Sachverhalt: A. Der 1962 geborene S._ leidet an einer Arthrose des linken Ellbogengelenks und an sekundären Beschwerden in der linken Schulter. Das Verwaltungsgericht des Kantons Glarus bestätigte eine Verfügung der IV-Stelle des Kantons Glarus, wonach ihm - bei einem Invaliditätsgrad von 13 Prozent - kein Anspruch auf eine Invalidenrente zukomme (Entscheid vom 24. Juni 2003). Das Eidgenössische Versicherungsgericht (seit 1. Januar 2007: Bundesgericht) hiess die gegen diesen Entscheid erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit Urteil vom 21. September 2004 (I 548/03) teilweise gut und wies die Sache zu neuem Entscheid an die Verwaltung zurück. Diesem Entscheid lag die Erkenntnis zugrunde, dass der Versicherte während über zwei Jahren nach dem für den Gesundheitsschaden verantwortlichen Unfallereignis vom 12. September 1999 nie eine 50 Prozent übersteigende Arbeitsfähigkeit erreicht hatte und dass er während dieser Zeit laufender Behandlungen und wiederholter operativer Eingriffe auch nicht auf den Weg der erwerblichen Selbsteingliederung verwiesen werden konnte. Damit war jedenfalls ein Anspruch auf eine befristete Invalidenrente ausgewiesen. Gestützt auf ein Verlaufsgutachten vom 13. Mai 2005 des Orthopäden Dr. C._, dessen frühere Einschätzungen massgebliche medizinische Grundlage für das letztinstanzliche Urteil vom 21. September 2004 gewesen waren, verfügte die IV-Stelle am 16. August 2005, S._ habe für den Zeitraum von September 2000 bis Dezember 2002 bei einem Invaliditätsgrad von 50 Prozent Anspruch auf eine halbe Invalidenrente. Ab Januar 2003 bestehe ein rentenausschliessender Invaliditätsgrad von 29 Prozent, weil die Heilbehandlung Ende 2002 abgeschlossen worden sei und dem Versicherten fortan alle leidensangepassten Verweisungstätigkeiten offengestanden hätten. Die hiergegen erhobene Einsprache wies die Verwaltung ab (Entscheid vom 3. Oktober 2005). B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Glarus wies die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 12. Dezember 2006). Es kam zum Schluss, angesichts der gutachtlichen Aussage, eine leidensangepasste Tätigkeit sei im Umfang von täglich sechs bis sieben Stunden zumutbar, sei ab Januar 2003 kein rentenbegründender Invaliditätsgrad mehr gegeben, dies unabhängig davon, ob das Invalideneinkommen ganz aufgrund eines statistischen Wertes (nach der Lohnstrukturerhebung [LSE] des Bundesamtes für Statistik) berechnet werde (Invaliditätsgrad: 36 Prozent) oder in Kombination mit dem tatsächlichen Einkommen aus der weiterhin halbtags ausgeübten angestammten Tätigkeit als Hauswart (27 Prozent). C. S._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit den Rechtsbegehren, es seien der kantonale und der Einspracheentscheid aufzuheben, soweit damit der Leistungsanspruch auf Ende 2002 befristet werde, und es sei ihm auch für die Zeit ab Januar 2003 mindestens eine halbe Invalidenrente zuzusprechen. Eventuell sei die Sache zur Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts zurückzuweisen. IV-Stelle und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme. 