Faits: A. E._ a bénéficié d'indemnités de chômage à partir du 2 janvier 2006. Le 12 octobre 2006, elle a présenté une demande d'allocations d'initiation au travail pour un emploi de bijoutière-joaillière et gérante de magasin au service de la société Z._ SA. Dans un document intitulé « confirmation de l'employeur relative à l'initiation au travail », rempli le même jour, Z._ SA a indiqué que l'initiation au travail, d'une durée de six mois, débuterait le 21 novembre 2006. Aux termes de ce document, l'employeur s'engageait notamment à limiter le temps d'essai à un mois et, après la période d'essai, à ne pas donner le congé avant la fin de l'initiation, sous réserve des cas de justes motifs au sens de l'art. 337 CO; à l'issue de l'initiation, le contrat de travail pouvait être résilié en respectant le délai de congé prévu à l'art. 335c CO. Le 23 octobre 2006, les parties ont conclu un contrat de travail de durée indéterminée dont le début était fixé au 21 novembre 2006, prévoyant une période d'essai de trois mois durant laquelle les rapports de travail pouvaient être résiliés pour la fin d'une semaine, moyennant un congé donné sept jours à l'avance. Par décision du 10 novembre 2006, l'Office régional de placement de Lausanne (ci-après: l'ORP) a admis la demande d'allocations d'initiation au travail pour la période du 21 novembre 2006 au 20 mai 2007. En outre, cette décision contenait les indications suivantes: l'octroi d'allocations d'initiation au travail par l'assurance-chômage est subordonné au respect par l'employeur des dispositions et des engagements auxquels il a souscrit en signant la formule « confirmation de l'employeur relative à l'initiation au travail », laquelle prime tout accord contenant des clauses contraires. En cas de non-respect desdites dispositions, la restitution des allocations est réservée (art. 95 LACI). Par lettre du 23 février 2007, l'employeur a résilié avec effet immédiat les rapports de travail le liant à E._ en invoquant divers motifs. Par décision du 28 février 2007, l'ORP a réformé sa décision du 10 novembre 2006, en ce sens que la demande d'allocations d'initiation au travail a été acceptée partiellement, soit seulement pour la période du 21 novembre 2006 au 27 février 2007. Cette décision était motivée de la manière suivante: L'employeur a mis fin aux rapports de travail après le temps d'essai en raison de justes motifs au sens de l'art. 337 CO. Les allocations sont octroyées jusqu'au dernier jour de travail de l'assurée, soit du 21 novembre 2006 au 27 février 2007. Cette décision est susceptible d'être modifiée si l'assurée devait obtenir gain de cause auprès des Prud'hommes. L'assurée s'est opposée au licenciement avec effet immédiat pour justes motifs et a ouvert action contre Z._ SA devant le Tribunal des Prud'hommes de l'arrondissement V._, en concluant au paiement d'un montant de 20'254 fr. 80 et à ce qu'il soit constaté l'absence de tout motif de licenciement immédiat. Lors de l'audience du 7 mai 2007 ordonnée par le Président du Tribunal de Prud'hommes, les parties ont conclu une transaction aux termes de laquelle Z._ SA a accepté de payer à l'assurée la somme de 4'000 fr. pour solde de tout compte. Par décision du 14 juin 2007, confirmée sur opposition le 24 août suivant par le Service de l'emploi du canton de Vaud, l'ORP a annulé sa décision du 28 février 2007, en ce sens que la demande d'allocations d'initiation au travail a été rejetée, motif pris que l'employeur avait contrevenu à ses obligations en résiliant le contrat de travail au cours de la période d'initiation au travail mais après le temps d'essai, sans qu'il existât de justes motifs de licenciement immédiat. B. Saisie d'un recours de Z._ SA contre la décision sur opposition, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud l'a rejeté par jugement du 25 janvier 2008. C. Z._ SA interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle requiert l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement après complément d'instruction. Elle demande en outre l'effet suspensif du recours. Le Service de l'emploi, l'ORP, l'assurée, ainsi que le Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO) ont renoncé à présenter des déterminations. Par courrier du 7 mai 2008, le juge instructeur a indiqué à la recourante que sa demande d'effet suspensif était sans objet étant donné que la décision sur opposition litigieuse constituait une décision négative de droit. 