$\bS=\{|\hb|=1\}$, $\cO_{\bS}$ est le germe le long de $\bS$ de $\cO_{\CC_\hb}$ et $\cC^{\infty,\an}_{X\times\bS}$ le faisceau des germes le long de $X\times\bS$ de fonctions $C^\infty$ holomorphes par rapport à $\hb$. Si $\cH'$ et $\cH''$ sont munis de $\hb$-connexions, on demande que $C$ soit compatible en un sens naturel. Ces triplets forment naturellement une catégorie. L’*adjoint* $(\cH',\cH'',C)^*$ est le triplet $(\cH'',\cH',C^*)$, avec $C^*(u'',\sigma^*\ov u{}')\defin \ov{C(u',\sigma^*\ov u{}'')}$, et les $\hb$-connexions restent compatibles à $C^*$.

Une *variation de structure de twisteur* est une telle donnée $(\cH',\cH'',C)$ avec $\hb$-connexions intégrables telle que, pour tout $x\in X$, l’accouplement induit par $C$ soit non dégénéré et définisse donc un fibré holomorphe sur $\PP^1$ par recollement de $\cH^{\prime\vee}_{|\{x\}\times\CC_\hb}$ et $\sigma^*\ov\cH{}''_{|\{x\}\times\CC_\mu}$. C’est une variation de structure de twisteur *pure de poids $w\in\ZZ$* si, pour tout $x$, le fibré obtenu est isomorphe à une puissance de $\cO_{\PP^1}(w)$. Si le poids $w$ est nul, les sections globales de ce fibré à $x$ fixé forment un espace vectoriel $H_x$ de dimension égale au rang de $\cH'$ et $\cH''$, et l’adjoint a pour sections globales l’espace adjoint $\ov H{}_x^\vee$. On définit alors une *polarisation* comme un isomorphisme $\cS$ de $(\cH',\cH'',C)$ sur son adjoint $(\cH',\cH'',C)^*$, compatible aux $\hb$-connexions, tel que, pour tout $x$, l’isomorphisme 