Faits: A. A.a Par contrats du 4 septembre 2000, Banque Y._ (ci-après: la banque) a engagé, à partir du 1er janvier 2001, X._ et A._, qui travaillaient jusqu'alors dans le même établissement bancaire genevois. Le premier était responsable des relationship managers (i.e les gestionnaires), avec titre de directeur adjoint, alors que le second, subordonné directement au prénommé, était gestionnaire, avec titre de vice-directeur. Les deux employés, qui oeuvraient de concert, avaient notamment pour mission d'amener à la banque une nouvelle clientèle private banking. Le salaire annuel brut de A._ était de 180'000 fr., montant auquel s'ajoutait, pendant deux ans, un bonus minimum de 50'000 fr. Selon les contrats, les rapports de travail pouvaient prendre fin au plus tôt le 30 juin 2003, sauf résiliation immédiate pour justes motifs. Le 11 février 2002, la banque a résilié avec effet immédiat les contrats de travail la liant à X._ et à A._. Elle reprochait aux deux employés d'avoir commis des fautes graves consistant à n'avoir pas éclairci, de façon sérieuse et documentée, les nombreux transferts insolites réalisés de manière parallèle sur les comptes de deux titulaires totalement distincts. A.b Le 14 mars 2002, A._ a assigné la banque devant la juridiction prud'homale genevoise. Du chef de son licenciement immédiat, qu'il estimait injustifié, le demandeur réclamait le paiement de 262'500 fr. brut, à titre de salaire et d'indemnité de vacances jusqu'à l'expiration de la durée contractuelle des rapports de travail, et de 90'000 fr. net, à titre d'indemnité au sens de l'art. 337c al. 3 CO, le tout avec intérêts à 5% dès le 11 février 2002. X._ a également ouvert action contre la banque. Bien qu'elles n'aient pas été formellement jointes, les deux procédures ont fait l'objet d'une instruction commune. Par jugement du 17 décembre 2003, le Tribunal des prud'hommes du canton de Genève a condamné la défenderesse à payer au demandeur la somme brute de 262'500 fr., sous déduction de la somme nette de 54'890 fr.10 à verser à la Caisse cantonale genevoise de chômage, ainsi qu'une indemnité de 30'000 fr. net, les montants alloués au demandeur portant intérêts à 5% dès le 11 février 2002. Par ailleurs, la banque a été condamnée à remettre à A._ un certificat de travail conforme aux exigences de l'art. 330a CO. Statuant le 1er mars 2004 sur appel de la banque et appel incident de l'employé, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève a confirmé le jugement de première instance, en tenant compte du montant actualisé des prétentions récursoires de la caisse de chômage, sauf en ce qui concernait l'indemnité pour licenciement injustifié qu'elle a augmentée à 60'000 fr., soit l'équivalent de quatre mois de salaire. En substance, elle a considéré que le comportement reproché à l'employé ne constituait pas un manquement grave au devoir de diligence, justifiant un licenciement immédiat sans avertissement préalable. Pour arrêter la quotité de l'indemnité au sens de l'art. 337c al. 3 CO, la cour cantonale s'est fondée sur la durée des rapports de travail, le manque de consistance des motifs invoqués à l'appui du licenciement, le grave préjudice porté à la réputation de l'employé et les conséquences économiques subies par ce dernier, qui n'avait alors pas retrouvé un emploi. Enfin, la Cour d'appel ne s'est pas penchée sur la question du certificat de travail, dès lors que l'employé ne contestait pas la décision de première instance sur ce point. Par arrêt du 24 août 2004 (cause 4C.210/2004), le Tribunal fédéral a rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, le recours en réforme que la banque avait interjeté contre la décision cantonale. A ce stade de la procédure, le litige ne portait que sur le caractère justifié ou non du licenciement immédiat, la défenderesse ne remettant pas en cause les conséquences pécuniaires de cette mesure si elle devait se révéler injustifiée. B. Le 3 décembre 2004, A._ a saisi le Tribunal des prud'hommes du canton de Genève d'une demande qualifiée d'«additionnelle», tendant notamment à la condamnation de la banque à lui verser, à titre de dommages-intérêts, un montant fixé en dernier lieu à 534'768 fr.25, plus intérêts à 5% dès le dépôt de la demande. Le demandeur faisait valoir que la banque avait informé plusieurs tiers des motifs invoqués à l'appui de son licenciement immédiat, qu'elle lui avait imputé un comportement contraire à l'honneur, ce qui avait été porté à la connaissance notamment des signataires du rapport de V._ produit dans le cadre de la procédure précédente et, enfin, qu'elle ne lui avait remis un certificat de travail qu'en octobre 2004, de plus sous une forme inappropriée et inexacte. Ce faisant, la banque aurait porté atteinte à la personnalité de l'employé, en violation de l'art. 328 CO. Cette violation d'une obligation contractuelle aurait empêché le demandeur de retrouver un emploi avant le 1er novembre 2005, de sorte que la banque devait être condamnée à réparer le dommage correspondant au gain manqué par l'employé entre le 30 juin 2003 et le 31 octobre 2005. X._ a également ouvert action contre la banque. Les deux procédures ont fait l'objet d'une instruction partiellement commune, sans être formellement jointes. La banque a soulevé l'exception de chose jugée. Par jugement du 14 mars 2008, le Tribunal des prud'hommes a condamné la banque à payer à A._ 236'036 fr.60 avec intérêts à 5% dès le 3 décembre 2004, montant représentant le manque à gagner subi par le demandeur entre le 1er décembre 2003 et le 31 octobre 2005 en raison d'une atteinte à sa personnalité, imputable à la défenderesse. Statuant le 10 novembre 2008 sur appel de la banque et appel incident de A._, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes a annulé le jugement entrepris et débouté le demandeur de toutes ses conclusions, dans la limite de leur recevabilité. Selon cet arrêt, il ne résulte du dossier aucune atteinte à la personnalité de l'employé qui justifierait l'allocation d'une indemnité «pour tort moral» excédant le montant alloué sur la base de l'art. 337c CO dans la procédure précédente. En particulier, il n'est pas démontré que la banque a porté les motifs du licenciement immédiat à la connaissance de tiers; l'employeur n'avait pas non plus à faire taire les rumeurs à ce sujet. Au surplus, la cour cantonale a jugé que le dommage invoqué en relation avec un gain manqué n'était pas établi. C. A._ forme un recours en matière civile. Il demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt cantonal, puis, préalablement, d'ordonner la production du rapport établi par V._ et, principalement, de condamner la banque à lui payer 299'165 fr.60 avec intérêts à 5% dès le début de la procédure. La banque conclut à ce que la conclusion préalable du recourant soit déclarée irrecevable et à ce que le recours soit rejeté dans la mesure de sa recevabilité. La cour cantonale n'a pas d'observations à formuler. 