Faits: A. A.a En 2004, X._, née en 1978, athlète de niveau international, spécialiste des courses de demi-fond, a fait l'objet d'une procédure disciplinaire pour diverses infractions aux règles antidopage constatées lors de contrôles hors compétition. Par décision du 15 juin 2005, la Commission centrale de discipline de la Direction générale de la jeunesse et du sport de Z._ (CDC) a suspendu X._ pour une durée de deux ans après avoir reconsidéré une première décision, contestée par l'Association Y._ (ci-après: Y._), qui fixait à un an la durée de la suspension de l'athlète. X._ n'a pas appelé de la décision du 15 juin 2005. Contestant la date du début de sa suspension, elle est cependant intervenue auprès de Y._, par le truchement de son conseil, en menaçant de saisir le Tribunal Arbitral du Sport (TAS), afin que cette date fût avancée. Dans une lettre adressée le 16 août 2005 par son avocat au représentant de Y._, l'athlète a confirmé qu'elle acceptait que le point de départ de la suspension fût fixé au 8 août 2004. Sur quoi, Y._, par lettre du 19 septembre 2005, a informé la Fédération Z._ de l'accord intervenu entre l'athlète et elle à ce sujet. Ce nonobstant, par requête du 12 septembre 2005, X._ a saisi la Cour administrative de Z._ d'un recours dirigé contre la décision précitée du 15 juin 2005 au motif, notamment, que la CDC aurait violé la loi en revenant sur sa première décision. Par jugement du 4 avril 2007, l'autorité saisie, estimant que le cas ne relevait pas de la compétence de la juridiction administrative, a rejeté le recours. Le 24 juillet 2007, X._ a contesté ce jugement devant le Conseil d'État, lequel n'a pas encore statué à ce jour. La période de suspension de l'athlète a pris fin au début août 2006. A.b Le 8 septembre 2007, un contrôle hors compétition effectué sur la personne de X._, qui séjournait alors aux Etats-Unis d'Amérique pour y soigner une blessure, a révélé la présence de substances interdites dans le corps de l'athlète. La procédure disciplinaire ouverte de ce chef le 18 octobre 2007 contre l'athlète a donné lieu à une série de décisions. La dernière en date a été rendue le 30 mai 2008 par le Tribunal arbitral de la jeunesse et du sport, juridiction nationale de Z._ spécialisée dans le traitement des litiges en matière de sport, qui a prononcé une suspension pour une durée de quatre ans. B. Le 20 juin 2008, X._ a adressé au TAS une déclaration d'appel visant à obtenir l'annulation de la décision du 30 mai 2008. Dans sa réponse du 28 août 2008, Y._ a contesté la compétence du TAS pour connaître de l'appel. Dans l'éventualité où le TAS entrerait néanmoins en matière, elle a conclu à ce que l'athlète fût suspendue à vie pour seconde infraction grave aux règles antidopage. Une audience a été tenue le 2 avril 2009 à Lausanne. A la suite de celle-ci, le TAS a invité les parties à lui transmettre des pièces supplémentaires concernant tant la procédure disciplinaire relative à la première infraction commise par l'athlète que la procédure administrative pendante devant le Conseil d'État. Une fois en possession des pièces requises, il a donné aux parties la possibilité de se déterminer à leur sujet. Par sentence du 10 novembre 2009, le TAS, après avoir annulé la décision prise le 30 mai 2008 par le Tribunal arbitral de la jeunesse et du sport, a prononcé la suspension à vie de l'athlète. C. Le 10 décembre 2009, X._ a interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral en vue d'obtenir l'annulation de la sentence du TAS. Les deux intimées et le TAS, qui a produit le dossier de la cause, proposent le rejet du recours. 