Sachverhalt: A. X._ erlitt am 2. Oktober 2004 in Basel bei einem durch ihren Vater, A._, verursachten Verkehrsunfall eine Verletzung der Halswirbelsäule. Am 29. September 2006 reichte die Rechtsvertreterin von X._ beim Amt für Sozialbeiträge des Kantons Basel-Stadt vorsorglich ein Gesuch um opferhilferechtliche Entschädigung und Genugtuung ein. Mit Urteil vom 18. Februar 2008 des Strafgerichtspräsidenten Basel-Stadt wurde A._ der fahrlässigen einfachen Körperverletzung schuldig gesprochen und bestraft. Die Zivilforderung von X._ wurde dem Grundsatz nach gutgeheissen und die Geschädigte im Übrigen auf den Zivilweg verwiesen. Am 11. August 2008 traf X._ mit der Haftpflichtversicherung des Schädigers eine Entschädigungsvereinbarung. Danach vereinbarte X._ mit A._ als Haftpflichtigem sowie allen in der betreffenden Police Versicherten, alle vertreten durch die Haftpflichtversicherung, für alle gegenwärtigen und zukünftigen Folgen des am 2. Oktober 2004 eingetretenen Ereignisses (Verkehrsunfall in Basel) eine unpräjudizielle Entschädigungssumme von CHF 20'000.--. Des Weitern erklärte X._, dass sie mit der Auszahlung der vereinbarten Summe für alle Ansprüche vollständig abgefunden sei und sie hinsichtlich des erwähnten Ereignisses auf jede weitere Forderung gegenüber den Obgenannten verzichte. Am 11. November 2008 beantragte X._ beim Amt für Sozialbeiträge eine opferhilferechtliche Entschädigung in der Höhe von CHF 132'511.-- sowie eine opferhilferechtliche Genugtuung in der Höhe von CHF 10'000.--. Im Begleitschreiben wurde ausgeführt, dass sich die Geltendmachung der Ansprüche auf dem Zivilweg durch verschiedene Umstände extrem erschwert habe und beinahe aussichtslos sei, weshalb ein Gesuch um Opferhilfe gestellt werde. Das Amt für Sozialbeiträge lehnte das Opferhilfe-Gesuch mit Verfügung vom 18. Dezember 2008 ab. Es begründete den ablehnenden Entscheid damit, dass über die Forderungen der Gesuchstellerin gegenüber dem Straftäter bzw. dessen Versicherung mit der oben erwähnten Vereinbarung eine abschliessende Regelung getroffen worden sei. Ein Teilverzicht habe zwingend zur Folge, dass im Umfang des Verzichts keine opferhilferechtlichen Ansprüche mehr bestehen würden. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt wies den von X._ gegen die Verfügung des Amtes für Sozialbeiträge erhobenen Rekurs mit Urteil vom 23. April 2009 ab. B. X._ hat gegen das Urteil des Appellationsgerichts beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Sie beantragt die Aufhebung des Entscheids und die Zusprechung einer opferhilferechtlichen Entschädigung und Genugtuung. Ferner ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren. C. Das Appellationsgericht liess sich vernehmen, ohne ausdrücklich einen Antrag zu stellen. Das Amt für Sozialbeiträge schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Justiz (BJ) als beschwerdeberechtigte Bundesverwaltungsbehörde beantragt ebenfalls Beschwerdeabweisung. 