Sachverhalt: A. A.a Mit Verfügung vom 29. Oktober 1997 verneinte die IV-Stelle des Kantons Solothurn einen Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung der 1958 geborenen B._ (Invaliditätsgrad von 30 %). Das Eidgenössische Versicherungsgericht hob am 20. Oktober 1999 Verfügung und den die Leistungsabweisung bestätigenden Entscheid des Versicherungsgerichtes des Kantons Solothurn vom 27. Oktober 1998 wegen ungenügend abgeklärten Sachverhalts auf. Es wies die Sache zu weiterer Abklärung und neuer Verfügung an die Verwaltung zurück. Am 2. August 2000 sprach die IV-Stelle mit Wirkung ab 1. Oktober 1995 verfügungsweise eine halbe Invalidenrente zu. Die Verfügung blieb unangefochten. Zufolge einer dem Ehemann der Versicherten zugesprochenen Invalidenrente berechnete die IV-Stelle den Leistungsanspruch von B._ bei unverändertem Invaliditätsgrad neu, was sie am 17. Mai 2006 verfügte. A.b Am 16. Februar 2004 meldete B._ eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes, worauf die IV-Stelle die Versicherte im Center X._ polydisziplinär begutachten liess (Expertise vom 30. März 2006). Sodann holte sie bei Dr. med. I._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, eine Expertise ein (Gutachten vom 20. Dezember 2007). Überdies beauftragte die Verwaltung die Medizinische Abklärungsstation des Spitals Y._ (MEDAS) mit der Erstellung eines Gutachtens unter Berücksichtigung der Orthopädie, Neurologie und Psychiatrie; dieses datiert vom 17. März 2009. Darauf abgestützt ermittelte die Verwaltung einen Invaliditätsgrad von 20 %, weswegen sie die Verfügung vom 2. August 2000 wiedererwägungsweise aufhob und die Zahlung der halben Rente auf Ende des der Zustellung der Verfügung folgenden Monats einstellte (Verfügung vom 3. August 2009). B. Die gegen die Verfügung vom 3. August 2009 erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 27. Januar 2010 ab. C. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, es sei ihr, in Aufhebung des angefochtenen Entscheids, eine Dreiviertelsrente der Invalidenversicherung zuzusprechen; eventuell sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem stellt sie das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die IV-Stelle des Kantons Solothurn und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichten auf eine Stellungnahme. 