Sachverhalt: A. Die SUISA Urheberrechtsverwertungsgesellschaft (im Folgenden: SUISA) verfügte bis Ende 2002 über einen Tarif R über Vergütungen für die Verwendung von Musik in der Fernsehwerbung (Senderechte und Vervielfältigungsrechte). Dieser Tarif verpflichtete die Werbeveranstalter zur Bezahlung eines Prozentsatzes des Einschaltpreises jedes einzelnen Werbespots. Mit Wirkung ab dem 1. Januar 2003 führte die SUISA den neuen "Tarif W Werbesendungen der SRG SSR idée suisse" betreffend die Senderechte ein und unterstellte die Vervielfältigungsrechte dem gleichzeitig angepassten bestehenden "Tarif VN Aufnehmen von Musik auf Tonbild-Träger, die nicht ans Publikum abgegeben werden". Diese Tarife wurden von der Eidgenössischen Schiedskommission für die Verwertung von Urheberrechten und verwandten Schutzrechten (nachfolgend: Schiedskommission) genehmigt. Der neue Tarif W sah eine Urheberrechtsentschädigung von pauschal 2,65 % der jährlichen Einnahmen der Schweizerischen Radio- und Fernsehgesellschaft SRG SSR idée suisse (fortan: SRG) vor. B. B.a In der Folge revidierte die SUISA das Verteilungsreglement. Dabei beschloss sie, unter der Geltung des neuen Tarifs W auch die Verteilung der Entschädigungen an die Berechtigten nicht mehr pro Werbefilm, sondern aufgrund eines einheitlichen Ansatzes pro Sendung (Sendezeit) zu berechnen. Sodann wurde die Verteilungsklasse 1F "Tonträger der Werbesendungen im Fernsehen" mit der Verteilungsklasse 1E "Werbesendungen im Fernsehen" zusammengelegt. Überdies sah das Reglement neu die Zuweisung von 25 % der Einnahmen von der Verteilungsklasse 1E an die Klasse 1C "Fernsehsendungen ohne Werbung" vor, während diese unter dem Tarif R nur 15 % erhalten hatte. Die Reglementsänderung wurde den berechtigten Urhebern nicht persönlich mitgeteilt, sondern lediglich in der Firmenzeitschrift "Suisa Info" kurz erläutert. B.b Mit Verfügung vom 18. August 2003 genehmigte das Eidgenössische Institut für Geistiges Eigentum (nachfolgend: Institut) die Änderung des Verteilungsreglements und deren rückwirkende Inkraftsetzung auf den 1. Januar 2003. B.c Am 14. Juni 2004 stellte die SUISA ihren angeschlossenen Bezugsberechtigten "Abrechnungen über Aufführungen und Sendungen in der Schweiz im Jahr 2003" aus, die erstmals auf dem revidierten Verteilungsreglement beruhten. B.d Am 16. Juli 2004 reichten A._, B._, C._, D._, E._, F._ und G._, die mit der SUISA einen Wahrnehmungsvertrag abgeschlossen hatten, bei der Rekurskommission für geistiges Eigentum (nachfolgend: Rekurskommission) eine als "Verwaltungsbeschwerde (Sprungbeschwerde)" bezeichnete Eingabe ein. Darin beantragten sie insbesondere die Aufhebung der Genehmigungsverfügung des Instituts vom 18. August 2003 (Begehren Ziff. 6 der Beschwerdeschrift). C. C.a Mit Verfügung vom 1. Juni 2006 genehmigte das Institut, rückwirkend auf den 1. Januar 2005, eine weitere Revision des Verteilungsreglements zum Tarif W, die als vorläufige Regelung für eine Übergangszeit von drei Jahren konzipiert war. Danach sind die Entschädigungen für Werbesendungen aufgrund eines festen Betrages pro Sekunde Musik zu verteilen, wobei die Dauer der Werbesendungen bei der Bemessung der Vergütung ab der 61. Sekunde nur noch zu einem Fünftel anzurechnen ist. Gleichzeitig wurde die Zuweisung von 25 % der Einnahmen aus dem Tarif W an die Verteilungsklasse 1C wieder auf 15 % reduziert. C.b Mit Beschwerde vom 3. Oktober 2006 an die Rekurskommission fochten die gleichen sieben Bezugsberechtigten auch diese zweite Revision des Verteilungsreglements an und beantragten insbesondere die Aufhebung der Genehmigungsverfügung. D. D.a Am 15. November 2006 überwies die Rekurskommission die beiden hängigen Beschwerdeverfahren per 1. Januar 2007 dem Bundesverwaltungsgericht, das an jenem Tag die Arbeit aufnahm und dabei unter anderem an die Stelle der fraglichen Rekurskommission trat. Noch vorher, am 5. Dezember 2006, hatte die Rekurskommission die beiden Verfahren vereinigt. D.b Mit Urteil vom 23. Juli 2007 hiess das Bundesverwaltungsgericht die beiden Beschwerden jeweils teilweise gut, hob die Genehmigungsverfügungen des Instituts vom 18. August 2003 sowie 1. Juni 2006 auf und wies die Anträge der SUISA ab, die Änderungen ihres Verteilungsreglements zu genehmigen (Ziff. 1 des Urteilsdispositivs). Im Übrigen trat das Bundesverwaltungsgericht auf die Beschwerden nicht ein. E. E.a Mit Beschwerde vom 14. September 2007 an das Bundesgericht gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 23. Juli 2007 stellt die SUISA die folgenden Anträge: "1. Die Beschwerde sei als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ..., eventualiter als solche in zivilrechtlichen Angelegenheiten ... zu behandeln. 2. Ziffer 1 des Dispositivs des angefochtenen Urteils sei aufzuheben und auf das Beschwerdebegehren Ziffer 6 der Beschwerdegegner 1-7 vom 16. Juli 2004 sowie auf die Beschwerde der Beschwerdegegner 1-7 vom 3. Oktober 2006 sei nicht einzutreten. 3. Eventualiter sei Ziffer 1 des Dispositivs des angefochtenen Urteils aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen mit der Anordnung, der Beschwerdeführerin eine neue Frist zur materiellen Stellungnahme anzusetzen. 4. Subeventualiter sei Ziffer 1 des Dispositivs des angefochtenen Urteils aufzuheben, das Beschwerdebegehren Ziffer 6 der Beschwerdegegner 1-7 vom 16. Juli 2004 sowie die Beschwerde der Beschwerdegegner 1-7 vom 3. Oktober 2006 seien abzuweisen und die Genehmigungsverfügungen des Eidgenössischen Instituts für geistiges Eigentum vom 18. August 2003 und 1. Juni 2006 seien zu bestätigen. 5. Der vorliegenden Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen." Zur Begründung führt die SUISA im Wesentlichen aus, die teilweise Gutheissung der Beschwerden verstosse sowohl in prozessualer als auch in materiellrechtlicher Hinsicht gegen Bundesrecht. E.b Mit Vernehmlassungen vom 7. Januar und 18. Februar 2008 beantragen A._, B._, C._, D._, E._, F._ und G._ in der Sache, auf die Beschwerde nicht einzutreten bzw. diese eventuell vollumfänglich abzuweisen, soweit sie nicht schon gegenstandslos geworden sei. Ausserdem wird für E._ ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gestellt. Das Eidgenössische Institut für geistiges Eigentum hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Bundesverwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. F. Am 6. November 2007 traf der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts die folgende verfahrensleitende Verfügung: "1. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung wird insoweit teilweise gutgeheissen, als die Beschwerdeführerin nicht verpflichtet ist, dem Eidgenössischen Institut für geistiges Eigentum während der Dauer des bundesgerichtlichen Verfahrens ein neues Verteilungsreglement zur Genehmigung zu unterbreiten, bereits geleistete Zahlungen zurückzufordern oder Nachzahlungen vorzunehmen. 2. Im Übrigen wird das Gesuch abgewiesen und die Beschwerdeführerin im Sinne einer präzisierenden vorsorglichen Massnahme angewiesen, während der ganzen Dauer des bundesgerichtlichen Verfahrens bloss 15 % der Einnahmen aus dem Tarif W in die Verteilungsklasse 1C umzuleiten und die übrigen Erträge aus dem Tarif W entsprechend den Vorgaben des angefochtenen Urteils proportional zu den Ausstrahlungserträgen abzurechnen und zu verteilen." 