Art. 9 BV etc. (Eheschutz), hat sich ergeben: A.- Am 15. Juni 2000 stellte Y._ beim Einzelrichter von A._ ein Begehren um Erlass von Eheschutzmassnahmen. Z._ reichte am 7. August 2000 die Klageantwort ein, zu der die Ehefrau ihrerseits am 11. September 2000 Stellung nahm. In seiner Verfügung vom 19. September 2000 nahm der Einzelrichter davon Vormerk, dass die Parteien zur Aufhebung des gemeinsamen Haushalts berechtigt seien; er wies die eheliche Wohnung zum ausschliesslichen Gebrauch der Ehefrau zu und verpflichtete den Ehemann zur Bezahlung von Unterhaltsbeiträgen von monatlich Fr. 1'000.-- für die Zeit vom 1. April 2000 bis zum 30. September 2000 sowie von monatlich Fr. 1'900.-- ab 1. Oktober 2000. Z._ rekurrierte, worauf Y._ Anschlussrekurs erhob. Mit Beschluss vom 18. April 2001 legte das Kantonsgericht (1. Rekurskammer) des Kantons Schwyz die Unterhaltsbeiträge auf Fr. 1'250.-- für die Zeit vom 1. April 2000 bis zum 30. September 2000, Fr. 1'610.-- für die Zeit vom 1. Oktober 2000 bis zum 31. Dezember 2000 und Fr. 1'775.-- für die Zeit ab 1. Januar 2001 fest. Ferner wurden Anordnungen zur Benützung des Hausrats getroffen. B.- Z._ hat mit Eingabe vom 25. Mai 2001 staatsrechtliche Beschwerde erhoben und beantragt, den Beschluss des Kantonsgerichts aufzuheben. Ausserdem ersucht er darum, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. In ihrer Vernehmlassung vom 28. Juni 2001 schliesst die Beschwerdegegnerin Y._ auf Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde. Auch sie ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Kantonsgericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. C.- Am 22. Juni 2001 hat der Präsident der erkennenden Abteilung in teilweiser Gutheissung eines Begehrens des Beschwerdeführers verfügt, dass der Beschwerde hinsichtlich der bis und mit April 2001 geschuldeten Unterhaltsbeiträge aufschiebende Wirkung zuerkannt werde. 