A.- Der 1941 geborene T._ meldete sich zum Leistungsbezug ab 1. Mai 1997 bei der Arbeitslosenversicherung an. Mit Verfügung vom 22. Juli 1997 teilte ihm die Arbeitslosenkasse des Kantons Zug (nachfolgend: Kasse) mit, dass für die ausgeübte selbstständige Erwerbstätigkeit eine orts- und branchenübliche Entschädigung von Fr. 20.-/Stunde als Zwischenverdienst an die Taggeldleistungen angerechnet werde. Nachdem der Versicherte am 28. Juli 1997 die Kasse um Wiedererwägung ersucht hatte, hielt die Kasse mit Verfügung vom 2. Oktober 1997 an ihrem Standpunkt fest. B.- Mit Entscheid vom 16. April 1998 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Zug eine gegen die Verfügung vom 2. Oktober 1997 gerichtete Beschwerde, mit welcher die Zusprechung der ungekürzten Taggelder sowie von 7 % Verzugszins beantragt wurde, teilweise gut und stellte fest, dass dem Versicherten für seine selbstständige Erwerbstätigkeit in den Monaten Mai/Juni 1997 kein orts- und branchenüblicher Lohn als Zwischenverdienst angerechnet werden dürfe. C.- Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde verlangt die Kasse die Aufhebung des kantonalen Entscheides. T._ beantragt, auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wegen Verspätung nicht einzutreten, im Falle der Rechtzeitigkeit diese abzuweisen; alles unter Zusprechung einer Umtriebsentschädigung. Das kantonale Gericht schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Wirtschaft und Arbeit (ab 1. Juli 1999 Staatssekretariat für Wirtschaft [seco]) hat sich nicht vernehmen lassen. 