Sachverhalt: A. T._, geboren 1960, arbeitete seit seiner Einreise in die Schweiz im Jahre 1986 auf dem Bau, zuletzt vom 1. April 2000 bis zum 28. Februar 2001 für die W._ AG (berufsvorsorgerechtlich angeschlossen an die BVG-Sammelstiftung X._, ab 2008 bei der Pensionskasse Y._), und vom 1. März 2001 bis 30. Juni 2003 bei der G._ AG (berufsvorsorgerechtlich angeschlossen an die Pensionskasse Z._). Ab 10. Mai 2001 war er wegen eines Rückenleidens arbeitsunfähig und ab 1. Mai 2002 bezog er eine Invalidenrente der Invalidenversicherung (Verfügungen vom 11. November 2005 und 20. Januar 2006). B. Nachdem sowohl die BVG-Sammelstiftung X._ und die Pensionskasse Y._ als auch die Pensionskasse Z._ eine Leistungspflicht abgelehnt hatten, erhob T._ Klage beim Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt gegen die Pensionskasse Z._ mit folgenden Rechtsbegehren: "1. Es sei die Beklagte zu verurteilen, dem Kläger für den Zeitraum 01. Mai 2002 bis 31. Dezember 2002 einen Betrag von Fr. 21'899.60 nebst Zins zu 5 % seit 01. September 2002 (mittlerer Verfall) zu bezahlen. Teilklage. Mehrforderung vorbehalten. 2. Es sei die Beklagte zu verurteilen, dem Kläger für den Zeitraum 01. Januar 2003 bis 30. November 2003 einen Betrag von Fr. 30'440.60 nebst Zins zu 5 % seit 15. Juni 2003 (mittlerer Verfall) zu bezahlen. Teilklage. Mehrforderung vorbehalten. 3. Es sei die Beklagte zu verurteilen, dem Kläger für den Zeitraum 01. Dezember 2003 bis 31. Dezember 2003 einen Betrag von Fr. 1'383.40 nebst Zins zu 5 % seit 15. Dezember 2003 (mittlerer Verfall) zu bezahlen. Teilklage. Mehrforderung vorbehalten. 4. Es sei die Beklagte zu verurteilen, dem Kläger für den Zeitraum 01. Januar 2004 bis 30. Juni 2005 einen Betrag von Fr. 37'358.50 nebst Zins zu 5 % seit 01. Oktober 2005 (mittlerer Verfall) zu bezahlen. Teilklage. Mehrforderung vorbehalten. 5. Es sei die Beklagte zu verurteilen, dem Kläger für den Zeitraum 01. Juli 2005 bis 30. April 2009 einen Betrag von Fr. 81'831.70 nebst Zins zu 5 % seit 01. Juni 2007 (mittlerer Verfall) zu bezahlen. Teilklage. Mehrforderung vorbehalten. 6. Es sei die Beklagte zu verurteilen, dem Kläger mit Wirkung ab 01. Mai 2009 eine monatliche Rente für sich von mindestens Fr. 1'482.45 und für die Tochter V._ eine Kinderrente von mindestens Fr. 296.50 zu bezahlen. Teilklage. Mehrforderung vorbehalten. 7. Es sei festzustellen, dass die Beklagte vorleistungspflichtig ist. Dementsprechend sei die Beklagte mittels vorsorglicher Verfügung gemäss § 7 SVGG anzuweisen, dem Kläger entsprechend den vorstehenden Rechtsbegehren Nr. 1 bis 5 angeführten Rechtsbegehren einen Betrag von Fr. 172'913.50 nebst den in den Rechtsbegehren Nr. 1 bis 5 angeführten Zinsen zu 5 % zu bezahlen. 8. Es sei die Beklagte zu verurteilen, dem Kläger innert einer vom Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt zu setzenden Frist [...] mitzuteilen, wie hoch die IV-Renten für den Kläger und wie hoch die Kinderrenten auf der Basis eines Invaliditätsgrades von 82 % vom 01. April 2002 bis 30. November 2003 und auf der Basis eines Invaliditätsgrades von 62 % vom 01. Dezember 2003 bis zum 30. April 2009 sind. 9. Es seien sämtliche Gerichts- und Anwaltskosten (auch die vorprozessualen Anwaltskosten) der Beklagten aufzuerlegen." Das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt verurteilte in Gutheissung der Klage mit Entscheid vom 31. August 2009 die Pensionskasse Z._ dazu, T._ "Fr. 49'586.25 zu bezahlen und ihm ab dem 28. Mai 2009 einen Verzugszins von 5 % auf den in der Zeit von Januar 2005 bis Ende April 2009 fällig gewordenen Rentenbetreffnissen in der Höhe von insgesamt Fr. 46'506.85 auszurichten". Mit Bezug auf die nach Klageeinreichung fällig gewordenen Rentenbetreffnisse werde die Pensionskasse Z._ dazu verpflichtet, T._ einen Verzugszins von 5 % ab deren Fälligkeit zu entrichten. Weiter verurteilte das kantonale Gericht die Pensionskasse Z._ dazu, T._ nach dem 1. September 2009 eine monatliche BVG-Rente von Fr. 769.85 sowie - bei entsprechendem Nachweis - eine Kinderrente auszurichten. Weiter verurteilte das Gericht die Pensionskasse Z._, dem Kläger eine Parteientschädigung von Fr. 2'800.- (inkl. Auslagen) zuzüglich Mehrwertsteuer zu bezahlen. C. Die Pensionskasse Z._ erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, es sei das angefochtene Erkenntnis aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. T._ beantragt Abweisung der Beschwerde, während die Vorinstanz und das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung verzichten. 