Faits: A. A.a La loi cantonale genevoise en matière de chômage du 11 novembre 1983 (RS GE J 2 20) accorde aux chômeurs ayant épuisé leur droit aux indemnités fédérales de chômage la possibilité d'obtenir des prestations cantonales complémentaires, en particulier sous la forme de stages de réinsertion professionnelle, d'allocations de retour en emploi ou, à titre subsidiaire, d'emplois temporaires cantonaux. Les emplois temporaires font l'objet du chapitre V du titre III de la loi (art. 39 à 45). C'est ainsi que l'autorité compétente propose un emploi temporaire, à titre subsidiaire, aux chômeurs ayant épuisé leur droit aux indemnités fédérales et qui n'ont pas trouvé un travail salarié donnant droit à l'allocation de retour en emploi (art. 39 al. 1 let. b). L'emploi temporaire est offert à titre individuel ou dans le cadre d'un programme collectif et correspond dans la mesure du possible aux aptitudes professionnelles des chômeurs (art. 39 al. 2). Il se déroule au sein de l'administration cantonale, d'établissements et fondations de droit public, d'administrations communales et d'administrations et régies fédérales (art. 39 al. 3). La charge financière de l'emploi temporaire est assumée par le budget de l'Etat (art. 39 al. 5). L'engagement des chômeurs fait l'objet d'un contrat de travail de droit privé conclu entre l'autorité compétente et le bénéficiaire (art. 40 al. 1). Les conditions mises au bénéfice d'un emploi temporaire sont fixées à l'art. 42. L'art. 43 prévoit que le chômeur peut bénéficier d'un emploi temporaire pour la durée nécessaire à l'ouverture d'un nouveau droit aux indemnités fédérales de chômage; cette durée n'excédera pas douze mois. A.b Le 10 juin 2005, par une modification de l'annexe à l'OACI (RO 2005 2529) le Conseil fédéral a décidé qu'à partir du 1er juillet 2005, le canton de Genève ne bénéficierait d'une augmentation du nombre maximum d'indemnités journalières au sens de l'art. 27 al. 5 LACI que pour les chômeurs âgés de 50 ans et plus. Cette décision impliquait à court terme pour le canton un afflux de chômeurs qui avaient épuisé leur droit aux indemnités journalières. Pour parer à cette situation, le Conseil d'Etat a décidé de mettre en oeuvre des mesures exceptionnelles dès le 1er juillet 2005. Il s'est agi de conclure un contrat d'emploi temporaire à bref délai avec tous les chômeurs qui sollicitaient cette mesure et qui remplissaient certaines conditions, dans l'attente de leur affectation auprès d'un service utilisateur au sens de l'art. 39 précité de la loi. Les bénéficiaires reçoivent un salaire subventionné par l'Etat, y compris durant la période d'attente durant laquelle ils n'ont pas à fournir une prestation de travail. Avant la mise en vigueur de cette mesure, le Département genevois de l'économie, de l'emploi et des affaires extérieures (devenu entre-temps le Département de la solidarité et de l'emploi) a consulté le Secrétariat d'Etat à l'économie (seco) au sujet de ces mesures. Ce dernier a exprimé ses réserves par deux courriers des 7 juillet et 30 août 2005. Il a considéré, en particulier, que la mesure genevoise de marché du travail ne concordait pas avec la politique fédérale en matière de lutte contre le chômage. En effet, cette mesure avait pour but la réintégration des demandeurs d'emploi dans l'assurance-chômage par la conclusion de contrats permettant le versement de cotisations sociales, et ainsi la création d'un nouveau droit à l'indemnité de chômage, alors que les mesures cantonales doivent servir avant tout, comme les mesures fédérales du marché du travail, à leur réintégration durable sur le marché de l'emploi. Selon le seco, pour que les conditions relatives à la période de cotisation au sens de l'art. 13 al. 1 LACI soient réalisées, il convenait de démontrer l'existence d'une activité effective soumise à cotisation. Dans le cadre d'une procédure d'approbation par la Confédération (art. 58 de la loi cantonale en matière de chômage), le Conseil fédéral, dans une décision du 28 mars 2007, a refusé d'approuver l'art. 43 de la loi cantonale, au motif qu'il était contraire au droit fédéral. Dans cette même décision, il a pris acte de l'engagement du Conseil d'Etat de mettre sa législation sur les emplois temporaires et sur les stages professionnels de réinsertion en conformité avec le droit fédéral. A.c Le 22 juillet 2005, après avoir épuisé son droit aux indemnités fédérales de chômage, M._ a conclu, conformément aux dispositions précitées, un contrat d'emploi temporaire cantonal (ETC) avec l'Etat de Genève, représenté par le Service des mesures cantonales (SMC) de l'Office cantonal de l'emploi (OCE). La durée de ce contrat était de douze mois, soit du 19 juillet 2005 jusqu'au 20 juillet 2006 au plus tard. L'horaire hebdomadaire était de 40 heures. Le salaire convenu était de 3301 fr. 95 brut. En préambule de ce contrat, l'attention de la bénéficiaire était attirée sur le fait que la période précédant le placement auprès d'un service utilisateur pouvait ne pas être considérée comme une activité salariée soumise à cotisation permettant l'ouverture d'un droit aux indemnités fédérales de chômage. Le 7 octobre 2005, un avenant au contrat d'emploi temporaire a prévu que l'intéressée - jusqu'alors en attente d'un emploi et au bénéfice du salaire convenu - serait affectée du 10 octobre 2005 au 20 juillet 2006 en qualité d'employée de maison auprès de X._ Sàrl. L'intéressée a effectivement travaillé au service de cet établissement durant la période en cause. A.d Le 26 juillet 2006, M._ a présenté une demande d'indemnité de chômage à partir du 21 juillet 2006. Par décision du 28 juillet 2006, la Caisse de chômage du SIT a nié le droit à l'indemnité prétendue au motif que, dans les limites du délai-cadre prévu à cet effet, la requérante n'avait pas exercé durant 12 mois au moins une activité soumise à cotisation. Elle a constaté, en effet, que l'intéressée avait travaillé du 10 octobre 2005 au 20 juillet 2006, soit 9,4 mois. Elle a considéré, par ailleurs, que le contrat de travail dont elle avait bénéficié du 19 juillet 2005 au 9 octobre 2005 ne pouvait pas être pris en compte comme période de cotisation ouvrant droit à l'indemnité de chômage. Saisie d'une opposition, la caisse l'a rejetée par une nouvelle décision, du 2 octobre 2006. B. L'assurée a recouru contre cette décision. Statuant le 27 février 2007, le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève a admis le recours, après avoir considéré que la réalité de la prestation de travail n'était pas déterminante pour la fixation de la période de cotisation. Par conséquent, la condition d'une durée d'activité soumise à cotisation de douze mois était réalisée en l'espèce. C. Le seco a formé un recours en matière de droit public dans lequel il a conclu à l'annulation de ce jugement. M._ conclut au rejet du recours. La Caisse de chômage du SIT déclare s'en tenir à ses décisions. Invité à se déterminer, l'Etat de Genève, par l'Office cantonal de l'emploi, a présenté des observations et s'en est remis à justice. Par ordonnance du 29 mai 2007, le juge instructeur a attribué l'effet suspensif au recours. D. Entre temps, la loi cantonale genevoise en matière de chômage du 11 novembre 1983 a été modifiée le 28 juin 2007 (loi 9922). La loi modifiée a notamment supprimé les emplois temporaires cantonaux en faveur d'un programme d'emploi et de formation sous la forme d'un contrat individuel d'insertion, en règle ordinaire d'une durée de six mois. 