Binomni red
U matematici, binomni red je čista generalizacija algebarske formule binomnog teorema za kompleksne vrijednosti od α. To je specijalni slučaj Newtonovog reda. Binomni red je red ( 1 + x ) α = ∑ k = 0 ∞ ( α k ) x k {\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\alpha \choose k}\;x^{k}} gdje je α kompleksan broj i gdje je ( α k ) = α ( α − 1 ) ( α − 2 ) ⋯ ( α − k + 1 ) k ! {\displaystyle {\alpha \choose k}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}} (generalizovani) binomni koeficijent (ako je α nenegativan cijeli broj, tada (α + 1)-ti član i svi slijedeći članovi su nula, pošto svaki sadrži faktor oblika (α − α): zbog toga, u tom slučaju, sumiranje se svodi na algebarsku binomnu formulu). Slijedeće vrijedi za svaki kompleksan broj α: ( α 0 ) = 1 , {\displaystyle {\alpha \choose 0}=1,} ( α k + 1 ) = ( α k ) α − k k + 1 , ( 1 ) {\displaystyle {\alpha \choose k+1}={\alpha \choose k}\,{\frac {\alpha -k}{k+1}},\qquad \qquad (1)} ( α k − 1 ) + ( α k ) = ( α + 1 k ) . ( 2 ) {\displaystyle {\alpha \choose k-1}+{\alpha \choose k}={\alpha +1 \choose k}.\qquad \qquad (2)} Kada α nije prirodan broj, korisna asimptotska veza za binomni koeficijent je, prema tzv. veliko O notaciji: ( α k ) = ( − 1 ) k Γ ( − α ) k 1 + α ( 1 + o ( 1 ) ) = O ( 1 k 1 + R e ( α ) ) , ( 3 ) {\displaystyle {\alpha \choose k}={\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (-\alpha )k^{1+\alpha }}}\,(1+o(1))=\;O\left({\frac {1}{k^{1+Re(\alpha )}}}\right),\qquad \qquad (3)} kada k → ∞ {\displaystyle k\to \infty \;} , što je, u suštini, jednako Eulerovoj definiciji gama funkcije, koja je data preko formule Γ ( z ) = lim k → ∞ k ! k z z ( z + 1 ) ⋯ ( z + k ) . {\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {k!\;k^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+k)}}.\,\qquad } Prve rezultate o konvergenciji binomnog reda dao je Sir Isaac Newton, te se zbog toga pinekad naziva i Newtonov binomni teorem. Kasnije, Niels Henrik Abel se, također, bavio ovom problematikom.