Sachverhalt: A. A.a D._ und B._ sind die geschiedenen Eltern von A._ (geb. 1996) und C._ (geb. 1997). Mutter und Söhne leben in E._ (Deutschland). Der Vater wohnt in F._. A.b Mit Urteil vom 5. August 2008 verpflichtete das Amtsgericht Ravensburg (Deutschland) D._ unter anderem, B._ für A._ und C._ ab 1. März 2008 monatliche Unterhaltsbeiträge in der Höhe von je 100% des Mindestunterhalts der Düsseldorfer Tabelle der jeweiligen Altersstufe (EUR 426.--) zuzüglich eines Anteils von EUR 48.94 des in der Schweiz für A._ und C._ bezahlten Kindergeldes zu bezahlen. Der Vater ist seinen Pflichten nicht nachgekommen. Darauf leitete B._ die Betreibung ein. Im Rahmen des Rechtsöffnungsverfahrens erklärte der Amtsgerichtspräsident III von Luzern-Land das deutsche Urteil in der Schweiz als vollstreckbar (Entscheid vom 4. Juni 2009). Die Betreibung führte zu einem Verlustschein. A.c Mit Gesuch vom 14. April 2010 beantragte B._ beim Amtsgericht Luzern-Land, der jeweilige Arbeitgeber von D._ sei anzuweisen, von dessen Lohn monatlich den Betrag von Fr. 1'482.95 abzuziehen und auf ihr Konto zu überweisen. Der delegierte Richter des Amtsgerichtspräsidenten II von Luzern-Land trat mit Entscheid vom 19. August 2010 mangels örtlicher Zuständigkeit nicht auf das Gesuch ein. B. B._ rekurrierte gegen den erstinstanzlichen Entscheid. Das Obergericht des Kantons Luzern wies ihren Rekurs mit Entscheid vom 8. Februar 2011 ab. C. Mit Beschwerde vom 24. März 2011 wenden sich A._ und C._ (nachfolgend Beschwerdeführer), gesetzlich vertreten durch ihre Mutter, an das Bundesgericht. Sie beantragen, die Zuständigkeit des Bezirksgerichts Kriens (vormals Amtsgericht Luzern-Land) für ihr Gesuch um Schuldneranweisung festzustellen und die Sache zur materiellen Entscheidung an das Bezirksgericht Kriens zurückzuweisen. Sodann ersuchen sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Der Beschwerdeführer liess sich zur Beschwerde vom 24. März 2011 trotz entsprechender Einladung nicht vernehmen. Das Obergericht des Kantons Luzern beantragte, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. 