hat sich ergeben: A.- P._ besuchte am Abend des 22. Mai 1998 in Baden eine Disco. Dabei kam es zwischen ihm und einem Türsteher zu einer handgreiflichen Auseinandersetzung. P._ holte daraufhin in seinem Personenwagen eine Pistole, kehrte in das Tanzlokal zurück und gab nach einem weiteren Wortwechsel aus kurzer Distanz mehrere Schüsse auf den Türsteher ab. Dieser wurde durch einen Bauchschuss tödlich getroffen; ein weiterer Schuss verletzte einen unbeteiligten Dritten am Bein. Das Bezirksgericht Baden verurteilte P._ am 29. März 2000 wegen vorsätzlicher Tötung, Gefährdung des Lebens, Körperverletzung mit einer Waffe und weiteren Delikten unter anderem zu einer Zuchthausstrafe von dreizehn Jahren. Bei der Strafzumessung ging das Gericht gestützt auf ein Gutachten der Psychiatrischen Dienste des Kantons Aargau davon aus, dass der Angeklagte bei Verübung des Tötungsdelikts voll zurechnungsfähig gewesen sei. B.- Am 19. Juni 2000 erhob P._ Berufung. In der Sache beantragte er in mehreren Nebenpunkten Freisprüche oder die Einstellung des Verfahrens; zudem stellte er einen Beweisantrag auf Anordnung eines Obergutachtens zur Frage seiner Zurechnungsfähigkeit anlässlich der Straftaten vom 22. Mai 1998. Das Obergericht des Kantons Aargau hiess die Berufung in Nebenpunkten gut und setzte die gegen den Angeklagten ausgesprochene Zuchthausstrafe auf zwölf Jahre herab. Im Übrigen wies es das Rechtsmittel ab, ebenso den Antrag auf Einholung eines psychiatrischen Obergutachtens. C.- P._ hat gegen das Urteil des Obergerichts am 21. März 2001 eine staatsrechtliche Beschwerde eingereicht. Er beantragt, das Urteil sei aufzuheben, soweit damit eine Zuchthausstrafe von zwölf Jahren festgesetzt und die Berufung im Übrigen abgewiesen wurde (Ziff. 3 und 4 des Urteilsdispositivs). Mit der staatsrechtlichen Beschwerde rügt er einen Verstoss gegen Art. 9 BV. Das Obergericht habe zu Unrecht auf ein nicht schlüssiges psychiatrisches Gutachten abgestellt bzw. von einer ergänzenden neuen Begutachtung abgesehen. Dadurch habe es die Beweiswürdigung willkürlich vorgenommen. P._ ersucht gleichzeitig um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung für das bundesgerichtliche Verfahren. D.- Das Bezirksgericht Baden und das Obergericht des Kantons Aargau haben unter Hinweis auf die Erwägungen in ihren Urteilen auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Aargau beantragt mit Eingabe vom 3. Mai 2001 die Abweisung der staatsrechtlichen Beschwerde. 