Faits: A. S._ a travaillé en qualité de polisseur au service de la société X._ SA et était, à ce titre, assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Il a été victime d'un accident professionnel le 20 décembre 2000. Alors qu'il était en train de placer une pièce dans un étau à air comprimé, celui-ci s'est refermé sur la main gauche de l'intéressé, ce qui a entraîné une plaie de la paume. La CNA a pris en charge le cas. L'assuré a été incapable de travailler jusqu'au 13 février 2001, date à laquelle il a repris son activité à plein temps. Toutefois, il a été victime par la suite de rechutes dues notamment à l'apparition d'une maladie de Sudeck, lesquelles ont entraîné de nouvelles périodes d'incapacité de travail. L'assuré a été licencié par son employeur avec effet au 31 mai 2003. Sur proposition du docteur O._, médecin d'arrondissement de la CNA, l'intéressé a séjourné à la Clinique Y._ du 30 avril au 12 juin 2002. Dans un rapport du 9 juillet 2002, les médecins de cet établissement ont indiqué que l'algoneurodystrophie au stade II à III à la main gauche justifiait la prolongation de l'interruption de travail durant deux mois encore, période au terme de laquelle les seules plaintes subjectives n'entraîneraient plus d'incapacité de travail. L'assuré a été examiné par le docteur O._ les 27 septembre 2002 et 14 février 2006. Ce médecin a indiqué que l'intéressé n'était plus en mesure d'exercer son ancienne profession de polisseur. En revanche, il était en mesure de travailler à 100 % dans une activité moins contraignante comprenant des tâches de surveillance et de contrôle. Le docteur O._ a estimé à 5 % le taux de l'atteinte à l'intégrité découlant de l'accident. En outre, la CNA a recueilli l'avis du docteur T._, spécialiste en chirurgie de la main et chirurgie orthopédique (rapport du 11 mars 2004). Par décision du 18 mai 2007, confirmée sur opposition le 4 juillet suivant, la CNA a alloué à l'assuré, à partir du 1er mai 2007, une rente d'invalidité fondée sur une incapacité de gain de 24 %, ainsi qu'une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 5 %. B. Saisi d'un recours de l'assuré qui concluait à l'octroi d'une rente fondée sur une incapacité de gain d'au moins 50 % et d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 20 %, le Tribunal des assurances du canton de Vaud l'a très partiellement admis par jugement du 13 décembre 2007. Il a rejeté la requête d'expertise médicale présentée par l'intéressé dans sa réplique du 12 novembre 2007 (chiffre I du dispositif) et a réformé la décision entreprise en ce sens que le taux de la rente a été fixé à 26 % (chiffre III). Il a alloué à l'assuré une indemnité de dépens de 600 fr. (ch. IV). C. La CNA interjette un recours en matière de droit public en concluant à l'annulation du jugement cantonal et à la confirmation de sa décision sur opposition du 4 juillet 2007. S._ forme également un recours en matière de droit public contre le jugement cantonal, dont il requiert l'annulation, en concluant au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouveau jugement après complément d'instruction sous la forme d'une expertise médicale. La CNA et S._ concluent au rejet du recours formé par la partie adverse, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations. 