Sachverhalt: A. Der 1957 geborene S._ bezog ab 25. November 2003 Taggelder der Arbeitslosenversicherung auf der Grundlage eines versicherten Verdienstes von Fr. 4'213.-. Nach einem Unterbruch vom 19. Dezember 2003 bis 19. April 2004 - in dieser Zeit stand S._ in einem befristeten Saisonarbeitsverhältnis mit den Bergbahnen X._ - wurde ihm ab 20. April 2004 wiederum Arbeitslosenentschädigung, nunmehr allerdings auf der Basis eines versicherten Verdienstes von Fr. 5'963.-, ausbezahlt. Mit Verfügung vom 24. Mai 2005 forderte die Arbeitslosenkasse Unia in den Kontrollperioden Dezember 2003 und April bis Dezember 2004 zuviel ausgerichtete Arbeitslosentaggelder in der Höhe von Fr. 11'344.40 zurück. Zur Begründung gab sie an, der versicherte Verdienst sei ab 20. April 2004 auf Grund eines Missverständnisses fälschlicherweise auf Fr. 5'963.- heraufgesetzt worden; es sei von einem versicherten Verdienst von Fr. 4'286.- auszugehen und zudem müsse "ab der Kontrollperiode Januar 2004" ein Zwischenverdienst von Fr. 1'500.- angerechnet werden. Die Kasse lehnte die dagegen geführte Einsprache ab (Einspracheentscheid vom 18. August 2005). B. Die Kantonale Rekurskommission in Sachen Arbeitslosigkeit des Kantons Wallis (ab 1. Januar 2008: Kantonales Versicherungsgericht des Wallis) wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 13. November 2007). C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, die Rückforderung im Betrag von Fr. 11'344.40 solle "gelöscht" werden. Die Arbeitslosenkasse schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Staatssekretariat für Wirtschaft verzichtet auf eine Vernehmlassung. 