Sachverhalt: Sachverhalt: A. Mit Urteil des Bezirksgerichts B._ vom 30. Oktober 1985 wurde Y._ (Beschwerdegegner) verpflichtet, für seine Tochter Z._, geb. 1983, einen Unterhaltsbeitrag bis zum Eintritt des Kindes in die volle Erwerbstätigkeit, längstens bis zur Mündigkeit, zu entrichten. Der Beschwerdegegner kam dieser Verpflichtung bis August 2002, als die Tochter ihre dreijährige Lehre als Damencoiffeuse erfolgreich abschloss, nach. Wegen ihrer Zusatzlehre als Herrencoiffeuse verlangte die Tochter weiterhin Unterhaltsbeiträge, welche der Beschwerdegegner verweigerte. In der Folge bevorschusste die Vormundschaftsbehörde der Einwohnergemeinde X._ (Beschwerdeführerin) die Unterhaltsbeiträge. Mit Zahlungsbefehl vom 14. Februar 2003 setzte die Beschwerdeführerin die bevorschussten Unterhaltsbeiträge in Betreibung. Der Beschwerdegegner erhob Rechtsvorschlag. Mit Verfügung vom 13. Mai 2003 wurde der Beschwerdeführerin in der betreffenden Betreibung definitive Rechtsöffnung erteilt. Mit Zahlungsbefehl vom 14. Februar 2003 setzte die Beschwerdeführerin die bevorschussten Unterhaltsbeiträge in Betreibung. Der Beschwerdegegner erhob Rechtsvorschlag. Mit Verfügung vom 13. Mai 2003 wurde der Beschwerdeführerin in der betreffenden Betreibung definitive Rechtsöffnung erteilt. B. Am 28. Februar 2003 reichte der Beschwerdegegner beim Einzelrichter im beschleunigten Verfahren des Bezirks B._ Feststellungsklage nach Art. 85a SchKG ein, mit den - soweit hier interessierend - Begehren, (1.) es sei festzustellen, dass die in Betreibung gesetzte Forderung nicht bestehe, (3.) die Betreibung sei demgemäss aufzuheben und (4.) unter Kosten- und Entschädigungsfolge. Der Einzelrichter führte ein Beweisverfahren durch und erkannte am 2. Februar 2006 in Gutheissung der Klage, dass die in Betreibung gesetzte Forderung nicht bestehe. Die Betreibung werde aufgehoben und das Betreibungsamt angewiesen, diese zu löschen. Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens auferlegte er die Kosten für das Verfahren der Beschwerdeführerin und sprach dem Beschwerdegegner eine Prozessentschädigung zu. B. Am 28. Februar 2003 reichte der Beschwerdegegner beim Einzelrichter im beschleunigten Verfahren des Bezirks B._ Feststellungsklage nach Art. 85a SchKG ein, mit den - soweit hier interessierend - Begehren, (1.) es sei festzustellen, dass die in Betreibung gesetzte Forderung nicht bestehe, (3.) die Betreibung sei demgemäss aufzuheben und (4.) unter Kosten- und Entschädigungsfolge. Der Einzelrichter führte ein Beweisverfahren durch und erkannte am 2. Februar 2006 in Gutheissung der Klage, dass die in Betreibung gesetzte Forderung nicht bestehe. Die Betreibung werde aufgehoben und das Betreibungsamt angewiesen, diese zu löschen. Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens auferlegte er die Kosten für das Verfahren der Beschwerdeführerin und sprach dem Beschwerdegegner eine Prozessentschädigung zu. C. Auf die Nichtigkeitsbeschwerde der Beschwerdeführerin trat das Obergericht des Kantons Zürich nicht ein, soweit sich diese gegen den negativen Feststellungsentscheid und die Aufhebung der Betreibung richtete, und hiess sie im Kosten- und Entschädigungspunkt gut. Es hob den angefochtenen Entscheid im Kosten- und Entschädigungspunkt auf, auferlegte die Kosten zu einem Viertel der Beschwerdeführerin und zu drei Vierteln dem Staat und verpflichtete die Beschwerdeführerin, dem Beschwerdegegner eine Prozessentschädigung von Fr. 538.-- zu bezahlen. Zur Begründung für den Nichteintretensentscheid in der Sache führte das Obergericht aus, die Betreibung sei mit dem unbenutzten Ablauf der Frist für das Fortsetzungsbegehren (Art. 88 Abs. 2 SchKG) am 5. April 2004 dahingefallen. In diesem Zeitpunkt sei das Rechtsschutzinteresse des Beschwerdegegners an der negativen Feststellungsklage dahingefallen, so dass der Einzelrichter die Klage als gegenstandslos geworden hätte abschreiben müssen. Insoweit sei der Beschwerdeführerin Recht zu geben. Da indessen mit dem Dahinfallen der Betreibung auch die Beschwerdeführerin ihr eigenes Recht verwirkt habe, die Fortsetzung der Betreibung zu verlangen, sei auf ihre Nichtigkeitsbeschwerde gegen die Feststellung, ihre Forderung gegenüber dem Beschwerdegegner bestehe nicht und entsprechend werde die Betreibung aufgehoben, nicht einzutreten. Lediglich im Kostenpunkt sei ihr Rechtsschutzinteresse nicht dahingefallen. In diesem Punkt müssten die Beschwerde gutgeheissen und die Kosten so verlegt werden, wie wenn das Verfahren rechtzeitig abgeschrieben worden wäre. C. Auf die Nichtigkeitsbeschwerde der Beschwerdeführerin trat das Obergericht des Kantons Zürich nicht ein, soweit sich diese gegen den negativen Feststellungsentscheid und die Aufhebung der Betreibung richtete, und hiess sie im Kosten- und Entschädigungspunkt gut. Es hob den angefochtenen Entscheid im Kosten- und Entschädigungspunkt auf, auferlegte die Kosten zu einem Viertel der Beschwerdeführerin und zu drei Vierteln dem Staat und verpflichtete die Beschwerdeführerin, dem Beschwerdegegner eine Prozessentschädigung von Fr. 538.-- zu bezahlen. Zur Begründung für den Nichteintretensentscheid in der Sache führte das Obergericht aus, die Betreibung sei mit dem unbenutzten Ablauf der Frist für das Fortsetzungsbegehren (Art. 88 Abs. 2 SchKG) am 5. April 2004 dahingefallen. In diesem Zeitpunkt sei das Rechtsschutzinteresse des Beschwerdegegners an der negativen Feststellungsklage dahingefallen, so dass der Einzelrichter die Klage als gegenstandslos geworden hätte abschreiben müssen. Insoweit sei der Beschwerdeführerin Recht zu geben. Da indessen mit dem Dahinfallen der Betreibung auch die Beschwerdeführerin ihr eigenes Recht verwirkt habe, die Fortsetzung der Betreibung zu verlangen, sei auf ihre Nichtigkeitsbeschwerde gegen die Feststellung, ihre Forderung gegenüber dem Beschwerdegegner bestehe nicht und entsprechend werde die Betreibung aufgehoben, nicht einzutreten. Lediglich im Kostenpunkt sei ihr Rechtsschutzinteresse nicht dahingefallen. In diesem Punkt müssten die Beschwerde gutgeheissen und die Kosten so verlegt werden, wie wenn das Verfahren rechtzeitig abgeschrieben worden wäre. D. Die Einwohnergemeinde X._ erhebt durch ihre Vormundschaftsbehörde staatsrechtliche Beschwerde gegen den Nichteintretensentscheid des Obergerichts sowie gegen den Kostenentscheid insoweit, als ihr Kosten auferlegt worden sind und beantragt in diesem Umfang dessen Aufhebung. Der Beschwerdegegner hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. 