Sachverhalt: A. Die 1962 geborene G._ arbeitete in einem Pensum von 80 % bei der Stationsreinigung der Stiftung A._ (Geriatriespital sowie Alters- und Pflegeheim) und war bei der Schweizerischen Mobiliar Vesicherungsgesellschaft AG (Mobiliar) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert. Am 1. September 2005 knickte sie beim Aussteigen aus dem Bus mit dem rechten Fuss ein und zog sich dabei ein Supinationstrauma des oberen Sprunggelenkes (OSG) zu. Die Versicherte suchte am Folgetag die Notfallstation des Spitals X._ auf. Sie konnte mit mässigen Schmerzen gehen; die Röntgendiagnostik zeigte weder eine frische ossäre Läsion noch eine Luxation. Eine wegen persistierenden Beschwerden am 16. Dezember 2005 vorgenommene MRI-Untersuchung ergab eine Läsion des Ligamentum fibulotalare anterius und des Ligamentum fibulocalcaneare. Am 16. Mai 2006 wurde durch Dr. med. R._, Spezialarzt FMH für orthopädische Chirurgie, eine arthroskopische fibulotalare Bandplastik am rechten OSG durchgeführt. Bis zu diesem Zeitpunkt ging G._ ihrer Erwerbstätigkeit in gewohntem Umfang nach. Nach dem Eingriff kam es zu einer interkurrenten Venenthrombose am rechten Unterschenkel und in der Folge zu einer diffusen Schmerzreaktion in beiden Handgelenken, Ellbogen, Knien und im Rücken. Die Versicherte nahm ihre Tätigkeit nicht mehr auf. Das Arbeitsverhältnis wurde aufgelöst. Die Mobiliar liess G._ durch Dr. med. S._, Facharzt für innere Medizin FMH (Gutachten vom 18. September 2006) und durch die Gutachterstelle Y._; Gutachten vom 29. Oktober 2007) untersuchen. Gestützt auf die daraus gewonnenen Erkenntnisse eröffnete die Unfallversicherung G._ mit Verfügung vom 13. März 2008, ab 1. Januar 2008 habe sie keinen Anspruch mehr auf Versicherungsleistungen. Wegen der mässigen Handgelenksarthrose rechts werde ihr eine Integritätsentschädigung von Fr. 8'010.- entsprechend 7,5 % der maximalen Entschädigung ausgerichtet. Daran hielt die Mobiliar auch auf Einsprache hin fest (Entscheid vom 19. November 2008). B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 26. August 2009 ab. C. G._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, es seien ihr in Aufhebung des Einspracheentscheides und des kantonalen Entscheides die Leistungen gemäss UVG, insbesondere Taggelder, eine Rente und Heilbehandlung sowie eine angemessene Integritätsentschädigung zu gewähren. Während die Mobiliar auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit (BAG) auf eine Vernehmlassung. 