holomorphe sur $\Delta^*$.}$$ Posons $\varphi(z)=\partial_z\psi(z)+\alpha/z$ avec $\psi\in\cO(\Delta^*)$ sans terme constant et $\alpha\in\CC$. Posons aussi $\norme{\epsilon}_h=\exp(\eta(z))$ où $\eta$ est réelle et $C^\infty$ sur $\Delta^*$. On peut vérifier que la condition d’harmonicité de $(E,\theta,h)$ équivaut au fait que la fonction $\eta$ est *harmonique* sur $\Delta^*$. Elle s’écrit donc $\reel\gamma(z)-a\log|z|$ avec $\gamma$ holomorphe sur $\Delta^*$ et $a\in\RR$. Remplaçant $\epsilon$ par $e=\exp(-\gamma(z))\cdot \epsilon$, on peut supposer que $\eta(z)=-a\log|z|$ avec $a\in\RR$, et on a alors $\norme{e}_h=|z|^{-a}$. On a ainsi obtenu un couple $(\psi,\gu)$.

On calcule ensuite que $v:=|z|^{-2\ov\alpha}\exp(\psi-\ov\psi)\cdot e$ est une base holomorphe du fibré plat $V$ associé, de norme $\norme{v}_h=|z|^{-a-2\reel\alpha}$. De plus, $$\theta e=(z\partial_z\psi+\alpha)\frac{\rd z}{z}\otimes e,\quad \nabla v=(2z\partial_z\psi+\ge(1,\gu))\frac{\rd z}{z}\otimes v,\quad\ge(1,\gu):=-a+2i\im\alpha.$$ Soient $\epsilon'$ une autre base holomorphe de $E$, et $e'$ construite comme plus haut avec $\Vert e'\Vert_h=|z|^{-a'}$ pour un certain . D’où un couple $(\psi',\gu')$. Alors $e'=\nu(z)e$ avec $\nu(z)$ holomorphe et à croissance modérée, donc méromorphe, d’où $a'-a\in\ZZ$. Le champ de Higgs a la même expression dans les bases $e$ et $e'$, ce qui implique $\psi=\psi'$ et $\alpha=\alpha'$.

Posons maintenant, pour tout $\hb\in\CC$ fixé, $$\label{eq:pe}
\gp(\hb,\gu)=a+2\reel(\ov\alpha\hb),\quad\ge(\hb,\gu)=\alpha-a\hb-\ov\alpha\hb^2,\quad\text{et}\quad v^\hb= e^{\ov\hb\psi-\hb\ov\psi}|z|^{-2\ov\alpha\hb}\cdot e.$$ Alors $v^\hb$ est une base holomorphe de $V^\hb$, de norme $\Vert v^\hb\Vert_h=|z|^{-\gp(\hb,\gu)}$ et $$\label{eq:vhb}
\nabla^\hb v^\hb=((1+|\hb|)^2z\partial_z\psi+\ge(\hb,\gu))\frac{\rd z}{z}\otimes v^\hb.$$

Revenons à la situation générale. Ces deux 