Sachverhalt: A. X._ liess am 5. Februar 2009 durch Rechtsanwalt Stephan Bernard eine Strafanzeige gegen drei Beamte der Stadtpolizei Zürich wegen einfacher Körperverletzung, allenfalls Tätlichkeiten, und Amtsmissbrauchs einreichen. Nach seiner Darstellung war er am 21. Januar 2009 auf dem Polizeiposten Wollishofen nach der turbulent verlaufenen Befragung seiner Ehefrau zu ihrer erleichterten Einbürgerung von einem Beamten festgehalten und von einem anderen geschlagen worden. Am 16. Februar 2009 stellte X._ beim Büro für amtliche Mandate des Bezirksgerichts Zürich das Gesuch, Rechtsanwalt Bernard per 5. Februar 2009 zu seinem unentgeltlichen Geschädigtenvertreter zu ernennen. Am 2. Februar 2010 eröffnete die (bei Verfahren gegen Beamte für Delikte im Zusammenhang mit ihrer amtlichen Tätigkeit nach § 22 Abs. 6 der Zürcher Strafprozessordnung vom 4. Mai 1919, StPO, dafür zuständige) Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Zürich die Strafuntersuchung gegen zwei der drei verzeigten Polizisten. Am 8. Februar 2010 bestellte der stellvertretende Präsident des Bezirksgerichts Zürich Rechtsanwalt Bernard rückwirkend ab Eröffnung der Strafuntersuchung vom 2. Februar 2010 zum unentgeltlichen Rechtsvertreter von X._. Soweit das Gesuch das Vorverfahren vom 5. Februar 2009 bis zum 2. Februar 2010 betraf, leitete er es an die nach seiner Auffassung dafür zuständige Anklagekammer weiter. Die Präsidentin der Anklagekammer trat am 11. Februar 2010 "auf das Gesuch von Rechtsanwalt lic. iur. Stephan Bernard vom 16. Februar 2009 um Bestellung als unentgeltlicher Rechtsbeistand von X._ ab 5. Februar 2009 bis zur Eröffnung der Strafuntersuchung am 2. Februar 2010" mangels Zuständigkeit nicht ein. B. Auf Beschwerde von X._ hin hob das Bundesgericht diesen Entscheid der Präsidentin der Anklagekammer am 10. Mai 2010 wegen formeller Rechtsverweigerung auf und wies die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurück. C. In ihrer Verfügung vom 2. Juni 2010 erwog die Präsidentin der Anklagekammer, nach § 140 Abs. 2 des Gerichtsverfassungsgesetzes vom 13. Juni 1976 (GVG) sei sie an die Rechtsauffassung des Bundesgerichts gebunden, wonach X._ Anspruch darauf habe, dass sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege auch für das Vorverfahren materiell behandelt werde. Es rechtfertige sich, dass sie dessen Beurteilung übernehme. Sie kam zum Schluss, X._ verfüge über die erforderlichen Mittel, um die im Vorverfahren angefallenen Anwaltskosten selber zu decken, und wies das Gesuch ab. Mit Beschwerde in Strafsachen, eventuell subsidiärer Verfassungsbeschwerde, beantragt X._, diese Verfügung aufzuheben und Rechtsanwalt Stephan Bernard, Zürich, als unentgeltlichen Rechtsvertreter für das Vorverfahren vom 5. Februar 2009 bis zur Eröffnung des Strafverfahrens am 2. Februar 2010 einzusetzen. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zu neuem Entscheid zurückzuweisen. Eventualiter sei dem Beschwerdeführer für das Verfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung zu gewähren. Das Bezirksgericht und die Präsidentin der Anklagekammer verzichten auf Vernehmlassung. 