Faits: A. X._ est locataire depuis le mois de janvier 1980 d'un appartement sis à Genève dans un immeuble qui a longtemps appartenu à une société immobilière. Cette dernière était en mains de trois syndicats immobiliers dont l'un, créé en 1968, disposait du droit d'usage exclusif de l'immeuble. Y._, qui avait acquis l'intégralité des parts de ce syndicat en 1972, s'est fait céder par la société immobilière la propriété de l'immeuble avec effet au 1er juillet 2002 à la suite de la liquidation du syndicat. Le 13 décembre 2002, il a résilié, en sa qualité de nouveau propriétaire, le bail de X._ pour le 31 janvier 2004, en invoquant son besoin personnel. Après avoir saisi la Commission de conciliation en matière de baux et loyers qui a déclaré valable le congé mais a prolongé le bail jusqu'au 31 juillet 2004 (décision du 30 juin 2003), X._ a demandé au Département genevois de l'économie, de l'emploi et des affaires extérieures (ci-après: le Département) de constater que Y._, de nationalité italienne, était devenu propriétaire de l'immeuble abritant son appartement en violation de la loi fédérale du 16 décembre 1983 sur l'acquisition d'immeubles par des personnes à l'étranger (LFAIE; RS 211.412.41). Le 29 juillet 2003, il a déposé devant le Tribunal des baux et loyers une "demande en constatation de nullité de résiliation de bail, subsidiairement en annulation de résiliation de bail et plus subsidiairement en prolongation de bail". Il y soutenait notamment que, faute d'avoir régulièrement acquis l'immeuble litigieux, Y._ n'était pas habilité à résilier son contrat de bail; il demandait préalablement la suspension de la procédure jusqu'à droit connu sur le sort de sa requête au Département. Après avoir mis en oeuvre les mesures d'instruction utiles, le Département a constaté, par décision du 23 juin 2004, que Y._ avait certes acheté les parts sociales du syndicat immobilier en violation des dispositions légales applicables aux personnes à l'étranger (dans leur teneur en vigueur au moment des faits pertinents), mais que l'action en rétablissement de l'état antérieur était prescrite, tandis que le transfert de la propriété de l'immeuble à son nom intervenu en 2002 n'était pas un acte juridique soumis à autorisation. B. X._ a recouru auprès du Tribunal administratif du canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif) contre la décision précitée du Département. En bref, il faisait valoir que son droit d'être entendu n'avait pas été respecté et que la loi fédérale sur l'acquisition d'immeubles par des personnes à l'étranger avait été mal appliquée. Lors d'une séance de comparution personnelle des parties organisée le 4 octobre 2004, Y._ a formellement retiré le congé qu'il avait signifié à son locataire, puis il a invité le Tribunal administratif à statuer sur la qualité pour recourir de ce dernier, notamment au regard de l'exigence d'un intérêt actuel. X._ a soutenu qu'en dépit du retrait du congé, il conservait un intérêt personnel, direct et actuel à recourir, car l'admission de son recours "le mettrait à l'abri de l'exercice, par M. Y._, des prérogatives appartenant au 'bailleur' qu'il n'est pas". Il invoquait également un "intérêt public évident" à ce que la loi fédérale en cause fût correctement appliquée. Par arrêt du 8 mars 2005, le Tribunal administratif a, en application de l'art. 20 al. 2 lettre a LFAIE, déclaré irrecevable le recours dont il était saisi, au motif que X._ ne pouvait plus se prévaloir d'un intérêt actuel à recourir depuis que Y._ était revenu sur la résiliation du contrat de bail. C. Agissant par les voies du recours de droit administratif et du recours de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt d'irrecevabilité rendu à son encontre par le Tribunal administratif. Il se plaint de violation de son droit d'être entendu et reprend, pour l'essentiel, les arguments qu'il avait formulés en instance cantonale pour établir l'existence d'un intérêt digne de protection à recourir. 