Sachverhalt: Sachverhalt: A. A.a Mit Beschluss vom 16. Dezember 1997 nahm der Regierungsrat des Kantons Zug unter anderem die von der Klinik X._ AG betriebene Klinik X._ "mit 50 Betten, zuzüglich Säuglings- und Spezialbetten" in die Spitalliste auf. Im beigefügten Antrag der Sanitätsdirektion wurde ausgeführt, die Aufnahme sei an die Bedingung geknüpft, dass nur 50 Betten betrieben würden; entsprechend laute auch das Gesuch. Am 1. März 1998 nahm die Klinik ihren Betrieb auf und unterhielt in der Folge 52 Betten, was weder vom Regierungsrat noch von den Krankenversicherern beanstandet wurde. Im Jahr 1999 kam es zwischen dem Zentralschweizer Krankenversicherer-Verband (ZKV) und der Klinik X._ AG zu Tarifstreitigkeiten. Nachdem die Tarifverhandlungen zu keiner Einigung geführt hatten, legte der Regierungsrat am 30. Januar 2001 nach Art. 47 KVG die Tarife fest. Dagegen führten sowohl santésuisse (als Rechtsnachfolgerin des ZKV) als auch die Klinik X._ AG Beschwerde beim Bundesrat. Im Rahmen dieses Beschwerdeverfahrens äusserte sich das Bundesamt für Justiz am 24. Dezember 2002 in einem an den Rechtsvertreter der Klinik X._ AG gerichteten Schreiben dahingehend, dass eine Überprüfung der von der Klinik geltend gemachten Kosten für die Anlagennutzung nur mittels einer Expertise möglich wäre, deren Anordnung indessen unverhältnismässig sei. Stattdessen biete sich ein - von der Klinik akzeptierter - Vergleich mit der von der Zentralstelle für Medizinaltarife UVG vorgenommenen Berechnung der normativen Investitions- und Grundstückskosten an, welche zwar erst ab 2000 (auf der Grundlage von 66 Betten) vorliege, aber auch für das Jahr 1999 (in welchem Jahr die Klinik nur über 52 Betten verfügt habe) herangezogen werden könne. Die Klinik X._ AG machte von der ihr eingeräumten Gelegenheit zur Stellungnahme am 27. Januar 2003 Gebrauch und führte unter anderem zur Bettenzahl aus, dass sie grundsätzlich 52 durchschnittlich betriebene, KVG-relevante Betten (gemäss Spitalliste) habe und effektiv 66 Betten im Haus seien, um die saisonalen Schwankungen auffangen und auf den wechselnden Patientenmix in der Versicherungsklasse (Einbettzimmer, welche auch als Zweibettzimmer genutzt werden können) flexibel reagieren zu können; für die Berechnung der Anlagennutzungskosten seien daher die effektiven Betten massgebend. Diese Stellungnahme wurde in der Folge den übrigen Verfahrensparteien (Regierungsrat sowie santésuisse) zugestellt. Mit Eingabe vom 18. Februar 2003 an das Bundesamt für Justiz vertrat die Gesundheitsdirektion die Auffassung, es sei nicht haltbar, die Planbettenzahl gemäss Spitalliste nach Gutdünken der Klinik auf 66 aufzustocken. Der Rechtsvertreter von santésuisse wies mit Schreiben vom 24. Februar 2003 "mit allem Nachdruck" darauf hin, dass bloss 50 Betten in die Spitalliste aufgenommen worden seien, weshalb sich das Berechnungsmodell nicht auf eine höhere Bettenzahl beziehen dürfe. Ob effektiv 66 Betten im Haus seien, sei nicht von Bedeutung. Diese Auffassung bekräftigte er mit Eingabe vom 13. März 2003. Mit Entscheid vom 2. Juli 2003 hiess der Bundesrat die beiden Beschwerden teilweise gut und legte die Tagespauschale für die allgemeine Abteilung neu fest. Dabei ging er für die Berechnung der Anlagennutzungskosten von einer bereits seit 1998 bestehenden Bettenzahl von 66 aus mit der Begründung, für die Tarifberechnung sei von den effektiven Verhältnissen auszugehen, auch wenn sie der Spitalliste klar widersprächen. A.b Anlässlich des Antrittsbesuchs des neuen Direktors der Klinik X._ am 13. März 2003 konfrontierte die Gesundheitsdirektion die Vertreter der Klinik mit der Aussage betreffend die effektive Bettenzahl gemäss Rechtsschrift vom 27. Januar 2003. Am 9. April 2003 richtete die Gesundheitsdirektion sodann ein Schreiben an die Klinik X._ AG, in welchem sie unter Bezugnahme auf die erwähnte Rechtsschrift vom 27. Januar 2003, die seitherigen Gespräche sowie einen Artikel in der Neuen Zuger Zeitung vom 3. April 2003 ausführte, dass sie sich veranlasst sehe, ein Verfahren betreffend Bettenzahl einzuleiten. In ihrem Antwortschreiben vom 28. April 2003 stellte sich die Klinik X._ AG auf den Standpunkt, es sei bereits seit längerem bekannt, dass sie 66 Betten betreibe, und verwies dazu unter anderem auf einen Artikel in der Neuen Zuger Zeitung vom 15. Mai 2001, in welchem bereits von 66 Betten zu Spitzenzeiten (durchschnittlich 52 Betten) die Rede war. Die Spitalplanung beziehe sich nur auf Betten der Allgemeinabteilung; der Kanton sei nicht befugt, die Bettenzahl auf den Zusatzversicherungsabteilungen zahlenmässig zu beschränken. Sie habe die KVG-relevante Auslastungsgrenze von Betten in all den Jahren ihres Bestehens nie überschritten. Am 5. Mai 2003 reichte sie eine Jahresstatistik nach, gemäss welcher sie in den Jahren von 1998-2003 in Bezug auf die Zahl von 50 Betten eine Auslastung von 39.36-76.02 % erzielt habe. Am 27. Mai 2003 beschloss der Regierungsrat, gemäss rechtskräftiger Spitalliste dürfe die Klinik X._ maximal 50 Krankenbetten für Erwachsene, zuzüglich Säuglings- und Spezialbetten, betreiben, was für alle Versicherungsklassen gelte; die Klinik wurde aufgefordert, den Kapazitätsbeschränkungen innert vier Monaten uneingeschränkt Beachtung zu schenken. Gegen diesen Beschluss erhob die Klinik X._ AG am 1. Juli 2003 Beschwerde an den Bundesrat. Darin führte sie aus, sie betreibe, was seit langem bekannt sei, 66 Betten. Die Spitalplanung und die darin festgelegte Bettenzahl gelte nicht für die Zusatzversicherungsbetten. Zudem überschreite sie die festgelegte Zahl von 50 Betten nicht, da es sich bei 17 ihrer Betten um Spezialbetten handle, welche zusätzlich zu den 50 Betten zulässig seien. Der Bundesrat folgte der Auffassung der Klinik X._ AG, wonach im Bereich der Zusatzversicherungsbetten keine Planungshoheit bestehe, nicht und wies die Beschwerde mit Entscheid vom 13. April 2005 ab. Auf die von der Klinik X._ AG hiergegen eingereichte Verwaltungsgerichtsbeschwerde trat das damalige Eidgenössische Versicherungsgericht (seit 1. Januar 2007: Bundesgericht) mit Urteil K 71/05 vom 28. Dezember 2005 (publiziert in BGE 132 V 6) nicht ein. A.c Mit Schreiben vom 18. Juli 2003 verlangte santésuisse Zentralschweiz von der Klinik X._ AG eine Rückforderung ungerechtfertigt erbrachter Leistungen im Umfang von Fr. 11'437'541.-, weil gemäss Darstellung der Klinik X._ AG im Tariffestsetzungsverfahren vor dem Bundesrat entgegen der Spitalliste 66 statt 50 Betten betrieben worden seien. A.c Mit Schreiben vom 18. Juli 2003 verlangte santésuisse Zentralschweiz von der Klinik X._ AG eine Rückforderung ungerechtfertigt erbrachter Leistungen im Umfang von Fr. 11'437'541.-, weil gemäss Darstellung der Klinik X._ AG im Tariffestsetzungsverfahren vor dem Bundesrat entgegen der Spitalliste 66 statt 50 Betten betrieben worden seien. B. Am 31. März 2004 erhoben die im Rubrum erwähnten Krankenversicherer, vertreten durch santésuisse Zentralschweiz, Klage beim Verwaltungsgericht des Kantons Zug als Schiedsgericht nach Art. 89 KVG mit dem Rechtsbegehren, es sei der Rückforderungsbetrag, welchen die Klinik X._ AG als Beklagte wegen Verstosses gegen die Spitalliste für die Jahre 1998 bis 2003 rückzuerstatten habe, zu ermitteln, und die Beklagte zu verpflichten, diesen Betrag nebst 5 % Zins seit 1. Januar 2001 zurückzuerstatten. Den Klägern sei Gelegenheit zu geben, ihre Ansprüche nach Abschluss des Beweisverfahrens zu präzisieren; unter Kosten- und Entschädigungsfolge zulasten der Beklagten. Die Klinik X._ AG beantragte die Abweisung der Klage, soweit darauf einzutreten sei. Sie bestritt bezüglich einiger Klägerinnen die sachliche Zuständigkeit des Schiedsgerichts, da das vertraglich vereinbarte Schlichtungsverfahren nicht durchgeführt worden sei. Des Weitern machte sie Verwirkung der Forderung geltend. Replicando erweiterten die Kläger ihr Rückforderungsbegehren auf das Jahr 2004; die Klinik X._ AG beantragte duplicando Nichteintreten auf die Klageerweiterung und hielt im Übrigen an den in der Klageantwort gestellten Anträgen fest. Mit Entscheid vom 19. April 2006 wies das Schiedsgericht die Klage ab, soweit es darauf eintrat. Zur Zuständigkeit führte es aus, ein lediglich vertraglich vereinbartes Vermittlungsverfahren schliesse die direkte Einreichung einer Klage beim Schiedsgericht nicht aus; ohnehin habe im Zeitpunkt der Klageeinreichung keine entsprechende Vereinbarung mehr bestanden. In der Sache erwog es, spätestens mit der Zustellung der Eingabe der Beklagten vom 27. Januar 2003 hätten die Kläger Kenntnis erhalten, dass die Beklagte 66 Betten betreibe. Die am 31. März 2004 eingereichte Klage sei demnach verwirkt. Zudem könnten in Kenntnis der Unrechtmässigkeit vorbehaltlos ausgerichtete Leistungen nicht mehr zurückgefordert werden, was mindestens für die ab Anfang Februar 2003 geleisteten Zahlungen zutreffe. Die Frage nach der Zulässigkeit der Klageerweiterung für die Leistungen des Jahres 2004 sei unter diesen Umständen nicht mehr von entscheidender Bedeutung. Da das Schiedsgericht in seiner Praxis die Klageerweiterung nicht zulasse, stelle sich einzig die Frage, ob das Gericht nicht gehalten gewesen wäre, die Kläger auf die Unzulässigkeit der Klageerweiterung hinzuweisen; selbst wenn man dies annähme, wäre aber die Rückforderung der in Kenntnis der Unrechtmässigkeit erbrachten Leistungen ausgeschlossen. Mit Entscheid vom 19. April 2006 wies das Schiedsgericht die Klage ab, soweit es darauf eintrat. Zur Zuständigkeit führte es aus, ein lediglich vertraglich vereinbartes Vermittlungsverfahren schliesse die direkte Einreichung einer Klage beim Schiedsgericht nicht aus; ohnehin habe im Zeitpunkt der Klageeinreichung keine entsprechende Vereinbarung mehr bestanden. In der Sache erwog es, spätestens mit der Zustellung der Eingabe der Beklagten vom 27. Januar 2003 hätten die Kläger Kenntnis erhalten, dass die Beklagte 66 Betten betreibe. Die am 31. März 2004 eingereichte Klage sei demnach verwirkt. Zudem könnten in Kenntnis der Unrechtmässigkeit vorbehaltlos ausgerichtete Leistungen nicht mehr zurückgefordert werden, was mindestens für die ab Anfang Februar 2003 geleisteten Zahlungen zutreffe. Die Frage nach der Zulässigkeit der Klageerweiterung für die Leistungen des Jahres 2004 sei unter diesen Umständen nicht mehr von entscheidender Bedeutung. Da das Schiedsgericht in seiner Praxis die Klageerweiterung nicht zulasse, stelle sich einzig die Frage, ob das Gericht nicht gehalten gewesen wäre, die Kläger auf die Unzulässigkeit der Klageerweiterung hinzuweisen; selbst wenn man dies annähme, wäre aber die Rückforderung der in Kenntnis der Unrechtmässigkeit erbrachten Leistungen ausgeschlossen. C. Die im Rubrum erwähnten Krankenversicherer erheben Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag, es sei der Entscheid des Schiedsgerichts aufzuheben und die Sache zur Ermittlung der Rückforderungssumme an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Klinik X._ AG schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die Klinik X._ AG schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Die Beschwerdeführer reichten am 10. November 2006 Gegenbemerkungen zur Vernehmlassung ein, zu welchen die Beschwerdegegnerin am 1. Dezember 2006 Stellung nahm. 