Sachverhalt: A. Die aus Kamerun stammende Y._, geb. ***1968, reiste im Juni 2003 illegal in die Schweiz ein. Am 12. August 2003 heiratete sie den Schweizer Bürger Z._, worauf ihr eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib beim Ehemann erteilt wurde. Kurz darauf, am 2. September 2003, trat Z._ den Vollzug einer gegen ihn ausgesprochenen Freiheitsstrafe von 28 Monaten an. Am 4. November 2005 schlossen die Ehegatten eine gerichtlich genehmigte Trennungsvereinbarung ab, worin sie die Auflösung des gemeinsamen Haushaltes seit dem 1. Oktober 2004 feststellten und das Getrenntleben auf unbestimmte Zeit vereinbarten. Im *** Dezember 2005 wurde der gemeinsame Sohn X._ geboren. B. Mit Verfügung vom 23. Januar 2006 verweigerte die Fremdenpolizeibehörde der Einwohnergemeinde Biel Y._ die Erneuerung der Aufenthaltsbewilligung und setzte ihr eine Ausreisefrist bis zum 6. März 2006. Zur Begründung führte die Fremdenpolizeibehörde im Wesentlichen aus, das Ehepaar habe nie zusammengelebt und es bestünden keine Aussichten auf eine Wiedervereinigung. Die Rückkehr in die Heimat sei ohne weiteres möglich und zumutbar. Eine dagegen erhobene Beschwerde bei der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern blieb erfolglos (Entscheid vom 22. Mai 2007). C. Mit Urteil vom 22. Oktober 2007 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, die von Y._ erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde ab. D. Mit Eingabe vom 21. November 2007 erhebt Y._ (Beschwerdeführerin 2) zusammen mit ihrem Sohn, X._ (Beschwerdeführer 1), beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, mit welcher sie um Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts sowie um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin 2, eventualiter um Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Abklärung des Sachverhalts, ersuchen. Die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern sowie das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde, das Verwaltungsgericht des Kantons Bern auf Abweisung, soweit darauf einzutreten sei. E. Dem von den Beschwerdeführern gestellten Gesuch um aufschiebende Wirkung wurde mit Verfügung des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung vom 27. November 2007 entsprochen. 