En determinant er et tal, der karakteriserer en matrix. En determinant kan kort beskrives som "arealet" af den flade som vektorerne(søjlerne) udspænder. Her er det vigtigt at holde sig for øje, at det godt kan være et negativt tal. Der findes flere forskellige måder at bestemme determinanter på, og flere forskellige nyttige regneregler for determinanter, som er gennemgået herunder.  Bestemmelse af determinanter Determinanter er kun definerede for kvadratiske matricer. For en matrix \underline{\underline{A}}_{n \times n} siger man, at determinanten \det \underline{\underline{A}} er af n'te orden.  Beviser I dette afsnit vil vi bevise nogle af de overstående påstande, men vi starter med en simpel definition af determinanter:  Definition Lad A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F}). Hvis n = 1 defineres \det(A) = a_{11}. Hvis n > 1 defineres determinanten rekursivt ved \det(A) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} a_{1i} \det(A_{1,i}) hvor A_{i,j} fremkommer af A ved at fjerne i'te række og j'te søjle.  Ens rækker Hvis A har to ens rækker er \det(A) = 0. Dette er nemt at indse. Dan B ved at bytte om på de to ens række i A, da har vi at \det(A) = -\det(B) men A og B er jo ens, så \det(A) = -\det(A), dette kan kun lade sig gøre hvis \det(A)=0  Rækkeskalering Hvis B er dannet af A, ved at gange i'te række igennem med r (ikke 0), da er \det(B) = r \det(A) Dette kan bevises som følger. Som før kan vi af rækkeombytnings-egenskaben og uden tab af generalitet antage at i=1, så  \det(B) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} r a_{1i} = r \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} a_{1i} = r \det(A)  Invertibilitet Matricen A er invertibel hvis og kun hvis \det(A) \neq 0. Der findes H i RREF så A \sim H, denne transformation fremkommer som en følge af rækkeoperationer af de foregående regler ved vi at \det(A) = r \det(H) hvor r \neq 0 men  \det(A) \neq 0 \Leftrightarrow \det(H) \neq 0 Men \det(H) \neq 0 præcis har H har fuld rang, og H har fuld rang præcis når A er invertibel.  Determinant af produkt Om matrixprodukter gælder at \det(AB) = \det(A)\det(B). Her gælder følgende bevis. Hvis A er diagonal følger det af rækkeskalationsreglen at \det(AB) = a_{11} \ldots a_{nn} \det(B) Hvis A er singulær er AB singulær. Af invertabilitetsreglen følger så, at de begge har determinant 0, ellers må A være invertibel, og med rækkeaditioner og r række ombytninger kan man danne D fra A så D er diagonal. Af de ovenstående regler ses at \det(A) = (-1)^r \det(D) Lad E være produktet af de tilhørende rækkeoperationsmatricer så EA = D, men så må E(AB) = (EA)B = DB i kan altså udføre de samme rækkeoprationer på AB, så \det(AB) = (-1)^r \det(DB) = (-1)^r \det(D) \det(B) = \det(A) \det(B)  Determinant af invers Hvis A er invertibel vil \det(A) = \det(A^{-1})^{-1} Med overstående regel er det nemt at se, da I = A^{-1} A så 1 = \det(I) = \det(A^{-1}) \det(A)