Sachverhalt: A. A.X._ und B.X._ sind Miteigentümer des Grundstücks Nr. 2348 (Grundbuchkreis West) in St. Gallen. Das Grundstück hat eine Fläche von rund 90'000 m2 und liegt in der Landwirtschaftszone. Ungefähr in seiner Mitte befindet sich, neben zwei Scheunen und einer Garage, ein Wohnhaus. Das Grundstück wird durch einen Privatweg erschlossen, welcher ungefähr in Ost-West-Richtung verläuft, am Wohnhaus vorbeiführt und den Solitüdenweg mit dem Menzlenwaldweg verbindet. Der Weg ist nach dem Gemeindestrassenplan der Stadt St. Gallen nicht klassiert. Mit Beschluss vom 27. März 2007 entschied der Stadtrat von St. Gallen, den Weg in den Strassenplan aufzunehmen und als Gemeindeweg 2. Klasse einzuteilen. Nach der Auflage des betreffenden Teilstrassenplans im Amtsblatt des Kantons St. Gallen erhoben A.X._ und B.X._ Einsprache. Mit Beschluss vom 23. Oktober 2007 wies der Stadtrat die Einsprache ab. Darauf erhoben die beiden Miteigentümer Rekurs beim Baudepartement des Kantons St. Gallen. Dieses wies das Rechtsmittel mit Entscheid vom 18. Februar 2009 indessen ebenfalls ab, soweit es darauf eintrat. Eine gegen diesen Entscheid gerichtete Beschwerde wurde vom Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit Urteil vom 3. Dezember 2009 schliesslich gutgeheissen. Das Verwaltungsgericht erwog, die Widmung und Klassierung des Verbindungswegs führe zu einem unverhältnismässigen Eingriff in die Eigentumsgarantie (Art. 26 BV). Es hob deshalb die Beschlüsse des Stadtrats und den Rekursentscheid des Baudepartements auf. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 25. Januar 2010 an das Bundesgericht beantragt die politische Gemeinde St. Gallen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 3. Dezember 2009 sei aufzuheben und der Einspracheentscheid des Stadtrats vom 23. Oktober 2007 sowie der Rekursentscheid des Baudepartements vom 18. Februar 2009 seien zu bestätigen. Die Beschwerdeführerin beruft sich auf ihre Autonomie und macht geltend, das Verwaltungsgericht habe die Tragweite der Eigentumsgarantie missachtet. Das Verwaltungsgericht beantragt in seiner Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. A.X._ und B.X._ als Beschwerdegegner schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Baudepartement beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Bestätigung seines eigenen Rekursentscheids. In ihrer Stellungnahme dazu hält die politische Gemeinde St. Gallen an ihren Anträgen und Rechtsauffassungen fest. 