Sachverhalt: A. A.a. Das Verhöramt Appenzell A.Rh. verurteilte X._ mit Strafverfügung vom 23. November 2009 wegen unanständigen Benehmens im Sinne von Art. 19 des Gesetzes über das kantonale Strafrecht des Kantons Appenzell A.Rh., begangen am 11. Oktober 2009 durch Nacktwandern im öffentlichen Raum, zu einer Busse von 100 Franken respektive zu einer Ersatzfreiheitsstrafe von einem Tag bei schuldhafter Nichtbezahlung der Busse. A.b. Die Kantonsgerichtspräsidentin von Appenzell A.Rh. sprach X._ mit Urteil vom 27. Mai 2010 frei. A.c. Das Obergericht von Appenzell A.Rh. verurteilte X._ mit Entscheid vom 17. Januar 2011 in Gutheissung der Appellation der Staatsanwaltschaft wegen unanständigen Benehmens im Sinne von Art. 19 al. 2 des Gesetzes über das kantonale Strafrecht des Kantons Appenzell A.Rh. zu einer Busse von 100 Franken. A.d. Das Bundesgericht wies die von X._ gegen den Entscheid des Obergerichts erhobene Beschwerde in Strafsachen mit Urteil vom 17. November 2011 ab (Verfahren 6B_345/2011). B. B.a. Am 28. März 2013 informierte die Gerichtskasse von Appenzell A.Rh. die kantonale Strafvollzugsbehörde, dass X._ die Busse innert der vorgegebenen Frist trotz Zahlungsaufforderungen und eingeleitetem Betreibungsverfahren nicht bezahlt habe. Somit müsse die Ersatzfreiheitsstrafe vollzogen werden. Am 3. April 2013 teilte die kantonale Strafvollzugsbehörde X._ mit, dass zufolge schuldhafter Nichtbezahlung der Busse die Ersatzfreiheitsstrafe zu vollziehen sei. Die Behörde ging offensichtlich davon aus, dass das Obergericht in seinem Urteil vom 17. Januar 2011 eine Ersatzfreiheitsstrafe von einem Tag im Falle der schuldhaften Nichtbezahlung der Busse von 100 Franken festgelegt habe. B.b. Mit Schreiben vom 4. April 2013 wies der Rechtsvertreter von X._ die kantonale Strafvollzugsbehörde darauf hin, dass das Obergericht in seinem Urteil vom 17. Januar 2011 keine Ersatzfreiheitsstrafe für den Fall der Nichtbezahlung der Busse festgelegt habe. Demnach könne eine solche auch nicht vollzogen werden. Eine Umwandlung der Busse in eine Ersatzfreiheitsstrafe durch eine kantonale Verwaltungsbehörde schliesse das Gesetz aus. Mithin müsste wohl das Obergericht nachträglich in einem separaten Beschluss eine Ersatzfreiheitsstrafe anordnen. Hierauf beantragte die Strafvollzugsbehörde mit Eingabe vom 8. April 2013 die Festlegung einer Ersatzfreiheitsstrafe durch das Obergericht. Die Strafvollzugsbehörde wies darauf hin, dass die Vollstreckung der Busse beziehungsweise der Ersatzfreiheitsstrafe am 16. Januar 2014 verjähren werde. Daher könne wohl die Entscheidung des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte über die von X._ gegen die Verurteilung wegen unanständigen Benehmens erhobene Beschwerde nicht abgewartet werden. B.c. Mit Verfügung vom 11. April 2013 wies die obergerichtliche Verfahrensleitung darauf hin, dass das Dispositiv des Urteils des Obergerichts vom 17. Januar 2011 insofern unvollständig ist, als für die ausgefällte Busse von 100 Franken entgegen Art. 106 Abs. 2 StGB keine Ersatzfreiheitsstrafe ausgesprochen worden ist. Gemäss Art. 83 Abs. 1 StPO nehme das Gericht, das den Entscheid gefällt hat, auf Gesuch einer Partei oder von Amtes wegen die Berichtigung vor. Den Parteien wurde Gelegenheit zu einer vorgängigen Stellungnahme gegeben. Der Rechtsvertreter von X._ beantragte in seiner Stellungnahme, das Dispositiv des Urteils des Obergerichts vom 17. Januar 2011 sei unverändert zu belassen. Zudem beantragte er, über das anzuwendende Verfahrensrecht sei vorab in einem Zwischenentscheid zu befinden. Die Staatsanwaltschaft von Appenzell A.Rh. verzichtete auf eine Stellungnahme. C. Mit Beschluss vom 19. August 2013 entschied das Obergericht im Verfahren der nachträglichen richterlichen Anordnung gemäss Art. 195 ff. aStPO/AR, dass die Ersatzfreiheitsstrafe für die mit Urteil des Obergerichts vom 17. Januar 2011 ausgefällte Busse von 100 Franken einen Tag beträgt. Es wies das Gesuch von X._ um Gewährung der amtlichen Verteidigung ab und verzichtete auf die Erhebung von Kosten. D. X._ erhebt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, der Beschluss des Obergerichts betreffend die nachträgliche richterliche Anordnung einer Ersatzfreiheitsstrafe sei aufzuheben. Der Kanton Appenzell A.Rh. habe ihm die Parteikosten für das Verfahren vor dem Obergericht zu ersetzen. Es sei ihm für das Verfahren vor dem Obergericht die amtliche Verteidigung zu gewähren. Eventuell sei der Beschluss des Obergerichts aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem ersucht X._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Verfahren vor dem Bundesgericht. E. Mit Schreiben vom 6. Januar 2014 an das Bundesgericht weist der Rechtsvertreter von X._ auf eine Verjährungsproblematik hin. Er vertritt die Auffassung, dass die Verjährung für die Vollstreckung des Obergerichtsurteils vom 17. Januar 2011 am 18. Januar 2014 eintritt. Ab diesem Zeitpunkt sei auch die durch den angefochtenen Beschluss vom 19. August 2013 nachträglich richterlich angeordnete Ersatzfreiheitsstrafe von einem Tag zufolge Verjährung nicht mehr vollstreckbar. In diesem Fall stelle sich die Frage, ob die Beschwerde in Strafsachen, soweit sie sich gegen die nachträgliche Anordnung der Ersatzfreiheitsstrafe von einem Tag richtet, wegen Wegfalls des aktuellen Rechtsschutzinteresses durch Abschreibung erledigt werden könne. Die weiteren Rechtsbegehren in der Beschwerde würden hingegen von der Verjährungsproblematik nicht berührt. 