Faits: A. Par décision du 27 avril 2009, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève a rejeté la demande de prestations présentée par F._. En bref, il a considéré en se fondant notamment sur un rapport de la doctoresse C._, psychiatre au Service médical régional AI (SMR), que l'assurée disposait d'une capacité entière de travail dans toute activité. B. Par recours daté du 26 mai 2009, complété par mémoire du 31 juillet suivant, F._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, en concluant notamment à l'audition des parties et à ce que soit ordonnée une expertise psychiatrique. Dans sa réponse du 31 août 2009, l'administration a conclu au rejet du recours. Statuant le 10 juin 2010, le Tribunal a débouté l'assurée. C. F._ interjette un recours en matière de droit public contre le jugement cantonal, dont elle demande l'annulation. Sous suite de dépens, elle conclut au renvoi de la cause au Tribunal cantonal genevois des assurances sociales pour instruction complémentaire, en vue notamment qu'elle "puisse être auditionnée". Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire. L'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. 