উৎপাদকে বিশ্লেষণ
গণিতে উৎপাদকে বিশ্লেষণ বা উৎপাদকীকরণ বলতে একটি সংখ্যা বা কোনো গাণিতিক বস্তুকে কয়েকটি উৎপাদকের গুণফলরূপে প্রকাশ করাকে বোঝায়, যা সাধারণত একই ধরনের ক্ষুদ্রতর কিংবা সরলতর বস্তু হিসেবে লেখা হয়ে থাকে। উদাহরণস্বরূপ, পূর্ণসংখ্যা ১৫ এর বিশ্লেষিত রূপ ৩ × ৫, এবং x 2 − 4 {\displaystyle x^{2}-4} বহুপদীর একটি বিশ্লিষ্ট রূপ ( x − 2 ) ( x + 2 ) {\displaystyle (x-2)(x+2)} । সাধারণত বাস্তব কিংবা জটিল সংখ্যার ভগ্নাংশকে উৎপাদক হিসেবে গ্রহণ করা মূলত অর্থহীন, যেহেতু স্পষ্টতই যেকোনো x {\displaystyle x} কে ( x y ) × ( 1 / y ) {\displaystyle (xy)\times (1/y)} হিসেবে লেখা যায়, যেখানে y ≠ 0 {\displaystyle y\neq 0} । তবে যেকোনো মূলদ সংখ্যা কিংবা মূলদ ফাংশনের লঘিষ্ঠ রূপ লিখে তার হর এবং লবকে পৃথক ভাবে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে মূল সংখ্যা কিংবা ফাংশনটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়। পূর্ণসংখ্যাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ সর্বপ্রথম প্রাচীন গ্রিক গণিতবিদদের মাঝে দেখা যায়। তারা সর্বপ্রথম পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য প্রমাণ করেন, যার বক্তব্য হলঃ প্রত্যেকটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যাকে এক বা একাধিক মৌলিক সংখ্যার গুণফল রূপে প্রকাশ করা যাবে, যা পুনরায় আর ১ এর চেয়ে বড় কোন পূর্ণ সংখ্যা দ্বারা প্রকাশ করা সম্ভব হবে না। অধিকন্তু এই উৎপাদকে বিশ্লেষণ, উৎপাদকগুলোর ক্রমকে উপেক্ষা করলে, প্রত্যেকটি সংখ্যার জন্য অনন্য। যদিও পূর্ণসংখ্যা উৎপাদকে বিশ্লেষণ একপ্রকারে গুণের বিপরীত প্রক্রিয়া,অ্যালগরিদমীয়ভাবে এটি ব্যাপক জটিল এবং সময়সাপেক্ষ, যে ব্যাপারটিকে আরএসএ গুপ্তবিদ্যায় ব্যবহার করে পাবলিক কী ক্রিপ্টোগ্রাফিতে প্রয়োগ করা হয়। বহুপদী উৎপাদকে বিশ্লেষণও বহুকাল ধরে অধীত হয়েছে। প্রাথমিক বীজগণিতে কোন বহুপদীর উৎপাদকে বিশ্লেষণ এর সমীকরণের মূলগুলো খুঁজে পাওয়ার সমস্যাকে অনেকাংশেই সমাধান করে। ফিল্ড অথবা পূর্ণসংখ্যা সহগবিশিষ্ট বহুপদী সমূহ অনন্য উৎপাদকে বিশ্লেষণ ধারণ করে। সুনির্দিষ্টভাবে, জটিল সহগ ও এক চলকবিশিষ্ট বহুপদীর উৎপাদক সমূহ অনন্য (ক্রম কে উপেক্ষা করে) যোগাশ্রয়ী বহুপদী: এটি বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যের একটি সংস্করণ। সে ক্ষেত্রে মূল অনুসন্ধানী অ্যালগরিদমসমূহ ব্যবহার করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়। কম্পিউটার বীজগণিতের জন্য পূর্ণসাংখ্যিক সহগবিশিষ্ট বহুপদীর উৎপাদকে বিশ্লেষণের ক্ষেত্রটি মৌলিক। নির্দিষ্ট বলয়ে মূলদ সহগবিশিষ্ট বহুপদী সমূহের উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার জন্য অনেক দক্ষ কম্পিউটার অ্যালগরিদম রয়েছে। অনন্য উৎপাদকে বিশ্লেষণ বৈশিষ্ট্য ধারণ করে এমন বিনিময় বলয়কে অনন্য উৎপাদকে বিশ্লেষণ জগৎ বলা হয়। অনেক সংখ্যা পদ্ধতি, যেমন বীজগাণিতিক পূর্ণসংখ্যার বলয়, অনন্য উৎপাদকে বিশ্লেষণ জগৎ নয়। তবে বীজগাণিতিক পূর্ণসংখ্যার বলয়সমূহ ডেডিকেট রাজ্যের দুর্বল ধর্ম, আদর্শ মৌলিকে আদর্শ উৎপাদক, কে মেনে চলে। উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোন গাণিতিক বস্তুকে ক্ষুদ্রতর অথবা সরলতর বস্তুর গুণফল রূপে প্রকাশ করাকেও বুঝায়। যেমন প্রত্যেক ফাংশন কে একটি এক-এক ফাংশন ও একটি সার্বিক ফাংশন এর সংযোগ রূপে লেখা যায়। ম্যাট্রিক্সও অনেক ধরনের উৎপাদকে বিশ্লেষণের বৈশিষ্ট্য ধারণ করে। উদাহরণস্বরূপ, প্রত্যেক ম্যাট্রিক্সের সকল কর্ণভুক্তি ১ বিশিষ্ট নিম্নস্থ ত্রিকোণাকার ম্যাট্রিক্স L এর সঙ্গে উপরস্থ ত্রিকোণাকার ম্যাট্রিক্স U এবং বিন্যাসক ম্যাট্রিক্স P এর গুণফলরূপে একটি অন্যন্য এলইউপি উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ বিদ্যমান; এটিই গাউসীয় অপসারণের ম্যাট্রিক্স রূপ।