Fatti: A. Il 14 dicembre 2009 A._ ha denunciato la dr.ssa. med. B._ per non averle diagnosticato, nonostante i continui dolori al ventre da lei lamentati in occasione di svariate visite sull'arco di circa tre anni, un tumore allo stomaco; diagnosi che il dr. med. C._, al quale si era rivolta in seguito, avrebbe invece determinato in brevi tempi. Il Procuratore pubblico (PP) ha quindi aperto un procedimento penale nei confronti della denunciata per titolo di lesioni colpose gravi, effettuando vari atti istruttori, tra i quali l'interrogatorio delle parti, del dr. med. C._ quale testimone, l'allestimento di una perizia medico legale da parte dell'esperto prof. D._ e la relativa delucidazione orale chiesta dalla denunciante. Dopo che il PP aveva prospettato l'emanazione di un decreto di abbandono, la denunciante ha prodotto una perizia di parte, allestita dal prof. E._. B. Il 19 ottobre 2011 il PP ha emanato un decreto di abbandono, ritenendo che al medico non poteva essere rimproverata una lesione del dovere di diligenza nel trattare i sintomi lamentati dalla querelante. Adita dalla denunciante, con giudizio del 20 marzo 2012 la Corte dei reclami penali del Tribunale d'appello del Cantone Ticino (CRP) ne ha respinto il reclamo. C. Avverso questa decisione A._ presenta un ricorso al Tribunale federale. Chiede di annullare l'impugnata sentenza e di promuovere l'accusa nei confronti della denunciata. Dopo essere stata invitata a fornire un anticipo delle spese giudiziarie presunte, ella ha inoltrato una domanda di assistenza giudiziaria. D. La CRP e il PP non presentano osservazioni, la prima rimettendosi al giudizio del Tribunale federale, il secondo proponendo la reiezione del gravame, mentre l'opponente chiede di respingerlo in quanto ammissibile. Nella replica la ricorrente si riconferma in sostanza nelle sue allegazioni. 