Sachverhalt: A. A._ (Gesuchstellerin) machte am 29. Januar 2004 beim Handelsgericht des Kantons Zürich einen Haftpflichtprozess gegen die X._-Gesellschaft AG (Gesuchsgegnerin) anhängig. Unter Mitwirkung von Handelsrichter Dr. B._ und von Handelsrichterin C._ wies das Handelsgericht die Klage am 16. Juni 2008 ab. Die dagegen erhobene kantonale Nichtigkeitsbeschwerde wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich am 24. August 2009 ab, soweit es darauf eintrat. Das anschliessend von der Gesuchstellerin angerufene Bundesgericht wies die gegen das handelsgerichtliche, subeventualiter auch gegen das kassationsgerichtliche Urteil geführte Beschwerde in Zivilsachen ab, soweit es darauf eintrat (Urteil des Bundesgerichts 4A_494/2009 vom 17. November 2009). B. Die Gesuchstellerin hat am 7. Juli 2010 beim Bundesgericht ein Revisionsgesuch eingereicht mit dem Antrag, die Nichtigkeit des handelsgerichtlichen Urteils vom 16. Juni 2008 festzustellen, die Angelegenheit an das Handelsgericht zurückzuweisen, damit dieses das Verfahren neu an Hand nehme. Ihrem gleichzeitig gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Revisionsverfahren entsprach das Bundesgericht mit Verfügung vom 21. Januar 2011. C. Mit der Fristansetzung zur Beantwortung des Revisionsgesuchs wurde das Handelsgericht des Kantons Zürich eingeladen, die Frage zu beantworten, ob Handelsrichter Dr. B._ in den Jahren 2007 und 2008 als Rechtsanwalt für die Gesuchsgegnerin vor Handelsgericht tätig gewesen sei. Die Mandatierung dieses Handelsrichters durch die Gesuchsgegnerin hat die Gesuchstellerin im Sinne einer neu in Erfahrung gebrachten Tatsache vorgebracht und ihr Revisionsgesuch wesentlich darauf abgestützt. Dazu sprach sich das Handelsgericht in seiner Eingabe vom 16. Februar 2011 aus. Es erklärte, Dr. B._ habe die Gesuchsgegnerin im Jahre 2007 nicht und im Jahr 2008 einmal, nämlich als Beklagte in einem Regressprozess unter Versicherungsgesellschaften, als Rechtsanwalt vor Handelsgericht vertreten. Er sei als Handelsrichter per Ende 2010 zurückgetreten. Im Übrigen verzichtete das Handelsgericht - gleich wie das Kassationsgericht des Kantons Zürich - auf Vernehmlassung. Die Gesuchsgegnerin schliesst auf kostenfällige Abweisung des Revisionsgesuchs. Die Gesuchstellerin hat am 31. März 2011 eine Replik eingereicht, welche der Gegenpartei zur Kenntnisnahme zugestellt wurde. 