Sachverhalt: A. A._ bestand in den Frühjahrsprüfungssessionen 2011 und 2012 den schriftlichen Teil der Notariatsprüfungen des Kantons Luzern nicht. Auf Gesuch hin wurde er anlässlich der Prüfungssession vom Frühjahr 2013 zum dritten Versuch zugelassen. Mit Verfügung vom 9. April 2013 informierte die Notariatsprüfungskommission des Kantons Luzern A._ über das Ergebnis der schriftlichen Prüfungen, wonach das Handels- und Stiftungsrecht mit "genügend"; demgegenüber das Fach Sachen- und Kaufvertragsrecht sowie das Fach Ehegüter- und Erbrecht mit "ungenügend" bewertet wurden. Die Notariatsprüfungskommission teilte weiter mit, dass die schriftliche Prüfung damit nicht bestanden und eine Wiederholung nicht mehr möglich sei. Damit erübrigte sich auch eine Zulassung zu den mündlichen Notariatsprüfungen, die für den Fall des Bestehens der schriftlichen Prüfungen vorgesehen waren. B. Gegen die Verfügung vom 9. April 2013 erhob A._ Beschwerde beim Obergericht (seit dem 1. Juni 2013 Kantonsgericht) und beantragte insbesondere, den negativen Prüfungsentscheid aufzuheben. Im Sinne einer vorsorglichen Massnahme verlangte er weiter die provisorische Zulassung zur mündlichen Prüfung. Das Kantonsgericht wies das Rechtsmittel mit Entscheid vom 18. November 2013 ab; die beantragte vorsorgliche Massnahme hatte es zuvor nicht gewährt. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Erlassbeschwerde) und subsidiärer Verfassungsbeschwerde beantragt A._ dem Bundesgericht unter anderem festzustellen, dass § 60a Abs. 1 Satz 2 des Gesetzes über die öffentlichen Beurkundungen vom 18. September 1973 (SRL Nr. 255; im Folgenden: Beurkundungsgesetz/LU) nicht verfassungskonform sei. Insbesondere seien der Entscheid der Vorinstanz vom 18. November 2013 und derjenige der Prüfungskommission vom 9. April 2013 aufzuheben. Es sei festzustellen, dass die Vorinstanz kein unabhängiges und unparteiliches Gericht sei. Der Beschwerdeführer beantragt weiter, ihm sei die Befähigung zum Notar zu erteilen; eventuell sei die schriftliche Notariatsprüfung für bestanden zu erklären, weswegen er zur mündlichen Notariatsprüfung zuzulassen sei; subsubeventualiter sei die Angelegenheit an ein unabhängiges und unparteiisches Gericht mit der Möglichkeit der Ermessenskontrolle, insbesondere unter Berücksichtigung der fehlerhaften Aufgabenstellung, zurückzuweisen. Die Notariatskommission des Kantons Luzern und das Kantonsgericht beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Beschwerdeführer hält in einer weiteren Eingabe an seinen Anträgen fest. 