Sachverhalt: A. Die 1966 geborene M._ meldete sich im Dezember 2004 bei der Invalidenversicherung an und beantragte u.a. eine Rente. Nach Abklärung der gesundheitlichen und erwerblichen Verhältnisse sowie der Einschränkung im Aufgabenbereich Haushalt und nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens lehnte die IV-Stelle Schwyz mit Verfügung vom 25. Juni 2007 das Leistungsbegehren ab. B. Die Beschwerde der M._ hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz nach einer mündlichen Verhandlung insoweit gut, als es die Verfügung vom 25. Juni 2007 aufhob, den Anspruch der Versicherten auf eine Viertelsrente (Invaliditätsgrad: 40 %) bejahte und die Sache an die IV-Stelle zur Festlegung des Rentenbeginns und Ermittlung der Nachzahlungsbeträge zurückwies (Entscheid vom 15. Januar 2008). C. Die IV-Stelle Schwyz führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 15. Januar 2008 sei aufzuheben. M._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde, desgleichen das kantonale Gericht, soweit auf das Rechtsmittel einzutreten sei. Das Bundesamt für Sozialversicherungen beantragt die Gutheissung der Beschwerde. 