Faits: A. A.a Constituée en 1895, l'Association Z._ (ci-après: Z._) est l'entité responsable de l'organisation du football sur le territoire de .... L'Union des Associations Européennes de Football (ci-après: l'UEFA), qui a son siège à Nyon, est une association de droit suisse dont le but consiste notamment à traiter toutes les questions concernant le football européen. Elle est l'une des confédérations continentales de football. Toute association européenne qui souhaite devenir membre de la Fédération Internationale de Football Association (ci-après: la FIFA) doit d'abord s'affilier à l'UEFA. Le Congrès, organe suprême de l'UEFA, est compétent pour décider de l'admission d'une association. Le Comité exécutif de l'UEFA peut admettre une association à titre provisoire avec les mêmes droits et obligations qu'un membre, excepté le droit de vote. Le Congrès de l'UEFA suivant décide de l'affiliation définitive d'une association admise provisoirement. Les organes de juridiction de l'UEFA sont l'Instance de contrôle et de discipline, l'Instance d'appel et l'Inspecteur disciplinaire. Pour résoudre les litiges de dimension européenne, l'UEFA a institué un système qui résulte des trois dispositions suivantes, extraites de ses Statuts (version juin 2007): "TAS en tant que tribunal arbitral ordinaire Article 61 Compétence 1. Le TAS est seul compétent, à l'exclusion de tout tribunal ordinaire ou de tout autre tribunal arbitral, pour traiter en tant que tribunal arbitral ordinaire des litiges: a) entre l'UEFA et les associations, ligues, clubs, joueurs ou officiels; b) de dimension européenne entre associations, ligues, clubs, joueurs et officiels. Conditions d'intervention 2. Le TAS n'intervient en tant que tribunal arbitral ordinaire que si le litige ne relève pas de la compétence d'un organe de l'UEFA. TAS en tant que tribunal arbitral d'appel Article 62 Compétence 1. Toute décision prise par un organe de l'UEFA peut être exclusivement contestée auprès du TAS en tant que tribunal arbitral d'appel, à l'exclusion de tout tribunal ordinaire ou de tout autre tribunal arbitral. Qualité pour recourir 2. Seules peuvent recourir au TAS les parties directement touchées par une décision. Lorsqu'une décision est rendue en matière de dopage, la qualité pour recourir au TAS est toutefois reconnue également à l'Agence Mondiale Antidopage (AMA). Délai de recours 3. Le délai de recours au TAS est de 10 jours à compter de la réception de la décision. Voies de recours internes 4. Le TAS ne peut être saisi que lorsque les voies de recours internes de l'UEFA sont épuisées. Effet suspensif 5. Un recours n'a pas d'effet suspensif, à moins que le TAS ne l'ordonne. Pouvoir d'examen 6. Le TAS ne tient pas compte des faits ou des moyens de preuve que le recourant a omis de présenter ou choisi de ne pas présenter devant une instance interne de l'UEFA, alors qu'il aurait pu le faire s'il avait observé toute la diligence commandée par les circonstances. Dispositions communes Article 63 Exclusion de la compétence 1. Le TAS n'est pas compétent pour traiter: a) des affaires relatives à l'application d'une règle purement sportive, telle que les Lois du jeu ou les modalités techniques d'une compétition; b) d'un recours contre une décision par laquelle une personne physique est suspendue pour une durée inférieure ou égale à deux matches ou à un mois; c) d'un recours contre une sentence rendue par un tribunal arbitral indépendant et impartial dans un litige de dimension nationale découlant de l'application des statuts ou règlements d'une association. Membres européens 2. Seuls des arbitres domiciliés en Europe sont compétents pour traiter les litiges susceptibles d'être soumis au TAS en vertu des présents statuts. Procédure 3. Au surplus, la procédure suit les dispositions du Code de l'arbitrage en matière de sport du TAS." A.b En 1997, Z._ a présenté une demande d'affiliation à la FIFA. Après avoir procédé à un examen préliminaire de cette demande, la FIFA l'a transmise à l'UEFA, en 1999, afin qu'elle se prononce sur l'admission à titre provisoire de Z._. Dans un rapport daté du 27 août 2001, la commission d'experts juridiques désignée à cet effet est arrivée à la conclusion que rien ne faisait obstacle à une telle admission sur le vu de la norme statutaire alors en vigueur. Cependant, en date du 11 octobre 2001, le Congrès de l'UEFA a modifié cette norme et décidé que, désormais, la qualité de membre de l'UEFA serait réservée aux associations européennes ayant leur siège dans un Etat indépendant reconnu par l'Organisation des Nations Unies et responsables de l'organisation du football sur le territoire de leur pays, condition que ne remplit pas l'association requérante. A.c Par courrier du 6 juin 2002, Z._ a invité l'UEFA à lui indiquer si elle acceptait l'arbitrage du TAS. Dans une lettre du 12 juillet 2002, l'UEFA a répondu affirmativement en ces termes: "After discussing this item with the members of the UEFA Executive Committee we would like to confirm to you that UEFA accepts the CAS arbitration in Lausanne regarding the affiliation request of the Football Association of Z._." Le 16 août 2002, Z._ a adressé une requête d'arbitrage au Tribunal Arbitral du Sport (TAS). Elle a conclu à ce que le Comité exécutif de l'UEFA soit condamné à examiner sa candidature à la lumière des règles applicables au moment où elle avait demandé son affiliation et à ce qu'il soit constaté que, sur la base desdites règles, elle était éligible à la qualité de membre provisoire de l'UEFA avec effet immédiat. Le TAS a rendu sa sentence le 22 octobre 2003. Admettant, pour l'essentiel, le point de vue soutenu par Z._, il a ordonné à l'UEFA de se prononcer, dans un délai expirant le 31 mars 2004, sur la question de l'affiliation de cette association, et ce conformément aux règles en vigueur à l'époque où la demande ad hoc avait été formulée par l'intéressée. Lors de sa réunion du 22 mars 2004, le Comité exécutif de l'UEFA, se référant à un avis de la FIFA selon lequel Z._ ne remplissait pas les critères d'admission au sein de cette fédération, a décidé qu'il en allait de même s'agissant de l'affiliation à l'UEFA. Z._ a tenté - sans succès - d'obtenir l'exécution de la sentence arbitrale par la mise en oeuvre des tribunaux étatiques. A.d Le 12 mai 2005, Z._ a déposé une nouvelle demande d'arbitrage. Elle concluait à ce que le TAS déclare qu'elle était en droit de devenir membre à titre provisoire de l'UEFA et/ou à ce qu'il ordonne au Comité exécutif de l'UEFA de l'admettre comme tel lors de sa prochaine réunion. Z._ demandait, en outre, au TAS d'obliger le Comité exécutif de l'UEFA à mettre la question de son affiliation définitive à l'ordre du jour du prochain Congrès et d'enjoindre ce dernier à se prononcer sur l'affiliation définitive de Z._ sur la base des règles applicables lorsque la demande d'affiliation avait été déposée en 1999. Elle réclamait enfin des dommages-intérêts du fait que l'UEFA ne l'avait pas admise en qualité de membre provisoire le 22 mars 2004. Les parties n'ont formulé aucune objection quant à la soumission du litige à l'arbitrage ordinaire du TAS. Dans sa sentence du 6 juillet 2006, le TAS a ordonné au Comité exécutif de l'UEFA d'admettre Z._ comme membre provisoire lors de sa prochaine réunion, de mettre la question de l'affiliation définitive de Z._ au sein de l'UEFA à l'agenda du Congrès suivant et d'inviter celui-ci à décider de l'affiliation définitive de Z._ conformément à la lettre et à l'esprit de ladite sentence, en particulier selon les paragraphes 82, 83 et 84 de cette dernière, c'est-à-dire d'après les règles en vigueur lors du dépôt, en 1999, de la requête initiale de Z._, à l'exclusion des règles introduites ultérieurement. La question des dommages-intérêts a été renvoyée à une sentence séparée. A.e Le 8 décembre 2006, le Comité exécutif de l'UEFA a admis Z._ en qualité de membre provisoire de cette association et décidé de porter la question de l'affiliation définitive de Z._ à l'ordre du jour du prochain Congrès. Au Congrès tenu les 25 et 26 janvier 2007 à A._, les délégués ont décidé - par 45 voix contre, 3 voix pour et 4 abstentions - de ne pas admettre Z._ en qualité de membre à part entière de l'UEFA. Dans son mémoire du 5 février 2007 relatif aux dommages-intérêts, Z._ a tenté de s'en prendre à cette décision, qu'elle jugeait contraire à l'esprit de la deuxième sentence. Elle a présenté, à cette fin, des conclusions additionnelles tendant à faire constater la nullité de la décision prise le 26 janvier 2007 par le Congrès et à obtenir une déclaration selon laquelle elle devait être admise avec effet immédiat en tant que membre à part entière de l'UEFA. Cependant, par décision prise le 29 août 2007 à la majorité de ses membres, le TAS, se rangeant à l'avis de l'UEFA, a rejeté cette conclusion au motif qu'elle sortait du cadre de sa mission. B. Le 6 mars 2007, Z._ a introduit une troisième demande d'arbitrage, tout en soutenant que le TAS avait refusé à tort de traiter cette demande dans le cadre du deuxième arbitrage toujours pendant. Ses conclusions visaient derechef à faire constater qu'elle était en droit d'être admise en qualité de membre à part entière de l'UEFA et à intimer à cette dernière l'ordre de l'admettre immédiatement en tant que tel. Y étaient jointes des conclusions préliminaires tendant à la production de pièces par l'UEFA ainsi que des conclusions concernant le prononcé de mesures provisionnelles et conservatoires. Dans sa première écriture en réponse à cette troisième demande d'arbitrage, l'UEFA a fait valoir que celle-ci devait être traitée comme un appel, lequel aurait dû être interjeté dans les 10 jours à compter de la décision prise le 26 janvier 2007 par le Congrès. A ses yeux, ladite demande était ainsi tardive, de sorte que le TAS devait se déclarer incompétent. Après avoir donné aux parties l'occasion de faire valoir leurs arguments sur ce point, le TAS, composé de trois nouveaux membres, a décidé de statuer séparément sur sa compétence, entre autres questions préliminaires. Le 3 juillet 2008, il a rendu, à ce sujet, une sentence au terme de laquelle il a admis sa compétence. Selon l'opinion majoritaire qui a prévalu au sein de la formation arbitrale, le TAS était compétent en tant que juridiction ordinaire au sens de l'art. 61 des Statuts de l'UEFA. L'un des trois arbitres, tout en concluant lui aussi à la compétence du TAS, a estimé que celui-ci devait statuer comme juridiction d'appel en vertu de l'art. 62 desdits Statuts. Il a admis, contrairement à l'avis de l'UEFA, que Z._ n'avait pas saisi le TAS après l'expiration du délai d'appel. C. Le 27 août 2008, l'UEFA a déposé un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut à ce que la sentence attaquée soit annulée et le TAS déclaré incompétent pour connaître du litige divisant les parties. A titre subsidiaire, la recourante demande que la cause soit retournée au TAS pour nouvelle décision dans le sens des considérants de l'arrêt fédéral. Au terme de sa réponse, l'intimée conclut principalement à l'irrecevabilité du recours et, subsidiairement, au rejet de celui-ci. Le TAS a produit son dossier tout en renonçant à déposer une réponse. 