Sachverhalt: A. Der 1954 geborene K._ verletzte sich am 2. Dezember 1998 bei einem Unfall an der rechten Schulter. Die Helsana Versicherungen AG (nachfolgend: Helsana), bei der er über seinen Arbeitgeber obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert war, erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung; Taggeld). Am 1. April 2002 trat K._ eine andere Arbeitsstelle an. Über den neuen Arbeitgeber war er bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch unfallversichert. Ab 12. August 2002 war K._ wegen Schmerzen an der rechten Schulter wiederum vollständig arbeitsunfähig. Die Helsana, welcher dies am 2. September 2002 als Rückfall zum Unfall vom 2. Dezember 1998 gemeldet wurde, gewährte erneut Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Während des Bezugs dieser Leistungen erlitt K._ am 22. Oktober 2002 einen weiteren Unfall. Er zog sich dabei schwere Verletzungen zu, welche u.a. zu einer Paraplegie führten und eine gänzliche Arbeitsunfähigkeit bewirkten. Die SUVA, welcher dies am 5. November 2002 gemeldet wurde, verneinte ihre Leistungspflicht mit Schreiben an die Helsana vom 23. Dezember 2002. Zuständig sei gemäss Art. 77 UVG in Verbindung mit Art. 100 Abs. 1 UVV die Helsana. Mit Schreiben an die SUVA vom 24. März 2003 bejahte die Helsana in Bezug auf die Schmerzen an der rechten Schulter einen Rückfall zum 2. Dezember 1998. Sie erklärte sich für den Rückfall und für den Unfall vom 22. Oktober 2002 als leistungspflichtig, da im Zeitpunkt des zweiten Unfalles noch eine volle Arbeitsunfähigkeit wegen des Rückfalls bestanden habe. Darauf kam die Helsana mit Schreiben vom 25. Juli 2006 zurück. Sie vertrat nunmehr die Auffassung, die SUVA habe aufgrund von Art. 100 Abs. 2 UVV die Leistungen für den Rückfall und für den Unfall vom 22. Oktober 2002 zu erbringen. Dementsprechend habe ihr die SUVA die für den Unfall vom 22. Oktober 2002 erbrachten Leistungen zurückzuvergüten. Nachdem sich die SUVA damit nicht einverstanden erklärt hatte, gelangte die Helsana an das Bundesamt für Gesundheit (BAG). Dieses stellte mit Verfügung vom 10. August 2007 fest, die SUVA sei in Analogie zu Art. 100 Abs. 2 UVV für den Rückfall (mit Arbeitsunfähigkeit seit 12. August 2002) und für den Unfall vom 22. Oktober 2002 gegenüber K._ leistungspflichtig, könne jedoch ihre Aufwendungen für den Rückfall von der Helsana zurückfordern. B. Die SUVA erhob hiegegen Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht hiess diese gut, hob die Verfügung des BAG vom 10. August 2007 auf und stellte fest, die Helsana sei für den Rückfall (mit Arbeitsunfähigkeit seit 12. August 2002) und den Unfall vom 22. Oktober 2002 leistungspflichtig und könne dafür keinen Rückgriff auf die SUVA nehmen (Entscheid vom 27. Januar 2009). C. Die Helsana beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts sei aufzuheben und die streitige Leistungspflicht sei gemäss Verfügung des BAG vom 10. August 2007 zu regeln. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. K._ und das BAG verzichten auf eine Vernehmlassung. 