Faits: A. A._ est détenteur d'un permis de conduire les véhicules automobiles de catégories G et M depuis 1991 et de catégories A1, B, B1, BE, D1 avec la mention "3,5 t; 106", D1E et F. Au matin du 2 juillet 2012, A._ circulait au volant d'une voiture de livraison sur l'autoroute A1 entre Bavois et La Sarraz. Il a été interpellé par la gendarmerie après avoir suivi, sur un tronçon d'environ 2'000 mètres, un camion en maintenant une distance qui oscillait entre 10 et 15 mètres. Le véhicule paraissant surchargé, il a fait l'objet d'un pesage sur un pont à bascule qui a révélé un poids de 5'393 kilos, soit une surcharge de 1'893 kilos par rapport au poids total autorisé sur le permis de circulation, qui est fixé à 3'500 kilos. Le rapport de police indique également que le trafic était de forte densité et que la chaussée était humide. Par décision du 27 septembre 2012, le Service vaudois des automobiles et de la navigation (SAN) a ordonné le retrait du permis de conduire de l'intéressé pour une durée de trois mois, l'infraction étant qualifiée de grave au sens des art. 16c al. 1 let. a LCR. A._ a formé réclamation contre cette décision en concluant au prononcé d'un avertissement. Le SAN a rejeté cette réclamation par décision du 10 janvier 2013. B. Par arrêt du 1 er juillet 2013, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal vaudois a rejeté le recours formé par le prénommé contre cette décision. Elle a en substance considéré que la faute devait être qualifiée de grave, le conducteur circulant avec un véhicule qui souffrait d'une surcharge de 1'893 kilos, soit de 54,09 %. A._ ne disposait en outre pas du permis de conduire nécessaire à la conduite d'une charge pareille. Dans les conditions de chaussée humide et de trafic de forte densité, la situation était dangereuse et comportait, selon le Tribunal cantonal, une probabilité élevée d'accident. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt attaqué et de prononcer un avertissement à son encontre. Le Tribunal cantonal et l'Office fédéral des routes concluent au rejet du recours en se référant aux considérants de l'arrêt attaqué. L'effet suspensif a été accordé par ordonnance présidentielle du 11 septembre 2013. 