Faits: Faits: A. A.a Z._, née le 28 octobre 1965, a étudié à l'Université de X._, où elle a obtenu deux demi-licences en français et en anglais. Elle est également au bénéfice d'un certificat d'éducation physique délivré par l'université. Elle a travaillé à plein temps dans l'enseignement, donnant notamment des cours dans le cadre du Centre professionnel Y._. Elle a été également maître d'éducation physique. Par la suite, elle a suivi à nouveau des cours à l'université et entrepris un travail de licence. Parallèlement, elle travaillait à temps partiel comme maître de branches littéraires, tout en donnant des cours d'éducation physique et en exploitant depuis 1996 un centre de fitness. Le 13 septembre 1996, alors que Z._ donnait une leçon dans le cadre du Centre professionnel Y._, elle a été victime d'un traumatisme crânio-cérébral, ayant reçu sur le haut du crâne un écran pour rétroprojecteur dont la suspension s'était rompue (déclaration d'accident LAA, du 25 septembre 1996; rapport médical initial LAA, du 25 octobre 1996). A la suite de cet événement, elle a été totalement incapable de travailler du 13 septembre au 20 octobre 1996 et du 12 février au 17 août 1997. Elle a présenté une capacité de travail de 50 % pendant la période du 29 janvier au 11 février 1997, puis à partir du 18 août 1997. Le cas a été pris en charge par la Winterthur Assurances. Celle-ci a confié une expertise au Centre Multidisciplinaire de la Douleur. Dans un rapport du 17 juin 1999, les docteurs H._, spécialiste FMH en neurologie, et R._, spécialiste FMH en psychiatrie-psychothérapie, ont retenu les diagnostics de status après TCC mineur (commotion cérébrale) et distorsion cervicale simple et d'état anxio-dépressif important avec troubles neuropsychologiques fonctionnels. Ils indiquaient que la capacité de travail réelle de l'assurée restait actuellement de 50 %, mais qu'elle était de 75 % si l'on considérait les seules séquelles de l'accident du 13 septembre 1996. A.b Le 9 juillet 1998, Z._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Le 23 décembre 2000, Z._ s'est remariée avec E._, dont elle a eu un enfant le 20 juin 2001. A cette date, elle a obtenu de la République et canton de Neuchâtel, après deux ans de formation, l'autorisation d'enseigner au niveau secondaire comme maîtresse de français, d'anglais et de sport. Son emploi au Centre professionnel Y._ a pris fin le 31 octobre 2001. Dans un projet d'acceptation de rente du 27 novembre 2001, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel a avisé Z._ qu'elle avait droit à une rente entière d'invalidité dès le 1er septembre 1997 et qu'à partir du 1er septembre 1999, elle présentait une invalidité de 50 % pendant la formation pédagogique de deux ans commencée en août 1999 afin d'obtenir l'autorisation d'enseigner. Etant donné qu'à la suite de la naissance de son enfant, elle avait renoncé pour l'instant à exercer une activité lucrative et que l'invalidité due aux empêchements rencontrés dans l'accomplissement des travaux habituels du ménage n'atteignait pas 40 % au moins, son droit à une demi-rente était limité au 30 juin 2001. Par lettre du 3 décembre 2001, Z._ s'est opposée à l'octroi d'une demi-rente d'invalidité limité au 30 juin 2001. Elle indiquait que depuis qu'elle s'était installée avec son mari dans le canton de Zurich, elle n'était pas en mesure, en ce qui concerne son état de santé, d'assumer une activité professionnelle comme enseignante à 50 % et de s'occuper en même temps de son bébé. Dans un prononcé du 18 décembre 2001, l'office AI a fixé le degré d'invalidité de Z._ à 100 % dès le 1er septembre 1997, à 50 % dès le 1er septembre 1999 et à 0 % depuis le 1er juillet 2001. Par décision du 17 avril 2002, l'office AI a alloué à l'assurée une rente entière d'invalidité du 1er octobre 1997 au 31 août 1999 et une demi-rente d'invalidité du 1er septembre 1999 au 30 novembre 2000. Dans cette décision, il informait Z._ que la demi-rente lui était allouée pour une durée limitée au 30 juin 2001. Par une autre décision du 24 avril 2002, il lui a alloué pour la période du 1er décembre 2000 au 30 juin 2001 une demi-rente d'invalidité, assortie d'une demi-rente complémentaire en faveur de son conjoint et à partir du 1er juin 2001 d'une demi-rente pour enfant. Dans un prononcé du 18 décembre 2001, l'office AI a fixé le degré d'invalidité de Z._ à 100 % dès le 1er septembre 1997, à 50 % dès le 1er septembre 1999 et à 0 % depuis le 1er juillet 2001. Par décision du 17 avril 2002, l'office AI a alloué à l'assurée une rente entière d'invalidité du 1er octobre 1997 au 31 août 1999 et une demi-rente d'invalidité du 1er septembre 1999 au 30 novembre 2000. Dans cette décision, il informait Z._ que la demi-rente lui était allouée pour une durée limitée au 30 juin 2001. Par une autre décision du 24 avril 2002, il lui a alloué pour la période du 1er décembre 2000 au 30 juin 2001 une demi-rente d'invalidité, assortie d'une demi-rente complémentaire en faveur de son conjoint et à partir du 1er juin 2001 d'une demi-rente pour enfant. B. Z._ a formé recours contre la décision du 17 avril 2002 devant le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, en concluant, sous suite de dépens, à l'annulation de celle-ci et au renvoi du dossier à l'office AI pour qu'il procède à un complément d'instruction. Elle contestait l'octroi d'une demi-rente d'invalidité limité au 30 juin 2001. Le 28 juin 2002, le président du Tribunal administratif a ordonné la suspension de la procédure, qui avait été sollicitée par l'office AI souhaitant procéder à un complément d'instruction sous la forme d'une expertise. Une expertise a été confiée au docteur S._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie et médecin au Centre médical de psychothérapie cognitive. Dans un rapport du 14 janvier 2003, le docteur S._ et la psychologue C._ ont retenu que Z._ présentait notamment un état dépressif majeur récurent de gravité moyenne. Ils indiquaient que la dépression, l'anxiété, la vulnérabilité de la personnalité intrinsèque diminuaient sa capacité de travail de l'ordre de 50 % dans toute activité. Dans son mémoire de réponse du 7 juillet 2003, l'office AI a conclu au rejet du recours. Par jugement du 29 juin 2004, le Tribunal administratif a admis le recours et annulé la décision attaquée dans la mesure où elle supprimait le droit à une demi-rente d'invalidité à partir du 30 juin 2001. Il a considéré que Z._ présentait une invalidité de 25 % dans une activité lucrative et de 25,35 % dans l'accomplissement des travaux habituels dans le ménage, soit une invalidité globale de 50,35 % (25 % + 25,35 %) et qu'en conséquence, elle pouvait continuer à prétendre une demi-rente d'invalidité pour la période à compter de la fin juin 2001 également. Par jugement du 29 juin 2004, le Tribunal administratif a admis le recours et annulé la décision attaquée dans la mesure où elle supprimait le droit à une demi-rente d'invalidité à partir du 30 juin 2001. Il a considéré que Z._ présentait une invalidité de 25 % dans une activité lucrative et de 25,35 % dans l'accomplissement des travaux habituels dans le ménage, soit une invalidité globale de 50,35 % (25 % + 25,35 %) et qu'en conséquence, elle pouvait continuer à prétendre une demi-rente d'invalidité pour la période à compter de la fin juin 2001 également. C. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel interjette un recours de droit administratif contre ce jugement, en concluant à l'annulation de celui-ci. Z._ conclut, sous suite de frais et dépens, au rejet du recours. Dans son préavis, l'Office fédéral des assurances sociales propose l'admission de celui-ci. 