क्रमचय
गणित में, क्रमचय (परमुटेशन) की संकल्पना को सूक्ष्म रूप से विभिन्न अर्थों में प्रयोग किया जाता है, सभी अर्थ वस्तुओं या मूल्य के क्रमपरिवर्तन (क्रमबद्ध रूप से पुनर्व्यवस्थित करना) की कार्रवाई से संबंधित हैं। अनौपचारिक रूप से, कुछ मानों (values) के एक सेट को विशेष क्रम में व्यवस्थित करना क्रमचय है। इस प्रकार सेट (1, 2, 3,) के छह क्रमचय हैं अर्थात् [1,2,3], [1,3,2], [2,1,3], [2,3,1], [3,1,2] और [3,2,1]. बीजगणित में और विशेष रूप से समूह सिद्धांत में, सेट S का क्रमचय S से स्वंय में द्विभाजन के रूप में परिभाषित है (अर्थात, ऐसा नक्शाS → S जिसमें S का हर तत्व ठीक एक बार बिम्ब मूल्य के रूप में घटित होता है). ऐसे नक्शे के लिए f का संबंध S की उस पुनर्व्यवस्था से है जिसमें S तत्व अपने बिम्ब f (S) का स्थान ले लेता है। कॉम्बीनेटॉरिक्स में, परिमित सेट S का क्रमचय इसके तत्वों की सूचीबद्ध पुनर्व्यवस्था के रूप में परिभाषित है। इस अर्थ में, S का क्रमचय उसके तत्वों की पुनर्व्यवस्था से भिन्न है। प्रारंभिक क्रम वाले सेट S के लिए, जैसे S =(1,2,3,...,n), ये दोनो अर्थ लगभग पहचाने जा सकते हैं: इस प्रारंभिक आदेश पर पहले अर्थ में क्रमपरिवर्तन लागू करने से तत्वों का वैकल्पिक क्रम प्राप्त होता है, जो दूसरे अर्थ में क्रमपरिवर्तन है। किसी वस्तु के भागों की पुनर्व्यवस्था के कार्य को, या उससे प्राप्त परिणाम को नामित करने के लिए अनौपचारिक रूप से क्रमपरिवर्तन शब्द का प्रयोग किया जाता है। इस प्रकार किसी शब्द के वर्णविपर्यय को इसके वर्णो का क्रमपरिवर्तन के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, या कह लें कि X 3Y +7+Y 2Z बहुपदीय X 3Y +Y 2Z +7 के पदों का क्रमपरिवर्तन (से प्राप्त) है। क्रमपरिवर्तन के कार्य को प्रतीकों का प्रतिस्थापन भी कहा जा सकता है, उदाहरण के लिए जब कहते हैं कि X, Y, Z की चर राशि के (चक्रीय) क्रमपरिवर्तन द्वारा X 3Y +Y 2Z +7 से Y 3Z +Z 2X +7 प्राप्त होता है। एक उपयुक्त सममितीय सामूहिक कार्रवाई को ध्यान में रखते हुए इन कथनों को सटीक अर्थ प्रदान किया जा सकता है कॉम्बीनेटॉरिक्स में "क्रमपरिवर्तन" के दूसरे अर्थ को कभी कभी विस्तृत किया जाता है। प्राथमिक कॉम्बीनेटॉरिक्स में, "क्रमपरिवर्तन और संयोजन" दो संबद्ध समस्याओं का हवाला देता है, दोनों ही n तत्व के सेट से विशिष्ट k तत्व के चयन की संभावनाओं पर निर्भर करती हैं, k क्रमपरिवर्तन के लिए चयन के क्रम को ध्यान में रखा जाता है, किन्तु k -संयोजन के लिए अनदेखा कर दिया जाता है। दरअसल k -क्रमपरिवर्तन की गणना का प्रयोग k -संयोजन के नंबर ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} की गणना की दिशा में एक कदम के रूप में किया जाता है और सेट के क्रमपरिवर्तन की संख्या n ! की गणना के रूप में भी (उपर्युक्त उल्लिखित दो के किसी भी अर्थ में) होता है। तथापि k -क्रमपरिवर्तन ऐसे क्रमपरिवर्तन के तब तक अनुरूप नहीं होते जब तक k = n, अर्थात, चयन में सभी उपलब्ध तत्व शामिल न हों. क्रमपरिवर्तन की धारणा को भिन्न तरीके से व्यापक बनाने के लिए, एक सेटS के स्थान पर, ऐसे परिमित मल्टीसेट M के साथ शुरुआत की जा सकती है, जिसमें कुछ मूल्य एक से अधिक बार घटित होते हों. M का (मल्टीसेट) क्रमपरिवर्तन M के तत्वों का अनुक्रम है जिनमें से प्रत्येक ठीक उतनी बार घटित होता है जितनी बार M में. इस प्रकार M = [1,1,1,2,3,3] के लिए, [3,1,2,1,1,3] का अनुक्रम M का मल्टीसेट क्रमपरिवर्तन है, किन्तु [3,1,2,1,2,3,1] नहीं है। लगभग गणित के प्रत्येक क्षेत्र में, क्रमपरिवर्तन कमोबेश प्रमुख रूप से होते हैं। किसी परिमित सेट पर भिन्न क्रम लागू किए जाने से वे उत्पन्न होते हैं, संभवतः क्योंकि ऐसे क्रम को अनदेखा करते हुए हम पता लगाना चाहते हैं कि इस प्रकार कितने विन्यासों की पहचान होती है। इसी तरह के कारणों से कंप्यूटर विज्ञान में कलन गणित की छँटाई के अध्ययन में क्रमपरिवर्तन घटित होता है। बीजगणित में, सममितीय समूह की संकल्पना के माध्यम से क्रमपरिवर्तन का विस्तृत अध्ययन करने के लिए एक संपूर्ण विषय समर्पित किया गया है। इसकी संरचना के लिए महत्वपूर्ण है क्रमपरिवर्तन की रचना की संभावना: अनुवर्ती क्रम में दो पुनर्व्यवस्थाओं को निष्पादित करते हुए, संयोजन तीसरी पुनर्व्यवस्था को परिभाषित करता है। n वस्तु के क्रमपरिवर्तन की संख्या निर्धारित करने का नियम 1150 के आसपास ही हिंदू संस्कृति में उपलब्ध था: भारतीय गणितज्ञ भास्कर द्वारा लीलावती में एक अनुच्छेद है जिसका अनुवाद है इकाई से शुरू और वृद्धिमान और कई स्थानों के लिए जारी अंकगणितीय श्रृंखला के बहुगुणन का उत्पाद, विशिष्ट संख्या वाले अंकों का रूपांतर होगा. क्रमपरिवर्तन की मदद से असंबंधित गणितीय प्रश्नों के पहले अध्ययन का पहला मामला 1770 में सामने आया, जब जोसफ़ लुइस लाग्रेंज ने, बहुपद