directement d’un résultat de théorie de Teichmüller [@Gonzalez92] – voir [@Rom09] pour une preuve purement algébrique.

\[prop:norm\] Le champ ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}[G]/{{\mathrm{Aut}}}(G)$ est le normalisé du champ des lieux spéciaux ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}(G)$.

Le résultat suivant en découle alors immédiatement.

\[prop:irrSpecIrrHur\] Soit ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}(G)$ le champ des lieux spéciaux associé à un groupe $G$ fini. Alors les composantes irréductibles de ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}(G)$ sont en bijection avec celles de ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}[G]/{{\mathrm{Aut}}}(G)$.

Étant donné une courbe $\mathcal X/{{\mathbb C}}$, *via* le choix d’un difféomorphisme de $\mathcal X$ avec la surface de référence de genre $g$ et $m$-marquée, on définit un homomorphisme injectif $\theta\colon{{\mathrm{Aut}}}_{{\mathbb C}}(\mathcal X) \to \Gamma_{g, [m]}$. Le choix d’un autre difféomorphisme s’obtient en conjuguant l’image de $\theta$ dans $\Gamma_{g, [m]}$. Par suite, si $\mathcal G$ est la classe de conjugaison dans $\Gamma_{g, [m]}$ d’un sous-groupe isomorphe à $G$, alors la condition ${{\mathrm{Aut}}}_{{\mathbb C}}(\mathcal X)\in \mathcal G$ est indépendante de tous les choix.

\[defi:lieuSpec\] On nomme lieu spécial de $\mathcal{G}$, et on note ${{{\mathcal}M}}_{g,[m],\mathcal{G}}$, la sous-catégorie de ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}(G)$ fibrée en groupoïde sur $Sch/\mathbb{C}$ classifiant les objets dont les fibres ${{\mathcal X}}_s$ vérifient ${{\mathrm{Aut}}}({{\mathcal X}}_s)\in \mathcal{G}$.

Notant $\mathcal Z$ une composante irréductible de $({{{\mathcal}M}}_{g,[m]}[G]/{{\mathrm{Aut}}}(G))_{\mathbb{C}}$, la discussion précédente se résume alors par le diagramme suivant : $$\xymatrix{
        \mathcal Z\ar[d]\ar[r]&({{{\mathcal}M}}_{g,[m]}[G]/{{\mathrm{Aut}}}(G))_{\mathbb{C}}\ar[d] & 