Sachverhalt: A. R._, geboren 1953, wohnhaft im Kanton Zürich, ist bei der Wincare Versicherungen obligatorisch krankenpflegeversichert. Sie leidet an einer Multisystemerkrankung des zentralen Nervensystems, die unter anderem zu einer Gehstörung führt. Zur Verbesserung des Gangbildes begab sie sich ab 1998 jährlich zur stationären Rehabilitation in die Klinik X._ (Kanton Aargau). Dieses Spital mit privater Trägerschaft ist Bestandteil der Zürcher Spitalliste A (Institutionen mit Zulassung zur Versorgung von Patientinnen und Patienten in der Allgemeinen Abteilung zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung) mit dem Leistungsauftrag neurologische, orthopädische und rheumatologische Rehabilitation. Die Wincare übernahm für diese Aufenthalte jeweils die Kosten in der Höhe der mit der Klinik X._ vertraglich festgelegten Tagespauschale von zuletzt (Jahr 2004) Fr. 545.-. Auch vom 28. Oktober bis 24. November 2005 hielt sich R._ wieder zur stationären Rehabilitation in der Klinik X._ auf. Die Wincare übernahm die Kosten nur im Rahmen eines Referenztarifs für eine solche Behandlung in der zürcherischen Klinik Y._ (Tagespauschale von Fr. 123.- und einmalige Fallpauschale von Fr. 1'100.-). Daran hielt sie mit Verfügung vom 6. Juni 2006 und Einspracheentscheid vom 18. Dezember 2006 fest. B. Die von R._ dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 23. Mai 2008 gut, hob den Einspracheentscheid auf und verpflichtete die Wincare, für den Rehabilitationsaufenthalt in der Klinik X._ vom 28. Oktober bis 24. November 2005 die Kosten nach dem Standorttarif für ausserkantonale Patientinnen und Patienten zu übernehmen. C. Die Wincare erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben; sie habe für den streitigen Rehabilitationsaufenthalt nur die Kosten des Referenzspitals Klinik Y._ (Tagespauschale Fr. 123.- und einmalige Fallpauschale von Fr. 1'100) zu übernehmen. R._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. 