Sachverhalt: A. A.a. Der zwischenzeitlich verstorbene Z._ war Eigentümer des als Grundstück im Grundbuch aufgenommenen altrechtlichen Baurechts "GB Nr. xxx ab A._: Eine Hütte und Melchstallung aneinander in der B._ auf C._ gelegen". Am 10. Februar 2009 schlossen er und die Y._ Korporation einen öffentlich beurkundeten Baurechtsvertrag, womit das altrechtliche Baurecht gelöscht und neu ein als unselbständig bezeichnetes Baurecht begründet wurde. Mit gleicher Vertragsurkunde trat Z._ das Baurecht unentgeltlich seinem Sohn X._ ab. Am 18. März 2011 erhob die Y._ Korporation beim Bezirksgericht Schwyz privatrechtliche Baueinsprache gegen das im Amtsblatt Nr. yyy vom zz.zz.zzzz publizierte Bauvorhaben "Umnutzung Alp-Stallteil zu Erlebnisgastronomie, B._, E._, Koordinaten Nr. vvv" von X._. Mit Verfügung vom 8. Februar 2012 hiess das Bezirksgericht Schwyz die Einsprache gut und untersagte die Ausführung des Bauprojekts. Gegen diese Verfügung erhob X._ Berufung, die das Kantonsgericht Schwyz mit Beschluss vom 8. Januar 2013 abwies. B. X._ (Beschwerdeführer) erhebt Beschwerde in Zivilsachen. Er verlangt, den Beschluss des Kantonsgerichts Schwyz vom 8. Januar 2013 und die Verfügung des Einzelrichters des Bezirks [recte: Bezirksgerichts] Schwyz vom 8. Februar 2012 vollumfänglich aufzuheben und die Klage der Y._ Korporation (Beschwerdegegnerin) vom 18. März 2011 vollumfänglich abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Bundesgericht hat die Beschwerdegegnerin und das Kantonsgericht Schwyz zur Vernehmlassung eingeladen. Letzteres hat mit Schreiben vom 21. März 2013 den Antrag gestellt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Zur Begründung wird auf den Beschluss vom 8. Januar 2013 verwiesen; im Übrigen verzichtet das Kantonsgericht auf eine Vernehmlassung. Die Beschwerdegegnerin hat sich am 16. April 2013 zur Beschwerde vernehmen lassen und beantragt deren Abweisung. Ihre Vernehmlassung wurde dem Beschwerdeführer zur Kenntnis gebracht. 