Faits: A. Le 31 juillet 2003, la Société Coopérative Aérodrome du Jura Bressaucourt (ci-après: SCAJ) a déposé une demande d'octroi de concession fédérale pour l'exploitation d'un nouvel aérodrome à Bressaucourt. Elle a également sollicité l'approbation des plans ainsi que du règlement d'exploitation correspondants. Par avis insérés dans la Feuille fédérale du 9 septembre 2003 et dans le Journal officiel du canton du Jura du lendemain, l'Office fédéral de l'aviation civile (ci-après: l'OFAC) a mis les requêtes à l'enquête publique. Des oppositions contre les trois demandes ont été formées par C._, B._, l'Association des opposants au projet d'aérodrome de Bressaucourt (ci-après: AOPAB), l'Association Transports et Environnement (ci-après: ATE) ainsi que par le WWF Suisse. B. Par décision du 18 août 2004, le Conseil fédéral a ajouté au Plan sectoriel de l'infrastructure aéronautique (PSIA) une fiche de coordination concernant l'aérodrome de Bressaucourt (fiche JU-1, partie IIIC/3ème série). Le projet y est décrit comme une nouvelle installation, faisant partie du réseau des aérodromes régionaux, qui a pour vocation d'accueillir des vols d'affaires, de tourisme et de travail et, dans la mesure du possible, les vols de perfectionnement ainsi que ceux liés à l'aviation sportive. La fiche indique également que le champ d'aviation de Porrentruy-Courtedoux sera mis hors-service dès l'entrée en fonction de la nouvelle installation. Les mesures de compensation exigées en matière de nature et de paysage, les précautions à prendre s'agissant de la protection des eaux, l'éventuelle nécessité d'une demande de défrichement, la coordination du projet avec les projets de l'A16 ainsi que le remaniement parcellaire à Bressaucourt sont en outre mentionnés. C. Le 30 mai 2005, le Département fédéral de l'environnement, des transports, de l'énergie et de la communication (ci-après: DETEC) a octroyé la concession d'exploitation requise à la SCAJ, écartant ainsi les oppositions. Dans une autre décision du même jour, le DETEC, rejetant les oppositions, a approuvé les plans de l'installation, de même qu'une demande de défrichement déposée le 17 septembre 2004. Il a néanmoins assorti l'approbation de nombreuses exigences en matière de protection de l'environnement, de la nature et du paysage. Par décision du 30 mai 2005 également, l'OFAC a approuvé le règlement d'exploitation, déboutant ainsi les opposants. Il a en outre imposé des mesures supplémentaires en matière de protection de l'environnement. L'AOPAB a recouru contre ces décisions auprès de la Commission fédérale de recours en matière d'infrastructures et d'environnement (CRINEN), en agissant pour son propre compte ainsi que pour celui de D._ et C._, F._, A._, K._, M._, N._, O._, P._, E._, Q._, R._ et S._, L._, J._, I._, G._, H._, T._ ainsi que U._, tous habitants, soit de la commune de Bressaucourt, soit de celle de Courgenay et de Chevenez. B._, le WWF Suisse et l'ATE ont également recouru. Le 27 octobre 2005, le DETEC a conclu au rejet des recours dans la mesure de leur recevabilité, tout en admettant deux compléments au dispositif de la décision d'approbation des plans. Il a ainsi introduit deux nouvelles charges, l'une ayant trait à la force obligatoire de la directive "Protection de l'air sur les chantiers" de l'Office fédéral de l'environnement (ci-après: OFEV) et l'autre prescrivant la réalisation de l'infiltration de la voie d'accès conformément aux "Instructions sur la protection des eaux lors de l'évacuation des voies de communication 2002" de l'OFEV. Le 2 octobre 2006, la CRINEN a organisé une vision locale réunissant des représentants des recourants, de l'intimée, des autorités de première instance et de l'OFEV. Un procès-verbal et un dossier photographique ont été établis. Interpellés, l'OFEV et l'Office fédéral du développement territorial (ci-après: ARE), ont également pu se déterminer sur le recours. D. Le 31 décembre 2006, la CRINEN a cessé toute activité et le dossier a été transmis au Tribunal administratif fédéral, compétent à compter du 1er janvier 2007. Par ordonnance du 7 février 2007, le juge instructeur a notamment demandé à l'intimée de produire un plan de gestion des mesures de compensation correspondant aux exigences formulées par l'OFEV, ce qui fut fait le 29 mars suivant. E. Par arrêt du 17 décembre 2007, le Tribunal administratif fédéral a rejeté les recours contre la décision d'octroi de concession d'exploitation dans la mesure de leur recevabilité. Pour autant qu'ils soient recevables, il a très partiellement admis les recours contre la décision d'approbation des plans et a modifié le chiffre 3.2.1.5 du dispositif de cette dernière comme suit: "l'infiltration des eaux de la route d'accès sera réalisée conformément aux indications de l'OFEV figurant dans les « Instructions sur la protection des eaux lors de l'évacuation des eaux des voies de communication, Berne, 2002 » ainsi que le chiffre 3.2.1.3: « la directive de l'OFEV intitulée « Protection de l'air sur les chantiers, Berne 2002 » sera appliquée durant la phase de construction de l'installation". La décision d'approbation des plans a été confirmée pour le surplus. Supposés recevables, les recours contre la décision d'approbation du règlement d'exploitation ont également été rejetés. F. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._, B._, C._, D._, E._, F._, G._, H._, I._, J._ et l'AOPAB demandent au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt rendu par le Tribunal administratif fédéral le 17 décembre 2007 et de renvoyer la cause au DETEC pour nouvelle décision. Invoquant l'art. 6 par. 1 CEDH, ils se plaignent essentiellement de l'impossibilité de contester la décision d'octroi de concession de même que le PSIA. Ils sollicitent en outre l'octroi de l'effet suspensif. Par ordonnance du 6 mars 2008, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la requête d'effet suspensif. Le DETEC et l'OFAC ont conclu au rejet du recours en tant qu'il était recevable et à la confirmation de l'arrêt rendu le 17 décembre 2007 par le Tribunal administratif fédéral. La SCAJ a requis du Tribunal fédéral qu'il n'entre pas en matière sur le recours, subsidiairement qu'il le déclare irrecevable et plus subsidiairement encore, qu'il le rejette. 