Sachverhalt: Sachverhalt: A. Die kolumbianische Staatsangehörige A._, geb. ...... 1966, heiratete am ...... 1999 in Basel den dort niedergelassenen spanischen Staatsangehörigen B._, geb. ...... 1971. Im Oktober 1999 erhielten A._ und ihr am ...... 1994 geborener Sohn C._, der ebenfalls über die kolumbianische Staatsangehörigkeit verfügt, die Aufenthaltsbewilligung. Daraufhin nahmen sie bei B._ Wohnsitz. In der Folge traten wiederholt eheliche Probleme auf. Ende Juni 2000 verliess die Ehefrau die gemeinsame Wohnung und stellte ein Gesuch um Getrenntleben. Im August 2000 bewilligte der Zivilgerichtspräsident des Kantons Basel-Stadt den Ehegatten das Getrenntleben. Nach Vornahme verschiedener Abklärungen verweigerten die Einwohnerdienste Basel-Stadt am 3. Januar 2002 gestützt auf das Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; SR 142.20) die Verlängerung der im November 2000 abgelaufenen Aufenthaltsbewilligung. In der Folge traten wiederholt eheliche Probleme auf. Ende Juni 2000 verliess die Ehefrau die gemeinsame Wohnung und stellte ein Gesuch um Getrenntleben. Im August 2000 bewilligte der Zivilgerichtspräsident des Kantons Basel-Stadt den Ehegatten das Getrenntleben. Nach Vornahme verschiedener Abklärungen verweigerten die Einwohnerdienste Basel-Stadt am 3. Januar 2002 gestützt auf das Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; SR 142.20) die Verlängerung der im November 2000 abgelaufenen Aufenthaltsbewilligung. B. Mit Entscheid vom 12. Februar 2003 wies das Polizei- und Militärdepartement einen dagegen erhobenen Rekurs ab, wobei es in der Begründung auf das inzwischen in Kraft getretene Abkommen zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit vom 21. Juni 1999 (Freizügigkeitsabkommen, FZA; SR 0.142.112.681) Bezug nahm. Am 31. Oktober 2003 wies auch das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht einen dagegen eingereichten Rekurs ab. B. Mit Entscheid vom 12. Februar 2003 wies das Polizei- und Militärdepartement einen dagegen erhobenen Rekurs ab, wobei es in der Begründung auf das inzwischen in Kraft getretene Abkommen zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit vom 21. Juni 1999 (Freizügigkeitsabkommen, FZA; SR 0.142.112.681) Bezug nahm. Am 31. Oktober 2003 wies auch das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht einen dagegen eingereichten Rekurs ab. C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 11. Februar 2004 an das Bundesgericht beantragt A._, das Urteil des Appellationsgerichts aufzuheben und die Angelegenheit an die Einwohnerdienste Basel-Stadt zurückzuweisen zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung; überdies ersucht sie darum, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen und es sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. Das Appellationsgericht stellt in seiner Vernehmlassung vom 25. Februar 2004 keinen ausdrücklichen Antrag zur Sache, hält aber sinngemäss an seinem Urteil fest. Das Polizei- und Militärdepartement schliesst auf Abweisung, soweit auf die Beschwerde einzutreten sei. Das Bundesamt für Zuwanderung, Integration und Auswanderung beantragt die Abweisung der Beschwerde. Mit Replik vom 7. Juni 2004 hat sich A._ nochmals zur Sache geäussert. Das Appellationsgericht stellt in seiner Vernehmlassung vom 25. Februar 2004 keinen ausdrücklichen Antrag zur Sache, hält aber sinngemäss an seinem Urteil fest. Das Polizei- und Militärdepartement schliesst auf Abweisung, soweit auf die Beschwerde einzutreten sei. Das Bundesamt für Zuwanderung, Integration und Auswanderung beantragt die Abweisung der Beschwerde. Mit Replik vom 7. Juni 2004 hat sich A._ nochmals zur Sache geäussert. D. Mit prozessleitender Verfügung vom 10. März 2004 hat der Präsident der II. öffentlichrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. 