Sachverhalt: A. Der 1962 geborene, über seinen jeweiligen Arbeitgeber bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versicherte U._ erlitt mehrere Unfälle. Am 21. April 1985 verletzte er sich beim Schwingen an der linken Schulter. Er zog sich eine Luxation im AC-Gelenk zu und wurde deswegen am 3. Mai 1985 operiert (Rekonstruktion des AC-Gelenkes und des Coracoclavicularligamentes links). Die SUVA anerkannte den Unfall und erbrachte vorübergehend die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung; Taggeld). Ab Juli 1985 war U._ wieder beschwerdefrei und voll arbeitsfähig. Im April 2000 liess er erneute Schulterbeschwerden als Rückfall melden. Die SUVA teilte ihm am 19. Oktober 2000 mit, sie richte für die Beschwerden im AC-Gelenk links die gesetzlichen Leistungen aus. Hingegen bestehe kein Leistungsanspruch bezüglich der beidseitigen Omarthrosen. Zwischenzeitlich hatte U._ am 16. Juli 2000 als Autolenker bei einer ersten (von gesamthaft drei) Heckauffahrkollision ein Distorsionstrauma der Halswirbelsäule (HWS) erlitten. Gemäss ärztlichen Aussagen wurde dadurch auch ein vorbestandener Tinnitus aktiviert. Der Versicherte arbeitete danach ein knappes Jahr voll weiter, bis er sein Arbeitspensum unter Hinweis auf Unfallfolgen ab 18. Juni 2001 auf 50 % reduzierte. Am 11. Januar 2003 und 9. Mai 2006 ereigneten sich die beiden weiteren Heckauffahrunfälle. Die SUVA gewährte auch nach den drei Verkehrsunfällen Heilbehandlung und richtete, soweit eine Arbeitsunfähigkeit bestand, Taggeld aus. Mit Verfügung vom 25. Mai 2007 eröffnete sie dem Versicherten, die aus dem Unfall von 2000 erbrachten Leistungen würden mangels adäquater Unfallkausalität der noch bestehenden Beschwerden auf den 31. Juli 2007 eingestellt. Die - zuletzt am 10. Mai 2007 - gemeldeten Schulterbeschwerden seien ärztlich abgeklärt worden. Die Omarthrosen seien unfallfremd. Die AC-Arthrose habe sich nicht verschlechtert und verursache auch keine Beschwerden, welche sich negativ auf das Erwerbsleben auswirkten. Die beiden jüngsten Unfälle von 2003 und 2006 könnten, da sie nur zu einer vorübergehenden Verschlimmerung geführt hätten, folgenlos abgeschlossen werden. Es bestehe demnach kein weiterer Anspruch auf Versicherungsleistungen (Heilbehandlung, Taggeld, Invalidenrente, Integritätsentschädigung). Daran hielt die SUVA auf die von U._ und seinem obligatorischen Krankenversicherer erhobenen Einsprachen hin fest (Entscheid vom 4. September 2009). B. Die von U._ hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden mit Entscheid vom 18. Februar 2011 ab. Es verneinte dabei auch einen Leistungsanspruch bezüglich der neu geltend gemachten Ellbogenarthrose. C. U._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides seien die gesetzlichen UV-Leistungen zuzusprechen resp. sei die Sache zur Neubeurteilung an die SUVA zurückzuweisen. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. 