Faits: A. A.a Le FC X._ est un club de football organisé sous la forme d'une association. Il est membre de l'Association Suisse de Football (ci-après: ASF). La Swiss Football League (ci-après: SFL) est une section de l'ASF. Le FC Y._ est un club de football organisé sous la forme d'une association. Il est membre de l'ASF. A.b En octobre 2003, le joueur A._, né en 1984, a quitté le FC Y._ pour le FC X._. La SFL a mis une contribution de formation de 2'000 fr. à la charge du club X._ois. Le FC Y._ a demandé au FC X._ de lui payer une indemnité de formation de 220'000 fr. Le manager du FC X._ a formulé une offre transactionnelle de 180'000 fr. à ce titre. Le 9 mars 2004, le FC Y._ a invité la SFL à trancher le différend. Le dossier a été soumis à la Commission de conciliation de la SFL, laquelle s'est déclarée incompétente pour traiter le cas en date du 10 mai 2004. Le 17 mai 2004, le FC Y._ a alors saisi la Commission des mutations de la SFL (ci-après: la Commission des mutations). Le 30 juillet 2004, il a requis la constitution d'un tribunal arbitral selon le règlement de l'ASF. Le président du Tribunal arbitral a invité les parties à une audience de conciliation fixée au 6 juillet 2005. La conciliation a échoué. Les parties sont convenues de suspendre la procédure arbitrale afin de poursuivre leurs pourparlers et, en cas d'échec de ceux-ci, afin de saisir la Commission des mutations, sans reconnaissance de la compétence de cette dernière par le FC X._. La procédure arbitrale ne devait être reprise, le cas échéant, qu'après que ladite Commission aurait rendu sa décision. Par courrier du 13 septembre 2005, le FC Y._ a demandé à la Commission des mutations de poursuivre la procédure. Statuant le 17 mars 2006, la Commission des mutations a condamné le FC X._ à verser au FC Y._ une indemnité de formation de 186'177 fr. 50. B. Le FC X._ a déféré la décision de la Commission des mutations au Tribunal de recours de la SFL, lequel a rejeté le recours et confirmé le prononcé attaqué par décision du 17 mai 2006. Le 29 mai 2006, le FC X._ a appelé de cette décision auprès du Tribunal Arbitral du Sport (ci-après: TAS) en concluant à ce que toute indemnité de formation en faveur du FC Y._ à la suite du transfert du joueur A._ soit refusée. Par sentence du 9 mai 2007, le TAS a rejeté l'appel et confirmé la décision entreprise. Le FC X._ a formé un recours en nullité auprès du Tribunal cantonal vaudois afin d'obtenir l'annulation de cette sentence arbitrale. Par arrêt du 18 octobre 2007, la Chambre des recours de ce Tribunal a rejeté le recours en nullité et maintenu la sentence du TAS. C. Agissant par la voie du recours en matière civile, le FC X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt cantonal et de renvoyer la cause au TAS afin qu'il rende une nouvelle sentence dans le sens des considérants. A titre subsidiaire, il requiert que la Chambre des recours du Tribunal cantonal vaudois soit invitée à annuler la sentence du TAS. Plus subsidiairement encore, le recourant conclut à ce que le Tribunal fédéral annule l'arrêt attaqué et la sentence du TAS et à ce qu'il dise que les décisions rendues le 17 mars 2006 et le 9 mai 2006 par la Commission des mutations et le Tribunal de recours de la SFL sont tenues pour annulées, voire à ce qu'il annule également ces deux décisions. La SFL propose le rejet du recours. Le FC Y._ en fait de même, tout en mettant en doute la recevabilité du recours. Quant à l'autorité intimée, elle se réfère aux motifs énoncés dans son arrêt. D. L'arrêt rendu ce jour rend sans objet la requête d'effet suspensif formulée à titre subsidiaire par le recourant. 