Sachverhalt: A. A.a. X._ (geb. am 10. Mai 1968), Staatsangehöriger der Demokratischen Republik Kongo, reiste 1996 und 1998 illegal in die Schweiz ein und ersuchte jeweils erfolglos um Asyl. Vor Ablauf der Ausreisefrist heiratete er am 16. April 1999 die Schweizer Bürgerin Y._ und erhielt in der Folge eine Aufenthaltsbewilligung. Am 12. September 1999 wurde die gemeinsame Tochter geboren. Y._ trennte sich am 1. Februar 2004 von ihrem Mann und zog mit der Tochter in den Kanton Solothurn. X._ wurde am 30. September 2004 bei der Arbeitslosenversicherung ausgesteuert; zwischen November 2004 und August 2005 bezog er Sozialhilfegelder von insgesamt Fr. 11'779.--. Die monatlichen Unterhaltsbeiträge von Fr. 500.-- für die Tochter mussten ab 1. August 2005 bevorschusst werden. Am 15. Februar 2006 teilte ihm das Ausländeramt (heute: Migrationsamt) des Kantons Thurgau mit, er müsse sich um eine Arbeitsstelle bemühen, um seinen Unterhaltsverpflichtungen nachzukommen; andernfalls werde eine Wegweisung geprüft. X._ trat am 28. August 2006 eine Stelle bei der A._ AG an. Das Migrationsamt verlängerte daraufhin am 16. Oktober 2006 seine Aufenthaltsbewilligung bis am 15. Oktober 2007. Die Ehe mit Y._ wurde am 6. Februar 2007 geschieden und die Tochter unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt. X._ wurde im Oktober 2007 erneut arbeitslos. Seine Aufenthaltsbewilligung wurde letztmals bis zum 15. Oktober 2011 verlängert. Ab 3. März 2011 arbeitete X._ temporär bei der B._ AG; am 31. Mai 2011 wurde der Einsatz auf unbestimmte Zeit verlängert. Die Alimente für die Tochter wurden weiterhin bevorschusst. Am 31. Dezember 2011 betrug der Gesamtaussstand von X._ (Betreibungen und Verlustscheine) Fr. 53'057.80. A.b. Strafrechtlich trat X._ zunächst folgendermassen in Erscheinung: - Strafverfügung des Bezirksamts Arbon vom 14. Januar 2003: Busse von Fr. 1'000.-- wegen grober Verletzung von Verkehrsregeln durch Überschreiten der allgemeinen Höchstgeschwindigkeit innerorts von 50 km/h um 33 km/h; - Strafverfügung des Bezirksamts Arbon vom 20. Januar 2003: Busse von Fr. 300.-- wegen Verursachens eines Verkehrsunfalls mit Sachschaden durch Nichtanpassen der Geschwindigkeit an Strassen- und Verkehrsverhältnisse und Nichtbeherrschen des Fahrzeugs; - Strafverfügung des Bezirksamts Bischofszell vom 4. Juni 2003: Busse von 250.-- wegen Nichtabgabe entzogener Kontrollschilder trotz behördlicher Aufforderung; - Strafverfügung des Bezirksamts Arbon vom 26. Februar 2007: Busse von Fr. 350.-- wegen Überschreitens der allgemeinen Höchstgeschwindigkeit innerorts von 50 km/h um 19 km/h; - Strafverfügung des Bezirksamts Bischofszell vom 14. Juli 2008: Busse von Fr. 560.-- wegen Überschreitens der allgemeinen Höchstgeschwindigkeit innerorts von 50 km/h um 20 km/h; - Strafverfügung des Bezirksamts Arbon vom 29. Juni 2009: Busse von Fr. 500.-- wegen Überschreitens der allgemeinen Höchstgeschwindigkeit innerorts von 50 km/h um 21 km/h; - Strafbefehl des Untersuchungsamts Gossau vom 24. August 2011: Bedingte Geldstrafe von 60 Tagessätzen zu je Fr. 70.-- und Busse von Fr. 3'000.-- wegen Führens eines Motorfahrzeugs in qualifiziert fahrunfähigem Zustand (2.15 o/oo Blutalkoholgehalt). B. B.a. Am 4. Januar 2012 teilte das Migrationsamt X._ mit, es prüfe aufgrund der Schulden, der Alimentenbevorschussung und der strafrechtlichen Verurteilungen ausländerrechtliche Massnahmen, und gewährte ihm das rechtliche Gehör. X._ nahm am 6. Januar 2012 schriftlich Stellung. B.b. Am 20. April 2012 wies das Migrationsamt das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab. Zur Begründung führte es an, X._ komme seinen finanziellen Verpflichtungen offensichtlich nicht nach. Trotz langjährigen Aufenthalts habe er sich sozial und wirtschaftlich nicht integrieren können. Es gebe keine Hinweise, dass X._ zu seiner Tochter noch eine besonders enge Beziehung pflege. Aus den Erfahrungen mit Polizei und Justiz habe er keine Lehren gezogen. B.c. In der Folge wurde X._ noch zwei Mal verurteilt: - Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Bischofszell vom 22. Mai 2012: Busse von Fr. 800.-- wegen Führens eines Personenwagens in angetrunkenem Zustand (0.75 o/oo Blutalkoholgehalt), begangen am 29. April 2012; - Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Bischofszell vom 4. Oktober 2012: Geldstrafe von 60 Tagessätzen zu je Fr. 30.-- (davon 30 Tagessätze vollziehbar und 30 Tagessätze bedingt erlassen bei einer Probezeit von 4 Jahren) wegen Überschreitens der allgemeinen Höchstgeschwindigkeit innerorts von 50 km/h um 36 km/h (grobe Verletzung der Verkehrsregeln, begangen am 4. August 2012); Widerruf der am 24. August 2011 ausgesprochenen Geldstrafe. B.d. Den gegen die Verfügung vom 20. April 2012 erhobenen Rekurs wies das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau (nachfolgend: Justiz- und Sicherheitsdepartement) am 18. Oktober 2012 ab. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau (nachfolgend: Verwaltungsgericht) bestätigte diesen Entscheid auf Beschwerde hin mit Urteil vom 22. Mai 2013. C. X._ erhebt am 4. Juli 2013 Beschwerde beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und festzustellen, dass die Voraussetzungen für den Widerruf bzw. die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung nicht gegeben seien. Von der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung und der Wegweisung sei abzusehen und er sei zu verwarnen; eventuell seien ihm Weisungen in Bezug auf die Sanierung seiner Schulden und seiner beruflichen und sozialen Integration zu erteilen. Das Verwaltungsgericht, das Justiz- und Sicherheitsdepartement, das Migrationsamt und das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde. X._ lässt sich mit Replik vom 30. August 2013 vernehmen. Mit Präsidialverfügung vom 9. Juli 2013 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden. 