Sachverhalt: A. Der 1963 geborene V._ war als Schweisser in der Firma S._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Er verunfallte am 3. April 2002 ein erstes Mal, als bei der Arbeit ein Hebemagnet gegen sein linkes Knie stiess. Am 21. Oktober 2002 erlitt V._ zudem als Lenker eines VW Sharan einen Heckauffahrunfall, wobei er sich eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) zuzog. Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht aus den beiden Unfällen und erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Es folgten verschiedene medizinische Behandlungen, insbes. am 15. April und 18. November 2003 zwei Arthroskopien am linken Knie sowie vom 1. September bis 6. Oktober 2004 eine stationäre Rehabilitation. Nach verschiedenen Sachverhaltsabklärungen eröffnete die SUVA dem Versicherten mit zwei Verfügungen vom 3. Dezember 2004, die Leistungen aus den beiden Unfällen würden mit dem 31. Dezember 2004 eingestellt. Zur Begründung führte sie aus, die noch bestehenden Beschwerden seien nicht Unfallfolge. V._ erhob gegen diese Verfügungen je Einsprache. Die von seinem Krankenversicherer eingereichten Einsprachen wurden wieder zurückgezogen. Mit einer weiteren Verfügung vom 26. April 2006 erklärte sich die SUVA in Bezug auf eine Belastungsschmerz-Problematik am rechten Knie für nicht leistungspflichtig. V._ führte auch hiegegen Einsprache. Die SUVA trat auf die Einsprache gegen die Verfügung vom 26. April 2006 nicht ein; die Einsprachen des Versicherten gegen die Verfügungen vom 3. Dezember 2004 wies sie ab (Einspracheentscheid vom 9. Oktober 2006). B. V._ reichte Beschwerde ein mit dem Rechtsbegehren, die SUVA sei in Aufhebung des Einspracheentscheides vom 6. Oktober 2006 zu verpflichten, die gesetzlichen Versicherungsleistungen auszurichten; zudem beantragte er, das Verfahren sei bis zum Vorliegen eines von der Invalidenversicherung veranlassten MEDAS-Gutachtens zu sistieren. Mit Entscheid vom 14. November 2007 verneinte das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen die Voraussetzungen für die beantragte Sistierung, und es wies die Beschwerde ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt V._ sein vorinstanzliches Leistungsbegehren erneuern. Er legt das MEDAS-Gutachten vom 30. August 2007 bei. Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Den Parteien wurde die Gelegenheit geboten, ihre Vorbringen im Hinblick auf das Urteil BGE 134 V 109 zu ergänzen. Während die SUVA darauf verzichtet, lässt V._ mit Eingabe vom 10. April 2008 Stellung nehmen. Er stellt dabei neu Antrag auf Rückweisung der Sache an den Unfallversicherer. 