Faits: A. A.X._, ressortissante de Sierra Leone née en 1979, a épousé, en 2000 à Freetown (Sierra Leone), B.X._, qui possède la double nationalité française et suisse. En novembre 2000, les époux X._ se sont installés en France, à proximité de la frontière suisse, et l'épouse a donné naissance, en 2000 à St-Julien en Genevois, à un fils prénommé C._. Les époux X._ se sont séparés durant l'été 2003. Le 7 novembre 2003, A.X._ et son fils se sont installés en Suisse. Par courriers des 25 septembre et 6 novembre 2003 adressés à l'Office de la population du canton de Genève, la prénommée a sollicité l'octroi d'une autorisation de séjour. Par courrier du 22 décembre 2003, l'Office de la population du canton de Genève a informé A.X._ qu'il était disposé à lui octroyer une autorisation de séjour en vertu de l'art. 3 al. 1 lettre c de l'ordonnance fédérale du 6 octobre 1986 limitant le nombre des étrangers (OLE; RO 1986 1791 et les modifications ultérieures; en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007), sous réserve de l'approbation de l'Office fédéral de l'immigration, de l'intégration et de l'émigration - devenu entre-temps l'Office fédéral des migrations (ci-après: l'Office fédéral) -, auquel il a transmis le dossier. Le 12 janvier 2004, l'Office fédéral a informé l'Office de la population que le règlement des conditions de séjour en Suisse de A.X._ ne pouvait intervenir sous l'angle de la disposition précitée. Invitée à prendre position sur le courrier du 12 janvier 2004, A.X._ a indiqué à l'Office de la population que son fils, ressortissant suisse, était malade et nécessitait des soins constants. Le 20 juin 2005, l'Office de la population a informé A.X._ qu'il était disposé à lui délivrer une autorisation de séjour et transmettait son dossier à l'Office fédéral, en donnant un préavis favorable à une exemption des mesures de limitation au sens de l'art. 13 lettre f OLE. Le 28 juillet 2005, A.X._ a produit un rapport médical d'où il ressort que son fils C._ est atteint d'autisme infantile et que la gravité de son état nécessite un placement d'une durée indéterminée auprès de la fondation G._ à H._, avec retour au domicile maternel durant les week-ends. Par décision du 28 septembre 2005, l'Office fédéral a refusé de mettre A.X._ au bénéfice d'une exemption des mesures de limitation. Un recours a été interjeté à l'encontre de ce prononcé. Le 30 janvier 2006, l'Office fédéral a annulé sa décision du 28 septembre 2005, motif pris que la demande d'autorisation de séjour de A.X._ ne pouvait pas être examinée à la lumière de l'art. 13 lettre f OLE, mais devait l'être sous l'angle des art. 4, 7 et 16 de la loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE; RS 1 113; en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007). Le 15 mars 2006, l'Office de la population a soumis une nouvelle fois le dossier de A.X._ à l'Office fédéral, en donnant un préavis favorable à l'octroi d'une autorisation de séjour. Par décision du 5 juillet 2006, l'Office fédéral a refusé d'approuver l'octroi d'une autorisation de séjour à A.X._ et a prononcé son renvoi de Suisse. B. A l'encontre de cette décision, A.X._ a recouru au Département fédéral de justice et police - auquel a succédé le Tribunal administratif fédéral. Dans le cadre de l'instruction du recours, A.X._ a produit un jugement du 20 mars 2006 par lequel le Tribunal de grande instance de Bourg-en-Bresse a prononcé le divorce des époux X._ et attribué l'autorité parentale sur C._ aux deux parents, en fixant la résidence habituelle de ce dernier au domicile de la mère. Le 18 janvier 2009, A.X._ a donné naissance à Genève à un fils prénommé F._. Par arrêt du 12 novembre 2009, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours. Procédant à une pesée des intérêts, il a considéré que le refus d'approuver l'octroi d'une autorisation de séjour à A.X._ n'était pas contraire à l'art. 8 CEDH. Ce faisant, il a pris en considération notamment le fait que sa présence en Suisse n'était pas une condition pour que son fils C._ puisse continuer à bénéficier d'un placement auprès de la fondation G._. Elle-même pouvait faire en sorte de maintenir les relations avec son fils - durant les week-ends et les vacances - en allant s'installer en France voisine, où elle disposait d'une carte de résident valable jusqu'au 11 octobre 2011. Elle était du reste venue en Suisse en se prévalant de la nationalité suisse de son fils et "en se gardant bien de préciser que celui-ci était également de nationalité française". Elle avait ainsi pu obtenir la prise en charge de celui-ci par les établissements hospitaliers du canton de Genève, puis son placement auprès de la fondation G._. Un tel comportement, "proche de l'abus de droit", pesait nettement en sa défaveur. En outre, durant ses six ans de présence en Suisse, A.X._ n'avait jamais exercé d'activité lucrative et avait toujours dépendu de l'assistance sociale. Le Tribunal administratif fédéral a par ailleurs confirmé le renvoi de Suisse de la prénommée. C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A.X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du 12 novembre 2009 et de renvoyer la cause à l'autorité inférieure afin que, statuant à nouveau, elle approuve l'octroi d'une autorisation de séjour en sa faveur. A titre préalable, elle requiert que son recours soit doté de l'effet suspensif. Elle se plaint d'une violation des art. 24 et 25 Cst., de l'art. 8 CEDH, de l'art. 3 de la convention relative aux droits de l'enfant du 2 novembre 1989 (CDE; RS 0.107), ainsi que de l'art. 12 al. 4 du pacte international relatif aux droits civils et politiques (RS 0.103.2). L'Office fédéral propose le rejet du recours. L'autorité précédente renonce à se déterminer, tout en relevant que les faits nouvellement allégués par la recourante ne peuvent être pris en considération. Par ordonnance présidentielle du 30 mars 2010, la requête d'effet suspensif a été admise. 