Sachverhalt: A. Der 1967 geborene Q._ war seit 1. Dezember 2003 bei der Metzgerei S._ im Aussendienst bzw. in der Hotelrichterei beschäftigt. Am 6. Februar 2009 meldete er sich bei der IV-Stelle des Kantons Graubünden zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung an unter Hinweis auf einen am 13. Dezember 2007 erlittenen Unfall. Die IV-Stelle klärte die medizinischen und erwerblichen Verhältnisse ab. Sie nahm zahlreiche medizinische Berichte zu den Akten und beauftragte ein Servizio Accertamento Medico (SAM) mit einer Begutachtung (Gutachten vom 7. Oktober 2009). Am 3. Februar 2011 erteilte die IV-Stelle Q._ Kostengutsprache für ein Arbeitstraining im C._ vom 1. Februar bis 31. März 2011. Sie richtete Taggelder aus, über deren Höhe am 1. April und am 10. Mai 2011 entschieden wurde. Diese Taggeldverfügungen sind Gegenstand des Beschwerdeverfahrens 9C_149/2013. Vorbescheidsweise stellte die IV-Stelle den Verzicht auf weitere berufliche Massnahmen in Aussicht. Dagegen erhob Q._ Einwände. Am 9. August 2011 verfügte die IV-Stelle, dass die beruflichen Massnahmen abgeschlossen seien. B. Beschwerdeweise liess Q._ das Rechtsbegehren stellen, die Verfügung vom 9. August 2011 sei vollumfänglich aufzuheben. Es sei ihm Umschulung im Sinne von Art. 17 IVG zu gewähren und die IV-Stelle zu verpflichten, auch weitergehende berufliche Massnahmen wie Arbeitstraining, Arbeitsvermittlung etc., soweit nach der Umschulung erforderlich, zu prüfen und zu gewähren. Eventualiter sei die Sache zur Prüfung beruflicher Massnahmen (Umschulung, Arbeitsvermittlung, Berufsberatung, Arbeitstraining etc.) an die IV-Stelle zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden wies die Beschwerde ab (Entscheid vom 28. August 2012, mitgeteilt am 11. Januar 2013). Nach Urteilsfällung, aber vor Mitteilung des Beschwerdeentscheides, hat die IV-Stelle weitere Akten, darunter einen Ermittlungsbericht der A._ mit drei Observations-DVD, vorgelegt. C. Q._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, die Verfügung der IV-Stelle vom 9. August 2011 sowie Dispositiv-Ziffern 1 und 2 des kantonalen Entscheides vom 28. August 2012 seien vollumfänglich aufzuheben. Es sei ihm Umschulung im Sinne von Art. 17 IVG zu gewähren und die IV-Stelle zu verpflichten, auch weitergehende berufliche Massnahmen wie Arbeitstraining, Arbeitsvermittlung etc., soweit nach der Umschulung erforderlich, zu prüfen und zu gewähren. Eventualiter sei die Sache zur weiteren Abklärung, insbesondere des medizinischen Sachverhaltes an die IV-Stelle, subeventualiter an die Vorinstanz, zurückzuweisen. Die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens in der Höhe von Fr. 700.- seien der IV-Stelle aufzuerlegen und diese sei zu verpflichten, ihm eine Parteientschädigung von Fr. 7'652.- zu bezahlen. Das kantonale Gericht und die IV-Stelle schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. 