$\sum  {\bf V}_-$. И так получаются все фасеты. Отсюда видно, что

(1.1)     *‘общий’ зонотоп $Z$ имеет $2{n \choose d-1}$ фасет.*

Тут неявно предполагалось, что $d>1$; случай одномерного зонотопа несколько выпадает из общей картины по причине его тривиальности; это просто отрезок $[0,
v_1+...+v_n]$.

Стоит еще сказать о вершинах зонотопа и об их числе. Наверняка это хорошо известно, но нам не удалось найти хорошую ссылку. Поэтому приведем формулу, а позже скажем о доказательстве.

(1.2) *Число вершин $V(n,d)$ зонотопа $Z$ равно $2{n-1 \choose \le (d-1)}=2({n-1 \choose d-1}+...+{n-1 \choose 0})$.*

Другая полезная вещь – это взгляд на зонотоп вдоль некоторого направления. Пусть направление задается некоторым ненулевым вектором $w$ в $V$ и проектирует (отображением $\pi _w$) пространство $V$ (и находящийся в нем зонотоп $Z$) на (фактор)пространство $V'=V/{\mathbb R}w$. Снова тут удобно считать, что этот вектор $w$ находтся в общем положении относительно системы [**V**]{}. В этом случае каждая фасета $F$ зонотопа $Z$ инъективно проектируется в пространство $V'$. А весь зонотоп $Z$ проектируется на зонотоп $Z'=\pi
_w(Z)=Z(\pi _w({\bf V}))$. При этом граница $\partial Z'$ (имеющая размерность $d-2$) является биективным образом некоторого (тоже ($d-2$)-мерного) подкомплекса границы $Z$, который можно назвать *ободом* (относительно этой проекции $\pi _w$). Обод делит (нестрого) границу $Z$ на две ‘полусферы’ - ‘верхнюю’ (мы представляем 