Sachverhalt: A. A.a M._ (Mutter) und V._ (Vater) sind die Eltern von T._ (26. Dezember 2005) und S._ (4. Mai 2007). Während der Ehe wurden die Kinder zur Hauptsache vom Vater betreut. Am 19. September 2011 verliess die Mutter zusammen mit den beiden Kindern die eheliche Wohnung und reichte am 13. Oktober 2011 beim Einzelgericht im summarischen Verfahren des Bezirksgerichts G._ ein Begehren um Erlass von Eheschutzmassnahmen und Anordnung vorsorglicher Massnahmen ein. A.b Mit Urteil vom 7. Dezember 2011 stellte die angerufene Instanz die beiden Kinder für die Dauer des Getrenntlebens unter die Obhut des Vaters und regelte die hier nicht strittigen weiteren Massnahmen. B. Die Mutter gelangte gegen diesen Entscheid mit Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich mit dem Begehren um Zuteilung der Obhut über die Kinder. Des Weiteren ersuchte sie darum, der Berufung aufschiebende Wirkung zu erteilen, soweit ihr diese nicht von Gesetzes wegen zukomme. Dieses Gesuch wies der Präsident des Obergerichts mit Verfügung vom 26. März 2012 ab. C. Die Mutter (Beschwerdeführerin) hat gegen diese ihr am 27. März 2012 in voller Ausfertigung zugestellte Verfügung am 26. April 2012 (Postaufgabe) beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie beantragt, die Verfügung vom 26. März 2012 aufzuheben und das Obergericht anzuweisen, ihrer Berufung gegen das erstinstanzliche Massnahmenurteil aufschiebende Wirkung zu gewähren. Des Weiteren ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren; in prozessualer Hinsicht beantragt sie ausserdem, der Beschwerde in Zivilsachen aufschiebende Wirkung zu verleihen. D. Mit Verfügung vom 14. Mai 2012 ist der Beschwerde entgegen dem Antrag des Vaters (Beschwerdegegner) aufschiebende Wirkung zuerkannt worden. E. Der Beschwerdegegner hat sich am 10. August 2012 vernehmen lassen; die Beschwerdeführerin hat am 17. August 2012 repliziert und hat am 22. August 2012 ein Novum geltend gemacht. Der Beschwerdegegner hat am 23. August 2012 dupliziert. 