Sachverhalt: A. X._ (geb. 1967) und Y._ (geb. 1980) sind die Eltern von Z._ (geb. 23. Februar 2005). Das Kind lebte bei seiner Mutter. Die Eltern sind nicht miteinander verheiratet. Schon kurz nach der Geburt erhielt Z._ einen Beistand zur Regelung des Besuchsrechts. Dieser kümmerte sich zunächst um die Unterhaltspflichten des Vaters. Später überwachte er auch den persönlichen Verkehr. Am 1. Mai 2012 errichtete die Vormundschaftsbehörde der Stadt S._ ausserdem eine Erziehungsbeistandschaft im Sinne von Art. 308 Abs. 1 ZGB. Damit betraute sie den Besuchsrechtsbeistand C._. Überdies ordnete die Behörde eine aufsuchende Familienbegleitung (AFB) an. B. Am 4. Juni 2012 erschien Y._ mit Z._ auf der Vormundschaftsbehörde der Stadt S._. Er erklärte, das Kind werde von der Mutter geschlagen und vernachlässigt. Er habe X._ angezeigt und werde seine Tochter bis zur Klärung der Sache bei sich behalten. In der Folge ersuchte die Staatsanwaltschaft Zug die Vormundschaftsbehörde, für Z._ zusätzlich eine Vertretungsbeistandschaft zu errichten, da gegen die Mutter ein Verfahren eröffnet worden sei. Gestützt auf einen Antrag des bisherigen Beistands C._ entzog die Vormundschaftsbehörde X._ am 6. Juli 2012 vorübergehend die Obhut und teilte diese Y._ zu. Die Behörde ordnete an, dass über den endgültigen Aufenthalt des Kindes erst nach dem Vorliegen eines Erziehungsgutachtens entschieden werde, und setzte eine Rechtsanwältin als Prozessbeiständin ein. C. Nachdem das Erziehungsgutachten samt Antworten auf Zusatzfragen vorlag und ein weiterer Bericht über die Wohnsituation des Kindes beim Vater erging, stellte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Zug (KESB) mit Entscheid vom 26. März 2013 Z._ endgültig unter die Obhut des Vaters und traf weitere Anordnungen betreffend die Eltern. In Ziffer 6 ihres Rechtspruchs entzog sie einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung. In zwei weiteren Entscheiden vom 16. April und 7. Mai 2013 ernannte die KESB A._ zur neuen Beiständin im Sinne von Art. 308 ZGB und setzte mit Rechtsanwältin B._ für Z._ wiederum eine Prozessbeiständin ein. D. Mit Beschwerde vom 19. April 2013 gelangte X._ an die Fürsorgerechtliche Kammer des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug. Soweit vor Bundesgericht noch relevant, beantragte sie, ihr die Obhut über Z._ "schnellstmöglich wieder anzuvertrauen". Weiter stellte sie das Begehren, die aufschiebende Wirkung der Beschwerde wiederherzustellen und Z._ für die Dauer des Beschwerdeverfahrens unter ihre Obhut zu stellen. Das Verwaltungsgericht holte bei den Verfahrensbeteiligten Vernehmlassungen ein. Die KESB nahm am 6., Y._ am 29. Mai 2013 Stellung. Die Vernehmlassungen der Vertretungsbeiständin B._ gingen am 24. Juni und am 11. Juli 2013 ein. Mit Verfügung vom 16. Juli 2013 wies das Verwaltungsgericht das Gesuch um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde ab (Ziffer 1). X._s Rechtsvertreter erhielt ausserdem "Gelegenheit, dem Verwaltungsgericht bis zum 5. August 2013 eine Replik einzureichen" (Ziffer 2). Auf die Rechtsmittelbelehrung (Ziffer 3) folgen in Ziffer 4 die Anordnungen über die Mitteilung des Entscheids: Den Anwälten der Eltern, der KESB und der Beiständin eröffnete das Verwaltungsgericht die Verfügung "je unter Beilage der Stellungnahme der Vertretungsbeiständin B._ vom 10. Juli 2013". Eine Mitteilung erging auch an die Vertretungsbeiständin. E. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 7. August 2013 gelangt X._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, die Verfügung des Verwaltungsgerichts vom 16. Juli 2013 aufzuheben. Weiter verlangt sie, die Obhut über Z._ "bis zu einem abschliessenden materiellen Entscheid" zurück auf die Mutter zu übertragen; eventualiter sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht die Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. In ihren Vernehmlassungen beantragen Y._ (Beschwerdegegner), die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Zug, die Prozessbeiständin und das Verwaltungsgericht, die Beschwerde abzuweisen. Die Stellungnahmen wurden der Beschwerdeführerin zugestellt. Im Übrigen hat sich das Bundesgericht auch die vorinstanzlichen Akten zukommen lassen. 