Sachverhalt: A. Der serbische Staatsangehörige X._ (geb. 1966) war in den Jahren 1990 bis 1994 in der Schweiz als Saisonnier erwerbstätig. Sein in der Folge gestelltes Gesuch um Umwandlung der Saison- in eine Aufenthaltsbewilligung wurde rechtskräftig abgewiesen. 1993 hatte X._ seine Landsfrau Y._ (geb. 1972) geheiratet. Aus dieser Ehe, die im Januar 1996 geschieden wurde, gingen die beiden Kinder A._ (geb. 1993) und B._ (geb. 1995) hervor. Am 23. April 1995 reiste X._ erneut in die Schweiz ein und stellte ein Asylgesuch. Dieses zog er zurück, nachdem er am 27. September 1996 die um elf Jahre ältere Schweizerin Z._ (geb. 1955) geheiratet hatte und gestützt darauf eine Aufenthaltsbewilligung erhielt. Mit Urteil des Bezirksgerichts Winterthur vom 1. November 2002 wurde diese (kinderlos gebliebene) Ehe geschieden. Wenige Monate später, am 30. Mai 2003, heiratete X._ seine frühere Ehefrau Y._ erneut und stellte für sie und ihre mittlerweile vier Kinder - hinzu gekommen waren C._ (geb. 1998) und D._ (geb. 2001) - ein Familiennachzugsgesuch. Nach eigenen Angaben ist sich X._ bei C._ "ziemlich sicher", dessen leiblicher Vater zu sein, "mit Bezug auf die am 25. Mai 2001 geborene Tochter D._ jedoch nicht". Am 13. September 2001 war X._ erleichtert eingebürgert worden. Mit Verfügung vom 1. Juli 2004 erklärte das Bundesamt für Zuwanderung, Integration und Auswanderung (heute: Bundesamt für Migration) diese Einbürgerung für nichtig mit der Begründung, X._ habe im Rahmen des Einbürgerungsverfahrens falsche Angaben gemacht bzw. wesentliche Tatsachen verheimlicht (u.a. Verschweigen der Kinder von der früheren Ehefrau). Dieser Entscheid erwuchs in Rechtskraft. B. Mit Verfügung vom 20. Januar 2005 wies die Direktion für Soziales und Sicherheit des Kantons Zürich (Migrationsamt) das Gesuch von X._ um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung bzw. Niederlassungsbewilligung sowie das Gesuch um Nachzug der Ehefrau Y._ mit den vier Kindern A._, B._, C._ und D._ ab, im Wesentlichen mit der Begründung, X._ habe die Behörden jahrelang über seine familiären Verhältnisse getäuscht und sich dergestalt sowohl die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung als auch das Schweizer Bürgerrecht erschlichen. Die Erteilung einer Niederlassungsbewilligung falle ausser Betracht. Demzufolge seien auch die Voraussetzungen für den Nachzug der Ehefrau und der vier Kinder nicht erfüllt. Den hiegegen erhobenen Rekurs wies der Regierungsrat des Kantons Zürich mit Beschluss vom 1. September 2006 ab. Die gegen den regierungsrätlichen Beschluss erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 16. Mai 2007 ebenfalls ab, soweit es darauf eintrat. C. Mit Eingabe vom 6. Juli 2007 führt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 16. Mai 2007 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen bzw. den Regierungsrat oder das zuständige kantonale Amt aufzufordern, die Aufenthaltsbewilligung zu erneuern. Die Staatskanzlei des Kantons Zürich beantragt - für den Regierungsrat - Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Migration schliesst auf Abweisung der Beschwerde. D. Mit Verfügung vom 12. Juli 2007 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt. 