Sachverhalt: A. Der 1969 geborene K._ meldete sich im Juni 2006 (ein zweites Mal) bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 2. April 2008 sprach ihm die IV-Stelle Luzern eine befristete ganze Rente vom 1. Oktober 2006 bis 30. September 2007 zu. Mit Entscheid vom 7. September 2009 hob das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern diesen Verwaltungsakt auf und wies die Sache an die IV-Stelle zurück, damit sie nach erfolgten Abklärungen im Sinne der Erwägungen über den Anspruch auf Invalidenrente neu verfüge. In der Folge liess die IV-Stelle den Versicherten im Medizinischen Zentrum X._ untersuchen und begutachten (Expertise vom 6. September 2010). Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren sprach ihm die IV-Stelle mit Verfügung vom 4. März 2011 für die Zeit vom 1. Dezember 2005 bis 30. September 2006 sowie ab 1. Oktober 2007 eine halbe Rente zu. Dabei wies sie darauf hin, für die Zeit vom 1. Oktober 2006 bis 30. September 2007 sei bereits eine ganze Rente zugesprochen und ausbezahlt worden. B. Die Beschwerde des K._ hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Abgaberechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 12. März 2012 insofern teilweise gut, soweit es darauf eintrat, als es die Verfügung vom 4. März 2011 aufhob und die IV-Stelle verpflichtete, vom 1. Dezember 2005 bis 31. Dezember 2006 sowie ab 1. Februar 2008 eine halbe und vom 1. Januar 2007 bis 31. Januar 2008 eine ganze Invalidenrente zu bezahlen. C. K._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 12. März 2012 sei insofern aufzuheben, als ein höherer Rentenanspruch für den Zeitraum vom 1. Dezember 2005 bis 31. Dezember 2006 sowie ab dem 1. Februar 2008 verneint worden sei, und es sei die Sache zur Vornahme einer psychiatrischen Begutachtung an die IV-Stelle zurückzuweisen; eventualiter sei ihm für den Zeitraum vom 1. Dezember 2005 bis 31. Dezember 2006 sowie ab dem 1. Februar 2008 eine Dreiviertelsrente zuzusprechen. 