Uniformna norma
Norme na R^2 su realne funkcije na R^2 koje posjeduju određene osobine. Svaka norma definiše udaljenost (metriku), uvođenjem p-normi dobili smo razne načine za računanje udaljenosti između dvije tačke. Primjer Kružnica je skup tačaka koje su jednako udaljene od neke fiksne tačke, pa će njen oblik zavisiti o normi u kojoj računamo, pa će, kružnice s obzirom na 1-normu i max-normu imati oblik kvadrata. Kao i u euklidskoj geometriji, omjer obima i prečnika kružnice biće konstantan u svim p-normama. Taj omjer, koji označavamo s π r {\displaystyle \pi _{r}} , generalizira broj π {\displaystyle \pi } . Na R 2 {\displaystyle R^{2}} često se koristi max-norma. To je poseban slučaj p-norme za p = ∞ {\displaystyle p=\infty } ‖ ( x , y ) ‖ ∞ = m a x { | x | , | y | } {\displaystyle \lVert (x,y)\rVert _{\infty }=max\{|x|,|y|\}} za { x , y } ∈ R 2 {\displaystyle \{x,y\}\in R^{2}} Teorema za max- normu definisanu sa ‖ ( x , y ) ‖ ∞ = m a x { | x | , | y | } {\displaystyle \lVert (x,y)\rVert _{\infty }=max\{|x|,|y|\}} za { x , y } ∈ R 2 {\displaystyle \{x,y\}\in R^{2}} vazi lim p → ∞ ( ‖ ( x , y ) ‖ p ) = ‖ ( x , y ) ‖ ∞ {\displaystyle \lim _{p\rightarrow \infty }(\lVert (x,y)\rVert _{p})=\lVert (x,y)\rVert _{\infty }} za ∀ ( x , y ) ∈ R 2 {\displaystyle \forall (x,y)\in R^{2}} Dokaz lim p → ∞ ( ‖ ( x , y ) ‖ p ) = lim p → ∞ ( | x | p + | y | p p ) = {\displaystyle \lim _{p\rightarrow \infty }(\lVert (x,y)\rVert _{p})=\lim _{p\rightarrow \infty }({\sqrt[{p}]{|x|^{p}+|y|^{p}}})=} { lim p → ∞ ( | x | 1 + | y x | p   z a   | x | > | y | lim p → ∞ ( | x | 2 | p   z a ‖ x | = | y | lim p → ∞ ( | x | 1 + | x y | p   z a ‖ x | < | y | {\displaystyle {\begin{cases}\lim _{p\rightarrow \infty }(|x|{\sqrt[{p}]{1+|{\frac {y}{x}}|}}\ za\ |x|>|y|\\\lim _{p\rightarrow \infty }(|x|{\sqrt[{p}]{2|}}\ za\|x|=|y|\\\lim _{p\rightarrow \infty }(|x|{\sqrt[{p}]{1+|{\frac {x}{y}}|}}\ za\|x|<|y|\end{cases}}} Za | x | > | y | {\displaystyle |x|>|y|} je ‖ ( x , y ) ‖ ∞ = | x | {\displaystyle \lVert (x,y)\rVert _{\infty }=|x|} y x < 1 ⇒ lim p → ∞ | y x | p = 0 {\displaystyle {\frac {y}{x}}<1\Rightarrow \lim _{p\rightarrow \infty }|{\frac {y}{x}}|^{p}=0} lim p → ∞ ( | x | 1 + | y x | p = | x | = ‖ ( x , y ) ‖ ∞ {\displaystyle \lim _{p\rightarrow \infty }(|x|{\sqrt[{p}]{1+|{\frac {y}{x}}|}}=|x|=\lVert (x,y)\rVert _{\infty }} Za | x | = | y | {\displaystyle |x|=|y|} je ‖ ( x , y ) ‖ ∞ = | x | = | y | {\displaystyle \lVert (x,y)\rVert _{\infty }=|x|=|y|} lim p → ∞ ( | x | 1 + | y x | p = | x | lim p → ∞ ( 1 + | y x | p = | x | lim p → ∞ ( 2 p = | x | = ‖ ( x , y ) ‖ ∞ {\displaystyle \lim _{p\rightarrow \infty }(|x|{\sqrt[{p}]{1+|{\frac {y}{x}}|}}=|x|\lim _{p\rightarrow \infty }({\sqrt[{p}]{1+|{\frac {y}{x}}|}}=|x|\lim _{p\rightarrow \infty }({\sqrt[{p}]{2}}=|x|=\lVert (x,y)\rVert _{\infty }} Za | x | < | y | {\displaystyle |x|<|y|} je x y < 1 ⇒ lim p → ∞ | x y | p = 0 {\displaystyle {\frac {x}{y}}<1\Rightarrow \lim _{p\rightarrow \infty }|{\frac {x}{y}}|^{p}=0} lim p → ∞ ( | x | 1 + | x y | p = | y | = ‖ ( x , y ) ‖ ∞ {\displaystyle \lim _{p\rightarrow \infty }(|x|{\sqrt[{p}]{1+|{\frac {x}{y}}|}}=|y|=\lVert (x,y)\rVert _{\infty }} Neka su T 1 = ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle T_{1}=(x_{1},y_{1})} i T 2 = ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle T_{2}=(x_{2},y_{2})} neke dvije tačke ravni. Udaljenost između T 1 {\displaystyle T_{1}} i T 2 {\displaystyle T_{2}} s obzirom na normu ‖ . ‖ {\displaystyle \lVert .\rVert } računa se kao d ( T 1 , T 2 ) = ‖ ( x 1 − x 2 ) , ( y 1 − y 2 ) ‖ {\displaystyle d(T_{1},T_{2})=\lVert (x_{1}-x_{2}),(y_{1}-y_{2})\rVert } d ( T 1 , T 2 ) p = ( | x 1 | − | x 2 | ) p + ( | y 1 | − | y 2 | ) p {\displaystyle d(T_{1},T_{2})_{p}=(|x_{1}|-|x_{2}|)^{p}+(|y_{1}|-|y_{2}|)^{p}} Za tačke T 1 = ( 2 , − 3 ) {\displaystyle T_{1}=(2,-3)} i T 2 = ( 5 , 1 ) {\displaystyle T_{2}=(5,1)} imamo d ( T 1 , T 2 ) = ‖ ( 2 − 5 ) + ( − 3 − 1 ) ‖ = ‖ ( − 3 − 4 ) ‖ = 7 {\displaystyle d(T_{1},T_{2})=\lVert (2-5)+(-3-1)\rVert =\lVert (-3-4)\rVert =7} d 2 ( T 1 , T 2 ) = ( | 2 − 5 | ) 2 + ( | − 3 − 1 | ) 2 = 9 + 16 = 5 {\displaystyle d_{2}(T_{1},T_{2})={\sqrt {(|2-5|)^{2}+(|-3-1|)^{2}={\sqrt {9+16}}}}=5} d ∞ ( T 1 , T 2 ) = m a x ( | ( 2 − 5 ) | , | ( − 3 − 1 ) | ) = 4 {\displaystyle d_{\infty }(T_{1},T_{2})=max(|(2-5)|,|(-3-1)|)=4} Ako nacrtamo tačke T 1 {\displaystyle T_{1}} i T 2 {\displaystyle T_{2}} u koordinatnom sistemu, tada je euklidska udaljenost d 2 ( T 1 , T 2 ) = ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − < 2 ) 2 {\displaystyle d_{2}(T_{1},T_{2})={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-<_{2})^{2}}}} jednaka duzini duzi T 1 T 2 ¯ {\displaystyle {\overline {T_{1}T_{2}}}} dok je d 1 ( T 1 , T 2 ) = | x 1 − x 2 | + | y 1 − y 2 | {\displaystyle d_{1}(T_{1},T_{2})=|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|} dužina iscrtkanih putova od T 1 {\displaystyle T_{1}} do T 2 {\displaystyle T_{2}} . Uočimo da samo jedan put od T 1 {\displaystyle T_{1}} do T 2 {\displaystyle T_{2}} ima dužinu d 2 ( T 1 , T 2 ) {\displaystyle d_{2}(T_{1},T_{2})} i to je najkraći put između ove 2 tačke, dok d 1 ( T 1 , T 2 ) {\displaystyle d_{1}(T_{1},T_{2})} puteva ima više. Iako smo naviknuti da udaljenost između dvije tačke računati kao dužinu najkraćeg puta, ponekad nam je korisniji neki drugi način računanja udaljenosti. Primjer Pretpostavimo da ulice u nekom gradu čine jednupravouglu mrežu. Želimo li doći od jednog do drugog mjesta u gradu, tj. od tačke T 1 = ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle T_{1}=(x_{1},y_{1})} do T 2 = ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle T_{2}=(x_{2},y_{2})} , onda će udaljenost koju ćemo preći biti dužina najkraćeg puta koji prolazi zadanim ulicama (što je upravo d 1 ( T 1 , T 2 ) {\displaystyle d_{1}(T_{1},T_{2})} , a ne zraćna udaljenost d 2 ( T 1 , T 2 ) {\displaystyle d_{2}(T_{1},T_{2})} između ovih tačaka. Sada je jasno zašto se ‖ ( x , y ) ‖ 1 {\displaystyle \lVert (x,y)\rVert _{1}} često naziva taksi-norma, a ponekad i Manhattan-norma.