Faits: A. A.a X._, né en 1989, est issu du mariage contracté en 1985 par Y._, né en 1957, de nationalité suisse, et A._, née en 1956, ressortissante française. Par jugement du 25 mars 1993, rectifié par décision du 28 octobre 1993, le Tribunal de grande instance de Thonon-les-Bains (France) a, notamment, prononcé le divorce des époux. Y._ s'est remarié en 1996 et a eu un second enfant, B._, né en 1998. A.b Par décision du 29 novembre 2000, X._, qui vivait alors chez son père après avoir eu, conformément au jugement de divorce, sa résidence habituelle auprès de sa mère, a été placé dans un foyer. Cette mesure a été levée le 28 juin 2002 et l'enfant est retourné vivre chez son père. Un accompagnement éducatif a toutefois été maintenu compte tenu de la persistance des difficultés liées à la problématique familiale. A la suite de la constatation de relations conflictuelles entre le père et le fils, la Cour d'appel d'Angers (France) a, par décision du 10 décembre 2004, placé provisoirement l'enfant et condamné le père à verser la somme de EUR 70.- par mois à titre de contribution à l'entretien de son fils. Par jugement du 9 juin 2005, cette juridiction a prolongé le placement de l'enfant, qui a alors cessé de voir son père. Par décision de la Cour d'appel d'Angers du 8 février 2006, une reprise progressive des relations personnelles entre l'enfant et sa mère a été mise en oeuvre, qui a abouti, le 8 juin 2006, à une décision de mainlevée du placement. X._ vit depuis lors auprès de sa mère à Genève. A.c Par jugement du 27 mai 2008, le Tribunal de première instance du canton de Genève, statuant par défaut, a condamné Y._ à verser dès le 21 juin 2007, allocations d'études éventuelles en sus, une contribution d'entretien en faveur de X._ d'un montant de 2'000 fr. par mois jusqu'à la fin de ses études, pour autant qu'elles soient sérieuses et régulières, mais jusqu'à 25 ans au plus. Le 15 septembre 2008, le père a formé opposition à ce jugement. Celle-ci a été déclarée irrecevable car tardive par décision du 6 avril 2009. Par requête du 8 mars 2010, la mère a saisi le Président du Tribunal de grande instance du Mans (France) d'une requête aux fins d'exequatur du jugement du Tribunal de première instance du canton de Genève du 27 mai 2008, dans le but de lui donner force exécutoire en France. Par ordonnance du 26 mars 2010, confirmée par arrêt de la Cour d'appel d'Angers du 8 mars 2011, il a été fait droit à la demande. Dans l'intervalle, par acte déposé au greffe du Tribunal de première instance du canton de Genève le 14 octobre 2009, le père a formé action en modification de la contribution d'entretien fixée par jugement du 27 mai 2008, concluant principalement à ce que celle-ci soit réduite à 50 fr. par mois dès le 21 juin 2007. Dans ses dernières écritures, il a notamment conclu à ce que ladite contribution soit supprimée tant que son fils refuserait d'entretenir le moindre contact avec lui. B. Par jugement du 26 mai 2011, le Tribunal de première instance a, entre autres points, modifié le jugement du 27 mai 2008 en ce sens que le père est condamné à contribuer à l'entretien de son fils, dès le 14 octobre 2009, par le versement mensuel, allocations familiales ou d'études non comprises, des sommes suivantes: 1'000 fr. jusqu'au 30 octobre 2010, 350 fr. du 1er novembre 2010 au 31 août 2011 et 1'000 fr. du 1er septembre 2011 jusqu'à ses 25 ans, pour autant qu'il poursuive des études sérieuses et régulières (ch. 2). Le tribunal a confirmé le jugement du 27 mai 2008 pour le surplus (ch. 3), donné acte au crédirentier de son engagement de renseigner le débirentier sur sa scolarité deux fois par année (ch. 4) et compensé les dépens (ch. 5). Par arrêt du 26 janvier 2012, la Cour de justice du canton de Genève, statuant sur l'appel interjeté par le débirentier, a fixé le montant de la contribution d'entretien à 150 fr. par mois à compter du 14 octobre 2009. Le jugement de première instance a été confirmé pour le surplus. C. Par acte du 5 mars 2012, X._ exerce un recours en matière civile contre l'arrêt du 26 janvier 2012. Il conclut à ce que l'intimé soit condamné à lui verser, allocations familiales ou d'études non comprises, un montant de 1'000 fr. par mois dès le 14 octobre 2009 et jusqu'à l'âge de 25 ans en cas d'études sérieuses et régulières. Il sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire. Des observations n'ont pas été requises. 