Sachverhalt: A. Der 1959 geborene R._ war seit 1994 Krankenpfleger im Alters- und Pflegeheim X._ und damit bei der Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend Allianz) obligatorisch unfallversichert. Am 28. Juni 2002 stürzte er während der Arbeit auf einer Treppe. Am 1. Juli 2002 begab er sich zu Dr. med. G._, Spezialarzt FMH Innere Medizin, in Behandlung, der im Zeugnis vom 18. September 2002 eine Handgelenksdistorsion rechts und ein lumbospondylogenes Syndrom links diagnostizierte. Die Allianz erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung und Taggeld). Vom 9. Dezember 2002 bis 4. Januar 2003 war der Versicherte in der Klinik Y._ hospitalisiert. Zur Abklärung der Verhältnisse holte die Allianz diverse Arztberichte sowie ein polydisziplinäres Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS) vom 17. Februar 2005 ein, an welchem die Dres. med. J._, Rheumatologie FMH, Chefarzt, T._, Allgemeine Medizin FMH, MEDAS-Gutachter, M._, Facharzt FMH für Rheumatologie und Innere Medizin, sowie A._, Spezialarzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, beteiligt waren. Zudem liess die MEDAS bei Dr. med. I._, Facharzt FMH für Radiologie, Klinik S._, eine Magnetresonanztomographie (MRT)-Untersuchung der Lendenwirbelsäule (LWS) des Versicherten vom 6. Oktober 2004 durchführen. Mit Verfügung vom 25. Februar 2005 stellte die Allianz die Versicherungsleistungen auf den 1. Juli 2003 ein. Dagegen erhob der Versicherte Einsprache. Mit Berichten vom 28. November/5. Dezember 2005 beantwortete die MEDAS die von der Allianz gestellten Zusatzfragen. Mit Entscheid vom 4. April 2006 wies diese die Einsprache ab, da der Status quo ante/sine am 1. Juli 2003 erreicht und damit die natürliche Kausalität weggefallen sei. B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden mit Entscheid vom 10. Oktober 2006 ab. C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt der Versicherte die Aufhebung des kantonalen Entscheides; es sei festzustellen, dass mindestens 50 % der Leistungsreduktion direkte Unfallfolgen seien; ab 1. Juli 2003 sei ihm eine Unfallrente bei einer Erwerbsunfähigkeit von mindestens 50 % sowie eine Integritätsentschädigung von mindestens 20 % zuzusprechen; eventuell sei ein interdisziplinäres Obergutachten einzuholen. Die Allianz schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, während das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung verzichtet. Mit Eingabe vom 3. Mai 2007 reicht der Versicherte einen Auszug aus dem medizinischen Lehrbuch von K. Feyl/C. Lehner/R. Langer, Pathologie in Frage und Antwort, 1. Aufl., München/Jena, ein und macht geltend, der Muskelschwund an seinem linken Unterschenkel sei nicht Folge einer Inaktivitätsatrophie, sondern einer Funktionsstörung. Mit Stellungnahme vom 11. Mai 2007 erneuert die Allianz ihren Antrag auf Beschwerdeabweisung. 