Faits: A. A._, né en 1960, a été engagé par la Ville de Vevey en mars 1986 en qualité de manoeuvre affecté au Service de balayage. Il a été nommé fonctionnaire dès le 1er janvier 1989, puis promu respectivement ouvrier dès le 1er janvier 1990 et ouvrier mi-qualifié dès le 1er janvier 1993. Le 23 mars 1999, le prénommé a signé un descriptif général de sa fonction qui prévoyait que son travail principal consistait notamment à "exécuter les travaux de balayage mécanique du domaine public", à savoir "balayer les chaussées, trottoirs et places selon des circuits déterminés ou en fonction des besoins et opportunités, entretenir la machine, procéder au déneigement, observer l'état général du domaine public, assurer en alternance les services de fin de semaine et exécuter toutes les autres tâches confiées". En 2005, la Direction des espaces publics de la commune (ci-après: la Direction) a procédé à une réorganisation du Service de la voirie dans le but de valoriser la polyvalence des collaborateurs. L'ouvrier de voirie ne pouvait désormais plus être exclusivement affecté à la conduite de la balayeuse mécanique, mais devait également effectuer d'autres travaux tels que le balayage manuel, le déneigement, le nettoyage des fontaines publiques et toutes autres tâches d'intérêt général. B. En 2005 et 2006, les entretiens de qualification de A._ ont fait état d'une dégradation des rapports de travail et ont relevé ses nombreuses absences pour maladie, dues notamment à un traitement contre l'alcoolisme. Le 22 janvier 2007, l'intéressé a produit un certificat médical, attestant son incapacité à soulever des poids importants dépassant 3 à 4 kilos et recommandant l'exécution de tâches en position assise. Le 29 janvier 2007, la Direction a établi une note à l'attention du Service du personnel de la commune, dans laquelle elle relève l'important absentéisme du prénommé et explique qu'elle n'est pas en mesure de lui assurer un emploi compte tenu de son incapacité au travail. Le 9 juillet 2007, A._ a produit un nouveau certificat médical d'un docteur spécialiste en neurochirurgie, qui atteste que l'intéressé présente des lombalgies chroniques d'origine dégénérative nécessitant de "privilégier les positions alternées comme assise, debout" et l'empêchant de porter des charges supérieures à 5 à 10 kilos. Il y était également précisé que le prénommé était apte au travail à plein temps sous condition de décharge rachidienne. En 2007, A._ a été absent de son travail pour cause de maladie pendant 72 jours, compte tenu du pourcentage d'incapacité et sans prise en compte des jours de fin de semaine. Lors de sa séance du 24 janvier 2008, la Municipalité de Vevey (ci-après: la Municipalité) a décidé de mandater la fondation Intégration Pour Tous (IPT) afin d'aider A._ dans sa réinsertion professionnelle pour un montant maximal de 15'000 francs et de soumettre l'octroi de cette prestation à la résiliation des rapports de travail pour justes motifs dans un délai égal à la durée de la mesure, soit six mois pour la fin d'un mois. C. Le 21 février 2008, la Municipalité de Vevey a écrit à A._ qu'elle avait été informée des restrictions dans son activité professionnelle pour des raisons médicales ainsi que de ses absences pour incapacité de travail, et qu'elle désirait l'entendre à ce sujet conformément à l'art. 19 du Statut du personnel de la commune de Vevey du 13 septembre 1985 (ci-après: le Statut communal ou le règlement communal). La lettre mentionnait en intitulé "Diminution des capacités professionnelles pour des raisons de santé (articles 12, 18 et 19 du Statut du personnel communal)" et précisait qu'il pouvait se faire assister à cette occasion. Cette séance a eu lieu le 4 mars 2008 en présence d'un conseiller municipal, du chef du Service de la voirie et du chef du Service du personnel. La Municipalité a proposé à l'intéressé une reconversion professionnelle avec l'aide de la fondation IPT, tout en précisant que le renvoi n'était pas lié à une faute professionnelle. A._ a accepté cette solution. Par décision du 6 mars 2008, la Municipalité a licencié le prénommé pour le 30 septembre 2008 et mandaté la fondation IPT afin d'aider ce collaborateur dans sa réinsertion professionnelle. D. Par arrêt du 23 octobre 2008, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours formé par A._ contre la décision de la Municipalité. E. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral principalement d'annuler l'arrêt du Tribunal cantonal et la décision de licenciement de la Municipalité, subsidiairement de renvoyer la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Il se plaint d'une constatation inexacte et incomplète des faits, d'une interprétation arbitraire du Statut communal et d'une violation des art. 60 et 61 de la constitution du canton de Vaud du 14 avril 2003 (Cst./VD; RS 131.231). Le Tribunal cantonal conclut au rejet du recours en se référant aux considérants de son arrêt. La Municipalité de Vevey conclut également au rejet du recours en se prévalant de l'autonomie communale et dépose une décision de la Caisse intercommunale de pensions (ci-après: la CIP) du 19 novembre 2008 allouant au recourant, dès le 1er octobre 2008, une rente d'invalidité définitive de 100 % donnant droit à des prestations mensuelles de 5'452,6 francs. Invité à se déterminer, le recourant mentionne que lesdites prestations mensuelles sont inférieures à son salaire et qu'il ne s'agit que d'une avance conditionnée au fait qu'il annonce son cas à l'assurance invalidité. 