Sachverhalt: A. Die 1928 geborene G._ ist bei der Helsana Versicherungen AG (nachfolgend: Helsana) obligatorisch krankenversichert. Sie bezieht Hauspflegeleistungen der Spitex. Im Mai 2010 ersuchte die Spitex die Helsana um Bewilligung von Pflegeleistungen von 250 Stunden pro Quartal für die Zeit vom 3. Mai bis 2. November 2010. Die Helsana teilte der Versicherten mit, es sei ein Pflegebedarf gemäss BESA-Stufe 3 ausgewiesen; für die Zeit vom 1. Mai bis 31. Juli 2010 könne maximal der Betrag von Fr. 2'421.- pro Monat (Fr. 52.05 x 31 Tage x 1.5) an die Pflegekosten angerechnet werden und ab 1. August 2010 werde maximal der Betrag von Fr. 1'614.- pro Monat (Fr. 52.05 x 31 Tage) vergütet (Schreiben vom 31. Mai 2010). Nachdem die Tochter der Versicherten interveniert hatte, erhöhte die Helsana die Einstufung auf RAI Stufe 4. Sie setzte die Vergütung für die Zeit vom 1. Mai bis 31. Juli 2010 im Sinne einer Übergangslösung auf Fr. 3'228.- pro Monat (Fr. 69.40 x 31 x 1.5) und für die Zeit ab 1. August 2010, entsprechend dem Pflegeheimtarif, auf Fr. 2'152.- pro Monat (Fr. 69.40 x 31) fest. Am 19. Oktober 2010 erliess sie eine entsprechende Verfügung. Die dagegen erhobene Einsprache wies die Helsana ab (Einspracheentscheid vom 14. März 2011). Es folgten weitere Gesuche um Kostengutsprache für Spitexleistungen (Bedarfsmeldungen für die Zeit vom 3. November 2010 bis 2. Mai 2011 und vom 1. Januar bis 31. Juli 2011). B. Beschwerdeweise beantragte G._, der Einspracheentscheid sei aufzuheben und die Helsana zu verpflichten, die Kosten für die von der Spitex erbrachten Leistungen gemäss den eingereichten Bedarfsmeldungen zu übernehmen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern hiess die Beschwerde teilweise gut. Es hob die Verfügung und den Einspracheentscheid insoweit auf, als der Versicherten bis Ende September 2010 die volle Übernahme der Spitex-Kosten verweigert worden sei. Die Versicherte habe bis Ende September 2010 Anspruch auf Vergütung der in Rechnung gestellten Spitex-Kosten. Soweit darüber hinausgehend, wies es die Beschwerde ab (Dispositiv-Ziffer 1). Es wurden keine Gerichtskosten erhoben (Dispositiv-Ziffer 2). Der Versicherten wurde eine Parteientschädigung in der Höhe von Fr. 978.75 (einschliesslich Auslagen und Mehrwertsteuer) zugesprochen (Dispositiv-Ziffer 3; Entscheid vom 21. September 2011). C. Die Helsana erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei soweit aufzuheben, als er sie in Abweichung von der Verfügung vom 19. Oktober 2010 (bestätigt mit Einspracheentscheid vom 14. März 2011) über den 1. Mai 2010 hinaus zur Übernahme der vollen Spitex-Kosten bis Ende September 2010 verpflichte. Dispositiv-Ziffer 3 des kantonalen Entscheides sei aufzuheben. Die Versicherte lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Stellungnahme. 