Sachverhalt: A. Das Zollfahndungsamt Frankfurt am Main führt gegen verschiedene Personen ein Strafverfahren wegen Steuerhinterziehung beim Import von Geflügelfleisch. Mit Rechtshilfeersuchen vom 31. Mai 2007 bat die Staatsanwaltschaft Frankfurt unter anderem um Beschlagnahme der Geschäftsunterlagen der Y._ AG in A._ und die Übermittlung der sichergestellten Beweismittel. Mit Eintretens- und Zwischenverfügung vom 7. September 2007 ordnete die Oberzolldirektion die Ausführung der ersuchten Massnahmen an. Bei der Liquidatorin der Y._ AG, der Z._ AG in A._, konnten in der Folge nur wenige Akten sichergestellt werden. Es wurde festgestellt, dass Akten der Y._ AG bei der X._ AG in B._ eingelagert worden waren. Hierauf sprach die Zollverwaltung bei Letzterer vor und verlangte die Herausgabe des Lagerguts. Am 25. September 2007 händigte die X._ AG rund 100 Ordner und eine Festplatte aus, welche beschlagnahmt wurden. B. Mit Schlussverfügung vom 18. Februar 2008 entsprach die Oberzolldirektion dem Rechtshilfeersuchen und verfügte die Übermittlung der beschlagnahmten Unterlagen an die ausländische Strafverfolgungsbehörde. C. Auf die von der X._ AG dagegen erhobene Beschwerde trat das Bundesstrafgericht (II. Beschwerdekammer) am 10. Juni 2008 nicht ein. Es verneinte die Beschwerdelegitimation. D. Die X._ AG führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Hauptantrag, der Entscheid des Bundesstrafgerichts sei aufzuheben; dieses sei anzuweisen, auf die Beschwerde einzutreten und in der Sache zu entscheiden. Die Beschwerdeführerin stellt überdies Eventualanträge. E. Das Bundesstrafgericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet. Die Oberzolldirektion und das Bundesamt für Justiz haben sich vernehmen lassen je mit dem Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. F. Die X._ AG hat eine Replik eingereicht. Sie hält an ihren Anträgen fest. Das Bundesgericht hat die Replik den Beteiligten zur Kenntnisnahme zugestellt. G. Am 3. September 2008 teilte das Bundesgericht den Beteiligten mit, dass kein Nichteintretensentscheid im Sinne von Art. 109 Abs. 1 BGG ergehe und der Fall deshalb im ordentlichen Verfahren gemäss Art. 20 BGG erledigt werde. Ebenso teilte das Bundesgericht der Beschwerdeführerin mit, dass über das Gesuch um Einräumung einer Nachfrist zur Ergänzung der Beschwerdebegründung gemäss Art. 43 BGG der urteilende Spruchkörper befinden werde. 