Brocardove tačke
U geometriji Brocardove tačke su posebne tačke u okviru jednog trougla. Ime su dobile po francuskom matematičaru Henriju Brocardu (1845–1922). U trouglu A B C {\displaystyle ABC} tačka P je prva Brocardova tačka ako važi da su uglovi između duži A P {\displaystyle AP} , B P {\displaystyle BP} i C P {\displaystyle CP} i stranica c {\displaystyle c} , a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} redom, jednaki, tj. ∡ P A B = ∡ P B C = ∡ P C A = ω {\displaystyle \measuredangle PAB=\measuredangle PBC=\measuredangle PCA=\omega } Tačka P je prva Brocardova tačka u trouglu A B C {\displaystyle ABC} , a ugao ω {\displaystyle \omega } Brokardov ugao trougla. Postoji i druga Brocardova tačka Q {\displaystyle Q} , trougla A B C {\displaystyle ABC} takva da su jednaki uglovi između duži A Q {\displaystyle AQ} , B Q {\displaystyle BQ} , C Q {\displaystyle CQ} i stranica b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} i a {\displaystyle a} redom, tj. ∡ Q C B = ∡ Q B A = ∡ Q C A = ω {\displaystyle \measuredangle QCB=\measuredangle QBA=\measuredangle QCA=\omega } Teorema Za svaki trougao postoje prva i druga Brocardova tačka. Dokaz Pretpostavimo da je T tačka takva da važi ∡ T A B = ∡ T B C = X {\displaystyle \measuredangle TAB=\measuredangle TBC=X} tada je ∡ T B A = ∡ B − X => ∡ B T A = 180 − ∡ B {\displaystyle \measuredangle TBA=\measuredangle B-X=>\measuredangle BTA=180-\measuredangle B} Dobijamo da tačka T pripada geometrijskom mjestu tačaka, tj. ona je na luku pod kojim se duž A B {\displaystyle AB} vidi pod istim uglom. Nacrtajmo cijelu kružnicu koja prolazi kroz tačke A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , T {\displaystyle T} . To je C c {\displaystyle C_{c}} . Na isti način nacrtajmo kružnicu C a {\displaystyle C_{a}} . Izabereno tačku U tako da važi: ∡ U B C = ∡ U C A {\displaystyle \measuredangle UBC=\measuredangle UCA} U presjeku ove dvije kružnice dobijamo prvu Brocardovu tačku, jer za presječnu tačku P {\displaystyle P} važi: ∡ P A B = ∡ = P B C = ∡ P C A {\displaystyle \measuredangle PAB=\measuredangle =PBC=\measuredangle PCA} Drugu Brocardovu tačku nalazimo analogno Za Brocardov ugao ω važi jednakost: c o t ω = c o t ∡ A + c o t ∡ B + c o t ∡ C {\displaystyle cot\omega =cot\measuredangle A+cot\measuredangle B+cot\measuredangle C} Dokaz Obilježimo sa P Brocardovu tačku trougla A B C {\displaystyle ABC} . Iz sinusne teoreme dobijamo da važi: C P s i n ( A − ω = A C s i n ( ∡ A P C {\displaystyle {\frac {CP}{sin(A-\omega }}={\frac {AC}{sin(\measuredangle APC}}} i C P s i n ω = B C s i n ∡ B P C {\displaystyle {\frac {CP}{sin\omega }}={\frac {BC}{sin\measuredangle BPC}}} Iz ranije dokazanog ∡ A P C = 180 − ∡ A {\displaystyle \measuredangle APC=180-\measuredangle A} i ∡ B P C = 180 − ∡ C {\displaystyle \measuredangle BPC=180-\measuredangle C} Dijeljenjem prve jednačine drugom dobijamo da je s i n ω s i n ( A − ω ) = A C B C s i n ∡ C s i n ∡ A => {\displaystyle {\frac {sin\omega }{sin(A-\omega )}}={\frac {AC}{BC}}{\frac {sin\measuredangle C}{sin\measuredangle A}}=>} s i n ( A − ω ) = a b s i n ∡ A s i n ∡ C {\displaystyle sin(A-\omega )={\frac {a}{b}}{\frac {sin\measuredangle A}{sin\measuredangle C}}} Iz sinusne teoreme znamo da važi a b = s i n ∡ A s i n ∡ B => s i n ( A − ω ) = ( s i n ∡ A ) 2 ω s i n ∡ B ∡ C {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {sin\measuredangle A}{sin\measuredangle B}}=>sin(A-\omega )={\frac {(sin\measuredangle A)^{2}\omega }{sin\measuredangle B\measuredangle C}}} s i n ( A − ω ) = s i n ∡ A c o s ω − c o s ∡ a s i n ω {\displaystyle sin(A-\omega )=sin\measuredangle Acos\omega -cos\measuredangle asin\omega } s i n ∡ A c o s ω − c o s ∡ a s i n ω = ( s i n ∡ A ) 2 ω s i n ∡ B ∡ C {\displaystyle sin\measuredangle Acos\omega -cos\measuredangle asin\omega ={\frac {(sin\measuredangle A)^{2}\omega }{sin\measuredangle B\measuredangle C}}} Daljnjim sređivanjem dobijamo traženo tvrđenje. Teorema Važi: c o t ω = s 2 + b 2 + c 2 4 P {\displaystyle cot\omega ={\frac {s^{2}+b^{2}+c^{2}}{4P}}} , gdje je P površina trougla A B C {\displaystyle ABC} .