$\widehat\gamma$ car $\widehat N_X$ est simplement connexe. On en déduit que les lacets $\alpha.F(\gamma).\alpha^{-}$ et $\gamma$ sont homotopes (à point base fixé) dans $N_X$ et donc que $\alpha$ est adapté à $X$.

2.  Inversement, soit $\widehat\alpha \subset \widehat N_X$ le relèvement d’un chemin $\alpha$ adapté à $X$ dans $N_X$ supposé connexe. On construit $\widehat F$ comme le relèvement de $F$ envoyant l’origine $\widehat z$ de $\widehat\alpha$ sur son extrémité. Considérons un automorphisme de revêtement $\widehat T$ et montrons l’égalité $\widehat T \circ \widehat F = \widehat F \circ \widehat T$. Choisissons un chemin $\widehat\gamma \subset \widehat N_X$ de $\widehat z$ à $\widehat T(\widehat z)$. Il se projette sur un lacet $\gamma \subset N_X$ qui est, par hypothèse, homotope au lacet $\alpha.F(\gamma).\alpha^{-}$. Cela signifie que les relèvements issus de $\widehat z$ des chemins $\alpha.F(\gamma)$ et $\gamma.\alpha$ ont même extrémité. Or le lacet $\alpha$ se relève à partir du point $\widehat z$ en le chemin $\widehat\alpha$ d’extrémité $\widehat F(\widehat z)$. À partir de ce point, $F(\gamma)$ se relève en $\widehat F(\widehat\gamma)$ d’extrémité $\widehat F \circ \widehat T(\widehat z)$. Par ailleurs, $\gamma$ se relève à partir de $\widehat z$ en $\widehat\gamma$ d’extrémité $\widehat T(\widehat z)$. Le relèvement de $\alpha$ issu de ce point 