Faits: Faits: A. A._, domiciliée à X._, a déposé le 26 août 2004 une demande d'aide sociale auprès du Centre médico-social subrégional de Y._ (ci-après: le CMS) qui a établi, à l'intention de la commune de X._, un projet de décision prévoyant l'allocation d'une aide mensuelle de 1'626 fr. dès le 1er septembre 2004. Après avoir obtenu différentes informations complémentaires de la part de la requérante, le CMS a élaboré un autre projet proposant l'octroi d'un montant mensuel de 182,50 fr. à partir du 1er octobre 2004. Le Conseil communal de X._ a refusé les deux projets, sans notifier de décision. Le 31 janvier 2005, A._ a formé une nouvelle demande d'aide sociale, qui a abouti à une décision favorable du Conseil communal de X._ en date du 17 février 2005. Une contribution mensuelle de 1'626 fr. par mois lui a été allouée dès le 1er février 2005. Aucune décision formelle n'a cependant été notifiée à l'intéressée. Le 25 juillet 2005, A._ a requis du CMS qu'il lui remette un exemplaire dûment signé de la décision d'aide sociale du 1er septembre 2004. Le CMS n'a pas pu accéder à sa demande mais lui a remis, le 28 juillet 2005, un exemplaire dûment libellé de la décision d'octroi du 17 février 2005. L'intéressée a recouru le 23 août 2005 auprès du Conseil d'Etat du canton du Valais (ci-après: le Conseil d'Etat) en se plaignant de n'avoir bénéficié d'aucune aide matérielle pour les mois de septembre 2004 à janvier 2005. Le Conseil d'Etat a déclaré ce recours irrecevable, par décision du 14 décembre 2005. Le 25 juillet 2005, A._ a requis du CMS qu'il lui remette un exemplaire dûment signé de la décision d'aide sociale du 1er septembre 2004. Le CMS n'a pas pu accéder à sa demande mais lui a remis, le 28 juillet 2005, un exemplaire dûment libellé de la décision d'octroi du 17 février 2005. L'intéressée a recouru le 23 août 2005 auprès du Conseil d'Etat du canton du Valais (ci-après: le Conseil d'Etat) en se plaignant de n'avoir bénéficié d'aucune aide matérielle pour les mois de septembre 2004 à janvier 2005. Le Conseil d'Etat a déclaré ce recours irrecevable, par décision du 14 décembre 2005. B. A._ a alors porté sa cause devant la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal) qui a rejeté le recours par arrêt du 24 février 2006. Le Tribunal cantonal a retenu en substance que A._ avait tardé à réagir à la suite du refus de la commune de X._ de lui accorder l'aide sociale requise en août 2004, malgré l'absence de décision régulièrement notifiée, et que son écriture du 23 août 2005 ne pouvait pas être assimilée à un recours pour déni de justice dans la mesure où elle tendait à la réforme de la décision du 17 février 2005 et ne contenait aucun grief sur une quelconque inaction de la commune de X._. B. A._ a alors porté sa cause devant la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal) qui a rejeté le recours par arrêt du 24 février 2006. Le Tribunal cantonal a retenu en substance que A._ avait tardé à réagir à la suite du refus de la commune de X._ de lui accorder l'aide sociale requise en août 2004, malgré l'absence de décision régulièrement notifiée, et que son écriture du 23 août 2005 ne pouvait pas être assimilée à un recours pour déni de justice dans la mesure où elle tendait à la réforme de la décision du 17 février 2005 et ne contenait aucun grief sur une quelconque inaction de la commune de X._. C. Agissant par la voie du recours de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du Tribunal cantonal du 24 février 2006 et de renvoyer le dossier à cette autorité pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Elle se plaint de la violation de l'interdiction du déni de justice et de formalisme excessif (cf. art. 29 Cst.); elle invoque le principe de la protection contre l'arbitraire et de la protection de la bonne foi (cf. art. 9 Cst.). A._ requiert également l'assistance judiciaire complète. Le Tribunal cantonal a expressément renoncé à se déterminer sur le recours. Le Conseil d'Etat conclut au rejet du recours et à la confirmation de l'arrêt attaqué. La commune de X._ n'a pas répondu au recours dans le délai imparti. 