Sachverhalt: A. A.a. Nach Einholung eines interdisziplinären Gutachtens des Instituts X._, vom 18. Februar 2008 lehnte die IV-Stelle Luzern das Gesuch des M._ um Leistungen der Invalidenversicherung ab (Einspracheentscheid vom 24. Juli 2008). Auf Beschwerde hin wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die Sache an die IV-Stelle zurück, damit diese eine neue psychiatrische Abklärung veranlasse und sodann neu verfüge. Zur Begründung führte das kantonale Gericht aus, das im Rahmen der Expertise des Instituts X._ erstattete versicherungspsychiatrische Teilgutachten des Dr. Y._ vom 11. Februar 2008 sei hinsichtlich Abklärungen und Beweiswert ungenügend (Entscheid vom 25. Februar 2010). Die IV-Stelle sah für die angeordnete psychiatrische Abklärung wiederum das Institut X._ als Abklärungsstelle vor. Der Versicherte lehnte dieses ab. Insbesondere der dort tätige Psychiater Dr. Y._ sei vorbefasst und befangen; da er die Geschicke des Instituts X._ bestimme, erstrecke sich die Befangenheit auch auf die weiteren dem Institut angeschlossenen Gutachter. Nach einem ergebnislosen Meinungsaustausch trat die IV-Stelle auf das Leistungsbegehren nicht ein mit der Begründung, der Versicherte verweigere die Mitwirkung bei zumutbaren Abklärungen (Verfügung vom 30. September 2010). A.b. Am 4. Juli 2011 liess M._ der IV-Stelle mitteilen, sein Gesundheitszustand habe sich verschlechtert. Er stelle sich einer Begutachtung durch das Institut X._. Nachdem die Verwaltung das medizinische Dossier auf den aktuellen Stand gebracht hatte, gab sie dem Versicherten mit Schreiben vom 12. März 2012 Gelegenheit, zuhanden der Begutachtungsstelle Ergänzungsfragen zu stellen, Einwendungen gegen Gutachterpersonen zu erheben und Gegenvorschläge einzureichen. Noch gleichentags erteilte sie dem Institut X._ den Begutachtungsauftrag. M._ lehnte das Institut X._ wiederum ab (Schreiben vom 19. März 2012). Am 14. Mai 2012 teilte er der IV-Stelle unter Beilage eines kardiologischen Berichts mit, dass er einer herzspezifischen Abklärung bedürfe. Nachdem er wiederholt den Erlass einer Verfügung über die Anordnung der Begutachtung verlangt hatte, reichte er beim kantonalen Gericht eine Rechtsverweigerungs- bzw. -verzögerungsbeschwerde ein. Das Gericht stellte hinsichtlich des Einwandes, es sei eine herzspezifische Abklärung notwendig, sowie mangels Erlasses einer Zwischenverfügung betreffend die Einwände gegen vorgesehenen Gutachter eine formelle Rechtsverweigerung fest und wies die Sache zum Erlass einer Zwischenverfügung an die IV-Stelle zurück. Hingegen sei keine Rechtsverzögerung gegeben (Entscheid vom 29. November 2012). A.c. Am 6. März 2013 verfügte die IV-Stelle, die psychiatrische Abklärung sei vom Institut X._ durchzuführen. B. Das Kantonsgericht Luzern wies die gegen die Verfügung vom 6. März 2013 erhobene Beschwerde einschliesslich des Gesuchs um unentgeltliche Rechtsverbeiständung ab (Entscheid vom 27. Juni 2013). C. M._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben, eine - inzwischen geheilte - formelle Rechtsverweigerung bezüglich der kardiologischen Abklärung festzustellen sowie das Ausstandsbegehren gegen Dr. Y._ gutzuheissen. Der Beschwerde sei insofern die aufschiebende Wirkung zu erteilen, als die IV-Stelle bis zum Abschluss des Beschwerdeverfahrens von weiteren Aufforderungen zur Begutachtung beim Institut X._ oder bei Dr. Y._ abzusehen habe. Weiter sei ihm für das Verfahren vor Kantonsgericht die unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung zu gewähren. Schliesslich stellt er auch für das bundesgerichtliche Verfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. 