Sachverhalt: A. Der 1967 geborene D._ war vom 9. März 1993 bis 31. Dezember 2001 Angestellter der Firma F._. In dieser Eigenschaft war er bei der Vorsorgestiftung X._ berufsvorsorgeversichert. Am 24. November 1998 hatte sich D._ bei der Arbeit eine Schulterluxation links zugezogen. Im Zeitraum Januar 1999 bis Dezember 2000 wurden drei Schulterarthroskopien und vom 22. August bis 5. September 2001 eine stationäre Schmerztherapie durchgeführt. Am 10. September 2001 wurde er psychiatrisch abgeklärt. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) richtete ihm für die ab 27. November 1998 attestierte Arbeitsunfähigkeit Taggelder und ab 1. Februar 2002 nebst einer Integritätsentschädigung von 10 % eine Invalidenrente auf Grund einer Erwerbsunfähigkeit von 25 % aus. Mit Verfügung vom 5. November 2004 sprach die IV-Stelle Basel-Stadt D._ für die Zeit vom 1. November 1999 bis 31. Januar 2002 eine ganze Rente, vom 1. Februar 2003 bis 30. April 2003 eine Viertelsrente sowie ab 1. Mai 2003 wieder eine ganze Rente der Invalidenversicherung samt Zusatzrente für die Ehefrau und zwei Kinderrenten zu. Die Verfügung wurde auch der Vorsorgestiftung X._ eröffnet. Mit Schreiben vom 18. Juni 2007 bejahte die Vorsorgestiftung X._ grundsätzlich eine Leistungspflicht für die Zeit vom 1. November 1999 bis 31. Januar 2002, nicht hingegen für die Zeit danach, da die nachfolgende Invalidität auf ein späteres nicht mit dem Unfall vom 24. November 1998 in Zusammenhang stehendes Leiden zurückzuführen sei. B. Am 31. August 2007 liess D._ beim Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, Klage gegen die Vorsorgestiftung X._ einreichen mit den Rechtsbegehren, die Beklagte sei zu verpflichten, folgende Leistungen auszurichten: Vom 1. Februar 2002 bis 31. Januar 2003 eine Rente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 25 %, sofern die reglementarischen Bestimmungen die Zusprechung einer Rente auch unter einem Invaliditätsgrad von 40 % vorsehen, vom 1. Februar 2003 bis 30. April 2003 eine Rente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 43 % und ab 1. Mai 2003 eine Rente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 100 %; ferner darüber Auskunft zu erteilen, wohin die Freizügigkeitsleistung überwiesen worden sei. Die Vorsorgestiftung X._ beantragte in ihrer Antwort die Abweisung des Rechtsmittels. Mit Entscheid vom 14. März 2008 wies das kantonale Gericht die Klage ab, soweit darauf eingetreten werden konnte. C. D._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 14. März 2008 sei aufzuheben und die Vorsorgestiftung X._ zu verpflichten, ihm für die Zeit vom 1. Februar 2002 (recte: 2003) bis 30. April 2003 eine Rente auf Grund eines Invaliditätsgrades von 43 % und ab 1. Mai 2003 eine Rente auf Grund eines Invaliditätsgrades von 100 % auszurichten. Die Vorsorgestiftung X._ beantragt die Abweisung der Beschwerde. Kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung. 