Sachverhalt: Sachverhalt: A. Die 1934 geborene G._ führt seit Jahren eine Praxis als Naturheilärztin in S._. Sie ist bei der Allianz Suisse Versicherungen (nachfolgend: Allianz) gegen die gesundheitlichen und erwerblichen Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen im Rahmen des Bundesgesetzes über die Unfallversicherung freiwillig versichert. Am 29. März 1999 verletzte sich G._ bei einem Sturz an beiden Schultern (Humeruskopffraktur beidseits). Die Allianz erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Am 18. Januar 2000 wurde G._ in der Klinik X._ an der rechten Schulter operiert. Wegen protrahierten Verlaufs mit persistierenden Restbeschwerden und Bewegungseinschränkung wurde im Rahmen eines stationären Kuraufenthaltes vom 8. bis 24. April 2000 intensive physikalische Therapie unter ärztlicher Leitung durchgeführt. Zur Abklärung der weiteren Leistungspflicht liess die Allianz G._ durch Dr. med. M._, Chirurgie FMH, und Prof. Dr. med. L._, Neurologie FMH, untersuchen (Expertisen vom 31. Oktober 2001 und 14. Januar 2002). Mit Verfügung vom 14. Mai 2002 stellte die Allianz die Versicherungsleistungen zum 1. November 2001 ein. Daran hielt der Unfallversicherer mit Einspracheentscheid vom 16. Dezember 2002 fest. Mit Verfügung vom 14. Mai 2002 stellte die Allianz die Versicherungsleistungen zum 1. November 2001 ein. Daran hielt der Unfallversicherer mit Einspracheentscheid vom 16. Dezember 2002 fest. B. In Gutheissung der Beschwerde von G._ hob das Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserhoden mit Entscheid vom 19. November 2003 den Einspracheentscheid auf und wies die Allianz an, weiterhin die gesetzlichen Leistungen zu erbringen. B. In Gutheissung der Beschwerde von G._ hob das Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserhoden mit Entscheid vom 19. November 2003 den Einspracheentscheid auf und wies die Allianz an, weiterhin die gesetzlichen Leistungen zu erbringen. C. Die Allianz führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben. G._ lässt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. 