Faits: A. X._ est entré au service de la banque Z._ SA, succursale de Genève, le 1er septembre 2006 en qualité de chef des conseillers en investissement pour le département de l'Amérique latine. Un contrat de travail complété d'un avenant avaient été signés le 25 juillet précédent. Le contrat principal prévoyait une rémunération annuelle brute au montant de 334'000 fr., y compris 9'600 fr. pour frais de représentation. L'avenant prévoyait les prestations supplémentaires ci-après: à titre de prime d'embauche, 335'000 fr. à payer durant le premier mois de l'emploi, complétés de 556'000 dollars étasuniens en actions Z._; à titre de « prime garantie de fidélisation », 1'066'000 fr. à payer au mois de février 2007; à titre de « prime discrétionnaire de motivation » pour la performance de 2007, 1'134'000 fr. à payer au mois de février 2008. Ces prestations supplémentaires ne seraient versées que si le travailleur se trouvait en emploi au moment du paiement et que le contrat de travail n'était pas résilié. Il était précisé qu'elles ne feraient naître aucun droit à des primes ou bonus pour les années suivantes. D'après le « manuel des employés » auquel le contrat faisait référence, les bonus et autres avantages promis en sus de la rémunération étaient accordés à la discrétion de l'employeuse; celle-ci pouvait y mettre fin ou les annuler à sa guise, notamment en cas de résiliation des rapports contractuels par l'une ou l'autre des parties. Toute prime structurée ou discrétionnaire était versée sur une base volontaire et ne donnait aucun droit à un paiement futur. Aucune prime n'était versée en cas de résiliation des rapports contractuels et aucun paiement n'était exigible prorata temporis. X._ a effectivement perçu les prestations supplémentaires convenues. Les décomptes afférents aux primes de 1'066'000 fr. et 1'134'000 fr. précisaient que les bonus en espèces étaient fixés à la discrétion de la direction et qu'ils ne pouvaient pas être interprétés comme une promesse ou garantie de récompenses futures. Par suite de la crise financière de l'automne 2008, le groupe bancaire a licencié une partie de son personnel, y compris dix-huit employés de la succursale de Genève. L'employeuse a licencié X._ le 20 novembre 2008 avec effet au 30 juin 2009 et elle l'a libéré de l'obligation de travailler. Moyennant renonciation à toute prétention à un bonus, l'employeuse lui offrait notamment une indemnité de départ au montant de 54'067 fr., correspondant à deux mois du salaire de base. X._ a rejeté cette proposition. Les parties ont plus tard convenu que le contrat de travail prendrait fin le 31 mars 2009. Le 28 novembre 2008, X._ s'est opposé à son congé qu'il tenait pour abusif. B. Le 26 mars 2009, X._ a ouvert action contre l'employeuse devant le Tribunal de prud'hommes du canton de Genève. La défenderesse devait être condamnée à payer diverses sommes au total d'environ 3'115'000 fr. en capital, avec suite d'intérêts, à titre de bonus ou complément de salaire, indemnité pour résiliation abusive du contrat de travail et dommages-intérêts. La défenderesse devait également être condamnée à remettre les valeurs prévues par un plan d'intéressement des travailleurs et à établir un certificat de travail complet. La défenderesse a conclu au rejet de l'action et elle a introduit une demande reconventionnelle. Le demandeur devait être condamné à payer 10'040 fr.93 pour restitution d'un montant d'impôt à la source qui n'avait pas été retenu sur le salaire. Le demandeur a reconnu devoir cette somme. Après audition de divers témoins, le tribunal s'est prononcé le 25 août 2011. Accueillant partiellement l'action principale, il a condamné la défenderesse à payer 500'000 fr. à titre de bonus pour l'année 2008, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 1er janvier 2009. Le tribunal a pris acte de l'engagement du demandeur portant sur le paiement de 10'040 fr.93, montant net. Le demandeur ayant appelé du jugement, la défenderesse a usé de l'appel joint. La Chambre des prud'hommes de la Cour de justice a statué le 14 juin 2012. Elle a rejeté l'appel principal. Elle a admis l'appel joint et rejeté entièrement l'action principale. Sur l'action reconventionnelle, elle a condamné le demandeur à payer 10'040 fr.93 avec intérêts au taux de 5% par an dès le 19 juin 2009. C. Agissant par la voie du recours en matière civile, le demandeur requiert le Tribunal fédéral de réformer l'arrêt de la Cour de justice en ce sens que la défenderesse soit condamnée à payer diverses sommes au total d'environ 2'396'000 fr. en capital, avec suite d'intérêts. Des conclusions subsidiaires tendent à l'annulation de l'arrêt et au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour complément d'instruction et nouvelle décision. La défenderesse conclut au rejet du recours. 