ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ
ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨੰਬਰ ਸਿਸਟਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਤੱਕ ਫੈਲਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਆਇਰਿਸ਼ ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਵਿਲੀਅਮ ਰੋਵਨ ਹੈਮਿਲਟਨ ਦੁਆਰਾ 1843/੧੮੪੩ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਸਨ। ਅਤੇ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਮਕੈਨਿਕਸ ਉੱਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਨ। ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਨੌਨ-ਕਮਿਉਟੇਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹੈਮਿਲਟਨ ਨੇ ਇੱਕ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਨੂੰ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਦੋ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਕੋਸ਼ੰਟ (ਗੁਣਕ) ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕੋਸ਼ੰਟ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਬਰਾਬਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ। ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋ ਸਿਧਾਂਤਕ ਅਤੇ ਉਪਯੋਗਿਕ ਗਣਿਤ ਦੋਹਾਂ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਖਾਸ ਕਰਕੇ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਕੈਲਕੁਲੇਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਅਯਾਮੀ ਕੰਪਿਊਟਰ ਗ੍ਰਾਫਿਕਸ, ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਜ਼ਨ ਅਤੇ ਕ੍ਰਿਸਟੈੱਲੋਗ੍ਰਾਫਿਕ ਟੈਕਸਚਰ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ। ਪ੍ਰੈਕਟੀਕਲ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ (ਵਿਵਹਾਰਿਕ ਉਪਯੋਗਾਂ) ਵਿੱਚ, ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਹੋਰ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਇਲੁਰ ਐਂਗਲ ਅਤੇ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਮੈਟ੍ਰੀਸੀਜ਼, ਜਾਂ ਇਹਨਾਂ ਦੇ ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ, ਉਪਯੋਗ ਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਵਰਤੋ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਮਾਡਰਨ ਗਣਿਤਿਕ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਸਹਿਯੋਗੀ ਨੌਰਮਡ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਅਲਜਬਰਾ ਰਚਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਕਰਕੇ ਇਹਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਡੋਮੇਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਦਰਅਸਲ, ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਪਹਿਲਾ ਖੋਜਿਆ ਗਿਆ ਨੌਨ-ਕਮਿਉਟੇਟਿਵ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਅਲਜਬਰਾ ਸੀ। ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦੇ ਅਲਜਬਰੇ ਨੂੰ ਅਕਸਰ H (ਹੈਮਿਲਟਨ ਸ਼ਬਦ ਲਈ) ਨਾਲ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਬਲੈਕਬੋਰਡ ਮੋਟੇ ਅੱਖਰ H {\displaystyle \mathbb {H} } (Unicode U+210D, ℍ) ਰਾਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ ਸ਼੍ਰੇਣੀਵੰਡ Cℓ0,2(R) ≅ Cℓ03,0(R) ਰਾਹੀਂ ਵੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਫ੍ਰੋਬਿਨੀਅਸ ਥਿਊਰਮ ਮੁਤਾਬਿਕ, ਅਲਜਬਰਾ H ਅਵਲੋਕਨ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਥਾਨ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਇੱਕ ਸਹੀ ਸਬ-ਰਿੰਗ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰ ਰੱਖਣ ਵਾਲੇ ਸਿਰਫ ਦੋ ਸੀਮਤ-ਅਯਾਮੀ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਰਿੰਗਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ, ਦੂਜਾ ਰਿੰਗ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਰਿੰਗਾਂ ਨੂੰ ਯੁਕਿਲਡਨ ਹੁਰਵਿਟਜ਼ ਅਲਜਬਰੇ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ ਅਲਜਬਰਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ ਯੂਨਿਟ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਨੂੰ 3-ਸਫੀਅਰ S3 ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਗਰੁੱਪ ਬਣਤਰ ਦੀ ਇੱਕ ਚੋਣ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਗਰੁੱਪ Spin(3) ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ SU(2) ਪ੍ਰਤਿ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ SU(3) ਦੇ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡੀ ਕਵਰ ਪ੍ਰਤਿ ਵੀ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।