(Entschädigung für Verteidigung), hat sich ergeben: A.- X._, Rechtsanwalt und Notar in Erstfeld, war von der Staatsanwaltschaft des Kantons Uri der wiederholten und fortgesetzten Urkundenfälschung im Amt, der Veruntreuung sowie weiterer Straftatbestände angeklagt. Der Strafantrag der Staatsanwaltschaft lautete auf zwei Jahre Gefängnis und Fr. 3'000.-- Busse. Mit Verfügung vom 1. Dezember 1986 bestellte ihm das Landgerichtspräsidium Uri einen notwendigen Verteidiger und beauftragte Y._, Fürsprech und Notar in Altdorf, mit diesem Mandat. Die gegen diese Verfügung erhobenen Rechtsmittel des Y._ wie auch des X._ blieben erfolglos. Y._ vertrat alsdann X._ im Strafverfahren vor dem Landgericht Uri, welches mit Urteil vom 12. März 1987 den Angeklagten zu einer unbedingten Gefängnisstrafe von 20 Monaten und einer Busse von Fr. 2'000.-- verurteilte. Ein darauf eingereichtes Gesuch von Y._ um Entlassung aus der notwendigen Verteidigung wies das Obergericht des Kantons Uri am 21. September 1987 ab, worauf dieser den Angeklagten auch im anschliessenden Berufungsverfahren vor Obergericht vertrat. Die gegen das Urteil des Obergerichts erhobene eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde hiess das Bundesgericht mit Entscheid vom 27. April 1990 teilweise gut und wies die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurück. Mit Entscheid vom 10./11. Oktober 1990 sprach das Obergericht X._ der wiederholten und fortgesetzten Urkundenfälschung im Amt schuldig und verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von 20 Monaten Gefängnis. Von der Verhängung einer Busse sah es ab. Von der Anklage der Veruntreuung sowie von der Anklage der wiederholten Unterlassung der Buchführung sprach es ihn frei. Die vom notwendigen Verteidiger wie auch von X._ selbst eingereichten eidgenössischen Nichtigkeitsbeschwerden gegen dieses Urteil wies das Bundesgericht mit Entscheid vom 16. Mai 1991 ab. Mit Entscheid vom 3. Juni 1991 entband darauf das Obergericht Y._ von seinem Mandat. B.- Nachdem X._ die Honorarforderungen von Y._ für die notwendige Verteidigung nicht beglichen hatte, erhob dieser am 18. Januar 1993 beim Landgericht Uri Klage auf Verurteilung von X._ zur Bezahlung von Fr. 49'693.-- zuzüglich 7% Verzugszins und verkündete dem Kanton Uri den Streit. Mit Urteil vom 17. Juni 1993 beschloss das Landgericht Uri als Zivilgericht, auf die Klage einzutreten. Mit Entscheid vom 10. November 1993 hiess das Obergericht des Kantons Uri den von X._ dagegen erhobenen Rekurs gut, hob das Urteil des Landgerichts auf und wies die Klage Y._s zurück. In der Begründung erklärte das Obergericht, bei der Bestellung als notwendiger Verteidiger werde kein privatrechtliches Auftragsverhältnis begründet, weshalb der Zivilprozessweg nicht beschritten werden könne. Die richterliche Festsetzung der Entschädigung des notwendigen Verteidigers habe durch den Strafrichter nach Art. 201 ff. StPO zu erfolgen, wobei nicht das Obergericht, das das rechtskräftige Urteil gefällt habe, sondern das Landgericht zuständig sei, da beiden Parteien im kantonalen Verfahren zwei Instanzen zur Verfügung stehen müssten. C.- Am 12. April 1995 stellte Y._ dem Landgericht Uri ein Gesuch um nachträgliche richterliche Anordnung gemäss Art. 201 und Art. 54 ff. der Strafprozessordnung des Kantons Uri vom 29. April 1980 (StPO). Darin beantragte er die gerichtliche Feststellung, dass die Kostennoten der amtlichen Verteidigung im Gesamtbetrage von Fr. 49'693.-- zuzüglich 6% Verzugszins zulässig und betragsmässig gerechtfertigt seien (Antrag 1), unter Kosten- und Entschädigungsfolge einschliesslich des Aufwandes von Fr. 11'896.-- plus 6% Zins seit 10. November 1993 für das bisherige Inkassoverfahren zulasten von X._ (Antrag 2). Mit Entscheid vom 10. Mai 1995 legte das Landgericht Uri die Entschädigung von Y._ als notwendiger Verteidiger auf Fr. 39'970.-- zuzüglich Verzugszins von 5% ab 1. Dezember 1992 fest. Gegen diesen Entscheid erhoben sowohl Y._ wie auch X._ Rekurs an das Präsidium des Obergerichts des Kantons Uri. Beide Rekurrenten beantragten Aufhebung des angefochtenen Entscheids, wobei Y._ Gutheissung seiner am 12. April 1995 gestellten Anträge verlangte. X._ reichte seine Rekursbegründung erst am 31. Mai 1999 ein. Ausser der Aufhebung des angefochtenen Entscheids beantragte er darin eventualiter zudem, die Forderung des Y._ gemäss dessen Antrag 2 (Inkassoaufwand) sei abzuweisen, während die Forderung gemäss dessen Antrag 1 (Honorar) "massiv nach richterlichem Ermessen herabzusetzen sei". Mit Entscheid vom 18. Dezember 2000 wies das Präsidium des Obergerichts den Rekurs Y._s ab. Den Rekurs X._s hiess es am selben Tag in dem Sinne gut, dass es den Entscheid des Landgerichts Uri vom 10. Mai 1995 aufhob und die Entschädigung des X._ an Y._ für notwendige Verteidigung auf Fr. 17'855.-- nebst Zins zu 5% ab 1. Dezember 1992 festlegte. D.- Gegen das auf seinen Rekurs hin ergangene Urteil des Präsidiums des Obergerichts des Kantons Uri reichte X._ am 18. Januar 2001 staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht ein. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sowie der vorangegangene Entscheid des Landgerichts Uri vom 10. Mai 1995 seien aufzuheben. Er rügt eine Verletzung von Art. 9 und 29 BV, Art. 26 BV sowie Art. 6 Ziff. 1 EMRK. E.- Die Staatsanwaltschaft, das Landgericht sowie das Präsidium des Obergerichts des Kantons Uri haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Y._ hat sich im Wesentlichen mit dem Antrag auf Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde vernehmen lassen. 