Sachverhalt: A. A.a Der 1959 geborene K._ war seit August 1995 als Betriebsmitarbeiter Logistik bei der Schweizerischen Post, Briefpost Region Ost, angestellt und gestützt auf dieses Arbeitsverhältnis ab 1. Januar 2002 bei der Pensionskasse Post (im Folgenden: Pensionskasse) berufsvorsorgeversichert. Ab 6. Mai 2002 war er gemäss Bericht des Dr. med. D._, Facharzt FMH für Allgemeinmedizin, wegen belastungsabhängiger Tendovaginitis (Sehnenscheidenentzündung) der Flexor carpi ulnaris Sehne, rechtsbetont, und Diabetes mellitus Typ II für die angestammte Tätigkeit im Paketdienst vollständig arbeitsunfähig. Ab 10. Juli 2002 erachtete ihn Dr. med. G._, Facharzt FMH für Physikalische Medizin und Rehabilitation und Rheumatologie, Klinik für eine wechselbelastende Tätigkeit ohne wiederholte Bewegungen mit den Händen und ohne repetitives Heben von Gewichten über 5 kg ab 10. Juli 2002 zu 100 % arbeitsfähig. Die Post konnte K._ keine dieser eingeschränkten Leistungsfähigkeit entsprechende Arbeitsstelle anbieten und löste das Arbeitsverhältnis auf den 31. Oktober 2004 auf. A.b Am 13. August 2002 meldete sich K._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich sprach ihm als berufliche Eingliederungsmassnahmen die lerntechnische Vorbereitung und Abklärung an der Höheren Handelsschule X._ vom 25. Februar bis 13. Juli 2003 (Verfügung vom 16. Januar 2003), die anschliessende einjährige Handelsausbildung ganztags an derselben Schule vom 19. August 2003 bis 9. Juli 2004 (Verfügung vom 19. Juni 2003) sowie während beider Eingliederungsperioden ein Taggeld von Fr. 183.- zu (Verfügungen vom 26. Februar 2003 und 4. Juli 2003). Mit Verfügung vom 11. August 2004 stellte die IV-Stelle den Abschluss der Umschulung sowie eine rentenausschliessende Eingliederung fest. Die dagegen erhobene Einsprache wies sie mit in Rechtskraft erwachsenem Einspracheentscheid vom 24. September 2004 ab. A.c Mit am 10. April 2006 einsetzender Korrespondenz liess K._ um Ausrichtung einer Berufsinvalidenrente ersuchen, was die Pensionskasse ablehnte. B. Am 8. Februar 2007 liess K._ Klage mit dem Rechtsbegehren erheben, die Pensionskasse sei zu verpflichten, ihm ab 6. Mai 2003 die reglementarischen Leistungen nebst Zins von 5 % ab dem 10. Tag des Monats, in dem diese zur Auszahlung gelangen sollten, auszurichten. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich führte einen doppelten Schriftenwechsel durch, zog die Akten der IV-Stelle des Kantons Zürich bei und wies die Klage mit Entscheid vom 19. Mai 2008 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt K._ sein vorinstanzliches Rechtsbegehren erneuern. Die Pensionskasse schliesst in ihrer Vernehmlassung auf Abweisung der Beschwerde, während das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) auf eine Vernehmlassung verzichtet. 