Sachverhalt: A. X._ (Jahrgang 1968) und Z._ (Jahrgang 1970) hatten am xxxx 1992 geheiratet. Sie sind die Eltern der Kinder S._ (geb. xxxx 1995) und T._ (geb. xxxx 1996). Am 18. April 2001 schied das Bezirksgericht Bülach die Ehe. Gemäss Scheidungsurteil hat X._ an den Unterhalt und die Erziehung der Kinder bis zum Abschluss deren ordentlicher Erstausbildung, falls nötig über die Mündigkeit hinaus, pro Monat je Fr. 610.-- zuzüglich Kinderzulagen zu bezahlen. X._ wurde überdies verpflichtet, seiner Frau an deren eigenen Unterhalt bis Ende 2012 monatlich Fr. 100.-- zu bezahlen. Das Scheidungsurteil hält fest, dass mit dieser Unterhaltsregelung der gebührende Unterhalt der Ehefrau von Fr. 3'607.35 nicht gedeckt werde. Nach der Scheidung heiratete X._ am 3. März 2003 erneut. B. Mit Eingabe vom 27. Januar 2010 ersuchte Z._ das Bezirksgericht Bülach um Abänderung des Scheidungsurteils. Sie verlangte eine angemessene Erhöhung der Unterhaltsbeiträge für die beiden Kinder, ohne diese jedoch zu beziffern. Das Bezirksgericht erhörte die Mutter. Es hob die Unterhaltsbeiträge rückwirkend ab 1. Februar 2009 an, für S._ auf Fr. 950.-- und für T._ auf Fr. 1'200.-- pro Monat, je zuzüglich Kinder- bzw. Ausbildungszulagen (Urteil vom 29. Juli 2010). C. Darauf erhob X._ am 23. August 2010 Berufung. Vor dem Obergericht des Kantons Zürich beantragte er, das Abänderungsbegehren seiner früheren Ehefrau betreffend die Kinderunterhaltsbeiträge vollumfänglich abzuweisen. In seinem Urteil vom 7. Juli 2011 bestimmte das Obergericht die Unterhaltsbeiträge neu mit Wirkung ab 1. Februar 2010 auf Fr. 800.-- (für S._) bzw. Fr. 1'000.-- (für T._). D. D.a Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 12. September 2011 wendet sich X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. In der Hauptsache stellt er den Antrag, in Aufhebung des Urteils des Obergerichts sei das Begehren seiner früheren Ehefrau (nachfolgend Beschwerdegegnerin) betreffend die Abänderung der Kinderunterhaltsbeiträge gemäss Scheidungsurteil des Bezirksgerichts Bülach vom 18. April 2001 vollumfänglich abzuweisen; eventuell sei das Berufungsurteil aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung nach Durchführung eines Beweisverfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht ersuchte er darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. D.b Mit Eingabe vom 28. September 2011 beantragte die Beschwerdeführerin, das Gesuch um aufschiebende Wirkung abzuweisen. Zugleich ersuchte Sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Am 29. September 2011 erkannte die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde hinsichtlich der gemäss dem obergerichtlichen Urteil von Februar 2010 bis und mit August 2011 geschuldeten Kinderunterhaltsbeiträge sowie hinsichtlich der Gerichtskosten die aufschiebende Wirkung zu. D.c Das Bundesgericht hat die Akten, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt. 