Functio zeta Riemanniana
Functio zeta Riemanniana est ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ n − s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + … {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\dots } Si quantitas variabilis s est numerus realis, necesse est s > 1 esse, ut series ad valorem convergat. Sed quia functio est differentiabilis etiamsi s est numerus complexus, extensionem analyticam ad omnes numeros complexos habet. Functio magni momenti est in theoria numerorum. Euler demonstravit ζ ( s ) = ∏ p ( 1 − p − s ) − 1 , p  primus , s  realis > 1 {\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}(1-p^{-s})^{-1},p{\text{ primus}},s{\text{ realis}}>1} Bernardus Riemann (1826-1866) etiam huic functioni studuit. Hypothesis Riemanniana dicit omnes quantitates s ut ζ ( s ) = 0 {\displaystyle \zeta (s)=0} (praeter valores triviales) partem realem 1/2 habere.