Sachverhalt: A. Der türkische Staatsangehörige A._ (geb. 1958) reiste Ende Mai 1987 erstmals in die Schweiz ein und durchlief erfolglos ein Asylverfahren. Am 4. September 1989 heiratete er eine Schweizer Bürgerin, verzichtete auf die Ausübung des Beschwerderechts im soeben genannten Asylverfahren und erhielt im Dezember 1989 eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Ehefrau. Am 7. März 1991 wurde ein gemeinsamer Sohn geboren, der - nach der Scheidung - am 3. Mai 1994 unter die elterliche Obhut der Mutter gestellt wurde. A._ reiste in der Folge nach Brasilien aus und heiratete dort am 10. November 1994 eine brasilianische Staatsangehörige, mit welcher er eine Tochter hat (geb. 1995). Auch diese Ehe wurde geschieden (2001). B. Am 16. Januar 1997 hatte A._ ein Asylgesuch in Deutschland gestellt, nachdem er zuvor in den Niederlanden gelebt hatte. Im Mai 1997 lehnten die deutschen Behörden das Asylgesuch ab und ordneten 1998 den Wegweisungsvollzug in die Niederlande an. Nachdem das dort gestellte Asylgesuch letztinstanzlich abgewiesen worden war, gelangte A._ am 16. Mai 1999 erneut in die Schweiz und stellte hier sein zweites Asylgesuch. Dieses wies das damalige Bundesamt für Flüchtlinge (BFF, heute Bundesamt für Migration [BFM]) am 11. April 2002 ab und ordnete die Wegweisung an. Mit Urteil vom 23. März 2005 hiess die damalige Rechtsmittelinstanz des BFF im Asylwesen (die Schweizerische Asylrekurskommission [ARK]) eine hiegegen erhobene Beschwerde, soweit die Wegweisung betreffend, gut, wies sie aber im Asylpunkt rechtskräftig ab und verneinte die Flüchtlingseigenschaft von A._. Hinsichtlich des Wegweisungsvollzuges wurde die Beschwerde als gegenstandslos abgeschrieben. Die ARK erwog, A._ sei Vater eines minderjährigen Sohnes mit Schweizer Bürgerrecht, weshalb ein Aufenthaltsanspruch gestützt auf Art. 8 EMRK nicht grundsätzlich verneint werden könne. Ob ein solcher Anspruch bestehe, sei im ausländerrechtlichen Verfahren zu prüfen. C. Wenige Wochen vorher, am 17. Februar 2005, hatte A._ bei den zuständigen solothurnischen Migrationsbehörden ein Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung eingereicht. Mit Eingabe vom 21. September 2009 unterbreiteten die kantonalen Migrationsbehörden dem Bundesamt für Migration einen Antrag zur Zustimmung zur Erteilung einer humanitären Aufenthaltsbewilligung aufgrund eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalls im Sinne von Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG. In diesem Verfahren liess A._ im Wesentlichen geltend machen, wegen der langen Abwesenheit sei seine Desintegration in der Tükei weit fortgeschritten. Er verfüge dort über kein Beziehungsnetz mehr. Hinzu komme seine schwere psychische Erkrankung, welche eine lebenslängliche Behandlung notwendig mache. Ausserdem stehe er weiterhin in engem Kontakt zu seinem Sohn, welche Beziehung für beide von erheblicher Bedeutung sei. D. Mit Verfügung vom 3. Februar 2010 verweigerte das Bundesamt für Migration die Zustimmung zur Erteilung der Aufenthaltsbewilligung und wies A._ aus der Schweiz weg. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 18. Dezember 2013 ab, soweit es darauf eintrat. Das begründete Urteil versandte es am 17. Januar 2014. E. Mit Eingabe vom 19. Februar 2014 erhebt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das letztgenannte Urteil aufzuheben und das Bundesamt für Migration anzuweisen, der Erteilung der Aufenthaltsbewilligung zuzustimmen. Eventuell sei er - der Beschwerdeführer - vorläufig aufzunehmen, subeventuell die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz, eventualiter an das Bundesamt für Migration zurückzuweisen. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Die kantonalen Akten sind eingeholt worden. Das Bundesamt für Migration beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf Vernehmlassung. 