Sachverhalt: A. A.a X._ praktizierte von 1977 bis 2004 in S._ als Facharzt für Onkologie. Von 1988/1989 an behandelte er mindestens 186 Tumorpatientinnen und -patienten, die operiert worden waren, mit der von ihm selbst bzw. seiner Firma F._ hergestellten Substanz Lipoteichonsäure (LTA). Mit dem Einsatz von LTA, das den Patienten subcutan gespritzt wurde, wurden therapeutische Zwecke verfolgt, und zwar zumeist über einen längeren Zeitraum. Die Substanz war von der Interkantonalen Kontrollstelle für Heilmittel (IKS) nicht zugelassen. X._ wurde die Behandlung mit LTA in der Folge schrittweise verboten. Ab 6. September 2000 durfte er keine neuen Patienten mehr in die Behandlung mit LTA aufnehmen; die bereits damit behandelten Patienten durfte er indes unter zahlreichen Auflagen und Bedingungen im Sinne einer gesamthaften Bewilligung für "Compassionate Use" weiterhin mit LTA versorgen. Unter "Compassionate Use" wird gemeinhin die Anwendung eines möglicherweise wirksamen, jedoch noch nicht zugelassenen Arzneimittels im Einzelfall bei Patienten in lebensbedrohlichen Situationen verstanden. Am 4. April 2001 wurde ihm deren Anwendung mit sofortiger Wirkung untersagt. A.b Insbesondere aufgrund von Strafanzeigen, die von Patienten bzw. deren Hinterbliebenen eingereicht wurden, begann die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt Ende 1999 gegen X._ wegen des Verdachts von strafbaren Handlungen gegen Leib und Leben zu ermitteln. Am 30. Juni 2004 erhob sie in vier Fällen Anklage wegen fahrlässiger Tötung im Sinne von Art. 117 StGB und mehrfacher eventualvorsätzlicher Aussetzung im Sinne von Art. 127 StGB. Im Wesentlichen wurde X._ vorgeworfen, seine krebskranken Patienten, ohne sie umfassend aufzuklären, mit der nicht zugelassenen Substanz LTA behandelt bzw. die de lege artis gebotenen Standardtherapien nicht angewandt und dadurch den Tod der Patienten verursacht und/oder deren Leben bzw. Gesundheit einer unmittelbaren konkreten Gefährdung ausgesetzt zu haben. B. Mit Urteil des Strafgerichts Basel-Stadt vom 19. Mai 2005 wurde X._ der fahrlässigen Tötung zum Nachteil von Ad._ schuldig erklärt. Freigesprochen wurde er hingegen von der Anklage der fahrlässigen Tötung zum Nachteil von B._ sowie der mehrfachen Aussetzung zum Nachteil der beiden Vorgenannten sowie von C._ und D._. Er wurde mit drei Monaten Gefängnis bedingt bestraft, unter Auferlegung einer Probezeit von zwei Jahren. Die Entschädigungsforderungen der Hinterbliebenen von Ad._ wurden dem Grundsatz nach gutgeheissen, bezüglich der Höhe ihrer Ansprüche wurden sie auf den Zivilweg verwiesen. C. Gegen dieses Urteil erklärten die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt, der Verurteilte sowie die Hinterbliebenen von Ad._ die Appellation. D. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt sprach X._ am 29. Juni 2007 schuldig der mehrfachen (eventualvorsätzlichen) Aussetzung, d.h. der vollendeten zum Nachteil von Ad._ und der versuchten zum Nachteil von B._. Von der Anklage der Aussetzung zum Nachteil von C._ und D._ sprach es ihn frei. Es bestätigte den Freispruch vom Vorwurf der fahrlässigen Tötung zum Nachteil von C._ und stellte das Verfahren wegen fahrlässiger Tötung zum Nachteil von Ad._ zufolge Eintritts der Verjährung ein. Das Appellationsgericht verurteilte X._ zu einer bedingten Geldstrafe von 120 Tagessätzen à je Fr. 2'000.-- unter Auferlegung einer Probezeit von zwei Jahren. Den gestützt auf die Aussetzung zum Nachteil von Ad._ geltend gemachten Genugtuungsanspruch wies es ab; die gestützt auf die fahrlässige Tötung zum Nachteil von Ad._ geltend gemachten Zivilforderungen verwies es auf den Zivilweg. E. X._ gelangt mit Beschwerde an das Bundesgericht. Er beantragt, das angefochtene Urteil des Appellationsgerichts Basel-Stadt vom 29. Juni 2007 sei aufzuheben, und er sei vom Vorwurf der mehrfachen (davon einmal versuchten) eventualvorsätzlichen Aussetzung freizusprechen. Entsprechend seien die Verfahrenskosten aller Instanzen vom Staat zu tragen und ihm eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen. F. Das Appellationsgericht Basel-Stadt verlangt in seiner Eingabe vom 7. Mai 2008 die Abweisung der Beschwerde. Der Ehemann der verstorbenen Ad._ führt in seiner Stellungnahme vom 9. Juni 2008 aus, es sei die Verurteilung des Beschwerdeführers zumindest im Falle von Ad._ sel. wegen des Tatbestands der Aussetzung als erfüllt zu betrachten und entsprechend das Urteil der Vorinstanz zu bestätigen. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt hat am 14. Mai 2008 auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde verzichtet. 