Sachverhalt: A. Das Geschworenengericht des Kantons Zürich sprach X._ mit Urteil vom 28. Januar 2009 der versuchten Tötung sowie der Widerhandlung gegen das Waffengesetz schuldig. Vom Vorwurf der Gefährdung des Lebens sprach es ihn frei. Es verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von 4 1⁄2 Jahren unter Anrechnung der ausgestandenen Polizei-, Untersuchungs- und Sicherheitshaft von 630 Tagen. Zudem hielt es fest, dass X._ gegenüber A._ dem Grundsatze nach (im Umfang von 75%) schadenersatzpflichtig ist. Zur genauen Feststellung des Schadenersatzanspruches wurde der Geschädigte auf den Zivilweg verwiesen. X._ wurde weiter verpflichtet, A._ Genugtuung in der Höhe von Fr. 11'250.-- zuzüglich Zins zu bezahlen. Eine von X._ dagegen erhobene Nichtigkeitsbeschwerde wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 6. Dezember 2010 ab. B. X._ führt Beschwerde ans Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Geschworenengerichts sei aufzuheben, und er sei vom Vorwurf der versuchten Tötung freizusprechen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. C. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt. 