Faits: A. A.a. J._, né en 1955, maçon, s'est annoncé à l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) le 2 octobre 2003 en raison des séquelles incapacitantes d'un traumatisme de l'épaule gauche. Se fondant sur une appréciation du dossier médical (cf. rapports de la doctoresse B._, spécialiste en médecine interne générale, et du docteur S._, spécialiste en chirurgie, des 11 décembre 2003, 26 février 2004 et 10 mars 2005) par la doctoresse M._, médecin-conseil de son Service médical régional (SMR; rapport du 6 juin 2005), l'office AI a considéré que les affections retenues (cervicarthrose sur discopathie C5/C6, déchirure transfixiante de la coiffe des rotateurs de l'épaule droite) empêchaient la reprise de l'activité habituelle mais avaient toujours permis l'exercice d'une activité adaptée. Il a refusé de prester (décision du 27 mars 2006). A.b. L'assuré a présenté une seconde demande de prestations le 9 février 2009. Sur la base des documents déposés par l'intéressé pour rendre plausible une aggravation de son état de santé (analyses sanguines, ENMG, IRM, échographie, etc.) et du complément d'information récolté auprès de la doctoresse B._ (cf. rapport du 5 mai 2009), le docteur V._, médecin-conseil du SMR, a réfuté la péjoration alléguée au motif qu'un traitement médical bien conduit devait dissiper les pathologies observées (tendinite du sous-épineux, syndrome du tunnel carpien, état dépressif; rapport du 25 mai 2009). L'administration a refusé d'entrer en matière (projet de décision du 16 juin 2009 entériné le 30 septembre suivant malgré les objections soulevées). B. B.a. Saisi d'un recours de J._, concluant à l'entrée en matière sur sa nouvelle requête de prestations, le Tribunal cantonal genevois des assurances (désormais la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales) l'a admis, a annulé la décision entreprise et a reconnu le droit de l'assuré à une rente entière d'invalidité depuis le 1er février 2009 (jugement du 4 mai 2010). Ce jugement a été annulé par le Tribunal fédéral qui a retourné le dossier aux premiers juges pour qu'ils réalisent une expertise pluridisciplinaire et rendent un nouveau jugement (arrêt 9C_478/2010 du 25 mars 2011). B.b. La juridiction cantonale a mandaté les docteurs O._, spécialiste en rhumatologie, et Z._, spécialiste en psychiatrie, pour qu'ils mettent en oeuvre l'expertise ordonnée. Le premier a diagnostiqué une cervicarthrose C5/C6 marquée avec uncarthrose bilatérale responsable du rétrécissement marqué des trous de conjugaison, une discrète tendinopathie du sus-épineux droit, des brachialgies droites handicapantes entrant dans le cadre d'un syndrome douloureux chronique, une neuropathie ulnaire modérée au coude droit et une maladie de Dupuytren de la main droite discrète à modérée (rapport du 22 juin 2012). Le second a évoqué un épisode dépressif moyen sans syndrome somatique indépendant d'un syndrome douloureux persistant (rapport du 28 juin 2012). Les experts ont conjointement estimé que seuls les troubles psychiatriques entraînaient une diminution de la capacité de travail dans une activité adaptée de l'ordre de 40%. Invité à s'exprimer, l'office AI a considéré qu'il n'y avait pas lieu de retenir une baisse de la capacité de travail et a conclu au rejet du recours (détermination du 13 septembre 2012 fondée sur l'avis de la doctoresse H._, médecin-conseil du SMR, du 11 septembre précédent). Pour sa part, l'intéressé a contesté les conclusions des experts et demandé l'allocation d'une rente entière d'invalidité (détermination du 9 novembre 2012). Le tribunal cantonal a rejeté le recours (jugement du 19 février 2013). Il a entériné les conclusions du docteur O._ mais a estimé que celles du docteur Z._ quant à l'influence des troubles psychiatriques sur la capacité de travail n'étaient pas convaincantes. Il a toutefois jugé qu'un complément d'expertise n'était pas nécessaire dans la mesure où, même avec une incapacité de travail de 40%, le taux d'invalidité évalué à 36% était insuffisant pour donner droit à une rente. C. J._ recourt contre ce jugement dont il requiert l'annulation concluant sous suite de frais et dépens à la reconnaissance de son droit à une rente entière d'invalidité dès le 1er février 2009 ou au renvoi de la cause aux premiers juges pour qu'ils auditionnent la doctoresse B._, procèdent à un complément d'expertise et rendent un nouveau jugement. Il sollicite en outre l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. 