hat sich ergeben: A.- Am 24. Mai 1993 verursachte eine bei der Alpina Versicherungs-AG (Beklagte) versicherte Autolenkerin einen Verkehrsunfall auf der N 13 in Rodels/GR, bei dem der in Deutschland wohnhafte Olaf Fischer als Lenker eines Motorrades verschiedene Verletzungen erlitt. Deswegen war er bis zum 31. Januar 1994 arbeitsunfähig. Olaf Fischer arbeitete auf der Grundlage des Bundes-Angestelltentarifvertrags beim Freistaat Bayern (Kläger), der seiner gesetzlichen und tarifvertraglichen Lohnfortzahlungs- und Nebenleistungspflicht nachkam. Olaf Fischer hat seine ausservertraglichen Ansprüche auf Ersatz des unfallbedingten Einkommensschadens im Umfang der ihm gewährten oder in Zukunft zu gewährenden Lohnfortzahlungen einschliesslich der tarifrechtlichen Nebenleistungen an seinen Arbeitgeber abgetreten, soweit diese Ansprüche nicht bereits gesetzlich übergegangen waren. Der Kläger hat von der Beklagten die Rückerstattung sämtlicher Zahlungen verlangt, die er zu Gunsten seines Arbeitnehmers während dessen Arbeitsunfähigkeit geleistet hat. Die Beklagte hat ihre Haftpflicht dem Grundsatze nach anerkannt und dem Kläger die trotz Arbeitsunfähigkeit des Arbeitnehmers erfolgten Lohnzahlungen mit DM 18'380.15 ersetzt. Streitig blieb ein Restbetrag von DM 11'800.--. Dafür belangte der Kläger die Beklagte am 24. September 1996 vor Bezirksgericht Zürich, welches die Klage am 10. Juli 1998 abwies. Auf Berufung des Klägers schützte das Obergericht Zürich die Klage mit Urteil vom 29. Juni 1999 im Betrage von DM 3'070.87 nebst Zins. Das Kassationsgericht des Kantons Zürich hat eine Nichtigkeitsbeschwerde des Klägers mit Beschluss vom 20. März 2000 abgewiesen. B.- Gegen das Urteil des Obergerichts haben beide Parteien eidgenössische Berufung eingelegt. Der Kläger beantragt dem Bundesgericht, es sei die Beklagte in Aufhebung des kantonalen Urteils zu verpflichten, ihm DM 11'800.-- nebst 5% Zins seit 20. April 1996 zu bezahlen; eventualiter sei das Urteil der Vorinstanz aufzuheben und die Sache gemäss Art. 64 OG zur Durchführung eines Beweisverfahrens und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beklagte beantragt vollumfängliche Abweisung der Klage, und beide Parteien schliessen auf Abweisung des gegnerischen Rechtsmittels. 