Sachverhalt: A. A.a A._ wurde am 16. August 2001 zusammen mit B._ als Job Sharing Partnerin vom Stadtrat der Stadt Bern zunächst provisorisch und am 22. August 2002 definitiv als Ratssekretär gewählt. Die von der Stadtratspräsidentin erlassene und von A._ sowie B._ gegengezeichnete Anstellungsverfügung vom 22. August 2002 enthielt unter der Überschrift "Besondere Bestimmungen" den Hinweis, dass das Dienstverhältnis von A._ an das Dienstverhältnis von B._ gekoppelt sei und beide im Sinne eines Job-Pairings gemeinsam die Verantwortung für die Planung und Erfüllung der mit der Stelle verbundenen Aufgaben übernehmen würden. In der Folge kam es zu Spannungen zwischen der Ratssekretärin und dem Ratssekretär, welche den Präsidenten des Stadtrates veranlassten, eine Administrativuntersuchung durchzuführen. Nachdem die beiden Betroffenen zum Untersuchungsbericht vom 7. Juli 2009 Stellung genommen hatten, kündigte B._ das Dienstverhältnis am 13. August 2009 auf den 30. November 2009. Daraufhin bewarb sich A._ mit Schreiben vom 18. August 2009 um die Leitung des Ratssekretariats zu 100 % mit dem Hinweis, dass er sich in ungekündigter Stellung als Co-Leiter des Ratssekretariats befinde. Am 19. August 2009 erliess der Stadtratspräsident folgende Verfügung: In der Folge kam es zu Spannungen zwischen der Ratssekretärin und dem Ratssekretär, welche den Präsidenten des Stadtrates veranlassten, eine Administrativuntersuchung durchzuführen. Nachdem die beiden Betroffenen zum Untersuchungsbericht vom 7. Juli 2009 Stellung genommen hatten, kündigte B._ das Dienstverhältnis am 13. August 2009 auf den 30. November 2009. Daraufhin bewarb sich A._ mit Schreiben vom 18. August 2009 um die Leitung des Ratssekretariats zu 100 % mit dem Hinweis, dass er sich in ungekündigter Stellung als Co-Leiter des Ratssekretariats befinde. Am 19. August 2009 erliess der Stadtratspräsident folgende Verfügung: "1. Der Stadtrat von Bern hat am 13. August 2009 Kenntnis genommen von der Demission von Frau Dr. B._ als Ratssekretärin im Job-Pairing mit Herrn A._. 2. Gestützt auf den Anstellungsbeschluss des Stadtrats und gemäss den besonderen Bestimmungen der Anstellungsverfügung vom 22. August 2002 wird festgestellt, dass mit der Beendigung des Dienstverhältnisses von Frau Dr. B._ das Dienstverhältnis von Herrn A._ ebenfalls auf den 30. November 2009 endet." A.b Gegen diese Verfügung erhob A._ Beschwerde beim Regierungsstatthalteramt Bern und stellte gleichzeitig ein Ausstandsbegehren gegen den Stadtratspräsidenten X._, den ersten Vizepräsidenten Y._ und die zweite Vizepräsidentin Z._. Der Regierungsstatthalter wies die Beschwerde mit Entscheid vom 30. November 2009 ab, soweit er darauf eintrat (Dispositiv-Ziffer 1). Des Weitern verpflichtete er den Beschwerdeführer, den Beschwerdegegnern 2 bis 4 eine Parteientschädigung in Höhe von Fr. 4'297.30 zu entrichten (Dispositiv-Ziffer 4). B. Die dagegen eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 5. Februar 2010 ab, soweit es darauf eintrat (Dispositiv-Ziffer 1). Zudem verpflichtete es A._, den Beschwerdegegnern 2 bis 4 für das kantonale Verfahren eine Parteientschädigung von insgesamt Fr. 500.- zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 3). C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ die Aufhebung des angefochtenen Entscheids beantragen; eventuell sei die Sache an den Regierungsstatthalter zurückzuweisen. Die Verfahrenskosten seien der Beschwerdegegnerin 1 aufzuerlegen. Hinsichtlich der Parteikosten seien die Beschwerdegegner 1 bis 4 zu verurteilen, ihm unter solidarischer Haftbarkeit eine Entschädigung für die entstandenen Kosten in den Verfahren vor dem Regierungsstatthalter, dem Verwaltungsgericht und dem Bundesgericht nach richterlichem Ermessen zu bezahlen; eventuell sei die Parteientschädigung zu Gunsten der Beschwerdegegner 2 bis 4 für das Verfahren vor dem Regierungsstatthalter von Fr. 4'297.30 für alle drei Parteien zusammen auf Fr. 500.- herabzusetzen. Ferner ersucht er um aufschiebende Wirkung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Einwohnergemeinde Stadt Bern, X._, Y._ und Z._ schliessen ebenfalls auf Abweisung, soweit auf die Beschwerde einzutreten sei. D. Mit Eingabe vom 12. Mai 2010 lässt A._ seine Mitteilung an die Gegenpartei gleichen Datums sowie das Protokoll der Stadtratssitzung vom 29. April 2010 über die Reorganisation der Leitung des Ratssekretariats einreichen. Die Gegenparteien haben sich dazu am 27. Mai 2010 vernehmen lassen. Am 31. Mai 2010 hat A._ dazu Stellung genommen. In der Folge gelangte der Beschwerdeführer mit Eingabe vom 21. Juni 2010 nochmals ans Bundesgericht. E. Mit Verfügung vom 19. Mai 2010 wurde das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen. 