Faits: A. A.a T._ a suivi les cours pour une formation d'audioprothésiste. Dès le 1er septembre 1996, elle a travaillé à 80 % en qualité de réceptionniste au service du Centre acoustique X._. A ce titre, elle était assurée par la Compagnie d'Assurances Nationale Suisse pour les accidents professionnels et non professionnels. Le 13 novembre 1997, elle a été victime à son domicile de lésions du genou gauche, dont le traitement a été compliqué par une algodystrophie. La Nationale Suisse Assurances a pris en charge le cas et versé les prestations dues pour les suites de cet accident. L'employeur a mis fin aux rapports de travail pour le 31 mai 1998. Dans une expertise du 12 janvier 1999, le docteur O._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique, a conclu à une capacité de travail de 100 % dans l'ancienne activité et dans une autre activité adaptée. Par décision du 26 avril 1999, l'assureur-accidents a mis fin aux prestations (indemnités journalières) en date du 28 février 1999. A.b Le 15 septembre 1999, T._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un rapport du 10 octobre 1999, le docteur A._, spécialiste FMH en rhumatologie, a déposé ses conclusions. Par décision du 10 février 2000, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a rejeté la demande, au motif que l'assurée pouvait reprendre normalement l'activité exercée jusque-là ou toute autre activité adaptée aux limitations qui étaient les siennes, ainsi que cela ressortait de l'expertise du docteur O._ du 12 janvier 1999. Cette décision est entrée en force. A.c Le 19 janvier 2001, T._ a subi une plastie du ligament croisé antérieur du genou gauche, laquelle a été effectuée par le docteur E._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique. La Nationale Suisse Assurances a repris le versement des indemnités journalières à partir du 9 octobre 2000. Elle a confié une expertise au docteur N._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique à Genève, lequel a déposé ses conclusions dans un rapport du 11 février 2003 et dans un rapport complémentaire du 14 avril 2003. Elle a chargé également le docteur L._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, d'effectuer une autre expertise. Dans un rapport du 27 mai 2003, ce médecin a conclu à l'absence de trouble psychiatrique. Il indiquait que la capacité de travail dans les professions antérieures était possible sans mesure de réadaptation et au taux de 100 % pour motifs psychiatriques. Par décision du 28 juin 2004, confirmée sur opposition le 26 février 2007, l'assureur-accidents a avisé l'assurée que le traitement principal des suites directes de l'accident du 13 novembre 1997 était terminé et qu'il était mis fin au paiement des indemnités journalières. Sa capacité de gain n'était pas réduite, de sorte que l'octroi d'une rente d'invalidité ne se justifiait pas. Celle-ci a formé recours contre la décision sur opposition devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud. A.d Le 29 octobre 2001, T._ a présenté une nouvelle demande de prestations de l'assurance-invalidité, en requérant un reclassement dans une nouvelle profession, subsidiairement l'octroi d'une rente d'invalidité. Le docteur A._ a informé l'assurance-invalidité qu'il n'avait pas revu l'assurée depuis le 21 mars 2000, date du dernier examen. Dans un rapport du 7 novembre 2002, le docteur E._ a posé les diagnostics ayant des répercussions sur la capacité de travail de syndrome fémoro-rotulien douloureux gauche, d'état après reconstruction du ligament croisé antérieur gauche sur lésion invétérée, d'arthrose fémoro-rotulienne gauche, d'état dépressif et d'allergies. Il relevait une très lente amélioration partielle du genou gauche depuis le 16 avril 2002 et concluait à une incapacité de travail de 100 % dans l'activité exercée jusque-là, tout en indiquant que l'on pouvait exiger de la patiente qu'elle exerce une autre activité (annexe au rapport). Se fondant sur les conclusions du docteur N._ dans son rapport complémentaire du 14 avril 2003, selon lesquelles l'assurée était apte à reprendre son activité antérieure avec une capacité de travail de 100 %, et sur celles du docteur L._ dans son expertise du 27 mai 2003, le docteur F._, dans un avis médical SMR du 8 octobre 2003, a retenu qu'il n'y avait pas d'incapacité de travail médicalement prouvée tant au plan chirurgical-orthopédique que psychiatrique. Le 13 octobre 2003, l'office AI a rendu une décision de refus de rente, par laquelle il a rejeté la demande. Le 10 novembre 2003, T._ a formé opposition contre cette décision. Elle a produit une lettre du docteur E._ du 8 octobre 2003, puis un document de ce médecin du 16 mars 2004. Sur proposition du docteur F._ (avis du 25 septembre 2004), le docteur R._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique et médecin du Service médical régional AI, a procédé le 4 novembre 2004 à un examen clinique. Dans un rapport du 22 novembre 2004, il a posé les diagnostics avec répercussion sur la capacité de travail de gonarthrose post-traumatique à gauche: - status après déchirure du ligament croisé antérieur (LCA), status après plastie du LCA et status après algoneurodystrophie postopératoire après arthroscopie et plastie du LCA -, de lombalgies chroniques et de tendinopathie de la coiffe des rotateurs de l'épaule gauche. L'examen clinique confirmait les données retenues par le docteur N._, de sorte que l'on pouvait admettre que la capacité de travail dans un emploi adapté était pratiquement normale le 15 janvier 2003 lorsque l'assurée a été examinée par ce médecin, soit deux ans après l'opération effectuée par le docteur E._. Il a conclu à une capacité de travail exigible de 100 % dans l'activité habituelle et dans une activité adaptée, avec un rendement limité à 80 %, conclusion qui a été reprise par le docteur F._ dans un avis médical SMR du 20 décembre 2004. Le docteur E._, dans un document du 25 janvier 2005, a pris position sur le rapport du docteur R._ du 22 novembre 2004. De leur côté, les docteurs F._ et R._, relevant qu'ils n'avaient trouvé dans ce document aucun renseignement nouveau par rapport à ce qu'ils savaient déjà, ont maintenu leurs conclusions (avis médical SMR du 28 février 2005). Par décision du 15 avril 2005, l'office AI a rejeté l'opposition. B. Le 12 mai 2005, T._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud, en concluant, sous suite de dépens, à l'annulation de celle-ci, la cause étant renvoyée à l'office AI pour qu'il complète ses investigations par une expertise neutre et qu'il examine les mesures de réadaptation auxquelles elle avait droit. Dans ses déterminations du 30 janvier 2006, elle a produit une lettre du docteur E._ du 25 mai 2005, avec la copie de deux scanographies de l'arthroscopie du 19 janvier 2001. Elle requérait l'audition de ce médecin. Le 15 mars 2006, le juge instructeur l'a avisée que, selon l'usage, les médecins étaient entendus de préférence par écrit. Le 27 mars 2006, elle a produit un document du docteur E._ du 21 mars 2006. Dans un avis SMR des 2 et 5 mai 2006, le docteur R._ a pris position sur ce document, en indiquant qu'il n'apportait aucun élément diagnostic nouveau. Par décision du 24 mai 2006, le juge instructeur a rejeté la requête d'expertise. Le 8 juin 2006, T._ a fait opposition à cette décision. Elle produisait un rapport du docteur E._ du 6 juin 2006. Dans un avis SMR des 28/31 août 2006, le docteur R._ a déposé ses observations sur ce nouveau document. Le 30 avril 2007, elle a produit un rapport du 23 avril 2007 du docteur U._, médecin-remplaçant du docteur E._, qui retenait le diagnostic de re-rupture du ligament croisé antérieur gauche et de probable déchirure méniscale médiale gauche, tout en indiquant la présence d'une gonarthrose tricompartimentale gauche. Dans un avis SMR du 8 juin 2007, le docteur R._ a relevé que l'absence de ligament croisé antérieur avait déjà été mise en évidence lors de l'examen clinique du 4 novembre 2004 et qu'il ne s'agissait donc pas d'un élément nouveau. Le Tribunal des assurances du canton de Vaud a rejeté l'opposition par jugement incident du 25 juillet 2007. Par jugement du 20 décembre 2007, expédié le 24 janvier 2008, la juridiction cantonale a rejeté le recours. C. T._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de dépens, à la réforme de celui-ci en ce sens qu'elle a droit à une rente entière d'invalidité depuis le 1er novembre 1998. A titre subsidiaire, elle demande que le jugement attaqué soit annulé, la cause étant renvoyée à l'autorité de première instance pour qu'une expertise judiciaire soit ordonnée. A titre plus subsidiaire, elle conclut à l'octroi d'une rente entière d'invalidité pour la période du 1er novembre 1998 au 31 janvier 2002. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud, qui s'en remet au jugement attaqué, conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. 