اعتماد وقفہ
کسی تصادفی تجربہ کے ذریعہ کسی تصادفی متغیر کی اوسط بطور نکتہ تخمینہ نکالنے کی بجائے ایک وقفہ بتایا جا سکتا ہے جس میں تخمینہ کے ہونے کا قوی احتمال ہو اس کے علاوہ تخمینہ کے وقفہ کے اندر ہونے پر اعتماد بھی فیصد عدد کے طور پر بتایا جاتا ہے مثلا کہا جائے کہ جماعت الف کی عوام میں حمایت کا تخمینہ  فیصد کے وقفہ میں ہے اور اس تخمینہ پر ہمارا اعتماد  فیصد ہے یا احتمال نظریہ کی زبان میں کہیں گے کہ جماعت الف کی حمایت کا  اعتماد وقفہ   ہے  تصادفی متغیر X جس کا اصل مگر نامعلوم اوسط μ displaystyle mu  ہے کے اوسط کا تجرباتی تخمینہ لگانے کے لیے تجربہ N بار دہرا کر مشاہدات کا اوسط نکالا جاتا ہے ان مشاہدات X   X     X N displaystyle XXcdots XN کا حسابی اوسط X    N  i   N X i displaystyle bar Xfrac Nsum iNXi نمونہ اوسط کہلاتا ہے مشاہدات X   X     X N displaystyle XXcdots XN کو آزاد اور ایک جیسے توزیع شدہ تصادفی متغیر سمجھا جاتا ہے جن میں سے ہر ایک کا اوسط μ displaystyle mu  ہے اور معیاری انحراف σ displaystyle sigma   اس لیے نمونہ اوسط X  displaystyle bar X بھی ایک تصادفی متغیر ہو گا جس کا اوسط E  X    μ displaystyle Ebar Xmu  اور معیاری انحراف Var  X    σ N displaystyle sqrt hboxVarbar Xfrac sigma sqrt N ہو گا تعریف عدد x C displaystyle xC یوں تعریف کرو کہ معیاری معمول توزیع احتمال فنکشن   ϕ    displaystyle  phi  کے نیچے وقفہ     x C  x C  displaystyle  xCxC میں رقبہ C displaystyle C ہو تصویر  یعنی کسی معیاری معمول توزیع شدہ تصادفی متغیر X کا وقفہ     x C  x C  displaystyle  xCxC میں ہونے کا احتمال C displaystyle C ہے  Pr   x C  X  x C     x C x C ϕ  x  d x  C displaystyle PrxCleq Xleq xCint xCxCphi xdxC مرکزی حد مسلئہ اثباتی کی رو سے ہم کہہ سکتے ہیں کہ تصادفی متغیر X   μ σ  N displaystyle frac bar Xmu sigma sqrt N بڑے N کے لیے تقریبا معمول توزیع شدہ ہو گا اس لیے Pr   x C  X   μ σ  N  x C   C displaystyle Pr leftxCleq frac bar Xmu sigma sqrt Nleq xCrightapprox C جسے یوں بھی لکھ سکتے ہیں Pr  X   x C σ N  μ  X   x C σ N   C displaystyle Pr leftbar XxCfrac sigma sqrt Nleq mu leq bar XxCfrac sigma sqrt Nrightapprox C یعنی اصل اوسط μ displaystyle mu  کا وقفہ  X   w C  X   w C  displaystyle leftbar XwCbar XwCright میں پڑنے کا احتمال C displaystyle C ہے جہاں ہم نے تعریف کیا w C  x C σ N displaystyle wCxCfrac sigma sqrt N ہے اب چونکہ σ  displaystyle sigma  بھی نامعلوم ہوتا ہے اس لیے اس کا بھی مشاہدات کی مدد سے تخمینہ S  displaystyle S یوں لگاتے ہیں S    N  k   N  X k  X    displaystyle Sfrac Nsum kNleftXkbar Xright اب S کو σ displaystyle sigma  کی جگہ w C displaystyle wC کی تعریف میں استعمال کیا جا سکتا ہے w C  x C S N displaystyle wCxCfrac Ssqrt N خلاصہ یہ کہ بڑے N کے لیے تصادفی متغیر X کے نامعلوم اوسط   μ  E  X  displaystyle  mu EX کا قریبا C    displaystyle Ctimes  اعتماد وقفہ ہے X   w C displaystyle bar Xpm wC