Pustaisyklingis briaunainis
Pagal originalų apibrėžimą, pustaisyklingis briaunainis – toks briaunainis, kurio sienos yra taisyklingieji daugiakampiai, o viršūnės yra tranzityvios (pagal briaunainiui būdingą simetrijos grupę). Pustaisyklingiai briaunainiai pagal tranzityvumą yra paprasčiausi tolygieji briaunainiai, nes kiti pasižymi įvairesniu tranzityvumu (kvazitaisyklingieji – be viršūnių, dar yra tranzityvios briaunos, bet sienos netranzityvios; taisyklingieji – tranzityvūs visi trys elementai: viršūnės, sienos ir briaunos). Šis apibrėžimas remiasi labiau apibendrintu 1900 metais publikuotu matematiko Toroldo Goseto (Thorold Gosset) pustaisyklingių politopų apibrėžimu, bei 1973 metų Kokseterio (H.S.M. Coxeter) apibrėžimu. Pustaisyklingiais briaunainiais yra laikomi: Trylika Archimedo kūnų; Begalinė aibė iškilų prizmių; Begalinė aibė iškilų antiprizmių (pastarųjų pustaisyklingę prigimtį aprašė dar Johanas Kepleris). Pustaisyklingį briaunainį visiškai nusako jo viršūnės konfigūracijos planas, kitaip tariant, į viršūnę sueinančių daugiakampių sąrašas. Pavyzdžiui, užrašymas 3.5.3.5 nusako ikosidodekaedrą, kurio kiekvienoje viršūnėje pakaitomis sueina po du taisyklingus trikampius ir penkiakampius; o 3.3.3.5 reiškia penkiakampę antiprizmę. Šie briaunainiai neretai dar vadinami tiesiog „briaunainiai tranzityviomis viršūnėmis“. Po to, kai Gosetas paskelbė pustaisyklingio briaunainio sąvoką ir apibrėžimą, šio termino taikymas nebuvo nuoseklus, ypač skirtingai jis buvo taikomas daugiamačių politopų teorijoje. Kokseteris perėmė Goseto apibrėžimą, bet jį pritaikė visai tolygiųjų briaunainių klasei, o pustaisyklingiams liko tik mažiausiai simetriškų briaunainių poaibis, kurio figūroms būdingas tiktai viršūnės tranzityvumas. Nors įvedus apjungiančią tolygiųjų briaunainių klasę ir buvo išspręsta didelė dalis įvairių su briaunainių klasifikavimu susijusių problemų, vis dar iškyla svarstymai, kaip skirstyti briaunainius į klases. Nepaisant visko, šiuo metu plačiausiai pripažįstama tolygiųjų briaunainių klasė, kurią sudaro trys poklasiai: taisyklingieji briaunainiai (jei yra tranzityvios viršūnės, sienos ir briaunos), kvazitaisyklingieji (jei yra tranzityvios viršūnės ir briaunos, bet sienos netranzityvios) ir pustaisyklingiai (jei tranzityvios vien viršūnės, o sienos ir briaunos netranzityvios).