Pitagorine trojke
Pravougli trougao čije su dužine stranica prirodni brojevi zovemo Pitagorin trougao. Uredenu trojku prirodnih brojeva (x, y, z) zovemo Pitagorina trojka ako su x i y katete, a z hipotenuza nekog Pitagorinog trougla, tj. ako vrijedi: x 2 + y 2 = z 2 . {\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}.} Ako su x, y i z relativno prosti, onda kažemo da je (x, y, z) primitivna Pitagorina trojka. Proučavanje Pitagorinih trouglova u uskoj je vezi s diofantskom jednačinom U svakom Pitagorinom trouglu važi dužina bar jedne katete djeljiva je sa 3, dužina bar jedne katete djeljiva je sa 4, dužina bar jedne stranice djeljiva je sa 5. Neka je Pitagorina trojka (x, y, z) primitivna. Uocimo najprije da kvadrat prirodnog broja koji nije djeljiv s 3 pri dijeljenju s 3 daje ostatak 1. ( 3 k + 1 ) 2 = 9 k 2 + 6 k + 1 = 3 ( 3 k 2 + 2 k ) + 1 {\displaystyle (3k+1)^{2}=9k^{2}+6k+1=3(3k^{2}+2k)+1} ( 3 k − 1 ) 2 = 9 k 2 − 6 k + 1 = 3 ( 3 k 2 − 2 k ) + 1 {\displaystyle (3k-1)^{2}=9k^{2}-6k+1=3(3k^{2}-2k)+1} Ako x i y i nisu djeljivi sa 3 , z2 pri dijeljenju sa 3 ima ostatak 2 1 + 1 = 2 {\displaystyle 1+1=2} što je nemoguće jer smo pokazali da kvadrat prirodnog broja pri dijeljenju s 3 daje ostatak 0 ili 1 Pokažimo najprije da kvadrat neparnog broja pri dijeljenju sa 8 daje ostatak 1. Zaista, ( 2 k + 1 ) 2 = 4 k 2 + 4 k + 1 = 4 k ( k + 1 ) + 1 {\displaystyle (2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1=4k(k+1)+1} Broj k ( k + 1 ) {\displaystyle k(k+1)} je paran kao proizvod dva susjedna cijela broja. Odavde odmah slijedi da x i y ne mogu biti oba neparni jer bi u protivnom broj z2 pri dijeljenju sa 8 davao ostatak 2, tj. bio bi paran, a ne bi bio djeljiv sa 4. Dakle, zbog primitivnosti, možemo pretpostaviti da je x neparan, a y paran. Sada je z neparan, pa iz y 2 = z 2 − x 2 {\displaystyle y^{2}=z^{2}-x^{2}} y2 djeljiv sa 8, odnosno y je djeljiv sa 4. 5 k + 1 ) 2 = 25 k 2 + 10 k + 1 = 5 ( 5 k 2 + 2 k ) + 1 {\displaystyle 5k+1)^{2}=25k^{2}+10k+1=5(5k^{2}+2k)+1} ili ( 5 k + 2 ) 2 = 25 k 2 + 20 k + 4 = 5 ( 5 k 2 + 4 k ) + 4 {\displaystyle (5k+2)^{2}=25k^{2}+20k+4=5(5k^{2}+4k)+4} 5 k − 1 ) 2 = 25 k 2 − 10 k + 1 = 5 ( 5 k 2 − 2 k ) + 1 {\displaystyle 5k-1)^{2}=25k^{2}-10k+1=5(5k^{2}-2k)+1} ili ( 5 k − 2 ) 2 = 25 k 2 − 20 k + 4 = 5 ( 5 k 2 − 4 k ) + 4 {\displaystyle (5k-2)^{2}=25k^{2}-20k+4=5(5k^{2}-4k)+4} slijedi da kvadrat cijelog broja pri dijeljenju s 5 može dati ostatak O, 1 ili 4. Pretpostavimo sada da ni x ni y nisu djeljivi sa 5. Brojevi x2 i x2 pri dijeljenju s 5 mogu dati ostatke 1 ili 4, a to znači da broj x 2 + y 2 = z 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}} pri dijeljenju s 5 može dati ostatak 2, 3 ili O. z2 kao kvadrat cijelog broja ne može pri dijeljenju sa 5 dati ostatak 2 ili 3, pa zakljucujemo da je z2 djeljiv s 5. Pitagorine trojke mogu biti 3 uzastopna broja. ( x − 1 ) 2 + x 2 = ( x + 1 ) 2 {\displaystyle (x-1)^{2}+x^{2}=(x+1)^{2}} x 2 − 2 x + 1 + x 2 = x 2 + 2 x + 1 {\displaystyle x^{2}-2x+1+x^{2}=x^{2}+2x+1} x 2 − 4 x = 0 {\displaystyle x^{2}-4x=0} x ( x − 4 ) = 0 => x = 4 {\displaystyle x(x-4)=0=>x=4} Tražena Pitagorina trojka je (3,4,5) Pitagorine trojke mogu biti 3 uzastopna člana aritmetičkog niza ( x − k ) 2 + x 2 = ( x + k ) 2 {\displaystyle (x-k)^{2}+x^{2}=(x+k)^{2}} x 2 − 2 k x + k 2 + x 2 = x 2 + k 2 x + k 2 {\displaystyle x^{2}-2kx+k^{2}+x^{2}=x^{2}+k2x+k^{2}} x 2 − 4 k x = 0 {\displaystyle x^{2}-4kx=0} x ( x − 4 k ) = 0 => x = 4 k {\displaystyle x(x-4k)=0=>x=4k} Tražena Pitagorina trojka je (3k,4k,5k) Sve primitivne Pitagorine trojke (x,y,z) kojima je y paran, date su formulama: x = m 2 − n 2 {\displaystyle x=m^{2}-n^{2}} y = 2 m n {\displaystyle y=2mn} z = m 2 + n 2 {\displaystyle z=m^{2}+n^{2}} gdje je m > n {\displaystyle m>n} i m, n su relativno prosti brojevi različite parnosti. x 2 + y 2 = z 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}} y 2 = ( z + x ) ( z − x ) {\displaystyle y^{2}=(z+x)(z-x)} Neka je : y = 2 c {\displaystyle y=2c} . Brojevi z + x {\displaystyle z+x} i z − x {\displaystyle z-x} su parni pa postoje pa postoje prirodni brojevi a i b takvi da je z + x = 2 a {\displaystyle z+x=2a} i z − x = 2 b {\displaystyle z-x=2b} 4 c 2 = 4 a b => c = a b {\displaystyle 4c^{2}=4ab=>c=ab} Kako su z = a + b {\displaystyle z=a+b} i x = a − b {\displaystyle x=a-b} to su a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} relativno prosti. Prema tome postoje relativno prosti prirodni brojevi m {\displaystyle m} i n {\displaystyle n} takvi da je a = m 2 {\displaystyle a=m^{2}} i b = n 2 {\displaystyle b=n^{2}} pa je x = m 2 − n 2 {\displaystyle x=m^{2}-n^{2}} y = 2 m n {\displaystyle y=2mn} z = m 2 + n 2 {\displaystyle z=m^{2}+n^{2}} Brojevi m i n ne mogu biti oba parni jer su relativno prosti i ne mogu biti oba neparni jer je x = m 2 − n 2 {\displaystyle x=m^{2}-n^{2}} neparan. Prema tome, brojevi m i n su različite parnosti. ( m 2 − n 2 ) 2 + ( 2 m n ) 2 = ( m 2 + n 2 ) 2 . : {\displaystyle (m^{2}-n^{2})2+(2mn)^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}.:} ( m 4 − 2 m 2 n 2 + m 4 + 4 m 2 n 2 = m 4 + 2 m 2 n 2 + n 4 = ( m 2 + n 2 ) 2 {\displaystyle (m^{4}-2m^{2}n^{2}+m^{4}+4m^{2}n^{2}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}=(m^{2}+n^{2})^{2}} Treba provjeriti da su relativno prosti. Pretpostavimo da brojevi x {\displaystyle x} i y {\displaystyle y} imaju zajednički faktor d > 1 , d je neparan d / ( m 2 + n 2 ) − ( m 2 − n 2 ) = 2 n 2 {\displaystyle d/(m^{2}+n^{2})-(m^{2}-n^{2})=2n^{2}} Ovo je u kontradikciji s pretpostavkom da su m i n pa i m2 i n2 relativno prosti. Sve Pitagorine trojke date su identitetom ( d ( m 2 − n 2 ) ) 2 + ( 2 d m n ) 2 = ( d ( m 2 + n 2 ) ) 2 {\displaystyle (d(m^{2}-n^{2}))^{2}+(2dmn)^{2}=(d(m^{2}+n^{2}))^{2}} Sve Pitagorine trojke čiji su članovi manji od 51 su Ima ih 20 ako trojke ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} i ( y , x , z ) {\displaystyle (y,x,z)} smatramo jednakima. Među njima je 7 primitivnih. Broj P h ( n ) {\displaystyle P_{h}(n)} primitivnih Pitagorinih trokuta s hipotenuzom ≤ n {\displaystyle \leq n} približno jednak n 2 π {\displaystyle {\frac {n}{2\pi }}} lim n → ∞ P h ( n ) n = π {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P_{h}(n)}{n}}=\pi }