Sachverhalt: A. Die serbische Staatsangehörige X._ (geb. 1975) reiste zusammen mit ihrem Sohn Y._ (geb. 1994) am 1. Februar 1999 in die Schweiz ein, nachdem sie sich zuvor elf Jahre in Österreich aufgehalten hatte. Am 8. April 1999 heiratete X._ den Schweizer Bürger Z._ (geb. 1976) und erhielt in der Folge für sich und ihren Sohn eine Jahresaufenthaltsbewilligung zum Verbleib beim Ehemann. Diese wurde vom Migrationsamt des Kantons Thurgau jeweils verlängert, nachdem sich der Verdacht auf Scheinehe nach fremdenpolizeilichen Abklärungen nicht erhärtet hatte. Seit August 2004 lebt X._ dauerhaft von ihrem Ehemann getrennt, welcher weder sie noch ihren Sohn Y._ finanziell unterstützt. Seit ihrem Zuzug in die Schweiz nimmt X._ Sozialhilfeleistungen in Anspruch. Seit Mai 2002 wird sie vom Sozialamt Amriswil dauerhaft unterstützt. Der Saldo der Unterstützungsleistungen betrug am 20. April 2010 Fr. 159'273.65. Daneben bestehen Betreibungen in der Höhe von Fr. 32'570.20 und 26 offene Verlustscheine in der Höhe von Fr. 32'137.25 (Stand per 28. Oktober 2009). B. Mit Entscheid vom 26. April 2010 wies das Migrationsamt des Kantons Thurgau das Gesuch vom 12. Oktober 2009 um Verlängerung der (am 7. Oktober 2009 abgelaufenen) Aufenthaltsbewilligung von X._ und Y._ ab, verweigerte ihnen den weiteren Aufenthalt im Kanton Thurgau und wies sie per 6. August 2010 aus der Schweiz weg. Das kantonale Departement für Justiz und Sicherheit (DJS) wies den dagegen erhobenen Rekurs mit Entscheid vom 2. August 2010 ab und forderte die Gesuchsteller auf, die Schweiz bis zum 15. November 2010 zu verlassen. Mit Urteil vom 1. Dezember 2010 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau die dagegen erhobene Beschwerde in Bezug auf die unentgeltliche Prozessführung teilweise gut; in der Sache wies es die Beschwerde ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 10. Februar 2011 beantragen X._ und Y._ dem Bundesgericht, das angefochtene Urteil vom 1. Dezember 2010 sei aufzuheben, von Wegweisungsmassnahmen gegenüber den Beschwerdeführern sei Abstand zu nehmen und den Beschwerdeführern sei die "zuvor eingeräumte Aufenthaltsbewilligung wieder zuzuerkennen und entsprechend zu verlängern". Eventualiter sei das DJS bzw. das Migrationsamt anzuweisen, den Beschwerdeführern eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Im Wesentlichen wird die Unangemessenheit des angefochtenen Entscheids sowie die Unverhältnismässigkeit der bevorstehenden Wegweisung gerügt. Das Migrationsamt, das DJS und das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau - sowie mit verspäteter Eingabe das Bundesamt für Migration - schliessen auf Abweisung der Beschwerde. D. Mit Verfügung vom 14. Februar 2011 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt. 