দ্বিপদী সহগ
গণিতশাস্ত্রে দ্বিপদী সহগ (ইংরেজিঃ Binomial coefficient) বলতে সেসব ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা নির্দেশ করে যেসব সংখ্যা দ্বিপদী উপপাদ্যে সহগ হিসেবে বিদ্যমান। সাধারণভাবে দ্বিপদী সহগকে এক জোড়া পূর্ণসংখ্যা দ্বারা সূচিত করা হয়, যেখানে n ≥ k ≥ 0 {\displaystyle n\geq k\geq 0} এবং প্রকাশ করা হয় ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} দ্বারা । এটি হলো দ্বিপদী ঘাত ( 1 + x ) n {\displaystyle (1+x)^{n}} এর বিস্তৃতিতে x k {\displaystyle x^{k}} এর সহগ, এবং এটি নিম্নোক্ত সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িতঃ ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}} উদাহরণস্বরূপ, ( 1 + x ) {\displaystyle (1+x)} এর পঞ্চম ঘাতের বিস্তৃতিঃ ( 1 + x ) 5 = ( 5 0 ) x 0 + ( 5 1 ) x 1 + ( 5 2 ) x 2 + ( 5 3 ) x 3 + ( 5 4 ) x 4 + ( 5 5 ) x 5 {\displaystyle (1+x)^{5}={\binom {5}{0}}x^{0}+{\binom {5}{1}}x^{1}+{\binom {5}{2}}x^{2}+{\binom {5}{3}}x^{3}+{\binom {5}{4}}x^{4}+{\binom {5}{5}}x^{5}} = 1 + 5 x + 10 x 2 + 10 x 3 + 5 x 4 + x 5 {\displaystyle =1+5x+10x^{2}+10x^{3}+5x^{4}+x^{5}} , এবং x 2 {\displaystyle x^{2}} পদটির দ্বিপদী সহগ ( 5 2 ) = 5 ! 2 ! 3 ! = 10 {\displaystyle {\binom {5}{2}}={\frac {5!}{2!3!}}=10} । ( n 0 ) , ( n 1 ) , ( n 2 ) , . . . , ( n n ) {\displaystyle {\binom {n}{0}},{\binom {n}{1}},{\binom {n}{2}},...,{\binom {n}{n}}} কে n = 0 , 1 , 2 , . . . {\displaystyle n=0,1,2,...} মানসমূহের জন্য পর পর সারি অনুযায়ী সাজানো হলে একটি ত্রিভুজ সদৃশ পুনরাবৃত্তিমূলক সম্পর্ক পাওয়া যায় যাকে প্যাসকেলের ত্রিভুজ বলা হয়। এই সম্পর্কটি হলোঃ ( n k ) = ( n − 1 k ) + ( n − 1 k − 1 ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k}}+{\binom {n-1}{k-1}}} দ্বিপদী সহগসমূহ গণিতশাস্ত্রের অনেক শাখায় আবির্ভূত হয়, বিশেষত গুচ্ছ-বিন্যাসতত্ত্বে (combinatorics)। ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} প্রতীকটিকে মূলত পড়া হয় " n {\displaystyle n} choose k {\displaystyle k} " কেননা, n {\displaystyle n} সংখ্যক উপাদান বিশিষ্ট কোনো একটি নির্দিষ্ট সেট থেকে k {\displaystyle k} সংখ্যক অনন্য উপাদান নিয়ে মোট উপসেট তৈরী করার উপায় সংখ্যা হলো ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} টি। উদাহরণস্বরূপ, S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } {\displaystyle S=\{1,2,3,4,5\}} সেটটি হতে 2 {\displaystyle 2} টি অনন্য উপাদান নিয়ে মোট উপসেট তৈরী করা যায় ( 5 2 ) = 10 {\displaystyle {\tbinom {5}{2}}=10} টি, যেগুলো হলোঃ { 1 , 2 } , { 1 , 3 } , { 1 , 4 } , { 1 , 5 } , { 2 , 3 } , { 2 , 4 } , { 2 , 5 } , { 3 , 4 } , { 3 , 5 } , { 4 , 5 } {\displaystyle \{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{1,5\},\{2,3\},\{2,4\},\{2,5\},\{3,4\},\{3,5\},\{4,5\}} । যেকোনো জটিল সংখ্যা z {\displaystyle z} এবং পূর্ণসংখ্যা k ≥ 0 {\displaystyle k\geq 0} এর জন্য দ্বিপদী সহগকে সাধারণভাবে ( z k ) {\displaystyle {\tbinom {z}{k}}} আকারে প্রকাশ করা যায় এবং জটিল সংখ্যার অনেক বৈশিষ্ট্যই এভাবে আরো সাধারণ রূপে প্রকাশিত হয়।