Sachverhalt: A. S._, geboren 1949 und wohnhaft im Kanton St. Gallen, ist bei der KPT/CPT Krankenkasse (nachfolgend: KPT) gesetzlich für Krankenpflege versichert. Der behandelnde Arzt Dr. med. H._, Facharzt FMH für Allgemeine Medizin mit Fähigkeitsausweis für psychosomatische und psychosoziale Medizin APPM, wies ihn mit Zeugnis vom 21. Dezember 2005 mit einem spätesten Eintrittstermin am 9. Januar 2006 in die im Kanton Appenzell Ausserrhoden gelegene Fachklinik für kardiale und psychosomatische Rehabilitation X._ ein. Nach dessen Angaben litt er an einer mittelschweren depressiven Episode bei grosser psychosozialer Belastung und Gefahr psychischer Dekompensation bei einer klassischen Burnout-Situation. Mit Schreiben vom 5. Januar 2006 lehnte die KPT das von der Klinik am 4. Januar 2006 gestellte Gesuch um Kostengutsprache für einen vierwöchigen Rehabilitationsaufenthalt ab 9. Januar 2006 im Wesentlichen mit der Begründung ab, bei S._ liege keine akute Rehabilitationsbedürftigkeit vor und das ambulante Behandlungspotenzial sei nicht ausreichend ausgeschöpft worden. Am 9. Januar 2006 hielt die Kasse nach Rücksprache mit ihrem Vertrauensarzt Dr. med. B._, Facharzt FMH für Innere Medizin, an der Ablehnung der Kostenübernahme fest. S._ trat am 12. Januar 2006 dennoch zur stationären Rehabilitationsbehandlung in die Klinik ein, wo er sich bis am 28. Januar 2006 aufhielt. Mit Verfügung vom 21. Februar 2006 und Einspracheentscheid vom 23. Mai 2006 stellte die KPT fest, dass die Voraussetzungen für die Erteilung einer Kostengutsprache für einen stationären Rehabilitationsaufenthalt nicht erfüllt gewesen seien, und entschied, die entsprechenden "Hotelleriekosten" könnten aus der obligatorischen Krankenpflegeversicherung nicht zurückerstattet werden. Hingegen erklärte sie sich bereit, die Kosten einer ambulanten Behandlung zu übernehmen. B. S._ erhob Beschwerde beim Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und beantragte, die KPT sei zu verpflichten, die Kosten "für den stationären und ambulanten Klinikaufenthalt" ab dem 12. Januar 2006 vollumfänglich zu übernehmen. Das kantonale Gericht hiess die Beschwerde gut und hob den Einspracheentscheid vom 23. Mai 2006 auf; es verpflichtete die KPT, für den stationären Aufenthalt in der Klinik X._ vom 12. bis 28. Januar 2006 die gesetzlichen Leistungen zu erbringen (Entscheid vom 15. März 2007). C. Die KPT führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides. S._ beantragt Abweisung der Beschwerde. Vorinstanz und Bundesamt für Gesundheit verzichten auf Vernehmlassung. 