Sachverhalt: A. Am 6. August 2012 beantragte X._ die Erteilung einer Baubewilligung für den Neubau eines Mehrfamilienhauses auf Parzelle 512, Quartier Zinols, in Filisur. Dagegen erhob die als Verein konstituierte Helvetia Nostra Einsprache. Mit Entscheid vom 27. Dezember 2012 trat die Baubehörde auf die Einsprache mangels Legitimation nicht ein und erteilte die Baubewilligung. B. Dagegen erhob die Helvetia Nostra am 28. Januar 2013 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden. Dieses wies die Beschwerde am 19. Februar 2013 ab. Es teilte die Auffassung der Gemeinde, dass die Helvetia Nostra nicht zur Einsprache legitimiert sei. Im Übrigen ging es davon aus, dass Art. 75b BV und seine Übergangsbestimmungen (Art. 197 Ziff. 9 BV) intertemporalrechtlich noch nicht anwendbar seien. Daraus ergebe sich, dass auch in Gemeinden wie Filisur, in denen die kritische Grenze von 20 % Zweitwohnungen überschritten sei, im Jahr 2012 noch Baubewilligungen für Zweitwohnungen nach bisherigem Recht erteilt werden könnten. C. Gegen den verwaltungsgerichtlichen Entscheid hat die Helvetia Nostra am 18. März 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Sie beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Eventualiter sei der angefochtene Entscheid in dem Sinne zu ändern, dass die dem Projekt von X._ in Filisur erteilte Baubewilligung aufgehoben werde. D. Das Verfahren wurde bis zum Vorliegen eines Grundsatzentscheids des Bundesgerichts zur Frage der Beschwerdebefugnis der Helvetia Nostra und der Anwendbarkeit von Art. 75b BV und Art. 197 Ziff. 9 BV zurückgestellt. Am 22. Mai 2013 fällte das Bundesgericht die ersten Leitentscheide: Es bejahte die Beschwerdebefugnis der Helvetia Nostra (BGE 139 II 271) sowie die direkte Anwendbarkeit von Art. 75b BV und Art. 197 Ziff. 9 BV ab dem 11. März 2012 (BGE 139 II 243 und 263). E. Mit Verfügung vom 3. Juli 2013 wurde dem Beschwerdegegner, der Gemeinde Filisur und dem Verwaltungsgericht Gelegenheit zur Stellungnahme eingeräumt. Die Beschwerdegegnerin schliesst sich dem Antrag der Beschwerdeführerin auf Rückweisung an die Vorinstanz zur materiellen Entscheidung an. Sie weist darauf hin, dass sie nicht auf das Bauvorhaben verzichten wolle, sondern beabsichtige, das geplante Mehrfamilienhaus als Erstwohnungen oder bewirtschaftete Zweitwohnungen zu realisieren. Sie sei bereit, eine entsprechende Auflage in der Baubewilligung zu akzeptieren und werde im Rahmen des verwaltungsgerichtlichen Verfahrens, nach Rückweisung, entsprechende Anträge stellen. Die Gemeinde Filisur und das Verwaltungsgericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. 