Faits: A. P._ SA et Z._ Sàrl ont conclu le 25 juillet 1998 un accord intitulé « contrat de distribution », par lequel celle-là se chargeait d'assurer, auprès de ses sociétés clientes, l'exploitation et la maintenance de logiciels de gestion d'entreprise appartenant à celle-ci. La durée de ce contrat était indéterminée et chaque partie pourrait le résilier en observant un délai de préavis d'une année pour la fin d'une année civile. Une clause compromissoire y était insérée, ainsi conçue: « Les éventuels litiges sont soumis à l'arbitrage. Le for juridique est Lausanne. » Par la suite, l'ensemble des actifs et passifs de P._ SA fut transféré à X._ SA. En été 2000, celle-ci considéra que l'activité de maintenance des logiciels n'était pas suffisamment rentable et elle décida d'y mettre fin. Une lettre de résiliation des contrats de maintenance fut adressée aux clients concernés, avec effet au 31 décembre 2000. Z._ Sàrl protesta vainement. Un accord fut trouvé pour deux clients seulement. Le 15 décembre 2000, X._ SA résilia le contrat de distribution du 25 juillet 1998 avec effet au 31 décembre 2001. B. Par requête du 24 juin 2004, Z._ Sàrl a requis le Président de la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois de désigner les membres du tribunal arbitral prévu par ce contrat; elle prenait d'ores et déjà, contre X._ SA, des conclusions tendant au paiement de 872'597 fr.25, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 15 septembre 2001, à titre de dommages-intérêts. Devant l'autorité saisie, à l'audience du 26 juillet 2004, il fut entendu que chacune des parties désignerait un arbitre et que l'autorité désignerait seulement le président du tribunal arbitral. Par un prononcé du 4 août 2004, elle désigna à la présidence quatre anciens juges du Tribunal cantonal, « l'un à défaut de l'autre », soit Philippe Champoud, alors avocat-conseil à Lausanne, Pierre-Alain Tâche, Paul-Eugène Rochat et Jacques Reymond. Hans Hofer et Jean-Christophe Diserens, celui-ci avocat à Lausanne, furent par ailleurs désignés en qualité d'arbitres. La demanderesse confirma ses conclusions et la défenderesse conclut au rejet de l'action. L'instruction de la cause s'accomplit sans incident sous la présidence de Me Champoud. Par lettre du 1er avril 2008, celui-ci convoqua les parties à l'audience de jugement fixée au 21 mai. Il annonçait que Me Ludovic Tirelli, alors avocat-stagiaire, assisterait à cette audience car il avait décidé de s'adjoindre ses services pour la rédaction de la sentence arbitrale. L'audience avec plaidoiries se déroula sans incident, en présence de Me Tirelli. Me Champoud décéda le 24 juin 2008 alors que les parties n'avaient reçu ni dispositif ni sentence motivée. C. Le 29 août 2008, les arbitres Hofer et Diserens informèrent les parties qu'après la clôture de l'audience, le tribunal arbitral avait délibéré et qu'un dispositif avait été arrêté à l'issue de la délibération, celle-ci étant « l'objet de notes écrites de la part du secrétaire, sur la foi desquelles la sentence était en cours de rédaction lorsque le décès [de Me Champoud] est survenu », et que « dans ces circonstances, le tribunal serait en mesure d'achever la rédaction de la sentence et de [...] la notifier ». Les arbitres demandaient l'accord des parties. A l'issue d'un échange de correspondance, une convention de procédure fut conclue le 23 décembre 2008 dans les termes suivants: Il est préliminairement exposé que les parties sont divisées dans le cadre d'une procédure arbitrale introduite le 11 février 2005 selon demande en paiement de Z._ Sàrl; Que le tribunal arbitral a été composé de Me Philippe Champoud, président, de MM. H. Hofer et J.-C. Diserens, arbitres; Que la séance finale a eu lieu à Lausanne le 21 mai 2008; Que les parties y ont plaidé; Que le tribunal arbitral, statuant immédiatement à huis clos, a rendu sa décision et en a confié la rédaction à son président, Me Philippe Champoud; Que Me Philippe Champoud est décédé le 24 juin 2008, alors que la rédaction de la sentence était pratiquement terminée; Qu'il avait été désigné en qualité de président du tribunal arbitral par décision de Monsieur le Président de la Cour civile du Tribunal cantonal du 5 août 2004; Que cette décision prévoyait qu'à défaut de Me Philippe Champoud, interviendraient comme président, l'un à défaut de l'autre, MM. Pierre-Alain Tâche, Paul-Eugène Rochat et Jacques Reymond; Qu'ensuite du décès de Me Philippe Champoud, la présidence du tribunal arbitral revient à M. Pierre-Alain Tâche; Que compte tenu du décès de Me Philippe Champoud postérieurement à l'audience de jugement et à la décision qui a été prise, l'entrée en fonction de M. Pierre-Alain Tâche n'apparaît en l'état pas nécessaire, de l'avis des parties et de l'avis des deux autres arbitres composant le tribunal arbitral; Qu'afin d'éviter de plus amples complications, [les] parties conviennent de ce qui suit: - I - Z._ Sàrl et X._ SA admettent que la sentence arbitrale est rendue sous la signature des deux arbitres Hans Hofer et Jean-Christophe Diserens, sur la base de la décision prise par le tribunal arbitral in corpore, sous la présidence de feu Me Philippe Champoud. - II - 