Faits: A. V._ a travaillé en qualité de juriste au service de la Compagnie d'Assurances X._. A ce titre, elle était assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de X._. Elle a été victime de quatre accidents à des intervalles rapprochés. Le 23 février 2002, elle a perdu le contrôle de sa voiture qui a percuté une grosse pierre après avoir glissé sur une plaque de glace. Consulté deux jours plus tard, le docteur H._ a fait état d'un traumatisme cranio-cérébral et attesté une incapacité de travail de 100 % du 23 février au 4 mars 2002 et de 50 % du 5 au 25 mars 2002. Le 28 juin 2002, l'assurée s'est cogné la tête et l'épaule droite en tombant d'un tabouret. Le docteur H._ a indiqué une incapacité de travail de 100 % du 28 au 30 juin et de 50% du 1er au 22 juillet 2002. Le 10 juillet 2003, l'intéressée a été victime d'un accident de la circulation: alors qu'elle était arrêtée à un feu rouge au volant de sa voiture, celle-ci a été percutée à l'arrière par un autre véhicule. Consultée deux jours plus tard, la doctoresse C._ a fait état d'une cervicalgie sur entorse cervicale. Le docteur H._ a attesté une incapacité de travail de 100 % à partir du 17 juillet 2003. Le 9 août 2003, l'assurée a été victime d'une contusion de la nuque (coup du lapin) dans des circonstances semblables à celles de l'évènement du 10 juillet précédent. Cet accident n'a pas nécessité de traitement médical. X._ a requis différents renseignements médicaux. En particulier, elle a confié une expertise pluridisciplinaire aux médecins du Centre Z._ (rapport du 2 juin 2006). Se fondant sur l'avis des experts, X._ a rendu une décision, le 3 mai 2007, par laquelle elle a supprimé, dès le 31 janvier 2004, le droit à la prise en charge des frais de traitement et à l'indemnité journalière. Saisie d'une opposition de l'assurée qui avait produit notamment un rapport d'expertise des médecins du Service de neurologie de l' Hôpital Y._; du 10 juillet 2007, X._ a confié une expertise complémentaire aux médecins du Centre Z._ (rapport du 21 octobre 2008). Elle a rejeté l'opposition par décision du 17 décembre 2008. B. L'assurée a recouru contre cette décision sur opposition devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales), lequel a rejeté le recours par jugement du 28 mai 2010. C. V._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant à la reprise, depuis le 1er juillet 2006, du paiement de l'indemnité journalière fondée sur une incapacité de travail de 50 %, à l'octroi d'une rente d'invalidité fondée sur l'incapacité de gain retenue à la date de l'ouverture du droit, ainsi qu'à l'octroi d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 20 % et à la prise en charge d'un suivi psychologique, neuropsychologique et physiothérapeutique, le tout sous suite de frais et dépens. L'intimée conclut au rejet du recours, dans la mesure où il est recevable. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer. 