Sachverhalt: A. A.a Die 1957 geborene, als Sonderpädagogin tätige B._ zog sich am 20. August 1998 bei einem Unfall eine Commotio cerebri zu; bei dieser Gelegenheit wurde ein Status nach älterer ischämischer Hirnstammläsion festgestellt. Am 5. Oktober 1998 nahm sie die bisherige Arbeit wieder vollumfänglich auf, reduzierte das Pensum wegen "vermehrter Müdigkeit und Stresssituationen" ab dem 23. November 1998 jedoch auf 75 Prozent. Im weiteren Verlauf klagte sie über Kopf-, Nacken- und Schulterbeschwerden, Konzentrationsstörungen, Schwindel, Übelkeit, vermehrte Müdigkeit und Stressanfälligkeit. Gestützt auf eine vertrauensärztliche Untersuchung vom 14. Januar 2000 wurde sie mit Beschluss des Bildungsrates des Kantons Zürich vom 7. März 2000 auf den 29. Februar 2000 aus gesundheitlichen Gründen pensioniert. A.b Die IV-Stelle des Kantons Zürich sprach B._ am 5. Dezember 2001 mit Wirkung ab Oktober 2000 eine halbe Invalidenrente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 50 Prozent zu. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich in dem Sinne gut, dass es die Sache zur Einholung eines polydisziplinären Gutachtens und neuen Verfügung an die Verwaltung zurückwies (Entscheid vom 29. August 2002). Nach Erhalt der Expertise des Zentrums X._, vom 3. März 2004 hielt die Verwaltung mit durch Einspracheentscheid vom 17. Dezember 2004 bestätigter Verfügung vom 27. April 2004 an der Zusprechung einer halben Invalidenrente ab Oktober 2000 fest. Gestützt auf Privatgutachten reichte B._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Beschwerde ein mit den Anträgen, es sei ihr eine ganze Invalidenrente zuzusprechen; eventuell seien hinsichtlich der erwerblichen Möglichkeiten auf dem allgemeinen Arbeitsmarkt nähere Abklärungen zu treffen und es sei gestützt darauf der Invaliditätsgrad neu festzusetzen. Ferner sei ihr eine angemessene Kapitalleistung zuzusprechen. Mit Entscheid vom 22. März 2006 gelangte das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zum Schluss, es seien keine Gründe ersichtlich, um von der Beurteilung im Gutachten des Zentrums X._ vom 3. März 2004 abzugehen, wonach die Versicherte in ihrer angestammten Tätigkeit zu 50 Prozent arbeitsunfähig sei. Unter Bezugnahme auf den allgemeinen Arbeitsmarkt sei jedoch konkret zu ermitteln, welches Einkommen die Beschwerdeführerin bei einem Pensum von 50 Prozent erzielen könnte. Dementsprechend wies das kantonale Gericht die Sache an die Verwaltung zurück, damit sie nach Durchführung eines Einkommensvergleichs über den Rentenanspruch und den Anspruch auf Kapitalleistung neu verfüge. Das Bundesgericht wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Urteil I 470/06 vom 8. Mai 2007). A.c Die IV-Stelle nahm daraufhin einen Einkommensvergleich vor, in dessen Rahmen das Invalideneinkommen auf der Grundlage der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung 2004 des Bundesamtes für Statistik bemessen wurde, und ermittelte einen Invaliditätsgrad von 60 Prozent. Demgemäss wurde B._ mit Wirkung ab Oktober 2000 eine halbe Invalidenrente und mit Wirkung ab Januar 2004 (Inkrafttreten der 4. Revision des IVG) eine Dreiviertelsrente zugesprochen (Verfügungen vom 6. und 22. Mai 2008). B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen eingereichte Beschwerde ab (Entscheid vom 19. Oktober 2009). C. B._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, es sei ihr, unter Aufhebung der strittigen Verfügungen und des angefochtenen Entscheids, eine ganze Invalidenrente auszurichten. Zudem sei ihr eine Kapitalhilfe in der Höhe von Fr. 57'000.- zuzusprechen. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zur weiteren Abklärung zurückzuweisen. 