Sinusna teorema
Sinusna teorema a sin ⁡ α = b sin ⁡ β = c sin ⁡ γ = 2 R , {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,} gdje su   a , b , c {\displaystyle \ a,b,c} stranice naspram uglova α , β , γ , {\displaystyle \alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,} u trouglu   A B C , {\displaystyle \ ABC,} a   R {\displaystyle \ R} poluprečnik opisanog kruga. U sfernoj geometriji koristi se sin ⁡ a sin ⁡ A = sin ⁡ b sin ⁡ B = sin ⁡ c sin ⁡ C . {\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}.} Dokaz Oko trougla ABC opisana je kružnica poluprečnika R, na slici desno. C A ′ = 2 R {\displaystyle CA'=2R} je prečnik. Periferni uglovi nad istom tetivom B C = a {\displaystyle BC=a} jednaki, tj. α = ∠ B A C = ∠ B A ′ C , {\displaystyle \alpha =\angle BAC=\angle BA'C,} i periferni ugao ∠ C B A ′ {\displaystyle \angle CBA'} nad prečnikom CA' je prav. U pravouglom trouglu A'BC imamo sin ⁡ α = a 2 R , {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{2R}},} odnosno a sin ⁡ α = 2 R . {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.} Slično dobijamo za uglove β , γ {\displaystyle \beta ,\;\gamma } Teorema Simetrala unutrašnjeg ugla trougla dijeli suprotnu stranicu proporcionalne dijelove naleglim stranicama . Simetrala dijeli ugao S na dva jednaka dijela ∠ A C D = ∠ D C B = ϕ , ( ∠ C = γ = 2 ϕ ) . {\displaystyle \angle ACD=\angle DCB=\phi ,\;(\angle C=\gamma =2\phi ).} Sinusi suplementnih uglova (koji se dopunjavaju do 180°) su jednaki i prema sinusnoj teoremi za trouglove ACD i DBC dobijamo: A D : A C = sin ⁡ ϕ : sin ⁡ θ , D B : C B = sin ⁡ ϕ : sin ⁡ θ . {\displaystyle AD:AC=\sin \phi :\sin \theta ,\quad DB:CB=\sin \phi :\sin \theta .} Otuda je   A D : A C = D B : C B , {\displaystyle \ AD:AC=DB:CB,}