A.- S._ a été hospitalisée à l'Hôpital cantonal de Genève du 5 au 14 janvier 1998, en division privée. Il en est résulté une facture de 10 695 fr. 70 que l'hôpital a envoyée le 28 janvier 1998 à la caisse-maladie Assura, assureur-maladie de la patiente, laquelle l'a prise intégralement en charge. Le 11 mars 1999, Assura a écrit au Département de l'action sociale et de la santé du canton de Genève (ci-après : DASS) pour lui communiquer la facture précitée et l'inviter à lui faire parvenir, "en conformité de l'avis exprimé par le TFA", la participation financière du canton aux frais d'hospitalisation de l'assurée. La caisse fondait sa demande sur la jurisprudence du Tribunal fédéral des assurances d'après laquelle l'obligation du canton de résidence de payer la différence de coûts existe en principe également lorsqu'un assuré qui, pour des raisons médicales, recourt aux services d'un hôpital public ou subventionné par les pouvoirs publics situé hors de son canton de résidence, séjourne dans la division privée ou mi-privée de cet établissement. Cette demande a été rejetée par le DASS, d'abord de manière informelle en date du 18 mars 1999, puis le 29 avril 1999 par décision formelle, contre laquelle Assura a formé opposition que la même autorité a rejetée par décision du 23 septembre 1999. B.- Saisi par Assura d'un recours contre cette dernière décision, le Tribunal administratif de la République et canton de Genève, statuant en qualité de tribunal cantonal des assurances, l'a admis et, par jugement du 14 septembre 2000, il a condamné le DASS "à participer financièrement, au minimum à hauteur de 50 % du coût imputable de la division commune, au séjour de Madame S._ en division privée de l'HUG", sans frais ni dépens. C.- Le DASS interjette recours de droit administratif contre ce jugement qu'il demande au Tribunal fédéral des assurances d'annuler, le tribunal étant invité à dire que le DASS n'est pas tenu de participer financièrement aux frais d'hospitalisation de Madame S._ en division privée des HUG, sous suite de frais et dépens. Assura conclut, sous suite de frais et dépens, au rejet du recours et à la confirmation du jugement attaqué. L'assurée ne s'est pas déterminée. Au terme d'un préavis circonstancié, l'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) propose de rejeter le recours. Les moyens des parties seront, pour autant que de besoin, exposés et discutés dans les considérants qui suivent. 