Sachverhalt: A. Am 15. März 2002 sprach das Obergericht des Kantons Zürich X._ als erste Instanz unter anderem des mehrfachen Raubes schuldig und bestrafte ihn mit 3 3/4 Jahren Gefängnis, unter Anrechnung von 125 Tagen Polizei- und Untersuchungshaft. Ferner ordnete es eine ambulante Massnahme im Sinne von Art. 43 Ziff. 1 Abs. 1 aStGB an und schob den Vollzug der Strafe zugunsten der Massnahme auf. Sodann erklärte das Gericht die mit Entscheid der Jugendanwaltschaft Zürich vom 10. September 1997 wegen Raufhandels ausgefällte Strafe von fünf Tagen Einschliessung für vollziehbar und schob den Vollzug ebenfalls zugunsten der Massnahme auf. B. Mit Verfügung vom 27. September 2006 stellte der Bewährungsdienst Zürich IV des Justizvollzugs des Kantons Zürich (nachfolgend als "Bewährungsdienst" bezeichnet) den Vollzug der angeordneten ambulanten Massnahme ein. In der Rechtsmittelbelehrung wurde X._ darauf hingewiesen, dass er gegen diesen Entscheid innert 30 Tagen schriftlich Rekurs bei der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich einreichen könne. Des Weiteren beantragte der Bewährungsdienst dem Obergericht, nach Eintritt der Rechtskraft der Verfügung sei der Vollzug der beiden aufgeschobenen Strafen von 3 3/4 Jahren Gefängnis, abzüglich 125 Tage Polizei- und Untersuchungshaft, und fünf Tagen Einschliessung anzuordnen. C. X._ focht die Verfügung des Bewährungsdiensts vom 27. September 2006 nicht an, so dass diese in Rechtskraft erwuchs. Mit Eingabe vom 12. Februar 2007 an das Obergericht beantragte X._, es sei erneut eine ambulante Massnahme anzuordnen, und der Vollzug der beiden Strafen sei weiterhin aufzuschieben. Eventuell sei eine stationäre Massnahme anzuordnen, und die vorgenannten Strafen seien zu diesem Zweck aufzuschieben. Ferner sei er psychiatrisch zu begutachten. D. Mit Beschluss vom 7. August 2007 ordnete das Obergericht des Kantons Zürich den Vollzug der Strafe von 3 3/4 Jahren Gefängnis, abzüglich 125 Tage Polizei- und Untersuchungshaft, an. Hingegen entschied es, die Strafe von fünf Tagen Einschliessung werde nicht mehr vollzogen. E. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 7. August 2007 sei aufzuheben, und die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Das Obergericht des Kantons Zürich hat auf eine Stellungnahme zur Beschwerde verzichtet. Der Bewährungsdienst hat sich in seiner Vernehmlassung dem Antrag des Beschwerdeführers angeschlossen. 