parmi lesquels le faisceau localement constant ci-dessus, d’où une contradiction.

Nous allons voir cependant que les faisceaux pervers $\DR\cM$, pour $\cM$ simple, satisfont tous au théorème de Lefschetz difficile. Dans la suite, nous travaillerons dans le cadre analytique complexe uniquement, contrairement au début de cette introduction.

### Le théorème de Lefschetz difficile {#le-théorème-de-lefschetz-difficile .unnumbered}

Dans différents exposés en 1996 (voir [@Kashiwara98b]), Kashiwara a conjecturé une version très générale du théorème de Lefschetz difficile en géométrie algébrique complexe, qui a été démontrée récemment par TMochizuki [@Mochizuki08]:

\[th:HLT\] Soit $X$ une variété algébrique projective complexe lisse et soit $L$ l’opérateur de cup-produit par la classe de Chern d’un fibré en droites ample sur $X$. Alors, pour tout $\cD_X$-module holonome simple $\cM$ sur $X$ et tout $k\geq1$, l’itéré $k$-ième $L^k:\bH^{-k}(X,\DR\cM)\to\bH^k(X,\DR\cM)$ est un isomorphisme.

\[rem:H0\] Avec le décalage définissant $\DR$, $\bH^k$ peut être non nul seulement pour $k\in[-\dim X,\dim X]$. De plus, pour $\cM$ simple et différent de la connexion triviale $(\cO_X,\rd)$, on a aussi nullité pour $k=-\dim X,\dim X$. En effet, considérons d’abord le complexe $\Gamma(X,\DR\cM)$: son $H^{-\dim X}$ est l’espace des sections de $\cM$ sur $X$ annulées par $\nabla$; il y a donc un sous-module $H^{-\dim X}\otimes(\cO_X,\rd)$ contenu dans $\cM$, et l’hypothèse 