ब्रह्मगुप्त सर्वसमिका
ब्रह्मगुप्त सर्वसमिका एक बीजीय सर्वसमिका है जो भारतीय गणितज्ञ एवं खगोलविद ब्रह्मगुप्त द्वारा रचित ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त में आयी है। इसे निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है- ( a 2 + n b 2 ) ( c 2 + n d 2 ) = ( a c − n b d ) 2 + n ( a d + b c ) 2 ( 1 ) = ( a c + n b d ) 2 + n ( a d − b c ) 2 . ( 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left(ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&(1)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n\left(ad-bc\right)^{2}.&&(2)\end{aligned}}} उदाहरण के लिये (माना n=1), ( 1 2 + 4 2 ) ( 2 2 + 7 2 ) = 26 2 + 15 2 = 30 2 + 1 2 . {\displaystyle (1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^{2}.\,} यह सर्वसमिका सभी पूर्णांकों एवं सभी परिमेय संख्याओं के लिये सत्य है। ब्रह्मगुप्त ने इस सर्वसमिका को निम्नलिखित श्लोक में निबद्ध किया है- मूलं द्विधा इष्टवर्गाद् गुणकगुणाद् इष्ट युत विहिनान च । आद्यवधो गुणकगुणः सह अन्त्यघातेन कृतं अन्त्यम् ॥६४॥ वज्रवधैक्यं प्रथमं प्रक्षेपः क्षेपबधतुल्यः प्रक्षेपशोधकहृते मूले प्रक्षेपके रूपे॥ ६५॥ (अनुवाद : ‘From the square of an assumed number multiplied by the गुणक , add or subtract a desired quantity and obtain the root, and place them twice। The product of the first [pair of roots] multiplied by the गुणक increased by the product of the last [pair of roots] is the [new] greater root (अन्त्य-मूलम्)। The sum of the products of the cross-multiplication (वज्रवधैकम्) is the first [new] root (प्रथम-मूलम्). The [new] क्षेप is the product of similar additive or subtractive quantities. When the क्षेप is equal (तुल्य), the root [first or last] is to be divided by it to turn the [new] क्षेप into unity’) निम्नलिखित सर्वसमिका ब्रह्मगुप्त की सर्वसमिका का एक विशेष रूप है जिसे ब्रह्मगुप्त-फाबिनकी सर्वसमिका कहते हैं। यह सर्वसमिका डायोफैन्टस की 'अरिथमेटिका' नामक ग्रन्थ में है जो तीसरी शताब्दी की रचना है। ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) = ( a c − b d ) 2 + ( a d + b c ) 2   ( 3 ) = ( a c + b d ) 2 + ( a d − b c ) 2 . ( 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}\ \qquad \qquad (3)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}.\qquad \qquad (4)\end{aligned}}} यह सर्वसमिका दो योगों का गुणनफल, जिनमें प्रत्येक गुणक स्वयं दो वर्गों का योग हो, को दो वर्गों के योग के रूप में अभिव्यक्त करती है।