Sachverhalt: Sachverhalt: A. A.a X._ (Beschwerdeführer) ist ein Langstreckenreiter aus den Vereinigten Arabischen Emiraten. Er ist Mitglied der UAE Equestrian and Racing Federation United, die ihrerseits Mitglied der Fédération Equestre Internationale (FEI; Beschwerdegegnerin 4) ist. Die FEI ist die internationale Organisation für den Reitsport mit Sitz in Lausanne. Y._ (Beschwerdegegnerin 1) ist eine Langstreckenreiterin französischer Nationalität und Mitglied des nationalen französischen Reitsportverbands Fédération Française d'Equitation (FFE; Beschwerdegegnerin 2). Die FFE hat ihren Sitz in Paris und ist auch der FEI angeschlossen. Emirates International Endurance Racing, the Organising Committee of the FEI Endurance World Championship 2005, Dubai (Beschwerdegegner 3), war verantwortlich für die Organisation der FEI Weltmeisterschaft im Distanzreiten, abgehalten in Dubai im Jahr 2005. A.b Der Beschwerdeführer nahm am 27. Januar 2005 mit seinem Pferd "L._" an der FEI Weltmeisterschaft im Distanzreiten in Dubai teil. Er beendete das Rennen als Sieger vor der Beschwerdegegnerin 1, welche auf dem Pferd "M._" als Zweite ins Ziel ritt. Nach dem Rennen wurde beim Pferd "L._" eine Dopingkontrolle durchgeführt. Der Dopingbefund wurde als positiv gewertet und der Beschwerdeführer disqualifiziert. Das FEI Judicial Committee stellte das Dopingverfahren am 28. April 2005 gegen den Beschwerdeführer jedoch ein, weil gegen grundlegende Verfahrensrechte des Beschwerdeführers (Nichtteilnahme an der B-Analyse) verstossen worden und deshalb der Urintest nicht verwertbar sei. Das FEI Judicial Committee stellte das Dopingverfahren am 28. April 2005 gegen den Beschwerdeführer jedoch ein, weil gegen grundlegende Verfahrensrechte des Beschwerdeführers (Nichtteilnahme an der B-Analyse) verstossen worden und deshalb der Urintest nicht verwertbar sei. B. Mit Eingabe vom 27. Mai 2005 riefen die Beschwerdegegner 1-3 in einer gemeinsamen Appellationserklärung (Statement of Appeal) den Court of Arbitration for Sport (CAS) bzw. das Tribunal Arbitral du Sport (TAS) an und verlangten unter anderem die Aufhebung des Entscheids des FEI Judicial Committee vom 28. April 2005. Das TAS wurde mit Carole Barbey, Richterin, Genf (Präsidentin) besetzt sowie mit Massimo Coccia, Professor und Rechtsanwalt, Rom (von den Beschwerdegegnern 1-3 benannt) und Olivier Carrard, Rechtsanwalt, Genf. Letzterer war durch den stellvertretenden Präsidenten der Chambre arbitrale d'appel du TAS als gemeinsamer Parteischiedsrichter für den Beschwerdeführer und die Beschwerdegegnerin 4 bezeichnet worden, nachdem diese keinen gemeinsamen Schiedsrichter benannt hatten und der Beschwerdeführer vergebens darum ersuchte, allein einen Schiedsrichter benennen zu können. Das TAS entschied mit Schiedsurteil vom 9. März 2006 über die Streitigkeit. Es erkannte zunächst, dass der Beschwerdegegner 3 kein Appellationsrecht hatte. In der Sache hiess es die Appellation der Beschwerdegegnerinnen 1 und 2 gut und hob den Entscheid des FEI Judicial Committee auf. Es disqualifizierte den Beschwerdeführer und das Pferd "L._" von der FEI Weltmeisterschaft im Distanzreiten, abgehalten in Dubai am 27. Januar 2005, weil es den positiven Dopingbefund als erwiesen und für verwertbar erachtete. Ferner bestimmte das TAS, dass infolgedessen die offizielle Rangliste von der FEI berichtigt werden müsse. Es verfügte jedoch keine Busse oder Sperre gegen den Beschwerdeführer. Das TAS entschied mit Schiedsurteil vom 9. März 2006 über die Streitigkeit. Es erkannte zunächst, dass der Beschwerdegegner 3 kein Appellationsrecht hatte. In der Sache hiess es die Appellation der Beschwerdegegnerinnen 1 und 2 gut und hob den Entscheid des FEI Judicial Committee auf. Es disqualifizierte den Beschwerdeführer und das Pferd "L._" von der FEI Weltmeisterschaft im Distanzreiten, abgehalten in Dubai am 27. Januar 2005, weil es den positiven Dopingbefund als erwiesen und für verwertbar erachtete. Ferner bestimmte das TAS, dass infolgedessen die offizielle Rangliste von der FEI berichtigt werden müsse. Es verfügte jedoch keine Busse oder Sperre gegen den Beschwerdeführer. C. Mit staatsrechtlicher Beschwerde beantragt der Beschwerdeführer, den Schiedsspruch des TAS als nichtig zu erklären, eventuell vollumfänglich aufzuheben. Es sei festzustellen, dass das TAS mit Bezug auf die von den Beschwerdegegnern 1-3 erhobene Appellation nicht zuständig sei, bzw. dass auf die Appellation in Ermangelung eines Appellationsrechts gestützt auf Art. 13 World Anti-Doping Code (WADA-Code) i.V.m. Art. 145 FEI Statuten (recte: Art. 145 FEI General Regulations) nicht einzutreten sei. Der Entscheid des FEI Judicial Committee vom 28. April 2005 sei zu bestätigen. Eventuell sei die Sache zu neuer Entscheidung an das TAS zurückzuweisen. Ferner stellt er eine Reihe prozessualer Anträge, unter anderem auf Anordnung vorsorglicher Massnahmen. Die Beschwerdegegner 1-3 beantragen, auf die Beschwerde nicht einzutreten, eventuell sie abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Der Schiedsspruch des TAS sei demzufolge zu bestätigen. Die Beschwerdegegnerin 4 verzichtet darauf, Anträge zur Beschwerde zu stellen. Das TAS beantragt, die Beschwerde als unbegründet abzuweisen. Das TAS beantragt, die Beschwerde als unbegründet abzuweisen. D. Mit Präsidialverfügung vom 28. April 2006 wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um Anordnung vorsorglicher Massnahmen abgewiesen. 