Sachverhalt: A. Der 1994 geborene, seit 27. Februar 2010 erzieherisch verbeiständete L._, Bürger von A._/BE und B._/ZH, lebte bis Oktober 2010 bei seiner in X._/SO wohnhaften Mutter. Ab Februar 2010 besuchte er die solothurnische Tagesschule C._, deren Unterricht er jedoch krankheitsbedingt und auf Grund psychischer Probleme vermehrt fern blieb. Am 17. Oktober 2010 erfolgte der Wechsel in das Schul- und Jugendheim Y._/BE (nachfolgend: Schulheim Y._) mit dem Ziel, Ende Juli 2012 die Schule zu beenden und anschliessend allenfalls eine berufliche Ausbildung zu absolvieren. Am 6. Oktober 2010 verfügte der Sozialdienst Z._/SO, eine Kostengutsprache für den Aufenthalt von Fr. 345.- pro Tag sowie monatlichen Nebenkosten im Betrag von Fr. 328.-; die Aufenthaltsdauer wurde vorläufig bis 31. Juli 2012 befristet. Mit Unterstützungsanzeige vom 18. Oktober 2010/ 11. Februar 2011 forderte der Kanton Solothurn den Kanton Zürich als zuständigen Heimatkanton zur Rückerstattung der Schul- und Heimkosten auf, wogegen dieser vorsorglich Einsprache erhob. Nachdem die beiden Kantone sich in der Folge namentlich zur Frage ausgetauscht hatten, ob eine dauerhafte Fremdplatzierung vorliege und L._ damit einen eigenen Unterstützungswohnsitz begründet habe, hiess das Departement des Innern des Kantons Solothurn die Einsprache insoweit teilweise gut, als es die Schulkosten in Höhe von Fr. 90.- pro Tag vom (Weiter-) Verrechnungsbetrag abzog; in den übrigen Punkten wurde die Einsprache abgewiesen (Verfügung vom 10. September 2012). B. Die dagegen eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 28. November 2012 ab. C. Der Kanton Zürich, vertreten durch das Kantonale Sozialamt, führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, in Aufhebung des angefochtenen Entscheids sei festzustellen, dass der Kanton Zürich für die Leistungen des Kantons Solothurn keinen Kostenersatz zu leisten habe. Eventualiter sei lediglich Kostenersatz im Umfang der nicht durch Elternbeiträge gedeckten Verpflegungsbeiträge und allfälliger Nebenkosten zuzusprechen. Die Vorinstanz und der Kanton Solothurn, Letzterer vertreten durch das Departement des Innern, schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. D. Vor dem Hintergrund der vorgesehenen Urteilserledigung wurde beiden Kantonen das rechtliche Gehör gewährt. Sie liessen sich dazu mit Eingaben vom 12. Juni 2013 (Kanton Zürich) und 24. Juni 2013 (Kanton Solothurn) vernehmen. 