Laplaso transformacija
Laplaso transformacija – Pjero Simono Laplaso sukurtas tiesinis operatorius, transformuojantis realiųjų skaičių funkcijas į kompleksinių skaičių funkcijas. Tokiu atveju realiojo kintamojo funkcija vadinama vaizdu, o ją atitinkanti kompleksinio kintamojo funkcija – atvaizdu. Laplaso transformacija apibrėžiama taip: F ( s ) = L { f ( t ) } = ∫ 0 − ∞ e − s t f ( t ) d t . {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.} Čia i {\displaystyle i}  – menamasis vienetas, o 0 − {\displaystyle 0^{-}} yra lim ϵ → + 0 − ϵ   {\displaystyle \lim _{\epsilon \rightarrow +0}-\epsilon \ } . Tokia riba reiškia, kad į integravimo intervalą patenka visa Dirako delta funkcija. Atvirkštinė Laplaso transformacija yra tokia: f ( t ) = L − 1 { F ( s ) } = 1 2 π i ∫ γ − i ⋅ ∞ γ + i ⋅ ∞ e s t F ( s ) d s . {\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma -i\cdot \infty }^{\gamma +i\cdot \infty }e^{st}F(s)\,ds.} Čia γ yra tam tikras realusis skaičius, su kuriuo atvaizdas visame integravimo intervale konverguoja absoliučiai. Laplaso transformacijoje pakeitus s {\displaystyle s} į − i w {\displaystyle -iw} , ši pasidaro panaši į Furjė transformaciją.