Sachverhalt: A. Am 18. Juli 2011 ging beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern eine Klage des A._ (geb. 1946) gegen die Schweizerische Sozialpartner-Stiftung für die Auffangeinrichtung (Stiftung Auffangeinrichtung BVG) ein mit dem Rechtsbegehren, diese sei - unter Entschädigungsfolgen - zu verpflichten, die Austrittsleistung in der Höhe von Fr. 101'279.55 zuzüglich Zins (BVG-Mindestzinssatz + 1 %) mit Datum vom 8. Dezember 2008 zu erbringen. Eventualiter sei sie anzuweisen, das Freizügigkeitsguthaben in der Höhe von Fr. 101'279.55 an die Vorsorgestiftung C._ (BVG-Mindestzinssatz + 1 %) mit Datum vom 8. Dezember 2008 zu überweisen. Es wurde die Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels beantragt. Die Schweizerische Sozialpartner-Stiftung für die Auffangeinrichtung schloss auf Abweisung der Klage unter Kostenfolge. Des Weitern beantragte sie, es sei die Bank D._ zum Verfahren beizuladen und der Prozess zu sistieren bis zum Vorliegen des Entscheids in einem vor dem Bundesgericht hängigen Parallelverfahren. Der kantonale Instruktionsrichter gewährte A._ das rechtliche Gehör zu den von der Stiftung gestellten Verfahrensanträgen und sistierte anschliessend das Verfahren bis am 9. Mai 2012. Am 9. Mai 2012 edierte der Instruktionsrichter bei der Staatsanwaltschaft Kopien der den Bezug des Vorsorgeguthabens durch A._ betreffenden Akten (einschliesslich Einvernahmeprotokolle). Bei der Vorsorge E._ edierte er zudem sämtliche das Freizügigkeitskonto betreffenden Dokumente sowie einen kurzen Bericht darüber, wie es zur Überweisung des Freizügigkeitsguthabens an die Stiftung kam. Weiter ersuchte er die Einwohnergemeinde Z._ um die Zustellung aller Dokumente im Zusammenhang mit der Ausstellung der im Klageverfahren als Beweismittel eingereichten Wohnsitzbescheinigung sowie um eine kurze schriftliche Beantwortung der Frage, wem die Bescheinigung auf welchem Wege ausgestellt worden war und wer die Gebühr von Fr. 20.- entrichtet hatte. Die Schweizerische Post bat er um die Zustellung sämtlicher Dokumente zu den Nachsendeaufträgen, mit welchen die Post des A._ in der Zeit vom 19. November bis 13. Dezember 2008 an das Patronato F._ umgeleitet worden war, sowie um eine kurze schriftliche Beantwortung der Frage, ob die Umleitungen von A._ persönlich oder von einer Drittperson (persönlich oder brieflich) veranlasst worden waren und welche formellen Anforderungen für eine Umleitung bestehen. Nach Eingang der eingeforderten Unterlagen liess der Instruktionsrichter den Parteien Kopien derselben zukommen. Er setzte A._ Frist zu replizieren. Replicando hielt A._ an den gestellten Rechtsbegehren fest. Er ergänzte sie mit dem Antrag, das Verwaltungsgericht habe ein grafologisches Gutachten betreffend die Echtheit der Unterschriften auf der Vollmacht und dem Auszahlungsantrag vom 13. November 2009 (recte: 2008) in Auftrag zu geben. Duplicando hielt auch die Stiftung an ihrem Rechtsbegehren fest. In einer weiteren Eingabe regte sie weitere Abklärungen im Hinblick auf eine allfällige erneute Verfahrenssistierung an. Mit prozessleitender Verfügung vom 14. Mai 2013 wies der Instruktionsrichter die noch offenen Beweis- und Verfahrensanträge ab. Mit Entscheid vom 8. Oktober 2013 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Klage ab. Es erhob weder Verfahrenskosten noch sprach es eine Parteientschädigung zu. B. A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erheben mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und es sei die Stiftung zu verpflichten, ihm die Austrittsleistung in Höhe von Fr. 101'279.55, zuzüglich Zins (BVG-Mindestzinssatz + 1 %) mit Datum vom 8. Dezember 2008 zu erbringen; unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten der Beschwerdegegnerin. 