Sachverhalt: A. Die Klewenalp befindet sich im Gebiet des ins Bundesinventar der Landschaften und Naturdenkmäler von nationaler Bedeutung (BLN) aufgenommenen BLN-Objekts Nr. 1606 "Vierwaldstättersee mit Kernwald, Bürgenstock und Rigi". W._ planen den Neubau einer Alpkäserei mit touristischer Nutzung (Schaukäserei) auf der Klewenalp und stellten dafür im Jahre 2009 ein entsprechendes Baugesuch für ihr in der Zone der Sport- und Freizeitanlagen liegendes Grundstück Nr. 1239 im Grundbuch Beckenried. Gegen das Baugesuch erhoben X._, Y._ und Z._, die als einfache Gesellschafter Gesamteigentümer der an das Baugrundstück angrenzenden Parzelle Nr. 659 im Grundbuch Beckenried sind, Einsprache. Am 3. Mai 2010 erteilte der Gemeinderat Beckenried die Baubewilligung unter Bedingungen und Auflagen und wies sämtliche dagegen erhobenen Einsprachen ab. B. Mit Beschluss vom 12. April 2011 wies der Regierungsrat des Kantons Nidwalden eine dagegen gerichtete Verwaltungsbeschwerde ab. C. Dagegen erhoben X._, Y._ und Z._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden, wobei sie nebst dem Antrag auf Verweigerung der Baubewilligung und Abweisung des Baugesuchs verschiedene Beweisanträge wie einen solchen auf Augenschein und Zeugeneinvernahme erhoben. Am 21. November 2011 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab. D. D.a. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht beantragen X._, Y._ und Z._, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und eventuell (die Sache) an dieses zur ergänzenden Sachverhaltsfeststellung zurückzuweisen. Zur Begründung machen sie im Wesentlichen eine Gehörsverletzung und willkürliche Beweiswürdigung wegen Abweisung ihrer Beweisanträge sowie einen Verstoss gegen das Umweltschutz-, das Natur- und Heimatschutz- sowie das Raumplanungsrecht des Bundes geltend, wobei unter anderem vorgetragen wird, es fehle ein Gutachten der Eidgenössischen Natur- und Heimatschutzkommission (ENHK). D.b. Im ersten Schriftenwechsel schliessen W._ sowie der Regierungsrat auf Abweisung der Beschwerde. Die Gemeinde Beckenried stellt Antrag auf Abweisung, soweit auf die Beschwerde einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Das Bundesamt für Umwelt BAFU hält in seiner Vernehmlassung vom 2. November 2012, ohne Antrag zu stellen, fest, hinsichtlich des Natur- und Heimatschutzes bestünden offene Fragen, die sich nicht mit der erforderlichen Klarheit beantworten liessen, weshalb die Baubewilligung für die Schaukäserei nicht erteilt werden könne. Hingegen entsprächen das Bauprojekt und das Urteil des Verwaltungsgerichts der Lärmschutzgesetzgebung des Bundes. E. E.a. Mit Replik vom 15. Januar 2013 präzisieren X._, Y._ und Z._ ihre Anträge. In der Sache verlangen sie neu, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und (die Sache) an das Verwaltungsgericht, eventuell an den Gemeinderat Beckenried zurückzuweisen. E.b. W._ sowie die Gemeinde Beckenried halten am Antrag auf Abweisung der Beschwerde fest. Der Regierungsrat und das Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden sowie das Bundesamt für Umwelt BAFU haben sich im zweiten Schriftenwechsel nicht geäussert. F. Am 18. März 2013 reichten X._, Y._ und Z._ dem Bundesgericht in einem dritten Schriftenwechsel weitere Bemerkungen ein, im Wesentlichen mit der Begründung, es seien neue Unterlagen eingereicht worden. W._ sowie der Regierungsrat liessen sich dazu vernehmen. Die Gemeinde Beckenried, das Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden und das Bundesamt für Umwelt BAFU haben sich nicht geäussert. G. G.a. Am 31. Mai 2013 gaben W._ ein Schreiben des Bundesamts für Umwelt BAFU vom 9. August 2009 zu den Akten, das ihnen angeblich neu zugetragen worden sei und belege, dass selbst das Bundesamt damals ein Gutachten der Eidgenössischen Natur- und Heimatschutzkommission (ENHK) als nicht erforderlich erachtet habe. G.b. X._, Y._ und Z._, der Regierungsrat des Kantons Nidwalden sowie das Bundesamt für Umwelt BAFU haben sich zu dieser neuen Eingabe geäussert. Die Gemeinde Beckenried und das Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden reichten keine Stellungnahme ein. H. H.a. Mit ungefragter Eingabe vom 11. Juli 2013 unterstrich der Regierungsrat des Kantons Nidwalden nochmals seinen Standpunkt. H.b. In ihrer letzten, am 23 August 2013 beim Bundesgericht eingegangenen Eingabe halten X._, Y._ und Z._ ohne weitere Bemerkungen an ihrem Standpunkt fest. 