Fatti: A. In seguito a una denuncia del 10 novembre 2006, il Procuratore pubblico del Cantone Ticino (PP) ha aperto un procedimento penale a carico di A._, che è stato arrestato il 23 aprile 2007 ed è rimasto in detenzione preventiva fino al 26 settembre 2007. Il procedimento è sfociato in un atto di accusa del 18 novembre 2009 per i titoli di truffa aggravata, infrazione aggravata alla legge federale sugli stupefacenti, falsità in certificati, ripetuta disobbedienza a decisioni dell'autorità, violazione della legge federale sugli agenti terapeutici e della legge federale sulla protezione dell'ambiente. All'accusato, che non avrebbe una formazione in medicina, è in sostanza rimproverato di avere esercitato abusivamente la professione di medico, praticando terapie invasive quali ozonoterapia e terapia neurale in condizioni igieniche precarie, ingannando i pazienti e mettendone in pericolo la salute. Il dibattimento dinanzi al Tribunale penale cantonale non è ancora stato svolto. B. Il 24 febbraio 2010 il PP ha aperto un ulteriore procedimento penale a carico di A._ in relazione a un suo "intervento medico" eseguito nel mese di novembre del 2009 su una paziente che avrebbe in seguito contratto una grave infezione, tale da esporla a pericolo della salute. Risultando che l'interessato aveva continuato a svolgere un'attività medica abusiva, egli è stato nuovamente arrestato il 6 aprile 2011. Un'istanza di carcerazione preventiva del PP è stata evasa l'8 aprile 2011 dal giudice dei provvedimenti coercitivi: in luogo della carcerazione sono state ordinate, quali misure sostitutive, il blocco dei documenti di identità e di legittimazione svizzeri e serbi, l'obbligo di non abbandonare il territorio ticinese, quello di annunciarsi giornalmente presso un posto di polizia stabilito dal PP, il divieto di avere contatti con pazienti "storici" e "potenziali", nonché i divieti di esercitare qualsiasi tipo di arte medica, tra cui l'ozonoterapia e la terapia neuronale, e di praticare iniezioni di ogni genere. Un reclamo presentato dal PP contro la decisione del giudice dei provvedimenti coercitivi è stato respinto dal Presidente della Corte dei reclami penali del Tribunale d'appello (CRP) con decisione del 13 aprile 2011. C. Il 19 settembre 2011 A._ è stato di nuovo arrestato provvisoriamente. A seguito di una perquisizione presso la società B._SA è infatti risultato che gli era stata fornita una bombola di ossigeno medicale da lui ordinata il 2 maggio 2011. Da una perquisizione eseguita presso l'abitazione dell'accusato sarebbe inoltre emerso ch'egli avrebbe allestito un nuovo studio medico, in cui si troverebbe in particolare del materiale sanitario di recente acquisto, mentre nel garage sarebbero stati rinvenuti un apparecchio per l'ozonoterapia, oltre a medicinali nel baule dell'automobile. Il 21 settembre 2011, il PP ha quindi proposto al giudice dei provvedimenti coercitivi di ordinare la carcerazione preventiva, invocando al riguardo un pericolo di recidiva giusta l'art. 221 cpv. 1 lett. c CPP. Con decisione dello stesso giorno, il giudice dei provvedimenti coercitivi ha respinto l'istanza di carcerazione preventiva, confermando le misure sostitutive stabilite nella sua precedente decisione dell'8 aprile 2011. D. Adita dal PP, con sentenza del 5 ottobre 2011, la CRP ne ha respinto il reclamo. Ha ritenuto che le vigenti misure sostitutive della carcerazione erano sufficienti per escludere nel breve termine il pericolo di recidiva, mentre nel medio termine esso sarebbe stato scongiurato dalla conclusione dell'inchiesta ancora pendente, rispettivamente dalla celebrazione del processo per i fatti oggetto dell'atto di accusa. E. Il PP impugna il giudizio della CRP con un ricorso in materia penale al Tribunale federale, chiedendo in via principale di ordinare la carcerazione preventiva dell'interessato per pericolo di recidiva. In via subordinata, postula di rinviare la causa alla Corte cantonale per un nuovo giudizio. Il ricorrente fa valere la violazione del diritto federale, in particolare dell'art. 221 cpv. 1 lett. c CPP. F. Invitati ad esprimersi sul ricorso, la CRP si rimette al giudizio del Tribunale federale, mentre l'opponente chiede in via principale di dichiararlo irricevibile e subordinatamente di respingerlo. Il PP ha ribadito le sue argomentazioni con osservazioni del 2 dicembre 2011. La CRP e l'opponente hanno confermato le loro prese di posizione con scritti del 7 dicembre 2011, rispettivamente del 12 dicembre 2011. 