Sachverhalt: A. A._ (Beschwerdegegnerin) war im Jahr 2006 bei der X._ SA (Beschwerdeführerin) für die Leistungen der obligatorischen Krankenpflegeversicherung versichert. Ausserdem verfügte die Beschwerdegegnerin bei der Beschwerdeführerin über eine Zusatzversicherung mit einer Kostendeckung (einschliesslich Unfalldeckung und abzüglich einer Franchise von Fr. 2'000.--) für Aufenthalte in der halbprivaten Abteilung aller öffentlichen und privaten Spitäler. Nach einem Aufenthalt in einer Klinik trat die Beschwerdegegnerin am 8. November 2005 in eine Wohngruppe ein, eine Institution der B._. Dort stürzte sie am 17. Februar 2006 aus dem Fenster ihres Zimmers im dritten Stock und zog sich dabei multiple Frakturen zu. Vom 17. Februar bis 20. April 2006 war die Beschwerdegegnerin in der halbprivaten Abteilung des Spitals C._ hospitalisiert. Zur Weiterbehandlung trat sie anschliessend in die Klinik D._ über. Am 21. Februar 2006 hatte das Spital C._ die Beschwerdeführerin um Kostengutsprache für die Behandlung der Beschwerdegegnerin ersucht, und am 6. März 2006 wurde der Beschwerdeführerin eine Unfallanzeige erstattet. Auf mehrmalige Anfrage der Beschwerdeführerin verfasste das Spital C._ am 6. April 2006 einen Bericht über die Befunde und Umstände des Sturzes. Am 13. April 2006 teilte die Beschwerdeführerin der Beschwerdegegnerin mit, dass sie die Behandlung im Spital C._ nur im Umfang der Kosten eines Aufenthalts in der allgemeinen Abteilung übernehme, da diese Behandlung gemäss dem Überweisungszeugnis an die Klinik D._ auf einen Suizidversuch zurückzuführen sei. Am 26. April 2006 erhob das Spital C._ im Namen der Beschwerdegegnerin Einwendungen gegenüber der Beschwerdeführerin. Diese hielt mit Schreiben vom 29. Juni 2006 an ihrem Entscheid betreffend Leistungsbeschränkung fest. B. Am 19. September 2006 erhob die Beschwerdegegnerin Klage beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und beantragte im Wesentlichen, die Beschwerdeführerin sei zu verpflichten, die Leistungen der Behandlung vom 17. Februar bis 20. April 2006 im Spital C._ gemäss Zusatzversicherung zu übernehmen. Mit Urteil vom 30. Mai 2008 hiess das Sozialversicherungsgericht die Klage gut und verpflichtete die Beschwerdeführerin, der Beschwerdegegnerin Fr. 37'527.85 zu bezahlen, abzüglich der Franchise von Fr. 2'000.--, soweit dieser Abzug nicht bereits an anderer Stelle vorgenommen worden sei. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 30. Mai 2008 sei aufzuheben und die Klage abzuweisen. Eventualiter sei sie zu verpflichten, der Beschwerdegegnerin maximal Fr. 7'105.60 zu bezahlen. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Sozialversicherungsgericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet. 