On définit dans [@MS 8.3] le support supercuspidal d’une représentation irréductible de $\G_m$. On montre que le support supercuspidal d’une représentation banale est égal à son support cuspidal.

Nous pouvons maintenant énoncer les théorèmes de classification contenus dans cet article. Soit $\Delta=\left[a,b\right]_\rho$ un segment banal. Alors la représentation induite : $$\rho\nu_\rho^a\times\dots\times\rho\nu_\rho^b$$ possède une unique sous-représentation irréductible, notée $\Z(\Delta)$, et un unique quotient irréductible, noté $\L(\Delta)$ (voir la proposition \[segm\]). Le résultat principal de cet article est le double théorème de classification suivant.

\[Z21\]

1.  Soient $\Delta_1,\dots,\Delta_r$ des segments tels que, pour tous $i<j$, le segment $\Delta_i$ ne précède pas $\Delta_j$ et tels que le multisegment $\m=\Delta_1+\dots+\Delta_r$ soit banal. Alors : $$\label{ZDi}
    \Z(\Delta_1)\times \dots \times \Z(\Delta_r)$$ admet une unique sous-représentation irréductible, ne dépendant que de $\m$ et notée $\Z(\m)$. Elle est banale et sa multiplicité comme sous-quotient de (\[ZDi\]) est égale à $1$.

2.  L’application $\m\mapsto\Z(\m)$ définit une bijection entre multisegments banals de degré $n$ et classes d’isomorphisme de représentations irréductibles banales de $\G_n$.

\[Z22\]

1.  Soient $\Delta_1,\dots,\Delta_r$ des segments tels que, pour tous $i<j$, le segment $\Delta_i$ ne précède pas $\Delta_j$ et tels que le multisegment $\m=\Delta_1+\dots+\Delta_r$ soit banal. Alors : $$\label{LDi}
    \L(\Delta_1)\times \dots \times \L(\Delta_r)$$ admet un unique quotient 