Sachverhalt: A. Der Stadtrat Lenzburg legte vom 16. September bis zum 5. Oktober 2005 ein Baugesuch der Y._, Lenzburg, für den Abbruch der Gebäude Nr. 575 und 576 sowie den Neubau eines Wohn- und Geschäftshauses auf Parz. Nr. 284 (Ziegelackerweg 13) und eines Mehrfamilienhauses auf den Parz. Nr. 284, 3339, 289 bzw. 1898, 2395 und 3352 (Ziegelackerweg 16) in der Ringzone R der Stadt Lenzburg öffentlich auf. Die Ringzone ist mit einer Umgebungsschutzzone überlagert. Zudem besteht für das fragliche Gebiet ein sog. Strukturplan (Strukturplan Altstadt und Umgebung), der das anzustrebende städtebauliche Grundmuster aufzeigt. Gegen das Bauvorhaben erhoben unter anderem A.X._ und B.X._ als Eigentümer der Parz. Nr. 566 Einsprache. B. Gegen die am 12. April 2006 unter Bedingungen und Auflagen erteilte Baubewilligung erhoben A.X._ und B.X._ Verwaltungsbeschwerde beim Regierungsrat des Kantons Aargau, der die Beschwerde bezüglich der Liegenschaft Ziegelackerweg 13 teilweise guthiess und die Sache an den Stadtrat Lenzburg zum Neuentscheid zurückwies. Gegen den Entscheid des Regierungsrates erhoben A.X._ und B.X._ Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Aargau. C. Am 31. Oktober 2007 erteilte der Stadtrat Lenzburg die Baubewilligung für das geänderte Projekt betreffend das Gebäude Ziegelackerweg 13. Diese Bewilligung blieb unangefochten. D. Mit Urteil vom 18. Februar 2008 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau die bei ihm erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. E. Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts erheben A.X._ und B.X._ mit Eingabe vom 14. April 2008 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie stellen die folgenden Anträge: "1 a) Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 18. Februar 2008 sei aufzuheben. Die Baubewilligung des Stadtrates Lenzburg vom 12. April 2006 sei aufzuheben. b) Die Kosten des Verfahrens vor den Vorinstanzen seien der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen. c) Den Beschwerdeführenden sei für das Verfahren vor den Vorinstanzen eine Parteientschädigung zuzusprechen. 2 Eventuell sei die Angelegenheit zur Neuentscheidung an das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau zurückzuweisen. 3 Unter gesetzlichen Kosten- und Entschädigungsfolgen." F. Die Beschwerdegegnerin beantragt in ihrer Stellungnahme, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau schliesst in seiner Vernehmlassung auf Abweisung der Beschwerde. 