Sachverhalt: A. A.a Der 1969 geborene M._ meldete sich im Jahr 2001 erfolglos zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung an. Auf eine im Januar 2004 erfolgte Neuanmeldung hin erliess die IV-Stelle Schwyz am 7. September 2004 eine rentenablehnende Verfügung. Diese hob sie auf Einsprache des Versicherten hin auf (Entscheid vom 18. März 2005) und liess den Versicherten durch die Medizinische Abklärungsstelle X._ begutachten. Gestützt auf das am 17. Februar 2006 erstattete Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle X._ ermittelte sie einen Invaliditätsgrad von 10 % und verneinte einen Rentenanspruch erneut (Verfügung vom 3. April 2006). Dagegen reichte M._ wiederum Einsprache ein, welche die IV-Stelle guthiess. Sie sprach dem Versicherten mit Wirkung ab 1. Mai 2006 aufgrund des ermittelten Invaliditätsgrades von 57 % eine halbe Invalidenrente zu (Entscheid vom 30. Mai 2007). Die von M._ mit dem Antrag auf Zusprechung einer ganzen Invalidenrente eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz mit (unangefochten in Rechtskraft erwachsenem) Entscheid vom 12. Dezember 2007 ab. A.b Im Rahmen einer im März 2011 eingeleiteten Rentenrevision stellte die IV-Stelle fest, dass der Versicherte seit 1. März 2009 bei der (inzwischen liquidierten und im Handelsregister gelöschten) Firma E._ GmbH an vier Stunden pro Tag (22 Stunden pro Woche) arbeitete (Monatslohn 2009: Fr. 3'000.-; 2010: Fr. 3'500.-; 2011: Fr. 4'000.-). Im Laufe des Revisionsverfahrens erfolgte arbeitgeberseits die Kündigung mit Wirkung auf den 31. August 2011. Die IV-Stelle klärte die Verhältnisse ab, wozu sie unter anderem bei der Arbeitgeberfirma genauere Auskünfte einholte (bei der IV-Stelle am 29. September 2011 eingegangener Fragebogen und ergänzende Auskunft der E._ GmbH vom 9. Dezember 2011). Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens hob die IV-Stelle die bisherige halbe Rente rückwirkend per 1. Januar 2010 auf (ermittelter Invaliditätsgrad: 32 % [2010] und 28 % [1. Januar bis 31. August 2011]), stellte eine separate Rückforderungsverfügung für die Zeit vom 1. Januar 2010 bis 30. April 2011 in Aussicht und sprach dem Versicherten ab 1. September 2011 bei einem ermittelten Invaliditätsgrad von 57 % eine halbe Rente zu (Verfügung vom 24. Februar 2012). Mit einer separaten Verfügung forderte die IV-Stelle den Betrag von Fr. 15'960.- (in der Zeit vom 1. Januar 2010 bis 30. April 2011 ausgerichtete Rentenbetreffnisse) zurück (Rückerstattungsverfügung vom 24. Februar 2012). B. Mit zwei separaten Beschwerden beantragte M._ die Aufhebung der beiden Verfügungen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz vereinigte die beiden Verfahren und wies die Beschwerden im Sinne der Erwägungen ab (Entscheid vom 12. Juni 2012). C. M._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erheben und das Rechtsbegehren stellen, der angefochtene Entscheid und die beiden Verfügungen seien aufzuheben. Eventualiter sei der kantonale Entscheid aufzuheben und die Angelegenheit zur Ergänzung des Sachverhaltes, zur Neuprüfung und zur erneuten Entscheidung an die Vorinstanz oder die IV-Stelle zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht beantragt er, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen. 