Faits: A. Par décision du 25 mars 2009, l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Valais (ci-après: l'office AI) a nié le droit de P._ à une mesure de reclassement professionnel. Le 13 mai 2009, l'office AI a rendu une seconde décision par laquelle il a mis le prénommé au bénéfice d'une demi-rente d'invalidité du 1er septembre au 31 décembre 2007 et d'une rente entière du 1er janvier au 30 avril 2008. B. L'assuré a déféré ces deux décisions au Tribunal cantonal valaisan, Cour des assurances sociales. Dans le cadre de l'échange d'écritures ordonné par le Tribunal cantonal, l'office AI a répondu au recours formé contre sa première décision par détermination du 28 mai 2009, puis à la réplique de l'assuré dans une prise de position datée du 25 juin 2009. Dans la seconde procédure, le 16 juillet 2009, le Tribunal cantonal a transmis à P._ la réponse de l'office AI (datée du même jour) et clôt l'échange d'écritures, en l'informant que "sous réserve d'éventuels moyens de preuve encore administrés d'office, la cause [était] en état d'être jugée selon les disponibilités du rang des causes". Après avoir joint les procédures, le Tribunal cantonal a rejeté les deux recours de l'assuré et confirmé les décisions administratives par jugement du 1er septembre 2009. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, P._ conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation du jugement cantonal et au renvoi de la cause à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal valaisan pour qu'elle ordonne une expertise pluridisciplinaire, puis statue à nouveau. L'office AI conclut au rejet du recours. La Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal valaisan et l'Office fédéral des assurances sociales ont renoncé à se déterminer. 