Faits: A. S._ travaille en qualité de secrétaire au service de X._. A ce titre, elle est assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de Allianz Suisse Société d'Assurances SA (ci-après: Allianz). Le 8 novembre 2001, alors qu'elle arrivait à une intersection au volant de sa voiture, l'assurée a obliqué à gauche sans accorder la priorité à un motocycliste qui circulait normalement en sens inverse. L'intéressée ne s'est plainte d'aucune blessure. De son côté, le motocycliste a été grièvement blessé lors de la collision. Dans les semaines qui ont suivi cet accident, l'assurée a ressenti des vertiges accompagnés de nausées et de déséquilibres, ainsi que des douleurs à la nuque et de la fatigue. Consulté le 8 décembre 2001, le docteur H._, spécialiste en médecine générale, a fait état d'une possible dysfonction labyrinthique et de cervicalgies post-contusionnelles. Il a attesté une incapacité de travail de 100 % du 22 février au 1er mars 2002, avec reprise du travail à 100 % dès le 2 mars suivant (rapport du 12 avril 2002). L'assureur-accidents, qui avait pris en charge le cas, a recueilli de nombreux renseignements médicaux et confié une expertise au docteur M._, spécialiste en oto-rhino-laryngologie et médecin adjoint à l'Unité d'otoneurologie du Centre hospitalier Y._; rapport du 2 février 2007). Par décision du 6 juillet 2007, Allianz a accordé à l'assurée une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 10 %, en raison des séquelles de l'accident, à savoir une affection au niveau de l'oreille interne, à l'origine d'un hydrops endolymphatique et de symptômes d'une maladie de Ménière. En outre, l'assureur-accidents a indiqué qu'il allait continuer de prendre en charge les frais des traitements médicaux nécessaires et appropriés, pour autant qu'il existât un lien de causalité naturelle entre l'accident et l'affection traitée. A réception de factures de pharmacie concernant des médicaments délivrés les 9 janvier et 6 avril 2009, et d'une note d'honoraires du docteur R._, médecin traitant de l'assurée, Allianz a rendu une décision le 17 février 2010, confirmée sur opposition le 18 octobre suivant, par laquelle elle a refusé de prendre en charge désormais les frais du traitement relatif au syndrome de Ménière, motif pris de l'absence d'un lien de causalité entre ce trouble et l'accident du 8 novembre 2001. Bien qu'elle ait indiqué avoir admis par erreur l'existence d'un tel lien auparavant, Allianz a renoncé à réclamer la restitution des prestations déjà allouées. B. Saisie d'un recours contre la décision sur opposition, la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura l'a rejeté par jugement du 31 octobre 2011. C. S._ forme un recours contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'octroi des prestations de l'assurance-accidents obligatoire. L'intimée conclut au rejet du recours sous suite de frais et dépens. La juridiction cantonale en propose également le rejet. 