supremo (essencial) de $ \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) $, e similarmente para $ {\displaystyle
\;\!
\|\, D \;\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\,\!
} $, $ {\displaystyle
\;\!
\|\, D^{2} \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\,\!
} $, etc. (Com estas definições, tem-se $ {\displaystyle
\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!\rightarrow\;\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!
} $ ao $ q \rightarrow \infty $, assim como, mais geralmente, $ {\displaystyle
\|\, D^m \:\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{q}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!\rightarrow \;\!
\|\, D^m \:\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!
} $, para todo $m$.)$\:\!$[^4] Ocasionalmente, resulta também conveniente usar a seguinte definição alternativa para a norma do sup de $ \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) $,\
\
$$\tag{1.20}
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \infty}}
=\;
\mbox{ess}\,\sup\; \bigl\{\:
|\,\mbox{\boldmath $u$}(x,t) \,|_{\mbox{}_{2}}
\!\!\:\!: \: x \in \mathbb{R}^{n}
\,\bigr\}.$$\
Podemos também utilizar $ \|\,\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)\,\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^q}}\!\;\!$ no lugar de $\;\! \|\,\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)\,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^q(\mathbb{R}^{n})}}\!\;\!$, etc, por simplicidade. Constantes serão usualmente representadas pelas letras $ C \!\,\!$, $\!\:\!c$, $\!\:\!K$; escrevemos $ \:\!C(\lambda_{\mbox{}_{1}}\!\;\!, ...,
\lambda_{\mbox{}_{\scriptstyle k}})\!\;\! $ para observar que o valor da constante $C$ em questão depende apenas dos parâmetros $ \;\!\{\;\!\lambda_{\mbox{}_{1}}\!\;\!, ...,
\lambda_{\mbox{}_{\scriptstyle k}} \}\;\!$ indicados (a menos que explicitamente mencionado em contrário). Por 