Sachverhalt: A. A.a. Der 1947 geborene P._ arbeitete bei der Firma X._, und war bei der AXA Versicherungen AG (nachfolgend AXA), obligatorisch unfallversichert. Am 8. Dezember 2007 wurde er von einer Person in die rechte Hand gebissen. Gleichentags wurde die Wunde genäht; am 10. Dezember 2007 erfolgte eine operative Abszessexzision und Wundrevision. Zusätzlich zu den Handbeschwerden rechts beklagte der Versicherte Schulterschmerzen rechts, die er auf einen Sturz am ersten postoperativen Tag zurückführte. Die AXA erbrachte Heilbehandlung und Taggeld. Sie holte diverse Arztberichte und ein interdisziplinäres (orthopädisches und schmerzmedizinisches/psychosomatisches) Gutachten der Klinik Y._, vom 23. Oktober 2009 ein. Am 1. Februar 2010 verfügte sie die Leistungseinstellung per 30. April 2009, da die geklagten Handbeschwerden rechts nicht mehr und die Schulterbeschwerden rechts nur möglicherweise unfallbedingt seien. Die Einsprache des Versicherten wies sie mit Entscheid vom 15. September 2010 ab. A.b. Der Versicherte erhob Beschwerde beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich. Er legte unter anderem ein Gutachten des Dr. med. A._, Facharzt FMH für Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, Facharzt für Handchirurgie und Chirurgie der peripheren Nerven, vom 1. November 2010 auf. Die Vorinstanz hiess die Beschwerde, soweit sie darauf eintrat, in dem Sinne gut, dass sie den Einspracheentscheid aufhob und die AXA verpflichtete, für die Folgen des Unfalls vom 8. Dezember 2007 über den 30. April 2009 hinaus die gesetzlichen Leistungen zu erbringen (Entscheid vom 30. Januar 2012). A.c. Die hiegegen von der AXA geführte Beschwerde hiess das Bundesgericht teilweise gut. Es hob den kantonalen Entscheid auf und wies die Sache an die Vorinstanz zurück, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid der AXA neu entscheide. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab. Es erwog, der Vorinstanz sei insofern beizupflichten, als aufgrund der Ausführungen des Dr. med. A._ nicht ohne Weiteres gesagt werden könne, das unfallbedingte komplexe regionale Schmerzsyndrom (CRPS) I bis 30. April 2009 vollumfänglich ausgeheilt. Indessen sei die Sache angesichts der widersprüchlichen Aktenlage an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie eine Stellungnahme der Klinik Y._ zum Gutachten des Dr. med. A._ vom 1. November 2010 einhole. Erforderlichenfalls habe sie eine weitere medizinische Begutachtung anzuordnen. Danach habe sie über die Beschwerde betreffend die Handproblematik rechts neu zu entscheiden (Urteil 8C_232/2012 vom 27. September 2012). B. In der Folge reichte der Versicherte vorinstanzlich Fotos seiner Finger ein. Die Vorinstanz holte eine Stellungnahme der Klinik Y._ vom 20. November 2012 zum Gutachten des Dr. med. A._ vom 1. November 2010 ein. Hierzu liess sich der Versicherte am 3. Januar 2013 vernehmen, wobei er eine Stellungnahme des Dr. med. A._ vom 17. Dezember 2012 auflegte. Die AXA nahm am 21. Januar 2013 Stellung. Mit Entscheid vom 22. Mai 2013 hiess die Vorinstanz die Beschwerde teilweise gut und änderte den Einspracheentscheid der AXA dahingehend ab, als sie diese verpflichtete, für die Folgen des Unfalls vom 8. Dezember 2007 bezüglich der Beschwerden an der rechten Hand über den 30. April 2009 hinaus die gesetzlichen Leistungen zu erbringen. C. Mit Beschwerde beantragt die AXA die Aufhebung des kantonalen Entscheides; es sei zu erkennen, dass im Zeitpunkt der Leistungseinstellung per 30 April 2009 keine Leistungspflicht mehr bestanden habe; eventuell sei die Sache für weitere medizinische Abklärungen betreffend die Folgen des Unfalls vom 8. Dezember 2007 an die Vorinstanz oder an die AXA zurückzuweisen; der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Der Versicherte schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. Mit Verfügung vom 10. September 2013 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. 