Sachverhalt: A. A.a. Die Ehe der Eltern von Z._ (geb. xxxx 1993) wurde am xxxx 2005 geschieden. Am 3. November 2011 klagte Z._ (Tochter) gegen ihren Vater, X._, mit dem Begehren, dieser sei zu verpflichten, ihr ab 16. Juli 2011 bis zum ordentlichen Abschluss der Ausbildung monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 1'300.-- zu bezahlen, wobei bereits erbrachte Leistungen anzurechnen seien. Mit Urteil vom 30. Mai 2012 verpflichtete der Einzelrichter des Bezirksgerichts Kriens den Vater, seiner Tochter unter Anrechnung bereits erbrachter Leistungen im Umfang von Fr. 5'570.65 einen monatlichen und vorauszahlbaren, erstmals anteilsmässig am 16. Juli 2011 bis zum ordentlichen Abschluss ihrer Ausbildung fälligen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'300.-- zu leisten. A.b. Gegen dieses Urteil erhob der Vater am 8. Juli 2012 fristgerecht Berufung beim Kantonsgericht Luzern, mit der er im Wesentlichen um eine Senkung des Unterhaltsbeitrages auf Fr. 800.-- pro Monat ersuchte. Mit Urteil vom 22. Januar 2013 wies das Kantonsgericht die Berufung ab. Dabei ging es davon aus, die Eingaben der Tochter vom 10. Juli 2012 (Gesuch um Entzug der aufschiebenden Wirkung) sowie vom 18. Juli 2012 (Berufungsantwort) seien am 8. August 2012 zur Orientierung an den Vater weitergeleitet worden, ohne dass dieser zu einem zweiten Schriftenwechsel aufgefordert worden wäre. Er habe dazu am 4. September 2012 unaufgefordert Stellung genommen, was indes verspätet sei. Es wies daher die Eingaben des Vaters aus dem Recht. A.c. Mit Urteil vom 17. April 2013 hiess das Bundesgericht die vom Vater gegen das kantonsgerichtliche Urteil erhobene Beschwerde wegen Verletzung des rechtlichen Gehörs gut. Im weiteren bezeichnete das Bundesgericht die kantonsgerichtliche Auffassung als nicht willkürlich, die von der Tochter angehobene Klage werde als selbstständig erhobene Unterhaltsklage im vereinfachten Verfahren (Art. 243 ff. ZPO) beurteilt und falle in die Zuständigkeit des Einzelrichters (Urteil 5A_155/2013 vom 17. April 2013 E. 1 und 2). B. Das Kantonsgericht Luzern holte die Gewährung des rechtlichen Gehörs nach und wies schliesslich mit Urteil vom 11. Juli 2013 die Berufung ab. Es korrigierte indes Ziff. 1 Abs. 3 des Dispositivs des Urteils des Einzelrichters des Bezirksgerichts Kriens vom 30. Mai 2012 dahingehend, dass der Vater seiner Unterhaltspflicht bis zum 29. Februar 2012 im Umfang von Fr. 6'320.63 nachgekommen sei. C. Der Vater hat dieses Urteil am 1. September 2013 (Postaufgabe) beim Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen angefochten. Er beantragt sinngemäss, ihn von jeglicher Unterhaltspflicht gegenüber seiner Tochter zu befreien. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. 