$n$. Une donnée de Hurwitz géométrique abstraite $ {\bf k}$ pour $G$ à $\nu$ points de branchement est un élément $ {\bf k} \in \left({{\mathbb Z}}/n{{\mathbb Z}}\right)^\nu/\mathfrak S_\nu$, tel que la somme des coordonnées est nulle – l’action de $ \mathfrak S_\nu$ se faisant par permutation des coordonnées.

Étant donné un $G$-revêtement et un isomorphisme $G{\overset{\sim}{\rightarrow}}{\ensuremath{\boldsymbol \mu}}_n$ fixé, pour tout point géométrique $s\in S$, on associe un élément de ${{\mathrm{H}}}^0_{\text{\rm ét}}(\mathcal Y_s, {{\mathrm{R}}}^1 j_* G)$ suivant la définition \[defi:HurwData\], et qui s’identifie canoniquement à $\bigoplus_{y \in B_s} \left({{\mathbb Z}}/n{{\mathbb Z}}\right)$ d’après le lemme \[lem:faisc\]. Le quotient par $\mathfrak{S}_{\nu}$ fournit alors une donnée de Hurwitz abstraite.

\[rem:ConstAndCano\]

1.  *Composantes connexes –*\[ConstanceLocaleDonneeHurwitz\] Étant donnés un corps algébriquement clos $k$, un isomorphisme $G  {\overset{\sim}{\rightarrow}}{\ensuremath{\boldsymbol \mu}}_n$ et une donnée de Hurwitz géométrique abstraite à $\nu$ points de branchements, on définit, pour tout $k$-schéma $S$ le lieu des points $s$ de $S$ tel que $(\mathcal X, \iota)$ possède $ {\bf k}$ comme donnée de Hurwitz géométrique abstraite en $s$. La constance locale du faisceau $h_* {{\mathrm{R}}}^1 j_* G$ implique que celui-ci est ouvert et fermé dans $S$ : c’est une réunion de composantes connexes de $S$.

2.  \[rem:choixCano\] *Données canoniques –* Un ${\ensuremath{\boldsymbol \mu}}_n$-torseur étant 