Sachverhalt: A. Die am 11. Dezember 2000 geborene M._ verfügt über die Bürgerrechte der Kantone Zürich und Aargau. Sie lebte bis 31. August 2006 in A._ (ZH). Am 1. September 2006 zog sie mit ihrer Mutter nach B._ (SH). Aufgrund einer Gefährdungsmeldung vom 23. Februar 2007 wurde M._ von der Vormundschaftsbehörde B._ zunächst teilweise und ab 1. November 2007 dauerhaft in einer Pflegefamilie untergebracht. Am 26. November 2008 beschloss die Sozialhilfebehörde B._ unter anderem, das seit 1. November 2007 geschuldete Pflegegeld zu übernehmen. Mit Unterstützungsanzeige vom 6. Februar 2009 (zugestellt am 30. März 2009) machte das Sozialamt des Kantons Schaffhausen beim Heimatkanton Zürich die Erstattung der bis 31. August 2008 geleisteten Unterstützung geltend. Am 9. November 2009 wies das Sozialamt des Kantons Schaffhausen eine dagegen erhobene Einsprache des Kantons Zürich ab. B. Mit Entscheid vom 21. Mai 2010 wies das Obergericht des Kantons Schaffhausen die vom Kanton Zürich eingereichte Beschwerde ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt der Kanton Zürich, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 21. Mai 2010 aufzuheben und zu erkennen, dass der Heimatkanton Zürich in der Unterstützungsangelegenheit von M._ gegenüber dem Wohnkanton Schaffhausen nicht kostenersatzpflichtig sei. Der Kanton Schaffhausen schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Der Kanton Zürich liess sich dazu am 20. August 2010 vernehmen. 