Faits: Faits: A. Titulaire d'une autorisation de séjour depuis le 1er juin 1999, S._, ressortissante portugaise née en 1964, a exercé illégalement en Suisse une activité lucrative depuis le mois de janvier 1997 et s'est acquittée des cotisations AVS/AI corrélatives. Le 21 janvier 1998, elle a été opérée à la suite d'un carcinome canalaire invasif au sein gauche. Depuis lors, elle subit une incapacité de travail totale dans son métier d'ouvrière maraîchère et partielle (50 %) dans une activité lucrative raisonnablement exigible (rapport du 27 juin 2001 de la doctoresse P._, spécialiste FMH en chirurgie plastique et reconstructive). Le 10 février 2000, S._ a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité tendant à l'octroi d'une rente. Par décision du 19 septembre 2001, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après : l'office) a rejeté la demande, au motif notamment que l'intéressée n'était pas assurée lors de la survenance de l'invalidité. Le 10 février 2000, S._ a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité tendant à l'octroi d'une rente. Par décision du 19 septembre 2001, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après : l'office) a rejeté la demande, au motif notamment que l'intéressée n'était pas assurée lors de la survenance de l'invalidité. B. Reprenant le même motif, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a rejeté le recours formé contre cette décision par S._ (jugement du 22 décembre 2003). B. Reprenant le même motif, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a rejeté le recours formé contre cette décision par S._ (jugement du 22 décembre 2003). C. L'assurée interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont elle requiert l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, principalement à l'octroi d'une rente entière depuis le 1er janvier 1999 (y compris les intérêts), subsidiairement au renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle instruction et nouveau jugement. En outre, elle demande le bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite. L'office conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales en propose l'admission. 