Faits: A. L._, bénéficiaire de rentes de vieillesse et de survivant, demeurant dans un établissement médico-social depuis le 2 décembre 2008, a requis des prestations complémentaires le 6 janvier 2009. Sur la base des nombreux documents récoltés (avis de taxation; attestations, certificats ou décomptes de rente; avis de crédit; extraits et relevés des comptes bancaires; certificats d'assurance-maladie; factures de loyer; contrat d'hébergement en établissement médico-social; etc.), le Service genevois des prestations complémentaires (ci-après: le service) a accédé à la requête de l'assurée en lui allouant des prestations complémentaires fédérales d'un montant de 193 fr. en décembre 2008 et de 456 fr. pour chaque mois à partir de janvier 2009 (décision du 22 mai 2009). Il avait été tenu compte d'un dessaisissement de fortune de 147'410 fr. pour 2008 et de 137'410 fr. pour 2009. L._ s'est opposée à la décision. Elle contestait s'être indûment dessaisie d'une partie de sa fortune, dont elle mentionnait qu'elle avait aussi connu des variations à la hausse, et soutenait en avoir usé pour l'entretien de sa fille handicapée. L'administration a partiellement admis l'opposition, retenant désormais un montant de 124'730 fr. pour 2008 et de 114'730 fr. pour 2009 à titre de biens dessaisis, ce qui donnait droit à des prestations complémentaires fédérales de 586 fr. pour le mois de décembre 2008 et de 849 fr. à compter du mois de janvier 2009 (décision du 6 août 2009). B. L'assurée a recouru contre la décision sur opposition auprès du Tribunal cantonal genevois des assurances sociales (aujourd'hui, la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève), concluant à l'octroi de prestations calculées indépendamment de tout dessaisissement. Des pièces afférentes à la situation financière de L._ (acte de vente immobilière; etc.) et à la prise en charge par celle-ci des frais médicaux de sa fille (factures de soins dentaires) et le dossier de cette dernière, qui bénéficie de prestations complémentaires à une rente de l'assurance-invalidité, ont été produits durant l'instance. La juridiction cantonale a partiellement admis le recours. Elle a annulé la décision litigieuse, dans la mesure où elle retenait un montant supérieur à 62'511 fr. 15 pour 2008 et à 52'511 fr. 15 pour 2009 au titre de fortune dessaisie, et a renvoyé la cause à l'administration pour qu'elle recalcule le montant des prestations complémentaires dues (jugement du 1er septembre 2010). Elle a substantiellement estimé que le dessaisissement devait se calculer sur la base de la diminution globale de la fortune pendant la période considérée, ce qui avait pour effet de tenir compte des augmentations de fortune survenues pendant la même période, et qu'il était vraisemblable que l'assurée avait assumé l'entretien et les frais médicaux de sa fille, ce qui était en outre un devoir moral. C. Le service interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Il en requiert l'annulation et conclut à la confirmation de la décision litigieuse. L._ conclut - simultanément et contradictoirement - au rejet du recours, dans la mesure où elle sollicite la confirmation de l'acte attaqué, et à l'octroi de prestations calculées indépendamment de tout dessaisissement. Elle demande en outre l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. 