Sachverhalt: A. Die "X._ Anstalt" mit Sitz in A._/FL ist seit dem 30. November 2004 im liechtensteinischen Öffentlichkeitsregister eingetragen. Sie wird von der "Y._ Holding Anstalt", A._/FL, gehalten. Deren wirtschaftlich Berechtigter ist E.G._. Der Zweck der Anstalt besteht hauptsächlich im Kaufen, Verkaufen, im Halten und Nutzen von Rennwagen und anderen Automobilen. Gemäss Handelsregistereintrag beläuft sich der Anstaltsfonds auf Fr. 30'000.--. Direktsteuerlich wird die X._ Anstalt von der Liechtensteinischen Steuerverwaltung als Sitzgesellschaft geführt. Sie beschäftigt kein Personal. B. Die X._ Anstalt erwarb von Ende 2004 bis Anfang 2006 vier Automobile der Marke Ferrari. Der erste Wagen ("Auto 1"), angekauft im Dezember 2004 für Fr. 1'643'000.--, kam in früheren Jahren in der höchsten Automobilsportklasse zum Einsatz. Der X._ Anstalt diente das Fahrzeug als Ausstellungsobjekt. Im Jahr 2005 konnte es zweimal ausgestellt werden, was zu Einnahmen von insgesamt Fr. 13'225.-- führte. Im März 2005 beschaffte die X._ Anstalt für weitere Fr. 1'172'625.-- das Auto 2, später im Jahr das Auto 3 und Anfang 2006 das Auto 4. Aufgrund des (fremdfinanzierten) Ankaufs der Autos lässt sich dem Abschluss 2006 eine Darlehensverbindlichkeit (Konto "Darlehen Aktionär") von EUR 2'730'000.-- gegenüber der Y._ Holding Anstalt entnehmen, dies bei einem Anstaltsfonds von weiterhin Fr. 30'000.--. Die Schuldzinsen passivierte die X._ Anstalt, liess sie also unbeglichen. C. Strassenverkehrsrechtlich zugelassen ist einzig das Auto 4, als dessen häufigster Fahrzeugführer die Versicherungspolice E.G._ ausweist. Die Autos 2 bis 4 wurden in den hier massgebenden Jahren 2005 und 2006 an die Z._ SA mit Sitz in B._/TI vermietet. Der Mietvertrag vom 2. März 2005 (Auto 2), ebenso wie die weitgehend gleichlautenden, undatierten Mietverträge um die Autos 3 und 4, sieht vor, dass das Fahrzeug "auch von Drittpersonen unbeschränkt, entgeltlich und/oder unentgeltlich gebraucht werden" darf. Ferner ist die X._ Anstalt berechtigt, "während der ganzen Vertragsdauer (...) Drittpersonen zu bestimmen, die den (...) Sportwagen gebrauchen dürfen", unter Ausschluss der Dauer der Meisterschaften. Gemäss Teilnahmelisten von Rennsportanlässen, Rechnungen über Renngebühren usw. wurden die Autos 2 bis 4 durch die W._ SA in B._/TI, einer Schwestergesellschaft der Z._ SA, E.G._ und F.G._ zur Verfügung gestellt. Zum Auto 1 liegt die Aussage eines Mitglieds der Verwaltung der X._ Anstalt vor, wonach es von E.G._ gesteuert worden sei. Die Abschlüsse 2005 und 2006 der X._ Anstalt belegen, dass die Z._ SA lediglich für das Auto 2 einen Mietzins leistete, und zwar nur in den ersten drei Halbjahren. Im zweiten Halbjahr 2006 wurde der Mietzins bloss transitorisch aktiviert. Die vier Fahrzeuge unterlagen in der Bilanz der X._ Anstalt, zumindest in den Jahren 2005 und 2006, keinen Abschreibungen. D. Im Fragebogen, den die X._ Anstalt bei der Liechtensteinischen Steuerverwaltung einreichte, ging die Anstalt für das Steuerjahr 2005 von einem steuerbaren Inlandumsatz von Fr. 230'000.-- aus. In der Folge trug die Liechtensteinische Steuerverwaltung sie mit Wirkung ab dem 1. Januar 2005 in das Register der Mehrwertsteuerpflichtigen ein. Für den Zeitraum des ersten Quartals 2005 deklarierte die X._ Anstalt einen steuerbaren Umsatz von Fr. 117'000.--, was bei einem Steuersatz von 7,6 % zu einer Umsatzsteuer von Fr. 8'892.-- führte. Angesichts der gleichzeitig geltend gemachten Vorsteuern in Höhe von Fr. 223'117.05, bedingt durch die Einfuhr der beiden ersten Autos und die Gründungskosten der Anstalt, ergab sich in der Selbstveranlagung ein Guthaben von Fr. 214'225.05 zugunsten der X._ Anstalt. Die Quartalsabrechnung des zweiten Quartals 2005 wies weder steuerbare Ausgangs- noch vorsteuerbelastete Eingangsumsätze aus. E. Nach Prüfung der ersten Quartalsabrechnung forderte die Liechtensteinische Steuerverwaltung die X._ Anstalt zum Einreichen weiterer Unterlagen auf, insbesondere Businesspläne und vertragliche Vereinbarungen zum Auto 1, und kündigte eine Kontrolle an. Aus terminlichen Gründen konnte diese einstweilen noch nicht stattfinden. Am 13. März 2006 vergütete sie der X._ Anstalt einen Teil des Vorsteuerguthabens. Dem ausbezahlten Betrag von Fr. 84'362.30 lagen die vorsteuerbelasteten Gründungskosten und die Einfuhrumsatzsteuer des Autos 2 zugrunde. Ein Jahr später, am 26. März 2007, verfügte die Liechtensteinische Steuerverwaltung die rückwirkende Löschung der X._ Anstalt aus dem Register der Mehrwertsteuerpflichtigen. Überdies stellte sie fest, die (Umsatz-) Steuern für das Jahr 2005 beliefen sich auf Fr. 19'509.95 und für das Folgejahr auf Fr. 15'985.10. Die Vorsteuern für die beiden Jahre bemass sie mit null Franken und führte weiter aus, das Konto der X._ Anstalt weise per 26. März 2007 - nach Vornahme verschiedener Korrekturen - einen Saldo zu Gunsten der Liechtensteinischen Steuerverwaltung von Fr. 109'865.30 aus. Die Steuerverwaltung stützte sich dabei auf die ihr bis dahin vorgelegten Unterlagen. F. Gegen die Verfügung vom 26. März 2007 erhob die X._ Anstalt am 26. April 2007 Einsprache. Im Rahmen des Einspracheverfahrens wurde am 6. November 2007 die in Aussicht genommene Kontrolle nachgeholt. Sie führte zur Einforderung weiterer Unterlagen. Mit Blick auf das Kontrollergebnis und die weiterhin zögerliche Mitwirkung der X._ Anstalt wies die Liechtensteinische Steuerverwaltung die Einsprache mit Entscheid vom 23. Juni 2010 ab. Ebenso erfolglos blieben die Beschwerde vom 22. Juli 2010 an die Liechtensteinische Landessteuerkommission (Urteil vom 11. November 2010) und die dagegen gerichtete Beschwerde vom 24. Januar 2011 an den Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein (Urteil VGH 2011/009 vom 28. April 2011). Gegen das Urteil vom 28. April 2011 erhebt die X._ Anstalt beim Schweizerischen Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Urteils unter Anweisung an die Liechtensteinische Steuerverwaltung, die Löschung der X._ Anstalt (hiernach: die Steuerpflichtige) zu unterlassen und die deklarierten Vorsteuern auszurichten. Eventualiter sei die Sache zur Neufestsetzung des Vorsteuerabzugs an die Liechtensteinische Steuerverwaltung zurückzuweisen. Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts erkannte der Beschwerde mit Verfügung vom 14. Juli 2011 antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zu. Vorinstanz und Liechtensteinische Steuerverwaltung sehen von einer Vernehmlassung ab. Die Eidgenössische Steuerverwaltung, Hauptabteilung Mehrwertsteuer, nimmt ausführlich Stellung und beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Steuerpflichtige äussert sich mit Eingabe vom 28. Oktober 2011 abschliessend zum Vernehmlassungsergebnis. 