Logaritamska distribucija
Šablon:Logaritamska distribucija U vjerovatnoći i statistici, logaritamska distribucija (također poznata kao distribucija logaritamskih serija ili distribucija log-serije) je diskretna distribucija vjerovatnoće izvedena iz ekspanzije Maclaurinove serije: − ln ⁡ ( 1 − p ) = p + p 2 2 + p 3 3 + ⋯ . {\displaystyle -\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .} Iz ovoga dobijamo identitet ∑ k = 1 ∞ − 1 ln ⁡ ( 1 − p ) p k k = 1. {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.} Ovo vodi direktno do funkcije mase vjerovatnoće Log(p)-distribuirane slučajnom varijaclom: f ( k ) = − 1 ln ⁡ ( 1 − p ) p k k {\displaystyle f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}} za k ≥ 1, i gdje je 0 < p < 1. Zbog gore navedenog identiteta, distribucija je pravilno normalizirana. Funkcija kumulativne distribucije je F ( k ) = 1 + B ( p ; k + 1 , 0 ) ln ⁡ ( 1 − p ) {\displaystyle F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}} gdje je B nepotpuna beta funkcija. Poissonov spoj sa Log(p)-distribuiranim slučajnim varijablama ima negativnu binomnu distribuciju. Drugim riječima, ako je N slučajna varijabla sa Poissonovom distribucijom, a Xi, i = 1, 2, 3, ... je beskonačan niz nezavisnih identično raspoređenih slučajnih varijabli od kojih svaka ima Log(p) distribuciju, tada ∑ i = 1 N X i {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}X_{i}} ima negativnu binomnu distribuciju. Na ovaj način, negativna binomna distribucija se vidi kao složena Poissonova distribucija. R. A. Fisher opisao je logaritamsku distribuciju u radu koji ju je koristio za modeliranje relativne brojnosti vrsta.