ਗੋਇਡਲ ਦੀਆਂ ਅਪੂਰਨਤਾ ਦੀਆਂ ਥਿਊਰਮਾਂ
ਗੋਇਡਲ ਦੀਆਂ ਅਪੂਰਨਤਾ (ਇਨਕਮਪਲੀਟਨੈੱਸ) ਦੀਆਂ ਥਿਊਰਮਾਂ ਗਣਿਤ ਦੇ ਤਰਕ-ਸ਼ਾਸਤਰ ਦੀਆਂ ਦੋ ਥਿਊਰਮਾਂ ਹਨ ਜੋ ਹਰ ਬੁਨਿਆਦੀ ਗਣਿਤ ਨੂੰ ਮਾਡਲਿੰਗ ਕਰਨ ਦੇ ਸਮਰੱਥ ਰਵਾਇਤੀ ਐਕਜਿਓਮੈਟਿਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ (ਸਵੈ-ਸਿਧੀਆਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ) ਦੀਆਂ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਤ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਕੁਰਟ ਗਡੇਲ 25 ਸਾਲ ਦਾ ਸੀ ਅਤੇ ਵਿਆਨਾ ਯੂਨੀਵਰਸਿਟੀ ਤੋਂ ਆਪਣੀ ਡਾਕਟਰੇਟ ਪੂਰੀ ਕੀਤਿਆਂ ਉਸਨੂੰ ਅਜੇ ਇੱਕ ਸਾਲ ਹੀ ਹੋਇਆ ਸੀ ਕਿ ਉਸ ਨੇ ਇਹ ਨਤੀਜੇ, 1931 ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਤ ਕਰਵਾਏ ਸਨ। ਇਹ ਗਣਿਤ ਦੇ ਤਰਕ ਸ਼ਾਸਤਰ ਅਤੇ ਗਣਿਤ ਦੇ ਫ਼ਲਸਫ਼ੇ ਵਿੱਚ ਅਤਿਅੰਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹਨ। 'ਗੋਇਡਲ, ਐਸਕਰ, ਬਾਖ਼' ਕਿਤਾਬ ਅਤੇ ਜੌਹਨ ਰੈਂਡੋਲਫ ਲੂਕਾਸ ਦੀਆਂ ਰਚਨਾਵਾਂ ਅਕਸਰ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹ ਥਿਊਰਮਾਂ ਵਿਆਪਕ, (ਪਰ ਸਰਬ-ਵਿਆਪਕ ਨਹੀਂ) ਤੌਰ ਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਕਿ ਗਣਿਤ ਵਰਗੀਆਂ ਕਾਫ਼ੀ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹੇ ਬਿਆਨ ਜ਼ਰੂਰ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ ਜੋ ਨਾ ਤਾਂ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਾਬਤ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹੋਣ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਖਾਰਜ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹੋਣ। ਥਿਊਰਮਾਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹਿਲਬਰਟ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਦੀ ਅਸੰਭਵਤਾ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਸਦੀ ਸਥਾਪਨਾ ਡੇਵਿਡ ਹਿੱਲਬਰਟ ਨੇ ਗਣਿਤ ਦੀ ਇਕਸਾਰਤਾ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਪਹਿਲੀ ਅਪੂਰਨਤਾ ਥਿਊਰਮ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸਵੈ-ਸਿਧੀਆਂ ਦੀ ਕੋਈ ਐਸੀ ਇਕਸਾਰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਥਿਊਰਮਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪ੍ਰਭਾਵਸ਼ਾਲੀ ਵਿਧੀ (ਭਾਵ, ਇੱਕ ਐਲਗੋਰਿਦਮ) ਦੁਆਰਾ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੋਵੇ ਜੋ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗਣਿਤ ਬਾਰੇ ਸਾਰੀਆਂ ਸੱਚਾਈਆਂ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਮਰੱਥ ਹੋਵੇ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਜਿਹੀ ਇਕਸਾਰ ਰਸਮੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਈ, ਹਮੇਸ਼ਾ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਬਾਰੇ ਬਿਆਨ ਹੋਣਗੇ ਜੋ ਸੱਚੇ ਹੋਣ, ਪਰ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਅੰਦਰ ਸਿੱਧ ਨਾ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹੋਣ। ਦੂਜੀ ਅਪੂਰਨਤਾ ਥਿਊਰਮ, ਪਹਿਲੀ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਹੈ, ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਿਸਟਮ ਖੁਦ ਆਪਣੀ ਇਕਸਾਰਤਾ ਨਹੀਂ ਦਰਸਾ ਸਕਦਾ। ਇੱਕ ਡਾਇਗਨਲ ਆਰਗੂਮੈਂਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਿਆਂ, ਗੋਇਡਲ ਦੀਆਂ ਅਪੂਰਨਤਾ ਥਿਊਰਮਾਂ ਰਸਮੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਬਾਰੇ ਅਨੇਕ ਨੇੜਿਓਂ ਸੰਬੰਧਤ ਕਈ ਥਿਊਰਮਾਂ ਵਿਚੋਂ ਪਹਿਲੀਆਂ ਸਨ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬਾਅਦ ਤਾਰਸਕੀ ਦੀ ਗੈਰ-ਪਰਿਭਾਸ਼ਣਯੋਗਤਾ ਥਿਊਰਮ ਆਈ ਜੋ ਦੀ ਸੱਚਾਈ ਦੇ ਰਸਮੀ ਤੌਰ ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਤ ਕਰ ਸਕਣਾ ਅਸੰਭਵ ਹੋਣ ਬਾਰੇ ਹੈ। ਫਿਰ ਚਰਚ ਦਾ ਪਰਮਾਣ ਕਿ ਹਿਲਬਰਟ ਦੀ Entscheidungsproblem ਹੱਲਕਰਨਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਤੇ ਟਿਉਰਿੰਗ ਦੀ ਥਿਊਰਮ ਕਿ ਹਲਟਿੰਗ ਸਮੱਸਿਆ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੋਈ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਨਹੀਂ ਹੈ।