Sachverhalt: A. Die IV-Stelle des Kantons Luzern lehnte das Leistungsgesuch des 1957 geborenen M._ mit Einspracheentscheid vom 14. Juli 2006 mangels rentenbegründenden Invaliditätsgrades ab. Nachdem das Bundesgericht den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern, die unentgeltliche Rechtspflege im Beschwerdeverfahren zu verweigern, bestätigt hatte (Urteil I 916/06 vom 18. Januar 2007), wies das kantonale Gericht die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde am 19. September 2007 ab. Auf eine Neuanmeldung vom 31. Mai 2008 trat die IV-Stelle nicht ein (durch Entscheid des kantonalen Gerichts vom 16. Juli 2010 bestätigte Verfügung der IV-Stelle vom 9. Juli 2008). Mit Schreiben vom 25. August 2009 meldete sich M._ wiederum zum Leistungsbezug an und reichte verschiedene ärztliche Berichte ein. Die IV-Stelle trat erneut nicht darauf ein; der Gesundheitszustand habe sich nicht verändert (Verfügung vom 5. November 2010). B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 6. Oktober 2011). C. M._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die IV-Stelle anzuweisen, auf das Gesuch vom 25. August 2009 einzutreten. Ausserdem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Die IV-Stelle und das kantonale Gericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme. D. In einer Eingabe vom 10. Februar 2012 beantragt der Beschwerdeführer die Sistierung des Verfahrens. 