Faits: A. B._, née en 1964, est mère de deux enfants, nés respectivement en 1989 et 1991. Elle a travaillé à temps partiel du 1er décembre 2001 au 31 janvier 2004 en qualité d'employée de maison au service de la Fondation X._. C'est elle qui a résilié ses rapports de travail. Le 22 février 2005, elle a présenté une demande d'indemnités de chômage à partir de la même date. Elle a indiqué à cette occasion qu'elle avait dû cesser de travailler au début de l'année 2004 pour s'occuper de son fils L._, qui souffrait de dépression, mais dont l'état de santé s'était amélioré au début de l'année 2005. Elle a encore précisé qu'elle cherchait une activité à temps partiel (50 %). Par décision du 20 mai 2005, la Caisse cantonale vaudoise de chômage (ci-après : la caisse) a nié le droit à l'indemnité prétendue, au motif que la requérante, dans le délai-cadre de cotisation (22 février 2003 au 21 février 2005) ne justifiait que de onze mois et six jours d'activité soumise à cotisation. B._, par ailleurs, ne pouvait pas se prévaloir d'un motif de libération des conditions relatives à la période de cotisation. Le 8 novembre 2005, la caisse a rejeté une opposition formée par la prénommée contre cette décision. Elle a considéré que l'enfant L._ n'avait pas eu besoin d'une aide permanente de sa mère durant la période pendant laquelle celle-ci n'avait pas exercé d'activité salariée. B. B.a Saisi d'un recours, le Tribunal administratif du canton de Vaud a annulé la décision sur opposition du 8 novembre 2005 en raison d'une violation du droit d'être entendue de B._ (jugement du 16 octobre 2006). En effet, l'attestation médicale sur laquelle la caisse s'était fondée pour rendre sa décision sur opposition ne lui avait pas été communiquée. B.b A la suite de ce jugement, la caisse a rendu une nouvelle décision, du 19 février 2007, par laquelle elle a écarté l'opposition. Selon la caisse, l'enfant L._, qui avait suivi sa scolarité obligatoire malgré sa maladie, n'avait pas eu besoin d'une assistance permanente de sa mère. Celle-ci a derechef saisi le tribunal administratif, lequel a rejeté son recours par un nouveau jugement, du 12 décembre 2007. C. B._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dans lequel elle conclut à l'ouverture d'un délai-cadre d'indemnisation à partir du 22 février 2005. Elle sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire. La caisse et l'Office régional de placement Y._, entendu en qualité d'intéressé, s'en remettent à justice. Le Secrétariat d'Etat à l'économie (seco) ne s'est pas déterminé. 