Faits : A. A.a Le 4 septembre 1997, A._ a conclu auprès de X._ Assurances (ci-après: X._ ou l'assureur) un contrat pour l'assurance de voitures automobiles comprenant notamment une assurance accidents des occupants. A.b Le 7 décembre 1999, à Bulle (FR), A._ a été happée par le véhicule d'un conducteur ivre alors qu'elle se trouvait près de sa voiture. Malgré plusieurs interventions chirurgicales, elle demeure entravée dans ses activités quotidiennes. B. B.a L'assureur ayant décliné toute demande de prestations en arguant que l'accident n'avait pas eu lieu à la suite de l'utilisation du véhicule au sens des conditions générales d'assurance (CGA) applicables, A._ a ouvert action en paiement le 22 août 2001 devant le Tribunal civil de l'arrondissement de la Gruyère. Elle a conclu à ce que X._ Assurances fût condamnée à lui payer la somme de 1'350 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 9 janvier 2001 à titre d'indemnités d'hospitalisation, ainsi que la somme de 18'880 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 30 novembre 2000 à titre d'indemnités journalières calculées jusqu'au 31 août 2001; elle a en outre conclu à ce que la défenderesse fût condamnée à lui reconnaître devoir ses prétentions en indemnités journalières et d'hospitalisation dès le 1er septembre 2001, ses prétentions tendant au versement de la somme d'assurance pour le cas d'invalidité ainsi que toutes autres prétentions découlant du contrat d'assurance. La défenderesse a conclu au rejet intégral de la demande. B.b La défenderesse ayant obtenu le 7 mai 2002 qu'il fût statué préjudiciellement sur la question de savoir si elle était obligée contractuellement envers la demanderesse à la suite de l'accident du 7 décembre 1999, le Tribunal a rendu le 8 novembre 2002 un jugement incident admettant le principe de la responsabilité. B.c En cours d'instance, une expertise médicale visant à déterminer le taux d'incapacité de travail de la demanderesse a été mise en oeuvre. L'expertise a été déposée le 1er septembre 2004, puis complétée le 28 décembre 2004. Une requête de contre-expertise a été rejetée le 4 avril 2005. B.d Le 14 septembre 2005, la demanderesse a déposé un mémoire complémentaire, dans lequel elle a pris des conclusions chiffrées. Lors des débats, la défenderesse a conclu au rejet de ces conclusions et a soulevé l'exception de prescription. B.e Par jugement du 23 février 2006, le Tribunal a condamné la défenderesse à payer à la demanderesse les sommes de 1'350 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 8 février 2001 et de 930 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 14 mai 2003 au titre d'indemnités d'hospitalisation, la somme de 22'800 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 19 décembre 2000 à titre d'indemnités journalières et la somme de 195'000 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 12 novembre 2004 à titre d'indemnité d'invalidité. B.f La défenderesse ayant recouru en appel tant contre le jugement incident du 8 novembre 2002 que contre le jugement final du 23 février 2006, la Ire Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg a confirmé ces jugements par arrêt du 22 mars 2007. C. Agissant par la voie du recours en matière civile et par celle du recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral, la défenderesse conclut, avec suite de frais et dépens des instances cantonales et fédérale, principalement à la réforme de cet arrêt dans le sens du rejet entier des conclusions prises par la demanderesse et, subsidiairement, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi du dossier à l'autorité précédente pour nouvelle décision. La défenderesse conclut avec suite de frais et dépens au rejet des recours. La défenderesse a sollicité l'octroi de l'effet suspensif aux recours, que le Président de la Cour de céans a accordé par décision du 28 juin 2007 après avoir recueilli les déterminations de l'autorité cantonale et de la demanderesse. 