Sachverhalt: A. Die 1978 geborene B._ schloss am 30. Juni 1997 ihre Lehre als Bahnbetriebsangestellte erfolgreich ab und blieb bis 31. Juli 1999 im ehemaligen Lehrbetrieb tätig. Danach nahm sie verschiedene Gelegenheitsjobs an. Am 21. September 2004 meldete sie sich zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung an. Nach Abklärung der gesundheitlichen und erwerblichen Situation verneinte die IV-Stelle des Kantons St. Gallen mit je einer Verfügung vom 2. Dezember 2005 einen Rentenanspruch unter Hinweis auf einen Invaliditätsgrad von 30 % und einen Anspruch auf berufliche Massnahmen. Diese Verwaltungsakte erwuchsen unangefochten in Rechtskraft. Am 10. November 2006 ersuchte B._ die IV-Stelle um "Neubeurteilung" der "Rentensituation" und verwies auf veränderte Umstände nach zwei Arbeitsversuchen, welche sie in eine Überforderung gebracht hätten. Mit Verfügung vom 21. Juni 2007 trat die IV-Stelle auf die neue Anmeldung nicht ein. In Gutheissung der hiergegen geführten Beschwerde der B._ hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen diesen Verwaltungsakt auf und wies die Angelegenheit zur materiellen Behandlung der Neuanmeldung an die IV-Stelle zurück (Entscheid vom 13. Februar 2008). Nach zusätzlichen Abklärungen, insbesondere nach Einholung eines neurologischen und psychiatrischen Gutachtens des Dr. med. A._, Facharzt für Neurologie und Psychiatrie, vom 30. September 2008, und nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens lehnte die IV-Stelle einen Rentenanspruch wiederum ab und gab zur Begründung an, es bestehe weiterhin ein rentenausschliessender Invaliditätsgrad von 30 % (Verfügung vom 6. April 2009). B. In teilweiser Gutheissung der dagegen erhobenen Beschwerde, mit welcher eine halbe Invalidenrente rückwirkend ab 1. November 2006 beantragt wurde, hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen die Verfügung vom 6. April 2009 auf und sprach B._ eine Viertelsrente zu, wobei es die Angelegenheit zur Festsetzung von Rentenbeginn und -höhe an die IV-Stelle zurückwies (Entscheid vom 28. Mai 2010). C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid vom 28. Mai 2010 sei aufzuheben. B._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen, während das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) deren Gutheissung beantragt und ferner darum ersucht, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. 