Sachverhalt: A. A.a. X._ (1974) und Y._ (1985) heirateten am xx.xx.2009. Ihr Sohn A._ kam am xx.xx.2010 auf die Welt. Am 31. Juli 2013 hob der Einzelrichter am Bezirksgericht Willisau den gemeinsamen Haushalt von X._ und Y._ auf und gab A._ unter Einräumung eines gerichtsüblichen Besuchsrechts in die Obhut der Mutter. Er setzte den Unterhaltsbeitrag an A._ ab 21. Dezember 2012 auf Fr. 1'000.-- und denjenigen an Y._ ab 27. Dezember 2012 auf Fr. 2'245.-- fest. Sodann ordnete er die Gütertrennung an und verpflichtete X._, seiner Frau den Schweizer Pass von A._ herauszugeben. A.b. Gegen diesen Entscheid erhob X._ am 15. August 2013 Berufung. Er beantragte, A._ unter seine Obhut zu stellen unter Einräumung eines Besuchsrechts an die Mutter. Gleichzeitig seien die Unterhaltsregelungen neu zu bestimmen, und er sei zu berechtigen, den Schweizer Pass von A._ zu behalten. Mit Urteil vom 23. September 2013 wies das Kantonsgericht Luzern die Berufung ab, soweit es darauf eintrat. B. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 28. Oktober 2013 wendet sich X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt, die "Staatsrechtliche Beschwerde" sei gutzuheissen (Ziff. 1). Das Urteil des Kantonsgerichts sei aufzuheben, und es sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Ziff. 2). Eventualiter sei A._ unter seine Obhut zu stellen, Y._ (Beschwerdegegnerin) für berechtigt zu erklären, A._ auf eigene Kosten zu sich auf Besuch zu nehmen, und ihm zu erlauben, den Schweizer Pass seines Sohns bei sich zu behalten (Ziff. 3). Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. 