Sachverhalt: A. A.a. Die Ehe der Eltern von Z._ (geb. xxxx 1993) wurde am yyyy 2005 geschieden. A.b. Am 3. November 2011 klagte Z._ gegen ihren Vater, X._, mit dem Begehren, dieser sei zu verpflichten, ihr ab 16. Juli 2011 bis zum ordentlichen Abschluss der Ausbildung monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 1'300.-- zu bezahlen, wobei bereits erbrachte Leistungen anzurechnen seien. Mit Urteil vom 30. Mai 2012 verpflichtete der Einzelrichter des Bezirksgerichts Kriens den Vater, seiner Tochter unter Anrechnung bereits erbrachter Leistungen im Umfang von Fr. 5'570.65 einen monatlichen und vorauszahlbaren, erstmals anteilsmässig am 16. Juli 2011 bis zum ordentlichen Abschluss ihrer Ausbildung fälligen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'300.-- zu leisten. B. B.a. Gegen dieses Urteil erhob der Vater am 8. Juli 2012 fristgerecht Berufung beim Obergericht des Kantons Luzern, mit der er im Wesentlichen um eine Senkung des Unterhaltsbeitrages auf Fr. 800.-- pro Monat ersuchte. Mit Eingabe vom 10. Juli 2012 verlangte die Tochter, der Berufung die aufschiebende Wirkung zu entziehen. In ihrer Berufungsantwort vom 18. Juli 2012, die am 8. August 2012 zusammen mit ihrer Eingabe vom 10. Juli 2012 an den Vater weitergeleitet wurde, beantragte die Tochter die Abweisung der Berufung. Der Vater nahm am 4. September 2012 zur Berufungsantwort sowie zum Gesuch vom 10. Juli 2012 Stellung. B.b. Mit Urteil vom 22. Januar 2013 wies das Obergericht die Berufung ab. Dabei ging es davon aus, die am 4. September 2012 eingereichten Stellungnahmen des Vaters zum Gesuch um Entzug der aufschiebenden Wirkung (Eingabe vom 10. Juli 2012) sowie zur Berufungsantwort (vom 18. Juli 2012) der Tochter seien verspätet eingereicht worden, weshalb sie im Entscheid unberücksichtigt blieben. C. Der Vater hat mit Eingabe vom 24. Februar 2013 gegen das ihm am 5. Februar 2013 in voller Ausfertigung zugestellte Urteil des Obergerichts beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben; er schliesst sinngemäss auf Abweisung der Klage. Die Tochter (Beschwerdegegnerin) und das Obergericht beantragen in ihren Eingaben vom 2. April 2013 Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat sich am 2. April 2013 nochmals vernehmen lassen. Er beantragt, zur Vernehmlassung der Beschwerdegegnerin und des Obergerichts Stellung nehmen zu können. Dies erübrigt sich, da, wie nachfolgend aufgezeigt wird, die Beschwerde gutzuheissen ist. 