Spitalbehandlung (Zusatzversicherung), hat sich ergeben: A.- Mit beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau erhobener Klage vom 29. November 2000 verlangte die Spital Y._AG, die X._ Versicherungen AG zur Bezahlung von Fr. 5'900. 65 zuzüglich Zins von 4% seit 14. Oktober 1998 sowie von Fr. 13'659. 70 zuzüglich Zins von 4% seit 15. November 1998 zu verurteilen (1) sowie den Rechtsvorschlag gegen die Betreibung 1999/11 des Konkursamtes des Kantons St. Gallen aufzuheben und definitive Rechtsöffnung zu erteilen (2). Sie machte im Wesentlichen geltend, die halbprivat versicherte A._ sei bei ihr vom 3. März bis zum 12. August 1998 hospitalisiert gewesen. Zu diesem Zweck habe für die querschnittgelähmte Patientin ein Spezial(Luftkissen)bett für insgesamt Fr. 19'560. 35 angemietet werden müssen, welchen Betrag sie in der Folge bei der Beklagten in Rechnung gestellt habe. Auf Betreibung hin habe die Beklagte Rechtsvorschlag erhoben. Beim Spezialbett habe es sich um eine medizinisch bedingte therapeutische Leistung und nicht eine Pflegemassnahme gehandelt. Bei Privatpatienten würden gemäss der massgebenden Taxordnung des Regierungsrates für kantonale Krankenanstalten vom 13. Dezember 1982 Kosten für therapeutische Massnahmen besonders berechnet; der Beizug eines Luftkissenbettes stelle keine spitaleigene Leistung gemäss Spitalleistungskatalog dar. Die Kosten solcher spitalfremder Leistungen würden gemäss Taxordnung weiter verrechnet. Die Beklagte beantragte die Abweisung der Klage. Dabei führte sie u.a. aus, am 6. Mai 1998 der Klägerin die Aufenthaltskosten in der halbprivaten Abteilung zuzüglich Behandlungskosten des Spitals nach Vertrag oder kantonaler Taxordnung garantiert, nicht aber Gutsprache für die Mietkosten des Spezialbetts geleistet zu haben. Diese Kosten seien in der Tagespauschale abgegolten. Beim Spezialbett handle es sich um eine pflegerische und nicht eine therapeutische Massnahme. Nur letztere würden besonders berechnet. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau hat die Klage am 18. April 2001 gutgeheissen und den Rechtsvorschlag beseitigt. Zunächst bejahte es seine Zuständigkeit als Versicherungsgericht. Sodann erwog es, dass das Spezialbett nicht der üblichen Pflege diente und auch die Beklagte nicht behaupte, ein solches Bett gehöre zur Grundausstattung eines Spitals. Schliesslich könnten nach der Taxordnung ausgewiesene Kosten spitalfremder Leistungen weiter verrechnet werden. B.- Mit Berufung vom 20. September 2001 verlangte die Beklagte die Aufhebung des Entscheides des Verwaltungsgerichts und Abweisung der Klage, eventuell Rückweisung der Angelegenheit zur Neubeurteilung. Mit Antwort vom 15. November 2001 beantragte die Spital Y._AG die Abweisung der "Beschwerde". Das Verwaltungsgericht verwies auf seinen Entscheid. 