Sachverhalt: A. Der 1966 geborene L._ war vom 1. Mai 2005 bis 30. September 2006 als Betriebsleiter für die G._ AG tätig. Danach kümmerte er sich um die Betreuung seiner im Februar 2006 geborenen Zwillinge. Für die Zeit vom 1. Oktober 2009 bis 30. September 2010 war er bei der Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen mit seinem Einzelunternehmen "A._" als Selbstständigerwerbender im Haupterwerb erfasst. Am 1. Oktober 2010 stellte er Antrag auf Arbeitslosenentschädigung. In einem Begleitschreiben vom 28. September 2010 legte er dar, dass er sich entschlossen habe, die selbstständige Erwerbstätigkeit aufzugeben. Mit Verfügung vom 23. Dezember 2010 lehnte die Kantonale Arbeitslosenkasse St. Gallen den Antrag auf Arbeitslosenentschädigung ab 1. Oktober 2010 ab, wobei sie zur Begründung angab, L._ könne innert der verlängerten Rahmenfrist für die Beitragszeit vom 1. Oktober 2006 bis 30. September 2010 keine Mindestbeitragszeit von zwölf Monaten nachweisen und es liege auch kein Grund für eine Beitragsbefreiung vor. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 3. Mai 2011 fest. B. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 11. April 2012). C. L._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem sinngemässen Antrag, es seien ihm Taggelder der Arbeitslosenversicherung auszurichten; zudem verlangt er, es seien ihm "allfällige Zinsen" sowie "Nachteile" in Form von "Kursen/Massnahmen" oder in Form eines "vom RAV-Berater zu berechnenden" Betrages bzw. einer im Voraus fixierten Pauschale von Fr. 3'000.- auszugleichen. Es ist kein Schriftenwechsel durchgeführt worden. 