Sachverhalt: A. A.a Der tunesische Staatsangehörige G._ reiste 2005 in die Schweiz ein und stellte ein Asylgesuch, worauf er der Einwohnergemeinde X._ zugeteilt wurde. Am 2. Februar 2007 wurde er als Flüchtling anerkannt. Anfangs 2007 reisten seine älteste Tochter und am 22. August 2007 seine Ehefrau sowie die vier weiteren Kinder in die Schweiz (Gemeinde X._) ein. Am 11. Februar 2008 folgte die Anerkennung seiner Frau und drei seiner fünf Kinder als Flüchtlinge. Die beiden anderen, bereits volljährigen Kinder erhielten den Status als vorläufig aufgenommene Asylsuchende. Per 1. Oktober 2007 bezog die siebenköpfige Familie eine Siebenzimmerwohnung in der Einwohnergemeinde Y._, für welche bei einem monatlichen Mietzins von Fr. 2'010.- vor Mietbeginn eine Kaution von Fr. 4'000.- zu leisten war. Letztere wurde von S._, welche in der Gemeinde X._ für die Betreuung der Asylsuchenden zuständig und mit Z._, Gemeinderatsmitglied von X._, verheiratet ist, vorschussweise sichergestellt. A.b Mit Beschwerde vom 22. Juli 2008 gelangte die Gemeinde Y._ gegen die Gemeinde X._ wegen Verstosses gegen das Abschiebeverbot an das Departement des Innern des Kantons Solothurn (nachfolgend: Kanton oder Beschwerdegegner). Dieser verfügte am 4. Dezember 2008 in teilweiser Gutheissung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten war, unter anderem: "[...] 6.2 Es wird festgestellt, dass die Einwohnergemeinde X._ im Falle von L._, O._, I._, N._, M._ und J._ gegen das Abschiebeverbot verstossen hat. 6.3 Die Einwohnergemeinde X._ wird verpflichtet, der Einwohner- gemeinde Y._ einen Betrag von Fr. 8'625.- zu entrichten. 6.4 Der Betrag von Fr. 8'625.- unterliegt nicht dem Lastenausgleich. 6.5 Im Übrigen wir die Beschwerde abgewiesen. 6.6 Die Verfahrenskosten in der Höhe von Fr. 1'200.- werden der Ein- wohnergemeinde X._ auferlegt. 6.7 Es werden keine Parteientschädigungen ausgerichtet." B. Hiegegen erhoben beide Einwohnergemeinden Beschwerde. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde von der Gemeinde Y._ stellte das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 4. November 2009 unter der Dispositivziff. 2 fest, dass die Gemeinde X._ in Abänderung von Ziff. 6.2 der angefochtenen Verfügung des Kantons vom 4. Dezember 2008 "bei sämtlichen sieben Mitgliedern der Familie G._ [...] gegen das Abschiebeverbot" verstossen habe. Weiter bestätigte das kantonale Gericht unter der Dispositivziff. 3 die Ziff. 6.3-6.7 der angefochtenen Verfügung; im Übrigen wies es die Beschwerden beider Einwohnergemeinden ab, soweit es darauf eintrat (Dispositivziff. 4). Sodann auferlegte es die Gerichtskosten von Fr. 2'000.- je zur Hälfte den beiden Gemeinden (Dispositivziff. 5) und schlug deren Parteikosten wett (Dispositivziff. 6). C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt die Gemeinde X._ beantragen, "es seien die Ziff. 2-6 des Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 4. November 2009 (VWBES.2008.412) aufzuheben, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten des Kantons Solothurn." Während Vorinstanz und Beschwerdegegner auf Abweisung der Beschwerde schliessen, soweit darauf einzutreten sei, beantragt die Gemeinde Y._ Nichteintreten, eventualiter Abweisung der Beschwerde. 