Sachverhalt: A. A.a Am 20. Februar 2007 leitete die Bank Z._ gegen X._ die Betreibung auf Grundpfandverwertung ein. In der Folge wurde der Bank die provisorische Rechtsöffnung für den geforderten Betrag erteilt. Die daraufhin erhobene Aberkennungsklage des Schuldners wurde am 30. September 2009 abgewiesen. Das Betreibungsamt A._ setzte die Versteigerung der Liegenschaft auf den 1. September 2010 an. A.b Mit negativer Feststellungsklage vom 23. Juni 2010 verlangte X._ beim Bezirksgericht Aarau u.a. die vorläufige Einstellung der Betreibung. Er machte geltend, sich mit der Bank im Rahmen eines novierenden Vergleichs auf die Zahlung von Fr. 150'000.-- geeinigt zu haben. Zudem stellte er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. A.c Mit Verfügung vom 28. Juni 2010 wies der Gerichtspräsident das Gesuch ab, da das gestellte Begehren aussichtslos sei. Er setzte dem Kläger eine Frist von 20 Tagen ab Rechtskraft der Verfügung zur Leistung des Kostenvorschusses an. Das Obergericht des Kantons Aargau wies die gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege erhobene Beschwerde am 16. August 2010 ab. Der daraufhin beim Bundesgericht erhobenen Beschwerde in Zivilsachen war ebenfalls kein Erfolg beschieden (Urteil 5A_684/2010 vom 20. Oktober 2010). A.d Der Gerichtspräsident setzte X._ persönlich am 8. November 2010 eine letzte Frist von 10 Tagen zur Leistung des Kostenvorschusses an, unter Hinweis auf die Säumnisfolgen. Dessen Rechtsvertreter ersuchte daraufhin am 22. November 2010 um Erstreckung der Frist bis Ende Dezember 2010. Mit Verfügung vom 24. November 2010 wurde ihm die Frist bis am 15. Dezember 2010 erstreckt, ebenfalls unter Hinweis auf die Säumnisfolgen. Am 2. Dezember 2010 stellte X._ beim Bezirksgericht erneut ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege, welches der Gerichtspräsident am 6. Dezember 2010 abwies. Das Obergericht wies die dagegen erhobene Beschwerde am 6. Januar 2011 und das Bundesgericht am 14. März 2011 erneut ab (Urteil 5A_123/2011 vom 14. März 2011). B. Am 19. Januar 2011 trat das Bezirksgericht auf die negative Feststellungsklage von X._ vom 23. Juni 2010 mangels Leistung des Kostenvorschusses nicht ein. Gegen dieses Urteil erhob der Kläger Berufung an das Obergericht. Sein gleichzeitig eingereichtes Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wies der Instruktionsrichter mit Verfügung vom 1. Juni 2011 ab. Zudem setzte er ihm eine Frist zur Leistung des Kostenvorschusses von 20 Tagen an, welche er auf Ersuchen schliesslich bis zum 16. Juli 2011 erstreckte. C. X._ ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 6. Juli 2011 an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung der obergerichtlichen Verfügung vom 1. Juni 2011 und die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz. Eventualiter schliesst er auf Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege für das kantonale Verfahren. Zudem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Mit Verfügung vom 13. Juli 2011 erteilte die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. 