Faits: A. B.X._ était propriétaire de la parcelle n° xxx du cadastre de la commune de St-Gingolph, au lieu-dit "D._". L'Etat du Valais est propriétaire de la parcelle n° yyy, attenante au sud à la parcelle n° xxx et au nord au lac Léman. Bénéficiaire d'une concession d'utilisation de cette portion du sol depuis 1995, B.X._ y a renoncé en 2004, lorsque le plan de quartier "D._" a été élaboré. Ce plan, approuvé par la commune de St-Gingolph le 14 novembre 2005, réglemente un secteur composé de dix parcelles, dont les n° xxx et n° yyy. La parcelle n° yyy, sise en zone d'intérêt général pour développer des activités d'intérêt général en liaison avec le lac notamment, a été placée en zone de non-bâtir et zone de quai. Envisageant de construire une villa sur la parcelle n° xxx, dont elle est devenue propriétaire, A.X._ a dès le mois de juillet 2008 contacté le Département des transports, de l'équipement et de l'environnement (DTEE) du canton du Valais pour s'assurer qu'elle pourrait bénéficier d'une concession sur la parcelle n° yyy. En réponse, la Section juridique du DTEE lui a indiqué que sa demande serait traitée une fois qu'elle habiterait la future villa, tout en l'informant que l'utilisation de la parcelle en question avait été accordée en 2008 à la société C._ Sàrl (courrier du 2 février 2009). Le 2 juin 2009, le DTEE a une nouvelle fois accordé à la société C._ Sàrl une autorisation d'utiliser, à certaines conditions et à bien plaire, la parcelle n° yyy pour une durée indéterminée. Ayant obtenu de la commune de St-Gingolph le permis de construire pour une villa de deux appartements, A.X._ a, par courrier du 11 mai 2010, demandé au DTEE de lui confirmer qu'elle avait la priorité pour la location du terrain attenant au sien. Par décision du 2 septembre 2010, le DTEE a rejeté la demande. Il a considéré que l'utilisation de la surface prévue par la requérante l'était à titre privé; en revanche, l'usage qu'en faisait C._ Sàrl allait dans le sens d'un intérêt général, à savoir l'organisation de camps de vacances pour enfants et personnes handicapées offrant des activités en liaison avec le lac. B. A.X._ a recouru contre cette décision, en concluant à ce que la demande d'utilisation du domaine public du 11 mai 2010 relative à la parcelle n° yyy soit acceptée et à ce que l'autorisation octroyée le 2 juin 2009 à C._ Sàrl ne soit pas renouvelée. Par décision du 28 mars 2012, le Conseil d'Etat du canton du Valais l'a déboutée de ses conclusions. A.X._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour de droit public, qui a rejeté son recours par arrêt du 30 août 2012. Les juges cantonaux ont retenu pour l'essentiel que la demande d'utilisation n'entrait pas dans le cadre voulu par le plan de quartier et que la requérante n'était pas en mesure de se prévaloir d'une promesse de délivrance, de la part du chef du DTEE, d'une autorisation d'utiliser le domaine public visé. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A.X._ demande principalement au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, de réformer l'arrêt cantonal en ce sens que l'autorisation octroyée le 2 juin 2009 à C._ Sàrl n'est pas renouvelée et que sa demande d'utilisation du domaine public du 11 mai 2010 relative à la parcelle n° yyy est acceptée. A titre subsidiaire, elle conclut à l'annulation de l'arrêt et au renvoi de la cause au Tribunal cantonal, voire, à titre très subsidiaire au DTEE, pour nouvelle décision au sens des considérants. Le Tribunal cantonal valaisan renonce à se déterminer sur le recours. Le Conseil d'Etat valaisan conclut au rejet du recours en renvoyant à la motivation de l'arrêt cantonal, tandis que le DTEE n'a pas d'observation particulière à formuler. La commune de St-Gingolph s'est également exprimée, en rappelant que la parcelle n° yyy se situait en zone d'intérêt général. 