Faits: Faits: A. C._, né en 1956, a travaillé en qualité de maçon jusqu'au 18 mai 1998, date à laquelle il a cessé définitivement son activité lucrative en raison d'une atteinte à la santé. Le 14 juillet 1998, il a présenté une demande tendant à l'octroi de prestations de l'assurance-invalidité sous la forme d'une mesure de reclassement dans une nouvelle profession. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a requis l'avis du docteur M._, médecin traitant de l'assuré (rapport du 4 septembre 1998) et soumis l'assuré à un examen médical qui a été confié au Service médical régional de l'assurance-invalidité (SMR), (rapport du 19 septembre 2001). En outre, l'administration a mis en oeuvre un stage d'évaluation au Centre d'observation professionnelle de l'assurance-invalidité (COP), (du 14 février au 10 mars 2000), ainsi qu'un stage d'intégration professionnelle au Centre de formation professionnelle (ORIPH), (du 4 septembre au 12 novembre 2000). Par décision du 4 octobre 2001, l'office AI a rejeté la demande dont il était saisi, motif pris que le taux d'invalidité constatée (32 %) était insuffisant pour ouvrir droit à prestations. Par décision du 4 octobre 2001, l'office AI a rejeté la demande dont il était saisi, motif pris que le taux d'invalidité constatée (32 %) était insuffisant pour ouvrir droit à prestations. B. C._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud, en concluant à l'octroi d'une demi-rente d'invalidité et à la mise en oeuvre de mesures d'ordre professionnel. La juridiction cantonale a confié une expertise au docteur Z._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 7 juillet 2003), lequel a recueilli l'avis du docteur A._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, et médecin traitant de l'assuré (rapport du 30 janvier 2003). Par jugement du 18 décembre 2003, la juridiction cantonale a « réformé » la décision attaquée, en ce sens que l'assuré a droit à une demi-rente d'invalidité depuis le 1er août 1998. Par jugement du 18 décembre 2003, la juridiction cantonale a « réformé » la décision attaquée, en ce sens que l'assuré a droit à une demi-rente d'invalidité depuis le 1er août 1998. C. L'office AI interjette recours de droit administratif contre ce jugement, dont il demande l'annulation, en concluant à la confirmation de sa décision du 4 octobre 2001. C._ conclut au rejet du recours. De son côté, l'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) en propose l'admission. 