Sachverhalt: Sachverhalt: A. Der 1950 geborene, als Elektromonteur erwerbstätig gewesene I._ war über seine Arbeitgeberin bei der Schweizerischen Unfallversicherung (SUVA) obligatorisch unfallversichert. Am 23. August 2002 erlitt er bei einem Auffahrunfall ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule. Zehn Tage später, am 2. September 2002, begab sich I._ wegen seit dem Vortag bestehender Oberbauchschmerzen notfallmässig in das Kantonsspital X._. Gegen Abend des 2. September 2002 traten akute Thoraxschmerzen und ein Blutdruckabfall ein, die den Verdacht auf eine Affektion der Herzkranzgefässe begründeten. Es wurde eine Koronarangiographie durchgeführt, durch welche ein Aortenaneurysma (anormale Ausweitung der grossen Körperhauptschlagader) mit Dissektion (blutungsbedingte Aufspaltung der Gefässwand der Aorta nach Einriss der innersten Wandschicht) festgestellt wurde. Trotz Reanimation, direkt anschliessender notfallmässiger gefässchirurgischer Intervention (Einsatz einer Gefässprothese [Ersatz im Bereich der Aorta ascendens und des Aortenbogens]) und weiterer kreislaufunterstützender Massnahmen entwickelte sich innert 24 Stunden nach der Operation ein Multiorganversagen, dem I._ am 4. September 2002 erlag. Bei der Autopsie wurde eine angeborene Wanderkrankung der Hauptschlagader (Medianekrose Erdheim-Gsell) festgestellt. Gestützt auf den Obduktionsbericht und ein Kausalitätsgutachten des Instituts für Rechtsmedizin der Universität Y._ verneinte die SUVA ihre Leistungspflicht, da der Tod des Versicherten nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit, sondern nur möglicherweise in einem natürlichen Kausalzusammenhang mit dem Unfall vom 23. August 2002 stehe (mit Einspracheentscheid vom 12. März 2003 bestätigte Verfügung vom 23. Oktober 2002). Bei der Autopsie wurde eine angeborene Wanderkrankung der Hauptschlagader (Medianekrose Erdheim-Gsell) festgestellt. Gestützt auf den Obduktionsbericht und ein Kausalitätsgutachten des Instituts für Rechtsmedizin der Universität Y._ verneinte die SUVA ihre Leistungspflicht, da der Tod des Versicherten nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit, sondern nur möglicherweise in einem natürlichen Kausalzusammenhang mit dem Unfall vom 23. August 2002 stehe (mit Einspracheentscheid vom 12. März 2003 bestätigte Verfügung vom 23. Oktober 2002). B. In Gutheissung der Beschwerde, welche die Witwe des Versicherten gegen den Einspracheentscheid erhoben hatte, wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt die Sache zur neuen Verfügung an die Verwaltung zurück. Dabei ging es davon aus, dass der Unfall vom 23. August 2002 mit überwiegender Wahrscheinlichkeit als Teilursache zu der am 2. September 2002 festgestellten Aortendissektion beigetragen habe. B. In Gutheissung der Beschwerde, welche die Witwe des Versicherten gegen den Einspracheentscheid erhoben hatte, wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt die Sache zur neuen Verfügung an die Verwaltung zurück. Dabei ging es davon aus, dass der Unfall vom 23. August 2002 mit überwiegender Wahrscheinlichkeit als Teilursache zu der am 2. September 2002 festgestellten Aortendissektion beigetragen habe. C. Die SUVA führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der Einspracheentscheid vom 12. März 2003 sei, unter Aufhebung des kantonalgerichtlichen Entscheids, zu bestätigen. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf Vernehmlassung. 