Q} \to {{\bf V} \choose d}$ в множество $d$-элементных подмножеств [**V**]{}.

\[pr:1\] Отображение $\tau $ является биекцией. В частности, число кубов в любом кубильяже равно ${n \choose d}$.

Мы докажем это утверждение в следующем разделе. А пока приведем простое

**Следствие.** *Число вершин любого кубильяжа равно ${n \choose \le
d}$.*

В самом деле, выберем некоторое общее направление проектирования (‘смотрения’) $w$. [Из формулы (1.2) видно, что для каждого куба $Q$ кубильяжа все его вершины, кроме двух, лежат на ободе этого куба. И есть одна ‘внутренняя’ вершина на видимой половине границы $Q$ и, аналогично, одна ‘внутренняя’ вершина на невидимой половине. Обозначим эту последнюю, самую далекую он нас вершину куба как ]{}$h(Q)$. Легко понять, что отображение $h$ (из $\mathcal{Q}$ в множество вершин кубильяжа ${\mathcal Q}$) инъективно. А образ заметает все вершины, кроме вершин на видимой части $\partial _-(Z)$ границы $Z$. При проекции $\pi =\pi _w$ фасеты $\partial_-(Z)$ дают кубильяж зонотопа $Z'=Z(\pi
({\bf V}), d-1)$, у которого, по предположению индукции, ${n \choose d-1}+...+
{n \choose 1}+{n \choose 0}$ вершин. $\Box$

Перегородки {#sec:partit}
===========

Пусть ${\mathcal Q}$ – некоторый кубильяж зонотопа $Z=Z({\bf V})$, где ${\bf
V}=\{v_1,...,v_n\}$. В дальнейшем мы рассмотрим несколько интересных подмножеств в ${\mathcal Q}$ – перегородки, тоннели, гирлянды, стэки, капсиды ... Начнем с перегородок.

