Faits: A. A._ travaillait pour la société X._, comme collaborateur au rayon fruits et légumes. Son activité consistait notamment à commander, contrôler et mettre en place la marchandise, ce qui impliquait la manipulation de charges jusqu'à 30 kg. Il était assuré contre les accidents (LAA) par Swica Assurances (ci-après : Swica). Le 5 août 2003, un ami l'a porté et l'a lâché accidentellement sur le bord d'un bassin de la piscine de Y._. Les radiographies de la colonne vertébrale réalisées le jour même à l'Hôpital de Y._ ont mis en évidence une fracture-tassement du plateau supérieur D9 et D11, sans atteinte neurologique, et une spondylolyse L5/S1. A._ a quitté l'établissement hospitalier le 9 août 2003. Le port d'un corset trois points pendant trois mois, ainsi qu'un traitement antalgique et du repos lui ont été prescrits. Le 17 novembre 2003, en raison de la persistance de douleurs et d'une incapacité de travail totale, le médecin traitant de l'assuré, le docteur S._, a proposé une rééducation stationnaire à la Clinique Z._. A._ a séjourné dans cette clinique du 5 mai au 3 juin 2004 pour suivre une thérapie physique et fonctionnelle. Les docteurs R._ et D._ y ont posé les diagnostics de rachialgies chroniques, fracture-tassement vertébral de D9 et D11 le 5 août 2003 (absence de séquelle radiologique), spondylolisthésis L5/S1 de stade I, spondylolyse L5 bilatérale et spina bifida occulta S1. Dans le rapport de sortie établi le 9 juillet 2004, ils ont exposé que les rachialgies lombaires actuelles n'étaient pas spécifiques et ne pouvaient être mises en rapport avec les fractures dorsales survenues le 5 août 2003. Quant à la spondylolyse L5 bilatérale et au spondylolisthésis L5/S1, ils étaient de nature maladive et certainement pré-existants au traumatisme. A._ avait subi une physiothérapie intensive, qui avait permis de réaliser des gains en endurance, en force-endurance de la musculature du tronc, en longueur musculaire et en souplesse. Il était prévu de poursuivre la physiothérapie, ambulatoirement, à raison de trois séances par semaine pendant six semaines environ après la sortie de la Clinique Z._. Bien que le poste de travail occupé par l'assuré fût contraignant physiquement, il n'y avait pas de contre-indication à la reprise progressive de l'activité professionnelle. L'assuré avait repris le travail à 50 % le 14 juin 2004 et il était prévu d'augmenter son taux d'activité à 75 % le 12 juillet, puis à 100 % le 2 août 2004. A._ a effectivement repris le travail à 100 % le 2 août 2004. Le 23 septembre suivant, il s'est toutefois bloqué le dos en rangeant de la marchandise. Le docteur S._ atteste depuis lors une incapacité de travail totale et l'assuré n'a plus repris le travail. X._ a résilié son contrat avec effet dès le 31 mars 2005. Swica a confié au docteur P._, spécialiste en chirurgie orthopédique, le soin de réaliser une expertise en vue d'établir les atteintes à la santé dont souffrait l'assuré et d'éclaircir la question du rapport de causalité avec l'accident du 5 août 2003. A réception du rapport établi le 6 décembre 2005 par ce médecin, Swica a mis fin aux prestations d'assurance, avec effet dès le 2 août 2004 (décision du 10 janvier 2006). Elle a considéré que l'assuré ne présentait plus, dès cette date, de séquelles de l'accident du 5 août 2003. Elle a maintenu son refus de prester pour la période courant dès le 2 août 2004, par décision sur opposition du 10 juillet 2006. B. A._ a déféré la cause au Tribunal des assurances du canton de Vaud, qui a rejeté le recours par jugement du 10 mai 2007. C. L'assuré interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation. Il conclut à la constatation de l'obligation de Swica d'allouer des prestations pour la période postérieure au 2 août 2004, subsidiairement au renvoi de la cause à Swica pour instruction complémentaire et nouvelle décision, sous suite de frais et dépens. Il demande par ailleurs l'octroi de l'assistance judiciaire pour l'instance fédérale. L'intimée conclut au rejet du recours, alors que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer. 