Faits: A. Ressortissante équatorienne née en 1977, X._ vit et travaille sans autorisation dans le canton de Vaud depuis le 1er mai 2001. Elle est mère de quatre enfants, nés respectivement en 1994, 1996, 1997 et 1999, qui vivent en Equateur auprès de la famille. Le 16 mars 2009, X._ a annoncé son arrivée à Lausanne, demandant la délivrance d'un permis de séjour pour cas individuel d'extrême gravité, en faisant valoir que, à la suite de l'abandon du domicile familial par le père de ses enfants, en mars 1999, elle s'était résolue à venir en Suisse, afin d'assurer à sa famille le minimum vital. B. Après que le Service cantonal de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) l'eut informée qu'il envisageait de lui refuser l'octroi d'une autorisation de séjour, X._ a fait valoir sa position le 27 juillet 2009. Elle a notamment allégué qu'elle avait subi des violences conjugales de la part du père de ses enfants et qu'elle souffrait d'une paralysie faciale qui était suivie par un médecin, ajoutant que, compte tenu des vacances estivales, cet élément serait développé à réception du rapport médical attendu. Par décision du 24 août 2009, le Service cantonal a refusé de délivrer à X._ une autorisation de séjour et lui a imparti un délai de deux mois pour quitter la Suisse. X._ a recouru contre la décision du Service cantonal auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal vaudois (ci-après: le Tribunal cantonal). Devant cette autorité, elle a produit un certificat médical daté du 29 août 2009 de son médecin, attestant qu'elle était en investigations et en traitement pour une durée estimée à une année environ, en raison d'une hémiparésie faciale droite due à une maltraitance. Elle présentait en outre des céphalées résistant "actuellement" à tout traitement. Par la suite, X._ a produit une attestation médicale du même praticien datée du 14 octobre 2009, qui mentionnait qu'elle était suivie régulièrement depuis le 7 mai 2009 et que, pour raison médicale, elle n'était pas à même de regagner son pays, dans lequel elle courait un danger de mort, compte tenu des maltraitances physiques graves qu'elle avait déjà subies. Renonçant à un échange d'écritures, le Tribunal cantonal, par arrêt du 5 novembre 2009, a rejeté le recours et confirmé la décision du 24 août 2009. C. Contre l'arrêt du 5 novembre 2009, X._ forme un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral. Elle conclut à l'admission du recours, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité inférieure pour instruction complémentaire et nouvelle décision dans le sens des considérants. Le Tribunal cantonal a renoncé à présenter des observations, se référant aux considérants de son arrêt. Le Service cantonal ne s'est pas déterminé. 