Sachverhalt: A. A._ (Beschwerdeführerin) wurde von der Y._ AG (seit Januar 2009 X._ AG, Beschwerdegegnerin) per 1. September 2007 zu 80 % als "Pflegefachfrau DN II" angestellt. Während der bis 30. November 2007 dauernden Probezeit konnten beide Parteien das Arbeitsverhältnis mit einer Frist von fünf Tagen auf das Ende einer Woche kündigen. Mit Schreiben vom 6. Oktober 2007 kündigte die Beschwerdegegnerin das Arbeitsverhältnis auf den 14. Oktober 2007. Nachdem die Beschwerdeführerin fristgerecht gegen die Kündigung Einsprache erhoben und eine Begründung verlangt hatte, teilte die Beschwerdegegnerin ihr folgende Kündigungsgründe mit: Die Beschwerdeführerin habe am 2. Oktober 2007 in einem kurzfristig von ihr verlangten Gespräch der Leiterin des Pflegezentrums sowohl fachliche als auch charakterliche Inkompetenz vorgeworfen und erklärt, sie werde sich nach einer neuen Stelle umsehen. Diese und weitere Äusserungen und Verhaltensweisen der Beschwerdeführerin verunmöglichten eine konstruktive Zusammenarbeit und belegten zudem, dass diese auch aus Sicht der Beschwerdeführerin nicht möglich sei. B. Die Beschwerdeführerin gelangte an das Bezirksgericht Weinfelden und forderte von der Beschwerdegegnerin Fr. 14'700.-- brutto (entsprechend drei Monatslöhnen) Entschädigung für die in ihren Augen missbräuchliche Kündigung. Zudem verlangte sie die Ausstellung eines Arbeitszeugnisses, dessen Wortlaut sie im Einzelnen vorgab. Am 11. Februar 2008 stellte die Beschwerdegegnerin der Beschwerdeführerin ein Zeugnis zu, welches von der beantragten Formulierung abwich. Mit Urteil vom 12. August/5. Dezember 2008 wies das Bezirksgericht die Forderungsklage ab und verpflichtete die Beschwerdegegnerin, ein gegenüber dem der Beschwerdeführerin zugestellten in einem Punkt textlich abgeändertes Zeugnis auszustellen. Die gegen dieses Urteil erhobene kantonale Berufung wies das Obergericht des Kantons Thurgau am 16. April 2009 kostenfällig ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen hält die Beschwerdeführerin an ihren im kantonalen Verfahren gestellten Begehren fest und beantragt überdies die Aufhebung des angefochtenen Entscheides, soweit ihr für das kantonale Berufungsverfahren Verfahrenskosten von Fr. 3'000.-- auferlegt worden sind. Das Obergericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen, und verweist auf den angefochtenen Entscheid. Auch die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der Beschwerde und verlangt für das Verfahren vor Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 4'000.--. 