Faits: A. Par requête de mesures protectrices de l'union conjugale du 21 décembre 2012, X._ a notamment conclu à ce que le droit de garde de l'enfant commun, A._, née en 2009, lui soit attribuée. Le père, Y._, s'est déterminé le 22 janvier 2013, revendiquant également l'attribution du droit de garde de l'enfant. A.a. Par décision de mesures protectrices de l'union conjugale du 21 février 2013, le Juge du district de Sion a notamment confié la garde de l'enfant au père, sous réserve d'un droit de visite de la mère et astreint celle-ci à contribuer à l'entretien de son enfant et du père par le versement d'une pension mensuelle de respectivement 862 fr. et de 1'760 fr. La mère a formé appel contre ce jugement le 7 mars 2013, requérant l'effet suspensif à son appel, partant, la garde de l'enfant à titre provisionnel, et concluant au fond principalement à ce que le droit de garde de l'enfant lui soit confié, à ce que le père soit condamné à contribuer à l'entretien de l'enfant par le versement d'une pension mensuelle de 862 fr., et à ce qu'aucune contribution d'entretien ne soit due entre époux, subsidiairement, à ce qu'il soit en outre ordonné une enquête sociale par l'Office pour la protection de l'enfant (ci-après: OPE). Le 5 avril 2013, la Juge de la Cour civile II du Tribunal cantonal du canton du Valais a rejeté la requête d'effet suspensif de la mère. Dans sa réponse du 25 avril 2013, le père a conclu au rejet de l'appel. A.b. Statuant par arrêt du 13 mai 2013, la Juge de la Cour civile II a rejeté l'appel de la mère et confirmé la décision de mesures protectrices de l'union conjugale du 21 février 2013 du Juge du district de Sion. B. Par acte du 13 juin 2013, la mère exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut principalement à la réforme de l'arrêt entrepris en ce sens que le droit de garde de l'enfant lui est attribué, sous réserve du droit de visite du père, que celui-ci est astreint à contribuer à l'entretien de l'enfant par le versement d'une pension mensuelle de 862 fr., et qu'aucune contribution d'entretien ne soit due entre époux; subsidiairement au renvoi de la cause à l'autorité précédente. A l'appui de son recours, la mère soulève les griefs d'établissement inexact des faits au regard de l'art. 9 Cst., d'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'application de l'art. 296 CPC, ainsi que de violation de la garantie du respect de la vie privée et familiale (art. 13 al. 1 Cst. et 8 CEDH). Au préalable, elle requiert la garde de l'enfant à titre de mesures provisionnelles. Invités à se déterminer sur la requête de mesures provisionnelles, l'intimé a conclu au rejet et l'autorité précédente a déclaré ne pas avoir d'observation à formuler, se référant aux considérants de sa décision du 13 mai 2013. C. Par ordonnance du 4 juillet 2013, le Président de la Cour de céans a rejeté la requête de mesures provisionnelles. Des réponses sur le fond n'ont pas été requises. 