Sachverhalt: A. A.a Die Y._ GmbH mit Sitz in Deutschland (Klägerin, Beschwerdegegnerin) ist ein deutsches Ingenieurunternehmen, das auf medizinische Geräte spezialisiert ist. Die X._ Ltd mit Sitz in Singapur (Beklagte, Beschwerdeführerin) wurde 1997 gegründet. Im Jahre 2003 nahm sie die Produktion sogenannter Dialysatoren auf. Später gab sie diesen Bereich wieder auf und unterhält heute - abgesehen von gewissen Immobiliengeschäften - keine nennenswerte Geschäftstätigkeit mehr. A.b Am 5. Mai 2004 schlossen die Parteien eine mit "Contract No. rrr._" bezeichnete Vereinbarung ab über den Verkauf und die Lieferung einer Anlage zur Herstellung von Dialysatoren an die Beklagte gegen einen Kaufpreis von EUR 7 Mio. Hinsichtlich der Zahlungsbedingungen sah die Vereinbarung vor, dass die Beklagte (neben zwei Anzahlungen im Jahre 2004 von je EUR 500'000.--) bis zum 7. Dezember 2004 ein Bankakkreditiv ("letter of credit") über EUR 2.5 Mio. zu eröffnen hatte. Nach Erhalt des Bankakkreditivs wäre die Anlage von der Klägerin zu liefern gewesen. Die Restsumme von EUR 3.5 Mio. hätte die Beklagte in sieben Raten von je EUR 500'000.-- leisten sollen. Die Beklagte leistete die beiden Anzahlungen am 29. Juni und 15. September 2004. Trotz entsprechender Aufforderung durch die Klägerin eröffnete sie demgegenüber das Bankakkreditiv nicht. Die Klägerin lieferte in der Folge die vereinbarte Anlage nicht an die Beklagte aus. Verschiedene Versuche der Parteien, eine neue Vereinbarung abzuschliessen, scheiterten. Am 18. Juni 2007 unterzeichneten die Parteien und die Z._ LTD, eine Schwestergesellschaft der Beklagten, ein als "Novation and Supplemental Deed" bezeichnetes Dokument. In der Folge blieb zwischen den Parteien strittig, ob es sich dabei um eine rechtsverbindliche Vereinbarung oder bloss um einen unverbindlichen Entwurf handelte. A.c Am 25. August 2009 setzte die Klägerin der Beklagten eine letzte Zahlungsfrist an, verbunden mit der Androhung, bei Ausbleiben der Zahlung werde die vereinbarte Anlage weiterverkauft. Am 7. September 2009 schloss die Klägerin einen entsprechenden Kaufvertrag mit der Q._ GmbH in Deutschland ab. Mit Schreiben vom 12. Oktober 2009 erklärte die Klägerin die Aufhebung der Vereinbarung vom 5. Mai 2004 wegen Vertragsverletzung. Die fragliche Anlage lieferte sie am 9. November 2009 an die Q._ GmbH. B. B.a Am 27. Juni 2008 leitete die Klägerin ein Schiedsverfahren nach den Bestimmungen der Internationalen Handelskammer (ICC) gegen die Beklagte ein. Sie stellte die (im Laufe des Schiedsverfahrens abgeänderten) Rechtsbegehren, die Beklagte sei zur Zahlung von EUR 4'946'556.94 zu verpflichten, zuzüglich Zins zu einem Satz von 8 % über dem Basiszinssatz der Europäischen Zentralbank (EZB) seit 1. Januar 2006. Die Beklagte beantragte die Abweisung der Schiedsklage und verlangte für den Fall, dass ihre Passivlegitimation bejaht werden sollte, widerklageweise die Zahlung von EUR 1 Mio., zuzüglich Zins zu 5 % auf EUR 500'000.-- seit 29. Juni 2004 und auf EUR 500'000.-- seit 15. September 2004, sowie die Zahlung von Schadenersatz im Betrag von EUR 122'000.--, zuzüglich Zins zu 5 % seit 1. August 2005. Am 14. und 15. September 2010 fand in Zürich die mündliche Verhandlung statt. B.b Mit Schiedsentscheid vom 22. Dezember 2011 verpflichtete das ICC Schiedsgericht mit Sitz in Basel die Beklagte zur Zahlung von EUR 978'680.71, zuzüglich Zins zu 5 % auf EUR 679'294.-- seit 10. November 2009, auf EUR 543'907.-- seit 10. November 2009 und auf EUR 28'394.-- seit 27. Juni 2008. Im Übrigen wies es die Schiedsklage ab. Die Widerklage der Beklagten wies das Schiedsgericht ebenfalls ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beklagte dem Bundesgericht, es sei das Schiedsurteil vom 22. Dezember 2011 aufzuheben und es sei die Sache zur neuen Beurteilung an das Schiedsgericht zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Schiedsgericht hat dem Bundesgericht am 29. Mai 2012 eine Vernehmlassung eingereicht, in der es sinngemäss die Abweisung der Beschwerde beantragt. Die Beschwerdeführerin reichte dem Bundesgericht am 15. Juni 2012 eine Replik, die Beschwerdegegnerin am 26. Juli 2012 eine Duplik ein. D. Mit Verfügung vom 22. Februar 2012 wies das Bundesgericht das Gesuch der Beschwerdeführerin um Gewährung der aufschiebenden Wirkung ab. Mit Verfügung vom 15. März 2012 hiess das Bundesgericht das Sicherstellungsbegehren der Beschwerdegegnerin gut und forderte die Beschwerdeführerin auf, als Sicherstellung einer allfälligen Parteientschädigung an die Beschwerdegegnerin den Betrag von Fr. 14'000.-- zu hinterlegen. Der Betrag ging in der Folge bei der Bundesgerichtskasse ein. Mit Verfügung vom 18. Juli 2012 wies das Bundesgericht die Verfahrensanträge der Beschwerdegegnerin ab, es sei ihr Einsicht in die "Beilage" zur Eingabe der Beschwerdeführerin vom 24. April 2012 zu gewähren bzw. es sei ihr Name, Adresse und Bankverbindung der Person und/oder Gesellschaft bekannt zu geben, die die Parteikostensicherstellung an die Bundesgerichtskasse bezahlt hat. 