Faits: A. Y._, né le 28 juin 1994, est au bénéfice d'un contrat d'assurance conclu avec X._ SA (ci-après: X._ ou l'assureur) qui porte d'une part sur l'assurance obligatoire des soins et, d'autre part, sur diverses assurances complémentaires, en particulier une assurance appelée "maxi" qui le couvre pour les frais d'hospitalisation en division privée de tous les établissements publics et privés. En 2004, il a subi une lésion du ligament croisé antérieur du genou droit à la suite d'une chute à ski. Cet accident n'a entraîné qu'un traitement ambulatoire, de sorte qu'il n'a pas eu à solliciter les prestations de l'assurance "maxi". Le 14 février 2010, il a fait une nouvelle chute à ski, lui causant une lésion avec déchirure en anse de seau du ménisque externe. Le 19 février 2010, le Dr A._, spécialiste en chirurgie orthopédique, a pratiqué, à la Clinique ..., une méninsectomie totale en urgence. L'assureur a immédiatement informé la clinique qu'il ne prendrait pas en charge les frais supplémentaires inhérents à un séjour en division privée, pour le motif que l'assurance complémentaire souscrite ne couvre que le risque maladie, et non le risque accident. Nonobstant cette prise de position de l'assureur - dont les parents de l'adolescent ont eu connaissance -, la seconde intervention chirurgicale qui avait été programmée, soit une plastie ligamentaire, a eu lieu le 12 avril 2010, toujours en division privée de la Clinique .... Par pli du 8 juin 2010, l'assureur a refusé de prendre en charge les frais de la première intervention dans la mesure où ils ne peuvent pas être couverts par l'assurance obligatoire des soins. Ce refus porte sur une somme de 15'002 fr. 15. Par lettre du 25 juin 2010, l'assureur a refusé de prendre en charge les frais de la seconde hospitalisation dans la mesure où ils ne peuvent être couverts par l'assurance obligatoire des soins. Ce second refus porte sur une somme de 17'750 fr. 55. B. Le 23 septembre 2010, l'assuré a saisi le Tribunal cantonal des assurances sociales (auquel a succédé la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice) d'une demande en paiement dirigée contre l'assureur, concluant à ce que ce dernier soit condamné à lui verser la somme 32'752 fr. 70. A l'appui de sa demande, l'assuré a produit deux polices délivrées par X._ (pièces nos 3 et 4 du chargé du demandeur; complétement d'office de l'état de fait en application de l'art. 105 al. 2 LTF). La première police, délivrée le 16 octobre 1997, est valable dès le 1er janvier 1998; elle prévoit l'assurance complémentaire "maxi" pour les frais d'hospitalisation en division privée et, sous la mention "accidents inclus", porte l'indication "oui". La seconde police mentionne, pour les assurances complémentaires, la date du 1er janvier 2005 pour le début du contrat et la date du 31 décembre 2010 pour son expiration. Pour l'assurance complémentaire "maxi" couvrant les frais d'hospitalisation en division privée, il est indiqué, sous la mention "couverture des accidents", la réponse "non". Les deux polices produites comportent la mention: "si la teneur de la police ou des avenants ne concorde pas avec les conventions intervenues, le preneur d'assurance doit en demander la rectification dans les quatre semaines à partir de la réception de l'acte; faute de quoi, la teneur en est considérée comme acceptée". L'assuré, expliquant qu'il n'a pas lu la police, soutient que la couverture pour le risque d'un accident a été supprimée par l'assureur à son insu. L'assureur s'est opposé à la demande en totalité, faisant valoir que la police déterminante pour la période en cause, soit celle du 1er janvier 2005 au 31 décembre 2010, prévoit clairement qu'il n'y a pas de couverture en cas d'accident et qu'il appartenait à l'assuré, s'il n'était pas d'accord, de protester conformément à l'avis qui lui avait été donné. Il n'a pas été possible d'établir pour quelle raison la couverture pour le risque d'accident, qui était prévue dans la première police, ne figurait pas dans la seconde police produite. Statuant en instance cantonale unique le 1er mars 2011, la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice du canton de Genève a admis la demande et condamné X._ SA à verser à Y._ la somme de 32'752 fr. 70, auxquels s'ajoutent 2'500 fr. à titre de dépens. C. X._ SA exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal du 1er mars 2011. Invoquant une violation des art. 12 LCA et 97 CO, ainsi qu'une constatation manifestement inexacte des faits, l'assureur conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au rejet de la demande. Sa requête d'effet suspensif a été admise par ordonnance présidentielle du 11 mai 2011. L'intimé conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens. 