Faits: A. G._, née en 1947, a été affiliée auprès de la Caisse cantonale genevoise de compensation en qualité de personne sans activité lucrative à partir du mois d'avril 1991, de salariée d'un employeur non tenu de cotiser dès le mois d'avril 1994, puis de personne sans activité lucrative dès le 1er janvier 2003. A la suite de ce dernier changement d'affiliation, la caisse a fixé à 437 fr. le montant annuel de ses cotisations AVS/AI/APG (décision du 12 juillet 2005). Le 13 janvier 2006, G._ a contesté le bien-fondé des acomptes ultérieurement réclamés par la caisse. Par décision du 16 mars 2006, celle-ci a déclaré irrecevable pour cause de tardiveté, l'opposition ainsi formée par l'assurée contre la décision du 12 juillet 2005. B. Le 22 avril 2006, G._ a recouru devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève contre cette décision, contestant le changement de statut opéré par la caisse. Au cours d'une audience de comparution personnelle des parties tenue le 13 septembre 2006, la caisse a accepté pour solde de tout compte le paiement par G._, au plus tard le 30 octobre 2006, d'un montant de 1'671 fr. 70 à titre de cotisations dues par celle-ci pour la période courant de janvier 2003 à septembre 2006. Par jugement du 27 septembre 2006, le Tribunal cantonal des assurances sociales, statuant d'accord entre les parties, a ratifié les termes de cet accord. C. Par arrêt du 31 janvier 2008, le Tribunal fédéral a admis le recours de droit administratif formé par l'Office fédéral des assurances sociales contre ce jugement et annulé celui-ci, la cause étant renvoyée à la juridiction cantonale pour nouveau jugement conformément aux considérants. Il a considéré que la transaction passée in casu devant le Tribunal cantonal des assurances sociales n'était pas compatible avec le droit fédéral, dès lors qu'elle portait exclusivement sur le paiement de cotisations AVS/AI/APG, et qu'il convenait d'annuler le jugement entrepris et de renvoyer la cause à la juridiction cantonale afin qu'elle statue sur le recours du 22 avril 2006. D. La Caisse cantonale genevoise de compensation, par courrier du 13 mars 2008, a avisé le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève que G._ s'était acquittée de la somme de 1'671 fr. 10, représentant les cotisations dues pour la période de janvier 2003 à septembre 2006. Considérant que celle-ci avait payé le montant de l'acompte afférent aux mois d'octobre à décembre 2005 qui faisait l'objet de la demande d'acompte du 8 décembre 2005 attaquée dans la présente procédure, la juridiction cantonale, par jugement du 2 avril 2008, a constaté que G._ avait fait droit aux conclusions de la caisse et que le litige était devenu sans objet et elle a radié la cause du rôle. E. L'Office fédéral des assurances sociales interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à son annulation, la cause étant renvoyée au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève afin qu'il statue sur le fond. Le 1er juillet 2008, le Tribunal cantonal des assurances sociales a déposé ses observations. Dans sa réponse du 8 juillet 2008, G._ conclut au déboutement de la demande de la partie adverse. De son côté, la Caisse cantonale genevoise de compensation conclut au rejet du recours, dans la mesure où il est recevable. 