sur les ensembles non enlacés qui permettra d’obtenir la seconde assertion de notre énoncé. Nous montrerons qu’il existe des ensembles non enlacés maximaux pour cette relation d’ordre (proposition [\[Prop:existmax\]’]{}) et que les relèvements associés sont sans point fixe (proposition [\[Prop:MaximaFaible\]’]{}) ce qui complète la première assertion.

Justifions maintenant la présence de la troisième. Dans certaines situations où $X$ sépare $M$, il peut apparaître des composantes connexes de $M \setminus X$ homéomorphes à l’anneau $({\mathbb{R}}/{\mathbb{Z}})\times {\mathbb{R}}$. Lorsque cela se produit, il n’y a pas unicité d’un relèvement $\widehat F$ qui commute avec les automorphismes de revêtement. Or en général l’un de ces relèvements présente des propriétés supplémentaires et la troisième assertion du théorème permet de le caractériser. Notre preuve consiste à rechercher un ensemble non enlacé $X$ maximal pour ${\preccurlyeq}$ et il semble raisonnable d’imposer qu’il soit plus grand (pour ${\preccurlyeq}$) que ses sous-ensembles fermés, ce qui correspond à la troisième assertion. Il se trouve que cette condition suffit pour assurer l’unicité du relèvement. En effet, certaines parties fermées $Y \subset X$ ne sépareront pas $M$. On obtiendra alors l’unicité d’un relèvement $\widehat F_Y$ de $F_{|M\setminus Y}$ puis l’unicité d’un relèvement $\widehat F$ de $F_{|M \setminus X}$ plus grand que $\widehat 