Sachverhalt: A. Die 1977 geborene S._, Mutter zweier Söhne (geb. Oktober 2004 und August 2005), meldete sich im März 2003 erstmals bei der Invalidenversicherung für berufliche Massnahmen an. Als die Versicherte ihren Antrag im September 2003 zurückzog, schrieb die IV-Stelle Basel-Stadt das Gesuch als gegenstandslos geworden ab (Mitteilung vom 25. September 2003). Im Oktober 2010 meldete sich S._ erneut zum Leistungsbezug an unter Hinweis auf "Borderline, Schizophrenie, Ängste", bestehend seit 2003. Die IV-Stelle klärte die medizinischen und erwerblichen Verhältnisse ab. Sie führte eine Haushaltabklärung durch (Bericht vom 12. April 2011), liess die Versicherte durch Dr. med. I._ psychiatrisch begutachten (Gutachten vom 30. September 2011) und holte bei ihrem Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) eine Stellungnahme ein (erstattet am 17. November 2011). Vorbescheidweise stellte sie die Abweisung des Leistungsbegehrens in Aussicht (anhand der gemischten Methode ermittelter Invaliditätsgrad: 35 %). Daran hielt sie mit Verfügung vom 21. März 2012 fest. B. Beschwerdeweise liess S._ beantragen, die Verfügung sei aufzuheben und es sei ihr ab 1. April 2011 eine Viertelsrente und ab 1. August 2011 eine ganze Rente zuzusprechen. Eventualiter sei die Sache an die IV-Stelle zurückzuweisen. Nach Einreichung der Vernehmlassung gab die IV-Stelle einen zwischenzeitlich bei ihr eingegangenen Abschlussbericht der Klinik X._ vom 26. Januar 2012 zu den Akten; sie äusserte sich dazu in einer weiteren Eingabe unter Hinweis auf eine beim RAD eingeholte Stellungnahme (erstattet am 12. Juli 2012). Die Versicherte reichte replicando einen Bericht des Dr. med. H._, Praxis für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 23. September 2012 ein. Mit Entscheid vom 20. März 2013 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt die Beschwerde ab. Dabei wendete es ebenso die gemischte Methode der Invalidtiätsbemessung an, mit einem je hälftigen Anteil von Haushalt (Einschränkung 17 %) und Erwerb (Einschränkung 60 %), und gelangte so zu einem Invaliditätsgrad von 38,5 %. C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und das Rechtsbegehren stellen, der kantonale Entscheid sei aufzuheben. Die Sache sei zur Durchführung weiterer Abklärungen an die IV-Stelle zurückzuweisen. Ferner sei ihr für das letztinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung zu gewähren. Eine weitere Eingabe von S._ datiert vom 16. Juli 2013; sie wurde den Verfahrensbeteiligten zur Kenntnisnahme zugestellt. 