Sachverhalt: A. Z._ ist Gesellschafter und Geschäftsführer der Y._ GmbH und Eigentümer der Parzelle Nr. 96 in Schattdorf, auf der ein Zweifamilienhaus mit Werkstatt steht. Die Parzelle liegt in der Wohnzone W3 gemäss Art. 63 der Bau- und Zonenordnung der Einwohnergemeinde Schattdorf vom 15. Juni 1998 (BZO). Im August 2005 zerstörte ein Unwetter den andernorts gelegenen Produktionsbetrieb der Y._ GmbH. Am 9. September 2005 erteilte deshalb die Bau- und Kanalisationskommission der Einwohnergemeinde Schattdorf gestützt auf Notrecht eine bis zum 31. Dezember 2005 befristete Baubewilligung für den Anbau eines Montageraums und die Nutzung der Parzelle Nr. 96 als Produktionsstätte für den Schreinereibetrieb. Der Anbau wurde erstellt und die Y._ GmbH nahm ihren Schreinereibetrieb wieder auf. Die befristete Baubewilligung wurde in der Folge bis zum 31. Dezember 2006 verlängert. Am 1. Dezember 2006 wurde nach Abschluss eines ordentlichen Bauverfahrens eine definitive Baubewilligung erteilt. Diese umfasste neben dem bereits erstellten Anbau eines Montageraums die Umnutzung eines Lagerraums als Schreinerei sowie einen gedeckten Sitzplatz. Gleichzeitig wurde die von X._ als Eigentümerin der benachbarten Parzelle Nr. 1408 erhobene Einsprache abgewiesen. Ihre gegen diesen Entscheid gerichtete Verwaltungsbeschwerde wies der Regierungsrat des Kantons Uri mit Beschluss vom 30. Oktober 2007 ab. Darauf erhob X._ Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Obergericht des Kantons Uri. Dieses wies das Rechtsmittel mit Urteil vom 11. Juli 2008 ab. B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 16. September 2008 beantragt X._, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Uri sei aufzuheben und die Baubewilligung für den Anbau des Montageraums und die Umnutzung des Lagerraums sei zu verweigern. Sie rügt im Wesentlichen sinngemäss eine willkürliche Anwendung der kommunalen Bau- und Zonenordnung (Art. 9 BV). Das Obergericht und der Regierungsrat des Kantons Uri sowie die Gemeinde Schattdorf haben auf eine Vernehmlassung im Wesentlichen verzichtet. Die Y._ GmbH als Beschwerdegegnerin beantragt in ihrer Stellungnahme die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Umwelt (BAFU) untersucht in seiner Vernehmlassung vom 2. Dezember 2008 den geplanten Betrieb auf die Einhaltung der Lärmschutzvorschriften hin und schliesst, es sei keine Verletzung der massgebenden Bestimmungen des Umweltschutzrechts des Bundes festzustellen. 