Sachverhalt: A. Die 1970 geborene M._ ist Mutter von vier Kindern (geboren 1992, 1995, 2001 und 2003). Nachdem ihr mit ärztlichem Gutachten eine volle Arbeitsfähigkeit für leidensangepasste Tätigkeiten attestiert worden war, wies die IV-Stelle des Kantons Zürich mit Verfügungen vom 17. September 1997 das Gesuch um Leistungen der Invalidenversicherung ab. Am 16. März 2004 meldete sich die Versicherte erneut bei der Invalidenversicherung an und ersuchte um eine Rente. Nach Abklärungen verneinte die IV-Stelle mit Verfügung vom 10. April 2006 bei einem Invaliditätsgrad von 27 % einen Rentenanspruch, was sie mit Einspracheentscheid vom 15. Januar 2007 bestätigte. B. Die Beschwerde der M._ wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 7. Juli 2008 ab. C. M._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, der Entscheid vom 7. Juli 2008 sei aufzuheben und es sei ihr ab 1. März 2003 eine Dreiviertelsrente, ab 1. Februar 2006 eine ganze Invalidenrente zuzusprechen; eventualiter sei das Verfahren zwecks Ergänzung der Sachverhaltsabklärungen (medizinischer und tatsächlicher Natur) an die Verwaltung zurückzuweisen. Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung. 