Sachverhalt: A. X._ (Ehemann) (geb. 1971) und Z._ (Ehefrau) (geb. 1972) heirateten am xxxx 1998. Sie sind die Eltern von R._ (geb. 1999) und S._ (geb. 2000). Am 21. Juni 2007 machte Z._ (nachfolgend Beschwerdegegnerin) beim Einzelrichter des Bezirkes Höfe (SZ) das Eheschutzverfahren anhängig. Mit Verfügung vom 20. April 2009 wurden die Kinder unter die Obhut der Mutter gestellt und das Besuchs- und Ferienrecht des Vaters festgelegt. X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) wurde verpflichtet, der Beschwerdegegnerin an den Unterhalt der Kinder mit Wirkung ab 1. Oktober 2006 monatlich Fr. 1'800.-- pro Kind und an die Mutter monatlich Fr. 4'920.-- ab 1. Oktober 2006 bis und mit Juni 2008 und ab Juli 2008 Fr. 5'200.-- zu bezahlen. B. B.a Der vom Beschwerdeführer dagegen eingereichte Rekurs wurde vom Kantonsgericht Schwyz mit Beschluss vom 12. April 2010 einzig mit Bezug auf die Höhe der Unterhaltsleistung an die Ehefrau teilweise gutgeheissen. Letztere wurde wie folgt neu festgelegt: Fr. 3'200.-- ab 1. Oktober 2006 bis 30. September 2007, Fr. 3'070.-- ab 1. Oktober 2007 bis 30. Juni 2008 und ab 1. Juli 2008 Fr. 3'350.-- (Dispositiv-Ziffer 2). B.b Mit Verfügung vom 17. November 2008 überwies das Friedensrichteramt A._ das gemeinsame Scheidungsbegehren der Parteien dem Bezirksgericht Uster. Mit Verfügungen vom 25. Januar 2010 wurden vom Einzelrichter im ordentlichen Verfahren das Besuchs- und Ferienrecht des Vaters sowie seine Unterhaltsverpflichtungen rückwirkend ab 16. Januar 2009 für die Dauer des Scheidungsverfahrens neu festgelegt. C. Mit Eingabe vom 12. Mai 2010 gelangt der Beschwerdeführer an das Bundesgericht und beantragt, Dispositiv-Ziffer 2 des Beschlusses des Kantonsgerichts Schwyz sei aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung an dieses zurückzuweisen. Eventualiter sei er in Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 2 des angefochtenen Beschlusses zu verpflichten, der Beschwerdegegnerin an ihren persönlichen Unterhalt für die Zeit vom 1. Oktober 2006 bis 31. Dezember 2006 CHF 3'200.00 pro Monat zu bezahlen. Für die Zeit ab Januar 2007 sei der Beschwerdegegnerin kein persönlicher Unterhaltsbeitrag mehr zuzusprechen. Mit Präsidialverfügung vom 7. Juni 2010 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. 