Deriniai
Deriniai kombinatorikoje – baigtinės objektų aibės, turinčios n elementų, junginius iš k ( 1 ≤ k ≤ n ) {\displaystyle (1\leq k\leq n)} elementų. Jeigu elementai junginyje nesikartoja ir elementų išdėstymo tvarka nėra svarbi, t. y., sukeitus elementus vietomis, gaunamas tas pats junginys. Derinių skaičius žymimas C n k {\displaystyle C_{n}^{k}} ir randamas pagal formulę: C n k = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋅ . . . ⋅ ( n − ( k − 1 ) ) k ! = A n k P k = n ! k ! ( n − k ) ! , {\displaystyle C_{n}^{k}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdot ...\cdot (n-(k-1))}{k!}}={\frac {A_{n}^{k}}{P_{k}}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}},} kur 1 ≤ k ≤ n . {\displaystyle 1\leq k\leq n.} Pavyzdžiui: C 8 5 = 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 5 ! = 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 56 , {\displaystyle C_{8}^{5}={\frac {8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4}{5!}}={\frac {8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}=56,} Ši formulė dažniausiai taikoma kai k ir n nedideli skaičiai. Derinių skaičių patogu rasti ir pagal kitą formulę: C n k = n ! k ! ( n − k ) ! {\displaystyle C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}} , kur n! – skaičiaus n faktorialas. Nesunku įsitikinti, kad derinių skaičius lygus gretinių iš n elementų po k elementų skaičiui padalintam iš kėlinių skaičiaus: C n k = A n k P k {\displaystyle C_{n}^{k}={\frac {A_{n}^{k}}{P_{k}}}} . Deriniams teisingos lygybės: C n k = C n n − k {\displaystyle C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}} , kur 1 ≤ k ≤ n . {\displaystyle 1\leq k\leq n.} C n k + C n k + 1 = C n + 1 k + 1 {\displaystyle C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}} Pagal paskutiniąją lygybę (dar vadinama Paskalio taisykle) yra sudaromas Paskalio trikampis, kuris naudojamas gauti dvinario a + b {\displaystyle a+b} n-tojo laipsnio koeficientus.