Sachverhalt: A. Die X._ A/S ist eine Gesellschaft mit Sitz in Kopenhagen. Sie ist Inhaberin eines in der Schweiz eingetragenen Patents für ein pharmazeutisches Produkt. Die Y._ AG ist eine Aktiengesellschaft mit Sitz in Cham. B. Am 1. September 2003 erhob die X._ A/S beim Handelsgericht des Kantons Bern gegen die Y._ AG eine Klage auf Unterlassung einer Patentverletzung und auf Leistung von Schadenersatz. Zur Begründung der Zuständigkeit führte die Klägerin an, da ein internationaler Sachverhalt vorliege, sei das Lugano Übereinkommen anwendbar. Dieses sehe in Art. 5 Ziff. 3 vor, dass Klagen aus unerlaubter Handlung vor den Gerichten des Ortes erhoben werden könnten, an dem das schädigende Ereignis eingetreten sei. Dies sei im vorliegenden Fall Bern, da die Beklagte in einer Apotheke in Bern ein Produkt verkauft habe, welches das Patent der Klägerin verletze. Damit liege der Handlungs- und Erfolgsort der Patentverletzung in Bern. Die Beklagte wendete ein, das Berner Handelsgericht sei örtlich nicht zuständig. Mit Verfügung vom 24. November 2003 beschränkte der Instruktionsrichter das Verfahren auf die Frage der Zuständigkeit des Berner Handelsgerichts. Dieses verneinte seine Zuständigkeit und trat daher mit Urteil vom 1. April 2004 auf die Klage nicht ein. C. Die Klägerin erhebt eidgenössische Berufung mit den Anträgen, das Urteil des Handelsgerichts vom 1. April 2004 sei aufzuheben, die Unzuständigkeitseinrede der Beklagten sei abzuweisen und die Streitsache sei zur materiellen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beklagte schliesst auf Abweisung der Berufung. 