Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 16. April 2010 lehnte die IV-Stelle Basel-Landschaft u.a. gestützt auf das rheumatologisch-psychiatrisch-internistisch/allgemeinmedizinische Gutachten der X._, vom 21. Juli 2008 (mit ergänzenden Stellungnahmen vom 8. Dezember 2008 und 21. August 2009) den von S._ geltend gemachten Anspruch auf eine Invalidenrente mangels leistungsbegründenden Invaliditätsgrades ab. B. Den in Abweisung der hiegegen erhobenen Beschwerde getroffenen Entscheid des Kantonsgerichts Basel-Landschaft vom 13. Januar 2011 hob das Bundesgericht auf und wies die Sache an dieses zurück, damit es, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, neu entscheide (Urteil 8C_238/2011 vom 20. September 2011 Dispositiv-Ziffer 1 in Verbindung mit E. 3.2.2). Die Vorinstanz holte daraufhin - nach Anhörung der Parteien - das rheumatologisch-psychiatrisch-allgemeinmedizinische Gutachten der A._, vom 30. August 2012 ein, zu dem die IV-Stelle den Bericht des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) vom 18. September 2012 ablieferte. Nach Beizug der ergänzenden psychiatrischen Stellungnahme der A._ vom 21. Dezember 2012 sprach das kantonale Gericht der Versicherten in Gutheissung der Beschwerde ab 1. Oktober 2006 eine ganze Invalidenrente gestützt auf einen nach der gemischten Methode ermittelten Invaliditätsgrad von 78 % zu (Entscheid vom 23. Mai 2013). C. Die IV-Stelle Basel-Landschaft führt Beschwerde und beantragt, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei festzustellen, dass kein Anspruch auf Invalidenrente bestehe; eventualiter seien weitere medizinische Abklärungen vorzunehmen. S._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen und ferner um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege ersuchen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) beantragt, die Beschwerde sei gutzuheissen. 