Faits: A. C._ est née le 26 janvier 2005, de la relation hors mariage entre A._ et B._. Ses parents se sont séparés alors qu'elle avait huit mois. L'enfant vit désormais avec sa mère, détentrice de l'autorité parentale et du droit de garde. Cette dernière est domiciliée à D._, mais réside parfois dans la région de E._ (France). Par courrier du 4 avril 2007, précisé le 16 mai suivant, le père a requis de la Justice de paix du district de Lausanne la fixation d'un droit de visite sur sa fille, relevant que la mère ne le laissait s'occuper de l'enfant que sous certaines conditions. Plusieurs ordonnances de mesures provisionnelles et préprovisionnelles ont été rendues concernant, d'une part, les modalités du droit de visite du père sur sa fille et, d'autre part, le non-respect par la mère des décisions prises à cet égard. Mandaté en ce sens par le Juge de paix du district de Lausanne le 7 août 2007, le Service de protection de la jeunesse (ci-après: SPJ) a déposé un premier rapport d'évaluation concernant l'enfant le 28 mai 2008. A la suite de la séance tenue le 23 octobre 2008, la Justice de paix du district de Lausanne a, par décision du 5 décembre 2008, institué une mesure de surveillance judiciaire au sens de l'art. 307 CC en faveur de l'enfant et nommé le SPJ en qualité de surveillant; le recours interjeté par la mère contre cette décision a été rejeté par la Chambre des tutelles du Tribunal cantonal vaudois le 5 mars 2009. Par ordonnance de mesures provisionnelles du 5 décembre 2008, également consécutive à la séance du 23 octobre précédent, la Justice de paix a fixé provisoirement le droit de visite du père et sollicité du Service universitaire de psychiatrie de l'enfant et de l'adolescent (ci-après: SUPEA) une expertise pédopsychiatrique concernant l'enfant. Le 29 juin 2009, les docteurs F._ et G._, respectivement cheffe de clinique adjointe et médecin assistant auprès du SUPEA, ont déposé un rapport d'expertise pédopsychiatrique concernant la fillette, rapport qui a été visé par la doctoresse H._, médecin adjointe. Le 26 octobre 2009, le SPJ a déposé un second rapport d'évaluation dans lequel il préconisait une surveillance éducative ou une curatelle à forme de l'art. 308 al. 1 CC. La Justice de paix a, le 21 janvier 2010, procédé à l'audition des parents assistés de leurs conseils respectifs, ainsi que d'un représentant du SPJ, du Dr G._, expert, et de deux témoins, à savoir une assistante sociale auprès du Service de la petite enfance de Lausanne et le directeur du Centre de vie enfantine de I._. B. Par décision du 26 février 2010, rendue ensuite de la séance du 21 janvier 2010, la Justice de paix du district de Lausanne a fixé le droit de visite du père selon les modalités suivantes: - un week-end sur deux, du vendredi soir à 18 heures au dimanche soir à 18 heures, la moitié des vacances scolaires, ainsi qu'alternativement à Noël et Nouvel An, Pâques et Pentecôte et à l'Ascension, lorsque la mère de l'enfant réside en Suisse, à charge pour le père d'aller chercher la fillette là où elle se trouve et de l'y ramener; - un week-end sur deux, du samedi midi jusqu'au dimanche soir à 18 heures, le reste demeurant sans changement, lorsque la mère réside en France, à charge pour celle-ci d'amener sa fille en Suisse. La Justice de paix a en outre supprimé la surveillance judiciaire au sens de l'art. 307 CC, relevé le SPJ de son mandat de surveillant, institué une curatelle d'assistance éducative et de surveillance du droit aux relations personnelles selon l'art. 308 al. 1 et 2 CC, nommé le SPJ en qualité de curateur pour une durée d'une année dès la notification de sa décision, mis les frais à la charge de la mère, celle-ci plaidant au bénéfice de l'assistance judiciaire, et rejeté toutes autres ou plus amples conclusions. Sur recours de la mère, la Chambre des tutelles du Tribunal cantonal du canton de Vaud a, par arrêt du 27 juillet 2010, réformé la décision de la Justice de paix en ce qui concerne les frais, qu'elle a réparti à raison d'un tiers à la charge du père et de deux tiers à la charge de la mère, et a confirmé la décision de première instance pour le surplus. C. La mère exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 27 juillet 2010. Elle conclut, principalement, à l'annulation de cette décision, la cause étant renvoyée à la Chambre des tutelles pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Subsidiairement, elle demande la réforme de l'arrêt entrepris en ce sens que le droit de visite du père sur sa fille est fixé à raison d'un week-end par mois, du samedi à 14 heures au dimanche à 10 heures, éventuellement du samedi à midi au dimanche soir à 18 heures, lorsque la mère et l'enfant résident en France. Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire. L'intimé propose le rejet du recours. L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt. 