Sachverhalt: A. Am 29. August 2008, um ca. 2.00 Uhr, lenkte Y._ seinen Personenwagen in Baden von der Römerstrasse in Richtung Parkstrasse. Auf dem Beifahrersitz sass seine Ehefrau, auf der Rückbank befanden sich X._ und ein weiterer Kollege. Die vier Personen befanden sich auf dem Nachhauseweg von einem Fest. Als die Ehefrau des Lenkers unvermittelt aus dem Wagen sprang und um Hilfe rufend wegrannte, hielt dieser das Fahrzeug auf offener Strasse an und lief seiner Frau hinterher. Kurz darauf wurde ein Securitas-Wächter auf das Fahrzeug aufmerksam. Er forderte X._, der zu diesem Zeitpunkt am Steuer sass, auf, das Fahrzeug von der Strasse zu entfernen. X._ lenkte das Fahrzeug daraufhin etwa 30 bis 40 Meter weit auf einen Parkplatz. Eine in der Zwischenzeit aufgebotene Patrouille der Kantonspolizei des Kantons Aargau wollte aufgrund der Aussage des Securitas-Wächters bei X._ einen Atemlufttest und eine Blutentnahme durchführen. X._ verweigerte dies jedoch mit der Begründung, er habe das Auto zuvor nicht gelenkt. Die Polizeibeamten konfiszierten daraufhin den Führerausweis von X._ provisorisch. Das Strassenverkehrsamt des Kantons Zürich orientierte X._ mit Schreiben vom 25. September 2008 darüber, dass es den Abschluss des Strafverfahrens abwarten und danach den Erlass einer Administrativmassnahme prüfen werde. Gleichzeitig retournierte es ihm seinen Führerausweis. B. Mit Strafbefehl des Bezirksamts Baden vom 15. September 2009 wurde X._ der Vereitelung von Massnahmen zur Feststellung der Fahrunfähigkeit im Sinn von Art. 91a Abs. 1 SVG (SR 741.01) schuldig gesprochen. Er wurde mit einer bedingten Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu je Fr. 160.- (Probezeit: 2 Jahre) und mit einer Busse von Fr. 1'000.- bestraft. Dieser Strafbefehl ist rechtskräftig. Der Strafbefehl vom 15. September 2009 wurde dem Strassenverkehrsamt des Kantons Zürich aus unbekannten Gründen erst am 16. Juni 2011 zugestellt. C. Mit Verfügung vom 26. September 2012 entzog das Strassenverkehrsamt X._ gestützt auf Art. 16 und 16c SVG den Führerausweis für die Dauer von drei Monaten wegen einer schweren Widerhandlung gegen das Strassenverkehrsgesetz. X._ rekurrierte gegen die Verfügung des Strassenverkehrsamts an die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich und beantragte, die Verfügung sei aufzuheben. Die Sicherheitsdirektion wies den Rekurs mit Entscheid vom 12. März 2013 ab. Dagegen gelangte X._ am 12. April 2013 mit Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Er stellte den Antrag, der Entscheid der Sicherheitsdirektion sowie die Verfügung des Strassenverkehrsamts seien aufzuheben, und es sei auf die Anordnung einer Administrativmassnahme zu verzichten. Mit Urteil vom 3. Juni 2013 hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerde von X._ teilweise gut und setzte die Dauer des Führerausweisentzugs auf eineinhalb Monate fest. D. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt das Strassenverkehrsamt des Kantons Zürich, der Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 3. Juni 2013 sei aufzuheben. Das Verwaltungsgericht ersucht um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Strassen ASTRA verlangt die Gutheissung der Beschwerde. X._ verzichtet auf eine Vernehmlassung. 