Sachverhalt: A. Y._ erhob am 28. Dezember 2012 beim Gerichtspräsidium Rheinfelden Klage auf Bestreitung neuen Vermögens gemäss Art. 265a Abs. 4 SchKG. Beklagte in diesem Verfahren ist die X._ AG. Mit Verfügung vom 10. April 2013 bewilligte die Präsidentin des Bezirksgerichts Rheinfelden Y._ die unentgeltliche Rechtspflege. Mit Verfügung vom 6. Mai 2013 setzte sie Rechtsanwalt Mahendra Williams als unentgeltlichen Rechtsbeistand ein. Am 11. Juni 2013 stellte die X._ AG verschiedene Anträge. Ziffer 1 ihrer Rechtsbegehren lautete wie folgt: "Die klagende Partei sei zu verpflichten, für die nach gerichtlichem Ermessen festzusetzende Parteientschädigung samt Auslagen der beklagten Partei gemäss dem Dekret über die Entschädigung der Anwälte Sicherheit zu leisten." Daneben ersuchte sie darum, ihr die Frist zur Einreichung einer Klageantwort bis zur Leistung der Sicherheit abzunehmen (Ziff. 2), sowie darum, sie zum Gesuch von Y._ um unentgeltliche Rechtspflege anzuhören (Ziff. 3), dies alles unter Kosten- und Entschädigungsfolge (Ziff. 4). Die Präsidentin des Bezirksgerichts räumte der X._ AG daraufhin eine Frist zur Stellungnahme zum Gesuch von Y._ um unentgeltliche Rechtspflege ein. Diese beantragte am 8. Juli 2013, die unentgeltliche Rechtspflege nicht zu gewähren. Y._ verlangte am 12. August 2013 demgegenüber, die Entscheide über die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu bestätigen und das Sicherstellungsgesuch abzuweisen. Mit Verfügung vom 18. November 2013 bewilligte die Präsidentin Y._ weiterhin die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Das Sicherstellungsgesuch wies sie ab. B. Die X._ AG erhob am 6. Dezember 2013 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Aargau und verlangte die Aufhebung der Verfügung vom 18. November 2013. Da s Gesuch von Y._ um unentgeltliche Rechtspflege sei abzuweisen. Er "sei zu verpflichten, für die nach gerichtlichem Ermessen festzusetzende Parteientschädigung samt Auslagen der beklagten Partei gemäss dem Dekret über die Entschädigung der Anwälte Sicherheit zu leisten". Allenfalls sei die Sache zur Neubeurteilung an das Bezirksgericht zurückzuweisen. Mit Entscheid vom 20. Januar 2014 trat das Obergericht auf die Beschwerde nicht ein. C. Am 12. Februar 2014 hat die X._ AG (Beschwerdeführerin) Beschwerde in Zivilsachen und eventualiter subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhoben. Sie verlangt die Aufhebung des Entscheides des Obergerichts vom 20. Januar 2014 und der Verfügung des Bezirksgerichts vom 18. November 2013. Das Gesuch von Y._ (Beschwerdegegner) um unentgeltliche Rechtspflege sei abzuweisen. Er sei zu verpflichten, für die nach gerichtlichem Ermessen festzusetzende Parteientschädigung samt Auslagen, mindestens in der Höhe der Grundentschädigung von Fr. 10'515.30 zuzüglich MWST, gemäss dem Dekret über die Entschädigung der Anwälte Sicherheit zu leisten. Eventuell sei die Sache zu neuer Entscheidung an das Obergericht zurückzuweisen. Zudem ersucht die Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung und verlangt, dem Beschwerdegegner Kosten und Entschädigungen für alle Verfahren aufzuerlegen. Nachdem sich weder das Obergericht noch der Beschwerdegegner gegen die Gewährung der aufschiebenden Wirkung ausgesprochen haben, ist der Beschwerde mit Präsidialverfügung vom 5. März 2014 aufschiebende Wirkung zuerkannt worden. In der Sache hat das Obergericht auf Stellungnahme verzichtet. Der Beschwerdegegner ersucht um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Eventualiter sei die Sache an das Obergericht zurückzuweisen. Zudem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. 