Sachverhalt: Sachverhalt: A. In den Jahren 1998 und 1999 wurde in der Tageschirurgie des Bethesda-Spitals Basel (nachfolgend: Spital) eine Anzahl von Patientinnen behandelt, die bei der Assura Kranken- und Unfallversicherung (nachfolgend: Assura) neben der obligatorischen Krankenpflegeversicherung auch eine Spitalzusatzversicherung für die halbprivate oder private Abteilung abgeschlossen hatten. Sie wurden nach einer Operation in ein der jeweils abgeschlossenen Zusatzversicherung entsprechendes Spitalzimmer verbracht und am gleichen Tag entlassen. Zwischen Spital und Versicherer entstand Streit darüber, ob das Spital in diesen Fällen für teilstationär erbrachte Leistungen mehr in Rechnung stellen durfte, als laut Tarif für die obligatorische Krankenpflegeversicherung vorgesehen. A. In den Jahren 1998 und 1999 wurde in der Tageschirurgie des Bethesda-Spitals Basel (nachfolgend: Spital) eine Anzahl von Patientinnen behandelt, die bei der Assura Kranken- und Unfallversicherung (nachfolgend: Assura) neben der obligatorischen Krankenpflegeversicherung auch eine Spitalzusatzversicherung für die halbprivate oder private Abteilung abgeschlossen hatten. Sie wurden nach einer Operation in ein der jeweils abgeschlossenen Zusatzversicherung entsprechendes Spitalzimmer verbracht und am gleichen Tag entlassen. Zwischen Spital und Versicherer entstand Streit darüber, ob das Spital in diesen Fällen für teilstationär erbrachte Leistungen mehr in Rechnung stellen durfte, als laut Tarif für die obligatorische Krankenpflegeversicherung vorgesehen. B. Nachdem das Spital es ablehnte, die gestellten Rechnungen auf die geforderte Höhe zu reduzieren, reichte die Assura am 28. Juni 2000 beim basel-städtischen Krankenkassenschiedsgericht (heute: Schiedsgericht in Sozialversicherungssachen Basel-Stadt) Klage gegen das Spital ein. Mit verbesserter Klagebegründung vom 4. April 2001 stellte sie nebst anderem das Begehren, das Spital sei zu verurteilen, die Honorarforderungen so auszustellen, dass sie über die obligatorische Krankenpflegeversicherung abgerechnet werden können. Mit Entscheid vom 29. Oktober 2002 wies das Schiedsgericht die Klage ab und verpflichtete die Assura, dem Spital eine Parteientschädigung von Fr. 7600.- zuzüglich Mehrwertsteuer von Fr. 577.60 zu bezahlen. Zudem wurden ihr die Verfahrenskosten mit einer Gerichtsgebühr von Fr. 3000.- zuzüglich Auslagen von Fr. 1000.- auferlegt. B. Nachdem das Spital es ablehnte, die gestellten Rechnungen auf die geforderte Höhe zu reduzieren, reichte die Assura am 28. Juni 2000 beim basel-städtischen Krankenkassenschiedsgericht (heute: Schiedsgericht in Sozialversicherungssachen Basel-Stadt) Klage gegen das Spital ein. Mit verbesserter Klagebegründung vom 4. April 2001 stellte sie nebst anderem das Begehren, das Spital sei zu verurteilen, die Honorarforderungen so auszustellen, dass sie über die obligatorische Krankenpflegeversicherung abgerechnet werden können. Mit Entscheid vom 29. Oktober 2002 wies das Schiedsgericht die Klage ab und verpflichtete die Assura, dem Spital eine Parteientschädigung von Fr. 7600.- zuzüglich Mehrwertsteuer von Fr. 577.60 zu bezahlen. Zudem wurden ihr die Verfahrenskosten mit einer Gerichtsgebühr von Fr. 3000.- zuzüglich Auslagen von Fr. 1000.- auferlegt. C. Die Assura führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Begehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und das Spital unter Neuverlegung der Kosten des Schiedsgerichtsverfahrens zu verurteilen, die Honorarforderungen in den eingeklagten Fällen so auszustellen, dass ausschliesslich über die obligatorische Krankenpflegeversicherung abgerechnet werden könne; eventualiter sei die dem Spital zugesprochene Parteientschädigung angemessen zu reduzieren; zudem sei das Verfahren K 141/02 mit dem hängigen Verwaltungsgerichtsbeschwerdeverfahren K 140/02 in Sachen Assura gegen Merian Iselin-Spital betreffend Entscheid des Schiedsgerichts in Sozialversicherungssachen Basel-Stadt vom 29. Oktober 2002 zu vereinigen; unter Kosten- und Entschädigungsfolge. Vorinstanz und Spital schliessen auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherung, Kranken- und Unfallversicherung (seit 1. Januar 2004 im Bundesamt für Gesundheit; nachfolgend: Bundesamt), verzichtet auf einen Antrag, hält jedoch fest, dass die medizinischen Leistungen grundsätzlich durch die obligatorische Krankenpflegeversicherung gedeckt seien, wogegen für den speziellen Aufenthalt (Hotellerie, z.B. im Privatzimmer) Zusatzversicherungen aufkommen müssten. Sodann sei zu prüfen, ob effektive Mehrleistungen bei halbprivat/privat Versicherten erfolgt seien. Diese dürften nicht zulasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung abgerechnet werden, sondern seien im Rahmen der Zusatzversicherung nach den getroffenen Vereinbarungen zu entschädigen. 