Faits: A. A.a. Ressortissant brésilien né en 1988, X._ est entré illégalement en Suisse le 25 janvier 2011 pour y rejoindre sa mère, Y._, ressortissante brésilienne née en 1967 qui avait quitté le Brésil en 2003 après son divorce d'avec le père de l'intéressé et avait été mise au bénéfice d'une autorisation de séjour en Suisse à la suite d'un second mariage avec Z._, ressortissant suisse né en 1934. X._ était par le passé déjà venu en Suisse pour des séjours touristiques, puis sans autorisation, en particulier d'avril 2007 à juin 2008, de même que de décembre 2008 à fin août 2009. Le 31 janvier 2012, X._ a déposé une demande de regroupement familial pour vivre auprès de sa mère en Suisse, affirmant souffrir d'une maladie qui ne lui laissait aucune autre solution et précisant qu'une demande de prolongation de l'autorité parentale de sa mère sur lui-même avait été déposée. A.b. Pour ce qui est de son état de santé, X._ a très brièvement été traité par un psychiatre suisse en août 2009, en raison d'une schizophrénie paranoïde et d'une dépendance au cannabis, voire à d'autres produits stupéfiants; il a ensuite été interné dans une clinique psychiatrique au Brésil du 29 août au 17 octobre 2009. Le 11 janvier 2011, un neurologue établi au Brésil a attesté qu'une schizophrénie paranoïde avait été diagnostiquée chez l'intéressé à l'âge de dix-neuf ans, qu'il se soignait de manière intermittente et qu'il dépendait de manière importante de sa mère, des points de vue thérapeutique, psychologique et affectif. Le 2 septembre 2011, la tante paternelle de l'intéressé a confirmé avoir pris en charge son neveu au Brésil pendant quelques mois depuis fin 2009, mais qu'en raison des difficultés rencontrées (consommation de marijuana et distribution de l'argent gagné par son emploi), la mère de l'intéressé avait décidé de le prendre en charge elle-même à la fin 2010. X._ a été hospitalisé au département de psychiatrie du Centre hospitalier universitaire vaudois (CHUV) du 9 au 23 juin 2011; il a encore consulté ambulatoirement la Clinique A._ les 1 er, 14 et 31 mars 2011. Le 5 janvier 2012, B._, psychiatre-psychothérapeute FMH, a attesté avoir suivi l'intéressé du 19 novembre 2007 au 8 avril 2008 et le suivre à nouveau, dans le cadre de l'unité de psychiatrie mobile, depuis le 6 décembre 2011. A.c. Par décision du 7 juin 2012, la Justice de paix du district de Lausanne (ci-après: la Justice de paix) a institué une tutelle provisoire en faveur de X._, nommé sa mère en qualité de tutrice et imparti un délai à cette dernière pour la renseigner sur le sort donné à la demande de permis de séjour déposée en faveur de son fils. Le 29 juin 2012, Y._ s'est engagée à prendre en charge financièrement son fils. B. Par décision du 27 septembre 2012, le Service cantonal de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) a refusé l'octroi de l'autorisation de séjour sollicitée par X._ et prononcé son renvoi de Suisse. Ce dernier a recouru contre la décision du Service cantonal auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal), qui, en instruisant la cause, a notamment établi qu'une autre tante de X._ avait pris soin de lui au Brésil et avait dû le faire hospitaliser pendant trois mois, mais ne pouvait plus continuer à s'en occuper, car cela avait affecté sa propre santé. En outre, depuis le 26 septembre 2012, l'intéressé suivait des cours de français à raison de deux heures par semaine. Z._ a déclaré le 13 novembre 2012 avoir assisté à une tentative de suicide de l'intéressé quelques années auparavant et a estimé que ce dernier n'était "absolument pas autonome". Dans un certificat du 17 décembre 2012, le psychiatre traitant B._ a notamment diagnostiqué chez X._ une schizophrénie paranoïde continue et un trouble dépressif récurrent; selon ce médecin, la "relative stabilité actuelle" était le fruit "d'une compliance médicamenteuse et d'un soutien familial important. C'est la mère du patient qui veille à la prise des médicaments, à la régularité du suivi, qui entretient son fils et qui fait office de tutrice". Le retour de l'intéressé au Brésil s'était à chaque fois accompagné d'une décompensation psychotique aiguë, ainsi que d'une hospitalisation de longue durée. "Un retour au Brésil priverait le patient d'un soutien indispensable et précieux et qui ne peut être fourni par un autre membre de la famille" (arrêt attaqué, p. 4). Le 19 décembre 2012, une troisième tante de X._ a indiqué que son neveu avait vécu chez elle de septembre à novembre 2010, mais qu'elle avait préféré que ce soit la mère de l'intéressé qui le prenne en charge en raison des crises de l'intéressé et du refus de prendre ses médicaments. Par arrêt du 8 mai 2013, le Tribunal cantonal a rejeté le recours et confirmé la décision du 27 septembre 2012. C. X._ saisit le Tribunal fédéral d'un recours en matière de droit public contre l'arrêt du 8 mai 2013, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'octroi d'une autorisation de séjour par regroupement familial avec sa mère, "fondée sur l'art. 8 CEDH". Le Tribunal cantonal se réfère à l'arrêt entrepris; le Service cantonal renonce à se déterminer; l'Office fédéral des migrations conclut au rejet du recours. Par ordonnance présidentielle du 18 juin 2013, l'effet suspensif a été accordé au recours. 