Sachverhalt: A. A._ erhob am 3. August 2013 Strafanzeige wegen Nötigung und Amtsmissbrauch gegen B._, C._, D._, E._ und F._ als (damalige) Mitglieder der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde des Bezirkes Hinwil. Mit Verfügung vom 3. Dezember 2013 leitete die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich die Sache weiter an das kantonale Obergericht zur Prüfung einer allfälligen Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen die Beanzeigten. Mit Eingabe vom 18. Dezember 2013 beantragte die Strafanzeigerin, die Ermächtigung sei zu erteilen. Mit Beschluss vom 24. Januar 2014 verweigerte das Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, die Ermächtigung zur Strafverfolgung. Mit Verfügung (Ziffer 2) vom gleichen Tag wies das Obergericht das Gesuch der Strafanzeigerin um unentgeltliche Rechtsvertretung im Ermächtigungsverfahren ab. B. Gegen die Verfügung und den Beschluss des Obergerichtes gelangte die Strafanzeigerin mit Beschwerde vom 28. Februar (Posteingang: 3. März) 2014 an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Beschlusses und die Erteilung der Ermächtigung zur Strafverfolgung der beanzeigten Behördemitglieder. Ausserdem sei Ziffer 2 der angefochtenen Verfügung aufzuheben und der Beschwerdeführerin die unentgeltliche Rechtsvertretung für das kantonale Ermächtigungsverfahren zu bewilligen. Die Beanzeigten beantragen mit Vernehmlassung vom 17. April (Posteingang: 24. April) 2014 die Abweisung der Beschwerde. Die Staatsanwaltschaft, die Oberstaatsanwaltschaft und das Obergericht haben auf Stellungnahmen je ausdrücklich verzichtet. Eine Replik ist innert angesetzter (fakultativer) Frist nicht eingegangen. 