Sachverhalt: A. In der von Y._ gegen X._ erhobenen Betreibung Nr. xxx des Betreibungs- und Konkursamtes des Kantons Glarus gewährte der Kantonsgerichtspräsident des Kantons Glarus am 25. Februar 2008 die definitive Rechtsöffnung über Fr. 2'500.-- nebst Zins zu 5% ab 6. Juni 2007 sowie die Kosten. B. Gegen diese Verfügung gelangte X._ an das Obergericht des Kantons Glarus. Am 27. März 2008 erteilte der Obergerichtspräsident der Nichtigkeitsbeschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung. Er versah seinen Entscheid mit der Bedingung, dass X._ innert 20 Tagen auf der Gerichtskasse den Betrag von Fr. 2'500.-- hinterlege. Über die Verwendung der Sicherheitsleistung werde mit dem Entscheid in der Sache befunden. C. X._ (nachfolgend: Beschwerdeführerin) ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 16. April 2008 an das Bundesgericht gelangt. Sie beantragt, ihr im vorinstanzlichen Verfahren die aufschiebende Wirkung ohne Sicherheitsleistung zu gewähren. Zudem sei ihr für das vorinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen. Eventualiter sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdeführerin stellt das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Y._ (nachfolgend: Beschwerdegegner) schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht hat sich vernehmen lassen, ohne einen formellen Antrag zu stellen. In ihrer unaufgefordert eingereichten Replik vom 13. Juni 2008 hat die Beschwerdeführerin den Antrag auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das kantonale Verfahren zurückgezogen. Der Beschwerdegegner hat am 18. Juni 2008 unaufgefordert eine Duplik eingereicht. D. Mit Verfügung vom 22. Mai 2008 gewährte der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung. 