Sachverhalt: A. Am 18. Januar 2011 wurde X._ vom Bezirksgericht Zürich u.a. wegen sexueller Handlungen mit einem Kind, mehrfacher Pornografie, mehrfachen Verabreichens gesundheitsgefährdender Stoffe an Kinder und mehrfachen Vergehens gegen das Betäubungsmittelgesetz schuldig gesprochen. Das Bezirksgericht ordnete bezüglich einer vom Sicherheitsdepartement des Kantons Schwyz am 25. Mai 2009 verfügten bedingten Entlassung die Rückversetzung an und verurteilte X._ unter Einbezug der Reststrafe zu einer Gesamtstrafe von drei Jahren und einer Busse von Fr. 500.--. Weiter ordnete es eine stationäre therapeutische Massnahme an. Gleichzeitig beschloss das Bezirksgericht, bis zum möglichen Massnahmeantritt sei X._ in Sicherheitshaft zu belassen. B. Gegen das damals noch nicht in begründeter Form vorliegende Urteil des Bezirksgerichts vom 18. Januar 2011 meldete X._ am 7. Februar 2011 Berufung an. Am 22. April 2011 stellte er ein Gesuch um Entlassung aus der Sicherheitshaft. Mit Beschluss vom 27. Mai 2011 wies das Bezirksgericht das Haftentlassungsgesuch ab. Ausserdem ordnete es an, dass X._ für die Dauer von einem Monat kein neuerliches Haftentlassungsgesuch stellen könne. Eine von X._ gegen den Entscheid des Bezirksgerichts vom 27. Mai 2011 erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich am 21. Juni 2011 ab, wobei es feststellte, dass die Sicherheitshaft vorläufig längstens bis am 27. August 2011 dauere. C. Mit Beschwerde vom 21. Juli 2011 (Posteingang: 8. August 2011) gelangt X._ ans Bundesgericht. Er beantragt, die Beschlüsse des Bezirksgerichts vom 27. Mai 2011 sowie des Obergerichts vom 21. Juni 2011 seien aufzuheben und er sei aus der Sicherheitshaft zu entlassen. Allenfalls sei ihm die Möglichkeit zu geben, sich selbst um einen stationären Therapieplatz zu kümmern. Eventuell sei die zuständige Behörde anzuhalten, ihn für eine ambulante Therapie in eine andere Strafanstalt oder in ein Massnahmenzentrum zu versetzen. Weiter beantragt er, ein psychiatrisches Gutachten vom 17. Juni 2010 sei als nicht verwendbar zu erklären und die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, auf ein Schreiben von ihm vom 15. November 2010 zu reagieren und entsprechende Untersuchungshandlungen zu veranlassen. D. Das Obergericht und die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich sowie das Bezirksgericht Zürich verzichten auf eine Vernehmlassung. 