Sachverhalt: A. X._ (geb. 1988), türkische Staatsangehörige, reiste am 13. September 2004 in die Schweiz ein, nachdem sie am 22. Juli 2004 in ihrer Heimat den in der Schweiz niedergelassenen türkischen Staatsangehörigen Y._ geheiratet hatte. Gestützt auf die Bestimmungen über den Familiennachzug erhielt sie im Kanton Bern eine Aufenthaltsbewilligung, die regelmässig verlängert wurde, letztmals bis zum 9. April 2009. Am 15. April 2006 wurde Z._, der gemeinsame Sohn der Ehegatten, geboren. Wie sein Vater ist er im Besitze der Niederlassungsbewilligung. Mit rechtskräftigem Strafmandat vom 30. Oktober 2007 wurde X._ wegen Stellenantritts ohne Bewilligung zu einer Busse von Fr. 120.-- verurteilt. Am 27. März 2009 ersuchte X._ um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Am 13. April 2009 trennte sie sich von ihrem Ehegatten und lebt seither alleine mit ihrem Sohn. Aufgrund der Trennung unterbreitete der Migrationsdienst des Kantons Bern das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung am 4. Juni 2009 dem Bundesamt für Migration zur Zustimmung. Mit Verfügung vom 3. November 2009 verweigerte das Bundesamt diese Zustimmung und ordnete die Wegweisung von X._ aus der Schweiz innerhalb von acht Wochen ab Rechtskraft der Verfügung an. B. X._ erhob dagegen am 2. Dezember 2009 beim Bundesverwaltungsgericht Beschwerde mit dem Antrag auf Aufhebung der vorinstanzlichen Verfügung, Erteilung der Zustimmung zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung sowie Widerruf der Wegweisung aus der Schweiz. Während der Dauer des Verfahrens vor dem Bundesverwaltungsgericht wurde die Ehe von Y._ und X._ am 23. Dezember 2011 geschieden. Mit Urteil vom 21. August 2012 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde ab unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. C. Mit Eingabe vom 21. September 2012 führt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, den Entscheid der Vorinstanz aufzuheben und ihr - der Beschwerdeführerin - die Niederlassungsbewilligung, eventuell die Zustimmung zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, zu erteilen. Zudem beantragt sie Erteilung der aufschiebenden Wirkung sowie Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf Vernehmlassung. Das Bundesamt für Migration beantragt Abweisung der Beschwerde. Das Bundesgericht hat auch die Akten des kantonalen Migrationsamts eingeholt. Mit Verfügung des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 26. September 2012 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. 