Sachverhalt: A. Die 1960 geborene N._ war in der Administration der Firma M._ tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 9. November 2003 erlitt sie einen Verkehrsunfall. Sie sass als Beifahrerin vorne in einem Mazda MPV. Dieser stand innerorts als hinterstes von drei vor einem Fussgängerstreifen wartenden Fahrzeugen. Ein nachfolgender VW Sharan prallte ins Heck des Mazda, der dadurch gegen den davor stehenden Hyundai Lantra geschoben wurde. Wegen danach aufgetretenen Beschwerden suchte N._ am folgenden Tag den Hausarzt auf, welcher ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) diagnostizierte und eine Arbeitsunfähigkeit bestätigte. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Nach Abklärungen zum Unfallhergang und zum medizinischen Sachverhalt eröffnete sie der Versicherten mit Verfügung vom 25. April 2007, die Leistungen würden auf den 30. April 2007 eingestellt. Zudem verneinte sie einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch bestehenden Beschwerden stünden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang zum Unfall vom 9. November 2003. Daran hielt die SUVA auf Einsprache der Versicherten hin fest (Einspracheentscheid vom 6. August 2007). B. Die von N._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 20. Februar 2008 ab. C. N._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der kantonale Gerichtsentscheid aufzuheben und die SUVA anzuweisen, weiterhin und rückwirkend die gesetzlichen Leistungen zu erbringen sowie den Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung zu prüfen. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. 