connexion $\partial_E+\ov\partial_E+\theta+\theta^\dag$ sur $H:=\cC^\infty_X\otimes_{\cO_X}E$ est *intégrable*.

On a ainsi une correspondance bi-univoque $$\text{fibré plat harmonique}\longleftrightarrow \text{fibré de Higgs harmonique.}$$

Lorsque $(V,\nabla,h)$ ou $(E,\theta,h)$ sont harmoniques, il y a en fait une famille à un paramètre de fibrés holomorphes plats qui dégénère sur le fibré de Higgs associé: pour tout $\hb\in\CC$, on pose $V^\hb=\ker(\ov\partial_E+\hb\theta^\dag:H\to\cA_X^{0,1}\otimes H)$, muni de l’opérateur $\nabla^\hb:=\hb\partial_E+\theta$, qu’on appelle une *$\hb$-connexion*. Si $\hb\neq0$, l’opérateur $\frac1\hb\nabla^\hb$ est une connexion holomorphe intégrable sur $V^\hb$ tandis que, si $\hb=0$, on retrouve le fibré de Higgs $(E,\theta)$.

\[exem:rankone\] Considérons le cas d’un fibré (trivial) de rang $1$ sur le disque unité épointé $\Delta^*$ de coordonnée $z$, muni d’une métrique hermitienne $h$. Nous noterons $\gU$ l’ensemble des classes d’équivalence de couples $\gu=(a,\alpha)\in\RR\times\CC$ modulo $\ZZ\times\{0\}$. Alors:

*L’ensemble des classes d’isomorphisme de fibrés de Higgs (ou de fibrés plats) harmoniques de rang $1$ sur $\Delta^*$ est en correspondance bijective avec l’ensemble des couples $(\psi,\gu)$, avec $\psi\in\cO(\Delta^*)$ sans terme constant et $(\gu\bmod\ZZ)\in\gU$.*

Nous la ferons dans le cas Higgs, le cas plat étant similaire. Soit $(E,\theta,h)$ un fibré de Higgs harmonique de rang $1$ sur $\Delta^*$. Nous allons lui associer un unique couple $(\psi,\gu\bmod\ZZ)$. Soit $\epsilon$ une base holomorphe de $E$. On a $$\theta \epsilon=\varphi(z)\,\epsilon\,\rd z,\quad \text{$\varphi(z)$ 