Zuständigkeit, hat sich ergeben: A.- Am 27. August 1998 unterzeichneten A._ sowie B._ einerseits und C._ sowie D._ "für die X._ AG" anderseits eine "Auftrags-Vereinbarung". Danach beauftragte die als Kundin bezeichnete X._ GmbH "A._" als "Interims-Manager" und wählte B._ als "Unter-Auftragnehmer" aus. Gemäss Ziffer 8 der Vereinbarung sollte diese ausschliesslich dem schweizerischen materiellen Recht unterstehen und Zürich Gerichtsstand sein. In der Folge wurde B._ für die in Y._ ansässige X._ GmbH tätig. Nachdem zunächst Honorar-Zahlungen erfolgt waren, wurden diese anfangs 1999 eingestellt. B.- Am 13. Juli 1999 reichte der in Z._ wohnhafte A._ beim Bezirksgericht Zürich Klage gegen die X._ GmbH ein mit dem Begehren, diese zur Zahlung von Fr. 182'400.-- nebst Zins zu verurteilen. Der Kläger verlangte damit die Zahlung des ausstehenden Honorars. Die Beklagte erhob die Einrede mangelnder örtlicher Zuständigkeit. Mit Beschluss vom 28. Dezember 2000 trat das Bezirksgericht auf die Klage nicht ein, weil es sich als international unzuständig betrachtete. Der Kläger rekurrierte an das Obergericht des Kantons Zürich, das mit Beschluss vom 1. Juni 2001 den Entscheid des Bezirksgerichts in Gutheissung des Rekurses aufhob und das Verfahren zur materiellen Behandlung der Klage an das Bezirksgericht zurückwies. Das Obergericht kam im Gegensatz zur ersten Instanz zum Ergebnis, dass die Beklagte beim Abschluss der Vereinbarung vom 27. August 1998 rechtswirksam durch C._ und D._ vertreten worden sei; diese hätten als Organe der Alleingesellschafterin der Beklagten, der X._ AG, und damit auch rechtsgültig für die Beklagte gehandelt, weshalb sie an die Gerichtsstandsvereinbarung zu Gunsten der Gerichte des Kantons Zürich gebunden sei. C.- Mit Berufung beantragt die Beklagte dem Bundesgericht, den Beschluss des Obergerichts aufzuheben und auf die Klage nicht einzutreten. Der Kläger stellt die Anträge, die Berufung abzuweisen, soweit auf sie einzutreten sei, und den angefochtenen Beschluss zu bestätigen; eventuell diesen Beschluss aufzuheben und die Sache zur Ergänzung der Akten und zu neuer Entscheidung an die kantonale Instanz zurückzuweisen. 