Sachverhalt: A. Der 1976 geborene A._ war zuletzt als ungelernter Eisenleger in der Firma B._ tätig. Im Februar 2003 meldete er sich für berufliche Massnahmen bei der Invalidenversicherung an. Er verwies dabei auf seit einem am 14. Februar 2002 erlittenen Unfall bestehende gesundheitliche Beschwerden (Schmerzen an Kopf, Nacken, Hals, rechtem Bein und Rücken). Die IV-Stelle Bern gewährte Arbeitsvermittlung (Verfügung vom 16. März 2003) und veranlasste eine berufliche Abklärung an der Klinik E._ vom 12. Januar bis 12. März 2004 sowie eine Einarbeitung/Umschulung in der Stiftung Zentrum S._ vom 15. März bis 30. Juni 2004. Sie zog sodann die Akten der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA), dem für den Unfall vom 14. Februar 2002 zuständigen obligatorischen Unfallversicherer, bei und holte nebst weiteren Arztberichten ein MEDAS-Gutachten vom 6. Juli 2005 ein. Mit Verfügung vom 3. Mai 2006 sprach die IV-Stelle dem Versicherten rückwirkend ab 1. Februar 2003 eine bis 31. Juli 2005 befristete ganze Invalidenrente bei einem Invaliditätsgrad von 100 % zu. Die von A._ hiegegen erhobene Einsprache wies die IV-Stelle ab (Entscheid vom 11. Juni 2008). Zwischenzeitlich hatte die SUVA A._ mit Verfügung vom 20. Juli 2006 für die Folgen des Unfalls vom 14. Februar 2002 mit Wirkung ab 1. Juli 2006 eine Invalidenrente entsprechend einem Invaliditätsgrad von 40 % und eine Integritätsentschädigung auf der Basis einer Integritätseinbusse (aufgrund neuropsychologischer Defizite) von 35 % zugesprochen. Daran hielt der Unfallversicherer mit rechtskräftigem Einspracheentscheid vom 23. Mai 2008 fest. B. A._ erhob gegen den Einspracheentscheid vom 11. Juni 2008 Beschwerde mit dem Rechtsbegehren, die IV-Stelle sei zu verpflichten, ab 1. August 2005 eine halbe, mindestens aber eine Viertelsrente zu gewähren; eventuell seien obergutachterliche Abklärungen in einer MEDAS und Schlafklinik (mit einer neurologisch-neuropsychiatrischen und psychiatrischen Abteilung) anzuordnen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern gewährte A._ die unentgeltliche Rechtspflege und wies die Beschwerde ab. Dabei stellte es im Sinne einer (zuvor angekündigten) Schlechterstellung (reformatio in peius) fest, es bestehe lediglich vom 1. Februar 2003 bis 28. Februar 2005 Anspruch auf eine ganze Invalidenrente; ab 1. März 2005 sei keine Rentenberechtigung mehr gegeben (Entscheid vom 10. Dezember 2008). C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ sinngemäss seine vorinstanzlichen Rechtsbegehren erneuern. Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. 