A.- F._, de nationalité israélienne, est opticien et optométriste. Il exploite un magasin de lunettes médicales en Israël. De juillet 1985 à septembre 1993, F._ a maintenu une relation bancaire avec la banque Y._, à Zurich. Durant cette période, son dépôt initial est passé, par apports successifs et gains résultant de placements, de 70 000 US$ à 1 150 000 US$. La banque Y._, qui n'avait pas de mandat de gestion, effectuait sur les indications de son client des opérations spot, à savoir le changement immédiat de l'ensemble de son capital d'une monnaie dans une autre. Les gains et les pertes résultant de ces opérations se sont globalement équilibrés. Dès 1992, F._ a cherché à obtenir des gains plus élevés. Il a alors procédé à des dépôts à terme. En 1993, F._ a transféré sa fortune à X._ S.A. (ci-après: X._), où il a déposé un chèque de 1 214 000 US$. Cette relation bancaire a duré jusqu'à la fin 1995. Durant cette période, F._ a principalement réalisé des opérations de change, appelées "forex", et il a utilisé l'effet de levier (ce qui, selon le dictionnaire Robert, désigne l'accroissement de la rentabilité des capitaux résultant d'un endettement, dont le taux d'intérêt est plus faible que celui de l'opération financée). Entre septembre 1993 et novembre 1995, ces opérations de change ont généré de gros gains pendant les six premiers mois, puis d'importantes pertes. En mars 1995, le compte de F._ n'indiquait qu'un disponible de 75 000 US$; le disponible était de 98 250, 28 US$ le 11 décembre 1995, à la clôture du compte. B.- Par demande du 26 juin 1996, F._ a saisi le Tribunal de première instance de Genève d'une action en paiement de 1 253 170, 78 US$, montant réduit en cours de procédure à 1 047 982 US$. Le demandeur soutenait que X._ avait exécuté son mandat de gestion de façon défectueuse, en lui octroyant une ligne de crédit qu'il disait n'avoir pas sollicitée et en spéculant, à son insu, avec ses avoirs, dans des opérations de change hasardeuses. X._ a conclu au rejet de la demande. Par jugement du 7 septembre 1999, le premier juge a rejeté la demande. Il a retenu, en bref, que le demandeur n'avait confié à la défenderesse aucun mandat de gestion, qu'il avait, en toute connaissance de cause, donné lui-même les instructions nécessaires à la banque et qu'il n'avait pas été la victime des initiatives de celle-ci. Le 8 décembre 2000, la Cour de Justice du canton de Genève a rejeté le recours en appel de F._ et confirmé le jugement de première instance. C.- F._ recourt en réforme au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 8 décembre 2000, dont il demande l'annulation. Il conclut à la condamnation de X._ à lui payer la somme de 1 047 982 US$ avec intérêts à 5% dès le28 février 1994. A titre subsidiaire, il demande le renvoide la cause à l'instance cantonale aux fins d'établir la quotité du dommage. L'intimée propose le rejet du recours et la confirmation de l'arrêt attaqué. 