Sachverhalt: A. Der aus dem Kosovo stammende X._ (geb. 1981) heiratete am 21. August 2001 in der Heimat seine in der Schweiz niederlassungsberechtigte Landsfrau Y._ (geb. 1982), reiste am 11. Februar 2002 im Rahmen des Familiennachzugs zu ihr ein und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung. Das Ehepaar hat eine gemeinsame Tochter (geb. 2005). B. Am 5. Juni 2004 verursachten X._ und ein anderer Fahrzeuglenker bei A._ einen schweren Verkehrsunfall, bei welchem dieser letztere Fahrzeuglenker, dessen Mitfahrer und der Fahrer eines korrekt entgegenkommenden Wagens ums Leben kamen. Das zweitinstanzlich urteilende Kantonsgericht St. Gallen erwog mit rechtskräftigem Urteil vom 5. September 2006 zum Unfallhergang, die Verursacher hätten sich ein "Duell" bzw. eine "halsbrecherische Parallelfahrt" auf der Strasse geliefert. Das Kantonsgericht bestätigte gegenüber X._ den erstinstanzlichen Schuldspruch und insbesondere die Freiheitsstrafe von sechs Jahren Zuchthaus wegen u.a. mehrfacher (eventual-)vorsätzlicher Tötung. Noch während des beim Kantonsgericht hängigen Rechtsmittelverfahrens, am 20. Mai 2006, war X._ erneut als Autoraser aufgefallen: In B._ lenkte er einen Personenwagen mit 127 km/h statt der erlaubten 80 km/h. Beide Delikte hatten Führerausweisentzüge von insgesamt 10 Monaten zur Folge. C. Mit Verfügung vom 1. Mai 2007 stellte die Fremdenpolizei des Kantons Schwyz fest, der Anspruch von X._ auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung sei erloschen. Gleichzeitig verweigerte die Fremdenpolizei die Verlängerung der noch bis zum 10. Februar 2007 gültig gewesenen Aufenthaltsbewilligung des Betroffenen und wies diesen auf den Tag der Haftentlassung aus der Schweiz aus. Eine hiegegen erhobene Beschwerde beim Regierungsrat des Kantons Schwyz blieb erfolglos, und am 30. Oktober 2007 (Versand des Urteils am 21. November 2007) wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz die gegen den regierungsrätlichen Beschluss vom 7. August 2007 gerichtete Beschwerde ebenfalls ab. D. Mit Eingabe vom 20. Dezember 2007 führt X._ Beschwerde (in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten) beim Bundesgericht mit dem Antrag, den "Wegweisungsentscheid" (recte: das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Schwyz vom 30. Oktober 2007) aufzuheben. Eventuell sei das bundesgerichtliche Verfahren bis zum Entscheid des Kantonsgerichts St. Gallen über die beantragte "Wiederaufnahme des Verfahrens wegen mehrfacher eventualvorsätzlicher Tötung" zu sistieren. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege ersucht. Mit Verfügung vom 8. Januar 2008 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung erteilt. Die kantonalen Akten sind eingeholt, ein Schriftenwechsel ist nicht durchgeführt worden. Das Urteil ergeht im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 BGG; es wird summarisch begründet (Art. 109 Abs. 3 BGG). 