제곱근을 계산할 때 나누기 및 평균 방법이 작동하는 이유는 무엇인가요?
제곱근을 계산하는 나누기 및 평균 방법은 제곱근을 추측하는 것으로 시작합니다. 예를 들어, 8의 제곱근을 계산하려면 9가 3의 제곱이라는 것을 알고 있으므로 3부터 시작할 수 있습니다. 추측이 주어지면 이 방법은 다음 추측을 생성하는 공식입니다. 이 공식에 따르면 다음 추측 값은 현재 추측 값과 제곱(제곱근을 계산하려는 숫자)의 평균을 추측 값으로 나눈 값이어야 합니다. 예제로 돌아가서 다음 추측 값은 (3 + 8/3)/2 = 17/6입니다. 이 공식을 반복적으로 적용하면 실제 제곱근에 점점 더 근접한 추측값이 나옵니다.

이 공식이 작동하는 이유는 이 공식에 의해 생성된 추측 시퀀스의 한계가 제곱근이기 때문입니다. 이를 확인하려면 먼저 한계에서 다음 추측이 현재 추측과 같아야 한다는 점을 인식해야 합니다. 무한한 단계가 지나면 추측이 점점 더 가까워지고 결국에는 동일해집니다. 변수 X를 사용하여 극한을 나타내고 공식을 적용하면 대수를 통해 X에 대해 풀 수 있는 방정식이 나옵니다. 해결책은 X가 제곱근이어야 한다는 것입니다.
Why does the divide and average method for computing square roots work?
The divide and average method for computing square roots starts with a guess of the square root. For example, to compute the square root of 8, we might start with 3, since we know 9 is the square of 3. Given a guess, the method is a formula for generating the next guess. The formula states the next guess should be average of the current guess and the square (the number for which you want compute the square root) divided by the guess. Returning to our example, the next guess is (3 + 8/3)/2 = 17/6. Applying this formula repeatedly yields a guess which is closer and closer to actual square root.

The reason this works is that limit of the sequence of guesses generated by this formula is the square root. To see this, first recognize that in the limit, next guess must be equal to the current guess. The guesses get closer and closer until, after an infinite number of steps, they are the same. Using a variable X to represent the limit and applying the formula yields an equation which can be solved for X via algebra. The solution is that X must be square root.