Faits: A. Par contrat du 24 janvier 1994, A.X._ a pris à bail un appartement de trois pièces, situé au quatrième étage d'un immeuble à Genève. En ce qui concerne la destination des locaux loués, le contrat comporte la mention: «Usage d'habitation, exclusivement». Conclu pour une durée de trois ans débutant le 1er février 1994, il était ensuite renouvelable d'année en année, moyennant un délai de résiliation de trois mois. Le loyer a été fixé à 410 fr. par mois, charges comprises. Depuis 1975, A.X._ louait un appartement de quatre pièces au même étage du même immeuble. Elle occupait ce logement avec ses fils issus d'un précédent mariage, A.Z._ et B.Z._, alors que son époux, B.X._, utilisait principalement l'appartement de trois pièces. Les deux appartements formaient le logement de la famille. A.X._ et B.X._ ont fondé l'école W._, laquelle dispense un enseignement destiné à l'obtention du diplôme de shiatsu et à la formation continue des praticiens. En août 1993, A.X._ a demandé à la régie chargée de la gestion de l'immeuble l'autorisation de mentionner son domicile privé comme adresse de l'école W._, entreprise en raison individuelle de son époux inscrite au registre du commerce. Par courrier du 31 août 1993, la gérance a accordé l'autorisation requise, en précisant que celle-ci ne modifiait en rien la destination d'habitation de l'appartement, qui ne pouvait en aucun cas servir de bureau à l'époux de la locataire, ni de lieu de cours de yoga. A une date indéterminée, l'immeuble de la rue ... a été soumis au régime de la propriété par étages. Le 6 septembre 2006, A._, B._, C._ Sàrl, D._ Sàrl, E._ Sàrl et F._ SA ont acquis les quinze appartements situés dans les cinq premiers étages de l'immeuble. B.X._ est décédé en octobre 2006. Par lettre du 14 février 2007, la police des constructions a demandé à A.X._ de lui communiquer dans les quinze jours ses observations au sujet de l'utilisation des deux appartements qu'elle louait dans l'immeuble de la rue .... L'autorité cantonale précisait que les propriétaires de l'immeuble l'avait informée d'une utilisation des deux appartements du quatrième étage à des fins commerciales. Elle expliquait à la locataire que le droit public cantonal prohibait en principe tout changement d'affectation ayant pour effet de remplacer des locaux à destination de logement par des locaux à usage commercial; l'octroi de dérogation était réservé; par ailleurs, à certaines conditions, une tolérance pouvait être admise lorsque le locataire utilisait l'une des pièces de son appartement pour l'exercice d'une activité professionnelle. Par courrier du 27 février 2007, A.X._ a répondu qu'à l'heure actuelle, elle effectuait des massages shiatsu dans une des pièces de l'appartement de trois pièces. Lors d'une visite datant du 19 mars 2007, la police des constructions a constaté que l'une des pièces du logement de trois pièces était effectivement affectée à des activités de massage. Par lettre du 21 mars 2007, elle a informé A.X._ qu'elle ne voyait pas d'objection à ce que la locataire utilise à cette fin une pièce de l'appartement de trois pièces; cette tolérance ne constituait toutefois en aucun cas une autorisation en changement d'affectation du logement en cause. Par courrier du 18 octobre 2007 mentionnant l'école W._ sous rubrique, la nouvelle régie chargée de la gestion de l'immeuble a fait savoir à A.X._ qu'elle avait constaté récemment qu'elle exerçait une activité commerciale dans l'appartement de trois pièces, ce qui était absolument interdit; en conséquence, un délai de trente jours lui était imparti pour mettre fin à toute activité commerciale lucrative, à défaut de quoi la régie se verrait contrainte de résilier le bail. Dans sa réponse du 16 novembre 2007, A.X._ a précisé que les cours de l'école W._ n'avaient pas lieu dans l'appartement précité, mais étaient dispensés dans différentes salles louées à cet effet, à Genève, Colombier et Grandvaux; elle a joint à son courrier les copies de fiches de location ainsi que des prospectus. La locataire ajoutait que l'ancienne régie lui avait accordé le droit d'inscrire son adresse privée au registre du commerce pour la raison individuelle de son époux. Par avis notifié à la locataire le 13 décembre 2007, les bailleurs ont résilié le bail avec effet au 31 janvier 2009; le motif de congé figurant sur l'avis était un «changement d'affectation non autorisé en local commercial». B. A.X._ a contesté la résiliation devant la Commission de conciliation en matière de baux et loyers. L'affaire n'a pu être conciliée. Par décision du 25 juin 2008, la commission a validé le congé. B.Z._, fils de la locataire, et sa compagne ont emménagé dans l'appartement de trois pièces en juin 2008; le loyer est assumé par A.X._. La locataire a porté l'affaire devant le Tribunal des baux et loyers du canton de Genève par requête du 25 juillet 2008. Par jugement du 9 septembre 2009, le Tribunal des baux et loyers a déclaré le congé valable et refusé toute prolongation de bail. Statuant le 14 février 2011 sur appel de A.X._, la Chambre d'appel en matière de baux et loyers du canton de Genève a annulé le congé notifié le 13 décembre 2007. C. A._, B._, C._ Sàrl, D._ Sàrl, E._ Sàrl et F._ SA interjettent un recours en matière civile. Ils concluent à l'annulation de l'arrêt cantonal et à la confirmation du congé notifié le 13 décembre 2007. A.X._ propose le rejet du recours. 