Faits: A. Après avoir obtenu son diplôme d'enseignement le 13 septembre 2004, A._ a été engagée depuis la rentrée d'août 2005 auprès de l'école B._. Elle a rapidement connu des différends avec certains enseignants et avec la direction de l'établissement, pour des questions de taux d'occupation, d'horaires ou de méthode d'enseignement. Ce n'est que le 15 décembre 2005 qu'un contrat de travail lui est parvenu; ce document mentionnait un engagement de durée déterminée du 1er août 2005 au 31 juillet 2006 en qualité de "maîtresse secondaire spécialiste", pour un salaire annuel brut de 52'112,40 francs. Entre le 20 et le 22 décembre 2005, la doyenne de l'établissement a convoqué les élèves de A._ afin qu'ils donnent leur avis sur cette enseignante. Par courrier du 22 décembre 2005, le directeur général de l'enseignement postobligatoire de l'Etat de Vaud a informé A._ de l'ouverture d'une enquête administrative à son encontre et il a décidé de la libérer provisoirement de l'obligation de travailler, son salaire restant acquis. Par courrier du 29 mars 2006, il a décidé de mettre un terme à l'enquête administrative "par gain de temps et d'énergie", le contrat de durée déterminée d'A._ prenant fin le 31 juillet 2006. B. A._ a recouru contre la décision susmentionnée du 22 décembre 2005 auprès du Tribunal de prud'hommes de l'administration cantonale. Par jugement du 17 juillet 2007 - dont les considérants ont été notifiés le 18 octobre 2007 - ce tribunal a constaté que A._ avait été victime d'une atteinte à la personnalité et a reconnu l'Etat de Vaud débiteur d'un montant de 12'000 fr. à titre d'indemnité pour tort moral et résiliation abusive du contrat de travail. Sur recours de l'Etat de Vaud, la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a annulé ce jugement par arrêt du 17 avril 2008, dont les considérants ont été notifiés le 8 août 2008. Le Tribunal cantonal a estimé que les manquements de l'employeur relevés par les premiers juges ne constituaient pas une atteinte à la personnalité de A._. De plus, celle-ci ne pouvait pas prétendre à une indemnité pour congé abusif, dès lors que son contrat de durée déterminée n'avait pas été résilié mais avait simplement pris fin à son échéance. C. Agissant par la voie du recours en matière civile, A._ demande au Tribunal fédéral de réformer cet arrêt en ce sens qu'une atteinte à la personnalité soit constatée et qu'un montant de 21'713,50 fr. lui soit versé par l'Etat de Vaud à titre d'indemnité pour tort moral et résiliation abusive du contrat de travail. Elle conclut subsidiairement à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle instruction et nouveau jugement. Elle se plaint d'une violation des règles sur la protection de la personnalité des travailleurs et la résiliation abusive du contrat de travail, ainsi que d'une violation de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.) dans le cadre de l'enquête administrative ouverte à son encontre. Le Tribunal cantonal se réfère aux considérants de son arrêt. L'Etat de Vaud a présenté des observations; il conclut au rejet du recours, dans la mesure de sa recevabilité. Ces déterminations ont été communiquées à A._. 