ਟੌਪੌਲੌਜੀ
ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਟੌਪੌਲੌਜੀ (ਗਰੀਕ ਤੋਂ τόπος, ਸਥਾਨ, ਅਤੇ λόγος, ਅਧਿਐਨ) ਖੁੱਲੇ ਸੈੱਟਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਸੈੱਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਪੇਸ ਬਣਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਗਣਿਤ ਦਾ ਸਪੇਸ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ ਨਿਰੰਤਰ ਤੋੜ ਮਰੋੜਾਂ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ ਵੀ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਰਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਜਿਵੇਂ ਖਿੱਚਣਾ, ਮੋੜਨਾ, ਪਰ ਫਾੜਨਾ ਜਾਂ ਚਿਪਕਾਉਣਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਕਨੈੱਕਟਡਨੈੱਸ (ਸੰਪਰਕਤਾ) ਅਤੇ ਕੰਪੈਕਟਨੈੱਸ (ਸੁੰਗੜਤਾ) ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਜੀਓਮੈਟਰੀ (ਰੇਖਾਗਣਿਤ) ਅਤੇ ਸੈੱਟ ਥਿਊਰੀ ਦੇ ਵਿੱਚੋਂ, ਸਪੇਸ, ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ (ਅਯਾਮ), ਅਤੇ ਟਰਾਂਸਫੌਰਮੇਸ਼ਨ (ਪਰਿਵਰਤਨ) ਵਰਗੇ ਸੰਕਲਪਾਂ ਦੇ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਰਾਹੀਂ, ਅਧਿਐਨ ਦੇ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਿਕਸਿਤ ਹੋਈ ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਵਿਚਾਰ 17ਵੀਂ ਸਦੀ ਵਿੱਚ ਗੌੱਟਫਰੇਡ ਲੈਬਨਿਜ਼ ਵੱਲ ਲਿਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਜਿਸਨੇ ਜੀਓਮੈਟ੍ਰੀਆ ਸਾਇਟਸ (“ਸਥਾਨ ਦੀ ਜਿਓਮੈਟਰੀ” ਲਈ ਗਰੀਕ-ਲੈਟਿਨ ਸ਼ਬਦ) ਅਤੇ ਐਨਾਲਾਇਸਿਸ ਸਾਇਟਸ (“ਸਥਾਨ ਤੋਂ ਅਲੱਗ ਚੁੱਕਣਾ” ਲਈ ਗਰੀਕ-ਲੈਟਿਨ ਸ਼ਬਦ) ਸ਼ਬਦਾਂ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕੀਤੀ। ਲੀਓਨਹਾਰਡ ਇਲੁਰ ਦੀ ਕੋਨਿਗਜ਼ਬਰਗ ਦੇ ਸੱਤ ਪੁਲਾਂ ਵਾਲੀ ਸਮੱਸਿਆ ਅਤੇ ਪੌਲੀਹੀਡ੍ਰਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਯਕੀਨ ਨਾਲ ਇਸ ਖੇਤਰ ਦੀਆਂ ਪਹਿਲੀਆਂ ਥਿਊਰਮਾਂ ਹਨ। ਸ਼ਬਦ “ਟੌਪੌਲੌਜੀ” 19ਵੀਂ ਸਦੀ ਵਿੱਚ ਜੌਹਾੱਨ ਬੈਨੇਡਿਕਟ ਲਿਸਟਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਭਾਵੇਂ ਇੱਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਪੇਸ ਦੇ ਵਿਕਸਤ ਹੋਣ ਤੱਕ 20ਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਦਹਾਕੇ ਤੱਕ ਅਜਿਹਾ ਨਹੀਂ ਹੋਇਆ ਸੀ। 20ਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਮੱਧ ਤੋਂ, ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਗਣਿਤ ਦੀ ਵੱਡੀ ਸ਼ਾਖਾ ਬਣ ਗਈ ਹੈ। ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਦੀਆਂ ਕਈ ਸਬਫੀਲਡਾਂ (ਉੱਪ-ਖੇਤਰ) ਹਨ: ਜਨਰਲ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਦੇ ਮੁਢਲੇ ਪਹਿਲੂਆਂ ਦੀ ਸਥਾਪਨਾ ਕਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਪੇਸਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਪੜਤਾਲ ਕਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਪੇਸਾਂ ਪ੍ਰਤਿ ਲਾਜ਼ਮੀ ਸੰਕਲਪਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ [ੜਤਾਲ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਪੋਆਇੰਟ-ਸੈੱਟ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ, ਜੋ ਹੋਰ ਸਾਰੀਆਂ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਮੁਢਲੀ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਹੈ (ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੰਪੈਕਟਨੈੱਸ ਅਤੇ ਕਨੈੱਕਟਡਨੈੱਸ ਵਰਗੇ ਵਿਸ਼ੇ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ)। ਅਲਜਬਰਿਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀ, ਹੋਮੋਲੌਜੀ ਅਤਵੇ ਹੋਮੋਟੌਪੀ ਵਰਗੀਆਂ ਅਲਜਬਰਿਕ ਬਣਤਰਾਂ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਕਨੈਕਟੀਵਿਟੀ ਦੀਆਂ ਡਿਗਰੀਆਂ ਨੂੰ ਨਾਪਣ ਦਾ ਯਤਨ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਟੌਪੌਲੌਜੀ, ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ ਉੱਤੇ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਵਰਤਣ ਵਾਲੀ ਫੀਲਡ ਹੈ। ਇਹ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਜੀਓਮੈਟਰੀ (ਰੇਖਾਗਣਿਤ) ਨਾਲ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਤੌਰ ਤੇ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਦੋਵੇਂ ਇਕੱਠੀਆਂ ਰਲ ਕੇ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ ਦੀ ਜੀਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਥਿਊਰੀ ਰਚਦੀਆਂ ਹਨ। ਜੀਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਮੁੱਖ ਤੌਰ ਤੇ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ ਅਤੇ ਹੋਰ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ ਵਿੱਚ ਇਹਨਾਂ ਦੇ ਜੜੇ ਹੋਏ ਸਥਾਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ ਤੇ ਕ੍ਰਿਆਸ਼ੀਲ ਖੇਤਰ ਲੋ-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਲ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਹੈ, ਜੋ ਚਾਰ ਜਾਂ ਚਾਰ ਤੋਂ ਘੱਟ ਅਯਾਮਾਂ ਵਾਲੇ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਿਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਨੌੱਟ ਥਿਊਰੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ, ਜੋ ਗਣਿਤਿਕ ਨੌੱਟਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਹੈ।