Faits: Faits: A. A.a C._ exploite en entreprise individuelle un atelier de polissage à F._. Désireux de construire une nouvelle usine sur l'article 7680 du cadastre de G._, C._ est entré en relation en novembre 1998 avec O._ SA, devenue le 9 mars 2001 D._ SA (ci-après: D._), société qui a notamment pour but la construction de maisons familiales et de bâtiments (art. 64 al. 2 OJ). C._ a chargé D._ de lui proposer un contrat d'entreprise à forfait. C._ a allégué qu'il avait exigé que le coût global maximum de l'ouvrage ne dépasse pas 1'000'000 fr., frais de l'acquisition du terrain inclus, et que l'entrée en jouissance se fasse aux vacances horlogères 1999. D._, pour sa part, a fait valoir que le budget n'incluait que la construction de l'usine et qu'il ne comportait notamment pas les coûts liés à l'acquisition du terrain, pas plus que ceux afférents aux aménagements intérieurs et extérieurs. A.b A une date indéterminée, D._ a dressé un premier projet de contrat; il y était fait mention d'un prix forfaitaire de 1'012'000 fr., lequel ne comprenait pas le prix du terrain à bâtir ni les frais d'aménagement du sol. C._ n'a pas signé ce contrat. Le 19 novembre 1998, la fiduciaire de C._ a résilié les baux de ses locaux d'exploitation pour le 30 septembre 1999. En décembre 1998, D._, sur la base d'une esquisse de C._, a établi un avant-projet concernant la construction de l'usine. A la suite des remarques effectuées en janvier 1999 par le Service de l'inspection et de la santé au travail du Département neuchâtelois de l'économie publique, C._ a sollicité des modifications de cet avant-projet. Comme C._ désirait diminuer l'enveloppe financière des bâtiments, D._ a fait de nouveaux plans et proposé un second projet de contrat intitulé "contrat d'entreprise" prévoyant le même prix forfaitaire. Cet accord n'a pas été signé par C._. Le 21 avril 1999, à partir de nouveaux plans établis par D._, C._ a signé une demande de permis de construire à l'intention du Conseil communal de G._. Le 26 avril 1999, C._ a requis et obtenu le report de la résiliation de ses baux du 30 septembre 1999 au 31 décembre 1999. Par décision du 15 juin 1999, le Service de l'inspection et de la santé au travail a approuvé les plans soumis par D._ pour le compte de C._, sous réserve en particulier de la conformité des machines aux règles générales de la SUVA. Le 23 juin 1999, le Conseil communal de G._ a délivré le permis de construire sollicité par C._. A.c Il a été retenu qu'au cours d'une réunion qui s'est tenue en juin 1999, C._ a souhaité poursuivre le projet, mais non plus sous la forme d'un contrat d'entreprise globale à forfait, mais sous celle d'un mandat d'architecte, avec faculté donnée au maître de l'ouvrage de choisir les entreprises, de négocier les prix et d'adjuger directement les travaux de construction. Le 9 juin 1999, l'avocat mandaté par C._ avait écrit à D._ pour qu'elle confirme que l'entrée en jouissance de la nouvelle usine de polissage était prévue le 30 novembre 1999, "sans quoi (s)on mandant pourrait renoncer à son projet et chercher d'autres solutions" (art. 64 al. 2 OJ). A.d Le 7 juillet 1999, C._, qui voulait modifier le projet autorisé en ce qui concernait l'aménagement intérieur de la construction, a remis un nouveau croquis à D._. Le 5 août 1999, D._ a présenté à C._ un "contrat relatif aux prestations de l'architecte" tenant compte des modifications requises. Ce contrat, qui, pour le calcul des honoraires, se référait à la norme SIA 102, fixait ceux-ci au prix forfaitaire de 135'000 fr. Par courrier du 23 août 1999, confirmé par son mandataire le 22 septembre 1999, C._ a fait savoir à D._ qu'il ne voulait plus collaborer avec elle et l'a priée de transmettre ses honoraires pour les travaux qu'elle avait effectués. Le 12 octobre 1999, D._ a adressé à C._ une facture d'honoraires de 65'865 fr. A cette occasion, C._ a appris que des sondages et une étude géologique du terrain avaient été exécutés après le dépôt de la demande de permis de construire, étant donné la mauvaise qualité du terrain. C._ a contesté la facture précitée, ne s'acquittant que d'un montant de 15'000 fr. le 24 décembre 1999. C._ a contesté la facture précitée, ne s'acquittant que d'un montant de 15'000 fr. le 24 décembre 1999. B. Le 22 février 2000, D._ a ouvert action contre C._ devant le Tribunal cantonal neuchâtelois. Soutenant avoir effectué toutes les prestations dans les règles de l'art et n'avoir reçu aucun avis de défaut d'exécution, elle a conclu au paiement par le défendeur de la somme de 50'532 fr.25 plus intérêts à 5 % dès le dépôt de la demande. Le défendeur a conclu à libération. Il a allégué que la demanderesse n'avait respecté ni le délai d'exécution ni le coût de construction et qu'elle n'avait pas analysé la qualité du terrain avant de s'engager dans les phases de l'avant-projet, du projet et de la préparation de l'exécution des travaux. En cours d'instance, une expertise a été confiée à P._, architecte FSAI-CSEA-GAN, qui a déposé son rapport le 24 août 2001. L'expert a relevé préliminairement que le dialogue entre les parties n'avait pas été ce qu'il aurait dû être. Puis, se référant à la norme SIA 102, l'expert a arrêté les prestations réellement effectuées par la demanderesse à 43 % de la mission complète (et non 48 % comme l'avait facturé celle-ci), alors que la prestation normalement accomplie à ce stade - qui comprend la phase de l'avant-projet, celle du projet et celle de préparation de l'exécution - serait de 54 %. Compte tenu d'un taux de base des honoraires de 17,2 % et d'un coefficient de complexité de 0,9, données rapportées à un montant donnant droit aux honoraires de 963'780 fr., les honoraires dus, d'après l'expert, se montent à 64'153 fr. (963'780 fr. x 17,2 % x 0,9 x 43 %). Ce dernier y a ajouté la TVA (7,6 %), les travaux complémentaires réalisés après l'octroi du permis de construire, par 1'500 fr., ainsi que des prestations complémentaires, en particulier des frais de sondage, par 1'832 fr.75, et des honoraires d'ingénieur civil, par 4'202 fr.25. Finalement, l'expert a évalué à 77'370 fr.70 (recte: 77'377 fr.70) le "montant total des honoraires selon tarif SIA No 102 + prestations complémentaires". Dans un rapport complémentaire du 20 mars 2002, l'expert a déclaré que, par rapport aux prestations décrites aux art. 4.1.1, 4.1.3 et 4.1.4 de la norme SIA 102, la demanderesse n'avait pas accompli celles qui suivent: - proposition de recourir à des professionnels spécialisés en matière de génie civil, de géotechnique, etc.; - prise en considération des propositions des professionnels spécialisés; - rédaction d'une notice explicative; - estimation sommaire du coût de construction; - comparaison du coût prévisible avec l'investissement envisagé par le mandant. Par jugement du 3 novembre 2003, la Ire Cour civile du Tribunal cantonal neuchâtelois a condamné le défendeur à verser à la demanderesse la somme de 31'000 fr. avec intérêts à 5 % l'an dès le 22 février 2000. La cour cantonale a admis "qu'au moins jusqu'au stade de la sanction définitive, les plans et autres documents préparés par la demanderesse et signés par le défendeur après une intense collaboration constitu(aient) l'objet du contrat", qu'elle a qualifié de contrat d'entreprise. En revanche, dès le mois de juin 1999, D._ devait se rendre compte que des problèmes sérieux étaient apparus entre les parties contractantes, de sorte qu'il lui appartenait alors de cesser son activité. Autrement dit, les prestations accomplies après ce terme n'avaient pas à être rémunérées. De même, il convenait d'écarter les opérations que le maître de l'ouvrage ne pouvait prévoir (coûts de forage du sol, factures d'ingénieur civil). Pour arrêter la rémunération de la demanderesse, l'autorité cantonale s'est référée à la norme SIA 102 et à la méthode de calcul des honoraires adoptée par l'expert judiciaire. Elle a toutefois réduit le pourcentage des prestations accomplies par la demanderesse à 28,5 % du total qui est atteint si toutes les phases du contrat sont exécutées, cela pour prendre en compte les défaillances d'informations dont devait répondre D._ et les conséquences qui en étaient résultées pour le défendeur. Elle a ainsi déterminé les honoraires dus à 42'520 fr. (963'780 fr. x 17,2 % x 0,9 x 28,5 %), montant ramené à 42'000 fr., auquel il convenait d'ajouter la TVA de 7,6 %, soit 3'192 fr., et les taxes administratives, par 700 fr., d'où un total de 45'892 fr. Après déduction de l'acompte versé de 15'000 fr., il restait un solde de 30'982 fr., que la Cour civile a arrondi à 31'000 fr. Pour arrêter la rémunération de la demanderesse, l'autorité cantonale s'est référée à la norme SIA 102 et à la méthode de calcul des honoraires adoptée par l'expert judiciaire. Elle a toutefois réduit le pourcentage des prestations accomplies par la demanderesse à 28,5 % du total qui est atteint si toutes les phases du contrat sont exécutées, cela pour prendre en compte les défaillances d'informations dont devait répondre D._ et les conséquences qui en étaient résultées pour le défendeur. Elle a ainsi déterminé les honoraires dus à 42'520 fr. (963'780 fr. x 17,2 % x 0,9 x 28,5 %), montant ramené à 42'000 fr., auquel il convenait d'ajouter la TVA de 7,6 %, soit 3'192 fr., et les taxes administratives, par 700 fr., d'où un total de 45'892 fr. Après déduction de l'acompte versé de 15'000 fr., il restait un solde de 30'982 fr., que la Cour civile a arrondi à 31'000 fr. C. Parallèlement à un recours en réforme, C._ forme un recours de droit public au Tribunal fédéral contre le jugement précité, dont il requiert l'annulation. Invoquant l'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'application insoutenable de l'art. 8 CC et de deux normes de la procédure cantonale, il signale la divergence d'opinions des juges cantonaux dans la présente cause et prétend qu'il manque un considérant dans la décision attaquée. L'intimée conclut au rejet du recours. L'autorité cantonale forme des observations. Elle expose que, conformément au Code de procédure civile neuchâtelois du 30 septembre 1991 (CPC/NE), le jugement, initialement prévu pour être rendu par voie de circulation, a été, à la demande de la Présidente de la Cour, rendu en audience publique, à la majorité, et que c'est l'un des juges majoritaires qui a procédé à sa rédaction définitive et l'a signé. La cour cantonale a concédé qu'il était exact que les considérants du jugement sautaient du numéro 4 au numéro 6, mais que c'était le résultat d'une inadvertance qui n'avait pas été décelée avant que le recourant ne la signale. 