Når alt dette er gjort, opstår følgende matrix, som altså som sagt kaldes Jacobi-matricen: J_F(\rho,\varphi,h) =  \left[   \begin{matrix}    \cos \left( \varphi \right) &-\rho\,\sin \left( \varphi \right) &0\\    \sin \left( \varphi \right) & \rho\,\cos \left( \varphi \right) &0\\   0&0&1  \end{matrix} \right]  Det er altså denne matrix vi tager determinanten af, når vi finder jacobi-determinanten:  \textrm{det} ( J_F(\rho,\varphi,h) ) =  \left|   \begin{matrix}    \cos \left( \varphi \right) &-\rho\,\sin \left( \varphi \right) &0\\    \sin \left( \varphi \right) & \rho\,\cos \left( \varphi \right) &0\\   0&0&1  \end{matrix} \right| = \cos(\varphi)^2\cdot \rho+\sin(\varphi)^2\cdot \rho = \underline{\underline{\rho}} Jacobi-determinanten for semipolære koordinater er altså ganske enkelt ρ.