Tolydi funkcija
Funkcija f ( x ) {\displaystyle f(x)} vadinama tolydžia intervale (a; b), jei kiekviename intervalo taške galioja lygybė: lim x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) . {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0}).} Be šio, naudojami ir kiti tolydumo apibrėžimai: lim Δ x → 0 Δ y = 0 , {\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y=0,} Jei ∀ ε > 0 ∃ δ ( ε ) > 0 : | x − x 0 | < δ ⇒ | f ( x ) − f ( x 0 ) | < ε . {\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta (\varepsilon )>0:|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .} Visi trys pateikti apibrėžimai savo prasme yra lygiaverčiai. Paprastesniais terminais, funkcija yra tolydi, jei labai mažus argumento pokyčius atitinka labai maži funkcijos reikšmės pokyčiai. Tokių funkcijų grafikai yra tolygios kreivės, be staigių šuolių bei trūkių. Intervalas, kuriame funkcija yra tolydi, vadinamas funkcijos tolydumo intervalu. Beveik visos pagrindinės funkcijos yra tolydžios: trigonometrinės, daugianariai, logaritmai ir t. t. Pavyzdžiui, įrodysime, kad natūrinis logaritmas yra tolydi funkcija, pasiremdami antru apibrėžimu: lim Δ x → 0 Δ y = lim Δ x → 0 ( ln ⁡ ( x + Δ x ) − ln ⁡ ( x ) ) = {\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\left(\ln(x+\Delta x)-\ln(x)\right)=} = lim Δ x → 0 ln ⁡ ( x + Δ x x ) = lim Δ x → 0 ln ⁡ ( 1 + Δ x x ) , = ln ⁡ lim Δ x → 0 ( 1 + Δ x x )   {\displaystyle =\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\ln \left({\frac {x+\Delta x}{x}}\right)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\ln \left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right),=\ln \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)\ } lim Δ x → 0 Δ y = ln ⁡ 1 = 0. {\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y=\ln 1=0.}