valores em $ \mathbb{R}^{3} $) em $ L^{2}(\mathbb{R}^{3}) $ com derivadas (espaciais) fracas de ordem até $m$ em $ L^{2}(\mathbb{R}^{3}) $. Um problema básico importante deixado aberto por Leray em 1934 foi (denotando $ {\displaystyle
\;\!
W(t) := \|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}^{\:\!2}
\!\:\!
} $, como em [@Leray1934]):\
\

\
ou seja, se vale (ou não) que\
\
$$\tag{1.4}
\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}
\:
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
=\; 0.$$\
Esta questão somente foi resolvida (positivamente) 50 anos mais tarde por Kato [@Kato1984] e subsequentemente também por outros autores [@KajikiyaMiyakawa1986; @Masuda1984; @Wiegner1987]. Vários desenvolvimentos e extensões importantes de (1.4) vem sendo estabelecidos (ver e.g.$\;$[@BenameurSelmi2012; @BrazLorenzMeloZingano2014; @KreissHagstromLorenzZingano2003; @OliverTiti2000; @SchonbekWiegner1996; @SchutzZinganoZingano2014] e a discussão abaixo). Em particular, uma prova extremamente simples para (1.4) foi obtida em [@SchutzZinganoZingano2014], com base no método em [@KreissHagstromLorenzZingano2003], utilizando somente técnicas já conhecidas em 1934!$\:\!$[^2] $\!$($\,\!$Para uma descrição detalhada do método em [@SchutzZinganoZingano2014], ver [@Perusato2014].)\
Dado $ t_0 \!\geq 0 $, é natural que se tente aproximar as soluções $ \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) $ de (1.1) para $ t > t_0 $ pelas soluções $ {\displaystyle
\mbox{\boldmath $v$}(\cdot,t) =
e^{\nu \:\! \Delta \:\!(t - t_0)} \;\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t_0)
} $ dos problemas lineares associados\
\
$$\tag{1.5}
\mbox{\boldmath 