Sachverhalt: A. A.a. Der 1983 geborene M._ war bei der Schweizerischen Unfallversicherung (SUVA) gegen Unfälle versichert, als er sich am 4. September 2005 bei einem Motorradunfall ein Polytrauma mit u.a. einer kompletten Plexusparese rechts bei scapulothorakaler Dissoziation erlitt. Die SUVA erbrachte Heilbehandlung und richtete Taggeldleistungen aus. Mit Verfügung vom 7. Mai 2008 sprach sie M._ mit Wirkung ab 1. April 2008 eine Invalidenrente auf der Grundlage einer Erwerbsunfähigkeit von 20 % und eine Integritätsentschädigung auf der Basis einer Integritätseinbusse von 50 % zu. Daran hielt sie auf Einsprache hin mit Entscheid vom 20. Oktober 2008 fest. Eine dagegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 3. Juli 2009 gut, soweit es darauf eintrat, und wies die Angelegenheit für weitere Abklärungen im Sinne der Erwägungen und anschliessender neuer Verfügung an die SUVA zurück. Es erwog, die Aktenlage lasse keine abschliessende Beurteilung der komplexen Unfallfolgen zu, weshalb vorzugsweise ein polydisziplinäres Gutachten einzuholen sei, welches in orthopädischer, neurologischer und psychischer Hinsicht sowohl über das Ausmass der unfallkausalen Beschwerden und deren Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit Auskunft gebe, ehe über das Rentenbegehren neu zu entscheiden sei. A.b. Die SUVA ordnete mit Zwischenverfügung vom 2. März 2010 eine multidisziplinäre Begutachtung durch das Zentrum X._ an. Bereits zuvor hatte sie von M._ ein von Dr. med. B._, Chirurgie FMH Spez. Handchirurgie, abgefasstes Privatgutachten vom 22. September 2009 eingereicht erhalten. Nach durchgeführter Untersuchung erstattete das Zentrum X._ am 21. Oktober 2010 Bericht. M._ reichte daraufhin die hausärztliche Stellungnahme von Prof. Dr. med. E._, Kardiologe, vom 29. November 2010 ein. Mit Verfügung vom 25. Mai 2011 sprach die SUVA M._ neu eine Invalidenrente auf der Grundlage einer Erwerbsunfähigkeit von 25 % zu. Auf Einsprache hin bat die SUVA das Zentrum X._, die Leistungsminderung in der von den Gutachtern für vollschichtig zumutbar betrachteten Tätigkeit unter Einbezug der hausärztlichen Stellungnahme vom 21. Oktober 2010 (recte: 29. November 2010) prozentual zu quantifizieren. Der Bericht folgte am 7. Dezember 2011. Nach gewährter Möglichkeit zur Stellungnahme änderte die SUVA die Verfügung vom 25. Mai 2011 mit Einspracheentscheid vom 28. Februar 2012 dahingehend ab, dass sie den Erwerbsunfähigkeitsgrad auf 58 % erhöhte. Soweit mit der Einsprache auch eine höhere Integritätsentschädigung verlangt wurde, trat die SUVA darauf nicht ein. B. Das von M._ angerufene Versicherungsgericht des Kantons Solothurn führte auf dessen Antrag hin am 11. April 2013 eine öffentliche Hauptverhandlung durch und bestätigte gleichentags den Einspracheentscheid, soweit es auf die dagegen erhobene Beschwerde eintrat. C. M._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, unter Aufhebung des Einsprache- und des kantonalen Entscheides sei ihm die Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage eines Invaliditätsgrades von 80 % zuzusprechen. Gleichzeitig lässt er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels ersuchen. 