Sachverhalt: A. A.a Am 15. Juni 2009 bewilligte das Bezirksgericht Hinterrhein Z._ für das gegen ihren Mann, Y._, angehobene Scheidungsverfahren die unentgeltliche Rechtspflege und bestellte ihr einen amtlichen Rechtsbeistand in der Person von Rechtsanwalt X._. Mit Urteil vom 30. März 2011 schied das Bezirksgericht Hinterrhein die Ehe der Parteien und regelte die Nebenfolgen der Scheidung. Das Gericht überband Y._ drei Viertel der Gerichtskosten von Fr. 16'070.-- und verpflichtete ihn, Z._ mit Fr. 16'619.25 (d.h. 3/4 x 83 Stunden zu Fr. 240.-- zuzüglich 3% Spesen und 8% Mehrwertsteuer) aussergerichtlich zu entschädigen. Es erachtete den vom Anwalt von Z._ mit Kostenliste geltend gemachten Stundenaufwand von rund 133 Stunden als übersetzt und kürzte diesen ungefähr auf das Niveau des Gegenanwaltes, d.h. auf 83 Stunden. A.b Beide Parteien fochten dieses Urteil mit Berufung bzw. Anschlussberufung beim Kantonsgericht von Graubünden an. In einem Vergleich vom 8. März 2012 einigten sich die Parteien mit Bezug die Verteilung der Kosten des erstinstanzlichen Verfahrens. Demnach wurden die vorinstanzlichen Kosten (Gerichtskosten) von Fr. 16'070.-- je zur Hälfte Y._ und Z._ auferlegt und die aussergerichtlichen Kosten für das erstinstanzliche Verfahren wettgeschlagen. Mit Bezug auf die verrechneten Stunden des Anwaltes von Z._ änderte sich nichts. B. Zur Festsetzung der Entschädigung für die amtliche Vertretung im erstinstanzlichen Verfahren reichte Rechtsanwalt X._ beim Bezirksgerichtspräsidium Hinterrhein eine detaillierte Honorarnote über den Betrag von Fr. 32'528.40 ein (über nunmehr sogar 145.25 Stunden; Eingabe vom 10. Februar 2012). Mit Verfügung vom 28. Juni 2012 setzte das Bezirksgerichtspräsidium die Entschädigung gemäss Art. 47 ZPO/GR unter Berücksichtigung eines Aufwandes von 83 Stunden zum Betrag von Fr. 200.-- die Stunde auf Fr. 19'082.40 (inkl. Spesen und Mehrwertsteuer) fest. Mit Urteil vom 13. August 2012 wies das Kantonsgericht von Graubünden die von Rechtsanwalt X._ wegen der Berücksichtigung einer zu geringen Stundenanzahl erhobene Beschwerde ab. C. X._ hat am 12. September 2012 gegen das Urteil des Kantonsgerichts von Graubünden beim Bundesgericht subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhoben. Er beantragt im Wesentlichen, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Entschädigung als unentgeltlicher Rechtsbeistand - wie vor den kantonalen Instanzen verlangt - auf Fr. 32'528.40 festzusetzen. Eventuell sei die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. 