Sachverhalt: A. X._ (Ehemann), Jahrgang 1964, und Z._ (Ehefrau), Jahrgang 1963, heirateten am 20. Mai 1994. Sie wurden Eltern zweier Kinder, geboren am 3. Juni 1996 und 14. Mai 1998. Der Ehemann arbeitete vollzeitlich als Automechaniker, während die Ehefrau den Haushalt der Familie besorgte und die Kinder betreute. Zusätzlich war sie stundenweise auf ihrem erlernten Beruf als Coiffeuse tätig. B. Am 4. Juni 2007 reichten die Parteien ein gemeinsames Scheidungsbegehren ein. Mit Urteil vom 28. April 2009 schied das Amtsgericht A._ die Ehe. Die Scheidungsfolgen konnten teilweise durch Vereinbarung geregelt werden, waren im Übrigen aber gerichtlich zu entscheiden. Rechtskräftig sind der Scheidungspunkt, die Zuteilung der elterlichen Sorge über die beiden Kinder an die Mutter, das Besuchs- und Ferienrecht des Vaters, dessen Verpflichtung zu Kinderunterhaltsbeiträgen von monatlich je Fr. 800.-- (zuzüglich allfälliger Kinder- und Ausbildungszulagen) sowie die güterrechtliche Auseinandersetzung und der Vorsorgeausgleich. Streitig blieb hingegen der nacheheliche Unterhalt. Auf Appellation beider Parteien verpflichtete das Obergericht des Kantons Luzern X._ mit Urteil vom 10. Februar 2010 zu monatlichen indexierten Unterhaltszahlungen an Z._ von Fr. 400.-- ab Rechtskraft des Scheidungsurteils bis zum 30. Juni 2014 sowie Fr. 600.-- (inkl. Fr. 200.-- Vorsorgeunterhalt) ab 1. Juli 2014 bis zu seiner ordentlichen Pensionierung. C. Dem Bundesgericht beantragt X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) in seiner Beschwerde vom 24. März 2010 die Aufhebung der obergerichtlichen Regelung des nachehelichen Unterhalts und die Entbindung von der Zahlung von Unterhaltsbeiträgen an Z._ (nachfolgend Beschwerdegegnerin). Eventualiter stellt er den Antrag, die Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Zudem verlangt er die Gewährung der aufschiebenden Wirkung und stellt für das bundesgerichtliche Verfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege unter Beiordnung seines Anwalts. Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung (Vernehmlassung vom 29. März 2010). Das Obergericht hat sich dazu nicht vernehmen lassen. Mit Verfügung vom 7. April 2010 hat die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen. Es sind die Akten, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt worden. 