Sachverhalt: A. X._ ist die alleinige Erbin des am 23. Mai 2004 in Davos verstorbenen S._, der einen reinen Nachlass (vor Steuern) von Fr. 758'400.-- hinterliess. Aufgrund einer Begünstigungsklausel ging eine Todesfallleistung von Fr. 112'837.-- an die am 6. November 2004 ebenfalls verstorbene Schwester des Erblassers, T._, deren alleinige Erbin Y._ ist. B. Mit Verfügung vom 22. Juni 2006 erhob die Steuerverwaltung des Kantons Graubünden auf dem reinen Nachlass von S._ die kantonale Nachlasssteuer von 4%, d.h. Fr. 30'336.--. Diese Verfügung blieb unangefochten und erwuchs in Rechtskraft. Am 28. Juni 2008 veranlagte die Gemeinde Davos bei X._ die kommunale Erbschaftssteuer von insgesamt Fr. 72'800.--, die ebenfalls unangefochten blieb. C. Mit Brief vom 9. Juni 2008 forderte X._ Y._ erfolglos auf, ihr den auf die Erbquote von T._ entfallenden Anteil an der Nachlass- und der Erbschaftssteuer, d.h. insgesamt Fr. 15'345.--, zurückzuerstatten. D. Am 25. Mai 2009 ersuchte X._ die kantonale Steuerverwaltung, Y._ per Verfügung zu verpflichten, ihr den eingeforderten Betrag zu bezahlen. Die Steuerverwaltung verwies die Gesuchstellerin auf den Zivilweg. Dagegen erhob X._ erfolglos Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden. E. Am 8. Januar 2010 hat X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht eingereicht. Sie stellt den Antrag, das verwaltungsgerichtliche Urteil vom 27. Oktober 2009 aufzuheben; Y._ sei zu verpflichten, den ihrer Erbquote entsprechenden Anteil an der Nachlass- und der Erbschaftssteuer zuzüglich Zins zu bezahlen. Eventuell sei die Sache an die kantonale Steuerverwaltung zurückzuweisen, damit diese Y._ verpflichte, ihr den genannten Betrag zu bezahlen. Sie rügt eine Rechtsverweigerung (Art. 29 Abs. 1 BV) sowie eine Verletzung des Anspruchs auf ein gesetzmässiges, unabhängiges und unparteiisches Gericht (Art. 30 Abs. 1 BV). F. Die Steuerverwaltung und das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Y._ hat sich nicht vernehmen lassen. 