Sachverhalt: A. A._ (Beschwerdeführerin), geboren am 1. Juli 1939, stürzte am 6. April 2001 auf einem Parkplatz und erlitt eine laterale Schenkelhalsfraktur. Sie wurde ins Spital K._ eingewiesen, wo notfallmässig eine Gammanagel-Osteosynthese an der rechten Hüfte durchgeführt wurde. Postoperativ wurde die Patientin mit relativer Vollbelastung am Böckli mobilisiert. In der Folge traten Schmerzen auf und es wurde eine Wanderung der Schraube im Fermurkopf festgestellt. Auf ihren Wunsch wurde die Beschwerdeführerin daraufhin ins Bürgerspital nach Solothurn verlegt, wo eine Re-Operation mit Metallentfernung und Ersatz des gesamten rechten Hüftgelenks durch eine Totalprothese erfolgte. Unmittelbar nach der Operation fiel eine Fussheberschwäche rechts auf, die als Teilparese des Ischiadicus oder lokale Schädigung des Nervus peroneus bezeichnet wurde. Später wurde der Beschwerdeführerin eine Heidelbergerprothese rechts angelegt und sie lernte am Böckli gehen. Am 2. November 2002 wurde die Patientin von einem Postauto angefahren. Es wurde zuerst eine Beckenkontusion und später eine beidseitige Beckenfraktur diagnostiziert. Der rechte Fuss ist nach Angabe der Beschwerdeführerin gefühllos und könne nicht angehoben werden. Sie müsse immer eine Schiene tragen. Sie ist im täglichen Leben stark eingeschränkt. B. Die Beschwerdeführerin erhob am 22. Oktober 2003 beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn Klage gegen den Kanton Solothurn. In der Folge anerkannten die Stiftung XK._ und später deren Rechtsnachfolgerin, die Spitäler des Kantons W._ AG (Beschwerdegegnerin), ihre Passivlegitimation. Das Verfahren wurde zunächst auf Antrag der Beschwerdeführerin zwecks Vornahme medizinischer Abklärungen sistiert und im Jahre 2006 wieder aufgenommen. Auf Anträge der Parteien wurde es auf die Fragen der Verjährung/Verwirkung, der Widerrechtlichkeit und der Kausalität beschränkt. Anlässlich der Hauptverhandlung vom 17. Dezember 2009 stellte die Beschwerdeführerin die folgenden Rechtsbegehren: "1. Es sei festzustellen, dass die Ansprüche der Klägerin [Beschwerdeführerin] weder verjährt noch verwirkt sind. 2. Es sei festzustellen, dass die heutige Beeinträchtigung der körperlichen Integrität der Klägerin auf die Behandlung im Spital K._ zurückzuführen ist. 3. Es sei festzustellen, dass die Behandlung im Spital K._ nicht mit der erforderlichen Sorgfalt durchgeführt wurde und daher widerrechtlich ist. 4. Das Verfahren sei fortzusetzen und es sei der Klägerin Frist zur Einreichung des Schadensquantitativs anzusetzen, (...)." Zur Begründung von Sorgfaltspflichtverletzungen machte die Beschwerdeführerin im verwaltungsgerichtlichen Verfahren im Wesentlichen geltend, es hätte von Anfang an eine Vollprothese des Hüftgelenks einsetzt werden müssen, das am 9. April 2001 (d.h. drei Tage nach der Operation, vor Beginn der Belastung des rechten Beins) aufgenommene Röntgenbild sei nicht sorgfältig analysiert und falsch interpretiert worden; der Wechsel von der Teilbelastung zur Vollbelastung hätte in der Rehabilitation nicht erfolgen dürfen. Das Verwaltungsgericht wies die Klage am 17. Dezember 2009 ab. Es entschied, die auf das Verantwortlichkeitsgesetz des Kantons Solothurn (Gesetz vom 26. Juni 1966 über die Haftung des Staates, der Gemeinden, der öffentlich-rechtlichen Körperschaften und Anstalten und die Verantwortlichkeit der Behörden, Beamten und öffentlichen Angestellten und Arbeiter, VG, BGS 124.21) gestützten Ansprüche seien weder verjährt noch verwirkt. Hingegen könne dem Spital K._ keine Sorgfaltspflichtverletzung in der Behandlung der Beschwerdeführerin vorgeworfen werden und fehle es mithin an der Haftungsvoraussetzung der Widerrechtlichkeit der vorgenommenen Handlungen. Ausführungen zur Frage der Kausalität erübrigten sich damit. C. Die Beschwerdeführerin erhob gegen dieses Urteil Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den folgenden Anträgen: "1. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 17. Dezember 2009 sei aufzuheben. 2. a) Es sei festzustellen, dass die heutige Beeinträchtigung der körperlichen Integrität der Klägerin auf die Behandlung im Spital K._ zurückzuführen ist. Es sei festzustellen, dass die Behandlung im Spital K._ nicht mit der erforderlichen Sorgfalt durchgeführt wurde und daher widerrechtlich ist. Die Rechtsstreitsache sei an die kantonale Vorinstanz zurückzuweisen, damit das Verfahren fortgesetzt werden und der Klägerin Frist zur Einreichung des Schadensquantitativs angesetzt werden kann. b) Eventualiter: Die Rechtsstreitsache sei an die kantonale Vorinstanz zurückzuweisen, damit weitere Abklärungen insbesondere zur Frage nach der Methodenwahl (Osteosynthese oder Endoprothese) und zur Frage der geeigneten postoperativen Therapie vorgenommen werden können, worauf das Gericht neu zu entscheiden habe. 3. (...)." Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Beschwerdegegnerin beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten, allenfalls sie abzuweisen. Die Beschwerdeführerin reichte am 12. März 2010 unaufgefordert eine Replik ein, die der Gegenpartei zur Kenntnisnahme zugestellt wurde. Der Beschwerde wurde mit Präsidialverfügung vom 3. März 2010 die aufschiebende Wirkung gewährt. 