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#### Chemin, lacet.

Soit $E$ un espace topologique. On désigne par *chemin* toute classe d’application continue $\gamma : [0,1] \rightarrow E$ modulo un reparamétrage préservant l’orientation ; le point $\gamma(0)$ est l’origine et le point $\gamma(1)$ l’extrémité. Nous noterons $\gamma^-$ le chemin obtenu en changeant l’orientation de $\gamma$. La *concaténation* $\alpha.\beta$ de deux chemins $\alpha$ et $\beta$ vérifiant $\alpha(1) = \beta(0)$ est le chemin $\gamma$ représenté par le paramétrage suivant : $$\gamma(t) =
 \begin{cases}
  \alpha(2t) &\text{si $0 \leq t \leq \frac12$ ;} \\
  \beta(2t-1) &\text{si $\frac12 \leq t \leq 1$.}
 \end{cases}$$

Un *lacet* est un chemin dont l’extrémité $z$ est égale à l’origine ; on dit alors qu’il est *basé en $z$*. En notant ${\mathbb T}= {\mathbb{R}}/{\mathbb{Z}}$, on peut représenter un lacet par une application continue $\gamma : {\mathbb T}\rightarrow E$. On dit que deux lacets $\alpha$ et $\beta$ sont *librement homotopes* s’il existe une application continue $\phi : [0,1] \times {\mathbb T}\rightarrow E$ vérifiant pour tout $t \in {\mathbb T}$, $\phi(0,t) = \alpha(t)$ et $\phi(1,t) = \beta(t)$. L’application $\phi$ est appelée *homotopie libre* entre $\alpha$ et $\beta$. Pour tout $t_0 \in {\mathbb T}$, en posant $z = \phi(0,t_0)$, on note $\phi(z) : s \mapsto \phi(s,t_0)$ la *trajectoire* de 