Sachverhalt: Sachverhalt: A. Der aus dem Kosovo stammende X._ (geb. 1967) arbeitete in den Jahren 1991 bis 1996 jeweils als Saisonnier in der Schweiz. Am 1. März 1994 hatte er in der Heimat seine Landsfrau Y._ (geb. 1969) geheiratet. Dieser Ehe entstammen die beiden Kinder A._ (geb. 1994) und B._ (geb. 1996). Am 15. Januar 1997 wurde die Ehe durch ein kosovarisches Gemeindegericht geschieden. Einige Tage später, am 3. Februar 1997, ehelichte X._ in seiner Heimat die Schweizer Bürgerin Z._ (geb. 1967) und gelangte kurz darauf in die Schweiz, wo ihm im Rahmen des Familiennachzuges eine Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde. Diese wurde ihm mehrmals verlängert, ohne dass er die Fremdenpolizeibehörden auf die weitere inzwischen mit Y._ gezeugte Tochter (C._, geb. 23. April 1998) hingewiesen hätte (vgl. etwa das Formular "Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung", unterzeichnet am 1. April 1999). Am 18. Mai 2001 wurde X._ von seiner Schweizer Ehefrau geschieden. Am 4. April 2002 erteilte ihm das Ausländeramt die Niederlassungsbewilligung. Am 2. August 2002 heiratete X._ erneut seine erste Ehefrau, mit welcher er inzwischen ein viertes Kind gezeugt hatte (Geburt der Tochter D._ am 17. Oktober 2002), und stellte am 15. März 2004 für sie und seine Kinder ein Familiennachzugsgesuch. Am 1. März 1994 hatte er in der Heimat seine Landsfrau Y._ (geb. 1969) geheiratet. Dieser Ehe entstammen die beiden Kinder A._ (geb. 1994) und B._ (geb. 1996). Am 15. Januar 1997 wurde die Ehe durch ein kosovarisches Gemeindegericht geschieden. Einige Tage später, am 3. Februar 1997, ehelichte X._ in seiner Heimat die Schweizer Bürgerin Z._ (geb. 1967) und gelangte kurz darauf in die Schweiz, wo ihm im Rahmen des Familiennachzuges eine Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde. Diese wurde ihm mehrmals verlängert, ohne dass er die Fremdenpolizeibehörden auf die weitere inzwischen mit Y._ gezeugte Tochter (C._, geb. 23. April 1998) hingewiesen hätte (vgl. etwa das Formular "Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung", unterzeichnet am 1. April 1999). Am 18. Mai 2001 wurde X._ von seiner Schweizer Ehefrau geschieden. Am 4. April 2002 erteilte ihm das Ausländeramt die Niederlassungsbewilligung. Am 2. August 2002 heiratete X._ erneut seine erste Ehefrau, mit welcher er inzwischen ein viertes Kind gezeugt hatte (Geburt der Tochter D._ am 17. Oktober 2002), und stellte am 15. März 2004 für sie und seine Kinder ein Familiennachzugsgesuch. B. Nachdem das Ausländeramt des Kantons St. Gallen X._ das rechtliche Gehör gewährt hatte, wies es ihn mit Verfügung vom 12. Januar 2005 für die Dauer von zehn Jahren aus der Schweiz aus, mit Beginn am 31. März 2005. Zur Begründung führte das Amt im Wesentlichen aus, X._ habe eine Scheinehe mit einer Schweizer Bürgerin geführt und sich die Beibehaltung der Aufenthaltsbewilligung nach der Scheidung erschlichen. Damit habe er "durch sein Verhalten Ausweisungsgründe gesetzt". Hiegegen rekurrierte X._ beim Justiz- und Polizeidepartement des Kantons St. Gallen. Das Departement hiess mit Entscheid vom 22. November 2005 den Rekurs im Sinne der Erwägungen teilweise gut; es hob die verfügte Ausweisung auf, entzog X._ hingegen - im Sinne einer milderen Massnahme - die Niederlassungsbewilligung. Eine gegen diesen Entscheid gerichtete Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit Urteil vom 21. März 2006 ab, soweit es darauf eintrat. B. Nachdem das Ausländeramt des Kantons St. Gallen X._ das rechtliche Gehör gewährt hatte, wies es ihn mit Verfügung vom 12. Januar 2005 für die Dauer von zehn Jahren aus der Schweiz aus, mit Beginn am 31. März 2005. Zur Begründung führte das Amt im Wesentlichen aus, X._ habe eine Scheinehe mit einer Schweizer Bürgerin geführt und sich die Beibehaltung der Aufenthaltsbewilligung nach der Scheidung erschlichen. Damit habe er "durch sein Verhalten Ausweisungsgründe gesetzt". Hiegegen rekurrierte X._ beim Justiz- und Polizeidepartement des Kantons St. Gallen. Das Departement hiess mit Entscheid vom 22. November 2005 den Rekurs im Sinne der Erwägungen teilweise gut; es hob die verfügte Ausweisung auf, entzog X._ hingegen - im Sinne einer milderen Massnahme - die Niederlassungsbewilligung. Eine gegen diesen Entscheid gerichtete Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit Urteil vom 21. März 2006 ab, soweit es darauf eintrat. C. Mit Eingabe vom 27. April 2006 führt X._ Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Bundesgericht mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 21. März 2006 aufzuheben und ihm - dem Beschwerdeführer - die Niederlassungsbewilligung "zu erteilen" (recte: nicht zu widerrufen). Das Justiz- und Polizeidepartement des Kantons St. Gallen schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Denselben Antrag stellen auch das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen und das Bundesamt für Migration. Das Justiz- und Polizeidepartement des Kantons St. Gallen schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Denselben Antrag stellen auch das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen und das Bundesamt für Migration. D. Mit Verfügung vom 24. Mai 2006 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt. 