Faits: A. Par décision du 25 janvier 2013, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a nié le droit de I._ à des mesures d'ordre professionnel et à une rente d'invalidité. Se fondant en particulier sur une expertise rendue le 12 juin 2012 par la Clinique X._, il a considéré que l'assurée ne présentait pas d'atteinte à la santé durable affectant sa capacité de travail, laquelle était entière dans son activité habituelle depuis toujours. B. Par écriture datée du 4 mars 2013, I._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales. Le 28 mars 2013, la Cour des assurances sociales a fixé un délai au 8 avril suivant à l'office AI pour qu'il produise d'éventuelles pièces qui se seraient ajoutées au dossier déjà versé à une procédure parallèle. L'administration a répondu qu'elle n'avait pas d'autre pièce à produire (lettre du 10 avril 2013). Le 17 avril 2013, l'assurée a requis de la Cour des assurances sociales que lui soient adressées les éventuelles pièces complémentaires de l'office AI. Elle a par ailleurs indiqué qu'elle allait se soumettre à des investigations médicales au mois de mai et se réservait le droit de verser de nouvelles pièces complémentaires, ainsi que de requérir de nouvelles mesures d'instruction. Statuant le 19 avril 2013, la Cour des assurances sociales a rejeté le recours. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, I._ demande au Tribunal fédéral d'annuler le jugement cantonal et de renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour nouvelle instruction et nouveau jugement. Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire. L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que la juridiction cantonale a renoncé à formuler des observations. 