Faits : Faits : A. A.a T._, a travaillé en qualité de réceptionniste du secteur «Recherche et Développement» des Fabriques X._SA. Le 9 octobre 1997, la prénommée a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité auprès de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel. Elle a présenté une incapacité de travail de 50 % du 6 janvier au 11 avril 1997, de 100 % du 12 avril au 22 juin 1997, de 50 % du 23 juin au 3 août 1997, de 100 % du 4 août au 18 août 1997, de 50 % du 19 août 1997 au 1er février 1998, de 100 % du 2 au 7 février 1998, de 50 % du 8 février au 20 juin 1998, de 100 % du 21 juin 1998 au 3 janvier 1999, de 75 % du 4 janvier au 21 mars 1999, de 50 % du 22 mars au 25 juin 1999, de 100 % du 26 juin au 14 août 1999 et de 50 % dès le 15 août 1999. L'office AI a confié une expertise à la doctoresse A._, spécialiste FMH en médecine interne et spécialiste des maladies rhumatismales. Dans un rapport du 24 novembre 1999, l'expert a posé le diagnostic de syndrome lombo-vertébral persistant sur status après laminectomie décompressive étagée L3 à S1 et spondylodèse par fixation bilatérale L3 à S1 pour canal lombaire étroit associé à une instabilité vertébrale, de status après cure de hernie discale L5 S1 droite en 1989, de status après colectomie pour délichomégacôlon en 1978 et de constipation chronique grave. Elle concluait à une capacité de travail de l'ordre de 50 % dans l'activité de secrétaire-réceptionniste. Dans un prononcé du 6 avril 2000, l'office AI a conclu à une invalidité de 50 % dès le 1er janvier 1998, de 100 % dès le 1er septembre 1998, de 50 % dès le 1er avril 1999, de 100 % dès le 1er juin 1999, de 50 % dès le 1er septembre 1999, nulle à partir du 1er octobre 1999 et de 50 % depuis le 1er janvier 2000. Par décisions du 18 mai 2000, il a alloué à T._ une demi-rente d'invalidité du 1er janvier au 31 août 1998, une rente entière d'invalidité du 1er septembre 1998 au 31 mars 1999, une demi-rente d'invalidité du 1er avril au 31 mai 1999, une rente entière d'invalidité du 1er juin au 31 août 1999, une demi-rente d'invalidité pour le mois de septembre 1999 et à partir du 1er janvier 2000. A.b Le 17 juillet 2000, T._ a demandé la révision de son droit à une demi-rente d'invalidité. Invoquant une aggravation sensible de son état de santé, elle signalait un arrêt de travail à 100 % du 3 mars au 24 mai 2000 et déclarait que l'arrêt de travail était définitif depuis le 1er juillet 2000. Dans un rapport intermédiaire du 26 juillet 2000, le docteur B._, spécialiste FMH en médecine générale et médecin traitant de l'assurée, concluait à une incapacité de travail de 100 % dans la profession de réceptionniste dès le 1er juillet 2000, d'une durée indéterminée. Il indiquait que l'état de santé de l'assurée était trop instable pour envisager une reprise durable de l'activité professionnelle. Le 3 novembre 2000, l'office AI a informé l'assurée que son invalidité n'avait pas changé au point d'influencer son droit à une demi-rente d'invalidité, faute d'une diminution durable et significative de sa capacité de travail depuis son évalua tion par l'expert A._. T._ a contesté les conclusions de l'office AI. Le 13 novembre 2000, le docteur B._ a informé celui-ci que la situation de la patiente s'était dégradée principalement au niveau psychologique et qu'une évaluation psychiatrique était dorénavant indiquée, afin d'apprécier les possibilités pour l'assurée de reprendre suffisamment confiance en elle pour rechercher un travail à 50 %. De leur côté, les Fabriques X._SA, par lettre du 29 novembre 2000, ont avisé l'office AI que le rendement de T._ s'était singulièrement détérioré et qu'elle ne pouvait plus assumer ses responsabilités, étant donné qu'elle était absente de son travail à de nombreuses reprises et que chaque mouvement pouvait provoquer chez elle à tout moment un blocage du dos, raison pour laquelle l'entreprise s'était séparée de son employée. Sur requête du médecin de l'office AI, le professeur C._, médecin-chef du Service de rhumatologie, médecine physique et réhabilitation du Centre hospitalier Z._, a procédé à une expertise. Il a déposé ses conclusions dans un rapport du 15 mars 2001. Par décision du 25 avril 2001, l'office AI a rejeté la demande, l'invalidité de l'assurée n'ayant pas changé au point d'influencer son droit à une demi-rente. Il indiquait que la nature fluctuante de l'atteinte à la santé, décrite par l'expert, expliquait que les symptômes ressentis puissent varier en intensité sans que de ce fait une aggravation de son état de santé puisse être objectivement retenue. Par décision du 25 avril 2001, l'office AI a rejeté la demande, l'invalidité de l'assurée n'ayant pas changé au point d'influencer son droit à une demi-rente. Il indiquait que la nature fluctuante de l'atteinte à la santé, décrite par l'expert, expliquait que les symptômes ressentis puissent varier en intensité sans que de ce fait une aggravation de son état de santé puisse être objectivement retenue. B. T._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, en concluant, sous suite de dépens, à l'annulation de celle-ci, le tribunal étant invité à dire qu'elle avait droit à une rente entière d'invalidité dès le dépôt de sa demande de révision. A titre subsidiaire, elle demandait que le dossier soit renvoyé à l'office AI et que soit ordonnée une expertise médicale à effectuer par un expert neutre. Elle relevait qu'il n'est pas fait mention, dans le dossier, d'une éventuelle expertise psychiatrique devant être mise sur pied. B. T._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, en concluant, sous suite de dépens, à l'annulation de celle-ci, le tribunal étant invité à dire qu'elle avait droit à une rente entière d'invalidité dès le dépôt de sa demande de révision. A titre subsidiaire, elle demandait que le dossier soit renvoyé à l'office AI et que soit ordonnée une expertise médicale à effectuer par un expert neutre. Elle relevait qu'il n'est pas fait mention, dans le dossier, d'une éventuelle expertise psychiatrique devant être mise sur pied. C. Par jugement du 9 juillet 2001, la juridiction cantonale a rejeté le recours. En bref, elle a considéré qu'en l'absence d'une aggravation de l'état de santé depuis la décision initiale de rente fondée sur la première expertise du 24 novembre 1999, la demande de révision du droit à la rente formulée par l'assurée devait être rejetée, solution qui s'imposait en dépit de l'incapacité totale de travail attestée par les médecins traitants durant les mois de mars à mai 2000 et à nouveau dès le 1er juillet 2000 et en dépit également du congé que lui avait signifié son employeur. C. Par jugement du 9 juillet 2001, la juridiction cantonale a rejeté le recours. En bref, elle a considéré qu'en l'absence d'une aggravation de l'état de santé depuis la décision initiale de rente fondée sur la première expertise du 24 novembre 1999, la demande de révision du droit à la rente formulée par l'assurée devait être rejetée, solution qui s'imposait en dépit de l'incapacité totale de travail attestée par les médecins traitants durant les mois de mars à mai 2000 et à nouveau dès le 1er juillet 2000 et en dépit également du congé que lui avait signifié son employeur. D. Dans un mémoire du 28 août 2001, T._ interjette recours de droit administratif contre ce jugement, en concluant, sous suite de dépens, à l'annulation de celui-ci, le Tribunal fédéral des assurances étant invité à dire qu'elle a droit à une rente entière d'invalidité dès le dépôt de sa demande de révision. A titre subsidiaire, elle demande que le dossier soit renvoyé à l'office AI pour nouvelle décision au sens des considérants. Produisant copie d'une prise de position du 20 août 2001 du docteur D._, docteur en chiropratique à W._, ainsi que de rapports médicaux du docteur E._, spécialiste FMH en médecine interne et médecine du travail et médecin d'entreprise de V._ SA, du 6 août 2001, du docteur B._ du 17 août 2001 et de la doctoresse A._ du 21 août 2001, elle reproche au médecin de l'office AI son attitude dans l'instruction du dossier, spécialement son appréciation du 18 décembre 2000 où celui-ci se fonde sur l'absence de psychopathologie manifeste. Elle se réfère au docteur F._, médecin-assistant du Centre psycho-social S._, dont elle déclare qu'il a dia E. gnostiqué un état anxio-dépressif grave, et annonce qu'elle produira le rapport de ce médecin qui n'est pas encore en sa possession. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel conclut au rejet du recours. Par lettre datée du 17 octobre 2001, remise à la poste le 18 octobre 2001, T._ produit un document établi par le Centre psycho-social S._, intitulé «résumé» et daté de septembre 2001. 