আবেলীয় গ্রুপ
গণিতে, একটি আবেলীয় গ্রুপ (Abelian group) যাকে একটি কম্যুটেটিভ গ্রুপও বলা হয়, এমন একটি গোষ্ঠী যেখানে দুটি গ্রুপ উপাদানে গ্রুপ অপারেশন প্রয়োগের ফলাফল তাদের লেখার ক্রম উপর নির্ভর করে না। অর্থাৎ, গ্রুপ অপারেশন কম্যুটেটিভ। একটি অপারেশন হিসাবে যোগ করার সাথে সাথে, পূর্ণসংখ্যা এবং বাস্তব সংখ্যাগুলি আবেলিয়ান গোষ্ঠী গঠন করে এবং একটি অ্যাবেলিয়ান গোষ্ঠীর ধারণাকে এই উদাহরণগুলির একটি সাধারণীকরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে। আবেলিয়ান গোষ্ঠীর নামকরণ করা হয়েছে ১৯ শতকের প্রথম দিকের গণিতবিদ নিলস হেনরিক অ্যাবেলের নামে। যদি G এই বিনিময় বিধি অনুসরণ করে: ( a ∘ b ) {\displaystyle (a\circ b)} = ( b ∘ a ) {\displaystyle (b\circ a)} , সকল a, b-এর জন্য যেখানে a , b ∈ G {\displaystyle a,b\in G} । এই নিবন্ধের বাকী অংশে G দিয়ে একটি আবেলীয় গ্রুপকে নির্দেশ করা হবে। G-এর প্রতিটি উপগ্রুপ (subgroup) একটি অব্যয় উপগ্রুপ (normal subgroup)। G-এর সমস্ত সসীম মাত্রার উপাদান (elements of finite order) একটি উপগ্রুপ T গঠন করে, যার বিভাজন গ্রুপ (factor group) G/T-তে অভেদ e ছাড়া সসীম মাত্রার আর কোন উপাদান নেই। T-কে G-এর (গরিষ্ঠ) মোচড় উপগ্রুপ (torsion subgroup) বলা হয়। যদি G=T হয়, তবে আবেলীয় গ্রুপ G-কে একটি মোচড় গ্রুপ (torsion group) বা পর্যায়বৃত্ত গ্রুপ (periodic group) বলা হয়। যদি T={e} হয়, তবে G-কে বলা হয় মোচড়-মুক্ত (torsion free)। যদি G≠T এবং T≠{e} হয়, তবে G-কে মিশ্র (mixed) বলা হয়। যদি একটি মোচড় গ্রুপ G-এর প্রতিটি উপাদানের মাত্রা কোন নির্দিষ্ট মৌলিক সংখ্যা p-এর ঘাত হয়, তবে G-কে একটি আবেলীয় p-গ্রুপ (Abelian p-group) বা প্রাথমিক আবেলীয় গ্রুপ (primary Abelian group) বলা হয়। একটি আবেলীয় মোচড় গ্রুপ হল প্রাথমিক আবেলীয় গ্রুপগুলোর প্রত্যক্ষ সমষ্টি (direct sum)। অর্থাৎ আবেলীয় মোচড় গ্রুপের আলোচনা প্রাথমিক আবেলীয় গ্রুপগুলোর আলোচনা দিয়েই সম্ভব।