\mathcal Y\setminus B$ le morphisme quotient, ainsi que le diagramme $$\label{DiagrammeOuvert}
        \xymatrix{
            {{{\mathcal}Y}}\setminus B \ar@{^(->}[r]^j \ar[rd]_f &  {{{\mathcal}Y}}\ar[d]^h \\
            & S.
        }$$ Suivant la correspondance entre classes d’isomorphismes de $G$-torseurs sur ${{{\mathcal}Y}}\setminus B$ et éléments de ${{\mathrm{H}}}^1_{\text{\rm ét}}( {{{\mathcal}Y}}\setminus B, G)$, le morphisme étale $\pi$ définit alors un élément de ${{\mathrm{H}}}^1_{\text{\rm ét}}( {{{\mathcal}Y}}\setminus B, G)$. Ceci motive la définition suivante.

\[defi:HurwData\] Soit $(\mathcal{X},\iota)$ une courbe propre lisse munie d’une $G$ action définissant un élément $\pi\in {{\mathrm{H}}}^1_{\text{\rm ét}}( {{{\mathcal}Y}}\setminus B, G)$ comme ci-dessus. On nomme donnée de Hurwitz associée à $(\mathcal{X},\iota)$ l’image de $\pi$ dans ${{\mathrm{H}}}^0_{\text{\rm ét}}(S, h_* {{\mathrm{R}}}^1 j_* G)$ par les homomorphismes $${{\mathrm{H}}}^1_{\text{\rm ét}}( \mathcal Y\setminus B, G) \to {{\mathrm{H}}}^0_{\text{\rm ét}}(S, {{\mathrm{R}}}^1 f_* G) \to {{\mathrm{H}}}^0_{\text{\rm ét}}(S, h_* {{\mathrm{R}}}^1 j_* G).$$

Décrivont explicitement les fibres du faisceau $h_* {{\mathrm{R}}}^1 j_* G$ à travers ${{\mathrm{H}}}^0_{\text{\rm ét}}(\mathcal Y, {{\mathrm{R}}}^1 j_* G)$, puisque selon le théorème de changement de base propre $(h_* {{\mathrm{R}}}^1 j_* G)_s\simeq{{\mathrm{H}}}^0_{\text{\rm ét}}(\mathcal Y_s, {{\mathrm{R}}}^1 j_* G)$ pour $s\in S$.

\[lem:faisc\] Avec les notations de ci-dessus, le faisceau $h_* {{\mathrm{R}}}^1 j_* G$ est localement constant et la fibre en un point géométrique $s \in S$ est isomorphe à $\bigoplus_{y \in B_s} \left({{\mathbb Z}}/n{{\mathbb Z}}\right)$.

Notons que le théorème de 