Faits: A. Par un appel d'offres publié dans la Feuille d'avis officielle (FAO) du 26 juin 2006, la Ville de Genève (ci-après: la Ville) a mis en soumission le renouvellement de la concession d'affichage papier sur son domaine public pour la période allant du 1er janvier 2008 au 31 décembre 2012. Selon les conditions énoncées dans l'appel d'offres et précisées dans le dossier de candidature remis aux participants, le marché, "soumis OMC", devait être attribué en un seul lot selon une procédure à deux tours, le premier portant sur la sélection des candidats selon des critères d'aptitude, le second sur l'adjudication proprement dite du marché; par ailleurs, il était prévu que la sélection des candidats aurait lieu le 30 octobre 2006 et que la décision de sélection serait susceptible de recours devant le Tribunal administratif du canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif) dans un délai de 10 jours dès sa publication; enfin, le chiffre 5.1 du dossier de candidature précisait que les règles en matière de marchés publics seraient applicables à la procédure d'appel d'offres, "quand bien même il [n'était] pas acquis, à teneur de la jurisprudence, que l'attribution du marché de l'affichage sur le domaine public de la Ville de Genève [fût] soumise au droit des marchés publics". La société X._ SA, à B._ (ci-après: la Société), a déposé un dossier de candidature, tout en contestant la procédure d'appel d'offres par le moyen de deux recours, l'un devant le Tribunal administratif, l'autre devant le Tribunal fédéral. Pour l'essentiel, elle soutenait que le marché litigieux devait être divisé en lots et réparti entre plusieurs concessionnaires, car son attribution à une seule entreprise aboutissait à la création d'un monopole de fait contraire à la liberté économique et à l'égalité entre concurrents. A.a Le Tribunal fédéral a suspendu la procédure portée devant lui (classée sous la cause 2P.210/2006) jusqu'à droit connu sur le recours parallèle formé au Tribunal administratif. A.b Par arrêt du 19 décembre 2006, le Tribunal administratif a déclaré irrecevable le recours dont il était saisi, faute de décision attaquable. Il a en effet considéré que l'octroi d'une concession de monopole d'affichage publicitaire sur le domaine public n'était, selon la jurisprudence du Tribunal fédéral, pas soumise à la réglementation sur les marchés publics, si bien que les voies de droit prévues en cette matière pour contester un appel d'offres n'étaient pas applicables. Par ailleurs, à supposer qu'il pût être assimilé à une décision incidente, l'appel d'offres litigieux ne pouvait, selon les juges cantonaux, pas être attaqué à ce stade de la procédure, car il n'était pas de nature à causer un préjudice juridique irréparable à la Société; le moment venu, cette dernière pourrait en effet librement soumettre ses griefs au Tribunal administratif dans le cadre d'un recours formé contre la décision d'attribution. La Société a déféré l'arrêt précité du Tribunal administratif devant le Tribunal fédéral (cause 2P.51/2007), en se plaignant de la violation du principe de la bonne foi et d'arbitraire dans l'application du droit de procédure genevois. A.c Par arrêt du 4 juillet 2007, après avoir ordonné la reprise de l'instruction dans la cause 2P.210/2006 et avoir joint celle-ci à la cause 2P.51/2007, le Tribunal fédéral a déclaré irrecevable le recours formé dans la première des procédures précitées et rejeté celui formé dans la seconde. Dans la première cause, il a estimé, à l'instar du Tribunal administratif, que compte tenu de sa nature incidente, l'appel d'offres ne pouvait pas faire l'objet d'un recours de droit public, car il n'était pas susceptible de causer un préjudice juridique irréparable à la Société. Dans la seconde cause, il a jugé que le Tribunal administratif n'avait pas violé le droit à la protection de la bonne foi de la Société en refusant d'entrer en matière sur son recours, en ce sens que l'indication par erreur d'une voie de droit inexistante n'était pas de nature à en créer une. B. Entre-temps, le 3 novembre 2006, la Société a été informée qu'elle avait été sélectionnée aux côtés d'un autre soumissionnaire, soit la Société Y._, à C._, pour participer au second tour de l'appel d'offres. Le 2 mars 2007, la Ville a communiqué aux deux candidats retenus les documents relatifs à cette nouvelle phase de la procédure, dont un dossier de procédure et un cahier des charges assortis de leurs annexes. A réception des documents précités, la Société a derechef saisi le Tribunal administratif d'un recours. Elle critiquait en particulier les chiffres 10 et 19 du cahier des charges qui imposaient au concessionnaire, d'une part, de fournir à la Ville des prestations d'affichage gratuites sur le "réseau genevois" (ville et canton) et sur le "réseau suisse et/ou international" et, d'autre part, d'assurer la mise en place et la gestion d'un système dit de vélos en libre service selon des modalités précises détaillées dans un descriptif. Au vu de la nature et de l'ampleur de ces prestations, la Société estimait que la procédure avait désormais toutes les caractéristiques d'un marché public dont les conditions pouvaient être contestées en justice lors de l'appel d'offres déjà, conformément aux dispositions réglant le contentieux en ce domaine du droit. La Ville a conclu au rejet du recours. Par arrêt du 20 mai 2008, le Tribunal administratif a déclaré le recours irrecevable, en reprenant la motivation développée dans sa précédente décision du 19 décembre 2006 concernant l'inapplicabilité des règles en matière de marchés publics au cas, ainsi que l'absence de décision (incidente) de nature à causer un préjudice irréparable à la Société (cf. supra ad A.b). C. La Société forme un recours en matière de droit public contre l'arrêt précité du Tribunal administratif. Elle se plaint de constatation manifestement inexacte et incomplète des faits pertinents, de motivation insuffisante de l'arrêt attaqué et de violation de la réglementation applicable en matière de marchés publics. Elle soutient, comme en instance cantonale, que les règles en matière de marchés publics sont applicables à la présente procédure, si bien que les documents litigieux remis lors du second tour de l'appel d'offres doivent être assimilés à des décisions attaquables. Elle conclut, sous suite de dépens, à l'annulation de l'arrêt entrepris et au renvoi de la cause au Tribunal administratif pour instruction complémentaire et décision sur le fond du recours. A titre préalable, elle requiert l'octroi de l'effet suspensif. A titre provisoire, le Tribunal fédéral a autorisé la Ville à reprendre et poursuivre la procédure d'appel d'offres à l'exception de l'attribution de la concession pour l'affichage sur le domaine public et de la conclusion du contrat d'adjudication. La Ville de Genève conclut, sous suite de frais et dépens, au rejet de la requête d'effet suspensif ainsi qu'à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. Le Tribunal administratif s'en remet à justice quant à la requête d'effet suspensif et à la recevabilité du recours; sur le fond, il déclare persister dans les considérants et le dispositif de son arrêt. 