Faits: A. K._ a obtenu un diplôme de l'Ecole Z._ en juillet 1999. A partir de cette année-là, elle a travaillé au service de plusieurs employeurs. Le 1 er octobre 2005, K._ a débuté un emploi à plein temps au service de X._ en qualité d'assistante pour le responsable du planning et du contrôle de la partie francophone d'un département dès le 1 er octobre 2005. Elle a été totalement incapable de travailler à compter du 16 janvier 2006 en raison d'affections psychiques. Le 18 janvier 2006, la Caisse de pensions de X._ a émis une réserve de santé pour l'octroi des prestations d'assurance surobligatoire libellée comme suit: "en cas d'incapacité de gain consécutive aux affections psychiques et à leurs conséquences, aucune prestation d'assurance ne sera accordée", la réserve étant valable trois ans. Par décision du 24 novembre 2008, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève a alloué à K._ une rente entière d'invalidité à compter du 1 er avril 2007 (demande tardive). L'office AI a retenu que la capacité de travail de l'assurée était considérablement restreinte depuis janvier 2006. Le 22 septembre 2009, K._, agissant par son curateur, a demandé à la Caisse de pensions de X._ de lui verser une rente d'invalidité. L'institution de prévoyance a opposé un refus, motivé par le fait que K._ était incapable de travailler avant son affiliation. L'intéressée a contesté ce point de vue; elle a fait valoir qu'elle n'avait jamais été incapable de travailler en raison des troubles qui avaient justifié l'octroi de la rente de l'assurance-invalidité, en particulier le trouble bipolaire sévère mixte et le trouble déficitaire de l'attention avec hyperactivité, l'incapacité survenue en janvier 2006 ayant été déclenchée par un burn-out. B. Le 21 décembre 2011, K._ a saisi la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, en concluant à ce que la Caisse de pensions de X._ fût condamnée à lui verser une rente d'invalidité à 100 % dès le 1 er janvier 2007, avec intérêts. La défenderesse a conclu au rejet de la demande. La juridiction cantonale a entendu plusieurs médecins et témoins. Elle a ordonné l'appel en cause de deux institutions de prévoyance auprès desquelles l'assurée avait précédemment été affiliée, soit AXA Fondation LPP Suisse romande, ainsi que la "Pensionskasse Y._". Par jugement du 4 juin 2013, le tribunal cantonal a rejeté la demande. C. K._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, avec suite de frais et dépens, en concluant derechef à ce que la Caisse de pensions de X._ soit condamnée à lui verser une rente d'invalidité de 100 % à partir du 1 er janvier 2007. Subsidiairement, elle dirige ses prétentions contre Y._, plus subsidiairement contre AXA Fondation LPP Suisse romande. Elle sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire. Les intimées ont conclu au rejet du recours avec suite de frais. A l'exception de la Caisse de pensions de X._, les deux autres institutions intimées ont demandé des dépens. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. 