Sachverhalt: A. Die aus ... stammende S._ arbeitete ab 16. Dezember 1996 als Krankenschwester im Alters- und Pflegeheim M._. Vom 27. November bis 12. Dezember 1997 war sie zu 100 % arbeitsunfähig geschrieben. Am 15. Dezember 1997 kündigte ihr die Heimleitung fristlos wegen unbegründeten Fernbleibens vom Arbeitsplatz. Ab 16. Dezember 1997 bezog S._ - nach einer Wartezeit von 30 Tagen - Krankentaggelder aufgrund einer Arbeitsunfähigkeit von 100 % bis 14. März 1998, von 50 % vom 15. bis 30. März 1998 und erneut von 100 % ab 21. August 1998. Ab 9. Februar 1999 unterzog sich S._ einer ambulanten Behandlung in der Psychiatrischen Universitätspoliklinik des Spitals X._. Es folgte ein stationärer Aufenthalt in der Psychiatrischen Klinik Y._ vom 23. März bis 9. April 1999. Im Dezember 1999 meldete sich S._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen sprach ihr die IV-Stelle Basel-Stadt mit Verfügungen vom 9. Januar 2003 aufgrund eines Invaliditätsgrades von 81 % ab 1. Dezember 1998 eine ganze Rente, ab 1. Februar 2000 samt einer Zusatzrente für ihren Ehemann zu. S._ war (auch nach ihrer Heirat am 22. Februar 2000) im Rahmen ihrer Tätigkeit als Krankenschwester im Alters- und Pflegeheim M._ bei der Stiftung Z._ berufsvorsorgeversichert gewesen. Diese lehnte ihr Gesuch um Ausrichtung einer Rente der beruflichen Vorsorge mit Schreiben vom 20. November 2003 und 1. Juli 2004 ab. B. Am 12. Mai 2005 liess S._ beim Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt Klage gegen die Stiftung Z._ einreichen mit den Rechtsbegehren, die Beklagte sei zu verpflichten, ihr eine Rente in noch zu bestimmender Höhe rückwirkend ab 1. Dezember 1998 auszurichten. Das kantonale Gericht holte die Klageantwort ein, zog die IV-Akten bei, wozu die Parteien Stellung nehmen konnten, und führte einen zweiten Schriftenwechsel durch. Mit Entscheid vom 16. Oktober 2008 hiess es die Klage gut. Es verpflichtete die Beklagte, der Klägerin ab Dezember 1998, allenfalls nach Erschöpfung der Taggeldzahlungen, bis April 2006 eine ganze Rente und ab Mai 2006 eine halbe Rente auszurichten. C. Die Stiftung Z._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 16. Oktober 2008 sei aufzuheben und die Klage abzuweisen, eventualiter die Sache zur Neubeurteilung an das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt zurückzuweisen. S._ lässt die Abweisung der Beschwerde beantragen. Kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung. 