Sachverhalt: A. A.X._ ist als selbständig erwerbender Anwalt tätig. Zusammen mit seiner Ehefrau, B.X._ geb. Y._, hält er die S._ AG mit Sitz in F._/ZH. Der Ehemann ist Präsident und Delegierter, die Gattin Mitglied des Verwaltungsrates, je mit Einzelunterschrift. Die Gesellschaft bezweckt statutengemäss das Halten und Verwalten sowie Erwerben und Veräussern von Beteiligungen an Gesellschaften, insbesondere im Bereich der Industrie, das Tätigen von Finanz-, Leasing- und Immobiliengeschäften und das Besorgen des Cash-Managements in der Holdinggruppe. B. C.Z._ ist Mehrheitsaktionär der T._ Holding AG in G._/ZG. Die Holdinggesellschaft beherrscht namentlich eine hier interessierende Investmentgesellschaft. Am 3. Februar 2006 schlossen A.X._ und die S._ AG einerseits und C.Z._ anderseits einen Mäklervertrag ("Brokerage Agreement"), der vor Bundesgericht bereits Gegenstand der direktsteuerlichen Beurteilung des Steuerjahrs 2006 bildete (Urteil 2C_941/2012 / 2C_942/2012 vom 9. November 2013). Der Zweck des Vertrags wurde wie folgt umschrieben: "The principal [C.Z._] hereby appoints the brokers [A.X._ und S._ AG] jointly as his brokers according to art 412 ss of the Swiss Code of Obligations and grants the brokers jointly the non-exclusive right to provide an opportunity to conclude a sale and purchase agreement (...) with a purchaser procured by the brokers for the target [die Investmentgesellschaft] for a term commencing on February 1, 2006, and ending on June 30, 2006." Im Anhang zum Vertrag wird die U._ in H._ (NL) bereits als "purchaser procured by the brokers" angeführt. Als Entschädigung wurde ein Mäklerlohn ("brokerage fee") von 1,0 Prozent des gesamten Kaufpreises vereinbart, mit dem Nachsatz "plus VAT, if any" (Vertrag Ziff. 3.1). Das Honorar des Mäklers war erst zahlbar nach Abschluss des Kaufvertrags für die Investmentgesellschaft (Vertrag Ziff. 3.2). Im Weiteren kamen die Parteien überein, der Mäklerlohn sei auch dann geschuldet, wenn es gelinge, innerhalb von sechs Monaten seit dem Auslaufen oder der Kündigung des Vertrags die Investmentgesellschaft an eine von den Mäklern nachgewiesene Käuferschaft zu veräussern (Vertrag Ziff. 7), und dass die Parteien den Vertrag jederzeit gemeinsam auflösen könnten (Vertrag Ziff. 6). Die Parteien vereinbarten, etwaige Berichtigungen, Ergänzungen, Änderungen oder der Verzicht auf irgend eine Bestimmung in diesem Vertrag seien nur dann wirksam, wenn beide Parteien schriftlich zugestimmt haben (Vertrag Ziff. 8.2). Am 27. Juni 2006 verständigten die Parteien sich auf eine Neuformulierung von Ziff. 3.1 und setzten den Mäklerlohn auf 0,75 Prozent herab, wiederum mit dem Nachsatz "plus VAT, if any". C. Am 19./24. Juli 2006 kam ein zweiter Mäklervertrag mit weitgehend identischem Inhalt zustande, geschlossen nunmehr zwischen C.Z._ (hiernach: der Principal) und der S._ AG (hiernach: die Brokerin). Diese wurde durch A.X._ (hiernach: der Verwaltungsratspräsident) vertreten. Der Vertrag sah eine Laufzeit vom 1. Februar 2006 bis zum 30. September 2006 vor. Im Anhang zum Vertrag wird als "purchaser procured by the broker" abermals die (allerdings umfirmierte) V._ in H._ (NL) genannt. In der Folge gelang der Verkauf der Investmentgesellschaft zu einem unbekannten Zeitpunkt, worauf am 7. November 2006 der vereinbarte Mäklerlohn von 0,75 Prozent des Kaufpreises, ausmachend Fr. ..., an die Brokerin überwiesen wurde. Diese verbuchte den Umsatz in ihrer Erfolgsrechnung 2006 als Honorarertrag. D. Am 23. Juni 2006 forderte die Brokerin bei der Eidgenössischen Steuerverwaltung (hiernach: ESTV) den Fragebogen zur Anmeldung als Mehrwertsteuerpflichtige an. Im E-Mail hielt sie fest, sie sei seit dem Jahr 1999 nicht mehrwertsteuerpflichtig gewesen und habe erstmals im Jahr 2006 [wieder] einen Auftrag mit einem mehrwertsteuerpflichtigen Umsatz erzielt. In der Folge ersuchte die Brokerin mit Schreiben vom 3. August 2006 schriftlich um Bestätigung dessen, dass mit der gestützt auf den Vertrag vom 19./24. Juli 2006 erfolgten einmaligen Mäklertätigkeit keine Mehrwertsteuerpflicht begründet werde. Die ESTV verwarf diese Ansicht und verlangte am 13. September 2006 die Einreichung des ausgefüllten Fragebogens. Mit Schreiben vom 22. Dezember 2006 vertrat die Brokerin abermals den Standpunkt, sie sei nicht subjektiv steuerpflichtig. Die ESTV verfügte mit Entscheid vom 10. Juni 2008, die Brokerin werde auf den 1. Februar 2006 ins Register der Mehrwertsteuerpflichtigen eingetragen. Dagegen erhob die Brokerin am 10. Juli 2008 Einsprache, die mit Einspracheentscheid vom 30. Juli 2012 abgewiesen wurde. Gleichzeitig setzte die ESTV die geschuldete Steuer - unter Kontrollvorbehalt - auf Fr. ... zuzüglich Verzugszinsen fest (7,6 Prozent von Fr. ...). E. Die Brokerin reichte am 14. September 2012 Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht ein mit den Rechtsbegehren, es sei der angefochtene Einspracheentscheid vom 30. Juli 2012 aufzuheben und es sei festzustellen, dass die Brokerin nicht steuerpflichtig sei, weswegen sie für die Zeit vom 1. Januar bis 31. Dezember 2006 keine Mehrwertsteuer schulde. Eventualiter sei der Einspracheentscheid teilweise aufzuheben und die Sache zur Festsetzung der Steuerforderung an die ESTV zurückzuweisen, subeventualiter sei die Steuerforderung auf Fr. ... festzusetzen. Die Brokerin machte hauptsächlich geltend, es mangle an einer gewerblichen oder beruflichen Tätigkeit, insbesondere fehle die Nachhaltigkeit und die Dauerhaftigkeit; die Steuerpflicht beginne gegebenenfalls frühestens am 1. Januar 2007. Mit Schreiben vom 25. Oktober 2013 verzichtete die ESTV auf eine Vernehmlassung und wies lediglich darauf hin, die Mehrwertsteuer werde grundsätzlich nach dem vereinbarten Entgelt abgerechnet und das "Brokerage Agreement" halte das Entgelt mit "0,75 % of the total purchase price (...) plus VAT, if any" fest. Mit Urteil A-4819/2012 vom 9. Juli 2013 hiess das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde gut, soweit es darauf eintrat, und hob es den Einspracheentscheid vom 30. Juli 2012 auf. F. Mit Eingabe vom 13. September 2013 erklärt die ESTV beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt, das Urteil vom 9. Juli 2013 sei aufzuheben, soweit die Vorinstanz auf die Beschwerde eingetreten war, und es sei der Einspracheentscheid vom 30. Juli 2012 zu bestätigen. Die Brokerin beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. Eventualiter sei die Beschwerde abzuweisen und das angefochtene Urteil zu bestätigen. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die Beschwerdeantwort der Brokerin veranlasst die ESTV zu einer Stellungnahme. Schliesslich reicht sie das Urteil 2C_941/2012 / 2C_942/2012 vom 9. November 2013 nach (siehe schon vorne lit. B). 