Integracija korištenjem parametarskih derivacija
U matematici, integracija korištenjem parametarskih derivacija je metod integracije određenih funkcija. Pretpostavimo da želimo izračunati integral ∫ 0 ∞ x 2 e − 3 x d x . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-3x}\,dx.} Ovaj integral se može riješiti tako što počnemo sa integralom: ∫ 0 ∞ e − t x d x = [ e − t x − t ] 0 ∞ = ( lim x → ∞ e − t x − t ) − ( e − t 0 − t ) = 0 − ( 1 − t ) = 1 t . {\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }e^{-tx}\,dx=\left[{\frac {e^{-tx}}{-t}}\right]_{0}^{\infty }=\left(\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{-tx}}{-t}}\right)-\left({\frac {e^{-t0}}{-t}}\right)\\&=0-\left({\frac {1}{-t}}\right)={\frac {1}{t}}.\end{aligned}}} Sada znamo da je: ∫ 0 ∞ e − t x d x = 1 t . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-tx}dx={\frac {1}{t}}.} Pretpostavimo da sada tražimo drugu derivaciju po t, a ne po x (to znači da ćemo x i dx smatrati konstantama): d 2 d t 2 ∫ 0 ∞ e − t x d x = d 2 d t 2 1 t {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\int _{0}^{\infty }e^{-tx}dx={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\frac {1}{t}}} ∫ 0 ∞ d 2 d t 2 e − t x d x = d 2 d t 2 1 t {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}e^{-tx}dx={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\frac {1}{t}}} ∫ 0 ∞ d d t − x e − t x d x = d d t − 1 t 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {d}{dt}}-xe^{-tx}dx={\frac {d}{dt}}-{\frac {1}{t^{2}}}} ∫ 0 ∞ x 2 e − t x d x = 2 t 3 . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-tx}dx={\frac {2}{t^{3}}}.} Sada uočite da ovo rješenje ima isti oblik kao i zadana funkcija, čiji integral tražimo. U originalnom problemu, t = 3. Zamjenom toga u naše rješenje dobija se: ∫ 0 ∞ x 2 e − 3 x d x = 2 3 3 = 2 27 . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-3x}dx={\frac {2}{3^{3}}}={\frac {2}{27}}.}