Sachverhalt: A. Der ursprünglich aus Guinea stammende X._ (geb. 1979) reiste am 3. Dezember 1999 als Asylbewerber in die Schweiz ein. Am 7. August 2000 heiratete er eine Schweizer Bürgerin (geb. 1958), worauf ihm der Aufenthalt bei der Ehefrau bewilligt wurde. Am 4. Oktober 2005 wurde ihm die Niederlassungsbewilligung erteilt. Inzwischen hat X._ das Schweizer Bürgerrecht erworben. B. Am 23. September 2003 ersuchte X._ um Nachzug seines 1997 in Guinea geborenen ausserehelichen Sohnes Y._. Er gibt an, erst im Jahre 2002 von seiner Vaterschaft Kenntnis erhalten zu haben. Das Gesuch wurde am 29. Juli 2004 abgelehnt, weil keine Beziehung zwischen Vater und Sohn bestehe. Mit Eingaben vom 9. und 19. November 2007 stellte X._ erneut ein Familiennachzugsgesuch für seinen Sohn. Er machte geltend, die Mutter von Y._ habe sich wieder verheiratet und der Sohn sei ihr in dieser Ehe zur Last geworden, weshalb das Sorgerecht dem Vater übertragen worden sei. Mangels vorrangiger Beziehung zwischen Y._ und seinem Vater wies das Departement des Innern des Kantons Solothurn, Abteilung Ausländerfragen, das Gesuch mit Verfügung vom 20. Februar 2008 ab. Dagegen beschwerte sich X._ erfolglos beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 6. Juni 2008 beantragt X._, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 7. Mai 2008 aufzuheben und das Departement des Innern des Kantons Solothurn, Abteilung Ausländerfragen, zu verpflichten, den Familiennachzug zu bewilligen; eventuell sei die Angelegenheit zwecks zusätzlicher Abklärungen an die Vorinstanz bzw. an die Abteilung Ausländerfragen zurückzuweisen. D. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Departement des Innern des Kantons Solothurn, Abteilung Ausländerfragen, und das Bundesamt für Migration beantragen, die Beschwerde abzuweisen. E. Mit Verfügung vom 25. August 2008 wies das Bundesamt für Migration das Gesuch um Erteilung eines Touristenvisums für Y._ ab, da dessen fristgerechte Wiederausreise nicht als gesichert erachtet werden konnte. 