Faits: A. La République de Chine a été proclamée par Sun Yat-sen le 1er janvier 1912, après l'effondrement de l'empire mandchou. Chiang Kai-chek lui a succédé à la tête du gouvernement en 1925. La Constitution a été adoptée le 25 décembre 1946 et Chiang Kai-chek a été élu président de la République. Après la proclamation de la République populaire de Chine, le 1er octobre 1949, Chiang Kai-chek s'est replié à Taïwan avec une partie de son armée et de ses partisans. Depuis 1949, la République de Chine (réduite à la possession de Taïwan) et la République populaire de Chine prétendent représenter le seul gouvernement légitime pour la Chine. La République de Chine a occupé le siège réservé à la Chine dans le Conseil de sécurité de l'ONU de 1945 à 1971, époque à laquelle elle a été exclue de l'ONU et son siège attribué à la République populaire de Chine. Après 1979, un grand nombre d'Etats ont reconnu la République populaire de Chine et rompu leurs relations diplomatiques avec Taïwan. Actuellement, seule une vingtaine d'Etats maintiennent des relations diplomatiques avec la République de Chine (Taïwan). Quant à la Suisse, dès 1950, elle a considéré la République populaire de Chine comme le seul représentant légitime du peuple chinois; elle a depuis rompu ses relations diplomatiques avec Taïwan. B. L'Organisation Internationale de Normalisation (ci-après : ISO) est une association de droit suisse au sens des art. 60 ss CC. Selon l'art. 2 de ses statuts, elle a pour but de « favoriser le développement de la normalisation et des activités connexes dans le monde, en vue de faciliter entre les nations les échanges de marchandises et les prestations de services et de réaliser une entente dans les domaines intellectuel, scientifique, technique et économique ». ISO élabore des normes internationales qui sont applicables universellement par des organismes publics et privés dans presque tous les secteurs du monde économique, de la technologie et de l'industrie. C. C.a Dans le cadre de son activité, ISO a établi un système de désignation territoriale contenu dans la norme ISO 3166-1. Cette norme est destinée à toute application nécessitant l'expression des noms de pays sous une forme codée (art. 1 de la norme ISO 3166-1, 2ème éd., 2006). Selon cette norme, chaque pays se voit ainsi assigner un code à deux lettres, un code à trois lettres et un code numérique de trois chiffres. Les noms de pays sont repris de la liste figurant dans le « Codage statistique normalisé des pays, zones et régions » établi par la Division des statistiques des Nations Unies (art. 4.1 de la norme ISO 3166-1). Les noms des pays indépendants proviennent, d'une part, du « Bulletin de Terminologie-Noms de Pays », publié par le Département des Conférences des Nations Unies, sous le titre « Etats membres de l'Organisation des Nations Unies, Membres d'institutions spécialisées ou parties au Statut de la Cour internationale de Justice » jusqu'en septembre 2000, puis sur le site UNTERM des Nations Unies, et, d'autre part, du « Codage statistique normalisé des pays, zones et régions » précité (art. 4.2 de la norme ISO 3166-1). Les modifications du nom d'un pays résultent essentiellement des informations provenant du siège des Nations Unies (art. 7.4 de la norme ISO 3166-1). C.b Dans la norme ISO 3166-1 (2ème éd., 2006), la République de Chine (Taïwan) est mentionnée comme « Taïwan, Province de Chine ». La République populaire de Chine figure également dans cette norme, sous sa forme courte « Chine ». D. Le 20 juillet 2007, la République de Chine (Taïwan) a saisi le Tribunal de première instance du canton de Genève d'une action en protection de sa personnalité et de son nom (art. 28 et 29 CC). Elle a conclu à ce qu'il soit ordonné à ISO de cesser d'utiliser la dénomination « Taïwan, Province de Chine » dans la norme 3166-1 ou toute autre norme ISO, publication écrite ou électronique dépendant d'elle et à ce qu'il lui soit ordonné de la désigner sous le nom de « République de Chine (TAIWAN) ». Par conclusions sur exceptions et incidents du 11 janvier 2008, ISO a conclu à l'irrecevabilité de la demande, subsidiairement à son rejet, et plus subsidiairement encore au prononcé d'une cautio judicatum solvi d'un montant de 50'000 fr. A l'appui de ses conclusions, elle exposait que le Tribunal était incompétent à raison du lieu et de la matière, contestait la qualité pour agir de la République de Chine et faisait valoir que l'assignation était nulle. La République de Chine (Taïwan) ne s'est pas opposée au versement d'une cautio judicatum solvi à concurrence de 20'000 fr. dans un délai de deux mois et a conclu au rejet des exceptions et incidents pour le surplus. Par jugement du 4 septembre 2008, le Tribunal de première instance a rejeté les incidents soulevés et admis sa compétence en raison de la matière et du lieu. Il a également considéré que la République de Chine (Taïwan) avait la capacité d'ester en justice, la qualité pour agir en protection de sa personnalité et de son nom et a réservé la suite de la procédure. Statuant le 20 mars 2009, la Cour de justice du canton de Genève a admis l'appel formé contre ce jugement par ISO et déclaré la demande irrecevable, subsidiairement infondée. Elle a considéré que les tribunaux genevois n'étaient pas compétents à raison de la matière et que la République de Chine n'avait pas la capacité d'ester en justice, ce qui conduisait à l'irrecevabilité de la demande. A titre subsidiaire, elle a observé que, supposée recevable, l'action aurait dû être rejetée sur le fond car il n'y a pas de violation du droit au nom. E. Le 8 mai 2009, la République de Chine (Taïwan) forme un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal, à ce qu'il soit dit qu'elle a la capacité d'ester en justice et que les tribunaux suisses sont compétents à raison de la matière pour trancher le litige. Elle demande également que sa qualité pour agir sur la base des art. 28 et 29 CC soit reconnue. Par ordonnance du 3 juin 2009, la présidente de la cour de céans a rejeté la demande d'effet suspensif. Invitées à se déterminer, l'autorité précédente s'est référée aux considérants de son arrêt et l'intimée a conclu principalement au rejet du recours et, à titre subsidiaire, à son irrecevabilité. 