হিলবার্ট জগৎ
এই নিবন্ধে ধরে নেওয়া হয়েছে পাঠক বিশ্লেষণী জ্যামিতি, সীমা, ভেক্টর জগৎ এবং ফাংশনাল বিশ্লেষণের সাথে পরিচিত। হিলবার্ট জগৎ (জার্মান: Hilbertraum হিল্‌বেয়াট্‌রাউম্‌, [Hilbert space হিল্‌বার্ট্‌ স্পেইস্‌] ত্রুটি: {{Lang-xx}}: text has italic markup (সাহায্য)) একটি গাণিতিক ধারণা, যার উদ্ভাবক জার্মান গণিতবিদ ডাভিড হিলবের্ট। হিলবার্ট জগৎ হচ্ছে ইউক্লিডীয় জগতের একটা গাণিতিক সাধারণীকরণ যেখানে জ্যামিতিক ধারণাগুলো দুই বা তিন মাত্রা থেকে অসীম মাত্রায় উন্নীত করা হয়। গাণিতিকভাবে বললে হিলবার্ট জগৎ হচ্ছে একটা সম্পূর্ণ অন্তঃগুণজ জগৎ অর্থাৎ যদি একটা ভেক্টরের ধারা কোন একটা সীমার দিকে অগ্রসর হতে থাকে তাহলে সেই সীমাও অবশ্যই এই জগতেই থাকবে। গণিত, পদার্থবিজ্ঞান এবং প্রকৌশলের যেসব শাখায় অসীম মাত্রার ফাংশনাল জগতের প্রয়োজন হয়, সেখানে অহরহ হিলবার্ট জগতকে অন্তর্নিহিত গাণিতিক সংগঠন হিসাবে ব্যবহার করা হয়। হিলবার্ট জগতের প্রায়োগিক জ্ঞান ছাড়া আংশিক অন্তরক সমীকরণ, কোয়ান্টাম মেকানিক্স এবং সিগনাল প্রক্রিয়াকরণ---এসবের চর্চা অচিন্তনীয়। জ্ঞানের বৈচিত্রময় সব শাখায় হিলবার্ট জগতের মত শুধুমাত্র একটি গাণিতিক সংগঠনের এই সাধারণ ও সার্বিক ব্যবহার ফাংশনাল বিশ্লেষণের একটি নতুন এবং ফলপ্রসূ যুগের সূচনা করেছে। হিলবার্ট জগতের তাত্ত্বিক আলোচনায় জ্যামিতিক ধারণাগুলি একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। কার্তেসীয় তলের মত হিলবার্ট জগতেও প্রতিটি উপাদানকে একটি অভিলম্বিক ভিত্তি সেটের সাপেক্ষে অদ্বিতীয়ভাবে নির্ধারণ করা যায়। এই ভিত্তি সেটের আরেকটি বৈশিষ্ট্য হল এটি গণনযোগ্যভাবে অসীম, যার ফলে এর উপাদানগুলিকে একটি বর্গসমষ্টিযোগ্য অসীম ধারা হিসেবে কল্পনা করা যায়। হিলবার্ট জগতের রৈখিক অপারেটরগুলিও যথেষ্ট সুসংহত গাণিতিক অপারেশন---বেশিরভাগ সময়ই এরা আসলে কিছু রূপান্তর প্রক্রিয়া যাদের ক্রিয়ায় জগতটি পারস্পরিক অভিলম্বিক একাধিক দিগাক্ষ বরাবর বিভিন্ন গুণিতক হারে প্রসারিত হয়।