Sachverhalt: A. Die IV-Stelle des Kantons Zürich erliess am 26. August 2005 Verfügungen, mit welchen sie der 1973 geborenen W._ für den Zeitraum Dezember 1998 bis Dezember 2003 Rentenleistungen der Invalidenversicherung in unterschiedlicher Höhe zusprach. Die Pensionskasse von W._, die Personalvorsorgestiftung der Firma M._, zog die dagegen erhobene Einsprache am 2. November 2005 zurück. Mit Verfügungen vom 24. September 2007 sprach die IV-Stelle W._ mit Wirkung ab Januar 2004 eine halbe (Invaliditätsgrad: 50 Prozent) und mit Wirkung ab April 2004 eine ganze (Invaliditätsgrad: 73 Prozent) Invalidenrente zu. In der Begründung dieser Verfügungen findet sich unter dem Titel "Verfügungsteil 2" eine Darstellung der gesetzlichen Grundlagen, eine Zusammenfassung des Ergebnisses der medizinischen und erwerblichen Abklärungen, eine Stellungnahme zu den Einwänden der Vorsorgeeinrichtung im Vorbescheidverfahren (Eingaben vom 8. Juni und vom 5. Juli 2007) sowie ein Dispositiv mit folgendem Wortlaut: "Ab 01.01.2004 hat die Versicherte Anspruch auf Wiederausrichtung der zuvor schon zugesprochenen halben Rente und nach Ablauf der dreimonatigen Übergangsfrist gemäss Artikel 88a IVV auf eine ganze Rente". B. Die Personalvorsorgestiftung erhob dagegen Beschwerde beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich. Dieses trat auf das Rechtsmittel nicht ein (Beschluss vom 19. Februar 2009). C. Die Personalvorsorgestiftung führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit folgenden Rechtsbegehren: "1. Das Dispositiv des Verfügungsteils 2 vom 24. September 2007 betreffend die Beschwerdegegnerin 2 (...) sei wie folgt zu ändern: '1. Ab 1. Januar 2004 hat die Versicherte Anspruch auf Wiederausrichtung der zuvor schon zugesprochenen halben Rente und nach Ablauf der dreimonatigen Übergangsfrist gemäss Artikel 88a IVV auf eine ganze Rente. 2. Es wird festgestellt, dass die Ursache der Invalidität, welche die Basis der Ausrichtung der IV-Rente ab 1. Januar 2004 bildet, auf Ereignisse zurückzuführen ist, welche nach dem 30. Oktober 1998 eintraten und dass die genannte Invalidität insbesondere auf kein Ereignis zurückzuführen ist, welches sich während des Arbeitsverhältnisses mit der Firma M._ bzw. während 30 Tagen danach ereignet hat.' 2. Eventualiter sei im Dispositiv des Verfügungsteils 2 vom 24. September 2007 festzuhalten, zu wie viel Prozent die Invalidität ab 1. Januar 2004 auf den Treppensturz vom 16. Dezember 1997 bzw. ein anderes, während des Arbeitsverhältnisses bzw. 30 Tage danach eintretendes Ereignis zurückzuführen ist. 3. Subeventualiter sei die Sache an die erste Instanz (IV-Stelle) zurückzuweisen, damit diese die nötigen fehlenden Beweise zum Erlass einer die Invaliditätsursache feststellenden Verfügung erhebe. 4. Die Kosten inklusive die Kosten der Vorinstanz von CHF 500 seien ausgangsgemäss der unterliegenden Partei aufzuerlegen. Der Beschwerdeführerin sei eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen." Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme. W._ lässt beantragen, es sei auf die Sache, soweit diese sie selber betreffe, nicht einzutreten, da sie im vorinstanzlichen Prozess nicht Partei gewesen sei. 