১ − ২ + ৩ − ৪ + ⋯
গণিতে, ১ − ২ + ৩ − ৪ + ··· একটি অসীম ধারা যার পদগুলি পর্যায়ক্রমিক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, পর্যায়ক্রমে চিহ্ন দেওয়া হয়। সিগমা সমষ্টি স্বরলিপি ব্যবহার করে সিরিজের প্রথম m পদগুলির যোগফল হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে অসীম সিরিজটি ভিন্ন হয়ে যায়, যার অর্থ আংশিক যোগফলের ক্রম, (1, −1, 2, −2, ...), কোন সীমাবদ্ধ সীমার দিকে ঝোঁক নেই। তা সত্ত্বেও, 18 শতকের মাঝামাঝি সময়ে, লিওনহার্ড অয়লার লিখেছিলেন যা তিনি একটি বিরোধপূর্ণ সমীকরণ বলে স্বীকার করেছিলেন: এই সমীকরণের একটি কঠোর ব্যাখ্যা অনেক পরে আসবে না। ১৮৯০ সালে শুরু করে, আর্নেস্টো সেসারো, এমিল বোরেল এবং অন্যান্যরা অয়লারের প্রচেষ্টার নতুন ব্যাখ্যা সহ ভিন্ন ভিন্ন সিরিজে সাধারণ রাশি নির্ধারণের জন্য সু-সংজ্ঞায়িত পদ্ধতিগুলি তদন্ত করেছিলেন । 1 − 2 + 3 − 4 + ... যোগ করে না এমন কয়েকটি পদ্ধতির মধ্যে Cesàro summation হল একটি, তাই সিরিজটি হল একটি উদাহরণ যেখানে Abel summation- এর মতো একটু শক্তিশালী পদ্ধতি প্রয়োজন। সিরিজ 1 − 2 + 3 − 4 + ... গ্র্যান্ডির সিরিজ 1 − 1 + 1 − 1 + .... অয়লার এই দুটিকে আরও সাধারণ ক্রম 1 − 2n + 3n − 4n + ... এর বিশেষ ক্ষেত্রে হিসাবে বিবেচনা করেছেন, যেখানে যথাক্রমে n = 1 এবং n = 0 । গবেষণার এই লাইনটি ব্যাসেল সমস্যা নিয়ে তার কাজকে প্রসারিত করেছে এবং বর্তমানে ডিরিচলেট ইটা ফাংশন এবং রিম্যান জেটা ফাংশন নামে পরিচিত কার্যকরী সমীকরণের দিকে নিয়ে গেছে।