Faits: A. M. A.X._, né en 1964, et Mme B.X._, née en 1960, se sont mariés à C._ le 4 avril 1998. Deux enfants sont issus de cette union: D._, née en 1996 et E._, née en 1999. La famille s'est installée à F._ dans le courant de l'année 2001. En mai 2003, l'épouse est retournée vivre à C._ avec les enfants. Les conjoints se sont séparés le 1er janvier 2006. Par jugement du 6 mai 2010, le Tribunal de première instance de Genève a, notamment, prononcé le divorce des parties, attribué l'autorité parentale et la garde des enfants à la mère, sous réserve du droit de visite du père, et condamné celui-ci à verser, d'une part, des contributions d'entretien de 1'300 fr. par mois jusqu'à 13 ans révolus, puis de 1'600 fr. par mois jusqu'à la majorité, voire au-delà, mais jusqu'à 25 ans au plus, en cas de formation professionnelle ou d'études sérieuses et régulières, en faveur de chacune de ses filles, et, d'autre part, une contribution post-divorce, indexée, de 800 fr. par mois jusqu'au 31 mars 2015, pour sa femme, allocations familiales et indexation en sus. Par arrêt du 31 mai 2011, la Cour de justice du canton de Genève a, entre autres points, réduit les contributions à l'entretien des enfants à 1'100 fr. par mois jusqu'à 13 ans révolus, puis à 1'300 fr. par mois jusqu'à la majorité, voire au-delà, mais jusqu'à 25 ans au plus, en cas de formation professionnelle ou d'études sérieuses et régulières. A partir de 2009, le père ne s'était acquitté que partiellement, voire pas du tout, de ses obligations fixées sur mesures provisoires et avait cessé tout versement en mars 2011. La mère perçoit, depuis le 7 juillet 2011, des avances de pensions de 1'300 fr. par mois du Service social de la ville de C._, soit 650 fr. pour chacune de ses filles; le montant mensuel de ces avances a été porté à 936 fr. par enfant dès le 1er janvier 2013. Le 23 décembre 2011, ledit service réclamait au père un montant de 92'454 fr. B. Le 22 février 2012, le père a formé une demande en modification du jugement de divorce du 6 mai 2010 et de l'arrêt du 31 mai 2011, concluant à la suppression des contributions à l'entretien de l'épouse et des enfants à compter du dépôt de la demande. Par jugement du 1er février 2013, le Tribunal de première instance a admis la demande. La mère a interjeté appel contre ce jugement, concluant au rejet de la demande de modification. Elle a produit un courrier du 21 février 2013, dans lequel elle expliquait que le Service social de la Ville de C._ lui réclamait le remboursement de 16'500 fr. versés à titre d'avance de contributions alimentaires. Par arrêt du 28 juin 2013, la Cour de justice a, notamment, condamné le père à verser mensuellement, en faveur de chacune de ses filles, 650 fr. du 22 février 2012 au 31 décembre 2012, 936 fr. du 1er janvier 2013 au prononcé de son arrêt puis 550 fr. jusqu'à la majorité, voire au-delà, mais jusqu'à 25 ans au plus, si l'enfant bénéficiaire poursuit une formation professionnelle ou des études sérieuses et régulières. La contribution d'entretien due à l'épouse a été supprimée avec effet au 22 février 2012. C. Par acte du 4 septembre 2013, le mari exerce un recours en matière civile contre l'arrêt du 28 juin 2013. Il conclut, principalement, à la suppression, avec effet au 22 février 2012, des contributions d'entretien dues tant pour les enfants que pour l'épouse. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Le recourant solllicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire. L'intimée propose, à la forme, l'irrecevabilité du recours et, sur le fond, son rejet. L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt. 