3) para mostrar que a escolha particular de $\;\!t_0 \!\;\!\geq 0 \;\!$ ao se definir as aproximações (1.5) não é relevante com respeito às propriedades (1.10$b$), (1.12$b$). Convém também generalizar a estimativa (2.5) para derivadas de ordem superior. No caso da equação do calor, será útil lembrarmos a seguinte estimativa (bem conhecida):\
\
$$\tag{2.14}
\|\, D^{\alpha} \:\![\,
e^{\;\!\nu \:\!\Delta \tau} \,\!
\mbox{u} \,]\,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{n})}}
\;\!\leq\;
K\!\;\!(n,\:\!m)
\;
\|\: \mbox{u} \:
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{r}(\mathbb{R}^{n})}}
\:\!
(\;\!\nu \;\!\tau\:\!)^{\mbox{}^{\scriptstyle
\!\! -\, \frac{\scriptstyle n}{2}
\left( \frac{1}{\scriptstyle r} \;\!-\;\! \frac{1}{2} \right)
\,-\, \frac{|\:\!{\scriptstyle \alpha}\:\!|}{2} }}
$$\
para todo $ \tau > 0 $, e quaisquer $ \alpha $ (multi-índice), $ 1 \leq r \leq 2 $, $ \mbox{u} \in L^{r}(\mathbb{R}^{n}) $ considerados, $ n \geq 1 $ arbitrário, e onde $ \;\!m = |\;\!\alpha\:\!| $. ($\:\!$Para uma derivação de (2.14), ver e.g.$\;$[@KreissLorenz1989; @LorenzZingano2012].) [**Proposição 2.2.**]{} *Para quase todo $ \;\! s > 0 $ $($e todo $\;\!s \geq \mbox{\small $T$}_{\!\;\!\ast\ast})$, tem-se*\
\
$$\tag{2.15}
\|\, D^{\alpha} \{\, e^{\;\!\nu \,\!\Delta
(\:\!\mbox{\footnotesize $t$} \;\!-\, \mbox{\footnotesize $s$})}
\,\! \mbox{\boldmath $Q$}(\cdot,s) \,\}\,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\leq\:
K\!\;\!(m) \,\;\!
\nu^{\mbox{}^{\scriptstyle \!-\,\gamma }}
\:\!
( t - s )^{\mbox{}^{\scriptstyle \! -\,\gamma}}
\:\!
\|\, \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) \,
\|_{\mbox{}_{\scriptstyle L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}
\:\!
\|\, D \mbox{\boldmath $u$}(\cdot,s) 