Faits : A. A.a. A._ travaillait comme moniteur dans les ateliers B._ et était, à ce titre, assuré contre les accidents par La Caisse Vaudoise, assurance en cas de maladie et accidents (ci-après: la Vaudoise). Le 27 mars 2001, alors qu'il promenait son chien, ce dernier a aperçu un autre chien et a tiré fortement sur sa laisse. L'assuré a ressenti une vive douleur à l'épaule droite et une difficulté à la mouvoir. Le 29 mars 2001, il s'est à nouveau fait mal à l'épaule droite en tirant sur un transpalette. Il s'est rendu à la Permanence chirurgicale C._, où le diagnostic de conflit sous-acromial sur lésion du sus-épineux de l'épaule droite a été posé. Une IRM de l'épaule droite réalisée le 29 mai 2001 a mis en évidence une déchirure complète du tendon sus-épineux. Le 5 juillet suivant, le docteur D._ a pratiqué une intervention chirurgicale (réinsertion d'une lésion complète du sus-épineux, ténodèse du long chef du biceps dans sa gouttière, fermeture de l'intervalle de la coiffe, acromioplastie de l'épaule droite); lors de l'opération, il a constaté une déchirure du ligament coraco-huméral. Dans un compte-rendu du 28 mars 2003 adressé à la Vaudoise, ce chirurgien a fait état d'une évolution favorable ainsi que d'une récupération fonctionnelle complète et indolore (sauf un passage sensible à 120° en abduction), et attesté une capacité de travail entière dès le 15 janvier 2003. Il a précisé que cette épaule resterait plus fragile et susceptible de se décompenser occasionnellement. Il a fixé le taux d'atteinte à l'intégrité à 5 %. Après que la Vaudoise a rendu une décision de refus de prise en charge et que l'assuré s'y est opposé, une transaction a été conclue entre les parties portant (à bien plaire) sur la prise en charge du traitement hospitalier ainsi que sur le droit à une indemnité pour atteinte à l'intégrité. A.b. Par lettres des 28 juin, 10 octobre et 21 décembre 2005, l'assuré a demandé à la Vaudoise l'octroi d'une rente d'invalidité en raison de troubles persistants à son épaule droite. Entre-temps, il a été mis au bénéfice d'une demi-rente d'invalidité dès janvier 2005 puis d'une rente entière à partir de mai 2005 de l'assurance-invalidité pour l'ensemble de ses problèmes de santé (épaule, genou et dos). Par décision et décision sur opposition des 19 janvier et 15 juin 2006, l'assureur-accidents a refusé d'entrer en matière sur sa demande de rente. A._ a recouru jusqu'au Tribunal fédéral, qui a renvoyé la cause à la Vaudoise pour qu'elle statue sur le droit éventuel de l'assuré à une rente à raison des événements des 27 et 29 mars 2001 (arrêt du 24 septembre 2007; cause U 378/06). A.c. A la suite de cet arrêt, la Vaudoise a mandaté le docteur E._ pour une expertise (rapport du 19 juillet 2008), sur la base de laquelle elle a nié le droit à une rente dès le 1er juillet 2005 (décision du 18 septembre 2008). L'assuré a formé opposition contre cette décision et produit une expertise privée du docteur F._ (rapport du 8 mai 2009). Le 15 juin 2009, l'assureur-accidents a écarté l'opposition. B. B.a. Par jugement du 27 juillet 2010, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois a admis le recours en ce sens que la décision sur opposition litigieuse est annulée et la cause renvoyée à la Vaudoise pour nouvelle décision au sens des considérants. En bref, les juges vaudois ont retenu qu'en ce qui concernait les suites immédiates des événements, l'expertise du 19 juillet 2008 du docteur E._ ne permettait pas d'établir le caractère exclusivement dégénératif de l'atteinte, même s'il était évident que des troubles dégénératifs avaient exercé une influence déterminante. Ils ont donc admis l'existence d'une lésion assimilée à un accident et renvoyé le dossier pour la question du statu quo sine au 1er avril 2003 - moment à partir duquel l'assuré demandait nouvellement une rente LAA -, les docteurs F._ et G._ (médecin-conseil de la Vaudoise) ne s'étant pas du tout prononcés sur ce point tandis que le docteur E._ avait fourni une réponse peu claire à ce sujet. B.b. A._ a demandé à la Vaudoise de mandater le docteur F._ pour compléter l'instruction, s'opposant à la désignation du docteur E._. Le 5 novembre 2010, l'assureur-accidents l'a informé que l'instruction complémentaire serait effectuée auprès du docteur E._. Le 10 décembre 2010, ce médecin a rendu son rapport complémentaire. Après que l'assuré a introduit une procédure pour déni de justice, la Vaudoise a rendu une décision incidente le 30 mars 2011, par laquelle elle a rejeté la demande de récusation du docteur E._. Par une autre décision du même jour (confirmée sur opposition le 27 mai 2011), elle a derechef nié le droit de A._ à une rente. B.c. L'assuré a recouru contre ces deux dernières décisions devant le Tribunal cantonal vaudois, qui a décliné sa compétence et transmis les deux recours au Tribunal cantonal du canton de Fribourg (ce qui a été confirmé par le Tribunal fédéral le 10 mai 2012; causes 8C_565/2011 et 8C_832/2011). Par jugement du 3 juillet 2013, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal fribourgeois a joint les procédures et rejeté les recours. C. A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Sous suite de frais et dépens, il conclut, principalement, à sa réforme en ce sens qu'une rente d'invalidité LAA de 30 % lui est allouée depuis le 1er avril 2003; subsidiairement à l'annulation de ce jugement. La Vaudoise conclut au rejet du recours. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer. 