Faits: A. A.a. M._, d'origine italienne, naturalisé suisse en 2006, est arrivé en Suisse pour la première fois en 1987 à l'âge de 23 ans. Il a tout d'abord séjourné en Suisse en qualité de saisonnier, avant d'être annoncé comme résident sur le territoire genevois depuis le 12 mars 1991. Après une scolarité et une formation achevées en Italie, il y a obtenu en 1985 un diplôme de mécanicien de précision. Il est également titulaire d'un certificat fédéral de capacité (CFC) de sommelier depuis 2004 ainsi qu'un certificat de moniteur de tennis délivré par Jeunesse & Sport en 2008. Depuis son arrivée en Suisse, l'intéressé a travaillé dans un premier temps dans le domaine de la restauration et de l'hôtellerie, puis en qualité de moniteur de tennis, notamment auprès de X._ SA du 1 er juin 2008 au 31 juillet 2010. Après la fin de son engagement au service de X._ SA, M._ s'est annoncé à l'assurance-chômage. Dans sa demande d'indemnités, il a indiqué être domicilié à Y._. Un délai-cadre d'indemnisation a été ouvert en sa faveur pour la période du 2 août 2010 au 1 er août 2012. La Caisse cantonale genevoise de chômage (ci-après: la caisse) lui a alloué les indemnités prétendues. A.b. Le 17 octobre 2011, l'Office cantonal de l'emploi a ouvert une enquête afin de déterminer si l'assuré était effectivement domicilié en Suisse. Le 21 novembre 2011, il a rapporté que le studio de l'intéressé, à Y._, était occupé depuis le 1 er octobre 2009 par un couple de ressortissants étrangers et leur enfant âgé de 5 ans. Au plus tard depuis cette date, le domicile de l'intéressé se trouvait à Z._ (F), localité dans laquelle il avait acquis un appartement en 2001. Par décision du 20 décembre 2011, confirmée sur opposition le 14 mars 2012, la caisse a nié le droit de l'assuré à une indemnité de chômage depuis le 1 er octobre 2009 et lui a réclamé la restitution de la somme de 38'808 fr. 85 représentant les indemnités journalières perçues du 1 er août 2010 au 30 novembre 2011. Elle a nié le droit à l'indemnité pour la période subséquente durant laquelle l'intéressé n'avait pas encore touché des prestations. Elle a considéré que ce dernier n'avait plus de domicile effectif en Suisse, à tout le moins depuis le 1 er octobre 2009, attendu qu'il avait admis avoir sous-loué son studio à Genève. Il ne pouvait pas non plus être considéré comme un travailleur frontalier "atypique" pouvant bénéficier des indemnités journalières en vertu de la jurisprudence européenne en matière de sécurité sociale. B. M._ a porté la décision sur opposition devant la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève. Statuant le 6 février 2013, cette autorité a annulé les décisions de la caisse. Elle a renvoyé la cause à celle-ci. Elle a considéré que l'assuré avait en tout cas droit aux indemnités de chômage pour la période du 1 er août 2010 au 30 novembre 2011. S'agissant des indemnités prétendues à partir du 1 er décembre 2011 jusqu'à la fin du délai-cadre d'indemnisation, elle a invité la caisse à examiner si toutes les conditions du droit étaient réunies à partir de cette date. L'autorité cantonale a alloué à l'assuré une indemnité de dépens de 1'000 fr. (ch. 4 du dispositif). C. La caisse exerce un recours en matière de droit public dans lequel elle conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation du jugement attaqué et à la confirmation de sa décision sur opposition. M._ a conclu au rejet du recours. Le Secrétariat d'Etat à l'économie en a proposé pour sa part l'admission. 