Faits: A. A.a. En 2003, à une date indéterminée, T.X._, soeur de H.X._, lequel exploite une entreprise de construction dans le Bas-Valais, a prêté une somme d'argent dont la quotité est inconnue à F.Z._, qui est la nièce de celui-ci. En septembre 2003, un solde de 6'000 fr. n'avait pas été remboursé à T.X._. Le 10 septembre 2003, T.X._ a été remboursée du solde dû de 6'000 fr. par H.X._, auquel la première a cédé ses droits contre F.Z._. H.X._ a reconnu que son neveu R.Z._, qui est le frère de F.Z._, lui avait demandé de verser les 6'000 fr. à T.X._ de la part de F.Z._ pour rembourser le prêt accordé à cette dernière. A.b. Il a été retenu que dès avril 2004, R.Z._ a travaillé dans l'entreprise de construction de son oncle H.X._. Après une interruption, il y a de nouveau été employé de 2008 à 2011, époque où R.Z._ a quitté l'entreprise; il était alors en mauvais termes avec son oncle, l'accusant de traiter ses employés à la manière d'esclaves. Entre les mois de février et d'octobre 2004, H.X._ a effectué, à partir de deux comptes qu'il avait ouverts auprès de banques suisses différentes, six virements, pour un montant total de 19'400 EUR, sur un compte de la banque sicilienne V._, appartenant à F.Z._. Les cinq premiers ordres de paiement ne précisaient pas leur motif, alors que le sixième indiquait, sous motif du paiement, « R.Z._ ». La cause de ces paiements fait l'objet de divergences. F.Z._ a expliqué que ces versements ne constituaient pas un prêt de son oncle H.X._, mais qu'ils avaient été effectués, à l'exception du premier virement, sur son compte en Sicile par son frère R.Z._, moyennant l'entremise de H.X._, car son frère ne disposait pas alors d'un compte en banque. Pour F.Z._, les fonds lui avaient été remis à titre de dons par son frère, qui voulait l'aider. Elle a prétendu n'avoir jamais demandé de l'argent à H.X._, ni directement ni par l'intermédiaire de son frère. H.X._ a admis qu'il n'avait été procédé ainsi que pour le sixième virement, opéré le 5 octobre 2004 par 2'000 EUR, étant donné que ce montant correspondait au solde de salaire pour le mois de septembre 2004 resté impayé à son neveu R.Z._. Pour les cinq premiers virements, H.X._ a affirmé avoir envoyé l'argent à sa nièce F.Z._ comme prêt familial. Il a précisé que l'argent avait été demandé par l'intermédiaire de R.Z._ avant d'être versé sur le compte de F.Z._. Il a déclaré que l'argent devait être remboursé, car il avait lui-même des enfants et ne pouvait donc faire des cadeaux à tout le monde. R.Z._ a exposé que son oncle H.X._ le payait de la main à la main, soit « au noir », pour éviter de s'acquitter des charges sociales. Pour aider sa soeur à régler des frais d'avocat et de médecin, il aurait remis les fonds précités en liquide à son oncle afin que celui-ci les vire sur le compte de cette dernière. A.c. Affecté que R.Z._ l'ait qualifié d'esclavagiste et s'estimant dès lors mal remercié pour le prétendu prêt qu'il avait accordé au précité pour lui rendre service, H.X._ a réclamé en 2011 le remboursement des sommes virées sur le compte de F.Z._. Il s'est d'abord adressé à R.Z._, puis à F.Z._. Celle-ci aurait répondu à l'épouse de H.X._ qu'elle croyait que les sommes virées sur son compte étaient un cadeau. H.X._ et son épouse ont établi le 18 avril 2011 un décompte récapitulatif adressé à R.Z._, duquel il ressort qu'ils exigeaient de ce dernier paiement du montant de 44'000 fr.60, lequel comprenait la somme de 6'000 fr. dont il a été question au considérant A.a supra. Il a été retenu que ce document ne comportait ni la date ni le libellé des dettes qui y figuraient. Par lettre du 13 juin 2011, R.Z._ et F.Z._, leur frère S.Z._, ainsi que l'époux de celle-ci ont répondu à H.X._ en produisant deux décomptes, l'un pour des travaux et services rendus aux époux X._ par la famille Z._, chiffrés à 14'333 fr.80, l'autre mentionnant des remboursements effectués par R.Z._ en faveur de H.X._ de 2004 à 2010, atteignant le total de 82'204 fr. R.Z._, entendu comme témoin, a toutefois déclaré que cette lettre, écrite par son épouse, ne correspondait pas à ce qu'il pensait et qu'elle faisait état de choses de famille et d'argent versé « au noir ». B. Après avoir obtenu le 15 décembre 2011 l'autorisation de procéder, H.X._ (demandeur) a ouvert action contre F.Z._ (défenderesse) par demande simplifiée (art. 243 al. 1 et 244 CPC) du 27 février 2012, lui réclamant paiement de 6'000 fr. et de 19'400 EUR avec intérêts à 5% dès le 9 septembre 2011. Il a été constaté que le cours de l'euro par rapport au franc suisse était de 1,2051 le jour de l'introduction de l'instance. La défenderesse s'est opposée à la demande. Des témoins ont été entendus et les parties ont été interrogées. Par jugement du 11 septembre 2012, le Juge II des districts de Martigny et St-Maurice a condamné la défenderesse à payer au demandeur les montants de 6'000 fr. et de 19'400 EUR. Ce magistrat a considéré que le demandeur, auquel la créance de sa soeur T.X._ en remboursement d'un prêt de 6'000 fr. avait été valablement cédée, a qualité pour agir, que l'existence de ce prêt a été confirmée par la déposition de T.X._, de sorte que la défenderesse devait être condamnée à rembourser les 6'000 fr. en question. A propos des virements de 19 ́400 EUR, le juge de district a admis que la volonté des parties était de conclure un prêt de consommation, que la défenderesse avait violé son obligation de restituer les sommes qui lui avaient été prêtées, si bien qu'elle en devait remboursement à l'emprunteur, toutefois sans intérêts à défaut de preuves apportées que le prêt aurait été assorti d'intérêts conventionnels. La défenderesse a appelé de ce jugement, concluant au déboutement du demandeur. Celui-ci a conclu au rejet de l'appel et a formé de son côté un appel joint, sollicitant l'octroi d'intérêts moratoires à 5% l'an dès le 9 septembre 2011. Au cours de l'instance d'appel, le demandeur a réduit ses conclusions de 2'000 EUR, admettant que le sixième virement correspondait au solde du salaire de R.Z._ pour septembre 2004. Il a ainsi conclu au paiement de 6'000 fr. et de 17'400 EUR avec intérêts à 5% dès le 9 septembre 2011. Par jugement du 15 juillet 2013, la Juge de la Cour civile II du Tribunal cantonal valaisan a admis l'appel, rejeté l'appel joint et prononcé que l'action était entièrement rejetée. Concernant la prétention en paiement de 6'000 fr., elle a retenu que le demandeur avait consenti, en s'adressant à R.Z._ pour obtenir le remboursement de cette somme, à ce que ce dernier reprenne la dette de la défenderesse et devienne désormais débiteur du prêt, si bien que celle-ci n'était désormais plus partie au contrat de prêt et n'avait plus qualité pour défendre. Au sujet des virements en euros, cette magistrate a considéré que le demandeur avait échoué à prouver, même par indices, que la remise des fonds à la défenderesse s'expliquait uniquement par la conclusion d'un contrat de prêt avec cette dernière. C. H.X._ exerce un recours constitutionnel subsidiaire contre le jugement du 15 juillet 2013. Il conclut à ce que l'intimée soit condamnée à lui verser 6'000 fr. avec intérêts à 5% dès le 9 septembre 2011 et 17'400 EUR avec les mêmes intérêts. L'intimée propose le rejet du recours. 