Sachverhalt: A. Der aus Algerien stammende B._ (geb. 1975) reiste im Jahre 2003 mit einem Touristenvisum in die Schweiz. Auf sein nach Ablauf der Ausreisefrist gestelltes Asylgesuch trat das Bundesamt für Flüchtlinge am 13. September 2004 nicht ein. Die Schweizerische Asylrekurskommission wies eine gegen diese Verfügung gerichtete Beschwerde am 30. September 2004 ab. Am 3. Oktober 2005 heiratete B._ die Schweizer Bürgerin C._ (geb. 1959), welche zum Islam konvertierte und sich fortan A._ nannte. Ihr Familiennachzugsgesuch für den Ehemann lehnte das Amt für Ausländerfragen des Kantons Solothurn am 15. Februar 2006 ab und wies B._ an, die Schweiz bis zum 15. März 2006 zu verlassen. Gegen diese Verfügung erhob A._ am 20. Februar 2006 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. B. Mit Verfügung vom 21. Februar 2006 forderte das Verwaltungsgericht - unter Androhung des Nichteintretens auf die Beschwerde im Unterlassungsfall - A._ auf, bis zum 14. März 2006 einen Kostenvorschuss von Fr. 700.-- an die Gerichtskasse zu bezahlen. Hierauf stellte die Betroffene ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege, welches das Verwaltungsgericht mit Verfügung vom 30. März (recte: 2. März [Versanddatum]) 2006 "wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde" abwies, unter gleichzeitiger Erstreckung der Frist zur Zahlung des Kostenvorschusses bis zum 30. März 2006. C. Mit Schreiben vom 8. März 2006 teilte A._ dem Verwaltungsgericht mit, dass sie den Kostenvorschuss nicht bezahlen könne und "vor das Bundesgericht treten" werde. Hierauf trat das Verwaltungsgericht mit Entscheid vom 7. April 2006 auf die bei ihm erhobene Beschwerde betreffend das Familiennachzugsgesuch für B._ nicht ein. D. Mit Eingabe vom 11. Mai 2006 führt A._ staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht mit dem Antrag, den Nichteintretensentscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 7. April 2006 aufzuheben. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Das Departement des Innern (Ausländerfragen) beantragt in seiner - verspätet eingereichten - Vernehmlassung, die Beschwerde abzuweisen. Das Verwaltungsgericht hat sich allein zum gleichzeitig mit der Beschwerdeeinreichung gestellten Gesuch um aufschiebende Wirkung vernehmen lassen, welches der Abteilungspräsident mit Verfügung vom 21. Juni 2006 guthiess. 