Sachverhalt: Sachverhalt: A. Die 1971 geborene K._ war ab Anfang Dezember 1996 als Haushälterin/Betreuerin mit einem Teilzeitpensum bei der Alterswohngemeinschaft der Familie C._ angestellt und bei der Berner Allgemeinen Versicherungs-Gesellschaft (nunmehr Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft; nachfolgend: Allianz Suisse) obligatorisch gegen Unfälle versichert. Am 24. Januar 2001 erlitt sie am Arbeitsort einen Unfall: Ihrer Schilderung vom 28. Juni 2001 zufolge half sie einem Heimbewohner vom Rollstuhl aufs WC, indem sie ihn von hinten stützte. Als der Heimbewohner aus dem Stand einknickte, versuchte sie ihn aufzufangen, worauf sie das Gleichgewicht verlor und mit dem Gesäss auf dem Plattenboden aufschlug. Der rund 80 kg schwere Heimbewohner kam - ebenfalls rückwärts stürzend - auf die Versicherte zu liegen. Wegen Rückenschmerzen und Parästhesien suchte K._ am 26. Januar 2001 ihren Hausarzt, den Internisten Dr. A._ auf, der ein lumboradikuläres Schmerzsyndrom ohne neurologische Ausfälle diagnostizierte. Gleichentags trat die Versicherte in die Medizinische Abteilung des Spitals X._ ein, wo sie bis zum 3. Februar 2001 hospitalisiert war. Bei einer am 27. Januar 2001 auf der Abteilung für Neuroradiologie des Spitals Y._ durchgeführten Computertomographie der Lendenwirbelsäule wurde als Befund eine Diskusprotrusion im Segment L4/5 sowie eine linksseitige paramediane Diskushernie im Segment L5/S1 erhoben. Die Allianz Suisse richtete Taggelder aus und übernahm die Heilbehandlung, so auch den weiteren stationären Aufenthalt in der Rheumaklinik des Spitals Y._ vom 3. bis 24. April 2001. Mit Verfügung vom 25. Januar 2002 stellte sie ihre Leistungen auf den 5. Mai 2001 hin ein, weil "zufolge Erreichens des status quo sine (zu diesem Zeitpunkt) die Leistungsvoraussetzung der natürlichen Kausalität" entfallen sei. K._ liess gegen die Leistungseinstellung Einsprache erheben, in welcher sie u.a. auf einen "vorläufigen Austrittsbericht" der Orthopädischen Klinik des Spitals Y._ vom 21. Februar 2002 verwies. In dieser Klinik unterzog sich die Versicherte am 2. Mai 2002 einer ventralen interkorporellen Spondylodese L5/S1 mit Beckenspan und einer dorsalen Spondylodese USS L5/S1 mit Dekortikation (Austrittsbericht vom 13. Mai 2002). Mit Einspracheentscheid vom 22. August 2002 wies die Allianz Suisse die Einsprache ab. A. Die 1971 geborene K._ war ab Anfang Dezember 1996 als Haushälterin/Betreuerin mit einem Teilzeitpensum bei der Alterswohngemeinschaft der Familie C._ angestellt und bei der Berner Allgemeinen Versicherungs-Gesellschaft (nunmehr Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft; nachfolgend: Allianz Suisse) obligatorisch gegen Unfälle versichert. Am 24. Januar 2001 erlitt sie am Arbeitsort einen Unfall: Ihrer Schilderung vom 28. Juni 2001 zufolge half sie einem Heimbewohner vom Rollstuhl aufs WC, indem sie ihn von hinten stützte. Als der Heimbewohner aus dem Stand einknickte, versuchte sie ihn aufzufangen, worauf sie das Gleichgewicht verlor und mit dem Gesäss auf dem Plattenboden aufschlug. Der rund 80 kg schwere Heimbewohner kam - ebenfalls rückwärts stürzend - auf die Versicherte zu liegen. Wegen Rückenschmerzen und Parästhesien suchte K._ am 26. Januar 2001 ihren Hausarzt, den Internisten Dr. A._ auf, der ein lumboradikuläres Schmerzsyndrom ohne neurologische Ausfälle diagnostizierte. Gleichentags trat die Versicherte in die Medizinische Abteilung des Spitals X._ ein, wo sie bis zum 3. Februar 2001 hospitalisiert war. Bei einer am 27. Januar 2001 auf der Abteilung für Neuroradiologie des Spitals Y._ durchgeführten Computertomographie der Lendenwirbelsäule wurde als Befund eine Diskusprotrusion im Segment L4/5 sowie eine linksseitige paramediane Diskushernie im Segment L5/S1 erhoben. Die Allianz Suisse richtete Taggelder aus und übernahm die Heilbehandlung, so auch den weiteren stationären Aufenthalt in der Rheumaklinik des Spitals Y._ vom 3. bis 24. April 2001. Mit Verfügung vom 25. Januar 2002 stellte sie ihre Leistungen auf den 5. Mai 2001 hin ein, weil "zufolge Erreichens des status quo sine (zu diesem Zeitpunkt) die Leistungsvoraussetzung der natürlichen Kausalität" entfallen sei. K._ liess gegen die Leistungseinstellung Einsprache erheben, in welcher sie u.a. auf einen "vorläufigen Austrittsbericht" der Orthopädischen Klinik des Spitals Y._ vom 21. Februar 2002 verwies. In dieser Klinik unterzog sich die Versicherte am 2. Mai 2002 einer ventralen interkorporellen Spondylodese L5/S1 mit Beckenspan und einer dorsalen Spondylodese USS L5/S1 mit Dekortikation (Austrittsbericht vom 13. Mai 2002). Mit Einspracheentscheid vom 22. August 2002 wies die Allianz Suisse die Einsprache ab. B. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau hiess die hiegegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 29. Oktober 2003 teilweise gut und wies "die Streitsache zur ergänzenden Abklärung des rechtserheblichen Sachverhalts im Sinne der Erwägungen und zum neuen Entscheid" an die Allianz Suisse zurück. B. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau hiess die hiegegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 29. Oktober 2003 teilweise gut und wies "die Streitsache zur ergänzenden Abklärung des rechtserheblichen Sachverhalts im Sinne der Erwägungen und zum neuen Entscheid" an die Allianz Suisse zurück. C. Die Allianz Suisse führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag auf Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids. K._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen; überdies lässt sie um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege im Sinne der unentgeltlichen Verbeiständung ersuchen. Das Bundesamt für Sozialversicherung, Abteilung Unfallversicherung (seit 1. Januar 2004 im Bundesamt für Gesundheit), verzichtet auf eine Vernehmlassung. 