Sachverhalt: A. Der aus Bosnien-Herzegowina stammende X._ (geb. 1962) arbeitete 1991 sowie in den Jahren 1993-1996 als Saisonnier in der Schweiz. Im November 1996 heiratete er die Schweizer Bürgerin Y._, worauf er regelmässig verlängerte Aufenthaltsbewilligungen erhielt und im November 2000 erleichtert eingebürgert wurde. Auf gemeinsames Scheidungsbegehren der Eheleute vom März 2001 hin wurde die Ehe im September 2001 geschieden. Die Behörden gingen in der Folge davon aus, dass X._ lediglich seine Einbürgerung abgewartet hatte, um anschliessend seine bereits bestehenden Trennungs- und Scheidungsabsichten in die Tat umzusetzen. Deshalb erklärte das damalige Bundesamt für Zuwanderung, Integration und Auswanderung (IMES; heute Bundesamt für Migration) am 26. März 2004 die erleichterte Einbürgerung gemäss Art. 41 BüG (SR 141.0) für nichtig. Dieser Entscheid wurde nicht angefochten. X._ blieb in der Schweiz und meldete sich bei der Einwohnerkontrolle wieder an. Das Amt für Migration des Kantons Luzern gewährte ihm am 14. November 2005 das rechtliche Gehör. Sie stellte ihm in Aussicht, keine neue Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. X._ nahm am 2. Oktober 2006 Stellung und beantragte, "das Gesuch möglichst schnell zu behandeln und gutzuheissen". Am 17. Februar 2009 verweigerte das Amt für Migration des Kantons Luzern schliesslich die "Neuerteilung einer Aufenthaltsbewilligung bzw. die Verlängerung der ursprünglichen Aufenthaltsbewilligung" und wies X._ aus der Schweiz weg. Hiegegen gelangte dieser an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern. Zudem stellte er am 4. März 2009 beim kantonalen Amt für Migration ein neues Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung, wobei er sich auf das am 1. Januar 2008 in Kraft getretene Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (Ausländergesetz, AuG; SR 142.20) stützte. Das Amt für Migration lehnte am 4. Mai 2009 die Vornahme einer Prüfung nach neuem Recht ab und hielt an seiner Verfügung vom 17. Februar 2009 fest. Auch hiegegen gelangte X._ mit Beschwerde an das kantonale Justiz- und Sicherheitsdepartement. Dieses wies die Rechtsmittel gegen die Entscheide vom 17. Februar und 4. Mai 2009 ab, soweit es darauf eintrat. Die anschliessend beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern eingereichte Beschwerde blieb erfolglos. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 10. November 2010 beantragt X._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 28. September 2010 sowie die Entscheide des Amtes für Migration sowie des Justiz- und Sicherheitsdepartements vom 17. Februar und 17. Juli 2009 aufzuheben und ihm eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Ausserdem sei festzustellen, "dass die Information Dritter (über die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung und die Ausweisung) vor Eintritt der Rechtskraft unzulässig war und dadurch die Persönlichkeitsrechte des Beschwerdeführers verletzt worden sind; [...] dass die Vernichtung der ausländerrechtlichen Akten des Beschwerdeführers unzulässig war, [...] dass die Verfahrensdauer gegen das Beschleunigungsgebot verstösst." Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanzen zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen oder nicht auf sie einzutreten. Das Bundesamt für Migration beantragt Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Justiz- und Sicherheitsdepartement hat auf eine Vernehmlassung verzichtet und das kantonale Amt für Migration hat sich nicht geäussert. Am 21. März 2011 hat X._ eine Replik eingereicht; er hält an seinen Anträgen fest. C. Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde mit Verfügung vom 16. November 2010 antragsgemäss die aufschiebende Wirkung hinsichtlich der Ausreiseverpflichtung zuerkannt. 