Sachverhalt: Sachverhalt: A. A.a Am 21. Oktober 2002 stellte K._ (geb. 1940) Antrag auf Arbeitslosenentschädigung. Mit Verfügung vom 20. November 2002 verneinte die Kantonale Arbeitslosenkasse von St. Gallen die Anspruchsberechtigung ab 21. Oktober 2002 wegen Nichterfüllung der Beitragszeit und Fehlen eines Befreiungsgrundes. Die Kasse anerkannte eine Beitragszeit von 5,820 Monaten, herrührend aus den Arbeitsverhältnissen vom 13. Mai bis 19. September 2002 mit 4,353 Monaten (Bademeisterin für die Gemeinde X._) und vom 1. Januar bis 14. Februar 2001 mit 1,467 Monaten (Curling-Trainerin für den Kur- und Verkehrsverein Y._). Mit Schreiben vom 3. Dezember 2002 reichte K._ eine zusätzliche Arbeitgeberbescheinigung ein. Nach der Überprüfung der geleisteten Arbeitsstunden beim Amt für Personal und Organisation Q._ (nachfolgend: Amt für Personal und Organisation) hielt die Kasse mit schriftlicher Mitteilung vom 20. Dezember 2002 an der Verfügung fest. A.b Mit Eingabe vom 14. April 2003 ersuchte K._ um rückwirkende Neuberechnung der Beitragszeiten aufgrund der von der Gemeinde X._ ausgestellten Bestätigung betreffend Entlöhnung geleisteter Arbeitsstunden in der Zeit vom 23. bis 30. September 2002. Die Kasse überwies den Fall an das Amt für Arbeit des Kantons St. Gallen. Dieses lehnte das Revisionsgesuch am 11. Juni 2003 mit der Begründung ab, die Tatsache eines weiteren Arbeitsverhältnisses sei der Versicherten zum Zeitpunkt des Erlasses der Verfügung vom 20. November 2002 bereits bekannt gewesen. Daran hielt es auf Einsprache hin mit Entscheid vom 20. August 2003 fest. A.b Mit Eingabe vom 14. April 2003 ersuchte K._ um rückwirkende Neuberechnung der Beitragszeiten aufgrund der von der Gemeinde X._ ausgestellten Bestätigung betreffend Entlöhnung geleisteter Arbeitsstunden in der Zeit vom 23. bis 30. September 2002. Die Kasse überwies den Fall an das Amt für Arbeit des Kantons St. Gallen. Dieses lehnte das Revisionsgesuch am 11. Juni 2003 mit der Begründung ab, die Tatsache eines weiteren Arbeitsverhältnisses sei der Versicherten zum Zeitpunkt des Erlasses der Verfügung vom 20. November 2002 bereits bekannt gewesen. Daran hielt es auf Einsprache hin mit Entscheid vom 20. August 2003 fest. B. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen gut. Es bejahte einen Revisionsgrund und wies die Sache zur Neuberechnung der Beitragszeit unter Berücksichtigung des zusätzlichen Arbeitsverhältnisses an das Amt für Arbeit zurück (Entscheid vom 9. Juni 2004). B. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen gut. Es bejahte einen Revisionsgrund und wies die Sache zur Neuberechnung der Beitragszeit unter Berücksichtigung des zusätzlichen Arbeitsverhältnisses an das Amt für Arbeit zurück (Entscheid vom 9. Juni 2004). C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt das Amt für Arbeit, der Entscheid des kantonalen Gerichts sei aufzuheben. Die Vorinstanz schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. K._ sowie das Staatssekretariat für Wirtschaft (seco) verzichten auf eine Vernehmlassung. 