Sachverhalt: A. A.a Mit Verfügung vom 5. Dezember 2000 sprach die IV-Stelle des Kantons Zürich dem 1963 geborenen T._ ab 1. Februar 2000 eine ganze Rente der Invalidenversicherung samt zwei Kinderrenten zu. Mit Verfügung vom 8. September 2004 setzte sie die ganze Rente zum 1. November 2004 auf eine Dreiviertelsrente herab, was sie mit Einspracheentscheid vom 15. Februar 2006 bestätigte. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde ab, wobei es in Abänderung des angefochtenen Verwaltungsaktes feststellte, dass ab 1. September 2005 kein Rentenanspruch mehr bestehe (Entscheid vom 19. Juli 2007). Das Bundesgericht hob dieses Erkenntnis insoweit auf, als es den Anspruch des Versicherten auf eine Rente der Invalidenversicherung ab 1. September 2005 verneinte (Urteil 9C_603/ 2007 vom 8. Januar 2008). A.b Am 16. Februar 2006 verfügte die IV-Stelle die Aufhebung der Dreiviertelsrente auf Ende des der Zustellung des Entscheids folgenden Monats auf. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 1. Juni 2007 fest. B. Die Beschwerde des T._ gegen die Rentenaufhebung wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 1. April 2008 ab. C. T._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 1. April 2008 sei aufzuheben, eventuell eine interdisziplinäre Begutachtung anzuordnen, und zu erkennen, dass auch nach dem 31. März 2006 Anspruch auf eine Invalidenrente bestehe. Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde. Kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung. 