Faits: A. B._ et A._ sont les enfants de C._, décédée le 23 novembre 1999 à Oleyres; ils sont ses seuls héritiers en vie. B. B.a. Par demande du 5 juin 2007, B._ a notamment conclu au partage de la succession. Statuant le 25 septembre 2007, la Présidente du Tribunal civil de l'arrondissement de La Broye et du Nord vaudois a ordonné le partage et commis un notaire à cette fin. Les parties n'ayant toutefois pu s'entendre sur la proposition du notaire, la présidente du tribunal a, par jugement du 6 mai 2013, fixé les modalités du partage. B.b. Le 10 juin 2013, A._ a fait appel du jugement précité. Le 17 juin 2013, il a été invité à verser, d'ici au 5 juillet suivant, une avance de frais de 5'000 fr.; par courrier mis à la poste le 5 juillet 2013, l'intéressé a " refusé provisoirement " d'effectuer cette avance. Le 9 juillet 2013, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois a informé l'appelant que le paiement de l'avance de frais constituait une condition de recevabilité de l'appel et lui a imparti un délai au 19 juillet 2013 pour s'en acquitter. Par arrêt du 20 août 2013, constatant que l'avance de frais requise n'avait pas été versée et que le courrier du 9 juillet 2013 n'avait donné lieu à aucune réaction de la part de l'appelant, la Juge déléguée de la Cour d'appel civile a déclaré l'appel irrecevable. C. Par mémoire du 23 septembre 2013 - intitulé " refus d'arrêt " -, A._ s'est adressé au Tribunal fédéral, sans l'assistance d'un mandataire professionnel: il expose " refuser catégoriquement " la décision cantonale, précisant qu'il n'est " nullement question de recourir au Tribunal fédéral tant que l'instruction de la cause n'est pas terminée ", et sollicite d'être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire. Par lettre du 6 octobre 2013, le recourant confirme en bref n'avoir " nullement fait un recours auprès de Tribunal fédéral, mais uniquement un refus de l'arrêt attaqué ", tout en réitérant sa requête d'assistance judiciaire. Par nouveau courrier du 10 octobre suivant, il a informé la Cour de céans s'être également adressé à la cour cantonale; enfin, en réponse à une demande de clarification du Président de la IIe Cour de droit civil, il a maintenu son intention de recourir contre l'arrêt cantonal. Invitée à se déterminer sur le recours et à préciser les modalités de la notification de son courrier du 9 juillet 2013, la juridiction cantonale a indiqué que celui-ci avait été communiqué sous simple pli; pour le surplus, elle s'en remet à justice quant au sort du recours. L'intimée s'en remet aussi à justice sur le sort de la cause, tout en précisant que, en prétendant ne pas avoir reçu le courrier du 9 juillet 2013, le recourant est d'une " mauvaise foi évidente ". 