Sachverhalt: A. Zum Anwesen "Landegg" gehören unter anderem die Grundstücke Nrn. 5 und 700. Die beiden Grundstücke werden durch die von Grub über Wienacht nach Rorschacherberg führende Strasse, über welche die Grenze zwischen den Kantonen St. Gallen und Appenzell A.Rh. verläuft, voneinander getrennt. Während sich das Grundstück Nr. 700 in der Kurzone auf Gemeindegebiet von Lutzenberg/AR befindet, liegt das Grundstück Nr. 5 in nordöstlicher Richtung auf dem Gemeindegebiet von Eggersriet/SG. Letzteres ist mit dem Gebäude Vers.-Nr. 471 überbaut und gemäss dem Zonenplan der Politischen Gemeinde Eggersriet vom 23. Juni 1993 ebenfalls der Kurzone zugewiesen. Die "Landegg" wurde von 1988 bis 2004 von der Internationalen Baha'i Stiftung als Beherbergungsbetrieb mit Unterkunfts-, Tagungs- und Schulungsräumen genutzt. Seit Oktober 2004 standen die Gebäude leer. Der Kanton St. Gallen beabsichtigt, in den leer stehenden Gebäuden der "Landegg" Asylbewerber unterzubringen. Das Anwesen soll insgesamt rund 150 Personen Platz bieten, wobei das Gebäude Vers.-Nr. 471 maximal 78 Personen aufnehmen kann. X._ ist Eigentümer des in der Wohn-Gewerbe-Zone von Lutzenberg gelegenen Grundstücks Nr. 710, das sich rund 150-200 m südöstlich der "Landegg" befindet. Mit Schreiben vom 5. März 2009 wandte er sich an die Gemeinderäte von Eggersriet und Lutzenberg und machte geltend, die Umwandlung eines Schulungszentrums in ein Asylbewerberzentrum stelle eine bewilligungspflichtige Zweckänderung dar, weshalb er um Durchführung eines Baubewilligungsverfahrens ersuche. Der Gemeinderat Eggersriet teilte X._ am 17. März 2009 mit, bei einem Asylbewerberzentrum handle es sich um eine mit dem vormals bestehenden Beherbergungsbetrieb vergleichbare Einrichtung. Das Gebäude Vers.-Nr. 471 in der Gemeinde Eggersriet biete ohne irgendwelche Änderung unmittelbar Platz für bis zu 78 Personen. Das Vorhaben stelle keine bewilligungspflichtige Umnutzung dar und sei in der Kurzone zonenkonform. Der Gemeinderat Lutzenberg stellte mit Beschluss vom 16. März 2009 fest, dass die für das in dieser Gemeinde gelegene Grundstück Nr. 700 beabsichtigte Nutzung eine wesentliche Zweckänderung darstelle und daher bewilligungspflichtig sei. X._ erhob gegen den Entscheid des Gemeinderats Eggersriet vom 17. März 2009 Rekurs, auf den das Baudepartement des Kantons St. Gallen am 9. Juli 2009 mangels eines schützenswerten Interesses des Rekurrenten nicht eintrat. Eine dagegen gerichtete Beschwerde von X._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit Urteil vom 3. Dezember 2009 ab, soweit es darauf eintrat. Es verneinte die Rekurslegitimation des Beschwerdeführers in Bezug auf das umstrittene Vorhaben. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 22. Januar 2010 beantragt X._ im Wesentlichen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 3. Dezember 2009 sei aufzuheben. Es sei festzustellen, dass er zur Anfechtung der Verfügung vom 17. März 2009 legitimiert sei, und das kantonale Sicherheits- und Justizdepartement sei aufzufordern, für den Betrieb des Asylbewerberzentrums ein Baugesuch einzureichen, gegebenenfalls ein Umzonungsgesuch. Eventuell sei die Sache zur materiellen Beurteilung an eine der Vorinstanzen zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Denselben Antrag stellt das kantonale Sicherheits- und Justizdepartement. Das kantonale Baudepartement verzichtet auf eine Stellungnahme zur Beschwerde. C. Mit Präsidialverfügung vom 19. Februar 2010 wurde ein Gesuch des Beschwerdeführers um Erlass einer vorsorglichen Massnahme abgewiesen. 