Sachverhalt: A. Der 1959 geborene G._ war zuletzt ab 1994 als Hilfsarbeiter in der Firma E._ AG tätig. Im Februar 2002 meldete er sich unter Hinweis auf Beschwerden nach einem im April 2001 erlittenen Verkehrsunfall bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach medizinischen und erwerblichen Abklärungen sprach ihm die IV-Stelle Schwyz mit Verfügung vom 14. April 2003 rückwirkend ab 1. April 2002 bei einem Invaliditätsgrad von 100 % eine ganze Invalidenrente nebst Zusatzrente für die Ehefrau und vier Kinderrenten zu. Im Rahmen der 5. IV-Revision wurde die Zusatzrente - bei gleich bleibendem Invaliditätsgrad der Grundrente - auf den 1. Januar 2008 aufgehoben. Im Mai 2008 leitete die IV-Stelle ein Revisionsverfahren ein. Sie holte einen Verlaufsbericht des Hausarztes vom 27. Mai 2008 und ein polydisziplinäres MEDAS-Gutachten vom 10. Juni 2009 ein. Mit Verfügung vom 21. Oktober 2009 hob die Verwaltung die laufende Rente revisionsweise auf den 30. November 2009 auf. Sie begründete dies mit einer erheblichen Verbesserung des Gesundheitszustandes. B. G._ erhob Beschwerde, welche das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz abwies, soweit es darauf eintrat (Entscheid vom 8. April 2010). C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt G._ beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die IV-Stelle anzuweisen, ab 1. Dezember 2009 weiterhin eine ganze Invalidenrente auszuzahlen; eventuell sei die Sache zur weiteren medizinischen Abklärung durch unabhängige Experten an die Verwaltung zurückzuweisen. Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. 