Sachverhalt: A. A._ war ab dem 27. Juni 2007 bei der B._ Transporte AG als Chauffeur angestellt und über seine Arbeitgeberin bei der X._ Versicherungen AG kollektiv krankentaggeldversichert. Am 13. November 2007 meldete die B._ Transporte AG der X._ Versicherungen AG eine ab dem 4. Oktober 2007 bestehende Arbeitsunfähigkeit von A._. Die X._ Versicherungen AG lehnte Leistungen ab dem 22. Oktober 2007 mit Schreiben vom 23. November 2007 sowie 13. Februar 2009 ab, da der Arbeitsvertrag des Versicherten bis zum 21. Oktober 2007 befristet gewesen sei. B. Am 12. März 2010 erhob A._ vor dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage gegen die X._ Versicherungen AG und beantragte, diese sei zu verurteilen, ihm Leistungen aus der Taggeldversicherung im Betrag von Fr. 21'927.10 nebst Zins zu bezahlen. Es sei davon Vormerk zu nehmen, dass es sich vorliegend lediglich um eine Teilklage handle; die Geltendmachung weiterer Taggelder bleibe ausdrücklich vorbehalten. Mit Urteil vom 3. Juli 2012 wies das Sozialversicherungsgericht die Klage ab. C. A._ (Beschwerdeführer) verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts sei aufzuheben, und die Klage gegen die X._ Versicherungen AG (Beschwerdegegnerin) sei gutzuheissen. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt. D. Mit Verfügung vom 29. November 2012 wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren abgewiesen. In der Folge überwies der Beschwerdeführer den verlangten Kostenvorschuss fristgerecht. 