Nevienādība starp aritmētisko vidējo un ģeometrisko vidējo
Nevienādība starp aritmētisko vidējo un ģeometrisko vidējo ir nevienādība, kas apgalvo, ka nenegatīvu reālu skaitļu a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}} aritmētiskais vidējais vienmēr ir lielāks vai vienāds ar šo skaitļu ģeometrisko vidējo: a 1 + a 2 + ⋯ + a n n ≥ a 1 ⋅ a 2 ⋅ ⋯ ⋅ a n n . {\displaystyle {\frac {a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \dots \cdot a_{n}}}.} Vienādība izpildās tikai gadījumā, kad visi skaitļi ir vienādi. Aplūkojot dažādus šīs nevienādības speciālgadījumus var iegūt: diviem skaitļiem x + y 2 ≥ x y {\displaystyle {\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {xy}}} ; trim skaitļiem x + y + z 3 ≥ x y z 3 {\displaystyle {\frac {x+y+z}{3}}\geq {\sqrt[{3}]{xyz}}} ; ja aplūko šo nevienādību skaitļiem x {\displaystyle x} un 1 x {\displaystyle {\frac {1}{x}}} , var iegūt, ka x + 1 x ≥ 2 {\displaystyle x+{\frac {1}{x}}\geq 2} — pozitīva skaitļa un tam apgrieztā skaitļa summa vienmēr ir lielāka vai vienāda ar 2. Šai nevienādībai eksistē dažādi vispārinājumi, kā Muirheda nevienādība vai Maklorina nevienādība, tāpat šī nevienādība ir spēkā, ja izmanto svērto aritmētisko vidējo un svērto ģeometrisko vidējo. Dažreiz šai nevienādībai pievieno harmonisko vidējo, kas vienmēr ir mazāks vai vienāds ar ģeometrisko vidējo, līdz ar to var iegūt, ka: a 1 + a 2 + ⋯ + a n n ≥ a 1 ⋅ a 2 ⋅ ⋯ ⋅ a n n ≥ n 1 a 1 + 1 a 2 + … + 1 a n . {\displaystyle {\frac {a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \dots \cdot a_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\ldots +{\frac {1}{a_{n}}}}}.}