Sachverhalt: A. A.a. Am 3. bzw. 6. Februar 2012 meldete sich A._ bei der Arbeitslosenversicherung zur Arbeitsvermittlung und zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 24. Februar 2012 verneinte die Arbeitslosenkasse des Kantons Luzern (nachfolgend Kasse) den Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung, da er die vom 3. Februar 2010 bis 2. Februar 2012 dauernde Beitragszeit nicht erfüllt und diesbezüglich auch kein Befreiungsgrund vorgelegen habe. Die hiegegen erhobene Einsprache wies sie mit Entscheid vom 21. Juni 2012 ab. Mit unangefochten in Rechtskraft erwachsener Verfügung vom 29. Juni 2012 verneinte die Dienststelle Wirtschaft und Arbeit des Kantons Luzern (wira) die Vermittlungsfähigkeit des Versicherten ab 3. Februar 2012. A.b. Mit Verfügungen vom 27. Juni 2012 gewährte die IV-Stelle Luzern dem Versicherten ab 1. März bis 30. Juni 2006 eine ganze Invalidenrente, ab 1. Juli bis 30. September 2006 eine halbe Invalidenrente, ab 1. Oktober 2006 bis 31. August 2007 keine Invalidenrente und ab 1. September 2007 bis 31. März 2008 eine ganze Invalidenrente. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das kantonale Gericht mit Entscheid vom 8. April 2013 ab. Diese Sache ist Gegenstand des Parallelverfahrens 8C_366/2013, das auch mit heutigem Urteil erledigt wurde. B. Die gegen den Einspracheentscheid der Kasse vom 21. Juni 2012 eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern (heute: Kantonsgericht Luzern) mit Entscheid vom 8. April 2013 ab, nachdem es das zuhanden der IV-Stelle Luzern erstellte Gutachten der MEDAS vom 23. Dezember 2010 beigezogen hatte. C. Mit Beschwerde beantragt der Versicherte, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei festzustellen, dass in der Zeit vom 3. Februar 2010 bis 2. Februar 2012 ein Befreiungsgrund von der Beitragspflicht vorliege; die Sache sei zur weiteren Klärung des Anspruchs auf Arbeitslosengelder ab 3. Februar 2012 an die Kasse bzw. die wira zurückzuweisen. Ein Schriftenwechsel wurde nicht angeordnet. 