Sachverhalt: A. Die 2005 geborene AX._ leidet an einem Geburtsgebrechen (komplexer Herzfehler mit Beeinträchtigung der Lungenfunktion) und bedarf umfangreicher spitalexterner Pflege. Die benötigten Pflegedienstleistungen wurden ihr von ihrem Kinderarzt verordnet und die Invalidenversicherung (IV) verfügte jeweils eine entsprechende Kostengutsprache. Per 1. Oktober 2006 zog die Familie X._ nach Birmensdorf. Die Gemeinde Birmensdorf hat mit dem Spitex-Verein Birmensdorf-Aesch (Spitex-Verein) eine Leistungsvereinbarung geschlossen und ihm die Organisation der spitalexternen Krankenpflege übertragen. Der Spitex-Verein schloss seinerseits eine Vereinbarung mit der Kinder-Spitex des Kantons Zürich (Kispex ZH), mit welcher er ihr die spitalexterne Pflege von Kindern übertrug und im Gegenzug Kostenbeiträge von Fr. 37.80 pro geleisteter Pflegestunde zusicherte. Gestützt auf diese Leistungsvereinbarung sowie auf die Verordnungen des Kinderarztes und die Verfügungen der IV nahm die Kispex ZH die Pflege von AX._ wahr. Bereits im November 2006 kam es zu Konflikten zwischen den Eltern von AX._ einerseits und der Kispex ZH, dem Spitex-Verein sowie der Gemeinde Birmensdorf andererseits. Gegenstand dieser Auseinandersetzungen waren die unterschiedlichen Ansichten der Parteien bezüglich der zu leistenden Pflegestunden. Mitte Januar 2007 beauftragten die Eltern eine andere Organisation mit der Pflege von AX._. Hierbei handelt es sich um die "Kinderspitex plus" der in M._ domizilierten Stiftung S._. In der Folge ersuchten die Eltern von AX._ den Gemeinderat von Birmensdorf namens ihrer Tochter, sich mit Gemeindebeiträgen in Höhe von Fr. 37.80 pro geleisteter Pflegestunde an den Kosten der Kinderspitex plus zu beteiligen. Mit Beschluss vom 15. April 2008 trat der Gemeinderat auf dieses Ersuchen nicht ein. B. Gegen den Beschluss des Gemeinderates von Birmensdorf rekurrierten die Eltern von AX._ und die Kinderspitex plus beim Bezirksrat Dietikon. Sie verlangten von der Gemeinde Birmensdorf sowie vom Spitex-Verein rückwirkend seit dem 15. Januar 2007 einen Gemeindebeitrag von Fr. 37.80/h für die insgesamt bereits angefallenen 4140 Pflegestunden, zuzüglich Zins von 5 % ab mittlerem Verfall. Sodann seien die Gemeinde Birmensdorf und der Spitex-Verein zu verpflichten, den geforderten Beitrag auch zukünftig zu entrichten, wobei der Pflegebedarf 52 Stunden pro Woche betrage. Überdies verlangten die Eltern von AX._ und die Kinderspitex plus vom Bezirksrat, aufsichtsrechtlich gegen die Gemeinde Birmensdorf und den Spitex-Verein vorzugehen. Mit Beschluss vom 10. Juni 2009 hiess der Bezirksrat den Rekurs gut. Die Gemeinde Birmensdorf wurde verpflichtet, AX._ und der Kinderspitex plus rückwirkend ab 15. Januar 2007 die effektiv geleisteten Pflegestunden, jedoch maximal im von der IV verfügten Umfang, zu einem Stundenansatz von Fr. 37.80 zu vergüten, zuzüglich Zins zu 5 % ab dem 12. Oktober 2007 bzw. ab Fälligkeit der Teilforderungen. Zur Berechnung dieses Anspruchs wies der Bezirksrat die Angelegenheit an den Gemeinderat von Birmensdorf zurück. Weiter wies der Bezirksrat die Gemeinde Birmensdorf an, die Kinderspitex plus auch in der Zukunft mit der Pflege von AX._ im von der IV verfügten Umfang zu beauftragen. Der (subsidiären) Aufsichtsbeschwerde gab der Bezirksrat keine Folge. C. Gegen den Beschluss des Bezirksrates Dietikon beschwerten sich die Gemeinde Birmensdorf und der Spitex-Verein beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Dieses wies die Beschwerde in seinem Urteil vom 3. Dezember 2009 ab, soweit es darauf eintrat. D. Mit Eingabe vom 1. Februar 2010 führt die Gemeinde Birmensdorf Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Sie beantragt im Wesentlichen die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts sowie der sie belastenden Ziffern des Beschlusses des Bezirksrates. Zudem ersucht sie um Feststellung, dass die Gemeinde Birmensdorf für die im Streit stehenden Pflegeleistungen keine Beiträge zu erbringen habe. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. AX._ sowie die Kinderspitex plus schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Der Bezirksrat Dietikon verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich beantragt, es sei die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) liess sich vernehmen, ohne einen Antrag zu formulieren. Mit Replik vom 2. Juli 2010 äussert sich die Gemeinde Birmensdorf erneut zur Sache. AX._ und die Kinderspitex plus duplizieren mit Eingabe vom 7. September 2010. 