Faits : A. A._ travaillait en qualité de magasinier au service de l'entreprise de pose de fenêtres B._ Sàrl. A ce titre, il était assuré contre les accidents professionnels et non professionnels par AXA Assurances SA (ci-après: AXA). Le 22 février 2011, A._ a trébuché et fait une chute sur son épaule droite, le bras collé au corps. Ce jour-là, le prénommé avait rendez-vous avec son médecin traitant en orthopédie, le docteur C._, pour un contrôle du genou. Il lui a donc montré son épaule douloureuse. Le docteur C._ a constaté un défaut complet de l'abduction, posé le diagnostic de probable rupture de la coiffe des rotateurs droite, et attesté une incapacité de travail de 100 % dès la date de l'événement, qu'il a annoncé à AXA par déclaration d'accident du 8 mars 2011. Vu l'absence d'amélioration par physiothérapie, le docteur C._ a fait réaliser une arthro-IRM de l'épaule droite le 22 mars 2011, qui a mis en évidence notamment une rupture avec rétraction du tendon du supra-épineux et une atrophie musculaire discrète à modérée. Le docteur D._, médecin-conseil de AXA, a exprimé l'opinion que l'événement assuré n'avait probablement que révélé et non pas causé un état pathologique préexistant majeur de l'épaule droite; il a suggéré la mise en oeuvre d'une expertise. Mandaté à cette fin par AXA, le docteur E._ a déclaré que l'action vulnérante de l'événement lui paraissait certes susceptible de léser un tendon de la coiffe des rotateurs vu la manière dont l'assuré avait chuté et la surcharge pondérale de celui-ci (BMI à 40); d'autres éléments en défaveur de cette hypothèse l'amenaient toutefois à conclure qu'un lien de causalité entre la chute et l'atteinte à l'épaule droite était invraisemblable - il en voulait pour preuve la présence d'une tendinopathie chronique aux deux épaules, plus importante à droite qu'à gauche, ainsi que d'une arthrose acromio-claviculaire, l'existence d'éléments de non organicité, l'âge de l'assuré au moment de la lésion (62 ans) et, enfin, certaines caractéristiques visibles à l'IRM telles qu'une atrophie du corps charnu du sus-épineux, l'étendue de la rétraction tendineuse ainsi que l'aspect scléreux du trochiter (rapport du 28 juin 2011). Dans une lettre du 18 octobre 2011, le docteur C._ a exposé un avis contraire, en précisant que A._ ne s'était jamais plaint de ses épaules auparavant. Par décision du 28 février 2012, AXA a refusé de prendre en charge les conséquences de l'atteinte à l'épaule droite postérieurement au 31 mai 2011, motivant son refus par les conclusions du docteur E._. A._ a formé opposition contre cette décision. Il a produit une expertise privée du professeur F._, spécialiste en orthopédie au Centre hospitalier G._, selon lequel il existait un lien vraisemblable entre la chute du 22 février 2011 et la pathologie actuelle de l'assuré qui nécessitait une intervention chirurgicale (rapport du 10 septembre 2012). AXA a soumis ce document à son médecin-conseil qui a considéré l'expertise du docteur E._ plus convaincante que celle du docteur F._. Dans une nouvelle décision du 8 octobre 2012, l'assureur-accidents a écarté l'opposition de l'assuré et confirmé sa prise de position initiale. B. Saisie d'un recours de l'assuré, la Cour de droit public du Tribunal cantonal neuchâtelois l'a admis, annulé la décision sur opposition du 8 octobre 2012 et renvoyé la cause à AXA pour nouvelle décision selon les considérants (arrêt du 10 juillet 2013). C. AXA interjette un recours en matière de droit public. Sous suite de frais et dépens, elle conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal et à la confirmation de sa décision sur opposition du 8 octobre 2012. A._ conclut au rejet du recours. L'Office fédéral de la santé publique (OFSP) a renoncé à se déterminer. 