Sachverhalt: A. Die B._ AG (Klägerin, Beschwerdegegnerin) führte vor dem Richteramt Solothurn-Lebern einen Forderungsprozess gegen A._ (Beklagter, Beschwerdeführer). Mit Urteil vom 31. Januar 2013 verpflichtet das Amtsgericht den Beklagten, der Klägerin den Betrag von Fr. 215'200.-- nebst Zins zu bezahlen. Die darüber hinausgehende Klage wies es ab. Dagegen legte der Beklagte am 26. April 2013 Berufung ein. Mit Verfügung vom 2. Mai 2013 forderte der Präsident der Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Solothurn den Beklagten auf, bis 23. Mai 2013 für das Verfahren vor dem Obergericht einen vorläufigen Kostenvorschuss von Fr. 22'500.-- zu bezahlen. Daraufhin reichte der Beklagte ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren ein. Dieses wies der Präsident mit Verfügung vom 17. Juni 2013 ab, soweit er darauf eintrat. Gleichzeitig setzte er dem Beklagten eine Frist bis 8. Juli 2013 an, um für das Berufungsverfahren einen Kostenvorschuss von Fr. 22'500.-- zu bezahlen unter Androhung des Nichteintretens auf die Berufung, falls der Kostenvorschuss nicht geleistet wird. Da der Beklagte den Kostenvorschuss nicht bezahlte, wurde ihm mit Verfügung vom 10. Juli 2013 eine Nachfrist bis 19. August 2013 zur Bezahlung des Kostenvorschusses von Fr. 22'500.-- angesetzt unter Androhung des Nichteintretens auf die Berufung im Unterlassungsfall. Am 19. August 2013 erhob der Beklagte gegen die Verfügung vom 17. Juni 2013 Beschwerde an das Bundesgericht. Dieses trat am 11. November 2013 auf die Beschwerde mangels hinlänglicher Begründung nicht ein (Verfahren 4A_373/2013). Mit Beschluss vom 9. Dezember 2013 trat das Obergericht mangels Leistung des Kostenvorschusses innert der gesetzten Nachfrist auf die Berufung nicht ein. B. Der Beschwerdeführer erhebt gegen den Beschluss des Obergerichts vom 9. Dezember 2013 Beschwerde in Zivilsachen mit dem Antrag, seitens des Obergerichts sei eine neue Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses anzusetzen. Die Beschwerdegegnerin und die Vorinstanz beantragen, die Beschwerde abzuweisen. 