კოშის ამოცანა
კოშის ამოცანა — დიფერენციალური განტოლებების თეორიის ერთ-ერთი ძირითადი ამოცანა, რომელიც სისტემატურად პირველად ო. კოშიმ შეისწავლა; ამოცანის არსია მოიძებნოს ∂ m u ∂ t m = F ( t , x , u , . . . , ∂ m 0 + m 1 + . . . + m n u ∂ t m 0 ∂ x 1 m 1 . . . ∂ x n m n ) , ( 1 ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{m}u}{\partial _{t}^{m}}}=F\left(t,x,u,...,{\frac {\partial ^{m_{0}+m_{1}+...+m_{n}}u}{\partial _{t}^{m_{0}}\partial _{x_{1}}^{m_{1}}...\partial _{x_{n}}^{m_{n}}}}\right),(1)} დიფერენციალური განტოლების ისეთი u ( x , t ) , x = ( x 1 , . . . , x n ) {\displaystyle u(x,t),x=(x_{1},...,x_{n})} ამონახსენი, რომელიც აკმაყოფილებს ე. წ. სასაზღვრო პირობებს: ∂ k u ∂ t k = f k ( x ) , t = t 0 , x ∈ G 0 , k = 0 , 1 , . . . , m − 1 , ( 2 ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{k}u}{\partial _{t}^{k}}}=f_{k}(x),t=t_{0},x\in G_{0},k=0,1,...,m-1,(2)} სადაც G 0 {\displaystyle G_{0}} არის საწყისი მნიშვნელობის მატარებელი − x 1 , x 2 , . . . , x n {\displaystyle -x_{1},x_{2},...,x_{n}} ცვლადი სივრცის t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} ჰიპერსიბრტყის არე. როდესაც F {\displaystyle F} და f k , k = 0 , 1 , . . . , m − 1 {\displaystyle f_{k},k=0,1,...,m-1} თავთავიანთი არგუმენტების ანალიზური ფუნქციებია, კოშის ( 1 ) {\displaystyle (1)} , ( 2 ) {\displaystyle (2)} ამოცანას t , x {\displaystyle t,x} ცვლადების სივრცის G 0 {\displaystyle G_{0}} არის მომცველ რომელიმე G {\displaystyle G} არეში ყოველთვის აქვს ამონახსნი, ამასთან მხოლოდ ერთი. მაგრამ ეს ამონახსნი შეიძლება არ იყოს მდგრადი (ე. ი. საწყისი პირობების მცირე ცვლილებამ შეიძლება გამოიწვიოს ამონახსნის დიდი ცვლილება), მაგალითად, იმ შემთხვევაში, როდესაც ( 1 ) {\displaystyle (1)} განტოლება ელიფსური ტიპისაა. როცა პირობები არაანალიზურია, კოშის ( 1 ) {\displaystyle (1)} , ( 2 ) {\displaystyle (2)} ამოცანამ შეიძლება დაკარგოს აზრი, თუ არ შემოვიფარგლებით იმ შემთხვევით, როდესაც ( 1 ) {\displaystyle (1)} განტოლება ჰიპერბოლური ტიპისაა.