Sachverhalt: A. Am 23. Mai 1995 verstarb B._, heimatberechtigt in der Einwohnergemeinde Z._. Auf Gesuch der gesetzlichen Erbinnen ordnete die Erbschaftsbehörde Z._ die amtliche Liquidation des Nachlasses im Sinne von Art. 593 ff. ZGB an und ernannte C._ sowie D._ gemeinsam zu amtlichen Liquidatoren. Die beiden Erbschaftsliquidatoren erliessen daraufhin am 30. November 1998 eine Verfügung, wonach die A._ Trust Ltd., unter Androhung von Straffolge, zur Vorlage von Unterlagen und Erteilung von Auskünften verpflichtet wurde. Gegen diese Verfügung erhob die A._ Trust Ltd. Beschwerde an die Erbschaftsbehörde Z._, welche diese mit Entscheid vom 11. Februar 2000 abwies. B. Dagegen gelangte die A._ Trust Ltd. an das Finanzdepartement des Kantons Schaffhausen. Mit Verfügung vom 21. Februar 2001 hiess das Volkswirtschaftsdepartement - an welches die Zuständigkeit inzwischen übergegangen war - die Beschwerde gut. Es erwog im Wesentlichen, die Erbschaftsliquidatoren würden lediglich ein privates Amt ausüben, so dass sie nicht ermächtigt seien, öffentlich-rechtliche Verfügungen zu erlassen; Streitigkeiten in Bezug auf die Auskunftspflicht würden damit den ordentlichen Gerichten zur Beurteilung vorbehalten. Hiergegen erhoben die amtlichen Liquidatoren Beschwerde an das Obergericht des Kantons Schaffhausen. Dieses hiess die Beschwerde mit Entscheid vom 13. Juni 2003 gut und hob die vorinstanzliche Verfügung vom 21. Februar 2001 auf. Dabei hielt es unter anderem fest, Partei im Beschwerdeverfahren seien nicht die amtlichen Liquidatoren, sondern die Einwohnergemeinde Z._. C. Die A._ Trust Ltd. gelangt mit staatsrechtlicher Beschwerde an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des Entscheids des Obergerichts vom 13. Juni 2003. Mit Verfügung vom 9. September 2003 gewährte der Präsident der II. Zivilabteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung. Die Beschwerdegegnerin beantragt in ihrer Vernehmlassung, auf die Beschwerde nicht einzutreten, eventualiter sie abzuweisen. Das Obergericht schliesst in seinen Gegenbemerkungen auf Abweisung der Beschwerde. 