Fourier' pöördteoreem
Fourier' pöördteoreem (inglise keeles Fourier inversion theorem) on teoreem, mille kohaselt paljude eri tüüpi funktsioonide puhul on võimalik taastada funktsiooni selle Fourier' teisendusest. Seega kui on olemas kogu teave laine sageduse ja faasi kohta, saame algse laine täpselt rekonstrueerida. Kui meil on teatud tingimusi rahuldav funktsioon f : R → C {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} } ja kasutame Fourier' teisendust kujul ( F f ) ( ξ ) := ∫ R e − 2 π i y ⋅ ξ f ( y ) d y , {\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,} siis f ( x ) = ∫ R e 2 π i x ⋅ ξ ( F f ) ( ξ ) d ξ . {\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi .} Teisiti väljendades ütleb teoreem, et f ( x ) = ∬ R 2 e 2 π i ( x − y ) ⋅ ξ f ( y ) d y d ξ . {\displaystyle f(x)=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .} Seda võrrandit nimetatakse Fourier' integraalteoreemiks. Üks võimalus teoreemi väljendamiseks on ka see, et kui R {\displaystyle R} on pöördoperaator, s.t ( R f ) ( x ) := f ( − x ) {\displaystyle (Rf)(x):=f(-x)} , siis F − 1 = F R = R F . {\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}R=R{\mathcal {F}}.} Teoreem kehtib, kui nii f {\displaystyle f} kui ka selle Fourier' teisendus on absoluutselt integreeritav funktsioon ja f {\displaystyle f} on punktis x {\displaystyle x} pidev.