$G$ permutant les points.

Considérons le mapping class group ${\Gamma_{g,[m]}}:=\pi_0(\text{Diff}^+(S_{g,[m]}))$, composante connexe du groupe des difféormorphimes de la surface topologique $S_{g,m}$ qui préservent l’orientation, avec permutation permise des points. Pour un sous-groupe $G$ fini de ${\Gamma_{g,[m]}}$ fixé, le champ des lieux spéciaux est non vide puisque, selon le théorème de réalisation de Nielsen-Kerckhoff [@KERC], pour tout sous-groupe fini $G$ de $\Gamma_{g,[m]}$, il existe une structure conforme sur la surface topologique $X$ de type $(g,m)$ tel que $G$ est le groupe des automorphismes conformes ${{\mathrm{Aut}}}(X)$.

Notons que ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}[G]$ n’est pas un sous-champ de ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}$. Plus précisément, le champ des lieux spéciaux ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}(G)\subset {{{\mathcal}M}}_{g,[m]}$ est l’image de ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}[G]$ par le morphisme d’oubli de l’action de $G$.

Le champ des lieux spéciaux ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}(G)$ est un ${{\mathbb Q}}$-champ de Deligne-Mumford.

C’est immédiat puisque le morphisme d’oubli précédent ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}[G]\to{{{\mathcal}M}}_{g,[m]}$ est représentable et propre, donc son image ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}(G)$ est fermée, et ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}(G)$ hérite de la structure de champ de ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}[G]$.

Le champ des lieux spéciaux ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}(G)$ correspond aux *lieux $G$-symétriques* introduits par S. Broughton [@BRO90] dans le contexte analytique des espaces de Teichmüller et définis comme l’image dans $\left({{{\mathcal}M}}_{g}\right)_{\mathbb C}$ des points de $\mathcal{T}_{g}$ stables par un conjugué de $G$. En particulier, le résultat suivant découle 