hat sich ergeben: A.- Margrit Wenger (Beschwerdeführerin) verunfallte am 24. Juli 1995 und brach sich die Hand. Im Bezirksspital Dornach wurde sie unter der Leitung von Dr. Valic ambulant behandelt. Als die Heilung nicht wie erwünscht fortschritt, verlor die Beschwerdeführerin das Vertrauen in den behan- delnden Arzt und begab sich zu Dr. Ruckstuhl, der am 27. Februar 1996 einen operativen Korrektureingriff vornahm. Da die Hand nicht wieder gebrauchsfähig wurde, liess die Be- schwerdeführerin ein FMH-Gutachten über die Behandlung im Bezirksspital Dornach erstellen. Es gelangte zum Schluss, die Behandlung sei sorgfaltswidrig durchgeführt worden. B.- Am 7. Februar 1997 machte die Beschwerdeführerin beim Gesundheitsamt des Kantons Solothurn eine Forderung von Fr. 300'000.-- geltend (Fr. 220'385.20 als Ersatz des mate- riellen Schadens, den Restbetrag als Genugtuung). Das Ge- sundheitsamt übermittelte das Begehren am 19. Februar 1997 zur Beurteilung an die Betriebshaftpflichtversicherung des Bezirksspitals Dornach, die Winterthur Versicherungsgesell- schaft. Dies teilte das Amt der Beschwerdeführerin mit und stellte in Aussicht, die Versicherung werde mit ihr Kontakt aufnehmen. Ein im Rahmen dieser Vergleichsgespräche mit der Versicherung erstelltes weiteres Gutachten gelangte zum Schluss, dem Bezirksspital Dornach könne keine Sorgfalts- pflichtverletzung vorgeworfen werden. Die Winterthur-Versi- cherung lehnte am 18. September 1998 jegliche Haftung ab. Am 18. März 1999 klagte die Beschwerdeführerin beim Verwal- tungsgericht des Kantons Solothurn gegen den Kanton Solo- thurn (Beschwerdegegner) und verlangte Fr. 270'000.-- nebst Zins. Am 28. Juni 1999 trat das Verwaltungsgericht auf die Klage nicht ein. C.- Gegen dieses Urteil hat die Beschwerdeführerin staatsrechtliche Beschwerde erhoben. Sie beantragt, das an- gefochtene Urteil aufzuheben. Der Beschwerdegegner und das Verwaltungsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. 