localement donné par $w^n=\alpha$, le membre de droite de l’équation est constitué de l’ordre des zéros et des pôles de $\alpha$ en chaque point de $B$ modulo $n$. L’action de ${{\mathrm{Aut}}}(G)$ y est donnée par multiplication sur ${{\mathrm{div}}}(\alpha)$ après l’identification canonique ${{\mathrm{Aut}}}(G)=({{\mathbb Z}}/n{{\mathbb Z}})^*$. L’indépendance du choix d’un isomorphisme $\bigoplus_{y \in B_s} {{\mathbb Z}}/n{{\mathbb Z}}{\overset{\sim}{\rightarrow}}\left({{\mathbb Z}}/n{{\mathbb Z}}\right)^\nu$ est alors donné par double passage au quotient, par $\mathfrak S_\nu$ et $({{\mathbb Z}}/n{{\mathbb Z}})^*$.

Réciproquement, pour une donnée de Hurwitz abstraite $\bf  k$ et un isomorphisme $G\simeq {\ensuremath{\boldsymbol \mu}}_n$ fixés, la proposition suivante produit un $G$-revêtement de données de Hurwitz $\bf k$.

Soit ${{{\mathcal}Y}}$ courbe propre et lisse sur $k$ algébriquement clos, $G$ un groupe fini cyclique, $G\simeq {\ensuremath{\boldsymbol \mu}}_n$ un isomorphisme fixé, et $\bf k$ une donnée de Hurwitz géométrique abstraite pour $G$. Alors il existe un revêtement galoisien ${{\mathcal X}}/{{{\mathcal}Y}}$ de groupe $G$ et de donnée de Hurwitz $\bf k$.

Le morphisme ${{\mathrm{R}}}^1 f_* G \to h_* {{\mathrm{R}}}^1 j_* G$ déjà utilisé ci-dessus s’inscrit dans une suite exacte longue donnée par la suite spectrale de Leray : $$0 \to {{\mathrm{R}}}^1 h_* (j_* G) \to {{\mathrm{R}}}^1 f_* G \to h_* {{\mathrm{R}}}^1 j_* G \to {{\mathrm{R}}}^2 h_* (j_* G) \to {{\mathrm{R}}}^2 f_* 