Faits: A. Depuis le 1er janvier 1988, X._ est locataire d'un appartement de "3 pièces et salle de bains" au 2 ème étage d'un immeuble situé 7, rue ..., à Genève. Le contrat est renouvelable tacitement d'année en année, le terme de congé étant le 31 décembre. Depuis le 1er janvier 2008, le loyer est de 5'820 fr. par an (485 fr. par mois), charges non comprises. Ce montant résulte d'un jugement rendu le 7 octobre 2008 par le Tribunal des baux et loyers du canton de Genève, lequel a limité à 7 % la majoration de 80 % qu'avait notifiée la bailleresse d'alors après avoir effectué des travaux dans l'immeuble. L'immeuble a été racheté le 28 janvier 2010 par la société anonyme Z._. Par avis du 18 janvier 2012, la nouvelle bailleresse a résilié le contrat pour le 30 avril 2012. Le 26 janvier 2012, le locataire a demandé le motif du congé. B. B.a. Le 2 février 2012, le locataire a saisi l'autorité genevoise de conciliation d'une requête en annulation de congé. Le 5 avril 2012, le mandataire de la bailleresse a indiqué que le congé était dû au fait que l'appartement devait être entièrement rénové. Il a précisé qu'une demande d'autorisation de construire était en voie d'être déposée. De fait, la bailleresse a déposé le 10 avril 2012 en procédure accélérée une demande d'autorisation de travaux auprès du département compétent. Le descriptif des travaux impliquait la rénovation complète de l'appartement pour un coût de 91'692 fr.; le futur loyer devait s'élever à 10'215 fr. par an. Alors que le formulaire topique demandait si l'appartement était loué et pour quel montant, la bailleresse n'a pas répondu à la première question; elle a toutefois indiqué un loyer actuel de 5'820 fr. par an. Elle n'a pas non plus joint une copie de la lettre d'information aux locataires prévue par l'art. 43 de la loi genevoise sur les démolitions, transformations et rénovations de maisons d'habitation (LDTR/GE; RSG L 5 20). Selon cette disposition, le propriétaire qui a l'intention d'exécuter des travaux au sens de la LDTR est tenu d'en informer au préalable et par écrit les locataires, et de les consulter en dehors de toute résiliation de bail (al. 1). En cas de non-respect de cette règle, le département peut refuser la délivrance de l'autorisation requise (al. 3). Par courriers des 7 et 11 mai 2012, le mandataire du locataire a invité la bailleresse à retirer le congé, en précisant que l'intéressé était prêt à libérer son logement pendant toute la durée des travaux, respectivement à accepter une majoration de loyer sans préavis dès sa réintégration dans l'appartement; il entendait toutefois réserver ses droits en cas d'augmentation abusive. Le 12 juin 2012, le conseil de la bailleresse a répondu que celle-ci ne souhaitait pas prendre d'engagement au sujet d'un éventuel contrat de bail à l'issue des travaux. Il était ajouté que l'insistance du locataire à proposer une solution de réintégration dans les locaux était doublée d'une formule peu incitative, annonçant d'ores et déjà des procédures intempestives. La conciliation n'ayant pas abouti, le locataire a porté l'action devant le Tribunal des baux et loyers le 8 juin 2012. Il a conclu principalement à l'annulation du congé, subsidiairement à un report de ses effets au 31 décembre 2012 et à une prolongation de bail de quatre ans échéant le 31 décembre 2016, avec possibilité de se départir du contrat en tout temps, moyennant un préavis de 15 jours. Le locataire a produit des justificatifs attestant du fait qu'entre le 22 février et le 1er juin 2012, il avait recherché auprès de 14 régies des appartements de 3 pièces pour un loyer compris entre 600 fr. et 1'000 fr. Par jugement du 16 novembre 2012, le Tribunal a déclaré valable le congé notifié le 18 janvier 2012, dont il a toutefois reporté les effets au terme contractuel pertinent, soit le 31 décembre 2012 (art. 266a al. 2 CO). Il a accordé au locataire une unique prolongation de bail de 16 mois échéant le 30 avril 2014, avec faculté de se départir du contrat moyennant un préavis de 15 jours pour le 15 du mois ou la fin d'un mois. Il a débouté les parties de toutes autres conclusions. B.b. Le locataire a déféré cette décision auprès de la Chambre des baux et loyers de la Cour de justice. Celle-ci a partiellement admis l'appel, par arrêt du 30 août 2013. Elle a accordé une unique prolongation de bail de 2 ans au lieu de 16 mois, confirmant le jugement pour le surplus. Les considérants de l'arrêt peuvent succinctement se résumer comme il suit: le motif donné à l'appui du congé, soit la rénovation complète de l'appartement, est véridique. Le locataire a proposé de quitter les locaux sans condition pendant les travaux et d'accepter un loyer plus élevé lors de sa réintégration. La bailleresse ne saurait maintenir le congé au motif que le locataire réserve ses droits en cas de hausse abusive. Cela étant, le locataire est partiellement revenu sur son engagement de quitter les locaux; lors de son audition par le Tribunal des baux, il n'a pas confirmé le caractère inconditionnel d'un tel départ. Or, la bailleresse n'a pas à supporter les conditions posées par le locataire. Quant au non-respect de l'art. 43 LDTR/GE, il ne suffit pas à affirmer que la bailleresse s'exposera de façon certaine à un refus de la part du département compétent. En bref, le congé ne contrevient pas aux règles de la bonne foi (art. 271 CO). S'agissant de la prolongation de bail, le premier juge a ignoré certains éléments, soit la durée exacte des recherches effectuées pour se reloger, la durée des relations contractuelles et le fait que la bailleresse n'a pas démontré la nécessité d'effectuer les travaux, ni leur caractère urgent. Cela justifie d'augmenter la prolongation de bail à 2 ans. C. Le locataire, qui agit personnellement, saisit le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile, dans lequel il conclut à l'annulation du congé, subsidiairement à l'octroi d'une prolongation de quatre ans échéant le 31 décembre 2016, avec possibilité de se départir du bail en tout temps, moyennant un préavis de 15 jours pour le 15 du mois ou la fin d'un mois. La bailleresse conclut au rejet du recours. Elle produit des pièces nouvelles. L'autorité précédente se réfère à son arrêt. 