(Raumplanung; Eigentumsgarantie), hat sich ergeben: A.- Am 19. Januar 1989 beschloss der Grosse Stadtrat Luzern den Bebauungsplan B 127 Bramberg/St. Karli. Dagegen gingen innert der öffentlichen Auflagefrist mehrere Einsprachen ein. Am 19. September 1990 beantragte der Stadtrat dem Regierungsrat des Kantons Luzern, den Bebauungsplan zu genehmigen. Gleichzeitig nahm er zu den Einsprachen Stellung. Mit Entscheid vom 11. Januar 1994 genehmigte der Regierungsrat den Bebauungsplan mit Ausnahmen, Vorbehalten und Änderungen. Die Einsprachen wies er mit einer Ausnahme ab oder erklärte sie als erledigt, sofern er darauf eintrat. Am 24. März 2000 genehmigte der Regierungsrat eine Änderung des Bebauungsplanes B 127. Diese betraf die Ausdehnung der Ortsbild-Schutzzone C auf bestimmte Gebiete, welche damit unter Aufhebung der im Bebauungsplan festgelegten Dichtebestimmungen in die Wohnzone 1 C umgeteilt wurden. Nach dem geltenden Bebauungsplan B 127 Bramberg/ St. Karli erstreckt sich das Plangebiet entlang des rechten Reussufers vom Nölliturm bis zum N2-Werkanschluss Lochhof. Das Gebiet wird im Süden durch die Reuss, im Süd- und Nordosten im Wesentlichen durch die Museggmauer und die Brambergstrasse, wo der Bebauungsplan Altstadt/Hochwacht anschliesst, und im Norden durch die Friedentalstrasse begrenzt. Damit umfasst der Bebauungsplan B 127 die Quartiere Bramberg, St. Karli und den Bereich des Kantonsspitals. Nach den Erwägungen im Genehmigungsentscheid des Regierungsrates vom 11. Januar 1994 soll er die bauliche Entwicklung in diesen Quartieren in eine mit den Zielsetzungen der Stadtplanung übereinstimmende Bahn lenken. Im Vordergrund stehe die Erhaltung der bestehenden Stadtqualität und -strukturen. Es solle aber auch der rechtliche Rahmen für neue, qualitätsvolle und sich in die bestehende Stadtstruktur einordnende Bauten geschaffen werden. Der grösste Teil des Plangebietes wurde entsprechend der bisherigen Nutzung einer Wohnzone zugeteilt. Darüber hinaus legt der Bebauungsplan aber auch verschiedene Wohn- und Geschäftszonen, Zonen für öffentliche Bauten und Anlagen sowie Grünzonen fest. Insgesamt unterteilt er das Plangebiet in 15 Zonen. Das im vorliegenden Verfahren interessierende Gebiet befindet sich in der Zone 10, einer Wohn- und Geschäftszone mit Gestaltungsplanpflicht. Es gelten zudem Bauvorschriften zum Bebauungsplan; deren Ziff. 2 bestimmt für die Zone 10: "Ausnützungsziffer (AZ) 0.70 über einer Kote von ca. 453 m.ü.M. Keine AZ-Anrechnung für gewerbliche Nutzung unter dieser Kote". B.- Am 24. November 1999 ersuchte B._ um Genehmigung des Gestaltungsplanes G X._ mit Bauvorschriften über die Grundstücke ...., ...., ...., ...., ...., ...., und ...., GB Luzern-Stadt, rechtes Ufer, an der X._-, G._- und S._-strasse. Der Gestaltungsplan wurde von allen beteiligten Grundeigentümern mitunterzeichnet. Sein Perimeter erstreckt sich über die ganze Zone 10 des Bebauungsplangebiets B 127 Bramberg/St. Karli. Am 21. Juni 2000 genehmigte der Stadtrat Luzern den Gestaltungsplan unter verschiedenen Auflagen und Bedingungen. Die Einsprachen wies er ab, soweit er darauf eintrat. Dagegen legten die Stockwerkeigentümergemeinschaft X._-strasse und die X._ Bau- und Wohngenossenschaft gemeinsam Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern ein. Dieses wies die Beschwerde am 24. April 2001 ab, soweit es darauf eintrat. C.- Gegen diesen Entscheid des Verwaltungsgerichts haben die Betroffenen am 28. Mai 2001 beim Bundesgericht staatsrechtliche Beschwerde erhoben mit dem Antrag, das angefochtene Urteil sei aufzuheben. Zudem ersuchen sie um aufschiebende Wirkung der Beschwerde. Der Beschwerdegegner und der Stadtrat Luzern beantragen, die staatsrechtliche Beschwerde sei abzuweisen. Das Verwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung und beantragt unter Hinweis auf die Erwägungen im angefochtenen Urteil die Abweisung der Beschwerde. D.- Mit Entscheid vom 4. Juli 2001 hat der Präsident der I. öffentlichrechtlichen Abteilung das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung zur Zeit abgewiesen. 