Bölünebilme ve Asallar | Asal sayılar
Bölünebilme ve AsallarAsal sayılar
Bölen çiftleri hesaplarken, bir sayı ilk bölen çifti hariç başka bölen çifte sahip olmayabilir. Örnek olarak 13'ü ele alalım – bölenleri sadece 1 ve kendisi (13). Bu özel sayılar Asal sayılar olarak adlandırılır. Onları daha küçük sayıların çarpımı şeklinde yazamayız ki bu onları bir nevi “sayıların atomları” yapar.
1'in kendisi bir asal sayı olmadığını unutmayın, bu yüzden ilk birkaç asal sayı şunlardır: 2, 3, 5, 7, 11, 13,…
Asal olmayan herhangi bir sayı asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir: tüm çarpanları asal olana olana kadar sayıları daha fazla parçaya bölmeye devam edelim. Örneğin,
Şimdi 2, 3 ve 7 asal sayılardır ve daha fazla bölünemezler. 2 × 2 × 3 × 7 çarpımı, 84’ün asal çarpanlarına ayrımı olarak adlandırılır ve 2, 3 ve 7 onun asal çarpanlarıdır. Asal çarpanlarına ayırma işleminde bazı asalların, bu örnekteki 2 gibi, birden çok defa görünebileceğini unutmayın.
Her tamsayı bir asal çarpan ayrımına sahiptir ve hiçbir farklı iki tamsayı aynı asal çarpan ayrımına sahip değildir. Ayrıca, herhangi bir sayıyı asal çarpanların çarpımı şeklinde yazmanın tek bir yolu vardır – tabi ki asal çarpanların çarpımdaki sıralamasını değiştirmeyi saymıyoruz. Buna Aritmetiğin Temel Teoremi (ATT) denir.
ATT'ni kullanımı matematikteki birçok problemin çözümünü çok daha kolaylaştırır: Sayıyı, asal çarpanlarına ayırır, problemi her bir asal için çözeriz ki bu genellikle çok daha kolaydır ve bulduğumuz sonuçları birleştirirerek ana problemin sonucunu elde ederiz.
Bir sayının asal olup olmadığını belirlemek oldukça zor oldu: sayının her zaman tüm asal çarpanları bulmak zorundayız, bu da sayı büyüdükçe daha da zorlaşıyor. Bunun yerine, Yunan matematikçi Eratosthenes of Cyrene 100'e kadar olan tüm asal sayıları bulmak için basit bir algoritma geliştirdi: Eratosthenes'in Kalburu.
Önce 100 kadar tüm sayıları yazmalıyız.
1'in asal olmadığını biliyoruz, bu yüzden silelim.
En küçük asal sayı 2'dir. 2'nin katı olan herhangi bir sayı asal olamaz çünkü 2 o sayının bir çarpanıdır. Böylece 2'nin katı olan her sayının üzerini çizebiliriz.
Listemizdeki bir sonraki sayı 3'tür – yine bir asal sayı. 3'ün katı olan hiçbir sayı asal olamaz çünkü 3 hepsinin bir çarpanıdır. Böylece 3'ün katı olanların tamamının üzerini çizebiliriz.
Bir sonraki sayı 4, ki zaten üzerini çizmiştik, o halde 5'e ilerleyelim: 5 asal bir sayıdır ve 5'in katlarının üzerini çizelim.
Bir sonraki asal sayı olmalı, 6'nin üzeri çizildiği için. Bir kez daha, bütün katlarının üzerini çizdik.
Bir sonraki asal sayı olmalı. Dikkat edelim, nasıl olduysa onun katları nın üzerini çizdik3'ün katları. Aynı işlemler geriye kalan bütün sayılar için geçerli. Böylece kalan tüm sayılar asal olmalı.
Şimdi, toplamda 100'den küçük asal sayı olduğunu söyleyebiliriz.
Tabii ki Eratosthenes'in Kalburunu daha büyük asal sayıları bulmak için kullanabiliriz. 100 ile 200 arasında 21 asal sayı var, 200 ile 300 arasında 16 asal sayı var, 400 ile 500 arasında 17 ve yalnızca 10.000 ile 10.100 arasında sadece 11 asal var.
Asal sayılar gittikçe daha fazla yayılmaya devam ediyor gibi görünüyor, ama hiç duruyorlar mı? Bir en büyük veya bir en küçük asal sayı var mı?
İlk olarak, Antik Yunan matematikçi Öklid asal sayıların sonsuzluğunu aşağıdaki argümanı kullanarak kanıtladı:
Sonlu sayıda asal olduğunu varsayalım.
Bütün asalları çarpalım ve N olarak adlandıracağımız çok büyük bir sayı elde edelim.
N + 1 sayısını düşünelim. N sayısını bölen herhangi bir asal sayı N + 1 sayısını bölemez. Bu zamana bulduğumuz tüm asal sayılar N'i böldüğüne göre hiçbiri N + 1 sayısını bölemez.
Aritmetiğin Temel Teoremi'nden biliyoruz ki N + 1 sayısının asal çarpanları olmalı. Ya N + 1 sayısının kendisi asaldır ya da N + 1 sayısını bölen P’ olarak adlandıracağımız yeni bir asal sayı vardır.
İki durumda da baştaki listemizde olmayan yeni bir asal bulduk – fakat biz bütün asalların listemizde olduğunu kabul etmiştik.
Belli ki bir şeyler ters gitti! Ama 2–4 adımlar arası geçerli olduğunu gördüğümüze göre, yanlış olma ihtimali olan tek yer bizim 1. adımdaki varsayımımız. Bu da bize asal sayıların sonsuz olduğunu söylüyor.
Öklid’in açıklaması matematik tarihindeki ilk resmi kanıt - örneklerinden biridir. matematiksel proof - mantıksa bir argümanın mutlaka doğru olduğunu gösteren. Bu örnek genellikle çelişki ile ispat olarak adlandırılır: Bir varsayımla başlarız, imkansız bir şeyi çıkarırız ve böylece bizim varsayımımızın yanlış olduğunu görürüz.