Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft Basel-Landschaft führt eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen des Verdachts (unter anderem) von Diebstahl und Missbrauch einer Datenverarbeitungsanlage. Am 15. Februar 2011 beauftragte der Beschuldigte einen erbetenen privaten Verteidiger. Mit Verfügung vom 16. März 2011 wies die Staatsanwaltschaft ein Gesuch des erbetenen Verteidigers vom 16. Februar 2011 um Ernennung als amtlichen Verteidiger ab. Eine dagegen erhobene Beschwerde entschied das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Strafrecht, am 7. Juni 2011 abschlägig. B. Mit Schreiben vom 13. Juli 2011 teilte der erbetene Verteidiger der Staatsanwaltschaft mit, dass er (mangels Kostendeckung für seine Bemühungen) gezwungen sei, das private Mandat sofort niederzulegen. Gleichzeitig stellte er erneut das Gesuch, er sei als amtlicher Verteidiger einzusetzen. Am 22. Juli 2011 forderte die Staatsanwaltschaft den Beschuldigten auf, eine neue Wahlverteidigung zu bestimmen. Mit Schreiben vom 28. Juli 2011 teilte der Beschuldigte der Staatsanwaltschaft mit, dass er seinen bisherigen erbetenen Verteidiger als amtlichen Verteidiger zu bestellen wünsche. Mit Verfügung vom 4. August 2011 ernannte die Staatsanwaltschaft einen anderen Anwalt als amtlichen Verteidiger des Beschuldigten. Eine dagegen erhobene Beschwerde hiess das Kantonsgericht am 24. Oktober 2011 teilweise gut. Es hob die Verfügung vom 4. August 2011 auf und wies die Sache zur Neubeurteilung an die Staatsanwaltschaft zurück. C. Mit Verfügung vom 20. Januar 2012 bestellte die Staatsanwaltschaft erneut den erwähnten anderen Anwalt als amtlichen Verteidiger, mit Wirkung ab diesem Datum. Eine vom Beschuldigten dagegen erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Strafrecht, am 10. April 2012 ab. D. Gegen den Beschluss des Kantonsgerichts vom 10. April 2012 gelangte der Beschuldigte mit Beschwerde vom 29. Juni 2012 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides. Die Staatsanwaltschaft sei zudem anzuweisen, den vom Beschwerdeführer gewünschten Anwalt als (neuen) amtlichen Verteidiger zu bestellen. Die Staatsanwaltschaft, das Kantonsgericht und der amtliche Verteidiger beantragen je die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Der Beschwerdeführer replizierte (nach erstreckter Frist) am 12. September 2012. 