Faits: A. G._, né en 1946, a exercé la profession de tôlier. Souffrant de troubles auditifs, il s'est annoncé à l'assurance-invalidité le 13 juillet 1994. La procédure initiale a donné lieu à un premier arrêt du Tribunal fédéral des assurances du 14 mars 2001 (I 468/00), puis un second du 15 octobre 2004 (I 553/03) fixant le droit de l'assuré à des prestations basées sur une invalidité de 43 %; la perte de gain a été établie par comparaison des revenus avant et après invalidité compte tenu d'une pleine capacité de travail dans une activité adaptée aux troubles auditifs. Entre-temps, l'assuré avait fait savoir à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Vaud (l'office AI) que son état de santé psychique s'était aggravé depuis le mois de juin 2001 (lettre du 25 juillet 2002); il a produit un avis du docteur C._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (du 17 juin 2002), auprès duquel le docteur B._, médecin traitant, l'avait adressé. A la demande de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents, le docteur S._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, a réalisé une expertise psychiatrique. Dans son rapport du 14 novembre 2002, l'expert a fait état d'un trouble bipolaire type II, actuellement en phase dépressive, d'une personnalité schizotypique, d'une surdité appareillée, de désinsertion socio-professionnelle, ainsi que de problèmes familiaux et de couple. A son avis, les affections psychiques entraînaient une diminution de la capacité de travail de 40 %. Le 18 mai 2006, l'office AI a rendu plusieurs décisions, à teneur desquelles il a mis l'assuré au bénéfice d'un quart de rente d'invalidité fondé sur un taux d'invalidité de 43 % avec effet au 1er juillet 1994 (avec rentes complémentaires pour conjoint et enfant). Le paiement de la rente était suspendu du 1er mai 1998 au 28 février 1999, période durant laquelle des indemnités journalières avaient été versées. L'assuré a formé opposition contre ces décisions, dans la mesure où la péjoration de sa capacité de gain n'était pas prise en considération depuis le 1er juin 2001; il a conclu à l'octroi d'une rente entière dès ce moment-là (accompagnées de rentes complémentaires) et d'intérêts moratoires. Par décision du 16 mai 2007, l'office AI a rejeté l'opposition. B. G._ a déféré cette décision au Tribunal des assurances du canton de Vaud (aujourd'hui : Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal). La juridiction cantonale a recueilli les avis des docteurs B._ (rapports des 15 octobre 2004, 11 septembre et 18 décembre 2008), C._ (rapport du 15 septembre 2008) et S._ (rapports des 13 octobre et 24 novembre 2008), sur lesquels l'assuré a été invité à se déterminer. Par jugement du 21 janvier 2010, la juridiction cantonale a admis partiellement le recours (ch. I du dispositif). Elle a réformé la décision administrative en ce sens qu'elle a reconnu à l'assuré le droit à une demi-rente d'invalidité à partir du 1er septembre 2001 avec intérêts à 5 % l'an dès le 1er septembre 2003, respectivement à trois-quarts de rente depuis le 1er janvier 2004 avec intérêts à 5 % l'an dès le 1er janvier 2006. Pour le surplus, la décision du 16 mai 2007 a été confirmée (ch. II du dispositif). C. G._ interjette un recours en matière de droit public ainsi qu'un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement dont il demande l'annulation, à l'exception des ch. III et IV du dispositif (qui portent sur les frais et dépens). Avec suite de dépens, il conclut principalement à ce que le versement des rentes ne soit pas interrompu de mai 1998 à février 1999, au paiement d'une rente entière dès le 1er juin 2001 sur la base d'un taux d'invalidité de 83 %, à l'octroi de rentes complémentaires pour l'épouse et leur fils, ainsi qu'au versement d'intérêts moratoires jusqu'au 30e jour suivant l'entrée en vigueur du présent arrêt. A titre subsidiaire, il conclut au renvoi de la cause au tribunal cantonal. L'intimé conclut implicitement au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. 