Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 28. September 2009, bestätigt mit in Rechtskraft erwachsenem Einspracheentscheid vom 26. April 2010, stellte die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) die F._ wegen einer beim Sturz auf einer Metalltreppe am 20. Oktober 2008 zugezogenen Knieverletzung gewährten Leistungen auf den 31. Oktober 2009 hin mit der Begründung ein, die noch vorhandenen Beschwerden seien nicht mehr unfallbedingt, sondern ausschliesslich krankhafter Natur oder - laut Einspracheentscheid - spätestens per 31. Oktober 2009 spiele das Ereignis vom 20. Oktober 2008 für die noch beklagten Beschwerden mit überwiegender Wahrscheinlichkeit keine ursächliche Rolle mehr. Auf einen am 27. Mai 2010 sinngemäss gestellten und am 16. November 2010 erneuerten Antrag um Gewährung einer Integritätsentschädigung trat die SUVA mit Verfügung vom 17. Januar 2011 nicht ein. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 19. Mai 2011 fest, da es sich "bei den nunmehr angemeldeten und in den neuen aktenkundigen Unterlagen festgehaltenen Beschwerden um das gleiche Beschwerdebild, wie seinerzeit bereits mit in Rechtskraft erwachsenem Einspracheentscheid vom 26. April 2010 beurteilt, handelt", mithin eine 'abgeurteilte Sache' (res iudicata) vorliege. B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies die dagegen erhobene Beschwerde - unter Verweigerung der beantragten unentgeltlichen Verbeiständung zufolge Aussichtslosigkeit des ergriffenen Rechtsmittels - mit Einzelrichterentscheid vom 26. September 2011 ab. C. F._ lässt am 31. Oktober 2011 Beschwerde ans Bundesgericht erheben mit den Begehren, unter Aufhebung des kantonalen Entscheids sei auf seinen Antrag um Ausrichtung einer Integritätsentschädigung einzutreten und ihm für das vorinstanzliche Verwaltungsgerichtsverfahren die unentgeltliche Verbeiständung zu gewähren. Gleichentags reicht er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege auch im bundesgerichtlichen Verfahren ein. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. 