Sachverhalt: A. Die Lehrpersonen an den Volksschulen und Kindergärten im Kanton Solothurn sind seit 1957 über die Schulgemeinden als Arbeitgeber bei der Kantonalen Pensionskasse Solothurn berufsvorsorgeversichert. 2007 gründeten die Einwohnergemeinde Erlinsbach und die im Kanton Aargau gelegene Gemeinde gleichen Namens den Gemeindeverband "Schule Erzbachtal". Primarschule und Kindergarten der beiden Körperschaften - die Oberstufe war bereits seit 1979 kantonsübergreifend geführt worden - wurden in den Verband überführt, welcher dem aargauischen Recht unterstellt wurde. Die involvierten beiden Kantone stimmten am 22. Januar 2008 (Aargau) bzw. am 19. Februar 2008 (Solothurn) der Bildung des Schulkreises zu und genehmigten die Satzungen des Gemeindeverbandes. In der Folge traten die 16 Lehrkräfte der Primarschule und des Kindergartens von Erlinsbach SO auf Ende Juli 2008 aus der Kantonalen Pensionskasse Solothurn aus und auf den 1. August 2008 in die Aargauische Pensionskasse ein. Die abgebende Vorsorgeeinrichtung überwies der aufnehmenden die vollen Freizügigkeitsleistungen in der Höhe von Fr. 3'087'413.-. Mit Schreiben vom 22. September 2009 verlangte die Kantonale Pensionskasse Solothurn von der Einwohnergemeinde Erlinsbach - in ihrer Eigenschaft als Schulgemeinde - die Bezahlung von Fr. 2'461'070.- bis 30. Oktober 2009. Zur Begründung führte sie an, gemäss dem Teilliquidationsreglement vom 19. März 2007 stelle der Austritt der 16 Lehrpersonen einen Teilliquidationsfall dar. Der Arbeitgeber habe sich daher anteilsmässig am Einkauf des Fehlbetrags und der Finanzierung der Teuerungszulagen der verbleibenden Rentner zu beteiligen. Schliesslich setzte die Pensionskasse den Betrag von Fr. 2'461'070.- samt Verzugszins ab 30. Oktober 2009 in Betreibung (Mahnungen vom 2. November 2009 und 2. März 2010, Zahlungsbefehl vom 23. März 2011). B. Am 1. Juli 2011 reichte die Kantonale Pensionskasse Solothurn beim Versicherungsgericht des Kantons Solothurn Klage gegen die Einwohnergemeinde Erlinsbach ein mit dem Rechtsbegehren, die Beklagte sei zu verurteilen, ihr Fr. 2'461'070.- zuzüglich 5 % Zins ab 30. Oktober 2009 zu bezahlen, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen. Die Einwohnergemeinde Erlinsbach beantragte in ihrer Antwort die Abweisung der Klage. In ihren weiteren Rechtsschriften hielten die Parteien an ihren Rechtsbegehren fest. Mit Entscheid vom 19. November 2012 wies das solothurnische Versicherungsgericht die Klage ab und verpflichtete die Klägerin zur Bezahlung einer Parteientschädigung von Fr. 22'392.60. C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die Kantonale Pensionskasse Solothurn, der Entscheid vom 19. November 2012 sei aufzuheben und die Klage gutzuheissen. Das kantonale Versicherungsgericht und die Einwohnergemeinde Erlinsbach schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. 