Sachverhalt: A. B._ und C._ (Vermieter, Beschwerdegegner) vermieteten A._ (Mieterin, Beschwerdeführerin) mit Vertrag vom 12. September 2005 eine 3-Zimmer-Wohnung in U._. Am 5. Juni 2012 stellte die Mieterin bei den Vermietern ein Begehren um Herabsetzung des Mietzinses. Mit formlosem Schreiben vom 25. Juni 2012 kündigten die Vermieter den Mietvertrag per 30. September 2012 wegen Eigenbedarfs ihrer Tochter. Die Mieterin focht daraufhin bei der Staatlichen Schlichtungsstelle für Mietstreitigkeiten den Mietzins als rechtsmissbräuchlich an und verlangte die Behebung verschiedener Mängel sowie einen Entscheid über die von ihr hinterlegten Mietzinse. Sie begehrte sodann, es sei die Nichtigkeit der Kündigung vom 25. Juni 2012 festzustellen, und die Kündigung sei als rechtsmissbräuchlich aufzuheben. Eventualiter sei das Mietverhältnis zu erstrecken. Am 9. August 2012 kündigten die Vermieter das Mietverhältnis mit Formular per 30. November 2012, wobei sie wiederum Eigenbedarf anmeldeten. Die Mieterin focht auch diese Kündigung bei der Schlichtungsstelle an und beantragte eventualiter die Erstreckung des Mietverhältnisses bis zum 30. November 2015. B. Nachdem an der Schlichtungsverhandlung hinsichtlich der beiden Kündigungen und der Erstreckung des Mietverhältnisses keine Einigung erzielt worden war, erhob die Mieterin am 10. Oktober 2012 beim Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt Klage gegen die Vermieter. Sie verlangte, es sei festzustellen, dass die Kündigung vom 25. Juni 2012 nichtig sei. Die Kündigung vom 9. August 2012 sei für rechtsmissbräuchlich und damit für unwirksam zu erklären. Eventualiter begehrte sie die Erstreckung des Mietverhältnisses "erstmalig" bis zum 30. November 2015. Mit Entscheid vom 25. März 2013 stellte die Zivilgerichtspräsidentin fest, dass die Kündigung vom 25. Juni 2012 nichtig sei (Dispositiv-Ziffer 1) und hob die Kündigung vom 9. August 2012 "zufolge Missbräuchlichkeit" auf (Dispositiv-Ziffer 2). Dagegen gelangten die Vermieter mit Berufung an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, wobei sie die Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 2 des Entscheids und die Feststellung anbegehrten, dass die Kündigung vom 9. August 2012 rechtsgültig erfolgt sei. Die Mieterin beantragte Abweisung der Berufung, eventualiter Rückweisung an das Zivilgericht zur Beurteilung ihres Begehrens um Erstreckung des Mietverhältnisses. Mit Entscheid vom 8. November 2013 hob das Appellationsgericht in Gutheissung der Berufung Dispositiv-Ziffer 2 des angefochtenen Entscheids auf und erstreckte das Mietverhältnis "einmalig" bis zum 31. August 2014. C. Die Mieterin verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, der Entscheid des Appellationsgerichts vom 8. November 2013 sei aufzuheben. Die Kündigung vom 9. August 2012 sei als rechtsmissbräuchlich aufzuheben. Eventualiter sei "die Angelegenheit betreffend die von der Beschwerdeführerin beantragte erstmalige Erstreckung des Mietverhältnisses bis zum 30. November 2015" an das Zivilgericht zurückzuweisen, subeventualiter sei das Mietverhältnis erstmalig bis zum 30. November 2015 zu erstrecken. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt. D. Mit Verfügung vom 25. Februar 2014 wurde das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren abgewiesen. In der Folge überwies die Beschwerdeführerin den verlangten Kostenvorschuss fristgerecht. 