Sachverhalt: A. T._ bezog seit 1. Februar 2001 eine ganze Rente der Invalidenversicherung (Invaliditätsgrad: 100 %) samt einer Zusatzrente für den Ehemann sowie drei Kinderrenten. Gestützt u.a. auf das Gutachten der MEDAS vom 6. Juli 2011 setzte die IV-Stelle des Kantons Solothurn mit Verfügung vom 4. Januar 2013 die ganze Rente mit Wirkung ab 1. März 2013 auf eine halbe Rente herab. Mit Verfügung vom 18. Januar 2013 setzte die Ausgleichskasse des Kantons Solothurn die monatlich auszuzahlenden Leistungen fest B. Am 7. Februar 2013 liess T._ gegen beide Verfügungen beim Versicherungsgericht des Kantons Solothurn Beschwerde einreichen und zur Hauptsache deren Aufhebung beantragen. Die IV-Stelle schloss in ihrer Vernehmlassung auf Abweisung des Rechtsmittels. B.a. Mit Verfügung vom 14. Mai 2013 wies das Gericht das Gesuch um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung ab und hielt fest, es werde kein zweiter Schriftenwechsel durchgeführt. Am 20. August 2013 fand die von T._ beantragte öffentliche Hauptverhandlung statt, an welcher die IV-Stelle nicht teilnahm. Dabei reichte ihr Rechtsvertreter einen ärztlichen Bericht vom 14. August 2013 ein. Am 22. August 2013 verfügte der Präsident des Versicherungsgerichts, dass der Bericht vom 14. August 2013 zu den Akten genommen worden sei, das an der Verhandlung geschlossene Beweisverfahren wieder eröffnet und ein weiterer am selben Tag eingereichter ärztlicher Bericht ebenfalls zu den Akten genommen werde. Unter Ziff. 5 wurde sodann Folgendes festgehalten (und eine kurze Begründung hierfür gegeben) : 