ব্রহ্মগুপ্ত-ফিবোনাচ্চি অভেদ
বীজগণিতে আলোচিত ব্রহ্মগুপ্ত-ফিবোনাচ্চি অভেদটি, দুটি বর্গসংখ্যার সমষ্টি নিয়ে গঠিত এরূপ দুটি সংখ্যার গুণফলকে অন্য আরেকভাবে দুটি বর্গসংখ্যার সমষ্টিরূপে প্রকাশ করে। একারণে, বর্গসংখ্যা দুটির সকল সমষ্টির সেট গুণের অধীনে বদ্ধ হয়ে থাকে। বিস্তারিতভাবে আলোচনা করলে, এই অভেদটি যা বলে তা হলো: ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) = ( a c − b d ) 2 + ( a d + b c ) 2 . . . . . . ( 1 ) = ( a c + b d ) 2 + ( a d − b c ) 2 . . . . . . ( 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}...&&...(1)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}...&&...(2)\end{aligned}}} উদাহরণস্বরূপ, ( 1 2 + 4 2 ) ( 2 2 + 7 2 ) = 26 2 + 15 2 = 30 2 + 1 2 {\displaystyle (1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^{2}} আলেক্সান্দ্রিয়ার ডায়োফ্যান্টাস প্রথম এই অভেদটির প্রমাণ দেওয়ায় এটি ডায়োফ্যান্টাস অভেদ নামেও পরিচিত। এটি অয়লারের চার-বর্গ অভেদের, উপরন্তু ল্যাগ্রাঞ্জের অভেদেরও একটি বিশেষ ক্ষেত্র। ব্রহ্মগুপ্ত আরও সাধারণ একটি অভেদের প্রমাণ ও প্রয়োগ করে দেখান, যা নিম্নরূপ সমীকরণের সমতূল্য: ( a 2 + n b 2 ) ( c 2 + n d 2 ) = ( a c − n b d ) 2 + n ( a d + b c ) 2 . . . . . . ( 3 ) = ( a c + n b d ) 2 + n ( a d − b c ) 2 . . . . . . ( 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left(ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}...&&...(3)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n\left(ad-bc\right)^{2}...&&...(4)\end{aligned}}} এটা থেকে দেখা যায় যে, যেকোনো নির্দিষ্ট A-এর জন্য x2 + Ay2 আকারের সমস্ত সংখ্যার সেট গুণের অধীনে বদ্ধ। সকল পূর্ণসংখ্যার পাশাপাশি সকল মূলদ সংখ্যার জন্য এই অভেদগুলো যুক্তিযুক্ত; আরও সাধারণভাবে বলা যায়, এগুলো যেকোনো বিনিময় বলয়ের (Commutative ring) জন্য সত্য। অভেদটির এই রূপান্তর চারটির প্রতিটিই সমীকরণের উভয় পক্ষের বহুপদীর সম্প্রসারণের মাধ্যমে যাচাই করা যায়। এছাড়া, b-কে −b-তে বদলে দিয়েও (1) নং সমীকরণ থেকে (2) নং সমীকরণ অথবা (2) নং সমীকরণ থেকে (1) নং সমীকরণ পাওয়া যায় এবং একইভাবে এটা (3) ও (4) নং-এর জন্যও করা যায়।