Sachverhalt: A. Zwischen Y._ und X._ ist vor dem Einzelrichter summarische Zivilsachen des Bezirksgerichts Z._ ein Eheschutzverfahren hängig. In diesem Verfahren ersuchte X._ mit Eingabe vom 12. März 2010 um den Ausstand von Einzelrichter und Bezirksgerichtsvizepräsident lic. iur A._ mit der Begründung, der anwaltliche Vertreter der Klägerin und A._ hätten beide das Gymnasium B._ besucht und an der Uni C._ studiert; heute seien sie beide Altherren der Gymnasialverbindung "D._" sowie der akademischen Verbindung "E._" und träfen sich wöchentlich jeweils donnerstags zu einem privaten Anlass mit mehreren anderen von "E._" mit anschliessendem Umtrunk in einer Bar. In dieser Runde würden auch Fälle besprochen. Der Magistrat lehnte einen freiwilligen Ausstand ab. In seinem Überweisungsschreiben vom 15. März 2010 an das Kantonsgericht Schwyz bestritt er unter Hinweis auf den Altersunterschied (Jahrgang 1953 bzw. 1964), den Rechtsvertreter der Klägerin von der gemeinsamen Gymnasial- bzw. Uni-Zeit her zu kennen, räumte aber ein, dass beide Mitglieder der vorgenannten Altherrenschaften seien und sich wöchentlich mit anderen zu einem "Herrenabend" mit anfänglicher sportlicher Betätigung und anschliessendem Abendessen sowie einem nachfolgenden Schlusstrunk träfen. Angesichts der Zusammensetzung der Runde würden gelegentlich juristische Fragen, nicht jedoch Fälle diskutiert. B. Mit Beschluss vom 24. März 2010 wies Kantonsgericht Schwyz das Ausstandsgesuch ab, soweit darauf einzutreten war. C. X._ hat gegen den ihm am 30. März 2010 zugestellten Beschluss des Kantonsgerichts beim Bundesgericht mit Eingabe vom 6. April 2010 Beschwerde in Zivilsachen bzw. subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhoben. Er rügt im Wesentlichen eine Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK und beantragt, den kantonsgerichtlichen Beschluss aufzuheben und das Ausstandsbegehren gutzuheissen; eventuell sei der angefochtene Beschluss aufzuheben und die Sache zur ergänzenden Sachverhaltsfeststellung, zur Beweisergänzung und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. D. Mit Verfügung vom 13. April 2010 hat die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts dem Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung bzw. um vorsorgliche Massnahmen insoweit entsprochen, als das Eheschutzverfahren für die Dauer des vorliegenden Beschwerdeverfahrens nicht fortgesetzt werden darf. 