Sachverhalt: A. Mit Eingabe vom 30. April 2008 liess S._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Beschwerde gegen einen Einspracheentscheid der Schweizerischen Mobiliar Versicherungsgesellschaft (nachfolgend: Mobiliar) vom 31. März 2008 (betreffend Einstellung der UVG-Leistungen [Heilbehandlung, Taggeld] mangels rechtsgenüglichen Kausalzusammenhangs auf Ende August 2007) erheben. Der durch die Rechtsanwältin Christina Keller, Zürich, eingereichten Rechtsvorkehr lag eine von S._ unterschriebene, auf ein IV-Verfahren Bezug nehmende "Vollmacht mit Substitutionsbefugnis" vom 11. April 2008 bei. Am 9. Mai 2008 forderte das kantonale Gericht S._ sowie Christina Keller verfügungsweise auf, innert zehn Tagen ab Erhalt der Verfügung eine sich auf den vorliegenden UVG-Prozess beziehende Vertretungsvollmacht einzureichen, andernfalls auf die Beschwerde nicht eingetreten werde. Am 30. Mai 2008 legte Christina Keller eine am 16. Mai 2008 von S._ visierte Vollmacht betreffend das "UVG-Verfahren (Unfall vom 7. April 2007)" auf. Zugleich wurde um Wiederherstellung der am 26. Mai 2008 abgelaufenen und infolge gesundheitlicher Gründe nicht eingehaltenen Frist zur Einreichung der korrekten Vollmacht ersucht. Mit Eingabe vom 2. Juni 2008 brachte die Rechtsanwältin ein Zeugnis des Dr. med. W._, Spezialarzt FMH für Innere Medizin, vom 31. Mai 2008 bei. Das kantonale Gericht trat mit Beschluss vom 30. Juni 2008 auf das Fristwiederherstellungsgesuch ein, wies dieses ab und trat auf die Beschwerde androhungsgemäss nicht ein. Im Rahmen einer Eventualbegründung wurde überdies festgehalten, dass es hinsichtlich der beantragten Weiterausrichtung einer Rente an einem Anfechtungsobjekt fehle, weshalb auch aus diesem Grunde auf die Rechtsvorkehr nicht eingetreten werde könne. B. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Beschlusses vom 30. Juni 2008 sei dem Fristwiederherstellungsgesuch stattzugeben und das kantonale Gericht zu verpflichten, auf die Beschwerde einzutreten. Während die Mobiliar auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung. 