О фольклорном аспекте этого лозунга скажу отдельно.
Здесь об этой фразе самой по себе.

Лично я употреблял где-то в докладах (кажется, в первой, "австрийской" презентации Информатики-21 в 2003 г.) фразу о том, что (цитирую примерно) "в конце концов программирование -- это, в сущности, продолжение математики другими средствами".

Но там был контекст: обучение программированию прикладников типа физиков-химиков, а также практическая важность устранения барьера между аналитической математикой и вычислительной, чему уникально способствует Оберон/Блэкбокс.

В таком контексте всё сразу встает на свои места:
науки занимаются созданием символических моделей частей реальности.
Модели составляют спектр от аналитических до программных, причем как правило характер моделей смешанный: сначала попишем формулы, потом их запрограммируем и погоняем компьютер.

Т.е. под программированием подразумевается решение прикладных задач с помощью компьютерного моделирования -- нормальное научно-бытовое словоупотребление, потому что решение прикладных задач с помощью моделирования на компьютерах в 90% времени выглядит для занятых в нём как программирование.
И про дипломников с аспирантами говорят мол "он мне должен кое-что запрограммировать", хотя владение основным формализмом там составляет основную компетенцию, а программирование -- вспомогательную.

И тогда понятно, что под математикой в обсуждаемом лозунге подразумевается ровно то же самое: решение прикладных задач с помощью традиционных математических средств -- аналитических формул и чертежей. (Так же как в школе математикой называется предмет, где учат решать задачки мат. средствами, а не делать математику как науку.)

Хвостик моего высказывания -- "другими средствами" -- как раз и указывает в точности на такой смысл *моего* варианта лозунга.

-------
Если забыть о контексте и обо всех оговорках и попытаться додумать смысл фразы "программирование есть продолжение математики", то можно это сделать следующим образом:
Формализм Дейкстры выглядит как формальная математика, а раз так, то и программирование -- продолжение математики.

Такая интерпретация на самом деле уже сильно теряет в смысле, стремясь к тому, чтобы быть просто красивой фразой, пропагандирующей важность для программиста хорошего знания математики вообще и формализма Дейкстры в частности.

Однако тут есть опасность, т.к. неверно смешиваются понятия, даже с учетом контекста.
Что легко увидеть : ведь точно так же можно придти к выводу, что химия -- продолжение прикладной математики. На том основании, что в ней применяются какие-то мат. модели и методы.