\mbox{\boldmath $u$}(\cdot,t) $ do problema (1.1), ver e.g.$\;$[@Galdi2000; @Leray1934] e a discussão abaixo. Estas soluções foram obtidas em [@Leray1934] usando um procedimento de regularização engenhoso revisado a seguir. Tomando $ {\displaystyle
\;\!
G \in C^{\infty}_{0}(\mathbb{R}^{n})
\;\!
} $ não negativa (qualquer) com $ \!\;\!\int_{\mathbb{^R}^{3}} \!\:\!G(x) \,dx \:\!=\:\! 1 $, e definindo $ {\displaystyle
\;\!
\bar{\mbox{\boldmath $u$}}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!0, \,\delta}}
\!\;\!(\cdot)
\in C^{\infty}(\mathbb{R}^{3})
} $ pela convolução de $ {\displaystyle
\;\!
\mbox{\boldmath $u$}_{0}(\cdot)
\;\!
} $ com $ {\displaystyle
\;\!
G_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\delta}}(x)
\:\!=\:\!
\delta^{\;\!-\,n} \;\!G(x/\delta)
} $, $ \;\!\delta > 0 $, introduz-se $ {\displaystyle
\;\!
\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\delta}},
\,
p_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\delta}}
\in
C^{\infty}(\:\!\mathbb{R}^{3} \!\times\!\;\! [\,0, \infty\:\!)\:\!)
} $ como a solução (única, clássica, globalmente definida e em $L^{2}$) do problema regularizado\
\
$$\tag{2.1$a$}
\mbox{\small $ {\displaystyle \frac{\partial}{\partial \;\!t} }$}
\,\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\delta}}
\:\!+\:
\bar{\mbox{\boldmath $u$}}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\delta}}
(\cdot,t) \!\;\!
\cdot\!\;\! \nabla\;\!
\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\delta}}
\:\!+\,
\nabla \:\!p_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\delta}}
\;=\;
\nu \,
\Delta \:\!\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\delta}},
\qquad
\nabla \!\cdot\!\;\!
\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\delta}}(\cdot,t)
\,=\,0,$$\
$$\tag{2.1$b$}
\mbox{\boldmath $u$}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\delta}}(\cdot,0)
\,=\,
\bar{\mbox{\boldmath $u$}}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!0, \,\delta}}
\!\;\!:=\,
G_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\delta}}
\!\:\!\ast
\mbox{\boldmath $u$}_{0}
\;\!
\in\!
\bigcap_{m\,=\,1}^{\infty}
\! H^{m}(\mathbb{R}^{3}),$$\
onde $ {\displaystyle
\;\!
\bar{\mbox{\boldmath $u$}}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\delta}}
\!\;\!(\cdot,t)
\!\;\!:=\:\!
G_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\delta}} \!\,\!\ast
{\mbox{\boldmath $u$}}_{\mbox{}_{\scriptstyle \!\;\!\delta}}
\!\;\!(\cdot,t)
} $. Em [@Leray1934], 