Cauchy integraalvalem
Cauchy integraalvalem on oluline valem kompleksmuutuja funktsioonide teoorias, mis väljendab asjaolu, et regulaarsete funktsioonide väärtused piirkonnas on määratud selle funktsiooni väärtustega piirkonna rajal. Täpsemalt, kui f on regulaarne funktsioon ühelisidusas tõkestatud piirkonnas D ja pidev kuni selle piirkonna rajani γ {\displaystyle \gamma } , siis iga piirkonda D kuuluva kompleksarvu z korral kehtib f ( z ) = 1 2 π i ∮ γ f ( ξ ) ξ − z d ξ {\displaystyle f(z)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(\xi ) \over \xi -z}\,d\xi } , kus integreerimine toimub vastupäeva. Et ülalantu on Cauchy tüüpi integraal, siis on f piirkonnas D lõpmatult diferentseeruv, kusjuures selle n-ndat järku tuletis on antud integraalina f ( n ) ( z ) = n ! 2 π i ∮ γ f ( ξ ) ( ξ − z ) n + 1 d ξ . {\displaystyle f^{(n)}(z)={n! \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(\xi ) \over (\xi -z)^{n+1}}\,d\xi .} Viimase asjaolu tõttu iga piirkonnas D regulaarne funktsioon ühtlasi analüütiline funktsioon. Cauchy integraalvalem on nimetuse saanud prantsuse matemaatiku Augustin Louis Cauchy järgi.