Faits: A. A.a Par contrat de bail du 7 juillet 2000, Cabinet Y._ (ci-après: Y._ ou la bailleresse) a loué conjointement à A._ et à B._ Sàrl, dont l'associé-gérant est C._, une arcade de 96,6 m2 et un local de 89 m2 situés respectivement au rez-de-chaussée et au rez supérieur d'un immeuble, à Genève. La destination des locaux convenue par les parties était l'exploitation d'un café-restaurant à l'enseigne « V._ ». Le loyer, échelonné, se montait à 6'100 fr. par mois, charges incluses, dès le 1er janvier 2006. A.b Par contrat du 14 mai 2001, B._ Sàrl a loué dès le 15 mai 2001 en gérance libre à X._ SA, laquelle a pour administrateur unique C._, le fond de commerce de l'établissement public exploité dans les locaux susdécrits. A titre de prix de location des locaux, du matériel et de l'enseigne - éléments formant ledit fond de commerce - , X._ SA s'engageait à verser une redevance mensuelle de 10'000 fr. A.c A la suite de la faillite de B._ Sàrl, prononcée le 27 janvier 2004, Y._ a résilié le 27 février 2004 le bail de la faillie et de A._ pour le 15 septembre 2004, motif pris que la bailleresse n'avait pas autorisé la sous-location en faveur de X._ SA. Seul A._ s'est opposé au congé par requête du 31 mars 2004 déposée devant la Commission de conciliation en matière de baux et loyers de Genève. A._ étant par la suite tombé en faillite le 2 septembre 2004, Y._ a résilié le 15 janvier 2005 avec effet immédiat le contrat de bail en tant qu'il concernait ledit locataire, car celui-ci n'avait pas fourni dans le délai imparti les sûretés demandées par la bailleresse. L'instance en contestation de ce congé, ouverte par A._, a trouvé son terme par arrêt du 2 avril 2007 de la Chambre d'appel en matière de baux et loyers du canton de Genève, décision qui a confirmé la validité de la résiliation du 15 janvier 2005. Le 3 août 2005, Y._ avait sollicité l'évacuation de A._ et B._ Sàrl. A.d Il a été retenu que X._ SA a versé à Y._ la somme de 6'100 fr. le 13 septembre 2007, puis de nouveau le 19 octobre 2007. Par lettre du 9 novembre 2007, Y._ a fait savoir à X._ SA que ces montants étaient encaissés à titre d'indemnités pour occupation illicite. B. Le 10 septembre 2005, Y._ a déposé devant le Tribunal de première instance de Genève une action en revendication au sens de l'art. 641 al. 2 CC, tendant à l'évacuation de X._ SA des locaux qu'elle occupe. Cette dernière a conclu au déboutement de Y._, soutenant notamment que cette société était informée de la présence de X._ SA dans les locaux en cause depuis 2001 déjà. Par jugement du 13 septembre 2007, Le Tribunal de première instance a condamné X._ SA à évacuer l'arcade et le rez supérieur d'un immeuble, à Genève. Saisie d'un appel de X._ SA, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève, par arrêt du 18 avril 2008, a confirmé le jugement attaqué. Elle a retenu, en bref, que Y._ pouvait exercer l'action en revendication prévue par l'art. 641 al. 2 CC pour obtenir le départ d'un sous-locataire, à l'instar de X._ SA. Puis elle a examiné, à titre préjudiciel, si les parties avaient conclu tacitement un nouveau bail, comme le soutenait la société appelante. La Cour de justice a répondu par la négative à cette question. Il n'était en effet pas établi que X._ SA ait versé régulièrement le montant du loyer à Y._ au cours des 20 mois qui s'étaient écoulés entre la résiliation du 27 février 2004 et l'introduction de l'action en revendication, les deux seuls versements intervenus n'ayant été du reste encaissés par Y._ qu'à titre d'indemnités pour occupation illicite. Dans ce contexte, X._ SA ne pouvait interpréter de bonne foi l'inaction de Y._ comme la manifestation d'une volonté de celle-ci de conclure un bail portant sur les locaux précédemment loués conjointement à deux locataires. C. X._ SA exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 18 avril 2008. Elle conclut à l'annulation de cet arrêt, Y._ devant être déboutée de toutes autres ou contraires conclusions. L'intimée propose, à la forme, l'irrecevabilité du recours, au fond son rejet, l'arrêt attaqué étant confirmé. Par acte séparé, la recourante a sollicité l'octroi de l'effet suspensif. 