Sachverhalt: A. Der 1949 geborene M._ bezieht seit September 1997 aufgrund von Hüft-, Knie- und Rückenbeschwerden eine Rente der Invalidenversicherung. Er war teilzeitlich als Reinigungsmitarbeiter tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er am 20. März 2003 bei der Arbeit aus ca. 3 m Höhe von einer Leiter fiel. Im gleichentags aufgesuchten Spital X._ wurden eine Rippenserienfraktur rechts mit Hämatopneumothorax, eine Commotio cerebri sowie diverse Kontusionen diagnostiziert. Auf der Notfallstation wurde zur Behandlung des Hämatopneumothorax eine Bülau-Drainage eingelegt. Zur adäquaten Analgesie wurde der Versicherte stationär aufgenommen. Nach Entfernung der Thoraxdrainage wurde er am 29. März 2003 in diskretem Allgemeinzustand nach Hause entlassen (Berichte Spital X._ vom 28. März und April 2003). In der Folge wurde auch eine Verletzung an der linken Schulter festgestellt. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Nach verschiedenen medizinischen Abklärungen (u.a. Einholung angiologischer, pneumologischer und neurologischer Konsilien sowie kreisärztliche Untersuchungen) eröffnete sie dem Versicherten mit Verfügung vom 10. Oktober 2005, das Taggeld werde auf den 30. November 2005 eingestellt. Für die verbliebene Beeinträchtigung an der linken Schulter werde eine Integritätsentschädigung entsprechend einer Integritätseinbusse von 5 % zugesprochen. Zudem würden die Kosten der noch notwendigen lockeren ärztlichen Kontrollen (4-6 pro Jahr) sowie die notwendigen Schmerzmittel weiter übernommen. Sofern der Gesundheitszustand später erneut ärztliche Behandlung erfordere, könne sich M._ wieder bei der SUVA melden. Ein Anspruch auf eine Invalidenrente bestehe mangels einer unfallbedingten erheblichen Beeinträchtigung der Erwerbsfähigkeit nicht. Auch seien keine Versicherungsleistungen aus den nebst der Schulterproblematik aufgetretenen HWS-, Rücken- und Kopfbeschwerden geschuldet, da diese nicht als Folgen des Unfalls vom 20. März 2003 zu betrachten seien. Auf Einsprache des Versicherten hin sprach die SUVA zusätzlich einen Protonenpumpenblocker zu. Im Übrigen wies sie die Einsprache ab (Einspracheentscheid vom 9. Februar 2006). B. Die von M._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 29. Januar 2007 nach Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung ab. C. M._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei die SUVA zu verpflichten, über den 30. November 2005 hinaus Versicherungsleistungen (Taggeld resp. Rente und Heilbehandlung) zu erbringen und eine Integritätsentschädigung nach Massgabe eines Integritätsschadens von 10 % auszurichten. Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. D. Mit Verfügung vom 7. März 2008 wurde M._ die unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren gewährt. Zudem wurde den Parteien die Gelegenheit eingeräumt, ihre Vorbringen im Hinblick auf das in BGE 134 V 109 publizierte Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 zu ergänzen. Davon machte die SUVA mit Eingabe vom 16. April 2008 Gebrauch. 