Faits: Faits: A. C._, née en 1945, a une formation de sténo-dactylo. Mariée, sans enfant, elle n'a plus exercé d'activité lucrative depuis 1980 et est ménagère à plein temps. Son époux est retraité. Souffrant d'affections rhumatismales et psychiatriques, elle a demandé le versement d'une rente d'invalidité le 30 janvier 2001. Au nombre des affections ayant des répercussions sur la capacité de travail, le docteur A._, spécialiste en médecine interne et médecin traitant, a fait état d'un syndrome lombo-vertébral sur hernie discale médiane L5-S1 opérée, de sclérose osseuse III du cotyle fémoral gauche, d'état anxio-dépressif et de fibromyalgie (rapport du 19 mars 2001). L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) a diligenté une enquête économique sur le ménage, dont il est ressorti que l'assurée présentait une invalidité de 51 % (rapport de l'enquêtrice du 5 mars 2002). Mandatée par l'office AI, la doctoresse G._, spécialiste en médecine interne et rhumatologie, a fait état d'un trouble douloureux chronifié, d'une spondylodiscarthrose L5-S1 stable radiologiquement, d'une sclérose du toit du cotyle gauche d'origine indéterminée, d'ostéopénie, d'une discrète cervicarthrose, ainsi que d'un status après fracture de la cheville gauche en février 2002 (rapport du 14 octobre 2002). A son avis, ces affections entraînent une limitation globale de 10 à 20 % dans l'accomplissement des tâches ménagères; un taux supérieur serait à mettre en relation avec des affections d'ordre psychique. L'office AI a dès lors requis un examen psychiatrique de l'assurée qui a été conduit par le Service médical régional AI (SMR). Dans leur rapport du 5 décembre 2002, les doctoresses V._, médecin-cheffe et L._, psychiatre, ont diagnostiqué des troubles dépressifs récurrents, épisode actuel léger avec syndrome somatique, un syndrome douloureux somatoforme persistant, une personnalité dépendante, avec des traits narcissiques, ainsi qu'un syndrome de dépendance à l'alcool actuellement abstinente. A leur avis, d'un point de vue psychiatrique, l'assurée n'a plus de capacité de travail dans une activité professionnelle; en revanche, elle conserve une capacité de 90 % dans ses tâches ménagères. Le 11 décembre 2002, la doctoresse V._ a précisé que le trouble dépressif engendre une fatigue et une anxiété lorsqu'il s'agit de sortir de la routine casanière, ce qui empêche l'assurée d'exercer toute activité professionnelle depuis de nombreuses années. En revanche, cette pathologie psychiatrique n'entraîne pas de perturbation dans l'accomplissement des tâches ménagères au-delà de 10 %. Par décision du 28 février 2003, confirmée sur opposition le 4 juillet 2003, l'office AI a rejeté la demande de prestations. Par décision du 28 février 2003, confirmée sur opposition le 4 juillet 2003, l'office AI a rejeté la demande de prestations. B. C._ a déféré cette décision au Tribunal des assurances du canton de Vaud en concluant à l'octroi d'une rente, au moins partielle. Par jugement du 10 mars 2004, la juridiction cantonale a admis le recours, en ce sens qu'elle a renvoyé la cause à l'office AI afin qu'il fasse procéder une expertise psychiatrique de l'assurée et rende une nouvelle décision. Par jugement du 10 mars 2004, la juridiction cantonale a admis le recours, en ce sens qu'elle a renvoyé la cause à l'office AI afin qu'il fasse procéder une expertise psychiatrique de l'assurée et rende une nouvelle décision. C. L'office AI interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont il demande l'annulation. En bref, il estime que le rapport d'expertise psychiatrique du SMR est probant et que le complément d'instruction ordonné est superflu. L'intimée conclut au versement d'une rente, au moins partielle. Quant à l'Office fédéral des assurances sociales, il se rallie aux conclusions de l'administration. 