Sachverhalt: A. A.a A._ ist am 4. September 2006 in B._ im Alter von 66 Jahren gestorben. Er hinterliess ein namhaftes Nachlassvermögen, über welches er mit öffentlicher Urkunde vom 14. Juli 2005 verfügte. Unter anderem setzte er Y._ (Beschwerdegegner) als Willensvollstrecker ein. Weiter richtete er für die Fürsorge und Betreuung sowie für die partnerschaftliche Zuwendung während seiner Krankheit ein Vermächtnis von Fr. 1'700'000.-- an X._ (Beschwerdeführerin) aus. Er stellte das Vermächtnis unter die Bedingung, dass die Beschwerdeführerin im Zeitpunkt seines Todes noch immer seine Partnerin und Betreuerin sei. Mit letztwilliger Verfügung vom 12. August 2005 hob er das Vermächtnis an die Beschwerdeführerin auf und vermachte ihr stattdessen eine Eigentumswohnung in C._ und Fr. 400'000.--. Er verwies auf die Bedingung gemäss seiner letztwilligen Verfügung vom 14. Juli 2005. A.b Mit Beschwerde vom 7. März 2008 liess die Beschwerdeführerin beim Bezirksgericht D._ die Absetzung des Beschwerdegegners sowie die Ausrichtung des Vermächtnisses beantragen. Mit Verfügung vom 7. Mai 2008 wies der Einzelrichter im summarischen Verfahren die Beschwerde ab, soweit darauf einzutreten war. Er begründete seinen Entscheid in der Hauptsache damit, der Beschwerdegegner gehe davon aus, dass die Beschwerdeführerin seit 1999 mit E._ an verschiedenen Domizilen in der Schweiz eine umfassende Wohn- und Lebensgemeinschaft praktiziert habe und auch heute noch praktiziere. Bei diesem gegebenen Sachverhalt habe das Legat nach dem erklärten Willen des Erblassers klarerweise zu entfallen. Die unterbliebene Ausrichtung des Vermächtnisses liege somit nicht in der Untätigkeit des Beschwerdegegners begründet. Die Kognitionsbefugnis der Aufsichtsbehörde sei beschränkt und die Überprüfung der Vorkehrungen des Beschwerdegegners auf dessen rechtliche Richtigkeit sei nicht Aufgabe der Aufsichtsbehörde, sondern vom Zivilrichter im ordentlichen Verfahren vorzunehmen. Die Frage, ob die Beschwerdeführerin tatsächlich in einer Lebensgemeinschaft lebe, sei materieller Natur, weshalb sie nicht mit Hilfe einer Aufsichtsbeschwerde beantwortet werden könne. Die Gerichtsgebühr wurde auf Fr. 17'000.-- und die Parteientschädigung an den Beschwerdegegner auf Fr. 8'000.-- festgesetzt. B. Der von der Beschwerdeführerin dagegen beim Obergericht des Kantons Zürich eingereichte Rekurs hatte keinen Erfolg. Mit Beschluss vom 12. August 2008 wurde das Rechtsmittel abgewiesen, soweit darauf einzutreten war. Die Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen in der angefochtenten Verfügung vom 7. Mai 2008 wurde bestätigt (Ziff. 2). Die zweitinstanzliche Gerichtsgebühr wurde auf Fr. 25'000.-- festgesetzt (Ziff. 3). Die Beschwerdeführerin wurde verpflichtet, dem Beschwerdegegner eine Prozessentschädigung von Fr. 20'000.-- zu bezahlen (Ziff. 5). C. Die Beschwerdeführerin hat mit Eingabe vom 19. September 2008 hiergegen Beschwerde beim Bundesgericht eingereicht. Sie beantragt, die Dispositiv-Ziffer 3 aufzuheben und die obergerichtliche Gebühr auf höchstens Fr. 5'000.-- festzusetzen. Auch die Dispositiv-Ziffer 5 sei aufzuheben und die Prozessentschädigung an den Beschwerdegegner sei auf höchstens Fr. 5'000.-- festzusetzen. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt. 