Faits: A. La parcelle n° 536 du registre foncier de Saillon supporte les installations d'un centre thermal. Sur les parcelles voisines sont construits un hôtel et des immeubles résidentiels. Un bar a été aménagé dans le bâtiment sis sur la parcelle n° 536; il a été exploité pendant de nombreuses années sous l'enseigne "X._". Le 22 février 2007, B._ a requis auprès de la commune de Saillon l'autorisation d'exploiter un bar sous l'enseigne "Y._", sur le site de l'ancien "X._". Mise à l'enquête publique par avis paru au Bulletin officiel du canton du Valais du 2 mars 2007, cette requête a suscité diverses oppositions, dont celle de A._. Ce dernier est propriétaire des parcelles n° 525 et 526 sises à environ 300 m du bar, ainsi que d'un studio situé à environ 125 m du bar sur la parcelle n° 3101. Par décision du 3 avril 2007, le Conseil municipal de Saillon a délivré l'autorisation d'exploiter et a rejeté les oppositions. B. A._ a recouru contre cette décision devant le Conseil d'Etat du canton du Valais, faisant valoir que les fenêtres de son studio donnaient sur la route qui mène au bar et à quelques mètres d'un parking qui serait utilisé par la clientèle. De plus, il prévoyait de construire un immeuble sur ses parcelle n° 525 et 526, devant lesquelles passe la route qu'emprunteraient les clients du "Y._". Invoquant l'art. 5 de la loi cantonale sur l'hébergement, la restauration et le commerce de détail de boissons alcoolisées (RS/VS 935.3), il soutenait que l'autorisation d'exploiter ne pouvait pas être délivrée en raison de diverses violations du droit des constructions (défaut d'autorisation pour changement d'affectation) et du droit de l'environnement (protection contre le bruit). Par décision du 27 juin 2007, le Conseil d'Etat a déclaré ce recours irrecevable, au motif que A._ n'avait pas la qualité pour recourir. Il a considéré en substance que le studio de l'intéressé était séparé de l'établissement litigieux par un hôtel formant un obstacle important aux éventuelles nuisances sonores, que le studio était utilisé comme bureau et que ses fenêtres étaient orientées dans la direction opposée du lieu où se situe le bar. Il relevait également que le parking proche de l'établissement litigieux avait une capacité suffisante pour éviter que les clients ne stationnent à proximité du studio. Quant aux parcelles n° 525 et 526, elles étaient situées à plus de 300 m du bar, à hauteur d'un giratoire et en bordure d'une route fréquentée. Le Conseil d'Etat concluait que A._ ne pouvait pas raisonnablement prétendre qu'il serait gêné ou perturbé par d'éventuelles nuisances sonores pouvant émaner de l'établissement "Y._". C. A._ a recouru contre cette décision auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal). Il reprochait au Conseil d'Etat de lui avoir dénié à tort la qualité pour recourir, en violation de l'art. 44 de la loi cantonale sur la procédure et la juridiction administratives (LPJA; RS/VS 172.6). Le Tribunal cantonal a rejeté ce recours par arrêt du 28 septembre 2007. Il relevait en substance que l'autorisation d'exploiter ne changeait ni le type de patente, ni le mode d'exploitation de l'établissement, que le studio de A._ était orienté de sorte que ses occupants ne pouvait pas être incommodés par le parking du bar, qu'il n'était aucunement établi que le parking proche du studio serait utilisé par la clientèle et, enfin, que l'hôtel et le complexe du centre thermal faisaient complètement écran aux nuisances sonores que pourrait générer l'établissement litigieux. Pour le surplus, tant le studio que les parcelles n° 525 et 526 étaient situés en bordure de routes relativement fréquentées. Par conséquent, A._ n'était pas incommodé plus que quiconque par les nuisances prévisibles pouvant résulter de l'exploitation en cause. D. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt, de lui reconnaître la qualité pour recourir en procédure cantonale et, subsidiairement, de renvoyer l'affaire au Tribunal cantonal pour nouvelle décision. Il invoque une application arbitraire (art. 9 Cst.) d'une disposition cantonale régissant la qualité pour recourir et se plaint d'une violation de son droit d'être entendu ainsi que d'un déni de justice formel (art. 29 Cst.). Il invoque en outre l'art. 111 al. 1 LTF. Le Tribunal cantonal a renoncé à présenter des observations. B._ s'est déterminé; il conclut au rejet du recours. Le Conseil d'Etat a également présenté des observations. Ces déterminations ont été transmises au recourant. 