Sachverhalt: A. Der 1960 geborene G._ war ab Anfang 2001 als Produktionsmitarbeiter in der Firma X._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 30. März 2004 meldete die Arbeitgeberin der SUVA, G._ sei am 18. März 2004 von einem ca. 1.5 m hohen Podest gestürzt. Gemäss dem am 19. März 2004 erstatteteten Bericht des Spitals Y._, in welches der Versicherte notfallmässig eingeliefert worden war, zog er sich beim Sturz Kontusionen am Schädel (mit Oberlidhämatomen beidseits und Rissquetschwunde an der Stirn links), am Thorax (mit minimem dorsalem Pneumothorax links) und an der linken Schulter zu. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Mit Verfügung vom 14. Januar 2005 eröffnete sie dem Versicherten, der Fall werde abgeschlossen. Die Heilbehandlung werde per sofort und das Taggeld per 31. Januar 2005 eingestellt. Eine Invalidenrente und/ oder Integritätsentschädigung wurde nicht zugesprochen. Daran hielt der Versicherer mit Einspracheentscheid vom 28. Juni 2005 fest. Zur Begründung wurde ausgeführt, aus organischer Sicht liege keine Beeinträchtigung vor und die festgestellte psychische Problematik stehe nicht in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfall vom 18. März 2004. B. Die von G._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 15. November 2006 ab. C. G._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen und beantragen, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die SUVA zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen weiterhin zu erbringen sowie die Frage des Anspruchs auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung zu prüfen. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt. 