A.- Der 1954 geborene S._ arbeitete vom 1. August 1989 bis zum 31. Dezember 1990 bei der Firma G._ AG und war dadurch bei deren Vorsorgeeinrichtung Y._ berufsvorsorgeversichert. Vom 1. Februar bis zum 30. September 1991 war er als Hilfsgärtner bei der Stadt Zürich angestellt und in dieser Eigenschaft bei der Versicherungskasse der Stadt Zürich versichert. Wegen eines geistigen Gesundheitsschadens sprach die IV-Stelle des Kantons Zürich S._ mit Wirkung ab September 1992 eine ganze Invalidenrente zu (Verfügung vom 4. Juli 1994). Dabei ging sie von einer seit dem 9. September 1991 bestehenden Arbeitsunfähigkeit aus. S._ ersuchte auch die städtische Versicherungskasse, ihm eine Invalidenrente auszurichten. Diese lehnte das Begehren am 27. September 1994 ab mit der sinngemässen Begründung, die zur Invalidität führende Arbeitsunfähigkeit sei bereits vor dem 1. Februar 1991 eingetreten, weshalb die Stadt keine Leistungspflicht treffe. Eine dagegen erhobene Einsprache wies der Finanzvorstand der Stadt Zürich mit Entscheid vom 8. August 1995 ab. Ein gleichlautendes Gesuch an die Vorsorgeeinrichtung Y._ lehnte diese mit Schreiben vom 18. September 1997 ab, weil die fragliche Arbeitsunfähigkeit gemäss den Akten der IV-Stelle erstmals und voraussichtlich bleibend am 9. September 1991 aufgetreten sei. Ein den Rentenbeginn betreffendes Wiedererwägungsgesuch hatte die IV-Stelle bereits am 11. April 1997 abgelehnt. B.- S._ liess am 10. November 1997 Klage erheben mit dem Rechtsbegehren, die Versicherungskasse der Stadt Zürich, eventualiter die Vorsorgeeinrichtung Y._, sei zu verpflichten, ihm ab 1. September 1992 eine Rente zuzusprechen, zuzüglich 5 % Zins seit Einreichung der Klage. Mit Entscheid vom 22. Februar 2000 hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Klage gut und verpflichtete die Stadt Zürich als Rechtsträgerin ihrer Versicherungskasse, S._ unter Berücksichtigung der erbrachten Freizügigkeitsleistungen ab 1. September 1992 eine Invalidenrente auszurichten, zuzüglich 5 % Zins auf den aufgelaufenen Rentenbetreffnissen seit Einreichung der Klage. C.- Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt die Stadt Zürich beantragen, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass sie mit Ausnahme der bereits ausgerichteten Freizügigkeitsleistung zu keinerlei Leistungen gegenüber S._ verpflichtet sei. Während S._ und das Bundesamt für Sozialversicherung auf eine Stellungnahme verzichten, schliesst die Vorsorgeeinrichtung Y._ auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. 