Sachverhalt: A. S._ verletzte sich am 1. November 2007 bei der Arbeit am Handgelenk links (radiale, nach dorsal dislozierte, mehrfragmentäre Radiusfraktur). Die obligatorische Unfallversicherung erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld, Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung). Im Juli 2008 meldete sich S._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen und durchgeführtem Vorbescheidverfahren sprach ihr die IV-Stelle des Kantons Aargau mit Verfügung vom 6. September 2011 eine befristete ganze Rente vom 1. November 2008 bis 30. Juni 2010 zu. B. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde der S._ änderte das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 31. Mai 2012 die Verfügung vom 4. März 2010 (recte: 6. September 2011) ab und sprach ihr für den Zeitraum vom 1. Januar 2009 bis 30. September 2010 eine ganze Invalidenrente zu. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt S._, der Entscheid vom 31. Mai 2012 sei aufzuheben und sie bereits ab dem 1. November 2008 bis 30. September 2010 zu berenten, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die IV-Stelle und das kantonale Versicherungsgericht verzichten auf eine Stellungnahme und einen Antrag zur Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) hat sich nicht vernehmen lassen. 