Sachverhalt: A. Bei der Stiftung Schweizer Freunde der SOS-Kinderdörfer, Köniz, handelt es sich um eine Stiftung im Sinne von Art. 80 ff. ZGB, welche am 28. Juni 2006 ins Handelsregister des Kantons Bern eingetragen wurde. Sie bezweckt die Förderung und Unterstützung der Ziele sowie der Grundsätze des Verbandes SOS-Kinderdörfer International. Ihre Zielsetzung besteht insbesondere in der Unterstützung von elternlosen und verlassenen Kindern aller Rassen, Kulturen und Religionen. Die Stiftung ist Rechtsnachfolgerin des Vereins mit gleichem Namen. Dieser war vom 1. Januar 1995 bis zum 31. Dezember 2006 im Register für Mehrwertsteuerpflichtige eingetragen. B. B.a Das Münzsammlungsprogramm der SOS Kinderdörfer Am 11. Juni 1998 schloss der damalige Verein Schweizer Freunde der SOS-Kinderdörfer mit der Swissair (Swissair Transport Co. Ltd., 8058 Zürich-Airport) einen Zusammenarbeitsvertrag ab, mit dem sich die Swissair verpflichtete, die Ziele der SOS-Kinderdörfer zu fördern und zu unterstützen. Dies sollte vor allem in finanzieller Hinsicht, z.B. durch gemeinsame Münz-Sammelprojekte, sowie mit zusätzlichen Anstrengungen und Projekten, wie Promotionsveranstaltungen und Mailings erfolgen. Ein analoger Vertrag wurde am 30. Juli 2002 mit der Nachfolgegesellschaft der Swissair, d.h. mit der Swiss (International Air Lines Ltd.), abgeschlossen. Die Swissair/Swiss (im Folgenden nur noch: "Swiss") hatte sich verpflichtet, das von den Passagieren an Bord der Flugzeuge mit speziell gekennzeichneten Sammeltäschchen oder an den beiden Flughäfen Kloten und Basel gesammelte Münzgeld an den Verein Schweizer Freunde der SOS-Kinderdörfer abzuliefern. Das so gesammelte Geld wurde anschliessend sortiert, gezählt und soweit nötig in Schweizer Währung umgerechnet und nach Abzug von administrativen und Kampagnekosten weitergeleitet. Im Gegenzug hatte sich der Verein Schweizer Freunde der SOS-Kinderdörfer bereit erklärt, das Logo und den Namen für Werbezwecke zur Verfügung zu stellen. B.b Die Aktion "Gutes Tun ist leicht, wenn viele helfen" Neben Aktivitäten in den Flugzeugen und auf den Flughäfen führten die Mitarbeitenden der SAir-Group im Jahre 2001 eine Spendenaktion durch, die ausserhalb der Arbeitszeit auf privater Basis statt fand. Der dabei gesammelte Betrag von Fr. 936'678.45 wurde durch die SAir Group auf Fr. 2 Mio. erhöht und anlässlich einer Gala-Veranstaltung dem Verein übergeben. B.c Die Punkteaktion "COOP Supercard" Ähnlich wie die Swiss bot auch die COOP (Basel) ihren Kunden die Möglichkeit, zugunsten der SOS-Kinderdörfer mit Spenden aktiv zu werden. Dies geschah dadurch, dass die Kunden auf ihre Rückvergütungen verzichteten, die ihnen aufgrund von gesammelten Punktegutschriften zustanden. Der für je 10'000 Superpunkte dem Kunden zustehende Betrag von Fr. 90.-- wurde dann dem Verein gutgeschrieben. C. Mit Schreiben vom 22. April 2003 ersuchte der Verein Schweizer Freunde der SOS-Kinderdörfer um Streichung aus dem Mehrwertsteuerregister, was Abklärungen der Eidgenössischen Steuerverwaltung zur Folge hatte. Diese führten dazu, dass die Verwaltung die Steuerpflicht des Vereins aufgrund von Sponsoringleistungen (vorne B.a - B.c) bejahte und ihm mit zwei Ergänzungsabrechnungen (für den Zeitraum vom 4. Quartal 1999 bis zum 4. Quartal 2000) Fr. 40'425.-- zuzüglich Verzugszins (Nr. 07680294), und (für den Zeitraum vom 1. Quartal 2001 bis zum 2. Quartal 2003) Fr. 182'260.-- (Nr. 07680295) zuzüglich Verzugszins in Rechnung stellte. Die beiden Ergänzungsabrechnungen wurden mit zwei förmlichen Entscheiden vom 12. Februar 2004 bestätigt. Die dagegen erhobenen Einsprachen vom 10. März 2004 wurden samt Ergänzung vom 8. November 2004 mit zwei Einspracheentscheiden (beide datierend vom 6. August 2007) abgewiesen, soweit die ihnen zugrunde liegenden Verfügungen nicht in Rechtskraft erwachsen waren. D. Gegen diese beiden Einspracheentscheide wehrte sich die Stiftung Schweizer Freunde der SOS-Kinderdörfer erfolglos beim Bundesverwaltungsgericht: Mit Urteil vom 28. Mai 2009 wies dieses die Beschwerde der Stiftung ab, nachdem es die Verfahren für die beiden angefochtenen Entscheide antragsgemäss vereinigt hatte. E. Mit Eingabe vom 6. Juli 2009 führt die Stiftung Schweizer Freunde der SOS-Kinderdörfer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, den Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 28. Mai 2009 aufzuheben und die geschuldete Mehrwertsteuer auf maximal Fr. 3'731.-- festzusetzen; eventuell sei die Sache zurückzuweisen "zur Festsetzung der geschuldeten Mehrwertsteuer durch die ESTV aufgrund des Marktwerts der von den SOS-Kinderdörfern erbrachten Leistungen". Die Eidgenössische Steuerverwaltung schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht hat auf Vernehmlassung verzichtet. 