Faits: Faits: A. Par demande du 9 novembre 1992, A._ a assigné la Banque Z._, devenue par la suite la Banque X._, en paiement de divers montants à titre de dommages-intérêts. Il reprochait à la défenderesse d'avoir mal géré la fortune que lui-même et d'autres clients lui avaient confiée. Statuant le 23 octobre 2000, le Tribunal de première instance du canton de Genève a rejeté la demande. Saisie d'un appel du demandeur, la Cour de justice genevoise a confirmé ce jugement par arrêt du 10 octobre 2003. Le 17 novembre 2003, le demandeur a adressé au Tribunal fédéral un recours de droit public (cause 4P.248/2003) et un recours en réforme (cause 4C.326/2003) dirigés contre ledit arrêt. En date du 25 mai 2004, la Ire Cour civile du Tribunal fédéral a rendu deux arrêts distincts au terme desquels elle a rejeté l'un et l'autre recours dans la mesure où ils étaient recevables. En date du 25 mai 2004, la Ire Cour civile du Tribunal fédéral a rendu deux arrêts distincts au terme desquels elle a rejeté l'un et l'autre recours dans la mesure où ils étaient recevables. B. Le 25 août 2004, A._ a saisi la Cour de justice d'une demande de révision de l'arrêt du 10 octobre 2003. A l'appui de cette demande, il faisait valoir que le juge Michel Criblet, qui faisait partie de la Chambre ayant rendu cet arrêt, aurait dû se récuser. Par arrêt du 17 décembre 2004, la Cour de justice a admis la demande de révision, rétracté son arrêt du 10 octobre 2003 et cité les parties à une audience pour plaider sur l'appel dirigé contre le jugement de première instance du 23 octobre 2000. Par arrêt du 17 décembre 2004, la Cour de justice a admis la demande de révision, rétracté son arrêt du 10 octobre 2003 et cité les parties à une audience pour plaider sur l'appel dirigé contre le jugement de première instance du 23 octobre 2000. C. Le 25 août 2004, en même temps qu'il soumettait la demande de révision précitée à la cour cantonale, A._ a adressé au Tribunal fédéral deux demandes de révision dirigées contre les deux arrêts rendus le 25 mai 2004 par la Ire Cour civile (causes 4P.198/2004 et 4C.294/2004). Par arrêt du 23 mars 2005, la Ire Cour civile a joint ces deux causes, admis les demandes de révision, annulé les deux arrêts qu'elle avait rendus le 25 mai 2004, déclaré sans objet le recours de droit public et le recours en réforme exercés par A._ dans les causes 4P.248/2003 et 4C.326/2003, statué sur les frais et dépens concernant ces deux procédures de recours et réglé le sort des frais et dépens afférents à la procédure de révision fédérale. Elle a considéré, en bref, que l'arrêt rescindant du 17 décembre 2004, par lequel la Cour de justice avait annulé son arrêt du 10 octobre 2003, rendait sans objet les deux recours fédéraux visant ce dernier arrêt. Par arrêt du 23 mars 2005, la Ire Cour civile a joint ces deux causes, admis les demandes de révision, annulé les deux arrêts qu'elle avait rendus le 25 mai 2004, déclaré sans objet le recours de droit public et le recours en réforme exercés par A._ dans les causes 4P.248/2003 et 4C.326/2003, statué sur les frais et dépens concernant ces deux procédures de recours et réglé le sort des frais et dépens afférents à la procédure de révision fédérale. Elle a considéré, en bref, que l'arrêt rescindant du 17 décembre 2004, par lequel la Cour de justice avait annulé son arrêt du 10 octobre 2003, rendait sans objet les deux recours fédéraux visant ce dernier arrêt. D. Le 28 janvier 2005, la banque X._ a saisi la Cour de justice d'une opposition à taxe concernant les dépens mis à sa charge pour la procédure de révision cantonale. Avec l'accord des parties, cette cause a été jointe à la cause au fond. A l'audience sur rescisoire du 15 mars 2005, A._ a conclu, préalablement, à ce que l'instruction de la cause soit complétée par l'audition de témoins et par deux expertises. Sur le fond, il a repris les dernières conclusions qu'il avait formulées en première instance. Il a, en outre, requis le rejet de l'opposition à taxe. Statuant par arrêt du 16 juin 2005, la Cour de justice a confirmé le jugement rendu le 23 octobre 2000 par le Tribunal de première instance et rejeté l'opposition à taxe. Elle a encore réglé le sort des dépens pour ces deux procédures. Les juges cantonaux ont indiqué les raisons pour lesquelles il ne se justifiait pas, selon eux, de rouvrir les enquêtes en appel. Examinant ensuite la cause au fond, ils ont estimé que l'intimée n'encourait aucune responsabilité contractuelle pour avoir placé de sa propre initiative des titres de la société U._ dans certains dépôts du recourant ou des clients de ce gérant de fortune indépendant. Ce faisant, la banque avait agi dans le cadre d'une gestion d'affaires parfaite et irrégulière, laquelle était susceptible de ratification, même tacite, à certaines conditions. Ces conditions étaient réalisées en l'espèce, l'intimée n'ayant pas entrepris la gestion litigieuse dans son intérêt exclusif ou prépondérant. Quant au recourant et à ses clients, ils avaient ratifié, par une série d'actes concluants, les achats des titres en question. Dès lors, ils ne pouvaient plus rechercher l'intimée de ce chef, si bien que leur action en responsabilité devait être rejetée. E. A._, agissant par la voie du recours de droit public, demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt sur rescisoire. Il fait grief à la cour cantonale d'avoir violé son droit d'être entendu (art. 6 par. 1 CEDH, art. 29 al. 2 Cst.), d'avoir méconnu le droit de toute personne à un recours effectif (art. 13 CEDH), d'avoir appliqué arbitrairement l'art. 307 de la loi de procédure civile genevoise (LPC gen.) et d'avoir constaté de manière arbitraire les faits pertinents (art. 9 Cst.). Le recourant précise qu'il a renoncé à interjeter parallèlement un recours en réforme contre ledit arrêt. L'intimée conclut au rejet du recours. La Cour de justice se réfère, quant à elle, aux motifs énoncés dans l'arrêt attaqué. 