Integracija trigonometrijskih proizvoda kao kompleksnih eksponencijala
Funkcije koje sadrže sinus ili kosinus mogu se izraziti kao kompleksni eksponencijali korištenjem Eulerove formule. Primjer: Pretpostavimo da želimo integrisati: ∫ e x cos ⁡ x d x {\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx} Tada kosinusna funkcija može biti izražena u svom Eulerovom obliku: cos ⁡ θ = e i θ + e − i θ 2 {\displaystyle \cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}} ∫ e x ⋅ e i x + e − i x 2 d x {\displaystyle \int e^{x}\cdot {\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\,dx} 1 2 ∫ e x ( 1 + i ) + e x ( 1 − i ) d x {\displaystyle {1 \over 2}\int e^{x(1+i)}+e^{x(1-i)}\,dx} Ova funkcija je mnogo lakša za integrisanje. Alternativno, možemo razmatrati realni i imaginarni dio kompleksnih brojeva Kosinus je realni dio kompleksnog broja napisanog u obliku cos x + i sin x ∫ e x cos ⁡ x d x = {\displaystyle \int e^{x}\cos xdx=} ∫ e x R e { cos ⁡ x + i ⋅ sin ⁡ x } d x {\displaystyle \int e^{x}\mathrm {Re} \{\cos x+i\cdot \sin x\}dx} ∫ e x R e { e i x } d x {\displaystyle \int e^{x}\mathrm {Re} \{e^{ix}\}dx} R e { ∫ e x e i x d x } {\displaystyle \mathrm {Re} \{\int e^{x}e^{ix}dx\}} R e { ∫ e ( i + 1 ) x d x } {\displaystyle \mathrm {Re} \{\int e^{(i+1)x}dx\}}