Faits: A. A._ est directeur avec droit de signature individuelle de la société X._ SA, laquelle exploite des hôtels à Genève. Il est entré en pourparlers avec Y._ en vue de lui confier la restauration d'un véhicule Mercedes-Benz 190 SL de l'année 1960, et il lui a remis une carte de visite indiquant sa fonction directoriale de X._ SA. Un devis fut signé le 13 février 2003 avec l'adjonction manuscrite « entre M. Y._ & M. A._ »; selon ce document, divers travaux de restauration du véhicule, y compris la remise en état complète du moteur, devaient être accomplis pour le prix de 20'000 euros. Y._ reçut alors un premier acompte de 3'800 euros. En mai 2003, un autre acompte de 8'500 euros fut versé au moyen d'un chèque souscrit par A._ au nom de X._ SA. Lorsqu'il reprit possession de l'automobile en novembre 2004, A._ remit encore un autre chèque tiré par X._ SA, au montant de 8'000 euros, qui se révéla dépourvu de provision. Dans l'intervalle, le 19 octobre 2004, Y._ avait adressé une lettre à X._ SA pour l'avertir que les travaux étaient terminés et que son directeur pouvait venir chercher le véhicule. Egalement à l'adresse de la société, Y._ a établi deux factures aux montants de 7'970 et 8'839,50 euros, la seconde remplaçant la première. B. Le 15 mai 2007, sur réquisition de Y._, l'office des poursuite de Genève a notifié un commandement de payer à X._ SA, au montant de 14'475 fr.60, soit la contre-valeur de cette dernière facture au jour de la réquisition, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 26 novembre 2004. X._ SA a fait opposition. Y._ a obtenu la mainlevée provisoire de l'opposition, devant le Tribunal de première instance du canton de Genève le 23 août 2007, puis, X._ SA ayant appelé du jugement, devant la Cour de justice le 8 novembre 2007. La Cour a jugé que le chèque tiré le 26 novembre 2004 constituait une reconnaissance de dette. X._ SA a ouvert action en libération de dette contre Y._. Elle contestait que son directeur eût traité en son nom avec le défendeur pour faire restaurer l'automobile; subsidiairement, elle faisait état d'un travail de restauration gravement défectueux. Elle a requis une expertise. Le défendeur a conclu au rejet de l'action. Après avoir interrogé les parties et entendu divers témoins, le Tribunal de première instance s'est prononcé le 11 décembre 2008. Il a refusé d'ordonner une expertise et il a rejeté l'action. La demanderesse ayant appelé à la Cour de justice, celle-ci a statué le 19 juin 2009. Elle a confirmé le refus d'une expertise. Elle a jugé que les prétentions du défendeur n'étaient pas entièrement conformes à la convention des parties. Elle a donc partiellement accueilli l'action en libération de dette, en ce sens que la demanderesse doit payer seulement 13'100 fr.80 avec intérêts à 5% par an dès le 15 mai 2007; à concurrence de ces sommes, la Cour a donné mainlevée définitive de l'opposition au commandement de payer. C. Agissant par la voie du recours constitutionnel, la demanderesse requiert le Tribunal fédéral de réformer l'arrêt de la Cour de justice en ce sens que la somme de 13'100 fr.80 ne soit pas due et que la poursuite pour dette ne soit pas continuée. Des conclusions subsidiaires tendent à l'annulation de l'arrêt et au renvoi de la cause à la Cour de justice pour nouvelle décision. Le défendeur conclut au rejet du recours. 