Sachverhalt: Sachverhalt: A. Mit Anklage vom 26. März 2004 warf die damalige Bezirksanwalt-schaft III für den Kanton Zürich X._ vor, sich der mehrfachen qualifizierten Veruntreuung und der mehrfachen Geldwäscherei schuldig gemacht zu haben; dies im Rahmen seiner Anstellung als "Chef Finanz- und Rechnungswesen" bei der zur Z._ Gruppe gehörenden Y._ AG und in Ausübung der ihm auftrags verschiedener Gesellschaften bzw. Personalvorsorgeeinrichtungen der Z._ Gruppe übertragenen Vermögensbewirtschaftungstätigkeit. Im Einzelnen legte die Bezirksanwaltschaft X._ Folgendes zur Last: - Am 21. Oktober 1998 habe er die Übertragung von 503'380 Bonds "M._" von der Y._ AG an die W._ Ltd. veranlasst, deren Direktor er gewesen sei. Damit sei er namens der W._ Ltd. die Verpflichtung eingegangen, die Bonds im Interesse der Y._ AG zu verwahren bzw. zu verwalten. Daran habe er sich nicht gehalten. Mit Schreiben vom 30. September 1999 habe er, ohne dass eine entsprechende Ermächtigung der Y._ AG vorgelegen wäre, namens der W._ Ltd. die "Firma M._" beauftragt, "das gesamte Investment in den Fonds M._ (...) auf den nächst möglichen Termin" zurückzunehmen und das Geld in USD auf das W._-Konto Nr. 1 bei der Bank A._in Zürich zu überweisen. Die Bonds seien in der Folge verkauft und der Erlös von USD 553'843.06 auf das genannte USD-Konto der W._ Ltd. überwiesen worden. Diesen Betrag habe X._ für einige Tage in Festgeld angelegt. Via Devisenterminkontrakt sei dann ein Transfer auf das CHF-Konto Nr. 2 der W._ Ltd. bei der Bank A._erfolgt (Gutschrift vom 30. November 1999 im Betrag von CHF 887'220.--). Zu einem späteren, nicht bekannten Zeitpunkt - nach Angaben von X._ mittels Barbezügen, vorübergehendem Aufbewahren zu Hause im Tresor und anschliessender Bareinzahlung - habe er den Weitertransfer des Geldes in eine von ihm gebildete "Offshore-Struktur" veranlasst. Diese habe bestanden aus den Gesellschaften "I._ Foundation" (Vaduz/Liechtenstein), "N._ Ltd." (British Virgin Island) und "V._ Ltd." (British Virgin Island) und sei verwaltet worden von der "G._ AG" (Anklageziffer 1). - Mit Zahlungsauftrag vom 27. November 1998 habe X._ ab einem Konto bei der "E._ Inc." (New York), auf dem Gelder der Y._ AG bzw. der Z._ Gruppe gelegen hätten, USD 306'000.-- an die "D._ (Bahamas) Ltd." überwiesen, ohne dass der Vorfall bei der Y._ AG buchhalterisch erfasst worden wäre. Zu einem nicht bekannten späteren Zeitpunkt habe er die USD 306'000.-- unzulässigerweise an die W._ Ltd. und damit in seinen eigenen Zugriffsbereich transferieren lassen. Der Betrag habe dann im Rahmen einer ordnungsgemässen Vermögensverwaltung für die Z._ Gruppe keine Verwendung gefunden. Damit habe er zum finanziellen Nachteil der Y._ AG und zu seinem eigenen Nutzen pflichtwidrig über ein ihm anvertrautes Guthaben der Y._ AG verfügt (Anklageziffer 2). - Mit Zahlungsauftrag vom 29. März 1999 habe X._ ab einem bei der "L._ Limited" (London) geführten Konto, auf dem Gelder der Y._ AG bzw. der Z._ Gruppe gelegen hätten, USD 350'000.-- an die "D._ (Bahamas) Ltd." überweisen lassen, ohne dass der Geschäftsvorfall bei der Y._ AG buchhalterisch erfasst worden wäre. Zu einem nicht bekannten späteren Zeitpunkt habe er die USD 350'000.-- unzulässigerweise an die W._ Ltd. und damit in seinen eigenen Zugriffsbereich transferieren lassen. Der Betrag habe in der Folge im Rahmen einer ordnungsgemässen Vermögensverwaltung für die Z._ Gruppe keine Verwendung gefunden. Damit habe X._ zum finanziellen Nachteil der Y._ AG und zu seinem eigenen Nutzen pflichtwidrig über ein ihm anvertrautes Guthaben der Y._ AG verfügt (Anklageziffer 3). - Am 16. März 1999 habe X._ ab einem bei der "S._ Company" (Chicago) geführten Konto, auf dem sich Gelder der Y._ AG bzw. der Z._ Gruppe befunden hätten, unzulässigerweise USD 331'500.-- auf ein Konto der W._ Ltd. bei der Bank A._ und damit in seinen eigenen Zugriffsbereich überweisen lassen, ohne dass der Geschäftsvorfall bei der Y._ AG buchhalterisch erfasst worden wäre. Der Betrag habe in der Folge im Rahmen einer ordnungsgemässen Vermögensverwaltung für die Z._ Gruppe keine Verwendung gefunden. Statt dessen habe X._ am 19. März 1999 den Kauf von "M._"-Fondsanteilen für USD 50'009.03 und USD 300'009.03 veranlasst, und zwar gemäss eigenen Aussagen für sich selber. Schliesslich habe er namens der W._ Ltd. die "Firma M._" mit Schreiben vom 30. September 1999 beauftragt, "das gesamte Investment in den Fonds (...) M._ auf den nächst möglichen Termin" zurückzunehmen und das Geld in USD auf das genannte Konto der W._ Ltd. bei der Bank A._ und damit in seinen Zugriffsbereich zu überweisen. Am 23. November 1999 sei auf diesem Konto die entsprechende Gutschrift von USD 266'344.05 eingegangen. Damit habe X._ zum finanziellen Nachteil der Y._ AG und zu seinem eigenen Nutzen pflichtwidrig über ihm anvertrautes Vermögen der Y._ AG verfügt (Anklageziffer 4). - Mit Zahlungsauftrag vom 28. Juni 1999 habe X._ ab dem bei der Bank A._ geführten Konto Nr. 3, auf welchem sich zumindest im Umfang von CHF 2'780'215.-- auch Gelder der Y._ AG befunden hätten, unter anderem diesen Betrag auf das Konto Nr. 4 bei der Bank B._, lautend auf die ihm gehörende "O._ Ltd.", überweisen lassen. Dieser Geschäftsvorfall sei bei der Y._ AG buchhalterisch nicht erfasst worden. Mit den CHF 2'780'215.-- seien auf Anweisung von X._ hin am 2. Juli 1999 insgesamt USD 1'765'976.37 gekauft und dem O._-Konto Nr. 5 bei der Bank B._ gutgeschrieben worden. Gleichentags seien ab diesem USD-Konto, wiederum auf Anweisung von X._ hin, verschiedene Abbuchungen erfolgt. Diese hätten mit einer ordnungsgemässen Vermögensverwaltung für die Z._ Gruppe allesamt nichts zu tun gehabt. Statt dessen hätten sie Angelegenheiten von X._ oder Dritter betroffen. Auch später seien mit den CHF 2'780'215.-- keine Transaktionen getätigt worden, die eine ordnungsgemässe Vermögensverwaltung für die Z._ Gruppe dargestellt hätten. Damit habe X._ zum finanziellen Nachteil der Y._ AG und zu seinem eigenen Nutzen pflichtwidrig über ihm anvertrautes Vermögen verfügt (Anklageziffer 5). - Mit Zahlungsauftrag vom 3. Mai 1999 habe X._ ab einem bei der "L._ Limited" (London) geführten Konto, auf welchem sich Gelder der Y._ AG bzw. der Z._ Gruppe befunden hätten, USD 200'000.-- auf ein Konto der "Bank C._" bei der "Bank D._" (New York) überweisen lassen, ohne dass der Geschäftsvorfall bei der Y._ AG buchhalterisch erfasst worden wäre. Diesen Betrag habe X._ in der Folge, ca. am 6. Mai 1999, an die "F._ Ltd." transferieren und zugunsten der W._ Ltd. anlegen lassen. Der Betrag habe dann im Rahmen einer ordnungsgemässen Vermögensverwaltung für die Z._ Gruppe keine Verwendung gefunden. Damit habe X._ zum finanziellen Nachteil der Y._ AG und zu seinem eigenen Nutzen pflichtwidrig über ihm anvertrautes Guthaben der Y._ AG verfügt (Anklageziffer 6). - Mit Zahlungsauftrag vom 3. Mai 1999 habe X._ ab einem bei der "L._ Limited" (London) geführten Konto, auf welchem sich Gelder der Y._ AG bzw. der Z._ Gruppe befunden hätten, USD 200'000.-- auf ein Konto der "Bank C._" bei der "Bank D._" (New York) überweisen lassen, ohne dass der Geschäftsvorfall bei der Y._ AG buchhalterisch erfasst worden wäre. Diesen Betrag habe X._ in der Folge, ca. am 6. Mai 1999, an die "F._ Ltd." transferieren und zugunsten der W._ Ltd. anlegen lassen. Der Betrag habe dann im Rahmen einer ordnungsgemässen Vermögensverwaltung für die Z._ Gruppe keine Verwendung gefunden. Damit habe X._ zum finanziellen Nachteil der Y._ AG und zu seinem eigenen Nutzen pflichtwidrig über ihm anvertrautes Guthaben der Y._ AG verfügt (Anklageziffer 6). B. Am 6. April 2005 erkannte das Bezirksgericht Zürich X._ der mehrfachen qualifizierten Veruntreuung sowie der Geldwäscherei schuldig und bestrafte ihn mit 4 Jahren Zuchthaus, unter Anrechnung der Auslieferungs- und Untersuchungshaft von 41 Tagen. Ausserdem verpflichtete es ihn zur Zahlung von Schadenersatz an die Y._ AG. Auf Berufung von X._ hin bestätigte das Obergericht des Kantons Zürich am 3. Mai 2006 das bezirksgerichtliche Urteil. Auf Berufung von X._ hin bestätigte das Obergericht des Kantons Zürich am 3. Mai 2006 das bezirksgerichtliche Urteil. C. X._ führt staatsrechtliche Beschwerde mit dem Antrag, das Urteil des Obergerichtes sei aufzuheben und die Sache an dieses zur neuen Entscheidung zurückzuweisen. Der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu erteilen. Falls in einer allfälligen Vernehmlassung des Obergerichtes zusätzliche Entscheidgründe enthalten seien, sei ihm Frist zur Ergänzung der Beschwerde anzusetzen. C. X._ führt staatsrechtliche Beschwerde mit dem Antrag, das Urteil des Obergerichtes sei aufzuheben und die Sache an dieses zur neuen Entscheidung zurückzuweisen. Der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu erteilen. Falls in einer allfälligen Vernehmlassung des Obergerichtes zusätzliche Entscheidgründe enthalten seien, sei ihm Frist zur Ergänzung der Beschwerde anzusetzen. D. Das Obergericht und die Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich (vormals Bezirksanwaltschaft III) haben auf Gegenbemerkungen verzichtet. Die Y._ AG hat eine Vernehmlassung eingereicht. Sie beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Y._ AG hat eine Vernehmlassung eingereicht. Sie beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. E. Mit Verfügung vom 6. September 2006 hat der Präsident der I. öffentlichrechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt. 