Lainevõrrand
Lainevõrrand on oluline teist järku lineaarne hüperboolne osatuletistega diferentsiaalvõrrand, mis kirjeldab füüsikas laineid ehk häirituste levikut keskkonnas (pillikeele võnkumine, valguse- ja helilaine levik, veelaine levik jne). Võrrandi üldkuju ühedimensionaalse juhu jaoks on: u t t = α 2 u x x {\displaystyle u_{tt}=\alpha ^{2}u_{xx}} , kus alaindeksid viitavad muutujatele, mille järgi on osatuletised võetud, ning indeksite arv näitab, mitmendat järku osatuletisega on tegemist. Konstant α 2 {\displaystyle \alpha ^{2}} on kiiruse ruudu dimensiooniga ning kirjeldab laine levimise kiirust. Elektromagnetlaine levi kirjeldalmisel kasutatakse α 2 = c 2 {\displaystyle \alpha ^{2}=c^{2}} , kus c {\displaystyle c} tähistab valguse kiirust. Lainevõrrandi lahendiks kõige üldisemal kujul on funktsioon u ( x , t ) = f ( x + α t ) + g ( x − α t ) {\displaystyle u(x,t)=f(x+\alpha t)+g(x-\alpha t)} , millest on pikemalt juttu peatükis D'Alemberti lahend. Lainevõrrand lahti kirjutatuna osatuletiste kaudu avaldub järgmiselt: ∂ 2 u ∂ t 2 = α 2 ∂ 2 u ∂ x 2 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=\alpha ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}} Antud võrrandi kuju nimetatakse ka hüperboolseks. Teljestikul laine amplituud u {\displaystyle u} versus koordinaat kirjeldab u t t {\displaystyle u_{tt}} mingis fikseeritud punktis x {\displaystyle x} häirituse amplituudi muutumise kiiruse muutust ajas. Suurus u x x {\displaystyle u_{xx}} aga funktsiooni nõgusust kohal x {\displaystyle x} .