Sachverhalt: A. F._ (geb. 1960) schloss mit der Waadt Leben, Versicherungs-Gesellschaft (heute: Vaudoise Leben Versicherungs-Gesellschaft AG, nachfolgend: Vaudoise), einen Versicherungsvertrag mit Versicherungsbeginn am 1. Dezember 1992 (gebundene Vorsorge-Police vom 28. Mai 1993). Am 29. Januar 1998 nahmen die Vertragsparteien eine Anpassung der Police vor. Die Vaudoise bezahlte F._ ab 26. August 2004 gestützt auf eine ärztlich bescheinigte Arbeitsunfähigkeit von 50 % eine Rente. Eine (rückwirkende) Erhöhung der Rente auf 61 % verweigerte die Vaudoise mit der Begründung, F._ weise weder einen Erwerbsausfall noch einen sonstigen finanziellen Nachteil aus ihrer Krankheit nach (Schreiben der Vaudoise vom 11. September und 2. Oktober 2009). B. F._ liess beim Bezirksgericht Appenzell Klage erheben mit dem Rechtsbegehren, die Vaudoise sei zu verpflichten, ihr rückwirkend ab 1. Juni 2005 und bis 1. Dezember 2022 eine Erwerbsunfähigkeitsrente von monatlich Fr. 610.- zuzüglich 5 % Verzugszins für die geschuldeten Renten ab 14. August 2009 zu bezahlen, abzüglich bereits bezahlter Renten im Umfang von Fr. 23'000.-. Nach Einholung der Klageantwort verfügte der Bezirksgerichtspräsident von Appenzell die Überweisung der Sache an das Kantonsgericht Appenzell I.Rh., Abteilung Verwaltungsgericht (Präsidialentscheid vom 2. September 2010). Dieses führte einen zweiten Schriftenwechsel durch. Mit Entscheid vom 5. April 2011 trat es auf die Klage mangels sachlicher Zuständigkeit nicht ein (Dispositiv-Ziffer 1) und überwies die Streitsache zuständigkeitshalber an das Bezirksgericht Appenzell (Dispositiv-Ziffer 2). C. Gegen diesen Entscheid lässt F._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der Nichteintretensentscheid sei in den Dispositiv-Ziffern 1 und 2 aufzuheben und es sei die Klage zur materiellen Neubeurteilung an das Kantonsgericht, Abteilung Verwaltungsgericht, zurückzuweisen. Die Vaudoise lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Kantonsgericht äussert sich im selben Sinne. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme. 