Sachverhalt: A. A.a. D._ (Kläger und Beschwerdegegner) befand sich am Abend des 10. September 1990 im letzten Wagen einer abfahrtbereiten Zugskomposition der Achterbahn "E._" des Schaustellerbetriebes A._, als eine weitere Zugskomposition am Ende ihrer Fahrt nicht ordnungsgemäss abgebremst wurde und von hinten auf die wartende Zugskomposition auffuhr. Die Unfallursache konnte nicht geklärt werden. A.b. Am 11. September 1990 begab sich der Kläger zur ärztlichen Untersuchung in das Triemli-Spital in Zürich, wo ein Schleudertrauma der Hals- und Lendenwirbelsäule diagnostiziert wurde. In der Folge war der Kläger vollständig arbeitsunfähig, ab dem 11. Februar 1991 noch zu 50 %. Am 15. April 1991 nahm er seine Arbeit wieder auf, erlitt jedoch im Mai 1992 einen Rückfall. Ab dem 9. November 1992 war er zu 50 % arbeitsunfähig. Am 12. Dezember 1992 erlitt er einen Verkehrsunfall, der zu einer 100%-igen Arbeitsunfähigkeit führte. A.c. Mit Verfügung vom 3. Februar 1993 sprach die Invalidenversicherung dem Kläger eine zweijährige Handelsausbildung zu, die er jedoch aufgrund anhaltender Konzentrationsstörungen nach einem Semester schon wieder abbrechen musste. Ab dem 20. September 1993 war er wiederum zu 50 % arbeitsunfähig. Mit Verfügung vom 10. August 1995 sprach die IV dem Kläger eine ganze Rente ab 1. September 1994 zu, auf der Grundlage einer 75%-igen Erwerbsunfähigkeit. B. B.a. Am 15. Februar 1999 reichte der Kläger beim Zivilgericht Basel-Stadt Klage ein mit dem Begehren, A._ sei zur Leistung einer Genugtuung von Fr. 60'000.-- nebst Zins und Kosten zu verurteilen. Das Zivilgericht bejahte die Kausalität des Unfalls vom 10. September 1990 für die anhaltenden Beschwerden des Klägers und sprach ihm mit Urteil vom 26. Juni 2002 eine Genugtuung von Fr. 40'000.-- (abzüglich der von der SUVA geleisteten Integritätsentschädigung von Fr. 8'160.--) zu. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt bestätigte dieses Urteil am 29. Oktober 2003. B.b. Mit Klage vom 23. April 2003 beantragte der Kläger dem Zivilgericht Basel-Stadt, A._ sei zu verpflichten, ihm unter dem Titel Ersatz des Erwerbsausfalls (einschliesslich Rentenkürzung) Schadenersatz von Fr. 1'877'410.-- nebst Zins von Fr. 135'158.-- zu bezahlen sowie Zins zu 5 % auf Fr. 2'021'568.-- ab dem 23. April 2003, Mehrforderung vorbehalten. Das Zivilgericht Basel-Stadt entschied am 21. November 2007; nachdem die Beklagte am 17. Juni 2004 verstorben war, traten ihre Erbinnen B._ und C._ als Beklagte in den Prozess ein. Mit rektifiziertem Urteil vom 28. Februar 2008 verurteilte das Zivilgericht die Beklagten, dem Kläger Fr. 237'288.-- nebst Zins zu 5 % ab 21. November 2007 zu bezahlen. Die Mehrforderung wies es ab. B.c. Gegen das Urteil des Zivilgerichts Basel-Stadt reichte der Kläger am 5. März 2008 beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt Appellation ein mit dem Rechtsbegehren, die Erbinnen von A._ (Beklagte und Beschwerdeführerinnen) seien in Aufhebung des erstinstanzlichen Entscheides zu verpflichten, ihm Fr. 1'917'625.-- nebst Zins zu bezahlen, Mehrforderung vorbehalten. Die Beklagten erhoben am 31. März 2008 Anschlussappellation mit dem Begehren auf Abweisung der Klage. Nachdem die Parteien auf den 28. Oktober 2009 zu einer Verhandlung vorgeladen worden waren, reichten die Beklagten am 12. Oktober 2009 eine Noveneingabe samt eines Ermittlungsberichts und zwei DVD-Video-Zusammenschnitten eines "Investigation Service " ein, die dem Kläger am 23. Oktober 2009 zugestellt wurden. Nachdem das Gericht die beiden DVDs am 28. Oktober 2009 auszugsweise besichtigt hatte, brach es die Verhandlung ab. Mit Verfügung vom 30. November 2009 wurden die Parteien aufgefordert, Sachverständige für ein medizinisches Gutachten vorzuschlagen und Fragen zu stellen. Nachdem das Inselspital am 26. Oktober 2010 ein Gutachten und am 9. August 2013 ein Ergänzungsgutachten erstattet hatte, zog der Kläger am 14. November 2013 seine Appellation zurück mit der Feststellung, dass damit auch die Anschlussappellation entfalle. Die Beklagten beantragten mit Eingabe vom 7. Februar 2014, es sei vom Rückzug der Appellation Kenntnis zu nehmen, der erstinstanzliche Entscheid sei in Gutheissung der Anschlussappellation aufzuheben und die Klage sei abzuweisen. Die Beklagten machten im Wesentlichen geltend, nach dem massgebenden kantonalen Prozessrecht sei die Anschlussappellation mit dem Beginn der Verhandlung vom 28. Oktober 2009 selbständig geworden. Mit Entscheid vom 25. April 2014 erkannte das Appellationsgericht Basel-Stadt, das zweitinstanzliche Verfahren werde infolge Rückzugs der Appellation als erledigt abgeschrieben. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragen die Beklagten dem Bundesgericht, es sei festzustellen, dass die im vorinstanzlichen Verfahren erhobene Anschlussappellation selbständig geworden und zu beurteilen sei; weiter sei der Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 25. April 2014 aufzuheben und die Sache zur materiellen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Schliesslich sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Das Appellationsgericht Basel-Stadt und der Beschwerdegegner schliessen in ihren Vernehmlassungen auf Abweisung der Beschwerde. D. Mit Präsidialverfügung vom 11. Juli 2014 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt. 