Qauss üsulu
Qauss üsulu — Xətti tənliklər sistemini həll etmək üçün klassik üsul. Bəzən bu üsula əmsalları yoxetmə üsulu da adlanır. Tutaq ki, kvadrat xətti tənliklər sistemi verilmişdir { a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2 n x n = b 2 … … … … … a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + … + a m n x n = b m , ( 1 ) {\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&+\dots &+a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}&+\dots &+a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}&+\dots &+a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{cases}},(1)} Bu sistemin həlli üçün məchulun yox edilməsi və ya Qausus üsulunun mahiyyəti aşağıdakı kimidir. Tutaq ki, a 11 ≠ 0 {\displaystyle a_{11}\neq 0} . Onda sistemin birinci tənliyinin hər iki tərəfini   a 21 a 11 {\displaystyle \ {\frac {a_{21}}{a_{11}}}} vuraraq alınan a 21 x 1 +   a 12 a 21 a 11 x 2 +   a 1 n a 21 a 11 x n =   a 21 a 11 b 1 {\displaystyle a_{21}x_{1}+\ {\frac {a_{12}a_{21}}{a_{11}}}x_{2}+\ {\frac {a_{1n}a_{21}}{a_{11}}}x_{n}=\ {\frac {a_{21}}{a_{11}}}b_{1}} tənliyini sistemin ikinci tənliyindən tərəf-tərəfə çıxaq. Aldığımız tənlikdə x 1 {\displaystyle x_{1}} məchulu iştirak etmir. a 22 ′ x 2 + a 23 ′ x 3 + . . . + a 2 n ′ x n = b 2 ′ {\displaystyle a'_{22}x_{2}+a'_{23}x_{3}+...+a'_{2n}x_{n}=b'_{2}} Sonra sistemin birinci tənliyinin hər iki tərəfini   a 21 a 11 {\displaystyle \ {\frac {a_{21}}{a_{11}}}} vuraraq alınan tənliyini sistemin üçüncü tənliyindən tərəf-tərəfə çıxaq. Bu mühakiməni ardıcıl tətbiq etməklə (1) sistemini { a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 n x n = b 1 a 22 ′ x 2 + … + a 2 n ′ x n = b 2 … … … a n 2 ′ x 2 + … + a n n ′ x n = b n , ( 2 ) {\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&+\dots &+a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a'_{22}x_{2}&+\dots &+a'_{2n}x_{n}&=b_{2}\\&\dots &\dots &\dots \\a'_{n2}x_{2}&+\dots &+a'_{nn}x_{n}&=b_{n}\end{cases}},(2)} şəklində sistemə gətirmək olar. Aldığımız yeni sistemin 2-ci, 3-cü və s. tənliklərdən istifadə etməklə yuxarıda gördüyümüz üsulla x 2 {\displaystyle x_{2}} məchulunuda yox etmək olar. Bu mühakiməni ardıcıl olaraq tətbiq etməklə (1) sistemini ona ekvivalent olan { a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 n x n = b 1 a 22 ′ x 2 + … + a 2 n ′ x n = b 2 … … … a ( n n ) ( n − 1 ) ′ x n = b ( n n ) ( n − 1 ) , ( 3 ) {\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&+\dots &+a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a'_{22}x_{2}&+\dots &+a'_{2n}x_{n}&=b_{2}\\&\dots &\dots &\dots \\a'_{(nn)(n-1)}x_{n}&=b_{(nn)(n-1)}\end{cases}},(3)} tənliklər sisteminə gətirmək olar. (3) sisteminə pilləvari (və ya pilləkən şəklində) sistem deyilir. sonuncu tənlikdən x n {\displaystyle x_{n}} məchulu tapılır, sonra yuxarı qalxaraq x ( n − 1 ) {\displaystyle x_{(}n-1)} və bu qayda ilə davam edərək birinci tənlikdən x 1 {\displaystyle x_{1}} məchulunu tapırıq. (1) sistemini Qauss üsulu ilə həll edərkən tənliklər üzərində aparılan əməlləri bəzən onların əmsallarından düzəlmiş ( a 11 a 12 . . . a 1 n b 1 a 21 a 22 . . . a 2 n b 2 . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n b n ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}a_{12}...a_{1n}b_{1}\\a_{21}a_{22}...a_{2n}b_{2}\\............\\a_{n1}a_{n2}...a_{nn}b_{n}\end{pmatrix}}} matrisi üzərində aparmaq daha münasib olur. Belə matris genişlənmiş matris adlanır.