Sachverhalt: A. Der 1976 geborene H._ bezog ab 18. April 2001 (Beginn der Leistungsrahmenfrist) Taggelder der Arbeitslosenversicherung. Am 18. Mai 2001 meldete die Firma X._ der Winterthur Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Winterthur), welcher sie für die Durchführung der obligatorischen Unfallversicherung angeschlossen war, H._ sei am Vortag bei der mit «Schnupper-tage» bezeichneten Tätigkeit beim Abladen eines Lieferwagens auf einer Baustelle von der Ladefläche gefallen und habe sich am Rücken verletzt. Auf entsprechende Anfrage teilte die Firma mit Schreiben vom 5. Juni 2001 mit, der Verunfallte habe vom 14. bis 17. Mai 2001 im Betrieb geschnuppert. Für diese Tage habe er keinen Lohn erhalten. Die Winterthur kam für die Heilungskosten auf und richtete Taggelder aus. Nach Korrespondenz mit der zuständigen Arbeitslosenkasse überwies die Winterthur am 29. November 2001 die Unterlagen zur Weiterbehandlung an die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA). Gleichzeitig ersuchte sie um Rückerstattung der bisher erbrachten Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld) von insgesamt Fr. 34'345.20. Zur Begründung führte sie aus, H._ habe die Schnuppertage bei der Firma X._ selbst organisiert. Er habe keinen entsprechenden Lohn erhalten und somit keinen Zwischenverdienst erzielt. Er sei zum Zeitpunkt des Unfalles jedoch noch arbeitslos gemeldet und somit bei der SUVA versichert gewesen. Mit Verfügung vom 18. April 2003 stellte die Winterthur die Taggeldleistungen zum 1. März 2003 ein und sprach H._ eine Integritätsentschädigung von 20 % zu. Da die SUVA die Übernahme des Falles ablehnte, ersuchte die Winterthur am 6. Juni 2003 das Bundesamt für Sozialversicherungen, die Zuständigkeit abzuklären und allenfalls eine entsprechende Verfügung zu erlassen. Die Aufsichtsbehörde führte am 19. September 2003 ein Vermittlungsgespräch durch und gab den Parteien nochmals Gelegenheit zur Stellungnahme. Am 16. Juli 2004 erliess das mittlerweile zuständige Bundesamt für Gesundheit, Abteilung Kranken- und Unfallversicherung, folgende Verfügung: «1. Die SUVA ist für den Unfall für H._ vom 17. Mai 2001 zuständig und wird verpflichtet, für die UVG-Leistungen aus dem Ereignis aufzukommen und der Winterthur die bereits geleisteten Aufwendungen zurückzuerstatten. 2. - 4. (...).» B. Die Verwaltungsbeschwerde der SUVA wies das Eidgenössische Departement des Innern mit Entscheid vom 9. November 2005 im Sinne der Erwägungen ab. C. Die SUVA führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der Beschwerdeentscheid vom 9. November 2005 sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass die Winterthur weiterhin und ausschliesslich Leistungen aus UVG für den Unfall vom 17. Mai 2001 zu gewähren hat. Das Eidgenössische Departement des Innern und die Winterthur beantragen die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. In gleichem Sinne lässt sich H._ vernehmen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Stellungnahme. Die als Mitinteressierte zum Verfahren beigeladene Firma X._ hat keine Vernehmlassung eingereicht. 