Sachverhalt: A. Der nigerianische Staatsangehörige X._ (geb. 1976) reiste 1998 erstmals in die Schweiz ein und durchlief unter falschem Namen erfolglos ein Asylverfahren. Seit dem 8. Januar 1999 galt er als verschwunden. Am 11. Dezember 2000 heiratete er in seinem Heimatland Y._, welche das Schweizer Bürgerrecht besitzt. Daraufhin erhielt er im Rahmen des Familiennachzuges die Aufenthalts- und am 11. August 2006 die Niederlassungsbewilligung. Das Ehepaar ist kinderlos und lebt unbestrittenermassen getrennt. B. Im Jahre 2002 erlitt X._ während eines Besuchs in seinem Heimatland eine Schussverletzung am Bein, welche chronische Folgen zeitigte und lebenslange medizinische Hilfe als erforderlich scheinen lässt. C. Mit Verfügung vom 20. Januar 2010 widerrief das Amt für Migration des Kantons Luzern die Niederlassungsbewilligung von X._ und wies diesen weg. Unmittelbarer Anlass für diese Massnahme bildete das Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern vom 2. Juni 2009, worin X._ - in zweiter Instanz - wegen mehrfacher Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz (begangen als "schwerer Fall") zu einer Freiheitsstrafe von dreieinhalb Jahren verurteilt worden war. Im Weiteren ging das Amt davon aus, dass sich X._ beruflich nie integrieren konnte und auch in finanzieller Hinsicht Mühe bekundete (erwirkte Verlustscheine von insgesamt Fr. 14'233.40). Eine gegen diese Verfügung gerichtete Beschwerde beim Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern blieb erfolglos, und mit Urteil vom 13. April 2011 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die gegen den Departementsentscheid vom 25. Juni 2010 erhobene Beschwerde ebenfalls ab, soweit es darauf eintrat. D. Mit Eingabe vom 19. Mai 2011 führt X._ - unter Beilage neuer Beweismittel - beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das letztgenannte Urteil aufzuheben und ihm - dem Beschwerdeführer - eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen und diese anzuweisen, dem Beschwerdeführer eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen, bis sich dessen Gesundheitszustand verbessert habe, eventuell sei er vorläufig aufzunehmen. Sodann sei ein Gutachten durch einen Afrika-Spezialisten (betreffend Lebensbedrohlichkeit) beizuziehen, in jedem Fall aber die Wegweisung zu sistieren. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern hat sich zur Beschwerde nicht vernehmen lassen. Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Migration stellt denselben Antrag. E. Mit Verfügung vom 25. Mai 2011 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt. F. Mit Eingabe vom 24. August 2011 wandte sich die Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers unaufgefordert ans Bundesgericht und reichte einen weiteren Arztbericht des Kantonsspitals (vom 4. August 2011) zu den Akten. 