Sachverhalt: A. Die 1970 geborene A._ war als Sachbearbeiterin in der Firma X._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als sie am 29. Oktober 2003 einen Verkehrsunfall erlitt. Der von ihr gelenkte Peugeot 405 kam ausgangs einer Kurve bei einer Geschwindigkeit von ca. 60 km/h ins Schleudern, geriet rechts der Fahrbahn an eine ansteigende Böschung, überschlug sich und rutschte auf dem Dach liegend auf die andere Seite der Fahrbahn, wo er zum Stillstand kam. A._ wurde zur ambulanten Abklärung und Behandlung ins Spital Y._ überführt. Dort wurden eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS), Grad I, eine Kontusion der Brust- und der Lendenwirbelsäule sowie Hautabschürfungen an der linken Handinnenfläche und am rechten Mittelfinger diagnostiziert, und es wurde eine Arbeitsunfähigkeit bestätigt. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Mit Verfügung vom 31. März 2005 eröffnete sie der Versicherten die Einstellung der Leistungen auf den 17. April 2005; zudem wurde ein Anspruch auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung verneint. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch geklagten Beschwerden stünden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang zum Unfall vom 29. Oktober 2003. Daran hielt die SUVA auf die von A._ und deren Krankenversicherer erhobenen Einsprachen hin fest (Einspracheentscheid vom 10. November 2006). B. A._ erhob Beschwerde. Das Kantonsgericht Basel-Landschaft hiess diese gut, hob den Einspracheentscheid vom 10. November 2006 auf und verpflichtete die SUVA, über den 17. April 2005 hinaus Leistungen zu erbringen (Entscheid vom 8. August 2007). C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die SUVA die Aufhebung des kantonalen Entscheids. A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Eingaben vom 7. März und 9. April 2008 resp. 2. April 2008 ergänzen die Parteien ihre Vorbringen im Hinblick auf das Urteil BGE 134 V 109. Am 24. April und 3. Juni 2008 lässt sich die Versicherte erneut vernehmen. 