Sachverhalt: A. Der aus Bosnien stammende, in der Schweiz wohnhafte X._ (geb. 1973) ist seit dem 2. Februar 2006 mit seiner Landsfrau Y._ (geb. 1976) verheiratet, die von ihm zwei vorehelich gezeugte Kinder hat (A._, geb. 1993, sowie B._, geb. 2001) und zusammen mit diesen im Heimatland lebt. Zuvor - am 2. September 2000 - hatte X._ seine Landsfrau Z._ (geb. 1974) geheiratet, welche 1990 im Rahmen des Familiennachzuges in die Schweiz gekommen war und über eine Niederlassungsbewilligung verfügt. Am 9. Oktober 2000 reiste er zu ihr in die Schweiz ein und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung. Am 26. Juli 2004 wurde Z._ Mutter einer ausserehelich gezeugten Tochter namens C._. In der Folge trennten sich die Eheleute; ihre Ehe wurde am 5. Januar 2006 geschieden. Einen knappen Monat später heiratete X._ die Mutter seiner beiden in den Jahren 1993 und 2001 geborenen Kinder. Am 12. Februar 2006 stellte er ein Gesuch um Familiennachzug für seine neue Ehefrau und die beiden gemeinsamen Kinder. B. Im Oktober 2006 leitete das Ausländeramt des Kantons St. Gallen gegen X._ Ermittlungen wegen des Verdachts einer mit Z._ geführten Scheinehe ein. Mit Verfügung vom 18. April 2007 wies das Amt das von X._ gestellte Gesuch um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung ab. Ein hiegegen erhobener Rekurs beim kantonalen Justiz- und Polizeidepartement blieb erfolglos (Entscheid vom 17. August 2007). Das Departement verweigerte die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung mit einer doppelten Begründung: Einerseits sei die Ehe mit Z._ als blosse Scheinehe einzustufen, und zum anderen habe X._ nicht während fünf Jahren mit seiner Gattin in ehelicher Gemeinschaft zusammengelebt. C. X._ erhob gegen diesen Entscheid durch seinen Rechtsvertreter Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen. Er bestritt vorab, mit Z._ eine Scheinehe geführt zu haben. Sodann erhob er zahlreiche Verfahrensrügen und machte insbesondere eine Gehörsverletzung durch Nichtabnahme relevanter Beweise geltend, deren Abnahme er erneut offerierte, und verlangte, die "unterlassenen Befragungen" (der ehemaligen Eheleute, der heutigen Ehefrau sowie von "Verwandten und Kollegen") seien nachzuholen. Mit Entscheid vom 27. November 2007 hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerde teilweise gut und korrigierte den Kostenspruch des Rekursentscheides vom 17. August 2007; im Übrigen wies es die Beschwerde ab. D. Mit Eingabe vom 22. Dezember 2007 führt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und - "ergänzend" - subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 27. November 2007 (mit Ausnahme des von diesem gutgeheissenen Teilpunktes) aufzuheben. Aufzuheben seien ebenfalls die Rekursentscheide des Justiz- und Polizeidepartementes vom 17. August 2007 und die Verfügung des Ausländeramtes vom 18. April 2007, und es sei dem Beschwerdeführer der weitere Aufenthalt in der Schweiz zu bewilligen. Das Ausländeramt hat sich nicht vernehmen lassen. Das zuständige Departement beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Denselben Antrag stellen das Verwaltungsgericht und das Bundesamt für Migration. E. Mit Verfügung vom 9. Januar 2008 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt. 