Sachverhalt: A. Der 1978 geborene jordanische Staatsangehörige X._ reiste am 10. Oktober 2000 in die Schweiz ein und heiratete hier am gleichen Tag eine Schweizer Bürgerin, worauf er eine Aufenthaltsbewilligung erhielt. Aus der Ehe ging eine inzwischen zehn Jahre alte Tochter hervor. Am 21. Februar 2011 trennte sich X._ von seiner Ehefrau. Am 20. Mai 2011 ersuchte die zuständige Behörde des Kantons Aargau das Bundesamt für Migration (BFM) um Erteilung seiner Zustimmung zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers. Mit Verfügung vom 12. April 2012 verweigerte das BFM seine Zustimmung unter Hinweis auf zahlreiche strafrechtliche Verurteilungen von X._ und dessen nicht erfolgreiche Integration. B. Hiergegen beschwerte sich X._ mit Eingabe vom 10. Mai 2012 beim Bundesverwaltungsgericht. In der Sache selbst stellte er im Wesentlichen den Antrag, es sei die Verfügung des BFM vom 12. April 2012 aufzuheben und die Zustimmung zur Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. In prozessualer Hinsicht beantragte X._, es sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. Mit Zwischenverfügung vom 23. Mai 2012 lehnte die Instruktionsrichterin des Bundesverwaltungsgerichts das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ab. Sie forderte X._ auf, bis zum 20. Juni 2012 einen Kostenvorschuss in Höhe von Fr. 1'500.-- zu leisten, andernfalls auf die Beschwerde unter Kostenfolge nicht eingetreten werde. Zur Begründung verwies die Instruktionsrichterin darauf, dass die Beschwerde als aussichtslos erscheine. C. Gegen die Zwischenverfügung vom 23. Mai 2012 führt X._ mit Eingabe vom 1. Juni 2012 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Er stellt den Antrag, es sei das Bundesverwaltungsgericht anzuweisen, ihm die unentgeltliche Prozessführung zu bewilligen. Das BFM schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht teilt in seiner Stellungnahme vom 5. Juli 2012 mit, es verzichte auf eine Vernehmlassung in der Sache und habe dem Beschwerdeführer die angesetzte Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses einstweilen abgenommen. 