Alternativni red
U matematici, alternativni red je beskonačni red članova ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a n , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n},} gdje je an ≥ 0 (ili an ≤ 0) za sve n. Konačna suma ove vrste reda naziva se alternativna suma. Alternativni red konvergira ako članovi an konvergiraju u 0 monotono. Greška E, dobijena aproksimacijom alternativnog reda sa njegovom parcijalnom sumom za n članova, data je sa |E|<|an+1|. Dovoljan uslov da red konvergira je da on konvergira apsolutno. Međutim, imamo i potreban uslov za konvergenciju. Na primjer, harmonijski red ∑ n = 0 ∞ 1 n + 1 , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}},} divergira, dok alternativni red ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n + 1 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}} konvergira u prirodni logaritam od 2. Širi test konvergencije alternativnih redova je Leibnizov test: ako niz a n {\displaystyle a_{n}} ponotono opadajući teži nuli, tada red ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n}} konvergira. Parcijalna suma s n = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k a k {\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}a_{k}} može se koristiti zaaproksimiranje sume konvergentnog alternativnog reda. Ako a n {\displaystyle a_{n}} monotono opadajući teži nuli, tada je greška u aproksimaciji manja od a n + 1 {\displaystyle a_{n+1}} . Posljednja opaska i osnova Leibnizovog testa. Uistinu, ako niz a n {\displaystyle a_{n}} monotono opadajući teži ka nuli (barem od neke tačka pa nadalje), može se jednostavno pokazati da niz parcijalnih suma Cauchyjev niz. Pretpostavljajući da je m < n {\displaystyle m<n} , imamo | ∑ k = 0 m ( − 1 ) k a k − ∑ k = 0 n ( − 1 ) k a k | = | ∑ k = m + 1 n ( − 1 ) k a k | = a m + 1 − a m + 2 + a m + 3 − a m + 4 + ⋯ + a n   = a m + 1 − ( a m + 2 − a m + 3 ) − ( a m + 4 − a m + 5 ) − ⋯ − a n < a m + 1 {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|&=&\displaystyle \left|\sum _{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\\ \\&=&\displaystyle a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}<a_{m+1}\end{array}}} (niz koji monotono opada osigurava da je a k − a k + 1 > 0 {\displaystyle a_{k}-a_{k+1}>0} ; primijetite da se mora voditi računa da li je n {\displaystyle n} parno ili neparno, ali ovo ne mijenja zamisao ovog dokaza) Pošto je a m + 1 → 0 {\displaystyle a_{m+1}\rightarrow 0} kada je m → ∞ {\displaystyle m\rightarrow \infty } , niz parcijalnih suma je Cauchyjev niz, tako da je red konvergentan. Pošto gornja procjena ne zavisi od n {\displaystyle n} , to također pokazuje da je | ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k a k − ∑ k = 0 m ( − 1 ) k a k | < a m + 1 . {\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|<a_{m+1}.} Konvergentni alternativni redovi, koji ne konvergiraju apsolutno, su promjeri uslovno konvergentnih redova. Riemannov teorem o redu primijenjuje se kod preraspodjele njihovih članova.