Myöbius funksiyası
Ədədlər nəzəriyyəsində əsas yerlədən birini də Myöbius funksiyası tutur. Myöbius funksiyasını μ ( x ) {\displaystyle \mu (x)} kimi işarə edirlər. TƏRİF. Aşağıdakı şərtlər təyin edilən μ ( x ) {\displaystyle \mu (x)} funksiyası Myöbius funksiyası adlanır: 1) μ ( x ) = 1 {\displaystyle \mu (x)=1} ; 2) n > 1 {\displaystyle n>1} və n = p 1 ⋅ p 2 ⋯ p k {\displaystyle n=p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{k}} kanonik ayrılışı üçün μ ( n ) = ( − 1 ) k {\displaystyle \mu (n)=(-1)^{k}} (göründüyü üzrə k {\displaystyle k} ədədi n {\displaystyle n} -in sadə bölənlərinin sayıdır); 3) n {\displaystyle n} natural ədədi p 2 {\displaystyle p^{2}} -na bölünürsə( n ⋮ ¯ p 2 {\displaystyle n{\overline {\vdots }}p^{2}} , p {\displaystyle p} -sadə ədəddir), μ ( n ) = 0 {\displaystyle \mu (n)=0} Misal 1: 1. μ ( 30 ) = μ ( 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ) = ( − 1 ) 3 = − 1 ; {\displaystyle \mu (30)=\mu (2\cdot 3\cdot 5)=(-1)^{3}=-1;} μ ( 85 ) = μ ( 5 ⋅ 13 ) = ( − 1 ) 2 = 1 ; {\displaystyle \mu (85)=\mu (5\cdot 13)=(-1)^{2}=1;} μ ( 28 ) = μ ( 2 2 ⋅ 7 ) = 0 ; {\displaystyle \mu (28)=\mu (2^{2}\cdot 7)=0;} μ ( 48 ) = μ ( 2 4 ⋅ 3 ) = 0 ; {\displaystyle \mu (48)=\mu (2^{4}\cdot 3)=0;} μ ( 105 ) = μ ( 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ) = ( − 1 ) 3 = − 1 ; {\displaystyle \mu (105)=\mu (3\cdot 5\cdot 7)=(-1)^{3}=-1;} 2. μ ( 1 ) = 1 ; {\displaystyle \mu (1)=1;} μ ( 5 ) = − 1 ; {\displaystyle \mu (5)=-1;} μ ( 9 ) = 0 ; {\displaystyle \mu (9)=0;} μ ( 2 ) = − 1 ; {\displaystyle \mu (2)=-1;} μ ( 6 ) = 1 ; {\displaystyle \mu (6)=1;} μ ( 10 ) = 1 ; {\displaystyle \mu (10)=1;} μ ( 3 ) = − 1 ; {\displaystyle \mu (3)=-1;} μ ( 7 ) = − 1 ; {\displaystyle \mu (7)=-1;} μ ( 11 ) = − 1 ; {\displaystyle \mu (11)=-1;} μ ( 4 ) = 0 ; {\displaystyle \mu (4)=0;} μ ( 8 ) = 0 ; {\displaystyle \mu (8)=0;} μ ( 12 ) = 0 ; {\displaystyle \mu (12)=0;} Myöbius funksiyasının sadə xassələrinə aid olan aşağıdakı teoremlərlə tanış olaq. Teorem 1. Myöbius funksiyası multiplikativ funksiyadır, yəni ( n 1 , n 2 ) = 1 {\displaystyle (n_{1},n_{2})=1} üçün μ ( n 1 ⋅ n 2 ) = μ ( n 1 ) ⋅ μ ( n 2 ) ; {\displaystyle \mu (n_{1}\cdot n_{2})=\mu (n_{1})\cdot \mu (n_{2});} Teorem 2. İxtiyari n {\displaystyle n} natural ədədi ( n > 1 ) {\displaystyle (n>1)} və onun n / d {\displaystyle n/d} natural bölənləri cəmi üçün ∑ n / d μ ( d ) = 0. {\displaystyle \sum \limits _{n/d}\mu (d)=0.} Misal 2: n = 252. {\displaystyle n=252.} n = 252 = 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 7. {\displaystyle n=252=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 7.} n = 252 {\displaystyle n=252} üçün ∑ n / d μ ( d ) {\displaystyle \sum \limits _{n/d}\mu (d)} cəmini yalnız sıfır olmayan toplananları nəzərə almaqla yazsaq: ∑ n / d μ ( d ) = μ ( 1 ) + μ ( 2 ) + μ ( 3 ) + μ ( 7 ) + μ ( 2 ⋅ 3 ) + μ ( 2 ⋅ 7 ) + μ ( 3 ⋅ 7 ) + μ ( 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ) = 1 − 3 + 3 − 1 = 0 {\displaystyle \sum \limits _{n/d}\mu (d)=\mu (1)+\mu (2)+\mu (3)+\mu (7)+\mu (2\cdot 3)+\mu (2\cdot 7)+\mu (3\cdot 7)+\mu (2\cdot 3\cdot 7)=1-3+3-1=0} alırıq.