Sachverhalt: A. Die X.Y._ AG mit Sitz in B._ bezweckt gemäss Handelsregistereintrag insbesondere die Vermögensverwaltung für mittelständische Unternehmungen und Einzelpersonen. A._ ist selbständiger Optiker mit Wohnsitz im deutschen Bundesland Sachsen. Er legte mit der Unterstützung der X.Y._ AG Kapital in der Schweiz an. Im März 2006 kündigte A._ die mit der X.Y._ AG geschlossenen Vereinbarungen und verlangte Schadenersatz. B. B.a Mit Urteil vom 25. Januar 2007 verpflichtete das Landgericht Leipzig die X.Y._ AG (Beklagte), A._ (Kläger) EUR 19'056.92 nebst Zins zu bezahlen. Dieses Urteil bestätigte das Oberlandesgericht Dresden am 20. Juni 2007. Zur Begründung führte es zusammengefasst aus, der Kontakt zwischen den Parteien sei durch ein Call-Center in Deutschland hergestellt worden. Daraufhin habe der Kläger in Deutschland bei jeweiligen Gesprächsterminen mit einem Vertreter der Beklagten am 19. und 25. August 2003 mit "Vermögensverwaltungsauftrag" und "Anlageauftrag - Schweizer Vermögensaufbauprogramm" bezeichnete Verträge unterzeichnet. Der Kläger habe dem Kundenbetreuer der Beklagten an diesen Terminen Barbeträge von EUR 7'200.-- und EUR 9'700.-- ausgehändigt und eine einmalige "Auslands-Bearbeitungsgebühr" von EUR 1'700.-- in bar bezahlt. Tatsächlich habe die Beklagte für den Kläger zwei Lebensversicherungen mit jeweils jährlicher Dynamisierung von 10 % abgeschlossen. Nach § 32 Abs. 1 Satz 1 des Gesetzes über das Kreditwesen (Kreditwesengesetz, KWG) bedürfe, wer im Inland gewerbsmässig Bankgeschäfte betreiben oder Finanzdienstleistungen erbringen wolle, der vorherigen schriftlichen Erlaubnis der Bundesanstalt. Diese Pflicht greife jedenfalls dann, wenn der ausländische Anbieter von Finanzportofolioverwaltung wie im vorliegenden Fall deutsche Kunden durch Mitarbeiter oder Repräsentanten im Inland unaufgefordert zielgerichtet anspreche und sie im persönlichen Gespräch zum Abschluss eines entsprechenden Vermögensverwaltungsvertrages veranlasse. Da die Beklagte gewerbsmässig gehandelt habe, habe sie gegen die Erlaubnispflicht gemäss § 32 Abs. 1 Satz 1 i.V.m § 1 Abs. 1a Nr. 3 KWG verstossen, zumindest fahrlässig. Der Kläger könne Ersatz des durch die schuldhafte Schutzgesetzverletzung entstandenen Schadens verlangen. Mit Kostenfestsetzungsbeschluss vom 3. Mai 2007 verpflichtete das Landgericht Leipzig die Beklagte weiter, dem Kläger eine ausseramtliche Entschädigung von EUR 2'899.86 zu bezahlen. B.b In der Folge verlegte die Beklagte ihren Sitz von B._ nach C._ und änderte am 29. Juni 2007 ihre Firma in X._ AG. Um diese Änderungen für die Vollstreckung festzuhalten, erliess das Oberlandesgericht Dresden am 27. August 2007 einen Beschluss zur Anpassung des erst- und zweitinstanzlichen Urteils. Mit gleichlautendem Beschluss vom 28. September 2007 passte das Landgericht Leipzig seinen Kostenfestsetzungsbeschluss entsprechend an. B.c Der Kläger liess mit Zahlungsbefehl des Betreibungsamtes Appenzell vom 6. Dezember 2007 die Beklagte über Fr. 41'842.40 nebst Zins betreiben, worauf diese Rechtsvorschlag erhob. Am 8. Januar 2008 reichte der Kläger beim Bezirksgerichtspräsidenten von Appenzell I.RH. ein Begehren um Vollstreckbarerklärung und definitive Rechtsöffnung ein. Mit Urteil vom 14. Februar 2008 erklärte das Bezirksgericht das Urteil des Landgerichts Leipzig vom 25. Januar 2007 betreffend die Parteien inklusive des Kostenfestsetzungsbeschlusses vom 3. Mai 2007 für vollstreckbar und erteilte in der Betreibung Nr. 000 des Betreibungsamtes Appenzell für den Betrag von Fr. 41'842.40 nebst Zins zu 8,19 % seit 4. Dezember 2007 sowie Zahlungsbefehlskosten von Fr. 100.-- definitive Rechtsöffnung. Die Beklagte erhob gegen die Vollstreckbarkeitserklärung den in Art. 36 des Übereinkommens über die gerichtliche Zuständigkeit und die Vollstreckung gerichtlicher Entscheidungen in Zivil- und Handelssachen (SR 0.275.11; Lugano-Übereinkommen; LugÜ) vorgesehenen Rechtsbehelf, den das Kantonsgericht Appenzell I.Rh. mit Urteil vom 3. Juni 2008 abwies, soweit es darauf eintrat. C. Die Beklagte (Beschwerdeführerin) beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Kantonsgerichts vom 3. Juni 2008 aufzuheben und das Urteil des Landgerichts Leipzig vom 25. Januar 2007 sowie den Kostenfestsetzungsbeschluss vom 3. Mai 2007 als in der Schweiz nicht vollstreckbar zu erklären; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der Kläger (Beschwerdegegner) beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen. Das Kantonsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. 