Sachverhalt: A. X._ verursachte am 17. Juli 2002, um 23.15 Uhr, auf der Bahnhofstrasse in Triengen eine Streifkollision mit einem entgegenkommenden Personenwagen. An beiden Fahrzeugen wurden der linke Aussenspiegel und am entgegenkommenden Personenwagen zudem das kleine Fenster der linken Fahrzeugtüre beschädigt. X._ hielt nicht an. Der Geschädigte fuhr ihm daher nach, um ihn zum Anhalten zu veranlassen. Er brach dieses Unterfangen wegen der schnellen Fahrweise von X._ ab und benachrichtigte unverzüglich die Polizei. Diese konnte X._ erst am nächsten Tag, um 10.10 Uhr, an seinem Arbeitsplatz antreffen. Sie führte wegen deutlicher Alkoholsymptome einen Atemlufttest durch. Dieser fiel positiv aus. Die Analyse der Blutprobe ergab eine Blutalkoholkonzentration von minimal 0,61 und maximal 0,97 Gewichtspromille. X._ gab an, er sei um 23.30 Uhr nach Hause gekommen und habe dort zwei Kaffee mit Zwetschgenschnaps getrunken, bevor er um 00.45 Uhr zu Bett gegangen sei. Laut dem Ergänzungsgutachten des Instituts für Rechtsmedizin der Universität Zürich vom 21. März 2003 bestand bei der Fahrt zur Arbeit um 08.40 Uhr eine Blutalkoholkonzentration zwischen 0,76 und 1,27 Promille. Diese Alkoholisierung konnte gemäss dem Gutachten nicht allein vom behaupteten Nachtrunk herrühren. B. Das Obergericht des Kantons Luzern sprach X._ am 2. September 2003 in Bestätigung des Entscheids des Amtsgerichts Sursee vom 4. April 2003 des ungenügenden Rechtsfahrens mit Personenwagen (Art. 34 Abs. 1 SVG), des pflichtwidrigen Verhaltens nach Unfall mit Fremdschaden (Art. 51 Abs. 1 und 3 SVG) und der Vereitelung einer Blutprobe (Art. 91 Abs. 3 SVG) schuldig. Es bestrafte ihn in Anwendung von Art. 90 Ziff. 1, Art. 91 Abs. 3 und Art. 92 Abs. 1 SVG mit fünf Wochen Gefängnis, bedingt vollziehbar bei einer Probezeit von fünf Jahren, und 1'500 Franken Busse. C. X._ führt eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde mit dem Antrag, das Urteil des Obergerichts sei in Bezug auf den Schuldspruch wegen Vereitelung einer Blutprobe (Art. 91 Abs. 3 SVG) sowie im Straf- und Kostenpunkt aufzuheben. Zudem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. D. Das Obergericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. 