Sachverhalt: Sachverhalt: A. X._, geb. ... 1958, Staatsangehöriger der Elfenbeinküste, hat aus zwei nicht ehelichen Beziehungen vier Kinder, nämlich - mit A._ die Tochter B._ (geb. 1985) und - mit C._ die Töchter D._ (geb. 1988) und E._ (geb. 1992) sowie den Sohn F._ (geb. 1990). Seine Kinder liess X._ im Jahre 1996 im Heimatland zurück. Er reiste illegal in die Schweiz ein, wo er verhaftet und wegen Verwendung eines falschen oder nicht ihm gehörenden Passes mit sieben Tagen Haft sowie Fr. 300.-- Busse bestraft wurde. Sein Asylgesuch sowie ein dagegen erhobener Rekurs wurden abgewiesen. X._ hätte daraufhin die Schweiz bis zum 15. Januar 1998 verlassen müssen. Aufgrund der am 27. März 1998 erfolgten Heirat mit der Schweizer Bürgerin G._ (geb. 1957) erhielt er die Aufenthaltsbewilligung. Seine Kinder liess X._ im Jahre 1996 im Heimatland zurück. Er reiste illegal in die Schweiz ein, wo er verhaftet und wegen Verwendung eines falschen oder nicht ihm gehörenden Passes mit sieben Tagen Haft sowie Fr. 300.-- Busse bestraft wurde. Sein Asylgesuch sowie ein dagegen erhobener Rekurs wurden abgewiesen. X._ hätte daraufhin die Schweiz bis zum 15. Januar 1998 verlassen müssen. Aufgrund der am 27. März 1998 erfolgten Heirat mit der Schweizer Bürgerin G._ (geb. 1957) erhielt er die Aufenthaltsbewilligung. B. Am 16. Juli 2001 stellte X._ das Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung für seine Kinder D._ und F._, die tags zuvor mit einem drei Monate gültigen Besuchervisum in die Schweiz eingereist waren. Er machte geltend, nach seinem Wegzug in die Schweiz seien die Kinder von seiner Mutter betreut worden. Seit einiger Zeit sei die Mutter aus gesundheitlichen Gründen jedoch nicht mehr in der Lage, diese Aufgabe wahrzunehmen, und sei auf die Mithilfe der Tochter B._ angewiesen. B._ selber werde nicht in die Schweiz kommen, da sie für eine schulische Integration zu alt sei. Hingegen sei er von der Familie aufgefordert worden, "vorerst zwei der Kinder (F._ und D._)" zu sich in die Schweiz kommen zu lassen. Da er jetzt hier lebe, könne er (zusammen mit seiner schweizerischen Ehefrau) die Betreuung der Kinder übernehmen. Mit Verfügung vom 21. Januar 2002 wies das Migrationsamt des Kantons Zürich das Gesuch ab. Inzwischen war das Besuchervisum der Kinder abgelaufen. F._ und D._ reisten jedoch nicht aus, sondern blieben bei ihrem Vater und dessen schweizerischer Ehefrau, wo sie auch heute noch wohnen. Der von X._ gegen die Verfügung des Migrationsamtes erhobene Rekurs an den Regierungsrat des Kantons Zürich blieb ohne Erfolg, und am 5. März 2003 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die gegen den Entscheid des Regierungsrates gerichtete Beschwerde ab. Der von X._ gegen die Verfügung des Migrationsamtes erhobene Rekurs an den Regierungsrat des Kantons Zürich blieb ohne Erfolg, und am 5. März 2003 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die gegen den Entscheid des Regierungsrates gerichtete Beschwerde ab. C. X._ führt mit Eingabe vom 30. April 2003 Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Bundesgericht mit den Anträgen, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und das Migrationsamt anzuweisen, den Kindern D._ und F._ die Aufenthaltsbewilligung im Rahmen des Familiennachzugs zu erteilen. Sodann beantragt X._, der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu erteilen. Die Staatskanzlei des Kantons Zürich beantragt namens des Regierungsrates, die Beschwerde abzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Zuwanderung, Integration und Auswanderung stellt ebenfalls den Antrag, die Beschwerde abzuweisen. Die Staatskanzlei des Kantons Zürich beantragt namens des Regierungsrates, die Beschwerde abzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Zuwanderung, Integration und Auswanderung stellt ebenfalls den Antrag, die Beschwerde abzuweisen. D. Mit Verfügung vom 6. Mai 2003 hat das präsidierende Mitglied der II. öffentlichrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde superprovisorisch aufschiebende Wirkung zuerkannt. Der Rechtsvertreter von X._ reichte am 3. Juni 2003 ein zusätzliches Arztzeugnis ein. Mit Eingabe vom 23. Juni 2003 nahm er ausserdem unaufgefordert zu der Vernehmlassung des Bundesamtes Stellung. 