A.- Nach seiner krankheitsbedingten Arbeitsaufgabe als Maurer war der 1947 geborene C._ als Arbeitsloser bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen Unfälle versichert. Am 4. Juni 1998 stürzte er in seiner Wohnung auf einer Treppe und zog sich dabei eine commotio cerebri sowie eine Kontusion der Hals- und Lendenwirbelsäule zu; am 4. und 5. Juni 1998 war C._ im Spital zur - unauffällig verlaufenen - Commotio-Überwachung hospitalisiert. Nachdem diverse Arztberichte eingeholt und ein Aufenthalt in der Rehabilitationsklinik veranlasst worden war (Austrittsbericht vom 16. März 1999 mit psychosomatischem Konsilium vom 9. Februar 1999, orthopädischem Konsilium vom 5. Februar 1999 und neuropsychologischem Bericht vom 3. Februar 1999), stellte die SUVA mit Verfügung vom 6. April 1999 die Taggeldleistungen mit Wirkung ab dem 4. März 1999 ein. Dagegen liess C._ Einsprache erheben. Unter Berücksichtigung neu erstellter Röntgenbilder bestätigte die SUVA mit Einspracheentscheid vom 24. August 1998 die Verfügung, da nach dem 3. März 1999 keine unfallbedingte Arbeitsunfähigkeit mehr bestanden habe. Mit Verfügung vom 22. November 1999 lehnte die SUVA wegen mangelnden Kausalzusammenhangs auch die Ausrichtung weiterer Versicherungsleistungen ab, woran sie mit Einspracheentscheid vom 15. März 2000 festhielt. Gemäss Beschluss der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 19. März 2001 erhält C._ mit Wirkung ab März 1997 eine ganze Rente der Invalidenversicherung. B.- Die gegen die Einspracheentscheide vom 24. August 1999 und 15. März 2000 erhobenen Beschwerden wurden vom Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 27. Februar 2001 abgewiesen. C.- C._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Antrag, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides und der Einspracheentscheide seien ihm Taggelder, Invalidenrente und Integritätsentschädigung der Unfallversicherung auszurichten. Weiter verlangt er insoweit eine angemessene Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren, als sich die SUVA dem Antrag seiner vorinstanzlichen Beschwerde auf Prüfung der Rentenfrage und der Frage der Integritätsentschädigung unterzogen habe. 