и ‘верхнюю’ вершину $v_1+...+v_n$.

Простейший пример зонотопа – это *куб* (точнее – параллелоэдр, но мы для краткости именуем его кубом). Это когда система $v_1,...,v_n$ образует базис пространства $V$ (в этом случае $n=d$). Далее мы будем заниматься заполнениями зонотопов кубами.

Довольно легко описать грани зонотопа (которые тоже зонотопы меньшей размерности; [см. [@Zbook гл. 7] о кодировке граней знаковыми векторами]{}). Мы еще более облегчим эту задачу. Во первых, мы будем считать, что система [**V**]{} находится в *общем положении*, то есть что $n\ge d$ и что любые $d$ векторов из системы [**V**]{} образуют базис пространства $V$. Далее это предположение всюду подразумевается, в основном по той причине, что мы будем заниматься кубильяжами $Z$. Во вторых, мы ограничимся описанием только фасет (граней коразмерности 1) зонотопа $Z$. Понятно, что фасеты такого ‘общего’ зонотопа будут кубами размерности $d-1$.

Чтобы задать фасету, мы фиксируем произвольные $d-1$ вектор $w_1,...,w_{d-1}$ (подсистему [**W**]{}) в нашей системе [**V**]{}. Пусть $H_{\bf W}$ – гиперплоскость в $V$, натянутая на [**W**]{}. Она делит оставшиеся точки-вектора [**V**]{}-[**W**]{} на две части, скажем, ${\bf V}_+$ и ${\bf V}_-$. Это дает две (противоположные друг другу) фасеты зонотопа $Z$. Одна образована зонотопом-кубом $Z({\bf W})$, укорененным в точке $\sum  {\bf      V}_+$, а другая – тем же зонотопом, но укорененным в точке 