Sachverhalt: A. A.a Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies am 11. Juli 2006 eine Beschwerde des 1951 geborenen B._ ab, mit welcher dieser die Aufhebung eines Einspracheentscheids der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 22. März 2005 beantragt hatte. Darin hatte die Verwaltung festgehalten, es bestehe kein Anspruch auf eine Invalidenrente. Im Spätsommer 2006 meldete sich B._ bei der Invalidenversicherung neu an. Er reichte einen Bericht des behandelnden Psychiaters Dr. G._ vom 31. August 2006 ein; dieser Arzt attestierte eine in den letzten Monaten eingetretene Verschlechterung des Gesundheitszustandes. Im folgenden Abklärungsverfahren holte die IV-Stelle unter anderem ein interdisziplinäres Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS) ein (Expertise vom 1. Oktober 2007). Die IV-Stelle lehnte das Gesuch ab mit der Begründung, es bestehe keine dauerhafte Einschränkung der Arbeitsfähigkeit (Verfügung vom 19. Dezember 2007). Das kantonale Gericht wies die dagegen erhobene Beschwerde am 30. März 2009 ab. Das Bundesgericht bestätigte diesen Entscheid (Urteil 9C_468/2009 vom 9. September 2009). A.b Am 9. April 2010 meldete sich B._ erneut zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich trat auf das Gesuch ein und lehnte es wiederum ab mit der Begründung, aus versicherungsmedizinischer Sicht sei beim Versicherten, wie schon in den Jahren 2006 und 2007, kein Gesundheitsschaden mit massgeblicher Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit ausgewiesen (Verfügung vom 4. Februar 2011). B. Das kantonale Sozialversicherungsgericht wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 10. April 2012). C. B._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die IV-Stelle zu verpflichten, ihm rückwirkend eine angemessene Invalidenrente auszurichten. Während Vorinstanz und Bundesamt für Sozialversicherungen auf Vernehmlassung verzichten, beantragt die IV-Stelle Abweisung der Beschwerde. 