Theorema fundamentale algebrae
Theorema fundamentale algebrae dicit quodque unius variabilis polynomium (nisi constans) cum coefficientibus complexis radicem complexum habere. Ex hoc sequitur quodque polynomium nti gradus P ( z ) = a n z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 z 1 + a 0 {\displaystyle P(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z^{1}+a_{0}} n factores primi gradus (i.e. lineares) habere: P ( z ) = a n ( z − z 1 ) ⋯ ( z − z n ) . {\displaystyle P(z)=a_{n}(z-z_{1})\cdots (z-z_{n}).} Radix quaedam potest plus quam unus factor polynomium repraesentare; tunc dicimus radicem duplicem vel multiplicem esse. Exempli gratia, f ( x ) = x 3 + 2 x 1 − 7 x + 4 = ( x + 4 ) ( x − 1 ) 2 {\displaystyle f(x)=x^{3}+2x^{1}-7x+4=(x+4)(x-1)^{2}} Aequatio f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} habet solutiones x = –4 et x = –1, hic autem bis in solutione init quod (x – 1) est bis factor. Duae ergo trium radicum huius polynomii eaedem sunt. Theorema fundamentale algebrae similis est theoremati fundamentali arithmeticae quia ambo de factoribus tractunt: theorema fundamentale arithmeticae dicit numerum integerum factores primos habere, et hoc theorema dicit polynomium factores lineares habere. Corpus numerorum rationalium non est plenum: polynomium x 2 − 2 {\displaystyle x^{2}-2} nullam radicem hoc in corpore habet. Nec corpus realium: x 2 + 4 {\displaystyle x^{2}+4} nullam radicem realem habet. Corpus numerorum algebraicorum autem plenum est, per definitionem: est corpus rationalium una cum omnibus radicibus omnium aequationum polynomiorum quae coefficientes rationales habent. Corpus numerorum complexorum non modo plenum algebraicum verum etiam plenum spatium topologicum est. Anno 1799, Carolus Fridericus Gauss in thesi doctrorali demonstrationem therematis publicavit. Demonstratio theorematis non algebraica sed topologica est. Re vera non potest esse demonstratio algebraica huius theorematis quia de continuitate tractat.