ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ
ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਤੇਜ਼ ਵਿਕਾਸ ਨੇ ਇੱਕ ਰਹੱਸਮਈ ਗਣਿਤਿਕ ਢਾਂਚੇ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕੀਤੀ। ਭਾਵੇਂ ਤੇਜ਼ ਵਿਕਾਸ ਕਰਕੇ ਅਜਿਹੇ ਪਲ ਆਏ ਸਨ, ਜਦੋਂ ਇੰਨੇ ਕਠਿਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨਹੀਂ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਸਨ, ਇਹ ਫਾਰਮੂਲੇ ਬਾਦ ਵਿੱਚ ਸੈੱਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਅਤੇ ਗਣਿਤਿਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਨਾਲ ਕਠਿਨਤਾ ਨਾਲ ਸਾਬਤ ਕੀਤੇ ਗਏ। ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਰਾਹੀਂ, ਪਹਿਲਾ ਸੰਸਲੇਸ਼ਣ ਜੌਹਨ ਵੌਨ ਨਿਊਮਨ ਦੁਆਰਾਂ ਮਹਿਸੂਸ ਕੀਤਾ ਗਿਆ। ਇੱਕ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਦੇ ਵਿਚਾਰ ਦਾ ਸਰਵਸਧਾਰੀਕਰਣ ਹੈ ਜੋ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਯਾਮਾਂ ਤੱਕ ਹੀ ਸੀਮਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇਹ ਇੱਕ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਵਿੱਚ ਦੂਰੀ ਅਤੇ ਐਂਗਲਾਂ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ- ਖਾਸਕਰ ਕੇ ਔਰਥੋਗਨਲਟੀ ਦੀ ਧਾਰਨਾ। ਹੋਰ ਤਾਂ ਹੋਰ, ਇਹ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਣਤਾ ਦੀ ਸ਼ਰਤ ਤੇ ਵੀ ਖਰੀ ਉਤਰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਇੱਛਾ ਮੁਤਾਬਿਕ ਹੱਦਾਂ ਦੀ ਹੋਂਦ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਭਾਵੇਂ ਇਹ ਥਿਊਰੀ ਪੂਰੀ ਤਰਾਂ ਸਹੀ ਹੈ, ਫੇਰ ਵੀ ਵੌਨ ਨਿਊਮਨ ਦੀ ਪਹੁੰਚ ਹੋਰ ਆਮ ਸਪੇਸਾਂ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀ- ਜਿਵੇਂ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਸਪੇਸਾਂ- ਜੋ, ਭਾਵੇਂ ਥਿਊਰੀ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਵਿੱਚ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸਬੰਧਤ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਵੀ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਅੱਖੋਂ ਉਹਲੇ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਜੇਕਰ ਗਣਿਤਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਬਣਤਰਾਂ ਦੇ ਕਠਿਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਹੋਵੇ। ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਇਹ ਵਿਸ਼ਾਲ ਬਣਤਰ, ਜੋ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਨਾਲ ਮਿਲਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਰੂਸੀ ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਇਸਰੇਲ ਮੌਸੀਵਿਚ ਗਲਫਾਂਡ (ਜਨਮ 1913) ਦੁਆਰਾ ਕੁੱਝ ਦੇਰ ਬਾਦ ਬਣਾਈ ਗਈ। ਉਸਨੇ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਰਿਜਿੱਡ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ, ਜਾਂ ਗਲਫਾਂਡ ਟਰਿਪਲੈੱਟ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ।