Sachverhalt: A. Der 1963 geborene A._ ist Staatsangehöriger von Italien und dort wohnhaft. Er war im Jahr 2006 als Alphirt bei einer Gemeinde im Kanton B._ tätig und dadurch bei der AXA Versicherungen AG (nachfolgend: AXA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 30. Juni 2006 verunfallte er bei der Arbeit. Eine Kuh trat gegen seine rechte Schulter, worauf er auf den Rücken fiel (Unfallmeldung vom 14. September/22. November 2006). Am 18. November 2008 erfolgte eine Operation an der rechten Schulter. Die AXA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit rechtskräftiger Verfügung vom 19. Januar 2011 schloss sie den Fall ab, wobei sie dem Versicherten für die verbleibenden Unfallfolgen eine ab 1. Juni 2009 laufende Invalidenrente entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von 64 % und eine Integritätsentschädigung für eine Integritätseinbusse von 17.5 % zusprach. Im April 2010 hatte sich A._ auch bei der Schweizerischen Invalidenversicherung (nachfolgend: IV) zum Leistungsbezug angemeldet. Die IV-Stelle für Versicherte im Ausland (nachfolgend: IV-Stelle) holte ein interdisziplinäres medizinisches MEDAS-Gutachten vom 5. Juli 2011 (mit Ergänzung vom 12. Januar 2012) ein und verneinte mit Verfügung vom 30. Mai 2012 einen Rentenanspruch. Nachdem die AXA hievon Kenntnis erhalten hatte, zog sie mit Verfügung vom 1. November 2012 ihre Verfügung vom 19. Januar 2011 in Wiedererwägung und stellte die seit 1. Juni 2009 ausgerichtete Invalidenrente der obligatorischen Unfallversicherung (nachfolgend: UV) per 31. Dezember 2012 ein. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 10. April 2013 fest. B. A._ führte gegen den Einspracheentscheid der AXA Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden. Dieses gewährte ihm die unentgeltliche Verbeiständung. Es hiess die Beschwerde teilweise gut und hob den Einspracheentscheid insoweit auf, als es die AXA verpflichtete, ab 1. Januar 2013 eine Invalidenrente entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von 10 % auszurichten (Entscheid vom 30. April 2013). A._ erhob auch gegen die Verfügung der IV-Stelle vom 30. Mai 2012 Beschwerde. Mit Entscheid vom 20. Mai 2014 wies das Bundesverwaltungsgericht diese ab, soweit es darauf eintrat. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, in Aufhebung des Entscheids des Verwaltungsgerichts vom 30. April 2013 sei festzustellen, dass die AXA die per 1. Januar 2013 eingestellte Invalidenrente weiterhin zu bezahlen habe; eventuell sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Sache im Sinne der Erwägungen an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht. Die AXA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit heutigem Datum beurteilt das Bundesgericht auch die von A._ gegen den Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 20. April 2014 erhobene Beschwerde betreffend IV-Rente (Dossier-Nr. 8C_493/2014). 