Sachverhalt: A. In dem zwischen Y._ (Ehefrau) und X._ (Ehemann) hängigen Scheidungsverfahren erteilte die Gerichtspräsidentin 2 des Gerichtskreises 2 VIII Bern-Laupen Y._ mit Urteil vom 30. Oktober 2007 die unentgeltliche Rechtspflege und ernannte ihr einen amtlichen Rechtsbeistand. Ferner schied die angerufene Richterin die Ehe der Parteien (Ziff. 2) und unterstellte deren gemeinsamen Sohn, Z._ (geb. 1991), der elterlichen Sorge der Mutter (Ziff. 3); von der Regelung eines Besuchs- und Ferienrechts wurde abgesehen (Ziff. 4), X._ aber verpflichtet, an den Unterhalt seines Sohnes ab dem 1. August 2008 bis zum Abschluss der Erstausbildung mit Fr. 500.-- pro Monat beizutragen (Ziff. 5). Die Gerichtskosten von Fr. 1'270.-- des erstinstanzlichen Verfahrens wurden beiden Parteien je zur Hälfte auferlegt, wobei die Y._ gewährte unentgeltliche Rechtspflege vorbehalten blieb (Ziff. 11). B. X._ appellierte wegen der ihm persönlich verweigerten unentgeltlichen Rechtspflege sowie gegen die Ziffern 3, 4, 5 und 11 des erstinstanzlichen Scheidungsurteils an den Appellationshof des Kantons Bern. Für dieses Verfahren ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege, welche die angerufene Instanz mit Entscheid vom 25. Februar 2008 mit der Begründung verweigerte, das Appellationsverfahren sei aussichtslos. C. X._ gelangt mit Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht mit dem sinngemässen Begehren, den obergerichtlichen Entscheid aufzuheben und ihm für das Appellationsverfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er ebenso sinngemäss um unentgeltliche Rechtspflege. Das Obergericht hat auf Vernehmlassung verzichtet. 