Faits: Faits: A. Depuis décembre 2002, Hélène Châtelain, Présidente du Tribunal des mineurs du canton de Vaud, est chargée d'une enquête pénale ouverte contre A._, enfant mineure née en 1989, prévenue d'avoir participé à diverses infractions contre le patrimoine et consommé des stupéfiants. Le 18 février 2003, la Présidente a obtenu le rapport - très succinct - d'un psychiatre que les parents avaient auparavant consulté au sujet des échecs scolaires de leur fille. Elle a ensuite ordonné le placement de la prévenue en observation à l'établissement de la Clairière, dans le canton de Genève, dès le 13 mars 2003. Selon le rapport établi à l'issue de la période d'observation, daté du 22 mai 2003, un retour dans le milieu familial n'était pas souhaitable. On préconisait, dans l'immédiat, un placement à la ferme équestre des Bruyères à Frontenaud, en France (Saône-et-Loire), solution que la prévenue disait accepter après avoir pu visiter les lieux. Pour la suite, on recherchait un foyer et une école afin que la prévenue pût reprendre sa scolarité dès la rentrée de l'automne 2003. Trois autres projets de placement, proposés par les parents, étaient écartés. La prévenue a en fait séjourné à la ferme des Bruyères dès le 16 mai 2003. Le 19 suivant, déjà renseignée sur les résultats de l'observation, la Présidente a ordonné le placement correspondant pour une durée indéterminée, sous le régime de la garde provisionnelle prévue par l'art. 32 al. 1 de la loi vaudoise du 26 novembre 1973 sur la juridiction pénale des mineurs. La prévenue et son père B._ ont recouru contre cette mesure, pour critiquer surtout le choix du lieu de placement. La Chambre supérieure du Tribunal des mineurs les a déboutés par arrêt du 18 juin 2003. Le 6 octobre 2003, la Cour de cassation pénale du Tribunal fédéral a déclaré irrecevables un pourvoi en nullité et un recours de droit public dirigés contre ce dernier prononcé (arrêts 6S.304/2003 et 6P.121/2003). Depuis le 23 juin 2003, la prévenue est en fuite et son lieu de séjour actuel est inconnu des autorités judiciaires. Depuis le 23 juin 2003, la prévenue est en fuite et son lieu de séjour actuel est inconnu des autorités judiciaires. B. Divers incidents sont survenus au cours des placements à la Clairière et à la ferme des Bruyères. B._ a adressé à la Présidente de très nombreuses lettres pour s'en plaindre et protester contre le régime du placement à la Clairière, qu'il jugeait trop sévère et inadapté aux besoins de sa fille, puis pour critiquer le placement à la ferme des Bruyères et, en général, les démarches accomplies par l'autorité. Selon une déclaration de la prévenue recueillie le 9 avril 2003, que son père a récemment confirmée, celui-ci l'a emmenée durant plusieurs jours en France dans le but de la soustraire aux recherches de la police, pendant une période où elle s'était échappée de la Clairière en abusant d'un congé. Selon d'autres informations reçues par la Présidente et consignées au procès-verbal des opérations et décisions (23 juin, 2 et 21 juillet 2003), B._ est impliqué dans la fuite actuelle de la prévenue et il sait où elle se trouve; cela ressort aussi, d'ailleurs, de lettres qu'il a adressées au Tribunal des mineurs le 20 octobre 2003 et le 30 mars 2004. B. Divers incidents sont survenus au cours des placements à la Clairière et à la ferme des Bruyères. B._ a adressé à la Présidente de très nombreuses lettres pour s'en plaindre et protester contre le régime du placement à la Clairière, qu'il jugeait trop sévère et inadapté aux besoins de sa fille, puis pour critiquer le placement à la ferme des Bruyères et, en général, les démarches accomplies par l'autorité. Selon une déclaration de la prévenue recueillie le 9 avril 2003, que son père a récemment confirmée, celui-ci l'a emmenée durant plusieurs jours en France dans le but de la soustraire aux recherches de la police, pendant une période où elle s'était échappée de la Clairière en abusant d'un congé. Selon d'autres informations reçues par la Présidente et consignées au procès-verbal des opérations et décisions (23 juin, 2 et 21 juillet 2003), B._ est impliqué dans la fuite actuelle de la prévenue et il sait où elle se trouve; cela ressort aussi, d'ailleurs, de lettres qu'il a adressées au Tribunal des mineurs le 20 octobre 2003 et le 30 mars 2004. C. Par acte du 14 août 2003, B._ a demandé la récusation de la Présidente Hélène Châtelain au motif que les mesures prises par elle étaient, à son avis, illégales et gravement inadéquates, à tel point qu'elle se révélait suspecte de partialité. B._ se référait notamment à la garantie d'un juge indépendant et impartial conférée par l'art. 30 al. 1 Cst. Le Tribunal d'accusation du Tribunal cantonal vaudois a rejeté cette requête par arrêt du 9 septembre 2003. L'arrêt indiquait, sans plus de détails, que le requérant ne faisait valoir aucun des motifs de récusation concrets prévus par l'art. 29 al. 2 CPP vaud. (parenté, intérêt à la cause, etc.), que les reproches élevés contre la Présidente du Tribunal des mineurs n'étaient "nullement fondés" et que l'examen du dossier ne révélait aucun indice de partialité. Agissant au nom de sa fille par la voie du recours de droit public, B._ a requis le Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 9 septembre 2003. Invoquant notamment le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., il se plaignait d'une décision insuffisamment motivée. Statuant le 15 janvier 2004, la Cour de céans a reconnu le bien-fondé de ce grief et a annulé l'arrêt attaqué (cause 1P.618/2003). Le Tribunal d'accusation a rendu un nouvel arrêt consécutif à la demande de récusation, le 2 mars 2004; il l'a derechef rejetée. Après discussion des critiques élevées contre la Présidente, il a constaté que celle-ci n'avait commis aucune erreur de nature à justifier la suspicion de partialité. Le Tribunal d'accusation a rendu un nouvel arrêt consécutif à la demande de récusation, le 2 mars 2004; il l'a derechef rejetée. Après discussion des critiques élevées contre la Présidente, il a constaté que celle-ci n'avait commis aucune erreur de nature à justifier la suspicion de partialité. D. Toujours au nom de sa fille, B._ a saisi le Tribunal fédéral d'un deuxième recours de droit public, tendant cette fois à l'annulation de l'arrêt du 2 mars 2004. Il persiste à soupçonner la Présidente de partialité et à la tenir pour récusable selon l'art. 30 al. 1 Cst.; il se plaint aussi d'un déni de justice. Invités à répondre, le Tribunal d'accusation et le magistrat intimé ont renoncé à déposer des observations. 