Sachverhalt: A. Die 1956 geborene M._ meldete sich im Mai 2004 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Uri verneinte einen Anspruch auf eine Invalidenrente (Verfügung vom 13. August 2007). Die von der Versicherten dagegen erhobene Beschwerde hiess das Obergericht des Kantons Uri in dem Sinne gut, dass es die Verfügung aufhob und die Sache an die Verwaltung zurückwies, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre und neu verfüge (Entscheid vom 30. Mai 2008). Auf die von M._ dagegen erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil 9C_593/2008 vom 27. August 2008 nicht ein. In Nachachtung des kantonalen Entscheides vom 30. Mai 2008 gab die IV-Stelle bei der MEDAS I._ ein polydisziplinäres Gutachten in Auftrag, welches am 16. April 2009 erstattet wurde. Gestützt darauf sprach sie der Versicherten mit Verfügung vom 19. November 2009, welche unangefochten in Rechtskraft erwuchs, rückwirkend ab 1. November 2008 eine Dreiviertelsrente zu (Invaliditätsgrad: 64 %). Im Dezember 2010 beantragte M._ bei der Pensionskasse der X._ AG, bei welcher sie über ihre frühere Arbeitgeberin, die Firma Z._ AG, berufsvorsorgeversichert gewesen war, die Ausrichtung einer Dreiviertelsinvalidenrente. Mit Schreiben vom 21. Dezember 2010 verneinte die Pensionskasse einen Anspruch. Daran hielt sie auch nach Einsicht in die Akten der IV-Stelle Uri, insbesondere in die Verfügung vom 19. November 2009, fest (Schreiben vom 11. Januar 2011). B. Klageweise liess M._ das Rechtsbegehren stellen, die Pensionskasse der X._ AG sei zu verpflichten, ihr eine Dreiviertelsinvalidenrente nebst Kinderrenten gestützt auf die gesetzlichen und reglementarischen Bestimmungen rückwirkend ab 1. November 2008 auszurichten. Die Leistungen seien ab Klageeinreichung zu 5 % zu verzinsen. Mit Entscheid vom 10. Mai 2012 wies das Obergericht des Kantons Uri die Klage ab. C. M._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und das Rechtsbegehren stellen, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter erneuert sie das im kantonalen Verfahren gestellte Begehren auf Zusprechung einer Dreiviertelsrente. Die Pensionskasse der X._ AG schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme. 