la fonction $\nu$ comptant le nombre de points géométriques de branchement dans les fibres $$\begin{array}{cccc}
                \nu \colon & S & \to & {{\mathbb N}}\\
                & s & \mapsto & {{\mathrm{card}}}\left(( B\times_S s)(\bar s)\right)
            \end{array}$$ est localement constante.

La constance locale de la fonction $\nu$ montre que, étant donnée un entier $\nu_0\in {{\mathbb N}}$, le lieu de points de $\mathcal M_{g, [m]}$ où la fonction $\nu$ vaut $\nu_0$ est un sous- champs algébrique qu’on notera $\mathcal M_{g, [m], \nu_0}$.

Ceci découle directement de [@BERO07 Lemme 3.3]. En effet, puisque $G$ est d’ordre inversible sur ${{{\mathcal}O}}_S$, pour tout $H\subset G$ le schéma $\mathcal X^H$ des points fixes sous $H$ est naturellement un diviseur de Cartier relatif étale sur $S$. Il en est ainsi de même pour le support de $B$ qui est égal à l’image de $\cup_{\{0\} \not = H \subset G} \mathcal X^H$ dans $\mathcal Y$, d’où la constance de $\nu$.

C’est le fait que les groupes considérés ont des ordres premiers aux caractéristiques résiduelles qui impose cette géométrie du lieu de branchement particulièrement simple.

Considérons une courbe $G$-équivariante ${{\mathcal X}}$ et notons ${{{\mathcal}Y}}={{\mathcal X}}/G$, $R$ le diviseur de ramification, $B$ le diviseur de branchement et $\pi\colon (\mathcal X\setminus R) \to 