[0,1]}$ une isotopie entre l’identité et $F$ et $z$ un point fixe de $F$.

On dit que $z$ est un *point fixe de $I$* s’il vérifie, pour tout $t \in [0,1]$, $F_t(z) = z$. Nous noterons ${\operatorname{Fix}}(I)$ l’ensemble des points fixes d’une isotopie $I$.

On dit que $z$ est un *point contractile de $I$* s’il vérifie l’une des deux propriétés suivantes :

1.  le point $z$ est un point fixe de $I$ ;

2.  le point $z$ appartient à ${\operatorname{Fix}}(F) \setminus {\operatorname{Fix}}(I)$ et le lacet $I(z)$ est contractile dans $M \setminus {\operatorname{Fix}}(I)$.

Nous noterons ${\operatorname{Cont}}(I)$ l’ensemble des points contractiles d’une isotopie $I$.

Considérons $X = {\operatorname{Fix}}(I)$ et $\widehat F$ le relèvement de $F_{|N_X}$ à $\widehat N_X$ associé à la restriction de $I$ à $N_X$. Un point $z \in N_X$ est contractile si et seulement si tout relevé $\widehat z$ de $z$ à $\widehat N_X$ est un point fixe de $\widehat F$.

Isotopie restreinte, relèvement {#ssec:defrestr}
-------------------------------

On appelle *isotopie restreinte* tout couple $(X,I)$ formé :

-   d’un sous-ensemble fermé $X \subset {\operatorname{Fix}}(F)$ ;

-   d’une isotopie définie sur $N_X$ entre l’identité ${\operatorname{id}}_{N_X}$ et la restriction $F_{|N_X}$ de $F$ à $N_X$.

On note ${\mathcal}I$ l’ensemble des isotopies restreintes.

\[Def:QuiCommute\] On note 