Sachverhalt: A. E._ war seit 1989 für die X._ AG tätig. Ihr Ehemann, G._, ist Geschäftsführer der Gesellschaft und als einziges Verwaltungsratsmitglied mit Einzelunterschrift im Handelsregister eingetragen. Er löste das Arbeitsverhältnis mit schriftlicher Kündigung vom 14. August 2009 per 30. November 2009 auf. Am 13. November 2009 stellte E._ für die Zeit ab 1. Dezember 2009 Antrag auf Arbeitslosenentschädigung und gab ausserdem an, dass sie seit 12. April (recte: 14. April) 2009 von ihrem Ehemann getrennt lebe. In der Folge verneinte die Arbeitslosenkasse des Kantons Luzern einen Anspruch auf Leistungen der Arbeitslosenversicherung für die Zeit vom 1. Dezember 2009 bis 2. Februar 2010 und verwies zur Begründung auf die arbeitgeberähnliche Stellung von G._ im Betrieb und auf dessen unternehmerische Dispositionsfähigkeit; ab 3. Februar 2010 bejahte sie einen Anspruch auf Arbeitslosentaggelder unter Hinweis auf die Vereinbarung der Ehepartner vom 3. Februar 2010 betreffend Aufhebung des gemeinsamen Haushaltes und Regelung der Nebenfolgen des Getrenntlebens, welche im Rahmen des Eheschutzverfahrens vor dem Amtsgerichtspräsidenten Y._ abgeschlossen und am 26. Februar 2010 gerichtlich genehmigt worden war (Verfügung vom 25. März 2010). Auf Einsprache hin hielt die Arbeitslosenkasse an der Ablehnung der Anspruchsberechtigung für die Zeit vom 1. Dezember 2009 bis 2. Februar 2010 fest (Einspracheentscheid vom 25. Juni 2010). B. In Gutheissung der dagegen erhobenen Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die Sache an die Arbeitslosenkasse zurück, damit sie im Sinne der Erwägungen über den Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung ab 1. Dezember 2009 neu verfüge (Entscheid vom 22. Dezember 2010). C. Die Arbeitslosenkasse führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben. E._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) beantragt, in Gutheissung der Beschwerde sei der kantonale Gerichtsentscheid aufzuheben; eventualiter sei der Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung bis 26. Februar 2010 zu verneinen; ferner sei die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuschicken, damit sie über die Kostenverteilung im kantonalen Verfahren neu befinde. Mit Eingabe vom 25. Mai 2011 lässt E._ eine Stellungnahme zur Vernehmlassung des SECO einreichen. 