Sachverhalt: A. Der 1961 geborene L._ bezieht seit November 2003 eine ganze Rente der Invalidenversicherung (Verfügungen der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 4. März 2005). Die Leistungszusprechung beruhte im Wesentlichen auf einem psychiatrischen Gutachten des Dr. R._ vom 28. Juni 2004. Im Rahmen eines Rentenrevisionsverfahrens holte die IV-Stelle ein psychiatrisches Gutachten des Dr. P._ vom 24. Februar 2010 ein. Mit Verfügung vom 15. November 2010 hob sie die Invalidenrente auf Ende Dezember 2010 hin auf. B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 26. Juni 2012). C. L._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei ihm, unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids, weiterhin eine ganze Invalidenrente auszurichten. Eventuell bestehe ein Anspruch auf eine Viertelsrente. Ausserdem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung). Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme. 