Faits: A. A.a Le 1er novembre 1998, X._, née le 20 août 1965 et domiciliée alors en ville de Neuchâtel, a été victime d'un accident de la circulation à Courgenay (Jura). Alors que la voiture qu'elle pilotait était à l'arrêt devant un passage pour piétons, son véhicule a été percuté par l'arrière par la voiture d'un tiers dont Y._ SA (ci-après: Y._) couvrait la responsabilité civile de détenteur au moment du sinistre. X._ a subi une distorsion cervicale, laquelle a entraîné une incapacité de travail totale dans son activité d'employée de commerce du 2 novembre 1998 au 22 novembre 1998, puis à 50% du 23 novembre 1998 au 4 janvier 1999, date à laquelle elle a repris le travail à 100%. Y._ n'a pas contesté le principe de la responsabilité de son assuré. Après cet accident, la victime a ressenti des douleurs à la nuque et aux épaules. Le 14 décembre 2000, X._ a été victime d'un deuxième accident de la circulation à Delémont (Jura). Le véhicule d'une tierce personne, dont la responsabilité civile de détentrice était assurée par Z._ SA, a coupé la priorité revenant à la voiture conduite par la prénommée, laquelle n'a pas pu éviter une collision latérale. Cet accident a engendré une nouvelle incapacité de travail totale, du 14 décembre 2000 au 7 janvier 2001, et à 50%, du 8 janvier 2001 au 22 janvier 2001. X._ a recommencé par la suite à travailler à plein temps. Il a été retenu que la responsabilité de cet accident incombe à la tierce personne. Le 13 juin 2001, X._ a annoncé avoir subi un troisième accident de la route dans des circonstances similaires au premier, cela alors qu'elle était arrêtée à un « cédez le passage » en France. Elle a subi à nouveau une entorse cervicale, ayant provoqué une incapacité de travail à 100 % du 13 juin au 24 juin 2001, puis à 50% du 25 juin 2001 au 1er août 2001, avant de reprendre son activité professionnelle à 100 %. A.b Mariée depuis 2001, X._, s'est établie avec son mari en France, où elle a mis au monde des jumeaux en avril 2003. Elle a repris le travail en octobre 2003 et a travaillé à plein temps jusqu'au 31 décembre 2003. A compter du 1er janvier 2004, la précitée a réduit de son propre chef son taux d'activité professionnelle à 80 %, faisant état de fatigue et de souffrances récurrentes. Le 14 juillet 2004, X._, par l'entremise de son mandataire, a proposé à la SUVA que le Dr A._, son médecin-traitant, fût invité à trancher la question de savoir lequel des trois accidents était à l'origine des douleurs ou qu'une expertise fût mise en oeuvre pour déterminer sa situation médicale actuelle et future, ainsi que sa capacité actuelle et future de revenu. Le 28 septembre 2004, le Dr A._ a fait parvenir à la SUVA, à la demande de cet assureur, un rapport dans lequel il indiquait que les trois accidents subis par sa patiente - qu'il suit à sa consultation depuis le 25 novembre 2001 - ont contribué à pérenniser la problématique cervicale qu'elle présente. Concédant qu'il n'est pas aisé de déterminer la part respective de responsabilité de ces traumatismes sur les douleurs actuelles, il a affirmé, sur la base des éléments du dossier et après discussion avec la patiente, que les plaintes actuelles étaient dues pour 60% au premier traumatisme et pour 40% au second, le troisième accident ne semblant plus jouer un rôle significatif dans les plaintes résiduelles. Ce praticien préconisait différentes mesures de physiothérapie et une prise en charge « de type médecine manuelle », en précisant que ces mesures visaient avant tout à stabiliser la situation actuelle et donc à préserver la capacité de travail de l'assurée. En ce qui concerne l'exercice d'une activité professionnelle, il a écrit ce qui suit: « ...en raison de ses difficultés, Mme X._ a déjà par elle-même réduit son taux d'activité à 80% depuis le début de l'année 2004. Je ne peux donc ici avec certitude affirmer que la patiente pourra toujours à l'avenir continuer à exercer à ce taux son activité professionnelle d'employée de commerce. Nous tenterons toutefois, grâce à la poursuite de la prise en charge actuelle, de préserver au maximum les capacités fonctionnelles de cette jeune assurée ». Une copie de ce rapport a été adressé à X._. Le 26 janvier 2005, un entretien s'est déroulé à Delémont entre un inspecteur de la SUVA, X._ et le mandataire de celle-ci. Ce mandataire a annoncé qu'il allait introduire une procédure afin d'engager la responsabilité civile des auteurs des deux premiers accidents, selon la « répartition » effectuée par le Dr A._. Pour sa part, la SUVA a dit vouloir examiner sa responsabilité dans cette affaire en déterminant si le cas est médicalement stabilisé et, dans l'affirmative, si l''incapacité de travail de 20% est médicalement justifiée. Sans nouvelles de la SUVA, le mandataire de X._ a relancé cette assurance par plis des 12 mai et 1er septembre 2005, en lui faisant notamment savoir, dans ce dernier courrier, que sa cliente « revendiqu(ait) une invalidité durable et permanente de 20% ». X._ a été examinée le 24 octobre 2005 par le Dr B._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique auprès de la SUVA. Dans son rapport du 27 octobre 2005, ce spécialiste a déclaré que le cas de la patiente pouvait être « clos », du fait qu'une amélioration substantielle de son état de santé n'était plus guère envisageable. Il a relevé que cette dernière avait réduit spontanément son horaire de travail de 100% à 80% dès le 1er janvier 2004 et que cette diminution du taux d'activité était justifiée. Le Dr B._ s'est rallié à l'opinion du Dr A._ et a attribué la survenance des cervicalgies chroniques dont souffre la lésée au premier et au deuxième accident, respectivement dans des proportions de 60% et de 40%. Le Dr B._ a précisé avoir informé oralement X._ de ses conclusions en fin d'examen. La SUVA a adressé copie du rapport du Dr B._ au mandataire de l'assurée le 18 novembre 2005. Par décision du 7 mars 2006, la SUVA a mis X._ au bénéfice d'une rente d'invalidité dès le 1er janvier 2004, calculée sur la base d'un taux d'invalidité de 20%. B. B.a Le 19 novembre 2007, X._ a déposé devant la Cour civile du Tribunal cantonal du canton du Jura une requête de citation en conciliation à l'encontre des deux assureurs responsables, à savoir Y._ et Z._ SA, tendant notamment à ce que Y._ soit condamnée à lui payer la somme de 188'873 fr.35 plus intérêts à 5% l'an dès le 1er novembre 1998 ou telle autre somme supérieure à dire de justice. La conciliation ayant échoué, X._ a introduit sa demande auprès de la Cour civile contre Y._ le 25 février 2010, en se fondant sur les art. 58 ss LCR et 41 ss CO. Elle a conclu à ce que la défenderesse lui doive paiement de 383'727 fr.55 plus intérêts à 5% l'an « dès l'exigibilité ou toute autre somme supérieure à dire de justice », à titre de sa perte de gain actuelle et future, de l'atteinte à son avenir économique, du préjudice ménager, du tort moral, de la perte d'allocations familiales et de remboursement de frais de soins. Y._ a conclu au rejet de la demande en faisant notamment valoir que celle-ci était prescrite. B.b Par arrêt du 27 avril 2011, la Cour civile du Tribunal cantonal jurassien, composée de trois juges et d'une greffière, a admis l'exception de prescription soulevée par la défenderesse et débouté la demanderesse de toutes ses conclusions. Saisie d'un appel de la demanderesse, la Cour civile, composée de trois autres juges cantonaux et d'une autre greffière, a rejeté cet appel par arrêt du 31 janvier 2012 et confirmé l'arrêt du 27 avril 2011. Elle a admis qu'en déposant le 19 novembre 2007 sa requête de citation en conciliation, la demanderesse a agi alors que le délai de prescription de l'art. 83 al. 1 LCR était déjà écoulé. C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 31 janvier 2012. Principalement, elle conclut à l'annulation de cette décision et au renvoi du dossier à la cour cantonale à fin de traitement du fond, subsidiairement à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouveau jugement au sens des considérants. L'intimée propose le rejet du recours en tant qu'il est recevable. Les parties ont répliqué et dupliqué. 