Sachverhalt: A. Die 1960 geborene J._ war vom 1. Januar 1990 bis 31. März 1995 bei der Y._ AG als Reinigerin angestellt. Mit Verfügung vom 4. Mai 1998 sprach ihr die IV-Stelle des Kantons Aargau bei vollständiger Invalidität vom 1. Januar bis 31. März 1996 eine ganze sowie - unter Zugrundelegung eines Invaliditätsgrades von nunmehr 57 % - ab 1. April 1996 eine halbe Rente der Invalidenversicherung zu. Auf Gesuch der Versicherten von August 1999 hin leitete die Verwaltung eine Rentenrevision ein und sprach J._ mit Verfügung vom 8. März 2000 bei wiederum vollständiger Invalidität ab 1. August 1999 eine ganze Invalidenrente zu. Mit Schreiben vom 26. November 2008 ersuchte die Pensionskasse X._, welche seit 1. Februar 1997 eine vorsorgerechtliche Invalidenrente ausrichtete, um eine neuerliche Rentenrevision. Ihr Vertrauensarzt sei nach dem Studium der IV-Akten zum Schluss gelangt, dass sich hier eine Rente der Invalidenversicherung nicht (weiter) rechtfertigen lasse. Die IV-Organe eröffneten daraufhin am 11. Dezember 2008 ein Revisionsverfahren und gaben in der Folge bei der MEDAS Z._ ein bidisziplinäres (rheumatologisch/psychiatrisches) Gutachten in Auftrag, welches am 14. Juni 2010 erstattet wurde. Gestützt darauf und unter Hinweis auf die am 1. Januar 2012 in Kraft getretenen Schlussbestimmungen zur 6. IV-Revision (erstes Massnahmenpaket) hob die IV-Stelle mit Verfügung vom 21. Juni 2012 die bisher ausgerichtete ganze Invalidenrente auf Ende Juli 2012 hin ersatzlos auf. B. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau hiess die von J._ dagegen eingereichte Beschwerde gut, hob die Renteneinstellungsverfügung vom 21. Juni 2012 auf und verpflichtete damit die IV-Stelle zur Weiterausrichtung der ganzen Invalidenrente über Ende Juli 2012 hinaus (Entscheid vom 10. Januar 2013). C. Die Pensionskasse X._ führt Beschwerde ans Bundesgericht mit dem Antrag auf Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids. Der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Während J._ auf Abweisung der Beschwerde schliesst, beantragt die IV-Stelle deren Gutheissung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichtet auf eine Vernehmlassung. 