Sachverhalt: A. A.a. Am 14. Juli 2008 entzog das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Glarus A._ erstmals den Führerausweis wegen Lenkens eines Personenwagens mit einer Blutalkoholkonzentration von mindestens 1,24 o/oo. Am 21. Oktober 2011 verwarnte die Staats- und Jugendanwaltschaft des Kantons Glarus, Abteilung Administrativmassnahmen, A._ wegen Fahrens in angetrunkenem Zustand. A.b. Gestützt auf einen Bericht der Kantonspolizei Glarus vom 17. Dezember 2012 erging eine Anzeige gegen A._ wegen Erwerbs, Besitzes und Konsums von Kokain. Am 21. Dezember 2012 verfügte die Staats- und Jugendanwaltschaft den vorsorglichen Sicherungsentzug des Führerausweises von A._ auf unbestimmte Zeit. Nach Einholung eines verkehrsmedizinischen Gutachtens am Institut für Rechtsmedizin Zürich (IRMZ) entzog dieselbe Behörde am 5. April 2013 den Führerausweis auf unbestimmte Zeit. B. Am 6. Mai 2013 erhob A._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Glarus. Am 28. Mai 2013 hielt das IRMZ an seinem Gutachten fest. Ein neu erstelltes Gutachten des IRMZ vom 30. August 2013 bejahte jedoch später die Fahreignung von A._. Gestützt darauf ordnete die Staats- und Jugendanwaltschaft am 20. September 2013 die Wiedererteilung des Führerausweises von A._ unter Auflagen an. Dieser hielt in der Folge an seiner am Verwaltungsgericht hängigen Beschwerde fest. Am 6. November 2013 schrieb dieses die Beschwerde ab und auferlegte A._ die Verfahrenskosten von Fr. 1'000.--. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 9. Dezember 2013 an das Bundesgericht beantragt A._ in der Sache, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Angelegenheit zur Neubeurteilung an dieses zurückzuweisen. D. Die Staats- und Jugendanwaltschaft, das Verwaltungsgericht und das Bundesamt für Strassen ASTRA schliessen auf Abweisung der Beschwerde. E. Mit Eingabe vom 5. Mai 2014 hält A._ an seinem Standpunkt fest. 