Sachverhalt: A. A.a A._ (Beschwerdeführer) ist ein professioneller Fussballspieler mit aktuellem Wohnsitz in X._ (GB). Er wurde am 8. November 1979 in England als britischer Staatsangehöriger geboren und erlangte am 17. August 2004 zusätzlich die türkische Staatsangehörigkeit. Trabzonspor Kulübü Dernegi (Beschwerdegegner 1), eine juristische Person mit Sitz in Y._ (TR), ist ein türkischer Fussballclub. Er ist Mitglied des Türkischen Fussballverbands (Turkish Football Federation [TFF]; Beschwerdegegner 2), einer juristischen Person mit Sitz in Istanbul, welche der Fédération Internationale de Football Association (FIFA) angehört. A.b Im Januar 2006 unterzeichneten der Beschwerdeführer und der Beschwerdegegner 1 einen "Standard Spieler-Arbeitsvertrag" ("standard players employment contract") mit einer festen Dauer vom 18. Januar 2006 bis 30. Juni 2009 und einen "ergänzenden Arbeitsvertrag" ("supplementary employment contract") mit einer festen Dauer vom 17. Januar 2006 bis 30. Juni 2008 und einer Option des Beschwerdegegners 1 auf Verlängerung der Vertragsdauer bis 30. Juni 2009. Am 4. Januar 2008 kündigte der Beschwerdeführer das Arbeitsverhältnis wegen angeblicher Nichterfüllung der vertraglichen Verpflichtungen durch den Beschwerdegegner 1. A.c Mit Faxschreiben vom 11. Januar 2008 erhob der Beschwerdeführer bei der FIFA eine Klage gegen den Beschwerdegegner 1. Mit Brief vom 19. Februar 2008 bestätigte die FIFA den Eingang des Faxschreibens und informierte den Beschwerdeführer im Namen ihrer Kammer zur Beilegung von Streitigkeiten darüber, dass die FIFA "cannot intervene in matters between two parties of the same nationality, but has to refer them to the decision-making bodies of the relevant member Association". A.d Am 8. April 2008 reichte der Beschwerdeführer bei der Streitbeilegungskammer des Beschwerdegegners 2 eine Klage gegen den Beschwerdegegner 1 ein. Mit Entscheid vom 2. Dezember 2008 wies die Streitbeilegungskammer die Klage des Beschwerdeführers ab und verurteilte diesen zur Zahlung von Schadenersatz an den Beschwerdegegner 1 sowie zu einer Spielsperre von vier Monaten. Zur Begründung führte die Streitbeilegungskammer aus, dass der Beschwerdeführer den zwischen ihm und dem Beschwerdegegner 1 bestehenden Arbeitsvertrag unrechtmässig beendet habe. A.e Gegen diesen Entscheid legte der Beschwerdeführer im Januar 2009 Berufung bei der Schiedskammer des Beschwerdegegners 2 ein. Kurz darauf, am 15. Februar 2009, schlossen der Beschwerdeführer und der englische Fussballclub Z._ FC einen Arbeitsvertrag mit einer Dauer bis 30. Juni 2009. Am 14. April 2009 ermächtigte der Einzelrichter der FIFA Spielerstatus-Kommission den englischen Fussballverband dazu, den Beschwerdeführer bei Z._ mit unmittelbarer Wirkung provisorisch als Spieler zu registrieren. Mit Entscheid vom 16. April 2009 setzte die Schiedskammer des Beschwerdegegners 2 den vom Beschwerdeführer an den Beschwerdegegner 1 zu bezahlenden Betrag auf 129'353.38 Türkische Lira fest und bestätigte im Übrigen den angefochtenen Entscheid der Streitbeilegungskammer. Der Entscheid der Schiedskammer wurde dem Beschwerdeführer am 21. Oktober 2009 zugestellt. B. Am 11. November 2009 appellierte der Beschwerdeführer beim Tribunal Arbitral du Sport (TAS) gegen den Entscheid der Schiedskammer des Beschwerdegegners 2 vom 16. April 2009. Mit Schiedsspruch vom 10. Juni 2010 trat das TAS auf die Berufung mangels Zuständigkeit nicht ein. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 9. Juli 2010 beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, es sei der Schiedsentscheid des TAS vom 10. Juni 2010 aufzuheben und festzustellen, dass das TAS zur Behandlung der Sache zuständig sei. Eventualiter sei die Sache an das TAS zu neuer Entscheidung zurückzuweisen. In verfahrensmässiger Hinsicht ersucht der Beschwerdeführer unter anderem um die Erteilung der aufschiebenden Wirkung und die Durchführung einer öffentlichen mündlichen Verhandlung. In ihren Vernehmlassungen beantragen der Beschwerdegegner 1 und das TAS die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdegegner 2 beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer reichte dem Bundesgericht Replik und Triplik, der Beschwerdegegner 1 Duplik und Quadruplik ein. Mit Eingaben vom 19. Oktober 2010 bzw. 28. Oktober 2010 ersuchten beide Beschwerdegegner um Sicherstellung einer allfällig geschuldeten Parteientschädigung. D. Mit Präsidialverfügung vom 30. September 2010 wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um Erteilung der aufschiebenden Wirkung gutgeheissen. Mit Präsidialverfügung vom 11. November 2010 wurden die Gesuche der Beschwerdegegner um Sicherstellung einer allfälligen Parteientschädigung gutgeheissen. Der Beschwerdeführer überwies in der Folge den geforderten Betrag von Fr. 10'000.-- an die Bundesgerichtskasse. Die Akten des Schiedsverfahrens wurden beigezogen. 