Sachverhalt: A. A._ (Kläger, Beschwerdeführer) und die Stiftung Spital B._ (Beklagte, Beschwerdegegnerin) schlossen am 24. November 1993 einen Belegarztvertrag. Der Kläger verpflichtete sich darin, im Spital B._ Patienten zu behandeln. Für seine erbrachten Leistungen hatte der Kläger dem Spital gemäss den geltenden Tarifen Rechnung zu stellen. Der Vertrag enthielt die Bestimmung, dass er jederzeit auflösbar sei. Bei Anzeige auf ein Jahr im Voraus soll die Auflösung nicht als unzeitig im Sinne von Art. 404 Abs. 2 OR gelten. Am 8. März 2005 beschloss der Grosse Rat des Kantons Aargau, die Stiftung Spital B._ per 31. Dezember 2005 aufzuheben. Bereits am 27. Dezember 2004 kündigte die Beklagte den Belegarztvertrag mit dem Kläger per 31. Dezember 2005. Die Notfallstation des Bezirksspitals wurde am 1. Mai 2005 geschlossen. Der übrige Spitalbetrieb wurde am 30. September 2005 eingestellt. Wegen der geplanten Schliessung des Bezirksspitals B._ und der damit verbundenen Vertragsauflösung führten die Parteien in der Folge Verhandlungen über eine "Abgangsentschädigung" zu Gunsten des Klägers. B. B.a. Am 14. November 2007 beantragte der Kläger dem Bezirksgericht Brugg, die Beklagte sei zu verpflichten, ihm Fr. 200'000.-- nebst Zins zu bezahlen. Mit Urteil vom 6. Juli 2009 wurde die Klage gutgeheissen. B.b. Gegen dieses Urteil erhob die Beklagte Appellation an das Obergericht des Kantons Aargau, welches mit Urteil vom 16. März 2010 das Urteil des Bezirksgerichts Brugg vom 6. Juli 2009 aufhob und die Streitsache zur Beurteilung der geltend gemachten Schadenersatzforderung an die Vorinstanz zurückwies (Rückweisungsentscheid). B.c. Nach Durchführung der zweiten Hauptverhandlung mit Befragung der Parteien, wies das Bezirksgericht Brugg mit Urteil vom 23. Oktober 2012 die Klage ab. B.d. Mit Entscheid vom 22. Oktober 2013 wies das Obergericht des Kantons Aargau eine vom Kläger gegen das Urteil des Bezirksgerichts erhobene Berufung ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Kläger dem Bundesgericht, die Urteile des Obergerichts des Kantons Aargau vom 22. Oktober 2013 und vom 16. März 2010 (Rückweisungsentscheid) seien aufzuheben. Die Beklagte sei zu verpflichten, dem Kläger eine Entschädigung in der Höhe von Fr. 200'000.-- zu bezahlen. Eventuell sei die Sache zur Ergänzung des Beweisverfahrens und zur Neubeurteilung, namentlich zur Einvernahme der Zeugen C._ und D._ sowie zum Beizug der Verfahrensakten Beklagte/Kanton Aargau, an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin beantragt, nicht auf die Beschwerde einzutreten, eventualiter sei diese abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Der Beschwerdeführer hat unaufgefordert eine Replik, die Beschwerdegegnerin eine Duplik eingereicht. 