Fatti: A. A.a In data 28 ottobre 2006 P._, beneficiario di indennità giornaliere dell'assicurazione disoccupazione al 100% dal 19 aprile 2005 per fr. 198.30 (tenuto conto di un guadagno assicurato di fr. 5'379.-), e pertanto assicurato d'obbligo contro gli infortuni presso l'Istituto nazionale svizzero di assicurazione contro gli infortuni (INSAI), si è procurato un trauma contusivo cervicale, lombare e al ginocchio sinistro. L'assicuratore infortuni ha assunto il caso e versato indennità giornaliere di fr. 113.75 dal 31 ottobre 2006 al 9 ottobre 2008 per un totale di fr. 80'562.50, in virtù di un'inabilità lavorativa al 100%. A.b Con effetto retroattivo al 1° settembre 2004, P._ è stato posto al beneficio di una mezza rendita di invalidità da parte dell'assicurazione invalidità (AI; grado di invalidità del 55%). A.c Con decisione del 28 ottobre 2010, passata nel frattempo in giudicato, la Cassa disoccupazione X._ ha statuito che, in seguito alla concessione della rendita di invalidità, P._ doveva restituire indennità di disoccupazione per fr. 36'621.40; l'indennità giornaliera lorda, tenuto conto di una capacità lavorativa del 45%, essendo pari a soli fr. 89.25. L'importo chiesto in restituzione è stato compensato con prestazioni dell'AI (fr. 13'638.75) e della previdenza professionale (fr. 22'892.65). A.d Preso atto della decisione della Cassa disoccupazione X._, l'INSAI, con decisione del 26 novembre 2010, ha rettificato l'ammontare dell'indennità giornaliera erogata in seguito all'infortunio del 28 ottobre 2006, riducendola a fr. 58.60 per sette giorni settimanali, e comunicato che l'importo chiesto in restituzione, di fr. 39'073.50, sarebbe stato compensato con gli arretrati dell'AI, riservandodosi di comunicare in seguito un eventuale scoperto. L'importo di fr. 11'528.50 è stato reso noto durante il colloquio del 29 dicembre 2010. In seguito all'opposizione, cui P._, rappresentato dal sindacato Y._, ha allegato formale domanda di condono, l'INSAI con decisione su opposizione del 19 luglio 2011 ha confermato il suo precedente provvedimento, adducendo l'innegabilità dell'esistenza di nuovi elementi ai sensi dell'art. 53 cpv. 1 LPGA e l'inapplicabilità dell'art. 69 LPGA. B. Contro il provvedimento amministrativo P._, rappresentato dall'avv. Patrick Untersee, ha interposto ricorso al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, chiedendone l'annullamento. In concreto, non vi sarebbe stato infatti alcun sovrindennizzo, né sarebbero dati i presupposti per procedere ad una restituzione. Le condizioni per ammettere il condono sarebbero invece adempiute. Con giudizio del 25 novembre 2011, il Presidente del Tribunale cantonale delle assicurazioni ha respinto il gravame e trasmesso gli atti all'INSAI per competenza in relazione alla domanda di condono. C. P._, sempre rappresentato dall'avv. Untersee, presenta ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, chiedendone, in via principale, l'accoglimento con conseguente annullamento della pronuncia impugnata del 25 novembre 2011 e della decisione su opposizione dell'INSAI, il quale dev'essere condannato a rifondergli quanto già compensato con gli arretrati AI, oltre a interessi del 5% dall'avvenuta compensazione. In via subordinata, egli chiede il rinvio degli atti alle autorità inferiori, affinché procedano, ai sensi dei considerandi, con un nuovo calcolo dell'eventuale sovrindennizzo. Chiamati a pronunciarsi sul ricorso, l'INSAI ha proposto di respingerlo, mentre l'Ufficio federale della sanità pubblica non si è espresso. 