Sachverhalt: Sachverhalt: A. Die 1953 geborene P._ erlitt am 23. Januar 1999 als Beifahrerin eines Personenwagens einen Unfall. In der Folge klagte sie über Schmerzen im Bereich der Hals- und Brustwirbelsäule. Im Juni 1999 nahm P._ versuchsweise die angestammte Tätigkeit als Servicefachangestellte im Restaurant A._ im zeitlichen Umfang von 4 1⁄2 Stunden pro Tag wieder auf. Das Vorhaben scheiterte nach wenigen Tagen. Vom 15. Juni bis 6. Juli 1999 wurde P._ zwecks Abklärung und Therapie eines zur Chronifizierung neigenden panvertebrogenen Schmerzsyndroms mit depressiver Verstimmung im Spital C._ stationär behandelt. Auf Vorschlag des Vertrauensarztes ihres Unfallversicherers hielt sie sich sodann vom 2. bis 23. Oktober 2000 im Rehabilitationszentrum L._ auf. Dort wurde sie vom Neurologen und Psychiater Dr. med. K._, Leitender Arzt der Fachklinik für Neurologische Rehabilitation, untersucht und begutachtet (Expertise vom 31. Oktober 2000). Anfang September 2000 hatte sich P._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet. Die IV-Stelle Bern klärte die gesundheitlichen und erwerblichen Verhältnisse ab. Unter anderem nahm sie Einsicht in die UV-Akten. Des Weitern liess sie die Versicherte von Frau Dr. med. E._ und Dr. med. H._ neurochirurgisch und psychiatrisch begutachten (Expertisen vom 21. und 27. November 2001). Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte die IV-Stelle mit Verfügung vom 3. April 2002 den Anspruch auf eine Invalidenrente. Anfang September 2000 hatte sich P._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet. Die IV-Stelle Bern klärte die gesundheitlichen und erwerblichen Verhältnisse ab. Unter anderem nahm sie Einsicht in die UV-Akten. Des Weitern liess sie die Versicherte von Frau Dr. med. E._ und Dr. med. H._ neurochirurgisch und psychiatrisch begutachten (Expertisen vom 21. und 27. November 2001). Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte die IV-Stelle mit Verfügung vom 3. April 2002 den Anspruch auf eine Invalidenrente. B. P._ liess beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern Beschwerde einreichen und zur Hauptsache beantragen, die Verfügung vom 3. April 2002 sei aufzuheben und es sei ihr ab 23. Januar 1999 eine ganze Invalidenrente zuzusprechen. Die IV-Stelle schloss in der Vernehmlassung auf Abweisung der Beschwerde. Mit Replik reichte der Rechtsvertreter von P._ ein weiteres privat in Auftrag gegebenes Gutachten des Dr. med. K._ vom 21. Oktober 2002 ein. In der Duplik hielt die Verwaltung an ihrem Standpunkt fest. Mit Entscheid vom 19. August 2003 hiess das bernische Verwaltungsgericht die Beschwerde gut. Es hob die Verfügung vom 3. April 2002 auf und sprach P._ ab 1. Januar 2000 eine ganze Invalidenrente zu. Mit Entscheid vom 19. August 2003 hiess das bernische Verwaltungsgericht die Beschwerde gut. Es hob die Verfügung vom 3. April 2002 auf und sprach P._ ab 1. Januar 2000 eine ganze Invalidenrente zu. C. Die IV-Stelle Bern führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem hauptsächlichen Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben. P._ lässt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragen. Das Bundesamt für Sozialversicherung reicht keine Vernehmlassung ein. P._ lässt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragen. Das Bundesamt für Sozialversicherung reicht keine Vernehmlassung ein. D. In zwei weiteren Eingaben hat sich die IV-Stelle zur Sache geäussert. 