Hipoteza kontinuuma
U matematici, hipoteza kontinuuma je hipoteza o mogućim veličinama beskonačnih skupova. Georg Cantor je uveo koncept kardinalnosti kako bi usporedio veličine beskonačnih skupova, i pokazao je da je skup cijelih brojeva strogo manji od skupa realnih brojeva. Hipoteza kontinuuma tvrdi sljedeće: Ne postoji skup čija je veličina strogo između veličine skupa cijelih brojeva i veličine skupa realnih brojeva. Ili matematički rečeno, ako uzmemo da je kardinalnost skupa cijelih brojeva | Z | {\displaystyle |\mathbb {Z} |} jednaka ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} (alef-nula) a kardinalnost realnih brojeva | R | {\displaystyle |\mathbb {R} |} jednaka 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} , hipoteza kontinuuma glasi: ∄ A : ℵ 0 < | A | < 2 ℵ 0 . {\displaystyle \nexists \mathbb {A} :\aleph _{0}<|\mathbb {A} |<2^{\aleph _{0}}.} Ovo je ekvivalentno sa: 2 ℵ 0 = ℵ 1 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}} Realni se brojevi također nazivaju kontinuumom, pa otuda dolazi ime. Postoji i poopćena hipoteza kontinuuma, koja glasi: Za sve ordinale α {\displaystyle \alpha } , 2 ℵ α = ℵ α + 1 {\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}