Quando olhamos para um cartao de visitas (como este na imagem de capa do post) pensamos que ele e um retangulo. Contudo, retangulos sao entidades bidimensionais, e o que estou segurando certamente tem pelo menos tres dimensoes (de uma olhada nesse post Cubo instantaneo para entender porque disse "pelo menos tres") espaciais. Por padrao, cartoes de visita tem dimensoes de largura e altura de 0,08 m e 0,05 m, isso nos da uma area de 0,004 m2, mas como calcular seu volume?
Medir com uma regua sua grossura (terceira dimensao) parece um tanto frustrante, pois nossas reguas convencionais possuem precisao de milimetros, enquanto a grossura desse cartao esta abaixo desta unidade. Mas e se reunirmos cartoes o suficiente para chegar em 1 mm? Parece uma boa ideia, que tal testar?
Sucesso, com 3 cartoes, consegui a marca de 1 mm. Agora posso afirmar que o volume desse cartao e (0,08 m)(0,05 m)(0,01/3 m) = 0.0000133 m3. Porem, sera que essa e uma boa aproximacao para sua grossura? Sinceramente eu nao sei, mas posso descobrir ao reduzir minha margem de erro!
Para isso em vez de reunir cartoes o suficiente para chegar em 1 mm, reunirei o suficiente para chegar a 1 cm.
Sucesso, com 26 cartoes, consegui a marca de 1 cm. Agora posso afirmar que o volume desse cartao e (0,08 m)(0,05 m)(0,01/26 m) = 0,00000153 m3. Porem, sera que essa e uma boa aproximacao para sua grossura? Ela parece melhor do que a aproximacao anterior, pois o erro resultante de eu ter colocado um cartao a mais ou a menos na ultima medida (com 1 mm) era de 1/2 e 1/4 da medida encontrada, algo entre 25% e 50% do valor para mais ou para menos. Agora, se eu me enganei ao colocar um cartao a mais ou a menos, meu erro resultante e de 1/25 e 1/27 da medida encontrada, algo entre 3,7% e 4% do valor para mais ou para menos.
Mas posso melhorar ainda mais minha aproximacao, para isso reunirei o suficiente para chegar em 10 cm (vai dar um trabalhinho contar isso, mas vamos la).
Sucesso, com 257 cartoes, consegui a marca de 10 cm. Agora posso afirmar que o volume desse cartao e (0,08 m)(0,05 m)(0,1/257 m) = 0,00000155 m3. Ela parece melhor do que a aproximacao anterior, pois o erro resultante de eu ter colocado um cartao a mais ou a menos na ultima medida (com 1 cm) era de 1/25 e 1/27 da medida encontrada, algo entre 3,7% e 4% do valor para mais ou para menos. Agora, se eu me enganei ao colocar um cartao a mais ou a menos, meu erro resultante e de 1/256 e 1/258 da medida encontrada, algo entre 0,38% e 0,39% do valor para mais ou para menos.
Veja que legal, comecamos com uma aproximacao de que cada cartao tem grossura igual a 1/3 mm (0,3333 mm).
Avancamos para uma aproximacao de que cada cartao tem grossura igual a 10/26 mm (0,3846 mm).
Chegamos ao final, em uma aproximacao de que cada cartao tem grossura igual a 100/256 mm (0,3906 mm).
Pensando agora de tras pra frente, se temos um paralelepipedo formado por 1000 cartoes de visita (quantidade comum vendida em graficas), podemos esperar que ele tenha volume igual a 1000*(0,08 m)(0,05 m)(0,1/256 m) ~ 0,0015 m3.
E ai, curtiu nossa discussao?
Voce conseguiria explicar para um matematico sobre o que fizemos aqui?
Por sorte, se voce falar em "Principio de Cavalieri" boa parte dos matematicos entendera rapidamente o que foi feito. Isso porque fizemos basicamente uma aplicacao do Principio de Cavalieri para paralelepipedos, mas esse principio e poderoso, pode nos ajudar em diversos outros calculos de volumes, como a terrivel esfera!!!! Enfim, existe um material bem detalhado e com otimos roteiros para voce professor ou aluno acompanharem esta discussao e entenderem mais desse assunto. Tudo isso encontra-se na Colecao Matematica Multimidia, nos recursos intitulados 3, 2, 1 - misterio, Volume, cones e cilindros, Volume de Piramides. Para facilitar, seguem os links dos recursos:
https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1040
https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1326
https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1039
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