Sachverhalt: A. S._ (geb. 1970) war bei der B._ Betriebs AG als Fussballer angestellt und damit bei der Gerling-Konzern Allgemeine Versicherungs-AG (nachfolgend: Gerling) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er am 30. Mai 2001 als Autolenker innerorts einen Heckauffahrunfall erlitt. Die erstbehandelnden Ärzte diagnostizierten eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) sowie eine commotio cerebri resp. ein postcommotionelles Syndrom und bestätigten eine Arbeitsunfähigkeit (u.a. Berichte der Klinik P._ vom 1. und 26. Juni 2001, des Notfallzentrums Chirurgie, Spital E._, undatiert, und des Hausarztes vom 21. Juni 2001). Eine Untersuchung mittels Magnetresonanztomographie ergab zudem eine grosse Diskushernie auf Höhe C4/5 (Abklärungsbericht vom 13. Juni 2001). Die Gerling, welcher der Auffahrunfall mit Bagatellunfall-Meldung vom 7. Juni 2001 angezeigt wurde, erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Sie holte nebst weiteren medizinischen Abklärungen ein Gutachten des Dr. med. A._, Chefarzt der Klinik T._ für Neurorehabilitation, Parkinsonzentrum und Epileptologie, vom 18. Dezember 2003/14. April 2004 und ein Aktengutachten ihres beratenden Arztes Dr. med. C._, Facharzt FMH für Chirurgie, vom 24. April 2004 ein. Gestützt darauf schloss der Unfallversicherer den Fall mit Verfügung vom 20. Mai 2005 unter Zusprechung einer ab 1. August 2005 laufenden, einem Invaliditätsgrad von 17 % entsprechenden Übergangsrente ab. Daran hielt die Gerling mit Einspracheentscheid vom 16. Februar 2006 fest. B. S._ erhob beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern Beschwerde mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des Einspracheentscheides sei die Gerling zu verpflichten, die gesetzlich geschuldeten Leistungen, insbes. weiterhin Taggeld und Heilbehandlung, evtl. eine höhere Rente und eine Integritätsentschädigung auszurichten. Im Verlauf des Verfahrens legte S._ u. a. ein von ihm eingeholtes neurologisches-neuropsychologisches Gutachten des Dr. med. M._, Spezialarzt für Neurologie FMH, vom 27. Mai 2005 (mit psychiatrischem Teilgutachten des Dr. med. H._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 17. Dezember 2004) und einen Bericht des Dr. med. N._, F._ Zentrum, vom 17. April 2007 über einen mit funktioneller Magnetresonanztomographie erhobenen Befund am craniocervicalen Übergang und im oberen Bereich der HWS auf. Das Verwaltungsgericht holte die Akten der Invalidenversicherung, bei der sich S._ im Juni 2002 zum Leistungsbezug angemeldet hatte, ein. Sodann zeigte es S._ mit Verfügung vom 29. März 2007 eine mögliche reformatio in peius an. S._ hielt an der Beschwerde fest. Das Verwaltungsgericht wies diese ab, hob den Einspracheentscheid vom 16. Februar 2006 bezüglich der zugesprochenen Übergangsrente auf und stellte fest, dass über den 1. August 2005 hinaus kein Anspruch auf Leistungen der Unfallversicherung bestehe. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch bestehende gesundheitliche Beeinträchtigung stehe nicht in einem natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfall vom 30. Mai 2001 (Entscheid vom 31. August 2007). C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und es seien die im kantonalen Verfahren geltend gemachten Leistungen zuzusprechen; evtl. sei die Sache für ergänzende Abklärungen an Vorinstanz oder Versicherer zurückzuweisen. Mit dem Rechtsmittel wird u.a. ein fachradiologisches Gutachten des Dr. med. N._ vom 6. Oktober 2007 aufgelegt. Die Gerling schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Eingaben vom 23. resp. 25. April 2008 ergänzen die Parteien ihre Vorbringen im Hinblick auf das Urteil BGE 134 V 109. 