রৈখিক সমীকরণ
গণিতশাস্ত্রে কোন রৈখিক সমীকরণ হচ্ছে এমন একটি সমীকরণ যা, a 1 x 1 + ⋯ + a n x n + b = 0 , {\displaystyle {\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0,}} আকারে লেখা যায়, যেখানে x 1 , … , x n {\displaystyle {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}} হচ্ছে চলক (অজ্ঞাত বা অনির্ণীত), এবং b , a 1 , … , a n {\displaystyle {\displaystyle b,a_{1},\ldots ,a_{n}}} হচ্ছে তাদের সহগ, যেগুলো প্রায়শই বাস্তব সংখ্যা হয়ে থাকে। সহগগুলোকে সমীকরণের পরামিতি বলে বিবেচনা করা হয়, এবং এরা চলক-বিহীন যেকোন রাশি হতে পারে। b {\displaystyle {\displaystyle b}} এর অশূন্য মানসমূহের জন্য অর্থপূর্ণ সমীকরণ পাওয়ার জন্য, অন্তত একটি সহগ অশূন্য হতে হবে। বীজগণিতের ভাষায়, কোন বীজগাণিতিক ক্ষেত্রে একটি রৈখিক বহুপদী হতে, চলক (অনির্ণীত) রাশিমুক্ত সহগসমূহ নিয়ে, শূন্যের সাথে সমীকৃত করার মাধ্যমে একটি রৈখিক সমীকরণ পাওয়া যায়। এমন কোন সমীকরণের সমাধান হবে ঐ মানসমূহ, যাদেরকে ঐ সমীকরণে চলকসমূহের স্থানে প্রতিস্থাপিত করলে, সমতাটি সত্য হয়। এক চলকের ক্ষেত্রটি বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ, এবং হরহামেশাই রৈখিক সমীকরণ বলতে অব্যক্তভাবে এই বিশেষ ক্ষেত্রটি বোঝায়, যেখানে চলকের জন্য অজ্ঞাত নামটি অর্থবহভাবে ব্যবহৃত হয়। দ্বি-চলকবিশিষ্ট কোন রৈখিক সমীকরণের সমাধান, এমন সকল সংখ্যা-জোড় ইউক্লিডীয় সমতলে একটি রেখা গঠন করে, এবং উল্লম্ব নয় এমন প্রতিটি রেখাকে, কোন রৈখিক সমীকরণের সমাধান বলে সংজ্ঞায়িত করা যায়। এ ধরনের সমীকরণকে রৈখিক হিসেবে অভিহিত করা ব্যুৎপত্তি এটাই। আরও সাধারণভাবে, n-মাত্রিক কোন ইউক্লিডীয় স্থানে, n-চলকবিশিষ্ট কোন রৈখিক সমীকরণের সমাধান একটি অধিসমতল (hyperplane) গঠন করে (n-1 মাত্রাবিশিষ্ট একটি উপস্থান (subspace))। গণিতের সকল শাখায় এবং পদার্থবিজ্ঞান ও প্রকৌশলে রৈখিক সমীকরণের অনেক প্রয়োগ দেখা যায়, এর একটা কারণ হচ্ছে অনেক সময়ই কোন অ-রৈখিক ব্যবস্থাকে রৈখিক সমীকরণ দ্বারা প্রায়-নির্ভুলভাবে নির্ণয় করা যায়। এই নিবন্ধে, বাস্তব সংখ্যার সহগের জন্য একটিমাত্র সমীকরণের ক্ষেত্রে, বাস্তব সমাধান বিবেচনা করা হয়েছে। এর সকল বিষয়বস্তু জটিল সমাধান, এবং আরও সাধারণভাবে, যেকোন ক্ষেত্রের সহগ ও সমাধানের জন্যই প্রযোজ্য। কতিপয় যুগপৎ রৈখিক সমীকরণের ক্ষেত্রে, রৈখিক সমীকরণজোট দেখুন।