Sachverhalt: A. X._ (geb. 1973) und Z._ (geb. 1974) haben am xxxx 1995 geheiratet. Aus der Ehe gingen die Söhne S._ (geb. xxxx 2001) und T._ (geb. xxxx 2003) hervor. Im Oktober 2007 trennte sich das Ehepaar. B. B.a Am 21. November 2007 erliess der Bezirksgerichtspräsident Hinterrhein eine Eheschutzverfügung. Darin stellte er die Kinder unter die Obhut der Mutter und teilte dieser die eheliche Wohnung zu. Er regelte das Besuchs- und Ferienrecht des Vaters, verurteilte diesen zur Bezahlung eines Unterhaltsbeitrages und ordnete die Gütertrennung an. Auf Gesuch von Z._ errichtete die Vormundschaftsbehörde eine Besuchsrechtsbeistandschaft. B.b Am 2. April 2009 beantragte Z._ dem Bezirksgerichtspräsidenten, ihm die Obhut über die beiden Söhne per sofort zu übertragen, da sich seine Ehefrau seit mehreren Tagen in Untersuchungshaft befinde. Mit Verfügung vom 3. April 2009 wies der Richter dieses Gesuch ab, da man X._ gleichentags aus der Untersuchungshaft entlassen hatte. B.c Die Parteien machten am 20. Juli 2009 ein gemeinsames Scheidungsbegehren rechtsanhängig. Am 6. August 2009 ersuchte der Vater erneut darum, die Obhut über die Kinder ihm zuzuteilen, weil die Mutter ein zweites Mal in Untersuchungshaft versetzt worden sei. In Abänderung der Eheschutzverfügung vom 21. November 2007 stellte die Bezirksgerichts-Vizepräsidentin Hinterrhein die Kinder noch am selben Tag superprovisorisch unter die elterliche Obhut von Z._. B.d In der Folge lehnte das Bezirksgerichtspräsidium Hinterrhein ein Gesuch von X._ um superprovisorische Umteilung der Obhut ab und holte beim Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienst Graubünden ein Gutachten zur Frage der Obhutszuteilung ein. Am 12. Februar 2010 erliess der Bezirksgerichtspräsident Hinterrhein vorsorgliche Massnahmen im Ehescheidungsverfahren. Er teilte die Obhut wieder der Mutter zu, ordnete das Besuchs- und Ferienrecht des Vaters und verpflichtete beide Eltern zur Bezahlung von Unterhaltsbeiträgen bis zum bzw. ab dem Zeitpunkt der Vollstreckbarkeit der Verfügung. C. C.a Gegen die Verfügung des Bezirksgerichtspräsidiums legten beide Eltern beim Bezirksgerichtsausschuss Hinterrhein Beschwerde ein (Eingaben vom 5. und 8. März 2010). Z._ beantragte, die Kinder unter seiner Obhut zu belassen, das Besuchsrecht von X._ zu regeln und diese mit Wirkung ab 1. August 2009 zur Bezahlung von Unterhaltsbeiträgen zu verpflichten. X._ verlangte, ihr Ehemann sei mit Wirkung ab Vollstreckbarkeit des Entscheides zur Bezahlung von Unterhaltsbeiträgen zu verpflichten und sie selbst sei für die Zeit, in der sich die Kinder in der Obhut des Vaters befinden, von jeglichen Unterhaltszahlungen zu befreien. Überdies stellte sie ein Ausstandsbegehren gegen die Bezirksgerichts-Vizepräsidentin U._. C.b Am 10. März 2010 wurde der Beschwerde des Vaters superprovisorisch die aufschiebende Wirkung erteilt. Mit prozessleitender Verfügung vom 7. April 2010 bestätigte die Bezirksgerichts-Vizepräsidentin diese Anordnung. Sie verweigerte der Beschwerde der Mutter die aufschiebende Wirkung, vereinigte die beiden Beschwerdeverfahren und bestimmte die zu erhebenden Beweismittel. In einem Beiurteil vom 22. März 2010 wies der Bezirksgerichtsausschuss Hinterrhein das Ausstandsbegehren gegen die Bezirksgerichts-Vizepräsidentin ab. Unter deren Vorsitz fällte der Bezirksgerichtsausschuss am 19. Juli 2010 das Urteil. Er hiess beide Beschwerden teilweise gut. Unter teilweiser Aufhebung der Verfügung vom 12. Februar 2010 und in Abänderung der Eheschutzverfügung vom 21. November 2007 bzw. der superprovisorischen Verfügung vom 6. August 2009 stellte er die beiden Söhne unter die Obhut des Vaters und räumte der Mutter ein Besuchs- und Ferienrecht ein. Des Weiteren erteilte das Gericht dem Beistand zusätzliche Aufträge und verurteilte X._ für die Zeit vom 1. August bis 31. Dezember 2009 sowie mit Wirkung ab 1. August 2010 zur Bezahlung von Unterhaltsbeiträgen. D. Mit Beschwerde vom 6. September 2010 gelangt X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, das Urteil des Bezirksgerichtsausschusses Hinterrhein vom 19. Juli 2010 mit Ausnahme der Verpflichtung zur Bezahlung von Unterhaltsbeiträgen für die Zeit vom 1. August bis 31. Dezember 2009 aufzuheben und die beiden Kinder S._ und T._ unter ihre Obhut zu stellen; Z._ (nachfolgend Beschwerdegegner) sei zu verpflichten, an den Unterhalt der Kinder einen Beitrag von je Fr. 770.-- zuzüglich allfälliger Kinderzulagen zu bezahlen, und es sei ihm ein übliches Besuchs- und Ferienrecht einzuräumen. Eventuell sei der angefochtene Entscheid zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Schliesslich ersucht die Beschwerdeführerin darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen und ihr für das Verfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Der Beschwerdegegner schloss auf Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung, verlangte umfassende Akteneinsicht und ersuchte um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bezirksgericht Hinterrhein verzichtete auf eine Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung. Mit Verfügung vom 27. September 2010 wies das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab und liess dem Beschwerdegegner die kantonalen Akten und die Beschwerdebeilagen zur Einsicht zustellen. 