Sachverhalt: A. P._ meldete sich am 1. Juli 2008 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen und durchgeführtem Vorbescheidverfahren verneinte die IV-Stelle des Kantons Aargau mit Verfügung vom 7. Januar 2011 einen Rentenanspruch. Auf Beschwerde hin hob das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 27. April 2011 diese Verfügung auf und wies die Sache zur weiteren Abklärung an die Verwaltung zurück. In der Folge liess die IV-Stelle den Versicherten internistisch, rheumatologisch und psychiatrisch begutachten (Expertise des medizinischen Begutachtungszentrums A._ vom 15. Juni 2012). Mit Verfügung vom 16. Oktober 2012 verneinte sie erneut einen Rentenanspruch. B. Die von P._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 13. Februar 2013 ab. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt P._, es sei der Entscheid vom 13. Februar 2013 aufzuheben und ihm nach Ablauf des Wartejahres eine befristete Dreiviertelsrente zuzusprechen. Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Versicherungsgericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung. 