Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 22. Dezember 2009 bestätigte die IV-Stelle des Kantons Zürich den fortwährenden Anspruch der 1949 geborenen H._ auf eine Viertelsrente bei einem Invaliditätsgrad von 49 %. B. Am 1. Februar 2010 erhob der von H._ mandatierte Rechtsanwalt lic. iur. Sebastian Lorentz im Namen seiner Klientin beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Beschwerde mit den Rechtsbegehren, die Verwaltungsverfügung sei aufzuheben, seiner Mandantin seien die "gesetzlichen Leistungen" zuzusprechen und die unentgeltliche Prozessführung unter seiner Verbeiständung zu gewähren. In prozessualer Hinsicht seien ihm einerseits die vollständigen Akten zuzustellen und andererseits eine angemessene Frist ab Erhalt der Akten zur ergänzenden Beschwerdebegründung anzusetzen. Mit Entscheid vom 10. Februar 2010 hat das kantonale Gericht das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege abgewiesen, während es auf die Beschwerde nicht eingetreten ist. C. H._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Begehren, der vorinstanzliche Nichteintretensbeschluss sei aufzuheben und ihr die unentgeltliche Prozessführung und Rechtsvertretung zu gewähren. Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde, das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung. 