Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 21. Dezember 2009 sprach die IV-Stelle des Kantons St. Gallen dem 1947 geborenen O._ eine Viertelsrente der Invalidenversicherung ab 1. Juni 2007 zu, dies in Berücksichtigung u.a. der Gutachten des Dr. med. K._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 27. Mai 2008 und des Zentrums A._ vom 20. Juni 2008. B. In Gutheissung der Beschwerde des O._ hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 19. März 2012 die Verfügung vom 21. Dezember 2009 auf und sprach dem Versicherten eine halbe Rente ab dem 1. September 2006 zu. C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 19. März 2012 sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass O._ keinen Rentenanspruch hat. O._ beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Versicherungsgericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung. 