Implicitna kriva
U matematici, implicitna kriva je ravanska kriva definirana implicitnom jednadžbom koja povezuje dvije koordinatne varijable, obično x i y . Naprimjer, jedinični krug je definiran implicitnom jednadžbom x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} . Općenito, svaka implicitna kriva je definirana jednadžbom oblika: F ( x , y ) = 0 {\displaystyle F(x,y)=0} za neku funkciju F od dvije varijable. Stoga se implicitna kriva može smatrati skupom nula funkcije dvije varijable. Implicitno znači da jednačina nije izražena kao rješenje ni za x u terminima y ili obrnuto. Ako je F ( x , y ) {\displaystyle F(x,y)} polinom u dvije varijable, odgovarajuća kriva se naziva algebarska kriva, a za proučavanje su dostupne specifični metodi. Ravne krive se mogu predstaviti u Kartezijanskim koordinatama (x, y koordinate) bilo kojim od tri metoda, od kojih je jedna implicitna jednačina data gore. Grafikon funkcije se obično opisuje jednadžbom y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} u kojoj je eksplicitno naveden funkcionalni oblik; ovo se zove "eksplicitna" reprezentacija. Treći osnovni opis krive je parametrijska, gdje su x- i y-koordinate tačaka krive predstavljene sa dvije funkcije x(t), y(t) čije su obje funkcionalne forme eksplicitno navedene i koje zavise od zajedničkog parametra t . {\displaystyle t.} Primjeri implicitnih krivulja uključuju: pravu: x + 2 y − 3 = 0 , {\displaystyle x+2y-3=0,} krug: x 2 + y 2 − 4 = 0 , {\displaystyle x^{2}+y^{2}-4=0,} polukubna parabola: x 3 − y 2 = 0 , {\displaystyle x^{3}-y^{2}=0,} Cassinijeve ovale ( x 2 + y 2 ) 2 − 2 c 2 ( x 2 − y 2 ) − ( a 4 − c 4 ) = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})-(a^{4}-c^{4})=0} (vidi dijagram), sin ⁡ ( x + y ) − cos ⁡ ( x y ) + 1 = 0 {\displaystyle \sin(x+y)-\cos(xy)+1=0} (vidi dijagram). Prva četiri primjera su algebarske krive, ali posljednji nije algebarski. Prva tri primjera posjeduju jednostavne parametarske reprezentacije, što nije tačno za četvrti i peti primjer. Peti primjer pokazuje eventualno komplikovanu geometrijsku strukturu implicitne krive. Teorema o implicitnoj funkciji opisuje uslove pod kojima se jednadžba F ( x , y ) = 0 {\displaystyle F(x,y)=0} može riješiti implicitno za x i/ili y' ' – odnosno pod kojim se može valjano pisati x = g ( y ) {\displaystyle x=g(y)} or y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} . Ova teorema je ključ za izračunavanje bitnih geometrijskih karakteristika krive: tangentas, normale i zakrivljenost. U praksi implicitne krive imaju suštinski nedostatak: njihova vizualizacija je teška. Ali postoje kompjuterski programi koji omogućavaju prikaz implicitne krive. Posebna svojstva implicitnih krivulja čine ih osnovnim alatima u geometriji i kompjuterskoj grafici. Implicitna kriva sa jednadžbom F ( x , y ) = 0 {\displaystyle F(x,y)=0} može se smatrati kao krivulja nivoa nivoa 0 površine z = F ( x , y ) {\displaystyle z=F(x,y)} (vidi treći dijagram).