Faits: A. Le 17 juillet 2008, X._ a ouvert action en libération de dette contre Z._ SA devant le Tribunal de district de Sierre; à ses dires, la prétention contestée s'élève à 141'769 fr.75 en capital. La cause est attribuée à la juge de district Florence Troillet. Celle-ci est membre du Lions Club Sion Valesia. L'avocat U._ est actionnaire de la défenderesse et président de son conseil d'administration; il est également membre du Lions Club Sion Valais romand. Les deux clubs sont fédérés dans le mouvement Lions Clubs International par l'intermédiaire de l'organisation Multi-District 102 Suisse-Liechtenstein. Selon la documentation que celle-ci publie , Le mouvement Lions suisse est une plate-forme pour des hommes et des femmes enthousiastes, motivés et prêts à s'impliquer sur le plan social. Ceux-ci s'engagent personnellement en prodiguant leur soutien à la société, aux personnes et à l'environnement. Dans le cadre d'un réseau mondial, les membres sont attachés à des valeurs comme la tolérance, l'humanité et la libéralité ( http://www.lionsclubs.ch/fr/102/, consulté le 12 juillet 2013). Le Lions Clubs International a pour objectifs de susciter et développer un esprit de compréhension entre les peuples du monde; promouvoir les principes de bon gouvernement et de civisme; participer activement au bien-être civique, culturel, social et moral de la communauté; unir les clubs par des liens d'amitié, de bonne camaraderie et de compréhension mutuelle; créer un forum pour la discussion ouverte de tous les sujets d'intérêt public, en excluant ceux de politique partisane et de sectarisme religieux; encourager les hommes animés d'esprit d'entraide à servir la communauté sans rémunération, rechercher l'efficacité et promouvoir une éthique morale élevée dans les affaires, les professions indépendantes, les services publics ainsi que dans la vie privée ( http://www.lionsclubs.ch/fr/102/ueberlions/index.php, consulté le même jour). B. Le 27 août 2012, le demandeur a réclamé la récusation de la juge Troillet en raison de l'affiliation commune de ce magistrat et de Me U._ au Lions Club. Le Président du Tribunal cantonal a désigné l'un des juges du Tribunal de district de Sion pour se prononcer sur la récusation. Le juge ainsi désigné a rejeté la demande de récusation le 15 octobre 2012. Le demandeur ayant attaqué cette décision devant le Tribunal cantonal, le Vice-président a statué le 4 février 2013; il a rejeté le recours. C. Agissant par la voie du recours en matière civile, le demandeur requiert le Tribunal fédéral d'annuler le jugement du Tribunal cantonal et d'ordonner la récusation de la juge Troillet. La défenderesse conclut au rejet du recours. La juge Troillet propose également le rejet du recours. 