Sachverhalt: A. Die 1957 geborene, zuletzt als Montagemitarbeiterin bei der Firma X._ AG tätig gewesene B._ meldete sich im Juni 2004 unter Hinweis auf gesundheitliche Beschwerden bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Thurgau holte, nebst weiteren Sachverhaltsabklärungen, ein polydisziplinäres MEDAS-Gutachten vom 27. April 2006 ein. Darin wurde aus psychiatrischer Sicht eine Arbeitsunfähigkeit bestätigt. Mit Verfügung vom 26. Februar 2007 verneinte die Verwaltung einen Anspruch auf eine Invalidenrente mangels eines genügenden Invaliditätsgrades. Die AHV/IV-Rekurskommission des Kantons Thurgau (heute: Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau) hob diese Verfügung mit Beschwerdeentscheid vom 16. Mai 2007 auf und stellte fest, ab 1. Mai 2004 bestehe aus psychischen Gründen bei einem Invaliditätsgrad von 53 % Anspruch auf eine halbe Invalidenrente. Am 25. September und 24. Oktober 2007 erliess die IV-Stelle die entsprechenden Rentenverfügungen. Im Oktober 2010 leitete die Verwaltung ein Rentenrevisionsverfahren ein. Die Versicherte machte geltend, an einer gesundheitlichen Verschlechterung im Sinne einer Niereninsuffizienz zu leiden. Die IV-Stelle holte nebst weiteren Arztberichten ein psychiatrisches Gutachten des Dr. med. L._, Facharzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 22. Juni 2011 ein. Mit Verfügung vom 30. September 2011 eröffnete sie der Versicherten, die laufende Rente werde auf das Ende des der Verfügungszustellung folgenden Monats revisionsweise eingestellt. Zur Begründung wurde ausgeführt, die Niereninsuffizienz beeinträchtige die Arbeitsfähigkeit nicht. In psychischer Hinsicht bestehe gemäss dem Gutachten L._ ein uneingeschränktes Leistungsvermögen. Damit sei keine Invalidität mehr gegeben. B. Beschwerdeweise beantragte B._, in Aufhebung der Verfügung vom 30. September 2011 sei festzustellen, dass sie weiterhin Anspruch auf eine halbe Rente habe. In der Folge ersuchte sie überdies um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau holte eine Stellungnahme des Dr. med. L._ vom 1. Februar 2012 ein, zu welcher sich die Parteien äussern konnten. Mit Entscheid vom 18. April 2012 wies das Gericht die Beschwerde und, mangels ausgewiesener Bedürftigkeit, das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab. C. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erheben mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und feststellen, dass sie weiterhin Anspruch auf eine halbe Rente habe; eventuell sei die Sache für weitere Abklärungen an das kantonale Gericht resp. an die Verwaltung zurückzuweisen. Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. 