Faits: A. A.a. K._, né en 1960, travaillait en qualité de monteur en ventilation au service de l'entreprise X._ AG. Le 10 septembre 2001, il a été victime d'un accident professionnel. Alors qu'il se trouvait sur un chantier, il a chuté de plusieurs mètres et a subi un traumatisme thoracique gauche, des fractures de côtes en série, un hémothorax gauche, un hématome péri-rénal gauche et un hématome intra-scapulaire de la rate. Cet accident a été pris en charge par la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Le 18 juillet 2002, K._ a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité tendant à l'octroi principalement d'une mesure de rééducation et subsidiairement d'une rente. Dans un rapport du 5 mars 2003, le docteur O._, médecin d'arrondissement de la CNA, a relevé que son examen clinique était avant tout marqué par une autolimitation et des plaintes incessantes qui étaient toujours rapportées à l'hémithorax gauche. Une surcharge psychogène était certaine. Du point de vue somatique, l'assuré ne pouvait plus travailler comme monteur en ventilation mais était en mesure d'exercer, avec une capacité de travail entière, toute activité légère de type industriel, exécutée à hauteur d'établi. Par décision du 25 avril 2005, l'office AI a alloué à l'assuré une rente entière d'invalidité limitée dans le temps pour la période du 1 er septembre 2002 au 31 mai 2003. Pour les organes de l'assurance-invalidité, l'état de santé de l'assuré s'était considérablement amélioré à compter du mois de mars 2003 de sorte qu'il disposait d'une capacité de travail entière dans une activité adaptée. Après comparaison des revenus, l'intéressé présentait un degré d'invalidité de 19 %, lequel était insuffisant pour ouvrir le droit à une rente d'invalidité. Estimant que l'instruction sur le plan psychiatrique était lacunaire, K._ a fait opposition à cette décision et requis la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique ainsi que l'octroi d'une rente d'invalidité. Par décision du 22 août 2006, l'office AI a rejeté l'opposition, au motif que l'examen psychiatrique pratiqué le 25 juin 2004 par le SMR (rapport de la doctoresse B._ du 28 juin 2004) était probant et qu'il n'y avait pas lieu de s'écarter de ses conclusions, selon lesquelles l'assuré ne présentait «aucun diagnostic psychiatrique» donc aucune incapacité de travail sur ce plan. A.b. K._ a déféré cette décision au Tribunal des assurances du canton de Vaud (aujourd'hui: le Tribunal cantonal vaudois, Cour des assurances sociales) en reprenant les conclusions qu'il avait formulées dans son opposition. Par jugement du 16 octobre 2007, le tribunal a admis le recours, annulé la décision entreprise et renvoyé la cause à l'office AI pour complément d'instruction et nouvelle décision. Il a considéré, en se référant à l'arrêt du Tribunal fédéral I 65/2007 du 31 août 2007, que la doctoresse B._ n'était pas titulaire du titre de spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie dont elle se prévalait, ni au bénéfice d'une autorisation de pratiquer selon le droit cantonal. Ces circonstances entachaient la fiabilité du rapport médical établi sur mandat de l'administration. A.c. Reprenant l'instruction de la cause, l'office AI a confié la réalisation d'une expertise psychiatrique au docteur F._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie. Celui-ci a rendu un rapport d'expertise le 5 mai 2008, établi sur la base de deux examens de l'assuré des 25 et 28 avril 2008. L'expert a posé le diagnostic de trouble dépressif récurrent (épisode actuel léger) et de syndrome douloureux somatoforme persistant, qu'il a qualifié de peu de gravité car à la limite du seuil diagnostique. Dans un tel contexte, il n'était pas légitime de retenir une incapacité de travail significative sur le plan psychiatrique. Dans un projet de décision du 10 juin 2009, l'office AI a informé l'assuré qu'il entendait rejeter sa demande de prestations, au motif que l'expertise réalisée par le docteur F._ n'avait pas démontré qu'il souffrait d'une atteinte à la santé psychique à caractère invalidant. L'assuré s'est opposé à ce projet et a requis la mise en oeuvre d'un complément d'instruction sous la forme d'une expertise pluridisciplinaire. Il estimait que l'appréciation du docteur F._ n'avait tenu compte ni de la sévérité du syndrome douloureux dont il souffrait depuis huit ans ni du fait que son état de santé s'était «chronicisé» depuis l'accident. Par deux décisions séparées du 5 novembre 2009, l'office AI a rejeté la demande de prestations en ce sens qu'il a refusé d'allouer une rente pour la période postérieure au 31 mai 2003, au motif que le degré d'invalidité de 19 % présenté par l'assuré était insuffisant pour ouvrir le droit à cette prestation. Il a d'autre part refusé d'accorder à l'intéressé l'assistance juridique pour la procédure administrative. B. K._ a déféré ces deux décisions au Tribunal cantonal vaudois, Cour des assurances sociales. Après avoir joint les deux causes, statuant le 10 décembre 2012, la juridiction cantonale a rejeté le recours dirigé contre la décision de l'office AI concernant le droit à la rente (chiffre II du dispositif). En revanche, elle a admis le recours relatif à l'assistance juridique en procédure administrative et renvoyé la cause audit office pour qu'il fixe le montant de l'indemnité due à ce titre (chiffre III du dispositif). C. K._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement et demande, à titre principal, la réforme du chiffre II du dispositif en ce sens qu'il est mis au bénéfice d'une rente d'invalidité de 100 % dès le 1 er juin 2003, sous suite de frais et dépens. A titre subsidiaire, il demande l'annulation du chiffre II du dispositif, la cause étant renvoyée au tribunal cantonal «pour nouvelle instruction, nouveau jugement et nouvelle décision dans le sens des considérants de l'arrêt à venir». En outre, il requiert le bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite pour la procédure fédérale. L'office AI conclut implicitement au rejet du recours. Quant à l'Office fédéral des assurances sociales, il a renoncé à se déterminer. D. Par ordonnance du 4 mars 2013, le Tribunal fédéral a rejeté la demande d'assistance judiciaire, au motif que les conclusions du recours paraissaient vouées à l'échec. 