Sachverhalt: A. A._ (Gesuchsteller, Beschwerdeführer) reichte am 22. Dezember 2011 beim Bezirksgericht Lenzburg eine Klage gegen B._ (Beklagter) betreffend Saldierung und Rückanweisung der hinterlegten Mietzinse nach Art. 259h OR ein und stellte ein Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die Bezirksgerichtspräsidentin wies dieses Gesuch mit Verfügung vom 12. Januar 2012 zufolge fehlender Mittellosigkeit des Gesuchstellers ab. Dagegen gelangte der Gesuchsteller mit kantonaler Beschwerde an das Obergericht des Kantons Aargau, das am 11. April 2012 die Mittellosigkeit des Gesuchstellers bejahte, die angefochtene Verfügung in Gutheissung der Beschwerde aufhob und die Sache zur Prüfung der Erfolgsaussichten der Klage und zu neuer Entscheidung an das Bezirksgericht zurückwies. Mit Verfügung vom 6. Juli 2012 wies die Bezirksgerichtspräsidentin das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege nun zufolge Aussichtslosigkeit der Klage des Gesuchstellers ab, wogegen letzterer wiederum mit kantonaler Beschwerde an das Obergericht gelangte. Dieses wies die Beschwerde mit Entscheid vom 1. Juli 2013 ab, soweit es darauf eintrat. Die unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren verweigerte es und auferlegte dem Gesuchsteller die Gerichtsgebühr. Es befand, der Gesuchsteller könne nicht als mittellos gelten. Damit erübrige es sich, über die Aussichtslosigkeit der Klage zu entscheiden. B. Der Gesuchsteller verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde, der Entscheid des Obergerichts vom 1. Juli 2013 sei aufzuheben, und es sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege für das erstinstanzliche Verfahren zu gewähren. Allenfalls sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersucht er um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und um Rechtsverbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Es wurden keine Vernehmlassungen zur Beschwerde eingeholt. C. Mit Präsidialverfügung vom 17. September 2013 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt. 