Sachverhalt: A. Z._ bezog von Juni 2001 bis Februar 2002 eine halbe Invalidenrente und seit März 2002 eine Viertelsrente (respektive, wegen wirtschaftlichen Härtefalls, bis Ende 2003 eine halbe Invalidenrente bei einem Invaliditätsgrad von 46 Prozent). Die IV-Stelle des Kantons Zürich erliess am 25. September 2008 eine Verfügung, in welcher sie einen Antrag von Z._ auf Erhöhung der Invalidenrente ablehnte; der Invaliditätsgrad betrage 48 Prozent. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hob diese Verfügung am 30. Juni 2009 auf. Nach weiteren medizinischen Abklärungen stellte die IV-Stelle fest, mit Wirkung ab Dezember 2011 bestehe (bei einem Invaliditätsgrad von nur noch 38 Prozent) kein Rentenanspruch mehr (Verfügung vom 5. Oktober 2011). B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hiess die gegen die Verfügung vom 5. Oktober 2011 erhobene Beschwerde teilweise gut und stellte fest, Z._ habe ab Dezember 2011 weiterhin Anspruch auf eine Viertelsrente. Es überband die Gerichtskosten den Parteien je zur Hälfte, nahm den dem Beschwerdeführer auferlegten Teil indes zufolge Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung einstweilen auf die Gerichtskasse. Die IV-Stelle wurde verpflichtet, dem Beschwerdeführer eine um die Hälfte gekürzte Parteientschädigung von Fr. 1'100.- zu bezahlen (Entscheid vom 15. Oktober 2012). C. Z._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, die IV-Stelle sei in Abänderung des angefochtenen Entscheids zu verpflichten, ihm eine ungekürzte Parteientschädigung von Fr. 2'200.- zu bezahlen. Ausserdem ersucht er um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung. 