{{\mathrm{Gal}}}(\overline{{{\mathbb Q}}}/{{\mathbb Q}})\to {{\mathrm{Aut}}}[\pi_1^{alg}(({{{\mathcal}M}}_{g,[m]})_{\overline{{{\mathbb Q}}}},x)].$$

Le groupe de Galois ${{{\mathrm{Gal}}}(\overline{{{\mathbb Q}}}/{{\mathbb Q}})}$ agit alors sur la classe de conjugaison ${\mathcal}G$ de $G$ dans $\Gamma_{g,[m]}$ définie par la composante irréductible ${\mathcal}M_{g,[m],{\mathcal}G}$ de ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}(G)_{\bar{{{\mathbb Q}}}}$ à laquelle appartient $x$. En effet, pour tout $y\in {{{\mathcal}M}}_{g,[m],{\mathcal}G}$ $$I_y\hookrightarrow \pi_1^{alg}(({{{\mathcal}M}}_{g,[m]})_{\bar{{{\mathbb Q}}}},x)$$ est donné par conjugaison dans $\Gamma_{g,[m]}$ suivant [@NOOHI04 Rem. 3.5].

Dans le cas où on ne dispose pas d’un point base rationnel, on travaille avec un *point base tangentiel* défini comme foncteur fibre sur la catégorie $\text{FEt}^D(\overline{{{{\mathcal}M}}}_{g,[m]})$ des revêtements étales finis de $\overline{{{{\mathcal}M}}}_{g,[m]}$ modérément ramifiés au dessus d’un diviseur à croisement normaux $D$, où $\overline{{{{\mathcal}M}}}_{g,[m]}$ est la compactification de Deligne-Mumford et $D$ le complémentaire de ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}$ dans celle-ci. Ce foncteur est isomorphe à un foncteur fibre défini par un point géométrique de ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}$ et l’on dispose ainsi des notions de chemins entre points tangentiels ou géométriques, ainsi que de l’invariance du groupe fondamental par changement de corps algébriquement clos en caractéristique nulle – voir [@ZOO2001 <span style="font-variant:small-caps;">II</span>.2,<span style="font-variant:small-caps;">II</span>.4].

Suivant [@NAKA99], le choix d’un tel point base tangentiel $\overrightarrow b$ de ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}$ définit de plus une action galoisienne telle qu’en : $$\textrm{Gal}(\overline{{{\mathbb Q}}}/{{\mathbb Q}})\to {{\mathrm{Aut}}}[\pi_1^{alg}(({{{\mathcal}M}}_{g,[m]})_{\overline{{{\mathbb Q}}}},\overrightarrow b)],$$ où ${{{\mathrm{Gal}}}(\overline{{{\mathbb Q}}}/{{\mathbb Q}})}$ agit à la fois 