Sachverhalt: A. A.a Die 1956 geborene G._ ist seit 1. April 2003 als Sekretärin in der Klinik I._ tätig und dadurch bei der AXA Versicherungen AG (nachfolgend: AXA) u.a. gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen versichert. Mit Unfallmeldung vom 27. Januar 2011 wurde der AXA mitgeteilt, dass G._ am 17. September 2010 zu Hause auf einer Wendeltreppe ausgerutscht sei und sich die Schulter verletzt habe. Am 6. Juli 2011 verfügte der Unfallversicherer die Einstellung der Leistungen rückwirkend per 31. Oktober 2010. A.b Am 22. September 2011 erhielt der obligatorische Krankenversicherer von G._, die Progrès Versicherungen AG (nachfolgend: Progrès), eine Kopie der Verfügung der AXA vom 6. Juli 2011. Mit Eingabe vom 23. September 2011 erhob sie dagegen Einsprache, bat um Einsicht in die Unfallakten und führte aus, dass sie nach deren Erhalt entweder noch eine Begründung der Einsprache nachliefern oder aber diese mit einer entsprechenden Mitteilung zurückziehen werde. Am 6. Februar 2012 erkundigte sich die Progrès bei der AXA per E-Mail unter Bezugnahme auf die gegen die Verfügung vom 6. Juli 2011 erhobene vorsorgliche Einsprache sowie die am 20. Oktober 2011 übermittelte Einsprachebegründung bezüglich des Verfahrensstandes. Gleichentags teilte die AXA der Progrès telefonisch mit, dass sie die erwähnte Begründung nicht erhalten und den Fall deshalb erledigt habe. Mit Schreiben vom 6. Februar 2012 stellte die Progrès der AXA die (angebliche) Einsprachebegründung vom 20. Oktober 2011 zu. Der Unfallversicherer trat mit Entscheid vom 14. Februar 2012 infolge Fristversäumnisses auf die Einsprache nicht ein. B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern ab (Entscheid vom 12. Juni 2012). C. Die Progrès führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids. Während die AXA auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichten die Vorinstanz, das Bundesamt für Gesundheit und G._ auf eine Vernehmlassung. 