Sachverhalt: Sachverhalt: A. Im Erbgang des am 15. Dezember 1997 verstorbenen Dr. Y.X._ setzte das kantonale Steueramt Zürich, Abt. Direkte Bundessteuer, mit Verfügung vom 4. Dezember 2000 einen Betrag von Fr. 22'491.-- als Nachsteuer fest. Da die Witwe des Erblassers, B.X._, ihre Einwilligung zur Begleichung dieses Betrages aus Erbschaftsmitteln verweigerte, wurde sie vom Steueramt nach Art. 12 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer (DBG; SR 642.11) als Solidarschuldnerin belangt. C.X._ bezahlte dem Steueramt in der Folge den auf sie entfallenden Viertel der Steuerschuld, während der auf A.X._ entfallende Viertel von B.X._ bezahlt wurde. Diese forderte in der Folge den auf A.X._ entfallenden Anteil zuzüglich Zins von diesem zurück. Als dieser der Aufforderung nicht nachkam, leitete sie mit Zahlungsbefehl vom 15. Oktober 2001 die Betreibung über insgesamt Fr. 6'048.15 zuzüglich 5 % Zins seit 25. September 2001 ein. A.X._ erhob Rechtsvorschlag. A. Im Erbgang des am 15. Dezember 1997 verstorbenen Dr. Y.X._ setzte das kantonale Steueramt Zürich, Abt. Direkte Bundessteuer, mit Verfügung vom 4. Dezember 2000 einen Betrag von Fr. 22'491.-- als Nachsteuer fest. Da die Witwe des Erblassers, B.X._, ihre Einwilligung zur Begleichung dieses Betrages aus Erbschaftsmitteln verweigerte, wurde sie vom Steueramt nach Art. 12 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer (DBG; SR 642.11) als Solidarschuldnerin belangt. C.X._ bezahlte dem Steueramt in der Folge den auf sie entfallenden Viertel der Steuerschuld, während der auf A.X._ entfallende Viertel von B.X._ bezahlt wurde. Diese forderte in der Folge den auf A.X._ entfallenden Anteil zuzüglich Zins von diesem zurück. Als dieser der Aufforderung nicht nachkam, leitete sie mit Zahlungsbefehl vom 15. Oktober 2001 die Betreibung über insgesamt Fr. 6'048.15 zuzüglich 5 % Zins seit 25. September 2001 ein. A.X._ erhob Rechtsvorschlag. B. Am 10. Dezember 2001 erhob B.X._ beim Einzelrichter des Bezirksgerichts Horgen Zivilklage gegen A.X._ auf Bezahlung von Fr. 6'048.15 zuzüglich 5 % Zins seit 25. September 2001 und auf Aufhebung des Rechtsvorschlages in der erwähnten Betreibung. Der Einzelrichter des Bezirksgerichts Horgen schützte am 10. Januar 2002 die Klage in der Höhe von Fr. 5'828.80 zuzüglich 5 % Zins seit 25. September 2001, hob den von A.X._ erhobenen Rechtsvorschlag in diesem Umfang und für die Betreibungskosten auf und auferlegte diesem die Kosten. Das Obergericht des Kantons Zürich (III. Zivilkammer) wies eine von A.X._ erhobene Nichtigkeitsbeschwerde mit Beschluss vom 18. März 2002 ab. B. Am 10. Dezember 2001 erhob B.X._ beim Einzelrichter des Bezirksgerichts Horgen Zivilklage gegen A.X._ auf Bezahlung von Fr. 6'048.15 zuzüglich 5 % Zins seit 25. September 2001 und auf Aufhebung des Rechtsvorschlages in der erwähnten Betreibung. Der Einzelrichter des Bezirksgerichts Horgen schützte am 10. Januar 2002 die Klage in der Höhe von Fr. 5'828.80 zuzüglich 5 % Zins seit 25. September 2001, hob den von A.X._ erhobenen Rechtsvorschlag in diesem Umfang und für die Betreibungskosten auf und auferlegte diesem die Kosten. Das Obergericht des Kantons Zürich (III. Zivilkammer) wies eine von A.X._ erhobene Nichtigkeitsbeschwerde mit Beschluss vom 18. März 2002 ab. C. A.X._ führt gegen den Beschluss des Obergerichts vom 18. März 2002 staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung der Art. 8 und 9 BV mit dem Rechtsbegehren, die angefochtenen Entscheide seien kosten- und entschädigungspflichtig zu Lasten der Beschwerdegegnerin aufzuheben. Weiter beantragt er, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Das Obergericht und die Beschwerdegegnerin haben auf eine Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet. Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden. Mit Verfügung vom 6. Mai 2002 legte der Präsident der II. Zivilabteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung bei. 