Sachverhalt: A. C._ meldete sich im November 2007 bei der Invalidenversicherung an und beantragte u.a. berufliche Massnahmen und/oder eine Rente. Nach Abklärung der gesundheitlichen und erwerblichen Verhältnisse (u.a. Gutachten des Dr. med. W._, Psychiatrie und Psychotherapie, vom 7. Januar 2011) und nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren verneinte die IV-Stelle Basel-Stadt mit Verfügung vom 21. Juni 2011 einen Rentenanspruch. B. Die von C._ dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt gestützt auf die von ihm eingeholte Expertise des Instituts X._ vom 19. Dezember 2012 gut, indem es die angefochtene Verfügung aufhob und dem Versicherten eine ganze Invalidenrente ab 1. Januar 2011 zusprach (Entscheid vom 11. März 2013). C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle Basel-Stadt die Aufhebung des Entscheids vom 11. März 2013 und Rückweisung der Sache zu weiteren Abklärungen an die Vorinstanz. Das kantonale Sozialversicherungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, desgleichen C._, der um unentgeltliche Rechtspflege ersucht. Das Bundesamt für Sozialversicherungen hat keine Vernehmlassung eingereicht. D. Mit Verfügung vom 3. September 2013 ist der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt worden. 