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address: |
    Centre de Mathématiques Laurent Schwartz\
    École Polytechnique\
    91128 Palaiseau Cedex
author:
- Claude SABBAH
date: Janvier 2012
subtitle: 'd’après T. Mochizuki'
title: 'Théorie de Hodge et correspondance de Hitchin-Kobayashi sauvages'
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Introduction: le théorème de Lefschetz difficile {#introduction-le-théorème-de-lefschetz-difficile .unnumbered}
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### Les $\cD$-modules holonomes simples {#les-cd-modules-holonomes-simples .unnumbered}

Soient $Z^o$ une variété quasi-projective lisse complexe irréductible et $(V,\nabla)$ un fibré vectoriel algébrique muni d’une connexion intégrable (sans courbure), sans sous-fibré propre stable par la connexion (simple). C’est le type d’objet auquel on s’intéresse dans cet exposé. Choisissons une compactification projective $j:Z^o\hto Z$ et un plongement de $Z$ dans une variété projective lisse $X$. Il est connu qu’un tel $(V,\nabla)$ se prolonge de manière unique en un $\cD_X$-module ($\cO_X$-module avec connexion intégrable $\nabla$) holonome simple à support dans $Z$ et qu’on obtient ainsi tous les $\cD_X$-modules holonomes simples à support dans $Z$, lisses sur $Z^o$.

Pour un tel $\cD_X$-module $\cM$, le complexe de de Rham analytique $$\DR\cM:=(\Omega_{X^\an}^{\cbbullet+\dim X}\otimes\cM,\nabla)$$ est à cohomologie $\CC$-constructible, d’après un théorème de Kashiwara. Plus précisément, c’est un *faisceau pervers*.

Quels sont les faisceaux pervers qu’on obtient de cette manière? On ne connaît pas la réponse à cette question. Néanmoins, on sait [@Kashiwara84; @Mebkhout84; @Mebkhout84b] que 