Sachverhalt: A. Gemäss Art. 274 OR haben die Kantone die in Mietstreitigkeiten zuständigen Behörden zu bezeichnen und das entsprechende Verfahren zu regeln. Sie haben namentlich Schlichtungsbehörden einzusetzen, in welchen Vermieter und Mieter durch ihre Verbände oder andere Organisationen, die ähnliche Interessen wahrnehmen, paritätisch vertreten sind (Art. 274a OR). Im Kanton Basel-Stadt ist für diese Aufgabe die Staatliche Schlichtungsstelle für Mietstreitigkeiten vorgesehen (§ 2 des Gesetzes vom 8. Februar 1995 über die Staatliche Schlichtungsstelle für Mietstreitigkeiten [Schlichtungsstellengesetz]). Diese setzt sich aus drei Mitgliedern zusammen; den Vorsitz führt ein Mitglied, das Gewähr für eine unabhängige Behandlung der Verfahren bietet; die beiden anderen vertreten je die Mieterschaft und die Vermieterschaft. Wahlbehörde ist der Regierungsrat, der auch die erforderlichen Ersatzmitglieder wählt (§ 5 des Schlichtungsstellengesetzes). Dem Regierungsrat zur Wahl vorgeschlagen wurden die Kandidaten bisher jeweils mieterseits durch den Mieterverband Basel-Stadt und vermieterseits durch den Hausbesitzer-Verein Basel (HBV) und den Schweizerischen Verband der Immobilien-Treuhänder, Sektion beider Basel (SVIT). Mit Schreiben vom 27. Mai 2001 beantragte der Schweizerische Verband für Wohnungswesen, Sektion Nordwestschweiz, (SVW) als Dachorganisation der gemeinnützigen Wohnbaugenossenschaften dem Regierungsrat, anlässlich der bevorstehenden Wahl eines Ersatzmitglieds der Schlichtungsstelle einen seiner Kandidaten als Vertreter der Vermieterschaft zu wählen. Der HBV und der SVIT, welche über die Kandidatur der Wohngenossenschaften vorgängig orientiert wurden, äusserten sich ablehnend dazu. Sie machten geltend, die Wohngenossenschaften träten zwar einerseits als Vermieter auf, ihre Mitglieder seien aber andererseits Mieter einer Genossenschaftswohnung. Die Stellung der Genossenschaften gleichzeitig als Mieter und Vermieter sei zwiespältig. Mit Beschluss vom 25. September 2001 wählte der Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt einen der vom SVW vorgeschlagenen Kandidaten für den Rest der laufenden Amtsperiode 2001 bis zum 30. Juni 2005 als Ersatzmitglied des Vermietervertreters in die Staatliche Schlichtungsstelle für Mietstreitigkeiten. Mit Beschluss vom 25. September 2001 wählte der Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt einen der vom SVW vorgeschlagenen Kandidaten für den Rest der laufenden Amtsperiode 2001 bis zum 30. Juni 2005 als Ersatzmitglied des Vermietervertreters in die Staatliche Schlichtungsstelle für Mietstreitigkeiten. B. Der gegen diesen Beschluss erhobene Rekurs des HBV und des SVIT wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht mit Urteil vom 16. August 2002 ab. B. Der gegen diesen Beschluss erhobene Rekurs des HBV und des SVIT wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht mit Urteil vom 16. August 2002 ab. C. Mit Eingabe vom 30. Januar 2003 haben der HBV und der SVIT gegen das verwaltungsgerichtliche Urteil staatsrechtliche Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Sie beantragen, der angefochtene Entscheid sei wegen Verletzung des Willkürverbots aufzuheben. Der SVW beantragt, es sei auf die staatsrechtliche Beschwerde nicht einzutreten, eventualiter sei diese vollumfänglich abzuweisen. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das gleiche beantragt das Wirtschafts- und Sozialdepartement des Kantons Basel-Stadt als Vertreter des Regierungsrates, soweit auf die Beschwerde einzutreten sei. Die Verfahrensbeteiligten halten auch im zweiten Schriftenwechsel an ihren Anträgen fest. 