Theorema Pythagorae
Theorema Pythagorae, vel sententia Pythagorae, in geometria Euclideana est theorema quod dicit trianguli recti hypotenusam quadratam aequalem esse summae aliorum laterum quadratorum. Enuntiatum theorematis est: in triangulo ABC, ubi angulum rectum est in B et hypotenusa est AC, habemus AB² + BC² = AC². Generaliter, si u et v duo orthogoni vectores in spatio hilbertiano sunt, tunc ‖ u ‖ 2 + ‖ v ‖ 2 = ‖ u + v ‖ 2 {\displaystyle \left\Vert u\right\Vert ^{2}+\left\Vert v\right\Vert ^{2}=\left\Vert u+v\right\Vert ^{2}} . In omni triangulo ABC, AB² + BC² = AC² - 2AC cos(b), si b est angulus ad punctum B; hoc theorema in trigonometria dicitur lex cosinorum. Quod cosinus anguli recti est 0, theorema Pythagorae est casus particularis huius legis. Aliud theorema generalius est theorema Ultimum Fermatianum in theoria numerorum, quod dicit aequationem a n + b n = c n {\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}} nullam solutionem habere, cuius valores a, b, c integri sunt, si n est integer et n > 2. Theorema dicitur Pythagorae quod Pythagoras id scivit; non autem primus erat qui hoc theorema demonstravit. Mathematici Babyloniae, Aegypti, Indiae, Sinarum theoremate usi sunt. Demonstratio clarissima apud Euclidem invenitur (Elementa 1.47), cum imagine quasi ventimola (vide figuram). Euclides demonstrat triangulos DAB et CAK aequales esse, sed superficies quadri ADEC est duplex superficiei trianguli DAB, et superficies rectanguli AHJK duplex superficiei trianguli CAK; duae superficiei ergo aequales sunt. Per eandem rationem, superficies quadri CFGB superficiem rectanguli BHJI aequat. Superficies quadri ABIK est AHJK + BHJI; est ergo ADEC + CFGB. Numeri a, b, c ut a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} sunt triplex Pythagoreanus. Exempla sunt: (3, 4, 5); (5, 12, 13); (7, 24, 25). Si (a, b, c) sunt triplex Pythagoreanus, etiam sunt omnes (na, nb, nc), si n est integer, quod ( n a ) 2 + ( n b ) 2 = n 2 ( a 2 + b 2 ) = n 2 c 2 = ( n c ) 2 . {\displaystyle (na)^{2}+(nb)^{2}=n^{2}(a^{2}+b^{2})=n^{2}c^{2}=(nc)^{2}.} Euclides rationem dabat qua omnes triplices Pythagoreani inveniuntur (Elementa 10.28, lemma primum).