Sachverhalt: A. A.a. X._ (Jg. 1976; österreichischer Staatsangehöriger) und Y._ (Jg. 1979; US-amerikanische Staatsangehörige) haben am 27. April 2012 in A._ geheiratet. Die Eheleute sind die Eltern der Tochter B._, die 2012 zur Welt kam. Mit Eingabe vom 23. August 2012 verklagte X._ seine Frau auf Scheidung. Tags darauf stellte Y._ am Bezirkgericht Höfe ein Gesuch um Anordnung von Eheschutzmassnahmen. Das Gericht nahm das Gesuch als Begehren um Anordnung vorsorglicher Massnahmen entgegen. Per 31. August 2012 meldete Y._ sich und B._ in der Wohnsitzgemeinde A._ ab. Frau und Kind leben seither in den USA. A.b. Mit Verfügung vom 4. September 2013 nahm der Einzelrichter des Bezirks Höfe von der Trennung seit dem 10. August 2012 Vormerk. Er stellte B._ unter die Obhut der Mutter und regelte den persönlichen Verkehr zwischen Vater und Tochter. X._ verurteilte er, an den Unterhalt der Tochter mit Wirkung ab 10. August 2012 pro Monat Fr. 3'000.-- (inkl. Kinder- und Familienzulagen) zu bezahlen. Die monatlich geschuldeten Frauenalimente bestimmte der Einzelrichter auf Fr. 13'600.--. Überdies wurde X._ verpflichtet, Y._ "unter dem Titel Prozesskostenvorschuss" Fr. 25'000.-- zu bezahlen. B. B.a. Beide Parteien legten gegen die Massnahmeverfügung Berufung ein. Vor dem Kantonsgericht Schwyz forderte die Frau für die Tochter monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 5'800.-- und für sich selbst solche von Fr. 16'100.--. Der Mann beantragte, soweit vor Bundesgericht noch streitig, die monatlichen Unterhaltsbeiträge für B._ auf Fr 2'500.-- (inkl. Kinder- und Familienzulagen) und diejenigen für die Frau auf Fr. 3'500.-- festzusetzen; von der Verpflichtung zur Leistung eines Prozesskostenvorschusses sei abzusehen. B.b. Das Kantonsgericht vereinigte die beiden Berufungsverfahren und verurteilte X._ mit Beschluss vom 14. März 2014, seiner Frau "mit Wirkung ab 10. August 2013" Unterhaltsbeiträge von Fr. 12'641.-- zu bezahlen. Für das erstinstanzliche Massnahmeverfahren und für das erstinstanzliche Scheidungsverfahren sprach das Kantonsgericht Y._ einen Prozesskostenvorschuss in der Höhe von Fr. 25'000.-- zu, für das Berufungsverfahren einen solchen von Fr. 10'000.--. In einer Berichtigung vom 14. April 2014 änderte das Kantonsgericht den Beschluss vom 14. März 2014 dahin gehend, dass X._ die erwähnten Frauenalimente ab 10. August 2012 zu bezahlen hat. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 17. April 2014 gelangt X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Was die Alimente angeht, hält er an den vor Kantonsgericht gestellten Anträgen fest (s. Bst. B.a). Überdies stellt er das Begehren, er "sei zu keinem Prozesskostenvorschuss zu verpflichten". Gestützt auf ein Gesuch des Beschwerdeführers hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde mit Verfügung vom 14. Mai 2014 hinsichtlich der Unterhaltsbeiträge vom 10. August 2012 bis und mit April 2014 die aufschiebende Wirkung zuerkannt. Im Übrigen hat sich das Bundesgericht die kantonalen Akten überweisen lassen, in der Sache aber keine Vernehmlassung eingeholt. 