Faits: A. G._ est affilié à Helsana Assurances SA pour l'assurance obligatoire des soins et une assurance complémentaire d'hospitalisation. A la suite d'un bilan ayant permis de découvrir une lésion du conduit auditif interne gauche, le docteur R._, médecin du Service de neurochirurgie de l'Hôpital X._, a adressé G._ au professeur E._, directeur du Centre de Neurochirurgie Y._, qui a vu le patient en consultation le 10 novembre 2008 (rapport du 4 décembre 2008). Le 5 décembre 2008, le professeur E._ a informé le médecin-conseil d'Helsana que l'assuré était atteint d'un schwannome vestibulaire. Afin d'effectuer une prise en charge thérapeutique permettant d'offrir au patient les meilleures chances pronostiques de conservation de l'audition, il préconisait un traitement de radio-chirurgie par une génération récente, automatisée, de technologie Gamma Knife, dont la littérature médicale récente avait montré clairement les avantages, et demandait l'autorisation de réaliser ce traitement auprès du Centre de radio-neurochirurgie Z._ en France (équipé d'un Leksell Gamma Knife PerfeXion). Le 8 janvier 2009, Helsana a refusé de verser une quelconque participation, au motif que ce traitement était faisable en Suisse. Dans une lettre du 22 janvier 2009, le professeur E._ a relevé qu'il existait effectivement un Gamma Knife à la Clinique W._ de U._, mais qu'il s'agissait d'un modèle correspondant à la version classique, avec réglages manuels, dont les sources de cobalt n'avaient pas été remplacées depuis plus de dix ans. Selon lui, les résultats qu'on pouvait attendre de traitements réalisés avec cette technologie ne correspondaient pas aux standards actuels et ne permettaient pas de s'assurer d'offrir toutes les chances de conservation de l'audition ainsi qu'un minimum de risque d'effets secondaires. Helsana, se fondant sur un avis de son médecin-conseil du 12 février 2009, a informé l'assuré le 13 février 2009 que la lésion dont il était atteint pouvait être traitée de manière adéquate en Suisse et qu'il n'était pas impératif d'un point de vue médical que ce traitement soit effectué à l'Hôpital Z._ en France, ce qui excluait toute prise en charge par l'assurance obligatoire des soins. G._ ayant contesté ce point de vue et demandé la mise en oeuvre d'une expertise médicale, Helsana l'a invité à prendre contact avec le docteur I._, directeur du Centre Gamma Knife de U._ et "président de neurochirurgie W._". Du 17 au 19 février 2009, G._ a séjourné dans le cadre du Groupe hospitalier Z._ en France, où il a subi un traitement par Gamma-Knife. Helsana ayant reçu les documents y relatifs, dont un devis d'hospitalisation à hauteur de 6'064 EUR, elle a versé à ce titre trois mille francs à l'assuré le 23 avril 2009 par le biais de l'assurance complémentaire d'hospitalisation. Dans un avis du 2 mars 2009, le docteur I._ a informé Helsana que les sources de cobalt du Gamma Knife de U._ avaient été remplacées pour la dernière fois en 2001 et que la dose délivrée était (actuellement) supérieure à 1,5 Gy/minute, ce qui la situait parfaitement dans le domaine thérapeutique. A U._, le Gamma Knife correspondait au modèle classique ayant servi aux données cliniques recensées dans les publications internationales et les réglages manuels avaient toujours été effectués exclusivement par deux neurochirurgiens ou par un neurochirurgien et un physicien médical. Les résultats obtenus étaient au minimum aussi bons que ceux des autres centres à l'étranger disposant par exemple de machines robotisées. Le centre Gamma Knife de U._ disposait d'une grande expérience et enregistrait dans les résultats à long terme moins de 1 % de parésies faciales et une préservation de l'audition de l'ordre de 78 %. Par décision du 19 août 2009, Helsana a refusé de participer, par le biais de l'assurance obligatoire des soins, aux frais consécutifs au séjour stationnaire volontaire effectué par G._ du 17 au 19 février 2009 dans le cadre du Groupe hospitalier Z._ en France. Le 21 septembre 2009, G._ a formé opposition contre cette décision. Par décision du 12 novembre 2009, Helsana a rejeté l'opposition. B. Le 22 décembre 2009, G._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal cantonal des assurances sociales - aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales -, en concluant à son annulation et à la désignation d'un expert médical avec pour mission de l'examiner et de dire «si au vu des dernières connaissances scientifiques en matière de traitement GAMMA KNIFE, des techniques et de l'ancienneté du matériel utilisé tant au Centre hospitalier Z._ en France qu'à la Clinique W._ de U._, le patient avait la plus grande chance de récupérer ses facultés acoustiques avec le minimum de conséquence(s) opératoires sur sa santé». Par arrêt du 27 mai 2010, la juridiction cantonale a rejeté le recours. C. G._, qui déclare former appel contre ce jugement, interjette un recours en matière de droit public contre celui-ci en concluant à sa réforme en ce sens qu'Helsana est condamnée à lui payer la somme de 8'875 fr. (6'064 EUR) au titre de l'assurance obligatoire des soins pour le traitement de la lésion du conduit auditif interne pratiqué à l'Hôpital Z._ en France du 17 au 19 février 2009. A titre subsidiaire, il reprend sa conclusion de première instance tendant à la désignation d'un expert médical. Helsana Assurances SA conclut au rejet du recours. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer. 