Sachverhalt: A. Z._ war seit den 1970er-Jahren als sogenannter "Konzessionär" im Auftragsverhältnis für die Bank X._ (Beschwerdeführerin) tätig. Er betrieb einen gemäss der Vorinstanz "zunächst wohl florierenden" Immobilienhandel und war unter anderem an verschiedenen Konsortien im Unter- und Oberwallis beteiligt. Im Laufe der 1980er-Jahre erhöhten sich seine Kreditbedürfnisse, und es stellten sich in der Folge Liquiditätsprobleme ein. Die Restrukturierung der Konten bei der Bank X._ im Jahr 1989 brachte keine Besserung. Im Juni 1990 wurden die finanziellen Schwierigkeiten von Z._ akut. Y._ (Beschwerdegegner) kaufte mit Verträgen vom 7. Dezember 1990 und 7. Mai 1991 von Z._ je einen hälftigen Miteigentumsanteil an den Liegenschaften "A._" in B._ und "C._" in D._. Gemäss dem Kaufvertrag vom 7. Dezember 1990 ging von dem für den Anteil an der Parzelle "A._" vereinbarten Kaufpreis in der Höhe von Fr. 370'000.-- ein Betrag von Fr. 11'000.-- an den Vermittler S._ von der T._ AG. Fr. 359'000.-- wurden "gemäss separater Vereinbarung unter den Parteien" verrechnet. Für den Anteil an der Parzelle "C._" wurde laut dem Kaufvertrag vom 7. Mai 1991 als Kaufpreis eine Schuld in der Höhe von Fr. 456'988.-- (vom Käufer) übernommen, und Fr. 250'000.-- waren 30 Tage nach Eintragung im Grundbuch zahlbar. Y._ wurde in der Folge das (Mit-) Eigentum an den Grundstücken übertragen. Am 1. Mai 1991 trat Z._ der Bank X._ sämtliche Kaufpreisforderungen aus künftigen Immobilien- und Mobilienverkäufen ("Intégralité des prix de vente futurs à encaisser dans le cadre de toutes transactions mobilières ou immobilières") ab. Sodann erklärte er am 11. Juli 1991 schriftlich, der Bank X._ einzeln bezeichnete Forderungen zu zedieren, darunter die folgende: "Y._ - F._ Fr. 360'000.--". Die Abtretungserklärung vom 11. Juli 1991 trägt überdies die handschriftliche Anmerkung "Y._ -> acte du 7/12/90". B. Am 20. November 2008 klagte die Bank X._ vor dem Bezirksgericht Brig gegen Y._ und verlangte von diesem, ihr den Restkaufpreis aus dem Kaufvertrag vom 7. Dezember 1990 in der Höhe von Fr. 359'000.-- sowie den Betrag von Fr. 250'000.-- aus dem Kaufvertrag vom 7. Mai 1991, jeweils zuzüglich Zins, zu bezahlen. Das Bezirksgericht wies die Klage mit Urteil vom 15. Dezember 2011 ab. Dagegen erhob die Bank X._ Berufung an das Kantonsgericht des Kantons Wallis mit den folgenden Rechtsbegehren: "1. Das Urteil des Bezirksgerichtes Brig vom 15./22. Dezember 2011 wird aufgehoben. 2.1 Primärbegehren: Es wird festgestellt, dass Herr Y._ der Bank X._ den Restkaufpreis aus dem Kaufvertrag vom 7. Dezember 1990 in der Höhe von Fr. 359'000.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 29. Oktober 1991 schuldet. Es wird festgestellt, dass Herr Y._ der Bank X._ den Restkaufpreis aus dem Kaufvertrag vom 7. Mai 1991 von Fr. 250'000.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 27. Juni 1991 schuldet. 2.2 Sekundärbegehren: Das Urteil des Bezirksgerichts Brig wird zur Neubeurteilung des Sachverhaltes und zur Neuausfällung eines Urteils im Sinne der Erwägungen der Berufungsinstanz zurückgewiesen. [...]" Am 6. Juni 2013 trat das Kantonsgericht auf die Berufung nicht ein mit der Begründung, sie enthalte kein zulässiges Rechtsbegehren. C. Die Beschwerdeführerin verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Kantonsgerichts vom 6. Juni 2013 sei aufzuheben, und die Sache sei im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der Beschwerdegegner habe ihr (der Beschwerdeführerin) den Restkaufpreis aus dem Kaufvertrag vom 7. Dezember 1990 in der Höhe von Fr. 359'000.-- und denjenigen aus dem Kaufvertrag vom 7. Mai 1991 in der Höhe von Fr. 250'000.--, jeweils zuzüglich Zins, zu bezahlen. Der Beschwerdegegner beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Die Vorinstanz hat auf Gegenbemerkungen zur Beschwerde verzichtet und verweist auf das angefochtene Urteil, unter Beifügung einer kurzen Bemerkung des Präsidenten der I. zivilrechtlichen Abteilung des Kantonsgerichts. 