Sachverhalt: A. A._ kam 1982 in der Schweiz zur Welt und lebte seither hier. Sie wuchs nach der Scheidung ihrer Eltern mit ihrer Mutter, einem Bruder und einer Schwester sowie mit ihrem Stiefvater und einem Stiefbruder auf. Ihr soziales Umfeld bestand hauptsächlich aus türkischen Immigranten. Zu ihren besten Freundinnen gehörte die gleichaltrige B._, die gleichfalls in der Schweiz aufgewachsen ist und ebenfalls vorwiegend mit türkischen Immigranten verkehrte. B._ war Ende 1997 während einiger Monate mit X._ intim befreundet. Dieser wurde 1979 in der Türkei geboren und kam 1995 mit seiner Familie in die Schweiz. Er scheint auch nach der Trennung von seiner früheren Freundin B._ den Kontakt zu dieser gesucht zu haben. Anlässlich eines Zusammentreffens mit A._ erhielt B._ eine SMS-Nachricht von ihrem früheren Freund, welche indessen A._ beantwortete. In der Folge sandte X._ eine grosse Zahl von SMS-Nachrichten an A._ und er kontaktierte sie auch oft über deren Mobiltelefon, wobei er ihr auch Heiratsanträge machte. Nach etwa zehn Tagen kam es am 10. November 1999 zu einer persönlichen Begegnung. Zuerst hielten sich die beiden für einige Stunden in Zürich auf; anschliessend fuhren sie mit dem Auto X._s an einen abgelegenen Ort oberhalb von Dietikon. Diesen Ort hatte A._ vorgeschlagen, weil sie ihn von gelegentlichen Treffen mit ihrem ehemaligen Freund kannte. Was darauf vorfiel, wird von den Beteiligten nach den Angaben im angefochtenen Urteil weitgehend übereinstimmend geschildert. Danach begannen X._ und A._ miteinander zu schmusen. A._ willigte ein, sich auf den Rücksitz des Autos zu begeben, wo ihr X._ zunächst den Pullover und dann nach und nach die weiteren Kleider auszog. A._ bekundete jeweils, dies nicht zu wünschen, schmuste aber weiter. Es ging ihr dabei offensichtlich darum, X._ mitzuteilen, dies alles nicht bereits beim ersten Zusammentreffen tun zu wollen. Im Weiteren erklärte sie ihm, Jungfrau zu sein und dies bis zu ihrer Heirat auch bleiben zu wollen. Darauf erwiderte X._ jeweils, sie ohnehin heiraten zu wollen. Schliesslich gelang es X._, sich selbst und A._ vollständig zu entkleiden; dann drang er überraschend in A._ ein. Als diese vor Schmerz aufschrie, ihn aufforderte aufzuhören und sich vergeblich zu wehren versuchte, sagte er, es wäre für sie nur noch schmerzhafter, wenn er sich jetzt zurückzöge. Nach wenigen Stössen, während derer er A._ an den Oberarmen festhielt, ejakulierte er auf ihren Bauch. B. Mit Urteil vom 18. November 2002 sprach das Bezirksgericht Bremgarten X._ der Vergewaltigung im Sinne von Art. 190 Abs. 1 StGB schuldig und verurteilte ihn zu einer bedingt vollziehbaren Zuchthausstrafe von 18 Monaten sowie zur Zahlung einer Genugtuungssumme von Fr. 5'000.-- an A._. C. Auf Berufungen der Staatsanwaltschaft, der Geschädigten und des Beurteilten hin bestätigte das Obergericht des Kantons Aargau das Urteil im Schuldpunkt und setzte die Strafe auf zweieinhalb Jahre Zuchthaus und die Genugtuungssumme auf Fr. 10'000.-- fest. D. X._ erhebt staatsrechtliche Beschwerde und eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde. Mit beiden Rechtsmitteln beantragt er die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und die Rückweisung der Sache an das Obergericht. Für den Fall, dass der Schuldspruch vom Bundesgericht bestätigt werden sollte, beantragt er die Herabsetzung der Genugtuung auf Fr. 5'000.--. Schliesslich sucht er um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren nach. E. Das Obergericht beantragt unter Hinweis auf sein Urteil die Abweisung beider Beschwerden. Mit seiner Vernehmlassung nimmt das Obergericht in der Sache ausdrücklich Stellung zur der mit der Nichtigkeitsbeschwerde aufgeworfenen Frage der Anwendbarkeit von Art. 64 al. 5 StGB. Die Staatsanwaltschaft verzichtet auf Vernehmlassung. Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung beider Beschwerden und stellt ein Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. 