Sachverhalt: A. O._ meldete sich am 31. August 2009 bei der Ausgleichskasse des Kantons Schwyz als Selbstständigerwerbender an. Die Ausgleichskasse beauftragte daraufhin die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) mit der Abklärung der sozialversicherungsrechtlichen Stellung von O._. Mit Schreiben vom 17. Sep-tember 2009 teilte die SUVA O._ mit, dass er für seine Tätigkeit im Bereich Montagen als unselbstständig Erwerbender qualifiziert werde. Die SUVA führte zudem in der Firma X._ eine Revision durch. Dabei stellte sie fest, dass O._ seit dem 1. Januar 2005 für diese Firma tätig ist (Verfügung vom 14. Dezember 2010). Der Einzelfirma X._ stellte sie am 26. Oktober 2010 eine Prämienrechnung für die Jahre 2005 bis 2009 in Höhe von insgesamt Fr. 15'976.40 zu, welche auf der Grundlage der in diesem Zeitraum an O._ ausgerichteten Entgelte bemessen wurden. Die von O._ gegen Verfügung und Prämienrechnung erhobene Einsprache wies die SUVA mit Einspracheentscheid vom 25. Februar 2011 ab. Die von V._ gegen die Prämienrechnung erhobene Einsprache wies die SUVA mit Einspracheentscheid vom 25. Februar 2011 ebenfalls ab. In Gutheissung der von V._ dagegen erhobenen Beschwerde hob das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 31. Mai 2011 den angefochtenen Einspracheentscheid auf und wies die Sache an die SUVA zurück zur Wahrung des rechtlichen Gehörs von O._. Mit Prämienrechnung vom 1. Februar 2012 forderte die SUVA V._ erneut zur Zahlung von Prämien für die Berufs- und Nichtberufsunfallversicherung für die Jahre 2005 bis 2009 im Betrag von insgesamt Fr. 15'976.40 auf. Die dagegen erhobene Einsprache wies sie mit Einspracheentscheid vom 12. Juli 2012 ab. B. Gegen den Einspracheentscheid vom 12. Juli 2012 erhob V._ Beschwerde, welche das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 12. Juli 2013 abwies. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt V._ beantragen, die Prämienrechnung sei aufzuheben, und es sei festzustellen, dass für O._ für die Jahre 2005 bis 2009 keine Prämien zu leisten seien. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz oder die SUVA zurückzuweisen. Des Weitern wird um Gewährung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde ersucht. Vorinstanz, Bundesamt für Gesundheit und der beigeladene O._ verzichten auf eine Vernehmlassung. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. D. Mit Verfügung vom 18. November 2013 hat der Instruktionsrichter der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. 