Sachverhalt: A. A. und B.Y._ sind die Adoptiveltern der Kinder C._ (geb. 2004) und D._ (geb. 2006). Die Familie wohnt in der Gemeinde X._ (SZ). B. Als sie rund fünf Jahre alt war, wurde C._ wegen Verhaltensauffälligkeiten kinderpsychiatrisch untersucht. In seinem Abklärungsbericht vom 22. Dezember 2009 diagnostizierte der Kinder- und Jugendpsychiatrische Dienst eine Anpassungsstörung an die Adoptivsituation mit vorwiegender Störung des Sozialverhaltens im familiären Rahmen. Im Jahre 2012 verbrachte C._ vier Monate in der Psychiatrischen Klinik S._ in G._ (TG). Anfang 2013 trat sie auf eigenen Wunsch und mit Unterstützung der Eltern erneut für eine vierwöchige stationäre Behandlung in diese Klinik ein. Der Schulrat der Gemeinde X._ organisierte für das Kind eine persönliche Klassen-Assistenz und beauftragte einen schulischen Heilpädagogen. Ende Mai 2013 musste C._ wegen zunehmender akuter Suizidalität notfallmässig in die Klinik T._ in H._ (SG) eingewiesen werden. Am 4. Juli 2013 beriet die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Innerschwyz mit der Kinderärztin, der Psychiaterin und dem Vertreter des schulpsychologischen Dienstes das weitere Vorgehen. In der Folge fand eine Besprechung mit den Adoptiveltern statt. Mit Schreiben vom 6. August 2013 lud die KESB Innerschwyz die Gemeinde X._ ein, zu den geplanten Massnahmen (u.a. Platzierung im U._ in I._ [SG]) Stellung zu nehmen. In ihrer Antwort vom 14. August 2013 äusserte sich die Fürsorgebehörde der Gemeinde X._dahin gehend, dass die Gemeinde als Hauptkostenträgerin mehr Klarheit erlangen möchte und eine persönliche Anhörung wünsche, bevor nächste Schritte eingeleitet werden. Zudem beantragte sie, die Variante "Pflegefamilie" zu prüfen. Gleichentags liess sich auch der Schulrat X._ vernehmen und stellte in Aussicht, die persönliche Klassen-Assistenz fortzuführen; im Übrigen sei eine Umplatzierung in eine andere Familie zu prüfen. C. Mit Beschluss vom 27. August 2013 entschied die KESB Innerschwyz, die gemeinsame elterliche Obhut von A. und B.Y._ über C._ gestützt auf Art. 310 Abs. 1 ZGB aufzuheben und das Mädchen im U._ in I._ zu platzieren. Überdies setzte die KESB gestützt auf Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB eine Beiständin ein, der sie einen umfassenden Beratungs-, Mitwirkungs- und Überwachungsauftrag erteilte. D. Die Gemeinde X._ liess beim Verwaltungsgericht Schwyz am 1. Oktober 2013 Beschwerde erheben mit dem Antrag, den Beschluss der KESB Innerschwyz vollumfänglich aufzuheben. Gleichentags liess die Gemeinde X._ beim Departement des Innern des Kantons Schwyz eine Aufsichtsbeschwerde einreichen, die ebenfalls die Aufhebung des Beschlusses vom 27.August 2013 bezweckt. Im Beschwerdeverfahren kam das Verwaltungsgericht zum Schluss, die Gemeinde sei nicht zur Beschwerde legitimiert. Mit Entscheid vom 27. November 2013 trat es daher nicht auf die Beschwerde ein. E. Mit Eingabe vom 30. Dezember 2013 unterbreitet die Gemeinde X._ (Beschwerdeführerin) dem Bundesgericht eine Beschwerde in Zivilsachen bzw. eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Sie stellt das Begehren, den Entscheid des Verwaltungsgerichts "vollumfänglich aufzuheben" und die Angelegenheit zur materiellen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Bundesgericht hat die Verfahrensbeteiligten zur Stellungnahme eingeladen. Die Beschwerdegegner A. und B.Y._ erklären mit Schreiben vom 20. Februar 2014, auf eine Stellungnahme zu verzichten, und teilen dem Bundesgericht mit, dass sich C._ im U._ in I._ sehr gut eingelebt und sich die Familiensituation entspannt habe. Auch die KESB Innerschwyz verzichtet auf eine Vernehmlassung (Eingabe vom 4. März 2014). Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz stellt mit Schreiben vom 6. März 2014 den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Die Eingaben wurden zur Wahrung des rechtlichen Gehörs den jeweils anderen Beteiligten zugestellt. 