Sachverhalt: A. Der irakische Staatsangehörige X._ (geb. 1971) reiste im Januar 1998 als Asylbewerber in die Schweiz ein. Am 27. Januar 2000 wurde ihm Asyl gewährt. Er und seine in der Folge ebenfalls aus dem Irak nachgereiste Ehefrau Y._ (geb. 1980) sowie ihre Kinder S._ (geb. 1994), T._ (geb. 1995), U._ (geb. 1997) und V._ (geb. 2001) erhielten im Januar 2003 die Niederlassungsbewilligung. Im Juni 2007 wurde die gemeinsame Tochter W._ geboren. Das Strafgericht des Kantons Genf verurteilte X._ am 3. März 2004 wegen Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz zu einer bedingten Gefängnisstrafe von 18 Monaten. Deswegen widerrief das damalige Bundesamt für Flüchtlinge am 31. August 2004 das ihm gewährte Asyl, was von der Schweizerischen Asylrekurskommission mit Urteil vom 16. August 2005 bestätigt wurde. Das Kreisgericht St. Gallen verurteilte X._ am 13. März 2008 namentlich wegen Veruntreuung, mehrfachen Betrugs, mehrfacher Nötigung und mehrfacher Urkundenfälschung sowie wegen Irreführung der Rechtspflege und einfacher Körperverletzung während der Ehe zu einer Freiheitsstrafe von drei Jahren. Das Kantonsgericht St. Gallen schob mit Entscheid vom 11. Februar 2009 den Vollzug bezüglich der Hälfte der Freiheitsstrafe auf, bestätigte im Übrigen aber den Schuldspruch des Kreisgerichts. Auf diese Verurteilungen hin widerrief das örtlich zuständige Migrationsamt des Kantons Thurgau am 15. April 2009 die Niederlassungsbewilligung von X._. Seine dagegen im Kanton erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten - hilfsweise subsidiärer Verfassungsbeschwerde - vom 14. Mai 2010 beantragt X._ dem Bundesgericht, den in dieser Sache im Kanton zuletzt ergangenen Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 17. März 2010 aufzuheben. Dieses sei anzuweisen, den Widerruf der Niederlassungsbewilligung und die Wegweisung aufzuheben. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht oder an das Migrationsamt zurückzuweisen. Subeventualiter seien die Vorinstanzen anzuweisen, "gestützt auf Art. 83 Abs. 6 AuG beim Bundesamt für Migration eine vorläufige Aufnahme wegen Unzumutbarkeit der Wegweisung zu beantragen" oder die Ausreisefrist zu verlängern. Das kantonale Migrationsamt, das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau sowie das Bundesamt für Migration stellen Antrag auf Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie einzutreten sei. Mit Rechtsschrift vom 14. Mai 2010 - Postaufgabe 16. Juni 2010 - hat sich X._ ergänzend geäussert und Unterlagen nachgereicht. Ausserdem wird beantragt, die Ehefrau und die fünf gemeinsamen Kinder als Beschwerdeführer in das Verfahren einzubeziehen. C. Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde mit Verfügung vom 21. Mai 2010 antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt. 