Faits: A. A.a. Le 28 mai 2009, la ressortissante ... A._, domiciliée à X._, a été nommée en qualité d'"auxiliaire administrative" à la Mission permanente de B._ auprès de l'Office des Nations Unies à Genève (ONUG). L'engagement s'est fait par "résolution" émanant du Ministère des relations extérieures de la République B._. La Mission B._ précitée a annoncé son employée à la Mission permanente de la Suisse auprès de l'ONUG, en indiquant qu'elle était membre du personnel de service. Le Département fédéral des affaires étrangères (DFAE) lui a octroyé une carte de légitimation de type E pour la durée de ses fonctions. L'employée était par ailleurs titulaire d'un passeport de service B._. A son arrivée à Genève, elle a signé le 15 juin 2009 un acte de "prise de possession" de sa charge; le document a été cosigné par l'ambassadeur représentant B._ auprès de l'ONUG. Dans les faits, A._ a travaillé comme employée domestique à la résidence de l'ambassadeur. Le 4 mai 2010, elle a adressé au Ministre B._des relations extérieures un courrier annonçant sa démission pour le 1er juillet 2010. La République B._ a accepté cette démission par résolution du 21 mai 2010. Les parties sont ensuite revenues sur leurs décisions et l'employée a continué de travailler. A.b. Par courrier du 25 octobre 2011, la République B._ a signifié à l'employée qu'elle avait deux mois pour démissionner de sa charge et qu'elle pouvait s'adresser au Ministère des relations extérieures pour coordonner le paiement de ses indemnités de déplacement et de retour. L'employée a contresigné le courrier le 3 novembre 2011. Le 29 décembre 2011, elle a réclamé à l'ambassadeur le paiement de 109'508 fr. à titre d'heures supplémentaires, remboursement de frais médicaux, indemnité pour tort moral et dommages-intérêts. Elle précisait avoir été licenciée pour le 3 janvier 2012. Le 9 janvier 2012, la Mission suisse a demandé que l'employée restitue sa carte de légitimation. Le 27 mars 2012, la République B._ a adressé à la "fonctionnaire" A._ un document concernant la liquidation des rapports de service des employés publics, dont elle devait attester la réception; il était précisé que des voies de droit étaient ouvertes selon le code de contentieux administratif. B. B.a. Le 16 mars 2012, l'employée a assigné la République B._ devant l'autorité de conciliation du Tribunal des prud'hommes du canton de Genève. Elle a ensuite porté l'affaire devant ce tribunal le 10 septembre 2012, en concluant au paiement de 129'628 fr. plus intérêts. L'Etat défendeur a pris des conclusions en constatation de l'incompétence ratione materiae du tribunal saisi, respectivement en reconnaissance de son immunité de juridiction. Il a produit une note du 15 mai 2012 établie à son intention par la Mission suisse, laquelle soutient que l'employée appartenait à la catégorie du personnel transférable de carrière régi par le droit public étranger. Le tribunal prud'homal a limité la procédure aux deux questions soulevées par l'Etat défendeur. Par décision incidente du 17 mai 2013, il s'est déclaré compétent pour statuer sur la demande déposée par l'employée le 10 septembre 2012. B.b. L'Etat défendeur a déposé appel devant la Cour de justice, laquelle a rendu un arrêt le 15 octobre 2013 par lequel elle déclare irrecevable la demande formée par l'employée, en raison de l'incompétence du tribunal saisi. C. L'employée a saisi l'autorité de céans d'un recours en matière civile dans lequel elle conclut à ce que le Tribunal des prud'hommes de Genève soit déclaré compétent pour connaître du litige. Elle a en outre sollicité l'octroi de l'assistance judiciaire. Cette dernière requête a été refusée par ordonnance du 11 février 2014, au motif que la recourante n'avait produit aucune pièce au sujet de son indigence nonobstant le délai imparti et ne démontrait pas réaliser à ce stade les conditions de l'assistance judiciaire. La recourante a ensuite versé en temps utile l'avance de frais requise. Dans un courrier du 4 mai 2014 (date du sceau postal), son avocat a annoncé ce paiement et pris des conclusions sur les frais et dépens, demandant notamment des dépens de 1'800 fr. pour la procédure de deuxième instance et ce même montant pour la présente procédure. L'Etat intimé et la Cour de justice n'ont pas été invités à déposer une réponse. 