Sachverhalt: A. Der 1962 geborene R._ sel. war bei der Sammelstiftung Vita (nachfolgend: Sammelstiftung) für die berufliche Vorsorge versichert, als er 2010 verstarb. Er hinterliess u.a. seine Mutter S._ und seine Lebensgefährtin K._. Diese hatte er mit Mitteilung vom 8. Februar 2010 gegenüber der Sammelstiftung als begünstigte Person bezeichnet. Sowohl die Mutter als auch die Lebensgefährtin verlangten von der Sammelstiftung das Todesfallkapital; eine Einigung kam nicht zustande. B. Am 10. August 2011 erhob S._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage gegen die Sammelstiftung mit dem Rechtsbegehren, diese sei zu verpflichten, ihr Fr. 171'509.10 nebst Zins zu 5 % seit 16. Juli 2010 zu bezahlen. Die Sammelstiftung und die zum Verfahren beigeladene K._ beantragten die Abweisung der Klage. Das Sozialversicherungsgericht hiess die Klage mit Entscheid vom 15. Mai 2013 in Bezug auf das Todesfallkapital vollständig und in Bezug auf die Zinsen teilweise gut. C. K._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, es sei der Entscheid vom 15. Mai 2013 aufzuheben und die Klage der S._ abzuweisen. Ferner ersucht sie um aufschiebende Wirkung der Beschwerde. S._ lässt auf Abweisung des Rechtsmittels schliessen, soweit darauf einzutreten sei. Die Sammelstiftung und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme. 