Hardyjeva nejednakost
Hardyjeva nejednakost je nejednakost u matematici, koja je dobila naziv po G. H. Hardyju. Ona iskazuje da ako je a 1 , a 2 , a 3 , … {\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\dots } niz nenegativnih realnih brojeva koji nisu identički jednaki nuli, tada, za svaki realan broj p > 1, imamo da je ∑ n = 1 ∞ ( a 1 + a 2 + ⋯ + a n n ) p < ( p p − 1 ) p ∑ n = 1 ∞ a n p . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{p}<\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}.} Integralna verzija Hardyjeve nejednakosti kaže da ako je f integrabilna funkcija sa nenegativnim vrijednostima, tada je ∫ 0 ∞ ( 1 x ∫ 0 x f ( t ) d t ) p d ⁡ x ≤ ( p p − 1 ) p ∫ 0 ∞ f ( x ) p d x . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\operatorname {d} x\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx.} Isto važi ako i samo ako je f(x) = 0 skoro svuda. Hardyjeva nejednakost prvo je objavljena (bez dokaza) 1920. godine u Hardyjevin bilješkama. Originalna formulacija bila je integralna, koja se malo razlikovala od gore nevedenog oblika.