Le relèvement $(X,\widehat F_{I}) \in {\mathcal}R$ est appelé *relèvement associé à l’isotopie restreinte $(X,I)$*.

Disposer d’un relèvement $\widehat F$ de $F$ qui commute avec les automorphismes de revêtement assure que les notions suivantes ne dépendent pas du relèvement $\widehat\alpha$ ou $\widehat\phi$ choisi.

\[Def:Associe\] Soit $(X,\widehat F) \in {\mathcal}R$.

1.  Un chemin $\alpha \subset N_X$ est dit *associé à $\widehat F$* s’il se relève à $\widehat N_X$ en un chemin $\widehat\alpha$ dont l’extrémité est image par $\widehat F$ de son origine.

2.  Soit $\phi : [0,1] \times {\mathbb T}\rightarrow N_X$ une homotopie libre entre un lacet $\Gamma \subset N_X$ et son image $F(\Gamma)$. Choisissons un relevé $\widehat\Gamma$ de $\Gamma$ à $\widehat N_X$. L’homotopie libre $\phi$ est dite *associée à $\widehat F$* si elle se relève en $\widehat\phi : [0,1]^2 \to \widehat N_X$ vérifiant : $$\forall t \in [0,1] \qquad
       \widehat\phi(0,t) = \widehat\Gamma(t)
       {\qquad\text{et}\qquad}
       \widehat\phi(1,t) = \widehat F \circ \widehat\Gamma(t).$$

\[Rem:Associe\] Soit $\phi : [0,1] \times {\mathbb T}\to N_X$ une homotopie libre entre un lacet $\Gamma \subset N_X$ et son image $F(\Gamma)$. S’il existe $z_0  = \phi(0,t_0) \in \Gamma$ tel que $\phi(z_0) : s \mapsto \phi(s,t_0)$ soit un chemin associé à $\widehat F$, autrement dit $\widehat\phi(1,t_0) = \widehat F(\widehat\Gamma(t_0)) = \widehat F(\widehat\phi(0,t_0))$, 