$\cD$-modules de Hodge polarisables ou par restriction à $\hb=1$ de $\cD$-modules avec structure de twisteur polarisable satisfont au théorème de Lefschetz difficile.

4.  \[enum:programme4\] Les résultats du sont obtenus par la méthode de pinceaux de Lefschetz. On se ramène ainsi à les montrer dans le cas des courbes.

    -   Pour les $\cD$-modules de Hodge polarisables [@MSaito86], on s’appuie sur les théorèmes calculant la cohomologie $L^2$ obtenus par Zucker [@Zucker79], car la restriction d’un tel $\cD$-module filtré à un ouvert de Zariski dense de la courbe n’est autre qu’une variation de $\QQ$-structure de Hodge polarisable.

    -   Pour les $\cD$-modules avec structure de twisteur polarisable, on commence par remarquer que la restriction à un ouvert de Zariski dense fournit, par le dictionnaire du §\[sec:dictionnaire\], un fibré holomorphe plat avec métrique harmonique. De plus, cette métrique est modérée, au sens de [@Simpson90], ou sauvage, au sens expliqué au §\[sec:sauvage\]. Les résultats de [@Simpson90] puis de [@Mochizuki08] dans le cas des courbes pour de telles métriques permettent d’adapter la méthode de Zucker, comme indiqué dans l’introduction (une approche un peu différente dans le cas modéré est utilisée dans [@Biquard97] et [@Bibi01c]; voir aussi [@Bibi98] pour un lemme de Poincaré $L^2$ dans le cas sauvage).

