Fatti: A. Il 28 gennaio 2009 il dott. B._, specialista FMH in medicina interna, prescrisse una prima serie di sedute fisioterapiche di linfodrenaggio (edemi alle caviglie) per il suo paziente E._ il quale si recò per le relative cure dal fisioterapista M._ (trattamento dal 30 gennaio al 18 febbraio 2009). Con ulteriore prescrizione del 16 febbraio 2009 il dott. B._, posta la diagnosi di sciatalgia sinistra ed edemi agli arti inferiori, prescrisse un nuovo ciclo di nove sedute che vennero effettuate sempre presso il fisioterapista M._ (trattamento dal 20 febbraio al 13 marzo 2009). Preso atto del parere del proprio medico di fiducia, dott. Heinrich L._, specialista FMH in medicina interna, la Atupri Cassa malati, presso la quale E._ era assicurato contro le malattie, rifiutò in data 2 marzo 2009 la richiesta di garanzia del 16 febbraio 2009 ritenendo non essere dati i presupposti per la presa a carico del linfodrenaggio (posizione tariffale 7312). Il 5 marzo 2009 il dott. B._ precisò che la prescrizione del 28 gennaio 2009 per linfodrenaggio era indicata dalla diagnosi di linfoedema agli arti inferiori. Il 18 marzo 2009 il dott. K._, specialista FMH in reumatologia, posta la diagnosi di sindrome panvertebrale cronica e stasi linfatica ai piedi, prescrisse un ulteriore ciclo di fisioterapia indicando quali misure fisioterapiche (poi effettuate dal 23 marzo al 20 aprile 2009) da adottare tra l'altro il linfodrenaggio e la mobilizzazione delle caviglie. Con la medesima motivazione, Atupri Cassa malati rinviò a M._ anche questa richiesta di garanzia (scritto del 31 marzo 2009). Nonostante le (ulteriori) precisazioni fornite dai dott. B._, K._ e A._ (internista), l'assicuratore malattia confermò la propria valutazione e ritornò al mittente le fatture del fisioterapista invitando lo stesso a correggerle. Atupri Cassa malati ribadiva infatti l'inapplicabilità della posizione tariffale 7312 poiché secondo il proprio medico di fiducia il paziente non aveva presentato edemi vascolari, bensì edemi ipostatici che andavano più semplicemente trattati con calze di compressione, mobilizzazione e posizione elevata delle gambe (v. anche presa di posizione del dott. L._ del 16 marzo 2010). B. Con petizione del 23 giugno 2009 M._ ha convenuto la Atupri Cassa malati dinanzi al Tribunale arbitrale in materia di assicurazione contro le malattie e gli infortuni del Cantone Ticino al quale ha chiesto il riconoscimento della posizione tariffale 7312 e la condanna dell'assicuratore malattia al pagamento delle fatture 2 marzo 2009 (relativa al trattamento dal 30 gennaio al 18 febbraio 2009), 2 aprile 2009 (per la terapia dal 20 febbraio al 13 marzo 2009) e 4 maggio 2009 (concernente la cura dal 23 marzo al 20 aprile 2009) per un totale di fr. 2'581.30. Per pronuncia del 2 giugno 2010 il Tribunale arbitrale ha accolto la petizione, riconoscendo di conseguenza all'attore le prestazioni secondo le posizioni tariffali esposte e condannando la Cassa malati al pagamento delle tre fatture. C. Atupri Cassa malati ha presentato ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, al quale chiede di annullare il giudizio impugnato e di respingere la petizione o comunque, in via subordinata, di rinviare gli atti all'istanza precedente per nuovo esame dell'obbligo di prestazione. Dei motivi si dirà, per quanto occorra, nei considerandi. M._ propone la reiezione del gravame, mentre l'Ufficio federale della sanità pubblica ha rinunciato a determinarsi. 