ਸਪਿੱਨੌਰ
ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਅਤੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਸਪਿੱਨੌਰ ਇੱਕ (ਕੰਪਲੈਕਸ) ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਦੇ ਤੱਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਨਾਲ ਜੋੜੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਵੈਕਟਰਾਂ ਅਤੇ ਹੋਰ ਆਮ ਟੈਂਸਰਾਂ ਦੀ ਤਰਾਂ, ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਜਰਾ ਜਿੰਨਾ ਘੁੰਮਾਉਣ 'ਤੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਵਰਤਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਅਜਿਹੀਆਂ ਛੋਟੀਆਂ-ਛੋਟੀਆਂ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਲੜੀ ਪੂਰੀ ਅੰਤਿਮ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਰਚਣ ਲਈ ਬਣਾਈ (ਜੋੜੀ) ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਫੇਰ ਵੀ, ਨਤੀਜਨ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪਰਿਵਰਤਨ ਇਸ ਗੱਲ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਛੋਟੀਆਂ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਕਿਹੜੀ ਲੜੀ ਵਰਤੀ ਗਈ ਸੀ, ਜੋ ਕਿ ਵੈਕਟਰਾਂ ਅਤੇ ਟੈਂਸਰਾਂ ਵਾਂਗ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਸਪੇਸ ਨੂੰ 0° ਤੋਂ 360° ਡਿਗਰੀ ਤੱਕ ਘੁਮਾਉਣ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਾਲੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਸੱਪਿਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਾਫੀ ਹੱਦ ਤੱਕ ਮਿਲਦੀ-ਜੁਲਦੀ ਸਪਿੱਨੌਰ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨਾਲ ਜੋੜਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ ਜਿਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੇ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਪਰਿਵਰਤਨ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਵਾਲੀ ਭੂਮਿਕਾ(ਰੋਲ) ਅਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਸਪਿੱਨੌਰ ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਇਲੇ ਕਾਰਟਨ ਵੱਲੋਂ 1913 ਵਿੱਚ ਲਿਆਂਦੇ ਗਏ ਸਨ। 1920ਵੇਂ ਦਹਾਕਿਆਂ ਵਿੱਚ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਅਨੀਆਂ ਨੇ ਖੋਜਿਆ ਕਿ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਅਤੇ ਹੋਰ ਉੱਪ-ਪ੍ਰਮਾਣੂ ਕਣਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਜਾਂ ਸਪਿੱਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਸਪਿੱਨੌਰ ਲਾਜ਼ਮੀ ਹਨ। ਸਪਿੱਨੌਰ ਉਸੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਦਰਸਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਜਿਸ ਰਾਹੀਂ ਇਹ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਅਧੀਨ ਵਰਤਾਓ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਨਾ ਕੇਵਲ ਅੰਤਿਮ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਉੱਤੇ ਹੀ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਸਗੋਂ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ (ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਫਰੁੱਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਰਸਤੇ ਰਾਹੀਂ) ਦੇ ਵਿਵਰਣ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਤੇ ਵੀ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਰਾਹੀਂ ਰਸਤਿਆਂ ਦੀਆਂ ਦੋ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਤੌਰ ਤੇ ਵੱਖਰੀਆਂ ਕਰਨ ਯੋਗ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ (ਹੋਮੋਟੌਪੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ) ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਉਸੇ ਪੂਰੀ ਦੀ ਪੂਰੀ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਬੈਲਟ ਟਰਿੱਕ ਬੁਝਾਰਤ ਰਾਹੀਂ ਸਮਝਾਇਅ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਸਮਾਨ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਉਲਟੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਾਲੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਪਿੱਨ ਸਮੂਹ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਦਾ ਦਰਜ(ਰਿਕਾਰਡ) ਰੱਖਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਘੇਰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਹਰੇਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਰਸਤੇ ਦੇ ਸਿਰੇ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸੁਤੰਤਰ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਸਪੇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਇੱਕ (ਕੰਪਲੈਕਸ) ਲੀਨੀਅਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਰੱਖਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੇ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ ਲੀਨੀਅਰ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਹੋਮੋਟੌਪੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਉੱਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਭਾਵੇਂ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਨੂੰ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਇੱਕ ਸਪੇਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ (ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਸੂਖਮ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰੇ) ਸ਼ੁੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਵੀ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਦੇ ਅਜਿਹੇ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਰੱਖਦੇ ਹੋਣ। ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ ਇੱਕ ਸਬੰਧਤ ਅਲਜਬਰਾ ਹੈ ਜੋ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਤੋਂ ਇੱਕ ਬੇਸਿਸ ਮੁਕਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਦੋਵੇਂ, ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਅਤੇ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਜੜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚ, ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ ਅਸਾਨ ਹੈ। ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਦਾ ਇੱਕ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਬੇਸਿਸ ਚੁਣ ਲੈਣ ਤੋਂ ਬਾਦ, ਅਜਿਹੇ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਰਾਹੀਂ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਨੂੰ ਪੈਦਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਾਨੋਨੀਕਲ ਐਂਟੀ-ਕਮਿਉਟੇਸ਼ਨ ਸਬੰਧਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਉੱਤੇ ਖਰੇ ਉਤਰਦੇ ਹਨ। ਸਪਿੱਨੌਰ ਉਹ ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਉੱਤੇ ਇਹ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਤਿੰਨ ਯੁਕਿਲਡਨ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਪੌਲੀ ਸਪਿੱਨ ਮੈਟ੍ਰੀਸੀਜ਼ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਹਨਾਂ ਦੋ-ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਵਾਲੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰਾਂ ਉੱਤੇ ਇਹ ਮੈਟ੍ਰੀਸੀਜ਼ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਉਹ ਸਪਿੱਨੌਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਫੇਰ ਵੀ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਖਾਸ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਕਾਰਣ ਜੋ ਸ਼ੁੱਧ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ “ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰ” (ਜਾਂ ਸਪਿੱਨੌਰ) ਰਚਦੀ ਹੈ, ਉਸ ਵਿੱਚ, ਬੇਸਿਸ ਦੀ ਚੋਣ ਅਤੇ ਗਾਮਾ ਮੈਟ੍ਰੀਸੀਜ਼ ਇੱਕ ਲਾਜ਼ਮੀ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦਾ ਇਹ ਅਨੁਭਵ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ ਦੇ ਔਡ ਹੋਣ ਤੇ ਜਾਂ ਤਾਂ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਘਟਾਇਆ ਨਾ ਜਾ ਸਕਣ ਯੋਗ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਾਂ “ਅੱਧਾ-ਸਪਿੱਨ” ਕਿਹਾ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਜੋੜ ਬਣ ਕੇ ਖਿੰਡ ਜਾਵੇਗਾ ਜੇਕਰ ਡਾਇਮੈਨਸਨ ਇਵਨ ਹੋਵੇ, ਜਿਸਨੂੰ ਵੇਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।