Mertensove teoreme
U matematici, Mertensovi teoremi su tri tezultata iz oblasti teorija brojeva iz 1874. godine, koji imaju veze sa gustoćom prostih brojeva, te jedan rezultat iz analize, koje je dokazao Franz Mertens. U narednom, neka p < n {\displaystyle p<n} znači da svi prosto brojevi ne prelaze vrijednost n {\displaystyle n} . Mertensov prvi teorem: ln ⁡ n − ∑ p < n ln ⁡ p p = O ( 1 ) as   n → ∞ , {\displaystyle \ln n-\sum _{p<n}{\frac {\ln p}{p}}=O(1)\quad {\hbox{as}}\ n\to \infty ,} Pogledajte Veliko O notacija. Mertensov drugi teorem: lim n → ∞ ( − ln ⁡ ln ⁡ n + ∑ p < n 1 p ) = 0.2614972128 … , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(-\ln \ln n+\sum _{p<n}{\frac {1}{p}}\right)=0.2614972128\ldots ,} pogledajte Meissel-Mertensova konstanta. Mertensov treći teorem: lim n → ∞ ln ⁡ n ∏ p < n ( 1 − 1 p ) = e − γ , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\ln n\prod _{p<n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma },} gdje je γ Euler-Mascheronijeva konstanta. Mertensov teorem može se, također, odnositi na rezultate ako realni ili kompleksni beskonačni red ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} konvergira u A {\displaystyle A} , a drugi ∑ n = 1 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}} konvergira apsolutno u B {\displaystyle B} , tada njihov Cauchyjev proizvod konvergira u A B {\displaystyle AB} .