Sachverhalt: A. Der 1951 geborene A._, gelernter Möbelschreiner, war ab Juli 1988 als Aussendienst-Mitarbeiter (Verkauf von Haushaltgeräten) in der Firma R._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen versichert. Am 30. Juni 2000 verletzte er sich zu Hause beim Holzschneiden mit einer Kapp-Handfräse an der linken Hand "mit Amputation des Dig. IV knapp distal des Mittelgelenkes und Durchtrennung aller beugeseitigen Strukturen an Dig. III sowie Beugesehnenverletzung Dig. II". Die Erstbehandlung ("Wundversorgung und Beugesehnennaht Dig. II; Revaskularisation mit Beugesehnen- und Nervennaht Dig. III; Stumpfversorgung Dig. IV") erfolgte im Spital X._, Klinik für Orthopädische Chirurgie (Spitalbericht vom 13. Juli 2000). Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). A._ konnte die Arbeit als Aussendienst-Mitarbeiter ab Oktober 2000 wieder zu 50 %, ab November 2000 zu 75 % und ab Januar 2001 voll ausüben. Mit rechtskräftiger Verfügung vom 11. August 2001 schloss die SUVA den Fall ab; sie sprach dem Versicherten für die verbleibenden Folgen der Handverletzung eine Integritätsentschädigung entsprechend einer Integritätseinbusse von 20 % zu; einen Anspruch auf eine Invalidenrente verneinte sie mit der Begründung, die Restfolgen an der Hand beeinträchtigten die Erwerbsfähigkeit nicht wesentlich. Im Oktober 2005 meldete sich A._ unter Hinweis auf den Verlust der Arbeitsstelle und eine zwischenzeitlich aufgenommene psychiatrische Behandlung erneut bei der SUVA. Diese sprach ihm für die erwerblichen Folgen der Handverletzung rückwirkend ab 1. Februar 2006 eine Invalidenrente entsprechend einem Invaliditätsgrad von 27 % zu. Einen Leistungsanspruch für die psychische Problematik verneinte sie mit der Begründung, es fehle am rechtserheblichen Zusammenhang zum Unfall vom 30. Juni 2000 (Verfügung vom 9. November 2007). Die vom Versicherten hiegegen erhobene Einsprache hiess die SUVA teilweise gut, indem sie den Invaliditätsgrad in Bezug auf die physischen Unfallfolgen auf 38 % erhöhte. Einen Leistungsanspruch für die psychische Problematik verneinte sie nach wie vor (Einspracheentscheid vom 23. Januar 2008). B. Die von A._ gegen den Einspracheentscheid eingereichte Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 17. November 2008 ab. C. A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung von Einsprache- und vorinstanzlichem Entscheid sei die Sache zur Neubeurteilung des Rentenanspruchs an die SUVA zurückzuweisen. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. Mit Eingabe vom 16. März 2009 lässt A._ nochmals Stellung nehmen. 