Sachverhalt: A. Der 1969 geborene K._ arbeitete ab 24. August 1988 bei der Firma C._. Am 4. Februar 2000 verletzte er sich bei der Arbeit am Rücken. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) hatte für die gesundheitlichen und erwerblichen Folgen die gesetzlichen Leistungen zu erbringen (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts U 269/03 vom 16. August 2004). Im Januar 2001 meldete sich K._ bei der Invalidenversicherung an und beantragte Umschulung, medizinische Eingliederungsmassnahmen und eine Rente. Nach Abklärungen sprach ihm die IV-Stelle Basel-Stadt mit Verfügung vom 18. November 2005 für die Zeit vom 1. Februar 2001 bis 31. Dezember 2004 eine ganze Invalidenrente samt Zusatzrente für die Ehefrau und sechs Kinderrenten zu. Mit Einspracheentscheid vom 20. Juli 2007 bestätigte sie Höhe und Dauer der Rente. B. Die Beschwerde des K._ hiess das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt nach Beiladung der Personalvorsorgestiftung A._ zum Verfahren gestützt auf das in Auftrag gegebene psychiatrische Gutachten vom 3. Februar 2009, wozu die Parteien Stellung genommen hatten, mit Entscheid vom 8. Juni 2009 gut. Es hob den Einspracheentscheid vom 20. Juli 2007 auf und wies die IV-Stelle an, dem Versicherten ab 1. Januar 2005 weiterhin eine ganze Invalidenrente auszurichten. C. Die IV-Stelle Basel-Stadt führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 8. Juni 2009 sei aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie beim Versicherten einen Intelligenztest und anschliessend eine erneute psychiatrische Begutachtung durchführen lasse und gestützt auf die Ergebnisse neu entscheide. Das kantonale Gericht und K._, welcher um unentgeltliche Rechtspflege ersucht, beantragen die Abweisung der Beschwerde, während die Personalvorsorgestiftung A._ deren Gutheissung beantragt. Mit Verfügung vom 5. November 2009 ist der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt worden. 