Faits: A. A.a. A._ est arrivé en Suisse en 1992, où il a travaillé depuis mai 1993 comme monteur en coupe-feu. Il a été victime le 23 avril 1994 d'un coup de pied dans le genou gauche et a été opéré du ménisque. La CNA a pris en charge le cas. En mars 1996, il a annoncé une rechute avec blocage du genou gauche et a subi une nouvelle intervention chirurgicale. Par décision du 20 avril 1999, confirmée sur opposition le 5 décembre 2000, la CNA a octroyé à A._ dès le 1er avril 1999 une rente d'invalidité pour une incapacité de gain de 30 %. A.b. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud - ci-après: l'office AI (VD) - a conclu à une invalidité de 100 % dès le 23 avril 1995. Par décision du 22 décembre 1997, il a alloué à A._ une rente entière d'invalidité à partir du 1er novembre 1995, en limitant le droit à la rente au 30 juin 1997. Dès le 3 juin 1997, A._ a bénéficié du versement d'indemnités journalières et effectué un stage de réadaptation jusqu'au 30 septembre 1998. Le docteur O._, médecin du Service médical régional AI (ci-après: SMR), ayant admis une capacité de travail de 50 % dans une activité adaptée (avis du 20 mai 1999), l'assuré a demandé à bénéficier d'une rente entière d'invalidité, ce que l'office AI (VD) a refusé par décision du 8 juin 2001, au motif qu'il présentait une incapacité de gain de 38 %. Par jugement du 21 mars 2002, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a annulé cette décision et renvoyé la cause à l'administration pour instruction complémentaire sur le plan psychiatrique et nouvelle décision. Le 1er novembre 2002, les docteurs O._ (spécialiste en médecine générale), B._ (rhumatologue FMH) et L._ (psychiatre), tous trois médecins du SMR, ont procédé à un examen clinique pluridisciplinaire. Dans un rapport du 4 novembre 2002, ils ont posé les diagnostics de trouble douloureux chronique localisé au genou gauche, de gonarthrose précoce (après lésion du ménisque interne, arthroscopie pour lésions des ménisques externes-internes réséquées, lésions partielles du ligament croisé antérieur non opéré et ostéochondrite) et de discrets troubles statiques rachidiens assortis de dysbalance musculaire favorisée par la démarche vicieuse. Ils ont considéré que l'atteinte du genou gauche n'engendrait pas d'incapacité de travail dans une activité adaptée et que l'examen psychiatrique n'avait pas mis en évidence de pathologie atteignant le seuil diagnostic et ont retenu une diminution de rendement de l'ordre de 20 % (sur un plein temps) afin de tenir compte de la persistance des douleurs et fixé à 80 % la capacité de travail exigible dans une activité adaptée, conclusion reprise par le docteur O._ dans un rapport d'examen du 12 décembre 2002. Dès le 26 mai 2003, A._ a bénéficié d'un stage d'observation professionnelle, interrompu en date du 19 juin 2003. Dans un rapport du 2 juillet 2003, le COPAI a déposé des conclusions allant dans le même sens que les médecins du SMR. Par décision du 9 octobre 2002 (recte: 2003), l'office AI (VD) a nié tout droit de A._ à une rente d'invalidité, au motif qu'il présentait une capacité de travail de 80 % dans une activité adaptée et une incapacité de gain de 14.08 %. L'assuré a formé opposition contre cette décision, en fournissant un certificat médical du 29 octobre 2003 de son médecin traitant, le docteur M._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie). Dans un rapport du 22 février 2005, ce médecin a retenu des difficultés liées à l'acculturation et des troubles de l'adaptation ([CIM-10] F43.25], tout en indiquant qu'on pouvait exiger du patient qu'il exerce une autre activité que sa profession de monteur d'isolations pare-feu et que dans un emploi de manoeuvre sans port de charges, il ne fallait pas s'attendre à une diminution de rendement. Par décision du 8 avril 2005, l'office AI (VD) a rejeté l'opposition. A._ a formé recours contre la décision sur opposition, que le Tribunal des assurances du canton de Vaud a rejeté par jugement du 11 août 2006. A.c. A._ a déposé le 4 septembre 2008 une nouvelle demande de prestations de l'assurance-invalidité auprès de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI). Le docteur M._ a produit un rapport du 5 novembre 2008. Dans un avis du 17 mars 2009, le docteur V._ (médecin du SMR) a considéré qu'il n'y avait rien de nouveau ni d'éléments démontrant une aggravation objective et durable de l'état de santé depuis 2005. Pour ce motif, l'office AI, par décision du 20 mai 2009, n'est pas entré en matière sur la demande. Par jugement du 4 novembre 2009, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève a rejeté le recours formé par l'assuré contre cette décision. A.d. Le 17 mai 2011, A._ a présenté une nouvelle demande de prestations de l'assurance-invalidité, en indiquant qu'il était en traitement auprès du docteur R._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie). Ce médecin, dans un document du 16 septembre 2011, a informé l'office AI qu'il suivait le patient depuis le 17 décembre 2009 d'une manière régulière pour son affection psychiatrique, et que les diagnostics posés par son prédécesseur s'étaient modifiés. Dans un rapport du 25 octobre 2011, le docteur R._ a posé les diagnostics avec effet sur la capacité de travail de trouble dépressif récurrent, épisode actuel sévère avec symptômes psychotiques ([CIM-10] F33.3), de delirium, sans précision (F05.9) et de trouble mixte des conduites et des émotions, sans précision (F92.9), et attesté une incapacité de travail de 100 % depuis le 1er janvier 2010. Le docteur I._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie), chargé par l'office AI d'effectuer une expertise psychiatrique, a procédé à l'examen de l'assuré le 7 mai 2012. Dans un rapport du 16 mai 2012, il a indiqué qu'il ne retenait aucun diagnostic sur le plan psychique ayant une répercussion sur la capacité de travail et a posé le diagnostic sans répercussion sur la capacité de travail de trouble anxieux et dépressif mixte ([CIM-10] F41.2), existant depuis au moins 2003. Il concluait qu'en l'absence d'une maladie psychiatrique incapacitante, il n'y avait pas d'incapacité de travail sur le plan psychique. Dans un préavis du 7 août 2012, l'office AI, se fondant sur un avis du docteur N._ (médecin du SMR) du 23 juillet 2012 qui se ralliait aux conclusions de l'expert, a informé A._ qu'il ne présentait pas d'affection médicale invalidante. L'assuré a fait part à l'office AI de ses observations, en l'invitant à prendre contact avec le docteur R._. Par décision du 25 septembre 2012, l'office AI, tout en s'exprimant sur ce point, a nié tout droit de A._ à des prestations de l'assurance-invalidité pour les motifs exposés dans son préavis. B. A._ a formé recours contre cette décision devant la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, en concluant à son annulation et à l'octroi d'une rente d'invalidité, subsidiairement de mesures de reclassement professionnel. Interpellé par la juridiction cantonale, le docteur R._, dans un rapport du 30 janvier 2013, a contesté les conclusions de l'expertise du docteur I._, en estimant que celle-ci minimisait tous les symptômes et diagnostics. Il a maintenu que l'assuré était incapable de travailler pour des raisons psychiatriques tant dans son activité habituelle que dans un travail adapté. La Chambre des assurances sociales a confié au docteur E._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie) le mandat d'effectuer une expertise psychiatrique. Les 10 avril et 8 mai 2013, l'expert a eu des entretiens avec A._, en présence de M me H._ (psychologue FSP). Dans un rapport du 26 juin 2013, il a posé les diagnostics de trouble mixte de la personnalité - immature, dépendant, anxieux - ([CIM-10] F61.0), d'épisode dépressif moyen (F32.1) et d'autres troubles délirants persistants (F22.8). Il indiquait que l'assuré manquait d'énergie vitale et était fatigable, ne pouvant pas supporter un effort de concentration continu, qu'il manquait d'estime de soi, se sentait honteux, était isolé et inadapté socialement, qu'il aurait eu besoin d'être soutenu et réconforté, revalorisé par rapport aux blessures narcissiques qu'il portait avec lui depuis une bonne quinzaine d'années et qu'il était ralenti et ne pouvait pas travailler vite et présentait un fort risque d'absentéisme pour cause de maladie. Compte tenu de ces éléments, l'expert a conclu que la capacité de travail était nulle. Dans un avis du 10 juillet 2013, le docteur N._, contestant les conclusions de l'expertise du docteur E._ du 26 juin 2013, a considéré qu'elle n'était pas convaincante, que l'isolement de l'assuré était dû à ses problèmes financiers et non à des affections psychiques et que la question de l'adaptation éventuelle du traitement médicamenteux évoquée par le docteur I._ n'avait pas obtenu de réponse. Par arrêt du 11 septembre 2013, la juridiction cantonale a admis le recours (ch. 2 du dispositif), annulé la décision de l'office AI du 25 septembre 2012 (ch. 3 du dispositif) et octroyé à A._ une rente entière d'invalidité à compter du 1er novembre 2011 (ch. 4 du dispositif). C. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à son annulation et à la confirmation de la décision de refus de prestations du 25 septembre 2012. A._ conclut, sous suite de frais et dépens, au rejet du recours. Il requiert l'octroi de l'assistance judiciaire. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. 