Sachverhalt: Sachverhalt: A. Ende September 2002 kündigte die Arbeitslosenkasse des Kantons Zug B._ mündlich die Einstellung in der Anspruchsberechtigung wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit sowie zu Lasten der Versicherung erfolgten Verzichts auf Lohn- und Entschädigungsansprüche gegenüber dem bisherigen Arbeitgeber, der Firma Y._ AG, an. Der Versicherte erklärte daraufhin der ehemaligen Arbeitgeberfirma, er erachte die mit Aufhebungsvertrag vom 25. Februar 2002 vereinbarte Auflösung des Arbeitsverhältnisses per 31. August 2002 wegen unzulässiger Abweichung von zwingenden Kündigungsbestimmungen des Obligationenrechts für ungültig; gleichzeitig signalisierte er die Bereitschaft zu gütlicher Einigung. Eine Kopie des entsprechenden Schreibens vom 23. Oktober 2002 liess B._ am 24. Oktober 2002 (Posteingang) der Arbeitslosenkasse zukommen, wobei er dieser zugleich in Aussicht stellte, sie werde über den weiteren Verlauf der Gespräche mit dem Arbeitgeber informiert. Dessen ungeachtet erliess die Arbeitslosenkasse am 29. Oktober 2002 die angekündigte Verfügung, mit welcher sie den Versicherten ab 1. September 2002 für 31 Tage in der Anspruchsberechtigung einstellte. A. Ende September 2002 kündigte die Arbeitslosenkasse des Kantons Zug B._ mündlich die Einstellung in der Anspruchsberechtigung wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit sowie zu Lasten der Versicherung erfolgten Verzichts auf Lohn- und Entschädigungsansprüche gegenüber dem bisherigen Arbeitgeber, der Firma Y._ AG, an. Der Versicherte erklärte daraufhin der ehemaligen Arbeitgeberfirma, er erachte die mit Aufhebungsvertrag vom 25. Februar 2002 vereinbarte Auflösung des Arbeitsverhältnisses per 31. August 2002 wegen unzulässiger Abweichung von zwingenden Kündigungsbestimmungen des Obligationenrechts für ungültig; gleichzeitig signalisierte er die Bereitschaft zu gütlicher Einigung. Eine Kopie des entsprechenden Schreibens vom 23. Oktober 2002 liess B._ am 24. Oktober 2002 (Posteingang) der Arbeitslosenkasse zukommen, wobei er dieser zugleich in Aussicht stellte, sie werde über den weiteren Verlauf der Gespräche mit dem Arbeitgeber informiert. Dessen ungeachtet erliess die Arbeitslosenkasse am 29. Oktober 2002 die angekündigte Verfügung, mit welcher sie den Versicherten ab 1. September 2002 für 31 Tage in der Anspruchsberechtigung einstellte. B. Hiegegen liess B._ Beschwerde mit dem Antrag auf Aufhebung der Verfügung vom 29. Oktober 2002 erheben. Am 16. Dezember 2002 stellte er das Begehren um Sistierung des Verfahrens bis zu der sich abzeichnenden gütlichen Einigung mit der ehemaligen Arbeitgeberfirma, welchem das Verwaltungsgericht des Kantons Zug mit Einverständnis der Arbeitslosenkasse (Stellungnahme vom 20. Dezember 2002) am 24. Dezember 2002 stattgab. Nachdem die Arbeitslosenkasse vom erfolgreichen Abschluss der Vergleichsverhandlungen zwischen B._ und der Firma Y._ AG Kenntnis erhalten hatte, hob sie ihre Verfügung vom 29. Oktober 2002 wiedererwägungsweise lite pendente auf und sicherte die Nachzahlung von Arbeitslosenentschädigung bis zur Abmeldung von der Arbeitsvermittlung per 21. November 2002 zu. In der Folge schrieb das Verwaltungsgericht des Kantons Zug das Beschwerdeverfahren als durch Gegenstandslosigkeit erledigt vom Geschäftsverzeichnis ab und verpflichtete die Arbeitslosenkasse zur Zahlung einer Parteientschädigung von Fr. 500.- (Verfügung vom 28. Januar 2003). B. Hiegegen liess B._ Beschwerde mit dem Antrag auf Aufhebung der Verfügung vom 29. Oktober 2002 erheben. Am 16. Dezember 2002 stellte er das Begehren um Sistierung des Verfahrens bis zu der sich abzeichnenden gütlichen Einigung mit der ehemaligen Arbeitgeberfirma, welchem das Verwaltungsgericht des Kantons Zug mit Einverständnis der Arbeitslosenkasse (Stellungnahme vom 20. Dezember 2002) am 24. Dezember 2002 stattgab. Nachdem die Arbeitslosenkasse vom erfolgreichen Abschluss der Vergleichsverhandlungen zwischen B._ und der Firma Y._ AG Kenntnis erhalten hatte, hob sie ihre Verfügung vom 29. Oktober 2002 wiedererwägungsweise lite pendente auf und sicherte die Nachzahlung von Arbeitslosenentschädigung bis zur Abmeldung von der Arbeitsvermittlung per 21. November 2002 zu. In der Folge schrieb das Verwaltungsgericht des Kantons Zug das Beschwerdeverfahren als durch Gegenstandslosigkeit erledigt vom Geschäftsverzeichnis ab und verpflichtete die Arbeitslosenkasse zur Zahlung einer Parteientschädigung von Fr. 500.- (Verfügung vom 28. Januar 2003). C. Die Arbeitslosenkasse führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei, soweit die Parteikostenentschädigung zu ihren Lasten betreffend, aufzuheben. B._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen. Das Staatssekretariat für Wirtschaft hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. 