A.- M._ a travaillé en qualité d'aide de cuisine dans un hôtel, puis de concierge et de manoeuvre dans un garage. Il a cessé toute activité lucrative le 8 mars 1995 en raison de lombalgies. Souffrant d'une hernie discale paramédiane droite L5-S1, il a subi une intervention chirurgicale (hémilaminectomie) au mois de mai 1995. Dans un rapport du 3 no- vembre 1995, le docteur F._, médecin associé au Service de rhumatologie, médecine physique et réhabilitation de X._, a constaté que l'évolution postopératoire semblait subjectivement défavorable avec une recrudescence des lombalgies, sans que l'on puisse réellement objectiver une souffrance segmentaire ou nerveuse. De son côté, le docteur W._, médecin traitant de l'assuré, a fait état d'une régression dans une pathologie somatoforme à forte composante psychogène (rapport du 14 mars 1996). M._ a déposé une demande de rente de l'assurance-invalidité le 4 mars 1996. Après avoir confié une expertise au docteur V._, spécialiste en psychiatrie (rapport du 12 décembre 1996), l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Vaud a rendu une décision, le 6 mars 1997, par laquelle il a rejeté la demande de rente, motif pris que l'assuré ne présente pas d'atteinte à la santé l'empêchant d'exercer son activité lucrative habituelle. B.- a) Saisi d'un recours, le Tribunal des assurances du canton de Vaud l'a rejeté par jugement du 20 janvier 1998. Par arrêt du 5 février 1999, le Tribunal fédéral des assurances a admis le recours de l'assuré contre ce jugement, en ce sens que celui-ci a été annulé et la cause renvoyée à la juridiction cantonale pour complément d'instruction et nouveau jugement. b) Le tribunal cantonal a confié une expertise au docteur C._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 7 décembre 1999). Par jugement du 14 mars 2000, il a admis le recours dont il était saisi. La décision entreprise a été réformée en ce sens que l'assuré s'est vu reconnaître le droit à une rente entière dès le 1er mars 1996. Le prénommé a été mis au bénéfice d'une indemnité de 2000 fr. à titre de dépens pour l'ensemble de la procédure cantonale. C.- L'office AI interjette recours de droit administratif contre ce jugement, dont il requiert l'annulation, en concluant au renvoi de la cause à l'administration pour instruction complémentaire sous la forme d'une expertise et nouvelle décision "sur la base de renseignements précis, détaillés et fiables". M._ conclut au rejet du recours, sous suite de dépens. De son côté, l'Office fédéral des assurances sociales propose implicitement son admission. 