Faits: Faits: A. T._, né en 1967, est employé depuis l'année 1993 par l'Institution de L._, au service des nettoyages. Souffrant principalement de douleurs cervico-scapulaires droites, il se trouve en incapacité de travail à 50 % à partir du 16 mars 1998. L'assuré s'est annoncé à l'assurance-invalidité, le 8 mars 1999, sollicitant le versement d'une rente. Les investigations médicales n'ont mis en évidence aucune anomalie permettant d'expliquer la symptomatologie douloureuse. Une origine somatoforme des douleurs a été suggérée (cf. rapport du docteur C._, rhumatologue, du 26 janvier 2001). Par décision du 30 janvier 2002, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) a rejeté la demande de rente, au motif qu'un trouble somatoforme douloureux et une fibromyalgie ne constituent pas des affections invalidantes en l'absence de comorbidité psychiatrique grave. Par décision du 30 janvier 2002, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) a rejeté la demande de rente, au motif qu'un trouble somatoforme douloureux et une fibromyalgie ne constituent pas des affections invalidantes en l'absence de comorbidité psychiatrique grave. B. T._ a déféré cette décision au Tribunal des assurances du canton de Vaud, en concluant principalement au renvoi de la cause à l'administration et subsidiairement à l'octroi d'une rente. Il a par ailleurs demandé la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique. La juridiction cantonale a mandaté le docteur S._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Dans son rapport du 14 avril 2003, ce psychiatre a diagnostiqué des troubles dépressifs récurrents, épisode actuel moyen avec syndrome somatique, un syndrome douloureux somatoforme persistant, ainsi qu'une majoration de symptômes physiques pour des raisons psychologiques. Selon l'expert, ces affections psychiques engendrent une incapacité de travail de longue durée de 50 % depuis l'an 2000. Par jugement du 19 juin 2003, le Tribunal des assurances a admis le recours en ce sens qu'il a alloué une demi-rente d'invalidité à l'assuré depuis le 1er juin 2001. Par jugement du 19 juin 2003, le Tribunal des assurances a admis le recours en ce sens qu'il a alloué une demi-rente d'invalidité à l'assuré depuis le 1er juin 2001. C. L'office AI interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont il demande l'annulation. L'assuré intimé et l'Office fédéral des assurances sociales ont renoncé à se déterminer. 