Faits: A. X._, né le 12 juillet 1959, et dame X._, née le 25 mai 1960, se sont mariés en Thaïlande le 14 juillet 1986, sans conclure de contrat de mariage. Ils ont eu deux enfants: A._, née le 17 décembre 1986, et B._, née le 14 octobre 1989. L'épouse était alors déjà mère d'une fille, née le 5 août 1982 d'une précédente union. En 1996, les conjoints se sont établis à Genève avec leurs enfants. Ils ont mis un terme à leur vie commune en décembre 1999. Statuant sur mesures protectrices de l'union conjugale le 14 décembre 2000, la Cour de justice du canton de Genève a, notamment, condamné le mari à contribuer à l'entretien de son épouse à hauteur de 1'250 fr. par mois. B. Par jugement du 28 novembre 2006, le Tribunal de première instance de Genève a, entre autres points, prononcé le divorce et condamné le mari à verser à l'épouse une contribution d'entretien, indexée, d'un montant de 2'000 fr. par mois jusqu'à ce que l'intéressée atteigne l'âge légal de la retraite. Chacune des parties a appelé de ce jugement. Entre autres chefs de conclusions, l'épouse a demandé que la contribution d'entretien soit portée à 3'000 fr. par mois, sans limite de temps. Le mari a offert de lui verser 1'250 fr. par mois pendant cinq ans à compter du prononcé de la décision cantonale. Par arrêt du 12 octobre 2007, la Cour de justice a, notamment, fixé la contribution d'entretien mensuellement due pour l'épouse à 3'000 fr. jusqu'au 1er janvier 2008, puis à 1'800 fr. jusqu'au 1er janvier 2015. L'autorité cantonale a par ailleurs compensé les dépens de première instance et d'appel, ceux-ci incluant un émolument complémentaire de 8'000 fr. à la charge du mari et de 2'000 fr. à celle de l'épouse. C. Contre cet arrêt, l'épouse exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut, principalement, au versement d'une contribution d'entretien d'un montant de 3'000 fr. par mois sans limite de temps, avec effet rétroactif au jour du dépôt de la demande en divorce, et à la condamnation de l'intimé au paiement de tous les dépens cantonaux. A titre subsidiaire, elle demande le renvoi de la cause à la Cour de justice pour complément du dossier et nouvelle décision dans le sens des considérants. L'intimé propose le rejet du recours et la confirmation de l'arrêt entrepris. Dans ses observations, l'autorité cantonale admet que l'appel incident du mari aurait dû être déclaré irrecevable en raison du non-paiement des droits de greffe, de sorte qu'elle a, à tort, alloué à l'épouse une contribution d'entretien inférieure à 2'000 fr. par mois pour la période postérieure à 2008; partant, la question des dépens cantonaux devra être revue. En ce qui concerne le certificat médical dont la recourante affirme que la seconde page aurait été égarée par la Cour de justice, il paraît plus vraisemblable que l'intéressée ait omis de la produire dans la procédure cantonale, les pièces constituant les chargés des parties étant reliées matériellement entre elles. 