Faits: A. B._ est propriétaire de la parcelle n° 11357 du registre foncier de la commune de Sion, au lieu-dit "Sous le Scex". Cette parcelle de 687 mètres carrés est classée en zone mixte 1 dans le plan d'aménagement local homologué par le Conseil d'Etat du canton du Valais le 28 juin 1989. Elle supporte une maison individuelle qui abrite un logement de quatre pièces. Le 12 avril 2006, B._ a requis l'autorisation de construire sur cette parcelle, après démolition du bâtiment existant, un immeuble d'habitation comportant dix-sept appartements, un garage souterrain de treize places et quatre places de parc extérieures. L'accès au nouvel immeuble depuis l'avenue de Tourbillon se ferait par une route privée sans issue, de trois mètres de large, d'une longueur d'environ 90 mètres, formant un angle droit après les trente premiers mètres. Ce projet a suscité l'opposition de A._, propriétaire de la parcelle voisine, qui invoquait l'inadéquation de la voie d'accès par rapport à l'utilisation prévue, aux prescriptions de sécurité en matière d'incendie et à la sécurité des piétons. Par décision du 6 juillet 2006, notifiée le 19 janvier 2007, le Conseil municipal de Sion a délivré l'autorisation de construire sollicitée et levé l'opposition. Le Conseil d'Etat du canton du Valais a rejeté le recours formé contre cette décision par A._ au terme d'une décision prise le 24 octobre 2007 que la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal ou la cour cantonale) a confirmée, sur recours de l'intéressé, par arrêt du 22 février 2008. B. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt. Il reproche à la cour cantonale d'avoir admis l'aptitude du chemin d'accès à desservir l'immeuble litigieux au terme d'une appréciation arbitraire des preuves et en violation de l'art. 19 al. 1 de la loi fédérale sur l'aménagement du territoire (LAT; RS 700). Le Tribunal cantonal a renoncé à se déterminer. B._ conclut au rejet du recours. Le Conseil d'Etat propose également de le rejeter dans la mesure où il est recevable. La Ville de Sion se réfère à l'arrêt attaqué. C. Par ordonnance du 7 mai 2008, le juge instructeur a rejeté la demande d'effet suspensif présentée par le recourant. 