Firmenschutz; UWG, hat sich ergeben: A.- Die Klägerin hat ihren Sitz in der Stadt Zürich und ist seit 1928 unter der Firma "Wache AG" im Handelsregister eingetragen. Ihr Zweck besteht im Wesentlichen in der "Erbringung von Sicherheitsdienstleistungen jeglicher Art, namentlich (in der) Bewachung von unbeweglichem und beweglichem Eigentum ...". Ihre Tätigkeit erstreckt sich auf den Kanton Zürich und die angrenzenden Kantone. Die Beklagte ist eine aus einem 1956 gegründeten Familienunternehmen hervorgegangene Gesellschaft nach liechtensteinischem Recht mit Sitz in Vaduz. Ihr Zweck besteht in der Durchführung von Bewachungsaufträgen verschiedener Art, der Errichtung und Führung von Werkschutzorganisationen für die Industrie und der Führung eines Detektivbüros. Ihre Tätigkeit erstreckt sich auf das Fürstentum Liechtenstein und seit 1992 auch auf den Kanton St. Gallen. Seit 1996 ist sie im Handelsregister des Kantons St. Gallen eingetragen, unter der Firma ""Die Wache" Wach- und Schliess-Aktiengesellschaft, Vaduz (FL), Zweigniederlassung Altstätten". Die Beklagte trat Ende 1999 in Zürich an der Messe "Sicherheit 99" auf und verteilte Werbematerial. Auf dem Deckel der Kartonmappe und an den Seitenrändern der Prospektblätter treten fettgedruckt die Wörter "Die Wache" in Erscheinung. Darüber figuriert ein Signet mit Schlüssel und Hundekopf, der kreisförmig von einem Band mit der Inschrift "Wach- und Schliessgesellschaft" bzw. "Wach- und Schliessgesellschaft in Liechtenstein" umrahmt wird. B.- Am 18. Februar 2000 stellte die Klägerin beim Handelsgericht des Kantons St. Gallen das folgende Rechtsbegehren: "1. Es sei gerichtlich festzustellen, dass die Beklagte mit der Verwendung der vom Handelsregistereintrag in der Schweiz abweichenden Firmenbezeichnung "Die Wache" bzw. "Wache" widerrechtlich gehandelt hat. 2. Der Beklagten sei zu verbieten, ihre Firma im Geschäftsverkehr in der Schweiz in anderer Form zu gebrauchen als diese im Handelsregister des Kantons St. Gallen eingetragen ist. Insbesondere seien ihr die Verwendung der verkürzten Bezeichnung "Die Wache" sowie Darstellungen der im Handelsregister eingetragenen Firma, welche einzelne Firmenbestandteile ungleich gestalten, zu verbieten. 3. Die Verbote gemäss Ziff. 1 und 2 seien mit der Androhung der Bestrafung der Organe der Beklagten bei Widerhandlung mit Haft oder Busse wegen Ungehorsams gegen eine amtliche Verfügung nach Art. 292 StGB zu verbinden. 4. Das Urteilsdispositiv sei zusammen mit der Bezeichnung der Parteien und einer kurzen Schilderung des Sachverhaltes auf Kosten der Beklagten je zweimalig im Ostschweizer Tagblatt sowie in der Neuen Zürcher Zeitung zu publizieren.. " Das Handelsgericht hiess die Klage am 10. September 2001 im Wesentlichen gut und entsprach den gestellten Begehren. Es erwog, die Beklagte habe mit der isolierten Verwendung ihres Firmenbestandteils "Die Wache" eine Verwechslungsgefahr mit der klägerischen Firma geschaffen und sowohl gegen Lauterkeitsrecht als auch gegen Firmenrecht verstossen. C.- Die Beklagte führt Berufung mit dem Antrag, das Urteil des Handelsgerichts sei aufzuheben und die Klage abzuweisen. Die Klägerin beantragt die Abweisung der Berufung, soweit darauf eingetreten werden kann. 