$v$}_{t}
\,=\;
\nu \,
\Delta \mbox{\boldmath $v$},
\qquad
\mbox{\boldmath $v$}(\cdot,t_0) \,=\,
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0).$$\
Para estas soluções, é fácil obter várias estimativas de decaimento, como e.g.\
\
$$\tag{1.6$a$}
\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}
\:
\|\, \mbox{\boldmath $v$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}
\,=\;
0,$$\
$$\tag{1.6$b$}
\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}
\:
t^{\mbox{}^{\;\! \frac{\scriptstyle n}{\scriptstyle 4}}}
\,\!
\|\, \mbox{\boldmath $v$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}}
\,=\;
0,$$\
$$\tag{1.6$c$}
\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}
\:
t^{\mbox{}^{\;\! \frac{\scriptstyle s}{\scriptstyle 2}}}
\,\!
\|\, \mbox{\boldmath $v$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \dot{H}^{\!\;\!s}(\mathbb{R}^{n})}}
\,=\;
0,
\qquad
s \geq 0,$$\
válidas para todo $n$. (Em (1.6$c$) acima, $ \!\:\!\dot{H}^{\!\;\!s}\!\;\!(\mathbb{R}^{n}) $ denota o espaço de Sobolev homogêneo formado pelas funções $ {\displaystyle
\mbox{\boldmath $v$} = (v_{\scriptscriptstyle 1}\!\;\!,\!...,v_{n})
\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})
} $ tais que $ {\displaystyle
\;\!
| \cdot |^{\,\!s}_{\mbox{}_{2}} \:\!
|\,\hat{\mbox{\boldmath $v$}}(\cdot)\,|_{\mbox{}_{2}}
\in\!\;\! L^{2}(\mathbb{R}^{n})
} $, onde $ \hat{\mbox{\boldmath $v$}}(\cdot) $ denota a transformada de Fourier de $ \mbox{\boldmath $v$}(\cdot) $, com norma $ {\displaystyle
\,\!
\| \cdot
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \dot{H}^{\!\:\!s}\!\;\!(\mathbb{R}^{n})}}
\!
} $ dada por\
\
$$\tag{1.7}
\|\, \mbox{\boldmath $v$} \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \dot{H}^{\!\:\!s}\!\;\!(\mathbb{R}^{n})}}
=\,
\Bigl\{\int_{\mathbb{R}^{n}} \!\!
|\,\xi\,|_{\mbox{}_{2}}^{\:\!2\:\!s}
\;\!
|\, \hat{\mbox{\boldmath $v$}}(\xi)\,|_{\mbox{}_{2}}^{2}
\,d\xi
\:\Bigr\}^{\!\!\;\!1/2}
\!\!.$$\
Podemos assim esperar que estimativas similares a (1.6) sejam também válidas para as soluções de Leray $ \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) $ de (1.1), ao menos para $ n = 3 $, dado $ \mbox{\boldmath $ 