Sachverhalt: A. Das Strafgericht Basel-Stadt verurteilte X._ am 12. September 2008 wegen versuchter vorsätzlicher Tötung und versuchten Mordes seiner Ehefrau zu einer Freiheitsstrafe von 13 Jahren. Es widerrief ausserdem die am 20. Juli 2006 gegen ihn ausgesprochene bedingte Freiheitsstrafe von 18 Monaten und auferlegte ihm Schadenersatz- und Genugtuungszahlungen von rund Fr. 42'000.--. Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt hatte bei den Universitären Psychiatrischen Kliniken Basel (UPK) ein forensisch-psychiatrisches Gutachten über X._ eingeholt. In diesem kam Dr. med. A._ am 26. August 2008 zum Schluss, dass im Tatzeitpunkt keine Verminderung der Einsichtsfähigkeit vorlag (Gutachten 2008, S. 29, pag. 819 der Vorakten). Das ebenfalls von Dr. A._ erstellte Gutachten vom 6. Juli 2006 hielt demgegenüber fest, die durch einen Auto-Selbstunfall vom 26. Juli 2003 erlittenen Schädel-Hirnverletzungen hätten bei X._ zu einem organischen Psychosyndrom geführt. Gemäss Gutachten war für eine allmähliche Verbesserung der Symptomatik eine mehrjährige Therapie notwendig (Gutachten 2006, S. 31, pag. 49 der Vorakten). Im Rahmen der Hauptverhandlung des Strafgerichts Basel-Stadt erläuterte Dr. med. B._, Chefarzt Forensische Psychiatrische Klinik der UPK, als Sachverständiger die beiden Gutachten. B. Die gegen dieses Urteil von X._ erhobene Appellation hiess das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 23. August 2011 teilweise gut und reduzierte die Strafsanktion auf zwölf Jahre Freiheitsstrafe. Im Übrigen bestätigte es das angefochtene Urteil. Insbesondere lehnte es die von X._ gerügte Befangenheit von Dr. B._ und Dr. A._ ab, da das bei Prof. Dr. med. C._ vom Forensisch-Psychiatrischen Dienst (FPD) der Universität Bern eingeholte Ergänzungsgutachten zum Schluss kam, dass Dr. A._ sein Gutachten lege artis erstellt hatte. C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 23. August 2011 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese sei anzuweisen, einen unbefangenen und unabhängigen Gutachter einzusetzen und mit der Begutachtung des Beschwerdeführers zu beauftragen. Ihm sei zudem die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung zu bewilligen. D. Das Appellationsgericht und die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen. Der Beschwerdeführer hat Bemerkungen zu den Vernehmlassungsantworten eingereicht. 