Faits: A. Par décision du 10 juin 2011, le Juge de paix du district de Morges a prononcé la mainlevée provisoire de l'opposition formée par A._ au commandement de payer que lui avait fait notifier la Banque X._, ce à concurrence de 6'000 fr. plus intérêt à 5% dès le 18 février 2011. B. A._ a recouru contre cette décision devant la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal du canton de Vaud. Invitée à verser une avance de frais pour la procédure de recours dans un délai échéant le 6 septembre 2011, A._ a, à l'échéance dudit délai, demandé à être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire. Par courrier du 13 septembre 2011, le Président de la Cour des poursuites et faillites du canton de Vaud (ci-après : le Président) lui a adressé le formulaire ad hoc de demande d'assistance judiciaire, fixant au 28 septembre 2011 le délai pour "déposer cette demande" (accompagnée des annexes nécessaires) ou pour verser l'avance de frais et l'informant que si, dans le délai fixé, l'intéressée ne versait pas l'avance de frais ni ne "déposait la demande d'assistance judiciaire", le recours serait déclaré irrecevable. Le 28 septembre 2011, A._ a "déposé" sa demande d'assistance judiciaire accompagnée d'une seule annexe. Par courrier du 7 octobre 2011, le Président lui a imparti un délai supplémentaire au 18 octobre 2011 pour faire parvenir des justificatifs manquants ou pour "déposer" l'avance de frais, à défaut de quoi il ne serait pas entré en matière sur le recours. Le 18 octobre 2011, A._ a exposé que "dans l'affaire de la Banque X._, l'assistance judiciaire [lui] avait été accordée par décision du 11 mars 2008 du Bureau de l'A.J." et a indiqué être sans emploi, sans revenu et sans fortune. Par courrier du 25 octobre 2011, le Président lui a imparti une ultime prolongation échéant le 4 novembre 2011 pour effectuer l'avance de frais requise ou pour déposer les justificatifs mentionnés sur le formulaire AJ, à défaut de quoi il ne serait pas entré en matière sur son recours. Par lettre du 4 novembre 2011, A._ a notamment soutenu qu'elle n'avait pas les moyens de verser l'avance requise et qu'elle ne disposait pas des pièces réclamées. Le Président a déclaré le recours irrecevable par arrêt du 11 novembre 2011. C. Par acte du 6 janvier 2012, A._ exerce un "recours" au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 11 novembre 2011, assorti d'une demande d'effet suspensif. Elle conclut à l'admission de son recours, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle décision. Elle se plaint de violation des art. 29 al. 2 et 3 Cst. Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire pour l'instance fédérale, en ce sens qu'elle soit dispensée du paiement de l'avance de frais. Invités à se déterminer sur le fond, l'autorité cantonale s'est référée à son arrêt alors que l'intimée s'en est remise à justice. D. Par ordonnance du 9 janvier 2012, la Présidente de la IIe Cour de droit civil a rejeté la demande d'effet suspensif. 