Faits : A. B._ et A._ sont deux personnes morales respectivement constituées aux Bermudes et dans les îles Vierges britanniques; la seconde occupe des bureaux à Moscou. Selon un contrat conclu le 10 avril 2001, B._ a acquis de A._, en contrepartie d'une prime de 15'225'000 dollars étasuniens, une option d'achat (option call) relative à 77,7% des parts sociales de C._ Ltd, société constituée aux Bahamas. En cas de levée de l'option, le prix des parts était fixé à 18'000'000 de dollars. Les parties ont convenu de soumettre ce contrat au droit anglais; elles ont également convenu qu'une éventuelle contestation serait portée devant un tribunal arbitral ayant son siège à Zurich. Le 14 décembre 2001, les parties ont conclu un contrat semblable conférant une option d'achat sur le solde (22,3%) des parts sociales de C._ Ltd. Ce contrat était lui aussi soumis au droit anglais; en cas de litige, on saisirait un tribunal arbitral de la Chambre de commerce internationale avec siège à Genève. Les deux contrats tendaient indirectement à la vente de D._, détenue à raison de 99,99% de ses parts sociales par C._ Ltd et détenant elle-même 25,1% des parts de E._, un opérateur de téléphonie mobile parmi les plus importants en Russie. En juillet et août 2003, B._ a déclaré la levée de ses options. A._ a alors contesté la validité de ces déclarations et la validité des deux contrats d'avril et décembre 2001. Elle avait déjà vendu, en décembre 2002, 49,9% de ses parts sociales de C._ Ltd et elle a vendu celles qui lui restaient en juillet 2003; par l'intermédiaire de trois sociétés établies aux îles Vierges britanniques, les titres - d'abord vendus à neuf sociétés panaméennes - appartenaient désormais à la société russe F._. B. En août et octobre 2003, B._ a ouvert action contre A._ selon les modalités prévues par chacun des deux contrats. Le tribunal arbitral de Genève a statué le 16 août 2004. Il a, en substance, donné gain de cause à la demanderesse. Contre ce prononcé, la défenderesse a successivement introduit un recours de droit public que le Tribunal fédéral a rejeté, dans la mesure où il était recevable, le 14 décembre 2004 (arrêt 4P.208/2004), puis une demande de révision; par arrêt du 29 août 2006, le Tribunal fédéral a accueilli cette demande, annulé la sentence et renvoyé la cause au tribunal arbitral pour nouvelle décision (arrêt 4P.102/2006). Devant le tribunal arbitral de Zurich, la demanderesse a pris des conclusions qui tendaient surtout à l'exécution du contrat concerné ou, à défaut, au versement de dommages-intérêts dont le montant n'était pas chiffré. Ce tribunal a administré des preuves et prononcé deux sentences partielles, l'une le 19 octobre 2004 et l'autre le 16 mai 2006. Selon le dispositif de cette dernière décision, certaines conclusions des parties sont rejetées ou déclarées sans objet; pour le surplus, le tribunal prononce que le contrat du 10 avril 2001 est illégal dans son but et dans son objet, et que son exécution ne peut donc pas être exigée; il prononce en outre que l'action tendant à l'exécution de ce même contrat est incompatible avec l'ordre public et exercée ex turpi causa. C. Agissant par la voie du recours de droit public, la demanderesse requiert le Tribunal fédéral d'annuler la sentence du 16 mai 2006. Elle reproche au tribunal arbitral d'avoir excédé sa propre compétence en retenant au regard de la législation pénale russe que des infractions avaient été commises par son ayant droit économique, d'avoir violé son droit d'être entendue en refusant une suspension de la procédure et d'avoir aussi violé ce droit en fondant sa décision sur des motifs juridiques imprévisibles pour les parties. Après le dépôt du recours, la demanderesse a produit la traduction d'un avis de droit et, en outre, divers documents destinés à rectifier ou compléter les pièces déjà produites. Invitée à répondre, la défenderesse et intimée conclut au rejet du recours, dans la mesure où celui-ci est recevable. Elle requiert que diverses pièces de la recourante soient retranchées du dossier et que cette partie soit astreinte à verser des sûretés en garantie des dépens auxquels elle pourrait être condamnée. Elle requiert aussi que la recourante soit astreinte à fournir, sous menace de l'irrecevabilité du recours, des renseignements écrits sur une procédure de dissolution que les autorités des îles Bermudes ont prétendument entreprise contre elle, et que, de plus, elle doive produire un rapport d'enquête que ces autorités ont fait établir en vue de cette procédure. Le président du tribunal arbitral a présenté ses observations. Sur demande de la recourante, les parties ont été autorisées à déposer une réplique et une duplique; elles ont confirmé leurs conclusions. Les deux parties requièrent que l'identité des témoins soit tenue secrète. 