Sachverhalt: A. Die X._ AG (Beschwerdegegnerin) betreibt in Q._ eine Klinik. Auf den 1. September 2007 stellte sie A._ (Beschwerdeführerin) als Geschäftsleitungsmitglied ein und übertrug ihr die Leitung des Ressorts Marketing und Organisation sowie Pflege und Therapie. Sie hatte den Geschäftsbetrieb neu zu strukturieren. Dies erwies sich als notwendig, da bisher Strukturen fehlten, der Betrieb schnell wuchs und Dr. B._ Chefarzt, Verwaltungsratsdelegierter und Aktionär in einer Person war. Im Sommer 2008 kam es zu Konflikten zwischen B._ und der Beschwerdeführerin, welche die Zusammenarbeit erschwerten. Mit Schreiben vom 27. August 2008 beschwerte sich die Beschwerdeführerin beim Verwaltungsrat über das die Mitarbeitenden verunsichernde und Ängste in Bezug auf den Arbeitsplatz auslösende Verhalten von B._, das ihr verunmögliche, ihre Aufgabe zu erfüllen. Sie erklärte, sie erwarte vom Verwaltungsrat umgehend einen klaren Vorschlag zur Lösung dieses unhaltbaren Zustands, und schilderte in der Folge beispielhaft einige Vorfälle aus dem Monat August 2008, welche das destruktive Verhalten von B._ veranschaulichen sollten. Die Beschwerdegegnerin leistete dieser Aufforderung keine Folge, sondern kündigte am 17. September 2008 das Arbeitsverhältnis auf den 31. Dezember 2008 und stellte die Beschwerdeführerin frei. B. Am 16. April 2009 klagte die Beschwerdeführerin beim Einzelrichter des Kantonsgerichts von Appenzell Ausserrhoden gegen die Beschwerdegegnerin auf Zahlung von Fr. 30'000.-- nebst Zins als Entschädigung wegen missbräuchlicher Kündigung. Der Einzelrichter wies die Klage am 9. Juli 2009 ab. Die von der Beschwerdeführerin erhobene Appellation wies der Einzelrichter-Stellvertreter des Obergerichts von Appenzell Ausserrhoden am 14. Juni 2010 ab. C. Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, den Entscheid des Einzelrichter-Stellvertreters aufzuheben und die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, ihr Fr. 30'000.-- nebst Zins zu bezahlen. Eventuell sei die Sache zu entsprechender Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz hat sich nicht vernehmen lassen. 