Sachverhalt: A. Die Stimmberechtigten der Einwohnergemeinde Zollikofen nahmen an der Urnenabstimmung vom 21. Mai 2006 die Initiative "Fr. 150'000 Jahresentschädigung (plus Teuerung und Jahresspesen-Pauschale von Fr. 5'000) sind genug für das vollamtliche Gemeindepräsidium" an. Im Rahmen dieser Initiative war den Stimmberechtigten ein neuer Art. 5a Abs. 1 des kommunalen Besoldungsreglements für Behördenmitglieder (BBR) mit entsprechendem Inhalt unterbreitet worden. Zudem verlangte der Initiativtext, die bisherige Bestimmung sei "auf den nächst möglichen Termin" durch den neuen Art. 5a Abs. 1 zu ersetzen. Der Grosse Gemeinderat (Gemeindeparlament) von Zollikofen beschloss am 20. September 2006, den revidierten Art. 5a BBR auf den 1. Januar 2009, d.h. auf den Beginn der nächsten Amtsperiode, in Kraft zu setzen. B. Toni Oesch und Peter Ehret erhoben namens des Initiativkomitees gegen den Beschluss vom 20. September 2006 Beschwerde beim Regierungsstatthalteramt Bern. Sie verlangten, die neue Bestimmung sei auf den 1. Januar 2007 in Kraft zu setzen. Die Regierungsstatthalterin wies die Beschwerde am 20. Dezember 2006 ab, soweit sie darauf eintrat. Die hiergegen gerichtete Beschwerde des Initiativkomitees hiess der Regierungsrat des Kantons Bern am 20. Juni 2007 gut, soweit er darauf eintrat. Er hob den Beschluss des Grossen Gemeinderats vom 20. September 2006 und den Rechtsmittelentscheid des Regierungsstatthalteramts auf und wies die Einwohnergemeinde Zollikofen an, die fragliche Änderung von Art. 5a BBR auf den 1. Oktober 2007 in Kraft zu setzen. C. Mit Eingabe vom 21. August 2007 führt die Einwohnergemeinde Zollikofen gegen den Beschluss des Regierungsrats beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Beschlusses und die Bestätigung des kommunal beschlossenen Inkraftsetzungstermins vom 1. Januar 2009. Die Vertreter des Initiativkomitees verzichten in ihrer Vernehmlassung auf einen Antrag zur Beschwerde; sie äussern sich aber in ablehnendem Sinne. Die Justiz-, Gemeinde- und Kirchendirektion des Kantons Bern ersucht namens des Regierungsrates um Abweisung der Beschwerde. D. Mit Verfügung vom 26. September 2007 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch der Gemeinde um Gewährung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen. 