Han er vokset op i Reykjavík og tog studentereksamen fra Menntaskolinn i Reykjavik i 1973. Össur studerede derefter biologi ved Islands Universitet og afsluttede sine studier med en bachelor-grad i 1979, hvorefter han specialerede sig i akvakultur og modtog en doktorgrad fra University of East Anglia i 1983 for afhandlingen "The effect of photoperiod on the growth of the rainbow trout".