Sachverhalt: A. Die Bürgergemeinde Ftan ist im Grundbuch Ftan bzw. Scuol als Eigentümerin von 36 Parzellen eingetragen. Bei der Neuzuteilung im Rahmen der Gesamtmelioration Ftan beanspruchte die politische Gemeinde Ftan das Eigentum an den fraglichen Grundstücken. Die Bürgergemeinde lehnte einen Vorschlag zur gütlichen Einigung ab. Die politische Gemeinde erhob darauf beim Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden Klage auf Zusprechung des Eigentums an den 36 Parzellen und deren Eintragung auf ihren Namen im Grundbuch. Das Verwaltungsgericht hiess die Klage am 20. November 2012 gut und entsprach vollumfänglich den Rechtsbegehren der politischen Gemeinde Ftan. B. Die Bürgergemeinde Ftan beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, es sei das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 20. November 2012 aufzuheben und die Klage der politischen Gemeinde Ftan abzuweisen. Weiter verlangt sie, es sei das Grundbuchamt Engiadina Bassa zu beauftragen, als Erwerbsart für die fraglichen Parzellen "Ausscheidungsvertrag" einzutragen und die Teilflächen der Grundstücke, die Sachen im Gemeingebrauch darstellten, auszuparzellieren und diese auf den Namen der politischen Gemeinde Ftan im Grundbuch einzutragen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die politische Gemeinde Ftan und das Verwaltungsgericht stellen Antrag auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. In einem zweiten Schriftenwechsel halten die Parteien an ihren Anträgen fest. Die Bürgergemeinde Ftan hat sich ein weiteres Mal zur Sache geäussert. 