Faits: A. Par lettre du 22 novembre 2012, l'Hospice général a signalé au Tribunal tutélaire du canton de Genève (actuellement: Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant [TPAE]) que A._ ne pouvait plus gérer ses affaires administratives et financières en raison de son état de santé; il s'est référé au surplus à un certificat médical du Dr C._, médecin traitant de l'intéressée depuis 1999. Le 15 janvier 2013, le TPAE a entendu l'assistante sociale auprès de l'Hospice général, la personne concernée et son médecin traitant; le 18 janvier 2013, il a nommé un curateur d'office à l'intéressée, laquelle a recouru sans succès contre cette mesure. Le 25 juin 2013, le TPAE a entendu de nouveau la personne concernée ainsi que le Dr B._ en qualité de témoin; celui-ci a déclaré avoir suivi l'intéressée de septembre 2009 à décembre 2009, diagnostiquant un trouble délirant persistant dont elle était anosognosique; le suivi médical a ensuite été interrompu après que le médecineut préconisé un traitement médicamenteux (neuroleptique). Également entendu, le curateur a déclaré que l'intéressée n'avait pas de patrimoine et s'en est rapporté à justice quant aux mesures à prendre. B. B.a. Par décision du 15 juillet 2013, le TPAE a notamment institué une mesure de curatelle de portée générale en faveur de A._ et lui a désigné deux collaboratrices du Service de protection de l'adulte en qualité de co-curatrices. Cette autorité a considéré que l'intéressée souffrait d'un grave trouble psychiatrique, enraciné depuis de nombreuses années, qui était de nature à l'empêcher totalement de gérer ses affaires et de disposer d'une compréhension appropriée des situations auxquelles elle se trouvait confrontée; son état de santé, dont elle était anosognosique, expliquait son refus systématique de se soigner et induisait des comportements de nature à porter atteinte à ses propres intérêts (demande d'indemnités de chômage auxquelles elle n'a pas droit, refus d'aide sociale), ayant pour conséquence une absence totale de source de revenus. B.b. Par acte du 8 août 2013, A._ a appelé de cette décision. Statuant le 7 octobre 2013, la Chambre de surveillance de la Cour de justice du canton de Genève a rejeté le recours et confirmé la décision attaquée. C. Par acte du 7 novembre 2013, A._ exerce un recours " précautionnel " en matière civile au Tribunal fédéral contre la décision de la cour cantonale, dont elle demande en substance l'annulation; elle sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire et l'octroi d'une " prolongation du délai de recours d'une nouvelle période de 30 jours pour qu'un avocat puisse présenter des écritures bien fondées et une argumentation bien étayée ". Invités à répondre, l'autorité précédente s'est référée aux considérants de son arrêt, alors que le TPAE ne s'est pas déterminé. D. Par courrier du 8 novembre 2011, le Président de la IIe Cour de droit civil a informé la recourante que la loi ne permettait pas de prolonger le délai - légal - de recours (art. 47 al. 1 LTF). 