Sachverhalt: A. X._ (geb. 1967) und Y._ (geb. 1980) sind die Eltern von Z._ (geb. 2005). Z._ lebte bei ihrer Mutter. Die Eltern sind nicht miteinander verheiratet. Das Kind erhielt einen Beistand zur Regelung des Besuchsrechts. Dieser kümmerte sich zunächst um die Unterhaltspflichten des Vaters. Später überwachte er auch den persönlichen Verkehr. Am 1. Mai 2012 errichtete die Vormundschaftsbehörde der Stadt S._ ausserdem eine Erziehungsbeistandschaft im Sinne von Art. 308 Abs. 1 ZGB. Damit betraute sie den Besuchsrechtsbeistand C._. Überdies ordnete die Behörde eine aufsuchende Familienbegleitung (AFB) an. B. Am 4. Juni 2012 erschien Y._ mit Z._ auf dem Vormundschaftsbehörde der Stadt S._. Er erklärte, das Kind werde von der Mutter geschlagen und vernachlässigt. Er habe X._ angezeigt. Seine Tochter werde er bis zur Klärung der Sache bei sich behalten. In der Folge ersuchte die Staatsanwaltschaft Zug die Vormundschaftsbehörde, für Z._ zusätzlich eine Vertretungsbeistandschaft zu errichten, da gegen die Mutter ein Verfahren eröffnet worden sei. Gestützt auf einen Antrag des bisherigen Beistands C._ entzog die Vormundschaftsbehörde X._ am 6. Juli 2012 vorübergehend die Obhut und teilte diese Y._ zu. Die Behörde ordnete an, dass über den endgültigen Aufenthalt des Kindes nach dem Vorliegen eines Erziehungsfähigkeitsgutachtens entschieden werde, und setzte eine Rechtsanwältin als Prozessbeiständin ein. C. Am 10. September 2012 lag das Erziehungsfähigkeitsgutachten des Zentrums für Psychologie und Verhaltenstherapie (T._) vor. Der Rechtsvertreter von X._ äusserte Bedenken gegen den Inhalt des Gutachtens und forderte die Einholung eines Zweitgutachtens. In der Folge erhielt der Anwalt Gelegenheit, der Vormundschaftsbehörde Ergänzungsfragen einzureichen. Am 28. Januar 2013 lieferte das Zentrum für Psychologie und Verhaltenstherapie (T._) sein Ergänzungsgutachten ab. Mit Entscheid vom 26. März 2013 stellte die neu zuständige Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) des Kantons Zug Z._ endgültig unter die Obhut des Vaters und traf weitere Anordnungen betreffend die Eltern. In Ziffer 6 ihres Rechtspruchs entzog sie einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung. Am 16. April 2013 ernannte die KESB A._ zur neuen Beiständin im Sinne von Art. 308 Abs. 1 i.V.m. Art. 310 ZGB; am 7. Mai 2013 setzte sie mit Rechtsanwältin B._ für Z._ wiederum eine Prozessbeiständin ein. D. D.a. Mit Beschwerde vom 19. April 2013 gelangte X._ an die Fürsorgerechtliche Kammer des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug. In der Sache beantragte sie, ihr die Obhut über Z._ "schnellstmöglich wieder anzuvertrauen". Weiter stellte sie das Begehren, die aufschiebende Wirkung der Beschwerde wiederherzustellen und Z._ für die Dauer des Beschwerdeverfahrens unter ihre Obhut zu stellen. Das Verwaltungsgericht holte bei den Verfahrensbeteiligten Vernehmlassungen ein. D.b. Mit Verfügung vom 16. Juli 2013 wies das Verwaltungsgericht das Gesuch um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde ab und gab dem Rechtsvertreter von X._ Gelegenheit zur Replik auf die Beschwerde. X._ focht diese Verfügung vor Bundesgericht an. Dieses wies die Beschwerde mit Urteil 5A_569/2013 vom 18. November 2013 ab. D.c. Nach etlichen weiteren Eingaben verschiedener Verfahrensbeteiligter wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde vom 19. April 2013 (s. Bst. D.a) mit Urteil vom 13. März 2014 ab, soweit es darauf eintrat. E. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 17. April 2014 wendet sich X._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie stellt das Begehren, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 13. März 2014 aufzuheben und ihr die Obhut über ihre Tochter zuzuteilen; eventualiter sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. 