Faits: A. A._ s'est trouvé en détention provisoire le 3 avril 2012, sous la prévention d'escroquerie par métier, subsidiairement d'utilisation frauduleuse d'un ordinateur par métier. Sa détention provisoire a été régulièrement prolongée par le Tribunal des mesures de contrainte du canton de Vaud (Tmc), en dernier lieu pour une durée de trois mois jusqu'au 3 janvier 2013. Le 18 octobre 2012, A._ a demandé au Ministère public de l'arrondissement de Lausanne (ci-après: le Ministère public) de bénéficier du régime d'exécution anticipée de la peine. Le 26 octobre 2012, le Ministère public a autorisé l'intéressé à exécuter sa peine de manière anticipée (art. 236 al. 1 CPP). Une copie de cette décision a été envoyée au défenseur d'office de l'intéressé. Le 4 janvier 2013, A._ a présenté au Ministère public une demande de mise en liberté immédiate. Celui-ci l'a transmise au Tribunal des mesures de contrainte, qui, par ordonnance du 14 janvier 2013, l'a rejetée. Le prénommé a été renvoyé en jugement par acte du 7 janvier 2013. La date des débats a été appointée au 10 avril 2013. Par acte du 24 janvier 2013, A._ a recouru auprès de la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) à la fois contre la décision du Ministère public du 26 octobre 2012 autorisant l'exécution anticipée de la peine et contre l'ordonnance du 14 janvier 2013 du Tmc. Par arrêt du 30 janvier 2013, le Tribunal cantonal a rejeté le recours. Il a considéré en substance que le recours contre la décision du 26 octobre 2012 était tardif. Il a aussi jugé que la détention préventive du prénommé avait pris fin le 30 octobre 2012 au moment où il avait commencé à exécuter sa peine de manière anticipée et que, de ce fait, il avait perdu tout intérêt à voir ses conditions de détention examinées périodiquement d'office. B. Agissant par la voie du recours en matière pénale, A._ demande au Tribunal fédéral de constater que la décision du Ministère public du 26 octobre 2012 autorisant l'exécution anticipée de la peine est nulle, de réformer l'arrêt du 30 janvier 2013, de "constater que sa détention est devenue illégale à partir du 4 janvier 2013 et d'ordonner que la légalité de sa détention soit immédiatement rétablie". Il requiert également l'assistance judiciaire. Le Ministère public conclut au rejet du recours. Le Tribunal cantonal renonce à se déterminer et se réfère aux considérants de sa décision. 