Sachverhalt: A. A.a A._ (geboren 2001) ist die Tochter von X._ (geboren 1980) und Y._ (geboren 1977). Die nicht miteinander verheirateten Eltern lebten von September 1999 bis August 2002 in gemeinsamem Haushalt in K._ und dann in L._. Nach der Trennung der Eltern im August 2002 wohnte X._ mit ihrer Tochter A._ in einer Mietwohnung in L._, bezog kurz vor Weihnachten 2003 ein Zimmer im Hotel "H._" in M._ und zog dann Ende Dezember 2003 zu ihrem neuen Freund F._ in Oberwald. Y._ kehrte nach N._ in ein Studio bzw. Zimmer bei seinen Eltern zurück. A.b Das Vormundschaftsamt G._ genehmigte mit Entscheid vom 28. März 2003 die Vereinbarung der Eltern betreffend Unterhaltspflicht und Besuchsrecht. Gleichzeitig gab das Vormundschaftsamt (gestützt auf Art. 307 Abs. 3 ZGB) eine Empfehlung betreffend die Sommerferien des Kindes beim Vater und erteilte der Mutter des Kindes insbesondere die Weisung, dem Vater bei der Ausübung des Besuchsrechts mehr Freiheiten zu gewähren und darauf zu verzichten, sich mit dem Kind abends in Restaurants aufzuhalten. Nach verschiedenen Turbulenzen in der Weihnachtszeit 2003 lud das Vormundschaftsamt am 23. Januar 2004 die Eltern vor. Es entschied am 30. Januar 2004 gestützt auf Art. 307 Abs. 3 ZGB, dass S._ vom Kantonalen Amt für Kindesschutz die Lebensbedingungen von A._ zu überprüfen und eine Sozialabklärung vorzunehmen habe. Weiter ermahnte es die Eltern von A._, die früheren Weisungen des Vormundschaftsamtes zu beachten und mit Rücksicht auf das Wohl des Kindes ihre persönlichen Differenzen vom Kind fernzuhalten. A.c Mit Verfügung vom 5. April 2004 entzog die Präsidentin des Vormundschaftsamtes gestützt auf Art. 310 ZGB X._ vorsorglich die elterliche Obhut über A._ und gab die Tochter in die elterliche Obhut des Vaters; gleichzeitig wurde der Mutter bis auf Weiteres kein Besuchsrecht gewährt. A.d Am 5. Mai 2004 entzog das Vormundschaftsamt in Bestätigung der vorausgegangenen Präsidialverfügung gestützt auf Art. 310 ZGB X._ die elterliche Obhut über A._ und gab die Tochter in die elterliche Obhut ihres Vaters. Weiter wurde das kantonale Amt für Kindesschutz beauftragt, die Aufsicht über die Lebensbedingungen des Kindes fortzusetzen. Das Vormundschaftsamt räumte weiter (in Abänderung der vorausgegangenen Präsidialverfügung) der Mutter sowie den Grosseltern mütterlicherseits ein beschränktes Besuchsrecht ein, wobei die Regelung in Absprache mit dem Amt für Kindesschutz festzulegen sei, und verzichtete vorläufig auf die Festlegung eines Unterhaltsbeitrages. B. Gegen den Entscheid des Vormundschaftsamtes erhob X._ kantonale Berufung und verlangte die Aufhebung des Entscheides. Der Bezirksrichter I des Bezirksgerichts Brig, Östlich-Raron und Goms wies die Berufung mit Entscheid vom 3. April 2006 ab. C. X._ führt mit Eingabe vom 29. Mai 2006 eidgenössische Berufung und beantragt dem Bundesgericht, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter ersucht sie mit Eingabe vom 5. Juli 2006 um unentgeltliche Rechtspflege. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. D. Gegen den Entscheid des Bezirksgerichts erhob X._ auch kantonale Nichtigkeitsbeschwerde, auf welche der Präsident des Kassationshofes in Zivilsachen am Kantonsgericht Wallis mit Entscheid vom 31. Mai 2006 nicht eintrat. Auf die gegen diesen Entscheid erhobene staatsrechtliche Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil 5P.294/2006 vom 14. August 2006 nicht ein. 