Sachverhalt: A. B.X._ (Jg. 1956) und A.X._ (Jg. 1967) sind Staatsangehörige Serbiens. Sie wohnen seit 1987 bzw. 1990 in der Gemeinde Schlieren im Kanton Zürich. Die von ihnen gestellten Einbürgerungsgesuche lehnte die Bürgerrechtskommission der Gemeinde Schlieren am 7. Februar 2012 ab. Sie begründete ihren Entscheid im Wesentlichen mit der fehlenden sozialen Integration der Gesuchstellerin und des Gesuchstellers. B.X._ und A.X._ fochten diesen Entscheid beim Bezirksrat Dietikon an. Dieser wies den Rekurs am 2. Oktober 2012 ab. B. Die von ihnen dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich am 10. April 2013 ab. C. B.X._ und A.X._ führen subsidiäre Verfassungsbeschwerde und beantragen, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben; die Bürgerrechtskommission sei anzuweisen, ihnen das Bürgerrecht der Gemeinde Schlieren zu verleihen. Die Bürgerrechtskommission beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht verzichtet auf eine Stellungnahme. B.X._ und A.X._ verzichten auf eine Replik. 