Sachverhalt: A. A.a. Am 11. November 2009 ersuchten E._ und D._ den Gemeinderat Stansstad um die Bewilligung für einen Teilabbruch/ Umbau/Wiederaufbau ihres Wohnhauses Hostettli 1 im zur Gemeinde Stansstad gehörenden Ortsteil Kehrsiten, Parzelle Nr. 399. Gegen das Projekt erhoben A._ sowie C._ und B._ Einsprache. Der Gemeinderat Stansstad wies die Einsprache am 17. Mai 2010 ab und erteilte die Bewilligung unter Bedingungen und Auflagen. A.b. Mit Entscheid vom 18. Januar 2011 hiess der Regierungsrat des Kantons Nidwalden eine dagegen von den Einsprechern erhobene Beschwerde gut, hob die Gemeinderatsbeschlüsse auf und verweigerte die Baubewilligung. A.c. Am 5. September 2011 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden eine von E._ und D._ eingereichte Beschwerde gut, hob den Regierungsratsbeschluss auf und wies die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an den Regierungsrat zurück. A.d. Mit Urteil 1C_104/2012 vom 30. August 2012 wies das Bundesgericht eine von den Einsprechern erhobene Beschwerde ab. Im Wesentlichen führte es dazu aus, das geplante Projekt könne willkürfrei als Erweiterungsbau oder Umgestaltung gelten und müsse nicht als ein gemäss dem einschlägigen Bau- und Planungsrecht grundsätzlich ausgeschlossener Neubau beurteilt werden. B. B.a. Gemäss dem rechtskräftigen Urteil des Verwaltungsgerichts vom 5. September 2011 befasste sich der Regierungsrat erneut mit der Sache, wies die Beschwerde am 18. Dezember 2012 ab und verwies A._ sowie C._ und B._ für die Geltendmachung allfälliger privatrechtlicher Ansprüche an den Zivilrichter. B.b. Mit Entscheid vom 26. August 2013 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden eine dagegen von A._ sowie C._ und B._ erhobene Beschwerde ab. C. A._ sowie C._ und B._ führen dagegen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Zur Begründung machen sie im Wesentlichen geltend, das Verwaltungsgericht habe die einschlägige Gesetzesbestimmung zum Grenzabstand willkürlich angewandt und durch die Annahme, das Baugrundstück sei erschlossen, das Raumplanungsrecht des Bundes verletzt. D. E._ und D._ sowie die Staatskanzlei für den Regierungsrat des Kantons Nidwalden schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die Gemeinde Stansstad und das Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden haben auf eine Stellungnahme verzichtet. E. In Replik und Duplik halten A._ sowie C._ und B._ einerseits sowie E._ und D._ andererseits an ihren Standpunkten fest. 