Sachverhalt: Das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich lehnte das Gesuch des 1960 geborenen, ledigen G._ um Ergänzungsleistungen ab (aufgrund der Verhältnisse Stand November 2008; mit Einspracheentscheid vom 30. April 2009 bestätigte Verfügung vom 25. November 2008). Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hob den Einspracheentscheid auf und wies die Sache an die Verwaltung zurück, damit sie über den Anspruch von G._ auf Zusatzleistungen im Sinne der Erwägungen neu verfüge (Entscheid vom 31. Mai 2011). Das Amt für Zusatzleistungen führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben. G._ (Beschwerdegegner) und das kantonale Gericht verzichten auf eine Vernehmlassung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen schliesst auf Gutheissung der Beschwerde. 