Sachverhalt: A. A.a. Die 1968 geborene D._ erlitt als Folge eines Verkehrsunfalls im Sommer 2003 verschiedene Verletzungen im Bereich von Kopf und Hals sowie der linken Hand. In ihrer Tätigkeit als Betriebsmitarbeiterin in einer Kantine war sie zunächst vollständig arbeitsunfähig. Der Arbeitgeber kündigte die Anstellung auf Ende 2003. Am 20. August 2004 meldete sich D._ unter Hinweis auf die Unfallfolgen bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die Klinik S._ erstattete am 9. Januar 2007 im Auftrag der obligatorischen Unfallversicherung ein interdisziplinäres Gutachten. Am 1. Juni 2007 teilte die IV-Stelle Solothurn der Versicherten mit, es sei eine weitere medizinische Abklärung durch die Medizinische Abklärungsstelle (MEDAS) notwendig. Ein Briefwechsel zwischen IV-Stelle und Versicherter ergab keine Einigung über die Notwendigkeit einer weiteren Begutachtung, worauf die Verwaltung D._ zu entsprechenden ärztlichen Untersuchungen aufbot. Das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn wies die dagegen eingereichte Rechtsverweigerungsbeschwerde am 21. Dezember 2007 ab. Das Bundesgericht bestätigte diesen Entscheid (Urteil 9C_157/2008 vom 20. März 2008). A.b. Im Frühsommer 2008 begutachtete die MEDAS am Inselspital Bern D._ im Auftrag der IV-Stelle polydisziplinär. Gestützt auf die Ergebnisse der Expertise vom 18. Juli 2008 ging die IV-Stelle davon aus, ein invalidisierendes Leiden sei nicht gegeben; demgemäss lehnte es die Ansprüche auf berufliche Eingliederungsmassnahmen und Invalidenrente ab (Verfügung vom 21. Januar 2009). Am 5. Februar 2010 wies das kantonale Gericht die gegen die Verfügung vom 21. Januar 2009 erhobene Beschwerde ab. Das Bundesgericht hob diesen Entscheid auf und wies die Sache an das kantonale Gericht zurück, damit dieses ein Gerichtsgutachten einhole und gestützt darauf neu entscheide (Urteil 9C_243/2010 vom 28. Juni 2011 [BGE 137 V 210]). A.c. Im Hinblick auf die bevorstehende Beweisergänzung gewährte das kantonale Versicherungsgericht den Parteien das rechtliche Gehör. Alsdann beauftragte es das Zentrum Y._ mit der neuen Begutachtung. Die Expertise wurde am 4. Dezember 2012 erstattet. B. Das kantonale Versicherungsgericht hiess die Beschwerde teilweise gut. Es hob die Verfügung der IV-Stelle vom 21. Januar 2009 auf und sprach D._ für die Zeit von Juni 2004 bis September 2008 eine ganze und mit Wirkung ab Oktober 2008 eine halbe Invalidenrente zu. Ausserdem verpflichtete es die IV-Stelle, der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung über Fr. 8'426.65 (einschliesslich Auslagen und Mehrwertsteuer) zu bezahlen (Entscheid vom 13. August 2013). C. D._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit folgenden Rechtsbegehren: "1. Es sei das Urteil der Vorinstanz vom 13. August 2013 vollumfänglich aufzuheben. 2.1.1 Es sei der Beschwerdeführerin stattdessen eine ganze IV-Rente mit Wirkung ab dem 1. Juni 2004 zuzusprechen. 2.1.2 Ferner sei die Beschwerdegegnerin anzuweisen, zu Gunsten der Beschwerdeführerin berufliche Massnahmen in geschütztem, gemäss Gutachten des Zentrums Y._ vom 4. Dezember 2012 behindertemgerechtem Rahmen durchzuführen. 2.1.3 Ausserdem sei die Beschwerdegegnerin anzuweisen, nach Ablauf eines Jahres ab Antritt der beruflichen Massnahmen durch die Beschwerdeführerin beim Zentrum Y._ ein Verlaufsgutachten einzuholen und gestützt darauf gegebenenfalls revisionsweise neu zu entscheiden. 2.2 Eventualiter sei der Beschwerdeführerin stattdessen mit Wirkung ab dem 1. Juni 2004 eine ganze IV-Rente und mit Wirkung ab dem 1. Januar 2013 eine halbe IV-Rente zuzusprechen. Verfahrensanträge 3. Im Zusammenhang mit Rechtsbegehren Ziff. 2.1.1 sei dem psychiatrischen Teilgutachter des Zentrums Y._, Dr. H._, die Frage zur Klärung zu unterbreiten, wie lange die Beschwerdeführerin zwischen den beiden täglichen Arbeitseinheiten von je 2 Stunden mindestens pausieren müsse. 4. Im Zusammenhang mit Rechtsbegehren Ziff. 2.1.1 sei den in die Begutachtung der Beschwerdeführerin involvierten Gutachtern des Zentrum Y._ die Frage zur Klärung zu unterbreiten, inwieweit die Ergebnisse des psychiatrischen Untergutachtens sowie der neuropsychologischen Untersuchung in adäquater Weise in die Gesamtbeurteilung des Gutachtens Eingang gefunden haben; in dem Sinne, ob die dort beschriebenen Einschränkungen die Leistungsfähigkeit der Beschwerdeführerin nebst der Notwendigkeit, ihre tägliche Arbeitsfähigkeit von 4 Stunden nach 2 Stunden durch eine längere Pause zu unterbrechen, die noch erhaltene Arbeitsfähigkeit zusätzlich beeinträchtigen bzw. die Verwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit zusätzlich erschweren. 5. Es sei der Beschwerdeführerin das Recht einzuräumen, auf eine allenfalls eingereichte Beschwerdeantwort zu replizieren. Kosten 6. Alles unter o/e-Kostenfolge zulasten der Beschwerdegegnerin. 7. Der vorinstanzliche e-Kostenentscheid sei aufzuheben und die Parteientschädigung der Beschwerdeführerin für ihren Rechtsvertreter auf einen Betrag von CHF 10'060.05 festzusetzen resp. die Vorinstanz zu einer entsprechenden Festsetzung anzuweisen." Die IV-Stelle, das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherung verzichten auf eine Stellungnahme. 