Sachverhalt: A. X._ arbeitet als selbständiger Schreiner. Er ist von verschiedenen Gläubigern betrieben worden. Das Betreibungsamt Aadorf vollzog deshalb eine Reihe von Pfändungen. Am 19. Januar 2012 erfolgte eine Pfändung zusammen mit der Schuldnerin A._ in den Solidarbetreibungen Nrn. xxx und yyy. B. Am 6. Februar 2013 verlangte X._ vom Betreibungsamt Aadorf einen Vorschuss von Fr. 2'000.-- bis Fr. 2'500.--, weil das Fahrzeug seiner Lebenspartnerin und Hausgenossin A._ vorgeführt werden müsse. Das Betreibungsamt lehnte dies mit Schreiben vom 1. März 2013 ab. C. X._ reagierte darauf am 11. März 2013 mit einer Aufsichtsbeschwerde an das Bezirksgericht Münchwilen als untere kantonale Aufsichtsbehörde. Er beantragte im Wesentlichen, das Betreibungsamt anzuweisen, die Belastungen von Kosten, die unmittelbar A._ beträfen, auch deren Lohn anzurechnen. Weiter seien auch Arzt- und andere Kosten gemäss einer beigelegten Zusammenstellung entsprechend dem Anteilsschlüssel aufzuteilen und dem jeweiligen Schuldner zu belasten. Mit Entscheid vom 6. Mai 2013 wies die Einzelrichterin des Bezirksgerichts Münchwilen die Beschwerde ab. Vergeblich gelangte X._ hierauf an das Obergericht des Kantons Thurgau als (obere) kantonale Aufsichtsbehörde. Dieses wies seine Beschwerde mit Entscheid vom 22. August 2013 ab. D. Mit Beschwerde vom 10. September 2013 (Datum der Postaufgabe) wendet sich X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter sei zu prüfen, ob sich die rechtlichen Erwägungen der oberen Aufsichtsbehörde mit dem Grundrechtsschutz vereinbaren lassen. Schliesslich ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt. 