Sachverhalt: A. Die 1961 geborene M._ war seit 1991 in einer Reinigungsfirma tätig. Bei dieser Arbeit trat im Bereich der Handgelenke und Handrücken ein Ekzem mit starkem Juckreiz auf. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) anerkannte eine Berufskrankheit und erliess am 26. Juni 1994 eine Nichteignungsverfügung für Arbeiten im Kontakt mit gewissen Putzmitteln (Radical, Calcacil). Wegen des Hautleidens verlor M._ von 1994 bis 1999 Arbeitsstellen als Reinigungsfrau, Spitalküchenangestellte und Zimmermädchen; im November 1999 wurde ein Arbeitsversuch in einer Holzwerkstatt nach einer Woche abgebrochen. Gestützt auf die Beurteilung des behandelnden Arztes Dr. med. B._, Spezialarzt für Dermatologie und Venerologie, (Bericht vom 10. Februar 2000), richtete die SUVA M._ ab 29. November 1999 Taggeld auf der Basis einer 100-prozentigen Arbeitsunfähigkeit aus. Mit Verfügung vom 25. September 2002 stellte sie diese Leistung auf den 31. Juli 2002 ein. Sie begründete es damit, die Versicherte sei für trockene und saubere Arbeiten ohne Feuchtbelastung und ohne Kontakt zu Löse- und Reinigungsmitteln sowie ohne intensive mechanische Belastung in staubfreier Umgebung zu 100 % arbeitsfähig. Dabei stützte sie sich auf den Bericht der Dermatologischen Klinik des Spitals X._ vom 5. Juli 2002. Die dagegen erhobene Einsprache mit dem Begehren um Weiterausrichtung des Taggeldes wies die SUVA mit Entscheid vom 7. Februar 2005 ab. Sie zog diesen Entscheid im Beschwerdeverfahren vor dem kantonalen Sozialversicherungsgericht zurück und richtete nach dem 31. Juli 2002 das Taggeld weiter aus. 2003 arbeitete M._ während des ganzen Jahres als Hilfe und Kinderbetreuerin in einem Privathaushalt. Gemäss Zeugnis des Dr. med. B._ vom 20. Januar 2004 war der Gesundheitszustand während dieser Zeit konstant eher schlecht; nach grösseren Reinigungsarbeiten verschlimmerte sich das Hautleiden. Dr. med. B._ schrieb die Patientin ab 24. Dezember 2003 wieder zu 100 % arbeitsunfähig. Auf Ende 2003 lief das Arbeitsverhältnis wegen des Wegzugs der Arbeitgeberin aus. Im Rahmen einer beruflichen Abklärung der SUVA absolvierte M._ im Frühjahr und im Herbst 2006 Arbeitstrainings in der Konfektionierung von Pharmazeutika und Kosmetika. Sie wurden aufgrund starker Ekzembildung abgebrochen (Motschan/Beratung/Selektion/Neuorientierung; Schlussbericht vom 7. November 2006). Am 5. März 2007 teilte die SUVA mit, da die Behandlungsmöglichkeiten ausgeschöpft seien, würden die Taggeldleistungen auf den 31. März 2007 eingestellt. Mit Verfügung vom 17. März 2007 sprach sie M._ ab 1. April 2007 eine auf einer Erwerbsunfähigkeit von 100 % basierende Invalidenrente und - bei einer Integritätseinbusse von 30 % - eine Integritätsentschädigung zu. Am 23. April 2007 erhob die IV-Stelle Basel-Stadt gegen die Verfügung Einsprache und beantragte deren Aufhebung, da sie ungenügend begründet sei und den rechtlichen Anforderungen nicht genüge. Mit Entscheid vom 25. September 2007 trat die SUVA wegen fehlender Legitimation der IV-Stelle zur Einsprache nicht darauf ein. B. Am 10. Juli 2000 hatte sich M._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet. Die IV-Stelle Basel-Stadt lehnte zunächst berufliche Massnahmen und Stellenvermittlung ab (Verfügung vom 16. Januar 2003; Einspracheentscheid vom 4. April 2003). Mit Entscheid vom 17. Dezember 2003 hiess das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt die Beschwerde der M._ gut; es wies die IV-Stelle an, zugunsten der Versicherten Bemühungen um Arbeitsvermittlung aufzunehmen. Am 22. September 2005 verfügte die IV-Stelle erneut den Abschluss der Arbeitsvermittlung, weil es nicht gelungen sei, die Versicherte innert angemessener Zeit in den Arbeitsmarkt zu integrieren. Die dagegen erhobene Einsprache hiess sie mit Entscheid vom 3. November 2006 gut mit der Begründung, die Weiterführung der beruflichen Massnahmen sei angezeigt. Nach Eingang der SUVA-Verfügung vom 17. Mai 2007 veranlasste sie eine dermatologische und psychiatrische Begutachtung am Spital Y._ (Bericht Dermatologische Poliklinik vom 31. März 2008; Teilgutachten Psychiatrische Poliklinik vom 4. April 2008). Mit Verfügung vom 22. August 2008 verneinte sie den Anspruch der Versicherten auf eine Invalidenrente. Sie begründete es damit, die spezialärztlichen Untersuchungen hätten ergeben, dass in einer dem Leiden angepassten Tätigkeit eine vollständige Arbeitsfähigkeit vorliege. Im Einkommensvergleich ergebe sich lediglich ein Invaliditätsgrad von 20 %. C. Die gegen den Bescheid erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 23. März 2009 gut und wies die Sache zur Festsetzung einer ganzen Invalidenrente ab April 2005 an die IV-Stelle zurück. Es bejahte den Leistungsanspruch in Anbetracht einer mit überwiegender Wahrscheinlichkeit seit der Beendigung der Arbeitserprobung bei der Gesellschaft W._ am 29. April 2005 (Abklärungsbericht vom 9. Mai 2005) erstellten vollständigen Arbeitsunfähigkeit auch für Verweisungstätigkeiten und damit einer vollständigen Erwerbsunfähigkeit. D. M._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids insoweit, als der Anspruchsbeginn auf April 2005 festgelegt worden sei; die IV-Stelle sei anzuweisen, die Invalidenrente ab 1. November 2000 zu gewähren. Die Vorinstanz beantragt Abweisung der Beschwerde, IV-Stelle und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf Vernehmlassung. 