(Art. 13b ANAG), hat sich ergeben: A.- Der ursprünglich nach eigenen Angaben aus Uganda stammende nigerianische Staatsangehörige O._ (geb. 1977) reiste am 14. September 2000 illegal in die Schweiz ein und ersuchte hier um Asyl. Am 22. August 2001 verurteilte ihn das Strafeinzelgericht 13 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen wegen mehrfacher Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz zu 60 Tagen Gefängnis (unbedingt); gleichzeitig verwies es ihn für fünf Jahre des Landes (ebenfalls unbedingt). B.- Am 15. Oktober 2001 verfügte der Regierungsstatthalter I von Bern, dass die gegen O._ angeordnete Landesverweisung auf dessen Entlassung aus dem Strafvollzug hin vollstreckt werde. Für den Fall, dass dies nicht fristgerecht geschehen könne, nahm er O._ in Ausschaffungshaft. Das Haftgericht III Bern-Mittelland (Haftrichter 4) prüfte und bestätigte diese an seiner Sitzung vom 22. Oktober 2001 (mit schriftlicher Begründung vom 26. Oktober 2001). C.- O._ hat hiergegen am 17. November 2001 beim Bundesgericht Verwaltungsgerichtsbeschwerde eingereicht mit dem Antrag, ihn freizulassen. Die Haft sei unverhältnismässig und entbehre eines Haftgrunds; im Übrigen entsprächen die Haftbedingungen nicht den gesetzlichen Anforderungen. Das Haftgericht III Bern-Mittelland (Haftrichter 4) und der Regierungsstatthalter I von Bern beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Das Bundesamt für Ausländerfragen hat sich nicht vernehmen lassen. O._ hat von der Möglichkeit, ergänzend Stellung zu nehmen, keinen Gebrauch gemacht. 