Sachverhalt: A. Die 1970 geborene S._, hauptsächlich als Raumpflegerin mit einem Pensum von rund 10 Wochenstunden in der Firma X._ tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, erlitt am 11. Februar 2002 einen Verkehrsunfall. Sie hatte den von ihr gelenkten VW Golf Variant innerorts angehalten, um ein Abbiegemanöver vorzunehmen. Ein nachfolgender BWM prallte ins Heck des VW. Nach dem Unfall traten Beschwerden insbesondere im Nacken auf. Die Hausärztin diagnostizierte eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) und bestätigte eine Arbeitsunfähigkeit (Arztbericht vom 12. Mai 2002). Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Nach verschiedenen Sachverhaltsabklärungen (u.a. Einholung einer biomechanischen Kurzbeurteilung der Arbeitsgruppe für Unfallmechanik vom 9. Juli 2002, und eines medizinischen Gutachtens der Klinik Y._ vom 14. Januar 2004) eröffnete sie der Versicherten mit Verfügungen vom 9. und 16. August 2004, die dem Taggeld zugrunde liegende Arbeitsunfähigkeit werde ab 19. Februar 2004 auf 25 % herabgesetzt; sodann würden die Leistungen auf den 16. August 2004 gänzlich eingestellt, da es an einem rechtserheblichen Zusammenhang zwischen den noch bestehenden Beschwerden und dem Unfall vom 11. Februar 2002 fehle. Diese Verfügungen nahm der Versicherer am 23. März 2005 aus formellen Gründen zurück. Am 19. August 2005 verfügte er erneut und inhaltlich gleich auf Herabsetzung des Taggeldes und Einstellung der Leistungen. Die von S._ erhobene Einsprache mit dem Antrag, es seien ab 19. Februar 2004 ein Taggeld entsprechend einer Arbeitsunfähigkeit von 50 %, ab 16. Mai 2004 weiterhin die gesetzlichen Leistungen und zudem eine Invalidenrente sowie eine Integritätsentschädigung zuzusprechen, wies die SUVA ab (Einspracheentscheid vom 6. Dezember 2005). B. Beschwerdeweise erneuerte S._ ihre Leistungsbegehren. In teilweiser Gutheissung des Rechtsmittels verpflichtete das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die SUVA, für die Zeit vom 19. Februar bis 15. August 2004 ein Taggeld entsprechend einer Arbeitsunfähigkeit von 50 % auszurichten. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab (Entscheid vom 28. September 2007). C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei, soweit den Leistungsanspruch ab 16. August 2004 betreffend, aufzuheben und es seien ab diesem Zeitpunkt weiterhin die gesetzlichen Leistungen sowie eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung zuzusprechen. Zudem wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht. Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Eingaben vom 25. März resp. 21. April 2008 ergänzen die Parteien ihre Vorbringen im Hinblick auf das Urteil BGE 134 V 109. 