Riesz potensiali
Riesz potentsiali matematikada uning kashfiyotchisi vengriyalik matematik Marsel Ries nomi bilan atalgan potentsialdir. Qaysidir maʼnoda Riesz potentsiali Evklid fazosida Laplas operatorining kuchiga teskari kuchni ifodalaydi. Ular bir oʻzgaruvchili Riemann-Liouville integrallarini bir nechta oʻzgaruvchilarga umumlashtiradi. Agar 0 < a < n bo'lsa, u holda R n dagi lokal integrallanuvchi f funksiyaning Riesz potensiali I a f uyidagi funksiyasi bilan aniqlanadi:Andoza:NumBlkkonstanta quyidagicha berilgan: c α = π n / 2 2 α Γ ( α / 2 ) Γ ( ( n − α ) / 2 ) . {\displaystyle c_{\alpha }=\pi ^{n/2}2^{\alpha }{\frac {\Gamma (\alpha /2)}{\Gamma ((n-\alpha )/2)}}.} Bu singulyar integral yaxshi aniqlangan, agar f cheksizlikda yetarlicha tez kamaydi, ayniqsa f ∈ L <sup id="mwJw"><i id="mwKA">p</i></sup> (<b id="mwKQ">R</b> <sup id="mwKg"><i id="mwKw">n</i></sup>) 1 bilan ≤ p < n / a. Aslida, har qanday 1 ≤ p uchun (p >1 klassik, Sobolevga koʻra, p =1 boʻlganda), f va I a f ning kamayish tezligi tengsizlik koʻrinishida bogʻlangan (Hardi-Littlevud-Sobolev tengsizligi) ‖ I α f ‖ p ∗ ≤ C p ‖ R f ‖ p , p ∗ = n p n − α p , {\displaystyle \|I_{\alpha }f\|_{p^{*}}\leq C_{p}\|Rf\|_{p},\quad p^{*}={\frac {np}{n-\alpha p}},} bu yerda R f = D I 1 f {\displaystyle Rf=DI_{1}f} vektor qiymatli Riesz konvertatsiyasi. Umuman olganda, I a operatorlari kompleks a uchun aniq belgilangan, 0 < Re α < n. Riesz potensialini zaif maʼnoda konvolyutsiya sifatida aniqlash mumkin I α f = f ∗ K α {\displaystyle I_{\alpha }f=f*K_{\alpha }} Bu yerda K a - mahalliy integrallanadigan funksiya: K α ( x ) = 1 c α 1 | x | n − α . {\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}{\frac {1}{|x|^{n-\alpha }}}.} Riesz potensialini f ixcham qoʻllab-quvvatlanadigan taqsimot boʻlganda aniqlash mumkin. Shu munosabat bilan, musbat Borel oʻlchovi μ ning Riesz potentsiali asosan potentsial nazariyaga qiziqish uygʻotadi, chunki I a μ u holda μ tayanchidan (uzluksiz) subharmonik funksiya boʻlib, barcha R n da pastki yarim uzluksizdir. Furye konvertatsiyasini koʻrib chiqish Riesz potentsialining Furye koʻpaytmasi ekanligini koʻrsatadi. Quyidagini bilamiz: I α f ^ ( ξ ) = | 2 π ξ | − α f ^ ( ξ ) . {\displaystyle {\widehat {I_{\alpha }f}}(\xi )=|2\pi \xi |^{-\alpha }{\hat {f}}(\xi ).} va konvolyutsiya teoremasiga koʻra I α f ^ ( ξ ) = | 2 π ξ | − α f ^ ( ξ ) . {\displaystyle {\widehat {I_{\alpha }f}}(\xi )=|2\pi \xi |^{-\alpha }{\hat {f}}(\xi ).} Riesz potentsiallari tez kamayib boruvchi uzluksiz funksiyalar uchun quyidagi yarimguruh xususiyatini qondiradi: I α I β = I α + β {\displaystyle I_{\alpha }I_{\beta }=I_{\alpha +\beta }} Berilgan: 0 < Re ⁡ α , Re ⁡ β < n , 0 < Re ⁡ ( α + β ) < n . {\displaystyle 0<\operatorname {Re} \alpha ,\operatorname {Re} \beta <n,\quad 0<\operatorname {Re} (\alpha +\beta )<n.} Bundan tashqari, agar 0 < Re α < n–2 boʻlsa, u holda: Δ I α + 2 = I α + 2 Δ = − I α . {\displaystyle \Delta I_{\alpha +2}=I_{\alpha +2}\Delta =-I_{\alpha }.} Bundan tashqari, ushbu sinf funksiyalari uchun: lim α → 0 + ( I α f ) ( x ) = f ( x ) . {\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}}(I_{\alpha }f)(x)=f(x).}