Faits: A. X._, née en 1946, a obtenu en 1977 un diplôme de docteur en médecine d'une université française; elle est spécialisée en gynécologie et urologie. Au sein du service d'urologie des Hôpitaux Universitaires de Genève, établissement de droit public cantonal, X._ a travaillé en qualité de médecin interne du 1er mars au 30 septembre 2004, au taux d'activité de trente pour cent. Ses services étaient rémunérés. Egalement dès le 1er mars 2004, X._ a fourni une activité non rémunérée au sein du service de dermatologie alors dirigé par le professeur U._. Elle participait sous supervision à des consultations; elle prenait part à des colloques où elle faisait parfois des présentations; elle accomplissait des gestes techniques tels que biopsies et prélèvements. Elle signait des ordonnances. Le 23 juin 2004, X._ a communiqué à l'office cantonal de la population qu'elle avait accepté l'offre du professeur U._ d'une formation en dermatologie et vénérologie FMH de quatre années, sans salaire, et qu'elle vivrait à Genève de ses revenus personnels. Le 13 mars 2006, à sa demande, le service des ressources humaines de l'établissement a rédigé un certificat dans les termes suivants: « Par la présente, nous attestons que Madame X._ est en formation non rémunérée auprès du service de dermatologie depuis le 1er mars 2004 à ce jour. » Le professeur U._ a établi une attestation similaire le 11 juillet 2007, également remise à X._. Le professeur U._ s'est retiré le 30 septembre 2009. Avec effet au 31 du mois suivant, l'établissement a mis fin à la collaboration de X._. B. Le service du professeur U._ comprenait en permanence une dizaine de médecins invités ou extraordinaires qui n'étaient pas rémunérés. La plupart bénéficiaient de bourses et accomplissaient une formation de cinq ans en vue d'obtenir l'équivalent du diplôme de spécialiste FMH à faire valoir à l'étranger. D'ordinaire, les médecins invités qui n'étaient pas en formation FMH ne restaient pas plus d'une année. Les candidatures étaient nombreuses. Le professeur n'engageait pas de médecins internes - rémunérés - en formation FMH sans les avoir observés quelques mois en qualité de médecins invités. Les postes de médecins internes étaient peu nombreux et le professeur les réservait aux « personnes locales ». Des médecins invités étaient présents aussi dans d'autres services de l'établissement hospitalier. Les conditions de leur activité n'étaient pas réglées par un contrat formel mais convenues oralement avec le chef de service. Le professeur U._ a considéré que X._, médecin expérimenté, pouvait apporter ses compétences au service de dermatologie tout en en acquérant de nouvelles. Notamment en raison de son âge et des contraintes inhérentes à la formation de spécialiste FMH, elle ne pouvait en revanche pas entreprendre cette formation, ce qu'il tentait de lui faire comprendre lors de leurs entretiens annuels. Elle n'a jamais commencé le cursus FMH, lequel inclut obligatoirement des gardes et une activité au service des lits, et le professeur n'a signé aucune attestation de formation correspondante. Le cas de X._ a suscité des critiques car elle n'était pas en formation mais restait longtemps dans le service. C. Le 27 janvier 2010, X._ a fait notifier un commandement de payer aux Hôpitaux Universitaires de Genève. Elle réclamait 398'068 fr.15 et 97'431 fr.60 avec intérêts au taux de 5% par an, respectivement dès le 1er janvier 2007 et le 1er novembre 2009. L'établissement a fait opposition. Le 27 août suivant, X._ a ouvert action contre l'établissement devant le Tribunal des prud'hommes du canton de Genève. Le défendeur devait être condamné à payer les sommes précitées et le tribunal était requis de donner mainlevée de l'opposition au commandement de payer. Le défendeur devait également être condamné à établir et remettre un certificat de travail complet et conforme à la réalité, des certificats et protocoles utiles à la validation de la formation accomplie, et encore une « attestation de responsabilité ». Le défendeur a conclu principalement à l'irrecevabilité de la demande et subsidiairement au rejet de l'action. Le tribunal s'est prononcé le 19 décembre 2011; il a déclaré la demande irrecevable au motif que les parties ne s'étaient pas liées par un contrat de travail et que la juridiction prud'homale n'était donc pas compétente. La Chambre des prud'hommes de la Cour de justice a statué le 26 septembre 2012 sur l'appel de la demanderesse; elle a confirmé le jugement. D. Agissant par la voie du recours en matière civile, la demanderesse saisit le Tribunal fédéral de conclusions semblables à celles de sa demande initiale; elle renonce toutefois à réclamer un certificat de travail et d'autres attestations. Le défendeur conclut au rejet du recours. 