Sachverhalt: A. B._ und D._ sind die geschiedenen Eltern von E._ (geb. 1997). Anlässlich der Scheidung im Jahr 2008 entzog ihnen das Gericht die elterliche Sorge und bestellte dem Kind einen Vormund. E._ war zunächst in verschiedenen Institutionen untergebracht. Mit Entscheid vom 12. November 2012 platzierte der Vormund nach Rücksprache mit der damaligen Vormundschaftsbehörde F._ das Kind vorübergehend beim Vater. Zudem sollte E._ die in der Nähe gelegene Schule G._ besuchen. B._ legte Beschwerde gegen die Platzierung ein. Ab 1. Januar 2013 lag die Zuständigkeit für das Beschwerdeverfahren bei der Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz des Obergerichts des Kantons Aargau. B. B.a. Am 21. Februar 2013 bestellte der Präsident des Obergerichts Fürsprecherin A._ zur Kindesvertreterin von E._ im Beschwerdeverfahren. Mit Eingabe vom 6. März 2013 reichte die Kindesvertreterin beim Obergericht erste Anträge in der Sache ein. Mit Stellungnahme vom 26. März 2013 äusserte sie sich zu den Eingaben der Eltern vom 24. Januar 2013 bzw. 12. Februar 2013. Schon am 20. März 2013 hatte D._ erklärt, er unterstütze die Anträge der Kindesvertreterin und halte im Übrigen an seinen Begehren fest. B.b. Das Obergericht holte verschiedene Berichte über E._ ein. Am 21. März 2013 erstattete die Schule einen kurzen Bericht. Am 28. März 2013 erfolgte der Zustandsbericht der Vormundin von E._, zu dem sich B._ äusserte. Am 21. Mai 2013 erfolgte schliesslich der Bericht der Psychiatrie H._. Die Kindesvertreterin schloss sich in ihrer Stellungnahme vom 13. Juni 2013 den Schlussfolgerungen im zuletzt genannten Bericht an. In ihrer Eingabe vom 21. Juni 2013 änderte B._ ihre Rechtsbegehren geringfügig ab. B.c. Mit Entscheid vom 22. August 2013 wies das Obergericht die Beschwerde der Mutter ab, soweit es darauf eintrat. Die Entschädigung von Fürsprecherin A._ bestimmte es auf Fr. 1'000.-- (inkl. Auslagen und MWSt). C. Fürsprecherin A._ wehrte sich gegen die Festsetzung ihrer Entschädigung vor Bundesgericht. Dieses hiess die Beschwerde gut, hob die entsprechenden Ziffern des obergerichtlichen Urteils auf und wies die Sache zu neuer Entscheidung an das Obergericht zurück (Urteil 5A_701/2013 vom 3. Dezember 2013). D. Am 14. Januar 2014 reichte Fürsprecherin A._ die Kostennote ein, die das Obergericht von ihr auf Geheiss des Bundesgerichts einverlangt hatte und die sich auf Fr. 5'242.-- (inkl. Auslagen von Fr. 197.10 und MWSt von Fr. 388.30) beläuft. Nachdem die Mutter Stellung genommen hatte, setzte das Obergericht die Entschädigung für Fürsprecherin A._ mit Entscheid vom 4. März 2014 neu auf Fr. 3'020.90 (inkl. Auslagen und MWSt) fest, unter Anrechnung der bereits ausbezahlten Fr. 1'000.-- (s. Bst. B.c ). E. E.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 8. April 2014 wendet sich Fürsprecherin A._ (Beschwerdeführerin) erneut an das Bundesgericht. Sie verlangt, die Festsetzung der Entschädigung wieder aufzuheben und die Sache zur Neufestsetzung an das Obergericht zurückzuweisen; dabei sei die Vorinstanz anzuweisen, ihr Honorar für die Vertretung von E._ im Beschwerdeverfahren vor dem Obergericht aufgrund der aufgewendeten Zeit von 21.16 Stunden festzulegen und entsprechend auszuzahlen. E.b. Das Bundesgericht hat die Beteiligten eingeladen, sich zum Ausgang des Verfahrens zu äussern. B._ (Beschwerdegegnerin) stellt in ihrer Vernehmlassung vom 4. September 2014 das Begehren, die Beschwerde gutzuheissen. Das Obergericht hat mit Schreiben vom 18. August 2014 auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Eingaben wurden der Beschwerdeführerin zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt. 