Sachverhalt: A. A.a X._ (nachfolgend: Beschwerdeführer) und Z._ (nachfolgend: Beschwerdegegnerin) sind die nicht verheirateten Eltern des 2000 geborenen Sohnes Y._, den der Vater bereits am 3. August 2000 im Sinne von Art. 260 ZGB vor dem Zivilstandsbeamten anerkannt hatte. Am 15. Januar 2001 unterzeichneten die in einem gemeinsamen Haushalt wohnenden Eltern eine Vereinbarung betreffend gemeinsame elterliche Sorge, in der sie überdies den gemeinsamen Unterhalt und die Betreuung des Sohnes regelten. Mit Beschluss vom 15. Februar 2001 übertrug die Vormundschaftsbehörde der Stadt A._ gestützt auf Art. 298a Abs. 1 ZGB den nicht verheirateten Eltern die gemeinsame elterliche Sorge über den Sohn und genehmigte ihre Vereinbarung über die Anteile an der Betreuung des Kindes und die Verteilung der Unterhaltskosten. A.b Im Verlaufe des Jahres 2002 zog der Vater wegen Beziehungsschwierigkeiten aus dem gemeinsamen Haushalt der Parteien aus, worauf die Mutter am 6. August 2004 den Bezirksrat A._ als untere vormundschaftliche Aufsichtsbehörde darum ersuchte, ihr das alleinige Sorgerecht zu übertragen. Im nachfolgenden Verfahren stellte die Vormundschaftsbehörde entsprechend Antrag. Nachdem überdies die Parteien angehört worden waren, beschloss der Bezirksrat, die gemeinsame elterliche Sorge aufzuheben und die alleinige Sorge über den Sohn der Mutter zu übertragen. Den dagegen erhobenen Rekurs des Beschwerdeführers wies das Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, mit Beschluss vom 15. Dezember 2005 ab und bestätigte den bezirksrätlichen Beschluss. Die Parteien wurden zudem eingeladen, binnen 30 Tagen eine Vereinbarung über den Unterhalt des Kindes und das Besuchsrecht des Vaters einzureichen. A.c Die vom Beschwerdeführer gegen den obergerichtlichen Beschluss beim Bundesgericht eingereichte Berufung wurde mit Urteil vom 27. Juni 2006 abgewiesen, soweit darauf einzutreten war (5C.34 /2006). B. B.a Da die Eltern von Y._ in der Folge nicht in der Lage waren, eine einvernehmliche Lösung vorzulegen, wandte sich die Vormundschaftsbehörde am 11. Oktober 2006 an den damaligen Leiter des Institutes S._ mit dem Ersuchen, die Verhältnisse fachkundig abzuklären und den Vorschlag für eine Kontaktregelung vorzulegen, der den Interessen und Bedürfnissen des Kindes bestmöglich Rechnung trage. Der Bericht des Experten liegt noch nicht vor. B.b Am 12. Juli 2007 stellte der Beschwerdeführer beim Bezirksrat den formellen Antrag, es sei die Sorge für Y._ dessen Mutter zu entziehen und auf ihn, den Beschwerdeführer, zu übertragen. Während der Dauer des Verfahrens solle er berechtigt sein, das Kind die Hälfte der Zeit zu sich zu nehmen und zu betreuen, nach Umteilung der Sorge solle formell das Gegenteil gelten, solle nämlich die Mutter die Hälfte der Zeit Y._ zu sich nehmen und betreuen dürfen. Der Bezirksrat überwies die Sache der Vormundschaftsbehörde. Am 29. November 2007 beschloss die Vormundschaftsbehörde, dem Bezirksrat die Abweisung des Gesuchs um Umteilung der Sorge zu beantragen. Für die Dauer des Verfahrens wurde festgelegt, dass Y._ in den ungeraden Kalenderwochen das ganze Wochenende (nämlich von Freitag Schulschluss bis Montag Schulbeginn) mit dem Vater verbringen solle. Die Eltern wurden ermahnt, alles zu unterlassen, was das Verhältnis des Kindes zum anderen Teil beeinträchtige oder die Aufgabe des Erziehens erschwere, und es wurde für Y._ zusätzlich zur bestehenden Beistandschaft eine solche mit einer eigenen (anderen) Beiständin zur Umsetzung und Überwachung der Kontakte zum Vater errichtet. Innert Frist focht der Rekurrent diesen Beschluss nicht an. B.c Mit unverlangter Eingabe vom 12. März 2008 nahm der Beschwerdeführer gegenüber dem Bezirksrat Stellung zum Beschluss der Vormundschaftsbehörde. Er liess sich zur Frage der Sorge vernehmen und stellte den Antrag, es sei ihm "ab sofort ein Besuchsrecht jede zweite Woche, d.h. von jeweils jedem zweiten Freitag ab Schulschluss bis Schulbeginn am nächsten Freitag zu gewähren". Der Bezirksrat beschloss am 12. Juni 2008, die elterliche Sorge der Mutter von Y._ nicht zu entziehen. Auf den Antrag betreffend das Besuchsrecht trat er nicht ein. B.d Der vom Beschwerdeführer beim Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, eingereichte Rekurs hatte keinen Erfolg. Mit Beschluss vom 24. Juli 2008 wurde das Rechtsmittel abgewiesen und der Beschluss des Bezirksrats vom 12. Juni 2008 wurde bestätigt. C. Mit Eingabe vom 15. September 2008 hat der Beschwerdeführer die Sache an das Bundesgericht weitergezogen und beantragt in der Hauptsache die Rückweisung an das Obergericht. Eventualiter sei der Beschwerdegegnerin die elterliche Sorge über den Sohn Y._ zu entziehen und auf den Beschwerdeführer zu übertragen, und ferner sei die Beschwerdegegnerin berechtigt zu erklären, den Sohn während der Hälfte der Zeit zu sich oder mit sich auf Besuch zu nehmen bzw. zu betreuen. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt. 