Faits: A. A.a Le 15 mai 1995, l'Etat de Vaud a passé avec la Fondation pour l'accueil des requérants d'asile (ci-après : la FAREAS) une convention, reconduite le 20 avril 2000, réglant notamment le service de santé infirmier destiné aux requérants d'asile. En outre, il a conclu, le 19 septembre 1996, un contrat d'assurance-maladie « collective » avec la Caisse-maladie et accidents FAMA (devenue la Caisse-maladie SUPRA le 1er janvier 1998), qui comprenait, en tant que partie intégrante au contrat, un protocole d'organisation du 12 septembre 1996, passé entre le Service de prévoyance et d'aide sociale (ci-après : le SPAS), la FAREAS, la FAMA et Planinsurance SA. Ce contrat d'assurance-maladie « collective » prévoyait l'affiliation à la FAMA des requérants d'asile et des personnes admises provisoirement. La FAREAS avait notamment pour obligation d'adresser à l'assureur une liste des personnes relevant de sa compétence et d'annoncer la date du départ ou de l'autonomie d'un assuré. Le protocole d'organisation du 12 septembre 1996 disposait notamment que la FAMA résilierait le contrat d'assurance pour la fin du mois au cours duquel un requérant ne serait plus pris en charge par la FAREAS. A la suite de la dénonciation, pour le 31 décembre 1997, du contrat passé avec la FAMA, la FAREAS a conclu avec CSS Assurance, le 22 janvier 1998, un nouveau contrat, entré en vigueur le 1er janvier précédent, qui avait pour objet l'assurance obligatoire des soins pour l'ensemble des requérants d'asile et des étrangers admis provisoirement, assistés par la FAREAS, à l'exclusion des mineurs non accompagnés relevant du Service de la protection de la jeunesse. A.b S._, né en 1977, est arrivé en Suisse en 1991. Il a bénéficié du statut d'admis provisoire et relevait, à ce titre, de la FAREAS. Il a obtenu, le 21 décembre 1993, une autorisation provisoire collective valable jusqu'au mois d'avril 1996. Cette autorisation a été prolongée par le Conseil fédéral jusqu'au 30 avril 1997, date à laquelle l'intéressé aurait dû quitter la Suisse. En raison d'infractions commises en 1996, S._ a été incarcéré, à titre préventif, à partir du 5 février 1997, puis dès le 24 juillet suivant. Le 10 mars 1998, il a été condamné par le Tribunal correctionnel du district X._ à une peine privative de liberté qui a pris fin le 19 janvier 1999. Cette peine était assortie d'une expulsion du territoire suisse d'une durée de dix ans. Victime d'une agression le 30 juillet 1998, durant l'exécution de sa peine, S._ a subi une longue hospitalisation en soins aigus dans le quartier carcéral de l'Hôpital cantonal Y._, suivie d'une réadaptation à l'Hôpital Z._ et d'un hébergement de type C à la Fondation W._, dès le 12 juillet 1999. Depuis le 5 mars 2001, S._ séjourne au Foyer V._. En raison de l'état de santé de l'intéressé, la mesure d'expulsion prononcée à son endroit n'a pas pu être exécutée. Conformément au contrat liant l'Etat de Vaud à FAMA, S._ a été affilié à cette dernière pour l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie. Bien qu'il ait perdu la qualité de requérant d'asile dès l'entrée en force de la décision de l'Office des requérants d'asile vaudois, fixant au 20 mai 1997 la date à laquelle son renvoi était techniquement possible, l'intéressé est toutefois resté assuré auprès de la FAMA jusqu'au 31 décembre 1997, par le biais du contrat « collectif ». En vertu de la convention liant la FAREAS à CSS Assurance, il a été considéré comme affilié à celle-ci à partir du 1er janvier 1998. Informée par la FAREAS que S._ était détenu, CSS Assurance a radié l'intéressé du cercle des personnes soumises au contrat « collectif » avec effet au 31 mars 1998, sans toutefois maintenir l'affiliation au titre d'assuré individuel. A la suite de l'agression dont S._ avait fait l'objet, le Service pénitentiaire a pris en charge les frais de traitement pour la période du 30 juillet 1998 au 5 septembre 2000, alors même que l'intéressé avait été libéré de sa peine le 19 janvier 1999. Le 17 février 2000, CSS Assurance a informé le Service des assurances sociales et de l'hébergement (ci-après: le SASH) qu'elle attendait l'ordre formel de la FAREAS pour réintégrer S._ parmi ses assurés, avec effet au 1er avril 1998, ce qui impliquerait le paiement rétroactif des primes d'assurance depuis cette date. Par décision du 6 septembre 2000, passée en force, l'Organe cantonal de contrôle de l'assurance-maladie et accidents du canton de Vaud (ci-après : l'OCC) a affilié d'office S._ à CSS Assurance, avec effet au 1er septembre 2000. De son côté, CSS Assurance a rendu une décision, le 3 septembre 2001, par laquelle elle a constaté que S._ ne lui était pas affilié durant la période du 1er janvier 1998 au 31 août 2000. Saisie d'une opposition formée par l'Office du tuteur général du canton de Vaud (ci-après : l'OTG), CSS Assurance l'a rejetée par décision du 22 novembre 2001. B. B.a Par ministère de l'OTG, S._ a recouru contre la décision sur opposition devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud (aujourd'hui, Tribunal cantonal, Cour des assurances sociales, du canton de Vaud) en concluant à ce qu'il soit considéré comme un assuré obligatoire au sens de la LAMal, notamment durant la période du 1er avril 1998 au 31 août 2000, et à ce que le tribunal dise quel est l'assureur-maladie tenu à l'affilier, « à qui il incomberait de prendre en charge l'ensemble des prestations de soins fournies entre le 1er avril 1998 et le 31 août 2000, sous condition de paiement des primes correspondantes ». Après avoir appelé en cause la SUPRA, le Tribunal cantonal des assurances du canton de Vaud a rendu, le 4 octobre 2004, un jugement, dont le dispositif est le suivant: « I. Le recours est rejeté, en tant qu'il vise à ce que le recourant soit affilié à l'intimée pour la période allant du 1er janvier 1998 au 31 août 2000. II. La décision attaquée est maintenue. III. Le recourant doit être affilié à l'intimée (recte: la SUPRA), à titre individuel, pour la période allant du 1er juin 1997 au 31 août 2000, et il versera les cotisations correspondantes. IV. SUPRA et l'intimée rembourseront à la FAREAS les primes versées par elle, pour le compte du recourant, respectivement du 1er juin au 31 décembre 1997 et du 1er janvier au 31 mars 1998 ». B.b Statuant le 2 août 2006 sur le recours formé par la SUPRA, le Tribunal fédéral des assurances l'a admis en ce sens qu'il a annulé les ch. I à IV du jugement cantonal et renvoyé la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement après complément d'instruction au sens des considérants. B.c Conformément aux instructions de cet arrêt, le Tribunal cantonal, Cour des assurances sociales, du canton de Vaud a invité, d'une part, CSS Assurances à se déterminer sur la portée de sa décision sur opposition du 22 novembre 2001 et, d'autre part, S._ et la FAREAS, à exiger de la SUPRA qu'elle rendît une décision sur le droit éventuel à prestations. Le 13 mars 2008, CSS Assurances a indiqué que sa décision du 3 septembre 2001, confirmée par décision sur opposition du 22 novembre 2001, constituait une décision de refus de prise en charge des prestations pour la période courant du 1er janvier 1998 au 31 août 2000. De son côté, par décision du 13 juillet 2009, puis décision sur opposition du 9 novembre suivant, la SUPRA a refusé de prendre en charge les frais afférents à l'agression subie par S._ le 30 juillet 1998. Saisie d'un recours formé par S._, représenté par l'OTG, contre cette décision, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois a joint les causes opposant le prénommé à chacune des caisses-maladie et donné l'occasion aux parties de se déterminer. Par jugement du 17 janvier 2011, elle a rejeté le recours formé par S._ contre la décision sur opposition de la CSS Assurance du 22 novembre 2001. En revanche, elle a admis le recours du prénommé contre la décision sur opposition de SUPRA du 9 novembre 2009. Annulant cette décision, elle a renvoyé la cause à SUPRA « pour qu'elle prenne en charge, conformément aux dispositions de la LAMal, les coûts des prestations dispensées à S._ du 30 juillet 1998 au 31 août 2000 ». C. La SUPRA interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Sous suite de frais et dépens, elle conclut principalement à la réforme du jugement cantonal, en ce sens que le recours interjeté contre sa décision du 9 novembre 2009 est rejeté et celle-ci confirmée, tandis que le recours contre la décision sur opposition rendue par CSS Assurance le 22 novembre 2001 est admis; elle demande également que S._ soit affilié, au titre de l'assurance obligatoire des soins, auprès de CSS Assurance pour la période du 1er janvier 1998 au 31 août 2000. A titre subsidiaire, elle demande le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour instruction « sur la question de la prise en charge des frais médicaux dispensés à Monsieur S._ du 30 juillet 1998 au 31 août 2000 par un assureur-accidents privé ou public ou, à défaut, par l'Etat de Vaud en tant que responsable de la rixe à l'origine de l'état de santé du prénommé ». Elle sollicite par ailleurs l'octroi de l'effet suspensif à son recours, ce qui lui a été accordé par ordonnance du 8 juillet 2011. S._, agissant par l'OTG, ne s'est pas prononcé sur le recours, tandis que CSS Assurance conclut à son rejet. Quant à l'Office fédéral de la santé publique, il a renoncé à se déterminer. 