\\
        {{{\mathcal}M}}_{g,[m],\mathcal{G}}\ar[r]&{{{\mathcal}M}}_{g,[m]}(G)_ {{{\mathbb C}}}\ar[r]&\left({{{\mathcal}M}}_{g,[m]}\right)_\mathbb{C}
    }$$

L’espace ${{{\mathcal}M}}_{g,[m],\mathcal{G}}$ possède une structure de champ algébrique par le résultat ci-après qui établit une correspondance bijective entre l’ensemble des classes de conjugaison de $G$ dans $\Gamma_{g,[m]}$ et l’ensemble des composantes irréductibles du lieu spécial ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}(G)$.

\[prop:irrIsconj\] Soit $G$ un sous-groupe fini du mapping class group, et $\mathcal{G}$ sa classe de conjugaison dans $\Gamma_{g,[m]}$. Alors le lieu spécial ${{{\mathcal}M}}_{g,[m],\mathcal{G}}$ est un sous-champ algébrique, composante irréductible du champ des lieux spéciaux ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}(G)_{{{\mathbb C}}}\subset \left({{{\mathcal}M}}_{g,[m]}\right)_{{\mathbb C}}$.

Ce résultat d’irréductibilité est établi par S. Broughton [@BRO90] pour les lieux spéciaux d’espace des modules sans points marqués ${{{\mathcal}M}}_g$ et repose sur un théorème de Riemann généralisé de D. Mumford [@MUM67] de type GAGA. Il est étendu aux courbes marquées ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}$ dans [@Cui08].

Composantes irréductibles, actions galoisiennes
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Soit $G$ un sous-groupe fini de $\Gamma_{g,[m]}$ et ${\mathcal}G$ une classe de conjugaison de $G$ dans $\Gamma_{g,[m]}$ fixée. L’étude de l’action de ${{{\mathrm{Gal}}}(\overline{{{\mathbb Q}}}/{{\mathbb Q}})}$ sur ${\mathcal}G$ passe par celle de l’ensemble des composantes irréductibles du normalisé ${\mathcal}M_{g,[m]}[G]/{{\mathrm{Aut}}}(G)$ de ${\mathcal}M_{g,[m]}(G)$ de la façon suivante.

Suivant [@ODA], le choix d’un point base géométrique $x\in ({{{\mathcal}M}}_{g,[m]})_{\bar{{{\mathbb Q}}}}$ ainsi que d’un ${{\mathbb Q}}$-point de ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}$ définit une action du groupe de Galois absolu : $$\label{eq:SFE}
        