Fatti: A. Il 16 aprile 2010 F._, nato nel 1958, già attivo in qualità di carpentiere, ha presentato una domanda di prestazioni AI lamentando le conseguenze invalidanti di un infortunio subito il 20 agosto 2009. Esperiti gli accertamenti del caso, tra cui in particolare una valutazione medica pluridisciplinare a cura del Servizio X._, l'Ufficio AI del Cantone Ticino (UAI) ha attribuito all'assicurato una rendita intera dal 1° ottobre 2010 al 31 dicembre 2011, negando in seguito il diritto a prestazioni (decisione del 9 novembre 2012, preavvisata il 21 dicembre 2011). Accertata una abilità lavorativa nulla nella professione abituale e limitata al 70% (per rendimento ridotto) dai mesi di giugno/luglio 2011 in attività sostitutive leggere, l'UAI ha infatti stabilito un grado d'invalidità del 31%, insufficiente per il mantenimento del diritto alla rendita. B. F._ si è aggravato al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino al quale ha chiesto di riconoscergli una rendita intera AI anche dopo il 31 dicembre 2011. Con pronuncia del 19 settembre 2013 la Corte cantonale ha respinto il ricorso confermando il rifiuto di una rendita dopo tale data. Aderendo alla valutazione dell'amministrazione in merito al grado d'incapacità lavorativa residua (30%) in attività sostitutiva, il giudice di prime cure ha applicato una riduzione dal reddito base da invalido del 6.8% per tenere conto della differenza tra il reddito senza invalidità realizzato e quello mediamente conseguibile a livello nazionale nello specifico settore economico (gap salariale) e del 10% per tenere conto delle particolarità del caso (capacità di svolgere solo attività leggere), accertando così un tasso d'incapacità di guadagno arrotondato del 39%. C. L'assicurato ha presentato ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale al quale domanda, in via principale, di annullare il giudizio cantonale e di riconoscergli una rendita AI di almeno tre quarti dal 1° gennaio 2012; in via subordinata chiede di rinviare gli atti all'istanza per complemento peritale e nuovo giudizio con riconoscimento di almeno un quarto di rendita da tale data. In ogni caso chiede di essere dispensato dal pagamento delle spese giudiziarie e di essere posto al beneficio del gratuito patrocinio. L'UAI propone la reiezione del gravame, mentre l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali ha rinunciato a determinarsi. 