Faits: A. P._ s'est annoncée à l'assurance-chômage le 11 juillet 2007. La caisse cantonale genevoise de chômage (ci-après : la caisse de chômage) lui a ouvert un délai-cadre d'indemnisation du 11 juillet 2007 au 10 juillet 2009. L'assurée, qui était enceinte à cette époque, a accouché d'une fille le 17 décembre 2007. Elle a perçu des allocations journalières de maternité dès cette date jusqu'au 6 avril 2008. Le 7 avril 2008, P._ a requis à nouveau l'octroi des prestations de chômage. Dans le formulaire de demande d'indemnités de chômage qu'elle a rempli à cet effet, elle a coché la case «non» à la question n° 12 : «Avez-vous reçu jusqu'ici des allocations pour enfants/formation professionnelle et voulez-vous les faire valoir auprès de l'AC ?». L'assurée a bénéficié des indemnités journalières jusqu'au 30 septembre 2008, puis a été autorisée à exporter ses prestations de chômage en Espagne du 1er octobre au 31 décembre 2008. Début 2009, P._ a déposé une demande d'allocations familiales auprès de la Caisse cantonale genevoise de compensation (ci-après : la caisse de compensation) qui a rendu, le 20 avril suivant, une décision par laquelle elle a accordé lesdites allocations pour la période s'étendant de janvier à mars 2008, invitant l'assurée à s'adresser, pour la période postérieure, aux autorités de chômage compétentes. Le 15 mai 2009, l'intéressée a sollicité de la caisse de chômage le versement rétroactif du supplément correspondant aux allocations familiales. Par décision du 16 juin 2009, la caisse de chômage lui a accordé ce supplément pour la période du 1er février au 30 avril 2009. Elle a en revanche refusé de le lui verser du 1er avril 2008 au 1er janvier 2009, au motif qu'elle n'avait pas respecté le délai de trois mois pour faire valoir son droit. P._ a formé opposition contre cette décision, en indiquant qu'elle avait transmis à la caisse tous les documents utiles, notamment sur la naissance de sa fille. La caisse de chômage a écarté l'opposition dans une nouvelle décision du 20 août 2009. B. L'assurée a recouru contre cette dernière décision devant le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales). Dans sa réponse du 25 mars 2010, la caisse de chômage s'est déclarée prête à considérer que la demande de l'assurée du mois de janvier 2009, adressée à une autorité incompétente (la caisse de compensation), était réputée déposée devant elle à cette date et, par conséquent, à admettre le droit de l'assurée au supplément dès octobre 2008. Par jugement du 6 juillet 2010, le tribunal cantonal a admis le recours et annulé les décisions des 16 juin et 20 août 2009. Il a condamné la caisse de chômage à verser à l'assurée le supplément correspondant aux allocations familiales d'avril à septembre 2008 et pris acte du fait que ladite caisse reconnaissait devoir ces prestations également d'octobre à janvier 2009. C. La caisse de chômage interjette un recours en matière de droit public. Elle conclut à l'annulation de ce jugement et à la confirmation de sa décision sur opposition du 20 août 2009. P._ et le Secrétariat d'Etat à l'économie ont tous deux renoncé à se déterminer sur le recours. 