Sachverhalt: A. Der 1967 geborene K._ arbeitete seit 1. Mai 2005 als Oberkellner bei der Firma R._ AG (nachfolgend Arbeitgeberin). Vom 22. bis 24. November 2007 war er im Spital X._ hospitalisiert, wo er wegen Scaphoidpseudarthrose am linken Handgelenk operiert wurde. Danach war er zu 100 % arbeitsunfähig. Mit Schreiben vom 18. April 2008 kündigte die Arbeitgeberin den Arbeitsvertrag auf den 30. Juni 2008. Am 14. Mai 2008 meldete sich der Versicherte zum Bezug von Arbeitslosenentschädigung ab 1. September 2008 an. Mit Verfügung vom 8. Oktober 2008 stellte ihn die Arbeitslosenkasse Graubünden ab 1. Juli 2008 für 21 Tage wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit in der Anspruchsberechtigung ein. Die dagegen erhobene Einsprache wies das Amt für Industrie, Gewerbe und Arbeit Graubünden (KIGA) mit Entscheid vom 17. Dezember 2008 ab. B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden gut und reduzierte die Einstellung in der Anspruchsberechtigung auf 12 Tage (Entscheid vom 24. April 2009). C. Mit Beschwerde beantragt der Versicherte, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei von der Einstellung in der Anspruchsberechtigung abzusehen; eventuell sei die Sache für weitere Abklärungen und zur neuerlichen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das KIGA und das Staatssekretariat für Wirtschaft verzichten auf eine Vernehmlassung. 