Faits: A. Du 18 au 26 octobre 2008, la Télévision suisse romande a retransmis en direct le tournoi de tennis ATP "Davidoff Swiss Indoors" de Bâle. Dans le cadre de cet événement sportif, la Société suisse de radiodiffusion et télévision SRG SSR idée suisse (ci-après: la SRG SSR), avait conclu un contrat de cession des droits de diffusion avec l'organisateur du tournoi, la société Swiss Indoors SA. Depuis 1994, un contrat de sponsoring conclu avec l'organisateur du tournoi permet au groupe Oettinger Davidoff d'associer sa marque "Davidoff" au nom de l'événement. A l'instar des autres sponsors présents, ce groupe bénéficie en outre d'espaces de placement, notamment sur les banderoles bordant les courts de tennis et sur les tee-shirts des juges de ligne, sur lesquels il fait figurer ledit logo. Cette marque est utilisée tant pour la vente d'articles de tabac en particulier que, dans un style d'écriture différent, pour la vente d'autres produits du groupe (cosmétiques, bijoux, vêtements, etc.). La marque ou le logo "Davidoff" sont apparus régulièrement en arrière-plan lors des retransmissions télévisées des différents matches. B. Saisi d'une réclamation de l'association anti-tabac Oxyromandie, le médiateur pour la radio-télévision suisse romande a rendu son avis le 3 février 2009. Le 6 mars 2009, l'association Oxyromandie et son président Pascal Diethelm, agissant aussi à titre personnel, ont formé une plainte auprès de l'Autorité indépendante d'examen des plaintes en matière de radio-télévision (ci-après: l'Autorité indépendante), à laquelle étaient jointes, à titre d'appui à une plainte populaire, 61 déclarations signées, parmi lesquelles figuraient celles des autres recourants mentionnés au début du présent arrêt, à l'exception de Michel Chapalay. En substance, les plaignants reprochaient à la SRG SSR d'avoir montré, de manière massive et répétée, le logo "Davidoff" dans ses retransmissions et sur son site Internet, en violation notamment de la loi fédérale du 24 mars 2006 sur la radio et la télévision (LRTV; RS 784.40). Par décision du 27 août 2009, l'Autorité indépendante a rejeté à l'unanimité, dans la mesure où elle était recevable, la plainte du 6 mars 2009. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, Pascal Diethelm, l'association Oxyromandie, François Cardinaux, Michel Chapalay, Roger Claude, Yorick Delaunay, Vivienne Duppenthaler, Jean-Paul Humair, Rainer M. Kaelin, Michel Starobinski et Corinne Wahl demandent au Tribunal fédéral, principalement et sous suite de frais et dépens, d'annuler la décision du 27 août 2009; de constater que les retransmissions du tournoi de tennis ATP "Davidoff Swiss Indoors" du 18 au 26 octobre 2008 violent les art. 4 al. 1 et 2, 5, 10 al. 1 let. a, al. 3 et al. 4 let. b et c, 12 al. 3 et 13 LRTV; d'ordonner à la SRG SSR de prendre des mesures propres à prévenir toute nouvelle violation, d'informer l'autorité des dispositions prises et de céder à la Confédération l'avantage financier illicite obtenu du fait de la violation; de communiquer l'arrêt du Tribunal fédéral au Département fédéral de l'environnement, des transports, de l'énergie et de la communication (DETEC) en l'invitant à faire assortir la concession octroyée à la SRG SSR de charges permettant d'éviter la répétition de futures violations. Subsidiairement, les recourants demandent que la cause soit renvoyée à l'Autorité indépendante pour nouvelles instruction et décision et que soit ordonnée une audience publique avec plaidoiries. L'Autorité indépendante et la SRG SSR concluent au rejet, en tant qu'il est recevable, du recours. Dans leur réplique, les recourants ont persisté intégralement dans leurs conclusions. L'Autorité indépendante et la SRG SSR en ont fait de même dans leurs dupliques respectives. 