Faits: A. Le 2 février 2009, X._, ressortissant suisse domicilié à Los Angeles (Etats-Unis d'Amérique), a assigné Y._ SA, entreprise jurassienne spécialisée dans les produits de luxe, devant la Cour civile du Tribunal cantonal du canton du Jura en vue d'obtenir le paiement de 10'950'216 fr. 20, avec intérêts à 5% dès le 15 janvier 2008, ainsi que la mainlevée définitive de l'opposition formée par ladite société au commandement de payer qu'il lui avait fait notifier. Le montant en question équivaut au dommage que le demandeur allègue avoir subi du fait de la résiliation abusive du contrat le liant à la défenderesse pour la distribution de montres de luxe dans tous les pays de l'ex-Europe de l'Est, de même qu'en Espagne et au Portugal. Dans le délai de réponse, la défenderesse a déposé une demande de sûretés pour les dépens. Elle a réclamé, à ce titre, le dépôt, par le demandeur, de 500'000 fr., dont 430'000 fr. pour les honoraires, vacations et autres frais liés à l'activité de son mandataire, les 70'000 fr. restants correspondant à l'avance de frais judiciaires exigée d'elle. Le demandeur a conclu au rejet de la requête à fins de sûretés et, subsidiairement, à ce que le montant de celles-ci soit fixé à 40'000 fr. au maximum. Par arrêt du 7 mai 2009, le juge instructeur de la Cour civile du Tribunal cantonal jurassien a astreint le demandeur à verser, dans les 20 jours, sur le compte de chèques postaux du Tribunal cantonal, la somme de 500'000 fr. à titre de sûretés. B. Le 28 mai 2009, le demandeur a formé un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il a conclu à l'annulation de l'arrêt cantonal et à la fixation du montant des sûretés à 40'000 fr. au maximum. Dans ses observations du 5 juin 2009, le magistrat cantonal déclare confirmer son arrêt et les faits retenus. Quant à la défenderesse et intimée, elle a déposé une réponse, le 22 juin 2009, en concluant principalement à l'irrecevabilité du recours et, subsidiairement, au rejet de celui-ci. Par ordonnance présidentielle du 30 juin 2009, l'effet suspensif a été accordé au recours. 