گروہ (ریاضی)
گروہ عناصر کا ایسا مجموعہ ہوتا ہے جس میں ایک عالج متعرف ہوتا ہے کہ کسی بھی دو عناصر کو عالج سے گزار کر اسی مجموعہ کا عنصر حاصل ہوتا ہے گروہ کے لیے کچھ مسلمات پورے ہونا ضروری ہوتا ہے جو مشارکی شناخت عنصر اور الٹ عنصر کے متعلق ہوتے ہیں صحیح اعداد کا مجموعہ جمع کے عالج کے ساتھ ایک گروہ ہے کہ کسی بھی دو اعداد کو جمع کر کے صحیح عدد ملتا ہے صفر شناخت عنصر کو کسی بھی عدد میں جمع کرنے سے اس عدد میں کوئی تبدیلی نہیں ہوتی کسی عدد کے منفی الٹ عنصر کو اس میں جمع کرنے سے صفر ملتا ہے اور جمع مشارکی خصوصیت رکھتی ہے تعریف عناصر کا غیر خالی مجموعہ G ایک ثنائ عالج  displaystyle circ  کے ساتھ گروہ کہلاتا ہے اگر نیچے دی شرائط پوری ہوں اگر a  G displaystyle ain G اور b  G displaystyle bin G  تو پھر a  b  G displaystyle acirc bin G مجموعہ میں ایسا عنصر I ہو کہ تمام a  G displaystyle ain G کے لیے a  I  I  a  G displaystyle acirc IIcirc ain G عنصر I کو شناخت عنصر کہتے ہیں ہر عنصر a  G displaystyle ain G کے لیے ایسا عنصر a    G displaystyle ain G موجود ہو جسے a کا الٹ کہتے ہیں کہ a  a    a    a  I displaystyle acirc aacirc aI مجموعہ G میں عناصر a b c کے لیے مشارکی خصوصیت پوری ہو  a  b   c  a   b  c  displaystyle acirc bcirc cacirc bcirc c