Sachverhalt: Sachverhalt: A. Die Ehe von Rechtsanwalt A._ und B._ wurde am 26. April 1999 gerichtlich getrennt. Am 8. November 2001 hiess das zuständige Bezirksgericht eine Klage von A._ gut, mit welcher er die Vaterschaftsvermutung betreffend den ehelichen Sohn C._ (geb. 2001) anfocht. In beiden Verfahren wurde B._ durch Rechtsanwalt Dr. E._ vertreten. Dieser nahm gleichzeitig für D._, den leiblichen Vater von C._, zu einer von A._ gestellten Genugtuungsforderung Stellung; Letzterer sah sich durch die Beziehung von D._ mit seiner Ehefrau in der Persönlichkeit verletzt. A. Die Ehe von Rechtsanwalt A._ und B._ wurde am 26. April 1999 gerichtlich getrennt. Am 8. November 2001 hiess das zuständige Bezirksgericht eine Klage von A._ gut, mit welcher er die Vaterschaftsvermutung betreffend den ehelichen Sohn C._ (geb. 2001) anfocht. In beiden Verfahren wurde B._ durch Rechtsanwalt Dr. E._ vertreten. Dieser nahm gleichzeitig für D._, den leiblichen Vater von C._, zu einer von A._ gestellten Genugtuungsforderung Stellung; Letzterer sah sich durch die Beziehung von D._ mit seiner Ehefrau in der Persönlichkeit verletzt. B. Am 14. Dezember 2001 gelangte A._ an die Aufsichtskommission über die Rechtsanwälte im Kanton Zürich und erstattete Anzeige gegen E._ wegen unzulässiger "Doppelvertretung". Die Aufsichtskommission eröffnete ein Disziplinarverfahren betreffend "Geschäftsführung und Interessenwahrung" (§ 7 Abs. 1 und § 8 Abs. 1 des Zürcher Gesetzes vom 3. Juli 1938 über den Anwaltsberuf [AnwG]). Mit Beschluss vom 7. November 2002 hielt sie fest, dass kein Disziplinarfehler vorliege, und stellte das Verfahren gegen E._ ein. Sie auferlegte die Verfahrenskosten von 1'774 Franken A._ und verpflichtete diesen, E._ eine Parteientschädigung von 1'500 Franken zu bezahlen. Sie begründete ihren Kostenentscheid damit, dass der Erstere seiner Sorgfalts- und Abklärungspflicht als Anzeiger nicht nachgekommen sei; er sei selbst Rechtsanwalt und hätte deshalb erkennen können, dass seine Vorwürfe gegen E._ haltlos seien. B. Am 14. Dezember 2001 gelangte A._ an die Aufsichtskommission über die Rechtsanwälte im Kanton Zürich und erstattete Anzeige gegen E._ wegen unzulässiger "Doppelvertretung". Die Aufsichtskommission eröffnete ein Disziplinarverfahren betreffend "Geschäftsführung und Interessenwahrung" (§ 7 Abs. 1 und § 8 Abs. 1 des Zürcher Gesetzes vom 3. Juli 1938 über den Anwaltsberuf [AnwG]). Mit Beschluss vom 7. November 2002 hielt sie fest, dass kein Disziplinarfehler vorliege, und stellte das Verfahren gegen E._ ein. Sie auferlegte die Verfahrenskosten von 1'774 Franken A._ und verpflichtete diesen, E._ eine Parteientschädigung von 1'500 Franken zu bezahlen. Sie begründete ihren Kostenentscheid damit, dass der Erstere seiner Sorgfalts- und Abklärungspflicht als Anzeiger nicht nachgekommen sei; er sei selbst Rechtsanwalt und hätte deshalb erkennen können, dass seine Vorwürfe gegen E._ haltlos seien. C. Am 7. Januar 2003 hat A._ beim Bundesgericht staatsrechtliche Beschwerde eingereicht mit dem Antrag, den angefochtenen Entscheid im Kosten- und Entschädigungspunkt aufzuheben. Er rügt insbesondere eine Verletzung des Willkürverbots (Art.9 BV) und des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art.29 Abs.2 BV). E._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne, während die Aufsichtskommission über die Rechtsanwälte im Kanton Zürich auf Vernehmlassung verzichtet hat. Mit Verfügung vom 6.Februar 2003 hat der Präsident der II. öffentlichrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der staatsrechtlichen Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung erteilt (vgl. BGE 107 Ia 269 E.1 S.271). 