Sachverhalt: A. X._ (1980, deutsche Staatsangehörige) und Z._ (1978, deutscher Staatsangehöriger) sind die Eltern von Y._ (2008). Am 21. April 2012 verliess Z._ zusammen mit der Tochter die eheliche Wohnung in A._ und liess die Tochter anschliessend ohne das Wissen von X._ durch seine Eltern nach Deutschland verbringen. Wenig später nahm er zusammen mit der Tochter Wohnsitz bei seinen Eltern im deutschen B._. B. Am 19. Juli 2012 leitete X._ beim Bezirksgericht Pfäffikon ein Eheschutzverfahren ein. Sie beantragte insbesondere, die Tochter sei für die Dauer des Getrenntlebens unter ihre Obhut zu stellen. Z._ sei zur Leistung von Unterhaltsbeiträgen zu verpflichten und ihr sei die eheliche Wohnung zuzuteilen. Weiter leitete X._ in Deutschland ein Verfahren nach dem H aager Übereinkommen über die zivilrechtlichen Aspekte internationaler Kindesentführung (HKÜ, SR 0.211.230.02) ein. Mit U rteil des Oberlandgerichts Düsseldorf vom 31. Januar 2013 wurde die Rückführung des Kindes in die Schweiz innerhalb von zwei Wochen ab Rechtskraft jenes Entscheides angeordnet. C. Am 6. Februar 2013 reichten beide Parteien beim Bezirksgericht Pfäffikon im Rahmen des Eheschutzverfahrens einen Antrag auf (superprovisorische) Zuteilung der elterlichen Obhut für Y._ ein. Mit Verfügung vom 14. Februar 2013 stellte das Bezirksgericht die Tochter einstweilen für die weitere Dauer des Verfahrens unter die Obhut des Vaters. Mit Eheschutzurteil vom 18. März 2013 teilte es die Obhut dann der Mutter zu. D. Z._ erhob gegen das Eheschutzurteil Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Er beantragte in der Hauptsache, die Tochter sei unter seine Obhut zu stellen. Weiter sei seiner Berufung die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Das Obergericht gewährte mit Verfügung vom 9. April 2013 - ohne X._ vorgängig Gelegenheit zur Stellungnahme eingeräumt zu haben (was vorliegend streitig ist) - die aufschiebende Wirkung für das Berufungsverfahren. Es befand, damit gelte weiterhin die Regelung gemäss der erstinstanzlichen Verfügung vom 14. Februar 2013. E. Gegen diesen Entscheid hat X._ (Beschwerdeführerin) mit Eingabe vom 10. Mai 2013 Beschwerde beim Bundesgericht eingereicht. Sie beantragt, die Verfügung vom 9. April 2013 sei aufzuheben. In seiner Vernehmlassung vom 11. Juni 2013 schliesst Z._ (Beschwerdegegner) auf Abweisung der Beschwerde unter Kosten- und Entschädigungsfolge. Die Vorinstanz hat auf eine Stellungnahme verzichtet. 