Sachverhalt: A. A.a S._, geboren 1948, war bis 23. September 2004 (letzter effektiver Arbeitstag) als Hilfsarbeiterin tätig. Am 14. November 2005 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Luzern verfügte am 3. Dezember 2007 die Zusprechung einer Viertelsrente ab 1. September 2005 (bei einem Invaliditätsgrad von 44 %). Die hiegegen erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde der S._ hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 23. September 2008 teilweise gut. Es erwog, seit Februar 2007 sei eine gesundheitliche Verschlechterung ausgewiesen, die weiterer Abklärungen bedürfe und wies die Sache zu diesem Zweck an die IV-Stelle zurück. Im Übrigen bestätigte es die Verfügung vom 3. Dezember 2007. A.b Die IV-Stelle veranlasste ein interdisziplinäres (rheumatologisches und psychiatrisches) Gutachten vom 13. Juli 2009. Mit Verfügungen vom 1. Dezember 2009 sprach sie S._ folgende Renten zu: Mit Wirkung ab 1. September 2005 bis 31. Oktober 2006 sowie vom 1. November 2006 bis 30. April 2007 eine Viertelsrente bei einem IV-Grad von 44 %; ab 1. Mai 2007 eine halbe Rente bei einem Invaliditätsgrad von 58 %. In ihrer Begründung führte die IV-Stelle aus, die Abklärungen hätten eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes ab 16. Februar 2007 ergeben; seither sei medizinisch-theoretisch ein Arbeitspensum von fünf Stunden täglich zumutbar, zu berücksichtigen sei eine Leistungseinschränkung von 35 %. B. Die hiegegen erhobene Beschwerde der S._, mit welcher sie die Zusprechung einer ganzen Rente, eventualiter die Rückweisung zur weiteren (Befas-) Abklärung beantragte, hiess das kantonale Verwaltungsgericht mit Entscheid vom 13. Juli 2010 in dem Sinne gut, als es die Verfügung vom 1. Dezember 2009 aufhob und die IV-Stelle verpflichtete, S._ ab 1. Mai 2007 eine ganze Rente auszurichten. In der Zeit vom 1. Februar bis 30. April 2007 bestehe Anspruch auf eine Viertelsrente (Ziffer 1 Dispositiv). Die Gerichtskosten seien von der IV-Stelle zu tragen (Ziffer 2 Dispositiv); diese habe S._ eine Parteientschädigung zu bezahlen (Ziffer 3 Dispositiv). C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, Ziffer 1 Dispositiv des angefochtenen Entscheides sei insofern aufzuheben, als die Verfügung vom 1. Dezember 2009 aufgehoben und die IV-Stelle verpflichtet werde, rückwirkend ab 1. Mai 2007 eine ganze Rente auszurichten. Ziffern 2 und 3 Dispositiv seien aufzuheben und es sei die Richtigkeit der Verfügung vom 1. Dezember 2009 festzustellen. Überdies sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der Beschwerde, das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. 