Sachverhalt: Sachverhalt: A. Der 1957 geborene P._ war seit 1. Juli 1997 der Ausgleichskasse des Kantons Thurgau als Selbstständigerwerbender im Bereich «Textilan- und -verkauf/Versicherungsvermittlungen» angeschlossen. In der Erfassungsbestätigung vom 15. August 1997 wurde darauf hingewiesen, dies bedeute jedoch nicht, dass alle Erwerbseinkünfte in selbstständiger Stellung erzielt würden. Vielmehr müsse im Einzelfall geprüft werden, ob eine selbstständige Tätigkeit vorliege. Somit könne er für eine allenfalls zusätzlich ausgeübte Tätigkeit als Arbeitnehmer gelten. Ab 2000 war P._ für die Firma X._ mit Sitz in Y._ tätig. Er arbeitete als Unterakkordant in der Montage und Demontage von Messeständen. Der Betrieb war der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) unterstellt. Im Januar 2003 ersuchte P._ die Ausgleichskasse unter Hinweis darauf, seit ungefähr drei Jahren als freischaffender Monteur zu arbeiten, um entsprechende Änderung der Registrierung als Selbstständigerwerbender. In der Folge klärte die SUVA die sozialversicherungsrechtliche Stellung von P._ in Bezug auf die Tätigkeit für die Firma X._ ab. Mit Schreiben vom 4. Juli 2003 teilte die Anstalt der Firma mit, es liege unselbstständige Erwerbstätigkeit vor. P._ sei als Arbeitnehmer der Firma X._ zu betrachten. Dem Schreiben beigelegt war die als Beitragsverfügung bezeichnete und mit einer Rechtsmittelbelehrung versehene Prämienrechnung vom 3. Juli 2003 für die Berufs- und Nichtberufsunfallversicherung für 2000 in der Höhe von Fr. 2454.50. Eine Kopie der Rechnung mit dem Hinweis auf sein Einspracherecht wurde auch P._ zugestellt. Von dieser Möglichkeit machte er indessen nicht Gebrauch. Auf Einsprache der Firma X._ hin bestätigte die SUVA mit Entscheid vom 6. Oktober 2003 den Status von P._ als Arbeitnehmer der Firma sowie die Höhe der in Rechnung gestellten Prämienforderung für 2000. Im Januar 2003 ersuchte P._ die Ausgleichskasse unter Hinweis darauf, seit ungefähr drei Jahren als freischaffender Monteur zu arbeiten, um entsprechende Änderung der Registrierung als Selbstständigerwerbender. In der Folge klärte die SUVA die sozialversicherungsrechtliche Stellung von P._ in Bezug auf die Tätigkeit für die Firma X._ ab. Mit Schreiben vom 4. Juli 2003 teilte die Anstalt der Firma mit, es liege unselbstständige Erwerbstätigkeit vor. P._ sei als Arbeitnehmer der Firma X._ zu betrachten. Dem Schreiben beigelegt war die als Beitragsverfügung bezeichnete und mit einer Rechtsmittelbelehrung versehene Prämienrechnung vom 3. Juli 2003 für die Berufs- und Nichtberufsunfallversicherung für 2000 in der Höhe von Fr. 2454.50. Eine Kopie der Rechnung mit dem Hinweis auf sein Einspracherecht wurde auch P._ zugestellt. Von dieser Möglichkeit machte er indessen nicht Gebrauch. Auf Einsprache der Firma X._ hin bestätigte die SUVA mit Entscheid vom 6. Oktober 2003 den Status von P._ als Arbeitnehmer der Firma sowie die Höhe der in Rechnung gestellten Prämienforderung für 2000. B. Die Firma X._ liess beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau Beschwerde einreichen und beantragen, der Einspracheentscheid vom 6. Oktober 2003 und die Prämienrechnung vom 3. Juli 2003 seien aufzuheben. Die SUVA schloss auf Abweisung des Rechtsmittels. Das kantonale Gericht führte eine öffentliche mündliche Verhandlung durch. Im Weitern vernahm sie P._ sowie den Geschäftsführer der Firma als Zeugen ein. Mit Entscheid vom 30. Juni 2004 hiess das thurgauische Verwaltungsgericht die Beschwerde gut. Mit Entscheid vom 30. Juni 2004 hiess das thurgauische Verwaltungsgericht die Beschwerde gut. C. Die SUVA führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben. Die Firma X._ lässt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. P._ hat sich nicht vernehmen lassen. 