Sachverhalt: A. A.a Die Öffentliche Arbeitslosenkasse des Kantons Aargau betrieb die X._ AG mit Zahlungsbefehl Nr. xxx des Betreibungsamtes A._ vom 30. Juni 2010 für eine Forderung im Umfang von Fr. 20'354.15 für subrogierte Lohnansprüche nach Bezahlung von Insolvenzentschädigung. Es wurde kein Rechtsvorschlag erhoben. A.b Am 11. Februar 2011 stellte das Betreibungsamt der X._ AG die Konkursandrohung zu. Am 15. März 2011 stellte die Arbeitslosenkasse beim Bezirksgericht Brugg das Konkursbegehren. Mit Entscheid vom 14. Dezember 2011 eröffnete das Gerichtspräsidium Brugg den Konkurs über die X._ AG. B. Gegen den Entscheid des Konkursrichters erhob die X._ AG Beschwerde und verlangte die Aufhebung der Konkurseröffnung. Das Obergericht des Kantons Aargau wies die Beschwerde mit Entscheid vom 1. März 2012 ab. C. Die X._ AG hat am 10. April 2012 Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Die Beschwerdeführerin verlangt die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheides und (sinngemäss) die Aufhebung der Konkurseröffnung. Weiter ersucht sie um Gewährung der aufschiebenden Wirkung. Mit Präsidialverfügung vom 23. Mai 2012 wurde der Beschwerde in Zivilsachen aufschiebende Wirkung im Sinne der Erwägungen zuerkannt. Es sind keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt worden. 