Sachverhalt: A. In der Familiensache zwischen den geschiedenen Eheleuten Y._ und X._ betreffend Versorgungsausgleich änderte das Oberlandesgericht Koblenz (Deutschland) mit Beschluss vom 3. April 2008 den Beschluss des Amtsgerichts (Familiengericht) Trier vom 27. Juli 2005 dahingehend ab, dass es Y._ verpflichtete, ab April 2008 monatliche Beiträge in der Höhe von Euro 215.48 "für eine zugunsten der Antragstellerin abzuschliessende private Lebens- oder Rentenversicherung zu zahlen". B. Gestützt auf das deutsche Urteil betrieb X._ Y._ mit Zahlungsbefehlen vom 16. September und 10. November 2009 für die Beträge von Fr. 2'737.-- nebst Zins zu 8.32 % seit 1. Februar 2009 bzw. Fr. 3'904.76 nebst Zins zu 8.32 % seit 3. April 2008 (Betreibungen Nr. 1 und Nr. 2 des Betreibungsamtes Sins). Nachdem Y._ Rechtsvorschlag erhoben hatte, beantragte X._ mit Klage vom 29. Januar 2010 beim Gerichtspräsidium Muri, der Beschluss des Oberlandesgerichts Koblenz (Deutschland) vom 3. April 2008 sei für vollstreckbar zu erklären, und ersuchte in den beiden Betreibungen um definitive Rechtsöffnung. C. Der Gerichtspräsident von Muri entsprach den Begehren von X._ mit Ausnahme des Beginns des Zinsenlaufs. Mit Urteil vom 2. März 2010 erklärte er den Beschluss des Oberlandesgerichts Koblenz vom 3. April 2008 für vollstreckbar und erteilte der Beschwerdeführerin in den beiden Betreibungen die definitive Rechtsöffnung für die erwähnten Beträge nebst Zins zu 8.32 % seit 6. August 2009. Gegen dieses Urteil führte Y._ mit Eingabe vom 26. März 2010 erfolgreich Beschwerde vor dem Obergericht des Kantons Aargau. Dieses hob den erstinstanzlichen Entscheid mit Urteil vom 7. Juni 2010 abgesehen von der Vollstreckbarerklärung auf und erkannte auf Abweisung der beiden Rechtsöffnungsbegehren. D. Mit Eingabe vom 7. Juli 2010 (Postaufgabe 8. Juli 2010) gelangt X._ (nachfolgend "Beschwerdeführerin") an das Bundesgericht. Sie stellt das Begehren, das Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 7. Juni 2010 aufzuheben, und beantragt sinngemäss die Bestätigung des erstinstanzlichen Urteils. Überdies ersucht sie für das bundesgerichtliche Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit Schreiben vom 22. August 2010 (Postaufgabe 25. August 2010) stellte die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht "zur weiteren Beweisführung" zusätzliche Unterlagen zu. Es wurden die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. Unaufgefordert sandte Y._ (nachfolgend "Beschwerdegegner") dem Bundesgericht mit Schreiben vom 1. September 2010 (Postaufgabe 3. September 2010) einen Beschluss des Oberlandesgerichts Koblenz (Deutschland) vom 17. August 2010 ein. 