Sachverhalt: A. Die IV-Stelle des Kantons Aargau beschied ein Leistungsgesuch der 1968 geborenen A._ mit - durch Einspracheentscheid vom 29. Juni 2006 bestätigter - Verfügung vom 14. September 2004 abschlägig. Zur Begründung führte sie aus, nach den Abklärungen der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) zeitige ein am 29. September 2001 geschehener Auffahrunfall keine Folgen mehr für die Arbeitsfähigkeit. Die zusätzlich geltend gemachten krankheitsbedingten Beeinträchtigungen beeinflussten die Arbeitsfähigkeit ebenfalls nicht. Das Bundesgericht bestätigte diesen Entscheid letztinstanzlich (Urteil 9C_128/2008 vom 17. März 2008). Am 14. Februar 2008 machte A._ eine Verschlechterung ihres Gesundheitszustandes geltend. Die IV-Stelle lehnte das Leistungsgesuch mit Verfügung vom 13. Januar 2009 abermals ab; dabei ging sie von einem nicht rentenbegründenden Invaliditätsgrad von 37 Prozent aus. B. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau wies die hiergegen eingereichte Beschwerde ab (Entscheid vom 30. März 2010). C. A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, es sei ihr, unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids, mit Wirkung ab Juni 2006 eine ganze, eventuell eine Dreiviertels-, subeventuell eine halbe und subsubeventuell eine Viertelsrente zuzusprechen. Allenfalls sei die Sache an die Vorinstanz zur weiteren Abklärung des Sachverhalts und neuen Beurteilung zurückzuweisen. Ausserdem ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. 