Sachverhalt: A. Die 1970 geborene S._ erlitt im Jahr 1989 einen Hirnstamminsult. Aufgrund eines linksseitigen Hemisyndroms sowie residueller neurologischer und neuropsychologischer Ausfälle und wegen einer - später abgeklungenen - posttraumatischen Belastungsstörung ist sie seit 1994 teilweise arbeitsunfähig. Die IV-Stelle des Kantons Bern sprach ihr mit Wirkung ab Februar 1995 eine halbe Invalidenrente zu (Verfügung vom 4. März 1998). Verschiedene Leistungsrevisionen ergaben jeweils keine rentenbeeinflussende Änderung des Invaliditätsgrades (Mitteilung der IV-Stelle des Kantons Bern vom 28. Januar 1999, Mitteilungen der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 31. Januar 2001 und vom 26. April 2005, Mitteilung der IV-Stelle des Kantons Aargau vom 10. November 2006). Aufgrund einer weiteren Überprüfung des Leistungsanspruchs in medizinischer und erwerblicher Hinsicht stellte die IV-Stelle des Kantons Zürich mit Verfügung vom 16. Januar 2009 fest, die Versicherte wäre - als Mutter von drei 1999, 2001 und 2004 geborenen Kindern - im hypothetischen Gesundheitsfall je hälftig im Haushalt und erwerblich tätig. Auf dieser Grundlage ergebe sich (bei einer Einschränkung im Haushalt von 19 Prozent und in einer leidensangepassten Erwerbstätigkeit von 50 Prozent) ein nicht rentenbegründender Invaliditätsgrad von 10 Prozent, weshalb die halbe Rente auf Ende Februar 2009 aufgehoben wurde. B. In ihrer Antwort auf die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ging die IV-Stelle von einem Gesamtinvaliditätsgrad von 26 Prozent aus. Das kantonale Gericht wies die Beschwerde ab (Entscheid vom 23. Februar 2010). C. S._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei ihr, unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids und der strittigen Verfügung, weiterhin eine Viertelsrente der Invalidenversicherung auszurichten; eventuell seien ergänzende psychiatrische Abklärungen anzuordnen. Ausserdem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege. Vorinstanz, IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten darauf, eine Vernehmlassung einzureichen. 