$p$. Sous une hypothèse des sous-ellipticit' e, nous montrons que la r' esolvante s’' etend vers l’int' erieur de cet image jusqu’à une distance ${\cal O}(1)((h\ln \frac{1}{h})^{k/(k+1)})$ de certains points du bord, où $k\in \{ 2,4,...\}$. Ceci est une légère amélioration d’un r' esultat de Dencker, Zworski et l’auteur. Cette am' elioration a ' et' e obtenue r' ecemment par W. Bordeaux Montrieux dans une situation modèle où $k=2$. La m' ethode de preuve, qui est diff' erente de celle de Dencker et al, est bas' ee sur des estimations sur un semi-groupe microlocal associ' e.
author:
- |
    Johannes Sjöstrand[^1]\
    IMB, Université de Bourgogne\
    9, Av. A. Savary, BP 47870\
    FR-21078 Dijon Cédex\
    and UMR 5584, CNRS\
    johannes@u-bourgogne.fr
date: 'Dedicated to V.G. Maz’ya'
title: 'Resolvent estimates for non-self-adjoint operators via semi-groups'
---

Introduction {#in}
============

In this paper, we are interested in bounds on the resolvent $(z-P)^{-1}$ of a non-self-adjoint $h$-pseudodifferential operator with leading symbol $p$ when $h\to 0$, for $z$ in a neighborhood of certain points on the boundary of the range of $p$. The interest in such questions arouse with that in pseudospectra of non-self-adjoint operators, see [@Tr; @TrEm]. Under reasonable hypothesies we know that $(z-P)^{-1}$ is 