Sachverhalt: A. Die Shell (Switzerland) AG mit Sitz in Baar (ZG) verkauft ihr Benzin im Kanton Aargau an 28 Standorten. Während 13 dieser Tankstellen ihr selber gehören, aber von selbständigen Vertragspartnern betrieben werden (sog. "Company Stations"), stehen die 15 übrigen Tankstellen im Eigentum des jeweiligen Betreibers und werden von der Shell (Switzerland) AG nur beliefert (sog. "Dealer Stations"). Die Verträge, welche die Shell (Switzerland) AG mit den Betreibern ihrer "Company Stations" abschliesst, übertragen diesen - gegen eine Vergütung - das Recht, die Installationen und Gerätschaften zu bewirtschaften, wobei die Tankstellenbetreiber selbständige Unternehmer bleiben und auf eigene Rechnung und Gefahr arbeiten (vgl. E. 3.1). B. Mit Feststellungsverfügung vom 22. April 2005 erklärte das Steueramt des Kantons Aargau die 13 "Company Stations" ab dem Steuerjahr 2003 zu Betriebsstätten der Shell (Switzerland) AG, welche der (beschränkten) Steuerpflicht im Kanton unterstünden. Nach erfolglosem Einspracheverfahren gelangte die Shell (Switzerland) AG an das Steuerrekursgericht des Kantons Aargau, welches den "Company Stations" den Charakter von Betriebsstätten absprach und in Gutheissung des Rekurses sowohl die Feststellungsverfügung als auch den Einspracheentscheid vom 8. Mai 2006 (recte: 14. September 2005) aufhob (Entscheid vom 27. April 2006). Das vom Steueramt des Kantons Aargau angerufene kantonale Verwaltungsgericht schützte diesen Entscheid am 20. Juni 2007. C. Am 1. Oktober 2007 hat das Steueramt des Kantons Aargau beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten eingereicht mit dem Antrag, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und festzustellen, dass die Shell (Switzerland) AG ab 1. Januar 2003 für ihre 13 Betriebsstätten im Kanton Aargau beschränkt steuerpflichtig sei. Die Shell (Switzerland) AG beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten, eventuell sie abzuweisen, während das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, die Steuerverwaltung des Kantons Zug und die Eidgenössische Steuerverwaltung je auf Vernehmlassung verzichtet haben. 