\right> \simeq 
\left<\Delta'_1 \right>\times \dots \times \left<\Delta'_r \right>$$ d’après le théorème \[nuevo2\].

Le reste de cette section sera consacré à la preuve de ce théorème.

 {#section-4}

Dans ce paragraphe on prouve la partie (1) du théorème \[Z2\]. Soit $\m$ un multisegment banal non nul. Il existe $u\>1$ et des familles de multisegments $(\Delta_1^{(i)},\dots,\Delta_{n_i}^{(i)})$, $1 \< i \<u$, telles que : $$\label{numero}
(\Delta_1^{(1)},\dots,\Delta_{n_{1}}^{(1)},
\Delta_{1}^{(2)},\dots,\Delta_{n_{2}}^{(2)},\dots, 
\Delta_1^{(u)},\dots,\Delta_{n_{u}}^{(u)})$$ soit une forme rangée de $\m$ et que, pour tous $1 \< i \< u$ et $1\< j,k \< n_i$, on ait : $$\label{primera}
b\Big(\Delta_{j}^{(i)}\Big)= b\Big (\Delta_{k}^{(i)}\Big),$$ c’est-à-dire que $\Delta_{j}^{(i)}$ et $\Delta_{k}^{(i)}$ ont la même extrémité finale, que l’on désigne par $\rho_i$. Puisque le multisegment $\m$ est banal, on peut même supposer que : $$\label{segunda}
\rho_i\notin\Delta^{(j)}_k$$ pour tous $1 \< i < j \< u$ et $1\< k \< n_j$ (que, pour $1\< l \< n_i$ et $1\< k \< n_j$, le segment $ \Delta^{(i)}_l$ ne précède pas $\Delta^{(j)}_k$). On note $\a$ la partition : $$\a=\big( 
\deg\big ( \Delta_1^{(1)}+\dots+\Delta_{n_{1}}^{(1)}\big), 
\deg\big ( \Delta_1^{(2)}+\dots+\Delta_{n_{2}}^{(2)}\big),
\dots, 
\deg\big ( \Delta_1^{(u)}+\dots+\Delta_{n_{u}}^{(u)}\big) 
\big)$$ et on pose : $$\pi_0 = \overset{u}{\underset{i=1}{\bigotimes}} 
\big(\langle\Delta_1^{(i)}\rangle 
\times\dots\times 
\langle\Delta_{n_{i}}^{(i)}\rangle\big)$$ qui est une représentation irréductible (par le théorème \[nuevo2\]) de $\M_\a$.

\[unosolo\] La représentation $\pi_0$ apparaît avec multiplicité $1$ 