пусть $Q$ - куб кубильяжа ${\mathcal Q}$; у него есть корневая вершина $v$ и тип $\tau (Q)\subset [n]$. Из начальной вершины 0 зонотопа $Z({\bf V})$ в вершину $v$ ведет путь $P$ по стрелкам кубильяжа $Z({\bf  V})$. Проведем соответствующий путь $P'$ в $Z({\bf W})$ и конец его $v'$ объявим образом вершины $v$. Ясно, что это построение не зависит от выбора пути $P$. Образ куба $Q$ – это куб того же типа, что и $Q$, растущий из вершины $v'$. Так мы получаем новое множество ${\mathcal Q}'$ кубов в $Z({\bf
W})$, и нужно лишь убедиться, что эти кубы не налезают друг на друга. А это достаточно проверить для соседних кубов. То есть если кубы $Q$ и $R$ кубильяжа ${\mathcal Q}$ соседние (по общей фасете $F$), то их образы $Q'$ и $R'$ (которые, очевидно, имеют общую фасету $F'$) лежат по разные стороны от $F'$.

Пусть фасета $F$ (то есть куб размерности $d-1$) имеет тип $\tau (F)$. Кубы $Q$ и $R$ получаются добавлением к векторам $v_{\tau (F)}$ каких-то векторов $v_i$ и $v_j$. Так как они лежат по разные стороны от $F$, то ориентации базисов $v_{\tau (F)i}$ и $v_{\tau (F)j}$ противоположны. Но тогда и ориентации базисов $w_{\tau (F)i}$ и $w_{\tau (F)j}$ противоположны, что и означает, что 