წარმოებული
წარმოებული — მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ძირითადი ცნება. ერთი ნამდვილი ცვლადის f {\displaystyle f} ფუნქციის შემთხვევაში გვიჩვენებს რაიმე x 0 {\displaystyle x_{0}} წერტილის მიდამოში არგუმენტის x − x 0 {\displaystyle x-x_{0}} ცვლილებასთან შედარებით როგორია ფუნქციის მნიშვნელობის შესაბამისი ცვლილება f ( x ) − f ( x 0 ) {\displaystyle f(x)-f(x_{0})} . სხვა სიტყვებით, გვიჩვენებს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს მოცემული x 0 {\displaystyle x_{0}} წერტილის მიდამოში. განსაზღვრება: ერთი ნამდვილი ცვლადის f : [ a , b ] → R {\displaystyle f:[a,\;b]\to R} ფუნქციის წარმოებული x 0 ∈ ] a , b [ {\displaystyle x_{0}\in ]a,\;b[} წერტილში აღინიშნება სიმბოლოთი f ′ ( x 0 ) {\displaystyle f'(x_{0})} და f ′ ( x 0 ) = lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 , {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}},} თუ უკანასკნელი ზღვარი სასრულია. როდისაც x 0 = a {\displaystyle x_{0}=a} ან x 0 = b {\displaystyle x_{0}=b} , მაშინ უკანასკნელ ტოლობაში განვიხილავთ შესაბამისად მარჯვენა და მარცხენა ზღვრებს, ხოლო რიცხვებს f ′ ( a ) {\displaystyle f'(a)} და f ′ ( b ) {\displaystyle f'(b)} ვუწოდებთ შესაბამისად მარცხენა და მარჯვენა წარმოებულებს. თუ x 0 {\displaystyle x_{0}} წერტილში არგუმენტისა და ფუნქციის ნაზრდებისათვის შემოვიღებთ შესაბამისად აღნიშვნებს Δ x = x − x 0 დ ა Δ f ( x 0 ) = f ( x ) − f ( x 0 ) {\displaystyle \Delta x=x-x_{0}\;\;{\text{დ ა}}\;\;\Delta f(x_{0})=f(x)-f(x_{0})} , მაშინ წინა ტოლობა შეიძლება შემდეგი ექვივალენტური ფორმითაც ჩაიწეროს ( 1 ) f ′ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x ან f ′ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 Δ f ( x 0 ) Δ x . {\displaystyle (1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(x_{0})=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}\;\;{\text{ან}}\;\;f'(x_{0})=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f(x_{0})}{\Delta x}}.} წარმოებულის განსაზღვრებიდან ცხადია, რომ ფუნქცია ε ( x ) = f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 − f ′ ( x 0 ) {\displaystyle \varepsilon (x)={\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}-f'(x_{0})} აკმაყოფილებს ტოლობას lim x → x 0 ε ( x ) = 0 {\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}\varepsilon (x)=0} . ამიტომ უტოლობიდან | f ( x ) − f ( x 0 ) | ≤ | f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) | + | ε ( x ) ( x − x 0 ) | {\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|\leq |f'(x_{0})(x-x_{0})|+|\varepsilon (x)(x-x_{0})|} , გამომდინარეობს f {\displaystyle f} ფუნქციის უწყვეტობა x 0 {\displaystyle x_{0}} წერტილში. ამდენად f ′ ( x 0 ) {\displaystyle f'(x_{0})} წარმოებულის არსებობიდან გამომდინარეობს f {\displaystyle f} ფუნქციის უწყვეტობა x 0 {\displaystyle x_{0}} წერტილში. შეიძლება ფუნქცია იყოს უწყვეტი რაიმე წერტილში მაგრამ არ იყოს წარმოებადი ამ წერტილში. მაგალითად უწყვეტ ფუნქციას f ( x ) = | x | {\displaystyle f(x)=|x|} არ გააჩნია წარმოებული f ′ ( 0 ) {\displaystyle f'(0)} . მეტიც, 1872 წელს ვაიერშტრასმა ააგო პირველი მაგალითი უწყვეტი ფუნქციისა (ვაიერშტრასის ფუნქცია), რომელსაც არცერთ წერტილში არ გააჩნია წარმოებული. თუ ფუნქციას f : [ a , b ] → R {\displaystyle f:[a,\;b]\to R} ყოველ x 0 ∈ [ a , b ] {\displaystyle x_{0}\in [a,\,b]} წერტილში გააჩნია წარმოებული, მაშინ ფუნქციას, რომელიც ყოველ x 0 ∈ [ a , b ] {\displaystyle x_{0}\in [a,\,b]} რიცხვს შეუსაბამებს რიცხვს f ′ ( x 0 ) {\displaystyle f'(x_{0})} აღვნიშნავთ სიმბოლოთი f ′ {\displaystyle f'} და ვუწოდებთ f {\displaystyle f} ფუნქციის წარმოებულს. ცნობილია, რომ ყოველ წერტილში წარმოებადი f {\displaystyle f} ფუნქციის წარმოებულ f ′ {\displaystyle f'} ფუნქციას მხოლოდ მეორე გვარის წყვეტები შეიძლება ჰქონდეს. თუ f ′ {\displaystyle f'} ფუნქცია წარმოებადია, მაშინ მისი გაწარმოებით მივიღებთ ფუნქციას f ″ {\displaystyle f''} , რომელსაც ეწოდება f {\displaystyle f} ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებული. ანალოგიურად f ″ {\displaystyle f''} ფუნქციის წარმოებადობის შემთხვევაში მივიღებთ f ‴ {\displaystyle f'''} -მესამე რიგის წარმოებულს. საზოგადოდ n − {\displaystyle n-} ური რიგის წარმოებულს აღნიშნავენ სიმბოლოთი f ( n ) {\displaystyle f^{(n)}} და f ( n ) ( x 0 ) = ( f ( n − 1 ) ( x 0 ) ) ′ = lim x → x 0 f ( n − 1 ) ( x ) − f ( n − 1 ) ( x 0 ) x − x 0 ( n ∈ N ) , {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f^{(n)}(x_{0})=(f^{(n-1)}(x_{0}))'=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_{0})}{x-x_{0}}}\;\;\;\;(n\in N),} სადაც f ( 0 ) := f {\displaystyle f^{(0)}:=f} . ხშირად, ლაგრანჟის მიერ შემოღებული f ′ , f ″ , ⋯ , f ( n ) {\displaystyle f',f'',\cdots ,f^{(n)}} , აღნიშვნების ნაცვლად გამოიყენება ლაიბნიცის აღნიშვნები d f d x , d 2 f d x 2 , ⋯ , d n f d x n {\displaystyle {\frac {df}{dx}},{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}},\cdots ,{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}} შესაბამისად, ხოლო დაბალი რიგის წარმოებულებისათვის ნიუტონის მიერ შემოღებული აღნიშვნები f ˙ , f ¨ . {\displaystyle {\dot {f}},{\ddot {f}}.} ლაიბნიცის მიხედვით, წარმოებულის მნიშვნელობისათვის x 0 {\displaystyle x_{0}} წერტილში გამოიყენება აღნიშვნები d n f d x n | x = x 0 ან d n f d x n ( x 0 ) {\textstyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}{\bigg \vert }_{x=x_{0}}\;\;{\text{ან}}\;\;\;\;{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x_{0})} . თუ ფუნქციას გააჩნია თავის განსაზღვრის არეზე უწყვეტი წარმოებული, მას უწოდებენ ხოლმე გლუვს.