ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਜੀਓਮੈਟ੍ਰੀ
ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਜੀਓਮੈਟਰੀ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਜੀਓਮੈਟ੍ਰੀ ਦੀ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਸ਼ਾਖਾ ਹੈ ਜੋ ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ, ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਬੁੰਦੂ ਤੱਕ ਸੁਚਾਰੂ ਤੌਰ ਤੇ ਬਦਲਣ ਵਾਲੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਸਪੇਸ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਇਨਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਵਾਲ਼ੇ, ਇੱਕ ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵਾਲੇ ਸੁਚਾਰੂ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਖਾਸ ਤੌਰ ਤੇ, ਐਂਗਲ, ਵਕਰਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, ਸਰਫੇਸ ਏਰੀਆ ਅਤੇ ਵੌਲੀਊਮ ਦੀਆਂ ਸਥਾਨਿਕ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਤੋਂ, ਹੋਰ ਗਲੋਬਲ ਮਾਤ੍ਰਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਥਾਨਿਕ ਯੋਗਦਾਨਾਂ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟਿੰਗ ਨਾਲ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਜੀਓਮੈਟ੍ਰੀ ਬਰਨਹਾਰਡ ਰੀਮਾੱਨ ਦੇ ਉਦਘਾਟਨੀ ਲੈਕਚਰ "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" (ਓਸ ਪਰਿਕਲਪਨਾ ਉੱਤੇ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਅਧਾਰਿਤ ਹੈ) ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਵਿਚਾਰਾਂ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਈ ਸੀ। ਇਹ R3 ਵਿੱਚ ਸਰਫੇਸਾਂ ਦੀ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਜੀਓਮੈਟ੍ਰੀ ਦਾ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਵਿਸ਼ਾਲ ਅਤੇ ਅਮੂਰਤ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨਕਰਨ ਹੈ। ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਜੀਓਮੈਟ੍ਰੀ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਨੇ ਉੱਚ ਅਯਾਮਾਂ ਵਾਲੇ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਪ੍ਰਤਿ ਲਾਗੂ ਹੋ ਸਕਣ ਵਾਲ਼ੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਨਾਲ, ਸਰਫੇਸਾਂ ਦੇ ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਉੱਤੇ ਜੀਓਡੈਸਿਕਾਂ ਦੇ ਵਰਤਾਓ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਵੰਨ-ਸੁਵੰਨੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੇ ਮੇਲ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੱਤਾ। ਇਸ ਨੇ ਅਲਬਰਟ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦੀ ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਦੀ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਨੂੰ ਸੰਭਵ ਕੀਤਾ, ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ, ਗਰੁੱਪ ਥਿਊਰੀ ਅਤੇ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਥਿਊਰੀ ਉੱਤੇ ਗਹਿਰਾ ਪ੍ਰਭਾਵ ਪਾਇਆ, ਅਤੇ ਅਲਜਬ੍ਰਿਕ ਅਤੇ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਨੂੰ ਉਤਸ਼ਾਹਿਤ ਕੀਤਾ।