Functio
Functio in arte mathematica est congruentia inter duas copias, quae ad quodque elementum primae copiae unum elementum secundae copiae destinat. Prima copia dominium dicitur,  altera codominium. Si x {\displaystyle x} quoddam elementum primae copiae designat, x {\displaystyle x} variabilis independens est. Si f {\displaystyle f} functio est, quae mathematice per y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} scribitur et significat " y {\displaystyle y} esse elementum codominii ad elementum x {\displaystyle x} dominii destinatum", variabilis y {\displaystyle y} dependens appellatur. Si plura elementa sunt, quae y {\displaystyle y} ad elementum x {\displaystyle x} destinari possint, congruentia non est functio. Exempli gratia: sit f ( x ) = ± x {\displaystyle f(x)=\pm {\sqrt {x}}} sintque dominium et codominium copiae numerorum realium R {\displaystyle \mathbb {R} } . Haec congruentia non est functio, quod elemento x {\displaystyle x} (velut 4) duo elementa (i. e. 2, -2) attribuuntur. Sin autem codominium est copia numerorum realium non-negativorum vel functio est velut f ( x ) = + x {\displaystyle f(x)=+{\sqrt {x}}} , haec congruentia functio appellatur. Functionem definire licet per formulam aut regulam aut tabulam, dum modo unum elementum codominii sit quod ad quodque elementum dominii destinetur. Functiones sunt species relationis: functio f {\displaystyle f} est copia parium ordinatarum (a, b) ut f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b} . Analysis est theoria functionum. Analysis numerorum realium est theoria functionum quarum dominium (et codominium) est R {\displaystyle \mathbb {R} } ; analysis numerorum complexorum est analysis earum, quarum dominium est C {\displaystyle \mathbb {C} } . G. H. Hardy dicit, "Illa notio, quantitatem variabilis ex quadam alia dependere, fortasse notio potissima in tota arte mathematica est." Si dominium est copia quantitatum binarum, sicut R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} , functio duas variabiles independentes habet. Exempli gratia, f ( x , y ) = x 2 + y 2 {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}} . Quae functio f {\displaystyle f} par elementorum ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} ad unum elementum codominii (quod est R {\displaystyle \mathbb {R} } ) destinat, velut par ( 2 , 3 ) {\displaystyle (2,3)} ad 2 2 + 3 2 = 4 + 9 = 13 {\displaystyle 2^{2}+3^{2}=4+9=13} . Functiones autem tres, quattuor pluresve variabiles independentes habere possunt. Altera notatio functionum est notatio lambda, quae variabiles independentes post lambda litteram enumerat. Scribitur: f = λ ( x ) . x 2 {\displaystyle f=\lambda (x).x^{2}} quod eandem functionem atque f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} describit. Forma sicut λ ( x ) . x 2 {\displaystyle \lambda (x).x^{2}} appellatur combinatoria. Si ad quoddam elementum y {\displaystyle y} codominii aut nullum aut unum elementum x {\displaystyle x} dominii destinatur, functio appellatur functio iniectiva, aut functio unum elementum uni elemento attribuens. Si omne elementum y {\displaystyle y} codominii habet elementum x {\displaystyle x} (aut plura elementa x 1 , x 2 , x 3 , {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},} ...) dominii quod ad y {\displaystyle y} destinatur, functio appellatur functio superiectiva. Functio quae simul iniectiva et superiectiva est, functio biiectiva appellatur. Quaedam functio biiectiva f {\displaystyle f} habet functionem inversam f − 1 {\displaystyle f^{-1}} , cuius dominium est codominium functionis f {\displaystyle f} cuiusque codominium dominium functionis f {\displaystyle f} . Si f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y} , tum est f − 1 ( y ) = x {\displaystyle f^{-1}(y)=x} . Exempli gratia: functio f ( x ) = x / 2 {\displaystyle f(x)=x/2} habet functionem inversam f − 1 ( x ) = 2 x {\displaystyle f^{-1}(x)=2x} . Formulam functionis inversae describere saepenumero haud facile est. Compositio functionum est nova functio per quam elementum dominii primae functionis cum elemento codominii secundae functionis congruit. Si y = f ( x ) , y = g ( x ) {\displaystyle y=f(x),y=g(x)} sunt functiones, et si dominium functionis f {\displaystyle f} est (aut continet) codominium functionis g {\displaystyle g} , scribi potest f ∘ g = f ( g ( x ) ) {\displaystyle f\circ g=f(g(x))} . Exempli gratia, sint f ( x ) = x 2 , g ( x ) = sin ⁡ ( x ) {\displaystyle f(x)=x^{2},g(x)=\sin(x)} . Nunc f ∘ g = f ( g ( x ) ) = ( sin ⁡ ( x ) ) 2 {\displaystyle f\circ g=f(g(x))=(\sin(x))^{2}} , et g ∘ f = g ( f ( x ) ) = sin ⁡ ( x 2 ) {\displaystyle g\circ f=g(f(x))=\sin(x^{2})} . Non sunt eaedem functiones: si x = π , f ( g ( x ) ) = ( sin ⁡ ( π ) ) 2 = 0 {\displaystyle x=\pi ,f(g(x))=(\sin(\pi ))^{2}=0} , sed g ( f ( x ) ) = sin ⁡ ( π 2 ) ≈ − 0.43 {\displaystyle g(f(x))=\sin(\pi ^{2})\approx -0.43} . Copia omnium functionum invertibilium quarum dominium et codominium eadem copia est caterva appellatur. Idem factor catervae est functio quae quodque elementum cum eodum elemento coniungit: f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} ; operatio catervae est compositio.