Površ
Površ je dvoparametarski skup tačaka u prostoru, tj. skup tačaka prostora čije su koordinate funkcije dva parametra u i v. Naprimjer, funkcije krivolinijskih koordinata tačke na površi. U ovom se pretpostavlja da ove funkcije imaju izvode do nekog reda. Ako su u i v krivolinijske koordinate na površi, onda se površ može odrediti jednačinama: x = x ( u , v ) , y = y ( u , v ) , z = z ( u , v ) , {\displaystyle x=x(u,v),\;y=y(u,v),\;z=z(u,v),} gdje su x {\displaystyle x} , y , {\displaystyle y,} z {\displaystyle z} diferencijabilne skalarne funkcije. odnosno r ( u , v ) = x ( u , v ) i + y ( u , v ) j + z ( u , v ) k {\displaystyle r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k} gdje su x {\displaystyle x} , y , {\displaystyle y,} z {\displaystyle z} realne funkcije klase C 1 ( U ) {\displaystyle C^{1}(U)} tj. imaju neprekidne prve parcijalne derivacije na U {\displaystyle U} . koje se nazivaju parametarske jednačine površi. Površ drugog reda je skup svih tacaka trodimenzionalnog prostora koje zadovoljavaju jednačinu A x 2 + B y 2 + C z 2 + D x y + E x z + F y z + G x + H y + I z + K = 0 {\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+K=0} za bar jedan A , B , C , D , E ≠ 0 {\displaystyle A,B,C,D,E\neq 0} tj. u formuli postoji barem jedan netrivijalni nelinearni član. primjer sfera O(R) se može odrediti parametarskim jednačinama: x = R cos ⁡ u cos ⁡ v , y = R cos ⁡ u sin ⁡ v , z = R sin ⁡ u , {\displaystyle x=R\cos u\cos v,\quad y=R\cos u\sin v,\quad z=R\sin u,} gdje je u širina, v dužina tačke na sferi. Eliminisanjem (isključenjem) u i v iz ovih jednačina dobija se poznata jednačina sfere: x 2 + y 2 + z 2 = R 2 . {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.\,} Jednačina sfere(loptine površi) radijusa r {\displaystyle r} s centrom u tački ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} data je sa ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 = r 2 {\displaystyle \displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}} Ovom formulom su zadane dvijefunkcije dvije varijable: z = f 1 ( x , y ) = z 0 + r 2 − ( x − x 0 ) 2 − ( y − y 0 ) 2 {\displaystyle z=f_{1}(x,y)=z_{0}+{\sqrt {r^{2}-(x-x_{0})^{2}-(y-y_{0})^{2}}}} z = f 2 ( x , y ) = z 0 − r 2 − ( x − x 0 ) 2 − ( y − y 0 ) 2 {\displaystyle z=f_{2}(x,y)=z_{0}-{\sqrt {r^{2}-(x-x_{0})^{2}-(y-y_{0})^{2}}}} Nivo-površi sfere (presjeci s ravnima paralelnim s x y {\displaystyle xy} ravni) i presjeci s ravnima paralelnim s x z {\displaystyle xz} i y z {\displaystyle yz} ravnima su kruznice. Jednačina površi se može zadati i u drugim oblicima, naprimjer, u obliku: f ( x , y , z ) = 0 , {\displaystyle f(x,y,z)=0,\,} ili z = f ( x , y ) . {\displaystyle z=f(x,y).\,}