Diferencialas
Diferencialas – funkcijos pokyčio tiesinė pagrindinė dalis. Funkcija y = f(x), apibrėžta intervale (a, b), vadinama diferencijuojama taške x ∈ {\displaystyle _{\in }} (a, b), jei jos pokytį Δy = f(x + Δx) – f(x) galima išreikšti dviejų dėmenų suma: Δy = AΔx + o(Δx); čia A – skaičius, nepriklausantis nuo Δx. Direfencialas žymimas: d y = d ( f ( a ) ) = f ′ ( a ) Δ x {\displaystyle dy=d(f(a))=f'(a)\Delta x} , iš to seka, kad funkcijos pokytis Δy mažai skiriasi nuo jos diferencialo: Δ y ≈ Δ y {\displaystyle \Delta y\approx \Delta y} Pavyzdžiui, yra funkcija f(x)=x². Tos funkcijos išvestinė yra f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x = ( x + Δ x ) 2 − x 2 Δ x = {\displaystyle {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}={\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}=} = x 2 + 2 x Δ x + ( Δ x ) 2 − x 2 Δ x = 2 x Δ x + ( Δ x ) 2 Δ x = 2 x + Δ x {\displaystyle ={\frac {x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}={\frac {2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}=2x+\Delta x} y ′ = f ′ ( x ) = d y d x = lim Δ x → 0 ( 2 x + Δ x ) = 2 x . {\displaystyle y'=f'(x)={\frac {dy}{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x)=2x.} Įstatykime vietoje x kokią nors reikšmę, pavyzdžiui, x=3. Δy = AΔx + o(Δx) = 2xΔx + (Δx)²=6Δx + (Δx)², čia A = 2x = 6 = f'(x); (Δx)² = o(Δx). Taigi funkcijos pokytis yra Δy = f(x + Δx) – f(x) = AΔx + o(Δx), o diferencialas dy = AΔx = y'Δx = y’dx = f'(x)dx; Δx = dx. Diferencijuojamumui būtina sąlyga yra funkcijos tolydumas. Tačiau ne visos tolydžios funkcijos yra diferencijuojamos. Kaip vienas iš tokių nediferencijuojamų funkcijų pavyzdžių yra Vejerštraso funkcija.