Sachverhalt: A. Die 1988 geborene serbische Staatsangehörige X._ reiste am 2. April 2008 im Rahmen des Familiennachzugs zu ihrem hier niederlassungsberechtigten Ehegatten in die Schweiz ein, worauf ihr eine Aufenthaltsbewilligung erteilt und letztmals bis zum 30. April 2011 verlängert wurde. Am 1. Oktober 2009 wurde den Ehegatten eine gemeinsame Tochter geboren. Am 8. August 2010 zog X._ aus der ehelichen Wohnung aus. Mit Urteil vom 2. November 2010 stellte der Gerichtspräsident von Muri/AG im Eheschutzverfahren die gemeinsame Tochter für die Dauer des Getrenntlebens unter die Obhut der Kindsmutter; dem Kindsvater wurde ein Besuchsrecht für jedes zweite Wochenende eingeräumt. Überdies verpflichtete der Gerichtspräsident den Ehemann von X._ zur monatlichen Leistung von Fr. 700.-- zuzüglich Kinderzulagen an den Unterhalt der gemeinsamen Tochter sowie von monatlich Fr. 1'000.-- an den persönlichen Unterhalt von X._. Am 24. Februar 2011 sprach ein vom Ehemann angerufenes serbisches Gericht die Scheidung aus. Die Unterhaltspflicht des geschiedenen Ehemanns wurde neu auf EUR 200.-- / Monat festgelegt. Mit Verfügung vom 23. Dezember 2010 lehnte das Migrationsamt des Kantons Aargau (heute: Amt für Migration und Integration Kanton Aargau) das Gesuch von X._ um Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung ab und es wies sie aus der Schweiz weg. B. Gegen die Verfügung des Migrationsamtes erhob X._ Einsprache bei dessen Rechtsdienst, welcher das Rechtsmittel jedoch mit Entscheid vom 20. Juni 2011 abwies. Dagegen beschwerte sich X._ am 20. Juli 2011 beim damaligen Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau. Dieses wurde per 1. Januar 2013 in das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau integriert. Mit Urteil vom 19. Februar 2013 hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerde gut und es wies das Amt für Migration und Integration an, die Aufenthaltsbewilligung von X._ zu verlängern. C. Mit Eingabe vom 15. April 2013 führt das Bundesamt für Migration Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht und stellt den Antrag, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 19. Februar 2013 sei aufzuheben. Das Bundesamt begründet dies im Wesentlichen damit, X._ habe keinen Anspruch auf eine Bewilligungsverlängerung. X._ beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventualiter sei sie abzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau schliesst ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde. Das Amt für Migration und Integration Kanton Aargau beantragt dagegen deren Gutheissung. 