> 1$ (1b)
-----------------------------------------

$${\cal R}_2(\zeta,\vec{K}) =\frac{\epsilon}{4t\pi\cos(K_y/2)}
\frac{K(r_1)}{\sqrt{(q_+-1)(q_-+1)}} ,
\label{one}$$

where $\epsilon=+$ for (1a) and $\epsilon =-$ for (1b).

$q_-<-1, q_+>1$ or $q_-,q_+ \in [-1,1]$
---------------------------------------

$${\cal R}_2(\zeta,\vec{K}) =\frac{-i}{4t\pi|\cos(K_y/2)|}
\frac{K(r_2)}{\sqrt{(q_++1)(1-q_-)}} .\label{two}$$

$q_-<-1,q_+\in[-1,1]$ (3a)\
or $q_-\in[-1,1],
q_+ > 1$ (3b)
---------------------------

$$\begin{aligned}
{\cal R}_2(\zeta,\vec{K}) &=&\frac{\epsilon}{4t\pi\cos(K_y/2)}
\frac{K(1/r_1)}{\sqrt{2(q_+-q_-)}}\nonumber\\
&&
-\frac{i}{4t\pi|\cos(K_y/2)|}
\frac{K(1/r_2)}{\sqrt{2(q_+-q_-)}},
\label{three}\end{aligned}$$

where $\epsilon=+$ for (3a) and $\epsilon =-$ for (3b). In the above, $r_1$ and $r_2$ are given by $$r_1=\sqrt{\frac{2(q_+-q_-)}{(q_+-1)(q_-+1)}},~~~~~
r_2=\sqrt{\frac{2(q_+-q_-)}{(q_++1)(1-q_-)}}.
\label{rs}$$

A.F. Andreev, in: [*Progress in Low Temperature Physics*]{}, Vol. 8 (D.F. Brewer, ed.), North Holland, Amsterdam, 1982. A.F. Andreev and I.M. Lifshitz, Zh. Exp.Teor. Fiz. 2057 (1969) \[Sov. Phys. JETP [**29**]{} 1107 (1969)\]. T. Matsubara and H. Matsuda, Prog. Theor. Phys. [**16**]{} 569 (1956); H. Matsuda and T. Matsubara, Prog. Theor. Phys. [**17**]{} 19 (1957). G.A. Lengua and J.M. Goodkind, J. Low Temp. Phys. 251 (1990). K. Huang, [*Statistical Mechanics*]{} (2nd edition), Wiley, New York, 1987. R.L. Siddon and M. Schick, Phys. Rev. A [**9**]{} 907 (1974); W.G. Gibson, Mol. Phys. [**49**]{} 103 (1983). G.E. Uhlenbeck and E. Beth, Physica [**3**]{} 729 (1936). S. Steel, to be published J.J. Rehr and M. Tejwani, Phys. Rev. B [**20**]{} 345 (1979). T. Morita and T. Horiguchi, J. Math. Phys. [**12**]{} 986 (1971). 