Sachverhalt: Sachverhalt: A. Die 1976 geborene H._ zog sich am 30. Januar 1996 bei einem Autounfall als Beifahrerin ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) zu, von dem sie sich Ende 1996 vollständig erholte. Seit 1. Oktober 1997 arbeitete sie als Coiffeuse und war damit bei der Schweizerischen Mobiliar Versicherungsgesellschaft (nachfolgend Mobiliar) unfallversichert. Am 21. März 1999 erlitt sie einen weiteren Autounfall, als sie als Lenkerin ihres PWs an der Einmündung einer Kreuzung wartete und ein nachfolgender PW in das Heck ihres Fahrzeugs prallte. Der ca. eine Stunde nach dem Unfall aufgesuchte Notfallarzt Dr. med. A._, diagnostizierte ein leichtes HWS-Beschleunigungstrauma. Der am nächsten Tag konsultierte Hausarzt Dr. med. F._, stellte eine HWS-Distorsion fest. Die Mobiliar erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung und Taggeld). Vom 6. Juli bis 3. August 1999 war die Versicherte in der Klinik R._ hospitalisiert. Zur Abklärung der Verhältnisse zog die Mobiliar diverse Artzberichte sowie Gutachten des Neurologen Dr. med. X._, vom 29. Februar 2000 mit Ergänzung vom 12. September 2000 und der Frau Dr. med. Y._, Fachärztin FMH Psychiatrie und Psychotherapie, Neurologie, Oberärztin am Zentrum L._, vom 22. August 2000 bei. Weiter holte sie eine technische Unfallanalyse des Dr. sc. techn. M._, Arbeitsgruppe für Unfallmechanik, vom 16. Februar 2000 ein. Gestützt auf diese Unterlagen stellte die Mobiliar ihre Leistungen per Ende August 2000 ein. Zur Begründung wurde ausgeführt, der adäquate Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und den noch vorhandenen Gesundheitsschäden (Schmerzen zwischen den Schulterblättern, in den Armen und im Kreuz) müsse verneint werden. Es lägen keine Unfallfolgen mehr vor. Die Versicherte habe im März 2000 ein Praktikum als Kleinkindererzieherin in Gstaad begonnen und arbeite zu 100 %, weshalb seither keine Arbeitsunfähigkeit mehr bestehe. Auf die Rückforderung des im März 2000 trotz Realisierung des Praktikumslohns voll ausbezahlten Taggeldes werde verzichtet (Verfügung vom 31. Oktober 2000). Seit 1. Mai 2001 arbeitet die Versicherte zu 80 % als Betreuerin bei der Stiftung Z._. Die gegen die Verfügung geführte Einsprache wies die Mobiliar mit Entscheid vom 1. Oktober 2001 ab. A. Die 1976 geborene H._ zog sich am 30. Januar 1996 bei einem Autounfall als Beifahrerin ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) zu, von dem sie sich Ende 1996 vollständig erholte. Seit 1. Oktober 1997 arbeitete sie als Coiffeuse und war damit bei der Schweizerischen Mobiliar Versicherungsgesellschaft (nachfolgend Mobiliar) unfallversichert. Am 21. März 1999 erlitt sie einen weiteren Autounfall, als sie als Lenkerin ihres PWs an der Einmündung einer Kreuzung wartete und ein nachfolgender PW in das Heck ihres Fahrzeugs prallte. Der ca. eine Stunde nach dem Unfall aufgesuchte Notfallarzt Dr. med. A._, diagnostizierte ein leichtes HWS-Beschleunigungstrauma. Der am nächsten Tag konsultierte Hausarzt Dr. med. F._, stellte eine HWS-Distorsion fest. Die Mobiliar erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung und Taggeld). Vom 6. Juli bis 3. August 1999 war die Versicherte in der Klinik R._ hospitalisiert. Zur Abklärung der Verhältnisse zog die Mobiliar diverse Artzberichte sowie Gutachten des Neurologen Dr. med. X._, vom 29. Februar 2000 mit Ergänzung vom 12. September 2000 und der Frau Dr. med. Y._, Fachärztin FMH Psychiatrie und Psychotherapie, Neurologie, Oberärztin am Zentrum L._, vom 22. August 2000 bei. Weiter holte sie eine technische Unfallanalyse des Dr. sc. techn. M._, Arbeitsgruppe für Unfallmechanik, vom 16. Februar 2000 ein. Gestützt auf diese Unterlagen stellte die Mobiliar ihre Leistungen per Ende August 2000 ein. Zur Begründung wurde ausgeführt, der adäquate Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und den noch vorhandenen Gesundheitsschäden (Schmerzen zwischen den Schulterblättern, in den Armen und im Kreuz) müsse verneint werden. Es lägen keine Unfallfolgen mehr vor. Die Versicherte habe im März 2000 ein Praktikum als Kleinkindererzieherin in Gstaad begonnen und arbeite zu 100 %, weshalb seither keine Arbeitsunfähigkeit mehr bestehe. Auf die Rückforderung des im März 2000 trotz Realisierung des Praktikumslohns voll ausbezahlten Taggeldes werde verzichtet (Verfügung vom 31. Oktober 2000). Seit 1. Mai 2001 arbeitet die Versicherte zu 80 % als Betreuerin bei der Stiftung Z._. Die gegen die Verfügung geführte Einsprache wies die Mobiliar mit Entscheid vom 1. Oktober 2001 ab. B. Die hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern nach Durchführung einer öffentlichen Verhandlung in dem Sinne gut, dass es den Einspracheentscheid aufhob und die Sache an die Mobiliar zurückwies, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre. Den Erwägungen ist zu entnehmen, dass das kantonale Gericht die Adäquanz des Kausalzusammenhangs bejahte und die Mobiliar anwies, über die der Versicherten über den August 2000 hinaus im einzelnen zustehenden Versicherungsleistungen (allfällige Heil- und Pflegekosten, Taggelder, Invalidenrente, Integritätsentschädigung) zu verfügen (Entscheid vom 29. November 2002). B. Die hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern nach Durchführung einer öffentlichen Verhandlung in dem Sinne gut, dass es den Einspracheentscheid aufhob und die Sache an die Mobiliar zurückwies, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre. Den Erwägungen ist zu entnehmen, dass das kantonale Gericht die Adäquanz des Kausalzusammenhangs bejahte und die Mobiliar anwies, über die der Versicherten über den August 2000 hinaus im einzelnen zustehenden Versicherungsleistungen (allfällige Heil- und Pflegekosten, Taggelder, Invalidenrente, Integritätsentschädigung) zu verfügen (Entscheid vom 29. November 2002). C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt die Mobiliar, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei der Einspracheentscheid zu bestätigen. Die Versicherte und das kantonale Gericht schliessen auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, letzteres soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Sozialversicherung verzichtet auf eine Vernehmlassung. Am 18. März 2003 reichte die Mobiliar den Anstellungsvertrag der Versicherten mit der Stiftung Z._ vom 18. April 2001 ein, wozu die Versicherte am 9. April 2003 Stellung nahm. 