परिमित अवयव विधि
गणित में परिमित अवयव विधि (finite element method या FEM) बाउण्ड्री वैल्यू समस्याओं के सन्निकट हल प्राप्त करने की एक संख्यात्मक तकनीक है। यह विधि वैरिएशनल विधि का उपयोग करके एक त्रुटि फलन को न्यूनीकृत करती है जिससे स्थायी (stable) हल प्राप्त होता है। जिस प्रकार छोटी-छोटी सीधी रेखाओं को जोड़कर एक बड़ा वृत्त बनाने की कल्पना की जा सकती है उसी प्रकार FEM में बड़े आयतन या बड़े क्षेत्रफल को छोटे-छोटे टुकड़ों (finite elements) में बाँट दिया जाता है और इन परिमित अववयों के लिए समस्या से सम्बन्धित समीकरण (जैसे बलों के संतुलन के समीकरण, ऊष्मा के समीकरण आदि) लिखे जाते हैं। इन सभी समीकरणों (जिनकी संख्या प्रायः बहुत अधिक होती है) को एकसाथ (simultaneously) हल किया जाता है। परिमित अवयव विधि द्वारा आजकल अनेकों क्षेत्रों की समस्याओं का हल निकाला जाता है, जैसे - ढाँचों का स्थायित्व, वस्तुओं के अन्दर ताप का वितरण, विद्युत क्षेत्र का वितरण, चुम्बकीय क्षेत्र का वितरण, द्रवों का प्रवाह आदि। परिमित तत्व विधि (एफईएम) इंजीनियरिंग और गणितीय भौतिकी की समस्याओं को हल करने के लिए एक संख्यात्मक विधि है। इसे परिमित तत्व विश्लेषण (एफईए) भी कहा जाता है। ब्याज की विशिष्ट समस्या क्षेत्रों में संरचनात्मक विश्लेषण, गर्मी हस्तांतरण, द्रव प्रवाह, बड़े पैमाने पर परिवहन, और विद्युत चुम्बकीय क्षमता शामिल हैं। इन समस्याओं का विश्लेषणात्मक समाधान आम तौर पर आंशिक अंतर समीकरणों के लिए सीमा मूल्य समस्याओं का समाधान की आवश्यकता होती है। बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली में समस्या का परिमित तत्व विधि तैयार करने का परिणाम है। इस विधि ने डोमेन पर असतत अंकों की संख्या में अज्ञात के अनुमानित मूल्यों को प्राप्त किया है। [1] समस्या को हल करने के लिए, यह एक बड़ी समस्या को छोटे, सरल भागों में विभाजित करता है जिन्हें परिमित तत्व कहा जाता है। इन सममित तत्वों के मॉडल को सरल समीकरणों को तब समीकरणों की एक बड़ी प्रणाली में इकट्ठा किया जाता है जो पूरी समस्या को मॉडल बनाती है। एफईएम तब एक संबंधित त्रुटि फ़ंक्शन को कम करके विभिन्न समाधानों के कलन से भिन्नतात्मक तरीकों का उपयोग करता है। एक संपूर्ण डोमेन के सरल भागों में उपविभाग में कई फायदे हैं: [2] जटिल ज्यामिति का सटीक प्रतिनिधित्व असमान सामग्री गुणों का समावेश कुल समाधान का आसान प्रतिनिधित्व स्थानीय प्रभावों पर कब्जा विधि का एक विशिष्ट काम (1) में समस्या के डोमेन को उपडोमेन के संग्रह में विभाजित करते हैं, प्रत्येक उपडोमेन के साथ मूल समीकरण के तत्व समीकरणों के एक समूह द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है, उसके बाद (2) क्रमबद्ध तत्व समीकरणों के सभी सेटों को पुन: संयोजन किया जाता है अंतिम गणना के लिए समीकरणों की वैश्विक प्रणाली में समीकरणों की वैश्विक प्रणाली ने समाधान तकनीकों को ज्ञात किया है, और एक संख्यात्मक उत्तर प्राप्त करने के लिए मूल समस्या के प्रारंभिक मूल्यों से गणना की जा सकती है। ऊपर के पहले चरण में, तत्व समीकरण सरल समीकरण होते हैं जो मूल रूप से मूल जटिल समीकरणों का अनुमान लगाते हैं, जहां मूल समीकरण अक्सर आंशिक अंतर समीकरण (पीडीई) होते हैं। इस प्रक्रिया में सन्निकटन की व्याख्या के लिए, फेम को आमतौर पर गैलेकिन विधि के विशेष मामले के रूप में पेश किया जाता है। गणितीय भाषा में प्रक्रिया, अवशिष्ट और वजन कार्यों के आंतरिक उत्पाद का अभिन्न अंग बनाना और शून्य के अभिन्न अंग को स्थापित करना है। सरल शब्दों में, यह एक प्रक्रिया है जो पीडीई में परीक्षण कार्यों को फिटिंग द्वारा सन्निकटन की त्रुटि को कम करता है। अवशिष्ट परीक्षण कार्यों की वजह से त्रुटि होती है, और वजन कार्य बहुपक्षीय सन्निकटन फ़ंक्शन होते हैं जो अवशिष्ट परियोजना करते हैं। प्रक्रिया पीडीई से सभी स्थानिक डेरिवेटिव को समाप्त करती है, इस प्रकार स्थानीय रूप से पीडीई स्थानीयकरण के साथ स्थिर राज्य समस्याओं के लिए बीजीय समीकरण का एक समूह, क्षणिक समस्याओं के लिए साधारण अंतर समीकरण का एक सेट ये समीकरण सेट तत्व समीकरण हैं। वे रेखीय हैं यदि अंतर्निहित पीडीई रैखिक है, और इसके विपरीत। बीजीय समीकरण निर्धारित करता है कि स्थिर राज्य समस्याओं में उत्पन्न संख्यात्मक रैखिक बीजगणित विधियों का उपयोग करके हल किया जाता है, जबकि सामान्य अंतर समीकरण सेट जो क्षणिक समस्याओं में उत्पन्न होता है, संख्यात्मक एकीकरण द्वारा हल किया जाता है, जैसे कि यूलर की विधि या रेज-कट्टा विधि। उपरोक्त चरण (2) में, समीकरणों की एक वैश्विक प्रणाली तत्वों के समीकरणों से उपडोमेन के स्थानीय नोड्स से डोमेन के वैश्विक नोड्स के निर्देश