Sachverhalt: Sachverhalt: A. Die 1946 geborene M._ leidet seit einem schweren Unfall im Jahr 1962 an einer chronischen generalisierten Fibromyalgie. Ab 1. Dezember 1991 war sie bei der Firma X._ AG als Küchenplanerin und Verkäuferin angestellt. Wegen einer 1993 einsetzenden, sich in der Folge verstärkenden Zunahme der Beschwerden war die Versicherte zunächst unregelmässig, ab 1. April 1995 längerfristig zu 50 % arbeitsunfähig. Die IV-Stelle Luzern sprach ihr deshalb für die Zeit vom 1. März bis 31. Mai 1995 eine Viertelsrente und ab 1. Juni 1995 eine halbe Rente zu (Verfügung vom 8. Januar 1996). Am 3. Mai 1995 war M._ erneut von einem Verkehrsunfall betroffen, bei welchem sie sich gemäss Arztzeugnis UVG des Dr. med. F._, Allgemeine Medizin FMH, vom 8. Juni 1995 ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) zuzog. In der Folge setzte sie die Arbeit vom 11. bis 23. Mai 1995 aus und nahm sie am 24. Mai 1995 wieder mit dem früheren Pensum von 50 % auf, wobei sie ab 1. Februar 1996 für einen anderen Arbeitgeber tätig war, bis sie Ende August 1996 arbeitslos wurde. Mit Wirkung ab 1. April 1997 wurde ihr seitens der Eidgenössischen Invalidenversicherung eine ganze Rente zugesprochen. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) als obligatorischer Unfallversicherer kam zunächst für die Kosten der Heilbehandlung auf und richtete Taggelder aus. Sie zog unter anderem mehrere Berichte des Dr. med. F._ sowie Stellungnahmen ihres Kreisarztes Dr. med. G._ vom 22. März 1996 und des Dr. med. R._, Neurologie FMH, vom 5. Juni 1996 bei. Anschliessend stellte sie, in Bestätigung eines entsprechenden Schreibens, mit Verfügung vom 15. November 1996 ihre Leistungen per 20. September 1996 ein. Zur Begründung erklärte sie, es lägen keine Folgen des Unfalls vom 3. Mai 1995 mehr vor. Daran hielt die Anstalt auf Einsprache hin - nach Beizug der IV-Akten sowie einer Stellungnahme des Dr. med. B._, SUVA-Ärzteteam Unfallmedizin, vom 6. Januar 1998 - mit Entscheid vom 26. Januar 1998 fest. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern nach Einholung eines Gutachtens der Klinik Y._ vom 18. Januar 1999 ab (Entscheid vom 1. September 1999). Das Eidgenössische Versicherungsgericht hob diesen Entscheid mit Urteil vom 19. September 2000 auf und wies die Sache an die Vorinstanz zurück, damit diese ergänzende medizinische Abklärungen veranlasse. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) als obligatorischer Unfallversicherer kam zunächst für die Kosten der Heilbehandlung auf und richtete Taggelder aus. Sie zog unter anderem mehrere Berichte des Dr. med. F._ sowie Stellungnahmen ihres Kreisarztes Dr. med. G._ vom 22. März 1996 und des Dr. med. R._, Neurologie FMH, vom 5. Juni 1996 bei. Anschliessend stellte sie, in Bestätigung eines entsprechenden Schreibens, mit Verfügung vom 15. November 1996 ihre Leistungen per 20. September 1996 ein. Zur Begründung erklärte sie, es lägen keine Folgen des Unfalls vom 3. Mai 1995 mehr vor. Daran hielt die Anstalt auf Einsprache hin - nach Beizug der IV-Akten sowie einer Stellungnahme des Dr. med. B._, SUVA-Ärzteteam Unfallmedizin, vom 6. Januar 1998 - mit Entscheid vom 26. Januar 1998 fest. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern nach Einholung eines Gutachtens der Klinik Y._ vom 18. Januar 1999 ab (Entscheid vom 1. September 1999). Das Eidgenössische Versicherungsgericht hob diesen Entscheid mit Urteil vom 19. September 2000 auf und wies die Sache an die Vorinstanz zurück, damit diese ergänzende medizinische Abklärungen veranlasse. B. Im Anschluss an die Rückweisung holte das kantonale Gericht ein Ergänzungsgutachten der Klinik Y._ vom 9. Mai 2001 (mit Bericht der Klinik Q._ vom 31. Januar 2001 über eine neuropsychologische Abklärung) ein und unterbreitete der Klinik Q._ Zusatzfragen der SUVA, welche die Klinik am 9. Oktober 2001 beantwortete. Anschliessend gab es bei Prof. Dr. med. A._, Neurologische Poliklinik des Spitals Z._, ein Obergutachten in Auftrag. Dieses wurde am 4. April 2003 erstattet. Daraufhin wies das Gericht die Beschwerde wiederum ab (Entscheid vom 10. September 2003). B. Im Anschluss an die Rückweisung holte das kantonale Gericht ein Ergänzungsgutachten der Klinik Y._ vom 9. Mai 2001 (mit Bericht der Klinik Q._ vom 31. Januar 2001 über eine neuropsychologische Abklärung) ein und unterbreitete der Klinik Q._ Zusatzfragen der SUVA, welche die Klinik am 9. Oktober 2001 beantwortete. Anschliessend gab es bei Prof. Dr. med. A._, Neurologische Poliklinik des Spitals Z._, ein Obergutachten in Auftrag. Dieses wurde am 4. April 2003 erstattet. Daraufhin wies das Gericht die Beschwerde wiederum ab (Entscheid vom 10. September 2003). C. M._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, es sei die SUVA zu verpflichten, über den 20. September 1996 hinaus Leistungen in Form von Taggeldern und Heilbehandlung zu erbringen sowie eine Rente und eine Integritätsentschädigung festzusetzen. Ausserdem habe das kantonale Gericht die Beschwerdeführerin für die im Zusammenhang mit den Begutachtungen entstandenen Kosten zu entschädigen. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherung, Abteilung Kranken- und Unfallversicherung (seit 1. Januar 2004 im Bundesamt für Gesundheit) verzichtet auf eine Vernehmlassung. 