Sachverhalt: A. Die aus Kamerun stammende X._ (geb. 1980) reiste am 9. Februar 2004 in die Schweiz ein. Ihr gleichentags gestelltes Asylgesuch wies das damalige Bundesamt für Flüchtlinge (heute: Bundesamt für Migration) mit Verfügung vom 12. Juli 2004 ab und wies die Gesuchstellerin aus der Schweiz weg. Am 7. März 2005 brachte X._ den Sohn Y._ zur Welt. Das Kind, welches in der Obhut der Mutter lebt, wurde am 20. Mai 2005 auf dem Zivilstandsamt Luzern vom Schweizer Bürger Z._ (geb. 1962) anerkannt. Mit Unterhaltsvertrag vom 21. Juli 2005 verpflichtete sich dieser u.a., seinem Sohn bis zu dessen Mündigkeit einen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'000.-- pro Monat zu bezahlen. Mit Entscheid vom 6. September 2005 wies die Schweizerische Asylrekurskommission die von X._ und ihrem Sohn erhobene Beschwerde gegen den negativen Asylentscheid ab. Die Kommission erwog u.a., die Rückkehr ins Heimatland sei den beiden zumutbar (vgl. S. 13 dieses Entscheides). B. Mit Verfügung vom 13. Dezember 2005 wies das Amt für Migration des Kantons Luzern das von X._ und ihrem Sohn Y._ gestellte Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung ab. Auf eine hiegegen erhobene Beschwerde trat das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Urteil vom 5. Januar 2007 mangels eines Rechtsanspruches nicht ein und überwies die Sache zur weiteren Behandlung dem kantonalen Justiz- und Sicherheitsdepartement. Inzwischen - im Herbst 2006 - war Y._ erleichtert eingebürgert worden. X._ liess daher am 24. November 2006 durch die Caritas Schweiz ein neues Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung stellen. In der Folge sistierte das Justiz- und Sicherheitsdepartement die ihm vom Verwaltungsgericht zur Behandlung überwiesene Beschwerde bis zur Erledigung dieses Gesuches. Mit Verfügung vom 3. Mai 2007 wies das kantonale Amt für Migration das Gesuch ab. C. Hiegegen liess X._ beim Verwaltungsgericht erneut Beschwerde führen. Sie machte im Wesentlichen geltend, sie sei die Konkubinatspartnerin von Z._. Dieser sei für das gemeinsame Kind, welches nunmehr ein gefestigtes Anwesenheitsrecht habe, anerkanntermassen die einzige männliche Bezugsperson. Kleine Kinder seien auf die Erziehung und den Beistand des leiblichen Vaters unbedingt angewiesen, weshalb ihr - X._ - u.a. im Interesse des Kindeswohls eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen sei. Am 30. Januar 2008 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab. Sein begründetes Urteil versandte es am 6. Februar 2008. D. Mit Eingabe in französischer Sprache vom 10. März 2008 führt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den (zum Teil sinngemäss gestellten) Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 30. Januar 2008 aufzuheben und ihr eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege ersucht. Das Amt für Migration des Kantons Luzern stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern stellt denselben Antrag. Das Bundesamt für Migration schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. 