A.- A._ a travaillé comme aide-charpentier à B._ dès le mois de juillet 1989. Le 11 octobre 1994, il a consulté son médecin traitant, le docteur C._, en raison de douleurs dorsales irradiant dans la jambe gauche. Les examens médicaux ont révélé l'existence d'une hernie discale L4-L5 paramédiane gauche et d'une sténose osseuse, ce qui a donné lieu à une intervention chirurgicale par le docteur D._, spécialiste FMH en neurochirurgie, le 8 mai 1995. Le 7 décembre 1995, A._ a présenté une demande de prestations à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après : l'office AI). Dans un rapport du 29 décembre 1995, son médecin traitant attesta d'une incapacité de travail totale depuis le 16 novembre 1994 dans la profession exercée précédemment par son patient, sous réserve de deux tentatives de reprise de son activité, du 12 au 22 décembre 1994 et, à temps partiel, du 1er au 6 décembre 1995. D'après lui, des mesures d'ordre professionnel étaient indiquées. L'assuré a ensuite effectué un stage dans un centre d'observation professionnelle de l'assurance-invalidité (COPAI), à B._, du 10 février au 7 mars 1997. D'après les constatations du centre, il a montré une pleine capacité de travail dans une activité ne nécessitant pas le port de charges supérieures à 10 kg, par exemple pour des travaux de montage et comme mécanicien sur motos et vélos, magasinier dans un garage ou opérateur spécialisé. Le médecin-conseil du COPAI, le docteur E._, faisait toutefois état d'un syndrome somatoforme douloureux, alors que l'examen physique révélait tout au plus une petite contracture paralombaire L4-L5 gauche (rapport du 10 mars 1997). Aussi, le docteur C._ a adressé son patient aux docteurs F._ et G._, du Centre psychosocial de X._, lesquels ont diagnostiqué un syndrome somatoforme douloureux persistant chez une personnalité de structure psychotique (rapport du 26 mars 1997). Le 30 juin 1997, l'office AI a placé A._ en stage dans une entreprise de micro-mécanique. A la suite de l'interruption de ce stage par l'assuré, après une journée et demie de travail, l'office a demandé un rapport médical complémentaire à la doctoresse G._. Cette dernière a fait état d'une capacité de travail de 75 % dans une activité légère, telle que la micro-mécanique, au vu des troubles psychiques constatés (rapport du 12 septembre 1997). L'office AI a alors alloué un quart de rente à l'assuré, avec effet au 1er novembre 1995 (décision du 6 avril 1998). B.- Contre cette décision, A._ a interjeté un recours devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud, en concluant à l'allocation d'une rente entière d'invalidité, subsidiairement au renvoi de la cause à l'office AI pour qu'il se prononce sur son droit à une demirente pour cas pénible. A l'appui de son recours, il a déposé un rapport d'expertise établi le 5 décembre 1997 par le docteur H._, spécialiste FMH en médecine physique et rééducation, lequel attestait d'un syndrome lombovertébral, avec de multiples contractures et une hypoextensibilité musculaire dans le cadre d'un important déconditionnement, mais sans affection neurologique. Au terme de son rapport, le docteur H._ évaluait la capacité de travail résiduelle de l'assuré à 30 ou 40 % dans une activité extrêmement légère, mais précisait que ce taux ne prenait pas en considération d'éventuels troubles psychiques. Par la suite, à l'occasion d'une audience aménagée le 15 juin 2000 par la juridiction cantonale, il a toutefois revu cette appréciation et fait état d'une capacité de travail résiduelle de 60 à 70 % dans une activité adaptée. A cette même audience, le docteur C._ a estimé la capacité de travail à 40 à 50 % dans une activité légère, alors que la doctoresse G._ a confirmé son appréciation relative à l'incapacité de travail de l'assuré liée à ses troubles psychiques. Par jugement du 15 juin 2000, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a réformé la décision du 6 avril 1998 de l'office AI et alloué à l'assuré une demi-rente d'invalidité dès le 1er novembre 1995, fondée sur un taux d'invalidité de 58 %. C.- L'office AI interjette un recours de droit administratif contre ce jugement, dont il demande l'annulation. L'intimé conclut au rejet du recours avec suite de frais et dépens et demande a être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire. Pour sa part, l'Office fédéral des assurances sociales propose l'admission du recours. 