Sachverhalt: A. In einem vor Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hängigen Beschwerdeverfahren betreffend Leistungen aus der obligatorischen Unfallversicherung ersuchte N._ als Beschwerdeführer um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung. B. Mit Entscheid vom 17. Juni 2009 wies das Sozialversicherungsgericht das Gesuch mangels prozessualer Bedürftigkeit des N._ ab (Dispositiv-Ziff. 1) und ordnete gleichzeitig einen zweiten Schriftenwechsel an (Dispositiv-Ziff. 2). Das Gericht lehnte in der Folge ab, wiedererwägungsweise auf seinen Entscheid betreffend unentgeltliche Verbeiständung zurückzukommen. C. N._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, Dispositiv-Ziff. 1 des Entscheids vom 17. Juni 2009 sei aufzuheben und es sei ihm für das kantonale Verfahren ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen. Weiter wird um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der Befreiung von Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) für das letztinstanzliche Verfahren ersucht. Das kantonale Gericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. 