Sachverhalt: Im Februar 2004 reichten K._ und L._ sowie M._ bei der Einwohnergemeinde Köniz ein abgeändertes Baugesuch für die am I._ in Spiegel liegende Parzelle Nr. _ ein. Geplant wird der teilweise Abbruch und Wiederaufbau des bisherigen Wohnhauses sowie die Aufstockung um ein Voll- und ein Attikageschoss. Gegen das Projekt erhoben A._ und weitere Nachbarn sowie der Verein H._ Einsprache und Rechtsverwahrung. Die Einwohnergemeinde Köniz bewilligte am 27. September 2004 das Bauvorhaben und wies die Einsprache ab, soweit auf sie eingetreten werden konnte. Von der Rechtsverwahrung wurde Kenntnis genommen und gegeben. Gegen die Baubewilligung erhoben die genannten Nachbarn und der Verein H._ Beschwerde bei der Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion des Kantons Bern. Im Laufe des Beschwerdeverfahrens ersuchte die Bauherrschaft um Bewilligung einer Projektänderung betreffend die Raumnutzung im Sockelgeschoss. Die kantonale Direktion bewilligte am 21. Juni 2005 die Projektänderung und wies im Übrigen die Beschwerde ab, soweit darauf einzutreten war. Die Nachbarn gelangten hierauf an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, das deren Beschwerde mit Urteil vom 31. Januar 2006 ebenfalls abwies, soweit darauf eingetreten werden konnte. A._, B._, C._, D._, E._, F._, G._, N._ sowie der Verein H._ haben gegen das Urteil des Berner Verwaltungsgerichtes staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung von Art. 9 BV (Schutz vor Willkür) und Art. 29 BV (Anspruch auf rechtliches Gehör) eingereicht. Die Einwohnergemeinde Köniz, das Verwaltungsgericht des Kantons Bern und die Bauherrschaft bzw. die Eigentümergemeinschaft I._ beantragen Abweisung der Beschwerde, soweit auf diese einzutreten sei. Die Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion des Kantons Bern hat auf Vernehmlassung verzichtet. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung der staatsrechtlichen Beschwerde ist mit Präsidialverfügung vom 11. April 2006 abgewiesen worden. 