ਗਾਮਾ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਗਾਮਾ ਫੰਕਸ਼ਨ (ਜਿਸ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਯੂਨਾਨੀ ਵਰਣਮਾਲਾ ਦੇ ਵੱਡੇ ਅੱਖਰ ਗਾਮਾ Γ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆਜਾਂਦਾ ਹੈ), ਇਹ ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਇੱਕ ਐਕਸਟੈਨਸ਼ਨ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਆਰਗੂਮੈਂਟ 1 ਘਟਾ ਕੇ, ਵਾਸਤਵਿਕ ਅਤੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਨੰਬਰਾਂ ਤੱਕ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਜੇ n ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ, Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!} ਗਾਮਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗੈਰ-ਸਾਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਛੱਡਕੇ ਸਾਰੀਆਂ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਹਿੱਸੇ ਵਾਲੀਆਂ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ, ਇਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਅਢੁਕਵੇਂ ਇੰਟੀਗਰਲ ਰਾਹੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ x z − 1 e − x d x {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx} ਇਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣੀ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਦੁਆਰਾ ਗੈਰ-ਸਾਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ (ਜਿੱਥੇ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਰਲ ਧਰੁਵ ਹਨ) ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ ਸਾਰੀਆਂ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸ ਤੋਂ ਮੈਰੋਮੋਰਫਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਗਾਮਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਦੀਆਂ ਕੋਈ ਸਿਫਰਾਂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ, ਇਸ ਲਈ ਉਲਟ ਗਾਮਾ ਫੰਕਸ਼ਨ 1/Γ(z) ਇੱਕ ਹੋਲੋਮੋੋਰਫਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਵਾਸਤਵ ਵਿੱਚ ਗਾਮਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੈਗੇਟਿਵ ਘਾਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੇਲਿਨ ਰੂਪਾਂਤਰ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ: Γ ( z ) = { M e − x } ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)=\{{\mathcal {M}}e^{-x}\}(z)} ਗਾਮਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਭਿੰਨ ਸੰਭਾਵਨਾ-ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅੰਗ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾ ਅਤੇ ਅੰਕੜਾ-ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਤੇ ਨਾਲ ਹੀ ਤਰਕੀਬੀ-ਹਿਸਾਬ ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੈ। 