कौशी अभिसरण परीक्षण
कौशी अभिसरण परीक्षण किसी अनन्त श्रेणी के अभिसरण के परीक्षण के लिए काम में लिया जाता है। एक श्रेणी ∑ i = 0 ∞ a i {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}} सभी ai वास्तविक अथवा सम्मिश्र के लिए यह योग के लिए अभिसारी है यदि और केवल यदि ∀ ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} एक प्राकृतिक संख्या N इस प्रकार है कि | a n + 1 + a n + 2 + ⋯ + a n + p | < ε {\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon } ∀ n > N और p ≥ 1. यह परीक्षण कार्य करता है क्योंकि वास्तविक संख्याओं की समष्टि R और सम्मिश्र संख्याओं की समष्टि C (निरपेक्ष मान द्वारा दिए गए दूरिक सहित) दोनों पूर्ण हैं, अतः श्रेणी अभिसारी होगी यदि और केवल यदि आंशिक योग s n := ∑ i = 0 n a i {\displaystyle s_{n}:=\sum _{i=0}^{n}a_{i}} एक कौशी अनुक्रम है : प्रत्येक ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} के लिए एक संख्या N इस प्रकार परिभषित है कि प्रत्येक n, m > N के लिए | s m − s n | < ε {\displaystyle |s_{m}-s_{n}|<\varepsilon } माना m > n और अतः एक धनात्मक संख्या p = m − n परिभाषित करने पर | s n + p − s n | = | a n + 1 + a n + 2 + ⋯ + a n + p | < ε . {\displaystyle |s_{n+p}-s_{n}|=|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon .}