Faits: A. A._ est associé gérant de X._ Sàrl, laquelle se consacre à l'exploitation d'un bureau d'ingénieurs-conseils spécialisé dans l'étude des matériaux. Dès le 1er septembre 2000, Y._ fut engagé par la société en qualité d'ingénieur - chef de projets. Le salaire mensuel brut s'élevait à 7'500 fr., payable douze fois par an, au plus tard le trentième jour du mois courant. L'employeuse versait « à bien plaire » un bonus compris entre dix et vingt pour cent du bénéfice de chaque projet. Pour la durée du contrat et les trois ans suivant la fin des rapports de travail, l'ingénieur s'interdisait de participer directement ou indirectement à une entreprise concurrente, à son propre compte ou à quelque autre titre que ce soit, en Europe, aux Etats-Unis d'Amérique ou au Canada. S'il contrevenait à cette interdiction, l'ingénieur devrait à l'employeuse une peine conventionnelle de 10'000 fr. par cas de violation; de plus, l'employeuse pourrait en tous temps exiger la cessation des violations et réclamer des dommages-intérêts supplémentaires. Le 18 mai 2006, lors d'un passage dans les bureaux de la société à Carouge, Y._ prit connaissance de notes personnelles de A._, manuscrites, où il apparaissait que ce dernier envisageait de le licencier. Les notes portaient aussi sur la stratégie financière de la société. Le lendemain, par lettre recommandée, Y._ fit savoir qu'il avait jusque-là accepté des retards dans les paiements qui lui étaient dus; il n'en accepterait plus à l'avenir et il réclamait le versement de diverses sommes au total d'environ 8'700 fr., consistant dans les bonus afférents à divers projets et dans le remboursement de ses frais professionnels. Dans la correspondance ultérieure, A._ promit à plusieurs reprises le versement réclamé, cependant sans l'exécuter; il disait compter sur les paiements à recevoir des clients de la société. Le salaire du mois de juin fut d'ailleurs versé avec plusieurs jours de retard. Le 22 juillet 2006, A._ indiqua que la société n'avait pas de fonds pour les salaires du mois d'août mais que sa situation s'améliorerait en septembre. Le 1er juillet, Y._ avait menacé de résilier le contrat de travail avec effet immédiat; le 24, il se déclara prêt à investir dans la société au cas où celle-ci ne parviendrait pas à acquitter l'arriéré avant la fin du mois, mais à condition qu'il pût obtenir la majorité des parts sociales. Enfin, le 30 juillet 2006, il donna sa démission avec effet immédiat, au motif que les bonus et frais professionnels, au total d'environ 9'000 fr., demeuraient impayés. B. B._ Sàrl est inscrite au registre du commerce depuis le 22 août 2006. Son capital s'élève à 20'000 fr. et Y._ est associé pour une part de 18'000 francs. Elle a pour but la fourniture de tous services et conseils en matière de technologie des matériaux et de procédés de pointe. C. Le 8 janvier 2007, Y._ a ouvert action contre X._ Sàrl devant le Tribunal de prud'hommes du canton de Genève. Après qu'il eut chiffré toutes ses conclusions, la défenderesse devait être condamnée à lui payer 10'563 fr.93 à titre de bonus, 3'751 fr.62 à titre de remboursement de frais professionnels, 4'638 fr.23 à titre de remboursement de l'impôt à la source, 28'416 fr.67 à titre de dommages-intérêts et 85'250 fr. pour réparation morale. La défenderesse a conclu au rejet de l'action et présenté une demande reconventionnelle. Celle-ci tendait au versement d'une peine conventionnelle de 10'000 fr., avec intérêts au taux de 5% par an dès le 30 juillet 2006, et de dommages-intérêts par 117'358 fr.40, avec intérêts dès le 1er janvier 2007; en outre, le tribunal devait interdire au demandeur, sous menace des peines prévues à l'art. 292 CP en cas d'insoumission aux décisions de l'autorité, de faire concurrence à la défenderesse dans le rayon territorial et pendant la durée de la prohibition convenue, personnellement, par l'intermédiaire de B._ Sàrl ou de toute autre manière. Le tribunal s'est prononcé le 7 août 2007. En tant que la demande principale portait sur le remboursement de l'impôt à la source, le tribunal l'a déclarée irrecevable faute de compétence de l'autorité saisie. Pour le surplus, les juges ont retenu qu'en raison de la situation financière de son employeuse, le demandeur s'était trouvé dans une situation justifiant la résiliation immédiate du contrat de travail; la défenderesse lui devait des dommages-intérêts correspondant au salaire qu'il aurait perçu pendant les deux mois du délai de congé, soit 15'000 fr. Néanmoins, les circonstances ne justifiaient pas l'allocation d'une réparation morale. La défenderesse devait encore le versement de bonus et le remboursement de frais professionnels selon les conclusions de la demande, soit 10'563 fr.93 et 3'751 fr.62. Quant à la demande reconventionnelle, le demandeur ayant rompu le contrat pour un motif imputable à la défenderesse, la prohibition de concurrence avait pris fin; cette partie-ci ne pouvait donc revendiquer ni peine conventionnelle ni dommages-intérêts en conséquence de la fondation de B._ Sàrl, ni aucune autre mesure à imposer au demandeur. Cette demande était ainsi rejetée. La défenderesse ayant appelé du jugement, le demandeur a usé de l'appel incident. La Cour d'appel a statué le 13 mars 2008; en substance, elle a confirmé le jugement. Le congé immédiat se justifiait par la situation financière de l'employeuse et par les intentions de son gérant concernant le demandeur. La Cour a augmenté les dommages-intérêts de 15'000 fr. à 20'047 fr. pour tenir compte d'une augmentation du salaire mensuel intervenue dès le début de 2004. Elle a rectifié le montant des bonus à 6'686 fr., 899 fr. et 2'978 euros, et elle a confirmé le remboursement des frais professionnels par 3'752 fr. Dues au demandeur, toutes ces sommes sont soumises aux déductions sociales et portent intérêts au taux de 5% par an dès le 31 juillet 2006. D. Agissant par la voie du recours en matière civile, la défenderesse conteste l'existence de justes motifs de rupture du contrat et elle demande l'application de la clause de prohibition de concurrence. Elle conclut à la réforme de l'arrêt de la Cour d'appel, en ce sens qu'il soit interdit au demandeur, sous menace des peines de l'art. 292 CP, de faire concurrence à son ancienne employeuse dans le rayon territorial et pendant la durée de la prohibition convenue, personnellement, par l'intermédiaire de B._ Sàrl ou de toute autre manière, et que le demandeur soit condamné au paiement de 94'918 fr.80, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 1er janvier 2007. Le demandeur conclut au rejet du recours. 