Matematiğin (m)izahı II | Bilim ve Gelecek
Ana sayfa 86. Sayı Matematiğin (m)izahı II
Bu yazıda da matematikle mizahın kesiştiği yolda yürüyoruz. Önceki sayıda matematik mizahını fıkralardan örnekler vererek incelemeye çalışmıştık. Bu kez de matematik üzerine yapılmış olan bazı şaka, espri ve karikatürleri ele alacağız.
Matematiksel şakaların birçoğu sayılar kuramı, fonksiyonel analiz, topoloji gibi matematiğin farklı alanlarına aittir. Meraklıları için matematik dünyasında keşfe çıkabilmenin ilk adımı olabilecek bu esprilerin bir bölümü soru yanıt biçimindeki bilmecelerle karşımıza çıkar. Matematiğin alt dallarıyla ilgili olan bu şakaları anlayabilmek için matematiksel bilgi gerekir. Bu yazıda böylesi birkaç şakaya değineceğim, tabii matematikle ilgili bazı popüler bilgileri vererek.
Geometrik topolojinin incelediği bölümlerden biri olan iki şeklin veya iki cismin birbirine“dönüşümü” birçok şakanın konusu olmuştur. Bir üçgenle bir çember, kulplu bir kahve kupasıyla bir simit topolojik olarak eşyapılıdır. Islak kilden yapılmış kulplu bir kahve kupasının parçalanmadan eğilip bükülerek, düzleştirilip bir simit şeklini alması topolojik bir dönüşümdür ve bu dönüşümün gerçekleşmesi kahve kupasının kulplu olmasına bağlıdır. Buradan üretilmiş bir espride kahve içerken simit yiyen bir topolojistin kahve kupasının kulpunu tutarken, kupanın simide dönüşümünü açıklayamayacağı anlatılır. Bu türdeki şakalar matematik kültürünün bir parçasıdır ve bu kültüre ait ipuçları veririler.
Birçok çeşitlemesi olan “Bir ampulü değiştirmek için kaç matematikçiye, kaç mühendise, kaç fizikçiye gerek vardır?” gibi soruların matematikle ilgili değişik uyarlamaları yapılmıştır:
S: Bir ampulü değiştirmek için kaç topolojiste gerek vardır?
Y: Fark etmez, nasıl olsa bir topolojist onu düğüm haline getirecektir.
S: Kaç sayı kuramcısı gerekir?
Y: Bu sayı bilinemez, ancak bu sayının kusursuz bir asal sayı olduğu sanısı ünlü bir matematikçi tarafından ifade edilmiştir ve bu sanı henüz kanıtlanamamıştır.
S: Kaç geometrici gerekir?
Y: Sıfır, çünkü bu iş pergel ve cetvelle yapılamaz.
S: Kaç analizci gerekir?
Y: Üç. Biri ampulü değiştirmenin en az bir yolu olduğunu (Varlık Teoremi), ikincisi ise ampulün tek biçimde takılabileceğini kanıtlamak için (Teklik Teoremi);diğeri de bu ampulün takılmasına ait bir algoritma geliştirmek için.
S: Kaç matematikçi gerekir?
Bu şaka, 0,999999… = 1 eşitliğinin doğruluğundan kuşku duyanlarla dalga geçmenin yanı sıra, matematiğin tek başına yapılan bir uğraş olduğunu da anlatır. Öte yandan bu espri yukarıda topolojist, sayı kuramcısı, analizci, geometrici gibi matematikçiler için verilen yanıtlarla çelişiyor gibi görünse de mizahta mutlak tutarlılığı
aramak doğru olmasa gerek. Bunun güzel bir örneği aşağıdaki soruda.
S: Bir ampulü değiştirmek için kaç ampul gerekir?
Y: Bir, eğer bu ampul kendi Gödel sayısını biliyorsa.
Bu şaka, matematikte doğruluğu ya da yanlışlığı kanıtlanamayan önemelerin olduğunun kanıtının yapıldığı Gödel’in Eksiklik Teoremleri’ne bir göndermedir. Gödel, adına “Gödel sayıları” denilen her matematiksel tümceye, her ime bir sayının karşılık getirilebileceğinin olanaklı olduğunu göstererek matematiğin çelişkisiz olduğunun kanıtının yapılamayacağını kanıtlamıştır. Eksiklik Teoremleri matematiğin temellerini sarsmıştır. Bu şakanın devamı olarak bir tavuğun yolun karşısına geçmesiyle ilgili olarak şu soru sorulur: Tavuk neden yolun karşısına geçti? Gödel’in Eksiklik Teoremleri’ne göre yanıt şöyledir: Tavuğun yolun karşısına geçip geçmediği kanıtlanamaz.
Tavuğun yolun karşısına geçip geçmediği kanıtlanabilir mi? Bilemem! Ama matematikte, kanıt olmadan bırakın karşıdan karşıya geçmeyi adım atmanın bile olanaksız olduğu çok iyi bilinir. Kanıt matematiğin hijyenidir ve kanıtın her aşamasının geçerliliği çok önemlidir. Matematik tarihine bakıldığında kimi ünlü matematikçilerin bile yaptıkları kanıtlarda gerekli titizliği göstermediği görülür. Birçok matematikçinin kanıtı, incelemeler sonunda saptanan hatalar nedeniyle geçersizleşmiştir. Matematikte kanıt bu kadar önemliyken, matematiğin günlük kullanımında bu titizliğe rastlamak her zaman mümkün olmamaktadır. Aşağıdaki şakalarda, daha çok amatör matematikçilerin ve kimi akademisyenlerin ders verirken matematiğin ihlaline yol açan faullü “kanıt teknikleri” sıralanmıştır.
Nasıl kanıtlamalı? Ders verenler için rehber
Erteleme yoluyla kanıt: “Bunu dersin ilerleyen bölümlerinde kanıtlayacağız.”
Ayartma yoluyla kanıt: “Kendinizi bunun doğru olduğuna inandırın.”
Savsaklama yoluyla kanıt: “Okuyucu rahatlıkla detayı anlayacaktır.”
Örnek verme yoluyla kanıt: “Genel kanıtın vermek istediği fikri n = 2 durumu çok iyi anlatıyor.”
Erişilemeyen literatüre referans vererek kanıt: “Slovenyalı Filoloji Topluluğu’nun 1883 yılındaki anı kitabında bu teoremin bir sonucu bulunabilir.”
Gözdağı, yıldırma yoluyla kanıt: “Önemsiz.”
Seçkin otorite yoluyla kanıt: “Dün akşam telefonda Robert Langlands’la konuştum, Galois gruplarıyla otomorfik formlar arasında bir denkliğin olduğunu söyledi.”
Matematikte geçmişte yapılmış çalışmaların referans gösterilmesi yoluyla kanıt: “Matematikçilerin uzun ve yılmayan çalışmaları sonucunda karşı bir örnek bulunamadı.”
Şekil ve şema kullanarak kanıt: Örnek yoluyla kanıtın biraz daha ikna edici olanıdır. Savsaklama yoluyla birlikte çok iyi gider.
Coşkulu el sallama yoluyla kanıt: Derste veya seminer düzeninde iyi işler.
Matematiği öğretenlerin bu “ihlallerine” karşılık, öğrenenler de matematik ödevlerine ilişkin ihlallerini zaman zaman matematik diliyle izah etmişlerdir. Bu bölümde öğrencilerin ödev yapmama mazeretlerinden örnekler vereceğim. Ödev, adı üstünde bir otoritenin yaptırımıdır aslında. Öğrencilere verilen birçok ödevde gönüllülük yok denecek kadar azdır. Bütün bunların üstüne matematikle arası iyi olmayan bir öğrenciye verilen matematik ödevi o öğrenci için bir işkenceye dönüşür, matematiğin dünyasıyla gerçekler dünyasının çatışması başlar. Her iki dünyada yaşamanın zorluğu içinde olan öğrenci, birçok mazeret üretir. Ödev yapmamanın esprili matematiksel gerekçelerinden bazı örnekler:
– Ödevimi yaparken bir tamsayıyı yanlışlıkla sıfıra böldüm, kâğıdım bir anda alev aldı.
– Bir kahve ve simit molası verdim, ama gecenin kalanında hangisini hangisine bandıracağıma karar veremedim.
– Ödev kâğıtlarıma asimptotik olarak yaklaşıyor ama dokunamıyordum.
– Ödevimi çekmeceye kilitledim ama dört boyutlu bir köpek geldi, onu yedi.
– Teoremi kanıtlayabilirdim ama kanıtı yazacak yerim yoktu. (Fermat’nın Büyük Fermat Teoremi’nin kanıtı için çalışma kâğıtlarından birine yazdığı “Kanıtı yazacak yerim yok.” notuna bir gönderme)
– Ödevimi bir Klein şişesine koyduğuma dair yemin edebilirim ama onu bu sabah bulmadım.
– Carl Friedrich Gauss’un doğum gününü kutladığımdan zamanım olmadı.
-Dünya Kupası maçlarını izliyordum, topun yakınsadığı noktayı bulmaya çalışırken ekrana kilitlendim.
Kanıtını yapmakta takıldığım teorem için Matematik Dünyası dergisine baktım gülmekten ödevimi tamamlayamadım.
Farklı yayınlar ve internet ortamından derleyerek yukarıda sıraladığım mazeretlerin sonuncusunu bir öğrencimin esprisinden esinlenerek ben ekledim. Sözü, Matematik Dünyası dergisindeki mizaha getirmek istiyorum. Yarı akademik nitelikte olan, matematiğin hemen her alanına ait derinlemesine yazılarla dolu bir dergide nasıl olur da mizah yapılır? Dergiyi okuyanlar bu sorunun yanıtını çok iyi bilir. Halkalar, sıralamalar, sonsuz sayılar, çizgeler, seçim beliti, türev gibi kuramsal matematiğin en temel konuları akıcı ve esprili bir dille anlatılır. Oldukça soyut ve teorik bir konunun bir yerinde adeta birisi sizi gıdıklar, gülmeye başlarsınız. Okur, matematiksel nesnelerin matematiği sulandırmadan yapılan mizahi betimlemelerini okumanın keyfini sürer, yapılan tam anlamıyla matematiğin (m)izahıdır. Eğlenceli matematik bu olsa gerek! Ali Nesin’in kaleminden çıktığını zannettiğim bu espri ve betimlemelerden bazılarını alıntılıyorum: “Sayfanın en altına çizdiğimiz bu eğriye literatürde -çok affedersiniz!- sikloid denir.”, “Fonksiyonların süpnormunun sonsuz olabilmesi bazı hassas ruhları rahatsız edebilir.” “Acaba bu en gıcır sonlu küme maksimal bir sonlu küme mi?”, “f sıralamaya saygı duyuyor”.
Matematik Dünyası’nın “Okurlardan” köşesine göz attığınızda da tam bir mizah şöleniyle karşılaşırsınız. Okurlardan gelen sorular ve editörün yanıtlarına örnekler:
Soru: Hocam, tek sayıların olmadığını kanıtladım. Bu konuyu uluslararası dergilerde yayımlamam gerekiyormuş. Onun için size gönderdim. Yardımcı olursanız sevinirim.
Yanıt: Şimdi de çift sayıların olmadığını kanıtla da MD’nin kapısına kilit vuralım.
Soru: Sanırım 5 yıldır uğraşıp kanıtlayamadığım Goldbach sanısını bu sefer kanıtladım. Size yolluyorum. İnceleyip beni doğru ya da yanlış olduğu konusunda bilgilendirmenizi rica ediyorum.
Yanıt: Kanıtınız sadece iki sayfa olduğundan yanlıştır.
Soru: 0 = 1 eşitliğini ispatlayarak matematiğin çelişkili olduğunu gösterdim. Şimdi ne yapayım?
Yanıt: Fiziğe el atıp başımıza taş yağmayacağını kanıtla.
Soru: 29’un ikilik tabanda asal olmadığını gösterdim. Bu önemli bir buluş mudur?
Yanıt: Asallık tabandan bağımsız bir kavramdır. Buluşunuz önemli olmasına önemli de, bir kusuru var, yanlış…
Matematik Dünyası’nda yapılan mizah, alıntıladığım bu şakalarla sınırlı değil elbette. Dergide mizahın en önemli ismi karikatürist Tayfun Akgül. Uluslararası bilim dergilerinde de karikatürleri yayımlanan Tayfun Akgül, Matematik Dünyası için çizdiği karikatürlerle matematik (m)izahından çok güzel örnekler vermiştir. Bu yüzden Matematik Dünyası okurları çok şanslı, dünyada hiçbir matematik dergisinin Tayfun Akgül gibi bir karikatüriste sahip olduğunu sanmıyorum.
Matematik ve mizah… Her iki etkinlik de soyutlamanın ürünü. Mizah matematik dünyasını soyutluyor, matematik ise insanın en mükemmel soyutlama uğraşlarından biri. Matematiğin dünyası ile gerçekler dünyasının çarpıştığı noktada mizah sahne alıyor ve bizlere her iki dünyanın güzelliklerini görme olanağını sağlıyor.
Teşekkür: Karikatürünü yayımlamama izin verdiği için Tayfun Akgül’e çok teşekkür ederim.
1) Paul Renteln, Alan Dundes, Notices of theAmerican Mathematical Society, 2005, Volume 52, Number 1.
Önceki makaleBir gün olmadık bir geçmişle uyanabilirsiniz!
Sonraki makaleBir karbon atomuyla söyleşi