Sachverhalt: Sachverhalt: A. Das Strafgericht Basel-Stadt erklärte X._ mit Urteil vom 16. April 1997 des Mordes und des Diebstahls schuldig, verurteilte ihn (unter Anrechnung der Untersuchungshaft und des vorläufigen Strafvollzugs seit dem 7. Januar 1995) zu 11 Jahren Zuchthaus und ordnete gestützt auf Art. 43 Ziff. 1 Abs. 1 StGB eine intensive Psychotherapie an. X._ verbüsste die Strafe in der Folge in den Anstalten Bostadel, Schällenmätteli, Thorberg und St. Johannsen. Die Strafverbüssung ist am 6. Januar 2006 nunmehr beendet worden. A. Das Strafgericht Basel-Stadt erklärte X._ mit Urteil vom 16. April 1997 des Mordes und des Diebstahls schuldig, verurteilte ihn (unter Anrechnung der Untersuchungshaft und des vorläufigen Strafvollzugs seit dem 7. Januar 1995) zu 11 Jahren Zuchthaus und ordnete gestützt auf Art. 43 Ziff. 1 Abs. 1 StGB eine intensive Psychotherapie an. X._ verbüsste die Strafe in der Folge in den Anstalten Bostadel, Schällenmätteli, Thorberg und St. Johannsen. Die Strafverbüssung ist am 6. Januar 2006 nunmehr beendet worden. B. Im Laufe der Strafverbüssung bekundete X._ Mühe mit der Integration in den Strafanstalten, zeigte wenig Motivation für regelmässige Arbeitseinsätze und soll sich mit seiner Tat und Drogensucht nicht vertieft auseinandergesetzt haben. Es wurde eine unverändert hohe Rückfallgefahr in Bezug auf Aggressionsdelikte angenommen. Am 6. Februar 2002 wurde die bedingte Entlassung verweigert. Die Vollzugsbehörde hat die Bemühungen um Vollzug der ambulanten Behandlung eingestellt und das Verfahren dem Strafgericht Basel-Stadt am 6. Juni 2003 zur Entscheidung über das weitere Vorgehen überwiesen. Mit Entscheid vom 18. April 2005 hob das Strafgericht Basel-Stadt die gegen X._ angeordnete ambulante Massnahme auf und ordnete stattdessen in Anwendung von Art. 43 Ziff. 3 Abs. 3 und Ziff. 1 Abs. 2 StGB die Verwahrung an. Dagegen ist beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 2. September 2005 Appellation erhoben worden; dieses Verfahren ist noch nicht abgeschlossen. Die Appellationsgerichtspräsidentin ordnete am 25. Oktober 2005 gestützt auf § 198 Abs. 1 der Basler Strafprozessordnung ab dem Strafende am 6. Januar 2006 zur Sicherung des Strafgerichtsurteils die vorläufige Verwahrung gemäss Art. 43 Ziff. 1 Abs. 2 StGB an. Das Bundesgericht hat diese Anordnung auf staatsrechtliche Beschwerde vom 15. November 2005 hin mit Urteil vom 15. Dezember 2005 aufgehoben (Verfahren 1P.743/2005). Die Appellationsgerichtspräsidentin ordnete am 25. Oktober 2005 gestützt auf § 198 Abs. 1 der Basler Strafprozessordnung ab dem Strafende am 6. Januar 2006 zur Sicherung des Strafgerichtsurteils die vorläufige Verwahrung gemäss Art. 43 Ziff. 1 Abs. 2 StGB an. Das Bundesgericht hat diese Anordnung auf staatsrechtliche Beschwerde vom 15. November 2005 hin mit Urteil vom 15. Dezember 2005 aufgehoben (Verfahren 1P.743/2005). C. Die Appellationsgerichtspräsidentin hat nach Durchführung einer Verhandlung am 3. Januar 2006 für die vorläufige Dauer von vier Wochen ab dem 6. Januar 2006 wegen Fortsetzungsgefahr Haft angeordnet. Sie begründete diese Massnahme (erst) in ihrer Vernehmlassung zuhanden des Bundesgerichts. Darin führte sie im Wesentlichen aus, es handle sich um eine Haft im Nachverfahren, die nach § 198 und 71 der Basler Strafprozessordnung verfügt werden könne. In Bezug auf den Tatverdacht bzw. die Wahrscheinlichkeit für die Anordnung einer freiheitsentziehenden Massnahme bezog sie sich auf die ursprüngliche Verurteilung bzw. das Strafgerichtsurteil vom 18. April 2005. Schliesslich erachtete sie den Haftgrund der Fortsetzungsgefahr in Anbetracht der konkreten Gegebenheiten als gegeben. C. Die Appellationsgerichtspräsidentin hat nach Durchführung einer Verhandlung am 3. Januar 2006 für die vorläufige Dauer von vier Wochen ab dem 6. Januar 2006 wegen Fortsetzungsgefahr Haft angeordnet. Sie begründete diese Massnahme (erst) in ihrer Vernehmlassung zuhanden des Bundesgerichts. Darin führte sie im Wesentlichen aus, es handle sich um eine Haft im Nachverfahren, die nach § 198 und 71 der Basler Strafprozessordnung verfügt werden könne. In Bezug auf den Tatverdacht bzw. die Wahrscheinlichkeit für die Anordnung einer freiheitsentziehenden Massnahme bezog sie sich auf die ursprüngliche Verurteilung bzw. das Strafgerichtsurteil vom 18. April 2005. Schliesslich erachtete sie den Haftgrund der Fortsetzungsgefahr in Anbetracht der konkreten Gegebenheiten als gegeben. D. Gegen diese Verfügung der Appellationsgerichtspräsidentin hat X._ am 6. Januar 2006 staatsrechtliche Beschwerde erhoben. Er stellt den Antrag, die Verfügung sei aufzuheben und das Appellationsgericht sei anzuweisen, ihn umgehend aus der Haft zu entlassen. Er rügt wegen der mangelnden Begründung eine Verletzung des rechtlichen Gehörs und macht geltend, es fehle an einer gesetzlichen Grundlage in der Basler Strafprozessordnung für die Anordnung der angefochtenen Haft. Die Appellationsgerichtspräsidentin stellt mit ausführlicher Begründung Antrag auf Abweisung der Beschwerde. Denselben Antrag stellt die Staatsanwaltschaft. Der Beschwerdeführer hält in seiner Replik an seinen Anträgen fest und ergänzt aufgrund der Vernehmlassung der Appellationsgerichtspräsidentin seine Beschwerdebegründung. 