Sachverhalt: A. X._, geboren am 20. April 2001, ist seit ihrer Geburt cerebral gelähmt. Sie leidet an einer dystonen Cerebralparese, kann ihren Muskeltonus nicht steuern und ist bei allen täglichen Verrichtungen auf Hilfe angewiesen. Zwischen 2006 und 2009 besuchte sie den auf anthroposophischer Grundlage geführten privaten Kindergarten N._ in M._. Zuvor waren zwei Versuche, X._ in den öffentlichen Kindergarten des Zentrums für körperbehinderte Kinder (ZEKA) Dättwil aufzunehmen, an der diesbezüglich negativen Beurteilung der Schulleitung bzw. der Behörden gescheitert. Das (staatliche) Alternativangebot, eine Aufnahme in den Kindergarten der Heilpädagogischen Schule (HPS) Wettingen, lehnten die Eltern ab. Seit Beginn des Schuljahres 2009/2010 wird X._ von ihrer Mutter in der Kleinschule L._ - ebenfalls im Sinne der anthroposophischen Waldorf-Pädagogik (Rudolf Steiner) - unterrichtet. B. Mehrfach hatten die Eltern von X._ bei der Schulpflege Baden um Beteiligung an den Ausbildungs- und den damit verbundenen Transportkosten ihrer Tochter ersucht. Diese letzteren Transportkosten waren in einer ersten Phase - zwischen dem 12. August 2006 und dem 31. Dezember 2007 von der IV-Stelle Aargau übernommen worden, und zwar im Rahmen, wie sie beim Besuch des ZEKA in Dättwil angefallen wären (Fr. 8'190.--). Nachdem die Zuständigkeit der Invalidenversicherung für die Übernahme solcher Kosten weggefallen war (dazu unten E. 4.1.1), leistete die Schulpflege Baden mit Beschluss vom 30. Juni 2009"an die Transportkosten für den Besuch des privaten Kindergartens N._ (...) mit Wirkung ab 1.1.2008 bis Ende Schuljahr 2008/2009" Kostengutsprache in der Höhe von Fr. 650.-- pro Monat. Die Schulpflege stellte dabei auf diejenigen Transportkosten ab, die entständen, wenn X._ in die HPS Wettingen eingewiesen worden wäre. Auf weitere Anträge der Eltern um zusätzliche Kostenbeteiligung ging die Schulpflege zunächst nicht mehr ein. Mit Beschluss vom 26. Oktober 2010 lehnte sie es sodann ab, sich an den Kosten für den Besuch der Privatschule L._ (Heimschulung) zu beteiligen. C. Am 2. Mai 2011 liess X._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Aargau gegen die Einwohnergemeine Baden Klage erheben mit folgenden Anträgen: 1. Die Beklagte sei zu verpflichten, sich an den Schulungskosten der Klägerin mit denjenigen Schul- und Transportkosten zu beteiligen, die beim Besuch der öffentlichen Schule im ZEKA Dättwil, eventuell der HPS Wettingen, anfallen würden. 2. Es sei festzustellen, dass die Klägerin unabhängig von der Art der Schulung auf Kosten der Beklagten Anspruch auf die gleichen Therapien sowie Beratungs- und Unterstützungsangebote hat, wie beim Besuch der öffentlichen Schule. 3. Die Beklagte sei zu verpflichten, an die Kosten des dreijährigen Besuchs des privaten Kindergartens N._ durch die Klägerin diejenigen Kosten beizusteuern, die beim Besuch des öffentlichen Kindergartens im ZEKA Dättwil, eventuell in der HPS Wettingen, angefallen wären. 4. (Zins, Kosten- und Entschädigungsfolgen). D. Die Klägerin liess im Wesentlichen geltend machen, sie habe nach Art. 19 BV Anspruch auf ausreichenden und unentgeltlichen Schulunterricht. Ziehe der Staat zur Einlösung dieser Garantie private Schulen zu Hilfe und leisteten jene zu diesem Zweck unter staatlicher Aufsicht gleichwertige Arbeit, bestehe Anspruch auf gleiche Kostentragung, "sprich Unentgeltlichkeit". Die Gleichheit erstrecke sich dabei auf die Übernahme der Kosten privater Schulung im Rahmen dessen, was auch die öffentliche Schule koste. Auf eine solche Kostenbeteiligung bestehe ein Anspruch, zumal im Falle der Heimschulung die Eltern bzw. ein Elternteil ihre Arbeitskraft "in die Schulung des Kindes anstatt in die finanziell einträgliche Erwerbstätigkeit" stecken würden. Zudem fielen den Eltern auch Kosten für die Schulräumlichkeiten und die Lehrmittel an. Mit Urteil vom 3. Februar 2012 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau die Klage ab, soweit es darauf eintrat. Dabei auferlegte es der gesetzlichen Vertreterin der Klägerin Kosten und Auslagen in der Höhe von Fr. 3'426.-- und verpflichtete sie, der Einwohnergemeinde Baden eine Parteientschädigung von Fr. 4'600.-- auszurichten. E. Mit Eingabe vom 10. Juli 2012 lässt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erheben mit den Anträgen, das letztgenannte Urteil aufzuheben und die Einwohnergemeinde Baden "zu verpflichten, sich an den Schulungs- und Transportkosten des dreijährigen Besuchs des privaten Kindergartens und der seit Schuljahr 2009/2010 laufenden privaten Schulung der Beschwerdeführerin mit denjenigen Schul- und Transportkosten zu beteiligen, die beim Besuch des öffentlichen Kindergartens und der öffentlichen Schule im ZEKA Dättwil, eventuell der HPS Wettingen, gleichfalls anfallen würden". Die Einwohnergemeinde Baden beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Verwaltungsgericht hat sich vernehmen lassen, ohne einen ausdrücklichen Antrag zu stellen. Mit Eingabe vom 5. November 2012 hat sich der Rechtsvertreter von X._ noch einmal geäussert. 