Faits: A. Par arrêt du 9 juin 2009, la Cour d'assises du canton de Genève a condamné X._, pour tentative d'assassinat, à 7 ans de privation de liberté. Saisie d'un pourvoi du condamné, la Cour de cassation genevoise l'a écarté par arrêt du 25 septembre 2009. B. Ce dernier arrêt retient, en substance, ce qui suit. B.a Requérants d'asile, originaires d'Erythrée, X._ et Y._ étaient hébergés dans le même foyer. Au début février 2008, un menu litige les a opposés au sujet d'un lecteur MP3, lequel s'est apaisé par l'engagement de Y._ de ne plus entrer dans la chambre de X._. Le 26 février 2008 vers 21 heures, X._ s'est rendu avec des camarades dans la chambre de Y._, alors absent, pour y prendre leur repas. A son arrivée, environ une heure plus tard, Y._ a fait remarquer à X._, sur le ton de la plaisanterie, que celui-ci se permettait de venir dans sa chambre tout en lui interdisant de venir dans la sienne. Il s'est attiré la menace de se faire "casser les dents". Les deux hommes ont été séparés avant d'échanger des coups. Peu après, X._ s'est rendu dans la cuisine, où il s'est emparé d'un couteau de boucher, qu'il a dissimulé dans sa veste. Il est ensuite revenu auprès de Y._ et lui a proposé de sortir afin de "clarifier les choses". Une fois à l'extérieur du bâtiment, les deux hommes se sont éloignés de l'enceinte du foyer, cheminant côte à côte le long de la route. Leur discussion a notamment porté sur l'inutilité de se battre pour régler leurs problèmes. A un moment donné, X._ a déclaré à son interlocuteur: "il ne faut pas t'inquiéter pour tes dents, car c'est la vie que je vais te prendre". Joignant aussitôt le geste à la parole, il a porté un coup de couteau au ventre de Y._, provoquant une plaie au niveau du flanc gauche, une perforation de l'estomac avec saignement artériel important, une lésion muqueuse hémorragique et une section quasi-complète du colon transversale en son milieu. Y._ a pris la fuite en direction de l'entrée latérale du foyer, en contenant de la main ses viscères, qui lui sortaient du ventre. Son agresseur l'a toutefois poursuivi, l'arme à la main, pour tenter de le poignarder par derrière. Il a réussi à lui planter la lame du couteau dans la cuisse gauche et à le frapper de plusieurs coups de poing. A bout de forces et se tenant le ventre, la victime s'est affaissée sur les escaliers au bas de la porte. Parvenu à sa hauteur, son agresseur lui a déclaré, en brandissant le couteau au-dessus de sa tête, qu'il allait la tuer. Alertés par les cris de la victime, les résidents du foyer se sont penchés par les fenêtres. Sur quoi, la victime a tenté de s'enfuir en s'engouffrant dans le bâtiment par une des fenêtres menant au sous-sol. Soutenue par les personnes accourues sur les lieux, elle s'est effondrée, presque mourante, au bas des escaliers. Son agresseur l'a alors rejointe, l'a insultée, lui a craché dessus et s'est acharné sur elle à coups de poing et à coups de pied portés au ventre. Après quoi, il s'est mis à fumer une cigarette. La victime n'a dû la vie sauve qu'à l'intervention d'un agent de sécurité du foyer et au fait que la lame du couteau de l'agresseur s'était désolidarisée du manche. Transportée à l'hôpital, elle a subi avec succès une importante intervention de chirurgie viscérale. Selon le médecin légiste, les lésions qui lui ont été occasionnées étaient de nature, en l'absence de soins urgents, à entraîner la mort à bref délai. B.b Au terme d'une appréciation des preuves, la Cour d'assises a retenu que X._ avait agi dans l'intention de tuer la victime. Il s'en était pris à elle sans mobile déterminé. Il l'avait frappée et poursuivie avec acharnement et cruauté. L'ensemble de son comportement dénotait une absence particulière de scrupules. Les faits devaient dès lors être qualifiés de tentative d'assassinat, au sens des art. 22 et 112 CP. B.c La cour de cassation cantonale a écarté, comme irrecevable, le grief d'arbitraire dans l'établissement des faits, au motif que le recourant n'avait formulé que des critiques appellatoires. Elle a rejeté celui pris d'une violation de l'art. 112 CP, considérant que les conditions de cette disposition étaient réalisées. C. X._ forme un recours en matière pénale. Invoquant une violation de l'art. 112 CP, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué, en sollicitant l'assistance judiciaire. Des déterminations n'ont pas été requises. 