Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen führt seit 2006 ein Strafverfahren gegen Rechtsanwalt Dr. X._. Am 16. Oktober 2012 erhielt sie von dessen ehemaligem Chauffeur, Z._, auf elektronischem Weg verschiedene Daten. Am 1. März 2013 reichte X._ Strafanzeige gegen Z._ ein. Dabei warf er auch Staatsanwalt Y._, der das Verfahren gegen ihn führt, strafbares Verhalten vor. Es sei zu prüfen, ob Y._ zum einen Z._ dazu angestiftet habe, das Berufsgeheimnis zu verletzen, und zum anderen das Amtsgeheimnis verletzt habe. B. Die Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen überwies die Strafanzeige an die Anklagekammer des Kantons St. Gallen, damit diese über die Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens gegen Y._ entscheide. Die Anklagekammer gab dem Untersuchungsamt St. Gallen und Y._ Gelegenheit zur Stellungnahme. Davon machte Y._ mit Eingabe vom 15. März 2013 Gebrauch. Am 10. April 2013 entschied die Anklagekammer, die Ermächtigung werde nicht erteilt. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt X._, es sei der Entscheid der Anklagekammer aufzuheben und die Ermächtigung zur Durchführung eines Strafverfahrens gegen Y._ zu erteilen; eventuell sei der Entscheid der Anklagekammer aufzuheben und die Sache an diese zurückzuweisen. Y._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Anklagekammer und das Untersuchungsamt verzichten auf eine Vernehmlassung. Mit Eingabe vom 3. September 2013 nimmt X._ nochmals Stellung. 