Sachverhalt: A. A._ (geb. 1956) leidet unter anderem an einem Panvertebralsyndrom sowie an arthrotischen Beschwerden der rechten Schulter, der Finger (beidseits), der Hüfte und des rechten Knies sowie an einer depressiven Symptomatik (Gutachten des Rheumatologen B._ vom 22. Juni 2009 und des Psychiaters Dr. C._ vom 17. März 2010). Die IV-Stelle des Kantons Zürich (nachfolgend: IV-Stelle) lehnte ihren Antrag auf eine Invalidenrente ab; der Invaliditätsgrad betrage nicht anspruchsbegründende 11 Prozent (Verfügung vom 3. Januar 2012). B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 21. August 2013). C. A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und es sei ihr eine Invalidenrente zuzusprechen. Eventuell sei die Sache zu weiteren medizinischen Abklärungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Rechtsverbeiständung). Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichten auf eine Stellungnahme. 