Nepravi integral
Preporučuje se čitaocu da, prije čitanja članaka, bude upoznat sa antiderivacijama, integralima i graničnim vriejdnostima. U kalkulusu, nepravi integral je granična vrijednost određenog integrala, kao se posjednja tačka intervala integracije približava bilo određenom realnom broju ili ∞ ili −∞, ili, u nekim slučajevima, kada sa dvije strane teži ka graničnoj vrijednosti. U nekim slučajevima, integral ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\,dx\,} se definiše bez obzira na granicu lim b → c − ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \lim _{b\to c^{-}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,} ali se drugačije ne može izračunati. Ovo se najčešće dešava kada se funkcija f, koja se integriše od a do c, ima vertikalnu asimptotu u c, ili ako c = ∞ (pogledajte: Slika 1 i Slika 2). U nekim slučajvima, integral od a do c nije ni definisan, jer su integrali i pozitivnih i negativnih dijelova f(x) dx od a do c beskonačni, ali granična vrijednost, ipak, može postojati. Takvi slučajevi su "pravi nepravi" integrali, npr. njihove vrijednosti se ne mogu definisati, osim kao te granične vrijednosti. Integral ∫ 0 ∞ d x 1 + x 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}} može se interpretirati kao lim b → ∞ ∫ 0 b d x 1 + x 2 = lim b → ∞ arctan ⁡ b = π 2 , {\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\arctan {b}={\frac {\pi }{2}},} ali, prema matematičkoj analizi, nije neophodno interpretirati ga na taj način, jer se može interpretirati kao Lebesgueov integral u intervalu (0, ∞). Na drugu stranu, korištenje granične vrijednosti određenih integrala u zatvorenom intervalu, je jako korisno samo ako se računaju tačne vrijednosti. U suprotnosti, ∫ 0 ∞ sin ⁡ ( x ) x d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx} ne može biti interpretiran kao Lebesgueov integral, pošto je ∫ 0 ∞ | sin ⁡ ( x ) x | d x = ∞ . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|\,dx=\infty .} Zbog toga je to "pravi" nepravi integral, čije vrijednosti su date preko ∫ 0 ∞ sin ⁡ ( x ) x d x = lim b → ∞ ∫ 0 b sin ⁡ ( x ) x d x = π 2 . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\lim _{b\rightarrow \infty }\int _{0}^{b}{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.} Možemo govoriti o singularitetima nepravog integrala, misleći na one tačke produžene brojne linije realnih brojeva u kojim je korištena granična vrijednost. Takvi integrali se često zapisuju simbolično kao i standardni pravi integrali, možda sa beskonačnosti kao granicom integracije. Ali to prikriva proces traženja granične vrijednosti. Korištenjem "naprednije" Lebesgueovog integrala, umjesto Riemannovog integrala, može se, u nekim slučajevima, zaobići ovaj problem, ali ako se jednostavno želi dobiti određeni rezultat, ta metoda nam možda neće pomoći.