Cauchyjev granični uvjet
U matematici, Cauchyjev granični uvjet nametnut običnim ili parcijalnim diferencijalnim jednačinama specificira obje vrijednosti, rješenje diferencijalne jednačine na granici domena i derivacije pravca na granicama. Ovaj uvjet odgovara nametanju Dirichletovog i Neumannovog graničnog uvjeta. Dobio je naziv po francuskom matematičaru iz 19. vijeka, Augustinu Louisu Cauchyju. Cauchyjev granični uvjet može se razumjeti pomoću teorije drugog reda, obične diferencijalne jednačine, gdje, da bismo imali određeno rješenje, moramo imati specifične vrijednosti funkcije i vrijednost derivacije u datoj početnoj ili graničnoj tački, npr. y ( a ) = α   , {\displaystyle y(a)=\alpha \ ,} i y ′ ( a ) = β   . {\displaystyle y'(a)=\beta \ .} gdje je a   {\displaystyle a\ } granična ili početna tačka. Cauchyjevi granični uvjeti su generalizacija ovih vrsta uvjeta. Prisjetimo se pojednostavljenog oblika pisanja parcijalnih derivacija: u x = ∂ u ∂ x   {\displaystyle u_{x}={\partial u \over \partial x}\ } u x y = ∂ 2 u ∂ y ∂ x   {\displaystyle u_{xy}={\partial ^{2}u \over \partial y\,\partial x}\ } i definirajmo sada jednostavnu, parcijalnu diferencijalnu jednačinu drugog reda: ψ x x + ψ y y = ψ ( x , y )   {\displaystyle \psi _{xx}+\psi _{yy}=\psi (x,y)\ } Imamo dvodimenzionalni domen, čija je granica linija, koja se može opisati sljedećim parametarskim jednačinama: x = ξ ( s )   {\displaystyle x=\xi (s)\ } y = η ( s )   {\displaystyle y=\eta (s)\ } Odavde, na sličan način, kao i za obične diferencijalne jednačine drugog reda, moramo saznati vrijednost funkcije u granicama i njenu derivaciju normale kako bismo riješili parcijalnu diferencijalnu jednačinu, tj. obje jednačine, ψ ( s )   {\displaystyle \psi (s)\ } , kao i d ψ d n ( s ) = n ⋅ ∇ ψ   {\displaystyle {\frac {d\psi }{dn}}(s)=\mathbf {n} \cdot \nabla \psi \ } određene su u svakoj tački granice domena date parcijalne diferencijalne jednačine, gdje je ∇ ψ ( s ) {\displaystyle \nabla \psi (s)\,} gradijent funkcije.