Steinerov problem
Steinerov problem je problem pronalaženja maksimuma funkcije f ( x ) = x 1 / x . {\displaystyle f(x)=x^{1/x}.\,} Problem je dobio naziv po švicarskom matematičaru Jakobu Steineru. Maksimum je u x = e {\displaystyle x=e} , gdje e označava bazu prirodnog logaritma, a to se može odrediti rješavanjem ekvivalentnog problema pronalaženja maksimuma g ( x ) = ln ⁡ f ( x ) = ln ⁡ x x . {\displaystyle g(x)=\ln f(x)={\frac {\ln x}{x}}.} Derivacija od g {\displaystyle g} iznosi g ′ ( x ) = 1 − ln ⁡ x x 2 . {\displaystyle g'(x)={\frac {1-\ln x}{x^{2}}}.} Slijedi da je g ′ ( x ) {\displaystyle g'(x)} pozitivno za 0 < x < e {\displaystyle 0<x<e} , a negativno za x > e {\displaystyle x>e} , što implicira da g ( x ) {\displaystyle g(x)} (kao i f ( x ) {\displaystyle f(x)} ) raste za 0 < x < e {\displaystyle 0<x<e} , a opada za x > e . {\displaystyle x>e.} Kao zaključak, možemo raći da je x = e {\displaystyle x=e} jedinstveni globalni maksimum funkcije f ( x ) . {\displaystyle f(x).}