Faits: A. A.a. P._ a travaillé en qualité d'informaticien. En mars 2005, il a été victime d'un accident de moto ayant entraîné des fractures multiples du pied gauche, compliquées d'une algoneurodystrophie du pied et du genou gauches. Pour des raisons économiques, il a perdu son emploi, qui a pris fin le 30 septembre 2006. L'Office AI pour les assurés résidant à l'étranger (ci-après: OAIE) lui a octroyé une rente entière d'invalidité du 1 er mars au 30 novembre 2006 (décision du 27 février 2008). A.b. Le 19 avril 2007, P._ a été victime d'un nouvel accident de moto ayant entraîné des fractures multiples au niveau lombaire, sacré et du membre inférieur gauche et une incapacité de travail de 100 %, traumatisme compliqué d'une algoneurodystrophie du membre inférieur gauche. Le 17 mars 2010, P._ a présenté une (nouvelle) demande de prestations de l'assurance-invalidité, parvenue à l'OAIE le 11 août 2010 avec un rapport médical détaillé du docteur M._ du 30 juillet 2010 (formule E213). Dans un questionnaire du 2 février 2011, il a indiqué qu'il était suivi par les docteurs A._ et S._. L'OAIE est entré en possession d'un compte rendu d'hospitalisation du docteur C._ du 22 mai 2007, ainsi que de documents relatifs aux différents examens radiologiques de contrôle. Dans un rapport final du 19 mai 2011, la doctoresse R._ (spécialiste FMH en médecine générale et médecin du SMR X._) a estimé qu'une année après le traumatisme du 19 avril 2007, l'opération et les complications, il n'y avait pas d'empêchement à exercer l'activité habituelle d'informaticien -essentiellement assise et légère -et que la capacité de travail était entière depuis le 7 juillet 2008 dans cette activité. Dans un préavis du 26 juillet 2011, l'OAIE a informé P._ que depuis le 7 juillet 2008 l'exercice d'une activité lucrative adaptée à son état de santé était de nouveau exigible, ce qui lui permettait de réaliser plus de 60 % du gain qui pourrait être obtenu sans atteinte à la santé, et qu'en ce qui concerne la période du 1 er avril au 31 octobre 2008 le droit à une rente entière d'invalidité n'avait pas pu prendre naissance attendu que l'assuré n'avait fait valoir son droit aux prestations qu'à la date du 17 mars 2010. P._ a fait part à l'OAIE de ses observations, en produisant des documents des docteurs S._ et O._, tous deux neurochirurgiens. Dans un avis du 10 novembre 2011, la doctoresse R._ a estimé, au vu des documents médicaux à disposition, qu'on pouvait retenir une courte incapacité de travail en relation avec l'ablation du matériel d'ostéosynthèse rachidienne pratiquée en juin 2011 et les suites post-opératoires, mais que les nouveaux éléments fournis ne modifiaient pas son appréciation du 19 mai 2011. Par décision du 6 janvier 2012, l'OAIE, tout en s'exprimant sur les observations de l'assuré, a nié tout droit de P._ à une rente d'invalidité pour les motifs exposés dans son préavis. B. P._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal administratif fédéral, en concluant, sous suite de dépens, à son annulation. Il invitait cette juridiction à dire et prononcer qu'il avait droit à une rente entière d'invalidité, à tout le moins dès le 1 er septembre 2010, et à renvoyer la cause à l'OAIE pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Produisant deux rapports du docteur A._ (rhumatologue) des 14 septembre 2010 et 22 septembre 2009, il demandait à titre subsidiaire que soit ordonnée une expertise médicale pluridisciplinaire. Il a produit ultérieurement un compte rendu d'une scintigraphie osseuse du 13 mars 2012 concluant à l'absence de renforcement significatif en regard de l'articulation L5-S1 proprement dite. De son côté, l'OAIE, qui concluait dans sa réponse au rejet du recours, s'est référé à un avis de son service médical des 6 et 18 septembre 2012, où les docteurs B._ (spécialiste FMH en médecine physique et réadaptation) et R._ ont estimé que la mise en oeuvre d'une expertise n'était pas nécessaire, étant donné que les problèmes médicaux étaient bien investigués et décrits dans le dossier médical à disposition. Dans ses observations du 10 décembre 2012, P._, invoquant le principe d'équité, a demandé que l'expertise sollicitée soit attribuée à un expert indépendant et neutre. Il a produit plusieurs documents, dont des certificats du docteur A._ du 3 décembre 2012 et de la doctoresse U._ du 6 décembre 2012. L'OAIE a produit un avis de la doctoresse R._ du 24 janvier 2013 et la prise de position des docteurs B._ et D._ (spécialiste FMH en médecine interne) du 25 février 2013, ainsi qu'un avis de la doctoresse R._ du 5 mars 2013, dans lesquels ces médecins ont considéré qu'il n'y avait pas lieu de s'écarter de l'appréciation médicale antérieure. Par arrêt du 23 août 2013, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours. C. P._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de dépens, à son annulation, la cause étant renvoyée au Tribunal administratif fédéral, voire à l'autorité de première instance, pour complément d'instruction par voie d'expertise et nouvelle décision. A titre subsidiaire, il invite le Tribunal fédéral à dire et prononcer qu'il a droit à une rente entière d'invalidité dès le 1 er septembre 2010. 