त्रिभुज के अन्तर्वृत्त और बहिर्वृत्त
ज्यामिति में, किसी त्रिभुज का अन्तर्वृत्त (या, अन्तःवृत्त / incircle) वह बड़ा से बड़ा वृत्त है जो उस त्रिभुज के अन्दर बनाया जा सकता है। वस्तुतः, अन्तःवृत्त तीनों भुजाओं को स्पर्श करता है। इसका केन्द्र 'अन्तःकेन्द्र' (incenter) कहलाता है। किसी त्रिभुज के तीन बहिर्वृत्त (excircle या escribed circle) होते हैं। ये तीनों वृत्त उस त्रिभुज के बाहर होते हैं। इनमें से प्रत्येक वृत्त, त्रिभुज की किसी एक भुजा को तथा शेष दो भुजाओं को आगे बढाने से बनी दो रेखाओं को स्पर्श करता है। किसी त्रिभुज के तीनों शीर्षों से होकर जाने वाले वृत्त को उस त्रिभुज का परिवृत्त (Circumcircle) कहते हैं। माना त्रिभुज ABC के तीन कोण A, B, C हैं और इन कोणों के सामने की भुजाएँ क्रमशः a, b, c हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल S है; अन्तःत्रिज्या r है और तीन बहिर्वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः ra, rb, rc हैं। इस त्रिभुज की अर्धपरिधि p = a + b + c 2 {\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}} है। तो r = 2 S a + b + c = S p {\displaystyle r={\frac {2S}{a+b+c}}={\frac {S}{p}}} = ( p − a ) tan ⁡ A 2 {\displaystyle =(p-a)\tan {\frac {A}{2}}} = ( p − b ) tan ⁡ B 2 = ( p − c ) tan ⁡ C 2 {\displaystyle =(p-b)\tan {\frac {B}{2}}=(p-c)\tan {\frac {C}{2}}} = ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) p {\displaystyle ={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}} r a = 2 S b + c − a = S p − a = p . tan ⁡ A 2 {\displaystyle {\begin{aligned}r_{a}={\frac {2S}{b+c-a}}={\frac {S}{p-a}}=p.\tan {\frac {A}{2}}\end{aligned}}} r b = 2 S c + a − b = S p − b = p . tan ⁡ B 2 {\displaystyle {\begin{aligned}r_{b}={\frac {2S}{c+a-b}}={\frac {S}{p-b}}=p.\tan {\frac {B}{2}}\end{aligned}}} r c = 2 S a + b − c = S p − c = p . tan ⁡ C 2 {\displaystyle {\begin{aligned}r_{c}={\frac {2S}{a+b-c}}={\frac {S}{p-c}}=p.\tan {\frac {C}{2}}\end{aligned}}} इसके अतिरिक्त, S = r r a r b r c {\displaystyle S={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}} 1 r = 1 r a + 1 r b + 1 r c {\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_{c}}}}