Sachverhalt: A. A.a Die Chesa C._ ist ein 1975 erstelltes Mehrfamilienhaus mit 26 Wohnungen. Am 11. Februar 1993 erwarb X._ die 5-Zimmerwohnung Nr. 554 im Attikageschoss, deren Eigentümer gemäss der Erklärung auf Begründung von Stockwerkeigentum vom 24. Juli 1975 das alleinige und uneingeschränkte Benützungsrecht an 2 Balkonen und 2 Dachterrassen zusteht. Bereits am 26. Januar 1993 hatte X._ an einer Stockwerkeigentümerversammlung teilgenommen, an welcher über seinen Antrag bezüglich des Umbaus seiner Wohnung und der Umgestaltung der Terrasse diskutiert wurde. Die Versammlung gab ihre Zustimmung zu den geplanten Veränderungen. Im Frühjahr 1994 trat in der unter der Wohnung von X._ liegenden Wohnung ein grösserer Wasserschaden auf, der eine Sanierung des ganzen Dachteils der oberen Wohnung erforderlich machte. In der Folge liess X._ den überdachten Terrassenteil mit Granitplatten verlegen und den äusseren Dachteil mit Grasziegeln bepflanzen und in einem Abstand von 30 bis 120 cm entlang der Aussenmauer eine Bruchsteinmauer errichten. Der Zwischenraum wurde mit Erde aufgefüllt und mit Blumen und kleinen Sträuchern bepflanzt. A.b Im Juli 1996 trat in der gleichen Wohnung ein weiterer Wasserschaden auf. Die Versicherungsgesellschaft, die für den Schaden aufzukommen hatte, liess durch ihren Architekten ein Gutachten erstellen. Darin wurde festgehalten, beim Natursteinplattenboden fehle an den Wandanschlüssen das Winkelblech und es seien im Weiteren die Türschwellen nicht nach den SIA-Empfehlungen erstellt worden. X._ bestritt die gegenüber ihm erhobenen Vorwürfe. Die Stockwerkeigentümergemeinschaft beauftragte ihrerseits einen Experten zur statischen Überprüfung der Dachgartenanlage. Dieser kam u.a. zum Schluss, dass der nach den Regeln der Baukunde (SIA-Norm) zulässige Wert für Stahlspannungen erheblich überschritten worden sei; bei grossen Schneelasten könnten deshalb nicht mehr rückgängig zu machende Verformungen auftreten. A.b Im Juli 1996 trat in der gleichen Wohnung ein weiterer Wasserschaden auf. Die Versicherungsgesellschaft, die für den Schaden aufzukommen hatte, liess durch ihren Architekten ein Gutachten erstellen. Darin wurde festgehalten, beim Natursteinplattenboden fehle an den Wandanschlüssen das Winkelblech und es seien im Weiteren die Türschwellen nicht nach den SIA-Empfehlungen erstellt worden. X._ bestritt die gegenüber ihm erhobenen Vorwürfe. Die Stockwerkeigentümergemeinschaft beauftragte ihrerseits einen Experten zur statischen Überprüfung der Dachgartenanlage. Dieser kam u.a. zum Schluss, dass der nach den Regeln der Baukunde (SIA-Norm) zulässige Wert für Stahlspannungen erheblich überschritten worden sei; bei grossen Schneelasten könnten deshalb nicht mehr rückgängig zu machende Verformungen auftreten. B. Nach erfolglos verlaufener Sühneverhandlung reichte die Stockwerkeigentümergemeinschaft Chesa C._ beim Bezirksgericht Maloja am 12. Mai 1997 Klage ein, im Wesentlichen mit folgenden Hauptbegehren: 1.a Der Beklagte sei zu verpflichten, den inneren Teil der Flachdachterrasse der beklagtischen Attikawohnung Nr. 554 in der Chesa C._ in ein sämtlichen Regeln der Baukunst entsprechendes Werk zu über- führen, und zwar durch konkret vom Gericht festzulegende (aufgrund eines Gutachtens zu ermittelnde) bauliche Massnahmen. 1.a Der Beklagte sei zu verpflichten, den inneren Teil der Flachdachterrasse der beklagtischen Attikawohnung Nr. 554 in der Chesa C._ in ein sämtlichen Regeln der Baukunst entsprechendes Werk zu über- führen, und zwar durch konkret vom Gericht festzulegende (aufgrund eines Gutachtens zu ermittelnde) bauliche Massnahmen. ... 2.a Der Beklagte sei zu verpflichten, sämtliche auf dem äusseren Teil der Flachdachterrasse aufgebrachten, von der Klägerin nicht bewilligten Dachaufbauten fachmännisch zu entfernen, insbesondere die Rabatte, die Bruchsteinmauer, die Rasenziegel sowie die abgesägten Holz- pfosten der Pergola. ... 2.a Der Beklagte sei zu verpflichten, sämtliche auf dem äusseren Teil der Flachdachterrasse aufgebrachten, von der Klägerin nicht bewilligten Dachaufbauten fachmännisch zu entfernen, insbesondere die Rabatte, die Bruchsteinmauer, die Rasenziegel sowie die abgesägten Holz- pfosten der Pergola. ... 3. Der Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin Fr. 45'000.00 nebst Zins zu 5 % seit 3. Dezember 1996 zu bezahlen." Das Bezirksgericht hiess die Klage mit Urteil vom 27. Juni 2000 teilweise gut, wobei die massgebenden Dispositivbestimmungen wie folgt lauten: 1. Die Klage wird teilweise gutgeheissen und der Beklagte wird verpflichtet, den inneren Teil der Flachdachterrasse der beklagtischen Attikawohnung Nr. 554 in der Chesa C._ (...) nach Massgabe der Sanierungsvariante 3 gemäss Gutachtensergänzung vom 6. April 2000 zu sanieren, indem entlang der Aussenwände 2 Plattenreihen und der Plattensockel entfernt werden, auf einer Breite von 50 cm entlang der Aussenwand der Überzug vorsichtig abgespitzt wird, die Terrassentüre ausgewechselt und eine neue Schwelle eingebracht wird, eine neue Dachpappe auf die alte abgeschweisst, an der Wand hochgezogen und mit Winkelblech und Silikon abgeschlossen wird, der Zementüberzug neu eingebracht und die Platten wieder verlegt werden. 2. Der Beklagte wird verpflichtet, nach Massgabe des Gutachtens vom 14. Januar 1999 die auf dem äusseren Teil der Flachdachterrasse aufgebrachten Rabatten, die Bruchsteinmauer sowie die Rasenziegel und die abgesägten Holzpfosten der Pergola zu entfernen. 3. Der Beklagte wird verpflichtet, der Klägerin CHF 22'438.--, zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 3. Dezember 1996, zu bezahlen." Beide Parteien reichten Berufung ein. Mit Urteil vom 18. Juni 2001 hiess das Kantonsgericht von Graubünden, Zivilkammer, die Berufungen teilweise gut und hob das angefochtene Urteil auf. Im Weitern wurde im Wesentlichen Folgendes entschieden: 2. Die Klage wird teilweise gutgeheissen und der Beklagte verpflichtet, den inneren Teil der Flachdachterrasse seiner Attikawohnung Nr. 554 in der Chesa C._ (...) in der Weise zu sanieren, dass entlang der Aussenwände 2 Plattenreihen und der Plattensockel entfernt werden, auf einer Breite von 50 cm entlang der Aussenwand der Überzug vorsichtig abgespitzt wird, eine neue Dachplatte auf die alte abgeschweisst, an der Wand hochgezogen und mit Winkelblech und Silikon abgeschlossen sowie der Zementüberzug neu eingebracht wird und die Platten wieder verlegt werden. 3. Der Beklagte wird verpflichtet, die Rabatten, die Bruchsteinmauern, die Rasenziegel und die abgesägten Holzpfosten der Pergola zu entfernen. 4. Der Beklagte wird verpflichtet, der Klägerin Fr. 21'968.-- nebst 5 % Zins seit dem 3. Dezember 1996 zu zahlen. .. ..." Ein Erläuterungsgesuch von X._ hiess das Kantonsgericht am 1. Februar 2002 teilweise gut, indem es in der Ziffer 2 der vorgenannten Dispositivbestimmung vor "entlang der Aussenwände" einfügte: "unter Ausschluss des Bereichs des Dachwasserablaufs." Ein Erläuterungsgesuch von X._ hiess das Kantonsgericht am 1. Februar 2002 teilweise gut, indem es in der Ziffer 2 der vorgenannten Dispositivbestimmung vor "entlang der Aussenwände" einfügte: "unter Ausschluss des Bereichs des Dachwasserablaufs." C. X._ hat gegen das Urteil des Kantonsgerichts von Graubünden vom 18. Juni 2001 beim Bundesgericht staatsrechtliche Beschwerde und Berufung eingereicht. Er beantragt mit jener die Aufhebung des angefochtenen Urteils. Das Kantonsgericht hat mit der Übersendung der Eingaben und der Akten beantragt, die staatsrechtliche Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Von der Beschwerdegegnerin wurde keine Vernehmlassung eingeholt. C. X._ hat gegen das Urteil des Kantonsgerichts von Graubünden vom 18. Juni 2001 beim Bundesgericht staatsrechtliche Beschwerde und Berufung eingereicht. Er beantragt mit jener die Aufhebung des angefochtenen Urteils. Das Kantonsgericht hat mit der Übersendung der Eingaben und der Akten beantragt, die staatsrechtliche Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Von der Beschwerdegegnerin wurde keine Vernehmlassung eingeholt. D. D.a Wie schon während des kantonalen Erläuterungsverfahrens wurde das Verfahren während der Dauer einer Strafuntersuchung wegen falschen Zeugnisses und Urkundenfälschung gegen den Zeugen A._ sistiert. Dieses Verfahren endete mit der Einstellungsverfügung der Staatsanwaltschaft Graubünden vom 29. Januar 2003. D.b Mit Beschluss vom 21. März 2003 wurde das vorliegende Verfahren wieder aufgenommen und den Parteien Gelegenheit zur Stellungnahme zur Einstellungsverfügung der Staatsanwaltschaft Graubünden gegeben. Von dieser Möglichkeit machte der Beschwerdeführer mit Eingabe vom 30. April 2003 Gebrauch, während die Beschwerdegegnerin mit Eingabe vom 2. April 2003 erklärte, mangels Kenntnis der Berufung und der staatsrechtlichen Beschwerde sei eine sachdienliche Stellungnahme zum Inhalt der Einstellungsverfügung zur Zeit nicht möglich, weshalb darauf verzichtet werde. Hingegen wurde das Bundesgericht gebeten, seinen Entscheid vor Ende August 2003 mitzuteilen, so dass die notwendigen Sanierungsarbeiten in jedem Falle im Herbst 2003, vor Wintereinbruch, durchgeführt werden könnten. 