Sachverhalt: A. Die IV-Stelle des Kantons Zürich sprach der 1965 geborenen P._ mit Wirkung ab 1. August 1999 eine halbe Rente der Invalidenversicherung zu (Einspracheentscheid vom 3. September 2004). Im Jahre 2008 bestätigte sie ihren Anspruch revisionsweise (Mitteilung vom 23. Juli 2008). Im Juli 2010 machte P._ eine Verschlechterung ihres gesundheitlichen Zustandes geltend und beantragte die erneute revisionsweise Überprüfung des Rentenanspruches. Vorbescheidsweise stellte die IV-Stelle die Abweisung des Rentenerhöhungsgesuches in Aussicht. Nach Einholung weiterer medizinischer Unterlagen hielt sie daran fest (Verfügung vom 13. Oktober 2011). B. Die von P._ mit dem Antrag auf Zusprache einer höheren Invalidenrente erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich gut, hob die Verfügung vom 13. Oktober 2011 auf und stellte fest, dass die Versicherte für die Zeit ab 1. Juli 2010 Anspruch auf eine Dreiviertelsrente hat (Entscheid vom 14. März 2013). C. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und die Verfügung der IV-Stelle sei zu bestätigen. Die Versicherte schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die IV-Stelle verzichtet auf eine Vernehmlassung und verweist auf die Beschwerde des BSV. D. Mit Verfügung vom 8. Juli 2013 hat die Instruktionsrichterin der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. 