Faits: A. A.a Depuis le mois de septembre 1986, M._, né en 1949, travaillait à temps partiel comme infirmier-assistant/veilleur de nuit au service de la maison de retraite X._. A ce titre, il était affilié à la Fondation de prévoyance en faveur du personnel de X._, (ci-après: la fondation). Le 14 mars 1989, M._ a été victime d'un accident, dont les suites ont été prises en charge par l'assureur LAA de l'employeur, qui a versé des indemnités journalières. A partir du 1er mars 1990, le prénommé a été mis au bénéfice d'une rente entière de l'assurance-invalidité fondée sur une incapacité de gain de 100 % et assortie d'une rente complémentaire pour épouse et de quatre rentes complémentaires pour enfant (décision du 2 août 1991). De son côté, la fondation a versé à l'intéressé une rente d'invalidité de 15'672 fr. par an depuis le 1er mars 1991. Il s'est par ailleurs vu allouer dès le 1er septembre 1992 une rente d'invalidité de la part de Solida, assurance accidents de caisses-maladie suisses SA (décision du 28 octobre 1992). A.b A la suite du divorce de M._ en décembre 2000, la fondation s'est aperçue qu'il percevait une rente d'invalidité de l'assurance-accidents et a suspendu le versement de sa rente à partir de novembre 2002. Elle l'en a informé par courrier du 19 novembre 2003, en l'invitant à lui communiquer le détail de ses revenus pour la période du 1er mars 1991 au 30 novembre 2003. Après avoir transmis à la fondation les données requises, M._ lui a en outre annoncé, le 19 juillet 2004, qu'il s'était remarié en 2003 et qu'une fille était issue de sa nouvelle union (en janvier 2004); les deux enfants de son épouse vivaient par ailleurs sous son toit depuis le 3 juin 2004. Par la suite (décisions de l'assurance-invalidité des 15 décembre 2004 et 22 mars 2005), le prénommé a été mis au bénéfice de rentes pour sa fille (dès le 1er janvier 2004) et pour les deux enfants de son épouse (dès le 1er septembre 2004). Par lettre du 11 novembre 2004, désignée comme décision sujette à opposition, la fondation a informé l'intéressé qu'elle maintenait pour une durée indéterminée la suspension du versement de la rente LPP (prononcée provisoirement dès novembre 2002), en raison d'une surindemnisation due au versement de la rente d'invalidité de l'assurance-accidents depuis le 1er septembre 1992. M._ ayant contesté cette «décision», elle a maintenu sa position par courrier du 20 avril 2005, désigné comme une décision susceptible d'être déférée au Tribunal cantonal genevois des assurances sociales. B. Par acte du 23 mai 2005, M._ a saisi le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, en concluant à «l'annulation de la décision sur opposition du 20 avril 2005» et à ce que la fondation soit condamnée au versement de la rente dès le mois de novembre 2002. Par jugement du 24 janvier 2006 (recte 2007), le tribunal a admis la demande et condamné la fondation à reprendre dès le 1er novembre 2002 le versement d'une pension d'invalidité non réduite de 1306 fr. par mois en faveur du prénommé, avec intérêts à 5 % l'an dès le 23 mai 2005. C. La fondation interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande l'annulation. Sous suite de dépens, elle conclut à ce que soit prononcé qu'elle était en droit de suspendre le paiement de la rente à compter du 1er novembre 2002. M._ n'a pas répondu à l'invitation à se déterminer sur le recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à prendre position. 