Sachverhalt: A. Im Dezember 2009 verschickte die Appenzeller Bahnen AG die Ausschreibungsunterlagen für die Sanierung des Bahnübergangs Mooshalde/Scheidweg in der Gemeinde Waldstatt (Appenzell Ausserrhoden) einerseits und für ein Systemangebot zur Erneuerung von 30 weiteren Bahnübergängen mit Sicherheitsanlagen andererseits im Einladungsverfahren. Eingeladen wurde auch die X._ AG (im Folgenden: X._), die ein Angebot für beide Beschaffungsprojekte einreichte. Am 15. März 2010 teilte die Appenzeller Bahnen AG der X._ mit, der Auftrag für die Sanierung des Bahnübergangs Mooshalde/ Scheidweg sei an die Firma Y._ GmbH (RGS) in Aarau vergeben worden. Auf entsprechendes Begehren hin begründete die Appenzeller Bahnen AG ihre Wahl dahin, dass das qualitativ und wirtschaftlich beste Angebot berücksichtigt worden sei, d.h. dasjenige, das den tiefsten spezifischen Nutzwert aufgewiesen habe. Als weiteres wichtiges Kriterium sei auf eine möglichst kleine Produktevielfalt der Bahnsicherungsanlagen geachtet worden. B. Hiergegen reichte die X._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden ein. B.a Sie beantragte, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen und der Auftrag sei ihr zuzuschlagen. Zur Begründung brachte sie namentlich vor, die Vergabe sei nicht nach den zum voraus bekanntgegebenen Kriterien erfolgt, sondern nur unter Berücksichtigung des Preises und der Produktevielfalt, die gar nicht als Kriterium genannt worden sei. Überhaupt sei von der Appenzeller Bahnen AG manipuliert worden, damit die Y._ GmbH berücksichtigt werden könne. Die Beschwerde habe gute Erfolgschancen, weshalb ein Vertragsschluss einstweilen zu verhindern sei. B.b Das Verwaltungsgericht holte Vernehmlassungen der übrigen Verfahrensbeteiligten und des Tiefbauamts des Kantons Appenzell Ausserrhoden zum Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ein. Das Tiefbauamt machte insbesondere darauf aufmerksam, dass die Vergabe des Bahnübergangs Mooshalde/Scheidweg mit dem Bau des Hirschenkreisels koordiniert sei; dieser geniesse Priorität, und während des Umbaus müsse der gesamte Strassenverkehr zeitweise über den Knoten Mooshalde/Scheidweg geleitet werden. Der Kanton sei an einer schnellen Realisierung der Sanierung interessiert. B.c Mit Verfügung vom 16. April 2010 wies der Verwaltungsgerichtspräsident von Appenzell Ausserrhoden als Einzelrichter das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung kostenfällig ab und hob das Superprovisorium vom 29. März 2010 auf. In der Begründung führte er aus, die Sanierung des Bahnübergangs Mooshalde/Scheidweg sei dringend nötig und der Umbau der Hirschenkreuzung mit den damit verbundenen Verkehrsumleitungen erhöhe das Sicherheitsproblem noch. Ein Aufschub der Sanierung würde dem Kanton wahrscheinlich auch hohe Mehrkosten verursachen, da die Planung und Realisierung geändert werden müssten. Das öffentliche Interesse an einer raschen Ausführung des Projekts überwiege deshalb die privaten Interessen der X._. Ob deren Beschwerde Erfolgschancen habe, sei im Übrigen zur Zeit noch völlig offen. Die Beschwerde beruhe zwar auf gut begründeten Mutmassungen, aber erst ein aufwendiges Beweisverfahren könne näheren Aufschluss über die Berechtigung der Anliegen der X._ geben. C. Mit Eingabe vom 21. April 2010 führt die X._ subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht. Sie beantragt im Wesentlichen, die angefochtene Verfügung aufzuheben und das Superprovisorium des Verwaltungsgerichtspräsidenten vom 29. März 2010 wieder in Kraft zu setzen. Es gehe um zwei Verträge (Bahnübergang Mooshalde/Scheidweg und Systemangebot) mit einem hohen Auftragswert von 3,25 Mio. Franken. Entgegen der Ausführungen des Verwaltungsgerichts bestünden keine überwiegenden öffentlichen Interessen an der sofortigen Ausführung des Projekts Mooshalde/ Scheidweg. Die bestehende Schrankenanlage sei noch funktionstüchtig, und die neue würde ohnehin erst nach der Periode bereitstehen, während der Verkehrsumleitungen über diesen Bahnübergang geschehen müssten. Das private Interesse der X._ sei höher zu gewichten als die entgegenstehenden Interessen, da aus den Akten zweifelsfrei hervorgehe, dass sie das wirtschaftlich günstigste Angebot eingereicht und Anspruch auf den Zuschlag habe. Die Beweiswürdigung und die Interessenabwägung des Verwaltungsgerichtspräsidenten seien daher krass willkürlich. Schliesslich verstosse dessen Entscheid auch gegen den Anspruch auf rechtliches Gehör, das Rechtsgleichheitsgebot, das Diskriminierungsverbot und die Wirtschaftsfreiheit. Prozessual ersucht die X._ um Erteilung der aufschiebenden Wirkung und um ergänzende vorsorgliche Massnahmen. D. Die Y._ GmbH schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Sie weist insbesondere darauf hin, dass die bestehende Schrankenanlage Mooshalde/Scheidweg aus den Sechzigerjahren stamme und ihre Lebensdauer bereits überschritten habe. Der Linksabbieger hätte sofort mit einer neuen Schranke gesichert werden können. Im Übrigen könne die neue Anlage phasenweise in Betrieb genommen werden, weshalb ihre Erstellung für die Verkehrsumleitungen nicht zu spät erfolge. Die Appenzeller Bahnen AG beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. An der Beschaffung bestehe zeitliche Dringlichkeit. Zudem sei bisher einzig der Zuschlag für den Bahnübergang Mooshalde/Scheidweg erteilt worden. Über das Systemangebot sei bisher nicht entschieden worden. Die Angebote für den vorgezogenen Bahnübergang Mooshalde/Scheidweg hätten gesondert beurteilt werden dürfen, und die Vergabe sei gemäss den publizierten Kriterien erfolgt. Das Verwaltungsgericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden hat auf eine Stellungnahme verzichtet. E. Mit verfahrensleitender Verfügung vom 23. April 2010 ordnete das Präsidium der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts im Sinne einer superprovisorischen Massnahme an, dass bis zum Entscheid über das Gesuch um aufschiebende Wirkung alle Vollziehungsvorkehren zu unterbleiben haben. 