Sachverhalt: A. X._ (geb. 1970) und Y._ (geb. 1966) heirateten am 15. Januar 1999. Sie sind die Eltern des A._ (geb. 1999), des B._ (geb. 2001) und des C._ (geb. 2004). Seit Juni 2008 leben die Parteien getrennt; Y._ verliess den gemeinsamen Haushalt. Jedenfalls seit Ende 2008 waren A._ beim Vater und die beiden anderen Söhne bei der Mutter untergebracht. Am 5. März 2009 stellte Y._ zuständigenorts ein Eheschutzgesuch. Anlässlich einer Referentenaudienz vom 4. Juni 2009 verständigten sich die Parteien darauf, dass der Sohn A._ für die Dauer des Eheschutzverfahrens weiterhin vom Vater und die beiden anderen Söhne von der Mutter betreut werden sollten. Am 25. November 2009 erliess die Kantonsgerichtsvizepräsidentin eine umfassende Eheschutzverfügung. Sie wies die eheliche Wohnung dem Ehemann zu, unter dessen Obhut sie auch die drei Söhne stellte. Ferner legte sie den vom Ehemann rückwirkend und bis zur Rechtskraft der Eheschutzverfügung zu leistenden Unterhalt für die beiden jüngeren Söhne und für die Ehefrau fest. Sodann räumte sie der Mutter ein Besuchsrecht ein, entband sie von jeglicher Unterhaltspflicht mit Ausnahme allfälliger Kinderzulagen, die sie an den Ehemann weiterzuleiten hat, verpflichtete den Ehemann, bis Ende März 2010 monatlich Fr. 1'300.-- an ihren Unterhalt beizutragen, und ordnete die Gütertrennung an. Schliesslich wies sie ein Gesuch um provisio ad litem der Ehefrau ab. Anfang Juni 2010 hat Y._ beim Kantonsgericht Glarus die Scheidungsklage eingereicht. Das Scheidungsverfahren ist hängig. B. Mit Entscheid vom 9. Juli 2010 hiess das Obergericht des Kantons Glarus den von Y._ gegen die Eheschutzverfügung vom 25. November 2009 eingereichten Rekurs teilweise gut. Es stellte den Sohn A._ für die Dauer des Getrenntlebens bzw. des Scheidungsverfahrens unter die Obhut des Vaters und die beiden Söhne B._ und C._ unter diejenige der Mutter (Dispositiv-Ziff. 1), regelte das jeweilige Besuchs- und Ferienrecht der Eltern (Dispositiv-Ziff. 2-4), verpflichtete den Vater, rückwirkend ab 1. Januar 2009 an den Unterhalt von B._ und C._ monatlich je Fr. 1'200.-- zuzüglich allfälliger Kinderzulagen (Dispositiv-Ziff. 5) und an denjenigen der Mutter monatlich Fr. 2'425.-- zu bezahlen (Dispositiv-Ziff. 6), wobei er nachweislich bereits geleistete Unterhaltszahlungen und allfällige für seine Ehefrau bezahlte Mieten abziehen könne (Dispositiv-Ziff. 7). Soweit Y._ Kinderzulagen auch für den Sohn A._ beziehe, wurde sie verpflichtet, diese an X._ zu überweisen (Dispositiv-Ziff. 8). Schliesslich verpflichtete das Obergericht den Ehemann zur Bezahlung eines einmaligen Prozesskostenvorschusses von Fr. 8'000.-- an seine Ehefrau (Dispositiv-Ziff. 9). C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 11. August 2010 gelangt X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, den oberinstanzlichen Entscheid aufzuheben und den erstinstanzlichen Entscheid vollumfänglich zu bestätigen; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Er macht eine Verletzung des rechtlichen Gehörs und des Willkürverbots geltend. In ihrer Vernehmlassung vom 17. Januar 2011 beantragt Y._ (nachfolgend Beschwerdegegnerin) Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat mit Eingabe vom 24. Januar 2011 dazu Stellung genommen. Die Beschwerdegegnerin hat nicht dupliziert. Mit Verfügung vom 31. August 2010 hat die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung dem Gesuch um aufschiebende Wirkung, dem sich die Beschwerdegegnerin nicht widersetzt hat, stattgegeben. 