Faits: A. T._, né en 1964, dirigeait une entreprise de génie civil dont il était l'unique employé. Arguant souffrir de lombalgies incapacitantes, il s'est annoncé à l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Jura (ci-après: l'office AI) le 31 mai 2005. Les médecins traitants sollicités ont diagnostiqué des lombosciatalgies et des cervicodorsalgies interdisant la reprise de l'activité usuelle mais autorisant l'exercice à plein temps d'une activité adaptée (rapports des docteurs M._, spécialiste en chirurgie, B._, médecin praticien, et S._, spécialiste en médecine physique et réadaptation auprès du service de rhumatologie de l'Hôpital X._, des 15 juin 2005, 3 avril 2006 ainsi que 14 mai et 28 août 2009). Le docteur G._, spécialiste en rhumatologie et en médecine interne générale, mandaté par l'administration pour réaliser un examen clinique rhumatologique, a fait état de diagnostics foncièrement identiques à ceux posés par ses confrères et a considéré que l'assuré avait toujours été apte à exercer une activité adaptée à plein temps (rapport du 9 décembre 2009). L'intéressé a bénéficié de mesures d'ordre professionnel sous la forme d'un stage d'orientation puis d'une formation dans le domaine de la petite mécanique (communications des 12 avril et 5 juillet 2010, ainsi que 3 février 2011). Outre des allergies aux huiles de coupe (rapports de la doctoresse O._, spécialiste en allergologie et immunologie clinique ainsi qu'en médecine interne générale, des 25 octobre et 2 décembre 2010), une acutisation des lombosciatalgies a été relevée (rapport du docteur B._ du 25 janvier 2011) sans toutefois que l'imagerie médicale n'ait pu objectiver les motifs de l'exacerbation de la symptomatologie douloureuse (rapport du docteur L._, service de rhumatologie de l'Hôpital X._, du 18 mars 2011) ni justifier un absentéisme important. Sommé de participer plus activement et à plein temps à la mesure en cours sous peine de voir sa demande rejetée (communication du 8 avril 2011), T._ a déclaré sa bonne volonté mais ne s'est pas soumis aux exigences de l'office AI. C'est pourquoi ce dernier l'a informé qu'il allait exécuter son avertissement (projet de décision du 29 avril 2011). L'assuré ayant avancé des excuses médicales pour ses absences, notamment l'existence de pathologies psychiatriques incapacitantes, non investiguées, l'administration a repris l'instruction sur les plans somatique et psychiatrique. Le docteur S._ n'a révélé aucun changement (rapport du 16 juin 2011) alors que la doctoresse D._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, a estimé que son patient était totalement incapable de travailler en raison d'un trouble schizoaffectif, d'une perturbation des émotions et des conduites en réaction à un facteur de stress important, d'une agoraphobie, d'un dysfonctionnement neurovégétatif, d'une personnalité paranoïaque et anxieuse avec traits schizoïdes et d'une somatisation (rapports des 20 juin et 27 décembre 2011). L'administration a encore confié la réalisation d'une nouvelle expertise au docteur F._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Celui-ci a écarté chaque diagnostic énoncé par la doctoresse D._ et a évoqué une majoration des symptômes physiques pour des raisons psychologiques sans effet sur la capacité de travail (rapport du 5 mars 2012). Se fondant sur une évaluation des documents médicaux par le docteur C._, médecin du SMR (avis du 20 mars 2012), l'office AI a à nouveau averti l'intéressé qu'il envisageait de rejeter sa requête (projet de décision du 4 avril 2012 annulant et remplaçant celui du 29 avril 2011). Il a écarté les critiques du psychiatre traitant contre l'expertise (rapport du 15 avril 2012) ainsi que les diverses observations de T._, dans la mesure où rien ne venait valablement contredire ses précédentes appréciations (avis du docteur E._, médecin du SMR, du 18 juin 2012), puis a confirmé son refus de prester (décision du 19 juillet 2012). B. L'assuré a déféré cette décision au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour des assurances, concluant à l'attribution d'une rente entière d'invalidité ou à la réalisation d'une expertise pluridisciplinaire. Il soutenait que l'administration avait indûment privilégié les avis des docteurs G._ et F._ alors que le premier n'avait pas tenu compte des allergies diagnostiquées, ni de l'impossibilité de trouver un emploi assimilant les limitations fonctionnelles importantes retenues et que le travail du second comportait des erreurs manifestes et était critiqué par plusieurs médecins spécialisés en psychiatrie. La doctoresse D._ a appuyé le recours de son patient (rapport du 25 septembre 2012). Le fils de l'assuré a décrit la situation de sa famille. L'office AI a conclu au rejet du recours. Le tribunal cantonal a rejeté le recours; il a considéré que les griefs de l'intéressé ne jetaient pas de doute sur la valeur probante des rapports médicaux sur lesquelles l'administration s'était fondée et a confirmé la décision entreprise (jugement du 25 février 2013). C. T._ recourt contre ce jugement dont il requiert la réforme ou l'annulation concluant sous suite de frais et dépens à la reconnaissance de son droit à une rente entière d'invalidité ou au renvoi du dossier aux premiers juges pour qu'ils statuent dans le sens des considérants. 