ਰੀਮਾੱਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ
ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਅੰਦਰ, ਇੱਕ (ਸੁਚਾਰੂ) ਰੀਮਾੱਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਜਾਂ (ਸੁਚਾਰੂ) ਰੀਮਾੱਨੀਅਨ ਸਪੇਸ (M,g), ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ p {\displaystyle p} ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਸਪੇਸ T p M {\displaystyle T_{p}M} ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ g p {\displaystyle g_{p}} ਨਾਲ ਯੁਕਤ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੁਚਾਰੂ ਮੈਨੀਫੋਲਡ M ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਬਹੁਤ ਸੁਚਾੇੂ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਇਸ ਤਰਾਂ ਬਦਲਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ X ਅਤੇ Y, M ਉੱਤੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਹੋਣ, ਤਾਂ p ↦ g p ( X ( p ) , Y ( p ) ) {\displaystyle p\mapsto g_{p}(X(p),Y(p))} ਇੱਕ ਸੁਚਾਰੂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਦੇ ਪਰਿਵਾਰ g p {\displaystyle g_{p}} ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੀਮਾੱਨੀਅਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕ (ਟੈਂਸਰ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਸ਼ਬਦਾਂ ਦਾ ਨਾਮ ਜਰਮਨ ਗਣਿਤਸ਼ਾਸਤਰੀ ਬਰਨਹਾਰਡ ਰੀਮਾੱਨ ਦੇ ਨਾਮ ਤੋਂ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਰੀਮਾੱਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਰੀਮਾੱਨੀਅਨ ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਨਾਮਕ ਵਿਸ਼ਾ ਰਚਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਰੀਮਾੱਨੀਅਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕ (ਟੈਂਸਰ), ਐਂਗਲਾਂ, ਵਕਰਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ, ਖੇਤਰਫਲ ਜਾਂ ਘਣਫਲ, ਕਰਵੇਚਰ, ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦੇ ਡਾਇਵਰਜੰਸ ਵਰਗੀਆਂ ਵਿਭਿੰਨ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਰੀਮਾੱਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਾ ਸੰਭਵ ਕਰਦਾ ਹੈ।