قرعہ مسئلہ
کسی انتخاب میں امیدوار الف کو n ووٹ پڑتے ہیں اور امیدوار ج کو m ووٹ  n  m displaystyle nm  اب صندوق میں پڑے nm ووٹوں کو گنا جائے تو اس کا کیا احتمال ہے کہ تمام تر گنتی کے دوران الف کو ج پر سبقت رہے گی یہ احتمال یوں ہے P n  m  n  m n  m displaystyle Pnmfrac nmnm اس مسئلہ کو یوں بھی بیان کیا جا سکتا ہے آپ کے پاس n سرخ گیند اور m نیلے گیند  n  m displaystyle nm  ہیں ایسے کتنے لکیری مرتب ہیں جن میں پہلے i گیندوں میں سرخ گیندوں کی تعداد نیلے گیندوں سے زیادہ ہے اور جہاں i      n  m displaystyle icdots nm  مثلا اگر چار سرخ اور دو نیلے گیند ہیں تو ایسے یہ دو مرتب ممکن ہیں سرخ سرخ سرخ نیلا نیلا سرخ سرخ نیلا سرخ نیلا ممکن مرتب کی تعداد کو ہم کی Nnm علامت سے لکھتے ہیں سرخ اور نیلے گیندوں کے کل لکیری مرتب  n  m n  displaystyle nm choose n ممکن ہیں کیونکہ nm جگہوں میں n سے جگہوں پر سرخ گیند رکھے جانے ہیں اس لیے احتمال بنتا ہے P n  m  N  n  m   n  m m  displaystyle Pnmfrac Nnmnm choose m اب اگر آخری گیند سرخ ہو تو بقیہ n سرخ اور m نیلے گیندوں میں سے مطلوبہ مرتب جن میں سرخ ہمیشہ زیادہ ہوں کی تعداد Nnm ہے اسی طرح اگر آخری گیند نیلا ہو تو بقیہ n سرخ اور m نیلے گیندوں میں مطلوبہ مرتب کی تعداد Nnm ہے اس لیے Nnm  NnmNnm ان دو مساوات کو استعمال کرتے ہوئے ہم نیچے کی مساوات حاصل کر سکتے ہیں P n  m  n n  m P n    m  m n  m P n  m   displaystyle Pnmfrac nnmPnmfrac mnmPnm جس میں P n  m displaystyle Pnm کی اوپر دی عبارت ڈال کر تسلی کی جا سکتی ہے کہ اس مساوات کی تسکین ہوتی ہے