Faits: A. N._, né en 1955, a été victime d'une contusion-distorsion du genou gauche le 5 octobre 1985. La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA) a pris en charge le cas. Souffrant de chondromalacie rotulienne, il n'a pas repris son activité de représentant mais a été engagé dès le 29 août 1988 en qualité d'éducateur stagiaire par la Fondation X._. A ce titre, il était assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Fribourgeoise Générale d'Assurances (ci-après : la Fribourgeoise). Le 31 octobre 1988, il a été victime d'un accident de la circulation, ensuite duquel il a subi une entorse grave du genou droit avec une déchirure du ligament croisé postérieur et du ligament latéral interne. Il a repris son travail à 20 % dès le 3 février 1989, à 50 % dès le 28 février 1989, à 66 2/3 % dès le 3 avril 1989 et à 100 % à partir du 1er juin 1989. La Fribourgeoise a pris en charge le cas. Après avoir confié une expertise au docteur P._, spécialiste en chirurgie orthopédique (rapport du 1er avril 1996), l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg a alloué à l'assuré, dès le 1er février 1996, un quart de rente d'invalidité fondé sur un taux de 40 % (décision du 13 février 1997). De son côté, la Fribourgeoise a alloué à N._, dès le 1er septembre 1996, une rente d'invalidité fondée sur une incapacité de gain de 50 % (décision du 9 janvier 1998). La Fribourgeoise a confié ensuite une expertise au docteur R._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie. Dans un rapport du 10 juillet 1998, l'expert a indiqué une gonarthrose surtout fémoro-tibiale interne du genou droit, une instabilité postérieure du genou droit, un syndrome rotulien bilatéral et une chondropathie rotulienne post-traumatique gauche. Il a attesté que la capacité de travail résiduelle en relation avec le genou gauche, dans la profession d'éducateur de rue, était de 100 %, et qu'elle était en tout cas de 75 % en ce qui concerne le genou droit. Aussi, par décision du 18 septembre 1998, confirmée sur opposition le 12 mai 1999, la Fribourgeoise a-t-elle alloué à l'assuré, dès le 1er octobre 1998, une rente fondée sur un taux d'invalidité de 20 %. B. N._ a quitté la Suisse pour s'établir à l'étranger. Il a formé recours contre la décision sur opposition devant la Cour des assurances sociales du Tribunal administratif du canton de Fribourg, en faisant valoir que les conditions pour la révision de son droit à la rente n'étaient pas remplies. Par jugement du 21 décembre 2000, la juridiction cantonale a annulé la décision sur opposition du 12 mai 1999 et renvoyé la cause à la Fribourgeoise pour instruction complémentaire dans le sens des considérants et nouvelle décision. Saisi d'un recours de N._, le Tribunal fédéral des assurances a annulé ce jugement et renvoyé la cause à la Cour des assurances sociales du Tribunal administratif du canton de Fribourg pour nouveau jugement après instruction complémentaire sur le point de savoir si et dans quelle mesure, lors de la décision sur opposition du 12 mai 1999, l'intéressé subissait une diminution de sa capacité résiduelle de travail en raison des troubles imputables à l'accident du 31 octobre 1988 (arrêt du 21 novembre 2001, U 58/01). C. Invité par la juridiction cantonale à se déterminer sur les prises de position du docteur B._ des 25 novembre 1997 et 5 mai 1998, le docteur R._ a consigné ses observations dans une lettre du 4 mars 2002. De son côté, le docteur B._ a informé le Tribunal administratif qu'il avait cessé son activité professionnelle au 31 décembre 2001 et qu'il ne s'exprimerait pas sur les rapports du docteur R._ (à savoir l'expertise du 10 juillet 1998 et les observations du 4 mars 2002). Entre-temps, le portefeuille de Coop Générale d'Assurances SA, anciennement La Fribourgeoise Générale d'Assurances, a été transféré à la Nationale Suisse Assurances (ci-après : La Nationale). Par jugement du 22 avril 2004, la Cour des assurances sociales du Tribunal administratif du canton de Fribourg a admis le recours formé par N._ contre la décision de réduction du droit à la rente et annulé la décision sur opposition du 12 mai 1999. D. La Nationale a interjeté un recours de droit administratif contre ce jugement, en reprochant à la juridiction cantonale de n'avoir pas instruit l'affaire dans le sens indiqué par le Tribunal fédéral des assurances dans son arrêt de renvoi du 21 novembre 2001, qui l'obligeait à procéder à une expertise médicale. Par arrêt du 25 avril 2005 (U 194/04), le Tribunal fédéral des assurances a annulé le jugement entrepris et renvoyé la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle procède selon les considérants de l'arrêt du 21 novembre 2001, en mettant en oeuvre une expertise médicale. E. La juridiction cantonale a alors confié une expertise au professeur D._, médecin-chef à l'Hôpital Y._ (rapport du 27 décembre 2006). Depuis le 1er janvier 2008, c'est la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Fribourg qui est compétente pour connaître du contentieux des assurances sociales. Par jugement du 20 mars 2008, elle a admis le recours de l'assuré et annulé la décision sur opposition du 12 mai 1999. Elle a considéré, en résumé, que le taux d'invalidité ne s'était pas modifié entre les mois de janvier 1998 et mai 1999 au point de justifier la révision du droit à la rente et que les conditions de reconsidération de la décision initiale d'octroi de la rente du 9 janvier 1998 n'étaient dès lors pas réalisées. F. La Nationale interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande l'annulation, en concluant à la confirmation de la décision sur opposition du 12 mai 1999, subsidiairement au renvoi de la cause à la juridiction cantonale. En outre, elle demande l'octroi de l'effet suspensif. L'intimé conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens. Il s'en remet à justice quant à l'octroi de l'effet suspensif. De son côté, l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations. G. Par ordonnance du 18 août 2008, le juge instructeur a admis la requête d'effet suspensif. 