Faits: A. Z._, né en 1925, domicilié à ..., est assuré auprès de X._ SA (ci-après: X._ ou l'assureur) pour l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie et accident. Le précité a également conclu avec l'assureur des assurances complémentaires à l'assurance-maladie sociale, à savoir une assurance pour les traitements à l'étranger, la médecine empirique et les médicaments, appelée R._, une assurance couvrant les check-up médicaux, les vaccinations et les mesures de prévention de la santé, dénommée S._, et une assurance d'hospitalisation couvrant, en complément à l'assurance obligatoire des soins, notamment les coûts en division commune dans des établissements hospitaliers de Suisse avec des tarifs reconnus, appelée T._ (art. 105 al. 2 LTF). Le 22 août 2009, Z._ a été hospitalisé à l'Hôpital A._ pour une fracture du fémur gauche traitée par prothèse totale de hanche. De nombreuses complications sont survenues à la suite de l'intervention chirurgicale. Du 18 septembre 2009 au 8 février 2010, l'assuré a été hospitalisé dans le service de médecine interne de réhabilitation de l'Hôpital B._, à ..., puis du 9 février 2010 au 1er novembre 2010 dans le département de réhabilitation et gériatrie de l'Hôpital C._, à ..., pour rééducation à la marche (art. 105 al. 2 LTF). Considérant que l'état de santé de Z._ ne nécessitait plus de suivi quotidien dans un établissement hospitalier au-delà du 8 mars 2010, un établissement médico-social étant désormais plus adapté, X._, par décision du 4 juin 2010, confirmée sur opposition le 15 octobre 2010, a notifié à l'assuré que les prestations versées au titre de l'assurance obligatoire des soins seraient limitées dès le 9 mars 2010 à 70 fr. par jour, tarif applicable aux patients en attente de placement (art. 105 al. 2 LTF). Par un acte du 17 novembre 2010 intitulé « Recours et demande en paiement » qu'il a adressé à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice du canton de Genève, Z._ a tout à la fois recouru contre la décision sur opposition prise par X._ le 15 octobre 2010 (cause dite LAMal) et formé à l'encontre de l'assureur une « demande en paiement en matière d'assurances complémentaires » portant sur 49'200 fr. plus intérêts à 5% dès le 1er juin 2010 (200 fr. par jour du 9 février 2010 au 1er novembre 2010) ainsi que sur 450 fr. avec intérêts à 5% dès le 9 février 2010 (15 fr. par jour durant 30 jours) (cause dite LCA). Z._ a expliqué que, dans la mesure où les prestations qu'il réclamait pour hospitalisation en service de soins continus ne seraient pas prises en charge au titre de l'assurance obligatoire des soins, X._ en serait redevable au titre de l'assurance complémentaire T._, qui relève de la loi fédérale du 2 avril 1908 sur le contrat d'assurance (LCA; RS 221.229.1). Par réponse du 17 décembre 2010, X._ a conclu au rejet de la demande en paiement de Z._ en tant qu'elle était recevable. Par ordonnance du 30 mars 2011, la Chambre des assurances sociales, avec l'accord des parties, a suspendu la procédure en paiement (cause LCA) jusqu'à droit jugé dans la cause LAMal. Cette ordonnance de suspension a été renouvelée le 10 avril 2012. Par arrêt du 7 novembre 2012, la Chambre des assurances sociales, statuant sur la cause LAMal, a admis le recours formé par l'assuré contre la décision sur opposition de X._ du 15 octobre 2010 et prononcé que ce dernier avait « droit à la prise en charge de son traitement hospitalier du 9 mars au 1er novembre 2010 ». Saisie d'un recours en matière de droit public déposé par X._ contre l'arrêt précité, la IIe Cour de droit social du Tribunal fédéral, par arrêt du 9 mai 2013. Le 4 juin 2013, la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice genevoise a ordonné la reprise de l'instruction de la cause LCA. Par courrier du 24 juin 2013, le conseil de Z._ a informé la Chambre des assurances sociales que l'Hôpital A._, qui avait ouvert action contre le prénommé pour obtenir le remboursement des coûts générés par son hospitalisation du 9 février au 1er novembre 2010, avaient retiré leur demande après avoir été payés par X._, que la « demande en paiement en matière d'assurances complémentaires du 17 novembre 2010 » avait ainsi perdu son objet, mais « sous réserve des dépens » dont Z._ requérait l'allocation, ce dernier affirmant avoir été contraint d'ouvrir action contre X._ pour obtenir les prestations dues. La Chambre des assurances sociales ayant remis copie pour information à X._ de l'écriture du 24 juin 2013 susmentionnée, l'assureur a soutenu, dans une écriture du 25 juin 2013, que Z._ « succomberait s'il devait maintenir sa demande au titre de l'assurance complémentaire, puisqu'il a obtenu l'allocation de toutes ses conclusions au titre de l'assurance obligatoire des soins ». Par arrêt du 17 juillet 2013, la Chambre des assurances sociales, statuant en instance cantonale unique, a déclaré sans objet la demande en paiement du 17 novembre 2010 (1), condamné X._ à verser au demandeur Z._ une indemnité de 4'000 fr. à titre de dépens, « TVA et débours inclus » (2) et dit que la procédure était gratuite (3). B. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 17 juillet 2013 en tant qu'il a statué sur les dépens. L'assureur conclut principalement à ce que le chiffre 2 du dispositif de cet arrêt soit annulé, subsidiairement à ce que, après annulation du chiffre 2 dudit dispositif, la cause soit retournée à la Chambre des assurances sociales pour qu'elle se prononce à nouveau selon les considérants que rendra le Tribunal fédéral. L'intimé propose le rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. La Chambre des assurances sociales a envoyé des déterminations par lesquelles elle a reconnu que le Code de procédure civile du 19 décembre 2008 (CPC; RS 272) ne s'appliquait pas à la procédure dès lors que celle-ci avait été ouverte en 2010 et que le droit aux dépens devait s'examiner au regard des anciennes dispositions du droit cantonal genevois. Elle a ajouté que dans la mesure où la recourante soutenait n'avoir en réalité versé aucune prestation au titre de la LCA, « ce point devrait être pris en compte, le cas échéant, dans la fixation des dépens ». 