Sachverhalt: A. Der 1963 geborene I._ war als Maschinist im Bauunternehmen S._ tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 8. Februar 2001 erlitt er beim Aussteigen aus einem Bagger ein Distorsionstrauma am rechten Knie. Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht, gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 28. Juni 2004 sprach sie dem Versicherten für die verbleibenden Folgen des Unfalls vom 8. Februar 2001 eine ab 1. März 2004 laufende Invalidenrente entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von 24 % sowie eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage einer Integritätseinbusse von 7.5 % zu. I._ erhob Einsprache. Zwischenzeitlich hatte er am 25. Mai 2004 einen weiteren Unfall erlitten. Er war beim Ersteigen einer Steintreppe gestolpert und nach vorne auf beide Knie gestürzt. Die SUVA erbrachte erneut die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Mit Verfügung vom 13. Dezember 2006 bestätigte sie die für den ersten Unfall mit Wirkung ab 1. März 2004 zugesprochene Invalidenrente, setzte diese mit Wirkung ab 1. Dezember 2006 unter Berücksichtigung beider Unfälle nach Massgabe einer Erwerbsunfähigkeit von nunmehr 31 % fest und sprach I._ für beide Ereignisse eine Integritätsentschädigung entsprechend einem Integritätsschaden von gesamthaft 12.5 % zu. Daran hielt die SUVA auf Einsprache des Versicherten hin fest (Einspracheentscheid vom 15. November 2007). B. Die von I._ erhobene Beschwerde betreffend den Rentenanspruch ab 1. Dezember 2006 wies das Kantonsgericht Basel-Landschaft ab. Es verneinte dabei namentlich auch einen Leistungsanspruch aus der Unfallversicherung für die bestehende psychische Problematik mit der Begründung, es fehle am adäquaten Kausalzusammenhang zu den beiden Unfällen vom 8. Februar 2001 und 25. Mai 2004 (Entscheid vom 17. September 2008). C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt I._ beantragen, in Aufhebung des kantonalen Entscheids sei die SUVA zu verpflichten, ab 1. Dezember 2006 eine Invalidenrente nach Massgabe eines vom Bundesgericht festzusetzenden, 31 % übersteigenden Invaliditätsgrades auszurichten; eventuell sei die Sache zum neuen Entscheid an den Unfallversicherer zurückzuweisen. Weiter wird um unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht. Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Die Vorinstanz schliesst mit dem gleichen Rechtsbegehren. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Am 25. Februar 2009 wies das Bundesgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mangels Bedürftigkeit ab. 