Sachverhalt: A. Die X._ Holding AG mit Sitz in Zürich (Klägerin) ist Eigentümerin von 44,5 % der Aktien der Y._ AG mit Sitz in Basel (Beklagte) und damit deren grösste Einzelaktionärin. Die Aktienmehrheit der Y._ AG liegt bei den sog. "Altaktionären" um A.B._ ("Aktionärsgruppe B._"). Gemäss Aktionärbindungsvertrag vom 16. Februar 2001 umfasst der Verwaltungsrat der Gesellschaft vier Mitglieder, wobei die X._ Holding AG und die Aktionärsgruppe B._ je Anspruch auf zwei Verwaltungsräte haben. Verwaltungsratspräsidium und Tagespräsidium an den Verwaltungsratssitzungen, beides mit Stichentscheid bei Stimmengleichheit, stehen der Aktionärsgruppe B._ zu, wobei den von der X._ Holding AG gestellten Mitgliedern des Verwaltungsrates bei unternehmenspolitischen Grundsatzfragen und bei Sachgeschäften im zehnfachen Ausmass der Entscheidungslimite des Verwaltungsrates im Falle eines Stichentscheids ein Vetorecht zusteht. B. Am 9. Februar 2005 reichte die X._ Holding AG beim Dreiergericht des Zivilgerichts Basel gegen die Y._ AG eine Klage auf Einsetzung eines Sonderprüfers ein, welche das Dreiergericht mit Urteil vom 25. Juli 2005 abwies. Die von der Klägerin dagegen eingereichte Beschwerde wies der Ausschuss des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt am 27. Januar 2006 ab. C. Gegen das Urteil des Appellationsgerichts führt die Klägerin beim Bundesgericht Berufung mit dem Antrag, das Urteil sei aufzuheben und die Angelegenheit sei zur Ergänzung des Sachverhalts und zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beklagte schliesst auf Abweisung der Berufung. 