Sachverhalt: A. A.a. Die X._ AG mit Sitz in A._ (Beschwerdeführerin) wurde am 27. Mai 2009 in das Handelsregister eingetragen und hat ihr Rechtsdomizil bei der Domizilhalterin Y._ AG in A._. Mit Tagesregister-Eintrag vom 26. Oktober 2012 wurde die seit dem 5. Februar 2010 als Revisionsstelle fungierende Z._ AG aus dem Handelsregister gelöscht. A.b. Mit Schreiben vom 31. Oktober 2012 teilte das Handelsregisteramt des Kantons Solothurn (Beschwerdegegner) der Beschwerdeführerin mit, dass die Z._ AG auf eigenes Begehren als Revisionsstelle im Handelsregister gelöscht worden sei. Damit verfüge die Gesellschaft über keine Revisionsstelle mehr. Das Handelsregisteramt forderte die Beschwerdeführerin daher gestützt auf Art. 154 Abs. 1 HRegV i.V.m. Art. 727 f. OR auf, innert 30 Tagen ab Erhalt des Schreibens durch Anmeldung einer neuen Revisionsstelle den rechtsmässigen Zustand in der gesetzlich zwingenden Organisation der Gesellschaft wiederherzustellen. Schliesslich hielt das Handelsregisteramt fest, dass es dem zuständigen Gericht den Antrag stellen werde, die erforderlichen Massnahmen zu ergreifen, falls die Gesellschaft den rechtmässigen Zustand nicht innert Frist herstelle. B. B.a. Mit Gesuch vom 11. Dezember 2012 beantragte das Handelsregisteramt dem Richteramt Thal-Gäu, es seien gegenüber der Beschwerdeführerin wegen Fehlens der Revisionsstelle die erforderlichen Massnahmen nach Art. 731b OR zu ergreifen. Zur Begründung führte das Handelsregisteramt aus, die Beschwerdeführerin verfüge weder über eine Revisionsstelle noch sei ein Verzicht auf eine Revision i.S. von Art. 727a Abs. 2 OR eingetragen worden. Der Verwaltungsrat habe die ihm angesetzte Frist zur Behebung des Organisationsmangels ungenutzt verstreichen lassen und trotz Ankündigung der Überweisung an den Richter keine neue Revisionsstelle angemeldet. Mit prozessleitender Verfügung vom 13. Dezember 2012 stellte das Richteramt Thal-Gäu der Beschwerdeführerin ein Doppel des Gesuchs zu (Dispositiv-Ziffer 1) und setzte der Gesellschaft eine Frist bis 11. Januar 2013, um die neue Revisionsstelle anzumelden oder eine Stellungnahme einzureichen (Dispositiv-Ziffer 2). Weiter stellte das Richteramt der Beschwerdeführerin in Aussicht, diese in Anwendung von Art. 731b OR aufzulösen (Dispositiv-Ziffer 3). Mit Eingabe vom 21. Dezember 2012 ersuchte die Beschwerdeführerin das Richteramt um Fristerstreckung bis 11. Februar 2013. Mit Verfügung vom 7. Januar 2013 hiess das Richteramt das Fristerstreckungsgesuch gut und setzte der Beschwerdeführerin eine neue Frist bis 11. Februar 2013 zur Ernennung der Revisionsstelle. Mit Eingabe vom 7. Februar 2013 teilte die Beschwerdeführerin dem Richteramt mit, dass sie ein Opting-out bezüglich der Revisionsstelle vorzunehmen gedenke, für die nötige Beschlussfassung aber mehr Zeit benötige. Sie ersuche daher um eine erneute Fristerstreckung bis 15. März 2013. Mit Verfügung vom 12. Februar 2013 hiess das Richteramt das Fristerstreckungsgesuch gut. Mit Verfügung vom 10. April 2013 erstreckte das Richteramt die Frist zur Behebung des Organisationsmangels ein letztes Mal bis 15. Mai 2013. Mit E-Mail vom 28. Mai 2013 meldete die Beschwerdeführerin dem Handelsregisteramt die neu bestellte Revisionsstelle C._ Treuhand zur Eintragung im Handelsregister an. Als Beilagen waren der E-Mail die Anmeldung der Revisionsstelle, das Protokoll der Generalversammlung und die Annahmeerklärung der Revisionsstelle angehängt. Gleichentags und ebenfalls per E-Mail teilte das Handelsregisteramt der Beschwerdeführerin mit, die Eintragung könne nicht vorgenommen werden, da hierzu als Belege originalhandschriftlich unterzeichnete Dokumente oder jeweils beglaubigte Kopien des Originals erforderlich seien. Im Weiteren bestehe ein Widerspruch zwischen dem unterzeichnenden Protokollführer und dem Protokollführer im Rubrum des Protokolls. Mit Urteil vom 11. Juni 2013 löste das Richteramt die Beschwerdeführerin auf und ordnete deren Liquidation nach den Vorschriften über den Konkurs an. B.b. Das Obergericht des Kantons Solothurn wies die gegen das Urteil des Richteramtes eingelegte Berufung mit Urteil vom 16. Juli 2013 ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, es sei das Urteil des Obergerichts aufzuheben und es sei für die Beschwerdeführerin die C._ Treuhand als Revisionsstelle einzusetzen. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen zur Ernennung der fehlenden Revisionsstelle der Beschwerdeführerin und Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens. Das Handelsregisteramt beantragt in seiner Vernehmlassung, es seien wegen Fehlens der Revisionsstelle die erforderlichen Massnahmen zu ergreifen und es sei die Beschwerdeführerin zur Tragung aller Gerichts- und Parteikosten in sämtlichen Verfahren zu verurteilen. Die Vorinstanz beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdeführerin hat eine Replik eingereicht. D. Mit Präsidialverfügung vom 3. September 2013 wurde festgestellt, dass der Beschwerde im Umfang der gestellten Begehren von Gesetzes wegen aufschiebende Wirkung zukommt. 