Sachverhalt: A. L._ (Jg. 1961) erlitt am 23. April 2004 bei einem Auffahrunfall - der von ihr gelenkte, vor einer Lichtsignalanlage wartende Personenwagen wurde von hinten gerammt und in das davor stehende Fahrzeug geschoben - gemäss Diagnose des erstbehandelnden Dr. med. E._, Assistenzarzt auf der Notfallstation der Klinik S._, eine Distorsion der Halswirbelsäule. Dies, nachdem sie sich eine solche schon am 3. Juli 1988 ebenfalls anlässlich eines Auffahrunfalles zugezogen und ihr die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) am 25. Juli 1995 für die daraus resultierenden gesundheitlichen Folgen eine Entschädigung für eine 30%ige Integritätseinbusse sowie für die Zeit ab 1. Mai 1995 eine Invalidenrente auf Grund einer Erwerbseinbusse von 35 % zugesprochen hatte. Dieser Rentenanspruch wurde in späteren Revisionsverfahren mehrmals bestätigt, letztmals mit rechtskräftig gewordenem Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 13. November 2003. Aktenkundig ist ein weiterer Auffahrunfall vom 17. Mai 1992, welcher zwar ebenfalls zu einer Distorsion der Halswirbelsäule geführt, aber keine Dauerleistungen der Unfallversicherung ausgelöst hatte. Auch in Zusammenhang mit dem letzten Auffahrunfall vom 23. April 2004 kam die SUVA für die Heilungskosten auf und richtete Taggelder aus. Mit Verfügung vom 13. Januar 2006 stellte sie die Taggeldzahlungen jedoch auf den 31. Januar 2006 hin mit der Begründung ein, das versicherte Ereignis vom 23. April 2004 habe die schon auf Grund des früheren Unfalles vom 3. Juli 1988 bestehenden Gesundheitsschäden nicht verschlimmert und der Zustand, wie er vor dem neuerlichen Unfall bestand (status quo ante), sei wieder erreicht worden. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 31. August 2007 fest. B. Die hiegegen erhobene Beschwerde mit den Begehren, die SUVA zu verpflichten, ihr die gesetzlichen Leistungen für die Folgen des Unfalles vom 23. April 2004 über den 31. Januar 2006 hinaus weiterauszurichten und die ihr bei den Dres. med. D._ und H._ vom Institut X._ angefallenen Gutachterkosten in Höhe von Fr. 12'500.- zu vergüten, wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 17. März 2008 ab. C. Beschwerdeweise lässt L._ ihre im kantonalen Verfahren gestellten Anträge erneuern. Die SUVA schliesst auf Beschwerdeabweisung, während das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung verzichtet. 