Sonlar nazariyasi
Sonlar nazariyasi — matematikaning butun, ratsional va algebraik sonlarning xossalarini oʻrganish bilan shugʻullanadigan boʻlimi. Sonlar nazariyasi qadimdan bevosita arifmetikaning rivojlanishidan vujudga kelgan. Pifagor (mil. av. 6-asr) maktabida butun sonlarning boʻlinishi, mukammal sonlar strukturasi oʻrganildi, sonlar sinflar (masalan, tub sonlar, murakkab sonlar, kvadrat sonlar) ga ajratildi. l^QU^tenglamaning butun sonlarda yechimi berildi (qarang Pifagor sonlari). Yunon matematiklari Yevklid, Eratosfen va Diofantnmt ishlari Sonlar nazariyasiga bagʻishlangan edi. Sonlar nazariyasining ayrim masalalari Xitoyda (2—6-asrlar) va Hindistonda (7— 12-asrlar) ham oʻrganilgan. Yevropada Sonlar nazariyasining ravnaqi fransuz matematigi P. Ferma (17-asr) ishlari bilan boshlandi. L. Eyler (18-asr) funksional katorlar bilan ayrim cheksiz koʻpaytmalar orasidagi ayniyatlarni isbotlab, analitik Sonlar nazariyasiga asos soldi va Sonlar nazariyasining koʻp tasdiklarini isbotlab berdi. Eyler gʻoyalari taqqoslash nazariyasining rivojlanishiga ham katta taʼsir koʻrsatdi. Avval Sonlar nazariyasi ayrim natijalarning toʻplami boʻlsa, nemis matematigi K. Gaussning ishlaridan keyin u muntazam nazariyaga aylandi. Gauss taqqoslash nazariyasini yaratdi, formalar nazariyasiga asos soldi. Hozirgi zamon Sonlar nazariyasini asosan, 4 qismga boʻlish mumkin: elementar usullar (bu qismga oid usullar faqat elementar mat. va cheksiz kichiklar analiziga asoslanadi), analitik Sonlar nazariyasi, algebraik Sonlar nazariyasi (ratsional sonlar maydoni ustidagi algebraik sonlarni oʻrganish bilan bogʻliq boʻlgan masalalar, sinflar maydonlarining nazariyasi, oʻzarolik qonunlari va boshqalarni oʻz ichiga oladi); diofant tenglamalari va diofant yaqinlashishlari (bu qismga algebra va analiz usullari bilan yuqori darajali Diofant tenglamalari yechimlarining sonini va chegaralarini topish hamda haqiqiy koeffitsiyentli tengsizliklarni yoki bunday tengsizliklar tizimini butun sonlarda yechimini topish masalalari kiradi). Sonlar nazariyasining dalil va gʻoyalari mat.ning qismlari ham tatbiqlarida, mas, haqiqiy oʻzgaruvchining funksiyalari nazariyasi, ehtimollar nazariyasi, karrali integrallarni taqribiy hisoblash, mashinaviy mat., kristallografiya hamda uzatuvchi mexanizmlar nazariyasida qoʻllaniladi. Grek matematiklaridan Yevklid, Eratosfen, Diofantlarning ilmiy ishlari sonlar nazariyasiga bagʻishlangan edi. Yevropada sonlar nazariyasi Fermaning (XVII asr) ishlaridan boshlab jadal rivojlandi (Fermaning buyuk teoremasi). Analitik sonlar nazariyasiga asos solgan peterburglik (asli Shveysariyada tugʻilgan) matematik L.Eyler sonlar nazariyasining rivojlanishiga katta hissa qoʻshdi. Sonlar nazariyasini qatʼiy tizimga solishda mashhur nemis matematigi K.F.Gaussning ishlari katta taʼsir koʻrsatdi.Gauss taqqoslamalar nazariyasini yaratdi, hozirgi zamon nazariyasiga asos soldi va trigonometrik yigʻindilarni oʻrgandi. Ulugʻ rus matematigi P.L.Chebishyov sonlar nazariyasiga ulkan hissa qoʻshdi.U tub sonlar toʻgʻrisidagi bir qator eng yaxshi natijalarni qoʻlga kiritdi (Chebishyov tengsizligi,Bertran postulati). Hozirgi vaqtda sonlar nazariyasida turli xil sonlar ketma-ketligida tub sonlarning qayerda, qanday joylashishi muammosini hal qilishda elementar va analitik usullar qoʻllaniladi, butun sonlar tushunchasining umumlashtirilishidan iborat boʻlgan algebraik sonlar ham oʻrganiladi.Diofant tenglamalarini yechish va Diofant yaqinlashishlarini topish sonlar nazariyasining alohida bir boʻlimining mavzuidir. Sonlar nazariyasida hali toʻla yechimini topmagan muammolar ham mavjud. Shulardan biri Goldbax muammosidir.