Sachverhalt: A. X._ und Z._ (beide geb. 1983) heirateten im Januar 2005. Sie wurden Eltern eines Sohnes (Y._, geb. im Dezember 2006). Nach der Trennung der Ehegatten mussten die Folgen des Getrenntlebens gerichtlich geregelt werden (Verfügung des Eheschutzgerichts vom 5. Oktober 2007). B. Am 17. Januar 2008 leiteten die Ehegatten beim Bezirksgericht Andelfingen das Scheidungsverfahren ein. Mit Urteil vom 3. Juni 2008 schied das Bezirksgericht die Parteien. Es stellte den gemeinsamen Sohn unter die elterliche Sorge der Mutter und ordnete an, die durch das Eheschutzgericht errichtete Beistandschaft zur Regelung und Überwachung des persönlichen Verkehrs sei von der zuständigen Vormundschaftsbehörde so lange weiterzuführen, als es diese für nötig erachte. Das Bezirksgericht betraute den Beistand sodann damit, das Besuchsrecht festzulegen, dessen Modalitäten zu regeln, dieses zu überwachen und über die Notwendigkeit und gegebenenfalls Dauer eines begleiteten Besuchsrechts zu entscheiden. Es nahm Vormerk davon, dass die Parteien allfällige Kosten für ein begleitetes Besuchsrecht je zur Hälfte tragen. Sodann urteilte es über die weiteren Nebenfolgen der Scheidung. C. Am 28. September 2009 reichte Z._ beim Bezirksgericht Andelfingen eine Klage auf Abänderung des Scheidungsurteils vom 3. Juni 2008 ein (bezüglich persönlichem Verkehr, Kinderunterhalt und nachehelichem Unterhalt). Strittig blieb der persönliche Verkehr. Auf Berufung von X._ und Anschlussberufung von Z._ gegen das bezirksgerichtliche Urteil vom 18. September 2012 hin urteilte das Obergericht des Kantons Zürich am 3. Juni 2013. Es räumte Z._ das Recht wie folgt ein, seinen Sohn zu sich oder mit sich auf Besuch zu nehmen (Ziff. 1 des Dispositivs) : - Begleitetes Besuchsrecht am ersten Sonntag jedes Monats von zwei Stunden (September 2013 - November 2013), vier Stunden (Dezember 2013 - Februar 2014) und sechs Stunden (März 2014 - Mai 2014); - (Unbegleitetes) Besuchsrecht von acht Stunden jeweils am ersten Sonntag jedes Monats (Juni 2014 - November 2014); - (Unbegleitetes) Besuchsrecht jeweils am ersten Wochenende jedes Monats (ab Dezember 2014); - Ferienrecht während der Schulferien von zwei Wochen (ab dem Jahr 2015) und von drei Wochen (ab dem Jahr 2019). Weiter bestätigte es den bezirksgerichtlichen Entscheid, wonach die Mehrkosten für das in einer ersten Phase in begleiteter Form auszuübende Besuchsrecht zu 2/3 vom Vater und zu 1/3 von der Mutter zu tragen sind (Ziff. 2 des Dispositivs). Sodann ernannte es dem Kind einen Beistand gemäss Art. 308 Abs. 2 ZGB zur Überwachung des persönlichen Verkehrs und forderte die zuständige Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde auf, einen solchen Beistand zu ernennen (Ziff. 3 - 5 des Dispositivs). Schliesslich bestätigte es den bezirksgerichtlichen Kostenspruch (Ziff. 6 des Dispositivs), auferlegte die Gerichtskosten des Berufungsverfahrens den Parteien je zur Hälfte und sprach insoweit keine Parteientschädigungen zu (Ziff. 7 - 9 des Dispositivs). D. Dem Bundesgericht beantragt X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) in ihrer Beschwerde vom 5. Juli 2013, die Ziff. 1 - 9 des obergerichtlichen Urteils vom 3. Juni 2013 seien aufzuheben und es sei festzustellen, dass derzeit kein Besuchsrecht festgelegt werden könne. Eventualiter sei die Angelegenheit an das Obergericht zurückzuweisen, damit gutachterlich abgeklärt werden könne, ob Y._ zum heutigen Zeitpunkt stabil genug sei, in Kontakt zu Z._ (nachfolgend Beschwerdegegner) zu treten und wie das Besuchsrecht gegebenenfalls auszugestalten wäre. Zudem ersucht die Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung und um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet (Schreiben vom 9. Juli 2013). Der Beschwerdegegner hat beantragt, das Gesuch abzuweisen; zudem ersucht auch er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren (Vernehmlassung vom 12. Juli 2013). Mit Verfügung vom 15. Juli 2013 hat das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. Das Bundesgericht hat die Vorakten, in der Sache hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt. 