Sachverhalt: A. Der serbische Staatsangehörige X._, geb. 1969, heiratete im Jahr 2006 in seiner Heimat die Schweizer Bürgerin Y._, geb. 1952. Am 8. Oktober 2006 reiste er in die Schweiz ein, wo ihm im Rahmen des Familiennachzugs die Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde. Am 17. März 2008 ersuchte er um Familiennachzug für seine aus einer ausserehelichen Beziehung stammende, ebenfalls über die serbische Staatsangehörigkeit verfügende Tochter Z._, geb. 1995, zwecks "Ausbildung/Schule". Im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung bestand der Verdacht, dass die Eheleute X._ und Y._ eine Scheinehe geschlossen haben könnten. Ein Verfahren betreffend Widerruf bzw. Nichterneuerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ wurde indessen in der Folge eingestellt. Am 20. April 2009 hiess das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen eine Rechtsverweigerungsbeschwerde von X._ betreffend das Gesuch um Nachzug seiner Tochter gut, soweit es darauf eintrat, und lud das kantonale Ausländeramt (heute: Migrationsamt des Kantons St. Gallen) ein, über das Gesuch zu befinden. B. Am 6. Juli 2009 wies das Ausländeramt das Gesuch ab mit der Begründung, es fehle X._ am elterlichen Sorgerecht; zudem habe Z._ ihr bisheriges Leben in der Heimat verbracht und unterhalte zu ihrer Mutter, mit welcher der Gesuchsteller nie verheiratet war, eine engere Beziehung als zum Vater. Dagegen rekurrierte X._ an das kantonale Sicherheits- und Justizdepartement, wobei er unter anderem auf ein serbisches Zivilgerichtsurteil vom 31. Juli 2009 Bezug nahm, wonach die elterliche Sorge an den Vater zugewiesen worden sei. Die Kindsmutter habe zudem der Übersiedlung der Tochter zum Vater zugestimmt. Erstere habe aus gesundheitlichen Gründen die Fähigkeit verloren, ihre Tochter zu erziehen, und die Beziehung zwischen dieser und ihr habe in den letzten zwei Jahren stark gelitten. Auch habe sich die Ehefrau von X._ bereit erklärt, Z._ bei sich aufzunehmen. Mit Entscheid vom 19. Oktober 2009 wies das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen den Rekurs ab. C. Mit Urteil vom 15. April 2010 wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen die von X._ hiegegen erhobene Beschwerde ab. D. Mit Eingabe vom 25. Mai 2010 erhebt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und das Ausländeramt des Kantons St. Gallen anzuweisen, Z._ eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Das Sicherheits- und Justizdepartement und das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen wie auch das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde. 