Gammafunktsioon
Gammafunktsioon ehk Euleri gammafunktsioon ehk teist liiki Euleri integraal Γ {\displaystyle \Gamma } on üks erifunktsioon matemaatilises analüüsis ja kompleksmuutuja funktsioonide teoorias. Gammafunktsiooni võib positiivse reaalarvu x {\displaystyle x} jaoks defineerida integraalina Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (x)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{x-1}{\mathrm {e} }^{-t}dt} . See on transtsendentne analüütiline funktsioon ja rahuldab funktsionaalvõrrandit Γ ( x + 1 ) = x ⋅ Γ ( x ) , {\displaystyle \Gamma (x+1)=x\cdot \Gamma (x),} mida saab näidata ositi integreerimise abil. Et Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (1)=1} , siis järeldub sellest kõigi positiivsete täisarvude n {\displaystyle n} korral Γ ( n ) = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋯ ( n − 1 ) = ( n − 1 ) ! , {\displaystyle \Gamma (n)=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)=(n-1)!\,,} seega interpoleerib Γ {\displaystyle \Gamma } üht faktoriaali rööplüket. Gammafunktsiooni saab üheselt jätkata meromorfseks funktsiooniks Gaussi tasandile C {\displaystyle \mathbb {C} } . Seal ei ole tal nullkohti ega mittepositiivsetel täisarvudel lihtsaid poolusi, seega on 1 / Γ {\displaystyle 1/\Gamma } täisfunktsioon. Gammafunktsioon on aluseks gammajaotuseks nimetatavale tõenäosusjaotusele.