Faits: A. La Société suisse de Zofingue (ci-après: la Société suisse), constituée en 1820, est une association d'étudiants dont les statuts visent notamment à "former des personnalités capables d'assumer des responsabilités civiques", ainsi qu'à étudier "des problèmes politiques et économiques suisses et des questions universitaires, culturelles et sociales" (cf. art. 1er des Statuts centraux du 1er juillet 1972). Elle comporte différentes sections, dont la Section vaudoise de la Société suisse de Zofingue (ci-après: la Section vaudoise), qui est elle-même une association au sens du Code civil suisse, avec siège à Lausanne. Son but consiste, outre les objectifs poursuivis par la Société suisse, à cultiver "l'amitié, les libertés individuelles et la culture" (art. 2 des statuts de la Section vaudoise du 5 décembre 2006, ci-après: les Statuts/VD). Pour être membre actif de la Section vaudoise, il faut avoir dix-huit ans révolus, être de sexe masculin, être immatriculé dans une des Hautes Ecoles de Suisse, accomplir la procédure d'admission et être admis aux deux tiers des voix (art. 6 Statuts/VD; cf. art. 8 Statuts centraux). B. B.a. Dès 1994, la Section vaudoise a bénéficié de fait d'un statut d'association reconnue par l'Université de Lausanne (ci-après: l'Université). Par lettre du 15 mai 2007, cette dernière a informé la Section vaudoise que le statut de l'ensemble des associations serait reconsidéré sur la base d'une nouvelle directive adoptée la même année par la Direction de l'Université. Saisie d'une requête de la Section vaudoise tendant à la confirmation de son statut antérieur, la Direction de l'Université, le 30 janvier 2008, a refusé de lui accorder le statut d'association universitaire, au motif que celle-ci excluait les femmes de son sociétariat. La Section vaudoise a recouru contre cette décision auprès de la Commission de recours de l'Université de Lausanne (ci-après: la Commission de recours), qui l'a déboutée par prononcé du 22 mai 2008. Sur recours, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a, le 16 septembre 2009, annulé le prononcé du 22 mai 2008 au motif que l'Université n'était pas habilitée à refuser la reconnaissance de la Section vaudoise en raison de son sociétariat limité aux personnes de sexe masculin, et a renvoyé la cause à la Commission de recours pour qu'elle examine si les autres conditions permettant la reconnaissance universitaire étaient remplies. Le recours de l'Université dirigé contre cet arrêt incident de renvoi a été déclaré irrecevable par le Tribunal fédéral (arrêt 2C_687/2009 du 17 février 2010). B.b. A la suite de diverses péripéties procédurales et d'actes d'instruction, la Direction de l'Université, par décision du 25 novembre 2011, a constaté que la Section vaudoise n'était pas une association universitaire, aux motifs que seule la minorité de ses membres appartenait en 2010 à la communauté universitaire et qu'il était impossible pour les femmes d'y adhérer, contrairement aux missions de l'Université, à sa charte et aux principes qu'elle devait respecter. Par arrêt du 3 mai 2012, la Commission de recours a rejeté le recours formé par la Section vaudoise à l'encontre de la décision du 25 novembre 2011. Saisi d'un recours de la Section vaudoise contre l'arrêt du 3 mai 2012, le Tribunal cantonal l'a admis et a réformé l'arrêt, "en ce sens que celui-ci réforme la décision de la Direction de l'Université du 29 août 2011 et maintient la recourante dans son statut d'association universitaire de [l'Université], respectivement constate qu'elle dispose de cette qualité". C. L'Université forme un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral contre l'arrêt du Tribunal cantonal du 28 mars 2013. Elle conclut, avec suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt, subsidiairement à sa réforme, "en ce sens qu'il est constaté que la Section vaudoise n'a pas la qualité d'association universitaire". Le Tribunal cantonal s'en remet à justice s'agissant de la recevabilité du recours et conclut à son rejet. La Section vaudoise conclut, sous suite de frais et dépens, à l'irrecevabilité, subsidiairement au rejet du recours de l'Université. Cette dernière, dans ses observations du 3 septembre 2013, a insisté sur le caractère recevable de son recours. D. Le 21 mars 2014, la Cour de céans a délibéré sur le présent recours en séance publique. 