Faits: A. Par un appel d'offres publié dans un Bulletin officiel du Département de la santé, des affaires sociales et de l'énergie du canton du Valais (ci-après: le Département cantonal) a mis en soumission le marché suivant, selon la procédure ouverte: fourniture d'un logiciel multilingue (français/allemand) destiné à la gestion d'institutions spécialisées et offrant des fonctionnalités spécifiques pour les tâches de pilotage général de ces institutions par l'Etat du Valais. Le dossier de soumission remis aux candidats détaillait les conditions du marché, notamment les contraintes techniques à respecter (ch. 2.2) et les fonctionnalités de base du logiciel (ch. 2.3). En particulier, la solution proposée devait être compatible avec les versions actuelles et futures de certaines applications informatiques utilisées par l'Etat du Valais, comme le système d'exploitation Sun Solaris 9, la base de données Oracle 10g et le serveur d'application Weblogic 9.1 (cf. ch. 2.2 précité). Le dossier de soumission précisait également que l'adjudication se ferait selon les quatre critères et taux de pondération suivants (ch. 6.2): Critères Pond. % Description 1 Prix 30 2 Produit 50 Données techniques, fonctionnalités, support et intégration dans notre environnement 3 Références 10 Références et expériences dans le domaine des logiciels pour les besoins des institutions pour personnes handicapées adultes ou mineures 4 Qualification soumissionnaire 10 Structure de l'organisation, nombre de spécialistes B. Le 27 septembre 2006, un groupe de projet baptisé "Informatisation des institutions spécialisées" (ci-après: le Groupe de projet), réunissant les responsables des institutions et des services de l'Etat concernés par le marché, a défini la procédure à suivre pour l'adjudication et validé une grille d'évaluation préparée dans le courant de l'été avec l'appui d'un consultant extérieur. Cette grille explicitait les quatre critères énoncés dans le dossier de soumission par une série de sous-critères, eux-mêmes parfois subdivisés en sous-critères (ci-après cités: les sous-critères bis), auxquels correspondaient des taux de pondération. Ainsi, la grille prévoyait notamment quatre sous-critères pour noter le "produit", dont les deux suivants: "contraintes techniques" et "fonctionnalités de base"; ces derniers comptaient respectivement pour 10 % et 70 % dans la notation du critère principal concerné; par ailleurs, les "contraintes techniques" étaient elles-mêmes subdivisées à raison des quatre sous-critères bis suivants (avec, entre parenthèses, les taux de pondération): "J2EE" (50 %), "Weblogic" (20%), "Oracle" (20 %) et "Solaris" (10 %). Quatre soumissions ont été déposées. Le Groupe de projet a d'abord éliminé deux offres ne répondant pas aux critères d'aptitude, puis il a auditionné deux fois les candidats encore en lice. Il a ensuite établi un rapport d'évaluation (du 10 avril 2007) qu'il a soumis pour préavis au service juridique compétent de l'Etat du Valais en matière de marchés publics avant de le transmettre au Comité stratégique, organe composé des chefs de service de l'Etat concernés par le marché; après avoir amendé sur certains points la grille d'évaluation préparée par le Groupe de projet pour tenir compte des remarques du service juridique consulté, le Comité stratégique a proposé au Conseil d'Etat, dans un rapport du 23 mai 2007, d'adjuger le marché à la société Y._ SA, (ci-après citée: la Société 1), dont l'offre, d'un montant de 2'059'746 fr. (soit 2'216'287 fr. TVA et frais inclus), a été jugée meilleure que celle de sa concurrente, l'entreprise individuelle appartenant à X._ (ci-après citée: la Société 2), d'un montant de 1'751'452 fr. Se fondant sur les conclusions du Comité stratégique, le Conseil d'Etat a attribué le marché à la Société 1, par décision du 13 juin 2007. C. X._ a recouru, au nom de la Société 2, contre la décision d'adjudication précitée, en sollicitant l'octroi de l'effet suspensif. Il a notamment invoqué la violation du principe de la transparence, au motif que le pouvoir adjudicateur n'avait pas annoncé à l'avance les sous-critères utilisés dans la grille d'évaluation. En particulier, il trouvait inadmissible que le sous-critère "fonctionnalités de base" n'eût pas fait l'objet d'une telle annonce préalable, alors que son poids dans la note finale était supérieur au taux de pondération du critère principal "prix". X._ contestait également la notation du sous-critère "contraintes techniques" pour lequel il n'avait reçu aucun point, alors que son logiciel était, selon lui, compatible avec chacun des quatre standards informatiques utilisés par l'Etat du Valais et pris comme sous-critères bis dans l'évaluation (soit "J2EE", "Weblogic", "Oracle" et "Solaris"); à cet égard, il renvoyait à un courriel du 30 août 2006 où l'adjudicateur lui avait précisé, en réponse à une question de sa part, que le logiciel ne devait pas obligatoirement être développé avec "Oracle", mais réclamait en revanche impérativement, conformément au ch. 2.2 du dossier de soumission, d'être "webisé" et accessible uniquement depuis les ports "http 80 et SSL 443" pour des raisons de sécurité. Le Conseil d'Etat a conclu au rejet du recours. Il a notamment constaté que les sous-critères (et sous-critères bis) utilisés dans la grille d'évaluation ne faisaient que concrétiser les critères principaux, si bien qu'ils n'avaient pas à figurer dans le dossier de soumission remis aux candidats. Par ailleurs, contrairement à ce que soutenait la Société 2, son logiciel n'était, selon l'adjudicateur, pas directement compatible avec les standards informatiques mentionnés dans le dossier de soumission (ch. 2.2), en ce sens que son utilisation impliquait pour l'Etat certains aménagements représentant des charges additionnelles (achat d'un serveur supplémentaire, installation sur ce serveur du système offert, formation du personnel de maintenance). Comme les sous-critères bis précisant les "contraintes techniques" devaient, selon la grille d'évaluation, recevoir la note 5 en cas de compatibilité et 0 en cas d'incompatibilité, le Conseil d'Etat a estimé que l'attribution de la note 0 à la Société 2 pour chacun de ces quatre sous-critères bis était justifiée. Par arrêt du 13 décembre 2007, la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal), faisant droit aux arguments de l'adjudicateur, a rejeté le recours et classé la demande d'effet suspensif comme étant devenue sans objet. D. X._, toujours agissant au nom de la Société 2, forme un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral contre l'arrêt précité du Tribunal cantonal. Il se plaint, en reprenant les principaux griefs développés en procédure cantonale, de violation des principes de liberté économique et d'égalité de traitement et invoque l'interdiction de l'arbitraire et la protection de la bonne foi. Il requiert l'effet suspensif au recours et conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt attaqué et à l'attribution du marché à lui-même, subsidiairement au renvoi du dossier au Tribunal cantonal pour une nouvelle décision. Il demande "en tout état de cause" que l'illicéité de l'adjudication soit constatée. Le Conseil d'Etat et la Société 1 concluent au rejet aussi bien de la requête d'effet suspensif que du recours, en soulignant l'importance de pouvoir signer au plus tôt le contrat d'adjudication, afin de démarrer sans tarder les travaux. Le Tribunal cantonal a renoncé à présenter des observations. E. Par ordonnance du 3 mars 2008, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a rejeté la demande d'effet suspensif. 