dans le groupe fondamental $$\omega_x:I_x\to\pi_1^{geom}(\mathcal{M}_{g,[m]},x).$$ Rappelons que $\pi_1^{geom}(\mathcal{M}_{g,[m]})$ est isomorphe au complété profini du groupe fondamental orbifold $\pi_1^{orb}(({{{\mathcal}M}}_{g,[m]})_\mathbb C^{an})$. Identifiant ce dernier avec le mapping class group ${\Gamma_{g,[m]}}$, groupe des difféormorphimes de surfaces, le théorème de réalisation de Nielsen-Kerckhoff [@KERC] donne une correspondance bijective entre les sous-groupes finis géométriques de $\pi_1^{geom}({{{\mathcal}M}}_{g,[m]})$ et les sous-groupes finis du mapping class group $\Gamma_{g,[m]}$. Nous utiliserons cette correspondance dans la suite.

Une approche par théorie de Grothendieck-Teichmüller sur la torsion *profinie* d’ordre premier a ainsi montré que *l’action de ${{{\mathrm{Gal}}}(\overline{{{\mathbb Q}}}/{{\mathbb Q}})}$ sur l’inertie champêtre géométrique d’ordre premier des espaces de modules ${{{\mathcal}M}}_{0,[m]}$ et ${{{\mathcal}M}}_{1,[m]}$ est donnée par $\chi(\sigma)$-conjugaison* – voir [@Colg0; @Colg1]. Il s’agit ici de compléter cette comparaison d’action galoisienne entre ces groupes d’inerties à l’infini et champêtre.

L’objectif principal de cet article est de généraliser ce résultat aux espaces de modules de courbes de genre quelconque ainsi que de s’affranchir de l’hypothèse de primalité, ce que nous obtenons sous une certaine condition géométrique d’absence de factorisation étale (voir Théorème 5.4 pour une définition) :

[<span style="font-variant:small-caps;">Théorème A</span> — *Soit $G$ un groupe d’inertie champêtre géométrique cyclique de $\pi_1^{geom}({{{\mathcal}M}}_{g,[m]})$ n’admettant pas de factorisation étale, pour un genre $g$ et un nombre de 