Sachverhalt: A. Der 1968 geborene A._ meldete sich am 3. Dezember 2004 wegen der Folgen eines Unfalles vom 16. März 2004 (Riss der rechten Schultergelenkskapsel, komplexes regionales Schmerzsyndrom I) zum Leistungsbezug bei der Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle Luzern zog die Akten der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) bei und holte das Gutachten des Dr. med. B._, Facharzt FMH Psychiatrie und Psychotherapie, vom 5. Dezember 2007 ein. Mit Verfügung vom 8. Januar 2010 verneinte sie einen Anspruch auf Invalidenrente mangels leistungsbegründenden Invaliditätsgrades. Am 25. Oktober 2011 meldete sich der Versicherte erneut zum Leistungsbezug an. Er brachte u.a. den Bericht der psychiatrischen Tagesklinik C._ vom 16. November 2011 ins Verwaltungsverfahren ein, worauf die IV-Stelle eine Begutachtung bei Dr. med. D._, Spezialarzt FMH Psychiatrie und Psychotherapie, veranlasste (Expertise vom 6. Mai 2012). Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren hielt sie mit Verfügung vom 25. Juni 2012 fest, der Einkommensvergleich ergebe einen unter der Erheblichkeitsschwelle von 40 % liegenden Invaliditätsgrad, weshalb kein Anspruch auf eine Invalidenrente bestehe. B. Hiegegen liess A._ Beschwerde einreichen und im Hauptpunkt beantragen, er sei gestützt auf einen Invaliditätsgrad von 55 % zu berenten. Im Laufe des Verfahrens am Kantonsgericht Luzern liess er unter Auflage des vom Bezirksgericht Willisau in Auftrag gegebenen Gutachtens der medizinischen Gutachterstelle E._ vom 3. Dezember 2012 in Abänderung des Beschwerdebegehrens beantragen, ihm sei eine ganze Invalidenrente zuzusprechen. Mit Entscheid vom 20. Februar 2014 sprach das kantonale Gericht dem Versicherten ab 1. August 2012 eine ganze Invalidenrente zu. C. Die IV-Stelle führt Beschwerde und beantragt, der kantonale Entscheid sei aufzuheben; eventualiter sei die Sache zu weiteren Abklärungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. Mit Verfügung vom 22. Mai 2014 erteilt die Instruktionsrichterin des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung. 