Faits: A. A.a Les ressortissants russes X._ et Y._ (les demandeurs), tous deux domiciliés à Saint-Pétersbourg (Russie), sont, respectivement, directeur et secrétaire de la société D._ Holding Inc. (ci-après: D._), sise aux Iles Vierges Britanniques. En 1995, D._ a ouvert auprès de la Banque Z._ SA, (ci-après: la défenderesse ou la banque) un compte commercial destiné à des opérations d'import-export; les ayants droit économiques en étaient les demandeurs, qui avaient chacun un droit de signature individuelle sur ce compte. A.b Dès le début 1996, X._ et Y._ ont entretenu des relations d'affaires avec B._, également de nationalité russe et domicilié en Russie, cela dans le cadre d'un commerce de denrées alimentaires à destination de la Sibérie. Le 23 décembre 1996, X._ et B._ se sont rendus dans les locaux de la défenderesse où ils ont été reçus par C._, qui travaillait depuis le 1er février 1995 comme employé de ladite banque. X._ a présenté B._ comme un partenaire commercial de lui-même et de Y._. B._ a ouvert à son nom un compte nominatif en dollars américains (US $), avec procuration en faveur de son épouse et de sa fille, géré par C._. Le formulaire A que B._ a signé le même jour, exigé en vertu de la Convention de diligence des banques suisses (CDB), indique que le prénommé est le seul ayant droit économique des avoirs. Avec l'accord du titulaire, les relevés du compte ont été périodiquement adressés par la banque aux demandeurs, à charge pour ceux-ci de les remettre au destinataire. Le 10 février 1997, X._ et Y._ ont chacun ouvert un compte nominatif en US $ auprès de la défenderesse, géré par C._. De décembre 1996 à mars 2000, des ordres de virement, signés par X._ ou Y._, ont été exécutés par le débit du compte de D._ en faveur de celui de B._, pour un montant total de plus de 3 millions US $. Sous la rubrique "Motif du paiement", ces ordres portaient tous la mention "Invoice No" assortie de la date de la facture. Il a été retenu que les demandeurs et B._ se sont présentés à plusieurs reprises ensemble auprès de la banque pour s'enquérir de la situation du compte de ce dernier. Le 26 mai 1998, B._, toujours en présence de X._ et de Y._, a confié à la défenderesse un mandat de gestion sur son compte nominatif. A.c Le 4 mars 2000, C._, qui était devenu depuis le 1er janvier 2000 directeur adjoint de la défenderesse, a rencontré X._ et Y._ dans un hôtel de Saint-Pétersbourg. A cette occasion, ceux-ci ont déclaré à C._ que le 60 % des avoirs déposés sur le compte de B._ leur appartenait, à raison de 30 % chacun. C._ a alors remis à ses interlocuteurs deux formulaires A, l'un étant vierge, le second mentionnant les noms de B._, X._ et Y._, que les deux derniers devaient remettre pour signature au premier afin que la modification des ayants droit économiques du compte en cause puisse être opérée. C._ a encore transmis aux demandeurs un formulaire modifiant le profil de gestion du compte de B._, à faire parapher par celui-ci. Les demandeurs et C._ se sont entretenus le 20 mars 2000 dans les bureaux de la défenderesse à Genève. Les premiers ont restitué au second le formulaire de profil d'investissement, signé en blanc par B._, ainsi qu'un formulaire A concernant le compte du susnommé, muni de sa signature authentique. Sur ce document, C._ a mentionné de sa main le nom du titulaire, le numéro de compte, les ayants droit économiques, à savoir B._ pour 40 %, X._ et Y._ pour 30 % chacun, ainsi que le lieu et la date du 20 mars 2000, avant d'y apposer son paraphe et son timbre humide. C._ a toutefois informé X._ et Y._ que le formulaire A remis était insuffisant pour procéder au partage des avoirs du compte de B._ et qu'il fallait que l'intéressé ordonne lui-même l'opération. Au cours du même entretien, X._ et Y._ ont ouvert auprès de la défenderesse des comptes numériques en US $ et signé des mandats de gestion en faveur de la banque. Puis, C._ a rédigé le texte suivant sur un extrait du compte de B._: "Please split my portfolio according to % shares signed on the formulaire «A». 40 % of the portfolio stays under my a/c. The remaining 30 % to Mr X._, 30 % to Mr Y._". C._ a enfin invité X._ et Y._ à apposer leur signature sous ce texte; ces derniers se sont exécutés sans délai. A.d Le 24 mars 2000, C._ a fait opérer le transfert selon les instructions résultant de la pièce signée par les demandeurs. Le compte numérique de chacun de ces derniers a été crédité de 1'015'000 US $, somme correspondant aux 60 % des avoirs qui se trouvaient sur le compte de B._. Les avis de crédit adressés aux bénéficiaires spécifiaient, sous la rubrique «donneur d'ordre», le nom de B._ et, à titre de motif du paiement, indiquaient «Split portefeuille visite 21/03/2000». Il a été constaté que C._ avait conscience que le document qu'il avait fait signer aux demandeurs était dénué de portée juridique, mais qu'il pensait que le titulaire du compte débité approuverait ultérieurement l'ordre de transfert. Le même jour, C._ a complété le formulaire de «Profil d'investissement» que B._ avait signé en blanc, puis coché le type de gestion le plus risqué prévu par cette pièce. Les avoirs transférés sur les comptes numériques des demandeurs ont été immédiatement investis en titres. A.e Les relations entre les demandeurs et la défenderesse se sont poursuivies sans incident pendant près de six mois. Le 12 septembre 2000, B._, après une maladie de six mois, a téléphoné à C._ pour connaître le solde de son compte. Comme celui-là s'étonnait du montant indiqué, celui-ci a proposé de le rencontrer le lendemain à Moscou. Lors de cette entrevue, C._ a présenté à B._ le formulaire A et le «Profil d'investissement» portant la signature de ce dernier. B._ a alors affirmé n'avoir jamais signé de tels documents. Le 15 septembre 2000, X._ et Y._ ont chacun envoyé à la banque par télécopies un ordre de transfert - qui se montait à 1'090'214 US $ pour le premier et à 600'000 US $ pour le second - afin que les fonds déposés sur leurs comptes numériques soient virés en faveur du compte de D._. Ces ordres de transfert, confirmés par téléphones, puis par télex, n'ont pas été exécutés par la défenderesse. Le 15 septembre 2000, B._ a envoyé à C._ un courrier dont la teneur est la suivante: "Depuis (janvier 2000) et jusqu'à mon contact avec vous en août 2000 je n'ai eu aucune prise de contact avec vous. Je ne vous ai donné aucune instruction au sujet de la gestion de mes avoirs. Je n'ai pas donné non plus à personne des pouvoirs de disposer de mes actifs et de mes comptes. Je suis très surpris par les documents que vous m'avez remis. Je les vois pour la première fois de ma vie. Ce sont des faux. Ma signature sur ces documents est faussée illégalement. Votre exécution des opérations avec mes actifs sur mon compte est aussi illégale. (...) je suis l'unique propriétaire des actifs sur le compte _ conformément à notre échange de documents en janvier 2000. (...) Pour prouver que je n'ai pas signé les documents bancaires datés du 20.03.2000 et du 24.03.2000 et que je ne vous ai donné aucune instruction dans cette période, je vous communique les informations suivantes: 1. Du 3 au 27 février 2000, j'ai été en Israël pour une opération médicale; 2. Du 2 mars au 30 avril 2000 j'ai été sans interruption hospitalisé pour traitement dans une clinique à Tyumen; 3. Les personnes qui sont en possession du droit de signature sur mon compte, à savoir ma femme et ma fille, ont été (du 3 février 2000 au 30 avril 2000) en contact permanent avec moi ou ont été disponibles pour que vous les contactiez par téléphone (les numéros que vous avez n'ont pas changé et sont toujours opérationnels). Malgré ceci nous n'avons jamais reçu des appels de votre part". Par avis sans signatures datés du 19 septembre 2000, la défenderesse a informé les demandeurs qu'elle retirait de leurs dossiers un certain nombre de valeurs. Les titres retirés des comptes numériques des demandeurs, correspondant à ceux acquis au moyen des fonds virés du compte de B._ le 24 mars 2000, étaient évalués le 15 septembre 2000 à 978'770 US $ pour X._ et à 898'869 US $ pour Y._. Ces valeurs ont été transférées par la banque sur le compte de B._ le 21 septembre 2000. Ce même jour, la banque a avisé les demandeurs des transferts de valeurs effectués. La défenderesse a motivé l'extourne par le fait que B._ avait contesté avoir signé le formulaire A mentionnant que les avoirs de son compte étaient pour partie propriété de X._ et Y._, si bien que les montants s'y trouvant pouvaient être répartis entre les susnommés. Statuant le 26 septembre 2000, la Vice-présidente du Tribunal de première instance de Genève a rejeté deux requêtes de séquestre que X._ et Y._ avaient déposées le 22 septembre 2000, à concurrence de 1'796'550 fr. en capital, sur les avoirs que B._ détenait auprès de la défenderesse. Le 27 novembre 2001, la banque a licencié C._ pour des motifs liés à la présente cause et l'a libéré avec effet immédiat de son obligation de travailler. B. B.a Le 1er mai 2001, X._ et Y._ ont ouvert action contre la banque devant le Tribunal de première instance de Genève. X._ a conclu au paiement de 1'778'455 fr. 60 plus intérêts à 5 % dès le 15 septembre 2000 sur 1'727'355 fr. 60 correspondant à la différence entre l'état de fortune de son compte numérique au 14 septembre 2000 et le solde de ce compte après le "retrait" opéré par la banque le 21 septembre 2000, la somme de 51'100 fr. représentant une indemnité destinée à couvrir des frais judiciaires et d'avocat. Pour sa part, Y._ a conclu au paiement de 1'636'187 fr. 05 plus intérêts à 5 % dès le 15 septembre 2000 sur 1'580'087 fr. 05 correspondant à la différence entre l'état de fortune de son compte numérique au 14 septembre 2000 et le solde de ce compte après le "retrait" effectué par la banque le 21 septembre 2000, la somme de 56'100 fr. représentant une indemnisation pour les frais judiciaires et d'avocat encourus. La défenderesse a conclu à libération. Il a été procédé à de nombreuses enquêtes. B._, après avoir dans un premier temps accepté d'être entendu à la requête de la défenderesse, a fait savoir au Tribunal de première instance qu'il ne se rendrait pas à l'audience prévue pour son audition. La banque a alors renoncé à l'entendre. Par jugement du 21 avril 2005, le Tribunal de première instance a condamné la défenderesse à verser à X._ la somme de 1'734'224 fr. avec intérêts à 5 % dès le 15 septembre 2000 et à Y._ le montant de 1'592'652 fr. plus intérêts à 5 % dès le 15 septembre 2000. Le premier juge a admis que le comportement de C._, qui avait procédé aux transferts de fonds litigieux alors que l'absence d'instruction de B._ lui était connue, était opposable à la banque en vertu de l'art. 55 CC, de sorte que celle-ci ne pouvait invoquer ni l'erreur ni le dol pour justifier l'extourne de septembre 2000 ou répéter les montants sur la base des normes afférentes à l'enrichissement illégitime. De plus, ayant payé volontairement, la défenderesse n'était pas à même de se prévaloir de l'existence d'un dommage fondant l'action en dommages-intérêts instaurée par l'art. 402 al. 2 CO. Enfin, aucun abus de droit de la part des demandeurs n'entrait en ligne de compte. B.b Saisie d'un appel de la défenderesse, la Cour de justice du canton de Genève, par arrêt du 20 janvier 2006, a annulé le jugement précité et, statuant à nouveau, débouté tant X._ que Y._ de toutes leurs conclusions. Les motifs de cette décision seront exposés ci-après dans la mesure utile. C. X._ et Y._ exercent un recours en réforme au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal. Ils concluent à ce que la juridiction fédérale annule cette décision et, cela fait, condamne la défenderesse, d'une part, à verser à X._ la somme de 1'727'355 fr. 60 avec intérêts à 5 % l'an dès le 15 septembre 2000, soit la contre-valeur de 995'594 US $, d'autre part, à payer à Y._ le montant de 1'580'087 fr. 05 plus intérêts à 5 % l'an dès le 15 septembre 2000, soit la contre-valeur de 910'713 US $. L'intimée propose le rejet du recours et la confirmation de l'arrêt critiqué. 