Sachverhalt: A. A._ (Klägerin; Beschwerdeführerin) wurde von ihrem Hausarzt mit Schreiben vom 2. Oktober 2009 wegen kolikartiger Bauchschmerzen und Reflux an die B._ Spitäler AG (Beklagte Beschwerdegegnerin) Spital C._ überwiesen. Am 5. Oktober 2009 wurde sie im Spital C._ untersucht und am 7. Oktober 2009 eine laparoskopische Cholezystektomie (Entfernung der Gallenblase ohne Öffnung der Bauchdecke) vorgenommen. Nach der Operation klagte sie über Übelkeit und Bauchschmerzen. Sie hatte zudem erhöhte Leberwerte. Deshalb wurde eine Sonographie und eine CT des Abdomens durchgeführt. Als Ursache der erhöhten Leberwerte wurden medikamentöse Nebenwirkungen vermutet. Nach Absetzung der Medikamente reduzierten sich die Leberwerte, worauf die Patientin am 12. Oktober 2009 entlassen wurde. Am 15. Oktober 2009 wurde sie zur Kontrolle aufgeboten. Wegen ihres schlechten Gesundheitszustandes überwies sie das Spital C._ zur Durchführung einer Magnetresonanz-Cholangio-Pankreatikographie (MRCP) an das Kantonsspital D._. Dort wurde ein Verschluss unterhalb der Hepaticusgabel festgestellt. Am 16. Oktober 2009 fand am Universitätsspital E._ eine Revisionsoperation statt. Sie ergab, dass bei der Operation zur Entfernung der Gallenblase durch eine falsche Clipsetzung eine Gallengangverletzung verursacht worden war. B. Am 8. Juni 2011 gelangte die Patientin an die Staatskanzlei des Kantons Solothurn und machte einen Anspruch auf Schadenersatz und Genugtuung geltend. Mit Verfügung vom 30. Januar 2013 wies die Staatskanzlei das Gesuch um Schadenersatz und Genugtuung ab, auferlegte der Patientin die Verfahrenskosten von Fr. 2'500.-- und sprach keine Parteientschädigung zu. Gegen diese Verfügung reichte die Patientin beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn Beschwerde ein. Sie beantragte, die Verfügung der Staatskanzlei aufzuheben, festzustellen, dass bei der Behandlung im Spital C._ vom 5. bis am 15. Oktober 2009 Fehler gemacht worden seien, die eine Haftung begründeten, und die Sache an die Staatskanzlei zur Beurteilung der eingeklagten Forderung zurückzuweisen. Ferner sei festzustellen, dass das Verfahren vor der Staatskanzlei unentgeltlich sei, und die o/e-Kosten des Verfahrens der Beklagten aufzuerlegen. Mit Urteil vom 19. Dezember 2013 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht im Wesentlichen, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben, festzustellen, dass bei der Behandlung im Spital C._ vom 5. bis am 15. Oktober 2009 Fehler gemacht worden seien, die eine Haftung begründeten, und die Sache an die Staatskanzlei zur Beurteilung der eingeklagten Forderung zurückzuweisen. Eventuell sei die Sache an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen mit der Weisung, das von der Beschwerdeführerin beantragte Gutachten einzuholen und die Beschwerdegegnerin aufzufordern, die vor Anhebung des Prozesses abgegebene Stellungnahme des beratenden Arztes der "F._ Versicherung" zu edieren. Die Beschwerdegegnerin und das Verwaltungsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Parteien haben unaufgefordert eine Replik und eine Duplik eingereicht. 