Sachverhalt: Sachverhalt: A. A._ wurde mit Strafverfügung des Verhöramtes Trogen vom 21. Februar 2000 wegen Widerhandlung gegen das kantonale Gastgewerbegesetz (mehrfacher Ausschank alkoholischer Getränke an Jugendliche unter 16 bzw. 18 Jahren) mit Fr. 300.-- gebüsst. Auf Einsprache hin sprach das Kantonsgericht (5. Abteilung) von Appenzell-Ausserrhoden A._ mit Urteil vom 18. Dezember 2000 von der Anklage der Widerhandlung gegen das kantonale Gastgewerbegesetz frei. A. A._ wurde mit Strafverfügung des Verhöramtes Trogen vom 21. Februar 2000 wegen Widerhandlung gegen das kantonale Gastgewerbegesetz (mehrfacher Ausschank alkoholischer Getränke an Jugendliche unter 16 bzw. 18 Jahren) mit Fr. 300.-- gebüsst. Auf Einsprache hin sprach das Kantonsgericht (5. Abteilung) von Appenzell-Ausserrhoden A._ mit Urteil vom 18. Dezember 2000 von der Anklage der Widerhandlung gegen das kantonale Gastgewerbegesetz frei. B. Gegen das freisprechende Urteil erhob die Staatsanwaltschaft des Kantons Appenzell-Ausserrhoden Appellation, worauf das Obergericht (1. Abteilung) von Appenzell-Ausserrhoden A._ mit Entscheid vom 19. Juni 2001 wegen Verstosses gegen das kantonale Gastgewerbegesetz mit Fr. 500.-- büsste. B. Gegen das freisprechende Urteil erhob die Staatsanwaltschaft des Kantons Appenzell-Ausserrhoden Appellation, worauf das Obergericht (1. Abteilung) von Appenzell-Ausserrhoden A._ mit Entscheid vom 19. Juni 2001 wegen Verstosses gegen das kantonale Gastgewerbegesetz mit Fr. 500.-- büsste. C. Dagegen gelangte die Verurteilte mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 24. September 2001 an das Bundesgericht. Sie rügt eine Verletzung von Art. 29 Abs. 2 sowie Art. 32 Abs. 1 BV (rechtliches Gehör, Grundsatz "in dubio pro reo") und beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides des Obergerichtes. C. Dagegen gelangte die Verurteilte mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 24. September 2001 an das Bundesgericht. Sie rügt eine Verletzung von Art. 29 Abs. 2 sowie Art. 32 Abs. 1 BV (rechtliches Gehör, Grundsatz "in dubio pro reo") und beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides des Obergerichtes. D. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Appenzell-Ausserrhoden beantragt mit Stellungnahme vom 9. Oktober 2001 die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist, während das Obergericht von Appenzell-Ausserrhoden am 10. Oktober 2001 auf eine Vernehmlassung ausdrücklich verzichtet hat. 