Faits : A. A._ est une association de droit privé qui exploite le camping des Frassettes, sur le territoire de la commune de Gryon, à l'endroit dit "Barboleusaz". Son président est actuellement B._. Le camping est régi par un règlement de camp ainsi que par des dispositions d'application de ce règlement relatives aux résidents saisonniers et aux auvents. Ces dernières sont intitulées "Dispositions particulières pour la mise en place d'un auvent à la Barboleusaz" (ci-après: les dispositions sur les auvents). Ces règlements et dispositions d'application, tous datés du 19 décembre 2003, ont été avalisés le 10 février 2004 par la Municipalité de Gryon (ci-après: la municipalité). B. Le 4 juin 2012, le Service cantonal de la mobilité a effectué une visite du camping des Frassettes. A l'issue de cette visite, il a écrit le 11 juillet 2012 à A._. Il constatait la présence d'annexes en bois d'une surface de 7 m2en général, accolées aux caravanes. Il relevait à cet égard, qu'en application de l'art. 10 du règlement d'application de la loi vaudoise du 11 septembre 1978 sur les campings et caravanings résidentiels (ci-après: la RLCCR), seul un auvent en toile était admis, un sas hivernal pouvant être installé. Il demandait par ailleurs à la municipalité d'indiquer si elle avait autorisé ces installations et, cas échéant, à quelles conditions. Dans sa réponse du 1er octobre 2012, la municipalité a indiqué que les annexes en cause avaient été approuvées dans le cadre de la mise en vigueur du règlement du camp le 10 février 2004. Le 29 janvier 2013, le Service de la mobilité a rendu une décision ordonnant que toutes dispositions soient prises pour que les annexes litigieuses soient démontées à l'issue de la période hivernale, conformément aux dispositions de l'art. 10 RLCCR. Cette décision indiquait qu'elle entrait en vigueur le 30 avril 2014. C. A._ a recouru contre la décision du service cantonal auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal). Les propriétaires de caravanes concernés ont été invités à participer à l'audience du 30 octobre 2013, qui a été effectuée sur les lieux en présence des parties. Par arrêt du 20 février 2014, le Tribunal cantonal a rejeté le recours et confirmé la décision du Service de la mobilité du 29 janvier 2013. Il a considéré en substance que l'interprétation de l'art. 10 RLCCR faite par l'autorité intimée ne prêtait pas le flanc à la critique. La décision attaquée ne consacrait par ailleurs pas d'inégalité de traitement et respectait le principe de la proportionnalité. D. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ et B._ demandent au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du Tribunal cantonal du 20 février 2014 et d'inviter la cour cantonale à rendre une nouvelle décision dans le sens des considérants. Les recourants se plaignent pour l'essentiel d'une application arbitraire du droit cantonal ainsi que d'une violation des principes de l'égalité de traitement et de la proportionnalité. Ils invoquent également le droit d'être entendu et la bonne foi. Le Tribunal cantonal renonce à déposer une réponse. Le Service de la mobilité conclut au rejet du recours et à la confirmation de l'arrêt attaqué. La municipalité se rallie pleinement aux moyens développés dans le recours et aux conclusions des recourants. Dans leur réplique du 10 juin 2014, les recourants confirment les conclusions de leur recours. Par ordonnance du 16 avril 2014, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif des recourants. 