ფრიდმანის განტოლებები
ფრიდმანის განტოლებები — განტოლებათა ნაკრები კოსმოლოგიაში რომელიც გამოხატავს კოსმოსის გაფართოებას ერთგვაროვან და იზოტროპულ მოდელებში ზოგადი ფარდობითობის კონტქსტით. ისინი პირველად ალექსანდრე ფრიდმანმა გამოიყვანა 1922 წელს აინშტაინის ველების განტოლებებიდან ფრიდმან-ლემეტრ-რობერტსონ-უოკერის მეტრულისთვის და ფლუიდიისათვის მოცემული ენერგიის სიმკვრივით ρ და წნევით p {\displaystyle p} . განტოლებებია: H 2 ≡ ( a ˙ a ) 2 = 8 π G ρ + Λ 3 − K c 2 a 2 {\displaystyle H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G\rho +\Lambda }{3}}-K{\frac {c^{2}}{a^{2}}}} 3 a ¨ a = Λ − 4 π G ( ρ + 3 p c 2 ) {\displaystyle 3\,{\frac {\ddot {a}}{a}}=\Lambda -4\pi G\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)} სადაც Λ {\displaystyle \Lambda } არის კოსმოლოგიური მუდმივა შესაძლო გამოწვეული ვაკუუმური ენერგიით, G {\displaystyle G} არის გრავიტაციული მუდმივა, c {\displaystyle c} - სინათლის სიჩქარე , a {\displaystyle a} - მასშტაბური კოეფიციენტი, ხოლო K {\displaystyle K} - გაუსის მრუდე როდესაც a = 1 {\displaystyle a=1} (ე.ი. დღეს). თუ სამყაროს ფორმა ჰიპერსფეროა, და R {\displaystyle R} არის მრუდის რადიუსი ( R 0 {\displaystyle R_{0}} აწმყო დროს), მაშინ a = R / R 0 {\displaystyle a=R/R_{0}} . ჩვეულებრივ, K a 2 {\displaystyle K \over a^{2}} არის გაუსის მრუდე. თუ K {\displaystyle K} დადებითია, მაშინ სამყარო ჰიპერსფეროა. თუ K {\displaystyle K} უდრის ნულს, მაშინ სამყარო ბრტყელია. ხოლო თუ K {\displaystyle K} უარყოფითია, სამყაროს ფორმა ჰიპერბოლაა. აღსანიშნავია, რომ ρ {\displaystyle \rho } და p {\displaystyle p} როგორც წესი არიან a {\displaystyle a} -ს ფუნქციები. ჰაბლის კოეფიციენტი , H {\displaystyle H} , სამყაროს გაფართოების კოეფიციენტია. ზოგჯერ სიმარტივისთვის გამოსახავენ შემდეგნაირად: ρ → ρ − Λ 8 π G {\displaystyle \rho \rightarrow \rho -{\frac {\Lambda }{8\pi G}}} p → p + Λ c 2 8 π G {\displaystyle p\rightarrow p+{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}} აქედან გამომდინარე: H 2 ≡ ( a ˙ a ) 2 = 8 π G 3 ρ − K c 2 a 2 {\displaystyle H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -K{\frac {c^{2}}{a^{2}}}} 3 a ¨ a = − 4 π G ( ρ + 3 p c 2 ) {\displaystyle 3\,{\frac {\ddot {a}}{a}}=-4\pi G\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)} ჰაბლის კოეფიციენტი დროთა განმავლობაში შეიძლება შეიცვალოს იმის მიხედვით, თუ განტოლების სხვა შემადგენლები არიან დროზე დამოკიდებულები (კერძოდ ენერგიის სიმკვრივე, ვაკუუმური ენერგია, და სიმრუდე). ჰაბლის პარამეტრის გამოთვლას ახლანდელ დროში მივყავართ ჰაბლის მუდმივასკენ, რომელიც თავის მხრივ ჰაბლის კანონის პროპორციულობის გამომსახველია. ფლუიდის მოცემული მდომარეობის განტოლებით გამოსახვით, ფრიდმანის განტოლებები დროის ევოლუციასა და სამყაროს გეომეტრიას გამოხატავენ როგორც ფლუიდის სიმკვრივის ფუნქციას. ზოგიერთი კოსმოლოგი ამათგან მეორეს ეძახის აჩქარების განტოლებას და მხოლოდ პირველს უწოდებს ფრიდმანის განტოლებას.