Sachverhalt: A. Die 1962 geborene B._ war mit einem Pensum von 65 % als Sozialpädagogin an der Schule Z._ tätig, als sie am 7. Juni 2002 als Fahrradfahrerin von einem Auto angefahren wurde und stürzte. Sie bezog für die Folgen des Unfallereignisses bis 31. Juli 2006 Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung (UV). Ein zusätzlicher Leistungsanspruch aus der UV wurde mit rechtskräftigem Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 24. Januar 2013 verneint. Im November 2003 hatte sich B._ auch bei der Invalidenversicherung (IV) zum Leistungsbezug angemeldet. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen zog nebst weiteren Abklärungen die Akten des Unfallversicherers, worunter das - auch Zusatzfragen der IV-Stelle beantwortende - Gutachten der medizinischen Abklärungsstelle X._ vom 24. Dezember 2010 bei. Mit Verfügung vom 12. Juli 2012 verneinte sie einen Anspruch auf eine Invalidenrente der IV mit der Begründung, der Invaliditätsgrad betrage lediglich 20 %. B. B._ erhob gegen die Verfügung vom 12. Juli 2012 Beschwerde auf Zusprechung einer ganzen Invalidenrente. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen gewährte ihr die unentgeltliche Rechtspflege und führte am 12. Juni 2013 eine Verhandlung im Sinne einer mündlichen Anhörung der Versicherten durch. Am gleichen Tag hiess es die Beschwerde in dem Sinne gut, dass es die Verfügung vom 12. Juli 2012 aufhob, B._ bei einem Invaliditätsgrad von 56 % eine halbe Rente zusprach und die Sache zur Festlegung des Rentenbeginns sowie zur Rentenberechnung und zur anschliessenden neuen Verfügung an die Verwaltung zurückwies. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, es sei der kantonale Entscheid vom 12. Juni 2013 aufzuheben und die Verwaltungsverfügung vom 12. Juli 2012 zu bestätigen. Weiter wird darum ersucht, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. B._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen und um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ersuchen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Das Bundesgericht hat das Protokoll der Anhörung vom 12. Juni 2012 beigezogen. 