Sørensen blev student i 1931 fra Vestre Borgerdydskole, og modtog i 1934 guldmedalje for sin besvarelse af Københavns Universitets prisopgave om betingelserne for traktaters afslutning. Efter erhvervelse af den juridiske embedseksamen i 1938 fra Københavns Universitet blev han ansat som sekretær i udenrigsministeriet (1938), hvorefter han gjorde tjeneste som attaché ved det danske gesandtskab i Bern (1943) og som legationssekretær ved det danske gesandtskab i London (1944). Herefter blev han fuldmægtig i Udenrigsministeriet. I 1946 erhvervede Sørensen den juridiske doktorgrad på afhandlingen ”Les Sources du Droit International”, som blev udarbejdet sideløbende med arbejdet for Udenrigsministeriet. I 1947 blev Sørensen udnævnt som professor i retsvidenskab ved Aarhus Universitet, som 34-årig, hvor han var ansat indtil 1972. Sørensen var medlem af De forenede Nationers kommission for menneskerettigheder 1949-51 og formand for dennes underkommission til beskyttelse af mindretal 1954-56, medlem af Den europæiske menneskeretskommission fra 1955-72 og dens præsident fra 1967-72, udenrigsministeriets rådgiver i folkeret fra 1956, medlem af den internationale stående voldgiftsret i Haag fra 1956, dansk repræsentant i forskellige juridiske udvalg under FN og Europarådet, har forelæst ved Académie de Droit International (Haag 1952) og medlem (Associé) af Institut de Droit International. Sørensen var ad hoc-dommer ved den internationale domstol i Haag ved behandlingen af sokkelgrænsen i Nordsøen fra 1968-69. Efter folkeafstemningen i Danmark i 1972 vedrørende medlemskab af EF, det senere EU, tiltrådte Sørensen stillingen som den første danske dommer ved EF-Domstolen fra 1973-79. Sørensen fungerede som dommer ved Den Europæiske Menneskerettighedsdomstol fra 1980-81.  Statskundskab Max Sørensen var idémanden bag oprettelsen af et nyt universitetsstudium; statskundskab, da han var blevet inspireret af et lignende studie oprettet i Sverige. Idéen startede i 1949, hvor han indviede Troels Fink og Theodor Geiger i idéen, og Statskundskab blev etableret som et studie ved Aarhus Universitet i 1959 med to professorater.  Max Sørensens mindefond Legatet blev oprettet i 1991, men først efter Ellen Max Sørensens død i 2005, kunne Mindefonden begynde sin virksomhed. De midler som legatet afkaster, skal efter bestyrelsens valg tilfalde en eller flere lovende yngre jurister til brug for videnskabelige studier i ind- eller udland. Ansøgere med tilknytning til offentlig ret, fortrinsvis folkeret, og afgangseksamen fra Aarhus Universitet har fortrinsret til legatet. Området omkring studenters mulighed for at komme på studieophold i udlandet var noget der optog Sørensen stærkt, og derfor er det helt i hans ånd at Mindefondens midler anvendes til dette formål.  Æresbevisninger Max Sørensen accepterede kun sjældent de æresbevisninger han blev tilbudt, men modtog Ridderkorset i 1948 og Fortjenstmedaljen i guld 1980. Han blev udnævnt til æresdoktor ved Kiel Universitet i 1964 og æresdoktor ved Strasbourg Universitet kort før sin død i 1981.  Anekdoter Sørensens ansættelse som dommer ved EF-domstolen medførte et betydeligt følge af personale. Det siges at Sørensen foretrak at cykle, og at hans chauffør derfor stort set ikke lavede andet end at pudse bilen. Under ansættelsen i Århus cyklede han dagligt mellem boligen i Risskov, i den nordlige del af Århus, til Universitetet. Dette var ligeledes tilfældet mellem EF-domstolen og boligen i Luxembourg, indtil fysikken ikke længere gjorde dette muligt i de sidste år. Sørensen var ligeglad med at de øvrige EF-dommere fandt det under embedets værdighed at cykle.