Faits: A. Ressortissant de Serbie (Kosovo) né en 1982, X._ est entré illégalement en Suisse le 26 octobre 2000 et y a déposé une demande d'asile qui a été rejetée le 30 avril 2001, un délai de départ échéant le 15 juin 2001 étant imparti à l'intéressé. Le 22 mai 2001, X._ a épousé une Suissesse, Y._. Il s'est alors vu octroyer, au titre du regroupement familial, une autorisation de séjour qui a été régulièrement prolongée, la dernière fois jusqu'au 21 mai 2005. Le 6 juin 2005, la Police cantonale fribourgeoise a indiqué au Service de la population et des migrants du canton de Fribourg (ci-après: le Service cantonal) que les époux X._-Y._ ne faisaient pas ménage commun. Le 27 septembre 2005, le Service cantonal a refusé de renouveler l'autorisation de séjour de X._ et imparti à l'intéressé un délai de trente jours dès la notification de cette décision pour quitter "le territoire". Le Service cantonal a notamment considéré que le mariage de X._ n'existait que formellement et était maintenu dans le seul but de permettre à l'intéressé de demeurer en Suisse, ce qui constituait un abus de droit. Au surplus, il a estimé que la question de l'existence d'un mariage de complaisance pouvait rester ouverte. Le mariage des époux X._-Y._ a été dissous par un jugement de divorce rendu le 3 mai 2006, qui est devenu définitif et exécutoire le 9 juin 2006. B. Par arrêt du 8 août 2007, la Ière Cour administrative du Tribunal administratif, actuellement du Tribunal cantonal, du canton de Fribourg (ci-après: le Tribunal administratif) a rejeté le recours de X._ contre la décision du Service cantonal du 27 septembre 2005. Le Tribunal administratif a repris l'argumentation du Service cantonal. Il a en outre précisé que l'abus de droit existait avant l'écoulement du délai de cinq ans permettant au conjoint étranger d'un ressortissant suisse de revendiquer une autorisation d'établissement, ce qui excluait l'octroi d'une telle autorisation. Il a par ailleurs écarté le grief de violation du droit d'être entendu soulevé par X._. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du Tribunal administratif du 8 août 2007 et la décision du Service cantonal du 27 septembre 2005, le dossier de la cause étant renvoyé au Service cantonal pour complément d'instruction et nouvelle décision. X._ conteste avoir commis un abus de droit. Invoquant l'art. 29 al. 2 Cst., il se plaint d'une violation de son droit d'être entendu, plus particulièrement de son droit de faire administrer des preuves (pour démontrer qu'il n'a pas contracté un mariage fictif et a vécu en communauté conjugale jusqu'en juin 2005). Le Tribunal administratif conclut au rejet du recours. Le Service cantonal a renoncé à formuler des observations sur le recours, en se référant notamment à l'arrêt attaqué. L'Office fédéral des migrations propose le rejet du recours. D. Par ordonnance du 20 septembre 2007, le Président de la IIe Cour de droit public a admis la demande d'effet suspensif contenue dans le recours. 