Sachverhalt: A. X._ (Ehemann; geb. 1968) und Y._ (Ehefrau; geb. 1970) sind verheiratet und Eltern von A._ (geb. 2004). Y._ ist ausserdem Mutter zweier volljähriger Töchter, wovon die eine bereits verheiratet ist. Die zweite Tochter (geb. 1991) wohnt gegenwärtig (wieder) bei Y._. B. B.a. Am 19. Oktober 2010 leitete Y._ beim Bezirksgericht Zürich ein Eheschutzverfahren ein. In dessen Verlauf verlangten beide Parteien die Obhut für A._ und die Zuweisung der ehelichen Wohnung an sich selbst. B.b. Mit Eheschutzurteil vom 17. Januar 2012 stellte das Bezirksgericht A._ unter die Obhut der Mutter. Es legte das Besuchs- und Ferienrecht des Vaters fest und verpflichtete diesen zur Bezahlung eines monatlichen Kindesunterhaltsbeitrages von Fr. 750.-- ab 1. Mai 2012. Die eheliche Wohnung wies es Y._ zu, wobei X._ die Wohnung bis zum 30. April 2012 zu verlassen habe. C. C.a. Hiergegen erhob X._ am 6. Februar 2012 Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Er beantragte wiederum die Obhut für A._, unter Einräumung eines Besuchs- und Ferienrechts zugunsten von Y._. Die eheliche Wohnung sei ihm zuzuweisen und der Ehefrau sei Frist zu setzen, innert 30 Tagen nach Rechtskraft des Entscheids auszuziehen. Diese sei zur Leistung eines Unterhaltsbeitrages für A._ von monatlich Fr. 1'311.-- zu verpflichten. Für den Fall einer Obhutszuteilung an die Ehefrau seien die von ihm geschuldeten Beiträge auf Fr. 350.-- zu reduzieren. Y._ schloss mit Antwort vom 19. März 2012 auf Abweisung der Berufung. Der Ehemann sei vielmehr zu verpflichten, für die Monate Mai bis und mit Dezember 2012 einen Unterhaltsbeitrag von je Fr. 1'123.-- zu bezahlen, danach Fr. 750.--. Beide Parteien beantragten die unentgeltliche Rechtspflege. C.b. Das Obergericht führte am 29. Mai 2012 eine Vergleichsverhandlung durch, ohne dass eine Einigung zu Stande kam. Danach erfolgten weitere Eingaben beider Parteien. Am 27. Februar 2013 hörte ein Oberrichter den Sohn A._ an. Zum Protokoll der Kinderanhörung konnten wiederum beide Parteien Stellung beziehen. C.c. Mit Urteil vom 14. Mai 2013 stellte das Obergericht A._ unter die Obhut der Ehefrau. Für den Ehemann legte es ein grosszügiges Besuchs- und Ferienrecht fest. Die eheliche Wohnung wies es der Ehefrau zu, wobei Vormerk genommen wurde, dass der Ehemann diese bereits verlassen habe. Die Gerichtskosten auferlegte es den Parteien - unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege - zu gleichen Teilen und es verzichtete auf die Zusprechung von Parteientschädigungen. Den monatlich von X._ zugunsten von A._ zu zahlenden Betrag setzte es vom 1. Mai bis 30. November 2012 auf Fr. 1'485.-- fest; ab dem 1. Dezember 2012 schulde er keinen Unterhalt mehr. D. Mit Beschwerde vom 17. Juni 2013 gelangt X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und wiederholt die bereits im kantonalen Verfahren gestellten Anträge (vorstehend C.a; ohne Eventualantrag für den Fall einer Obhutszuweisung an die Ehefrau). Er ersucht um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht hat die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. 