d’une *métrique harmonique*, voir le dictionnaire du §\[sec:dictionnaire\]). Pour une variation de structure de Hodge polarisée, c’est la structure qui reste lorsqu’on ne garde que la connexion plate et la métrique hermitienne de polarisation. Sous la seule hypothèse de semi-simplicité de $(V,\nabla)$ ou, de manière équivalente, du faisceau localement constant $V^\nabla$, le cas lisse du théorème \[th:HLT\] provient de l’existence, due à Corlette [@Corlette88], d’une métrique dite *harmonique* pour $(V,\nabla)$ (le cas où $(V,\nabla)$ est unitaire ou, plus généralement, une variation de structure de Hodge polarisée, en étant un cas très particulier). On peut en effet développer dans ce cadre la théorie harmonique du laplacien et obtenir les identités de Kähler, qui conduisent au théorème \[th:HLT\] (voir [@Simpson92]). Il faut noter que l’hypothèse de semi-simplicité de $V^\nabla$ est importante, et il est facile de donner un exemple où \[th:HLT\] est en défaut sans cette hypothèse: sur une courbe de genre $g\geq2$, toute extension non triviale $\cL$ du faisceau constant $\CC$ par un système local non constant de rang $1$ satisfait à $\dim H^0(X,\cL)\neq\dim H^2(X,\cL)$.

Nonobstant la remarque \[rem:H0\], Simpson [@Simpson90] a montré, dans le cas où $X$ est une courbe, l’existence d’une métrique harmonique $h$ pour $(V,\nabla)$ sur $X^o\subset X$, 