Sachverhalt: A. A.a. Der aus dem Kosovo stammende A._ (geb. 1981) reiste 2009 im Alter von 27 Jahren im Rahmen des Familiennachzugs in die Schweiz ein zu seiner angetrauten Landsfrau, die ihrerseits seit dem 12. Altersjahr hier lebt bzw. heute hierzulande niederlassungsberechtigt ist. Das Paar hatte 2008 in der Heimat geheiratet. Am 29. Mai 2009 erhielt A._ eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Ehefrau. Diese Bewilligung wurde in der Folge mehrfach verlängert, zuletzt mit Gültigkeit bis zum 28. Februar 2012. In den Jahren 2010/2011 war er zwischenzeitlich zweimal arbeitslos. Heute ist er bei einer Baufirma in einer Festanstellung als Akkordmaurer tätig. Das Ehepaar hat zwei Kinder (geb. 2010 und 2012), welche ebenfalls im Besitz der Niederlassungsbewilligung sind. A.b. A._ wurde mit Strafbefehlen des Bezirksamts Aarau vom 4. August 2009 und 10. Juni 2010 sowie mit Strafbefehl des Bezirksamts Kulm vom 17. Mai 2010 wegen verschiedener Verstösse gegen das Strassenverkehrsgesetz zu mehreren Bussen zwischen Fr. 120.-- und Fr. 700.-- verurteilt. Am 8. September 2011 folgte ein weiterer Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Lenzburg-Aarau (Busse von Fr. 200.-- wegen Ungehorsams im Betreibungs- und Konkursverfahren). Am 29. Februar 2012 wurde A._ sodann vom Bezirksgericht Aarau wegen mehrfacher, teilweise qualifizierter Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz, begangen in der Zeit vom 11. November 2007 bis zum 29. November 2010, schuldig gesprochen und zu einer Freiheitsstrafe von 22 Monaten verurteilt. Der Vollzug der Strafe wurde unter Ansetzung einer Probezeit von vier Jahren aufgeschoben. A.c. Gestützt auf diese Verurteilungen lehnte das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau mit Verfügung vom 7. Juni 2012 und Einspracheentscheid vom 7. Februar 2013 die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._ ab und wies diesen aus der Schweiz weg. Eine dagegen erhobene Beschwerde wurde vom Verwaltungsgericht des Kantons Aargau am 31. Januar 2014 abgewiesen. B. A._ erhebt mit Eingabe vom 6. März 2014 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und das Amt für Migration und Integration anzuweisen, ihm - dem Beschwerdeführer - die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Das Amt für Migration und Integration und das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau sowie das Bundesamt für Migration beantragen Abweisung der Beschwerde. C. Mit Verfügung vom 13. März 2014 hat das präsidierende Mitglied der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt. 