Sachverhalt: A. A.a X._ (geb. 1973) und Z._ (geb. 1968) sind die seit 2003 verheirateten Eltern der Kinder S._ (geb. 2003) und T._ (geb. 2005). Seit dem 1. Januar 2010 leben die Parteien getrennt. Mit Eheschutzentscheid vom 27. Oktober 2010 genehmigte der Familienrichter des Kreisgerichts Wil eine umfassende Vereinbarung der Parteien. Er stellte die Kinder S._ und T._ unter die Obhut des Vaters und räumte der Mutter ein Besuchsrecht ein. Weiter wurde die Mutter mit Wirkung ab 1. November 2010 verpflichtet, an den Unterhalt ihrer Kinder je Fr. 1'100.-- zuzüglich allfälliger Kinderzulagen und an denjenigen ihres Ehemannes Fr. 2'400.-- zu bezahlen. Überdies verpflichtete sich X._, die indirekte Amortisation der Hypothekarschulden von Fr. 5'000.-- bei der Bank Y._ zu übernehmen. B. B.a Am 19. September 2011 gebar X._ den Sohn U._. Die Parteien stimmen darin überein, dass nicht der Ehemann, sondern der neue Lebenspartner der Ehefrau der Vater ist. B.b Bereits am 3. Juni 2011 hatte X._ einen Prozess zur Abänderung des Eheschutzentscheids vom 27. Oktober 2010 anhängig gemacht und die Neuregelung der Obhutszuteilung sowie des Kinder- und Ehegattenunterhalts verlangt. Soweit vor Bundesgericht noch relevant, bestimmte der Familienrichter des Kreisgerichts Wil die Unterhaltsbeiträge für die Kinder S._ und T._ auf je Fr. 160.-- pro Monat (zuzüglich allfälliger Kinderzulagen). Die Unterhaltspflicht der Ehefrau gegenüber ihrem Ehemann hob er mit Wirkung ab Januar 2012 auf (Entscheid vom 2. November 2011). C. Z._ erhob am 12. Dezember 2011 Berufung beim Kantonsgericht St. Gallen. Er beantragte, seine Ehefrau zu verpflichten, an den Unterhalt der Kinder S._ und T._ ab Januar 2012 je Fr. 1'100.-- (zuzüglich allfällige Kinderzulagen) sowie an seinen eigenen Unterhalt Fr. 800.-- zu bezahlen. Mit Entscheid vom 28. März 2012 verurteilte der Einzelrichter im Familienrecht des Kantonsgerichts St. Gallen X._, rückwirkend ab 1. Januar 2012 an den Unterhalt der Kinder S._ und T._ monatlich im Voraus je Fr. 1'000.-- zuzüglich allfälliger Kinderzulagen zu bezahlen. Im Übrigen wies es die Berufung ab. D. D.a Hiergegen setzt sich X._ (Beschwerdeführerin) vor Bundesgericht zur Wehr. In ihren Anträgen hält sie an der Unterhaltsregelung gemäss dem erstinstanzlichen Urteil (s. Bst. B.b) fest. Weiter stellt sie das Begehren, die Kosten des oberinstanzlichen Verfahrens ihrem Ehemann aufzuerlegen und diesen zur Bezahlung einer Parteientschädigung von Fr. 2'250.-- zu verurteilen. In prozessualer Hinsicht ersucht sie darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. D.b Mit Verfügung vom 21. Mai 2012 erkannte die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu. D.c In seiner Beschwerdeantwort vom 14. August 2012 beantragt Z._ (Beschwerdegegner), die Beschwerde vollumfänglich abzuweisen; überdies ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Das Kantonsgericht St. Gallen hat sich zur Beschwerde vernehmen lassen, ohne einen Antrag zu stellen. 