Sachverhalt: A. X._ (geb. 1967) und Y._ (geb. 1967) sind die unverheirateten Eltern von Z._ (geb. 2006). In den Jahren nach der Geburt lebten sie als Familie in zwei gegenüberliegenden Wohnungen im selben Haus in F._, wobei die Kindsmutter X._ hauptsächlich zu Z._ schaute. Die Mutter ist alleinige Sorgerechtsinhaberin. B. B.a. Im Januar 2009 wurde X._ infolge einer psychischen Krise notfallmässig hospitalisiert. Es folgten bis Mai 2011 mehrere Suizidversuche und sechs weitere, teils mehrmonatige, freiwillige Hospitalisationen und fürsorgerische Unterbringungen. B.b. Anfang 2011 trennte sich Y._ von X._ und zog in der Folge mit Z._ in die Nähe von G._, nachdem er eine Obhutsübertragung an sich selbst beantragt hatte. B.c. Die Abteilung Kindes- und Jugendschutz Basel (AKJS) beantragte gegenüber der zuständigen Jugendschutzkammer, der Mutter sei die elterliche Obhut zu entziehen. X._ stimmte am 25. Juli 2011 einer vorläufigen Unterbringung des Kindes beim Kindsvater zu. C. C.a. Mit Entscheid vom 23. November 2011 entzog die Jugendschutzkammer Basel-Stadt der Mutter (definitiv) die Obhut über Z._ und platzierte das Kind vorsorglich beim Vater. C.b. Am 16. Dezember 2011 ernannte die Jugendschutzkammer Rechtsanwalt A._ zum Kindesvertreter von Z._. Weiter beauftragte diese die Universitären Psychiatrischen Kliniken Basel (UPK) mit einem kinderpsychologischen Gutachten über Z._ sowie einem forensisch-psychiatrischen Gutachten über X._. Die Gutachten wurden am 5. Mai 2012 resp. 21. Mai 2012 erstattet. C.c. Am 23. Mai 2012 entschied die Jugendschutzkammer (Ziff. 1) : "Für Z._ wird in Anwendung von Art. 310 des Zivilgesetzbuches (ZGB) der Obhutsentzug angeordnet und er bleibt beim Vater untergebracht." Einem allfälligen Rekurs gegen diesen Entscheid entzog die Jugendschutzkammer die aufschiebende Wirkung (Ziff. 2). D. D.a. X._ erhob am 25. Juni 2012 Rekurs an das Departement für Wirtschaft, Soziales und Umwelt des Kantons Basel-Sta dt. Sie beantragte, die Obhut sei bei ihr als Mutter und Sorgerechtsinhaberin zu belassen und Z._ sei dauerhaft wieder bei ihr unterzubringen. Die Jugendschutzkammer, die AKJS, der Vertreter des Kindes und der Kindsvater verlangten die Abweisung des Rekurses. Am 2. Oktober 2012 ersuchte X._ um Einholung eines ergänzenden Kurzgutachtens der UPK über sich. D.b. Mit Schreiben vom 8. Januar 2013 übermittelte das Departement für Wirtschaft, Soziales und Umwelt den Rekurs zur Weiterbehandlung als Beschwerde an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, welches nach dem am 1. Januar 2013 in Kraft getretenen neuen Kindesschutzrecht fortan zuständig war. D.c. Am 15. Mai 2013 führte das Appellationsgericht eine mündliche Verhandlung durch. Die Anwälte der Eltern, des Kindes sowie ein Vertreter der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB; per 1. Januar 2013 wurden die behördlichen Aufgaben der AKJS an diese transferiert) hielten je einen Parteivortrag. Alle Beteiligten hielten an ihren Anträgen fest. D.d. Mit Urteil vom 15. Mai 2013 wies das Appellationsgericht die Beschwerde ab. X._ wurde die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und sowohl ihre Vertreterin als auch der Kindesvertreter wurden aus der Gerichtskasse entschädigt. Indes wurde X._ verpflichtet, dem Kindsvater eine Parteientschädigung von Fr. 1'792.80 zu entrichten. E. Gegen dieses Urteil gelangt X._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie verlangt die kostenfällige Aufhebung des angefochtenen Urteils. Ihr sei die Obhut über ihren Sohn Z._ zu belassen und er sei ab sofort wieder dauerhaft bei ihr unterzubringen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Gegebenenfalls sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Das Bundesgericht hat die Akten, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt. F. Die Beschwerdeführerin ist ausserdem Mutter von B._ (geb. 1999) aus einer früheren Ehe. Seit der Scheidung im Juli 2011 ist die Obhut über B._ bei dessen Vater. B._ ist vom vorliegenden Verfahren nicht betroffen. 