Sachverhalt: A. Der aus Serbien stammende X._ (geb. 1981) reiste am 8. September 2000 mit einem Besuchervisum zu Verwandten in die Schweiz ein. Sein Asylgesuch, welches er nach Ablauf des Visums gestellt hatte, blieb erfolglos, worauf er das Land zunächst wieder verliess. Am 17. November 2001 heiratete er die Schweizer Bürgerin Y._ (geb. 1983). Gestützt auf diese Ehe erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung. Seit anfangs Januar 2004 leben die Eheleute getrennt. Ihre gemeinsame Tochter Z._ kam im Juli 2004 zur Welt. Am 23. Januar 2006 wurde die Ehe - auf gemeinsames Begehren - vom Amtsgericht Luzern-Land geschieden und Z._ unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt. X._ wurde zu Unterhaltszahlungen verpflichtet und erhielt gegenüber seiner Tochter ein Besuchsrecht eingeräumt. Demgemäss ist der Vater "berechtigt und verpflichtet", seine Tochter zu folgenden Zeiten auf Besuch zu nehmen: jedes erste und dritte Wochenende im Monat von Freitag 18.00 Uhr bis Sonntag 18.00 Uhr, am 26. Dezember und am Ostermontag jeden Jahres von jeweils 08.00 Uhr bis 20.00 Uhr, während zwei Wochen jeden Jahres in den Schulferien". Diese Ausgestaltung des Besuchsrechts entsprach einer gemeinsamen Vereinbarung, welche die Eltern am 31. Oktober 2005 anlässlich einer gerichtlichen Anhörung unter Mitwirkung eines Richters ergänzt hatten. B. Mit Verfügung vom 29. November 2006 wies das Amt für Migration des Kantons Luzern das von X._ gestellte Gesuch um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung ab und wies diesen weg, im Wesentlichen mit der Begründung, nach erfolgter Scheidung bestehe kein Anspruch mehr auf eine Verlängerung; ebenso wenig könne "von einer tiefen gegenseitigen Beziehung" zur Tochter die Rede sein, so dass sich auch eine Berufung auf Art. 8 EMRK als unbehelflich erweise. C. Hiegegen erhob X._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern. Dieses führte am 6. Dezember 2007 mit der Mutter Y._ eine Zeugeneinvernahme durch und befragte gleichentags auch den Vater zur Sache. Nachdem X._ mit Eingabe vom 11. Januar 2008 zum Beweisergebnis Stellung genommen hatte, wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde mit Urteil vom 3. März 2008 ab, soweit es darauf eintrat (Ziff. 1 des Urteilsdispositivs) und überwies die Sache "im Sinne der Erwägungen" dem kantonalen Justiz- und Sicherheitsdepartement zur weiteren Behandlung (Ziff. 2 des Urteilsdispositivs). Ziff. 1 seines Urteilsspruchs begründete das Gericht damit, dass X._ keinen Anspruch (mehr) auf eine Aufenthaltsbewilligung besitze, Ziff. 2 damit, dass trotz des Fehlens eines solchen Anspruchs eine solche Aufenthaltsbewilligung aber von den Fremdenpolizeibehörden gestützt auf das ihnen nach Art. 4 ANAG zustehende Ermessen erteilt werden könne (worüber das Departement zu befinden haben werde). Das Verfahren beim Justiz- und Sicherheitsdepartement ist zur Zeit hängig. D. Mit Eingabe vom 8. April 2008 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 3. März 2008 aufzuheben, ihn nicht wegzuweisen und ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Eventualiter sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Das Amt für Migration des Kantons Luzern beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern stellt denselben Antrag, ebenso das Bundesamt für Migration. Am 11. April 2008 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt. 