Sachverhalt: A. Die 1939 geborene X._ hält in einer Mietwohnung im dritten Obergeschoss eines Mehrfamilienhauses in der Stadt B._ den Husky-Rüden "A._". A.a Nachdem das Amt für Lebensmittelsicherheit und Tiergesundheit des Kantons Graubünden (ALT) verschiedene Meldungen erhalten hatte, wonach X._ ihren Hund beim Spazierengehen nicht unter Kontrolle habe, verfügte es am 11. Juni 2009 die Durchführung des Tests zum Hundehalterbrevet. X._ bestand diese Prüfung nicht, zumal sie nur 3 von 16 möglichen Punkten erhielt (Minimalerfordernis für das Bestehen: 11 1⁄2 Punkte). Als Folge hiervon ordnete das ALT an, dass die Halterin bei "A._" ein spezielles Hundegeschirr verwenden müsse. A.b Am 24. Juni 2010 - nachdem in der Zwischenzeit weitere Negativmeldungen bezüglich der Haltung von "A._" eingegangen waren - führte das ALT mit Hund und Halterin auch den Verhaltenstest "Capricorn" durch. Aufgrund der mittels diesem Test festgestellten Defizite in der Sozialisierung des Tieres und in der Interaktion zwischen "A._" und X._ schlug das ALT der Hundehalterin entweder die Umplatzierung oder das regelmässige Ausführen des Hundes durch eine Hilfsperson vor. X._ entschied sich für die letztere Variante und liess "A._" ab dem 1. September 2010 durch eine Hilfsperson ausführen. A.c Am 8. Oktober 2010 biss "A._" die Hilfsperson während eines Spaziergangs zweimal in die Hände, was zur Folge hatte, dass die Hilfsperson während vier Tagen stationär im Spital behandelt werden musste. Daraufhin ordnete das ALT mit Verfügung vom 5. November 2010 an, dass der Hund "A._" bis spätestens am 6. Dezember 2010 euthanasiert werden müsse, andernfalls erfolge die Ersatzvornahme durch das ALT. Zudem verbot das ALT X._, Hunde zu halten oder für Dritte zu betreuen. B. Gegen die Verfügung des ALT vom 5. November 2010 beschwerte sich X._ mündlich beim Departement für Volkswirtschaft und Soziales Graubünden (DVS). Dieses hiess die Beschwerde am 2. Mai 2011 teilweise gut und hob die Androhung der Ersatzvornahme auf, zumal diesfalls zuerst eine Nachfrist angesetzt werden müsse. Im Übrigen erachtete das Departement die Beschwerde aber als unbegründet und es verpflichtete X._ dazu, ihren Hund bis zum 6. Juni 2011 euthanasieren zu lassen. C. Gegen die Departementsverfügung vom 2. Mai 2011 führte X._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden. In seinem Urteil vom 4. Oktober 2011 gelangte dieses zum Schluss, dass eine Tötung des Hundes als unverhältnismässig erscheine. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde hob es daher die entsprechende Anordnung des DVS auf und verpflichtete X._ stattdessen, ihren Hund bis zum 30. November 2011 zwecks Umplatzierung im Tierheim abzugeben. Im Übrigen wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab; namentlich erachtete es das gegen X._ angeordnete Hundehalteverbot als rechtmässig. D. Mit Eingabe vom 5. Dezember 2011 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht und stellt im Wesentlichen den folgenden Antrag: "Der Hund 'A._' sei der Beschwerdeführerin nicht, zwecks Umplatzierung in ein Tierheim, wegzunehmen und zu enteignen. Die entsprechende Verpflichtung der Beschwerdeführerin sei aufzuheben." Das ALT, das DVS, das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden sowie das Bundesamt für Veterinärwesen (BVET) schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Mit Verfügung vom 11. Januar 2012 lehnte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ab. Mit Schreiben vom 2. April 2012 teilte das ALT dem Bundesgericht mit, dass der Hund am 28. März 2012 beschlagnahmt und in einem Tierheim untergebracht worden sei, wo er nun bis zum Abschluss des bundesgerichtlichen Verfahrens verbleibe. 