Einstellung des Strafverfahrens, hat sich ergeben: A.- Der Untersuchungsrichter für Wirtschaftsdelikte des Kantons Solothurn eröffnete am 13. August 1998 auf eine Strafanzeige der X._ Bank hin, wonach A._ bei einer Zeugeneinvernahme wissentlich gelogen habe, ein Ermittlungsverfahren gegen diesen wegen falschen Zeugnisses im Sinne von Art. 307 StGB. Am 2. Dezember 1999 stellte der Untersuchungsrichter das Ermittlungsverfahren ein mit der Begründung, es bestehe kein hinreichender Tatverdacht. Auf Beschwerde der X._ Bank hin hob die Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn diesen Entscheid mit Urteil vom 17. Mai 2000 auf. Sie kam zum Schluss, die umstrittene Zeugenaussage sei "nicht ganz offensichtlich richtig", weshalb der Untersuchungsrichter das Verfahren nicht wegen fehlendem Tatverdacht hätte einstellen dürfen. Auf den über die Aufhebung des angefochtenen Entscheides hinausgehenden Antrag, einen anderen Untersuchungsrichter mit der Fortsetzung des Verfahrens zu betrauen, trat die Anklagekammer mangels Zuständigkeit nicht ein. B.- Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 16. Juni 2000 wegen Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV beantragt A._: "1. Es sei der vorliegenden staatsrechtlichen Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen. 2. In Gutheissung der staatsrechtlichen Beschwerde sei das Urteil der Anklagekammer des Obergerichtes des Kantons Solothurn vom 17. Mai 2000 aufzuheben, und es sei die Sache zu neuer Entscheidung in neuer Besetzung zurückzuweisen. 3. Es seien die Akten von den Justizbehörden des Kantons Solothurn beizuziehen. 4. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten der Beschwerdegegnerinnen. " C.- Mit Verfügung vom 27. Juli 2000 erkannte der Präsident der I. öffentlichrechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu. D.- Die X._ Bank beantragt in ihrer Vernehmlassung, die Beschwerde vollumfänglich abzuweisen. Die Anklagekammer des Obergerichts beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Untersuchungsrichter verzichtet auf Stellungnahme. 