réduit ainsi à celle des composantes irréductibles du champ $({{{\mathcal}M}}_{g,[m]}[G]/{{\mathrm{Aut}}}(G))_{\overline {{\mathbb Q}}}$ selon les propositions \[prop:irrSpecIrrHur\] et \[prop:galCompIrr\].

Une caractérisation des composantes irréductibles du champ $({{{\mathcal}M}}_{g,[m]}[G]/{{\mathrm{Aut}}}(G))_{\overline {{\mathbb Q}}}$ étant donnée en sections \[sec:brData\] et \[sec:actionGal\], on établit qu’elles sont chacune définies sur ${{\mathbb Q}}$ et donc leur invariance sous l’action de ${{{\mathrm{Gal}}}(\overline{{{\mathbb Q}}}/{{\mathbb Q}})}$. Fixant une telle composante, on construit alors en section \[sec:actionGal\] un $K$-point pour lequel on montre que le calcul de l’action de ${{{\mathrm{Gal}}}(\overline{{{\mathbb Q}}}/{{\mathbb Q}})}$ sur le groupe d’inertie se réduit à celui de l’action de ${{\mathrm{Gal}}}(\bar K/K)$.

Le théorème 3.10 de [@Colg0] et le théorème 6.5 de [@Colg1] sur les classes de conjugaison des mapping class groups impliquent le théorème A respectivement en genre zéro et un et pour la torsion *géométrique d’ordre premier*.

Espaces des modules des courbes avec $G$-automorphisme, invariants de revêtements {#sec:brData}
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Soit $G$ un groupe cyclique fini. Le champs des courbes avec $G$-automorphisme $\mathcal M_{g, [m]}[G]$ n’étant en général pas irréductible, nous introduisons des sous-champs ${{{\mathcal}M}}_{g,[m],\underline{\bf kr}}[G]$ de $\mathcal M_{g, [m]}[G]$ à partir desquels nous caractérisons les composantes irréductibles de ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}[G]/{{\mathrm{Aut}}}(G)$ au paragraphe \[Irreductibilite\].

La construction de ces espaces repose sur les *données de Hurwitz* associées à un $G$-revêtement cyclique 