Sachverhalt: A. Aus der zwischen Z._ (Ehemann) und X._ im Jahre 1994 geschlossenen Ehe gingen drei Kinder hervor: R._, geboren 1998, S._, geboren 2001, und T._, geboren 2002. Die Eheleute X._ und Z._ leben seit Herbst 2003 getrennt. Mit Urteil vom 3. Mai 2007 schied das Kreisgericht K._ die Ehe. Bezüglich der Nebenfolgen ordnete es unter anderem an, dass die drei Kinder unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt würden und eine Erziehungsbeistandschaft errichtet werde. Z._ erhielt ein Besuchs- und Ferienrecht zugesprochen und wurde verpflichtet, an den Unterhalt der drei Kinder Beiträge von monatlich je Fr. 600.-- zu zahlen. Z._ erhob Berufung, worauf das Kantonsgericht St. Gallen (II. Zivilkammer) mit Entscheid vom 23. April 2008 die drei Kinder unter seine elterliche Sorge stellte und die Errichtung einer Erziehungsbeistandschaft bestätigte. Ferner wurde der persönliche Verkehr zwischen den Kindern und der Mutter geregelt und diese zu Unterhaltsbeiträgen von monatlich Fr. 150.-- für jedes Kind verpflichtet. B. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 26. Juni 2008 verlangt X._, den kantonsgerichtlichen Entscheid aufzuheben und die Berufung des Beschwerdegegners gegen das erstinstanzliche Scheidungsurteil abzuweisen; allenfalls sei die Sache zur Ergänzung des Beweisverfahrens, insbesondere zur Einholung eines Fachgutachtens beim Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienst oder einer anderen geeigneten Stelle und zu neuer Entscheidfindung an das Kantonsgericht zurückzuweisen. Ausserdem ersucht die Beschwerdeführerin darum, ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Mit dem Hinweis, hinsichtlich der Regelung der Elternrechte liege ein Gestaltungsurteil vor und dem Rechtsmittel komme in einem solchen Fall auch für die anderen Punkte von Amtes wegen Suspensivwirkung zu, ist durch Präsidialverfügung vom 8. Juli 2008 entschieden worden, dass auf das Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung nicht eingetreten werde. Ein Gesuch des Beschwerdegegners vom 5. August 2008, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu entziehen, wurde durch Verfügung des Instruktionsrichters vom 11. August 2008 abgewiesen. In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. 