Ablehnungsbegehren, hat sich ergeben: A.- Die Bezirksanwaltschaft I für den Kanton Zürich führt gegen X._ und gegen dessen Vater, Rechtsanwalt Y._, ein Strafverfahren wegen Verdachts des Betruges und der Widerhandlung gegen das Bundesgesetz über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer. Am 16. April 1999 stellte Y._ vor Beginn der (in der Folge nicht durchgeführten) Schlusseinvernahme den Antrag auf Einstellung des Strafverfahrens. Nachdem die das Strafverfahren führende Bezirksanwältin A._ diesem Begehren nicht entsprochen hatte, lehnte er die Bezirksanwältin wegen Befangenheit ab. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich wies das Ablehnungsbegehren am 22. April 1999 ab. Y._ rekurrierte ohne Erfolg an die Justizdirektion des Kantons Zürich. Gegen deren Entscheid erhob er staatsrechtliche Beschwerde, die das Bundesgericht mit Urteil vom 24. Februar 2000 abwies (1P. 544/1999). X._ hatte am 21. September 1999 gegen Bezirksanwältin A._ ebenfalls ein Ablehnungsbegehren wegen Befangenheit gestellt. Mit Entscheid vom 7. Oktober 1999 wies die Staatsanwaltschaft das Begehren ab. Den dagegen eingereichten Rekurs wies die Justizdirektion des Kantons Zürich am 28. Januar 2000 ab. B.- Diesen Entscheid focht X._ am 9. März 2000 mit staatsrechtlicher Beschwerde beim Bundesgericht an. Er beantragt, der Entscheid der Justizdirektion sei aufzuheben und die Sache sei zur neuen Entscheidung an die kantonale Instanz zurückzuweisen. Ausserdem stellte er das Gesuch, der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu erteilen. C.- Die Justizdirektion und die abgelehnte Bezirksanwältin A._, die seit dem 1. März 2000 als Staatsanwältin tätig ist, stellen in ihren Vernehmlassungen vom 28. März bzw. 13. April 2000 den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen. Die Staatsanwaltschaft verzichtete auf eine Vernehmlassung. D.- Mit Verfügung vom 7. April 2000 wies der Präsident der I. öffentlichrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab. 