Sachverhalt: A. Die aus Kolumbien stammende A._ (geb. xxxx) heiratete am xx.xx.xxxx in ihrer Heimat den Schweizer Bürger B._. Am 21. März 2008 reiste sie in die Schweiz ein und erhielt gestützt auf die Eheschliessung eine Aufenthaltsbewilligung, welche letztmals bis zum 20. März 2011 verlängert wurde. Der gemeinsame Haushalt ist seit dem 1. Dezember 2009 aufgehoben; die Ehe blieb kinderlos. Sie wurde am 27. Januar 2013 geschieden. B. Mit Verfügung vom 21. Juli 2011 verweigerte die Einwohnergemeinde Bern (Einwohnerdienste, Migration und Fremdenpolizei) A._ eine weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung und wies sie aus der Schweiz weg. Zur Begründung führten die Einwohnerdienste im Wesentlichen aus, der Anspruch auf eine Bewilligungsverlängerung sei dahingefallen und wichtige Gründe, welche einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen würden, lägen nicht vor (auch keine medizinischen, da die geltend gemachten Allergien auch im Heimatland behandelt werden könnten). Ebenso erscheine die soziale Wiedereingliederung von A._ in Kolumbien, wo sie nach wie vor Kontakt zu Eltern und Kollegen unterhalte, nicht gefährdet. Die hiegegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid der kantonalen Polizei- und Militärdirektion vom 11. Mai 2012; Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 26. Februar 2013). Im letztgenannten Urteil verlängerte das Verwaltungsgericht - aufgrund einer von A._ geltend gemachten Risikoschwangerschaft - die Ausreisefrist bis zum 30. Juni 2013. Vorher hatte das Gericht bei der Beschwerdeführerin Angaben zum Kindsvater erhoben. Dieser ist der - im Zeitpunkt des verwaltungsgerichtlichen Urteils - in der Schweiz bloss aufenthaltsberechtigt gewesene philippinische Staatsangehörige C._ (geb. xxxx). C. Mit Eingabe vom 9. April 2013 führt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit den Hauptanträgen, es sei ihr - der Beschwerdeführerin - die Aufenthaltsbewilligung zu erteilen bzw. zu verlängern. Eventuell sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Die Einwohnergemeinde Bern hat sich nicht vernehmen lassen. Die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern schliesst auf Abweisung der Beschwerde, ebenso das Verwaltungsgericht des Kantons Bern und das Bundesamt für Migration. D. Mit Verfügung vom 16. April 2013 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt. E. Mit Eingaben vom 8. Juli und 14. August 2013 hat sich A._ erneut geäussert und dem Bundesgericht neue Beweismittel eingereicht, namentlich die Anerkennung der Vaterschaft des am xx.xx.xxxx geborenen B.A._ durch C._, ferner den von der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde am 11. Juli 2013 genehmigten Unterhaltsvertrag sowie eine Kopie der schweizerischen Identitätskarte des inzwischen eingebürgerten Kindsvaters. 