Faits: A. Z._ (ci-après: l'employé), qui travaillait à plein temps au service de X._ SA (ci-après: l'employeuse) depuis le 1er octobre 2011, a reçu son congé pour le 31 mars 2012. Cette échéance a été reportée au 30 avril 2012 en raison de la maladie de l'employé. Par courrier du 21 mars 2012, l'employeuse a résilié les rapports de travail avec effet immédiat. B. B.a. Le 12 mars 2012, Z._ a saisi la Chambre de conciliation du Tribunal régional du Littoral et du Val-de-Travers d'une requête tendant à la condamnation de l'employeuse à lui verser des salaires (4'500 fr. net pour mars 2012 et 3'700 fr. brut pour avril 2012) et une indemnité pour licenciement abusif (24'000 fr.). Une autorisation de procéder lui a été délivrée le 26 avril 2012. L'employé a ensuite déposé devant ledit tribunal régional un acte qui ne répondait pas aux exigences de forme, de sorte qu'il a dû réitérer sa démarche par le dépôt d'une demande le 22 juin 2012, en concluant à ce que l'employeuse défenderesse soit condamnée à lui payer les montants susmentionnés. La défenderesse ayant conclu à l'irrecevabilité de la demande, le tribunal a rendu une décision incidente qui rejetait la requête de celle-ci. Le 5 mars 2013, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel a admis l'appel formé par la défenderesse contre cette décision et déclaré irrecevable la demande du 22 juin 2012. Le 9 avril 2013, Z._ a saisi le tribunal régional d'une nouvelle demande tendant à la condamnation de la défenderesse à lui payer le montant brut de 9'323 fr.85, avec intérêts, et la somme nette de 11'100 fr. avec intérêts. Parallèlement, il a demandé le bénéfice de l'assistance judiciaire. Le tribunal régional a signalé aux parties, par lettre du 15 mai 2013, que les conclusions de l'acte du 9 avril 2013 ne correspondaient pas à celles soumises à la Chambre de conciliation, résumées dans l'autorisation de procéder délivrée par cette autorité; la défenderesse était invitée à déposer une réponse limitée à cette question. Le 22 mai 2013, la défenderesse a conclu à l'irrecevabilité de la demande. Le même jour, elle a saisi le tribunal régional d'une requête tendant à obtenir des sûretés de la part du demandeur en garantie du paiement des dépens. B.b. Par ordonnance du 24 juin 2013, le tribunal régional a rejeté la requête d'assistance judiciaire du demandeur. Cette autorité a considéré que la demande était dépourvue de chances de succès en raison de l'absence d'identité entre l'objet du litige ayant donné lieu à l'autorisation de procéder du 26 avril 2012 et la demande du 9 avril 2013, laquelle tendait à obtenir des prestations fondées sur un licenciement immédiat non justifié du contrat de travail. B.c. Faisant valoir notamment qu'à l'audience de conciliation du 26 avril 2012 les parties avaient évoqué tant le premier licenciement que le second (signifié le 21 mars 2012), le demandeur a saisi l'Autorité de recours en matière civile du Tribunal cantonal neuchâtelois d'un recours contre cette ordonnance, concluant à son annulation et à l'octroi de l'assistance judiciaire en sa faveur avec désignation d'une avocate d'office. L'autorité précitée a statué par arrêt du 17 septembre 2013. Elle a estimé que les conditions d'une modification de la demande, au sens de l'art. 227 CPC, étaient réunies, la défenderesse ayant donné son accord par acte concluant. Cette dernière avait en effet mentionné le second licenciement dans ses observations écrites du 26 mars 2012 en procédure de conciliation. Les juges cantonaux ont aussi retenu que cette modification de la demande était admissible au regard de l'art. 90 CPC. L'autorité cantonale a ainsi admis le recours du demandeur, annulé l'ordonnance du 24 juin 2013 et, statuant elle-même, accordé à celui-ci l'assistance judiciaire pour le procès contre la défenderesse, désignant Me Tania De Luca en qualité d'avocate d'office. Par erreur, cet arrêt a été notifié à la défenderesse directement, et non pas à son mandataire. Par lettre du 18 octobre 2013, ce dernier a interpellé l'autorité précitée, se plaignant de n'avoir pas été invité à se déterminer sur le recours du demandeur dont le conseil de celui-ci lui avait adressé copie. En annexe à une lettre du 25 octobre 2013, l'Autorité de recours en matière civile a procédé à la notification de son arrêt du 17 septembre 2013 à l'avocat de la défenderesse. C. X._ SA exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 17 septembre 2013, concluant principalement à son annulation et au refus de l'assistance judiciaire au demandeur, subsidiairement au renvoi de la cause à l'autorité inférieure. Elle soutient que la mise au bénéfice de l'assistance judiciaire du demandeur lui cause un préjudice irréparable. Elle se plaint d'une violation de son droit d'être entendue et d'une transgression de diverses règles de procédure civile. L'intimé propose l'irrecevabilité du recours, subsidiairement son rejet en tant qu'il est recevable. Tout en se référant à son arrêt, l'autorité cantonale ne se détermine pas. 