Sachverhalt: A. Die 1977 geborene E._ meldete sich im Oktober 2006 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach ihr die IV-Stelle des Kantons Solothurn mit Verfügungen vom 16. August und 12. Oktober 2012 eine Viertelsrente vom 1. Januar 2007 bis 31. März 2009, eine Dreiviertelsrente vom 1. April 2009 bis 31. März 2010 und wiederum eine Viertelsrente ab 1. April 2010 zu. B. Die dagegen erhobenen Beschwerden wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn nach Vereinigung der Verfahren mit Entscheid vom 17. September 2013 ab. C. E._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, unter Aufhebung des Entscheids vom 17. September 2013 sei ihr eine halbe Rente vom 1. Januar 2007 bis 31. März 2009, eine Dreiviertelsrente vom 1. Januar (recte: April) 2009 bis 31. März 2010 und wiederum eine halbe Rente ab 1. April 2010 zuzusprechen. Eventuell sei die Sache zu weiteren Abklärungen und neuer Entscheidung an die Vorinstanz oder die Verwaltung zurückzuweisen. Die IV-Stelle lässt sich nicht vernehmen. Das kantonale Gericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. Mit Eingabe vom 19. Dezember 2013 äussert sich die Versicherte zur Vernehmlassung der Vorinstanz. 