Abeli-Ruffini teoreem
Abeli-Ruffini teoreem ehk Abeli teoreem algebralistest võrranditest ehk Abeli võimatuse teoreem on teoreem, mis väidab, et 5. ja kõrgema astme algebralistel võrranditel puuduvad algebraliste avaldistena esitatavad üldlahendid. Selle kohta öeldakse ka, et nad ei ole radikaalides lahenduvad ehk neil puuduvad algebralised lahendid. Algebra põhiteoreemi järgi on kõigil algebralistel võrranditel olemas kompleksarvulised lahendid. Abeli-Ruffini teoreem väidab, et kõrgema kui neljanda astme algebraliste võrrandite puhul ei saa anda üldisi valemeid võrrandite kordajatest ning ratsionaalarvulistest konstantidest lahendite arvutamiseks aritmeetiliste tehete ja juurimise abil (ega ka algoritmi sobiva avaldise leidmiseks, sest kõiki selliste võrrandite lahendeid ei saa võrrandi kordajatest niimoodi avaldada). Lahendid on arvutusmeetodite, näiteks Newtoni meetodi või Laguerre'i meetodi abil saada mis tahes täpsusega. Mõnel kõrgemat järku võrrandil on lahendeid, mida saab aritmeetiliste tehete ja juurimise teel avaldada. Näiteks võrrandil x 5 − 5 x 4 − 10 x 3 − 10 x 2 − 5 x − 1 = 0 {\displaystyle x^{5}-5x^{4}-10x^{3}-10x^{2}-5x-1=0} on lahend x = 1 + 2 5 + 4 5 + 8 5 + 16 5 {\displaystyle x=1+{\sqrt[{5}]{2}}+{\sqrt[{5}]{4}}+{\sqrt[{5}]{8}}+{\sqrt[{5}]{16}}} . Analüütiliselt saab lahendada homogeenseid võrrandeid ja sümmeetrilisi võrrandeid. Triviaalselt on radikaalides lahenduvad võrrandid, mille kõik juured on ratsionaalarvud, sest neid saab esitada ratsionaalarvuliste konstantidena. Lihtsaim mittetriviaalne näide on võrrand xn = a, kus a on positiivne reaalarv. Sel on n lahendit: x = a n ⋅ e i 2 π k / n , k = 0 , 1 , … , n − 1.   {\displaystyle x={\sqrt[{n}]{a}}\cdot e^{i2\pi k/n},\quad k=0,1,\dots ,n-1.\ } Avaldis e i 2 π k / n {\displaystyle e^{i2\pi k/n}} , mis sisaldab eksponentsiaalfunktsiooni, annab tegelikult lihtsalt 1 n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{1}}} eri väärtused (n-indad ühejuured), nii et asi taandub juurimisele.