Faits: A. Le 23 mai 2006, X._, ressortissant guinéen né à Conakry le *** 1982, a bénéficié d'une autorisation de séjour CE/AELE de courte durée, en présentant un faux document d'identité française. Le 4 avril 2008, il a requis la transformation de cette autorisation (de courte durée), qui avait entre-temps été renouvelée jusqu'au 12 mai 2008, en autorisation (ordinaire) de séjour CE/AELE. Ayant découvert que X._ s'était légitimé avec de faux papiers et qu'il n'avait pas la nationalité française, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) lui a fait savoir, le 25 juillet 2008, qu'il envisageait de "refuser le renouvellement de [son] autorisation de séjour de courte durée, respectivement l'octroi d'une autorisation de séjour CE-AELE" et l'a invité à faire part de ses éventuelles observations. Dans une prise de position du 18 septembre 2008, l'intéressé a admis qu'il n'avait pas la nationalité française, mais a néanmoins sollicité la délivrance d'une autorisation de séjour (permis B). Il a exposé qu'arrivé en Suisse le 7 janvier 2001, il y avait déposé, sous une (première) fausse identité, une demande d'asile qui avait été rejetée et que, depuis lors, il était demeuré dans ce pays où il avait noué, à partir de 2003, une relation amoureuse avec B._, une ressortissante suisse avec laquelle il avait ensuite - à une date non précisée - emménagé; il ajoutait que, depuis lors, il partageait sa vie avec cette compagne et qu'à partir de 2006, il avait régulièrement travaillé et disposait maintenant d'un emploi qui lui procurait des ressources suffisantes pour subvenir aux besoins du ménage. Par décision du 6 novembre 2008, le Service cantonal a refusé "la transformation de l'autorisation de séjour de courte durée CE/AELE de X._ en autorisation de séjour de longue durée CE/AELE", au motif que l'intéressé avait obtenu abusivement ses autorisations de séjour sur la base de fausses déclarations. B. X._ a recouru contre la décision précitée du Service cantonal, en se plaignant d'une violation du droit au respect de la vie familiale garanti par l'art. 8 par. 1 CEDH. Durant l'instruction de son recours, il a été condamné à une peine de 90 jours-amende (à 20 fr. le jour) pour faux dans les certificats, obtention frauduleuse d'une constatation fausse, infraction à la loi fédérale sur les étrangers et obtention frauduleuse d'un permis de conduire (jugement du 24 mars 2009 du Tribunal de police de l'arrondissement de la Côte). Par arrêt du 30 décembre 2009, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours. Les juges ont notamment retenu qu'une cohabitation d'un peu moins de trois ans ne permettait pas de déduire un droit à une autorisation de séjour de l'art. 8 par. 1 CEDH, en présence, comme en l'espèce, d'un couple de concubins n'ayant pas de projet de mariage et pas d'enfant. C. X._ interjette un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral contre l'arrêt précité du Tribunal cantonal, dont il requiert, sous suite de frais et dépens, la réforme, en ce sens qu'une autorisation de séjour lui soit délivrée ou, subsidiairement, que sa cause soit renvoyée au Tribunal cantonal ou au Service cantonal pour octroi d'une telle autorisation. Comme en procédure cantonale, il invoque la violation de l'art. 8 par. 1 CEDH. A réception de l'invitation à fournir une avance de frais de 2'000 fr., il a demandé au tribunal une prolongation de délai pour s'en acquitter, avant de solliciter le bénéfice de l'assistance judiciaire totale, motif pris qu'il n'avait plus d'emploi et que son amie n'était pas en mesure de lui fournir l'avance de frais requise. Le Tribunal fédéral a provisoirement renoncé à exiger cette avance, en précisant qu'il statuerait ultérieurement sur la requête d'assistance judiciaire. Par ordonnance du 4 février 2010, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a admis la requête d'effet suspensif présentée à l'appui du recours. Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures. 