Zlatni trougao
U matematici zlatni trougao je jednakokraki trougao kome je omjer dužine kraka i dužine osnovice jednak zlatnom broju. a b = φ = 1 + 5 2 . {\displaystyle {a \over b}=\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}.} Θ = 2 sin − 1 ⁡ ( b 2 a ) = 2 sin − 1 ⁡ ( b 2 φ ) = π 5 {\displaystyle \Theta =2\sin ^{-1}({\frac {b}{2a}})=2\sin ^{-1}\left({\frac {b}{2\varphi }}\right)={\frac {\pi }{5}}} Može se naći unutar pravilnog Ikosaedra, dodekaedra i petougla, pentagrama, desetougla.. θ = cos − 1 ⁡ ( φ 2 ) = π 5 = 36 ∘ . {\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left({\varphi \over 2}\right)={\pi \over 5}=36^{\circ }.} Kako je zbir uglova trougla 180o, to su uglovi na osnovici zlatnog trougla po 72o. To je jedini trougao kod koga se uglovi nalaze u omjeru 2 : 2 : 1. {\displaystyle 2:2:1.} a : b = 1 + 5 2 {\displaystyle a:b={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} Sa slike je sin ⁡ ( α 2 ) = a 2 b = 1 1 + 5 = 5 − 1 4 = sin ⁡ ( π 10 ) {\displaystyle \sin({\frac {\alpha }{2}})={\frac {\frac {a}{2}}{b}}={\frac {1}{1+{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}=\sin({\frac {\pi }{10}})} Iz ovog slijedi da je α 2 = π 10 ⇒ α = π 5 ⇒ α = 36 ∘ {\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}={\frac {\pi }{10}}\Rightarrow \alpha ={\frac {\pi }{5}}\Rightarrow \alpha =36^{\circ }} Pomoću ovog trougla crta se logaritamska spirala Svi zlatni trouglovi su slični. To proizlazi iz stava U-U-U o sličnosti trouglova. Omjer poluprečnika pravilnom desetetouglu opisane kružnice i dužine stranice toga desetougla jednak je zlatnom broju. R = 1 + 5 2 a {\displaystyle R={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}a} Zlatni trougao nalazimo i unutar pravilnog petougla S 5 = ( 5 − 2 ) 180 ∘ = 540 ∘ {\displaystyle S_{5}=(5-2)180^{\circ }=540^{\circ }} γ = 540 ∘ / 5 = 108 ∘ {\displaystyle \gamma =540^{\circ }/5=108^{\circ }} δ = ( 108 ∘ − γ ) / 2 = 36 ∘ {\displaystyle \delta =(108^{\circ }-\gamma )/2=36^{\circ }} β + δ = 108 ∘ => β = 72 ∘ {\displaystyle \beta +\delta =108^{\circ }=>\beta =72^{\circ }} Zlatni gnomom je jednakokraki trougao kome je omjer dužine kraka i dužine osnovice jednak 1 φ = φ − 1 {\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1} .Njegovi uglovi su 36 ∘ , 36 ∘ , 108 ∘ {\displaystyle 36^{\circ },36^{\circ },108^{\circ }}