Faits: A. A.a La Banque Y._ SA (ci-après: la Banque Y._) est une société anonyme avec siège dans le canton de Genève ayant pour but l'exploitation d'une banque de gestion de patrimoine ainsi que toute activité de négociant en valeurs mobilières. Le 27 juin 2000, A._ a été engagé par la Banque Y._ en qualité de gestionnaire. Il était chargé de suivre l'activité des comptes des clients et de développer une nouvelle clientèle. Il n'était pas membre de la direction, n'avait pas de signature sociale et n'était pas inscrit au Registre du commerce. A.b À la fin des années 1990, A._ a fait la connaissance de X._, homme d'affaires français domicilié en Suisse, qui lui a indiqué effectuer des prises de participation dans diverses affaires. Dans le courant de décembre 2000, A._ a proposé à X._ une première opération d'investissement liée à la création d'une société Internet, qui n'a finalement pas été concrétisée. Au début de l'année 2001, A._ a proposé à X._ une autre opération selon laquelle ce dernier devait investir une somme de FRF 5'000'000.- qui pouvait lui rapporter, outre le retour sur investissement, un bénéfice de l'ordre de 10%. A._ n'a pas informé X._ des détails de cette opération, se contentant d'indiquer qu'il s'agissait d'une transaction financière sur le marché américain qui pouvait générer un bon bénéfice; il lui a néanmoins précisé que cet investissement s'inscrivait dans une opération privée et était étranger à la banque dans laquelle il travaillait. X._ a accepté cette proposition et a fait transférer, le 2 février 2001, une somme de FRF 5'000'000.- depuis son compte ouvert auprès de la Banque V._ à Lyon sur le compte d'une société B._ SA ouvert auprès de la Banque W._ à Barcelone. La confirmation de ce transfert a été faxée à la Banque Y._, à l'attention de A._. En réalité, les fonds ainsi versés par X._ n'ont pas été investis dans une opération financière sur le marché américain, mais - ce dont X._ n'avait jamais été informé - dans une transaction portant sur l'acquisition de statuettes en jade d'origine chinoise, proposée par le cousin de A._, C._, ressortissant français domicilié en France. Cette transaction s'est finalement révélée être une escroquerie, dont la presse française s'était, à l'époque, largement faite l'écho. A.c À la fin décembre 2000, C._ avait voulu entreposer les statuettes en jade, ayant servi de support à l'escroquerie, dans un coffre qu'il avait souhaité louer auprès de la Banque Y._. Les objets étant toutefois d'une taille trop importante pour pouvoir être entreposés dans les coffrets loués aux clients, un responsable de la banque avait accepté que C._, qui était lui-même client de la banque, entrepose ces objets dans la chambre forte de la banque de manière provisoire et à titre exceptionnel, le temps qu'il puisse entamer des démarches pour louer un coffre auprès d'une autre banque permettant d'accueillir les objets. Au début janvier 2001, C._ avait ainsi loué auprès du Crédit Suisse un coffre d'une taille suffisante pour accueillir les objets. Lors de la visite à la Banque Y._ à la fin décembre 2000, les statuettes étaient enveloppées dans un gros colis. Les parties ne se sont pas accordées sur la révélation du contenu de ce paquet aux responsables de la banque; ceux-ci ont indiqué que le contenu du paquet ne leur avait pas été dévoilé, alors que C._ a soutenu que l'employé de la banque avait vérifié le contenu et constaté qu'il s'agissait de statuettes en jade. Les justificatifs de la banque établis à l'occasion du dépôt (le 27 décembre 2000) et du retrait (le 15 janvier 2001) des objets font état d'un « paquet scellé cacheté avec la mention du compte 25141 », correspondant au compte bancaire ouvert par C._ dans les livres de la banque en décembre 1999. A.d Au printemps 2001, X._ s'est enquis du sort de son investissement auprès de A._, qui lui a fourni diverses informations. Ayant alors réclamé avec insistance le remboursement de son investissement, il a obtenu le 19 avril 2001 de A._ une reconnaissance de dette de FRF 2'000'000.-. Par la suite, il a reçu, en plusieurs fois, de la part de A._ et C._, le remboursement d'une somme totale de FRF 2'000'000.-. Par courrier de son conseil du 24 septembre 2001, X._ s'est plaint auprès de la Banque Y._ du comportement de A._, qui lui avait fait perdre une somme de FRF 3'000'000.- dans un investissement aventureux auquel il n'avait jamais consenti. À réception de ce courrier, la direction de la Banque Y._ a interpellé A._. Lors d'une réunion du 27 septembre 2001 à la banque, celui-ci a expliqué à ses supérieurs s'être vu proposer par son cousin C._ une opération intéressante permettant de dégager une marge de 30% sur un mois et nécessitant une mise de fonds de FRF 5'000'000.-; il avait alors proposé cette affaire à X._ dans un contexte strictement privé; malheureusement, cette opération s'était révélé une escroquerie dont il était également la victime. Le lendemain de cet entretien, soit le 28 septembre 2001, A._ a démissionné avec effet immédiat de ses fonctions au sein de la banque « pour convenance personnelle ». A.e Le 22 novembre 2001, X._ a déposé plainte pénale auprès du Procureur général du canton de Genève notamment contre A._. Celui-ci a été inculpé d'escroquerie le 18 mars 2003, pour avoir incité X._ à investir une somme de FRF 5'000'000.- dans une opération sur le marché américain, en dissimulant astucieusement le fait que ces fonds étaient en réalité destinés à une opération spéculative sur des objets d'art chinois, qui s'était révélée être une escroquerie dite « aux faux jades » perpétrée par des gitans français habitués de ce genre de malversations. À l'issue de la procédure d'instruction, la procédure pénale a fait l'objet d'un classement par le Parquet du Procureur général. B. B.a Le 4 novembre 2004, X._ a assigné la Banque Y._ devant le Tribunal de première instance du canton de Genève en paiement d'une somme de CHF 781'760.-, contre-valeur du montant de FRF 3'350'000.- comprenant le remboursement du solde de son investissement par FRF 3'000'000.- et de divers frais par FRF 350'000.-. Comme fondement de sa réclamation, il invoquait d'abord la responsabilité contractuelle de la banque, en soutenant que A._ avait agi comme organe de fait, voire comme organe apparent, de celle-ci. Il invoquait également la responsabilité délictuelle de la banque, d'une part sur la base de l'art. 55 CO, en soutenant que le dommage avait été causé par A._ dans l'accomplissement de son travail, et d'autre part sur la base de l'art. 41 CO, en soutenant que la banque aurait violé les dispositions relatives à la lutte contre le blanchiment d'argent en accueillant dans sa chambre forte les statuettes litigieuses sans avoir procédé aux vérifications nécessaires. La Banque Y._ a conclu au déboutement de toutes les conclusions de X._. B.b Le Tribunal a ordonné l'apport de la procédure pénale et l'ouverture d'enquêtes. Entendu par le juge d'instruction en qualité de témoin dans la procédure pénale, C._ a indiqué avoir été à l'origine de la transaction sur les statuettes de jade; il a précisé que A._ lui avait présenté X._ comme un ami et non comme un client de la banque et qu'il ne lui avait pas laissé croire que la banque avait été liée ou concernée par cette transaction. Dans le cadre de l'instruction civile, le Tribunal a notamment entendu comme témoin D._, conseiller en clientèle auprès de la Banque Y._, qui a indiqué que C._, client de la banque, entendait déposer un gros colis dans un coffre qu'il souhaitait louer à cet effet; dans la mesure où la banque ne disposait pas de coffres de taille suffisante, D._ avait autorisé ce client à entreposer le paquet dans la chambre forte de la banque, à titre provisoire et exceptionnel, le temps de trouver une autre solution. B.c Par jugement du 15 mars 2007, le Tribunal de première instance a débouté X._ des fins de sa demande. Par arrêt du 14 septembre 2007, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a rejeté l'appel interjeté par X._ contre ce jugement, qu'elle a confirmé. En substance, les juges cantonaux ont considéré qu'une responsabilité contractuelle de la Banque Y._ ne pouvait pas être retenue, dès lors que A._ n'avait pas la qualité d'organe de fait ou d'organe apparent de la banque et qu'on cherchait de plus en vain dans le dossier trace d'une relation contractuelle entre X._ et la banque. Les conditions d'une responsabilité délictuelle de la banque selon l'art. 55 CO n'étaient pas non plus réalisées, dès lors que A._ avait mené l'opération litigieuse dans un cadre strictement privé et qu'il n'avait pas agi dans l'accomplissement de son travail. Enfin, un acte illicite au sens de l'art. 41 CO, fondé sur un non-respect des dispositions de la LBA, ne pouvait pas être retenu, en l'absence de toute enquête qui aurait pu être menée par les autorités compétentes pour veiller au respect de ces dispositions; au demeurant, on voyait difficilement que la banque ait su ou dû savoir que la marchandise entreposée temporairement dans sa chambre forte provenait d'un crime. C. Contre l'arrêt de la Cour de justice, X._ interjette un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral. Sur recours constitutionnel subsidiaire, il conclut avec suite de frais et dépens à l'annulation de l'arrêt attaqué. Sur recours en matière civile, il conclut, toujours avec suite de frais et dépens, principalement à la réforme de l'arrêt attaqué dans le sens de l'admission des conclusions de la demande et subsidiairement à l'annulation de cet arrêt, le dossier étant renvoyé à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. La Banque Y._ conclut avec suite de dépens au rejet du recours. 