Sachverhalt: A. Im Jahre 1983 erwarb die Gemeinde Vals sämtliche Aktien der Hotel und Thermalbad Vals AG (HOTEBA). In seiner Botschaft zur Gemeindeversammlung vom 9. März 2012 beantragte der Gemeinderat von Vals der Stimmbürgerschaft, von zwei Angeboten zum Verkauf der HOTEBA dasjenige der IG Therme Vals und nicht dasjenige der Stoffelpart AG anzunehmen. Die Gemeindepräsidentin führte dazu an der fraglichen Gemeindeversammlung zwei Abstimmungen durch. In der ersten wurden die beiden Angebote gegenübergestellt, wobei das Angebot der Stoffelpart AG mit 287:219 Stimmen obsiegte. In der zweiten Abstimmungen genehmigten die Stimmbürger den Antrag auf Verkauf an die Stoffelpart AG mit 340:116 Stimmen. B. Am 16. April 2012 erhoben A._ und 13 Mitbeteiligte Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden mit dem Antrag, die Beschlüsse der Gemeindeversammlung Vals betreffend Verkauf der HOTEBA entweder ersatzlos oder eventuell unter gleichzeitiger Rückweisung der Rechtssache an die Gemeindeversammlung zu neuem Entscheid aufzuheben. Sie bezeichneten ihre Eingabe als Stimmrechts-, Verwaltungsgerichts- und Verfassungsbeschwerde und machten insbesondere einen Verstoss gegen den Grundsatz der Einheit der Materie, gegen das Legalitäts- und Verhältnismässigkeitsprinzip sowie das eidgenössische Binnenmarktgesetz und das bündnerische Gemeindegesetz geltend. Mit Urteil vom 30. Oktober 2012 trat das Verwaltungsgericht auf die Beschwerden nicht ein. C. Am 18. Dezember 2012 reichten A._ und ihre 13 Mitbeteiligten eine als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, subsidiär Verfassungsbeschwerde, bezeichnete Eingabe beim Bundesgericht ein. Sie stellen den Antrag, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und diesem die Rechtssache zurückzuweisen mit der Auflage, auf die bei ihm erhobene Beschwerde einzutreten. Im Wesentlichen machen sie geltend, das Verwaltungsgericht habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt, die Fristenregelung bei der Stimmrechtsbeschwerde nicht korrekt angewendet und bei der Verwaltungsgerichts- und Verfassungsbeschwerde die Beschwerdelegitimation in bundesrechtswidriger Weise verneint. Überdies ersuchten sie um Erteilung der aufschiebenden Wirkung bzw. um Erlass vorsorglicher Massnahmen. D. Mit Verfügung vom 27. März 2013 wies das präsidierende Mitglied der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch um aufschiebende Wirkung und vorsorgliche Massnahme ab. E. In ihren Stellungnahmen schliessen die Stoffel Partizipationen AG und das Verwaltungsgericht auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Gemeinde Vals stellt Antrag auf Abweisung. F. In Replik und Dupliken halten A._ und ihre Mitbeteiligten, die Stoffel Partizipationen AG unter ihrem neuen Namen Priora Projekt AG und die Gemeinde Vals im Wesentlichen an ihren Standpunkten fest. Das Verwaltungsgericht hat sich nicht mehr vernehmen lassen. G. In zwei Eingaben äusserte sich das Grundbuchinspektorat und Handelsregister des Kantons Graubünden zu registerrechtlichen Aspekten der Streitsache. In diesem Zusammenhang reichten auch die Beschwerdeführer und die Priora Projekt AG Eingaben ein. H. Am 16. September 2013 stellten die Beschwerdeführer erneut ein Gesuch um Erlass superprovisorischer bzw. vorsorglicher Massnahmen. Der Instruktionsrichter der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts wies das Gesuch mit Verfügung vom 20. September 2013 ab. 