Sachverhalt: A. A._ und B._ waren französische Staatsangehörige und wohnten in Frankreich. Sie heirateten in den 1930er Jahren 1933, ohne je einen Ehevertrag abzuschliessen. B._ verstarb im Jahre 1987 und A._ im Jahre 2002. Ihre einzige Tochter Z._ ist testamentarische und gesetzliche Alleinerbin. Sie hatte bereits im Jahre 1990 bei der X._ AG schriftlich den Antrag auf Auskunft über die für ihre Eltern bzw. ihren Vater verwalteten Vermögenswerte gestellt. Dieses und weitere Auskunftsgesuche blieben erfolglos. Am 20. Oktober 2003 erhob Z._ Klage beim Zivilgericht Basel-Stadt gegen die X._ AG und stellte verschiedene Auskunftsbegehren. Das Zivilgericht hiess die Klage mit Urteil vom 14. Dezember 2006 vollumfänglich gut und verpflichtete die X._, Z._ in folgender Weise Auskunft zu erteilen: "1. Die Beklagte wird unter Androhung der Ungehorsamstrafe gegen ihre verantwortlichen Organe nach Art. 292 StGB im Widerhandlungsfall (Busse bis CHF 10'000.--) verurteilt, der Klägerin schriftlich und unter Vorlage aller Beweisdokumente oder anderweitiger Aufzeichnungen (z.B. Tonbänder), die sie besitzt oder beschaffen kann, vollständigen Aufschluss zu erteilen über alle bei der Beklagten hinterlegten oder von ihr verwalteten beweglichen oder unbeweglichen Vermögenswerte wie Wertschriften- und Edelmetalldepots, Guthaben, Schrankfächer und alle anderen Vermögenswerte irgendwelcher Art, - welche, sei es einzeln oder gemeinsam, sei es in eigenem Namen, sei es unter Verwendung eines Decknamens oder von Nummern, von Me A._ und/ oder seiner Ehefrau B._ hinterlegt bzw. errichtet wurden; - oder welche von der Beklagten oder sonstigen Dritten, wie zum Beispiel Gesellschaften, Notaren, Trusts, Stiftungen, Anstalten etc. treuhänderisch für Rechnung von Me A._ und/oder Frau B._ gehalten werden; - oder die im Eigentum Dritter gestanden haben, deren wirtschaftliche Benefiziare aber Me A._ und/oder Frau B._ gewesen sind, a) für Stichtag xxxx 1987, b) für Stichtag yyyy 2002, c) für den Zeitraum vor dem xxxx 1987 betreffend die obgenannten Vermögenswerte, deren Entwicklung, insbesondere was Vermögensabflüsse und Vermögenszuflüsse irgendwelcher Art betrifft, auch wenn die entsprechenden Depots, Konti usw. am Stichtag nicht mehr bestanden haben sollten, ebenso über die Öffnungen von eventuellen Schrankfächern; dabei ist anzugeben, woher die betreffenden Zuflüsse gekommen und wohin die betreffenden Abflüsse gegangen sind; d) für den Zeitraum nach dem xxxx 1987 bis zum heutigen Tag betreffend die obgenannten Vermögenswerte, deren Entwicklung, insbesondere was Erträgnisse, andere Vermögenszuflüsse und Vermögensabflüsse irgendwelcher Art betrifft, auch wenn die entsprechenden Depots, Konti usw. am heutigen Tag nicht mehr bestehen sollten, ebenso über die Öffnungen von eventuellen Schrankfächern; dabei ist anzugeben, woher die betreffenden Zuflüsse gekommen und wohin betreffende Abflüsse gegangen sind; 2. Insbesondere wird die Beklagte zur Herausgabe von Kopien der folgenden Unterlagen verpflichtet: - alle Quittungen mit den entsprechenden notwendigen Unterschriften, - alle Weisungen, Genehmigungen von Rechnungsabschlüssen und Entlassungserklärungen mit den entsprechenden ordnungsgemäss beigesetzten Unterschriften, - alle von der Beklagten erstellten Notizen über telefonisch erteilte Weisungen, - alle übrigen Dokumente, welche die X._ bzw. allenfalls die Y._ als Rechtsnachfolgerin und/oder Me A._ geschrieben und/oder signiert haben, - alle Korrespondenzen, welche auf die verwalteten Aktiven Bezug nehmen, - alle internen Notizen; welche darauf Bezug nehmen, - alle Instruktionen und Verfügungen auf den Todesfall von Me A._ und/ oder Frau B._, alles für die Jahre mindestens ab 1978." B. Die X._ erhob gegen das Urteil des Zivilgerichts Appellation und verlangte die Abweisung der Auskunftsklage. Mit Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 17. Juni 2009 wurde die Appellation abgewiesen und das erstinstanzliche Urteil bestätigt. C. Mit Eingabe vom 18. September 2009 führt die X._ Beschwerde in Zivilsachen. Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht, das Urteil des Appellationsgerichts aufzuheben und die Klage abzuweisen. Eventualiter verlangt sie, die Sache zu neuer Entscheidung an das Appellationsgericht zurückzuweisen. Subeventualiter sei das Urteil des Appellationsgerichts insoweit aufzuheben, als sie verpflichtet werde, auch über Kontos Dritter Auskunft zu erteilen, und die Klage sei insoweit abzuweisen, als Auskünfte und die Edition von Belegen betreffend Kontobeziehungen mit Drittkunden (der Beschwerdeführerin) gefordert werden. Weiter verlangt die Beschwerdeführerin aufschiebende Wirkung. Mit Präsidialverfügung vom 9. Oktober 2009 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt. Z._ als Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei; eventuell sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Appellationsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. 