Faits: A. A.a S._ a été engagé en avril 1980 par l'entreprise de constructions et génie civil X._ SA, à H._, auprès de laquelle il a travaillé en qualité de peintre en bâtiment. Le 20 décembre 1985, il a été victime en France d'un accident de la circulation ayant entraîné un traumatisme crânien avec contusion cérébrale et de multiples fractures de la face, ainsi qu'une fracture de la malléole interne gauche, à la suite duquel il a présenté de manière durable une incapacité totale de travail. Le 3 décembre 1986, il a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. En août 1987, il a effectué une tentative de reprise du travail auprès de son employeur, laquelle a échoué. Il a bénéficié d'un stage d'évaluation et d'entraînement au travail au Centre Y._ de H._, où il est entré en mai 1988, et à partir de janvier 1989 d'un stage d'observation et de réentraînement au travail auprès de l'entreprise Z._ SA à H._, qui l'a engagé dès mai 1989 en qualité de manoeuvre, contrôleur de qualité (produit fini) pour une activité à 40 % (17 heures par semaine). Dans un prononcé présidentiel du 7 décembre 1989, la Commission AI du canton de Neuchâtel a conclu à une invalidité de 100 % dès le 1er décembre 1986 et de 60 % dès le 1er juin 1989. Par décisions des 16 juillet et 21 août 1990, la Caisse cantonale neuchâteloise de compensation a alloué à l'assuré une rente entière d'invalidité pour la période du 1er décembre 1986 au 31 mai 1989. Elle lui a alloué une demi-rente d'invalidité à partir du 1er juin 1989 par décision du 31 août 1990, laquelle a été confirmée par arrêt du Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel du 31 janvier 1991. A.b Le 20 mars 1991, S._ a présenté une demande de révision de son droit à la rente, en requérant l'octroi d'une rente entière. Il produisait une attestation de l'entreprise Z._ SA du 12 mars 1991, où son employeur faisait état d'une baisse de rendement depuis septembre 1990 dont il indiquait qu'il correspondait à un travail effectif de 30 %. Sur requête du médecin-conseil de la Commission AI, le Service de neuropsychologie du Centre hospitalier W._ a effectué une expertise. Dans un rapport du 17 février 1992, le professeur A._ et le docteur G._ ont posé le diagnostic de troubles cognitifs légers et comportementaux (notamment manifestations anxio-dépressives) comme séquelles d'une contusion cérébrale. Relevant que le médecin traitant et l'employeur de l'assuré avaient conclu tous deux à une incapacité de travail de 70 %, ils indiquaient que l'on pouvait raisonnablement exclure une simulation et que cette estimation semblait se justifier. Dans un prononcé présidentiel du 11 mars 1992, la Commission AI a fixé à 68 % l'invalidité de S._ dès le 1er mars 1991. Par décision du 27 mai 1992, la caisse de compensation lui a alloué une rente entière d'invalidité à partir du 1er mars 1991. Depuis le 1er juillet 1993, les époux ont vécu séparés, l'épouse étant retournée au Portugal avec les enfants. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel a procédé dès le 31 janvier 1996 à la révision du droit de l'assuré à une rente entière d'invalidité, celle prévue initialement pour le 31 mars 1995 n'ayant pu être effectuée. Se fondant sur un rapport du 12 mars 1996 du docteur R._ et sur les conclusions du médecin-conseil selon lesquelles la nature des séquelles neurologiques ne laissait espérer au mieux qu'une stabilisation (avis médical du 5 juin 1996), il a avisé S._ le 24 juin 1996 que son droit à une rente entière n'avait subi aucun changement. Le 25 octobre 2001, l'office AI a initié une révision de la rente d'invalidité. Dans un questionnaire du 22 novembre 2001, S._ a répondu que son état de santé était toujours le même. Lors d'un entretien avec le médecin-conseil de l'office AI du 16 janvier 2002, il a déclaré qu'il n'avait plus de suivi médical régulier et le docteur F._ a considéré que son état était manifestement stationnaire. Par lettre du 31 janvier 2002, l'office AI a informé l'assuré que le degré de son invalidité n'avait pas changé au point d'influencer son droit à une rente entière et qu'il continuait à bénéficier de la même rente qu'auparavant. A.c A la suite de l'entrée en vigueur le 1er janvier 2004 des dispositions de la novelle du 21 mars 2003 modifiant la LAI (4ème révision), l'office AI a entrepris en février 2004 une nouvelle procédure de révision d'office de la rente. Dans un questionnaire du 18 février 2004, S._ a apposé une croix dans la case selon laquelle son état de santé était toujours le même et répondu qu'il présentait une incapacité de travail de 66 %. A la question de savoir s'il était en traitement ou sous contrôle médical, il a mentionné le docteur O._ au Portugal, en indiquant que la dernière consultation remontait au 11 décembre 2003. Dans un avis du 5 avril 2004, la doctoresse U._, médecin-conseil de l'office AI, a posé la présomption que l'état de santé était stabilisé, étant donné que l'assuré n'avait pas consulté depuis longtemps et que s'il y avait eu aggravation, elle aurait certainement provoqué une visite médicale en Suisse. Un contrôle médical en Suisse était la seule façon de s'assurer de l'état actuel de l'assuré, à moins de demander un rapport médical au médecin portugais. Sans cela, la doctoresse U._ préconisait de passer à trois-quarts de rente sans autre mesure d'instruction. Par décision du 14 avril 2004, l'office AI a réduit la rente entière d'invalidité à trois-quarts de rente dès le 1er jour du deuxième mois suivant la notification de la décision, compte tenu du taux inchangé d'invalidité de 68 %. Les 4 mai et 23 juin 2004, S._ a formé opposition contre cette décision. Produisant un rapport médical du 4 juin 2004 du docteur O._ attestant une incapacité permanente partielle de 70 % pour la profession habituelle, comme pour toute reconversion dans une profession comparable, il faisait valoir que son état de santé ne s'était en aucun cas amélioré et que sa situation était bien plus mauvaise que par le passé, son invalidité étant d'au moins 70 %. Dans un avis médical SMR du 20 mars 2007, la doctoresse U._ a relevé que les symptômes évoqués par le docteur O._ dans le document produit n'étaient pas nouveaux par rapport à ceux décrits par le docteur R._ dans le rapport médical du 12 mars 1996 et par le professeur A._ dans l'expertise du 17 février 1992 et qu'il n'y avait pas d'aggravation de l'état de santé de l'assuré, de sorte que le maintien du droit à trois-quarts de rente se justifiait par la stabilité des observations objectives. Par décision du 23 mars 2007, l'office AI a rejeté l'opposition. B. Le 7 mai 2007, S._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de celle-ci. Il relevait que le dossier était incomplet et que cela justifiait le renvoi de la cause à l'office AI pour qu'il procède à des investigations médicales complémentaires par "un expert neutre". Par arrêt du 3 mars 2009, le Tribunal administratif a rejeté le recours. C. S._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation. Il invite le Tribunal fédéral à dire et constater qu'il continue d'avoir droit à une rente entière dès lors que son invalidité est de 70 % au minimum. A titre subsidiaire, il requiert le renvoi de la cause à la juridiction inférieure pour instruction complémentaire. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel déclare qu'il n'a pas d'observations à formuler sur le recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. 