Sachverhalt: A. R._ war unter dem gemeinsamen Dach KPT/CPT (nachfolgend: KPT) in der obligatorischen Krankenpflegeversicherung bei der KPT/CPT Krankenkasse (nachfolgend: Krankenkasse) und für Leistungen in der privaten Spitalabteilung bei der KPT Versicherungen AG (nachfolgend: Zusatzversicherer) versichert. Am 25. April 2001 wurde sie notfallmässig ins Kantonsspital Freiburg eingeliefert und lag bis zum 20. September 2001 auf der Intensivstation, anschliessend auf der normalen Bettenstation. Am 8. März 2002 konnte sie aus dem Spital entlassen werden. Das Kantonsspital stellte für die Behandlung der KPT Rechnungen von insgesamt Fr. 844'355.90, zahlbar im Verhältnis tiers payant, wovon Fr. 668'413.- für den Aufenthalt auf der Intensivstation, wobei auch dafür der Tarif für Privatpatienten berechnet wurde. Die KPT bezahlte Fr. 441'668.30 und verweigerte weitere Leistungen. Sie stellte sich auf den Standpunkt, für den Aufenthalt auf der Intensivstation dürfe nicht der Tarif für Privatpatienten angewendet werden, da es dort keine Privatabteilung gebe. B. Am 14. Mai 2004 erhob die KPT beim Schiedsgericht nach Art. 89 KVG Klage gegen das Kantonsspital mit dem Rechtsbegehren, "1. Die Beklagte sei zu verpflichten, für die Zeit des Aufenthaltes von Frau R. auf der Intensivpflegestation (IPS) vom 25. April 2001 bis 20. September 2001 eine Rechnung nach dem Tarif der allgemeinen Abteilung (OKP) zu erstellen. 2. Die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin die für diese Periode bereits bezahlten Leistungen zurückzuerstatten, soweit sie den Tarif der allgemeinen Abteilung übersteigen." Mit Präsidialentscheid vom 30. Januar 2006, bezüglich der Parteientschädigung berichtigt am 23. Februar 2006, trat das Schiedsgericht auf die Klage mangels Zuständigkeit nicht ein, da es nicht um eine Leistung nach KVG, sondern um eine solche nach VVG gehe. C. Die Krankenkasse erhebt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag, das Urteil des Schiedsgerichts sei aufzuheben und die Streitsache sei zur materiellen Beurteilung an das Schiedsgericht zurückzuweisen. Das Kantonsspital verzichtet auf eine eigentliche Vernehmlassung und verweist auf seine vorinstanzliche Stellungnahme, wonach die Zuständigkeit des Schiedsgerichts in Bezug auf das vorinstanzliche Rechtsbegehren Ziff. 1 nicht bestritten werde, wohl aber in Bezug auf das Begehren Ziff. 2. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. 