Sachverhalt: A. Die Anwaltskanzlei X._ ist seit dem 1. Januar 1995 bei der Eidgenössischen Steuerverwaltung (ESTV) im Register für Mehrwertsteuerpflichtige eingetragen. Im Jahre 2004 führte die ESTV bei der Steuerpflichtigen eine Kontrolle durch und erliess gestützt darauf eine Ergänzungsabrechnung (EA Nr. 149'646), mit welcher sie für die Perioden 1. Quartal 1999 bis 4. Quartal 2000 Steuern im Umfange von insgesamt (gerundet) Fr. 274'840.--, zuzüglich Verzugszinsen, nachforderte. Die Nachforderung betraf Umsätze der Anwaltskanzlei im Zusammenhang mit der Führung des Sekretariats des Schiedsgerichts für nachrichtenlose Konten, welche die ESTV als steuerbare Dienstleistungen qualifizierte. Mit Schreiben vom 15. Juli 2004 teilte die ESTV im Nachgang zu einer Besprechung mit, dass es sich bei den Sekretariatsleistungen, die im Zusammenhang mit dem Schiedsgericht in der Schweiz erbracht wurden, nicht um hoheitliche Leistungen handle, die steuerbefreit wären. In der Folge bestätigte die ESTV die mit EA Nr. 149'646 geltend gemachte Steuerforderung mit Entscheid vom 31. Mai 2005 und wies die dagegen seitens der Steuerpflichtigen eingereichte Einsprache mit Einspracheentscheid vom 5. September 2005 ab. B. Mit Urteil vom 25. September 2008 wies das Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, die von der Anwaltskanzlei X._ gegen den Einspracheentscheid der ESTV gerichtete Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. C. Mit Eingabe vom 5. November 2008 erhebt die Anwaltskanzlei X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 25. September 2008 sowie den Einspracheentscheid vom 5. September 2005 der ESTV aufzuheben und festzustellen, dass die in der Ergänzungsabrechnung Nr. 149'646 erwähnten Tätigkeiten von der Mehrwertsteuer ausgenommen sind. Im weiteren wird um eine Parteientschädigung im Sinne von Art. 68 BGG ersucht. Die Eidgenössische Steuerverwaltung, Hauptabteilung Mehrwertsteuer, beantragt, auf die Beschwerde im Umfang des gestellten Feststellungsbegehrens nicht einzutreten; im Übrigen sei die Beschwerde abzuweisen. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Stellungnahme. D. Die II. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts hat die Angelegenheit am 19. Juni 2009 an einer öffentlichen Sitzung beraten. 