Sachverhalt: A. Der 1954 geborene, zuletzt als Schaler tätig gewesene J._ meldete sich im September 2003 unter Hinweis auf Rückenschmerzen und eine Depression nach dem Tod seines Sohnes bei der Invalidenversicherung an und machte Berufsberatung geltend. Die IV-Stelle Uri klärte die erwerblichen und medizinischen Verhältnisse ab und sprach dem Versicherten mit Verfügung vom 19. August 2004 Berufsberatung zu. Zudem zog sie das Gutachten des Abklärungszentrums X._ vom 22. September 2004 bei. Vom 3. bis 28. Januar 2005 liess sie den Versicherten durch die BEFAS berufspraktisch abklären. Am 27. Mai 2005 verfügte sie die Übernahme der Kosten eines Arbeitstrainings in der Stiftung Y._ für die Zeit vom 17. Mai 2005 bis 16. August 2005. Daraufhin veranlasste sie ein interdisziplinäres Gutachten am Institut F._, welches am 11./24. August 2006 erging. Mit Vorbescheid vom 9. Oktober 2006 teilte die IV-Stelle dem Versicherten die Ablehnung von beruflichen Massnahmen und einer Invalidenrente mit. Dies bestätigte sie mit Verfügung vom 4. Dezember 2006. B. Beschwerdeweise liess J._ beantragen, es seien sämtliche Verfahrensakten zu edieren, eine umfassende psychiatrisch-medizinische Abklärung in Bezug auf den psychisch-sozialen Zustand und dessen Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit durchzuführen und ihm die unentgeltliche Verbeiständung zu bewilligen. Weiter liess er geltend machen, die Verfügung der IV-Stelle vom 4. Dezember 2006 sei aufzuheben, und es sei ihm mindestens eine halbe Invalidenrente zuzusprechen. Das Obergericht des Kantons Uri hiess die Beschwerde mit Entscheid vom 11. Januar 2008 in dem Sinne gut, dass es die Verfügung vom 4. Dezember 2006 aufhob und die Sache an die IV-Stelle zurückwies, damit diese im Sinne der Erwägungen verfahre und neu verfüge. C. Die IV-Stelle erhebt Beschwerde mit dem Antrag, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben, und es sei die Sache an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit dieses über die Beschwerde des Versicherten materiell entscheide. J._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Zudem lässt er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersuchen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. 