Faits: Faits: A. Licenciée en lettres, Y._, née en 1946, a travaillé dans le domaine de l'édition, puis dans des musées, en qualité de conservatrice ou de responsable de collections et de bibliothèques historiques. X._ est un collectionneur d'objets et d'oeuvres d'art; il est régulièrement appelé à prêter des pièces de sa collection pour des expositions en Suisse et à l'étranger, voire à organiser des expositions complètes. Dès les années 1980, l'importance des aspects administratifs liés à la gestion de ses biens artistiques l'a amené à s'attacher les services d'une personne à plein temps. C'est ainsi qu'en février 1987, X._ a engagé Y._ comme collaboratrice scientifique. Celle-ci a notamment effectué des recherches et des traductions; elle s'est également occupée de la coordination des prêts de la collection X._, à l'entière satisfaction de son employeur. Elle a quitté son emploi le 31 décembre 1995 pour rejoindre le musée A._, où elle travaillera comme collaboratrice des commissions d'exposition chargée de l'organisation et de la coordination des projets et des catalogues. A la fin de l'année 1999, X._ a proposé à Y._ de collaborer à nouveau avec lui. Le 30 novembre 1999, les parties ont conclu un contrat de travail de durée déterminée, allant du 1er mars 2000 au 31 août 2011; le salaire brut annuel s'élevait à 130'000 fr. et le droit au salaire en cas d'empêchement non fautif de travailler était fixé à six mois. Ayant collaboré avec X._ pendant huit ans, Y._ connaissait les avantages et les inconvénients liés à cet emploi. Il n'était ainsi pas toujours facile de travailler pour le collectionneur, doté d'un caractère passionné et exigeant, mais également nerveux au point de rendre l'ambiance de travail tendue. Par ailleurs, l'activité demandée, qui s'exerçait essentiellement au domicile de l'employeur, supposait une implication personnelle accrue dans la vie privée de X._. Dès le 11 juin 2003, Y._ s'est trouvée, pour une durée indéterminée, en incapacité totale de travailler en raison d'un cancer. En septembre 2003, l'épouse de X._ a écrit à Y._, en particulier pour lui adresser des voeux de meilleure santé; son mari a ajouté quelques mots à la main. En novembre 2003, X._ a téléphoné à sa collaboratrice pour prendre de ses nouvelles. A cette occasion, il lui a confirmé que son salaire serait versé intégralement jusqu'à la fin décembre 2003, conformément au contrat; il lui a également fait savoir qu'un montant de 4'000 fr. par mois lui serait payé à bien plaire jusqu'au 30 juin 2004. Par courrier de son conseil du 15 décembre 2003, Y._ a élevé divers griefs à l'encontre de X._; elle demandait ainsi à son employeur de lui fournir, avant qu'elle ne reprenne le travail, un certain nombre de garanties liées à la protection de sa personnalité (art. 328 CO). Elle exigeait également le paiement de vingt-trois jours de vacances non pris en 2003, pour un montant total de 11'705 fr. L'employée a joint à cette lettre une «attestation médicale» établie le 4 décembre 2003 par son gynécologue. Selon ce document, l'état de santé de Y._, en particulier sa résistance immunitaire, se sont affaiblis «en relation directe avec son travail», source de stress; en conclusion, le médecin déconseille à sa patiente de reprendre son activité chez le même employeur. Le 30 décembre 2003, X._ a versé à Y._ le montant qu'elle réclamait au titre des vacances non prises. Le même jour, il a annulé l'ordre de virement de 4'000 fr. par mois. Par lettre du 8 janvier 2004, le conseil de X._ a résilié le contrat de travail avec effet immédiat. A son sens, le courrier du 15 décembre 2003 était de nature à rompre le rapport de confiance entre les parties et à fonder ainsi un licenciement immédiat pour justes motifs au sens de l'art. 337 CO. Néanmoins, eu égard notamment à l'état de santé de l'employée, l'avocat du collectionneur préférait invoquer l'art. 119 CO, Y._ se trouvant dans l'incapacité de fournir sa prestation de travail pour une période durable. Par lettre du 8 janvier 2004, le conseil de X._ a résilié le contrat de travail avec effet immédiat. A son sens, le courrier du 15 décembre 2003 était de nature à rompre le rapport de confiance entre les parties et à fonder ainsi un licenciement immédiat pour justes motifs au sens de l'art. 337 CO. Néanmoins, eu égard notamment à l'état de santé de l'employée, l'avocat du collectionneur préférait invoquer l'art. 119 CO, Y._ se trouvant dans l'incapacité de fournir sa prestation de travail pour une période durable. B. Par demande déposée le 19 janvier 2004, Y._ a assigné X._ en paiement de 1'076'213 fr. plus intérêts, soit: - 985'834 fr. à titre de salaire jusqu'au terme du contrat; - 65'000 fr. à titre d'indemnité pour licenciement immédiat injustifié; - 20'000 fr. à titre d'indemnité pour tort moral; - 5'379 fr. à titre d'indemnité au sens de l'art. 5 al. 3 de la loi fédérale sur l'égalité entre femmes et hommes (LEg; RS 151.1). Le chargé accompagnant la demande comportait un certificat médical daté du 12 janvier 2004, par lequel un médecin du département de radio-oncologie des Hôpitaux Universitaires de Genève attestait de la capacité de travail totale de Y._ à partir du 1er février 2004. Par courrier du 26 janvier 2004, le conseil de X._ a pris acte de ce fait et invité Y._ à se présenter sur son lieu de travail le 1er février. Cette lettre a été suivie des mises en demeure des 28 (recte: 27) et 30 janvier 2004, auxquelles Y._ n'a pas donné suite. Considérant que l'employée n'entendait pas assumer ses obligations, X._, toujours par l'intermédiaire de son conseil, lui a fait savoir, par courrier du 3 février 2004, qu'il résiliait le contrat de travail avec effet immédiat pour justes motifs au sens de l'art. 337 CO. Lors de l'audience du 26 avril 2004 devant le Tribunal des prud'hommes du canton de Genève, X._ a renouvelé, en vain, son offre de reprendre Y._ à son service. La caisse cantonale genevoise de chômage est intervenue à la procédure en vertu de sa subrogation dans les droits de Y._ à hauteur de 3'735 fr.95 pour février 2004, 5'825 fr.20 pour mars 2004, 5'563 fr.75 pour avril 2004, 5'301 fr.65 pour mai 2004, 5'563 fr.75 pour juin 2004 et 5'563 fr.75 pour juillet 2004. Depuis le 1er août 2004, Y._ travaille comme responsable des relations publiques et de la coordination pour la Fondation B._ de la société F. Hoffmann-La Roche. Sa rémunération annuelle est de 112'000 fr. Par jugement du 10 janvier 2005, le Tribunal des prud'hommes a débouté Y._ et la caisse de chômage de toutes leurs conclusions. Statuant le 18 juillet 2005 sur appel de l'employée, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes a annulé le jugement de première instance. Elle a condamné X._ à payer à Y._ à titre de salaire le montant brut de 174'500 fr., plus intérêts à 5% dès le 19 janvier 2004, sous déduction des sommes dues à la caisse cantonale genevoise de chômage, soit: - 3'735 fr.95 plus intérêts à 5% dès le 9 avril 2004; - 5'825 fr.20 plus intérêts à 5% dès le 19 avril 2004; - 5'563 fr.75 plus intérêts à 5% dès le 4 mai 2004; - 5'301 fr.65 plus intérêts à 5% dès le 4 juin 2004; - 5'563 fr.75 plus intérêts à 5% dès le 2 juillet 2004; - 5'563 fr.75 plus intérêts à 5% dès le 27 juillet 2004. En outre, X._ a été condamné à payer à Y._ le montant de 10'000 fr., plus intérêts à 5% dès le 19 janvier 2004, à titre d'indemnité pour résiliation immédiate injustifiée. En outre, X._ a été condamné à payer à Y._ le montant de 10'000 fr., plus intérêts à 5% dès le 19 janvier 2004, à titre d'indemnité pour résiliation immédiate injustifiée. C. X._ forme un recours de droit public. Il conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal et au renvoi de l'affaire à la Cour d'appel pour nouvelle décision. Y._ propose le rejet du recours. La caisse cantonale genevoise de chômage n'a pas été invitée à se déterminer. Parallèlement, X._ a interjeté un recours en réforme contre le même arrêt. Y._ a formé un recours joint. 