Sachverhalt: A. H._, geboren 1962, war als Vermögensverwalter (Gestore patrimoniale) der X._ AG tätig und in dieser Eigenschaft bei der Winterthur Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (heute: AXA Versicherungen AG; nachfolgend: AXA) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert. Mit eigenhändig unterzeichneter Bagatellunfall-Meldung UVG vom 11. Januar 2005 informierte der Versicherte die AXA, dass er am 2. Januar 2005 in Indien auf einer Zugfahrt in einem Couchette-Schlafwagen aus dem Bett gefallen und heftig den Rücken und Kopf angeschlagen habe. Die AXA erbrachte ein Taggeld und übernahm die Heilbehandlung. Im Herbst 2005 konnte die AXA ihre Leistungen formlos einstellen und den Fall abschliessen. 2008 liess der Versicherte erneut aufgeflammte lumbale Rückenbeschwerden rückfallweise zum Unfall vom 2. Januar 2005 anmelden. Mit Verfügung vom 1. Februar 2011, bestätigt durch Einspracheentscheid vom 25. Juli 2011, verneinte die AXA diesbezüglich einen Anspruch auf Leistungen nach UVG, weil der Status quo sine nach dem Unfall vom 2. Januar 2005 im Zeitpunkt des folgenlosen Fallabschlusses noch im gleichen Jahr des Unfalles erreicht worden sei und die ab 2008 geltend gemachten Rückenbeschwerden nicht in einem anspruchsbegründenden Kausalzusammenhang mit dem Unfall vom 2. Januar 2005 stünden. B. Die hiegegen erhobene Beschwerde des H._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 15. November 2012 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt H._ beantragen, der angefochtene Gerichts- und der Einspracheentscheid seien aufzuheben. Es sei festzustellen, dass die ab Juni 2008 geklagten Beschwerden "auf das Unfallereignis vom 2. Januar 2005 zurückzuführen sind, und es seien ab dem 29. September 2008 die entsprechenden Unfalltaggelder auszurichten." Eventuell sei "das Dossier zur Sachverhaltsergänzung an die Vorinstanz" zurückzuweisen, gegebenenfalls seien "vom Bundesgericht selbst noch Beweise abzunehmen." Mit nachträglicher Eingabe vom 18. Januar 2013 ersucht H._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung, eventualiter seien "dem Beschwerdeführer die Gerichtskosten sowie der Gerichtskostenvorschuss zu erlassen." Während die AXA auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit (BAG) auf eine Vernehmlassung. D. Mit Eingabe vom 22. April 2013 nimmt H._ zur Vernehmlassung der AXA Stellung und reicht zusätzliche Unterlagen ein. Unaufgefordert lässt H._ sodann durch seine Rechtsvertreterin mit Schreiben vom 19. Juni 2013 eine "Klarstellung des Sachverhalts" hinsichtlich des Unfallherganges schildern. 