Sachverhalt: A. Am 17. Juni 2003 hatte das Amt für Landwirtschaft des Kantons Solothurn gegenüber der Bäuerin A._ (geb. 1958) verschiedene Massnahmen zum Zweck der Verbesserung ihrer Tierhaltung verfügt, darunter eine Reduktion des Viehbestandes. Mit Urteil des Amtsgerichtspräsidenten von Dorneck-Thierstein vom 25. Februar/1. März 2005 wurde A._ zudem wegen mehrfacher Übertretung des Tierschutzgesetzes zu einer Busse von Fr. 1'500.-- verurteilt. Gestützt auf die Feststellungen, welche die kantonale Tierschutzbehörde am 7. März 2006 bei einer erneuten Kontrolle auf dem Landwirtschaftsbetrieb von A._ gemacht hatte, unterwarf das kantonale Amt für Landwirtschaft mit Verfügung vom 28. März 2006 deren Tierhaltung erneut einer Reihe von Einschränkungen. Neben der angeordneten Reduktion des Rindvieh- und Ponybestandes wurde A._ lediglich noch die Haltung eines einzigen, kastrierten Hundes gestattet (Ziffer 7 der Verfügung vom 28. März 2006). Einer allfälligen Beschwerde gegen diese Verfügung entzog das Amt für Landwirtschaft die aufschiebende Wirkung. Mit Verfügung vom 27. April 2006 weigerte sich das Volkswirtschaftsdepartement, die aufschiebende Wirkung der dort angehobenen Beschwerde wieder herzustellen. Dies tat jedoch später das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn, an welches sich A._ im Rahmen des kantonalen Rechtsmittelzuges gewandt hatte (Urteil vom 9. Juni 2006). B. Am 18. Oktober 2006 hiess das Volkswirtschaftsdepartement des Kantons Solothurn die Beschwerde gegen die Verfügung vom 28. März 2006 teilweise gut. Es hob deren Ziff. 6 (Verpflichtung zum Beizug einer Fachperson zwecks Überprüfung des "Managements für die auf dem Hof verbleibenden Tiere") auf und wies das Amt für Landwirtschaft an, die Ausführungen zur Pony- und Hengsthaltung sowie zum Aufgabenbereich der beizuziehenden Fachperson zu präzisieren. Im Übrigen wies das Departement die Beschwerde ab, darunter namentlich auch die Anträge von A._ betreffend Belassung eines Bestandes von sieben Hunden. Hiegegen wandte sich A._ erneut ans Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Ihre Beschwerde richtete sich noch gegen die "Reduktion des Bestandes auf einen Hund sowie gegen die Verlegung von Verfahrens- und Parteikosten". Mit Urteil vom 5. Februar 2007 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab. C. Mit Eingabe vom 21. März 2007 führt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, die Auflage, wonach der Hundebestand auf einen kastrierten Hund zu reduzieren sei, aufzuheben. Das Volkswirtschaftsdepartement des Kantons Solothurn beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn stellt denselben Antrag. Das Eidgenössische Volkswirtschaftsdepartement hat sich unter Beilage einer Stellungnahme des Bundesamtes für Veterinärwesen vernehmen lassen, ohne einen konkreten Antrag zu stellen. D. Mit Verfügung vom 30. April 2007 hiess der Abteilungspräsident das mit der Beschwerdeeinreichung gestellte Gesuch um aufschiebende Wirkung gut. 