Adi diferensial tənliklər
Sərbəst dəyişən x {\displaystyle x} , axtarılan funksiya y ( x ) {\displaystyle y\left(x\right)} və onun törəməsi y ′ ( x ) {\displaystyle y^{\prime }\left(x\right)} arasıda verilmiş F ( x , y , y ′ ) = 0 ( 1 ) {\displaystyle F\left(x,y,y^{\prime }\right)=0\,\,\,(1)} münasibətinə birtərtibli adi diferensial tənlik deyilir.Aydındır ki, F ( x , y , z ) {\displaystyle F\left(x,y,z\right)} funksiyası x , y {\displaystyle x,y} dəyişənlərinin birindən və ya hər ikisindən asılı olmaya da bilər, lakin (1) tənliyinin diferensial tənlik olması üçün bu funksiya z {\displaystyle z} - dən hökmən asılı olmalıdır. y ′ = f ( x , y ) ( 2 ) {\displaystyle y^{\prime }=f\left(x,y\right)\,\,\,\,\,\,\,(2)} şəklində olan tənliyə törəməyə nəzərən həll olunmuş birtərtibli aid diferensial tənlik deyilir. Tutaq ki, f ( x , y ) {\displaystyle f\left(x,y\right)} funksiyası X O Y {\displaystyle XOY} müstəvisinin muəyyən bir D {\displaystyle D} oblastında təyin olunmuşdur. Оblast dedikdə, aşağıdakı 2 şərtini ödəyən boş olmayan D {\displaystyle D} nöqtələr çoxluğu başa düşülür: 1) D {\displaystyle D} açıq çoxluqdur, yəni onun hər bir nöqtəsi özünün müəyyən bir ətrafı ilə bu çoxluğa daxildir; 2) D {\displaystyle D} çoxluğu əlaqəli çoxluqdur, yəni onun istənilən iki nöqtəsini tamamilə D {\displaystyle D} – nin daxilində yerləşən və təşkilediçilərinin sayı sonlu olan sınıq xətt vasitəsilə birləşdirmək olar. Tərif. Əgər ( a , b ) {\displaystyle \left(a,b\right)} inteqralında diferensiallanan y = φ ( x ) {\displaystyle y=\varphi \left(x\right)} funksiyası 1. ( x , φ ( x ) ) ∈ D , x ∈ ( a , b ) 2. φ ( x ) = f ( x , φ ( x ) ) , x ∈ ( a , b ) {\displaystyle {\begin{array}{l}{1.\,\left(x,\varphi \left(x\right)\right)\in D,\,\,x\in \left(a,b\right)}\\{2.\,\varphi \left(x\right)=f\left(x,\varphi \left(x\right)\right),\,\,x\in \left(a,b\right)}\end{array}}} şərtlərini ödəyirsə, həmin funksiyaya (2) tənliyinin ( a , b ) {\displaystyle \left(a,b\right)} intervalında həlli deyilir. Bəzən diferensial tənliyin həllinin qeyri – aşkar funksiya kimi və ya parametrik şəkildə tapmaq əlverişli olur. Tərif. Əgər ϕ ( x , y ) = 0 ( 3 ) {\displaystyle \phi \left(x,y\right)=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)} bərabərliyindən qeyri – aşkar funksiya kimi təyin olunan y = φ ( x ) {\displaystyle y=\varphi \left(x\right)} funksiyası (2) tənliyinin həlli olarsa, (3) münasibətinə (2) tənliyinin qeyri – aşkar şəkildə həlli deyilir. Tərif. Parametrik şəkildə verilmiş x = φ ( x ) , y = ψ ( t ) , t ∈ ( α , β ) ( 4 ) {\displaystyle x=\varphi \left(x\right),y=\psi \left(t\right),t\in \left(\alpha ,\beta \right)\,\,\,\,\,\,\,(4)} funksiyası hər bir t {\displaystyle t} üçün: 1) ( φ ( t ) , ψ ( t ) ) ∈ D {\displaystyle \left(\varphi \left(t\right),\psi \left(t\right)\right)\in D} 2) x ′ = φ ′ ( t ) , y ′ = ψ ′ ( t ) , ( φ ′ ( t ) ≠ 0 ) {\displaystyle x^{\prime }=\varphi ^{\prime }\left(t\right),y^{\prime }=\psi ^{\prime }\left(t\right),\left(\varphi ^{\prime }\left(t\right)\neq 0\right)} sonlu törəmələri və 3) ψ ′ ( t ) φ ′ ( t ) = f ( φ ( t ) , ψ ( t ) ) {\displaystyle {\frac {\psi ^{\prime }\left(t\right)}{\varphi ^{\prime }\left(t\right)}}=f\left(\varphi \left(t\right),\psi \left(t\right)\right)} bərabərliyi ödənirsə, onda (4) funksiyasına (2) tənliyinin ( α , β ) {\displaystyle \left(\alpha ,\beta \right)} inteqralında parametrik şəklində həlli deyilir. Misallar: 1. y ′ = 2 x {\displaystyle y^{\prime }=2x} tənliyi birtərtibli aidi diferensial tənlikdir. İnteqral hesabından bilirik ki, onun həlli y = x 2 + c ( − ∞ < x < + ∞ ) {\displaystyle y=x^{2}+c\,\,\left(-\infty <x<+\infty \right)} düsturu ilə təyin olunur. Bu düsturdan görürük ki, y ′ = 2 x {\displaystyle y^{\prime }=2x} tənliyi bir yox, sonsuz sayda həllə malikdir. Burada C {\displaystyle C} ixtiyari sabitdir. Ümumiyyətlə, y ( n ) = 0 {\displaystyle y^{\left(n\right)}=0} n {\displaystyle n} - tərtibli tənliyin həlli isə n {\displaystyle n} dənə sabitdən asılı olan y = c 1 x n − 1 + c 2 x n − 2 + . . . + c n − 1 x + c n {\displaystyle y=c_{1}x^{n-1}+c_{2}x^{n-2}+...+c_{n-1}x+c_{n}} həllər ailəsinə malikdir. 2. y = e 2 x + e x {\displaystyle y=e^{2x}+e^{x}} funksiyası y ′ = y + e 2 x {\displaystyle y^{\prime }=y+e^{2x}} tənliyinin həllidir. Doğrudan da, y = e 2 x + e x {\displaystyle y=e^{2x}+e^{x}} funksiyası ( − ∞ , + ∞ ) {\displaystyle \left(-\infty ,+\infty \right)} inteqralında təyin olunmuş və diferensiallanandır, onu tənlikdə nəzərə alsaq 2 e 2 x + e x = e 2 x + e x + e 2 x {\displaystyle 2e^{2x}+e^{x}=e^{2x}+e^{x}+e^{2x}} x {\displaystyle x} - in bütün qiymətlərində doğru olduğunugörərik. 3. x = a cos ⁡ t , y = b sin ⁡ t {\displaystyle x=a\cos t,\,\,y=b\sin t} funksiyası y ′ = − b 2 a 2 ⋅ x y {\displaystyle y^{\prime }=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\cdot {\frac {x}{y}}} tənliyinin aralığında həllidir. Doğrudan da b cos ⁡ t − a sin ⁡ t = − b 2 a 2 ⋅ a cos ⁡ t b sin ⁡ t {\displaystyle {\frac {b\cos t}{-a\sin t}}=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\cdot {\frac {a\cos t}{b\sin t}}} fiziki, mexanika və s. kimi müxtəlif elm sahələrinin və texnikanın bir çox mühüm məsələlərinin həlli diferensial tənliklərə gətirilir. Bunu aşağıdakı misalda izah edək. Kütləsi m {\displaystyle m} olan maddi nöqtə müəyyən yüksəklikdən ağırlıq qüvvəsinin təsiri ilə sərbəst düşür. Havanın miqavimətini nəzərə almadan nöqtəyə təsir edən F {\displaystyle F} qüvvəsi onun hərəkətinin a {\displaystyle a} təcili vasitəsilə F = m a {\displaystyle F=ma} kimi tapılır (Nyuton II qanunu). Nöqtəyə ancaq ağırlıq qüvvəsi təsir etdiyindən F = p = m g {\displaystyle F=p=mg} olar. a = d 2 s ( t ) d t 2 = S ′ ′ ( t ) S ′ ′ ( t ) = g S ( t ) = g t 2 2 + c 1 t + c 2 {\displaystyle {\begin{array}{l}{a={\frac {d^{2s}\left(t\right)}{dt^{2}}}=S^{\prime \prime }\left(t\right)}\\{S^{\prime \prime }\left(t\right)=g}\\{S\left(t\right)={\frac {gt^{2}}{2}}+c_{1}t+c_{2}}\end{array}}} S ′ ( 0 ) = V 0 {\displaystyle S^{\prime }\left(0\right)=V_{0}} və S ( 0 ) = S 0 {\displaystyle S\left(0\right)=S_{0}} məlum olarsa və C 1 = V 0 {\displaystyle C_{1}=V_{0}} və C 2 = S 0 {\displaystyle C_{2}=S_{0}} S ( t ) = g t 2 2 + V 0 t + S 0 . {\displaystyle S\left(t\right)={\frac {gt^{2}}{2}}+V_{0}t+S_{0}.}