Faits: A. O._ a été résistant sous les ordres du commandant Ahmed Shah Massoud pendant l'invasion et l'occupation de l'Afghanistan par les troupes de l'Union des républiques socialistes soviétiques, de 1979 à 1985, puis a travaillé comme chauffeur d'ambulance pour le compte de l'Entreprise X._. Victime d'une blessure par balle au tibia gauche en septembre 1990 et d'une fracture accidentelle au même endroit en août 1992, il a d'abord été soigné au Pakistan (cf. rapports des docteurs P._ et S._, chirurgiens orthopédiques, des 22 avril et 4 juin 1992), puis en Suisse en 1993 (cf. rapport du docteur A._, chirurgien orthopédique, du 5 août 1997). L'évolution de son état de santé lui a permis de reprendre certaines tâches (faire des photocopies) moins astreignantes que celle de chauffeur toujours pour le compte de l'Entreprise X._. Il est revenu en Suisse le 28 août 1996 pour s'y faire ré-opérer (cf. rapport du docteur A._ cité) et y est définitivement resté à cause de la situation politique dans son pays et de son passé de moudjahid. Il a obtenu l'asile et une autorisation d'établissement. Arguant souffrir des conséquences totalement incapacitantes depuis le 15 septembre 1990 de sa blessure à la jambe gauche, O._ a requis des prestations de l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après : l'office AI) le 12 mars 2003. Entre autres mesures d'instruction, l'administration a obtenu des informations personnelles et professionnelles notamment auprès du Centre d'action sociale et de santé Y._, l'assuré ne parlant pas français, et a requis l'avis du docteur A._. Le praticien a fait état d'un status après ostéomyélite ou pseudarthrose infectée, avec lésions neuro-vasculaires graves, et après arthrodèse du tibia droit (recte : gauche) ainsi que d'un pied neurologique; l'état était stationnaire, sans amélioration possible; il ne s'est d'abord pas véritablement prononcé sur la capacité résiduelle de travail à cause du statut de réfugié de l'intéressé, mais a tout de même estimé que celui-ci était apte à reprendre son métier de chauffeur ou toutes autres activités adaptées à ses problèmes linguistiques, intellectuels et physiques, puis a signalé l'existence d'une perte fonctionnelle et un raccourcissement importants de la jambe gauche à l'origine de douleurs dans tout l'hémi-corps gauche permettant cependant l'exercice des activités mentionnées deux ou trois heures par jour (rapports des 30 avril 2003, 25 mai 2005 et 12 octobre 2006). L'office AI a aussi sollicité la doctoresse U._, interniste traitant, qui a produit les rapports du docteur A._ antérieurs à 1996, et a confié la réalisation d'un examen à son service médical (SMR). Le docteur T._, chirurgien orthopédique, a constaté l'existence de séquelles d'une fracture ouverte de stade III aux deux os de la jambe gauche avec perte de substance, un status post-arthrodèse de la cheville, de l'articulation sous-astragalienne et du gros orteil du côté gauche, et de cervico-brachialgies sans trouble neurologique objectivable permettant l'exercice, à plein temps dès la fin de l'année 1993, de l'activité habituelle de chauffeur ou d'une activité adaptée (sédentaire ou semi-sédentaire, sans long déplacement, marche sur terrain irrégulier, montée ou descente d'escaliers, position accroupie, ni port de charges de plus de 15 kg avec le bras gauche; rapport du 14 février 2007). Sur la base de ces éléments, l'administration a informé O._ qu'elle envisageait de rejeter sa demande dans la mesure où il ne remplissait pas les conditions d'assurance lors de la survenance de l'invalidité (projet de décision du 5 novembre 2007) et, en dépit des observations du médecin traitant, qui ne contestait pas les conclusions du SMR, mais qui insistait sur l'absence de formation professionnelle, de connaissance de la langue française et d'expérience du monde du travail suisse, a confirmé son refus de prester (décision du 13 décembre 2007). B. L'assuré - directement et par le truchement des doctoresses U._, H._, psychiatre traitant, et de son avocate nouvellement désignée - a déféré la décision au Tribunal cantonal genevois des assurances sociales. Il concluait en substance à l'octroi de mesures d'ordre professionnel et déposait une attestation datée du 30 juin 2008 de son psychiatre traitant qui mentionnait un état dépressif majeur totalement incapacitant du 18 mai 1998 au 31 décembre 2001 engendré par la crainte de ne plus pouvoir revoir sa famille restée au Pakistan. Au cours de la procédure, la juridiction cantonale a mandaté le docteur L._, psychiatre, pour qu'il mette en oeuvre une expertise judiciaire. Le praticien a diagnostiqué un état de stress post-traumatique, un épisode dépressif léger avec syndrome somatique et un status après épisode dépressif sévère sans symptômes psychotiques de 1998 à 2001, occasionnant une incapacité totale et définitive de travail (rapport du 18 février 2009). Invités à se déterminer, l'intéressé concluait désormais à l'octroi d'une rente entière d'invalidité, tandis que l'office AI maintenait son point de vue initial. Les premiers juges ont accédé aux conclusions de O._ en ce sens que, les avis des docteurs T._ et L._ revêtant pleine valeur probante, ils lui ont reconnu une incapacité totale de travail pour motif psychiatrique uniquement depuis 1998 et lui ont accordé une rente entière d'invalidité dès le 1er février 2002, la demande de prestations - tardive - étant datée du 22 février 2003 (jugement du 29 juin 2009). C. L'administration interjette céans un recours en matière de droit public à l'encontre de ce jugement, dont elle requiert l'annulation, concluant à la confirmation de sa décision du 13 décembre 2007. Sollicitant l'octroi de l'assistance judiciaire, l'assuré conclut au rejet du recours et l'Office fédéral des assurances sociales en propose l'admission. 