Sachverhalt: A. Die IV-Stelle des Kantons Zürich lehnte mit Verfügung vom 25. Mai 2011 das Gesuch des 1963 geborenen S._ um Rentenleistungen ab; der Invaliditätsgrad betrage nicht leistungsbegründende 21 Prozent. B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich sprach auf die dagegen erhobene Beschwerde hin dem Versicherten mit Wirkung ab November 2009 eine Viertelsrente (aufgrund eines Invaliditätsgrades von 42 Prozent) zu. Das Gericht ging davon aus, einstweilen sei nicht - wie administrativgutachtlich attestiert - von einer vollständigen Arbeitsfähigkeit in angepassten Tätigkeiten auszugehen, sondern - gestützt auf spitalärztliche Berichte - von einem ab März 2008 bestehenden Leistungsvermögen von 50 Prozent. Da dem Versicherten indes eine Behandlung der hierfür verantwortlichen Beschwerden zumutbar sei, obliege es der IV-Stelle, ihn auf seine Schadenminderungspflicht hinzuweisen und aufzufordern, sich einer adäquaten Therapie zu unterziehen (Entscheid vom 1. November 2011). C. S._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem sinngemässen Rechtsbegehren, es sei ihm mit Wirkung ab November 2009 eine halbe Invalidenrente zuzusprechen. Zudem ersucht er um unentgeltliche Verbeiständung. Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme. 