صفر حاصل جمع
نظریہ بازی اور اقتصادیات میں صفر حاصل جمع ایسی بازی کو کہتے ہیں جس میں بازی میں شریک ایک شخص کا منافع دوسرے شخص یا اشخاص کے نقصان کے برابر ہو یعنی اگر بازی میں فائدہ اٹھانے والوں کے منافع کو جمع کیا جائے اور اس میں سے نقصان اٹھانے والوں کا کل گھاٹا تفریق کر دیا جائے تو جواب صفر ہو دو اشخاص کے کو ایک m  n displaystyle mtimes n میٹرکس  r i  j  displaystyle rij پیش ہوتی ہے بازی اس طرح لگتی ہے پہلا شخص  سے m تک کسی عدد i کا انتخاب کرتا ہے اور اسی وقت آزادانہ طور پر دوسرا شخص  سے n تک کسی عدد j کا انتخاب کرتا ہے اس بازی کے نتیجے میں دوسرے شخص کو r i  j displaystyle rij روپے پہلے شخص کو دینے پڑتے ہیں مثال کے طور پر نیچے دی میٹرکس دیکھو یاد رہے کہ میٹرکس کی قطاریں اوپر سے نیچے گنی جاتی ہیں اور ستون بائیں سے دائیں پہلا شخص تین قطاروں میں سے کسی کا انتخاب کرتا ہے جبکہ دوسرا شخص تین ستونوں میں سے کسی کا انتخاب کرتا ہے اگر پہلا شخص قطار  کا انتخاب کرے اور دوسرا شخص ستون  کا انتخاب کرے تو دوسرے شخص کو  روپے پہلے شخص کو دینے ہوں گے یعنی پہلا شخص  جیتے گا اور دوسرا شخص  ہارے گا اگر پہلا شخص قطار  کا انتخاب کرے اور دوسرا شخص ستون  کا انتخاب کرے تو دوسرے شخص کو  روپے پہلے شخص کو دینے ہوں گے یعنی دوسرا شخص  جیتے گا اور پہلا شخص  ہارے گا اس بازی کی ان پہلے شخص کے لیے کیا قیمت ہے اگر پہلا شخص قطار  چنے تو وہ یہ بات یقینی بناتا ہے کہا اس کا کم از کم منافع  ہو گا دوسرا شخص جو اپنا گھاٹا کم سے کم کرنا چاہتا ہے اگر ستون  چنے تو اس کا زیادہ سے زیادہ تقصان  ہو گا یہ چناؤ ان دونوں کے لیے بہترین حکمت عملی ہیں اس مثال میں دیکھو کہ  اپنی قطار کی صغیر قدر ہے اور  اپنے ستون کا کبیر قدر ہے یعنی میٹرکس کا کاٹھی نقطہ ہے اگر میٹرکس کا کاٹھی نقطہ نہ ہو تو بازی کی قیمت آسانی سے نہیں نکل سکتی اور اس کے لیے احتمالی منطق کا استعمال مفید رہتا ہے اگر کوئی شخص دی ہوئی میٹرکس کے لیے ایک ہی بازی استعمال کرے تو اسے خالص حکمت عملی کہتے ہیں اگر پہلا شخص قطار       m displaystyle cdots m کا بالترتیب احتمال p   p   p     p m  displaystyle pppcdots pm سے انتخاب کرے تو اسے آمیزی حکمت عملی کہیں گے اگر دوسرا شخص خالص حکمت عملی ستون j استعمال کرتا ہے تو پہلے شخص کے منافع کا اوسط  i   m p i r i  j displaystyle sum impirij ہو گا چونکہ دوسرا شخص ستون j چننے میں آزاد ہے اس لیے پہلا شخص کا منافع کم از کم min   j  n  i   m p i r i  j displaystyle min leq jleq nsum impirij ہو گا پہلا شخص ایسا احتمال سمتیہ p چنے گا جو اس کے متوقع منافع کی تکبیر کرے یعنی V   max p min   j  n  i   m p i r i  j displaystyle Vmax pmin leq jleq nsum impirij اسی طرح دوسرا شخص بھی آمیزی حکمت عملی استعمال کر سکتا ہے اگر یہ احتمال سمتیہ q   q   q     q n  displaystyle qqqcdots qn کے مطابق ستون       n displaystyle cdots n کا انتخاب کرے تو پہلے شخص کی خالص حکمت عملی قطار i کے لیے دوسرے شخص کا زیادہ سے زیادہ نقصان max   i  m  j   n q j r i  j displaystyle max leq ileq msum jnqjrij ہو گا اب دوسرا شخص اپنا احتمال سمتیہ q ایسے چنے گا کہ اس نقصان کی متوقع قدر کی تصغیر ہو یعنی V   min q max   i  m  j   n q j r i  j displaystyle Vmin qmax leq ileq msum jnqjrij