ব্র্যাকিস্টোক্রোন বক্র
ক এবং খ যদি একই সমতলে ধ্রুবক অভিকর্ষীয় ক্ষেত্রে অবস্থিত দুটি বিন্দু হয়, এবং খ, ক-এর ঠিক নিচে না থাকে, তাহলে পদার্থবিজ্ঞান ও গণিতে ব্র্যাকিস্টোক্রোন বক্র (উৎস: গ্রিক βράχιστος χρόνος ব্রাকিস্টোস ক্রোনোস অর্থাৎ "ন্যূনতম সময়") বা "দ্রুততম পতনের বক্র" বলতে ক থেকে খ বিন্দু পর্যন্ত সেই বক্রপথটিকে বোঝায় যা বরাবর কোনও বস্তু বিনা ঘর্ষণে ও সবচেয়ে কম সময়ে ক থেকে খ বিন্দুতে গড়িয়ে যাবে। ঘটনাচক্রে যে কোনও দুটি বিন্দুর সংযোজক ব্র্যাকিস্টোক্রোন বক্র ও সমকালিক বক্র পরস্পর অভিন্ন; এই দুটি বক্রই চক্রজ বা সাইক্লয়েড। কিন্তু দুটি বৈশিষ্ট্যের প্রমাণ দিতে চক্রজের আলাদা আলাদা দৈর্ঘ্য ব্যবহার করা হয়: দ্রুততম পতন বা ব্র্যাকিস্টোক্রোন সমস্যার সমাধানের জন্য চক্রজের শীর্ষবিন্দু থেকে প্রায় সমগ্র ঘূর্ণন-দৈর্ঘ্যটিই দেখাতে হয়। অন্যদিকে সমকালিকতার প্রমাণের জন্য ঘূর্ণন-পথের অর্ধেক মাত্র দেখানো যায়, এবং এই ক্ষেত্রে ব্যবহার্য বক্রাংশটিকে অনুভূমিক বিন্দুতে শেষ করতে হয়।