Sachverhalt: A. Am 24. September 2012 reichte X._ bei der Staatsanwaltschaft See/Oberland Strafanzeige gegen Y._ ein. Zur Begründung führte X._ an, sie sei bis zum Scheidungsurteil vom 28. August 2007 mit Z._ verheiratet gewesen. Aus dieser Ehe seien drei Töchter entsprungen. Zwischen ihr und ihrem ehemaligen Gatten sei derzeit ein Verfahren betreffend Unterhaltszahlungen hängig. Aufgrund falscher Angaben von Z._ habe die Vormundschaftsbehörde der Stadt Luzern ein Verfahren betreffend Kindesschutz/Obhut eröffnet. Im Rahmen dieses Verfahrens habe die Vormundschaftsbehörde der Stadt Luzern die Vormundschaftsbehörde Zumikon um Auskunft ersucht. Y._ habe als Sekretärin der Vormundschaftsbehörde Zumikon am 21. Juni 2012 per E-Mail und telefonisch gegenüber der Vormundschaftsbehörde der Stadt Luzern Aussagen über sie gemacht, welche ihre Ehre verletzten und den Tatbestand der üblen Nachrede nach Art. 173 StGB, eventuell der Beschimpfung nach Art. 177 StGB, erfüllten. B. Die Strafanzeige wurde mit dem Antrag der Staatsanwaltschaft, es sei über die Erteilung bzw. Nichterteilung der Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung gegen Y._ zu entscheiden, an das Obergericht des Kantons Zürich weitergeleitet. Dieses gab X._ und Y._ Gelegenheit zur Stellungnahme. Mit Beschluss vom 27. Februar 2013 erteilte die III. Strafkammer des Obergerichts der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zur Strafuntersuchung nicht. C. X._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Beschluss des Obergerichts sei aufzuheben und der Staatsanwaltschaft See/Oberland sei die Ermächtigung zum Entscheid über die Untersuchungseröffnung gegen Y._ zu erteilen; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Y._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht, die Staatsanwaltschaft See/Oberland und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich verzichten auf eine Vernehmlassung. Mit einer weiteren Stellungnahme hält X._ an der Beschwerde fest. 