Sachverhalt: Sachverhalt: A. Die Sammlung des Museums der Kulturen (vormals Museum für Natur- und Völkerkunde) an der Augustinergasse 2 in Basel befindet sich zum einen Teil im so genannten "Berri-Bau", der 1824 vom Architekten Melchior Berri gebaut wurde, zum anderen im angrenzenden "Anbau Vischer". Dieser Annex wurde 1915-1917 durch das Architekturbüro Vischer und Söhne als Erweiterungsbau des an der Augustinergasse 2 bestehenden Museums erstellt. Umstritten ist, ob nur der "Berri-Bau" oder auch der "Anbau Vischer" denkmalgeschützt ist. Beide liegen in der Stadtbild-Schutzzone. Am 3. Oktober 2003 reichte die Stiftung zur Förderung des Museums der Kulturen Basel ein Baugesuch um Erweiterung und Aufstockung des Museums ein: Das Dach des "Anbaus Vischer" soll abgerissen und durch einen neuen Dachaufbau ersetzt werden. Dort soll ein Ausstellungsraum entstehen. Der Rest des "Anbaus Vischer" soll ebenfalls umgebaut und erneuert werden. Insbesondere ist geplant, den Verputz abzuschlagen, um das darunterliegende Backstein-Mauerwerk zum Vorschein zu bringen. Anschliessend soll die Fassade mit hängenden und kletternden Pflanzen begrünt werden. Weiter ist eine Verlegung des Museumseingangs vom "Berri-Bau" an der Augustinergasse 2 in den Sockel des "Anbaus Vischer" im Schürhof geplant. Damit würde der Zugang neu vom Münsterplatz her erfolgen. Am 3. Oktober 2003 reichte die Stiftung zur Förderung des Museums der Kulturen Basel ein Baugesuch um Erweiterung und Aufstockung des Museums ein: Das Dach des "Anbaus Vischer" soll abgerissen und durch einen neuen Dachaufbau ersetzt werden. Dort soll ein Ausstellungsraum entstehen. Der Rest des "Anbaus Vischer" soll ebenfalls umgebaut und erneuert werden. Insbesondere ist geplant, den Verputz abzuschlagen, um das darunterliegende Backstein-Mauerwerk zum Vorschein zu bringen. Anschliessend soll die Fassade mit hängenden und kletternden Pflanzen begrünt werden. Weiter ist eine Verlegung des Museumseingangs vom "Berri-Bau" an der Augustinergasse 2 in den Sockel des "Anbaus Vischer" im Schürhof geplant. Damit würde der Zugang neu vom Münsterplatz her erfolgen. B. Mit Entscheid vom 25. Juni 2004 erteilte das Bauinspektorat unter verschiedenen Auflagen eine Ausnahmebewilligung für das Baubegehren und wies die dagegen erhobenen Einsprachen mit Verfügungen vom 9. Juli 2004 ab. Der Heimatschutz Basel und die Freiwillige Basler Denkmalpflege erhoben dagegen erfolglos Rekurs bei der Baurekurskommission. Gegen deren abweisenden Entscheid vom 27. Oktober 2004 gelangten die beiden Rekurrenten an das Appellationsgericht als Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt. Sie verlangten die Aufhebung des angefochtenen Entscheids, eventualiter die Rückweisung des Baubegehrens an die Baurekurskommission. Das Appellationsgericht führte am 21. Dezember 2005 einen Augenschein mit anschliessender Gerichtsverhandlung durch. Gleichentags wies das Appellationsgericht den Rekurs ab. Das Appellationsgericht führte am 21. Dezember 2005 einen Augenschein mit anschliessender Gerichtsverhandlung durch. Gleichentags wies das Appellationsgericht den Rekurs ab. C. Mit Eingabe vom 20. Juni 2006 erheben der Heimatschutz Basel und die Freiwillige Basler Denkmalpflege staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht. Sie beantragen die Aufhebung des Appellationsgerichtsurteils vom 21. Dezember 2005. Das Appellationsgericht sei anzuweisen, das Baubegehren BGG-Z 9'004'896 im Sinne der Erwägungen abzuweisen, eventualiter im Sinne der Erwägungen neu zu beurteilen. Gleichzeitig ersuchen sie um Gewährung der aufschiebenden Wirkung. Das Bauinspektorat des Kantons Basel-Stadt beantragt, die Beschwerde sei vollumfänglich abzuweisen, während das Appellationsgericht als Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt auf Abweisung der Beschwerde schliesst, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Stiftung zur Förderung des Museums der Kulturen Basel ersucht ebenfalls um Abweisung der Beschwerde. Mit Verfügung vom 20. Juli 2006 hat der Präsident der I. Öffentlichrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch um aufschiebende Wirkung teilweise gutgeheissen und diese für die Projektbereiche - Abbruch und Neugestaltung des Daches, - teilweise Absenkung des Innenhofes mit Einbau eines neuen Eingangs und - Umgestaltung der Fassade (Schliessen von alten Fenstern sowie Einbau von neuen Fenstern, Anbringen eines Pflanzenvorhangs an der Stirnwand) zuerkannt. 