Vilnelė (matematika)
Vilnelė (angl. wavelet nuo pranc. ondelette - maža bangelė) - funkcija, leidžianti tirti signalų dažninius komponentus atskiruose laiko intervaluose (naudojant vilnelių transformacijas). Pagal vieną iš apibrėžimų, vilnele vadinama funkcija, kurios vidurkis yra lygus nuliui: ∫ − ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0. {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)\,dt=0.} Įrodoma, kad funkcijos, kuriai teisingos sąlygos ∫ − ∞ ∞ | ψ ( t ) | d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|\,dt<\infty } ir ∫ − ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt<\infty ,} kitaip tariant, ψ ∈ L 1 ( R ) ∩ L 2 ( R ) , {\displaystyle \psi \in L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} ),} vidurkis yra lygus nuliui, jei ji tenkina priimtinumo sąlygą: ∫ − ∞ ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 | ω | d ω < ∞ . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}}{|\omega |}}d\omega <\infty .} ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }}} čia yra vilnelės Furjė transformacija. Pagal kitą apibrėžimą, vilnele vadinama funkcija iš Hilberto erdvės, iš kurios galima suformuoti funkcijų šeimą, sudarančią ortonormuotą bazę Hilberto erdvėje, naudojant formulę: ψ j , k ( t ) = 2 j / 2 ψ ( 2 j t − k ) . {\displaystyle \psi _{j,k}(t)=2^{j/2}\psi (2^{j}t-k).} Vilnelė ar vilnelių šeima gali būti nusakyta įvairiais būdais, pavyzdžiui, motinine vilnele ir mastelio funkcija. Turint motininę vilnelę, gali būti rastos vilnelės kitiems masteliams ir laikams: ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t − b a ) . {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={1 \over {\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over a}\right).}