Sachverhalt: A. Die 1974 geborene I._, Mutter von drei Kindern (geboren in den Jahren 1995, 1998 und 2004), arbeitete in einem Pensum von 80 % als Leiterin des Pflegedienstes im Altersheim B._ und war dadurch bei der Schweizerischen Mobiliar Versicherungsgesellschaft AG (nachfolgend: Mobiliar) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 20. Februar 2003 erlitt sie als Beifahrerin einen Verkehrsunfall. Ein Personenwagen prallte bei einem Spurwechsel gegen die rechte vordere Ecke des Autos der Versicherten. I._ suchte sofort Ihren Hausarzt auf, der eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) mit Arbeitsunfähigkeit diagnostizierte. Die Mobiliar gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 8. August 2007 eröffnete sie der Versicherten, die Leistungen würden rückwirkend per 11. Mai 2007 eingestellt, da keine adäquaten Unfallfolgen mehr gegeben seien. Die Einsprache der Versicherten wies die Mobiliar mit Entscheid vom 11. März 2008 ab. B. Beschwerdeweise beantragte I._ der Einspracheentscheid vom 11. März 2008 sei aufzuheben und es seien ihr die gesetzlichen Leistungen zu gewähren. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde mit Entscheid vom 19. Februar 2010 ab. C. I._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten die Aufhebung des kantonalen Entscheids beantragen und ihre vorinstanzlichen Leistungsbegehren erneuern. Die Mobiliar schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf Vernehmlassung. 