Sachverhalt: A. Seit 1990 bezog A._ eine ganze Rente der Invalidenversicherung. Mit superprovisorischer Verfügung vom 24. September 2012 und Verfügung vom 19. Dezember 2012 sistierte die IV-Stelle Nidwalden die Rente mit Wirkung ab 1. Oktober 2012 wegen Verdachts auf unrechtmässigen Leistungsbezug. Am 3. Oktober 2013 stellte die IV-Stelle vorbescheidsweise die wiedererwägungsweise Aufhebung der damaligen rentenzusprechenden Verfügung vom 2. Juli 1991 und die Rückforderung der in der Zeit vom 1. Oktober 2003 bis 30. September 2012 bezogenen Rentenbetreffnisse im Betrag von Fr. 335'385.- in Aussicht. A._ liess Einwände gegen den Vorbescheid erheben und ein Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung für das Verwaltungsverfahren stellen. Mit Zwischenverfügung vom 14. Februar 2014 verneinte die IV-Stelle einen Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung wegen fehlender Bedürftigkeit. In der Rechtsmittelbelehrung wies sie darauf hin, dass die Verfügung innert 30 Tagen beim Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden angefochten werden könne. B. Mit der Post am 18. März 2014 übergebener Beschwerde liess A._ beantragen, die Verfügung sei aufzuheben und es sei ihm die vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden wies das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Verfahren zufolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde wegen verpasster Rechtsmittelfrist ab. Es forderte A._ auf, innert 10 Tagen einen Kostenvorschuss von Fr. 500.- zu bezahlen (Entscheid vom 2. April 2014). C. A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im kantonalen Verfahren sei gutzuheissen. Eventualiter sei es zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Des Weitern ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung) für das letztinstanzliche Verfahren. Das Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden verzichtet auf eine Stellungnahme unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid. 