Sachverhalt: A. A.a Die X._ (Beschwerdeführerin) ist eine juristische Person mit Sitz in Y. Z._. Die Fédération Internationale de Football Association (FIFA; Beschwerdegegnerin) ist ein Verein schweizerischen Rechts mit Sitz in Zürich. A.b Im Oktober 2006 sistierte die Beschwerdegegnerin, unter anderem wegen der Einmischung der Behörden in Fussballbelange, die Mitgliedschaft der Beschwerdeführerin. Am 9. März 2007 hob die Beschwerdegegnerin die erwähnte Sistierung vorübergehend und unter Bedingungen auf. Einige Tage später erliess sie eine sogenannte "Road Map" mit dem Ziel, die Situation hinsichtlich des Fussballsports in Z._ zu normalisieren. Unterdessen kam es innerhalb der Beschwerdeführerin zu Meinungsverschiedenheiten zwischen zwei Gruppen, die je für sich beanspruchten, rechtswirksam für die Beschwerdeführerin zu handeln. Beide Gruppen führten in der Folge parallele Generalversammlungen durch. Unter anderem fand am 15. November 2008 eine Generalversammlung der Beschwerdeführerin im Beisein von Vertretern der Beschwerdegegnerin statt. Dabei wurde die Gründung der Q._ Ltd. sowie die Auflösung der Beschwerdeführerin beschlossen. In der Folge erklärten sowohl die Beschwerdegegnerin als auch die kenianische Regierung, fortan die Q._ als einzigen nationalen Fussballverband von Z._ zu anerkennen. B. Am 18. März 2009 leitete die Beschwerdeführerin beim Tribunal Arbitral du Sport ein Schiedsverfahren gegen die Beschwerdegegnerin ein. Sie beantragte im Wesentlichen, es sei die Beschwerdeführerin als rechtmässige Repräsentantin des Fussballsports in Z._ zu anerkennen. Im Weiteren sei der Beschwerdegegnerin eine weitere Zusammenarbeit mit der Q._ zu verbieten und sie sei zur Offenlegung bestimmter Finanztransaktionen zu verurteilen. Am 26. Januar 2010 fand in Lausanne ein Hearing statt. Mit Schiedsspruch vom 27. April 2010 wies das TAS die Klage der Beschwerdeführerin ab. Das TAS stützte seinen Entscheid insbesondere darauf ab, dass die Entscheidungen der Generalversammlung der Beschwerdeführerin vom 15. November 2008, wie auch die nachfolgenden Handlungen und Entscheide der Q._ sowie der Beschwerdegegnerin, nie angefochten worden seien. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, es sei der Schiedsentscheid des TAS vom 27. April 2010 aufzuheben und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das TAS schliesst auf Abweisung der Beschwerde. D. Mit Verfügung vom 8. Juli 2010 hiess das Bundesgericht das Sicherstellungsgesuch der Beschwerdegegnerin gut. In der Folge überwies die Beschwerdeführerin den geforderten Betrag von Fr. 5'000.-- als Sicherstellung einer allfälligen Parteientschädigung an die Bundesgerichtskasse. 