①投稿されるとメールが管理者宛に届く
②メールには承認・非承認のURLが書かれてあり、
③②に記載されている承認用URLにアクセスすると掲示板への書き込みが行われる。
④デザインカスタマイズが可能
公序良俗にかなった文面のみ掲載される仕組みで、会員制を導入したくないのです。
よろしくお願いします。
livedoor レンタル掲示板 : したらば
したらばJBBSがいいと思います。
承認・非承認でURLを分けることはできませんが、書き込みを許可する人一人一人にハンドルパスワードを発行することができます。
①④の条件は満たしています。
無料レンタル掲示板 Visual KG-VAN
こちらはどうですか？
teacup.掲示板やブログの無料レンタル＆コミュニティー
レンタルでないものはないんですかね・

[CJ-Club]-[CGI]-[BBS]-Child Tree
承認URL、非承認URLという手順ではないのですが、事前に管理者がチェックして表示という機能はついてるようです。
CJ Clubの「Child Tree」という掲示板はいかがでしょうか？
sendmailの設定がないので、多分メールは届かないと思うのですが・・・
許可制で、管理人が許可しないとメッセージが表示されない掲示板です。
テストしてみたのですが、管理人が管理スペースに入ると、
承認待ちのコメントがあって、それで承認をすると表示される仕組みになっています。
ご希望にあまり添えていないのですが、いかがでしょうか；
PHPBBなんてどうでしょう？
かなり多機能なんで用途にあわせて設定できると思います。
・フォーラム式掲示板である
・ユーザー登録型である。（掲示板の設定次第で未登録でも投稿することが可能）
・ユーザーグループ等が作成可能
・閲覧・書き込み権限等がユーザーレベルで設定可能
・管理メニューが豊富
・専用モジュールの導入で大幅なカスタマイズが可能。
モジュールはフリーで配布されている。
・無料。
２，３の承認非承認は（アクセスだけでは無理ですが）、管理ページにパスワードでログインする必要があり、投稿通知メールの文面に管理ページのURLを書き加えればご要望に近いことができるのではと思います。
デザインカスタマイズは、スキンファイルで可能です。