Sachverhalt: A. Die 1966 geborene S._ arbeitete zuletzt ab April 2004 in einem Teilzeitpensum als Sekretärin in einem Alters- und Pflegeheim. Im November 2004 meldete sie sich unter Hinweis auf seit einem Verkehrsunfall vom 25. Juni 2004 bestehende Beschwerden bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Luzern traf Sachverhaltsabklärungen und gewährte Arbeitsvermittlung. Mit Verfügung vom 21. Mai 2007 verneinte sie einen Anspruch auf eine Invalidenrente mangels eines leistungsbegründenden Invaliditätsgrades. Diese Verfügung hob das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 19. September 2008 auf und wies die Sache zur weiteren medizinischen Abklärung an die Verwaltung zurück. Die IV-Stelle holte ein interdisziplinäres medizinisches Gutachten des medizinischen Zentrums X._ vom 24. Mai 2009 ein und verneinte mit Verfügung vom 17. September 2009 erneut einen Rentenanspruch. B. Beschwerdeweise beantragte S._, es sei die Verfügung vom 17. September 2009 aufzuheben und ein polydisziplinäres Obergutachten anzuordnen; eventuell sei mit Wirkung ab 1. Juni 2005 eine ganze Invalidenrente bei einem Invaliditätsgrad von 100 % zuzusprechen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern gewährte S._ die unentgeltliche Rechtspflege und wies die Beschwerde ab (Entscheid vom 28. Mai 2010). C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und ein polydisziplinäres Obergutachten anzuordnen. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht. Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. Mit Eingabe vom 10. November 2010 lässt S._ nochmals Stellung nehmen. 