Faits: A. G._ est titulaire d'un CFC de mécanicien en automobiles et d'une maîtrise fédérale de mécanicien sur automobiles. Il a dirigé le garage X._ d'octobre 2000 à juin 2009, où il accomplissait aussi bien des travaux administratifs que des travaux en atelier. Depuis le mois d'août 2009, il travaille en qualité de directeur commercial de la société X._ SA, laquelle a repris les actifs et passifs de l'entreprise exploitée précédemment sous la forme d'une raison individuelle (cf. contrat de travail du 1er décembre 2009). Le 13 février 2005, l'assuré s'est fracturé le poignet gauche. La CNA, qui a pris le cas en charge, lui a alloué une rente d'invalidité de 50 % depuis le 1er mai 2007, à la suite d'une transaction conclue le 20 mars 2008 (décision du 11 juillet 2008). Le 14 décembre 2006, G._ a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité, que l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (l'office AI) a rejetée par décision du 10 février 2009. Cette décision a été annulée par le Tribunal cantonal des assurances sociales et la cause a été renvoyée à l'office AI pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouveau jugement. S'agissant des activités de l'assuré, la part exacte de celles qu'il ne pouvait plus exercer ainsi que celles qui étaient encore exigibles n'avait pas été établie à satisfaction; en outre, la part des travaux en atelier considérés comme légers ou adaptés, susceptibles d'être accomplis avec un rendement de 100 %, restait inconnue, tandis que l'incidence de la diminution du rendement sur la situation économique concrète de l'assuré n'avait pas été déterminée (jugement du 1er octobre 2009). Par lettre du 11 janvier 2010 adressée à l'office AI, l'assuré s'est référé au contrat de travail qu'il avait conclu le 1er décembre 2009 avec la société X._ SA. Il précisait qu'il avait été nommé en qualité de directeur commercial de ladite société, pour un taux d'activité de 50 % et un salaire de 5'000 fr. versé 13 fois l'an; des documents contractuels, il ressortait que sa tâche principale consistait dans la supervision générale de l'entreprise, le contact avec la clientèle et la vente de véhicules. Dans une note de travail du 12 avril 2010, suivie d'un rapport du 14 juin 2010, le collaborateur du Service des indépendants de l'office AI s'est référé à une audition de l'assuré qui avait eu lieu le 8 avril 2010. Il relevait un manque de coopération et indiquait que les réponses ne lui paraissaient pas sincères. En l'état du dossier, le collaborateur de l'office AI a pondéré les champs d'activités de l'assuré de la manière suivante: 50 % pour les tâches de direction, 40 % pour les travaux lourds de mécanique, 10 % pour les travaux légers. Dans un avis médical du 3 juin 2010, le docteur V._, médecin au Service médical Y._, a estimé que la capacité de travail de l'assuré était de 60 % dans son activité habituelle. Par décision du 14 septembre 2011, consécutive à un projet du 14 juillet 2011, l'office AI a rejeté la demande de prestations, après avoir repris la pondération des activités effectuée par l'enquêteur. En appliquant les salaires de référence usuels dans les branches à chaque activité partielle (selon l'Enquête suisse sur la structure des salaires 2006, table TA7, ch. 12 et 23, niveau 3 pour un homme), il a fixé le revenu sans invalidité à 77'028 fr. Compte tenu d'une incapacité totale de travail dans les travaux lourds, le revenu d'invalide a été arrêté à 47'441 fr. La perte de gain de 21'578 fr. qui s'en suivait atteignait ainsi 38 %, soit un degré insuffisant pour ouvrir droit à la rente (cf. rapport du Service extérieur / Service des indépendants de l'office AI, du 14 juin 2010). B. G._ a déféré cette décision à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, en concluant à l'octroi d'une demi-rente d'invalidité dès le 13 février 2006. La juridiction cantonale l'a débouté par jugement du 23 mai 2012. C. G._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, avec suite de frais et dépens, en concluant principalement au versement d'une demi-rente d'invalidité à compter du 13 février 2006, subsidiairement au renvoi de la cause aux premiers juges. L'intimé conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. 