Sachverhalt: A. Der aus Serbien stammende A._ (geb. 1978) reiste im Jahre 1993 in die Schweiz ein und wurde in die Niederlassungsbewilligung seines Vaters einbezogen. Eine Berufsausbildung absolvierte er nicht und war zunächst als Hilfsarbeiter tätig. 1998 wurde er u.a. wegen Raufhandels mit einer bedingten Gefängnisstrafe von sechs Wochen und einer Busse von Fr. 800.-- bestraft. Im selben Jahr wurde er erstmals fremdenpolizeilich verwarnt. Am 21. Juli 2000 heiratete er in seiner Heimat die zwei Jahre jüngere Landsfrau B._ und zog sie in die Schweiz nach. Mit ihr, die im Besitz einer Aufenthaltsbewilligung ist, hat er die Zwillingstöchter C._ und D._ (geb. 2003), welche ebenfalls über die Niederlassungsbewilligung verfügen. Am 10. Dezember 2002 war A._ wegen Fahrens in angetrunkenem Zustand und anderen Verkehrsregelverletzungen mit einer bedingten Gefängnisstrafe von 45 Tagen und einer Busse von Fr. 600.-- bestraft und in der Folge ein zweites Mal fremdenpolizeilich verwarnt worden (Androhung der Ausweisung). Bis Februar 2005 war er meistens temporär tätig. Ab März 2005 war er arbeitslos, bezog Leistungen der Arbeitslosenversicherung und nahm zeitweise an verschiedenen Beschäftigungsprogrammen teil. Stellenbewerbungen in dieser Zeit blieben erfolglos. Am 20. September 2007 wurde A._ vom Bezirksamt Frauenfeld wegen Kaufs und Konsums von insgesamt 8 Gramm Marihuana erneut mit einer Busse von Fr. 50.-- bestraft. Gegen A._ und seine Ehefrau liegen zahlreiche Betreibungen im Gesamtbetrag von über Fr. 65'000.-- und mehrere Verlustscheine (ca. Fr. 30'000.--) vor. Die Familie bezog ab März 2005 bis zum 8. Juli 2008 Fürsorgegelder von insgesamt Fr. 90'320.55. Seit Mai 2008 arbeitet A._ mit einem Pensum von 100 % als Lagerist bei der Firma R._ AG in Z._. Seine Ehefrau arbeitet auf Abruf im Stundenlohn bei der Firma S._, domiziliert ebenfalls in Z._. B. Mit Verfügung vom 13. September 2007 verweigerte das Migrationsamt des Kantons Thurgau der ganzen Familie A._ - B._ den weiteren Aufenthalt im Kanton Thurgau und wies die Familie für die Dauer von drei Jahren aus der Schweiz aus, im Wesentlichen mit der Begründung, A._ habe wiederholt zu schweren Klagen Anlass gegeben und sei offensichtlich nicht gewillt, seine bedenkliche wirtschaftliche Situation nachhaltig zu ändern. Es müsse daher angenommen werden, dass er und seine Familie auch in Zukunft der öffentlichen Fürsorge zur Last fallen werde, was die Ausweisung rechtfertige. Ein gegen diese Verfügung erhobener Rekurs beim Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau blieb erfolglos, und am 12. November 2008 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau die gegen den Departementsentscheid vom 8. Juli 2008 erhobene Beschwerde ebenfalls ab. C. Mit gemeinsamer Eingabe vom 19. Januar 2009 führen A._, B._, C._ und D._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 12. November 2008 aufzuheben und das Migrationsamt anzuweisen, der Familie das Aufenthaltsrecht im Kanton Thurgau weiterhin zu gewähren. Das Migrationsamt beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Denselben Antrag stellen das Departement für Justiz und Sicherheit, das Verwaltungsgericht und das Bundesamt für Migration. Die II. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts hat die Angelegenheit am 4. Dezember 2009 an einer öffentlichen Sitzung beraten. 