Faits: A. A.a En avril 2007, H.X._ et F.X._ ont pris langue avec Y._ SA, sise à ... (VD), société qui a pour but l'exploitation d'un bureau de gestion financière et comptable pour la construction et pour toutes autres prestations dans le domaine de l'architecture. Les précités ont proposé à ladite société un mandat d'architecte, car ils voulaient édifier une villa sur une parcelle de la Commune de W._ (VD) qu'ils entendaient acheter. Le 12 avril 2007, Y._ SA a établi une étude de faisabilité, indiquant, sous la rubrique « Descriptif de base », une construction en ossature bois. Le 27 avril 2007, sur la base de cette étude, les parties ont signé un « Contrat pour mandat de prestations d'architecture » et les époux X._ ont versé à Y._ SA un premier acompte de 20'000 fr. Le 16 mai 2007, cette société a réalisé un avant-projet dont, à dire d'expert, la valeur effective pouvait être fixée à 7'744 fr. H.X._ et F.X._ n'ont pas pu acquérir le terrain de W._ sur lequel ils projetaient de construire une villa. A.b A fin juin 2007, H.X._ et F.X._ ont acquis la parcelle n° 1 de la Commune de V._ (VD). Comme la surface de cette parcelle était supérieure à celle du terrain de W._, il a été convenu, sur la suggestion de Y._ SA, de réaliser deux villas identiques sur le modèle de celle initialement envisagée, ce qui impliquait de trouver rapidement un copropriétaire, lequel conclurait avec Y._ SA un mandat d'architecte distinct pour la seconde villa jumelle et assumerait les frais de construction ainsi que les honoraires d'architecte y relatifs. Le 8 août 2007, Y._ SA a soumis aux conjoints X._ un jeu de plans prévoyant des villas jumelles similaires à celle de l'avant-projet. Il a été retenu que H.X._ et F.X._, qui tenaient à avoir une maison ayant une ossature en bois, ont versé en septembre 2007 à Y._ SA un second acompte de 20'000 fr. Cette société a élaboré, en rapport avec l'édification d'une des villas jumelles, une demande de permis de construire et de mise à l'enquête, datée du 24 septembre 2007, que les époux X._ ont signée, ainsi qu'un plan financier qui a été remis à ces derniers le 2 octobre 2007. Le 5 octobre 2007, H.X._ et F.X._, d'une part, Y._ SA, d'autre part, ont signé un document intitulé « Contrat pour mandat de prestations d'architecture », basé sur le règlement SIA 102, qui portait sur la construction d'une villa jumelle sur la sous-parcelle n° 1A de la Commune de V._ pour des honoraires d'architecte arrêtés à 80'000 fr. « TTC ». Sous réserve du prix (inférieur de 4'000 fr.) et des dates, ce document était quasiment identique à celui que Y._ SA avait adressé à H.X._ et F.X._ en avril 2007 pour le projet de W._. Y._ SA a établi à l'intention de H.X._ et F.X._ un second document du même type, également sur la base du règlement SIA 102, ayant pour objet la construction d'une villa jumelle sur la sous-parcelle n° 1B de la Commune de V._ pour des honoraires d'architecte arrêtés à 80'000 fr. « TTC »; les époux X._ n'ont pas signé ce document. Par courrier du 19 octobre 2007, la Municipalité de V._ a informé Y._ SA que le projet de construction de villas jumelées par les garages ne respectait pas, sur plusieurs aspects, le règlement communal sur le plan général d'affectation et la police des constructions de la commune (interdiction des toits plats, des constructions en bois, etc.). A la suite de ce courrier, Y._ SA a établi, le 25 octobre 2007, un nouveau jeu de plans concernant la construction des villas jumelles, qui comportait des modifications d'ordre technique, et l'a adressé le 29 octobre 2007 à la Municipalité de V._. Plusieurs personnes avaient manifesté leur intérêt à acquérir la seconde villa jumelle à construire sur la sous-parcelle n° 1B en cause; R._ et S._ avaient ainsi entamé des démarches avec un établissement bancaire pour obtenir un crédit de construction. Le 2 novembre 2007, cet établissement a fait savoir aux prénommés que le projet de construction qui lui avait été soumis ne pouvait pas être accepté. Le 7 novembre 2007, H.X._ et F.X._ ont communiqué à Y._ SA leur volonté « de mettre un terme au contrat d'architecte pour le projet de V._ », car ils avaient pris la décision de donner une nouvelle orientation à leur projet (art. 105 al. 2 LTF). Rappelant avoir versé la somme de 40'000 fr. à titre d'acomptes, ils ont invité Y._ SA à procéder à un décompte des frais engagés selon les normes SIA mentionnées dans le contrat, ainsi qu'à leur fournir les documents relatifs au projet. H.X._ et F.X._ ont par la suite confié un mandat à T._, architecte à V._. Ce dernier a établi des plans, lesquels comportaient des différences et des modifications par rapport à ceux élaborés par Y._ SA, en particulier s'agissant des dimensions de la toiture, des fenêtres et du balcon; en revanche, la volumétrie, l'implantation et le nombre de pièces des villas, comparativement aux plans de Y._ SA, n'ont pas été remaniés. Le 19 novembre 2007, Y._ SA a fait parvenir à H.X._ et F.X._ une note d'honoraires relative à la villa A de V._, fondée sur le contrat signé le 5 octobre 2007, qui se montait à 32'840 fr., d'où, après déduction d'un acompte déjà payé de 20'000 fr., un reliquat dû de 12'840 fr. Le même jour, Y._ SA a adressé à H.X._ et F.X._ une note d'honoraires relative à la villa B de V._, fondée sur le « Contrat pour mandat de prestations d'architecture » non signé par ces derniers, atteignant la somme de 26'000 fr., ce qui, après déduction du second acompte de 20'000 fr., laissait un solde impayé de 6'000 fr. H.X._ et F.X._ ont contesté le fondement de ces factures par lettre recommandée du 3 décembre 2007, relevant notamment que les prestations accomplies par Y._ SA s'étaient révélées inutiles et inutilisables. Le 11 décembre 2007, Y._ SA a adressé aux conjoints X._ une note d'honoraires relative au projet de W._, se montant en tout à 18'900 fr. « TTC ». Le 12 décembre 2007, Y._ SA a mis en demeure H.X._ et F.X._ de lui payer dans les cinq jours les soldes impayés de ces trois notes, par 37'740 fr. en capital. Le 18 décembre 2007, le projet de construction réalisé par l'architecte T._ a été publié dans la Feuille des avis officiels du canton de Vaud. Le 23 janvier 2008, H.X._ et F.X._ ont fait notifier à Y._ SA un commandement de payer la somme de 40'000 fr. en capital, représentant les deux acomptes qu'ils avaient versés à cette société dans le cadre du mandat conclu avec elle; la poursuivie y a fait opposition totale. Le 30 janvier 2008, Y._ SA a fait notifier une poursuite à F.X._ pour un montant de 18'840 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 24 novembre 2007, ainsi qu'une autre poursuite à H.X._ pour le même montant et les mêmes intérêts; ces deux poursuites se rapportaient aux notes d'honoraires adressées le 19 novembre 2007 à H.X._ et F.X._. Ces commandements de payer ont été frappés d'opposition. Il a été retenu que R._ et S._ habitent actuellement une villa construite sur la sous-parcelle n° 1B de la Commune de V._. B. Par acte du 7 mai 2008, Y._ SA (demanderesse) a ouvert action contre H.X._ et F.X._ (défendeurs) devant le Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte, leur réclamant paiement, avec solidarité entre eux, de 37'740 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 13 décembre 2007, libre cours étant laissé aux poursuites notifiées le 30 janvier 2008. Les défendeurs se sont opposés à la demande. Ils ont formé une reconvention, réclamant à la demanderesse le versement de 40'000 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 7 novembre 2007, l'opposition de celle-ci à la poursuite qui lui a été notifiée étant définitivement levée. La demanderesse a conclu au rejet des conclusions reconventionnelles. En cour d'instance, une expertise judiciaire a été confiée à l'architecte U._, à Lausanne. Pour l'expert, les premiers travaux de la demanderesse se rapportaient à la parcelle de W._. Dans un deuxième temps, l'avant-projet de villa, maintenu presque tel quel, a été déplacé sur la Commune de V._. Les honoraires de l'avant-projet de W._ n'ont pas été alloués, mais ont été considérés comme faisant partie intégrante des travaux d'architecte du projet de V._. L'expert a constaté que le projet élaboré par la demanderesse n'était pas inutilisable, comme l'a d'ailleurs reconnu l'architecte T._. Que l'ossature en bois soit interdite par le règlement communal de V._ ne faisait pas du projet un travail inexploitable, mais nécessitant au contraire des ajustements, lesquels ont été opérés. Après des calculs compliqués, qu'il a rectifiés à l'audience de jugement, l'expert a déterminé à 23'600 fr. la valeur des prestations effectuées par la demanderesse pour chacune des villas édifiées sur les deux sous-parcelles. Entendu en cours de procédure comme témoin, l'architecte T._ a déclaré qu'il avait dû effectuer 80% du travail nécessaire pour que son projet soit réalisable, le solde de 20% résultant des plans qu'avait dressés précédemment la demanderesse. Par jugement du 11 mars 2011, le Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte, admettant partiellement la demande, a condamné les défendeurs à payer solidairement à la demanderesse la somme de 7'200 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 13 décembre 2007. Le tribunal a retenu que la demanderesse, pour le projet global qu'elle a réalisé (lequel concernait tant la villa A sise sur la parcelle 1A que la villa B sise sur la parcelle 1B), avait droit à une rémunération totale de 47'200 fr.; après imputation des acomptes versés, par 40'000 fr., subsistait un solde impayé de 7'200 fr. Saisie d'un appel des défendeurs, qui requéraient le rejet de la demande et l'octroi de leurs conclusions reconventionnelles en remboursement des acomptes, et d'un appel joint de la demanderesse, qui sollicitait l'allocation d'un montant de 30'540 fr. au lieu de celui de 7'200 fr. obtenu en première instance, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois, par arrêt du 3 septembre 2012, a confirmé entièrement le jugement attaqué. Les motifs de cet arrêt seront exposés ci-dessous dans la mesure utile. C. Invoquant une violation de leur droit d'être entendus et une fausse application de l'art. 16 CO, H.X._ et F.X._ exercent un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal. Ils concluent à ce qu'il soit prononcé que la demanderesse est leur débitrice, avec solidarité entre eux, du montant de 16'400 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 7 novembre 2007 « pour solde de tout compte », libre cours étant laissé, à concurrence dudit montant, à la poursuite qu'ils ont fait notifier le 23 janvier 2008 à leur partie adverse. L'intimée propose le rejet du recours. 