Sachverhalt: A. Der 1968 geborene S._ ist Geschäftsführer und einziger Gesellschafter Firma C._ GmbH, einem in der Transportbranche tätigen Einmannbetrieb, und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) u.a. gegen die Folgen von Berufsunfällen versichert. Am 10. Oktober 2006 zog er sich bei der Arbeit eine Handgelenksdistorsion rechts zu. Mit Verfügung vom 23. Januar 2008 stellte die SUVA ihre bislang in Form von Heilbehandlung und Taggeld ausgerichteten Versicherungsleistungen infolge Fallabschlusses auf den 2. März 2008 ein; weitergehende Leistungen verneinte sie mit der Begründung, dass es dem Versicherten zumutbar sei, im Rahmen einer leidensangepassten Tätigkeit ein rentenausschliessendes Einkommen zu erzielen, und keine erhebliche Schädigung der körperlichen, geistigen oder psychischen Integrität vorliege. Daran hielt der Unfallversicherer mit Einspracheentscheid vom 9. Juli 2008 fest. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt nach Durchführung einer Parteiverhandlung ab (Entscheid vom 3. September 2009). C. S._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt im Wesentlichen, es seien ihm weiterhin Heilbehandlungs- und Taggeldleistungen zu erbringen; ferner seien ihm eine auf einer vollständigen Erwerbsunfähigkeit beruhende Invalidenrente und eine "volle" Integritätsentschädigung zuzusprechen. Des Weitern ersucht er um Durchführung einer Parteiverhandlung und um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung. 