Sachverhalt: A. Im Jahre 2002 gründeten die Gemeinden Seewen/SO, Büren/SO und der Kanton Solothurn die Forstbetriebsgemeinschaft "Dorneckberg Süd". Diese schloss im Oktober 2003 mit A._ (geb. 1985) einen Lehrvertrag zur (Zusatz-)Ausbildung als Forstwart, beginnend am 1. August 2004, ab. Am 8. November 2004 erlitt A._ bei der Arbeit einen schweren Unfall. Er liegt seither im Wachkoma in einem für körperlich Schwerstbehinderte spezialisierten Pflegeheim. B. B.a Mit Schreiben vom 20. Januar 2009 gelangte Advokat Sebastian Laubscher im Namen von A._ sowie von dessen Vater, Mutter und Schwester an die Forstbetriebsgemeinschaft und machte Schadenersatz und Genugtuung geltend. Mit Schreiben vom 2. April 2009 lehnte die Forstbetriebsgemeinschaft ihre Haftung ab. B.b Am 20. Juli 2009 reichte Advokat Sebastian Laubscher beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn zwei getrennte Klagen gegen den Kanton Solothurn ein, nämlich einerseits für A._, worin er Schadenersatz und Genugtuung nebst Zins verlangte, andererseits für C._, B._ und D._ (Vater, Mutter und Schwester) mit dem Antrag auf Genugtuung von je Fr. 100'000.-- (insgesamt Fr. 300'000.--) nebst Zins. B.c Mit Urteil vom 11. August 2010 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn die beiden Klagen wegen Verwirkung ab. Gleichzeitig wies es die Begehren von A._ und D._ um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsbeistand wegen Aussichtslosigkeit ab. C. C.a A._, B._, C._ und D._ erheben am 13. September 2010 "Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und eventuell Beschwerde in Zivilsachen und subsidiär Verfassungsbeschwerde" mit dem Rechtsbegehren, es sei "das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 24.02.2010 (B 2009/53)" aufzuheben und im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem beantragen sie Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Zur Begründung machen sie im Hauptstandpunkt geltend, die Vorinstanz hätte auf die Klage nicht eintreten dürfen, da der Streit privatrechtlich sei; im Eventualstandpunkt bestreiten sie die Verwirkung des Anspruchs. C.b Mit Verfügung der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung vom 8. November 2010 wurde das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung mangels Nachweis der Bedürftigkeit abgewiesen. In der Folge wurde der Kostenvorschuss fristgerecht bezahlt. C.c Das Verwaltungsgericht beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Kanton Solothurn schliesst auf Nichteintreten, eventuell auf Abweisung der Beschwerde. 