$z$ le long de l’homotopie libre.

Deux chemins $\alpha$ et $\beta$ vérifiant $\alpha(0) = \beta(0)$ et $\alpha(1) = \beta(1)$ sont *homotopes*[^2] s’il existe une application continue $\phi : [0,1]^2 \rightarrow E$ vérifiant pour tout $(s,t) \in [0,1]^2$ : $$\begin{aligned}
 \phi(0,t) &= \alpha(t),
 &\phi(1,t) &= \beta(t), \\
 \phi(s,0) &= \alpha(0) = \beta(0)
 &\text{et}\qquad\phi(s,1) &= \alpha(1) = \beta(1).\end{aligned}$$ On parlera de même d’*homotopie* entre lacets de même point base lorsque ce point reste fixe le long de l’homotopie. Un lacet basé en un point $z \in E$ est dit *contractile* s’il est homotope au lacet trivial basé en $z$.

#### Relèvement d’une isotopie, homotopie entre isotopies.

Soit $M$ une surface connexe. Une *isotopie* $I$ est un chemin $t \mapsto F_t$ de $[0,1]$ dans ${\operatorname{Homeo}}(M)$ muni de la topologie compacte ouverte pour les homéomorphismes. Pour tout point $z \in M$, on note $I(z) : t \mapsto F_t(z)$ la *trajectoire* de $z$ le long de l’isotopie. Il s’agit d’un lacet si et seulement si $z$ est un point fixe de $F_1$.

Soit $\widetilde\pi : \widetilde M \rightarrow M$ le revêtement universel de $M$. Une isotopie $I=(F_t)_{t \in [0,1]}$ telle que $F_0$ soit l’homéomorphisme identité ${\operatorname{id}}_M$ se relève à $\widetilde M$ en une isotopie $\widetilde 