Faits: A. A.a L'European Chess Union (ci-après: l'ECU) est une association de droit suisse qui a son siège à Hünenberg, dans le canton de Zoug. Elle a notamment pour tâche de gérer les différents tournois d'échecs organisés en Europe et a édicté, pour ce faire, une réglementation intitulée European Chess Union Tournament Rules 2010 (ci-après: le Règlement). A une exception près, les compétitions de l'ECU ont lieu une fois par an. L'organisation de chaque tournoi est attribuée par le comité de l'ECU à une fédération nationale européenne sur la base d'un appel d'offres et selon des modalités fixées dans le Règlement. En résumé, à réception des candidatures, le comité de l'ECU désigne un inspecteur (ou deux inspecteurs s'il y a plus de trois candidats), qui doit être un organisateur expérimenté ou un arbitre. L'inspecteur visite les villes qui se sont portées candidates à l'organisation du tournoi d'échecs. Il évalue chaque candidature en fonction de divers critères répartis en sept catégories à l'annexe 1 du Règlement (salle de compétition, infrastructures hôtelières, liaisons aériennes, etc.). Ensuite, lors d'une séance du comité de l'ECU, l'inspecteur rend son rapport comportant les notes attribuées à chaque candidat pour les sept catégories, sauf deux qui restent l'apanage du comité. L'organisation du tournoi est alors attribuée au candidat ayant obtenu la note la plus élevée. Toutefois, si l'écart séparant les candidatures arrivées aux deux ou aux trois premières places est inférieur à un certain pourcentage, c'est à l'assemblée générale qu'il appartient de choisir entre l'une de ces candidatures. A.b Le 30 avril 2011, l'ECU a procédé à un appel d'offres en vue de l'organisation des tournois 2013. Dans le délai imparti, la Fédération X._ a annoncé, notamment, les candidatures de A._ pour le European Youth Championship (ci-après: l'EYC) et de B._ pour l'European Senior Team Championship (ci-après: l'ESTC). D'autres fédérations nationales, au nombre de quatre, respectivement trois, ont présenté des candidats à l'organisation de ces deux tournois. En particulier, le Monténégro a proposé d'organiser l'EYC à Budva. L'ECU a désigné un inspecteur unique en la personne de C._, directeur des tournois organisés par elle. En effet, seules trois villes devaient encore être visitées après que les fédérations des autres villes candidates, dont la Fédération X._, eurent renoncé à une inspection contre l'attribution de la note maximale pour la salle de compétition et la nourriture à leurs candidats respectifs. L'inspecteur a visité, en particulier, Budva. Il y a été accueilli à l'aéroport par le dénommé D._, directeur exécutif de l'ECU, qui l'a conduit sur les sites. Sur la base du rapport dressé par l'inspecteur C._, le comité de l'ECU, siégeant les 13 et 14 septembre 2011, a attribué l'organisation de l'EYC à la Fédération d'échec du Monténégro (ville de Budva). Il a décidé de renvoyer le choix de la ville organisatrice de l'ESTC à l'assemblée générale, faute d'un écart suffisant entre les notes obtenues par trois des quatre candidats. B. Le 10 octobre 2011, la Fédération X._ a interjeté appel, auprès du Tribunal Arbitral du Sport (TAS), contre la décision du comité de l'ECU. Elle a conclu, en substance, en plus de l'annulation de cette décision, à ce que l'organisation de l'EYC et de l'ESTC lui soit attribuée. A titre subsidiaire, l'appelante a demandé au TAS d'inviter l'ECU à lancer une nouvelle procédure d'appel d'offres pour ces deux tournois et à désigner ensuite les deux fédérations retenues pour organiser ceux-ci. Dans son mémoire d'appel, la Fédération X._ a requis la nomination d'un expert indépendant qui serait chargé d'évaluer les candidatures déposées pour l'EYC et l'ESTC selon les critères fixés dans le Règlement afin de déterminer si l'évaluation faite par l'inspecteur C._ était défendable. Dans ce but, elle a soumis au TAS les noms de trois organisateurs professionnels de tournois d'échecs susceptibles d'effectuer ce travail. Une Formation de trois membres a été constituée et les parties en ont été informées le 14 novembre 2011. Par fax du 6 décembre 2011, une conseillère du TAS a communiqué aux conseils des parties l'information suivante: "The parties are advised that having considered the Appellant's request for the appointment of an expert report and evaluation by an independant organiser, the Panel determines that no grounds have been put forward or established which justify the appointment of such an expert by the Panel. However, the parties are reminded tha they are free to nominate such experts and witness they deem necessary, pursuant to the provisions of Articles R44.2, R51 and R55 of the CAS Code." Le 22 décembre 2011, le TAS a convoqué les parties à une audience fixée au 3 février 2012, en leur rappelant qu'elles devaient y amener les témoins ou experts éventuels annoncés dans leurs écritures. En réponse à cette lettre, la Fédération X._ a indiqué les noms et adresses des quatre témoins dont elle requérait l'audition. Le 27 janvier 2012, le TAS a rendu une ordonnance de procédure qui confirmait, sous chiffre 9, les termes de sa lettre du 22 décembre 2011. Les parties ont contresigné cette ordonnance. A l'audience du 3 février 2012, la Fédération X._ a comparu avec ses quatre témoins, mais sans aucun expert. A l'issue de l'audience, les parties ont exprimé leur satisfaction quant au déroulement de celle-ci et n'ont formulé aucune remarque ou objection touchant la procédure. Par sentence du 22 mars 2012, la Formation a rejeté l'appel dans la mesure où il était recevable. C. Le 14 mai 2012, la Fédération X._ a formé un recours en matière civile au Tribunal fédéral en vue d'obtenir l'annulation de ladite sentence. Dans sa réponse du 28 juin 2012, l'intimée a conclu au rejet du recours. Le TAS a pris la même conclusion dans sa réponse du 29 juin 2012. Les parties ont maintenu leurs conclusions à l'occasion d'un second échange d'écritures. 