Sachverhalt: A. Die 1990 geborene J._ leidet an einer angeborenen Sehbehinderung im Sinne des Geburtsgebrechens Nr. 427 GgV-Anhang. Die Invalidenversicherung gewährte Sonderschul- sowie medizinische Massnahmen und sprach verschiedene Hilfsmittel zu. J._ durchlief die obligatorische Schulzeit an der Schule X._ für sehgeschädigte Kinder und Jugendliche. Danach absolvierte sie ab August 2006 im Brückenangebot ein kombiniertes Zwischenjahr (Schule/praktische Einsätze). Im August 2007 begann J._ bei der Schulungsstätte Y._ die zweijährige Ausbildung zur Hauswirtschaftspraktikerin. Die Invalidenversicherung trug die Mehrkosten im Rahmen einer beruflichen Massnahme. Im Juni 2009 schloss J._ die Ausbildung erfolgreich mit dem Attest "Hauswirtschaftspraktikerin EBA" ab (Notenausweis vom 18. Juni 2009; Berufsattest vom 12. August 2009). Die Schulungsstätte Y._ erstattete am 30. Juni 2009 ihren Schlussbericht. J._ fand in der Folge keine Festanstellung. Die IV-Stelle Zug prüfte die Rentenfrage. Mit Verfügung vom 19. April 2011 sprach sie der Versicherten rückwirkend ab 1. August 2009 bei einem Invaliditätsgrad von 44 % eine Viertelsrente zu. B. J._ erhob Beschwerde auf Zusprechung einer ganzen Rente; eventuell sei die Sache zur Neuabklärung und -verfügung an die Verwaltung zurückzuweisen. Sie legte im Beschwerdeverfahren den Bericht der Institution Z._ vom 17. Mai 2011 (über ein vom 28. März bis 21. April 2011 absolviertes Schnupperpraktikum GAP [geschützter Arbeitsplatz]) und den am 5. Mai 2011 mit der Institution Z._ geschlossenen Arbeitsvertrag (über eine am 26. April 2011 beginnende Anstellung in deren Wäscherei) auf. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zug gewährte J._ die unentgeltliche Rechtspflege. Mit Entscheid vom 27. Oktober 2011 hiess es die Beschwerde insofern gut, dass es die Verfügung der IV-Stelle vom 19. April 2011 aufhob und feststellte, die Versicherte habe ab 1. August 2009 Anspruch auf eine ganze Invalidenrente und ab 1. November 2009 Anspruch auf eine Dreiviertelsrente. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Verwaltungsverfügung vom 19. April 2011 zu bestätigen. J._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. 