Sachverhalt: A. A.X._, geb. 1973, Staatsangehörige der Dominikanischen Republik, heiratete am 7. April 2000 den Schweizer Bürger B.X._, geb. 1952, woraufhin ihr die Aufenthaltsbewilligung im Kanton Thurgau erteilt wurde. Ihr aus einer früheren Beziehung stammender Sohn Z._, geb. 1995, ebenfalls Staatsangehöriger der Dominikanischen Republik, erhielt im November 2000 ebenfalls die Aufenthaltsbewilligung im Rahmen des Familiennachzugs. Nach ehelichen Auseinandersetzungen trennten sich die Eheleute X._ am 9. Mai 2001. Aufgrund einer Trennungsvereinbarung der Ehegatten schrieb das Bezirksgerichtspräsidium Münchwilen am 6. August 2001 ein Eheschutzverfahren ab. Am 11. Dezember 2001 wurde die gemeinsame Tochter C._ geboren, die über das Schweizer Bürgerrecht verfügt. Sie steht unter der elterlichen Obhut der Mutter. Am 28. Oktober 2002 errichtete die Vormundschaftsbehörde Frauenfeld über C._ eine Erziehungsbeistandschaft zur Unterstützung in der Erziehung und Betreuung des Kindes und zur Regelung des persönlichen Verkehrs mit dem Vater. Seit Juli 2001 wird A.X._ von der Sozialhilfe unterstützt. B. Die Aufenthaltsbewilligungen von A.X._ und ihrem Sohn Z._ wurden mehrmals verlängert, letztmals bis zum 6. Oktober 2005. Am 21. November 2006 lehnte das Migrationsamt des Kantons Thurgau eine weitere Verlängerung ab. Mit Entscheid vom 4. Dezember 2007 wies das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau einen dagegen erhobenen Rekurs ab. Am 9. April 2008 wies auch das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau eine bei ihr geführte Beschwerde in der Sache ab (Ziff. 1 des Urteilsdispositivs), hiess sie jedoch bezüglich der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege vor dem Departement gut (Ziff. 2 des Urteilsdispositivs) und bewilligte diese auch für das verwaltungsgerichtliche Verfahren (Ziff. 3 des Urteilsdispositivs). C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 14. Mai 2008 an das Bundesgericht beantragen A.X._ und Z._, Ziff. 1 des verwaltungsgerichtlichen Entscheiddispositivs aufzuheben und den Kanton Thurgau anzuweisen, ihnen die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern; eventuell sei das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Sache zwecks Befragung der Kinder Z._ und C._ sowie mit der Entwicklung der betroffenen Kinder betrauter Fachpersonen an die kantonale Verwaltung zurückzuweisen. Prozessual wird darum ersucht, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen und den Beschwerdeführern die unentgeltliche Rechtspflege sowie Verbeiständung zu bewilligen. Das Migrationsamt und das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau sowie das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. D. Mit Verfügung vom 21. Mai 2008 erteilte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung. E. Am 26. Juni 2008 reichte das Migrationsamt des Kantons Thurgau dem Bundesgericht nach Fristablauf einen Bericht der Vormundschaftsbehörde Frauenfeld vom 17. Juni 2008 ein. Mit Eingabe vom 26. August 2008 stellten die Beschwerdeführer dem Bundesgericht einen Vorbescheid der IV-Stelle des Kantons Thurgau vom 21. August 2008 zu. 