Sachverhalt: A. A.a. Die X._, Zürich, (Beklagte, Beschwerdeführerin) ist ein Verein schweizerischen Rechts mit dem Zweck, italienische Arbeitnehmer und ihre Familien in der Schweiz bei der Ausübung ihrer Rechte im Bereich der Sozialversicherung und der Ansprüche aus der Erwerbstätigkeit (auch vor Gericht) zu vertreten. Sie wird von Y._ mit Sitz in J._ gefördert. A._ (Kläger, Beschwerdegegner) ist italienischer Staatsangehöriger, lebt aber seit längerem in der Schweiz und war hier auch erwerbstätig. A.b. A._ und seine Familie liessen sich seit Ende der 70er-Jahre des letzten Jahrhunderts in sozialversicherungsrechtlichen Belangen von der X._ beraten. Auch im Jahre 2006, als A._ arbeitslos und ausgesteuert war, suchte er bei der Beklagten Unterstützung. Der in deren Büro in Zürich tätige Geschäftsführer, B._, riet dem Kläger in dieser Situation, sich frühpensionieren zu lassen. Der Kläger unterzeichnete am 28. November 2006 verschiedene Dokumente, die ihm B._ vorlegte, namentlich eine Vollmacht, welche die Beklagte zur Auflösung des Freizügigkeitskontos und zur Überweisung der Austrittsleistung auf ein auf "X._" lautendes Konto ermächtigte, sowie einen Antrag zum Bezug des Freizügigkeitskapitals. In der Folge erreichte B._, dass das Kapital im Gesamtbetrag von Fr. 130'774.77 ihm persönlich ausbezahlt wurde. Zunächst erhielt der Kläger Ende Mai 2007 eine Zahlung im Betrag von Fr. 2'610.--, ab Juni 2007 bis April 2009 monatliche Zahlungen von Fr. 522.--, und überdies einen Betrag von Fr. 50'000.--. Diese waren nicht von der Beklagten, sondern von B._ veranlasst, und sie enthielten als Zahlungsgrund den Vermerk "Accredito X._ Inhaber B._, Rendita Mensile ...". Dies entsprach einem auch aus anderen Fällen bekannten Täuschungsmanöver von B._. Die Parteien sind sich darin einig, dass B._ das Alterskapital des Klägers im übrigen Teil veruntreut hat. B. B.a. Am 28. Dezember 2010 klagte A._ beim Bezirksgericht Zürich gegen die X._ auf Zahlung von Fr. 66'158.75.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 6. Dezember 2006, sowie auf Zahlung einer Genugtuung von Fr. 5'000.--. Mit Urteil vom 7. September 2012 hiess das Bezirksgericht Zürich die Klage gut. B.b. Mit Urteil vom 26. Februar 2013 wies das Obergericht des Kantons Zürich eine von der Beklagten gegen das bezirksgerichtliche Urteil vom 7. September 2012 erhobene Berufung ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beklagte dem Bundesgericht, es sei das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 26. Februar 2013 aufzuheben und die Klage sei abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Auf die Einholung von Vernehmlassungen wurde verzichtet. 