Sachverhalt: A. A.a. In der von Y._ gegen die X._ AG eingeleiteten Betreibung Nr. xxx (Forderungsbetrag: Fr. 50'000.-- nebst Zins zu 5% seit 14. Mai 2013) stellte das Betreibungsamt Altdorf der Schuldnerin am 21. Mai 2013 den Zahlungsbefehl zu. Als Empfänger der Betreibungsurkunde wurde "A._" protokolliert. A.b. Am 8. Juli 2013 stellte das (infolge Sitzverlegung der Schuldnerin zuständige) Betreibungsamt Zug der X._ AG die Konkursandrohung zu. A.c. Am 17. Juli 2013 gelangte die X._ AG an das Obergericht des Kantons Uri, Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs. Sie rügte die fehlerhafte bzw. nichtige Zustellung des Zahlungsbefehls, weil sie erst mit der Zustellung der Konkursandrohung erstmals vom Zahlungsbefehl Kenntnis erlangt habe. B. Mit Entscheid vom 25. September 2013 wies die kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs die Beschwerde ab, soweit darauf eingetreten wurde. Weiter verweigerte sie die Wiederherstellung der versäumten Rechtsvorschlagsfrist, weil es an einem unverschuldeten Hindernis fehle. C. Am 7. Oktober 2013 hat die X._ AG Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Die Beschwerdeführerin verlangt, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Uri, Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs, vom 25. September 2013 sowie der Zahlungsbefehl und die Konkursandrohung seien aufzuheben. Eventuell sei die Rechtsvorschlagsfrist wiederherzustellen, subeventuell sei die Angelegenheit zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter ersucht die Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung. Mit Präsidialverfügung vom 28. Oktober 2013 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt. In der Sache beantragt Y._ als Gläubiger und Beschwerdegegner die Abweisung der Beschwerde. Die kantonale Aufsichtsbehörde und das Betreibungsamt Altdorf haben auf eine Stellungnahme verzichtet. Das Betreibungsamt Zug beantragt die Abweisung der Beschwerde betreffend die Zustellung der Konkursandrohung. 