Sachverhalt: A. A._ publizierte im ′′Beobachter′′ vom 17. Februar 2012 einen Artikel unter dem Titel ′′Die Integration ist schwierig′′. Darin wird die Schweizer Flüchtlingspolitik in Bezug auf Menschen aus Eritrea thematisiert, die als Fluchtgrund die Gefahr nennen, in Eritrea wegen Desertion unmenschlich bestraft zu werden. Es wird auf die grosse Zahl von eritreischen Flüchtlingen in der Schweiz hingewiesen. Dies sei Folge eines Grundsatzentscheides der (ehemaligen) Asylrekurskommission (ARK) aus dem Jahre 2005. Kurz darauf wurde die Thematik in der ′′Weltwoche′′ vom 26. April 2012 unter dem Titel ′′Dorfgespräch in Eritrea′′ aufgegriffen. Im Zuge dieser Berichterstattungen tauchte die Frage auf, wer für das erwähnte Urteil der ARK verantwortlich zeichne. A._ gelangte am 2. Mai 2012 an das Bundesverwaltungsgericht und ersuchte ohne weitere Begründung um Zustellung des genannten Urteils der ARK. Praktisch gleichzeitig gingen beim Bundesverwaltungsgericht zwei entsprechende Ersuchen von Seiten der ′′Weltwoche′′ und einer Privatperson ein. Nach einer Mitteilung des Bundesverwaltungsgerichts und einer weitern Äusserung von A._ wurde diesem die publizierte Fassung des ARK-Urteils vom 20. Dezember 2005 zugestellt. In der Folge präzisierte A._ sein Ersuchen in dem Sinne, er sei an der Originalfassung des Entscheids und an der Zusammensetzung des Spruchkörpers interessiert. Der Generalsekretär des Bundesverwaltungsgerichts teilte A._ und den übrigen Gesuchstellern am 15. Juli 2012 mit, dem Ersuchen um vollumfängliche Einsicht in das genannte Urteil unter Bekanntgabe des Spruchkörpers werde nicht entsprochen. Mit förmlicher Verfügung vom 18. Juli 2012 wies der Generalsekretär das Gesuch um Einsicht in das Archivgut ab. B. Gegen diesen Entscheid des Generalsekretärs hat A._ beim Bundesgericht am 20. August 2012 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Er ersucht um Aufhebung des angefochtenen Entscheids und um Einsicht in das vollständige Urteil der Asylrekurskommission. Eventualiter sei ihm die Zusammensetzung des Spruchkörpers bekanntzugeben. Der Generalsekretär des Bundesverwaltungsgerichts beantragt mit seiner Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. In seiner Replik hält der Beschwerdeführer an seinen Anträgen fest. 