Sachverhalt: A. Der 1967 geborene D._, der sich am 13. Februar 2006 ein Quetschtrauma der rechten Hand mit offenen Frakturen und Rissquetschwunde über dem Handrücken zugezogen hatte, meldete sich am 8. Mai 2007 zum Leistungsbezug bei der Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle Luzern zog u.a. die Akten der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) bei, tätigte weitere medizinische und berufliche Abklärungen (u.a. bei der Beruflichen Abklärungsstellte BEFAS, [Bericht vom 21. August 2008]), gewährte berufliche Massnahmen und sprach dem Versicherten nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren mit Verfügung vom 19. Januar 2011 ab 1. Februar 2007 eine Viertelsrente der Invalidenversicherung (nebst zwei Kinderrenten) zu. B. Hiegegen liess D._ Beschwerde erheben und im Hauptpunkt beantragen, die Sache sei zu weiteren Abklärungen der Arbeits- und Leistungsfähigkeit in einer zumutbaren und existierenden leidensangepassten Tätigkeit an die Verwaltung zurückzuweisen. Die IV-Stelle beantragte vernehmlassungsweise, dem Versicherten sei keine Rente zuzusprechen. Mit Entscheid vom 30. Mai 2012 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern das eingelegte Rechtsmittel ab. C. Die IV-Stelle führt Beschwerde und beantragt sinngemäss, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei festzustellen, dass kein Rentenanspruch bestehe; ferner ersucht sie, dem eingelegten Rechtsmittel die aufschiebende Wirkung zu erteilen. D._ lässt die Rechtsbegehren stellen, in Gutheissung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung sei die Beschwerde abzuweisen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. 