Sachverhalt: A. A._ ist im Handelsregister mit der Einzelfirma "A._ Consulting" eingetragen und bietet Beratungen im Bereich Wirtschaft und Informatik an. Er vertrat einen Klienten in einem Rechtsstreit betreffend Arbeitslosenversicherung im entsprechenden Verwaltungsverfahren sowie anschliessend in den Gerichtsverfahren vor dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und vor dem Bundesgericht. Das Bundesgericht hielt in seinem diesbezüglichen Urteil Nr. xxx vom Juli 2011 (E. 5.3 letzter Absatz) fest: "Wenn der Beschwerdeführer schliesslich letztinstanzlich nochmals - für den Fall der materiellen Beurteilung durch das Bundesgericht -eine öffentliche Verhandlung beantragt und in diesem Zusammenhang dem kantonalen Gericht eine Verletzung der Grund- und Verfahrensrechte vorwirft, obwohl er hierauf ausdrücklich vor kantonalem Verfahren verzichtet hat, ist darin ein schikanöses, auf blosse Verzögerung ausgerichtetes, rechtsmissbräuchliches Verhalten zu erblicken." In der der Öffentlichkeit zugänglich gemachten Fassung des Urteilstextes ist nebst der Identität der Partei auch diejenige von A._ als Parteivertreter durch Anonymisierung unkenntlich gemacht worden. A._ handelte in einem weiteren Rechtsstreit betreffend Arbeitslosenversicherung als Vertreter einer Versicherten. Im diesbezüglichen bundesgerichtlichen Urteil Nr. yyy vom Oktober 2011 (E. 3.4 erster Absatz letzter Satz) wurde Folgendes festgehalten: "Eine letztinstanzlich erneut und durch denselben Rechtsvertreter im Namen der Beschwerdeführerin erhobene Rüge, die Verwaltung habe ihr kein Akteneinsichtsrecht gewährt, erscheint dergestalt genauso mutwillig erhoben wie jene, sie habe im Anschluss an die Akteneinsicht weder eine Stellungnahme noch Beweismittel beibringen dürfen." In E. 3.1 dieses Urteils wird sodann unter anderem auf das Urteil Nr. xxx verwiesen, und zwar auch in dem Sinn, als die in dieser Erwägung enthaltene Beantwortung der Rechtsfrage dem aktuellen Vertreter aus jenem Verfahren bekannt sei, wo er ebenfalls als Vertreter tätig gewesen sei. In der der Öffentlichkeit zugänglich gemachten Fassung des Textes des Urteils Nr. yyy ist die Identität der Partei durch Anonymisierung unkenntlich gemacht worden, während der Name des Vertreters A._ ausdrücklich aufgeführt ist. B. A._ erachtet sich durch die erwähnten Urteilspassagen bzw. deren Bekanntmachung in seiner Persönlichkeit verletzt. Am 25. Juli 2012 reichte er beim Bund ein Schadenersatz- und Genugtuungsbegehren wegen widerrechtlicher Handlungen des Bundesgerichts ein. Der Schweizerische Bundesrat nahm am 10. Oktober 2012 ablehnend dazu Stellung. Er hielt in seiner Stellungnahme fest, dass den Ausführungen von A._ keine Anhaltspunkte für eine widerrechtliche Handlung oder Unterlassung eines Mitglieds des Bundesgerichts zu entnehmen seien. C. Mit Klage nach Art. 120 Abs. 1 lit. c BGG vom 10. April 2013 stellt A._ dem Bundesgericht folgende Rechtsbegehren: (1) Es sei im Sinne von Art. 28a Abs. 1 Ziff. 1 ZGB i.V. mit Art. 25 Abs. 1 lit. c des Bundesgesetzes vom 19. Juni 1992 über den Datenschutz (DSG; SR 235.1) die Widerrechtlichkeit der Persönlichkeitsverletzung sowie die Widerrechtlichkeit der Datenverarbeitung und die damit einhergehende Verletzung von Art. 10 Abs. 2 BV und Art. 13 BV sowie Art. 8 EMRK und Art. 17 des Internationalen Pakts über bürgerliche und politische Rechte vom 16. Dezember 1966 (UNO-Pakt II; SR 0.103.2) festzustellen. (2) Es seien im Rahmen der (dem Gesuchsteller nicht bekannten) gesetzlich allenfalls vorgesehenen Möglichkeiten - eine Revision im Sinne von Art. 121 ff. BGG der diesem Begehren zugrunde liegenden Bundesgerichtsurteile kommt ebenso wenig in Betracht (und wird vom Gesuchsteller selbstverständlich auch nicht anbegehrt) wie eine Berichtigung nach Art. 129 BGG - die beanstandeten Textstellen im Sinne von Art. 28a [ZGB] sowie Art. 25 Abs. 1 lit. b DSG zu beseitigen. (3) Es sei im Sinne von Art. 6 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 14. März 1958 über die Verantwortlichkeit des Bundes sowie seiner Behördemitglieder und Beamten (Verantwortlichkeitsgesetz, VG; SR 170.32) und Art. 28a Abs. 2 ZGB dem Kläger vollste Satisfaktion zu erteilen, indem die Verantwortlichen sich für die begangene Persönlichkeitsverletzung und die widerrechtliche öffentliche Verbreitung in aller Form entschuldigen und diese schriftliche Entschuldigung mit dem Urteil zur vorliegenden Klage in geeigneter Form veröffentlicht wird. (4) Dem Gesuchsteller sei - im Falle der Feststellung der Widerrechtlichkeit der Persönlichkeitsverletzung und deren rechtswidrigen Verbreitung - in Anwendung von Art. 6 Abs. 1 und Abs. 2 VG sowohl der unmittelbar als auch mittelbar aus der Persönlichkeitsverletzung entstandene und künftig zu erwartende materielle Schaden zu ersetzen. - Überdies sei ihm für die erlittene immaterielle Unbill eine den Folgen und Wirkungen des Fehlverhaltens des Schweizerischen Bundesgerichts für den Gesuchsteller und für seine engsten Familienangehörigen, insbesondere für seine von ihm jahrelang betreute, hoch betagte, herzschwache und an fortgeschrittener Demenz leidende Mutter, die inzwischen verstarb, gerecht werdende Genugtuungssumme zuzusprechen. - Für die Bestimmung der Schadenersatz- und Genugtuungssumme seien US-amerikanische Berechnungsgrundsätze zugrunde zu legen. (5) Es sei in Anwendung von Art. 7 f. VG Rückgriff auf die Verantwortlichen zu nehmen, da die Schadenszufügung vorsätzlich erfolgte und die Allgemeinheit nicht für die fehlbaren Beamten einzustehen habe. (6) Unter Kosten- und Entschädigungsfolge zulasten der Schweizerischen Eidgenossenschaft. D. Nachdem dem Kläger am 17. April 2013 im Hinblick auf ein allfälliges Ausstandsbegehren die Zusammensetzung der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung bekannt gegeben worden war, beantragte dieser am 3. Mai 2013, der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung, Bundesrichter Andreas Zünd, sowie Gerichtsschreiber Andreas Feller hätten wegen Anscheins der Befangenheit im Sinne von Art. 34 Abs. 1 lit. c BGG in den Ausstand zu treten. Das Ausstandsbegehren wurde mit Verfügung vom 8. Mai 2013 abgewiesen. Mit Verfügung vom 21. Mai 2013 wurde sodann das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen. Der ihm danach auferlegten Pflicht, einen Kostenvorschuss von Fr. 2'000.-- zu bezahlen, leistete der Kläger am 15. September 2013, innert ihm hiefür angesetzter Nachfrist (17. September 2013), Folge. E. Dem Bundesgericht liegen die Rechtsschriften des Klägers und die Beilagen dazu vor, namentlich die Stellungnahme des Bundesrats vom 10. Oktober 2012. 