Faits : A. A._, né en 1960, travaille en qualité de coiffeur indépendant. Il est assuré contre le risque d'accident auprès de Helsana Assurances SA (ci-après: Helsana). Le 23 janvier 2010, il a été victime d'une chute à ski, au cours de laquelle il a subi une atteinte à l'épaule droite et au pouce gauche. Le docteur B._, spécialiste en médecine interne, a diagnostiqué une probable rupture partielle de la coiffe des rotateurs à droite, ainsi qu'une "entorse MCP I G". Il a attesté une incapacité de travail entière du 25 au 31 janvier 2010 et prescrit un traitement de physiothérapie et une attelle pour le pouce ( rapport du 1 er février 2010). Une imagerie par résonance magnétique (IRM) de l'épaule droite, effectuée le 12 avril 2010, a révélé une déchirure complète du tendon sus-épineux avec rétractation de 2,5 cm et atrophie de stade II sans infiltration adipeuse, une déchirure complète du tendon sous-épineux avec discrète atrophie, une suspicion de déchirure partielle de la portion supérieure du tendon sous-scapulaire, ainsi qu'une tendinopathie du long chef du biceps en amont de la poulie et un acromion légèrement plongeant de type II. Informée par l'assuré qu'une opération était prévue le 20 mai 2010, Helsana a indiqué qu'elle n'était pas en mesure d'accorder sa garantie pour l'intervention tant que son obligation de prendre en charge le cas n'était pas établie (lettre du 30 avril 2010). Dans un rapport opératoire du 20 mai 2010, le docteur C._, spécialiste en chirurgie orthopédique, a indiqué avoir pratiqué une arthroscopie de l'épaule droite et effectué une réparation de la coiffe des rotateurs, ainsi qu'une ténodèse du long chef du biceps. Après avoir requis l'avis du docteur D._, spécialiste en chirurgie orthopédique et médecin-conseil de Helsana, celle-ci a supprimé le droit de l'assuré à des prestations de l'assurance-accidents à partir du 2 mars 2010, motif pris que la chute survenue le 23 janvier 2010 n'avait fait qu'aggraver passagèrement un état maladif préexistant (décision du 24 juin 2010). Saisie d'une opposition de l'intéressé contre cette décision, Helsana a confié une expertise au docteur E._, spécialiste en chirurgie orthopédique ( rapport du 9 décembre 2010). Par décision sur opposition du 9 février 2011, Helsana a admis partiellement l'opposition en ce sens que la suppression du droit aux prestations a été reportée au 30 avril 2010. Le 22 février 2011, l'assuré a demandé à l'assureur-accidents de réexaminer sa position et de rendre une nouvelle décision. A l'appui de sa requête, il a produit un rapport du docteur C._ (du 22 février 2011). Helsana n'a pas donné suite à cette demande. B. A._ a recouru devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud en concluant à la réforme de la décision sur opposition en ce sens que les traitements médicaux intervenus après le 30 avril 2010, ainsi que la perte de gain (indemnité journalière) jusqu'à la reprise complète du travail le 1 er décembre 2010 sont à la charge de Helsana, avec intérêt à 5 % l'an sur le montant dû au titre de l'indemnité journalière. En cours d'instance, Helsana a produit un rapport du docteur D._ du 3 juillet 2012. La cour cantonale a tenu une audience d'instruction le 5 juillet 2012. Par jugement du 20 août 2013, elle a admis le recours et réformé la décision sur opposition du 9 février 2011 en ce sens que Helsana doit allouer à l'assuré les prestations de l'assurance-accidents pour les suites de l'événement du 23 janvier 2010 au-delà du 30 avril 2010, avec intérêts sur les arrérages relatifs aux indemnités journalières. C. Helsana forme un "recours de droit administratif" contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant à la confirmation de sa décision sur opposition par laquelle elle a supprimé le droit de l'assuré à des prestations d'assurance à partir du 30 avril 2010, le tout sous suite de frais et dépens. L'intimé conclut au rejet du recours sous suite de frais et dépens. La cour cantonale et l'Office fédéral de sa santé publique ont renoncé à présenter des déterminations. 