Sachverhalt: A. Der 1950 geborene A._ war über seine damalige Arbeitgeberin bei der Pensionskasse Swiss Dairy Food AG im Rahmen der beruflichen Vorsorge versichert, als bei ihm im August 1996 ein Gehirntumor diagnostiziert und operativ teilweise entfernt wurde. Ab Juni 1997 arbeitete er wieder vollzeitlich. Vom 1. März 2001 bis 31. Januar 2002 war A._ bei der X._ AG angestellt, wobei er bei der Columna-Sammelstiftung der Schweizerischen Volksbank für die berufliche Vorsorge (heute: Winterthur-Columna Sammelstiftung BVG, Bern [nachfolgend: Winterthur-Columna Sammelstiftung]) berufsvorsorgeversichert war. Infolge eines weiteren Stellenwechsels war er ab 1. Februar 2002 bei der Patria-Stiftung zur Förderung der Personalversicherung (heute: Helvetia Sammelstiftung für Personalvorsorge) versichert. Die Arbeitgeberin löste das Arbeitsverhältnis während der Probezeit auf. Ab 1. April 2002 war A._ bei der Arbeitslosenversicherung angemeldet und bei der Stiftung Auffangeinrichtung BVG versichert. Nachdem sich sein Gesundheitszustand aufgrund einer Tumorprogredienz verschlechtert hatte, sprach ihm die IV-Stelle des Kantons Zürich ab 1. September 2003 eine halbe und ab 1. April 2004 eine ganze Rente der Invalidenversicherung zu, was sie mit Einspracheentscheid vom 16. August 2005 bestätigte. B. Am 26. Mai 2006 liess A._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage gegen die Winterthur-Columna Sammelstiftung erheben und beantragen, diese sei gestützt auf den mit der X._ AG geschlossenen Personalvorsorgevertrag zu verpflichten, die ihm aus BVG und Reglement zustehenden Invalidenleistungen ab 1. März 2003 unter Verzinsung von 5 % auszurichten; die Pensionskasse Swiss Dairy Food AG, die Helvetia Sammelstiftung für Personalvorsorge und die Stiftung Auffangeinrichtung BVG seien beizuladen; eventualiter sei vom Gericht die leistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung festzustellen. Die Winterthur-Columna Sammelstiftung liess beantragen, die Klage auf Ausrichtung von Invalidenleistungen sei abzuweisen; der Eventualantrag auf Feststellung der leistungspflichtigen Vorsorgeeinrichtung sei gutzuheissen und es seien die nötigen Abklärungen durch das zuständige Sozialversicherungsgericht vorzunehmen. Das kantonale Gericht führte einen zweifachen Schriftenwechsel durch. Die in der Folge zum Prozess beigeladenen Vorsorgeeinrichtungen beantragten die Abweisung der Klage, soweit sie davon betroffen sind. Nach Abklärungen wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 16. Januar 2008 die Klage ab. Dabei bezeichnete es die Winterthur-Columna Stiftung für die berufliche Vorsorge als Beklagte. C. A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, die Winterthur-Columna Sammelstiftung sei gestützt auf den mit der X._ AG abgeschlossenen Personalvorsorgevertrag zu verpflichten, die ihm aus BVG und Reglement zustehenden Invalidenleistungen ab 1. März 2003 unter Verzinsung von 5 % auszurichten; eventualiter sei vom Gericht die leistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung festzustellen. Die Winterthur-Columna Stiftung für die berufliche Vorsorge schliesst auf Abweisung der Beschwerde; eventualiter sei ihr eine angemessene Nachfrist zur Vernehmlassung anzusetzen. Die Winterthur-Columna Sammelstiftung beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen und die unrichtige Bezeichnung der Beklagten im vorinstanzlichen Verfahren von Amtes wegen zu berichtigen. Die Helvetia Sammelstiftung für Personalvorsorge beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit sie gegen sie gerichtet ist, während die Pensionskasse Swiss Dairy Food AG auf Nichteintreten, eventuell Abweisung des Rechtsmittels schliessen lässt. Die Stiftung Auffangeinrichtung BVG, das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung. 