Faits: A. A.a X._, homme d'affaires expérimenté demeurant au Caire, a ouvert le 14 octobre 1975 un compte bancaire auprès de la Banque Y._ SA (ci-après: Y._), à Genève, compte qu'il utilisait principalement en relation avec son activité professionnelle. Parmi les documents contractuels que X._ a signés lors de l'ouverture de la relation bancaire figurent les conditions générales de la Banque et une lettre-formule relative au courrier gardé, soit une convention de banque restante. Ces documents stipulent notamment que toute réclamation relative à l'exécution ou l'inexécution d'un ordre quelconque doit être formulée par le client au plus tard dans un délai d'un mois après notification de l'avis de transaction ou de l'extrait de compte correspondant, faute de quoi l'opération y relative est réputée acceptée. Ils stipulent en outre que tous les avis et extraits de compte conservés en banque restante à la demande du client sont réputés valablement notifiés à la date qu'ils portent. En pratique, X._ se rendait deux ou trois fois par année à Genève pour retirer son courrier conservé en banque restante au sein de Y._ et y rencontrer le responsable de la relation bancaire, A._. Celui-ci se rendait aussi deux ou trois fois par année au Caire pour visiter son client et discuter de l'état du compte. A.b X._ n'a confié aucun mandat de gestion à Y._, qui ne pouvait effectuer une opération déterminée pour le compte de son client que sur instructions de ce dernier. Les opérations sur le compte étaient effectuées sur instructions téléphoniques de X._ et confirmées par une télécopie de la Banque au client. En relation avec ce mode opératoire, Y._ a demandé à X._, dans le courant de l'année 2002, de lui retourner signé le formulaire « Télex-Télégramme-Téléphone or Facsimilé Instructions », par lequel la Banque était notamment autorisée à exécuter, sans nécessité d'une confirmation écrite et à sa décharge, les instructions téléphoniques de son client. Ce document était exigé par les auditeurs de la Banque. X._ l'a retourné dûment signé le 27 juillet 2002. A.c Dans le cadre de son activité commerciale, X._ se procurait des marchandises qu'il payait en dollars (USD) et revendait à des clients qui réglaient en euros (EUR). Il était donc exposé à un risque de change, notamment en cas de fluctuation de la parité dollar/euro. X._ souhaitait neutraliser ce risque et se prémunir contre une hausse du dollar par une opération de couverture (hedging). À cette fin, il pouvait soit contracter un emprunt en euros pour acheter immédiatement des dollars et rembourser ultérieurement cet emprunt avec les euros attendus, soit vendre à terme les euros attendus contre des dollars. A.d Le 5 novembre 2002, X._ a instruit par téléphone A._, selon une note téléphonique établie par la Banque, d'effectuer une opération de hedging sous la forme d'un achat à terme de dollars contre des euros. La Banque était ainsi instruite d'acheter USD 2'000'000.-, au cours du jour, pour le prix de EUR 2'007'830.54 payables à l'échéance de l'achat à terme, fixée au 7 février 2003. Par télécopie du 5 novembre 2002, la Banque a confirmé à X._ l'exécution de cet ordre en ajoutant, sur la confirmation, la mention « good luck », car A._ considérait, au contraire de X._, que le dollar allait se déprécier par rapport à l'euro. A.e Le 15 novembre 2002, X._ a retiré sa correspondance conservée en banque restante auprès de Y._, notamment l'avis de transaction du 5 novembre 2002 concernant l'achat/vente à terme de USD 2'000'000.- pour le prix de EUR 2'007'830.54, payables à l'échéance du 7 février 2003. Contrairement aux prévisions de X._, le cours du dollar, à cette échéance, avait baissé par rapport à celui de l'euro, de sorte que les USD 2'000'000.- acquis pour le prix de EUR 2'007'830.54 lors de l'achat/vente à terme du 5 novembre 2002 ne valaient plus que EUR 1'843'317.97 EUR au 7 février 2003, générant ainsi une perte de change de EUR 164'512.57. A.f L'opération d'achat/vente à terme de USD 2'000'000.- a été renouvelée par la Banque pour le compte de X._ - l'opération arrivée à échéance étant liquidée par le paiement de la différence entre le taux de change de l'achat à terme et le taux au jour de l'échéance - une première fois le 5 février 2003 pour le prix de EUR 1'850'323.62, avec échéance au 7 mai 2003, date à laquelle les USD 2'000'000.- valaient EUR 1'780'151.31, impliquant une perte de change de EUR 70'672.31; elle a ensuite été renouvelée une seconde fois le 5 mai 2003 pour le prix de EUR 1'782'531.19, avec échéance au 10 juin 2003, date à laquelle les USD 2'000'000.- valaient EUR 1'687'763.71, impliquant une perte de change de EUR 94'767.48; enfin, elle a été renouvelée une troisième fois le 6 juin 2003 pour le prix de EUR 1'689'902.83, avec échéance au 10 juillet 2003, date à laquelle les USD 2'000'000.- valaient EUR 1'762'891.-, impliquant un gain de change de EUR 72'988.17. Pendant cette période, la Banque a facturé à son client, à titre d'intérêts débiteurs, les montants respectifs de EUR 1'105.03, EUR 2'625.40 et EUR 417.94, soit au total EUR 4'148.37. La perte totale sur ces opérations s'établissait ainsi à EUR 261'112.56 (EUR 64'512.57 + EUR 70'672.31 + EUR 94'767.48 - EUR 72'988.17 + EUR 4'148.37). A.g Au début du mois de mars 2003, A._ a rencontré X._ au Caire. Y._ a allégué qu'à cette occasion, X._ était informé des pertes de change résultant de l'opération à terme initiale du 5 novembre 2002 et n'avait formulé aucune critique sur le renouvellement de cette opération. De son côté, X._ a admis avoir parlé de manière générale de l'évolution des taux de change avec son gestionnaire, mais a contesté avoir abordé le sujet de l'opération d'achat/vente à terme prétendument instruite le 5 novembre 2002. A.h Les avis de transaction liés à l'opération du 5 novembre 2002 et à ses renouvellements successifs ont été déposés dans le dossier banque restante de X._ auprès de Y._ aux dates considérées et consultées par le client le 19 juin 2003. À cette date, X._ a reproché à la Banque d'avoir effectué les opérations à terme sans instructions, relevant que sa seule demande avait été de procéder à une opération de couverture au moyen non d'un achat/vente de dollars à terme, mais d'un emprunt en euros qui devait être immédiatement converti en dollars et placé fiduciairement. B. B.a Le 3 octobre 2005, X._ a assigné Y._ devant le Tribunal de première instance du canton de Genève en paiement notamment de la somme de EUR 261'112.56, plus intérêt à 5% l'an dès le 25 février 2003, à titre de réparation du dommage causé par la perte de change liée aux opérations non instruites des 5 novembre 2002, 5 février 2003, 5 mai 2003 et 6 juin 2003. La Banque a conclu au déboutement de X._ des fins de sa demande. B.b Par jugement du 10 mai 2007, le Tribunal de première instance a débouté X._ des fins de sa demande, avec suite de dépens. Il a considéré en substance que l'opération d'achat/vente à terme initiée le 5 novembre 2002 ne nécessitait pas une confirmation écrite du client selon la formule « Télex-Télégramme-Téléphone or Facsimilé Instructions » signée le 27 juillet 2002 par X._. Le tribunal a relevé que la transaction du 5 novembre 2002 avait au demeurant été confirmée par la Banque au moyen d'une télécopie adressée au client, lequel n'avait pas soulevé de contestation à sa réception, et que celui-ci avait pu prendre connaissance de l'avis de transaction du 5 novembre 2002 relatif à l'opération litigieuse lors de la consultation de son dossier le 15 novembre 2002. Enfin, la convention de banque restante pouvait être opposée à X._ pour les renouvellements successifs de cette opération, qui s'inscrivaient dans la politique de placement voulue par le client. B.c Statuant par arrêt du 18 avril 2008 sur appel de X._, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a confirmé le jugement de première instance, avec suite de dépens. C. Agissant par la voie du recours en matière civile au Tribunal fédéral, X._ conclut avec suite de frais et dépens à la réforme de cet arrêt en ce sens que Y._ soit condamné à lui payer la somme de EUR 261'112.56, plus intérêt à 5% l'an dès le 25 avril 2003. L'intimée conclut avec suite de frais et dépens au rejet du recours, dans la mesure où il est recevable. 