Hipocikloida
Hipocikloidu opisuje tačka na kružnici koja se, bez trenja kotrlja sa unutrašnje strane druge kružnice. Pretpostavimo da se po unutrašnjosti kružnice K 0 {\displaystyle K_{0}} poluprečnika a kotrlja bez trenja kružnica K {\displaystyle K} poluprecnika b, b < a {\displaystyle b<a} . Neka je koordinatni početak u centru kružnice K 0 {\displaystyle K_{0}} . Kružnicu K {\displaystyle K} ćemo postaviti tako da dodiruje kružnicu K 0 {\displaystyle K_{0}} sa unutrašnje strane u tački Q {\displaystyle Q} presjeka sa x osom. Posmatrajmo putanju koju opisuje tačka Q {\displaystyle Q} kada se kružnica K {\displaystyle K} ravnomjerno kotrlja u smjeru suprotnom kretanju kazaljke na satu. Pretpostavimo da je Q {\displaystyle Q} poslije vremena t ta tačka prešla u tačku M ( x , y {\displaystyle M(x,y} ). Uslov da je kotrljanje bez trenja, znaći da je dužina a θ {\displaystyle a\theta } luka kružnice K {\displaystyle K} jednaka dužini luka kružnice K 0 {\displaystyle K_{0}} . Odnosno a θ = a ( θ + φ ) {\displaystyle a\theta =a(\theta +\varphi )} Ako se kružnica K {\displaystyle K} ravnomjerno kotrlja onda je pređeni put proporcionalan vremenu t. Tj. a θ = k t {\displaystyle a\theta =kt} pri ćemu je k brzina kotrljanja. Dakle, ako uzmemo da se kružnica K {\displaystyle K} kotrlja za a dužnih jedinica u jedinici vremena dobijamo θ = t {\displaystyle \theta =t} pa se ugao θ {\displaystyle \theta } može tretirati kao vrijeme. Odredimo sada koordinate tačke M u koordinantnom sistemu xy. Koordinate centra kružnice na kojoj se nalazi tačka M su: ( ( a − b ) c o s θ , ( a − b ) s i n θ ) {\displaystyle ((a-b)cos\theta ,(a-b)sin\theta )} Postavimo koordinatni sistem uv tako da mu koordinatni početak bude u centru te kružnice K, a koordinatne ose paralelne sa x odnosno sa y osom. U tom koordinatnom sistemu koordinate u i v tačke M su : u = b c o s ( 2 π − φ ) = b c o s φ {\displaystyle u=bcos(2\pi -\varphi )=bcos\varphi } v = b s i n ( 2 π − φ ) = − b s i n φ {\displaystyle v=bsin(2\pi -\varphi )=-bsin\varphi } Iz a θ = a ( θ + φ ) {\displaystyle a\theta =a(\theta +\varphi )} dobijamo x = ( a − b ) c o s θ + b c o s ( a − b b θ ) {\displaystyle x=(a-b)cos\theta +bcos({\frac {a-b}{b}}\theta )} y = ( a − b ) s i n θ − b s i n ( a − b b θ ) {\displaystyle y=(a-b)sin\theta -bsin({\frac {a-b}{b}}\theta )} Neka je a : b {\displaystyle a:b} cio broj, odnosno a : b = s {\displaystyle a:b=s} , možemo pričati o dužini luka i površini hipocikloide. Duzina luka hipocikloide je duzina svodova , tj dužina krive koju opise posmatrana tačka dok ne stigne do početnog polozaja. Površina hipocikloide je površina koja je ograničena sa uzastopnim svodovima hipocikloide .