Faits: A. A.a Y._ est propriétaire, à Meyrin (Genève), d'une villa assurée contre le risque d'incendie auprès de l'assurance Z._, devenue en 2005 X._ (ci après: l'assurance); cette maison était assurée à hauteur de 560'000 fr. en valeur à neuf, plus 27'000 fr. de frais de déblaiement, pour la période du 1er août 1990 au 31 juillet 2000. A.b Le 9 novembre 1997, un incendie s'est déclaré dans la maison de Y._ et a causé d'importants dégâts. L'assurance a chargé l'architecte A._ de l'évaluation du dommage consécutif au sinistre et lui a confié en outre la coordination des travaux de réfection de la villa. Il ressort des échanges de courriers entre parties que Y._ s'est plainte à réitérées reprises des différents travaux effectués dans sa maison depuis le 9 novembre 1997. Le 4 mars 1998, l'assurance a informé par écrit son assurée que, conformément à son souhait, A._ allait cesser avec effet immédiat sa tâche de coordination des travaux; elle a ajouté qu'elle réglerait directement les factures des entreprises actives sur le chantier, afférentes aux travaux exécutés à satisfaction, et qu'en ce qui concernait les travaux posant des problèmes, exécutés notamment par les entreprises V._ et, pour l'électricité, W._, elle ne paierait à ces entreprises que ce qui était admis et verserait le solde à dame Y._ selon un décompte définitif à établir ultérieurement. Afin de déterminer le solde encore dû au titre de règlement du sinistre, l'assurance et Y._ ont mis en oeuvre la procédure d'expertise prévue par les conditions générales d'assurance. Les experts ont rédigé un rapport d'expertise final le 22 juin 1998 et dressé un décompte final du dommage le 25 mai 1999. Selon la première partie dudit décompte, l'assurance s'était acquittée au 20 janvier 1999 d'un total d'indemnités de 215'510 fr.20, soit 118'789 fr.20 directement en mains des entreprises qui sont intervenues et 96'721 fr. en mains de Y._. Il a été constaté que le montant de 96'721 fr. payé à la précitée comprenait, d'une part, des postes à propos desquels celle-ci n'avait élevé aucune contestation et qui ne se rapportaient donc pas à la correction de malfaçons et, d'autre part, des versements effectués sur la base d'offres directement adressées à Y._ après le 4 mars 1998. La seconde partie du décompte déterminait les indemnités correspondant à la contre-valeur des travaux qui n'avaient pas encore été effectués au 4 mars 1998, arrêtée à 29'573 fr. B. B.a Par acte du 2 juin 2000, Y._ a assigné l'assurance devant le Tribunal de première instance de Genève en paiement de la somme de 356'322 fr., à savoir 198'322 fr. pour le coût des travaux encore à exécuter, 110'000 fr. pour le coût des travaux de réfection et 48'000 fr. pour la perte d'usage de la villa pendant une année; à titre subsidiaire, la demanderesse a requis la condamnation de la défenderesse à lui verser la somme de 198'322 fr., ainsi que la condamnation conjointe et solidaire de la compagnie d'assurances et de A._ à lui payer 158'000 fr. Par jugement du 19 septembre 2002, le tribunal a débouté Y._ de toutes ses conclusions. Par arrêt du 13 juin 2003 rendu sur appel de Y._, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a annulé le jugement de première instance. Statuant à nouveau, elle a entièrement débouté la demanderesse de ses prétentions afférentes aux travaux non exécutés ainsi qu'au dommage déduit de la perte d'usage de la maison; s'agissant en revanche des prétentions relatives aux travaux de réfection, elle a jugé que dès l'instant où l'assurance avait choisi de transformer son obligation de paiement en une obligation de remise en état, la cause devait être renvoyée au tribunal afin qu'il nomme un expert pour évaluer le coût des travaux de correction des malfaçons liées aux travaux exécutés du 9 novembre 1997 au 4 mars 1998, puis rende une nouvelle décision. L'assurance a formé un recours de droit public et un recours en réforme au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 13 juin 2003. Par arrêt du 21 mai 2004 (cause 4P.166/2003), la Ie Cour civile a admis très partiellement le recours de droit public en ce sens que seul le chiffre 4 de l'arrêt attaqué relatif aux dépens de première instance et d'appel a été annulé. Par un second arrêt du même jour (cause 4C.232/2003), la Ie Cour civile a rejeté le recours en réforme. Par arrêt du 17 décembre 2004, la Cour de justice, statuant derechef sur le montant et la répartition des dépens de première instance et d'appel à la suite du dispositif de l'arrêt du Tribunal fédéral 4P.166/2003, a condamné Y._ au paiement des deux tiers des dépens partiels de première instance et à ceux totaux de seconde instance de l'assurance, comprenant une unique indemnité de procédure de 10'000 fr., et réservé le sort des autres dépens de première instance relatifs à la prétention de 110'000 fr. restant à juger. B.b Reprenant l'instruction de la cause, le Tribunal de première instance a ordonné le 23 novembre 2005 une expertise de la villa de la demanderesse et désigné l'architecte B._ en qualité d'expert, avec mission de déterminer si l'exécution des travaux confiés aux entreprises entre le 9 novembre 1997 et le 4 mars 1998 avait entraîné des malfaçons, dans l'affirmative d'en établir la liste et d'estimer le coût des travaux de suppression de ces dernières. Dans son rapport du 19 janvier 2007, l'expert a estimé à un total net de 84'000 fr. le coût des travaux de remise en état, soit 39'300 fr. pour l'électricité et le chauffage électrique, 13'250 fr. pour le « sanitaire », 3'950 fr. pour la menuiserie, 5'620 fr. pour les sols, 1'700 fr. pour les murs et plafonds, 2'250 fr. pour la peinture, 2'500 fr de frais de nettoyage, 15'000 fr. sous « divers » pour les frais ne pouvant être attribués à un corps de métier précis et 430 fr. sous la rubrique « arrondi ». Dans ses dernières conclusions déposées le 6 juin 2008, Y._ a conclu à ce que la défenderesse lui verse la somme de 110'000 fr. avec intérêts à 5% dès le 9 novembre 1997. L'assurance a conclu à sa libération. Par jugement du 18 septembre 2008, le Tribunal de première instance a débouté la demanderesse de toutes ses conclusions. B.c Saisie d'un appel de la demanderesse et d'un appel incident de la défenderesse, la Chambre civile de la Cour de justice genevoise, par arrêt du 18 septembre 2009, a annulé le jugement du 18 septembre 2008 et, statuant à nouveau, dit que l'assurance devait verser à sa partie adverse le montant de 61'169 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 2 juin 2000, chaque partie étant condamnée au paiement de la moitié des dépens de première instance et d'appel après renvoi de la cause au Tribunal de première instance, comprenant une indemnité de procédure totale de 20'000 fr. relative à la participation aux honoraires des avocats des plaideurs, plus la moitié d'un émolument complémentaire de 5'000 fr. Les motifs de cette décision seront exposés ci-dessous dans la mesure utile. C. Invoquant l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.), X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 18 septembre 2009. Elle conclut au déboutement de la demanderesse. L'intimée requiert, à la forme, que le recours soit déclaré irrecevable. Au fond, elle propose, principalement, le rejet du recours et que la défenderesse soit condamnée à lui verser un montant de 110'000 fr. avec intérêts à 5% dès le 9 novembre 1997 ou qu'à défaut l'arrêt rendu le 18 septembre 2009 par la Cour de justice soit confirmé; subsidiairement, elle conclut à ce que l'assurance lui paye le montant de 5'000 fr. pour « préjudice moral ». 