Sachverhalt: A. Am 27. April 2009 kam es in einem Asylantenheim zwischen X._ und A._ zu einem vorerst verbalen Streit. X._ wird zur Last gelegt, im Laufe der Auseinandersetzung A._ mit einem Küchenmesser (Klingenlänge 15.8 cm) erheblich verletzt zu haben. Dieser erlitt insbesondere mehrere tiefe Schnittwunden im Gesicht, eine tiefe Stichverletzung im Bereich des rechten Ohres sowie eine oberflächliche Schnittwunde am Hals. Die Verletzungen waren nicht lebensgefährlich. X._ wird zudem vorgeworfen, zwischen dem 2. August 2009 und 1. September 2009 verschiedene Gegenstände in der Gefängniszelle beschädigt zu haben. B. Das Kantonsgericht Obwalden sprach X._ mit Entscheid vom 10./19. November 2010 der mehrfachen einfachen Körperverletzung sowie der mehrfachen Sachbeschädigung schuldig. Es verurteilte ihn zu einer unbedingten Freiheitsstrafe von 18 Monaten und ordnete eine ambulante Massnahme (Art. 63 StGB) an. Zudem hielt es fest, dass X._ gegenüber A._ dem Grundsatze nach (im Umfang von 20%) schadenersatzpflichtig ist. X._ wurde weiter verpflichtet, A._ eine Genugtuung in der Höhe von Fr. 1'500.-- zuzüglich Zins und dem Kanton Obwalden Schadenersatz im Umfang von Fr. 2'500.-- zu bezahlen. Das Obergericht des Kantons Obwalden hiess eine von A._ dagegen erhobene Berufung teilweise gut und wies eine Anschlussberufung von X._ ab. Es sprach X._ der versuchten vorsätzlichen Tötung und der einfachen Körperverletzung schuldig. Das Gericht billigte ihm zu, in Überschreitung der Grenzen der Notwehr gehandelt zu haben. Es verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von zwei Jahren unter Anrechnung der ausgestandenen Untersuchungshaft, des vorzeitigen Strafvollzugs sowie des vorsorglichen Massnahmenvollzugs von insgesamt 705 Tagen. Im Übrigen bestätigte das Obergericht den Entscheid des Kantonsgerichts. C. X._ führt Beschwerde ans Bundesgericht. Er beantragt, er sei vom Vorwurf der versuchten vorsätzlichen Tötung und der einfachen Körperverletzung freizusprechen und wegen mehrfacher Sachbeschädigung zu einer Freiheitsstrafe von einem Monat zu verurteilen. Eventualiter sei er wegen einfacher Körperverletzung und mehrfacher Sachbeschädigung mit einer Freiheitsstrafe von 16 bis 18 Monaten zu bestrafen. Subeventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Des Weiteren ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und um amtliche Verteidigung. D. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt. 