Sachverhalt: A. A.a. Am 3. November 2011 verklagte Y._ ihren geschiedenen Vater, X._, vor dem Bezirksgericht Kriens auf Unterhalt. Mit Urteil vom 30. Mai 2012 entsprach der Einzelrichter diesem Begehren. Er verurteilte X._, seiner Tochter unter Anrechnung bereits erbrachter Leistungen im Umfang von Fr. 5'570.65 einen monatlichen und vorauszahlbaren, erstmals anteilsmässig am 16. Juli 2011 bis zum ordentlichen Abschluss ihrer Ausbildung geschuldeten Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'300.-- zu bezahlen. A.b. X._ erhob gegen dieses Urteil am 8. Juli 2012 Berufung beim Obergericht des Kantons Luzern [seit 1. Juli 2013 Kantonsgericht Luzern]. Im Wesentlichen verlangte er, die Alimente für seine Tochter auf Fr. 800.-- pro Monat zu senken. Mit Eingabe vom 10. Juli 2012 stellte die Tochter das Begehren, der Berufung die aufschiebende Wirkung zu entziehen. In ihrer Berufungsantwort vom 18. Juli 2012 schloss sie auf Abweisung der Berufung. Beide Eingaben wurden X._ zugestellt. Er nahm dazu am 4. September 2012 Stellung. Am 11. September 2012 entzog das Obergericht der Berufung die aufschiebende Wirkung. A.c. Mit Urteil vom 22. Januar 2013 wies das Obergericht die Berufung ab. Es befand, X._ habe seine Stellungnahmen zum Gesuch der Tochter um Entzug der aufschiebenden Wirkung und zu ihrer Berufungsantwort am 4. September 2012 verspätet eingereicht, weshalb sie im Entscheid unberücksichtigt blieben. X._s dagegen erhobene Beschwerde in Zivilsachen hiess das Bundesgericht wegen Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV gut, hob das Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern vom 22. Januar 2013 auf und wies die Sache zu neuer Entscheidung an das Obergericht zurück (Urteil 5A_155/2013 vom 17. April 2013). B. B.a. Bereits vor dem Urteil des Bundesgerichts liess Y._ ihren Vater mit Zahlungsbefehl Nr. xxx des Betreibungsamtes Z._ vom 5. März 2013 für Fr. 7'800.-- nebst 5 % Zins seit 15. Dezember 2012 sowie Fr. 2'160.-- nebst 5 % Zins seit 1. Februar 2013 betreiben. Dagegen erhob der Vater Rechtsvorschlag. B.b. Mit Entscheid vom 31. Mai 2013 erteilte die Einzelrichterin des Bezirksgerichts Kriens die definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 7'800.-- nebst 5 % Zins seit 15. Dezember 2012. Dagegen wandte sich X._ erfolglos ans Kantonsgericht Luzern. Dieses wies seine Beschwerde mit Entscheid vom 16. Oktober 2013 ab. C. Mit Eingabe vom 20. November 2013 gelangt X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, den Entscheid des Kantonsgerichts vom 16. Oktober 2013 "und jene der Vorinstanzen" aufzuheben (Ziffer 1). In Ziff. 2 und 3 seiner Begehren verlangt er, er sei von Unterhaltszahlungen an Y._ (Beschwerdegegnerin) zu befreien. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. 