Fatti: A. A.a In seguito all'incidente occorsogli il 27 giugno 1991, in cui ha riportato un arresto cardiorespiratorio per fibrillazione ventricolare, nonché una sindrome postanossica cerebrale, B._, nato nel 1958, alla luce delle conclusioni del giudizio del 22 agosto 2000 del Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino rispettivamente di quello del 28 settembre 2001, con cui è stata respinta la domanda di revisione del precedente giudizio, è stato posto al beneficio, da parte della Winterthur Assicurazioni (ora Axa Assicurazioni SA), di una rendita di invalidità dell'assicurazione infortuni del 100 %, in forma di rendita complementare, con effetto dal 1° novembre 1997 (decisione del 23 novembre 2001). Dalla medesima data l'assicurato beneficia pure di una rendita intera dell'assicurazione invalidità. A.b Dal 18 aprile al 18 settembre 2006, per la durata di 16 giorni, rispettivamente dal 27 marzo al 13 aprile 2007, per 6 giorni, l'assicuratore infortuni ha posto l'assicurato sotto sorveglianza per il tramite della società X._, specializzata in investigazioni, e altresì ha fatto allestire una perizia psichiatrica da parte del dott. D._. Alla luce delle nuove risultanze, con decisione del 4 dicembre 2007, confermata con provvedimento su opposizione del 25 novembre 2008, l'Axa ha quindi ridotto dal 100 % al 50 %, con effetto dal 1° ottobre 2007, il grado di invalidità di B._. A.c Con giudizio del 17 giugno 2009 il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha accolto il gravame presentato dall'assicurato, rappresentato dall'avv. Aldo Foglia, annullato la decisione amministrativa su opposizione e ripristinato, a decorrere dal 1° ottobre 2007, il diritto alla rendita intera di invalidità precedentemente riconosciuto all'assicurato. A.d Con sentenza 8C_670/2009 del 7 aprile 2010 il Tribunale federale ha parzialmente accolto ai sensi dei considerandi il gravame presentato da Axa e rinviato la causa all'istanza di primo grado per complemento istruttorio e nuova decisione. B. Dando seguito alla sentenza federale il Tribunale cantonale ha ordinato l'erezione di una perizia medica a cura del dott. C._, specialista FMH in psichiatria e psicoterapia. Alla luce del referto peritale del 31 gennaio 2011 e del complemento del 26 aprile 2011 la Corte cantonale ha accolto il ricorso e ripristinato il diritto alla rendita di invalidità precedentemente riconosciuta a B._ con effetto dal 1° ottobre 2007, confermando il giudizio del 17 giugno 2009 (pronuncia del 10 agosto 2011). C. Avverso la pronuncia cantonale Axa insorge al Tribunale federale con ricorso in materia di diritto pubblico chiedendone in via principale l'accoglimento con conseguente annullamento del giudizio impugnato e conferma della decisione su opposizione del 25 novembre 2008. In via eventuale l'assicuratore postula l'accoglimento del gravame con rinvio degli atti al Tribunale cantonale per complemento peritale e nuovo giudizio. Dei motivi si dirà, se necessario, nei considerandi di diritto. Chiamato a pronunciarsi sul gravame, l'intimato, rappresentato dall'avv. Renata Foglia, ne propone la reiezione e postula la concessione dell'assistenza giudiziaria. L'Ufficio federale della sanità pubblica, per contro, ha rinunciato a determinarsi. 