Sachverhalt: A. E.F._ (Kläger und Beschwerdegegner) mit Wohnsitz in Pakistan ist einer von vier Nachkommen des am 10. März 2004 in Pakistan verstorbenen A.F._ (Erblasser). Dieser soll nach Darstellung des Beschwerdegegners verschiedene Konto- und Depotbeziehungen zur X._ (Beklagte) unterhalten haben. Mit seinen drei Geschwistern B.F._, C.F._ und D.F._ (Nebenintervenienten und Beschwerdeführer), die alle ebenfalls in Pakistan Wohnsitz haben, liegt der Beschwerdegegner seit längerer Zeit im Streit. Die X._ verweigerte dem Beschwerdegegner im Jahre 2006 unter Berufung auf das schweizerische Bankkundengeheimnis die Auskunftserteilung über die angeblichen Beziehungen des Erblassers zu ihr und verlangte dafür ein gemeinsames Begehren sämtlicher vier Erben. B. B.a Am 31. Oktober 2006 erhob der Beschwerdegegner beim Handelsgericht Zürich Klage mit dem Begehren, die X._ sei zu verpflichten, ihm oder einer von ihm bezeichneten Drittperson Einsicht in sämtliche sich bei der Beklagten befindenden oder ihr zugänglichen Konto- bzw. Depotunterlagen zu gewähren, die auf den Namen des Vaters des Beschwerdegegners, allein oder zusammen mit anderen Personen oder unter Nummernbezeichnung auf diesen Namen lauten bzw. lauteten, alles für den Zeitraum von zehn Jahren vor Klageanhebung und darüber hinaus hinsichtlich früherer Geschäftsjahre, über welche die Beklagte noch Unterlagen besitze. B.b Nachdem der Beklagten Frist zur Erstattung der Klageantwort angesetzt worden war, verkündete diese den Beschwerdeführern den Streit. In der Folge erklärten die Streitberufenen ihren Beitritt als Nebenintervenienten zum Prozess, worauf die Beklagte die Fortführung des Prozesses gestützt auf § 48 ZPO/ZH den Beschwerdeführern überliess. Diese gaben in der Folge die Erklärung ab, sie wollten den Prozess auf eigene Kosten weiterführen. B.c In ihrer Klageantwort erhoben die Beschwerdeführer namens der Beklagten die Einrede der örtlichen Unzuständigkeit. Mit Beschluss vom 8. Mai 2007 wies das Handelsgericht diese ab und erklärte sich für zuständig. Es kam zum Schluss, das Einsichtsbegehren sei vertragsrechtlicher Natur und falle nicht unter den Begriff der "erbrechtlichen Streitigkeit" im Sinne des Art. 86 Abs. 1 IPRG (SR 291). Gestützt auf Art. 2 Abs. 1 LugÜ (SR 0.275.11) i.V.m. Art. 1 Abs. 2 IPRG sei ein Gericht im Sitzstaat der Beklagten international und innerhalb der Schweiz gemäss Art. 112 Abs. 1 IPRG ein Gericht am Beklagtenwohnsitz örtlich zuständig. Das Handelsgericht des Kantons Zürich sei damit international, örtlich und gestützt auf §§ 62 und 63 Ziff. 1 GVG/ZH auch sachlich zuständig. Gegen diesen Entscheid legten die Beschwerdeführer Nichtigkeitsbeschwerde beim Kassationsgericht des Kantons Zürich ein, in der sie im Wesentlichen die Verletzung von Art. 86 IPRG und die Verweigerung des rechtlichen Gehörs mangels genügender Begründung des angefochtenen Entscheids rügten. Das Kassationsgericht trat mit Zirkulationsbeschluss vom 26. Juni 2008 nicht auf die Nichtigkeitsbeschwerde ein. Es kam zum Schluss, dass das Bundesgericht im Rahmen der Beschwerde in Zivilsachen beide Rügen frei überprüfen könne, weshalb in Anwendung von § 285 Abs. 1 und 2 ZPO/ZH die kantonale Nichtigkeitsbeschwerde nicht zulässig sei. C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 2. September 2008 beantragen die Beschwerdeführer dem Bundesgericht, es seien der Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 26. Juni 2008 (Ziff. 1, 3 und 4) und der Beschluss des Handelsgerichts vom 8. Mai 2007 (Ziff. 1) aufzuheben und auf die Klage mangels Zuständigkeit nicht einzutreten. Eventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung an das Handelsgericht, subeventualiter an das Kassationsgericht zurückzuweisen. Der Beschwerdegegner und sinngemäss auch das Kassationsgericht schliessen in ihren Vernehmlassungen auf Abweisung der Beschwerde, sofern auf sie einzutreten sei. In der Stellungnahme dazu bekräftigen die Beschwerdeführer ihre Anträge. Mit Präsidialverfügung vom 25. September 2008 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt. 