Sachverhalt: A. Die X._ (Beschwerdeführerin) ist eine Schweizerische Verwertungsgesellschaft für die Urheberrechte an audiovisuellen Werken in der Rechtsform einer privatrechtlichen Genossenschaft mit Sitz in Bern. Sie verwaltet die eingezogenen Gelder und bezahlt den Verwertungserlös jeweils den Mitgliedern aus. Seit ihrer Gründung im Jahre 1981 war die Y._ (Beschwerdegegnerin) mit Sitz in Zürich ihre Hausbank. B. Am 22. April 2009 reichte die Beschwerdeführerin gegen die Beschwerdegegnerin beim Handelsgericht Zürich Klage ein. Damit verlangte sie die Zahlung von Fr. 2'910'855.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 24. Dezember 2008, unter Vorbehalt des Nachklagerechts (Rechtsbegehren 1). Ferner beantragte sie die Verpflichtung der Beschwerdegegnerin zur umfassenden Rechenschaftsablegung über die Retrozessions- und Platzierungsgebühren, welche die Beschwerdegegnerin in der Zeit vom 18. Juli 2005 bis zum 15. September 2008 von Lehman Brothers Gesellschaften [...] aufgrund der von der Beschwerdeführerin im Juli 2005 getätigten Anlage in das Produkt CPU Plus (Valor 2233275) erhalten hat (Rechtsbegehren 2a). Mit Rechtsbegehren 2b verlangte sie, die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, die in Rechtsbegehren 2a spezifizierten Retrozessions- und Platzierungsgebühren herauszugeben, alles wie nach erfolgter Rechenschaftsablegung nach Rechtsbegehren 2a im Einzelnen verlangt. Der mit dem Rechtsbegehren 1 verlangte Betrag ergibt sich aus dem Kaufpreis des im Juli 2005 gekauften Anlageproduktes "CPU Plus" von Fr. 3'000'000.-- abzüglich des Verkaufserlöses dieses Produktes von Fr. 89'145.-- auf dem Sekundärmarkt. Der Verkauf erfolgte nach dem Zusammenbruch der Emittentin des Produktes und der Garantin, Lehman Brothers Treasury Co. B.V. und Lehman Brothers Holdings Inc. (nachfolgend "Lehman"). Mit Teilurteil vom 23. Mai 2011 wies das Handelsgericht das Rechtsbegehren 1 ab (Dispositivziffer 1). Jedoch verpflichtete es die Beschwerdegegnerin zur umfassenden Rechenschaftsablegung gemäss Rechtsbegehren 2a (Dispositivziffer 2). Ferner hielt es fest, dass über das Rechtsbegehren 2b erst nach Auskunftserteilung gemäss Dispositivziffer 2 entschieden werde (Dispositivziffer 3). Das Handelsgericht qualifizierte das Vertragsverhältnis der Parteien, auf das die Beschwerdeführerin ihre Ansprüche stützte, als Anlageberatungsvertrag. Die Abweisung des Rechtsbegehrens 1 begründete es damit, dass die Beschwerdegegnerin keine Informationsvermittlungspflichten verletzt habe. Gleiches gelte eventualiter für die Verletzung der Sorgfalts- und Treuepflicht im Allgemeinen sowie für die Verletzung der Warnpflicht. C. Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Teilurteil des Handelsgerichts bezüglich der Ziffern 1, 4, 5 und 6 des Dispositivs (teilweise Klageabweisung und Kosten- und Entschädigungsfolgen) aufzuheben und die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, ihr Fr. 2'910'855.-- zuzüglich Zins von 5 % seit dem 24. Dezember 2008 zu bezahlen. Eventuell sei die Sache zur Vervollständigung der Sachverhaltsfeststellungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie einzutreten sei. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung. Die Parteien reichten eine Replik und eine Duplik ein. 