Faits: A. A.a A._, née le 5 octobre 1938, a été victime d'un accident de la circulation le 20 juin 1992. Sa voiture, conduite par B._, était à l'arrêt pour céder la priorité. Le véhicule conduit par C._ a alors démarré et heurté l'arrière de la voiture de A._. Avant cet accident, A._ avait subi quatre autres accidents. Ainsi, en 1977, sa voiture a été heurtée à l'arrière par un autre véhicule; A._ a subi le coup du lapin. En 1979, elle a été victime d'un accident semblable et a de nouveau subi le coup du lapin; elle présentait des troubles neuro-végétatifs post-traumatiques ayant provoqué une décompensation phobique et des troubles psychiques; son incapacité de travail a été fixée à 50% et son état ne s'est pas amélioré. En 1981, A._ a été renversée par un véhicule alors qu'elle traversait la route à pied; elle a cessé de travailler depuis cet accident et a été mise au bénéfice d'une rente AI dès le 1er septembre 1981; elle présentait un état régressif et anxieux phobique dans le cadre d'une dépression chronique; en 1983, les médecins ont considéré que son invalidité à 100% était définitive, la seule cause en étant ce troisième accident. Enfin, en 1984, alors que A._ était passagère, son véhicule a été heurté de côté par une autre voiture; les médecins ont retenu des troubles psychiques avec tristesse, anxiété et angoisse. Après l'accident du 20 juin 1992, A._ a demandé à B._ de l'aider - contre rémunération - dans son ménage, ses déplacements et ses courses, ainsi que de lui préparer ses repas. Depuis lors, elle ne fait pratiquement plus rien elle-même, sauf sa toilette. A.b Le 26 juin 1992, A._ a rempli un formulaire de sinistre pour Y._ Assurances - auprès de qui elle avait conclu une assurance individuelle contre les accidents en qualité de maîtresse de maison et une assurance véhicule combinée couvrant notamment le risque accident pour conducteur et passagers - en indiquant avoir été victime d'un accident le 20 juin 1992 et être en état de choc. D'accord entre A._ et Y._ Assurances ainsi que Z._ Assurances (assureur responsabilité civile de C._), une expertise privée a été effectuée par le Pr D._ et le Dr E._, du service de neurologie du CHUV. Leur rapport écrit du 28 mars 1994 relève que A._ présentait, en 1985, des troubles psychiques avec tristesse, sentiment d'anxiété et angoisse, associés à des troubles de caractère végétatif; suite à l'accident du 20 juin 1992, l'état de cette patiente avait évolué défavorablement. Le rapport concluait à une entorse cervicale simple avec des problèmes extra-traumatiques d'ordre médical, psychique et social; l'état complexe de la patiente et son invalidité ne pouvaient venir de l'accident. A._ a contesté ce rapport et a consulté plusieurs autres médecins. Selon certains d'entre eux, elle souffrait d'un état de stress post-traumatique et d'un effondrement des systèmes fonctionnels; son état de santé était catastrophique; elle avait une perte d'autonomie et devait être assistée en permanence; tout cela, et surtout le syndrome de stress post-traumatique, était la conséquence de l'accident du 20 juin 1992. B. B.a Le 28 juin 1995, A._ a assigné Y._ Assurances devant le Tribunal de première instance du canton de Genève en paiement de la somme totale de 281'276 fr. 75, avec suite d'intérêts, frais et dépens. Le 22 janvier 1996, A._ a assigné Z._ Assurances devant le même Tribunal en paiement de la somme totale de 755'374 fr. 75, avec suite d'intérêts, frais et dépens. Dans leurs mémoires de réponse respectifs, Y._ Assurances et Z._ Assurances se sont opposées à la demande, contestant pour l'essentiel l'existence d'un lien de causalité entre l'accident du 20 juin 1992 et l'état de santé de la demanderesse compte tenu de ses antécédents traumatiques importants. B.b Par ordonnance du 30 novembre 1998, le Tribunal de première instance a ordonné une expertise médicale et nommé un collège d'experts, soit le Dr F._, psychiatre, le Dr G._, neurologue, et le Dr H._, endocrinologue. La demanderesse a contesté en vain cette ordonnance devant la Cour de justice, puis devant le Tribunal fédéral. Ensuite d'une ordonnance du Tribunal de première instance du 23 octobre 2000 autorisant la demanderesse à être assistée de son avocat lors des séances d'expertise, si elle le souhaitait - auquel cas les auditions et/ou examens devaient être accomplis en présence des avocats des assurances, s'ils le souhaitaient -, les trois experts nommés ont résilié leur mandat, indiquant que la présence des avocats leur paraissait incompatible avec l'accomplissement de leur mission. B.c Par ordonnance du 25 mars 2002, le Tribunal de première instance a considéré que la présence du Dr I._, dont la demanderesse avait demandé la désignation avec acharnement, devait être un facteur rassurant et permettre à la demanderesse de se soumettre à l'expertise sans être accompagnée par son avocat. Il a ainsi désigné un nouveau collège d'experts en la personne du Dr J._, psychiatre, du Pr K._, psychiatre, du Dr I._, psychiatre, du Dr L._, neurologue, et du Pr M._, endocrinologue. Les experts ont rendu leur rapport le 8 novembre 2005. Selon ce rapport, la demanderesse présentait une dépression majeure et un état de stress post-traumatique caractéristiques, ainsi que des comportements phobiques et une encéphalopathie minime comme conséquence de quatre entorses cervicales. L'état de stress post-traumatique avait été causé par l'accident de 1992 et son vécu, car un tel état n'avait pas été diagnostiqué auparavant et la demanderesse ne présentait pas de troubles de la personnalité. Le trouble dépressif préexistait; il n'avait pas été causé par l'accident mais avait pu être aggravé par celui-ci. L'accident de 1992 avait eu une influence à raison de 50% sur les troubles somatiques et le trouble de l'humeur, et de 100% sur le stress post-traumatique chronique. La demanderesse devait être aidée dans sa vie quotidienne (ménage, cuisine et déplacements); vu ses troubles phobiques, elle ne pouvait prendre les transports en commun. Elle devait continuer à bénéficier d'une telle assistance, dont elle n'aurait pas eu besoin sans l'accident de 1992. Le taux d'invalidité médico-théorique de la demanderesse avant cet accident pouvait être estimé à 70%; actuellement, ce taux était de 100%. Le stress post-traumatique était à lui seul à l'origine de l'invalidité totale de la demanderesse. B.d Dans son mémoire après enquêtes du 16 juin 2006, la demanderesse a augmenté ses conclusions à l'encontre de X._ Assurances (ci-après: X._ Assurances ou la défenderesse), en tant que repreneuse de Y._ Assurances et de Z._ Assurances, à 1'691'354 fr. 35, dont 285'135 fr. 75 au titre de l'assurance accidents (ex-Y._ Assurances) et 1'406'218 fr. 60 au titre de l'assurance responsabilité civile (ex-Z._ Assurances), avec suite d'intérêts, frais et dépens. Dans son mémoire après enquêtes du 22 juin 2006, X._ Assurances a conclu au déboutement de la demanderesse; elle a contesté l'existence du lien de causalité adéquate entre l'accident de 1992 et la pathologie dont souffrait la demanderesse, laquelle présentait déjà de graves problèmes de santé avant cet accident. B.e Par jugement du 22 février 2007, le Tribunal de première instance a condamné la défenderesse à verser à la demanderesse une somme totale de 1'515'164 fr. 55 plus intérêts, dont en particulier 49'561 fr. 20 à titre de frais médicaux d'août 1998 à septembre 2007, 471'600 fr. à titre de frais relatifs à l'assistance permanente jusqu'au 1er septembre 2007 (date fictive de l'arrêt éventuel de la Cour de justice) et 592'560 fr. à titre de frais d'assistance futurs. En substance, le Tribunal a considéré qu'étant victime d'un accident en relation avec l'utilisation d'un véhicule à moteur dans lequel elle se trouvait, la demanderesse disposait de créances fondées sur la LCA et sur la LCR. Se fondant essentiellement sur l'expertise judiciaire, il a retenu un rapport de causalité naturelle et adéquate entre l'accident du 20 juin 1992 et les maux dont souffrait la demanderesse. Il n'a pas retenu l'existence d'une prédisposition constitutionnelle antérieure à l'accident, venant réduire l'indemnité. B.f Par arrêt rendu le 16 mai 2008 sur appel de la demanderesse et appel incident de la défenderesse, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a réformé le jugement de première instance en ce sens qu'elle a condamné la défenderesse à verser à la demanderesse une somme totale de 570'801 fr. 70 plus intérêts. C. Contre cet arrêt, la demanderesse interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral (4A_311/2008), en concluant, avec suite des frais et dépens des instances cantonales et fédérale, à la réforme de cet arrêt dans le sens de la confirmation du jugement de première instance. La défenderesse s'en rapporte à l'appréciation du Tribunal fédéral quant à la recevabilité du recours déposé par la demanderesse et conclut avec suite de dépens au rejet de ce recours. Après réception de la réponse à son recours, la demanderesse a encore déposé des observations, sur lesquelles la défenderesse s'est déterminée. La défenderesse interjette également un recours en matière civile au Tribunal fédéral (4A_307/2008) contre l'arrêt de la Cour de justice, en concluant, avec suite des frais et dépens des instances cantonales et fédérale, principalement à la réforme de cet arrêt dans le sens du rejet intégral de la demande et subsidiairement à son annulation suivie du renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision. La demanderesse s'en rapporte à l'appréciation du Tribunal fédéral quant à la recevabilité du recours déposé par la défenderesse et conclut avec suite de dépens au rejet de ce recours. Par ordonnance du 26 août 2008, la Cour de céans a admis la requête d'assistance judiciaire déposée par la demanderesse. 