Sachverhalt: A. Mit Eheschutzurteil des Gerichtspräsidiums Z._ vom 7. Januar 2002 bzw. mit Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 2. Dezember 2002 wurde X._ unter anderem verpflichtet, Y._ ab November 2002 an ihren persönlichen Unterhalt monatlich Fr. 3'019.-- und an denjenigen des Sohnes F._, geboren 1984, und der Tochter B._, geboren 1999, monatlich je Fr. 1'000.-- zuzüglich Kinderzulagen zu bezahlen. In Abänderung eines Entscheids des Gerichtspräsidiums 4 von Z._ vom 16. Dezember 2003 wies das Obergericht (5. Zivilkammer) des Kantons Aargau am 1. Juni 2004 ein von X._ widerklageweise gestelltes Abänderungsbegehren ab. Gleichzeitig bestätigte es eine durch das Gerichtspräsidium 4 von Z._ am 16. Mai 2003 vorsorglich angeordnete Anweisung an dessen Arbeitgeber, den Betrag von Fr. 4'189.-- (Fr. 3'019.-- für Y._ persönlich sowie Fr. 1'000.-- zuzüglich Kinderzulagen von Fr. 170.-- für die Tochter B._) vom Lohn abzuziehen und direkt an Y._ zu überweisen. B. Mit Eingabe vom 7. Juli 2004 reichte Y._ beim Gerichtspräsidium Z._ ein Gesuch um Ergänzung bzw. Änderung der Anweisung an den Arbeitgeber von X._ ein. X._ schloss auf Abweisung des Begehrens und beantragte widerklageweise die gänzliche Aufhebung der Unterhaltspflicht gegenüber Y._ und die Herabsetzung der für den Sohn F._ zu leistenden Unterhaltsbeiträge auf monatlich Fr. 695.--. Die Gerichtspräsidentin 4 von Z._ hiess am 1. Februar 2006 sowohl die Abänderungsklage als auch die Widerklage teilweise gut. Das Obergericht (Zivilgericht, 5. Kammer) des Kantons Aargau wies am 30. April 2007 die von X._ hiergegen erhobene Beschwerde ab. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde von Y._ setzte es die dieser zustehenden Unterhaltsbeiträge unter anderem wie folgt neu fest: - Januar 2005 bis Dezember 2005 Fr. 1'770.-- - Januar 2006 bis September 2006 Fr. 290.-- - ab Oktober 2006 Fr. 2'045.--. Ferner wies das Obergericht die Arbeitgeberin von X._ an, den Betrag von Fr. 3'045.-- (Fr. 2'045.-- für Y._ persönlich und Fr. 1'000.-- für die Tochter B._) von dessen Lohn abzuziehen und direkt an Y._ zu überweisen. Die Gerichtskosten wurden zu 3/10 Y._ und - zufolge gewährter unentgeltlicher Rechtspflege allerdings nur unter Vorbehalt - zu 7/10 X._ auferlegt, der zudem verpflichtet wurde, Y._ 2/5 der Parteikosten zu ersetzen. C. Mit einer als Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde bezeichneten Eingabe vom 6. Juni 2007 ist X._ an das Bundesgericht gelangt. Er beantragt, die Y._ zugesprochenen Unterhaltsbeiträge seien für die Monate Januar 2005 bis Dezember 2005 auf Fr. 855.--, für die Monate Januar 2006 bis September 2006 auf Fr. 135.-- und für die Zeit ab Oktober 2006 auf Fr. 1'236.-- festzusetzen. Ausserdem seien die Anweisung an die Arbeitgeberin aufzuheben, die Kosten des obergerichtlichen Verfahrens den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen und die entsprechenden Parteikosten wettzuschlagen. Ferner hat der Beschwerdeführer darum ersucht, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung, und das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung zu diesem Gesuch verzichtet. Vernehmlassungen zur Sache sind nicht eingeholt worden. D. Durch Präsidialverfügung vom 29. Juni 2007 ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen worden. 