A.- Mit Verfügung vom 31. Januar 1996 bewilligte das Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen den Dres. J._ und P._ den Betrieb der aus ihnen bestehenden einfachen Gesellschaft Klinik X._ bis zum 31. Januar 2001. Verschiedene Krankenkassen verweigerten aber Kostengutsprache für einen dortigen Aufenthalt und eine bei dieser vorgenommenen Behandlung. Der Kantonalverband St. Gallischer Krankenversicherer (KSGK) begründete dies damit, dass die Klinik X._ keine nach bisherigem, d.h. bis Ende Dezember 1995 gültig gewesenem Recht zugelassene Leistungserbringerin im Sinne der Übergangsbestimmungen des grundsätzlich am 1. Januar 1996 in Kraft getretenen neuen Bundesgesetzes über die Krankenversicherung vom 18. März 1994 (KVG) sei. Am 24. Juni 1997 erliess der Regierungsrat des Kantons St. Gallen die Spitalliste für den Kanton St. Gallen, in welcher die Klinik X._ nicht enthalten war. Dagegen liessen die Dres. J._ und P._ als deren Beteiligte Verwaltungsbeschwerde beim Bundesrat einreichen. Ebenfalls beschwert hat sich - vor allem aus Gründen der Überkapazität - der Verband Krankenversicherer St. Gallen-Thurgau (KST), welcher Nachfolger des KSGK bildet. B.- Nachdem der KST die Klinik X._ immer noch nicht als Heilanstalt anerkennen wollte, liessen die beiden leitenden Ärzte namens der einfachen Gesellschaft beim Schiedsgericht nach KVG des Kantons St. Gallen Klage erheben mit dem Begehren, es sei festzustellen, dass die Klinik X._ als Leistungserbringerin zulasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung zugelassen und berechtigt sei, bestehenden Tarifverträgen mit anderen Privatspitälern beizutreten. Das kantonale Schiedsgericht nach KVG wies die Klage ab, soweit es darauf eintrat (Entscheid vom 12. März 1999). C.- Die Dres. J._ und P._ lassen als Mitglieder der einfachen Gesellschaft Klinik X. _ Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen und beantragen, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass die Klinik X._ als Leistungserbringerin zulasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung zugelassen sei. Der KST lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Sozialversicherung lässt sich nicht vernehmen. D.- Am 23. Juni 1999 entschied der Bundesrat über die Verwaltungsbeschwerde des KST und Mitbeteiligte gegen den Regierungsrat des Kantons St. Gallen in Sachen St. Galler Spitalliste. Dabei hiess er die Beschwerde in der Hauptsache in dem Sinne gut, dass er die St. Galler Spitalliste vom 24. Juni 1997 aufhob und die Sache zur Vervollständigung der Planung und zu neuem Beschluss an den Regierungsrat zurückwies; im Übrigen wies er die Beschwerde ab. 