Faits: A. Par jugement du 7 juin 2006, le Tribunal de police de l'arrondissement de la Côte a condamné par défaut X._, pour abus de confiance, à trois mois d'emprisonnement ferme et donné acte à Y._ SA de ses réserves civiles contre le condamné. X._ a formé une première demande de relief. L'avant-veille de l'audience de reprise de cause, fixée au 19 janvier 2007, il a envoyé par télécopie une lettre et un certificat médical au président du tribunal pour lui demander un report. Le président lui a répondu immédiatement par télécopie et par courrier prioritaire qu'il maintenait l'audience. Par jugement du 19 janvier 2007, constatant que X._ n'avait pas comparu à l'audience de reprise de cause, le tribunal de police a, en application de l'art. 408 du code de procédure pénale du canton de Vaud (RS/VD 312.01; ci-après: CPP/VD), confirmé son jugement du 7 juin 2006. X._ n'est pas allé retirer, à l'agence postale de sa résidence secondaire française, le pli recommandé sous lequel le greffe du tribunal de l'arrondissement de La Côte lui avait envoyé un exemplaire de ce jugement pour notification. B. Le 13 septembre 2008, X._ a été arrêté et placé en détention afin de purger la peine de trois mois d'emprisonnement prononcée contre lui. Le jour même de son arrestation, il a présenté une seconde demande de relief. Statuant sur celle-ci le 15 septembre 2008, le Président du Tribunal de police de l'arrondissement de la Côte l'a déclarée irrecevable, faute pour le requérant de justifier d'un cas de force majeure l'ayant empêché de comparaître à l'audience de reprise de cause du 19 janvier 2007. Le recourant n'a constitué un défenseur qu'à réception de ce prononcé (cf. dossier cantonal, pièce 28 p. 6), lors même qu'en l'inculpant, le juge d'instruction l'avait informé de son droit d'être assisté d'un défenseur, conformément aux art. 104 ss CPP/VD (cf., dossier cantonal, PV d'audition 2). C. Par arrêt du 30 septembre 2008, la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud, saisie d'un recours en réforme séparé (art. 420 let. d CPP/VD), a confirmé l'irrecevabilité de la seconde demande de relief. D. X._ recourt au Tribunal fédéral contre cet arrêt, en concluant à son annulation et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision. Il joint des pièces nouvelles à son mémoire. Le Tribunal fédéral n'a pas ordonné d'échange d'écritures sur le fond. E. Par ordonnance de mesures provisionnelles du 30 octobre 2008, considérant que la condamnation prononcée le 7 juin 2006 n'était pas exécutoire (art. 103 al. 1 let. b LTF) et constatant que l'intéressé ne faisait pas l'objet d'une décision de mise en détention préventive ou d'arrestation immédiate, le président de la cour de céans a admis une requête de remise en liberté présentée par le recourant. 