la gastroscopie, une analyse de sang avait été effectuée. Le 5 novembre 2003, Y._ a subi une gastroscopie de contrôle, pratiquée également par le Dr B._, qui a procédé à une nouvelle biopsie au moyen d'une pince jetable. Le 30 janvier 2004, la Dresse C._, médecin traitant de Y._, a diagnostiqué chez son patient une jaunisse sévère. Les tests sanguins ont révélé que Y._ souffrait d'une hépatite B. Le surlendemain, le malade a consulté le Dr A._ et lui a fait part de sa conviction d'avoir contracté l'hépatite B durant l'une des deux gastroscopies. Par la suite, le conseil de Y._ a échangé diverses correspondances avec X._ SA et avec l'assureur de celle-ci, lequel a renoncé à se prévaloir de la prescription jusqu'au 5 novembre 2006. B. Par acte déposé le 17 mars 2006, Y._ a assigné X._ SA en paiement de 40'000 fr. à titre de réparation du tort moral. Il faisait valoir qu'il attendait toujours des explications sur les circonstances l'ayant amené à contracter le virus de l''hépatite B, qu'il vivait péniblement cette maladie qui avait provoqué des difficultés au sein de son couple, qu'une greffe de foie avait été envisagée lors de la phase aiguë de l'infection et qu'il avait perdu sa lucidité et ses forces à cause d'un empoisonnement du sang. Il précisait être toujours porteur du virus, même s'il ne présentait aucune séquelle de la phase aiguë et n'avait aucune contrainte au niveau du régime alimentaire. X._ SA a conclu au rejet de l'action. Le Tribunal de première instance du canton de Genève a ordonné une expertise et désigné le Dr D._ comme expert. Il sera revenu dans les considérants sur le contenu de cette expertise datée du 24 juin 2008. Par jugement du 26 février 2009, le tribunal a condamné X._ SA à verser à Y._ la somme de 10'000 fr. à titre d'indemnité pour tort moral. Statuant le 16 octobre 2009 sur appel de X._ SA, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a confirmé le jugement de première instance. Elle a retenu en particulier un lien de causalité naturelle entre l'une ou l'autre des gastroscopies subies dans les locaux de X._ SA et l'hépatite B ayant atteint Y._. C. X._ SA interjette un recours constitutionnel subsidiaire. Elle demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt cantonal et de constater que la responsabilité de X._ SA n'est pas engagée vis-à-vis du demandeur. Y._ conclut, principalement, à l'irrecevabilité du recours et, subsidiairement, à son rejet. 