Sachverhalt: A. A.a Das Landgericht Uri sprach X._ am 3. Juli 2007 der einfachen Körperverletzung (Art. 123 Ziff. 1 StGB) schuldig und bestrafte ihn deswegen mit einer Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu Fr. 90.--, bedingt vollziehbar bei einer Probezeit von zwei Jahren, und mit einer Busse von 500 Franken. Es verpflichtete ihn, dem Zivilkläger A._ eine Genugtuung von Fr. 500.-- zu zahlen. Die von A._ geltend gemachte Schadenersatzforderung von Fr. 2'737.50 wurde auf den Zivilweg verwiesen. X._ wird vorgeworfen, er habe am 4. Dezember 2003, um ca. 22.20 Uhr, A._ vor dessen Garagenbox in Erstfeld/UR aufgelauert und einen Faustschlag ins Gesicht versetzt. Der von A._ am 5. Dezember 2003, um 14.45 Uhr, konsultierte Arzt stellte gemäss Arztzeugnis vom 9. Dezember 2003 fest, dass das Gesicht des Patienten insgesamt und vor allem der Nasenrücken leicht angeschwollen waren, eine Druckdolenz über die Nase bestand, in beiden Nasenlöchern Blutspuren infolge von Nasenbluten sichtbar waren und der Patient auch über Schmerzen im oberen Gebissbereich klagte. A.b Das Obergericht des Kantons Uri sprach X._ am 21. April 2006 in Gutheissung von dessen Berufung von der Anklage der einfachen Körperverletzung im Sinne von Art. 123 Ziff. 1 StGB frei. B. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Uri führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben, X._ sei der einfachen Körperverletzung im Sinne von Art. 123 Ziff. 1 Abs. 1 StGB schuldig zu sprechen und mit einer bedingten Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu Fr. 90.-- und einer Busse von 500 Franken zu bestrafen. X._ beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht des Kantons Uri hat auf Vernehmlassung verzichtet. 