Sachverhalt: A. A.a Die X._ AG mit Sitz in C._ wurde am 5. Juni 2007 gegründet mit einem Aktienkapital von Fr. 100'000.--, aufgeteilt in 100 Inhaberaktien à Fr. 1'000.--. Die Gesellschaft bezweckt den Kauf, die Entwicklung und den Verkauf von Immobilien sowie Beteiligungen bzw. - seit einer Statutenänderung vom 8. Dezember 2008/ 6. April 2009 - zusätzlich die Erbringung von Dienstleistungen in den Bereichen Architektur, Schätzungen, Liegenschaftsberatungen, Studienaufträgen, Bauherrenberatung und Projektmanagement sowie den Erwerb, die Belastung, Veräusserung und Verwaltung von Grundeigentum, die Vornahme von Finanzierungen und die Eingehung von Garantien und Bürgschaften für Tochtergesellschaften und Dritte. Bei der Gründung wurden 98 Aktien von Z.a._ gezeichnet und je eine Aktie von ihrem Ehemann Z.b._ sowie von Y._ (alle schweizerische Staatsangehörige). Die Liberierung erfolgte im Betrag von Fr. 90'000.-- ab einem Konto von Z.b._ bei der Bank A._, auf welches Z.c._, der in Serbien lebende serbische Staatsangehörige und Vater von Z.b._, am 4. Juni 2007 den Betrag von Fr. 68'000.-- gutgeschrieben hatte. Am Gründungstag der AG wurden die Aktien neu aufgeteilt, wobei die Ehegatten Z.a._ und Z.b._ je 50 Aktien übernahmen. Am 2. Juli 2007 erwarb die X._ AG ein Kaufrecht am Grundstück Nr. xxx (Grundbuch C._) mit einer Fläche von 2 ha 18 a 18 m2. Dieses Kaufrecht übte sie am 18. Februar 2008 zu einem Preis von Fr. 1'866'600.-- aus und beantragte beim zuständigen Grundbuchamt die Eintragung. Sie wandte sich weder selber an den Regierungsstatthalter (als zuständige Bewilligungsbehörde nach dem Bundesgesetz vom 16. Dezember 1983 über den Erwerb von Grundstücken durch Personen im Ausland [BewG; SR 211.412.41]) noch wurde sie vom Handelsregisteramt oder vom Grundbuchamt an die Bewilligungsbehörde verwiesen. A.b Im Rahmen der Prüfung eines Bewilligungsgesuchs für ein Ferienhaus wurde der Regierungsstatthalter der Ämter Hochdorf und Luzern in der Folge darauf aufmerksam, dass das Aktienkapital der X._ AG aus Inhaberaktien besteht und daran Personen aus dem Ausland beteiligt sein könnten. Am 1. Juli 2011 eröffnete er von Amtes wegen ein Verfahren zur nachträglichen Feststellung der Bewilligungspflicht. Vorsorglich ordnete er eine Grundbuch- und eine Handelsregistersperre an und verpflichtete die X._ AG bzw. deren Aktionäre, sämtliche Aktien bei der Bewilligungsbehörde zu deponieren. Mit Entscheid vom 30. September 2011 stellte der Regierungsstatthalter fest, dass die finanzielle Beteiligung von Z.c._ an der Gründung der X._ AG der Bewilligungspflicht unterliege. Ebenso unterliege die Begründung des Kaufrechts am Grundstück Nr. xxx sowie dessen Ausübung der Bewilligungspflicht. Gleichzeitig verweigerte er in beiden Fällen die Bewilligung. Die vorsorglich verfügte Grundbuch- und Handelsregistersperre wurde bestätigt und die Aktienzertifikate wurden beschlagnahmt. B. Die X._ AG erhob dagegen Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern. Dieses wies mit Urteil vom 5. Juli 2012 die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. C. Mit Eingabe vom 12. September 2012 erhebt die X._ AG beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, in Aufhebung des angefochtenen Urteils sei festzustellen, dass im Zusammenhang mit der Gründung der X._ AG keine der Bewilligungspflicht gemäss BewG unterliegenden Rechtsgeschäfte getätigt worden seien und dass insbesondere im Zusammenhang mit dieser Gründung keine der Bewilligungspflicht unterliegende finanzielle Beteiligung von Z.c._ erfolgt sei. Ferner sei festzustellen, dass die Begründung des Kaufrechts am Grundstück Nr. xxx, Gb. C._, und die Ausübung dieses Kaufrechts bzw. der Erwerb des Grundstücks nicht der Bewilligungspflicht unterstanden seien. Die Beschlagnahme der Aktienzertifikate, die Grundbuch- und die Handelsregistersperre seien aufzuheben. Eventuell sei die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der Regierungsstatthalter der Ämter Hochdorf und Luzern, das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern und das Bundesamt für Justiz beantragen Abweisung der Beschwerde. Die X._ AG äussert sich zu den eingegangenen Vernehmlassungen. 