Une *droite topologique orientée* est un plongement topologique propre $\phi$ de la droite réelle orientée ${\mathbb{R}}$ ; elle sépare ${\mathbb{R}}^2$ en deux composantes connexes. On dit qu’un tel plongement $\phi$ est une *droite de Brouwer* de $\widehat F$ si $\widehat F(\phi)$ est contenu dans la composante connexe de droite et $\widehat F^{-1}(\phi)$ dans celle de gauche.

On déduit de ce résultat que sous les hypothèses du théorème \[Th:princ\] il existe un feuilletage topologique $\widehat{{\mathcal}F}$ de $\widehat N_X$ par des droites de Brouwer de $\widehat F$, tel que $\widehat{{\mathcal}F}$ soit invariant par les automorphismes du revêtement $\widehat\pi_X : \widehat N_X \rightarrow N_X$. Le feuilletage $\widehat{{\mathcal}F}$ passe donc au quotient en un feuilletage topologique ${\mathcal}F$ de $M$. Ce feuilletage est dit *positivement transverse* à $\widehat F$. Expliquons ce que cela signifie avant d’énoncer le corollaire.

Soit $M$ une surface et ${\mathcal}F$ un feuilletage orienté sur $M$. On dit qu’un chemin $\gamma : [0,1] \rightarrow\nobreak M$ est *négativement transverse au feuilletage ${\mathcal}F$* si pour tout $t_0 \in ]0,1[$, il existe un intervalle ouvert $I_0 \subset ]0,1[$ contenant $t_0$, un voisinage $V$ de $\gamma(t_0)$ dans $M$ et un homéomorphisme $\varphi : V \rightarrow ]-1,1[^2$ qui envoie $\gamma(t_0)$ sur le point $(0,0)$, l’ensemble $V \cap 