Faits: A. A.a. T._ ressortissant suisse et français, est atteint depuis son enfance d'une rétinite pigmentaire qui entraîne un important handicap visuel; il souffre également d'un retard intellectuel et de troubles maniaco-dépressifs. Son état de santé ne lui permet pas d'exercer une activité lucrative. Durant toute son enfance et son adolescence, il a vécu auprès de ses parents, en France. Au mois de septembre 1991, il a adhéré à l'assurance-vieillesse, survivants et invalidité facultative suisse auprès de laquelle il a cotisé du 1er janvier 1992 au 31 mars 2007. Le 16 octobre 1991, l'intéressé a déposé une première demande de prestations de l'assurance-invalidité qui a été rejetée par décision du 24 juin 1992 de la Commission de l'assurance-invalidité pour les assurés à l'étranger. Celle-ci a considéré en bref que le droit à une rente ordinaire n'était pas ouvert, l'assuré ne pouvant se prévaloir de la durée de cotisation minimale d'un an lors de la survenance de l'invalidité; il ne pouvait pas non plus prétendre une rente extraordinaire, n'étant pas domicilié en Suisse. Une nouvelle demande présentée le 20 janvier 2000 a été refusée pour les mêmes motifs par l'Office de l'assurance-invalidité pour les assurés résidant à l'étranger (décision du 10 avril 2000). A.b. Par lettre circulaire du 12 janvier 2006, la Caisse suisse de compensation a informé T._ du fait que l'assurance-vieillesse, survivants et invalidité facultative suisse prendrait fin pour les personnes domiciliées dans un Etat membre de l'Union européenne au plus tard le 31 mars 2007. L'assuré a maintenu son affiliation jusqu'à cette date. Entre-temps, sa famille a entrepris des démarches pour lui trouver une institution adaptée à son handicap en Suisse, où vivaient son frère et sa soeur, F._. Dans ce cadre, l'intéressé a déposé, le 16 janvier 2008, une troisième demande de prestations de l'assurance-invalidité, qui a été rejetée pour les mêmes motifs que ceux retenus précédemment (décision du 30 septembre 2008). Du 29 septembre au 5 octobre 2007, T._ a effectué un stage au Centre X._. Le 13 novembre 2007, le directeur de cette institution pour personnes aveugles et malvoyantes intellectuellement handicapées a écrit à F._ que son frère remplissait les conditions d'admission en internat et que l'institution s'engageait à l'accueillir pour le 1er janvier 2010 au plus tard. A.c. Le 6 janvier 2010, l'assuré est entré au Centre X._; il est officiellement domicilié en Suisse depuis le 1er janvier 2010. Le 18 novembre 2009, il a introduit une nouvelle demande de prestations auprès de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI). Par décision du 10 février 2011, l'office AI a nié le droit à une rente ordinaire de l'assurance-invalidité, l'intéressé ne pouvant se prévaloir d'une année de cotisation au moment de la survenance de l'invalidité, soit le 1er juin 1989, premier jour du mois suivant son 18ème anniversaire. L'assuré ne pouvait pas non plus prétendre une rente extraordinaire d'invalidité, motif pris qu'il ne comptait pas le même nombre d'années d'assurance que les personnes de sa classe d'âge, n'ayant été assujetti à l'assurance facultative que jusqu'au 31 mars 2007. L'office AI a précisé que l'assuré avait la possibilité de déposer une demande de prestations complémentaires. Par décision du 29 mars 2011, l'intéressé s'est vu octroyer le droit à une allocation pour impotent de degré faible avec effet au 1er janvier 2010. B. L'assuré a recouru auprès du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, contre la décision du 10 février 2011 en tant qu'elle niait le droit à une rente extraordinaire d'invalidité. Par jugement du 7 mai 2013, la juridiction cantonale a admis le recours (chiffre I du dispositif), annulé la décision entreprise et renvoyé la cause à l'assurance-invalidité pour qu'elle alloue à l'assuré une rente extraordinaire d'invalidité à compter du 1er mai 2010 (chiffre II du dispositif). C. L'office AI (cause 9C_446/2013) et l'Office fédéral des assurances sociales (OFAS; cause 9C_469/2013) interjettent séparément un recours en matière de droit public contre ce jugement en concluant à son annulation, ainsi qu'à la confirmation de la décision du 10 février 2011. Invité à se prononcer sur les deux recours, T._ a conclu, sous suite de frais et dépens, au rejet du recours interjeté par l'office AI, sans se déterminer dans la cause 9C_469/2013. De son côté, la juridiction cantonale a présenté des observations en date du 6 août 2013. 