Faits: Faits: A. Par décisions des 30 octobre 1991 et 17 juin 1992, le Conseil d'Etat du canton du Valais (ci-après: le Conseil d'Etat) a respectivement suspendu, puis révoqué A._ de sa fonction de contrôleur permanent de la Banque cantonale du Valais (ci-après: la Banque), la révocation intervenant sans indemnité et avec effet au 30 juin 1992. A la suite de l'annulation de la décision de révocation par le Tribunal fédéral pour des motifs d'ordre formel (arrêt du 13 décembre 1993 dans les causes jointes 2P.147/1992, 2P.210/1992, 2P.226/1992 et 2P.255/ 1992), le Conseil d'Etat a mis en oeuvre un certain nombre de mesures d'instruction qui l'ont finalement conduit, après différentes péripéties de procédure, à confirmer la révocation litigieuse de l'intéressé dans une nouvelle décision du 28 mai 1997. Le Tribunal fédéral a ensuite rejeté, par arrêt du 2 septembre 1998, le recours de droit public formé par A._ contre cette dernière décision, au motif, notamment, que nonobstant le changement de statut de la Banque intervenu le 1er janvier 1993, le Conseil d'Etat était demeuré l'autorité compétente pour prendre la mesure litigieuse qui apparaissait justifiée au regard des circonstances, en particulier de la gravité des fautes commises par l'intéressé dans le cadre de l'exercice de sa fonction. A. Par décisions des 30 octobre 1991 et 17 juin 1992, le Conseil d'Etat du canton du Valais (ci-après: le Conseil d'Etat) a respectivement suspendu, puis révoqué A._ de sa fonction de contrôleur permanent de la Banque cantonale du Valais (ci-après: la Banque), la révocation intervenant sans indemnité et avec effet au 30 juin 1992. A la suite de l'annulation de la décision de révocation par le Tribunal fédéral pour des motifs d'ordre formel (arrêt du 13 décembre 1993 dans les causes jointes 2P.147/1992, 2P.210/1992, 2P.226/1992 et 2P.255/ 1992), le Conseil d'Etat a mis en oeuvre un certain nombre de mesures d'instruction qui l'ont finalement conduit, après différentes péripéties de procédure, à confirmer la révocation litigieuse de l'intéressé dans une nouvelle décision du 28 mai 1997. Le Tribunal fédéral a ensuite rejeté, par arrêt du 2 septembre 1998, le recours de droit public formé par A._ contre cette dernière décision, au motif, notamment, que nonobstant le changement de statut de la Banque intervenu le 1er janvier 1993, le Conseil d'Etat était demeuré l'autorité compétente pour prendre la mesure litigieuse qui apparaissait justifiée au regard des circonstances, en particulier de la gravité des fautes commises par l'intéressé dans le cadre de l'exercice de sa fonction. B. Parallèlement aux démarches judiciaires entreprises pour contester sa révocation, A._ a ouvert une action civile contre la Banque, le 2 juillet 1992, en concluant au versement d'une somme de 177'523 fr. 50 à titre de salaire dû jusqu'au terme prévu de son engagement (soit la période allant du 1er juillet 1992 au 31 mai 1993). Il soutenait que sa mise à pied équivalait à une résiliation injustifiée d'un contrat de travail de droit privé. Par jugement du 10 mai 1994, la IIe Cour civile du Tribunal cantonal du canton du Valais a déclaré cette action irrecevable, au motif que les rapports de travail en cause ne relevaient pas du droit privé, mais du droit public, et qu'il appartenait à la Cour de droit public du Tribunal cantonal d'examiner sa compétence, le cas échéant de reprendre la procédure sous son autorité. Le 18 novembre 1994, la Ie Cour civile du Tribunal fédéral a rejeté le recours de droit public formé par A._ contre ce jugement (arrêt 4P.213/1994). Après que le dossier lui eut été transmis le 18 janvier 1995, la Cour de droit public du Tribunal cantonal (ci-après: la Cour de droit public ou le Tribunal cantonal) a suspendu l'instruction de la cause par arrêt du 17 février 1995, en considérant que les prétentions de l'intéressé se fondaient, en définitive, sur l'illicéité de son licenciement, de sorte qu'il y avait lieu d'attendre l'issue de la procédure de révocation (relatée supra sous lettre A). La suspension a ensuite été prolongée, à la demande de A._, jusqu'à droit connu sur une autre procédure que ce dernier avait entamée, dans le cadre de cette affaire, devant la Cour européenne des droits de l'homme. A._ n'a pas donné d'information sur l'issue de cette procédure; en revanche, il a requis le maintien de la suspension de la procédure pendante devant le Tribunal cantonal, par écritures des 28 novembre 2003 et 25 mars 2004, en vue de trouver une solution négociée avec la Banque. L'instruction de la cause a finalement été reprise à la requête de A._ qui, dans une lettre du 21 septembre 2004, constatait et déplorait l'échec des pourparlers engagés avec la Banque et annonçait qu'il déposerait une écriture complémentaire "fondée notamment sur (une) convention-transaction acceptée (par lui-même), en son nom personnel, et par Monsieur B._ et Monsieur C._, en leur qualité de représentants du Conseil d'administration de la Banque Cantonale du Valais". Le 27 septembre 2004, la Cour de droit public du Tribunal cantonal a fixé aux parties un délai au 15 octobre 2004 pour se déterminer sur la question de sa compétence à se saisir du litige. Par écriture du 6 octobre 2004, A._ a relevé que cette question avait déjà été tranchée de manière définitive par la Cour de droit civil du Tribunal cantonal. Après que la Banque eut fait savoir, le 11 octobre 2004, qu'elle admettait la compétence de la Cour de droit public, A._ a été invité, le 13 octobre 2004, à répliquer jusqu'au 25 octobre suivant. Dans ce délai, il a simplement pris acte de la position de la Banque. Par arrêt du 18 mars 2005, la Cour de droit public s'est déclarée incompétente pour se saisir du litige, au motif que la loi valaisanne sur la procédure et la juridiction administratives du 6 octobre 1976 (LPJA) ne prévoyait plus, depuis une novelle du 16 mai 1991 entrée en vigueur le 1er janvier 1993, la voie de l'action devant le Tribunal administratif - qui a entre-temps été intégré au Tribunal cantonal comme Cour de droit public - pour les contestations de nature patrimoniale découlant des rapports de service et que, par ailleurs, la question du droit à une indemnité pour licenciement injustifié avait été définitivement tranchée par la négative dans l'arrêt précité de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral du 2 septembre 1998. Par arrêt du 18 mars 2005, la Cour de droit public s'est déclarée incompétente pour se saisir du litige, au motif que la loi valaisanne sur la procédure et la juridiction administratives du 6 octobre 1976 (LPJA) ne prévoyait plus, depuis une novelle du 16 mai 1991 entrée en vigueur le 1er janvier 1993, la voie de l'action devant le Tribunal administratif - qui a entre-temps été intégré au Tribunal cantonal comme Cour de droit public - pour les contestations de nature patrimoniale découlant des rapports de service et que, par ailleurs, la question du droit à une indemnité pour licenciement injustifié avait été définitivement tranchée par la négative dans l'arrêt précité de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral du 2 septembre 1998. C. A._ forme un recours de droit public contre l'arrêt cantonal précité du 18 mars 2005, dont il demande l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, à ce que "ordre (soit) immédiatement donné à la Cour de droit public du Tribunal cantonal de suivre les règles procédurales en la cause (l'opposant) à la Banque cantonale du Valais introduite le 2 juillet 1992 devant les autorités civiles qui ont rejeté leur compétence dans ce litige". Pour l'essentiel, il se plaint de déni de justice et de violation des principes de la protection contre l'arbitraire et de la protection de la bonne foi. Sur le fond, il invoque une "convention-transaction" des 26/27 novembre 1991 que la Banque n'aurait pas respectée, ce qui justifierait ses prétentions pécuniaires à l'encontre de celle-ci. Il produit avec son recours le document invoqué. La Cour de droit public a renoncé à se déterminer sur le recours, tandis que la Banque conclut à son rejet, sous suite de frais et dépens, en relevant que A._ met en avant des faits nouveaux irrecevables qui, au surplus, ne correspondent pas à la réalité; en particulier elle soutient qu'elle n'a pas donné son accord à la convention dont le prénommé se prévaut. 