Sachverhalt: A. A.a Im Eheschutzverfahren vor dem Eheschutzrichter des Bezirks Bülach schlossen X._ (Beschwerdeführer; geb. ***1967) und Y._ (Beschwerdegegnerin; geb. ***1967) am 9. Februar 2005 eine Vereinbarung ab. Demnach nahmen sie per 1. März 2005 auf unbestimmte Dauer das Getrenntleben auf. Der Sohn, Z._ (geb. ***1996), wurde unter die Obhut der Mutter gestellt. Das eheliche Einfamilienhaus wurde der Beschwerdegegnerin zur alleinigen Benützung zugewiesen. Der Beschwerdeführer verpflichtete sich, der Beschwerdegegnerin monatliche Unterhaltsbeiträge von insgesamt Fr. 9'200.-- zu bezahlen, nämlich Fr. 8'200.-- für sie persönlich und Fr. 1'000.-- für Z._. Schliesslich vereinbarten die Parteien (neben weiteren Regelungen), dass der Beschwerdeführer die Kosten für den Hypothekarzins des Einfamilienhauses vom Unterhaltsbeitrag in Abzug bringen dürfe, soweit er dafür aufkomme. Diese Vereinbarung basierte auf einem monatlichen Nettoeinkommen des als Informatiker selbständigerwerbenden Beschwerdeführers von Fr. 17'000.--. A.b Am 28. Juni 2005 reichte der Beschwerdeführer beim Eheschutzrichter des Bezirks Bülach ein Abänderungsbegehren ein, insbesondere weil seine bisherige faktisch einzige Auftraggeberin das Auftragsverhältnis mit Wirkung per 30. Juni 2005 aufheben wolle und er wesentlich weniger verdienen werde und auch bereits in den ersten vier Monaten 2005 weniger verdient habe als das Einkommen, das Basis der Unterhaltsbeiträge sei. Mit Verfügungen vom 17. November 2006 gewährte der Eheschutzrichter der Beschwerdegegnerin die unentgeltliche Rechtspflege, wies das Begehren des Beschwerdeführers auf Umteilung der Obhut über Z._ ab, verpflichtete den Beschwerdeführer in teilweiser Abänderung der Vereinbarung vom 9. Februar 2005, der Beschwerdegegnerin folgende monatliche Unterhaltsbeiträge zu bezahlen: vom 1. Juli bis 31. Dezember 2005 Fr. 3'610.--, nämlich Fr. 1'200.-- für Z._ und Fr. 2'410.-- für die Beschwerdegegnerin persönlich, und ab 1. Januar 2006 Fr. 3'880.-- für beide Unterhaltsberechtigten zusammen. B. Gegen diese Verfügung erhob der Beschwerdeführer Rekurs und die Beschwerdegegnerin Anschlussrekurs beim Obergericht des Kantons Zürich. Mit Beschluss vom 23. Juli 2007 verpflichtete das Obergericht (I. Zivilkammer) den Beschwerdeführer in Abänderung der eheschutzrichterlichen Verfügung vom 9. Februar 2005 zur Leistung von monatlichen Unterhaltsbeiträgen von Fr. 6'825.-- vom 1. Juli bis 31. Dezember 2005, von Fr. 6'345.-- vom 1. Januar bis 30. April 2006, von Fr. 5'810.-- vom 1. Mai 2006 bis 28. Februar 2007 und von Fr. 5'420.-- ab 1. März 2007 für die Beschwerdegegnerin persönlich sowie jeweils zuzüglich Fr. 1'200.-- für den Sohn Z._. C. Die vom Beschwerdeführer beim Kassationsgericht des Kantons Zürich eingereichte Nichtigkeitsbeschwerde blieb ohne Erfolg. Mit Zirkulationsbeschluss vom 30. Juni 2008 wurde das Rechtsmittel abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden konnte. D. Gegen den Entscheid des Kassationsgerichts hat der Beschwerdeführer am 5. August 2008 beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen eingereicht. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei insoweit aufzuheben, als die Unterhaltsbeiträge ab dem 1. Januar 2006 betroffen seien. Gleichzeitig sei der Beschwerdeführer zu verpflichten, der Beschwerdegegnerin in Abänderung von Ziff. 4 der Verfügung des Einzelrichters des Bezirksgerichts Bülach vom 9. Februar 2005 mit Wirkung ab 1. Januar 2006 einen Unterhaltsbeitrag von insgesamt Fr. 3'485.--, nämlich Fr. 2'485.-- für diese persönlich und Fr. 1'000.-- für den Sohn Z._ zu bezahlen, zuzüglich allfällige vertragliche oder gesetzliche Kinderzulagen. Sofern und soweit der Beschwerdeführer für den Hypothekarzins (exkl. Amortisation) des Einfamilienhauses aufkomme, seien die Unterhaltsbeiträge als getilgt zu betrachten. Er beantragt ferner, eventualiter sei der Entscheid der Vorinstanz zu kassieren und zu neuer Beurteilung an das Obergericht des Kantons Zürich, subeventualiter an das Bezirksgericht Bülach zurückzuweisen. Ferner ersucht der Beschwerdeführer um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit Verfügung des Präsidenten der II. zivilrechtlichen Abteilung vom 7. August 2008 wurde das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt. 