пути; мы обозначаем его $sp(v)$ и называем [*спектром*]{} вершины $v$. Независимость от выбора пути видна из другого описания $sp(v)$: цвет $i$ входит в $sp(v)$ тогда и только тогда, когда перегородка ${\mathcal P}_i$ проходит ниже вершины $v$ (то есть отделяет $v$ от корневой вершины 0). Заметим также, что $sp(v)$ не зависит и от кубильяжа ${\mathcal Q}$; в самом деле, $$v=\sum _{i\in sp(v)} v_i.$$

Наряду с перегородками можно рассмотреть в каком-то смысле дуальные объекты, называемые [*тоннелями*]{} в кубильяже ${\mathcal Q}$. Зафиксируем подмножество $D$ в $[n]$ размера $d-1$ и соберем вместе множество ${\mathcal T}_D$ кубов, типы которых содержат $D$ (‘тоннель типа $D$’). У каждого куба $Q$ из ${\mathcal T}_D$ есть две фасеты типа $D$. Пусть $F$ – такая фасета; тогда она либо фасета самого зонотопа $Z$, либо по этой фасете наш куб $Q$ смежен другому кубу $Q'$, тоже из ${\mathcal T}_D$. Повторяя это с кубом $Q'$, мы получаем соседний куб $Q''$ и так далее, пока не дойдем до фасеты зонотопа $Z$. (Эта конструкция уже встречалась при доказательстве Леммы 1.) Таким образом, тоннель представляет набор нескольких ‘толстых путей’ (или циклов) внутри кубильяжа. На самом деле легко понять, что тоннель – это связная цепочка кубов, идущих от одной (видимой) части границы $Z$ к другой, невидимой. 