Sachverhalt: A. A._ (Beschwerdeführer) mietete von C.B._, D.B._ und E.B._ (Beschwerdegegner 1-3) mit Vertrag vom 10. Juli 1996 ein Areal von 4271 m2 zur Nutzung als Auto- und Wohnwagenabstellplatz zu einem Mietzins von monatlich Fr. 2'300.--. Die Parteien vereinbarten eine sechsmonatige Kündigungsfrist auf jedes Monatsende. Nachträglich wurde dem Mieter die Aufstellung eines Imbissstandes für den Snack- und Getränkeverkauf und der Neubau eines Aufenthaltsraumes (demontierbares Holzhaus) erlaubt. Per 1. Oktober 2001 wurde der Mietzins auf Fr. 3'000.-- erhöht. Mit Schreiben vom 2. Oktober 2002 kündigten die Beschwerdegegner den Mietvertrag per 30. Juni 2003. Am 16. Oktober 2003 trat das Mietgericht Zürich auf ein Mieterstreckungsgesuch des Beschwerdeführers mangels sachlicher Zuständigkeit nicht ein. Nachdem die dagegen vom Beschwerdeführer angerufenen Rechtsmittel ohne Erfolg blieben, überwies das Mietgericht die Sache am 14. April 2005 an das Bezirksgericht Zürich. Dieses wies die Erstreckungsklage am 15. Juli 2005 ab. Das Obergericht des Kantons Zürich trat auf die dagegen erhobene Berufung mit Beschluss vom 25. April 2006 nicht ein, weil die Kaution nicht fristgemäss geleistet worden war. Verschiedene dagegen eingelegte Rechtsmittel (eidgenössische Berufung, kantonale Nichtigkeitsbeschwerde, staatsrechtliche Beschwerde) wurden abgewiesen, soweit darauf eingetreten wurde. B. Mit Eingabe vom 18. April 2006 - und somit noch während der Rechtshängigkeit der im Rahmen des Erstreckungsverfahrens angehobenen Berufung - ersuchten die Beschwerdegegner den Einzelrichter im summarischen Verfahren des Bezirkes Zürich gestützt auf § 222 Ziff. 2 ZPO/ZH im Befehlsverfahren um sofortige Ausweisung des Beschwerdeführers aus dem Mietareal. Der Einzelrichter trat darauf mit Verfügung vom 6. Juni 2006 mangels Liquidität des Ausweisungsanspruchs nicht ein, unter Hinweis auf das noch nicht rechtskräftig erledigte Erstreckungsverfahren, in welchem eine einstweilen mit aufschiebender Wirkung ausgestattete Nichtigkeitsbeschwerde hängig war. Diesen Entscheid fochten die Beschwerdegegner mit Rekurs beim Obergericht des Kantons Zürich an. Dieses berücksichtigte, dass in der Zwischenzeit ein rechtskräftiger Entscheid im Erstreckungsverfahren ergangen war. Sodann befand es, der Standpunkt des Beschwerdeführers, wonach der Mietvertrag zwischen den Parteien verlängert worden bzw. ein neuer Mietvertrag zustande gekommen sei, sei haltlos. Es befahl dem Beschwerdeführer mit Beschluss vom 13. März 2007 in Gutheissung des Rekurses, das gemietete Areal unverzüglich ordnungsgemäss geräumt und gereinigt zu verlassen, unter Androhung der Zwangsvollstreckung im Unterlassungsfall. C. Diesen Beschluss focht der Beschwerdeführer gleichzeitig mit Nichtigkeitsbeschwerde beim Kassationsgericht des Kantons Zürich und (sicherheitshalber) mit Beschwerde in Zivilsachen beim Bundesgericht an. Das bundesgerichtliche Verfahren wurde mit Verfügung vom 11. Mai 2007 bis zum Entscheid des Kassationsgerichts sistiert. Mit Zirkulationsbeschluss vom 20. September 2007 wies das Kassationsgericht die Nichtigkeitsbeschwerde ab, soweit es darauf eintrat, womit die im entsprechenden Verfahren gewährte aufschiebende Wirkung dahinfiel. Der Präsident der I. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts entsprach mit Verfügung vom 18. Oktober 2007 einem Gesuch des Beschwerdeführers, das bundesgerichtliche Verfahren sistiert zu halten bis dieser eine neue, überarbeitete Beschwerdeschrift eingereicht habe, die auch auf den Beschluss des Kassationsgerichts eingehe, längstens bis zum Ablauf der Rechtsmittelfrist. In der gleichen Verfügung wurde der Beschwerde superprovisorisch die aufschiebende Wirkung erteilt. D. Mit Eingabe vom 29./31. Oktober 2007 reichte der Beschwerdeführer im Verfahren der Beschwerde in Zivilsachen eine überarbeitete Beschwerdeschrift ein. Er beantragt, den Beschluss des Obergerichts vom 13. März 2007 sowie den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 20. September 2007 aufzuheben und die Räumungsklage abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei, eventuell die Angelegenheit zur Neubeurteilung an das Obergericht bzw. an das Kassationsgericht zurückzuweisen. Mit Verfügung vom 11. Dezember 2007 wies das Bundesgericht die Gesuche des Beschwerdeführers um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands, um Erteilung der aufschiebenden Wirkung und um Sistierung des bundesgerichtlichen Verfahrens ab. Ein erneutes Gesuch vom 29. Januar 2008, es sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen, wurde mit Verfügung vom 4. Februar 2008 abgewiesen. In der selben Verfügung wurden ferner die gleichzeitig gestellten Anträge des Beschwerdeführers, es sei ihm Gelegenheit zur Verbesserung der Beschwerdeschrift einzuräumen und es sei eine mündliche Verhandlung durchzuführen, abgewiesen. Mit Postaufgabe vom 4. Februar 2008 reichte der Beschwerdeführer eine Ergänzung zum Gesuch vom 29. Januar 2008 ein. Auf die Einholung von Vernehmlassungen zur Beschwerde ist im vorliegenden Fall verzichtet worden. 