Faits: Faits: A. B._, né en 1956, a travaillé en qualité de ferblantier-couvreur et de chauffeur poids lourds. Le 18 octobre 1999, il a effectué un faux mouvement qui a entraîné un blocage de la colonne lombaire et des douleurs irradiant dans la jambe droite. L'assuré a été licencié pour la fin de l'année 1999 et n'a plus repris d'activité lucrative. Il s'est annoncé à l'assurance-invalidité le 20 octobre 2000. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) a requis un examen pluridisciplinaire de l'assuré auprès du Service médical régional AI (SMR Léman). Dans un rapport du 22 avril 2002, les docteurs F._, G._ et A._ ont attesté un trouble somatoforme douloureux persistant, un trouble dépressif récurrent, épisode actuel moyen avec syndrome somatique, une personnalité émotionnellement labile, type impulsif, avec des traits paranoïaques, ainsi que des troubles statiques rachidiens et modérément dégénératifs. Selon ces trois médecins, la capacité de travail du patient s'élève à 50 %, aussi bien dans l'activité habituelle que dans une activité adaptée. Le 7 mai 2002, le docteur F._ a précisé que l'atteinte à la santé psychique, plus particulièrement le trouble de la personnalité dans le cadre d'un trouble psychique récurrent, réduit de 50 % la capacité de travail de l'assuré en toute activité. Dans un projet d'acceptation de rente du 3 juin 2002, l'office AI a fait savoir à B._ qu'il envisageait de lui allouer une rente d'invalidité à partir du 1er octobre 2000, fondée sur un taux d'invalidité de 50 %. Le 5 août 2002, les docteurs V._ et P._, médecins à la Fondation X._ ont adressé à l'office AI un rapport dont il ressort que l'assuré souffre d'un trouble dépressif récurrent, épisode actuel sévère sans symptôme psychotique à caractère mélancoliforme, d'un trouble somatoforme douloureux persistant, ainsi que d'une personnalité émotionnellement labile, de type impulsif, avec des traits paranoïaques. A leur avis, l'incapacité de travail du patient est totale en raison de ses affections psychiques et des mesures d'ordre professionnel ne sont pas indiquées. Le 23 octobre 2002, le docteur F._ a demandé à son confrère P._ de préciser divers points d'ordre médical, notamment le moment de l'aggravation du trouble dépressif. Les médecins de la Fondation X._ ont répondu au SMR Léman que l'état de santé de l'assuré était stationnaire depuis 1999, tout en s'étonnant de ses conclusions concernant la capacité de travail. Entre-temps, par décision du 28 octobre 2002, l'office AI a mis l'assuré au bénéfice d'une demi-rente d'invalidité à partir du 1er octobre 2000, sur la base d'un degré d'invalidité de 50 %. Dans le cadre d'une procédure de révision de cette prestation, la doctoresse A._ a admis que l'état de santé de l'assuré s'était péjoré et que sa capacité de travail était désormais nulle depuis le 22 novembre 2002 (cf. communication interne du 16 janvier 2003). L'office AI a dès lors porté le taux d'invalidité à 100 % et a alloué une rente entière d'invalidité à partir du 1er février 2003, par décision du 17 février 2003. Celle-ci a été frappée d'opposition. Dans le cadre d'une procédure de révision de cette prestation, la doctoresse A._ a admis que l'état de santé de l'assuré s'était péjoré et que sa capacité de travail était désormais nulle depuis le 22 novembre 2002 (cf. communication interne du 16 janvier 2003). L'office AI a dès lors porté le taux d'invalidité à 100 % et a alloué une rente entière d'invalidité à partir du 1er février 2003, par décision du 17 février 2003. Celle-ci a été frappée d'opposition. B. B._ a déféré la décision du 28 octobre 2002 au Tribunal des assurances du canton de Vaud, en concluant principalement au versement d'une rente entière d'invalidité, subsidiairement à la prise en charge de mesures d'ordre professionnel. Par jugement du 20 janvier 2004, la juridiction cantonale a admis le recours et réformé la décision litigieuse en ce sens que l'assuré s'est vu allouer une rente entière d'invalidité à compter du 1er octobre 2000. Par jugement du 20 janvier 2004, la juridiction cantonale a admis le recours et réformé la décision litigieuse en ce sens que l'assuré s'est vu allouer une rente entière d'invalidité à compter du 1er octobre 2000. C. L'office AI interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant à la confirmation de sa décision du 28 octobre 2002. L'intimé conclut au rejet du recours avec suite de dépens. Il sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. 