3.  tout lacet $\Gamma \subset N_X$ est librement homotope dans $N_X$ à son image $F(\Gamma)$.

Nous ne démontrons pas que la propriété ${\textrm{(P3)}}$ entraîne la propriété ${\textrm{(P1)}}$. Ce résultat provient d’un théorème difficile dû à D.B.A. Epstein. En effet, $F$ préserve les composantes de $\partial (M \setminus X)$. D’après un théorème de Whitehead ([@Spanier89], Corollary 24 page 405), la propriété ${\textrm{(P3)}}$ entraîne que l’identité et $F$ sont homotopes par une homotopie de paires sur $(M\setminus X,\partial(M\setminus X))$. D’après un théorème d’Epstein ([@Epstein66], Theorem 6.3), il existe donc une isotopie entre l’identité et $F$.

Démontrons les deux autres implications. Si $X$ vérifie la propriété ${\textrm{(P1)}}$, alors il existe une isotopie restreinte $(X,I) \in {\mathcal}I$. On a vu que l’on pouvait lui associer un relèvement $(X,\widehat F) \in {\mathcal}R$ (voir ce qui précède la définition \[Def:RelAsso\]). Ainsi, $X$ vérifie la propriété ${\textrm{(P2)}}$.

Supposons maintenant que $X$ vérifie la propriété ${\textrm{(P2)}}$ et montrons qu’il vérifie alors la propriété ${\textrm{(P3)}}$. Considérons un lacet $\Gamma \subset N_X$ basé en $z$. Soit $\alpha$ un chemin associé à $\widehat F$ issu de $z$ ; il est donc adapté à $X$ d’après la proposition \[Prop:PlusPrecis\]. Le lacet $\Gamma$ est donc homotope à $\alpha.F(\Gamma).\alpha^{-}$ qui est lui-même librement homotope 