Sachverhalt: A. Der 1961 geborene B._ bezieht Renten der Unfall- sowie der Invalidenversicherung. Er lebt seit mehreren Jahren in Brasilien. Gestützt auf eine Mitteilung der Schweizerischen Mobiliar Versicherungsgesellschaft (nachfolgend: Mobiliar) als Unfallversicherer vom 5. Dezember 2006, wonach diese ihre Rentenzahlungen endgültig eingestellt habe, weil ihr Hinweise vorlägen, dass diese nicht mehr geschuldet seien, stellte auch die IV-Stelle für Versicherte im Ausland die Zahlung der bisher ausgerichteten ganzen Invalidenrente als vorsorgliche Massnahme mit sofortiger Wirkung ein und entzog einer gegen diese Verfügung gerichteten Beschwerde die aufschiebende Wirkung (Verfügung vom 29. Dezember 2006). B. Am 1. Februar 2007 liess B._ Beschwerde führen und beantragen, die Verfügung sei aufzuheben, die Rentenleistungen seien weiterhin auszurichten und der Beschwerde sei wieder aufschiebende Wirkung zu erteilen. Das angerufene Bundesverwaltungsgericht lehnte das Gesuch um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung ab (Zwischenverfügung vom 7. Mai 2007) und führte einen doppelten Schriftenwechsel durch. Auf die Aufforderung zur Leistung eines Kostenvorschusses hin stellte B._ am 12. März 2008 ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung). Im Verlaufe des Verfahrens gab er weitere medizinische Unterlagen zu den Akten. Nachdem B._ das Bundesverwaltungsgericht mit Schreiben vom 1. Dezember 2008 um Erlass des Entscheides gebeten hatte, verpflichtete dieses die IV-Stelle mit Verfügung vom 15. Dezember 2008 zur Einreichung der Akten der Mobiliar innert der dafür gesetzten Frist. Die IV-Stelle reichte dem Gericht am 7. Januar 2009 die ihr von der Mobiliar zugestellten Akten ein mit der Bitte, dem Versicherten bis zum Entscheid des Untersuchungsrichters bezüglich der Akteneinsicht im Strafverfahren keine Akteneinsicht zu gewähren. Mit Verfügung vom 12. Januar 2009 sistierte das Bundesverwaltungsgericht das Verfahren bis zur Herausgabe der vollständigen Akten durch die Mobiliar und forderte die IV-Stelle (ohne Fristansetzung) erneut auf, bei der Mobiliar die vollständigen Akten anzufordern und diese dem Bundesverwaltungsgericht unverzüglich zuzustellen. C. Mit Eingabe vom 25. Mai 2009 lässt B._ Rechtsverzögerungsbeschwerde führen und beantragen, es sei das Bundesverwaltungsgericht anzuweisen, beförderlich einen materiellen Entscheid zu fällen und in diesem Zusammenhang die IV-Stelle aufzufordern, innert einer kurzen, nicht erstreckbaren Frist die hinsichtlich der angefochtenen Verfügung vom 29. Dezember 2006 relevanten Akten der Mobiliar einzureichen. Des Weitern sei das Bundesverwaltungsgericht anzuweisen, die IV-Stelle zu verpflichten, die nachträglich eingereichten aktuellen medizinischen Unterlagen zu prüfen. Das Bundesverwaltungsgericht sei anzuweisen, über den von ihm im Rahmen des Beschwerdeverfahrens gestellten Antrag auf Erlass der ordentlichen und ausserordentlichen Kosten beförderlich einen materiellen Entscheid zu fällen. Des Weitern stellt B._ ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung) für das letztinstanzliche Verfahren. Das Bundesverwaltungsgericht schliesst in seiner Vernehmlassung auf Abweisung der Rechtsverzögerungsbeschwerde, soweit diese nicht gegenstandslos geworden sei. Es weist darauf hin, dass die zuständige Instruktionsrichterin der IV-Stelle mit Verfügung vom 12. Juni 2009 Frist für die Einforderung und Zustellung der vollständigen Akten gesetzt habe. 