Sachverhalt: A. A._, die damals bei einer Tochtergesellschaft der X._ AG angestellt war, hatte am 7. März 2001 eine Besprechung in den Büroräumlichkeiten der X._ AG an der I._-Strasse in Zürich. Der Zugang zu diesen - nur dem Personal der X._ AG offenstehenden - Räumlichkeiten erfolgt durch vier sogenannte "Sicherheits-Rundschleusen" (nachfolgend: Rundschleusen). Diese dienen der "vollautomatischen Personenvereinzelung" auf kleinem Raum, so dass geschützte Bereiche in einem Gebäude ausschliesslich von berechtigten Personen betreten und verlassen werden können. Die einzelne Rundschleuse besteht aus zwei äusseren Seitenteilen und einem inneren drehbaren 3/4-Zylinder. Durch Impuls des bauseitigen Zutrittskontrollsystems dreht sich der elektromechanisch angetriebene innere Zylinder um 180 Grad, womit der Eintritt in die Rundschleuse von aussen her frei ist. Sobald die Person eingetreten ist, dreht sich der Zylinder wieder um 180 Grad, und der Zutritt zum Rauminneren ist frei. Die Rundschleuse kann von beiden Seiten benutzt werden. Sie funktioniert von aussen mit einem Leserkontakt und von innen mit einem Druckknopf, der rechts ausserhalb der Schleuse auf einer Säule angebracht ist. Um das Gebäude der X._ AG nach der Besprechung zu verlassen, benutzte A._ eine der beiden mittleren Rundschleusen. Sie betätigte den Druckknopf und betrat die Rundschleuse. Der Zylinder drehte sich darauf nicht ordnungsgemäss, sondern stockte nach wenigen Zentimetern. A._ betätigte daraufhin (aus dem Inneren der Schleuse) nochmals den Druckknopf, wozu sie die Hand aus der Rundschleuse streckte. Daraufhin bewegte sich der innere Zylinder ein weiteres kleines Stück. Nachdem die Rundschleuse nun soweit geschlossen war, dass A._ den Zylinder nicht mehr nach hinten verlassen konnte, drückte diese ein weiteres Mal auf den Knopf, worauf sich der innere Zylinder weiter drehte. Die Hand von A._ wurde zwischen dem inneren und dem äusseren Zylinder eingeklemmt, wobei der Körper von A._ eng an den inneren Zylinder gepresst wurde. A._ rief um Hilfe, worauf der Portier B._ zur Rundschleuse eilte und den Austrittsknopf mindestens noch einmal drückte. In der Folge gelang es A._ trotz der fortschreitenden Drehbewegung, ihre Hand zwischen dem inneren und dem äusseren Zylinder wieder herauszuziehen. Dadurch kam sie frei, nachdem sich die Zylinder-Drehtüre einen Viertel bis einen Drittel gedreht hatte. Der innere Zylinder drehte sich weiter und öffnete die Türe. B. Am 19. Mai 2005 machte A._ beim Handelsgericht des Kantons Zürich Klage gegen die X._ AG anhängig. Sie begehrte, die X._ AG sei zu verurteilen, ihr als Genugtuung eine Summe von Fr. 50'000.-- nebst Zins zu bezahlen, Mehrklage vorbehalten. Es sei davon Vormerk zu nehmen, "dass mit der vorliegenden Klage ein Teil der Genugtuung eingeklagt" werde. Die X._ AG verkündete der Y._ Metallbau AG den Streit und erhob Widerklage, auf die das Handelsgericht mit Beschluss vom 31. März 2006 nicht eintrat. Nach Durchführung eines einstweilen auf die (hauptsächlich den Unfallhergang betreffenden) Beweissätze 1-7 und 23-29 beschränkten Beweisverfahrens wies das Handelsgericht die Klage mit Urteil vom 20. März 2012 ab. C. A._ (Beschwerdeführerin) beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Handelsgerichts sei aufzuheben, soweit dadurch ihre Klage abgewiesen werde. Die X._ AG (Beschwerdegegnerin) sei zu verurteilen, ihr Fr. 50'000.-- zuzüglich Zins zu 5% seit dem 7. März 2001 - Mehrklage vorbehalten - zu bezahlen. Es sei davon Vormerk zu nehmen, dass mit der vorliegenden Klage lediglich ein Teil der Genugtuung eingeklagt werde. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung und/oder Ergänzung des Sachverhalts an die Vorinstanz zurückzuweisen. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt. D. Mit Verfügung vom 26. November 2012 wurde das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren abgewiesen. In der Folge überwies die Beschwerdeführerin den verlangten Kostenvorschuss fristgerecht. Parallel zur Bezahlung des Kostenvorschusses stellte die Beschwerdeführerin mit Eingabe vom 7. Dezember 2012 den Antrag, die Verfügung vom 26. November 2012 sei "wiedererwägungsweise dahingehend zu korrigieren, dass die Beschwerde in Zivilsachen [...] nicht als gänzlich aussichtslos zu betrachten und der Beschwerdeführerin dementsprechend für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren sei". 