Sachverhalt: A. X._, 1967 geboren und aus Marokko stammend, kam im Oktober 1996 in die Schweiz. Am 29. November 1996 verheiratete er sich mit der 1948 geborenen Schweizer Bürgerin Y._. In der Folge erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung. B. In Anbetracht der Ehe stellte X._ am 30. Januar 2002 ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung. Die Eheleute unterzeichneten am 5. Dezember 2002 die gemeinsame Erklärung, wonach sie in einer tatsächlichen, ungetrennten und stabilen ehelichen Gemeinschaft zusammenlebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten bestünden. Sie nahmen davon Kenntnis, dass die erleichterte Einbürgerung nicht möglich sei, wenn vor oder während des Einbürgerungsverfahrens die Trennung oder Scheidung beantragt werde und die eheliche Gemeinschaft nicht mehr bestehe, und dass die Verheimlichung solcher Umstände zur Nichtigerklärung der Einbürgerung führen könne. Am 21. Januar 2003 wurde X._ eingebürgert und erwarb die Bürgerrechte des Kantons Luzern und der Gemeinde Escholzmatt. C. Im Mai 2003 lernte X._ eine Schweizerin kennen und ging mit ihr eine Beziehung ein. Im Juni 2003 kam es zur Trennung der Ehe. Nach einer Vereinbarung vom 23. November 2003 wurde die Trennung mit Gültigkeit ab 25. Juli 2003 auf unbestimmte Zeit vorgesehen. Das Bundesamt für Migration (Bundesamt) leitete am 7. September 2007 ein Verfahren auf Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung ein. X._ äusserte sich verschiedentlich, ebenso seine Ehefrau, seine neue Partnerin und Personen aus dem gemeinsamen Bekanntenkreis. Der Kanton Luzern als Heimatkanton erteilte die Zustimmung zur Nichtigerklärung der Einbürgerung. Das Bundesamt erklärte die Einbürgerung von X._ am 7. Dezember 2007 für nichtig. D. X._ gelangte in der Folge an das Bundesverwaltungsgericht. Dieses wies dessen Beschwerde am 18. Februar 2010 ab. Im Wesentlichen kam es aufgrund der gesamten Umstände zum Schluss, dass die Einbürgerung im Sinne des Bürgerrechtsgesetzes erschlichen wor-den sei. E. Gegen diesen Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts hat X._ am 24. März 2010 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Er beantragt die Aufhebung der Entscheide der Vorinstanz und des Bundesamtes. Er rügt eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör und des Bürgerrechtsgesetzes und macht im Wesentlichen geltend, im Zeitpunkt der Unterzeichnung der gemeinsamen Erklärung und der Einbürgerung habe noch eine echte eheliche Gemeinschaft bestanden. Das Bundesamt und das Bundesverwaltungsgericht haben auf Vernehmlassung verzichtet. 