Sachverhalt: A. Der 1972 geborene C._, dipl. Psychiatriepfleger, ist in der Klinik P._ tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 5. November 2001 meldete er dem Versicherer, er habe sich am 24. September 2001 bei der Arbeit an den Bandscheiben im cervicalen Bereich verletzt. Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht und erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Am 17. Dezember 2001 konnte die Arbeit wieder vollumfänglich aufgenommen werden. Die Heilbehandlung wurde Ende Januar 2002 abgeschlossen. Am 9. Mai 2005 liess C._ am 29. April 2005 aufgetretene cervicale Bandscheibenprobleme, welche vom 2. Mai 2005 bis 10. Juli 2005 eine Arbeitsunfähigkeit begründeten, als Rückfall zum Ereignis vom 24. September 2001 melden. Nach Einholung von Arztberichten verneinte die SUVA mit Verfügung vom 26. September 2005 ihre Leistungspflicht für die neu gemeldeten Beschwerden. Daran hielt sie auf Einsprache des Versicherten hin fest. Sie führte dabei neu auch aus, schon das Ereignis vom 24. September 2001 habe bei richtiger Betrachtung keinen Unfall dargestellt. Auf eine Rückforderung der damals demnach zu Unrecht erbrachten Leistungen werde aber verzichtet (Einspracheentscheid vom 31. März 2006). B. Die von C._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 14. Dezember 2006 ab. C. C._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheids sei die SUVA zu verpflichten, ab 29. April 2005 Versicherungsleistungen aus Rückfall zum Ereignis vom 24. September 2001 zu erbringen; eventuell sei die Sache zur Anordnung medizinischer Abklärungen und zum neuen Entscheid über die Leistungsberechtigung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung für das letztinstanzliche Verfahren ersucht. Die SUVA beantragt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. 