Binomna teorema
U elementarnoj algebri, binomni teorem opisuje koeficijente stepena binoma kada je on predstavljen u razvijenoj formi. Njegov najjednostavniji oblik kaže da je ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k ( 1 ) {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad \quad \quad (1)} za bilo koje realne ili kompleksne brojeve x i y, te bilo koji nenegativan cijeli broj n. Binomni koeficijent, koji se pojavljuje u (1), može se definisati preko funkcije faktorijela n!: ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! . {\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}.} Na primjer, pred nama su slučaji kada je 2 ≤ n ≤ 5: ( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,} ( x + y ) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 {\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,} ( x + y ) 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4 {\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,} ( x + y ) 5 = x 5 + 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 + 10 x 2 y 3 + 5 x y 4 + y 5 . {\displaystyle (x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}.\,}