Sachverhalt: A. A.a In der von Y._ (im Folgenden: Beschwerdegegner) gegen X._ (im Folgenden: Beschwerdeführer) angestrengten Betreibung Nr. 0000000 stellte das Betreibungsamt Muri am 7. Mai 2007 dem Schuldner den Zahlungsbefehl über Fr. 27'826.-- nebst Zins zu. Grund der Forderung bilden Verfahrenskosten für die Urteile des Bezirksgerichts Zürich vom 2. September 2003 und 25. August 2005, des Obergerichts Zürich vom 23. August 2004 und 7. Juni 2006, des Kassationsgerichts Zürich vom 25. August 2005 sowie des Bundesgerichts vom 1. Dezember 2006. Der Schuldner erhob Rechtsvorschlag und der Gläubiger stellte beim Bezirksgericht Muri das Gesuch um definitive Rechtsöffnung. A.b Am 1. November 2007 erteilte der Präsident des Bezirksgerichts Muri dem Beschwerdegegner in der Betreibung Nr. 0000000 die definitive Rechtsöffnung für Fr. 27'826.-- nebst Zins. A.c Der Beschwerdeführer gelangte an das Obergericht des Kantons Aargau und beantragte u.a., es sei das klägerische Gesuch um Erteilung der definitiven Rechtsöffnung abzuweisen. Im Falle der Abweisung des Begehrens um unentgeltliche Rechtspflege sei vorgängig eines Entscheides in der Sache ein prozessleitender Entscheid zu erlassen. Mit Entscheid vom 23. Januar 2008 wies das Obergericht das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege ab und verurteilte den Beschwerdeführer, innert 10 Tagen seit Zustellung dieses Entscheids einen Kostenvorschuss von Fr. 600.-- zu bezahlen. B. B.a Mit Eingabe vom 10. März 2008 hat der Beschwerdeführer die Sache an das Bundesgericht weitergezogen und beantragt im Wesentlichen, den obergerichtlichen Entscheid aufzuheben und die Vorinstanz anzuweisen, die vom Bevollmächtigten für den Beschwerdeführer einbezahlte Kaution von Fr. 600.-- zurückzuerstatten. Sodann ersucht er, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren. Mit Präsidialverfügung vom 13. März 2008 wurde das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.Mit Verfügung des Instruktionsrichters vom 21. April 2008 wurde der Beschwerdeführer aufgefordert, die Eingaben vom 10. März 2008 persönlich zu unterzeichnen, da sein bevollmächtigter Vertreter nicht Anwalt sei und das Anwaltsmonopol in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen auch für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gelte (zur Publikation bestimmtes Urteil 5D_139/2007 vom 10. April 2008, E. 1.2). Die Beschwerdeschrift ist persönlich unterzeichnet worden. Vernehmlassungen wurden nicht eingeholt. 