Sachverhalt: A. X._ (geb. 1953) ist der Vater des minderjährigen A._ (geb. 1997). Dieser hat von seiner Mutter und von seiner Grossmutter Vermögen geerbt. Für die Verwaltung des Kindesvermögens wurde eine Beistandschaft errichtet. Zum Kindesvermögen gehörte unter anderem ein Einfamilienhaus in B._, das zu einem monatlichen Mietzins von gut Fr. 3'000.-- (zuzüglich Nebenkosten) vermietet wurde. B. Im September 2012 verlangte X._ bei der Vormundschaftsbehörde Bülach, die Kündigung des Mietvertrags für die Liegenschaft in B._ zu genehmigen, damit er mit dem Sohn das Haus beziehen könne. Mit Entscheid vom 22. Oktober 2012 wies die Behörde das Ersuchen ab. C. Gegen diesen Entscheid erhob X._ am 19. November 2012 Beschwerde an den Bezirksrat Bülach. Er bekräftigte, dass der Mietvertrag gekündigt werden solle. Weiter solle die Belastung der Liegenschaft von insgesamt Fr. 400'000.-- durch Kapitalleistungen (Amortisationen) von Vater und Sohn um Fr. 250'000.-- reduziert werden. D. Nachdem X._ einen entsprechenden Antrag gestellt hatte, teilte ihm die Leiterin der Vormundschaftsbehörde am 17. Dezember 2012 mit, dass "die Sozialbehörde Vormundschaft bzw. ab 1. Januar 2013 die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) die Zustimmung zum Erwerb des Hauses an der C._strasse xx, D._ geben wird" und dass dafür ein Betrag von Fr. 150'000.-- aus dem Kindesvermögen bewilligt werden könne. Eine Kopie dieses Schreibens sandte die Leiterin am 8. Januar 2013 an den Bezirksrat. Sie fügte den Hinweis an, damit werde die Beschwerde gegen den Beschluss vom 22. Oktober 2012 gegenstandslos. Mit Entscheid vom 16. Januar 2013 schrieb der Bezirksrat das Beschwerdeverfahren ab. E. X._ erhob gegen diesen Abschreibungsbeschluss Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Er beantragte dessen Aufhebung und die Rückweisung der Angelegenheit an den Bezirksrat zur Erstellung des Sachverhalts. Mit Urteil vom 12. April 2013 hob das Obergericht den Entscheid vom 16. Januar 2013 auf und wies die Sache zur weiteren Behandlung und zu neuem Entscheid an den Bezirksrat zurück. Das Obergericht erhob keine Kosten und sprach keine Parteientschädigungen zu. F. In der Folge wandte sich X._ mit einem Gesuch um Gewährung der unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung an das Bundesgericht. Das Bundesgericht wies das Gesuch am 13. Juni 2013 ab (Urteil 5A_365/2013). G. Am 18. Dezember 2013 fällte der Bezirksrat einen neuen Entscheid mit folgendem Dispositiv: "I. Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen dahingehend gutgeheissen, dass dem Antrag auf Übertragung des Wohn- und Benutzungsrechtes (bzw. dem Antrag, über die sich im Eigentum von A._ befindende Liegenschaft E._weg yyy in B._ verfügen zu können) an X._ und A._ entsprochen wird. II. Es werden keine Kosten erhoben." H. Mit Eingabe vom 20. Februar 2014 führte X._ im eigenen Namen und im Namen seines Sohnes Beschwerde an das Obergericht. Dabei stellte er die folgenden Anträge: "1. Es sei das Urteil im Kosten- und Entschädigungspunkt aufzuheben und an den Bezirksrat Bülach zur gesetzesmässigen Behandlung und Entscheidung im Sinne von Art. 238 ZPO zurückzuweisen. Es sei die Vorinstanz anzuweisen, die am 19. November 2012 erhobene Beschwerde im Kosten- und Entschädigungspunkt den gesetzlichen Normen nach Art. 238 ZPO i.V.m. Art. 95 ZPO zu behandeln und darüber formgültig (und mit Begründung) zu entscheiden. 2. Es sei festzustellen, dass das vorliegende Streitangelegenheit zum Abschluss gebrachte Sachurteil des Bezirksrats Bülach verspätet ergangen ist und damit der völkerrechtliche Anspruch nach Art. 6 Ziff. 1 Konvention zum Schutze der Menschenrechte und Grundfreiheiten [EMRK] (SR 0.101) und Art. 14 Internationaler Pakt über bürgerliche und politische Rechte [IPBPR] auf Erlass eines Entscheides innert angemessener Frist in haftungsbegründender Weise verletzt wurde. Ausserdem sei festzustellen, dass mit der erneuten Ablehnung der Beiordnung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes für das erstinstanzliche Verfahren sowohl Art. 6 Ziff. 1 EMRK sowie Art. 14 und das Diskriminierungsverbot nach Art. 26 IPBPR als auch Art. 12 Übereinkommen über die Rechte des Kindes [UNO-Kindsrechtskonvention] (SR 0.107) in haftungsbegründender Weise verletzt wurde." I. Das Obergericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 17. März 2014 ab. Für das Verfahren des Obergerichts wurden keine Kosten erhoben. Parteienentschädigungen wurden nicht zugesprochen. J. Mit Beschwerde vom 5. Mai 2014 wenden sich X._ (Beschwerdeführer 1) und A._ (Beschwerdeführer 2) an das Bundesgericht. Sie verlangen, das Urteil des Obergerichts vollumfänglich unter Kosten- und Entschädigungsfolgen aufzuheben, und wiederholen in der Sache die vor Obergericht gestellten Anträge (s. Bst. H). Zudem verlangen die Beschwerdeführer, dass ihnen ein unentgeltlicher Rechtsanwalt und, falls ein solcher nicht bewilligt werde, ihnen selbst Einsicht in die Akten gewährt und Gelegenheit gegeben werde, das Dossier zu ergänzen. Schliesslich seien ihnen, falls das Bundesgericht selbst einen Entscheid in der Sache treffen sollte, die Mitwirkungsrechte zu gewähren und ein faires Verfahren im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 14 IPBPR zu gewährleisten. Die Beschwerdeführer stellen ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. Mit Schreiben vom 18. Juni 2014 lud der Instruktionsrichter die Beschwerdeführer ein, Einblick in die Verfahrensakten zu nehmen. Von dieser Möglichkeiten wurde nicht Gebrauch gemacht. 