Sachverhalt: A. A.a. A.X._ und B.X._ sind in der Schweiz niedergelassene mazedonische Staatsangehörige. Sie haben drei Kinder (C.X._ [geb. xx.xx.1994], D.X._ [geb. xx.xx.1995], und E.X._ [geb. xx.xx.1998]), welche alle hier geboren und in die Niederlassungsbewilligung ihrer Eltern einbezogen wurden. A.X._ erlitt 1999 einen Unfall, ist seither 100 % invalid und bezieht eine Invalidenrente. Die drei Söhne lebten seit 2001 in Mazedonien beim Grossvater und besuchten über einen Zeitraum von elf Jahren dort die Schule in einem Internat. A.b. Am 18. Januar 2012 meldete sich B.X._ beim zuständigen Sozialamt und ersuchte um finanzielle Unterstützung ihrer Söhne bei der Wohnungssuche und für Sprachkurse. Zur Begründung machte sie geltend, da die Söhne in Mazedonien keine Perspektiven hätten, sei beabsichtigt, dass sie wieder in die Schweiz zurückkehrten. Im Frühjahr 2012 reisten die drei Söhne wieder in die Schweiz ein und leben seither bei ihren Eltern. B. Nachdem das Departement des Innern des Kantons Solothurn (Migration und Schweizer Ausweise) das rechtliche Gehör gewährt hatte, stellte es mit Verfügung vom 27. Juni 2012 fest, dass die Niederlassungsbewilligungen von C.X._, D.X._ und E.X._ erloschen seien. Das am 30. März 2012 eventualiter für die beiden damals noch minderjährigen Söhne D.X._ und E.X._ gestellte Gesuch um Familiennachzug wies es ab; ebenso verweigerte es dem volljährigen C.X._ die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung in Abweichung von den Zulassungsvoraussetzungen (Art. 30 [lit. b oder lit. k] des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20). Gleichzeitig wies es die drei Brüder X._ aus der Schweiz weg. Zur Begründung führte die Migrationsbehörde im Wesentlichen aus, die Niederlassungsbewilligung der drei Kinder sei infolge der langen Auslandsabwesenheit sowie der Verlegung des Lebensmittelpunktes nach Mazedonien erloschen. Die Frist für einen ordentlichen Familiennachzug sei bereits abgelaufen, und ein nachträglicher Familiennachzug könne mangels wichtiger familiärer Gründe nicht bewilligt werden. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 2. November 2012 ab, gewährte der Familie X._ jedoch antragsgemäss die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung, dies im Wesentlichen mit der Begründung, der Prozess sei nicht aussichtslos gewesen und die IV-Rente des Vaters vermöge den Unterhalt der Familie nur knapp zu decken. C. Mit gemeinsamer Eingabe vom 6. Dezember 2012 führen A.X._, B.X._ und C.X._ Beschwerde (in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten) beim Bundesgericht mit den Anträgen, das letztgenannte Urteil in der Hauptsache aufzuheben und festzustellen, dass die Niederlassungsbewilligungen von C.X._, D.X._ und E.X._ nicht erloschen seien; eventuell sei das Familiennachzugsgesuch zugunsten von D.X._ und E.X._ zu bewilligen und C.X._ eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen, subeventuell die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Das Departement des Innern (Migration und Schweizer Ausweise) sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn beantragen Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Migration schliesst auf Abweisung. D. Mit Verfügung vom 17. Dezember 2012 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt. 