Sachverhalt: A. Die kantonale Beamtenversicherungskasse (BVK) plant oder ist im Begriff, ein im Eigentum des Kantons Zürich stehendes Gebäude zu vergrössern. X._ (Beschwerdeführer) ist Eigentümer eines benachbarten Grundstücks und sieht sich durch das Bauvorhaben der BVK in seinen Rechten aus einer Dienstbarkeit verletzt. Er reichte deshalb am 21. September 2011 beim Bezirksgericht Zürich eine Klage gegen den Kanton Zürich ein. Gleichzeitig verlangte er, das Bezirksgericht Zürich und alle Zürcher Bezirksgerichte hätten in den Ausstand zu treten. Er begründete sein Begehren mit dem Anschein der Befangenheit, der dadurch erweckt werde, dass alle Mitglieder der Gerichte bei der BVK und damit seiner Prozessgegnerin versichert seien, die sich in einer finanziell prekären Situation befinde. Das Bezirksgericht Zürich wies das Ablehnungsbegehren ab (Beschluss vom 17. Oktober 2011). Der Beschwerdeführer legte dagegen eine Beschwerde ein, erneuerte seine Begehren gegenüber den kantonalen Bezirksgerichten und verlangte vorweg, auch das Obergericht und sämtliche oberen Gerichte des Kantons Zürich hätten aus dem gleichen Grund in den Ausstand zu treten. Das Obergericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde ab (Urteil vom 3. Januar 2012). B. Mit Eingabe vom 2. Februar 2012 beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, sämtliche Mitglieder des Obergerichts und sämtliche Mitglieder der Bezirksgerichte des Kantons Zürich hätten in den Ausstand zu treten und seine Zivilklage vom 21. September 2011 sei einem erstinstanzlichen Gericht ausserhalb des Kantons Zürich zuzuweisen. Er ersucht, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu gewähren. Die kantonalen Gerichte haben auf eine Vernehmlassung zum Gesuch verzichtet. Die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt (Verfügung vom 14. Februar 2012). Es sind die Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt worden. 