Faits: Faits: A. Par un arrêt rendu le 5 avril 2000, la Cour correctionnelle avec jury de la République et canton de Genève a condamné A.X._ à la peine de deux ans et demi de réclusion pour actes d'ordre sexuel avec une enfant et contrainte sexuelle (art. 187 ch. 1 et 189 ch. 1 CP). Elle a en résumé retenu les faits suivants: Au cours des années 1996 et 1997, l'enfant Y._, née le 20 août 1990, se rendait régulièrement, une ou deux fois par mois, au domicile de A.X._ (né en 1936) et de son épouse, cette dernière étant sa grand-mère maternelle (la mère de Y._, Z._, est la fille de Mme X._, mais elle est née avant que celle-ci n'épouse A.X._). A l'occasion de ces visites, l'après-midi, A.X._ faisait la sieste avec Y._ dans le lit conjugal, tandis que son épouse était au salon; il fermait les rideaux et la porte de la chambre à coucher. Dans ces circonstances, en 1996 et jusqu'en août 1997, A.X._ s'est livré à réitérées reprises à des actes d'ordre sexuel sur l'enfant, notamment en la caressant sur les parties génitales, en la léchant sur tout le corps, en introduisant son sexe dans sa bouche et en tentant, sans résultat, de la pénétrer. Il a profité de sa force physique et de son autorité sur l'enfant pour lui imposer ces actes, auxquels elle tentait de s'opposer en lui demandant sans cesse d'arrêter. A la fin de l'été 1997, Y._ s'est confiée à sa mère, qui n'a pas alerté aussitôt les autorités. Le 13 janvier 1998, Y._ a déclaré à une infirmière du service de santé de la jeunesse qu'elle était victime d'attouchements de la part de A.X._; des médecins ainsi que la police ont eu connaissance de ces déclarations et sont intervenus. Y._ a été hospitalisée au cours des mois de janvier et février 1998; le Dr Magnenat, pédopsychiatre, l'a entendue et a estimé ses propos parfaitement crédibles. Y._ s'est exprimée dans le même sens auprès de l'inspectrice de police et de l'expert désigné par le Juge d'instruction, la psychologue-psychothérapeute Caroline Moutia, du Département de psychiatrie (clinique de psychiatrie infantile) des Hôpitaux Universitaires de Genève (rapport d'expertise du 14 octobre 1998, signé également par le Prof. Cramer). La Cour correctionnelle a considéré qu'aucun élément ou indice convaincant ne permettait de s'écarter des avis des personnes précitées, l'enfant n'ayant aucune raison d'accuser faussement A.X._, envers qui elle éprouvait un profond sentiment d'attachement. La motivation du verdict mentionne encore un certificat médical produit à l'audience par l'accusé, faisant état d'une libido fortement diminuée, problème lié à une pathologie de la prostate; pour le jury, cela n'excluait pas la possibilité d'une érection et, partant, cela n'était pas de nature à créer un doute. Y._ a été hospitalisée au cours des mois de janvier et février 1998; le Dr Magnenat, pédopsychiatre, l'a entendue et a estimé ses propos parfaitement crédibles. Y._ s'est exprimée dans le même sens auprès de l'inspectrice de police et de l'expert désigné par le Juge d'instruction, la psychologue-psychothérapeute Caroline Moutia, du Département de psychiatrie (clinique de psychiatrie infantile) des Hôpitaux Universitaires de Genève (rapport d'expertise du 14 octobre 1998, signé également par le Prof. Cramer). La Cour correctionnelle a considéré qu'aucun élément ou indice convaincant ne permettait de s'écarter des avis des personnes précitées, l'enfant n'ayant aucune raison d'accuser faussement A.X._, envers qui elle éprouvait un profond sentiment d'attachement. La motivation du verdict mentionne encore un certificat médical produit à l'audience par l'accusé, faisant état d'une libido fortement diminuée, problème lié à une pathologie de la prostate; pour le jury, cela n'excluait pas la possibilité d'une érection et, partant, cela n'était pas de nature à créer un doute. B. Le 11 mars 1998, au début de la procédure pénale, le Tribunal tutélaire de la République et canton de Genève avait désigné Me Lorella Bertani, avocate à Genève, en qualité de curatrice de l'enfant Y._, aux fins de la représenter dans cette procédure. B. Le 11 mars 1998, au début de la procédure pénale, le Tribunal tutélaire de la République et canton de Genève avait désigné Me Lorella Bertani, avocate à Genève, en qualité de curatrice de l'enfant Y._, aux fins de la représenter dans cette procédure. C. A.X._ - qui a constamment nié être l'auteur des actes retenus contre lui - s'est pourvu en cassation contre l'arrêt de la Cour correctionnelle, en concluant à son acquittement. Le Procureur général de la République et canton de Genève et Y._ ont conclu au rejet du pourvoi. La Cour de cassation de la République et canton de Genève a, par un arrêt rendu le 2 février 2001, admis les conclusions de A.X._, et a donc annulé l'arrêt de la Cour correctionnelle en prononçant son acquittement. La Cour de cassation a interprété l'expertise dite de crédibilité (à savoir le rapport rédigé par la psychologue Caroline Moutia) pour retenir l'absence de certitude que la version des faits donnée par Y._ correspondait à la réalité. La Cour de cassation de la République et canton de Genève a, par un arrêt rendu le 2 février 2001, admis les conclusions de A.X._, et a donc annulé l'arrêt de la Cour correctionnelle en prononçant son acquittement. La Cour de cassation a interprété l'expertise dite de crédibilité (à savoir le rapport rédigé par la psychologue Caroline Moutia) pour retenir l'absence de certitude que la version des faits donnée par Y._ correspondait à la réalité. D. Y._ a formé un recours de droit public contre l'arrêt du 2 février 2001 de la Cour de cassation cantonale, en se plaignant d'une appréciation arbitraire de l'expertise. Par un arrêt rendu le 13 novembre 2001, la Ire Cour de droit public du Tribunal fédéral a admis le recours de droit public, dans la mesure où il était recevable, et annulé l'arrêt attaqué (arrêt 1P.199/2001). Selon cet arrêt, il était arbitraire de s'écarter des véritables conclusions de l'expertise - une conviction suffisante quant à la crédibilité ou à la véracité des déclarations de la victime - pour revoir l'appréciation des preuves effectuée en première instance. D. Y._ a formé un recours de droit public contre l'arrêt du 2 février 2001 de la Cour de cassation cantonale, en se plaignant d'une appréciation arbitraire de l'expertise. Par un arrêt rendu le 13 novembre 2001, la Ire Cour de droit public du Tribunal fédéral a admis le recours de droit public, dans la mesure où il était recevable, et annulé l'arrêt attaqué (arrêt 1P.199/2001). Selon cet arrêt, il était arbitraire de s'écarter des véritables conclusions de l'expertise - une conviction suffisante quant à la crédibilité ou à la véracité des déclarations de la victime - pour revoir l'appréciation des preuves effectuée en première instance. E. La Cour de cassation cantonale a dès lors statué à nouveau sur le pourvoi formé par A.X._, en le rejetant le 22 février 2002. La motivation de cette décision consistait uniquement en une référence à l'arrêt du Tribunal fédéral du 13 novembre 2001. A.X._ a formé un recours de droit public contre ce nouvel arrêt de la Cour de cassation. Le 2 septembre 2002, le Tribunal fédéral a admis ce recours et annulé l'arrêt attaqué, pour violation du droit d'être entendu (arrêt 1P.179/2002). E. La Cour de cassation cantonale a dès lors statué à nouveau sur le pourvoi formé par A.X._, en le rejetant le 22 février 2002. La motivation de cette décision consistait uniquement en une référence à l'arrêt du Tribunal fédéral du 13 novembre 2001. A.X._ a formé un recours de droit public contre ce nouvel arrêt de la Cour de cassation. Le 2 septembre 2002, le Tribunal fédéral a admis ce recours et annulé l'arrêt attaqué, pour violation du droit d'être entendu (arrêt 1P.179/2002). F. La Cour de cassation cantonale a rendu, le 13 décembre 2002, un nouvel arrêt sur le pourvoi formé par A.X._ contre le jugement de la Cour correctionnelle. Elle l'a rejeté, avec suite de frais et dépens. F. La Cour de cassation cantonale a rendu, le 13 décembre 2002, un nouvel arrêt sur le pourvoi formé par A.X._ contre le jugement de la Cour correctionnelle. Elle l'a rejeté, avec suite de frais et dépens. G. Agissant par la voie du recours de droit public, A.X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt de la Cour de cassation cantonale. Invoquant les art. 9 Cst., 32 Cst. et 6 CEDH, il se plaint d'arbitraire dans la constatation des faits et l'appréciation des preuves ainsi que de violations de la présomption d'innocence. Y._ conclut à l'irrecevabilité ou au rejet du recours. Le Procureur général conclut au rejet du recours, dans la mesure où il est recevable. La Cour de cassation, se référant à son arrêt, n'a pas déposé d'observations. Y._ conclut à l'irrecevabilité ou au rejet du recours. Le Procureur général conclut au rejet du recours, dans la mesure où il est recevable. La Cour de cassation, se référant à son arrêt, n'a pas déposé d'observations. H. L'intimée requiert la mise au bénéfice de l'assistance judiciaire. 