Sachverhalt: A. Die 1963 geborene A._ meldete sich im April 2010 wegen eines Migräneleidens bei der IV-Stelle Luzern zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 31. August 2010 verneinte die Verwaltung einen Leistungsanspruch. Eine von A._ dagegen erhobene Beschwerde hiess das damalige Verwaltungsgericht des Kantons Luzern in dem Sinne gut, dass es die angefochtene Verfügung aufhob und die Sache zur weiteren Abklärung, insbesondere zur Durchführung einer psychiatrischen Begutachtung und anschliessender Neubeurteilung an die IV-Stelle zurückwies (Entscheid vom 14. Juli 2011). Die IV-Stelle nahm ein vom Krankentaggeldversicherer in Auftrag gegebenes psychiatrisches Gutachten zu den Akten. In einem ersten Vorbescheid vom 2. September 2011 stellte sie die Zusprechung einer Viertelsrente in Aussicht, in einem weiteren vom 1. November 2011 die Zusprechung einer halben Rente ab 1. September 2010, einer ganzen vom 1. Dezember 2010 bis 31. März 2011 und einer Viertelsrente ab 1. April 2011. Im Sinne des zweiten Vorbescheids verfügte die IV-Stelle am 10. Januar 2012. B. B.a. Beschwerdeweise liess A._ beantragen, die Verfügung vom 10. Januar 2012 sei insoweit aufzuheben, als die ihr ab 1. Dezember 2010 gewährte ganze Rente mit Wirkung ab 1. April 2011 auf eine Viertelsrente reduziert worden sei; unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten der IV-Stelle. Die Verwaltung stellte das Rechtsbegehren, die angefochtene Verfügung sei dahingehend abzuändern, dass der Versicherten im massgebenden Zeitraum überhaupt keine Rente zustehe. Replicando hielt die Versicherte an den gestellten Anträgen fest; eventualiter beantragte sie die Einholung eines Gerichtsgutachtens bei der Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS). Duplicando hielt auch die IV-Stelle an ihrem Rechtsbegehren fest. B.b. Das Kantonsgericht Luzern ordnete eine bidisziplinäre (neurologische und psychiatrische) Begutachtung durch die MEDAS an. Ein von der Versicherten gegen den vorgeschlagenen psychiatrischen Experten gestelltes Ausstandsbegehren wies es mit Verfügung vom 23. Januar 2013 ab. Die MEDAS erstattete ihr Gutachten am 12. Juni 2013. Die Parteien erhielten Gelegenheit, dazu Stellung zu nehmen, wovon sie Gebrauch machten. B.c. Am 12. Dezember 2013 kündigte das Kantonsgericht A._ eine mögliche Schlechterstellung (reformatio in peius) an und räumte ihr Gelegenheit zur Stellungnahme sowie zum Rückzug der Beschwerde ein. In ihrem Schreiben vom 27. Januar 2014 hielt A._ an der Beschwerde fest. B.d. Mit Entscheid vom 10. Februar 2014 wies das Kantonsgericht Luzern die Beschwerde ab. Es änderte die Verfügung vom 10. Januar 2012 dahingehend ab, dass A._ ab 1. Oktober 2010 Anspruch auf eine Viertelsrente der Invalidenversicherung hat. Des Weitern überband es A._ die Gerichts- und der IV-Stelle die Beweiskosten. C. A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und das Rechtsbegehren stellen, die Verfügung vom 10. Januar 2012 und der kantonale Entscheid vom 10. Februar 2014 seien aufzuheben. Die IV-Stelle habe ihr ab 1. Oktober 2010 eine halbe Rente auszurichten. 