Fatti: A. A.a. C._ è nata il 19 settembre 2011 negli Stati Uniti dalla relazione tra A._ (cittadina italiana e svizzera) e B._ (cittadino italiano). I genitori si sono conosciuti nell'estate del 2010 in Norvegia, paese in cui B._ vive e lavora dal 2009 e A._ si era trasferita con una borsa di studio temporanea. A.b. All'inizio di ottobre 2011 i genitori e la figlia si sono recati in Italia e in Svizzera per incontrare i familiari. Alla fine di tale mese B._ è rientrato a X._ (Norvegia), A._ e la minore l'hanno raggiunto qualche giorno più tardi. Il 20 marzo 2012 madre e figlia hanno lasciato la Norvegia. Dopo un breve soggiorno in Svizzera e in Italia, esse si sono recate negli Stati Uniti, dove il 7-8 giugno 2012 era prevista la consegna del dottorato alla madre. A.c. La data di rientro in Norvegia di A._ e della minore era prevista per il 13 giugno 2012. Dal 12 giugno 2012 madre e figlia si sono trasferite a Y._ (Svizzera). Il 14 giugno 2012 B._ ha denunciato alla polizia norvegese il mancato rientro della minore in Norvegia. La procedura penale non ha avuto seguito ed è stata archiviata. B. In data 6 febbraio 2013 B._ ha presentato presso la Camera di protezione del Tribunale d'appello del Cantone Ticino un'istanza fondata sulla convenzione dell'Aia del 25 ottobre 1980 sugli aspetti civili del rapimento internazionale di minori (CArap; RS 0.211.230.02) per ottenere che fosse ingiunto sotto comminatoria dell'art. 292 CP a A._ di riportare la figlia in Norvegia entro dieci giorni dal passaggio in giudicato della decisione di rientro. Con sentenza 24 giugno 2013 la Camera di protezione ha parzialmente accolto l'istanza di B._, ordinando a A._ di assicurare il ritorno della figlia a X._ (Norvegia) entro sessanta giorni dalla crescita in giudicato della sua decisione (dispositivo n. 1), e ha predisposto misure di esecuzione (dispositivi n. 2 e 3). C. Con ricorso in materia civile 5 luglio 2013 A._ ha chiesto al Tribunale federale in via principale di annullare la sentenza cantonale e di riformarla nel senso che l'istanza 6 febbraio 2013 di B._ sia respinta, e in via subordinata di riformare la sentenza cantonale nel senso di aggiungere alle misure di esecuzione previste al dispositivo n. 2 la nomina di un curatore per rappresentare la figlia nella " procedura avente per oggetto l'attuazione del ritorno in Norvegia ". La ricorrente ha altresì postulato il conferimento dell'effetto sospensivo al rimedio e la concessione dell'assistenza giudiziaria con il gratuito patrocinio del proprio legale. Con decreto 8 luglio 2013 al gravame è stato conferito l'effetto sospensivo supercautelare limitatamente al dispositivo n. 1 della sentenza impugnata. La Corte cantonale ha rinunciato a formulare osservazioni al ricorso. Con scritto 12 luglio 2013 C._, rappresentata dalla sua curatrice, ha presentato alcune osservazioni al ricorso, e con scritto 31 luglio 2013 ha chiesto la concessione del gratuito patrocinio. Con risposta 19 luglio 2013 l'opponente ha postulato la reiezione del ricorso e ha chiesto di essere posto al beneficio dell'assistenza giudiziaria (con gratuito patrocinio) e di essere esonerato dal pagamento di eventuali ripetibili. 