Sachverhalt: Sachverhalt: A. Die 1951 geborene O._ ist Mitglied der INTRAS Krankenkasse (nachfolgend: INTRAS oder Beschwerdeführerin) und bei dieser obligatorisch für Krankenpflege versichert; überdies hat sie die Krankenzusatzversicherung "UNO+" abgeschlossen. Vom 2. Juni 2001 bis 16. April 2002 sowie vom 16. bis 24. Mai 2002 war sie im Zentrum Y._ zur Rehabilitation hospitalisiert. Nach der seit Eintritt ins Zentrum Y._ mehrfach durch die INTRAS verlängerten Kostengutsprache (zuletzt bis am 28. Februar 2002) ersuchte die behandelnde Ärztin des Zentrums Y._, Dr. med. S._, am 28. Februar 2002 gestützt auf folgende Diagnosen um eine weitere Verlängerung für vier bis sechs Wochen ab 1. März 2002: 1. "Epiduralabszess C5/6 mit konsekutiver beinbetonter Tetraparese bei Spondylodiszitis C5/6 und Status nach operativer Revision am 1. Juni 2001 und Status nach ventraler Spondylodese HWK4-HWK7 am 22. Juni 2001 - konsekutive neurogene Blasen- und Mastdarmlähmung - konsekutive Sensibilitätsstörung unterhalb C4 2. Polytoxikomanie mit Status nach Heroinabhängigkeit, zur Zeit Substitution mit Methadon 3. Status nach rezidivierenden Harnwegsinfekten bei neurogener Blasenlähmung 4. Status nach akuter eitriger Sinusitis rechts 5. Allergie auf Augmentin." Statt dessen teilte die INTRAS dem Zentrum Y._ gemäss Schreiben vom 12. März 2002 mit, vom 1. März bis 30. April 2002 nur noch einen Pflegekostenbeitrag von Fr. 55.- pro Tag zu leisten, da "keine wesentliche medizinische Gründe [...] eine weitere Hospitalisation rechtfertigen" würden. Am 14. Juni 2002 begründete die behandelnde Ärztin des Zentrums Y._ gegenüber der INTRAS, weshalb der stationäre Aufenthalt der Versicherten im Zentrum Y._ zur medizinischen Rehabilitation indiziert gewesen sei. Dieses Schreiben schloss mit den Worten: "Wir hoffen also, dass Sie jetzt dank der ausführlichen Begründung eine Kostengutsprache für die ausstehende Zeit geben und informieren gleichzeitig unseren Rechtsdienst, um gegebenenfalls juristische Schritte einleiten zu können." Am 22. August 2002 erteilte O._ auf einem Formular des Zentrums Y._ zuhanden des Hausadvokaten des Zentrums Y._, X._, eine Rechtsvertretungsvollmacht in Sachen INTRAS Krankenkasse und Leistungen nach KVG. Daraufhin wandte sich dieser mit Schreiben vom 10. September 2002 - auf Briefpapier mit Briefkopf und Absenderadresse des Zentrums Y._ und ohne jeden ausdrücklichen Hinweis auf einen entsprechenden Auftrag der Versicherten - an die INTRAS und forderte diese "ein letztes Mal" auf, "die ausstehende Kostengutsprache zu erteilen und den Restbetrag unverzüglich zu begleichen" oder eine beschwerdefähige Verfügung zu erlassen (Unterzeichner: "X._, Advokat, Rechtsdienst Zentrum Y._"). Die INTRAS lehnte mit Verfügung vom 10. Oktober 2002 die Spitalbedürftigkeit vom 1. März bis 16. April 2002 ab und übernahm für diese Dauer nur noch eine Pflegetaxe von Fr. 55.- pro Tag. Auf Einsprache der Versicherten hin hielt die INTRAS an ihrer Verfügung fest (Einspracheentscheid vom 28. Februar 2003). Am 22. August 2002 erteilte O._ auf einem Formular des Zentrums Y._ zuhanden des Hausadvokaten des Zentrums Y._, X._, eine Rechtsvertretungsvollmacht in Sachen INTRAS Krankenkasse und Leistungen nach KVG. Daraufhin wandte sich dieser mit Schreiben vom 10. September 2002 - auf Briefpapier mit Briefkopf und Absenderadresse des Zentrums Y._ und ohne jeden ausdrücklichen Hinweis auf einen entsprechenden Auftrag der Versicherten - an die INTRAS und forderte diese "ein letztes Mal" auf, "die ausstehende Kostengutsprache zu erteilen und den Restbetrag unverzüglich zu begleichen" oder eine beschwerdefähige Verfügung zu erlassen (Unterzeichner: "X._, Advokat, Rechtsdienst Zentrum Y._"). Die INTRAS lehnte mit Verfügung vom 10. Oktober 2002 die Spitalbedürftigkeit vom 1. März bis 16. April 2002 ab und übernahm für diese Dauer nur noch eine Pflegetaxe von Fr. 55.- pro Tag. Auf Einsprache der Versicherten hin hielt die INTRAS an ihrer Verfügung fest (Einspracheentscheid vom 28. Februar 2003). B. Die dagegen erhobene Beschwerde der O._ hiess das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 27. August 2003 gut. Es verpflichtete die INTRAS, die "vollen Kosten des Aufenthalts [...] vom 1. März bis 16. April 2002 im Zentrum Y._ zu übernehmen". B. Die dagegen erhobene Beschwerde der O._ hiess das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 27. August 2003 gut. Es verpflichtete die INTRAS, die "vollen Kosten des Aufenthalts [...] vom 1. März bis 16. April 2002 im Zentrum Y._ zu übernehmen". C. Die INTRAS führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit den Anträgen, der kantonale Entscheid sei aufzuheben, eventuell sei die Sache unter Aufhebung des angefochtenen Entscheides an das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt zurück zu weisen zur ergänzenden Abklärung der Zweckmässigkeit und Wirtschaftlichkeit der medizinischen Rehabilitation der Versicherten im Zentrum Y._ vom 1. März bis 16. April 2002. Während O._ auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherung, Abteilung Kranken- und Unfallversicherung (seit 1. Januar 2004 im Bundesamt für Gesundheit), auf eine Vernehmlassung. 