Sachverhalt: A. Am 30. März 2009 verurteilte der Einzelrichter am Bezirksgericht Zürich den Polizeibeamten X._ wegen Amtsgeheimnisverletzung zu einer bedingten Geldstrafe von 90 Tagessätzen zu Fr. 160.--. Der Einzelrichter kam (S. 31/32) zum Schluss, X._ habe sich Zugriff auf verschiedene polizeiliche Dokumente über ein eingestelltes Strafverfahren verschafft und diese einem Journalisten zur Verfügung gestellt. B. Dagegen erhob X._ Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich. Mit Eingabe vom 25. September 2009 stellte er diesem unter anderem den Antrag, der Journalist, der bisher das Zeugnis gestützt auf Art. 28a StGB (Quellenschutz) verweigert hatte, sei als Zeuge zu befragen. X._ führte aus, der Journalist sei nunmehr bereit, als Zeuge Aussagen zum eingeklagten Sachverhalt zu machen. Er werde die Aussage von X._ bestätigen, dass er - der Journalist - die fraglichen Dokumente nicht von X._ erhalten habe. Weiter werde der Journalist zu den in der Anklage und den Untersuchungsakten erwähnten Treffen mit X._ Auskunft geben. Hinsichtlich der Herkunft der ihm zugekommenen Dokumente werde sich der Journalist weiterhin auf den Quellenschutz berufen. Mit Beschluss vom 9. Februar 2010 ordnete die I. Strafkammer des Obergerichts die Einvernahme des Journalisten als Zeugen und dessen Vorladung zur Berufungsverhandlung vom 1. März 2010 an. Das Obergericht erwog (S. 3 f.), die Zeugenaussage des Journalisten sei zur Beurteilung des eingeklagten Sachverhalts zweifellos von Bedeutung. Dem entsprechenden Beweisantrag sei daher stattzugeben. Allerdings sei darauf hinzuweisen, dass das vom Journalisten offenbar beabsichtigte Aussageverhalten nicht zulässig sei. Das Zeugnisverweigerungsrecht von Medienschaffenden im Sinne von Art. 28a Abs. 1 StGB beziehe sich auf den ganzen Fragenkomplex der Identität des Autors oder den Inhalt und die Quellen ihrer Informationen. Entsprechend gelte es umfassend, so dass der Betroffene überhaupt keine Fragen zur Herkunft seiner Informationen beantworten müsse, weder direkte Fragen nach dem Informanten noch solche, aus deren Beantwortung allenfalls indirekt Rückschlüsse auf die Herkunft der Informationen gewonnen werden könnten. Umgekehrt gelte aber auch ein allfälliger Verzicht auf ein Zeugnisverweigerungsrecht umfassend und hinsichtlich des ganzen Themenbereichs, welcher Gegenstand des Verweigerungsrechts bilde. Sich grundsätzlich zur Aussage zu entschliessen und dann doch die Beantwortung einzelner Fragen zu verweigern, sei mithin nicht möglich. Entsprechend sei auch ein einmal erklärter Verzicht auf ein Zeugnisverweigerungsrecht verbindlich und könne nicht widerrufen werden. In der Lehre und Rechtsprechung für bestimmte Fälle diskutierte mögliche Ausnahmen beträfen einzig das familiär begründete Zeugnisverweigerungsrecht oder jenes von Jugendlichen. Sollte sich der Journalist zur Aussage entschliessen, würde er also nicht nur die von ihm selektiv ausgewählten Fragen im Zusammenhang mit dem Angeklagten zu beantworten haben, sondern auch alle weiteren namentlich direkten Fragen nach dem Informanten. Eine allfällige ungerechtfertigte Verweigerung von Aussagen würde Folgen gemäss §§ 133 ff. der Strafprozessordnung vom 4. Mai 1919 des Kantons Zürich (StPO/ZH; LS 321) nach sich ziehen (Vorführung, Beugehaft, nach entsprechender Androhung Überweisung an den Strafrichter wegen Ungehorsams gegen eine amtliche Verfügung, Kostentragung). Nur partielle Aussagen wären sodann - mangels Überprüfbarkeit - mit einem Vorbehalt hinsichtlich deren Glaubhaftigkeit zu versehen. Falsche Aussagen würden schliesslich nach Art. 307 StGB geahndet. Diese Ausführungen fügte das Obergericht auch der Vorladung des Journalisten zur Zeugeneinvernahme bei, damit er sich in Kenntnis der Rechtslage zu allfälligen Aussagen entschliessen könne. C. Mit Eingabe vom 23. Februar 2010 an das Obergericht stellte X._ den Antrag, die Mitglieder der I. Strafkammer, die am Beschluss vom 9. Februar 2010 mitgewirkt hätten (Oberrichter A._, Oberrichter B._ und Ersatzoberrichter C._ sowie die juristische Sekretärin D._) seien wegen des Anscheins der Befangenheit in den Ausstand zu versetzen. Mit Verfügung vom 24. Februar 2010 nahm der Vorsitzende der I. Strafkammer den Parteien und dem Journalisten die Vorladung auf den 1. März 2010 ab. Am 15. März 2010 gaben die Abgelehnten im Sinne von § 110 Abs. 1 des Gerichtsverfassungsgesetzes vom 13. Juni 1976 des Kantons Zürich (GVG/ZH; LS 211.1) die gewissenhafte Erklärung ab, sich nicht befangen zu fühlen. Mit Beschluss vom 28. Mai 2010 wies die II. Strafkammer des Obergerichts (in der Besetzung mit Oberrichter E._, F._ und G._ sowie der juristischen Sekretärin H._) das Ablehnungsbegehren ab. D. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, der Beschluss der II. Strafkammer vom 28. Mai 2010 sei aufzuheben und das Ausstandsbegehren gutzuheissen. E. Die beiden Strafkammern haben auf Gegenbemerkungen verzichtet. Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen. X._ hat zur Vernehmlassung der Staatsanwaltschaft Stellung genommen. 