Sachverhalt: A. Die 1972 geborene K._, verheiratet und Mutter zweier Kinder, war als Allrounderin in einem hälftigen Pensum im Gasthaus X._, tätig und dadurch bei der Elvia Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Elvia) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als sie am 19. März 2000 einen Verkehrsunfall erlitt. Nach eigener Angabe verlor sie wegen eines plötzlichen Unwohlseins mit Blackout die Herrschaft über den von ihr mit einer Geschwindigkeit von ca. 80 km/h gelenkten Mazda 626. Dieser geriet ins Schleudern, kam von der Strasse ab, prallte gegen einen Drahtgitterzaun, überschlug sich seitlich und kam auf dem Dach liegend im angrenzenden Wiesland zum Stillstand. K._ konnte das Fahrzeug selber verlassen. Sie wurde mit der Ambulanz ins Kantonsspital Luzern überführt, wo eine Commotio cerebri sowie eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) diagnostiziert und eine Arbeitsunfähigkeit bestätigt wurden. Am 21. März 2000 wurde K._ aus dem Spital entlassen. Die Elvia und - als ihre Rechtsnachfolgerin - die Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Allianz) erbrachten die gesetzlichen Leistungen. Nach medizinischen Abklärungen (u.a. Einholung eines polydisziplinären Gutachtens des Begutachtungsinstituts Z._, vom 15. März 2005) eröffnete die Allianz der Versicherten mit Verfügung vom 9. Mai 2005, das Taggeld werde auf den 31. Oktober 2003 und die Heilbehandlung auf den 31. Mai 2004 eingestellt; die seit dem 1. November 2003 zu Unrecht erbrachten Pflegeleistungen und Kostenvergütungen würden vom Krankenversicherer zurückgefordert. Im Weiteren verneinte die Allianz einen Anspruch auf eine Invalidenrente der Unfallversicherung. Zur Begründung führte sie aus, die noch bestehenden Beschwerden stünden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang mit dem Unfall vom 19. März 2000. Die von K._ hiegegen erhobene Einsprache auf Zusprechung weiterer Taggeld- und Heilbehandlungsleistungen sowie einer Invalidenrente und einer Integritätsentschädigung wies die Allianz ab (Einspracheentscheid vom 9. Januar 2006). B. K._ reichte gegen den Einspracheentscheid Beschwerde ein, welche das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 31. August 2007 abwies. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt K._ beantragen, in Aufhebung von Einsprache- und vorinstanzlichem Entscheid seien die gesetzlichen Leistungen zuzusprechen. Insbesondere seien die Taggelder ab 31. Oktober 2003 auszurichten und die Heilbehandlung seit 31. März 2004 zu gewähren und seien die Versicherungsleistungen für Pflege und Kostenvergütung weiter zu erbringen. Im Weiteren sei eine Invalidenrente aufgrund einer vollen Invalidität und eine Integritätsentschädigung zuzusprechen. Die Allianz schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Den Parteien wurde die Gelegenheit eingeräumt, ihre Vorbringen im Hinblick auf das Urteil BGE 134 V 109 zu ergänzen. Davon macht die Allianz mit Eingabe vom 21. April 2008 Gebrauch. 