Faits: A. Depuis le 5 juillet 2012, le Ministère public de la Confédération (MPC) instruit une enquête pour blanchiment d'argent et faux dans les titres à l'encontre de quatre ressortissants ouzbeks, dont B._, "director" de la société A._, et C._, "finance manager" de cette entreprise. Le 10 août 2012, une perquisition de différents coffres a eu lieu auprès de la banque X._, à Genève, notamment le "safe" xxx, rattaché au compte bancaire n o yyy de A._, et des documents ont été saisis. Le 14 août 2012, le MPC a procédé, en présence de C._ et de ses deux mandataires, à l'ouverture des pièces mises en sûreté à la suite de la perquisition. Au cours de cet examen, le MPC a mis sous scellés des documents - sous le n o _81 - qui pouvaient appartenir et/ou concerner D._, fille du Président de la République d'Ouzbékistan et alors représentante de la mission permanente de ce pays auprès de l'Organisation des Nations Unies (ONU). Par requête du 3 septembre 2012, le MPC a déposé devant le Tribunal des mesures de contrainte du canton de Berne (Tmc) une demande de levée des scellés. A._ s'est déterminée le 2 octobre 2012, puis le 18 octobre 2012 à la suite de la réplique du MPC. La qualité de partie lui ayant été refusée dans cette procédure, la République d'Ouzbékistan a recouru au Tribunal fédéral, qui a admis cette requête par arrêt du 10 janvier 2013 (cause 1B_588/2012). Dès le 25 janvier 2013, le premier juge a donc ordonné de nouveaux échanges d'écritures entre les parties. La République d'Ouzbékistan et A._ se sont notamment déterminées sur les informations - reçues par le MPC du Département fédéral des affaires étrangères (DFAE) - relatives à la fin de l'activité diplomatique de D._ le 9 juillet 2013 (cf. le courrier du DFAE du 10 juillet 2013), ainsi que sur celles adressées par le DFAE directement à l'autorité précédente (cf. le courrier du DFAE du 23 juillet 2013). Par ordonnance du 21 août 2013, le Tmc a admis la requête de levée des scellés. B. Par acte du 18 septembre 2013, A._ forme un recours en matière pénale contre cette décision, concluant à son annulation, au rejet de la demande de levée des scellés, à la levée immédiate du séquestre concernant l'ensemble des objets, documents et valeurs patrimoniales, à la restitution immédiate, par l'intermédiaire de son conseil, des objets, documents ou valeurs patrimoniales séquestrés et à la mise à l'écart du dossier pénal de tous les documents ou objets recueillis en exécution de l'avis de perquisition. Elle requiert, subsidiairement, le renvoi de la cause à l'autorité précédente ou à toute autre autorité pour nouvelle décision au sens des considérants. La recourante sollicite également l'octroi de l'effet suspensif au recours. Le MPC et le Tmc ont conclu au rejet du recours; le premier a en particulier produit une copie du courrier du Bureau de communication en matière de blanchiment d'argent du 3 juillet 2012. Quant à la République d'Ouzbékistan, elle a appuyé le recours. Le 31 octobre 2013, la recourante a persisté dans ses conclusions. Par ordonnance du 10 octobre 2013, l'effet suspensif a été accordé. 