hat sich ergeben: A.- Die X._ AG (Klägerin) ist auf den Bau und Vertrieb von Saunen, Whirlpools, Dampfbädern sowie Solarien und damit zusammenhängenden Produkten spezialisiert. Mit Arbeitsvertrag vom 1./3. Juli 1998 stellte sie A._ (Beklagter) als Stellvertreter des Geschäftsführers an. Der Beklagte wurde darin als für die Planung der Projekte, das Offert- und Auftragswesen, Montage-Organisation und Abrechnungen, Einkauf, Verkauf, für die telefonische und persönliche Kundenbetreuung und allgemeine Büroarbeiten verantwortlich bezeichnet. Dieser Anstellungsvertrag wurde am 10. Februar 1999 durch einen neuen ersetzt, wobei im Wesentlichen das Monatsgehalt erhöht und die Spesenvergütungen geregelt wurden. In beiden Verträgen war in Ziffer 7 ein Konkurrenzverbot vorgesehen, dessen Geltungsbereich im neuen gegenüber dem ursprünglichen Vertrag um die Kantone Schaffhausen und Thurgau erweitert wurde und schliesslich wie folgt lautete: "Der Arbeitnehmer verpflichtet sich, während zwei Jahren nach Beendigung des Arbeitsverhältnisses weder direkt noch indirekt auf dem Gebiet Sauna, Sauna-Zubehör, Dampfbad, Whirl-Pool und Besonnungsgeräte in den Kantonen Aargau, Schwyz, Basel-Stadt und -Land, Bern, Graubünden, Luzern, Schaffhausen, Solothurn, St. Gallen, Thurgau, Unter- und Obwalden, Zürich und Zug tätig zu werden.. " Mit Schreiben vom 25. November 1999 kündigte der Beklagte das Arbeitsverhältnis auf den 29. Februar 2000. Am 23. Dezember 1999 unterzeichnete er bei der Y._ AG einen Anstellungsvertrag mit Stellenantritt per 1. März 2000. Die Y._ AG vertreibt hauptsächlich Infrarot-Wärmekabinen, Tepidarien und Dampfbäder. Sie übertrug dem Beklagten die Verantwortung für die Planung und Durchführung von Messen, Verkauf, Beratung und Lieferungen von Infrarot-Wärmekabinen, die telefonische Nacherfassung von potentiellen Kunden sowie die einfache Korrespondenz und Fakturierung. In Ziffer 8 dieses Anstellungsvertrages wurde unter dem Titel "Bestehendes Konkurrenzverbot" Folgendes festgehalten: "Aufgrund des Konkurrenzverbotes des Arbeitnehmers durch die Firma X._ AG, betreffend Dampfbadanlagen, wird nachfolgende Regelung getroffen: - Sämtliche Aktivitäten bezüglich Dampfbadanlagen werden durch den Geschäftsführer, Herrn B._, abgewickelt. - Diese Regelung erlischt am 1. März 2002, oder nach Freigabe des Konkurrenzverbotes durch die Firma X._ AG." B.- Am 11. April 2000 gelangte die Klägerin gegen den Beklagten an das Arbeitsgericht Zürich. Sie verlangte eine Feststellung, dass der Beklagte durch seine derzeitige Tätigkeit das Konkurrenzverbot verletze. Weiter sei der Beklagte im Sinne einer Teilklage zur Bezahlung eines vorläufigen Schadenersatzes von Fr. 6'000.-- zu verpflichten. Das Arbeitsgericht Zürich hiess mit Urteil vom 31. Juli 2000 das Feststellungsbegehren gut, wies jedoch das Schadenersatzbegehren ab. Auf Appellation des Beklagten und Anschlussappellation der Klägerin bestätigte das Obergericht des Kantons Zürich diesen Entscheid am 16. August 2001. C.- Dagegen gelangte der Beklagte mit Berufung an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die vollständige Abweisung der Klage. Die Klägerin schliesst auf Abweisung des Rechtsmittels und Bestätigung des obergerichtlichen Urteils. 