Faits: A. A._ a déposé une plainte contre le psychiatre chargé par une juridiction civile d'expertiser son épouse dans le cadre d'une procédure matrimoniale opposant les conjoints. La Commission de surveillance des professions de la santé et des droits des patients et patientes de l'Etat de Fribourg (ci-après: la Commission de surveillance), par décision du 29 mai 2012, a retenu que le plaignant n'avait pas la qualité de partie dans le contexte d'une procédure de dénonciation au sens de la législation cantonale sur la santé, au motif qu'il n'était pas le patient du professionnel de la santé mis en cause; elle a informé ce dernier qu'aucune suite ne serait donnée à sa dénonciation. La IIIe Cour administrative du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg (ci-après: le Tribunal cantonal) a confirmé cette décision par arrêt du 3 mai 2013. Par arrêt du 22 août 2013 (cause 2C_537/2013), le Tribunal fédéral a rejeté dans la mesure de sa recevabilité le recours formé par A._ contre cet arrêt cantonal. Après avoir relevé le caractère prolixe du recours, le Tribunal fédéral a considéré en particulier que les juges cantonaux n'avaient pas versé dans l'arbitraire en refusant d'assimiler la situation du recourant à celle d'un patient et en déniant à celui-ci la qualité de partie dans le cadre de la dénonciation du psychiatre mandaté pour expertiser son épouse. La demande de révision que A._ a déposée contre l'arrêt 2C_537/2013 a été rejetée, dans la mesure de sa recevabilité, par arrêt du 4 octobre 2013 (cause 2F_19/2013). A ce titre, le Tribunal fédéral a, en particulier, déclaré irrecevable la demande de récusation que le requérant avait formulée à l'encontre des juges fédéraux et greffier à l'origine de l'arrêt du 22 août 2013, de même que les arguments qu'il invoquait en lien avec ses droits de la personnalité et la protection des données. B. Le 10 mars 2014, A._ a demandé une nouvelle fois la révision de l'arrêt 2C_537/2013 du Tribunal fédéral (cause 2F_4/2014) et a formé également une demande de récusation, en se référant notamment à des requêtes déposées au titre de deux autres affaires pendantes devant le Tribunal fédéral (causes 2C_980/2013 et 2C_981/2013). Il sollicite en outre la suspension, par mesures provisionnelles, de deux causes actuellement pendantes devant le Tribunal cantonal, l'annulation de "tous les arrêts rendus en relation au dossier 2C_537/2013" ainsi que le renvoi de la cause à l'autorité compétente pour nouvelle décision. A._ conclut par ailleurs à ce qu'il soit renoncé à percevoir une avance de frais. Il n'a pas été ordonné d'échange des écritures. C. Par courrier du 15 mars 2014, A._ a prié le Tribunal fédéral de l'informer en détail à propos de la composition de la cour amenée à statuer dans la cause 2F_4/2014. Il l'a en outre invité à procéder à l'examen des "art. 29 al. 1 LTF, art. 34 LTF ainsi que de la qualification de partie du soussigné" dans un délai de trois jours, ainsi que d'indiquer et justifier le délai dans lequel il statuerait. 