que

1.  $\mathcal Y=\mathcal X/G$ est une courbe propre et lisse de genre $g'$ ;

2.  en tout point géométrique $s \to S$ le morphisme $\mathcal X_{s} \to \mathcal Y_{s}$ est ramifié au-dessus d’exactement $\nu_0$ points ;

3.  la donnée de branchement est en tout point égale à $\underline {\bf kr}$.

Notons que $g'$ est omis de la notation $\mathcal M_{g, [m], \underline {\bf kr}}[G]$ puisqu’entièrement déterminé par les autres paramètres.

Les définitions de $\bf k$ et $\bf r$ qui composent la donnée de branchement $\underline{\bf kr}$ s’illustrent explicitement dans le cas des courbes de quotient de genre $0$.

Soit $G$ cyclique d’ordre $n$ et considérons ${{\mathcal X}}\in {\mathcal}M_{g,[m]}[G]$, courbe de genre $g$ munie d’une action de $G$ et d’un diviseur $G$-équivariant $D$, dont on suppose que le quotient ${{\mathcal X}}/G$ est de genre $g'=0$. Notant $\pi\colon{{\mathcal X}}\rightarrow \mathbb P^1$ le $G$-torseur associé, $\pi$ est donnée par une équation $w^n=\alpha$ entre paramètres.

Supposons fixé un isomorphisme $G\simeq {\ensuremath{\boldsymbol \mu}}_n$. Afin de préciser la définition, supposons que $n\neq 3$ et $n\neq 2$, que $\alpha$ se factorise en $\alpha(x)=(x-1)^3(x+1)^2$ sur $\bar{{{\mathbb Q}}}$, et que $D$ est donné par le marquage des points $\pi^{-1}(\{1,2\})$ dans ${{\mathcal X}}$. Alors, le point $1$ (resp. $2$) 