Faits: A. Ressortissante française née à Genève en 1982, A._ est atteinte depuis son enfance d'épilepsie et présente des troubles envahissants du développement et une intelligence limite (rapport de la doctoresse M._ du 14 juillet 2004). Après avoir effectué la plus grande partie de sa scolarité dans des établissements spécialisés en Suisse, l'intéressée vit depuis le 23 octobre 2000 à l'Institut X._. Incapable d'exercer une activité lucrative, elle est titulaire d'une autorisation de séjour "B" (CE/AELE) et affiliée comme personne sans activité lucrative auprès de la Caisse cantonale vaudoise de compensation. Ses parents, domiciliés en France, travaillent en Suisse depuis de nombreuses années. Le 7 janvier 2004, A._ a présenté une demande de prestations à l'assurance-invalidité tendant à l'octroi d'une rente. Par décision du 17 novembre 2004, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a dénié à la requérante tant le droit à une rente ordinaire, faute d'en remplir les conditions, que celui à une rente extraordinaire d'invalidité, motif pris de l'absence de domicile en Suisse. L'intéressée s'est opposée au refus de la rente extraordinaire, mais l'office AI a maintenu son point de vue par décision sur opposition du 9 septembre 2005. B. Statuant le 22 janvier 2007 sur le recours formé par A._ contre cette décision, le Tribunal des assurances du canton de Vaud l'a rejeté. C. A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande la réforme en ce sens que lui soit accordée une rente extraordinaire de l'assurance-invalidité à partir du 1er janvier 2003. L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales, Secteur Conventions internationales, en propose l'admission. 