Sachverhalt: A. Der 1979 geborene M._ war über den Arbeitgeber bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er am 12. Dezember 2003 bei einem schweren Autounfall ein Polytrauma erlitt. Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 14. Juli 2007 schloss sie den Fall ab, wobei sie dem Versicherten für die verbleibende Beeinträchtigung der Integrität eine Entschädigung nach Massgabe einer Integritätseinbusse von 19 % zusprach und festhielt, über einen allfälligen Rentenanspruch werde separat befunden. M._ erhob Einsprache mit dem hauptsächlichen Antrag, der Integritätsschaden sei auf 40 % festzusetzen. Die SUVA hielt an der Verfügung fest (Einspracheentscheid vom 2. Juni 2008). B. M._ erhob Beschwerde. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zog die Akten der Invalidenversicherung, bei der sich M._ im Oktober/November 2004 zum Leistungsbezug angemeldet hatte, bei und wies die Beschwerde mit Entscheid vom 15. Januar 2010 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt M._ die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids und, wie bereits vorinstanzlich, die Rückweisung der Sache an den Unfallversicherer zur Ergänzung des medizinischen Sachverhaltes, insbesondere zur Durchführung einer neuropsychiatrischen Abklärung, beantragen. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. 