Sachverhalt: A. Der 1950 geborene Z._ meldete sich im September 2004 bei der Invalidenversicherung an und beantragte eine Rente. Nach Abklärungen u.a. zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit aus rheumatologischer und psychiatrischer Sicht sowie nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach ihm die IV-Stelle Basel-Stadt mit zwei Verfügungen vom 16. Mai und 23. Juli 2007 ab 1. November 2004 eine Viertelrente zu. B. Die von Z._ gegen beide Verfügungen erhobenen Beschwerden wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 21. Februar 2008 ab. C. Z._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, der Entscheid vom 21. Februar 2008 sei aufzuheben und die IV-Stelle zu verpflichten, ihm ab 1. November 2004 die seiner Invalidität entsprechende Rente auszurichten, eventualiter die Sache zur Gewährung des rechtlichen Gehörs, zur ergänzenden Feststellung des Sachverhalts und zur neuen Entscheidung an die Verwaltung zurückzuweisen. Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde. Kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung. 