Faits: A. A._ SA est une société anonyme enregistrée au Luxembourg, où elle a son siège social; elle a une succursale à Genève, auparavant à Zurich, inscrite sur le registre du commerce. Elle se consacre surtout à la prise de participations dans d'autres entreprises. M._ et N._ ont assumé les fonctions d'administrateurs de la succursale et O._ l'a représentée avec droit de signature individuelle. B._ SA, en liquidation, a son siège à Genève. M._ et P._ ont été ses administrateurs. B. Le 5 décembre 2007, X._ a ouvert action contre ces deux sociétés devant le Tribunal de première instance du canton de Genève. Elles devaient être condamnées à lui rendre compte du ou des mandats de gestion de biens que, selon ses allégations, elles avaient reçus de son défunt père, W._. Les défenderesses ont contesté les relations de mandat alléguées par la demanderesse; A._ SA a excipé de l'incompétence à raison du lieu. Le Tribunal de première instance a d'abord rejeté cette exception au motif qu'elle était tardive, puis la Cour de justice a annulé ce premier jugement. Le tribunal s'est derechef prononcé sur l'exception d'incompétence le 1er octobre 2009. Il l'a rejetée et s'est jugé compétent au regard des faits allégués dans la demande, dont la preuve devait être renvoyée à la suite de l'instance. La Cour de justice a statué le 16 avril 2010 sur l'appel de la défenderesse; elle a confirmé le jugement. C. Agissant par la voie du recours en matière civile, la défenderesse A._ SA requiert le Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt de la Cour de justice et de prononcer que les tribunaux genevois sont incompétents. Des conclusions subsidiaires tendent à l'annulation de l'arrêt et au renvoi de la cause à la Cour de justice pour nouvelle décision. La demanderesse conclut principalement à l'irrecevabilité du recours et subsidiairement à son rejet. 