Sachverhalt: A. Die 1950 geborene J._ zog sich bei einem Verkehrsunfall am 18. August 1996 Kompressionsfrakturen im Brust- und Lendenwirbelbereich zu. Die Winterthur Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Winterthur), bei welcher sie obligatorisch versichert war, erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Im Mai 1997 meldete sich J._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Mit Verfügungen vom 4. September 2001 sprach ihr die IV-Stelle Basel-Stadt für die Zeit vom 1. August 1997 bis 31. August 1998 eine ganze Rente und ab 1. September 1998 eine halbe Rente samt Zusatzrente für den Ehemann zu, was das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 16. Oktober 2002 bestätigte. Mit Verfügung vom 6. Juli 2004 hob die IV-Stelle die halbe Rente auf Ende des der Zustellung des Entscheids folgenden Monats auf. Hiegegen liess J._ Einsprache erheben. Am 25. Oktober 2004 verfügte die IV-Stelle die Sistierung des Verfahrens bis zum rechtskräftigen Abschluss des Unfallversicherungsfalles. Mit Verfügung vom 15. Februar 2005 sprach die Winterthur J._ ab 1. Januar 2005 eine Invalidenrente von monatlich Fr. 2'677.- (Invaliditätsgrad: 50 %) sowie eine Integritätsentschädigung von Fr. 9'720.- (Integritätsschaden: 10 %) zu. Dagegen erhob die IV-Stelle Basel-Stadt Einsprache. Sie beantragte, die Verfügung vom 15. Februar 2005 sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass kein Anspruch auf eine Invalidenrente nach UVG bestehe. Mit Entscheid vom 25. April 2005 trat die Winterthur auf die Einsprache nicht ein. B. In Gutheissung der Beschwerde der IV-Stelle hob das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 17. Februar 2006 den Einspracheentscheid vom 25. April 2005 auf und wies die Sache an die Winterthur zum Erlass eines materiellen Entscheides zurück. C. Die Winterthur führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben. Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. J._ und das Bundesamt für Gesundheit verzichten auf eine Vernehmlassung. 