Faits: A. B._, né en 1965, a bénéficié d'une mesure de réadaptation professionnelle de l'assurance-invalidité sous la forme d'un stage de machiniste au Centre ORIPH (Organisation romande pour l'intégration professionnelle des personnes handicapées), à partir du 3 décembre 2001. A ce titre, il était assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Le 20 novembre 2002, il a été victime d'un accident au cours de cette formation. En voulant retirer une pièce coincée dans une fraiseuse, il a heurté sa main droite contre la machine et subi une perforation au niveau du premier métacarpe. Le docteur E._, médecin-chef de service à la Division de chirurgie de l'Hôpital X._, a posé le diagnostic de neurome cicatriciel après lésion de la branche superficielle du nerf brachial. L'assuré s'étant plaint d'hyperesthésies de plus en plus importantes, ce médecin a procédé à une intervention consistant en une résection du neurome avec enfouissement du moignon proximal de la branche superficielle (rapport du 9 avril 2003). L'intéressé a cessé définitivement toute activité à partir du mois d'août 2003. La CNA a pris en charge le cas. Après avoir recueilli plusieurs rapports du docteur E._ (des 21 mai, 25 août et 15 septembre 2003), la CNA a requis l'avis du docteur O._, médecin à la Clinique chirurgicale Y._ (rapport du 30 octobre 2003). L'assuré a séjourné à la Clinique romande de réadaptation du 12 novembre au 12 décembre 2003. Dans un rapport d'examen médical final du 27 avril 2005, le docteur H._, médecin d'arrondissement de la CNA, a indiqué que le vécu douloureux de l'assuré était hors normes et qu'il ne pouvait pas s'expliquer du seul point de vue somatique. Selon ce médecin, rien ne s'opposait, sur le plan organique, à ce que l'intéressé reprenne son stage de formation de machiniste. Par ailleurs, le docteur H._ a fixé à 5 % le taux de l'atteinte à l'intégrité ouvrant droit à une indemnité. Dans un rapport d'expertise établi à l'intention de l'Office AI du canton du Jura, les médecins de l'Hôpital Z._ ont diagnostiqué notamment un syndrome somatoforme douloureux persistant (F 45.4) et un épisode dépressif sévère (F 32.2). Du point de vue somatique, ces experts n'ont pas objectivé des troubles entraînant une incapacité de travail. Selon eux, celle-ci était cependant nulle compte tenu de l'ensemble de la problématique (rapport du 16 décembre 2005). Invité à se prononcer sur cette expertise, le docteur I._, médecin au Service médical régional AI (SMR), a nié cependant l'existence d'un trouble somatoforme douloureux et posé le diagnostic d'épisode dépressif moyen sans syndrome somatique (F 32.10). Sur le plan somatique, ce médecin a indiqué que les séquelles de l'accident du 20 novembre 2002 n'entraînaient aucune diminution de la capacité de travail dans l'activité de machiniste (rapport du 17 mai 2006). Par décision du 10 avril 2006, la CNA a supprimé le droit de l'assuré à des prestations d'assurance (traitement médical et indemnité journalière) avec effet au 30 juin 2005 et refusé l'octroi d'une rente d'invalidité. Par ailleurs, elle a alloué à l'intéressé une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux d'atteinte de 5 %. Saisie d'une opposition de l'assuré qui concluait à l'octroi d'une rente d'invalidité et d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 10 %, la CNA l'a rejetée par décision du 30 mai 2006. B. Par jugement du 6 février 2007, la Chambre des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura a rejeté le recours formé contre cette décision. C. B._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, au maintien de son droit à une indemnité journalière au-delà du 30 juin 2005 ou à l'allocation d'une rente d'invalidité à partir du 20 novembre 2002, sous déduction de l'indemnité journalière déjà perçue, ainsi qu'à l'octroi d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 10 %. La CNA conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations. Le recourant ayant requis l'assistance judiciaire, la Ire Cour de droit social du Tribunal fédéral a renoncé à exiger une avance de frais. 