Faits: Faits: A. A.a Par acte authentique du 26 mai 1981, la Banque A._ (ci-après: A._ ou la banque) a octroyé à C._ un crédit en compte courant de 130'000 fr. garanti par un cautionnement solidaire de 156'000 fr. émanant de B._, ainsi que par une hypothèque grevant en deuxième rang les parcelles Nos xxx, yyy et zzz, plan N° 1, composées de vignes et sises au lieu-dit M._ sur le territoire de la Commune de O._ , biens-fonds que C._ a acquis le même jour. Ces vignes ont été achetées le 25 février 1983 par D._, qui a repris la dette du vendeur auprès de la Banque A._. B._ a déclaré le 14 décembre 1983 maintenir en faveur du compte repris par D._ l'engagement qu'elle avait contracté le 26 mai 1981 en tant que caution solidaire. A.b La limite du crédit en compte courant ayant été régulièrement dépassée, la banque a dénoncé le prêt le 24 mai 1995 et réclamé pour le 5 juillet 1995 le paiement de 137'591 fr.90 en capital. Le 15 mars 1996, la Banque A._ a informé B._ que D._ ne s'était pas acquitté de l'excédent de crédit et qu'elle allait entamer une procédure de poursuite contre lui. Par un commandement de payer notifié le 30 mars 1996, la banque a introduit une poursuite en réalisation de gage à l'encontre de D._. A.c Le 3 juillet 1996, B._, par l'intermédiaire d'un avocat, a fait savoir à la banque que celle-ci avait tardé à agir contre le débiteur principal depuis la dénonciation de crédit du 24 mai 1995, si bien qu'elle était mise en demeure d'agir sans interruption notable. Le 10 juillet 1996, l'office des poursuites compétent a informé la banque du fait qu'une taxation des parcelles appartenant à D._ avait été requise. Les immeubles ont été estimées le 16 juillet 1996 par les taxateurs officiels de la commune de O._. Le 30 octobre 1996, les parcelles ont fait l'objet d'une estimation sous les auspices du Département valaisan de l'économie publique; le prix licite a été fixé à 19 fr. 50 le m2 quant à la vigne et à 1 fr. le m2 pour le terrain inculte. Le 24 janvier 1997, la banque a été avisée du fait que la vente aux enchères des biens immobiliers de D._ aurait lieu le 10 avril 1997. En vue des enchères, la Banque A._ a présenté le 7 février 1997 une production de 157'465 fr. Le 20 mars 1997, la banque a eu connaissance d'une possibilité de vente de gré à gré des trois parcelles pour le prix licite et en a informé B._. Dès cette date, la Banque A._ savait que sa créance ne serait pas couverte par la réalisation des immeubles gagés, dont le produit servirait au remboursement d'un autre crédit, garanti par une hypothèque en premier rang. Le 22 octobre 1997, la Banque A._ a intenté une poursuite ordinaire contre D._ tendant au paiement en capital de 163'118 fr.20, ce dont elle a fait part à la caution. Le 3 mars 1998, la banque a prévenu la caution que le salaire du poursuivi allait être saisi à concurrence de 500 fr. par mois dès octobre 1998 et qu'elle obtiendrait un acte de défaut de biens. Le 18 décembre 1998, il a été délivré à la banque un acte de défaut de biens après saisie pour la somme de 114'780 fr.90. Le 22 octobre 1997, la Banque A._ a intenté une poursuite ordinaire contre D._ tendant au paiement en capital de 163'118 fr.20, ce dont elle a fait part à la caution. Le 3 mars 1998, la banque a prévenu la caution que le salaire du poursuivi allait être saisi à concurrence de 500 fr. par mois dès octobre 1998 et qu'elle obtiendrait un acte de défaut de biens. Le 18 décembre 1998, il a été délivré à la banque un acte de défaut de biens après saisie pour la somme de 114'780 fr.90. B. B.a Se fondant sur le cautionnement solidaire souscrit par B._ le 26 mai 1981 et renouvelé le 14 décembre 1983 en faveur de D._, la Banque A._ a fait notifier à la prénommée le 22 octobre 1998 un commandement de payer la somme de 113'772 fr. 30 plus intérêts, que la poursuivie a frappé d'opposition. Le 22 février 1999, la mainlevée provisoire de l'opposition a été prononcée. Le 18 mars 1999, B._ a ouvert action en libération de dette contre la banque. La défenderesse a conclu au rejet de la demande. Le 18 mai 2001, la banque a déposé en cause une déclaration, signée par B._, selon laquelle celle-ci renonçait, sans reconnaissance de responsabilité, à la prescription dans le cadre de la procédure l'opposant à la Banque A._, cela pour le cas où cette prescription interviendrait en cours de procédure et ne serait pas déjà atteinte. Par jugement du 11 décembre 2001, la IIe Cour civile du Tribunal cantonal valaisan a admis l'action en libération de dette et a maintenu l'opposition formée au commandement de payer, considérant qu'en application de l'art. 509 al. 3 CO, le cautionnement était périmé. Par arrêt du 1er juillet 2002, le Tribunal fédéral a admis le recours en réforme interjeté contre ce jugement par la Banque A._ et renvoyé la cause à l'autorité cantonale pour qu'elle en poursuive l'examen et qu'elle rende une nouvelle décision dans le cadre des moyens invoqués par B._ à l'appui de son action en libération de dette, moyens qui n'avaient pas été examinés en raison de la solution adoptée. B.b Par jugement du 16 janvier 2003, la Cour civile II du Tribunal cantonal valaisan a partiellement admis l'action en libération de dette en ce sens que la demanderesse devait à la Banque A._ le montant de 137'157 fr.20 plus intérêts à 5 % dès le 6 juillet 1995, sous déduction de 61'266 fr.90, valeur au 2 mai 1998, la mainlevée définitive étant prononcée à due concurrence. Saisi d'un recours en réforme interjeté par B._, le Tribunal fédéral, par arrêt du 8 juillet 2003, a renvoyé la cause à l'autorité cantonale afin de compléter l'état de fait en vue de déterminer si la caution était libérée, en application de l'art. 511 al. 3 CO, pour le motif que la créancière n'avait pas poursuivi l'exécution de ses droits sans interruption notable (art. 511 al. 1 CO). B.c Selon jugement du 12 novembre 2003, la Cour civile II a admis l'action en libération de dette de B._ et maintenu son opposition à la poursuite dont elle était l'objet. En substance, elle a considéré que la banque, qui savait dès le 20 mars 1997 que le produit de la vente des immeubles mis en gage ne couvrirait pas sa créance et avait néanmoins attendu sept mois avant d'introduire une poursuite ordinaire contre D._, n'avait pas continué les poursuites comme l'aurait fait un homme d'affaires consciencieux, de sorte que la caution devait être libérée de son engagement en vertu de l'art. 511 al. 3 CO. B.c Selon jugement du 12 novembre 2003, la Cour civile II a admis l'action en libération de dette de B._ et maintenu son opposition à la poursuite dont elle était l'objet. En substance, elle a considéré que la banque, qui savait dès le 20 mars 1997 que le produit de la vente des immeubles mis en gage ne couvrirait pas sa créance et avait néanmoins attendu sept mois avant d'introduire une poursuite ordinaire contre D._, n'avait pas continué les poursuites comme l'aurait fait un homme d'affaires consciencieux, de sorte que la caution devait être libérée de son engagement en vertu de l'art. 511 al. 3 CO. C. Parallèlement à un recours de droit public qui a été déclaré irrecevable par arrêt de ce jour, la défenderesse exerce un recours en réforme au Tribunal fédéral contre le jugement précité. Elle conclut principalement à ce que la demanderesse lui doive paiement de 137'157 fr. 20 avec intérêts à 5 % dès le 6 juillet 1995, sous imputation de 61'266 fr. 90, valeur au 2 mai 1998, l'opposition formée dans la poursuite étant définitivement levée à due concurrence. Subsidiairement, elle requiert que la cause soit renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants, et cela après complètement des constatations de fait. L'intimée propose le rejet du recours et la confirmation du jugement déféré. 