কেপলার ত্রিভুজ
কেপলার ত্রিভুজ হলো এমন একটি বিশেষ সমকোণী ত্রিভুজ যার বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য একটি গুণোত্তর প্রগমন গঠন করে, যেখানে এই প্রগমনের সাধারণ অনুপাত হলো φ {\displaystyle {\sqrt {\varphi }}} এবং φ = ( 1 + 5 ) / 2 {\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2} হলো সোনালি অনুপাত। কেপলার ত্রিভুজের অনন্য বৈশিষ্ট এই প্রগমনটিকে 1 : φ : φ {\displaystyle 1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi } আকারে অথবা, আনুমানিকভাবে 1 : 1.272 : 1.618 আকারেও লেখা যায়। কেপলার ত্রিভুজের বাহুগুলোর ওপর অঙ্কিত বর্গ তিনটির ক্ষেত্রফল পৃথক আরেকটি গুণোত্তর প্রগমন গঠন করে। এটি হচ্ছে 1 : φ : φ 2 {\displaystyle 1:\varphi :\varphi ^{2}} । একই ত্রিভুজের বিকল্প সংজ্ঞার ক্ষেত্রে, দুটি সংখ্যার তিনটি পিথাগোরাসীয় গড়ের শর্তালোকে অথবা, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অন্তর্ব্যাসার্ধের মাধ্যমে এই ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য নির্ধারণ করা হয়। জ্যোতির্বিদ জোহানেস কেপলারের নামানুসারে এই ত্রিভুজের নামকরণ করা হলেও তার পূর্বেকার নথি বা সূত্রগুলোতেও এর অস্তিত্ব পাওয়া যায়। কিছু সূত্র মোতাবেক প্রাচীন মিশরীয় পিরামিডগুলোতে কেপলার ত্রিভুজভিত্তিক অনুপাত থাকার দাবি করা হলেও, মিশরীয় গণিত ও স্থাপত্যবিদ্যায় সোনালি অনুপাত অজানা ছিল বলেই অধিকাংশ পণ্ডিতের বিশ্বাস।