Sachverhalt: A. Der 1964 geborene F._ war selbständigerwerbender Maler. Wegen verschiedener Beeinträchtigungen im Bereich der inneren Organe, des Rückens und der unteren Extremitäten sowie wegen Kreislaufbeschwerden, Sehproblemen und einer eingeschränkten Feinmotorik meldete er sich am 6. Dezember 2010 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug (berufliche Massnahmen, Rente) an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich kam zum Schluss, es liege keine Invalidität vor (Verfügung vom 10. Oktober 2011). B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Entscheid vom 26. Juni 2013). C. F._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und es sei ihm eine Invalidenrente zuzusprechen. Eventuell sei die Sache an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit dieses weitere medizinische Abklärungen veranlasse. Ausserdem beantragt er die unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Rechtsvertretung). Die IV-Stelle, das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme. 