Sachverhalt: A. A.a T._ verheiratete sich am 14. Oktober 1987 mit R._. Der Ehe entsprossen am 3. Dezember 1987 der Sohn A._ und am 11. August 1990 der Sohn F._. Im April 2004 meldete sich T._ bei der IV-Stelle des Kantons Zürich zum Leistungsbezug an. Während des IV-Abklärungsverfahrens wurde die Ehe am 19. Oktober 2006 geschieden und die elterliche Sorge über den damals noch minderjährigen Sohn F._ der Ehegattin zugeteilt. Im Scheidungsurteil wurde von Unterhaltszahlungen des Vaters an den Sohn F._ abgesehen, aber gestützt auf Art. 285 Abs. 2 ZGB bestimmt, dass allfällige dem Vater ausgerichtete Sozialversicherungsleistungen anstelle der Unterhaltsbeiträge treten. Für den im Scheidungszeitpunkt bereits volljährigen Sohn A._ enthielt das Scheidungsurteil keine Regelung. A.b Mit Verfügungen vom 8. April 2008 sprach die IV-Stelle des Kantons Zürich T._ rückwirkend ab 1. September 2004 eine Invalidenrente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 100 % zu, samt Kinderrenten für den in Ausbildung stehenden Sohn A._ (befristet bis Ende August 2007) sowie für den Sohn F._. Als Zahlungsadresse der Nachzahlungen für die Kinderrenten gab die Verfügung die Adresse von R._ an. B. Beschwerdeweise liess T._ beantragen, die Verfügung vom 8. April 2008 sei so abzuändern, dass ihm die Kinderrente für den Sohn A._ ab 1. Januar 2006 bis zum Erlöschen des Anspruchs am 31. August 2007 ausbezahlt werde. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde mit Entscheid vom 27. Februar 2009 ab. C. T._ erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und erneuert das vorinstanzlich gestellte Rechtsbegehren. Zugleich ersucht er um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung. Die IV-Stelle des Kantons Zürich sowie das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) beantragen Abweisung der Beschwerde. Die zur Vernehmlassung eingeladenen R._ und A._ haben sich nicht geäussert. 