Sachverhalt: A. A.a In einem Schreiben vom 30. November 1999 erklärten Z._ und seine Ehefrau Y._, der B._ AG in Zürich den Betrag von Fr. 294'047.73 zuzüglich Zins zu 5 % auf Fr. 260'000.-- ab 1. Januar 2001 solidarisch schuldig zu sein. A.b Am 21. November 2007 schloss die B._ AG eine Vereinbarung mit X._. Danach erwarb dieser alle Aktiven der Gesellschaft und verpflichtete sich zur Übernahme ausgewählter Passiven und zur Bezahlung eines Kaufpreises. B. B.a Gestützt auf die erwähnten beiden Urkunden betrieb X._ Z._ mit Zahlungsbefehl vom 21. Juli 2009 für den Betrag von Fr. 260'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 1. Januar 2001 (Betreibung Nr. xxxx des Betreibungsamtes Thalwil). Der Betriebene erhob Rechtsvorschlag. Darauf verlangte X._ provisorische Rechtsöffnung (Eingabe vom 25. September 2009). Mit Verfügung vom 7. Dezember 2009 erteilte ihm der Einzelrichter im summarischen Verfahren am Bezirksgericht Horgen die provisorische Rechtsöffnung für Fr. 254'835.20 sowie für die beantragten Zinsen und Kosten. B.b Mit Eingabe vom 31. Dezember 2009 klagte Z._ vor dem Bezirksgericht Horgen gegen X._ auf Aberkennung der Forderung. Ebenso erhob er am 11. Januar 2010 gegen den Rechtsöffnungsentscheid vom 7. Dezember 2009 Nichtigkeitsbeschwerde bei der III. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Diese hob die erstinstanzliche Verfügung vom 7. Dezember 2009 auf und wies das Rechtsöffnungsbegehren von X._ ab (Sitzungs-Erledigungsbeschluss vom 1. Juni 2010). C. Mit Beschwerde vom 20. August 2010 gelangt X._ (fortan: Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, der Entscheid der III. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich sei aufzuheben und die Erteilung der provisorischen Rechtsöffnung gemäss der Verfügung des Bezirksgerichts Horgen vom 7. Dezember 2009 zu bestätigen; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht stellt der Beschwerdeführer das Begehren, das vorliegende Verfahren sei mit dem gleichentags beim Bundesgericht eingeleiteten Beschwerdeverfahren gegen Y._, der Ehefrau von Z._, (fortan: Beschwerdegegner), betreffend den entsprechenden Sitzungs-Erledigungsbeschluss der III. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 1. Juni 2010 zu vereinigen. Mit Verfügung vom 23. August 2010 hat das Bundesgericht das Gesuch um Verfahrensvereinigung abgewiesen. In der Sache wurden keine Vernehmlassungen eingeholt. 