Sachverhalt: A. X._ (geb. 15. November 1996, Staatsangehörige von Bosnien und Herzegowina) ist die Tochter von Y._ und Z._. B. Mit Entscheid vom 16. Februar 2011 errichtete die Vormundschaftsbehörde Luzern für X._ eine Erziehungsbeistandschaft gemäss Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB und bezeichnete eine Beiständin. Nach vorgängiger provisorischer Verfügung vom 6. Juli 2011 entzog die zuständige Vormundschaftsbehörde den Eltern am 10. August 2011 erstmals die Obhut und brachte X._ in der Jugendsiedlung A._ unter. Nach ihrer Entlassung und Rückkehr zu den Eltern wurde am 16. November 2011 ein weiterer Obhutsentzug mit Fremdplatzierung angeordnet. Der Aufenthalt von X._ in der Stiftung B._ in C._ dauerte bis zum 11. Juli 2012. Wieder in der Obhut ihrer Eltern tauchte X._ im September 2012 unter. Zweieinhalb Monate später, am 28. November 2012, griff die Polizei sie auf und brachte sie zu den Eltern zurück. Daraufhin stellte die Beiständin einen Antrag um Anordnung von Kindesschutzmassnahmen. Die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Luzern entzog den Eltern mit Urteil vom 8. Januar 2013 wiederum die Obhut über X._ und ordnete zur weiteren Erziehung und Betreuung eine fürsorgerische Unterbringung im Jugendheim D._ in E._ an. C. Am 14. Januar 2013 verlangte X._ vor dem Obergericht des Kantons Luzern die Aufhebung des Entscheides vom 8. Januar 2013. Am selben Tag wurde sie polizeilich in das Jugendheim D._ verbracht. Das Obergericht wies mit Urteil vom 4. Februar 2013 die Beschwerde ab und bestätigte den Obhutsentzug und die Platzierung. D. Gegen diesen Entscheid hat die nun anwaltlich vertretene X._ (Beschwerdeführerin) beim Bundesgericht Beschwerde eingereicht. Sie beantragt, sie sei in die elterliche Obhut zurückzugeben und die fürsorgerische Unterbringung sei aufzuheben. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter hat sie um Gewährung der aufschiebenden Wirkung ersucht. Sowohl die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde der Stadt Luzern als auch das Obergericht schlossen auf Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung. E. Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat mit Verfügung vom 22. April 2013 das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen. In der Sache selbst hat das Bundesgericht keine Vernehmlassungen eingeholt. 