Faits: A. L._, née en 1951, a exercé la profession d'aide hospitalière, à l'hôpital X._. A ce titre, elle était assurée contre les accidents par Winterthur assurances (ci-après : Winterthur). Le 20 août 2003, alors qu'elle circulait sur la route de Y._, elle a dû s'arrêter en raison du véhicule qui la précédait, et qui avait enclenché son clignotant à gauche. Son véhicule a été violemment percuté par celui qui le suivait, à une vitesse de 60 km/heure environ, et dont le chauffeur n'avait pas prêté attention à la circulation. En sortant de son véhicule après l'accident, L._ a eu un malaise; en tombant, elle a heurté la portière avec son visage. Son époux l'a conduite à la Permanence Z._, où le docteur T._ a constaté une importante raideur de la colonne cervicale avec contractures et douleurs à la palpation, et a posé le diagnostic de cervico-dorso-lombalgies aiguës post-traumatiques. Le status neurologique était sans particularité et les radiographies de la colonne cervicale, dorsale et lombaire, ainsi que de l'épaule droite, ne révélaient pas de lésion traumatique osseuse. Le docteur T._ a prescrit un traitement anti-douleur et du repos (rapport du 1er septembre 2003). Par la suite, les douleurs dans la nuque ont persisté, accompagnées de sentiments de malaise sans perte de connaissance, de céphalées de type migraineux, avec irradiation dans les épaules. Une imagerie par résonance magnétique a mis en évidence des dégénérescences discales étagées, avec arthrose associée, un rétrécissement du trou de conjugaison droit, une hernie discale en C4-C5 paramédiane droite, une protrusion discale ostéophytaire en C5-C6 et dans une moindre mesure en C6-C7 (rapport du 18 février 2004 du docteur O._). L._ a présenté une incapacité de travail totale dès le jour de l'accident. Deux tentatives de reprise du travail, les 10 octobre 2003 et 23 février 2004 (à 25 %) ont rapidement échoué. Winterthur a confié au docteur C._, spécialiste en chirurgie, le soin de réaliser une expertise. Dans un rapport établi le 5 mars 2004, celui-ci a posé les diagnostics de traumatisme d'accélération cranio-cervical, d'entorse cervicale bénigne de degré I à II, de cervicarthrose au niveau C5-C6, et de suspicion d'état anxio-dépressif réactionnel (éventuellement syndrome de stress post-traumatique). L'assurée souffrait de cervicalgies, céphalées, vertiges, nausées, d'instabilité émotionnelle et de dépression. L'examen clinique révélait des contractures et une limitation fonctionnelle très discrète de la colonne cervicale. Les troubles présentés par l'assurée et la symptomatologie étaient caractéristiques d'un traumatisme cranio-cervical par accélération. L'état anxio-dépressif s'était développé progressivement après l'accident et paraissait jouer un rôle défavorable dans l'évolution, sans reléguer totalement à l'arrière-plan les atteintes à la santé typiques après une distorsion cervicale. L'incapacité de travail était totale, mais il était trop tôt pour se prononcer sur une éventuelle atteinte durable à l'intégrité corporelle, une atteinte à l'intégrité mentale paraissant tout à fait improbable. Par la suite, et compte tenu de la persistance des symptômes, Winterthur a confié une expertise au docteur U._, neurologue. Dans un rapport du 19 octobre 2004, ce médecin a posé les diagnostics de status après une distorsion cervicale simple (degré I à II selon la Quebec Task Force), de syndrome post-distorsion cervicale persistant et d'état anxio-dépressif. Les troubles psychiques dominaient le tableau clinique à l'époque de l'expertise et se trouvaient en relation de causalité naturelle avec l'accident. Compte tenu des symptômes présentés, l'incapacité de travail était totale. A la suite de cette expertise, L._ et Winterthur ont convenu que le traitement médical serait pris en charge et les indemnités journalières allouées par l'assurance-accidents jusqu'au 31 août 2005. Winterthur a formalisé cette transaction dans une décision du 7 mars 2005, à laquelle l'assurée s'est toutefois opposée, en demandant la mise en oeuvre d'une expertise pluridisciplinaire. Winterthur a admis cette demande et a mandaté à cette fin les docteurs P._ et B._. Ces derniers ont procédé à un examen clinique le 25 avril 2006 et établi un rapport de synthèse le 10 juillet 2006, après une consultation de psychiatrie, le 2 mai 2006, par les docteurs F._ et D._, et une consultation rhumatologique, le 3 mai 2006, par le docteur E._. Les docteurs P._ et B._ ont posé les diagnostics d'épisode dépressif sévère, sans symptôme psychotique, et de cervicalgies chroniques persistantes après distorsion cervicale simple, de degré 1 à 2 «selon la Quebec Task Force». Les cervicalgies s'accompagnaient d'une limitation active des amplitudes cervicales, avec des points douloureux à la palpation, mais sans signes neurologiques déficitaires ni lésions ostéo-articulaires graves telles une fracture ou une luxation. D'un point de vue radiologique, des troubles dégénératifs essentiellement sous forme de spondylarthrose pouvaient être objectivés, qui n'avaient toutefois pas été causés, mais seulement révélés par l'accident. Cette arthrose était responsable d'une part importante des douleurs cervicales à l'époque de l'expertise, ainsi que d'une part des céphalées. Il n'y avait pas d'autre lésion anatomique et la persistance de la symptomatologie ainsi que son augmentation depuis plus de deux ans ne pouvaient être expliqués selon un modèle biomédical seul. Du point de vue rhumatologique, des limitations fonctionnelles étaient constatées pour les mouvements répétitifs de flexion-extension de la colonne cervicale, les flexions latérales et les rotations répétées. Il y avait également des limitations quant au maintien de positions statiques au-delà de 60 minutes d'affilée sans possibilité de varier ou de bouger la colonne cervicale, ainsi que pour les travaux de force. Les experts considéraient toutefois que d'un point de vue biomédical, le statu quo sine était atteint. Toujours d'après les experts, l'assurée avait vécu l'accident comme un traumatisme psychologique important. Subjectivement, elle avait donc été victime d'un accident grave. Mais la description de l'accident, l'absence de lésion corporelle constatée (par exemple une fracture, une luxation cervicale ou un traumatisme cranio-cérébral) et de menace vitale directe témoignaient d'un accident objectivement moins grave. L'assurée présentait une atteinte à la santé psychique sévère, avec un épisode dépressif sévère. Le diagnostic d'état de stress post-traumatique devait être écarté. Par ailleurs, il n'y avait pas d'indice suggérant une pathologie psychiatrique avant l'accident assuré. D'après les experts, la capacité résiduelle de travail de l'assurée était nulle, essentiellement en raison des troubles psychiques constatés. Cette atteinte à la santé était en relation de causalité naturelle avec l'accident, même si toute personne ayant subi un événement similaire n'aurait probablement pas évolué de la même manière avec une telle atteinte à la santé. Par décision sur opposition du 8 août 2006, Winterthur a maintenu sa décision précédente du 7 mars 2005. B. L._ a déféré la cause au Tribunal des assurances sociales du canton de Genève, qui a rejeté le recours par jugement du 27 février 2007. C. L'assurée interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande l'annulation. En substance, elle conclut au paiement d'indemnités journalières et au maintien de la prise en charge du traitement médical pour la période postérieure au 31 août 2005, ainsi qu'à l'allocation d'une indemnité fondée sur un taux d'atteinte à l'intégrité de 70 %, sous suite de frais et dépens. L'intimée conclut au rejet du recours, alors que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer. Le 11 mars 2008, le Tribunal fédéral a informé les parties du fait qu'il a avait précisé la jurisprudence relative aux traumatismes cervicaux ensuite d'un accident de type «coup du lapin», par un arrêt U 394/06 du 19 février 2008, destiné à la publication; il les a invitées à se déterminer si elles le souhaitaient. Chacune des parties a présenté de nouvelles observations, l'intimée produisant en outre un rapport d'expertise établi le 21 janvier 2008 par le docteur S._, dans le cadre d'une procédure relative aux prestations de l'assurance-invalidité. 