G.$$

Si $\nu = 0$ alors la donnée de Hurwitz est vide, on peut donc supposer $\nu > 0$. Ainsi $f$ est affine et donc ${{\mathrm{R}}}^2 f_* G=0$. Comme $j_* G\cong G$ et que tout les faisceaux de cette suite sont finis sur $S$, si ce dernier est le spectre d’un corps algébriquement clos on trouve une suite exacte $$\label{LocalGlobalLeray}
            {{\mathrm{H}}}^0_{\text{\rm ét}}(S, {{\mathrm{R}}}^1 f_* G) \to {{\mathrm{H}}}^0_{\text{\rm ét}}(S, h_* {{\mathrm{R}}}^1 j_* G) \to {{\mathrm{H}}}^0_{\text{\rm ét}}(S, {{\mathrm{R}}}^2 h_* (j_* G)) \to 0$$ la dernière flèche non nulle s’identifiant à $$\begin{array}{ccc}
                ({{\mathbb Z}}/n{{\mathbb Z}})^\nu & \to & {{\mathbb Z}}/n{{\mathbb Z}}\\
                (k_i)_i & \mapsto & \sum_i k_i.
            \end{array}$$

En particulier, étant donné ${\bf k}$ dans le noyau de cette application, il existe $a \in {{\mathrm{H}}}^0_{\text{\rm ét}}(S, {{\mathrm{R}}}^1 f_* G)$ qui est envoyé sur ${\bf k}$. Or, comme $S$ est strictement hensélien, on a $${{\mathrm{H}}}^0_{\text{\rm ét}}(S, {{\mathrm{R}}}^1 f_* G)={{\mathrm{H}}}^1_{\text{\rm ét}}(\mathcal Y\setminus B, G).$$

À l’élément $a$ correspond donc un $G$-torseur au-dessus de $\mathcal Y\setminus B$ qui fournit le revêtement ${{\mathcal X}}/{{{\mathcal}Y}}$ cherché.

Au dessus d’un corps $k$ algébriquement clos, la théorie de Kummer donne une description explicite des données de Hurwitz, puisqu’un $G$-revêtement ${{\mathcal X}}\to {{{\mathcal}Y}}$ de diviseur de branchement $B$ est localement donné 