(Verwaltungsgerichtsbeschwerden gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn [VWG/ADM/00/94] vom 21. März 2001), hat sich ergeben: A.- Am 21. Januar 1997 eröffnete die Motorfahrzeugkontrolle des Kantons Solothurn gegen A._ ein Administrativverfahren, weil er im September und Oktober 1996 ein Fahrzeug gelenkt hatte, obwohl ihm am 4. Juni 1996 der Führerausweis für elf Monate entzogen worden war. Das Administrativverfahren wurde bis zum rechtskräftigen Abschluss des parallel geführten Strafverfahrens sistiert. Mit Schreiben vom 12. März 1997 forderte die Administrativbehörde das Untersuchungsrichteramt auf, ihr die Untersuchungsakten nach rechtskräftiger Erledigung zuzustellen. Am 11. Juni 1997 wurde A._ wegen Fahrens trotz Entzugs des Führerausweises schuldig gesprochen und zu einer bedingten Haftstrafe von drei Wochen sowie zu einer Busse von Fr. 500.-- verurteilt. Der Strafentscheid wurde der Administrativbehörde jedoch nicht mitgeteilt. Mit Gesuch vom 30. August 2000 forderte die Administrativbehörde das Untersuchungsrichteramt erneut auf, ihr die Akten nach rechtskräftiger Erledigung des Strafverfahrens zukommen zu lassen, was dann am 7. September 2000 geschah. Nach Gewährung des rechtlichen Gehörs entzog die Administrativbehörde mit Verfügung vom 15. Dezember 2000 A._ den Führerausweis für sechs Monate. B.- Auf Beschwerde von A._ hin reduzierte das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn die Entzugsdauer auf drei Monate. C.- Das Bundesamt für Strassen führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag, das vorinstanzliche Urteil sei aufzuheben und der Führerausweis sei A._ für sechs Monate zu entziehen. D.- Ebenfalls Verwaltungsgerichtsbeschwerde führt A._, mit den Anträgen, die Verwaltungsgerichtsbeschwerde des Bundesamtes für Strassen sei abzuweisen und auf den Entzug des Führerausweises sei ganz zu verzichten. Eventuell sei der Führerausweisentzug auf höchstens zwei Monate zu befristen. Ausserdem stellt er das Gesuch, ihn von der Kostenvorschusspflicht zu entbinden. E.- Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn beantragt unter Hinweis auf sein schriftliches Urteil die Abweisung der Beschwerde des Bundesamtes für Strassen; zur Beschwerde von A._ äussert es sich nicht, da es bezüglich dieser Beschwerde nicht zur Vernehmlassung eingeladen worden ist. 