Sachverhalt: A. Dr. med. Y._ (Beschwerdegegner) und Dr. med. X._ (Beschwerdeführer) schlossen am 31. März 2008 einen Praxisübernahmevertrag. In der Folge ergab sich daraus eine Streitigkeit unter den Parteien. B. Mit Klage vom 25. August 2011 beantragte Y._ dem Bezirksgericht Zurzach, X._ zu verpflichten, ihm den Betrag von Fr. 62'511.30 nebst verschiedenen Zinsbetreffnissen zu bezahlen. Es sei ihm in der Betreibung Nr. zzz (Zahlungsbefehl des Betreibungsamtes Klingnau vom 14. Februar 2011) für den genannten Klagebetrag samt Zins definitive Rechtsöffnung zu gewähren. Am 24. September 2012 hiess das Bezirksgericht die Klage teilweise gut und verpflichtete X._, Y._ Fr. 59'761.30 nebst Zins zu bezahlen. Im entsprechenden Umfang hob es den Rechtsvorschlag auf. Dagegen erhob X._ Berufung an das Obergericht des Kantons Aargau. Er beantragte, auf die Klage sei nicht einzutreten, eventuell sei diese vollumfänglich abzuweisen. Mit Urteil vom 5. Juni 2013 änderte das Obergericht in teilweiser Gutheissung der Berufung den bezirksgerichtlichen Entscheid dahingehend ab, dass es X._ verpflichtete, Y._ den Betrag von Fr. 57'838.85 nebst Zins zu bezahlen. C. X._ beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Obergerichts aufzuheben und auf die Forderungsklage vom 25. August 2011 im Umfang von Fr. 34'500.-- (Praxisübernahmevertrag vom 31. März 2008) nicht einzutreten, eventuell diese Klage abzuweisen. Die Forderungsklage vom 25. August 2011 sei im Übrigen vollumfänglich abzuweisen. Y._ beantragt, die Beschwerde vollumfänglich abzuweisen. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung. Der Beschwerdeführer verzichtete seinerseits auf Gegenbemerkungen. 