Sachverhalt: A. Die 1960 geborene K._ arbeitete seit Mai 1990 zu 100 % als Schweisserin bei der Firma Y._ AG. Am 13. Juli 2004 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle Basel-Landschaft holte diverse Arztberichte und ein Gutachten des Psychiaters Dr. med. F._ vom 23. Juni 2005 ein. Mit Verfügung vom 11. August 2005 bzw. Einspracheentscheid vom 11. Januar 2007 verneinte sie den Rentenanspruch. Die hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Kantonsgericht Basel-Landschaft mit Entscheid vom 8. August 2007 ab. Auf Beschwerde hin hob das Bundesgericht diesen Entscheid und den Einspracheentscheid der IV-Stelle auf und wies die Sache an Letztere zurück, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Rentenanspruch neu verfüge (Urteil 8C_772/2007 vom 6. Mai 2008). Die IV-Stelle zog ein Gutachten des medizinischen Instituts X._ vom 21. Januar 2009 mit Ergänzung vom 13. Mai 2009 und weitere Arztberichte bei. Mit Verfügung vom 12. Mai 2010 verneinte sie den Rentenanspruch (Invaliditätsgrad 29 %). B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Basel-Landschaft mit Entscheid vom 27. Januar 2011 ab. C. Mit Beschwerde beantragt die Versicherte, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei ihr ab 1. August 2004 eine ganze Invalidenrente zuzusprechen; eventuell sei die IV-Stelle anzuweisen, eine unabhängige medizinische Begutachtung in Auftrag zu geben und sodann über den Rentenanspruch zu entscheiden. Ferner verlangt sie die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichten auf eine Vernehmlassung. D. Mit Verfügungen vom 2. August 2011 gab das Bundesgericht den Parteien Gelegenheit, sich zu den Auswirkungen des Grundsatzurteils BGE 9C_243/2010 vom 28. Juni 2011 betreffend Wahrung eines fairen Verwaltungs- und Beschwerdeverfahrens im Zusammenhang mit der Einholung von Gutachten der Medizinischen Abklärungsstellen (MEDAS) auf die vorliegende Streitsache zu äussern. Die IV-Stelle hielt am 10. August 2011 sinngemäss am Antrag auf Abweisung der Beschwerde fest. Die Versicherte änderte am 22. August 2011 ihren in der Beschwerde gestellten Eventualantrag wie folgt ab: Das kantonale Gericht sei anzuweisen, eine unabhängige medizinische Begutachtung in Auftrag zu geben und sodann über ihre Beschwerde gegen die Verfügung vom 12. Mai 2010 entscheiden. 