Sachverhalt: Sachverhalt: A. Am 17. August 1999 verurteilte das Bundesgericht die Y._ (Beklagte und Beschwerdegegnerin) auf Berufung der X._ (Klägerin und Beschwerdeführerin), US$ 12'104'537.90 nebst Zins zu 5% seit 4. November 1991 zu bezahlen (Urteil 4C.135/1997). In der Folge rechnete die Beklagte gestützt auf Art. 84 Abs. 2 OR die zugesprochene Summe und den Zins (für die Zeit zwischen dem 4. November 1991 und dem 1. September 1999) zum Wechselkurs per 4. November 1991 in CHF um und liess der Klägerin am 2. September 1999 den Betrag von CHF 24'332'660.94 (CHF 24'162'660.94 Urteilsschuld plus CHF 170'000.-- Prozessentschädigungen) gutschreiben. Der Betrag von CHF 24'162'660.94 ergab umgerechnet zum aktuellen Kurs einen Betrag von US$ 16'160'821.93. Da der Kurs des US$ seit der Fälligkeit am 4. November 1991 gegenüber dem CHF gestiegen war, bezifferte die Klägerin den ihr gemäss dem Urteil vom 17. August 1999 zustehenden Betrag aus Kapital und Zins dagegen auf US$ 16'848'790.10. Sie verlangte von der Beklagten die Bezahlung des durch die Währungsschwankung bedingten Fehlbetrages von US$ 688'636.98. Der Betrag von CHF 24'162'660.94 ergab umgerechnet zum aktuellen Kurs einen Betrag von US$ 16'160'821.93. Da der Kurs des US$ seit der Fälligkeit am 4. November 1991 gegenüber dem CHF gestiegen war, bezifferte die Klägerin den ihr gemäss dem Urteil vom 17. August 1999 zustehenden Betrag aus Kapital und Zins dagegen auf US$ 16'848'790.10. Sie verlangte von der Beklagten die Bezahlung des durch die Währungsschwankung bedingten Fehlbetrages von US$ 688'636.98. B. Am 29. März 2000 machte die Klägerin beim Handelsgericht des Kantons Zürich eine Forderungsklage anhängig, in der sie (unter Vorbehalt der Nachklage) die Verurteilung der Beklagten zur Bezahlung von US$ 688'636.98 aus Währungsschaden forderte. Das Handelsgericht wies die Parteien mit instruktionsrichterlicher Verfügung vom 2. Oktober 2000 darauf hin, dass der eingeklagte (Differenz-)Betrag der Klägerin im Bundesgerichtsurteil vom 17. August 1999 bereits rechtskräftig zugesprochen worden sei und daher eine res iudicata vorliege. Es stellte daher in Aussicht, dass es auf die Klage nicht eintreten werde. Am 8. Januar 2001 sistierte das Handelsgericht das Verfahren, nachdem die Klägerin mit Eingabe vom 20. Oktober 2000 beim Einzelrichter im summarischen Verfahren des Bezirks Zürich (Audienzrichter) ein Verfahren auf Vollstreckung eingeleitet hatte. B. Am 29. März 2000 machte die Klägerin beim Handelsgericht des Kantons Zürich eine Forderungsklage anhängig, in der sie (unter Vorbehalt der Nachklage) die Verurteilung der Beklagten zur Bezahlung von US$ 688'636.98 aus Währungsschaden forderte. Das Handelsgericht wies die Parteien mit instruktionsrichterlicher Verfügung vom 2. Oktober 2000 darauf hin, dass der eingeklagte (Differenz-)Betrag der Klägerin im Bundesgerichtsurteil vom 17. August 1999 bereits rechtskräftig zugesprochen worden sei und daher eine res iudicata vorliege. Es stellte daher in Aussicht, dass es auf die Klage nicht eintreten werde. Am 8. Januar 2001 sistierte das Handelsgericht das Verfahren, nachdem die Klägerin mit Eingabe vom 20. Oktober 2000 beim Einzelrichter im summarischen Verfahren des Bezirks Zürich (Audienzrichter) ein Verfahren auf Vollstreckung eingeleitet hatte. C. Im Vollstreckungsverfahren ersuchte die Klägerin den Audienzrichter um Erlass eines Vollstreckungsbefehls im Sinne von § 222 Ziff. 1 ZPO/ZH. Sie beantragte, "das Urteil des Bundesgerichts vom 17. August 1999 sei im Restbetrag von US$ 688'636.98 (nebst Zins) unter Androhung der Ungehorsamsstrafe gemäss Art. 292 StGB gegen die Organe der Beklagten zu vollstrecken". Mit Verfügung vom 5. März 2001 trat der Audienzrichter auf das Vollstreckungsbegehren nicht ein. Das Obergericht des Kantons Zürich hiess am 11. Juni 2001 einen von der Klägerin hiergegen eingelegten Rekurs teilweise gut und hob die Verfügung des Audienzrichters auf. Es verpflichtete die Beklagte in Vollstreckung des Urteils des Bundesgerichts vom 17. August 1999 unter Androhung der Bestrafung ihrer Organe gemäss Art. 292 StGB, der Klägerin US$ 688'636.98 (nebst Zins) zu bezahlen. Diesen Entscheid hob das Kassationsgericht des Kantons Zürich am 22. Dezember 2001 in Gutheissung einer Nichtigkeitsbeschwerde der Beklagten auf. Es ersetzte ihn, indem es den Rekurs der Klägerin gegen die Verfügung des Audienzrichters abwies und dessen Entscheid vom 5. März 2001 bestätigte. Das Kassationsgericht kam zum Schluss, der Audienzrichter sei zur Beurteilung des Vollstreckungsbegehrens sachlich nicht zuständig; bei der im Urteil des Bundesgerichts vom 17. August 1999 festgelegten Fremdwährungsschuld handle es sich um eine in der Schweiz zu erfüllende und nach dem Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs (SchKG) zu vollstreckende Geldschuld. Diesen Entscheid hob das Kassationsgericht des Kantons Zürich am 22. Dezember 2001 in Gutheissung einer Nichtigkeitsbeschwerde der Beklagten auf. Es ersetzte ihn, indem es den Rekurs der Klägerin gegen die Verfügung des Audienzrichters abwies und dessen Entscheid vom 5. März 2001 bestätigte. Das Kassationsgericht kam zum Schluss, der Audienzrichter sei zur Beurteilung des Vollstreckungsbegehrens sachlich nicht zuständig; bei der im Urteil des Bundesgerichts vom 17. August 1999 festgelegten Fremdwährungsschuld handle es sich um eine in der Schweiz zu erfüllende und nach dem Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs (SchKG) zu vollstreckende Geldschuld. D. Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 11. Februar 2002 stellt die Klägerin den Antrag, es sei der Entscheid des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 22. Dezember 2001 aufzuheben und das Urteil des Bundesgerichts vom 17. August 1999 im Restbetrag von US$ 688'636.98 nebst Zins zu 5% seit dem 2. September 1999 unter Androhung der Ungehorsamsstrafe gemäss Art. 292 StGB gegen die Organe der Beklagten zu vollstrecken. Sie rügt, das Kassationsgericht habe die Art. 8 ZGB, Art. 84 Abs. 2 OR und §§ 300 ff. ZPO/ZH willkürlich angewendet. Die Beschwerdegegnerin beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Das Kassationsgericht weist in seiner Stellungnahme darauf hin, dass mit Blick auf die allein streitige Frage der Zuständigkeit des Vollstreckungsrichters im angefochtenen Urteil einzig die Frage zu beantworten war, ob eine rechtskräftig beurteilte Fremdwährungsschuld im Wege kantonalrechtlicher Zwangsvollstreckung oder gemäss den Vorschriften des SchKG zu vollstrecken sei. Insbesondere sei die in der staatsrechtlichen Beschwerde aufgeworfene Frage nach dem massgeblichen Zeitpunkt der Umrechnung der Schuld in Schweizerfranken nicht zur Diskussion gestanden. 