Sachverhalt: A. Der 1955 im Gaza-Streifen geborene S._ reiste im Jahr 1998 aus dem Irak, in welchem er sich zuletzt aufgehalten hatte, in die Schweiz ein, wo er als Flüchtling ohne Nationalität vorläufig aufgenommen wurde. Im Mai 2006 meldete er sich für Leistungen der Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle des Kantons Thurgau traf erwerbliche und medizinische Abklärungen (u.a. Einholung eines MEDAS-Gutachtens vom 15. März 2007) und verneinte mit Verfügung vom 21. Mai 2007 einen Anspruch auf eine ordentliche Invalidenrente. Zur Begründung wurde ausgeführt, S._ sei bereits bei der Einreise in die Schweiz invalid gewesen und habe daher die für einen Rentenanspruch erforderliche Mindestbeitragsdauer nicht erfüllt. B. Die von S._ hiegegen erhobene Beschwerde wies die AHV/IV-Rekurskommission des Kantons Thurgau (seit 1. Januar 2008: Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau) mit Entscheid vom 6. November 2007 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erneuert S._ sein Rentenbegehren mit der Begründung, er sei erst in der Schweiz invalid geworden. Weiter ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. Mit Eingabe vom 12. Januar 2008 legt S._ einen Arztbericht vom 20. Dezember 2007 auf. 