Sachverhalt: A. In der gegen X._ für eine Forderung der Y._ über Fr. 500.-- angehobenen Betreibung Nr. aaa pfändete das Betreibungsamt Zürich 1 am 21. Juni 2006 den Liquidationsanteil des Schuldners am unverteilten väterlichen Nachlass ein weiteres Mal. Die Pfändungsurkunde Nr. bbb wurde am 28. August 2006 ausgestellt. Sie führt als Nachlassvermögen ein Bauernhaus in B._ an, welches von der Mutter des Schuldners bewohnt und verwaltet werde. Das behördliche Erbteilungsverfahren über den am 22. Mai 2001 in der Betreibung Nr. ccc bereits gepfändeten Liquidationsanteil ist noch hängig. B. X._ gelangte gegen die erneute Pfändung seines Erbanteils an das Bezirksgericht Zürich als untere kantonale Aufsichtsbehörde über Betreibungsämter. Er machte geltend, dass seine Mutter nach dem Tode des Erblassers alle Aktiven und Passiven des Nachlasses übernommen habe und ihm demzufolge kein Anteil daran mehr zustehe. Seine Beschwerde wurde am 10. Oktober 2006 abgewiesen. Die untere Aufsichtsbehörde liess dabei offen, ob die Beschwerde überhaupt rechtzeitig eingereicht worden war. Das Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als obere kantonale Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen wies die von X._ dagegen erhobene Beschwerde mit Beschluss vom 18. Januar 2007 ab, soweit darauf einzutreten war. C. Mit Eingabe vom 8. Februar 2007 ist X._ an das Bundesgericht gelangt. Er beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Beschlusses. Zudem stellt er das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Verfügung vom 1. März 2007 erkannte das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung in dem Sinne zu, dass während des bundesgerichtlichen Verfahrens keine Verwertung erfolgen dürfe. In der Sache sind keine Antworten eingeholt worden. 