Sachverhalt: A. Die 1971 geborene S._ war seit 1. September 2007 als Polygrafin bei der T._ AG, tätig und in dieser Eigenschaft bei der AXA Versicherungen AG (nachfolgend: AXA) gegen die Folgen von Unfällen versichert. Gemäss Unfallmeldung UVG vom 1. Juli 2009 war es am 29. April 2009 in einem Pilates-Kurs der Klubschule Migros zu einem Sehnenriss in der rechten Schulter gekommen. Am 14. August 2009 erfolgte eine Arthroskopie der Schulter rechts. Anschliessend wurde S._ physiotherapeutisch betreut. Mit Verfügung vom 8. Oktober 2009 verneinte die AXA ihre Leistungspflicht, da weder ein Unfall noch eine unfallähnliche Körperschädigung vorliege. Die dagegen durch S._ und die SWICA Krankenversicherung AG erhobenen Einsprachen wies die AXA mit Einspracheentscheid vom 6. Januar 2010 ab. B. Die von S._ hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 19. Mai 2010 gut und bejahte das Vorliegen einer unfallähnlichen Körperschädigung und damit die Leistungspflicht der AXA. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die AXA die Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheids vom 19. Mai 2010 und die Bestätigung des Einspracheentscheids vom 6. Januar 2010. S._ schliesst sinngemäss auf Abweisung der Beschwerde und ersucht für den Fall, dass ihr Kosten auferlegt werden sollten, um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. 