Sachverhalt: A. In einem vor dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hängigen Beschwerdeverfahren betreffend Leistungen der Invalidenversicherung ersuchte S._ als Beschwerdeführer um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und um Bestellung seines Rechtsvertreters als unentgeltlicher Prozessbeistand. B. Mit Verfügung vom 11. Mai 2010 wies das Sozialversicherungsgericht das Gesuch ab. C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei ihm für das kantonale Verfahren die unentgeltliche Rechtsvertretung zu gewähren. Zudem wird um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der Befreiung von Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) für das letztinstanzliche Verfahren ersucht. Das kantonale Gericht, die IV-Stelle des Kantons Zürich und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung. 