Sachverhalt: Sachverhalt: A. Der Club V._ (Beschwerdeführer) liess anfangs 1992 in A._ an sein bereits bestehendes Clubhaus mit Bootshalle einen Anbau mit einer weiteren Bootshalle, Fitnessraum und Nebenräumen planen. Zu diesem Zeitpunkt war B._ Präsident des Beschwerdeführers. Die Bauarbeiten wurden im Herbst 1992 vorgenommen, wobei die X._ AG die für den Anbau notwendigen Pfählungsarbeiten im September 1992 ausführte und im Weiteren gewisse Arbeiten am Anbau durch die W._ AG (Beschwerdegegnerin) verrichtet wurden. Am 4. Oktober 1999 nahm die Y._ AG eine Gebäudebeurteilung vor. Sie stellte beim Anbau Setzungen von aussergewöhnlichem Ausmass fest, die sie auf eine Falschplatzierung der Pfähle und die Wahl des falschen Pfahlsystems zurückführte. Am 25. März 2002 erfolgte vor Ort eine weibelamtliche Tatbestandsaufnahme, anlässlich welcher diverse Mängel am Anbau festgestellt wurden. Ferner wurde darauf hingewiesen, dass für das Dach des Anbaus Altholz verwendet worden sei und aufgrund einer ungenügenden Dachkonstruktion (fehlende Tragsicherheit und Gebrauchstauglichkeit) Einsturzgefahr drohe. Zur Behebung der Einsturzgefahr wurden im April 2002 Sanierungsmassnahmen eingeleitet. Aufgrund einer Entschädigungsvereinbarung vom 27. März 2002 erhielt der Beschwerdeführer vom Haftpflichtversicherer der X._ AG eine Abfindungssumme von Fr. 35'000.-- betreffend Anbau des Bootshauses. Aufgrund einer Entschädigungsvereinbarung vom 27. März 2002 erhielt der Beschwerdeführer vom Haftpflichtversicherer der X._ AG eine Abfindungssumme von Fr. 35'000.-- betreffend Anbau des Bootshauses. B. Nach unvermitteltem Friedensrichtervorstand vom 19. Januar 2002 erhob der Beschwerdeführer am 3. Mai 2002 beim Kantonsgericht Nidwalden Klage gegen B._ und die Beschwerdegegnerin. Er beantragte deren Verurteilung, ihm als Teilforderung Fr. 22'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 1. März 2002 unter solidarischer Haftbarkeit zu zahlen. In der Folge trennte der Kantonsgerichtspräsident das Verfahren gegen B._ vom vorliegenden Verfahren gegen die Beschwerdegegnerin ab und beschränkte letzteres auf die Frage der Verjährung bzw. der Verwirkung einer allfälligen Mängelhaftung. Am 27. April 2005 wies das Kantonsgericht die Einrede der Verjährung ab und stellte fest, dass allfällige Haftungsansprüche des Beschwerdeführers nicht verwirkt seien. Das Kantonsgericht verneinte das Vorliegen eines Generalunternehmervertrages zwischen den Parteien, der auch die Pfählung umfasst hätte. Es hielt fest, dass zwischen den Parteien ein Werkvertrag zustande gekommen sei, wobei die Beschwerdegegnerin insbesondere das Dach des Anbaus erstellt habe. Die diesbezüglichen Mängel (minderwertiges Material, mangelhafte Konstruktion) seien von der Beschwerdegegnerin arglistig verschwiegen worden, weshalb sich der Beschwerdeführer auf eine Verjährungsfrist von zehn Jahren berufen könne. Gegen dieses Urteil appellierte die Beschwerdegegnerin an das Obergericht des Kantons Nidwalden. Dessen Zivilabteilung, Grosse Kammer, hob am 20. April 2006 das angefochtene Urteil in Gutheissung der Appellation auf, soweit darauf eingetreten wurde, und hiess die Einrede der Verjährung gut. Das Obergericht kam zum Schluss, der Beschwerdeführer habe den Beweis für das Vorliegen eines absichtlich (arglistig) verschwiegenen Mangels nicht erbracht, weshalb die fünfjährige und nicht die zehnjährige Verjährungsfrist zur Anwendung gelange. Die fünfjährige Verjährungsfrist habe spätestens am 30. April 1998 geendet. Diese Frist sei nicht rechtswirksam unterbrochen worden. Insbesondere habe der Beschwerdeführer das Aussöhnungsgesuch erst am 17. Januar 2002 eingereicht. Gegen dieses Urteil appellierte die Beschwerdegegnerin an das Obergericht des Kantons Nidwalden. Dessen Zivilabteilung, Grosse Kammer, hob am 20. April 2006 das angefochtene Urteil in Gutheissung der Appellation auf, soweit darauf eingetreten wurde, und hiess die Einrede der Verjährung gut. Das Obergericht kam zum Schluss, der Beschwerdeführer habe den Beweis für das Vorliegen eines absichtlich (arglistig) verschwiegenen Mangels nicht erbracht, weshalb die fünfjährige und nicht die zehnjährige Verjährungsfrist zur Anwendung gelange. Die fünfjährige Verjährungsfrist habe spätestens am 30. April 1998 geendet. Diese Frist sei nicht rechtswirksam unterbrochen worden. Insbesondere habe der Beschwerdeführer das Aussöhnungsgesuch erst am 17. Januar 2002 eingereicht. C. Der Beschwerdeführer beantragt mit staatsrechtlicher Beschwerde, das Urteil des Obergerichts vom 20. April 2006 aufzuheben. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit überhaupt darauf einzutreten sei. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Parallel zur staatsrechtlichen Beschwerde hat der Beschwerdeführer in gleicher Sache eidgenössische Berufung eingelegt. 