Faits: A. A.a. A._ SA (ci-après: A._), à Genève, était une société active dans le domaine de l'informatique, qui avait pour but notamment la mise à disposition de personnel (ingénieurs et techniciens en informatique) au profit de sociétés clientes dans les locaux de celles-ci, cela pour le temps nécessaire à la réalisation d'une mission. Par « contrat de collaboration » du 30 octobre 1998, conclu pour une durée indéterminée, A._ a confié à X._, en qualité d'ingénieur commercial, le soin de prospecter et de négocier des contrats de délégation de compétences, ainsi que des contrats de vente de licence et de prestations relatifs à l'offre yyy, et d'assurer la promotion des activités de A._ auprès de sociétés établies en Suisse. Le contrat pouvait être résilié par chacune des parties moyennant un préavis écrit d'un mois. La rémunération du prénommé, qui avait le titre de directeur commercial, était prévue à la commission, à raison de 30% de la marge nette sur chaque journée facturée pour la délégation, avec un plafonnement de 3'000 fr. mensuel par contrat de délégation, et à raison de 50% de la marge nette pour les contrats de licence ou rénovation yyy. A._ devait remettre à X._ un relevé mensuel des commissions acquises. Selon la convention, X._ pouvait formuler des offres aux clients, après avoir obtenu l'accord de A._, et signer des contrats au nom de celle-ci (lesquels devaient alors être contresignés par une personne autorisée de la société). L'identité des clients et fournisseurs de A._ était protégée par une clause de confidentialité s'étendant trois ans après la fin du contrat. Pendant la durée de l'accord, X._ s'était engagé, par une clause d'interdiction de concurrence, à ne pas déployer d'activité, directement ou indirectement, pour lui-même ou pour une autre société qui pourrait être concurrente de A._. Le 9 mars 2000, un plan de rémunération spécifique, en fonction du nombre de personnes placées par le « consultant externe », a modifié le contrat du 30 octobre 1998 à partir du seuil de six personnes placées. X._ a déclaré que, pendant les relations contractuelles, sa rémunération avait oscillé entre 250'000 fr. et 400'000 fr. par an. A.b. Par lettre du 2 octobre 2001, A._ a résilié avec effet immédiat le contrat susmentionné « pour concurrence déloyale ». X._ s'est opposé au congé par courrier du 9 octobre 2001 et s'est prévalu du préavis de résiliation d'un mois prévu contractuellement. A._ et X._ ont par la suite été parties à plusieurs procédures les opposant. Le 18 octobre 2001, A._ a déposé plainte pénale contre X._ pour gestion déloyale aggravée, violation de la loi contre la concurrence déloyale, violation du secret de fabrication et du secret commercial, vol et abus de confiance. La procédure a été finalement classée selon ordonnance de la Chambre d'accusation genevoise du 21 octobre 2005. Une procédure relative à la taxe sur la valeur ajoutée a abouti à la condamnation de X._ à verser à A._ la somme de 18'533 fr.75 en capital. A._ a également intenté une procédure civile en concurrence déloyale contre X._. Par arrêt du 12 février 2010, la Cour de justice du canton de Genève a notamment rejeté les prétentions de A._ fondées sur les prétendus agissements de X._ contraires à la loi contre la concurrence déloyale. Dans cette décision, les magistrats genevois ont retenu que les parties avaient été liées par un contrat d'agence au sens des art. 418a ss CO. B. B.a. Le 4 octobre 2007, X._ (demandeur), après avoir fait notifier un commandement de payer à A._ - que celle-ci a frappé d'opposition - a ouvert action contre cette société (défenderesse) devant le Tribunal de première instance de Genève. Il a conclu au paiement par la défenderesse du total de 738'500 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 30 septembre 2001, somme se décomposant en 100'500 fr. à titre de rémunérations pour octobre, novembre et décembre 2001, 201'000 fr. à titre d'indemnité pour résiliation immédiate injustifiée du contrat d'agence, 402'000 fr. à titre d'indemnité de clientèle et 35'000 fr. à titre de commissions pour le mois de septembre 2001, libre cours étant laissé à la poursuite. La défenderesse a conclu à sa libération. Il est ressorti de l'instruction que la défenderesse a fondé la résiliation abrupte du contrat conclu le 30 octobre 1998 sur les événements décrits ci-dessous, qu'elle a qualifiés de double violation du devoir de fidélité. - Le week-end du 20 mai 2000, X._, qui a affirmé que les décomptes des commissions ne lui avaient jamais été remis, a emporté à son domicile la documentation relative aux salaires des collaborateurs ainsi qu'un classeur contenant la facturation aux clients, ce qui a entraîné, le 22 mai 2000, la communication par A._ au précité d'un avertissement « pour faute grave ». Lorsqu'il a rapporté les documents, X._ a remis à A._ un relevé actualisé des commissions. - A une date indéterminée du mois de septembre 2000, puis à nouveau le 30 septembre 2001, X._ a organisé deux « rencontres amicales » (garden parties) avec les collaborateurs de A._, auxquelles ont également été invités leurs femmes et enfants. La première rencontre s'est tenue au domicile de ses parents. X._, lorsqu'il a été entendu par la police, a déclaré que T._, administrateur-délégué de A._, a participé à ce cocktail et que, vu le succès de la journée et son écho favorable, A._ lui a remboursé un montant forfaitaire de 4'000 fr. sur les frais qu'il avait engagés pour organiser cette première garden party. La seconde rencontre s'est tenue au domicile de X._, à Morges, en présence d'une trentaine de personnes. Selon A._, les membres de la direction de la société n'ont pas été avertis de cette rencontre; un témoin a cependant affirmé que l'épouse de T._ avait passé un moment à cette garden party. Plusieurs autres témoins ont déclaré que X._ avait précisé à ses invités la nature de son statut d'indépendant, qu'il leur avait exposé vouloir mettre un terme à sa collaboration avec A._ et poursuivre pour son compte les activités de prospection qu'il menait, mais qu'il n'avait pas incité les employés de A._ à le suivre. Pour sa part, X._ a exposé qu'il avait remis aux invités qui le souhaitaient une carte de visite personnelle au nom de la société W._ Sàrl - active dans le commerce et la distribution d'applications informatiques - qu'il contrôlait par l'intermédiaire de ses parents et de sa compagne. Entendu pendant les enquêtes, X._ a déclaré que lorsqu'il a commencé son activité pour A._, celle-ci n'avait qu'un employé mis à disposition d'un seul client; de 1998 à 2001, il a personnellement acquis vingt clients, notamment dans le domaine bancaire, et a placé 46 personnes auprès de différentes sociétés; lorsqu'il a quitté A._, il lui a laissé une dizaine de clients, dont L._, M._, N._, O._, P._, Q._ et R._. Il a été retenu que X._ a perçu une rémunération de 12'000 fr. pour l'activité déployée d'octobre 1998 à décembre 1998, laquelle s'est élevée ensuite à 214'077 fr. en 1999, à 323'928 fr.80 en 2000 et à 268'328 fr. de janvier à septembre 2001. Durant cette période, le chiffre d'affaires de A._ a considérablement augmenté, passant de 1'575'000 fr. en 1999 à 3'238'318 fr. en 2000 et à 4'936'132 fr. en 2001. B.b. Le 31 décembre 2008, Z._ SA (ci-après: Z._), dont le siège est à Lausanne, a repris par suite de fusion les actifs et passifs de la défenderesse A._. B.c. Par jugement du 20 septembre 2012, le Tribunal de première instance a condamné Z._ à payer à X._ les sommes de 100'500 fr. représentant les rémunérations dues jusqu'au terme légal de congé, de 201'000 fr. à titre d'indemnité pour congé abrupt injustifié et de 150'000 fr. correspondant à l'indemnité de clientèle, le tout avec intérêts à 5% l'an dès le 30 septembre 2001, l'opposition à la poursuite étant levée à due concurrence. Le Tribunal de première instance a considéré comme injustifiée la résiliation immédiate du contrat d'agence, dès l'instant où le motif pris de l'organisation de la rencontre du 30 septembre 2001 n'était qu'un prétexte. Il s'est fondé en particulier sur l'arrêt rendu par la Cour de justice, le 12 février 2010, dans le cadre du procès en concurrence déloyale intenté par la mandante contre X._, arrêt d'après lequel il n'avait pas été établi que celui-ci aurait tenté de convaincre ses invités de rompre leurs relations de travail avec Z._. Le tribunal a encore pris en compte la déclaration effectuée en cours d'instance par le successeur du demandeur au sein de la défenderesse, lequel a affirmé qu'y avait été mise sur pied à l'encontre du demandeur « une chasse aux sorcières ». Admettant un revenu mensuel moyen de commissions de 33'500 fr. entre août et septembre 2001, le tribunal a retenu que la résiliation devait prendre effet pour le 31 décembre 2001, de sorte que le demandeur, mis à pied immédiatement le 2 octobre 2001, avait droit à ce titre à 100'500 fr. (3 x 33'500 fr.). Au vu de la croissance économique très importante obtenue par la défenderesse grâce à l'intervention efficace du demandeur, de tous les clients qu'il avait amenés, des nombreuses personnes qu'il avait placées auprès desdits clients, du prétexte fallacieux utilisé pour résilier son contrat et des procédures vaines que la défenderesse avait ouvertes à son endroit, le tribunal a alloué au demandeur une indemnité équivalant à six mois de rémunération, fondée sur l'art. 337c al. 3 CO, soit de 201'000 fr. (6 x 33'500 fr.). Le tribunal lui a enfin octroyé une indemnité pour la clientèle (art. 418u CO), qu'elle a fixée ex aequo et bono à 150'000 fr. B.d. Statuant sur l'appel formé par Z._, laquelle sollicitait le déboutement du demandeur, la Cour de justice genevoise, par arrêt du 22 février 2013, a annulé le jugement du 20 septembre 2012 et débouté X._ de toutes ses conclusions. Constatant que la qualification de contrat d'agence pour l'accord conclu par les parties - retenue par la Cour de justice dans son arrêt du 12 février 2010 - était admise par ces dernières, l'autorité cantonale a jugé que la défenderesse était fondée à résilier l'accord du 30 octobre 1998 avec effet immédiat. Pour la cour cantonale, le demandeur, lié par une clause de non-concurrence, avait violé son devoir de fidélité en invitant à son domicile, sans informer préalablement les organes de la défenderesse, les personnes dont il avait la responsabilité dans sa position d'agent, du moment qu'il avait précisé à cette occasion aux collaborateurs de celle-ci avoir le projet de se mettre à son compte. Il avait en outre remis à ceux qui le souhaitaient la carte de visite de la société dont il avait le contrôle économique. Puisque le congé abrupt était justifié, le demandeur ne pouvait pas prétendre toucher une rémunération jusqu'à l'échéance du délai de congé légal ni a fortiori percevoir une indemnité au sens de l'art. 337c al. 3 CO, dont la cour cantonale a estimé de toute manière douteuse l'application en matière de contrat d'agence. Enfin, aucune indemnité pour clientèle n'entrait en ligne de compte si le contrat, comme dans le cas présent, avait été résilié pour un motif imputable à l'agent. C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal. Le recourant conclut principalement à l'annulation de cet arrêt et, cela fait, que l'intimée soit déboutée « de toutes autres ou contraires conclusions ». Subsidiairement, il requiert l'annulation de l'arrêt cantonal et le renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants, l'intimée devant être déboutée de toutes autres ou contraires conclusions. Par ordonnance du 8 juillet 2013, la Ire Cour de droit civil a fait droit à la requête d'assistance judiciaire présentée par le recourant et lui a désigné les avocats Enrico Scherrer et Laurent Strawson comme avocats d'office. L'intimée propose principalement l'irrecevabilité du recours, subsidiairement son rejet. 