Sachverhalt: A. X._ und Y._ (beide Jahrgang 1974) haben am 2. Juni 2006 geheiratet. Am 27. September 2008 hoben sie den gemeinsamen Haushalt in Zufikon auf. X._ zog mit der gemeinsamen Tochter A._ (geb. 31. Oktober 2006) zu seinen Eltern nach Schoppernau (Österreich). Y._ blieb zunächst in Zufikon. Am 1. Mai 2009 zog sie zu ihrem Vater nach Wohlen (Aargau). Seit 1. Juli 2010 wohnt sie mit ihrem neuen Partner in Arni. B. Die Parteien streiten im Rahmen ihres Eheschutzverfahrens über die Zuteilung der elterlichen Obhut. Zu diesem Zweck führten sie bereits einen Prozess über alle nationalen Instanzen: B.a Auf das Eheschutzbegehren der Ehefrau hin hatte das Gerichtspräsidium Bremgarten die Tochter mit Urteil vom 29. September 2009 unter die Obhut des Vaters gestellt und der Mutter ein Besuchs- und Ferienrecht eingeräumt. B.b Gegen das erstinstanzliche Urteil hatte Y._ am 30. Oktober 2009 mit Bezug auf die Frage der Obhutszuteilung Beschwerde erhoben. Mit Urteil vom 14. Dezember 2009 hatte das Obergericht des Kantons Aargau die Beschwerde teilweise gutgeheissen und die Tochter unter die Obhut der Mutter gestellt. Dem Vater hatte das Obergericht ein Besuchs- und Ferienrecht eingeräumt; ausserdem hatte es ihn dazu verurteilt, seiner Tochter einen Unterhaltsbeitrag von Fr. 600.-- pro Monat zu bezahlen. B.c Mit Beschwerde in Zivilsachen war X._ am 8. Januar 2010 ans Bundesgericht gelangt. Er hatte beantragt, das obergerichtliche Urteil aufzuheben und den erstinstanzlichen Entscheid zu bestätigen; eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Bundesgericht war zum Schluss gekommen, das Obergericht sei bei der Prüfung der für die Obhutszuteilung massgeblichen Kriterien in Willkür verfallen. Es hatte das Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 14. Dezember 2009 aufgehoben und die Sache zu neuer Beurteilung im Sinne der Erwägungen an das Obergericht zurückgewiesen (Urteil 5A_22/2010 vom 7. Juni 2010). C. Das Obergericht des Kantons Aargau kam bei der erneuten Beurteilung zum gleichen Schluss wie in seinem Urteil vom 14. Dezember 2009. Mit Urteil vom 9. August 2010 stellte es A._ wiederum unter die Obhut von Y._, räumte X._ ein Besuchs- und Ferienrecht ein und verurteilte ihn zur Bezahlung monatlicher Unterhaltsbeiträge. D. D.a X._ (fortan "Beschwerdeführer") setzt sich gegen das obergerichtliche Urteil erneut zur Wehr. Mit Eingabe vom 26. August 2010 beantragt er dem Bundesgericht, das Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 9. August 2010 aufzuheben und das Urteil des Bezirksgerichts Bremgarten vom 29. September 2009 zu bestätigen; eventuell sei die Sache zur ergänzenden Sachverhaltsfeststellung, insbesondere zur Einholung eines Gutachtens, und zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Der Beschwerdeführer ersucht weiter um Erteilung der aufschiebenden Wirkung; eventuell sei die Verfügung des Bezirksgerichtspräsidenten vom 6. Oktober 2009 bzw. Ziff. 4 des Urteils vom 29. September 2009 vorsorglich zu bestätigen. Mit Schreiben vom 1. September 2010 reichte er ergänzende Unterlagen ein. D.b Am 13. September 2010 liess Y._ (fortan "Beschwerdegegnerin") die Abweisung sowohl der Beschwerde als auch des Gesuchs um aufschiebende Wirkung beantragen. In ihrer Vernehmlassung teilt die Beschwerdegegnerin mit, dass ihre Tochter seit Mitte August 2010 wieder bei ihr lebe. Das Obergericht des Kantons Aargau verzichtete auf eine Vernehmlassung. D.c Mit Präsidialverfügung vom 14. September 2010 wies das Bundesgericht das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab. D.d Mit Eingaben vom 23. September und 5. Oktober 2010 reichte der Beschwerdeführer weitere Unterlagen ein und ersuchte das Bundesgericht, die Verfügung vom 14. September 2010 zu überprüfen. In ihrer als "Gesuch um Erlass einer superprovisorischen Verfügung" bezeichneten Eingabe vom 5. Oktober 2010 hielt die Beschwerdegegnerin an ihrem Abweisungsantrag fest. Sie wies darauf hin, sie habe gleichentags Antrag auf Rückführung des Kindes gestellt, da der Beschwerdeführer die nunmehr unter ihrer Obhut stehende Tochter nicht zurückgebracht habe, und beantragte dem Bundesgericht, dem Beschwerdeführer sei superprovisorisch und unter Strafandrohung nach Art. 292 StGB zu befehlen, die Tochter binnen 24 Stunden zurückzubringen. D.e Mit Verfügung vom 7. Oktober 2010 wies die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch um Wiedererwägung ihrer Verfügung vom 14. September 2010 ab. D.f Mit Schreiben vom 9. Februar 2011 teilte die Beschwerdegegnerin dem Bundesgericht mit, A._ befinde sich seit 31. Januar 2011 wieder bei ihr. Sie reichte die österreichischen Entscheide ein, denen zufolge die Rückführung des Kindes in die Schweiz angeordnet worden und der Beschwerdeführer erfolglos bis an den Obersten Gerichtshof der Republik Österreich gelangt sei. In seiner "Richtigstellung" vom 10. Februar 2011 verwies der Beschwerdeführer insbesondere auf das Schreiben der Staatsanwaltschaft Feldkirch vom 19. November 2010, wonach das gegen ihn eröffnete Ermittlungsverfahren mangels Vorliegens einer strafbaren Handlung eingestellt werde. Mit Schreiben vom 21. Februar 2011 liess der Beschwerdeführer dem Bundesgericht ein Schreiben der Bezirkshauptmannschaft Bregenz vom 11. Februar 2011 zukommen, woraus hervorgehe, dass er seine Tochter freiwillig zur Beschwerdegegnerin zurückgebracht habe. 