Faits: A. A.a Inscrite au Registre du commerce du canton de Genève, SOS Médecins Cité Calvin SA (ci-après: SOS Médecins) est une société anonyme, dont le but est «toutes prestations médicales au chevet du patient», 24 heures sur 24 et 7 jours sur 7. Au bénéfice d'une autorisation d'exploiter un établissement médical renouvelée par le Conseil d'Etat genevois le 5 novembre 2003, SOS Médecins, dont le médecin répondant était le docteur F._, employait plusieurs dizaines de médecins, dont les docteurs L._, A._, B._, D._ et C._. Le 14 avril 2005, la caisse-maladie Assura, Assurance maladie et accidents (ci-après: Assura) a retourné à SOS Médecins notamment deux factures relatives à des consultations données respectivement par le docteur L._ (le 27 octobre 2004) et le docteur A._ (le 31 décembre 2004) à W._, affilié auprès d'elle pour l'assurance obligatoire des soins. Elle invitait SOS Médecins à annuler ces factures au motif que les médecins prénommés disposaient d'une autorisation de pratiquer dans le canton de Genève «non à charge de l'assurance obligatoire des soins». Après un échange de correspondances, Assura a saisi le Tribunal arbitral des assurances de la République et canton de Genève (ci-après: tribunal arbitral) d'une requête datée du 23 mai 2005, en demandant que soit constaté que les docteurs L._ et A._ ne disposaient pas de l'autorisation de pratiquer à charge de l'assurance-maladie obligatoire, de sorte que les factures établies pour le compte de SOS Médecins concernant l'assuré W._ ne devaient être prises en charge ni par elle-même, ni par celui-ci; la société devait par ailleurs être condamnée à annuler ces factures. A.b Par arrêtés du 30 mai 2005, le Conseil d'Etat genevois a autorisé notamment les docteurs B._, A._, C._, D._ et L._ à exercer la profession de médecin à titre indépendant, à charge de l'assurance-maladie, cette autorisation étant «limitée aux soins prodigués pour le compte de l'établissement médical SOS Médecins». Santésuisse, organisation faîtière des assureurs-maladie a contesté certains de ses arrêtés jusqu'au Tribunal fédéral. Le 3 juin suivant, Assura a à nouveau saisi le tribunal arbitral d'une requête, par laquelle elle demandait que SOS Médecins soit condamnée à annuler trois factures établies par la société (les 16 et 28 septembre 2004), relatives au traitement dispensé du 9 au 11 septembre 2004 par trois de ses médecins (les docteurs B._, D._ et C._) à E._, affiliée à la caisse-maladie pour l'assurance obligatoire des soins. B. Après avoir joint les deux causes introduites par Assura, le tribunal arbitral a, entre autres mesures d'instruction, ordonné une comparution des parties et entendu plusieurs témoins. Statuant le 26 mars 2007, il a rejeté la demande d'Assura et l'a condamnée, sur demande reconventionnelle de SOS Médecins, à payer les quatre factures litigieuses. C. Par écriture datée du 16 mai 2007, Assura interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande l'annulation. Sous suite de frais et dépens, elle conclut, en substance, à ce que soit constaté que les médecins de SOS Médecins qui sont intervenus auprès de E._ et W._ ne disposaient pas d'une autorisation de pratiquer la médecine à charge de l'assurance obligatoire des soins au moment de leur consultation et que les factures y relatives ne doivent être payées ni par Assura, ni par ses deux assurés. A titre provisionnel, elle demande la restitution de l'effet suspensif et la suspension de la cause jusqu'à droit jugé sur le recours de droit administratif interjeté par Santésuisse au Tribunal fédéral. SOS Médecins conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique (OFSP) a renoncé à se déterminer. D. Par ordonnance du 1er juin 2007, le Juge délégué à l'instruction a attribué provisoirement l'effet suspensif au recours en matière de droit public. La IIe Cour de droit social du Tribunal fédéral a tenu une audience publique le 29 octobre 2007. 