Sachverhalt: A. Die 1963 geborene N._ arbeitete seit Juli 1997 als selbstständige Wirtin. Im Januar 2004 wurde über sie der Konkurs eröffnet und ihre Einzelfirma im Handelsregister gelöscht. Im April 2006 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen ermittelte eine vollständige Arbeitsunfähigkeit in der bisherigen Tätigkeit als Wirtin, hingegen eine 50-prozentige Arbeitsfähigkeit in einer angepassten Tätigkeit, ein Invalideneinkommen von Fr. 24'018.- und aufgrund der im Auszug aus den individuellen Konten (IK) ausgewiesenen Einkommen des Jahres 2002 ein (auf 2007 aufgewertetes) Valideneinkommen von Fr. 32'757.-, was einen Invaliditätsgrad von 27 % ergab. Dementsprechend verneinte sie den Anspruch auf eine Invalidenrente mit Verfügung vom 15. September 2008. B. Mit Entscheid vom 24. Juni 2010 sprach das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen N._ eine halbe Invalidenrente zu. C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, den Entscheid vom 24. Juni 2010 aufzuheben und die Verfügung vom 15. September 2008 zu bestätigen. N._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Das kantonale Gericht verzichtet auf eine Vernehmlassung, während das Bundesamt für Sozialversicherungen die Gutheissung des Rechtsmittels beantragt. 