Sachverhalt: A. Mit Vertrag vom 20. März 2009 mietete die Stiftung X._ (Mieterin) von der Y._ AG (Vermieterin) die sogenannte Liegenschaft Z._ in Q._. Der vertragliche Jahresmietzins betrug zunächst Fr. 1'000'000.-- und ab dem zweiten Jahr Fr. 1'380'000.--. B. B.a Mit Eingabe vom 12. Juni 2009 gelangte die Mieterin an die Schlichtungsbehörde für Mietverhältnisse des Bezirks Prättigau/Davos, um den Anfangsmietzins im Sinne von Art. 270 OR anzufechten. Am 16. September 2009 wurden die Parteien zur Schlichtungsverhandlung auf den 16. Oktober 2009 eingeladen und auf die damals geltenden einschlägigen kantonalen Verfahrensbestimmungen (Vollziehungsverordnung zum Schweizerischen Obligationenrecht [Miete und Pacht von Wohn- und Geschäftsräumen] vom 30. November 1994 [VVzOR; BR 219.800]) hingewiesen, namentlich darauf, dass das Gesuch nach Art. 23 Abs. 1 VVzOR als zurückgezogen gelte, wenn der Gesuchsteller ohne genügende Entschuldigung nicht persönlich zur Verhandlung erscheint. An der Schlichtungsverhandlung nahm seitens der Mieterin R._, Kaufmännischer Direktor und Mitglied der Klinikleitung, und seitens der Vermieterin ihr Verwaltungsratspräsident und ihr Rechtsanwalt teil. Mit Entscheid vom 16. Oktober 2009 schrieb die Schlichtungsstelle das von der Mieterin eingeleitete Schlichtungsverfahren "aufgrund des Rückzugs des Begehrens durch Nichterscheinen der Gesuchstellerin zur Verhandlung" ab. Zur Begründung führte die Schlichtungsbehörde aus, als Vertreter der Mieterin sei R._ allein zur Schlichtungsverhandlung erschienen, obwohl er lediglich berechtigt sei, die Mieterin durch Kollektivunterschrift zu zweien zu vertreten. Ein Gesuch um Dispens für die Verhandlung gemäss Art. 22 Abs. 3 VVzOR sei nicht eingereicht und der Schlichtungsbehörde auch keine Vollmacht vorgelegt worden. Die Mieterin gelte daher als unentschuldigt nicht erschienen und ihr Gesuch als zurückgezogen. B.b Mit Prozesseingabe vom 13. November 2009 klagte die Mieterin beim Bezirksgericht Prättigau/Davos gegen die Vermieterin mit dem Begehren: "Der Jahresmietzins gemäss Mietvertrag vom 20. März 2009 betreffend Liegenschaft Z._ sei auf Fr. 605'000.-- herabzusetzen, gemäss Mietvertrag indexiert. Vorbehalten wird die Erhöhung dieses Betrages aufgrund der Unterlagen, die die Beklagte noch beizubringen hat (Art. 274d Abs. 3 OR) und die die Klägerin im Schlichtungsverfahren nicht einsehen konnte." Das Bezirksgericht trat - nach einem Zwischenverfahren wegen Eröffnung des Konkurses über die Mieterin - am 18. März 2010 auf die Klage nicht ein, im Wesentlichen mit der Begründung, der Abschreibungsbeschluss der Mietschlichtungsbehörde sei unangefochten geblieben und damit in Rechtskraft erwachsen. B.c Beide Parteien haben gegen den Entscheid des Bezirksgerichts Beschwerde beim Kantonsgericht von Graubünden eingelegt. Dieses vereinigte die Beschwerdeverfahren, wies mit Urteil vom 22. September 2011 die Beschwerde der Klägerin ab, soweit es darauf eintrat, und sprach der Beklagten in teilweiser Gutheissung ihrer Beschwerde für das erstinstanzliche Verfahren eine auf Fr. 17'000.-- erhöhte Prozessentschädigung zu. C. Die Mieterin (Beschwerdeführerin) beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Kantonsgerichts vom 22. September 2011 aufzuheben und die Klage gutzuheissen. Eventuell sei die Sache an das Bezirksgericht Prättigau/Davos zur Beurteilung in der Sache zurückzuweisen. Die Vermieterin (Beschwerdegegnerin) und das Kantonsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden kann. Mit Präsidialverfügung vom 19. Januar 2012 wurde dem Sicherstellungsbegehren der Beschwerdegegnerin grundsätzlich stattgegeben und die Beschwerdeführerin verpflichtet, eine allfällige Parteientschädigung mit Fr. 7'000.-- sicherzustellen. Die Sicherstellung wurde fristgerecht geleistet. 