Sachverhalt: A. E._, geboren 1950, stand seit 1. September 1995 in den Diensten der Bank X._, dies als Kundenbetreuer KMU mit Verantwortung auch von Kreditentscheiden (Arbeitgeberbericht vom 5. April 2011). Am 5. Januar 2011 erlitt er einen zerebro-vaskulären Insult (Austrittsbericht des Kantonsspitals Y._ vom 24. Januar 2011, welcher im Weiteren eine hypertensive Herzkrankheit mit massivster Hypertrophie des linken Ventrikels sowie eine Niereninsuffizienz ausweist). Am 15. März 2011 reichte er bei der IV-Stelle Uri die Anmeldung für Erwachsene (berufliche Integration/Rente) ein. Die IV-Stelle klärte die Verhältnisse in medizinischer und beruflicher Hinsicht ab. Am 19. April 2011 teilte sie dem Versicherten mit, dass vorerst der medizinische Rehabilitationsverlauf abzuwarten und anschliessend berufliche Massnahmen zu prüfen seien. Gemäss Anfrage an den Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) vom 3. November 2011 bleibt die bisherige Tätigkeit als Bankbeamter wegen der verbleibenden mittelschweren neuropsychologischen Defizite eingeschränkt; eine Rückkehr wurde nicht empfohlen. Jedoch möchte der Versicherte noch bis Ende 2011 zur Arbeit zurückgehen, um sich vor seiner Frühpensionierung (ebenfalls Ende 2011) von seiner Arbeitsumgebung zu verabschieden. Dazu nahm der RAD wie folgt Stellung: "Die Rehabilitation dürfte gemäss den medizinischen Eckdaten noch nicht abgeschlossen sein, schliesslich erhält der Versicherte ja auch noch Therapien (Physio-/Ergotherapie, s.a. IV-Verlaufsbericht v. 10.09.2011). (...) massgebliche Fortschritte punkto einer relevanten Verbesserung der Arbeitsfähigkeit in der zuletzt ausgeübten Tätigkeit sind jedoch eher fraglich. Aufgrund der plausiblen neuropsychischen Defizite (...) ist eine volle Arbeitsunfähigkeit als Bankangestellter (Kundenberater im Kreditwesen) plausibel, auf die Aussagen im Bericht des Kantonsspitals Z._ vom 12.09.2011 kann bis auf Weiteres abgestützt werden. Angesichts der anstehenden Frühpensionierung dürften sich berufliche Eingliederungsmassnahmen erübrigen, zumal der Versicherte sich ja bereits seit Mitte August soweit als möglich selbst eingliedert. In einer angepassten Tätigkeit kann somit seit diesem Zeitpunkt eine 80%ige Arbeitsfähigkeit errechnet werden. Interessant wäre allerdings das Leistungsniveau und welche Tätigkeit konkret, vor allem im Vergleich zu früher, ausgeübt wird." Gestützt auf diese RAD-Angaben führte die IV-Stelle einen Einkommensvergleich durch, welcher bei einem Valideneinkommen von Fr. 142'922.- und einem Invalideneinkommen von Fr. 69'132.- zu einem Invaliditätsgrad von 52 % führte. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach die IV-Stelle E._ mit Wirkung ab 1. Januar 2012 eine halbe Invalidenrente in Form einer ordentlichen maximalen Vollrente von Fr. 1160.- zu (Verfügung vom 19. April 2012). B. E._ erhob hiegegen Beschwerde an das Obergericht des Kantons Uri mit dem Rechtsbegehren, es sei ihm, unter entsprechender Abänderung der angefochtenen Verfügung, eine ganze Invalidenrente zuzusprechen. Die IV-Stelle liess sich dahingehend vernehmen, es sei, in Aufhebung der Verfügung vom 19. April 2012, festzustellen, dass der Versicherte keinen Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung habe; eventualiter sei die Beschwerde abzuweisen. Dazu gewährte das Gericht dem Versicherten das rechtliche Gehör, worauf dieser mit Eingabe vom 6. Juli 2012 am Beschwerdeantrag festhielt. Das Obergericht hiess die Beschwerde gut, hob die angefochtene Verfügung auf und sprach E._ ab 1. Januar 2012 eine ganze Invalidenrente zu (Entscheid vom 16. November 2012). C. Die IV-Stelle erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben; die Sache sei an das Obergericht zurückzuweisen, damit es über die Beschwerde gegen die Verfügung vom 19. April 2012 neu entscheide; eventualiter sei festzustellen, dass der Versicherte keinen Anspruch auf eine Invalidenrente habe. Während Obergericht und Bundesamt für Sozialversicherungen von einer Vernehmlassung absehen, lässt E._ die Abweisung der Beschwerde beantragen. 