Faits: A. Par décision du 7 février 2001, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) a rejeté une demande de prestations que A._ avait déposée en 1998. Le prénommé a présenté une nouvelle demande, le 1er juillet 2005, invoquant des douleurs cervicales et lombaires persistantes et une dépression. L'office AI a recueilli les avis des docteurs N._, P._ et C._, et confié un mandat d'expertise rhumatologique et psychiatrique au SMR. Les docteurs S._ et V._, du SMR, ont exclu toute atteinte à la santé ayant une répercussion sur la capacité de travail, laquelle demeurait entière depuis toujours dans n'importe quelle activité (rapport du 3 septembre 2007). Dans un projet de décision du 9 novembre 2007, l'office AI a fait savoir à A._ qu'il envisageait de rejeter la demande, au motif qu'il ne présentait aucune comorbidité psychiatrique ni aucune limitation fonctionnelle somatique. L'assuré a manifesté son opposition en se prévalant des appréciations des docteurs N._, P._ et C._, qui retenaient une capacité de travail partielle. Par décision du 6 août 2008, l'office AI a rejeté la demande. B. A._ a déféré cette décision au Tribunal des assurances du canton de Vaud (aujourd'hui : Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal) en concluant à l'octroi d'une rente entière d'invalidité. Il a requis la mise en oeuvre d'une expertise médicale pluridisciplinaire, invoquant des divergences dans les avis médicaux. La juridiction cantonale l'a débouté par jugement du 9 juin 2010. C. A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, avec suite de frais et dépens, en concluant au renvoi de la cause au tribunal cantonal pour mise en oeuvre d'une expertise pluridisciplinaire et nouveau jugement. Il produit un rapport médical du docteur C._, du 13 juillet 2010. L'intimé et l'Office fédéral des assurances sociales n'ont pas été invités à se déterminer. 