Sachverhalt: A. Y._ verletzte sich am xxx und xxx bei der Arbeit am rechten Ellenbogen. Für die gesundheitlichen und erwerblichen Folgen beider Ereignisse erbrachte die obligatorische Unfallversicherung die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Im März 2002 meldete sich Y._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen (u.a. Einholung des Gutachtens Dr. med. R._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 14. Februar 2006) sprach ihm die IV-Stelle des Kantons Zürich mit Verfügung vom 10. März 2006 eine ganze Rente ab 1. April 2002 zu. Die Verfügung wurde auch der Pensionskasse Swiss Dairy Food AG eröffnet. Diese richtete ab 1. Mai 2009 Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge im Rahmen des BVG-Obligatoriums aus. Auf Veranlassung der Pensionskasse Swiss Dairy Food AG wurde Y._ am 21. September 2010 durch Dr. med. S._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, begutachtet (Expertise vom 9. November 2010). Mit Schreiben vom 4. März 2011 teilte die Pensionskasse mit, dass die Invalidenleistungen auf Ende Februar 2011 eingestellt würden. Ende März 2011 leitete die IV-Stelle ein Revisionsverfahren ein. Mit Mitteilung vom 28. Oktober 2011 stellte sie fest, dass mangels einer Änderung des Invaliditätsgrades weiterhin Anspruch auf die bisherige Invalidenrente bestehe. Eine Kopie des Schreibens ging auch an die Pensionskasse Swiss Dairy Food AG, die damit nicht einverstanden war und den Erlass einer beschwerdefähigen Verfügung verlangte. B. Am 27. Februar 2012 liess Y._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, Klage gegen die Pensionskasse Swiss Dairy Food AG einreichen mit den Rechtsbegehren, die Beklagte sei zu verpflichten, ihm Invalidenleistungen seit 1. September 2005 von monatlich mindestens Fr. 3'938.85 (Fr. 2'599.15 [Hauptrente] zuzüglich 2 x Fr. 519.85 [Kinderrenten]) abzüglich bereits gewährter Leistungen von Fr. 30'015. 70 zu bezahlen sowie Zinsen von 5 % auf den nachzuzahlenden Leistungen seit deren Fälligkeit bzw. Klageeinleitung zu entrichten. Das angerufene Gericht holte die Antwort der Beklagten ein, liess die IV- und UV-Akten sowie die einschlägigen Vorsorgereglemente edieren und führte einen zweiten Schriftenwechsel durch. Mit Entscheid vom 23. November 2012 hiess es die Klage gut und verpflichtete die Pensionskasse Swiss Dairy Food AG, Y._ basierend auf einem Invaliditätsgrad von 100 % ab 1. September 2005 die vollen gesetzlichen und reglementarischen Leistungen bei Invalidität zu erbringen, zuzüglich 5 % Verzugszins ab 27. Februar 2012 für die bis zur Klageeinleitung fällig gewordenen Betreffnisse und auf den seither fällig gewordenen ab dem jeweiligen Fälligkeitsdatum, unter Überweisung der Sache an die Vorsorgeeinrichtung zur Festsetzung der Rente. C. Die Pensionskasse Swiss Dairy Food AG führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 23. November 2012 sei aufzuheben, und es sei festzustellen, dass der IV-Entscheid keine Bindungswirkung entfalte und sie nicht zuständig sei für die Ausrichtung von Invaliditätsleistungen; eventualiter seien der Invaliditätsgrad und die Rentenhöhe festzulegen. In einer nachträglichen Eingabe hat die Beschwerdeführerin die Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens beantragt. Y._ hat sich dazu geäussert. 