Sachverhalt: Sachverhalt: A. Die 1975 geborene B._ absolvierte nach Abschluss der obligatorischen Grundschule und einem Haushaltlehrjahr eine Anlehre als Verkaufshelferin bei der Firma X._ und war in diesem Beruf bis Ende 1997 tätig. Vom 1. Januar 1998 bis 31. Juli 2000 arbeitete sie als Instruktorin bei der Firma Y._ AG und war bei der Personalfürsorgestiftung der Berner Lebensversicherungs-Gesellschaft (nunmehr Sammelstiftung der Allianz Suisse Lebensversicherungs-Gesellschaft; nachfolgend: Sammelstiftung der Allianz) berufsvorsorgerechtlich versichert. Ab 1. August 2000 war sie arbeitslos und bezog bis 7. Mai 2001 Taggelder der Arbeitslosenversicherung, ab August 2000 bei einer Vermittlungsfähigkeit von 100 % und ab Mai 2001 bei einer solchen von 50 %. Am 7. Mai 2001 trat sie eine Stelle als Hilfsverkäuferin in einer Filiale der Firma Z._ an und war bei der Pensionskasse P._ berufsvorsorgerechtlich versichert. Nach Auflösung des Arbeitsverhältnisses per 31. Juli 2002 war sie vom 1. August bis 1. November 2002 als Aushilfsverkäuferin bei der Firma V._ AG in K._ angestellt. B._ leidet seit der Jugendzeit an einem gestörten Essverhalten. Wegen bulimischer Anorexie und rezidivierenden depressiven Störungen hielt sie sich vom 11. August bis 19. Oktober 2000 in der Privatklinik A._ (Zentrum für Psychiatrie und Psychotherapie) auf. Anschliessend stand sie bis 23. Februar 2001 bei der Psychotherapie-Tagesklinik (PTK), und in der Folge bei Frau Dr. med. G._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, in ambulanter Behandlung. Am 5. Dezember 2001 wurde sie wegen einer bulimischen Krise im Spital C._ und anschliessend auf der Medizinischen Abteilung des Inselspitals D._ hospitalisiert. Vom 18. November 2002 bis Mai 2003 hielt sie sich erneut im Inselspital auf. Auf Anmeldung vom 6. Februar 2002 sprach ihr die IV-Stelle Bern mit Wirkung ab 1. Dezember 2002 eine halbe Invalidenrente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 57 % zu (Verfügung vom 20. März 2003). Mit einer weiteren Verfügung vom 14. Februar 2006 sprach sie ab 1. August 2004 eine ganze Rente bei einem Invaliditätsgrad von 89 % zu. B._ leidet seit der Jugendzeit an einem gestörten Essverhalten. Wegen bulimischer Anorexie und rezidivierenden depressiven Störungen hielt sie sich vom 11. August bis 19. Oktober 2000 in der Privatklinik A._ (Zentrum für Psychiatrie und Psychotherapie) auf. Anschliessend stand sie bis 23. Februar 2001 bei der Psychotherapie-Tagesklinik (PTK), und in der Folge bei Frau Dr. med. G._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, in ambulanter Behandlung. Am 5. Dezember 2001 wurde sie wegen einer bulimischen Krise im Spital C._ und anschliessend auf der Medizinischen Abteilung des Inselspitals D._ hospitalisiert. Vom 18. November 2002 bis Mai 2003 hielt sie sich erneut im Inselspital auf. Auf Anmeldung vom 6. Februar 2002 sprach ihr die IV-Stelle Bern mit Wirkung ab 1. Dezember 2002 eine halbe Invalidenrente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 57 % zu (Verfügung vom 20. März 2003). Mit einer weiteren Verfügung vom 14. Februar 2006 sprach sie ab 1. August 2004 eine ganze Rente bei einem Invaliditätsgrad von 89 % zu. B. Am 28. Mai 2003 lehnte die Pensionskasse P._ die von B._ beantragte Zusprechung einer Invalidenleistung der beruflichen Vorsorge mit der Begründung ab, dass die Arbeitsunfähigkeit, welche zur Invalidität geführt habe, bereits vor Beginn des Vorsorgeverhältnisses bei der Pensionskasse P._ bestanden habe. Nachdem auch die Allianz Suisse Lebensversicherungs-Gesellschaft eine Leistungspflicht abgelehnt hatte, weil sie davon ausging, die Arbeitsunfähigkeit sei gemäss IV-Entscheid per 1. Dezember 2001 und damit nach Ende der Versicherungsdauer eingetreten, richtete die Pensionskasse P._ als Vorleistung ab 1. Dezember 2002 eine Invalidenrente von 50 % aus. Am 24. Oktober 2005 forderte sie die Versicherte unter Androhung der Einstellung der Vorleistungen und Rückforderung der ausbezahlten Renten auf, den Leistungsanspruch gegenüber der Allianz gerichtlich geltend zu machen. Mit Eingabe vom 27. Dezember 2005 liess B._ gegen die Sammelstiftung der Allianz und die Pensionskasse P._ "Beschwerde" erheben und beantragen, es sei festzustellen, dass eine Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 % seit August 2000 bestanden habe, und es sei die Sammelstiftung der Allianz zu verpflichten, die versicherten Rentenleistungen zu erbringen. Eventuell sei festzustellen, dass eine Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 % seit 1. Dezember 2001 bestanden habe, und es sei die Pensionskasse P._ zu verpflichten, die Versicherungsleistungen zu erbringen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern nahm die "Beschwerde" als Klage entgegen, zog die IV-Akten bei, führte ergänzende Beweismassnahmen durch und beschränkte das Verfahren auf die Frage der Passivlegitimation der Beklagten (Verfügung vom 24. August 2006). Mit Entscheid vom 16. Oktober 2006 hiess es die Klage insoweit gut, als es die grundsätzliche Leistungspflicht der Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft feststellte und die Klage gegen die Pensionskasse P._ abwies. Am 27. November 2006 korrigierte das kantonale Gericht die Bezeichnung der als leistungspflichtig erklärten Partei ("Sammelstiftung BVG der Allianz Suisse Lebensversicherungs-Gesellschaft") und stellte den Parteien eine berichtigte Fassung des Entscheids zu. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern nahm die "Beschwerde" als Klage entgegen, zog die IV-Akten bei, führte ergänzende Beweismassnahmen durch und beschränkte das Verfahren auf die Frage der Passivlegitimation der Beklagten (Verfügung vom 24. August 2006). Mit Entscheid vom 16. Oktober 2006 hiess es die Klage insoweit gut, als es die grundsätzliche Leistungspflicht der Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft feststellte und die Klage gegen die Pensionskasse P._ abwies. Am 27. November 2006 korrigierte das kantonale Gericht die Bezeichnung der als leistungspflichtig erklärten Partei ("Sammelstiftung BVG der Allianz Suisse Lebensversicherungs-Gesellschaft") und stellte den Parteien eine berichtigte Fassung des Entscheids zu. C. Die Sammelstiftung der Allianz lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und es sei die Klage abzuweisen, soweit sie sich gegen sie richte. Eventuell sei die Sache zur Vornahme ergänzender Abklärungen und neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das kantonale Gericht äussert sich zu einzelnen der mit der Verwaltungsgerichtsbeschwerde erhobenen Einwendungen. B._ lässt sich mit dem Antrag auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde und Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung vernehmen. Die Pensionskasse P._ schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichtet auf Vernehmlassung. 