Sachverhalt: A. Der aus dem Kosovo stammende X._ (geb. 1979) reiste 1994 im Rahmen des Familiennachzugs in die Schweiz ein und erhielt die Niederlassungsbewilligung. Am 6. Januar 1998 heiratete er in der Heimat seine Landsfrau Y._ (geb. 1980). Mit ihr hat er vier Kinder (geb. 1999, 2001, 2002 und 2006). Die Ehefrau und die Kinder sind ebenfalls im Besitz der Niederlassungsbewilligung. Das jüngste Kind ist körperlich behindert und bedarf der medizinischen Behandlung und Betreuung. Ab 2003 begann X._ zu delinquieren. Bis 2010 erwirkte er 17 Strafverfügungen und Urteile, oftmals im Bereich des Strassenverkehrs- und des Betreibungs- und Konkursrechts. Am 1. Juli 2004 verurteilte ihn das Bezirksgericht Winterthur wegen mehrfachen Diebstahls, mehrfacher Sachbeschädigung und mehrfachen Hausfriedensbruchs zu fünf Monaten Gefängnis (bedingt). Noch vor Ablauf der Probezeit machte er sich am 18. Mai 2006 der versuchten vorsätzlichen Tötung schuldig und wurde vom Obergericht des Kantons Luzern deswegen am 24. November 2009 zu einer Freiheitsstrafe von viereinhalb Jahren verurteilt. Eine hiegegen gerichtete Beschwerde wies das Bundesgericht am 20. Mai 2010 ab, soweit es darauf eintrat (Verfahren 6B_304/2010). Bereits am 29. Mai 2006 war X._ fremdenpolizeilich verwarnt worden. Er liess sich aber auch nach der versuchten vorsätzlichen Tötung vom 18. Mai 2006 noch strafbares Verhalten zu Schulden kommen (so etwa eine Verurteilung im Jahre 2008 wegen Fahrens in angetrunkenem Zustand). X._ hat in der Schweiz nie eine Lehre abgeschlossen, sondern er arbeitete bei verschiedenen Arbeitgebern als Gipser. Eine von ihm gegründete und geführte GmbH musste liquidiert werden. Die Gesellschaft hinterliess Betreibungen von über Fr. 115'000.-- und Verlustscheine von über Fr. 38'000.--. Gegen X._ als Privatperson bestehen Betreibungen von über Fr. 168'000.-- und Verlustscheine von über Fr. 135'000.--. B. Mit Verfügung vom 12. August 2011 widerrief das Amt für Migration des Kantons Luzern die Niederlassungsbewilligung von X._ und wies diesen auf den Zeitpunkt seiner Entlassung aus dem Strafvollzug aus der Schweiz weg. Die vom Betroffenen hiegegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid des kantonalen Justiz- und Sicherheitsdepartements vom 22. Juni 2012, Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 15. April 2013). C. Mit Eingabe vom 13. Mai 2013 führt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das letztgenannte Urteil aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen; eventuell sei die Verfügung des Migrationsamtes vom 12. August 2011 aufzuheben. Sodann sei auf eine Wegweisung zu verzichten. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. D. Mit Verfügung vom 30. Mai 2013 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt. Die kantonalen Akten sind eingeholt, ein Schriftenwechsel ist nicht durchgeführt worden. 