Sachverhalt: A. Dr.iur. X._ ist Inhaber des aargauischen Fürsprecherpatents. Er steht in einem Anstellungsverhältnis zur Bank Y._ AG, wo er in der Rechtsabteilung tätig ist. Im Handelsregister ist er bei dieser Bank u.a. als Vizedirektor mit Kollektivunterschrift eingetragen. B. Nachdem am 1. Juni 2002 das Bundesgesetz vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (Anwaltsgesetz, BGFA; SR 935.61) in Kraft getreten war, stellte X._ bei der Aufsichtskommission über die Rechtsanwälte im Kanton Zürich (nachfolgend: Aufsichtskommission) am 29. Juli 2002 das Gesuch, er sei im Sinne von Art. 5 ff. und Art. 36 BGFA ins kantonale Anwaltsregister einzutragen. Er erklärte, den Anwaltsberuf als Teilzeit-Selbständigerwerbender ausüben zu wollen, neben seiner Tätigkeit als Angestellter bei der Bank Y._. Die Aufsichtskommission stellte fest, dass X._ auf Grund des bisherigen Rechts über ein Anwaltspatent des Kantons Aargau verfüge und nach Art. 196 Ziff. 5 BV in den anderen Kantonen eine Berufsausübungsbewilligung erhalten hätte, weshalb sein Eintragungsgesuch nach Art. 36 BGFA als begründet erscheine. Dementsprechend gab sie dem Gesuch statt und trug X._ mit Beschluss vom 20. August 2002 in das kantonale Anwaltsregister ein. Der Zürcher Anwaltsverband erhob am 26. September 2002 gegen diesen Beschluss Rekurs bei der Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich. Diese wies den Rekurs am 12. Februar 2003 ab, soweit sie darauf eintrat. C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 20. März 2003 beantragt der Zürcher Anwaltsverband dem Bundesgericht, den Beschluss der Verwaltungskommission des Obergerichts vollumfänglich aufzuheben und die Aufsichtskommission anzuweisen, die Eintragung von X._ ins kantonale Anwaltsregister rückgängig zu machen. Die Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich sowie die kantonale Aufsichtskommission haben auf Vernehmlassung verzichtet. X._ stellt den Antrag, der angefochtene Beschluss sei vollumfänglich zu bestätigen, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen. Das Bundesamt für Justiz hat sich zur Sach- und Rechtslage geäussert. 