لکیری اقل مربعات
تجربات سے اکثر ایسا ڈیٹا اکٹھا ہوتا ہے جسے کسی کثیر رقمی سے تقرب کرنا مفید رہتا ہے فرض کرو کہ کسی تجربے کے نتیجے میں ہمیں n پیمائش جوڑے ملتی ہیں    x   y     x   y       x n  y n  displaystyle  xyxycdots xnyn ان کے گراف کو دیکھتے ہوئے ہم یہ فیصلہ کرتے ہیں کہ یہ دالہ   y  f  x  displaystyle  yfx  ذیل میں سے کسی کثیر رقمی   y  a x  b displaystyle  yaxb     گراف لکیری خط   y  a x   b x  c displaystyle  yaxbxc     درجہ دوم کثیر رقمی   y  a x   b x   c x  d displaystyle  yaxbxcxd     سہ کثیر رقمی        displaystyle  cdots cdots cdots cdots cdots    y  c m x m  c m   x m    c  x  c  displaystyle  ycmxmcmxmcxc     m کثیر رقمی سے تقرب کی جا سکتی ہے تصویر میں گیارہ نکتوں xy کا درجہ دوم کثیر رقمی سے تقرب کیا گیا ہے تجربہ سے حاصل ہونے والے n جوڑے اگر درجہ m کے کثیر رقمی میں ایک ایک کر کے ڈالے جائیں تو ہمارے پاس n مساوات حاصل ہوں گی جنہیں درج ذیل میٹرکس مساوات کی صورت لکھا جا سکتا ہے عام طور پر n  m displaystyle nm  Y  M C displaystyle Yapprox MC Y   y  y   y n   M    x  x    x  m  x  x    x  m     x n x n   x n m   C   c  c   c m  displaystyle Ybeginbmatrixyyvdots ynendbmatrixMbeginbmatrixxxcdots xmxxcdots xmvdots vdots vdots xnxncdots xnmendbmatrixCbeginbmatrixccvdots cmendbmatrix عام طور پر یکلخت لکیری مساوات کا نظام M C  Y displaystyle MCY ناموافق ہو گا اس لیے اس کا کوئی حل نہیں ہو گا یعنی ایسا کوئی C نہیں جو ان مساوات کی تسکین کرے اس لیے کوشش یہ ہو گی کہ ایسا   C  displaystyle  C نکلا جائے جس کا غلطی سمتیہ   e  Y  M C  displaystyle  eYMC کم سے کم ہو یعنی غلطی سمتیہ کا امثولہ  e  displaystyle e کم سے کم ہو چونکہ سمتیہ Y فضا R n displaystyle mathbb R n میں ہے اس لیے ہمیں اقلیدسی فضا میں امثولہ کی عام تعریف استعمال کرتے ہوئے  e    e    e      e n  displaystyle eeecdots en کی تصغیر کرنا ہے اب لکیری فضا R m   displaystyle mathbb R m کے کسی سمتیہ C کے لیے سمتیہ M C displaystyle MC  میٹرکس M کی ستون فضا میں ہے جو R n displaystyle mathbb R n کی لکیری ذیلی فضا ہے اب مسقط کی تعریف سے ہم جانتے ہیں کہ سمتیہ Y کا میٹرکس M کی ستون فضا میں مسقط غلطی امثولہ  e  displaystyle e کی تصغیر کرتا ہے ذیلی فضا M C displaystyle MC میں سمتیہ Y کے مسقط کو ہم   M C  displaystyle  MC لکھتے ہیں بہترین تقرب مسلئہ اثباتی کی رو سے غلطی سمتیہ قائم الزاویہ ہو گا ذیلی فضا کے دوسرے لفظوں میں غلطی سمتیہ اور میٹرکس M کی ستون فضا کے کسی بھی سمتیہ MC کا اندرونی حاصل ضرب صفر ہو گا    M C  t  Y  M C     displaystyle  MCtYMC اقلیدسی فضا میں اندرونی حاصل ضرب کی عام تعریف استعمال کرتے ہوئے یا   C t M t  Y  M C     displaystyle  CtMtYMC   C t  M t Y  M t M C     displaystyle  CtMtYMtMC    M t Y  M t M C   C    displaystyle  langle MtYMtMCCrangle  جس سے یہ نتیجہ اخذ کیا جا سکتا ہے کہ   M t Y  M t M C    displaystyle  MtYMtMC یا   M t M C   M t Y displaystyle  MtMCMtY اگر میٹرکس   M t M displaystyle  MtM مقلوب ہو تو حل یہ ہو گا   C    M t M    M t Y displaystyle  CMtMMtY