Sachverhalt: A. A.a Die 1958 geborene H._ war bis 30. September 1995 als stellvertretende Abteilungsleiterin in der Firma X._ tätig und dadurch bei der Elvia Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Elvia; heute: Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft AG; nachfolgend: Allianz) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert. Am 27. Dezember 1994 war sie mit der S-Bahn auf dem Weg zur Arbeit, als der Zug auf einen Prellbock auffuhr und entgleiste. H._ klagte danach über verschiedene gesundheitliche Beschwerden. Die Elvia erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Sie holte sodann nebst weiteren Abklärungen ein polydisziplinäres medizinisches Gutachten der MEDAS am Spital Z._ (nachfolgend: MEDAS Z._) vom 28. Oktober 1996 ein. Mit Verfügung vom 19. Mai 1998 teilte die Elvia der Versicherten mit, dass aufgrund eines - tags zuvor telefonisch abgeschlossenen - Vergleichs ab 1. Juni 1998 eine Rente der Unfallversicherung (UV) aufgrund eines Invaliditätsgrades von 80 % ausgerichtet werde. Ebenfalls vergleichsweise wurde eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage eines Integritätsschadens von 50 % festgesetzt und zugesprochen. A.b Am 3. August 2009 gab die Schweizerische Invalidenversicherung (IV), welche H._ ihrerseits seit Oktober 1995 eine (zunächst ganze, ab April 1996 halbe) Invalidenrente ausrichtete, bei der MEDAS A._ GmbH (nachfolgend: MEDAS A._) ein polydisziplinäres medizinisches Gutachten in Auftrag, welches am 27. Mai 2010 erstattet wurde. Die Allianz verfügte, nachdem sie von diesem Gutachten Kenntnis erhalten hatte, am 8. Oktober 2010, die UV-Rente werde per 1. September 2010 eingestellt, da eine wesentliche gesundheitliche Verbesserung eingetreten sei, welche eine Rentenrevision rechtfertige; zudem bestehe auch ein Wiedererwägungsgrund. Daran hielt der Unfallversicherer mit Einspracheentscheid vom 6. Dezember 2010 fest. H._ reichte Beschwerde beim Versicherungsgericht des Kantons Aargau ein. Dieses bestätigte mit Entscheid vom 18. August 2011 einen Wiedererwägungsgrund und wies die Beschwerde ab. Die von der Versicherten hiegegen erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten hiess das Bundesgericht mit Urteil 8C_727/2011 (BGE 138 V 147) vom 1. März 2012 teilweise gut. Es verneinte die Voraussetzungen für eine Wiedererwägung, hob den kantonalen Entscheid vom 18. August 2011 auf und wies die Sache an das Versicherungsgericht zurück, damit dieses die kantonale Beschwerde, soweit die Voraussetzungen für eine Rentenrevision betreffend, prüfe und darüber neu entscheide. B. Mit Entscheid vom 31. Mai 2012 hiess das Versicherungsgericht die Beschwerde gut. Es verneinte einen Rentenrevisionsgrund, hob den Einspracheentscheid vom 6. Dezember 2010 auf und stellte fest, die Versicherte habe auch ab 1. September 2010 Anspruch auf eine UV-Invalidenrente entsprechend einem Invaliditätsgrad von 80 %. C. Die Allianz führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Entscheids vom 31. Mai 2012 sei der Einspracheentscheid vom 6. Dezember 2010 zu bestätigen. In der Begründung wird am Vorliegen eines Rentenrevisionsgrundes festgehalten. Zudem wird geltend gemacht, die Vorinstanz hätte bei Verneinung eines Rentenrevisionsgrundes eine prozessuale Revision der Rentenverfügung vornehmen müssen. H._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. 