Sachverhalt: A. Mit separaten Entscheiden vom 29. August 2008 wies die Krankenkasse KPT AG (nachfolgend: KPT) die Einsprachen ihres Versicherten I._ gegen die Kassenverfügungen vom 2. Oktober 2007 und vom 22. April 2008 betreffend ausstehende KVG-Prämien ab. Sie stellte fest, dass I._ der KPT den Betrag von Fr. 3'609.20 für die Prämien der Monate Januar bis Dezember 2006 (à je Fr. 278.50, zuzüglich Fr. 20.- Mahnspesen, Fr. 202.25 Zins und Fr. 91.- Betreibungskosten; abzüglich Zahlung vom 13. September 2006 in der Höhe von Fr. 46.05) und den Betrag von Fr. 1'130.- für die Prämien der Monate August bis Dezember 2007 (à Fr. 167.35/August und à je Fr. 189.90/September bis Dezember, zuzüglich Fr. 100.- Mahnspesen, Fr. 79.- Betreibungskosten und Fr. 25.80 Zinsen) schuldet. Zugleich hob sie die Rechtsvorschläge des I._ gegen die entsprechenden Zahlungsbefehle der Betreibungen Nr. ... und Nr. ... des Betreibungsamtes auf. B. Gegen die Einspracheentscheide vom 29. August 2008 erhob I._ beim Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen Beschwerde mit den Anträgen, die beiden Verfahren zu vereinigen, die angefochtenen Entscheide aufzuheben (Rechtsbegehren, Ziff. 1) und die Sache an die KPT zur Neubeurteilung "im Sinne der rechtlich korrekten Berechnungen, des Zinses und der Prämien, sowie die Gewährung des rechtlichen Gehörs" zurückzuweisen (Rechtsbegehren, Ziff. 2); zudem sei festzustellen, "dass die Klägerin wiederholt gegen Bundesrecht verstossen hat, indem sie ggf. anteilsweise Prämiengelder der Grundversicherung zu Ungunsten des Versicherten zweckentfremdet und für politische bzw. unverhältnismässig für Marketing u.a. Ziele verwendet hat; demgemäss seien die Prämien für das Jahr 2006 sowie für die Monate August bis Dezember 2007 neu festzusetzen (Rechtsbegehren, Ziff. 3), wobei vorgängig "alle Fakten der Berechnungen" der Kasse zuhanden des Verfahrens zu edieren seien (S. 5 der Beschwerde ["Editionsbegehren"]). Das Versicherungsgericht gab dem Antrag auf Verfahrensvereinigung statt und wies die Beschwerde, soweit die beanstandete Erhebung von Verzugszinsen auf den ausstehenden Prämien betreffend, ab. Im Übrigen trat es auf die Beschwerde nicht ein (Entscheid vom 3. Juni 2009). C. I._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem sinngemässen Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben, soweit darin auf Nichteintreten erkannt werde, und es sei die Sache diesbezüglich zur materiellen Behandlung an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Des Weitern beantragt er: "(...) 2. Eventualiter sei durch das Gericht festzustellen, dass die Beschwerdegegnerin wiederholt gegen Bundesrecht verstossen hat, in dem sie anteilsweise Prämiengelder der Grundversicherung zu Ungunsten des Versicherten zweckentfremdet und damit den Interessenverband der Krankenversicherer, Namens Santésuisse, finanziert. 3. Eventualiter sei durch das Bundesgericht festzustellen, dass die Beiträge an die Santésuisse, welche in den OKP-Prämien enthalten sind, durch den Versicherten nicht geschuldet sind. Dem gemäss seien die Prämien durch den Versicherten für das Jahr 2006 (...) und die selben für die Monate August bis Dezember (...) [2007] neu festzusetzen." 