Fatti: A. I coniugi A.A._ e B.A._ hanno stipulato, quali committenti, con l'architetto C._ un contratto di appalto per l'edificazione di una casa unifamiliare. La consegna dell'opera è avvenuta nel mese di settembre del 2001. Nel 2006, a causa di alcune fessure apparse nelle pareti, entrambi i coniugi hanno fatto allestire - separatamente - delle perizie per scoprirne la causa. B. Con petizione 11 settembre 2006 A.A._ e B.A._ hanno convenuto in giudizio innanzi al Pretore del distretto di Lugano C._ per ottenere un risarcimento danni di fr. 75'000.--, composto di fr. 71'000.-- per i costi di riparazione dei vizi riscontrati nei summenzionati referti e di fr. 4'000.-- per il rimborso delle spese per un alloggio sostitutivo durante l'esecuzione dei lavori. Il Pretore ha ammesso A.A._ al beneficio dell'assistenza giudiziaria e ha accolto la petizione con sentenza 19 aprile 2010. C. In parziale accoglimento di un appello di C._, la II Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino ha riformato la sentenza di primo grado nel senso che la petizione è accolta limitatamente a fr. 6'000.--, oltre accessori, e ha respinto la domanda di assistenza giudiziaria per la procedura di seconda istanza presentata da A.A._. La Corte cantonale ha innanzi tutto rilevato che l'applicabilità della norma SIA 118 relativa alle "condizioni generali per l'esecuzione dei lavori di costruzione" è in concreto pacifica. Essa ha poi considerato che i committenti non hanno provato di aver notificato i difetti riscontrati entro il termine di due anni previsto dalla citata norma SIA, eccezion fatta per le fessurazioni, riconosciute dal convenuto, riscontrate in uno dei bagni e per la cui riparazione ha accordato un risarcimento di fr. 6'000.--. I Giudici cantonali hanno infine ritenuto che A.A._ fosse indigente, ma hanno nondimeno respinto la sua domanda di assistenza giudiziaria perché ella, unicamente separata dal marito, non ha né addotto né dimostrato l'incapacità del coniuge a sopperire anche alle di lei spese di patrocinio. D. Con ricorso in materia civile del 28 ottobre 2011 A.A._ e B.A._ postulano la riforma della sentenza impugnata nel senso che l'appello sia respinto e che la domanda di assistenza giudiziaria presentata da A.A._ in seconda istanza sia accolta. Entrambi i ricorrenti chiedono inoltre di essere posti al beneficio dell'assistenza giudiziaria per la sede federale. Lamentano un accertamento arbitrario dei fatti per quanto riguarda il mancato riconoscimento di una tempestiva notifica dei difetti, la quale risulterebbe invece da una lettera del 20 maggio 2006 spedita da C._. Con riferimento alla mancata concessione dell'assistenza giudiziaria alla moglie, essi ritengono che la Corte cantonale abbia violato il principio della buona fede e sia caduta nell'arbitrio, perché non ha chiesto all'istante di completare la sua documentazione con quella del marito. La Corte adita ha respinto la domanda di assistenza giudiziaria per la sede federale con decreto del 12 gennaio 2012. Il 25 gennaio 2012 i ricorrenti hanno versato l'anticipo per le spese presunte del processo di fr. 3'500.-- a loro chiesto. Non è stato ordinato uno scambio di scritti. 