Faits: A. A.a. Par contrat de travail de durée indéterminée du 1er novembre 2002, X._ Sàrl (la défenderesse), entreprise spécialisée dans la fabrication, le commerce et la distribution de matières premières dans l'industrie du textile, a engagé A._ (la demanderesse) à partir du 3 mars 2003 en qualité d'agent commercial, moyennant un salaire mensuel brut de 7'000 fr., plus un treizième salaire dépendant de l'évolution du chiffre d'affaires. Si le contrat, à son art. 1er, instaurait un temps d'essai d'un mois, à savoir du 3 mars au 3 avril 2003, il ne réglait pas la question du délai de congé (art. 64 al. 2 OJ). A teneur de l'art. 5 de l'accord, la travailleuse devait être assurée "contre les accidents professionnels et non professionnels ainsi que sur la perte de gain accident et maladie, selon les lois régies par la LAA et LPP". Selon deux certificats médicaux établis les 7 avril et 5 mai 2003 par le Dr B._, médecin-traitant de la demanderesse, celle-ci a été totalement incapable de travailler pour cause d'accident dès le 7 avril 2003. Le praticien précité a dressé un troisième certificat médical le 6 juin 2003, dont il résulte que l'incapacité, imputée cette fois à une maladie, était prolongée jusqu'au 1er juin 2003. Il a été retenu que l'incapacité de travail a été provoquée par une douleur au niveau du dos qui est apparue lorsque la travailleuse s'est levée de son lit le 7 avril 2003; le diagnostic de déchirure musculaire dorso-lombaire a été posé. A.b. Le 7 mai 2003, la défenderesse a résilié le contrat de travail de la demanderesse pour le 30 juin 2003. En mai 2003, l'employeur a fait savoir à la travailleuse qu'il n'avait pas souscrit en sa faveur d'assurance couvrant la perte de gain en cas de maladie. La travailleuse a été libérée de l'obligation de travailler dès le 2 juin 2003. La défenderesse a payé à la demanderesse le salaire dû pour le mois d'avril 2003. A.c. Le 8 juillet 2003, A._ a ouvert action devant le Tribunal des prud'hommes de Genève contre X._ Sàrl, concluant au paiement de ses salaires de mai et juin 2003, par 14'000 fr., et d'une indemnité pour vacances non prises, par 2'232 fr. 40, plus intérêts. La défenderesse a conclu à libération. Par décision du 19 août 2003, la compagnie d'assurances Y._ a informé la demanderesse qu'elle refusait de prendre en charge le sinistre, au motif qu'il résultait d'une maladie et non d'un accident. Ce prononcé est entré en force, faute d'avoir été attaqué. Par jugement du 24 octobre 2003, le Tribunal des prud'hommes a alloué à la demanderesse 14'000 fr. à titre de salaires pour les mois de mai et juin 2003, plus 1'749 fr. 30 pour les vacances non prises. Saisi d'une demande en révision, le Tribunal des prud'hommes, par jugement du 28 juin 2004, a complété son premier jugement en condamnant la défenderesse à payer à la demanderesse le montant total précédemment accordé, soit 15'749 fr. 30, mais assorti d'intérêts moratoires au taux de 5% l'an dès le 1er juillet 2003. B. La défenderesse a formé un appel devant la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève. Admettant n'être redevable envers la demanderesse à titre de salaire que du montant brut de 1'646 fr. 10 pour la période du 1er avril au 4 avril 2003 ainsi que de la somme de 7'000 fr. pour le mois de juin 2003, et tenant compte que celle-ci avait déjà perçu 7'000 fr. pour le mois d'avril 2003, la défenderesse a invoqué la compensation et conclu à ce qu'il lui soit donné acte qu'elle s'engageait à verser à la travailleuse un reliquat de 1'646 fr. 10, sous déduction des charges sociales et légales usuelles, la demanderesse étant déboutée de toutes autres conclusions. Par arrêt du 28 avril 2005, la cour cantonale a confirmé le jugement du 24 octobre 2003, complété le 28 juin 2004 à l'issue de la procédure de révision. En substance, l'autorité cantonale a considéré que l'employeur, qui, comme la défenderesse, omet de souscrire une assurance pour le risque maladie ou accident au profit du travailleur, est responsable du dommage subi par ce dernier. Elle en a déduit que la défenderesse est redevable à tout le moins de la perte de gain de la demanderesse à concurrence du 80% du salaire, sans qu'il faille déterminer si l'incapacité de travail était due à un accident ou à une maladie. Comme la cour cantonale n'a pu obtenir aucune information fiable lui permettant de déterminer le taux réel de la perte de gain assurée, elle a retenu que l'employeur devait la totalité du salaire convenu, et non pas seulement les 80% de celui-ci, à savoir 14'000 fr. brut pour mai et juin 2003, étant précisé que le paiement du salaire de juin 2003 n'est plus contesté. Enfin, comme le délai de résiliation du contrat de la demanderesse n'a pas excédé en l'occurrence deux mois, la Cour d'appel a jugé que la travailleuse ne s'était pas trouvée en mesure de bénéficier de ses jours de vacances en nature, si bien que c'était à bon droit que le Tribunal des prud'hommes lui avait alloué 1'749 fr. 30 pour 5 jours de vacances non pris, correspondant à 8.33 % de 21'000 fr. (salaires de mars, avril et mai 2003). C. X._ Sàrl exerce un recours en réforme contre l'arrêt cantonal. Elle requiert principalement qu'il lui soit donné acte qu'elle reconnaît devoir à son adverse partie la somme brute de 1'646 fr. 10, la demanderesse devant être déboutée de toutes autres ou contraires conclusions. Subsidiairement, elle conclut au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision. L'intimée propose le rejet du recours et la confirmation de l'arrêt déféré. Elle requiert l'octroi de l'assistance judiciaire. 