Faits: A. Le 16 décembre 2011, S._ s'est présenté au poste de police de X._ pour déposer plainte contre un motocycliste qui l'avait "agressé". D'après les déclarations qu'il a faites à la police, l'après-midi du 15 décembre 2011, il se promenait avec son chien à proximité de l'université Y._ dans une zone où la vitesse est limitée à 20 km/h. Ayant observé un motocycliste qui roulait trop vite, il lui avait fait la remarque: "C'est 20 km/h ici". À la suite de cette remarque, le motocycliste était descendu de son véhicule et s'était dirigé vers lui en lui demandant s'il avait quelque chose à dire. S._ avait répété calmement qu'ils se trouvaient sur un parking et que la vitesse était limitée à 20 km/h. Le motocycliste lui avait alors administré une claque sur l'oreille gauche, puis avait asséné un coup de pied dans le flanc de son chien qui s'était mis à aboyer. S._ avait réagi en portant un coup de laisse sur le casque du motocycliste. Après quoi ce dernier s'était avancé et lui avait donné un coup de pied dans la main gauche. Un agent de la sécurité, qui se trouvait non loin de là, était intervenu et avait calmé la situation. Chacun était reparti de son côté. Après ces faits, S._ s'est rendu aux services des urgences de la Clinique X._ où un médecin a constaté une fracture de la première phalange du petit doigt de la main gauche. Le prénommé, qui était à l'époque au chômage, a annoncé l'événement à la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA), qui a pris en charge le traitement médical. La police a convoqué le motocycliste, D._, ainsi que l'agent de sécurité, E._. Le premier nommé a déclaré que le 15 décembre 2011, il avait emprunté le chemin du parc Y._ avec son scooter lorsqu'un individu promenant son chien l'avait interpellé en hurlant: "Hé connard, va doucement !" Il s'était arrêté croyant avoir fait quelque chose. L'individu était venu vers lui. Celui-ci se montrant agressif et excité, il l'avait repoussé à deux ou trois reprises. Il avait également repoussé le chien mais sans le frapper, l'animal lui ayant agrippé le pantalon. Après, un agent de la sécurité était intervenu. D._ a précisé qu'il n'avait porté aucun coup au promeneur et qu'il ne se souvenait pas en avoir reçu lui-même. Il a à son tour porté plainte pour injure contre S._ (procès-verbal du 7 février 2012). De son côté, E._ a dit que le jour en question, il était en service à proximité de l'Université Y._ et qu'il avait entendu un homme promenant ses deux chiens crier: "C'est 20 km/h ici" à un motocycliste qui passait assez rapidement sur le chemin. Le motocycliste s'était arrêté et approché de celui qui l'avait interpellé. Il y avait eu un échange de propos entre les deux individus, puis un échange de coup de poings. E._ ne se souvenait pas d'un coup de pied et n'était pas en mesure de dire qui avait frappé en premier. Il était intervenu pour séparer les deux hommes. À un moment, le motocycliste avait donné un coup de pied à l'un des chiens qui avait commencé à aboyer mais sans attaquer (procès-verbal du 18 janvier 2012). Le 24 juillet 2012, sans confrontation des parties, le Ministère Public a rendu une ordonnance de non-entrée en matière, relevant que les déclarations étaient contradictoires sur le déroulement des faits et le rôle exact de chacun. Saisi d'un recours de S._ contre cette ordonnance, la Chambre pénale de recours de la Cour de Justice de la République et canton de Genève, l'a rejeté par arrêt du 23 août 2012. Le 28 août 2012, la CNA a rendu une décision par laquelle elle a réduit les prestations en espèces auxquelles l'assuré avait droit de 50 %, au motif que celui-ci avait été impliqué dans une bagarre. Saisie d'une opposition, elle l'a rejetée dans une nouvelle décision du 4 octobre 2012. B. L'assuré a recouru contre la décision sur opposition de la CNA devant la Chambre des assurances sociales de la Cour de Justice de la République et canton de Genève. Après avoir demandé l'apport de la procédure pénale, la juridiction cantonale a admis le recours, annulé la décision litigieuse, et condamné la CNA à verser à l'assuré les indemnités journalières à 100 % (jugement du 13 mars 2013). C. La CNA interjette un recours en matière de droit public. Elle conclut à l'annulation de ce jugement et à la confirmation de sa décision sur opposition. S._ conclut principalement à l'irrecevabilité du recours; subsidiairement à son rejet. Il sollicite l'assistance judiciaire. De son côté, l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer. 