Sachverhalt: A. Mit Verfügung vom 15. Januar 2004 erteilte der Rechtsöffnungsrichter beim Kantonsgerichtspräsidium Zug in der gegen die Z._ AG laufenden Betreibung Nr. xxx (Betreibungsamt Zug) definitive Rechtsöffnung. Die Z._ AG erhob gegen den Rechtsöffnungsentscheid am 29. Januar 2004 Beschwerde nach § 208 ZPO/ZG bei der Justizkommission des Obergerichts des Kantons Zug. Am 25. Februar 2004 drohte das Betreibungsamt Zug nach Eingang des Fortsetzungsbegehrens der Z._ AG den Konkurs an (Konkursandrohung vom 20. Januar 2004). Am 27. Februar 2004 verfügte der Vorsitzende der Justizkommission des Obergerichts (gemäss § 209 Abs. 1 ZPO/ZG), dass der Beschwerde gegen den Rechtsöffnungsentscheid aufschiebende Wirkung zukomme. Mit Urteil vom 15. April 2004 wies die Justizkommission des Obergerichts die Beschwerde gegen den Rechtsöffnungsentscheid ab. Der Beschwerdeentscheid wurde im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde (ohne Zuerkennung der aufschiebenden Wirkung) erfolglos angefochten (Urteil 5P.181/2004 des Bundesgerichts vom 4. August 2004). B. Gegen die Konkursandrohung des Betreibungsamtes vom 25. Februar 2004 erhob die Z._ AG Beschwerde nach Art. 17 SchKG und verlangte die Aufhebung der Konkursandrohung. Zur Begründung brachte sie vor, die nachträglich angeordnete aufschiebende Wirkung des Rechtsmittels gegen den Rechtsöffnungsentscheid verlange die Rückgängigmachung der Konkursandrohung. Mit Urteil vom 16. April 2004 wies das Obergericht des Kantons Zug, Justizkommission, als Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs die Beschwerde ab. C. Die Z._ AG hat das Urteil der kantonalen Aufsichtsbehörde mit Beschwerdeschrift vom 30. April 2004 (rechtzeitig) an die Schuldbetreibungs- und Konkurskammer des Bundesgerichts weitergezogen und beantragt die Aufhebung des angefochtenen Urteils sowie der Konkursandrohung. Weiter verlangt sie aufschiebende Wirkung. Die Betreibungsgläubigerin als Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Betreibungsamt hat keine Stellungnahme eingereicht. Die Aufsichtsbehörde hat anlässlich der Aktenüberweisung auf Gegenbemerkungen (Art. 80 OG) verzichtet und schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Mit Präsidialverfügung vom 7. Mai 2004 ist der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt worden. 