Sachverhalt: A. X._ (geb. 1952) und Z._ (geb. 1962) sind die geschiedenen Eltern von S._ (geb. 1996) und T._ (geb. 1999). Im Scheidungsurteil vom 8. September 2004 hatte das Bezirksgericht Winterthur nicht nur den persönlichen Verkehr zwischen Vater und Kindern geregelt, sondern auch eine Erziehungsbeistandschaft im Sinne von Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB angeordnet. B. Mit Beschluss vom 29. Januar 2008 hob die Vormundschaftsbehörde der Stadt A._ die Beistandschaft gemäss Art. 308 Abs. 1 ZGB auf und ernannte zugleich W._ zum neuen Beistand gemäss Art. 308 Abs. 2 ZGB, nachdem die mit diesem Amt betraute Person seit 2005 bereits zweimal ausgewechselt worden war. Mit einem weiteren Beschluss vom 22. Dezember 2010 regelte die Vormundschaftsbehörde in Abänderung des Scheidungsurteils auch das Besuchsrecht zwischen X._ und seinen beiden Kindern neu. C. Gegen diese vormundschaftlichen Beschlüsse setzte sich X._ in verschiedenen Verfahren zur Wehr. Ohne Erfolg beantragte er der Vormundschaftsbehörde, erneut eine Erziehungsbeistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 ZGB zu errichten, und ersuchte sie darum, dem Beistand W._ das Mandat zu entziehen und einen neuen Besuchsrechtsbeistand einzusetzen. Vor dem Bezirksrat Winterthur focht X._ auch die Änderung der Besuchsrechtsregelung an. Der Bezirksrat vereinigte dieses Beschwerdeverfahren mit den hängigen Beschwerden betreffend die Gesuche um Auswechslung des Besuchsrechtsbeistands W._ und um (Wieder-)Errichtung einer Erziehungsbeistandschaft für S._ und T._ und wies alle Begehren ab, soweit er auf die Beschwerden eintrat (Beschluss vom 26. August 2011). D. Hierauf gelangte X._ an das Obergericht des Kantons Zürich. Dieses trat auf die als Berufung entgegengenommene Eingabe nicht ein, soweit X._ auf der "Wiedereinführung einer Erziehungsbeistandschaft" und auf seinem Begehren beharrte, den Besuchsrechtsbeistand auszuwechseln; bezüglich beider Punkte erwog es im Sinne einer Eventualbegründung, die Berufung wäre bei einer materiellen Prüfung ohnehin abzuweisen. Hinsichtlich der Besuchsrechtsregelung bestätigte das Obergericht den Beschluss der Vormundschaftsbehörde und wies die Berufung insofern ab. E. Mit Eingabe vom 9. März 2012 (Datum der Postaufgabe) wendet sich X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) nun an das Bundesgericht. In der Sache stellt er das Begehren, dem Beistand W._ unverzüglich das Mandat zu entziehen. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. 