Sachverhalt: A. X._ (nachfolgend: Vater) und Y._ (nachfolgend: Mutter) sind die nicht verheirateten Eltern des am 26. November 2000 geborenen Sohnes Z._, den der Vater bereits am 3. August 2000 im Sinne von Art. 260 ZGB vor dem Zivilstandsbeamten anerkannt hatte. Am 15. Januar 2001 unterzeichneten die in einem gemeinsamen Haushalt wohnenden Eltern eine Vereinbarung betreffend gemeinsame elterliche Sorge, in der sie überdies den gemeinsamen Unterhalt und die Betreuung des Sohnes regelten. Mit Beschluss vom 15. Februar 2001 übertrug die Vormundschaftsbehörde der Stadt Zürich gestützt auf Art. 298a Abs. 1 ZGB den nicht verheirateten Eltern die gemeinsame elterliche Sorge über den Sohn und genehmigte ihre Vereinbarung über die Anteile an der Betreuung des Kindes und die Verteilung der Unterhaltskosten. B. Im Verlaufe des Jahres 2002 zog der Vater wegen Beziehungsschwierigkeiten aus dem gemeinsamen Haushalt der Parteien aus, worauf die Mutter am 6. August 2004 den Bezirksrat Zürich als untere vormundschaftliche Aufsichtsbehörde darum ersuchte, ihr das alleinige Sorgerecht zu übertragen. Im nachfolgenden Verfahren stellte die Vormundschaftsbehörde entsprechend Antrag. Nachdem überdies die Parteien angehört worden waren, beschloss der Bezirksrat, die gemeinsame elterliche Sorge aufzuheben und die alleinige Sorge über den Sohn der Mutter zu übertragen. Die Parteien wurden sodann eingeladen, binnen 30 Tagen eine Vereinbarung über den Unterhalt des Kindes und das Besuchsrecht des Vaters einzureichen (Beschluss vom 25. August 2005). Den dagegen erhobenen Rekurs des Vaters wies das Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, mit Beschluss vom 15. Dezember 2005 ab und bestätigte den bezirksrätlichen Beschluss. Die Parteien wurden darauf hingewiesen, die 30tägige Frist zur Einreichung der Vereinbarung betreffend Elternrechte laufe ungeachtet der Gerichtsferien ab Mitteilung des Beschlusses. C. Gegen den obergerichtlichen Beschluss hat der Vater sowohl eidgenössische Berufung beim Bundesgericht als auch kantonale Nichtigkeitsbeschwerde beim Kassationsgericht des Kantons Zürich erhoben. Mit eidgenössischer Berufung beantragt er sinngemäss, den angefochtenen Beschluss aufzuheben und die elterliche Sorge beiden Eltern gemeinsam zu übertragen. Das Obergericht hat auf Gegenbemerkung verzichtet. Es ist keine Berufungsantwort eingeholt worden. D. Mit Zirkular-Erledigungsbeschluss vom 28. April 2006 ist das Kassationsgericht des Kantons Zürich auf die Nichtigkeitsbeschwerde nicht eingetreten. 