A.- Par trois décisions du 17 juin 1996, la Caisse de compensation CIVAS (actuellement : Caisse AVS de la Fédéra- tion patronale vaudoise [ci-après : la caisse]) a fixé à 53 229 fr. 55 - frais d'administration compris - les coti- sations dues par C._ pour une activité indépendante exercée au cours des années 1991, 1992 et 1994. Durant la période du 24 octobre 1996 au 30 juin 1997, le prénommé s'est acquitté d'un montant de 8600 fr. sur les cotisations dues. Saisie d'une demande de réduction du solde des cotisations, la caisse l'a rejetée par décision du 20 novembre 1997. B.- Par jugement du 2 décembre 1998, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a rejeté le recours formé par C._. C.- Celui-ci interjette recours de droit administratif contre ce jugement, dont il requiert l'annulation, en con- cluant, sous suite de frais et dépens, à ce que les cotisa- tions dues pour les années 1991, 1992 et 1994 soient rédui- tes de 44 629 fr. 55. La caisse conclut implicitement au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales n'a pas présenté de détermination. Considérant en droit : 1.- La décision litigieuse n'ayant pas pour objet l'octroi ou le refus de prestations d'assurance, le Tribu- nal fédéral des assurances doit se borner à examiner si les premiers juges ont violé le droit fédéral, y compris par l'excès ou par l'abus de leur pouvoir d'appréciation, ou si les faits pertinents ont été constatés d'une manière mani- festement inexacte ou incomplète, ou s'ils ont été établis au mépris de règles essentielles de procédure (art. 132 en corrélation avec les art. 104 let. a et b et 105 al. 2 OJ). 2.- a) Aux termes de l'art. 11 al. 1 LAVS, les cotisa- tions dont le paiement ne peut raisonnablement être exigé d'une personne obligatoirement assurée peuvent, sur demande motivée, être réduites équitablement pour une période dé- terminée ou indéterminée; ces cotisations ne sauraient toutefois être inférieures à la cotisation minimum. Pour établir s'il y a un état de gêne, il faut se fonder sur la situation économique dans son ensemble et non pas uniquement sur le revenu de l'activité lucrative. La condition de la charge trop lourde est remplie lorsque le paiement de la cotisation entière mettrait le débiteur dans l'impossibilité de couvrir ses besoins, ainsi que ceux de sa famille, c'est-à-dire lorsqu'il porterait atteinte au minimum vital au sens de la LP (ATF 120 V 274 consid. 5a, 113 V 252 consid. 3a et les références). Pour juger s'il y a situation intolérable, il faut - sous réserve de procédés dilatoires de l'intéressé - se fonder sur la situation économique du débiteur telle qu'elle se présente au moment où celui-ci devrait s'ac- quitter de sa dette. Ce moment est celui où la décision sur la demande de réduction est passée en force et, par consé- quent, éventuellement celui où l'autorité cantonale de recours ou le Tribunal fédéral des assurances statue sur la question d'une telle réduction. Dans ce contexte, bien qu'étant lié par les constatations de l'autorité de pre- mière instance, le Tribunal fédéral des assurances peut exceptionnellement tenir compte de faits nouveaux, posté- rieurs au prononcé de la décision de la caisse ou du juge- ment cantonal (ATF 120 V 275 consid. 5a/dd et les arrêts cités). b) Toutefois, même lorsque le revenu réalisé est infé- 