Sachverhalt: A. Mit Urteil vom 1. Dezember 2003 schied das Bezirksgericht Zürich die Ehe von Z._ (Ehemann) und X._ (Ehefrau) und genehmigte deren Vereinbarung über die Scheidungsfolgen. In Ziff. 4 dieser Vereinbarung verpflichtete sich Z._, für das gemeinsame Kind Y._ einen Unterhaltsbeitrag von Fr. 750.-- bzw. Fr. 900.-- ab 1. Juni 2006 zu bezahlen, zuzüglich gesetzlicher oder vertraglicher Kinderzulagen. B. Gestützt auf die gerichtlich genehmigte Scheidungskonvention betrieb X._ ihren früheren Ehemann am 30. September 2009 mit Zahlungsbefehl Nr. ... des Betreibungsamtes A._ für Forderungen von insgesamt Fr. 10'240.-- zuzüglich Zins. Die Betreibungsforderung setzt sich zusammen aus Fr. 200.-- an Alimenten für den Monat April 2009 nebst Zins zu 5 % seit 8. Juni 2009 sowie ausstehenden Kinderzulagen seit März 2004 im Betrag von Fr. 10'040.--. C. Nachdem X._ gegen die Betreibung den Rechtsvorschlag erklärt hatte, ersuchte Z._ mit Klage vom 6. November 2009 beim Gerichtspräsidium A._ um definitive Rechtsöffnung. Die Gerichtspräsidentin von A._ hiess die Klage teilweise gut und erteilte X._ mit Urteil vom 12. Februar 2010 für den Betrag von Fr. 200.-- nebst Zins zu 5 % seit Oktober 2009 sowie für die Kosten des Zahlungsbefehls von Fr. 70.-- die definitive Rechtsöffnung; im Übrigen wies sie die Klage ab. X._ erhob gegen das erstinstanzliche Urteil am 1. März 2010 Beschwerde und verlangte vor zweiter Instanz wiederum für beide Forderungen (Fr. 200.-- nebst Zins zu 5 % seit 8. Juni 2009 sowie Fr. 10'040.--) die definitive Rechtsöffnung. Das Obergericht des Kantons Aargau (Zivilgericht, 5. Kammer) wies die Beschwerde mit Urteil vom 27. April 2010 ab. D. Mit Beschwerde vom 1. Juni 2010 gelangt X._ (nachfolgend "Beschwerdeführerin") an das Bundesgericht und beantragt, es sei ihr in der streitigen Betreibung gegen Z._ (nachfolgend "Beschwerdegegner") für Fr. 10'040.-- an ausstehenden Kinderzulagen sowie für Fr. 100.-- an Zahlungsbefehlskosten die definitive Rechtsöffnung zu erteilen. Der Beschwerdegegner beantragt Abweisung der Beschwerde, und das Obergericht des Kantons Luzern hat auf Vernehmlassung verzichtet. 