Faits: Faits: A. Pendant une vingtaine d'années, A._ a été au service de la commune de X._ (ci-après: la Commune) et a travaillé comme secrétaire au greffe municipal. A partir du mois de mars 2000, elle a connu des problèmes de santé qui l'ont souvent obligée à manquer son travail. Elle aurait ainsi été en incapacité de travail partielle ou totale pendant huitante-six jours durant les dix derniers mois de 2000 et pendant soixante-sept jours durant les six premiers mois de 2001. Le 5 juin 2001, la Municipalité de X._ (ci-après: la Municipalité) a adressé un avertissement à A._. Elle se plaignait d'une désorganisation des services communaux en raison de l'état de santé et de l'horaire de travail de A._. Elle exigeait dès lors d'être informée de toute absence et de disposer chaque fois d'un justificatif médical. Le 25 juin 2001, A._ ne s'est pas rendue à son travail et la Municipalité a décidé de ne pas confirmer sa nomination à la fin de la législature en cours, se terminant le 31 décembre 2001. La Municipalité reprochait à A._ d'avoir été absente de son poste de travail sans information préalable et sans certificat médical, en dépit des avertissements qu'elle avait reçus. Cette décision a été adressée le 28 juin 2001 à A._ qui a recouru contre elle au Tribunal administratif du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal administratif). Le 25 juin 2001, A._ ne s'est pas rendue à son travail et la Municipalité a décidé de ne pas confirmer sa nomination à la fin de la législature en cours, se terminant le 31 décembre 2001. La Municipalité reprochait à A._ d'avoir été absente de son poste de travail sans information préalable et sans certificat médical, en dépit des avertissements qu'elle avait reçus. Cette décision a été adressée le 28 juin 2001 à A._ qui a recouru contre elle au Tribunal administratif du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal administratif). B. En 1998, A._ a remarqué que le secrétaire municipal avait fait des emprunts personnels à la caisse communale et elle en a informé C._ qui était alors syndic de X._. Le 5 octobre 1998, la Municipalité a décidé d'interdire tout nouvel emprunt à titre personnel à la caisse communale. D'après A._, de nouveaux emprunts auraient cependant été faits et elle en aurait informé le boursier communal qui l'aurait remise à sa place et lui aurait assuré qu'en cas d'emprunts de ce genre, il procédait à des retenues sur le salaire. Le 22 août 2001, agissant par son représentant, A._ a fait savoir au préfet du district de Y._ (ci-après: le Préfet) qu'il y avait un manque de 3'400 fr. dans la caisse communale. Elle fournissait des preuves (trois photocopies du livre de caisse) à l'appui de ses dires et demandait une décharge écrite. Le 29 août 2001, la Municipalité a licencié A._ pour justes motifs avec effet immédiat, après l'avoir entendue. Elle lui reprochait d'avoir violé le secret de fonction. De plus, le comportement de A._ montrait qu'une collaboration entre elle-même et la Municipalité était devenue impossible. A._ a recouru au Tribunal administratif contre la décision de la Municipalité du 29 août 2001. Le 29 août 2001, la Municipalité a licencié A._ pour justes motifs avec effet immédiat, après l'avoir entendue. Elle lui reprochait d'avoir violé le secret de fonction. De plus, le comportement de A._ montrait qu'une collaboration entre elle-même et la Municipalité était devenue impossible. A._ a recouru au Tribunal administratif contre la décision de la Municipalité du 29 août 2001. C. Par arrêt du 13 novembre 2001, le Tribunal administratif a admis les recours de A._ et annulé les décisions de la Municipalité des 28 juin et 29 août 2001. La Municipalité avait violé le droit d'être entendue de A._ en prenant la décision du 28 juin 2001 qui, au demeurant, était fondée matériellement, puisque A._ n'avait plus la capacité objective d'assumer correctement ses tâches. Quant à la décision de la Municipalité du 29 août 2001, elle violait le principe de la proportionnalité: A._ avait été « une employée dévouée et compétente » pendant plus de vingt ans et elle avait agi dans des circonstances tout à fait particulières. C. Par arrêt du 13 novembre 2001, le Tribunal administratif a admis les recours de A._ et annulé les décisions de la Municipalité des 28 juin et 29 août 2001. La Municipalité avait violé le droit d'être entendue de A._ en prenant la décision du 28 juin 2001 qui, au demeurant, était fondée matériellement, puisque A._ n'avait plus la capacité objective d'assumer correctement ses tâches. Quant à la décision de la Municipalité du 29 août 2001, elle violait le principe de la proportionnalité: A._ avait été « une employée dévouée et compétente » pendant plus de vingt ans et elle avait agi dans des circonstances tout à fait particulières. D. Agissant par la voie du recours de droit public, la Commune demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt rendu le 13 novembre 2001 par le Tribunal administratif, les recours formés par A._ à l'encontre des décisions de la Municipalité des 28 juin et 29 août 2001 étant rejetés. Elle se plaint de violation de son autonomie, ainsi que d'illégalité, d'arbitraire et de violation du principe de la proportionnalité en rapport avec son premier grief. Le Tribunal administratif a expressément renoncé à répondre au recours. A._ conclut, sous suite de frais et dépens, au rejet du recours; elle demande en outre une indemnité « pour tort moral, atteinte à sa dignité et préjudice économique » à partir du 1er janvier 2002, qu'elle chiffre à 4'400 fr. par mois, durant deux ans. 