Sachverhalt: A. A.a X._ (geb. 1964) begann ab 2008 im Zusammenhang mit Eheproblemen mit regelmässigem Konsum von Alkohol in hohen Dosen. Die im Januar 2010, Mai und August 2011 anlässlich von Polizeikontrollen durchgeführten Atemproben ergaben Blutalkoholkonzentrationswerte von 1.83 bis 2.8 Promillen. Nach einem epileptischen Anfall am Arbeitsplatz im Mai 2009 wurde X._ das erste Mal in die Klinik A._ hospitalisiert. Bis heute sind insgesamt neun Hospitalisationen zu verzeichnen, wobei den Angaben von X._ zufolge lediglich in zwei Fällen eine Einweisung im Rahmen fürsorgerischer Freiheitsentziehung erfolgt sein soll. A.b Den Akten ist im Weiteren zu entnehmen, dass X._ nach wiederholten Alkoholentzugsbehandlungen im Februar 2011 freiwillig zur Langzeittherapie in die "Klinik B._" eintrat, die Behandlung aber nach nur zwei Wochen abbrach. Nach einem weiteren Eintritt in die Klinik A._ im Rahmen fürsorgerischer Freiheitsentziehung am 22. März 2011 plante die Betroffene erneut eine Langzeitbehandlung in besagter Klinik, nahm aber den Eintrittstermin vom 20. April 2011 nicht wahr. Schliesslich trat sie am 9. Juni 2011 in diese Pflegeinstitution ein, brach aber die Behandlung am 21. Juli 2011 erneut ab. B. B.a Mit Entscheid vom 21. September 2011 wies der Fürsorgerat des Kantons Basel-Stadt X._ gestützt auf Art. 397a Abs. 1 ZGB in eine therapeutische Institution "vom Typ Effingerhort" ein. Als Grundlage für diesen Entscheid diente namentlich das psychiatrische Gutachten der Klinik A._ vom 23. August 2011, das im Rahmen einer Einweisung zwecks Begutachtung erstellt worden war. B.b X._ erhob am 4. Oktober 2011 beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht Rekurs gegen den Entscheid des Fürsorgerates. Anlässlich einer ersten Verhandlung vom 10. November 2011 wurden der nunmehr beigezogene Anwalt von X._ sowie Dr. med. Y._, Ärztin der Klinik A._ und Gutachterin in der Sache, befragt und in der Folge entschieden, eine weitere Expertise einzuholen. Der beauftragte Spezialarzt für Psychiatrie und Psychotherapie, Dr. med Z._, reichte seinen Bericht am 28. November 2011 ein. Anlässlich der zweiten Verhandlung vom 8. Dezember 2011 hörte das Appellationsgericht diesen Arzt, X._ sowie deren Rechtsanwalt an und wies den Rekurs mit Urteil vom gleichen Tag ab. C. Die anwaltlich verbeiständete X._ (Beschwerdeführerin) hat gegen das ihr am 3. Januar 2012 in voller Ausfertigung zugestellte Urteil beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie beantragt zur Hauptsache, das Urteil des Appellationsgerichts vom 8. Dezember 2011 und der Entscheid des Fürsorgerates Basel-Stadt vom 21. September 2011 seien aufzuheben; eventuell sei die Beschwerdeführerin anzuweisen, eine ambulante Alkoholentzugstherapie, gegebenenfalls unter Einschluss von regelmässigen Blut- und Atemtests aufzunehmen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege. D. Das Appellationsgericht hat am 6. Februar 2012 Abweisung der Beschwerde beantragt. Der Fürsorgerat hat sich nicht vernehmen lassen. Die Beschwerdeführerin hat am 14. Februar 2012 repliziert. 