Faits: A. A.a H.Z._, né le 4 février 1908, et F.Z._, née le 29 août 1908, se sont mariés le 11 juin 1937. De leur union sont issus deux fils: A.Z._, né le 25 mars 1938, et B.Z._, né le 8 décembre 1942. F.Z._ est décédée le 8 septembre 1992. Par déclaration du 25 novembre 1992 faite devant l'Officier d'état civil de Neuchâtel, H.Z._ a reconnu Y._ comme étant son fils, ce dernier ayant obtenu, en date du 4 novembre 1991, un jugement de désaveu de paternité à l'encontre de celui qui était son père sur le plan juridique. H.Z._ est décédé le 16 septembre 1994. Le 26 septembre 1994, une copie du testament olographe confectionné par le défunt le 13 juin 1993 a été notifiée à Y._. L'une des clauses de ce testament énonce ce qui suit: "Certains ont cherché à me soutirer de l'argent en me rendant responsable de la naissance de Y._. Ma paternité sur celui-ci n'a jamais été établie scientifiquement. Y._ ne sera pas mon héritier et ne sera pas appelé à ma succession." L'actif total de la succession de feu H.Z._ se montait à 696'000 fr. et la réserve légale de Y._ atteignait ainsi 174'000 fr. A.b Le 24 octobre 1994, Y._, représenté par Me X._, avocat à ..., a interpellé l'exécuteur testamentaire désigné par feu H.Z._, faisant part de son vif souhait d'une liquidation de la succession dans des conditions dignes et correctes. Une solution transactionnelle ne semblant pas exclue, il en est résulté en 1995 un échange de courriers entre Me X._ et l'exécuteur testamentaire. Le 15 novembre 1995, soit après la confection de l'inventaire fiscal de la succession établi et transmis par l'Office des droits de mutation et du timbre à l'exécuteur testamentaire, ce dernier a indiqué aux deux fils du défunt et à Me X._ qu'il devait leur soumettre une convention de partage, en leur rappelant qu'il avait été également question que les deux frères Z._ négocient avec Y._ l'octroi à ce dernier d'une indemnité pour solde de tout compte. A la suite de cette communication, un échange de lettres a repris entre Me X._ et l'exécuteur testamentaire au sujet de la nature et de l'étendue de la participation financière de Y._ dans la succession de feu son père. Le 25 janvier 1996, l'exécuteur testamentaire a fait savoir à Me X._, au nom de A.Z._, qu'une action en nullité de testament se prescrivait par un an et qu'en l'absence d'une procédure entreprise en temps utile, Y._ devait renoncer à tout droit dans la succession pour se conformer aux dernières volontés du défunt. Par courrier du 2 février 1996, Me X._ a protesté contre cette manière de voir, se référant à un délai de prescription de trente ans en présence d'un défendeur de mauvaise foi. A.c Après avoir changé d'avocat, Y._ a intenté, le 28 mars 1996, à l'encontre des frères Z._ une action en annulation d'une clause d'exhérédation. Le 6 juillet 1998, la IIe Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel a rejeté la demande et condamné Y._ à payer 6'675 fr. de frais judiciaires et 8'000 fr. de dépens. En substance, il a été retenu que l'action était irrecevable dans la mesure où elle n'était dirigée que contre A.Z._ et B.Z._, sans englober les filles de Y._, devenues héritières de la part de leur père exhérédé dans la succession de feu H.Z._. En outre, la demande devait être rejetée pour cause de tardiveté tant du point de vue successoral que sous l'angle d'une responsabilité des défendeurs pour la confiance créée, une mauvaise foi de la part des frères Z._ ne pouvant être retenue. Sur ce dernier plan, il a été relevé que, dès le début des pourparlers, Y._ s'était fait assister par un mandataire professionnel auquel le délai de péremption d'un an de l'action en nullité ou en réduction n'aurait pas dû échapper. Le fait que les discussions étaient menées par l'exécuteur testamentaire n'était pas déterminant, celui-ci n'étant pas le représentant des héritiers et conservant, par rapport à eux, une position indépendante. Ainsi, les déclarations de l'exécuteur testamentaire ne pouvaient sans autre être opposées aux deux frères Z._ pour qu'il en soit déduit qu'ils auraient soudainement fait volte face. Au contraire, Y._, qui avait eu des contacts directs avec les deux héritiers dans les premiers mois ayant suivi le décès de H.Z._, ne pouvait qu'être conscient du fait que l'un d'eux en tout cas était plus que réticent à l'idée que son demi-frère puisse percevoir une part d'héritage. Dans ces conditions, la simple possibilité d'entamer des pourparlers ou de les poursuivre ne donnait aucune garantie à Y._ que ceux-ci aboutiraient. Ainsi, même à supposer que le principe d'un désintéressement de l'exhérédé eût été acquis, la seule façon de sauvegarder ses droits, au cas où un accord n'interviendrait pas quant au montant, était d'intenter action en temps utile, ce d'autant que l'instruction de la cause aurait pu être suspendue pendant les négociations et qu'il n'était pas nécessaire de présenter des conclusions chiffrées. Sur le vu de cet état de choses, le dépôt d'une action en justice ne pouvait paraître superflu. B. B.a Le 30 avril 2004, Y._ a intenté une action en dommages-intérêts contre X._ en vue d'obtenir le paiement de 233'051 fr. 40 au titre de sa part successorale dans la succession de feu H.Z._, de 14'675 fr. pour les frais et dépens encourus dans la procédure en annulation d'exhérédation et de 15'065 fr. du chef des honoraires versés à l'avocat mandaté pour cette procédure. Le défendeur a conclu au rejet de la demande, faisant notamment valoir que le demandeur avait toujours exprimé la volonté de négocier directement avec ses demi-frères, ne lui demandant que des conseils et non pas une intervention à titre de mandataire judiciaire. En outre, le demandeur, après le dépôt de sa demande en annulation d'exhérédation, avait attendu plus d'une année avant de mettre en cause la responsabilité des frères Z._ pour l'avoir incité à persister dans des négociations jusqu'à l'échéance du délai de péremption institué par le Code civil dans ce domaine successoral. Enfin, il n'y avait pas de relation de causalité entre le comportement fautif qui lui était imputé et le dommage invoqué. Dans ses dernières conclusions, le demandeur a réduit ses prétentions à 203'740 fr. après avoir ramené la principale d'entre elles à 174'000 fr., montant de sa réserve légale dans la succession de feu son père. B.b Par jugement du 16 juin 2008, la le Cour civile du Tribunal cantonal neuchâtelois a condamné le défendeur à verser au demandeur la somme de 203'740 fr. avec intérêts à 5 % l'an dès le 30 avril 2004. Les frais et dépens ont été mis à la charge du défendeur. Ledit jugement repose sur les motifs résumés ci-après. B.b.a Les relations juridiques nouées par les parties relèvent du mandat, de sorte que la responsabilité du défendeur découle de l'art. 398 al. 2 CO et résulte d'une violation du devoir de diligence du mandataire. Pour contester la validité d'une exhérédation, l'héritier dispose de deux voies de droit, en fonction du vice invoqué: l'action en nullité de dispositions pour cause de mort (art. 519 CC) et l'action en réduction fondée sur l'art. 522 CC, l'exhérédation lésant sa réserve successorale. Ces deux actions sont soumises à un délai relatif de péremption d'un an. En l'espèce, la responsabilité du défendeur est engagée. L'ancien mandataire du demandeur a, en effet, confondu les délais relatif et absolu de péremption applicables à l'action en nullité d'un testament, raison pour laquelle il n'a pas agi dans le délai d'un an prescrit par l'art. 521 al. 1 CC, partant à tort de l'idée qu'il disposait d'un délai de trente ans en présence d'un défendeur de mauvaise foi. En dépit de l'existence de pourparlers entre les héritiers, il lui incombait de procéder en justice en temps utile afin que les droits de son client fussent préservés, ce qui n'empêchait pas une suspension de l'instruction de la cause durant les négociations en cours. Par rapport à cette réalité, le souhait, manifesté par son mandant, d'éviter une procédure judiciaire était dépourvu d'incidence, car l'intéressé pensait erronément qu'une action en justice était encore possible malgré l'écoulement d'une année. Ainsi, le défendeur a violé son devoir de diligence en sa qualité de mandataire, ce d'autant qu'il n'était pas nécessaire de procéder à une étude approfondie de la question, la seule consultation du Code civil annoté par les auteurs Scyboz et Gilliéron (édition de 1993) lui permettant de se faire une idée exacte de la situation juridique. Dès lors, une faute imputable au défendeur doit être admise. Cela étant, sur le vu des faits de la cause, il n'y avait pas matière à exhérédation, en ce sens que le demandeur n'avait pas agi par appât du gain, mais dans le désir de mettre un terme à une crise d'identité en faisant la lumière sur sa filiation paternelle. Aussi le demandeur aurait-il gagné son procès s'il avait agi en temps utile contre ses deux demi-frères. Le comportement de ces derniers n'était pas constitutif d'un abus de droit, si bien que rien ne les empêchait d'invoquer la péremption et qu'il était exclu de mettre une éventuelle culpa in contrahendo à leur charge. B.b.b Il n'y a pas eu de rupture du lien de causalité entre la violation fautive de son devoir de diligence commise par le défendeur et le dommage subi par le demandeur à la suite de l'échec de la première procédure intentée le 28 mars 1996 par ce dernier et son nouvel avocat. En effet, ce nouveau mandataire n'a été consulté qu'à partir du 5 février 1996, soit après l'omission fautive du défendeur de procéder en justice à temps en vue de sauvegarder les droits du demandeur. B.b.c Si le défendeur avait procédé à temps, la fortune de son client aurait été augmentée de 174'000 fr. Ainsi, son avocat lui a causé un préjudice à concurrence de ce montant, le fait que les deux filles du demandeur se sont substituées à lui dans la succession de feu H.Z._ étant dépourvu d'incidence. Les dépens et honoraires d'avocat assumés par le demandeur à la suite du jugement rendu le 6 juillet 1998 ne découlent pas directement de l'inaction fautive du défendeur, mais sont dus à une procédure entreprise par le nouveau conseil du lésé. En matière de responsabilité civile des avocats, la preuve d'un dommage est difficile à rapporter, le client lésé devant démontrer que, si son avocat avait agi avec diligence, il aurait obtenu gain de cause et n'aurait pas subi de ce fait une diminution de son patrimoine par une perte éprouvée (dépens et frais judiciaires) ou par un gain manqué. Dans le cas particulier, le demandeur était profondément convaincu qu'une action en contestation de la validité de l'exhérédation pouvait être intentée, nonobstant l'expiration du délai d'une année, du fait de la mauvaise foi ou de l'abus de droit prétendument imputable à ses deux demi-frères, ce qu'il soutenait encore devant la IIe Cour civile en date du 18 février 1997. Malgré l'absence d'un comportement abusif ou contraire à la bonne foi de ces deux héritiers, le défendeur conteste l'existence d'une relation de causalité entre son propre comportement fautif et le dommage subi par son ancien client, au motif que l'issue défavorable de la première procédure serait due à l'oubli du nouveau conseil du demandeur de réclamer à temps des dommages-intérêts fondés sur une culpa in contrahendo. Dans ces conditions, il était nécessaire que le demandeur intentât une action, même tardive, afin de contester la validité de son exhérédation pour qu'il ne puisse pas lui être reproché qu'il lui aurait été possible d'obtenir la reconnaissance de ses droits. Ce n'est que par cette première procédure que l'intéressé a pu établir sans le moindre doute que la faute de son ancien conseil était exclusivement à l'origine de la perte de ses droits successoraux. Il y a donc bien un rapport de causalité adéquate entre la violation fautive du devoir de diligence incombant au défendeur et les 29'740 fr. que le demandeur a dû supporter au titre des frais, dépens et honoraires au terme du premier procès. En conséquence, le dommage subi par le demandeur s'élève à 203'740 fr. en capital. S'y ajoutent les intérêts réclamés à partir du dépôt de la demande. Quant aux frais et dépens, ils seront mis à la charge du défendeur. C. Agissant par la voie du recours en matière civile, le défendeur invite le Tribunal fédéral à réformer le chiffre 1 du dispositif de la décision attaquée, en ce sens qu'il doit être reconnu débiteur du demandeur de 174'000 fr. avec intérêts à 5 % l'an dès le 30 avril 2004, et à annuler ladite décision pour le surplus. L'intimé conclut au rejet du recours. Quant à la cour cantonale, elle se réfère aux motifs énoncés dans son jugement. 