Sachverhalt: A. Am 30. November 2008 nahmen die Stimmbürger des Kantons Zürich die Initiative "Ja zur Wahlfreiheit beim Medikamentenbezug (Zürcher Medikamentenabgabe-Initiative)" mit 53,7 % Ja-Stimmen an. Am 9. Dezember 2008 ordnete der Regierungsrat des Kantons Zürich die Veröffentlichung der Ergebnisse der Volksabstimmung im Amtsblatt des Kantons Zürich an. Dieser Beschluss wurde zusammen mit den Ergebnissen am 12. Dezember 2008 im Amtsblatt veröffentlicht. B. Mit Eingabe vom 17. Dezember 2008 erhob X._ Stimmrechtsrekurs an den Regierungsrat des Kantons Zürich. Er beantragte, der Beschluss des Regierungsrats über die Ergebnisse der Volksabstimmung sei aufzuheben und es sei über die Volksinitiative "Ja zur Wahlfreiheit beim Medikamentenbezug (Zürcher Medikamentenabgabe-Initiative)" eine erneute Volksabstimmung anzuordnen. X._ rügte, die Stellungnahme des Regierungsrats in der behördlichen Abstimmungszeitung sei unausgewogen und unvollständig gewesen. Weiter machte er geltend, der Ausgang der Abstimmung sei durch eine massive Falschpropaganda der Ärzteschaft beeinflusst worden; die zuständigen Behörden hätten es versäumt, diese zu widerlegen und klarzustellen. Der Regierungsrat erachtete den Rekurs als verspätet und trat darauf mit Beschluss vom 14. Januar 2009 nicht ein. C. Dagegen gelangte X._ mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht. Dieses verwies die Sache mit Urteil vom 29. Juni 2009 zuständigkeitshalber an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich zur Behandlung (1C_124/2009). Mit Entscheid vom 4. November 2009 zog das Verwaltungsgericht in Betracht, dass der Regierungsrat auf den Stimmrechtsrekurs wegen Verspätung insoweit zu Recht nicht eingetreten sei, als sich der Rekurs gegen die Erläuterungen in der Abstimmungszeitung gerichtet habe. Hingegen hätte der Regierungsrat auf den Rekurs eintreten müssen, soweit darin eine Irreführung der Stimmberechtigten durch Private und eine damit zusammenhängende Untätigkeit der Behörden gerügt worden sei. Das Verwaltungsgericht wies die Sache daher im Sinne der Erwägungen zu neuem Entscheid an den Regierungsrat zurück. D. Mit Eingabe vom 3. Dezember 2009 beantragte die Ärztegesellschaft des Kantons Zürich (AGZ), das Komitee "Ja zur Wahlfreiheit beim Medikamentenbezug" und A._, im Verfahren als Beteiligte zugelassen zu werden. Am 29. Januar 2010 reichten die Gesuchsteller unaufgefordert eine Stellungnahme mit Beilagen ein. Am 14. April 2010 wurde das Beiladungsgesuch zurückgezogen. Am 21. April 2010 wies der Regierungsrat die Stimmrechtsbeschwerde ab. E. Am 3. Juni 2010 gelangte X._ mit Stimmrechtsbeschwerde ans Verwaltungsgericht. Dieses wies die Beschwerde am 8. September 2010 ab. Das Gericht hielt in seinen Erwägungen fest, dass der Regierungsrat das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers verletzt habe, weil er entschieden habe, ohne dem Beschwerdeführer zuvor die Eingaben der Ärztegesellschaft des Kantons Zürich und Mitbeteiligte zugestellt oder anderweitig zur Kenntnis gebracht zu haben. Diese Verfahrensverletzung sei jedoch im verwaltungsgerichtlichen Beschwerdeverfahren geheilt worden. F. Gegen den verwaltungsgerichtlichen Entscheid hat X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht erhoben. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter sei das Ergebnis der Volksabstimmung vom 30. November 2008 betreffend die kantonale Volksinitiative "Ja zur Wahlfreiheit beim Medikamentenbezug (Zürcher Medikamentenabgabe-Initiative)" für ungültig zu erklären und es sei darüber eine neue Volksabstimmung anzuordnen. G. Die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich beantragt Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. H. Gegen den Beschluss des Regierungsrates vom 9. Dezember 2008 und den durch die Volksabstimmung geänderten § 17 des Zürcher Gesundheitsgesetzes haben auch der Apothekerverband des Kantons Zürich und weitere Beteiligte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wegen Verletzung von verfassungsmässigen Rechten sowie Bundesgesundheitsrecht erhoben (2C_53/2009). Dieses Verfahren wurde mit Verfügung vom 5. März 2010 bis zum rechtskräftigen Abschluss der hängigen Stimmrechtsrekurse bzw. bis zur Publikation des Erwahrungsbeschlusses sistiert. 