Sachverhalt: A. X._ (Jg. 1954) und Y._ (Jg. 1977) haben am 15. Januar 2007 in Basel geheiratet. 2007 gebar die Frau die gemeinsame Tochter V._. Bei der Mutter wohnt auch die voreheliche Tochter W._ (geb. 2000). B. Am 21. August 2011 ersuchte X._ das Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt um Regelung des Getrenntlebens. Mit Entscheid vom 24. Oktober 2011 regelte die Zivilgerichtspräsidentin das Getrenntleben. Die Obhut über V._ teilte sie vorsorglich der Mutter zu. Dem Vater räumte sie ein wöchentliches Besuchsrecht ein. Zugleich beauftragte sie die Abteilung Kindes- und Jugendschutz des Erziehungsdepartements (AKJS) abzuklären, welchem Ehegatten die Obhut zugeteilt und wie inskünftig das Besuchsrecht geregelt werden soll. C. Am 27. Februar 2012 reichte die AKJS ihren Bericht samt Empfehlungen ein. In seiner Stellungnahme vom 20. März 2012 beantragte X._, die Zuteilung der Obhut durch einen Kinderpsychologen abklären zu lassen. Die Präsidentin des Zivilgerichts des Kantons Basel-Stadt wies diesen Antrag mit Entscheid vom 5. April 2012 ab. Zugleich bestätigte sie die vorsorgliche Zuteilung der Obhut über V._ an Y._, regelte den persönlichen Verkehr zwischen Vater und Tochter und beauftragte die Vormundschaftsbehörde, eine Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 2 ZGB zu errichten. Gegen diesen Entscheid legte X._ beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt Berufung ein. Dessen Ausschuss wies das Rechtsmittel ab und beauftragte die Beistandsperson, Abklärungen zur möglicherweise erforderlichen Sprachförderung für V._ in die Wege zu leiten (Urteil vom 21. August 2012). D. In seiner Beschwerde an das Bundesgericht vom 12. November 2012 lässt X._ (Beschwerdeführer) durch seinen Anwalt beantragen, das Urteil des Appellationsgerichts "teilweise aufzuheben, eventualiter an die Vorinstanz zurückzuweisen, und wie folgt abzuändern" (Ziffer 1): Es sei über die Tochter V._ ein psychologisches Gutachten bei der Kinder- und Jugendpsychiatrischen Klinik Basel-Stadt (KJPK) einzuholen (Ziffer 2), es sei "demgemäss die Obhut über die Tochter V._ auf den Beschwerdeführer und Kindsvater zu übertragen" (Ziffer 3) und es sei Y._ (Beschwerdegegnerin) ein angemessenes Besuchs- und Ferienrecht einzuräumen. Im Übrigen sei der vorinstanzliche Entscheid zu bestätigen. Weiter ersucht der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. In einem Schreiben, das ebenfalls vom 12. November 2012 datiert, wendet sich der Beschwerdeführer persönlich an das Bundesgericht und reicht zusätzliche Unterlagen ein. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt. 