Finsen blev 1812 student (privat dimitteret) på Island; cand.jur. fra Københavns Universitet 1816; underkancellist i Danske Kancelli samme år; kancellisekretær 1821; konstitueret herredsfoged i Anst m.fl. herreder; i Kolding 1819; fastansat 1824; byfoged i Ringkøbing og herredsfoged i Ulfborg m.fl. herreder 1830; kancelliråd 1842 og -skriver i Hasle m.fl herreder; valgt medlem af Stænderforsamlingen. Han var blandt stifterne af Det Islandske Litterære Selskab.  Slægt Jón Finsen tilhørte en kendt islandsk slægt, hvis navn efter hans faders navn blev tilpasset dansk skik. Slægtens medlemmer findes i flere islandske sagaer og slægtsbøger. Fx nævner Heimskringla i Folioudgaven 1777, at Finsens farfader, biskop Finnur Jónsson nedstammer fra Olöf Loptsdótter og i 4 linjer efter den berømte Snorre Sturlasson.