Faits: A. A.a A._, né en 1969, et X._, née en 1974, se sont mariés en 1993 à B._ (VD), sans conclure de contrat de mariage. Deux enfants sont issus de cette union: C._, née en 1995 et D._, né en 1997. Les époux se sont séparés au mois de janvier 2005. Statuant sur mesures protectrices de l'union conjugale le 2 mars 2006, le Tribunal de première instance de Genève a attribué la garde des enfants à la mère et condamné le père à verser une contribution à l'entretien de la famille d'un montant de 2'100 fr. par mois, allocations familiales non comprises. A.b Le 6 mars 2008, A._ a formé une demande unilatérale en divorce, assortie d'une requête de mesures provisoires. Par jugement du 10 septembre 2008, le Tribunal de première instance a, entre autres points, prononcé le divorce des époux, attribué l'autorité parentale et la garde des enfants à la mère, sous réserve du droit de visite usuel du père, et condamné celui-ci à verser, pour l'entretien de chaque enfant, une contribution, indexée, de 1'100 fr. par mois jusqu'à leur majorité; il a en outre astreint le mari à payer mensuellement en faveur de l'épouse une contribution après divorce d'un montant de 500 fr. jusqu'à la fin du mois où le cadet des enfants aura atteint l'âge de seize ans révolus, soit jusqu'au 31 janvier 2013, et, enfin, ordonné le partage des prestations de sortie de la prévoyance professionnelle calculées durant la période du mariage. Sur mesures provisoires, le Tribunal de première instance a débouté les parties de leurs conclusions. Par arrêt du 20 mars 2009, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a, notamment, condamné le père à payer, pour l'entretien de chacun de ses enfants, des contributions, indexées, d'un montant de 600 fr. par mois jusqu'à leur majorité, allocations familiales en sus, et constaté que les revenus actuels du mari ne permettaient pas d'allouer une contribution d'entretien à l'épouse. Sur mesures provisoires, l'autorité cantonale a condamné le mari à verser, dès le 6 mars 2008, la somme de 1'200 fr. par mois à titre de contribution à l'entretien de sa famille. B. Par un seul et même acte déposé le 24 avril 2009, l'épouse interjette un recours en matière civile contre l'arrêt cantonal, dont elle requiert l'annulation du prononcé tant sur le fond que sur mesures provisoires pour ce qui concerne les contributions d'entretien en faveur des enfants et d'elle-même. Elle conclut à la confirmation du jugement de première instance du 10 septembre 2008. Elle sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire. Des observations n'ont pas été requises. 