этих понятий можно обратиться к доказательству формулы (1.2). Зонотоп $Z=Z(\mathbf{V})$ представляется как сумма зонотопа $\widetilde{Z}=Z(\mathbf{V}-\{v_n\})$ и отрезка $[0,v_n]$. При этом его вершины делятся на видимые и невидимые. Но видимые вершины (относительно направления $v_n$) зонотопа $\widetilde{Z}$ те же, что видимые вершины зонотопа $Z$; аналогично для невидимых (точнее, видимых с противоположного направления). Единственная разница состоит в том, что в пером случае эти два множества не пересекаются, тогда как во втором – пересекаются, причем в точности по множеству вершин обода (зонотопа $\widetilde{Z}$ в направлении $v_n$.). Отсюда мы получаем соотношение $$V(n,d)=V(n-1,d)+V(n-1,d-1).$$ Учитывая правило Паскаля, остается только убедиться в справедливости формулы (1.2) в случаях $d=1$ и $d=n$. В первом случае правая часть равна $2{n-1
\choose 0}=2$, что согласуется с тем, что отрезок имеет две вершины. Во втором случае правая часть равна $2{d-1 \choose \le d-1}=2(2^{d-1})=2^d$, что согласуется с тем, что $d$-мерный куб имеет $2^d$ вершин.

Кубильяжи  {#sec:cubil}
==========

Кубильяж (или кубический, гиперромбический, параллелоэдральный тайлинг) – это правильное замощение (разбиение, paving, tiling) зонотопа (или другого многогранника) кубами. Точнее:

[*Кубильяж*]{} ${\mathcal Q}$ зонотопа $Z$ – это множество $d$-мерных кубов (см. выше) $Q_1,...,Q_N$ (называемых плитками, тайлами или просто *кубами*), покрывающих $Z$, причем выполнены два условия:

1\) два куба могут пересекаться только по общей грани;

2\) фасеты зонотопа $Z$ 