نارمل تقسیم
سب سے مشہور متواصل توزیع احتمال معمول توزیع احتمال Normal distribution ہے یہ دو اعداد اوسط اور معیاری انحراف بتا دینے سے مقرر ہو جاتی ہے اس توزیع کی اہمیت مرکزی حد مسلئہ اثباتی کی وجہ سے ہے جو یہ بتاتا ہے کہ بہت سے آزاد تصادفی متغیروں کی جمع کی توزیع احتمال تقریبا معمول توزیع احتمال ہو جاتی ہے اس توزیع کو مشہور جرمن ریاضی دان گاس کے نام سے منسوب کر کے گاسین Gaussain توزیع بھی کہا جاتا ہے اس کی احتمال کثافت تفاعل کو مشاہبت کی بنا پر گھنٹی bell curve بھی کہتے ہیں معمول توزیع کی احتمال کثافت تفاعل تصادفی متغیر X کے لیے یوں لکھی جاتی ہے f X  x    σ  π exp     x  μ    σ   displaystyle fXxfrac sigma sqrt pi exp leftfrac leftxmu rightsigma right جبکہ اس کی متوقع قدر اوسط   E  X   μ displaystyle  EXmu  اور تفاوت   V a r  X   σ  displaystyle  VarXsigma  جبکہ معیاری انحراف σ displaystyle sigma  ہے ہیں معیاری معمول احتمال کثافت تفاعل سبز کے لیے μ   displaystyle mu  اور σ    displaystyle sigma  معمول تراكمی توزیع احتمال فنکشن کو تراکمی توزیع کی تعریف استعمال کرتے ہوئے یوں لکھا جاتا ہے F X  x    σ  π    x exp     x  μ    σ   d x       e r f x  μ σ   displaystyle FXxfrac sigma sqrt pi int infty xexp leftfrac leftxmu rightsigma rightdxfrac leftmathrm erf frac xmu sigma sqrt right یہاں دالہ erf کی قدر نکالنے کے لیے جدول موجود ہیں یا عددی کمپیوٹر اطلاقیہ جیسے سائیلیب میں پہلے سے موجود فنکشن سے معلوم کیا جا سکتا ہے معیاری معمول توزیع کی احتمال کثافت تفاعل لیے عموما خاص علامت ϕ  x    σ  π e  x   displaystyle phi xfrac sigma sqrt pi efrac x استعمال ہوتی ہے جبکہ معیاری معمول تراكمی توزیع احتمال فنکشن کے لیے خاص علامت Φ  x    σ  π    x e  x   d x displaystyle Phi xfrac sigma sqrt pi int infty xefrac xdx ہے غور کرو کہ معمول توزیع شدہ تصادفی متغیر X جس کی اوسط μ displaystyle mu  اور تفاوت σ  displaystyle sigma  ہے کے لیے f X  x   ϕ  x  μ σ   F X  x   Φ  x  μ σ  displaystyle fXxphi leftfrac xmu sigma rightFXxPhi leftfrac xmu sigma right اس تصادفی متغیر کے اپنے اوسط μ displaystyle mu  سے ایک معیاری انحراف کے اندر     σ displaystyle  pm sigma   فاصلے پر ہونے کا احتمال  ہے یعنی Φ  σ  μ σ   Φ   σ  μ σ    displaystyle Phi leftfrac sigma mu sigma rightPhi leftfrac sigma mu sigma right