Sachverhalt: A. Der am 13. Oktober 1946 geborene R._ ist kosovarischer Staatsangehöriger und wohnt in Kosovo. Am 3. Oktober 2011 (Eingang: 7. Dezember 2011) meldete er sich bei der Schweizerischen Ausgleichskasse (nachfolgend: SAK) für eine "Altersrente für Personen mit Wohnsitz ausserhalb der Schweiz" an. Am 21. Dezember 2011 verneinte die SAK verfügungsweise einen entsprechenden Anspruch, da das zwischen der Schweiz und dem ehemaligen Jugoslawien abgeschlossene Sozialversicherungsabkommen ab 1. April 2010 im Verhältnis zu Kosovo nicht weiter angewendet werde. Indes könnten die AHV-Beiträge auf Gesuch hin zurückvergütet werden. Daran hielt die SAK mit Einspracheentscheid vom 27. August 2012 fest. B. Das Bundesverwaltungsgericht hiess die dagegen eingereichte Beschwerde gut, hob den Einspracheentscheid der SAK vom 27. August 2012 auf und sprach R._ ab 1. November 2011 eine monatliche AHV-Rente in der Höhe von Fr. 580.- zu (Entscheid vom 21. November 2012). C. Die SAK erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 21. November 2012 sei aufzuheben und ihr Einspracheentscheid vom 27. August 2012 zu bestätigen. R._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) stellt Antrag auf Gutheissung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. 