Sachverhalt: A. X._ und seine Frau wollen sich scheiden lassen. Am 11. Januar 2011 unterzeichneten die Parteien vor dem Bezirksgericht Luzern ein gemeinsames Scheidungsbegehren. Im Vorfeld fanden verschiedene Eheschutzverfahren statt (s. Urteile 5A_564/2010 vom 4. Oktober 2010 und 5A_150/2012 vom 28. März 2012). X._ strengte auch ein Massnahmeverfahren an. Ebenso bemühte er sich verschiedentlich um die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (s. die Urteile 5A_447/2012 und 5A_451/2012, beide vom 27. August 2012). Als Instruktionsrichter amtet Bezirksrichter Y._. B. Mit Gesuch vom 26. März 2012 wandte sich X._ an das Bezirksgericht Luzern und verlangte, Bezirksrichter Y._ habe im Scheidungsprozess in den Ausstand zu treten. Der Richter beantragte die Abweisung des Ausstandsbegehrens. Am 14. Juni 2012 wies der Einzelrichter am Bezirksgericht Luzern das Ausstandsgesuch ab. Erfolglos zog X._ die Sache an das Obergericht des Kantons Luzern weiter. Dieses wies sowohl seine Beschwerde als auch sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren ab (Entscheid vom 12. Juli 2012). C. X._ (Beschwerdeführer) wendet sich nun an das Bundesgericht. In seiner Beschwerde vom 14. August 2012 stellt er das Begehren, es sei der obergerichtliche Entscheid vom 12. Juli 2012 aufzuheben und "Herr lic. iur. Y._ im Scheidungsverfahren xxxx in den Ausstand zu treten". Weiter ersucht er für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Ausserdem sei für den Fall, dass das vorinstanzliche Urteil bestätigt wird, das Kostenerkenntnis zu revidieren und "die unentgeltliche Rechtspflege gutzuheissen". Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. 