A.- a) X._ a été engagé, le 14 avril 1978, en qualité de directeur, avec signature collective à deux, de la Banque A._ S.A., à Genève, devenue, en 1993, B._ S.A. (ci-après: la Banque ou la défenderesse). En tant que membre du groupe B._, cette banque romande était détenue par D._, qui contrôlait la société C._ S.A. Le contrat de travail conclu entre X._ et la Banque a été modifié le 6 janvier 1983, le 22 octobre 1986 et le 7 septembre 1993. Chaque partie pouvait le dénoncer moyennant un préavis de 12 mois. Il prévoyait, dans son dernier état, un salaire annuel brut, indexé, de 250 000 fr. ainsi qu'un intéressement au résultat brut d'exploitation fixé à 1% jusqu'à 20 millions de francs, à 3/4% de 20 à 30 millions et à 1/2% au-dessus de 30 millions. Le directeur s'y soumettait, en outre, à une clause d'interdiction de concurrence valable pendant une période d'une année suivant la date à laquelle il quitterait la Banque; en contrepartie, celle-ci s'engageait à lui verser une somme correspondant à son dernier salaire annuel augmenté de la moitié de la moyenne de l'intéressement des deux dernières années. Au début de l'année 1993, X._ est devenu administrateur de la Banque. b) Dès 1994, des divergences de vues sont apparues entre la direction de la Banque et D._. La première déplorait, en particulier, l'emprise toujours plus forte de la seconde sur ses filiales, craignant que la nouvelle organisation du groupe, marquée par une centralisation accrue, ne mît en péril le dynamisme et l'esprit d'entreprise d'une petite banque romande. Par lettre du 23 décembre 1996, faisant suite à un entretien qu'il avait eu le 20 du même mois avec lui, X._ a suggéré à Z._, directeur général de D._, la solution qu'il estimait être la meilleure, à savoir la reprise de la majorité du capital de la Banque par un groupe d'actionnaires privés principalement issus de sa famille. Il s'est vu opposer une fin de non-recevoir et reprocher le fait d'avoir approché l'un des plus importants clients de la Banque, en vue de la reprise projetée, sans en avoir préalablement informé la direction du groupe. c) Dans des circonstances litigieuses, sur lesquelles il faudra revenir, un terme a été mis aux rapports de travail entre X._ et la Banque. L'initiative en a été prise par cette dernière, qui a résilié le contrat de travail le 3 avril 1997 avec effet au 30 avril 1998. Le 3 avril 1997 également, X._ a démissionné avec effet immédiat de ses fonctions d'administrateur. Par lettre du 2 mai 1997, C._ S.A. a invité X._ à libérer son bureau au plus tard le 9 du même mois et à restituer les clés de la Banque. Selon cette lettre, X._ ne pourrait plus accéder seul aux locaux de la Banque après cette date et ses objets personnels lui seraient apportés à son domicile. Il devait, en outre, rester à disposition de la Banque et serait payé jusqu'au 30 avril 1998. Le 9 mai 1997, X._ a résilié son contrat avec effet immédiat pour de justes motifs. Se référant aux mesures annoncées par C._ S.A. dans la lettre précitée ainsi qu'au retrait de sa signature sociale, il constatait, dans sa lettre de résiliation, que les rapports de confiance entre les parties étaient gravement et irrémédiablement rompus, après avoir souligné ceci: "j'ai été engagé pour exercer des fonctions dirigeantes élevées et non pour rester à mon domicile". La Banque a pris acte de la résiliation immédiate du contrat de travail dans une lettre du 20 mai 1997. Tout en contestant l'existence de justes motifs, elle y indiquait les conséquences qui en découlaient: extinction des rapports de travail le 12 mai 1997, date de réception de la lettre de résiliation; exécution des engagements contractuels jusqu'à cette date; entrée en vigueur immédiate de la clause d'interdiction de concurrence et versement, au printemps 1998, de la rémunération stipulée en contrepartie du respect de cette clause. Par ailleurs, la Banque offrait à X._ la possibilité d'annuler la résiliation immédiate jusqu'au 26 mai 1997 et se disait prête à continuer les relations de travail jusqu'à l'échéance du contrat aux conditions mentionnées dans sa lettre du 2 mai 1997. Le 3 juin 1997, X._ a fait savoir, par le truchement de son conseil, qu'il n'entendait pas revenir sur sa démission avec effet immédiat. Il était d'autant moins enclin à le faire qu'il venait d'apprendre, selon ses dires, que, le 14 mars 1997 déjà, C._ S.A. écrivait à diverses personnes qu'il avait cessé de travailler pour la Banque. X._ a touché, en mai et juin 1998, un total de 507 993 fr.10 représentant la somme due en contrepartie de la clause d'interdiction de concurrence, y compris la part de l'employeur au titre de la prévoyance professionnelle, l'intéressement et les honoraires d'administrateur pro rata temporis pour 1997, ainsi que des frais confidentiels, sous déduction des charges sociales. Il a réclamé en vain le paiement d'autres indemnités en rapport avec la résiliation immédiate du contrat. d) Le 12 mai 1998, X._ a commencé à travailler pour la banque genevoise M._ S.A. en qualité de président du conseil d'administration. B.- En date du 12 septembre 1998, X._ a assigné la Banque en paiement d'un total de 815 476 fr. Il a ainsi réclamé, en se fondant sur l'art. 337b al. 1 CO, ce qu'il aurait gagné si les rapports de travail avaient pris fin à l'échéance du délai de congé, soit son salaire brut du 13 mai 1997 au 30 avril 1998 (271 500 fr.)et l'intéressement pour la même période (270 476 fr.), de même qu'une indemnité de 273 500 fr. représentant six mois de salaire, y compris la part proportionnelle de l'intéressement, prétention qu'il déduisait de l'art. 337c al. 3 CO appliqué par analogie. Le demandeur a conclu, de surcroît, à ce que les sommes allouées portent intérêts à 5% dès le 12 mai 1997 et à ce qu'il soit dit que la défenderesse versera la part patronale de la prévoyance professionnelle. La Banque a conclu à sa libération totale des fins de la demande. Le 1er octobre 1998, Y._ S.A., à Genève, a repris les actifs et passifs de la Banque. Par jugement du 18 mai 1999, le Tribunal des prud'hommes du canton de Genève a débouté le demandeur de toutes ses conclusions. Statuant par arrêt du 28 mars 2000, sur appel du demandeur, la Cour d'appel des prud'hommes a confirmé ce jugement. C.- Parallèlement à un recours de droit public, qui a été déclaré irrecevable par arrêt séparé de ce jour, le demandeur interjette un recours en réforme. Il y reprend les conclusions qu'il avait soumises aux juridictions cantonales et requiert, à titre subsidiaire, le renvoi de la cause à la Cour d'appel pour qu'elle complète l'état de fait et statue à nouveau. La défenderesse s'en rapporte à justice quant à la recevabilité du recours en réforme et propose le rejet de ce recours ainsi que la confirmation de l'arrêt attaqué. 