$\Delta=\left[a',b'\right]_{\rho}$ deux segments vérifiant la condition $0\<a,b,a',b'\<t$. On écrit : $$\Delta>\Delta'$$ si $a > a'$, ou bien si $a=a'$ et $b>b'$.

On écrit aussi $\Delta\>\Delta'$ si $\Delta > \Delta'$ ou $\Delta=\Delta'$. La relation $\>$ est une relation d’ordre dépendant des choix de $\rho$ et $t$.

 {#ConnBanaMult}

Soit $\sss\in\Dive(\Cusp)$ un support *connexe et banal*. On va prolonger l’ordre sur les segments en un ordre total sur $\MS(\sss)$. D’abord, il existe une représentation irréductible cuspidale $\rho$ (unique à isomorphisme près) et un unique entier $0\<t\<e(\rho)-1$ tels que : $$\supp(\sss)=\sy{\rho }+\sy{\rho\nu_\rho^{}}+\dots+\sy{\rho\nu_\rho^t}.$$ Comme $\sss$ est banal, chaque terme de cette somme apparaît avec multiplicité $1$, qu’on a $\cCO{\sss}=\left\{\sy{\rho},\sy{\rho\nu_\rho^{}},\dots,\sy{\rho\nu_\rho^t}\right\}$.

On appelle *forme ordonnée* d’un multisegment $\m\in \MS(\sss)$ l’unique famille : $$(\Delta_1,\dots,\Delta_r)$$ de segments tels que $\m=\Delta_1+\dots+\Delta_r$ et $\Delta_1\>\Delta_2\>\dots\>\Delta_r$. Si le support $\sss$ n’est pas banal ou n’est pas connexe, la forme ordonnée de $\m$ peut ne pas exister ou ne pas être unique.

On étend maintenant la relation $\>$ aux multisegments de support $\sss$.

Soient $\m$ et $\m'$ des multisegments de support $\sss$, et soient $(\Delta^{}_1,\dots,\Delta^{}_r)$ et $(\Delta'_1,\dots,\Delta'_{r'})$ leurs formes ordonnées respectives. On écrit : $$\m>\m'$$ si l’on est dans l’un des cas suivants :

1.  Il existe $1\<i<{\rm min}(r,r')$ tel que $\Delta_1^{}=\Delta'_1,\dots,\Delta_i^{}=\Delta'_i$ et $\Delta_{i+1}^{}>\Delta'_{i+1}$.

