;

3.  pour tout sous-ensemble fermé $Y \subset X$, il existe un relèvement $\widehat F_Y$ de la restriction $F_{|M \setminus Y}$ au revêtement universel $\widehat\pi_Y : \widehat N_Y \rightarrow M \setminus Y$ de $M \setminus Y$ vérifiant :

    1.  $\widehat F_Y$ commute avec les automorphismes du revêtement universel de $M \setminus Y$ et fixe les antécédents par $\widehat \pi_Y$ des points de $X \setminus Y$ ;

    2.  tout chemin de $\widehat N_X$ joignant un point $\widehat x \in \widehat N_X$ à son image $\widehat F(\widehat x)$ se projette sur $M$ en un chemin dont tout relèvement à $\widehat N_Y$ issu d’un point $\widehat y$ a pour extrémité $\widehat F_Y(\widehat y)$.

Justifions la présence des différentes conditions qui apparaissent dans cet énoncé. On notera ${\operatorname{Fix}}(I)$ l’ensemble des points fixes le long d’une isotopie $I$. Une idée pour obtenir le relèvement $\widehat F$ est de construire une isotopie $I = (F_t)_{t \in [0,1]}$ entre l’identité et $F$ et de considérer $X = {\operatorname{Fix}}(I)$. En effet, l’isotopie restreinte $\bigl((F_t)_{|M\setminus X}\bigr)_{t \in [0,1]}$ se relève au revêtement universel de $M \setminus X$ en une isotopie $(\widehat F_t)_{t \in [0,1]}$ issue de l’identité de temps un le relèvement $\widehat F = \widehat F_1$ de $F_{|M 