Sachverhalt: A. Am 17. August 2012 hat das Bundesgericht mit Urteil 8C_357/2012 die Beschwerde der D._ gegen den Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 7. März 2012 abgewiesen. Letzteres hatte eine gegen den Einspracheentscheid der Branchen Versicherung Schweiz (nachfolgend: Branchen Versicherung oder Gesuchsgegnerin) vom 16. Mai 2011 erhobene Beschwerde dahingehend gutgeheissen, als es der Versicherten mit Wirkung ab 1. November 2010 eine Invalidenrente basierend auf einer unfallbedingten Erwerbsunfähigkeit von 15 % zusprach und hinsichtlich des Anspruchs auf eine Integritätsentschädigung die Sache zu weiteren medizinischen Abklärungen und neuer Verfügung an die Branchen Versicherung zurückwies. B. Mit Eingaben vom 28. Juni und 3. Juli 2013 ersucht D._ um Revision des Urteils 8C_357/2012 und beantragt, die Sache sei zur weiteren Abklärung und Neuverfügung zum Grad der Arbeitsunfähigkeit an die Branchen Versicherung zurückzuweisen. Während die Branchen Versicherung auf Abweisung des Gesuchs schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung. In ihrer Eingabe vom 6. September 2013 hält D._ an ihren Anträgen fest. 