Sachverhalt: Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 27. Januar 2004 setzte die Ausgleichskasse Luzern gegenüber ihrem Mitglied S._ die für 2001 geschuldeten Beiträge aus selbstständiger Erwerbstätigkeit ausgehend von einem beitragspflichtigen Einkommen von Fr. 1'123'500.- fest. Dieser Betrag basiert auf den der Kasse am 17. Januar 2004 gemeldeten Ziffern aus der Veranlagung für die direkte Bundessteuer 2001. Er umschliesst einen Schulderlass der Bank X._ gegenüber der einfachen Gesellschaft F._, an welcher S._ zu 97.6 % beteiligt ist, in der diesem Anteil entsprechenden Höhe von Fr. 1'075'354.-. Auf Einsprache hin hielt die Ausgleichskasse - nach Einholung ergänzender Auskünfte der Steuerbehörden vom 12. März 2004 - mit Entscheid vom 7. April 2004 an den verfügten Beiträgen fest. Auf Einsprache hin hielt die Ausgleichskasse - nach Einholung ergänzender Auskünfte der Steuerbehörden vom 12. März 2004 - mit Entscheid vom 7. April 2004 an den verfügten Beiträgen fest. B. Die hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern teilweise gut. Es bestätigte die Beitragsverfügung in zwei letztinstanzlich nicht zur Diskussion stehenden Nebenpunkten (Liegenschaftengewinn, Erlös aus Verkauf Lebensversicherung), hob jedoch den Einspracheentscheid insoweit auf, als ihm der Schulderlass (als Teil des beitragspflichtigen Einkommens) zu Grunde liegt, und wies die Sache zur Neufestlegung der für 2001 geschuldeten Beiträge an die Ausgleichskasse zurück (Entscheid vom 16. Dezember 2004). B. Die hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern teilweise gut. Es bestätigte die Beitragsverfügung in zwei letztinstanzlich nicht zur Diskussion stehenden Nebenpunkten (Liegenschaftengewinn, Erlös aus Verkauf Lebensversicherung), hob jedoch den Einspracheentscheid insoweit auf, als ihm der Schulderlass (als Teil des beitragspflichtigen Einkommens) zu Grunde liegt, und wies die Sache zur Neufestlegung der für 2001 geschuldeten Beiträge an die Ausgleichskasse zurück (Entscheid vom 16. Dezember 2004). C. Die Ausgleichskasse führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben, soweit er die Beitragspflicht auf dem gewährten Schulderlass verneint. Während S._ auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen lässt, beantragt das Bundesamt für Sozialversicherung (BSV) deren Gutheissung. 