Sachverhalt: A. Vor dem Kantonsgericht Appenzell Ausserrhoden ist ein Prozess hängig, in dem X._ (Beschwerdeführer) gegen Z._ auf Aberkennung einer Forderung über Fr. 39'936.05 klagt (Verfahren K2Z 11 21). In diesem Prozess gewährte die Einzelrichterin des Kantonsgerichts dem Beschwerdeführer mit Entscheid vom 15. August 2012 die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung (Verfahren ER2 12 173). Z._ wurde dazu nicht angehört. Der Entscheid vom 15. August 2012 wurde nachträglich, am 23. Oktober 2012, auch noch Z._ zugestellt (erhalten am 25. Oktober 2012). Der Entscheid enthielt fälschlicherweise die Belehrung, dass dagegen kein Rechtsmittel zulässig sei. Z._ erhob gegen den Entscheid vom 15. August 2012 mit Eingabe vom 19. November 2012 (Postaufgabe 26. November 2012) Beschwerde an das Bundesgericht. Diese wurde gemäss Art. 30 Abs. 2 BGG zuständigkeitshalber an das Obergericht Appenzell Ausserrhoden weitergeleitet. Z._ brachte darin vor, er habe im Aberkennungsprozess bereits am 4. August 2011 ein Gesuch um Sicherstellung einer allfälligen Parteientschädigung gestellt. Er hätte daher nach Art. 119 Abs. 3 ZPO im kantonsgerichtlichen Verfahren Nr. ER2 12 173 zum Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege angehört werden müssen. Demgemäss machte er eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör geltend. Das diesbezügliche Beschwerdeverfahren wird beim Obergericht unter der Verfahrensnummer ERZ 12 61 geführt. B. Am 14. Januar 2013 ersuchte der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Beschwerdeverfahren Nr. ERZ 12 61. Z._ wurde Gelegenheit zur Stellungnahme gegeben, wovon er Gebrauch machte. Mit Verfügung vom 7. Mai 2013 wies der Einzelrichter des Obergerichts das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zufolge Aussichtslosigkeit ab (Verfahren ERZ 13 2). C. Der Beschwerdeführer erhob Beschwerde in Zivilsachen, mit der er beantragt, die Verfügung des Einzelrichters des Obergerichts vom 7. Mai 2013 sei aufzuheben. Es sei ihm im beim Obergericht hängigen Beschwerdeverfahren betreffend unentgeltliche Rechtspflege Nr. ERZ 12 61 die unentgeltliche Rechtspflege gemäss Art. 117 ff. ZPO zu gewähren. Er sei von Vorschuss- und Sicherheitsleistungen sowie von den Gerichtskosten zu befreien. Zudem sei ihm in der Person von Rechtsanwalt Dr. Matthias Leuthold ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zur Seite zu stellen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Gleichzeitig stellte er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Das Bundesgericht verzichtete auf die Einholung einer Vernehmlassung zur Beschwerde. Mit Präsidialverfügung vom 27. Juni 2013 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung gewährt. 