Faits: A. A.a J._, né en 1955, travaillait à temps partiel comme cuisinier au service du restaurant B._. A ce titre, il était obligatoirement assuré contre les accidents par Allianz Suisse, Société d'Assurances. Le 27 janvier 2002, en descendant de cheval, il s'est tordu la cheville et le pied droit en inversion. Il s'est rendu en consultation au Centre hospitalier X._ où l'on a posé le diagnostic de fracture du pilon tibial droit déplacée, nécessitant une intervention chirurgicale. Cette intervention a été repoussée, probablement en raison de la tuméfaction locale, et une attelle cruro-pédieuse a été posée. Le membre inférieur droit était surélevé, le patient devant rester au lit. Pour des raisons professionnelles, celui-ci a refusé de rester hospitalisé et est rentré à son domicile le 28 janvier 2002. Il a été hospitalisé à nouveau dans le même établissement le 4 février 2002 et l'intervention chirurgicale envisagée a été pratiquée le 6 février 2002 par le docteur V._. Les suites ont été simples et le patient est rentré à son domicile le 8 février 2002, contre l'avis, semble-t-il, du corps médical. Après des plâtrages et physiothérapie de remise en route, la situation a paru s'améliorer. A.b Le 8 mai 2002, alors qu'il se trouvait à son domicile, J._ a fait une chute dans les escaliers en retombant sur le dos. Il en est résulté une nouvelle fracture du pilon tibial droit, cette fois au niveau de la partie antérieure de la métaphyse tibiale. Les médecins du Centre hospitalier X._ ont prodigué un traitement conservateur (utilisation d'une nouvelle botte plâtrée pendant douze semaines, sans appui et sans mobilisation de la cheville, puis physiothérapie de mobilisation). La persistance des douleurs a motivé l'ablation du matériel d'ostéosynthèse au Centre hospitalier X._ en septembre 2002. Cette intervention a amélioré la mobilité de la cheville droite; la symptomatologie douloureuse et la mobilité tibio-tarsienne ne se sont pas améliorées. Le patient a alors été adressé à l'Hôpital orthopédique S._ où il a été vu le 1er mai 2003 par la doctoresse B._. Celle-ci a diagnostiqué une arthrose post-traumatique de la cheville droite. Elle a attesté une incapacité de travail de 100 pour cent et a préconisé un travail sédentaire (rapport du 15 juillet 2003). A.c Le 9 octobre 2003, l'Allianz a demandé au docteur V._ des informations au sujet du patient. Ce médecin a répondu, le 22 octobre 2003, que l'intéressé avait effectivement été traité au Centre hospitalier X._ pour les suites des deux fractures dont il avait été victime. S'agissant de l'accident du 8 mai 2002, il a précisé qu'une seconde intervention avait été proposée au patient, qui l'avait catégoriquement refusée. C'est la raison pour laquelle les médecins avaient poursuivi le traitement conservateur et procédé à l'ablation du matériel d'ostéosynthèse en octobre (recte : septembre) 2002. Les suites n'étant pas satisfaisantes, le patient s'était progressivement rendu compte qu'il devait accepter une prise en charge agressive. Compte tenu des antécédents, le patient avait été adressé à l'Hôpital orthopédique, qui le suivait depuis le 1er mai 2003. Dans un rapport du 17 novembre 2003, le docteur R._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique et médecin-conseil de l'Allianz, a exprimé l'avis que l'évolution actuelle était liée au traumatisme du 8 mai 2002, qui aurait dû être clairement traité chirurgicalement. Dans ce cas, l'évolution aurait été bien plus favorable. L'Allianz a alors confié une expertise au docteur D._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique, qui a rendu son rapport le 18 février 2004. L'expert a posé le diagnostic d'arthrose tibio-tarsienne droite post-traumatique, attribuable aux deux accidents successifs, mais plus particulièrement à celui du 8 mai 2002, en raison du déplacement de la fracture non réduite. L'état définitif n'était pas atteint. Un traitement médical ultérieur était nécessaire, soit sous la forme d'une arthrodèse tibio-tarsienne, soit d'une prothèse totale de la cheville droite. En cas d'acceptation de l'intervention chirurgicale préconisée par le docteur V._, et sous réserve d'une réduction anatomique avec bonne évolution, la capacité de travail en tant que restaurateur aurait été de 100 pour cent. Répondant à des questions complémentaires de l'Allianz, l'expert a encore précisé que la fracture présentée le 27 janvier 2002, à basse énergie, peu déplacée et suivie d'une intervention chirurgicale avec bonne réduction avait laissé intactes les chances d'une restitution ad integrum extrêmement élevées. C'est donc l'accident du 8 mai 2002 qui a clairement entraîné une atteinte permanente. B. Se fondant sur cette expertise, l'Allianz a rendu une décision, le 27 octobre 2004, par laquelle elle a mis fin au versement des indemnités journalières au 30 septembre 2002 et refusé à l'assuré tout droit à des prestations en espèces supplémentaires pour les suites des accidents des 27 janvier 2002 et 8 mai 2002. Elle a considéré que l'évolution actuelle était liée au traumatisme du 8 mai 2002 qui aurait dû être traité chirurgicalement. Comme l'assuré s'était soustrait à un traitement ou à une mesure de réadaptation auxquels on pouvait raisonnablement exiger qu'il se soumît, il n'avait droit qu'aux prestations qui auraient probablement dû être allouées si ladite mesure avait produit le résultat attendu. Saisie d'une opposition de l'assuré, l'Allianz l'a rejetée par une nouvelle décision du 30 novembre 2005. C. Statuant le 15 mars 2007, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a rejeté le recours formé contre cette décision par l'assuré. D. J._ a formé un recours en matière de droit public dans lequel il conclut à la réforme du jugement attaqué en ce sens que la cause est renvoyée à l'Allianz pour qu'elle fixe et verse les indemnités journalières avec intérêts à cinq pour cent l'an dès le 1er octobre 2002. L'Allianz conclut au rejet du recours. Quant à l'Office fédéral de la santé publique, il ne s'est pas déterminé. 