To'g'ri burchakli potensial o'ra
Toʻgʻri burchakli potensial oʻra Aytaylik, elektron cheksiz chuqur, toʻgʻri burchakli bir oʻlchamli, kengligi ℓ {\displaystyle \ell } ga teng boʻlgan potensial oʻrada asosiy holatda turgan boʻlsin ( 0 < x < ℓ {\displaystyle 0<x<\ell } ). Zarraning 0 < x < ℓ / 3 {\displaystyle 0<x<\ell /3} ; ℓ / 3 < x < 2 ℓ / 3 {\displaystyle \ell /3<x<2\ell /3} ; 2 ℓ / 3 < x < ℓ {\displaystyle 2\ell /3<x<\ell } oraliqlarda topilish ehtimolliklarini hisoblaylik. Schr o ¨ {\displaystyle {\ddot {\text{o}}}} dingerning statsionar tenglamasini yozib olamiz: H ^ ψ = E ψ ,           ( 1 ) {\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi ,\ \ \ \ \ (1)} Potensial oʻra ichida zarraning potensial energiyasi nolga teng U ( x ) = 0 {\displaystyle U(x)=0} . Shu sababli − ℏ 2 2 m Δ ψ = E ψ     ℏ 2 2 m ⋅ ∂ 2 ψ ∂ x 2 + E ψ = 0 {\displaystyle -{\dfrac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi =E\psi \ \qquad \ {\dfrac {\hbar ^{2}}{2m}}\cdot {\dfrac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+E\psi =0} Yuqoridagi tenglamani kanonik koʻrinishga keltiramiz: ∂ 2 ψ ∂ x 2 + 2 m E ℏ 2 ψ = 0           ( 2 ) {\displaystyle {\dfrac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\dfrac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi =0\ \ \ \ \ (2)} Quyidagicha belgilash kiritamiz: k 2 = 2 m E ℏ 2 {\displaystyle k^{2}={\dfrac {2mE}{\hbar ^{2}}}} U holda (2) tenglama quyidagi koʻrinishga keladi: ∂ 2 ψ ∂ x 2 + k 2 ψ = 0 {\displaystyle {\dfrac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+k^{2}\psi =0} U holda bu differensial tenglama uchun xarakteristik tenglama quyidagi koʻrinishga keladi: λ 2 + k 2 = 0 {\displaystyle \lambda ^{2}+k^{2}=0} Uning ildizlari: λ 2 = − k 2 ,   u holda,   λ 1 = i k ,     λ 2 = − i k {\displaystyle \lambda ^{2}=-k^{2},\ {\text{u holda,}}\ \lambda _{1}=ik,\ \ \lambda _{2}=-ik} Hosil boʻlgan toʻlqin funksiyani oshkormas koʻrinishda quyidagicha yozishimiz mumkin: ψ = A e λ 1 x + B e λ 2 x = A e i k x + B e − i k x           ( 3 ) {\displaystyle \psi =Ae^{\lambda _{1}x}+Be^{\lambda _{2}x}=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\ \ \ \ \ (3)} Eiler formulasi e i z = cos ⁡ z + i sin ⁡ z {\displaystyle e^{iz}=\cos z+i\sin z} va e − i z = cos ⁡ z − i sin ⁡ z {\displaystyle e^{-iz}=\cos z-i\sin z} dan foydalangan holda (3) tenglamani quyidagicha yozamiz: ψ = A ( cos ⁡ k x + i sin ⁡ k x ) + B ( cos ⁡ k x − i sin ⁡ k x ) = ( A + B ) cos ⁡ k x + ( A − B ) i sin ⁡ k x {\displaystyle \psi =A(\cos kx+i\sin kx)+B(\cos kx-i\sin kx)=(A+B)\cos kx+(A-B)i\sin kx} Chegaraviy shartlardan foydalangan holda, k {\displaystyle k} va E {\displaystyle E} larning xususiy qiymatlarini aniqlaymiz. To'lqin funksiyaning asosiy xossalaridan biri — bu uzluksizlik, shu sababli, ψ ( 0 ) = ψ ( ℓ ) = 0 {\displaystyle \psi (0)=\psi (\ell )=0} { ψ ( 0 ) = ( A + B ) cos ⁡ ( k ⋅ 0 ) + ( A − B ) i sin ⁡ ( k ⋅ 0 ) = A + B = 0 , ψ ( ℓ ) = ( A + B ) cos ⁡ ( k ℓ ) + ( A − B ) i sin ⁡ ( k ℓ ) = ( A − B ) i sin ⁡ ( k ℓ ) = 0 {\displaystyle {\begin{cases}\psi (0)=(A+B)\cos(k\cdot 0)+(A-B)i\sin(k\cdot 0)=A+B=0,\\\psi (\ell )=(A+B)\cos(k\ell )+(A-B)i\sin(k\ell )=(A-B)i\sin(k\ell )=0\end{cases}}} Sistemaning 1-tenglamasidan koʻrinib turibdiki, A = − B {\displaystyle A=-B} . Ikkinchi tenglamadan esa, ( A − B ) i ≠ 0 {\displaystyle (A-B)i\neq 0} boʻlgani uchun sin ⁡ ( k ℓ ) = 0 {\displaystyle \sin(k\ell )=0} ekanligini hosil qilamiz. U holda k ℓ = π n {\displaystyle k\ell =\pi n} , yoki k = π n ℓ {\displaystyle k={\dfrac {\pi n}{\ell }}} , bu yerda n {\displaystyle n}  — bosh kvant soni deyiladi. Endi esa, k 2 = π 2 n 2 ℓ 2 = 2 m E ℏ 2 {\displaystyle k^{2}={\dfrac {\pi ^{2}n^{2}}{\ell ^{2}}}={\dfrac {2mE}{\hbar ^{2}}}} ekanligini hisobga olgan holda E = n 2 ℏ 2 π 2 2 m ℓ 2 {\displaystyle E={\dfrac {n^{2}\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2m\ell ^{2}}}} ifodani hosil qilamiz. Bu ifoda zarra energiyasining xususiy qiymati deyiladi. Natijada zarra toʻlqin funksiyasining ψ = 2 i A sin ⁡ ( π n ℓ x ) {\displaystyle \psi =2iA\sin \left({\dfrac {\pi n}{\ell }}x\right)} koʻrinishida ekanligini aniqlaymiz.