Sachverhalt: A. A.a. Die 1977 geborene O._ war Produktionsmitarbeiterin bei der Q._ AG und bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch unfallversichert. Am 15. oder 17. Januar 2008 (Schaden-Datum unpräzis) verletzte sie sich beim Ausrutschen auf einer Treppe. Deswegen suchte die Versicherte am 18. Januar 2008 Frau T._, Ärztin für Allgemeine Medizin, auf. Diese diagnostizierte im Zeugnis vom 29. Februar 2008 eine Kontusion des linken Handgelenks und linken Vorderarms mit konsekutiven Muskelverspannungen im Schulter-Nackenbereich links. Dr. med. R._, Handchirurgie FMH, diagnostizierte im Bericht vom 20. März 2008 eine kleine Läsion des TFCC im Bereich der radialen Insertion am Handgelenk links; weiter führte er aus, am 20. Februar 2008 sei der Versicherten zudem ein schweres Glas aus dem Schrank auf den Daumen gefallen; seit den Ereignissen vom 17. Januar und 20. Februar 2008 klage sie über persistierende Beschwerden im Handgelenk ulnarseits. Dr. med. M._, Leitender Arzt i.V. Rheumatologie, Klinik X._, diagnostizierte im Bericht vom 10. Juni 2008 ein Schulter-Armsyndrom links (Sturz am 15. Januar 2008 mit Anschlagen der linken Hand; protrahierte Schmerzen; kleiner Riss im TFCC linke Hand [MRI 18. März 2008]; Verdacht auf zusätzliche neuropathische Komponente). Der von der SUVA konsiliarisch beigezogene Dr. med. A._, Leitender Arzt Abteilung für Handchirurgie des Spitals Y._, diagnostizierte am 14. August 2008 ein Schmerzsyndrom nach Bagatelltrauma (Kausalgie) Handgelenk und Vorderarm links als Teilsymptom einer Algodystrophie (Sudeck). Die SUVA kam für die Heilbehandlung sowie das Taggeld auf und zog weitere Arztberichte bei. Mit Verfügung vom 16. September 2008 stellte sie die Leistungen auf dieses Datum hin ein, da keine objektivierbaren behandlungsbedürftigen Unfallfolgen vorlägen; dagegen erhob einzig der Krankenversicherer der Versicherten Einsprache, die er aber am 5. November 2008 zurückzog. A.b. Am 26. August bzw. 28. September 2009 meldete die Versicherte der SUVA einen Rückfall. Diese zog diverse Arztberichte und eine Aktenstellungnahme der Dres. med. V._, Facharzt für Chirurgie FMH, und B._, Facharzt für Neurologie FMH, und für Psychiatrie und Psychotherapie, beide SUVA Versicherungsmedizin, vom 18. Februar 2010 bei. Mit Verfügung vom 24. Februar 2010 eröffnete sie der Versicherten, sie könne auf die Gesuche um Wiedererwägung und prozessuale Revision der Verfügung vom 16. September 2008 nicht eintreten. Die Einsprache der Versicherten wies sie ab, soweit sie darauf eintrat (Entscheid vom 10. August 2010). Dagegen erhob die Versicherte beim Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen Beschwerde. Sie reichte ein für die IV-Stelle des Kantons St. Gallen erstelltes Gutachten der Dres. med. C._, Fachärztin FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, und K._, Facharzt FMH für Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, vom 31. Juli 2010 ein. Das kantonale Gericht wies die Beschwerde insoweit ab, als damit ein Rückkommen auf die Verfügung vom 16. September 2008 unter den Rückkommenstiteln der Wiedererwägung und prozessualen Revision verlangt werde; zur Verfügung über die Rückfallmeldung wies es die Sache an die SUVA zurück (Entscheid vom 17. August 2011); dieser Entscheid erwuchs unangefochten in Rechtskraft. A.c. In der Folge zog die SUVA eine Aktenstellungnahme der Dres. med. V._ und B._ vom 23. März 2012 bei. Mit Verfügung vom 2. April 2012 verneinte sie ihre Leistungspflicht. Die Einsprache der Versicherten wies sie ab, da die geklagten Handbeschwerden links nicht überwiegend wahrscheinlich als Rückfall zum Unfall vom 17. Januar 2008 zu qualifizieren seien; selbst wenn eine Rückfallkausalität zu bejahen wäre, wäre keine Rente geschuldet, da bei der Versicherten keine relevante Einschränkung der Leistungsfähigkeit vorliege, die eine Erwerbseinbusse zu Folge hätte (Entscheid vom 24. Mai 2012). B. Die gegen den letztgenannten Entscheid geführte Beschwerde wies das kantonale Gericht mit Entscheid vom 25. März 2013 ab. C. Mit Beschwerde beantragt die Versicherte, in Aufhebung des kantonalen Entscheides seien ihr die gesetzlichen Leistungen, insbesondere eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung zuzusprechen; eventuell sei die Sache zur ergänzenden medizinischen Abklärung und Prüfung der Rückfallkausalität an die SUVA zurückzuweisen. Ein Schriftenwechsel wurde nicht angeordnet. 