Sachverhalt: A. Am 17. August 2007 erhob X._ (geb. xxxx 1997), gesetzlich vertreten durch ihre Mutter Y._, beim Einzelrichter des Bezirks March gegen ihren in Deutschland lebenden Vater Z._ eine Klage auf Abänderung des Kinderunterhalts. Darin stellte X._ den Antrag, Z._ sei zur Bevorschussung ihrer allfälligen Gerichtskosten sowie zur Bezahlung eines Vorschusses an ihre Anwaltskosten in der Höhe von Fr. 3'000.-- zu verpflichten. Im Sinne eines Eventualbegehrens ersuchte sie um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Der Vater von X._ verzichtete auf eine Klageantwort. Mit Urteil vom 22. Januar 2009 wies der Einzelrichter des Bezirks March sowohl die Klage als auch das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege ab. B. Gegen das erstinstanzliche Urteil legte X._ beim Kantonsgericht Schwyz mit Eingabe vom 2. März 2009 Berufung ein. Neben den Hauptbegehren beantragte sie wiederum, ihr Vater sei als Beklagter zur Bevorschussung von Gerichts- und Anwaltskosten zu verpflichten; eventualiter sei ihr sowohl für das erstinstanzliche als auch für das Berufungsverfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen. Überdies stellte sie das Begehren, ihr Vater sei zur Leistung einer angemessenen Kaution für die Prozessentschädigung zu verpflichten. Z._ beantragte, die Berufung sei zurückzuweisen (Eingabe vom 16. April 2009). Auf entsprechende Verfügung des Kantonsgerichts vom 11. März 2009 hin reichte X._ mit Eingaben vom 25. und 26. März 2009 das Formular "Auskünfte zur Erlangung der unentgeltlichen Prozessführung" ein. C. Mit Schreiben vom 7. Januar 2010 ersuchte X._ die Kantonsgerichtsvizepräsidentin, ohne Rücksicht auf das weitere Vorgehen in der Hauptsache mittels einer separaten verfahrensleitenden Verfügung über das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege zu entscheiden. Mit Schreiben vom 28. Januar 2010 forderte die Kantonsgerichtsvizepräsidentin X._ auf, ihr Gesuch mit Unterlagen über die Einkommens- und Vermögensverhältnisse ihrer Mutter und ihres Stiefvaters zu belegen und deren Bedarf darzutun. Nach einer entsprechenden Eingabe von X._ wies das Kantonsgericht Schwyz das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege mit Verfügung vom 13. April 2010 ab. Auch mit dem Begehren, Z._ sei zur Leistung eines Prozesskostenvorschusses und zur Leistung einer Kaution für die Prozessentschädigung zu verpflichten, unterlag X._. Die Vorinstanz wies diese Begehren mit der Begründung ab, Z._ sei unter Berücksichtigung seiner äusserst beschränkten Einkommens- und Vermögensverhältnisse als bedürftig anzusehen, weshalb ihm weder die Bezahlung eines Prozesskostenvorschusses noch die Leistung einer Kaution zuzumuten sei. Das Kantonsgericht verurteilte X._ zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'500.-- und ordnete an, dass die Kosten dieser Verfügung bei der Hauptsache verbleiben. Nachdem X._ ihrer Vorschusspflicht nicht nachgekommen war, setzte ihr die Kantonsgerichtsvizepräsidentin mit Verfügung vom 7. Mai 2010 schliesslich eine nicht erstreckbare Nachfrist zur Bezahlung des Kostenvorschusses und drohte ihr für den Fall der Nichtbezahlung an, auf die Berufung in der Hauptsache nicht einzutreten. D. Mit Eingabe vom 17. Mai 2010 gelangt X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, in Aufhebung der Verfügungen vom 13. April und 7. Mai 2010 sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren zu bewilligen; sie sei von der Leistung eines Kostenvorschusses und von der Bezahlung von Gerichtskosten zu befreien; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdeführerin verlangt ausserdem, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Schliesslich stellt sie das Begehren, Z._ (nachfolgend Beschwerdegegner) sei zu verpflichten, ihre allfälligen Gerichtskosten zu bevorschussen und an ihre Anwaltskosten einen Vorschuss von Fr. 3'000.-- zu leisten; eventuell sei ihr für das Verfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Vom Bundesgericht zur Vernehmlassung eingeladen, beantragte das Kantonsgericht Schwyz mit Eingabe vom 2. Juni 2010 die Abweisung der Beschwerde. Dem Gesuch um aufschiebende Wirkung widersetzte sich das Kantonsgericht nicht. Mit Präsidialverfügung vom 4. Juni 2010 hat das Bundesgericht der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung erteilt. 