Sachverhalt: A. Am 2. November 2011 beantragte X._ beim Gerichtspräsidium Rheinfelden, es sei der Y._ AG zu befehlen, ihn sofort aus den Räumlichkeiten des Spitals A._ zu entlassen und es sei ihm die Möglichkeit zu erteilen, direkt in die Rehaklinik in B._ verlegt zu werden. Zugleich sei ihm die vollständige Krankengeschichte auszuhändigen. Dieser Befehl sei mit der Androhung der Ungehorsamsstrafe (Art. 292 StGB) zu verbinden. Der Befehl sei zudem superprovisorisch zu erlassen. Mit Entscheid vom 30. Juli 2012 trat das Gerichtspräsidium Rheinfelden auf das Gesuch vom 2. November 2011 nicht ein. B. Am 16. August 2012 erhob X._ dagegen Berufung an das Obergericht des Kantons Aargau. Er beantragte, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und die Angelegenheit an das Gerichtspräsidium zur materiellen Behandlung zurückzuweisen. Allenfalls habe das Obergericht die Entlassung und die Möglichkeit zur Verlegung sowie die Herausgabe der Krankengeschichte (alles unter Androhung der Ungehorsamsstrafe) selber anzuordnen. Mit Schreiben vom 20. September 2012 teilte W._ von der Amtsvormundschaft des Bezirks Rheinfelden dem Obergericht mit, das Bezirksgericht Rheinfelden habe die Entmündigungsklage gegen X._ mit Urteil vom 4. Juli 2012 gutgeheissen und dieses Urteil sei inzwischen rechtskräftig geworden. Zugleich wies er sich mit der Ernennungsurkunde über seine Ernennung zum Vormund von X._ durch den Gemeinderat C._ am 23. Juli 2012 aus. Mit Schreiben vom 28. September 2012 orientierte das Gerichtspräsidium Rheinfelden das Obergericht über das am 4. Juli 2012 gefällte und am 25. August 2012 rechtskräftig gewordene Urteil, mit dem X._ gestützt auf [a]Art. 369 Abs. 1 ZGB entmündigt worden war. Mit Schreiben vom 15. Oktober 2012 zog W._ (nachfolgend: Vormund) die Berufung von X._ zurück. Mit Verfügung vom 18. Oktober 2012 schrieb der Instruktionsrichter das obergerichtliche Verfahren als durch Rückzug der Berufung erledigt ab. C. Am 13. November 2011 hat X._ (Beschwerdeführer) Beschwerde gegen diese Abschreibungsverfügung des Obergerichts erhoben. Er beantragt deren Aufhebung und die Rückweisung der Angelegenheit an die Vorinstanz zur materiellen Behandlung. Das Obergericht hat auf Vernehmlassung verzichtet und die Y._ AG (Beschwerdegegnerin) ersucht um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Am 22. Februar 2013 hat Z._ in dieser Angelegenheit dem Bundesgericht ein E-Mail eingereicht, das der Beschwerdegegnerin zur Kenntnis zugestellt worden ist. 