Bessel tengsizligi
Matematikada, ayniqsa funksional tahlil(analiz)da, Bessel tengsizligi ortonormal ketma-ketlikka nisbatan Gilbert fazosida x {\displaystyle x} elementning koeffitsientlari haqidagi jumladir. Tengsizlik 1828-yilda nemis olimi Friedrich Bessel (astronomiya, matematika, fizika va geodeziya fanlari olimi) tomonidan keltirib chiqarilgan. H {\displaystyle H} Gilbert fazosi va e 1 , e 2 , . . . {\displaystyle e_{1},e_{2},...} H {\displaystyle H} dagi ortonormal ketma-ketlik bo'lsin. U holda, H {\displaystyle H} dagi har qanday vektor x {\displaystyle x} uchun ∑ k = 1 ∞ | ⟨ x , e k ⟩ | 2 ≤ ‖ x ‖ 2 , {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2},} munosabat o'rinli bo'ladi, bu yerda ⟨·,·⟩ belgi H {\displaystyle H} Gilbert fazosidagi skalyar ko'paytmani ifodalaydi. Agar e k {\displaystyle e_{k}} yo'nalishdagi x {\displaystyle x} vektor proyeksiyaning "cheksiz yig'indi" sidan tuzilgan x ′ = ∑ k = 1 ∞ ⟨ x , e k ⟩ e k , {\displaystyle x'=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle x,e_{k}\right\rangle e_{k},} cheksiz summani aniqlasak, u holda Bessel tengsizligi bu qatorning yaqinlashuvchi ekanligini ta'kidlaydi. Bu haqda quyidagicha ham o'ylash mumkin: potensial bazis e 1 , e 2 , … {\displaystyle e_{1},e_{2},\dots } orqali ifodalanishi mumkin bo'lgan x ′ ∈ H {\displaystyle x'\in H} mavjud bo'ladi. To'liq ortonormal ketma-ketlik uchun (ya'ni, bazis bo'lgan ortonormal ketma-ketlik uchun) biz Parseval ayniyatiga egamiz. Bunda tengsizlikni tenglik bilan almashtiriladi (va natijada x ′ {\displaystyle x'} ham x {\displaystyle x} bilan almashtirilishi kerak bo'ladi). Bessel tengsizligi quyidagi, har qanday natural son n uchun bajariladigan ayniyatdan kelib chiqadi 0 ≤ ‖ x − ∑ k = 1 n ⟨ x , e k ⟩ e k ‖ 2 = ‖ x ‖ 2 − 2 ∑ k = 1 n Re ⁡ ⟨ x , ⟨ x , e k ⟩ e k ⟩ + ∑ k = 1 n | ⟨ x , e k ⟩ | 2 = ‖ x ‖ 2 − 2 ∑ k = 1 n | ⟨ x , e k ⟩ | 2 + ∑ k = 1 n | ⟨ x , e k ⟩ | 2 = ‖ x ‖ 2 − ∑ k = 1 n | ⟨ x , e k ⟩ | 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}0\leq \left\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\right\|^{2}&=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Re} \langle x,\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\rangle +\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}\\&=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}\\&=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}.\end{aligned}}}