Faits: A. X._, ressortissant turc né en 1960, est arrivé la première fois en Suisse en 1985 ou 1986 en tant que requérant d'asile. Sa demande ayant été rejetée, il est retourné dans son pays en 1987. Il est revenu en Suisse en 1995 et a séjourné et travaillé illégalement pendant une année à Saint-Imier. Pour ces faits, une interdiction d'entrée en Suisse a été prononcée à son encontre le 16 février 1996, valable du 20 mars 1996 au 20 mars 1999. Le 15 mars 1996, l'intéressé a épousé Z._, ressortissante suisse, et a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour. A partir du 27 mars 2001, il a obtenu une autorisation d'établissement. Le divorce des époux XZ._ a été prononcé par jugement du 6 janvier 2004. Le 21 juin 2004, X._ a déposé une demande de regroupement familial en faveur de ses trois enfants A._, né en 1987, B._, né en 1990, et C._, née en 1991, en application des art. 38 et 39 de l'ordonnance du 6 octobre 1986 limitant le nombre des étrangers (OLE; RS 823.21). Le 31 janvier 2005, le Service des étrangers du canton de Neuchâtel (ci-après: le Service cantonal) a rejeté la demande précitée. Il a considéré pour l'essentiel que l'intéressé n'avait pas entretenu des relations familiales prépondérantes avec ses enfants, lesquels avaient leurs principales attaches culturelles, sociales et familiales dans leur pays; celui-ci avait par ailleurs choisi de vivre séparé de sa famille et aucun motif ne justifiait une modification de la situation actuelle. X._ a épousé le 2 mars 2005 la mère de ses enfants, Y._. Le 14 mars 2005, il a déposé auprès de la représentation suisse à Ankara une demande de visa pour la Suisse à titre de regroupement familial en faveur de son épouse et de ses enfants. Par décision du 5 juillet 2006, le Service cantonal a refusé d'octroyer aux requérants une autorisation d'entrée et de séjour en Suisse, reprenant en substance la motivation développée dans sa décision du 31 janvier 2005. Il a en outre estimé que l'intéressé avait épousé la mère de ses enfants uniquement pour faciliter leur venue en Suisse et commettait ainsi un abus de droit. Le 31 janvier 2007, le Département cantonal de l'économie du canton de Neuchâtel (ci-après: le Département cantonal) a rejeté le recours de l'intéressé contre la décision précitée. B. Par arrêt du 6 juillet 2007, le Tribunal administratif du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal administratif) a rejeté le recours X._ contre la décision du Département cantonal du 31 janvier 2007. Il a considéré qu'en invoquant son mariage avec la mère de ses enfants, l'intéressé commettait un abus de droit, de sorte qu'il se justifiait de refuser à son épouse l'autorisation de séjour sollicitée. Quant aux enfants, l'intéressé n'avait pas entretenu avec eux une relation familiale prépondérante pendant les douze années de séparation et il semblait plutôt que le but visé était de leur assurer des conditions de vie plus favorables. En outre, l'exploitation par l'intéressé d'un établissement public ne constituait pas un changement de circonstances nécessitant un regroupement familial. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral, avec suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du Tribunal administratif du 6 juillet 2007 et de faire droit à sa demande de regroupement familial du 14 mars 2005, subsidiairement de renvoyer la cause à l'autorité intimée pour nouvelle décision. Il fait valoir une violation du droit fédéral et invoque à l'appui de ses griefs les art. 38 et 39 OLE, 17 al. 2 de la loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE; RS 1 113 et les modifications ultérieures) et 8 CEDH. Le Tribunal administratif renvoie aux motifs de son arrêt et conclut au rejet du recours. Le Département cantonal se réfère à sa décision ainsi qu'à l'arrêt attaqué et conclut également au rejet du recours, sous suite de frais. Quant à l'Office fédéral des migrations, il renonce à formuler des observations et propose le rejet du recours. 