ainsi que sur des *données de branchement* dont nous donnons une construction algébrique dans le cas des espaces de modules de courbes *à points marqués* et définis sur un corps algébriquement clos *quelconque*.

Cette approche nous permet de résoudre des questions de rationnalité dans le cas d’un corps quelconque (voir section \[Rationnalite\]), étape nécessaire pour établir l’irréductibilité des espaces ${{{\mathcal}M}}_{g,[m],\underline{\bf kr}}[G]/{{\mathrm{Aut}}}(G)$ dans la section \[Irreductibilite\].

Données de Hurwitz, une construction algébrique
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Dans [@COR87], F. Cornalba donne une construction des données de Hurwitz d’un $G$-revêtement pour les espaces de modules de courbes non-marquées et d’un point de vue complexe. La construction algébrique que nous donnons ici étend cette dernière au cas de points marqués et d’un corps de définition algébriquement clos quelconque. Elle se place dans un contexte de cohomologie étale et repose sur une description géométrique bien connue du lieu de branchement d’un revêtement - voir par exemple [@BERO07] section 3.1.

Dans la suite, nous considérons $\mathcal X/S$ une courbe propre et lisse, munie d’une action $\iota\colon G \to {{\mathrm{Aut}}}_S(\mathcal X)$ d’un groupe cyclique d’ordre inversible sur $S$, et noterons $B \subset \mathcal Y=\mathcal X/G$ le diviseur de branchement.

\[lem:nuCst\] Soit $\mathcal X/S$ une courbe telle que ci-dessus. Alors 