Fatti: A. Il 29 gennaio 2008 santésuisse Ticino segnalava il dott. X._ per sospetta ineconomicità e trasmetteva gli atti all'avv. Giorgio Foppa, Presidente della Commissione paritetica di fiducia (CPF) - istituita, di comune accordo, insieme all'Ordine dei medici del Cantone Ticino (OMCT) -, per un esperimento di conciliazione. Il 14 e il 18 febbraio 2008 il Presidente della CPF convocava il dott. X._ per un tentativo di conciliazione e fissava la data della relativa udienza. In data 15 aprile, il dott. X._, patrocinato dall'avv. Rossano Bervini, chiedeva la ricusa dei tre membri della CPF designati da santésuisse, di cui contestava l'imparzialità per essere in rapporti di dipendenza con gli assicuratori malattia e con santésuisse. Al termine dell'udienza di conciliazione, svoltasi l'11 giugno 2008, la CPF sospendeva la procedura per pronunciarsi sull'eccezione di ricusa dei tre membri designati da santésuisse. Ritenendola da un lato intempestiva e dall'altro infondata, mediante decisione del 18 giugno 2008 il Presidente della CPF respingeva l'eccezione di ricusa. B. Adito su ricorso del medico, il Tribunale arbitrale in materia di assicurazione contro le malattie e gli infortuni del Cantone Ticino confermava la decisione del Presidente della CPF e accollava al dott. X._ le tasse e le spese di giustizia (per complessivi fr. 2'504.80) come pure un importo di fr. 500.- a titolo di ripetibili (pronuncia del 22 ottobre 2008). C. Sempre patrocinato dall'avv. Bervini, il dott. X._ ha interposto un ricorso di diritto pubblico (recte: in materia di diritto pubblico) e un ricorso sussidiario in materia costituzionale al Tribunale federale, al quale chiede di annullare il giudizio del Tribunale arbitrale e di accogliere di conseguenza l'istanza di ricusa dei tre membri della CPF designati da santésuisse. Dei motivi si dirà, per quanto occorra, nei considerandi. Con atto del 23 dicembre 2008, sempre tramite il proprio patrocinatore, il dott. X._ ha segnalato di essere venuto a conoscenza "recentissimamente e per puro caso fortuito" del fatto che l'arbitro del Tribunale arbitrale designato da santésuisse, avv. Y._, sarebbe membro del consiglio d'amministrazione di H._ e di altre società ad essa riconducibili. Ravvisando in questa circostanza un motivo di esclusione dell'arbitro in questione, il ricorrente chiede di esaminare pregiudizialmente questa eccezione e di annullare il giudizio impugnato. Chiamati ad esprimersi, santésuisse, patrocinata dall'avv. Mario Molo, il Presidente della CPF e il Tribunale arbitrale propongono la reiezione del gravame. 