Sachverhalt: A. Die Jugendanwaltschaft Basel-Stadt führt eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen des Verdachtes von sexuellen Handlungen mit Kindern, sexueller Nötigung, Vergewaltigung, Schändung und Körperverletzung. Im untersuchten Tatzeitraum (Juli-Oktober 2010) war der beschuldigte Jugendliche knapp (etwas weniger als) 15 Jahre alt. Am 12. April 2011 bewilligte ihm die Jugendanwaltschaft die amtliche Verteidigung bis zur Durchführung der Zweitbefragung des mutmasslichen Opfers. Am 3. Mai 2011 widerrief sie die amtliche Verteidigung. Eine vom Beschuldigten dagegen erhobene Beschwerde hiess das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, a.o. Appellationsgerichtspräsident, am 28. Juni 2011 gut. Es wies die Jugendanwaltschaft an, dem Beschuldigten für das gesamte Strafverfahren die amtliche Verteidigung zu gewähren, solange der Vorwurf der Vergewaltigung bzw. sexuellen Nötigung aufrechterhalten wird. B. Gegen den Entscheid des Appellationsgerichts gelangte die Jugendanwaltschaft mit Beschwerde vom 12. September 2011 an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Bestätigung ihrer Verfügung vom 3. Mai 2011. Mit Schreiben vom 22. September 2011 teilte die Beschwerdeführerin dem amtlichen Verteidiger des beschuldigten Jugendlichen mit, dass sie auf aufschiebende Wirkung ihrer Beschwerde verzichte und der Rechtsvertreter vorläufig, nämlich "mindestens bis zum von uns angestrebten anderen Entscheid des Bundesgerichts", Offizialverteidiger bleibe. Der beschuldigte Jugendliche hat am 29. September 2011 ausdrücklich auf Antrag und Stellungnahme verzichtet. Das Appellationsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. 