Faits: A. Née le 10 juin 1972, X._ est ressortissante du Sri Lanka. Le 9 mars 2012, elle a fait l'objet d'une décision de renvoi de la part de l'Office fédéral des migrations (ci-après: l'Office fédéral) à la suite d'un refus d'asile. Elle a recouru contre cette décision, recours que le Tribunal administratif fédéral a rejeté par arrêt du 18 juillet 2012. B. Par arrêt du 7 février 2013, le Juge unique de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Juge unique), après avoir auditionné l'intéressée, a approuvé la décision rendue le 5 janvier 2013 par le Service de la population et des migrations du canton du Valais (ci-après: le Service cantonal) ordonnant la mise en détention immédiate en vue du renvoi, pour trois mois au plus, de X._. C. A l'encontre de l'arrêt du 7 février 2013, X._ forme, en langue allemande, un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral, en concluant à l'annulation de l'arrêt attaqué et à sa remise en liberté. Elle sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire et la nomination de Me Gabriel Püntener, avocat à Berne, en qualité d'avocat d'office. Le Service cantonal a transmis son dossier sans observations. Le Tribunal cantonal du canton du Valais a également renoncé à se déterminer. 