Sachverhalt: A. Nachdem die IV-Stelle des Kantons Solothurn mit Verfügung vom 11. Februar 2004 einen Rentenanspruch verneint hatte, meldete sich der 1959 geborene P._ im Mai 2007 erneut bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens ermittelte die IV-Stelle einen Invaliditätsgrad von 32 % und verneinte den Anspruch auf berufliche Eingliederungsmassnahmen und auf eine Invalidenrente (Verfügung vom 2. März 2010). B. P._ liess Beschwerde beim Versicherungsgericht des Kantons Solothurn einreichen und beantragen, unter Aufhebung der Verfügung vom 2. März 2010 seien ihm die gesetzlichen Leistungen (Rente, berufliche Massnahmen) nach Massgabe eines Invaliditätsgrades von mindestens 40 % zuzüglich eines Verzugszinses von 5 % auszurichten; eventualiter sei die Sache zur Neuabklärung an die IV-Stelle zurückzuweisen. Mit Verfügung vom 22. Juni 2010 wies das kantonale Gericht das gleichzeitig gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege bzw. Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes zufolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde ab (Dispositiv-Ziffer 2) und verpflichtete P._ zur Zahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 600.- bis zum 23. August 2010, widrigenfalls auf die Beschwerde nicht eingetreten werde (Dispositiv-Ziffer 3). Mit Verfügung vom 24. August 2010 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn das Gesuch des Versicherten um Wiedererwägung der Verfügung vom 22. Juni 2010 ab (Dispositiv-Ziffer 2). C. P._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, die Dispositiv-Ziffern 2 und 3 der Verfügung vom 22. Juni 2010 sowie Dispositiv-Ziffer 2 der Verfügung vom 25. (recte: 24.) August 2010 seien aufzuheben, weiter sei ihm für das Beschwerdeverfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und sein Rechtsvertreter als unentgeltlicher Rechtsbeistand einzusetzen. Das kantonale Gericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die IV-Stelle stellt keinen Antrag und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme. 