changement de base lisse en cohomologie étale implique que le faisceau $h_* {{\mathrm{R}}}^1 j_* G$ est constructible. Le résultat découle ici d’une description explicite du faisceau.

Considérons le spectre $S$ d’un corps algébriquement clos et fixons un isomorphisme $G {\overset{\sim}{\rightarrow}}{\ensuremath{\boldsymbol \mu}}_n$. On montre alors que la suite exacte de Kummer donne une suite exacte $$1\to j_*{\ensuremath{\boldsymbol \mu}}_n\to j_*{\ensuremath{\mathbb G}}_m\to j_*{\ensuremath{\mathbb G}}_m\to {{\mathrm{R}}}^1j_*{\ensuremath{\boldsymbol \mu}}_n\to 1,$$ la surjectivité de la dernière flèche provenant de [@EGA4]\[21.6.9\] par lissité de la courbe ${\mathcal}Y$. D’autre part, le morphisme $$\begin{array}{ccc}
                j_* {\ensuremath{\mathbb G}}_m & \to & \displaystyle\bigoplus_{y \in B} i_{y*} {{\mathbb Z}}/n{{\mathbb Z}}\\
                \alpha & \mapsto & (v_y(\alpha))_y
            \end{array}$$ où $i_y$ désigne l’inclusion $y \to \mathcal Y$ et $v_y$ la valuation normalisée sur l’anneau local ${{{\mathcal}O}}_{\mathcal Y, y}$, est nul sur les puissances $n$-ième. Ceci induit un isomorphisme $${{\mathrm{R}}}^1 j_* {\ensuremath{\boldsymbol \mu}}_n {\overset{\sim}{\rightarrow}}\displaystyle\bigoplus_{y \in B} i_{y*} {{\mathbb Z}}/n{{\mathbb Z}}\\$$ puis l’isomorphisme recherché $$\label{IsomHurwitz}
            {{\mathrm{H}}}^0_{\text{\rm ét}}(\mathcal Y, {{\mathrm{R}}}^1 j_* G) {\overset{\sim}{\rightarrow}}\bigoplus_{y \in B_s} \left({{\mathbb Z}}/n{{\mathbb Z}}\right).$$

\[rem:nonCan\] Il est important de noter *la non-canonicité* de l’isomorphisme . En effet, les changements d’isomorphisme $G {\overset{\sim}{\rightarrow}}{\ensuremath{\boldsymbol \mu}}_n$ induisent par fonctorialité une action de ${{\mathrm{Aut}}}(G)$ sur le membre de gauche de l’équation \[IsomHurwitz\][^1].

\[defi:DataHurwitz\] Soit $G$ un groupe cyclique d’ordre 