Faits: A. O._, placé sous tutelle, a bénéficié de prestations complémentaires à une rente de l'assurance-invalidité à partir du 1er janvier 2010 (décision du Service des prestations complémentaires de la République et canton de Genève [ci-après: le SPC] du 26 mai 2010). Ces prestations de droit cantonal et fédéral ont été déterminées en fonction d'une prestation d'invalidité versée par la Caisse X._, prise en compte à titre de revenu déterminant à hauteur de 55'135 fr. 20 par année. Informé au cours de l'année 2010 par le Service des tutelles d'adultes du canton de Genève (STA; depuis le 1er janvier 2013, Service de protection de l'adulte) des modifications régulières du montant de la rente de la Caisse X._, le SPC a, par décision du 17 novembre 2010, modifié le montant des prestations complémentaires en fonction de ces changements, avec effet rétroactif au moment où ils étaient intervenus. Par courriers datés du 3 mai 2011, puis du 5 août suivant, le STA a communiqué au SPC que les prestations de la Caisse X._ s'étaient modifiées à partir du 1er avril, respectivement du 1er juillet 2011, de sorte que celui-ci a, par décision du 19 octobre 2011, procédé à une adaptation rétroactive des prestations complémentaires à compter des mois de mai et août 2011 et déterminé les prestations complémentaires dues à partir du 1er novembre 2011. Par courrier du 31 octobre 2011, le STA s'est opposé à cette décision, en demandant que les nouveaux montants de la rente soient pris en compte dès le moment où les modifications étaient intervenues (soit avril et juillet 2011) et non à partir de la date où il avait informé l'administration de celles-ci. Par décision du 17 avril 2012, tenant derechef compte des modifications de la rente de la Caisse X._ (valables dès le 1er octobre 2011, respectivement le 1er janvier 2012) signalées par le STA par envoi des 3 novembre 2011 et 30 mars 2012, le SPC a modifié les prestations complémentaires avec effet rétroactif au 1er novembre 2011, respectivement au 1er janvier 2012. Cette adaptation laissait apparaître un solde de 1008 fr. en faveur du SPC, dont celui-ci a demandé le remboursement. Le SPC a par ailleurs fixé le montant des prestations complémentaires à partir du 1er mai 2012. Le STA s'est opposé à cette décision. Le 30 octobre 2012, le SPC a rejeté les deux oppositions formées par le STA. Il a joint à sa décision sur opposition deux plans de calculs rétroagissant au 1er avril 2012 et tenant compte de changements dans le montant de la rente de la Caisse X._ communiqués par courriers datés des 11 mai et 15 août 2012. Il résultait du nouveau calcul qu'un montant de 2170 fr. avait été versé à tort à O._ du 1er avril au 31 octobre 2012, dont le SPC a réclamé la restitution. L'administration a également fixé à 3724 fr. le montant des prestations complémentaires auxquelles avait droit O._ à partir du 1er novembre 2012. B. Pour son pupille, le STA a déféré la décision du 30 octobre 2012 à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Cour des assurances sociales. Par jugement du 13 juin 2013, la juridiction cantonale a partiellement admis le recours au sens des considérants (ch. 2 du dispositif) et annulé la décision du 30 octobre 2012 en tant qu'elle réclamait la restitution du montant de 2170 fr. (ch. 3 du dispositif). C. Le SPC interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation en tant qu'il concerne les prestations complémentaires fédérales. Le Service de protection de l'adulte conclut au rejet du recours et sollicite l'assistance judiciaire pour O._. 