Sachverhalt: A. A.a. Als Chefapothekerin am Spital A._ (nachfolgend: Spital A._ oder Arbeitgeberin) war X._ Vorgesetzte von drei Stationsapothekern, die mit ihr zusammen die Apothekerleitung bildeten. X._ präsidierte die Arzneimittelkommission, die darüber zu entscheiden hatte, welche Arzneimittel in die Medikamentenliste des Spitals aufgenommen und somit regelmässig bestellt wurden. Am 11. August 1997 eröffnete sie ein Konto. Über dieses Konto war sie einzelzeichnungsberechtigt; ihre jeweiligen Stellvertreter verfügten über eine Vollmacht, wovon diese allerdings keinen Gebrauch machten. In der Zeit von Juni 1998 bis April 2006 wurden Gelder im Gesamtbetrag von Fr. 164'784.35 auf das Konto überwiesen und Zahlungen von total Fr. 159'321.45 ab dem Konto getätigt (vgl. Sachverhalt lit. A des Urteils 6B_766/2011 vom 3. Juli 2012). Das Konto wurde hauptsächlich aus Zahlungen von Pharmaunternehmungen gespiesen und diente im Wesentlichen zur Deckung der Aufwendungen für Aus- und Weiterbildung sowie Informatik. Zudem bezog X._ ab diesem Konto Pikettentschädigungen im Gesamtbetrag von Fr. 10'612.-. Die Existenz dieses Kontos blieb der Spitalleitung und dem "Verwaltungsrat HFR Freiburg - Spital A._" (nachfolgend: Beschwerdegegner) bis April 2006 unbekannt. Zur Vorfinanzierung einer am 6. Juni 2006 in Z._ durchgeführten Operation bezog X._ ab dem genannten Konto am 27. April 2006 Fr. 28'000.-, welche sie nach ihrer Rückkehr aus Z._ und dem Empfang der Rückerstattung der Operationskosten von Seiten ihrer Versicherung noch vor Ende Juli 2006 wieder zurückbezahlte. Nach Kenntnisnahme von der Existenz dieses Kontos eröffnete der Spitaldirektor am 30. Mai 2006 eine Administrativuntersuchung gegen X._. Am 31. Mai 2006 gewährte ihr der Beschwerdegegner zu den erhobenen Vorwürfen das rechtliche Gehör. Gleichzeitig überreichte X._ dem Beschwerdegegner ein vom 31. Mai 2006 datierendes Schreiben mit dem Titel "Plainte contre le Directeur de l'hôpital pour discrimination, mobbing et tentative de criminalisation", mit welchem sie sich über die von Seiten des Spitaldirektors gegen sie eröffneten Administrativuntersuchungen beklagte und ihrerseits beantragte: "[...] je vous prie d'ouvrir de votre part une enquête contre le Directeur pour discrimination contre moi, pour mobbing utilisant et abusant son pouvoir fonctionnel et pour tentative de criminalisation en accusant une utilisation du compte postale de la Pharmacie inconforme." Der Beschwerdegegner trat darauf mit Entscheid vom 2. August 2006 nicht ein. Am 7. Juli 2006 verfügte der Beschwerdegegner mit sofortiger Wirkung die Dienstenthebung und stellte die Gehaltszahlungen per 31. Juli 2006 ein. Am 3. August 2006 erstattete er Anzeige an die Strafuntersuchungsbehörde. In der Folge wurde X._ der ungetreuen Geschäftsbesorgung im Sinne von Art. 158 Ziff. 1 Abs. 1 StGB, begangen im Jahr 2003, sowie der ungetreuen Geschäftsbesorgung im Sinne von Art. 158 Ziff. 1 Abs. 3 StGB (mit Bereicherungsabsicht), begangen in der Zeit von Ende 1996 bis April 2006, schuldig gesprochen und deswegen zu einer Geldstrafe von 60 Tagessätzen zu Fr. 100.--, bedingt vollziehbar bei einer Probezeit von zwei Jahren, verurteilt. Zudem verpflichtete der Strafappellationshof des Kantonsgerichts Freiburg X._ gestützt auf Art. 71 StGB zur Zahlung einer Ersatzforderung von Fr. 10'612.-- an den Kanton Freiburg (vgl. Sachverhalt lit. B des Urteils 6B_766/2011 vom 3. Juli 2012). Die von X._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil 6B_766/2011 vom 3. Juli 2012 ab. Schliesslich verfügte der Beschwerdegegner am 6. November 2006 die fristlose Entlassung der X._ wegen schwerer Verletzung der Treuepflicht durch das Führen einer "schwarzen Kasse". A.b. Gegen die Verfügungen des Beschwerdegegners vom 7. Juli und 6. November 2006 sowie gegen den Nichteintretensentscheid des Beschwerdegegners vom 2. August 2006 liess X._ je separat Beschwerde erheben. Der Staatsrat des Kantons Freiburg (nachfolgend: Staatsrat) hiess die Beschwerde der X._ gegen den Entscheid des Beschwerdegegners vom 2. August 2006 im Verfahren 601 2008 115 in Bezug auf die Feststellung einer Verletzung des rechtlichen Gehörs gut und wies die Beschwerde im Übrigen als unbegründet ab (Entscheid Nr. 528a vom 16. Juni 2008). Mit separatem Entscheid Nr. 528 vom gleichen Datum wies er die Beschwerden der X._ gegen die beiden Verfügungen vom 7. Juli und 6. November 2006 im Verfahren 601 2008 116 ab. B. Gegen beide Entscheide des Staatsrates vom 16. Juni 2008 liess X._ am 21. August 2008 je separat Beschwerde führen und im Wesentlichen beantragen, unter Aufhebung des Entscheides Nr. 528 sei im Verfahren Nummer 601 2008 116 festzustellen, dass die am 6. November 2006 aus wichtigen Gründen verfügte Entlassung nichtig sei, das Spital A._ habe ihr "eine allfällige Gehaltsnachzahlung auszurichten". Zudem sei ihr eine angemessene Genugtuung zuzusprechen. Im Verfahren Nummer 601 2008 115 sei der Entscheid Nr. 528a für null und nichtig zu erklären und die Sache zur Neubeurteilung unter Gewährung der Möglichkeit zur Konkretisierung der Klage an den Staatsrat zurückzuweisen. Während das Kantonsgericht Freiburg, I. Verwaltungsgerichtshof, auf die Beschwerde vom 21. August 2008 betreffend Persönlichkeitsverletzung (Verfahrensnummer 601 2008 115) nicht eintrat (Dispositiv-Ziffer 2), wies es die Beschwerde vom 21. August 2008 (Verfahrensnummer 601 2008 116) betreffend vorläufige Dienstenthebung und Entlassung (Dispositiv-Ziffer 1) ab (Entscheid vom 25. Juni 2013). C. X._ lässt mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids insbesondere die Feststellung der Nichtigkeit der am 6. November 2006 verfügten Entlassung und des Entscheides des Beschwerdegegners vom 2. August 2006 betreffend Persönlichkeitsverletzung, die Zusprechung einer angemessenen Genugtuung, die Untersuchung der Persönlichkeitsverletzung durch eine unabhängige Instanz und subsidiär die Rückweisung der Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen beantragen. Während die Vorinstanz auf Abweisung der Beschwerde schliesst, soweit darauf einzutreten ist, verzichtet der Beschwerdegegner auf eine Vernehmlassung. 