Sachverhalt: A. X._ (Ehemann) und Y._ (Ehefrau; beide geb. 1978) heirateten im Jahr 2006. Sie wurden Eltern eines Sohnes (geb. 2006). Y._ hat zudem eine Tochter (geb. 1997) aus einer früheren Beziehung. Seit April 2008 leben die Ehegatten getrennt. B. B.a Die Folgen des Getrenntlebens mussten insbesondere in Bezug auf die elterliche Obhut und das Besuchsrecht gerichtlich geregelt werden (Eheschutzverfahren): B.b Mit Verfügung vom 24. April 2008 stellte das Kantonsgericht Schaffhausen den Sohn für die Dauer des Getrenntlebens unter die Obhut der Mutter. Sodann nahm es Vormerk von der Vereinbarung der Ehegatten, wonach das Besuchsrecht einvernehmlich geregelt, die Betreuungsaufgaben hälftig geteilt, das Kind die Wochenenden abwechselnd bei der Mutter und beim Vater und die Ferienregelung von Fall zu Fall geregelt werden sollten. Für den Konfliktfall räumte das Kantonsgericht dem Vater ein Besuchs- und Ferienrecht jeweils am ersten und dritten Wochenende jedes Monats und während drei Ferienwochen ein. B.c Mit Verfügung vom 26. November 2008 änderte das Kantonsgericht das Besuchs- und Ferienrecht des Vaters gemäss seiner früheren Verfügung vom 24. April 2008 ab. Es gewährte dem Vater ein Besuchsrecht am ersten und dritten Samstag jeden Monats. Über ein weitergehendes Besuchsrecht sollten sich die Parteien in direkter Absprache einigen. Sodann verpflichtete das Eheschutzgericht den Vater, einen Kinderunterhaltsbeitrag von monatlich Fr. 800.-- zu bezahlen. B.d Am 28. Juli 2009 regelte das Kantonsgericht das Besuchs- und Ferienrecht wiederum wie ursprünglich in der Verfügung vom 24. April 2008 (vgl. Lit. B.b oben). Es reduzierte den vom Vater zu leistenden Kinderunterhaltsbeitrag auf Fr. 250.-- pro Monat und ernannte dem Kind einen Beistand im Sinne von Art. 308 ZGB. B.e Am 25. Februar 2010 ersuchte der Ehemann das Kantonsgericht um Abänderung der Eheschutzmassnahmen. Er verlangte, ihm die elterliche Obhut über seinen Sohn zuzuteilen und das Besuchs- und Ferienrecht neu zu regeln. Die Ehefrau widersetzte sich diesem Gesuch. Mit Schreiben vom 19. März 2010 beauftragte das Eheschutzgericht den Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienst A._ (nachfolgend KJPD), ein Gutachten zu erstellen. Am 1. Oktober 2010 erstattete der KJPD dem Eheschutzgericht sein Gutachten. Nachdem die Ehefrau zwischenzeitlich (vgl. Lit. C unten) das Scheidungsverfahren eingeleitet hatte, schrieb das Kantonsgericht dieses (Eheschutz-)Verfahren mit Verfügung vom 24. November 2010 als gegenstandslos ab und überwies seine Akten dem Scheidungsgericht. C. Am 6. Dezember 2010 (Gesuch um Durchführung des Sühnevorstands vom 18. August 2010) leitete die Ehefrau beim Kantonsgericht Schaffhausen das Scheidungsverfahren ein. Mit vorsorglicher Massnahme vom 17. Januar 2011 beliess das Kantonsgericht die elterliche Obhut über den gemeinsamen Sohn bei der Mutter und hielt im Weiteren fest, die Eheschutzverfügung vom 28. Juli 2009 (Besuchs- und Ferienrecht, Beistandschaft) gelte unverändert. Mit Urteil vom 8. Juli 2011 schied das Kantonsgericht die Ehegatten und regelte die Nebenfolgen der Scheidung. Was die Kinderbelange betrifft, teilte es die elterliche Sorge über den gemeinsamen Sohn der Mutter zu. Es gewährte dem Vater ein Besuchsrecht jeweils am Mittwoch von 10.00 Uhr (bzw. ab Kindergartenende) bis 17.00 Uhr, am ersten und dritten Wochenende jeden Monats (von Freitag, 17.00 Uhr bis Sonntag, 18.00 Uhr) und ein Ferienrecht von vier Wochen pro Jahr und jährlich abwechselnd an Pfingsten und am 25. Dezember beziehungsweise an Ostern und am 26. Dezember. Die Beistandschaft gemäss Art. 308 ZGB erhielt das Kantonsgericht aufrecht und es verpflichtete den Vater zur Zahlung eines Kinderunterhaltsbeitrags von Fr. 800.-- pro Monat. D. Gegen dieses Urteil des Kantonsgerichts erhob X._ am 13. September 2011 soweit die Zuteilung der elterlichen Sorge (und damit zusammenhängend das Besuchs- und Ferienrecht sowie die Kinderunterhaltspflicht) betreffend Berufung an das Obergericht des Kantons Schaffhausen. Er verlangte, die elterliche Sorge für den gemeinsamen Sohn sei ihm zuzuteilen, Y._ ein Besuchs- und Ferienrecht einzuräumen (im Umfang, wie es das Kantonsgericht ihm gewährt hatte, vgl. Lit. C oben) und sie zu verpflichten, einen Kinderunterhaltsbeitrag von Fr. 800.-- pro Monat zu leisten. Mit Eingabe vom 1. September 2012 beantragte er zusätzlich, dem Vater von Y._ ein Kontaktverbot zu seinem Sohn aufzuerlegen. Mit Entscheid vom 2. November 2012 wies das Obergericht sowohl die Berufung (Ziff. 1 des Dispositivs) als auch den Antrag auf ein Kontaktverbot (Ziff. 2 des Dispositivs) ab. Es auferlegte X._ die Kosten des Berufungsverfahrens von Fr. 2'500.--, befreite ihn jedoch aufgrund der gewährten unentgeltlichen Rechtspflege vorläufig von der Zahlung dieser Kosten (Ziff. 3 des Dispositivs). Sodann bestimmte es die von ihm zu leistende Parteientschädigung und die Honorare der beiden unentgeltlichen Rechtsvertreter (Ziff. 4 - 6 des Dispositivs). E. Dem Bundesgericht beantragt X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) in seiner Beschwerde in Zivilsachen vom 7. Dezember 2012, die Ziff. 1, 2 und 3 des obergerichtlichen Entscheids vom 2. November 2012 seien aufzuheben und es sei die Sache zu neuer Beurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Eventualiter sei ihm die alleinige elterliche Sorge über den gemeinsamen Sohn zuzuteilen und Y._ (nachfolgend Beschwerdegegnerin) zu einem angemessenen Kinderunterhaltsbeitrag zu verpflichten. Zudem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Das Bundesgericht hat die Vorakten, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt. 