Faits: A. C._ était l'un des deux associés gérants, avec une part sociale de 10'000 fr., de la société X._ Sàrl, depuis sa fondation le 20 avril 2005. Cette société avait pour but l'exploitation d'établissements publics ainsi que toutes les activités et prestations dans le domaine de la restauration et des loisirs. Dès le 1er novembre 2005, il a été employé de cette société en qualité de gérant. Le 21 janvier 2008, il a vendu sa part sociale avec effet au 31 mars 2008. Le contrat de vente prévoyait que les acheteurs mettraient fin aux rapports de travail au plus tard pour le 31 mars 2008. Dans l'intervalle, le 14 février 2008, en tant que représentant de la société Y._ Sàrl en formation, C._ a signé un contrat de bail à loyer portant sur des locaux commerciaux destinés à l'exploitation d'un bar-discothèque. Il était prévu que le bail commencerait le 1er mai 2008 pour se terminer le 31 mars 2018 et que le locataire fournirait des sûretés constituées par une garantie de trois mois de loyer, payable en trois acomptes de 10'000 fr., échelonnés entre le 31 mai 2008 et le 31 décembre 2008. Les parties au contrat de bail à loyer ont, à la même date, également signé une convention par laquelle elles subordonnaient les effets dudit contrat aux conditions cumulatives que la demande d'autorisation d'exploitation de type discothèque soit déposée auprès des autorités compétentes au plus tard le 17 mars 2008 et que la patente pour l'exploitation d'un tel établissement public soit effectivement délivrée par le service du commerce et des patentes. Peu avant l'échéance de son contrat de travail (31 mars 2008), C._ s'est inscrit à l'assurance-chômage auprès de sa commune de domicile et a requis l'indemnité de chômage à partir du 1er avril 2008. Le 22 juillet 2008, la société Y._ Sàrl a été inscrite au registre du commerce. C._ y figure depuis la même date, en tant qu'associé gérant, avec 200 parts sociales de 100 francs et signature individuelle (publication dans la FOSC le 28 juillet 2008). La caisse de chômage Unia a invité la direction juridique du service de l'emploi (ci-après: DJSE) à statuer sur l'aptitude au placement de l'intéressé. Par décision du 20 octobre 2008, confirmée sur opposition le 21 janvier 2009, la DJSE a nié l'aptitude au placement de l'assuré à partir du 1er avril 2008. Entre-temps, le 29 octobre 2008, C._ a reçu les autorisations nécessaires pour exploiter l'établissement public et commencé à payer le loyer du contrat de bail du 14 février 2008. B. C._ a interjeté recours contre cette décision devant le Tribunal administratif (Cour des assurances sociales) de la République et canton de Neuchâtel en demandant qu'il soit déclaré apte au placement du 1er avril au 28 octobre 2008. Par jugement du 5 janvier 2010, la juridiction cantonale a rejeté le recours. C. C._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation, en concluant, à titre principal, à ce que soit reconnue son aptitude au placement du 1er avril au 28 octobre 2008. A titre subsidiaire, il conclut au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement au sens des considérants. En outre, il expose que la société Y._ Sàrl a été déclarée en faillite en janvier 2010 et demande que son aptitude au placement soit réexaminée à compter de cette date. Le Département de l'économie du canton de Neuchâtel (office juridique de surveillance) expose qu'il n'a pas d'observations à formuler et conclut au rejet du recours. Le Secrétariat d'Etat à l'économie a renoncé à se déterminer. 