sur l’ensemble des classes de conjugaison de $G$ (resp. des composantes irréductibles de ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}(G)_{\bar{{{\mathbb Q}}}}$), ainsi que sur chacune de ces classes (resp. chacune des ${{{\mathcal}M}}_{g,[m],{\mathcal}G}(G)$). Le calcul de cette dernière action, qui constitue l’objectif principal de cet article, est menée du point de vue de l’action sur les composantes irréductibles de ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}(G)$. Ainsi, la stabilité de chacune des classes de conjugaison d’un groupe cyclique fini de $\pi_1^{geom}({{{\mathcal}M}}_{g,[m]})$ sous l’action de ${{{\mathrm{Gal}}}(\overline{{{\mathbb Q}}}/{{\mathbb Q}})}$ se réduit à la stabilité de chacune des composantes irréductibles du champ des lieux spéciaux ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}(G)_{\overline {{\mathbb Q}}}$ d’après la proposition \[prop:irrIsconj\].

De ce point de vue, le groupe ${{{\mathrm{Gal}}}(\overline{{{\mathbb Q}}}/{{\mathbb Q}})}$ agit par permutation sur l’ensemble des composantes irréductibles $\{{\mathcal}M_{g,[m],{\mathcal}G}\}_{{\mathcal}G}$ de ${\mathcal}M_{g,[m]}(G)$ (resp. l’ensemble des classes de conjugaison de $G$ dans $\Gamma_{g,[m]}$): pour $\sigma\in{{{\mathrm{Gal}}}(\overline{{{\mathbb Q}}}/{{\mathbb Q}})}$, une composante ${\mathcal}M_{g,[m],{\mathcal}G}$ est envoyé sur une composante ${\mathcal}M_{g,[m],{\mathcal}G}^{\sigma}$. Par fonctorialité, cette action est compatible avec l’action définie précédemment sur le groupe fondamental. Le résultat suivant découle de la proposition \[prop:norm\].

\[prop:galCompIrr\] Le groupe de Galois absolu ${{{\mathrm{Gal}}}(\overline{{{\mathbb Q}}}/{{\mathbb Q}})}$ agit de façon compatible sur l’ensemble des composantes irréductibles de $({{{\mathcal}M}}_{g,[m]}[G]/{{\mathrm{Aut}}}(G))_{\overline {{\mathbb Q}}}$ et de ${{{\mathcal}M}}_{g,[m]}(G)_{\overline {{\mathbb Q}}}$.

La question initiale de la stabilité d’une classe de conjugaison se 