Faits: A. A.a. C._ a été au service de X._ jusqu'au 31 mai 2005, entreprise auprès de laquelle il a travaillé en qualité de représentant, et était affilié à ce titre à la Caisse de retraite X._ (ci-après: la Caisse de retraite). Ayant commencé un nouvel emploi auprès de la société Y._ SA le 1 er juin 2005, il a été affilié en tant que chef d'exploitation au Fonds d'assurance-retraite Z._ - aujourd'hui: le Fonds de prévoyance Z._ (ci-après: le Fonds de prévoyance) dès cette date. Le 10 juin 2005, C._ a été admis d'office à l'Hôpital psychiatrique W._, où il a séjourné jusqu'au 22 juin 2005 pour un épisode maniaque. Le 23 juin 2005, il a été licencié par la société Y._ SA, qui a annoncé au Fonds de prévoyance son départ au 31 juillet 2005. A.b. Le 3 février 2009, C._ a saisi la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud d'une demande contre la Caisse de retraite et le Fonds de prévoyance, en concluant à ce que l'une ou l'autre soit reconnue débitrice à son égard dès le 1 er mai 2006 d'une rente entière d'invalidité d'un montant que justice dira, avec intérêts moratoires de 5 %. Par jugement du 27 juillet 2010, la juridiction cantonale a prononcé que le Fonds de prévoyance devait verser à C._ une rente d'invalidité de 2'178 fr. par mois dès le 1 er juin 2006, plus intérêt moratoire sur les arrérages échus au taux de 5 % l'an dès le 12 février 2009, et que la demande formée par C._ contre la Caisse de retraite était rejetée. Sur recours du Fonds de prévoyance contre ce jugement, le Tribunal fédéral, par arrêt du 20 mai 2011, l'a annulé et a renvoyé la cause à la juridiction de première instance pour complément d'instruction au sens des considérants et nouveau jugement. A.c. Reprenant l'instruction de la cause, la juridiction cantonale a élaboré avec les parties des questionnaires à l'attention des docteurs H._, A._ et L._. Dans sa réponse du 9 mars 2012, le docteur H._ (spécialiste FMH en médecine interne) a confirmé son rapport médical du 31 octobre 2006; ses collègues psychiatres avaient à cette date confirmé le diagnostic de troubles affectifs bipolaires, tout en déclarant qu'il était évident que le patient souffrait, de plus longue date, d'un syndrome de dépendance à l'alcool qui avait entraîné un arrêt de travail à 100 % à partir du 25 mai 2005. Affirmant que malgré l'intensité des troubles psychiques présentés par la suite, il était tout à fait possible que l'assuré avait présenté un état de santé psychique compatible avec une pleine capacité de travail sans diminution de rendement avant le 1 er juin 2005, ce médecin a rappelé toutefois qu'il avait suivi C._ depuis 2004 jusqu'en 2005 pour un syndrome de dépendance à l'alcool, que la situation était difficile pour lui et que le patient n'avait jamais nécessité d'arrêt de travail signé de sa main. Dans sa réponse du 16 mars 2012, la doctoresse L._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie) a confirmé les diagnostics inscrits dans son rapport du 5 juin 2007 de troubles bipolaires, épisode actuel de dépression moyenne avec syndrome somatique depuis janvier 2005, et de syndrome de dépendance à l'alcool depuis une dizaine d'années. Elle a indiqué que C._ présentait depuis de nombreuses années un trouble bipolaire ou maladie maniaco-dépressive. En effet, après discussion avec les proches et le patient, des épisodes hypomanes et dépressifs antérieurs à 2005 avaient pu être identifiés et permettaient de poser ce diagnostic même si ces épisodes n'avaient pas entraîné d'hospitalisations ou d'arrêts de travail. Probablement, l'alcoolisme de l'assuré avait évité que les symptômes du trouble bipolaire soient invalidants. A la question de savoir s'il était certain, hautement vraisemblable ou seulement possible que le trouble bipolaire ait été incapacitant (en terme de taux d'activité ou de rendement au travail) avant le 1 er juin 2005, la doctoresse L._ a répondu par "certain". Pour sa part, C._ avait présenté un épisode maniaque avec répercussions sur sa capacité de travail dès janvier 2005. Les docteurs O._ et M._, chef de clinique et médecin assistante de la Clinique V._, ont déclaré le 13 avril 2012, à propos de l'hospitalisation d'office du 10 juin 2005 pour un épisode maniaque, qu'ils ne pouvaient isoler dans le temps une période précise à laquelle avait débuté la décompensation mais que selon la description des docteurs B._ et K._ dans leur lettre de sortie du 24 juin 2005, la décompensation maniaque s'était installée plusieurs mois avant son admission à l'hôpital. Au vu d'une symptomatologie maniaque installée sur plusieurs mois, il était très probable que la capacité de travail et le rendement aient été diminués avant le 1 er juin 2005, mais le patient étant inconnu de leurs services avant le 10 juin 2005, il leur était impossible de confirmer ou d'infirmer une éventuelle diminution du rendement ou incapacité de travail de façon catégorique. Compte tenu du temps nécessaire (probablement plusieurs mois) pour voir les symptômes maniaques se développer jusqu'au moment d'un dysfonctionnement total nécessitant une hospitalisation, il était vraisemblable que l'incapacité de travail totale ait été antérieure à la date du 25 mai 2005, mais, malgré la décompensation maniaque, le dysfonctionnement ne pouvait devenir manifeste que tardivement. Dans ses observations du 12 juin 2012, C._ a conclu, sous suite de frais et dépens, à ce que la juridiction cantonale dise que la caisse de retraite X._ était sa débitrice dès le 1 er mai 2006 d'une rente d'invalidité de 34'140 fr. par année (valeur 2006), avec intérêts moratoires à 5 % l'an dès l'ouverture de l'action le 3 février 2009, après déduction du montant des prestations préalables versées par le Fonds de prévoyance Z._, dont la Caisse de retraite était la débitrice. Pour sa part, la Caisse de retraite, dans ses observations du 22 juin 2012, a conclu que les éléments de fait réunis par la juridiction cantonale démontraient clairement que l'incapacité de travail dont avait souffert C._ ne remontait ni au 25 mai 2005 ni à une autre date antérieure, et qu'elle devait en conséquence être fixée au 10 juin 2005. Dans ses déterminations du 28 juin 2012, le Fonds de prévoyance a considéré qu'il ne faisait aucun doute, selon le degré de vraisemblance prépondérante, que l'incapacité de travail durable de 20 % au moins était survenue avant le début des rapports de travail du 1 er juin 2005. Par arrêt du 12 août 2013, la juridiction cantonale a prononcé que la Caisse de retraite X._ devait verser à C._ une rente d'invalidité de 34'140 fr. par année, valeur 2006, dès le 1 er mai 2006, plus intérêts moratoires sur les arrérages échus au taux de 5 % l'an dès le 3 février 2009, cela après déduction, pour la période où il y avait eu versement de prestations préalables par le Fonds de prévoyance Z._, du montant de ces prestations préalables, dont la Caisse de retraite était débitrice à l'égard du Fonds de prévoyance (ch. I du dispositif). La demande formée par C._ contre le Fonds de prévoyance était rejetée (ch. II du dispositif). B. La Caisse de retraite X._ interjette un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à ce que C._ soit débouté de toutes les conclusions formulées à l'encontre de la caisse de retraite dans sa requête du 3 février 2009 et à ce que le dossier de la procédure soit renvoyé à l'autorité inférieure afin qu'elle détermine le montant de la rente d'invalidité due par le Fonds de prévoyance Z._ à C._. 