Sachverhalt: A. A._ (geboren am 6. Dezember 1912) trat am 12. Oktober 2004 in das Alters- und Pflegeheim X._ AG ein. Am 14. Oktober 2004 wurde sie auf dem Verbundsandsteinboden an der Südfassade des zum Heim gehörenden Hauses B._ tot aufgefunden. Die Abklärungen ergaben, dass A._, die im 3. (beziehungsweise gartenseitig 2.) Stockwerk des Hauses B._ untergebracht war, aus dem Fenster eines leerstehenden Doppelzimmers auf derselben Etage gestiegen und in der Folge ca. 6,2 Meter in die Tiefe gestürzt war. Die Angehörigen von A._ erstatteten mit Eingabe vom 17. November 2004 gegen Unbekannt beziehungsweise zu ermittelnde Organe und Angestellte der X._ AG Strafanzeige wegen fahrlässiger Tötung. B. Das Bezirksamt Steckborn stellte mit Verfügung vom 20. März 2006 die Strafuntersuchung ein. Die Einstellungsverfügung wurde am 23. März 2006 von der Staatsanwaltschaft des Kantons Thurgau genehmigt. Mit Eingabe vom 17. April 2006 erhob die Tochter der Verstorbenen, C._, Beschwerde bei der Anklagekammer des Kantons Thurgau, worin sie sinngemäss die Aufhebung der Einstellungsverfügung verlangte. Die Anklagekammer des Kantons Thurgau wies die Beschwerde am 31. Oktober 2006 ab. Der Beschwerdeentscheid wurde der Beschwerdeführerin am 4. Juni 2007 zugestellt. C. C._ erhebt mit Eingabe vom 5. Juli 2007 beim Bundesgericht "Beschwerde/Nichtigkeitsbeschwerde/staatsrechtliche Beschwerde" mit den Rechtsbegehren, der Entscheid der Anklagekammer des Kantons Thurgau vom 31. Oktober 2006 respektive die Einstellungsverfügung des Bezirksamtes Steckborn vom 20. März 2006 betreffend fahrlässige Tötung seien aufzuheben und die Strafuntersuchung gegen Organe und Mitarbeiter der X._ AG weiterzuführen; eventuell seien Organe und Mitarbeiter der X._ AG wegen fahrlässiger Tötung zu verurteilen und zu bestrafen. D. Die Anklagekammer des Kantons Thurgau beantragt, auf die staatsrechtliche Beschwerde sei nicht einzutreten und die Nichtigkeitsbeschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Thurgau beantragt unter Hinweis auf die Erwägungen im angefochtenen Entscheid, die Beschwerden seien abzuweisen, soweit darauf überhaupt einzutreten sei. Die X._ AG stellt in ihrer Vernehmlassung die Anträge, auf die Beschwerden sei nicht einzutreten, eventuell seien sie abzuweisen. 