Sachverhalt: A. X._ (geb. 1983), kosovarischer Staatsangehöriger, heiratete am 21. Juli 2003 die in der Schweiz niederlassungsberechtigte Landsfrau Y._ (geb. 1984). Am 3. März 2005 reiste X._ in die Schweiz ein und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Ehefrau. B. Nachdem sich die Eheleute im November 2007 getrennt hatten, wies das Amt für Migration des Kantons Luzern (nachfolgend: Migrationsamt) X._s Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung am 6. Oktober 2010 ab und wies ihn weg. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern bestätigte diesen Entscheid mit Urteil vom 24. November 2011. C. X._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben, es sei dem Beschwerdeführer die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern und den Vorinstanzen zu verbieten, den Beschwerdeführer aus der Schweiz (und/oder dem Kanton Luzern) wegzuweisen. Subeventualiter seien weitere Sachverhaltsabklärungen vorzunehmen oder vornehmen zu lassen. Am 4. Januar 2012 hat der Abteilungspräsident dem Antrag auf Erteilung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde stattgegeben. 