Metallar elektr o‘tkazuvchanligining klassik elektron nazariyasi
Har qanday metallning kristall panjara tugunlarini tashkil etgan atomlar, ionlar oralig'ida erkin harakatda bo'lgan elektronlar, gazlarning molekular-kinetik nazariyasida aytilgandek, to'qnashishlar natijasida xaotik (tartibsiz) harakatda bo'ladi. Bu elektronlar har bir m om entda turli yo'nalishda tugunlarga to'qnashib bir tomonga yo'nalgan elektron guruhi bo'lm agani uchun o'tkazgichdan elektr tok o'tishi ro‘y bermaydi, ya’ni tok bo'lmaydi. Agar shu o'tkazgichlarning ikki uchini potensiallari φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}} va φ 2 {\displaystyle \varphi _{2}} bo'lgan tok manbai qutblariga^ulastuc, metall ichida hosil bo'lgan elektr maydon hamma elektronlarga F → = e E → {\displaystyle {\vec {F}}=e{\vec {E}}} kuch bilan bir yo'nalishda ta ’sir etib, musbat qutb tom on tezlanuvchan harakatga keltiradi, o'tkazgichnir.g ko'ndalang kesim yuzi orqali vaqt birligi ichida o'tgan zaryad miqdori I = q t {\displaystyle I={\frac {q}{t}}} tok kuchi o'tishiga olib keladi. Drude — Lorenslaming klassik nazariyalari bo'yicha tartibsiz v {\displaystyle v} tezlik bilan harakatda bo'lgan elektronlar har bir atomli gaz molekulaiari kabi issiqlik harakat energiyasi m c 2 2 {\displaystyle {\frac {mc^{2}}{2}}} ga ega bo'lib, kinetik nazariyaga asosan: m c 2 2 = 3 2 k T {\displaystyle {\frac {mc^{2}}{2}}={\frac {3}{2}}kT} Bu tenglamalarda m = 9.1 ⋅ 10 − 31 k g , T = 273 K , k = 1.38 ⋅ 10 − 23 J K {\displaystyle m=9.1\cdot 10^{-31}kg,T=273K,k=1.38\cdot 10^{-23}{\frac {J}{K}}} qiymatlardan foydalanib, zaryadning issiqlik harakat dagi tezligini hisoblay olamiz: v 2 = 3 k T m = 10 5 m c {\displaystyle {\sqrt {v^{2}}}={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}=10^{5}{\frac {m}{c}}} Elektroiming o ‘rtacha erkin yugurish yo'li uzunligi ⟨ λ ⟩ {\displaystyle \langle \lambda \rangle } bo‘lsa, erkin yugurish o‘rtacha vaqti  ⟨ τ ⟩ = ⟨ λ ⟩ v {\displaystyle \langle \tau \rangle ={\frac {\langle \lambda \rangle }{v}}} bo'ladi Ammo elektron uchun ⟨ λ ⟩ {\displaystyle \langle \lambda \rangle } ning qiymati nomaMum, uni panjara doimiysi d dan bir necha 10 marta katta deb olish mumkin. Eiektronning panjara ionlari bilan ikki ketma-ket to ‘qnashishi uchun o'tgan vaqtjchidagi tezlik o'zgarishi Nyuton qonuniga ko‘ra F → ⟨ τ ⟩ = m △ v → {\displaystyle {\vec {F}}\langle \tau \rangle =m\bigtriangleup {\vec {v}}} va F ϵ → = e E → {\displaystyle {\vec {F_{\epsilon }}}=e{\vec {E}}} bo'lgani uchun: △ v → = F m ⟨ λ ⟩ = e m ⟨ λ ⟩ E → {\displaystyle \bigtriangleup {\vec {v}}={\frac {F}{m}}\langle \lambda \rangle ={\frac {e}{m}}\langle \lambda \rangle {\vec {E}}} Elektron dreyfining tezligi zanjir ulanish m om entda nol, to ‘qnashish mom entda maksimal bolib, u v M = e m ⟨ τ ⟩ E {\displaystyle v_{M}={\frac {e}{m}}\langle \tau \rangle E} ga teng. Tezliklarining o‘rta qiymatini aniqlasak, ⟨ v ⟩ = v 0 + v M 2 = e 2 m ⟨ τ ⟩ E {\displaystyle \langle v\rangle ={\frac {v_{0}+v_{M}}{2}}={\frac {e}{2m}}\langle \tau \rangle E} boladi. Hisoblashlarga asosan, u quyidagiga teng: ⟨ v ⟩ = 0.001 m c {\displaystyle \langle v\rangle =0.001{\frac {m}{c}}} Agar tok zichligi formulasi j = n 0 e ⟨ v ⟩ {\displaystyle j=n_{0}e\langle v\rangle } ga ⟨ v ⟩ {\displaystyle \langle v\rangle } ning ifodasini qo'ysak Om qonuni kelib chiqadi j = n 0 e 2 ⟨ τ ⟩ 2 m E {\displaystyle j={\frac {n_{0}e^{2}\langle \tau \rangle }{2m}}E} yoki j = σ E {\displaystyle j=\sigma E} Bu ifodadan ko‘rinadiki, tok zichligi elektr maydon kuchlanganligiga to ‘g‘ri proporsional. Bu Om qonunining differensial ifodasidir. Bundagi klassik elektron nazariya asosida chiqqan solishtirma elektr o‘tkazuvchanlik σ = n 0 e 2 ⟨ τ ⟩ 2 m = n 0 e 2 ⟨ λ ⟩ 2 m ⟨ v ⟩ {\displaystyle \sigma ={\frac {n_{0}e^{2}\langle \tau \rangle }{2m}}={\frac {n_{0}e^{2}\langle \lambda \rangle }{2m\langle v\rangle }}} metallarning hajm birligidagi erkin elektronlar soniga va o'rtacha erkin yugurish yo‘l uzunligiga to ‘g‘ri proporsional. Amalda ko‘pincha solishtirma elektr o‘tkazuvchanlik σ {\displaystyle \sigma } o'rnida uning teskari qiymati 1 σ {\displaystyle {\frac {1}{\sigma }}} ni solishtirma aqarshilik ρ {\displaystyle \rho } yoziladi. σ = n 0 e 2 ⟨ τ ⟩ 2 m = n 0 e 2 ⟨ λ ⟩ 2 m ⟨ v ⟩ {\displaystyle \sigma ={\frac {n_{0}e^{2}\langle \tau \rangle }{2m}}={\frac {n_{0}e^{2}\langle \lambda \rangle }{2m\langle v\rangle }}} formuladan ko'rinadiki, agar elektron panjaradagi ionlar bilan to ‘qnashmasa, erkin yugurish yo‘li cheksizlikka intiladi, demak, solishtirma elektr o‘tkazuvchanlik ham cheksizlikka intilgan bo‘lar edi n 0 {\displaystyle n_{0}} Avogadro soni N A {\displaystyle N_{A}} ga nisbatan n 0 N A {\displaystyle {\frac {n_{0}}{N_{A}}}} metall zichligi d ning atom massasi soni A ga nisbatiga teng: n 0 N A = d A {\displaystyle {\frac {n_{0}}{N_{A}}}={\frac {d}{A}}} natijada j = n 0 e v {\displaystyle j=n_{0}ev} dan v = j e n 0 = j A e d N A {\displaystyle v={\frac {j}{en_{0}}}={\frac {jA}{edN_{A}}}} bo'ladi K o‘pincha metallar uchun zichlik atom og'irligining zichlikka nisbati A d = 10 {\displaystyle {\frac {A}{d}}=10} dan oshmaydi Bir moidagi ionlar (elektronlar) zaryadning miqdori q = N A e = 6.02 ⋅ 10 23 m o l − 1 ⋅ 1.6 ⋅ 10 − 19 C = 9.63 ⋅ 10 4 C / m o l ≈ 10 5 C / m o l {\displaystyle q=N_{A}e=6.02\cdot 10^{23}mol^{-1}\cdot 1.6\cdot 10^{-19}C=9.63\cdot 10^{4}C/mol\approx 10^{5}C/mol} Agar metall simdan o'tayotgan tokning zichligi 107 A/m.2 bo'lsa, elektronning tartibsiz harakat tezligi 10~’ m/s ga teng boiadi. Demak, bunday tezlik bilan harakatlanayotgan elektron qanday qilib zanjir ulanishi bilan ancha uzoqqa tez yetib boradi? Bu vaqtda elektron emas, balki u hosil qilayotgan elektr maydonning tarqalish tezligini o'tkazgich uzunligi bo'yicha tashkil etuvchisi katta tezlik bilan, ya’ni elektromagnit to'lqinining tezligi 10 8 {\displaystyle ^{8}} m /s bilan tarqaladi. Klassik elektron nazariyadan foydalanib Joul — Lens qonunini ham keltirib chiqaraylik. Buning uchun elektronning tugundagi zarraga urilish oldidagi maksimal kinetik energiyasidagi tezlik o ‘rniga (3.6) ni qo‘ysak, quyidagi hosil bo‘ladi: K = m 2 v M 2 = 1 2 ⋅ e 2 λ 2 m E = e 2 ⟨ λ ⟩ 2 2 m v M 2 E {\displaystyle K={\frac {m}{2}}v_{M}^{2}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{2}\lambda ^{2}}{m}}E={\frac {e^{2}\langle \lambda \rangle ^{2}}{2mv_{M}^{2}}}E} U vaqtda o‘tkazgichning birlik hajmidagi elektronlar 1 τ {\displaystyle {\frac {1}{\tau }}} vaqtda bir marta uriladi va buning natijasida shuncha marta ko‘p issiqlik ajraladi. Vaqt birligi (1s) da ajralgan issiqlik miqdori: Q 1 = n e τ 2 2 m E {\displaystyle Q_{1}={\frac {ne\tau ^{2}}{2m}}E} σ = n 0 e 2 ⟨ τ ⟩ 2 m = n 0 e 2 ⟨ λ ⟩ 2 m ⟨ v ⟩ {\displaystyle \sigma ={\frac {n_{0}e^{2}\langle \tau \rangle }{2m}}={\frac {n_{0}e^{2}\langle \lambda \rangle }{2m\langle v\rangle }}} ifodani olsak , Q 1 = n e τ 2 2 m E {\displaystyle Q_{1}={\frac {ne\tau ^{2}}{2m}}E} ifoda quyidagi ko'rinishni oladi : Q 1 = σ E 2 = E 2 ρ {\displaystyle Q_{1}=\sigma E^{2}={\frac {E^{2}}{\rho }}} Bu ifoda Joul — Lens qonunining differensialkoYinishini ifodalaydi. Demak, ajralayotgan issiqlik miqdori elektr maydon kuchlanganligining kvadratiga to‘g ‘ri proporsional ekan. Bu ifodani sizga tanish bo‘lgan integral ko'rinishida ifodalash uchun uni o ‘tkazgich uzunligi / ga, ko'ndalang kesi S ga va tok o ‘tish vaqtiga ko‘paytiramiz: Q = Q 1 l S t = E 2 ρ l S t = ( E l ) 2 ρ l S t = U 2 R t = I U t {\displaystyle Q=Q_{1}lSt={\frac {E^{2}}{\rho }}lSt={\frac {(El)^{2}}{\rho {\frac {l}{S}}}}t={\frac {U^{2}}{R}}t=IUt} kelib chiqadi.