Sachverhalt: A. An B. und A.C._ wurde erstmals am 27. September 1998 eine Aufenthaltsbewilligung B erteilt. Die aus der Türkei stammende B.C._ erhielt diese als erwerbslose Rentnerin; der deutsche Staatsangehörige A.C._ erhielt seine Aufenthaltsbewilligung im Familiennachzug. Die Aufenthaltsbewilligungen wurden laufend verlängert, im August 2003 erstmals als Aufenthaltsbewilligungen B EG/EFTA (Kraft der deutschen Staatsangehörigkeit von A.C._) für die ganze Schweiz mit dem Aufenthaltszweck Rentnerin bzw. Rentner, gültig bis zum 31. August 2008. Die Aufenthaltsbewilligungen B EG/EFTA wurden zweimal befristet verlängert, zuletzt bis am 31. Mai 2010. Am 2. Juni 2010 gelangte D.C._, die Tochter von B. und A.C._, mehrmals schriftlich ans Amt für Arbeit, Abteilung Migration des Kantons Obwalden (Migrationsamt) und teilte mit, dass ihre Eltern die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nicht fristgerecht beantragen könnten. Diese würden aufgrund einer Erkrankung ihres Vaters nicht in die Schweiz zurückreisen können und erbäten um Fristverlängerung. Mit Schreiben vom 7. Juli 2010 und 12. November 2010 teilte das Migrationsamt D.C._ mit, die Bewilligung ihrer Eltern sei am 31. Mai 2010 abgelaufen. Das Migrationsamt wies D.C._ darauf hin, dass Angehörige von EU- und EFTA-Staaten jederzeit ein Aufenthaltsrecht begründen könnten, und wies sie auf die Voraussetzungen hierfür hin. Am 27. September 2011 ersuchte A.C._ das Migrationsamt persönlich, die Aufenthaltsbewilligung für sich und seine Gattin wieder zu erteilen. B. Mit Verfügung vom 12. Oktober 2011 lehnte das Migrationsamt das Gesuch um Wiedererteilung der Aufenthaltsbewilligung für B. und A.C._ ab. Es begründete dies mit einer fehlenden finanziellen Unabhängigkeit von B. und A.C._ in der Schweiz. Eine hiergegen an den Regierungsrat erhobene Eingabe wies dieser ab. Daraufhin erhoben B. und A.C._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht. Nach Bewilligung eines zweiten Schriftenwechsel beantragten sie am 15. November 2012 - nunmehr anwaltlich vertreten - ihre Aufenthaltsbewilligung zu verlängern, weil die Voraussetzungen hierzu offensichtlich erfüllt seien. Der Schriftenwechsel wurde mit einer Stellungnahme des Ehepaars am 16. Dezember 2012 vorläufig abgeschlossen. Mit Schreiben vom 18. Oktober 2013 stellte das Gericht den Parteien eine Aktennotiz betreffend eine ergänzende Abklärung bei der Ausgleichskasse des Kantons Obwalden zu und gab ihnen die Möglichkeit, hierzu Stellung zu nehmen. Das Ehepaar reichte daraufhin, am 18. und 24. November 2013, weitere Belege ein. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 27. November 2013 ab. C. Mit Eingabe vom 17. Januar 2014 beantragen B. und A.C._ dem Bundesgericht, das Urteil vom 27. November 2013 aufzuheben. Ihnen sei die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern, eventuell eine neue Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Das Amt für Arbeit, Abteilung Migration, der Vorsteher des Volkswirtschaftsdepartements und das Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden sowie das Bundesamt für Migration beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Mit Verfügung vom 21. Januar 2014 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt. 