Faits: A. Il ressort du dossier que X._, ressortissant burkinabé né en 1981, a franchi clandestinement la frontière suisse pour déposer une demande d'asile le 17 mai 2007, que l'Office fédéral des migrations (ci-après: l'Office fédéral) a rejetée par décision du 10 juillet 2008. Le Tribunal administratif fédéral a confirmé cette décision par arrêt du 6 mai 2011 (cause E-5189/2008), au motif notamment que le Burkina Faso était considéré comme un "pays sûr" depuis avril 2009, que le document produit par l'intéressé, selon lequel les autorités de cet Etat le recherchaient pour son implication dans des massacres, présentait "certains signes évidents de falsification", et que rien n'indiquait que l'exécution du renvoi impliquerait une mise en danger concrète de l'intéressé. Le 17 mai 2011, l'Office fédéral a imparti à X._ un délai au 14 juin 2011 pour quitter la Suisse. Le 11 juillet 2011, le Service de la population et des migrations du canton du Valais (ci-après: le Service cantonal) a rejeté la requête de X._, déposée le 4 juillet 2011, en vue de l'obtention d'un permis de séjour pour cas de rigueur et invité l'intéressé à "débuter toute démarche utile à l'obtention d'un document de voyage", sans quoi il s'exposerait à des "moyens de contrainte". B. Entendu par la police cantonale valaisanne le 10 octobre 2011 dès 8h55, X._ a déclaré ne pas avoir effectué de démarches pour se procurer un document de voyage et refuser de retourner au Burkina Faso par peur de représailles, tout en étant d'accord de partir vers d'autres pays. Par décision du même jour, le Service cantonal l'a placé en détention administrative pour une durée maximale de trois mois, au motif que des indices sérieux faisaient craindre qu'il entende se soustraire à son obligation de quitter la Suisse. Les représentants de l'Ambassade du Burkina Faso ont reconnu la nationalité de X._ le 12 octobre 2011. C. Déféré devant le Juge unique de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Juge unique) en date du 14 octobre 2011 à 8h50, X._ a entre autres confirmé qu'il refusait de retourner au Burkina Faso et a donné des indications sur sa situation familiale dans cet Etat. Par arrêt du même jour, le Juge unique a approuvé la mise en détention en raison d'un risque de soustraction au renvoi et du refus d'obtempérer aux instructions des autorités. D. A l'encontre de l'arrêt du 14 octobre 2011, X._ interjette un recours en matière de droit public, doublé d'un recours constitutionnel subsidiaire, au Tribunal fédéral. Sur recours en matière de droit public, il conclut principalement à l'annulation de l'arrêt attaqué, subsidiairement à son annulation et au renvoi de la cause à l'instance inférieure afin qu'elle le mette au bénéfice d'une admission provisoire. Il prend les mêmes conclusions à l'appui de son recours constitutionnel subsidiaire. Il demande par ailleurs l'octroi de l'assistance judiciaire. Le Tribunal cantonal a produit le dossier, mais a renoncé à se déterminer, à l'instar du Service cantonal et de l'Office fédéral. X._ n'a pas formulé d'observations complémentaires. E. Par ordonnance présidentielle du 17 novembre 2011, la IIe Cour de droit public a notamment rejeté la requête de mesures provisionnelles de X._ tendant à sa libération immédiate et a précisé que la procédure devant elle ne bloquait pas l'exécution du renvoi. 