Sachverhalt: A. A.a Die 1973 geborene P._ erlitt am 9. November 2002 einen Auffahrunfall, für dessen Folgen die SUVA zunächst Leistungen in Form von Heilbehandlung und Taggeld ausrichtete. Mit Verfügung vom 25. Juni 2004 wurden diese mit Wirkung ab 30. Juni 2004 eingestellt und der Anspruch auf Invalidenrente und Integritätsentschädigung verneint. Diese Verfügung bestätigte die SUVA mit Einspracheentscheid vom 5. November 2004. Die von der Versicherten dagegen erhobene Beschwerde hiess das Kantonsgericht Basel-Landschaft mit Entscheid vom 25. Mai 2005 in dem Sinne gut, dass es den Einspracheentscheid aufhob und die Sache zur Abklärung des medizinischen Sachverhalts und zum Erlass einer neuen Verfügung im Sinne der Erwägungen an die SUVA zurückwies. Das von der SUVA hierauf angerufene damalige Eidgenössische Versicherungsgericht wies die dagegen erhobene Beschwerde mit Urteil vom 16. Januar 2006 ab (U 290/05). A.b Mit Schreiben vom 17. Februar und 12. April 2006 liess P._ bei der SUVA die Wiederaufnahme der Taggeldzahlungen rückwirkend ab 1. Juli 2004 geltend machen. Die SUVA lehnte dies mit Verfügung vom 27. April 2006 ab. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 21. August 2006 fest. B. P._ liess dagegen Beschwerde an das Kantonsgericht Basel-Landschaft erheben mit dem Antrag, der Einspracheentscheid vom 21. August 2006 und die Verfügung vom 27. April 2006 seien aufzuheben und die SUVA sei zu verpflichten, ihr die versicherten Leistungen (Taggelder, Heilungskosten) ab 1. Juli 2004 einstweilen weiter zu gewähren. Das kantonale Gericht hiess mit Entscheid vom 23. Mai 2007 die Beschwerde gut und wies die SUVA an, der Versicherten die gesetzlichen Leistungen rückwirkend ab 1. Juli 2004 auszurichten. C. Die SUVA erhebt Beschwerde mit dem Antrag auf Aufhebung des kantonalen Entscheids vom 23. Mai 2007. P._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde und ersucht für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. 