Sachverhalt: A. Die A._ (Bermuda) Ltd (nachfolgend: die Eigentümergesellschaft ) ist ein Rechtsträger nach dem Recht des britischen Überseegebiets Bermuda. Sie wurde am 28. August 2002 gegründet, hat Sitz in in der Bermudanischen Hauptstadt Hamilton und betätigt sich hauptsächlich im Betrieb von Luftfahrzeugen. Die Gesellschaft steht der B._ nahe, die sich mit der Förderung von Erdöl und Erdgas beschäftigt und ihrerseits mit dem Königshaus des Sultanats C._ in Verbindung steht. Soweit hier interessierend, ist sie Eigentümerin eines Flugzeugs des Typs Boeing xxx (Immatrikulation im Luftfahrzeugregister von Bermuda: VP-aaa), das sie für "Zwecke der Staatsbetriebe" und vereinzelt für geheime diplomatische Missionen einsetzt. B. Zwischen der Eigentümergesellschaft und der D._ AG, U._/BS (nachfolgend: die Managementgesellschaft ), besteht ein Aircraft-Management-Vertrag. In den Jahren 2003 und 2004 stellte die Eigentümergesellschaft je einen Antrag auf Vergütung der Mehrwertsteuer. Die Vergütungsanträge betrafen Leistungen, welche die Managementgesellschaft in den Jahren 2002 und 2003 gegenüber der Eigentümergesellschaft erbracht hatte. Mit Einspracheentscheid vom 18. Mai 2006 genehmigte die Eidgenössische Steuerverwaltung (hiernach: ESTV) die Anträge über Fr. ... (2002) und Fr. ... (2003). Demgegenüber verwarf sie die Ausrichtung eines Vergütungszinses. Die dagegen erhobene, auf die Frage der Verzinsung und der Parteientschädigung beschränkte Beschwerde hiess das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil A-1609/2006 vom 29. April 2008 im Zinspunkt gut. In Gutheissung der von der ESTV ergriffenen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten hob das Bundesgericht mit Urteil 2C_411/2008 vom 28. Oktober 2008 den angefochtenen Entscheid hinsichtlich des zugesprochenen Vergütungszinses auf und bestätigte den Einspracheentscheid der ESTV vom 18. Mai 2006. C. Gestützt auf den Aircraft-Management-Vertrag erbrachte die Managementgesellschaft der Eigentümergesellschaft überdies in den Jahren 2003 bis 2006 Versicherungsleistungen im Umfang von USD 522'399.85. Die Fakturierung erfolgte zunächst ohne schweizerische Mehrwertsteuer. Im Anschluss an das Urteil des Bundesgerichts 2A.40/2007 vom 14. November 2007 in Sachen D._ AG nahm diese gegenüber der Eigentümergesellschaft am 16. September 2008 mit Rechnung Nr. 118334 eine Nachbelastung der Mehrwertsteuer zum Normalsatz von 7,6 Prozent vor. Dies ergab ein Total von Fr. 42'715.80 (USD 39'702.39). Am 25. September 2008 schrieb die Credit Suisse AG, Zürich, ihrer Kundin, der Managementgesellschaft, einen Betrag von USD 67'090.85 gut. Der Betreff lautete auf "Invoices 118250, 118294, 118334-VP A._". Anlass bildeten drei Rechnungen vom 16. September 2008, konkret die Rechnung Nr. 118334 über USD 39'702.39 an die Eigentümergesellschaft sowie zwei Rechnungen an die E._ Ltd (dazu Urteil 2C_208/2013 vom 28. April 2014), nämlich Nr. 118250 über USD 16'169.54 und Nr. 118294 über USD 11'218.92. Der Gutschriftsanzeige der Credit Suisse AG zufolge war die Vergütung im Auftrag der F._, V._ (UAE) (nachfolgend: die Operatinggesellschaft ), erfolgt. D. Mit Eingabe vom 19. Januar 2009 stellte die Eigentümergesellschaft bei der ESTV das Gesuch um Vergütung der Mehrwertsteuer für das Jahr 2008, ausmachend Fr. 42'715.80. Dem Gesuch legte sie insbesondere bei: - die Originalrechnung Nr. 118334 der Managementgesellschaft vom 16. September 2008; - die Gutschriftsanzeige der Credit Suisse AG zuhanden der Managementgesellschaft vom 25. September 2008 über USD 67'090.85; - das Formular Nr. 1222 ("Antrag auf Vergütung der Mehrwertsteuer"), unterzeichnet durch den bevollmächtigten Steuervertreter der Eigentümergesellschaft; - das Formular Nr. 1223 ("Aufstellung zum Antrag auf Vergütung der Mehrwertsteuer"); - das Formular Nr. 1225, im Wesentlichen mit folgendem Wortlaut: "Der nachfolgend aufgeführte Schweizer Leistungserbringer [D._ AG] bestätigt hiermit gegenüber der ESTV (...), dass die nicht in der Schweiz ansässige Unternehmung A._ (Bermuda) Ltd (...) sämtliche ihr im Jahr 2008 in Rechnung gestellten Beträge für bezogene Leistungen (Total: Fr. 42'715.80, gemäss Aufstellung auf Seite 2) bezahlt hat und dass er (Schweizer Leistungserbringer) die darauf entfallende Mehrwertsteuer der ESTV (...) deklariert hat." Das Formular trägt die Unterschrift der für die Managementgesellschaft handelnden Person und das Datum vom 7. Januar 2009. Die ESTV teilte der Eigentümergesellschaft mit Schreiben vom 21. April 2009 mit, dass sie das Gesuch "ablehne". Am 24. Oktober 2008 und am 31. Oktober 2008 habe sie bekannt gegeben, in welcher Form der Zahlungsnachweis im Einzelfall zu erbringen sei. Die eingereichten Bankbestätigungen über Zahlungseingänge bei der Managementgesellschaft seien als Zahlungsnachweis ungenügend und würden den "Vorgaben" [der Abteilung Recht] nicht entsprechen. Die Eigentümergesellschaft erläuterte in ihrem Schreiben vom 13. Oktober 2009 den Sachverhalt zum einen dahingehend, dass das Flugzeug Boeing xxx (VP-aaa) durch eine Schwestergesellschaft der Managementgesellschaft, die F._, "operiert" werde. Zum andern leiste eine Schwestergesellschaft der Eigentümergesellschaft - gemeint ist die G._ Establishment, W._ (FL) - jeweils Vorausleistungen oder Akontozahlungen an die Operatinggesellschaft. Diese habe in der Folge die Summe von USD 69'506.78 (Betrag der Rechnungen vom 16. September 2008) dem Depot entnommen und an die Managementgesellschaft in der Schweiz überwiesen. Aus den Belegen gehe klarerweise hervor, dass es sich dabei um die Vergütung der Rechnungen der Managementgesellschaft gehandelt habe. Nach weiteren Korrespondenzen erliess die ESTV am 8. Februar 2010 eine Verfügung, womit sie den Antrag vom 19. Januar 2009 auf Vergütung von Fr. 42'715.80 für das Jahr 2008 abwies. Die Einsprache der Eigentümergesellschaft vom 23. Februar 2010 blieb erfolglos (Einspracheentscheid vom 4. November 2011). E. Die Eigentümergesellschaft erhob am 7. Dezember 2011 Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht. Mit Urteil A-6615/2011 vom 29. Januar 2013 hiess das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde im Sinne der Erwägungen teilweise gut und wies die Sache zur Fällung eines neuen Entscheids im Sinne der Erwägungen an die ESTV zurück. Aus der Begründung geht hervor, dass das Bundesverwaltungsgericht davon ausgeht, die streitbetroffene Mehrwertsteuer sei tatsächlich bezahlt worden, wobei es rechtlich unerheblich sei, wer die Bezahlung der Mehrwertsteuer an die ESTV vorgenommen habe (Urteil E. 3.2.2). Im konkreten Fall sei unbestritten, dass die Eigentümergesellschaft die Empfängerin der Leistungen sei, ebenso unstrittig habe die Managementgesellschaft die fakturierte Mehrwertsteuer an die ESTV abgeliefert. In tatsächlicher Hinsicht erscheine es nicht als abwegig, dass die G._ Establishment, W._ (FL) die angebliche Schwestergesellschaft, bei der Operatinggesellschaft ein Depot unterhalten habe, dem die Rechnungen vom 16. September 2008 belastet worden seien (Urteil E. 3.2.3). Die ESTV habe in ihrer Vernehmlassung vom 7. März 2012 erstmals und zusätzlich geltend gemacht, die Eigentümergesellschaft sei als Offshore-Gesellschaft ausser Stande, Leistungen zu empfangen. Aus diesem Grund sei die Gesellschaft mehrwertsteuerlich als transparent zu erachten, und es müsse daher abgeklärt werden, wer hinter der Gesellschaft stehe. Ein Einsatz der Eigentümergesellschaft für Zwecke der Staatsbetriebe und zugunsten des Königshauses genügten nicht, um die Anforderungen an die geschäftliche Verwendung der bezogenen Leistungen zu erfüllen. Deshalb sei die Beschwerde - so die ESTV - auch aus diesem Grund abzuweisen (Urteil E. 3.3.1). Das Bundesverwaltungsgericht fährt weiter fort, zwar stehe fest, dass das Flugzeug für "Zwecke der Staatsbetriebe" des Sultanats C._ und vereinzelt für geheime diplomatische Missionen eingesetzt worden sei. Eine Auseinandersetzung der ESTV mit der neu aufgeworfenen Rechtsfrage habe aber (noch) nicht stattgefunden. Zu klären bleibe insbesondere, ob die Eigentümergesellschaft (und allenfalls dahinterstehende Gesellschaften) aufgrund einer Steuerumgehung als transparent zu betrachten sei, und, verneinendenfalls, ob die Leistungen der Eigentümergesellschaft an das Sultanat C._ als hoheitliche Leistungen zu betrachten seien. Die Streitsache sei zu diesem Zweck und zu neuem Entscheid an die ESTV zurückzuweisen (Urteil E. 3.3.2). F. Mit Eingabe vom 27. Februar 2013 erhebt die ESTV beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt, das Urteil A-6615/2011 vom 29. Januar 2013 sei aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 4. November 2011 sei zu bestätigen. Demgegenüber beantragt die Eigentümergesellschaft, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei, und der angefochtene Entscheid sei zu bestätigen. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. 