Sachverhalt: A. Die 1949 geborene B._ arbeitete ab 3. April 1993 teilzeitlich als Sozialpädagogin im Wohnheim X._. Ab 2. Mai 2005 war sie zu 100 % arbeitsunfähig geschrieben. Im Februar 2006 meldete sich B._ unter Hinweis auf seit 1998 bestehende Rückenprobleme bei der Invalidenversicherung an und beantragte eine Rente. Die IV-Stelle Basel-Landschaft klärte die gesundheitlichen und erwerblichen Verhältnisse ab. Unter anderem liess sie die Versicherte zweimal im Spital Y._ untersuchen und begutachten. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach die IV-Stelle mit Verfügungen vom 23. Juli 2008 B._ für die Zeit vom 1. Mai 2006 bis 30. November 2007 eine ganze Invalidenrente zu. B. Die Beschwerde der B._ hiess das Kantonsgericht BaselLandschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, mit Entscheid vom 25. März 2009 insoweit gut, als es feststellte, dass ab 1. Dezember 2007 Anspruch auf eine Viertelsrente bestehe. C. Die IV-Stelle Basel-Landschaft führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 25. März 2009 sei aufzuheben. In einer separaten Eingabe beantragt sie, dem Rechtsmittel sei aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. B._ lässt die Abweisung der Beschwerde beantragen. Kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung. 