Sachverhalt: A. Nachdem ein erstes Leistungsgesuch mit Verfügung vom 24. August 2000 abgewiesen worden war, meldete sich der 1955 geborene A._ im September 2008 erneut bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach ihm die IV-Stelle des Kantons St. Gallen mit Verfügung vom 12. Juli 2011 eine halbe Invalidenrente ab 1. Juli 2010 bei einem Invaliditätsgrad von 54 % zu. B. Dagegen liess A._ Beschwerde führen. Die IV-Stelle beantragte vernehmlassungsweise, unter Abweisung der Beschwerde sei festzustellen, dass der Versicherte keinen Rentenanspruch habe. In Gutheissung des eingelegten Rechtsmittels sprach das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen A._ bereits mit Wirkung ab 1. April 2009 eine halbe Invalidenrente zu (Entscheid vom 25. Juni 2013). C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle des Kantons St. Gallen, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben, soweit er ab 1. April 2009 einen Anspruch auf eine halbe Rente bejahe, und die Sache sei an das kantonale Gericht zur Durchführung des Verfahrens nach Art. 61 lit. d ATSG zurückzuweisen. Ferner ersucht sie um aufschiebende Wirkung der Beschwerde. A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen, zudem lässt er unentgeltliche Rechtspflege beantragen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichtet auf eine Vernehmlassung. 