Sachverhalt: Sachverhalt: A. Die 1940 geborene D._ war zuletzt seit 1. September 1995 als Raumpflegerin bei der Schule X._ angestellt und auf Grund dieses Arbeitsverhältnisses bei den Winterthur Versicherungen (nachfolgend: Winterthur) obligatorisch gegen die Folgen von Unfall und Berufskrankheit versichert. Am 9. Juli 1996 erlitt sie einen Verkehrsunfall, als ein anderes Auto auf das Heck des von ihr gelenkten, wegen eines Abbiegemanövers stehenden Personenwagens auffuhr. Dabei zog sich die Versicherte gemäss Arztzeugnis UVG des Dr. med. F._, Allgemeine Medizin FMH, vom 22. Juli 1996 eine "Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) im Sinne eines leichten Schleudertraumas" zu. Die nach dem Unfall aufgetretenen Beschwerden dauerten in der Folge trotz medizinischer Behandlung fort. Die Winterthur erbrachte Leistungen in Form von Taggeldern und Heilbehandlung. Ausserdem holte sie insbesondere Gutachten des Dr. med. W._, Neurologie FMH, vom 24. März 1997, des Prof. Dr. med. E._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 13. August 1997 und des PD Dr. med. K._, Leitender Arzt Orthopädische Klinik Y._, vom 13. Juli 1998 ein. Anschliessend stellte der Versicherer mit Verfügung vom 5. Februar 1999 seine Leistungen per 30. November 1998 ein und verneinte einen Anspruch auf Invalidenrente und Integritätsentschädigung; dies mit der Begründung, die fortbestehenden Beschwerden stünden weder in einem natürlichen noch in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfallereignis vom 9. Juli 1996. Daran hielt die Winterthur mit Einspracheentscheid vom 14. Februar 2000 fest. A. Die 1940 geborene D._ war zuletzt seit 1. September 1995 als Raumpflegerin bei der Schule X._ angestellt und auf Grund dieses Arbeitsverhältnisses bei den Winterthur Versicherungen (nachfolgend: Winterthur) obligatorisch gegen die Folgen von Unfall und Berufskrankheit versichert. Am 9. Juli 1996 erlitt sie einen Verkehrsunfall, als ein anderes Auto auf das Heck des von ihr gelenkten, wegen eines Abbiegemanövers stehenden Personenwagens auffuhr. Dabei zog sich die Versicherte gemäss Arztzeugnis UVG des Dr. med. F._, Allgemeine Medizin FMH, vom 22. Juli 1996 eine "Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) im Sinne eines leichten Schleudertraumas" zu. Die nach dem Unfall aufgetretenen Beschwerden dauerten in der Folge trotz medizinischer Behandlung fort. Die Winterthur erbrachte Leistungen in Form von Taggeldern und Heilbehandlung. Ausserdem holte sie insbesondere Gutachten des Dr. med. W._, Neurologie FMH, vom 24. März 1997, des Prof. Dr. med. E._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 13. August 1997 und des PD Dr. med. K._, Leitender Arzt Orthopädische Klinik Y._, vom 13. Juli 1998 ein. Anschliessend stellte der Versicherer mit Verfügung vom 5. Februar 1999 seine Leistungen per 30. November 1998 ein und verneinte einen Anspruch auf Invalidenrente und Integritätsentschädigung; dies mit der Begründung, die fortbestehenden Beschwerden stünden weder in einem natürlichen noch in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfallereignis vom 9. Juli 1996. Daran hielt die Winterthur mit Einspracheentscheid vom 14. Februar 2000 fest. B. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Zug insofern gut, als es der Beschwerdeführerin eine Invalidenrente von 55 %, eine Integritätsentschädigung von 5 % und die weitere Übernahme von Kosten für die Pflegeleistungen und Kostenvergütungen gemäss Art. 21 UVG zusprach (Entscheid vom 27. Juni 2003). Im Verlauf des Rechtsmittelverfahrens hatte die Versicherte unter anderem Berichte des Dr. med. M._, Otorhinolaryngologie, Hals- und Gesichtschirurgie FMH, vom 13. November 1999, des Dr. med. G._, med. Radiologie FMH, vom 11. April 2000 und des Dr. med. Ü._, Neurologie FMH, vom 13. April 2000 eingereicht. Das kantonale Gericht seinerseits hatte am 19. Oktober 2001 eine Parteiverhandlung durchgeführt und anschliessend bei der Medizinischen Abklärungsstelle Zentralschweiz (MEDAS) ein Gutachten eingeholt, welches am 29. Januar 2003 erstattet wurde. B. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Zug insofern gut, als es der Beschwerdeführerin eine Invalidenrente von 55 %, eine Integritätsentschädigung von 5 % und die weitere Übernahme von Kosten für die Pflegeleistungen und Kostenvergütungen gemäss Art. 21 UVG zusprach (Entscheid vom 27. Juni 2003). Im Verlauf des Rechtsmittelverfahrens hatte die Versicherte unter anderem Berichte des Dr. med. M._, Otorhinolaryngologie, Hals- und Gesichtschirurgie FMH, vom 13. November 1999, des Dr. med. G._, med. Radiologie FMH, vom 11. April 2000 und des Dr. med. Ü._, Neurologie FMH, vom 13. April 2000 eingereicht. Das kantonale Gericht seinerseits hatte am 19. Oktober 2001 eine Parteiverhandlung durchgeführt und anschliessend bei der Medizinischen Abklärungsstelle Zentralschweiz (MEDAS) ein Gutachten eingeholt, welches am 29. Januar 2003 erstattet wurde. C. Die Winterthur lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der kantonale Entscheid aufzuheben; eventuell sei die Sache zur Bestimmung des Invaliditätsgrades bei einer Arbeitsfähigkeit von 80 % in einer leidensangepassten Tätigkeit an die Beschwerdeführerin zurückzuweisen; subeventuell sei der Versicherten eine Invalidenrente von 30 % zuzusprechen. D._ lässt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, eventuell die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur weiteren medizinischen Abklärung beantragen. Ausserdem verlangt sie die Zusprechung eines Verzugszinses auf den zurückliegenden Rentenleistungen und der Integritätsentschädigung. Das Bundesamt für Sozialversicherung, Abteilung Unfallversicherung (heute im Bundesamt für Gesundheit), verzichtet auf eine Vernehmlassung. 