Sachverhalt: A. Y._ ist Eigentümer der Liegenschaft Gbbl. Nr. 706 in der Gemischten Gemeinde Brienzwiler; die Parzelle befindet sich in einer Wohn- und Gewerbezone, die der Lärmempfindlichkeitsstufe III zugeordnet ist. Im Erdgeschoss betreibt X._ ein Restaurant und im Obergeschoss einen Tanzsaal sowie eine Terrasse. Im Tanzsaal finden rund 200 Personen Platz. Gemäss genereller Überzeitbewilligung vom 19. April 2006 galten für das Restaurant und den Tanzsaal Öffnungszeiten von Montag bis Donnerstag bis 01.30 Uhr sowie Freitag und Samstag bis 02.30 Uhr. X._ ersuchte am 22. Mai 2006 um Gewährung einer Überzeitbewilligung für täglich bis 03.30 Uhr. Der Nachbar A._ erhob hiergegen Einsprache. Mit Verfügung vom 14. November 2007 wurden X._ vom Regierungsstatthalter von Thun, unter Auflagen, folgende generelle Überzeiten bewilligt: Restaurant: Sonntag bis Donnerstag bis 01.30 Uhr Freitag und Samstag bis 02.30 Uhr Terrasse: täglich bis 00.30 Uhr Saal: Sonntag bis Donnerstag bis 02.00 Uhr Freitag und Samstag bis 03.30 Uhr B. A._ focht die Überzeitbewilligung bei der Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion des Kantons Bern (BVE) an. Er beantragte, für den Tanzsaal seien höchstens Öffnungszeiten von Sonntag bis Donnerstag bis 01.30 Uhr sowie freitags und samstags bis 02.30 Uhr festzulegen. Ausserdem sei X._ zu verpflichten, im Tanzsaal eine effiziente Lüftung zu installieren. Die BVE hiess die Beschwerde am 27. Mai 2008 teilweise gut. Sie legte die Öffnungszeiten für den Tanzsaal wie folgt fest: Sonntag bis Donnerstag bis 01.30 Uhr Freitag und Samstag bis 02.30 Uhr Im Übrigen wies die BVE die Beschwerde ab und bestätigte den Entscheid des Regierungsstatthalters. C. Gegen den Entscheid der BVE reichten X._ und Y._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern ein. Sie verlangten eine Ansetzung der Öffnungszeiten für den Tanzsaal gemäss der Verfügung des Regierungsstatthalters. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 26. März 2009 ab. D. Mit Eingabe vom 1. Mai 2009 führen X._ und Y._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragen die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts. Der Entscheid des Regierungsstatthalters sei bezüglich der Überzeitbewilligung für den Tanzsaal zu bestätigen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. A._, die BVE und das Verwaltungsgericht ersuchen um Abweisung der Beschwerde. Die Gemeinde verweist auf eine Stellungnahme im Verfahren vor der BVE, mit der sie sich für eine Bestätigung des Entscheids des Regierungsstatthalters ausgesprochen hatte. 