Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 5. April 2006 entzog das Strassenverkehrsamt des Kantons Graubünden dem 1956 geborenen X._ den Führerausweis auf unbestimmte Zeit. Die Wiedererteilung des Führerausweises wurde von einer mindestens 12-monatigen kontrollierten Psychosefreiheit und einem verkehrspsychologischen Gutachten abhängig gemacht. Dieser Verfügung ging die Mitteilung des damaligen Arztes von X._ voraus, wonach dieser aus gesundheitlichen Gründen die gesetzlichen Mindestanforderungen zum Lenken eines Motorfahrzeuges nicht mehr erfülle (Schreiben an das Strassenverkehrsamt vom 13. September 2005). Im Auftrag des Strassenverkehrsamtes hielten die Psychiatrischen Dienste Graubünden, Klinik Beverin, Forensischer Dienst, mit Gutachten vom 6. März 2006 fest, die Fahreignung von X._ sei aus neuropsychologischer Sicht derzeit nicht gegeben. Die Leistungstests hätten vor allem im Bereich der Aufmerksamkeit mittelgradig beeinträchtigte Resultate gezeitigt, und die charakterliche Fahreignung erscheine ebenfalls fraglich. B. Mit Verfügung vom 22. Januar 2007 wies das Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit des Kantons Graubünden die Beschwerde von X._ ab. Mit Urteil vom 18. April 2007 wies das Kantonsgericht von Graubünden, Kantonsgerichtsausschuss, die Berufung von X._ ab. C. Mit Eingabe vom 10. September 2007 führt X._ Beschwerde an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Kantonsgerichts vom 18. April 2007 sowie die mitangefochtenen Verfügungen der Vorinstanzen seien aufzuheben. Ferner beantragt er Beschwerdeergänzung nach Zustellung der Akten der Vorinstanzen, Zusprechung einer angemessenen Parteientschädigung für die vorinstanzlichen Verfahren sowie unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Das Kantonsgericht und das Strassenverkehrsamt haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das kantonale Departement und das - ebenfalls zur Stellungnahme eingeladene - Bundesamt für Strassen beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Alle Stellungnahmen wurden X._ am 23. Oktober 2007 zur Kenntnisnahme zugestellt. Auf Gesuch von X._ wurden ihm am 31. Oktober 2007 die vom Kantonsgericht Graubünden eingereichten Akten zur Einsicht überlassen. Er hat die Akten am 12. Dezember 2007 ohne weitere Stellungnahme zur Sache zurückgesandt. 