I = (\widetilde F_t)_{t \in [0,1]}$ vérifiant $\widetilde F_0 = {\operatorname{id}}_{\widetilde M}$. L’homéomorphisme $\widetilde F_1$ est appelé relèvement de $F_1$ *associé* à $I$ ; nous le noterons $\widetilde F_I$.

Considérons maintenant un sous-ensemble $N \subset M$. On dit que $I$ et $I'$ sont *homotopes relativement à $N$* si l’on peut choisir l’homotopie $\phi : [0,1]^2 \rightarrow {\operatorname{Homeo}}(M)$ de sorte que la restriction $\phi(s,t)_{|N}$ soit indépendante de $s \in [0,1]$.

Nous utiliserons également la notion de *composée de deux isotopies* : si $I = (F_t)_{t \in [0,1]}$ et $J = (G_t)_{t \in [0,1]}$ sont deux isotopies, on note $J \circ I$ l’isotopie définie par $J \circ I = (G_t\circ F_t)_{t \in [0,1]}$.

#### Point fixe contractile, point fixe d’une isotopie.

Dans la suite de l’article, on se donne une surface connexe $M$ et un homéomorphisme $F$ de $M$ isotope à l’identité. Si $E$ est un ensemble, on note $\overline E$ son adhérence, $\partial E$ sa frontière et $\mathring E$ son intérieur. La lettre $X$ désignera toujours un sous-ensemble fermé de l’ensemble ${\operatorname{Fix}}(F)$ des points fixes de $F$. Nous noterons $N_X = M \setminus X$ son complémentaire et $\widehat\pi_X : \widehat N_X \rightarrow N_X$ son revêtement universel. Soient $I = (F_t)_{t \in 