Sachverhalt: A. A.a Die 1963 geborene H._ meldete sich im Dezember 2005 bei der Invalidenversicherung an und beantragte u.a. eine Rente. Nach Abklärung der gesundheitlichen und erwerblichen Verhältnisse teilte ihr die IV-Stelle Glarus mit Vorbescheid vom 18. März 2009 mit, es bestehe ab 1. Dezember 2005 Anspruch auf eine ganze Rente. Im Begleitschreiben hielt die Verwaltung unter Hinweis auf die Schadenminderungspflicht fest, auf Grund des Gutachtens des Dr. med. C._, FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 16. Februar 2009 lasse sich die Arbeits- und Erwerbsfähigkeit durch eine mehrmonatige, störungsspezifische, psychopharmakologische Psychotherapie der narzisstischen Persönlichkeitsstörung in einer Tagesklinik mit anschliessender langfristiger, ambulanter, psychopharmakologischer Psychotherapie erheblich verbessern. Sie forderte die Versicherte auf, die entsprechenden Schritte für den Vollzug dieser zumutbaren Massnahme bis zum 31. Mai 2009 in die Wege zu leiten und innert dieser Frist Bericht zu erstatten. Die Behandlungskosten könnten von der Invalidenversicherung nicht übernommen werden. Im Unterlassungsfall müsste sie mit einer Verweigerung von Leistungen rechnen. A.b Mit Schreiben vom 19. Juni 2009 setzte die IV-Stelle H._, welche bis zu diesem Zeitpunkt nichts von sich hatte hören lassen, eine letztmalige Frist bis 30. Juni 2009, um der Aufforderung vom 18. März 2009 nachzukommen, ansonsten die Leistungen gekürzt oder verweigert werden müssten. Am 23. Juni 2009 antwortete die Versicherte mit einer E-Mail, sie habe sich an die Vorgaben gehalten und sich bereits bei einer Tagesklinik angemeldet, jedoch noch keinen festen Termin bekommen. Die Anmeldung sei durch ihren Psychiater Dr. med. S._ erfolgt. Mit Schreiben vom 25. Juni 2009 setzte ihr die IV-Stelle nochmals eine Nachfrist bis zum 8. Juli 2009 an, um schriftlich inkl. Beweisen darzulegen, inwiefern sie tätig geworden sei. Nachdem die IV-Stelle mit Verfügung vom 3. Juli 2009 H._ eine ganze Rente ab 1. Juli 2009 zugesprochen hatte (wobei mit Blick auf den Rentenbeginn am 1. Dezember 2005 auf eine spätere Verfügung verwiesen wurde), stellte sie mit Verfügung vom 22. Juli 2009 die Rentenzahlungen wegen Verletzung der Schadenminderungspflicht mit sofortiger Wirkung ein. A.c Mit Schreiben vom 19. August 2009 ersuchte die Beratungs- und Therapiestelle X._ die Psychiatrische Klinik Y._ um rasche Einweisung von H._ und Vollzug der von der IV-Stelle verlangten Massnahme. Vom 1.-18. September 2009 wurde die Versicherte im Spital Z._ psychiatrisch behandelt. Gemäss Schreiben ihres Rechtsvertreters vom 22. Oktober 2009 an die Pensionskasse der Stadt U._ war ein Aufenthalt in der Klinik Y._ nicht zustandegekommen, da diese der Auffassung gewesen sei, eine stationäre Therapie könne nicht weiterhelfen. Am 14. Januar 2010 schloss H._ mit der Spitex einen Anstellungsvertrag ab 1. März 2010 mit einem Beschäftigungsgrad von ca. 50 % ab. B. Die von H._ gegen die Verfügung vom 22. Juli 2009 erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Glarus nach Beiladung ihres Krankenversicherers (Sanitas Grundversicherungen AG) zum Verfahren mit Entscheid vom 1. September 2010 ab. C. H._ (seit ihrer Heirat am ...: B._) lässt durch ihren Ehemann Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, der Entscheid vom 1. September 2010 sei zu "revidieren", das IV-Verfahren von einer unabhängigen Instanz objektiv zu beurteilen, die Verhältnismässigkeit der vollständigen Einstellung der Leistungen zu überprüfen, ihre Invalidität zu anerkennen und dem Invaliditätsgrad entsprechend ein verhältnismässiger Leistungsanspruch zuzusprechen sowie für die medizinische Versorgung zu sorgen, da die Sanitas bis "dato" die Leistungseinschränkung nicht aufgehoben habe. Das kantonale Gericht und die IV-Stelle beantragen die Abweisung der Beschwerde. Die Sanitas Grundversicherungen AG und das Bundesamt für Sozialversicherungen haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. 