Sachverhalt: A. Die X._ Genossenschaft erwarb in Nennigkofen das in der Landwirtschaftszone gelegene Grundstück Gbbl. Nr. 132 und weitere angrenzende Grundstücksparzellen, um darauf landwirtschaftliche Erzeugnisse - insbesondere verschiedene Sorten von Gemüsen, Früchten und Beeren - zu produzieren und damit die Mitglieder der Genossenschaft wie auch andere Kunden zu versorgen. Für die Produktion von witterungsempfindlichem Gemüse (insbesondere Tomaten, Paprika, Auberginen und Gurken) wurde auf dem Grundstück Gbbl. Nr. 132 mit der Erstellung von fünf Folientunnel begonnen, ohne hierfür eine Baubewilligung einzuholen. Am 8. März 2012 erhoben Nachbarn bei der Einwohnergemeinde Nennigkofen Beschwerde. Zu diesem Zeitpunkt war ein Folientunnel fertiggestellt, bei den anderen vier stand erst das Metallgerüst. Die Baukommission der Einwohnergemeinde Nennigkofen verhängte gleichentags einen sofortigen Baustopp und forderte die Grundstückseigentümerin auf, ein nachträgliches Baugesuch inklusive Betriebskonzept einzureichen. Dieser Aufforderung kam die X._ Genossenschaft nach. Gegen das nachträgliche Baugesuch wurden in der Folge fünf Einsprachen eingereicht. Mit Verfügung vom 1. Juni 2012 verweigerte das Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn die nachträgliche Baubewilligung und ordnete an, die Folientunnel seien bis zum 30. September 2012 zu entfernen, und der ursprüngliche Zustand sei wiederherzustellen. Am 7. Juni 2012 nahm die X._ Genossenschaft die eingestellten Arbeiten wieder auf und überzog auch die restlichen vier Metallgestelle mit Folien. Am 14. Juni 2012 erhob die X._ Genossenschaft Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und beantragte in der Hauptsache, die Verfügung des Bau- und Justizdepartements sei aufzuheben, und die Baubewilligung sei zu erteilen. Mit Urteil vom 27. September 2012 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab (Dispositiv-Ziffer 1) und gewährte für den Abbau der Folientunnel eine Nachfrist bis zum 30. November 2012 (Dispositiv-Ziffer 2). B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 31. Oktober 2012 beantragt die X._ Genossenschaft in der Hauptsache die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts vom 27. September 2012 und die Erteilung der Baubewilligung. Eventualiter sei eine Ausnahmebewilligung gemäss Art. 24 RPG (SR 700) zu erteilen. Subeventualiter sei auf die Wiederherstellung des gesetzmässigen Zustands zu verzichten. Subsubeventualiter sei die Frist für den Abbau der Folientunnel auf den 30. November des Jahres festzulegen, in dem das Bundesgericht seinen Entscheid fälle. Mit Verfügung vom 28. November 2012 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. Das Verwaltungsgericht und das Bau- und Justizdepartement beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Beschwerdegegner (und ehemaligen Einsprecher) stellen das gleiche Rechtsbegehren und beantragen zusätzlich, für den Abbau der Folientunnel sei eine kurze Nachfrist anzusetzen. Die Einwohnergemeinde Nennigkofen hat keine Vernehmlassung zur Beschwerde eingereicht. Das Bundesamt für Raumentwicklung ARE verzichtet auf eine Stellungnahme. Die Eingaben wurden der Beschwerdeführerin zugestellt. Diese hat mit Schreiben vom 21. Juni 2013 mitgeteilt, dass sie in der Zwischenzeit vom Amt für Landwirtschaft des Kantons Solothurn offiziell als landwirtschaftlicher Betrieb anerkannt worden sei. 