Sachverhalt: A. Y._ (geb. 1986) und X._ (geb. 1984) heirateten im Jahr 2004. Der Ehe entsprossen die gemeinsamen Kinder A._ (geb. 2005) und B._ (geb. 2007). Die Trennung erfolgte am 9. August 2011. Die Ehefrau leitete am 22. August 2011 vor dem Richteramt Olten-Gösgen ein Eheschutzverfahren ein. Mit Verfügung vom 20. September 2011 räumte die Amtsgerichtspräsidentin dem Ehemann für die Dauer des Verfahrens zwei Mal pro Monat ein begleitetes Besuchsrecht betreffend die beiden Kinder ein. Weiter errichtete sie eine Beistandschaft gemäss Art. 308 Abs. 2 ZGB und beauftragte den Beistand mit der Organisation und Durchführung des begleiteten Besuchsrechts. Am 16. November 2011 bestätigte die Amtsgerichtspräsidentin die bereits am 20. September 2011 getroffene einstweilige Obhuts- und Besuchsrechtsregelung. Sodann gab sie mit Blick auf die Zuteilung der Obhut einen Bericht bei der Familienberatung Olten-Gösgen in Auftrag. Mit dringlichem Beschluss vom 9. Dezember 2011 entzog die Vormundschaftsbehörde der Sozialregion Olten beiden Eltern die elterliche Obhut (Ziff. 1) und ordnete (über die Organisation "Kompass") die Unterbringung der Kinder an einem Pflegeplatz an (Ziff. 2); ausserdem sei den Eltern abwechselnd zwei Mal monatlich ein begleitetes Besuchsrecht einzuräumen (Ziff. 3). Am 13. Dezember 2011 änderte die Vormundschaftsbehörde die vorerwähnte Ziffer 2 insofern ab, als sie die provisorische Unterbringung der Kinder bei der Familie C._, einer Tante der Kinder, anordnete. Die Amtsgerichtspräsidentin bestätigte diese Anordnungen am 22. Dezember 2011. Nach Eingang des Berichts entschied die Amtsgerichtspräsidentin, soweit vorliegend relevant, mit Verfügung vom 24. Februar 2012, die beiden Kinder für die Dauer des Getrenntlebens unter die Obhut der Mutter zu stellen (Ziff. 6), gewährte dem Vater einmal monatlich ein begleitetes Besuchsrecht von drei Stunden (Ziff. 7) und beauftragte den Beistand mit der Umplatzierung der Kinder zur Mutter, mit den diesbezüglichen organisatorischen Vollzugsmassnahmen sowie mit der anschliessenden sozialpädagogischen Erziehungsunterstützung der Mutter (Ziff. 8) B. Gegen die vorstehend erwähnten Ziffern der Verfügung der Amtsgerichtspräsidentin ergriff der Ehemann Berufung an das Obergericht des Kantons Solothurn; er beantragte im Wesentlichen die Einholung eines kinderpsychiatrischen Gutachtens, einstweilen ein unbegleitetes Besuchsrecht und alsdann die Zuteilung der Obhut über die beiden Kinder an ihn. Mit Urteil vom 25. Mai 2012 wies das Obergericht die Berufung ab, soweit sie nicht gegenstandslos geworden war. C. Hiergegen gelangt X._ (nachfolgend: Beschwerdeführer) mit Beschwerde in Zivilsachen vom 28. Juni 2012 an das Bundesgericht und verlangt im Wesentlichen die Zuteilung der Obhut über die beiden Kinder. Im Rahmen der Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung des Beschwerdeführers machte die Beschwerdegegnerin geltend, der Beschwerdeführer habe die Kinder nach Erhalt des angefochtenen Entscheids entführt und vermutlich in die Türkei verbracht, weshalb er - unter Androhung von Art. 292 StGB - anzuweisen sei, die Kinder zurückzubringen bzw. dem Vormundschaftsamt Olten zu übergeben. Die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung wies das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab und trat auf das Gesuch um Kindesrückschaffung nicht ein (Verfügung vom 10. Juli 2012). Es wurden die Akten, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt. Mit Verfügungen vom 19. Juli 2012 und vom 20. Juli 2012 hat das Obergericht des Kantons Solothurn die Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers aufgefordert, bis zum 2. August 2012 dessen Adresse mitzuteilen. Mit Schreiben vom 14. August 2012 teilte die Rechtsvertreterin dem Obergericht mit, sie könne die aktuelle Adresse des Beschwerdeführers nicht bekannt geben, da der Kontakt zu ihm abgebrochen sei. Sodann teilte sie dem Obergericht mit Schreiben vom 17. August 2012 mit, sie habe das Mandat niedergelegt. 