Sachverhalt: A. Am 12. Oktober 2005 reichte die Ärztegesellschaft des Kantons Bern beim Schiedsgericht in Sozialversicherungsstreitigkeiten des Kantons Bern eine Klage gegen Dr. med. X._ ein mit dem Rechtsbegehren, der Beklagte sei schriftlich zu ermahnen und aufzufordern, Art. 11 des kantonalen Anschlussvertrages zum Rahmenvertrag TARMED zwischen der santésuisse und der Ärztegesellschaft des Kantons Bern (in der Fassung vom 1. Januar 2004) inskünftig einzuhalten und ausschliesslich im System des tiers garant abzurechnen (vgl. Art. 11 Abs. 1 Anschlussvertrag), soweit er sich nicht auf altrechtliche Vereinbarungen über Direktzahlungen berufen könne (vgl. Art. 11 Abs. 2 Anschlussvertrag), die er dem Schiedsgericht zuhanden der Ärztegesellschaft lückenlos zu eröffnen habe. Dem Beklagten sei für den Fall der Widerhandlung gegen die unter Ziff. 1 erwähnte Aufforderung der Ausschluss vom Vertrag anzudrohen. Im Verlaufe des Verfahrens wurde der am 1. Juli 2006 in Kraft getretene Anschlussvertrag zu den Akten genommen. Mit Verfügung vom 30. März 2006 wies das Schiedsgericht ein Sistierungsbegehren des Dr. med. X._ ab und gab die Zusammensetzung des Schiedsgerichtes bekannt. Dr. med. X._ erhob am 12. April 2006 Einwände gegen die Einsetzung des vorgesehenen Vertreters der Ärztegesellschaft als Schiedsrichter und schloss mit Klageantwort vom 8. Mai 2006 auf Abweisung der Klage. Da die Amtsdauer des vorgesehenen Ärztevertreters als Schiedsrichter Ende 2006 abgelaufen war, schrieb die Instruktionsrichterin den Antrag auf Ablehnung des Schiedsrichters als gegenstandslos geworden ab und gab den Parteien die als Schiedsrichter gewählten Vertreter der Leistungserbringer Ärzte bekannt (Verfügung vom 30. März 2007), gegen welche keine Ablehnungsgründe vorgebracht wurden. Mit Verfügung vom 9. Mai 2007 eröffnete die Instruktionsrichterin den Parteien die neue Zusammensetzung des Schiedsgerichts. Nachdem die Ärztegesellschaft auf eine Replik verzichtet hatte, schloss die Instruktionsrichterin am 12. Juni 2007 den Schriftenwechsel. Innert der ihm gleichzeitig gesetzten Frist liess sich Dr. med. X._ vernehmen. Des Weitern reichte er den zwischenzeitlich am 22. Juni 2007 zwischen der santésuisse und der Ärztegesellschaft des Kantons Bern geschlossenen Anschlussvertrag (Datum des Inkrafttretens: 1. Januar 2008) ein, welcher eine neue Regelung betreffend Rechnungsstellung und Vergütung enthält. Von der ihr hierauf eingeräumten Gelegenheit, sich zu ihrem Rechtsschutzinteresse zu äussern, machte die Ärztegesellschaft mit Eingabe vom 8. November 2007 Gebrauch. Mit Entscheid vom 17. Dezember 2007 wies das Schiedsgericht die Klage als gegenstandslos geworden ab. Die Verfahrenskosten von Fr. 2'000.- überband es den Parteien je zur Hälfte. Es wurde keine Parteientschädigung zugesprochen. B. Dr. med. X._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei insoweit aufzuheben, als er darin verpflichtet werde, die Hälfte der Verfahrenskosten zu tragen. Die Ärztegesellschaft habe sämtliche Kosten des erstinstanzlichen Verfahrens zu übernehmen. Des Weitern sei der kantonale Entscheid insoweit abzuändern, als die Ärztegesellschaft zu verpflichten sei, ihm eine vom Gericht festzusetzende Parteientschädigung zu entrichten. 