Faits: A. P._ a requis des prestations de l'assurance-chômage. Un délai-cadre d'indemnisation a été ouvert en sa faveur pour la période du 1er novembre 2006 au 31 octobre 2008. L'assuré a été convoqué par l'Office régional de placement de Genève (ORP) à un entretien de conseil le 16 août 2007 à 15 heures 30. Par décision du 23 août 2007, l'ORP a suspendu le droit de P._ à l'indemnité de chômage pour une durée de cinq jours, motif pris qu'il ne s'était pas présenté à l'entretien du 16 août 2007 sans excuse valable. P._ s'est opposé à cette décision en faisant valoir qu'il s'était présenté avec quelques minutes de retard. La réceptionniste, A._, l'avait accueilli et avait tenté, sans succès, de joindre le conseiller de l'assuré, J._. Le 14 septembre 2007, le conseiller en personnel a décrit la pratique de l'administration en matière d'arrivée tardive à un entretien de conseil. En substance, lorsqu'un assuré se présente avec moins de 15 minutes de retard, l'Accueil du bâtiment enregistre l'arrivée dans le système informatique et dirige l'assuré vers les étages. Lorsque 15 minutes sont dépassées, la réception peut contacter le conseiller qui peut ou non accueillir l'assuré selon ses disponibilités. Si l'assuré arrive avec plus de 20 minutes de retard, il est réputé absent et le conseiller en personnel vaque à ses occupations, ce qui peut impliquer un déplacement hors de son bureau. La décision de sanction mentionne une absence à l'entretien, sans indication de l'origine du manquement (arrivée trop tardive pour être suivie d'effets ou absence effective). Par ailleurs, J._ a confirmé qu'il ne s'était pas déplacé pour accueillir l'assuré au cours des 20 minutes suivant l'heure du rendez-vous (soit de 15 h 30 à 15 h 50). Par décision du 11 décembre 2007, l'OCE a rejeté l'opposition de l'assuré, au motif qu'au regard de la pratique de l'administration, l'assuré avait dû arriver avec plus de 20 minutes de retard. Par ailleurs, l'OCE a précisé que l'assuré avait précédemment manqué un entretien de conseil le 27 juillet 2007, en raison d'un oubli, sans avoir fait l'objet d'une sanction. B. P._ a déféré la décision sur opposition de l'OCE au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève. Statuant le 5 mai 2008, la juridiction cantonale a rejeté le recours. C. Par acte du 17 juin 2008, P._ interjette un recours en matière de droit public contre le jugement cantonal du 5 mai 2008, dont il demande l'annulation en concluant implicitement à la levée de la sanction. Par ailleurs, il requiert le versement de dommages et intérêts de 50'000 fr. pour « tort moral et faute grave ». En outre, il a déposé deux écritures complémentaires les 25 juillet 2008 et 16 septembre 2008, avec annexes. Dans l'intervalle, soit le 12 août 2008, P._ a soumis une requête en remboursement des frais de justice qu'il a avancés. L'OCE et le Secrétariat d'Etat à l'économie ont renoncé à se déterminer. 