Kategooriateooria
Kategooriateooria on valdkond matemaatikas, mis kirjeldab matemaatilisi struktuure ja nende seoseid. Valdkond loodi 20. sajandi keskel Samuel Eilenbergi ja Saunders Mac Lane'i poolt seoses nende tööga algebralise topoloogia teemal. Kategooriateooriat kasutatakse peaaegu igal pool matemaatikas. Paljud konstruktsioonid uutest matemaatilistest objektidest, mis on loodud olemasolevate objektide põhjal, on võimalik kirjeldada läbi kategooriate. Paljud valdkonnad informaatikas tuginevad kategooriateooriale, sealhulgas funktsionaalne programmeerimine ja semantika. Kategooria koosneb kahte sorti elementidest: objektidest ja morfismidest, mis seovad kahte objekti, mida kutsutakse morfismi allikaks ja sihtmärgiks. Võib öelda, et morfism on nool, mis seostab allika sihtmärgiga. Morfisme on võimalik komponeerida, kui esimese morfismi sihtmärk on teise morfismi allikas, ning morfismide kompositsioon sarnaneb funktsioonide kompositsiooniga (assotsiatiivsuse ja identiteedimorfismide olemasolu tõttu). Morfism on sageli mingisugune funktsioon, aga mitte alati. Näiteks võib monoidi käsitleda kui kategooriat üheainsa objektiga, mille morfismid on monoidi elemendid. Teine tähtis osa kategooriateooriast on mõiste funktorist, mis on morfism kategooriate C 1 {\displaystyle C_{1}} ja C 2 {\displaystyle C_{2}} vahel: see teisendab objektid kategooriast C 1 {\displaystyle C_{1}} kategooriasse C 2 {\displaystyle C_{2}} ning morfismid kategoorias C 1 {\displaystyle C_{1}} kategooriasse C 2 {\displaystyle C_{2}} nii, et allikad seostatakse allikatega ja sihtmärgid sihtmärkidega. Kolmas mõiste kategooriateoorias on naturaalne transformatsioon, mida võib käsitleda kui morfismi funktorite vahel. Kategooriateooria on väga üldine matemaatika osa, mida kasutatakse näiteks hulgateooria ja rühmateooria formaliseerimisel. Tartu Ülikoolis õpetab kategooriateooriat Varmo Vene.