Sachverhalt: A. X._ ist unter anderem Eigentümer des unüberbauten Grundstücks Nr. 821 des Grundbuchs (GB) Nebikon. Das Grundstück gehört zum Gestaltungsplangebiet Oberdorf. Am 30. November 2009 stellte der Gemeindeammann von Nebikon fest, dass der Fussweg im Bereich der nordwestlichen Ecke der Parzelle Nr. 821 durch eine Bepflanzung mit Tannen unterbrochen wurde und deshalb für Fussgänger nicht mehr durchgehend begehbar sei. Am 11. Dezember 2009 entschied der Gemeinderat Nebikon, die Bepflanzung widerspreche dem Gestaltungsplan. Er verpflichtete den Grundeigentümer, die widerrechtlich gepflanzten Tannen innert 30 Tagen seit Rechtskraft seines Entscheids zu beseitigen und innert derselben Frist den früheren Zustand des Fusswegs wiederherzustellen. Für den Fall der Nichtbefolgung drohte der Gemeinderat dem Grundeigentümer die Ersatzvornahme auf dessen Kosten und eine Busse nach Art. 292 StGB an. B. Gegen diesen Entscheid erhob X._ am 4. Januar 2010 Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern. Er stellte die Anträge, der Entscheid des Gemeinderats vom 11. Dezember 2009 sei aufzuheben (Ziff. 1), und ihm sei die Frist zur einlässlichen Begründung der Beschwerde bis Mitte Februar 2010 zu erstrecken (Ziff. 2). Die Instruktionsrichterin am Verwaltungsgericht gewährte eine Frist zur Verbesserung der Beschwerde bis 25. Januar 2010, worauf X._ am 22. Januar 2010 die Beschwerdebegründung nachreichte und den Antrag gemäss Ziff. 1 der Beschwerde erneuerte. Mit Urteil vom 31. Mai 2010 hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerde gut und hob den Entscheid des Gemeinderats Nebikon vom 11. Dezember 2009 auf. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 2. Juli 2010 beantragt die Gemeinde Nebikon im Wesentlichen, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde von X._ nicht einzutreten sei. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventuell sei sie abzuweisen. Der private Beschwerdegegner stellt den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. In ihrer Stellungnahme macht die Beschwerdeführerin geltend, ihre Beschwerdeberechtigung werde vom Verwaltungsgericht zu Unrecht bestritten. 