Faits: A. A.a. A._ (1975) fait l'objet d'une mesure de tutelle, respectivement de curatelle de portée générale, depuis 2009. Elle a été hospitalisée à plusieurs reprises à la Clinique psychiatrique de Belle-Idée en raison de décompensations psychotiques. Elle refuse de collaborer avec les services sociaux, les représentants légaux et le corps médical, et ne bénéficie d'aucun suivi médical approprié ni de traitement de pharmacothérapie. Le 3 avril 2013, les curatrices de l'intéressée ont requis du Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant du canton de Genève (TPAE) un placement à des fins d'assistance. Dans la requête, il est indiqué que A._ manifestait la conviction d'être victime d'atteintes à son intégrité psychique et corporelle, dont elle rendait responsables la plupart des médecins et intervenants sociaux et juridiques appelés à s'occuper de sa situation. Elle se plaignait également du fait que son logement était infecté de punaises et d'insectes agressifs. Sur insistance de l'intéressée, les curatrices avaient fait procéder à la désinfection totale de l'appartement par une entreprise spécialisée, sans qu'elle ne se sente rassurée. Dans ce contexte, l'intéressée a été hospitalisée le 22 mars 2013 sur décision de la Dresse B._, en raison d'un trouble délirant persistant avec délires de persécution hypocondriaques, d'irritabilité, d'impulsivité et d'agressivité. Depuis le début de son hospitalisation, l'intéressée a refusé tout traitement. Elle a fugué le 8 avril 2013 pour se présenter à la Clinique de dermatologie afin d'obtenir des traitements pesticides pour pouvoir désinfecter sa chambre. Face au refus des soignants, elle s'est montrée agressive et menaçante. Un traitement sans consentement et un programme en chambre fermée ont été prescrits le lendemain. Le 17 avril 2013, le TPAE a déclaré irrecevable, pour cause de tardiveté, le recours formé par l'intéressée contre la décision d'hospitalisation non volontaire; le recours dirigé contre la décision de traitement sans consentement a été rejeté. A.b. Le 30 avril 2013, le Dr C._ a ordonné la sortie de clinique de l'intéressée, le délire de celle-ci ayant diminué grâce aux médicaments, même s'il restait persistant. A.c. Par courrier du 4 juin 2013, les curatrices de A._ ont de nouveau requis qu'elle soit placée à des fins d'assistance, au motif que son état s'était progressivement péjoré depuis sa sortie de la clinique. Les curatrices estimaient urgent qu'elle soit hospitalisée afin de la protéger contre elle-même et d'éviter tout passage à l'acte hétéro-agressif. Par décision du 18 juin 2013, le TPAE a désigné Me D._ en qualité de curateur d'office de l'intéressée en application de l'art. 449a CC. Le 5 août 2013 (recte: par ordonnance du 12 août 2013), une expertise psychiatrique a été mise en oeuvre. Le rapport d'expertise a été établi le 13 septembre 2013 par la Dresse E._. B. B.a. Par ordonnance du 27 septembre 2013, le TPAE a ordonné le placement à des fins d'assistance de A._ auprès de la Clinique de Belle-Idée. B.b. Par acte déposé le 7 octobre 2013, l'intéressée a recouru contre cette décision auprès de la Chambre de surveillance de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Chambre de surveillance). Elle a été auditionnée lors de l'audience du 10 octobre 2013. Également entendue, une représentante du Service de protection de l'adulte a exposé que l'intéressée irait mieux si elle se faisait soigner en clinique. Quant à la Dresse E._, elle a, en substance, confirmé la teneur de son rapport du 13 septembre 2013, indiquant notamment que l'intéressée représentait un danger pour elle-même et pour autrui. La Chambre de surveillance a rejeté le recours par décision du 15 octobre 2013. C. Par mémoire daté (de manière manifestement erronée) du 14 octobre 2013, remis à la Poste suisse le 15 novembre 2013, A._ exerce un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral contre cette décision. Elle conclut, en substance, à la levée de la mesure de placement, à la levée de la curatelle de portée générale, à un changement de " tutrices ", à ce qu'une contre-expertise soit ordonnée, à ce que des personnes soient entendues et à la suspension de la procédure jusqu'à droit connu sur le sort de procédures pénales en cours. Elle requiert également l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale, ainsi que la nomination d'un curateur de représentation pour la procédure et d'un avocat d'office. Invité à se déterminer, le TPAE a renoncé à formuler des observations. Pour sa part, l'autorité précédente a indiqué que le 18 novembre 2013, la recourante avait sollicité la levée de la mesure de placement, et que cette requête a été rejetée par ordonnance du TPAE du 29 novembre 2013, contre laquelle l'intéressée a formé recours. Par décision du 19 décembre 2013, le recours a été rejeté. La Chambre de surveillance a joint une copie de cette décision à ses déterminations; pour le surplus, elle s'est référée aux considérants de son arrêt. 