Sachverhalt: A. X._ erwarb aus dem Nachlass ihres verstorbenen Ehemannes bzw. aus Versicherungsleistungen am 30. April 2001 zwei Kassenobligationen (Inhaberpapiere) im Betrag von Fr. 440'000.--, die sie in ihr Wertschriftendepot bei der Bank A._ legen liess. Ihrem Sohn Y._ erteilte sie eine Vollmacht über das Depot. Gestützt auf eine mit ihrem Namenszug gezeichnete Anweisung vom 11. Juni 2001 wurden die beiden Kassenobligationen in ein auf Y._s Namen lautendes Depot bei der gleichen Bank übertragen. Y._ veräusserte alsdann die beiden Obligationen und investierte den Erlös ohne Wissen seiner Mutter in die B._ GmbH. Über diese wurde später der Konkurs eröffnet. B. Mit Eingabe vom 4. Januar 2006 reichte X._ beim Amtsgericht C._ gegen Y._ Klage ein und beantragte, diesen zu verpflichten, ihr den Betrag von Fr. 440'000.-- nebst Zins zu 3,5 % auf Fr. 40'000.-- bzw. 3,25 % auf Fr. 400'000.-- seit 30. April 2001 zu zahlen. Y._ schloss auf Abweisung der Klage. Das Amtsgericht (Abteilung I) und das Obergericht (I. Kammer) des Kantons Luzern wiesen die Klage mit Urteilen vom 12. Oktober 2007 bzw. vom 9. Juni 2008 ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 7. August 2008 verlangt X._, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung an dieses zurückzuweisen; allenfalls sei die Klage durch das Bundesgericht gutzuheissen. Ausserdem ersucht sie darum, ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Durch Präsidialverfügung vom 29. August 2008 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden. Der Beschwerdegegner und das Obergericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. 