Faits: Faits: A. A._, née en 1958, a déposé une demande tendant à l'octroi d'une rente de l'assurance-invalidité. Elle alléguait souffrir de dépression et d'anxiété. Par décision du 12 mars 2001, l'Office AI pour le canton de Vaud (ci-après : l'office AI) a nié le droit de l'assurée à des prestations, motif pris que celle-ci ne présentait pas d'atteinte à la santé invalidante, entraînant une diminution de sa capacité de travail. Par décision du 12 mars 2001, l'Office AI pour le canton de Vaud (ci-après : l'office AI) a nié le droit de l'assurée à des prestations, motif pris que celle-ci ne présentait pas d'atteinte à la santé invalidante, entraînant une diminution de sa capacité de travail. B. Saisi d'un recours de l'assurée qui concluait à l'octroi de prestations, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a confié une expertise au docteur C._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Dans son rapport du 7 juillet 2003, ce médecin a diagnostiqué une personnalité émotionnellement labile, type borderline (F 60.31), un syndrome de dépendance à l'alcool, « actuellement abstinente » (F 10.20) et un trouble anxieux et dépressif mixte (F 41.2). Il a attesté que A._ souffre d'un trouble de la personnalité qui peut être assimilé à une maladie psychique et qui la rend incapable de supporter les contraintes d'un emploi, étant donné les exigences actuelles du monde économique. L'expert a fait état d'une capacité résiduelle de travail de 20 % à 25 %, voire 30 %, dans son activité habituelle de secrétaire et il a indiqué que cette limitation de rendement était apparue en 1994. Se fondant sur cette expertise, la juridiction cantonale a admis le recours et annulé la décision attaquée, la cause étant renvoyée à l'office AI pour qu'il calcule la rente due à l'assurée et fixe le moment de la naissance de ce droit (jugement du 5 novembre 2003). Se fondant sur cette expertise, la juridiction cantonale a admis le recours et annulé la décision attaquée, la cause étant renvoyée à l'office AI pour qu'il calcule la rente due à l'assurée et fixe le moment de la naissance de ce droit (jugement du 5 novembre 2003). C. L'office AI interjette recours de droit administratif contre ce jugement, dont il demande l'annulation, en concluant au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle mette en oeuvre une nouvelle expertise. L'intimée conclut au rejet du recours, sous suite de dépens. En outre, elle requiert le bénéfice de l'assistance judiciaire et la désignation d'un avocat d'office. L'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) propose l'admission du recours. 