Sachverhalt: A. Der 1949 geborene M._ war seit 1977 bei der Firma A._ als angelernter Wickler angestellt und über diesen Arbeitgeber bei der Schweizerischen Unfallversicherung (SUVA) gegen Berufs- und Nichtberufsunfälle versichert, als er am 13. Juni 2004 in einen Verkehrsunfall verwickelt wurde. Während er am Steuer seines Personenwagens vor einem Rotlicht wartete, konnte der ihm nachfolgende Autolenker sein Fahrzeug nicht mehr rechtzeitig zum Stillstand bringen, weshalb es zur Kollision kam. Der am 15. Juni 2004 konsultierte Dr. med. K._ fand eine frei bewegliche Halswirbelsäule (HWS) mit Endphasenschmerz in der Reklination, Lateralflexion und Rotation sowie multiple paracervicale Insertionstendinosen, schloss röntgenologisch ossäre Läsionen aus, diagnostizierte eine Distorsion der HWS, attestierte eine volle Arbeitsunfähigkeit ab dem 14. Juni 2004 und verordnete Physiotherapie und eine medikamentöse Behandlung. Gemäss den Angaben im Erhebungsblatt für die Abklärung von HWS-Fällen vom 3. November 2004 traten Stunden nach dem Unfall Beschwerden im Kreuz- und Nackenbereich auf, später auch Kopf- und Schulterschmerzen. Die SUVA kam für die Heilbehandlung auf, richtete Taggelder aus und ordnete die kreisärztliche Untersuchung durch Dr. med. W._ vom 3. November 2004, die psychiatrische Untersuchung durch Dr. med. H._ und eine stationäre Untersuchung und Behandlung in der Reha R._ vom 29. März bis 26. April 2005 an. Mit Verfügung vom 24. Februar 2006 eröffnete sie M._, die Versicherungsleistungen würden mangels noch vorhandener Unfallfolgen ab 28. Februar 2006 eingestellt. Daran hielt sie auf Einsprache hin mit Einspracheentscheid vom 25. April 2006 fest. B. Die dagegen eingereichte Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 28. März 2007 ab. C. M._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, sein Anspruch auf die gesetzlichen Versicherungsleistungen sei zu bejahen. Eventuell sei die Sache zur ergänzenden Abklärung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Überdies sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Zudem stellt er das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege. Des Weitern lässt er die Berichte des lic. phil. E._ vom 3. Mai 2007 und des Dr. med. S._ vom 4. und 9. Mai 2007 sowie ein Kündigungsschreiben der bisherigen Arbeitgeberin vom 3. Mai 2007 einreichen. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Die I. sozialrechtliche Abteilung des Bundesgerichts hat das Begehren um unentgeltliche Rechtspflege mit Beschluss vom 6. August 2007 abgewiesen und vom Beschwerdeführer mit Verfügung vom 10. August 2007 einen Kostenvorschuss verlangt, den dieser innert Frist bezahlt hat. E. In BGE 134 V 109 hat das Bundesgericht seine Praxis zur Kausalitätsprüfung bei Unfällen mit Schleudertrauma, äquivalenter Verletzung der Halswirbelsäule oder Schädel-Hirntrauma ohne organisch objektiv ausgewiesene Beschwerden (so genannte Schleudertrauma-Praxis) präzisiert (Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008). Den Parteien wurde am 12. März 2008 Gelegenheit gegeben, sich zu dieser Präzisierung der Rechtsprechung und allfälligen Auswirkungen derselben auf die in ihren bisherigen Rechtsschriften eingenommenen Standpunkte zu äussern. Davon haben die SUVA mit Eingabe vom 3. April 2008 und M._ am 10. April 2008 Gebrauch gemacht. 