Hiperrealusis skaičius
Matematikoje hiperrealiųjų skaičių sistema – begalinių ir be galo mažų (bet ne nulinių) dydžių apdorojimo būdas. Hiperrealieji skaičiai *R, yra realiųjų skaičių R išplėtimas, kuriame yra skaičiai, didesni už bet kokią formą 1 + 1 + ⋯ + 1 {\displaystyle 1+1+\cdots +1} (bet kokiam baigtiniam terminų skaičiui). Hiperrealieji skaičiai yra begaliniai, o jų priešingybė yra skaičiai yra be galo maži skaičiai. Terminą „hiperrealusis“ 1948 m. įvedė Edvinas Hevitas. Hiperrealieji skaičiai tenkina perkėlimo dėsnį, Leibnico euristinio tęstinumo dėsnio griežtą versiją. Perkėlimo dėsnis teigia, kad tikrieji pirmos eilės teiginiai apie R galioja ir *R. Pavyzdžiui, komutacinis sudėties dėsnis, x + y = y + x, galioja hiperrealiesiems skaičiams lygiai taip pat, kaip ir realiesiems; kadangi R yra realusis uždaras laukas, kaip ir *R. Kadangi sin ⁡ ( π n ) = 0 {\displaystyle \sin({\pi n})=0} visiems sveikiesiems skaičiams n, sin ⁡ ( π H ) = 0 {\displaystyle \sin({\pi H})=0} taip pat galioja visiems hipersveikiesiems skaičiams H {\displaystyle H} . Ultralaipsnių perkėlimo principas yra 1955 m. Lošo teoremos pasekmė. Hiperrealiųjų skaičių taikymas, ypač perkėlimo principo analizės problemoms spręsti yra vadinamas nestandartine analize. Vienas iš neatidėliotinų taikymo būdų yra pagrindinių analizės sąvokų, tokių kaip išvestinė ir integralas, tiesioginis apibrėžimas, neperžengiant daugelio kiekybinių rodiklių loginių komplikacijų. Taigi, f(x) išvestinė tampa f ′ ( x ) = st ⁡ ( f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x ) {\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)} be galo mažiems skaičiams Δ x {\displaystyle \Delta x} , kur st(·) reiškia standartinę apvalinimo funkciją, kuri suapvalina kiekvieną baigtinį hiperrealųjį skaičių iki artimiausio realiojo skaičiaus. Atitinkamai integralas yra apibrėžiamas kaip tinkamos begalinės sumos standartinis apvalinimas.