Strafverfahren, hat sich ergeben: A.- Das Bezirksgericht Bülach verurteilte X._ am 28. Januar 1997 wegen Verstosses gegen Art. 19 Ziff. 1 Abs. 3 und 6 BetmG, mehrfacher Übertretung von Art. 19a Ziff. 1 BetmG (in der Fassung vom 20. März 1975), Fahrens in angetrunkenem Zustand im Sinne von Art. 91 Abs. 1 SVG sowie grober Verkehrsregelverletzung im Sinne von Art. 90 Ziff. 2 SVG in Verbindung mit Art. 31 Abs. 2 SVG und Art. 2 Abs. 1 VRV zu drei Monaten Gefängnis unbedingt. Es hielt für erwiesen, dass er Ende 1994 als Vertreter des "Kollektivs für sinnvolle Nutzung der Ressourcen und gegen staatlich geförderte Schindluderei" an der Einfuhr eines Paketes mit über 500 g Hanfkraut mitwirkte und zwischen dem 1. Januar 1995 und dem 31. Oktober 1996 an unbestimmten Orten in der Schweiz, u.a. im Raum Winterthur und Ossingen, "in unbestimmten Malen unregelmässig Hanfkraut (Marihuana)-Joints rauchte und weitere THC-haltige Produkte konsumierte". Ausserdem habe er am 23. August 1995, um 01.15 Uhr, in Winterthur mit seinem Lieferwagen von einem Parkfeld wegfahren wollen, obwohl seine Fahrfähigkeit durch den Konsum von Alkohol und Cannabis eingeschränkt gewesen sei. In der Nacht vom 14. Mai 1996 sei er zudem mit einem Personenwagen von Locarno nach Zürich gefahren, wobei er nicht fahrfähig gewesen sei, da er untertags derartige Mengen Hanfkraut geraucht und weitere THC-haltige Produkte konsumiert habe, dass sein peripheres Blut einen THC-Wert von mindestens 8 ng/ml und einen THC-Carbonsäure-Wert von mindestens 90 ng/ml aufgewiesen habe. B.- Mit Beschluss vom 2. Februar 1998 trat das Obergericht des Kantons Zürich auf die Berufung von X._ wegen Verspätung nicht ein und wies das Fristwiederherstellungsgesuch ab. Das Kassationsgericht des Kantons Zürich hiess die von X._ dagegen erhobene Nichtigkeitsbeschwerde gut und hob den obergerichtlichen Beschluss auf. C.- Mit Urteil vom 22. Dezember 1999 verurteilte das Obergericht X._ wegen Zuwiderhandlung gegen Art. 19 Ziff. 1 Abs. 3 und 6 BetmG und Fahrens in angetrunkenem Zustand im Sinne von Art. 91 Abs. 1 SVG. Von den übrigen Anklagepunkten sprach es ihn frei und bestrafte ihn mit drei Monaten Gefängnis unbedingt. Das Kassationsgericht wies die von X._ erhobene Nichtigkeitsbeschwerde am 1. Juni 2001 ab, soweit es darauf eintrat. D.- Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 9. Juli 2001 beantragt X._, die Urteile des Kassationsgerichts vom 1. Juni 2001 und des Obergerichts vom 22. Dezember 1999 aufzuheben. Ausserdem ersucht er, seiner Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen und ihm unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. E.- Mit Verfügung vom 17. August 2001 erkannte der Präsident der I. öffentlichrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu. F.- Staatsanwaltschaft, Obergericht und Kassationsgericht verzichten auf Vernehmlassung. 