A.- Der 1965 geborene P._, Inhaber einer Niederlassungsbewilligung C, meldete sich am 9. April 1997 zur Arbeitsvermittlung an und beantragte ab diesem Datum Arbeitslosenentschädigung, welche ihm von der Arbeitslosenkasse des Kantons Luzern (nachfolgend: Kasse oder Beschwerdeführerin) zunächst auch gewährt wurde. Nachdem die Laufzeit des Ausländerausweises am 16. Februar 1998 geendigt hatte, forderte die Arbeitslosenkasse P._ mit Schreiben vom 14. Mai 1998 auf, eine Kopie der neuen, gültigen Aufenthaltsbewilligung einzureichen. Dieser Aufforderung kam er trotz Mahnungen vom 13. und 28. Juli 1998 nicht nach, worauf die Arbeitslosenkasse mit unangefochten in Rechtskraft erwachsener Verfügung vom 13. August 1998 androhungsgemäss einen Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung für die Monate Februar bis April 1998 ablehnte. Gleiches verfügte die Arbeitslosenkasse am 10. November 1998 für die Monate Mai bis Juli 1998. B.- Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern hiess die hiegegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 20. Dezember 1999 gut, hob die angefochtene Verfügung auf und wies die Sache an die Kasse zurück, damit sie die weiteren Anspruchsvoraussetzungen prüfe. C.- Die Kasse führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben. Während P._ sich nicht vernehmen lässt, verzichtet das Staatssekretariat für Wirtschaft auf eine Stellungnahme. 