لونی کثیر رقمی
نقشہ ممالک کے  میں رنگ بھرتے ہوئے دو ہمسایہ اضلاع جن کی سرحد بے اصل نہ ہو یعنی نقطہ سے زیادہ ہو پر مختلف رنگ چننے ہوتے ہیں اگر نقشہ M میں بھرنے کے لیے آپ کے پاس λ displaystyle lambda  رنگ ہوں تو رنگ بھرنے کی راہوں کی تعداد ایک کثیر رقمی   P  M  λ  displaystyle  PMlambda  سے دی جا سکتی ہے   P  M  λ   c   c  λ  c  λ     c k λ k displaystyle  PMlambda cclambda clambda cdots cklambda k جہاں c   c     c k displaystyle cccdots ck صحیح اعداد ہیں اور نقشہ میں اضلاع کی تعداد k ہے یہاں ہم یہ سمجھتے ہیں کہ کوئی ملک دو بچھڑے ہوئے اضلاع پر مشتمل نہیں ہے اس کثیر رقمی کو لونی کثیر رقمی کہا جاتا ہے مثلا دو اضلاع کے نقشہ M  displaystyle M میں پہلے ضلع کے لیے رنگ چننے کی راہیں λ displaystyle lambda  ہیں اور دوسرے ضلع کے لیے λ   displaystyle lambda   اس لیے نقشہ میں رنگ بھرنے کی راہیں   P  λ  M    λ  λ     λ    displaystyle  Plambda Mlambda lambda lambda  ہیں تصویر میں نقشہ M زیادہ پچیدہ ہے ضلع د اور ب کے رنگ مختلف ہوں گے مگر ضلع د اور ج کا رنگ ایک ہی ہو سکتا ہے اس طرح دو صورتیں ہیں ضلع ب اور ک کا رنگ ایک ہے ضلع د کے λ displaystyle lambda  رنگ ممکن ہیں اور ب اور ک کے مشترکہ رنگ کے λ   displaystyle lambda  ممکن اور ج کے λ   displaystyle lambda  ممکن کیونکہ اس کا رنگ وہی جو د کا ہے ہو سکتا ہے ضلع ب اور ک کے رنگ مختلف ہیں ضلع د کے λ displaystyle lambda  رنگ ممکن ہیں ب کے λ   displaystyle lambda   ک کے λ   displaystyle lambda  اور ج کے λ   displaystyle lambda  ج کا رنگ ب اور ک جیسا نہیں ہو سکتا ان دونوں صورتوں کی راہوں کو جمع کر کے لونی کثیر رقمی بنتا ہے   P  M   λ   λ  λ      λ  λ     λ      λ    λ    λ    λ displaystyle  PMlambda lambda lambda lambda lambda lambda lambda lambda lambda lambda  ملصق نقشہ کے ساتھ ہم ملصق گراف مشارک کر سکتے ہیں اس طرح کہ نقشہ کے ضلع سے گراف کے قمہ کو مشارک کر دیا جائے اور اگر دو اضلاع میں مشترکہ سرحد ہو تو مشارکہ راس کو کنار لکیر کے ساتھ جوڑ دیا جائے تصویر  میں تصویر  کے نقشہ سے مشارک گراف دکھایا گیا ہے نقشہ میں یوں رنگ بھرنے کہ مشترکہ سرحد والے اضلاع مختلف رنگی ہوں کے حوالے سے ضروری ہے کہ گراف کی راس کو یوں رنگا جائے کہ جو دو راس کنار سے جڑی ہوں وہ مختلف رنگ میں ہوں تصویر  میں ب اور ک راس چونکہ آپس میں کنار سے جڑی نہیں ہوئی اس لیے یہ ایک ہی رنگ کی جا سکتی ہیں جس طرح نقشہ کے لیے لونی کثیر رقمی تعریف کیا گیا ہے اسی طرح گراف کے لیے بھی کیا جا سکتا ہے گراف کا لونی کثیر رقمی گراف کے راس کو رنگ کرنے کی راہیں بتاتا ہے اس طرح کہ وہ راس جو کنار کے ذریعہ ملی ہوں مختلف رنگ میں ہوں اگرچہ مستوی میں کسی بھی نقشہ کا گراف بنایا جا سکتا ہے مگر ہر گراف کا مستوی میں نقشہ ہونا ممکن نہیں ہوتا لونی کثیر رقمی نکالنے کے طریقہ میں تولیفات کی تعداد بہت زیادہ ہو جاتی ہے نیچے ہم کچھ نتائج بیان کرتے ہیں جن کی مدد سے تکراری طریقہ سے یہ کثیر رقمی معلوم کیے جا سکتے ہیں خالی گراف ایسے گراف کو کہا جاتا ہے جس میں صرف n راس ہو اور کوئی کنار نہ ہو تصویر  اس گراف کا لونی کثیر رقمی λ n displaystyle lambda n ہے مکمل گراف ایسے گراف کو کہا جاتا ہے جس میں n راس ہو اور ان میں سے ہر دو کنار سے جڑی ہوں تصویر  اس گراف کا لونی کثیر رقمی   P  G  λ   λ  λ      λ   n     displaystyle  PGlambda lambda lambda cdots lambda n ہے گراف کو متصل کہتے ہیں اگر کسی بھی قمہ سے کسی بھی دوسرے قمہ تک جانے کا راستہ کناروں سے ہوتے ہوئے موجود ہو گراف کا جزو ایسا ذیلی گراف ہوتا ہے جو اعظم التصال ہو یعنی یہ ذیلی گراف کسی دوسرے متصل ذیلی گراف کے اندر نہ سماء سکے تصویر  میں گراف G کے دو جزو G اور G ہیں گراف G کا لونی کثیر رقمی ان دو جزو گراف کے لونی کثیر رقمی جانتے ہوئے یوں لکھا جاوے ہے   P  G  λ   P  G   λ  P  G   λ  displaystyle  PGlambda PGlambda PGlambda  ہے تصویر  میں راس a اور b اور انھیں جوڑنے والے کنارے پر مشتمل ذیلی گراف جزو نہیں کیونکہ یہ بڑے متصل ذیلی گراف G میں سما جاتا ہے تصویر  میں گراف G کے کنار E کے حوالے سے دو گراف تعریف کرتے ہیں کنار E کو مٹا دینے سے گراف GE حاصل ہوتا ہے اب GE میں ان دو راس a اور b جو کنار E سے جڑے تھے کو ایک تصور کرتے ہوئے گراف GE حاصل ہوتا ہے اصل گراف کے لونی کثیر رقمی ان دو گراف کے لونی کثیر رقمی کی مدد سے یوں لکھا جا سکتا ہے   P  G  λ   P  G E   λ   P  G E   λ  displaystyle  PGlambda PGElambda PGElambda 