${\mathcal}R$ l’ensemble des couples $(X,\widehat F)$ formés :

-   d’un sous-ensemble fermé $X \subset {\operatorname{Fix}}(F)$ ;

-   d’un relèvement $\widehat F$ de $F_{|N_X}$ au revêtement universel $\widehat\pi_X : \widehat N_X \rightarrow N_X$ qui commute avec les automorphismes de ce revêtement.

\[Rem:UniCommu\] Soit $N$ une surface connexe non homéomorphe à l’anneau ${\mathbb A}= {\mathbb{R}}/{\mathbb{Z}}\times{\mathbb{R}}$ ou au tore ${\mathbb T}= {\mathbb{R}}/{\mathbb{Z}}\times {\mathbb{R}}/{\mathbb{Z}}$. Alors le groupe des automorphismes du revêtement universel de $N$ est de centre trivial ([@Epstein66], Lemma 4.3). Si $F$ est un homéomorphisme de $N$, il admet donc au plus un relèvement $\widehat F$ au revêtement universel qui commute avec les automorphismes de revêtement.

Soit $(X,I) \in {\mathcal}I$ une isotopie restreinte. Relevons $I$ à $\widehat N_X$ en une isotopie $\widehat I$ issue de l’identité ${\operatorname{id}}_{\widehat N_X}$. Le temps un de $\widehat I$ est le relèvement $\widehat F_{I}$ associé à $I$ de la restriction $F_{|N_X}$. Or l’identité ${\operatorname{id}}_{\widehat N_X}$ commute avec les éléments du groupe $\widehat G$ des automorphismes du revêtement $\widehat\pi_X : \widehat N_X \rightarrow N_X$. Puisque $\widehat G$ est discret, la propriété de commutation est conservée le long de l’isotopie $\widehat I$ et $\widehat F_I$ commute avec les éléments de $\widehat G$.

\[Def:RelAsso\] Soit $(X,I) \in {\mathcal}I$ une isotopie restreinte. 