Sachverhalt: A. Das Bezirksgericht Kulm verurteilte X._ am 30. November 2010 wegen versuchten Betrugs (Art. 146 Abs. 1 i.V.m. Art. 22 Abs. 1 StGB) zu einer bedingten Geldstrafe von 60 Tagessätzen zu je Fr. 30.-- und einer Busse von Fr. 500.--. B. Das Obergericht des Kantons Aargau wies die Beschwerde von X._ gegen das Urteil des Bezirksgerichts Kulm am 15. März 2012 ab, soweit darauf einzutreten war. Es hält folgenden Sachverhalt für erwiesen: Die Finanzdirektion des Kantons Zürich stellte X._ im Nachgang zur Erbschaft ihres Onkels Fr. 24'560.-- Erbschaftssteuern in Rechnung. Rechtsanwalt A._ reichte im Auftrag von X._ am 22. April 2005 bei der Finanzdirektion des Kantons Zürich ein Gesuch um Erlass der Erbschaftssteuer ein. Er führte darin aus, X._ habe das geerbte Geld auf Anraten eines Freundes in eine im Jahre 2004 gegründete Transportgesellschaft investiert, was sich als wenig glücklich erwiesen habe, da diese ohne Aussicht auf Besserung rote Zahlen schreibe. Es sei deshalb davon auszugehen, dass ihre Investition wertlos sei (Urteil E. 4.2 S. 11). Mit Schreiben vom 1. Juli 2005 reichte X._ der Finanzdirektion des Kantons Zürich einen auf den 23. März 2004 zurückdatierten Darlehensvertrag zwischen ihr und der B._ AG über Fr. 150'000.-- ein. Der Darlehensvertrag wurde seitens der B._ AG von C._ unterzeichnet (Urteil E. 4.2 und E. 4.3.1 S. 11 f.). In Tat und Wahrheit hatte X._ das geerbte Geld in die im Jahre 2004 gegründete und im Gütertransport tätige D._ AG investiert (Urteil E. 4.3.3 S. 13). Der Darlehensvertrag veranlasste die Finanzdirektion des Kantons Zürich, das Steuererlassgesuch vom 22. April 2005 genau zu prüfen, bevor sie dieses mit Verfügung vom 28. September 2005 abwies (Urteil E. 4.3.1 S. 12 und E. 4.3.4 S. 13). C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, das Urteil vom 15. März 2012 aufzuheben und sie von der Anklage des versuchten Betrugs freizusprechen. Sie ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. D. Die Oberstaatsanwaltschaft und das Obergericht reichten eine Vernehmlassung ein. X._ nahm dazu Stellung. 