Faits: A. G._, née en 1946, a travaillé en qualité d'infirmière au service de X._. A ce titre, elle était assurée contre le risque d'accidents auprès d'Alpina, Compagnie d'assurances SA (ci-après : Alpina). Le 1er février 2000, G._ a fait une chute à ski et s'est blessée au pouce gauche (entorse). Elle a d'abord été traitée par une immobilisation plâtrée. Souffrant de paresthésies et d'une enflure à la base du pouce, elle a consulté le docteur R._. Après une électroneuromyographie, ce médecin a constaté une rupture complète des structures capsulo-ligamentaires de l'articulation MP et pratiqué, le 23 mars 2000, une suture directe du ligament collatéral ulnaire ainsi qu'une décompression du nerf médian dans sa partie carpienne. Dans les suites opératoires, G._ a développé une algoneurodystrophie de la main gauche touchant surtout les 1er et 2ème doigts (rapport du 13 juillet 2000 de la Clinique de rééducation de l'Hôpital Y._; voir également le rapport du 25 juillet 2000 du docteur O._, neurologue). Malgré un traitement médicamenteux ciblé et des séances de physiothérapie passive, les douleurs ont persisté (rapport du 22 janvier 2001 du Centre de la douleur de l'Hôpital Y._). Suivie ensuite par la doctoresse E._, rhumatologue, G._ a fait l'objet de nombreuses investigations médicales (scintigraphies osseuses, échographie, radiographies, IRM). Alpina a pris en charge le cas et demandé une expertise au docteur J._, spécialiste FMH en chirurgie de la main. Ce médecin a retenu une maladie de Südeck (algodystrophie) ayant évolué vers un syndrome épaule-main avec une capsulite rétractile. Il en était résulté une baisse importante de la fonction de tout le membre supérieur. Selon lui, ces séquelles étaient permanentes. Il a estimé l'atteinte à l'intégrité à 15 % et fait état d'une incapacité de travail totale dans la profession d'infirmière (rapport du 22 juin 2001). Egalement appelée à se prononcer sur le cas par l'assureur-accidents, la doctoresse B._, spécialiste FMH en chirurgie de la main, est parvenue aux mêmes conclusions que son confrère, tout en évaluant l'atteinte à l'intégrité entre 40 et 45 pour cent. Elle a exclu l'existence de facteurs étrangers à l'accident du 1er février 2000 (rapport du 21 mars 2003). Le 19 août 2003, une mobilisation de l'épaule gauche sous narcose réalisée par le professeur H._ a permis d'obtenir une abduction jusqu'à 130° et une rotation interne/externe jusqu'à 10°. Mais trois jours plus tard, la situation est revenue au stade antérieur. Dans l'intervalle, l'assurée a été mise au bénéfice d'une rente d'invalidité entière avec effet au 1er juin 2002 (décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève du 8 mai 2002). En juin 2004, le portefeuille d'Alpina a été repris par Zurich, Compagnie d'assurances SA (ci-après : Zurich). Le nouvel assureur-accidents a décidé de confier une expertise au Centre Z._. Dans leur rapport du 9 mars 2005, les docteurs A._, U._ et R._, du Centre Z._, ont conclu à une impotence fonctionnelle du membre supérieur gauche d'origine psychogène (syndrome de conversion); il n'y avait pas de causalité naturelle avec l'accident, l'influence de facteurs étrangers («personnalité prémorbide») étant prédominante à 100 %. Sur cette base, Zurich a mis un terme aux prestations d'assurance - prise en charge du traitement médical et versement des indemnités journalières - avec effet au 31 mars 2005 (décision du 20 mai 2005). L'assurée a formé opposition contre cette décision et produit plusieurs rapports médicaux. Zurich a alors mandaté le professeur S._, de l'Hôpital V._, pour une nouvelle expertise (voir rapport du 30 novembre 2006). Ce médecin, assisté du professeur T._ et du docteur N._, psychiatre, a posé les diagnostics d'enraidissement des articulations du pouce gauche, d'algodystrophie ancienne du pouce gauche, d'enraidissement de l'épaule gauche d'origine non organique et de syndrome de conversion. Selon l'expert, l'ankylose du membre supérieur gauche n'était pas explicable au plan somatique et était influencée par des facteurs étrangers d'origine maladive (syndrome de conversion). Après avoir pris connaissance de cette expertise, l'assurée a transmis d'autres pièces médicales, notamment un avis du professeur C._, spécialiste en maladies rhumatismales, qui a retenu une algodystrophie séquellaire et réfuté les conclusions des experts de l'Hôpital V._ (rapport du 18 décembre 2007). Il s'en est suivi un échange d'opinion entre les professeurs S._ et C._ (cf. compléments d'expertise des 31 janvier, 26 juin, 30 juin 2008 et 22 juillet 2009 pour le premier nommé; réponses des 4 mars 2008 et 26 janvier 2009 pour le second nommé). Par décision sur opposition du 10 septembre 2009, Zurich a confirmé sa prise de position initiale en se référant aux expertises du Centre Z._ et de l'Hôpital V._. B. Saisi d'un recours de l'assurée contre cette dernière décision, le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales) l'a rejeté, par jugement du 1er juin 2010. C. G._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Elle conclut à ce que le droit à une rente d'invalidité entière lui soit reconnu par l'assureur-accidents dès le 1er avril 2005; subsidiairement, à ce que la cause soit renvoyée à l'autorité cantonale pour complément d'instruction sous la forme d'une expertise médicale. Zurich conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. L'Office fédéral de la santé publique ne s'est pas déterminé. 