Gamov nazariyasi
Gamov nazariyasi - radioaktiv yadrolarning α {\displaystyle \alpha } -parchalanishini kvant tasavvurlar asosida tushuntirib beruvchi nazariya. α {\displaystyle \alpha } -parchalanish deganda, ogʻir yadrolarning oʻzidan geliy atomining yadrosini chiqarib, boshqa yadroga aylanishi tushuniladi. α {\displaystyle \alpha } -parchalanish uchun energetik shart quyidagi koʻrinishga ega: M ( A ,   Z ) > M ( A − 4 ,   Z − 2 ) + M α {\displaystyle M(A,\ Z)>M(A-4,\ Z-2)+M_{\alpha }} Parchalanishda hosil boʻlgan energiya quyidagi ifoda orqali topiladi: Q α = ( M ( A ,   Z ) − M ( A − 4 ,   Z − 2 ) − M α ) c 2 , {\displaystyle Q_{\alpha }=(M(A,\ Z)-M(A-4,\ Z-2)-M_{\alpha })c^{2},} Energiya va impulsning saqlanish qonunlaridan foydalanib, α {\displaystyle \alpha } -zarra yadroni tark etayotganida ega boʻladigan kinetik energiyasini aniqlash mumkin: T α = M ( A − 4 ,   Z − 2 ) m α + M ( A − 4 ,   Z − 2 ) Q α {\displaystyle T_{\alpha }={\dfrac {M(A-4,\ Z-2)}{m_{\alpha }+M(A-4,\ Z-2)}}Q_{\alpha }} α {\displaystyle \alpha } -parchalanishda hosil boʻlgan α {\displaystyle \alpha } -zarra kinetik energiyasi 2-8 MeV atrofida boʻladi, α {\displaystyle \alpha } -zarraning yadroga bogʻlanish energiyasi esa 28.3 MeV ga teng. U holda α {\displaystyle \alpha } -zarra yadroni qanday tark etadi, degan tabiiy savol tugʻiladi. Bunga G. A. Gamov kvant tasavvurlar asosida ishlab chiqqan nazariyasi orqali javob topish mumkin. Gamov nazariyasi quyidagi prinsiplarga asoslanadi: α {\displaystyle \alpha } -zarra yadro ichida tayyor holda mavjud boʻladi. α {\displaystyle \alpha } -zarra tinimsiz harakatda boʻladi va potensial toʻsiq orqali yadro ichida tutib turiladi. α {\displaystyle \alpha } -zarra ushbu potensial toʻsiq orqali oʻtishi mumkin. Vaqt birligidagi parchalanish ehtimolligi λ {\displaystyle \lambda } ni quyidagi ifoda orqali aniqlash mumkin: λ = n T {\displaystyle \lambda =nT} n {\displaystyle n}  — α {\displaystyle \alpha } -zarraning yadro ichida potensial toʻsiq bilan toʻqnashishlari soni, T {\displaystyle T}  — α {\displaystyle \alpha } -zarraning toʻsiq orqali oʻtish ehtimolligi. Aytaylik, ixtiyoriy vaqt momentida yadro ichida faqat bitta α {\displaystyle \alpha } -zarra mavjud boʻlsin va u yadro diametri boʻylab oldinga va orqaga harakatlanayotgan boʻlsin. ν = v 2 R 0 {\displaystyle \nu ={\dfrac {v}{2R_{0}}}} v {\displaystyle v}  — α {\displaystyle \alpha } -zarraning yadroni tark etayotgandagi tezligi. Kengligi L {\displaystyle L} boʻlgan toʻsiqdan zarraning oʻtish ehtimolligi: T = e − 2 k 2 L ,                   ( 1 ) {\displaystyle T=e^{-2k_{2}L},\ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)} k 2 = 2 m ( U − E ) ℏ {\displaystyle k_{2}={\dfrac {\sqrt {2m(U-E)}}{\hbar }}} (1) tenglama toʻgʻri burchakli potensial toʻsiqni ifodalaydi, α {\displaystyle \alpha } -zarra yadro ichida toʻsiq bilan koʻp marta toʻqnashadi. ln ⁡ T = − 2 k 2 L ,                 ( 2 ) {\displaystyle \ln T=-2k_{2}L,\ \ \ \ \ \ \ \ (2)} ln ⁡ T = − 2 ∫ 0 L k 2 ( r ) d r = − 2 ∫ R 0 R k 2 ( r ) d r ,                   ( 3 ) {\displaystyle \ln T=-2\int \limits _{0}^{L}k_{2}(r)\,dr=-2\int \limits _{R_{0}}^{R}k_{2}(r)\,dr,\ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)} R 0 {\displaystyle R_{0}}  — yadro radiusi, R {\displaystyle R}  — U = E {\displaystyle U=E} boʻlganda, yadrogacha masofa α {\displaystyle \alpha } -zarraning r {\displaystyle r} masofadagi elektr potensial energiyasi: U ( r ) = 2 Z e 2 4 π ε 0 r {\displaystyle U(r)={\dfrac {2Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}} U holda, k 2 = 2 m ( U − E ) ℏ = ( 2 m ℏ 2 ) 1 / 2 ⋅ ( 2 Z e 2 4 π ε 0 r − E ) 1 / 2 {\displaystyle k_{2}={\dfrac {\sqrt {2m(U-E)}}{\hbar }}=\left({\dfrac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{1/2}\cdot \left({\dfrac {2Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}-E\right)^{1/2}} r = R {\displaystyle r=R} boʻlganda U = E {\displaystyle U=E} boʻlgani uchun, E = 2 Z e 2 4 π ε 0 R {\displaystyle E={\dfrac {2Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}R}}} k 2 {\displaystyle k_{2}} ni quyidagicha yozish mumkin: k 2 = ( 2 m ℏ 2 ) 1 / 2 ⋅ ( R r − 1 ) 1 / 2 {\displaystyle k_{2}=\left({\dfrac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{1/2}\cdot \left({\dfrac {R}{r}}-1\right)^{1/2}} ln ⁡ T = − 2 ∫ R 0 R k 2 ( r ) d r = − 2 ( 2 m E ℏ 2 ) 1 / 2 ⋅ ( R r − 1 ) 1 / 2 d r                 ( 4 ) {\displaystyle \ln T=-2\int \limits _{R_{0}}^{R}k_{2}(r)\,dr=-2\left({\dfrac {2mE}{\hbar ^{2}}}\right)^{1/2}\cdot \left({\dfrac {R}{r}}-1\right)^{1/2}\,dr\ \ \ \ \ \ \ \ (4)} [ r = R cos 2 ⁡ θ ,       d r = − 2 R sin ⁡ θ cos ⁡ θ d θ ] {\displaystyle \left[r=R\cos ^{2}\theta ,\ \ \ dr=-2R\sin \theta \cos \theta d\theta \right]} [ ∫ ( R r − 1 ) 1 / 2 d r = − 2 R ∫ sin 2 ⁡ θ d θ ] {\displaystyle \left[\int \left({\dfrac {R}{r}}-1\right)^{1/2}\,dr=-2R\int \sin ^{2}\theta \,d\theta \right]} ln ⁡ T = − 2 ( 2 m E ℏ 2 ) 1 / 2 R [ cos − 1 ⁡ ( R 0 R ) 1 / 2 − ( R 0 R ) 1 / 2 ( 1 − R 0 R ) 1 / 2 ] {\displaystyle \ln T=-2\left({\dfrac {2mE}{\hbar ^{2}}}\right)^{1/2}R\left[\cos ^{-1}\left({\dfrac {R_{0}}{R}}\right)^{1/2}-\left({\dfrac {R_{0}}{R}}\right)^{1/2}\left(1-{\dfrac {R_{0}}{R}}\right)^{1/2}\right]} Potensial toʻsiq yetarlicha keng boʻlgani uchun, R ≫ R 0 {\displaystyle R\gg R_{0}} hamda cos ⁡ ( π 2 − θ ) = sin ⁡ θ {\displaystyle \cos \left({\dfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta } sin ⁡ ( R 0 R ) 1 / 2 ≈ ( R 0 R ) 1 / 2 {\displaystyle \sin \left({\dfrac {R_{0}}{R}}\right)^{1/2}\approx \left({\dfrac {R_{0}}{R}}\right)^{1/2}} cos − 1 ⁡ ( R 0 R ) 1 / 2 ≈ π 2 − ( R 0 R ) 1 / 2 {\displaystyle \cos ^{-1}\left({\dfrac {R_{0}}{R}}\right)^{1/2}\approx {\dfrac {\pi }{2}}-\left({\dfrac {R_{0}}{R}}\right)^{1/2}} 1 − ( R 0 R ) 1 / 2 ≈ 1 {\displaystyle 1-\left({\dfrac {R_{0}}{R}}\right)^{1/2}\approx 1} ln ⁡ T = − 2 ( 2 m E ℏ 2 ) 1 / 2 r [ π 2 − 2 ( R 0 R ) 1 / 2 ] {\displaystyle \ln T=-2\left({\dfrac {2mE}{\hbar ^{2}}}\right)^{1/2}r\left[{\dfrac {\pi }{2}}-2\left({\dfrac {R_{0}}{R}}\right)^{1/2}\right]} [ R = 2 Z e 2 4 π ε 0 E ] {\displaystyle \left[R={\dfrac {2Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}E}}\right]} Bundan kelib chiqadiki, ln ⁡ T = 4 e ℏ ( m π ε 0 ) 1 / 2 Z 1 / 2 R 0 1 / 2 − e 2 ℏ ε 0 ( m 2 ) 1 / 2 Z E − 1 / 2 {\displaystyle \ln T={\dfrac {4e}{\hbar }}\left({\dfrac {m}{\pi \varepsilon _{0}}}\right)^{1/2}Z^{1/2}R_{0}^{1/2}-{\dfrac {e^{2}}{\hbar \varepsilon _{0}}}\left({\dfrac {m}{2}}\right)^{1/2}ZE^{-1/2}} Tenglamadagi doimiylarning qiymatlarini oʻrniga qoʻyib hisoblasak: ln ⁡ T = 2 , 97 Z 1 / 2 R 0 1 / 2 − 3 , 95 Z E − 1 / 2 {\displaystyle \ln T=2,97Z^{1/2}R_{0}^{1/2}-3,95ZE^{-1/2}} E {\displaystyle E}  — energiya, R 0 {\displaystyle R_{0}}  — yadro radiusi, Z {\displaystyle Z}  — hosilaviy yadroning tartib raqami. log 10 ⁡ A = ( log 10 ⁡ e ) ( ln ⁡ A ) = 0 , 4343 ln ⁡ A {\displaystyle \log _{10}A=\left(\log _{10}e\right)(\ln A)=0,4343\ln A} log 10 ⁡ T = 1 , 29 Z 1 / 2 R 0 1 / 2 − 1 , 72 Z E − 1 / 2 {\displaystyle \log _{10}T=1,29Z^{1/2}R_{0}^{1/2}-1,72ZE^{-1/2}} Taʼrifga binoan, parchalanish doimiysi λ = ν T = v 2 R 0 T {\displaystyle \lambda =\nu T={\dfrac {v}{2R_{0}}}T} Tenglamaning ikkala tomonidan log 10 {\displaystyle \log _{10}} olamiz va T {\displaystyle T} bilan almashtiramiz: log 10 ⁡ λ = log 10 ⁡ ( v 2 R 0 ) + 1 , 92 Z 1 / 2 R 0 1 / 2 − 1 , 72 Z E − 1 / 2 {\displaystyle \log _{10}\lambda =\log _{10}\left({\dfrac {v}{2R_{0}}}\right)+1,92Z^{1/2}R_{0}^{1/2}-1,72ZE^{-1/2}} Hosil boʻlgan bu formulaga Geyger-Nettol qonuni deyiladi. Ushbu qonun α {\displaystyle \alpha } -parchalanish energiyasi va radioaktiv yadrolarning yarim yemirilish davrlari orasidagi bogʻliqlikni ifodalaydi va katta amaliy ahamiyatga ega.