Sachverhalt: A. A._ (Arbeitnehmer) trat per 1. Februar 2000 bei der X._ AG (Arbeitgeberin) eine Stelle als Werkstattchef an. Am 1. Februar 2001 schlossen die Parteien einen schriftlichen Arbeitsvertrag, der in Ziff. 12 auf die "Arbeitsvertraglichen Bestimmungen für das technische und kaufmännische Personal" (ArbBest) verweist. Ziff. 4.1. ArbBest sieht vor, dass während der Dauer des Arbeitsverhältnisses bei unverschuldeter Arbeitsunfähigkeit infolge Krankheit und Unfall für bestimmte Zeit in Abhängigkeit der Dauer des Arbeitsverhältnisses eine (volle) Lohnzahlungspflicht besteht und nach Erschöpfung dieses Anspruchs Erwerbsunfall-Versicherungsleistungen gemäss Ziff. 6.1 und 6.2 erfolgen. Die Leistungen bei Krankheit werden in Ziff. 6.2 ArbBest wie folgt geregelt: "Der Arbeitgeber versichert den Arbeitnehmer gegen Erwerbsausfall durch Krankheit bis zu einer festgesetzten maximalen Gehaltshöhe bis längstens 720 Tage pro Krankheitsfall innerhalb von 900 aufeinanderfolgenden Tagen. Ein Rückfall innerhalb von 180 Tagen gilt nicht als neuer Krankheitsfall. [...] Für die Berechnung der maximalen Leistungsdauer werden Tage mit teilweiser Erwerbsunfähigkeit von mindestens 50 % nur anteilmässig gezählt. Das volle Gehalt wird während der in Ziffer 4.1. festgesetzen Dauer ausbezahlt; anschliessend werden 80 % des versicherten Jahresgehalts bis zum Ablauf der Frist gemäss Absatz 1 hiervor vergütet." Die Arbeitgeberin schloss in der Folge bei der Y._ Versicherung per 1. April 2001 eine Kollektiv-Taggeldversicherung ab, welche für den Krankheitsfall 80 % des Lohnes während maximal 720 Tagen innerhalb von 900 Tagen deckte. Im Herbst 2002 wurde der Arbeitnehmer krank und am 27. November 2002 hospitalisiert. Er war in der Folge bis und mit 30. September 2003 zu 100 %, vom 1. bis 14. Oktober 2003 zu 80 % und danach bis am 13. Februar 2005 zu 50 % arbeitsunfähig. Mitte Februar 2005 kam es zu einem Rückfall, der zu einer erneuten und bis heute andauernden 100 %-igen Arbeitsunfähigkeit führte. Seit 1. November 2003 zahlt die Invalidenversicherung dem Arbeitnehmer eine halbe IV-Rente. Mit Schreiben vom 26. Mai 2003 kündigte die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis per Ende August 2003. Die Y._ Versicherung erbrachte das der jeweiligen Arbeitsfähigkeit angepasste Taggeld auch nach Beendigung des Arbeitsverhältnisses. Mit Schreiben vom 7. Dezember 2004 teilte die Y._ Versicherung dem Arbeitnehmer mit, der maximale Leistungsanspruch von 720 Tagen sei am 15. November 2004 erreicht worden, da die Teilerwerbsunfähigkeit nach den Allgemeinen Versicherungsbedingungen (AVB) nicht zu einer Verlängerung des Genussanspruches führe. In der Folge machte der Arbeitnehmer gegenüber der Arbeitgeberin geltend, die arbeitsvertraglichen Bestimmungen hätten eine proportionale Verlängerung der Genussdauer bei Teilerwerbsfähigkeit vorgesehen. Die Y._ Versicherung habe jedoch für die Dauer seiner 50 %-igen Arbeitsunfähigkeit keine Verlängerung der Leistungsdauer vorgesehen, weshalb er von der Arbeitgeberin die Zahlung der entsprechenden Differenz verlange. B. Mit Klage vom 30. Januar 2006 belangte der Arbeitnehmer die Arbeitgeberin beim Gerichtskreis V Burgdorf-Fraubrunnen auf Zahlung von Fr. 10'233.50 nebst Zins von 5 % seit 3. Juni 2005. Anlässlich des erstinstanzlichen Verfahrens modifizierte der Kläger sein Rechtsbegehren mehrmals. Zuletzt verlangte er von der Beklagten die Zahlung von Fr. 11'837.20 nebst Zins zu 5 % seit 23. Dezember 2005. Mit Entscheid vom 25. April 2007 wies der Gerichtspräsident 2 des Gerichtskreises V Burgdorf-Fraubrunnen die Klage ab. Der Kläger erhob beim Obergericht des Kantons Bern Appellation und verlangte an der Hauptverhandlung, die Beklagte sei zur Zahlung von Fr. 8'743.75 zu verurteilen. Das Obergericht wies die Klage am 29. November 2007 ab. Es nahm an, die vom Kläger ins Recht gelegten Schadensberechnungen würden den Anforderungen an die Substanziierung des Schadens nicht genügen. Weder in der Klage noch im oberinstanzlichen Parteivortrag sei mit genügender Deutlichkeit erläutert worden, wie die in den Tabellen verwendeten Zahlen zu verstehen seien und wie man daraus auf den geforderten Schaden komme. Das Obergericht verzichtete indes darauf, aus der mangelnden Substanziierung auf den Verlust des Anspruchs zu schliessen. Vielmehr nahm es eine eigene Berechnung des Schadens vor und kam dabei zum Ergebnis, der Kläger habe unter Berücksichtung der Zahlungen der Y._ Versicherung und der anrechenbaren IV-Renten im vertraglich zugesicherten Umfang Leistungen bezogen, weshalb kein Schaden vorliege. C. Der Kläger erhebt Verfassungsbeschwerde mit den Anträgen, das Urteil des Obergerichts vom 3. Dezember 2007 sei aufzuheben und die Sache sei zur erneuten Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventuell sei die Klage gutzuheissen. Die Beklagte schliesst auf Abweisung der Verfassungsbeschwerde und der Klage. Das Obergericht verzichtet auf eine Stellungnahme. 