Sachverhalt: A. Der 1961 geborene E._ war als Bohr-Polier in der Firma G._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er am 21. September 1998 einen Fahrradunfall erlitt. Gemäss Unfallmeldung vom 20. Oktober 1998 kam er zu Fall, als die Lenkstange brach. Der am 23. September 1998 aufgesuchte Hausarzt stellte eine Rissquetschwunde im Bereich der linken Augenbraue sowie Prellungen in der linken Wangenregion und am linken Knie fest. Er diagnostizierte ein Kontusionstrauma der Halswirbelsäule (HWS) nebst Rissquetschwunde sowie Exkoriationen und bestätigte eine Arbeitsunfähigkeit (Bericht vom 30. Oktober 1998). Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht. Sie schloss den Fall folgenlos ab, nachdem ab 23. November 1998 wieder eine volle Arbeitsfähigkeit bestanden hatte und keine Heilbehandlung mehr erforderlich war. Im Dezember 2002 meldete E._ einen Rückfall. Die SUVA erbrachte, wie schon im Grundfall, die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Mit Verfügung vom 18. April 2005 verneinte sie mit sofortiger Wirkung jeglichen weiteren Leistungsanspruch, da die noch geklagten Beschwerden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang zum Unfall vom 21. September 1998 stünden. Die vom Krankenversicherer des E._ vorsorglich erhobene Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache des Versicherten wies die SUVA ab (Einspracheentscheid vom 20. Oktober 2005). B. Die von E._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern unter Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung mit Entscheid vom 11. Juli 2007 ab. C. E._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der kantonale Entscheid aufzuheben und die SUVA zu verpflichten, die Versicherungsleistungen rückwirkend ab 18. April 2005 wieder vollumfänglich aufzunehmen; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Am 27. November 2007 weist das Bundesgericht ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab. E. Mit Eingaben vom 25. März resp. 9. April 2008 ergänzen die Parteien ihre Vorbringen im Hinblick auf das zwischenzeitlich ergangene Urteil BGE 134 V 109. E._ lässt überdies weitere Arztberichte auflegen. 