Assume $K\in[10,50]$, $I\subseteq\mathbb{R}$ is an interval, and $U,U'\in C(I:H^{K+2})$ satisfy $$\label{fgh7}
\begin{split}
&(\partial_t+i\Lambda)U=F+\frac{i}{4}\sum_{j=1}^2\Lambda R_j\left[\vert\nabla\vert\Lambda^{-1}(U+\overline{U})\cdot R_j(U-\overline{U})\right]+\frac{i}{8}\sum_{j=1}^2\vert\nabla\vert\left[R_j(U-\overline{U})\cdot R_j(U-\overline{U})\right],\\
&(\partial_t+i\Lambda)U'=F'+\frac{i}{4}\sum_{j=1}^2\Lambda R_j\left[\vert\nabla\vert\Lambda^{-1}(U'+\overline{U'})\cdot R_j(U'-\overline{U'})\right]+\frac{i}{8}\sum_{j=1}^2\vert\nabla\vert\left[R_j(U'-\overline{U'})\cdot R_j(U'-\overline{U'})\right]
\end{split}$$ on $\mathbb{R}^2\times I$. Assume in addition the $F,F'\in C(I:H^K)$ and let $$\label{fgh2}
M_\sigma(t):=1+\|U(t)\|_{H^\sigma}+\|U'(t)\|_{H^\sigma},\qquad\sigma\in [3,K]\cap\mathbb{Z}.$$ Let $$\begin{split}
&U=X+iY,\,\,U'=X'+iY',\,\,U^\delta=U'-U=X^\delta+iY^\delta,\\
&F=G+iH,\,\,F'=G'+iH',\,\,F^\delta=F'-F=G^\delta+iH^\delta.
\end{split}$$ For any $P=D^\alpha$, $|\alpha|\leq\sigma\in[3,K]\cap\mathbb{Z}$, let $$\label{fgh0}
E_P^\delta:=\int_{\mathbb{R}^2}(PX^\delta)^2+(PY^\delta)^2\,dx+\sum_{j=1}^2\int_{\mathbb{R}^2}|\nabla|\Lambda^{-1}X'\cdot (R_jPY^\delta)^2\,dx.$$ Then, for any $t\in I$ for which $M_3(t)\leq 2$, we have $$\label{EEE}
|\partial_tE_P^\delta(t)|\lesssim (M_\sigma+\|F'(t)\|_{H^3})\|U^\delta(t)\|_{H^\sigma}^2+\|U\|_{H^{\sigma+1}}\|U^\delta\|_{H^{3/2}}\|U^\delta\|_{H^\sigma}+\|U^\delta\|_{H^\sigma}\|F^\delta\|_{H^\sigma}.$$

\(ii) If $U,U'\in C(I:H^3)$ are solutions of with $F=F'=0$ and $M_3(t)=1+\|U(t)\|_{H^3}+\|U'(t)\|_{H^3}\leq 2$ for some $t\in I$ then $$\label{EEE1}
|\partial_tE^\delta_{\mathrm{Id}}(t)|\lesssim \|U^\delta(t)\|_{L^2_x}^2.$$

The real variables $X^\delta,Y^\delta,X'$ satisfy the equations $$\label{fgh1}
\begin{split}
&\partial_tX^\delta=\Lambda Y^\delta+G^\delta-\sum_{j=1}^2\Lambda R_j(|\nabla|\Lambda^{-1}X'\cdot R_jY'-|\nabla|\Lambda^{-1}X\cdot R_jY),\\
&\partial_tY^\delta=-\Lambda X^\delta+H^\delta-(1/2)\sum_{j=1}^2|\nabla|(R_jY'\cdot R_jY'-R_jY\cdot R_jY),\\
&\partial_tX'=\Lambda Y'+G'-\sum_{j=1}^2\Lambda R_j(|\nabla|\Lambda^{-1}X'\cdot R_jY').
\end{split}$$ Using the definition we calculate $$\partial_tE^\delta_P=I^\delta_P+II^\delta_P+III^\delta_P+IV^\delta_P+V^\delta_P+VI^\delta_P,$$ where $$I_P^\delta:=\int_{\mathbb{R}^2}-2PX^\delta\cdot \sum_{j=1}^2P\Lambda R_j(|\nabla|\Lambda^{-1}X'\cdot R_jY'-|\nabla|\Lambda^{-1}X\cdot R_jY)\,dx,$$ $$II_P^\delta:=\int_{\mathbb{R}^2}-PY^\delta\cdot \sum_{j=1}^2P|\nabla|(R_jY'\cdot R_jY'-R_jY\cdot R_jY)\,dx,$$ $$III_P^\delta:=\sum_{j=1}^2\int_{\mathbb{R}^2}|\nabla|\Lambda^{-1}\partial_tX'\cdot (R_jPY^\delta)^2\,dx,$$ $$IV_P^\delta:=\sum_{j=1}^2\int_{\mathbb{R}^2}-|\nabla|\Lambda^{-1}X'\cdot 2R_jPY^\delta\cdot \Lambda R_jPX^\delta\,dx,$$ $$V^\delta_P:=\sum_{j=1}^2\int_{\mathbb{R}^2}-|\nabla|\Lambda^{-1}X'\cdot R_jPY^\delta\cdot R_jP|\nabla|\big(\sum_{m=1}^2R_mY'\cdot R_mY'-R_mY\cdot R_mY\big)\,dx$$ $$\begin{split}
VI^\delta_P&:=2\int_{\mathbb{R}^2}PX^\delta\cdot PG^\delta+PY^\delta\cdot PH^\delta\,dx+2\sum_{j=1}^2\int_{\mathbb{R}^2}|\nabla|\Lambda^{-1}X'\cdot R_jPY^\delta\cdot R_jPH^\delta\,dx.
\end{split}$$

Clearly, $$|VI^\delta_P|\lesssim M_3\|U^\delta\|_{H^\sigma}\|F^\delta\|_{H^\sigma}$$ and, using the last identity in , $$|III^\delta_P|\lesssim (M_3^2+\|F'\|_{H^3})\|U^\delta\|^2_{H^\sigma}.$$ Also, using Lemma \[tech1.5\] (i) and the identities $|\nabla|=-\partial_1R_1-\partial_2R_2$ and $\partial_jR_m=\partial_mR_j$, $$\begin{split}
|II^\delta_P|&\lesssim\sum_{j=1}^2\Big|\int_{\mathbb{R}^2}PY^\delta\cdot P|\nabla|(R_jY^\delta\cdot R_jY^\delta)\,dx\Big|+\sum_{j=1}^2\Big|\int_{\mathbb{R}^2}PY^\delta\cdot P|\nabla|(R_jY\cdot R_jY^\delta)\,dx\Big|\\
&\lesssim M_3\|U^\delta\|^2_{H^\sigma}+\|U\|_{H^\sigma}\|U^\delta\|_{H^\sigma}\|U^\delta\|_{H^3}+\sum_{j,m=1}^2\Big|\int_{\mathbb{R}^2}R_mPY^\delta\cdot \partial_mPR_jY^\delta\cdot R_jY^\delta\,dx\Big|\\
&+\sum_{j,m=1}^2\Big[\Big|\int_{\mathbb{R}^2}R_mPY^\delta\cdot \partial_mPR_jY^\delta\cdot R_jY\,dx\Big|+\Big|\int_{\mathbb{R}^2}R_mPY^\delta\cdot \partial_mPR_jY\cdot R_jY^\delta\,dx\Big|\Big]\\
&\lesssim M_\sigma\|U^\delta\|^2_{H^\sigma}+\|U\|_{H^{\sigma+1}}\|U^\delta\|_{H^\sigma}\|U^\delta\|_{H^{3/2}}.
\end{split}$$ Similarly, $$\begin{split}
&|V^\delta_P|\lesssim\sum_{j,m=1}^2\Big|\int_{\mathbb{R}^2}|\nabla|\Lambda^{-1}X'\cdot R_jPY^\delta\cdot \partial_jP\big(R_mY^\delta\cdot R_mY^\delta+2R_mY\cdot R_mY^\delta\big)\,dx\Big|\\
&\lesssim M_3^2\|U^\delta\|_{H^\sigma}^2+M_3\|U\|_{H^\sigma}\|U^\delta\|_{H^\sigma}\|U^\delta\|_{H^3}+\sum_{j,m=1}^2\Big[\Big|\int_{\mathbb{R}^2}|\nabla|\Lambda^{-1}X'\cdot R_jPY^\delta\cdot \partial_jPR_mY^\delta\cdot R_mY^\delta\,dx\Big|\\
&+\Big|\int_{\mathbb{R}^2}|\nabla|\Lambda^{-1}X'\cdot R_jPY^\delta\cdot \partial_jPR_mY^\delta\cdot R_mY\,dx\Big|+\Big|\int_{\mathbb{R}^2}|\nabla|\Lambda^{-1}X'\cdot R_jPY^\delta\cdot \partial_jPR_mY\cdot R_mY^\delta\,dx\Big|\Big]\\
&\lesssim 