Faits: Faits: A. A._ a été élu au poste de maire de la Commune de X._ lors du scrutin populaire du 4 mars 2001. Dans une lettre du 10 mars 2001, les présidents des sections locales des partis démocrate-chrétien, chrétien-social indépendant et socialiste ont signalé au Service des communes du canton du Jura (ci-après: le Service des communes) que le nouveau maire de X._ était le frère de B._, secrétaire communale à temps partiel, en l'invitant à examiner si cette situation ne tombait pas sous le coup de l'une des incompatibilités prévues à l'art. 12 de la loi sur les communes du canton du Jura du 9 novembre 1978 (LCom) ou à d'autres dispositions légales. C._, citoyen actif de X._, en a fait de même le 11 mars 2001. A la demande du Service des communes, B._ a fait savoir, dans un courrier recommandé du 30 mars 2001, qu'elle n'entendait pas se retirer de la fonction de secrétaire communale qu'elle occupe à temps partiel depuis le 1er juillet 1999. Par décision du 9 avril 2001, le Service des communes a annulé l'élection de A._ au poste de maire de X._. Il a considéré en substance que la fonction de maire à laquelle celui-ci avait été élu était incompatible avec celle de secrétaire communale exercée par B._, en raison du lien de parenté qui les unissait. Il a en outre refusé de déroger à cette règle prévue à l'art. 12 al. 2 LCom, parce que le maire et le secrétaire communal engageaient la Commune par leur signature collective à deux en vertu de l'art. 37 al. 3 du règlement d'organisation de la Commune de X._. A._ a contesté en vain cette décision auprès de la Chambre administrative du Tribunal cantonal du canton du Jura (ci-après: la Chambre administrative). Aux termes d'un arrêt rendu le 31 mai 2001, cette autorité a considéré que le lien de parenté unissant le nouvel élu au poste de maire de X._ à la secrétaire communale impliquait une incompatibilité de fonction qui ne pouvait être levée que par l'annulation de l'élection dans la mesure où B._ avait déclaré ne pas vouloir se retirer de ses fonctions; en outre, elle a nié l'existence d'un juste motif propre à déroger à cette incompatibilité; elle a enfin écarté le grief tiré d'une inégalité de traitement par rapport à d'autres communes jurassiennes parce qu'il n'était fait état d'aucun conflit de parenté entre un maire et un secrétaire communal dans une autre commune de l'importance de celle de X._. A._ a contesté en vain cette décision auprès de la Chambre administrative du Tribunal cantonal du canton du Jura (ci-après: la Chambre administrative). Aux termes d'un arrêt rendu le 31 mai 2001, cette autorité a considéré que le lien de parenté unissant le nouvel élu au poste de maire de X._ à la secrétaire communale impliquait une incompatibilité de fonction qui ne pouvait être levée que par l'annulation de l'élection dans la mesure où B._ avait déclaré ne pas vouloir se retirer de ses fonctions; en outre, elle a nié l'existence d'un juste motif propre à déroger à cette incompatibilité; elle a enfin écarté le grief tiré d'une inégalité de traitement par rapport à d'autres communes jurassiennes parce qu'il n'était fait état d'aucun conflit de parenté entre un maire et un secrétaire communal dans une autre commune de l'importance de celle de X._. B. Agissant par la voie du recours de droit public pour violation des droits politiques, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt. Il se plaint d'une interprétation arbitraire de l'art. 12 al. 2 LCom. Il prétend que l'annulation de son élection au poste de maire de X._ porterait une atteinte inadmissible à son droit d'être élu et au droit des citoyens de voir exercer ses fonctions celui qu'ils ont élu. Il reproche en outre au Service des communes d'avoir agi en violation du principe de la bonne foi en annulant d'office l'élection après avoir toléré son organisation, alors qu'il avait connaissance du problème d'incompatibilité qui pouvait se poser. Il voit par ailleurs une inégalité de traitement dans la rigueur extrême manifestée à son égard par rapport à des situations identiques, voire plus sensibles du point de vue de l'indépendance des fonctions, existant dans d'autres communes jurassiennes. Il fait enfin grief à l'autorité intimée d'avoir refusé à tort de faire application de la clause dérogatoire prévue à l'art. 13 LCom. La Chambre administrative et le Service des communes concluent au rejet du recours dans la mesure où il est recevable. Le Conseil communal de X._ a renoncé à se déterminer. 