Sachverhalt: A. Der 1946 geborene E._ ist seit Anfang 2001 als Aussendienstmitarbeiter in der Firma U._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 6. September 2005 erlitt er einen Verkehrsunfall. Ein nachfolgender Renault Mégane prallte ins Heck des von ihm gelenkten und für ein Abbiegemanöver angehaltenen Subaru Outback. E._ erlitt dabei ein Beschleunigungstrauma der Halswirbelsäule (HWS) und war in der Folge in variierendem Ausmass arbeitsunfähig. Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 14. Juni 2007 stellte sie die Leistungen auf den 1. Juli 2007 ein. Sie verneinte überdies einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch geklagten Beschwerden stünden nicht in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfall vom 6. September 2005. Daran hielt die SUVA auf Einsprache des Versicherten hin fest (Entscheid vom 22. Januar 2008). B. Die von E._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 25. November 2009 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt E._ beantragen, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Sache an das kantonale Gericht resp. die SUVA zurückzuweisen, damit letztere über die versicherten Leistungen ab 1. Juli 2007 neu verfüge. Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. 