Numerus transcendens
Numerus transcendens vel transcendentalis est numerus realis vel complexus qui algebraicus non est. Sit x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } numerus transcendens. Tunc nullus est n ∈ N ∖ { 0 } {\displaystyle n\in \mathbb {N} \setminus \lbrace 0\rbrace } et nulli sunt a i ∈ Q   ( 0 ≤ i ≤ n − 1 ) {\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Q} \ (0\leq i\leq n-1)} , ut ∑ i = 0 n − 1 a i ⋅ x i + x n = 0 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{a_{i}\cdot x^{i}}+x^{n}=0} sit. Confirmatum est certos numeros transcendentes esse possunt per argumenta anno millesimo octigentesimo quadragesimo quarto ab Iosepho Liouville facta, qui genus numerorum transcendentum (Liouville numeri) construxit; inter his Liouville constans est: ∑ k = 1 ∞ 10 − k ! = 0 , 110001000000000000000001000 … {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots } Exempla: Numeri π et e et omnes numeri cum eis multiplicati sunt transcendentes (ad demonstrationem videndam). Functio transcendentalis est functio quae non est algebraica; functio algebraica est polynomium vel ratio polynomiorum vel alia functio ex potestatibus rationalibus facta. Functiones exponentialis, logarithmetica, trigonometricae, hyperbolicae et gamma sunt exempla. Si f ( x ) {\displaystyle f(x)} est functio algebraica, et x est numerus algebraicus, tunc valor y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} est numerus algebraicus; si x est numerus transcendentalis, f(x) potest etiam transcendentalis esse. Attamen si f ( x ) {\displaystyle f(x)} est functio transcendentalis, y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} potest numerus transcendentalis vel numerus algebraicus esse: sin(π) = 1 (x est numerus transcendentalis, y est numerus algebraicus), et sin(1) ≈ .8414709848 (x est numerus algebraicus, y est numerus transcendentalis). Omnes numeri transcendentes sunt irrationales.