Faits: Faits: A. A._ a travaillé en qualité d'enseignante à l'école primaire. Le 21 août 1998, elle a déposé une demande de prestations de l'AI, que l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Jura (l'office AI) a rejetée par décision du 11 octobre 1999 (taux d'invalidité de 35 %). De son côté, la Caisse de pension de la République et canton du Jura a reconnu les taux d'invalidité suivants : 30,76 % dès le 20 mars 1998, 28,85 % dès le 1er août 1999 et 46,15 % dès le 1er août 2001. Depuis le 1er août 2002, A._ bénéficie d'une retraite anticipée pour la part active. Le 12 juillet 2000, l'assurée a présenté une nouvelle demande de prestations de l'AI, invoquant une fibromyalgie, des affections psychiques, ainsi qu'une surdité partielle. Se fondant sur les avis des docteurs R._ (rapports des 26 septembre 2000 et 20 octobre 2001) et J._ (rapports des 6 octobre 2000 et 18 septembre 2001), l'office AI a informé l'assurée qu'il envisageait de fixer le taux d'invalidité à 44,52 % (cf. projet d'acceptation de rente du 29 mai 2002). L'intéressée a manifesté son opposition. Sur recommandation de son médecin-conseil, l'office AI a confié un mandat d'expertise multidisciplinaire à la Clinique X._, fonctionnant en qualité de centre d'observation médicale de l'AI (COMAI). Dans leur rapport du 14 juin 2005, les docteurs D._ et L._ ont attesté que la capacité de travail de l'assurée avait diminué continuellement, passant de 50 % (en mars 1999) à 0 % (en août 2002), en raison d'un syndrome polyalgique idiopathique diffus, d'un trouble dépressif persistant, d'une anxiété généralisée, d'un trouble de la personnalité (personnalité dépendante avec traits obsessionnels) et d'une surdité de perception médio-cochléaire bilatérale. Les médecins du COMAI ont précisé que le syndrome polyalgique idiopathique diffus et la surdité, bien qu'ils aient joué un rôle dans la diminution de la capacité de travail, étaient toutefois en arrière plan par rapport à la pathologie psychiatrique sévère, savoir le trouble dépressif persistant, le trouble anxieux et le trouble de la personnalité. L'office AI a soumis le rapport du 14 juin 2005 au docteur S._, médecin à la Clinique Y._, lequel s'est déclaré d'accord avec les conclusions du COMAI. En revanche, le docteur M._, médecin au SMR Z._, a estimé que le COMAI avait mis en évidence un syndrome douloureux somatoforme persistant qui ne constituait pas une maladie invalidante au sens de l'AI en l'absence d'une comorbidité psychiatrique significative. A son avis, le diagnostic d'anxiété généralisée ne pouvait être retenu, tandis que le trouble de la personnalité dépendante, présent depuis l'adolescence, n'avait pas empêché l'assurée de travailler pendant de nombreuses années (rapport du 8 novembre 2005). Par décision du 16 novembre 2005, confirmée sur opposition le 10 janvier 2006, l'office AI a rejeté la demande, considérant que l'atteinte à la santé psychique n'était pas invalidante. Par décision du 16 novembre 2005, confirmée sur opposition le 10 janvier 2006, l'office AI a rejeté la demande, considérant que l'atteinte à la santé psychique n'était pas invalidante. B. A._ a déféré cette décision à la Chambre des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura en concluant au versement d'une rente d'invalidité. Par jugement du 9 novembre 2006, la juridiction cantonale a admis le recours, allouant à l'assurée une demi-rente d'invalidité dès le 1er août 2001, puis une rente entière depuis le 1er août 2002. Par jugement du 9 novembre 2006, la juridiction cantonale a admis le recours, allouant à l'assurée une demi-rente d'invalidité dès le 1er août 2001, puis une rente entière depuis le 1er août 2002. C. L'office AI a interjeté un recours de droit administratif contre ce jugement dont il a demandé l'annulation, en concluant à la confirmation de sa décision du 10 janvier 2006. Le recourant a produit un nouveau rapport du SMR (du 21 novembre 2006), émanant du docteur C._. L'intimée a conclu au rejet du recours, avec suite de frais et dépens. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. 