Ühejuur
n-nda astme (n on positiivne täisarv) ühejuur on kompleksarv, mille n-is aste on 1. Teiste sõnadega, n-nda astme ühejuur on võrrandi x n = 1 {\displaystyle x^{n}=1} lahend. x ühejuure kohta on järgmised näited: Kui n = 2, siis selle võrrandi lahendid on − 1 {\displaystyle -1} ja 1 {\displaystyle 1} . Kui n = 3, siis selle võrrandi lahendid on ( − 1 ± i 3 ) 2 , 1 {\displaystyle {\tfrac {(-1\pm i{\sqrt {3}})}{2}},1} . Kui n = 4, siis selle võrrandi lahendid on − 1 , 1 , i , − i . {\displaystyle -1,1,i,-i.} Arvu astendaja (n) ühejuured on: cos ⁡ ( 2 π k n ) + i sin ⁡ ( 2 π k n ) {\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)} Arvu kompleksarv (x) mistahes ühejuure astendaja leidmine: Esiteks tuleb kasutada Euleri valemit, et leida n mistahes ühejuure astendajat. Definitsioon: e i x = c i s ( x ) = c o s ( x ) + i s i n ( x ) {\displaystyle e^{ix}=cis(x)=cos(x)+isin(x)} n on positiivne täisarv ja U n {\displaystyle U_{n}} on kokku kõik arvu n ühejuured. Definitsioon: U n = e 2 k π i n | k ∈ { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle U_{n}=e^{\tfrac {2k\pi i}{n}}\vert k\in \{1,2,\ldots ,n\}} Vastavalt definitsioonile saame ühejuurt leida muutes k-i väärtust avaldises: e 2 k π i / n {\displaystyle e^{2k\pi i/n}} Tõestus: Vastavalt Euleri valemiga: e 2 π i = c o s ( 2 π ) + i s i n ( 2 π ) = 1 {\displaystyle e^{2\pi i}=cos(2\pi )+isin(2\pi )=1} k on positiivne täisarv: ( e 2 π i ) k = e 2 k π i = 1 k = 1 {\displaystyle (e^{2\pi i})^{k}=e^{2k\pi i}=1^{k}=1} Astendaja n tõstame omakorda astmesse valemiga: 1 / n {\displaystyle 1/n} saame: ( x n ) 1 / n = x = e 2 π i / n = e 4 π i / n = e 6 π i / n = . . . = e 2 k π i / n {\displaystyle (x^{n})^{1/n}=x=e^{2\pi i/n}=e^{4\pi i/n}=e^{6\pi i/n}=...=e^{2k\pi i/n}} Seetõttu saame, et n-il on olemas erinevad lahendused valemile x n = 1 {\displaystyle x^{n}=1} , iga x on võrdne valemiga: x = e 2 k π i / n {\displaystyle x=e^{2k\pi i/n}} , kui k = 1 , 2 , 3 , . . . , n . {\displaystyle k=1,2,3,...,n.} Tänapäeval kasutatakse ühejuurt RSA krüptograafias kasutatavatel võtmetel. RSA krüptograafias kasutatakse suuri algarve ja nende korrutiste faktoriseerimist, et luua turvalisi võtmeid. Ühejuurte kasutamine võimaldab lahendada kompleksseid tehteid ja teha arvutusi, mis on olulised turvaliste võtmete loomiseks ja krüptimiseks. Ühejuurt kasutatakse trigonomeetrias ja kompleksarvudega arvutamisel. Samuti on ühejuur seotud Fourier' analüüsiga, mis võimaldab signaale jagada erinevateks sageduskomponentideks, mis on leidnud kasutust mitmetes erinevates valdkondades, sealhulgas helitehnoloogias ja signaalitöötluses.