Sachverhalt: A. B._ meldete sich mit einem vom 26. März 2005 datierten Schreiben (Eingang: 25. April 2005) bei der Familienausgleichskasse des Kantons Luzern zum Bezug von Ausbildungszulagen für ihre Tochter N._ (ab Januar 2005) an. Mit Verfügung vom 9. September 2005 bejahte die Familienausgleichskasse einen Anspruch mit Wirkung ab 1. Juli 2005, verneinte ihn jedoch für den Zeitraum vom 1. Januar bis 30. Juni 2005. Zur Begründung wurde erklärt, es habe sich herausgestellt, dass der Vater von N._ für seine Tochter bis Ende Juni 2005 eine volle Zulage bezogen habe. An dieser Beurteilung hielt die Familienausgleichskasse mit Einspracheentscheid vom 19. Januar 2006 fest. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern ab (Entscheid vom 10. Juli 2007). C. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der kantonale Entscheid aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventuell sei festzustellen, dass die Beschwerdeführerin berechtigt gewesen sei, für die Tochter N._ in der Zeit vom 1. Januar bis 30. Juni 2005 volle Ausbildungszulagen zu beziehen. Ferner wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Vorinstanz und Familienausgleichskasse schliessen auf Abweisung der Beschwerde. 