Sachverhalt: A. Die X._ AG ist Eigentümerin der Liegenschaften Nrn. 976, 977 und 3039 an der Burgstrasse in Weinfelden. Die Grundstücke sind der zweigeschossigen Dorfzone (D2) zugeteilt, mit Ausnahme eines 12 - 16 m breiten Streifens, der in der Freihaltezone liegt. Dieser Streifen grenzt an das Burgbächli und dessen natürlich gestaltetes Rückhaltebecken an. Die umliegenden Häuser Burgstrasse 63, 66, 68, 70 und 75 sind im Hinweisinventar der Denkmalpflege als "wertvoll" eingestuft, das Haus Burgstrasse 74 als "in der Gesamtform erhaltenswert". Am 18. Januar 2012 stellte die X._ AG bei der Politischen Gemeinde Weinfelden (im Folgenden: die Gemeinde) ein Baugesuch für diese Parzellen. Die geplante "Überbauung Burgstrasse" soll drei Mehrfamilienhäuser (A, B und C) mit insgesamt 21 Wohnungen umfassen, sowie 30 unterirdische und 8 oberirdische Parkplätze. Am 29. Februar 2012 wurde die Initiative "Massvolles Bauen im Hard" eingereicht, mit der die Zuweisung der Parzellen Nrn. 976, 977 und 3039 zur Wohnzone für Einfamilienhäuser in Hanglage verlangt wurde. Die Initiative wurde am 25. November 2012 von den Stimmbürgern verworfen. B. Am 12. Dezember 2012 wies die Gemeinde die Einsprachen gegen das Baugesuch ab und erteilte die Baubewilligung unter Auflagen. Zuvor hatte das kantonale Amt für Umwelt am 18. Juli 2012 seine Zustimmung zur Unterschreitung des kantonalen Gewässerabstands erteilt. Den dagegen erhobenen Rekurs mehrerer Einsprecher wies das Departement für Bau und Umwelt des Kantons Thurgau (DBU) am 28. November 2013 ab. Dagegen erhoben die Rekurrenten am 23. Dezember 2013 gemeinsam Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Dieses führte einen Augenschein durch und wies die Beschwerde am 9. Juli 2014 ab. C. Gegen den verwaltungsgerichtlichen Entscheid haben A.A._ und B.A._, C.B._, D.C._ und E.C._, F.D._, G.E._, H.F._ und J.F._, I.F._ und K.G._ am 30. September 2014 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht erhoben. Sie beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache sei zur Neuregelung der Kosten im kantonalen Verfahren an die Vorinstanz zurückzuweisen. D. Die X._ AG (im Folgenden: die Beschwerdegegnerin) beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Gemeinde Weinfelden verzichtet auf eine Vernehmlassung und verweist auf ihren Bewilligungsentscheid und auf ihre Vernehmlassung vom 27. Februar 2013 an das DBU. Die Beschwerdeführer haben auf eine Replik verzichtet. 