ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਕਾਰਜ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ
ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਸਾਰੇ ਨਿਯਮ ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਨਿਯਮ, ਲਗਰਾਂਜ ਦੀਆਂ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ, ਹੈਮਿਲਟਨ ਦੀਆਂ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਆਦਿ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ, ਇਸ ਬਹੁਤ ਸਰਲ ਸਿਧਾਂਤ ਤੋਂ ਬਣਾਏ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ: δ S = δ ∫ t 1 t 2 L ( q , q ˙ , t ) d t = 0 {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)dt=0} ਜਿੱਥੇ S {\displaystyle {\mathcal {S}}} ਕਾਰਜ ਹੈ; ਜੋ ਭੌਤਿਕੀ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਲਗਰਾਂਜੀਅਨ L ( q , q ˙ , t ) = T ( q ˙ , t ) − V ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=T(\mathbf {\dot {q}} ,t)-V(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)} ਦਾ ਦੋ ਵਕਤਾਂ t1 ਅਤੇ t2 ਦਰਮਿਆਨ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਗਤਿਜ਼ (ਕਾਇਨੈਟਿਕ) ਊਰਜਾ T (ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਬਣਤਰ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ), ਅਤੇ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਐਨਰਜੀ V (ਬਣਤਰ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦਰ) ਹੈ। ਅਜ਼ਾਦੀ ਦੀਆਂ N ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਾਲੇ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਬਣਤਰ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟਾਂ q = (q1, q2, ... qN) ਰਾਹੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਪ੍ਰਤਿ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਇੱਕ ਮੋਮੈਂਟਾ ਕੰਜੂਗੇਟ p = (p1, p2, ..., pN) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ: p i = ∂ L ∂ q ˙ i {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}} ਐਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਲਗਰਾਂਜੀਅਨ ਦੋਵੇਂ ਹੀ ਸਾਰੇ ਵਕਤਾਂ ਲਈ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਯੰਤਰਾਵਲੀ ਰੱਖਦੇ ਹਨ। ਸ਼ਬਦ “ਰਸਤਾ” ਸਰਲਤਾ ਨਾਲ ਇੱਕ ਕਰਵ (ਵਕਰ) ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸਿਸਟਮ ਦੁਆਰਾ ਬਣਤਰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਟਰੇਸ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਯਾਨਿ ਕਿ ਵਕਤ ਰਾਹੀਂ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਇਜ਼ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਕਰਵ q(t)। ਐਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਨਾ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਲਗਰਾਂਜੀਅਨ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਲਗਰਾਂਜੀਅਨ ਰਸਤੇ q(t) ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਐਕਸ਼ਨ (t1 ਤੋਂ t2 ਤੱਕ ਦੇ ਵਕਤ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ) ਸਾਰੇ ਵਕਤਾਂ ਲਈ ਰਸਤੇ ਦੀ ਪੂਰੀ ਸ਼ਕਲ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਵਕਤ ਦੇ ਦੋ ਪਲਾਂ ਦਰਮਿਆਨ, ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅਨੰਤ ਰਸਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਜਿਸ ਰਸਤੇ ਲਈ ਐਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਹੀ ਸਥਾਨ ਉੱਤੇ ਠਹਿਰਿਆ ਹੋਇਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਪਹਿਲੇ ਦਰਜੇ ਤੱਕ) ਉਹੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਰਸਤਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਲਗਰਾਂਜੀਅਨ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸਾਰੀ ਦੀ ਸਾਰੀ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਦੀ ਲੜੀ ਲਈ ਠਹਿਰਿਆ ਹੋਇਆ ਮੁੱਲ ਜੋ ਕਿਸੇ ਰਸਤੇ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਨਾ ਕਿ ਸਿਰਫ ਲਗਰਾਂਜੀਅਨ ਦੇ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਦੀ। (ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਮੁੱਲ ਆਦਿ ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਖੋਜਣ ਲਈ ਸਮੂਕਰਨਾਂ ਹੱਲ ਕਰਨ ਨਾਲੋਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਏਟ ਕਰਕੇ ਜ਼ੀਰੋ ਤੱਕ ਸੈੱਟ ਕਰਨਾ ਇੰਨਾ ਸਧਾਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਸਗੋਂ ਇਹ ਵਿਚਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸਾਰੀ ਦੀ ਸਾਰੀ ਸ਼ਕਲ ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਵਿਧੀ ਉੱਤੇ ਹੋਰ ਵਿਵਰਣ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਦਾ ਕੈਲਕੁਲਸ ਦੇਖੋ) ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ L, ਅੰਤਰ ਕਾਰਨ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ ਨਹੀਂ E ਹੁੰਦੀ, ਸਗੋਂ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। E = T + V {\displaystyle E=T+V}