Faits: A. A.a A._, ressortissante de la République de Serbie née en 1983, a contracté mariage dans son pays, le 26 août 2001, avec un compatriote, B._, né en 1976, titulaire d'une autorisation annuelle de séjour dans le canton de Vaud. Munie d'un visa d'entrée en Suisse, A._ a rejoint son conjoint en Suisse le 28 décembre 2001 et a été mise au bénéfice d'une autorisation de séjour au titre du regroupement familial, qui a été régulièrement renouvelée jusqu'au 4 juillet 2009. B._ a obtenu une autorisation d'établissement le 2 août 2004. Par jugement du 2 juin 2005, entré en force le 24 juin 2005, le Tribunal municipal de C._ en République de Serbie a prononcé le divorce de A._ et de son conjoint. Dans le formulaire de demande de prolongation de son autorisation de séjour daté de juin 2006, la prénommée a indiqué être "mariée". Entendue le 2 novembre 2006 par la police administrative d'Yverdon, sur mandat du Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal), en vue d'un examen de sa situation personnelle, A._ a déclaré qu'elle avait divorcé de B._ en mai ou juin 2005, dans son pays d'origine, mais qu'après un mois et demi de séparation elle était ainsi revenue en Suisse et avait repris la vie commune avec lui. Au demeurant, le divorce ayant été prononcé en Serbie, elle ignorait qu'elle aurait dû en informer les autorités suisses. Entendu le même jour, B._ a confirmé les déclarations de son ex-épouse. Lors du renouvellement de son autorisation de séjour en mai 2007, A._ a une nouvelle fois indiqué être encore "mariée" sur le formulaire de demande. Le 28 août 2009, B._ a contracté mariage avec sa deuxième épouse, D._, ressortissante serbe, dont il a eu un enfant le 1er août 2011 et avec laquelle il vit actuellement à E._. A.b A._ a demandé, par l'intermédiaire d'un bureau de travail temporaire, à pouvoir travailler auprès de divers employeurs, parfois à temps partiel, à partir d'avril 2002. Elle a ensuite obtenu un emploi fixe et a travaillé, du 13 juillet 2003 au 31 mai 2005, en qualité d'ouvrière au service d'emballage d'une boucherie industrielle. Puis elle est retournée dans son pays d'origine, où elle a divorcé le 2 juin 2005. Revenue en Suisse environ un mois et demi plus tard, elle a traversé une période de chômage, à la suite de laquelle elle a repris un emploi du 1er juillet 2007 au 31 décembre 2007 en qualité d'ouvrière au service d'emballage auprès de la boucherie pour laquelle elle avait déjà travaillé avant son divorce. Elle a toutefois cessé cette activité, car elle se plaignait de maux de dos. Elle a ensuite une nouvelle fois été sans travail et a bénéficié du revenu d'insertion de l'aide sociale du 1er août 2008 au 30 juin 2009. Le 1er mai 2009, elle a commencé à travailler en qualité de fille de comptoir dans un établissement public. Elle a cependant quitté son travail le 3 juin 2009 et ne l'a plus repris, selon ses indications, en raison de problèmes de santé. Puis elle a travaillé du 1er mars 2010 au 31 janvier 2011 en qualité d'aide de cuisine dans un restaurant. Alors qu'elle bénéficiait d'un contrat de durée indéterminée, elle a une nouvelle fois cessé cette activité professionnelle et, depuis le 1er février 2011, elle bénéficie à nouveau du revenu d'insertion de l'aide sociale. A._ a alterné les périodes d'activité lucrative et de chômage entre 2005 et 2009, et bénéficié des prestations de l'assurance chômage et de l'aide sociale du 1er août 2008 au 30 juin 2009 ainsi que du 1er février 2011 à ce jour. Elle fait également l'objet d'une trentaine d'actes de défaut de biens pour un montant de 23'390,05 fr. et de poursuites pour un montant de 637,70 fr. B. Le 24 juin 2009, la prénommée a sollicité la délivrance d'une autorisation d'établissement en sa faveur. Par décision du 14 août 2009, munie des voies de droit, le Service cantonal a informé A._ que du fait de son divorce prononcé le 2 juin 2005, les conditions liées au renouvellement de son autorisation de séjour n'étaient plus remplies. Au demeurant, la prénommée avait bénéficié des prestations de l'aide sociale du 1er août 2008 au 30 juin 2009, ce qui constituait un motif d'expulsion. En conséquence, le Service cantonal refusait la transformation de son autorisation de séjour en autorisation d'établissement. Considérant que la vie commune de A._ avec son conjoint avait duré plus de trois ans, il a informé la prénommée être néanmoins disposé à lui octroyer une autorisation annuelle de séjour sous réserve de l'approbation de l'Office fédéral des migrations (ci-après: l'ODM). Cette décision cantonale est entrée en force faute de recours. Le dossier de l'intéressée a été transmis en ce sens à l'Office fédéral précité. Par décision du 5 mars 2010, l'ODM a refusé d'approuver la prolongation de l'autorisation de séjour en faveur de A._ et a prononcé son renvoi de Suisse. A._ a recouru le 6 avril 2010 contre la décision précitée auprès du Tribunal administratif fédéral (ci-après: le TAF). Le TAF a rejeté ce recours par arrêt du 16 août 2012, motivant sa décision par le défaut d'intégration réussie et l'absence de raisons personnelles majeures. C. À l'encontre de l'arrêt du TAF du 16 août 2012, A._ forme un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'admission du recours, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renouvellement de l'autorisation de séjour, subsidiairement au renvoi de la cause au TAF pour complément d'instruction et nouvelle décision. Par ordonnance présidentielle du 9 octobre 2012, le Tribunal fédéral a admis la demande d'effet suspensif présentée par A._. Le TAF a renoncé à se déterminer tandis que l'Office fédéral des migrations propose le rejet du recours. 