Tiesinė diferencialinė lygtis
Tiesinė diferencialinė lygtis – diferencialinė lygtis, kurios sprendiniai sudaro vektorinę erdvę, jos forma: L y = f {\displaystyle Ly=f\,} čia diferencialinis operatorius L yra tiesinis operatorius, y yra nežinoma funkcija (tokia yra ir laiko funkcija y(t)) ir dešinioji pusė yra duotoji funkcija ƒ, kurios kilmė ta pati kaip ir y. Funkcija, kuri priklausoma nuo laiko, galima parašyti lygtį L y ( t ) = f ( t ) {\displaystyle Ly(t)=f(t)\,} ir dar tiksliau apskliaudžiant L [ y ( t ) ] = f ( t ) {\displaystyle L[y(t)]=f(t)\,} Tiesinis operatorius L laikomas tokios formos L n ( y ) ≡ d n y d t n + A 1 ( t ) d n − 1 y d t n − 1 + ⋯ + A n − 1 ( t ) d y d t + A n ( t ) y {\displaystyle L_{n}(y)\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+A_{1}(t){\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\cdots +A_{n-1}(t){\frac {dy}{dt}}+A_{n}(t)y\,} Tiesiškumo sąlyga L pašalina tokias operacijas kaip traukimas šaknies iš y, bet leidžia naudoti antrąją y išvestinę. Yra patogu perrašyti šią lygtį į operatoriaus formą L n ( y ) ≡ [ D n + A 1 ( t ) D n − 1 + ⋯ + A n − 1 ( t ) D + A n ( t ) ] y {\displaystyle L_{n}(y)\equiv \left[\,D^{n}+A_{1}(t)D^{n-1}+\cdots +A_{n-1}(t)D+A_{n}(t)\right]y} kur D yra diferencialinis operatorius d/dt (pvz., Dy = y' , D2y = y",… )ir An yra duotosios funkcijos. Sakoma, jog tokios lygtys turi eilę n – tai aukščiausiosios y išvestinės rodiklis, kuris yra įtrauktas į lygtį. Paprasčiausias tiesinės diferencialinės lygties pavyzdys yra radioaktyvaus skilimo modelis. Tegu N(t) reiškia atomų skaičių tam tikroje medžiagoje laiko momentu t. Tada tam tikrai konstantai k > 0 radioaktyviųjų atomų, kurie suskils, skaičius gali būti aprašytas d N d t = − k N {\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-kN\,} Jeigu tariame, jog y yra vieno kintamojo funkcija, tai kalbame apie paprastąją diferencialinę lygtį, priešingu atveju išvestinė ir jų koeficientai turi būti suprasti kaip sujungti vektoriai, matricos arba aukščiausio rango tenzoriai, tada turėsime tiesinę dalinių išvestinių diferencialinę lygtį. Atvejis, kai ƒ = 0 vadinamas homogenine lygtimi ir jos sprendiniai vadinami komplementariosiomis funkcijomis.