Faits: Faits: A. A.a M._, né en 1954, sommelier de formation, a exploité depuis juin 1991 avec son épouse le café-restaurant X._. En sa qualité de restaurateur indépendant, il était affilié à la Caisse de compensation Gastrosuisse (Wirte), auprès de laquelle il a versé les cotisations personnelles AVS/AI/APG; à titre facultatif, il était assuré auprès de la « Zurich » Compagnie d'Assurances contre le risque d'accident professionnel et non professionnel. Le 26 janvier 1996, M._ a été victime d'une glissade dans les escaliers reliant le café à la salle à manger de l'établissement qu'il exploitait. Il a été transporté à l'Hôpital orthopédique Y._, où les médecins ont procédé à une réduction sanglante et ostéosynthèse par triple vissage d'une fracture Garden III du col fémoral gauche. L'évolution du cas a été défavorable dans le sens d'une nécrose post-traumatique de la tête fémorale gauche. La « Zurich » a pris en charge le cas et alloué à l'assuré les prestations dues pour les suites de l'accident (prestations pour soins et indemnités journalières). A.b Le 24 juillet 1996, M._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un rapport médical du 26 août 1997, le docteur W._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique et chef de clinique adjoint de l'Hôpital Orthopédique Y._, a indiqué qu'il était encore trop tôt pour déterminer l'incapacité définitive dans la profession de l'assuré. Selon un certificat médical du 12 décembre 1997, le patient présentait une capacité de travail de 33 % dès le 1er juillet 1997 et de 50 % depuis le 19 septembre 1997. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a procédé à une enquête économique pour les indépendants. Dans un rapport du 7 avril 1998, l'économiste a proposé d'évaluer l'incapacité de gain de l'assuré sur la base du taux médical de l'incapacité de travail. Dans un prononcé du 3 mai 1999, l'office AI a fixé le degré d'invalidité de l'assuré à 100 % à partir du 26 janvier 1997 et à 50 % depuis le 1er octobre 1997. Par décision du 9 septembre 1999, il a alloué à M._ pendant la période du 1er janvier au 30 septembre 1997 une rente entière d'invalidité, assortie d'une rente complémentaire pour son épouse et d'une rente pour enfant. Par une autre décision rendue le même jour, il lui a alloué une demi-rente d'invalidité à partir du 1er octobre 1997, assortie d'une demi-rente complémentaire pour son épouse et d'une demi-rente pour enfant. A.c La « Zurich » a confié une expertise médicale au docteur R._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique et traumatologie. Dans un rapport du 30 mars 1998, l'expert a posé le diagnostic de status un an et demi après la mise en place d'une prothèse totale, non cimentée, à la hanche gauche pour une nécrose post-traumatique de la tête fémorale. Ce médecin indiquait que dans deux à trois mois, le médecin traitant pourrait envisager de remettre le patient à 75 % de capacité de travail, taux maximum admissible dans sa profession. Dans une occupation partiellement assise et debout, sans charge, l'assuré pouvait travailler à 100 %. De son côté, le docteur W._ a évalué le taux d'incapacité de travail entre 25 et 50 %. La « Zurich » a admis une incapacité de travail de 50 % du 1er juillet 1998 au 6 janvier 1999 (décision sur opposition du 15 juin 1999). Par décision du 1er mai 2000, la « Zurich »a confirmé la fin de la prise en charge des frais de traitement et des indemnités journalières au 6 janvier 1999. Constatant que le revenu que M._ avait réalisé durant les années précédant l'accident du 26 janvier 1996 avait toujours été largement inférieur au gain d'invalide, elle a nié tout droit de l'assuré à une rente d'invalidité de l'assurance-accidents. Le 31 mai 2000, M._ a formé opposition contre cette décision. Par décision du 30 juin 2000, la « Zurich » a déclaré l'opposition irrecevable. Sur recours de l'assuré, le président du Tribunal des assurances du canton de Vaud, par jugement du 24 avril 2001, a annulé cette décision et renvoyé le dossier à la « Zurich » pour qu'elle entre en matière sur l'opposition et statue au fond. Par décision du 27 mai 2002, la « Zurich » a rejeté l'opposition formée par M._ contre la décision du 1er mai 2000. Le 31 mai 2000, M._ a formé opposition contre cette décision. Par décision du 30 juin 2000, la « Zurich » a déclaré l'opposition irrecevable. Sur recours de l'assuré, le président du Tribunal des assurances du canton de Vaud, par jugement du 24 avril 2001, a annulé cette décision et renvoyé le dossier à la « Zurich » pour qu'elle entre en matière sur l'opposition et statue au fond. Par décision du 27 mai 2002, la « Zurich » a rejeté l'opposition formée par M._ contre la décision du 1er mai 2000. B. Par jugement du 10 juin 2004, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a rejeté le recours formé par M._ contre cette décision. C. M._ interjette un recours de droit administratif contre ce jugement, en concluant, sous suite de dépens, à l'annulation de celui-ci et à l'allocation par la « Zurich » d'une rente d'invalidité à partir du 6 janvier 1999 pour une incapacité de gain de 50 %, le montant de la rente devant être fixé à dire de justice. Il sollicite l'assistance judiciaire gratuite. La « Zurich » Compagnie d'Assurances conclut au rejet du recours, dans la mesure où il est recevable. L'Office fédéral de la santé publique n'a pas déposé d'observations. 