Sachverhalt: A. Am xx.xx.2008 starb der Künstler A._ (geb. 1925). Er hinterliess als gesetzliche Erben seine beiden Kinder X._ (geb. 1956) und Y._ (geb. 1972). Am 20. Juli 2005 hatte A._ eine öffentliche letztwillige Verfügung unterzeichnet (im Folgenden "Testament"). Diese wurde am 25. Juli 2008 eröffnet. In Ziffer 4 des Testaments bestimmte A._ den Rechtsanwalt Dr. B._ als seinen Willensvollstrecker, in Ziffer 2 bestätigte er seine beiden Kinder als alleinige Erben. Hinsichtlich seines künstlerischen Nachlasses hielt er in Ziffer 3 Folgendes fest: "3. Es liegt mir daran, dass mein künstlerischer Nachlass bestmöglich betreut wird. Ich erlasse dazu die folgenden Weisungen: 3.1 Z._, geb. xx.xx.1944, wohnhaft Strasse C._, D._, soll wie bisher auch weiterhin mein künstlerisches Werk betreuen. Sie soll Ausstellungen in Museen etc. organisieren, geeignete Galerien auswählen und auf der Basis der heute bestehenden Preisliste und aufgrund der jeweiligen Marktsituation und den bisherigen Verkaufsergebnissen die Verkaufspreise für meine Werke festlegen. Z._ soll auch für die logistischen Belange zuständig sein, das heisst für das Organisieren von Transporten, Beschaffung und Verwaltung geeigneter Aufbewahrungsorte etc. Z._ soll auch für die logistischen Belange zuständig sein, das heisst für das Organisieren von Transporten, Beschaffung und Verwaltung geeigneter Aufbewahrungsorte etc. 3.2 Die Betreuung meines Werkes durch Z._ sowie der Verkauf durch Dritte sollen gemäss den heutigen marktüblichen Ansätzen wie folgt honoriert werden: - Bei Direktverkauf durch Z._ erhält sie 40 % des Nettoverkaufspreises als Provision; - Bei Verkauf durch eine Galerie erhält die Galerie 40 % und Z._ 30 % des Nettoverkaufs preises; - Bei einem Verkauf durch ein Museum in der Schweiz erhält das Museum 22 % und Z._ 30 % des Nettoverkaufspreises; - Bei einem Verkauf, welchen meine Kinder vermitteln, erhält Z._ 30 % des Nettoverkaufspreises. Das bereits bestehende Konto bei der Bank E._, D._, mit welchem die Unkosten für die Betreuung des künstlerischen Werkes bezahlt werden (Miete, Lagerkosten, Transporte, Versicherungen etc.), soll beibehalten und durch Z._ verwaltet werden. 5 % des Nettoverkaufspreises für jedes Werk sollen auf dieses Konto einbezahlt werden. Sollte der Guthabensaldo des Kontos den Betrag von CHF 80'000.-- unter- bzw. überschreiten, ist der Satz von 5 % entsprechend zu erhöhen bzw. zu vermindern. Soweit der Nettoverkaufspreis die obigen Provisionen und den Beitrag an das Verwaltungskonto übersteigt, ist er je zur Hälfte an meine beiden Kinder auszubezahlen. Soweit der Nettoverkaufspreis die obigen Provisionen und den Beitrag an das Verwaltungskonto übersteigt, ist er je zur Hälfte an meine beiden Kinder auszubezahlen. 3.3 Schenkungen einzelner Werke an Museen oder ähnliche Institutionen können dann erfolgen, wenn meine beiden Kinder und Z._, so lange sie die Betreuung innehat, zustimmen. 3.3 Schenkungen einzelner Werke an Museen oder ähnliche Institutionen können dann erfolgen, wenn meine beiden Kinder und Z._, so lange sie die Betreuung innehat, zustimmen. 3.4 Meine beiden Kinder sind berechtigt, einzelne Werke für eigene Wohnzwecke wie eine " Leihgabe " zu beanspruchen. Soweit aber solche Werke verkauft werden, hat Z._ auch in diesem Fall Anspruch auf eine Provision von 40 %. 3.4 Meine beiden Kinder sind berechtigt, einzelne Werke für eigene Wohnzwecke wie eine " Leihgabe " zu beanspruchen. Soweit aber solche Werke verkauft werden, hat Z._ auch in diesem Fall Anspruch auf eine Provision von 40 %. 3.5 Z._ soll die Betreuung meines Werkes solange innehaben, als sie dazu bereit und in der Lage ist. Sollte ich nicht bereits eine Person als Nachfolger von Z._ bestimmt haben, soll Z._ ihren Nachfolger zusammen mit meinen beiden Kindern einvernehmlich bestimmen." B. B.a. In der Folge kam es zwischen A._s Erben und Z._ zum Zwist darüber, wie Letztere das Werk des Künstlers betreuen sollte. Nachdem sich die Parteien nicht verständigen konnten, beschritt Z._ den Rechtsweg und liess beim Kreisamt F._ am 20. März 2010 ein Vermittlungsbegehren einreichen. Nach erfolgloser Sühneverhandlung gelangte sie mit Klage vom 30. September 2010 an das Bezirksgericht G._. Sie stellte den Antrag, X._ und Y._ unter solidarischer Haftung zu verpflichten, ihr Fr. 200'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 1. Juni 2010 zu bezahlen. Dieses Begehren verband sie mit einem "Teilklagevorbehalt", mit dem sie sich ausdrücklich vorbehielt, nach Abschluss des Klageverfahrens weitere Ansprüche aus A._s Testament geltend zu machen. B.b. Nachdem die Erben eine erste Beweisverfügung des Bezirksgerichtspräsidenten erfolgreich beim Kantonsgericht von Graubünden angefochten hatten, fällte das Bezirksgericht am 31. Januar 2012 sein Urteil. Es nahm davon Vormerk, dass die Beklagten einen Anspruch von Z._ auf zwei Gouachen anerkennen, hiess die Klage teilweise gut und verurteilte X._ und Y._ unter solidarischer Haftung, der Klägerin Fr. 59'263.20 zuzüglich 5 % Zins seit 1. Juni 2010 zu bezahlen und ihr eine zusätzliche Gouache auszuhändigen. Die Kosten des Kreisamtes F._ und die Prozesskosten von Fr. 21'000.-- auferlegte das Bezirksgericht zu zwei Dritteln der Klägerin und zu einem Drittel unter solidarischer Haftung den Beklagten. Letzteren sprach es ausserdem eine Parteientschädigung von Fr. 67'828.35 zu. C. C.a. Z._ erhob Berufung beim Kantonsgericht von Graubünden. Sie reduzierte ihr Leistungsbegehren (Bst. B.a) auf Fr. 189'543.80 und hielt an ihrem Teilklagevorbehalt fest. X._ und Y._ erhoben Anschlussberufung und beantragten sinngemäss die Abweisung der Klage samt entsprechender Neuregelung der Kostenfolgen. C.b. Mit Urteil vom 12. Dezember 2013 hiess das Kantonsgericht beide Rechtsmittel teilweise gut und verurteilte X._ und Y._ in solidarischer Haftbarkeit, Z._ Fr. 84'407.-- zuzüglich 5 % Zins seit 1. Juni 2010 zu bezahlen. Im Übrigen wies es die Berufung und die Anschlussberufung ab. Die erstinstanzlichen Kosten auferlegte es neu zu einem Viertel der Klägerin und zu drei Vierteln unter solidarischer Haftbarkeit den Beklagten. Im gleichen Verhältnis verteilte das Kantonsgericht die Kosten des Berufungsverfahrens. Für das erstinstanzliche Verfahren sprach es Z._ im Ergebnis eine Entschädigung von Fr. 7'455.65 zu, nachdem es die Honorarnote von X._s Vertreter um insgesamt 110 Stunden gekürzt hatte. Für das Berufungsverfahren bestimmte es die Z._ geschuldete Entschädigung auf Fr. 4'500.--. D. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 3. Februar 2014 wenden sich X._ (Beschwerdeführerin 1) und Y._ (Beschwerdeführer 2) an das Bundesgericht. Sie beantragen, die Klage von Z._ (Beschwerdegegnerin) im Fr. 12'363.20 übersteigenden Betrag abzuweisen. Weiter stellen sie das Begehren, den anwaltlichen Aufwand der Beschwerdeführerin 1 für das erstinstanzliche Verfahren auf Fr. 82'278.77 festzulegen und die erst- und zweitinstanzlichen Prozesskosten im Verhältnis des Obsiegens und Unterliegens den Parteien aufzuerlegen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin lässt mit Eingabe vom 7. Mai 2014 beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. In gleicher Weise äussert sich das Kantonsgericht in seinem Schreiben vom 19. März 2014. Die Vernehmlassungen wurden den Beschwerdeführern zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt. 