Sachverhalt: A. A.a Die 1990 in Solothurn geborene A._ leidet als Folge von Komplikationen bei ihrer Geburt an schweren cerebralen Schädigungen sowie an einer schweren tetraspastischen Bewegungsstörung. A.b Am 16. Oktober 1998 erhoben die Eltern von A._ beim Amtsgericht von Solothurn-Lebern eine Teilklage auf Leistung einer Genugtuung gegen Dr. med. W._, der Mutter und Kind während der Geburt betreut hatte. Das Obergericht des Kantons Solothurn bejahte eine für den Gesundheitsschaden von A._ rechtserhebliche Sorgfaltspflichtverletzung des Arztes und sprach der Mutter mit Urteil vom 12. Dezember 2006 eine Genugtuung von Fr. 50'000.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 29. Januar 1990 zu; die Klage des Vaters wies es infolge eingetretener Verjährung ab. Das Bundesgericht wies eine gegen dieses Urteil erhobene Berufung am 19. Mai 2003 ab. B. B.a Die Eidgenössische Invalidenversicherung (Beschwerdegegnerin), die bereits seit 1990 Leistungen für A._ erbracht hatte, reichte in der Folge beim Richteramt Solothurn-Lebern Klage gegen Dr. W._ ein. Die Beschwerdegegnerin beantragte, Dr. W._ sei zu verpflichten, ihr unter Vorbehalt einer Mehrforderung Fr. 2'520'852.-- zuzüglich Zins zu 5 %, ausmachend Fr. 392'902.-- für die Zeit vom 29. Januar 1990 bis zum 31. Juli 2005 und auf Fr. 2'520'852.-- ab dem 1. August 2005 zu bezahlen. Dr. W._ liess seiner Berufshaftpflichtversicherung, der X._ (Beschwerdeführerin), den Streit verkünden. Die Beschwerdeführerin leistete der Streitverkündigung Folge. Am 27. April 2006 schlossen die Beschwerdegegnerin, Dr. W._ und die Beschwerdeführerin folgende Vereinbarung betreffend Parteiwechsel ab: "1. Die Parteien erklären sich wechselseitig damit einverstanden, dass die X._ im Prozess ... vor dem Richteramt Solothurn-Lebern an Stelle und unter Entlassung des bisherigen Beklagten Dr. med. W._ in den Rechtsstreit eintritt und den Prozess an dessen Stelle fortführt. Die Klägerin erklärt sich damit auf den Zeitpunkt der Unterzeichnung der vorliegenden Vereinbarung gegenüber Dr. med. W._ und nur diesem gegenüber per Saldo aller Ansprüche definitiv auseinander gesetzt. 2. Die X._ anerkennt unwiderruflich und im Rahmen der Versicherungssumme von CHF 3 Mio., resultierend aus dem zwischen ihr und Herrn Dr. med. W._ im Zeitpunkt des haftpflichtbegründenden Ereignisses bestandenen Berufshaftpflichtversicherungsvertrages sämtliche Anspruchsvoraussetzungen für die von der Klägerin geltend gemachte Regressforderung. Insbesondere anerkennt sie unwiderruflich die haftungsbegründende Sorgfaltspflichtverletzung von Dr. W._ anlässlich der Geburt von A._, sowie die ebenfalls dadurch bedingte Erwerbsunfähigkeit. Ebenfalls anerkennt die X._ unwiderruflich, dass den von der Klägerin unter den einzelnen Titeln erbrachten Leistungen ein in persönlicher, zeitlicher, sachlicher und ereignisbezogener Hinsicht kongruenter, haftpflichtrechtlicher Schaden gegenübersteht. Schliesslich anerkennt die X._ bis zur Höhe der noch zur Verfügung stehenden Versicherungssumme von maximal CHF 3 Mio. unter Berücksichtigung der bereits erbrachten bzw. bis zur rechtskräftigen Erledigung des vorliegenden Rechtsstreits noch zu erbringenden Leistungen unter allen Titeln unwiderruflich die Höhe der von der Klägerin geltend gemachten Regressforderung gemäss dem Rechtsbegehren in der Klagebegründung vom 9. Februar 2006. 3. Für die Berechnung der Entschädigungsleistung sind die für die Berufshaftpflicht-Versicherungspolice von Dr. med. W._ im Jahr 1990 gültigen AVB der Secura ... (identisch mit Beilage 17 zur Klagebegründung), insbesondere Ziffer 10 lit. a) (Leistungen von Secura) anwendbar, wobei der Klägerin diesbezüglich sämtliche Einreden zustehen. Für die Beklagte bleiben sämtliche Einreden oder Einwendungen aus dem Versicherungsverhältnis zwischen der X._ und Herrn Dr. med. W._ ausgeschlossen. Deckungsausschlüsse über Ziffer 10 lit. a der AVB hinaus, insbesondere jener für Regressansprüche Dritter, bleiben für die Beurteilung der vorliegenden Klage unbeachtlich. Ebenso ausgeschlossen sind Einreden oder Einwendungen, resultierend aus anderen als dem vorliegend bestehenden Rechtsverhältnis (z.B. Verrechnungseinrede). Für den Fall des Unterliegens der X._ vereinbaren die Parteien was folgt: Die X._ hat 50 % der ihr im Rahmen des vorliegenden Verfahrens auferlegten Gerichts- und Parteikosten der Klägerin ausserhalb der zur Verfügung stehenden Versicherungssumme zu leisten. 4. Die X._ verzichtet unwiderruflich darauf, der klägerischen Forderung die Einrede der Verjährung entgegen zu halten und anerkennt, dass die Anspruchsgrundlage eine vertragliche Haftung von Herrn Dr. med. W._ bildet und dass die geltend gemachten Regressansprüche nicht verjährt sind. 5. Die Parteien anerkennen wechselseitig, dass die Direktschadenersatzforderung von A._ gegenüber Dr. med.W._, respektive gegenüber der X._ verjährt ist, und Dr. med. W._, respektive die X._, die Verjährungseinrede erhoben und demgemäss nichts bezahlt hat. 6. Die X._ hält indes nach wie vor der klägerischen Forderung das Befriedigungsvorrecht gemäss Art. 48quater Abs. 3 Satz 2 AHVG in der am 29. Januar 1990 gültigen Fassung entgegen. Nachdem die X._ sämtliche übrigen Anspruchsvoraussetzungen anerkennt, beziehungsweise diese keine rechtshindernden oder rechtsaufhebenden Einreden oder Einwendungen entgegensetzt, beschränken sich die Einwendungen der X._ auf die Frage, ob sie sich zur Abwendung der klägerischen Forderung auf das Befriedigungsvorrecht der geschädigten Person berufen kann. Die Klageantwort beschränkt sich aufgrund der vorstehend in Ziffer 1-6 getroffenen Vereinbarung ausschliesslich auf die Frage des Befriedigungsvorrechts der geschädigten Person auf die Versicherungssumme. 7. Soweit die X._ im vorliegenden Prozess unterliegt, verpflichtet sie sich, die rechtskräftig zugesprochene Entschädigungssumme (inklusiv Zinsen und Kosten) bis zur maximalen vorstehend unter Ziffer 2/3 definierten Höhe zu bezahlen." Mit Verfügung vom 8. Mai 2006 stellte der Amtsgerichtspräsident fest, dass die Beschwerdeführerin anstelle von Dr. W._ als Beklagte in den Prozess eintritt, und beschränkte das Prozessthema gemäss Ziffer 6 der abgeschlossenen Vereinbarung auf die Frage des Deckungs- bzw. Befriedigungsvorrechts. Mit Urteil vom 7. Dezember 2006 hiess das Amtsgericht von Solothurn-Lebern die Klage der Beschwerdegegnerin gut und verpflichtete die Beschwerdeführerin zur Zahlung von Fr. 2'520'852.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 1. August 2005 und Fr. 392'902.-- Verzugszins für die Zeit vom 29. Januar 1990 bis 31. Juli 2005. B.b Auf Berufung der Beschwerdeführerin hin verpflichtete das Obergericht des Kantons Solothurn die Beschwerdeführerin mit Urteil vom 21. April 2008, der Beschwerdegegnerin den Betrag von Fr. 2'520'852.-- nebst Schadenszins von Fr. 43'959.60 zu bezahlen. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 21. Mai 2008 beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, das Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 21. April 2008 sei aufzuheben und die Klage sei unter Kosten- und Entschädigungsfolge in sämtlichen Instanzen zu Lasten der Beschwerdegegnerin abzuweisen. Die Beschwerdegegnerin schliesst in ihrer Beschwerdeantwort auf kostenfällige Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. 