relèvement à $\widetilde M$ qui commute avec les automorphismes de revêtement. Alors, il existe un sous-ensemble fermé $X \subset {\operatorname{Fix}}(F)$ et un feuilletage topologique ${\mathcal}F$ de $M$, dont $X$ est l’ensemble des singularités, qui soit positivement transverse à $\widetilde F$.

On considère le sous-ensemble fermé $X \subset {\operatorname{Fix}}(F)$ et le relèvement $\widehat F$ de $F_{|M\setminus X}$ donnés par le théorème \[Th:princ\]. On vient de voir que le théorème \[Th:Brouwer\] assure alors l’existence d’un feuilletage topologique $\widehat{{\mathcal}F}$ de $\widehat N_X$ par des droites de Brouwer de $\widehat F$ qui passe au quotient en un feuilletage topologique singulier ${\mathcal}F$ de $M$, de singularités $X$.

Il reste à prouver que ${\mathcal}F$ est transverse à $\widetilde F$ ce qui, d’après la deuxième assertion du théorème \[Th:princ\], revient à prouver que $\widehat{{\mathcal}F}$ est transverse à $\widehat F$. Résumons la preuve donnée dans [@LC05] page 4 : considérons un point $\widehat z_0 \in \widehat N_X$ et notons $\widehat W$ l’ensemble des points $z \in \widehat N_X$ extrémité d’un arc issu de $\widehat z_0$ et positivement transverse à $\widehat F$. On remarque alors que la partie $\widehat W$, ouverte et située à droite des feuilles qui constituent sa frontière, est le demi-plan topologique ouvert situé à droite 