Faits : A. A.a. Par contrat (lettre contre-signée) du 26 juin 2006, B._ (ci-après: l'employeur) a engagé, en qualité de professeur de flûte à bec, A._ (ci-après: l'employé), à raison de huit heures d'enseignement par semaine. Les parties sont convenues d'un salaire mensuel brut de 2'125 fr.45 (complètement d'office: art. 105 al. 2 LTF). Il était notamment stipulé les clauses suivantes: " Période probatoire. Pendant les trois premières années qui constituent la période probatoire, le professeur est engagé pour la durée d'une année scolaire, renouvelable. Au terme de chaque année, l'activité du professeur fait l'objet d'une évaluation et d'un entretien avec la direction (...). Renouvellement. Dès la fin de la période probatoire, le renouvellement de l'engagement est la règle. Les conditions de renouvellement sont précisées dans les statuts du personnel enseignant de la Fédération des écoles genevoises de musique (FEGM) (...). Démission. En cas de démission, le collaborateur doit s'adresser par écrit au Comité de direction du Conservatoire avant le 28 (29) février avec effet au terme du deuxième semestre de l'année académique en cours ". Les statuts, auxquels le collaborateur était soumis, étaient mentionnés en annexe à la lettre d'engagement. Ils comportent, notamment, un art. 13 ainsi libellé: " La nomination est du ressort du conseil de fondation de chaque institution. Elle intervient dès le terme de la période probatoire, pour autant que l'évaluation débouche sur des conclusions positives. En cas d'évaluation négative, l'engagement n'est pas renouvelé. Dans les autres cas, le conseil de fondation peut prolonger la période probatoire d'une année ". Les statuts contiennent également un art. 8 qui prévoit que " l'engagement de chaque professeur constitue un contrat de droit public entre lui et l'institution qui l'emploie, sous réserve des dispositions transitoires ". Selon l'art. 70 des statuts (situé dans le chapitre consacré aux dispositions transitoires), " jusqu'à l'approbation de ce statut par le Conseil d'Etat, le contrat mentionné à l'art. 8 demeure de droit privé ". La cour cantonale a constaté que le Conseil d'Etat, pour une raison non établie, n'a pas encore approuvé le statut. Le dernier salaire de l'employé était de 2'174 fr.75. A.b. Dans un rapport daté du 11 juin 2007, la doyenne responsable des instruments à bec a indiqué, au sujet de l'employé, ne pouvoir " émettre qu'un avis mitigé pour l'année écoulée ", une " deuxième [année] lui permettra de mieux s'intégrer ". Dans son rapport du 16 mai 2008, la doyenne reconnaît les qualités humaines, le talent instrumental et la personnalité musicale de l'employé, mais elle relève que son avis reste mitigé quant à la poursuite de son engagement dans l'école, " sous réserve d'un changement volontaire de l'intéressé ". Le 25 juin 2008, une réunion a eu lieu entre la directrice de l'école, la doyenne et l'employé. Ils ont indiqué ressentir " un malaise qui est réciproque au niveau de la compréhension et de la communication " et se sont engagés à faire le nécessaire pour améliorer la situation. L'employeur soutient que l'employé en était venu à mépriser sa hiérarchie, à ignorer les lignes directrices qui encadrent la liberté académique et à se fermer à tout dialogue. L'employé affirme, pour sa part, qu'il avait perdu confiance devant les critiques, lesquelles se trouvaient en contradiction avec les retours (positifs) qu'il obtenait de la part des élèves et de leurs parents. Un expert indépendant a été mandaté par l'école qui a assisté à deux cours donné par l'enseignant. Il parle de " choix pédagogiques, qui mériteraient (...) d'être mieux structurés, [mais] compensés par une intuition juste, une très bonne connaissance de l'instrument et une réelle envie de faire partager son goût pour la musique ". Le 27 avril 2009, lors d'une réunion entre la directrice, le directeur adjoint, la doyenne et l'employé, la direction a indiqué que les divers protagonistes étaient " confrontés à une impasse dans la discussion et pour la future collaboration ". A.c. Par lettre du 25 mai 2009, l'employeur a communiqué ce qui suit à son employé: " Vous arrivez au terme de la période d'engagement probatoire dans les classes des vents (...). Suite à l'évaluation de cette période probatoire de trois ans et après consultation avec la Présidence du Conseil de Fondation, il a été décidé de ne pas prolonger votre engagement (...) au sens de l'art. 13 des statuts du personnel enseignant de l'institution ". Par courrier du même jour, l'employé a déclaré former " opposition au congé ". Par lettre du 6 juillet 2009, l'employeur lui a répondu qu'il s'agissait du non-renouvellement de l'engagement et non d'un congé. L'employé a perçu son salaire jusqu'à fin août 2009. B. Par demande déposée au greffe de la juridiction des prud'hommes le 13 avril 2010, l'employé a conclu à ce que le congé notifié le 25 mai 2009 soit considéré comme inefficace, à ce que l'employeur soit condamné à lui verser 14'878 fr.15 (7 x 2'125 fr.45), à titre de salaires bruts des mois de septembre 2009 à mars 2010 (subsidiairement à titre de dommages-intérêts), ainsi que 30'000 fr. à titre d'indemnité pour tort moral, plus intérêts à 5% dès le 1er octobre 2009, ainsi qu'à lui remettre un certificat de travail portant sur la nature et la durée des rapports de travail ainsi que sur la qualité de son travail et sa conduite durant les rapports de travail. L'employeur a conclu à l'irrecevabilité de la demande, et sur le fond, à ce qu'il soit donné acte de ce qu'il avait remis un certificat de travail à son employé le 17 juin 2010, ainsi qu'au déboutement de celui-ci de ses conclusions pour le surplus. Par jugement du 3 juin 2013, le Tribunal des prud'hommes du canton de Genève a déclaré irrecevable la demande de l'employé en tant qu'elle portait sur la constatation de la nullité du congé (dispositif ch. 1), condamné la défenderesse à verser à sa partie adverse 14'878 fr.15, plus intérêts moratoires à 5% dès le 15 décembre 2009 (ch. 3), invité la partie qui en avait la charge à effectuer les déductions sociales légales et usuelles (ch. 4), ainsi qu'à lui remettre un certificat de travail conforme à l'art. 330a al. 1 CO (ch. 5), et il a débouté les parties de toute autre conclusion. Sur appel de la défenderesse et appel joint du demandeur, la Chambre des prud'hommes de la Cour de justice, par arrêt du 21 mars 2014, a annulé les chiffres 3 à 5 du dispositif du jugement attaqué. Statuant à nouveau, elle a déclaré irrecevable la conclusion du demandeur tendant à la remise d'un certificat de travail, débouté celui-ci de sa conclusion tendant au versement de 14'878 fr.15, confirmé le jugement pour le surplus, et débouté les parties de toutes autres conclusions. C. L'employé exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt de la Cour de justice du 21 mars 2014. Il conclut à son annulation et reprend les conclusions présentées dans la procédure cantonale (à l'exception de celle visant la nullité du congé). Subsidiairement, il conclut à l'annulation de l'arrêt entrepris et au renvoi de la cause à l'autorité précédente. L'intimé conclut au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. 