Faits: A. P._, né en 1955, a subi une fracture-luxation du calcanéum droit ensuite d'un accident de la circulation survenu le 9 décembre 1998. La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA), qui avait pris en charge le cas, a nié le droit de l'intéressé à une rente d'invalidité par décision du 3 février 2005, confirmée sur opposition le 12 juillet 2006. Saisi d'un recours de l'intéressé qui concluait à l'octroi d'une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 60 %, le Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais l'a rejeté par jugement du 14 janvier 2008. Par arrêt de ce jour, la Ière Cour de droit social du Tribunal fédéral a rejeté le recours formé par l'assuré contre ce jugement (cause 8C_121/2008). Le 9 juin 2000, P._ a requis l'octroi de mesures de réadaptation de l'assurance-invalidité sous la forme d'une orientation professionnelle et d'un reclassement dans une nouvelle profession. Par des décisions du 8 août 2003, l'Office cantonal AI de Genève lui a accordé une rente entière du 1er décembre 1999 au 31 août 2000, une demi-rente du 1er septembre 2000 au 31 mars 2002 et une rente entière du 1er avril 2002 au 30 septembre suivant. L'assuré n'a pas fait opposition à ces décisions. Par décision du 20 mai 2005, confirmée sur opposition le 20 octobre suivant, l'Office cantonal AI du Valais (ci-après: l'office AI) a rejeté une demande de l'assuré tendant à la reconsidération ou à la révision des décisions du 8 août 2003. Saisi d'un recours, le Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais l'a rejeté par jugement du 27 avril 2006. P._ ayant présenté une nouvelle demande de rente le 21 novembre 2005, l'office AI a recueilli divers renseignements d'ordre médical et confié une expertise multidisciplinaire aux médecins, de l'Hôpital X._, (rapport du 9 mars 2007). Dans un rapport du 2 avril 2007, l'Hôpital Y._ a indiqué que les troubles ayant une incidence sur la capacité de travail ne s'étaient pas modifiés depuis le 8 août 2003, date de la décision par laquelle la rente d'invalidité avait été supprimée. Aussi, par décision du 2 août 2007, l'office AI a-t-il rejeté la nouvelle demande de rente. B. Saisi d'un recours de l'assuré qui concluait à l'octroi d'une rente d'invalidité d'un taux minimum de 50 %, le Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais l'a rejeté par jugement du 19 mai 2008. C. P._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'octroi d'une demi-rente d'invalidité. L'office intimé conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à présenter des déterminations. 