Sachverhalt: A. B.A._ ist der Sohn von A.A._ und C.A._. Er kam 1990 zur Welt und ist behindert. Seit dem 12. August 2009 steht B.A._ unter Vormundschaft. Auf den 1. Januar 2013 wurde die Vormundschaft von Gesetzes wegen in eine umfassende Beistandschaft (Art. 398 ZGB) umgewandelt. Im Februar 2014 ersuchte A.A._ die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) St. Gallen darum, die umfassende Beistandschaft auf ihn zu übertragen. Mit Verfügung vom 28. April 2014 wies die KESB St. Gallen den Antrag ab. A.A._ erhob Beschwerde bei der Verwaltungsrekurskommission (VRK) des Kantons St. Gallen. Mit Eingabe vom 31. Mai 2014 reichte er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ein. Der Abteilungspräsident der VRK wies das Armenrechtsgesuch mit Verfügung vom 6. Juni 2014 ab (Ziffer 1) und forderte A.A._ auf, bis zum 30. Juni 2014 einen Kostenvorschuss von Fr. 800.-- zu bezahlen, falls er an seiner Beschwerde festhalten wolle (Ziffer 2). B. Am 11. Juni 2014 legte A.A._ gegen die Verfügung der VRK beim Kantonsgericht St. Gallen (Einzelrichter im Familienrecht) Beschwerde ein. Fünf Tage später stellte er für das dortige Verfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Später reichte er hierzu noch Unterlagen ein. Mit Entscheid vom 23. September 2014 hob das Kantonsgericht Ziffer 2 der Verfügung vom 6. Juni 2014 (s. Bst. A) auf und wies die VRK an, A.A._ eine neue Frist zur Leistung des Kostenvorschusses anzusetzen. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab. A.A._s Armenrechtsgesuch für das Beschwerdeverfahren schrieb es zufolge Gegenstandslosigkeit ab, da es auf die Erhebung einer Entscheidgebühr verzichtete. C. Mit Schreiben vom 1. Oktober 2014 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Seinen Ausführungen lässt sich sinngemäss entnehmen, dass er an seinem Armenrechtsgesuch für das Beschwerdeverfahren vor der VRK festhält und auch für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege ersucht. Mit Verfügung vom 21. Oktober 2014 erkannte der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu. Im Übrigen hat sich das Bundesgericht die kantonalen Akten überweisen lassen, in der Sache jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt. 