Sachverhalt: A. Die 1948 geborene S._ lebte bis August 2005 in der Schweiz und seither in A._. Sie war von 1988 bis 2005 als Kosmetikerin selbstständig erwerbstätig. Am 4. April 2001 erlitt sie einen Verkehrsunfall. Unter Angabe eines auf den Unfall zurückzuführenden starken Schleudertraumas und einer 50-prozentigen Arbeitsunfähigkeit meldete sie sich am 13. Mai 2003 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Luzern untersuchte den medizinischen und erwerblichen Sachverhalt und wies mit Verfügung vom 19. April 2005 und Einspracheentscheid vom 21. Juli 2006 das Leistungsbegehren ab mit der Begründung, aufgrund des Einkommensvergleichs ergebe sich ein Invaliditätsgrad von 20 %, der nicht zum Bezug einer Invalidenrente berechtige. B. S._ erhob Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, welches mit Entscheid vom 22. März 2007 wegen örtlicher Unzuständigkeit darauf nicht eintrat und die Sache an das Bundesverwaltungsgericht überwies. Mit Entscheid vom 28. Mai 2010 hiess das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde teilweise gut und hob den Einspracheentscheid auf. Es wies die Sache an die Verwaltung zurück, damit sie im Sinne der Erwägungen über den Leistungsanspruch neu entscheide. C. Die IV-Stelle des Kantons Luzern führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt Aufhebung des Entscheides sowie Bestätigung des Einspracheentscheides. S._ beantragt Nichteintreten auf die Beschwerde und eventualiter deren Abweisung; Vorinstanz und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf Vernehmlassung. 