Faits: A. D._, née en 1973, travaille en qualité de dessinatrice en bâtiment au service de X._. A ce titre, elle est assurée contre les accidents et les maladies professionnelles par la Vaudoise Générale, Compagnie d'Assurances SA (ci-après : la Vaudoise). En outre, elle bénéficie d'une assurance-maladie auprès d'Assura, assurance maladie et accident (ci-après : Assura). Par déclaration d'accident LAA bagatelle du 22 octobre 2008, l'employeur de D._ a annoncé que celle-ci s'était « déboité le genou droit en sortant de la voiture » le 16 octobre 2008; la partie du corps atteinte était le genou « ligaments ou ménisque ». Les premiers soins ont été prodigués le 20 octobre 2008 à l'Hôpital Y._, où le docteur C._ a fait état d'une suspicion de lésion méniscale. Ce médecin a précisé que la capacité de travail était entière depuis le 25 octobre 2008 et que le traitement pouvait être considéré comme terminé aux alentours du 10 novembre 2008 (rapport du 26 novembre 2008). Le 14 janvier 2009, D._ a été examinée par le docteur G._, médecin à l'Hôpital Z._, lequel a diagnostiqué une rupture du ligament croisé antérieur (LCA) et une lésion en anse de seau du ménisque interne (rapport du 24 février 2009). Dans un questionnaire du 15 janvier 2009, D._ a indiqué que les douleurs avaient été occasionnées par « la sortie de la voiture » sans que rien de particulier (ni coup, ni chute, ni glissade) ne se soit produit. Le 23 janvier 2009, la Vaudoise a informé l'employeur de D._ que le cas était pris en charge. Le 26 février 2009, le docteur L._ a pratiqué une reconstruction du LCA du genou droit aux ischo-jambiers sous contrôle arthroscopique et résection de l'anse de seau méniscale interne (protocole opératoire du docteur L._ du 16 mars 2009). Dans un rapport du 16 mars 2009 à l'intention de la Vaudoise, D._ a décrit comme suit les circonstances dans lesquelles sont survenues les lésions : « Alors que je venais de quitter ma voiture, je me suis retournée pour condamner les portes avec ma télécommande, en ayant les deux pieds au sol, quand j'ai ressenti une douleur au niveau du genou droit ». Par décision du 6 avril 2009, la Vaudoise a refusé d'intervenir pour ce cas au motif que D._ n'avait pas été victime d'un accident et que les lésions subies ne pouvaient pas être assimilées à un accident. Saisie d'oppositions de la prénommée ainsi que d'Assura, la Vaudoise les a rejetées et a confirmé sa décision du 6 avril 2009 (décision sur opposition du 25 juin 2009). B. Assura a déféré cette décision à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois, qui, par jugement du 6 mai 2011, a admis le recours et condamné la Vaudoise à poursuivre la prise en charge des suites des lésions méniscales et du ligament croisé antérieur subies par D._ le 16 octobre 2008. C. La Vaudoise interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande l'annulation en concluant au rétablissement de sa décision sur opposition du 25 juin 2009. Assura conclut au rejet du recours. D._ et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à se déterminer. 