Sachverhalt: A. Am 2. September 2010 lieferte die Republik Kosovo H._ wegen des Vorwurfs der Tötung des Lehrers I._ sowie von Sexualdelikten, begangen an seiner Tochter J._, an die Schweiz aus. H._ wurde im Kanton St. Gallen in Untersuchungshaft gesetzt. Am Morgen des 19. Novembers 2010 fand ihn ein Gefängnismitarbeiter an Kleidungsstücken an einem Träger eines Büchergestells hängend. Der herbeigerufene Notarzt stellte seinen Tod fest. Die Behörden des Kantons St. Gallen beschlossen am gleichen Tag, die Todesumstände nicht selbst zu untersuchen. Vielmehr zogen sie dafür den bei der Staatsanwaltschaft Bischofszell im Kanton Thurgau tätigen J._ bei. Dieser wurde in der Folge von der Vorsteherin des Sicherheits- und Justizdepartements des Kantons St. Gallen formell mit der Untersuchung des Todesfalls betraut. B. Am 4. Januar 2011 erhob K._, Rechtsanwalt der Familie A._, Strafanzeige gegen namentlich genannte und unbekannte Staatsangestellte. Am 11. März 2011 reichte A._, Sohn des verstorbenen H._, ebenfalls Strafanzeige ein, und zwar gegen die Gefängnisärzte B._ und C._, gegen den Beamten der Kantonspolizei St. Gallen L._ und gegen die mit dem Strafverfahren gegen H._ betraute D._ wegen fahrlässiger Tötung durch Unterlassen, schwerer Körperverletzung durch Unterlassen, Aussetzung, Unterlassen der Nothilfe und Amtsmissbrauchs. Beide Strafanzeigen wurden der Anklagekammer des Kantons St. Gallen zur Durchführung des Ermächtigungsverfahrens überwiesen. C. C.a. Mit Entscheid vom 25. Mai 2011 wies die Anklagekammer unter anderem ein Ausstandsbegehren gegen J._ ab und beauftragte diesen mit der Abklärung der Umstände des Todes von H._. Zugleich beauftragte sie ihn, die Anklagekammer nach Abschluss der Untersuchungen über die Ermittlungsergebnisse umfassend zu unterrichten. Dieser Entscheid wurde nicht angefochten. C.b. J._ erstattete auftragsgemäss am 26. September 2011 Bericht. A._ liess sich dazu vernehmen. K._ reichte keine Stellungnahme ein und beantwortete die Anfrage der Anklagekammer nicht, welche Angehörigen er vertrete. C.c. Am 29. Mai 2013 entschied die Anklagekammer, keine Ermächtigung zur Durchführung eines Strafverfahrens zu erteilen. D. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 11. Juli 2013 an das Bundesgericht beantragt A._, den Entscheid der Anklagekammer aufzuheben, die Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens zu erteilen und die Staatsanwaltschaft St. Gallen anzuweisen, eine hinreichende Untersuchung anzuordnen. Im Wesentlichen macht er geltend, es sei für die verschiedenen mit H._ befassten Behördenvertreter erkennbar gewesen, dass dieser aufgrund der erschwerten Haftbedingungen und seines angeschlagenen physischen und psychischen Gesundheitszustandes suizidgefährdet gewesen sei. Es bestünde ein genügender Tatverdacht, dass die Behörden die ihnen namentlich aufgrund der Menschenrechte obliegenden Schutzpflichten vernachlässigt hätten, was die Eröffnung einer Strafuntersuchung rechtfertige. Die Verweigerung der Ermächtigung der Strafverfolgung verstosse daher gegen Bundesrecht. E. Die Staatsanwaltschaft schliesst mit Eingabe vom 23. Juli 2013 auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Kantonspolizei St. Gallen stellt Antrag auf Abweisung. Die Anklagekammer und das Amt für Justizvollzug des Kantons St. Gallen haben auf eine Stellungnahme verzichtet. F. Mit Replik vom 12. Dezember 2013 hielt A._ an seinem Standpunkt fest. Die Staatsanwaltschaft liess sich dazu am 14. Januar 2014 vernehmen. G. A._ äusserte sich am 12. Februar 2014 nochmals zur Sache. 