Sachverhalt: A. A._ hielt am 19. November 2002 in Zürich ihr Fahrzeug des Typs Chrysler Grand Voyager vor einem Rotlicht an. Während sie auf dem Bremspedal stehend auf die Grünphase wartete, fuhr B._ mit dem von C._ gehaltenen Fiat Seicento auf die hintere rechte Ecke des Chryslers auf. Motorfahrzeugversicherung von C._ für den Fiat Seicento war die X._-Gesellschaft (Versicherung) bei welcher A._ (Versicherte) auch gegen Unfälle versichert war. Die Versicherte fuhr nach dem Unfall mit ihrem Personenwagen nach Hause. Noch am Unfalltag fuhr sie in das Kreisspital Männedorf, wo die behandelnden Ärzte gemäss ihrem Notfallbericht ein HWS-Distorsionstrauma diagnostizierten. Gemäss Notfallbericht wurde eine viertägige Bettruhe bei voller Arbeitsunfähigkeit verordnet. Am 25. November 2002 begab sich die Versicherte wegen zunehmender Schmerzen in die Sprechstunde zu Frau Dr. med. D._. Diese überwies die Versicherte mit Bericht vom 26. November 2002 zur rheumatologischen Behandlung und neurologischen Beurteilung in die Klinik Hirslanden, Zürich, in welcher die Versicherte vom 27. November bis 16. Dezember 2002 stationär behandelt wurde. Vom 9. Januar bis 20. Februar 2003 war die Versicherte stationär in der Rehaklinik Rheinfelden. B. Am 29. Januar 2004 klagte die Versicherte (Klägerin) beim Handelsgericht des Kantons Zürich gegen die Versicherung (Beklagte) auf Bezahlung eines nach richterlichem Ermessen festzusetzenden Betrages als Ersatz von aus dem Unfall vom 19. November 2002 erwachsenem Erwerbs- und Haushaltsschaden. Im Verlaufe des Verfahrens verlangte die Klägerin für die Zeit zwischen dem Unfall und dem 31. Dezember 2004 Schadenersatz von Fr. 662'542.25. Mit Urteil vom 16. Juni 2008 wies das Handelsgericht die Klage ab. Eine dagegen erhobene Nichtigkeitsbeschwerde wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich am 24. August 2009 ab, soweit es darauf eintrat. C. Die Klägerin erhebt Beschwerde in Zivilsachen mit den Anträgen, das Urteil des Handelsgerichts vom 16. Juni 2008 sei aufzuheben und die Klage sei gutzuheissen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Bestimmung des Schadenersatzes an das Handelsgericht zurückzuweisen. Subeventualiter seien die Urteile des Kassations- und des Handelsgerichts vom 24. August 2009 und vom 16. Juni 2008 aufzuheben, und es sei die Sache zur Ergänzung des Beweisverfahrens und zu neuer Entscheidung an das Handelsgericht zurückzuweisen. Der Klägerin sei für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Prozessführung zu bewilligen und Rechtsanwalt Dr. Volker Pribnow als unentgeltlicher Rechtsvertreter zu bestellen. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt. 