Sachverhalt: A. A.a Der 1964 geborene S._ war ab 1. Oktober 1999 als Chef Haustechnik der M._ AG angestellt und damit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch unfallversichert. Am 10. Dezember 2003 erlitt er beim Aufladen von Festbänken eine Verletzung am rechten Handgelenk (Hypersupinationstrauma). Die SUVA sprach ihm für die Folgen dieses Ereignisses mit Einspracheentscheid vom 6. November 2006 eine Invalidenrente auf der Basis einer Erwerbsunfähigkeit von 18 % zu. A.b Am 10. Februar 2004 war S._ erneut von einem Unfall betroffen. Er fuhr als Lenker eines Personenwagens auf ein anderes, an erster Stelle vor einem Rotlicht stehendes Fahrzeug auf. Dabei zog er sich gemäss Arztzeugnis UVG des am Unfalltag aufgesuchten Dr. med. D._, Assistenzarzt, Spital X._, ein HWS-Schleudertrauma zu. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung und Taggeld). Zudem nahm sie Abklärungen vor. Mit Verfügung vom 30. November 2005 stellte die Anstalt die laufenden Leistungen per 1. Januar 2006 ein. Gleichzeitig lehnte sie es ab, eine Rente oder eine Integritätsentschädigung auszurichten. Zur Begründung wurde erklärt, die fortbestehenden Beschwerden stünden in keinem adäquaten Kausalzusammenhang mit dem Unfallereignis. Daran hielt die SUVA mit Einspracheentscheid vom 20. Oktober 2006 fest. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern ab, soweit darauf eingetreten wurde (Entscheid vom 24. Juni 2008). C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei die SUVA zu verpflichten, ihm ab 1. Januar 2006 die gesetzlichen Leistungen auszurichten, und es sei "eine unabhängige und umfassende Begutachtung der Situation des Beschwerdeführers durchzuführen und dem Beschwerdeführer nach Vorliegen der Ergebnisse Gelegenheit einzuräumen, die Anträge entsprechend anzupassen oder zu ergänzen". Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. 