Faits: A. En 1999, Y._, née le 30 juin 1944 et domiciliée à Genève, a été engagée en qualité d'assistante de gestion par T._ SA. Dès le 1er juin 2000, son contrat de travail a été transféré à A.T._ SA. A ce titre, elle était au bénéfice d'une assurance collective conclue avec X._ SA, qui lui assurait, sous la forme d'une assurance contre les dommages, une indemnité journalière en cas d'incapacité de travail due à la maladie correspondant à 90% du gain assuré versée du 91ème jour au 730ème jour après l'apparition de la maladie. Durant le délai d'attente de 90 jours, il était convenu que le salaire serait payé à 100% par l'employeur. Lors d'un entretien du 8 mars 2006, l'employeur a informé l'assurée que l'âge réglementaire de la retraite au sein du groupe en Suisse avait été abaissé de 63 ans à 62 ans, âge qu'elle atteindrait le 30 juin 2006. Y._ a refusé cette mise à la retraite. L'employeur a accepté, à bien plaire, de repousser la fin des relations contractuelles au 31 août 2006, au lieu du 30 juin 2006. Du 26 avril au 5 juin 2006, l'assurée a été incapable de travailler à 100% pour cause de maladie, puis à 50% du 6 juin jusqu'au 25 juin ou 5 juillet 2006; elle a repris le travail à plein temps du 7 juillet au 30 août 2006, avant de retomber malade à 100% dès le 31 août suivant. Le 2 octobre 2006, B._ SA a absorbé par fusion A.T._ SA. Prolongé pour cause de maladie, le contrat de travail conclu avec Y._ a pris fin le 28 février 2007. Le 4 juin 2007, X._ SA a chargé le Dr A._, psychiatre, de procéder à une expertise de l'assurée. Dans son rapport d'expertise du 15 août 2007, ce spécialiste a diagnostiqué "un état dépressif de gravité moyenne à sévère, 1er épisode". Il a considéré que l'état de l'expertisée justifiait pleinement une incapacité de travail complète dès le 31 août 2006. Dans un avis du 18 octobre 2007, le Dr B._, psychiatre-conseil de l'assurance-chômage, a estimé que l'assurée était dans l'incapacité complète de travailler depuis le 31 juillet 2006 et qu'elle n'était pas encore assez bien pour travailler. Dans un rapport du 27 octobre 2008 adressé à l'assurance-invalidité, le médecin traitant de l'assurée, le psychiatre C._, a attesté que les symptômes dépressifs persistaient malgré le traitement. Dans un avis du 5 décembre 2008, le Dr D._, médecin du service médical régional de l'assurance-invalidité, a estimé qu'une interruption de travail de plus d'une année n'était pas justifiable. Sur cette base, l'assurance-invalidité, par décision du 18 février 2009, a refusé de fournir des prestations à Y._. Par décision du 18 juillet 2008, la Caisse de compensation des banques suisses a octroyé à Y._ une rente complète de l'AVS dès le 1er juillet 2008. B. Par acte déposé le 28 octobre 2009 devant le Tribunal cantonal des assurances sociales (devenu par la suite la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice), Y._ a formé une demande en paiement contre X._ SA, réclamant à cette dernière 78'627 fr.84 avec intérêts moratoires à 5% l'an dès le 1er novembre 2009, sous suite de dépens. La défenderesse a conclu au déboutement de sa partie adverse sous suite de dépens et elle a réclamé reconventionnellement la restitution de 73'555 fr.45 avec intérêts moratoires à 5% l'an dès le 23 juillet 2009. Par arrêt du 11 août 2011, la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice, statuant en instance cantonale unique, a condamné l'assureur à verser à Y._ la somme de 77'408 fr.50 avec intérêts moratoires à 5% l'an dès le 11 septembre 2009; elle a rejeté la demande reconventionnelle et statué sur les dépens. En substance, la cour cantonale a considéré que le délai d'attente de 90 jours avait débuté le 26 avril 2006 et, compte tenu de la période de reprise du travail, était arrivé à échéance le 28 septembre 2006. Le délai de couverture maximum de 640 jours (730 - 90) courrait ainsi du 29 septembre 2006 au 29 juin 2008. Retenant que l'incapacité de travail de l'assurée était encore complète le 29 juin 2008, la cour cantonale a conclu qu'elle avait droit aux indemnités journalières jusqu'à cette date. Compte tenu des sommes déjà versées, la cour cantonale a retenu que l'indemnisation ne restait litigieuse que pour la période du 1er mai 2007 au 29 juin 2008. Elle a ainsi déterminé à 104'250 fr.70 le total de l'indemnité encore due, sur lequel elle a imputé une somme de 26'842 fr. 20 reçue au titre des prestations cantonales en cas de maladie, parvenant ainsi à un total dû de 77'408 fr.50. 