Ugao između pravih
Neka prave a,b čine uređen par (a,b). Ako su one orjentisane prave onda za ugao između njih uzimamo ugao koji čine poluprave h, k tih pravih i koje imaju smjer pravi a, b. Ako su prave a i b razlićite prave one čine 4 konveksna ugla, od kojih su dva i dva unakrsna i jednaka ugla. Oni se dopunjavaju. Uglom između pravih smatramo bilo koji od ta dva ugla. Ugao između pravih p i q definišemo kao oštar ugao između njihovih normalnih vektora, tj. ∠ ( p , q ) = a r c c o s ∣ p → q → ∣ ∣ p → ∣∣ q → ∣ {\displaystyle \angle (p,q)=arccos{\frac {\mid {\overrightarrow {p}}{\overrightarrow {q}}\mid }{\mid {\overrightarrow {p}}\mid \mid {\overrightarrow {q}}\mid }}} Neka su date 2 prave p 1 {\displaystyle p_{1}} i p 2 {\displaystyle p_{2}} i neka su njihove jednačine: y = k 1 x + n 1 {\displaystyle y=k_{1}x+n_{1}} y = k 2 x + n 2 {\displaystyle y=k_{2}x+n_{2}} ugao φ {\displaystyle \varphi } između pravih p 1 {\displaystyle p_{1}} i p 2 {\displaystyle p_{2}} određen je sa t g φ = k 2 − k 1 1 + k 1 k 2 {\displaystyle tg\varphi ={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}} Ako je 1 + k 1 k 2 = 0 {\displaystyle 1+k_{1}k_{2}=0} prave su normalne tj φ = ± 90 o {\displaystyle \varphi =\pm 90^{o}} tj uslov normalnosti je k 1 = − 1 k 2 {\displaystyle k_{1}=-{\frac {1}{k_{2}}}} Prave A 1 x + B 1 y + C 1 {\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}} i A 2 x + B 2 y + C 2 {\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}} sijeku se u tački x = B 1 C 2 − B 2 C 1 A 1 B 2 − A 2 B 1 = b 1 − b 2 k 2 − k 1 , y = C 1 A 2 − C 2 A 1 A 1 B 2 − A 2 B 1 = k 2 b 1 − k 1 b 2 k 2 − k 1 . {\displaystyle x={\frac {B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {b_{1}-b_{2}}{k_{2}-k_{1}}},\quad y={\frac {C_{1}A_{2}-C_{2}A_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {k_{2}b_{1}-k_{1}b_{2}}{k_{2}-k_{1}}}.} Ugao koji čine te 2 prave definisan je formulom t g φ = A 1 B 2 − A 2 B 1 A 1 A 2 + B 1 B 2 = k 2 − k 1 1 + k 1 k 2 . {\displaystyle \mathrm {tg} \varphi ={\frac {A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}{A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}}}={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}.} Zadane prave su paralelne ako je A 1 B 2 − A 2 B 1 = 0 {\displaystyle A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0} ili k 1 = k 2 {\displaystyle k_{1}=k_{2}} , normalne ako je A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 {\displaystyle A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0} ili k 1 = − 1 k 2 {\displaystyle k_{1}=-{\frac {1}{k_{2}}}} . Prave koje prolaze kroz tačku M 0 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0})} i sa pravom A x + B y + C = 0 {\displaystyle Ax+By+C=0} obrazuju ugao γ {\displaystyle \gamma } imaju jednačinu y − y 0 = B t g γ − A B t g γ + A ( x − x 0 ) {\displaystyle y-y_{0}={\frac {Btg\gamma -A}{Btg\gamma +A}}(x-x_{0})} y − y 0 = B t g γ + A B t g γ − A ( x − x 0 ) {\displaystyle y-y_{0}={\frac {Btg\gamma +A}{Btg\gamma -A}}(x-x_{0})}