Sachverhalt: A. Der 1962 geborene R._ sel. verfügte bei der Vorsorgestiftung Sparen 3 der Zürcher Kantonalbank (nachfolgend: Vorsorgestiftung) über ein Vorsorge-Konto der Säule 3a, als er 2010 verstarb. Er hinterliess u.a. seine Mutter S._ und seine Lebensgefährtin K._. Sowohl die Mutter als auch die Lebensgefährtin verlangten von der Vorsorgestiftung das Vorsorgekapital; eine Einigung kam nicht zustande. B. Am 20. Dezember 2011 erhob S._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage gegen die Vorsorgestiftung mit dem Rechtsbegehren, diese sei zu verpflichten, ihr das Vorsorgekapital des Säule-3a-Kontos des R._ sel. nebst Zins zu 5 % seit 16. Juli 2010 zu bezahlen. Die Vorsorgestiftung beantragte, sie sei bei ihrer Bereitschaft zu behaften, der berechtigten Person das Sparen-3-Guthaben im Betrag von Fr. 67'500.- zuzüglich den jeweils geltenden Zinssatz bis dato Hinterlegung auszubezahlen; das Begehren betreffend Verzinsung zu 5 % sei abzuweisen. Die zum Verfahren beigeladene K._ schloss auf Abweisung der Klage. Am 14. Mai 2012 hinterlegte die Vorsorgestiftung das Vorsorgekapital (abzüglich 8 % Verrechnungssteuer) beim Sozialversicherungsgericht. Dieses hiess die Klage mit Entscheid vom 15. Mai 2013 in Bezug auf das Vorsorgekapital vollständig und in Bezug auf die Zinsen teilweise gut; dies unter Berücksichtigung des hinterlegten Kapitals, welches es der S._ zusammen mit dem Formular für den Antrag auf Rückerstattung des Verrechnungssteuerabzugs herausgeben werde. C. K._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, es sei der Entscheid vom 15. Mai 2013 aufzuheben und die Klage der S._ abzuweisen. Ferner ersucht sie um aufschiebende Wirkung der Beschwerde. S._ lässt auf Abweisung des Rechtsmittels schliessen, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorsorgestiftung beantragt, es sei festzustellen, dass sie sich durch Hinterlegung des Vorsorgekapitals von Fr. 62'385.52 (nach Verrechnungssteuerabzug) bei der Kasse des Sozialversicherungsgerichts rechtsgültig von ihrer allfälligen Schuldpflicht gegenüber K._ oder S._ befreit habe und keine weitere Leistung mehr geschuldet sei. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme. 