Sachverhalt: A. C._, geboren 1972, ist türkische Staatsangehörige, wohnt seit 1990 in der Schweiz und ist Mutter von zwei Kindern (geboren 1992 und 1998). Seit 24. September 1999 lebte sie mit ihren Kindern gerichtlich getrennt von ihrem ersten Ehegatten (Kindsvater). Von Dezember 1995 bis Januar 1998 arbeitete sie mit einem Vollpensum in der Rüstküche des Personalrestaurants X._. Wegen einer seit 1997 eingetretenen "depressiven Entwicklung mit nicht epileptischen Anfällen (Synkopen bei psychosozialer Belastung) " meldete sich C._ am 10. Dezember 1999 bei der IV-Stelle Basel-Stadt zum Rentenbezug an. Mit Verfügung vom 16. Januar 2002 sprach ihr die IV-Stelle rückwirkend ab 1. September 1999 bei einem Invaliditätsgrad von 100% eine ganze Invalidenrente nebst Kinderrenten zu. A.a. Nach mehrfacher erfolgloser Abmahnung der Mitwirkungspflicht hinsichtlich der Abklärung einer offenbar zwischenzeitlich vorübergehend aufgenommenen Erwerbstätigkeit verfügte die IV-Stelle am 21. September 2007 die sofortige Einstellung der Rentenzahlungen wegen Verletzung der Mitwirkungspflicht. Hiegegen liess die Versicherte innert Beschwerdefrist bei der IV-Stelle Einwände erheben. Mit Verfügung vom 15. Januar 2008 bestätigte die IV-Stelle der Versicherten die ununterbrochen fortgesetzte Weiterausrichtung der ganzen Invalidenrente ab 1. Oktober 2007. Zudem kündigte die IV-Stelle gemäss Verfügung vom 18. Januar 2008 an, aufgrund einer zwischenzeitlich eingetretenen wesentlichen Verbesserung des Gesundheitszustandes mit Wirkung ab 1. März 2008 nur noch eine halbe Invalidenrente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 50% auszurichten. Auf Beschwerde hin hob der Präsident des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt die angefochtene Verfügung vom 18. Januar 2008 in einzelrichterlicher Kompetenz auf (Entscheid vom 8. Mai 2008). A.b. Nach weiteren Abklärungen - insbesondere gestützt auf das psychiatrisch-neurologische Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle Y._ vom 3. August 2009, wonach die Versicherte seit Oktober 2008 sowohl in der angestammten wie auch in einer angepassten, körperlich leichten bis maximal mittelschweren Verweisungstätigkeit ohne Selbst- und Fremdgefährdung durch Maschinen oder Absturzgefahr zu 75% arbeitsfähig sei - hob die IV-Stelle die bis dahin ausgerichtete ganze Invalidenrente rückwirkend per 1. August 2009 bei einem neu ermittelten Invaliditätsgrad von 28% auf und verneinte mangels Bedürftigkeit einen Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung (Verfügung vom 19. Januar 2012). B. Dagegen beantragte C._ beschwerdeweise die Aufhebung der Verfügung der IV-Stelle vom 19. Januar 2012 und die fortgesetzte Ausrichtung einer ganzen Invalidenrente. Zudem sei festzustellen, dass die Versicherte der IV-Stelle keine Rückzahlung schuldet. Letztere sei zur Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung für das Vorbescheidverfahren zu verpflichten. Zudem sei der Versicherten für das kantonale Gerichtsverfahren die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung zu gewähren. Demgegenüber beantragte die IV-Stelle mit Vernehmlassung vom 4. April 2012, die Beschwerde der Versicherten sei teilweise gutzuheissen, auf eine Rückforderung sei mangels Meldepflichtverletzung zu verzichten und die Einstellung der Rentenleistungen habe anschliessend an die am 19. Januar 2012 verfügte Rentenaufhebung erst per 29. Februar 2012 zu erfolgen. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt hiess die Beschwerde mit Entscheid vom 27. August 2012 teilweise gut, sprach der Versicherten mit Wirkung ab 1. Februar 2012 eine Viertelsrente zu und stellte fest, dass die Beschwerdeführerin bis Ende Januar 2012 Anspruch auf eine ganze Invalidenrente habe. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, der angefochtene kantonale Gerichtsentscheid sei teilweise aufzuheben, soweit der Versicherten damit ab Februar 2012 eine Viertelsrente zugesprochen worden sei, und es sei festzustellen, dass ab diesem Zeitpunkt kein Rentenanspruch mehr bestehe. Zudem ersucht die IV-Stelle darum, es sei ihrer Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Während C._ - ohne sich zum Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung zu äussern - auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) auf eine Vernehmlassung. D. Mit Verfügung vom 24. April 2013 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. 