Faits: A. A.a. Le 28 septembre 1990, X._ a été heurté par un motocycliste alors qu'il traversait une rue lausannoise en dehors d'un passage pour piétons. Il a subi un traumatisme cranio-cérébral sévère entraînant une incapacité de travail totale et exigeant un placement permanent dans une institution spécialisée. X._ a mandaté Me Y._, avocat à Lausanne, pour défendre ses intérêts dans les différentes procédures judiciaires consécutives à cet accident. Le 1er juin 2001, Me Y._, agissant au nom de X._, a introduit une action en paiement contre l'assureur couvrant la responsabilité civile du motocycliste. Par jugement des 27 juin et 22 octobre 2003, qui n'a pas fait l'objet d'un recours au Tribunal fédéral, la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois a rejeté la demande pour cause de prescription. A.b. Le 25 janvier 2005, X._, représenté par Me A._, avocat à Sion, a ouvert action contre Y._ aux fins d'obtenir le paiement de 1'329'500 fr., plus intérêts, pour mauvaise exécution du mandat. Le défendeur a conclu au rejet de la demande. Par jugement du 26 juin 2008, la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois, admettant partiellement la demande, a condamné le défendeur à payer au demandeur un total de 556'534 fr. 60 à différents titres. Elle a considéré, en résumé, que le demandeur aurait pu obtenir une telle somme de l'assureur couvrant la responsabilité civile du motocycliste si le défendeur n'avait pas fautivement laissé la créance correspondante se prescrire. Pour calculer la somme précitée, les juges cantonaux ont estimé que la faute grave commise par le demandeur, qui était sous l'influence de l'alcool au moment de la survenance de l'accident, eût justifié une réduction de 70% de ses prétentions. Les deux parties ont recouru au Tribunal fédéral contre ce jugement: X._, toujours représenté par Me A._, en date du 26 juin 2009, par le truchement de son tuteur et avec l'autorisation de l'autorité pupillaire compétente, en vue d'obtenir la somme de 1'129'500 fr. (cause 4A_329/2009); Y._, le 17 août 2009, pour que son ancien mandant soit débouté totalement des fins de sa demande (cause 4A_369/2009). Par arrêt du 1er décembre 2010, la Ire Cour de droit civil du Tribunal fédéral, après avoir joint ces deux causes, a déclaré irrecevable le recours interjeté par X._, faute d'épuisement des voies de recours, s'agissant des critiques touchant les constatations de fait, et d'une motivation suffisante quant aux griefs concernant l'application du droit; elle a rejeté, dans la mesure où il était recevable, le recours formé par Y._. La demande d'assistance judiciaire formulée par X._ dans la cause cause 4A_329/2009 a été rejetée, les conclusions du recourant étant vouées à l'échec (art. 64 al. 1 LTF). Dans la cause 4A_369/2009, Y._ a été condamné à verser à X._ une indemnité de 9'000 fr. à titre de dépens. B. Le 14 avril 2011, Me A._ a établi sa note de frais et honoraires présentant un total de 131'542 fr. 10. Par écriture du 27 juillet 2011, S._, agissant pour le compte de son pupille X._, a saisi la Chambre arbitrale de l'Ordre des avocats valaisans (ci-après: la Chambre arbitrale) d'une réclamation contre cette note de frais et honoraires. Les parties ont signé un compromis pour asseoir la compétence matérielle de cette juridiction arbitrale; elles ont fixé le siège de l'arbitrage à Monthey et précisé que la procédure serait uniquement écrite. Le demandeur a conclu à ce que le montant de 25'000 fr. facturé par le défendeur pour le dépôt du recours susmentionné au Tribunal fédéral soit ramené à 5'000 fr., à ce que la somme de 10'000 fr. portée en compte au titre des honoraires extrajudiciaires soit supprimée et à ce que les 92'837 fr. 60 réclamés par son ancien mandataire pour les procédures conduites devant le Tribunal fédéral et le Tribunal cantonal vaudois soient justifiés par dates, vacations et durées. Le 17 juin 2013, la Chambre arbitrale, composée de trois avocats valaisans, a rendu sa sentence. Elle a admis les deux premières conclusions précitées du demandeur et supprimé un montant de 5'391 fr. comptabilisé indûment. C. Le 8 juillet 2013, A._ (ci-après: le recourant), agissant seul, a formé un recours en matière civile au Tribunal fédéral en vue d'obtenir l'annulation du chiffre 2 du dispositif de la sentence du 17 juin 2013 et la fixation à 25'000 fr., TVA non comprise, de ses honoraires relatifs au recours interjeté au Tribunal fédéral contre le jugement rendu le 26 juin 2008 par la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois. X._ ne s'est pas déterminé sur ce recours. En date du 4 septembre 2013, la Chambre arbitrale, qui a produit son dossier, a déposé des observations, par le truchement de son président, sans prendre de conclusion formelle quant au sort du recours. Le recourant a répliqué par écriture du 24 septembre 2013. Par lettre du 30 septembre 2013 de son président, la Chambre arbitrale a renoncé à se déterminer sur cette écriture. 