Sachverhalt: A. Das Landgericht Uri schied die Ehe zwischen X._ und Y._ mit Entscheid vom 21. Februar 2013, regelte die Nebenfolgen der Scheidung und errichtete dem Kind eine Beistandschaft nach Art. 308 ZGB. X._ nahm den Entscheid am 18. März 2013 in Empfang und legte mit Eingabe vom 3. Mai 2013 gegen die erstinstanzlich angeordnete Beistandschaft sowie die Verweigerung von Unterhaltsbeiträgen Berufung ein. B. B.a. Das Obergericht des Kantons Uri nahm das eingereichte Rechtsmittel mit verfahrensleitender Verfügung vom 6. Mai 2013 in das Geschäftsprotokoll auf. Anschliessend führte es einen doppelten Schriftenwechsel durch, worauf X._ zur Duplik noch einmal Stellung nahm. B.b. Am 19. Dezember 2013 teilte der verfahrensleitende Präsident X._ mit, dass sie gemäss den dem Obergericht zur Verfügung stehenden Unterlagen das Rechtsmittel verspätet eingereicht habe und das Obergericht über die Eintretensfrage entscheiden werde. B.c. Mit Entscheid vom 24. Januar 2014 trat das Obergericht, infolge Fehlens einer Prozessvoraussetzung, auf die Berufung nicht ein. Zudem auferlegte es X._ die Gerichtskosten von Fr. 400.-- und verurteilte sie zur Zahlung einer Parteientschädigung von Fr. 1'300.--. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 25. Februar 2014 beantragt X._ (Beschwerdeführerin), das Obergericht sei unter Aufhebung des Urteils vom 24. Januar 2014 anzuweisen, auf ihre Berufung vom 3. Mai 2013 einzutreten. Sie beantragt, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu gewähren. Zudem ersucht sie für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Das Obergericht hat auf eine Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet. Der Beschwerdegegner beantragt, das Gesuch abzuweisen. Mit Präsidialverfügung vom 14. März 2014 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung verweigert. Es sind die kantonalen Akten, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt worden. 