تکامل
تکامل ریاضیات میں ایک اہم تصور ہے جو تفرقی کے ہمراہ احصا میں ایک اکبر عالج ہے حقیقی متغیر کی فنکشن f اور حقیقی لکیر پر وقفہ    a  b  displaystyle  ab دیا ہو تو واضح تکامل  a b f  x  d x  displaystyle int abfxdx غیر رسمی طور پر xyمسطح میں وہ مثبتمنفی نشانذدہ باقیماندہ علاقے کا رقبہ ہے جو دالہ f کے گراف اور عمودی لکایر x  a اور x  b کے درمیان ہے تکامل کی اصطلاح سے مراد مشتق شکن F بھی ہو سکتا ہے جس کا مشتق دی گئی فنکشن f ہے اس صورت میں اسے غیرواضح تکامل کہتے ہیں جبکہ یہاں ہم واضح تکامل پر بحث کریں گے کچھ لکھاری غیرواضح تکامل اور مشتقشکن میں تمیز کرتے ہیں تکامل کے اصول ویں صدی کے آخر میں لائبنز اور نیوٹن نے علاحدہ اپنے طور پر کلیات کیے تھے قضیہ بنیادی حسابان کے ذریعہ تکامل کا جوڑ تفرقی سے بنتا ہے اگر f ایک استمری حقیقیقدری فنکشن ہو جو بند وقفہ a b پر تعریف شدہ ہو تو جیسے ہی f کا مشتقشکن F معلوم ہو گا فنکشن f کا اس وقفہ پر تکامل یوں دیا جائے گا  a b f  x  d x  F  b   F  a  displaystyle int abfxdxFbFa تکامل اور مشتق آساسی اوزار بن گئے ہیں حسابان کے اور ان کی سائنس اور ہندسہ میں لاتعداد اطلاقیات ہیں تکامل کی بامشقت ریاضیاتی تعریف ریمان نے دی یہ ایک حدی طریقہ ہے جس میں منحنی لکیری علاقہ کا رقبہ تقرب کیا جاتا ہے علاقے کو پتلی عمودی سلوں میں توڑ کر انیسویں صدی میں تکامل کے زیادہ ثقیف تصورات ظاہر ہونا شروع ہوئے جہاں فنکشن کی قسم اور جس ساحہ پر تکامل انجام دیا جائے کو جامع بنایا گیا ایک لکیری تکامل دو یا تین متغیروں کی فنکشن کے لیے تعریف کیا جاتا ہے اور تکامل کے وقفہ a b کو مسطح یا فضاء میں دو نقطوں کو جوڑنے والی کسی خاص منحنی سے بدل دیا جاتا یے سطح تکامل میں منحنی کی جگہ سہ العباد فضاء میں سطح کا ٹکرا بدیل کر دیا جاتا ہے تفرقی ہئیتوں کے تکامل تفرقی ہندسیہ میں بنیادی کردار کھیلتے ہیں یہ جامع شکلیں پہلے طبیعیات کی ضرورتیں پوری کرنے کے لیے ابھریں اور یہ کئی طبیعیاتی قوانین کی کلیات میں اہم کردار ادا کرتے ہیں نمایاں  برقی حرکیات میں تکامل کے کئی جدید تصورات ہیں ان میں سب سے عام تکامل کا تصور تجریدی ریاضیاتی نظریہ پر اساس ہے جسے لابیگ تکامل کہتے ہیں اور جسے ہنری لابیگ نے ترقیآیا