Sachverhalt: A. Der 1961 geborene Z._ war seit 2000 als Maschinenbediener bei der Q._ AG angestellt und damit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Bei einem Auffahrunfall vom 16. März 2005 erlitt er gemäss Arztzeugnis UVG der am Folgetag aufgesuchten Dr. med. C._, Innere Medizin FMH, vom 11. Mai 2005 ein leichtes Schleudertrauma. Die entsprechende Behandlung konnte am 19. April 2005 abgeschlossen werden. Mit Schreiben vom 13. Juni 2005 kündigte die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis auf Ende September 2005. Wegen Schmerzen im Bereich der Lendenwirbelsäule (LWS) begab sich Z._ am 16. und 21. Juni 2005 erneut bei Dr. med. C._ in Behandlung. Ab 23. Juni 2005 wurde die Therapie bei Dr. med. B._, Allgemeinmedizin FMH, fortgesetzt. Diesen Arzt konsultierte der Versicherte am 25. Juni 2005 wegen eines tags zuvor erlittenen neuerlichen Auffahrunfalls. Nach einem Ferienaufenthalt im Herkunftsland vom 30. Juni bis 31. Juli 2005 stand der Versicherte ab 2. August 2005 bei Dr. med. S._, Allgemeinmedizin FMH (Praxispartner des ferienabwesenden Dr. med. B._), in Behandlung. Dr. med. S._ gab am 11. September 2005 als Beurteilung posttraumatisch verstärkte, vorbestehende lumbale Schmerzen im Sinne einer ISG-Blockierung an. Die SUVA zog weitere Berichte des Dr. med. W._, Rheumatologie FMH und Physikalische Medizin, vom 27. September und 28. November 2005 sowie des MRI des Zentrums A._ vom 5. Oktober 2005 bei und holte eine Stellungnahme des Kreisarztes Dr. med. F._ vom 9. Dezember 2005 ein. Ausserdem liess sie durch die Arbeitsgruppe für Unfallmechanik eine Technische Unfallanalyse vom 30. November 2005, eine Kurzbeurteilung vom 5. Dezember 2005 und eine biomechanische Beurteilung vom 29. Dezember 2005 erstellen. Am 16. Januar 2006 wurde der Versicherte durch den Kreisarzt Dr. med. F._ untersucht. Anschliessend schloss die Anstalt den Fall mit dem 31. Januar 2006 ab und stellte ihre Leistungen (Taggeld und Heilbehandlung) auf dieses Datum hin ein (Verfügung vom 18. Januar 2006). Daran hielt die SUVA - nach Eingang weiterer Berichte des Dr. med. W._ vom 27. März 2006 und 27. Juni 2006 - mit Einspracheentscheid vom 3. August 2006 fest. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz ab (Entscheid vom 23. Februar 2007). Während des Rechtsmittelverfahrens hielt sich der Versicherte vom 22. August bis 8. September 2006 in der Rehaklinik X._ auf (Austrittsbericht vom 22. September 2006). Er liess dem kantonalen Gericht eine Bestätigung von Dr. med. I._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 24. November 2006 einreichen. C. Z._ lässt Beschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, es seien ihm - in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides - die gesetzlichen Leistungen auszurichten. Mit der Beschwerdeschrift werden zwei Schreiben des Paraplegikerzentrums Y._ vom 28. März und 17. April 2007 eingereicht. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. 