Faits: A. Y._ SA, fondée en 1987, s'est consacrée à l'acquisition et à l'exploitation d'appareils destinés à certains traitements médicaux. X._ en a détenu directement toutes les actions jusqu'en décembre 1993, puis il les a cédées à une autre société anonyme dont il était aussi l'actionnaire principal. Dans ses livres, Y._ SA tenait un compte qui était débité ou bonifié des sommes respectivement à verser ou à percevoir par X._. Dès 1988, à la clôture de chaque exercice annuel, ce compte présenta toujours un solde débiteur variant de 700'000 fr. à 1'950'000 fr. environ. La faillite de Y._ SA est survenue le 23 septembre 1999; le compte de X._ présentait alors un solde débiteur au montant de 781'732 fr.95. B. Le 10 avril 2001, la masse en faillite Y._ SA a ouvert action contre X._ devant le Tribunal cantonal du canton de Vaud; le défendeur devait être condamné à payer ce dernier montant, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 1er janvier 1997. Le défendeur a conclu au rejet de l'action. Un expert fut désigné par le juge instructeur pour élucider la nature de la prétention comptabilisée par la société. Son rapport, remis le 12 janvier 2004, comporte un préambule cité comme suit dans le jugement de la Cour civile du Tribunal cantonal: L'expert expose qu'il n'a pas été en mesure de consulter les grands livres et les pièces comptables originales de la société [...] faute de production de celles-ci par les parties, le défendeur ne s'étant notamment pas montré enclin à fournir les documents dont la production avait été sollicitée en ses mains. [L'expert] estime néanmoins qu'il a pu reconstituer l'essentiel des mouvements du compte courant du défendeur dans les livres de la société par une documentation probante et des données concordantes obtenues auprès de tiers, en particulier par la consultation auprès de A._ SA des grands livres de [la société] pour les exercices 1987 à 1990 et 1993 à 1996, des déclarations fiscales, avec annexes, du défendeur pour les années 1991, 1993 et 1995, par l'obtention auprès de la Banque B._ des relevés du compte courant commercial [de la société] pour les années 1993 à 1999 ainsi que des avis de débits et crédits correspondant aux écritures passées sur le compte courant du défendeur durant les années 1993 à 1997, et par l'obtention auprès du dernier organe de révision [...] du résumé des opérations enregistrées au compte courant du défendeur durant l'exercice 1997. Le juge instructeur accéda, d'abord, à une requête du défendeur tendant à un complément d'expertise; toutefois, en dépit de trois prolongations du délai assigné à cette fin, l'avance de frais à fournir par lui resta impayée et, en conséquence, l'expert ne fut pas requis de compléter son étude. Le défendeur réclama sans succès une deuxième expertise. Il réclama également sans succès l'autorisation d'appeler en cause la Banque B._, dont il affirmait qu'elle s'était obligée à reprendre sa dette envers Y._ SA. La Cour civile a statué le 18 avril 2007. Sur la base de l'expertise, elle a retenu qu'il existait un contrat de compte courant entre l'actionnaire défendeur et la société; le montant litigieux constituait le solde dû à cette dernière. La Cour a ainsi condamné le défendeur à payer 781'732 fr.95, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 1er mars 1999. C. Contre ce prononcé, le défendeur exerce le recours en matière civile au Tribunal fédéral. Le recours tend principalement au rejet de l'action; des conclusions subsidiaires tendent à l'annulation du jugement et au renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle décision. La demanderesse conclut principalement à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. D. Le défendeur a simultanément déféré le jugement de la Cour civile à la Chambre des recours du Tribunal cantonal. Statuant le 24 octobre 2007, cette autorité a rejeté le recours et confirmé le jugement. Le défendeur exerce également le recours en matière civile contre l'arrêt de la Chambre des recours. Il prend des conclusions semblables à celles du recours déjà introduit devant le Tribunal fédéral. La demanderesse conclut au rejet du recours. E. Le défendeur a encore introduit une demande de révision dirigée contre le jugement de la Cour civile et contre l'arrêt de la Chambre des recours. La Chambre des révisions civiles et pénales du Tribunal cantonal l'a rejetée par arrêt du 3 juillet 2008. Contre ce troisième prononcé, le recours du défendeur au Tribunal fédéral a été jugé irrecevable le 6 novembre 2008, au motif que les sûretés en garantie des frais judiciaires n'ont pas été fournies (arrêt 4A_358/2008). 