Cauchyjev test kondenzacije
U matematici, Cauchyjev test kondenzacije je standarni test konvergencije za beskonačne redove. Za pozitivni, monotono opadajući niz f(n), suma ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)} konvergira ako i samo ako suma ∑ n = 0 ∞ 2 n f ( 2 n ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})} konvergira. Staviše, u tom slučaju imamo ∑ n = 1 ∞ f ( n ) < ∑ n = 0 ∞ 2 n f ( 2 n ) < 2 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)<\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})<2\sum _{n=1}^{\infty }f(n).} Geometrijsko značenje je to da se aproksimira suma sa trapezoidima kod svakog 2 n {\displaystyle 2^{n}} . Drugo objašnjenje je da je, sa analogijom između konačnih suma i integrala, "kondenzacija" članova analogna sa substitucijom teksponencijalne funkcije. Ovo postaje jasnije u primjeru kao što je   f ( n ) = n − a ( log ⁡ n ) − b ( log ⁡ log ⁡ n ) − c , {\displaystyle \ f(n)=n^{-a}(\log n)^{-b}(\log \log n)^{-c},} . Ovdje red definitivno konvergira za a > 1, a divergira za a < 1. Kada je a = 1, kondenzaciona trnsformacija daje red ∑ n − b ( log ⁡ n ) − c {\displaystyle \sum n^{-b}(\log n)^{-c}} Logaritmi se "pomijeraju u lijevo". Tako, kada imamo da je a = 1, imamo da red konergira za b > 1, a za b < 1 red divergira. Kada jeb = 1, isto važi za vrijednost c.