Keplerov trougao
Keplerov trougao je pravougli trougao kod koga dužine stranica čine geometrijski niz. Njihova razmjera je u vezi sa zlatnim presjekom. φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}} Može se napisati u obliku 1 : φ : φ {\displaystyle 1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi } , što je isto kao 1 : 1.272 : 1.618 {\displaystyle 1:1.272:1.618} . Trouglovi s ovakvom razmjerom dobili su ime po njemačkom matematičaru i astronomu Johannes Kepleru(1571-1630), koji je prvi pokazao da taj trougao karakteriše zlatna razmjera. Keplerov trougao je kombinicuja dva ključna matematička pojma Pitagorine teoreme i zlatnog presjeka što je fasciniralo Keplera. To se vidi iz citata: Geometrija ima dva blaga: jedno od njih je Pitagorina teorema, a drugo je zlatni presjek. Prvo se može porediti sa vrijednošću zlata, a drugo sa vrijednim draguljem. Kepler zlatni presjek naziva i božanstvenom proporcijom (kao Luka Pačoli), ali i neprekidnom proporcijom. Da je trougao sa straniacama 1 {\displaystyle 1} , φ {\displaystyle {\sqrt {\varphi }}} i φ {\displaystyle \varphi } , pravougli proizlazi iz definicije kvadratnogpolinoma za zlatni presjek φ 2 = φ + 1 {\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1} u obliku Pitagorine teoreme ( φ ) 2 = ( φ ) 2 + ( 1 ) 2 . {\displaystyle (\varphi )^{2}=({\sqrt {\varphi }})^{2}+(1)^{2}.}