Faits: A. X._, ressortissante coréenne, née en 1976, s'est inscrite au mois de juin 2006 auprès de l'Institut des Hautes Etudes Internationales et du Développement (ci-après: l'IHEID), à Genève, pour suivre un programme de master en études internationales, spécialisation « Economie internationale ». La durée des études était de quatre semestres consécutifs, pendant lesquels l'étudiante devait obtenir 120 crédits, dont 30 provenaient du mémoire et 90 de la réussite aux examens. En septembre 2007 déjà, X._ avait du retard dans l'obtention des crédits prévus par le programme. Au mois de février 2008, le Professeur A._, responsable du département d'économie, lui a indiqué qu'une prolongation d'une année serait envisageable, si elle suivait le dernier semestre de cours en passant les cinq examens correspondants et qu'elle présentait son mémoire à temps. L'intéressée a réussi deux examens au terme du semestre d'été 2008 et a déposé son mémoire à la fin du mois de septembre 2008, après avoir reçu de l'aide du Dr B._, professeur invité par l'IHEID pour l'année académique 2006-2007 et travaillant depuis au Fonds monétaire international. Ce dernier lui avait conseillé de changer de sujet et de reprendre une problématique dont lui-même s'occupait, en étendant ses recherches dans des domaines non encore explorés. Considérant que le mémoire de X._ constituait un plagiat des travaux du Dr B._, dont elle avait repris les résultats sans mentionner ses sources, le Professeur A._ a transmis le dossier au directeur du Master. B. Par décision du 9 octobre 2008, l'IHEID a prononcé l'élimination de X._, au motif qu'elle n'avait pas obtenu le total de 90 crédits d'enseignement requis par le programme et qu'elle avait commis un acte de plagiat dans son mémoire. X._ a fait opposition contre cette décision et a obtenu de pouvoir suivre les cours pendant la durée de la procédure. A l'issue du cinquième semestre, elle s'est présentée à deux examens qu'elle a réussis. Le 19 février 2009, le professeur d'économétrie, branche où elle avait obtenu la note 5 à l'examen, a appuyé sa demande d'extension d'une année académique. Par décision du 18 mars 2009, le directeur de l'IHEID a rejeté l'opposition. Estimant que le plagiat était grave, il a jugé l'élimination conforme au principe de la proportionnalité. Il a en outre relevé que l'étudiante n'avait acquis, au 29 septembre 2008, que 48 crédits sur les 90 requis, de sorte qu'il n'y avait pas lieu d'entrer en matière sur ses autres requêtes, notamment la prolongation d'une année. C. Statuant sur le recours de X._, le Tribunal administratif du canton de Genève l'a admis partiellement, par arrêt du 1er juin 2010. Il a ainsi annulé la décision du 18 mars 2009 en tant qu'elle portait sur le plagiat, en considérant que la recourante ne pouvait pas être éliminée pour ce motif. En revanche, il a estimé que cette décision devait être confirmée en tant qu'elle se fondait sur l'insuffisance des crédits obtenus par l'intéressée à l'issue du quatrième semestre. D. Agissant par la voie du recours de droit public (recte: recours en matière de droit public), X._ conclut, avec suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt du Tribunal administratif du 1er juin 2010 et demande au Tribunal fédéral de : « 1. Ordonner à l'IHEID d'organiser les examens prévus par le règlement en vue de l'obtention d'un master en économie à l'exception des matières où la recourante a obtenu une note supérieure ou égale à 4; 2. Dire que ce nouvel examen ne pourra porter que sur la documentation remise à la recourante durant les quatre semestres effectués à l'IHEID depuis l'automne 2006 à l'été 2008; 3. Faire évaluer le mémoire déposé par Madame X._ au mois de septembre 2008 intitulé « Fiscal policy and interest rates in the european union: an empirical Analysis » par un nouveau jury en faisant abstraction du grief de plagiat (...). » La recourante présente aussi une demande d'assistance judiciaire. Le Tribunal administratif persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. L'IHEID, représenté par sa Fondation, conclut, avec suite de frais et dépens, au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. 