u $}_0 \in L^{2}_{\sigma}(\mathbb{R}^{n}) $ qualquer. Este é essencialmente o [Problema de Leray]{} para as equações de Navier-Stokes, com sua versão mais básica dada em (1.4) acima. Outras questões se põem aqui naturalmente; por exemplo, a respeito do comportamento da diferença (ou erro) $ \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) - \mbox{\boldmath $v$}(\cdot,t) $ para $ t \gg 1 $. Na norma $L^{2}\!\;\!$, esta questão sobre o erro foi respondida por Wiegner [@Wiegner1987], tendo-se, para $ t_0 \geq 0 $ qualquer,\
\
$$\tag{1.8}
\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}
\,
t^{\;\! \frac{\scriptstyle n - 2}{\scriptstyle 4}}
\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) -\,
e^{\:\!\nu \:\! \Delta \:\!(t - t_0)}
\;\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}
\:\!=\;
0.$$\
Como com (1.4), uma prova mais simples para (1.8) foi recentemente dada em [@SchutzZinganoZingano2014], supondo $ n \leq 3 $, tendo-se também mostrado os resultados correspondentes a (1.6$b$):\
$$\tag{1.9$a$}
\lim_{t\,\rightarrow\,\infty} \,
t^{\;\! \frac{\scriptstyle n}{\scriptstyle 4}}
\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}}
\:\!=\;
0,$$\
$$\tag{1.9$b$}
\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}
\,
t^{\;\! \frac{\scriptstyle n - 1}{\scriptstyle 2}}
\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) -\,
e^{\:\!\nu \:\! \Delta \:\!(t - t_0)}
\;\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}}
\:\!=\;
0,$$\
em dimensão $ n = 2, 3 $ (cf.$\;$[@SchutzZinganoZingano2014], Section 4). No presente trabalho, vamos estabelecer as estimativas (mais difíceis) correspondentes a (1.6$c$) no 