Sachverhalt: A. X._ (geb. 1983) ist indischer Staatsbürger. Er reiste im Oktober 2002 mit einem Touristenvisum in die Schweiz ein und stellte ein Asylgesuch. Dieses wurde im Mai 2003 rechtskräftig abgewiesen, doch konnte X._ wegen fehlenden Reisedokumenten erst im Jahr 2006 ausreisen. Am 1. Februar 2008 heiratete X._ in Portugal die Schweizer Bürgerin A._ (geb. 1980). Am 20. Februar 2008 stellte er auf der Schweizer Botschaft in Lissabon ein Visumsgesuch zur Einreise in die Schweiz. Aus verschiedenen, im bisherigen Verfahren umstritten gebliebenen Gründen nahm die Bearbeitung dieses Gesuchs mehrere Monate in Anspruch. Am 31. August 2008 konnte X._ schliesslich in die Schweiz einreisen und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung. B. Am 27. März 2011 gaben X._ und A._ die eheliche Gemeinschaft auf. In der Folge lehnte das Amt für Migration eine Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung X._s ab und wies ihn aus der Schweiz weg. Ein Rekurs an den Regierungsrat des Kantons Basel-Landschaft blieb erfolglos, und mit Urteil vom 6. März 2013 bestätigte das Kantonsgericht Basel-Landschaft (Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht) diesen Entscheid. C. X._ (Beschwerdeführer) führt mit Eingabe vom 20. Juni 2013 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen diesen Entscheid und stellt dem Antrag, es sei ihm der weitere Aufenthalt im Kanton Basel-Landschaft zu bewilligen, eventuell sei die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Mit Verfügung des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung vom 25. Juni 2013 wurde das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen. Der Regierungsrat des Kantons Basel-Landschaft sowie das Bundesamt für Migration beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das Kantonsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. 