وینر مصفاہ
ریاضیاتی کاملیت میں وینر مصفاہ کامل مصفاہ کی جماعت ہیں جو کسی مطلوبہ متوالیہ کا لکیری تخمینہ لگاتے ہیں کسی متعلقہ معطیات متوالیہ کی مدد سے لکیری مصفاہ کے احصائی حل میں تمام متوالیہ تصادفی عملیہ تصور کیے جاتے ہیں ہم یہ فرض کرتے ہیں کہ متوالیہ کے درجہ دوم کے احصاء یعنی اوسط ڈیٹا متوالیہ کی خود تضایف اور معطیات متوالیہ اور مطلوبہ متوالیہ کے درمیان مخلوط تضایف معلوم ہیں مسئلہ ایسا لکیری مصفاہ بنانے کا ہوتا ہے جس میں شوری ڈیٹا ادخال ہو اس کا اخراج تخمینہ ہو اور مصفاہ کے اخراج پر شور کا اثر کسی کسوٹی کے تحت تصغیر ہو ایک مفید کسوٹی تخمینہ متوالیہ اور مطلوبہ متوالیہ میں فرق جسے غلطی کہتے ہیں کے مربع کی اوسط ہے اگر متوالیہ ساکن عملیہ ہوں تو وینر مصفاہ اس کسوٹی کے تحت مسئلہ کا حل ہے تصویر  میں اشارہ متوالیہ x n displaystyle xn کسی صورت میں اشارہ متوالیہ d n displaystyle dn سے متعلق ہے ہم اشارہ متوالیہ x n displaystyle xn کو مصفاہ H سے گزار کر اشارہ y n displaystyle yn حاصل کرتے ہیں ہمارا مقصد یہ ہے کہ متوالیہ y n displaystyle yn تخمینہ ہو متوالیہ d n displaystyle dn کا یعنی مصفاہ H اس طرح چنا جائے کہ متوالیہ d n displaystyle dn اور متوالیہ y n displaystyle yn کے درمیان غلطی متوالیہ e n  d n  y n displaystyle endnyn کا اوسط مربع کم سے کم ہو min H E  e n   displaystyle min HEen تمام متوالیہ تصادفی ہیں اور اوسط سے مراد متوقع قدر ہے اس کے علاوہ متوالیہ تصادفی ساکن ہیں مصفاہ H ایک متناہی متوالیہ h   h     h K   displaystyle hhcdots hK سے بنا ہے مصفاہ کے اخراج y n displaystyle yn اور ادخال x n displaystyle xn کے درمیان تلفیف کا رشتہ ہے اس مسئلہ میں اس رشتہ کو قالب ضرب کے ذریعہ لکھنا مفید ہے y n   x n x n    x n   K      h  h   h K    displaystyle ynbeginbmatrixxnxncdots xnKendbmatrixbeginbmatrixhhvdots hKendbmatrix یا y n  x  n t h  displaystyle ynunderline xntunderline h جہاں x n    x n x n    x n   K     displaystyle underline xnbeginbmatrixxnxnvdots xnKendbmatrix اور t کی علامت پلٹ میٹرکس ظاہر کرتی ہے یہ ایک معلوم بات ہے کہ اوسط مربع غلطی E  e n   displaystyle Een کی تصغیر اسی وقت ہوتی ہے جب غلطی e n displaystyle en ڈیٹا x n displaystyle xn کے قائم الزاویہ ہو یعنی E  x  n e n    displaystyle Eunderline xnen اس معلومہ کو استعمال کرتے ہوئے E  x  n e n   E  x  n  d n  y n    E  x  n  d n  x  n t h     E  x  n d n   E  x  n x  n t h     displaystyle Eunderline xnenEunderline xndnynEunderline xndnunderline xntunderline hEunderline xndnEunderline xnunderline xntunderline h یا r  d x  R x x h  displaystyle underline rdxRxxunderline h جہاں r  d X  E  x  n d n  displaystyle underline rdXEunderline xndn سمتیہ d n displaystyle dn اور x  n displaystyle underline xn کے درمیان تضایف کو ظاہر کرتا ہے اور اس کی جسمات K   displaystyle Ktimes  ہے اور R  x x  E  x  n x  n t  displaystyle underline RxxEunderline xnunderline xnt میٹرکس x  n displaystyle underline xn کی خود تضایف کو ظاہر کرتی ہے اور اس کی جسامت K  K displaystyle Ktimes K ہے چونکہ متوالیہ d n displaystyle dn اور x n displaystyle xn تصادفی ساکن ہیں اس لیے یہ تضایف صرف وقت فرق پر منحصر ہیں اس لیے ہم اس مساوات کو یوں لکھ سکتے ہیں  r d x    r d x     r d x  K       r x x    r x x    r x x     r x x  K    r x x    r x x    r x x     r x x  K     r x x  K    r x x  K    r x x  K     r x x      h  h   h K    displaystyle beginbmatrixrdxrdxvdots rdxKendbmatrixbeginbmatrixrxxrxxrxxcdots rxxKrxxrxxrxxcdots rxxKvdots rxxKrxxKrxxKcdots rxxendbmatrixbeginbmatrixhhvdots hKendbmatrix جہاں ہم نے تعریف کیا   r d x  k   E  d n x n  k  displaystyle  rdxkEdnxnk اور   r x x  k   E  x n x n  k  displaystyle  rxxkExnxnk اس کے علاوہ ہم نے یہ معلومہ استعمال کیا کہ تضایف جفت دالہ ہوتی ہے  r  k   r   k  displaystyle rkrk  ان مساوات کو وینر ہوپف wienerhopf مساوات کہا جاتا ہے اس مساوات نظام سے ہمیں مصفاہ حاصل ہوتا ہے h   R x x   r  d x displaystyle underline hRxxunderline rdx چونکہ میٹرکس R x x displaystyle Rxx متناظر ٹوپلٹز ہے اس لیے اس حل کے لیے میٹرکس الٹانے جیسے مہنگے عالج کو استعمال کرنے کی ضرورت نہیں پڑتی بلکہ اس کے لیے ایک سستا الخوارزم لیونسن ڈربن نام سے موجود ہے اس حل تک پہنچنے کے لیے ہمیں تصادفی متوالیہ d n displaystyle dn اور x n displaystyle xn کی صرف درجہ دوم کی احصاء کی ضرورت پڑی ہے