Sachverhalt: A. X._, geboren 1987, ist kosovarischer Staatsangehöriger. Anfang 1993 reiste er im Rahmen des Familiennachzugs in die Schweiz ein und erhielt in der Folge eine Niederlassungsbewilligung. Nach zwei Jugendstrafen in den Jahren 2001 (einfache Körperverletzung) und 2004 (Entwendung eines Personenwagens zum Gebrauch) wurde X._ am 28. Juni 2006 durch das Bezirksgericht Horgen wegen Erpressung und gewerbsmässiger Erpressung zu einer Einschliessung von vier Wochen verurteilt. Am 13. September 2006 verhängte die Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis gegen ihn wegen Verkehrsregelverletzung eine Busse von Fr. 300.--. Am 14. Dezember 2006 verurteilte ihn die Staatsanwaltschaft Zürich/Sihl wegen mehrfacher grober Verkehrsregelverletzung, Fahrens in fahrunfähigem Zustand, einfacher Verletzung der Verkehrsregeln und fahrlässiger Körperverletzung zu einer unbedingten Gefängnisstrafe von 90 Tagen sowie zu einer Busse von Fr. 1'000.--. Aufgrund dieser Verurteilungen verwarnte das Migrationsamt des Kantons Zürich (nachfolgend: Migrationsamt) X._ am 13. Februar 2007, indem es ihm "schwerer wiegende fremdenpolizeiliche Massnahmen" in Aussicht stellte für den Fall, dass er erneut gerichtlich bestraft werden oder sein Verhalten zu anderen berechtigten Klagen Anlass geben sollte. Am 7. September 2010 verurteilte das Obergericht des Kantons Zürich (nachfolgend: Obergericht) X._ wegen mehrfacher einfacher Körperverletzung, Raufhandels, versuchter schwerer Körperverletzung und Tätlichkeiten (begangen am 15. April 2007, am 11. November 2007 und am 4. Mai 2008) zu einer Freiheitsstrafe von vier Jahren sowie zu einer Busse von Fr. 500.--. Eine bezogen auf den Tatbestand der versuchten schweren Körperverletzung erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil 6B_954/2010 vom 10. März 2011 ab. Am 5. April 2011 trat X._ den Strafvollzug an. B. Am 20. Februar 2012 widerrief das Migrationsamt die Niederlassungsbewilligung von X._ und ordnete dessen Wegweisung aus der Schweiz auf den Zeitpunkt der Entlassung aus dem Strafvollzug an. Den dagegen erhobenen Rekurs wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich (nachfolgend: Sicherheitsdirektion) am 12. April 2013 ab. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich (nachfolgend: Verwaltungsgericht) bestätigte diesen Entscheid auf Beschwerde hin mit Urteil vom 23. Juli 2013. C. X._ erhebt am 13. September 2013 Beschwerde beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und von einer Wegweisung aus der Schweiz abzusehen; eventualiter sei ihm eine angemessene Ausreisefrist anzusetzen. X._ ersucht zudem um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung. Mit Präsidialverfügung vom 19. September 2013 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden. 