Sachverhalt: A. A.a. Der am 15. Mai 1946 geborene D._ ist kosovarischer Staatsangehöriger und wohnt in Kosovo. Am 3. Dezember 2010 ging sein Antrag auf Rückvergütung der AHV-Beiträge bei der Schweizerischen Ausgleichskasse (nachfolgend: SAK) ein. Diese wies ihn mit Schreiben vom 22. Februar 2011 auf die Möglichkeit hin, dass in Zukunft ein neues Sozialversicherungsabkommen zwischen Kosovo und der Schweiz geschlossen werden könnte; in diesem Fall hätte er Anspruch auf eine prognostische Altersrente von Fr. 494.-, wenn er die Rückvergütung nicht verlange, weshalb man ihm Gelegenheit gebe, seinen diesbezüglichen Antrag zurückzuziehen. Daraufhin bestätigte er am 9. März 2011, dass er am Antrag auf Rückvergütung festhalte. Am 22. März 2011 verfügte die SAK die Rückvergütung von Fr. 33'851.05, dieser Betrag wurde mit Valuta 11. April 2011 dem Konto von D._ gutgeschrieben. A.b. Mit vom 15. November 2011 datiertem Schreiben (Eingang bei der SAK: 28. Juli 2011) beantragte D._ die Rückabwicklung der Rückvergütung sowie die Auszahlung einer Altersrente. Zudem erhob er am 5. Dezember 2011 Einsprache gegen die Verfügung vom 22. März 2011. Am 22. Februar 2012 wurde D._ von der SAK aufgefordert, den Betrag von Fr. 33'851.05 vollumfänglich zurückzuerstatten. Nachdem dieser der SAK mit vom 5. Dezember 2011 datiertem Schreiben (Eingang bei der SAK: 28. März 2012) mitgeteilt hatte, dass er die gesamte Summe bereits verbraucht hätte und deshalb nicht zurückerstatten könne, aber sinngemäss einen höheren Betrag forderte, bestätigte die SAK mit Einspracheentscheid vom 17. Juli 2012 ihre Verfügung vom 22. März 2011 mit dem darin festgesetzten Rückvergütungsbetrag von Fr. 33'851.05. Die dagegen erhobene Beschwerde beurteilte das Bundesverwaltungsgericht im Entscheid vom 22. Oktober 2012 dahingehend, dass die Verfügung vom 22. März 2011 in Rechtskraft erwachsen und die SAK deshalb zu Unrecht auf die (verspäteten) Einsprachen vom 15. November und 5. Dezember 2011 eingetreten sei. Deshalb sei der angefochtene Einspracheentscheid vom 17. Juli 2012 insoweit in teilweiser Gutheissung der Beschwerde aufzuheben, als mit ihm die Einsprache abgewiesen worden sei. Da in den Eingaben vom 15. November und 5. Dezember 2011 jedoch auch die Ausrichtung einer Altersrente beantragt worden und im angefochtenen Einspracheentscheid dieser Antrag abgewiesen worden sei, sei dieser insoweit als Verfügung und nicht als Einspracheentscheid zu qualifizieren, weshalb die Beschwerde, soweit sie sich gegen die Abweisung des Rentenanspruchs richte, eine Einsprache darstelle und nicht darauf einzutreten, sondern zur Beurteilung zuständigkeitshalber an die SAK zu überweisen sei. A.c. In Nachachtung dieses Entscheides des Bundesverwaltungsgerichts erliess die SAK den Einspracheentscheid vom 5. Dezember 2012 und wies damit einen Altersrentenanspruch von D._ ab, da das zwischen der Schweiz und dem ehemaligen Jugoslawien abgeschlossene Sozialversicherungsabkommen ab 1. April 2010 im Verhältnis zu Kosovo nicht weiter angewendet werde. B. Das Bundesverwaltungsgericht hiess die dagegen eingereichte Beschwerde gut, hob den Einspracheentscheid der SAK vom 5. Dezember 2012 auf und sprach D._ ab 1. Juni 2011 eine ordentliche Altersrente von monatlich Fr. 570.- zu (Entscheid vom 10. April 2013). C. Die SAK erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 10. April 2013 sei aufzuheben und ihr Einspracheentscheid vom 5. Dezember 2012 zu bestätigen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) stellt Antrag auf Gutheissung der Beschwerde. D._ und das Bundesverwaltungsgericht verzichten auf eine Vernehmlassung. 