Sachverhalt: A. A.a Claudia Pechstein, Diensdorf/Deutschland, (Beschwerdeführerin) ist eine 37-jährige deutsche Eisschnellläuferin. Ihre Hauptdisziplinen sind 3'000 Meter und 5'000 Meter. Die Beschwerdeführerin gehört seit 1988 zur Eisschnelllauf-Weltelite, als sie die DDR an den Junioren-Weltmeisterschaften vertrat. In ihrer langen Karriere hat sie an fünf Olympischen Spielen (von 1992 bis 2006) teilgenommen. Neben zahlreichen Olympiamedaillen hat sie verschiedene Welt- und Europameisterschaften sowie nationale Wettkämpfe gewonnen. Sie ist daher eine der erfolgreichsten Wintersportlerinnen aller Zeiten. Die International Skating Union (Beschwerdegegnerin) ist ein Verein schweizerischen Rechts mit Sitz in Lausanne. Sie ist als Weltverband für die Sportarten Eiskunstlauf und Eisschnelllauf anerkannt. Die Deutsche Eisschnelllauf Gemeinschaft e.V. (nachfolgend DESG), München/Deutschland, der die Beschwerdeführerin angehört, ist Mitglied der Beschwerdegegnerin. A.b Die Beschwerdeführerin unterzog sich zwischen dem 4. Februar 2000 und dem 30. April 2009 zahlreichen Dopingkontrollen, die keine Hinweise auf verbotene Substanzen ergaben. Im gleichen Zeitraum erhob die Beschwerdegegnerin im Rahmen ihres Blutprofilprogramms mehr als neunzig Blutproben der Beschwerdeführerin. Insbesondere wurden zwischen dem 20. Oktober 2007 und dem 30. April 2009 siebenundzwanzig Blutproben der Athletin entnommen, die letzten zwölf zwischen Januar und April 2009. Die im Rahmen des Blutprofilprogramms der Beschwerdegegnerin erhobenen und aufgezeichneten Blutparameter beinhalten unter anderem Hämoglobin, Hämatokrit und den prozentualen Anteil unreifer roter Blutzellen (Retikulozyten). Der Retikulozytenwert ermöglicht als Blutparameter eine aktuelle Beurteilung der Bildung roter Blutkörperchen im menschlichen Organismus. Während die Beschwerdegegnerin einen Retikulozytenwert zwischen 0.4 % und 2.4 % für normal erachtet, ergaben die Resultate der Blutuntersuchungen bei der Beschwerdeführerin Retikulozytenwerte, die weit über 2.4 % lagen und danach jeweils stark abfielen. Am 7./8. Februar 2009 fand die von der Beschwerdegegnerin organisierte Eisschnelllauf-Weltmeisterschaft in Hamar (Norwegen) statt. Am Morgen vor Wettkampfbeginn, also am 6. Februar 2009, wurden von sämtlichen Athleten Blutproben entnommen. Der Retikulozytenwert der Beschwerdeführerin wurde auf 3.49 % gemessen. Als Folge dieses Resultats erhob die Beschwerdegegnerin am Morgen bzw. am Nachmittag des 7. Februar 2009 zwei weitere Blutproben bei der Beschwerdeführerin. Die gemessenen Retikulozytenwerte betrugen 3.54 % bzw. 3.38 %. Die Beschwerdeführerin und die DESG wurden vom medizinischen Berater der Beschwerdegegnerin, Prof. A._, darüber informiert, dass die Retikulozytenwerte "abnormal" seien. Obwohl die Hämoglobin- und Hämatokritwerte dies nicht geboten, teilte die DESG in der Folge mit, dass die Beschwerdeführerin an den Rennen des nächsten Tages nicht teilnehmen werde. Am 18. Februar 2009 wurde bei der Athletin ausserhalb des Wettkampfs eine weitere Blutprobe entnommen. Diese zeigte einen Retikulozytenwert von 1.37 % an. B. B.a Nach Überprüfung des Blutprofils leitete die Beschwerdegegnerin bei ihrer Disziplinarkommission ein Verfahren gegen die Beschwerdeführerin ein. Sie warf der Beschwerdeführerin vor, eine verbotene Substanz bzw. eine unzulässige Methode (d.h. eine Art von Blutdoping) verwendet zu haben, was ein Dopingvergehen gemäss Artikel 2.2 ihrer Anti-Doping Regeln (ADR) darstelle, die am 1. Januar 2009 in Übereinstimmung mit der neuen Version des World Anti-Doping Code der Welt-Anti-Doping-Agentur (WADA) in Kraft getreten sei. Nach einem in Bern abgehaltenen Hearing vom 29./30. Juni 2009 stellte die Disziplinarkommission der Beschwerdegegnerin mit Entscheid vom 1. Juli 2009 ein Dopingvergehen nach Artikel 2.2 ADR in Form von Blutdoping fest, aberkannte die anlässlich der Weltmeisterschaft vom 7. Februar 2009 erzielten Resultate und sprach eine zweijährige Sperre ab 9. Februar 2009 gegen die Beschwerdeführerin aus. B.b Am 21. Juli 2009 erklärten die Beschwerdeführerin sowie die DESG beim Tribunal Arbitral du Sport (TAS) Berufung gegen den Entscheid der Disziplinarkommission vom 1. Juli 2009. Am 17. August 2009 gab das TAS die Zusammensetzung des Schiedsgerichts für den vorliegenden Rechtsstreit bekannt. Keine Partei erhob zu jenem Zeitpunkt oder im weiteren Verlauf des Verfahrens Einwände dagegen. Mit Eingabe vom 3. August 2009 reichte die Beschwerdeführerin dem TAS ihre Berufungsbegründung ein. Am 16. September 2009 beantragte die Beschwerdeführerin, es sei ihr zu gestatten, schriftlich zur Berufungsantwort der Beschwerdegegnerin Stellung zu nehmen. Diese sprach sich gegen einen weiteren Schriftenwechsel aus. Mit Schreiben vom 23. September 2009 teilte das TAS den Parteien mit, dass es in Anwendung von Artikel R56 des TAS-Code einen weiteren Schriftenwechsel nicht zulasse. Es gewährte der Athletin jedoch ausnahmsweise die Möglichkeit, bis spätestens acht Tage vor dem Hearing neue Beweise aus medizinischen Untersuchungen an ihrer Person sowie entsprechende Bemerkungen dazu einzureichen ("to present any new evidence deriving from medical investigations performed on her, with comments thereto") sowie für das Hearing einen Experten zur Funktion des Messgeräts Advia 120 zu benennen. Am 29. September 2009 erliess das TAS eine Anordnung über den weiteren Ablauf des Verfahrens ("Order of Procedure"). Diese wurde von allen Parteien vor dem Hearing unterzeichnet. Das Hearing wurde auf den 22./23. Oktober 2009 angesetzt. Am 14. Oktober 2009 reichte die Beschwerdeführerin dem TAS eine Eingabe mit verschiedenen Beilagen ein. Am 17. Oktober 2009 wendete die Beschwerdegegnerin dagegen ein, die Eingabe betreffe zu einem grossen Teil nicht neue medizinische Untersuchungen, wie gemäss schiedsgerichtlicher Anordnung vom 23. September 2009 vorgesehen; angesichts des Umfangs neuer Dokumente sei es ihr zudem unmöglich, sich vor dem Hearing mit ihren Sachverständigen zu beraten und dazu schriftlich Stellung zu nehmen. Mit Schreiben vom 19. Oktober 2009 hielt das TAS fest, dass zahlreiche Teile der Eingabe der Beschwerdeführerin den schiedsgerichtlichen Vorgaben vom 23. September 2009 sowie Artikel R56 des TAS-Code nicht entsprächen. Insbesondere seien die meisten der eingereichten Dokumente nicht neue Beweise aus medizinischen Untersuchungen an der Person der Beschwerdeführerin und ihre Eingabe beschränke sich nicht auf Bemerkungen zu diesen medizinischen Untersuchungen, sondern stelle vielmehr eine Replik dar. Entsprechend ordnete das Schiedsgericht unter anderem an, die Eingabe der Athletin vom 14. Oktober 2009 nicht zu den Akten zu nehmen, mit Ausnahme der Beilagen 37, 38, 39, 42, 44 und 53. Im Weiteren liess das Schiedsgericht sämtliche von der Beschwerdeführerin genannten Experten zum Hearing zu, mit Ausnahme von Dr. B._, der in ihrer Berufungsschrift nicht aufgeführt worden war. Am 21. Oktober 2009 reichte die DESG dem Schiedsgericht einen weiteren Schriftsatz sowie ein neues Gutachten ein. Mit Verfügung vom gleichen Tag bestätigte das TAS seinen Entscheid, die schriftliche und mündliche Expertenmeinung von Dr. B._ nicht zuzulassen, da sich diese nicht auf neue Beweise aus medizinischen Untersuchungen an der Person der Beschwerdeführerin bezog und die Athletin vor Ablauf der Frist zur Begründung der Berufung am 3. August 2009 auch nicht um eine Fristerstreckung im Hinblick auf die Beibringung der Expertenmeinung von Dr. B._ ersucht hätte. In Anwendung von Artikel R57 des TAS-Code wies es zudem den Antrag der Beschwerdeführerin ab, weiteren interessierten Personen eine Teilnahme am Hearing zu gestatten. Die Eingabe der DESG vom 21. Oktober 2009 nahm es schliesslich nicht zu den Akten, da sie in Missachtung der Verfügung des Schiedsgerichts vom 19. Oktober 2009 erfolgte. Am Hearing, das am 22. und 23. Oktober 2009 in Lausanne stattfand, wurden insgesamt zwölf von den Parteien bezeichnete Sachverständige angehört. Alle Parteien hatten jeweils die Möglichkeit, Fragen an die Experten zu richten. Sie hatten daraufhin die Gelegenheit, ihren Fall zu präsentieren, ihre Argumente dazulegen und die Fragen des Schiedsgerichts zu beantworten. Das Schiedsgericht nahm anlässlich des Hearings den Entwurf der "Athlete Biological Passport Operating Guidelines" der WADA vom Oktober 2009 von sich aus zu den Akten und gewährte den Parteien eine kurze Frist zur schriftlichen Stellungnahme. Nach den letzten Parteivorträgen und der Schlusserklärung der Beschwerdeführerin schloss das Schiedsgericht das Hearing. Am 27. Oktober 2009 reichten die Parteien ihre Stellungnahmen zum Entwurf der erwähnten Richtlinien der WADA ein. Mit Faxschreiben vom 23. und 24. November 2009 reichte die Beschwerdeführerin dem Schiedsgericht einen dringlichen Antrag für die Wiedereröffnung des Verfahrens ein, um im Rahmen eines Kreuzverhörs Fragen an Prof. C._ zu stellen, der am Hearing vom 22./23. Oktober 2009 nicht teilgenommen hatte. Der Antrag wurde damit begründet, dass einer der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin vernommen habe, dass Prof. C._ seine ursprüngliche Meinung aufgrund der von ihr am 14. Oktober 2009 vorgelegten Beweise offenbar geändert habe, und dass er von der Beschwerdegegnerin aus diesem Grund nicht für das Hearing aufgeboten worden sei. Das TAS wies den Antrag um Wiedereröffnung des Verfahrens und die Berufungen der Beschwerdeführerin sowie der DESG mit Schiedsentscheid vom 25. November 2009 ab und bestätigte die zweijährige Sperre der Athletin, mit der geringfügigen Änderung, dass die Sperre bereits ab dem 8. Februar 2009 gelte. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 7. Dezember 2009, die mit Eingabe vom 11. Januar 2010 innert Frist ergänzt wurde, beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, es sei der Schiedsspruch des TAS vom 25. November 2009 aufzuheben und die Sache sei zu neuer Beurteilung an das Schiedsgericht zurückzuweisen. Sie stellt zudem die folgenden verfahrensleitenden Anträge: "A. Es sei die Vorinstanz zu verpflichten offenzulegen, inwiefern ihr Generalsekretär oder Dritte auf das Zustandekommen des angefochtenen Urteils eingewirkt haben. Insbesondere sei offenzulegen, wie das angefochtene Urteil nach dem Antrag der Beschwerdeführerin auf Wiedereröffnung des Verfahrens verändert wurde und wie diese Änderungen zustande gekommen sind. B. Es sei der Beschwerdeführerin die Gelegenheit einzuräumen, zu allfälligen Eingaben und Beschwerdeantworten der Beschwerdegegnerinnen sowie zu einer allfälligen Vernehmlassung des Schiedsgerichts Stellung nehmen zu können. Sollte das Bundesgericht der Beschwerdeführerin von sich aus durch Fristansetzung kein Recht zur Stellungnahme einräumen, behält die Beschwerdeführerin sich vor, zu jeweiligen Eingaben der Beschwerdegegner jeweils innert 15 Tagen Stellung zu nehmen. C. Es seien die vollständigen Akten des Schiedsgerichts beizuziehen. D. Es sei eine öffentliche Verhandlung durchzuführen. E. Die Beschwerdegegnerin 1 sei zu verpflichten, die vollständigen Resultate der am 10.-12. Dezember 2009 anlässlich der Weltcuprennen in Salt Lake City vorgenommenen Dopingtests sowie die Protokolle der verwendeten Messmaschinen herauszugeben." Im Weiteren beantragt sie die Gewährung der aufschiebenden Wirkung sowie die Anordnung verschiedener superprovisorischer bzw. provisorischer Massnahmen. Die Akten des Schiedsverfahrens wurden beigezogen. Aufgrund der von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Dringlichkeit im Hinblick auf die Olympischen Spiele wurden zur Beschwerdebegründung keine Vernehmlassungen eingeholt. Mit Schreiben vom 16. Dezember 2009 nahm das Bundesgericht vom Verzicht der DESG Vermerk, sich aktiv am Verfahren zu beteiligen. D. Mit Verfügung vom 7. Dezember 2009 ordnete das Bundesgericht an, dass die Beschwerdeführerin am 11.-13. Dezember 2009 an den in Salt Lake City stattfindenden 3'000 Meter Eisschnelllauf-Weltcuprennen teilnehmen dürfe. Mit Verfügung vom 10. Dezember 2009 ergänzte es diese Anordnung dahingehend, dass die Beschwerdeführerin auch am Training teilnehmen dürfe, soweit dieses als Vorbereitung auf das 3'000 Meter Weltcuprennen diene. Mit Verfügung vom 11. Dezember 2009 wies das Bundesgericht das Gesuch der Beschwerdeführerin ab, es sei superprovisorisch anzuordnen, dass sie in Salt Lake City auch für das Training und den Wettkampf in der Disziplin 1'500 Meter zuzulassen sei, sofern sie sich über 3'000 Meter nicht unter die ersten acht Läuferinnen klassiere. Am 22. Dezember 2009 wies das Bundesgericht das Gesuch um Erlass weiterer superprovisorischer Massnahmen ab. Ein weiterer verfahrensleitender Antrag bezüglich der beantragten vorsorglichen Massnahmen der Beschwerdeführerin wurde mit Verfügung vom 30. Dezember 2009 abgewiesen. Mit Verfügung vom 26. Januar 2010 wies das Bundesgericht das Gesuch um aufschiebende Wirkung und die Gesuche vom 17. Dezember 2009 und 11. Januar 2010 um superprovisorische Anordnung vorsorglicher Massnahmen ab. 