Sachverhalt: A. Die 1964 geborene S._ meldete sich im Januar 2005 bei der Invalidenversicherung an und beantragte Eingliederungsmassnahmen beruflicher Art und eine Rente. Die IV-Stelle des Kantons Zürich klärte die gesundheitlichen und erwerblichen Verhältnisse ab. Unter anderem liess sie die Versicherte psychiatrisch untersuchen und begutachten. Mit Vorbescheid vom 3. August 2007 teilte die IV-Stelle S._ mit, sie habe ab 1. Januar 2004 Anspruch auf eine Viertelsrente. Dagegen liess die Versicherte Einwände erheben und ergänzend zur Zusprechung einer halben Invalidenrente beantragen, es seien berufliche Eingliederungsmassnahmen zu erbringen. Am 26. März 2008 verfügte die IV-Stelle im Sinne des Vorbescheids. B. S._ liess beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Beschwerde einreichen und beantragen, es sei ihr mit Wirkung ab 1. Januar 2004 mindestens eine halbe Invalidenrente zuzusprechen und ergänzend dazu seien berufliche Eingliederungsmassnahmen (Beratung, Arbeitsvermittlung, falls nötig Umschulung) zu erbringen. Nach Vernehmlassung der IV-Stelle und zweitem Schriftenwechsel wies das kantonale Gericht mit Entscheid vom 30. Oktober 2009 die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 30. Oktober 2009 und die Verfügung vom 26. März 2008 seien aufzuheben und ihr mit Wirkung ab Januar 2004 eine halbe Invalidenrente zuzusprechen sowie berufliche Eingliederungsmassnahmen zu prüfen und durchzuführen, unter Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung. Die IV-Stelle äussert sich materiell zur Beschwerde, ohne einen Antrag zu stellen. Kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung. 