Niederlassungsbewilligung, hat sich ergeben: A.- Der aus der Dominikanischen Republik stammende D._, geboren am **. ** 1971, reiste am 31. Mai 1995 in die Schweiz ein und heiratete am **. ** 1995 die am **. ** 1966 geborene Schweizerin B._. Am **. ** 1999 kam der gemeinsame Sohn C._ zur Welt. Am 8. Oktober 1998 verurteilte der Einzelrichter in Strafsachen des Bezirksgerichts Zürich D._ wegen mehrfachen Vergehens gegen das Betäubungsmittelgesetz zu einer Gefängnisstrafe von vier Monaten unter Gewährung des bedingten Strafvollzugs. Hierauf verwarnte ihn die Fremdenpolizei des Kantons Zürich mit Verfügung vom 15. Januar 1999. Mit Urteil vom 6. März 2000 verurteilte das Obergericht des Kantons Zürich D._ in zweiter Instanz wegen mehrfachen Verbrechens gegen das Betäubungsmittelgesetz zu einer Zuchthausstrafe von 27 Monaten; es ordnete zudem den Vollzug der am 8. Oktober 1998 vom Bezirksgericht Zürich ausgesprochenen viermonatigen Gefängnisstrafe an. B.- Mit Verfügung vom 23. Juni 2000 verweigerte die Direktion für Soziales und Sicherheit des Kantons Zürich (Im Folgenden: Fremdenpolizei) D._ die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Dagegen rekurrierte dieser am 24. Juli 2000 an den Regierungsrat des Kantons Zürich. Mit Verfügung vom 9. Oktober 2000 entliess der Strafvollzugsdienst des Kantons Zürich D._ auf den 14. Januar 2001 bedingt aus dem Strafvollzug. Mit Verfügung vom 26. April 2000 wies die Einzelrichterin in Ehesachen des Bezirksgerichts X._ das mit der Scheidungsklage von B._ verknüpfte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wegen Aussichtslosigkeit ab, worauf B._ mit Schreiben vom 23. Mai 2000 die Scheidungsklage zurückzog. Mit Schreiben vom 19. September 2000 stellte sie beim Bezirksgericht X._ ein Eheschutzbegehren. Am 2. November 2000 ersuchte sie den Sozialdienst der Y._, ihren Ehemann nicht mehr zu ihr in den Urlaub zu entlassen; sie begrün-dete dieses Ersuchen mit unüberwindlichen Eheproblemen. Mit Verfügung vom 24. November 2000 merkte die Einzelrichterin des Bezirksgerichts Zürich vor, dass die Parteien seit dem 21. November 2000 getrennt leben, und stellte das Kind C._ für die Dauer des Getrenntlebens unter die Obhut seiner Mutter. Sie setzte das Besuchsrecht des Vaters für den Fall, dass sich die Parteien nicht einigen könnten, auf zwei Sonntage im Monat fest und verpflichtete diesen, für das Kind einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 500.-- zu leisten. Mit Beschluss vom 9. Januar 2001 wies der Regierungsrat des Kantons Zürich die Beschwerde gegen den Entscheid der Fremdenpolizei vom 23. Juni 2000 ab. Dagegen erhob D._ am 14. Februar 2001 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Er beantragte, den angefochtenen Beschluss aufzuheben und ihm die Niederlassungsbewilligung zu erteilen; eventualiter sei ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Mit Entscheid vom 23. Mai 2001 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. C.- Dagegen hat D._ beim Bundesgericht Verwaltungsgerichtsbeschwerde erhoben. Er beantragt, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und die Fremdenpolizei anzuweisen, ihm die Niederlassungsbewilligung zu erteilen; eventualiter sei die Fremdenpolizei anzuweisen, ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Er ersucht zudem darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Die Staatskanzlei (für den Regierungsrat) sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Ausländerfragen schliesst auf Abweisung der Beschwerde. D.- Dem Gesuch um aufschiebende Wirkung hat der Abteilungspräsident mit Formularverfügung vom 11. Juli 2001 insoweit Rechnung getragen, als er bis zum Entscheid darüber vorläufig alle Vollziehungsvorkehrungen untersagt hat. 