Sachverhalt: A. Am 6. Januar 1996 erlitt der damals zehnjährige X._, Schüler der dritten Klasse der Primarschule Y._, im schuleigenen Hallenbad der damaligen Real- und Sekundarschulgemeinde Z._ einen Ertrinkungsunfall, welcher zu schweren Gesundheitsschädigungen führte. Er ist der Auffassung, die Lehrerin habe ihre Sorgfaltspflicht verletzt und den Unfall damit verschuldet. In der Folge erklärte die Haftpflichtversicherung der Schule - die "Zürich"-Versicherungsgesellschaft - gegenüber dem Rechtsvertreter von X._ insgesamt sieben Mal, auf die Einrede der Verjährung zu verzichten, soweit diese nicht bereits eingetreten sei; das zweitletzte Mal am 11. Dezember 2007 mit Befristung bis zum 6. Januar 2009 und das letzte Mal am 2. Dezember 2009 mit Befristung bis zum 6. Januar 2011. Dazwischen, mit Begehren vom 5. Januar 2009, hatte X._ sowohl gegen die Haftpflichtversicherung als auch gegen die Politische Gemeinde Y._ Forderungen von je Fr. 1'000'000.-- in Betreibung setzen lassen. B. Am 12. Januar 2010 erhob X._ gegen die Politische Gemeinde Y._ als Rechtsnachfolgerin der früheren Schulgemeinde Y._ Klage beim Kreisgericht W._ auf Zahlung eines nach durchgeführtem Beweisverfahren festzulegenden Betrags, mindestens jedoch Fr. 400'000.-- nebst Zins. Nachdem die Beklagte geltend gemacht hatte, die Ansprüche seien verwirkt bzw. verjährt, beschränkte das Kreisgericht das Verfahren vorerst auf diese Fragen und gewährte X._ mit separatem Entscheid vom 12. April 2011 diesbezüglich die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Mit Urteil vom 19. Oktober 2011 wies es die Klage mit der Begründung ab, der eingeklagte Anspruch sei bereits am 6. Januar 2006 - spätestens jedoch am 6. Januar 2009 - verwirkt. Hiegegen erhob X._ am 30. Dezember 2011 Berufung beim Kantonsgericht des Kantons St. Gallen mit den Anträgen, das Urteil des Kreisgerichts W._ aufzuheben und dieses anzuweisen, die Klage materiell zu behandeln. Gleichzeitig ersuchte er (auch) für das Berufungsverfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Mit Entscheid vom 19. Januar 2012 wies das Kantonsgericht St. Gallen (verfahrensleitender Richter) die letztgenannten Anträge mit der Begründung ab, die Berufung gegen das Urteil des Kreisgerichts W._ erweise sich als aussichtslos. Gleichzeitig verpflichtete es X._ zur Zahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 10'000.--. C. Mit Eingabe vom 14. Februar 2012 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, den letztgenannten Entscheid aufzuheben und dem Beschwerdeführer für das Berufungsverfahren vor dem Kantonsgericht St. Gallen die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Gleichzeitig wird auch für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Die Politische Gemeinde Y._ hat sich nicht vernehmen lassen. Das Kantonsgericht St. Gallen (verfahrensleitender Richter) verzichtet auf Vernehmlassung. D. Mit Verfügung vom 15. März 2012 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt. E. X._ hat von der Möglichkeit, sich noch einmal zu äussern, keinen Gebrauch gemacht. 