Parseval ayniyati
Matematik tahlilda Mark-Antuan Parseval nomi bilan ataladigan Parseval ayniyati funksiyaning Furye qatorining yigʻilishi haqida muhim natijadir. Geometrik nuqtai nazardan, bu ayniyat skalyar koʻpaytma aniqlangan fazolar (sanoqsiz cheksiz bazis vektorga ega boʻlishi mumkin) uchun umumlashtirilgan Pifagor teoremasi hisoblanadi. Norasmiy ravishda, ayniyat funksiyaning Furye koeffitsientlarining kvadratlarining yigʻindisi funksiya kvadratining integraliga teng ekanligini tasdiqlaydi, ‖ f ‖ L 2 ( − π , π ) 2 = ∫ − π π | f ( x ) | 2 d x = 2 π ∑ n = − ∞ ∞ | c n | 2 {\displaystyle \Vert f\Vert _{L^{2}(-\pi ,\pi )}^{2}=\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx=2\pi \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}} bu yerda f {\displaystyle f} ning Furye koeffitsientlari c n {\displaystyle c_{n}} quyidagicha berilgan c n = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) e − i n x d x . {\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}\,dx.} Rasmiy tilda aytganda, agar f {\displaystyle f} kvadrati bilan integrallanuvchi funksiya yoki umumiyroq qilib olganda, Lp fazo L 2 [ − π , π ] {\displaystyle L^{2}[-\pi ,\pi ]} dan boʻlsa, natija yuqorida keltirilganidek bajariladi. Shunga oʻxshash natija Plancherel teoremasi boʻlib, u funksiyaning Furye almashtirishining kvadratining integrali funksiyaning oʻzining kvadratining integraliga teng ekanligini tasdiqlaydi. Bir oʻlchovli fazodada, f ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} )} uchun ∫ − ∞ ∞ | f ^ ( ξ ) | 2 d ξ = ∫ − ∞ ∞ | f ( x ) | 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi =\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx} munosabat oʻrinli.