Faits: A. Par contrat de travail du 8 juin 2009, Z._ a été engagée auprès du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura. Cet engagement a été conclu pour la période du 1er septembre 2009 au 31 août 2010. Le contrat prévoyait une période d'essai de trois mois, pendant laquelle les parties pouvaient le résilier, par lettre recommandée, un mois à l'avance pour la fin d'un mois. Le 26 octobre 2009, X._, agissant en qualité de chef du personnel, s'est entretenu avec des secrétaires du tribunal puis a fait part à Z._ de certaines critiques au sujet de son travail. Les 30 octobre et 2 novembre 2009, la conférence des juges permanents a entendu tous les membres du personnel du tribunal cantonal (secrétaires, apprentis et greffières), ainsi que Z._, en vue de faire le point de la situation au sujet des rapports de travail de l'intéressée. Le 4 novembre suivant, le tribunal cantonal a adressé un rapport au Gouvernement de la République et canton du Jura (le gouvernement) et l'a invité à résilier les rapports de travail de Z._ avec effet au 31 décembre 2009, en raison d'une rupture des liens de confiance liée essentiellement à des insuffisances professionnelles. L'intéressée ayant notamment demandé la communication des procès-verbaux de toutes les auditions devant la conférence des juges permanents, le président du tribunal cantonal l'a invitée à s'adresser au Service du personnel de la République et canton du Jura. Le 14 novembre 2009, Maître A._, agissant en qualité de mandataire de l'intéressée, a requis du service du personnel la remise des procès-verbaux d'auditions, ainsi que du rapport adressé au gouvernement le 4 novembre précédent. En outre, il a sollicité un entretien afin de convenir d'une solution convenable. Le 18 novembre 2009, le service du personnel a communiqué à Maître A._ une photocopie du rapport du tribunal cantonal du 4 novembre précédent et lui a imparti un délai jusqu'au 20 novembre 2009 pour présenter des déterminations. Ce délai a été prolongé au 24 novembre suivant sur demande du mandataire de l'intéressée et un règlement transactionnel lui a été proposé. Par décision du 26 novembre 2009, le gouvernement a résilié les rapports de service de Z._ avec effet au 31 décembre 2009. Par lettre du 5 décembre 2009, adressée au gouvernement, Maître A._ a indiqué qu'il était toujours dans l'attente des procès-verbaux des auditions de sa mandante et du personnel du tribunal cantonal. Par ailleurs, il a produit un certificat médical du docteur W._, spécialiste en médecine interne (du 27 novembre 2009), selon lequel l'intéressée souffrait d'une affection psychosomatique importante qui la rendait incapable de se déterminer valablement quant aux décisions qu'elle pouvait être appelée à prendre concernant son avenir professionnel et personnel. Le 14 décembre 2009, le service du personnel a informé Maître A._ que sa demande du 5 décembre précédent avait été transmise au tribunal cantonal mais que celui-ci n'entendait pas y donner suite étant donné que les auditions en question n'avaient pas fait l'objet de procès-verbaux, mais de notes d'entretiens prises par une greffière, lesquelles n'avaient été ni relues ni signées par les personnes auditionnées. B. Z._ a recouru contre la décision du gouvernement du 26 novembre 2009 devant la Cour administrative du tribunal cantonal en prenant les conclusions suivantes: Préalablement: 1. Récuser tous les juges du tribunal cantonal faisant partie du collège des juges permanents; Principalement: 2. Ordonner à la République et canton du Jura de communiquer à la recourante les notes prises par la greffière lors de l'audition de la recourante le 3 novembre 2009; 3. Annuler la décision de résiliation qui lui a été notifiée le 26 novembre 2009; 4. Condamner la République et canton du Jura à lui payer 15'000 fr. (à titre de tort moral) ensuite d'atteintes aux droits de la personnalité pendant les rapports de travail; 5. Condamner la République et canton du Jura à lui payer 7'273 fr. 10 (à titre de préjudice économique pour le mois de janvier 2010) ensuite d'atteintes aux droits de la personnalité pendant les rapports de travail, sous réserve d'amplification; 6. Condamner la République et canton du Jura à lui payer une indemnité à titre de frais et dépens; Subsidiairement: 7. Condamner la République et canton du Jura à lui payer 43'638 fr. 70 (équivalant à six mois de salaire à titre de congé abusif). Le gouvernement a conclu au rejet du recours dans la mesure où il était recevable et il a produit les notes d'auditions de la conférence des juges permanents des 30 octobre et 2 novembre 2009, ainsi que les notes personnelles de X._ concernant l'intéressée. La juridiction cantonale a statué le 2 mai 2011. Elle a constaté que les conclusions nos 1 et 2 étaient devenues sans objet, déclaré les conclusions nos 4, 5 et 7 irrecevables et rejeté les autres conclusions dans la mesure où elles étaient recevables. C. Z._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, sous suite de frais et dépens. Elle demande au Tribunal fédéral de déclarer recevables les conclusions nos 4, 5 et 7 de son recours devant la juridiction cantonale, à laquelle la cause devra être renvoyée pour nouveau jugement, et de déclarer bien fondée la conclusion no 3 tendant à l'annulation de la résiliation des rapports de travail. Subsidiairement, elle conclut au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour complément d'instruction et nouvelle décision au sujet de la continuation des rapports de travail. Le gouvernement conclut au rejet du recours dans la mesure où il est recevable, sous suite de frais et dépens. La juridiction cantonale propose également le rejet du recours. 