Sachverhalt: A. A.a Auf Begehren der Z._ AG erliess der Amtsgerichtspräsident am Richteramt Solothurn-Lebern am 2. Oktober 2008 gestützt auf Art. 271 Abs. 1 Ziff. 4 SchKG einen Arrestbefehl gegenüber Y._ für eine Forderung von insgesamt Fr. 80'688.20 (nebst Zinsen) für Gerichtskosten und Parteientschädigungen aus drei Gerichtsurteilen. Als Arrestgegenstände wurden ein Motorrad Harley-Davidson VRSCA V-Rod und ein Personenwagen Audi A8 W12 quattro, beide eingelöst auf die X._ AG in A._, bezeichnet. Der Arrest wurde am 3. Oktober 2008 durch das Betreibungsamt Region Solothurn vollzogen, wobei lediglich der Audi A8 auffindbar war und mit Arrest belegt wurde. A.b Gegen den Arrestbefehl erhob die X._ AG in A._ Einsprache. Mit Urteil vom 14. November 2008 wies der Gerichtspräsident von Solothurn-Lebern die Arresteinsprache und das Eventualbegehren betreffend Sicherheitsleistung für allfälligen Arrestschaden ab. Gegen den Entscheid über die Arresteinsprache gelangte die X._ AG an das Obergericht (Zivilkammer) des Kantons Solothurn, welche den Rekurs mit Urteil vom 25. Februar 2009 abwies. B. B.a Mit Arrestbefehl vom 4. November 2008 hiess der Gerichtspräsident 3 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen ein Arrestgesuch der Z._ AG gut und wies das Betreibungsamt Bern-Mittelland (Dienststelle Bern) an, für eine Arrestforderung von ebenfalls insgesamt Fr. 80'688.20 (nebst Zinsen) für Gerichtskosten und Parteientschädigungen aus den drei erwähnten Gerichtsurteilen das Guthaben des Bankkontos Bank S._ Nr. 1, lautend auf Y._/X._ AG, zu verarrestieren. B.b Gegen den Arrestbefehl erhob die X._ AG Einsprache. Mit Urteil vom 19. Januar 2009 wies der Gerichtspräsident 3 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen die Arresteinsprache ab und bestätigte die Arrestbewilligung. Gegen den Entscheid über die Arresteinsprache gelangte die X._ AG an das Obergericht des Kantons Bern (Appellationshof, 2. Zivilkammer), welche die Appellation mit Urteil vom 26. Juni 2009 abwies. C. C.a Die X._ AG führt mit Eingabe vom 1. April 2009 Beschwerde in Zivilsachen (Verfahren 5A_225/2009). Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht, das Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn aufzuheben und das Arrestgesuch der Z._ AG abzuweisen bzw. den Arrestbefehl vom 2. Oktober 2008 aufzuheben. Eventuell sei die Beschwerdegegnerin zu einer Sicherheitsleistung von Fr. 74'000.-- zu verpflichten. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet und schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Z._ AG als Beschwerdegegnerin beantragt ebenfalls die Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdeführerin hat unaufgefordert eine Replik eingereicht; ein weiterer Schriftenwechsel wurde nicht angeordnet. C.b Die X._ AG gelangt mit Eingabe vom 29. Juli 2009 mit einer weiteren Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht (Verfahren 5A_501/2009) und verlangt, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern aufzuheben und das Arrestgesuch der Z._ AG abzuweisen bzw. den Arrestbefehl vom 4. November 2008 aufzuheben. Weiter ersucht die Beschwerdeführerin um Sistierung dieses Beschwerdeverfahrens. In diesem Verfahren sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. 