Faits: A. A.a D._ travaille depuis 1992 en qualité d'aide-concierge pour le compte de X._. Souffrant de douleurs lombaires, il a été contraint de réduire son taux d'activité à 50 % à compter du milieu de l'année 2003. Il a déposé le 5 janvier 2004 une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Au cours de l'instruction de cette demande, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI) a confié la réalisation d'une expertise au docteur B._, spécialiste en médecine interne et en rhumatologie disposant d'une formation complémentaire en médecine psychosomatique et psychosociale. Dans son rapport du 4 novembre 2004, ce médecin a posé les diagnostics de troubles de la personnalité passifs-dépendants avec immaturité affective et de lombalgies chroniques persistantes (discarthrose L5-S1; posture du tronc en renversement lombaire; composante psychosomatique concomitante). D'après lui, l'assuré était "un lombalgique chronique, à substratum anatomique modéré et qui présente des lombalgies partiellement psychosomatiques, dans un contexte de troubles profonds du développement psychologique". Il proposait à l'office AI de reconnaître à cet assuré "une incapacité de travail de longue durée de 50 % avec un rendement entier, afin de préserver le poste de travail de ce patient qui est (...) un homme très limité, aux compétences sociales et relationnelles tenues et qui devrait probablement émarger de l'assistance sociale si ladite demande devait être écartée ". Considérant que les facteurs limitatifs mis en évidence par le docteur B._ étaient de nature psychique, l'office AI a confié la réalisation d'une seconde expertise au docteur E._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Dans le rapport qu'il a établi le 25 février 2005, ce médecin a retenu le diagnostic de personnalité dépendante, diagnostic qui demeurait toutefois sans répercussion sur la capacité de travail, l'assuré restant d'un point de vue psychiatrique apte à travailler à 100 %. Par décision du 28 septembre 2005, confirmée sur opposition le 4 avril 2007, l'office AI a rejeté la demande de prestations, au motif que l'assuré disposait d'une capacité de travail de 100 % dans une activité adaptée à ses lombalgies chroniques persistantes, à savoir une activité légère excluant le port de charges lourdes. Par jugement du 28 mars 2008, le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, Cour des assurances sociales (aujourd'hui: le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public) a rejeté le recours formé par l'assuré contre cette décision. Constatant qu'il existait une incertitude quant à la capacité de travail sur le plan somatique, le Tribunal fédéral a admis le recours interjeté par l'assuré, annulé le jugement attaqué et renvoyé la cause à l'office AI pour complément d'instruction sous la forme d'une expertise rhumatologique (arrêt 9C_373/2008 du 24 février 2009). A.b Reprenant l'instruction de ce dossier, l'office AI a confié la réalisation d'une expertise rhumatologique à la doctoresse A._. Dans son rapport du 14 décembre 2009, ce médecin a retenu les diagnostics de spondylodiscarthrose cervico-lombaire évolutive, de périarthropathie de la hanche droite, de périarthrite scapulo-humérale droite modérée et d'arthrose métatarsophalangienne des premiers rayons sur pied creux stade I; si l'assuré présentait une incapacité de travail de 50 % depuis 2003 dans son activité habituelle d'aide-concierge, la capacité résiduelle de travail dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles engendrées par les atteintes à la santé s'élevait à 80 % en 2003, à 70 % en 2007 et à 60 % au moment de l'examen. Se fondant sur les conclusions de cette expertise, l'office AI a, par décision du 10 août 2011, alloué à l'assuré un quart de rente d'invalidité du 1er octobre 2003 au 31 décembre 2009, puis une demi-rente d'invalidité à compter du 1er janvier 2010. B. Par jugement du 31 juillet 2012, le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, a rejeté le recours formé par l'assuré contre cette décision. C. D._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut principalement à l'octroi d'une demi-rente d'invalidité à compter du 1er octobre 2003 et subsidiairement au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour complément d'instruction et nouvelle décision. 