Faits: A. A._, né en 1977, de nationalité _, a déposé une demande d'asile en Suisse le 20 mai 2002. Par arrêt du 20 mai 2012, le Tribunal administratif fédéral a rejeté définitivement sa demande et a fixé à l'intéressé un délai pour quitter le pays (délai de départ) au 12 juillet 2012. Depuis le 15 octobre 2003, le prénommé a occupé un appartement privé, route B._, à C._, dont le loyer était pris en charge par la Fondation vaudoise pour l'accueil des requérants d'asile (FAREAS), actuellement l'Etablissement vaudois d'accueil des migrants (ci-après: l'EVAM). Le 20 juin 2012, l'EVAM a signifié à A._ qu'il ne remplissait plus les conditions mises à l'allocation de prestations d'assistance et que, en conséquence, il ne percevrait plus de prestations financières ni de prestations en matière d'hébergement dès le 12 juillet 2012. A partir de ce moment, il a été mis au bénéfice de l'aide d'urgence. Dès le mois de juillet 2012, il s'est vu attribuer une place d'hébergement au Centre d'hébergement à D._ ( "sleep-in" E._). Le 18 juillet 2012, l'intéressé a fait opposition à cette mesure d'hébergement. Il a demandé à pouvoir rester dans son appartement et à ce que l'EVAM continue donc à prendre en charge son loyer. Le 30 août 2012, le directeur de l'EVAM a rejeté l'opposition. Le 27 décembre 2012, le Département de l'économie et du sport a rejeté le recours interjeté par l'intéressé contre la décision sur opposition. B. A._ a recouru contre la décision du Département devant la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal vaudois. Au cours de la procédure, le directeur de l'EVAM a informé la Cour que l'intéressé était désormais hébergé depuis le 18 février 2013 dans un abri de la protection civile à F._, de sorte qu'à son avis le recours était devenu sans objet. Le 12 mars 2013, A._, en réponse à une demande du tribunal, a fait savoir à ce dernier qu'il avait toujours un intérêt à la poursuite de la procédure et à l'annulation de la décision attaquée. En particulier, il conservait un intérêt à faire constater l'illicéité invoquée de son placement au " sleep-in " E._, où il avait dû se rendre pendant environ sept mois. En outre, étant toujours au bénéfice de l'aide d'urgence, il risquait à tout moment d'être à nouveau placé au " sleep-in ", dans les mêmes conditions. Enfin, il avait conclu à une indemnité au titre de réparation morale et conservait donc un intérêt à contester ses conditions précédentes d'hébergement. Par arrêt du 23 mai 2013, la Cour de droit administratif et public a rejeté le recours dans la mesure où il était recevable. Elle a confirmé la décision du 27 décembre 2012. C. A._ exerce un recours en matière de droit public dans lequel il demande au Tribunal fédéral d'annuler la décision attaquée. Préalablement, il demande à être dispensé de payer des frais de procédure. L'EVAM déclare renoncer à produire des déterminations sur le recours. 