(Strafverfahren), hat sich ergeben: A.- Die Bezirksanwaltschaft III für den Kanton Zürich erhob am 31. Oktober 1997 gegen X._ Anklage, in einem ersten Fall wegen Irreführung der Rechtspflege und versuchten Betrugs, in einem zweiten Fall wegen Betrugs. In der ersten Anklageschrift führte sie aus, X._ habe am 27. Dezember 1995, um 15.20 Uhr, bei der Stadtpolizei Zürich Anzeige gegen Unbekannt wegen Diebstahls eines dunkelblauen Personenwagens "Porsche 911 Carrera 4 Cabrio" erstattet, der ihm nach seinen Angaben am selben Tag an der Schweizergasse in Zürich auf dem Privatgrund des Warenhauses Globus in der Zeit zwischen ca. 13.00 und 14.00 Uhr gestohlen worden sei. Der Angeklagte habe diese Strafanzeige eingereicht, obwohl er gewusst habe, dass das Auto in Wirklichkeit nicht gestohlen, sondern mit seinem Wissen und Willen an eine unbekannte Drittperson weitergegeben worden sei. Den Diebstahl des Personenwagens habe er am 27. Dezember 1995 mündlich und am nächsten Tag schriftlich der Direktion der Winterthur-Versicherungen gemeldet. Er habe mit seinen unwahren Angaben versucht, eine Versicherungsleistung in einer Fr. 137'645.-- nicht überschreitenden Höhe erhältlich zu machen. In der zweiten Anklageschrift warf die Bezirksanwaltschaft dem Angeklagten Betrug vor, weil er im Januar 1996 A._ bei den Verkaufsverhandlungen betreffend den "Jeep Grand Cherokee" den wahren Kilometerstand des Autos verschwiegen und den Käufer auf diese Weise zur Leistung eines zu hohen Kaufpreises verleitet habe. B.- Das Obergericht des Kantons Zürich bestätigte als Berufungsinstanz am 21. September 1999 das Urteil des Bezirksgerichts Zürich. Es sprach X._ des Betrugs, des versuchten Betrugs sowie der Irreführung der Rechtspflege schuldig und bestrafte ihn mit 15 Monaten Gefängnis, wobei es den Vollzug der Freiheitsstrafe aufschob und die Probezeit auf 2 Jahre festsetzte. Der Angeklagte erhob dagegen eine kantonale Nichtigkeitsbeschwerde. Das Kassationsgericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde am 6. Oktober 2000 ab, soweit es darauf eintrat. C.- Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 22. November 2000 beantragt X._, der Entscheid des Kassationsgerichts vom 6. Oktober 2000 sei aufzuheben und die Sache sei an die kantonale Instanz zurückzuweisen. Ausserdem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. D.- Die Staatsanwaltschaft, das Obergericht und das Kassationsgericht des Kantons Zürich verzichteten auf eine Vernehmlassung. 