est $\widehat T(\widehat\alpha)$ d’extrémité $\widehat T \circ \widehat F(\widehat z)$. On en déduit $\widehat T \circ \widehat F(\widehat z) = \widehat F \circ \widehat T(\widehat z)$ donc $\widehat T \circ \widehat F = \widehat F \circ \widehat T$.

\[Rem:AutoExist\] Soient $F \in {\operatorname{Homeo}}_*(M)$ et $X \subset {\operatorname{Fix}}(F)$ un ensemble fermé. La proposition précédente montre l’équivalence des propriétés suivantes :

1.  il existe un relèvement $(X,\widehat F_X) \in {\mathcal}R$

2.  pour tout $z \in N_X$, il existe un chemin $\alpha_z$ adapté à $X$ d’origine $z$ ;

3.  il existe un chemin adapté à $X$ dans chaque composante connexe de $N_X$ ;

Lorsque les composantes connexes d’une surface $N$ ne sont pas homéomorphes au tore ou à l’anneau, le groupe des automorphismes de revêtement est de centre trivial. On peut alors faire la remarque suivante.

\[Rem:UniChAdapt\] Soit $N$ une surface de revêtement universel $\widehat\pi : \widehat N \rightarrow N$, dont le groupe $\widehat G$ des automorphismes de revêtement est de centre trivial et soit $F$ un homéomorphisme de $N$. Alors deux chemins $\alpha$ et $\beta$ de même origine $z \in N_X$ et adaptés à $X$ sont homotopes à extrémités fixées dans $N_X$.

En effet, d’après la proposition qui précède, chacun de ces 