Sachverhalt: Sachverhalt: A. Mit Schreiben vom 7. Dezember 2000 ersuchte das Bundesministerium der Justiz in Bonn die Schweiz um Übernahme der Vollstreckung einer Reststrafe von 815 Tagen aus dem gegen den schweizerischen Staatsangehörigen X._ ausgesprochenen rechtskräftigen und gemäss den Angaben der deutschen Behörden vollstreckbaren Urteil des Landgerichts Augsburg vom 4. August 1994 wegen vorsätzlicher Verletzung der Buchführungspflicht, vorsätzlichen Bankrotts und Kreditbetrugs. Das angegangene Bundesamt für Justiz übermittelte das Ersuchen mit Schreiben vom 14. Dezember 2000 dem Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau und lud dieses gemäss Art. 104 Abs. 1 IRSG zu einer Stellungnahme ein. Am 19. Dezember 2000 erklärte sich das genannte Departement zur Übernahme der Angelegenheit bereit. Am 8. Februar 2001 entschied das Bundesamt in Anwendung von Art. 104 Abs. 1 IRSG, das deutsche Ersuchen vom 7. Dezember 2000 anzunehmen, indem es die massgebenden Voraussetzungen im Sinne von Art. 94 ff. und 103 IRSG als erfüllt erachtete. Es beantragte dem Departement, das Exequaturverfahren gegen X._ im Sinne von Art. 105 ff. IRSG durch den dafür zuständigen Richter in die Wege zu leiten und die Vollstreckung des deutschen Urteils vollumfänglich zu übernehmen. Das Bundesamt fügte seinem Entscheid die Rechtsmittelbelehrung bei, es stehe dagegen die Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Bundesgericht offen. Dieser Rechtsmittelbelehrung entsprechend führte X._ mit Eingabe vom 21. März 2001 Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Bundesgericht mit dem Antrag, der Entscheid vom 8. Februar 2001 sei aufzuheben; das deutsche Ersuchen sei abzuweisen. Sodann ersuchte er, das bundesgerichtliche Verfahren sei zu sistieren, bis über ein in Augsburg eingeleitetes Wiederaufnahme- bzw. Revisionsverfahren rechtskräftig entschieden worden sei. Mit Entscheid vom 26. April 2001 wies die I. öffentlichrechtliche Abteilung des Bundesgerichts das Sistierungsbegehren ab, und mangels Anfechtbarkeit des vom Bundesamt getroffenen Vorprüfungsbeschlusses trat sie auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht ein (Verfahren 1A.53/2001). Mit Schreiben vom 9. Mai 2001 ersuchte das Bundesamt das Departement abermals, das Exequaturverfahren gegen X._ in die Wege zu leiten. Die Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen kam dieser Aufforderung am 31. Mai bzw. 31. August 2001 nach. Die Einzelrichterin des Bezirksgerichts Weinfelden wies den von der Staatsanwaltschaft am 31. August 2001 gestellten Antrag und das vom Bundesministerium der Justiz am 7. Dezember 2000 eingereichte Gesuch um Übernahme der Vollstreckung der Reststrafe von 815 Tagen ab. Zur Begründung wurde ausgeführt, Voraussetzung für die Vollstreckung des Urteils des Landgerichts Augsburg sei, dass Gegenstand der Verurteilung im Ausland verübte Handlungen gewesen seien, welche, wenn entsprechend in der Schweiz begangen, hier strafbar wären. In Bezug auf den X._ vorgeworfenen Kreditbetrug treffe dies nicht zu. X._ hätte hier nur der Unterlassung der Buchführung schuldig befunden und mit maximal 36 Monaten Gefängnis bestraft werden können. Ausgehend vom Prinzip der Unteilbarkeit der zu übernehmenden Vollstreckung könne der Entscheid des Landgerichts Augsburg daher in der Schweiz nicht vollstreckt werden. Hiergegen führte die Staatsanwaltschaft am 9./10. April 2002 Beschwerde mit dem Begehren, in Gutheissung des deutschen Gesuchs sei die Vollstreckung der fraglichen Reststrafe anzuordnen. Mit Beschluss vom 29. Juli 2002 schützte das Obergericht des Kantons Thurgau die Beschwerde. Es erachtete die massgebenden Voraussetzungen gemäss Art. 94 ff. IRSG als erfüllt, entsprach dem deutschen Ersuchen und ordnete die Vollstreckung der Reststrafe von 815 Tagen gemäss dem eingangs erwähnten Urteil des Landgerichts Augsburg vom 4. August 1994 an. Mit Beschluss vom 29. Juli 2002 schützte das Obergericht des Kantons Thurgau die Beschwerde. Es erachtete die massgebenden Voraussetzungen gemäss Art. 94 ff. IRSG als erfüllt, entsprach dem deutschen Ersuchen und ordnete die Vollstreckung der Reststrafe von 815 Tagen gemäss dem eingangs erwähnten Urteil des Landgerichts Augsburg vom 4. August 1994 an. B. Mit Eingabe vom 27. September 2002 führt X._ Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Bundesgericht mit den Begehren, der Beschluss des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 29. Juli 2002 sei aufzuheben; das deutsche Vollstreckungsgesuch sei abzuweisen. Die Staatsanwaltschaft, das Obergericht und das Bundesamt beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen. 