\,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}$$\
*para todo $ \,t > s $, onde $ m = |\;\!\alpha\;\!| $, $ \gamma = m/2 + 3/4 $, e $ \:\!K\!\;\!(m) $ depende apenas de $\;\!m$.*\
\
[[**Prova:**]{} Este resultado é uma consequência direta de (2.5) e (2.14) acima. De fato, tem-se:\
\
$ {\displaystyle
\|\, D^{\alpha} \{\, e^{\;\!\nu \,\!\Delta
(\:\!\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\,\! \mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s) \,\}\,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\leq
} $\
\
$ {\displaystyle
\leq \:
K\!\:\!(m)
\,\;\!
\nu^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{m}{2} }}
(t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{m}{2} }}
\|\: e^{\;\!\nu \,\!\Delta
(\:\!\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})/2}
\,\! \mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s) \,\}\,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
} $ $\;\!$por (2.14)$\;\!$\
\
$ {\displaystyle
\leq \:
K\!\:\!(m)
\,\;\!
\nu^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{m}{2} \,-\, \frac{3}{4} }}
(t - s)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\, \frac{m}{2} \,-\, \frac{3}{4} }}
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\;\!
\|\, D \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\!\;\!
} $. $\;\!$(2.5)$\;\!$\
]{} $ \Box $\
\
Para fins do próximo resultado a ser revisado nesta seção, dado na Proposição 2.3, precisaremos das seguintes desigualdades elementares de Nirenberg-Gagliardo () para funções $ {\displaystyle
\;\!
\mbox{u} \in H^{2}(\mathbb{R}^{3})
} $ quaisquer:\
\
$$\tag{2.16$a$}
\|\: \mbox{u} \:\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \infty}}
\;\!\leq\,
K_{\mbox{}_{\!\;\!0}} \,
\|\: \mbox{u} \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!1/4}
\;\!
\|\: D^{2} \mbox{u} \:
