Faits: A. T._ était domicilié à Genève jusqu'au 12 janvier 2009, date à partir de laquelle il a résidé dans le canton de Y._, où il était inscrit au Centre Z._ comme étudiant régulier pour l'année 2010-2011. Il était affilié à Philos Assurance maladie SA (ci-après: Philos) et bénéficiait de l'assurance obligatoire des soins médicaux, pharmaceutiques et hospitaliers, assortie d'une franchise annuelle de 2'500 fr. et avec un choix limité de fournisseurs de prestations (appelée SanaTel). La prime mensuelle brute s'élevait à 191 fr. S'étant à nouveau établi à Genève le 30 mars 2011, T._ a été informé par le Service de l'assurance-maladie du canton de Genève (SAM) qu'il devait obligatoirement s'assurer à l'assurance obligatoire des soins à la suite de son installation à Genève et invité à comparer les primes selon une liste annexée, puis à demander son affiliation auprès de l'assureur-maladie de son choix (courrier du 8 avril 2011). L'assuré lui ayant fait part de son changement d'adresse, Philos a émis un nouveau certificat d'assurance pour l'année 2011. Elle lui a indiqué que son changement de domicile entraînait le passage au tarif correspondant au nouveau domicile, de sorte que sa prime mensuelle brute était désormais de 295 fr. 50 dès le 1er avril 2011. Par courrier du 13 avril 2011, complété le 28 avril suivant, l'assuré a résilié son assurance SanaTel pour le 30 juin 2011, tout en requérant le maintien du montant de l'ancienne prime jusqu'à cette date. Le 18 mai 2011, Philos lui a répondu prendre acte de sa démission, mais avec effet au 31 décembre 2011, dès lors qu'il n'était pas autorisé à changer d'assureur-maladie plus tôt, l'adaptation légale de la prime due à son changement de domicile ne lui octroyant aucun droit de résiliation (extraordinaire). Le 14 juin 2011, Philos a rendu une décision par laquelle elle a refusé d'accepter la résiliation de l'assurance obligatoire des soins de l'intéressé au 30 juin 2011 et maintenu la prime mensuelle selon les tarifs admis à Genève à partir du 1er avril 2011. Saisie d'une opposition de T._, elle l'a écartée par décision du 27 octobre 2011. B. L'assuré a déféré la décision sur opposition à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, qui l'a débouté par jugement du 10 octobre 2012. C. T._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation. En substance, il conclut à ce qu'il puisse choisir librement son assureur-maladie dès le moment où il a été domicilié à Genève et à ce que Philos soit condamnée au paiement de 324 fr. 60. Il prend également diverses conclusions en constatation d'ordre général, telles qu'une "inégalité de traitement entre les assurés suisses et le recourant", l'absence de traitement de sa cause "avec équité et impartialité" et "une prise de domicile cantonale". 