Faits: A. F._, né en 1969, a bénéficié d'indemnités de chômage et était, à ce titre, obligatoirement assuré contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Le 6 août 2003, alors qu'il marchait sur une plage de sable, il a fait un faux mouvement suivi d'une chute. Le docteur B._, spécialiste en chirurgie orthopédique, a diagnostiqué des ruptures du ligament latéral interne et du ligament croisé antérieur, ainsi qu'une rupture probable du ménisque interne (rapport du 20 novembre 2003). Le 3 décembre 2003, il a procédé à une arthroscopie du genou gauche avec résection du ménisque interne et au nettoyage du ligament croisé antérieur résiduel. La CNA a pris en charge le cas. Dans un rapport d'examen médical final du 7 février 2005, le docteur S._, médecin d'arrondissement de la CNA, a fait état, en ce qui concerne les seules séquelles de l'accident, d'une capacité de travail de 50 % au moins dans une activité de laborantin ou une autre activité sans sollicitation du genou gauche en flexion et n'exigeant pas la position debout sur une longue durée. Selon ce médecin, les déplacements en terrain inégal, dans les escaliers ou sur des échelles, ainsi que tout travail exigeant la position accroupie ou à genoux devaient être évités. Par ailleurs, le docteur S._ a fixé à 15 % le degré de l'atteinte à l'intégrité. En raison d'affections étrangères à l'accident (trouble statique du dos et trouble somatoforme douloureux), l'assuré a bénéficié d'une rente entière de l'assurance-invalidité dès le mois d'août 2000, d'une demi-rente depuis le mois de novembre 2002 et de trois quarts de rente à partir du 1er janvier 2004. Par décision du 15 juin 2005, confirmée sur opposition le 27 juillet suivant, la CNA a maintenu le droit de l'assuré à la prise en charge du traitement médical sous la forme de contrôles orthopédiques espacés et d'administration d'antalgiques pendant encore une année. Par ailleurs, elle a nié le droit de l'intéressé à une rente d'invalidité et lui a alloué une indemnité pour atteinte à l'intégrité d'un montant de 16'020 fr., fondée sur un taux de diminution de l'intégrité de 15 %. En ce qui concerne la capacité de travail dans une activité adaptée, la CNA a considéré, en résumé, que les suites de l'accident du 6 août 2003 n'entraînaient pas de diminution de la capacité résiduelle de 60 % attestée par les experts mandatés par l'assurance-invalidité. B. Saisie d'un recours contre la décision sur opposition du 27 juillet 2005, la Chambre des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura l'a rejeté par jugement du 30 novembre 2006. C. F._ interjette recours de droit administratif contre ce prononcé, dont il demande l'annulation, en concluant, sous suite de dépens, à l'octroi des « prestations légales découlant de la LAA », subsidiairement au renvoi de la cause à la CNA pour qu'elle procède à une instruction complémentaire sous la forme d'une expertise médicale. A l'appui de ses conclusions, le recourant produit un certificat de son médecin traitant, le docteur P._, du 11 janvier 2007. La CNA conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations. 