Sachverhalt: A. Die 1970 geborene M._ ist kosovarische Staatsangehörige und wohnt in Kosovo. Nachdem ihr Ehemann B._, ebenfalls kosovarischer Staatsangehöriger und in Kosovo wohnhaft gewesen, am 14. Juli 2010 verstorben war, meldete sie sich am 11. November 2010 (Eingang 8. Dezember 2010) bei der Schweizerischen Ausgleichskasse (nachfolgend: SAK) zum Bezug einer Hinterlassenenrente für sich und die vier Kinder (geboren im September 1994 und 1995 sowie im Oktober 1996 und März 1998) an. Am 13. Dezember 2010 verneinte die SAK verfügungsweise einen entsprechenden Anspruch, da das zwischen der Schweiz und dem ehemaligen Jugoslawien abgeschlossene Sozialversicherungsabkommen ab 1. April 2010 im Verhältnis zu Kosovo nicht weiter angewendet werde. Daran hielt die SAK mit Einspracheentscheid vom 7. November 2012 fest. B. Das Bundesverwaltungsgericht hiess die dagegen eingereichte Beschwerde in dem Sinne gut, als es den Einspracheentscheid der SAK vom 7. November 2012 aufhob und die Sache an diese zurückwies, damit sie die Prüfung des Rentenbegehrens fortsetze und anschliessend in Anwendung des noch in Kraft stehenden Sozialversicherungsabkommens in der Sache neu verfüge (Entscheid vom 20. März 2013). C. Die SAK erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 20. März 2013 sei aufzuheben und ihr Einspracheentscheid vom 7. November 2012 zu bestätigen. M._ schliesst sinngemäss auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) stellt Antrag auf Gutheissung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. 