Faits: A. F._ a longtemps été domicilié à l'étranger. Il a en dernier lieu séjourné dans le pays X._, d'où il a été rapatrié le 14/15 mars 2012 pour raisons de santé suite à l'intervention du Consulat suisse de Y._ et de l'Unité d'aide sociale aux suisses de l'étranger. Il a été immédiatement hospitalisé à l'Hôpital Z._. L'intéressé s'est adressé à Assura, assurance maladie et accident (désormais: Assura-Basis SA) le 16 avril 2012; il requérait son affiliation à l'assurance-maladie obligatoire et évoquait l'hospitalisation toujours en cours, son long séjour à l'étranger, ainsi que sa volonté de s'installer à W._. Il a signé une proposition de contrat le 26 avril 2012; le début dudit contrat était fixé au 1er avril 2012. La police correspondante a été établie le 14 mai 2012. F._ en a requis la correction le 11 juin 2012; il rappelait que son entrée en Suisse datait du 15 mars 2012 et non du 1er avril 2012. L'assureur-maladie a confirmé la date d'affiliation le 25 juin 2012. L'intéressé assisté d'un curateur a sollicité des explications supplémentaires à ce propos le 19 juillet 2012. En réponse à cette demande, Assura a annulé l'affiliation avec effet rétroactif au jour de son entrée en vigueur; elle expliquait substantiellement que F._ n'avait pas d'obligations d'assurance dès lors que, étant donné les circonstances du rapatriement, il n'avait pas pu se constituer un domicile légal en Suisse ou uniquement pour y subir un traitement (décision du 30 août 2012). L'intéressé s'est opposé à cette décision le 28 septembre 2012; il soutenait que les documents produits démontraient son intention de rechercher un logement à W._ et de s'y établir définitivement. L'assureur-maladie a repris les motifs de sa décision pour rejeter l'opposition (décision sur opposition du 5 décembre 2012). B. F._ a recouru contre la décision sur opposition auprès de la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève le 21 janvier 2013; il formulait la même argumentation qu'auparavant et concluait à la constatation du fait que sa couverture d'assurance auprès d'Assura avait débuté le 14 mars 2012. Toujours pour les raisons mentionnées dans ses décisions, l'assureur-maladie a conclu au rejet du recours le 20 février 2013. Les parties ont maintenu leurs conclusions lors d'un second échange d'écritures. Elles ont en outre été entendues le 5 juin 2013. Le tribunal cantonal a admis le recours, annulé la décision litigieuse et constaté que l'intéressé était assuré auprès d'Assura pour l'assurance-maladie obligatoire des soins depuis le 15 mars 2012; il estimait que le dossier constitué établissait, avant tout, la volonté de F._ de s'installer durablement en Suisse (jugement du 9 octobre 2013). C. L'assureur-maladie recourt contre ce jugement dont il requiert l'annulation. Il conclut à la confirmation de sa décision sur opposition. F._ conclut au rejet du recours. Il sollicite en outre l'octroi de l'assistance judiciaire (dispense du paiement des frais judiciaires) pour la procédure fédérale. L'office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer. 