Faits: A. R._ travaille en qualité d'aide-soignante à l'Hôpital X._. A ce titre, elle est assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Winterthur Assurances (ci-après: la Winterthur). Le 11 juin 2004, l'employeur de R._ a informé la Winterthur que l'intéressée avait fait une chute sur le genou droit le 31 mai précédent, durant son activité professionnelle. Consulté le 2 juin 2004, le docteur D._ a fait état d'une forte contusion du genou et d'une déchirure méniscale externe (rapport du 22 septembre 2004). Ce médecin ayant requis l'avis du docteur C._, spécialiste en orthopédie, celui-ci a diagnostiqué une contusion/distorsion du genou droit avec lésion méniscale (rapport du 25 octobre 2004). Il a procédé à une arthroscopie le 12 novembre 2004. La Winterthur a alors confié une expertise au docteur A._, spécialiste en chirurgie orthopédique. Dans un rapport du 21 décembre 2004, ce médecin a indiqué qu'une relation de causalité naturelle entre les troubles constatés et l'événement du 31 mai 2004 était tout au plus du domaine du possible, voire exclue. Selon l'expert, le statu quo sine devait être admis à l'expiration d'une période maximale d'un mois. Par décision du 23 mars 2005, la Winterthur a supprimé le droit de l'assurée à des prestations d'assurance à partir du 1er juillet 2004. De son côté, l'employeur de l'intéressée, l'Hôpital X._, a confié une expertise au docteur E._, spécialiste en chirurgie orthopédique. Dans un rapport du 12 avril 2005, ce médecin a indiqué que les troubles constatés étaient très probablement en liaison directe avec l'événement du 31 mai 2004, décrit comme une chute avec entorse en valgus forcé du genou droit, sans choc direct. Selon ce médecin, le cas ne pouvait pas être considéré comme stabilisé avant l'expiration d'une période de deux ans à compter de la ménisectomie. R._, son assureur-maladie SWICA Organisation de santé (ci-après: la SWICA) et l'Hôpital X._ en leur qualité d'employeur ont fait opposition à la décision de la Winterthur du 23 mars 2005. Celle-ci a alors passé avec SWICA, d'une part, et l'Hôpital X._, d'autre part, une convention de règlement aux termes de laquelle l'assureur-accidents a accepté de prendre en charge jusqu'au 28 février 2005 les frais relatifs au traitement médical, y compris les coûts de l'intervention chirurgicale du 12 novembre 2004, et d'allouer l'indemnité journalière jusqu'à la même date. Par décision du 14 décembre 2005, la Winterthur a admis partiellement les oppositions et réformé la décision du 23 mars 2005 en ce sens que la suppression du droit aux prestations d'assurance a été reportée au 28 février 2005. B. Statuant le 18 décembre 2006, le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève a rejeté un recours formé contre cette décision sur opposition par R._. C. Celle-ci interjette recours de droit administratif contre ce jugement, dont elle demande l'annulation, en concluant, sous suite de dépens, au maintien de son droit à des prestations d'assurance (traitement, frais médicaux) jusqu'au 12 novembre 2006 au moins. La Winterthur conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations. 