Weierstrassov M-test
U matematici, Weierstrassov M-test je analogija testu poređenja za beskonačne redove, a primjenjuje se kod redova čiji su članovi funkcije sa realnim ili kompleksnim vrijednostima. Pretpostavimo da je { f n } {\displaystyle \{f_{n}\}} niz realnih ili kompleksnih vrijednosti funkcije definisan u skupu A {\displaystyle A} , te da postoje pozitivne konstante M n {\displaystyle M_{n}} takve da vrijedi | f n ( x ) | ≤ M n {\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}} za sve n {\displaystyle n} ≥ 1 {\displaystyle 1} i sve x {\displaystyle x} u A {\displaystyle A} . Pretpostavimo, nadalje, da red ∑ n = 1 ∞ M n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}} konvergira. Tada, red ∑ n = 1 ∞ f n ( x ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)} konvergira uniformno na A {\displaystyle A} . Općenitija verzija Weierstrassovog M-testa stoji ako je kodomen funkcija { f n } {\displaystyle \{f_{n}\}} bilo koji Banachov prostor, u čijem slučaju se može iskaz | f n | ≤ M n {\displaystyle |f_{n}|\leq M_{n}} zamijeniti sa | | f n | | ≤ M n {\displaystyle ||f_{n}||\leq M_{n}} , gdje je | | ⋅ | | {\displaystyle ||\cdot ||} oznaka Banachovog prostora. Za primjer upotrebe ovog testa na Banachovom prostoru, pogledajte članak Fréchetova derijacija. Dokaz S n ( x ) = ∑ k = 1 n f k ( x ) {\displaystyle S_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)} ∑ n = 1 ∞ M n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}} konvergira i Mn ≥ 0 za svako n, onda na osnovu Cauchyjevog testa konvergencije ∀ ε > 0 : ∃ N : ∀ n > m > N : ∑ k = m + 1 n M k < ε . {\displaystyle \forall \varepsilon >0:\exists N:\forall n>m>N:\sum _{k=m+1}^{n}M_{k}<\varepsilon .} za izabrano N, ∀ x ∈ A : ∀ n > m > N {\displaystyle \forall x\in A:\forall n>m>N} | S n ( x ) − S m ( x ) | = | ∑ k = m + 1 n f k ( x ) | ≤ ( 1 ) ∑ k = m + 1 n | f k ( x ) | ≤ ∑ k = m + 1 n M k < ε . {\displaystyle \left|S_{n}(x)-S_{m}(x)\right|=\left|\sum _{k=m+1}^{n}f_{k}(x)\right|{\overset {(1)}{\leq }}\sum _{k=m+1}^{n}|f_{k}(x)|\leq \sum _{k=m+1}^{n}M_{k}<\varepsilon .} Ovaj parcijalni zbir reda ravnomjerno konvergira . Po definiciji, reda ∑ k = 1 ∞ f k ( x ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x)} konvergira uniformno.