- t_{1} \!\;\!)^{\mbox{}^{\scriptstyle \!\;\!-\, \gamma}}
$$\
para $ t > t_1 > t_0 \geq 0 $ arbitrários, derivada na Seção 3 abaixo, onde $ \gamma = n/4 \;\!+\;\! s/2 $, e $ \:\!K \!= K\!\;\!(n,s) > 0 \;\!$ é uma constante (cujo valor depende apenas dos parâmetros $\;\!n, s $ considerados). Leitores interessados prioritariamente nas novas contribuições do presente trabalho podem neste ponto consultar diretamente os seguintes resultados: Teorema 3.1, Teorema 4.1 (e Lema 4.1), Teorema 5.1 e Teorema A.1 (Apêndice A). Também pode ser conveniente rever rapidamente os Teoremas 4.2 e 4.3 e os resultados revisados na Seção 2 a seguir.\
[\
]{}[**Observação 1.1.**]{} Tomando-se $ s = m $ (inteiro) em (1.10), resulta (por (1.7) e do fato de se ter$\;\!$[^3] $ {\displaystyle
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle \dot{H}^{\!\:\!m}\!\;\!(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!=\;\!
\|\, D^{m} \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\:\!
} $, por Parseval):\
\
$$\tag{1.12$a$}
\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}
\:
t^{\mbox{}^{\scriptstyle \frac{\scriptstyle m}{2} }}
\|\, D^{m} \:\!\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!=\:0,$$\
$$\tag{1.12$b$}
\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}
\:
t^{\mbox{}^{\scriptstyle
\frac{{\scriptstyle n} - 2}{4} \;\!+\;\!\frac{|\;\!{\scriptstyle \alpha}\;\!|}{2}
}}
\;\!
\|\, D^{\alpha} \:\! \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \:\!-\:\!
D^{\alpha} \:\![\:
e^{\:\!\nu \:\!\Delta (t - t_0)} \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0)
\;\!] \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}
\!\;\!=\:0,$$\
para todo $ m \geq 0 $, $ 