Sachverhalt: Sachverhalt: A. Im Eheschutzverfahren der Eheleute X._ (Ehemann) und Y._ (Ehefrau) nahm die Richterin des Amtsgerichtspräsidenten II von Hochdorf mit Entscheid vom 9. Januar 2004 davon Vormerk, dass die Parteien seit dem 21. März 2003 getrennt leben, und berechtigte sie, weiterhin und für unbestimmte Zeit nach Art. 175 ZGB getrennt zu leben. Der Ehemann wurde verpflichtet, an den Unterhalt der Ehefrau persönlich ab 1. April 2003 monatlich und zum voraus mit Fr. 1'450.-- bzw. ab dem 1. Juli 2004 mit Fr. 1'700.-- beizutragen. A. Im Eheschutzverfahren der Eheleute X._ (Ehemann) und Y._ (Ehefrau) nahm die Richterin des Amtsgerichtspräsidenten II von Hochdorf mit Entscheid vom 9. Januar 2004 davon Vormerk, dass die Parteien seit dem 21. März 2003 getrennt leben, und berechtigte sie, weiterhin und für unbestimmte Zeit nach Art. 175 ZGB getrennt zu leben. Der Ehemann wurde verpflichtet, an den Unterhalt der Ehefrau persönlich ab 1. April 2003 monatlich und zum voraus mit Fr. 1'450.-- bzw. ab dem 1. Juli 2004 mit Fr. 1'700.-- beizutragen. B. Das Obergericht des Kantons Luzern verpflichtete den Ehemann in teilweiser Gutheissung seines Rekurses, der Ehefrau persönlich einen monatlichen, vorauszahlbaren und ab Verfall mit 5% verzinslichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'450.-- für die Zeit vom 14. April 2003 (Datum des Begehrens) bis 30. Juni 2004, danach Fr. 1'500.-- zu bezahlen (Entscheid vom 2. April 2004, Ziff. 5). B. Das Obergericht des Kantons Luzern verpflichtete den Ehemann in teilweiser Gutheissung seines Rekurses, der Ehefrau persönlich einen monatlichen, vorauszahlbaren und ab Verfall mit 5% verzinslichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'450.-- für die Zeit vom 14. April 2003 (Datum des Begehrens) bis 30. Juni 2004, danach Fr. 1'500.-- zu bezahlen (Entscheid vom 2. April 2004, Ziff. 5). C. Der Ehemann führt staatsrechtliche Beschwerde mit dem Antrag, Ziff. 5 des obergerichtlichen Entscheides insoweit aufzuheben, als darin der Unterhaltsbeitrag an die Ehefrau persönlich rückwirkend ab dem 14. April 2003 bis zur Rechtskraft des angefochtenen Entscheides zugesprochen worden ist. Mit Bezug auf die rückwirkend zugesprochenen Unterhaltsbeiträge sei ihm aufschiebende Wirkung zu erteilen. Die Ehefrau beantragt Abweisung des Gesuchs, während das Obergericht sich nicht dazu hat vernehmen lassen. Mit Verfügung vom 16. Juni 2004 hat der Präsident der II. Zivilabteilung dem Gesuch mit Bezug auf die bis und mit April 2004 geschuldeten Unterhaltsbeiträge entsprochen. C. Der Ehemann führt staatsrechtliche Beschwerde mit dem Antrag, Ziff. 5 des obergerichtlichen Entscheides insoweit aufzuheben, als darin der Unterhaltsbeitrag an die Ehefrau persönlich rückwirkend ab dem 14. April 2003 bis zur Rechtskraft des angefochtenen Entscheides zugesprochen worden ist. Mit Bezug auf die rückwirkend zugesprochenen Unterhaltsbeiträge sei ihm aufschiebende Wirkung zu erteilen. Die Ehefrau beantragt Abweisung des Gesuchs, während das Obergericht sich nicht dazu hat vernehmen lassen. Mit Verfügung vom 16. Juni 2004 hat der Präsident der II. Zivilabteilung dem Gesuch mit Bezug auf die bis und mit April 2004 geschuldeten Unterhaltsbeiträge entsprochen. D. Das Obergericht und die Beschwerdegegnerin haben sich unaufgefordert zur Sache vernehmen lassen. Im Nachgang zur Eingabe des Obergerichts hat sich der Beschwerdeführer ein zweites Mal zur Sache geäussert. 