Sachverhalt: A. Der Kanton Appenzell Innerrhoden holte im Einladungsverfahren bei zwölf Firmen Offerten für ein elektronisches Archivsystem ein. In die Schlussevaluation kamen vier Anbieter, darunter die Y._ AG, St. Gallen, und die X._ GmbH, Zürich. Im Auftrag von Landammann und Standeskommission erteilte der Ratschreiber den Zuschlag für das elektronische Archivsystem am 25. Februar 2005 zum Preis von Fr. 243'396.-- an die Y._ AG. Die X._ GmbH, deren Offerte unberücksichtigt blieb, erhob hiegegen am 6. März 2005 Beschwerde beim Kantonsgericht (Abteilung Verwaltungsgericht). Das Gericht befand, die Beschwerde genüge den gesetzlichen Anforderungen nicht und räumte der X._ GmbH Frist ein, um die Rechtsschrift zu verbessern. Dies tat die Beschwerdeführerin mit Eingabe vom 22. März 2005, worauf der Kantonsgerichtspräsident der Beschwerde mit Verfügung vom 24. März 2005 zunächst aufschiebende Wirkung gewährte. Diese Verfügung hob er am 12. April 2005 wieder auf und entzog der Beschwerde die aufschiebende Wirkung, wogegen sich die X._ GmbH bis vor Bundesgericht zur Wehr setzte. Die am 25. April 2005 gegen diesen Zwischenentscheid des Kantonsgerichtspräsidenten erhobene staatsrechtliche Beschwerde blieb jedoch ohne Erfolg; sie wurde vom Geschäftsverzeichnis abgeschrieben, nachdem sich herausgestellt hatte, dass der Vertrag mit der berücksichtigten Konkurrentin, der Y._ AG, bereits am 15./22. April 2005 abgeschlossen worden war (vgl. Beschluss 2P.116/2005 vom 24. Mai 2005, insbesondere E. 1). B. Inzwischen hatte die X._ GmbH ihre Beschwerde beim Kantonsgericht noch einmal ergänzt und erneut um aufschiebende Wirkung nachgesucht (Eingabe vom 19. April 2005 [Postaufgabe]), welches Begehren vom Gericht am 22. April 2005 mangels Rechtsschutzinteresse als hinfällig erklärt wurde. Auch in der Hauptsache blieb die Beschwerde der X._ GmbH ohne Erfolg: Mit Urteil vom 6. September 2005 trat das Kantonsgericht des Kantons Appenzell Innerrhoden (Abteilung Verwaltungsgericht) darauf nicht ein. C. Mit Eingabe vom 7. Oktober 2005 führt die X._ GmbH staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht mit dem sinngemässen Antrag, das Urteil des Kantonsgerichts vom 6. September 2005 aufzuheben. Sodann sei festzustellen, dass der Vergabeentscheid nicht korrekt bzw. die Zuschlagsverfügung vom 25. Februar 2005 rechtswidrig sei. Der Ratschreiber des Kantons Appenzell Innerrhoden hat sich im Auftrag von Landammann und Standeskommission vernehmen lassen, ohne einen konkreten Antrag zu stellen. Das Kantonsgericht Appenzell Innerrhoden beantragt Abweisung der Beschwerde. Die Y._ AG hat auf Vernehmlassung verzichtet. D. Mit Verfügung vom 28. Oktober 2005 hat der Abteilungspräsident dem von der Beschwerdeführerin gestellten Gesuch um aufschiebende Wirkung (betreffend die Verurteilung zur Leistung einer Parteientschädigung an die Y._ AG) entsprochen. 