Tərs qəfəs
Tərs qəfəs-mücərrəd üçölçülü bir fəzada qurulmuş nöqtəvi qəfəsdir. Bunun hansı fəzada necə qurulduğunu və ümumiyyətlə nəyə yaradığını yaxşı anlamaq üçün tərs qəfəs anlayışının bərk cisimlər fizikasındakı roluna nəzər salaq. Kristallik bərk cisimlərin bütün fiziki xassələri, əsas etibarı ilə iki faktor əsasında formalaşır. Bunlardan biri bərk cismi təşkil edən atomların quruluşu, ikincisi isə bərk cisimlərin öz kristal quruluşudur. Bir bərk cismin kristal quruluşa sahib olması nəzəri problemlərin həllində xüsusi əhəmiyyət kəsb edir. Beləki bərk cismin fiziki xassəsini ifadə edən və koordinatın funksiyası olan hər bir fiziki kəmiyyət koordinatın üçölçülü periodik funksiyası olur. Bu o deməkdir ki, bir nəzəri məsələnin həlli üçün yazılacaq tənliklərin bərk cismi təşkil edən bütün atomlar üçün deyil, periodun müəyyən elədiyi oblastda yer alan atomlar üçün yazılması kifayətdir. Period isə kristal qəfəsin köçürmə simmetriyasını müəyyən edən a → 1 , a → 2 , a → 3 {\displaystyle {\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},{\vec {a}}_{3}} vektorları ilə verilir. Bu vektorlara qəfəsin bazis vektorları və onların ədədi qiymətləri olan a , b , c {\displaystyle a,b,c} -lərə qəfəs sabitləri deyilir. Hər bir qəfəs üçün a → i {\displaystyle {\vec {a}}_{i}} vektorları üzərində qurulumuş paralepiped həmin qəfəsin elementar özəyi adlanır və onun həcmi V 0 = ( a → 1 [ a → 2 a → 3 ] ) {\displaystyle V_{0}={\Bigl (}{\vec {a}}_{1}[{\vec {a}}_{2}{\vec {a}}_{3}]{\Bigr )}} . (Burada , kiçik mötərizə vektroların skalyar, orta mötərizə isə vektorial hasilni göstərir.) Beləliklə bir fiziki kəmiyyəti ifadə edən funksiyanın periodik olması o deməkdir ki, amorf bərk cisimlərdə bütün atomlar üçün yazılacaq tənliklərin yerinə kristallik bərk cisimlərdə bir elementar özəkdə yer alan atomlar üçün tənliklər yazmaq kifayətdir. Bu üstünlüyün miqyasını qiymətləndirmək üçün, sadə qəfəslərdə hər elementar özəkdə sadəcə bir atomun olduğunu xatırlamaq kifayətdir. Digər tərəfdən bərk cisimlərin fiziki xassələrini ifadə edən kəmiyyətlər təkcə koordinatın deyil, impulsun da funksiyası ola bilərlər. Belə olan halda impulsdan asılı olan bir funksiyanın da kristal qəfəsin köçürmə simmetriyası ilə bağlı periodikliyi haqda nə söyləmək olar deyə bir sual qarşıya çıxar. Bu sualın cavabını riyaziyyatın məlum problemi Furye analizində axtarmaq lazımdır. Lakin qısaca onu demək olar ki, bundan sonra düz qəfəs olaraq adlandırılan hər bir kristal qəfəsə qarşı impuls fəzasında (daha doğrusu dalğa vektoru fəzasında) bir qəfəs qurmaq olar və bu tərs qəfəs adlanır. Başqa sözlə düz qəfəsin bazis vektorları olan a → i {\displaystyle {\vec {a}}_{i}} vektrolarının köməyi ilə b → 1 , b → 2 , b → 3 {\displaystyle {\vec {b}}_{1},{\vec {b}}_{2},{\vec {b}}_{3}} olmaq üzərə üç bazis vektoru qurulur. b → 1 = 2 π V 0 [ a → 2 a → 3 ] ; b → 2 = 2 π V 0 [ a → 3 a → 1 ] ; b 3 = 2 π V 0 [ a → 1 a → 2 ] . {\displaystyle {\vec {b}}_{1}={\frac {2\pi }{V_{0}}}[{\vec {a}}_{2}{\vec {a}}_{3}];{\vec {b}}_{2}={\frac {2\pi }{V_{0}}}[{\vec {a}}_{3}{\vec {a}}_{1}];{b}_{3}={\frac {2\pi }{V_{0}}}[{\vec {a}}_{1}{\vec {a}}_{2}].} və düz qəfəsdə olduğu kimi bu vektorlar üzərində həcmi ( b → 1 [ b → 2 b → 3 ] ) = ( 2 π ) 3 / V 0 {\displaystyle {\Bigl (}{\vec {b}}_{1}[{\vec {b}}_{2}{\vec {b}}_{3}]{\Bigr )}=(2\pi )^{3}/V_{0}} olan bir paralelopiped qurmaq olar ki, o, bir qəfəsin elementar özəyini təşkil edər. Göründüyü kimi b → i {\displaystyle {\vec {b}}_{i}} -vektorlarının böyüklüyü, | a → i | {\displaystyle |{\vec {a}}_{i}|} -lər sm-lərlə ölçüldüyünə görə onun tərsi s m − 1 {\displaystyle sm^{-1}} -lərlə ölçülürlər. Eləcə də b → i {\displaystyle {\vec {b}}_{i}} -lər üzərində qurulmuş elementar özəyin həcmi də s m − 3 {\displaystyle sm^{-3}} ölçüsünə sahibdir. Çox guman ki, tərs qəfəs termini də buna əsaslanır. Eyni zamanda, a → i {\displaystyle {\vec {a}}_{i}} vektroları ilə b → j {\displaystyle {\vec {b}}_{j}} bir-birinə aşağıdakı ortoqonallıq şərtini ödəyirlər. ( a → i b → j ) = 2 π { 1 ; i = j 0 ; i ≠ j {\displaystyle {\Bigl (}{\vec {a}}_{i}{\vec {b}}_{j}{\Bigr )}=2\pi {\begin{cases}1;i=j\\0;i{\neq }j\end{cases}}} isə Nəticə olaraq, düz qəfəs bazis vektorları əsasında qurulmuş b → i {\displaystyle {\vec {b}}_{i}} vektorları, bir qəfəsin bazis vektorları olaraq istifadə olunaraq, üçölçülü dalğa vektrou fəzasında bir nöqtəvi qəfəs qurmaq olur və o qəfəsə tərs qəfəs deyilir. Onun hər düğün nöqtəsi , bu nöqtələrdən ixtiyari biri koordinat başlanğıcı olaraq seçilərsə, aşağıdakı vektorlar vasitəsiylə müəyyən olunur. b → g = g 1 b → 1 + g 2 b → 2 + g 3 b → 3 ; g i = 0 ; ± 1 ; ± 2 ; {\displaystyle {\vec {b}}_{g}=g_{1}{\vec {b}}_{1}+g_{2}{\vec {b}}_{2}+g_{3}{\vec {b}}_{3};g_{i}=0;\pm 1;\pm 2;} Ümumi qaydada, uyğun tərs qəfəsin tərsini qurmaq isdərsək, onun tərsi olan düz qəfəsi əldə etmiş olarıq. Məsələn b → i {\displaystyle {\vec {b}}_{i}} vektorlarının ifadələrini istifadə edərək göstərmək olur ki, elementar özəyi a {\displaystyle a} ölçülü kub olan sadə kubik qəfəsin tərsi də sadə kub olacaq və onun elementar özəyi, yəni b → 1 , b → 2 , b → 3 {\displaystyle {\vec {b}}_{1},{\vec {b}}_{2},{\vec {b}}_{3}} vektorları üzərində qurulmuş paralelopiped tərərfi 2 π / a {\displaystyle 2\pi /a} olan kub olacaq. Digər tərəfdən həcməmərkəzləşmiş kubik qəfəsin tərsi səthəmərkəzləşmiş və tərsinə, səthəmərkəzləşmiş kubik qəfəsin tərsi həcməmərkəzləşmiş kub olacaq. Dalğa vektoru fəzasında verilmiş müəyyən fiziki kəmiyyəti ifadə edən bir funksiya tərs qəfəsin sahib olduğu simmetriya xassələrini saxlayan funksiya olacaq. Digər tərəfdən simmetriya nəzəriyyəsində isbat edilir ki,düz qəfəsin, yəni kristallik bərk csmin bütün simmetriya elementləri uyğun tərs qəfəsdə də var. Məsələn qəfəs dinamikaslnda mərkəzi rol oynayan rəqs tezlikləri, dalğa vektorunun funksiyası olaraq, periodları b → i {\displaystyle {\vec {b}}_{i}} vektorları ilə təyin olunan üçölçülü periodik funksiyalardır. Nəhayət tərs qəfəs anlayışı rentgen şüalarının kristal qəfəsdən difraksiya hadisəsində xüsusi rol oynayır. Beləki bu hadisədə interferensiya şərti (Laue şərti) nəticə etibariylə dalğa vektorları və tərs qəfəs vektorlarının ödədiyi bir tənliyə çevrilir. (Bu mövzu haqda başqa bir maqalədə bəhs ediləcəyi üçün üzərində dayanmağa ehtiyac yoxdur)