A.- En 1993, l'Office X._, une association de droit privé ayant son siège à Lausanne, engagea E._ pour travailler en qualité d'éducateur auprès de l'un de ses centres. Le 13 février 1997, E._ informait le centre qu'il souhaitait entreprendre une formation continue en travail social auprès de l'Université de Neuchâtel, en vue d'obtenir un diplôme. Les quatre personnes qui s'étaient inscrites au cours de formation continue (dont E._) furent convoquées à une séance tenue à Sion le 19 septembre 1997, au cours de laquelle il leur fut indiqué que le temps désormais accordé à la formation continue serait de 10 jours par an (conformément à une convention collective applicable en Valais) et que la participation aux frais serait de 70% de ces 10 jours (et non pas de 70% du total des frais). Le 25 novembre 1997, E._ signa avec le directeur du centre un protocole d'accord prévoyant qu'il aurait la possibilité de suivre les cours en vue de l'obtention d'un diplôme de formation continue en travail social, qu'il lui serait octroyé annuellement 10 jours pour sa formation continue et que le centre participerait à raison de 70% aux frais effectifs des 10 jours annuels de formation, le solde étant à sa charge; il était précisé que ce protocole était valable pour les années civiles 1997 et 1998 et susceptible d'être reconduit tacitement jusqu'à la fin de la formation. Deux autres collaborateurs, A._ et B._, signèrent chacun de leur côté un document analogue. Le 26 mai 1998, A._, B._ et E._ écrivirent à la Commission paritaire professionnelle cantonale pour se plaindre de ce que le centre ne leur remboursait que le 70% des frais encourus pour les dix jours de formation accordés et non de l'entier de celle-ci. Ils firent valoir notamment que le centre avait adopté par le passé une attitude plus généreuse. Aucune violation de la convention collective de travail applicable ne fut constatée. Le 20 juin 2000, E._ déposa auprès du Tribunal du travail du canton du Valais une demande en paiement dirigée contre son employeur et concernant le remboursement de ses frais de formation. B.- Par jugement du 20 février 2001, le Tribunal du travail rejeta la demande en paiement, portant sur 5646 fr.35, présentée par E._; il donna acte à l'employeur de ce qu'il reconnaissait devoir à E._ un montant de 734 fr.40. Le Tribunal du travail estima qu'il n'était pas prouvé que E._ ait reçu l'assurance que l'employeur assumerait une participation supérieure et qu'en tout état de cause, l'accord antérieur allégué fut remplacé par le protocole du 25 novembre 1997, qui lie les parties et qui fut respecté, étant observé qu'aucune circonstance correspondant à un vice du consentement ne fut établie. C.- Contre ce jugement, E._ a formé un recours de droit public qui a été rejeté par un arrêt séparé de ce jour (cause 4P.264/2001). Parallèlement, il a formé contre le jugement du 20 février 2001 un appel de droit cantonal, que le Juge III du district de Sion, par décision du 25 octobre 2001, a déclaré irrecevable. E._ forme contre cette décision d'irrecevabilité un recours de droit public au Tribunal fédéral. Invoquant le droit à un juge indépendant et impartial garanti par les art. 6 par. 1 CEDH et 30 Cst. , ainsi que l'interdiction de l'arbitraire prévue par l'art. 9 Cst. , il conclut à l'annulation de la décision attaquée, le dossier étant retourné au Juge III du district de Sion avec ordre d'entrer en matière sur l'appel déposé par E._. L'intimé n'a pas déposé d'observations. Le Juge III du district de Sion s'est référé à sa décision. Contre la même décision d'irrecevabilité, E._ a formé un pourvoi en nullité cantonal, qui a été déclaré irrecevable par un jugement rendu le 14 novembre 2001 par la Cour de cassation civile du Tribunal cantonal valaisan. 