(Zivilprozess; Beweiswürdigung; rechtliches Gehör), hat sich ergeben: A.- Im Zusammenhang mit einer zahnärztlichen Behandlung von Filomena Vacca durch Mario Montanari kam es zwischen den Parteien zu einer Auseinandersetzung in Bezug auf die Honorarforderung. Da Filomena Vacca (Beschwerdeführerin) eine Forderung in der Höhe von Fr. 1'989. 70 nicht bezahlte, ersuchte Mario Montanari (Beschwerdegegner) am 17. August 1998 die zuständige Behörde um Vermittlung. An der nachfolgend durchgeführten Sühneverhandlung konnte keine Einigung erzielt werden, da die Parteien einen Bericht der ebenfalls angerufenen zahnärztlichen Honorarprüfungskommission abwarten wollten. Die Parteien schlossen vor dieser Kommission am 5. Mai 1999 einen Vergleich. Mit Schreiben vom 20. Mai 1999 teilte die Beschwerdeführerin dem Vermittler des Kreises Davos mit, die Parteien hätten einen Vergleich geschlossen und es sei einzig noch über die Höhe und Verteilung der amtlichen und ausseramtlichen Kosten zu befinden. Gleichzeitig reichte der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin zwei Honorarnoten ein, deren Summe sich auf Fr. 1'546. 20 (inklusive einer Bearbeitungsgebühr der Honorarprüfungskommission von Fr. 30.--) belief. Da eine Einigung über die ausseramtlichen Kosten nicht zustande kam, verlangte der Beschwerdegegner beim Vermittler den Leitschein, der am 30. Juni 1999 ausgestellt, in der Folge aber nicht prosequiert wurde. Die Beschwerdeführerin beantragte am 23. November 1999 den Erlass eines Kostenentscheides im Zusammenhang mit der vom Beschwerdegegner eingereichten Klage und erhob ihrerseits Klage gegen den Beschwerdegegner. Am 15. Dezember 1999 wurde die Vermittlungsverhandlung im zweiten Verfahren durchgeführt. Im Anschluss daran reichte der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin am 4. Januar 2000 zwei überarbeitete Honorarabrechnungen ein. Die das vom Beschwerdegegner eingeleitete Verfahren betreffenden anwaltlichen Aufwendungen wurden mit Fr. 1'393. 30 in Rechnung gestellt. Die anwaltlichen Kosten des Verfahrens, welches durch die Beschwerdeführerin verursacht wurde, betrugen Fr. 504. 80. Die Beschwerdeführerin ersuchte den Vermittler zudem, für beide Verfahren je eine Abschreibungsverfügung zu erlassen. Der Beschwerdegegner teilte dem Vermittler am 28. Januar 2000 mit, der vom beklagtischen Rechtsvertreter in Rechnung gestellte Aufwand sei nicht angemessen. Am 22.2./1.3.2000 schlossen die Parteien den folgenden Vergleich: " Die Parteien vereinbaren basierend auf der Schlichtungsverhandlung der Honorarprüfungskommission vom 5. Mai 1999 und den Vermittlungen vom 10. September 1998 und vom 15. Dezember 1999 was folgt: 1. Herr Dr. Montanari führt die zahnärztliche Behandlung von Frau Vacca zu Ende. Er entfernt dabei die beanstandete Brücke oben links, versucht die Problematik mit einem Langzeitprovisorium zu lösen und fertigt bei günstigem Verlauf eine neue Brücke an. Aufgrund der zunehmenden Schmerzen von Frau Vacca ist der erste Behandlungstermin so rasch als möglich anzusetzen. 2. Frau Vacca akzeptiert die bisher gestellte Honorarrechnung von Dr. Montanari und verpflichtet sich, den Restbetrag von Fr. 1'989. 70 innert 10 Tagen nach gehörigem Abschluss der unter Punkt 1. genannten Behandlung oder nach allfälligem durch Frau Vacca verschuldetem Abbruch der Behandlung zu bezahlen. 3. (...) 4. Der Vermittler des Kreises Davos erlässt für die Klage von Herrn Dr. Montanari vom 17. August 1998 eine Abschreibungsverfügung gemäss den bei ihm befindlichen Unterlagen unter Kosten- und Entschädigungsfolge zulasten des Klägers. 5. Der Vermittler des Kreises Davos erlässt für die Klage von Frau Vacca vom 23. November 1999 eine Abschreibungsverfügung unter Kostenfolge für die Vermittlung zulasten der Klägerin. Er spricht dem an der Vermittlung nicht anwaltlich vertretenen Dr. Montanari für dessen eigenen Zeitaufwand eine Entschädigung von Fr. 150.-- zu." Der Vermittler des Kreises Davos erliess am 20. März 2000 in dem von der Beschwerdeführerin eingeleiteten Verfahren eine Abschreibungsverfügung, mit der er die Beschwerdeführerin verpflichtete, dem Beschwerdegegner eine Entschädigung von Fr. 150.-- sowie die Verfahrenskosten zu bezahlen. Für das vom Beschwerdegegner mit Klage vom 17. August 1998 eingeleitete Verfahren, welches nach der Ausstellung des Leitscheins am 30. Juni 1999 nicht prosequiert wurde, erliess der Vermittler gestützt auf Ziff. 4 des Vergleiches am 4. April 2000 eine als Kostendekret bezeichnete Verfügung, mit der er den Beschwerdegegner verpflichtete, der anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin eine Entschädigung von Fr. 554. 90 zu bezahlen und die Verfahrenskosten zu übernehmen. Zur Begründung dieses Entscheides führte der Vermittler aus, der vom Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin in Rechnung gestellte Aufwand von 6 Stunden und 10 Minuten sei überhöht. Er kürzte daher den Zeitaufwand und liess nur 4 Stunden und 49 Minuten zu. Die Kürzung begründete der Vermittler damit, ein Rechtspraktikant benötige für die Erledigung der verschiedenen Aufgaben mehr Zeit als ein erfahrener Anwalt. Er bestimmte in der Folge das Honorar auf Fr. 1'109. 80, inklusive Barauslagen und Mehrwertsteuer. Hievon belastete er den Beschwerdegegner mit der Hälfte, ausmachend Fr. 554. 90, weil er die Auffassung vertrat, die Bemühungen beider Parteien in beiden Verfahren hätten zu einer Einigung über die Honorarstreitigkeit beigetragen. B.- Gegen dieses Kostendekret reichte die Beschwerdeführerin beim Kantonsgerichtsausschuss von Graubünden Beschwerde ein. Sie beantragte dessen Aufhebung und eine Anwaltsentschädigung in der Höhe von Fr. 1'393. 30. Der Kantonsgerichtsausschuss wies die Beschwerde mit Urteil vom 6. Juni 2000 ab. Der Ausschuss, dessen Kognition auf Rechtsverletzung und willkürliche Tatsachenfeststellungen beschränkt ist, befand, der Vermittler habe sich über den von den Parteien abgeschlossenen Vergleich hinweggesetzt. Danach hätte der Beschwerdegegner die gesamten Parteikosten der Beschwerdeführerin tragen müssen, umso mehr als sich diese Lösung auch aus dem Prozessrecht im Falle der Nichtverfolgung des Prozesses durch den Kläger ergebe. Zu entschädigen sei aber geleistete Arbeit nur, soweit sie angesichts der objektiven Bedeutung der Streitsache notwendig und unumgänglich ist. Die Honorarrechnung vom 3.1.2000 enthalte zudem auch Positionen, die nicht in einem derartigen Zusammenhang mit dem Vermittlungsverfahren stehen, so etwa zwei Briefe und je ein Telefon mit Rechtsanwalt Wieser und Dr. Florin sowie einen Brief an die zahnärztliche Honorarprüfungskommission. Diese Aufwendungen gehörten zum Verfahren vor der Kommission, und nicht zum Vermittlungsverfahren. Weiter führte der Kantonsgerichtsausschuss aus, der für Anwälte geltende Stundenansatz von Fr. 200.-- rechtfertige sich für einen Rechtspraktikanten nur, wenn sein effektiver Arbeitsaufwand auf den üblicherweise von einem erfahrenen Anwalt benötigten Zeitaufwand reduziert werde. Ein Anwalt hätte nicht 6 Stunden und 10 Minuten für die notwendige und auf die Vermittlung bezogene Arbeit benötigt. Eine Entschädigung von Fr. 550.-- sei angemessen, weshalb der Entscheid des Vermittlers im Ergebnis zu schützen sei. C.- Gegen das Urteil des Kantonsgerichtsausschusses vom 6. Juni 2000 erhebt die Beschwerdeführerin staatsrechtliche Beschwerde und verlangt dessen Aufhebung. Der Kantonsgerichtsausschuss beantragt in seiner Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdegegner liess sich nicht vernehmen. 