Faits: A. Le divorce des époux A.X._, né en 1952, et B.X._, née en 1957, a été prononcé par jugement du 7 mai 2009. Seul l'un de leurs six enfants était encore mineur à cette date. Le 3 novembre 2009, la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud a réformé le jugement de première instance. Elle a notamment condamné l'ex-époux à verser une contribution de 1'500 fr. pour l'entretien de son ex-épouse jusqu'au 31 juillet 2017. La charge fiscale de l'époux n'a pas été prise en compte dans le calcul du minimum vital servant de base au calcul de la pension. B. B.a. Le 23 juin 2011, l'ex-époux a déposé une demande en modification du jugement de divorce auprès du Président du Tribunal d'arrondissement de Lausanne, concluant à ce que la contribution d'entretien soit supprimée avec effet au 1 er juillet 2011. A l'appui de ses conclusions, il a notamment fait valoir que son employeur l'avait informé, par courrier du 29 mars 2011, du fait que son taux de travail serait réduit à 70% à compter du 1 er juillet 2011 pour des motifs économiques. Par jugement du 10 janvier 2013, le Président du tribunal d'arrondissement a partiellement admis la demande, en ce sens que l'ex-époux est le débiteur d'une contribution d'entretien de 1'000 fr. en faveur de son ex-épouse, dès et y compris le 1 er juillet 2011, et de 700 fr., dès et y compris le 1 er novembre 2012 et jusqu'au 31 juillet 2017. Pour le surplus, le jugement de divorce a été maintenu. B.b. Le 11 février 2013, l'ex-époux a formé appel de ce jugement. Il a conclu à la suppression de la contribution d'entretien et requis le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure de deuxième instance. La Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté l'appel par arrêt du 7 mars 2013, notifié aux parties le 4 avril 2013. Elle a en outre refusé l'assistance judiciaire, pour le motif que l'appel était dépourvu de chances de succès, et mis les frais judiciaires de deuxième instance, arrêtés à 600 fr., à la charge de l'ex-époux. C. Le 6 mai 2013, l'ex-époux dépose un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut principalement à la réforme de l'arrêt entrepris en ce sens que la contribution d'entretien est supprimée dès le 1 er juillet 2011, subsidiairement réduite à 270 fr. du 1 er juillet 2011 au 31 octobre 2012 et supprimée dès le 1er novembre 2012, que la requête d'assistance judiciaire est admise pour la procédure de deuxième instance, que Me Kathrin Gruber lui est désignée comme conseil d'office et que les frais judiciaires de deuxième instance sont laissés à la charge de l'Etat, voire mis à la charge de l'ex-épouse " qui versera un montant équitable à titre de dépens en cas d'admission de l'appe l ". Subsidiairement, il conclut à l'annulation de l'arrêt entrepris et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouveau jugement dans le sens des considérants. Le recourant requiert en outre l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. Des observations n'ont pas été requises. 