Faits: A. A.a A.X._, ressortissante d'origine camerounaise, née en 1971, a épousé en décembre 2001 à Douala, B.X._, ressortissant suisse né en 1956. Arrivée en Suisse le 22 avril 2002, A.X._ a été mise au bénéfice d'une autorisation de séjour pour regroupement familial, puis, en juin 2007, d'une autorisation d'établissement. Le 23 avril 2002, A.X._ a rempli un rapport d'arrivée, dans lequel elle a indiqué souhaiter que, par la suite, sa fille, F._ (ci-après: F._), née en 1991, et ses trois enfants adoptifs, D._ (ci-après: D._), né en 1985, C._ (ci-après: C._), né en 1990, et E._ (ci-après: E._), née en 1993, tous ressortissants camerounais, puissent venir la rejoindre en Suisse. Par jugement du 12 septembre 2002, devenu définitif le 3 mars 2008, le Tribunal de première instance de Douala-Bonanjo a prononcé l'adoption simple par A.X._ des trois enfants de feu son frère, décédé en 1996, soit D._, C._ et E._, en vue de lui permettre d'assurer convenablement leur encadrement. F._, D._, C._ et E._ ont, le 10 janvier 2003, déposé, auprès de l'Ambassade de Suisse à Yaoundé, des demandes d'autorisation d'entrée et de séjour au titre du regroupement familial. Dans plusieurs courriers envoyés en 2003 à différentes autorités suisses, A.X._ et son époux ont confirmé leur volonté d'accueillir en Suisse F._, D._, C._ et E._ et leur ont fait parvenir différents documents les concernant. A.X._ expliquait que ses enfants adoptifs vivaient au Cameroun chez sa soeur, qu'elle leur téléphonait deux à trois fois par semaine et qu'elle leur envoyait de l'argent tous les mois pour leurs besoins. Le 15 mai 2003, la mère biologique de D._, C._ et E._ a signé une autorisation parentale par laquelle elle permettait à ses trois enfants de quitter le Cameroun et de voyager accompagnés de A.X._ pour se rendre en Suisse. Le 11 juillet 2003, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service de la population) a habilité la représentation de Suisse à Yaoundé à délivrer un visa d'entrée en faveur de F._. Entrée sur territoire helvétique ce même mois, celle-ci a été mise au bénéfice d'une autorisation de séjour pour regroupement familial. C._ est arrivé illégalement en Suisse le 20 février 2006 et y a déposé une demande d'asile. Par décision du 13 mars 2006, l'Office fédéral des migrations a rejeté cette requête et prononcé le renvoi de Suisse de C._. Le 26 avril 2006, la Commission suisse de recours en matière d'asile n'est pas entrée en matière sur le recours interjeté contre cette décision. Le 18 avril 2007, C._ a rempli un rapport d'arrivée auprès du Bureau des étrangers de O._. Le Service de la population a rejeté, par décision du 15 octobre 2007, la demande d'autorisation de séjour de celui-ci. A.b Par arrêt du 18 juin 2009, le Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a partiellement admis le recours de A.X._, de son époux et de ses enfants adoptifs en tant qu'il concernait C._; l'autorité administrative avait, notamment, trop "minimisé" les effets de l'adoption simple en matière de regroupement familial. Le Tribunal cantonal a, en outre, admis le recours pour déni de justice formel en tant qu'il concernait D._ et E._; rien ne justifiait qu'il se soit écoulé six ans depuis le dépôt des demandes de regroupement familial sans que le Service de la population n'agisse. Le 26 février 2010, C._ a été interpellé par les gardes-frontière de P._. Il a alors expliqué qu'il était venu en Suisse en 2006, qu'il y avait déposé une demande d'asile sous une fausse identité et qu'il n'avait jamais quitté notre pays malgré le rejet de sa requête. Après que le Service de la population lui eut transmis le dossier et les autorisations envisagées pour approbation à la suite de l'arrêt du 18 juin 2009 du Tribunal cantonal, l'Office fédéral des migrations a, par décision du 17 décembre 2010, refusé de délivrer une autorisation d'entrée en Suisse en faveur de D._ et E._ et d'approuver l'octroi d'une autorisation de séjour à ceux-ci, ainsi qu'à C._, tout en prononçant le renvoi de celui-ci. Il a estimé que les enfants n'avaient pas un droit à une autorisation de séjour au regard du droit des étrangers, leur adoption n'étant qu'une adoption simple; en outre, les liens qui les unissaient à leur mère adoptive n'étaient pas suffisamment intenses et étroits pour qu'ils puissent tirer un droit de l'art. 8 CEDH. Au mois de mai 2011, A.X._ a obtenu la nationalité suisse. B. Après avoir pris connaissance de l'acte de décès de la soeur de A.X._ survenu en mars 2011 et de l'obtention, par C._, en juin 2011, de son certificat de capacité de constructeur de routes, le Tribunal administratif fédéral a rejeté, par arrêt du 18 mai 2012, le recours de A.X._ et de B.X._. Il a jugé en substance que l'adoption simple prononcée au Cameroun n'engendrait pas la rupture des liens de filiation entre l'enfant et sa famille biologique; dans un tel cas, l'enfant adopté ne pouvait tirer aucun droit au regroupement familial de l'art. 17 al. 2 3ème phrase de la loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE; RS 1 113), que son parent adoptif soit au bénéfice d'une autorisation d'établissement ou soit suisse; en outre, les trois enfants adoptifs de A.X._ ne se trouvaient pas dans une situation qui constituait un cas de rigueur. Finalement, D._, C._ et E._ étaient tous âgés de plus de dix-huit ans, ce qui avait pour conséquence qu'ils ne pouvaient tirer aucun droit de l'art. 8 CEDH. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A.X._, ainsi que C._, D._ et E._ demandent au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du 18 mai 2012 du Tribunal administratif fédéral, de dire que l'autorisation de séjour délivrée par le canton de Vaud aux trois enfants est approuvée; subsidiairement, de renvoyer la cause au Tribunal administratif fédéral afin qu'il approuve ces autorisations de séjour; plus subsidiairement, de lui renvoyer la cause pour qu'il annule la décision du 17 décembre 2010 et transmette la cause à l'Office fédéral des migrations pour que cet office approuve les autorisations de séjour. L'Office fédéral des migrations conclut au rejet du recours. Le Tribunal administratif fédéral a renoncé à prendre position. Par ordonnance du 3 juillet 2012, le Président de la IIe Cour de droit public a admis la demande d'effet suspensif en faveur de C._. 