из основного текста.

<span style="font-variant:small-caps;">Часть первая, геометрическая</span>

Здесь излагаются основные геометрические понятия и факты про кубильяжи зонотопов. Комбинаторый (теоретико-множественный) взгляд будет дан во второй части. Мы стараемся иллюстрировать все на 2-мерных кубильяжах (ромбических тайлингах), иногда рисовать 3-мерные картины.

Зонотопы {#sec:intr}
========

Естественно начать с напоминаний про зонотопы[^4] и введения терминов. Кубильяж – это, грубо говоря, правильное заполнение (разбиение) выпуклой фигуры ‘кубами’, а точнее говоря – параллелоэдрами.

Что же такое зонотоп? Фиксируем вещественное векторное пространство $V$ (размерности $d>0$) и некоторый конечный набор ${\bf V}=(v_1,...,v_n)$ из $n$ векторов в нем. [*Зонотопом*]{} $Z=Z({\bf  V})$ (порожденным набором ${\bf
V}$) называется сумма по Минковскому $n$ отрезков $[0,v_i]$. Иначе говоря, $Z$ состоит из точек $z$ вида $\sum _i \alpha_i v_i$, где $0\le \alpha _i\le 1$ для любого $i=1,...,n$. Можно также сказать, что зонотоп – это проекция ‘единичного’ $n$-мерного куба, когда базисные вектора пространства ${\mathbb
R}^n$ отправляются в $v_i$. Это выпуклое тело, симметричное относительно точки (центра) $\sum v_i/2$.

Зонотопом мы называем и любой сдвиг зонотопа. Заменяя, если нужно, вектора $v_i$ на $-v_i$, можно считать, что все они ‘смотрят в одну сторону’, если угодно – ‘вверх’ по отношению к некоторой ‘горизонтальной’ гиперплоскости. Такая замена меняет зонотоп на сдвинутый. Но зато теперь наш зонотоп имеет ‘нижнюю’ (корневую) вершину 0 