Sachverhalt: A. Die 1961 geborene D._ ist seit 1978 bei der Gemeinde X._ angestellt (zuletzt als Leiterin einer Abteilung) und damit bei der "Zürich" Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Zürich) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 8. Mai 2003 war sie von einem Unfall betroffen, als ein nachfolgender Personenwagen auf das von ihr gelenkte, in einem Rechtsabbiegemanöver begriffene Fahrzeug auffuhr. Die Versicherte klagte in der Folge über Kopf- und Nackenschmerzen mit Ausstrahlung bis in die Hand. Gemäss Unfallschein mit Eintragungen der am Unfalltag konsultierten Dr. med. S._ und des Dr. med. B._, Allgemeine Medizin FMH, war sie zunächst zu 100 %, ab 26. Mai 2003 zu 75 % und ab 10. Juni 2003 zu 50 % arbeitsunfähig. Die Zürich holte weitere Auskünfte von Dr. med. B._ ein und zog Berichte des Neurologen Dr. med. J._ vom 16. September und 20. Oktober 2003 sowie des Radiologen Dr. med. P._, Röntgeninstitut O._, vom 29. September 2003 bei. Anschliessend stellte sie - nach Gewährung des rechtlichen Gehörs - mit Verfügung vom 26. Februar 2004 ihre Leistungen auf den 31. Oktober 2003 ein. Zur Begründung wurde erklärt, die über dieses Datum hinaus fortbestehenden Beschwerden stünden in keinem natürlichen Kausalzusammenhang mit dem Ereignis vom 8. Mai 2003. Nachdem die Versicherte Einsprache erhoben hatte, holte die Zürich Gutachten des Kantonsspitals Y._, Neurologische Klinik, vom 4. Juli 2005 sowie der Rehaklinik A._ vom 29. September 2005 ein. Zudem liess sie eine Unfallanalyse vom 4. Mai 2005 erstellen. Anschliessend hielt der Versicherer mit Einspracheentscheid vom 7. März 2006 an der Einstellung der Leistungen per 31. Oktober 2003 fest mit der Begründung, die darüber hinaus andauernden Beschwerden stünden zwar wohl in einem natürlichen, aber nicht in einem adäquaten Kausalzusammenhang mit dem Unfallereignis. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen ab (Entscheid vom 14. März 2007). C. D._ lässt Beschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid und der Einspracheentscheid seien aufzuheben und die Zürich sei zu verpflichten, ihr weiterhin Versicherungsleistungen aus der Unfallversicherung zu erbringen. Die Zürich schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 hat das Bundesgericht die sog. Schleudertrauma-Praxis bei organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden präzisiert. Die Parteien hielten im Rahmen des ihnen zu dieser Präzisierung gewährten rechtlichen Gehörs an ihren Rechtsbegehren fest. 