Faits: A. Après avoir travaillé plusieurs années au sein du service Y._ de l'Hôpital X._, M._ a été transférée en 1998 au service Z._. Le 19 mars 2009, l'employeur lui a adressé un avertissement, en raison d'une altercation entre elle et une collègue de travail. Le 26 mai 2010, M._ a eu un entretien avec le chef du service V._ de l'Hôpital et le chef du service des ressources humaines, S._, au cours duquel ils lui ont reproché des comportements inappropriés et proposé de l'affecter à un autre site, au service Y._. Dans l'après-midi du même jour, l'intéressée a eu une altercation avec l'une de ses collègues, F._. Le lendemain, le 27 mai 2010, l'Hôpital X._ a signifié à M._ la résiliation immédiate de son contrat de travail pour justes motifs (courrier signé par S._ et B._, Chef du département Finances et services). Par courriers des 1er juin et 1er juillet 2010, M._ a contesté la résiliation avec effet immédiat, ensuite de quoi l'employeur a saisi la Commission paritaire de l'Hôpital X._. Lors d'une séance tenue le 14 septembre 2010, la Commission est arrivée à la conclusion que la Convention collective de travail pour le personnel de l'Hôpital X._ (ci-après: CCT) avait été respectée et qu'il ne lui appartenait pas d'établir si le juste motif de résiliation était "recevable", seul un tribunal disposant des compétences pour statuer à ce sujet. Le 7 mars 2011, l'Hôpital X._ a déclaré irrecevable l'opposition de M._ pour cause de tardiveté, en précisant que dût-elle être considérée comme recevable, elle aurait de toute façon dû être rejetée. Cette décision était exécutoire nonobstant recours. B. M._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour administrative, en concluant à son annulation et à ce que l'Hôpital X._ soit condamné à lui verser une indemnité de six mois de salaire en raison de la résiliation injustifiée de son contrat de travail avec effet immédiat. En cours de procédure, elle a retiré sa conclusion relative au paiement en sa faveur de l'indemnité sollicitée, dans la mesure où elle requérait sa réintégration. Après avoir ordonné l'édition du dossier pénal ouvert à la suite de la plainte déposée par M._ contre F._, la comparution personnelle des parties et l'audition de différentes personnes appelées à fournir des renseignements, la Cour administrative du Tribunal cantonal jurassien a rejeté le recours, par jugement du 29 novembre 2011. C. M._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande l'annulation. Sous suite de frais et dépens, elle conclut principalement à l'annulation de la résiliation du contrat de travail avec effet immédiat et à ce que soit ordonnée sa réintégration au sein de l'Hôpital X._. A titre subsidiaire, elle requiert le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouveau jugement au sens des considérants. Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire. l'Hôpital X._ conclut au rejet du recours, dans la mesure où il est recevable. Le Tribunal cantonal s'est déterminé dans le même sens. Les parties se sont exprimées sur leurs écritures respectives. 