1 + 1 + 1 + 1 + · · ·
1 + 1 + 1 + 1 + · · ·, može se pisati i kao ∑ n = 1 ∞ n 0 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{0}} , ∑ n = 1 ∞ 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1^{n}} , ili ∑ n = 1 ∞ 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1} , je divergentni red. To znači da niz parcijalnih suma ne konvergira do neke granice u skupu realnih brojeva. Niz 1 n {\displaystyle 1^{n}} može se posmatrati kao geometrijski niz sa zajedničkim odnosom 1 {\displaystyle 1} . Za razliku od drugih geometrijskih nizova sa racionalnim odnosom (osim -1), ne konvergira u realne brojeve. Kada se pojavi u primjeni u fizici, red 1 + 1 + 1 + 1 + · · · se može interpretirati pomoću regularizacije zeta funkcije. To je vrijednost Riemannove zeta funkcije za s = 0 {\displaystyle s=0} ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,} = 1 1 − 2 1 − s ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n s , {\displaystyle ={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}\,,} Gore navedene formule ne važe za nulu, međutim, kako jedna mora da koristi analitički nastavak Rimanove zeta funkcije, ζ ( s ) = 2 s π s − 1   sin ⁡ ( π s 2 )   Γ ( 1 − s )   ζ ( 1 − s ) , {\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\!,} Koristeći ovaj dobija se (s obzirom da je Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (1)=1} ), ζ ( 0 ) = 1 π lim s → 0   sin ⁡ ( π s 2 )   ζ ( 1 − s ) = {\displaystyle \zeta (0)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \zeta (1-s)=} 1 π lim s → 0   ( π s 2 − π 3 s 3 48 + . . . )   ( − 1 s + . . . ) = − 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {\pi ^{3}s^{3}}{48}}+...\right)\ \left(-{\frac {1}{s}}+...\right)=-{\frac {1}{2}}\!} u kojoj je funkcija definisana, gdje red divergira po analitičkom produženju. U tom smislu vrijedi 1 + 1 + 1 + 1 + · · · = ζ(0) = −1⁄2. Može se reći da je ∑ n = 1 m n 0 = m {\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n^{0}=m} Lako se dokazuje matematičkom indukcijom. ∑ n = 1 1 n 0 = 1 0 = 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{1}n^{0}=1^{0}=1} ∑ n = 1 2 n 0 = 1 0 + 2 0 = 1 + 1 = 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{2}n^{0}=1^{0}+2^{0}=1+1=2} ∑ n = 1 3 n 0 = 1 0 + 2 0 + 3 0 = 1 + 1 + 1 = 3 {\displaystyle \sum _{n=1}^{3}n^{0}=1^{0}+2^{0}+3^{0}=1+1+1=3} ∑ n = 1 4 n 0 = 1 0 + 2 0 + 3 0 + 4 0 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 {\displaystyle \sum _{n=1}^{4}n^{0}=1^{0}+2^{0}+3^{0}+4^{0}=1+1+1+1=4} n m n m = n m − m = n 0 = 1 {\displaystyle {\frac {n^{m}}{n^{m}}}=n^{m-m}=n^{0}=1} Tvrdnja ne važi za n = 0 {\displaystyle n=0} jer 0 0 {\displaystyle 0^{0}} nema smisla