Faits: A. A._ a été arrêté le 25 juin 2012 dans le cadre d'une enquête conduite par le Ministère public du canton de Neuchâtel, Parquet général (ci-après: le Ministère public), et portant sur des infractions contre l'intégrité sexuelle (art. 187 à 190 CP) commises sur la fille de sa compagne. Par ordonnance du 28 juin 2012, le Tribunal des mesures de contrainte des Montagnes et du Val-de-Ruz (ci-après: le Tmc) a ordonné la détention provisoire du prénommé jusqu'au 28 août 2012, au motif qu'il existait des charges suffisantes ainsi qu'un risque de collusion. B. Le 21 août 2012, le Ministère public a requis la prolongation de la détention provisoire du prénommé, en mentionnant des éléments nouveaux recueillis le 20 août 2012 par la police judiciaire et qui seraient de nature à confirmer les déclarations de la victime. Le lendemain, le Tmc a invité A._ à se déterminer et il a ordonné la prolongation temporaire de la détention en application de l'art. 227 al. 4 du Code de procédure pénale suisse (CPP; RS 312.0). A._ s'est déterminé par l'intermédiaire de son mandataire le 27 août 2012. Le prénommé a en outre formé lui-même une demande de mise en liberté, parvenue au Tmc le 29 août 2012. Le jour même, le Tmc a transmis cette requête au Ministère public comme objet de sa compétence et il lui a communiqué les déterminations de A._. Le Tmc impartissait en outre au Ministère public un délai de trois jours pour produire un bref rapport de police relatif aux éléments nouveaux mentionnés dans sa requête. Le 5 septembre 2012, le Ministère public a pris position sur la demande de mise en liberté et il s'est déterminé sur les éléments requis par le Tmc. Le 6 septembre 2012, le Tmc a invité A._ à se déterminer sur la prise de position et les observations du Ministère public "dans les plus brefs délais, au plus tard dans les trois jours". C. Le 5 septembre 2012, A._ a déposé un recours pour déni de justice ou retard injustifié auprès de l'Autorité de recours en matière pénale du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal). Cette autorité a rejeté le recours par arrêt du 14 septembre 2012, considérant en substance que le délai de cinq jours de l'art. 227 al. 5 CPP ne courrait qu'à partir de la réception du dernier acte des parties. Elle relevait en outre que le Tmc avait procédé à une instruction consciencieuse et diligente du dossier en sollicitant des informations complémentaires, de sorte qu'il n'y avait ni déni de justice, ni retard injustifié. D. Agissant par la voie du recours en matière pénale, A._ demande au Tribunal fédéral de constater une violation de l'art. 227 al. 5 CPP et du principe de célérité, de réformer l'arrêt attaqué et de dire que les frais de seconde instance cantonale sont laissés à la charge de l'Etat. Il conclut subsidiairement à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle décision. Il requiert en outre l'octroi de l'assistance judiciaire. Le Tribunal cantonal, le Tmc et le Ministère public ont renoncé à se déterminer. 