Leibnizov test za alternativne redove
Leibnizov test za alternativne redove je metoda koja se koristi za dokazivanje beskonačni redovi konvergiraju. Otkrio je Gottfried Leibniz. Red oblika ∑ n = 1 ∞ a n ( − 1 ) n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}\!} gdje su svi an pozitivni ili 0, naziva se alternativni red. Ako niz an konvergira u 0, te ako je svaki an manji od an-1 (npr. red an je monotono opadajući), tada red konvergira. Ako je L suma reda, ∑ n = 1 ∞ a n ( − 1 ) n = L {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}=L\!} tada parcijalna suma S k = ∑ n = 1 k a n ( − 1 ) n {\displaystyle S_{k}=\sum _{n=1}^{k}a_{n}(-1)^{n}\!} približna sumi L sa greškom od | S k − L | ≤ | S k − S k − 1 | = a k {\displaystyle \left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k-1}\right\vert =a_{k}\!} Jasno je da je moguće za red da njegove parcijalne sume Sk ispunjavaju ovaj posljednji uslov bez da red bude alternativni. Na primjer, imamo red: ∑ n = 1 ∞ ( 1 3 ) n = 1 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3}}\right)^{n}={\frac {1}{2}}\!}