Sachverhalt: A. Der 1963 geborene deutsche Staatsangehörige S._ war ab 1. Juni 2005 als Geschäftsführer in der Firma V._ angestellt. Am 27. Juni 2006 kündigte diese das Arbeitsverhältnis auf den 30. September 2006. S._ meldete sich am 31. August 2006 bei der Gemeinde M._ zur Arbeitsvermittlung; er entschied sich dabei unter den zur Wahl stehenden Arbeitslosenkassen für diejenige des Kantons Thurgau. Am 12. September 2006 stellte er Antrag auf Arbeitslosenentschädigung ab 2. Oktober 2006. Am 26. Juni 2007 ersuchte die Arbeitslosenkasse das Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Thurgau (nachfolgend: AWA), zu prüfen und zu entscheiden, ob S._ Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung habe und ob sich sein Lebensmittelpunkt in der Schweiz befinde. Nach verschiedenen Sachverhaltsabklärungen verneinte das AWA mit Verfügung vom 19. Juli 2007 einen Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung mangels Wohnsitzes des Versicherten in der Schweiz. Daran hielt das Amt mit Einspracheentscheid vom 25. September 2007 fest. Zwischenzeitlich hatte sich S._ am 27. Juni 2007 beim Regionalen Arbeitsvermittlungszentrum (RAV) und bei der Arbeitslosenkasse abgemeldet, da er eine Festanstellung in Deutschland gefunden habe. B. S._ erhob gegen den Einspracheentscheid Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau hiess diese gut, hob den Einspracheentscheid auf und erkannte, das Erfordernis des rechtsgenüglichen Aufenthaltes in der Schweiz sei zu bejahen; die Arbeitslosenkasse werde die weiteren Anspruchsvoraussetzungen zu prüfen und, sofern diese gegeben seien, die entsprechenden Leistungen auszurichten haben (Entscheid vom 5. März 2008). C. Das AWA führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben. S._ lässt beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Staatssekretariat für Wirtschaft verzichtet auf eine Vernehmlassung. 