Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 13. Oktober 2004 sprach die IV-Stelle Luzern dem 1958 geborenen A._ eine halbe Rente der Invalidenversicherung ab 1. September 2000 zu bei einem Invaliditätsgrad von 55 %. Im Juni 2009 leitete sie ein Revisionsverfahren ein. Mit Verfügung vom 12. Juni 2013 ermittelte die IV-Stelle einen Invaliditätsgrad von nunmehr 30 % und hob die bisherige Invalidenrente auf Ende Juli 2013 auf. Weiter sprach sie A._ mit Verfügung vom 19. Juni 2013 Eingliederungsmassnahmen ab 1. August 2013, unter Weiterausrichtung der bisherigen Rente längstens bis 31. Juli 2015, zu. B. Mit Entscheid vom 6. März 2014 hiess das Kantonsgericht Luzern die dagegen erhobene Beschwerde insofern gut, als es die Verfügung vom 12. Juni 2013 aufhob und dem Versicherten weiterhin eine halbe Invalidenrente zusprach (Dispositiv-Ziff. 1) sowie das Verfahren in Bezug auf die Verfügung vom 19. Juni 2013 als erledigt erklärte (Dispositiv-Ziff. 2). Sodann sprach es A._ eine Parteientschädigung von pauschal Fr. 3'000.- (inkl. Auslagen und MWST) zu (Dispositiv-Ziff. 5). C. A._ lässt "Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten / subsidiäre Verfassungsbeschwerde" führen mit dem Antrag, es sei Dispositiv-Ziff. 5 des Entscheids vom 6. März 2014 aufzuheben und das kantonale Gericht anzuweisen, die Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren neu festzusetzen. Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme. 