Faits: A. Par un recours en matière civile, daté du 13 septembre 2012, X._ a déféré au Tribunal fédéral un arrêt rendu le 11 juin 2012 par la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois, laquelle avait qualifié de contrat d'agence au sens des art. 418a ss CO la convention ayant lié le prénommé à Y._ AG et rejeté en conséquence les prétentions que celui-ci avait fondées contre ladite société sur la passation entre les parties d'un contrat individuel de travail (art. 319 CO). Par arrêt 4A_533/2012 du 6 février 2013, la Ire Cour de droit civil du Tribunal fédéral a rejeté le recours en matière civile dans la mesure de sa recevabilité. Elle a admis qu'il n'y avait eu aucun rapport de subordination entre les parties alors qu'elles étaient liées contractuellement et que c'était ainsi à bon droit que la cour cantonale avait admis que celles-ci avaient alors conclu un contrat d'agence. B. Par un mémoire daté du 22 mars 2013, X._ demande la révision de l'arrêt 4A_533/2012. Se référant à l'art. 121 let. d LTF, il fait valoir que des faits pertinents ressortant du dossier n'auraient pas été pris en considération par mégarde. Par ordonnance présidentielle du 13 mai 2013, l'effet suspensif requis par le requérant lui a été accordé. L'intimée conclut au rejet de la demande de révision dans la mesure de sa recevabilité. 