Faits: A. M._ a travaillé en qualité d'affineur en métaux précieux au service de la société X._ SA. A ce titre, il était assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Il a été victime d'un accident de la circulation le 18 février 2003 : alors qu'il circulait au guidon de son scooter, sa trajectoire a été coupée par une automobile et il a chuté sur la chaussée. Transporté en ambulance à l'Hôpital W._, il est rentré le jour même à son domicile. Le traitement a été ensuite confié au docteur G._, lequel a prescrit la reprise du travail à 50 % dès le 5 mars 2003, puis à 100 % dès le 1er avril suivant. L'assuré a toutefois cessé son travail le 2 avril 2003 en raison de céphalées, d'un acouphène lancinant, de troubles de la concentration et de l'équilibre. Dans un rapport du 5 mai 2003 le docteur C._, spécialiste en médecine interne et nouveau médecin traitant de l'intéressé, a fait état d'un traumatisme crânien avec brève perte de connaissance, de contusions multiples, de vertiges, de céphalées et de troubles de la concentration. La CNA a pris en charge le cas. L'assuré a séjourné à la Clinique romande de réadaptation (Clinique Y._) du 25 juin au 25 juillet 2003. Dans un rapport du 5 août 2003, les médecins de cet établissement ont diagnostiqué un traumatisme cranio-cérébral léger le 18 février 2003, des céphalées, ainsi qu'un trouble de l'adaptation avec humeur dépressive. Ils ont attesté une incapacité de travail entière en raison du trouble de nature psychiatrique. Se plaignant d'une baisse de son acuité visuelle et d'une diplopie binoculaire apparues après son séjour à la Clinique Y._, l'assuré a été examiné par divers médecins, en particulier les docteurs B._, médecin-associé à l'Hôpital Z._ (rapport du 5 avril 2004), et S._, médecin adjoint au service d'ophtalmologie de l'Hôpital W._ (rapport du 11 août 2005). La société X._ SA a résilié les rapports de travail avec effet au 31 décembre 2005. La CNA a confié une expertise pluridisciplinaire aux médecins de la Clinique V._, lesquels ont consigné leurs conclusions dans un rapport du 3 mai 2006. Se fondant sur ces conclusions, la CNA a rendu une décision le 15 juin 2006, confirmée sur opposition le 1er septembre suivant, par laquelle elle a supprimé le droit de l'assuré à des prestations d'assurance à partir du 1er juillet 2006, motif pris que les troubles persistant après cette date n'étaient pas en relation de causalité avec l'accident du 18 février 2003. B. Par jugement du 11 mars 2009, la Cour des assurances sociales du Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel a rejeté le recours formé contre la décision sur opposition par l'assuré qui avait produit un nouveau rapport du docteur S._ (du 4 janvier 2007). C. M._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant à l'octroi de prestations de l'assurance-accidents (indemnité journalière, rente d'invalidité et indemnité pour atteinte à l'intégrité), subsidiairement au renvoi de la cause à la CNA pour complément d'instruction sous la forme d'une expertise ophtalmologique. La CNA conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations. 