Rühma toime
Matemaatikas kuuluvad rühma toime juurde rühm ( G , ∗ ) {\displaystyle (G,*)} "aktiivse" osana ja hulk "passiivse" osana. Elemendi g ∈ G {\displaystyle g\in G} toime hulgal X {\displaystyle X} on selle hulga teisendus. Seejuures toimivad elemendid g , h ∈ G {\displaystyle g,h\in G} hulga X {\displaystyle X} elementidel nii, et korrutise g ∗ h {\displaystyle g*h} toime vastab kummagi toime järjestikusele rakendamisele (toimete kompositsioonile). Toimivat rühma G {\displaystyle G} nimetatakse teisenduste rühmaks. Hulka X {\displaystyle X} koos rühma G {\displaystyle G} toimega hulgal X {\displaystyle X} nimetatakse G {\displaystyle G} -hulgaks. Kui hulga X {\displaystyle X} juures on oluline struktuur, olgu siis algebraline, geomeetriline või topoloogiline, peetakse rühma toimet lubatavaks ainult juhul, kui ta säilitab selle struktuuri. Rühma toime võimaldab algebras, geomeetrias ja teistes matemaatika harudes kirjeldada objektide sümmeetriaid sümmeetriarühmade abil. Siin on esiplaanil selle hulga uurimine, millel hulk toimib. Teiselt poolt võib etteantud rühma toime sobivalt valitud hulkadel anda rühmateoorias olulist informatsiooni toimiva rühma struktuuri kohta. Sel juhul on esiplaanil toimiva rühma uurimine.