Sachverhalt: A. Der 1962 geborene R._ betrieb ab 1998 in selbständiger Erwerbstätigkeit eine Tennisschule und war bei der "Zürich" Versicherungsgesellschaft (nachfolgend: Zürich) freiwillig nach UVG gegen Unfallfolgen versichert. Am 22. Mai 2004 zog er sich eine Bänderverletzung am rechten Handgelenk zu. Die Zürich anerkannte ihre Leistungspflicht für die Folgen dieses Ereignisses und erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Mit Verfügung vom 2. November 2005 forderte sie aufgrund einer Neuberechnung des versicherten Verdienstes die erbrachten Taggeldleistungen teilweise zurück; die Rechtmässigkeit dieser Verfügung ist nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens. Die IV-Stelle des Kantons Solothurn sprach dem Versicherten berufliche Eingliederungsmassnahmen in Form einer im Februar 2005 beginnenden, von Mai bis Dezember 2005 berufsbegleitend absolvierten Umschulung im KV-Bereich (Bürofachdiplom AKAD) zu. In diesem Zusammenhang wurden dem Versicherten vom 5. Februar bis 30. April 2005 und erneut ab 5. Dezember 2005 Taggelder der Invalidenversicherung ausgerichtet. Mit Verfügung vom 30. März 2006 lehnte es die Zürich ab, die Kosten für nach dem 30. April 2005 durchgeführte Behandlungen in der Klinik X._ (Faktura vom 30. November 2005 über Fr. 277.40; Faktura vom 5. Januar 2006 über Fr. 40.85) zu übernehmen. Zur Begründung hielt der Versicherer fest, der "medizinische Endzustand" werde auf den 1. Mai 2005 festgelegt. Ab diesem Zeitpunkt bestehe kein Anspruch auf Taggelder und Heilbehandlung mehr. Daran hielt die Zürich auch mit Einspracheentscheid vom 27. Juli 2006 fest. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 26. September 2007 ab. C. Mit Beschwerde beantragt R._, die Zürich sei unter Aufhebung des Einsprache- und des kantonalen Gerichtsentscheides zu verpflichten, die Kosten für die Behandlung in der Klinik X._ zu übernehmen. Während die Zürich auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung. 