Sachverhalt: A. Am 24. Oktober 2003 meldete sich die 1994 geborene P._ zum Bezug von IV-Leistungen vor dem 20. Altersjahr an. Die IV-Stelle übernahm mit Verfügung vom 6. April 2004 Sonderschulmassnahmen (Sprachheilbehandlung gemäss Therapieplan der Abklärungsstelle für Geburtsgebrechen, 1 - 3 Lektionen pro Woche vom 1. März 2003 bis 28. Februar 2005). Die Schul-Oberstufe absolvierte sie in einer Privatschule, welche zum überwiegenden Teil von der Stadt X._ finanziert wurde. Am 3. Dezember 2009 ersuchte P._ um Kostenübernahme für die Ausbildung zur Kosmetikerin an der Berufsfachschule Y._. Die IV-Stelle des Kantons Zürich holte einen Schulbericht der Schule vom 12. Januar 2010, Akten des schulpsychologischen Dienstes sowie einen Arztbericht der Frau Dr. med. D._ vom 21. Mai 2010 ein und veranlasste ein Gutachten des Dr. med. L._, Facharzt FMH für Kinder- und Jugendpsychiatrie, vom 27. September 2010. Mit Vorbescheid vom 2. November 2010 stellte die IV-Stelle die Ablehnung des Anspruchs auf berufliche Massnahmen (Kostenübernahme der erstmaligen Ausbildung zur Kosmetikerin an der Berufsfachschule Y._) in Aussicht, weil gemäss den medizinischen und ihren Einschätzungen das Ausbildungsniveau EFZ (Eidgenössisches Fähigkeitszeugnis) zu anspruchsvoll sei. Sie hätten ihr angeboten, Alternativen zu suchen, was sie abgelehnt habe. Auf den Einwand von P._ hin hielt die IV-Stelle mit Verfügung vom 24. Januar 2011 an der Ablehnung des Leistungsbegehrens fest. B. Die hiegegen erhobene Beschwerde mit dem Antrag, unter Aufhebung der Verfügung vom 24. Januar 2011 sei die IV-Stelle zu verpflichten, ihr die Ausbildung zur Kosmetikerin bei der Berufsfachschule Y._ zu übernehmen und während der Ausbildung ein Taggeld auszurichten, wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 28. Juni 2012 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt P._ beantragen, die IV-Stelle sei zu verpflichten, die Kosten für die Erstausbildung zur Kosmetikerin zu übernehmen. Eventualiter sei sie zu verpflichten, die Eignung der Berufsfachschule Y._ für die Erstausbildung nochmals zu prüfen und die Schulkosten zu übernehmen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) und die IV-Stelle verzichten auf eine Vernehmlassung. 