Sachverhalt: A. A.a Die Y._ GmbH (Klägerin, Beschwerdegegnerin) mit Sitz in Z._ bezweckt hauptsächlich die Ausführung von verfahrensgesteuerter Horizontalbohrtechnik, Vertikalbohrtechnik, Microtunnelierung, Rohrberstsanierung, Ingenieurleistungen, allgemeinen Bauarbeiten sowie Ausrüstungs- und Werkzeugvermietungen. Die X._ AG (Beklagte, Beschwerdeführerin) mit Sitz in Q._ bezweckt insbesondere die Durchführung von Massnahmen in der innovativen Kanal- und Rohrleitungssanierung aller Medien und Dimensionen vor allem in der Schweiz. Die R._ GmbH mit Sitz in Deutschland und die deutsche "Schwestergesellschaft" der Beschwerdeführerin, die X._ GmbH Deutschland, waren im September 2006 in Deutschland bereits einmal gemeinsam in einer ARGE tätig. A.b Die Beschwerdeführerin wurde von der bernischen Gemeinde S._ am 2. November 2006 mit der Ausführung des grabenlosen Leitungsbaus in der Arbeitszone "T._" beauftragt. Im Januar 2007 führte die Beschwerdeführerin mit der R._ in U._ in den Räumlichkeiten der X._ GmbH Deutschland, Vertragsverhandlungen über Arbeiten, welche die R._ für die Beschwerdeführerin in S._ ausführen sollte. Gestützt auf diese Vertragsverhandlungen war die R._ zwischen dem 1. Februar 2007 und dem 29. März 2007 auf der Baustelle in S._ anwesend. Dabei nahm sie unter anderem am 1., 13. und 20. Februar 2007 an Baustellensitzungen teil; sie führte ausserdem Horizontalbohrungen aus. A.c Mit Datum vom 30. März 2007, unmittelbar nach Abschluss ihrer Arbeiten in S._, stellte die R._ der Beschwerdeführerin für die von ihr ausgeführten Bohrarbeiten eine Rechnung über Fr. 96'391.47 zu. Die Beschwerdeführerin beanstandete diese Rechnung am 31. Mai 2007. Insbesondere verlangte sie die Korrektur einzelner Positionen und die Ausstellung der Rechnung in Euro statt in Schweizer Franken. Die R._ stellte der Beschwerdeführerin in der Folge zwei korrigierte Rechnungen zu. Die eine trägt die Nr. mmm._ und ist immer noch mit dem 30. März 2007 datiert (Antwortbeilage 9; nachfolgend AB 9). Die andere ist mit Nr. nnn._ gekennzeichnet und datiert vom 2. Juli 2007 (Klagebeilage 8; nachfolgend KB 8). Beide Versionen weisen einen Rechnungsbetrag von EUR 55'618.59 auf. Neben einer unbestrittenen Akontozahlung der Beschwerdeführerin (nur in KB 8 enthalten) besteht die Differenz zwischen den zwei Versionen in der nur in AB 9 enthaltenen Position "abzgl. einmaliger Nachlass" über EUR 20'844.17. Dieser Betrag entspricht den von der Beschwerdeführerin erhobenen Gegenforderungen, welche gemäss ihren Behauptungen einredeweise zur Verrechnung gebracht worden sind. Die Beschwerdeführerin leistete der R._ am 9. Juli 2007 eine weitere unbestrittene Zahlung in Höhe von EUR 5'561.86. Am 18. Juli 2007 stellte die R._ der Beschwerdeführerin eine weitere Rechnung über EUR 19'433.73 zu, welche die Auslagen für Fahrkosten, Sitzungsteilnahmen und Nutzungsrechte einer Filmdokumentation beinhaltet. A.d Mit Schreiben vom 3. August 2007 forderte der Rechtsvertreter der R._ die Beschwerdeführerin auf, den für die Bohrarbeiten geschuldeten Restbetrag von EUR 20'856.17 und die für die Teilnahme an Baustellensitzungen etc. geltend gemachten Aufwendungen von EUR 19'433.73, d.h. insgesamt EUR 40'289.90 zu überweisen. Der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin bestritt diese Forderungen. Hierauf leitete die R._ gegen die Beschwerdeführerin eine Betreibung ein. Das nachfolgende Sühnebegehren wurde zufolge Insolvenz der R._ wieder zurückgezogen. Mit Vereinbarung vom 25. November/2. Dezember 2008 trat der Insolvenzverwalter der R._ der Beschwerdegegnerin unter anderem die Forderungen gegen die Beschwerdeführerin in vollem Umfang ab. Mit Zahlungsbefehl vom 25. August 2009 liess die Beschwerdegegnerin die Beschwerdeführerin über Fr. 61'982.-- nebst Zins betreiben, worauf die Beschwerdeführerin Rechtsvorschlag erhob. B. B.a Mit Klage vom 12. April 2010 beantragte die Beschwerdegegnerin dem Handelsgericht des Kantons Aargau, die Beschwerdeführerin sei zu verpflichten, ihr EUR 40'289.90 nebst Zins zu 5 % seit 16. August 2007 und die Friedensrichterkosten von Fr. 190.-- zu bezahlen. Ferner sei der Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. ooo._ des Betreibungsamtes Lenzburg vollumfänglich aufzuheben. Sie begründete die Klageforderung damit, die Beschwerdeführerin schulde ihr gestützt auf die von der R._ abgetretenen Forderungen einerseits EUR 20'856.17 für die von der R._ in S._ erbrachten Bohrarbeiten und andererseits EUR 19'433.73 für Aufwendungen der R._ an Bausitzungen und die Abgeltung von Filmnutzungsrechten. Die Beschwerdeführerin machte geltend, die ursprüngliche Forderung der R._ von EUR 55'618.59 sei durch Bezahlung von EUR 34'744.42 und Verrechnung von eigenen Gegenforderungen von total EUR 20'844.17 untergegangen. Die Forderung von EUR 19'433.73 gemäss Rechnung vom 18. Juli 2007 sei unbegründet. An der Hauptverhandlung reduzierte die Beschwerdegegnerin den Forderungsbetrag auf EUR 20'856.17 nebst Zins und Friedensrichterkosten. Zudem beantragte sie, den Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. ooo._ des Betreibungsamtes Lenzburg im Umfang von Fr. 32'085.15 zu beseitigen. B.b Am 29. Mai 2012 schrieb das Handelsgericht des Kantons Aargau das Verfahren als durch teilweisen Rückzug der Klage im Umfang von EUR 19'433.73 als erledigt ab. In teilweiser Gutheissung der Klage im noch verbleibenden Ausmass von EUR 20'856.17 verpflichtete es die Beschwerdeführerin, der Beschwerdegegnerin den Betrag von EUR 20'844.17 nebst Zins zu 5 % seit 16. August 2007 zu bezahlen. Ausserdem beseitigte es den Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. ooo._ des Betreibungsamtes Lenzburg im Umfang von Fr. 32'066.65 nebst Zins zu 5 % seit 16. August 2007. Im Übrigen wies es die Klage ab. C. Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Handelsgerichts des Kantons Aargau vom 29. Mai 2012 aufzuheben und die Klage abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz teilt mit, dass sie an ihrer Auffassung gemäss angefochtenem Urteil festhält. Die Beschwerdeführerin reichte unaufgefordert eine Replik ein. 