Sachverhalt: A. A.a Am 7. April 2010 reichte die Flughafen Zürich AG beim Bundesamt für Zivilluftfahrt (BAZL) ein Gesuch um Genehmigung nicht lärmrelevanter Änderungen des Betriebsreglements vom 31. Mai 2001 ein. Darin beantragte sie unter anderem die Aufnahme der Selbstabfertigungsautomaten (sog. CUSS [Common Use Self Service]-Automaten), der Stationen für das Web-Check-in (sog. Web-Check-in Kiosks) und der dazugehörigen Schalter für die Gepäckaufgabe (Self-Bag-Drop-Devices) in die Liste der zentralen Infrastruktureinrichtungen des Flughafens. A.b Das BAZL gewährte der Swiss International Air Lines AG (Swiss) direkt das rechtliche Gehör. Weitere Betroffene liessen sich innert der in einem Luftfahrt-Informationszirkular publizierten Anhörungsfrist zu den beabsichtigten Änderungen in der Liste der zentralen Infrastruktureinrichtungen nicht vernehmen. A.c Mit Verfügung vom 10. Juni 2011 genehmigte das BAZL die von der Flughafen Zürich AG eingereichten Änderungen des nunmehrigen neuen Betriebsreglements (BRegl.) und ordnete die Ergänzung der Liste der zentralen Infrastruktureinrichtungen in Beilage 2 des Anhanges 4 zum BRegl. namentlich um die CUSS-Automaten, die Web-Check-in Kiosks sowie die Self-Bag-Drop-Devices an. Zur Begründung führte es im Wesentlichen an, der zwischen der Swiss und der APT Airport Technologies AG (APT) - einer 100 %-Tochtergesellschaft der Flughafen Zürich AG - im Jahre 2006 abgeschlossene Nutzungsvertrag für CUSS-Automaten am Flughafen Zürich könne als privatrechtlicher Vertrag einer Änderung des Betriebsreglementes nicht entgegenstehen. Die in Art. 7 Abs. 3 von Anhang 4 zum BRegl. gewählte Formulierung decke sich zwar nicht mit dem Wortlaut der (konsolidierten) Richtlinie 96/67/EG des Rates vom 15. Oktober 1996 über den Zugang zum Markt der Bodenabfertigungsdienste auf den Flughäfen der Gemeinschaft (ABl. L 272 vom 25. Oktober 1996, S. 36 ff. mit Änderung und Berichtigung; nachfolgend: RL 96/67/EG), sei jedoch als deren Konkretisierung mit ihrem Sinn und ihren Zielen vereinbar und daher zulässig. Die Formulierung im heutigen Anhang 4 zum BRegl. sei wortwörtlich aus dem früheren Anhang 1 des Betriebsreglements vom 31. Mai 2001 übernommen worden, welcher anlässlich seiner Einführung von keiner Seite beanstandet worden sei; er sei somit rechtsgültig in Kraft getreten und für den vorliegenden Sachverhalt massgebend. Um die grösstmögliche Sicherheit am Flughafen zu garantieren, seien reibungslose Abläufe sowie der Passagierfluss von grosser Bedeutung. Würden die CUSS-Automaten jeweils individuell von den Fluggesellschaften aufgestellt, wäre der Platzbedarf deutlich höher und die für die Sicherheit wesentliche Übersicht des (im Bereich der Passagierabfertigung flächenmässig ohnehin bereits stark ausgelasteten) Flugplatzes und seine reibungslose Funktionsfähigkeit gefährdet. B. B.a Am 13. Juli 2011 führte die Swiss Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht und beantragte, die Verfügung vom 10. Juni 2011 sei aufzuheben, soweit mit dieser die Aufnahme der CUSS-Automaten in die Liste der zentralen Infrastruktur genehmigt werde, bzw. der von der Flughafen Zürich AG beantragten Ergänzung von Beilage 2 des Anhangs 4 zum BRegl. sei insoweit die Genehmigung zu verweigern, als die CUSS-Automaten in die Liste der zentralen Infrastrukturanlagen aufgenommen würden. Eventualiter sei die Sache diesbezüglich zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zur Begründung machte sie hauptsächlich geltend, die Zuweisung der CUSS-Automaten zur zentralen Infrastruktur verstosse gegen das Legalitätsprinzip und die Gewaltenteilung und sei mit Art. 8 der RL 96/67/EG, den vertraglichen Abmachungen mit der APT sowie mit dem bisherigen Verhalten der Flughafen Zürich AG nicht vereinbar. Die Self-Check-In-Automaten könnten nicht Bestandteil der zentralen Infrastruktur sein, da sie - getreu des unmittelbar anwendbaren Art. 8 der RL 96/67/EG - zwei- bzw. sogar mehrfach aufgestellt werden könnten. Weder gäbe es technische Gründe noch irgendwelche Sicherheitsbedenken, welche gegen das Aufstellen von eigenen Automaten durch sie (die Swiss) sprechen würden; jedenfalls sei der Sachverhalt von der Vorinstanz unvollständig und unrichtig ermittelt worden. B.b Das Bundesverwaltungsgericht hiess mit Urteil vom 12. April 2012 die Beschwerde gut, soweit es darauf eintrat, und hob die Verfügung des BAZL vom 10. Juni 2011 auf, soweit sie die Genehmigung der Ergänzung der Liste der zentralen Infrastruktureinrichtungen in Beilage 2 des Anhangs 4 zum BRegl. um die CUSS-Automaten betraf. C. Die Flughafen Zürich AG erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts aufzuheben und den Entscheid des BAZL, wonach die CUSS-Automaten der Zentralen Infrastruktureinrichtung der Flughafen Zürich zuzuweisen seien, zu bestätigen. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf Vernehmlassung. Die Swiss beantragt Abweisung, das BAZL Gutheissung der Beschwerde. 