Faits: A. Un rapport de police d'avril 2012 a mis en cause A._ dans le cadre d'une enquête relative à un important trafic de cocaïne. La prénommée avait été interrogée par la police le 8 mars 2012. Lors de cette audition, elle avait renoncé à la présence d'un avocat. Par ordonnance pénale et décision de non-entrée en matière du 7 mai 2012, le Parquet régional de Neuchâtel du Ministère public du canton de Neuchâtel (ci-après: le Ministère public) l'a condamnée à 200 heures de travail d'intérêt général, avec sursis pendant 3 ans, pour des infractions de blanchiment d'argent et de facilitation du séjour illégal, à tout le moins par dol éventuel. Les accusations de participation à un trafic de stupéfiants ont en revanche été écartées. A._ a fait opposition à cette ordonnance pénale. Convoquée à une audience devant le Ministère public, elle a consulté Me Géraldine Veya. Le 14 juin 2012, celle-ci a sollicité sa désignation en qualité d'avocate d'office de la prévenue, avec effet rétroactif au 7 juin 2012. Par décision du 18 juin 2012, le Ministère public a rejeté cette requête, considérant que les conditions de l'art. 132 al. 2 et 3 du Code de procédure pénale suisse (CPP; RS 312.0) n'étaient pas réunies. Saisie d'un recours de la prénommée, l'autorité de recours en matière pénale du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal) a confirmé cette décision par arrêt du 7 août 2012. En substance, cette autorité a estimé qu'il ne s'agissait pas d'un cas de défense obligatoire au sens de l'art. 130 CPP et que l'affaire était un "cas bagatelle" ne présentant pas de difficultés particulières en faits comme en droit, de sorte que les conditions nécessaires à l'octroi de l'assistance judiciaire n'étaient pas réunies. B. Agissant par la voie du recours en matière pénale, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt, de lui accorder l'assistance judiciaire à compter du 7 juin 2012 et de désigner Me Géraldine Veya comme défenseur d'office. Elle conclut subsidiairement au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouvelle décision. Elle requiert en outre l'octroi de l'assistance judiciaire devant le Tribunal fédéral. Le Tribunal cantonal a renoncé à se déterminer. Le Ministère public a formulé des observations, concluant au rejet du recours. La recourante a présenté des observations complémentaires. 