Faits: A. D._, né en 1961, a obtenu en 1979 un certificat fédéral de capacité de serviceman dans le domaine automobile. Dès 1985, il a travaillé en qualité de livreur-monteur de meubles jusqu'en 1997, année où il s'est retrouvé au chômage. En 1999, il a subi une cure de hernie discale L5-S1 gauche. A cette époque, il a ouvert avec son épouse une boutique de prêt-à-porter, où il a été gestionnaire de stock. La réapparition de douleurs lombaires a entraîné une incapacité totale de travailler en décembre 2005; une spondylodèse transforaminale L5-S1 a été pratiquée en mars 2006. Le 12 septembre 2006, D._ s'est annoncé à l'assurance-invalidité. Le docteur R._, spécialiste en médecine physique et rééducation, a attesté que la capacité de travail était nulle dans les anciennes activités de serviceman et de livreur-monteur de meubles, de 50 % en tant que vendeur dans un magasin d'habits avec gestion du stock, et de 75 % dans une activité adaptée respectant les limitations fonctionnelles (rapport du 25 août 2008). Par décision du 30 octobre 2008, faisant suite à un projet du 13 juin 2008, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (l'office AI) a rejeté la demande; compte tenu du revenu annuel de 47'085 fr. (moyenne des trois dernières années) qu'il aurait pu réaliser en 2006 sans atteinte à la santé, D._ ne présentait pas un taux d'invalidité susceptible d'ouvrir le droit à une rente. B. D._ a déféré cette décision au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel (aujourd'hui : Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public) dont il a demandé l'annulation, en concluant principalement à l'octroi d'une rente, subsidiairement au renvoi de la cause à l'office AI. La juridiction cantonale a fixé le revenu annuel sans invalidité à 45'500 fr. (3'500 x 13) en se fondant sur le questionnaire pour employeur du 21 octobre 2006 (boutique). La comparaison de ce gain avec un revenu d'invalide de 36'833 fr., établi sur la base des statistiques de l'Enquête suisse sur la structure des salaires 2006 en tenant compte d'une capacité de travail de 75 % dans une activité adaptée et d'un abattement de 15 %, a mis en évidence une perte de gain de 19 %, entraînant le rejet du recours (jugement du 18 mai 2010). C. D._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, avec suite de frais et dépens, en concluant à l'octroi d'une rente d'invalidité. L'office intimé et l'Office fédéral des assurances sociales ont renoncé à se déterminer. 