Faits: A. Après s'être vu refusé une première fois des prestations de l'assurance-invalidité (décision de l'Office cantonal AI du Valais du 29 juin 2000, confirmée sur recours [arrêt I 199/01 du Tribunal fédéral des assurances du 4 juillet 2001]), B._ s'est à nouveau annoncé à l'assurance-invalidité le 21 novembre 2003. Au cours de l'instruction, l'Office cantonal AI du Valais (ci-après: l'office AI) a recueilli des renseignements économiques et médicaux, puis chargé l'Hôpital X._ d'une expertise pluridisciplinaire. Dans un rapport du 11 janvier 2005, les docteurs D._, O._ et M._ de l'Hôpital X._ ont conclu que l'incapacité de travail de 70% présentée par l'assuré était avant tout à mettre sur le compte de troubles psychiques (association d'un épisode dépressif moyen et d'un syndrome somatoforme douloureux envahissant avec une perte d'intégration sociale). Par la suite, l'office AI a soumis B._ à un examen d'abord auprès du docteur F._, puis du docteur A._, psychiatre. Ce dernier a indiqué que toutes pathologies confondues (trouble de l'adaptation avec humeur anxio-dépressive et malaises d'origine indéterminée), l'assuré présentait une incapacité de travail de 50% dans une activité adaptée. Ayant soumis le dossier à son Service médical régional (SMR), dont les médecins ont retenu une capacité de travail entière dans une activité adaptée, l'office AI a, par décisions des 10 et 11 avril 2006, nié le droit de l'assuré à des mesures de reclassement, à une aide au placement, ainsi qu'à une rente d'invalidité. Sur opposition de celui-ci, l'administration a confirmé sa décision le 8 mars 2007. B. Statuant le 19 novembre 2007 sur le recours formé par l'intéressé contre la décision sur opposition, le Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais l'a admis. Annulant la décision du 8 mars 2007, il a retourné le dossier à l'administration pour instruction complémentaire et nouvelle décision "dans le sens du considérant 3d". C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation. Il conclut, principalement, au renvoi de la cause au Tribunal cantonal des assurances pour nouveau jugement, subsidiairement à la confirmation de sa décision du 8 mars 2007 et, plus subsidiairement encore, au renvoi de la cause pour instruction complémentaire et nouvelle décision. Sous suite de frais et dépens, B._ conclut principalement à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet et, plus subsidiairement encore, à l'admission du recours en ce sens que le Tribunal cantonal valaisan des assurances aurait dû statuer sur son droit à une demi-rente et à ce qu'il soit reconnu invalide à 50%. Tant le Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais que l'Office fédéral des assurances ont renoncé à présenter des déterminations. 