Sachverhalt: A. A._ (Beklagter, Beschwerdeführer) und B._ (Klägerin, Beschwerdegegnerin) schlossen am 31. Juli 2002 einen "Vertrag für die Übertragung des Notariatsbüros A._" zu einem Kaufpreis von Fr. 232'500.-- ab. Die Übertragung umfasste unter anderem den "gesamten Kundenstamm" und sollte spätestens bis zum 31. Dezember 2003 vollzogen werden. Daneben enthält der Vertrag eine Regelung der Übergangszeit mit zwei Phasen (1. August bis 31. Dezember 2002 und 1. Januar 2003 bis 1. Januar 2004). Nach Ablauf der Übergangszeit war A._ berechtigt, "soweit es ihm die Gesundheit zulässt", im Notariatsbüro weiterzuarbeiten. In der Folge kam es zu Meinungsverschiedenheiten hinsichtlich der Übergangsphase zwischen 1. Januar 2003 und 1. Januar 2004 sowie der Folgezeit. Der abgeschlossene Vertrag enthält eine Schiedsklausel. B. Mit Schiedsklage vom 30. Mai 2008 verlangte die Klägerin, es sei dem Beklagten zu verbieten, weiterhin notariell tätig zu sein, ausgenommen Willensvollstreckungen, und der Beklagte sei zur Zahlung von Fr. 315'237.-- zuzüglich Zins zu 5 % ab 1. Januar 2006 zu verpflichten. Im Verfahrensverlauf wurde die Schadenersatzklage auf Fr. 600'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % ab 1. Juli 2006 erhöht. Nachdem das Bundesgericht mit Urteil vom 22. Juni 2010 (Verfahren 4A_162/2010) dem vom Beklagten gegen den damaligen Schiedsrichter erhobenen Ausstandsbegehren stattgegeben hatte, bestellte das Obergericht des Kantons Aargau mit Verfügung vom 15. Februar 2011 einen neuen Einzelschiedsrichter. Mit Schiedsentscheid vom 16. Januar 2014 wies der Einzelschiedsrichter den Klageantrag auf Verhängung eines Tätigkeitsverbots gegen den Beklagten ab (Dispositiv-Ziffer 1). Hingegen verpflichtete er den Beklagten, der Klägerin "per Saldo aller Ansprüche und unter Einschluss sämtlicher Verzugszinsen" den Betrag von Fr. 397'219.-- zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 2). Die Kosten des Schiedsgerichts in Höhe von insgesamt Fr. 102'013.-- auferlegte er zu einem Drittel (Fr. 34'004.--) dem Beklagten und zu zwei Dritteln (Fr. 68'009.--) der Klägerin (Dispositiv-Ziffer 3). Ausserdem verpflichtete er den Beklagten (nach erfolgter Berichtigung vom 5. Februar 2014), der Klägerin einen Drittel der auf Fr. 107'685.-- festgesetzten Parteikosten (d.h. Fr. 35'895.--) zu ersetzen (Dispositiv-Ziffer 4). C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Beklagte dem Bundesgericht, es sei der Schiedsentscheid vom 16. Januar 2014 in Dispositiv-Ziffer 2 im Umfang der zugesprochenen Verzugszinsen von Fr. 134'400.-- aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung an das Schiedsgericht zurückzuweisen. Zudem seien die in Dispositiv-Ziffer 3 festgesetzten Kosten in Höhe von Fr. 102'013.-- angemessen zu reduzieren; eventualiter sei die Sache zur Neufestsetzung der Kosten an das Schiedsgericht zurückzuweisen. Ausserdem seien Dispositiv-Ziffern 3 und 4 des angefochtenen Schiedsentscheids aufzuheben und in Bezug auf die Verlegung der Verfahrenskosten an das Schiedsgericht zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin und der Einzelschiedsrichter beantragen die Abweisung der Beschwerde. Mit Eingabe vom 16. Juli 2014 äusserte sich der Beschwerdeführer unaufgefordert zu einer vom Einzelschiedsrichter eingereichten Übersicht der von ihm für das Schiedsverfahren aufgewendeten Stunden. D. Mit Verfügung vom 7. April 2014 wies das Bundesgericht das Gesuch des Beschwerdeführers um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ab. 