Faits: A. Le 16 septembre 2005, l'Association "Les Amis de la Passerelle" a requis des Conseils communaux de Saillon et de Leytron une autorisation de construire un parcours d'escalade ("via ferrata") sur des terrains situés sur ces communes, au lieu-dit "Gorges de la Salentze", classés en zone agricole protégée, selon les plans de zone homologués par le Conseil d'Etat du canton du Valais. Par avis paru au Bulletin officiel du canton du Valais du 30 septembre 2005, cette demande d'autorisation de construire a été mise à l'enquête publique. L'avis indiquait un délai d'opposition de dix jours dès la publication, conformément à l'art. 41 al. 1 de la loi cantonale sur les constructions du 8 février 1996 (LC; RS/VS 705.1). B. Le 24 octobre 2005, la Fondation WWF Suisse (ci-après: le WWF Suisse) et l'Association WWF Valais ont formé opposition en invoquant une atteinte à un site bien préservé. Elles estimaient notamment que l'avis mentionnait inexactement un délai d'opposition de dix jours, contrairement à ce que prévoyait la loi fédérale sur la protection de la nature et du paysage du 1er juillet 1966 (LPN; RS 451). Par décision du 20 février 2007, la Commission cantonale des constructions (ci-après: la Commission des constructions), autorité compétente pour autoriser les projets d'installations hors zone à bâtir, a accordé le permis de construire et déclaré l'opposition du 24 octobre 2005 irrecevable puisque tardive. Le 11 juin 2007, un recours contre cette décision a été déposé par le WWF Suisse (en accord avec le WWF Valais) auprès du Conseil d'Etat du canton du Valais qui l'a jugé irrecevable par décision du 10 décembre 2007. Contre cette décision, le WWF Suisse a recouru auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal) en date du 14 janvier 2008. C. Par arrêt du 28 mars 2008, le Tribunal cantonal a rejeté le recours. Il a préalablement considéré que la décision du Conseil d'Etat du canton du Valais, présentée par inadvertance comme une décision d'irrecevabilité, déboutait en réalité le recourant sur le fond. Il a ensuite établi que l'ancien art. 12a al. 1 LPN (en vigueur du 1er janvier 2000 au 30 juin 2007) repris dans l'actuel art. 12b al. 1 LPN (en vigueur depuis le 1er juillet 2007) qui prévoit une durée de mise à l'enquête "en règle générale" de trente jours, est "une règle de droit fédéral qui, tout en préférant un délai d'opposition de l'ordre d'un mois, s'accommode de délais plus courts que les cantons peuvent conserver, en attendant de les allonger s'ils pensent y avoir motif". Le Tribunal cantonal a estimé ne pas être lié par son arrêt du 2 juin 2003, dans lequel il avait retenu que l'art. 12b al. 1 LPN fixait le délai de l'enquête publique à trente jours. D. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, le WWF Suisse demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 28 mars 2008 et de déclarer recevable l'opposition qu'il a déposée le 24 octobre 2005. Il conclut également à ce que la cause soit renvoyée à la Commission des constructions pour qu'elle rende une décision au fond. Il conteste l'interprétation que fait le Tribunal cantonal de la seconde phrase de l'art. 12b LPN. Le Conseil d'Etat du canton du Valais, l'Association "Les Amis de la Passerelle" et la Commune de Saillon se sont déterminés et concluent au rejet du recours. La Municipalité de Leytron se réfère à la position de la Commune de Saillon. E. Par ordonnance du 29 septembre 2008, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif présentée par le recourant. 