Sachverhalt: A. Am 20. Mai 2008 erteilte die Bausektion des Stadtrates Zürich dem Hochbauamt der Baudirektion des Kantons Zürich die baurechtliche Bewilligung für die Erneuerung bzw. Erhaltung des Rechberg-Gartens in Zürich. Mit Verfügung vom 7. März 2008 hatte die Baudirektion bereits die zusätzlich erforderliche denkmalpflegerische Bewilligung erteilt. Gegen beide Bewilligungen gelangte die Schweizerische Gesellschaft für Gartenkultur (SGGK) am 2. Juli 2008 an die Baurekurskommission I des Kantons Zürich, welche das Rechtsmittel am 7. April 2009 abwies. Die von der SGGK gegen diesen Entscheid am 11. Mai 2009 erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 24. Februar 2010 ab. B. Mit Eingabe vom 11. Juni 2010 führt die SGGK, c/o Dr. X._, Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Entscheidung in ihrem Sinne, eventualiter die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung. Sinngemäss ersucht sie um Wiederherstellung der Beschwerdefrist. Mit Verfügung vom 6. Juli 2010 erkannte der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu. Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Baudirektion des Kantons Zürich und die Bausektion des Stadtrates Zürich stellen den Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventualiter sei diese abzuweisen. Mit Eingabe vom 29. September 2010 hält die Beschwerdeführerin an ihren Anträgen fest. 