Sachverhalt: A. T._ (geb. 1961) arbeitete vom 1. Januar 1999 bis 31. Dezember 2004 bei der Y._ AG als Maurer und war damit bei der Personalvorsorgeeinrichtung X._ vorsorgeversichert. Im Dezember 2003 meldete sich T._ wegen eines Nerven- und Rückenleidens bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich verneinte den Anspruch auf Berufsberatung (Verfügung vom 20. August 2004) und eine Rente (Verfügung vom 21. September 2004, Einspracheentscheid vom 14. Januar 2005). Auf die von T._ hinsichtlich der Rentenverfügung eingereichten Gesuche um Wiedererwägung und Revision trat sie nicht ein (Verfügungen vom 7. April und 29. Juni 2009, letztere bestätigt mit Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 20. August 2010). Als T._ im Juni 2007 wegen Rückenbeschwerden und psychischer Beeinträchtigung erneut um Berufsberatung, Arbeitsvermittlung und die Zusprechung einer Rente ersuchte, veranlasste die IV-Stelle des Kantons Zürich eine polydisziplinäre Abklärung an der Akademie Z._, Spital Q._ (Gutachten vom 21. November 2008). Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach sie ihm mit (unangefochten in Rechtskraft erwachsener) Verfügung vom 27. Oktober 2009 eine ganze Rente ab 1. Juni 2006 zu (Invaliditätsgrad von 100 %). Mit Schreiben vom 29. Juni 2009 liess T._ die Personalvorsorgeeinrichtung X._ um die Ausrichtung einer Invalidenrente gemäss BVG ersuchen. Diese lehnte ab mit der Begründung, das invalidisierende Ereignis sei erst nach Austritt aus der Vorsorgeeinrichtung und Ablauf der Nachdeckungsfrist eingetreten. B. Am 18. Oktober 2010 liess T._ Klage erheben mit dem Rechtsbegehren, die Personalvorsorgeeinrichtung X._ sei zu verpflichten, ihm ab 1. Juli 2006 eine Invalidenrente von Fr. 2'719.15 pro Monat auszurichten. Eventualiter sei zum Beginn der psychischen Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 % ein ergänzender Bericht bei Prof. Dr. med. R._ einzuholen. Subeventualiter sei ein psychiatrisches Gutachten einzuholen. Mit Entscheid vom 10. Februar 2011 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz die Klage im Sinne der Erwägungen gut und stellte fest, dass T._ ab 1. Juli 2006 gegenüber der Vorsorgeeinrichtung einen BVG-Rentenanspruch hat. Es wies die Vorsorgeeinrichtung an, die konkrete Rentenhöhe und die rückwirkend zu leistenden Rentenbeträge zu ermitteln und dem Versicherten zu eröffnen. C. Die Personalvorsorgeeinrichtung X._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und die Klage vom 18. Oktober 2010 vollumfänglich abzuweisen, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen. Während T._ auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung. 