Gama funkcija
Gama funkcija (žymima Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} ) matematikoje – faktorialo plėtinys, kuomet funkcijos apibrėžimo sritis ne tik sveikieji skaičiai. Gama funkcija yra apibrėžta visiems kompleksiniams skaičiams, išskyrus nulį ir neigiamus sveikus skaičius. Gama funkcija naudojama gama skirstinyje. Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t . {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t.\!} Pirmasis tokį pažymėjimą įvedė Andre-Mari Ležandras. Pirminis Eulerio gama funkcijos apibrėžimas buvo: Γ ( z ) = lim n → ∞ n z n ! ∏ k = 0 n ( z + k ) . {\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}(z+k)}}.\!} Gama funkcija kaip ir faktorialas tenkina tokius pat rekursyvinius sąryšius: n ! = n ( n − 1 ) ! {\displaystyle n!=n(n-1)!\,} Γ ( n + 1 ) = n Γ ( n ) {\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)\,} Kartu su Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (1)=1} : Γ ( 1 ) = ∫ 0 ∞ e − t d t = lim k → ∞ − e − t | 0 k = − 0 − ( − 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}dt=\lim _{k\rightarrow \infty }-e^{-t}|_{0}^{k}=-0-(-1)=1} , gama funkcija yra taip susijusi su faktorialu: Γ ( n + 1 ) = n Γ ( n ) = ⋯ = n ! Γ ( 1 ) = n ! {\displaystyle \Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,} Taip pat ( 1 2 ) ! = π 2 {\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)!={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}} ir bet kokį pusinį faktorialą galime užrašyti taip: ( n + 1 2 ) ! = π × ∏ k = 0 n 2 k + 1 2 . {\displaystyle \left(n+{\frac {1}{2}}\right)!={\sqrt {\pi }}\times \prod _{k=0}^{n}{2k+1 \over 2}.} Pavyzdžiui, 3.5 ! = π ⋅ 1 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 2 ⋅ 7 2 ≈ 11.63. {\displaystyle 3.5!={\sqrt {\pi }}\cdot {1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {5 \over 2}\cdot {7 \over 2}\approx 11.63.}