Sachverhalt: A. Der 1963 geborene A._ arbeitete seit 8. Mai 2006 als Gipser bei der Firma B._ GmbH. Am 27. Mai 2008 erlitt er als Beifahrer einen Autounfall. Am 18. Dezember 2008 meldete er sich bei der IV-Stelle des Kantons Zürich zum Leistungsbezug an. Diese zog die SUVA-Akten, diverse erwerbliche Unterlagen und ärztliche Berichte sowie ein Gutachten des Psychiaters Dr. med. C._ vom 21. März 2010 bei. Mit Vorbescheid vom 3. Juni 2010 stellte die IV-Stelle dem Versicherten die Abweisung des Rentenbegehrens in Aussicht. Auf seine Einwände hin holte sie ein Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS) vom 27. Juni 2011 ein, wozu der Psychiater Dr. med. D._, Regionaler Ärztlicher Dienst der IV-Stelle, am 16. November 2011 Stellung nahm. Am 28. November 2011 beantwortete der rheumatologische MEDAS-Teilgutachter Dr. med. E._ eine Rückfrage der IV-Stelle. Am 29. Februar 2012 gab Dr. med. D._ eine erneute Stellungnahme ab. Mit Verfügung vom 12. Juli 2012 verneinte die IV-Stelle den Rentenanspruch des Versicherten. B. In teilweiser Gutheissung der hiegegen geführten Beschwerde hob das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Verfügung auf und stellte fest, der Versicherte habe ab 1. Juni 2011 Anspruch auf eine ganze Invalidenrente. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab (Entscheid vom 24. März 2014). C. Mit Beschwerde beantragt die IV-Stelle, in Aufhebung des kantonalen Entscheids sei die Verfügung vom 12. Juli 2012 zu bestätigen und festzustellen, dass kein Rentenanspruch bestehe. Der Versicherte verlangt Nichteintreten auf die Beschwerde, eventuell deren Abweisung; er fordert die unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Die Helvetia Schweizerische Lebensversicherungsgesellschaft AG und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichten auf eine Vernehmlassung. 