Sachverhalt: A. Am 24. April 2011 kam es frühmorgens in der A._-Bar in B._ zu einer tätlichen Auseinandersetzung zwischen X._ und Y._. X._ wird beschuldigt, mit der Faust auf Y._ eingeschlagen und einem Klappmesser (Klingenlänge ca. 6 cm) mehrmals auf ihn eingestochen zu haben. Y._ erlitt eine Stichverletzung unterhalb des rechten Schlüsselbeins sowie zwei oberflächliche Hautdurchtrennungen an der Brustwarze links und am Unterarm rechts. X._ werden zudem weitere Delikte vorgeworfen. B. Das Obergericht des Kantons Bern sprach X._ am 28. Februar 2013 zweitinstanzlich der schweren Körperverletzung, der mehrfachen einfachen Körperverletzung mit einem gefährlichen Gegenstand, der Tätlichkeit und des Ungehorsams gegen amtliche Verfügungen schuldig. Gleichzeitig hielt es die Rechtskraft des erstinstanzlichen Schuldpunkts (betreffend Diebstahl an einem geringfügigen Vermögenswert und Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz) fest. Das Obergericht verurteilte X._ zu einer Freiheitsstrafe von 3 1⁄2 Jahren unter Anrechnung der Haft von 27 Tagen sowie zu einer Übertretungsbusse von Fr. 800.--. Zudem widerrief es den bedingten Vollzug zweier Geldstrafen aus den Jahren 2010 und 2011. Das Obergericht verpflichtete X._, Y._ eine Genugtuung von Fr. 8'000.-- nebst Zins zu bezahlen und hiess dessen Schadenersatzanspruch dem Grundsatze nach gut. C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, das Urteil des Obergerichts des Kantons Bern sei aufzuheben, und er sei von den Vorwürfen der schweren Körperverletzung, der mehrfachen einfachen Körperverletzung und des Ungehorsams gegen amtliche Verfügungen freizusprechen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. 