Fatti: A. Il 22 dicembre 1999 A._ ha aperto una relazione bancaria presso la B._ SA comprendente un deposito titoli e un conto di risparmio sul quale ha versato in varie tappe la somma totale di fr. 570'000.--. La sua persona di riferimento presso la banca era C._. Questi, dal luglio 2000 fino al 2003, ha effettuato senza autorizzazione diverse operazioni di addebito e di accredito, di acquisto e vendita di titoli nonché su derivati, falsificando la firma del cliente o comunque a sua insaputa. Le trattative per una soluzione stragiudiziale non sono andate in porto, nonostante lo storno da parte della banca di diverse operazioni illecite. Il 16 dicembre 2004 A._, dopo avere venduto i titoli in deposito, ha chiuso il conto e prelevato il saldo di fr. 93'130.65. Il 13 luglio 2006 la Corte delle assise criminali di Lugano ha condannato C._ a 2 anni e 10 mesi di reclusione per truffa e falsità in documenti in relazione alle malversazioni effettuate ai danni di diversi clienti della banca, tra i quali A._, le cui pretese di risarcimento sono state rinviate al foro civile. B. Con petizione dell'8 maggio 2006 A._ ha chiesto al Pretore di Bellinzona di condannare la B._ SA a pagargli fr. 476'869.35, la differenza tra la somma di fr. 570'000.-- versata sul conto e l'importo di fr. 93'130.65 incassato alla chiusura. L'attore ritiene la banca responsabile del danno causatogli dal dipendente per tutte le operazioni eseguite senza il suo consenso. La B._ SA si è opposta all'azione obiettando che i prelievi eseguiti con firme false erano già stati stornati, mentre le operazioni su titoli e derivati erano state volute dal cliente, il quale ne doveva sopportare i rischi. Il Pretore ha respinto la petizione con decisione del 15 giugno 2009, confermata su appello di A._ il 23 novembre 2011 dalla II Camera civile del Tribunale di appello ticinese. Il ricorso in materia civile proposto da A._ contro tale sentenza è stato accolto con giudizio del 30 agosto 2012 (causa 4A_22/2012) dal Tribunale federale, che ha ritornato la causa all'autorità inferiore per nuovo giudizio nel senso che si dirà. C. La II Camera civile del Tribunale di appello si è pronunciata il 7 ottobre 2013, respingendo ancora l'appello. A._ insorge di nuovo davanti al Tribunale federale con ricorso in materia civile dell'8 novembre 2013. In via principale chiede che la sentenza cantonale sia annullata e che la B._ SA sia condannata a pagargli fr. 436'869.35; subordinatamente postula che la causa sia rinviata all'autorità cantonale affinché statuisca di nuovo nel senso dei considerandi; il tutto con carico all'opponente di spese e ripetibili delle sedi cantonali e federale. L'opponente propone di respingere il ricorso e di confermare i giudizi delle due istanze inferiori con risposta del 24 gennaio 2014. A._ ha replicato spontaneamente il 12 febbraio 2014; la B._ SA ha confermato la propria risposta con lettera del 27 febbraio 2014. L'autorità cantonale non si è pronunciata. 