(Zivilprozess; unentgeltliche Rechtspflege), hat sich ergeben: A.- Mit Urteil vom 6. Dezember 2000 verurteilte der Gerichtspräsident von Solothurn-Lebern W._ zur Zahlung von Fr. 7'750.-- nebst Zins sowie Fr. 100.-- Betreibungskosten an M._. Die Parteikosten wurden wettgeschlagen und die Gerichtskosten von Fr. 1'950.- den Parteien je zur Hälfte auferlegt. Beide Parteien appellierten an das Obergericht des Kantons Solothurn. B.- Mit Eingabe vom 3. April 2001 ersuchte W._ das Obergericht um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege und um Einsetzung des unterzeichnenden Anwalts als unentgeltlicher Rechtsbeistand. Der Eingabe wurde das von W._ ausgefüllte und unterzeichnete Formular "Gesuch und Zeugnis zur Erlangung der unentgeltlichen Rechtspflege" beigelegt, welches der Steuerregisterführer von Bellach mit Bezug auf die Steuerverhältnisse ergänzt und mitunterzeichnet hat. Mit Verfügung vom 16. Mai 2001 hat die Präsidentin der Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Solothurn das Gesuch abgewiesen. C.- Gegen diesen Entscheid führt W._ staatsrechtliche Beschwerde und beantragt dessen Aufhebung. Das Obergericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. 