Cauchyjev test konvergencije
Cauchyjhev test konvergencije je metoda koja se koristi za testiranja konvergencije beskonačnih redova. Red ∑ i = 0 ∞ a i {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}} je konvergentan ako i samo ako za svaki ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} postoji broj N ∈ N {\displaystyle \in \mathbb {N} } takav da | a n + 1 + a n + 2 + ⋯ + a n + p | < ε {\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon } važi za sve n > N i p ≥ 1 {\displaystyle p\geq 1} . Test funkcionira pošto je red konvergentan ako i samo ako je parcijalna suma s n := ∑ i = 0 n a i {\displaystyle s_{n}:=\sum _{i=0}^{n}a_{i}} Cauchyjev niz: za svako ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} postoji broj N, takav da za sve n, m > N važi | s m − s n | < ε . {\displaystyle |s_{m}-s_{n}|<\varepsilon .} Možemo pretpostaviti da vrijedi m > n, te zbog toga vrijedi p = m - n. Red je konvergentan ako i samo ako vrijedi | s n + p − s n | = | a n + 1 + a n + 2 + ⋯ + a n + p | < ε . {\displaystyle |s_{n+p}-s_{n}|=|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon .}