Sachverhalt: Sachverhalt: A. A.a Mit Urteilen des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen vom 19. November 2004, des Bundesgerichts vom 11. August 2005, des Obergerichts des Kantons Bern vom 10. Oktober 2005 und des Bundesgerichts vom 14. Februar 2006 wurden Y._ (Beschwerdeführer) und X._ (Beschwerdeführerin) solidarisch zu Parteientschädigungen zu Gunsten von Z._ von insgesamt Fr. 48'218.65 verurteilt. A.b Z._ leitete gegen die Beschwerdeführer zwei separate Betreibungen ein. In der den Beschwerdeführer betreffenden Betreibung Nr. xxxx des Betreibungsamtes Bern-Mittelland wurde der Gläubigerin definitive Rechtsöffnung gewährt. Beide Beschwerdeführer hatten den erstinstanzlichen, allein den Beschwerdeführer betreffenden Entscheid beim Appellationshof und dessen Entscheid beim Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen angefochten. Das Verfahren ist durch Urteil des Bundesgerichts vom 3. September 2007 abgeschlossen worden (5A_194/2007). A.c Gegen den entsprechenden Zahlungsbefehl in der die Beschwerdeführerin betreffenden Betreibung Nr. yyyy des Betreibungsamtes Bern-Mittelland, Dienststelle Bern, erhob diese Rechtsvorschlag. Am 13. Juli 2006 ersuchte Z._ (Gläubigerin und Beschwerdegegnerin) den Präsidenten des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen um definitive Rechtsöffnung in der genannten Betreibung. Mit Verfügung vom 8. August 2006 setzte der Gerichtspräsident 4 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen der Beschwerdeführerin Frist bis zum 23. August 2006 zur Stellungnahme zum Rechtsöffnungsgesuch. Noch vor dem Entscheid in der Rechtsöffnungssache (Verfahren Z 06 4031) rügte der Beschwerdeführer Fehler der Verfügung des Gerichtspräsidenten vom 8. August 2006 und beantragte dessen Ausstand sowie jenen der Gerichtsschreiberinnen. Der Appellationshof des Obergerichts des Kantons Bern wies das Ausstandsgesuch mit Entscheid vom 27. Oktober 2006 ab, soweit er darauf eintrat (APH 06 448). Am 16. November 2006 erstreckte der Gerichtspräsident 4 der Beschwerdeführerin die Frist zur Vernehmlassung letztmals um 14 Tage, welcher Fristansetzung sie keine Folge leistete. Am 11. Dezember 2006 stellte der Beschwerdeführer diverse Verfahrensanträge und verwies auf die angeblich nicht korrekt in Gang gesetzte Vernehmlassungsfrist. Mit Verfügung vom 5. Januar 2007 räumte der Gerichtspräsident der Beschwerdeführerin die Möglichkeit ein, zu den von der Gegenseite nachgereichten Dokumenten Stellung zu nehmen. Am 22. Januar 2007 ersuchte der Beschwerdeführer um Erstreckung dieser Frist. Diese Eingabe wurde wegen fehlender Befugnis zur Prozessvertretung aus den Akten gewiesen. Mit Entscheid vom 31. Januar 2007 erteilte der Gerichtspräsident 4 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen der Beschwerdegegnerin definitive Rechtsöffnung für den vorgenannten Betrag nebst Zins zu 5 % seit dem 1. April 2006. A.c Gegen den entsprechenden Zahlungsbefehl in der die Beschwerdeführerin betreffenden Betreibung Nr. yyyy des Betreibungsamtes Bern-Mittelland, Dienststelle Bern, erhob diese Rechtsvorschlag. Am 13. Juli 2006 ersuchte Z._ (Gläubigerin und Beschwerdegegnerin) den Präsidenten des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen um definitive Rechtsöffnung in der genannten Betreibung. Mit Verfügung vom 8. August 2006 setzte der Gerichtspräsident 4 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen der Beschwerdeführerin Frist bis zum 23. August 2006 zur Stellungnahme zum Rechtsöffnungsgesuch. Noch vor dem Entscheid in der Rechtsöffnungssache (Verfahren Z 06 4031) rügte der Beschwerdeführer Fehler der Verfügung des Gerichtspräsidenten vom 8. August 2006 und beantragte dessen Ausstand sowie jenen der Gerichtsschreiberinnen. Der Appellationshof des Obergerichts des Kantons Bern wies das Ausstandsgesuch mit Entscheid vom 27. Oktober 2006 ab, soweit er darauf eintrat (APH 06 448). Am 16. November 2006 erstreckte der Gerichtspräsident 4 der Beschwerdeführerin die Frist zur Vernehmlassung letztmals um 14 Tage, welcher Fristansetzung sie keine Folge leistete. Am 11. Dezember 2006 stellte der Beschwerdeführer diverse Verfahrensanträge und verwies auf die angeblich nicht korrekt in Gang gesetzte Vernehmlassungsfrist. Mit Verfügung vom 5. Januar 2007 räumte der Gerichtspräsident der Beschwerdeführerin die Möglichkeit ein, zu den von der Gegenseite nachgereichten Dokumenten Stellung zu nehmen. Am 22. Januar 2007 ersuchte der Beschwerdeführer um Erstreckung dieser Frist. Diese Eingabe wurde wegen fehlender Befugnis zur Prozessvertretung aus den Akten gewiesen. Mit Entscheid vom 31. Januar 2007 erteilte der Gerichtspräsident 4 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen der Beschwerdegegnerin definitive Rechtsöffnung für den vorgenannten Betrag nebst Zins zu 5 % seit dem 1. April 2006. B. B.a Gegen den erstinstanzlichen Entscheid appellierten die Beschwerdeführer am 26. Februar 2007 mit den Begehren, den angefochtenen Entscheid aufzuheben, die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, eventuell das Rechtsöffnungsgesuch abzuweisen (APH 07 107). B.b In diesem Verfahren ersuchten die Beschwerdeführer am 8. März 2007 um Ablehnung verschiedener Oberrichterinnen und Oberrichter der II. Zivilabteilung des Appellationshofs sowie verschiedener Kammerschreiberinnen und Kammerschreiber (OG 07 58). Das Obergericht des Kantons Bern trat am 14. Juni 2007 auf das Ablehnungsgesuch nicht ein. Auf die gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde in Zivilsachen trat die I. zivilrechtliche Abteilung des Bundesgerichts mit Urteil vom 26. September 2007 nicht ein (4A_311/2007). B.c Noch bevor das vorgenannte Urteil des Bundesgerichts ergangen war, erteilte der Appellationshof der Beschwerdegegnerin mit Entscheid vom 10. Juli 2007 (APH 07 107) in der erwähnten Betreibung definitive Rechtsöffnung für den in Betreibung gesetzten Betrag nebst Zins zu 5 % seit dem 1. April 2006. B.c Noch bevor das vorgenannte Urteil des Bundesgerichts ergangen war, erteilte der Appellationshof der Beschwerdegegnerin mit Entscheid vom 10. Juli 2007 (APH 07 107) in der erwähnten Betreibung definitive Rechtsöffnung für den in Betreibung gesetzten Betrag nebst Zins zu 5 % seit dem 1. April 2006. C. Die Beschwerdeführer gelangen mit Beschwerde an das Bundesgericht mit dem Antrag, den Entscheid des Appellationshofs vom 10. Juli 2007 (APH 07 107) aufzuheben. Ferner ersuchen sie um aufschiebende Wirkung. In der Sache ist keine Vernehmlassung eingeholt worden. C. Die Beschwerdeführer gelangen mit Beschwerde an das Bundesgericht mit dem Antrag, den Entscheid des Appellationshofs vom 10. Juli 2007 (APH 07 107) aufzuheben. Ferner ersuchen sie um aufschiebende Wirkung. In der Sache ist keine Vernehmlassung eingeholt worden. D. Mit Verfügung vom 25. Oktober 2007 trat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts auf das Gesuch um aufschiebende Wirkung des Beschwerdeführers nicht ein; demgegenüber entsprach er dem Gesuch der Beschwerdeführerin. Das Betreibungsamt Bern-Mittelland, Dienststelle Bern, wurde angewiesen, einem allfälligen Verwertungsbegehren der Gläubigerin in der Betreibung Nr. yyyy bis auf weiteres keine Folge zu geben. D. Mit Verfügung vom 25. Oktober 2007 trat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts auf das Gesuch um aufschiebende Wirkung des Beschwerdeführers nicht ein; demgegenüber entsprach er dem Gesuch der Beschwerdeführerin. Das Betreibungsamt Bern-Mittelland, Dienststelle Bern, wurde angewiesen, einem allfälligen Verwertungsbegehren der Gläubigerin in der Betreibung Nr. yyyy bis auf weiteres keine Folge zu geben. E. Die Beschwerdeführer haben am 22. November 2007 um Stellungnahme zur Vernehmlassung der Beschwerdegegnerin zu den Begehren um aufschiebende Wirkung ersucht. Diese Vernehmlassung ist ihnen am 6. Dezember 2007 zur Kenntnisnahme zugestellt worden. Mit Eingabe vom 7. Dezember 2007 verlangten die Beschwerdeführer die Ansetzung einer Frist zur Stellungnahme zur Vernehmlassung. 