$N_X$ est connexe[^3], le relèvement $\widehat F$ de $F_{|N_X}$ qui envoie l’origine de $\widehat\alpha$ sur son extrémité commute avec les automorphismes du revêtement universel $\widehat\pi_X : \widehat N_X \rightarrow N_X$. Le chemin $\alpha$ est alors associé à $\widehat F$ et $(X, \widehat F)$ appartient à ${\mathcal}R$.

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1.  On suppose qu’il existe $(X, \widehat F) \in {\mathcal}R$. Soit $\alpha$ un chemin de $N_X$ associé à $\widehat F$ ; choisissons un relèvement $\widehat \alpha \in \widehat N_X$ de $\alpha$ et notons $\widehat z$ son origine. Son extrémité est donc $\widehat F(\widehat z)$. Considérons un lacet $\gamma \subset N_X$ basé en $z$ et relevons-le en un chemin $\widehat \gamma \subset \widehat N_X$ d’origine $\widehat z$. Il existe un unique automorphisme de revêtement $\widehat T$ tel que l’extrémité de $\widehat\gamma$ soit $\widehat T(\widehat z)$. Le chemin $\widehat F(\widehat\gamma)$ a pour origine $\widehat F(\widehat z)$ et pour extrémité $\widehat F \circ \widehat T(\widehat z)$ qui n’est autre que $\widehat T \circ \widehat F(\widehat z)$, extrémité du chemin $\widehat T(\widehat\alpha)$. On peut donc concaténer les chemins $\widehat\alpha$, $\widehat F(\widehat\gamma)$ et $\bigl( \widehat T(\widehat\alpha)\bigr)^{-}$. On obtient un chemin de mêmes extrémités $\widehat z$ et $\widehat T(\widehat z)$ que $\widehat\gamma$ ; il est donc homotope à 