Sachverhalt: A. Der 1960 geborene A._ war ab 1991 als Reinigungsmitarbeiter tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Nach zwei Unfällen von 1994 und 1998 gewährte die SUVA Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Im März 2004 einigte sie sich mit A._ vergleichsweise darauf, dass für die verbleibenden Unfallfolgen eine Invalidenrente auf der Basis einer Erwerbsunfähigkeit von 63 %, laufend ab 1. April 2004, und eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage einer Integritätsentschädigung von 40 % ausgerichtet werde. Mit Verfügung vom 15. April 2004 bestätigte die SUVA den Vergleich, wobei sie sich eine künftige revisionsweise Anpassung der Rente aufgrund geänderter gesundheitlicher oder erwerblicher Verhältnisse vorbehielt. Im Mai 2008 erhielt die SUVA von dritter Seite erste Informationen, wonach der Versicherte nicht im angenommenen Masse erwerbsunfähig sei. Im Juni 2008 gingen dem Versicherer Berichte und mehrere DVD's mit Bildmaterial über eine Observation des Versicherten zu. Diese war auf Veranlassung eines mit dem Unfall von 1998 befassten Haftpflichtversicherers im Zeitraum Februar bis November 2007 durchgeführt worden. Zudem erhielt die SUVA Kenntnis von einem polizeilichen Rapport über eine am 30. November 2007 durchgeführte Baustellenkontrolle, bei welcher A._ angetroffen worden war. Die SUVA traf ergänzende medizinische und erwerbliche Abklärungen. Sie zog zudem die Akten der Invalidenversicherung (IV), bei welcher sich A._ ebenfalls für eine Invalidenrente angemeldet hatte, bei (u.a. polydisziplinäres medizinisches Gutachten des medizinischen Instituts X._ vom 14. August 2008 mit ergänzender Stellungnahme vom 6. April 2009). Mit Verfügung vom 4. August 2009 hob der Unfallversicherer die Invalidenrente revisionsweise rückwirkend auf den 1. Februar 2007 auf und verpflichtete A._, in der Zeit vom 1. Februar 2007 bis 31. August 2009 erbrachte Rentenleistungen zurückzuerstatten. Daran hielt die SUVA mit Einspracheentscheid vom 29. September 2009 fest, wobei sie überdies einen Anspruch des Versicherten auf unentgeltliche Verbeiständung für das Einspracheverfahren verneinte. Die IV-Stelle des Kantons Zürich verneinte mit Verfügung vom 25. Juni 2009 einen Anspruch auf eine Invalidenrente der IV und forderte mit Verfügung vom folgenden Tag von A._ die Rückerstattung bereits erbrachter IV-Rentenleistungen. B. Die von A._ gegen den Einspracheentscheid der SUVA erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ab. Zugleich verneinte es einen Anspruch des Versicherten auf unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Verfahren (Entscheid vom 9. März 2011). In einem weiteren, gleichentags ergangenen Entscheid wies das Sozialversicherungsgericht auch die von A._ gegen die Verfügungen der IV-Stelle vom 25. und 26. Juni 2009 eingereichten Beschwerden ab. C. A._ lässt gegen den vorinstanzlichen Entscheid betreffend Leistungen der Unfallversicherung (UV) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren: "1. In Aufhebung des angefochtenen Urteils sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, dem Beschwerdeführer weiterhin eine Invalidenrente auf der Basis eines Invaliditätsgrades von 63 % zuzusprechen und auszurichten. 2. Es sei festzustellen, dass der Beschwerdegegnerin kein Rückforderungsanspruch zusteht. 3. Es sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, dem Beschwerdeführer für das Einspracheverfahren die unentgeltliche Rechtsvertretung zu gewähren. 4. Es sei dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Verbeiständung für das Beschwerdeverfahren zu bewilligen und Rechtsanwalt Dr. André Largier als unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen (auch für das vorinstanzliche Verfahren, zzgl. MWSt) zu Lasten der Beschwerdegegnerin. 5. Eventualiter sei das im vorinstanzlichen Verfahren gestellte Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung gutzuheissen und die Vorinstanz zu verpflichten, dem Beschwerdeführer eine angemessene Entschädigung zuzusprechen." Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. A._ hat auch gegen den vorinstanzlichen Entscheid vom 9. März 2011 betreffend IV-Leistungen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Darüber entscheidet das Bundesgericht mit heutigem Urteil im Verfahren 8C_300/2011. 