Dalinė išvestinė
Dalinė išvestinė – atitinkamos kelių kintamųjų funkcijos išvestinė pagal vieną iš kintamųjų, apskaičiuota laikant, kad kiti kintamieji yra konstantos. Dalinės išvestinės naudojamos funkcijoms tirti. Funkcijos f dalinė išvestinė pagal kintamąjį x žymima fx, ∂xf, ∂f/∂x. Pastaroji notacija buvo pasiūlyta Ležandro ir prigijo, kai ją pakartotinai pasiūlė Jakobis. „∂“ čia yra užapvalinta „d“ (paprasta „d“ naudojama išvestinės žymėjime). Formaliai dalinė išvestinė apibrėžiama analogiškai išvestinei: ∂ f ( x 1 , … , x n ) ∂ x i = lim h → 0 f ( x 1 , … , x i + h , … , x n ) − f ( x 1 , … , x n ) h . {\displaystyle {\frac {\partial f(x_{1},\ldots ,x_{n})}{\partial x_{i}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{1},\ldots ,x_{i}+h,\ldots ,x_{n})-f(x_{1},\ldots ,x_{n})}{h}}.} Vektorius, kurio koordinatės yra kelių kintamųjų funkcjos dalinės išvestinės pagal visus kintamuosius, vadinamas gradientu. Galima apibrėžti ir aukštesnio laipsnio dalines išvestines. Pavyzdžiui, antro laipsnio dalinė išvestinė yra dalinės išvestinės dalinė išvestinė: ∂ 2 f ∂ x 2 = f x x = ∂ x x f = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}=\partial _{xx}f={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}.} Aukštesnio laipsnio dalines išvestinės gali būti skaičiuojamos ir skirtingų kintamųjų atžvilgiu. Tada jos vadinamos mišriosiomis, pavyzdžiui, ∂ 2 f ∂ y ∂ x = f x y = ∂ x y f = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}=f_{xy}=\partial _{xy}f={\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}.}