Faits: A. Le 12 août 2004, Y._ a été engagée, en qualité de caissière-vendeuse, auprès de la station-service A._, à Genève, pour un salaire mensuel brut de 3'300 francs. Cette station-service est la propriété de B._ SA et est exploitée, depuis le 1er novembre 2001, par C._ SA. X._ et D._ ont acquis, par convention du 13 août 2002, le capital-actions de cette société et en sont devenus administrateurs, avec signature individuelle, à partir du 16 août 2002. C._ SA est en liquidation depuis le 8 février 2006. Y._ n'a signé aucun contrat de travail. Elle a eu pour interlocutrice exclusive X._. Celle-ci lui remettait son salaire de main à main, sans relevé ni décompte. Des quittances, qui ne comportaient pas d'en-tête, ont été signées par l'employée, qui en recevait une copie. X._ n'a pas précisé à l'employée qu'elle n'était pas son employeur. Le 1er décembre 2004, Y._ a été licenciée, à la suite de la décision de X._, qui n'arrivait plus à la rétribuer. Cette décision a été annoncée à l'employée par l'intermédiaire du mari de X._. B. Le 19 juin 2006, Y._ a assigné X._ en paiement de 21'091 fr.85 bruts, plus intérêts à 5% l'an dès le 1er février 2005, à titre de salaire du 1er octobre 2004 au 31 janvier 2005 (19'470 fr.) et à titre d'indemnité pour vacances non prises en nature (1'621 fr.85), le tout sous déduction de la somme nette de 7'100 fr. déjà perçue. La demanderesse réclamait en outre la remise d'un certificat de travail. Par jugement du 25 juin 2007, le Tribunal des prud'hommes a condamné la défenderesse à payer à la demanderesse la somme brute de 19'778 fr.95, sous déduction de la somme nette de 7'100 fr., avec intérêts à 5% dès le 1er février 2005. La défenderesse a été invitée à opérer les déductions sociales, légales et usuelles. Elle a enfin été condamnée à délivrer à la demanderesse un certificat de travail. La défenderesse a appelé de ce jugement, en concluant à son annulation et au rejet de la demande de la partie adverse. Par arrêt du 14 décembre 2007, l'appel a été déclaré irrecevable, pour cause de tardiveté. Selon les calculs des juges cantonaux, le délai d'appel a commencé à courir le jeudi 28 juin 2007, soit le lendemain de la notification de l'arrêt litigieux, expédié le 26 juin 2007, et expirait le vendredi 27 juillet 2007. Les magistrats ont retenu que, pour avoir été déposé le lundi 30 juillet 2007 seulement au greffe de la juridiction des prud'hommes, l'appel était tardif. Dans la motivation juridique de l'arrêt, les juges se sont également exprimés sur le fond du litige. C. La défenderesse exerce un recours constitutionnel subsidiaire en vue d'obtenir l'annulation et la mise à néant de l'arrêt du 14 décembre 2007. Elle demande à ce qu'il soit dit et constaté que l'appel déposé devant l'instance précédente est recevable et à ce que la cause soit renvoyée devant cette autorité pour nouveau jugement. La demanderesse conclut, à la forme, à l'irrecevabilité du recours et, au fond, à son rejet. Quant à l'autorité cantonale, elle persiste dans son jugement. 