Faits: A. A.a X._ (ci-après: l'athlète) est une coureuse de demi-fond, titulaire d'une licence délivrée par la Fédération ... d'athlétisme. Le 8 décembre 2008, la Commission d'appel de Z._, entité publique spécialisée dans la lutte antidopage, a confirmé la décision du 10 septembre 2008 par laquelle la Commission des sanctions de Z._ avait condamné l'athlète à une suspension de deux ans dès le 16 novembre 2007 pour violation des règles antidopage. Saisi d'un appel de l'athlète, le Tribunal Arbitral du Sport (TAS) l'a déclaré irrecevable par sentence du 9 octobre 2009. A.b Au printemps 2010, l'Association internationale des fédérations d'athlétisme (ci-après: l'IAAF, selon son acronyme anglais) a chargé Z._ d'effectuer des contrôles antidopage hors compétition sur un groupe-cible, dont l'athlète faisait partie. Après une première tentative infructueuse, deux agents de Z._ se sont rendus, le 18 mai 2010, dans une localité ..., au lieu d'entraînement de l'athlète, afin de faire subir à celle-ci et à une autre coureuse de fond un contrôle inopiné. Selon les dires, contestés, de l'un d'eux, l'athlète aurait tenté de fausser le contrôle au moment du prélèvement d'un échantillon d'urine, puis aurait quitté précipitamment la salle de bains et se serait enfuie après avoir jeté dans le lavabo le gobelet qu'elle avait commencé à remplir. La Commission d'audition de Z._ a suspendu provisoirement l'athlète par décision du 3 juin 2010. Elle l'a entendue une première fois le lendemain, puis le 11 juin 2010, date à laquelle elle a procédé également à l'audition de témoins et à la confrontation de l'athlète avec les deux agents ayant procédé au contrôle du 18 mai 2010. Par décision n° 18 du 8 juillet 2010, ladite Commission a constaté l'applicabilité des dispositions relatives au refus de se soumettre à un contrôle antidopage ou à l'absence injustifiée à un tel contrôle et à la contrefaçon ou tentative de contrefaçon d'un échantillon. Sur cette base et compte tenu de la précédente sanction disciplinaire infligée à l'athlète ainsi que du caractère suspicieux d'échantillons prélevés sur celle-ci lors d'un contrôle hors compétition effectué le 10 mars 2010 par l'IAAF, elle a prononcé la suspension à vie de l'athlète. B. B.a Le 4 août 2010, l'athlète a interjeté appel auprès du TAS. Elle lui a adressé son mémoire d'appel le 27 du même mois. Z._ a déposé sa réponse le 25 octobre 2010. Par fax du 9 novembre 2010, l'appelante a requis le bénéfice de l'assistance judiciaire et s'est déclarée favorable à ce que la cause soit soumise à un arbitre unique. L'intimée a sollicité, pour sa part, la désignation d'une formation de trois arbitres. Le Conseil International de l'Arbitrage en matière de Sport (CIAS) a octroyé l'assistance judiciaire à l'appelante par ordonnance du 11 janvier 2011. Le même jour, le Greffe du TAS a informé les parties que le différend serait tranché par un arbitre unique dont il leur a indiqué le nom. Le 15 février 2011, il les a avisées de la désignation, par le CIAS, de Me Pascal de Preux en qualité d'avocat d'office de l'appelante. L'audience d'instruction et de jugement a été tenue le 14 avril 2011 à Lausanne. Au cours de cette séance, l'arbitre unique a procédé à l'audition de plusieurs témoins et experts ainsi qu'à l'interrogatoire des parties avant de clore l'instruction. B.b Par sentence du 26 juillet 2011, l'arbitre unique, après s'être déclaré compétent, a rejeté l'appel de l'athlète et confirmé la décision qui en formait l'objet. En substance, l'arbitre unique a considéré que Z._ était seule compétente, à l'exclusion de la fédération nationale de l'athlète, pour statuer en matière de lutte antidopage en .... Quant au grief par lequel l'appelante se plaignait de ne pas avoir bénéficié d'un procès équitable devant cette instance, il l'a rejeté au motif que le plein pouvoir d'examen du TAS, relativement aux faits et au droit, purgerait en tout état de cause les éventuels vices de forme commis par Z._. L'arbitre unique a apprécié ensuite les preuves versées au dossier de l'arbitrage pour déterminer si l'intimée, qui avait la charge de cette preuve, avait établi, au degré requis par la réglementation ad hoc, que l'athlète s'était dérobée à un prélèvement d'échantillon d'urine. Arrivant à la conclusion que tel était bien le cas, il s'est alors penché sur la sanction prononcée par Z._. Bien que jugeant la suspension à vie sévère, puisqu'elle signifie la fin de la carrière de l'athlète, il a estimé devoir la retenir eu égard aux circonstances de l'espèce et parce que, de toute façon, il n'était pas saisi d'une conclusion tendant à la réduction de cette sanction. Celle-ci, a encore ajouté l'arbitre unique, était du reste conforme à une jurisprudence fermement établie du TAS en la matière; au demeurant, elle ne visait pas uniquement à punir l'athlète, mais également à préserver sa santé. C. Le 6 septembre 2011, l'athlète a interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral en vue d'obtenir l'annulation de la sentence du 26 juillet 2011. La recourante a requis sa mise au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale et la désignation de son mandataire en qualité d'avocat d'office. L'intimée et le TAS n'ont pas été invités à déposer une réponse. 