Sachverhalt: A. X._ (geb. 1953) und Y._ (geb. 1968) haben am 16. Dezember 2005 geheiratet. Sie sind die Eltern der Tochter Z._ (geb. 2006). B. B.a Im Herbst 2009 wurde gegen X._ eine Strafuntersuchung wegen Verdachts sexueller Handlungen mit seiner Tochter sowie wegen verbotener Pornographie eingeleitet. Am 21. September 2009 wies das Verhöramt Obwalden den Vater aus der ehelichen Wohnung und verbot ihm deren Betreten bis zum 1. Oktober 2009. Mit Eingabe vom 24. September 2009 beantragte Y._ beim Kantonsgerichtspräsidium Obwalden die superprovisorische Bestätigung und Aufrechterhaltung der Wegweisung und des Betretungsverbots. Zugleich stellte sie ein Eheschutzgesuch und ersuchte um Regelung des Getrenntlebens. B.b Der Kantonsgerichtspräsident II des Kantonsgerichts Obwalden entsprach dem superprovisorischen Massnahmegesuch am 2. Oktober 2009. Mit Verfügung vom 14. Juni 2010 fällte er den Eheschutzentscheid. Er stellte Z._ unter die Obhut von Y._, räumte dem Vater ein begleitetes Besuchsrecht ohne Übernachtungen und ohne Ferienrecht ein und errichtete zu diesem Zweck eine Besuchsrechtsbeistandschaft. Weiter wurde X._ zur Bezahlung von Unterhaltsbeiträgen verurteilt. Für Z._ belaufen sich diese auf Fr. 900.-- ab Oktober 2009 (Ziff. 5.1 der Verfügung); für Y._ auf Fr. 676.-- von Oktober bis Dezember 2009, auf Fr. 253.-- von Januar bis Juli 2010 und auf Fr. 541.-- ab August 2010 (Ziff. 5.2). C. X._ rekurrierte gegen diesen Entscheid mit Eingabe vom 23. August 2010. Er verlangte, Ziff. 5.1. und 5.2 der Verfügung des Kantonsgerichtspräsidenten II (Bst. B.b) seien dahingehend abzuändern, dass er den Unterhaltsbeitrag für Z._ von Fr. 900.-- lediglich von Oktober 2009 bis April 2010 und denjenigen für Y._ überhaupt nicht zu bezahlen habe. Das Obergericht des Kantons Obwalden wies den Rekurs ab und bestätigte die Verfügung des Kantonsgerichtspräsidenten II vom 14. Juni 2010 (Entscheid vom 12. April 2011). D. D.a Hierauf gelangt X._ (fortan "Beschwerdeführer") an das Bundesgericht. Er beantragt, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Obwalden vom 12. April 2011 aufzuheben. Er habe den monatlichen, vorauszahlbaren und ab Verfall zu 5 % verzinslichen Unterhaltsbeitrag für Z._ von Fr. 900.-- (zuzüglich Kinderzulagen) lediglich von Oktober 2009 bis April 2010 zu bezahlen und seiner Tochter ab Mai 2010 keine Unterhaltsbeiträge mehr auszurichten. Der Unterhaltsbeitrag für Y._ (fortan "Beschwerdegegnerin") sei für die Zeit von Oktober bis Dezember 2009 auf Fr. 676.-- und für die Zeit von Januar bis April 2010 auf Fr. 253.-- festzusetzen; ab Mai 2010 seien auch der Beschwerdegegnerin keine Unterhaltsbeiträge mehr geschuldet. Eventualiter ersucht der Beschwerdeführer darum, die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. D.b Das Obergericht des Kantons Obwalden hat auf eine Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet. Die Beschwerdegegnerin beantragt dessen Abweisung. Ferner ersucht sie für das bundesgerichtliche Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit Verfügung vom 23. Juni 2011 erteilte die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung; über das Rechtspflegegesuch der Besuchsgegnerin werde später entschieden werden. D.c In der Hauptsache wurden die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. 