수학 라텍스 마크다운 형식으로 공식을 추출하여 현대 포트폴리오 이론에서 포트폴리오 수익률과 분산 계산 https://en.wikipedia.org/wiki/Modern_portfolio_theory
MPT는 투자자가 위험 회피 성향이 있다고 가정하며, 이는 동일한 기대 수익을 제공하는 두 포트폴리오가 주어졌을 때 투자자가 덜 위험한 포트폴리오를 선호한다는 의미입니다. 따라서 투자자는 더 높은 기대 수익률로 보상을 받는 경우에만 더 높은 위험을 감수할 것입니다. 반대로 더 높은 기대 수익을 원하는 투자자는 더 많은 위험을 감수해야 합니다. 모든 투자자에게 정확한 트레이드 오프는 동일하지 않습니다. 투자자마다 개인의 위험 회피 특성에 따라 절충점을 다르게 평가할 것입니다. 즉, 합리적인 투자자라면 더 유리한 위험 대비 기대 수익률 프로필을 가진 두 번째 포트폴리오가 존재한다면, 즉 해당 수준의 위험에 대해 더 나은 기대 수익률을 가진 대체 포트폴리오가 존재한다면 해당 포트폴리오에 투자하지 않을 것입니다.

모델에 따라

포트폴리오 수익률은 구성 자산 수익률의 비율 가중치 조합입니다.
포트폴리오 수익률 변동성
\시그마 _{p}는 모든 자산 쌍(i, j)에 대해 구성 자산의 상관관계 ρij의 함수입니다. 변동성은 투자와 관련된 위험에 대한 통찰력을 제공합니다. 변동성이 높을수록 위험도가 높습니다.
- 예상 수익률:
$$
\mathrm{E}\left(R_p\right)=\sum_i w_i \mathrm{E}\left(R_i\right)
$$
여기서 $R_p$는 포트폴리오 수익률, $R_i$는 자산 $i$의 수익률, $w_i$는 구성 자산 $i$의 가중치(즉, 포트폴리오에서 자산 "i"가 차지하는 비율, 즉 $\sum_i w_i=1$가 됩니다)입니다.
- 포트폴리오 수익률 분산:
$$
\SIGMA_P^2=\SUM_I W_I^2 \SIGMA_I^2+\SUM_I \SUM_{J \NEQ I} W_I W_J \SIGMA_I \SIGMA_J \RHo_{I J}
$$
여기서 $\sigma_i$는 자산 $i$의 주기적 수익률의 (표본) 표준편차이고, $\rho_{i j}$는 자산 $i$와 $j$의 수익률 간의 상관계수입니다. 또는 다음과 같이 표현할 수도 있습니다:
$$
\시그마_p^2=\sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{i j}
$$
여기서 $\rho_{i j}=1$은 $i=j$의 경우, 또는
$$
\시그마_p^2=\sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_{i j}
$$
여기서 $\sigma_{i j}=\sigma_i \sigma_j \rho_{i j}$는 두 자산의 주기적 수익률의 (표본) 공분산 또는 $\sigma(i, j)$, $\operatorname{cov}{ }_{i j}$ 또는 $\operatorname{cov}(i, j)$로 표시할 수도 있습니다.
- 포트폴리오 수익률 변동성(표준편차):
$$
\sigma_p=\sqrt{\sigma_p^2}
$$
두 자산 포트폴리오의 경우:
- 포트폴리오 수익률:
$$\mathrm{E}\left(R_p\right)=w_A \mathrm{E}\left(R_A\right)+w_B \mathrm{E}\left(R_B\right)=w_A \mathrm{E}\left(R_A\right)+\left(1-w_A\right) \mathrm{E}\left(R_B\right)$$.

- 포트폴리오 분산:
$$\sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 \sigma_B^2+2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{A B}$$.
세 가지 자산 포트폴리오의 경우:
- 포트폴리오 수익률:
$$\mathrm{E}\left(R_p\right)=w_A \mathrm{E}\left(R_A\right)+w_B \mathrm{E}\left(R_B\right)+w_C \mathrm{E}\left(R_C\right)$$.
- 포트폴리오 분산:
$$\sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 \sigma_B^2+w_C^2 \sigma_C^2+2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{A B}+2 w_A w_C \sigma_A \sigma_C \rho_{A C}+2 w_B w_C \sigma_B \sigma_C \rho_{B C}$$
Extract the formulas in math latex markdown format to calculate the portfolio return and variance in Modern Portfolio Theory https://en.wikipedia.org/wiki/Modern_portfolio_theory
MPT assumes that investors are risk averse, meaning that given two portfolios that offer the same expected return, investors will prefer the less risky one. Thus, an investor will take on increased risk only if compensated by higher expected returns. Conversely, an investor who wants higher expected returns must accept more risk. The exact trade-off will not be the same for all investors. Different investors will evaluate the trade-off differently based on individual risk aversion characteristics. The implication is that a rational investor will not invest in a portfolio if a second portfolio exists with a more favorable risk-expected return profile—i.e., if for that level of risk an alternative portfolio exists that has better expected returns.

Under the model:

Portfolio return is the proportion-weighted combination of the constituent assets' returns.
Portfolio return volatility 
\sigma _{p} is a function of the correlations ρij of the component assets, for all asset pairs (i, j). The volatility gives insight into the risk which is associated with the investment. The higher the volatility, the higher the risk.
- Expected return:
$$
\mathrm{E}\left(R_p\right)=\sum_i w_i \mathrm{E}\left(R_i\right)
$$
where $R_p$ is the return on the portfolio, $R_i$ is the return on asset $i$ and $w_i$ is the weighting of component asset $i$ (that is, the proportion of asset "i" in the portfolio, so that $\sum_i w_i=1$ ).
- Portfolio return variance:
$$
\sigma_p^2=\sum_i w_i^2 \sigma_i^2+\sum_i \sum_{j \neq i} w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{i j}
$$
where $\sigma_i$ is the (sample) standard deviation of the periodic returns on an asset $i$, and $\rho_{i j}$ is the correlation coefficient between the returns on assets $i$ and $j$. Alternatively the expression can be written as:
$$
\sigma_p^2=\sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{i j}
$$
where $\rho_{i j}=1$ for $i=j$, or
$$
\sigma_p^2=\sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_{i j}
$$
where $\sigma_{i j}=\sigma_i \sigma_j \rho_{i j}$ is the (sample) covariance of the periodic returns on the two assets, or alternatively denoted as $\sigma(i, j)$, $\operatorname{cov}{ }_{i j}$ or $\operatorname{cov}(i, j)$.
- Portfolio return volatility (standard deviation):
$$
\sigma_p=\sqrt{\sigma_p^2}
$$
For a two-asset portfolio:
- Portfolio return: 
$$\mathrm{E}\left(R_p\right)=w_A \mathrm{E}\left(R_A\right)+w_B \mathrm{E}\left(R_B\right)=w_A \mathrm{E}\left(R_A\right)+\left(1-w_A\right) \mathrm{E}\left(R_B\right)$$

- Portfolio variance: 
$$\sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 \sigma_B^2+2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{A B}$$
For a three-asset portfolio:
- Portfolio return: 
$$\mathrm{E}\left(R_p\right)=w_A \mathrm{E}\left(R_A\right)+w_B \mathrm{E}\left(R_B\right)+w_C \mathrm{E}\left(R_C\right)$$
- Portfolio variance: 
$$\sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 \sigma_B^2+w_C^2 \sigma_C^2+2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{A B}+2 w_A w_C \sigma_A \sigma_C \rho_{A C}+2 w_B w_C \sigma_B \sigma_C \rho_{B C}$$