Sachverhalt: A. Der aus der Türkei stammende X._ (geb. 1972) reiste im April 1996 in die Schweiz ein und ersuchte um Asyl. Sein Gesuch wies das damalige Bundesamt für Flüchtlinge (heute: Bundesamt für Migration) am 17. August 1999 ab. Gleichzeitig verfügte es die vorläufige Aufnahme des Gesuchstellers, weil es den Vollzug der Wegweisung "in Würdigung sämtlicher Umstände und unter Berücksichtigung der Aktenlage, so auch der gesundheitlichen Probleme" im damaligen Zeitpunkt als nicht zumutbar erachtete. X._ wurde in der Schweiz wiederholt straffällig und wie folgt verurteilt: am 5. August 1998 und 29. März 1999 zu Bussen von Fr. 1'000.-- und Fr. 300.-- wegen Strassenverkehrsdelikten, am 31. Oktober 2002 (zweitinstanzlich) vom Obergericht des Kantons Zürich wegen Raubes und der Gehilfenschaft zu Raub, versuchter Erpressung, Hehlerei usw. zu zwei Jahren und acht Monaten Zuchthaus (Entlassung aus dem bedingten Strafvollzug: am 8. August 2004), am 23. September 2003 (zweitinstanzlich) vom Obergericht des Kantons Bern wegen einfacher Körperverletzung, Sachentziehung und Drohung zu einem Monat Gefängnis (als Zusatzstrafe zum Urteil vom 31. Oktober 2002), am 12. Januar 2006 wegen Widerhandlungen gegen das Zollgesetz zu einer Busse von Fr. 500.-- (Umwandlung in 16 Tage Haft am 24. November 2006). B. Am 14. November 2003 heiratete X._ die seit 1983 in der Schweiz lebende türkische Staatsangehörige Y._ (geb. 1976). Mit ihr, die bereits Mutter von A._ (geb. 1999) war, hatte er die Tochter B._ (geb. am 30. September 2002) gezeugt. Mutter und Kinder sind im Besitz der Niederlassungsbewilligung. Am 1. Dezember 2003 stellte das Bundesamt für Flüchtlinge fest, aufgrund des durch Heirat erworbenen Anspruchs auf die Aufenthaltsbewilligung sei die vorläufige Aufnahme von X._ erloschen. C. Mit Verfügung vom 31. August 2004 wies die Direktion für Sicherheit und Soziales des Kantons Zürich (Migrationsamt) das von X._ gestellte Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung ab. Zur Begründung führte das Amt im Wesentlichen aus, aufgrund der gegen den Betreffenden ergangenen Strafurteile sei dessen Anwesenheit im Kanton Zürich unerwünscht. Einen hiegegen erhobenen Rekurs - soweit dieser nicht gegenstandslos geworden war - wies der Regierungsrat des Kantons Zürich am 26. September 2007 ab, soweit er darauf eintrat, und mit Urteil vom 5. März 2008 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die gegen den regierungsrätlichen Beschluss erhobene Beschwerde ebenfalls ab. Der begründete Entscheid ging am 10. März 2008 beim damaligen Rechtsvertreter von X._ ein. D. Mit Eingabe vom 2. April 2008 gelangte X._ ans Bundesgericht und erklärte, gegen einen Entscheid des Verwaltungsgerichts Zürich Beschwerde führen zu wollen. Mit Schreiben vom 4. April 2008 wurde er aufgefordert, den angefochtenen Entscheid umgehend, spätestens jedoch bis zum 18. April 2008 einzureichen, ansonsten das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht eintreten werde. Mit Schreiben vom 17. April 2008 erklärte X._, nicht in seine Heimat zurückkehren zu können; den angefochtenen Entscheid legte er nicht bei. Am 21. April 2008 stellte der neu mandatierte Rechtsvertreter von X._ - unter gleichzeitiger Nachreichung des angefochtenen Urteils - ein Fristwiederherstellungsgesuch, da sich sein Klient in stationärer psychiatrischer Behandlung befinde. Mit Eingabe vom 23. April 2008 erhob er Beschwerde mit den Anträgen, den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 5. März 2008 aufzuheben und X._ gestützt auf Art. 17 Abs. 2 ANAG bzw. Art. 8 EMRK eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen; eventuell sei die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Die Staatskanzlei des Kantons Zürich beantragt - für den Regierungsrat - Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich hat auf Vernehmlassung verzichtet. Das Bundesamt für Migration stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen. Mit unaufgefordert eingereichten Eingaben vom 14. Juli 2008 und 22. Januar 2009 wandte sich der Rechtsvertreter von X._ zwei weitere Male an das Bundesgericht. 