Sachverhalt: A. Y._ ist Eigentümer des Grundstücks Nr. 1 in der Gemeinde C._, X._ Eigentümerin des östlich angrenzenden Grundstücks Nr. 2. Die beiden Grundstücke werden durch ein Fuss- und Fahrwegrecht erschlossen, das auf dem östlich des Grundstücks Nr. 1 und südlich des Grundstücks Nr. 2 gelegenen (Strassen-)Grundstück Nr. 3 lastet. Das Grundstück von Y._ verfügt über einen Fahrweg, dasjenige von X._ über einen steilen Fussweg. Im Jahre 2003 kaufte Y._ 190 m2 des Grundstücks Nr. 3 und schlug sie seinem Grundstück zu. Das auf dem ganzen Grundstück Nr. 3 (unter anderem zu Gunsten des Grundstücks von X._) lastende Fuss- und Fahrwegrecht wurde dabei als Last auf die (um 190 m2 erweiterte) Parzelle Y._s übertragen. Y._ verlangte in der Folge gestützt auf Art. 976 ZGB die Löschung des Fuss- und Fahrwegrechts auf seinem Grundstück. Das Grundbuchamt A._ gab dem Begehren statt und löschte die zu Gunsten des Grundstücks von X._ eingetragene Dienstbarkeit wegen gänzlichen Wegfalls des Interesses. B. Mit Eingabe vom 9. Oktober 2006 erhob X._ beim Amtsgericht A._ Klage gegen Y._ und beantragte, das Grundbuchamt A._ habe das mit Verfügung vom 27. Juni 2006 gelöschte Fuss- und Fahrwegrecht erneut einzutragen (Begehren Ziffer 1) und sie sei unter Vorbehalt der öffentlich-rechtlichen Bewilligung berechtigt zu erklären, auf dem Grundstück Nr. 1 von Y._ eine Erschliessungsstrasse gemäss dem der Klage beigelegten Plan vom 5. Juli 2006 zu erstellen (Begehren Ziffer 2). Nach diesem Plan sollte die Strasse ausschliesslich auf dem Teil angelegt werden, der früher zum Grundstück Nr. 3 gehört hatte. Das Amtsgericht A._ hiess die Klage am 6. Juni 2007 insoweit gut, als es feststellte, dass die Dienstbarkeit zu Unrecht gelöscht worden sei, und X._ ermächtigte, das Fuss- und Fahrwegrecht wieder eintragen zu lassen. Bezüglich der verlangten Ermächtigung zum Bau einer Erschliessungsstrasse wies es die Klage hingegen ab. X._ appellierte an das Obergericht des Kantons Luzern, worauf Y._ Anschlussappellation erhob. Mit Urteil vom 29. Februar 2008 bestätigte das Obergericht (I. Kammer) den erstinstanzlichen Entscheid. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 21. April 2008 verlangt X._, das obergerichtliche Urteil aufzuheben und sie unter Vorbehalt öffentlich-rechtlicher Bewilligungen zur Erstellung der strittigen Erschliessungsstrasse berechtigt zu erklären; allenfalls sei die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Y._ (Beschwerdegegner) beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten; allenfalls sei sie abzuweisen. Das Obergericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. 