Sachverhalt: A. V._ (geb. 1962) meldete sich im November 2003 wegen der Folgen einer HWS-Distorsion (Auffahrunfall vom 24. April 2000) und einer koronaren Herzkrankheit bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Solothurn klärte die medizinischen und erwerblichen Verhältnisse ab. Dazu holte sie unter anderem bei der Medizinischen Abklärungsstelle der Invalidenversicherung (MEDAS) am Spital X._ ein polydisziplinäres Gutachten (erstellt am 18. Juli 2006) ein und zog die Akten der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) bei, welche eine Leistungspflicht mangels Versicherteneigenschaft der V._ rechtskräftig verneint hatte (Einspracheentscheid vom 5. Dezember 2003, bestätigt mit Entscheid des Versicherungsgerichtes des Kantons Solothurn vom 11. April 2005). Des Weitern nahm sie den von der Versicherten im Rahmen des Vorbescheidverfahrens eingereichten, sich mit dem MEDAS-Gutachten vom 18. Juli 2006 auseinandersetzenden Bericht des Instituts Y._ vom 21. November 2006 zu den Akten, welchen sie der MEDAS zur Stellungnahme unterbreitete (Berichte der am Gutachten beteiligten Ärzte vom 19., 21. und 23. Februar sowie 14. März 2007). Mit Verfügung vom 28. Mai 2007 verneinte die IV-Stelle einen Anspruch auf berufliche Massnahmen und eine Invalidenrente. B. V._ liess hiegegen Beschwerde erheben mit dem Antrag auf Aufhebung der Verfügung. Die IV-Stelle sei zu verpflichten, ihr die gesetzlichen Leistungen zu erbringen. Es sei ein interdisziplinäres medizinisches und ein das funktionelle Leistungsvermögen ermittelndes Gutachten einzuholen. Mit Entscheid vom 20. Mai 2008 wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn die Beschwerde ab. C. In ihrer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt V._ die Aufhebung des kantonalen Entscheides beantragen und ihr im vorinstanzlichen Verfahren gestelltes Rechtsbegehren erneuern. Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung. 