Theorema fundamentale arithmeticae
Theorema fundamentale arithmeticae dicit omnem numerum naturalem maiorem quam unum esse productum numerorum primorum, et hunc productum unicum esse: numquam sunt duae copiae factorum eiusdem numeri quae inter se differunt. Quae est notio magni momenti arithmeticae ac theoriae numerorum. Haec est demonstratio. Sit N numerus aliquis. Si N est primus, factores eius sunt N et 1, et nequimus alios factores invenire. Si N est compositus, habet factores. Sit a minimus numerus qui illum N dividit; a debet esse numerus primus (nam, si a esset compositus, a ipse haberet factores, minores quam a, sed hi factores quoque N dividerent). Nunc scimus N = ab; si b est compositus, pone b = cd, et similiter. N igitur est productus factorum primorum. Nunc debemus demonstrare hunc productum unicum esse. Supponamus dari duos productos, N = p 1 p 2 . . . p x = q 1 q 2 . . . q y {\displaystyle N=p_{1}p_{2}...p_{x}=q_{1}q_{2}...q_{y}} et omnes numeros p et q primos esse. Quia pi dividit productum numerorum q, debet dividere unum factorem qj, sed, quia primi sunt, hoc significat p i = q j {\displaystyle p_{i}=q_{j}} . Hoc est, omnis numerus pi est inter numeros q; similiter, omnis numerus q est inter numeros p. Sed fortasse primus aliquis praeest saepius inter p quam inter q (vel saepius inter q quam inter p) – exempli gratia, quid si haberemus N = 2x2x3 = 2x3x3? Ut vides, hoc nequit esse. Divide utrumque productum per p1, deinde per p2, et per omnes numeros p. Si restarent numeri q postquam diviseris per omnes p, aequatio esset 1 = q a q b . . . {\displaystyle 1=q_{a}q_{b}...} , quod est impossibile; similiter, non potest esse plures numeri p quam numeri q. Sunt igitur tot p quot q et duo producti sunt eidem. Euclides hoc theorema non affirmavit, sed in libro septimo Elementorum sunt omnes notiones quae pertinent ad theorema. Gauss id probavit, quamquam theorema quod ille nominavit theorema fundamentale non erat hoc theorema, sed lex de reciprocitate quadratica.