Sachverhalt: A. Am 18. Juni 2013 reichte A._ (Kläger; Beschwerdeführer) beim Kantonsgericht von Graubünden gegen die B._ AG (Beklagte; Beschwerdegegnerin) eine Klage wegen Urheberrechtsverletzung und unlauterem Wettbewerb ein. Mit Verfügungen vom 20. Juni 2013 setzte der Vorsitzende der II. Zivilkammer des Kantonsgerichts dem Kläger Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses und der Beklagten zur Klageantwort. In der Folge wurde das Verfahren mit Blick auf Vergleichsgespräche sistiert, womit sowohl die Frist zur Leistung des Kostenvorschusses als auch zur Klageantwort entfiel. Am 7. Oktober 2013 teilte der Vertreter der Beklagten dem Gericht das Scheitern der Vergleichsverhandlungen mit. Mit Verfügungen vom 9. Oktober 2013 hob der Vorsitzende der II. Zivilkammer die Verfahrenssistierung auf, forderte den Kläger zur Leistung eines Kostenvorschusses auf und setzte der Beklagten Frist von 30 Tagen zur Einreichung der schriftlichen Klageantwort. Mit Verfügung vom 4. November 2013 wurde dem Kläger eine Nachfrist bis 11. November 2013 zur Bezahlung des Kostenvorschusses gesetzt. Der Kläger leistete den Kostenvorschuss auch innert der Nachfrist nicht. Die Beklagte reichte dem Gericht am 15. November 2013 den Entwurf der Klageantwort und eine Honorarnote ein. Mit Entscheid vom 20. November 2013 trat das Kantonsgericht auf die Klage nicht ein. Es auferlegte dem Kläger die ordentlichen Kosten von Fr. 1'000.-- sowie eine Parteientschädigung von Fr. 6'587.30 für die Aufwendungen des beklagtischen Rechtsvertreters für den Entwurf der Klageantwort. B. Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, der Kostenentscheid des Beschlusses des Kantonsgerichts vom 20. November 2013 sei betreffend die Parteientschädigung vollumfänglich aufzuheben. Es sei festzustellen, dass der Beschwerdeführer keine Parteientschädigung zu leisten habe. Eventualiter sei die Vorinstanz zu verpflichten, für die Parteientschädigung aufzukommen. Subeventualiter sei die Prozessentschädigung nach Ermessen des Gerichts herabzusetzen. Subsubeventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin und die Vorinstanz beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. 