Faits: A. S._, né en 1975, a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 18 avril 2008, en invoquant des problèmes psychiques et de dépendance. Se fondant sur une expertise psychiatrique du docteur C._, psychiatre au SMR (rapport du 11 septembre 2008), ainsi que sur le dossier du SMR, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (l'office AI) a estimé que l'assuré ne présentait pas d'atteinte à la santé au sens de la LAI. Il a dès lors rejeté la demande par décision du 9 février 2009. B. S._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui : Cour de justice, Chambre des assurances sociales), en concluant implicitement à l'octroi d'une rente. Il estimait que l'incidence de ses problèmes d'ordre psychique n'avait pas été correctement appréciée. La juridiction cantonale a entendu le docteur M._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (procès-verbal d'enquêtes du 8 octobre 2009). A l'examen de ce document, le SMR (avis médical du 20 octobre 2009) et l'office AI (lettre du 28 octobre 2009) ont admis que l'assuré se trouvait en incapacité totale de travail depuis le 2 octobre 2005. Par jugement du 27 mai 2010, la juridiction cantonale a admis le recours au sens des considérants (ch. 2 du dispositif), annulé la décision du 9 février 2009 (ch. 3) et dit que l'assuré avait droit à une rente entière d'invalidité dès le 2 octobre 2006 (ch. 4). C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Il demande l'annulation du ch. 4 du dispositif, et conclut à ce qu'une rente entière d'invalidité soit accordée à l'assuré dès le 1er avril 2007. L'intimé et l'Office fédéral des assurances ont renoncé à se déterminer. Par ordonnance du 14 septembre 2010, le Juge instructeur a admis la requête d'effet suspensif au recours présentée par l'office AI. 