A.- Der 1961 geborene B._ arbeitete seit Mitte Dezember 1995 als Gerant im Gastwirtschaftsbetrieb X._ des S._. Nachdem das Arbeitsverhältnis per 31. August 1996 aufgelöst worden war, entstand über die ausstehenden Lohnzahlungen ab Juni 1996 ein Streit. Für die Lohnforderung des Monats Juni 1996 (Fr. 6651.50) stellte B._ am 24. Januar 1997 ein Pfändungsbegehren. Dafür wurde ihm am 2. Mai 1997 eine Pfändungsurkunde zugestellt, worauf er am 10. Juni 1997 die Arbeitslosenkasse des Kan- tons Zürich um Ausrichtung von Insolvenzentschädigung er- suchte. Die Arbeitslosenkasse verneinte einen solchen An- spruch mit Verfügung vom 1. Juli 1997, da der Antrag nicht fristgerecht eingereicht worden sei. Nachdem über S._ am 14. Oktober 1997 der Kon- kurs eröffnet worden war, beantragte B._ am 19. No- vember 1997 die Ausrichtung von Insolvenzentschädigung im Gesamtbetrag von Fr. 13'855.75 für den ausstehenden Lohn vom 1. bis 21. Juli 1996, zusätzlich Anteil 13. Monatslohn und Ferien (für die Zeit vom 11. Dezember 1995 bis 21. Juli 1996, ausgenommen Juni 1996), Repräsentationsspesen sowie Wirtepatentabgabe. Dieses Begehren lehnte die Arbeitslosen- kasse mit Verfügung vom 16. Januar 1998 ab, weil der glei- che Anspruch nicht ein zweites Mal geltend gemacht werden könne. B.- Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hiess die gegen die Verfügung vom 1. Juli 1997 erhobene Be- schwerde mit Entscheid vom 8. Juni 1999 gut und bejahte den Anspruch auf Insolvenzentschädigung für die am 10. Juni 1997 angemeldete Forderung, sofern auch die übrigen Anspruchsvoraussetzungen erfüllt sind. Mit Entscheid vom gleichen Tag hob das Sozialversicherungsgericht ferner die Verfügung vom 16. Januar 1998 insofern auf, als sie den An- spruch auf Insolvenzentschädigung für die offene Lohnforde- rung für den Monat Juni 1996 betrifft, und wies im Übrigen die Beschwerde ab. C.- B._ lässt gegen den Entscheid betreffend die Verfügung vom 16. Januar 1998 Verwaltungsgerichtsbe- schwerde führen und beantragen, der vorinstanzliche Ent- scheid sei aufzuheben und ihm die volle beantragte Insol- venzentschädigung von Fr. 13'855.75 zuzüglich Zins seit 19. November 1997 zuzusprechen. Die Arbeitslosenkasse verzichtet auf eine Stellungnah- me zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde, während sich das Staatssekretariat für Wirtschaft (seco) nicht vernehmen lässt. 