Sachverhalt: A. Der türkische Staatsangehörige X._ (geb. 1973) reiste im Jahr 1999 in die Schweiz ein, wo er ein Asylgesuch stellte. Im September 2000 heiratete er eine Schweizer Bürgerin (geb. 1956). Gestützt auf die Heirat wurde ihm eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Ehefrau erteilt und das Asylgesuch als gegenstandslos abgeschrieben. Gemäss eigenen Angaben ist X._ Vater von zwei 1997 und 1998 geborenen Kindern, die bei ihrer Mutter in der Türkei leben. B. Mit Verfügung vom 24. Juli 2007 wies die Sicherheitsdirektion (Migrationsamt) des Kantons Zürich das Gesuch von X._ um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung bzw. um Erteilung der Niederlassungsbewilligung ab mit der Begründung, die Heirat habe ausschliesslich die Umgehung von fremdenpolizeilichen Vorschriften bezweckt und ein eheliches Zusammenleben sei gar nie beabsichtigt gewesen. Am 31. August 2007 wurde die Ehe vom Bezirksgericht Zürich rechtskräftig geschieden. Gegen die Bewilligungsverweigerung beschwerte sich X._ ohne Erfolg zunächst beim Regierungsrat und sodann beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt X._, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 10. Dezember 2008 aufzuheben und die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Zudem stellt er das Begehren, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen, und ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege sowie um Ansetzung einer Frist für die Nachreichung der Belege betreffend die finanziellen Verhältnisse. Das Bundesgericht hat die Akten der kantonalen Behörden beigezogen, jedoch darauf verzichtet, Vernehmlassungen einzuholen. D. Mit Verfügung vom 13. Februar 2009 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt. 