Entziehung der elterlichen Sorge, hat sich ergeben: A.- a) A._ und B._ waren von 1986 bis 1990 in je zweiter Ehe miteinander verheiratet, und beide hatten Kinder aus der jeweils ersten Ehe. Nach der Scheidung zog das Paar erneut zusammen. Am 14 Oktober 1991 kam die gemeinsame Tochter C._ zur Welt, welche am 25. Mai 1992 von A._ als sein Kind anerkannt wurde. Am 16. November 1992 verpflichtete sich A._ im Rahmen eines Unterhaltsvertrages mit B._ zur Zahlung einer Unterhaltsrente von Fr. 700.-- monatlich. Im Jahre 1996 wurde der gemeinsame Haushalt wieder aufgehoben. Seit einem Besuch zu Ostern 1997 lebt C._ in gemeinsamem Haushalt mit ihrem Vater, A._. Aufgrund von Konflikten zwischen den Eltern über den Aufenthaltsort ihrer Tochter wurde mit Entscheid des Gemeinderates Z._ vom 30. Juli 1997 eine Erziehungsbeistandschaft im Sinne von Art. 308 ZGB angeordnet, welche bis heute besteht. b) Mit Eingabe vom 26. März 1999 an den Regierungsstatthalter des Amtes X._, zuständigkeitshalber weitergeleitet an den Regierungsstatthalter des Amtes Luzern, beantragte A._, B._ sei die elterliche Sorge über die gemeinsame Tochter C._ zu entziehen. Gleichzeitig stellte er Antrag, die Vormundschaftsbehörde Y._ sei anzuweisen, ihm die elterliche Sorge über C._ zu übertragen. Der Regierungsstatthalter des Amtes Luzern wies das Gesuch um Entziehung der elterlichen Sorge mit Entscheid vom 13. Juni 2000 ab. c) Gegen diesen Entscheid erhob A._ Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern und verlangte die Aufhebung des Entscheids des Regierungsstatthalters. Ferner beantragte er, die elterliche Sorge über das Kind C._ sei B._ zu entziehen, und die Vormundschaftsbehörde von Emmen sei anzuweisen, C._ unter seine elterliche Sorge zu stellen und in Aufhebung des Unterhaltsvertrags vom 16. November 1992 die Unterhaltsansprüche des Kindes neu zu regeln. In ihren Vernehmlassungen schlossen sowohl der Regierungsstatthalter als auch der Gemeinderat Z._ als Vormundschaftsbehörde sowie der Beistand von C._, D._, auf Abweisung der Beschwerde. Ebenso liess B._ Abweisung der Beschwerde beantragen. d) Mit Urteil vom 6. Juni 2001 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern (Verwaltungsrechtliche Abteilung) die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ab. B.- A._ hat gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts Berufung eingereicht und stellt folgende Anträge: "1. Das Urteil vom 6. Juni 2001 des Verwaltungsgerichts (Verwaltungsrechtliche Abteilung) des Kantons Luzern sei aufzuheben. 2. Der Berufungsbeklagten sei die elterliche Sorge über das Kind C._, geb. 14. Oktober 1991, zu entziehen. 3. Die zuständige Vormundschaftsbehörde sei anzuweisen, das Kind C._, geb. 14. Oktober 1991, unter die elterliche Sorge des Berufungsklägers zu stellen und in Aufhebung des Unterhaltsvertrages vom 16. November 1992 die Unterhaltsansprüche des Kindes neu zu regeln. 4. Eventuell: Die Streitsache sei zwecks Neubeurteilung und Gutheissung der Berufungsanträge Ziffern 2, 3 und 5 (Kosten des zweitinstanzlichen Verfahrens) an die Vorinstanz zurückzuweisen. 5. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen in zweiter und dritter Instanz zu Lasten der Berufungsbeklagten.. " C.- Es wurde keine Berufungsantwort eingeholt. D.- Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern beantragt in seiner Vernehmlassung (Art. 56 OG), die Berufung sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. 