d’un diviseur équivariant $D$ de degré $m$ ;

-   un isomorphisme $G\simeq {\ensuremath{\boldsymbol \mu}}_n$ ;

associe le couple $({\bf k}(s),{\bf r}(s))$ où ${\bf k}(s)$ est une donnée de Hurwitz géométrique et ${\bf r}(s)$ un $n$-uplet de $i$-ème coordonnée $${\bf r}(s)_i=\#\{y \in D_{s}/G,\ br(y)\text{ est égal à } i {\mathrm{\,mod\,}}n\},$$ où $br(y)$ désigne l’ordre de branchement en $y$ – l’ordre de branchement est dit nul modulo $n$ si le morphisme est étale au-dessus du point considéré.

On nomme *donnée de branchement* l’image $\underline{ \bf kr}={\bf kr} {\mathrm{\,mod\,}}({{\mathbb Z}}/n{{\mathbb Z}})^*$ sous l’action diagonale.

On rappelle que l’action de $({{\mathbb Z}}/n{{\mathbb Z}})^*$ sur le facteur $\left({{\mathbb Z}}/n{{\mathbb Z}}\right)^{\nu_0}$ est donnée par la multiplication.

Notons que la donnée de branchement $\underline{\bf kr}$ est indépendante du choix d’un ismorphisme $G\simeq {\ensuremath{\boldsymbol \mu}}_n$ – voir remarque \[rem:ConstAndCano\] - \[rem:choixCano\]. Les sous-champs qui nous occupent sont alors les suivants.

\[DefCompIrred\] Soient $g, m, g', \nu_0 \in {{\mathbb N}}$ des entiers, $G$ un groupe cyclique d’ordre $n$ inversible dans $S$ et $\underline {\bf kr}$ une donnée de branchement abstraite. On note $\mathcal M_{g, [m], \underline {\bf kr}}[G]$ le lieu des points $(\mathcal X/S, \iota, D)$ de ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}[G]$ munis d’un diviseur $G$-équivariant étale $D$ de degré $m$, et tel 