Hilbertraumes $\cH$ beschrieben werden, die Messgrößen (Observablen) wirken auf diesem Raum durch lineare hermitesche Operatoren $A = A^*$. Operatoren lassen sich addieren, per Komposition multiplizieren und mit komplexen Zahlen skalieren, sie erzeugen durch diese Operationen eine Algebra $\cA$. Die Theorie macht Vorhersagen über Mittelwerte der Messgrößen in vorgegebenen Ensembles, deren Schwankungsquadrate . Sie werden beschrieben durch Erwartungswertfunktionale $\varphi$ auf der Observablenalgebra $\cA$. Diese Funktionale erhält man aus den Hilbertraumzuständen $\Phi$ gemäß der fundamentalen Formel $$\varphi(A) = \langle \Phi, A \Phi \rangle \, ,
\quad A \in \cA \, ,$$ wobei, wie üblich, die eckige Klammer das Skalarprodukt zwischen Hilbertraumvektoren beschreibt. Es ist hier wichtig, dass man umgekehrt aus jedem solchen (linearen und positiven) Erwartungswertfunktional – wir sprechen im Folgenden kurz von Zuständen – einen Hilbertraum und eine konkrete Darstellung der Observablen auf diesem Raum rekonstruieren kann, so dass obige Relation gilt (sogenannte GNS–Konstruktion [@Ha]). Dies ist insbesondere dann von Bedeutung, wenn man Ensembles behandeln möchte, die nicht von vornherein durch Vektoren im vorgegebenen Hilbertraum beschrieben werden können (zum Beispiel ladungstragende Zustände wenn man von neutralen Zuständen ausgeht). Sie lassen sich durch geeignete Grenzwerte der zur Verfügung stehenden Funktionale darstellen. Man kann so den gegebenen Hilbertraum “verlassen” und zu einer konsistenten 