Sachverhalt: Sachverhalt: A. A.a Y._ und X._ betrieben ihren Vater V._ für eine Forderung von mehreren Millionen Franken aus Schenkungsvertrag. In diesem Zusammenhang verarrestierte und pfändete das Betreibungsamt Schaffhausen die auf V._ sowie auf die Stiftung S._ lautenden Konti und Depots bei der Bank K._ AG in Schaffhausen bis zum Forderungsbetrag. In der Folge verwertete das Betreibungsamt Vermögenswerte und überwies Y._ und X._ entsprechende Geldbeträge. A.b Mit Verfügung vom 9. November 2005 teilte das Betreibungsamt Y._ und X._ mit, dass in der Betreibung Nr. xxxx die Pfändung vollzogen worden sei, und stellte die Pfändungsurkunde vom 7. November 2005 zu, gemäss welcher eine Restforderung von Fr. 311'514.40 besteht. Das Betreibungsamt hielt im Schreiben und der Pfändungsurkunde fest, dass keine Vermögenswerte gepfändet worden seien, da gemäss Auskunft der K._ AG keine Vermögenswerte vorhanden seien. Weiter teilte das Betreibungsamt betreffend die Betreibung Nr. yyyy mit, dass es keine Vermögenswerte mehr zu verwerten gebe und daher auch diese Betreibung abgeschlossen sei. A.b Mit Verfügung vom 9. November 2005 teilte das Betreibungsamt Y._ und X._ mit, dass in der Betreibung Nr. xxxx die Pfändung vollzogen worden sei, und stellte die Pfändungsurkunde vom 7. November 2005 zu, gemäss welcher eine Restforderung von Fr. 311'514.40 besteht. Das Betreibungsamt hielt im Schreiben und der Pfändungsurkunde fest, dass keine Vermögenswerte gepfändet worden seien, da gemäss Auskunft der K._ AG keine Vermögenswerte vorhanden seien. Weiter teilte das Betreibungsamt betreffend die Betreibung Nr. yyyy mit, dass es keine Vermögenswerte mehr zu verwerten gebe und daher auch diese Betreibung abgeschlossen sei. B. B.a Mit Eingabe vom 21. November 2005 erhoben Y._ und X._ Beschwerde und verlangten, die Verfügung des Betreibungsamtes vom 9. November 2005 sei aufzuheben und es sei die Nichtigkeit der Pfändungsurkunde vom 7. November 2005 festzustellen bzw. diese aufzuheben. Weiter verlangten sie, das Betreibungsamt sei anzuweisen, die Vollstreckungsverfahren in den Betreibungen Nr. xxxx und Nr. yyyy wieder aufzunehmen. Sodann sei das Betreibungsamt anzuweisen, die K._ AG unter Strafandrohung aufzufordern, allfällige Minussaldi (auf bestimmten Konti) auszugleichen, sämtliche (näher bezeichneten) vorgenommenen Verrechnungen rückgängig zu machen und ein Guthaben von mindestens Euro 360'000.-- auf einem der genannten Konti zur Verfügung zu stellen und zu erhalten, bis die Verwertung abgeschlossen sei. Eventualiter sei das Betreibungsamt anzuweisen, andere sachdienliche Massnahmen gegenüber der K._ AG zu ergreifen, um die den Gläubigern zu Unrecht entzogenen Vermögenswerte wieder zur Verfügung zu stellen. B.b Mit Entscheid vom 9. Juni 2006 hiess das Obergericht des Kantons Schaffhausen, Aufsichtsbehörde über das Schuldbetreibungs- und Konkurswesen, die Beschwerde im Sinne der Erwägungen gut. Die Aufsichtsbehörde hob die Verfügung vom 9. November 2005 sowie die Pfändungsurkunde des Betreibungsamtes vom 7. November 2005 auf und wies das Amt an, die Betreibungsverfahren Nr. xxxx und Nr. yyyy weiterzuführen. B.b Mit Entscheid vom 9. Juni 2006 hiess das Obergericht des Kantons Schaffhausen, Aufsichtsbehörde über das Schuldbetreibungs- und Konkurswesen, die Beschwerde im Sinne der Erwägungen gut. Die Aufsichtsbehörde hob die Verfügung vom 9. November 2005 sowie die Pfändungsurkunde des Betreibungsamtes vom 7. November 2005 auf und wies das Amt an, die Betreibungsverfahren Nr. xxxx und Nr. yyyy weiterzuführen. C. Y._ und X._ haben den Entscheid der kantonalen Aufsichtsbehörde mit Beschwerdeschrift vom 22. Juni 2006 (rechtzeitig) an die Schuldbetreibungs- und Konkurskammer des Bundesgerichts weitergezogen. Sie verlangen die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und beantragen unter anderem, dass das Betreibungsamt anzuweisen sei, die K._ AG unter Strafandrohung aufzufordern, verschiedene (wie die bereits im kantonalen Verfahren bezeichneten) Handlungen vorzunehmen (u.a. "Konti auszugleichen", "Verrechnungen rückgängig zu machen", "Guthaben zur Verfügung zu stellen und erhalten"). Weiter verlangen sie aufschiebende Wirkung. Die Aufsichtsbehörde hat anlässlich der Aktenüberweisung Gegenbemerkungen (Art. 80 OG) angebracht, ohne einen Antrag zu stellen. Das Betreibungsamt hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Mit Präsidialverfügung vom 29. Juni 2006 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung insoweit erteilt, dass eine Weiterführung des Betreibungsverfahrens einstweilen zu unterbleiben hat. 