Sachverhalt: A. Der am 1. April 1947 geborene K._ ist kosovarischer Staatsangehöriger und wohnt in Kosovo. Mit Antrag vom 19. März 2012 (eingegangen am 30. April 2012) meldete er sich bei der Schweizerischen Ausgleichskasse (nachfolgend: SAK) zum Bezug einer "Altersrente für Personen mit Wohnsitz ausserhalb der Schweiz" an. Mit Verfügung vom 14. August 2012 teilte ihm die SAK mit, er hätte grundsätzlich einen Anspruch auf eine ordentliche Altersrente als einmalige Abfindung in der Höhe von Fr. 31'207.-, da aber das zwischen der Schweiz und dem ehemaligen Jugoslawien abgeschlossene Sozialversicherungsabkommen ab 1. April 2010 im Verhältnis zu Kosovo nicht weiter angewendet werde, müsse sein Antrag dennoch abgewiesen werden. Auf Einsprache hin hielt die SAK mit Einspracheentscheid vom 18. Oktober 2012 an der Abweisung des Anspruches fest. B. Mit Schreiben vom 31. Oktober 2012 teilte K._ der SAK mit, er erhebe "keine Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht in St. Gallen", ziehe seine Einsprache gegen die Verfügung vom 14. August 2012 zurück und beantrage, dass seine Altersrente in Form einer einmaligen Abfindung überwiesen werde. Diese Eingabe leitete die SAK ans Bundesverwaltungsgericht weiter, welches die Eingabe als Beschwerde entgegennahm. Mit Entscheid vom 13. Juni 2013 hiess das Bundesverwaltungsgericht diese gut, hob den Einspracheentscheid vom 18. Oktober 2012 auf und sprach K._ eine einmalige Abfindung in der Höhe von Fr. 31'207.- zu. In der Begründung führte es aus, dass das zwischen der Schweiz und dem ehemaligen Jugoslawien abgeschlossene Sozialversicherungsabkommen auf kosovarische Staatsangehörige weiter anwendbar sei. C. Die SAK erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 13. Juni 2013 sei aufzuheben und ihr Einspracheentscheid vom 18. Oktober 2012 zu bestätigen. K._ reichte der SAK ein Banküberweisungsformular und weitere Dokumente ein (welche die SAK ans Bundesgericht weiterleitete), lässt sich weiter aber nicht vernehmen. Auch das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) und das Bundesverwaltungsgericht verzichten auf eine Vernehmlassung. 