Sachverhalt: A. Nachdem der 1953 geborene M._ vom 1. August 1992 bis 31. Juli 1994 eine ganze Invalidenrente bezogen hatte, sprach ihm die IV-Stelle des Kantons Zürich mit Verfügungen vom 24. April 2001 erneut eine ganze Rente ab 1. Juli 1998 bei einem Invaliditätsgrad von 75 % zu. Mit Mitteilungen vom 7. Januar 2004 und 4. Januar 2007 bestätigte sie einen unveränderten Rentenanspruch. Im Januar 2010 leitete die Verwaltung erneut ein Revisionsverfahren ein. Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens hob sie die Rente mit Verfügung vom 26. September 2011 auf das Ende des der Zustellung folgenden Monats auf. Am 26. Oktober 2011 zog sie die rentenaufhebende Verfügung in Wiedererwägung, weil ihr keine Prüfung von Eingliederungsmassnahmen vorangegangen war. Im Rahmen der Eingliederungsberatung fand am 21. Dezember 2011 ein Gespräch mit dem Versicherten statt. Ohne vorgängige Durchführung eines weiteren Vorbescheidverfahrens bestätigte die IV-Stelle mit Verfügung vom 22. Dezember 2011 die Einstellung der Invalidenrente. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 23. April 2013 ab. C. M._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, unter Aufhebung des Entscheids vom 23. April 2013 und der Verfügung vom 22. Dezember 2011 sei die Sache zur Durchführung eines korrekten Vorbescheidverfahrens, ergänzenden medizinischen Abklärungen und anschliessendem neuen Entscheid über den Leistungsanspruch an die IV-Stelle zurückzuweisen, und diese sei zu verpflichten, während der Dauer der Abklärungen eine ganze Invalidenrente auszurichten. Ausgehend von einem 40 % übersteigenden Invaliditätsgrad sei ihm weiterhin eine Rente der Invalidenversicherung zuzusprechen. Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung des Rechtsmittels. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme. 