Sachverhalt: A. A.a X._ ist heute Alleinerbe seines am 5. August 2000 verstorbenen Onkels und Paten Y._, der in F._ gewohnt hatte. Auf eigenes Ersuchen war für Y._ durch Beschluss der Sozial- bzw. Vormundschaftsbehörde F._ vom 5. Juli 1999 eine Beistandschaft im Sinne von Art. 394 ZGB errichtet und wunschgemäss G._ als Beiständin ernannt worden. Y._ rekurrierte, zog aber das Rechtsmittel am 7. September 1999 wieder zurück. Nachdem G._ trotz verschiedener Aufforderungen und Mahnungen kein Eröffnungsinventar erstellt hatte, beschloss die erwähnte Behörde am 23. Mai 2000, die Beiständin per sofort im Sinne von Art. 448 ZGB in ihrem Amt vorläufig einzustellen. Gleichzeitig wurde Treuhänder H._ als vorläufiger Beistand eingesetzt. Laut der von diesem nach dem Tod des Verbeiständeten vorgelegten Schlussabrechnung fehlten für einen Betrag von Fr. 108'140.55 Belege, die von G._ nicht beigebracht worden waren. A.b Mit Eingabe vom 22. August 2002 erhob X._ beim Bezirksgericht I._ Klage gegen G._ und verlangte, diese zu verpflichten, ihm Fr. 108'140.55 nebst Zins zu 5 % seit 2. April 2002 zu zahlen. G._ erklärte Anerkennung der Klage, worauf das Verfahren durch Beschluss vom 17. Oktober 2002 als durch Klageanerkennung erledigt abgeschrieben wurde. In der Folge stellte sich heraus, dass G._ überschuldet war und die Forderung deshalb als uneinbringlich erschien. B. Unter Berufung auf die Art. 426 ff. ZGB reichte X._ hierauf mit Eingabe vom 23. September 2003 beim Bezirksgericht I._ eine Klage gegen A._, B._, C._, D._ und E._, alle fünf Mitglieder der Sozial- bzw. Vormundschaftsbehörde F._, ein und beantragte, sie zu verpflichten, ihm Fr. 115'231.75 nebst Zins zu 5 % auf Fr. 108'140.55 seit 2. April 2002 und auf Fr. 7'091.20 (Prozessentschädigung aus dem Verfahren gegen G._ sowie Weisungskosten) seit 17. April 2003 zu zahlen. Das Bezirksgericht (II. Abteilung) und das Obergericht (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich wiesen die Klage mit Urteilen vom 14. September 2006 bzw. vom 12. Juni 2007 ab. Am 30. Juni 2008 wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich die von X._ gegen den obergerichtlichen Entscheid erhobene Nichtigkeitsbeschwerde ab, soweit darauf einzutreten war. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 8. September 2008 beantragt X._, die Entscheide des Obergerichts und des Kassationsgerichts aufzuheben und die Beschwerdegegner A._, B._, C._, D._ und E._ zu verpflichten, ihm die bereits im kantonalen Verfahren geforderten Beträge zu zahlen; allenfalls seien die beiden Entscheide aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Durch Präsidialverfügung vom 10. September 2008 ist das vom Beschwerdeführer gleichzeitig gestellte Gesuch, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen, abgewiesen worden. Die Beschwerdegegner schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Ober- und Kassationsgericht haben auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde verzichtet. 