Sachverhalt: A. Mit Gesuch vom 16. Juni 2009 beantragte die Sunrise Communications AG, vertreten durch die Alcatel-Lucent Schweiz AG sowie die Swisscom (Schweiz) AG, den Bau einer neuen Mobilfunkanlage auf Grundstück Nr. 95, GB Adligenswil, Obermattweid. Gemäss dem Standortdatenblatt vom 3. September 2009 umfasst die Anlage sechs GSM/UMTS-fähige, kreuzpolarisierte Antennen mit einer äquivalent abgestrahlten Leistung von 900 bis 1'500 Watt (900 MHz) und 1'700 bzw. 2'400 Watt (2'100 MHz), insgesamt 9'700 Watt, sowie eine Richtfunkantenne. Das Bauvorhaben lag vom 22. Juli bis 10. August 2009 öffentlich auf und wurde zusätzlich allen Einsprachberechtigten innerhalb des Einspracheperimeters schriftlich eröffnet. Nach Eingang zahlreicher Einsprachen reichte die Alcatel-Lucent Schweiz AG auf Aufforderung des Gemeinderats Adligenswil hin am 19. Januar 2010 eine revidierte Standortbegründung ein. Die kantonale Dienststelle Raumentwicklung, Wirtschaftsförderung und Geoinformation (rawi) erteilte am 8. Februar 2010 eine Ausnahmebewilligung nach Art. 24 RPG für die Erstellung einer Mobilfunkanlage ausserhalb der Bauzone. Daraufhin erteilte der Gemeinderat Adligenswil am 19. August 2010 die Baubewilligung unter Auflagen und Bedingungen. Die Einsprachen wies er ab, soweit er darauf eintrat. B. Gegen diesen Entscheid gelangten zahlreiche Personen gemeinsam ans Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, dies mit dem Hauptantrag, die Baubewilligung für die Antennenanlage sei zu verweigern. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde am 13. Juli 2011 ab. C. In ihrer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 14. September 2011 beantragen A._ und die 21 Mitbeteiligten die Aufhebung des verwaltungsgerichtlichen Urteils vom 13. Juli 2011. Gleichzeitig ersuchen sie um Aufhebung der kommunalen Baubewilligung wie auch der kantonalen Ausnahmebewilligung der Dienststelle rawi. Eventualiter sei die Sache im Sinne der bundesgerichtlichen Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Schliesslich stellen die Beschwerdeführer Antrag auf Gewährung der aufschiebenden Wirkung. Die Sunrise Communications AG als private Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der Beschwerde, desgleichen die Dienststelle rawi. Auch der Gemeinderat Adligenswil und das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern beantragen je, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Aus Sicht des Bundesamts für Raumentwicklung (ARE) wirft die Beschwerde keine grundsätzlichen planerischen oder planungsrechtlichen Fragen auf. Das Bundesamt für Umwelt (BAFU) gelangt in seiner Stellungnahme zum Schluss, die bundesrechtlichen Vorschriften über den Schutz vor nichtionisierender Strahlung seien korrekt angewandt worden. In einer weiteren Stellungnahme vom 1. März 2012 halten die Beschwerdeführer sinngemäss an ihren Anträgen und deren Begründung fest. D. Mit Verfügung vom 19. Oktober 2011 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. 