Sachverhalt: A. Der 1955 geborene M._ war als Bäcker/Konditor in der Firma A._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert. Am 13. April 2000 wurde an der Klinik für Rheumatologie und klinische Immunologie/Allergologie des Spitals B._ ein Asthma bronchiale bei Nikotinabusus und Sensibilisierung auf Roggen- und Weizenmehl, 7 Getreidesorten, Alpha-Amylase, sowie grenzwertiger Sensibilisierung auf Vollkorn- und Maismehl, Bäckereistaub und Gluten diagnostiziert. Hierauf erklärte die SUVA den Versicherten mit rechtskräftiger Verfügung vom 29. August 2000 für gesundheitsbedingt nicht geeignet, die Tätigkeit eines Bäcker/Konditors auszuüben. Eine von der Invalidenversicherung (IV) in die Wege geleitete, am 28. Mai 2001 begonnene Umschulung zum polymechanischen Mitarbeiter in der Firma H._ musste im Herbst 2001 wegen gesundheitlichen Beschwerden abgebrochen werden. Nach einer am 29. Juli 2002 von der IV verfügten dreimonatigen Abklärung in der Behindertenwerkstätte konnte M._ dort eine Erwerbstätigkeit als Chauffeur für Kleinlastwagen aufnehmen. Am 2. Juni 2004 sprach die SUVA dem Versicherten für den Zeitraum 1. Januar 2001 bis 31. Dezember 2004 Übergangsentschädigungsleistungen von Fr. 54'819.35 zu. Aufgrund des von M._ am 27. Juli 2004 bei der SUVA gestellten Begehrens um eine UVG-Invalidenrente wurde eine fachärztliche Begutachtung bei Dr. med. E._, Spezialarzt für Innere Medizin und Lungenkrankheiten FMH, veranlasst. Dieser gelangte gemäss Expertise vom 29. Oktober 2004 zum Ergebnis, für Arbeiten in einer lufthygienisch nicht stark belasteten Umgebung bestehe rein aufgrund der Lungenerkrankung bzw. der vorliegenden Lungenfunktion eine normale Arbeitsfähigkeit. Mit Verfügung vom 25. Juli 2005 eröffnete die SUVA M._, die Voraussetzungen für die Gewährung von Rentenleistungen seien nicht erfüllt, weil kein die Erwerbsfähigkeit beeinträchtigender Gesundheitsschaden vorliege. Daran hielt die SUVA auf Einsprache des Versicherten hin fest (Einspracheentscheid vom 14. November 2005). B. Die von M._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 22. Januar 2007 ab. C. M._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde - recte: Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten - führen mit dem Rechtsbegehren, ihm sei ab 1. Januar 2005 eine Invalidenrente bei einem Invaliditätsgrad von 22 % zuzüglich gesetzlichem Verzugszins seit wann rechtens zuzusprechen. Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. 