$\cM$ simple et $\neq(\cO_X,\rd)$implique $H^{-\dim X}=0$. La suite spectrale d’hypercohomologie montre que $\bH^{-\dim X}\subset H^{-\dim X}$, d’où la nullité de $\bH^{-\dim X}$. Un argument de dualité permet aussi d’en déduire $\bH^{\dim X}=0$. Ainsi, l’énoncé \[th:HLT\] est de peu d’intérêt lorsque $X$ est une courbe.

Pour obtenir un théorème de ce type, on montre d’abord l’existence d’une structure plus riche, qui fait apparaître une notion de pureté [@DeligneHI]. La théorie de Hodge joue ce rôle en géométrie algébrique complexe modérée(voir l’excellent panorama [@C-M09]):

\[enum:caslisse\] Si $(V,\nabla)$ est un fibré holomorphe à connexion intégrable sur $X$, le complexe $\DR(V,\nabla)=(\Omega_X^{\cbbullet+\dim X}\otimes V,\nabla)$ n’a de cohomologie qu’en degré $-\dim X$, c’est le système local $V^\nabla$ des sections horizontales de $\nabla$ (théorème de Cauchy-Kowalewski et lemme de Poincaré holomorphe); (\[enum:caslisse\]$'$) si de plus $(V,\nabla)$ sous-tend *une variation de $\QQ$-structure de Hodge polarisable*, le théorème de Lefschetz difficile $L^k:H^{\dim X-k}(X,V^\nabla)\isom H^{\dim X+k}(X,V^\nabla)$ a été montré par Deligne (voir [@Zucker79 Th2.9]), le théorème de Lefschetz difficile proprement dit, démontré par Hodge (voir [@Hodge50]) étant le cas $(V,\nabla)=(\cO_X,d)$.

\[enum:casouvert\] L’extension de ce résultat au cas où $(V,\nabla)$ est un fibré holomorphe à connexion intégrable sur le complémentaire $X^o$ d’une hypersurface $D$ de $X$ et satisfait (\[enum:caslisse\]$'$) a fait 