Sachverhalt: A. A.a. Die A._ AG mit Sitz in Köniz (BE) bezweckt den Betrieb eines Logistikunternehmens, namentlich im Bereich der Luftfahrt, sowie die Erbringung aller damit zusammenhängenden Dienstleistungen. Die Gesellschaft wurde per 20. September 2007 ins Register der Mehrwertsteuerpflichtigen eingetragen. Alleinaktionär war X._ mit Wohnsitz in Freienbach (SZ). Er hielt zudem eine Beteiligung von 54.9 % (Stand per 31. Dezember 2011) an der B.a._ Holding AG (am 20. April 2012 umfirmiert in B.b._ Holding AG) mit Sitz in Rorschacherberg (SG), deren aktiver Verwaltungsratspräsident er war. Die B.a._ Holding AG hielt sämtliche Aktien der B.a._ AG (am 6. März 2012 umfirmiert in B.b._ AG) mit Sitz in Rorschacherberg. A.b. Anlässlich einer Kontrolle im Juni 2009 bei der A._ AG betreffend die Steuerperioden vom 3. Quartal 2007 bis zum 1. Quartal 2009 stellte die Eidgenössische Steuerverwaltung (ESTV) fest, das Hauptaktivum in der Bilanz der A._ AG, ein Flugzeug mit dem Kennzeichen xxxx, sei mittels eines zinslosen Darlehens von X._ erworben und anschliessend der C._ AG ins Aircraft-Management übergeben worden. Die C._ AG habe Flugleistungen für die A._ AG sowie für von dieser und X._ unabhängige Dritte erbracht. Für die Flüge von Drittkunden habe die C._ AG sämtliche operationellen Kosten getragen und der A._ AG eine nach Flugminuten ausgewiesene Mietentschädigung bezahlt; für ihre eigenen Flüge seien der A._ AG die Aufwendungen der C._ AG sowie angefallene Drittkosten (weiter-) verrechnet worden. Da das Flugzeug auch für nahestehende Personen ohne steuerbaren Zweck genutzt geworden sei, habe auf dem Umfang der entsprechenden Aufwendungen kein Anspruch auf Vorsteuerabzug bestanden. Infolge eines Nachlassverfahrens über die C._ AG habe die A._ AG den Aircraft-Management-Vertrag am 18. Dezember 2008 aufgelöst und das Flugzeug von der C._ AG abgezogen. Ab diesem Zeitpunkt habe die A._ AG keine steuerbaren Leistungen mehr getätigt, weshalb sie per 31. März 2009 aus dem Mehrwertsteuerregister zu löschen sei. A.c. Mit Verfügung vom 31. Mai 2012 auferlegte die ESTV der A._ AG für die Steuerperioden vom 3. Quartal 2007 bis zum 1. Quartal 2009 (Zeitraum vom 20. September 2007 bis zum 31. März 2009) Mehrwertsteuern im Betrag von Fr. 407'535.-- zuzüglich die gesetzlichen Verzugszinsen seit dem 31. August 2008 (wobei die bereits geleisteten Zahlungen in der Höhe von gesamthaft Fr. 432'599.-- anzurechnen seien). Zudem stellte die ESTV fest, dass die A._ AG zu Recht mit Wirkung per 31. März 2009 aus dem Register der Mehrwertsteuerpflichtigen gestrichen worden sei. Zur Begründung führte die ESTV im Wesentlichen an, der "Nachweis der geschäftlichen Verwendung" der Eigentümerflüge sei nicht erbracht. Es fehle deshalb gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung an einem Leistungsaustausch zwischen der A._ AG und X._, für den das Flugzeug verwendet worden sei. Dasselbe gelte für die Flüge, welche durch die B.a._ AG bezogen worden seien. Da diese eine hundertprozentige Tochtergesellschaft der B.a._ Holding AG sei, an welcher wiederum X._ eine Kapitalbeteiligung von rund 55 % halte, handle es sich bei der B.a._ AG um eine X._ nahestehende Person. Wie bei den Eigentümerflügen sei auch hier gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung nachzuweisen, dass die Flüge für einen geschäftsmässigen Zweck verwendet worden seien. Diesen Nachweis vermöge die A._ AG mangels vollständiger Passagierlisten, welche den Grund für den jeweiligen Flug angäben, nicht zu erbringen. B. Gegen die Verfügung der ESTV vom 31. Mai 2012 erhob die A._ AG Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht. Dieses hiess die Beschwerde mit Urteil vom 8. April 2013 gut, hob die Verfügung der ESTV auf und stellte fest, dass die Mehrwertsteuersubjektivität der A._ AG seit dem Zeitpunkt der ursprünglichen Eintragung (20. September 2007) zu Recht bestehe. Das Bundesverwaltungsgericht erwog im Wesentlichen, die gewählte Rechtsgestaltung stelle keine Steuerumgehung dar. Die Umsätze aus Flügen für unabhängige Dritte seien unbestrittenermassen geschäftlicher Natur. Ferner bestehe zwischen den Parteien Einigkeit, dass die Flüge von X._ und Y._ privaten Zwecken gedient hätten. Streitig sei allein der geltend gemachte geschäftliche Charakter der Flugleistungen, welche an die B.a._ AG erbracht worden seien. In Bezug auf die Voraussetzungen der Steuerumgehung sei die ESTV beweisbelastet, wobei sie sich darauf beschränken könne darzulegen, dass keine wirtschaftlichen oder geschäftlichen Gründe für das Halten eines Flugzeugs ersichtlich seien. Dieser Beweis sei der ESTV nicht gelungen. Die B.a._ AG sei operativ tätig und deren Muttergesellschaft an der Börse kotiert. Zwar werde die B.a._ AG indirekt durch den Alleinaktionär der A._ AG beherrscht, doch könne sie im Rahmen ihres Gesellschaftszwecks keine privaten Flüge zu Gunsten von X._ als Aktionär beziehen. Die von der A._ AG an die B.a._ AG erbrachten Flugleistungen seien somit wie Drittflüge zu behandeln. Die ESTV hätte aufzeigen müssen, inwieweit auf Seiten der A._ AG keine wirtschaftlichen oder die Gesellschaft betreffenden Gründe für die gewählte Rechtsgestaltung vorliegen würden. Dies sei nicht geschehen, weshalb davon auszugehen sei, dass die A._ AG mit der Leistungserbringung an die B.a._ AG wirtschaftliche Ziele verfolgt habe. Es könne nicht angenommen werden, dass die A._ AG nur gegründet worden sei, um private Bedürfnisse ihres Alleinaktionärs zu befriedigen. C. Die ESTV erhebt am 13. Mai 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zum Entscheid über die Vorsteuerkürzungen und Nutzungsänderungen an das Bundesverwaltungsgericht, eventuell an sie selbst - die ESTV - zurückzuweisen. Zudem sei festzustellen, dass die Mehrwertsteuerpflicht der A._ AG ab dem 20. September 2007 zu Recht bestehe. In der Beschwerdeschrift präzisiert die ESTV, sie akzeptiere die Erwägung (nicht aber die Begründung) des Bundesverwaltungsgerichts, wonach die Flüge der nahe stehenden B.a._ AG als zu geschäftlichen Zwecken erfolgt gelten könnten und daher steuerlich wie Drittflüge zu behandeln seien. Deswegen sei die A._ AG per 31. März 2009 nicht aus dem Register der Mehrwertsteuerpflichtigen zu streichen. Sie - die ESTV - akzeptiere auch die Auffassung (nicht aber die entsprechenden Schlussfolgerungen) des Bundesverwaltungsgerichts, wonach die A._ AG nicht "in erster Linie" oder "hauptsächlich" X._ als dem wirtschaftlich Berechtigten zu rein privaten Zwecken dienen sollte und effektiv auch nicht gedient habe. Aus diesem Grund könne der vorliegende Fall nicht grundsätzlich als Steuerumgehungsfall im Sinn der jüngsten bundesgerichtlichen Rechtsprechung behandelt werden. Das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts werde insofern angefochten, als darin erwogen werde, die steuerbaren Umsätze, welche aus den privaten Flügen von X._ und der ihm nahe stehenden Y._ resultiert hätten, würden zu keiner Kürzung des Vorsteuerabzugs führen. Zudem sei die Vorsteuerabzugskürzung eine notwendige Folge der spendenartigen Finanzierung der A._ AG; dieses Thema habe das Bundesverwaltungsgericht überhaupt nicht behandelt. Schliesslich wünsche sich die ESTV eine höchstrichterliche Klarstellung betreffend die Anforderungen an den Nachweis der geschäftlichen Verwendung eines Flugzeugs durch nahestehende Gesellschaften sowie betreffend die Beweislast. D. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die A._ AG beantragt in ihrer Beschwerdeantwort die Abweisung der Beschwerde; eventuell sei die Sache an die ESTV zur Neuberechnung der Vorsteuerabzugskürzung im Rahmen einer neuen Verfügung zurückzuweisen, dies ohne Weisungen des Bundesgerichts in Bezug auf die Methode bzw. das Mass der Kürzung. Das vorliegende Verfahren sei mit einem allfälligen Verfahren in Sachen D._ AG (Urteil des Bundesverwaltungsgerichts A-3696/2012 vom 14. Juni 2013) zu koordinieren. Die ESTV hält mit Replik vom 16. August 2013 an ihren Anträgen fest. Die A._ AG lässt sich mit Bemerkungen vom 25. Oktober 2013 vernehmen. 