Sachverhalt: A. Der serbische Staatsangehörige A.A._ wurde 1977 in Österreich geboren. In den Jahren 2002 bis 2008 wurde er dort mehrfach und in erheblichem Ausmass straffällig: - Am 23. Mai 2002 wurde er wegen fahrlässiger Körperverletzung zu einer Geldstrafe von 40 Tagessätzen verurteilt; - Am 20. bzw. am 26. April 2005 wurden gegen ihn zwei Geldstrafen in Höhe von 50 Tagessätzen resp. von 60 Tagessätzen ausgesprochen, jeweils wegen Betrugs; - Am 13. Juni 2008 wurde er wegen Suchtgifthandels zu einer Freiheitsstrafe von 3 1 /2 Jahren verurteilt. Am 27. März 2010 wurde er bedingt aus dem Strafvollzug entlassen. B. Am 2. Januar 2011 reiste er in die Schweiz ein und heiratete die hier niederlassungsberechtigte Landsfrau B.A._, welche auch im Besitze der deutschen Staatsangehörigkeit ist. Sein Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung zwecks Verbleib bei der Ehefrau wurde indes mit Verfügung des Migrationsdienstes des Kantons Bern vom 19. Dezember 2011 abgewiesen. Die hiergegen von den Ehegatten A._ erhobenen kantonalen Rechtsmittel wurden von der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern (Beschwerdeentscheid vom 22. Oktober 2013) sowie vom Verwaltungsgericht des Kantons Bern (Urteil vom 13. Januar 2014) abgewiesen. C. Während des hängigen Beschwerdeverfahrens vor der Polizei- und Militärdirektion wurde A.A._ erneut straffällig: Von der Staatsanwaltschaft Bern-Mittelland wurde er am 17. April 2012 wegen grober Verletzung der Verkehrsregeln zu einer Geldstrafe von 120 Tagessätzen sowie zu einer Busse von Fr. 2'200.-- verurteilt. Dem Straferkenntnis lag zugrunde, dass A.A._ die signalisierte Höchstgeschwindigkeit nach Abzug der Messunsicherheit um 68 km/h überschritten hatte. Ebenfalls während des hängigen Rechtsmittelverfahrens im Kanton, am 26. Dezember 2012, wurde der gemeinsame Sohn des Ehepaars geboren. D. Mit Eingabe vom 20. Februar 2014 führen A.A._ und B.A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowie subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht. Sie beantragen im Wesentlichen, es sei das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 13. Januar 2014 aufzuheben und es sei A.A._ eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Das Bundesamt für Migration sowie die Polizei- und Militärdirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Bern schliessen auf Abweisung der Beschwerde. 