Faits: A. Par jugement du 25 janvier 2010, le Tribunal de police du canton de Genève a acquitté X._ des chefs d'accusation de gestion déloyale et d'abus de confiance. Il a considéré que la plupart des infractions de gestion déloyale aggravée étaient prescrites et, pour le surplus, que le dommage n'avait pas pu être établi, la partie civile se fondant sur des comptabilités " reconstituées " pour les exercices 2001 et 2002. B. B.a. Par arrêt du 14 novembre 2011, la Chambre pénale de la Cour de justice genevoise a admis l'appel formé par l'association Y._ et annulé le jugement de première instance. Statuant à nouveau, elle a reconnu X._ coupable de gestion déloyale aggravée (art. 158 ch. 1 al. 3 CP) et d'abus de confiance (art. 138 ch. 1 al. 2 CP). Elle l'a condamné à une peine pécuniaire de nonante jours-amende, le montant du jour-amende étant fixé à 60 fr., et a suspendu l'exécution de cette peine pendant une durée de deux ans. Sur le plan civil, elle a constaté que les prétentions en dommages-intérêts formulées par l'association Y._ étaient fondées dans leur principe et l'a renvoyée à agir devant la juridiction civile. Dans un arrêt du 9 octobre 2012 (6B_830/2011), la Cour de droit pénal du Tribunal fédéral a admis partiellement le recours de X._ et renvoyé la cause à l'autorité cantonale pour nouveau jugement. Elle a considéré que X._ ne pouvait être qualifié de gérant au sens de l'art. 158 CP, de sorte que les éléments constitutifs de l'infraction de gestion déloyale n'étaient pas réalisés. En revanche, la condamnation pour abus de confiance n'a pas été remise en cause. B.b. Dans un arrêt du 28 juin 2013, la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice genevoise a acquitté X._ du chef d'accusation de gestion déloyale aggravée et confirmé pour le surplus la condamnation pour abus de confiance. Elle a réduit en conséquence la peine pécuniaire à 40 jours-amende, maintenant le montant du jours-amende à 60 fr. et le sursis pendant deux ans. Elle a condamné X._ au paiement d'un cinquième des frais de la procédure de première instance et d'appel, dont le montant total est de 5'580 fr., et au paiement d'un cinquième des dépens de Y._, dont le montant total est de 87'500 fr. 60. C. Contre ce dernier arrêt, X._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Il conclut à la réforme du jugement attaqué en ce sens qu'il est condamné au plus au paiement d'un dix-septième des frais de procédure et des dépens de Y._; il conclut, subsidiairement, à ce que l'intégralité des frais de la procédure de première instance et d'appel soit laissée à la charge de l'Etat et à ce que les dépens soient compensés. Invités à se déterminer, la cour cantonale et le Ministère public ont renoncé à formuler des observations. L'intimée a déposé une réponse, avec différentes conclusions, qui a été communiquée au recourant avec la possibilité de prendre position. 