Sachverhalt: A. Die 1972 geborene G._ war ab 1. Juni 2001 als kaufmännische Sachbearbeiterin in der Firma X._, tätig und dadurch obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Daneben arbeitete sie in einem geringen Pensum als Fitnesstrainerin. Am 10. Oktober 2001 wurde G._ während eines Ferienaufenthaltes auf Ibiza von zwei Bekannten aus Spass mit dem Liegestuhl, auf dem sie lag, auf rund einen Meter Höhe angehoben und in einen Swimmingpool geworfen. Mit Bagatellunfall-Meldung vom 11. Juli 2002 teilte sie dies der Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Allianz) als zuständigem Unfallversicherer mit. Sie gab an, beim Ereignis vom 10. Oktober 2001 eine HWS-Distorsion erlitten zu haben und unter Kopf- und Nackenbeschwerden zu leiden. Die Allianz stellte ihre Leistungspflicht zunächst gänzlich in Frage. Nach verschiedenen Abklärungen (unter anderem Einholung eines multidisziplinären medizinischen Gutachtens der Klinik X._ vom 22. Dezember 2004 mit Ergänzung vom 24. Februar 2005) eröffnete sie G._ schliesslich mit Verfügung vom 28. Juli 2005, die Versicherungsleistungen würden per 1. Mai 2002 eingestellt; darüber hinaus bestehe mangels eines adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfallereignis und den anhaltenden Gesundheitsbeschwerden kein Leistungsanspruch. Auf die von der Versicherten erhobene Einsprache hin hielt die Allianz an der Verfügung fest (Einspracheentscheid vom 18. November 2005). B. Beschwerdeweise beantragte G._, der Einspracheentscheid sei aufzuheben und die Allianz sei zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen unter Berücksichtigung des gesetzlichen Verzugszinses auszurichten. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern gelangte zum Ergebnis, der Unfallversicherer habe den adäquaten Kausalzusammenhang zu früh geprüft. Es hiess mit dieser Begründung die Beschwerde, soweit es darauf eintrat, insofern gut, als es den Einspracheentscheid vom 18. November 2005 aufhob und die Sache an die Allianz zurückwies, damit diese den adäquaten Kausalzusammenhang nach Abschluss der Heilbehandlung neu prüfe und gestützt darauf über ihre Leistungspflicht neu verfüge; je nach Ergebnis dieser Prüfung werde der Unfallversicherer auch darüber zu befinden haben, ob er die Frage des natürlichen Kausalzusammenhangs weiterhin offen lassen könne (Entscheid vom 20. August 2007). C. Die Allianz führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 18. November 2005 zu bestätigen. G._ lässt auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei, schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Eingaben vom 21. April 2008 äussern sich die Parteien im Hinblick auf das Urteil BGE 134 V 109. Mit Schreiben vom 24. August 2008 lässt G._ nochmals Stellung nehmen. 