रैखिक समीकरण निकाय
गणित में (और विशेषतः रैखिक बीजगणित में) समान अज्ञात राशि वाले रैखिक समीकरणों के समुच्चय को रैखिक समीकरणों का निकाय (systems of linear equations) कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 3 x + 2 y − z = 1 2 x − 2 y + 4 z = − 2 − x + 1 2 y − z = 0 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}} तीन चर राशियों x, y, z में तीन समीकरणों का एक निकाय है। किसी रैखिक निकाय के चरों के स्थान पर जो संख्यात्मक मान रखने पर वे सभी समीकरण एक साथ संतुष्ट होते हैं, संख्याओं के उस समुच्चय को ही उस 'समीकरण निकाय का हल' कहा जाता है। ऊपर दिए गये समीकरणों के निकाय का हल यह है: x = 1 y = − 2 z = − 2 {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x&=&1\\y&=&-2\\z&=&-2\end{alignedat}}} क्योंकि x, y, तथा z के ये मान उपरोक्त तीनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। "निकाय" (system) इस बात का संकेत करता है कि सभी समीकरणों को एक साथ विचार करना है, अलग-अलग नहीं। रैखिक समीकरणों के निकाय का हल निकालना गणित की सबसे पुराने कर्मों में से एक है। बहुत से क्षेत्रों की समस्याओं को हल करते समय रैखिक समीकरण निकाय से सामना होता है। जैसे आंकिक संकेत प्रसंस्करण, रैखिक इष्टतमकरण। अरैखिक गणितीय समस्याओं के रेखीकरण से भी रैखिक समीकरण निकाय प्राप्त होता है। इनको हल करने के लिए गाउस की विलोपन विधि, चोलेस्की अपघटन (Cholesky decomposition) या LU अपघटन द्वारा दक्षतापूर्वक हल किया जा सकता है। सरल स्थितियों में क्रैमर का नियम काम में लाया जा सकता है। सामान्यीकरण की दृष्टि से, n अज्ञात राशियों में m रैखिक समीकरणों का निकाय निम्नलिखित ढंग से लिखा जा सकता है: a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2 n x n = b 2 … … … … … a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + … + a m n x n = b m {\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&+\dots &+a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}&+\dots &+a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}&+\dots &+a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{matrix}}}