Sachverhalt: A. Der 1961 geborene L._ war seit 1991 als Schichtarbeiter bei der Firma X._ AG angestellt und damit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen die Folgen von Unfall und Berufskrankheit versichert. Am 14. März 2001 meldete die Arbeitgeberin der SUVA, der Versicherte leide an einem Ekzem an Händen und Beinen beidseits. Dr. med. O._, Allgemeine Medizin FMH, diagnostizierte im Arztzeugnis UVG vom 10. April 2001 ein Berufsekzem bei Sensibilisierung durch Hexamethylendiamin (HMD) und Metaxylendiamin (MXDA). Entsprechend einer Empfehlung von Dr. med. R._, Dermatologie, Venerologie und Arbeitsmedizin FMH, SUVA-Abteilung Arbeitsmedizin, vom 19. April 2001 anerkannte die SUVA eine Berufskrankheit aufgrund des Listenstoffes Alkylamine. Am 12. Oktober 2001 erliess sie eine Nichteignungsverfügung für Arbeiten mit Kontakt zu Metaxylendiamin. Ab 1. Oktober 2001 war der Versicherte bei der Firma Y._ AG im Bereich Pyrotechnik angestellt. Der Vertrag war befristet und wurde nach Ablauf eines Jahres am 30. September 2002 nicht verlängert. Dr. med. O._ berichtete am 5. Juni 2002 und 8. Januar 2003 über die Entwicklung während dieser Anstellung. Nach Beizug mehrerer Berichte von Dr. med. F._, Dermatologie und Venerologie FMH, sowie Einholung eines Gutachtens des Spitals A._, Dermatologische Klinik, datiert vom 30. Juli 2003, und weiterer Stellungnahmen von Dr. med. R._ anerkannte die SUVA mit Schreiben vom 24. Oktober 2003 ihre Leistungspflicht für erneute volle Arbeitsunfähigkeit ab 1. Januar 2003. In der Folge richtete die Anstalt Taggelder aus und kam für die Heilbehandlung auf. Sie zog Stellungnahmen des Spitals A._ vom 14. September 2004 (Aufenthalt vom 23. August bis 2. September 2004) sowie der Psychiatrischen Klinik Z._ vom 16. August 2005 (über einen in Verbüssung einer Freiheitsstrafe erfolgten stationären Aufenthalt vom 1. November 2004 bis 10. Juni 2005) bei. Ausserdem liess sie durch Dr. med. E._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, Versicherungspsychiatrischer Dienst der SUVA, am 16. September 2005 eine Beurteilung vornehmen. Weil der Versicherte weiterhin an einer entzündlichen Dermatose litt, wobei Dr. med. R._ den Zusammenhang mit dem ursprünglichen Kontaktekzem aufgrund des Verlaufs als zweifelhaft erachtete, gab die SUVA beim Spital C._, Klinik und Poliklinik für Dermatologie und Venerologie, ein Gutachten in Auftrag, welches am 18. Oktober 2005 erstattet wurde. Anschliessend stellte die Anstalt mit Verfügung vom 20. Januar 2006 ihre Leistungen (Taggeld und Heilbehandlung) auf dasselbe Datum hin ein. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 22. Mai 2006 fest. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden ab (Entscheid vom 2. Februar 2007, eröffnet am 9. März 2007). Im Verlauf des Verfahrens liess der Versicherte ein der SWICA Gesundheitsorganisation erstattetes Gutachten der Institut B._ GmbH vom 24. Mai 2006 und eine Stellungnahme von Dr. med. G._ vom 3. April 2006 einreichen. Die SUVA ihrerseits legte eine Beurteilung von Dr. med. R._ vom 6. November 2006 auf. C. L._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erheben mit dem Rechtsbegehren, es seien ihm die gesetzlichen UVG-Leistungen zuzusprechen. Mit der Beschwerdeschrift werden eine Bestätigung von Dr. med. F._ vom 23. April 2007 und ein Schreiben von Dr. med. G._ vom 16. April 2007 eingereicht. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. Mit Schreiben vom 7. Mai 2008 lässt der Beschwerdeführer ein der IV-Stelle des Kantons Graubünden erstattetes Gutachten des ärztlichen Begutachtungsinstituts D._ vom 26. September 2007 einreichen. 