Sachverhalt: A. B._ betrieb A._ (Beschwerdeführerin) mit Zahlungsbefehl vom 16. Januar 2007 für eine Forderung von Fr. 10'250.-- nebst Zins zu 5 % seit 31. Juli 2003 mit der Angabe des Forderungsgrundes "Darlehenszinsen gemäss Brief vom 18.07.2006". Nachdem die Beschwerdeführerin Rechtsvorschlag erhoben hatte, reichte B._ beim Bezirksgericht Laufenburg Klage ein. Er stellte das Begehren, dass die Beschwerdeführerin "50 % der Schulden von Fr. 170'000.-- = Fr. 85'000.-- anerkennt und die auf diesem Betrag angefallenen und geschuldeten Zinsen von Fr. 10'250.-- bezahlt". B. Die Beschwerdeführerin beantragte mit Eingabe vom 4. September 2007 die unentgeltliche Prozessführung unter Beiordnung von Rechtsanwältin Marianne Wehrli als unentgeltliche Rechtsvertreterin. Der Präsident des Bezirksgerichts Laufenburg wies mit Verfügung vom 5. Dezember 2007 das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege zufolge Aussichtslosigkeit ab. Zur Bedürftigkeit der Beschwerdeführerin äusserte er sich nicht. Dagegen erhob die Beschwerdeführerin Beschwerde an das Obergericht des Kantons Aargau und beantragte weiterhin die unentgeltliche Prozessführung unter Beiordnung von Rechtsanwältin Marianne Wehrli als unentgeltliche Rechtsvertreterin. Mit Entscheid vom 21. Januar 2008 wies das Obergericht die Beschwerde ab (Ziffer 1). Es erkannte, dass keine Verfahrenskosten erhoben und keine Parteikosten zugesprochen würden (Ziffer 2). Anders als die erste Instanz beurteilte das Obergericht die Begehren der Beschwerdeführerin nicht als aussichtslos. Auch anerkannte es zufolge des komplizierten Verfahrens die Notwendigkeit zur Bestellung eines Rechtsbeistandes. Jedoch verneinte es die Bedürftigkeit der Beschwerdeführerin. C. Die Beschwerdeführerin beantragt mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde, die Dispositiv-Ziffer 1 des Urteils des Obergerichts vom 21. Januar 2008 aufzuheben. Es sei ihr die umfassende unentgeltliche Rechtspflege im Forderungsprozess OZ.2007.10 vor Bezirksgericht Laufenburg zu genehmigen und Rechtsanwältin Marianne Wehrli als ihre unentgeltliche Rechtsvertreterin einzusetzen. Zudem sei die Dispositiv-Ziffer 2 des Urteils des Obergerichts aufzuheben und der Beschwerdeführerin für das Verfahren vor Obergericht die beantragte Parteientschädigung von Fr. 1'000.-- zuzusprechen. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner ersucht die Beschwerdeführerin um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege im Verfahren vor Bundesgericht. Die kantonalen Akten wurden beigezogen. Das Obergericht hat mit Schreiben vom 7. August 2008 auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde verzichtet. 