Faits: A. Le 5 juin 1990, R._, né en 1962, a été victime d'un accident de la circulation au cours duquel il a subi un poly-traumatisme, notamment de nombreuses fractures, en particulier à la jambe gauche et à la colonne lombaire, ainsi qu'une luxation de la rotule gauche. La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA) a pris en charge le cas. Par décision du 19 décembre 1995, confirmée sur opposition le 13 mai 1996, la CNA a alloué à l'assuré, depuis le 1er novembre 1995, une rente d'invalidité fondée sur une incapacité de gain de 33,33 % pour les séquelles physiques de l'accident. Saisi d'un recours de l'intéressé qui concluait à l'octroi d'une rente d'un taux plus élevé afin de tenir compte d'une atteinte à sa santé psychique, le Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais l'a rejeté par jugement du 9 décembre 1996. De son côté, la Caisse cantonale valaisanne de compensation a alloué à l'intéressé, à partir du 1er septembre 1990, une rente entière de l'assurance-invalidité, fondée sur un taux d'invalidité de 80 % (décision du 7 avril 1993). Le 4 février 2002, l'assuré a annoncé une rechute à la CNA. Il indiquait que les douleurs dans le bas du dos, dont il souffre depuis l'accident, s'étaient aggravées à la suite d'un effort effectué pendant son activité lucrative au mois de décembre 2001. Par décision du 12 avril 2002, confirmée sur opposition le 29 mai suivant, la CNA a nié l'existence d'une rechute, motif pris que les troubles annoncés étaient dus à une discopathie dégénérative sans rapport avec l'accident survenu en 1990. Le 22 mars 2004, l'intéressé a annoncé une aggravation de son atteinte à la santé. Dans des rapports des 15 décembre 2003 et 14 juin 2004, le docteur L._, spécialiste en médecine physique et rhumatologie, a fait état d'un syndrome lombosciatique aigu qui avait déjà nécessité des soins en 2001 et 2002. La CNA a refusé de prendre en charge le cas, motif pris que le trouble indiqué par le docteur L._ était de même nature que celui qui avait fait l'objet de la décision sur opposition du 29 mai 2002, entrée en force. A la suite d'une arthroscopie effectuée le 21 décembre 2004, le docteur I._, spécialiste en chirurgie orthopédique, a diagnostiqué une lésion méniscale au genou gauche et indiqué qu'elle était due à l'accident survenu en 1990 (rapport du 18 mars 2005). De son côté, le docteur L._ a fait état d'une hypotrophie de la musculature de la jambe gauche due à l'événement en cause (rapports des 10 janvier et 4 juillet 2005). Après avoir requis l'avis du docteur V._, médecin d'arrondissement, la CNA a rendu une décision, le 1er septembre 2005, par laquelle elle a refusé d'allouer ses prestations pour les troubles allégués. Saisie d'une opposition, elle l'a rejetée par décision du 5 janvier 2006, après avoir soumis le cas au docteur P._, spécialiste en chirurgie et médecin d'arrondissement (rapport du 16 décembre 2005). B. R._ a recouru contre cette décision sur opposition devant le Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais. Postérieurement à la clôture de l'échange d'écritures, il a produit un rapport du professeur G._, médecin-cadre au Centre Hospitalier X._, du 22 mars 2007. Cette pièce a été retournée à l'assuré par la juridiction cantonale le 16 avril 2007. Celle-ci a rejeté le recours par jugement du 21 juin 2007. C. R._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, à la prise en charge, à titre rétroactif, de tous les frais médicaux et frais de médicaments relatifs à la rechute de l'accident survenu en 1990. L'intimée conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations. 