Sachverhalt: A. Die Z._ AG erstellt für die Kantonale Pensionskasse Graubünden (im Folgenden: Pensionskasse) auf den Grundstücken Nr. 1783 und 3733 an der Sägenstrasse in Chur zwei Mehrfamilien-Wohnhäuser A und B. Am 17. September 2007 und 17. Dezember 2007 hatte der Stadtrat von Chur die Baubewilligungen erteilt. B. Mit Eingabe von 17. März 2008 stellten X._ und Y._, Miteigentümer der in unmittelbarer Nähe zu den Baugrundstücken befindlichen Liegenschaft Nr. 1774, beim Stadtrat folgendes Gesuch: "1. Es sei mangels Profilierung des im beiliegenden Plan rot kolorierten Bauvorhabens mit den Ausmassen 8,6/11,76 m x 11,59 m mit vier Geschossen und Attika an der Sägenstrasse auf Parzelle 1783 in Chur bezüglich dieses Bauvorhabens unverzüglich ein Baustopp zu verfügen. 2. Es sei die Pensionskasse zu verpflichten, ihre Erweiterung des ursprünglichen Bauvorhabens zu profilieren und dementsprechend sei dem Gesuchsteller eine Einsprachefrist anzusetzen resp. diese wiederherzustellen. 3. Eine diesbezüglich erteilte Baubewilligung sei zu widerrufen." Zur Begründung brachten die Gesuchsteller im Wesentlichen vor, das Baugesuch für die beiden Häuser A und B - im grau kolorierten Bereich gemäss beiliegendem Plan - sei am 17. April 2007 eingereicht worden. Diese Gebäudekomplexe seien mit der Gesuchseinreichung profiliert worden. Gestützt auf die Profilierung und die Publikation hätten die Gesuchsteller die Pläne auf dem Bauamt der Stadt Chur konsultiert und geprüft. Nach abgelaufener Auflagefrist sei jedoch ein neues Baugesuch eingereicht worden. Dieses habe sich auf den im beigelegten Plan rot kolorierten Gebäudeteil am Haus B bezogen. Eine diesbezügliche Profilierung sei nie erfolgt. Inzwischen sei mit der Bauausführung begonnen worden. Aufgrund verschiedener Indizien hätten die Gesuchsteller erstmals am 13. März 2008 festgestellt, dass das Haus B eine Verlängerung erfahre, womit für sie eine empfindliche Einschränkung in Bezug auf Aussicht, Licht und Sonne einhergehe. Mit Entscheid vom 21. April 2008 wies der Stadtrat das Gesuch ab. C. Dagegen erhoben X._ und Y._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden. Mit Verfügung vom 20. Juni 2008 schloss der instruierende Verwaltungsrichter den Schriftenwechsel. Mit Urteil vom 2. Juli 2008 wies das Verwaltungsgericht (4. Kammer) die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Ebenfalls am 2. Juli 2008 reichten X._ und Y._ beim Verwaltungsgericht Prozessbeschwerde gegen die Verfügung des instruierenden Verwaltungsrichters vom 20. Juni 2008 ein mit dem Antrag, es sei ein zweiter Schriftenwechsel durchzuführen. Mit Verfügung vom 4. Juli 2008 schrieb der Präsident des Verwaltungsgerichts die Prozessbeschwerde als gegenstandslos ab. D. X._ und Y._ führten hierauf beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit folgendem Antrag: "1. Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden vom 2. Juli 2008, der angefochtene Entscheid des Stadtrates von Chur vom 21. April 2008, die Baubewilligung vom 17. Dezember 2007 betreffend Vollausbau Haus B und Abänderung Fassaden auf Parzelle 1783 sowie die Abschreibungsverfügung des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden vom 4. Juli 2008 seien aufzuheben und die Streitsache sei zur Durchführung eines rechtskonformen Baubewilligungsverfahrens bezüglich Vollausbau Haus B und Abänderung Fassaden (Wiederholung der Baugesuchsauflage und Ansetzung einer Einsprachefrist usw.) an die erste Instanz zurückzuweisen. 2. Eventuell sei die Streitsache in Aufhebung der vorinstanzlichen Entscheide gemäss Rechtsbegehren Ziff. 1 zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zur rechtskonformen Durchführung des gerichtlichen Verfahrens zurückzuweisen. 3. Subeventuell sei in Aufhebung der vorinstanzlichen Entscheide gemäss Rechtsbegehren Ziff. 1 die von der Bauherrschaft anbegehrte Baubewilligung zu verweigern, unter Anweisung an die Stadt Chur, für die Wiederherstellung des ursprünglichen Zustandes im Bereich des Bauvorhabens besorgt zu sein." Das Bundesgericht hiess die Beschwerde am 4. Mai 2009 mit dem Urteil 1C_377/2008 wegen Verletzung des rechtlichen Gehörs gut, hob die Entscheide vom 2. und 4. Juli 2008 auf und wies die Sache an die Vorinstanz zu neuer Beurteilung - nach Gewährung des rechtlichen Gehörs - zurück. E. Nachdem die Beschwerdeführer am 3. Juli 2009 repliziert und die übrigen Verfahrensbeteiligten an ihren Anträgen festgehalten hatten, wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde mit Urteil vom 25. Januar 2010 erneut ab, soweit es darauf eintrat. F. Mit Eingabe vom 23. April 2010 erheben X._ und Y._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragen dem Bundesgericht die Aufhebung des angefochtenen Verwaltungsgerichtsurteils vom 25. Januar 2010, des Entscheids des Stadtrats von Chur vom 21. April 2008 sowie der Baubewilligung vom 17. Dezember 2007 betreffend Vollausbau Haus B und Abänderung Fassaden auf Parzelle 1783. Die Streitsache sei zur Durchführung eines rechtskonformen Baubewilligungsverfahrens an die erste Instanz zurückzuweisen. Im Eventualantrag ersuchen sie um Aufhebung der genannten vorinstanzlichen Entscheide und Rückweisung der Angelegenheit an das Verwaltungsgericht zur rechtskonformen Durchführung des gerichtlichen Verfahrens und zur Neubeurteilung. Subeventualiter stellen sie Antrag auf Aufhebung der vorinstanzlichen Entscheide und Verweigerung der Baubewilligung, dies unter Anweisung der Stadt Chur, für die Wiederherstellung des ursprünglichen Zustands im Bereich des Bauvorhabens besorgt zu sein. Die Pensionskasse als Beschwerdegegnerin, die Stadt Chur und das kantonale Verwaltungsgericht schliessen alle je auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Im Rahmen des zweiten Schriftenwechsels halten die Parteien sinngemäss an ihren Anträgen fest. 