Osna simetrija
Aksioma simetrije Za svaku pravu u ravni postoji jedna i samo jedna izometrija koja sve tačke prave ostavlja nepokretnim, a poluravan s jedne strane te ravni preslikava na poluravan s druge strane te prave. Definicija 1 Izometriju u kojoj su sve tačke prave nepokretne i poluravan sjedne strane prave a preslikava se u poluravan s druge strane prave a naziva se osnom (axijalnom , lat ax-os) simetrijom prema pravoj a . ovu simetriju nazivamo još ogledanje (zrcanje) na pravoj a . Simetrija čija je os simetrije prava a označavamo sa s0 sa(X) = X1 ili sa:X = X1 Konstruktivni zadatak Za datu tačku X konstruisati tačku sa:X = X1 Ako je tačka X na pravoj a znamo da je X = X1. Neka tačka X nije na pravoj a . Na osi a uzmimo dvije proizvoljne tačke A, B. Imamo A = A1 i B = B1. Pošto je sa izometrija rastojanja između tačaka i njihovih slika moraju biti jednaka, tj AX = AX1 i BX = BX1 tačke X i X1 jednako su udaljene od tačaka A i B , tj one leže na kružnicama k1 ( A, AX) i k2(B, BX) . znaći tačke X i X1 su presječne tačke kružnica k1 i k2. One se zaista sijeku jer imaju zajedničku tačku X van zajedničke prave a. Tačke X i X1 leže sa raznih strana prave a pa je druga presječna tačka X1 kružnica i k1 i k2 slika tačke X. Teorema 1 Izometrija u kojoj su sve tačke jedne prave nepokretne i poluravan s jedne strane te prave se preslikava na istu poluravnu je identična izometrija. Neka je sa(X) = X1 Tda je tačka X slika X1 u istoj izometriji, tj to znaći da su izometrija sa i njoj obrnuta izometrija (sa) −1 jedna ista permutacija. Definicija 2 Ako za figuru F postoji prava a tako da je sa(F) = F figura se preslikava sasvojom simetričnom slikom, kažemo da je F simetrična prema pravoj a za koju kažemo da je os simetrije. Ili simetrala figure F. Odnosno: prava a je os simetrije figure F , ako je figura F nepokretna u preslikavanju sa. Definicija 3 Za pravu prazličitu od prave a kažemo da je normalna (upravna, okomita, ortogonalna)n na pravu a ako se simetrijom prava p preslikava na samu sebe. Definicija 4 Za duž ili polupravu koja leži na pravoj p koja je okomita na pravu a kazačemo da je normalna na pravu a, također na duž ili polupravu koja se sadrži u pravoj a. Teorema 3 Duž XX 1 koja spaja par tačaka X i X1 simetrićnih prema pravoj a preslikava se simetrijom na samu sebe., tj a je simetrala te duži. Duž je X X1 je okomita na pravu a i prava a prolazi sredinom duži X X1. Teorema 4 Poluprava l kojoj je početak O nalazi se na osi, a i njena slika l1. = s a( l). Teorema 5 Ako je prava p paralelna osi a onda je njena slika paralelna osi a.