Fatti: A. Il 17 giugno 2013 il Giudice per le indagini preliminari presso il Tribunale di Brescia ha emanato un'ordinanza di custodia cautelare in carcere nei confronti di A._, per reati in materia di stupefacenti. Con segnalazione del 3 ottobre 2013 ne è stato chiesto l'arresto provvisorio in vista di estradizione. Il giorno seguente l'Ufficio federale di giustizia (UFG) ha emesso un'ordinanza di arresto provvisorio, trasmessa al Ministero pubblico del Cantone Ticino. Il 5 ottobre 2013 l'estradando è stato fermato: interrogato, egli si è opposto all'estradizione in via semplificata. L'8 ottobre 2013 l'UFG ha spiccato un ordine di arresto ai fini di estradizione. Con sentenza del 6 novembre 2013, la Corte dei reclami penali del Tribunale penale federale (TPF) ha respinto un ricorso presentato contro tale ordine. B. Dopo aver ottenuto una proroga, il 28 ottobre 2013 il Ministero della giustizia italiano ha trasmesso all'UFG la domanda formale di estradizione. A._ ha ribadito la propria opposizione all'estradizione semplificata, adducendo di essere estraneo ai fatti imputatigli e chiedendo che le autorità italiane garantissero formalmente condizioni di detenzione rispettose dell'art. 3 CEDU. Con decisione del 24 dicembre 2013, l'UFG ha concesso l'estradizione dell'arrestato, negandogli il beneficio dell'assistenza giudiziaria. C. Adito dall'interessato, con giudizio del 21 marzo 2014 il TPF, richiamando la sentenza della Corte europea dei diritti dell'uomo nella causa Torreggiani e altri contro Italia dell'8 gennaio 2013, relativa al sovraffollamento delle carceri italiane in cui è stata ritenuta una violazione dell'art. 3 CEDU, ne ha parzialmente accolto il ricorso. Ha quindi completato il dispositivo della decisione dell'UFG condizionando l'esecuzione dell'estradizione alla seguente garanzia formale, che dovrà essere fornita dal Ministero della Giustizia italiano: " In caso di accoglimento della domanda di estradizione, verranno assicurate all'estradando condizioni detentive nel pieno rispetto delle disposizioni dell'art. 3 CEDU " (dispositivo n. 1), invitando l'UFG, dopo la crescita in giudicato della sentenza, a fissare alle autorità italiane un termine massimo di 30 giorni per l'inoltro della citata garanzia (dispositivo n. 2). Per il resto il ricorso è stato respinto, come pure la richiesta di assistenza giudiziaria. Le ripetibili di fr. 1'500 sono state poste a carico dell'UFG (dispositivo n. 5). D. Avverso questa decisione l'UFG presenta un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale. Chiede di annullare i dispositivi n. 1, 2 e 5 della decisione impugnata e di ordinare l'estradizione immediata del ricercato. A._ propone di respingere il ricorso, sostenendo che non si sarebbe in presenza di un caso particolarmente importante ai sensi dell'art. 84 LTF. Il ricorrente rinuncia a duplicare, riconfermandosi nelle proprie conclusioni. 