Faits: A. M._ est entrée au service de la Ville de X._ le 1er février 1991 comme employée de secrétariat. Elle a été nommée en qualité de fonctionnaire par le Conseil administratif de ladite ville avec effet au 1er janvier 1993, puis, le 4 décembre 1997, en qualité de secrétaire. Depuis le 30 avril 2001, elle a exercé sa fonction à la réception de la Ville. La prénommée a été empêchée de travailler pour cause de maladie totalement du 10 février au 26 août 2005, puis partiellement jusqu'au 30 juin 2006. A la suite d'un entretien avec ses supérieurs, M._ a été rendue attentive, par lettre du conseiller administratif délégué du 13 septembre 2005, notamment au fait que son employeur attendait d'elle un engagement accru, une meilleure collaboration avec ses collègues et une meilleure intégration dans l'équipe. Une autre rencontre du même type s'est tenue le 31 octobre 2005, qui a donné lieu à une nouvelle lettre du même conseiller à l'intéressée du 3 novembre suivant, invitant cette dernière à se conformer aux règles et instructions de son employeur. Le 21 mars 2006, le secrétaire général a adressé un blâme à la prénommée au motif qu'elle avait pris des vacances sans son accord préalable, qu'elle ne se conformait pas à des demandes simples, qu'elle avait tendance à déléguer son propre travail à sa remplaçante et qu'elle avait effectué un travail avec retard et sans soin. A la suite de l'intervention de l'avocat de l'intéressée, cette décision a été annulée par son auteur le 28 avril 2005 (recte : 2006), sous réserve d'un nouveau prononcé à intervenir une fois que l'intéressée se serait exprimée. Cela ayant été fait par courrier du 18 mai 2006, le secrétaire général a prononcé un avertissement à l'encontre de M._ le 30 juin 2006, maintenant les griefs retenus dans sa décision du 21 mars précédent, nuançant toutefois celui qui concernait la prise de vacances. Faute d'avoir été attaqué en temps utile, cet avertissement est entré en force. A compter du 15 janvier 2007, l'intéressée a cessé d'occuper son poste, ayant dû être opérée d'une hernie discale le surlendemain. L'incapacité de travail de M._ s'étant prolongée, l'assureur de l'employeur pour la perte de gain en cas de maladie (la Compagnie d'assurances Y._) a soumis l'intéressée à l'expertise du docteur H._ du Centre Z._. Dans son rapport du 19 novembre 2007, l'expert a estimé que M._ était apte au travail à 75 % au moins, avec une perte de rendement de 25 %, en raison des changements de position nécessités par son état de santé. Cependant, selon le docteur A._, chirurgien traitant de l'intéressée, cette dernière demeurait totalement incapable de travailler (rapport du 22 janvier 2008). Aussi l'employeur a-t-il prié M._ de prendre rendez-vous avec le docteur S._, son propre médecin généraliste traitant, et le médecin-conseil de la Ville de X._ jusqu'au 15 février 2008. En réponse à cette demande, l'intéressée a communiqué un simple certificat du docteur S._ du 7 janvier 2008 attestant sa totale incapacité de travail depuis le 18 décembre 2007. L'employeur a alors informé l'intéressée qu'après avoir envisagé de mettre fin aux rapports de service pour cause d'inaptitude durable d'exercer sa fonction pour raisons de santé, il entendait prendre cette décision pour des motifs liés à la personne de cette dernière (lettre du 14 mars 2008). M._ lui a communiqué alors le rapport d'expertise privée du docteur G._ du 15 avril 2008 lequel concluait à la totale incapacité de cette dernière d'exercer son activité de secrétaire en raison d'une instabilité lombaire. Par décision du 29 avril 2008, le Conseil administratif de la Ville de X._ a résilié les rapports de service le liant à la prénommée avec effet au 31 juillet 2008, constatant l'incapacité de cette dernière à exercer son activité professionnelle de secrétaire, en précisant qu'au vu de tous les rapports médicaux en sa possession il estimait que l'incapacité totale de travail de l'intéressée avait été déterminée de manière cohérente, convaincante et dans le respect de ses droits. Il a aussi indiqué n'avoir pas d'autre poste à lui offrir qui correspondrait à ses capacités professionnelles et son état de santé. Dans la même décision, l'autorité susnommée a, par ailleurs, constaté l'incapacité de M._ à effectuer les tâches prévues dans le cadre du poste. B. M._ a déféré cette décision au Tribunal administratif du canton de Genève, en demandant sa réintégration, subsidiairement à ce que la Ville de X._ soit condamnée à lui verser une indemnité de 180'513 fr. 60 représentant vingt-quatre mois de salaire brut. Par jugement du 25 août 2009, le Tribunal administratif du canton de Genève a rejeté ce recours sans allouer d'indemnité. C. M._ interjette recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant, sous suite de dépens, à ce que la Ville de X._ soit condamnée à lui verser la somme de 180'513 fr. 60 plus accessoires, subsidiairement au renvoi de la cause à la juridiction précédente pour nouveau jugement. La Ville de X._ conclut, sous suite de frais et dépens, à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. 