induit $H_x\isom \ov H{}_x^\vee$, vu comme un accouplement sesquilinéaire sur $H_x$, soit une forme hermitienne *définie positive*. Le fibré $H$ sur $X$ dont les fibres sont les $H_x$ est alors un fibré $C^\infty$ muni d’une métrique hermitienne $h$.

Soit $(\cH',\cH'',C,\cS)$ une variation de structure de twisteur polarisée de poids $0$. La restriction $\cH''$ à $\hb=1$ ($\hb=0$) munie de la connexion (le champ de Higgs) induite par la $\hb$-connexion est un fibré holomorphe plat (de Higgs) de fibré $C^\infty$ sous-jacent isomorphe à $H$, et la métrique $h$ en fait un fibré plat (de Higgs) harmonique.

Réciproquement, la construction $V^\lambda$ à partir d’un fibré plat (de Higgs) harmonique permet de définir une variation de structure de twisteur polarisée pure de poids $0$ en posant $\cH'=\cH''=\ker(\ov\partial_\hb+\ov\partial_E+\hb\theta^\dag:\cC^\infty_{X\times\CC_\hb}\otimes_{\cC^\infty_X}H\to\cA_{X\times\CC_\hb}^{0,1}\otimes_{\cC^\infty_X} H)$, $\cS=\id$, $C$ est induit naturellement par $h$ et la $\hb$-connexion par $\hb\partial_E+\theta$.

[Exemple \[exem:rankone\], suite]{} Considérons maintenant $v^\hb$ comme dépendant de $\hb$. Alors la formule montre que $\nabla^\hb$ ne s’exprime de manière holomorphe en $\hb$ que si $\psi=0$. Si $\psi\neq0$, on peut considérer la base holomorphe $\wt v{}^\hb=e^{-|\hb|^2\psi}\cdot v^\hb$ pour corriger le problème. On constate alors que, d’une part, il n’y a pas unicité de choix (on pourrait tout aussi bien prendre $e^{c-|\hb|^2\psi}\cdot v^\hb$, avec $c\in\CC$), 