Faits: A. I._ est entrée au service de l'Hôpital Y._ en tant qu'employée de maison à temps complet le 3 mai 1976. A partir du 23 octobre 1989, elle a exercé la fonction d'aide-infirmière. Depuis le 1er mars 2002, son taux d'activité a été réduit à 90 pour cent. Le 24 août 2005, la loi cantonale neuchâteloise sur l'Établissement hospitalier multisite cantonal (LEHM; RS NE 802.4) est entrée en vigueur. Les différents sites hospitaliers, dont l'Hôpital Y._, ont été regroupés au sein d'un seul et unique établissement, aujourd'hui dénommé Hôpital Z._. Le 29 juin 2005, I._ a été victime d'une chute sur son lieu de travail, qui a entraîné une entorse ainsi qu'une fracture transverse de type Weber de la malléole du côté gauche. Au début de l'année 2006, elle a repris son travail à son taux habituel. Dès l'automne de la même année, elle a annoncé une rechute de l'accident. Le docteur R._, chirurgien-orthopédique, a établi des certificats médicaux les 14 septembre 2007 et 28 novembre 2007 qui attestaient une capacité de travail résiduelle de 60 pour cent dès le 12 septembre 2007. Le 29 novembre 2007, le département des ressources humaines de l'Hôpital Z._ a invité l'intéressée à remettre mensuellement les certificats d'incapacité de travail. Le docteur R._ a délivré un nouveau certificat le 15 février 2008, dans lequel il a déclaré que la capacité résiduelle de 60 pour cent demeurait valable jusqu'au dépôt d'une expertise médicale prévue en mai 2008 sur demande de l'assureur-accidents. Il a précisé qu'à l'avenir il n'établirait plus de nouveaux certificats. Parallèlement, I._ a entrepris diverses démarches auprès de l'Hôpital Z._, en vue de faire reconnaître une responsabilité médicale en raison de prétendues erreurs dans le traitement qui lui avait été prodigué par l'Hôpital Y._ après son accident. Il s'en est suivi plusieurs échanges de correspondances entre les parties. I._ n'a plus présenté de certificat médical postérieurement à l'attestation du 15 février 2008. Par lettre du 30 septembre 2008, la direction générale de l'Hôpital Z._ a contesté toute responsabilité pour le traitement encouru. Il a par ailleurs invité l'employée à produire jusqu'au 15 octobre 2008 un nouveau certificat médical justifiant l'incapacité de travail alléguée de 40 pour cent, ainsi que le rapport d'expertise en matière d'assurance-accidents qui avait été déposé entretemps. Il l'a avertie qu'une absence injustifiée, même à temps partiel comme en l'espèce, pouvait entraîner la résiliation de ses rapports de travail. Par lettre du 16 octobre 2008, l'employeur lui a fixé un ultime délai au 23 octobre 2008 pour satisfaire à ses obligations, en précisant qu'à défaut il serait obligé "de réévaluer la nécessité de la poursuite des rapports de travail". Par lettre reçue le même jour par l'employeur, I._ a expliqué que ni le docteur R._ ni l'expert ne se montraient prêts à établir un certificat médical et que, pour l'obtention d'une copie de l'expertise, l'employeur devait s'adresser directement à l'assureur-accidents. N'ayant pas reçu l'attestation demandée, l'Hôpital Z._, par lettre du 10 novembre 2008, a résilié le contrat de travail pour le 28 février 2009. I._ a interjeté un recours devant le conseil d'administration de l'établissement hospitalier Z._, qui l'a déboutée. B. I._ a alors recouru devant le Tribunal administratif neuchâtelois en invoquant une résiliation abusive de son contrat de travail et en concluant au paiement d'une indemnité de 27'527 fr. 20 (plus la part proportionnelle au 13ème salaire et aux vacances, montant brut, avec intérêts à 5 pour cent l'an dès le 1er mars 2009). Considérant le recours comme une action de droit administratif, le Tribunal administratif l'a rejetée, par jugement du 3 septembre 2009. C. I._ forme un recours en matière de droit public. Elle conclut à l'annulation du jugement cantonal et à l'admission de sa demande. L'Établissement Z._ a conclu au rejet du recours. 