Sachverhalt: A. Die Eheleute F.X._ und A.X._, beide pakistanische Staatsangehörige, leben seit dem 25. Mai 1994 zusammen in der Schweiz (seit Oktober 2002 in Erlinsbach AG). Sie haben fünf Kinder: G.X._, B.X._, C.X._, D.X._ und E.X._. Ein von den Eheleuten X._ für sich selbst und ihre Kinder gestelltes Gesuch um ordentliche Einbürgerung wies die Einwohnergemeindeversammlung Erlinsbach am 30. November 2007 ab. B. Am 7. März 2008 reichte A.X._ für sich und die vier Kinder B.X._, C.X._, D.X._ und E.X._ erneut ein Gesuch um ordentliche Einbürgerung ein. Ihr Ehemann ersuchte nicht um Einbürgerung. Der inzwischen mündige älteste Sohn G.X._ stellte am 7. März 2008 für sich selbst ein eigenes Einbürgerungsgesuch, das die Einwohnerversammlung Erlinsbach am 28. November 2008 mit der Zusicherung des Gemeindebürgerrechts beantwortete. Nachdem A.X._ die staatskundliche Prüfung bestanden hatte, fand am 17. April 2009 in Anwesenheit des Gemeindepräsidenten, eines Gemeinderats und einer Gemeindeangestellten (Vorsteherin der Einwohnerkontrolle) ein Gespräch mit A.X._ und den vier Kindern B.X._, C.X._, D.X._ und E.X._ statt. Am 28. April 2009 beschloss der Gemeinderat, der Gemeindeversammlung die Nichtzusicherung des Gemeindebürgerrechts zu beantragen. Der Gemeinderat teilte A.X._ am 1. Mai 2009 seinen Beschluss mit und gab ihr Gelegenheit, ihr Einbürgerungsgesuch zurückzuziehen. Gleichzeitig machte er sie darauf aufmerksam, dass nach seiner Auffassung einer Einbürgerung der Kinder B.X._, C.X._ und D.X._ nichts im Wege stehe. Die Tochter E.X._ erfülle das Wohnsitzerfordernis noch nicht. Bei einem Rückzug hätten die Kinder B.X._, C.X._ und D.X._ die Möglichkeit, selbstständige Einbürgerungsgesuche einzureichen. Diese könnten dann der Gemeindeversammlung vorgelegt werden. Auf eine Beschwerde von A.X._ gegen das Schreiben des Gemeinderats vom 1. Mai 2009 trat das Department Volkswirtschaft und Inneres (DVI) am 3. Juni 2009 nicht ein. C. Nachdem A.X._ an ihrem Einbürgerungsgesuch (mit Einbezug der unmündigen Kinder) festgehalten hatte, verweigerte die Einwohnergemeindeversammlung Erlinsbach am 27. November 2009 die Zusicherung des Gemeindebürgerrechts für sie und die vier Kinder B.X._, C.X._, D.X._ und E.X._. Die von A.X._ für sich selbst und als Vertreterin der vier Kinder B.X._, C.X._, D.X._ und E.X._ gegen den ablehnenden Entscheid erhobene Beschwerde wies der Regierungsrat des Kantons Aargau am 9. Juni 2010 ab. Das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau hiess eine gegen den Entscheid des Regierungsrats gerichtete Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit Urteil vom 6. Dezember 2010 gut. Es hob den Beschluss des Regierungsrats auf und wies die Angelegenheit zur weiteren Behandlung im Sinne der Erwägungen an die Einwohnergemeinde Erlinsbach zurück. Aus den Erwägungen ergibt sich insbesondere, dass die Gemeinde die Sprachkenntnisse von A.X._ unter den vom Verwaltungsgericht aufgestellten materiellen und verfahrensmässigen Anforderungen beurteilen muss. Sollte sich die genannte Beschwerdeführerin über ausreichende Sprachkenntnisse ausweisen und die Gemeinde weiterhin Bedenken hinsichtlich deren Vertrautheit mit den schweizerischen Verhältnissen hegen, so wären entsprechende zusätzliche Untersuchungen durchzuführen oder Gesichtspunkte zu nennen, welche die Annahme einer unzureichenden Integration als haltbar erscheinen lassen. D. Mit Verfassungsbeschwerde vom 31. Januar 2011 an das Bundesgericht beantragt die Einwohnergemeinde Erlinsbach, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und der Beschluss der Gemeindeversammlung Erlinsbach vom 27. November 2009 zu bestätigen. Eventuell sei das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung der Sprachkenntnisse von A.X._ an den Gemeinderat Erlinsbach zurückzuweisen. Die Beschwerdeführerin rügt die Verletzung der Gemeindeautonomie (Art. 50 Abs. 1 BV) sowie die Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV) und Willkür (Art. 9 BV). Sie beanstandet insbesondere, dass das Verwaltungsgericht ihr vorschreibe, wie sie die Sprachkenntnisse festzustellen habe. E. Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die privaten Beschwerdegegner stellen den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Zudem ersuchen sie um unentgeltliche Rechtspflege. Der Regierungsrat schliesst unter Verweisung auf seinen Entscheid vom 9. Juni 2010 auf Gutheissung der Beschwerde. 