Obergerichts des Kantons Luzern vom 1. Oktober 2001), hat sich ergeben: A.- B._ ist jugoslawischer Staatsangehöriger und wurde 1970 geboren. Er steht unter dem dringenden Verdacht, in der Zeit vom 9. bis zum 13. Oktober 1990 sowie am 28./29. Dezember 2000 und am 4. Januar 2001 verschiedene Einbruchdiebstähle verübt zu haben. Überdies sei er im Dezember 2000 zweimal unrechtmässig in die Schweiz eingereist. B._ befand sich vom 14. Oktober bis zum 6. November 1990 in Untersuchungshaft. Am 4. Januar 2001 wurde er erneut in Untersuchungshaft versetzt. Seit dem 8. Mai 2001 befindet er sich im vorzeitigen Strafvollzug. Am 10. September 2001 ersuchte B._ um Haftentlassung. Mit Entscheid vom 12. September 2001 wies die Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern das Gesuch ab. Den von B._ dagegen erhobenen Rekurs wies das Obergericht des Kantons Luzern am 1. Oktober 2001 ab. B.- B._ führt staatsrechtliche Beschwerde mit dem Antrag, die Entscheide des Obergerichts und der Staatsanwaltschaft aufzuheben; er sei unverzüglich aus der Haft zu entlassen. C.- Die Staatsanwaltschaft hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Obergericht hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. D.- B._ hat Bemerkungen zur Vernehmlassung des Obergerichts eingereicht. 