Sachverhalt: A. Die in X._ wohnhafte S._ wurde am 28. April 2000 im Spital Y._ von einer Tochter entbunden. Sie hielt sich dort bis zum 7. Mai in der allgemeinen Abteilung auf. Das Spital, bei dem es sich um eine auf der Spitalliste des Kantons Bern aufgeführte, nicht öffentlich subventionierte Institution mit privater Trägerschaft handelt, stellte S._ insgesamt Kosten in Höhe von Fr. 11'153.25 (Fr. 7'870.10 für die Mutter und Fr. 3'283.15 für die gesunde Tochter) in Rechnung. Die Assura Kranken- und Unfallversicherung, bei welcher S._ obligatorisch krankenpflegeversichert war, erklärte sich mit Verfügung vom 7. September 2000 bereit, sich an diesen Kosten in Ermangelung eines Tarifs (vertragsloser Zustand) im Umfang des mit dem Frauenspital Bern für eine Geburt vereinbarten Pauschaltarifs von Fr. 2'117.- zu beteiligen. Sie wies darauf hin, damit seien sämtliche anfallenden Kosten der Mutter und des gesunden Säuglings abgegolten. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 9. Oktober 2000 fest. B. S._ liess gegen den Einspracheentscheid beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern Beschwerde erheben und beantragen, die Assura sei zu verpflichten, an die Kosten des Spitalaufenthaltes von Mutter und Kind insgesamt Fr. 11'034.50 aus der obligatorischen Krankenpflegeversicherung zu bezahlen. Mit Entscheid vom 5. September 2001 wies das kantonale Gericht die Beschwerde ab. C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt S._ das vorinstanzlich gestellte Rechtsbegehren erneuern und beantragen, das Spital Y._ sei gestützt auf Art. 110 OG zum Verfahren beizuladen. Eventuell sei die Assura zu verpflichten, ein Schiedsgerichtsverfahren gemäss Art. 89 Abs. 3 KVG gegen das Spital Y._ einzuleiten. Die Assura beantragt Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherung, Kranken- und Unfallversicherung (seit 1. Januar 2004 im Bundesamt für Gesundheit; nachfolgend: Bundesamt) stellt den Antrag, die Verwaltungsgerichtsbeschwerde sei in dem Sinne gutzuheissen, dass der vorinstanzliche Entscheid aufgehoben und die Sache an den Krankenversicherer zurückgewiesen wird, damit dieser zu seinen Lasten die Beschwerdeführerin in einem Schiedsgerichtsverfahren vertritt. 