ਫ੍ਰੈਕਟਲ
ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਇੱਕ ਜਿਆਮਿਤੀ ਸਰੂਪ ਹੈ ਜਿਸ ਨੂੰ ਅਜਿਹੇ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿਚੋਂ ਹਰ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਣ ਦਾ ਲਘੂ-ਸਰੂਪ ਹੈ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਗੁਣ ਜੋ ਸਵੈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਹਾਂਦਾ ਹੈ। ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਦੇ ਨਿਰੋਲ ਗਣਿਤੀ ਉਪਚਾਰ ਦੀਆਂ ਜੜਾਂ ਕਾਰਲ ਵੇਇਰਸਟਰਾਸ, ਜਾਰਜ ਕੈਂਟਰ ਅਤੇ ਫੇਲਿਕਸ ਹੌਸਡਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਪ੍ਰਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਅਧਿਅਨ ਵਿੱਚ ਖੋਜੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਹਨਾਂ ਨੇ ਅਜਿਹੇ ਪ੍ਰਕਾਰਜਾਂ ਦਾ ਅਧਿਅਨ ਕੀਤਾ ਜੋ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣਾਤਮਕ ਸਨ, ਪਰ ਵਿਭੇਦਕਾਰੀ ਨਹੀਂ; ਤਦ ਵੀ, 1975 ਵਿੱਚ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਲਈ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਸ਼ਬਦ fractal ਬੇਨੋਇਟ ਮੇਂਡੇਲਬਰਾਟ ਨੇ ਘੜਿਆ ਅਤੇ ਇਸ ਦੀ ਲੈਟਿਨ ਦੇ fractus ਤੋਂ ਵਿਉਤਪਤੀ ਹੋਈ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਜਾਂ ਖੰਡਿਤ। ਗਣਿਤੀ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਸਮੀਕਰਨ ਪਰ ਆਧਾਰਿਤ ਹੈ ਜੋ ਪੁਨਰ ਆਵਰਤੀ ਰਾਹੀਂ ਗੁਜਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਪ੍ਰਤਿਵਰਤ ਪਰ ਆਧਾਰਿਤ ਇੱਕ ਪ੍ਰਕਾਰ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਸੂਚਕ ਪ੍ਰਾਰੂਪ ਹੈ। ਇੱਕ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਵਿੱਚ ਅਕਸਰ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਗੱਲਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ: ਇਸ ਵਿੱਚ ਮਨਮਾਨੇ ਢੰਗ ਨਾਲ ਛੋਟੇ ਪੈਮਾਨੇ ਤੇ ਇੱਕ ਉੱਤਮ ਸੰਰਚਨਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਕਾਫ਼ੀ ਅਨਿਯਮਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਨੂੰ ਸੌਖ ਨਾਲ ਰਵਾਇਤੀ ਯੂਕਲਿਡੀਅਨ ਜਿਆਮਿਤੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਬਿਆਨ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਵੈ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਪੂਰਨ ਰੂਪ ਨਾ ਸਹੀ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਲੱਗਭੱਗ ਤੌਰ 'ਤੇ)। ਇਸ ਵਿੱਚ ਹੌਸਡਾਰਫ ਆਯਾਮ ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਟੋਪੋਲੋਜੀਕਲ ਆਯਾਮ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕੇ ਹੈ (ਹਾਲਾਂਕਿ ਹਿਲਬਰਟ ਵਕਰ ਵਰਗੀਆਂ ਖਾਲੀ - ਪੂਰਤੀ ਵਕਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਇਹ ਆਸ਼ਾ ਪੂਰੀ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ)। ਇਸ ਦੀ ਸਰਲ ਅਤੇ ਪੁਨਰ ਆਵਰਤੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਆਵਰਤਨ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸਤਰਾਂ ਤੇ ਸਮਾਨ ਵਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਫ੍ਰੈਕਟਲਾਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ (ਗੈਰ ਰਸਮੀ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ) ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕੁਦਰਤੀ ਵਸਤੂਆਂ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਹੱਦ ਤੱਕ ਫ੍ਰੈਕਟਲਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ ਬਦਲ, ਪਰਬਤ ਲੜੀਆਂ, ਵਜਰਪਾਤ, ਤਟ-ਰੇਖਾਵਾਂ, ਹਿਮਲਵ, ਵੱਖ ਵੱਖ ਸਬਜੀਆਂ (ਫੁੱਲਗੋਭੀ ਅਤੇ ਬਰੋਕੋਲੀ), ਅਤੇ ਜਾਨਵਰ ਦੇ ਰੰਗਾਈ ਪੈਟਰਨ। ਬਹਰਹਾਲ, ਸਾਰੀਆਂ ਸਵੈ-ਸਮਾਨ ਵਸਤੂਆਂ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਨਹੀਂ ਹਨ — ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਲਈ, ਅਸਲੀ ਰੇਖਾ (ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਯੂਕਲਿਡੀਅਨ ਰੇਖਾ) ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਵੈ ਸਮਰੂਪ ਹੈ ਲੇਕਿਨ ਇਸ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ; ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇਹ ਸਮਰੱਥ ਤੌਰ 'ਤੇ ਨਿਯਮਿਤ ਹੈ ਕਿ ਇਸਨੂੰ ਯੂਕਲਿਡੀਅਨ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਦੀਆਂ ਛਵੀਆਂ ਫ੍ਰੈਕਟਲ - ਵਿਉਤਪਾਦਕ ਸਾਫਟਵੇਅਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਾਫਟਵੇਅਰ ਦੁਆਰਾ ਉਤਪਾਦਿਤ ਛਵੀਆਂ ਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਕਹਿ ਕੇ ਸੰਦਰਭਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਭਲੇ ਹੀ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਉੱਪਰੋਕਤ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨਾ ਹੋਣ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਦੇ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਜੂਮ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਉਹ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਦੀ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਦੇ ਇਲਾਵਾ, ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਗਿਣਤੀ ਜਾਂ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਕ ਮਨੁੱਖ – ਨਿਰਮਿਤ ਵਸਤੂਆਂ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਕਿ ਅਸਲੀ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਦੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਨਹੀਂ ਹੈ।