Faits: A. A._ est employée auprès de X._ en qualité d'enseignante avec un taux d'occupation supérieur à 96 %. A titre accessoire, elle travaille dans le commerce exploité par son partenaire, qui est le père de l'enfant auquel elle a donné naissance en septembre 2009. Le 4 février 2010, A._ a présenté une demande d'allocation de maternité. Sous la rubrique relative à l'employeur, le Service du personnel et d'organisation de X._ a indiqué que le dernier salaire brut était de 6'839 fr. 90 par mois (y compris le 13 ème salaire) et que le 100 % du salaire avait été versé pendant le congé-maternité du 27 septembre 2009 au 2 janvier 2010. Le commerce a produit les décomptes de salaire, dont il résultait que pendant les huit derniers mois avant l'accouchement le temps d'occupation consacré à l'activité accessoire s'était élevé en moyenne à 6 heures et 36 minutes par mois et que le dernier salaire horaire était de 26 fr. de l'heure. Dans une feuille complémentaire, il indiquait que A._ avait continué à faire quelques heures de travail pendant le congé-maternité, étant donné qu'il était impossible de la remplacer. Sur requête de la Caisse de compensation du canton de Fribourg (ci-après: la caisse), le commerce a fourni le détail des heures effectuées durant le congé-maternité, en indiquant que A._ avait travaillé dès le 30 octobre 2009, soit cinq heures en octobre 2009 et douze heures en décembre 2009. La caisse a versé des allocations de maternité pour la période du 27 septembre au 29 octobre 2009, en fixant le montant de l'allocation à 183 fr. 20 (taux journalier) pour un revenu journalier de 228 fr. 80 en ce qui concerne l'activité d'enseignante (avis de calcul du 9 juillet 2010 adressé auprès de X._) et à 5 fr. 60 (taux journalier) pour un revenu journalier de 6. fr. 20 en ce qui concerne l'activité exercée dans le commerce (avis de calcul du 9 juillet 2010 adressé à A._). Par décision du 28 juin 2010, confirmée sur opposition le 28 septembre 2010, elle a nié tout droit de A._ à l'allocation de maternité depuis le 30 octobre 2009, au motif que le droit à la prestation avait pris fin vu que l'assurée avait repris à partir de cette date-ci son activité lucrative dans le commerce. B. Le 20 octobre 2010, A._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, en concluant à son annulation et à l'octroi d'allocations de maternité du 27 septembre 2009 au 2 janvier 2010. Elle proposait que soit requis un préavis de l'OFAS. Dans sa réponse du 23 novembre 2010, la Caisse de compensation du canton de Fribourg, tout en soutenant la proposition faite par A._ de demander le préavis de l'OFAS, a conclu au rejet du recours. Par arrêt du 20 septembre 2012, la juridiction cantonale, admettant partiellement le recours, a constaté que pour son activité principale d'enseignante A._ avait droit aux allocations de maternité jusqu'au 2 janvier 2010 y compris et annulé la décision sur opposition du 28 septembre 2010 dans la mesure où lui était refusé l'octroi des allocations de maternité en rapport avec le travail d'enseignante dès le 30 octobre 2009. Pour le surplus, la décision sur opposition était confirmée. C. L'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il conclut à l'annulation, la décision sur opposition du 28 septembre 2010 étant confirmée dans son intégralité. A._ n'a pas répondu au recours. Le 9 janvier 2013, la juridiction cantonale a déposé ses observations. Par lettre du 11 janvier 2013, la Caisse de compensation du canton de Fribourg a proposé que le recours soit admis. 