Sachverhalt: A. Die im Kanton Schwyz wohnhafte T._ (geb. 1935) leidet seit einem im Jahre 1977 erlittenen Unfall an sensomotorisch inkompletter Tetraplegie. Zur Behandlung verschiedener Komplikationen hielt sie sich vom 28. August bis 23. September 2006 im Schweizerischen Paraplegikerzentrum Nottwil (nachfolgend: SPZ) auf, welches nicht auf der Spitalliste des Kantons Schwyz figuriert. Das von ihr vorgängig, am 21. Juni 2006 gestellte Gesuch um Kostengutsprache lehnte die Swica Krankenversicherung insofern ab, als sie nur den für die Klinik Balgrist geltenden Tarif (Fr. 430.- pro Tag) anzuerkennen bereit war. Das SPZ wehrte sich erfolglos gegen die Tariffestsetzung; die Swica hielt an ihrem Standpunkt fest. Da auch im Verlaufe der weiteren Korrespondenz keine Einigung erzielt werden konnte, rief das SPZ gemäss dem von ihm mit santésuisse, Die Schweizer Krankenversicherer, geschlossenen Vertrag die Paritätische Vertrauenskommission an. Diese erklärte sich am 30. August 2007 als nicht zuständig für einen die Spitalliste des Kantons Schwyz betreffenden Entscheid; indessen bejahte sie die vertragliche Indikation für die Hospitalisation im SPZ. B. Am 26. September 2007 reichte das SPZ Klage ein mit dem Rechtsbegehren, die Swica sei zu verpflichten, ihm für die Hospitalisation der T._ vom 28. August bis 23. September 2006 den Betrag von Fr. 35'910.- (27 Tage à Fr. 1'330.-) nebst Zins zu 5 % seit 1. November 2006 zu bezahlen; alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen. Mit Entscheid vom 18. Juni 2010 hiess das Schiedsgericht gemäss Art. 89 KVG des Kantons Luzern die Klage insofern gut, als es die Swica verpflichtete, der Schweizer Paraplegiker-Zentrum Nottwil AG für den Aufenthalt der T._ vom 28. August bis 23. September 2006 den Tarif von Fr. 1'330.- pro Tag zu vergüten. Die Gerichtskosten wurden der Swica auferlegt. Eine Parteientschädigung wurde nicht zugesprochen. C. Die Swica erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der schiedsgerichtliche Entscheid sei aufzuheben, unter Kostenfolgen zulasten der Beschwerdegegnerin. Die Schweizer Paraplegiker-Zentrum Nottwil AG schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. 