Fatti: A. A._ e B._, clienti della C._ SA, effettuarono diversi investimenti nella D._ Ltd., società con sede nelle Isole Vergini Britanniche gestita dalla banca. I rapporti contrattuali tra clienti e banca furono piuttosto complessi. La fattispecie che interessa la causa portata davanti al Tribunale federale è tuttavia ben circoscritta. A._ e D._, che avevano acquisito il diritto di permutare azioni della D._ Ltd. con azioni della società cilena E._ SA, rimproverano alla C._ SA di non avere permesso loro di esercitare tale opzione, di averli discriminati rispetto ad altri azionisti e di avere causato loro un pregiudizio ingente. B. Il 18 maggio 2009 A._ e D._ hanno avviato una procedura arbitrale contro C._ SA davanti alla Camera di commercio, dell'industria, dell'artigianato e dei servizi del Canton Ticino, la quale ha designato quale arbitro unico F._, avvocata a X._. In breve, per quanto interessi il litigio davanti al Tribunale federale, gli attori hanno chiesto all'arbitro di dichiarare che la convenuta aveva violato i suoi obblighi contrattuali dando l'opzione di convertire delle azioni della società D._ Ltd. in azioni E._ SA a un altro azionista ma non a loro; di accertare che tale comportamento aveva causato danni di USD 1'679'495.-- a A._ e USD 644'717.-- a D._; di condannare la convenuta a pagare USD 1'216'540.-- a A._ e USD 471'990.-- a D._. La convenuta ha chiesto di respingere tali domande. L'arbitro unico si è pronunciato con lodo del 23 settembre 2013, respingendo le predette domande ai dispositivi n.1/4.2 e 2 e ponendo gli oneri processuali a carico degli attori al dispositivo n. 3. C. A._ e D._ insorgono davanti al Tribunale federale con ricorso in materia civile del 23 ottobre 2013. Chiedono l'annullamento dei dispositivi n. 1/4.2, 2 e 3 del lodo e il rinvio della causa all'arbitro affinché decida di nuovo, accolga in sostanza le domande presentate nell'ambito della procedura arbitrale e riveda il giudizio su spese e ripetibili. L'opponente ha chiesto di respingere il ricorso con risposta del 20 gennaio 2014. Le rispettive posizioni sono state confermate con replica del 6 febbraio 2014 e duplica del 31 marzo 2014. L'arbitro ha rinunciato a presentare osservazioni. D. Il 4 novembre 2013 i ricorrenti hanno chiesto che al ricorso fosse attribuito l'effetto sospensivo; la domanda è stata respinta con decreto presidenziale del 10 dicembre 2013. I ricorrenti hanno presentato una nuova istanza di richiesta dell'effetto sospensivo il 14 dicembre 2013. Il 20 novembre 2013 l'opponente ha chiesto di astringere il ricorrente A._ a depositare una garanzia per le spese ripetibili, domanda che è stata respinta con decreto presidenziale 10 gennaio 2014. 