Sachverhalt: A. Die 1963 geborene E._ war als Sekretärin der Firma X._ bei der Alpina Versicherungen gegen die Folgen von Unfällen versichert, als sie am 9. Oktober 1997 einen Verkehrsunfall erlitt. Die Alpina Versicherungen anerkannte ihre Leistungspflicht für die Folgen dieses Ereignisses und erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Mit Verfügung vom 10. Januar 2007 und Einspracheentscheid vom 21. August 2007 stellte die Zürich Versicherungs-Gesellschaft (nachstehend: die Zürich) als Rechtsnachfolgerin der Alpina Versicherungen die Leistungen per 1. Oktober 2006 ein, da die über dieses Datum hinaus geklagten Beschwerden nicht natürlich und adäquat kausal auf das Unfallereignis vom 9. Oktober 1997 zurückzuführen seien. B. Die von E._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 26. März 2009 ab. Eine öffentliche Gerichtsverhandlung wurde trotz rechtzeitig gestelltem Antrag nicht durchgeführt. C. Mit Beschwerde beantragt E._, die Zürich sei unter Aufhebung des Einsprache- und des kantonalen Gerichtsentscheides zu verpflichten, ihre Leistungen auch über den 1. Oktober 2006 hinaus zu erbringen; eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zur Durchführung einer EMRK-konformen öffentlichen Gerichtsverhandlung zurückzuweisen. Während die Zürich auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung. 