Sachverhalt: A. Z._ (Geschädigte) erlitt am 28. April 1998 einen Auffahrunfall. Die Lenkerin, die den Unfall verursachte, war bei der X._ Versicherung AG (Beklagte; Beschwerdeführerin) versichert. Die Geschädigte wurde in der Folge krank geschrieben. Sie war im Unfallzeitpunkt als Primarschullehrerin mit einem Pensum von 80 % tätig, sie hatte jedoch bereits vor dem Unfall die Arbeitsstelle auf Ende August 1998 gekündigt, da sie geplant hatte, an einer anderen Schule als Lehrerin mit einem Pensum von 50 % zu arbeiten und daneben ein vierjähriges Psychologiestudium zu absolvieren. B. Mit Klage vom 17. Dezember 2010 gelangte die Eidgenössische Invalidenversicherung (IV; Klägerin; Beschwerdegegnerin) an das Handelsgericht des Kantons Zürich und verlangte von der Beklagten Fr. 302'945.-- nebst Zins. Sie machte geltend, die Geschädigte habe beim Unfall ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS-Trauma) erlitten. Deswegen habe sich die angestrebte Ausbildung zur Psychologin um vier Jahre verschoben und die Geschädigte nicht bereits ab Juli 2002 als Psychologin tätig sein können. Der dadurch entstandene Erwerbsschaden sei von der Klägerin im Rahmen der Gewährung von beruflichen Massnahmen durch Taggeldleistungen in der Höhe von Fr. 302'945.-- in der Zeitspanne vom 1. Juli 2002 bis zum 30. Juni 2006 gedeckt worden. Dafür habe die Beklagte als Haftpflichtversicherung die Klägerin schadlos zu halten. Am 8. April 2013 verpflichtete das Handelsgericht die Beklagte, der Klägerin Fr. 194'560.-- nebst Zins zu bezahlen. Im Mehrbetrag wies es die Klage ab. C. Die Beklagte führt Beschwerde an das Bundesgericht und beantragt, das Urteil des Handelsgerichts aufzuheben und die Klage abzuweisen. Ihrem Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gab das Bundesgericht am 17. Juni 2013 statt, da die Gegenpartei keine Einwände erhoben hatte. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf kostenfällige Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist, während das Handelsgericht auf Vernehmlassung verzichtet. Obwohl das Bundesgericht keinen weiteren Schriftenwechsel angeordnet hat, haben die Parteien eine Beschwerdereplik beziehungsweise eine Beschwerdeduplik eingereicht. 