Kökler Toplamı ve Kökler Çarpımı - Webders.net
24.09.2016 - 15:33
Matematikte denklemler konusunda kökler toplamı sürekli karşımıza çıkan bir kavram. Aynı zamanda kökler çarpımı da daimi olarak karşılaştığımız ifadelerden bir tanesidir. Bilenler için basit olan bu kavramlar bilmeyenler için kabusa dönüşmektedir. Öyleyse kökler toplamıyla ve kökler çarpımıyla ilgili bütün bilgileri tek seferde verelim. 2. ve 3. dereceden denklemler konusu altında incelenen bu kavramlar matematiğin bir çok konusunda karşımıza çıkar. Şimdi kökler toplamıyla ilgili durumları hep birlikte inceleyelim.
Bir denklemin birden fazla çözümü olabilir. Denklemi sağlayan her değer denklemin köküdür. Bu değerlerin toplamına biz kökler toplamı deriz. Eğer denklem ikinci derecedense iki tane kökü vardır. Üçüncü dereceden ise üç tane kökü vardır. Yani n. dereceden bir denklemi sağlayan n tane değer vardır. Bu değerlerin toplamı bize kökler toplamını verir.
Genellikle denklemler konusu altında 1., 2. ve 3. dereceden denklemler üzerinde dururuz. Daha büyük dereceli denklemleri ise sadeleştirip çözme yoluna gideriz. Kökler toplamını anlamak için bir örnek üzerinden gösterim yapalım.
X2 + 6x + 5 = 0 denklemini inceleyelim. Denklem 2. dereceden olduğu için denklemin 2 tane çözüm değeri yani kökü vardır. Denklemin köklerini bulmak demek denklemi eşitlikte verildiği gibi 0'a eşitleyen değeri bulmak demektir. Bunun için de çarpanlara ayırma bilgisini kullanmamız gerekir.
X2 + 6x + 5 = 0 = (x + 5).(x + 1) eşitliğini çarpanlara ayırma bilgisinden faydalanarak elde ederiz. Burada çarpımlardan sadece birini 0'a eşitlemek çözüm için yeterli olacaktır. Bu durumda x = -5 ve x = -1 şeklinde iki tane çözümümüz olur. -5 ve -1 değerleri bu denklemin çözüm kümesini oluşturur. Ayrıca bu ifadeler denklemin kökü olarak da karşımıza çıkar. Öyleyse bu denklemin kökler toplamı -5 + -1 = -6 olur. Kökler çarpımı ise -5.-1 = 5 olacaktır.
Kökler Toplamı ve Kökler Çarpımı Nasıl Bulunur?
Yukarıdaki örnekte kökler toplamını çarpanlarına ayırmak suritiyle çözdüğümüz denklemden bulduk. Ancak denklem 2. dereceden bir denklem olduğu için bizden ayrı ayrı kökler istenmediği durumlarda kökler toplamı formülü kullanarak da toplamı bulabiliriz. Aynı şekilde kökler çarpımı için de formül mevcuttur.
2. dereceden ve 3. dereceden denklemlerin kökler toplamı forlümü -b/a şeklindedir.
2. dereceden denklem = ax2 + bx + c,
3. dereceden denklem = ax3 + bx2 + cx + d şeklinde ifade edilir.
İki denklem türünde de kökler toplamı formü aynıdır. Bu konuda oldukça şanslıyız.
Kökler çarpımı için de 2. dereceden denklemderle c/a, 3. dereceden denklemler ise d/a formülünü kullanırız.
Şimdi yukarıdaki örneğimize bakalım. Toplamlarını -6 bulduğumuz denklemde a=1, b=6 ve c=5 şeklindedir. Örnekte formülleri yerinde kullanırsak kökler toplamı = -6/1 = -6, kökler çarpımı = 5/1 = 1 şeklinde olur. Gördüğünüz gibi formülle rahatlıkla çözüm sağlanmaktadır.
Peki çözüm sağlayıp kolaylıkla bulabiliyorsak formülü neden kullanırız? Bu durumda bu soru aklınıza gelebilir. Bunun nedenleri vardır.
İlk olarak çarpanlara ayırma ve çözme özellikle 3. dereceden denklemlerde epey vakit alabilmektedir. Bu durumda formülü bulmak daha kolaydır.
İkinci olarak ise bazı denklemlerin çözümü yoktur. Yani aslında çözümü vardır ama reel sayılarda değil karmaşık sayılarda çözüm bulunur. Bunları hesaplamak için de diskriminant (Δ) yöntemini devreye sokmamız gerekir. Bu yönteme ilgili konu anlatımında değindik zaten. Burada tekrar açmayacağız.
Kökler toplamı, çarpımı gibi kavramlar oturduysa bundan sonra denklemler konusunda daha başarılı olmamız beklenir. Bütünsel olarak bu konuyu kavramak için çarpanlara ayırma, 2. ve 3. dereceden denklemler ve ek olarak da parabol konularına bakmanız gerekir.