Functiones hyperbolicae
Functiones hyperbolicae sunt functiones similes functionibus trigonometricis quae per hyperbolam potius quam per circulum definiri possunt. Nomina sunt sinh, cosh, tanh, sech, csch, coth -- id est, "sinus hyperbolicus" et cetera. Definitiones usuales cum numero e hae sunt: sinh ⁡ ( u ) = ( e u − e − u ) 2 {\displaystyle \sinh(u)={\frac {(e^{u}-e^{-u})}{2}}} cosh ⁡ ( u ) = ( e u + e − u ) 2 {\displaystyle \cosh(u)={\frac {(e^{u}+e^{-u})}{2}}} Alias functiones per sinh et cosh definimus: tanh ⁡ ( u ) = sinh ⁡ ( u ) cosh ⁡ ( u ) {\displaystyle \tanh(u)={\frac {\sinh(u)}{\cosh(u)}}} coth ⁡ ( u ) = cosh ⁡ ( u ) sinh ⁡ ( u ) {\displaystyle \coth(u)={\frac {\cosh(u)}{\sinh(u)}}} sech ⁡ ( u ) = 1 cosh ⁡ ( u ) {\displaystyle \operatorname {sech} (u)={\frac {1}{\cosh(u)}}} csch ⁡ ( u ) = 1 sinh ⁡ ( u ) {\displaystyle \operatorname {csch} (u)={\frac {1}{\sinh(u)}}} In circulo cuius aequatio est x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} , si (x, y) est punctus, sit θ angulus inter axem x et radium qui in hoc puncto terminat; θ est etiam longitudo arcus quem angulus definit. Tunc x = cos(θ) et y = sin(θ). Functiones trigonometricae ergo etiam "functiones circulares" appellantur. Scimus etiam θ esse duplex areae sectoris circuli inter radium et axem. Quid de hyperbola et functionibus nostris? Sit (x, y) punctus in hyperbola cuius aequatio est x 2 − y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-y^{2}=1} . Figura cuius latera sunt hyperbola, axis x, et linea inter originem et hunc punctum est "sector hyperbolae," similis sectori circuli. Area sectoris est t/2, sicut area sectoris circuli fuit t/2, et longitudo sectoris hyperbolae est t. Dicimus ergo x = cosh(t), y = sinh(t).