Faits: A. C._ est propriétaire des parcelles n° 483, 2'725, 2'726, 2'727 et 2'728 du registre foncier de la commune de La Tour-de-Peilz. En nature de pré-champ, ces terrains se trouvent à l'est de la commune, entre la voie CFF, le ruisseau Sully, la route de Chailly et le Château de Sully. En pente douce, ils sont orientés vers le lac et entourés de terrains bâtis, dont les biens-fonds n° 546 et 547, propriétés respectivement de A._ et de B._. Ces parcelles font partie du plan de quartier "En Sully", adopté par le Conseil communal de La Tour-de-Peilz le 6 décembre 1989 et approuvé par le Conseil d'Etat du canton de Vaud le 15 juin 1990. Ledit plan définit quatre sous-périmètres dont le sous-périmètre "a" au nord, qui représente une surface d'environ 50'000 m2 destiné à l'habitat groupé individuel ou collectif. Ledit sous-périmètre est en outre subdivisé en huit "périmètres d'évolution" ("a1" à "a8"), dans lesquels il est possible de construire 84 unités de logements accolées. Le sous-périmètre "a" a déjà fait l'objet de deux projets de construction qui n'ont pas abouti. Le 5 février 2007, l'autorisation de construire cinq immeubles de 28 logements avec deux garages souterrains de 7 et 14 places de stationnement et 31 places de parc extérieures, dans les périmètres d'évolution "a1" et "a2", a été requise. Mis à l'enquête publique du 14 février au 15 mars 2007, ce projet a suscité de nombreuses oppositions, dont celles de A._ et de B._. Du 17 mai au 18 juin 2008, la société C._ a soumis à enquête complémentaire la pose de panneaux solaires sur le toit des bâtiments et quelques modifications portant sur les aménagements extérieurs. Cette enquête a également suscité des oppositions. La centrale des autorisations CAMAC et le Service des eaux, sols et assainissement (ci-après: le Service des eaux) ont délivré les autorisations spéciales, respectivement les 22 octobre 2007 et 4 septembre 2008. Le 10 février 2009, la Municipalité de La Tour-de-Peilz (ci-après: la Municipalité) a autorisé la construction du projet, la pose de panneaux solaires et la modification des aménagements extérieurs. B. Le 13 mars 2009, A._ et B._ ont interjeté recours devant la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) contre ces décisions. Par arrêt du 29 mars 2010, le Tribunal cantonal a rejeté le recours. Il a considéré en substance que l'autorisation de construire contestée était conforme au règlement du plan de quartier "En Sully" approuvé par le Conseil d'Etat du canton de Vaud le 15 juin 1990 (RPQ) et ne violait pas la loi vaudoise sur la police des eaux dépendant du domaine public du 3 décembre 1957 (LPDP; RSV 721.01). C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ et B._ demandent principalement au Tribunal fédéral de réformer cet arrêt en ce sens que les autorisations de construire du 10 février 2009 sont annulées. Ils concluent subsidiairement au renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle décision au sens des considérants. Ils font grief au Tribunal cantonal d'avoir appliqué arbitrairement les art. 8 et 25 RPQ et les art. 2a et 2d LPDP ainsi que d'avoir violé la prohibition du déni de justice formel (art. 29 Cst.). Le Tribunal cantonal, la Municipalité et la constructrice C._ concluent au rejet du recours. Le Service des eaux se réfère aux déterminations déposées devant l'instance précédente. Un second échange d'écritures a eu lieu, au terme duquel les parties ont persisté dans leurs conclusions respectives. D. Par ordonnance du 1er juin 2010, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif présentée par les recourants. 