(\:\![\, \mbox{\small $T$}_{\!\:\!\ast\ast}\!\;\!,
 \infty \:\!), L^{2}(\mathbb{R}^{3})\:\!)
\;\!
} $ para cada $ \:\! m \geq 1 $. Este fato permite simplificar significativamente o argumento desenvolvido para (1.10)$\,-\,$(1.12) mais adiante. Outros resultados importantes referem-se à projeção de Helmholtz de $ {\displaystyle
-\,
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)
\!\;\!\cdot\!\;\! \nabla \:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)
} $ em $ L^{2}_{\sigma}(\mathbb{R}^{3}) $, ou seja, o campo $ \:\!\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,t) \in L^{2}_{\sigma}(\mathbb{R}^{3}) \:\!$ dado por\
\
$$\tag{2.4}
\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,t)
\;\! := \;
-\:
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)
\!\;\!\cdot\!\;\! \nabla \:\!
\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t)
\,-\;\! \nabla \:\!p\:\!(\cdot,t),
\qquad
\mbox{a.e. }\;\! t > 0.$$ As estimativas que precisaremos de $ \:\!\mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,t) \in L^{2}_{\sigma}(\mathbb{R}^{3}) \:\!$ acima são revisadas a seguir. [\
]{}[**Proposição 2.1.**]{} *Para quase todo $ \;\! s > 0 $ $($e todo $\;\!s \geq \mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast\ast})$, tem-se*\
\
$$\tag{2.5}
\|\: e^{\;\!\nu \,\!\Delta
(\:\!\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\,\! \mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\leq\:
K \,
\nu^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\,\frac{3}{4} }}
\:\!
( t - s )^{\mbox{}^{\scriptstyle \! -\,\frac{3}{4} }}
\:\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}$$\
*para todo $ \,t > s $, onde $ \:\!K \!\:\!=\:\! (\:\! 8 \:\!\pi )^{-\,3/4} \!\:\!$.*\
[\
]{}[[**Prova:**]{} O argumento a seguir é adaptado de [@KreissHagstromLorenzZingano2002; @KreissHagstromLorenzZingano2003]. Seja $ 