Faits : A. A.a X._ est un joueur de tennis professionnel. L'Association of Tennis Professionals Tour (ATP Tour; ci-après: ATP) est une personne morale sans but lucratif dont les membres sont les joueurs de tennis professionnels masculins et les organisateurs de tournois; son siège est dans l'Etat du Delaware (Etats-Unis d'Amérique). X._ en fait partie depuis 1995 et il est membre du Conseil des joueurs de l'ATP. L'ATP édicte des règles applicables aux joueurs de tennis qui lui sont affiliés (les règles ATP). Ces règles visent, notamment, à lutter contre le dopage. A cet effet, elles prévoient diverses sanctions auxquelles le joueur peut échapper ou qu'il peut voir réduites s'il établit que la présence d'une substance interdite dans son organisme ne résulte pas d'une faute, respectivement d'une faute significative, commise par lui. Les sanctions sont prononcées par le Tribunal antidopage de l'ATP dont la décision peut être déférée au Tribunal Arbitral du Sport (TAS; en anglais: CAS). S'agissant de la sentence rendue par ce dernier, l'art. P.3 de ces règles (édition 2005) énonce ce qui suit: "The decision of CAS shall be final and binding on all parties and no right of appeal will lie from the CAS decision. The CAS decision shall have immediate effect and all parties shall take action to ensure that it is effective." La réglementation antidopage de l'ATP dispose, par ailleurs, qu'elle est soumise, sous tous ses aspects, au droit du Delaware. A.b Le 21 février 2005, alors qu'il participait à un tournoi ATP à Acapulco (Mexique), X._ a fourni un échantillon d'urine. L'analyse de cet échantillon a révélé la présence d'un diurétique figurant sur la liste des substances interdites, ce que l'examen du second échantillon a confirmé. Par une décision du 7 août 2005, le Tribunal antidopage, admettant l'existence d'un cas de dopage, a suspendu le joueur pour deux ans à compter du 11 juin 2005. Il lui a ordonné, en outre, de restituer l'intégralité des gains obtenus lors des tournois auxquels il avait pris part depuis et y compris celui d'Acapulco. B. X._ a appelé de cette décision. Il a fait valoir, à titre principal, qu'il n'avait commis aucune faute. Subsidiairement, l'appelant a soutenu, en résumé, qu'il était contraire au droit du Delaware, de même qu'aux droits européen et américain de la concurrence, de le sanctionner pour avoir absorbé accidentellement un médicament contenant une substance qui avait eu pour effet de diminuer ses capacités sportives. En date du 23 mai 2006, le TAS a rendu sa sentence. Admettant partiellement l'appel, il a constaté l'existence d'une infraction de dopage commise par X._ lors du tournoi d'Acapulco et a confirmé, en conséquence, la décision de première instance dans la mesure où elle annulait les résultats obtenus par le joueur au cours de ce tournoi et lui ordonnait de restituer tout gain encaissé à cette occasion. En revanche, le TAS a réduit de deux ans à quinze mois la mesure de suspension prise à l'encontre de X._ et il a ordonné à l'ATP de restituer au joueur les gains qu'elle pouvait avoir perçus pour le compte de celui-ci lors de compétitions auxquelles il avait participé après le tournoi d'Acapulco. Les arbitres ont accepté la version des faits présentée par l'appelant quant aux circonstances dans lesquelles la substance interdite était entrée dans son corps. Il en appert, en bref, que, le 20 février 2005, X._ s'est rendu chez le médecin du tournoi pour obtenir un médicament contre la grippe. N'en ayant plus en stock, le médecin lui a délivré une ordonnance. Cependant, à la suite d'une erreur commise par un membre du personnel du tournoi, qui avait été chargé d'aller acheter le médicament prescrit à la pharmacie, le joueur n'a pas reçu ce médicament, mais un médicament destiné au coach d'un autre joueur. En droit, le TAS a considéré que l'appelant ne pouvait pas plaider son absence de faute. N'ayant pas reçu directement le médicament des mains du médecin, mais par l'intermédiaire de plusieurs personnes, ce joueur de tennis expérimenté, tête de série et actif au sein du Conseil des joueurs, aurait, en effet, dû l'examiner avant de l'ingérer, afin de s'assurer qu'il s'agissait bien du médicament prescrit par le médecin. Les arbitres se sont ensuite prononcés sur le degré de cette faute. Excluant toute intention du joueur de se doper et soulignant que l'erreur intervenue lors de la remise du médicament ne lui était en rien imputable, ils ont mis en évidence le caractère exceptionnel du cas et ont admis que l'appelant avait démontré n'avoir pas commis de faute ou de négligence significative. Dès lors, la période de suspension pouvait être réduite, selon les règles ATP, jusqu'à la moitié, au maximum, de la période de suspension prévue par celles-ci, qui était de deux ans en l'occurrence. Pour déterminer l'ampleur de la réduction, le TAS a pris en compte la totalité des facteurs favorables et défavorables au joueur, ses propres décisions antérieures en rapport avec des ordonnances médicales, ainsi que l'ensemble des circonstances. Il est arrivé à la conclusion que la réduction maximale de douze mois ne pouvait pas être accordée à l'appelant, si bien qu'il convenait de diminuer de neuf mois la durée de la période de suspension. Les arbitres ont jugé, enfin, que l'équité leur imposait de ne pas prononcer la disqualification du joueur des tournois auxquels il s'était inscrit depuis celui d'Acapulco. C. Le 22 juin 2006, X._ a formé un recours de droit public, au sens de l'art. 85 let. c OJ, aux fins d'obtenir l'annulation de la sentence du TAS. Le recourant se plaint de la violation de son droit d'être entendu et de l'ordre public procédural. Par lettre du 23 août 2006, le TAS a fait savoir qu'il renonçait à se déterminer sur le recours. Le 15 septembre 2006, l'ATP a déposé une réponse, concluant principalement à l'irrecevabilité du recours et, subsidiairement, au rejet de celui-ci. Avec sa réponse, elle a produit des extraits des règles de l'ATP, version 2005, ainsi qu'une pièce datée du 12 mars 2005, établie sur papier à en-tête de l'ATP et signée par X._, lequel y fait la déclaration suivante: "PLAYER'S CONSENT AND AGREEMENT TO ATP OFFICIAL RULEBOOK I, the undersigned player, consent and agree as follows: 1. I consent and agree to comply with and be bound by all of the provisions of the 2005 ATP Official Rulebook ("the ATP Rules"), including, but not limited to, all amendments to the ATP Rules and all the provisions of the Anti-Doping Program incorporated in the ATP Rules. I acknowledge that I have received and had an opportunity to review the ATP Rules. 2. I also consent and agree that any dispute arising out of any decision made by the Anti-Doping Tribunal, or any dispute arising under or in connection with the Anti-Doping Program, after exhaustion of the Anti-Doping Program's Anti-Doping Tribunal process and any other proceedings expressly provided for in the Program, shall be submitted exclusively to the Appeals Arbitration Division of the Court of Arbitration for Sport ("CAS") for final and binding arbitration in accordance with the Code of Sports-Related Arbitration. The decisions of CAS shall be final, non-reviewable, non-appealable and enforceable. I agree that I will not bring any claim, arbitration, lawsuit or litigation in any other court or tribunal. The time limit for any submission to CAS shall be 21 days after the decision of the Anti-Doping Tribunal has been communicated to me. 3. I have read and understand the foregoing Player's Consent and Agreement." Se fondant notamment sur cette pièce, l'intimée a soutenu, dans sa réponse, que X._ avait valablement renoncé à recourir contre la sentence du TAS. Par lettre du 18 septembre 2006, le recourant a requis du Tribunal fédéral qu'il ordonne un second échange d'écritures. L'intimée s'y est opposée dans une lettre du 19 septembre 2006. Le juge chargé de l'instruction de la cause a admis partiellement la requête, par ordonnance du 11 décembre 2006, et fixé un délai au recourant pour qu'il se détermine sur la validité et la portée de la pièce précitée. Le 15 janvier 2007, soit dans le délai imparti, le recourant a déposé ses déterminations écrites, en invitant le Tribunal fédéral à dénier toute portée à la renonciation au recours signée par lui le 12 mars 2005. Par ordonnance du 19 janvier 2007, l'intimée s'est vu accorder la possibilité de dupliquer. Elle en a fait usage, en temps utile, par une écriture du 15 février 2007 dans laquelle elle expose les motifs justifiant, à son avis, d'admettre la validité de la renonciation à recourir souscrite par X._. 