Sachverhalt: A. Die 1958 geborene P._ war für Haushalts- und Reinigungsarbeiten im Alters- und Pflegeheim A._ angestellt und dadurch bei der Winterthur Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Winterthur) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 31. August 2004 liess sie der Winterthur einen Unfall melden. Demnach sass sie am 31. Juli 2004 in Serbien als Mitfahrerin auf dem rechten Rücksitz eines Ford Scorpio, als ein nachfolgender Personenwagen auf diesen auffuhr. Wegen Schmerzen im Bereich von Halswirbelsäule (HWS) und Lendenwirbelsäule (LWS) suchte P._ am 3. August 2004 ein örtliches Krankenhaus auf und liess sich nach ihrer Rückkehr in die Schweiz hier weiterbehandeln. Die Winterthur gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Nach Sachverhaltsabklärungen (u.a. Einholung des interdisziplinären medizinischen Gutachtens des medizinischen Instituts X._ vom 19. August 2006) stellte der Versicherer mit Verfügung vom 29. November 2006 die Leistungen mit Wirkung ab 1. November 2006 ein, da es am adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 31. Juli 2004 und den noch bestehenden Beschwerden fehle. Daran hielt die AXA Versicherungen AG (nachfolgend: AXA), als Rechtsnachfolgerin der Winterthur, auf Einsprache der Versicherten hin fest (Einspracheentscheid vom 7. November 2007). B. P._ erhob Beschwerde. Im Gerichtsverfahren legte die AXA eine am 29. Juli 2008 ergangene Verfügung der IV-Stelle des Kantons St. Gallen, in der ein Anspruch der P._ auf eine Rente der Invalidenversicherung verneint wurde, sowie ein von der IV-Stelle eingeholtes polydisziplinäres medizinisches Gutachten des medizinischen Begutachtungsinstituts Y._ vom 21. Dezember 2007 auf. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen trat mit Entscheid vom 27. Mai 2009 auf die Beschwerde nicht ein, soweit die Zusprechung einer Invalidenrente und einer Integritätsentschädigung beantragt wurde, und wies das Rechtsmittel im Übrigen ab. C. P._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheids sei die AXA zu verpflichten, über den 31. Oktober 2006 hinaus Taggeld nach Massgabe einer vollen Arbeitsunfähigkeit zu entrichten sowie Heilbehandlung zu gewähren; die AXA sei überdies zu verhalten, die Langzeitansprüche zu prüfen und eine Rente bei einer vollen Invalidität sowie eine angemessene Integritätsentschädigung auszurichten. Die AXA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. 