Systema aequationum linearium
Systema aequationum linearium est duae aut plures aequationum linearium quarum variabiles idem sunt. Debemus resolvere has aequationes: hoc est, quantitates invenire, quae omnes aequationes satisfacerent. Pars rei mathematicae quae de talibus systematis tractat est algebra linearis. Exempli gratia, ponamus has aequationes: 2 x + 3 y = 5 {\displaystyle 2x+3y=5} 3 x + 4 y = 7 {\displaystyle 3x+4y=7} Facile est videre numeros x = 1 , y = 1 {\displaystyle x=1,y=1} aequationes satisfacere. Si systema continet plures variabiles quam aequationes, aut habet numerum infinitum solutionum, aut nullam solutionem habet. Systema, quod tot variables habet quot aequationes, habet aut numerum infinitum solutionem, aut nullam solutionem, aut unam modo. Sint aequationes a 1 , 1 x 1 + a 1 , 2 x 2 + . . . + a 1 , n x n = b 1 {\displaystyle {a_{1,1}}{x_{1}}+{a_{1,2}}{x_{2}}+...+{a_{1,n}}{x_{n}}=b_{1}} ... a m , 1 x 1 + a m , 2 x 2 + . . . + a m , n x n = b m {\displaystyle {a_{m,1}}{x_{1}}+{a_{m,2}}{x_{2}}+...+{a_{m,n}}{x_{n}}=b_{m}} Deinde possumus matricem facere A: ( a 1 , 1 a 1 , 2 . . . a 1 , n . . . a m , 1 a m , 2 . . . a m , n ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&...&a_{1,n}\\...\\a_{m,1}&a_{m,2}&...&a_{m,n}\end{pmatrix}}} et vectores X = ( x 1 , x 2 , . . . x n ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},...x_{n})} et B = ( b 1 , b 2 , . . . , b m ) {\displaystyle (b_{1},b_{2},...,b_{m})} . Possumus ergo breviter scribere AX = B. Si m = n, solutio systematis aequationum est: X = A − 1 B {\displaystyle X=A^{-1}B} ubi A − 1 {\displaystyle A^{-1}} significat matricem inversam matricis A. Si illa matrix inversa non exstat, systema aequationum habet vel nullam solutionem, vel numerum infinitum solutionum. Matrix inversa A − 1 {\displaystyle A^{-1}} est illa matrix quae satisfacit regulam A × A − 1 = I {\displaystyle A\times A^{-1}=I} . I est matrix idemfactor, quae 1 habet in diagonale principali, 0 in omnibus aliis cellulis: ( 1 0 0 . . . 0 1 0 . . . 0 0 1 . . . . . . ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&...\\0&1&0&...\\0&0&1&...\\...\end{pmatrix}}} Lex Crameri dicit solutionem systematis (si exstat) esse x i , j = ( A 1 , j b 1 + A 2 , j b 2 + . . . + A n , j b n ) / | A | {\displaystyle x_{i,j}=(A_{1,j}b_{1}+A_{2,j}b_{2}+...+A_{n,j}b_{n})/|A|} ubi A i , j {\displaystyle A_{i,j}} est cofactor elementi a i , j {\displaystyle a_{i,j}} et | A | {\displaystyle |A|} est determinans matricis A. Solutio invenitur etiam algorithmo illius Gauss per eliminationem.