Sachverhalt: A. A. X._ (Beschwerdeführerin), geboren am 29. Juli 1994, wurde am 20. Juli 1995 operiert, weil sie mit einem Herzfehler zur Welt gekommen war. Im Nachgang dieser Herzoperation im Spital Y._ unter der Leitung des Ärzteteams von Prof. Dr. D._ kam es nach dem Entfernen der Kanülen der Herz-Lungen-Maschine (HLM) aus der oberen Hohlvene und dem Vernähen zu Komplikationen: Es wurde bemerkt, dass die Beschwerdeführerin im Bereich des Kopfes und der oberen Extremitäten sich etwas bläulich verfärbte. Der zentrale Venendruck (ZVD) zeigte Werte über 20 mmHg (Millimeter Quecksilbersäule). Es war zu einer Einengung in dieser oberen Hohlvene im Bereich der vernähten Kanülierungsstelle gekommen, zu einer sogenannten Cavastenose, was die zerebrale Durchblutung beeinträchtigen und die Entstehung eines Hirnödems begünstigen kann. Die Beschwerdeführerin wurde nochmals an die HLM angeschlossen und danach wurde die Kanülierungsstelle neu vernäht. In der Folge wurde die Beschwerdeführerin auf die Intensivstation des Spitals verlegt. Dort verringerten sich nach ein paar Stunden zum einen die Pumpleistungen ihres Herzens (low cardiac output syndrom, LCOPS) und zum anderen wurde ein Hirnödem festgestellt. Es wurden therapeutische Massnahmen ergriffen. Die Beschwerdeführerin ist seither in Folge einer Hirnschädigung schwer behindert und pflegebedürftig. Sie ist der Auffassung, dass die Hirnschädigung auf Sorgfaltspflichtverletzungen seitens der Ärzte der Beschwerdegegnerin zurückzuführen ist. B. Die Beschwerdeführerin erhob am 25. November 2002 beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern Klage gegen das Spital Y._ (Beschwerdegegnerin). Sie stellte das Rechtsbegehren, diese sei zu verpflichten, ihr Fr. 30'000.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 20. Juli 1995 als Teilgenugtuung zu bezahlen. Gestützt auf verschiedene Sachverständigengutachten und -aussagen wies das Verwaltungsgericht am 9. November 2010 die Klage ab. Es entschied, den verantwortlichen Medizinalpersonen der Beschwerdegegnerin könne keine Sorgfaltspflichtverletzung vorgeworfen bzw. nachgewiesen werden. Für die präoperative Phase verneinte es zudem den Kausalzusammenhang zwischen angeblich pflichtwidrig unterlassenen Massnahmen und dem eingetretenen Schaden. Schliesslich verneinte es auch eine Verletzung der Aufklärungspflicht seitens der Beschwerdegegnerin. C. Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, es sei das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Klage gutzuheissen. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, und (recte wohl: um) die beanstandeten Beweisverfahren durchzuführen und in der Sache selbst zu entscheiden. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Verwaltungsgericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen. 