Sachverhalt: A. X._ (Ehemann) (geb. xxxx 1960) und Z._ (Ehefrau) (geb. xxxx 1977) heirateten 2003 in Thailand. Dieser Ehe sind keine Kinder entsprossen. Mit Eingabe vom 27. November 2006 ersuchte Z._ beim Einzelrichter in Ehesachen am Bezirksgericht Dielsdorf im Rahmen von Eheschutzmassnahmen um die Bewilligung, auf unbestimmte Zeit von ihrem Ehemann, X._, getrennt zu leben. Des Weiteren verlangte sie insbesondere, X._ sei zur Leistung von persönlichen Unterhaltsbeiträgen an sie zu verpflichten. Mit Verfügung vom 10. September 2007 stellte der angerufene Richter fest, dass die Parteien berechtigt seien, auf unbestimmte Zeit getrennt zu leben und bereits seit 1. Januar 2006 getrennt leben. Im Weiteren verpflichtete er X._ zu Unterhaltsleistungen an Z._. B. B.a Mit Beschluss vom 21. April 2009 verhielt das Obergericht des Kantons Zürich in teilweiser Gutheissung der Rekurse der Parteien X._ dazu, Z._ monatliche zum Voraus auf den Ersten eines Monats zahlbare Unterhaltsbeiträge von Fr. 754.60 für Februar 2007, Fr. 1'435.40 vom 1. März 2007 bis 31. Mai 2007, Fr. 1'095.-- vom 1. Juni 2007 bis 31. Juli 2007, Fr. 3'695 vom 1. August 2007 bis 31. Dezember 2007, Fr. 2'124.-- vom 1. Januar 2008 bis 31. März 2008, Fr. 2'400.-- vom 1. April 2008 bis 31. Januar 2009 und von Fr. 4'240.-- ab 1. Februar 2009 zu bezahlen. B.b Mit Zirkulationsbeschluss vom 10. Juni 2010 wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich die von X._ gegen die obergerichtliche Festsetzung der Unterhaltsbeiträge erhobene kantonale Nichtigkeitsbeschwerde ab. C. Mit einer am 12. Juli 2010 der Post übergebenen Eingabe gelangt X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht mit den Begehren, die Beschlüsse des Obergerichts und des Kassationsgerichts seien aufzuheben und es sei festzustellen, dass Z._ (Beschwerdegegnerin) keine weiteren Unterhaltsbeiträge nach Art. 176 ZGB mehr zustehen. Im Weiteren sei festzustellen, dass das Eheschutzverfahren ungebührlich verzögert und dadurch sein Recht auf ein faires Verfahren nach Art. 6 EMRK verletzt worden sei. D. Dem Begehren des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung wurde nach Anhörung der Beschwerdegegnerin mit Verfügung vom 16. August 2010 bezüglich der nach dem obergerichtlichen Beschluss bis und mit Juni 2010 geschuldeten Unterhaltsbeiträge entsprochen. In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. 