Sachverhalt: Sachverhalt: A. A.a Die Swisscom AG, Bern, (Klägerin, Widerbeklagte, Berufungsbeklagte) wurde 1998 als Aktiengesellschaft gestützt auf das Bundesgesetz über die Organisation der Telekommunikationsunternehmung des Bundes (Telekommunikationsunternehmungsgesetz, TUG) vom 30. April 1997 (SR 784.11) gegründet. Sie führt mit ihrer Errichtung die Anstaltsteile der (ehemaligen) PTT-Betriebe weiter, welche Fernmelde- und Rundfunkdienste erbrachten (Art. 21 Abs. 1 TUG). Sie hat sämtliche Aktiven und Passiven dieser Anstaltsteile übernommen, die bis 1998 unter der Bezeichnung Telecom PTT im Markt auftraten (Art. 23 Abs. 1 TUG). -:- X._ (Beklagter, Widerkläger, Berufungskläger) ist Rechtsanwalt sowie Honorarkonsul des Landes A._. Nach eigenen Angaben ist er zur Hauptsache als Geschäftsmann tätig. Danach berät er finanzstarke Privatpersonen und Unternehmen und betreibt die Vermittlung von Geschäften, während die eigentliche Anwaltstätigkeit nur noch untergeordnete Bedeutung habe. A.b Im August 1994 leitete die Regierung des Landes A._ eine Auktion über eine Minderheitsbeteiligung an der damaligen staatlichen Telefongesellschaft Y._ Telecom ein. Am Auktionsverfahren beteiligte sich neben vier anderen Bewerbern ein Joint Venture unter der Firma Z._ N.V., zu dem sich eine ausländische Telefongesellschaft und die Telecom PTT zusammengeschlossen hatten. Der Zuschlag wurde am 28. Juni 1995 bekannt gegeben; Z._ N.V. erwarb eine Beteiligung von 27 % an der Y._ Telecom zum Preis von USD 1.45 Milliarden. A.c Der Beklagte kontaktierte anfangs April 1995 den ehemaligen Generaldirektor der Telecom PTT, B._, und bot ihm seine Dienste im Zusammenhang mit dem Verfahren um die Beteiligung an der Y._ Telecom an. B._ informierte seinen Nachfolger C._, der seinerseits am 4. Mai 1995 mit dem Beklagten telefonisch Kontakt aufnahm. In der Folge traf sich der Beklagte am 19. Juni 1995 und am 22. Juni 1995 mit D._, dem bei der Telecom PTT verantwortlichen Projektleiter für die Ausschreibung Y._ Telecom, zu Gesprächen. Am 22. Juni 1995 verfasste er ein Schreiben an den damaligen Wirtschaftsminister des Landes A._, in dem die Vorteile der Offerte der Z._ N.V. gepriesen wurden. A.d Der Beklagte machte in der Folge geltend, es sei zwischen den Parteien ein Mäklervertrag zustande gekommen. Ausgehend von einem Provisionssatz von 1.5 % verlangte er bezogen auf den Zuschlagspreis von USD 1.45 Mia. einen Mäklerlohn von CHF 22.5 Mio. zuzüglich 7.6 % MwSt. Diese Forderung meldete er am 3. Juli 2002 gemäss Art. 733 OR an, als die Klägerin im Rahmen einer beabsichtigten Kapitalherabsetzung einen Schuldenruf durchführte. A.e Am 1. September 2003 stellte die Klägerin beim Handelsgericht des Kantons Zürich das Begehren, es sei festzustellen, dass sie dem Beklagten nichts schulde (Ziffer 1). Ausserdem beantragte sie, der Beklagte sei zu verpflichten, ihr CHF 47'542.25 nebst Zins zu bezahlen (Ziffer 2.). Diese Forderung betrifft die Kosten, welche die Klägerin für die Sicherstellung der Forderung des Beklagten aufwenden musste, um ihr Aktienkapital mit Beschluss vom 30. April 2002 herabzusetzen. Sie musste für die Bankbürgschaft, deren Abschluss die Parteien am 25. Juli 2002 vereinbarten, nebst einer einmaligen Bearbeitungsgebühr pro Quartal CHF 9'505.45 bezahlen. Sie erhöhte im Laufe des Prozesses ihre Forderung auf CHF 114'080.40 nebst Zins. A.f Der Beklagte erhob Widerklage auf Bezahlung des beanspruchten Mäklerlohnes. Er beantragte mit bereinigtem Rechtsbegehren, die Klägerin und Widerbeklagte sei zu verpflichten, ihm CHF 22'500'000.-- zuzüglich 7.6 % MwSt. und Zins zu 5 % seit 22. Dezember 1995 zu bezahlen. A.f Der Beklagte erhob Widerklage auf Bezahlung des beanspruchten Mäklerlohnes. Er beantragte mit bereinigtem Rechtsbegehren, die Klägerin und Widerbeklagte sei zu verpflichten, ihm CHF 22'500'000.-- zuzüglich 7.6 % MwSt. und Zins zu 5 % seit 22. Dezember 1995 zu bezahlen. B. Das Handelsgericht des Kantons Zürich schrieb mit Beschluss vom 3. Juli 2006 die Klage mit Bezug auf das Klagebegehren Ziffer 1 als gegenstandslos ab. Mit Urteil vom 3. Juli 2006 wies das Gericht die Klage mit Bezug auf das Klagebegehren Ziffer 2 ab (Dispositiv-Ziffer 1). Die Widerklage wurde abgewiesen (Dispositiv-Ziffer 2). Das Handelsgericht kam zum Schluss, das - ursprünglich vorhandene - Feststellungsinteresse der Klägerin sei durch die Widerklage dahingefallen. Die Widerklage wies das Gericht im Wesentlichen aus der Erwägung ab, dass ein Mäklervertrag nicht zustande gekommen und der Aufwand für die Erfüllung des Auftrags nicht nachgewiesen sei. Die Forderung der Klägerin auf Ersatz ihrer Auslagen für die Bürgschaft wies das Handelsgericht ab, weil sie sowohl einer gesetzlichen wie einer vertraglichen Grundlage entbehre. B. Das Handelsgericht des Kantons Zürich schrieb mit Beschluss vom 3. Juli 2006 die Klage mit Bezug auf das Klagebegehren Ziffer 1 als gegenstandslos ab. Mit Urteil vom 3. Juli 2006 wies das Gericht die Klage mit Bezug auf das Klagebegehren Ziffer 2 ab (Dispositiv-Ziffer 1). Die Widerklage wurde abgewiesen (Dispositiv-Ziffer 2). Das Handelsgericht kam zum Schluss, das - ursprünglich vorhandene - Feststellungsinteresse der Klägerin sei durch die Widerklage dahingefallen. Die Widerklage wies das Gericht im Wesentlichen aus der Erwägung ab, dass ein Mäklervertrag nicht zustande gekommen und der Aufwand für die Erfüllung des Auftrags nicht nachgewiesen sei. Die Forderung der Klägerin auf Ersatz ihrer Auslagen für die Bürgschaft wies das Handelsgericht ab, weil sie sowohl einer gesetzlichen wie einer vertraglichen Grundlage entbehre. C. Mit Berufung vom 11. September 2006 stellt der Beklagte folgende Anträge: 1. In Aufhebung von Ziff. 2 des Dispositives des Urteils vom 3. Juli 2006 des Handelsgerichts des Kantons Zürich (...) sei die Berufungsbeklagte zu verpflichten, dem Berufungskläger CHF 22'500'000.-- zuzüglich 7.6 % MwSt. und Zins zu 5 % seit 22. Dezember 1995 zu bezahlen. 2. Eventuell sei der Prozess im Sinne der bundesgerichtlichen Erwägungen zur Neubeurteilung an das Handelsgericht des Kantons Zürich zurückzuweisen. 3. In Aufhebung von Ziff. 3-5 des Dispositives des Urteils vom 3. Juli 2006 des Handelsgerichts des Kantons Zürich (...) seien die Gerichtskosten des vorinstanzlichen Verfahrens der Berufungsbeklagten aufzuerlegen. Überdies sei sie zu verpflichten, dem Berufungskläger eine angemessene Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren zu entrichten. .. ..." Ausserdem stellt der Beklagte den prozessualen Antrag, "es seien durch das Bundesgericht die erforderlichen Schutzmassnahmen im Sinne von Art. 38 Satz 2 BZP mit Bezug auf die in den Rz 7, Rz 14, Rz 22, Rz 43 und Rz 47 genannten Beweismittel zu treffen". Der Beklagte stellt zunächst den Sachverhalt aus seiner Sicht dar, wobei er Beweismittel für seine Behauptungen offeriert. Als offensichtliches Versehen und Verletzung von Art. 412 OR rügt er, dass die Vorinstanz die Tatsachen übersehen habe, dass die Klägerin am 4. Mai 1995 noch nicht gewusst habe, ob die Regierung des Landes A._ mit ihr die Vereinbarung über die Übernahme der Y._ Telecom abschliessen werde und dass sich das Auswahlverfahren nach privatrechtlichen Grundsätzen gerichtet habe, der Beschluss der Regierung des Landes A._ nicht anfechtbar und deren Vertragsfreiheit nicht beschränkt gewesen sei. Eine Verletzung von Art. 412 OR sieht er ausserdem darin, dass die Vorinstanz aus dem Umstand, dass er das offizielle Briefpapier des Honorarkonsulates benutzte, geschlossen habe, er habe in seiner Stellung als Honorarkonsul gehandelt. Als Verletzung von Art. 413 OR rügt der Beklagte sodann die Qualifikation seiner Tätigkeit als Lobbying statt als Vermittlungsmäkelei. Weiter rügt er, die Vorinstanz habe zu Unrecht bzw. willkürlich aus der Korrespondenz nicht geschlossen, dass die Klägerin die von ihm für sie erbrachte Mäklertätigkeit erkennen musste. Die Vorinstanz habe schliesslich in Verletzung von Art. 8 ZGB beantragte Beweise nicht abgenommen, den Vertrauensgrundsatz verletzt und sei von einer falschen Vertragsqualifikation ausgegangen, indem sie das Zustandekommen eines Mäklervertrags verneint und ihm das geforderte Honorar nicht zugesprochen habe. Der Beklagte stellt zunächst den Sachverhalt aus seiner Sicht dar, wobei er Beweismittel für seine Behauptungen offeriert. Als offensichtliches Versehen und Verletzung von Art. 412 OR rügt er, dass die Vorinstanz die Tatsachen übersehen habe, dass die Klägerin am 4. Mai 1995 noch nicht gewusst habe, ob die Regierung des Landes A._ mit ihr die Vereinbarung über die Übernahme der Y._ Telecom abschliessen werde und dass sich das Auswahlverfahren nach privatrechtlichen Grundsätzen gerichtet habe, der Beschluss der Regierung des Landes A._ nicht anfechtbar und deren Vertragsfreiheit nicht beschränkt gewesen sei. Eine Verletzung von Art. 412 OR sieht er ausserdem darin, dass die Vorinstanz aus dem Umstand, dass er das offizielle Briefpapier des Honorarkonsulates benutzte, geschlossen habe, er habe in seiner Stellung als Honorarkonsul gehandelt. Als Verletzung von Art. 413 OR rügt der Beklagte sodann die Qualifikation seiner Tätigkeit als Lobbying statt als Vermittlungsmäkelei. Weiter rügt er, die Vorinstanz habe zu Unrecht bzw. willkürlich aus der Korrespondenz nicht geschlossen, dass die Klägerin die von ihm für sie erbrachte Mäklertätigkeit erkennen musste. Die Vorinstanz habe schliesslich in Verletzung von Art. 8 ZGB beantragte Beweise nicht abgenommen, den Vertrauensgrundsatz verletzt und sei von einer falschen Vertragsqualifikation ausgegangen, indem sie das Zustandekommen eines Mäklervertrags verneint und ihm das geforderte Honorar nicht zugesprochen habe. D. Die Klägerin schliesst in der Antwort auf Abweisung der Berufung. Sie erhebt ausserdem Anschlussberufung mit den Anträgen: 1. Disp. Ziff. 1 des Urteils des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 3. Juli 2006 sei aufzuheben, und der Berufungskläger sei zu verpflichten, der Berufungsbeklagten CHF 114'080.40 nebst Zins zu 5 % 1. auf CHF 9'520.45 seit 26. Juli 2002 2. auf CHF 104'559.95 seit 27. Januar 2004 (mittlerer Verfall) zu bezahlen. 2. Eventuell sei das Verfahren zur Neubeurteilung der Widerklage an das Handelsgericht des Kantons Zürich zurückzuweisen ..." 2. Eventuell sei das Verfahren zur Neubeurteilung der Widerklage an das Handelsgericht des Kantons Zürich zurückzuweisen ..." E. Der Beklagte beantragt in der Antwort auf die Anschlussberufung, es sei darauf nicht einzutreten, eventuell sei die Anschlussberufung abzuweisen. Mit Eingabe vom 18. September 2007, die am 25. September 2007 dem Beklagten zur Kenntnis zugestellt wurde, hat sich die Klägerin unaufgefordert zur Anschlussberufungsantwort geäussert. E. Der Beklagte beantragt in der Antwort auf die Anschlussberufung, es sei darauf nicht einzutreten, eventuell sei die Anschlussberufung abzuweisen. Mit Eingabe vom 18. September 2007, die am 25. September 2007 dem Beklagten zur Kenntnis zugestellt wurde, hat sich die Klägerin unaufgefordert zur Anschlussberufungsantwort geäussert. F. Das Kassationsgericht des Kantons Zürich wies mit Zirkulationsbeschluss vom 21. April 2007 die Nichtigkeitsbeschwerde des Beklagten ab, soweit darauf eingetreten werden konnte. Eine Beschwerde in Zivilsachen, mit welcher der Beschwerdeführer keine Verletzung von Bundesrechtsnormen durch das Handelsgericht rügte, wurde mit Urteil vom heutigen Tag abgewiesen, soweit darauf eingetreten wurde. 