Sachverhalt: A. Der Einzelrichter am Kantonsgericht Zug erteilte mit Verfügung vom 29. Februar 2012 definitive Rechtsöffnung für Fr. 10'006.65 nebst 5 % Zins seit 24. September 2011 in der von Z._ gegen die X._ AG eingeleiteten Betreibung Nr. ... des Betreibungsamts Zug. Die X._ AG wandte sich dagegen mit Beschwerde vom 19. März 2012 an das Obergericht des Kantons Zug. Mit Präsidialverfügung vom 22. März 2012 trat das Obergericht auf die Beschwerde nicht ein. B. Am 30. April 2012 erhob die X._ AG (Beschwerdeführerin) Beschwerde an das Bundesgericht. Sie beantragt, die obergerichtliche Verfügung aufzuheben und das Rechtsöffnungsgesuch abzuweisen. Allenfalls sei die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Zudem ersucht sie um aufschiebende Wirkung. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung wurde mit Verfügung vom 1. Mai 2012 abgewiesen. Ebenfalls am 1. Mai 2012 hat das Bundesgericht das Obergericht aufgefordert, die Akten einzureichen. Mit Verfügung vom 8. Juni 2012 hat das Bundesgericht das Obergericht aufgefordert, die eingereichten Akten zu vervollständigen (vgl. E. 1). Am 19. Juni 2012 hat das Obergericht beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten und das Gesuch um aufschiebende Wirkung abzuweisen. Im Übrigen hat es auf Vernehmlassung verzichtet. Z._ (Beschwerdegegner) ersucht mit Beschwerdeantwort vom 28. Juni 2012 um Abweisung der Beschwerde und darum, der Beschwerdeführerin eine Ordnungsbusse wegen mutwilliger Prozessführung aufzuerlegen. Zudem fordert er das Bundesgericht auf, den tatsächlichen Verfasser der Beschwerde - mutmasslich Rechtsanwalt V._ - zu eruieren und ebenso zu disziplinieren. 