Sachverhalt: Sachverhalt: A. A.a Am 20. Juni 1990 schlossen die Parteien einen indexierten Mietvertrag betreffend Gewerberäumlichkeiten und Parkplätze ab. Der jeweils im Voraus geschuldete Mietzins wurde per 1. Januar 1995 auf Fr. 12'082.-- pro Quartal erhöht. Im Jahre 1999 ersuchte der Beschwerdeführer wegen ausstehender Parkplatzmietzinse um provisorische Rechtsöffnung, die ihm am 5. Oktober 1999 erteilt wurde. Die Beschwerdegegnerin erhob dagegen Aberkennungsklage, die im Zeitpunkt der Fällung des Gegenstand der vorliegenden staatsrechtlichen Beschwerde bildenden Beschlusses des Kantonsgerichts des Kantons Schwyz vom 27. August 2002 noch hängig war. A.b Am 25. Januar 2000 setzte der Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin unter Androhung der ausserordentlichen Kündigung nach Art. 257d OR eine Frist von 30 Tagen zur Bezahlung von Mietzinsrückständen im Betrag von Fr. 9'940.60 für die Jahre 1999 und 2000. Mit Schreiben vom 21. Februar 2000 machte die Beschwerdegegnerin die Tilgung der Mietzinsforderung durch Verrechnung geltend. Am 17. März 2000 kündigte der Beschwerdeführer mit amtlichem Formular das Mietverhältnis wegen Zahlungsrückstands der Mieterin auf den 30. April 2000. A.c Am 23. März 2000 ersuchte der Beschwerdeführer beim Einzelrichter des Bezirks Küssnacht am Rigi um Ausweisung der Beschwerdegegnerin. Am 14. April 2000 focht die Beschwerdegegnerin die Kündigung vom 17. März 2000 vor der Schlichtungsstelle im Mietwesen des Bezirks Küssnacht an. Auf dessen Ersuchen überwies die Schlichtungsstelle im Mietwesen das Verfahren am 26. April 2000 an den Einzelrichter im summarischen Zivilverfahren des Bezirks Küssnacht (Art. 274a Abs. 1 lit. d OR). A.d Mit Urteil vom 13. November 2000 stellte der Einzelrichter des Bezirks Küssnacht in Gutheissung der Kündigungsanfechtung der Beschwerdegegnerin fest, dass die vom Beschwerdeführer ausgesprochene Kündigung nicht rechtsgültig sei. Die Kosten des Kündigungsanfechtungsverfahrens von Fr. 1'600.-- wurden dem Beschwerdeführer auferlegt und dieser verpflichtet, die Beschwerdegegnerin ausserrechtlich mit Fr. 1'935.-- zu entschädigen. In der Rechtsmittelbelehrung wurde darauf hingewiesen, dass gegen diesen Entscheid Berufung an das Kantonsgericht erklärt werden könne. A.e Mit Verfügung gleichen Datums (13. November 2000) trat der Einzelrichter des Bezirks Küssnacht auf die vom Beschwerdeführer im Ausweisungsbegehren geltend gemachten Schadenersatzforderungen nicht ein und wies im Übrigen das Ausweisungsbegehren ab. Die Kosten dieses Verfahrens von Fr. 800.-- wurden dem Beschwerdeführer auferlegt und dieser verpflichtet, die Beschwerdegegnerin ausserrechtlich mit Fr. 645.-- zu entschädigen. In der Rechtsmittelbelehrung wurde darauf hingewiesen, dass gegen diesen Entscheid Rekurs an das Kantonsgericht erhoben werden könne. A.e Mit Verfügung gleichen Datums (13. November 2000) trat der Einzelrichter des Bezirks Küssnacht auf die vom Beschwerdeführer im Ausweisungsbegehren geltend gemachten Schadenersatzforderungen nicht ein und wies im Übrigen das Ausweisungsbegehren ab. Die Kosten dieses Verfahrens von Fr. 800.-- wurden dem Beschwerdeführer auferlegt und dieser verpflichtet, die Beschwerdegegnerin ausserrechtlich mit Fr. 645.-- zu entschädigen. In der Rechtsmittelbelehrung wurde darauf hingewiesen, dass gegen diesen Entscheid Rekurs an das Kantonsgericht erhoben werden könne. B. B.a Am 29. November 2000 erklärte der Beschwerdeführer gegen das Urteil des Einzelrichters vom 13. November 2000 betreffend Kündigungsanfechtung Berufung. Er beantragte im Wesentlichen die Feststellung, dass die Beurteilung der Kündigungsanfechtung zu Unrecht im beschleunigten Verfahren erfolgt und die Rechtsmittelbelehrung fehlerhaft sei. Sein Rechtsmittel sei daher zur Beurteilung an die Rekurskammer des Kantonsgerichts zu überweisen und das Verfahren mit dem mit Eingabe vom 4. November (recte: Dezember) 2000 beim Kantonsgericht anhängig zu machenden Rekursverfahren betreffend Kündigungsanfechtung/Ausweisungsbefehl zu vereinigen. Eventualiter sei in gänzlicher Aufhebung des Entscheides des Einzelrichters von Küssnacht vom 13. November 2000 die Gültigkeit der Kündigung des Beschwerdeführers vom 17. März 2000 festzustellen und das Ausweisungsbegehren gutzuheissen. B.b Am 4. Dezember 2000 erhob der Beschwerdeführer gegen die Verfügung des Einzelrichters vom 13. November 2000 betreffend Schadenersatz und Ausweisung Rekurs an das Kantonsgericht des Kantons Schwyz mit dem hauptsächlichen Begehren, es sei festzustellen, dass die Beurteilung der Kündigungsanfechtung vor erster Instanz zu Unrecht im beschleunigten Verfahren erfolgt und die darauf gestützte Rechtsmittelbelehrung fehlerhaft sei. Die Rechtsmittelverfahren betreffend Kündigungsanfechtung und Ausweisung seien daher vor der angerufenen Rekursinstanz zu vereinigen. In gänzlicher Aufhebung von Urteil und Verfügung des Einzelrichters vom 13. November 2000 sei die Gültigkeit der Kündigung festzustellen und das Ausweisungsbegehren gutzuheissen. B.c Mit Verfügung vom 30. Januar 2001 wies die Vizepräsidentin des Kantonsgerichts das Begehren um Vereinigung von Berufungs- und Rekursverfahren ab, ordnete indessen die gemeinsame Behandlung der beiden Verfahren an. B.d Die Beschwerdegegnerin ist auf Grund ihres Kündigungsschreibens vom 16. Juni 2000 per Ende Januar 2001 aus den Mieträumlichkeiten ausgezogen. In seiner Berufungsbegründung vom 15. März 2001 stellte der Beschwerdeführer daher die geänderten Anträge, es sei in gänzlicher Aufhebung des angefochtenen Entscheides festzustellen, dass die erstinstanzliche Beurteilung der Gültigkeit der Kündigung sowie des Ausweisungsbegehrens in zwei verschiedenen Verfahren gegen Bundesrecht verstosse, dass die Gültigkeit der Kündigung zu Unrecht verneint worden sei und das Ausweisungsbegehren demzufolge gutzuheissen gewesen wäre. Dementsprechend seien die erstinstanzlichen Verfahrenskosten der Beschwerdegegnerin zu überbinden und dem Beschwerdeführer eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen. Eventualiter sei das Verfahren hinsichtlich Kündigungsanfechtung und Ausweisung infolge Gegenstandslosigkeit abzuschreiben, dies jedoch unter Kosten- und Entschädigungsfolge für beide Instanzen zu Lasten der Beschwerdegegnerin. B.e Mit Beschluss vom 27. August 2002 hat das Kantonsgericht das Ausweisungs- sowie das Kündigungsanfechtungsverfahren infolge Gegenstandslosigkeit abgeschrieben (Ziff. 2), die Kostenregelung des erstinstanzlichen Verfahrens bestätigt (Ziff. 3), die Kosten des Berufungs- und Rekursverfahrens dem Beschwerdeführer zu 4/5 (Fr. 1'496.70) und der Beschwerdegegnerin zu 1/5 (Fr. 374.20) auferlegt (Ziff. 4) und den Beschwerdeführer zur Bezahlung einer ausserrechtlichen reduzierten Entschädigung von Fr. 2'000.-- an die Beschwerdegegnerin verpflichtet (Ziff. 5). B.f Das Kantonsgericht hat die Gegenstandslosigkeit damit begründet, dass die Beschwerdegegnerin infolge ihrer Kündigung per 31. Januar 2001 aus den Mieträumlichkeiten ausgezogen sei. Es hat aufgrund einer summarischen Prüfung und nach Ermessen über die Kostenfolge entschieden. Das Kantonsgericht hielt im Einzelnen fest, die Kündigung sei zu Unrecht erfolgt, da die Beschwerdegegnerin ihre Verrechnungserklärung fristgerecht erhoben habe. Eine summarische Prüfung ergebe zudem, dass das Ausweisungsbegehren hätte abgewiesen werden müssen, da es zu früh gestellt worden sei. Ferner habe der Vorderrichter im Rahmen der in Art. 274g OR vorgesehenen Kompetenzattraktion eine bundesrechtskonforme Prüfung vorgenommen. Schliesslich sei bei der Verlegung der kantonsgerichtlichen Kosten dem Umstand Rechnung zu tragen, dass die Beschwerdegegnerin mit ihrem Hauptantrag auf Nichteintreten auf die kantonale Berufung sowie mit ihrem Anschlussrekurs unterlegen sei. Das Kantonsgericht hielt im Einzelnen fest, die Kündigung sei zu Unrecht erfolgt, da die Beschwerdegegnerin ihre Verrechnungserklärung fristgerecht erhoben habe. Eine summarische Prüfung ergebe zudem, dass das Ausweisungsbegehren hätte abgewiesen werden müssen, da es zu früh gestellt worden sei. Ferner habe der Vorderrichter im Rahmen der in Art. 274g OR vorgesehenen Kompetenzattraktion eine bundesrechtskonforme Prüfung vorgenommen. Schliesslich sei bei der Verlegung der kantonsgerichtlichen Kosten dem Umstand Rechnung zu tragen, dass die Beschwerdegegnerin mit ihrem Hauptantrag auf Nichteintreten auf die kantonale Berufung sowie mit ihrem Anschlussrekurs unterlegen sei. C. Der Beschwerdeführer ficht den Beschluss des Kantonsgerichts mit staatsrechtlicher Beschwerde an und verlangt die Aufhebung der Dispositivziffern 3-5. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Kantonsgericht des Kantons Schwyz beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. 