Sachverhalt: A. X._, serbischer Staatsangehöriger, geboren 1987, reiste 1995 im Rahmen des Familiennachzugs zu seinem Vater in die Schweiz ein und erhielt hier eine Aufenthaltsbewilligung, die in der Folge in eine Niederlassungsbewilligung umgewandelt wurde. Am 26. April 2006 heiratete er eine hier niedergelassene Landsfrau. Aus der Ehe gingen zwei Kinder hervor, geboren 2008 und 2010. X._ wurde wie folgt strafrechtlich verurteilt: - Durch die Jugendanwaltschaft Kreis II des Kantons Schwyz am 15. September 2003 wegen Raufhandels, am 12. November 2003 wegen Angriffs, am 16. Juli 2004 wegen Ungehorsams gegen amtliche Verfügungen und am 30. November 2004 wegen Diebstahls, Sachbeschädigung und Hausfriedensbruchs zu Arbeitsleistungen zwischen je drei und fünf Tagen; mit der Strafverfügung vom 12. November 2003 wurde er zudem ausdrücklich darauf aufmerksam gemacht, dass er sich in Zukunft wohl zu verhalten habe, ansonsten er ausgewiesen werden könnte; - am 17. Dezember 2007 durch das Bezirksamt Einsiedeln wegen Überschreitens der zulässigen Höchstgeschwindigkeit von 80 km/h um 72 km/h mit einer bedingten Geldstrafe von 120 Tagessätzen zu je Fr. 70.- bei einer Probezeit von drei Jahren sowie Busse von Fr. 800.--; - am 3. März 2009 durch das Kantonsgericht Schwyz wegen versuchter vorsätzlicher Tötung (begangen am 6. November 2005) und Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz zu 23 Monaten Freiheitsstrafe, wovon 151⁄2 Monate bedingt bei einer Probezeit von drei Jahren (dies, nachdem ein erstes Urteil des Kantonsgerichts vom 17. Juni 2008, worin die Freiheitsstrafe auf 24 Monate festgesetzt wurde, vom Bundesgericht aufgehoben worden war [Urteil 6B_788/2008 vom 26. Dezember 2008]). Infolge dieser Verurteilung verfügte das Migrationsamt des Kantons Aargau am 22. Dezember 2009 den Widerruf der Niederlassungsbewilligung und die Wegweisung von X._ aus der Schweiz. Nachdem diese Verfügung einspracheweise wegen Verletzung des rechtlichen Gehörs aufgehoben worden war, verfügte das Migrationsamt am 10. August 2010 erneut den Widerruf der Niederlassungsbewilligung und forderte X._ auf, die Schweiz binnen 60 Tage nach Rechtskraft der Verfügung zu verlassen. B. Eine dagegen erhobene Einsprache wurde am 14. März 2011 abgewiesen. C. Dagegen erhob X._ Beschwerde an das Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau. Während des Beschwerdeverfahrens ergingen gegen ihn zwei Strafbefehle wegen Verstössen gegen das Strassenverkehrsgesetz (Bussen von Fr. 100.-- bzw. 250.--). Mit Urteil vom 27. März 2013 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, in welches das Rekursgericht inzwischen integriert worden war, die Beschwerde ab. D. Mit Eingabe vom 27. Mai 2013 erhebt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, das letztgenannte Urteil aufzuheben und ihm - dem Beschwerdeführer - die Niederlassungsbewilligung zu belassen. Das Amt für Migration und Integration und das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau sowie das Bundesamt für Migration beantragen Abweisung der Beschwerde. X._ repliziert. Mit Verfügung des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 30. Mai 2013 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. 