Sachverhalt: Sachverhalt: A. Im Eheschutzverfahren zwischen Z._ (Ehefrau) und Y._ (Ehemann) stellte der Amtsgerichtspräsident des Richteramtes Solothurn-Lebern mit Urteil vom 14. Mai 2003 die drei Kinder der Parteien unter die Obhut des Vaters und verpflichtete die Mutter, für die Kinder einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von je Fr. 200.-- zu leisten. A. Im Eheschutzverfahren zwischen Z._ (Ehefrau) und Y._ (Ehemann) stellte der Amtsgerichtspräsident des Richteramtes Solothurn-Lebern mit Urteil vom 14. Mai 2003 die drei Kinder der Parteien unter die Obhut des Vaters und verpflichtete die Mutter, für die Kinder einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von je Fr. 200.-- zu leisten. B. Dagegen erhob Y._ Rekurs beim Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, welchen dieses mit Urteil vom 12. September 2003 unter anderem in Bezug auf die Kinderalimente teilweise guthiess. Es legte die von Z._ zu leistenden monatlichen Unterhaltsbeiträge wie folgt fest: Von 1. Mai 2002 bis 31. Dezember 2002 Fr. 350.-- je Kind; ab 1. Januar 2003 Fr. 460.-- je Kind. B. Dagegen erhob Y._ Rekurs beim Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, welchen dieses mit Urteil vom 12. September 2003 unter anderem in Bezug auf die Kinderalimente teilweise guthiess. Es legte die von Z._ zu leistenden monatlichen Unterhaltsbeiträge wie folgt fest: Von 1. Mai 2002 bis 31. Dezember 2002 Fr. 350.-- je Kind; ab 1. Januar 2003 Fr. 460.-- je Kind. C. Z._ erhebt staatsrechtliche Beschwerde mit dem Rechtsbegehren, das obergerichtliche Urteil vom 12. September 2003 sei aufzuheben. Zudem stellt sie ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Y._ beantragt in seiner Vernehmlassung die Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Weiter stellt er ebenfalls ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Das Obergericht schliesst in seiner Stellungnahme auf Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde. 