Sachverhalt: Sachverhalt: A. Die 1965 in Jamaika geborene Y._ gebar am 19. Oktober 1982 in Lucea District, Parish Hanover/Jamaika, die nicht eheliche Tochter X._. Der Vater hatte die Mutter noch vor der Geburt verlassen. Am 28. November 1986 heiratete Y._ den Schweizer Bürger Z._, wodurch sie das Schweizer Bürgerrecht erlangte. Bis zu ihrer Heirat hatte sie in Jamaika gelebt und ihre Tochter betreut. Während das Ehepaar Y.-Z._ nach der Heirat in der Schweiz wohnte, blieb X._ bei den Grosseltern (geb. 1912 und 1923) der Ehefrau in Jamaika. A. Die 1965 in Jamaika geborene Y._ gebar am 19. Oktober 1982 in Lucea District, Parish Hanover/Jamaika, die nicht eheliche Tochter X._. Der Vater hatte die Mutter noch vor der Geburt verlassen. Am 28. November 1986 heiratete Y._ den Schweizer Bürger Z._, wodurch sie das Schweizer Bürgerrecht erlangte. Bis zu ihrer Heirat hatte sie in Jamaika gelebt und ihre Tochter betreut. Während das Ehepaar Y.-Z._ nach der Heirat in der Schweiz wohnte, blieb X._ bei den Grosseltern (geb. 1912 und 1923) der Ehefrau in Jamaika. B. Am 18. August 1999 ersuchte Y._ um Erteilung der Niederlassungsbewilligung, eventuell der Aufenthaltsbewilligung, für ihre tags zuvor mit einem Visum in die Schweiz eingereiste Tochter. Sie begründete das Gesuch damit, dass die Grosseltern inzwischen sehr schwer erkrankt und auch aufgrund ihres hohen Alters nicht mehr in der Lage seien, ihre Tochter zu betreuen. Zudem könne ihre Ausbildung in Jamaika nicht mehr ausreichend weiter gefördert werden. B. Am 18. August 1999 ersuchte Y._ um Erteilung der Niederlassungsbewilligung, eventuell der Aufenthaltsbewilligung, für ihre tags zuvor mit einem Visum in die Schweiz eingereiste Tochter. Sie begründete das Gesuch damit, dass die Grosseltern inzwischen sehr schwer erkrankt und auch aufgrund ihres hohen Alters nicht mehr in der Lage seien, ihre Tochter zu betreuen. Zudem könne ihre Ausbildung in Jamaika nicht mehr ausreichend weiter gefördert werden. C. Mit Verfügung vom 24. Oktober 2000 wies die Direktion für Soziales und Sicherheit des Kantons Zürich/Fremdenpolizei das Gesuch ab. Den von X._ und Y._ dagegen gerichteten Rekurs wies der Regierungsrat des Kantons Zürich mit Beschluss vom 13. Juni 2001 ab, soweit er nicht gegenstandslos geworden war. Gleichzeitig wurde die Direktion für Soziales und Sicherheit angewiesen, X._ eine Frist zur Ausreise anzusetzen. Gegen den Beschluss des Regierungsrates des Kantons Zürich wandten sich X._ und Y._ mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, welches die Beschwerde mit Urteil vom 3. Oktober 2001 abwies, soweit es darauf eintrat. Gegen den Beschluss des Regierungsrates des Kantons Zürich wandten sich X._ und Y._ mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, welches die Beschwerde mit Urteil vom 3. Oktober 2001 abwies, soweit es darauf eintrat. D. In der irrtümlichen Annahme, der Beschluss des Regierungsrates sei rechtskräftig, setzte die Direktion für Soziales und Sicherheit X._ eine Frist bis zum 31. August 2001, um das zürcherische Kantonsgebiet zu verlassen. Das Bundesamt für Ausländerfragen dehnte die kantonale Wegweisungsverfügung auf das ganze Gebiet der Schweiz aus. Gegen die Ausdehnungsverfügung erhob X._ Beschwerde beim Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement. Dieses sistierte das Beschwerdeverfahren am 17. September 2001 bis zum rechtskräftigen Entscheid über das Gesuch um Familiennachzug. E. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 23. November 2001 beantragen X._ und Y._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich aufzuheben und die Vorinstanzen anzuweisen, die nachgesuchte fremdenpolizeiliche Bewilligung zu erteilen. Weiter beantragen sie, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen und eine öffentliche Verhandlung durchzuführen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich beantragt unter Verzicht auf eine Vernehmlassung, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Ausländerfragen beantragt ebenfalls, die Beschwerde abzuweisen. Das Bundesamt für Ausländerfragen beantragt ebenfalls, die Beschwerde abzuweisen. F. Mit Verfügung vom 20. Dezember 2001 entsprach der Präsident der II. öffentlichrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts dem Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung und gestattete X._, bis zum Abschluss des bundesgerichtlichen Verfahrens im Kanton Zürich bei Y._ zu verbleiben. 