Harakat-burchak koordinatalari
Klassik mexanikada harakat burchagi oʻzgaruvchilari kanonik koordinatalar toʻplami boʻlib, ular tejamkor energiya darajasi toʻplami ixcham boʻlganda va kommutatsiya oqimlari toʻliq boʻlganda integral tizimlarda kommutatsiya oqimlarining tabiatini tavsiflashda foydalidir. Harakat-burchak oʻzgaruvchilari, shuningdek, harakat tenglamalarini echmasdan tebranish yoki aylanish harakati chastotalarini olishda muhim ahamiyatga ega. Ular faqat dinamikaning asosiy tavsifini taʼminlovchi tizim toʻliq integrallashganda mavjud boʻladi, yaʼni mustaqil Puasson kommutatsiya invariantlari soni maksimal va saqlangan energiya yuzasi ixcham boʻlganda. Bu, odatda , Gamilton-Jakobi tenglamasini toʻliq ajratish mumkin boʻlganda va ajratish konstantalarini faza fazosida funktsiyalar sifatida echish mumkin boʻlganda amaliy hisob-kitob qiymatiga ega boʻladi. Harakat burchagi oʻzgaruvchilari invariant Lagranj tori boʻyicha qatlamlanishni aniqlaydi, chunki Puasson kommutatsiya invariantlari tomonidan induktsiya qilingan oqimlar ularning qoʻshma darajalari toʻplamida qoladi, energiya darajasi toʻplamining ixchamligi esa ularning tori ekanligini bildiradi. Burchak oʻzgaruvchilari harakatlanuvchi oqimlar chiziqli boʻlgan barglardagi koordinatalarni taʼminlaydi. Klassik Gamilton tizimlari va ularni Shredinger toʻlqin mexanikasi yondashuvida kvantlash oʻrtasidagi bogʻliqlik Gamilton-Yakobi tenglamasini Shredinger tenglamasi uchun WKB asimptotik qatoridagi etakchi tartibli atama sifatida koʻrish orqali aniq boʻladi. Integral tizimlar holatida, Bor-Zommerfeld kvantlash shartlari birinchi marta kvant mexanikasi paydo boʻlishidan oldin, vodorod atomining spektrini hisoblash uchun ishlatilgan. Ular harakat burchagi oʻzgaruvchilari mavjudligini va ular Plank doimiysining integral koʻpaytmalari boʻlishini talab qiladi. Eynshteynning EBK kvantlashidagi integral boʻlmagan tizimlarni kvantlash qiyinligi haqidagi tushunchasi shu faktga asoslangan edi. Harakat-burchak koordinatalari Gamilton mexanikasining buzilish nazariyasida, ayniqsa adiabatik invariantlarni aniqlashda ham foydalidir. Kichkina tebranishlar ostida integrallanuvchi dinamik tizimlarning dinamik barqarorligi uchun tartibsizlik nazariyasidan olingan eng dastlabki natijalardan biri KAM teoremasi boʻlib, u oʻzgarmas tori qisman barqaror ekanligini taʼkidlaydi. Integrallashuvchi tizimlarning zamonaviy nazariyasida harakat burchagi oʻzgaruvchilari Toda panjarasini hal qilishda, Laks juftlarini aniqlashda yoki umuman olganda, integrallanuvchi dinamikani tavsiflovchi chiziqli operatorning izospektral evolyutsiyasida va tegishli spektral maʼlumotlarni harakat sifatida talqin qilishda ishlatilgan. Gamilton formulasida burchak oʻzgaruvchilari.