Faits: A. A.a M. A.X._, né en 1964, et Mme B.X._, née en 1966, se sont mariés le 8 juin 1994 à Genève. Trois enfants sont issus de cette union: C._, née le 8 février 1998, D._, né le 30 janvier 1999 et E._, né le 31 octobre 2001. Les conjoints se sont séparés le 3 novembre 2008. Par requête déposée le 16 juin 2009, l'épouse a sollicité des mesures protectrices de l'union conjugale avec mesures préprovisoires urgentes. Par ordonnance du 8 juillet 2009, le Tribunal de première instance du canton de Genève, statuant sur mesures préprovisoires urgentes, a notamment autorisé les époux à vivre séparés et attribué à la mère la jouissance exclusive du domicile conjugal et la garde des enfants, un droit de visite étant réservé au père. A.b Dans le cadre de la procédure sur mesures protectrices de l'union conjugale, le Service de protection des mineurs (SPMi) a rendu un rapport le 29 janvier 2010. Il relève, en substance, que la situation des enfants est préoccupante compte tenu du contexte familial conflictuel dans lequel ils se trouvent pris à témoins. Bien que les parents soient conscients de la nécessité de préserver leurs enfants du conflit qui les oppose, la communication entre eux est inexistante et leur relation très tendue. Selon le SPMi, il est conforme à l'intérêt des enfants d'en confier la garde à la mère, d'accorder au père un droit de visite devant s'exercer un week-end sur deux, du vendredi après l'école au dimanche soir à 18 heures, chaque mercredi de 18 heures à 20 heures 30 ainsi que pendant la moitié des vacances scolaires, et d'instaurer une curatelle d'organisation et de surveillance du droit de visite. Vu les tensions existant entre les époux, une expertise psychiatrique du groupe familial a en outre été ordonnée et confiée au Centre universitaire romand de médecine légale (CURML), qui a établi son rapport le 20 janvier 2011. Il en résulte que, compte tenu de l'impossibilité de garantir des contacts se déroulant correctement entre les parents et des conséquences sur les enfants, qui ressentent les inquiétudes de leurs parents, il convient d'attribuer au père un droit de visite usuel, soit à raison de deux week-ends par mois et durant la moitié des vacances scolaires. Pour des raisons d'organisation et pour protéger les enfants des conflits parentaux, le père ne devrait par ailleurs plus les rencontrer le mercredi soir, mais aller les chercher le vendredi après-midi directement après l'école et les y ramener le lundi matin. Si cette solution se révèle impossible, il pourrait aller chercher les enfants le vendredi soir dans un lieu neutre (par exemple dans un centre d'accueil). Une curatelle d'organisation du droit de visite semble en outre indispensable, dans l'attente et l'espoir de relations moins conflictuelles entre les parents. Statuant sur mesures protectrices de l'union conjugale par jugement du 26 mai 2011, le tribunal a, entre autres points, attribué à la mère l'autorité parentale et la garde des enfants et réservé au père un droit de visite ordinaire. Il a en outre mis à la charge de celui-ci, allocations familiales non comprises, une contribution à l'entretien de la famille d'un montant de 10'000 fr. par mois dès le 16 juin 2009, sous déduction de toute somme déjà versée à ce titre, et prononcé la séparation de biens des parties. Par arrêt du 4 novembre 2011, la Cour de justice a réduit le montant de la contribution à 8'500 fr. par mois. Le jugement du Tribunal de première instance a été confirmé pour le surplus. A.c Parallèlement à la procédure de mesures protectrices de l'union conjugale, le SPMi a rendu, le 29 juillet 2011, une décision urgente de «clause péril» ordonnant la suspension des relations personnelles entre le père et sa fille, celle-ci ayant déclaré que celui-ci aurait exercé sur elle des violences physiques au cours d'une dispute au sujet de la répartition des vacances entre les parents. Le 4 août 2011, le SPMi a rendu une deuxième décision urgente de «clause péril» ordonnant la suspension des relations personnelles entre le père et ses deux fils, au motif qu'il les aurait menacés de mort s'ils ne passaient pas les vacances du mois d'août avec lui. Le père a contesté ces accusations. Il a déclaré avoir donné une gifle à sa fille, qui s'était montrée insolente lors d'une discussion concernant les vacances d'été 2011. La procédure en ratification de ces décisions de «clause péril» serait actuellement pendante devant le Tribunal tutélaire. B. Le 7 décembre 2010, l'épouse avait formé une requête unilatérale en divorce, avec demande de mesures provisoires. Par jugement sur mesures provisoires du 29 juin 2011, le Tribunal de première instance avait, notamment, attribué à la mère l'autorité parentale et la garde des enfants (ch. 2), réservé au père un droit de visite devant s'exercer, sauf accord contraire des parties, à raison d'un week-end sur deux, du vendredi dès 18 heures au lundi matin, chaque mercredi de 18 heures à 20 heures 30, ainsi que durant la moitié des vacances scolaires (ch. 3), condamné le mari à verser en faveur de ses trois enfants, allocations familiales non comprises, une contribution d'entretien d'un montant global de 11'000 fr. par mois dès le 7 décembre 2010, sous déduction de tout paiement effectué à ce titre dans l'intervalle (ch. 6), enfin, prononcé la séparation de biens des parties et réservé la liquidation de leur régime matrimonial antérieur (ch. 7). Par arrêt du 9 mars 2012, la Cour de justice du canton de Genève a annulé les chiffres 3, 6 et 7 «1er paragraphe» du dispositif de ce jugement. Statuant à nouveau sur ces points, elle a réservé au père un droit de visite devant s'exercer, sauf accord contraire des parties, à raison de deux jours par quinzaine pendant un mois, puis un week-end sur deux, du vendredi à partir de 18 heures au lundi matin, suivant notification du présent arrêt, chaque mercredi de 18 heures à 20 heures 30, ainsi que durant la moitié des vacances scolaires. L'autorité cantonale a par ailleurs condamné le mari à verser à titre de contribution d'entretien pour les enfants, allocations familiales en sus, une somme globale de 8'500 fr. par mois du 7 décembre 2010 au 31 août 2011, puis de 10'500 fr. par mois dès le 1er septembre 2011, sous déduction de tout paiement effectué à ce titre dans l'intervalle. Pour le surplus, elle a confirmé le chiffre 7 «2ème paragraphe» du dispositif du jugement attaqué. C. Par acte du 12 avril 2012, le mari exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 9 mars 2012. Il conclut à ce que le montant de la contribution d'entretien soit maintenu à 8'500 fr. par mois à partir du 1er septembre 2011, allocations familiales non comprises, et demande le rétablissement de l'autorité parentale conjointe sur les enfants. L'intimée propose le rejet du recours. L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt. 