A.- Der 1939 geborene I._, welcher bereits im Jahre 1988 in eine Auffahrkollision verwickelt war, arbeitete in der Firma H._ AG, als er sich am 11. Juli 1990 bei einem Sturz von einem Baugerüst eine Rückenverletzung mit Deckplattenimpressionsfraktur Th12 und L1 zuzog. Nach einem vom 14. bis 17. Juli 1990 dauernden stationären Aufenthalt im Spital Z._ war er bis zum Ablauf seiner Saisonnierbewilligung am 5. Dezember 1990 und der dadurch bedingten Ausreise in sein Heimatland vollständig arbeitsunfähig. Nach seiner Rückkehr in die Schweiz arbeitete I._ ab 1. April 1991 - nunmehr mit einer Jahresaufenthaltsbewilligung - in der Firma S._. Am 25. Juni 1991 wurde er während der Arbeit von einer Kurbel am rechten Ellenbogen verletzt. Nach einer deswegen am 2. August 1991 durchgeführten Bursektomie konnte die frühere Arbeit am 10. September 1991 wieder zu 50 % aufgenommen werden. Ab 1. Oktober 1991 war I._ für die Firma L._ AG tätig. Hier kam es am 18. Juni 1992 erneut zu einer Verletzung des rechten Ellenbogens, welche eine im Spital Y._ ambulant vorgenommene Punktierung eines Blutergusses erforderlich machte. Wegen anhaltender Beschwerden namentlich im rechten Ellenbogen und im Rücken nahm I._ seine Arbeit in der Folge nicht wieder auf. Die Firma L._ AG kündigte ihm schliesslich angesichts der langanhaltenden Arbeitsunfähigkeit auf Ende Juli 1993. Seither geht I._ keiner Erwerbstätigkeit mehr nach. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA), welche jeweils für Heilungskosten aufgekommen war und Taggelder ausgerichtet hatte, stellte ihre Leistungen mangels adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen den weiterhin bestehenden Beschwerden und den erlittenen Unfällen mit Verfügung vom 24. November 1993 per 28. November 1993 ein. Daran hielt sie mit unangefochten gebliebenem Einspracheentscheid vom 22. April 1994 fest. Die Invalidenversicherung anerkannte demgegenüber eine Erwerbsunfähigkeit von 54 % und sprach dem Versicherten mit Verfügung vom 8. Oktober 1996 rückwirkend ab 1. Juni 1993 eine halbe Invalidenrente mit Zusatzrente für die Ehefrau zu. Während des Arbeitsverhältnisses in der Firma S._ war I._ bei der damaligen Winterthur-Stiftung für die obligatorische berufliche Vorsorge (heute: Winterthur-Columna Stiftung für die berufliche Vorsorge; nachfolgend: Winterthur-Columna) berufsvorsorgeversichert. Bei der Firma L._ AG fiel die Durchführung der beruflichen Vorsorge in die Zuständigkeit der Berna, Schweizerische Personalfürsorge- und Hinterbliebenen-Stiftung (nachfolgend: Berna). Auf Anfrage des vom Versicherten beigezogenen Anwalts hin verneinten sowohl die Berna als auch die Winterthur-Columna ihre Leistungspflicht. B.- Am 1. September 1999 liess I._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern eine gegen die Winterthur-Columna wie auch - alternativ - gegen die Berna gerichtete Klage einreichen und die Zusprechung von Invalidenleistungen beantragen. Das kantonale Gericht gelangte zum Schluss, die schliesslich in die Invalidität mündende Arbeitsunfähigkeit habe ohne wesentlichen Unterbruch schon vor Beginn der Versicherungsverhältnisse bei den beklagten Vorsorgeeinrichtungen bestanden, weshalb diese keine Leistungspflicht treffe. Dementsprechend wies es die Klage mit Entscheid vom 2. August 2000 ab. C.- In der darauf erhobenen Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt I._ das Begehren um Aufhebung des kantonalen Entscheids und Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur neuen Beurteilung und Festlegung der ihm zustehenden Leistungen stellen. Die Winterthur-Columna und die Berna schliessen je auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherung verzichtet auf eine Stellungnahme. 