Sachverhalt: A. Die 1944 geborene, zuletzt als kaufmännische Angestellte tätig gewesene S._ war als Bezügerin von Arbeitslosenentschädigung bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als sie am 13. September 2003 in einen Verkehrsunfall verwickelt wurde. Vor einem Kreisel fuhr ein Fiat Punto von hinten auf den Mercedes 560 SEL, in welchem sie als Beifahrerin vorne sass, auf. Die Polizei wurde nicht beigezogen. Der wegen auftretender Beschwerden am 16. September 2003 aufgesuchte Hausarzt diagnostizierte eine HWS-Distorsion und bestätigte eine volle Arbeitsunfähigkeit ab dem Unfallzeitpunkt. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Nach Abklärungen zum Unfallhergang und zum medizinischen Sachverhalt eröffnete sie S._ mit Verfügung vom 19. April 2004 die Einstellung der Leistungen auf den 30. April 2004. Zugleich verneinte sie einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch geklagten Beschwerden stünden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang zum versicherten Ereignis. Daran hielt die SUVA auf Einsprache der Versicherten hin fest (Einspracheentscheid vom 30. Juli 2004). B. S._ erhob Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern sistierte das Verfahren bis zum Vorliegen des von der Invalidenversicherung in Auftrag gegebenen MEDAS-Gutachtens. Dieses wurde am 6. Juni 2006 erstattet, wobei die medizinischen Experten auch die ihnen unterbreiteten Fragen zur unfallversicherungsrechtlichen Streitsache beantworteten. Mit Entscheid vom 14. Dezember 2006 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab. C. S._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides sei die Sache an die SUVA zurückzuweisen mit der Auflage, über den 30. April 2004 hinaus Taggeld bei einer Arbeitsunfähigkeit von mindestens 25 % auszurichten sowie Heilbehandlung zu gewähren; eventuell sei eine Invalidenrente entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von mindestens 35 % auszurichten. Die SUVA beantragt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. 