Sachverhalt: A. Der libanesische Staatsangehörige Y._ (geb. 1970) reiste erstmals im Juni 1993 in die Schweiz ein und stellte unter falschem Namen ein Asylgesuch. Kurz darauf wurde er mehrfach in der Zürcher Drogenszene angehalten und wegen des Verdachts auf Betäubungsmittelhandel zur Anzeige gebracht. Am 20. August 1995 wurde er ein erstes Mal in den Libanon ausgeschafft und mit einem auf unbestimmte Zeit ausgesprochenen Einreiseverbot belegt. Die Strafuntersuchungen wurden eingestellt, nachdem Y._ zunächst untergetaucht und später bereits ausgeschafft war. Am 5. Oktober 1996 reiste er von Deutschland herkommend erneut illegal in die Schweiz ein, wurde - zum zweiten Mal nach 1993 - wegen illegalem Aufenthalt zu 30 Tagen Gefängnis verurteilt und am 12. Oktober 1996 wieder in den Libanon ausgeschafft. Nach seiner Ausschaffung reiste er nach Deutschland, wo er sich bis 2006 aufhielt und mehrfach straffällig wurde (Urteil des Amtsgerichts A._ vom 22. September 1998: 6 Monate Gefängnis wegen Betäubungsmittelhandel, Urteil des Landgerichts D._ vom 9./12. Oktober 2000: Vier Jahre Freiheitsstrafe wegen Handelns mit harten Drogen, Strafbefehl des Amtsgerichts B._ vom 24. November 2006: Geldstrafe von 60 Tagessätzen wegen Verwendens eines gefälschten Passes). Im September 2006 stellte Y._ in der Schweiz ein weiteres, erfolgloses Asylgesuch (Verfügung des Bundesamtes für Migration vom 28. November 2007, Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 31. Oktober 2008). Die ihm angesetzte Ausreisefrist liess er ungenutzt verstreichen. B. X._ ist als deutsche Staatsangehörige seit dem 1. Juli 2006 im Besitz einer bis zum 3. Juni 2012 gültigen Aufenthaltsbewilligung. Sie ist teilweise erwerbstätig und wird gleichzeitig zusätzlich von der Gemeinde G._ mit Sozialhilfe unterstützt. Am 6. Mai 2008 heiratete sie Y._ und stellte am 20. Mai 2008 für ihn ein Familiennachzugsgesuch. Auf dieses Gesuch trat das Amt für Polizeiwesen und Zivilrecht des Kantons Graubünden zunächst nicht ein. Mit Verfügung vom 23. Februar 2009 hob das Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit Graubünden den Nichteintretensentscheid des Amtes auf und verpflichtete Y._ - der zu dieser Zeit bei seiner Ehefrau wohnte - zur sofortigen Ausreise; den Gesuchsausgang habe er im Ausland abzuwarten. Nachdem ein erster Ausschaffungsversuch im Dezember 2008 noch gescheitert war, weil Y._ sich geweigert hatte, das Flugzeug zu besteigen, konnte er am 12. März 2009 schliesslich in den Libanon zurückgeführt werden. C. Mit Verfügung vom 4. August 2009 lehnte das Amt für Polizeiwesen und Zivilrecht des Kantons Graubünden das Gesuch von X._ um Nachzug ihres Ehemannes ab. Hiegegen wehrte sich X._ erfolglos beim Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit des Kantons Graubünden (Entscheid vom 8. Februar 2010), und mit Urteil vom 8. Juni 2010 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden die gegen den Departementsentscheid erhobene Beschwerde ebenfalls ab. D. Mit Eingabe vom 12. August 2010 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das letztgenannte Urteil aufzuheben und ihrem Ehemann die Einreise und den Aufenthalt in der Schweiz im Rahmen des Familiennachzugs zu bewilligen. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Das Amt für Polizeiwesen und Zivilrecht sowie das Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit Graubünden beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Migration stellt ebenfalls Antrag auf Beschwerdeabweisung. 