Sachverhalt: Sachverhalt: A. W._ (geb. 1977) erlitt in den Jahren 1994 und 1996 Unfälle mit Affektion der Halswirbelsäule. In der Folge wurde die gelernte Offsetdruckerin durch die Invalidenversicherung zur Büroangestellten umgeschult. Nach einem Auffahrunfall vom 16. Juli 2000 stellten die behandelnden Ärzte ein Hyperextensionstrauma der Halswirbelsäule und eine Distorsion des linken Schultergürtels fest. Der gesundheitliche Zustand wurde unter anderm im Zentrum X._, abgeklärt (Gutachten vom 29. Januar 2001). Mit durch Einspracheentscheid vom 31. Mai 2002 bestätigter Verfügung vom 13. Februar 2001 stellte der obligatorische Unfallversicherer, die La Suisse Versicherungen, die Leistungen rückwirkend ab dem 1. Januar 2001 ein. A. W._ (geb. 1977) erlitt in den Jahren 1994 und 1996 Unfälle mit Affektion der Halswirbelsäule. In der Folge wurde die gelernte Offsetdruckerin durch die Invalidenversicherung zur Büroangestellten umgeschult. Nach einem Auffahrunfall vom 16. Juli 2000 stellten die behandelnden Ärzte ein Hyperextensionstrauma der Halswirbelsäule und eine Distorsion des linken Schultergürtels fest. Der gesundheitliche Zustand wurde unter anderm im Zentrum X._, abgeklärt (Gutachten vom 29. Januar 2001). Mit durch Einspracheentscheid vom 31. Mai 2002 bestätigter Verfügung vom 13. Februar 2001 stellte der obligatorische Unfallversicherer, die La Suisse Versicherungen, die Leistungen rückwirkend ab dem 1. Januar 2001 ein. B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 15. Juli 2003). B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 15. Juli 2003). C. W._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, die Sache sei, unter Aufhebung von strittiger Verfügung und angefochtenem Entscheid, zur neuen Entscheidung an die Verwaltung zurückzuweisen; eventuell seien ihr die gesetzlichen Leistungen zu erbringen. Zudem ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung. Die La Suisse Versicherungen schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherung, Abteilung Unfall (seit dem 1. Januar 2004 im Bundesamt für Gesundheit), verzichtet auf Vernehmlassung. Die La Suisse Versicherungen schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherung, Abteilung Unfall (seit dem 1. Januar 2004 im Bundesamt für Gesundheit), verzichtet auf Vernehmlassung. D. Die Versicherte lässt ein interdisziplinäres Gutachten des Instituts Y._ vom 11. Februar 2004 einreichen. Der Unfallversicherer nimmt zum nachträglich eingereichten Aktenstück im Rahmen der Anordnung eines zweiten Schriftenwechsels Stellung. 