Sachverhalt: A. A.a Am 8. November 2003, um zirka 19.00 Uhr, kam es auf der Aarauerstrasse zwischen Muri/AG und Wohlen/AG ausserorts zu einem Verkehrsunfall, an dem drei Personenwagen beteiligt waren. X._ (geb. 1974, von Serbien-Montenegro) fuhr in seinem PW VW Vento auf der rechten Fahrbahnhälfte in Richtung Wohlen. F._ (geb. 1966, von Serbien-Montenegro) war im Begriff, in seinem PW Mercedes 280 E X._ zu überholen, und fuhr daher auf der linken Fahrbahnhälfte in Richtung Wohlen. Aus der Gegenrichtung nahte G._ in einem PW Toyota Starlet. Zwischen den Fahrzeugen von F._ und G._ kam es zu einer Frontalkollision. Die beiden Fahrzeugführer starben noch auf der Unfallstelle beziehungsweise gleichentags im Spital. Die fünf Passagiere im Wagen von F._ (die Ehefrau und vier Kinder) sowie die beiden Passagiere im Wagen von G._ wurden verletzt. X._ blieb unverletzt. A.b X._, der die theoretische Fahrprüfung drei Mal nicht bestanden hatte, besass keinen Führerausweis. Der Lernfahrausweis für die Kategorie B war ihm auf unbestimmte Zeit entzogen worden, nachdem ein verkehrspsychologisches Gutachten ihm die Mindestanforderungen zum Führen von Motorfahrzeugen abgesprochen hatte. B. B.a Die Staatsanwaltschaft des Kantons Aargau erhob mit Anklageschrift vom 15. April 2005 gegen X._ Anklage wegen mehrfacher eventualvorsätzlicher Tötung gemäss Art. 111 StGB, mehrfacher einfacher Körperverletzung gemäss Art. 123 Ziff. 1 Abs. 1 StGB, Führens eines Motorfahrzeugs ohne Führerausweis (Art. 10 Abs. 2 i.V.m. Art. 95 Ziff. 1 SVG), Überschreitens der zulässigen Höchstgeschwindigkeit (Art. 27 Abs. 1 i.V.m. Art. 90 Ziff. 2 SVG) und wegen Nichtbeherrschens des Fahrzeugs (Art. 31 Abs. 1 i.V.m. Art. 90 Ziff. 1 SVG). Die Staatsanwaltschaft beantragte, X._ sei mit sieben Jahren Zuchthaus zu bestrafen. B.b X._ stellte im Verfahren vor dem Bezirksgericht Muri/AG die Anträge, er sei wegen Führens eines Motorfahrzeugs ohne Führerausweis zu zwanzig Tagen Gefängnis und zu 1'000 Franken Busse zu verurteilen. In allen übrigen Anklagepunkten sei er freizusprechen. C. C.a Mit Urteil vom 8. Juli 2005 sprach das Bezirksgericht Muri X._ von den Vorwürfen der vorsätzlichen Tötung und des Nichtbeherrschens des Fahrzeugs frei. Es sprach ihn der mehrfachen fahrlässigen Tötung (Art. 117 StGB), der mehrfachen fahrlässigen einfachen Körperverletzung (Art. 125 Abs. 1 StGB), des Führens eines Motorfahrzeugs ohne Führerausweis und des Überschreitens der zulässigen Höchstgeschwindigkeit schuldig. Es verurteilte ihn zu drei Jahren Gefängnis, unter Anrechnung der ausgestandenen Untersuchungshaft von 108 Tagen. Zudem verwies es ihn für 5 Jahre aus dem Gebiet der Schweiz. Der sichergestellte PW VW Vento wurde gestützt auf Art. 58 StGB eingezogen. Die Zivilforderungen gegen X._ wurden auf den Zivilweg verwiesen. C.b Die Staatsanwaltschaft des Kantons Aargau erhob Berufung im Wesentlichen mit den Anträgen, X._ sei im Sinne der Anklage, mithin unter anderem wegen mehrfacher vorsätzlicher Tötung, zu sieben Jahren Zuchthaus zu verurteilen. C.c X._ erklärte seinerseits Berufung im Wesentlichen mit den Anträgen, er sei von den Vorwürfen der mehrfachen fahrlässigen Tötung und der mehrfachen fahrlässigen einfachen Körperverletzung sowie von allen übrigen Vorwürfen ausser im Anklagepunkt des Führens eines Motorfahrzeugs ohne Führerausweis freizusprechen; eventualiter sei er wegen mehrfacher fahrlässiger Tötung und mehrfacher fahrlässiger einfacher Körperverletzung zu einer Gefängnisstrafe von höchstens 15 Monaten unter Gewährung des bedingten Strafvollzugs zu verurteilen. D. Das Obergericht des Kantons Aargau sprach X._ am 27. April 2006 schuldig - der mehrfachen eventualvorsätzlichen Tötung (Art. 111 StGB); - der mehrfachen eventualvorsätzlichen einfachen Körperverletzung (Art. 123 Ziff. 1 StGB); - des Führens eines Motorfahrzeuges ohne Führerausweis (Art. 10 Abs. 2 i.V.m. Art. 95 Ziff. 1 SVG); - des Überschreitens der zulässigen Höchstgeschwindigkeit (Art. 27 Abs. 1 i.V.m. Art. 90 Ziff. 2 SVG); - der Missachtung von Überholvorschriften (Art. 35 Abs. 7 i.V.m. Art. 90 Ziff. 2 SVG); - des Nichtbeherrschens des Fahrzeuges (Art. 31 Abs. 1 i.V.m. Art. 90 Ziff. 1 SVG). Es bestrafte ihn mit 5 1⁄2 Jahren Zuchthaus, unter Anrechnung der inzwischen ausgestandenen Haft von insgesamt 401 Tagen. Es verurteilte ihn ausserdem zu fünf Jahren Landesverweisung unter Gewährung des bedingten Vollzugs bei einer Probezeit von vier Jahren. E. X._ führt eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde mit den Anträgen, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben, soweit es die Verurteilung wegen mehrfacher vorsätzlicher Tötung (Art. 111 StGB) und mehrfacher vorsätzlicher einfacher Körperverletzung (Art. 123 Ziff. 1 StGB) betrifft, und die Sache insoweit zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Obergericht und die Staatsanwaltschaft des Kantons Aargau haben auf Gegenbemerkungen verzichtet. Die Beschwerdegegner beantragen in ihrer Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. 