কোশি অনুক্রম
গণিতশাস্ত্রে কোশি অনুক্রম (ইংরেজি: Cauchy sequence) বলতে সেইসব অনুক্রমকে বোঝায় যেখানে অনুক্রমের অগ্রগতির সাথে সাথে পদ বা উপাদানগুলি একে অপরের সঙ্গে যতখুশি নিকটবর্তী হতে থাকে। আরও নির্দিষ্টভাবে বললে, যদি যেকোনো ধনাত্মক দূরত্ব-সীমা বেঁধে দেওয়া হয়, তাহলে সসীম সংখ্যক নির্দিষ্ট কয়েকটি পদকে বাদ দিলে বাকি প্রতিটি পদ একে অন্যের থেকে ঐ দূরত্ব-সীমার মধ্যে অবস্থান করবে। গণিতবিদ অগাস্টিন-লুইস কোশির নামে এই অনুক্রমগুলি নামাঙ্কিত। এদের কখনো কখনো মৌলিক অনুক্রম-ও বলা হয়। তার মানে কিন্তু এটা দাঁড়ায় না যে পরপর ক্রমিক পদগুলির পার্থক্য যতখুশি ছোট হতে থাকলেই অনুক্রমটি কোশি হবে। যেমন, স্বাভাবিক সংখ্যাদের বর্গমূলের অনুক্রমকে নিলে: a n = n {\displaystyle a_{n}={\sqrt {n}}} পরপর ক্রমিক পদগুলির পার্থক্য শূন্যের দিকে যেতে থাকে। a n + 1 − a n = n + 1 − n = 1 n + 1 + n < 1 2 n {\displaystyle a_{n+1}-a_{n}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}={\frac {1}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}<{\frac {1}{2{\sqrt {n}}}}} কিন্তু; n অসীমের দিকে অগ্রসর হতে থাকলে, a n = n {\displaystyle a_{n}={\sqrt {n}}} ও অসীমের দিকে অগ্রসর হয়, মানে যত ইচ্ছে (সসীম সংখ্যক) পদই বাদ দেওয়া হোক না কেন, বাকি সমস্ত পদগুলি কখনোই পরস্পরের কোনও নির্দিষ্ট দূরত্বের মধ্যে আসতে পারে না। এক্ষেত্রে যে কোনও সূচক N {\displaystyle N} এবং দূরত্ব-সীমা d = 1 {\displaystyle d=1} নেওয়া হলে দুটি এমন সূচক m , n ≥ N {\displaystyle m,n\geq N} (উদাহরণ- m = ( N + 2 ) 2 , n = N 2 {\displaystyle m=(N+2)^{2},n=N^{2}} ) পাওয়া যাবেই যাতে সেই পদগুলির পার্থক্য অন্তত a m − a n = ( N + 2 ) 2 − N 2 = 2 ≥ 1 = d {\displaystyle a_{m}-a_{n}={\sqrt {(N+2)^{2}}}-{\sqrt {N^{2}}}=2\geq 1=d} হয়। সুতরাং এই অনুক্রমটি কোশি হতে পারে না। কোশি অনুক্রমের সুবিধে হল যে, সম্পূর্ণ মেট্রিক স্পেসে (যেসব মেট্রিক স্পেসে সব কোশি অনুক্রমের ক্রম-সীমা বা লিমিট বর্তমান অর্থাৎ তারা সবাই অভিসারী), একটি অনুক্রমের অভিসারিত্ব শুধুই সেটির পদগুলির ওপরেই নির্ভর করে, যেখানে অভিসারিত্বের সাধারণ লিমিট সংজ্ঞা অনুক্রমের পদগুলির সঙ্গে সঙ্গে লিমিটটির মানের ওপরেও নির্ভরশীল। এই বৈশিষ্ট্যটি অনেকসময় বিভিন্ন তাত্ত্বিক ও ফলিত অ্যালগরিদমে ব্যবহার করা হয়, কারণ কোনও পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতির ফলাফলগুলির অনুক্রম যে কোশি ধর্ম মেনে চলবে সেটা দেখানো তুলনামূলক সহজ; ফলশ্রুতিতে পদ্ধতিটির সমাপ্তি বা অন্য যৌক্তিক শর্ত মেনে চলা দেখানো যেতে পারে। আরও বিমূর্ত ইউনিফর্ম স্পেসে কোশি অনুক্রমগুলির সাধারণিকরণ বিদ্যমান, যেমন কোশি ফিল্টার এবং কোশি নেটগুলির আকারে।