Sachverhalt: A. M._ (geb. 1946), seit Juni 2000 als Giessereimitarbeiter in der Firma X._ beschäftigt, meldete sich im März 2005 wegen der Folgen eines am 2. November 2003 erlittenen Unfalles bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach medizinischen und erwerblichen Abklärungen teilte ihm die IV-Stelle des Kantons Zürich die Zusprechung einer ganzen Invalidenrente von November 2004 bis Februar 2005 und einer halben Invalidenrente von März bis August 2005 mit (Vorbescheid vom 11. August 2006). In diesem Sinne verfügte die IV-Stelle am 2. Mai 2007. B. Im Rahmen des hiegegen eingeleiteten Beschwerdeverfahrens vor dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich reichte der Versicherte ein Aufgebot vom 15. Juni 2007 des Medizinischen Abklärungs-Instituts Y._ ins Recht, worauf der Prozess mit Verfügung vom 4. Juli 2007 bis zum Vorliegen des entsprechenden Gutachtens sistiert wurde. Am 14. September 2007 reichte er das Gutachten des Medizinischen Abklärungs-Instituts Y._ vom 5. September 2007 ein. Das Gericht hob die Sistierung auf und führte den Schriftenwechsel durch, in welchem die IV-Stelle die teilweise Gutheissung der Beschwerde durch Zusprechung einer ganzen Invalidenrente vom 1. März 2005 bis 31. Dezember 2006 und einer halben Invalidenrente von Januar bis April 2007 beantragte (Beschwerdeantwort vom 19. Oktober 2007), dies verbunden mit entsprechender wiedererwägungsweiser Aufhebung der Verfügung vom 2. Mai 2007 durch Verfügungen vom 19. Oktober 2007/16. März 2009. Replikweise hatte der Versicherte an seinen Beschwerdebegehren um Zusprechung einer unbefristeten Invalidenrente festgehalten; ferner um Vergütung der Kosten des Gutachtens des Medizinischen Abklärungs-Instituts Y._ in Höhe von Fr. 3228.- (Rechnung des Medizinischen Abklärungs-Instituts Y._ vom 5. September 2007) durch die IV-Stelle ersucht. Soweit nicht gegenstandslos geworden (Zeit vom 1. März 2005 bis 31. Dezember 2006), hiess das Gericht die Beschwerde teilweise gut, indem es in Ergänzung der Wiedererwägungsverfügungen vom 16. März 2009 den Anspruch auf eine Viertels-Invalidenrente mit Wirkung ab 1. Mai 2007 anerkannte. Die IV-Stelle wurde verpflichtet, dem Versicherten eine Prozessentschädigung von Fr. 1600.- zu bezahlen (Dispositiv-Ziffern 1 und 3 des Beschlusses und Urteils vom 29. Dezember 2009). C. Vertreten durch CAP Rechtsschutz, führt M._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren: "Ziffer 3 des Beschlusses und Urteils vom 29. Dezember 2009 des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich sei aufzuheben und die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, dem Beschwerdeführer eine Prozessentschädigung von Fr. 1600.- auszurichten sowie zuzüglich die Kosten des Gutachtens des Medizinischen Abklärungs-Instituts Y._ von CHF 3228.00 zu ersetzen." D. Während die IV-Stelle auf Abweisung schliesst, verzichten kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung. 