Faits: A. A l'issue d'une procédure de divorce ouverte le 8 décembre 1998, le Tribunal civil de l'arrondissement de la Broye et du Nord vaudois a, par jugement du 3 novembre 2004, prononcé le divorce de G._ et E._, mariés depuis le 26 septembre 1975. Il a par ailleurs ordonné que la moitié de la prestation de sortie de l'époux soit transférée sur le compte de libre passage de l'épouse auprès du Fonds Interprofessionnel de prévoyance (ch. VI du dispositif). Il a encore jugé que E._ était débiteur de G._ de la somme de 100'000 fr. à titre d'indemnité équitable au sens de l'art. 124 CC à la condition suspensive que le versement de la somme due par la caisse de pension de E._ à celle de G._ fût impossible (ch. VII du dispositif). B. Après l'entrée en force du jugement de divorce le 25 novembre 2004 et le transfert du dossier au Tribunal des assurances du canton de Vaud pour exécution du partage, celui-ci a procédé à diverses mesures d'instruction. C'est ainsi que la Fondation Patria pour le développement de l'assurance en faveur du personnel (ci-après : la fondation), à laquelle l'ex-époux avait été affilié du 1er septembre 1976 au 31 janvier 2002, a indiqué qu'elle avait reçu un formulaire «annonce de sortie», daté du 14 octobre 2002 et signé par E._ et son employeur, l'informant de la fin des rapports de travail au 31 janvier 2002. Après lui avoir fait remplir le formulaire «prestation complémentaire avec questionnaire sur l'état de santé» (daté du 4 novembre 2002), la fondation avait versé à E._ le montant de 159'229 fr. 15 (valeur au 31 janvier 2002) au titre de paiement de l'avoir de vieillesse en capital en raison de la retraite anticipée à 61 ans. Ce montant correspondait aux prestations dues en vertu, d'une part, du contrat de prévoyance n° 15319.1.20 conclu le 1er janvier 1985 sous forme de rente (par 145'008 fr. 80) et, d'autre part, du contrat de prévoyance n° 37711.4.20 conclu le 1er janvier 1995 sous forme de capital (par 14'220 fr. 35). De son côté, E._ a indiqué que la Caisse de pension du groupe X._, à laquelle il avait été affilé de 1972 au 31 août 1976, avait versé une prestation de libre passage de 7'071 fr. 15 à l'institution de prévoyance de son nouvel employeur. Statuant le 30 janvier 2006, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a jugé qu'il ne pouvait être procédé au partage et a rayé la cause du rôle. C. G._ a interjeté un recours de droit administratif contre le jugement cantonal, en concluant, sous suite de frais et dépens, à ce que la fondation fût condamnée à lui verser «le capital de compensation accordé» par le jugement de divorce. Par détermination du 17 août 2006, la fondation a conclu au rejet du recours. Le Fonds interprofessionnel de prévoyance, auquel est affiliée l'ex-épouse, ne s'est pas prononcé sur le recours, tandis que E._ n'a pas fait usage de la possibilité de se déterminer. De son côté, l'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) a préavisé pour l'admission du recours. 