Sachverhalt: A. A.a. Y._ und X._ sind die gemeinsamen nicht verheirateten Eltern der 2009 geborenen Tochter A._. Die von den Eltern am 22. Juni 2010 geschlossene Vereinbarung über den Unterhalt und die Betreuung des gemeinsamen Kindes sah insbesondere vor, dass dieses von beiden Eltern zu gleichen Teilen je zweieinhalb Tage pro fünf Werktage plus Samstag oder Sonntag bzw. plus jedes zweite Wochenende betreut wird, wobei diese Betreuungsregelung auch bei einer eventuellen Auflösung des gemeinsamen Haushaltes (Pendelmodell) gelten soll. Am 9. August 2010 genehmigte die Vormundschaftsbehörde B._ die Vereinbarung und übertrug gestützt auf aArt. 298a Abs. 1 ZGB die elterliche Sorge über das Kind antragsgemäss auf beide Eltern. A.b. Im Juni 2011 trennten sich die Eltern und leben seither nicht mehr im gemeinsamen Haushalt. Die Mutter zog nach Z._. Am 15. Juni 2012 änderte die Vormundschaftsbehörde Z._ nach Anhörung des Sozialarbeiters und der Eltern die Betreuungsregelung. Mit Urteil vom 20. Dezember 2012 wies das Appellationsgericht Basel-Stadt als Verwaltungsgericht den von X._ gegen den Entscheid der Vormundschaftsbehörde erhobenen Rekurs ab. B. X._ gelangte mit Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht und beantragte sinngemäss, das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts sei insofern abzuändern, als nach Ablauf der Übergangszeit die bestehende Kontaktregelung gemäss Vereinbarung vom 22. Juni 2010 gelte. Mit Urteil vom 14. November 2013 wies das Bundesgericht die Beschwerde ab, soweit darauf einzutreten war (1). Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- wurden X._ auferlegt, infolge der gewährten unentgeltlichen Rechtspflege aber einstweilen auf die Bundesgerichtskasse genommen (4). C. Mit Eingabe vom 6. Januar 2014 (Postaufgabe) ersucht X._ (Gesuchsteller) beim Bundesgericht um Revision des ihm am 3. Dezember 2013 zugestellten bundesgerichtlichen Urteils 5A_198/2013. Er beantragt im Einzelnen, es sei Ziffer 1 des bundesgerichtlichen Urteils aufzuheben und festzuhalten, dass die Betreuungsregelung gemäss Elternvereinbarung vom 22. Juni 2010 gelte (1 und 2). Aufzuheben sei ferner Ziffer 4 des bundesgerichtlichen Urteils; ihm seien die Gerichtskosten zu erlassen (4). Für das Verfahren ersucht er sinngemäss um unentgeltliche Rechtspflege (Erlass der Kosten des Revisionsverfahrens) (5). D. Mit Verfügung vom 9. Januar 2014 wurde das Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen (Ziffer 3 der Begehren) im Sinn des Hauptantrages des Revisionsgesuchs abgewiesen. 