Sachverhalt: A. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt verurteilte X._ am 7. Mai 2008 wegen gewerbsmässigen Betrugs zu einer Freiheitsstrafe von 3 1⁄2 Jahren. Die vom Verurteilten gegen dieses Urteil erhobene Beschwerde in Strafsachen wies das Bundesgericht mit Entscheid vom 17. März 2009 ab (Verfahren 6B_807/2008). B. Vor Festsetzung des Strafvollzugsantritts reichte X._ am 24. September 2009 dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt einen ärztlichen Bericht ein und beantragte, der Strafvollzug sei einzustellen. Mit Urteil vom 4. Januar 2010 entschied dieses, der Vollzug der mit Urteil vom 7. Mai 2008 gegen X._ ausgesprochenen Freiheitsstrafe werde nicht eingestellt. X._ führte gegen diesen Entscheid beim Bundesgericht Beschwerde in Strafsachen. Er machte unter anderem geltend, zwei der beim angefochtenen Entscheid mitwirkenden Richter seien zum Urteilszeitpunkt nicht mehr im Amt gewesen, sondern per Ende 2009 aus diesem ausgeschieden. Das Bundesgericht hiess die Beschwerde in Strafsachen am 22. März 2010 gut (Verfahren 6B_113/2010), hob das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 4. Januar 2010 auf und wies die Sache zur neuen Entscheidung an dieses zurück. C. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt entschied am 10. Mai 2010 in neuer Besetzung wiederum, dass der Vollzug der mit Urteil vom 7. Mai 2008 gegen X._ ausgesprochenen Freiheitsstrafe von 3 1⁄2 Jahren nicht eingestellt werde. D. X._ führt beim Bundesgericht Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben, und es sei die Aussetzung des Vollzugs gemäss Art. 92 StGB anzuordnen. Eventualiter sei das Verfahren zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Es seien ausserdem die aufschiebende Wirkung sowie die unentgeltliche Rechtspflege/Verbeiständung zu gewähren. Ferner seien keine Kosten zu erheben, und es sei ihm eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen. E. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt. 