Sachverhalt: A. Prof. Dr. med. A._ (Beschwerdeführer) ist Kardiologe, der u.a. am Spital Y._ praktiziert. Er ist Mitgründer und Minderheitsaktionär (mit einer Beteiligung von 25 % am Aktienkapital) sowie ehemaliger Verwaltungsrat der Ende 2004 gegründeten und in Z._ domizilierten X._ AG (Beschwerdegegnerin). Diese bietet Dienstleistungen und Weiterbildungen im kardiovaskulären Bereich an und betreibt eine Angiographie-Anlage im Spital Y._. An der Gründung der Beschwerdegegnerin beteiligten sich neben dem Beschwerdeführer die Q._ AG mit Sitz in R._, Dr. med. B._ sowie Dr. med. C._ ebenfalls je mit 25 % des Aktienkapitals. Die vier Gründungsaktionäre schlossen am 27. September 2004 unter sich einen Aktionärbindungsvertrag ("Poolvertrag") ab. Danach sollten die Poolmitglieder nicht nur in einem Beteiligungsverhältnis sondern auch in einem Arbeitsverhältnis zur Gesellschaft stehen, was indes offenbar nie verwirklicht wurde. Des Weiteren enthält der Poolvertrag u.a. auch Bestimmungen über die Organisation der Gesellschaft, Kostenbeiträge der Poolmitglieder und die Verwendung der erwirtschafteten Mittel. Der Beschwerdeführer und Dr. med. D._, Verwaltungsratsmitglied der Q._ AG sowie nachmaliger Präsident des Verwaltungsrats der Beschwerdegegnerin, waren sowohl bei der Gründung als auch bei der operativen Betriebsaufnahme der Beschwerdegegnerin (offenbar ab Mitte 2005) die treibenden Kräfte. Bis zum 5. März 2006 war der Beschwerdeführer Geschäftsführer und Delegierter des Verwaltungsrats der Beschwerdegegnerin. Am 3. Juli 2007 schied er aus dem Verwaltungsrat aus. Heute besteht der Verwaltungsrat der Beschwerdegegnerin nur mehr aus Dr. D._ (Präsident) und E._. Diese beiden Personen bilden zusammen mit Dr. med. F._ (als Verwaltungsratspräsident), Dr. med. G._, Dr. med. H._ und Dr. med. B._ auch den Verwaltungsrat der Q._ AG. Nach verschiedenen gerichtlichen Auseinandersetzungen zwischen den Parteien bzw. ihren Repräsentanten ersuchte der Beschwerdeführer Anfang 2011 um Auskunft und Akteneinsicht zu offenen Fragen, verbunden mit einem Begehren um Einberufung einer ausserordentlichen Generalversammlung. Nach mehreren erfolglosen Aufforderungen zur Einberufung einer ausserordentlichen Generalversammlung fand schliesslich am 6. Mai 2011 die ordentliche Generalversammlung der Beschwerdegegnerin statt, an der auch das Akteneinsichtsbegehren des Beschwerdeführers und dessen Fragen gemäss Fragenkatalog behandelt wurden. Der Antrag des Beschwerdeführers auf Einsetzung eines Sonderprüfers wurde von der Generalversammlung indes abgelehnt. B. Mit Eingabe vom 8. Juli 2011 gelangte der Beschwerdeführer an das Obergericht des Kantons Zug und ersuchte gestützt auf Art. 697b OR um Einsetzung eines Sonderprüfers. Er stellte folgende Rechtsbegehren: "1. Es sei vom Gericht ein unabhängiger Sachverständiger mit der Durchführung einer Sonderprüfung im Sinne von 697a ff. OR zu beauftragen. 2. Der Sachverständige sei zu beauftragen, im Rahmen der Sonderprüfung namentlich folgenden Sachverhalt abzuklären: 2.1. Verdeckte Gewinnausschüttungen, insbesondere an die Mehrheitsaktionäre Q._ AG, Dr. C._ sowie Dr. B._: - wie erklären sich (qualitativ und quantitativ) die augenfällig hohen Aufwendungen der Gesuchsgegnerin in den Geschäftsjahren 2006 bis 2010? Wie erklären sich insbesondere die folgenden Posten (Kto. = Konto-Nummer der Finanzbuchhaltung) : - a) Erfolgsrechnung 2010: - Kto. 3030: Med. Material G. Gemeinsam: 42'854.93 (Verdreifachung gegenüber Vorjahr) - Kto. 4760: Rechts- und Beratungsaufwand: 89'310.55 - b) Erfolgsrechnung 2009: - Kto. 3030: Med. Material G. Gemeinsam CHF 13'470.54 - Kto. 4100: Mieten CHF 31'500 (Verdopplung geg. 2006) - c) Erfolgsrechnung 2008: - Kto. 3030: Med. Material G. Gemeinsam: CHF 16'691 - Kto. 4100: Mieten CHF 31'526.90 (Verdopplung gegenüber 2006) - Kto. 4400: Abschreibungen: CHF 500'020.85 (Vervierfachung gegenüber Vorjahr) - Kto. 7500: a.o.+n.bwl. Ertrag bis 30.6.: CHF -352'134.50 - d) Erfolgsrechnung 2007: - Kto. 4760: Rechts- und Beratungskosten: CHF 168'193.25 - Kto. 3030: Med. Material G. Gemeinsam: CHF 36'571.80 -e) Erfolgsrechnung 2006: - Kto. 3020: Med. Material P. Peripher: CHF 299'056.68 - Kto. 3030: Med. Material G. Gemeinsam/Generell: CHF 256'224.13 - Kto. 4760: Rechts- und Beratungsaufwand CHF 179'594.84 - Kto. 7500: a.o. Aufwand: CHF 150'000 - Kto. 4900: sonstiger Betriebsaufwand: CHF 144'594.84 (im Vor- und Nachfolgejahr Null!) - Welche Leistung erbrachte die Gesuchsgegnerin seit Beginn ihrer Geschäftsfähigkeit im Jahre 2005 zu Gunsten einzelner Aktionäre oder Verwaltungsräte der Gesuchsgegnerin? Wie entschädigt die Gesuchstellerin (quantitativ und qualitativ) Leistungen ihrer Aktionäre oder Verwaltungsräte? - Welche Zahlungen leistete die Gesuchsgegnerin in den Jahren 2005-2007 an Dr. G._, Verwaltungsrat der Q._ AG, einer Aktionärin der Gesuchsgegnerin, und wofür? - Bezahlte die Gesuchsgegnerin ihrer Aktionärin Q._ AG insbesondere im Jahre 2006 überhöhte Preise für Lieferung alter Geräte, insbesondere eines Operationstisches Maquet Modell No. 1120 für CHF 23'000 sowie eines ERBE Koagulationsgerätes für CHF 26'000? - Vertritt RA Dr. J._ sowohl die Gesuchsgegnerin wie auch die Aktionäre Q._ AG, Dr. C._ und Dr. B._ sowie die Verwaltungsräte Dr. D._ und E._ in rechtlichen Belangen? Wie werden Interessenkonflikte vermieden? - 2.2 Verhältnis zur S._ AG: - Warum können/konnten die von S._ AG erbrachten Leistungen nicht durch die Gesuchsgegnerin erbracht werden? In wie weit konkurrieren sich diese Gesellschaften? - Welche Leistungen erbrachte die Gesuchsgegnerin der S._ AG (seit Oktober 2008) ? - Welche Leistungen erbrachte die S._ AG der Gesuchsgegnerin (seit Oktober 2008) ? - Wie wurden diese Leistungen (qualitativ und quantitativ) entschädigt? - Wann/in welcher Form gewährte S._ AG der Gesuchsgegnerin ein Darlehen im Betrag von CHF 97'598? (verbucht per 31.12.2009) - 2.3 Übertragung der Herzkatheter- und Multifunktionsangiographie-Anlage an die S._ AG: - Was war der Restwert der Anlage T._ am Ende der Vertragsdauer des Finanzierungsleasingvertrages zwischen T._ Leasing AG und der Gesuchsgegnerin? - Welchen Verkehrswert hatte diese Anlage im Zeitpunkt (Jahr 2010) ihrer Übertragung an die S._ AG? - Welches waren die Konditionen und die Gründe für die Übernahme dieser Anlage zum Restwert von CHF 3'688 durch die S._ AG und nicht durch die Gesuchsgegnerin, welche den Leasingvertrag mit T._ innehatte? - Trifft es zu, dass die Gesuchsgegnerin bei einer definitiven Übernahme dieser Anlage zum Ende des Finanzierungsleasingvertrags stille Reserven von ca. CHF 737'500 gebildet hätte? - Warum entledigte sich die Gesuchsgegnerin durch die Übertragung der Anlage und die S._ AG ihres hauptsächlichen Vermögenswertes? Welche Auswirkungen hat dies auf die operative Tätigkeit und den Gesellschaftszweck der Gesuchsgegnerin? - Warum wurde die Anlage nicht den Aktionären der Gesuchsgegnerin zum Kauf angeboten? Die S._ AG war nie Aktionärin der Gesuchsgegnerin. - 3. Die Gesuchsgegnerin sei zu verpflichten, einen Kostenvorschuss für die Sonderprüfung zu leisten." Am 20. März 2013 fällte das Obergericht folgendes Urteil: "1. In teilweiser Gutheissung des Gesuchs wird bei der X._ AG ein Sonderprüfer eingesetzt und beauftragt, folgende Fragen schriftlich zu beantworten: 1.1. Was war der Restwert der Anlage T._ am Ende der Vertragsdauer des Finanzierungsleasingvertrages zwischen T._ Leasing AG und der Gesuchsgegnerin? 1.2. Welchen Verkehrswert hatte diese Anlage im Zeitpunkt (Jahr 2010) ihrer Übertragung an die S._ AG? 1.3. Welches waren die Konditionen für eine allfällige Übernahme der Anlage durch die Gesuchsgegnerin und welches waren die Gründe, dass die Gesuchsgegnerin darauf verzichtete? 1.4. Trifft es zu, dass die Gesuchsgegnerin bei einer definitiven Übernahme dieser Anlage zum Ende des Finanzierungsleasingvertrags stille Reserven von ca. CHF 737'500.-- gebildet hätte? 1.5. Welche Auswirkungen hat die Nichtübernahme der Anlage auf die operative Tätigkeit und den Gesellschaftszweck der Gesuchsgegnerin? 2. Die Parteien erhalten Gelegenheit, binnen 20 Tagen Vorschläge zur Person des Sonderprüfers einzureichen. Der Abteilungspräsident bestimmt danach in eigener Kompetenz definitiv den Sonderprüfer, ohne an die Parteivorschläge gebunden zu sein. 3. Die Gesuchsgegnerin wird zur Leistung eines Vorschusses für die Kosten des Sonderprüfers verpflichtet, dessen Höhe zu gegebener Zeit durch den Abteilungspräsidenten festgesetzt wird." C. Der Beschwerdeführer beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, die Dispositiv-Ziffer 1 des Urteils des Obergerichts sei um folgende, im Sonderprüfungsbegehren unter Ziffer 2.2 aufgelisteten Fragen an den Sonderprüfer zu erweitern; ein Sonderprüfer sei zur schriftlichen Beantwortung auch dieser Fragen einzusetzen und zu beauftragen: "1.6 Warum können/konnten die von S._ AG erbrachten Leistungen nicht durch die Gesuchsgegnerin erbracht werden? In wie weit konkurrieren sich diese Gesellschaften? 1.7 Welche Leistungen erbrachte die Gesuchsgegnerin der S._ AG (seit Oktober 2008) ? 1.8 Welche Leistungen erbrachte die S._ AG der Gesuchsgegnerin (seit Oktober 2008) ? 1.9 Wie wurden diese Leistungen (qualitativ und quantitativ) entschädigt? 1.10 Wann/in welcher Form gewährte S._ AG der Gesuchsgegnerin ein Darlehen im Betrag von CHF 97'598? (verbucht per 31.12.2009) ?" Eventualiter sei die Sache zur Vervollständigung des Sachverhalts und Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin und die Vorinstanz beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. 