Sachverhalt: A. A._ (Beschwerdegegner) liess als Bauherr resp. Eigentümer die Liegenschaft Y._strasse in Z._ bauen. An den Bauarbeiten war unter anderen die Bauunternehmung X._ AG (Beschwerdeführerin) beteiligt. Gemäss eigenen Angaben des Beschwerdegegners habe er im Januar 2012 erste Schäden an der Liegenschaft festgestellt. B. Diese veranlassten den Beschwerdegegner, mit Eingabe vom 5. Juli 2012 beim Bezirksgericht Zürich ein Verfahren betreffend vorsorgliche Beweisführung anhängig zu machen. Mit Verfügung vom 6. November 2012 hiess das Einzelgericht das Gesuch gut und ordnete das Gutachten an. Nach Eingang des Gutachtens vom 11. April 2011 bzw. des Ergänzungsgutachtens vom 27. Mai 2013 schrieb das Einzelgericht das Verfahren mit Verfügung vom 26. Juni 2013 ab. Die Kosten- und Entschädigungsfolgen regelte es wie folgt: "2. Die Entscheidgebühr von Fr. 4'000.-- wird zur Hälfte dem Kläger [= Beschwerdegegner] und unter solidarischer Haftbarkeit für die andere Hälfte zu je einem Sechstel den Beklagten 1 [= Beschwerdeführerin], 2 und 4 auferlegt und aus dem vom Kläger geleisteten Vorschuss bezogen; dem Kläger wird im Umfang von Fr. 2'000.-- ein Rückgriffsrecht gegenüber den Beklagten 1, 2 und 4, unter solidarischer Haftbarkeit eingeräumt. Die Kosten für das Gutachten von Fr. 10'010.50 werden dem Kläger auferlegt. Die geleisteten Vorschüsse werden angerechnet. Vorbehalten bleibt ein Entscheid des Gerichts im ordentlichen Verfahren, der die beklagten Parteien zum Ersatz verpflichtet. 3. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen. Vorbehalten bleibt ein abweichender Entscheid des Gerichts im ordentlichen Verfahren." Dagegen erhob die Beschwerdeführerin Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich und beantragte die Aufhebung von Ziffer 2der Verfügung des Bezirksgerichts Zürich vom 26. Juni 2013, soweit ihr darin Gerichtskosten auferlegt wurden. Die Ziffer 2 sei so neu zu fassen, dass die der Beschwerdeführerin auferlegten Gerichtskosten dem Kläger auferlegt werden. Ferner beantragte sie die Aufhebung von Ziffer 3 der Verfügung des Bezirksgerichts vom 26. Juni 2013, soweit ihr keine Parteientschädigung zugesprochen wurde. Ziffer 3 sei so neu zu fassen, dass der Beschwerdegegner verpflichtet werde, der Beschwerdeführerin für die anwaltliche Vertretung im erstinstanzlichen Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 7'795.45 gemäss Kostennote vom 17. Juni 2013, allenfalls eine Parteientschädigung in richterlich festgesetzter Höhe, zu bezahlen. Vorbehalten bleibe ein abweichender Entscheid im ordentlichen Verfahren. Mit Urteil vom 6. August 2013 wies das Obergericht die Beschwerde ab. C. Die Beschwerdeführerin erhebt Beschwerde an das Bundesgericht und beantragt die Aufhebung des Urteils des Obergerichts vom 6. August 2013. Dieses sei wie folgt neu zu fassen: "1. In Gutheissung der Beschwerde wird Ziffer 2 der Verfügung des Bezirksgerichts Zürich vom 26. Juni 2013 aufgehoben, soweit darin der Beklagten 1 (Beschwerdeführerin) Gerichtskosten auferlegt wurden. Die der Beklagten 1 (Beschwerdeführerin) auferlegten Gerichtskosten werden dem Kläger (Beschwerdegegner) auferlegt. 2. Die Ziffer 3 der Verfügung des Bezirksgerichts vom 26. Juni 2013 wird aufgehoben, soweit der Beklagten 1 (Beschwerdeführerin) keine Parteientschädigung zugesprochen wurde, und wie folgt neu gefasst: Der Kläger (Beschwerdegegner) wird verpflichtet, der Beklagten 1 (Beschwerdeführerin) für die anwaltliche Vertretung im erstinstanzlichen Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 7'795.45 gemäss Kostennote vom 17. Juni 2013, allenfalls eine Parteientschädigung in richterlich festgesetzter Höhe, zu bezahlen. Vorbehalten bleibt ein abweichender Entscheid im ordentlichen Verfahren." Ferner beantragt sie, dass die Gerichtskosten des Obergerichtsverfahrens dem Beschwerdegegner auferlegt werden und dieser verpflichtet wird, der Beschwerdeführerin für das obergerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 1'511.--, allenfalls eine Parteientschädigung in richterlich festgesetzter Höhe, zu bezahlen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur neuen Festsetzung der Kosten an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der Beschwerdegegner beantragt, die Beschwerde vollumfänglich abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung. Die Beschwerdeführerin reichte eine Replik ein. 