Sachverhalt: A. Der türkische Staatsangehörige X._ (geb. 1956) reiste im Mai 2000 in die Schweiz ein und stellte ein Asylgesuch. Dieses wurde am 25. September 2000 abgewiesen; gleichzeitig wurde eine Ausreisefrist bis zum 8. November 2000 angesetzt. Am 9. Oktober 2000 heiratete X._ in St. Gallen die Schweizer Bürgerin Y._ (geb. 1955). In der Folge erhielt er im Rahmen des Familiennachzugs eine zuletzt bis zum 9. Oktober 2005 verlängerte Aufenthaltsbewilligung. Mit Verfügung vom 17. Januar 2007 wies das Ausländeramt St. Gallen die Gesuche von X._ um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung bzw. um Erteilung der Niederlassungsbewilligung mit der Begründung ab, es liege eine Scheinehe vor. Die dagegen im Kanton erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos. B. X._ beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde vom 6. Dezember (Postaufgabe: 7. Dezember) 2007 die Aufhebung des in dieser Sache zuletzt ergangenen Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 5. November 2007. Ihm sei die Niederlassungsbewilligung zu erteilen, "zumindest aber der weitere Aufenthalt zu bewilligen". Eventuell sei die Angelegenheit zur neuen Entscheidung zurückzuweisen. Mit Schreiben vom 14. Dezember 2007 reichte X._ Belege nach. C. Das Justiz- und Polizeidepartement des Kantons St. Gallen sowie das Bundesamt für Migration beantragen Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Mit Schreiben vom 22. Februar 2008 hat X._ eine Replik eingereicht. D. Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde mit Verfügung vom 13. Dezember 2007 aufschiebende Wirkung zuerkannt. 