Sachverhalt: A. Die Universität Bern liess X._ am 27. Januar 2006 ab dem Sommersemester 2006 zu allen nichtmedizinischen Studiengängen unter dem Vorbehalt zu, dass er vor der Maturitätskommission des Kantons Bern eine Aufnahmeprüfung in Mathematik bestehe. Am 24. April 2006 wies die Erziehungsdirektion des Kantons Bern die von X._ hiergegen eingereichte Beschwerde ab und auferlegte ihm die Verfahrenskosten von Fr. 500.--. Hiergegen gelangte dieser an den Regierungsrat des Kantons Bern. Während dessen Verfahren liess die Universität Bern X._ am 23. August 2006 zum Studium der Rechtswissenschaften zu, da er zwischenzeitlich (am 27. Juli 2006) in Deutschland eine Prüfung im Fach Rechtswissenschaft erfolgreich absolviert hatte ("Fachzulassung aufgrund eines ausländischen Vorbildungsausweises"). Im Nachgang hierzu schrieb die Justiz-, Gemeinde- und Kirchendirektion des Kantons Bern das regierungsrätliche Verfahren am 20. November 2006 ab, wobei es die Kosten von Fr. 300.-- X._ auferlegte (Ziffer 2 des Dispositivs). Mit Urteil vom 9. April 2008 hiess das Bundesgericht die von diesem hiergegen eingereichte staatsrechtliche Beschwerde gut, soweit sie sich auf den Kostenentscheid der Verfügung vom 20. November 2006 bezog, und hob die entsprechende Dispositivziffer auf; in den übrigen Punkten trat es auf die Eingabe wegen Verspätung bzw. unzureichender Begründung nicht ein (Verfahren 2P.2/2007). Die Justiz-, Gemeinde- und Kirchendirektion des Kantons Bern entschied hierauf am 22. April 2008, dass der Kanton Bern die Kosten des Beschwerdeverfahrens vor dem Regierungsrat zu tragen habe. Der entsprechende Entscheid erwuchs unangefochten in Rechtskraft. B. Am 28. Mai 2011 ersuchte X._ die Erziehungsdirektion des Kantons Bern darum, "die Nichtigkeit" ihres Entscheids vom 24. April 2006 "festzustellen", nachdem die Kosten ihres Beschwerdeverfahrens in Betreibung gesetzt worden waren. Mit Verfügung vom 8. November 2011 trat die Erziehungsdirektion auf das als Revisionsgesuch gedeutete Feststellungsbegehren nicht ein, wies das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung wegen Aussichtslosigkeit ab und auferlegte dem Gesuchsteller die Verfahrenskosten von Fr. 300.--. Hiergegen gelangte X._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, welches am 5. Juni 2012 "in teilweiser Gutheissung" der Beschwerde die Verfügung der Erziehungsdirektion aufhob; im Übrigen wies es die Beschwerde ab und sprach sich gegen die Rückerstattung (zuzüglich Mahn- und Betreibungskosten) der zwischenzeitlich bezahlten Kosten an X._ aus. C. X._ gelangte hiergegen am 5. Juli 2012 an das Bundesgericht, welches am 25. Juli 2012 auf seine Beschwerde nicht eintrat, das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abwies und ihm die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- auferlegte (2C_671/2012). Mit Eingabe vom 9. September 2012 beantragt X._, unter Aufhebung dieses Urteils auf die Rechtsbegehren in seiner Eingabe vom 5. Juli 2012 einzutreten und in der Sache (neu) zu entscheiden. Für das Revisionsverfahren sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren; zudem sei auf den Vollzug des Kostenentscheids vom 25. Juli 2012 einstweilen zu verzichten. 