Erkin zarraning harakati
Erkin zarra — harakatiga tashqi kuchlar taʼsir qilmaydigan zarra. Soddalik uchun bir oʻlchamli fazodagi harakatni koʻrib chiqaylik. Bu hol uchun Shredinger tenglamasidagi Gamilton operatori H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} ni quyidagi koʻrinishda yozish mumkin: H ^ = − ℏ 2 2 m 0 ∂ 2 ∂ x 2 {\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}} − ℏ i ∂ Ψ ∂ t = − ℏ 2 2 m 0 ∂ 2 Ψ ∂ x 2 {\displaystyle -{\dfrac {\hbar }{i}}{\dfrac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}{\dfrac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}} Shuningdek, Ψ ( x , t ) = e − ( i / ℏ ) W t Ψ 0 ( x ) {\displaystyle \Psi (x,t)=e^{-(i/\hbar )Wt}\Psi _{0}(x)} ekanligini hisobga olgan holda, Ψ 0 ( x ) {\displaystyle \Psi _{0}(x)} uchun quyidagini hosil qilamiz: d 2 Ψ 0 d x 2 + 2 m 0 ℏ 2 W Ψ 0 = 0 ,                         ( 2 ) {\displaystyle {\dfrac {{\text{d}}^{2}\Psi _{0}}{{\text{d}}x^{2}}}+{\dfrac {2m_{0}}{\hbar ^{2}}}W\Psi _{0}=0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)} Yuqoridagi tenglamaning yechimi Ψ 0 = A e ( i / ℏ ) p x x + B e − ( i / ℏ ) p x x ,                     ( 3 ) {\displaystyle \Psi _{0}=Ae^{(i/\hbar )p_{x}x}+Be^{-(i/\hbar )p_{x}x},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)} koʻrinishida boʻladi. Bu yerda, erkin zarraning impulsi p x {\displaystyle p_{x}} uning energiyasi W {\displaystyle W} bilan p x = 2 m 0 W {\displaystyle p_{x}={\sqrt {2m_{0}W}}} munosabat orqali bogʻlangan. A {\displaystyle A} va B {\displaystyle B} kattaliklar — ixtiyoriy oʻzgarmas sonlar. (3) tenglamadagi birinchi had zarraning x {\displaystyle x} oʻqining musbat yoʻnalishi boʻylab harakatini ifodalaydi, ikkinchi had esa x {\displaystyle x} oʻqining manfiy yoʻnalishi boʻylab harakatini ifodalaydi. (2) tenglama W {\displaystyle W} energiyaning istalgan qiymatida bir qiymatli, chegaralangan va uzluksiz yechimga ega. Bundan kelib chiqadiki, erkin elektronning energetik spektri uzluksiz ekan, yaʼni erkin zarra energiyasi istalgan qiymatni qabul qila olishi mumkin. Yuqorida aytilganlardan kelib chiqadiki, erkin zarra uchun Poisson qavslari nolga teng boʻladi: [ H ^ , p ^ x ] = 0 ,               ( 4 ) {\displaystyle \left[{\hat {H}},{\hat {p}}_{x}\right]=0,\ \ \ \ \ \ \ (4)} Bundan xulosa qilish mumkinki, erkin zarra impulsi harakat integrali ekan, yaʼni erkin zarra impulsi aniq bir doimiy qiymatga ega boʻlar ekan. Boshqa tomondan, (4) tengalamadan koʻrinib turibdiki, erkin zarra uchun toʻla energiya operatori va impuls operatori kommutatsiyalanadi. Yaʼni, erkin zarra energiyasi va uning impulsi bir vaqtda oʻlchanadigan kattaliklar hisoblanadi.