nulle, et soit $m$ un entier tel que toute représentation irréductible de $\G_m$ soit banale. On note $e$ l’ordre de $q^d$ dans $\FF_\ell^\times$ et $1_{\mult\D}$ le caractère trivial de $\mult\D$. Si $e\<m$, alors la représentation $\St(1_{\mult\D},m)$ n’est pas banale (voir [@MS Proposition 7.8]). On en déduit que $e>m$, que $\ell$ est banale pour $\G_m$.

Le corollaire suivant est immédiat après la proposition \[propbanales\].

\[egalitedesupports\] Soit $\pi$ une représentation irréductible banale. Alors le support cuspidal de $\pi$ est égal à son support supercuspidal.

La réciproque n’est pas vraie. Si l’image de $q$ dans $\mult\CR$ est d’ordre $2$, le caractère trivial de $\GL_2(\F)$ n’est pas banal mais ses supports cuspidal et supercuspidal coïncident.

 {#section-2}

Soit $\rho$ une représentation irréductible cuspidale de $\G_m$, et soit $\Delta= \left[a,b\right]_\rho$ un segment banal. On pose : $$\Pi(\Delta)=\rho\nu_\rho^a\times\dots\times\rho\nu_\rho^b$$ et on note $n$ la longueur de $\Delta$. La proposition suivante associe à $\Delta$ deux représentations irréductibles de $\G_{mn}$.

\[segm\]

1.  L’induite $\Pi(\Delta)$ possède une unique sous-représentation irréductible, notée $\Z(\Delta)$. C’est l’unique représentation irréductible de $\G_{mn}$, à isomorphisme près, telle que : $$\rp_{(m,\dots,m)}\left(\Z(\Delta)\right)=\rho\nu_\rho^a\otimes\dots\otimes\rho\nu_\rho^b.$$

2.  L’induite $\Pi(\Delta)$ possède un unique quotient irréductible, noté $\L(\Delta)$. C’est l’unique représentation irréductible de $\G_{mn}$, à isomorphisme près, telle que : $$\rp_{(m,\dots,m)}\left(\L(\Delta)\right)=\rho\nu_\rho^b\otimes\dots\otimes\rho\nu_\rho^a.$$

Puisque $\Delta$ est 