Sachverhalt: A. X._ fuhr am 14. Februar 2008 in seinem Personenwagen auf der Autostrasse A/4 Richtung Winterthur. Um ca. 18.10 Uhr kam es (nach einem Rückstau auf der Höhe des Anschlusses Benken/ZH) zu einer Serie von Auffahrunfällen, an denen er (neben drei anderen Fahrzeuglenkern) beteiligt war. Mit rechtskräftiger Strafverfügung vom 6. März 2008 büsste ihn das Statthalteramt Andelfingen deswegen (gestützt auf Art. 90 Ziff. 1 SVG) mit Fr. 300.--. Am 17. März 2009 entzog ihm das Strassenverkehrsamt des Kantons Glarus den Führerausweis (gestützt auf Art. 16b Abs. 1 lit. a SVG) für die Dauer eines Monats. Eine vom Lenker dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Glarus, I. Kammer, mit Urteil vom 10. Februar 2010 ab. B. Gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichtes gelangte X._ mit Beschwerde vom 15. März 2010 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides; eventualiter sei anstelle des verfügten Warnungsentzuges des Führerausweises eine Verwarnung auszusprechen. Das Verwaltungsgericht und das Bundesamt für Strassen beantragen mit Stellungnahmen vom 26. April bzw. 2. Juni 2010 je die Abweisung der Beschwerde, während das kantonale Strassenverkehrsamt auf eine Vernehmlassung verzichtet hat. Mit Verfügung vom 26. April 2010 bewilligte das Bundesgericht das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde. 