Sachverhalt: A. Die 1959 geborene G._ war seit 2002 als Raumpflegerin/Zimmermädchen mit Pensum von ungefähr 40 % tätig. Am 21. Dezember 2005 stürzte sie während der Arbeit auf der Treppe. Es traten Kreuzschmerzen auf, welche medikamentös und mit Physiotherapie behandelt und radiologisch und psychiatrisch untersucht wurden. Der Hausarzt Dr. med. S._, FMH Allgemeine Medizin, attestierte volle Arbeitsunfähigkeit vom 16. März bis 15. Mai 2006 und ab 15. Juli 2006. Seit 21. August 2006 arbeitete G._ mit einem Pensum von rund 10 % als Reinigungskraft in der Verwaltung. Unter Angabe verschiedener aus Unfall und Krankheit herrührender Schmerzen meldete sie sich am 29. Juni 2007 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Graubünden untersuchte den medizinischen und erwerblichen Sachverhalt und beauftragte in diesem Rahmen das Zentrum X._ mit einer interdisziplinären Abklärung der Leistungsfähigkeit (Gutachten vom 16. Oktober 2008). Mit Vorbescheid vom 30. März 2009 und Verfügung vom 3. Juli 2009 wies die IV-Stelle das Begehren um Ausrichtung einer Rente wegen eines nicht anspruchsbegründenden Gesamtinvaliditätsgrades (Beruf und Haushalt) von 25 % ab. B. Mit Entscheid vom 8. Dezember 2009 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden die dagegen erhobene Beschwerde ab (Dispositiv-Ziff. 1). C. G._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten; sie beantragt Aufhebung von Dispositiv-Ziff. 1 und Rückweisung der Sache an die Verwaltung zur Abklärung und Zusprechung einer Invalidenrente; zudem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege. Vorinstanz und IV-Stelle beantragen Abweisung der Beschwerde; das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf Vernehmlassung. 