Sachverhalt: A. H._ stellte im Mai 2008 - als er mit seinen Eltern in einer 41⁄2-Zimmer-Wohnung logierte - beim Ausländeramt des Kantons Schaffhausen ein Gesuch um Familiennachzug für seine Ehefrau. Das Merkblatt "Familiennachzug" verlangt eine bedarfsgerechte Wohnung für die ganze Familie und als Beilage den entsprechenden Mietvertrag. Daraufhin reichte H._ einen solchen für eine 3-Zimmer-Wohnung ein, gültig ab dem 1. Juni 2008. In der Folge wurde das Gesuch bewilligt. Im August reiste seine Frau in die Schweiz ein und bewohnte mit ihm die 3-Zimmer-Wohnung. Ende August kündigte er die Wohnung, und seit dem 1. Januar 2009 leben er und seine Frau zusammen mit seinen Eltern in deren 41⁄2-Zimmer-Wohnung, die er zuvor auf seinen Namen umschreiben liess. B. Das Untersuchungsrichteramt des Kantons Schaffhausen verurteilte H._ am 18. März 2009 wegen Widerhandlung gegen das Ausländergesetz (AuG) zu einer bedingten Geldstrafe von 90 Tagessätzen zu Fr. 100.-- und zu einer Busse von Fr. 500.--. Auf Einsprache des Verurteilten stellte das Untersuchungsrichteramt das Verfahren mangels Nachweises für ein strafbares Verhalten ein. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Schaffhausen verweigerte am 12. Juni 2009 die Genehmigung der Einstellung und erhob gegen H._ Anklage wegen Täuschung der Behörde. C. Das Kantonsgericht Schaffhausen sprach den Angeklagten am 7. Oktober 2009 von Schuld und Strafe frei. Auf Berufung der Staatsanwaltschaft verurteilte das Obergericht des Kantons Schaffhausen am 30. April 2010 H._ wegen Täuschung der Behörde zu einer bedingten Geldstrafe von 90 Tagessätzen zu Fr. 100.-- und zu einer Busse von Fr. 500.--. D. H._ führt Beschwerde in Strafsachen und beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben, und er sei von Schuld und Strafe freizusprechen. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet (act. 7). Die Staatsanwaltschaft beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen (act. 12). 