Sachverhalt: A. D._ wurde am 23. Juni 2005 im Universitätsspital Basel infolge eines Schlaganfalls an der rechten Halsschlagader operiert. Die Operation erfolgte mit Hilfe eines sogenannten Elektrokauters. Im Verlauf der Operation kam es zu einer plötzlichen Brandentwicklung, wobei sich die sterilen Abdecktücher, mit welchen der Patient bedeckt war, entzündeten. Nach der Brandlöschung konnte die Operation beendet werden. Das abgestorbene Gewebe wurde einige Tage später operativ entfernt. Am 24. September 2005 liess D._ gegen Prof. Dr. C._, Leitender Arzt Gefässchirurgie am Universitätsspital Basel, eventuell gegen Unbekannt, Strafanzeige erheben. Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt erteilte in der Folge dem Institut für Rechtsmedizin (IRM) der Universität Basel einen Gutachtensauftrag. Geklärt werden sollten insbesondere Fragen zur Art und Schwere der Verletzung. D._ äusserte mit Eingabe vom 13. August 2006 Bedenken darüber, dass mit der Begutachtung das IRM der Universität Basel beauftragt worden war, zumal er und seine Ehefrau zivilrechtliche Ansprüche gegen den Kanton Basel-Stadt geltend machen würden. Die Staatsanwaltschaft teilte D._ jedoch mit, die Bedenken seien unbegründet. Nach Zustellung des vom 16. Oktober 2006 datierenden Gutachtens kritisierte D._, es mangle an zentralen Informationen. Am 16. Oktober 2008 gab die Staatsanwaltschaft dem IRM der Universität Basel ein ergänzendes Gutachten in Auftrag, das die Brandursache klären und diverse weitere offene Fragen beantworten sollte. Dieses Ergänzungsgutachten vom 27. Januar 2009 (fälschlich datiert mit 27. Januar 2008) wurde von Dr. E._ erstellt. Sie gelangte zum Schluss, dass sich die genaue Brandursache aufgrund der vorhandenen Akten nicht klären lasse. Es gebe keine Hinweise auf die Nichteinhaltung der Regeln der ärztlichen Kunst. Mit Beschluss vom 30. Oktober 2009 stellte die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt das Strafverfahren gegen Prof. Dr. C._ wegen vorsätzlicher einfacher Körperverletzung, fahrlässiger einfacher, eventuell schwerer Körperverletzung mangels hinreichenden Beweises des Tatbestands ein. Gegen diesen Einstellungsbeschluss erhoben die Witwe und der Sohn des zu Beginn des Jahres 2009 verstorbenen D._, A._ und B._, Rekurs. Mit Entscheid vom 5. Dezember 2010 wies die Rekurskammer des Strafgerichts Basel-Stadt das Rechtsmittel ab. B. Mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht vom 13. April 2011 beantragen A._ und B._, der Entscheid des Strafgerichts Basel-Stadt sei aufzuheben und die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt sei anzuweisen, gegen den Beschuldigten Anklage zu erheben. Eventuell sei die Sache an die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt zur ergänzenden Abklärung zurückzuweisen. Eventuell sei zudem die Weisung zu erteilen, die eingestellte Strafsache gemäss Art. 102 StGB zur Anklage zu bringen. Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt schliesst in ihrer Vernehmlassung auf Abweisung der Beschwerde. Das Strafgericht Basel-Stadt und der Beschwerdegegner beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Beschwerdeführer halten in ihrer Stellungnahme dazu im Wesentlichen an ihren Anträgen und Rechtsauffassungen fest. In der Folge liess sich der Beschwerdegegner erneut vernehmen. Er weist insbesondere darauf hin, dass das Universitätsspital organisatorisch nicht der Universität angehöre. 