Bernoullijeva lemniskata
Bernulijeva lemniskata (lat. lemniscus < grč. λημνίσϰος: vunena vrpca), algebarska kriva četvrtog reda, oblika osmice, poseban slučaj Cassinijeva ovala. Lemniskata je u pravouglom Kartezijevom koordinatnom sistemu ima jednačinu ( x 2 + y 2 ) 2 − 2 a 2 ( x 2 − y 2 ) = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})=0} , gdje je e {\displaystyle e} polovima udaljenosti između žarista (fokusa). Koordinantni početak je čvorna tačka i tačka infleksije. y = ± a 4 + 4 x 2 a 2 − x 2 − a 2 {\displaystyle \textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4x^{2}a^{2}}}-x^{2}-a^{2}}}} 1694. god. opisao ju je Jakob Bernoulli, kao modifikacijuelipse, koja je geometrijsko mjesto tačaka za koje je zbir udaljenosti od dvije fiksne tačke, konstantan. Za razliku od nje, lemniskata je geometrijsko mjesto tačaka za koje je proizvod ovih udaljenosti konstantan. Bernoulli je ovu krivu nazvao lemniscus, što je latinski naziv za ukrasnu traku. Lemniskata se može dobiti inverznom transformacijom hiperbole, inverzijom u odnosu na krug čije je središte u središtu hiperbole. Površina lemniskate P= a^2 dužina luka lemniskate s ( ( t ) = a 2 π [ Γ ( 1 4 ) ] 2 {\displaystyle s((t)={\frac {a}{2\pi }}{\begin{bmatrix}\Gamma ({\frac {1}{4}})\end{bmatrix}}^{2}} zakrivljenost lemniskate k ( t ) = 3 2 c o s θ a 3 − c o s 2 θ {\displaystyle k(t)={\frac {3{\sqrt {2}}cos\theta }{a{\sqrt {3-cos2\theta }}}}} Dužina lemniskate L == 4 a ( 1 + 1 2 ∗ 5 + 1 ∗ 3 2 ∗ 4 ∗ 9 + . . .1 {\displaystyle L==4a(1+{\frac {1}{2*5}}+{\frac {1*3}{2*4*9}}+...1}