Faits: A. A.a Y._ SA (Y._ ou la défenderesse), dont le siège est à Genève dans les locaux de la société V._ SA, est une filiale du groupe W.Y._, sis en Floride (Etats-Unis d'Amérique); elle a pour but d'offrir, principalement en Europe, des services en matière d'administration, de comptabilité, de contrôle et de gestion financière aux sociétés et clients du groupe. Par contrat de travail écrit du 24 mai 2005, dont la passation avait été précédée de négociations ayant duré plusieurs mois, Y._ a engagé X._ (le demandeur), ressortissant américain né en 1931 et domicilié dans l'Etat de Virginie, en qualité de « senior advisor » au plus tard dès le 1er novembre 2005, cela pour une durée d'une année. Ce contrat, rédigé par A._, directeur de W.Y._, sous forme de lettre à contresigner pour accord, ne contenait aucune description des tâches confiées au travailleur. Il a toutefois été retenu, sur la base des déclarations de X._ en instance cantonale non contredites par Y._, que le premier devait mettre à disposition de la seconde sa large expérience passée et son réseau de relations dans le domaine de l'éducation, de la culture et des organisations non gouvernementales à but idéal (ONG) pour présenter les services offerts par Y._ à des clients potentiels. Le salaire annuel de X._ se montait à 150'000 EUR; s'y ajoutait une allocation de 100'000 fr. pour les dépenses liées à la vie courante, payable à raison de 25'000 fr. au début du contrat, puis par des versements mensuels de 6'250 fr. pendant 12 mois. La convention en cause renfermait encore une réglementation dite « intérimaire » pour la période précédant son entrée en vigueur, soit celle courant du 24 mai au 1er novembre 2005 au plus tard. Il était ainsi stipulé que X._ devait travailler pour Y._ moyennant un salaire journalier de 750 US$. Si l'exécution du contrat nécessitait une « relocalisation à Genève » du travailleur au plus tard le 1er novembre 2005, celle-ci n'était pas requise avant ce terme. Il résulte de la demande d'autorisation de travail pour ressortissant hors UE/AELE, acceptée par l'autorité compétente, que X._ était engagé à compter du 1er novembre 2005 pour un salaire annuel brut de 330'000 fr. A.b X._ n'est arrivé à Genève qu'à la mi-novembre 2005. Dans un courriel adressé à une de ses relations le 29 décembre 2005, il a indiqué avoir passé beaucoup de temps à s'installer et ajouté que le « vrai travail » allait pouvoir commencer en janvier 2006. A.c Le 8 décembre 2005, A._ a adressé un courrier électronique à X._ en lui reprochant de ne s'être toujours pas installé à Genève et de n'avoir pas travaillé pour Y._, se contentant de régler des affaires personnelles et d'encaisser la rémunération convenue. A._ proposait à X._ de repousser au 1er février 2006 l'entrée en vigueur du contrat conclu le 24 mai 2005 pour lui permettre de s'installer correctement, non sans rappeler au travailleur que la convention en question ne prévoyait aucune mise à disposition d'un bureau ou de personnel administratif. X._ a répondu le 9 décembre 2005 à ce courriel qu'il s'était rendu à une conférence de la fondation R._ à Londres les 2, 3 et 4 décembre 2005 pour y développer des relations et présenter Y._. Il a demandé à A._ de le laisser travailler et de le juger selon les termes de son contrat, à savoir les résultats obtenus au printemps-été 2006. Selon la liste des participants à la conférence susmentionnée, X._ y a pris part sous divers titres, mais non comme « senior advisor » de Y._. Par un nouveau courrier électronique du 22 décembre 2005, Y._ a fait savoir à X._ qu'elle restait depuis octobre 2005 dans l'attente de ses coordonnées téléphoniques pour lui remettre des cartes de visite à son nom. Le même jour, le travailleur a informé A._ qu'il avait enfin trouvé un appartement à Genève. Par courrier du 2 janvier 2006 adressé à A._, X._ a déclaré « vouloir calmer les choses » en proposant de suspendre le versement de sa rémunération en décembre 2005 et janvier 2006. Le 25 janvier 2006, X._ a précisé à Y._ ne pas avoir travaillé entre le 1er novembre et le 10 décembre 2005, hormis l'accomplissement de deux voyages d'affaires en Suisse, qualifiés de « très prometteurs », et la préparation de déplacements, prévus en février et mars 2006, à destination de l'Allemagne et du Royaume-Uni. Il a ajouté qu'il avait entrepris des démarches pour trouver un bureau dans les locaux de l'Université de Genève. Ces démarches semblent être restées infructueuses puisqu'en février 2006, X._ devait se rendre dans un établissement public pour disposer d'un accès internet. Le 26 février 2006, X._ a fait part à A._, par courriel, de la planification de ses projets pour les mois à venir. Au moyen d'un courrier électronique du 14 mars 2006, X._ a protesté auprès de V._ SA, société qui s'occupe de la comptabilité de Y._, contre le report par celle-ci au 1er janvier 2006 du début des relations de travail, affirmant n'avoir pas donné son aval à une telle modification contractuelle. Il a déclaré avoir travaillé pour Y._ en novembre et décembre 2005 et avoir été rémunéré à ce titre par l'employeur. Le 3 avril 2006, X._ s'est derechef plaint auprès de A._, par courriel, de ce que Y._ avait décidé unilatéralement de repousser le commencement de leurs rapports contractuels au 1er janvier 2006. Dans ce courriel, il a proposé « de ne pas considérer la période du 12 décembre 2005 au 12 janvier 2006 », laps de temps pendant lequel il a assuré avoir travaillé dur pour Y._, certes depuis Washington faute d'avoir disposé alors à Genève d'un espace pour exécuter ses tâches; il a averti A._ que si Y._ désirait le « virer », elle devrait lui payer les sommes qui lui sont dues en vertu du contrat de travail du 24 mai 2005, dès l'instant où il n'avait pas violé ses obligations contractuelles. Y._ a répondu à ce courrier électronique par pli du 7 avril 2006. Cette société y a exposé liminairement que le maintien des relations contractuelles avec X._ n'avait désormais plus de sens. Comme ce dernier ne s'était pas installé à Genève au 1er novembre 2005, elle aurait eu la possibilité de mettre à ce moment un terme au contrat de travail, mais avait cependant décidé d'être accommodante. Y._ a fait grief au travailleur de n'avoir disposé d'un numéro de téléphone qu'en février 2006. En outre, a-t-elle poursuivi, si X._ avait suggéré de renoncer à sa rémunération pendant deux mois par courrier du 2 janvier 2006, c'est bien parce qu'il admettait ne pas avoir rempli ses devoirs contractuels. Dans ce contexte, Y._ a invité X._ à présenter lui-même sa démission immédiate s'il voulait éviter un licenciement et lui a remis, en annexe à son courrier, un projet de lettre de démission par lequel X._ reconnaissait notamment ne plus avoir aucune prétention à faire valoir contre son employeur et s'engageait à ne pas intenter d'action en justice en relation avec les rapports de travail. X._ n'ayant pas répondu à cette lettre, A._, par courriel du 13 avril 2006, a confirmé les termes du pli du 7 avril précédent et a à nouveau enjoint le travailleur de démissionner, à défaut de quoi Y._ procéderait à son licenciement. Le 30 avril 2006, sous la plume de A._, Y._ a informé par courriel X._ qu'elle résiliait avec effet immédiat le contrat conclu le 24 mai 2005, au motif qu'il n'avait pas démissionné comme on le lui avait demandé le 7 avril 2006. X._ a contesté, par lettre du 13 juin 2006, l'existence d'un juste motif autorisant un congé sans délai. Le même jour, A._ a adressé à X._ un projet de convention en vue de régler la poursuite des relations contractuelles avec Y._ sous une autre forme, le travailleur devenant un consultant pour ladite société, payé dorénavant à la commission. X._ n'a pas accepté cette proposition. B. B.a Par demande du 8 décembre 2006, X._ a ouvert action contre Y._ devant le Tribunal des prud'hommes de Genève. Il a réclamé à la défenderesse les montants suivants: - 100'000 EUR à titre de salaires pour les mois de mars à octobre 2006 avec intérêts à 5% l'an dès le premier jour du mois suivant leur échéance; - 68'750 fr. à titre de participation aux frais et dépenses pour les mois de décembre 2005 à octobre 2006, plus intérêts à 5% l'an dès le premier jour du mois suivant leur échéance; - 6'250 EUR au titre d'indemnités pour vacances non prises en nature, avec intérêts à 5% l'an dès le 1er novembre 2006; - 75'000 EUR et 50'000 fr. à titre d'indemnités pour congé immédiat injustifié, avec intérêts à 5% l'an dès le 1er mai 2006; - 20'000 fr. en réparation du tort moral éprouvé. La défenderesse a conclu à sa libération. Le Tribunal des prud'hommes a entendu trois témoins, soit B._, biochimiste qui connaît le demandeur depuis 1998, le directeur de W.Y._ A._ et D._, administrateur de V._ SA. Convoqué en tant que témoin par le demandeur, C._, qui travaillait anciennement à la banque M._ de Zurich, n'a pas comparu, expliquant qu'il vivait désormais à Dubaï; le prénommé a toutefois déposé une déclaration écrite. B.b Par jugement du 21 septembre 2007, le Tribunal des prud'hommes a condamné la défenderesse à verser au demandeur les sommes nette de 68'750 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 15 mai 2006 et brute de 100'000 EUR plus intérêts à 5% l'an dès le 1er juillet 2006 correspondant à ce qu'il aurait perçu si le contrat de travail avait pris fin de façon ordinaire, ainsi que les montants nets de 18'750 fr. et 37'500 EUR avec intérêts à 5% l'an dès le 1er mai 2006 à titre d'indemnités pour licenciement immédiat injustifié, la partie qui en a la charge étant invitée à opérer les déductions sociales usuelles. Les premiers juges ont retenu qu'aucun motif ne permettait à la défenderesse de résilier avec effet immédiat le contrat de travail du 24 mai 2005 et qu'il ressortait au contraire des faits établis que le demandeur avait été licencié parce qu'il avait refusé la modification de son contrat. Le travailleur avait donc droit aux salaires qu'il aurait perçus si le contrat avait duré jusqu'à son terme, plus une indemnité pour congé abrupt injustifié équivalant à trois mois de la rémunération mensuelle convenue. B.c Saisie d'un appel de la défenderesse, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève, par arrêt du 28 octobre 2008, a annulé le jugement précité et, statuant à nouveau, débouté le demandeur de toutes ses conclusions. La cour cantonale a considéré en substance que le demandeur n'avait jamais fourni la moindre prestation concrète prévue par le contrat de travail du 24 mai 2005 et qu'au début de son activité il ne disposait à Genève ni d'un logement ni d'aucun moyen de communication de sorte qu'il fallait lui reprocher une carence totale d'organisation doublée d'un défaut d'une infrastructure de base pour mener à bien les tâches qui lui avaient été confiées. La Cour d'appel en a déduit que la défenderesse était fondée à congédier sans délai le demandeur. C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cet arrêt. Il conclut principalement à ce que la défenderesse soit déclarée sa débitrice des montants qui suivent: - 68'750 fr. nets avec intérêts à 5% l'an dès le 15 mai 2006 à titre d'indemnité de logement pour les mois de décembre 2005 à octobre 2006; - 100'000 EUR bruts avec intérêts à 5% l'an dès le 1er juillet 2006 à titre de salaires pour les mois de mars à octobre 2006; - 18'750 fr. nets et 37'500 EUR nets, plus intérêts à 5% l'an dès le 1er mai 2006, au titre d'indemnités pour licenciement injustifié selon l'art. 337c al. 3 CO. Subsidiairement, le recourant requiert le renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision et/ou instruction complémentaire dans le sens des considérants. L'intimée propose le rejet du recours. 