Sachverhalt: A. Die 1972 geborene C._ verletzte sich am ........ bei einem Autounfall am Rücken. Noch am selben Tag wurde sie notfallmässig operiert. Mit Verfügung vom 4. Mai 2005 sprach ihr die IV-Stelle des Kantons Thurgau eine halbe Rente samt einer Kinderrente zu, vom 1. April bis 30. November 2003 sowie ab 1. August 2004. Am 22. Mai 2008 ersuchte C._ unter Hinweis auf einen weiteren 2005 erlittenen Unfall um eine Erhöhung der Rente. Mit Verfügung vom 30. Juni 2008 übernahm die IV-Stelle die leihweise Abgabe eines Rollstuhls als Hilfsmittel. Vom 1. September bis 18. Oktober 2008 hielt sich C._ (ein zweites Mal) zur neurologischen Rehabilitation in der Klinik X._ auf. Am ........ 2009 wurde aufgrund einer massiven Progredienz der Querschnittssymptomatik ein zweiter Eingriff am Rücken durchgeführt. Am 20. Oktober 2009 teilte die IV-Stelle mit, sie habe keine Änderung festgestellt, die sich auf die Rente auswirke. Es bestehe deshalb weiterhin Anspruch auf eine halbe Invalidenrente (Invaliditätsgrad: 51 %). Mit Schreiben vom 3. Februar 2010 ersuchte C._ die IV-Stelle um Überprüfung des aktuellen Invaliditätsgrades. Im Rahmen der Abklärungen wurde sie von Dr. med. B._, Spezialarzt FMH für Rheumatologie und Physikalische Medizin, Arbeitsmedizinisches Zentrum Y._, untersucht und begutachtet (Expertise vom 19. November 2010 mit Bericht über die Evaluation der funktionellen Leistungsfähigkeit [EFL] vom 21. Dezember 2010). Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren sprach ihr die IV-Stelle mit zwei Verfügungen vom 6. Juli 2011 eine ganze Rente vom 1. Juli 2009 bis 31. Juli 2010 und eine halbe Rente vom 1. August 2010 bis 31. August 2011 samt einer Kinderrente zu. B. Die Beschwerde der C._ hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau als Versicherungsgericht mit Entscheid vom 14. Dezember 2011 in dem Sinne teilweise gut, dass es bereits ab 1. Mai 2008 (befristet bis 31. Juli 2010) den Anspruch auf eine ganze Rente bejahte, den Antrag auf Ausrichtung einer solchen auch ab 1. August 2010 dagegen abwies. C. C._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 14. Dezember 2011 und die Verfügung vom 6. Juli 2011 seien insoweit aufzuheben als ihr ab 1. August 2010 keine Invalidenrente mehr zugesprochen worden sei und es sei ihr ab diesem Zeitpunkt eine ganze Invalidenrente zuzusprechen, eventualiter die Sache zur Neuabklärung an die IV-Stelle zurückzuweisen. Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde, desgleichen das kantonale Verwaltungsgericht. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. In ihrer Stellungnahme zu den Eingaben der IV-Stelle und des kantonalen Gerichts hält C._ an der Beschwerde fest und bestätigt die gestellten Rechtsbegehren. 