Faits: A. Z._ SA, qui a son siège à ... (Jura), est une société active dans le domaine du placement de personnel, qui disposait de janvier 2009 à juillet 2011 d'une succursale dans une autre localité du canton. Par contrat de travail du 1er avril 2002, Z._ SA a engagé X._, qui a une formation d'employée de commerce, en qualité de chargée de recrutement à l'agence de .... Hormis une précédente activité de trois mois, la prénommée n'avait jamais travaillé dans une agence de placement auparavant (art. 105 al. 2 LTF). Dès le 1er décembre 2003, la travailleuse a été promue responsable de l'agence de .... Son contrat de travail a été remplacé par un avenant du 14 novembre 2003. A teneur de cet avenant, comme la salariée était titulaire du droit de signature collective à deux, le délai de résiliation du contrat, après le temps d'essai, a été fixé à six mois; l'avenant, à son art. 17, contenait une clause de non-concurrence ayant le contenu suivant (art. 105 al. 2 LTF): « Non concurrence 17.1 Après la fin du contrat et quelle que soit la cause du départ, l'employée n'exercera pas pour son compte personnel, ni pour le compte d'autrui, à titre lucratif ou gratuit, une activité de placement fixe ou temporaire et ne fera pas concurrence à l'employeur d'une autre manière. 17.2 Cette prohibition s'étend aux territoires suivants: Canton du Jura, Canton de Berne et Canton de Neuchâtel. 17.3 Cette prohibition vaut pour une période de 3 ans dès l'expiration du contrat. 17.4 En cas de violation de la prohibition de concurrence, l'employée devra, sur la base de la présente clause pénale, la somme de 100'000 francs. Elle devra, en outre, réparer le dommage qui excédera le montant de la peine. 17.5 L'employeur se réserve le droit d'exiger la cessation de la contravention ». D'après l'avenant en question, la salariée, en tant que responsable d'agence, avait notamment pour mission d'identifier les entreprises à prospecter pour chaque année et d'établir une liste de 150 entreprises soigneusement sélectionnées d'après leur potentiel, d'identifier les meilleurs clients des concurrents, d'établir les offres commerciales, de détecter l'émergence de nouveaux clients potentiels locaux et en informer son responsable hiérarchique, de mener les entretiens de recrutement, de rechercher et sélectionner les candidats et de négocier les conditions de règlement des clients. Toutes ces tâches ont été exercées par la travailleuse. Il a été constaté que le dernier salaire annuel brut de l'employée se montait à 81'900 fr., correspondant à une rémunération brute de 6'300 fr. par mois, versée treize fois l'an. Un intéressement de 6% était prévu en sus du salaire fixe, mais cette rémunération complémentaire n'a pas été payée en raison de la crise économique. Le 16 août 2010, la travailleuse a informé l'employeur qu'elle désirait résilier son contrat de travail de manière anticipée, soit pour la fin août 2010. Par courrier du 18 août 2010, celui-ci a accepté de mettre fin au contrat pour le 31 août 2010, tout en rendant la travailleuse attentive à la clause d'interdiction de concurrence stipulée dans l'accord qui les liait. Le 26 août 2010, X._ a signé un contrat de travail avec l'agence de placement A._ SA, société pour laquelle elle a débuté une activité de consultante dès le 1er septembre 2010. Elle perçoit un salaire mensuel brut de 7'000 fr. Par courrier recommandé du 27 septembre 2010, Z._ SA, qui avait appris par des clients que X._ travaillait dorénavant pour A._ SA, a reproché à son ancienne employée d'avoir violé la prohibition de lui faire concurrence et l'a invitée à lui faire parvenir, dans les dix jours, le montant de la peine conventionnelle prévue par contrat, à savoir 100'000 fr. X._ n'a pas obtempéré. B. Par demande du 20 décembre 2010, Z._ SA (demanderesse) a ouvert action contre X._ (défenderesse) devant le Conseil de prud'hommes du Tribunal de première instance du canton du Jura. La demanderesse a réclamé à sa partie adverse paiement de la peine conventionnelle de 100'000 fr. ainsi que la réparation du préjudice concret qu'elle aurait subi (art. 340b al. 1 CO), chiffré à 191'372 fr. Par un mémoire de demande complémentaire du 27 janvier 2011, la demanderesse a ordonné à la défenderesse de lui restituer sans délai un véhicule de marque Toyota Urban Cruiser que la première avait acquis en leasing et remis à son ex-employée. La défenderesse a conclu à libération. Par convention du 8 février 2011, homologuée le même jour par la Présidente du Conseil de prud'hommes, la demanderesse a reconnu devoir à la défenderesse, s'agissant du véhicule précité, la somme de 13'000 fr. sans intérêts, le contrat de leasing étant repris par cette dernière; la convention précisait que le capital de 13'000 fr. serait pris en compte à l'issue du litige relatif à la prohibition de concurrence alléguée. Par jugement du 22 novembre 2011, dont les motifs ont été communiqués le 20 décembre 2011, le Conseil de prud'hommes a condamné la défenderesse à payer à la demanderesse la somme nette de 63'000 fr. à titre de peine conventionnelle pour avoir violé la clause de prohibition de concurrence, dont à déduire le montant de 13'000 fr. dû en vertu de la convention conclue entre les parties le 8 février 2011. Le Conseil de prud'hommes a jugé que la clause de prohibition de concurrence prévue était valable, que l'engagement de la défenderesse au sein de la société A._ SA, laquelle dispose notamment du même champ de clientèle que la demanderesse, constituait une transgression manifeste de l'interdiction de concurrence convenue, que la demanderesse n'avait pas apporté la preuve suffisante du lien de causalité naturelle et adéquate entre la violation de ladite clause et le dommage effectif invoqué, que les parties étaient en revanche convenues d'une clause pénale de 100'000 fr. en cas de transgression de la prohibition de concurrence, mais qu'il se justifiait de réduire le montant de la peine conventionnelle à 63'000 fr., compte tenu en particulier du dernier salaire annuel de la travailleuse. Saisie d'appels formés par les deux parties, la Cour civile du Tribunal cantonal du canton du Jura, par arrêt du 19 juin 2012, a confirmé le jugement attaqué, sauf qu'elle a assorti la condamnation de la défenderesse à payer à la demanderesse la somme nette de 63'000 fr. à titre de peine conventionnelle d'intérêts à 5% l'an dès le 14 octobre 2010, sous déduction du même montant de 13'000 fr. C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal. Elle requiert l'annulation de cette décision et qu'il soit prononcé que la demanderesse est déboutée de toutes ses conclusions. L'intimée propose le rejet du recours. 