ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਓਪਰੇਟਰ
ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ V ਉੱਤੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਪ੍ਰੋਡਕਟ (ਗੁਣਨਫਲ)〈.,.〉 ਨਾਲ ਇੱਕ ਸੈਲਫ-ਅਡਜੋਆਇੰਟ (ਹਰਮਿਸ਼ਨ) ਓਪਰੇਟਰ ਅਜਿਹਾ ਓਪਰੇਟਰ (V ਤੋਂ A ਤੱਕ ਦਾ ਆਪਣੇ ਆਪ ਦਾ ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ/ਰੇਖਿਕ ਨਕਸ਼ਾ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਅਪਣਾ ਖੁਦ ਦਾ ਅਡਜੋਆਇੰਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ⟨ A v , w ⟩ = ⟨ v , A w ⟩ {\displaystyle \langle Av,w\rangle =\langle v,Aw\rangle } | ਜੇਕਰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ (ਸਮਕੋਣ ਉੱਤੇ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ) ਬੇਸਿਸ (ਅਧਾਰ) ਵਾਲੀ V ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ (ਅਯਾਮਾਂ) ਵਾਲੀ V ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ ਇਸ ਸ਼ਰਤ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ਕਿ A ਦਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (ਸਾਂਚਾ) ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਹੋਵੇ, ਯਾਨਿ ਕਿ, ਇਸਦੇ ਕੰਜੂਗੇਟ ਟਰਾਂਸਪੋਜ਼ A* ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ| ਸੀਮਤ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੈਕਟਰਲ ਥਿਊਰਮ ਰਾਹੀਂ, V ਦਾ ਅਜਿਹਾ ਇੱਕ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਬੇਸਿਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ A ਦਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇਸ ਬੇਸਿਸ ਦੇ ਸਾਪੇਖਿਕ ਇੱਕ ਤਿਰਛਾ (ਡਾਇਅਗਨਲ) ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀਆਂ ਐਂਟਰੀਆਂ (ਇੰਦਰਾਜ) ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ| ਸੈਲਫ-ਅਡਜੋਆਇੰਟ ਓਪਰੇਟਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ (ਐਨਲਸਿਸ) ਅਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ| ਕੁਆਂਟ,ਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਇਹਨਾਂ ਦੀ ਮਹੱਤਤਾ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਡੀਰਾਕ-ਵੌਨ-ਨਿਊਮੈਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਬਣਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਭੌਤਿਕੀ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲ ਜਿਵੇਂ ਪੁਜੀਸ਼ਨ, ਮੋਮੈਂਟਮ, ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਅਤੇ ਸਪਿੱਨਾਂ ਨੂੰ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ ਸੈਲਫ ਅਡਜੋਆਇੰਟ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਨਾਲ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ| ਖਾਸ ਮਹੱਤਤਾ ਵਾਲਾ ਓਪਰੇਟਰ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਹੈ H ψ = V ψ − ℏ 2 2 m ∇ 2 ψ , {\displaystyle H\psi =V\psi -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ,} ਜੋ ਕਿਸੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਪੁਟੈਂਸ਼ਨ ਫੀਲਡ V ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ m ਮਾਸ (ਪੁੰਜ) ਵਾਲੇ ਕਣ ਦੀ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਔਬਜ਼ਰਵੇਬਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ| ਡਿੱਫਰੈਸ਼ੀਅਲ ਓਪਰੇਟਰ ਸੁਤੰਤਰ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਹੈ|