Sachverhalt: A. Die serbischen Staatsangehörigen C.Y._ (geb. 1994) und D.Y._ (geb. 1996) sind in der Schweiz geboren und bis im April 2006 hier aufgewachsen. Sie verfügten über eine Aufenthaltsbewilligung, die letztmals bis zum 30. Juni 2005 verlängert wurde. Ihre geschiedene Mutter, E.Y._ - (geb. 1974) wurde mit Verfügung vom 15. November 2005 infolge fehlender beruflicher Integration und fortwährender Abhängigkeit von der öffentlichen Fürsorge aus der Schweiz weggewiesen. Nach erfolgloser Beschwerde an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern reiste die Mutter mit C.Y._ und D.Y._ sowie mit den beiden jüngeren Söhnen F.Y._ (geb. 2000) und G.Y._ (geb. 2005 ) am 15. April 2006 aus der Schweiz aus. Die beiden älteren Söhne, C.Y._ und D.Y._, sind in der zweiten Jahreshälfte 2011 von Belgien in die Schweiz eingereist und halten sich seither bei den Grosseltern A.X._ und B.X._, beide Schweizer Bürger, auf. Ihre Mutter, E.Y._, blieb mit den jüngeren Söhnen vorerst noch in Belgien. B. Am 19. August 2011 reichten A.X._ und B.X._ ein Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung im Rahmen des Familiennachzugs für ihre Enkel C.Y._ und D.Y._ ein. Das Amt für Migration des Kantons Luzern lehnte das Gesuch mit Verfügung vom 10. Oktober 2011 ab und wies C.Y._ und D.Y._ aus der Schweiz weg. Dagegen erhoben A.X._ und B.X._ bzw. C.Y._ und D.Y._ Beschwerde an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern. Im Sinne einer vorsorglichen Massnahme ersuchten sie zudem um Erteilung einer vorläufigen Aufenthaltsbewilligung, was mit Zwischenentscheid vom 25. November 2011 abgelehnt wurde. Die gegen den Zwischenentscheid erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Urteil vom 14. Februar 2012 gut und wies die Sache zur neuen Beurteilung - insbesondere aufgrund der neu eingereichten dauernden belgischen Aufenthaltsbewilligungen - an das Justiz- und Sicherheitsdepartement zurück. Mit Entscheid vom 11. Mai 2012 wies das Justiz- und Sicherheitsdepartement die Beschwerde gegen die Verfügung vom 10. Oktober 2011 betreffend Nichterteilung der Aufenthaltsbewilligung im Rahmen des Familiennachzugs ab und setzte die Ausreisefrist neu auf den 16. Juli 2012 fest. C. A.X._ und B.X._ sowie C.Y._ und D.Y._ reichten dagegen Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern ein. Sie beantragten, C.Y._ und D.Y._ die Aufenthaltsbewilligung zu erteilen, festzustellen, dass das Justiz- und Sicherheitsdepartement das Rechtsverweigerungs- und Rechtsverzögerungsverbot bezüglich der Anordnung vorsorglicher Massnahmen verletzt habe, und C.Y._ und D.Y._ den Aufenthalt während des Hauptverfahrens zu bewilligen. Am 23. August 2012 teilten A.X._ und B.X._ sowie C.Y._ und D.Y._ dem Verwaltungsgericht mit, dass sich E.Y._ - derzeit in der Schweiz befinde. Einen Tag später reichten sie eine Kopie des Gesuchs um Aufenthaltsbewilligung für E.Y._ - zu den Akten. Mit Urteil vom 19. September 2012 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde von A.X._ und B.X._ sowie C.Y._ und D.Y._ wegen Rechtsmissbrauchs ab, soweit es darauf eintrat, und ordnete an, C.Y._ und D.Y._ hätten die Schweiz bis spätestens am 1. November 2012 zu verlassen. D. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 24. Oktober 2012 beantragen A.X._ und B.X._ (Beschwerdeführer 1) sowie C.Y._ und D.Y._ (Beschwerdeführer 2), das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 19. September 2012 aufzuheben, den Beschwerdeführern 2 eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen, und zudem festzustellen, dass das Justiz- und Sicherheitsdepartement sowie die Vorinstanz das Rechtsverweigerungs- bzw. Rechtsverzögerungsverbot bezüglich der Anordnung vorsorglicher Massnahmen verletzt haben. Weiter ersuchen sie im Sinne einer dringlichen vorsorglichen Massnahme den Beschwerdeführern 2 für die Dauer des Hauptverfahrens eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern sowie das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Migrationsamt sowie das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern liessen sich nicht vernehmen. Die Beschwerdeführer haben sich zu den Vernehmlassungsantworten abschliessend geäussert. E. Mit Verfügung vom 31. Oktober 2012 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde hinsichtlich der mit dem angefochtenen Urteil für die Beschwerdeführer 2 verbundenen Ausreiseverpflichtung aufschiebende Wirkung erteilt. 