Faits: A. A.a C._ est né à Genève en 2001, d'une relation hors mariage entre B._, ressortissante philippine, et A._, de nationalités libanaise et, désormais, suisse. Le père a reconnu l'enfant le 28 mars 2002. -:- Les relations entre les parents se sont rapidement détériorées, en particulier quant à l'exercice du droit de visite du père. Une convention alimentaire en faveur de l'enfant a été signée par les parties le 26 juin 2002. Par ordonnance du 21 août 2002, le Tribunal tutélaire du canton de Genève a instauré une curatelle d'organisation et de surveillance des relations personnelles entre le père et l'enfant. La mère, qui se trouvait à Genève dans une situation précaire, sur le plan administratif en particulier, a fait l'objet d'une mesure de renvoi prise le 21 juin 2002 par l'Office cantonal de la population. Elle est rentrée aux Philippines avec l'enfant en septembre 2002. Par décision du 19 juin 2003, le Tribunal tutélaire a écarté la demande formulée par le père tendant à obtenir la garde de son fils, demande fondée sur une attestation de la mère en ce sens du 22 mars 2003. A.b Depuis le 15 octobre 2004, l'enfant, au bénéfice d'un permis de séjour, vit en Suisse avec son père qui est allé le chercher aux Philippines avec le consentement de la mère, laquelle soutient toutefois que l'intéressé devait lui ramener son fils en mars 2005. Le père s'est rendu aux Philippines avec l'enfant le 9 août 2006. Dans un document signé le 2 août 2006, la mère avait préalablement affirmé lui avoir transféré la garde de son fils en raison de sa situation financière meilleure que la sienne, ajoutant qu'elle donnait d'ores et déjà son accord au retour de l'enfant en Suisse après sa visite. L'enfant vit depuis lors toujours avec son père, l'épouse de ce dernier et leur enfant, à Genève, ville dans laquelle il est scolarisé; il entretient cependant des contacts téléphoniques avec sa mère. Le Service social international (ci-après: SSI) aux Philippines a établi plusieurs rapports concernant la situation de la famille de la mère dans ce pays. Dans le dernier, daté du 1er août 2006, le SSI a mentionné que celle-ci regrettait d'avoir autorisé le père à emmener son fils avec lui et qu'elle souhaitait le récupérer. En conclusion, il a recommandé de confier la garde de l'enfant à la mère. Le Service de protection des mineurs (ci-après: SPMi) à Genève a également établi un rapport en date du 6 juillet 2006. Il en ressort que le père s'occupe bien de l'enfant, dont la scolarité se déroule normalement. Selon ce service, il n'était pas possible de préaviser sur l'attribution de l'enfant à l'un ou l'autre de ses parents. A.c Par requête du 27 octobre 2006, adressée à l'Autorité de surveillance des tutelles du canton de Genève, le père a demandé le retrait, à son profit, de l'autorité parentale sur l'enfant détenue par la mère. Le représentant du SSI à Genève, entendu à cette occasion, a déclaré, après avoir pris connaissance du rapport du SPMi, qu'il avait informé la mère que la situation de l'enfant auprès de son père était bonne et qu'un retour aux Philippines ne serait pas dans son intérêt. Des solutions étaient donc à l'examen pour permettre un rapprochement géographique de la mère et de l'enfant. Par décision du 23 avril 2007, l'Autorité de surveillance a rejeté la requête. Elle a considéré, en substance, qu'il n'existait pas de motifs justifiant qu'une telle mesure soit prononcée à l'encontre de la mère; s'agissant des attestations relatives au transfert de la garde de l'enfant émanant de celle-ci, l'autorité cantonale a retenu que, sans entrer en discussion sur le fait de savoir si ces attestations avaient été ou non signées sous la contrainte - comme l'intéressée le prétendait - il fallait en tout état relever que de tels documents n'équivalaient ni à une renonciation à l'autorité parentale, ni à un transfert définitif de la garde, la mère affirmant avoir voulu remettre l'enfant à son père pour une période limitée, voire uniquement pour des vacances. Cette décision n'a pas fait l'objet d'un recours et est donc entrée en force. B. B.a Le 16 novembre 2007, la mère a saisi le Tribunal tutélaire d'une requête urgente en placement de l'enfant. Elle a en outre demandé des conseils pour organiser le retour de celui-ci aux Philippines. Par ordonnance du 7 décembre 2007, le Tribunal tutélaire, considérant que la mère, titulaire de l'autorité parentale et de la garde de l'enfant, se trouvait empêchée d'agir, faute d'autorisation de venir à Genève, pour préparer et organiser le retour de son fils aux Philippines, a désigné une curatrice à ces fins, en application de l'art. 392 ch. 3 CC. Tant la mère que le père ont appelé de cette décision, la première le 18 décembre 2007 et le second le 21 décembre 2007. Statuant le 6 février 2008 sur les deux recours, l'Autorité de surveillance a confirmé l'ordonnance du 7 décembre 2007. Elle a en outre fait interdiction au père de déplacer l'enfant hors de Suisse, l'enjoignant de déposer sans délai les papiers d'identité de son fils en mains du Tribunal tutélaire. L'autorité cantonale a déclaré sa décision exécutoire nonobstant recours et prononcé qu'elle serait notifiée aux parties sous la menace - en cas d'inexécution - de la peine d'amende prévue par l'art. 292 CP. Toutes autres conclusions ont été rejetées. B.b Parallèlement, le père a demandé au Tribunal tutélaire, le 21 décembre 2007, d'ouvrir une nouvelle instruction en vue de lui attribuer le droit de garde sur l'enfant, au motif qu'il l'exerçait en fait depuis octobre 2004. Par lettre du 7 février 2008, le Tribunal tutélaire a invité le père a déposer sans délai tous les papiers d'identité de l'enfant auprès de lui, conformément au dispositif de la décision de l'Autorité de surveillance du 6 février 2008. Il a par ailleurs refusé d'entrer en matière sur la demande d'instruction formulée par l'intéressé "en vue d'un réexamen de la situation de l'enfant et de l'attribution de la garde au père". Statuant le 2 avril 2008, l'Autorité de surveillance a rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, le recours déposé par le père contre ce courrier. C. A._ interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre la décision du 6 février 2008, relative à la nomination d'une curatrice, ainsi qu'un recours en matière civile assorti d'un recours constitutionnel subsidiaire contre celle du 2 avril 2008, confirmant le refus d'entrer en matière sur une attribution du droit de garde au père. Dans son premier mémoire, concernant la décision du 6 février 2008 (5A_140/2008), il conclut à l'annulation de l'acte attaqué et au renvoi de la cause à l'Autorité de surveillance pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Dans le second, visant la décision du 2 avril 2008 (5A_263/2008), il sollicite de même l'annulation de l'acte attaqué et demande le renvoi du dossier au Tribunal tutélaire, subsidiairement, à l'Autorité de surveillance, pour qu'il soit statué sur la requête en transfert du droit de garde déposée le 21 décembre 2007. L'intimée propose le rejet des recours. Les parties sollicitent l'octroi de l'assistance judiciaire dans les deux procédures. D. Par ordonnance du 20 mars 2008, le président de la cour de céans a attribué l'effet suspensif au recours en ce qui concerne la désignation d'une curatrice pour préparer et organiser le retour de l'enfant, et a rejeté la demande pour le surplus (5A_140/2008). 