Sachverhalt: A. Die Staatsanwaltschaft von Turin führt ein strafrechtliches Untersuchungsverfahren gegen unbekannte Täterschaft wegen mehrfacher fahrlässiger Tötung. Dabei geht es um italienische Staatsangehörige, die bei der X._ AG mit Sitz in Y._ gearbeitet haben und in Italien an einem durch Asbest verursachten Tumor ("Mesotheliom") gestorben sind. Am 26. November 2001 ersuchte die Staatsanwaltschaft von Turin die Schweiz um die Übermittlung von Unterlagen, die von der X._ AG und der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) herauszugeben seien. Das Bundesamt für Justiz leitete das Rechtshilfeersuchen am 8. Januar 2002 an das Verhöramt des Kantons Glarus weiter und bezeichnete den Kanton Glarus als Leitkanton. Die Glarner Behörden bewilligten in der Folge die Herausgabe von bei der X._ AG und der SUVA erhobenen Unterlagen an die ersuchende Behörde. Die von der X._ AG dagegen erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde wies das Bundesgericht am 22. August 2003 ab, soweit es darauf eintrat (1A.9/2003). B. Mit Nachtragsersuchen vom 9. August 2004 verlangte die Staatsanwaltschaft von Turin die Herausgabe weiterer Unterlagen der SUVA. Am 31. Dezember 2004 trat das Verhöramt des Kantons Glarus auf das Nachtragsersuchen ein. Mit Schreiben vom 4. November 2005 gab die SUVA die vom Verhöramt verlangten Unterlagen heraus, soweit sie vorhanden waren. Dabei handelt es sich um solche, welche die Werke der X._ AG in Y._ und Z._ betreffen; im weiteren um Daten zu Personen, die bei der X._ AG gearbeitet haben und danach insbesondere an einem Mesotheliom erkrankt sind. In der Folge schied das Verhöramt verschiedene Dokumente aus dem Dossier zum Werk Y._, die keinen Bezug zur Asbestproblematik hatten, aus. Mit Schlussverfügung vom 3. Januar 2006 entsprach das Verhöramt dem Nachtragsersuchen vom 9. August 2004 und ordnete die Herausgabe der bei der SUVA erhobenen Unterlagen mit Ausnahme der ausgeschiedenen Dokumente an die ersuchende Behörde an. Auf die dagegen von der X._ AG erhobene Beschwerde trat der Präsident des Kantonsgerichts Glarus am 27. Juni 2006 mangels Beschwerdelegitimation nicht ein. Die Beschwerde der SUVA wies er ab. C. Die X._ AG führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Hauptantrag, den Entscheid des Kantonsgerichtspräsidenten aufzuheben und die Sache zur materiellen Beurteilung an diesen zurückzuweisen, sowie weiteren Anträgen. D. Der Kantonsgerichtspräsident und das Verhöramt haben auf Gegenbemerkungen verzichtet. Das Bundesamt für Justiz hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, die Verwaltungsgerichtsbeschwerde abzuweisen. 