Art. 4 aBV (Zivilprozess), hat sich ergeben: A.- Am 18. Juni 1998 reichte A.J._ beim Bezirksgericht Brig eine Klage gegen die Versicherung X._ ein. Sie beantragte, ihr ein Geburtengeld im Betrag von Fr. 7'000.-- nebst Zins zu 5% seit dem 7. Dezember 1997 zuzusprechen. Mit Entscheid vom 23. Februar 2000 wies der Bezirksrichter II von Brig die Klage ab. Hiergegen legte A.J._ am 9. Juni 2000 Berufung zu Händen des Kantonsgerichts Wallis ein. Das Kantonsgericht (Zivilgerichtshof I) erwog, laut der am 1. Januar 1999 in Kraft getretenen neuen Zivilprozessordnung (ZPO/VS) sei für hängige Verfahren das alte Recht, für Rechtsmittelverfahren jedoch das neue Recht massgebend. Da die Voraussetzungen für eine Umwandlung der Berufung in eine Nichtigkeitsklage hier nicht erfüllt seien, könne auf das Rechtsmittel nicht eingetreten werden (Urteil vom 1. Dezember 2000). B.- Mit Eingabe vom 16. Januar 2001 führt A.J._ staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht. Sie beantragt, das angefochtene Urteil aufzuheben. Die Beschwerdegegnerin hat keine Vernehmlassung eingereicht. Der Zivilgerichtshof I des Kantonsgerichts Wallis hat auf eine Stellungnahme verzichtet. 