Sachverhalt: A. X._ (geb. 1974) und Y._ (geb. 1974) sind die nicht verheirateten Eltern der Z._ (geb. 2004). Auf Antrag der damals noch in gemeinsamem Haushalt lebenden Eltern übertrug ihnen die Vormundschaftsbehörde Zürich mit Beschluss vom 11. Juli 2005 die gemeinsame elterliche Sorge. Nachdem der Vater im Dezember 2007 aus der gemeinsamen Wohnung ausgezogen war, ersuchte die Mutter die Vormundschaftsbehörde darum, ihr die alleinige Sorge über die Tochter zu übertragen und dem Vater ein Besuchsrecht einzuräumen (Gesuch vom 14. Februar 2008). Für die Dauer des Sorgerechtsverfahrens wurde Z._ vorsorglich unter die Obhut der Mutter gestellt und das Besuchsrecht des Vaters geregelt; seit dem 10. Juni 2008 besteht eine Besuchsrechtsbeistandschaft. Mit Beschluss vom 24. November 2009 beantragte die Vormundschaftsbehörde dem Bezirksrat Zürich, die gemeinsame Sorge über Z._ aufzuheben und der Mutter allein zu übertragen sowie dem Vater ein Besuchsrecht einzuräumen. Am 7. Dezember 2009 führte der Vater gegen diesen Beschluss Beschwerde beim Bezirksrat Zürich. Er forderte die Beibehaltung der gemeinsamen elterlichen Sorge und Änderungen im Besuchsrecht. Am 27. Mai 2010 entschied der Bezirksrat, die gemeinsame elterliche Sorge aufzuheben und die von der Vormundschaftsbehörde getroffene Besuchsregelung zu bestätigen. B. Gegen diesen Beschluss des Bezirksrates richtete der Vater einen Rekurs an das Obergericht des Kantons Zürich. Er beantragte, die gemeinsame Sorge sei beizubehalten, und wiederholte die schon dem Bezirksrat beantragten Änderungen des Besuchsrechts. Das Obergericht wies den Rekurs ab (Beschluss vom 27. Juli 2010). C. Mit Eingabe vom 13. September 2010 wendet sich X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) an das Bundesgericht und stellt das Begehren, die gemeinsame elterliche Sorge sei beizubehalten; eventualiter sei die Sache an das Obergericht zurückzuweisen verbunden mit der Auflage, ein Gutachten anzuordnen. Mit Verfügung vom 12. Oktober 2010 schrieb die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung ein Gesuch um aufschiebende Wirkung als gegenstandslos ab mit der Begründung, das Urteil, mit welchem die gemeinsame elterliche Sorge aufgehoben werde, sei ein Gestaltungsurteil, dem von Gesetzes wegen die aufschiebende Wirkung zukomme (Art. 103 Abs. 2 lit. a BGG). Es wurden die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. 