Sachverhalt: A. Der 1951 geborene H._ war als Geschäftsführer der Firma E._ AG tätig, bevor er sich am 28. Mai 2008 bei der Arbeitslosenversicherung meldete. Die Arbeitslosenkasse des Kantons Luzern setzte daraufhin den Taggeldansatz auf 80 Prozent des versicherten Verdienstes fest. Mit Verfügung vom 3. September 2008, bestätigt durch den Einspracheentscheid vom 29. Oktober 2008, forderte sie in den Monaten Juni und Juli 2008 zu viel bezahlte Leistungen im Umfang von Fr. 2'244.25 zurück, weil mangels Unterhaltspflichten gegenüber von Kindern lediglich Anspruch auf einen Taggeldansatz von 70 Prozent des versicherten Verdienstes bestehe, ohne Kinder- bzw. Ausbildungszulagen. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 11. März 2009 ab. Am 20. November 2008 machte H._ geltend, das von seiner Tochter (Jahrgang 1985) am 3. September 2008 aufgenommene Sprachstudium sei Teil ihrer Ausbildung zur Primarlehrerin, weshalb er ihr gegenüber zu Unterhalt verpflichtet sei. Ab diesem Zeitpunkt habe er daher Anspruch auf ein Taggeld von 80 Prozent des versicherten Verdienstes sowie auf Ausbildungszulagen. Mit Verfügung vom 10. Dezember 2008 wies die Arbeitslosenkasse das Leistungsbegehren ab. Die dagegen erhobene Einsprache sistierte sie bis zum Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 11. März 2009 über die Rückforderung. Da dieses darin zu erkennen gab, dass sich der Anspruch auf die ab 3. September 2008 geltend gemachten Leistungen aufgrund der damaligen Aktenlage nicht abschliessend beurteilen lasse, ersuchte die Arbeitslosenkasse den Versicherten, Arbeitspensum und Lohn der Tochter ab September 2008 zu dokumentieren. Nachdem dieser entgegen wiederholter Aufforderung keine Unterlagen einreichte, trat sie mit Einspracheentscheid vom 16. Juni 2009 androhungsgemäss auf die Einsprache nicht ein. B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern wies die von H._ dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 17. September 2009 ab; gleichzeitig trat es auf das Leistungsbegehren nicht ein. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt H._ Aufhebung des angefochtenen Gerichtsentscheids. Die Arbeitslosenkasse schliesst auf Abweisung der Beschwerde, während das Staatssekretariat für Wirtschaft auf eine Vernehmlassung verzichtet. 