avec un comportement modéré aux points de $D$ (voir aussi [@Biquard91; @J-Z97] en dimension $\geq1$). L’analyse asymptotique qu’il fait de cette métrique au voisinage de $D$ prolonge à ce cadre celle faite par Schmid [@Schmid73] dans le cas des variations de structures de Hodge polarisées, ce qui permet notamment de calculer la cohomologie d’intersection $H^1(X,j_*V^\nabla)$ ($j:X^o\hto X$) comme un espace de cohomologie $L^2$ relativement à $h$ et à une métrique de type Poincaré sur $X^o$, et qui prolonge les résultats de Zucker [@Zucker79] ([@Biquard97], voir aussi [@Bibi01c §6.2], [@Mochizuki07 §20.2], [@J-Y-Z07]). Ceci aboutit à un énoncé analogue à la dégénérescence en $E_1$ de la suite spectrale Hodge $\implique$ de Rham, à savoir le calcul de $\dim H^1(X,j_*V^\nabla)$ en terme de la cohomologie de Dolbeault du fibré de Higgs parabolique associé.

Le cas modérédu théorème \[th:HLT\] est celui où le $\cD_X$-module $\cM$ est à singularités régulières, $\DR\cM=\IC_Z(\cL)[\dim Z]$ avec $Z$ irréductible et $\cL$ simple sur $Z^o$. TMochizuki a résolu ce cas dans [@Mochizuki07] en étendant les méthodes évoquées ci-dessus. La stratégie de la démonstration, qui vaut aussi pour le cas sauvage, c’est-à-dire lorsque $\cM$ est à singularités irrégulières, sera expliquée au §\[sec:strategie\]. Le cas modéré a aussi été résolu par Drinfeld 