Sachverhalt: A. Aufgrund eines ärztlichen Behandlungsfehlers, der sich am 3. Mai 1994 am Spital S._ ereignet hatte, verpflichtete das Obergericht des Kantons Aargau die Trägerschaft des Spitals, die Gesundheitsstiftung X._ (Beschwerdeführerin), mit zweitinstanzlichem Urteil vom 24. Mai 2007, dem Geschädigten, A._, Fr. 243'250.40 nebst Zins zu bezahlen. Das Bundesgericht bestätigte diesen Entscheid mit Urteil 4A_273/2007 vom 31. Oktober 2007. Bei der Berechnung des Schadens wurden u.a. die Zahlungen der Eidgenössischen Invalidenversicherung (IV, Beschwerdegegnerin 1) angerechnet. Bei der Berechnung des Rentenschadens wurde die Differenz zwischen den hypothetischen Altersleistungen und den effektiven Invaliden- und Altersleistungen berücksichtigt. B. Am 23. Februar 2009 reichten die Eidgenössische Invalidenversicherung und die Eidgenössische Alters- und Hinterlassenenversicherung (AHV, Beschwerdegegnerin 2) beim Bezirksgericht Rheinfelden Klage ein. Sie beantragten, die Beschwerdeführerin sei zu verpflichten, der Beschwerdegegnerin 1 den Betrag von Fr. 230'800.50 nebst Zins und der Beschwerdegegnerin 2 Fr. 57'652.-- nebst Zins zu bezahlen. Mit dieser Klage forderte die Beschwerdegegnerin 1 von der Beschwerdeführerin (bzw. ihrer Haftpflichtversicherung, der Versicherung P._) gestützt auf aArt. 52 IVG i.V.m. aArt. 48ter AHVG IV-Leistungen zurück, die sie infolge der von der Beschwerdeführerin zu vertretenden Gesundheitsbeeinträchtigung ausgerichtet hatte. Die Beschwerdegegnerin 2 machte gestützt auf aArt. 48ter AHVG einen Rückerstattungsanspruch in dem Umfang geltend, in dem die Altersrente von A._ infolge des Ereignisses, für das die Beschwerdeführerin haftpflichtig sei, nicht finanziert sei. Mit Urteil vom 23. März 2011 verpflichtete das Bezirksgericht die Beschwerdeführerin in teilweiser Gutheissung der Klage, der Beschwerdegegnerin 1 Fr. 154'480.90 nebst Zins und der Beschwerdegegnerin 2 Fr. 57'652.-- nebst Zins zu bezahlen. Es verneinte insbesondere, dass die Forderungen der Beschwerdegegnerinnen verjährt seien. Eine dagegen erhobene Berufung der Beschwerdeführerin hiess das Obergericht des Kantons Aargau am 3. Juli 2013 bezüglich der Beschwerdegegnerin 2 gut und wies sie bezüglich der Beschwerdegegnerin 1 ab. Es verpflichtete die Beschwerdeführerin, der Beschwerdegegnerin 1 Fr. 154'480.90 nebst Zins zu 5 % auf Fr. 119'482.50 seit dem 1. Januar 2008 zu bezahlen, und wies die Klage im Übrigen ab. Im Gegensatz zur Erstinstanz betrachtete es die Forderung der Beschwerdegegnerin 2 als verjährt. Für die Forderung der Beschwerdegegnerin 1 sei die Klage aber vor Ablauf der unterbrochenen Verjährungsfrist erhoben worden. C. Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen sinngemäss, das Urteil vom 3. Juli 2013 aufzuheben und die Klage der Beschwerdegegnerinnen 1 und 2 vollumfänglich abzuweisen, unter entsprechender Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens. Die Beschwerdegegnerinnen beantragen, auf die Beschwerde gegen die Beschwerdegegnerin 2 sei nicht einzutreten und die Beschwerde gegen die Beschwerdegegnerin 1 abzuweisen. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung. Die Beschwerdeführerin reichte eine Replik ein. 