Faits: A. Du 26 mai 2000 au 20 février 2001, X._ s'est rendu coupable en plusieurs occasions de vol, tentative de vol, crime manqué de vol, dommages à la propriété, utilisation frauduleuse d'un ordinateur, menaces, violation de domicile et contravention à la loi fédérale sur les stupéfiants. Cette activité délictueuse est en rapport avec un trouble mental. À l'époque, les experts psychiatres ont diagnostiqué une schizophrénie paranoïde continue ainsi qu'une dépendance à des substances psycho-actives. Par jugement du 14 août 2003, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de Lausanne a condamné X._ à quatorze mois d'emprisonnement ferme, sous déduction de 385 jours de détention préventive, révoqué les sursis dont étaient assorties diverses peines d'emprisonnement prononcées antérieurement contre lui pour des infractions de même nature et suspendu l'exécution de l'ensemble des peines au profit d'un internement au sens de l'art. 43 ch. 1 al. 2 aCP. B. Dans un premier temps, X._ a reçu ses soins psychiatriques en milieu pénitentiaire. Dans un rapport établi en 2007, la Commission interdisciplinaire concernant les délinquants nécessitant une prise en charge psychiatrique (ci-après: CIC) a noté qu'il évoluait favorablement et préconisé son placement dans un établissement médico-social (ci-après: EMS). Le 20 novembre 2007, X._ a été placé à l'EMS Z._, où il réside toujours actuellement. C. Le 26 novembre 2007, procédant à l'examen prescrit à l'art. VI ch. 2 al. 2 de la loi fédérale du 13 décembre 2002 modifiant la partie générale du code pénal (RO 2006 3459 3535), telle que modifiée par la loi fédérale du 24 mars 2006 (RO 2006 3539 3544), le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de Lausanne a ordonné le placement institutionnel de X._, en application de l'art. 59 CP, en lieu et place de l'internement au sens de l'art. 43 ch. 1 al. 2 aCP. Le tribunal a retenu, sur la base d'un rapport d'expertise établi le 21 novembre 2007 par deux médecins du Département Universitaire de Psychiatrie Adulte (ci-après: DUPA), que le processus d'évolution de X._ était lent et que les changements devaient rester progressifs. Il s'est rallié à l'avis des auteurs du rapport, qui recommandaient la poursuite d'une prise en charge psychiatrique intégrée dans un lieu de vie cadrant et soutenant, tel qu'un EMS, et qui considéraient que les conditions d'application de l'art. 59 CP étaient remplies. D. Par arrêt du 27 février 2008, la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud a confirmé ce jugement. E. X._ recourt au Tribunal fédéral contre ce dernier arrêt, dont il conclut à l'annulation . À titre préalable, il demande à être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire et à ce que l'exécution de l'internement soit suspendue. Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures. 