Han er opvokset i Sollefteå og Sundsvall. Fröst begyndte at spille violin da han var seks år gammel, men fodbold og basketball var mere interessant, som han fortsatte ikke med violin. Da han var ni år, begyndte han at spille klarinet, og da han var 15, flyttede han til Stockholm, hvor han studerede musik. Senere studerede han også i Hannover. I dag er han en af de førende klarinet solister. Fröst repertoire består ifølge ham selv af 80% klassisk musik, og resten samtidsmusik og nye projekter. Hvert år har han premiere på et nyt værk. Et af hans mest berømte projekter i Sverige, er "No Strings Attached", som han og blandt andet mezzosopran Malena Ernman medvirkede til. Martin Frost har indspillet flere cd'er siden debuten Fransk Beauties og svenske Beasts med pianisten Roland Pöntinen i 1994. Han har blandt andet indspillet værker af Mozart, Carl Nielsen, Kaleiv Aho og Carl Maria von Webers klarinet koncert.