Sachverhalt: A. Der nigerianische Staatsangehörige X._ (geb. 1977) reiste am 20. Juli 2002 in die Schweiz ein und heiratete hier am 7. August 2002 die Schweizer Bürgerin Y._ (geb. 1980). Die beiden haben einen gemeinsamen Sohn Z._ (geb. 2002). Aufgrund der Eheschliessung erhielt X._ eine Aufenthaltsbewilligung. Am 1. Januar 2006 wurde der gemeinsame Haushalt der Eheleute aufgehoben. X._ wurde am 23. Februar 2006 aufgrund einer Verurteilung zu einer bedingten Gefängnisstrafe von 18 Monaten wegen Widerhandlungen gegen die Betäubungsmittelgesetzgebung (Urteil vom 17. Januar 2006 des Kreisgerichtes IV Aarwangen-Wangen) fremdenpolizeilich verwarnt. Am 1. Februar 2007 verurteilte ihn das Strafeinzelgericht des Gerichtskreises IV zudem wegen Missbrauchs von Ausweisen und Schildern, Fahrens ohne Fahrzeugausweis oder Kontrollschilder und Fahrens ohne Haftpflichtversicherung zu einer bedingten Geldstrafe von fünf Tagessätzen zu Fr. 70.-- (bei einer Probezeit von zwei Jahren) und zu einer Busse von Fr. 250.--. Mit Urteil vom 7. Januar 2009 des Gerichtspräsidenten des Gerichtskreises IV wurde die Ehe zwischen X._ und Y._ geschieden. Das Kind Z._ wurde - unter Beibehaltung der errichteten Beistandschaft - unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt. B. Mit Verfügung vom 19. Juni 2009 wies das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern das Gesuch von X._ vom 15. Mai 2008 um Erteilung der Niederlassungsbewilligung ab, lehnte die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und wies ihn per 31. August 2009 aus der Schweiz weg. Die von X._ dagegen erhobene Beschwerde wies die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern mit Entscheid vom 17. November 2009 ab und setzte ihm eine neue Ausreisefrist bis 31. Dezember 2009. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern bestätigte diesen Entscheid auf Beschwerde hin mit Urteil vom 8. September 2010 und setzte die Ausreisefrist neu auf den 20. Oktober 2010 fest. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowie subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 13. Oktober 2010 beantragt X._ dem Bundesgericht, das angefochtene Urteil vom 8. September 2010 sei aufzuheben und die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern bzw. das Gesuch um Erteilung der Niederlassungsbewilligung gutzuheissen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern zurückzuweisen. Die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern beantragt Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden kann. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern und das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Mit Eingabe vom 9. Februar 2011 reicht der Beschwerdeführer unaufgefordert ein Gutachten des Instituts für forensische Kinder- und Jugendpsychologie, -psychiatrie und -beratung, Bern, betreffend das Kind Z._ nach. D. Mit Verfügung vom 18. Oktober 2010 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt. E. Nach Aufforderung zur Bezahlung des Kostenvorschusses reichte der Beschwerdeführer am 29. Oktober 2010 ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ein. F. Am 9. Juni 2011 teilt die Fremdenpolizei der Stadt Bern dem Bundesgericht mit, dass sich X._ am 1. Juni 2011 mit der Schweizer Bürgerin A._ (geb. 1959) verheiratet hat. 