Banachi-Tarski paradoks
Banachi–Tarski paradoks on teoreem hulgateoreetilises geomeetrias, mille kohaselt saab kolmemõõtmelises ruumis kera jagada lõplikuks arvuks lõikumatuteks punktihulkadeks ja neid osasid üksnes nihete ja pöörete abil liigutades kokku panna kaks esialgsega ühesugust kera. Selle teoreemi sõnastasid ja tõestasid poola matemaatikud Stefan Banach ja Alfred Tarski 1924. aastal. Õieti näitasid nad, et kehtib Banachi-Tarski paradoksi üldisem kuju: kui n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} , siis iga kahe tõkestatud mittetühja sisemusega punktihulga korral eukleidilises ruumis R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} saab esimese hulga jagada lõplikuks arvuks lõikumatuteks punktihulkadeks, millest nihutamiste ja pöörete abil saab kokku panna teise hulga. Raphael M. Robinson näitas 1947. aastal, et vähim arv tükke, milleks esialgse kera Banachi-Tarski paradoksis jagada saab, on viis: kolmest tükist pannakse kokku üks esialgsega samasugune kera ja ülejäänust kahest teine. Arvteljel R {\displaystyle \mathbb {R} } ega tasandil R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} Banachi-Tarski paradoks ei kehti, kuid Banachi-Tarski paradoksi ja tema üldisema kujuga analoogilised väited jäävad kehtima, kui lubada lõpliku arvu asemel loenduvat hulka juppe. Sõna paradoks kasutatakse siin vastuolu tõttu geomeetrilise vaistuga: kera kahekordistamine juppide pööramise ja nihutamise teel tundub võimatu, sest pööramine ja nihutamine peaksid säilitama ruumala – ometi ruumala kahekordistub. Matemaatikas lahendatakse see vastuolu öeldes, et mõned punktihulgad ruumis võivad olla mõõtumatud, s. t. nii keerulise ehitusega, et nende ruumalast ei saa üldse kõnelda. Seega näitab Banachi-Tarski paradoks vaid, et ruumala mõistet ei saa mõistlikult laiendada kolmemõõtmelise ruumi kõigile punktihulkadele: osadest, milleks kera selles paradoksis jaotatakse, peavad vähemalt mõned olema mõõtumatud. Banachi-Tarski paradoksi tõestamisel kasutatakse hulgateooria palju vaidlusi tekitanud valikuaksioomi. 1964. aastal näitas Robert Solovay, et Zermelo-Fraenkeli hulgateoorial leidub mudel, kus ruumala mõiste saab laiendada ruumi R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} kõigile punktihulkadele iga naturaalarvu n {\displaystyle n} korral (vt jaotist Seos valikuaksioomiga), ning järelikult valikuaksioomi kasutamata Banachi-Tarski paradoksi tõestada ei saa. Kuna valikuaksioomist järeldub, et on olemas mõõtumatud hulgad (näiteks kera osad Banachi–Tarski paradoksis), on mõned matemaatikud otsustanud kasutada ilma valikuaksioomita hulgateooriat. Valdav enamik tänapäeva matemaatikuid aga tunnustab siiski valikuaksioomiga Zermelo-Fraenkeli hulgateooriat ning seega ka Banachi-Tarski paradoksi kehtimist.