Koszul algebrasi
Abstrakt algebrada Koszul algebrasi R {\displaystyle R} darajali hisoblanadi k {\displaystyle k}  — zamin maydoni joylashgan algebra k {\displaystyle k} chiziqli minimal darajali erkin ruxsatga ega, yaʼni aniq ketma-ketlik mavjud boʻladi: ⋯ → R ( − i ) b i → ⋯ → R ( − 2 ) b 2 → R ( − 1 ) b 1 → R → k → 0. {\displaystyle \cdots \rightarrow R(-i)^{b_{i}}\rightarrow \cdots \rightarrow R(-2)^{b_{2}}\rightarrow R(-1)^{b_{1}}\rightarrow R\rightarrow k\rightarrow 0.} Bu yerda, R ( − j ) {\displaystyle R(-j)} darajali algebra hisoblanadi. R {\displaystyle R} bilan yuqoriga j {\displaystyle j} siljiydi, yaʼni R ( − j ) i = R i − j {\displaystyle R(-j)_{i}=R_{i-j}} . Koʻrsatkichlar b i {\displaystyle b_{i}} ga murojaat qiling b i {\displaystyle b_{i}}  — toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindi. Ruxsatdagi modullar uchun asoslarni tanlash, zanjirli xaritalar matritsalar bilan beriladi va taʼrif matritsa yozuvlarini nol yoki chiziqli shakllarda boʻlishini talab qiladi. Koszul algebrasiga misol sifatida maydon ustidagi koʻp nomli halqani keltirish mumkin, buning uchun Koszul kompleksi yer maydonining minimal darajali erkin ruxsati hisoblanadi. Koszul algebralari mavjudki, ularning asosiy maydonlari cheksiz minimal darajali erkin ruxsatlarga ega boʻladi. Masalan, R = k [ x , y ] / ( x y ) {\displaystyle R=k[x,y]/(xy)} . Kontseptsiya fransuz matematigi Jan-Lui Kosul sharafiga nomlangan.