Sachverhalt: A. Der 1963 geborene B._, schweizerischer Staatsangehöriger und Bezüger einer Invalidenrente, meldete sich im November 2008 bei der Gemeinde X._, Durchführungsstelle für Zusatzleistungen zur AHV/IV, zum Bezug von Zusatzleistungen an. Gemäss Unterlagen war er ab 27. Mai 2007 in X._ wohnhaft, hatte davor mehrheitlich im Ausland gelebt und plante für die Zeit von Dezember 2008 bis Mai 2009 einen erneuten Aufenthalt in Asien. Mit Verfügung vom 20. November 2008 verneinte die Durchführungsstelle einen Anspruch auf kantonale Beihilfen und Gemeindezuschüsse, sprach B._ Ergänzungsleistungen mit Wirkung ab 1. Dezember 2008 zu und hielt gleichzeitig in lit. G der Verfügung fest, dass die Auszahlung an die Gemeindekasse X._ erfolge. Die gegen die Anordnung in lit. G der Verfügung gerichtete Einsprache lehnte die Durchführungsstelle ab (Entscheid vom 1. Dezember 2008). B. B._ erhob Beschwerde mit dem Antrag, lit. G der Verfügung sei aufzuheben und es seien ihm mit Wirkung ab Dezember 2008 kantonale Beihilfen sowie Gemeindezuschüsse zuzusprechen. Seinem gleichzeitig gestellten Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung gab das angerufene Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich statt (Verfügung vom 10. Februar 2009). Mit Entscheid vom 29. September 2010 wies das Gericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten stellt der nunmehr anwaltlich vertretene B._ das Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid und die Bestimmung lit. G der Verwaltungsverfügung (Auszahlung der Zusatzleistungen durch die Gemeindekasse) seien aufzuheben. Eventualiter sei festzustellen, dass er die Ergänzungsleistungen ab Dezember 2008 im Rahmen der Verwirkungsfrist des Art. 24 ATSG bei der Gemeindekasse abholen könne. Subeventualiter sei die Bestimmung in lit. G der Verfügung dahingehend abzuändern, dass die Auszahlung der Ergänzungsleistungen erst ab März 2009 durch die Gemeindekasse und vorher durch Post- oder Banküberweisung erfolge. Des Weitern ersucht er um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung). 