Faits: A. Y._ SA (ci-après: Y._), société constituée en 2000, a son siège au Luxembourg. Son but tend à la prise de participations, à l'administration, à la gestion, au contrôle et à la mise en valeur de participations essentiellement dans des sociétés de la branche hôtelière. Au début des années 2000, Y._ était contrôlée par la Banque A._ SA (ci-après: A._), qui avait octroyé des prêts pour le financement des actions de la société luxembourgeoise et nommé deux de ses trois administrateurs; la banque était en outre au bénéfice d'un contrat de management avec Y._, dont le patrimoine comprenait, directement ou indirectement, plusieurs grands hôtels d'une valeur estimée à 300 millions de francs au moins. En 2006, C.B._ était le président de Y._; dans cette fonction, il était activement secondé par son père, V.B._. Ce dernier était par ailleurs administrateur de W._ SA, société de management hôtelier fondée également en 2000, dont le siège est à ... (VD). Les filiales de Y._ étaient activement dirigées, développées et conseillées par W._ SA. Au début 2006, les dettes de Y._ s'élevaient à environ 132 millions de francs. La société luxembourgeoise devait près de 50 millions de francs à D._ AG, dont le prêt était garanti par un droit de gage de 300 millions de francs. Elle était en outre débitrice de plus de 82 millions de francs envers E._ Ltd, filiale de A._. Les relations entre la famille B._ et A._ étaient tendues. A cette époque, V.B._ a chargé F._, consultant, de préparer la "séparation" de Y._ avec A._. Il souhaitait en particulier renégocier la créance détenue par D._ AG et faire de Y._ une société cotée en bourse, ce qui impliquait éventuellement la vente de certains hôtels. Par l'intermédiaire de F._, V.B._ a approché X._ SA (ci-après: X._), à Genève, société spécialisée notamment dans le conseil en matière de financement d'entreprises, afin de préparer un dossier permettant de renégocier la créance de D._ AG et le "break up fee" - de l'ordre de 5 à 7 millions de francs - que Y._ s'était engagée à payer à cette banque en cas de remboursement anticipé de la dette. F._ a eu plusieurs entretiens avec G._, administrateur de X._, pour mettre au point le mandat. Le 13 février 2006, X._ a adressé à C.B._, en sa qualité de président de Y._, une offre pour un mandat exclusif d'assistance au refinancement de la dette externe de Y._ auprès de H._ AG. La première phase du mandat portait sur la préparation du dossier d'emprunt alors que la seconde phase concernait la mise en place, la négociation et la finalisation de l'emprunt. Les honoraires prévus étaient les suivants: Phase 1 40'000 fr. HT, payables à la signature du contrat; Phase 2 40'000 fr. HT, payables à l'initiation de la phase 2, débours non compris; Honoraires au succès 1,5% HT de la somme empruntée si l'emprunt est réalisé avec succès; Prime additionnelle 25% HT de la somme totale économisée à la suite de la réduction du "break up fee". Le for était à Genève. En date du 21 février 2006, C.B._, à la demande de son père, a signé le contrat proposé, à droite de la mention "pour Y._". Le 23 mars 2006, il a donné l'ordre de créditer 43'040 fr. sur le compte de X._, montant facturé pour la phase 1 du mandat. Le 11 juin 2006, X._ a fait parvenir à Y._ une deuxième note d'honoraires de 43'040 fr., qui correspondait à la phase 2 du mandat; la facture a été réglée à concurrence de 30'000 fr. Initialement circonscrit au refinancement du prêt concédé par D._ AG, le mandat de X._ a évolué en ce sens que le financement recherché a été augmenté de 50 à 110 millions de francs dès avril 2006, afin de rembourser d'autres prêts. Parallèlement, V.B._, par l'intermédiaire de I._, a noué des contacts avec un investisseur qatari, J._ Company (ci-après: J._), intéressé par la reprise de biens appartenant à Y._. Dans un courriel du 25 juillet 2006 adressé à I._ et X._, V.B._ a évoqué les liens étroits entre I._ et des investisseurs qataris, puis exposé l'offre de I._ de fournir un financement pour Y._ de 110 millions de francs; il voulait concrétiser cette offre avec le concours de X._, G._ étant compétent en matière de financement conforme à la loi islamique; il a ainsi invité I._ et G._ à se rencontrer. Dans un second courriel, V.B._ précisait à G._ qu'il pouvait "jouer le rôle de pivot" dans cette affaire. Le même jour, l'administrateur de X._ a répondu par courriel à V.B._ qu'il prendrait contact avec I._ pour une rencontre en vue de négociations couvrant le double aspect "equity & debt". Les deux hommes se sont vus le 27 juillet 2006. X._ a travaillé sur cette opération, qui portait sur une prise de participation en fonds propres, et non seulement sur le refinancement de la dette de Y._ envers D._ AG. Le mandat initial n'a pas été formellement modifié, car X._ estimait normal d'exécuter les instructions de V.B._ sans pour autant renégocier le contrat en permanence. Conformément aux instructions de V.B._ et parallèlement aux discussions menées par ce dernier avec J._, X._ a poursuivi ses contacts avec des bailleurs de fonds susceptibles de proposer un financement à Y._. A la mi-avril 2007, J._, Y._ et A._ ont signé un accord de partenariat prévoyant notamment la reprise d'actifs de Y._ par la société Y.L._ 1, constituée à cette fin par les associés; les autres actifs et les passifs non compris dans la convention étaient acquis par une société créée par Y._, Y.L._ 2. La finalisation de l'accord supposait que Y._ remboursât les montants dus à D._ AG et à E._ Ltd, soit près de 132 millions de francs au total. A la suite de cet accord, X._ a estimé que son mandat avait pris fin. Sa facture du 18 juin 2007 adressée à C.B._ faisait état d'un montant non détaillé de 2'225'000 fr. HT à titre d'honoraires pour l'accomplissement du mandat du 13 février 2006 et le support logistique fourni par ses soins en vue de la conclusion de l'accord avec J._. Comme cette facture n'était pas réglée, X._ a tenté de prendre contact avec C.B._ ou son père, en vain. Le 28 septembre 2007, plusieurs sociétés, dont J._ et Y._, ont signé un contrat destiné à remplacer celui conclu en avril 2007; cet acte portait notamment sur la cession à J._ par Y._ des actions de la société propriétaire de l'hôtel N._, à .... Comme pour le premier contrat, la finalisation du contrat du 28 septembre 2007 impliquait le remboursement préalable par Y._ de sa dette envers D._ AG. Après avoir encore une fois été relancé par X._, V.B._ a répondu à cette entreprise, par courriel du 22 novembre 2007, que Y._ n'avait jamais conclu un accord de financement ou de refinancement quelconque; c'était en cédant son plus gros actif - le capital-actions de la société propriétaire de l'hôtel N._ - que Y._ avait pu rembourser D._ AG, dans des conditions qui n'avaient permis de négocier ni le montant de la dette, ni le "break up fee". B. B.a Le 7 mars 2008, X._ a requis du Tribunal de première instance du canton de Genève un séquestre à concurrence de 2'250'000 fr., plus intérêts, en mains de A._ au préjudice de Y._. Le séquestre a été prononcé par ordonnance du 7 mars 2008. Y._ a formé opposition au séquestre. Rejetée en première instance par jugement du 29 mai 2008, l'opposition a été admise par la Cour de justice dans un arrêt du 16 octobre 2008. Parallèlement, X._ a introduit à Genève, le 8 avril 2008, une poursuite à l'encontre de Y._ à concurrence de 2'250'000 fr., plus les intérêts et divers frais dont le coût du procès-verbal de séquestre. La poursuivie a formé opposition au commandement de payer notifié le 23 septembre 2008. B.b Par demande du 10 octobre 2008, X._ a déposé une action en reconnaissance de dette devant le Tribunal de première instance du canton de Genève. Elle concluait au paiement par Y._ d'un montant de 2'250'000 fr. avec intérêts à 5% dès le 19 juillet 2007, ainsi qu'à la mainlevée définitive de l'opposition. La somme réclamée se divisait en: - 10'000 fr. solde de la facture du 11 juin 2006 - 10'140 fr.35 débours et frais de représentation et de voyages - 1'979'859 fr.65 1,5% du montant de 131'990'643 fr.16 versé par J._ à Y._ - 250'000 fr. manque à gagner sur le "break up fee". Y._ a contesté sa légitimation passive. Par jugement du 12 mars 2009, le Tribunal de première instance a débouté X._ de toutes ses conclusions, au motif que Y._ n'était pas liée par le mandat du 21 février 2006 en l'absence des signatures conjointes de deux administrateurs. Statuant le 29 janvier 2010 sur appel de X._, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a annulé le jugement de première instance, constaté que X._ avait la légitimation active envers Y._ et renvoyé la cause au Tribunal pour instruction sur l'existence de la prétention de X._ et nouvelle décision. La cour cantonale a jugé que, même si la régularité formelle du mandat devait être mise en doute, un contrat avait effectivement été conclu entre les parties par actes concluants, lesquels résultaient du paiement total ou partiel des deux premières notes d'honoraires et des tractations avec V.B._, administrateur de W._ SA, société agissant comme organe apparent de Y._. Y._ a recouru au Tribunal fédéral. Dans un arrêt du 28 juin 2010, le recours a été rejeté dans la mesure où il était recevable (cause 4A_133/2010). Le Tribunal de première instance a repris l'instruction de l'affaire. Il a entendu G._ et plusieurs employés de X._. G._ a déclaré que s'ils étaient calculés indépendamment d'une prime de résultat, les honoraires de X._ s'élèveraient à près de 730'000 fr., soit 177 jours de travail effectués par lui-même à 3'000 fr. par jour (531'000 fr.), 15 jours de travail effectués par K._ à 3'000 fr. par jour (45'000 fr.), 65 jours de travail effectués par L._ à 2'000 fr. par jour (130'000 fr.) et 20 jours de travail effectués par M._ à 1'000 fr. par jour (20'000 fr.). Par jugement du 17 novembre 2011, le Tribunal de première instance a condamné Y._ à payer à X._ le montant de 767'726 fr. avec intérêts à 5% dès le 19 juillet 2007 (chiffre 1 du dispositif), levé à due concurrence l'opposition formée au commandement de payer notifié le 23 septembre 2008 dans la poursuite n° zzz (chiffre 2) et réparti les frais et dépens (chiffre 3). Y._ a interjeté appel. Par arrêt du 11 mai 2012, la Chambre civile de la Cour de justice a annulé les chiffres 1 et 3 du dispositif du jugement entrepris; elle a condamné Y._ à payer à X._ la somme de 109'500 fr., plus la TVA à 7,6%, avec intérêts à 5% dès le 7 mars 2008. C. C.a X._ interjette un recours en matière civile (cause 4A_353/2012). Elle demande au Tribunal fédéral de condamner Y._ à lui verser la somme de 767'726 fr. avec intérêts à 5% dès le 19 juillet 2007, comme le Tribunal de première instance l'avait jugé dans sa décision du 17 novembre 2011. Dans sa réponse, Y._ a conclu au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. X._ a déposé des observations, suivies d'une ultime prise de position de Y._. C.b Y._ forme également un recours en matière civile (cause 4A_355/2012). Principalement, elle conclut à ce qu'il soit constaté que les juridictions suisses ne sont pas compétentes à raison du lieu pour "juger d'une demande de [X._] à l'encontre de [Y._] qui serait fondée sur une prétendue existence d'un contrat de mandat tacite". A titre subsidiaire, elle demande que X._ soit déboutée de toutes ses conclusions en paiement. Encore plus subsidiairement, elle demande au Tribunal fédéral de constater que la poursuite n° zzz est absolument nulle et d'annuler l'arrêt entrepris en tant qu'il confirme la mainlevée, à due concurrence, de l'opposition formée au commandement de payer dans la poursuite précitée; elle demande également à ne pas être condamnée au paiement de la TVA à 7,6% sur une éventuelle prétention à verser à X._. Dans sa réponse, X._ a conclu, préalablement, à ce qu'il soit ordonné à Y._ de fournir des sûretés à hauteur de 25'000 fr. pour garantir les dépens qui pourraient être alloués à X._. Pour le reste, elle propose le rejet du recours. Y._ a pris position sur les sûretés requises par l'intimée. X._ a retiré sa demande de sûretés. 