Потому что каждый тоннель типа $D$ пересекает каждую перегородку ${\mathcal P}_i$ (где $i\notin
D$) ровно по одному кубу (типа $Di$). И состоит ровно из $n-d+1$ куба.

Теперь обратимся к доказательству Предложения 1. Оно проводится индукцией по $d$; при $d=1$ утверждение тривиально. Пусть теперь $d>1$. Возьмем некоторую $d$-шку $D\subset [n]$ и покажем, что существует, и при том ровно один, куб $Q$ типа $D$ в нашем кубильяже ${\mathcal Q}$. Для этого выберем один из цветов (скажем, $i$) в $D$ и рассмотрим перегородку ${\mathcal P}_i$ цвета $i$. Пусть $\pi _i:Z \to Z'=\pi _i(Z)$ – проекция вдоль вектора $v_i$. Как было сказано выше, проекция перегородки ${\mathcal P}_i$ дает кубильяж $\pi_i({\mathcal P}_i)$ зонотопа $Z'$. По индукции у него есть единственный куб $Q'$ (размерности $d-1$) типа $D-i$. Куб $Q$ из перегородки ${\mathcal P}_i$, проектирующийся на $Q'$, имеет тип $(D-i)\cup  \{i\}=D$. Это доказываент существование и единственность куба типа $D$. $\Box$

Примерно так Шеппард [@She] получал формулу для числа кубов кубильяжа зонотопа (см. Предложение 1).

Редукции и экспансии
====================

Продолжим получать следствия структуры перегородок. Снова временно (и для наглядности) мы считаем, что вектор $v_i$ (произвольного цвета) идет вертикально вверх, так что мы смотрим на зонотоп $Z$ снизу вверх. Перегородка ${\mathcal P}={\mathcal P}_i$ делит $Z$ на три части: собственно 