Sachverhalt: A. Die 1960 geborene K._ meldete sich im September 2004 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach ihr die IV-Stelle Basel-Landschaft mit Verfügung vom 7. Juni 2007 bei einem Invaliditätsgrad von 50 % ab 1. Juli 2004 eine halbe Invalidenrente zu. B. In Gutheissung der Beschwerde der K._ stellte das Kantonsgericht Basel-Landschaft mit Entscheid vom 7. März 2008, eröffnet am 7. Juli 2008, fest, dass sie ab dem 1. Juli 2004 Anspruch auf eine Dreiviertelrente der Invalidenversicherung habe. Die IV-Stelle wurde verpflichtet, ihr eine Parteientschädigung in Höhe von Fr. 5'097.95 (inkl. Auslagen und 7,6 % Mehrwertsteuer) zu bezahlen. C. Die IV-Stelle Basel-Landschaft führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, es sei der angefochtene Entscheid aufzuheben. K._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen und um unentgeltliche Rechtspflege ersuchen. Das kantonale Gericht beantragt die teilweise Gutheissung des Eventualbegehrens. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme. 