Sachverhalt: A. A.a Die Deutsche Reiterliche Vereinigung e.V. mit Sitz in Warendorf/DE (Beschwerdegegnerin) ist der nationale Reitsportverband Deutschlands. X._, Deutschland, (Beschwerdeführer) ist ein erfahrener internationaler Springreiter. Er ist Mitglied der Beschwerdegegnerin und vertrat das deutsche Nationalteam an den Olympischen Sommerspielen 2008 in China. Die Fédération Equestre Internationale (FEI) ist der Weltverband für den Reitsport mit Sitz in Lausanne. A.b Der Beschwerdeführer war bereits Mitglied der deutschen Springreitermannschaft, welche die Goldmedaille an den Olympischen Sommerspielen 2004 in Griechenland gewann. Die Medaille wurde aberkannt, nachdem das Pferd von A._ positiv auf eine verbotene Substanz getestet worden war. A.c Sämtliche Pferdewettkämpfe der Olympischen Sommerspiele 2008 fanden zwischen dem 8. und dem 21. August 2008 in Hongkong statt. Der Beschwerdeführer nahm am olympischen Springreitturnier mit dem Pferd AX._ teil. Am 9. und 17. August 2008 füllte die zuständige Veterinärkommission ein Medikationsformular 3 (Genehmigung für den Gebrauch von Medikamenten, die nicht gemäss FEI-Richtlinien verboten sind) sowie ein Medikationsformular 1 (Genehmigung für Notfallbehandlungen, d.h. Medikation mit verbotenen Substanzen) aus. Auf beiden Dokumenten wurde das Pferd AX._ für wettkampftauglich erklärt. Ein Antrag zuhanden der zuständigen Stelle für den Gebrauch von Capsaicin wurde nicht eingereicht und es wurde für diese Substanz kein Medikationsformular ausgefüllt. Am 17. August 2008 wurde das Pferd AX._ getestet. Auf dem FEI-Medikations-Kontrollformular wurde nicht vermerkt, dass eine auf Capsaicin basierende Substanz beim Tier verwendet worden wäre. Die Analyse der A-Proben vom 18. August 2008 ergab, dass sowohl im Blut als auch im Urin des Pferds AX._ die verbotene Substanz Capsaicin nachgewiesen wurde. Mit Faxschreiben vom 20. August 2008 wurde X._ darüber informiert und mit sofortiger Wirkung provisorisch suspendiert. Am 22. August 2008 wurde anhand der B-Proben des Pferds eine weitere Analyse durchgeführt, die den Nachweis von Capsaicin bestätigte. In einer Pressemitteilung vom 24. August 2008 erklärte der Beschwerdeführer, dass das Pferd AX._ seit der Teilnahme an einer Reitveranstaltung in Cannes im Juni 2008 unter chronischen Rückenschmerzen leide. Seither habe er daher zur Behandlung täglich die Salbe "Equi-block" verwendet. Dieses Produkt enthält unbestrittenermassen Capsaicin. B. B.a Mit Entscheid vom 22. Oktober 2008 stellte das FEI-Tribunal eine Verletzung der anwendbaren Doping- und Medikationsregeln (FEI Equine Anti-Doping and Medication Control Rules, EADMC Rules) fest und verhängte eine 120-tägige Sperre des Beschwerdeführers, wirksam ab 21. August 2008, sowie eine Busse von Fr. 2'000.--. Es erwog, dass Capsaicin entweder als Dopingmittel zu qualifizieren sei, sofern es zur Sensibilitätssteigerung eingesetzt werde (sog. Hypersensibilisierung), indem die Vorderbeine des Pferds damit eingerieben werden (was beim Tier zu einer übermässigen Schmerzempfindlichkeit beim Berühren der Stangen und damit zu höheren Anstrengungen beim Springen führt), oder als verbotene Substanz der "Medication Class A". Es befand, dass kein Beweis für eine Sensibilitätssteigerung der Beine des Tiers vorliege und daher lediglich eine verbotene Medikation in Form eines "Medication Class A"-Verstosses nachgewiesen sei. Der Beschwerdeführer nahm nach Ablauf der Sperre am 19. Dezember 2008 seine Wettkampftätigkeit wieder auf. B.b Am 13. November 2008 erhob die Beschwerdegegnerin beim Tribunal Arbitral du Sport (TAS) einen Appeal gegen den Entscheid des FEI-Tribunals vom 22. Oktober 2008 und beantragte eine Sperre von mindestens acht Monaten seit dem 21. August 2008. Der Beschwerdeführer appellierte ebenfalls und beantragte im Wesentlichen eine Reduktion der Dauer der Sperre auf drei Monate. Mit Schiedsentscheid vom 30. April 2009 hiess das TAS den Appeal der Beschwerdegegnerin gut und sprach gegen den Beschwerdeführer eine Sperre von acht Monaten, d.h. vom 21. August 2008 bis 20. April 2009, aus. Gleichzeitig wurden dem Beschwerdeführer sämtliche während dieses Zeitabschnitts erzielten Resultate (unter Verlust von Medaillen, Punkten und Preisen) aberkannt. Den Appeal des Beschwerdeführers wies das TAS ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen sowie Revisionsgesuch beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, es sei das Urteil des TAS vom 30. April 2009 aufzuheben und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde sowie des Revisionsgesuchs, soweit überhaupt darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat dem Bundesgericht eine Replik eingereicht. 