границе зонотопа, вокруг него есть много кубов, ребра которых конгруэтны $E$. Переходя от одного такого куба к другому, мы рано или поздно выйдем на границу зонотопа. А тогда все следует из свойства 2) определения кубильяжа.

В частности, любой куб $Q$ кубильяжа конгруэнтен кубу-зонотопу $Z({\bf W})$, где ${\bf W}$ – $d$-элементное подмножество в $\mathbf{V}$. Множество индексов (или *цветов*; так мы понимаем элементы индексирующего множества $[n]=\{1,...,n\}$) этого подмножества ${\bf W}$ называется [*типом*]{} этого куба. Иными словами, тип куба $Q$ – это подмножество $\{i_1,...,i_d\}$ в $[n]$, такое что куб $Q$ есть сдвиг куба-зонотопа $Z(v_{i_1},...,v_{i_d})$.

Аналогично понимается тип грани кубильяжа. В частности, тип ребра кубильяжа – одноэлементное подмножество $\{i\}$ в $[n]$. Мы ориентируем каждое ребро кубильяжа в направлении вектора $v_i$. Направленный путь из нижней вершины 0 в верхнюю вершину $v([n])$, идущий по ребрам кубильяжа, мы называем [*змейкой*]{}. Как мы увидим далее, в змейке ребро цвета $i$ встречается ровно один раз. Если $c(i)$ – цвет $i$-го ребра-стрелки некоторой змейки, то мы получаем биекцию $[n]$ в $[n]$, то есть перестановку множества $[n]$. Эту перестановку можно понимать также как линейный порядок на $[n]$, в котором минимальным элементом яаляется цвет первого ребра змейки.

Сопоставление кубу $Q$ кубильяжа ${\mathcal Q}$ его типа задает отображение $\tau =\tau _{\mathcal Q}: {\mathcal 