Faits: A. Bernard Rappaz purge depuis le 20 mars 2010 une peine de cinq ans et huit mois de privation de liberté. Dès son incarcération, il a entamé un jeûne de protestation. Il y a mis fin le 7 mai, après avoir obtenu une première interruption de sa peine. Le 21 mai, il a été replacé en détention. Il a cessé de nouveau de s'alimenter. Le 10 juin, il a été transféré aux Hôpitaux universitaires de Genève, pour la poursuite de l'exécution de sa peine sous surveillance médicale et avec les soins appropriés. Le 21 juin 2010, il a demandé derechef que l'exécution de sa peine soit interrompue, en raison des problèmes médicaux qu'entraîne sa grève de la faim. Par décision du 23 juin 2010, la Cheffe du Département de la sécurité, des affaires sociales et de l'intégration du canton du Valais (ci-après: la cheffe du département) a rejeté cette demande. Le 12 juillet 2010, elle a fait transférer le détenu à l'Hôpital de l'Île, à Berne, à charge pour cet établissement de le placer dans une section compatible à la fois avec son état de santé et avec les mesures de sécurité qu'implique l'exécution d'une peine privative de liberté. B. Contre la décision du 23 juin 2010 qui refuse d'interrompre une seconde fois sa peine, Bernard Rappaz a formé un recours, que le Juge unique de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le juge unique) a rejeté par un arrêt du 8 juillet 2010. C. Bernard Rappaz recourt au Tribunal fédéral contre ce dernier arrêt, dont il demande principalement la réforme en ce sens que l'exécution de sa peine soit interrompue jusqu'à droit connu sur le recours en grâce dont il a saisi le Grand Conseil du canton du Valais ou, à tout le moins, jusqu'à ce que son état de santé permette sa réincarcération. À titre subsidiaire, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à la cour cantonale, voire à l'autorité de première instance. Il invoque principalement une violation de l'art. 92 CP, subsidiairement du principe de la bonne foi. Le juge unique a renoncé à se déterminer. La cheffe du département conclut au rejet du recours et demande au Tribunal fédéral de se prononcer sur la conformité au droit fédéral de l'art. 56 al. 2 de la loi valaisanne d'application du Code pénal suisse, du 14 septembre 2006 (ci-après: LACP/VS; RS/VS 311.1), qui régit l'octroi de l'effet suspensif en cas de demande de grâce. Le recourant a présenté des observations au sujet des déterminations de la cheffe du département. D. Par ordonnance du 15 juillet 2010, le juge instructeur a refusé d'ordonner l'interruption de l'exécution de la peine par voie de mesures provisionnelles, en invitant la cheffe du département à prendre, durant la litispendance, toutes les mesures conformes à la Constitution qui seraient nécessaires à la sauvegarde de la vie et de l'intégrité corporelle du recourant. E. Ultérieurement, la cheffe du département a ordonné que la peine soit, jusqu'à droit connu sur le présent recours, exécutée sous la forme d'arrêts domiciliaires. Le recourant a cessé son jeûne de protestation. F. Le 26 août 2010, le Tribunal fédéral a délibéré sur le recours en séance publique. 