Faits: A. D._, né en 1949, et S._, née en 1962, font ménage commun depuis de nombreuses années et ont eu ensemble un enfant, A._, né en 1998. D._, employé de Y._, a pris une retraite anticipée au 1er janvier 2006, date à partir de laquelle il perçoit une rente de vieillesse de la part de l'Institution de prévoyance X._ (ci-après : institution de prévoyance). Par décision de son Conseil de fondation du 19 novembre 2007, l'institution de prévoyance a modifié son règlement en introduisant un nouvel art. 3.10a, qui prévoit une rente de partenaire et qui fixe les conditions d'octroi de cette prestation. Utilisant la formule ad hoc établie par l'institution de prévoyance, D._ a annoncé, le 19 décembre 2007, qu'il faisait ménage commun avec S._; il entendait ainsi permettre à celle-ci de toucher une rente de partenaire à son décès. Par courriel du lendemain, l'institution de prévoyance a informé D._ que la rente de partenaire ne pouvait être demandée qu'avant la mise à la retraite, ce qui n'était plus possible en l'espèce dès lors que l'événement était survenu en 2006. B. L'institution de prévoyance ayant refusé de reconnaître le droit de S._ à une rente de partenaire, D._ et S._ ont ouvert action devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud (aujourd'hui : Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal), le 12 novembre 2008, en demandant qu'il soit constaté que S._ a droit à une rente de partenaire au sens de l'art. 3.10a du Règlement de l'institution de prévoyance dans sa teneur au 1er janvier 2008 (ci-après : le règlement 2008), au décès de D._. Par jugement du 29 janvier 2010, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois a rejeté les conclusions de la demande. C. D._ et S._ interjettent un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement. Avec suite de frais et dépens, ils en requièrent principalement la réforme en ce sens que le droit de S._ à une rente de partenaire soit constaté; subsidiairement, ils concluent à l'annulation du jugement et au renvoi de la cause au tribunal cantonal. L'intimée conclut à l'irrecevabilité du recours et au rejet de la demande, avec suite de dépens. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. Les recourants ont répliqué. 