Sachverhalt: A. Der 1975 geborene E._ erlitt am 29. März 2003 als Lenker eines Lieferwagens einen Autounfall mit seitlich-frontaler Kollision, als ein anderer Autolenker ihm den Vortritt verweigerte. Als Bezüger von Taggeldleistungen der Arbeitslosenversicherung war er bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) versichert, welche für die Heilbehandlung aufkam. Bei der am Unfalltag im Spital X._ ambulant durchgeführten Untersuchung berichtete der Versicherte über etwas Schwindel, aber kaum Schmerzen in der Halswirbelsäule (HWS). Die Ärzte stellten an der HWS einen paravertebralen Hartspann mit leicht eingeschränkter Extension fest, bei sonst in alle Richtungen normalen und schmerzfrei durchführbaren Bewegungen. Sie diagnostizierten ein Distorsionstrauma der HWS. Unter Hinweis auf die geringen Beschwerden und die unauffällige Beweglichkeit der HWS verzichteten sie auf Röntgenaufnahmen. Eine Arbeitsunfähigkeit wurde nicht attestiert. Von Mitte April bis Mitte Oktober 2003 absolvierte der Versicherte ein Praktikum in einem Therapieheim für Suchtkranke, bevor er wieder arbeitslos wurde. Der Hausarzt Dr. med. W._ verordnete eine physiotherapeutisch/ osteopathische Behandlung. Zudem äusserte er den Verdacht auf posttraumatische Belastungsstörung bei zusätzlicher psychischer Belastung und ersuchte die SUVA mit Schreiben vom 22. Oktober 2003 um Kostengutsprache für eine psychotherapeutische Behandlung. Diese veranlasste daraufhin eine spezialärztliche Abklärung durch den Neurologen Dr. med. S._, welcher Röntgen-, CT- und MRI-Untersuchungen in die Wege leitete und gemäss Bericht vom 7. Juli 2004 die Diagnosen Distorsionstrauma der HWS mit persistierenden Nackenschmerzen, Dysfunktion der HWS, posttraumatische Belastungsstörung, Verdacht auf Defizite der kognitiven Funktionen und inadäquate Verarbeitung der Unfallfolgen stellte. Daraufhin holte die SUVA die biomechanische Beurteilung vom 6. September 2004 ein und liess den Versicherten am 18. Oktober 2004 durch Kreisarzt-Stellvertreter Dr. med. M._ untersuchen. Überdies zog sie den Bericht von Frau lic. phil. A._, Psychologin FSP, vom 9. Mai 2005 bei. Mit Verfügung vom 21. Juni 2005 stellte sie die bisher erbrachten gesetzlichen Leistungen mit Wirkung ab 30. Juni 2005 ein, weil der adäquate Kausalzusammenhang der noch geklagten Beschwerden zum versicherten Unfallereignis nicht gegeben sei. Da der Unfall die Erwerbsfähigkeit nicht messbar beeinträchtigt habe und keine unfallbedingte bleibende Schädigung der körperlichen oder geistigen Integrität resultiere, verneinte sie auch einen Anspruch auf Invalidenrente und Integritätsentschädigung. Daran hielt sie auf Einsprache hin mit Einspracheentscheid vom 11. August 2005 fest. B. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht (Versicherungsgericht) des Kantons Nidwalden mit Entscheid vom 19. Juni 2006 gut, hob den Einspracheentscheid auf und wies die Sache zur ergänzenden Abklärung im Sinne der Erwägungen (Einholung eines neuropsychologischen Gutachtens) und zur Neuverfügung an die SUVA zurück. C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt die SUVA Aufhebung des kantonalen Entscheids. Während E._ auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung. 