par une équation $w^n=\alpha$, où $\alpha$ est une fonction définie sur un ouvert de ${{{\mathcal}Y}}\setminus B$. Pour $y \in B$ la donnée de Hurwitz du revêtement $X \to Y$ en $y$ est l’ordre d’annulation de $\alpha$ en $y$ modulo $n$ comme dans la preuve du lemme 3.3 (en particulier, la ramification est incluse dans le support de $\textrm{div}(\alpha)$ mais ne lui est pas égale en général).

On retrouve en particulier le résultat de classification des $G$-revêtements établi par F. Cornalba sur $\mathbb C$.

Un sous-champ algébrique de ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}[G]$ {#EspaceModule}
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On donne ici la construction de sous-champs $\mathcal M_{g, [m], \underline {\bf kr}}[G]$ de ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}[G]$ à partir desquels nous caractérisons les composantes irréductibles de $ {{{\mathcal}M}}_{g,[m]}[G]$ dans la section suivante. Ces sous-champs sont construits à partir de données de Hurwitz géométrique ${\bf k}$ de la section précédente, et de branchement $\bf kr$ définie ci-dessous.

Dans la suite, on identifie ${{\mathbb N}}^n$ à ${{\mathbb N}}^{{{\mathbb Z}}/n{{\mathbb Z}}}$ afin de le munir de l’action naturelle de ${{\mathrm{Aut}}}(G)$ canoniquement identifié à $({{\mathbb Z}}/n{{\mathbb Z}})^*$.

Soit l’application $${\bf kr} \colon \mathcal M_{g, [m], \nu_0}[G] \longrightarrow \left({{\mathbb Z}}/n{{\mathbb Z}}\right)^{\nu_0}/\mathfrak{S}_{\nu_0}\times{{\mathbb N}}^{n}$$ qui à :

-   un point géométrique $s$, i.e. un couple $(\mathcal X, \iota)$ muni 