तुल्यता वर्ग
गणित में जब किसी समुच्चय S {\displaystyle S} के अवयवों पर कोई समतुल्यता पारिभाषित हो (जो कि तुल्यता सम्बन्ध के रूप में की जाती है) तो उस समुच्चय S {\displaystyle S} को तुल्यता वर्गों (equivalence classes) में विभक्त किया जा सकता है। ये तुल्यता वर्ग इस प्रकार बनाये जाते हैं कि अवयव a {\displaystyle a} और अवयव b {\displaystyle b} एक ही तुल्यता वर्ग में होंगे यदि और केवल यदि वे तुल्य हों। औपचारिक रूप से कहें तो, यदि कोई समुच्चय S {\displaystyle S} और और उस पर एक तुल्य सम्बन्ध ∼ {\displaystyle \,\sim \,} दिया हो तो समुच्चय S , {\displaystyle S,} के किसी अवयव a {\displaystyle a} का तुल्यता वर्ग निम्नलिखित समुच्चय होगा- { x ∈ S : x ∼ a } {\displaystyle \{x\in S:x\sim a\}} जिसके सभी अवयव a {\displaystyle a} के तुल्य हों। इसे [ a ] , {\displaystyle [a],} द्वारा निरुपित किया जाता है। तुल्य सम्बन्ध के पारिभाषिक गुणों के आधार पर यह सिद्ध किया जा सकता है कि तुल्यता वर्ग वस्तुतः समुच्चय S {\displaystyle S} के का विभाजन कर देता है। इस विभाजन के परिणामस्वरूप बने तुल्यता वर्गों के समुच्चय को S {\displaystyle S} का भागफल समुच्चय (quotient set या quotient space) कहते हैं और इसे S / ∼ {\displaystyle S/\sim } द्वारा निरूपित किया जाता है।