Lieux spéciaux de ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}$, espace de modules de courbes avec $G$-automorphismes
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Considérons le cas de courbes hyperboliques de genre $g$ à $m$ points marqués, *i.e.* telles que $2g-2+m>0$, et notons ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}$ *l’espace des modules de courbes à points marqués* qui classifie les familles de courbes de genre $g$ à $m$ points marqués *à permutation près* : ses objets sont donnés par des familles de courbes ${{\mathcal X}}/S$ de genre $g$ sur un ${{\mathbb Q}}$-schéma $S$, i.e. un morphisme $$p:{{\mathcal X}}\to S\text{ propre lisse, où } {{\mathcal X}}\text{ est une courbe de genre } g$$ dont les fibres géométriques ${{\mathcal X}}_s$ sont des courbes connexes de genres $g$, où ${{\mathcal X}}/S$ est muni d’un $m$-*marquage*; i.e. un diviseur de Cartier effectif $D$ étale fini de degré $m$ sur $S$.

Remarquons que cette notion de marquage étend celle de pointage qui définit l’espace des modules de courbes *ordonnées* ${{{\mathcal}M}}_{g,m}$ où les points sont donnés par des sections $(\sigma_i:S\to {{\mathcal X}})_{i=1\dots m}$. La donnée d’un marquage correspond à accepter la permutation des points, puisque $${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}={{{\mathcal}M}}_{g,m}/\mathfrak{S}_m.$$ où le quotient est pris dans la catégorie des champs.

Suivant [@KNUII], les courbes étant hyperboliques, l’espace de modules ${{{\mathcal}M}}_{g,m}$ admet une structure de ${{\mathbb Z}}$-champ algébrique 