Sachverhalt: Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 16. April 2002 verneinte die Öffentliche Arbeitslosenkasse Basel-Stadt den Anspruch des R._ (geb. 1962) auf Insolvenzentschädigung aus dem Konkurs der Firma Y._ AG (vormals K._ AG), weil er bis Mitte Mai 2001 einziges Verwaltungsratsmitglied gewesen sei. A. Mit Verfügung vom 16. April 2002 verneinte die Öffentliche Arbeitslosenkasse Basel-Stadt den Anspruch des R._ (geb. 1962) auf Insolvenzentschädigung aus dem Konkurs der Firma Y._ AG (vormals K._ AG), weil er bis Mitte Mai 2001 einziges Verwaltungsratsmitglied gewesen sei. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 16. Dezember 2003 ab. B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 16. Dezember 2003 ab. C. R._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen und beantragen, es sei ihm für September bis Dezember 2001 Insolvenzentschädigung von insgesamt Fr. 32'500.- zuzusprechen. Eventuell sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Verwaltung zurückzuweisen. Ausserdem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung. Die Arbeitslosenkasse und das Staatssekretariat für Wirtschaft (seco) verzichten auf eine Vernehmlassung. 