বিপরীত ম্যাট্রিক্স
রৈখিক বীজগণিতে, একটি n-বনাম-n বর্গ ম্যাট্রিক্স A {\displaystyle {\displaystyle {\boldsymbol {A}}}} কে বিপরীত ম্যাট্রিক্স (ইংরেজি: invertible বা non-singular বা non-degenerate) বলা হয়, যদি এমন কোন n-বনাম-n বর্গ ম্যাট্রিক্স B {\displaystyle {\displaystyle {\boldsymbol {B}}}} থাকে যেন, A B = B A = I n   {\displaystyle {\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}\ }} হয়; যেখানে I n {\displaystyle {\displaystyle {\boldsymbol {I}}_{n}}} একটি n-বনাম-n অভেদ ম্যাট্রিক্স এবং ব্যবহৃত গুণন প্রক্রিয়াটি সাধারণ ম্যাট্রিক্স গুণন প্রক্রিয়া। যদি ক্ষেত্রটি এমন হয়, তাহলে B {\displaystyle {\displaystyle {\boldsymbol {B}}}} কে ম্যাট্রিক্স A {\displaystyle {\displaystyle {\boldsymbol {A}}}} এর দ্বারা অনন্যভাবে নির্ণয় করা যায় এবং তাকে A {\displaystyle {\displaystyle {\boldsymbol {A}}}} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলা হয়, যা A − 1 {\displaystyle {\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}}} দ্বারা নির্দেশ করা হয়। কোন বর্গ ম্যাট্রিক্স বিপরীতযোগ্য না হলে, তাকে একক (singular) বা বিচ্যুত (degenerate) ম্যাট্রিক্স বলে। কোন বর্গ ম্যাট্রিক্স একক হবে যদি ও কেবল যদি তার নির্ণায়কের মান 0 {\displaystyle {\displaystyle {\boldsymbol {0}}}} হয়। একক ম্যাট্রিক্সসমূহকে এই হিসেবে বিরল বলা যায় যে, যথেচ্ছেভাবে একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স নির্বাচন করলে, যার উপাদানগুলো অবিচ্ছিন্ন ও সুষমভাবে বণ্টিত, তা প্রায় কখনোই একক হয় না। বর্গ ম্যাট্রিক্স ব্যাতিরেকে (m-বনাম-n ম্যাট্রিক্স যার জন্য m ≠ n) অন্যান্য ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স থাকে না। তা স্বত্বেও, কোন কোন ক্ষেত্রে ঐসব ম্যাট্রিক্সের বাম-বিপরীত অথবা ডান-বিপরীত ম্যাট্রিক্স থাকতে পারে। যদি A {\displaystyle {\displaystyle {\boldsymbol {A}}}} m-বনাম-n হয়, এবং A {\displaystyle {\displaystyle {\boldsymbol {A}}}} এর ক্রম n , ( n ≤ m ) {\displaystyle {\displaystyle {n,}{(n\leq m)}}} হয়, তবে A {\displaystyle {\displaystyle {\boldsymbol {A}}}} এর একটি বাম-বিপরীত ম্যাট্রিক্স আছে: একটি ম্যাট্রিক্স B {\displaystyle {\displaystyle {\boldsymbol {B}}}} যেন B A = I n   {\displaystyle {\displaystyle \mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}\ }} হয়। যদি A {\displaystyle {\displaystyle {\boldsymbol {A}}}} এর ক্রম m , ( m ≤ n ) {\displaystyle {\displaystyle {m,}{(m\leq n)}}} হয়, তবে A {\displaystyle {\displaystyle {\boldsymbol {A}}}} এর একটি ডান-বিপরীত ম্যাট্রিক্স আছে: একটি ম্যাট্রিক্স B {\displaystyle {\displaystyle {\boldsymbol {B}}}} যেন A B = I m   {\displaystyle {\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {I} _{m}\ }} হয়। ম্যাট্রিক্স বিপরীতকরণ হচ্ছে ম্যাট্রিক্স B {\displaystyle {\displaystyle {\boldsymbol {B}}}} নির্ণয়ের প্রক্রিয়া, যা কোন প্রদত্ত বিপরীতযোগ্য ম্যাট্রিক্স A {\displaystyle {\displaystyle {\boldsymbol {A}}}} এর জন্য, উপরিল্লিখিত সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে। যদিও সচরাচর বাস্তব বা জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রেই সংজ্ঞা দেওয়া হয়, তবে সকল সংজ্ঞাই যে কোন চক্রের (rings) ম্যাট্রিক্সের জন্যও দেওয়া যায়। তবে, চক্রটি বিনিময়যোগ্য হলে, বর্গ ম্যাট্রিক্সের বিপরীতযোগ্য হওয়ার শর্ত হচ্ছে এর নির্নায়কটি ঐ চক্রের মধ্যে বিপরীতযোগ্য হতে হবে, যা সাধারণত অশূন্য হওয়ার শর্ত অপেক্ষা কঠিনতর শর্ত। কোন অ-বিনিময়যোগ্য চক্রের ক্ষেত্রে, গতানুগতিক নির্ণায়ক সংজ্ঞায়িত নয়। বাম-বিপরীত বা ডান-বিপরীতের অস্তিত্ব থাকার শর্তাবলি চক্রের জন্য জটিলতর কেননা, ক্রম এর ধারণা কোন চক্রের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়। কোন n × n {\displaystyle {\displaystyle {\boldsymbol {n\times n}}}} বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সেট এবং ম্যাট্রিক্স গুণনের প্রক্রিয়াটি একত্রে একটি গুচ্ছ (group) গঠন করে, যা n {\displaystyle {\displaystyle {\boldsymbol {n}}}} মাত্রার একটি সাধারণ রৈখিক গুচ্ছ।