Faits: A. Par jugement du 18 novembre 2009, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de Lausanne a condamné A.X._ pour actes d'ordre sexuel avec des enfants à la peine privative de liberté de trente mois. Il a suspendu l'exécution de cette peine à concurrence de quinze mois, fixant un délai d'épreuve de deux ans, et ordonné l'exécution ferme du solde de la peine. En outre, il a déclaré A.X._ débiteur de B.X._ de la somme de 30'000 fr. à titre d'indemnité pour tort moral, donnant acte à cette dernière de ses réserves civiles pour le surplus. B. Par arrêt du 22 février 2010, la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal vaudois a rejeté le recours formé par A.X._ et confirmé le jugement de première instance. En bref, elle retient les faits suivants: B.a A.X._, né en 1959, a entretenu une relation sentimentale avec C.X._. De cette relation est née, le 4 février 1993, B.X._. La mère a décidé d'élever seule sa fille, ne souhaitant pas se marier avec le père. Celui-ci a cependant reconnu l'enfant. Par la suite, A.X._ a épousé Y._, avec laquelle il a eu trois enfants. Actuellement, la famille vit à Pully/VD. Bien que A.X._ demeure au domicile conjugal, le couple est désuni. Les époux ont même vécu séparés de septembre 2002 jusqu'en 2006 en tout cas. B.b En 2003, A.X._ s'est livré à des attouchements sur sa fille, B.X._, âgée alors de dix ans, alors qu'il était venu la garder chez elle, la mère devant s'absenter. Entre 2003 et le mois de juin 2005, il s'est à nouveau livré à des attouchements sur l'enfant B.X._, à deux ou trois reprises aux domiciles successifs de la fillette, à Prilly et Pully. A Lausanne, le 9 mai 2006, entre 12h00 et 13h30, il s'est livré à des attouchements sur sa fille par-dessus ses vêtements et également par-dessous, après l'avoir couchée sur son lit. Lors de cet acte, il s'est couché sur sa fille sans qu'il soit possible d'affirmer qu'il l'a pénétrée. C. Contre cet arrêt cantonal, A.X._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Il conclut, principalement, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision; subsidiairement, il conclut à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens qu'il est acquitté de l'ensemble des accusations portées à son encontre et que les conclusions civiles sont intégralement rejetées; plus subsidiairement, il conclut à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que sa peine est réduite à dix-huit mois et prononcée avec sursis pendant deux ans; encore plus subsidiairement, il conclut à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens qu'il est condamné à une peine de trente mois, dont six mois ferme, à exécuter en semi-détention, l'exécution du solde de la peine étant suspendue, avec un délai d'épreuve de deux ans. En outre, il sollicite l'assistance judiciaire. Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures. 