Sachverhalt: A. Am 22. April 2009 erteilte die Bausektion der Stadt Zürich der Z._ AG die baurechtliche Bewilligung für einen Um- und Anbau am Wohnhaus Hönggerstrasse 20/Burgstrasse 21 auf dem Grundstück Kat.-Nr. WP2617 in Zürich 10 - Wipkingen. Der Umbau umfasst eine teilweise Änderung der inneren Einteilung mit neuem Treppenhaus vom Unter- bis zum Dachgeschoss, einen Ausbau des Dachgeschosses mit Dachaufbauten, Dachflächenfenstern und einer Anhebung des Dachs zu Wärmedämmzwecken. Das bisherige Nebengebäude Burgstrasse 21 soll abgebrochen und durch einen neuen, dreigeschossigen Anbau ersetzt werden. Der Anbau schliesst auf Höhe des dritten Obergeschosses des Haupthauses ab, mit einer Terrasse auf Höhe des vierten bzw. des Dachgeschosses. B. Gegen die Baubewilligung rekurrierten X._ und die Y._ an die Baurekurskommission I des Kantons Zürich. Diese wies den Rekurs am 20. November 2009 ab. C. Mit Beschwerde vom 31. Dezember 2009 gelangten X._ und die Y._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Am 2. Juni 2010 wies die I. Kammer, 1. Abteilung, des Verwaltungsgerichts die Beschwerde ab. D. Gegen den verwaltungsgerichtlichen Entscheid haben X._ und die Y._ am 4. September 2010 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht erhoben. Sie beantragen die Aufhebung des angefochtenen Entscheids sowie der Baubewilligung vom 22. April 2009. E. Die Stadt Zürich, die Z._ AG sowie das Verwaltungsgericht beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen (soweit darauf einzutreten sei). In ihrer Replik vom 16. November 2010 halten die Beschwerdeführer an ihren Anträgen fest. 