Faits: A. En septembre 1998, A._ a été engagé à 50% en qualité d'enseignant HES à l'école C._. En janvier 2005, cette école a été intégrée à l'école B._. Le contrat du prénommé a alors été reconduit, son taux d'activité passant à 86%. Le 21 octobre 2005, A._ a écrit à la direction générale de B._ pour se plaindre de ses conditions de travail; il se prétendait victime de harcèlement et d'un "lynchage professionnel". Il a développé ses griefs dans un document daté du 28 novembre 2005, en demandant que son statut de victime de harcèlement soit reconnu et qu'il soit réintégré dans les fonctions et prérogatives qui étaient les siennes lors de la création de B._. La direction a demandé aux personnes mises en cause de faire valoir leur point de vue et le dossier a été transmis à la Commission de conciliation de B._ (ci-après: la commission de conciliation). A._ a déposé de nouvelles observations devant cette commission, qui a entendu plusieurs témoins le 10 mai 2006 et tenu une séance en août 2006, avant de conclure que la conciliation avait échoué. La cause a alors été transmise à la Commission de recours de B._ (ci-après: la commission de recours). Le 30 octobre 2006, la direction de B._ a réentendu les principaux protagonistes de cette affaire. Par décision du 18 janvier 2007, la commission de recours s'est déclarée incompétente et a renvoyé la cause à la direction générale de B._. Par décision du 13 février 2007, la direction générale de B._ a résilié les rapports de travail de A._, avec effet au 31 mai 2007, libéré celui-ci avec effet immédiat de l'obligation de travailler et rejeté toutes ses prétentions. Elle a considéré en substance que les griefs de harcèlement n'étaient pas fondés et que les propos tenus par l'intéressé à l'encontre de ses collègues - notamment au cours de la procédure - avaient compromis définitivement toute collaboration entre l'école et lui. B. Le 6 mars 2007, A._ a saisi la commission de conciliation, concluant notamment à l'annulation de la décision de licenciement, à sa réintégration et au versement d'une indemnité de 15'000 fr. pour tort moral et d'une indemnité de 10'000 fr. pour les honoraires de son avocat. L'échec de la conciliation ayant été constaté, la cause a été transmise à la commission de recours, qui a rejeté le recours par décision du 29 avril 2008. A._ a recouru contre cette décision auprès du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal administratif), qui a rejeté le recours par arrêt du 21 juillet 2008. En substance, cette autorité a considéré que l'intéressé avait certes souffert d'une mauvaise ambiance de travail et d'un "douloureux conflit dans les relations professionnelles", mais qu'il n'avait pas été victime d'un mobbing au sens de la jurisprudence. De plus, l'attitude de A._, surtout à compter de décembre 2005, avait manifestement perturbé le bon déroulement des activités de B._, de sorte que les conditions de l'art. 20 du Règlement sur le statut du personnel de B._ - relatif au licenciement ordinaire - étaient remplies. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et la décision de licenciement du 13 février 2007, de reconnaître qu'il a été victime de "harcèlement/mobbing" et de condamner B._ au versement d'une indemnité correspondant à six mois de salaire pour renvoi abusif, d'une indemnité de 15'000 fr. pour tort moral et d'une indemnité de 10'000 fr. pour ses frais d'avocat au niveau cantonal. Il se plaint d'une violation de l'art. 328 CO et des art. 20 et 36 du Règlement sur le statut du personnel de B._. Le Tribunal administratif se réfère aux considérants de son arrêt. B._ s'est déterminée; elle conclut au rejet du recours. Ces déterminations ont été communiquées à A._. 