Faits: A. D._ a été assuré par la Fondation institution supplétive LPP (ci-après : la fondation) dans le cadre de l'assurance obligatoire des chômeurs. Le 23 mars 2005, le prénommé a saisi le Tribunal administratif de la République et Canton de Neuchâtel d'une action de droit administratif tendant à l'octroi d'une rente d'invalidité servie par la fondation, que la juridiction cantonale a rejetée par jugement du 28 juillet 2006. Saisi à son tour par D._, le Tribunal fédéral a jugé, en bref, que le droit aux indemnités journalières avait pris fin en juin ou juillet 2001 et simultanément mis un terme au rapport de prévoyance avec la fondation intimée. Il a dès lors laissé ouverte la question de savoir si cette dernière couverture s'était prolongée ou non durant les trente jours suivants, car l'intéressé n'était plus assuré auprès de la fondation intimée lorsqu'était survenue - en juin 2002 ou juillet 2002 - l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité. Le Tribunal fédéral a rejeté le recours de droit administratif, par arrêt du 27 décembre 2007 qui a été notifié au représentant du recourant le 17 janvier 2008 (B 110/06). B. Sous plis postés les 11 et 24 avril 2008, D._ requiert la révision de l'arrêt du 27 décembre 2007. Il demande au Tribunal fédéral de constater que des indemnités de chômage ont été versées jusqu'en juin 2002 et de statuer sur son droit à des rentes d'invalidité avec intérêts moratoires. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire. Dans sa réponse, la Fondation institution supplétive LPP s'est déterminée quant à la fin de l'assurance obligatoire des chômeurs, et a conclu au renvoi de la cause aux premiers juges pour fixer le moment de la survenance de l'incapacité de travail. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à produire des observations. 