Sachverhalt: A. B. Y._ (Arbeitnehmer) war seit 1. November 1977 für die X._ (Beschwerdegegnerin), ab 1. Januar 1978 in der Funktion als Direktor, tätig. Die X._ kündigte das Arbeitsverhältnis mit Schreiben vom 17. März 2006 auf den 31. Dezember 2006. Der Arbeitnehmer focht diese Kündigung am 6. März 2007 klageweise beim Zivilgericht Basel-Stadt an und beantragte, die X._ sei zu verurteilen, ihm Fr. 234'951.25, eventualiter Fr. 443'073.85, jeweils zuzüglich Verzugszins zu 5 % seit 1. März 2007, zu bezahlen. Die X._ stellte das Rechtsbegehren, die Klage sei abzuweisen und verlangte widerklageweise, es sei festzustellen, dass die Kündigung gültig sei, das Arbeitsverhältnis der Parteien folglich am 31. Dezember 2006 geendet habe und keine weiteren Lohnzahlungen mehr geschuldet seien. Am 6. Dezember 2007 reichte der Arbeitnehmer dem Zivilgericht eine weitere Klage ein mit dem Rechtsbegehren, die X._ habe ihm ein Arbeitszeugnis auszustellen. Mit Verfügung vom 21. Juli 2008 sistierte das Zivilgericht das Verfahren bis zum Abschluss des Prozesses betreffend Forderung aus Arbeitsverhältnis. Der Ausschuss des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt wies die gegen die Sistierungsverfügung erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 5. November 2008). Ebenfalls am 5. November 2008 wies das Zivilgericht Basel-Stadt die Klage betreffend Forderung aus Arbeitsverhältnis ab und trat auf die Feststellungswiderklage nicht ein. B. Gegen den Entscheid des Zivilgerichts betreffend Forderung aus Arbeitsverhältnis vom 5. November 2008 erhob B. Y._ in Erneuerung seiner Anträge Appellation. Am 5. Dezember 2009 ist er verstorben. Seine Ehefrau, A. Y._ (nachfolgend: Beschwerdeführerin), trat als Rechtsnachfolgerin in das Verfahren ein. Sie erkundigte sich mit Schreiben vom 18. November 2010 nach den beteiligten Richtern im Appellationsverfahren und stellte in der Folge mit Eingabe vom 26. November 2010 ein Gesuch um Ablehnung der Appellationsgerichtspräsidenten L._ und M._ wegen Befangenheit. Nach Durchführung einer mündlichen Verhandlung wies das Appellationsgericht - in einer Besetzung ohne L._ und M._ - das Ablehnungsbegehren gegen die zwei Gerichtsmitglieder ab (Zwischenurteil vom 22. Dezember 2010). Im Anschluss daran änderte das Appellationsgericht - in einer Besetzung mit L._ und M._ - den Entscheid des Zivilgerichts betreffend Kündigung insoweit ab, als es festhielt, die X._ habe der Beschwerdeführerin eine Genugtuung in der Höhe von Fr. 8'500.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 1. März 2007 zu bezahlen; im Übrigen wies es die Appellation ab (Urteil vom 22. Dezember 2010). C. A. Y._ führt gegen das Zwischenurteil vom 22. Dezember 2010 Beschwerde in Zivilsachen mit dem Rechtsbegehren, das Ablehnungsbegehren gegen die Appellationsgerichtspräsidenten L._ und M._ sei gutzuheissen. Gegen das Urteil betreffend Forderung aus Arbeitsverhältnis erhebt A. Y._ ebenfalls Beschwerde in Zivilsachen (Verfahren 4A_306/2011). Das Bundesgericht hat mit präsidialer Verfügung vom 9. Juni 2011 das Gesuch von A. Y._ um Vereinigung der Verfahren 4A_306/2011 und 4A_308/2011 abgewiesen. L._ und das Appellationsgericht lassen sich in je einer separaten Antwort in abweisendem Sinn vernehmen. Die X._ beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden könne. A. Y._ hat sich am 20. Oktober 2011 zu diesen Eingaben geäussert. Die X._ hat am 7. November 2011 eine weitere Vernehmlassung einreichen lassen. 