Faits: A. De nationalité roumaine et d'origine rom, X._ est née le 29 août 1979. Elle vit en Roumanie sans exercer d'activité professionnelle déclarée. X._ s'est adonnée à la mendicité sur la voie publique, à Genève, les 10, 13 novembre 2010, 1er et 10 mars 2011, notamment en présentant un gobelet aux passants. Le 13 novembre 2010, la somme de 2 fr. 25 lui a été saisie « à titre d'arriéré ». Le Service des contraventions de l'Etat de Genève lui a infligé, à chaque fois, une amende de 100 fr. hors frais de 30 francs. Par courriers des 15 mars et 17 mai 2011, X._ a contesté ces contraventions. La cause a été transmise au Tribunal de police du canton de Genève. Par jugement du 19 janvier 2012, ce dernier a condamné l'intéressée, pour l'infraction de droit cantonal de mendicité, à 40 fr. d'amende, avec peine de substitution de 1 jour de privation de liberté. La restitution de la somme de 2 fr. 25 a également été ordonnée. B. Saisie d'un appel de ce jugement, la Cour de Justice du canton de Genève l'a rejeté, par arrêt du 7 mai 2012. C. Par acte du 13 juin 2012, X._ forme un recours en matière pénale contre cet arrêt. Elle conclut principalement à sa réforme dans le sens de son acquittement, la somme de 2 fr. 25 lui étant restituée avec intérêts à 5% l'an dès le 13 octobre 2010 et, à titre subsidiaire, à son annulation et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour qu'elle rende une nouvelle décision au sens des considérants. Elle requiert l'assistance judiciaire. Par courrier du 15 octobre 2012, X._ a encore complété son recours par l'envoi d'une pièce. Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures. 