Sachverhalt: A. Die 1955 geborene K._, Mutter von fünf Kindern, bezog zwischen Juli 2004 und Februar 2006 Taggelder der Arbeitslosenversicherung. Am 14. Januar 2009 meldete sich die Versicherte bei der Familienausgleichskasse des Kantons Thurgau zum rückwirkenden Bezug von Kinder- und Ausbildungszulagen an. Die Ausgleichskasse leitete das Gesuch betreffend die Zeit, in welcher die Versicherte arbeitslos war, an die Arbeitslosenkasse des Kantons Thurgau weiter. Mit Verfügung vom 24. April 2009 und Einspracheentscheid vom 19. Mai 2009 verneinte die Arbeitslosenkasse einen Nachzahlungsanspruch, da dieser verwirkt sei. B. Die von K._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 28. Oktober 2009 ab. C. Mit Beschwerde beantragt K._, die Arbeitslosenkasse des Kantons Thurgau sei unter Aufhebung des Einsprache- und des kantonalen Gerichtsentscheides zu verpflichten, ihr Kinderzuschläge für den Zeitraum vom 1. Juni 2004 bis zum 28. Februar 2006 in der Höhe von Fr. 9'600.- nachzuzahlen. Während die Arbeitslosenkasse des Kantons Thurgau auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Staatssekretariat für Wirtschaft auf eine Vernehmlassung. 