متناہی میدان
عام میدان میں ارکان کی تعداد لامتناہی ہو سکتی ہے متناہی میدان ایسے میدان کو کہتے ہیں جس میں ارکان کی تعداد متناہی ہو انگریزی میں اسے Finite Field یا Galois Field کہا جاتا ہے اس کی مثال مفرد عدد   p displaystyle  p کے متناہی میدان F p displaystyle mathbb F p ہے جس کے ارکان کو F p           p    displaystyle mathbb F pcdots p لکھا جاتا ہے یہاں جمع ضرب کو   p displaystyle  p کے چکر پر نکالا جاتا ہے انگریزی میں اسے modulo یا   mod p displaystyle  mod p کہتے ہیں مثال کے طور پر F                  displaystyle mathbb F  میں جمع ضرب کے عمل کو دیکھتے ہیں عام طور پر        displaystyle   مگر  کو متناہی میدان میں لانے کے لیے ہم  میں سے  منفی کر سکتے ہیں یعنی         n o t e         mod     displaystyle  notemod equiv          n o t e         displaystyle  note         n o t e          displaystyle  times notetimes  گویا آپ جمع یا ضرب کے نتیجے میں پیدا ہونے والے عدد میں سے   p   displaystyle  p کو جتنی مرتبہ ضروری ہو جمع یا تفریق کر سکتے ہو حتی کہ جواب          p    displaystyle  cdots p میں آ جائے اب F              displaystyle mathbb F  میں جمع کا جدول یوں ہو گا اور F  displaystyle mathbb F  میں ضرب کا جدول یوں ہو گا اور F  displaystyle mathbb F  میں جمعیاتی الٹ کا جدول مثلا اس کا مطلب ہے کہ F  displaystyle mathbb F  میں       displaystyle                 displaystyle   اور F  displaystyle mathbb F  میں ہر رکن کا ضربی الٹ کا جدول مثلا اس کا مطلب ہے کہ F  displaystyle mathbb F  میں        displaystyle                displaystyle  times times  متناہی میدان کے ایسے اجزا جن کی طاقت پر متناہی میدان کے تمام اجزا نکلتے ہوں سوائے صفر  کے  کو قدیم primitive اجزاء کہتے ہیں خیال کرو کہ متناہی میدان F p displaystyle mathbb F p کے کسی بھی جز   α   displaystyle  alpha neq  کے لیے   α p     displaystyle  alpha p  مثال کے طور پر متناہی میدان F  displaystyle mathbb F  میں  اور  قدیم جز ہیں جن کی طاقت کے جدول یوں ہیں اس طرح ہم متناہی میدان میں متفرد لاگرتھم کی بات کر سکتے ہیں اوپر طاقت کے جدول استعمال کرتے ہوئے ہم F  displaystyle mathbb F  میں قدیم جز کے حوالے سے F  displaystyle mathbb F  میں لاگرتھم کا جدول یوں لکھ سکتے ہیں جب مفرد عدد   p displaystyle  p بڑا ہو تو F p displaystyle mathbb F p میں کسی جز کی طاقت نکالنا تو آسان ہوتا ہے مگر کسی جز کا لاگرتھم نکالنا انتہائی دشوار مسلئہ ثابت ہوتا ہے اس مسلئہ کی دشواری کی بنیاد پر عوامی کنجی کرپٹوگرافی public key cryptography کے طریقے بنائے گئے ہیں کمپوٹر کی دنیا میں خاصا زیادہ استعمال ہونے والا متناہی میدان F        displaystyle mathbb F  ہے F  displaystyle mathbb F  میں       displaystyle          displaystyle  