Relatio (mathematica)
Relatio, in mathematica, rectius relatio binaria, est copia parium ordinatorum. Est notio magis generalis quam functio: relatio est quaelibet copia parium ordinatorum, sed functio est copia F ubi si ( x , y ) ∈ F ∧ ( x , z ) ∈ F {\displaystyle (x,y)\in F\land (x,z)\in F} , tunc y = z {\displaystyle y=z} . Hoc est, in functio non sunt duo paria quorum prima elementa sunt eadem sed seconda elementa differunt. Dominium relationis R est copia omnium rerum quae prima elementa parium sunt. Codominium est copia omnium rerum quae seconda elementa sunt. Exempli causa, si R = {(h, f): h est homo, f est felis et animal dilectum hominis h}, dominium R est {omnes homines qui feles habent} et codominium est {omnes feles qui sunt animalia dilecta}. In mathematica dominium et codominium saepe sunt copia numerorum, ut numeri reales aut integri. Possumus dicere R : D → C {\displaystyle R:D\rightarrow C} , hoc est "R est relatio e copia D in copiam C." Si R est relatio, et par (a, b) est in R, possumus dicere a R b. Relatio R reflexiva dicitur si a R a, pro omnibus elementa a. Relatio est symmetrica si a R b implicat b R a. Relatio est transitiva si a R b et b R c implicat a R c. Exempli: Sit dominium et codominium copia numerorum realium. R = { ( a , b ) ∈ R : a = b } {\displaystyle R=\{(a,b)\in \mathbb {R} :a=b\}} Haec est relatio reflexiva, symmetrica, transitiva. R = { ( a , b ) : a > b } {\displaystyle R=\{(a,b):a>b\}} Haec est transitiva, sed nec reflexiva nec symmetrica. R = { ( a , b ) : a | b } {\displaystyle R=\{(a,b):a|b\}} , hoc est a metitur b vel a est factor b. Est relatio reflexiva et transitiva, sed non est symmetrica. Relatio aequivalentiae est relatio reflexiva, symmetrica, transitiva.