კომპლექსური რიცხვი
კომპლექსური რიცხვი — რიცხვი, რომელიც გამოისახება როგორც ჯამი z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} , სადაც x {\displaystyle x} და y {\displaystyle y} ნამდვილი რიცხვებია, ხოლო i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} , რომელსაც წარმოსახვითი რიცხვი ეწოდება და მისი კვადრატი არის -1. კომპლექსური რიცხვები ნამდვილი რიცხვების გაფართოებაა. x {\displaystyle x} უწოდებენ z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} კომპლექსური რიცხვის ნამდვილ, ხოლო y {\displaystyle y} წარმოსახვით ნაწილს. აღნიშნავენ Re ⁡ ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)} და Im ⁡ ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)} შემოკლებებით. მაგალითად, თუ z = − 3.5 + 2 i {\displaystyle z=-3.5+2i} , მაშინ: Re ⁡ ( z ) = Re ⁡ ( − 3.5 + 2 i ) = − 3.5   {\displaystyle \operatorname {Re} (z)=\operatorname {Re} (-3.5+2i)=-3.5\ } Im ⁡ ( z ) = Im ⁡ ( − 3.5 + 2 i ) = 2.   {\displaystyle \operatorname {Im} (z)=\operatorname {Im} (-3.5+2i)=2.\ } . რიცხვი წარმოსახვითია თუ y≠0 წინააღმდეგ შემთხვევაში რიცხვი ნამდვილი ხდება. კომპლექსურ რიცხვებთან დაკავშირებულ ტერმინებში, განსაკუთრებით ტრადიციული წარმოშობისა, კომპლექსური რიცხვის გაგების განვითარების რთულმა ისტორიულმა პროცესმა ჰპოვა ასახვა. z = x + yi კომპლექსური რიცხვის აბსოლუტური სიდიდე (ასევე: მოდული, ამპლიტუდა) გამოითვლება როგორც შესაბამისი ვექტორის სიგრძე: r = | z | = x 2 + y 2 . {\displaystyle \textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,} კომპლექსური რიცხვის არგუმენტი ანუ ფაზა წარმოადგენს კუთხეს რადიუსსა და რეალური ნაწილის ღერძს შორის, და ჩაიწერება როგორც arg ⁡ ( z ) {\displaystyle \arg(z)} . აბსოლუტური მნიშვნელობის მსგავსად, არგუმენტი მიიღება მართკუთხა საკოორდინატო სისტემის x + y i {\displaystyle x+yi} ფორმიდან შემდეგნაირად: φ = arg ⁡ ( z ) = { arctan ⁡ ( y x ) if  x > 0 arctan ⁡ ( y x ) + π if  x < 0  and  y ≥ 0 arctan ⁡ ( y x ) − π if  x < 0  and  y < 0 π 2 if  x = 0  and  y > 0 − π 2 if  x = 0  and  y < 0 indeterminate  if  x = 0  and  y = 0. {\displaystyle \varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\mbox{indeterminate }}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}} როგორც წესი, არგუმენტი გამოისახება რადიანებში.