Sachverhalt: A. A._, geboren 1965, ist Staatsangehörige der Türkei, hat zwei Kinder (geboren 1988 und 1993) und lebt seit 1988 in der Schweiz. Am 5. August 1996 meldete sie sich erstmals bei der IV-Stelle Basel-Stadt (nachfolgend: IV-Stelle oder Beschwerdegegnerin) wegen seit 1990 anhaltender Rückenschmerzen und depressiver Beschwerden zum Bezug einer Invalidenrente an. Mit unangefochten in Rechtskraft erwachsener Verfügung vom 24. Februar 1997 verneinte die IV-Stelle einen Anspruch auf Leistungen der Invalidenversicherung. Am 12. September 1997 meldete sich die Versicherte erneut zum Leistungsbezug an. Unter anderem gestützt auf den Bericht vom 30. Januar 1998 des behandelnde Psychiaters Dr. med. D._, welcher ihr eine ab 26. Mai 1997 anhaltende volle Arbeitsunfähigkeit attestierte, sowie nach Durchführung der Haushaltsabklärung vom 5. August 1998 sprach ihr die IV-Stelle am 19. Januar 1999 bei einem Invaliditätsgrad von 100 % mit Wirkung ab 1. Januar 1998 eine ganze Invalidenrente zu. Aufgrund einer anonymen Anzeige nahm die IV-Stelle Basel-Stadt im Rahmen einer Überprüfung verschiedene medizinische und erwerbliche Abklärungen vor. Zudem liess sie die Versicherte durch den Spezialarzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie Dr. med. S._ fachärztlich begutachten (das psychiatrische Gutachten datiert vom 15. August 2008). Gestützt auf die neuen Erkenntnisse aus dem psychiatrischen Gutachten zog die IV-Stelle ihre ursprüngliche Rentenverfügung vom 19. Januar 1999 in Wiedererwägung und reduzierte die bisher ausgerichtete ganze Invalidenrente mit Wirkung ab 1. April 2009 auf eine Viertelsrente (Verfügung vom 27. Februar 2009). B. Dagegen beantragte A._ in der Sache beschwerdeweise, die Invalidenversicherung habe ihr unter Aufhebung der Verfügung vom 27. Februar 2009 weiterhin über den 1. April 2009 hinaus eine ganze Invalidenrente auszurichten und ihre Ansprüche ab 1. April 2009 zu verzinsen. Das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt wies die Beschwerde mit Entscheid vom 17. August 2009 ab, indem es im Ergebnis die Verfügung vom 27. Februar 2009 mit der Begründung schützte, seit der ursprünglichen Rentenzusprache vom 19. Januar 1999 sei eine wesentliche Verbesserung des Gesundheitszustandes eingetreten, welche die revisionsweise Herabsetzung der Invalidenrente im verfügten Umfang rechtfertige. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten hält A._ unter Aufhebung des angefochtenen Gerichtsentscheides an ihrem vorinstanzlichen Rechtsbegehren fest. Gleichzeitig ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Schliesslich beantragt die Beschwerdeführerin, nach dem Ausgang des letztinstanzlichen Verfahrens habe ihr die IV-Stelle für das kantonale Verfahren eine Parteientschädigung inklusive Auslagen und Mehrwertsteuer von Fr. 3'443.65 oder eventualiter Fr. 3'012.80 zu bezahlen. Während Vorinstanz und IV-Stelle auf Abweisung der Beschwerde schliessen, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung. 