Faits: A. Le 16 octobre 2010, à Kinshasa (République démocratique du Congo), A._, ressortissant congolais né en 1972, a contracté mariage avec une ressortissante suisse. Selon ses explications, A._ travaillait alors comme chauffeur au sein d'un organisme proche du président actuel Joseph Kabila, devenu la Commission électorale nationale indépendante (CENI), et aurait, à ce titre, participé à des opérations "douteuses". Ayant précipitamment quitté son poste après son mariage, l'intéressé est entré en Suisse en août 2011, où il a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour au titre de regroupement familial. Aucun enfant n'est né de cette union. L'épouse de A._ a requis l'octroi de mesures protectrices de l'union conjugale, à l'issue desquelles le couple vit séparé depuis le 21 juin 2012; dans le cadre de cette procédure, A._ a notamment déclaré avoir contracté mariage "pour venir travailler et venir faire des affaires en Suisse", et que sa situation au Congo avait été bonne. Le 10 septembre 2012, l'épouse de l'intéressé a demandé l'annulation du mariage. De février à décembre 2012, A._ a effectué plusieurs missions temporaires en qualité d'auxiliaire. B. Après avoir entendu A._, qui a notamment fait valoir sa bonne intégration en Suisse et le danger auquel il serait exposé en cas de renvoi vers le Congo, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) a, par décision du 11 juillet 2013, refusé de prolonger son autorisation de séjour et prononcé le renvoi de Suisse, ajoutant que le dossier de l'intéressé serait soumis à l'Office fédéral des migrations (ci-après: l'Office fédéral) en vue d'une admission provisoire dès que la décision de refus serait entrée en force. Par arrêt du 17 octobre 2013, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours formé par A._ contre la décision du 11 juillet 2013, qu'elle a confirmée. C. A l'encontre de l'arrêt du 17 octobre 2013, A._ dépose un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à l'admission de son recours, à l'octroi d'une autorisation de séjour, ainsi qu'à la renonciation par le Tribunal fédéral à toute avance de frais. Le Service cantonal renonce à se déterminer. Le Tribunal cantonal et l'Office fédéral concluent au rejet du recours. Par ordonnance présidentielle du 18 novembre 2013, l'effet suspensif a été accordé au recours. Par ordonnance du même jour, le recourant a été invité à motiver davantage sa requête d'assistance judiciaire, ce à quoi il n'a pas procédé dans le délai imparti, s'acquittant du montant de l'avance de frais exigée. 