Sachverhalt: A. A.a Mit Präliminarurteil des Gerichtspräsidiums Aarau vom 17. März 2003 wurde X._ verpflichtet, Y._ monatlich vorschüssig an den Unterhalt der beiden gemeinsamen Kinder je Fr. 750.-- und an ihren persönlichen Unterhalt Fr. 1'500.-- zu bezahlen. Die gegen dieses Urteil erhobene Beschwerde von X._ wies das Obergericht des Kantons Aargau mit Urteil vom 8. März 2004 ab. A.b Mit Eingabe vom 29. September 2004 beantragte X._ (Kläger) dem Gerichtspräsidium Aarau, ihn in Abänderung des Urteils des Gerichtspräsidiums Aarau vom 17. März 2003 zu verpflichten, Y._ (Beklagte) ab September 2004 monatlich und vorschüssig an den Unterhalt der beiden Kinder je Fr. 562.-- plus allfällige Kinderzulagen und an denjenigen der Beklagten Fr. 126.-- zu entrichten, wobei die Verrechnung mit bereits geleisteten Zahlungen zuzulassen sei. Mit Urteil vom 26. Mai 2005 wies das Gerichtspräsidium I Aarau die Klage ab (Ziff. 1). B. Die vom Kläger dagegen erhobene Beschwerde hiess das Obergericht des Kantons Aargau mit Urteil vom 25. September 2006 teilweise gut; es hob Ziffer 1 des Urteils des Gerichtspräsidiums I vom 26. Mai 2005 auf und verhielt den Kläger dazu, der Beklagten monatlich und vorschüssig an den Unterhalt der Kinder je Fr. 600.-- zuzüglich allfälliger Kinderzulagen und an deren persönlichen Unterhalt Fr. 981.-- zu bezahlen, wobei bereits geleistete Beträge angerechnet werden können. C. Der Kläger führt staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung von Art. 9 BV mit dem Antrag, das Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 25. September 2006 aufzuheben. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. 