Sachverhalt: A. Am 30. November und 15. Dezember 2004 führte A._ (Beschwerdeführerin) bei der Zürcher Zweigniederlassung der X._ (Beschwerdegegnerin) Vorstellungsgespräche im Hinblick auf eine Anstellung im Riskmanagement. Am 20. Dezember 2004 unterzeichneten die Parteien einen entsprechenden Arbeitsvertrag, in dem als Arbeitsbeginn der 1. Januar 2005 vorgesehen war. Während des Bewerbungsverfahrens vermittelte die Beschwerdeführerin der Beschwerdegegnerin den Eindruck, sie arbeite seit 2004 mit gültiger Arbeits- und Aufenthaltsbewilligung (Daueraufenthaltsbewilligung B zu Erwerbszwecken) in der Schweiz. In Wahrheit war die Aufenthaltsbewilligung zwecks Studiums bereits am 15. Juli 2003 abgelaufen und der Beschwerdeführerin mit Verfügung des Migrationsamts Zürich vom 30. Juli 2004 der weitere Aufenthalt verweigert worden. Die Beschwerdeführerin benötigte im Moment des Vertragsschlusses sowohl eine Bewilligung zwecks Änderung des Aufenthaltszwecks als auch eine Bewilligung zur Aufnahme einer Erwerbstätigkeit. Nachdem eine Mitarbeiterin der Beschwerdegegnerin von dieser Situation erfahren hatte, teilte sie der Beschwerdeführerin am 23. Dezember 2004 mit, es gebe ein "Riesenproblem" bzw. eine "andere Situation", so dass die Arbeitserlaubnis abgewartet werden müsse, bevor die Beschwerdeführerin die Arbeit aufnehmen könne. Am 11. Januar 2005 erhielt die Beschwerdeführerin von der Beschwerdegegnerin schliesslich die Mitteilung, dass der Versuch, von den Behörden eine Bewilligung zu erhalten, gescheitert sei. Die Beschwerdegegnerin würde nun einen anderen Kandidaten einstellen, da sie jemanden benötige, der sofort mit der Arbeit beginnen könne. Tags darauf bestätigte die Beschwerdegegnerin, dass sie die Beschwerdeführerin "nicht weiter berücksichtigen" könne. B. B.a Am 16. Januar 2005 reichte die Beschwerdeführerin beim Arbeitsgericht Zürich eine Einsprache gegen die Kündigung im Sinne von Art. 336b OR sowie eine Klage wegen missbräuchlicher Kündigung ein. Mit Schreiben vom 28. Januar 2005 bestätigte die Beschwerdegegnerin die Kündigung, wogegen die Beschwerdeführerin mit Schreiben vom 1. Februar 2005 erneut Einsprache im Sinne von Art. 336b OR erhob. In ihrer Klage verlangte die Beschwerdeführerin, die Beschwerdegegnerin habe ihr die Monatslöhne von Fr. 6'666.-- der Monate Januar bis und mit April 2005, eine Entschädigung wegen missbräuchlicher Kündigung von weiteren drei Monatslöhnen, Schadenersatz aus positivem Erfüllungsinteresse in der Höhe eines Monatslohnes und eine Genugtuung von Fr. 1'000.-- zu bezahlen. Die Beschwerdegegnerin wendete vor Arbeitsgericht ein, sie habe sich im Moment des Vertragsabschlusses bezüglich des aufenthaltsrechtlichen Status der Beschwerdeführerin in einem Irrtum befunden, weshalb der Arbeitsvertrag für sie nicht verbindlich sei. Das Arbeitsgericht kam zum Schluss, dass die Voraussetzungen eines Grundlagenirrtums vorliegen, und wies die Klage der Beschwerdeführerin mit Urteil vom 11. August 2005 vollumfänglich ab. B.b Dagegen legte die Beschwerdeführerin beim Obergericht des Kantons Zürich Berufung ein, mit der sie u.a. verlangte, es sei die Beschwerdegegnerin "aus Arbeitsverhältnis" zur Zahlung eines Betrages von Fr. 26'664.-- nebst Zins sowie einer Entschädigung aus missbräuchlicher Kündigung von mindestens Fr. 3'333.-- nebst Zins zu verurteilen. Das Obergericht gelangte wie das Arbeitsgericht zum Schluss, dass die Beschwerdegegnerin den Arbeitsvertrag wegen Grundlagenirrtums wirksam angefochten hatte, und wies die Berufung mit Urteil vom 9. Dezember 2008 ab. B.c Die gegen dieses Urteil erhobene Nichtigkeitsbeschwerde wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich mit Zirkulationsbeschluss vom 5. Juli 2010 ab. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, es seien die Urteile des Obergerichts und des Kassationsgerichts des Kantons Zürich aufzuheben und es sei die Beschwerdegegnerin "aus Arbeitsverhältnis" zur Zahlung eines Betrages von Fr. 26'664.-- nebst Zins sowie einer Entschädigung aus missbräuchlicher Kündigung von mindestens Fr. 3'333.-- nebst Zins zu verurteilen. Weiter sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen und der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Auf die Einholung von Vernehmlassungen wurde verzichtet. 