Sachverhalt: A. A.a. Der 1933 geborene A._ war von Januar 1963 bis Juli 1994 bei der B._ AG angestellt und somit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen sowie Berufskrankheiten versichert. Während seiner Tätigkeit kam er zunächst in zwei verschiedenen Abteilungen des Misch- und Walzwerks und ab Frühjahr 1971 im Presswerk der Gummifabrik zum Einsatz. Im Jahre 1992 wurde beim Versicherten Blasenkrebs festgestellt. Die SUVA anerkannte dieses Leiden sowie Rezidive in den Jahren 2004 und 2006 als Berufskrankheit und erbrachte dafür die gesetzlichen Versicherungsleistungen. Im Juli 1994 wurde beim Versicherten zusätzlich Magenkrebs diagnostiziert. Im Februar 2004 meldete der Versicherte dies der SUVA. Der Unfallversicherer holte zur Frage, ob das Magenkarzinom als Berufskrankheit zu betrachten sei, Stellungnahmen der Abteilung Arbeitsmedizin ein. Mit Verfügung vom 23. August 2004 lehnte die SUVA Leistungen im Zusammenhang mit dem Magenkarzinom ab, da dieses nicht mit Wahrscheinlichkeit auf eine berufliche Exposition zurückzuführen sei. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 22. November 2004 fest. Die von A._ dagegen eingereichte Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Uri, Verwaltungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 9. Januar 2006 ab. Auch diesen Entscheid hat der Versicherte angefochten. Im letztinstanzlichen Verfahren gab er das arbeitsmedizinische Gutachten des Prof. Dr. med. C._/DE vom 10. April 2006 zu den Akten. Die SUVA veranlasste daraufhin die ärztliche Beurteilung des Dr. med. D._ von der Abteilung Arbeitsmedizin vom 15. Februar 2007. Mit Urteil vom 7. Mai 2007 hob das Bundesgericht den kantonalen Gerichtsentscheid auf und wies die Sache in Gutheissung der Beschwerde an die SUVA zurück, damit diese nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen über die Versicherungsleistungen neu verfüge (Urteil U 95/06). A.b. Die SUVA führte am 7. November 2008 in den Räumlichkeiten der ehemaligen Arbeitgeberin eine Besprechung zwischen den Parteien, Vertretern der Firma und einem ehemaligen Mischwerkführer (tätig von 1969 bis 2000) durch zwecks Ermittlung der Exposition des Versicherten gegenüber verschiedenen Stoffen und den damaligen Arbeitsabläufen und -bedingungen. Ebenfalls anwesend war Prof. Dipl. Ing. E._ der im Auftrag des Versicherten am 24. Januar 2009 ein Parteigutachten erstellte. Die SUVA führte eine arbeitshygienische Beurteilung der Schadstoffexposition des Versicherten am ehemaligen Arbeitsplatz durch Dr. med. F._, Facharzt für Allgemeinmedizin und Arbeitsmedizin, Abteilung Arbeitsmedizin (Bericht vom 27. April 2011), durch und holte die Stellungnahme von G._ (Bereich Chemie) vom 7. April 2011 ein. Mit Verfügung vom 23. Mai 2011 lehnte sie die Ausrichtung von Versicherungsleistungen für das Magenkarzinom erneut ab, da keine Berufskrankheit vorliege, nachdem nicht mit Wahrscheinlichkeit ausgewiesen sei, dass der Versicherte den fraglichen Schadstoffen in hohem Masse ausgesetzt gewesen sei. Im anschliessenden Einspracheverfahren reichte der Versicherte die Stellungnahme des Prof. Dr. med. C._ vom 9. Oktober 2011 ein. Mit Einspracheentscheid vom 30. Dezember 2011 wies die SUVA die Einsprache ab. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Uri, Verwaltungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 3. Mai 2013 ab, soweit es darauf eintrat. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Sache im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (unentgeltliche Prozessführung und unentgeltliche Verbeiständung) ersucht. Mit der Beschwerdeschrift werden neue Stellungnahmen des Prof. Dr. med. C._ vom 23. Mai, 2. und 4. Juni 2013 eingereicht. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit und das kantonale Gericht verzichten auf eine Stellungnahme. A._ lässt sich dazu am 19. September 2013 vernehmen. D. Nachdem das Bundesgericht A._ aufgefordert hatte, Unterlagen zum Nachweis seiner Bedürftigkeit einzureichen, liess er sein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und unentgeltliche Verbeiständung mit Schreiben vom 13. Januar 2014 zurückziehen. 