Faits: Faits: A. C._ s'est annoncée à l'assurance-invalidité le 10 février 1999, alléguant souffrir de tendinites depuis l'année 1987 et de fibromyalgie à partir de février 1996. Selon les avis médicaux recueillis au cours de l'instruction de la demande, l'assurée présente notamment une fibromyalgie qui réduit fortement, voire entièrement, sa capacité de travail (rapport de la doctoresse A._, spécialiste en médecine interne et rhumatologie, du 17 juillet 2000). Par décision du 24 octobre 2000, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) a rejeté la demande de prestations, au motif que l'atteinte à la santé n'était pas invalidante. Par décision du 24 octobre 2000, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) a rejeté la demande de prestations, au motif que l'atteinte à la santé n'était pas invalidante. B. C._ a déféré cette décision au Tribunal des assurances du canton de Vaud, en concluant au versement d'une rente entière d'invalidité à compter du 1er avril 1998. Le Tribunal cantonal a ordonné une expertise qu'il a confiée au Centre multidisciplinaire de la douleur X._. Dans leur rapport du 7 janvier 2002, les docteurs B._, spécialiste en rhumatologie, et D._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, ont diagnostiqué un tableau clinique de fibromyalgie ainsi qu'un trouble dépressif récurrent d'importance faible à moyenne, sans symptômes psychotiques; ils ont précisé que l'intéressée ne présentait aucune atteinte articulaire de type maladie inflammatoire systémique. A leur avis, la capacité de travail de l'assurée est nulle et aucune activité professionnelle ne lui est adaptée; quant aux troubles psychiques qui l'empêchent travailler, leur origine est socioculturelle. L'office AI a conclu au rejet du recours, en se référant à l'avis de son Service médical régional AI de Vevey (rapport du docteur E._ du 22 février 2002). Par jugement du 27 juin 2002, la juridiction cantonale a admis le recours est reconnu le droit de l'assurée à une rente entière d'invalidité. Par jugement du 27 juin 2002, la juridiction cantonale a admis le recours est reconnu le droit de l'assurée à une rente entière d'invalidité. C. L'office AI interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont il demande l'annulation, ce que l'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) propose également dans son préavis. L'assurée intimée conclut à l'admission partielle du recours, avec suite de dépens, en ce sens que la cause soit renvoyée aux premiers juges pour qu'ils mettent en oeuvre une nouvelle expertise. 