Sachverhalt: A. A.a A._ wurde am 24. Januar 2000 als eheliches Kind von Z._ und B._ geboren. Die Eltern trennten sich ein halbes Jahr nach der Geburt und wurden mit Urteil des Gerichtskreises II Biel-Nidau vom 19. September 2006 geschieden. Dabei wurde die elterliche Sorge der Mutter (geboren 1982) zugesprochen; der Vater verzichtete gemäss Scheidungskonvention auf ein Besuchsrecht, währenddem die Mutter keine Unterhaltsansprüche stellte. Seit der Trennung seiner Eltern wuchs A._ bei den Grosseltern mütterlicherseits, X._ und Y._ (geboren 1939 bzw. 1948), auf, die vollumfänglich für seine Pflege und Erziehung sorgen. Das seit mehreren Jahren dauernde Pflegeverhältnis hat nie zu Beanstandungen Anlass gegeben. Die Mutter von A._ wechselte nach der Trennung mehrmals den Wohnort. Im Jahre 2006 unternahm sie einen Selbstmordversuch; in der Folge konnte sie mit Hilfe ihrer Eltern in deren Nähe ziehen und eine Lehre im elterlichen Unternehmen machen. A.b Am 4. Mai 2007 stellten X._ und Y._ bei der Justiz-, Gemeinde- und Kirchendirektion des Kantons Bern (abgekürzt: JGK) das Gesuch um Adoption ihres Enkels A._. Zur Begründung trugen sie vor, dass A._ seit der Trennung seiner Eltern bei ihnen aufgewachsen sei und sie für ihn seither wie ein eigenes Kind gesorgt hätten. Die Eltern von A._ erteilten die Zustimmung zur Adoption. In der Folge (gestützt auf ein Rechtsmittelverfahren) wurde A._ durch eine Fachperson angehört und eine Stellungnahme der weiteren leiblichen Kinder der Gesuchsteller eingeholt. Mit Entscheid vom 16. November 2009 wies die JGK das Adoptionsgesuch ab. B. Gegen den Entscheid der JGK appellierten X._ und Y._. Mit Entscheid vom 8. Februar 2010 wies das Obergericht des Kantons Bern (Appellationshof, 2. Zivilkammer) die Appellation und das Adoptionsgesuch ab. C. X._ und Y._ führen mit Eingabe vom 17. März 2010 Beschwerde in Zivilsachen. Die Beschwerdeführer beantragen dem Bundesgericht, den obergerichtlichen Entscheid aufzuheben und die Adoption ihres Enkels A._ zu bewilligen. Eventuell sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die JGK als verfahrensbeteiligte Behörde schliesst auf Abweisung der Beschwerde in Zivilsachen. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Mutter von A._ als Beschwerdegegnerin unterstützt (in einer unaufgefordert eingereichten Mitteilung) das Adoptionsgesuch ihrer Eltern. Weitere Vernehmlassungen (vom Rechtsvertreter der Mutter des Kindes bzw. Vater des Kindes) sind nicht eingeholt worden. 