Fatti: A. C._ è proprietario del fondo part. yyy di X._, situato in località Z._, nella zona residenziale R2 del piano regolatore comunale. Il 21 aprile 2010 ha presentato al Municipio di X._ una domanda di costruzione per una casa unifamiliare articolata su quattro livelli. Il piano sottotetto era adibito a una mansarda di 45.50 m2e a un deposito di 42.40 m2. Alla domanda si sono opposti A._ e B._, proprietari del fondo confinante part. www, censurando in particolare il mancato rispetto dell'indice di sfruttamento. B. Preso atto dell'opposizione dei vicini, l'istante ha inoltrato il 26 agosto 2010 al Municipio una variante che prevedeva di ridurre a 28 m2 la superficie della mansarda e a 16 m2 quella del deposito, mediante la formazione nel sottotetto di quattro pareti che avrebbero creato degli spazi laterali inabitabili. I vicini si sono opposti anche alla variante, ribadendo in sostanza la critica relativa al mancato rispetto dell'indice di sfruttamento. Con decisione del 21 dicembre 2010, il Municipio ha rilasciato la licenza edilizia secondo la variante, evadendo nel senso dei considerandi l'opposizione dei vicini. La risoluzione municipale è stata confermata il 19 ottobre 2011 dal Consiglio di Stato, adito su ricorso degli opponenti. C. Con sentenza del 19 novembre 2012, il Tribunale cantonale amministrativo ha parzialmente accolto un ricorso dei vicini contro la decisione governativa, annullandola e confermando la licenza edilizia alla condizione di eseguire le quattro pareti di chiusura previste nel sottotetto in mattoni, di mantenere gli spazi laterali, separati dalla mansarda e dal deposito, allo stato grezzo e di escludere qualsiasi installazione che possa servire al loro riscaldamento. D. A._ e B._ impugnano questa sentenza con un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, chiedendo di annullarla. In via principale, chiedono di annullare pure la licenza edilizia. In via subordinata, postulano il rinvio degli atti alla Corte cantonale, affinché si pronunci nuovamente sul gravame dopo avere eseguito un sopralluogo e un'udienza in contraddittorio. I ricorrenti lamentano la violazione degli art. 6 CEDU, 9 e 29 Cost. e dell'art. 26 della legge cantonale di procedura per le cause amministrative, del 19 aprile 1966. E. La Corte cantonale si esprime sulle censure di natura formale, in particolare su quella di violazione dell'art. 6 CEDU, ritenendole infondate e confermandosi per il resto nella sua sentenza. Il Consiglio di Stato si rimette al giudizio del Tribunale federale. Pure il Municipio di X._ si rimette al giudizio di questa Corte, richiamando le sue argomentazioni formulate nella licenza edilizia e nella procedura di ricorso dinanzi al Consiglio di Stato. C._ chiede di respingere il ricorso. I ricorrenti si sono in seguito espressi sulle risposte di quest'ultimo e della Corte cantonale. Con decreto del 26 febbraio 2013 il Giudice presidente ha conferito effetto sospensivo al gravame. 