Faits: A. D'octobre 2001 à décembre 2006, V._ SA (ci-après: V._; devenue en 2007 Y._ SA) a été inscrite au registre du commerce de Genève en tant qu'organe de révision de X._ SA, société, sise à ... (GE), active dans le secteur du mobilier de cuisine et dans le service d'agencement de cuisine dont l'administrateur unique est B._. V._ avait pour administrateur jusqu'au 7 décembre 2006 notamment A._. En sus de son mandat de réviseur de X._ SA, V._ était chargée d'accomplir pour la première des tâches de nature administrative et fiscale (aide pour le bouclement de la comptabilité, la TVA et les déclarations d'impôts). Les honoraires de V._ avaient été fixés forfaitairement à 2'259 fr.60 par trimestre, frais compris, payables quatre fois l'an. Ces honoraires ont été versés jusqu'au premier trimestre 2004. V._ a fourni à X._ SA toutes les prestations convenues jusqu'à la fin de l'année 2005. En 2006, X._ SA s'est séparée de ses employés et n'a plus réalisé de chiffre d'affaires. Elle n'a pas réglé les notes d'honoraires de V._ des 29 juin, 30 septembre et 30 décembre 2004, pas plus que celles des 31 mars, 30 juin, 30 septembre et 31 décembre 2005. Par courriers des 11 et 12 octobre 2006, V._ a résilié avec effet immédiat son mandat de réviseur de X._ SA; le 28 décembre 2006, elle a été radiée du registre du commerce en tant qu'organe de révision de X._ SA. B. Le 6 août 2009, Y._ SA a fait notifier à X._ SA une poursuite avant d'ouvrir une action à son encontre le 4 novembre 2010 devant le Tribunal de première instance de Genève. La demanderesse a requis paiement de sept notes d'honoraires de 2'259 fr.60 avec intérêts à 6% l'an dès leur date d'exigibilité, ainsi que de divers frais. X._ SA s'est opposée à la demande. Elle a fait valoir que les services rendus par la demanderesse depuis le deuxième trimestre 2004 l'avaient été à titre gratuit, compte tenu des relations privilégiées d'affaires et d'amitié qu'entretenaient alors les administrateurs A._ et B._, et que les factures litigieuses, antidatées, avaient été établies pour les besoins de la cause. Par jugement du 14 février 2012, le Tribunal de première instance a admis les conclusions en paiement de la demanderesse relatives aux sept notes d'honoraires de 2'259 fr.60, concernant la période s'étant étendue du deuxième trimestre 2004 à la fin de l'année 2005, mais a rejeté ses conclusions en versement de divers frais. En conséquence, le tribunal a condamné la défenderesse à payer à la demanderesse 15'817 fr.20 (7 x 2'259 fr.60) plus intérêts à 5% l'an dès le 6 août 2009. Saisie d'un appel de la défenderesse, qui requérait sa libération, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève, par arrêt du 14 septembre 2012, a confirmé le jugement entrepris. La cour cantonale a admis que la demanderesse, qui avait fourni en qualité de mandataire des services professionnels à la défenderesse, devait être rémunérée conformément à l'art. 394 al. 3 CO, étant donné que la preuve de la passation d'une convention sur la gratuité du mandat n'avait pas été apportée. C. X._ SA exerce un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral. Elle conclut à l'annulation de l'arrêt du 14 septembre 2012, au renvoi de la cause à la cour cantonale pour complément d'instruction dans le sens des considérants, la demanderesse devant être déboutée « de toutes autres ». L'intimée propose le rejet du recours. Les parties ont répliqué et dupliqué. 