Sachverhalt: A. Am 31. Oktober 2005 heirateten der türkische Staatsangehörige A X._ (geb. 1970) und die Schweizer Bürgerin B Y._ (geb. 1975) in der Türkei. Letztere ersuchte in der Folge in ihrem Wohnsitzkanton (Thurgau) um Erteilung einer Einreise- und Aufenthaltsbewilligung für A X._. Das Migrationsamt des Kantons Thurgau wies das Gesuch am 25. August 2006 ab. Als Begründung führte es namentlich an, A X._ und B X Y._ hätten eine Scheinehe geschlossen. Die in der Folge von den Eheleuten X Y._ bei den kantonalen Instanzen erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos. B. Mit Eingabe vom 10. März 2008 erheben B X Y._ und A X._ beim Bundesgericht Beschwerde mit dem Antrag, den in dieser Sache zuletzt ergangenen Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 16. Januar 2008 aufzuheben und A X._ die Einreise sowie den Aufenthalt im Rahmen des Familiennachzugs zu bewilligen. Das kantonale Migrationsamt, das kantonale Departement für Justiz und Sicherheit, das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie das Bundesamt für Migration beantragen Abweisung der Beschwerde. C. Am 31. Oktober 2008 hat die II. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts die Angelegenheit an einer publikumsöffentlichen Sitzung beraten (vgl. Art. 57, 58 Abs. 1 und 59 BGG). 