Faits: A. A.a M._, née le 1er septembre 1966, a été engagée depuis le 1er mars 1996 en qualité d'aide-vétérinaire par X._. Suivie pour une fibromyalgie par la doctoresse A._, spécialiste FMH en médecine interne, elle a présenté dès le 19 novembre 1998 des périodes d'incapacité totale ou partielle de travail. Ayant résilié les rapports avec son employeur pour le 31 décembre 1999, elle a élu domicile dans le canton de Berne en janvier 2000. Le 2 novembre 1999, alors qu'elle était domiciliée dans le canton N._, M._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Le docteur J._, spécialiste FMH en médecine interne et rhumatologie et médecin traitant de l'assurée jusqu'au 29 mai 1999, a posé notamment le diagnostic de fibromyalgie primaire, de troubles statiques lombaires (scoliose dorso-lombaire à convexité dorsale droite, hyperlordose), de discopathie L4-L5 et de surcharge pondérale (rapport du 21 mars 2000). La doctoresse R._, spécialiste FMH en médecine générale et médecin traitant de l'assurée dès le 10 février 2000, a retenu le diagnostic de fibromyalgie à partir d'octobre 1998, en indiquant que l'état de santé de la patiente était stationnaire (rapport du 25 janvier 2001 et rapport intermédiaire du 7 février 2001) et qu'elle était apte à travailler à 100 % (rapport du 13 février 2001). M._ a été examinée à deux reprises dès le 5 octobre 2000 par le docteur K._, spécialiste FMH en chirurgie (rapport du 17 octobre 2000), et les 31 octobre et 10 novembre 2000 par le docteur G._, spécialiste FMH en médecine interne (rapport du 13 novembre 2000). Dans un projet d'acceptation de rente du 2 avril 2001, l'Office cantonal de l'assurance-invalidité de Genève a conclu à une invalidité de 50 % à partir du 19 novembre 1999. Il avisait M._ qu'à la suite d'une amélioration de son état de santé, elle était apte à reprendre une activité professionnelle à 100 % dès le 13 février 2001. Par décision du 15 juin 2001, il lui a alloué une demi-rente d'invalidité du 1er novembre 1999 au 31 mai 2001. Par jugement du 4 juillet 2003, la Commission cantonale genevoise de recours AVS/AI a annulé cette décision, le dossier étant renvoyé à l'office AI pour expertise pluridisciplinaire et nouvelle décision. A.b L'Office AI Berne, auprès duquel M._ a présenté le 11 juillet 2002 une demande de prestations de l'assurance-invalidité, a mis en oeuvre une expertise interdisciplinaire. Dans un rapport du 20 août 2004, le docteur L._, spécialiste FMH en médecine interne, a diagnostiqué notamment une adiposité indice de masse corporelle de 38, un syndrome d'hypermobilité et une "periatropathia humeroskapularis" des deux côtés (- calcarea du côté gauche). Dans un rapport du 16 août 2004, le docteur F._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, a retenu qu'au plan psychiatrique, il n'y avait aucun diagnostic invalidant et que l'on pouvait exiger de l'assurée qu'elle exerce une activité à temps complet. Par décision du 28 septembre 2004, confirmée sur opposition le 13 avril 2005, l'office AI a refusé toutes prestations de l'assurance-invalidité. Sur recours de M._, ces décisions ont été annulées par jugement du Tribunal administratif du canton de Berne du 9 septembre 2005, le dossier de la cause étant renvoyé à l'Office AI Berne afin qu'il le transmette à l'Office cantonal de l'assurance-invalidité de Genève, seul compétent pour statuer sur la demande initiale du 2 novembre 1999. A.c L'Office cantonal de l'assurance-invalidité de Genève a confié une expertise pluridisciplinaire à l'Hôpital Y._ où M._ a séjourné du 19 au 20 juin 2006. Celle-ci a été examinée par le docteur E._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique, et par la doctoresse U._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, laquelle a déposé ses conclusions dans une expertise psychiatrique du 20 juin 2006. Dans leur rapport du 28 juin 2006, ces médecins ont retenu les diagnostics ayant une répercussion sur la capacité de travail d'état dépressif moyen avec syndrome somatique ([CIM-10] F33.11) chez une personnalité limite (F60.31) à traits dépendants (F60.7), de trouble somatoforme douloureux chronique (F45.4) et de tendinitis calcarea des deux épaules (M75.3). Toutes pathologies confondues, dans une activité adaptée, sans travaux lourds et répétitifs au niveau des membres supérieurs, une capacité de travail de 50 % était médicalement exigible. Ils indiquaient que la capacité de travail était limitée à 50 % depuis l'été 2004. Le médecin du SMR a invité les experts de l'Hôpital Y._ à lui donner des renseignements complémentaires. Dans une lettre du 11 octobre 2006, le docteur E._ a répondu que l'obésité importante qu'il avait mentionnée dans le status de l'assurée n'avait pas de répercussion notable sur la capacité de travail, notamment dans une activité adaptée. Le 4 octobre 2006, la doctoresse U._, complétant son expertise psychiatrique, a déclaré que l'aggravation de l'état psychique de l'assurée devait être considérée comme progressive, sans paliers très clairs, et que le seul événement indéniable était celui du traitement de l'obésité en février 2004 qui s'était soldé par une prise de poids. Un certain temps "d'incubation" s'observant fréquemment avant le développement plein de troubles de type dépressif, il avait été estimé que les troubles étaient apparus raisonnablement dans les six mois qui avaient suivi l'apparition de cet événement. Par décision du 1er mai 2007, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève a alloué à M._ une demi-rente d'invalidité à partir du 1er août 2005. Reprenant l'examen du droit à une rente depuis le dépôt de la demande en 1999, il a retenu la présence d'une affection chronique depuis 1999 (atteinte de l'épaule) et d'une maladie psychiatrique dont la gravité devait être prise en compte depuis l'été 2004, troubles qui avaient une incidence sur sa capacité de travail dans la mesure où elle était limitée à 50 % dès août 2004. B. Le 15 juin 2007, M._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de celle-ci, la juridiction cantonale étant invitée à constater son invalidité et à dire que la rente devait rétroagir au 1er novembre 1999. A titre préalable, elle demandait qu'un complément d'expertise pluridisciplinaire soit ordonné en ce qui concerne la période entre novembre 1999 et l'été 2004. Subsidiairement, elle requérait le renvoi du dossier à l'office AI afin qu'il rende une décision dans le sens de la nouvelle expertise. Interpellée par le tribunal, la doctoresse U._, par lettre du 4 février 2008, a répondu qu'elle ne s'était pas prononcée dans l'expertise psychiatrique sur la plénitude éventuelle de la capacité de travail pendant la période entre 1999 et l'été 2004, attendu que M._ avait exercé une activité partielle à ce moment-là et qu'une psychopathologie avérée apparaissait clairement au cours de son investigation en été 2004. D'autre part, elle a expliqué pourquoi les conclusions de son expertise du 20 juin 2006, complétée le 4 octobre 2006, étaient différentes de celles du docteur F._ dans son rapport du 16 août 2004. Par jugement du 5 mai 2008, le Tribunal cantonal des assurances sociales a rejeté le recours. C. M._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation, le Tribunal fédéral étant invité à dire et constater qu'elle a droit à une demi-rente d'invalidité avec effet rétroactif dès le 26 octobre 1999. A titre subsidiaire, elle demande que le dossier soit renvoyé à l'Office cantonal de l'assurance-invalidité de Genève afin qu'il procède à une instruction complémentaire, notamment par la mise en oeuvre d'une nouvelle expertise pluridisciplinaire dans le sens des considérants. 