Steigerungspublikation; Lastenverzeichnis, hat sich ergeben: A.- In der Betreibung Nr. .. gegen den Schuldner Z._ ordnete das Betreibungsamt A._ die betreibungsrechtliche Steigerung der Liegenschaften B._ und C._ auf den 16. Mai 2001 an. Z._ erhob gegen die ihm am 3. März 2001 zugestellte Steigerungsanzeige Beschwerde mit dem Antrag, die Steigerungspublikation sei aufzuheben und das Lastenbereinigungsverfahren an die Hand zu nehmen. Mit Verfügung vom 26. März 2001 wies das Vizegerichtspräsidium Arbon als untere Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs die Beschwerde ab. Das Obergericht des Kantons Thurgau als kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs wies die in der Folge eingereichte Beschwerde mit Beschluss vom 21. Mai 2001 ebenfalls ab, soweit es darauf eintrat, und auferlegte Z._ die Verfahrenskosten von Fr. 500.--. B.- Z._ hat den Beschluss vom 21. Mai 2001 des Obergerichts des Kantons Thurgau mit Beschwerdeschrift vom 11. Juni 2001 (rechtzeitig) an die Schuldbetreibungs- und Konkurskammer des Bundesgerichts weitergezogen. Er verlangt die Aufhebung des angefochtenen Beschlusses und stellt verschiedene Rechtsbegehren. Im Weiteren ersucht er um aufschiebende Wirkung. Die Gläubigerin Crédit Suisse AG als Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht des Kantons Thurgau und das Betreibungsamt A._ schliessen ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde. Mit Verfügung vom 26. Juni 2001 hat die Präsidentin der Schuldbetreibungs- und Konkurskammer des Bundesgerichts der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt. Die Schuldbetreibungs- und Konkurskammer 