Sachverhalt: A. Der 1955 geborene M._ hatte in der Zeit vom 1. Februar 1996 bis 28. Februar 1997 Anspruch auf eine halbe Rente und vom 1. März bis 30. Juni 1997 auf eine ganze Rente der Invalidenversicherung. Zur Ausrichtung gelangten eine Ehepaar-Invalidenrente sowie zwei, ab 1. Februar 1997 eine Kinderrenten. Im September 2002 ersuchte M._ um Einleitung eines neuen Verfahrens, weil sich sein Gesundheitszustand seit 1998 verschlechtert habe. Nach Abklärungen (u.a. Einholung eines interdisziplinären Gutachtens) verneinte die IV-Stelle des Kantons St. Gallen mit Verfügung vom 29. September 2005 den Anspruch auf eine Invalidenrente, was sie mit Einspracheentscheid vom 1. Juni 2006 bestätigte. B. In Gutheissung der Beschwerde des M._ hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen den Einspracheentscheid vom 1. Juni 2006 auf und sprach ihm ab dem 14. Mai 2002 eine Viertelrente zu (Entscheid vom 12. September 2007). C. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 12. September 2007 sei aufzuheben. M._ lässt die Abweisung der Beschwerde beantragen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. 